close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

143.Лобода А.В.Однородность вложенных многообразий

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Воронежский государственный архитектурно-строительный университет"
А.В. ЛОБОДА
ОДНОРОДНОСТЬ ВЛОЖЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ.
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ВЕЩЕСТВЕННЫХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВА C2
МОНОГРАФИЯ
Воронеж 2012
УДК 514.74 + 517.5 + 512:81
ББК 22.161.5 + 22.151.5 + 22.147
Л683
Рецензенты:
В.К. Белошапка, д-р физ.-мат. наук,
проф. кафедры теории функций и функционального анализа
Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова;
А.А. Клячин, д-р физ.-мат. наук, доц.,
зав. кафедрой математического анализа и теории функций
Волгоградского государственного университета;
В.А. Клячин, д-р физ.-мат. наук, доц.,
зав. кафедрой компьютерных наук и экспериментальной
математики Волгоградского государственного университета
Лобода, А.В.
Однородность вложенных многообразий.
Л683 Аффинная геометрия вещественных гиперповерхностей
пространства C2 : монография / А.В. Лобода; Воронежский ГАСУ.
- Воронеж, 2012. - 142 с.
В книге излагается разработанный автором коэффициентный подход к задаче описания однородных вложенных многообразий. Двумя основными составляющими такого
подхода являются использование локальных канонических уравнений изучаемых многообразий и применение методов теории алгебр Ли.
Получено полное решение задачи классификации ростков аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства C2 . Показано отличие полученной классификации от известного результата Э. Картана 1932 г., содержащего описание голоморфнооднородных вещественных гиперповерхностей 2-мерных комплексных пространств. Обозначены возможности применения описанных методов к задачам об однородности в пространствах большей размерности.
Библиогр.: 97 назв.
УДК 514.74 + 517.5 + 512.81
ББК 22.161.5 + 22.151.5 + 22.147
ISBN 978-5-89040-397-1
c Лобода А.В., 2012
c Воронежский ГАСУ, 2012
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................................................................................................ 5
Введение ........................................................................................................ 8
ГЛАВА 1. Изучение однородности на основе канонических
уравнений .............................................................................. 11
1.1. Понятие однородности вложенного многообразия ................... 11
1.1.1. Основные определения ......................................................... 11
1.1.2. Современное состояние вопроса ............................................ 16
1.2. Аффинное каноническое уравнение невырожденной по Леви
вещественной гиперповерхности пространства C2 ................... 21
1.3. Алгебра Ли, соответствующая однородной
гиперповерхности ....................................................................... 29
1.4. О канонических уравнених вырожденных по Леви
гиперповерхностей ...................................................................... 36
1.5. Схема исследования однородности с помощью канонических
уравнений..................................................................................... 40
1.6. Интегрирование матричных алгебр Ли. ..................................... 45
ГЛАВА 2. Невырожденные по Леви однородные
гиперповерхности в C2 ...................................................... 51
2.1. Формулировки основных теорем ................................................ 51
2.2. Однородные поверхности с нулевой квадратичной частью ..... 52
2.3. Поверхности трубчатого типа .................................................... 59
2.3.1. Коэффициентные запреты на однородность ....................... 60
2.3.2. Однородные поверхности, не допускающие жестких
уравнений ............................................................................... 62
2.3.3. Аффинно-однородные жесткие поверхности, не сводимые
к трубкам .............................................................................. 67
2.3.4. Оценка размерности алгебры g(M ) для поверхностей
трубчатого типа ..................................................................... 71
3
2.3.5. Аффинно-однородные трубки .............................................. 75
2.4. Поверхности общего положения .................................................. 79
2.4.1. Опорные коэффициенты уравнения однородной
поверхности ........................................................................... 80
2.4.2. Жесткость однородных поверхностей общего положения .. 83
2.4.3. Однородные поверхности общего положения,
не допускающие жестких уравнений ................................... 88
ГЛАВА 3. Леви-плоские аффинно-однородные
гиперповерхности в C2 ....................................................... 92
3.1. Трехпараметрическое семейство однородных поверхностей...... 92
3.2. Однородные поверхности веса 2 ................................................. 96
3.2.1. Оценка размерности алгебры g(M ) для поверхностей
веса 2 ......................................................... 97
3.2.2. 4-мерные алгебры g(M ) для поверхностей веса 2 .............. 98
3.2.3. Поверхности веса 2 с 3-мерными алгебрами g(M ) ........... 100
3.2.4. Интегрирование 3-мерных алгебр ....................................... 103
3.3. Поверхности веса 3 ..................................................................... 112
3.3.1. Размерность алгебры g(M ) для однородных
поверхностей веса 3............................................................... 112
3.3.2. Однородные поверхности с 4-мерными алгебрами g(M ) ... 115
3.3.3. Однородные поверхности с 3-мерными алгебрами g(M ) ... 120
3.4. Поверхности веса 4 ..................................................................... 122
Заключение ............................................................................................... 126
Библиографичеcкий список ................................................................. 126
Приложение 1. Схема коэффициентной классификации
однородных гиперповерхностей в C2 ............................. 132
Приложение 2. Матричные алгебры Ли однородных поверхностей .... 136
4
Посвящается памяти
Анатолия Георгиевича Витушкина
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основная цель настоящей книги состоит в описании одного класса однородных многообразий.
Отметим, что сходные по сути задачи ставились и решались математиками уже в конце 19-го – начале 20-го веков. Так, описание аффиннооднородных кривых на плоскости было получено школой Бляшке [13]. Поверхности 3-мерного вещественного пространства, однородные относительно различных подгрупп аффинной группы, были описаны в середине 20го века. Тогда же эти описания были включены в учебники по дифференциальной геометрии. Например, в книге [29] приведен "полный" список
эквиаффинно-однородных поверхностей пространства R3 .
Задачи, связанные с однородностью, изучались также в развивающемся параллельно с геометрией многомерном комплексном анализе. С самых
ранних этапов становления этого раздела математики было известно, что в
случае нескольких комплексных переменных не верна классическая (одномерная) теорема Римана о голоморфном взаимно-однозначном соответствии
любой односвязной области с "большой" границей единичному шару.
Одной из причин этого является голоморфное различие границы произвольной области в пространстве Cn (n > 1) и сферы. Более того: две произвольные вещественные гиперповерхности пространства Cn , как правило, не
сводимы голоморфными преобразованиями друг к другу. Названный прицип справедлив даже в локальном варианте. Как следствие два ростка одной
и той же поверхности (даже связанные с близкими ее точками) оказываются, как правило, различными с голоморфной точки зрения.
В такой ситуации оправданным является интерес к "исключительным"
гиперповерхностям, которые являются "одинаковыми" во всех своих точках, т.е. однородными относительно голоморфных преобразований.
В 1932 г. Э. Картан построил в [48] полный список голоморфно однородных вещественных гиперповерхностей 2-мерных комплексных пространств.
Отметим, что в голоморфной геометрии в отличие от аффинного случая понятие однородности оказывается существенно более локализованым и связанным лишь с псевдогруппой локально определенных голоморфных отображений [53], а не с группой глобально определенных преобразований. Впро5
чем, сужение задачи за счет требования компактности изучаемых многообразий и соответствующих групп голоморфных преобразований позволяет и
здесь получать глобально-классификационные результаты (см., например
[2]).
Близость задач об аффинной и голоморфной однородности связана с
тем, что в рамках второй, более сложной, задачи естественно выделяется
класс аффинно-однородных многообразий, которые, разумеется, являются
однородными и в голоморфном смысле. Однако возобновление исследований этого класса поверхностей, по существу, было начато лишь недавно, в
связи с возрождением в конце 20-го века интереса к тематике однородности
вложенных подмногообразий.
В первую очередь этот интерес проявился в публикации большого числа работ по дифференциальной геометрии, посвященных однородности в
"простейших" ее проявлениях и связанному с ней изучению различных инвариантных структур на вложенных многообразиях.
В этой связи можно назвать статьи об аффинной однородности и книги по аффинной дифференциальной геметрии таких известных геометров,
как Широков А.П. и Широков П.А. [96], Номидзу и Сасаки [71], [72], Б.
Опозда [78], У. Саймон [77], представителей бельгийской дифференциальногеометрической школы Ф. Диллена, Л. Вранкен [89], [34].
С появлением этих работ выяснилось, что "простые" задачи и их "известные" решения нуждаются в переосмыслении и проверке. Так, приведенный в [29] список поверхностей вещественного пространства R3 , однородных относительно эквиаффинных преобразований, оказался неполным [71].
Однако поток публикаций этого времени, связанный прямо или косвенно
с задачей построения полных списков аффинно однородных поверхностей
3-мерного вещественного пространства и написанных с позиций дифференциальной геометрии, эту задачу так и не решил.
Наряду с развитием аффинно-геометрического направления в однородной тематике тогда же, в конце 20-го века, появлялись работы иного звучания. Так, алгебраическими (а не геометрическими !) средствами в работе
[35] было получено полное описание аффинно однородных поверхностей 3мерного вещественного пространства. Решение этой задачи базируется на
описании всех матричных алгебр Ли, состоящих из вещественных квадратных матриц 3-го порядка. Вышли в свет работы [86], [56] о проективной
однородности вложенных подмногообразий. В интересной статье топологов
Щепина, Скопенкова и Реповша [81] была установлена гладкость подмногообразий Rn , обладающих изначально лишь "слабой" формой однородности.
6
Тогда же автором настоящей книги был предложен аналитический подход к изучению однородности гладких вложенных подмногообразий (см.
[57], [58], [59]). Этот подход связан с каноническими (относительно заданного класса преобразований) уравнениями изучаемых объектов.
Как показывают обсуждаемые ниже результаты, коэффициентный подход оказывается достаточно универсальным при изучении как аффинной,
так и голоморфной однородности. Особенностью его применения в различных ситуациях является необходимость весьма кропотливой подготовительной проработки деталей. Однако, в целом он оказывается полезным при
изучении однородности относительно различных классов преобразований;
размерность задачи является при этом важным, но не решающим фактором.
Автор выражает благодарность коллегам-математикам, способствовавшим написанию этой книги и внесению многочисленных уточнений в уже
написанный текст. В первую очередь это относится к участникам семинара МГУ по многомерному комплексному анализу под руководством Е.М.
Чирки, Немировского С.Ю., Белошапки В.К.
Персональные благодарности автор адресует, кроме того, Кружилину
Н.Г., Коссовскому И.Г., Исаеву А.В., Шмальцу Г., Сергееву А.Г., Гиллигану
Б., Бовэ А., Сабитову И.Х., Винбергу Э.Б., Шафикову Р.Г., Сухову А.Б.,
Ивашковичу С.М., Щербине Н.В., Ежову В.В., Зайцеву Д., Шурыгину В.В.
Автор отмечает благожелательное отношение, проявленое к его работе при подготовке монографии, в Воронежском архитектурно-строительном
университете и в Воронежском государственном университете. Особую признательность автор выражает при этом своим коллегам по кафедре высшей
математики ВГАСУ Седаеву А.А. и Стенюхину Л.В.
За финансовую поддержку в процессе работы над рукописью автор благодарит РФФИ (грант 08-01-00743-а) и Билефельдский университет (Германия, грант SFB-701) в лице проф. Григорьяна А.А., проявившего интерес
к результатам, вошедшим в данную книгу. На научных семинарах Билефельдского университета результаты исследований автора докладывались
дважды в 2010 и 2011 гг.
Помимо многократных докладов на научных семинарах в МГУ результаты монографии были доложены на международных конференциях
"Almost Complex Geometry and Foliations"(Лилль, Франция, Maй-2010) и
"Метрическая геометрия поверхностей и многогранников"(Москва, август2010).
7
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая книга посвящена обсуждению результатов, полученных коэффициентным методом в задаче описания аффинно однородных вещественных гиперповерхностей комплексного двумерного пространства. Идея написания
этой книги возникла в процессе изучения однородности (в первую очередь,
голоморфной, и как вспомогательного средства – аффинной) для класса
вещественных гиперповерхностей 3-мерного комплексного пространства.
Первоначально предполагалось, что классификацию Э. Картана голоморфно-однородных вещественных гиперповерхностей относительно легко
удастся обобщить с двумерного случая на 3-мерные объемлющие пространства. Однако достаточно быстро стало ясно, что данная проблема является
качественно иной и более сложной.
В этой ситуации естественно возникла более простая задача, связанная
с описанием аффинно однородных гиперповерхностей в том же, 3-мерном,
случае. Имеется большое количество очевидных частных решений этой задачи: таковыми являются, например, все трубчатые гиперповерхности (трубки) над аффинно-однородными поверхностями обычного вещественного пространства R3 . Одновременно все такие трубки являются и голоморфно однородными гиперповерхностями в пространстве C3 .
Помимо этих решений удалось построить за счет процедуры так называемого продолжения матричных алгебр Ли достаточно большое семейство
аффинно-однородных гиперповерхностей в C3 , не сводимых аффинными
преобразованиями к трубкам (см. [67], [33], [31], [37]). Однако, несмотря на
кажущуюся простоту формулировки изучаемой задачи, о полноте описания
даже аффинно-однородных поверхностей в C3 после получения этих частных результатов речь не идет.
Это понимание появилось после попытки опереться на список еще более
простых однородных объектов, а именно, аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства C2 . Именно такая постановка прояснила ситуацию, которая оказалась в известной степени парадоксальной. Выяснилось, что несмотря на 80-летний срок, прошедший после опубликования
работы Картана [48] о голоморфной однородности в 2-мерных комплексных пространствах, классификация аффинно-однородных гиперповерхностей отсутствует даже в 2-мерном случае.
Настоящая работа имеет целью заполнить образовавшийся пробел в
кажущейся достаточно простой задаче комплексной геометрии. Ниже при8
водится полное, как надеется автор, описание аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства C2 .
Описание получено в рамках коэффициентного подхода к задаче об однородности, опирающегося, в первую очередь, на локальные канонические
уравнения изучаемых многообразий. Используется также техника матричных алгебр Ли. В то же время автор не исключает возможности получения
основных классификационных результатов данной книги чисто геометрическими методами.
Коэффициентный подход учитывает разделение всех изучаемых многообразий на два геометрически естественных класса: невырожденных и вырожденных в смысле Леви поверхностей (см. [94]). Каждому из двух этих
классов посвящена в книге отдельная глава (вторая и третья соответственно). В первой главе обсуждаются общие подготовительные конструкции.
Такое разбиение материала книги на главы может показаться странным для математика, знакомого с упоминавшейся выше работой Картана.
В этой работе построен достаточно объемный список невырожденных по Леви однородных поверхностей; при этом существует лишь одна (с точностью
до голоморфной эквивалентности) вырожденная по Леви голоморфно однородная вещественная гиперповерхность в C2 - гиперплоскость Im w = 0. Одна из причин появления отдельной главы, посвященной именно вырожденным по Леви аффинно-однородным поверхностям в C2 , связана с противоположной ситуацией в случае аффиной однородности: Леви-вырожденных
аффинно-однородных поверхностей в C2 оказывается гораздо больше, чем
невырожденных (разумеется, локальными голоморфными преобразованиями все вырожденные поверхности превращаются в плоскость Im w = 0).
Отметим еще, что классификации вырожденных по Леви голоморфнооднородных гиперповерхностей 3-мерных комплексных пространств посвящена недавняя большая статья [88]. В связи с нашей работой интересно
уточнить, что все такие поверхности сводятся к произведениям картановых поверхностей на одномерную комплексную плоскость либо к аффиннооднородным гиперповерхностям в C3 .
В целом классификационные результаты, излагаемые ниже, имеют, по
мнению автора, важное значение как сами по себе, так и в связи с их возможными приложениями в различных разделах математики, физики и других
естественных наук.
Отметим, что исследование геометрии вещественных гиперповерхностей и подмногообразий многомерных комплексных пространств с разных
точек зрения было и остается одним из приоритетных направлений дея9
тельности семинара МГУ по многомерному комплексному анализу, основанного Шабатом Б.В., Гончаром А.А. и Витушкиным А.Г. (см., например,
[77], [6], [1], [87]). Задачей, обсуждаемой в данной книге, автор начал заниматься фактически по предложению Пинчука С.И. в период, когда еще
сохранялся "соревновательный пыл" между сторонниками разных подходов
к изучению геометрии гиперповерхностей (см. [20], [78]). Отметим, впрочем,
что в основополагающей работе [92] на эту тему предмет излагается как с
дифференциально-геометрической, так и с коэффициентной точек зрения.
Полученные в книге результаты показывают существенное отличие изученной Картаном голоморфной однородности в 2-мерных комплексных пространствах от аффинной однородности и подтверждают необходимость отдельного описания последней. Естественные обобщения этих результатов
должны помочь решению задач классификации однородных подмногообразий в комплексных пространствах более высоких размерностей.
10
ГЛАВА 1. ИЗУЧЕНИЕ ОДНОРОДНОСТИ НА ОСНОВЕ
КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1.1. Понятие однородности вложенного многообразия
1.1.1. Основные определения
Изучение однородности вложенных подмногообразий мы начнем со следующего достаточно традиционного определения (см., например, [36, с. 444]).
Определение 1. Многообразие M называется однородным относительно некоторой группы (преобразований) G, если G транзитивно действует
на M , то есть любую точку из M можно перевести в любую другую точку
обсуждаемого многообразия подходящим преобразованием из группы G.
Отметим, что в литературе встречаются различные модификации приведенного определения. Например, удобным с технической точки зрения
уточнением является требование, чтобы группа G изначально была группой Ли [68]. Другая крайность состоит в том, чтобы, наоборот, не требовать столь жесткой структуры, допуская в качестве G какое-либо семейство
(псевдогруппу) преобразований. Обсуждению различий в таких определениях (а точнее, совпадению определений) для случая вещественных подмногообразий комплексных пространств посвящена интересная работа [40].
Мы также внесем некоторые уточнения в начальное определение 1.
В зависимости от ситуации интерес могут представлять:
а) различные многообразия, однородные относительно фиксированной
группы,
б) различные группы, относительно которых является однородным фиксированное многообразие.
Пример 1. В качестве одного из простейших примеров однородных
многообразий можно упомянуть единичную окружность S 1 в комплексной
плоскости C с действующей на ней транзитивно группой поворотов.
Заметим, что в этом примере многообразие S 1 вложено в объемлющее
пространство, а именно в C; при этом поворот на произвольный угол ϕ как
элемент группы преобразований определен не только на окружности, но и
для всех точек плоскости.
Определение 2. Под однородностью вложенного многообразия понима11
ется однородность относительно (заданной) группы преобразований объемлющего пространства.
Повороты являются аффинными преобразованиями плоскости. По этой
причине окружность S 1 из расмотренного примера естественно назвать аффинно-однородной кривой в плоскости R2 .
Замечание. Можно также называть S 1 многообразием, однородным
относительно линейных (в вещественном или комплексном смысле) или ортогональных преобразований плоскости.
Поскольку элементы из фиксированной группы G преобразований пространства X, обладающие свойством сохранения какой-либо дополнительной структуры (например, подмногообразия M , вложенного в X ), образуют
подгруппу в G, естественно конкретизировать введенные определения следующим образом.
Определение 3. Пусть X - некоторое пространство с действующей на
нем группой преобразований G, M - вложенное в X многообразие. M называется однородным относительно G, если в этой группе имеется подгруппа
H ⊂ G, действующая транзитивно на M .
В наших дальнейших обсуждениях в качестве объемлющих пространств
основными являются (аффинные) пространства Rn и Cn с действующими
на них аффинными группами преобразований Aff(n, R) и Aff(n, C) соответственно.
Отметим, что до сих пор обсуждаемые однородные многообразия понимались как глобальные объекты. Мы локализуем подход к задаче. В настоящей книге изучаются вещественные гиперповерхности пространства C2 ,
локально-однородные относительно группы Aff(2, C).
Определение 4. Многообразие M , вложенное в Rn (соответственно, в
Cn ), будем называть локально-однородным относительно группы Aff(n, R)
(или Aff(n, C), соответственно) в точке p ∈ M , если существует подгруппа
Ли в Aff(n, R) (соответственно, в Aff(n, C)), действующая на M транзитивно
вблизи точки p.
Такая локализация понятия однородности позволяет перейти от групп
Ли к локальным группам Ли и, тем самым, к алгебрам Ли, связанным с
соответствующими группами. Более подробно такой переход обсуждается
ниже, в п. 1.3. Здесь же мы обсудим различие введенных определений однородности.
Ясно, что рассмотренный пример 1 (как и всякое "глобально" однородное многообразие) является локально однородным в каждой своей точке.
12
Пример 2. Рассмотрим график кубической параболы y = x3 в плоскости двух вещественных переменных. В любой точке (x0 , x30 ), отличной от
начала координат, эта кривая является аффинно-однородной в локальном
смысле. Группа Ли аффинных преобразований плоскости, переводящая эту
точку в любую близкую к ней точку на параболе (и сохраняющая параболу),
описывается формулами
x∗ = tx, y ∗ = t3 y (t > 0).
В то же время, однородной в глобальном смысле эта кривая не является. Дело в том, что инвариантным при аффинных преобразованиях плоскости является свойство локальной выпуклости кривой. Поэтому росток кубической параболы в начале координат, являющемся точкой перегиба этой
кривой, не может быть переведен аффинным преобразованием в другой ее
росток. В итоге можно сказать, что вся кубическая парабола состоит из
двух связных аффинно-однородных (в локальном и глобальном смыслах)
компонент.
Основной интересующий нас в данной работе вопрос – описание всех
аффинно-однородных (в локальном смысле определения 4) вещественных
гиперповерхностей этих пространств.
Достаточно легко построить полный (с точностью до аффинной эквивалентности) список всех плоских кривых, аффинно-однородных в локальном
смысле. Например, известно такое утверждение (см. [96], а также [57]).
ТЕОРЕМА 1.1. Любая плоская аффинно-однородная кривая аффинно
эквивалентна вблизи произвольной своей точки какой-либо одной из следующего списка аффинно-различных кривых:
1) y = xs (−1 ≤ s < 1),
2) y = ln x,
3) y = x ln x,
(1.1)
4) r = eaϕ (r − полярный радиус, ϕ − полярный угол, a ≥ 0).
Можно привести много других форм этого утверждения. Например,
можно говорить о ростках аффинно-однородных (в локальном или глобальном смысле) плоских кривых, каждый из которых аффинно эквивалентен
ростку одной из кривых списка (1.1).
Способы получения результатов, подобных теореме 1.1, также могут
быть различными. Например, в [96] задача описания афинно-однородных
кривых на плоскости сводится к описанию решений (изучаемых в классических университетских курсах) автономных линейных систем ОДУ вида
0
x
x
=A
(1.2)
y
y
13
(с не изменяющимися во времени матрицами A).
В зависимости от жордановой нормальной формы матрицы A любая
интегральная кривая системы (1.2) (локально) аффинно-эквивалентна одной из кривых списка (1.1).
Замечание. Строго говоря, описание при помощи систем вида (1.2)
допускают все аффинно-однородные кривые на плоскости, кроме графика экспоненты. Это показано, например, в неопубликованной студенческой
работе Черенковой С.В.(ВГУ, математический факультет, 2010 г.). Тем самым, каждая аффинно-однородная кривая из теоремы 1.1, кроме графика
экспоненты, оказывается линейно-однородной после некоторого аффинного преобразования плоскости. Кривая же y = ex является единственной
аффинно-однородной плоской кривой, которая не переводится аффинными
преобразованиями в линейно - однородное состояние.
Основным инструментом при изучении однородности в нашей работе
является техника канонических уравнений, которая детально описывается
ниже. При этом понятие аффинно-канонического уравнения для кривых
в плоскости мы подробно не описываем, отсылая читателя к упомянутой
выше работе [57]. Некоторые детали построения и использования этого понятия можно восстановить по содержанию следующего параграфа, представляющего естественное обобщение разработок названной статьи.
Здесь же подчеркнем, что с точки зрения канонических уравнений решение упомянутой выше задачи об аффинно-однородных кривых в R2 выглядит (см., например, [46], [57]) не менее изящно, чем предложение 1. Все
(односторонне выпуклые) аналитические кривые, отличные от параболы,
допускают локальные аффинные уравнения вида
y = x2 ± x4 + bx5 + ... (b ≥ 0).
(1.3)
При этом любая аффинно-однородная кривая однозначно определяется знаком при x4 и значением параметра b из уравнения (1.3). В целом
множество всех однородных кривых "выстраивается" в виде двух лучей,
соответствующих изменению b от нуля до бесконечности.
На одном луче при 0 ≤ b < 8/5 располагаются логарифмические спирали, а степенными кривыми y = xs (1/2 < s < 1) накрыт интервал (8/5, ∞).
Разделяет два эти множества кривая y = x ln x.
На втором луче (отвечающем знаку "минус" при x4 в уравнении (1.3))
располагаются
оставшиеся степенные кривые, между которыми при b =
√
2 2/5 вклинивается кривая y = ex (или y = ln x).
Мы привели здесь два различных описания аффинно-однородных плос14
ких кривых по естественной причине. Вопрос об однородности (как аффинной, так и голоморфной) в комплексных 2-мерных пространствах тесно связан с 2-мерной же вещественной аффинной геометрией.
В качестве связующего звена здесь выступают так называемые трубчатые поверхности.
Определение 5. Пусть в комплексном пространстве Cn введены координаты z = (z1 , ..., zn ), вещественные и мнимые части которых обозначены
через xk = Re zk , yk = Im zk (k = 1, ..., n). Трубчатым многообразием (или
трубкой) в Cn называется множество
T = M + iRny ,
где M - некоторое вещественное многообразие в пространстве Rnx , называмое
основанием трубки T .
Приведем здесь основополагающий результат Э. Картана [48] 1932 г.,
представляющий классификацию с локальной точки зрения голоморфнооднородных вещественных гиперповерхностей 2-мерных комплексных пространств и ярко иллюстрирующий отмеченную выше связь.
ТЕОРЕМА 1.2 ([48]). Произвольная голоморфно-однородная вещественная гиперповерхность 2-мерного комплексного пространства голоморфно эквивалентна вблизи любой своей точки либо
1) трубке над одной из кривых теоремы 1.1, либо
2) одной из проективно-однородных поверхностей следующего семейства
1 + |z|2 + |w|2 = a|1 + z 2 + w2 | (a > 1),
(1.4)
1 + |z|2 − |w|2 = a|1 + z 2 − w2 | (a > 1),
(1.5)
|z|2 + |w|2 − 1 = a|z 2 + w2 − 1| (0 < |a| < 1).
(1.6)
Замечание. Все кривые из теоремы 1.1 аффинно различны. В то же
время известным фактом является (локальная) голоморфная эквивалентность трубок над двумя кривыми из этой теоремы (y = x1/2 и y = ln x)
обычной сфере, а следовательно, и друг другу.
Как и в голоморфном случае, описываемом теоремой 1.2, трубки над
аффинно-однородными плоскими кривыми образуют собственное подмножество в семействе гиперповерхностей пространства C2 , однородных относительно комплексных аффинных преобразований. Полное описание этого
семейства можно считать основной задачей данной книги.
15
1.1.2. Современное состояние вопроса
Главными новыми результатами книги являются две следующие теоремы, полученные в [65], [66] и описывающие, соответственно, Леви-невырожденные и Леви-плоские аффинно-однородные гиперповерхности.
Напомним, что понятие формы Леви вещественной гиперповерхности
многомерного комплексного пространства, как некоторой эрмитовой формы, инвариантно связанной с этой поверхностью, является классическим в
комплексном анализе. Необходимые точные определения можно найти, например, в [96]. Простейший вариант такого определения в изучаемом нами
случае пространства C2 будет приведен в следующем параграфе.
Здесь же мы отметим, что в голоморфной геометрии традиционным
является связанное с формой Леви разделение всех (гладких) гиперповерхностей на классы Леви-вырожденных и Леви-невырожденных многообразий. Последние в свою очередь естественно разделить на строго псевдовыпуклые (СПВ) гиперповерхности, имеющие положительно определенную
форму Леви, и индефинитные, для которых эта форма является знаконеопределенной невырожденной эрмитовой формой.
Обозначенные здесь отличия гиперповерхностей, существенные для голоморфной геометрии, проявляются и на аффинно-геометрическом уровне.
ТЕОРЕМА 1.3 ([66]). Всякая невырожденная по Леви аффиннооднородная вещественная гиперповерхность пространства C2(z,w) аффинно
эквивалентна (вблизи любой своей точки) одной из однородных поверхностей следующего списка:
1
1) |z|2 ± |w|2 = 1, 2) Im w = |z|2 + ε(z 2 + z̄ 2 ), 0 < ε 6= ,
2
3) Im w = |z|A eB arg z , 4) Im(z w̄) = |z|A eB arg z , A, B ∈ R, z 6= 0,
5) Re w = (Rez)s , −1 ≤ s < 1, s 6= 0
6) Re w = ln(Re z),
7) Re w = (Re z) ln(Re z),
Re w
2
2
, B ≥ 0.
8) ln (Re z) + (Re w) = B · arctg
Re z
ТЕОРЕМА 1.4 ([65]). Аффинно-однородными вырожденными по Леви гиперповерхностями пространства C2(z,w) являются c точностью до
(локальной) аффинной эквивалентности лишь поверхности из следующего списка:
3-параметрическое семейство
16
|z|A1 |w|A2 = earg(z
B1 B2
w )
,
(1.7)
где (A1 , A2 , B1 , B2 ) ∈ RP3 ;
цилиндр над гиперболическим параболоидом
Im(w − z 2 ) = 0;
2
"воронежские вееры” |w − z 2 | = eB arg(w−z ) , B ∈ R;
π π
Im w = e−2iθ ln(1 + z) + e2iθ ln(1 + z̄), θ ∈ (− , ];
4 4
π
π
Re weiθ (z − eiθ w ln w) = 0, θ ∈ (− , ].
4 4
(1.8)
(1.9)
(1.10)
(1.11)
Доказательству двух этих теорем посвящены, соответственно, вторая и
третья главы настоящей книги. Вся необходимая для этого подготовительная работа будет проделана в первой главе, начиная со следующего параграфа. Здесь же мы приведем еще несколько классификационных теорем,
относящихся к 3-мерным пространствам, но близких к идее этой книги.
Как отмечалось в предисловии, настоящая работа по сути является
промежуточной ступенью в достижении цели, которую автор наметил себе два десятилетия назад. Эту цель можно сформулировать как построение
классификации голоморфно-однородных вещественных гиперповерхностей
3-мерных комплексных пространств.
После предложенных описаний однородности в 2-мерных пространствах
еще одним важным шагом в указанном направлении можно считать следующий результат [35] 1995 г., приводимый в формулировке, близкой к оригинальной.
ТЕОРЕМА 1.6. Всякая локально однородная поверхность в 3-мерной
вещественной аффинной геометрии является открытым подмножеством
либо некоторой поверхности второго порядка, либо цилиндра над одной из
однородных плоских кривых из теоремы 1.1, либо аффинно эквивалентна
открытому подмножеству одной из следующих поверхностей (α, β - вещественные параметры):
1) z = xα y β ,
2) z = (x2 + y 2 )α eβarg(x+iy) ,
3) z = ln x + α ln y,
4) z = arg(x + iy) + β ln(x2 + y 2 ),
5) z = ln(x2 + y 2 ),
6) z = x(α ln x + ln y),
7) (z − xy + x3 /3)2 = α(y − x2 /2)3 , 8) z = y 2 ± ex ,
9) z = y 2 ± xα ,
10) z = y 2 ± ln x,
11) z = y 2 ± x ln x,
12) z = xy + ex ,
13) z = xy + xα ,
14) z = xy + ln x,
15) z = xy + x ln x,
16) z = xy + x2 ln x,
17
17) xz = y 2 ± xα ,
18) xz = y 2 ± x ln x,
19) xz = y 2 ± x2 ln x.
Сформулируем некоторые результаты, частично представляющие (пока
не полную) классификацию голоморфно-однородных вещественных гиперповерхностей 3-мерных комплексных пространств.
В них важную роль играют такие свойства уже упоминавшейся формы
Леви поверхности, как ее знакоопределенный, индефинитный или вырожденный характер. Напомним, что (независимо от однородности) соответствующие поверхности называют строго псевдо-выпуклыми (СПВ), индефинитными или вырожденными по Леви. В задаче об однородности также
имеет существенное значение размерность группы G(M ), транзитивно действующей на обсуждаемом многообразии M .
Если эта размерность больше размерности самой однородной поверхности M , то с такой поверхностью связывается еще одна группа Gξ M , называемая группой изотропии или группой стабильности (в точке ξ ∈ M ).
Эта группа состоит из (локальных) отображений изучаемой поверхности,
сохраняющих неподвижной фиксированную точку ξ на ней. В любой ситуации и в любой точке ξ однородного многообразия выполняется очевидное
равенство
dim G(M ) = dim Gξ (M ) + dim M.
В случае голоморфно-однородных вещественных гиперповерхностей 3мерного комплексного пространства, имеющих невырожденную форму Леви и не являющихся поверхностями второго порядка, группа изотропии не
может иметь размерность, превышающую 3 (см. [59]). При этом максимально возможную размерность 3 имеет лишь (с точностью до локальной голоморфной эквивалентности) индефинитная (!) поверхность Винкельманна
(см. [18]) из следующего примера.
Пример 3.
Im w = z1 z̄2 + z2 z̄1 + |z1 |4 .
Группа изотропии такой поверхности состоит из линейных преобразований
z1∗ = teiθ z1 , z2∗ = eiθ (irz1 + t2 z2 ), w∗ = t4 w,
где t ∈ R \ {0}, r, θ ∈ R - параметры группы.
Автором настоящей книги описаны все голоморфно-однородные невырожденные по Леви (индефинитные и СПВ) гиперповерхности пространства
C3 с
dim G0 (M ) = 2,
18
а также однородные СПВ-гиперповерхности с 1-мерными группами изотропии.
Приведем здесь описание СПВ-гиперповерхностей пространства C3 с
"богатыми" группами изотропии.
ТЕОРЕМА 1.7 ([61]). Однородные вещественные гиперповерхности
пространства C3 , имеющие положительно определенную форму Леви и
двумерные группы изотропии, задаются с точностью до локальной голоморфной эквивалентности следующим списком попарно неэквивалентных
многообразий (z1 , z2 , w - комплексные кординаты в C3 , v = Im w):
1) v = ln(1 + |z1 |2 ) + b ln(1 + |z2 |2 ),
2) v = ln(1 + |z1 |2 ) − b ln(1 − |z2 |2 ),
b ∈ (0, 1];
b ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞);
3) v = ln(1 − |z1 |2 ) + b ln(1 − |z2 |2 ),
4) v = |z2 |2 + ε ln(1 + ε|z1 |2 ),
b ∈ (0, 1];
ε = ±1;
ТЕОРЕМА 1.8 ([63]). Все локально-однородные строго псевдо-выпуклые вещественные гиперповерхности трехмерных комплексных пространств, имеющие 1-мерные группы изотропии, задаются с точностью
до локальной голоморфной эквивалентности следующим списком попарно неэквивалентных однородных поверхностей пространства C3 ( z1 =
x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 , w = u + iv - координаты в этом пространстве):
1) v = x22 + ((1 + x1 )α − 1),
α ∈ (−∞, 0) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞)
2) v = x22 − ((1 + x1 )α − 1),
α ∈ (0, 1)
3) v = x22 + (1 + x1 ) ln(1 + x1 )
4) ± (x21 + x22 ) + u2 = 1
5) 1 ± (|z1 |2 + |z2 |2 ) + |w|2 = a|1 + z12 + z22 + w2 |,
6) 1 ± (|z1 |2 + |z2 |2 ) − |w|2 = a|1 + z12 + z22 − w2 |,
a>1
0<a<1
Две последние теоремы доказаны с активным использованием понятия
канонического вида (голоморфной нормальной формы Мозера [92]) уравнения вещественной гиперповерхности многомерного комплексного пространства. Основная техническая часть монографии базируется, как уже отмечалось, на аналогичном понятии аффинных канонических уравнений, которое
мы вводим в следующем параграфе.
19
В заключение же этого параграфа приведем классификацию вырожденных по Леви голоморфно-однородных вещественных гиперповерхностей
3-мерных комплексных пространств. Ее можно получить из результата [88],
описывающего 5-мерные однородные CR-многообразия с вырожденной формой Леви, перефразируя этот результат в терминах нашей работы. Основной фрагмент этой классификации связан с аффинно-однородными поверхностями пространства R3 , имеющими нулевую гауссову кривизну.
Рассмотрим в R3 следующее семейство поверхностей:
1) F1 = {x21 + x22 = x23 , x3 > 0},
(ω)
2) F2
= {x = r cos t, y = r sin t, z = reωt , r > 0, t ∈ R, ω > 0},
3) F3 = {x = r, y = rt, z = ret , r > 0, t ∈ R},
(θ)
4) F4 = {x = r, y = ret , z = reθt , r > 0, t ∈ R, θ > 2},
5) F5 = {x = t + r, y = t2 + 2rt, z = t3 + 3rt2 , r > 0, t ∈ R, }.
Замечание. Параметрически заданные в [88] поверхности 2) - 5) из
этого списка имеют достаточно простые координатные представления
2) z = eω arg(x+iy) , 3) z = x(ln y − ln x), 4) z = x1−θ y θ ,
5) (z − 3xy + 2x3 )2 = 4(x2 − y)3 ,
наглядно показывающие их место в классификационной теореме 1.6.
ТЕОРЕМА 1.9 ([88]). Каждая локально однородная относительно
голоморфных преобразований вещественная гиперповерхность 3-мерного
комплексного пространства, имеющая в фиксированной точке вырожденную форму Леви, голоморфно эквивалентна вблизи этой точки одному из
следующих многообразий:
1) M = Fk + iR3 , где Fk (k = 1, .., 5) - одна из перечисленных выше
поверхностей (с какими-либо значениями параметров);
2) M = C × M 0 , где M 0 - одна из невырожденных по Леви голоморфно
однородных вещественных гиперповерхностей из списка Картана (Теорема 1.2);
3) M = C2 × R.
20
§1.2. Аффинное каноническое уравнение невырожденной по
Леви вещественной гиперповерхности пространства C2
Напомним, что обсуждения в нашей работе носят локальный характер и связаны с аффинной однородностью изучаемых поверхностей вблизи
некоторой фиксированной точки. В рамках аффинной геометрии без ограничения общности можно считать, что эта точка является началом координат пространства C2 , и через нее проходят все изучаемые поверхности.
Все они предполагаются аналитическими, т.е. заданными посредством
уравнений
Φ(z, z̄, w, w̄) = 0
(1.12)
с вещественнозначными аналитическими функциями Φ.
В формуле (1.12) z, w - комплексные координаты пространства C2 ; мы
часто будем переходить от таких координат к их вещественным и мнимым
частям
x = Re z, y = Im z, u = Re w, v = Im w.
Начало координат пространства C2 мы считаем неособой точкой любой
изучаемой поверхности M .
Тогда уравнение (1.12) можно локально разрешить относительно одной
из вещественных координат пространства C2 и переписать в виде
X
v = F (z, z̄, u) =
fklm z k z̄ l um
(1.13)
k,l,m
с некоторой аналитической функцией F .
Уточним, что в силу вещественности этой функции коэффициенты правой части уравнения (1.13) удовлетворяют условиям сопряженности
fklm = flkm при всех k, l, m ≥ 0.
Саму эту правую часть, т.е. функцию
X
F (z, z̄, u) =
fklm z k z̄ l um
(1.14)
k,l,m≥0
можно "улучшать" за счет аффинных преобразований пространства C2 .
Мы опишем сейчас простейшие возможные упрощения и покажем, что
уже на этом уровне возникают содержательные утверждения об однородности, формулируемые в терминах тейлоровских коэффициентов уравнения
(1.13) или, что то же самое, функции (1.14).
21
Отметим сразу, что степенные ряды в традиционном "равновесном"
виде для дальнейшего изложения менее удобны и естественны, чем предложенные в [92] весовые разложения аналитических функций. Будем считать,
что переменные z, z̄ имеют вес 1, а переменной u припишем вес 2. Веса отдельных мономов, построенных из переменных z, z̄, u, будем определять по
естественному принципу сложения весов. Например, вес монома z 2 z̄u равен
5.
Выделяя в степенном разложении функции F (z, z̄, u) однородные весовые компоненты, перепишем уравнение (1.13) в виде
v = F (z, z̄, u) = F0 + F1 (z, z̄, u) + F2 (z, z̄, u)...
(1.15)
Напомним, впрочем, что сдвигом осей координат мы уже добились равенства F0 ≡ 0, поэтому весовое представление уравнения (1.13) упростится
до
X
v = f100 z + f100 z +
Fk (z, z̄, u).
(1.16)
k≥2
При этом многочлен веса 2 имеет в (1.16) вид
F2 = f110 |z|2 + f200 z 2 + f020 z̄ 2 + f001 u.
Линейные по z, z̄, u слагаемые, имеющие веса 1 и 2, удаляются из (1.16)
заменой
z ∗ = z, w∗ = (1 − if001 )w − 2if100 z.
Тогда уравнение обсуждаемой поверхности M примет вид
v = f110 |z|2 + f200 z 2 + f020 z̄ 2 + f101 zu + f011 z̄u + ... ,
(1.17)
а обсуждаемая точка поверхности останется началом координат.
С точки зрения комплексной геометрии основными в разложении (1.17)
естественно считать вещественный коэффициент f110 и эрмитову форму
f110 |z|2 , называемую (см. [94]) формой Леви поверхности (1.13). При обращении в нуль коэффициента f110 обсуждаемая поверхность называется
Леви-вырожденной (Леви-плоской) в начале координат, в противном случае - Леви-невырожденной.
И обращение, и необращение этого коэфициента в нуль являются, как
известно (см. [94]), голоморфно инвариантными, а значит, и аффинно инвариантными свойствами поверхности. Эти свойства (в фиксированной точке)
поверхности не зависят от того, какими именно преобразованиями (сохраняющими фиксированную точку) было получено уравнение вида (1.17).
22
Наша главная задача в этом параграфе - построить так называемое
аффинное каноническое уравнение для Леви-невырожденных поверхностей.
В следующих разделах монографии аналогичные канонические уравнения
будут введены и для Леви-плоских (аффинно-однородных) гиперповерхностей. Причины, по которым понятие канонического уравнения вводится раздельно для двух рассматриваемых классов многообразий, будут ясны из
дальнейших обсуждений.
Итак, в невырожденном случае за счет растяжения переменной z и возможного изменения знака у переменной w коэффициент f110 в уравнении
(1.17) можно сделать равным единице. Это означает справедливость следующего утверждения.
Предложение 1.1. Аффинными преобразованиями уравнение любой
невырожденной по Леви гиперповерхности может быть приведено вблизи
любой ее точки к виду
X
v = |z|2 + f200 z 2 + f020 z̄ 2 +
Fk (z, z̄, u).
(1.18)
k≥3
Теперь мы обратим внимание на коэффициент f200 из уравнения (1.18).
Если он отличен от нуля, то его можно представить в виде
f200 = |f200 |eiθ
с некоторым значением углового параметра θ. Поворот переменной z на
угол −θ/2, очевидно, сохраняет вид (1.18) уравнения изучаемой поверхности, но при этом переводит коэффициент f200 на положительную полуось
(f200 превращается в |f200 | ). Обозначая это положительное значение через
ε, перепишем уравнение (1.18) в виде
X
v = |z|2 + ε(z 2 + z̄ 2 ) +
Fk (z, z̄, u), ε > 0.
(1.19)
k≥3
Замечание. При нулевом значении коэффициента f200 уравнение (1.18)
можно автоматически считать имеющим вид (1.19) с нулевым значением параметра ε в нем.
В уравнении (1.19) (с любым неотрицательным ε) возможны дальнейшие упрощения за счет аффинных преобразований. Чтобы реализовать эти
упрощения, нам потребуются следующие договоренности и обозначения.
В разложении произвольного многочлена Fk = Fk (z, z̄, u) веса k из
уравнения (1.15) мы будем выделять слагаемые, не содержащие перемен(0)
ной u. Их совокупность мы обозначим через Fk , а остальные слагаемые,
23
входящие в Fk , сгруппируем в дополнительную сумму F̂k (z, z̄, u), так что
(0)
Fk = Fk (z, z̄) + F̂k (z, z̄, u).
(1.20)
Отметим, что каждый из мономов, составляющих F̂k , содержит в виде множителя переменную u в некоторой ненулевой степени.
Рассмотрим теперь слагаемое
(0)
F3 = (f101 z + f011 z̄)u + F3 (z, z̄) =
= (f101 z + f011 z̄)u + (f300 z 3 + f210 z 2 z̄ + f120 z z̄ 2 + f030 z̄ 3 )
из уравнения (1.19).
Здесь, в отличие от слагаемых веса 2, содержится переменная u. Ее
наличие в правой части уравнения (1.19) отличает рассматриваемый случай от голоморфных канонических уравнений Мозера. Впрочем, возможно
более тесное приближение к голоморфному "идеалу" на основе, например,
следующего предложения.
Предложение 1.2. Если в уравнении (1.19) коэффициент ε удовлетворяет ограничению 0 ≤ ε 6= 1/2, то заменой
z → z + Aw,
w→w
(1.21)
с подходящим параметром A можно удалить слагаемые (f101 z + f011 z̄)u
из уравнения (1.19), сохраняя при этом его вид. Доказательство.
При замене (1.21) исходное уравнение (1.19) обсуждаемой поверхности
превратится в уравнение
X
2
2
2
v = |z + Aw| + ε (z + Aw) + (z + Aw) +
Fk (z + Aw, z + Aw, u),
k≥3
(1.22)
не разрешенное относительно v. При этом в начале координат производная
по переменной v правой части уравнения (1.22) равна нулю. Это означает
разрешимость (1.22) относительно v.
Подставляя формальное весовое разложение
v = F ∗ (z, z̄, u) = F1∗ + F2∗ + F3∗ + ...
в (1.22), легко получить, что
F1∗ = 0;
F2∗ = F2 (z, z̄) = |z|2 + ε(z 2 + z̄ 2 ).
В компоненте веса 3 имеем здесь равенство
F3∗ = F3 + zA(u + iF2 ) + z̄A(u + iF2 ) + 2ε(A(u + iF2 )z + A(u + iF2 )z). (1.23)
24
Это означает, что изменение слагаемых (f101 z + f101 z)u в уравнении
(1.19) описывается при замене (1.21) формулой
∗
∗ z)u = (f
(f101
z + f101
101 z + f101 z)u + u z Ā + z̄A + 2ε(Az + Az)
или
∗
f101
= f101 + (Ā + 2εA).
(1.24)
Заметим, что при ε 6= 1/2 отображение C → C, определяемое формулой
A → Ā + 2εA = (1 + 2ε)Re A + (2ε − 1)iIm A,
(1.25)
является обратимым. Следовательно, при любом начальном коэффициенте
f101 его новое значение после замены (1.21) можно сделать нулевым. Предложение 1.2 доказано.
Несколько сложнее выглядит ситуация с упрощением уравнения (1.19)
при
ε = 1/2.
(1.26)
Замечание. Случай (1.26) важен в наших рассмотрениях по следующей причине. Пусть трубчатая гиперповерхность M = γ + iR2( y, v) в пространстве C2 имеет в основании аналитическую кривую γ = {u = f (x)} с
произвольной определяющей функцией f (x). Несложно проверить, что после простейших преобразований, описанных выше, уравнение этой поверхности приводится к виду (1.19) с параметром ε, равным в точности 1/2.
Предложение 1.3. Если в уравнении (1.19) коэффициент ε удовлетворяет равенству (1.26), то заменой (1.21) с подходящим параметром
A можно привести в чисто мнимое состояние коэффициент f101 из слагаемого (f101 z + f101 z)u, а также коэффициент f210 того же многочлена
F3 .
Для доказательства этого предложения мы более детально рассмотрим
формулу (1.23) при выполнении условия (1.26). Помимо уравнения (1.24)
мы имеем здесь еще
∗
∗
2Re(f300
z3 + f210
z 2 z̄) = 2Re(f300 z3 + f210 z 2 z̄)+
1
1
+(−iz Ā + z̄iA) |z|2 + (z 2 + z̄ 2 ) + 2ε(ziA − izA) |z|2 + (z 2 + z̄ 2 ) +
2
2
В отдельных компонентах тогда получаем
∗
z 3 : f300
= f300 − Im A,
∗
z 2 z̄ : f210
= f210 − 3Im A.
25
(1.27)
В этом случае вещественную часть параметра A определим равенством
(1 + 2ε)Re A = −Re f101 ,
∗
гарантирующим (в силу формулы (1.24)) выполнение условия Re f101
=0в
новых координатах.
А Im A можно задать формулой
3Im A = Re f210 ,
при выполнении которой получим (в силу (1.27)) второе требуемое в предложении 1.3 условие.
Замечание. В случае ε = 1/2 растяжением переменных
z → tz, w → t2 w
(1.28)
с подходящим вещественным t ненулевой чисто мнимый коэффициент f101
уравнения (1.19) можно превратить в мнимую единицу (при этом коэффициент f210 останется чисто мнимым).
Объединяя предложения 1.2 и 1.3, можно сформулировать основной
результат данного параграфа.
ТЕОРЕМА 1.10. Уравнение невырожденной по Леви гиперповерхности можно привести аффинными преобразованиями к виду
v = |z|2 + ε(z 2 + z 2 ) + iα(z − z̄)u+
+(f300 z 3 + f210 z 2 z̄ + f120 z z̄ 2 + f030 z̄ 3 ) +
(1.29)
X
Fk (z, z̄, u),
k+l+2m≥4
где
ε ≥ 0,
α ∈ {0, 1}.
(1.30)
Если при этом 0 ≤ ε 6= 1/2, то можно считать, что α = 0; если же ε = 1/2, то в дополнение к ограничению (1.30) на α можно еще
утверждать, что
Re f210 = 0.
(1.31)
Уравнение (1.29) со всеми уточняющими моментами теоремы 1.10 будем
в дальнейшем называть каноническим уравнением невырожденной по Леви
вещественно-аналитической гиперповерхности. В этом уравнении уже выделяются некоторые аффинные инварианты поверхности, например, важная
26
в дальнейших обсуждениях пара (ε, α). Для нее справедливо следующее
утверждение.
Предложение 1.4. В фиксированной точке вещественно-аналитической гиперповерхности M ∈ C2 неотрицательный коэффициент ε из
ее канонического уравнения (1.29) является аффинным инвариантом. При
ε = 1/2 аффинным инвариантом M является также коэффициент α ∈
{0, 1}.
В самом деле, фиксация точки означает возможность рассматривать
вместо произвольных аффинных лишь линейные преобразования
∗
z = A1 z + A2 w,
(1.32)
w∗ = B1 z + B2 w
Потребуем сохранения вида уравнения (1.29) и, в частности, его весовой структуры при подстановке формул (1.32) в это уравнение. Для того,
чтобы новое уравнение не содержало слагаемых веса 1 в своей правой части, необходимо, чтобы коэффициент B1 равнялся нулю. Коэффициент B2
должен быть вещественным ненулевым числом в силу отсутствия в весовой
компоненте 2-го веса правой части уравнения (1.29) переменной u.
Теперь рассмотрим решение (относительно переменной v) неявного уравнения
B2 v = (A1 z +A2 w)(A1 z + A2 w)+ε((A1 z +A2 w)2 +(A1 z + A2 w)2 +.... (1.33)
Подставляя в (1.33) формальное разложение
v = F2∗ + F3∗ + ...,
(1.34)
рассмотрим, по аналогии с доказательством предложения 1.2, отдельные
весовые компоненты получающегося тождества.
Компонента веса 2 имеет здесь вид
2
B2 F2∗ = |A1 |2 |z1 |2 + ε(A21 z 2 + A1 z̄ 2 ),
так что
2
F2∗
|A1 |2 2
A21 2 A1 2
=
|z| + ε z +
z̄ .
B2
B2
B2
Так как коэффициент при |z|2 в уравнении (1.29) равен 1, то
|A1 |2
= 1.
B2
27
(1.35)
Это означает, что преобразование (1.32) может быть представлено композицией двух более простых линейных преобразований ϕ1 и ϕ2 с матрицами
iθ
λe
0
1 A
и
, λ > 0, θ ∈ [0, 2π), A ∈ C
0 λ2
0 1
соответственно.
Остается заметить, что отображение ϕ1 переводит пару коэффициентов
(f200 , f101 ) любого уравнения вида (1.17) в пару (f200 e2iθ , f101 λeiθ ). Рассмотренное в предложении 1.2 отображение ϕ2 превращает аналогичную пару
в
(f200 , f101 + 2ReA).
Тем самым, нулевой коэффициент ε сохраняется композицией любых
отображений вида ϕ1 и ϕ2 . Сохранить такой композицией свойство положительности коэффициента f200 можно только при условии e2iθ = 1, означающем неизменность самого значения f200 . Первая часть предложения 1.4
доказана.
В случае ε = 1/2 имеются два возможных значения для коэффициента
f101 = iα канонического уравнения: 0 и i. При отображении ϕ2 к исходному
мнимому значению коэффициента f101 = iα может добавиться ненулевая
вещественная часть 2Re A. Сохранить в такой ситуации отображением ϕ1
значение f200 = 1/2 и привести к мнимой единице или к нулю выражение
(f101 + 2ReA)λeiθ невозможно. Тем самым, нормированное значение коэффициента f101 = iα также является аффинным инвариантом канонического
уравнения (1.29) при условии ε = 1/2. Предложение 1.4 доказано полностью.
Замечание. Уточним, что за счет растяжения координат (1.28), сохраняющего вид уравнения (1.29) при α = 0, возможны дополнительные
ограничения на старшие коэффициенты этого уравнения.
Дальнейшие рассмотрения невырожденых по Леви гиперповерхностей
естественно распадаются на три случая в зависимости от значений параметра ε: при ε = 0 мы говорим о нулевой квадратичной части в уравнении
поверхности (или о слабом вырождении такого многообразия); поверхности с ε = 1/2 мы называем поверхностями трубчатого типа; наконец, в
случае 0 < ε 6= 1/2 мы говорим о поверхностях общего положения.
Общая идея приведения к каноническому виду, применяемая к классу
каких-либо математических объектов часто подразумевает единственность
такого канонического представления.
Построенная нами каноническая форма, как следует из приведенных
28
описаний, такой единственностью, вообще говоря, не обладает. Кроме того, в зависимости от значений некоторых коэффициентов промежуточных
уравнений вид канонического уравнения невырожденной по Леви гиперповерхности в C2 может существенно изменяться.
Еще более сложными оказываются аналогичные построения в случае
Леви-плоских поверхностей. Тем не менее, понятие канонического уравнения и в этом случае играет существенную роль в изучаемой задаче. По этой
причине ситуация с вырожденными поверхностями будет рассмотрена ниже со "смешаной" точки зрения в отличие от "рафинированного" подхода
к однородности невырожденных по Леви гиперповерхностей.
Точнее говоря, мы построим ниже канонические уравнения не для всех
Леви-плоских поверхностей, а лишь для некоторых их классов. При этом
нужные нам классы определяются на основе частичного использования информации об однородности изучаемых поверхностей. Для этого нам потребуется обсудить алгебры аффинных векторных полей на однородных поверхностях.
§1.3. Алгебра Ли, соответствующая однородной
гиперповерхности
Как известно, для произвольного гладкого (аналитического) многообразия совокупность гладких векторных полей на нем, рассматриваемых с
операцией коммутатора полей, образует (бесконечномерную) алгебру Ли.
В задаче описания вложенных подмногообразий, однородных относительно заданного семейства A преобразований объемлющего пространства,
естественно рассматривать на таких многообразиях не произвольные векторные поля, а лишь связанные c семейством A.
В нашем исследовании основной является ситуация, в которой в объемлющем (вещественном или комплексном) пространстве действует группа
аффинных преобразований. При этом некоторая ее подгруппа Ли G(M ) сохраняет обсуждаемое (не обязательно однородное) многообразие. Нас интересуют в этой ситуации инфинитезимальные преобразования, соответствующие действиям однопараметрических подгрупп группы G(M ). Согласно
общеизвестным утверждениям (см. [17], [36]) эти преобразования образуют
алгебру Ли, соответствующую группе G(M ). Обозначается эта алгебра через g(M ), а ее элементы естественно трактовать как аффинные векторные
поля, касательные к поверхности (многобразию) M .
29
Если поверхность M предполагается локально-однородной (в фиксированной точке), то инфинитезимальные преобразования, соответствующие
транзитивно действующей на M (локальной) группе G(M ), позволяют смещаться вдоль поверхности M в любом касательном направлении. Отсюда
следует, что значениями полей из алгебры g(M ) в обсуждаемой точке накрывается вся касательная плоскость к поверхности M . Из совпадения размерностей алгебры g(M ) и группы G(M ) вытекает естественный вывод о
том, что для аффинно-однородной гиперповерхности M n-мерного вещественного пространства справедлива оценка
dim G(M ) ≥ (n − 1).
(1.36)
Далее нам потребуется формализация обсуждаемой ситуации. Пусть в
несколько большей общности рассматривается вещественная гиперповерхность вещественного же пространства Rn (n ≥ 2), однородная относительно
некоторой подгруппы аффинной группы Af f (n, R).
Всякое аффинное преобразование пространства Rn записывается в виде
X ∗ = AX + B,
(1.37)
где A - квадратная невырожденная матрица порядка n с постоянными коэффициентами,
B - постоянный вектор-столбец,
X и X ∗ - векторы-столбцы старых и новых координат точки пространства Rn .
При обсуждении группы G(M ), транзитивно действующей на гиперповерхности M пространства Rn , матрицу A из формулы (1.37) необходимо
рассматривать не как константу, а как матричную функцию, зависящую от
k-мерного вещественного параметра t = (t1 , ..., tk ), k ≥ (n − 1).
Тогда, например, в случае вещественных гиперповерхностей M 2 ⊂ R3
развернутую запись (1.37) можно представить в виде
 ∗ 

 

x1
b1 (t)
x1
a11 (t) a12 (t) a13 (t)
 x∗2  =  a21 (t) a22 (t) a23 (t)   x2  +  b2 (t)  .
(1.38)
∗
x3
a31 (t) a32 (t) a33 (t)
x3
b3 (t)
Дифференцирование преобразования (1.38) по одномерному параметру,
входящему в t, приводит к аффинным векторным полям вида
Z = (A11 x1 + A12 x2 + A13 x3 + p) ∂x∂ 1 +
+(A21 x1 + A22 x2 + A23 x3 + s) ∂x∂ 2 + ,
+(A31 x1 + A32 x2 + A33 x3 + q) ∂x∂ 3
30
(1.39)
касательным к гиперповерхности M пространства R3 .
Здесь через Aij обозначены производные (в точке t, отвечающей тождественному преобразованию) матричных элементов aij из формулы (1.38).
Производные сдвиговой компоненты преобразования (1.38) образуют вектор, координаты которого обозначены через p, s, q.
Факт касания аффинным векторным полем Z обсуждаемой однородной
поверхности
M = {Φ(x1 , x2 , x3 ) = 0}
записывается, как известно, в виде
{Z(Φ)}|M = 0.
Для дальнейшей работы с алгебрами аффинных полей удобно перейти
к их матричным представлениям. При этом полю (1.39) ставится в соответствие квадратная матрица 4-го порядка


A11 A12 A13 p
 A21 A22 A23 s 

(1.40)
Z=
 A31 A32 A33 q  ,
0
0
0 0
имеющая нулевую последнюю строку.
При построенном представлении скобке векторных полей соответствует
скобка (коммутатор) матриц
[Z1 , Z2 ] = Z1 Z2 − Z2 Z1 ,
а размерность алгебры векторных полей равна размерности соответствующей матричной алгебры.
Опишем здесь группы аффинных преобразований однородных плоских
кривых из теоремы 1.1. и соответствующие им алгебры Ли.
Пример 4. Рассмотрим, прежде всего, степенную кривую y = xα (с
произвольным показателем α) вблизи точки (1, 1) плоскости R2x,y . Имеется
группа линейных преобразований
x∗ = tx,
y ∗ = tα y (t > 0),
(1.41)
сохраняющих эту кривую. Дифференцирование такого группового преобразования по параметру t (в точке t = 1) приводит в этом случае к инфинитезимальному преобразованию,
 имеющему
 в матричной форме вид линейного
1 0 0
1 0
или аффинного  0 α 0  векторных полей.
0 α
0 0 0
31
Пример 5. Для логарифмической (или, с точностью до замены переменных, экспоненциальной) кривой y = ln x однопараметрическая группа
сохраняющих ее аффинных (но не линейных !) преобразований описывается
формулами
x∗ = tx, y ∗ = y + ln t (t > 0).


1 0 0
Этой группе соответствует векторное поле  0 0 1  .
0 0 0
Пример 6. Кривой y = x ln x соответствует группа линейных преобразований
x∗ = tx, y ∗ = (t ln t)x + ty (t > 0)
1 0
и линейное векторное поле с матрицей
.
1 1
Пример 7. Каждая логарифмическая спираль из семейства r = eBϕ ,
B ≥ 0 сохраняется комплексным умножением на произвольную точку, лежащую на ней самой. В вещественных координатах такое преобразование
записывается в виде
∗ Bϕ
x
e cos ϕ −eBϕ sin ϕ
x
=
·
.
∗
Bϕ
Bϕ
y
e sin ϕ e cos ϕ
y
Матрица соответствующего этой группе линейного векторного поля
имеет вид
B −1
.
1 B
Конструкции, аналогичные описанным выше, возможно реализовать и
в расссматриваемом нами случае аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей многомерных комплексных пространств. Рассмотрим случай комплексного пространства C2 , основной для настоящей монографии.
Аффинные (комплекснозначные) векторные поля в этом пространстве,
касательные к какой-либо аффинно-однородной вещественной гиперповерхности M , также образуют алгебру Ли. Эту алгебру можно рассматривать
(как и ранее) как совокупность инфинитезимальных преобразований, соответствующих транзитивному действию (локальной) группы Ли G(M ) на
обсуждаемом однородном многообразии.
Каждое аффинное векторное поле в C2 имеет вид
Z = (A1 z + A2 w + p)
∂
∂
+ (B1 z + B2 w + q) .
∂z
∂w
32
(1.42)
Факт касания таким полем обсуждаемой однородной поверхности M
записывается (c одним изменением по сравнению с вещественным случаем)
в виде основного соотношения
Re{Z(Φ)}|M = 0,
(1.43)
где Φ = Φ(z1 , z̄1 , z2 , z̄2 , z3 , z̄3 ) - вещественнозначная определяющая функция
обсуждаемой поверхности.
Алгебры аффинных векторных полей удобно представлять в матричной форме, сопоставляя векторному полю (1.42) матрицу


A1 A2 p
(1.44)
Z =  B1 B2 q  .
0 0 0
Подчеркнем, что элементы введенных матриц (коэффициенты векторных полей) являются, вообще говоря, комплексными числами, тогда как
алгебра таких полей рассматривается над полем вещественных чисел R.
Пример 8. Алгебра Ли, соответствующая трубчатой поверхности в
пространстве C2 над аффинно-однородной кривой y = xα , получается за
счет модификации одномерной алгебры из примера 4.
Соблюдая общность обозначений, зададим обсуждаемую трубку уравнением
v = xα .
(1.45)
Тогда помимо растяжений
z ∗ = tz,
w∗ = tα z (t > 0),
по сути повторяющих формулы (1.41), поверхность (1.45) сохраняют однопараметрические группы сдвигов по переменным y = Imz и u = Rew:
z ∗ = z + ir,
ixα0 )
w∗ = w + s,
r, s ∈ R.
В итоге алгебра Ли, отвечающая вблизи любой точки (x0 + iy0 , u0 +
∈ C2 , x0 > 0 поверхности (1.45), имеет (в матричной форме) базис






1 0 0
0 0 i
0 0 0
E1 =  0 α 0  , E2 =  0 0 0  , E3 =  0 0 1  .
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Основой для получения значительной части излагаемых в монографии
результатов, послужило изучение алгебр Ли, состоящих из матриц вида
33
(1.44) и удовлетворяющих основному соотношению (1.43). При этом использование уравнений, аналогичных введенным в §1.2, позволяет получать конструктивные выводы как об изучаемых алгебрах, так и о соответствующих
этим алгебрам однородных поверхностях.
Пусть, например, однородная поверхность M задана каноническим уравнением вида (1.29), разрешенным относительно вещественной переменной v:
X
Fk (z, z̄, u) = F2 + F3 + ....
v=
k≥2
Тогда (1.43) превращается в
∂F
1
∂F
Re (A1 z + A2 (u + iF ) + p)
+ (B1 z + B2 (u + iF ) + q)
i+
≡ 0.
∂z
2
∂u
(1.46)
Левая часть уравнения (1.46) является аналитической функцией от переменных z, z̄, u. Тождественное равенство нулю такой функции означает
выполнение (бесконечно) большого количества ограничений на обсуждаемую поверхность и векторные поля на ней.
Именно изучение этой информации позволило получить практически
все классификационные результаты, излагаемые ниже. Тождество (1.43) (в
соответствии с его названием), а также его следствия являются базой наших
рассмотрений на протяжении всей книги.
Например, отделяя компоненты младших весов в тождестве (1.46), получим систему нескольких уравнений:
i
вес 0 : Re
q = 0,
(1.47)
2
1 ∂F3
∂F2 i
вес 1 : Re p
+ B1 z + q
= 0,
(1.48)
∂z
2
2 ∂u
∂F2
∂F3 1
∂F3
i 1 ∂F4
вес 2 : Re A1 z
+p
+ B1 z
+ B2 (u + iF2 ) + q
= 0,
∂z
∂z
2
∂u
2 2 ∂u
(1.49)
∂F3
∂F2
∂F4
вес 3 : Re A1 z
+ A2 (u + iF2 )
+p
+
∂z
∂z
∂z
1 ∂F4 1
∂F3
i 1 ∂F5
+Re B1 z
+ B2 (u + iF2 )
+ B2 iF3 + q
= 0.
(1.50)
2 ∂u
2
∂u
2 2 ∂u
∂F4
∂F3
∂F2
∂F5
вес 4 : Re A1 z
+ A2 (u + iF2 )
+ A2 iF3
+p
+
∂z
∂z
∂z
∂z
34
1 ∂F5
1 ∂F4
1 ∂F3
i
+Re B1 z
+ B2 (u + iF2 )
+ B2 iF3
+ B2 iF4
+
2 ∂u
2 ∂u
2 ∂u
2
1 ∂F6
+ q
= 0.
(1.51)
2 ∂u
Замечание. В уравнениях (1.47) - (1.51) производные ∂Fn /∂u можно
заменить на ∂ F̂n ∂u.
Отметим, что в этих уравнениях связаны элементы матрицы (1.44), отвечающей векторному полю (1.42), и слагаемые канонического уравнения
(1.29) изучаемой поверхности. Рассмотрение именно этих уравнений позволяет получать интересующие нас выводы об однородности.
Для удобства дальнейших обсуждений выделим в матрице (1.44) ее
левый верхний (2x2)-блок, обозначая его через
A1 A2
.
(1.52)
e=
B1 B2
У элементов матрицы e будем при необходимости выделять вещественные
и мнимые части, полагая
ReA1 = A11 , ImA1 = A12 ,
ReA2 = A21 , ImA2 = A22 ,
ReB2 = B21 , ImB2 = B22 .
При исследовании однородных поверхностей одним из важнейших является вопрос о размерности соответствующих этим поверхностям алгебр
(и групп) Ли. Эта размерность равна количеству остающихся "свободными" в уравнениях типа (1.47) - (1.51) параметров - элементов матриц (1.44),
а точнее, их вещественных и мнимых частей, вводимых предыдущими обозначениями.
Отметим, что возможны ситуации (соответствующие примеры обсуждаются ниже), в которых одна и та же однородная поверхность допускает
разные (в т.ч., по размерности) аффинные подгруппы, каждая из которых
действует транзитивно на этой поверхности. Все такие случаи будут ниже
специально прокомментированы. При этом, говоря о размерности алгебры
векторных полей на однородной поверхности, мы по умолчанию будем иметь
в виду максимальную размерность аффинных подгрупп (и соответствующих им алгебр), транзитивно действующих на обсуждаемой поверхности.
35
§1.4. О канонических уравнениях вырожденных по Леви
поверхностей
Рассмотрим теперь случай вырожденной формы Леви у вещественноаналитической гиперповерхности, заданной разрешенным относительно переменной v уравнением (1.17), т.е.
v = f110 |z|2 + f200 z 2 + f020 z̄ 2 + f101 zu + f011 z̄u + ....
Обсуждаемая фиксированная точка поверхности, по-прежнему, остается началом координат пространства C2 . Леви-вырожденность такой поверхности (в начале координат) означает, как уже отмечалось, равенство нулю
коэффициента f110 .
В такой ситуации компонента веса 2 из уравнения (1.17) упростится и
примет вид
f200 z 2 + f020 z̄ 2
с комплексно сопряженными друг другу коэффициентами f200 и f020 .
f200
Предложение 1.5. Равенство (или неравенство) нулю коэфициента
из уравнения
v = f200 z 2 + f020 z̄ 2 + f101 zu + f011 z̄u + ... .
(1.53)
Леви-плоской поверхности является ее аффинно-инвариантным свойством (в обсуждаемой точке).
Как и при доказательстве предложения 1.4, фиксация точки означает
возможность рассматривать вместо произвольных аффинных лишь линейные преобразования
z ∗ = α1 z + α2 w,
w∗ = β1 z + β2 w.
(1.54)
Потребуем, как и ранее, сохранения вида уравнения (1.53) и, в частности, его весовой структуры при подстановке формул (1.54) в это уравнение.
Для того, чтобы новое уравнение не содержало в правой части слагаемых веса 1, необходимо, чтобы коэффициент β1 равнялся нулю. Коэффициент β2 должен быть вещественным ненулевым числом в силу отсутствия
в компоненте веса 2 того же уравнения (1.53) переменной u. Наконец, заметим, что решение (относительно переменной v) неявного уравнения
β2 v = f200 (α1 z + α2 w)2 + f020 (α1 z + α2 w)2 + ...
36
c ненулевыми коэффициентами β2 , α1 , f200 имеет вблизи начала координат
вид
f200 α12 2 f200 α12 2
v=
z +
z̄ + ....
β2 2
β2 2
Отсюда и следует обозначенная инвариантность.
С учетом предложения 1.5 является корректным следующее определение.
Определение 6. Леви-вырожденную (в начале координат) поверхность
вида (1.53) с ненулевым коэффициентом f200 будем называть поверхностью
веса 2.
Замечание. В отличие от доказанного предложения 1.5 одним из главных свойств голоморфной нормальной формы Мозера (в C2 ) является отсутствие в правой части нормального уравнения
v = F (z, z̄, u)
вещественной гиперповерхности чисто голоморфных слагаемых z k и их сопряженных выражений. Это свойство обеспечивается возможностью удаления таких слагаемых из правой части голоморфными заменами координат.
Если в уравнении (1.53) некоторой поверхности M выполняется равенство f200 = 0, то естественно говорить, что M имеет вес, больший чем 2.
Например, поверхность заданную уравнением
v = (f101 zu + f011 z̄u) + (f300 z 3 + f210 z 2 z̄ + f120 z z̄ 2 + f003 z̄ 3 ) + f002 u2 + ... (1.55)
с ненулевым коэффициентом f101 , будем называть поверхностью веса 3.
Соответственно, поверхность с уравнением
2
2
2
2
v = f002 u + u(f201 z + f111 |z| + f021 z̄ ) +
X
Fk (z, z̄, u)
(1.56)
k≥5
и ненулевым коэффициентом f002 назовем поверхностью веса 4.
Заметим, что формально вес 3 могут иметь и (Леви-плоские в начале
координат) поверхности с нулевым коэффициентом f101 в уравнении (1.53),
если ненулевые коэффициенты имеет многочлен
F3 (z, z̄) = f300 z 3 + f210 z 2 z̄ + f120 z z̄ 2 + f003 z̄ 3
из этого же уравнения. В то же время для изучения аффинно-однородных
поверхностей такая ситуация не представляет интереса. В самом деле, сдвиг
z → z + a в близкую к началу координат точку приводит к появлению в
37
уравнении поверхности ненулевых коэффициентов при слагаемых младших
весов, например, при |z|2 или z 2 . Для аффинно-однородных поверхностей
такое невозможно.
Аналогичное замечание относится и к поверхностям веса 4, содержащим, например, ненулевой многочлен от переменных z, z̄ степени 4.
Ясно, что, в принципе, можно ввести понятие вырожденной по Леви
поверхности любого конечного веса. Однако в задаче об однородности оказывается достаточно уже введенных весов 2, 3 и 4 в силу следующего утверждения.
Предложение 1.6. Если в уравнении
v = F2 + F3 + F4 + ...,
(0)
(0)
аффинно-однородной поверхности M наборы (F2 , F̂3 ) и (F3 , F̂4 ) - нулевые, то поверхность M - плоскость с уравнением v = 0.
Для доказательства предложения 1.6 заметим, что при условиях
(0)
(0)
F2 = 0, F̂3 = 0, F3 = 0, F̂4 = 0
(1.57)
из компоненты веса 1 основного тождества, выписанной для произвольного
векторного поля на M , т.е. из (1.48), следует, что равен нулю параметр
B1 такого поля. При тех же условиях (1.57) компонента веса 2 (уравнение
(1.49)) превращается в равенство
Re(iB2 u) = 0,
Это равенство означает в точности обращение в ноль мнимой части B22 =
ImB2 параметра B2 произвольного векторного поля, касательного к M .
Компонента веса 3, т.е. уравнение (1.50), в этой ситуации содержит всего два слагаемых и имеет вид тождества
(
)
(0)
∂Fk+1 1 ∂ F̂k+2
Re p
+ q
≡0
(1.58)
∂z
2 ∂u
при k = 3 и свободных параметрах p ∈ C, q ∈ R.
Завершает доказательство предложения 1.6 следующее достаточно простое утверждение.
(0)
ЛЕММА 1. Пусть k ≥ 3, а Fk+1 , F̂k+2 - пара фиксированных вещественных многочленов, удовлетворяющая договоренностям §1.2. Тогда из
тождества (1.58), выполняющегося при произвольных p ∈ C, q ∈ R, следует, что
(0)
Fk+1 = 0, F̂k+2 = 0
(1.59)
38
Для доказательства этой леммы заметим, что при свободных параметрах p, q следствиями (1.58) являются два отдельных тождества
(0)
∂Fk+1
∂ F̂k+2
=0 и
= 0.
∂z
∂u
(1.60)
Так как F̂k+2 (z, z̄) по определению не содержит слагаемых, свободных
от переменной u, то второе из тождеств (1.60) означает, что этот многочлен
равен нулю.
Для завершения доказательства рассмотрим многочлен
(0)
Fk+1 (z, z̄) = fk+1,0 z k+1 + fk,0 z k z̄ + ... + f0,k+1 z̄ k+1 .
(1.61)
Из тождественного равенства нулю его производной по переменной z
следует, что
(0)
Fk+1 (z, z̄) = f0,k+1 z̄ k+1 ,
тогда как первые k + 1 коэффициентов разложения (1.61) равны нулю. Но
(0)
в силу вещественности многочлена Fk+1 имеем равенство
f0,k+1 = fk+1,0 = 0,
завершающее доказательство леммы 1.
Индуктивное применение этой леммы к упрощенному (за счет обращения в нуль младших коэффициентов) уравнению (1.17) приводит к утверждению о тождественно нулевых весовых компонентах Fk (k ≥ 3) канонического уравнения обсуждаемой однородной поверхности. Тем самым, эта
поверхность, действительно, имеет уравнение v = 0, и предложение 1.6 доказано.
Учитывая предложение 1.6, а также возможность несложных упрощений отдельных коэффициентов для уравнений типа (1.17) за счет растяжений координат, получаем следующее утверждение.
ТЕОРЕМА 1.11. Имеется 5 типов аффинно-различных уравнений
вида (1.17) для семейства аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства C2 :
X
1) v = |z|2 + (f200 z 2 + f020 z̄ 2 ) +
Fk (z, z̄, u),
(1.62)
k≥3
2) v =
(z 2 + z̄ 2 ) +
X
Fk (z, z̄, u),
(1.63)
Fk (z, z̄, u),
(1.64)
k≥3
3) v =
(z + z̄)u + F3 (z, z̄) +
X
k≥4
39
2
4) v =
u +
X
Fk (z, z̄, u).
(1.65)
k≥5
5) v = 0
(1.66)
Первый тип соответствует невырожденным поверхностям, свойство однородности для которых будет изучено в главе 2. Пятый, тривиальный, тип
можно назвать типом бесконечного веса. Остальные три типа будут изучены в главе 3. Соответствующие этим типам уравнения (1.63) - (1.65) будем
называть каноническими уравнениями Леви-плоских аффинно-однородных
поверхностей конечного веса.
Заметим, что, как и в случае невырожденных поверхностей, за счет аффинных преобразований возможны дополнительные упрощения некоторых
коэффициентов из канонических уравнений. Подробности таких дополнительных упрощений будут отдельно рассматриваться (там, где это возможно) при изучении однородности для поверхностей каждого конкретного веса.
§1.5. Схема исследования однородности с помощью
канонических уравнений
Новые классификационные результаты монографии (теоремы 1.3 и 1.4)
получены на основе использования понятия аффинного канонического уравнения изучаемых многообразий.
Мы рассматриваем всякую аффинно-однородную вещественную гиперповерхность пространства C2 вблизи ее фиксированной неособой точки. Эту
точку мы переводим сдвигом в начало координат пространства и далее приводим уравнение поверхности к аффинному каноническому виду. В зависимости от того, имеет ли поверхность вырожденную или невырожденную
форму Леви, используется одна из двух введенных выше модификаций понятия канонического уравнения поверхности.
В силу однородности обсуждаемой поверхности M на ней имеется большая алгебра аффинных векторных полей, касательных к M . Для каждого
из таких полей выполняется введенное выше основное тождество. Далее
наша схема выглядит следующим образом:
1) сначала из основного тождества мы получаем некоторые ограничения на коэффициенты канонических уравнений и параметры векторных
полей, касательных к изучаемым поверхностям;
40
2) затем из полученных ограничений выводятся (достаточно жесткие)
оценки размерностей алгебр g(M ) для поверхностей из рассматриваемого
класса;
3) далее выписываются в "грубой" форме базисные матрицы гипотетических алгебр (требуемых размерностей), соответствующих однородным
поверхностям; за счет проверки условий замкнутости относительно матричной скобки мы получаем точные формулы для базисов требуемых алгебр;
4) на завершающем этапе построенные матричные алгебры интегрируются, что приводит к получению искомых однородных многообразий.
При этом главная рабочая идея монографии заключается в рассмотрении младших весовых компонент основного тождества. Из этого рассмотрения получается практически полная информация об интересующих нас
алгебрах Ли. После чего остается проинтегрировать полученные алгебры и
сформировать список аффинно-однородных гиперповерхностей.
В зависимости от типа или веса рассматриваемых поверхностей обозначенная идея претерпевает некоторые изменения, но в целом остается общим
стержнем монографии.
В соответствии со сказанным рассмотрим для случая Леви-невырожденных гиперповерхностей основное тождество в компонентах весов 0,1,2,3
и 4. Выписанные в §1.3 тождества (1.49), (1.50) и (1.51) мы будем разбивать
на отдельные уравнения по числу различных мономов от переменных z, z̄, u,
имеющих требуемый вес.
Предложение 1.7. В случае Леви-невырожденных гиперповерхностей
из системы соотношений (1.47) - (1.51) выводится следующая система
девяти уравнений:
Вес 0: (0,0,0):
Re(q 2i ) = 0,
Вес 1: (1,0,0):
iB1 + 2(2εp + p̄) + 2iαq = 0,
Вес 2: (2,0,0):
ε(2A1 − B21 ) + 2i αB1 + (3f300 p + f210 p̄ + f201 q) = 0,
(1,1,0):
(2A11 − B21 ) + αB12 + (2f210 p + 2f120 p̄ + f111 q) = 0,
(0,0,1):
−B22 + 2f002 q + iα(p − p̄) = 0,
Вес 3: (3,0,0):
iε(2εA2 − Ā2 ) + 21 f201 B1 + f300 (3A1 − B21 )+
+(4f400 p + f310 p̄ + f301 q) = 0,
(2,1,0):
i(3εA2 − (1 + 2ε2 )Ā2 ) + f210 (2A1 + Ā1 − B21 )+
+ 12 (f111 B1 + f201 B̄1 ) + (3f310 p + 2f220 p̄ + f211 q) = 0,
(1,0,1): (2εA2 + Ā2 )+f002 B1 +iαA1 +(2f201 p+f111 p̄+2f102 q) = 0,
41
Вес 4: (0,0,2): f002 B21 − 2αA22 + (f102 p + f012 p̄ + 3f003 q) = 0.
Мы не будем приводить здесь полное доказательство сформулированного утверждения, состоящего из 9 пунктов. Эти пункты обсуждаются единоообразно, и выписанные в них формулы можно получить компьютерным
образом (автор использовал для этой цели, как и для многих других выкладок, пакет символьной математики MAPLE). Принцип же получения этих
формул прокомментируем на примере начальных уравнений весов 0 и 1.
В компонентах этих весов основного тождества (1.43) ранее были выписаны уравнения (1.47) и (1.48), т.е.
i
вес 0 : Re
q = 0,
2
∂F2 1 ∂F3 i
вес 1 : Re p
+ q
+ B1 z = 0,
∂z
2 ∂u
2
При этом (1.47) совпадает с первой формулой предложения 1.7.
В тождестве (1.48) необходимо учесть, что
∂F3
= iα(z − z̄).
∂u
∂F2
= (z̄ + 2εz),
∂z
Тогда в весе 1 мы получим уравнение
1
i
Re p(z̄ + 2εz) + qiα(z − z̄) + B1 z = 0.
2
2
Учитывая равенство вещественных частей у комплексно сопряженных
выражений, получаем далее
i
Re
(p̄ + 2εp + iαq + B1 z = 0.
2
Последнее равенство должно выполняться тождественно по переменной
z, что приводит к упрощению его до выписанного выше (1,0,0)-уравнения.
Остальные семь из заявленных девяти уравнений получаются по аналогичным схемам.
Информации, содержащейся в выписанных уравнениях, достаточно для
получения практически полного представления об изучаемых нами однородных поверхностях.
Замечание. Строго говоря, в одном из рассматриваемых далее случаев нам потребуется еще одно, десятое, уравнение в дополнение к уже выписанным в предложении 1.7 компонентам основного тождества. Речь идет
42
о (2,0,1)-компоненте, получаемой по описанной выше схеме и имеющей в
самом общем случае вид
(2,0,1):
2f201 A1 − 2εf002 B22 + 3f300 A2 + f210 Ā2 + f102 B1 +
+(B22 α − 3εA2 + Ā2 − εA2 )α + (3f301 p + f211 p̄ + 2f202 q) = 0.
Впрочем, нам это уравнение потребуется лишь при рассмотрении однородных поверхностей общего положения, поэтому группу из 4-х слагаемых,
входящих в это уравнение и содержащих множитель α, можно было не упоминать.
Одним из самых простых содержательных результатов о коэффициентах канонических уравнений аффинно-однородных невырожденных поверхностей, справедливых при ε 6= 0, является следующее утверждение.
Предложение 1.8. Если квадратичная часть канонического уравнения (1.29) аффинно-однородной поверхности M не равна нулю, то коэффициенты этого уравнения удовлетворяют следующим ограничениям:
1
f300 = (4εf210 − f120 ),
3
Ref201 = εf111 .
(1.68)
Для доказательства выразим из (2,0,0)-компоненты основного тождества коэффициент A1 :
1
1
A1 = B21 − (3f300 p + f210 p̄ + f201 q).
2
2ε
(1.69)
Подставляя далее полученную формулу в (1,1,0)-компоненту, получим новое
равенство
(4f210 ε − 3f300 − f120 )p + (−f210 − 3f030 + 4f120 ε)p̄ + (2εf111 − f201 − f021 )q = 0
(1.70)
Здесь и далее мы будем использовать следующее очевидное соображение.
Замечание. Пусть три (комплексных) константы A, B, C таковы, что
равенство
Ap + B p̄ + Cq = 0
выполняется при произвольных p ∈ C, q ∈ R. Тогда все три эти константы
равны нулю.
В силу этого соображения получаем из (1.70) справедливость соотношения (1.68) на коэффициенты канонического уравнения (1.29) рассматриваемой однородной поверхности.
43
Еще одной иллюстрацией возможностей коэффициентного подхода, опирающегося на использование векторных полей при описании однородных
многообразий, является доказанное в §1.4 предложение 1.6. Оно характеризует вещественную гиперплоскость в терминах младших коэффициентов
канонического уравнения вырожденной по Леви гиперповерхности.
Аналог этого утверждения имеет место и для Леви-невырожденных
аффинно-однородных гиперповерхностей. В заключение этого раздела мы
рассмотрим уравнение (1.46) при дополнительном ограничении, связанном
с обращением в нуль коэффициентов A2 и B22 всех полей из обсуждаемой
алгебры g(M ). Ниже мы будем получать это ограничение именно за счет
рассмотрения девяти основных уравнений предложения 1.7.
Легко видеть, что при условиях
A2 = 0, B22 = 0
(1.71)
уравнение (1.46) существенно упрощается и становится линейным относительно функции F (z, z̄, u) (независимо от значений параметра ε). Это позволяет достаточно легко получить следующее утверждение.
Предложение 1.9. Если в каноническом уравнении (1.29) однородной
поверхности M
F3 = 0, F̂4 = 0,
и для всех полей из алгебры g(M ) выполняются равенства (1.71), то обсуждаемая поверхность - квадрика с уравнением
v = |z|2 + ε(z 2 + z̄ 2 ).
(1.72)
Для доказательства рассмотрим уравнение (1.46), упрощенное за счет (1.71):
∂F
i 1 ∂F
1
Re (A1 z + p)
+ (B1 z + B2 u + q)
+
− B21 F ≡ 0. (1.73)
∂z
2 2 ∂u
2
Компонента произвольного веса k ≥ 3 этого упрощенного уравнения
легко вычисляется и имеет вид
(
)
∂Fk
∂Fk+1
1 ∂ F̂k+1
1 ∂ F̂k
1 ∂ F̂k+2 1
+p
+ B1 z
+ B21 u
+q
− B21 Fk ≡ 0.
Re A1 z
∂z
∂z
2 ∂u
2 ∂u
2 ∂u
2
(1.74)
При k = 3 от шести слагаемых в этом уравнении остается лишь два
(т.к. F3 = 0, F̂4 = 0), и все уравнение примет вид
(
)
∂Fk+1
1 ∂ F̂k+2
Re
p+
q ≡ 0.
(1.75)
∂z
2 ∂u
44
Теперь индуктивное применение леммы 1 из §1.4 приводит к утверждению о тождественно нулевых весовых компонентах Fk (k ≥ 3) канонического
уравнения обсуждаемой однородной поверхности. Тем самым, эта поверхность, действительно, имеет уравнение (1.72).
Завершая этот раздел, отметим, что при изучении аффинной однородности в случае Леви-вырожденных поверхностей мы также активно используем основное тождество. Однако, вследствие заведомого обнуления многих
коэффициентов канонических уравнений, играющих в этом тождестве важную роль, мы не будем здесь выписывать аналог основной системы девяти уравнений для Леви-вырожденных поверхностей самого общего случая.
Вместо этого изучение каждой конкретной ситуации мы будем начинать со
своих, специфических по форме, следствий основного тождества.
§1.6. Интегрирование матричных алгебр Ли
Согласно общей схеме построения списка однородных поверхностей, изложенной в предыдущем параграфе, нам придется проинтегрировать достаточно много матричных алгебр. Каждая из таких алгебр, появляющихся в
нашей задаче, состоит из комплексных квадратных матриц 3-го порядка
вида (1.44), т.е.


A1 A2 p
 B1 B2 q  .
0 0 0
Напомним, что в изучаемой задаче такие матрицы соответствуют аффинным векторным полям вида (1.42)
∂
∂
Z = (A1 z + A2 w + p) + (B1 z + B2 w + q) ,
∂z
∂w
касательным к однородным поверхностям.
Завершающий этап решения нашей задачи в каждом частном случае
состоит в построении по заданной алгебре векторных полей касающейся
всех этих полей вещественной гиперповерхности. Отметим, что теоретической базой, гарантирующей существование искомой поверхности, является
известная теорема Фробениуса (см., например, [12], [73]). Нам эта теорема
потребуется в следующей формулировке, близкой к изложению [73].
Предложение 1.10 (Теорема Фробениуса). Для произвольной алгебры аффинных векторных полей, имеющей в окрестности фиксированной точки ξ пространства C2 ранг, равный 3, существует (и притом
45
единственное) интегральное многообразие обсуждаемой алгебры размерности 3 (т.е. вещественно-аналитическая гиперповерхность), проходящее
через обсуждаемую точку ξ.
Подготовительная работа по описанию алгебр, отвечающих однородным поверхностям, на основании этой теоремы завершается построением
списка требуемых поверхностей. Выскажем, тем не менее, одно замечание
о предоставляемых теоремой Фробениуса возможностях. Это замечание относится к работам, в которых итоговые классификационные теоремы об
однородных многообразиях формулируются в терминах алгебр Ли, соответствующих этим многообразиям (см., например, [2]).
Нисколько не умаляя значение таких работ, отметим, что в задаче
описания однородных многообразий результаты такого рода не могут считаться окончательными. Для иллюстрации этого тезиса упомянем пример
3-параметрического семейства аффинно различных аффинно-однородных
вещественных гиперповерхностей пространства C2 , рассматриваемый ниже
(глава 3, §3.2). Алгебра Ли, отвечающая каждой поверхности из этого семейства, является 3-мерной диагональной (а следовательно, коммутативной)
алгеброй.
С абстрактно-алгебраической точки зрения существует лишь одна коммутативная 3-мерная алгебра Ли. В то же время, повторим, все поверхности
из упомянутого семейства аффинно-различны.
Возвращаясь к практическому использованию теоремы Фробениуса в
нашей книге, напомним, что единственность восстанавливаемой по алгебре
Ли поверхности обепечивается фиксацией точки (начала координат пространства C2 ), с которой мы связываем изучаемую алгебру. Сама эта алгебра имеет ранг 3 в начале координат в силу требования 3-мерности вещественной линейной оболочки последних столбцов матриц вида (1.44), составляющих обсуждаемую алгебру.
Отметим, что для 3-мерной алгебры этим же требованием обеспечивается сохранение максимального ранга в окрестности начала координат.
Алгебры большей размерности, имеющие, тем не менее, в фиксированной
точке ранг, равный 3, составляют меньшую часть всего списка алгебр. Их
интегрирование сопряжено с меньшим количеством проблем.
В любом случае, независимо от размерностей обсуждаемых алгебр,
можно предложить два способа их интегрирования. Оба этих способа достаточно трудоемки, и потому помимо конкретных обсуждений их для каждой
из алгебр в соответствующих разделах монографии здесь мы дадим краткие
общие комментарии по их применению.
46
Первый способ, используемый в книге в качестве основного, связан с
решением систем уравнений в частных производных. Каждое уравнение такой системы представляет собой основное соотношение (1.43) для одного
из базисных векторных полей изучаемой алгебры. Все эти уравнения являются, вообще говоря, квазилинейными (в силу рассмотрения аффинных
векторных полей).
Любое такое уравнение в частных производных может быть решено
за счет перехода к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
(ОДУ) и использования первых интегралов данной системы. Подстановка
решения одного уравнения с частными производными в оставшиеся уравнения исходной системы уменьшает на единицу количество уравнений в ней
с одновременным уменьшением числа (измененных) независимых переменных в системе.
На последнем шаге такой последовательной процедуры от исходной системы с частными производными остается одно ОДУ. Его решение определяется, как известно, с точностью до произвольной константы. Фиксация
точки поверхности (как правило, начала координат) позволяет однозначно
определить эту константу и, тем самым, восстановить единственную искомую поверхность в соответствии с теоремой Фробениуса.
При интегрировании различных алгебр часто оказываются полезными
такие свойства связанных с этими алгебрами интегральных поверхностей,
как жесткость и трубчатость, весьма популярные в современных исследованиях по комплексному анализу (см., например, [41], [97], [85]). Так, условие
жесткости поверхности M , т.е независимость определяющего эту поверхность уравнения от переменной u = Rew, означает наличие в алгебре g(M )
поля ∂/∂w. Это свойство позволяет уменьшить на единицу число шагов в
схеме последовательного интегрирования алгебры Ли.
Отметим, что любую голоморфно однородную вещественную гиперповерхность комплексного пространства любой размерности n можно перевести голоморфным преобразованием в жесткое состояние. Связано это с
тем, что голоморфным преобразованием можно (локально) выпрямить любое ненулевое голоморфное векторное поле и привести его к виду ∂/∂zn .
Наличие для обсуждаемой поверхности такого векторного поля, касательного к ней, равносильно жесткости этой поверхности в рассматриваемых кординатах.
В отличие от голоморфной геометрии не любое линейное поле в комплексном пространстве Cn выпрямляется линейным преобразованием. Бо47
лее того, ни одно линейное поле, касательное к аффинно-однородной сфере
S 3 = {|z|2 + |w|2 = 1} ⊂ C2 ,
не выпрямляется аффинными преобразованиями. Привести уравнение сферы такими преобразованиями к жесткому виду невозможно.
Трубчатость (или цилиндричность по двум вещественным переменным,
например, y = Imz, u = Rew) гиперповерхности пространства C2 также
легко проиллюстрировать в терминах касательных к такой поверхности полей. Трубчатые поверхности и обобщающие их поверхности трубчатого типа
занимают в нашей работе важное место.
Отметим, что для облегчения интегрирования отдельных уравнений
системы бывает удобно перейти от исходной алгебры g(M ), связанной с
каноническим видом уравнения, к подобной ей алгебре g ∗ = C −1 g(M )C с
некоторой невырожденной матрицей C.
Уточним здесь еще один момент. Обсуждаемые алгебры состоят из комплексных квадратных матриц 3-го порядка, отвечающих аффинным векторным полям в пространстве C2 . В то же время, аффинные преобразования этого пространства можно рассматривать как линейные преобразования
проективного пространства CP2 , сохраняющие его конечную часть.
Соответственно, подобие двух квадратных матриц 3-го порядка (а значит, и алгебр, состоящих из таких матриц) может быть реализовано матрицей C ∈ GL(3, C), имеющей полновесную проективную, а не аффинную
структуру.
Во избежание этого во всех преобразованиях подобия ϕC : A → C −1 AC
алгебр g(M ), рассматриваемых с целью "улучшения" этих алгебр, будут
использоваться лишь матрицы C специального вида


c1 c2 c3
C =  c4 c5 c6  .
(1.77)
0 0 1
Подобие алгебр с такой матрицей соответствуют аффинному преобразованию координат пространства C2 с матрицей C, имеющей, разумеется,
обратимый 2 × 2-блок
c1 c2
D=
.
c4 c5
При этом начало координат, с которым связаны обсуждения канониче48
ских уравнений, переходит в точку с координатами
c3
−D
.
c6
(1.78)
Матрицы выписанного выше типа (1.77), отвечающие аффинным преобразованиям, мы будем использовать при обсуждении следующей ситуации.
Определение 7. Пусть g - алгебра Ли, состоящая из матриц вида (1.44).
Будем называть эту алгебру аффинно диагонализируемой, если подобие ϕC :
A → C −1 AC с некоторой матрицей C вида (1.77) переводит g в диагональную алгебру.
Уже упоминавшийся выше пример 3-параметрического семейства аффинно-однородных поверхностей включается в общие обсуждения монографии через аффинно-диагонализируемые алгебры, играющие роль связующего звена.
При обсуждении диагональных алгебр удобнее вместо описанного выше непосредственного их интегрирования использовать второй подход, связанный с экспоненциальным отображением (см. [36]). Ниже мы используем
этот подход в различных ситуациях, но здесь проиллюстрируем его лишь
на простом примере диагональных алгебр.
Так как экспонента диагональной матрицы сама является диагональной, то группа G(M ), соответствующая диагональной алгебре g(M ), содержит только диагональные матрицы. При этом g(M ) является линейной
группой, вложенной в GL(2, C). Ее элементы в случае dimR g(M ) = 3 могут
быть представлены в параметрической форме в виде
exp(t1 E1 ) exp(t2 E2 ) exp(t3 E3 ),
(1.78)
где E1 , E2 , E3 - базис 3-мерной диагональной алгебры g(M ).
Соответственно, в параметрической форме в этом случае представляются и линейно-однородные поверхности. Они являются орбитами группы,
образованной матрицами вида (1.78).
Отметим, что все поверхности, отвечающие диагональным алгебрам
g(M ), являются Леви-плоскими; они рассматриваются в 3 главе монографии. Во второй главе экспоненциальное отображение применяется для интегрирования некоторых недиагональных алгебр.
Еще один технический момент можно считать общим при практическом
интегрировании различных матричных алгебр. Мы обсудим его, чтобы облегчить процедуру интегрирования еще в некоторых случаях. Напомним,
49
что интересующие нас матричные алгебры имеют некоторые особенности в
строении, а их размерности удовлетворяют оценке снизу 3 ≤ dimR g. При
этом имеются и относительно легко строятся содержательные примеры алгебр больших размерностей.
Предложение 1.11. Пусть g ⊂ h - две алгебры Ли аффинных векторных полей в пространстве C2 , т. что:
а) вблизи фиксированной точки ξ этого пространства меньшая из
алгебр, т.е. g, является регулярным распределением ранга 3;
б) "большая" алгебра, т.е. h, имеет в качестве интегрального многообразия некоторую вещественно-аналитическую гиперповерхность M ,
проходящую через точку ξ;
в) точка ξ является регулярной (неособой) точкой поверхности M .
Тогда эта же поверхность M является интегральной и для меньшей
алгебры g.
Геометрический смысл этого утверждения достаточно прозрачен. Интегральное многообразие алгебры g, проходящее через точку ξ (существующее
по теореме Фробениуса), является в силу аналитичности аффинных полей
3-мерной вещественно-аналитической гиперповерхностью. Эта поверхность
определяется однозначно, что следует как из самой теоремы Фробениуса,
так и из аналитичности определяющей многообразие системы уравнений.
Имеющаяся интегральная поверхность M для большей алгебры h касается
всех полей из меньшей алгебры. В силу отмеченного свойства единственности M является интегральным многобразием для g.
50
ГЛАВА 2. ЛЕВИ-НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
2.1. Формулировки основных теорем
Пусть M - аффинно-однородная невырожденная по Леви гиперповерхность пространства C2 . Будем считать, что она задана каноническим уравнением вида (1.29),т.е.
v = |z|2 + ε(z 2 + z 2 ) + iα(z − z̄)u+
3
2
2
3
+(f300 z + f210 z z̄ + f120 z z̄ + f030 z̄ ) +
X
Fk (z, z̄, u),
k+l+2m≥4
с ограничениями
ε ≥ 0,
α ∈ {0, 1}
и уточнениями, сформулированными в §1.2 главы 1.
Задачу описания всех однородных поверхностей мы сводим к изучению
основного тождества (1.43) для аффинных векторных полей. Напомним при
этом, что все Леви-невырожденные гиперповерхности были разделены на
три типа в соответствии со свойствами квадратичной части их канонических
уравнений:
при ε = 0 мы говорим о нулевой квадратичной части в уравнении
поверхности;
поверхности с ε = 1/2 называются поверхностями трубчатого типа;
наконец, в случае 0 < ε 6= 1/2 мы говорим о поверхностях общего
положения.
Описание однородных Леви-невырожденных поверхностей (Теорема 1.3
из §1.1) складывается из трех следующих теорем, соответствующих названным случаям.
ТЕОРЕМА 2.1. Существует три (с точностью до аффинной эквивалентности) аффинно-однородных аффинно-различных гиперповерхности
с нулевой квадратичной частью в каноническом уравнении:
W1) "классическая сфера" |z|2 + |w|2 = 1,
W2) гиперболоид |z|2 − |w|2 = 1,
W3) "сфера Мозера" v = |z|2 .
ТЕОРЕМА 2.2. Всякая аффинно-однородная вещественная гиперповерхность трубчатого типа в C2 аффинно эквивалентна либо трубке над
51
аффинно-однородным вещественным основанием, либо одной из поверхностей двух следующих семейств
T 1) v = |z|eB arg z , B ∈ R, z 6= 0,
T 2) Im(wz̄) = |z|eB arg z , B ∈ R, z 6= 0.
ТЕОРЕМА 2.3. Всякая аффинно-однородная вещественная гиперповерхность общего положения в C2 является аффинным образом одной из
поверхностей следующих трех семейств:
1
G1) v = |z|2 + ε(z 2 + z̄ 2 ), 0 < ε 6= ,
2
G2) v = |z|A eB arg z , A ∈ R \ {1}, B ∈ R, z 6= 0.
G3) Im(z w̄) = |z|A eB arg z , A ∈ R \ {1}, B ∈ R, z 6= 0.
Еще одно утверждение, которое мы сейчас сформулируем, будет доказано "попутно в процессе получения трех главных результатов этой главы.
Однако оно, по мнению автора, естественно дополняет сводку классификационных теорем 2.1 - 2.3 и представляет общематематический интерес, а
потому заслуживает отдельного упоминания.
ТЕОРЕМА 2.4. Размерность группы G аффинных преобразований,
транзитивно действующей на невырожденной вещественно-аналитической гиперповерхности пространства C2 , удовлетворяет двухсторонней
оценке
3 ≤ dimR G ≤ 5.
(2.1)
Замечание. В этой теореме речь идет о размерности максимальной
группы, транзитивно действующей на однородной поверхности. Как мы увидим ниже, имеются ситуации, в которых транзитивность действия сохраняется и у собственных подгрупп максимальных групп.
§2.2. Однородные поверхности с нулевой квадратичной
частью
Основной задачей этого параграфа является доказательство теоремы
2.1, сформулированной выше и содержащей описание аффинно-однородных
52
гиперповерхностей, канонические уравнения которых
X
2
3
2
2
3
Fk (z, z̄, u)
v = |z| + (f300 z + f210 z z̄ + f120 z z̄ + f030 z̄ ) +
(2.2)
k≥4
свободны от квадратичной части.
Мы начнем обсуждение таких поверхностей с того, что перепишем основную систему девяти уравнений из предложения 1.7 с учетом упрощений
ε = 0,
α = 0,
возникающих в обсуждаемой ситуации.
Имеем здесь систему :
Вес 0: (0,0,0):
Re(q 2i ) = 0,
Вес 1: (1,0,0):
iB1 + 2p̄ = 0,
Вес 2: (2,0,0):
3f300 p + f210 p̄ + f201 q = 0,
(1,1,0):
(2A11 − B21 ) + (2f210 p + 2f120 p̄ + f111 q) = 0,
(0,0,1):
−B22 + 2f002 q = 0,
Вес 3: (3,0,0):
(2,1,0):
1
2 f201 B1
+ f300 (3A1 − B21 ) + (4f400 p + f310 p̄ + f301 q) = 0,
−iĀ2 + f210 (2A1 + Ā1 − B21 )+
+ 12 (f111 B1 + f201 B̄1 ) + (3f310 p + 2f220 p̄ + f211 q) = 0,
(1,0,1): Ā2 + f002 B1 + (2f201 p + f111 p̄ + 2f102 q) = 0,
Вес 4: (0,0,2):
f002 B21 + (f102 p + f012 p̄ + 3f003 q) = 0.
Первое содержательное утверждение об однородных поверхностях такого класса связано с оценкой размерности соответствующих этим поверхностям групп и алгебр Ли.
Предложение 2.1. В семействе аффинно-однородных гиперповерхностей, задаваемых каноническими уравнениями без квадратичной части,
оценка (2.1), т.е.
dimR g(M ) ≤ 5
является точной. В этом семействе имеется единственный представитель с 5-мерной алгеброй g(M ), а именно поверхность
v = |z|2 .
(2.3)
Для доказательства предложения 2.1 обратим внимание, прежде всего,
на (2,0,0)-уравнение основной системы, имеющее в нашем случае вид
3f300 p + f210 p̄ + f201 q = 0.
53
(2.4)
Для однородной поверхности параметры p, q алгебры g(M ) являются
свободными. Тогда из (2.4) следует равенство нулю всех трех коэффициентов, входящих в это уравнение:
f300 = 0,
f210 = 0,
f201 = 0.
(2.5)
Точно так же из (3,0,0)-уравнения (с учетом первого и третьего равенств (2.5)) теперь получаются условия
f400 = 0,
f310 = 0,
f301 = 0.
(2.6)
Далее нам потребуются еще 4 уравнения из основной системы. С учетом
уже полученных упрощений они имеют вид:
(1,0,0):
B1 = 2ip̄,
(1,1,0):
A11 = (B21 + f111 q)/2,
(0,0,1):
B22 = 2f002 q,
(1,0,1):
A2 = 2if002 p − (f111 p + 2f102 q).
Простой вывод, получаемый из этих уравнений, состоит в том, что через параметры
векторного поля легко выражаются все элементы мат pиq
A1 A2
, кроме вещественных коэффициентов A12 = Im A1
рицы e =
B1 B2
и B21 = Re B2 . Это означает, что произвольное линейное векторное поле,
касательное к однородной поверхности M , определяется не более чем пятью
вещественными параметрами
p, q, A12 , B21 .
Теперь обсудим необходимые условия на рассматриваемые 5-мерные
алгебры g(M ) и коэффициенты канонических уравнений соответствующих
гиперповерхностей.
Например, исключая из (2,1,0)- и (1,0,1)-уравнений основной системы
параметр Ā2 , легко получить следующие ограничения на коэффициенты
канонического уравнения однородной поверхности
2(−f002 + if111 + f220 ) = 0,
f211 + 2if102 = 0.
В частности, отсюда следует, что
f111 = 0,
а базис любой из обсуждаемых 5-мерных алгебр можно записать в





0 2if002 1
0 −2f002 i
0 −2f012
E1 =  2i
0
0  , E2 =  2
0
0  , E3 =  0 2f002
0
0
0
0
0
0
0
0
54
(2.7)
виде:

0
1 ,
0


i 0 0
E4 =  0 0 0  ,
0 0 0


1 0 0
E5 =  0 2 0  .
0 0 0
(2.8)
Здесь и в дальнейших рассмотрениях после получения "грубых схем"
для базисов обсуждаемых алгебр мы проверяем условие замкнутости этих
"алгебр" относительно скобки. Во всех случаях такая проверка является
чисто технической операцией, приводящей, тем не менее, к важным заключениям. В обсуждаемой ситуации так получается следующее утверждение.
ЛЕММА 2. Набор матриц (2.8) является базисом матричной алгебры
лишь в случае f012 = f002 = 0. При этом базис алгебры имеет вид






0 0 1
0 0 i
0 0 0
E1 =  2i 0 0  , E2 =  2 0 0  , E3 =  0 0 1  ,
(2.9)
0 0 0
0 0 0
0 0 0

1 0 0
E5 =  0 2 0  .
0 0 0


i 0 0
E4 =  0 0 0  ,
0 0 0

Остается проинтегрировать эту алгебру. Для этого можно рассмотреть
систему пяти уравнений в частных производных, соответствующих базисным полям (2.9):
∂F
∂F
− 2y
= 2x,
∂x
∂u
−y
∂F
∂F
+x
= 0,
∂x
∂y
∂F
∂F
+ 2x
= 2y,
∂y
∂u
x
∂F
= 0,
∂u
∂F
∂F
∂F
+y
+ 2u
= 2F.
∂x
∂x
∂u
Легко видеть, что единственным решением F (z, z̄, u) этой системы уравнений, удовлетворяющим условию F (0, 0, 0) = 0, является функция
F = |z|2 = x2 + y 2 .
Значит, искомая поверхность, действительно, задается уравнением (2.3).
Поверхность (2.3) является исключительно "симметричной и потому ее
относительно легко обнаружить. Основная сложность при описании однородных поверхностей заключается в нахождении всех остальных, не являющихся исключительными, многообразий. В рамках нашего подхода к задаче
в большинстве ее частных случаев важную роль играет обращение в ноль
коэффициента f002 из канонического уравнения обсуждаемых поверхностей
или его отличие от нуля.
55
Так, при f002 6= 0 из (0,0,2)-уравнения основной системы можно выразить через тройку p, p̄, q параметр B21 . Это означает, что для однородных
поверхностей с ненулевым коэффициентом f002 размерность алгебры g(M )
не превышает 4.
Кроме того, имеет место следующий факт.
Предложение 2.2. В пространстве C2 cуществует единственная (с
точностью до аффинных преобразований) аффинно-однородная невырожденная по Леви гиперповерхность, каноническое уравнение которой имеет
нулевую квадратичную часть и нулевой коэффициент f002 , а именно, поверхность (2.3).
Доказательство. Во-первых, напомним, что для поверхностей с нулевой
квадратичной частью в каноническом уравнении мы получили следующие
формулы:
B22 = 2f002 q, A2 = 2if002 p − 2f102 q.
(2.10)
Рассмотрим теперь (0,0,2)-уравнение, т.е.
f002 B21 + (f102 p + f012 p̄ + 3f003 q) = 0.
(2.11)
Если для некоторой однородной поверхности (с нулевой квадратичной
частью) выполняется равенство f002 = 0, то из (2.11) следует, что
f102 = 0,
f003 = 0.
(2.12)
Подставляя (2.12) в (2.10), получим равенства
B22 = 0,
A2 = 0,
справедливые для слабо вырожденной аффинно-однородной поверхности с
нулевым коэффициентом f002 . Напомним, что эти же равенства под номером
(1.71) обсуждались в первой главе. Теперь доказательство предложения 2.2
завершается ссылкой на предложение 1.9 из главы 1.
Вернемся к случаю f002 6= 0 для поверхностей с нулевой квадратичной
частью.
f002
Замечание. Растяжением переменных (1.28) ненулевой коэффициент
можно превратить в этом случае в ±1.
Для описания однородных поверхностей с f002 = λ = ±1 и 4-мерными
алгебрами g(M ) рассмотрим базис любой из таких алгебр. В силу (0,0,2)компоненты основного тождества в этом случае
B21 = −λ(f102 p + f012 p̄ + 3f003 q).
56
(2.13)
Поэтому свободным в 4-мерной алгебре помимо параметров p, q является вещественный параметр A12 = ImA1 . Учитывая полученную выше информацию о коффициентах канонического уравнения M и вводя еще обозначения
s = Ref102 , t = Imf102 , µ = f003 ,
(2.14)
имеем здесь "базис" следующего вида:




−λs 2iλ 1
λt −2λ i
E1 =  2i −2λs 0  , E2 =  2 2λt 0  ,
(2.15)
0
0
0
0
0 0




−3λµ/2 −2(s − it) 0
i 0 0
E3 = 
0
(2iλ − 3λµ/2) 1  , E4 =  0 0 0  .
0
0
0
0 0 0




0 2i(s − it) 0
8iλ
0
0
Cкобки [E3 , E4 ] =  0
0
0  и [E1 , E2 ] =  0 −8iλ −4 
0
0
0
0
0
0
приводят к выводу о вещественной пропорциональности чисел 2i(s − it) и
−2(s − it) и о равенстве
3
−8iλ = 4(−2iλ + λµ).
2
Следовательно, о замкнутости линейной оболочки матриц (2.15) можно
говорить лишь при выполнении необходимых условий
s = 0,
t = 0,
µ = 0.
(2.16)
Эти условия, как несложно убедиться, оказываются также (независимо
от значения λ = ±1) достаточными для того, чтобы получаемый из (2.15)
упрощенный набор матриц




0 2iλ 1
0 −2λ i
E1 =  2i 0 0  , E2 =  2 0 0  ,
(2.17)
0 0 0
0 0 0




0 0 0
i 0 0
E3 =  0 2iλ 1  , E4 =  0 0 0  .
0 0 0
0 0 0
был базисом 4-мерной алгебры. Коммутационные соотношения в этих двух
алгебрах имеют вид:
[E1 , E2 ] = −4E3 + 8λE4 ,
[E1 , E3 ] = 2λE2 ,
57
[E1 , E4 ] = −E2 ,
[E2 , E3 ] = −2λE1 ,
[E2 , E4 ] = E1 ,
[E3 , E4 ] = 0.
Предложение 2.3. Интегральные многообразия, отвечающие 4-мерным алгебрам (2.10), задаются (с точностью до аффинных преобразований) уравнениями:
λ = 1 : |z|2 + |w|2 = 1,
(2.18)
λ = −1 : |z|2 − |w|2 = 1.
(2.19)
В обсуждаемом случае ε = 0 остается еще рассмотреть возможность существования однородных поверхностей с 3-мерными алгебрами.
В силу предыдущих обсуждений необходимым условием 3-мерности алгебры g(M ) является неравенство λ = f002 6= 0. При этом коэффициент B21
любого векторного поля выражается через тройку свободных параметров
(p, q) по известной уже формуле (2.13). А коэффициент A12 , остававшийся
не связанным в наших рассуждениях выше, должен в этом случае принимать некоторые фиксированные (вещественные) значения при каждой фиксации значений тройки (p, q).
Обозначим в связи с этим через α значение коэффициента A12 при
условии p = 1, q = 0, через β - значение того же коэффициента A12 при
условии p = i, q = 0, а через γ - значение A12 при условии p = 0, q = 1.
Тогда базис гипотетической 3-мерной алгебры, матричные элементы
которого удовлетворяют выписанным выше условиям случая нулевой квадратичной части, имеет в соответствии с (2.15) вид:




(λt + iβ) −2λ i
(−λs + iα) 2iλ 1
2
2λt 0  ,
2i
−2λs 0  , E2 = 
E1 = 
0
0
0
0
0 0


(−3λµ/2 + iγ) −2(s − it) 0
E3 = 
0
(2iλ − 3λµ/2) 1  .
(2.20)
0
0
0
ЛЕММА 3. Если матрицы (2.20) образуют базис 3-мерной алгебры, то
входящие в них коэффициенты s, t, µ равны нулю. При этом набор (α, β, γ, λ)
остальных параметров, входящих в (2.20), имеет один из двух следующих
видов:
а) α = 0, β = 0, γ = −2λ, λ = ±1;
б) λ = −1, γ = −2, α = 4 cos ϕ, β = 4 sin ϕ (ϕ ∈ [0, 2π)).
Предложение 2.4. Интегральными многообразиями для алгебр (2.13),
удовлетворяющих условиям а) или б) леммы 2, являются (с точностью
до аффинной эквивалентности) все те же поверхности (2.18) и (2.19).
58
Доказательство предложения 2.4 можно получить, заметив, что каждая
из этих алгебр является подалгеброй одной из двух 4-мерных алгебр (2.12)
при λ = ±1 соответственно.
После этого остается сослаться на предложение 1.11 первой главы.
§2.3. Поверхности трубчатого типа
Полное описание аффинно-однородных поверхностей трубчатого типа
приведено в теореме 2.2. Данный параграф посвящен ее доказательству.
Сначала мы обсудим некоторые простейшие утверждения, вытекающие
из основной системы девяти уравнений в случае, соответствующем ε = 1/2.
Эти уравнения имеют вид:
Вес 0: (0,0,0):
Re(q 2i ) = 0,
Вес 1: (1,0,0):
iB1 + 2(p + p̄) + 2iαq = 0,
Вес 2: (2,0,0):
A1 − 12 B21 − 2i αB1 + (3f300 p + f210 p̄ + f201 q) = 0,
(1,1,0):
(2A11 − B21 ) + αB12 + (2f210 p + f120 p̄ + f111 q) = 0,
(0,0,1):
−B22 + 2f002 q + iα(p − p̄) = 0,
Вес 3: (3,0,0):
i
2 (A2
− Ā2 ) + 12 f201 B1 + f300 (3A1 − B21 )+
+(4f400 p + f310 p̄ + f301 q) = 0,
(2,1,0):
3i
1
2 (A2 − Ā2 ) + f210 (2A1 + Ā1 − B21 ) + 2 (f111 B1 − f201 B̄1 )+
+(3f310 p + 2f220 p̄ + f211 q) = 0,
(1,0,1):
Вес 4: (0,0,2):
(A2 + Ā2 ) + f002 B1 + iαA1 + (2f201 p + f111 p̄ + 2f102 q) = 0,
f002 B21 − 2αA22 + (f102 p + f012 p̄ + 3f003 q) = 0.
Напомним еще предложение 1.8 из предыдущей главы, утверждающее,
что при ε 6= 0 справедливы (выводимые из (2,0,0)- и (1,1,0)-уравнений) следующие ограничения на коэффициенты канонических уравнений.
1
f300 = (4εf210 − f120 ),
Ref201 = εf111 .
3
Учтем теперь, что при ε = 12 коэффициент f210 канонического уравнения (1.29) обсуждаемой поверхности является чисто мнимым. Подставляя в
обе выписанные формулы равенство ε = 1/2, а также учитывая сопряженность друг другу чисто мнимых коэффициентов f210 и f120 , получим первое
утверждение о поверхностях трубчатого типа.
59
Предложение 2.5. Для коэффициентов однородной поверхности трубчатого типа выполнены равенства
f300 = f210 ,
f111 = 2Ref201 .
(2.21)
Замечание. Многочлен третьей степени
(0)
F3 (z, z̄) = f300 z 3 + f210 z 2 z̄ + f120 z z̄ 2 + f030 z̄ 3
из канонического уравнения (1.29) обсуждаемой поверхности можно записать в этом случае в виде
(0)
F3 (z, z̄) = f210 (z 3 + z 2 z̄ − z z̄ 2 − z̄ 3 ) = f210 (z 2 (z + z̄) − (z + z̄)z̄ 2 ) =
= f210 (2x)(4ixy) = 8if210 x2 y,
где x = Rez, y = Imz.
2.3.1. Коэффициентные запреты на однородность
Из выписанной системы девяти уравнений в некоторых случаях можно
выразить все элементы матрицы e через параметры p, p̄, q. Такая ситуация означает, что размерность алгебры линейных векторных полей на изучаемой поверхности не превосходит 3. Например, справедливо следующее
утверждение.
Предложение 2.6. При выполнении условия α = 1 для афинно-однородной поверхности M трубчатого типа размерность алгебры g(M ) не
превышает 3.
Док-во следует из выписанной выше основной системы. Так, при ε =
1/2 и α = 1 пять уравнений из девяти примут вид:
(1, 0, 0) :
B1 = 2i(p + p̄) − 2q
1
i
A1 = B21 − B1 − (3f300 p + f210 p̄ + f201 q),
2
2
B22 = i(p − p̄) + 2f002 q,
(2, 0, 0) :
(0, 0, 1) :
(1, 0, 1) :
(0, 0, 2) :
(2.22)
2A21 + f002 B1 + iA1 + (2f201 p + f111 p̄ + 2f102 q) = 0,
2A22 = f002 B21 + (f102 p + f012 p̄ + 3f003 q).
Подставляя первое и второе уравнения этой системы в четвертое уравнение, мы получим в итоге формулу
i
2A21 + B21 = Dp + E p̄ + rq
2
60
с некоторыми (комплексными) коэффициентами D, E, r. Громоздкие точные выражения для них нам здесь не потребуются. Достаточно лишь заметить, что из вещественной и мнимой частей последнего уравнения коэффициенты A21 и B21 также выражаются линейным образом через параметры
p, p̄, q.
С учетом третьего и пятого уравнений обсуждаемой системы все элементы матрицы e выражаются через те же параметры p, p̄, q. А это и означает требуемую оценку размерности для алгебры векторных полей.
Предложение 2.7. Не существует однородных поверхностей трубчатого типа (ε = 1/2), удовлетворяющих условию α = 1.
Предположим, что имеется некоторая вещественная аффинно-однородная гиперповерхность трубчатого типа, в каноническом уравнении которой
коэффициент α = 1. Тогда матричное представление алгебры линейных
векторных полей на этой поверхности удовлетворяет ограничениям, полученным в предложении 2.6.
В частности, учитывая простейшие из уравнений системы (2.22), базис
этой алгебры, отвечающий "стандартным" векторам (p, q), т.е. (1, 0), (i, 0),
(0, 1), можно записать в виде






M3 N3 0
M2 N2 i
M1 N1 1
E1 =  4i T1 0  , E2 =  0 T2 0  , E3 =  −2 T3 1  .
0 0 0
0 0 0
0 0 0
(2.23)
Здесь в силу (0,0,1)-уравнения системы (2.22) можно еще считать, что
ImT1 = 0,
ImT2 = −2.
(2.24)
ЛЕММА 4. Не существует матричной алгебры Ли с базисом (2.23).
Отметим, что доказательство этой леммы было получено при помощи
пакета символьной математики MAPLE. Допуская существование такой алгебры, можно утверждать, что скобки [E1 , E2 ], [E1 , E3 ], [E2 , E3 ] разлагаются
по базису (2.23) с некоторыми вещественными коэффициентами. Однако
большая система нелинейных уравнений относительно коэффициентов матриц (2.23) и гипотетических коэффициентов разложений трех скобок оказывается несоместной.
Детали рассмотрения этой системы, как и многих аналогичных систем,
связанных с другими случаями однородности, мы здесь не приводим. Отметим лишь, что в 21 веке использование для таких вычислений компьютерных программ символьной математики явлется естественным. Впрочем,
как в обсуждаемой в данной монографии задаче, так и во многих других
61
вопросах "чистой" математики, такое применение носит достаточно ограниченный характер.
2.3.2. Однородные поверхности, не допускающие жестких
уравнений
Перейдем к рассмотрению случая α = 0. Здесь, в отличие от случая
α = 1 выписанная система из пяти уравнений, аналогичная (2.22), имеет
несколько измененный вид:
(1, 0, 0) :
B1 = 2i(p + p̄),
1
A1 = B21 − (3f300 p + f210 p̄ + f201 q),
2
(0, 0, 1) : B22 = 2f002 q,
(2, 0, 0) :
(2.25)
(1, 0, 1) :
2A21 + f002 B1 + (2f201 p + f111 p̄ + 2f102 q) = 0,
(0, 0, 2) :
f002 B21 + (f102 p + f012 p̄ + 3f003 q) = 0.
Напомним, что при ε = 1/2 коэффициент f210 можно считать чисто
мнимым. А в случае α = 0 заменой z → −z его можно перевести в состояние
f210 = it, t ≥ 0.
(2.26)
Этот коэффициент, а также f002 наиболее важны в обсуждаемом случае
ε = 1/2, α = 0.
Мы начнем с рассмотрения случая f002 6= 0. Ясно, что каноническое
уравнение с таким свойством не является жестким. При этом условии можно разрешить (0,0,2)-уравнение системы (2.25) относительно коэффициента
B21 . Для удобства дальнейших выкладок отметим, что в этом случае растяжением координат
z → sz,
w → s2 w (s > 0)
коэффициент f002 можно превратить в ±1, сохраняя условия ε = 1/2, α = 0,
а также условие неотрицательности параметра t в формуле (2.26). Обозначим для краткости f002 через λ. Тогда (0,0,2)-уравнение можно записать в
виде
B21 = −λ(f102 p + f012 p̄ + 3f003 q).
62
Дополним систему (2.25) еще одним, (3,0,0)-уравнением, имеющим вид
1
A22 = f201 B1 + f300 (3A1 − B21 ) + (4f400 p + f310 p̄ + f301 q).
2
(2.27)
Тогда, как легко видеть в этом случае, все коэффициенты произвольного векторного поля, касательного к поверхности M , выражаются из уравнений (2.25), (2.27) через параметры p, q этого поля. Это означает, что размерность алгебры g(M ) для однородной поверхности M , удовлетворяющей
ограничениям
ε = 1/2, α = 0, f002 = λ = ±1,
(2.28)
может принимать только значение 3.
Предложение 2.8. Если коэффициенты канонического уравнения аффинно-однородной поверхности M удовлетворяют ограничениям (2.28),
то:
1) λ = −1,
2) алгебра g(M ), соответствующая каноническому виду уравнения
этой поверхности, имеет базис




2t (2 + iρt) i
2ρ − 4it −ρt − 2i(1 + ρ2 ) 1
0
0 ,
4i
4ρ
0  , E2 =  0
E1 = 
0
0
0
0
0
0


−(2 + iρt) −ρ(2 + iρt) 0
(2.29)
0
−i(2 + 3iρt) 1  ,
E3 = 
0
0
0
√
где ρ - вещественный параметр, t = 2.
Для доказательства первой части сформулированного утверждения нам
потребуются некоторые конкретные формулы, получаемые указанным выше способом и связывающие коэффициенты векторных полей на изучаемых
однородных гиперповерхностях. Например, из (2.25) получаем
B1 = 2i(p + p̄),
B2 = B21 + iB22 = −λ(f102 p + f012 p̄) + λ(−3f003 + 2i)q,
1
1
3
A1 = −( λf102 + 3f300 )p − ( λf012 + f210 )p̄ − ( λf003 + f201 )q.
2
2
2
Чрезмерно громоздкое выражение для коэффициента A2 = A21 + iA22
мы здесь не будем выписывать. Вместо этого обратим внимание на формулу
1
A21 = −(f201 + iλ)p − ( f111 + iλ)p̄ − f102 q,
2
63
(2.30)
получающуюся из (1,0,0)- и (1,0,1)-уравнений системы (2.25).
Из требования вещественности правой части этой формулы легко выводятся два условия:
a ) f102 ∈ R,
1
b ) f201 = −2iλ + f111 .
2
(2.31)
В дополнение к (2.26) введем обозначения
f102 = r ∈ R,
f003 = µ ∈ R,
f111 = ξ ∈ R.
(2.32)
Тогда
1
1
3
1
A1 = −( λr + 3it)p − ( λr + it)p̄ − ( λµ + ξ − 2iλ)q,
2
2
2
2
B1 = 2i(p + p̄),
(2.33)
B2 = −λr(p + p̄) + λ(−3µ + 2i)q.
Теперь мы рассмотрим базисные матрицы E1 , E2 , E3 гипотетической
алгебры g(M ), отвечающие "стандартным" векторам (p, q), т.е. (1, 0), (i, 0),
(0, 1). В силу формул (2.33) эти матрицы имеют вид






M3 N3 0
M1 N1 1
M2 N2 i
E1 =  4i T1 0  , E2 =  0 T2 0  , E3 =  0 T3 1  .
0 0 0
0 0 0
0 0 0
(2.34)
или в более развернутой форме




−λr − 4it N1 1
2t N2 i
4i
−2λr 0  , E2 =  0 0 0  ,
E1 = 
0
0
0
0 0 0


(− 23 λµ − 21 ξ + 2iλ)
N3
0
E3 = 
0
λ(−3µ + 2i) 1  .
(2.35)
0
0
0
Далее, используя предварительные сведения (2.34) о базисных матрицах изучаемой алгебры, можно уточнять полученную информацию. Воспользуемся для этого требованием замкнутости относительно матричной
скобки для линейной оболочки < E1 , E2 , E3 >. Например, скобка


−4iN2 (λr − 4it)N2 − 2tN1 2t − iλr
[E1 , E2 ] =  8it
4iN2
−4 
(2.36)
0
0
0
64
должна разлагаться по базису E1 , E2 , E3 . Из расмотрения (1,3)- и (2,3)элементов выписанной матрицы легко вычисляются коэффициенты такого
разложения. Здесь
α1 = 2t, α2 = −λr, α3 = −4
являются коэффициентами при E1 , E2 , E3 соответственно, т. что выполняется равенство
[E1 , E2 ] − 2tE1 + λrE2 + 4E3 = 0.
(2.37)
Рассматривая (1,1)- и (2,2)-элементы полученного матричного равенства,
приходим к системе следующих двух уравнений:
3
1
−4iN2 + 2t(λr + 4it) + λr · 2t + 4(− λµ − ξ + 2iλ) = 0,
2
2
4iN2 − 2t(−2λr) + 4(−3λµ + 2iλ) = 0.
Эта система позволяет легко получить новое соотношение на параметры, входящие в базисные матрицы, а именно
8λrt + 8it2 − 18λµ − 2ξ + 16iλ = 0.
Отделяя здесь вещественную и мнимую части, получим
ξ = λr(4tr − 9µ),
t2 + 2λ = 0.
Последнее равенство возможно лишь при
√
λ = −1, t = 2.
Тем самым, первая часть предложения 2.8 доказана. Рассмотрение всех
оставшихся элементов матричного уравнения (2.37), а также аналогичных
уравнений, соответствующих разложениям скобок [E1 , E3 ] и [E2 , E3 ] позволяет завершить доказательство предложения 2.8. Ясно, однако, что объем
таких вычислений достаточно велик, и потому все необходимые выкладки
мы здесь не приводим.
Отметим лишь, что процедура решения большой системы (2.37) квадратичных уравнений относительно неизвестных коэффициентов матриц оказывается сводимой к последовательному разрешению отдельных уравнений,
являющихся по сути линейными относительно искомых неизвестных величин.
Для получения явных уравнений однородных поверхностей, соответствующих алгебрам (2.35), остается проинтегрировать эти алгебры.
65
Предложение 2.9. Если вещественная аффинно-однородная гиперповерхность M имеет алгебру вида (2.29), то M аффинно-эквивалентна
одной (и только одной) из поверхностей однопараметрического семейства
Re(z w̄) = |z|eBargz , B ∈ R, z 6= 0.
(2.38)
Процедура интегрирования семейства матричных алгебр (2.29), подробно описанная в статье [70], повторяет общую схему серии работ [67], [33], [31],
[32], [37]:
1) сначала подбирается алгебра, подобная изучаемой, но имеющая "более удобный для интегрирования" базис;
2) затем строится вещественная система дифференциальных уравнений
в частных производных, все уравнения которой являются расшифровками
основного соотношения для базисных полей интегрируемой алгебры;
3) уравнения этой системы поочередно интегрируются с уменьшением
на каждом шаге числа уравнений и числа независимых (возможно, измененных) переменных в системе;
4) на последнем шаге от системы уравнений в частных производных
остается одно обыкновенное дифференциальное уравнение. Его общее решение зависит, как известно, от одного вещественного параметра. Однако,
начальное условие, связанное с требованием принадлежности начала координат пространства C2 обсуждаемой однородной поверхности, позволяет
восстановить ее по алгебре единственным образом.
Если при этом каноническое уравнение изучаемой поверхности из рассматриваемого класса обладает свойством единственности (например, за
счет каких-либо ограничений на коэффициенты), то никакие однородные
поверхности из других классов не могут быть аффинно эквивалентны именно этой поверхности, получаемой в результате интегрирования соответствующей конкретной алгебры.
Мы опускаем здесь технические детали, связанные с получением семейства поверхностей (2.38).
66
2.3.3. Аффинно-однородные жесткие поверхности,
не сводимые к трубкам
Рассмотрения предыдущего параграфа были связаны с ненулевым коэффициентом f002 . Теперь мы допустим равенство нулю этого коэффициента. Тогда в каноническом уравнении обсуждаемой однородной поверхности
возможны уточнения, связанные с другими коэффициентами. Например,
вместо ограничения (2.26) за счет все тех же растяжений координат (1.28)
можно получить более жесткое условие
f210 ∈ {i, 0}.
(2.39)
Рассмотрим подслучаи, связанные с двумя возможностями (2.39).
Предложение 2.10. Если коэффициенты канонического аффинного
уравнения аффинно-однородной гиперповерхности M ⊂ C2 удовлетворяют
ограничениям
ε = 1/2, α = 0, f002 = 0, f210 = i,
то M аффинно экивалентна одной из поверхностей семейства
v = |z|eB arg z , B ∈ R.
Для доказательства из основной системы девяти уравнений выделим
пять. С учетом условий доказываемого предложения (1,0,0)-, (2,0,0)-, (0,0,1), (1,0,1)-, (3,0,0)-уравнения имеют вид:
(1,0,0):
iB1 + 2(p + p̄) = 0,
(2,0,0):
A1 − 12 B21 + (3f300 p + f210 p̄ + f201 q) = 0,
(0,0,1):
B22 = 0,
(1,0,1):
(A2 + Ā2 ) + (2f201 p + f111 p̄ + 2f102 q) = 0,
(3,0,0): 2i (A2 − Ā2 )+ 12 f201 B1 +f300 (3A1 −B21 )+(4f400 p+f310 p̄+f301 q) = 0.
С учетом равенства f300 = f210 = i легко видеть, что из (2,0,0)- и (3,0,0)уравнений выражаются через p, p̄, q параметры A22 , B21 и A1 векторного
поля. Так как B22 , A21 и B1 определяются аналогично, но более прозрачным
образом, это означает справедливость оценки
dim g(M ) ≤ 3.
Параллельно с оценкой из этих же уравнений получается и "грубая
67
схема" для базиса изучаемой матричной алгебры


(−µ − 4y − t − 4i) −µ + i(12 + 4x + s) 1
E1 = 
4i
−2µ − 2(4y + t)
0 ,
0
0
0


(−4 − 4x + s)
i(−4y + t)
i
E2 = 
0
−12 − 2(4x − s) 0  ,
0
0
0


(µ − η)
iξ
0
E3 = 
0
(3µ − 2η) 1  .
0
0
0
(2.40)
Здесь f111 = µ ∈ R, а
f400 = x + iy, f310 = s + it, f301 = ξ + iη
- разложения на мнимые и вещественные части других вошедших в базисные
матрицы коэффициентов канонического уравнения.
Рассмотрение (с использованием пакетов символьных вычислений) скобок для матриц из выписанного набора приводит к следующему техническому утверждению.
ЛЕММА 5. Набор матриц (2.40) образует базис алгебры Ли тогда и
только тогда, когда
1
5
1
t = 0, y = 0, ξ = 0, η = 2µ, s = −2 − µ2 , x = − − µ2 .
4
2 16
При этом

E1 = 

4
E2 =  0
0
(−µ − 4i) −µ − iµ2 /2 1
4i
−2µ
0
0
0
0


0 i
−µ 0
4 0  , E3 =  0 −µ
0 0
0
0

,
(2.41)

0
1 ,
0
а коммутационные соотношения для базисных матриц имеют вид
µ2
[E1 , E2 ] = −µE2 − 4E3 , [E1 , E3 ] = − E2 − 2µE3 , [E2 , E3 ] = µE2 + 4E3 .
2
Далее полученное 1-параметрическое семейство алгебр необходимо проинтегрировать. Для удобства перейдем к подобным алгебрам. Например,
68
при µ 6= 0 подобие с матрицей


−2i + µ µ
−i/6
S=
2i
−4i 1/(3µ) 
0
0
1
превращает алгебру с базисом (2.41) в новую алгебру, базисом которой являются матрицы






1 0 0
i
0 0
0 0 0
E1 =  0 1 0  , E2 =  0 3µ/4 0  , E3 =  0 0 1  .
(2.42)
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Замечание. Образами матриц (2.41) при подобии Ek → S −1 Ek S являются линейные комбинации с вещественными коэффициентами матриц
(2.42)
Утверждение об интегрировании алгебр несколько более общего вида,
чем (2.42), сформулируем в виде следующей леммы.
ЛЕММА 6.

1 0
E1 =  0 C
0 0
Интегральным многообразием алгебры с базисом





0
i 0 0
0 0 0
0  , E2 =  0 D 0  , E3 =  0 0 1  , C, D ∈ R
0
0 0 0
0 0 0
(2.43)
2
вблизи произвольной точки (z0 , w0 ) ∈ C (z0 6= 0) является либо вещественная гиперплоскость v = 0 (если Imw0 = 0), либо (с точностью до аффинных
преобразований) жесткая поверхность
v = |z|C eDargz .
(2.44)
Доказательство.
Наличие в обсуждаемой алгебре поля E3 = ∂/∂w означает, как обычно,
выполнение условия ∂F /∂u = 0 для уравнения v = F (z, z̄, u) искомой интегральной поверхности или ее жесткость. Функцию F (z, z̄), определяющую
эту поверхность, можно тогда определить из системы
Re(E1 (Φ))M = 0,
Re(E2 (Φ))M = 0.
В вещественных координатах два этих уравнения имеют вид
x
∂F
∂F
+y
= CF,
∂x
∂y
−y
69
∂F
∂F
+x
= DF.
∂x
∂y
(2.45)
Общее решение первого из этих уравнений имеет (при x > 0 ) вид
y C
F =x ϕ
,
x
где ϕ - произвольная аналитическая функция одного переменного.
Подставляя эту формулу во второе уравнение системы (2.45), получим
y 2 C
x 1+
ϕ0 − CxC−1 yϕ = DxC ϕ
x
или при t = y/x
(1 + t2 )ϕ0 = (D + Ct)ϕ.
Общим решением последнего ОДУ является функция
ϕ(t) = R(1 + t2 )C/2 eDarctg(t)
с произвольным вещественным множителем R.
Возвращаясь к исходным комплексным обозначениям, получим уравнение искомой поверхности в виде
v = R|z|C eargz .
(2.46)
Внося минимальные изменения в проведенные рассуждения, можно
прийти к аналогичной формуле и в случае x < 0, а также при x = 0,
но y 6= 0.
Остается заметить, что нулевое значение множителя R в формуле (2.46)
дает в качестве искомой интегральной поверхности вещественную гиперплоскость, а деление на ненулевой множитель R переменной w приводит к
уравнению (2.44). Лемма 6 доказана.
Применяя ее основное утверждение о Леви-невырожденных поверхностях к алгебре (2.42), получаем требуемое в предложении 2.10 уравнение
поверхности
v = |z|e(−3µ/4)argz
при µ 6= 0.
Случай µ = 0 сводится аналогичными рассмотрениями к уравнению
поверхности
v = |z|.
(2.47)
Случай предложения 2.10 разобран полностью.
70
2.3.4. Оценка размерности алгебры g(M ) для поверхностей
трубчатого типа
До сих пор при обсуждении поверхностей трубчатого типа мы не затрагивали вопрос об общей для этого типа оценке размерности алгебры g(M ).
Теперь мы такую оценку зафиксируем и конкретизируем. Но сначала отметим, что в уже рассмотренных подслучаях основного условия ε = 1/2 эта
размерность равнялась 3.
Продолжая построение коэффициентной классификации однородных
гиперповерхностей, мы должны рассмотреть теперь случай
f210 = 0.
(2.48)
В такой ситуации основная система девяти уравнений приводит к существенному упрощению как многих других коэффициентов канонического уравнения, так и матричного представления алгебры g(M ). Например,
справедливо следующее утверждение.
Предложение 2.11. Если для коэффициентов канонического уравнения аффинно-однородной вещественной поверхности трубчатого типа
(ε = 1/2) пространства C2 выполняются условия
α = 0,
f002 = 0,
f210 = 0,
(2.49)
то для коэффициентов f400 , f201 , f102 , f003 этого же уравнения справедливы
также дополнительные ограничения
f400 ∈ R, f201 ∈ R,
f102 = 0, f003 = 0.
(2.50)
Для доказательства этого утверждения рассмотрим 4 уравнения из основной системы, а именно (3,0,0)-, (2,1,0)-, (1,0,1)- и (0,0,2)-уравнения. В
обсуждаемых условиях они имеют вид
1
−A22 + f201 B1 + (4f400 p + f310 p̄ + f301 q) = 0,
2
1
−3A22 + (f111 B1 + f201 B̄1 ) + (3f310 p + 2f220 p̄ + f211 q) = 0,
2
(1, 0, 1) : 2A21 + (2f201 p + f111 p̄ + 2f102 q) = 0,
(3, 0, 0) :
(2, 1, 0) :
(0, 0, 2) :
f102 p + f012 p̄ + 3f003 q = 0.
Последнее из них позволяет сделать вывод о равенстве нулю всех входящих в него коэффициентов канонического уравнения и, в частности, f102 .
71
Тогда (1,0,1)-уравнение упростится до
2A21 + (2f201 p + f111 p̄) = 0.
(2.51)
Выше мы уже использовали одно из свойств канонических уравнений
для поверхностей трубчатого типа, а именно, равенство f300 = f210 , полученное в предложении 2.5. Теперь напомним, что согласно этому предложению,
для обсуждаемых поверхностей выполняется еще одно условие на коэффициенты
f111 = 2Re(f201 ).
Подставляя это условие в (2.51) и учитывая вещественность A21 , приходим к выводу о вещественности и коэффициента f201 .
Теперь рассмотрим два оставшихся уравнения из выписанной четверки.
Отделяя в них мнимые части, получим:
1
Im( f111 B1 + ϕ1 ) = 0,
2
1
3Im( f111 B1 + ϕ2 ) = 0,
2
(2.52)
где через ϕ1 , ϕ2 обозначены соответственно
(4f400 p + f310 p̄ + f301 q) и (3f310 p + 2f220 p̄ + f211 q).
Подставляя одно в другое уравнения (2.52), придем к условию
Im((−12f400 − 2f220 + 3f310 + 3f310 )p − (−3f301 + f211 )q) = 0.
Из такого равенства следует, что оба коэффициента перед p и q в нем
равны нулю. В свою очередь заметим, что мнимая часть выражения
−12f400 − 2f220 + 3f310 + 3f310 ,
являющегося первым из этих коэффициентов, равна
−12Imf400 .
Это означает справедливость утверждения о вещественности коэффициента f400 . Предложение 2.11 доказано.
Предложение 2.12. Размерность алгебры g(M ) для аффинно однородной гиперповерхности трубчатого типа пространства C2 удовлетворяет оценке
dimR g(M ) ≤ 4.
72
Для доказательства рассмотрим (1,0,0)-, (2,0,0)-,(0,0,1)-, (3,0,0)- и (1,0,1)уравнения основной системы.
Из (1,0,0)-уравнения выражается через p, p̄, q параметр B1 любого векторного поля из алгебры g(M ). Из (3,0,0)- и (1,0,1)-уравнений выражаются,
соответственно, A22 = ImA2 и A21 = ReA2 .
Из (2,0,0)-компоненты основной системы параметр A1 выражается через набор p, p̄, q и B21 = ReB2 , а из (0,0,1)-компоненты получается формула
для B22 = ImB2 . Это означает, что набором свободных вещественных параметров алгебры g(M ) может быть лишь четверка (p, p̄, q, B21 ) либо стандартный триплет (p, p̄, q).
Предложение 2.13. В пространстве C2 cуществует единственная
(с точностью до аффинных преобразований) аффинно-однородная вещественная гиперповерхность трубчатого типа (ε = 1/2) c 4-мерной группой G(M ) (и алгеброй g(M )). Это - трубчатая квадрика
v = 2x2 .
(2.53)
Доказательство.
Во всех предыдущих рассмотрениях, как мы видели, алгебра g(M ) для
однородной поверхности могла быть только 3-мерной. Это означает, что 4мерная алгебра возможна лишь при выполнении рассматриваемых в данном
разделе ограничений
α = 0,
f002 = 0,
f210 = 0,
f400 , f201 ∈ R
(2.54)
на коэффициенты канонических уравнений поверхности.
Эти ограничения позволяют записать "грубую форму" базиса гипотетической 4-мерной алгебры в достаточно простом виде.




0 −4µ − 4iξ − Im + n 1
0 4ξ − m − in i
E1 =  4i
0
0  , E2 =  0
0
0 ,
0
0
0
0
0
0
(2.55)




−µ −irt 0
1 0 0



E3 =
0
0 1 , E4 = 0 2 0  .
0
0 0
0 0 0
Здесь для простоты во всех задействованных в матрицах коэффициентах канонического уравнения выделены вещественные и мнимые части, т.
что
f400 = ξ, f201 = µ f310 = m + in, f301 = r + it,
73
ξ, µ, m, n, r, t ∈ R. (2.56)
Отметим, что подобные формулы можно было выписать и раньше, но
без ограничений (2.49) они были бы гораздо сложнее.
Далее традиционное рассмотрение скобок матриц (2.55) приводит к
уточнению информации об этом "базисе". И хотя здесь приходится рассматривать, формально говоря, C42 = 6 скобок, последовательное рассмотрение
трех самых простых из них дает исчерпывающие необходимые сведения об
обсуждаемой алгебре.
Так, рассмотрение скобки [E3 , E4 ] приводит к ограничениям
µ = 0, r = 0, s = 0.
Подстановка их в скобки [E1 , E4 ] и [E1 , E2 ] дает условия
n = 0, m = −4ξ, ξ = 0.
Все вместе полученные ограничения упрощают набор (2.55) до состояния







1 0 0
0 0 0
0 0 i
0 0 1
E1 =  4i 0 0  , E2 =  0 0 0  , E3 =  0 0 1  , E4 =  0 2 0  .
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
(2.57)

Несложно проверяется, что поверхностью, касающейся в начале координат пространства C2 всех полей (2.57), является именно и только квадрика (2.53).
Замечание 1. Доказательство предложения 2.13 можно получить и
без обращения к матричным алгебрам, по уже рассмотренной выше (§§1.5,
2.2) схеме обнуления старших коэффициентов канонического уравнения.
Замечание 2. В обсуждаемом случае вещественный коэффициент f400
либо равен нулю, либо его можно привести стандартным растяжением координат в состояние
f400 = ±1.
В случае 4-мерной алгебры g(M ) этот коэффициент оказался нулевым.
После доказательства предложения 2.13 остается вопрос о существовании
других поверхностей (с 3-мерными алгебрами g(M )), канонические уравнения которых удовлетворяют ограничениям (2.56) и имеют нулевой коэффициент f400 .
Предложение 2.14. Единственной аффинно-однородной вещественной гиперповерхностью трубчатого типа, для коэффициентов канонического уравнения которой выполняются условия (2.56) и f400 = 0, является
квадрика (2.53).
74
Доказательство этого утверждения аналогично предыдущему рассмотрению. Предположим, что элементы базисных матриц 3-мерной алгебры
вычисляются по схеме предложения 2.11, но параметр B21 в этой алгебре
не является свободным. Его значения в трех базисных матрицах обозначим
через 2t1 , 2t2 , 2t3 соответственно. Тогда гипотетический базис такой алгебры
(в тех же обозначениях (2.56)) должен иметь вид




t1 −4µ − im + n 1
t2 −m − In i
E1 =  4i
2t1
0  , E2 =  0
2t2
0 ,
(2.58)
0
0
0
0
0
0


t3 − µ −Ir + s 0
E3 =  0
2t3
1 ,
0
0
0
Рассмотрение скобок этих матриц приводит (при допущении замкнутости линейной оболочки < E1 , E2 , E3 > относительно этой операции) к
следующему базису алгебры






0 0 0
t2 0 i
t1 0 1
(2.59)
E1 =  4i 2t1 0  , E2 =  0 2t2 0  , E3 =  0 0 1 
0 0 0
0 0 0
0 0 0
и коммутационным соотношениям в ней
[E1 , E2 ] = t2 E1 + t1 E2 − 4E3 , [E1 , E2 ] = 2t1 E3 , [E1 , E2 ] = 2t2 E3 .
Легко видеть, что при любых вещественных t1 , t2 алгебра Ли с таким базисом является подалгеброй алгебры (2.57). Тогда в силу предложения 1.11
из главы 1 соответствующее любой алгебре (2.59) интегральное многообразие совпадает вблизи начала координат с квадрикой (2.53). Предложение
2.14 доказано.
2.3.5. Аффинно-однородные трубки
Оставшийся нерассмотренным случай f400 = ±1 является завершающим при изучении невырожденных по Леви аффинно-однородных гиперповерхностей трубчатого типа. Отметим, что во всех предыдущих расмотрениях этого типа у нас появилась лишь одна трубчатая поверхность (2.53).
В то же время, в связи с теоремой 1.1 можно предполагать существование
большого семейства аффинно-различных аффинно-однородных трубок.
75
Предложение 2.15. Если коэффициенты канонического уравнения
аффинно-однородной вещественной гиперповерхности трубчатого типа
(ε = 1/2) удовлетворяют условиям
α = 0,
f002 = 0,
f210 = 0,
f400 = ξ = ±1,
(2.60)
то алгебра g(M ) для такой поверхности является 3-мерной, а ее базис
имеет вид






t 8iξ 1
0 0 i
0 0 0
E1 =  4i 2t 0  , E2 =  0 0 0  , E3 =  0 0 1  , t ∈ R. (2.61)
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Доказательство.
3-мерность алгебры g(M ) для обсуждаемой поверхности является следствием предложения 2.13. В "грубой" форме базис такой алгебры отличается от "базиса" (2.58) лишь в двух элементах, учитывающих ненулевой
коэффициент ξ = f400 , и имеет вид




t2 −4ξ − m − In i
t1 −4µ − im + n − 4iξ 1
2t2
0 ,
2t1
0  , E2 =  0
E1 =  4i
0
0
0
0
0
0
(2.62)


t3 − µ −Ir + s 0

0
2t3
1 ,
E3 =
0
0
0
Вычисление скобок, аналогичное проделанным выше, при доказательстве предложений 2.13 и 2.14, приводит к базису (2.61) В нем для упрощения
опущен индекс у параметра t1 .
Предложение 2.16. Интегральными поверхностями алгебры (2.61),
проходящими через начало координат пространства C2 , являются все
трубки над аффинно-однородными плоскими кривыми, кроме квадрики (2.53).
Параметром этого семейства трубок является (помимо f400 = ±1) вещественный коэффициент f500 .
Доказательство этого утверждения можно получить любым из двух
обсуждавшихся выше методов интегрирования матричных алгебр Ли. Например, допустим (не уточняя детально условия, необходимые для этого),
что матрица E1 имеет простой вещественный спектр.
p
Вводя дополнительное обозначение b = t2 − 128ξ, собственные значения E1 можно задать формулами
3t − b
3t + b
λ1 =
, λ1 =
, λ3 = 0.
2
2
76
Рассмотрим еще матрицу


i(t − b)/8 i(t + b)/64ξ −t/(t2 + 16ξ)
S=
1
1
2i/(t2 + 16ξ)  ,
0
0
1
состоящую из собственных векторов E1 .
Подобие с этой матрицей переводит алгебры с базисом (2.61) в более
удобное их представление с новым базисом






1
0
0
0 0 i
0 0 0
E1 =  0 λ2 /λ1 0  , E2 =  0 0 0  , E3 =  0 0 1  .
(2.63)
0
0
0
0 0 0
0 0 0
Сравнение такой алгебры с алгебрами из примера 7 §1.3 приводит к
выводу о том, что изучаемые поверхности в этом случае являются трубками
над степенными кривыми.
В других случаях, связанных со спектром и с жордановыми свойствами матрицы E1 , аналогичные рассуждения также приводят к трубчатым
поверхностям над остальными аффинно-однородными плоскими кривыми
из теоремы 1.1.
Мы обсудим здесь еще один достаточно изящный способ доказательства требуемого утверждения, связанный с "частичным" интегрированием
алгебр. Этот способ, представляющий собой одну из модификаций коэффициентного подхода к задаче об однородности, был впервые применен,
по-видимому, в работе [46].
Во-первых, напомним, что в случае алгебр (2.62), как и во многих уже
рассмотренных ситуациях, существование искомых интегральных поверхностей гарантируется теоремой Фробениуса.
Во-вторых, уравнение каждой из таких поверхностей можно считать
каноническим. Это связано с тем, что основная система девяти уравнений
позволяет определять как параметры векторных полей по известным коэффициентам аналитической поверхности, так и наоборот, коэффициенты
уравнения по известным полям.
Конкретизируем сказанное. Касательная плоскость в начале координат
пространства C2 к поверхности M , являющейся интегральной для алгебры
(2.61), образована векторами
1
i
0
,
,
.
0
0
1
77
Следовательно, она может быть задана уравнением v = 0. Тогда уравнение самой поверхности M имеет весовое разложение вида
v = F (z, z̄, u) = F2 (z, z̄) + F3 (z, z̄, u) + ... .
(2.64)
Наличие в базисе (2.61) полей E2 = i∂/∂z и E3 = ∂/∂w означает,
что функция F (z, z̄, u) из (2.64) не зависит от переменных y = Imz, u =
Rew.Тогда, например,
F2 (z, z̄) = m2 (z + z̄)2 = 4m2 x2 ,
F3 = F3 (z, z̄) = m3 (z + z̄)3 = 8m3 x3
с некоторыми вещественными коэффициентами m2 , m3 .
Две последние формулы по сути подтверждают каноничность уравнения (2.63). Но из уже сказанного вытекает и более важный, третий, вывод об
интегральных поверхностях алгебры (2.62): все они являются трубчатыми
поверхностями.
Ясно, что все трубки над аффинно-однородными плоскими кривыми
(кроме трубки над параболой, имеющей нулевой коэффициент ξ = f400 )
входят в изучаемое множество интегральных поверхностей алгебры (2.60).
Покажем, что и наоборот, все трубки (2.64) имеют основания, содержащиеся
в списке теоремы 1.1.
Рассмотрим для этого произвольную трубчатую поверхность
v = F (x)
и связанное с ней и с полем E1 из (2.61) основное соотношение. В вещественных координатах это соотношение имеет вид ОДУ
(tx − 8ξF + 1)F 0 (x) = 4x + 2tF.
(2.65)
Подставляя в это уравнение степенное разложение функции
F (x) = m2 x2 + m3 x3 + m4 x4 + m5 x5 + ...,
(2.66)
выделим в (2.65) младшие степени переменной x. Имеем здесь:
x:
2m2 = 4,
x2 :
2m2 t + 3m3 = 2m2 ,
x3 :
−16m22 ξ + 3m3 t + 4m4 = 2m3 t,
x4 :
−16m2 m3 ξ − 24m2 m3 ξ + 4m4 t + 5m5 = 2m4 t.
Из этой системы уравнений следует, что
m2 = 2, m3 = 3, m4 = 16ξ, m5 = −
78
32
ξt.
5
(2.67)
Применим теперь теорему Коши к ОДУ (2.65). В силу этой теоремы при
любой паре (ξ, t) существует и притом единственное решение этого уравнения с начальным условием F (0) = 0. Это решение аналитично, а младшие
тейлоровские коэффициенты функции F (x) удовлетворяют условиям (2.67).
С другой стороны, согласно формуле (1.3) (глава 1, §1.1) все значения
m4 и m5 накрываются (после растяжения координат) трубками над кривыми из теоремы 1.1. Никаких других афинно-однородных трубок в C2 нет.
Уточним теперь информацию о коэффициенте m5 из разложения (2.66).
С точностью до ненулевых множителей он совпадает с коэффициентом f500
при мономе z 5 в каноническом уравнении изучаемой трубки и с коэффициентом b из уравнения (1.3). Этим замечанием завершается доказательство
предложения 2.16.
§2.4. Поверхности общего положения
Завершает классификацию Леви-невырожденных аффинно-однородных
гиперповерхностей пространства C2 описание основного класса многообразий, определяемого неравенствами
1
0 < ε 6= .
2
В этом параграфе все обсуждаемые поверхности задаются (каноническими) уравнениями вида (α = 0)
X
v = |z|2 +ε(z 2 +z 2 )+(f300 z 3 +f210 z 2 z̄+f120 z z̄ 2 +f030 z̄ 3 )+
Fk (z, z̄, u). (2.68)
k≥4
Для них основная система девяти уравнений, полученная в первой главе, упрощается (за счет равенства α = 0) до состояния
(0,0,0):
Re(q 2i ) = 0,
(1,0,0):
iB1 + 2(2εp + p̄) = 0,
(2,0,0):
ε(2A1 − B21 ) + (3f300 p + f210 p̄ + f201 q) = 0,
(1,1,0):
(2A11 − B21 ) + (2f210 p + f120 p̄ + f111 q) = 0,
(0,0,1):
−B22 + 2f002 q = 0,
(3,0,0):
iε(2εA2 − Ā2 ) + 21 f201 B1 + f300 (3A1 − B21 )+
+(4f400 p + f310 p̄ + f301 q) = 0,
(2,1,0):
i(3εA2 −(1+2ε2 )Ā2 )+f210 (2A1 + Ā1 −B21 )+ 12 (f111 B1 −f201 B̄1 )+
79
+(3f310 p + 2f220 p̄ + f211 q) = 0,
(1,0,1):
(2εA2 + Ā2 ) + f002 B1 + (2f201 p + f111 p̄ + 2f102 q) = 0,
(0,0,2):
f002 B21 + (f102 p + f012 p̄ + 3f003 q) = 0.
Существенная роль в этом параграфе, как и в остальных разделах книги, отводится вопросу об оценке размерности алгебр g(M ) для однородных
поверхностей. Для полного ответа на него требуется дополнительная информация о коэффициентах канонических уравнений в этом случае.
2.4.1. Опорные коэффициенты уравнения однородной
поверхности
Перепишем необходимые нам здесь уравнения из основной системы в
более удобном виде. Отметим при этом, что из (1,0,1)-уравнения можно
выразить коэффициент A2 в силу неравенства ε 6= 1/2 :
(0, 0, 0) : q ∈ R,
(1, 0, 0) : B1 = 2i(p̄ + 2εp),
(2.69)
1
1
(2, 0, 0) : A1 = B21 − (3f300 p + f210 p̄ + f201 q)
2
2ε
(0, 0, 1) : B22 = 2f002 · q,
2i(1 + 4ε2 )f002 + 4εf201 − f111
(1, 0, 1) : A2 =
p+
1 − 4ε2
4εf102 − 2f012
8if002 ε + 2εf111 − 2f021
p̄
+
q.
+
1 − 4ε2
1 − 4ε2
Из выписанных (1,0,0)-, (2,0,0)-, (0,0,1)-, (1,0,1)-уравнений этой системы получаются следующие простейшие утверждения о размерности алгебр
g(M ) в рассматриваемом случае.
Предложение 2.17. В случае поверхностей общего положения все
коэффициенты матрицы e из (1.52) однозначно выражаются через параметры p, p̄, q векторного поля (1.43) и коэффициент B21 той же матрицы
e.
Следствие. Для любой аффинно-однородной гиперповерхности общего
положения M вида (2.68) размерность алгебры g(M ) линейных векторных
полей, касательных к M , не превышает 4.
Особую роль при изучении однородных поверхностей общего положения играет следующий опорный набор коэффициентов
{f210 , f201 , f002 }.
80
(2.70)
канонического уравнения (2.68). Из той же основной системы уравнений
легко получается следующий факт.
Предложение 2.18. Если хотя бы один из коэфициентов набора (2.70)
отличен от нуля, то размерность алгебры g(M ) для однородной поверхности M общего положения в точности равна 3.
Для доказательства рассмотрим (2,1,0)-компоненту основного тождества
1
i(3εA2 − (1 + 2ε2 )Ā2 ) + f210 (2A1 + Ā1 − B21 ) + (f111 B1 − f201 B̄1 )+
2
+(3f310 p + 2f220 p̄ + f211 q) = 0.
В ней содержится слагаемое
f210 (2A1 + Ā1 − B21 )
связанное с B21 , а все остальные выражения (с учетом приведенных обсуждений и формул (2.69)) линейно выражаются через p, p̄, q. Коэфициентами
при этих свободных параметрах являются комбинации коэффициентов канонического уравнения (2.68) изучаемой поверхности.
Несложно видеть в силу этого, что при f210 6= 0 в (2,1,0)-компоненте
основного тождества коэффициент B21 "связывается т.е. также выражается
линейным образом через параметры p, p̄, q. Выписывать точную формулу,
которая оказывается весьма громоздкой, нет необходимости.
Аналогично, при ненулевом коэффициенте f002 параметр B21 "связывается" в (0,0,2)-компоненте того же тождества
f002 B21 + (f102 p + f012 p̄ + 3f003 q) = 0,
выписанной выше.
Наконец, в случае f201 6= 0 нам потребуется (2,0,1)-компонента веса 4
основного тождества (1.44), т.е. уравнение (1.67). В силу замечания к предложению 1.7 эта компонента имеет в случае поверхностей общего положения
вид
2f201 A1 − 2εf002 B22 + 3f300 A2 + f210 Ā2 + f102 B1 + (3f301 p + f211 p̄ + 2f202 q) = 0.
(2.71)
С учетом полученной в (2.69) формулы, выражающей A1 через B21 и
свободные параметры p, s, q, уравнение (2.71) позволяет и в этом случае
выразить B21 через p, s, q.
Предложение 2.18 доказано.
81
В противоположном случае имеет место следующее утверждение.
Предложение 2.19. Если все коэфициенты опорного набора (2.70)
из канонического уравнения однородной поверхности M общего положения
равны нулю, то поверхность M является квадрикой
v = |z|2 + ε(z 2 + z̄ 2 ),
а размерность алгебры линейных векторных полей на M равна 4.
Здесь для доказательства напомним, что выше (см. формулы (1.68) в
§1.5) мы уже обсуждали равенства
1
f300 = (4εf210 − f120 ),
3
Ref201 = εf111 ,
вытекающие из основной системы при ε 6= 0.
В силу первой из формул (1.68) условие f210 = 0 приводит к равенству
нулю всего многочлена F3 (z, z̄) из канонического уравнения поверхности
M . Вторая из формул (1.68) вместе с условиями f201 = f002 = 0 приводит к
выводу F̂4 (z, z̄, u) = 0.
Кроме того, формулы для элементов матрицы (1.52), получаемые из
основной системы в этом случае, приводят к равенстам
A2 = 0, B22 = 0.
Далее для доказательства того, что обсуждаемая поверхность является
квадрикой, можно воспользоваться предложением 1.8 из из §1.5.
То, что алгебра линейных векторных полей на ней является в этом
случае 4-мерной, непосредственно следует из наличия 4-хпараметрической
группы аффинных преобразований этой поверхности. Такую группу порождают 3-параметрическое семейство сдвигов
z → z + a, w → w + 2i(ā + 2aε)z + i(|a|2 + ε(a2 + ā2 )) + s
(a ∈ C, s ∈ R)
и однопараметрические растяжения
z → tz, w → t2 w
(t ∈ R).
Алгебра Ли, соответствующая этой 4-мерной группе, имеет базис






0
0 1
0
0 i
0 0 0
E1 =  2i(1 + 2ε) 0 0  , E2 =  2(1 − 2ε) 0 0  , E3 =  0 0 1  ,
0
0 0
0
0 0
0 0 0
(2.72)
82


1 0 0
E4 =  0 2 0  .
0 0 0
Предложение 2.19 доказано.
2.4.2. Жесткость однородных поверхностей общего положения
Напомним, что уравнение (1.29) называется жестким, если его правая
часть не зависит от переменной u. Для каждой отдельной весовой компоненты Fk уравнения (1.29) это означает, что ее разложение
(0)
Fk (z, z̄, u) = Fk (z, z̄) + F̂k (z, z̄, u)
содержит лишь первое слагаемое и превращается в равенство
(0)
Fk (z, z̄, u) = Fk (z, z̄) (соответственно F̂k (z, z̄, u) = 0).
Рассмотрим свойство жесткости на примере поверхностей общего положения.
Предложение 2.20. Если для коэффициентов канонического уравнения аффинно-однородной поверхности (2.68) общего положения выполняются условия
f201 = 0, f002 = 0,
(2.73)
то эта поверхность жесткая.
Доказывать предложение 2.20 достаточно при выполнении дополнительного ограничения
f210 6= 0,
(2.74)
т.к. случай обращения в ноль этого коэфффицента одновременно с выполнением условий (2.73) рассмотрен в предложении 2.17. Тогда размерность
алгебры g(M ) можно считать равной 3. "Грубая схема" для базиса такой
алгебры принимает в матричной форме вид




D1 + (T1 + T2 ) 0 1
D2 + i(T1 − T2 )
0
i
E1 =  2i(1 + 2ε)
2D1 0  , E2 = 
2(1 − 2ε)
−2D2 0  ,
0
0 0
0
0
0
(2.75)


r 0 0
E3 =  0 2r 1  ,
0 0 0
83
где D1 , D2 , r - некоторые вещественные, а T1 , T2 - комплексные числа.
Проверка условий замкнутости линейной оболочки матриц (2.75) относительно скобки приводит к ограничению r = 0. Это означает, что матрица
E3 имеет в обсуждаемом случае вид


0 0 0
E3 =  0 0 1  .
0 0 0
Наличие в алгебре g(M ) поля E3 = ∂/∂w означает, как мы знаем,
условие жесткости поверхности M . Предложение 2.19 считаем доказанным.
Более детальное рассмотрение скобок для матриц (2.75) приводит к
следующему утверждению о 2-параметрическом семействе алгебр.
Предложение 2.21. Пусть для коэффициентов канонического уравнения (2.69) аффинно-однородной невырожденной гиперповерхности M общего положения выполняются условия
f201 = 0, f002 = 0, f210 6= 0.
Тогда алгебра g(M ), соответствующая этой поверхности,
вида



0 0
(1 − 2ε)µ + i(1 + 2ε)ν 0 1
2i(1 + 2ε)
2µ 0  , E3 =  0 0
E1 = 
0 0
0
0 0


i((1 − 2ε)µ + i(1 + 2ε)ν) 0 i
2(1 − 2ε)
−2ν 0  ,
E2 = 
0
0 0
имеет базис

0
1 ,
0
(2.76)
где µ = Re(f210 /ε), ν = −Im(f210 /ε).
Замечание 1. Коммутационные соотношения в алгебрах (2.76) имеют
вид
[E1 , E2 ] = −4E3 , [E1 , E3 ] = 2µE3 , [E2 , E3 ] = −2νE3 .
Напомним, что (канонический) вид уравнения
v = |z|2 + ε(z 2 + z̄ 2 ) + ...
сохраняется при растяжениях z → tz, w → t2 w (t > 0) координат. Так
же не изменяет младших слагаемых канонического уравнения (2.68) замена
z → −z. Но за счет этих замен можно изменять значение ненулевого коэффициента f210 в уравнении (2.68). В итоге можно считать, что выписанное
84
выше и важное для наших обсуждений отношение
f210
= µ − iν,
ε
как точка комплексной плоскости лежит на верхней (или на нижней) части единичной окружности. При этом имеются две точки, принадлежащие
пересечению этой окружности и стандартных координатных осей: 1 и i.
С учетом таких уточнений мы можем теперь предъявить описание всех
аффинно-однородных гиперповерхностей пространства C2 , соответствующих алгебрам из семейства (2.76). Оно содержится в следующих двух предложениях.
Предложение 2.22. Любая аффинно-однородная гиперповерхность,
отвечающая алгебре вида (2.76) c комплексным параметром µ − iν, лежащим на одной из координатных осей, аффинно эквивалентна одной из
поверхностей
v = |z|β (z 6= 0).
(2.77)
При этом паре µ = 1, ν = 0 отвечают значения параметра β ∈ R \ [0, 2] ;
для поверхностей с µ = 0, ν = 1 справедливы вложения β ∈ (0, 1) ∪ (1, 2).
Для доказательства этого предложения в случае µ = 0, ν = 1 воспользуемся наличием 3-х собственных векторов у матрицы E2 . Подобие
Ek → S −1 Ek S с матрицей


1/2 0
1/(1 + 2ε)
S =  1 1 i(1 − 2ε)/(1 + 2ε)  ,
0 0
1
составленной
базисом

i 0

E1 = 0 0
0 0
из этих векторов, переводит исходную алгебру в алгебру с





0
1
0
0
0 0 0
0  , E2 =  0 2/(1 + 2ε) 0  , E3 =  0 0 1  . (2.78)
0
0
0
0
0 0 0
Отметим, что при этом начало координат, в окрестности которого мы
строим интегральную поверхность, смещается, в соответствии с формулой
(1.77), в новую точку Q(z0 , w0 ) с ненулевыми координатами z0 , v0 = Imw0 .
Как обычно, из наличия в обсуждаемой алгебре поля E3 делаем вывод о
жесткости соответствующей искомой поверхности. Ее уравнение v = F (z, z̄)
удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям, отвечающим полям
E1 , E2 .
85
Первое поле представляет собой генератор вращения в плоскости z. Поэтому всякое решение F (z, z̄) соответствующего дифференциального уравнения
∂F
∂F
−y
+x
=0
∂x
∂y
зависит только от радиальной переменной r = |z| и имеет вид F = f (|z|) с
произвольной аналитической вне нуля функцией f .
Второе уравнение в вещественных координатах имеет вид
∂F
∂F
+y
= mF,
x
∂x
∂y
где m = 2/(1 + 2ε).
Его левая часть представляет собой известный дифференциальный оператор r∂F /∂r, в силу чего любая из искомых поверхностей описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением
rf 0 (r) = mf.
Это означает, что уравнение любой интегральной поверхности любой
из алгебр (2.78) имеет в обсуждаемом случае вид
v = C|z|2/(1+2ε) .
(2.79)
В итоге либо эта поверхность - плоскость (при C = 0), либо одна из
поверхностей (2.77) при β = 2/(1 + 2ε). Заметим при этом, что случай
плоскости v = 0 невозможен для точки Q с ненулевой координатой v0 =
Imw0 .
Уточним также , что при 0 < ε 6= 1/2 показатель степени в (2.79)
принимает любые значения из объединения промежутков (0, 1) ∪ (1, 2).
Первый случай из обсуждаемого предложения (т.е. ν = 0, µ = 1) рассматривается аналогично. Здесь параметр β из (2.77) определяется формулой
2
β=
.
1 − 2ε
Предложение 2.21 доказано.
Замечание. Вместо непосредственного интегрирования алгебры с базисом (2.78) можно было сослаться на лемму 6 из раздела 2.3.3. Базис (2.78)
удовлетворяет условиям этой леммы при C = 2/(1 + 2ε), D = 0.
Предложение 2.23. Любая аффинно-однородная поверхность, отвечающая алгебре (2.76) при
f210
f210
µ = Re
6= 0, ν = −Im
6= 0,
(2.80)
ε
ε
86
аффинно эквивалентна одной из жестких поверхностей
v = |z|C eD arg z , C ∈ R \ {1}, D ∈ R \ {0}.
В этом случае мы введем для доказательства упрощающие обозначения
A = 1 − 2ε, B = 1 + 2ε
и перейдем к подобной алгебре. Здесь мы используем подобие с матрицей


µ(2 − A) − iνB 0 −1/(µA + iνB)
S=
−2i/B
1 iB/µ(µA + iνB)  ,
0
0
1
переводящее любую из

(µA + iνB)
E1 = 
0
0
алгебр (2.76) в алгебру с базисом



0 0
i(µA + iνB) 0 0
2µ 0  , E2 = 
0
−2ν 0  ,
0 0
0
0 0


0 0 0
E3 =  0 0 1  .
0 0 0
(2.81)
Заметим, что линейные комбинации (с вещественными коэффициентами) двух первых матриц базиса (2.81) превращаются в еще более удобные
матрицы




1 0 0
i 0 0
E1 =  0 C 0  , E2 =  0 D 0 
0 0 0
0 0 0
с вещественными
2(µ2 A + ν 2 B)
C= 2 2
,
µ A + ν 2B 2
D=
8µν
.
µ2 A2 + ν 2 B 2
(2.82)
Ссылка на лемму 6 из §2.3 завершает доказательство предложения 2.23.
Замечание 1. Несложно проверить, что обращение в единицу параметра C равносильно равенству 4ε2 − 1 = 0, невозможному для поверхностей
общего положения.
Замечание 2. Поверхности, построенные в предложениях 2.21 и 2.22
можно получить, например, как орбиты точки Q(1, i) ∈ C2 под действием
групп, порожденной экспонентами от соответствующих базисных матриц
tE1 , sE2 , rE3 .
87
Непосредственными вычислениями можно проверить, что эти орбиты
имеют канонические уравнения, отвечающие требованиям общности положения.
2.4.3. Однородные поверхности общего положения,
не допускающие жестких уравнений
В силу приведенных обсуждений для нахождения остальных однородных поверхностей общего положения (не являющихся жесткими) достаточно рассмотреть два случая, связанных с каноническим уравнением (3.1):
1) f002 6= 0,
(2.83)
2) f002 = 0, f201 6= 0
(2.84)
Замечание. Напомним, что в каждом из этих случаев любой ненулевой коэффициент уравнения (2.68) можно подвергнуть вещественному
растяжению. В рамках случая 1) будем считать, что f002 = λ = ±1; во
втором случае мы применим это соображение к коэффициенту f210 (этот
коэффициент, как будет показано, отличен от нуля в рамках проводимых
рассмотрений).
Отметим еще, что замена z → −z сохраняет вид уравнения (2.68), но
изменяет знак у любого коэффициента нечетной суммарной степени по переменным z, z̄. В связи с этим мы будем использовать далее условие
f210
= eiθ , θ ∈ [0, π)
ε
(2.85)
в рамках обсуждения случая (2.84).
Из основной системы девяти уравнений в случаях (2.83) и (2.84) соответственно, выводятся следующие два утверждения.
Предложение 2.24. Пусть для коэффициента f002 канонического уравнения (2.68) поверхности M выполняется условие (2.83). Тогда матрицы
E1 , E2 , E3 базиса алгебры g(M ), отвечающей такому уравнению поверхности, обязаны иметь вид


−(2εµ + 2iεν + iλν + ξλ/3) −(4iλε + 4εr + 4iεs + 2iλ − 2r)/(2ε − 1) 1

2i(1 + 2ε)
−(2/3)ξλ
0 ,
0
0
0
88


−(i)(2εµ + 2iεν − µ + iηλ/3) −2i(2iλε + 2εr + 2iεsiλ + r)/(2ε + 1) i

2(1 − 2ε)
(2/3)ηλ
0 ,
0
0
0
(2.86)


−(r + is) − x/2 (−2ξ + 2iη + 4εξ + 4iεη)/(1 − 4ε2 ) 0

0
(−x + 2i)λ
1
0
0
0
при некоторых вещественных x, y, µ = Ref210 /ε, ν = Imf210 /ε, r = Ref201 /2ε,
s = Imf201 /2ε, ξ = Re(f102 ), η = Im(f102 ).
Предложение 2.25. Если для коэффициентов канонического уравнения (2.68) поверхности M выполняются условия (2.84), то базис алгебры
g(M ), отвечающей такому уравнению поверхности, обязан иметь вид


−2εx − 2iεy − iy + µ −(4εr + 4iεs − 2r)/(2ε − 1) 1
E1 = 
2i(1 + 2ε)
2µ
0 ,
0
0
0


i(−2εx − 2iεy + x + iν) −2i(2εr + 2iεs + r)/(2ε + 1) i
E2 = 
2(1 − 2ε)
−2ν
0 ,
0
0
0
(2.87)


t − r − is 0 0
0
2t 1  .
E3 = 
0
0 0
при некоторых вещественных x, y, µ, ν, t, r, s, ξ, η.
Далее за счет рассмотрения скобок "базисных" матриц можно уточнить
вид E1 , E2 , E3 из (2.86) и (2.87).
ЛЕММА 7. Линейное пространство с базисом вида (2.86) является алгеброй Ли, тогда и только тогда, когда параметры из этих формул удовлетворяют соотношениям:
1
ξ = η = 0, µ = 2λr, r = εxy, s = −2λ,
4
(1 − 2ε)x2 + (1 + 2ε)y 2 = −16λ.
При этом базис любой из обсуждаемых алгебр принимает вид


−2εx − i(1 + 2ε)y i(4λ + iεxy)/2 1
E1 = 
2i(1 + 2ε)
0
0 ,
0
0
0
89
(2.88)
(2.89)


2εy + i(1 − 2ε)x −(4λ + iεxy)/2 i
E2 = 
2(1 − 2ε)
0
0 ,
0
0
0


i(4λ + iεxy)/2
0
0
E3 = 
0
i(4λ + iεxy)/2 1  ,
0
0
0
а коммутационные соотношения записываются в форме
[E1 , E2 ] = yE1 − xE2 − 4E3 , [E1 , E3 ] = [E2 , E3 ] = 0.
ЛЕММА 8. Линейное пространство с базисом вида (2.87) является алгеброй Ли тогда и только тогда, когда
1
s = 0, t = −r, µ = 0, ν = 0, r = εxy,
4
(1 − 2ε)x2 + (1 + 2ε)y 2 = 0.
(2.90)
При этом формулы для базиса любой из обсуждаемых алгебр совпадают с
формулами (2.89) из предыдущего случая с учетом условия λ = 0.
Интегрирование алгебр (2.89) приводит к следующим результатам.
Предложение 2.26. Однородные поверхности, отвечающие алгебрам
из (2.86) задаются (с точностью до аффинной эквивалентности) уравнениями
Re(z w̄) = |z|A eB arg z
(2.91)
при A ∈ R \ {1, 2}, z 6= 0.
Предложение 2.27. Однородные поверхности, отвечающие алгебрам
из (2.87) задаются (с точностью до аффинной эквивалентности) уравнениями
Re(z w̄) = |z|2 eB arg z ,
где B ∈ R \ 0, z 6= 0.
Для доказательства обоих сформулированных предложений рассмотрим поверхность M вида (2.91) с произвольными вещественными A и B и
точку Q(z0 , w0 ), z0 6= 0, лежащую на этой поверхности.
Вблизи этой точки на M действуют следующие однопараметрические
группы аффинных (и даже линейных) преобразований:
g1 (r) = {z ∗ = rz, w∗ = rA−1 w, r ∈ U (1)},
g2 (s) = {z ∗ = z, w∗ = isz + w, s ∈ U (0)},
90
g3 (t) = {z ∗ = eit z, w∗ = e(B+i)t w, t ∈ U (0)}.
Наличие этих однопараметрических групп и порождаемых ими 3-мерных
групп Ли по сути доказывает однородность поверхностей (2.91). Алгебры
Ли, отвечающие этим группам и поверхностям, имеют в матричном изображении базисы






i
0
0
1
0
0
0 0 0
E1 =  0 (A − 1) 0  , E2 =  i 0 0  , E3 =  0 (B + i) 1  .
0
0
0
0
0
0
0 0 0
(2.92)
Несложно убедиться, что и обратное утверждение также верно с учетом
следующего уточнения:
если A и B - произвольные вещественные числа, и точка Q(z0 , w0 ) не
лежит на конусе
Re(z w̄) = 0,
(2.93)
то интегральное многообразие алгебры (2.92), проходящее через Q, есть в
точности поверхность (2.91) с заданными A и B.
Остается заметить, что любая алгебра с базисом (2.89) превращается
подобием в алгебру с базисом (2.92). Например, при λ = 0 подобие реализуется матрицей


εxy/(x + iy)
εxy
0
S =  −(1 + 2ε) (1 − 2ε)x − i(1 + 2ε)y 2  ,
0
0
εxy
состоящей из собственных векторов первой матрицы базиса (2.89). Напомним, что здесь
f210
x + iy =
, x 6= 0, y 6= 0.
ε
Ссылка на утверждение о единственности интегральной гиперповерхности завершает рассуждение в этом случае.
Случай λ 6= 0 рассматривается аналогично. Громоздкие (хотя и содержащие изящные фрагменты) арифметические выкладки мы здесь не приводим.
Замечание. Уточнение о конусе (2.93) здесь существенно, т.к. эта вырожденная по Леви поверхность также является интегральным многообразием для алгебр (2.92).
91
ГЛАВА 3. Леви-плоские аффинно-однородные
гиперповерхности в C2
Основным содержанием этой главы является доказательство теоремы
1.4. Как и доказательство теоремы 1.3 в предыдущей главе оно будет собрано "по частям" из нескольких отдельных случаев. В качестве особенности
этой главы отметим, что здесь мы не будем стремиться к определению всех
коэффициентов канонического уравнения из весовых компонент основного
тождества. Вырожденность канонических уравнений сильно усложняет такое определение, заставляя рассматривать для этого компоненты довольно
больших весов.
Больший акцент в этой главе делается на алгебраическую структуру
семейства векторных полей, касательных к изучаемым однородным поверхностям. В силу замкнутости этого семейства относительно скобки наличие
даже грубой предварительной информации о таких полях позволяет восстановить всю алгебру в точном виде. Это делается по сути в рамках компьютерных алгоритмов, аналогичных примененным во второй главе.
Еще одно отличие настоящей главы от предыдущей состоит в том, что
она начинается с рассмотрения большого семейства примеров однородных
поверхностей.
§ 3.1. Трехпараметрическое семейство однородных
поверхностей
Пусть
(A1 , A2 ; B1 , B2 )
(3.1)
- ненулевой набор вещественных чисел. С таким набором можно связать
вещественно-аналитическую гиперповерхность M , заданную вблизи (неособой) точки Q(1, 1) уравнением
Φ(z, z̄, w, w̄) = |z|A1 |w|A2 − earg(z
B1
wB2 )
= 0.
(3.2)
Ясно, что поверхность, описываемая уравнением (3.2), не изменяется
при умножении каждого из чисел четверки (A1 , A2 ; B1 , B2 ) на ненулевую
вещественную константу. Это дает повод обсуждать набор (3.1) как точку
проективного пространства RP3 . Однако с точки зрения аффинной эквивалентности обсуждаемых поверхностей такой способ представления наборов (3.1) также не является окончательным. Например, замена переменных
92
z ↔ w позволяет не различать поверхности (3.2), отвечающие наборам с
одновременно переставленными элементами в парах (A1 , A2 ) и (B1 , B2 ).
Предложение 3.1. Для любого ненулевого набора (3.1) поверхность
(3.2) однородна (вблизи точки Q(1, 1)) относительно линейных преобразований пространства C2 .
Для доказательства достаточно предъявить 3-мерную подгруппу группы GL(2, C), транзитивно действующую на поверхности M вблизи точки
Q(1, 1).
Для набора (A, 1; B1 , B2 ), получающегося из произвольной четверки
(3.1) с ненулевым A2 , такую группу образуют "комплексные растяжения"
R(z, w) → R∗ (z ∗ , w∗ ), определяемые формулами
z ∗ = teiϕ1 z, w∗ = t−A eB1 ϕ1 +B2 ϕ2 +iϕ2 w,
(3.3)
где t, ϕ1 , ϕ2 - вещественные параметры. При этом t изменяется вблизи единицы, а ϕ1 , ϕ2 - вблизи нуля.
Легко проверяется, что при любых (t, ϕ1 , ϕ2 ) формулы (3.3) преобразуют поверхность (3.1) в себя. Транзитивность действия такой группы на
поверхности M (вблизи т. Q(1, 1)) вытекает из того, что генераторы
∗
∗
∗
∂R
∂R
∂R
,
,
∂t |t=1
∂ϕ1 |ϕ1 =0
∂ϕ2 |ϕ2 =1
группы (3.3), т.е. матрицы
1 0
i 0
0
0
e1 =
, e2 =
, e3 =
0 −A
0 B1
0 (B2 + i)
(3.4)
порождают в этой точке 3-мерное вещественное пространство.
Для набора (0, 0; B, 1), получающегося из четверки (3.1) с двумя нулевыми A-координатами, группа (3.3) заменяется на
z ∗ = t1 eiϕ z, w∗ = t2 e−iBϕ w,
(3.5)
где t1 , t2 ∈ U (1), ϕ ∈ U (0) - вещественные параметры.
Вместо (3.4) получаем здесь для (3.5) также линейно независимые над
R генераторы
∗
∗
∂R
∂R
1 0
0 0
=
, e2 =
=
,
(3.6)
e1 =
0 0
0 1
∂t1 |t1 =1
∂t2 |ϕ1 =0
∗
∂R
i 0
e3 =
=
.
0 −iB
∂ϕ |ϕ2 =0
93
Предложение 3.1 доказано.
Заметим, что вместо точки Q(1, 1) можно рассмотреть произвольную
точку Q0 (z0 , w0 ) с координатами z0 6= 0, w0 6= 0, удовлетворяющими уравнению (3.2) для фиксированного набора (A1 , A2 ; B1 , B2 ). Вблизи Q0 поверхность (3.2) также является линейно-однородной орбитой этой точки под действием группы (3.3) или (3.5).
Легко проверяется справедливость следующего утверждения, связанного с линейной однородностью обсуждаемого семейства поверхностей.
Предложение 3.2. С точностью до матричных подобий алгебрами
с базисами (3.4) и (3.6) исчерпываются все диагональные матричные подалгебры алгебры Ли gl(2, C), имеющие вещественную размерность 3.
Ясно, что из линейной однородности поверхностей (3.2) следует и их однородность относительно более широкой аффинной группы Af f (2, C). При
этом матричные алгебры Ли, отвечающие аффинно-однородным поверхностям (3.2) и группам (3.3) и (3.5), имеют базисы






1 0 0
i 0 0
0
0
0
E1 =  0 −A 0  , E2 =  0 B1 0  , E3 =  0 B2 + i 0  . (3.7)
0 0 0
0 0 0
0
0
0
и





i 0 0
0 0 0
1 0 0
E1 =  0 0 0  , E2 =  0 1 0  , E3 =  0 −iB 0 
0 0 0
0 0 0
0 0 0

(3.8)
соответственно.
Ниже мы будем приводить многие из обсуждаемых алгебр Ли, соответствующих аффинно-однородным гиперповерхностям пространства C2 , к
диагональному виду, аналогичному (3.7) или (3.8).
В силу сформулированного выше предложения 3.2 это означает справедливость еще одного важного утверждения.
Предложение 3.3. Пусть вещественная гиперповерхность M ∈ C2
аффинно-однородна вблизи некоторой своей точки ξ. Если соответствующая M алгебра g(M ) является 3-мерной аффинно - диагонализируемой
алгеброй, то поверхность M аффинно эквивалентна (вблизи точки ξ) одной из поверхностей 3-параметрического семейства (3.2).
Для доказательства предложения 3.3 рассмотрим уже диагонализированную алгебру g(M ) и точку η(z0 , w0 ) пространства C2 , в которую переходит ξ под действием диагонализирующего аффинного преобразования.
94
Матричная экспонента диагональной матрицы также является диагональной матрицей. Поэтому все групповые преобразования, соответствующие диагональной алгебре, являются комплексно-линейными растяжениями. Это означает, что обе координаты точки η - ненулевые (т.к. иначе орбита
точки η под действием транзитивной группы G(M ) лежала бы на одной из
координатных плоскостей пространства C2 , что невозможно для вещественной гиперповерхности).
Тогда еще одним линейным (и даже диагональным) преобразованием
z∗ =
z
w
, w∗ =
z0
w0
пространства C2 эта точка переводится в (1, 1). Диагональная алгебра g(M )
сохранится при таком переходе неизменной.
По теореме Фробениуса через точку (1,1) проходит единственное интегральное многообразие любой алгебры, в частности g(M ). Но алгебра g(M )
совпадает в силу своей диагональной структуры с одной из алгебр, отвечающих 3-параметрическому семейству поверхностей (3.2). Следовательно, и
поверхность M совпадает с соответствующей поверхностью этого семейства.
Предложение 3.3 доказано.
Замечание 1. В 3-параметрическом семействе (3.2) имеется много интересных частных случаев. Это, например:
а) вещественная гиперплоскость { v = 0 }, представленная уравнением
arg w = 0;
(3.9)
б) степенные поверхности Рейнхарта (B1 = B2 = 0, A2 6= 0)
|w| = |z|α , α = −
A1
∈ R;
A2
(3.10)
в) декартовы произведения логарифических спиралей (A1 = B1 = 0,
A2 6= 0)
B2
|w| = eB arg w , B =
∈ R,
(3.11)
A2
лежащих в плоскости Cw , на плоскость Cz ;
г) "билефельдские вееры линейчатые логарифмически спиральные поверхности с плоскими листами (при A2 = −A1 6= 0, B2 = −B1 )
w w
B2
∈ R;
(3.12)
= eBarg( z ) , B
z
A2
95
д) частным случаем семейства (3.12) является (при B1 = B2 = 0) конус
w 2
2
(3.13)
|z| − |w| = 0 или = 1( при (z, w) 6= (0, 0)).
z
Замечание 2. Семейство (3.2) содержит однородные поверхности всех
весов, введенных в главе 1. В самом деле, единственная однородная поверхность бесконечного веса { v = 0 } является элементом этого семейства в
силу представления (3.9). Элементами семейства являются также поверхности (3.11), имеющие вес 4. Вес 3 имеют, например, билефельдские вееры
(3.12) и, в частности, конус {|z|2 − |w|2 = 0}. Поверхности
|w| = eB arg z
(3.14)
из этого семейства имеют, как несложно проверить, вес 2.
§3.2. Однородные поверхности веса 2
Основным результатом данного параграфа является следующее утверждение.
ТЕОРЕМА 3.1 Любая аффинно-однородная вырожденная по Леви гиперповерхность веса 2 пространства C2 аффинно-эквивалентна одной из
поверхностей следующего списка:
1) 3-параметрическое семейство поверхностей (3.2)
|z|A1 |w|A2 = earg(z
B1
wB2 )
, (A1 , A2 , B1 , B2 ) ∈ RP3 .
2) цилиндр над гиперболическим параболоидом
Im(w − z 2 ) = 0,
(3.15)
3) "воронежские вееры"
2
|w − z 2 | = eB arg(w−z ) , B ∈ R.
π π
4) v = e−2iθ ln(1 + eiθ z) + e2iθ ln(1 + e−iθ z), θ ∈ (− , ).
4 4
π
π
5) Re weiθ (z − eiθ w ln w) = 0, θ ∈ (− , ].
4 4
(3.16)
(3.17)
(3.18)
Доказательство сформулированной теоремы мы начнем, в соответствии
с общей схемой, с обсуждения размерности алгебры векторных полей на
однородной поверхности рассматриваемого класса.
96
3.2.1. Оценка размерности алгебры g(M ) для поверхностей веса 2
Рассмотрим уравнение Леви-плоской поверхности M , имеющей вес 2,
т.е.
X
Fk (z, z̄, u),
v = (z 2 +z 2 )+(f101 zu+f011 z̄u)+(f300 z 3 +f210 z 2 z̄+f120 z z̄ 2 +f030 z̄ 3 )+
k≥4
(3.19)
Предложение 3.4. За счет аффинного преобразования, сохраняющего
вид (3.19), можно получить дополнительные ограничения
f101 = f011 = 0
(3.20)
на коэффициенты этого уравнения.
Для доказательства предложения 1 сделаем в уравнении (3.19) замену
переменных
1
z → z − f101 w.
2
Несложно проверить, что в новых координатах уравнение поверхности M
по-прежнему имеет вид (3.20), но уже с нулевым коэффициентом f101 .
С учетом предложения 3.4 будем теперь обсуждать в этом разделе лишь
уравнения вида
X
(0)
v = (z 2 + z 2 ) + F3 (z, z̄) +
Fk (z, z̄, u).
(3.21)
k≥4
Замечание. Согласованным растяжением координат z → tz, w →
t w (t > 0) любой ненулевой коэффициент из суммы
X
(0)
F3 (z, z̄) +
Fk (z, z̄, u)
2
k≥4
в (3.2.1) можно перевести на единичную окружность S 1 .
Далее рассмотрим основное тождество (1.43) для произвольного аффинного векторного поля Z на однородной поверхности M вида (3.21). Из
компонент (1.47) и (1.48) этого тождества, выписанных в §1.3, легко получить следующие ограничения на параметры поля Z:
q ∈ R, B1 = 4ip.
(3.22)
Предложение 3.5 Из компонент весов 2 и 3 основного тождества
для аффинно-однородной поверхности M вида (3.21) вытекают следующие
97
ограничения на коэффициенты уравнения этой поверхности и на параметры любого касательного к M поля:
1) f210 = 0, f111 = 0;
(3.23)
3
1
1
2) B22 = 2f002 q, A1 = B21 −( f300 p+ f201 q), A2 = −(f201 +2if002 )p−f102 q.
2
2
2
(3.24)
Доказательство предложения 2 является простым упражнением на тождественные преобразования формул (1.49), (1.50).
Следствие. В рассматриваемом случае выполняется оценка
dimR g(M ) ≤ 4
(3.25)
для алгебры g(M ) линейных векторных полей на однородной поверхности
M.
В самом деле, с учетом (3.22) - (3.24) все параметры матрицы (1.44),
представляющей поле Z, выражаются в этом случае через ее последний
столбец (параметры p, q) и, возможно, через еще один вещественный параметр B21 .
В силу (3.25) для описания всех однородных Леви-вырожденных поверхностей веса 2 остается разобрать два случая возможных размерностей
алгебры g(M ): 3 и 4.
3.2.2. 4-мерные алгебры g(M ) для поверхностей веса 2
В случае свободного параметра B21 базис изучаемой алгебры g(M )
можно считать имеющим вид




M1 N1 1
M2 N2 i
E1 =  4i 0 0  , E2 =  −4 0 0  ,
(3.26)
0 0 0
0 0 0




M3 N3 0
1 0 0
E3 =  0 2iλ 1  , E4 =  0 2 0  ,
0
0 0
0 0 0
с некоторыми коэффициентами M1 , M2 , N1 , N2 , M3 , N3 , λ = f002 .
Рассмотрение шести попарных матричных скобок [Ek , El ] при 1 ≤ k <
l ≤ 4 и учет требования их принадлежности к (вещественной) линейной
оболочке < E1 , E2 , E3 , E4 > приводит к следующему утверждению.
98
Предложение 3.6. Существует единственная алгебра с базисом вида (3.26), а именно, алгебра, для которой




0 0 i
0 0 1
(3.27)
E1 =  4i 0 0  , E2 =  −4 0 0  ,
0 0 0
0 0 0




0 0 0
1 0 0
E 3 =  0 0 1  , E4 =  0 2 0  ,
0 0 0
0 0 0
Предложение 3.7. Проходящее через начало координат пространства C2 интегральное многообразие, соответствующее алгебре (3.27), является квадрикой
v = z 2 + z̄ 2 .
(3.28)
Для доказательства заметим, что наличие поля E3 в обсуждаемой алгебре означает, что соответствующая интегральная поверхность является
жесткой, т.е. имеет (в рассматриваемых координатах) уравнение вида v =
F (z, z̄), не зависящее от переменной u = Rew.
Два первых поля отличаются друг от друга множителем i. Это означает, что они порождают комплексную плоскость (одномерную комплексную
прямую) в касательном пространстве к поверхности в каждой ее точке. Из
двух вещественных уравнений
Re (Ek (Φ))|M = 0 (k = 1, 2)
отвечающих этим полям, строится одно комплексное уравнение
∂Φ
∂Φ
+ 4iz
= 0.
∂z
∂w
С учетом того, что
Φ = −v + F (z, z̄), а
∂φ
1
∂F
i
=
i+
=
∂w
2
∂u
2
это уравнение превращается в
∂F
= 2z,
∂z
и мы получаем тогда однозначно определенное уравнение (3.28) искомой
поверхности. Касание этой поверхности четвертым полем
E4 =
∂F
∂F
+2
,
∂z
∂w
99
очевидно, имеет место, т.к. этому полю соответствует однопараметрическая
группа согласованных растяжений
z → tz,
w → t2 w, t > 0
пространства C2 , сохраняющая поверхность (3.28).
Замечание. В теоремах 1.4 и 3.1 эта поверхность представлена в форме
Im(w − z 2 ) = 0.
Ясно, что заменяя в этом уравнении мнимую часть вещественной, мы получим поверхность Re(w − z 2 ) = 0, аффинно эквивалентную (3.28).
3.2.3. Поверхности веса 2 с 3-мерными алгебрами g(M )
При изучении 3-мерных алгебр, отвечающих этому же случаю, отметим, что их имеется достаточно много.
Здесь основой является допущение о том, что параметр B21 тоже выражается через основную тройку (p, p̄, q), а не является свободным. Положим
B21 = α1 p + α2 p̄ + α3 q,
где α1 = m + in, α2 = m − in, а
m, n, α3 - некоторые вещественные числа.
Тогда надо обсуждать 3-мерные алгебры с базисами вида


(− 23 f300 + m) −(f201 + 2if002 ) 1
E1 = 
4i
2m
0 ,
0
0
0


(− 23 if300 − n) −i(f201 + 2if002 ) i
E2 = 
−4
−2n
0 ,
0
0
0
 1

(−f
+
α
)
−f
0
201
3
102
2
E3 = 
0
(α3 + 2iλ) 1  .
0
0
0
(3.29)
Как и ранее, предлагается рассмотреть три скобки выписанных "базисных" матриц и проверить условия замкнутости линейной оболочки
< E1 , E2 , E3 > относительно скобки. Вводя еще обозначения
f201 = r + it (r, t ∈ R),
100
f002 = λ ∈ R,
(3.30)
из таких условий можно получить следующие ограничения на входящие в
(3.29) параметры:
n −m
r
·
= 0,
(in − m)f300 = 0
(3.31)
m n
t + 2α3
f102 = −λ(m + in).
(3.32)
В качестве первого подслучая мы разберем ситуацию, в которой
m = 0, n = 0, f300 6= 0.
(3.33)
Замечание. В этой ситуации растяжением переменных коэффициент
f300 = ξ + iη можно поместить, например, на единичную окружность: f300 ∈
S 1 . Более того, дугу единичной окружности, достаточную для рассмотрения
всех поверхностей из этого случая, можно сделать весьма малой. В самом
деле, замена z → −z сохраняет вид уравнения
v = (z 2 + z̄ 2 ) + f300 z 3 + ...,
(3.34)
но изменяет знак коэффициента f300 в нем. Следовательно, можно вместо
полной окружности
S 1 = {eiθ , θ ∈ [0, 2π)}
рассматривать лишь ее половину (расположенную в любом месте, например,
θ ∈ (−π/2, π/2].)
Еще одна замена z → iz, w → −w также сохраняет вид (3.33), но
превращает f300 в if300 . Комбинируя замены двух этих типов, всегда можно
добиться выполнения условия
f300 = eiθ , θ ∈ (−π/4, π/4].
(3.35)
Предложение 3.8. В случае m = 0, n = 0, f300 6= 0 существует
семейство (коммутативных) матричных алгебр с базисами вида (3.29),
зависящее от 3-х вещественных параметров
arg(f300 ), r, λ.
Базисы этих алгебр имеют вид
 3

 3

− 2 f300 −(r − 2iλ) 1
− 2 if300 −i(r − 2iλ) i
E1 =  4i
0
0  , E2 =  −4
0
0 ,
0
0
0
0
0
0
(3.36)
101


−(r − 2iλ)
0
0
E3 = 
0
−(r − 2iλ) 1  .
0
0
0
Если при m = 0, n = 0, f300 = 0 отличен от нуля коэффициент r =
Ref102 , то его можно сделать за счет сжатия переменных равным ±1.
Предложение 3.9 В случае m = 0, n = 0, f300 = 0, r = Ref201 = ±1
выполняются дополнительные ограничения
f201 = r − 4iλ, f102 = 0, α3 = −r = ±1.
При этом базис обсуждаемой алгебры (3.29) имеет вид




0 (−r + 2iλ) 1
0 i(−r + 2iλ) i
E1 =  4i
0
0  , E2 =  −4
0
0 ,
0
0
0
0
0
0
(3.37)
(3.38)

(−r + 2iλ)
0
0
0
(−r + 2iλ) 1  ,
E3 = 
0
0
0

Замечание. Формально (3.38) совпадает с (3.36) при подстановке f300 =
0. Однако, имеется еще отличие этого случая от (3.36), связанное с условием
r = ±1, которого не было ранее.
Предложение 3.10. В случае
m = 0, n = 0, f300 = 0, r = Ref201 = 0,
(3.39)
имеется два типа алгебр с базисами вида (3.29). Базис первого типа имеет вид:






0 0 1
0 0 i
(α3 + 2iλ)/2
0
0
E1 =  4i 0 0  , E2 =  −4 0 0  , E3 = 
0
(α3 + 2iλ) 1  ,
0 0 0
0 0 0
0
0
0
(3.40)
а второго :






0 2iλ 1
0 −2λ i
2iλ 0 0
E1 =  4i 0 0  , E2 =  −4 0 0  , E3 =  0 2iλ 1  .
0 0 0
0
0 0
0
0 0
(3.41)
102
Замечание. Базис (3.41) совпадает по форме с (3.38) при условиях
r = Re(f201 ) = 0, α3 = 0, f300 = 0,
(3.42)
Перейдем теперь к расмотрению второго основного случая, связанного
с условием
m2 + n2 6= 0.
Здесь справедливо следующее утверждение.
Предложение 3.11. Базис 3-мерной алгебры (3.29), подчиняющийся
условиям f300 = 0, m2 + n2 6= 0, обязан иметь вид






0 0 0
−n 0 i
m 0 1
E1 =  4i 2m 0  , E2 =  −4 −2n 0  , E3 =  0 0 1  . (3.43)
0 0 0
0
0 0
0 0 0
Несложно проверяется, что при любых вещественных m, n матрицы
(3.43), действительно, образуют базис 3-мерной алгебры с коммутационными соотношениями
[E1 , E2 ] = nE1 + mE2 ,
[E1 , E3 ] = 2mE3 ,
[E3 , E2 ] = 2nE3 .
(3.44)
3.2.4. Интегрирование 3-мерных алгебр
Выше нами получены несколько типов 3-мерных алгебр, относящихся
к поверхностям веса 2. Это:
1) 3-параметрическое семейство (3.36);
2) три 1-параметрических семейства (3.38) с ограничениями а) (3.37),т.е.
r = ±1 и б) (3.41), т.е. r = 0;
3) 2-параметрическое семейство (3.40);
4) 2-параметрическое семейство (3.43).
Теперь необходимо найти интегральные поверхности (орбиты) этих алгебр, проходящие через начало координат пространства C2 . При этом, разумеется, интерес представляют лишь новые поверхности, не упоминавшиеся
выше.
103
Отметим в связи с этим, что семейство (3.43) не дает новых однородных
п товерхностей. Дело в том, что каждая из алгебр этого семейства является
подалгеброй 4-мерной алгебры (3.27). Тогда в силу предложения 1.11 из §1.6
интегральным многообразием любой такой алгебры, содержащим начало
координат, является известная уже поверхность (3.28), т.е.
v = z 2 + z̄ 2 .
Замечание. Алгебры из 2-параметрического семейства (3.40) являются подалгебрами 4-мерной алгебры (3.28) лишь при нулевом параметре λ.
При интегрировании семейства (3.40) с ненулевыми значениями параметра λ возникают определенные трудности. Связано это с тем, что матрица E1 (как и E2 ) имеет здесь жорданову клетку 3-го порядка. Матрица
E3 дигонализируема, но имеет комплексные (с ненулевыми мнимыми частями) собственные значения, что тоже плохо сказывается на интегрировании
системы уравнений в частных производных, отвечающих данным алгебрам.
Поэтому мы сначала построим параметрические описания искомых поверхностей, а затем из них получим координатные представления.
Предложение 3.12. При условии λ 6= 0 интегральными многообразиями алгебры (3.40) являются поверхности
2
|w − z 2 | = eB arg(w−z ) , B =
α3
∈ R.
2λ
(3.45)
Доказательство.
Рассмотрим вместо алгебры (3.40) подобную ей алгебру, в которой первая базисная матрица E1 имеет жорданов нормальный вид. Это достигается
за счет подобия g → S −1 gS с матрицей


0 1 0
S =  4i 0 0  ,
0 0 1
При обсуждаемом подобии базис (3.40) превратится





0 1 0
0 i 0
2µ
E1 =  0 0 1  , E2 =  0 0 i  , E3 =  0
0 0 0
0 0 0
0
где µ = α3 /2 + iλ.
104
в

0 −i/4
µ 0 ,
0
0
Для новых базисных матриц вычислим экспоненты (t, s, r - вещественные параметры)




1 t t2 /2
1 is −s2 /2
e(tE1 ) =  0 1 t  , e(sE2 ) =  0 1
is  ,
(3.46)
0 0 1
0 0
1


2µr
e2µr 0 −i e 8µr−1 r


e(rE3 ) =  0 eµr
.
0
0
0
1
Переходя из обсуждаемого пространства C2 в проективное комплексное
пространство CP2 , будем представлять все точки, близкие к началу координат C2 , набором трех координат. При этом третья координата должна быть
ненулевой; можно для простоты полагать ее равной, например, единице.
Так мы получаем техническую возможность применять линейные преобразования, заданные квадратными матрицами 3-го порядка, к точкам
(векторам) исходного комплексного пространства C2 , по сути игнорируя в
образе такого преобразования третью координату.
Применяя теперь (в рассмотренном смысле) к точке (0, 0) пространства C2 поочередно преобразования из 3-х выписанных однопараметрических групп (3.46), получаем описание поверхности M в виде
−i 2µr
1
e − 1 , w = eµr (t + is).
(3.47)
z = e2µr (t + is)2 +
2
8µ
Выражая здесь из второго уравнения (t + is), запишем первое в следующей форме
1
−i 2µr
z − w2 =
e −1 .
2
8µ
Далее выделим из этого уравнения как самое важное выражение
1
e2µr = 1 + 8iµ(z − w2 ).
(3.48)
2
В координатах
∗
∗
p
z = 1 + 8iµz, w = 2 iµw
(3.48) можно записать (опуская звездочки) в виде
e2µr = (z − w2 ).
Логарифмируя полученное уравнение, достаточно теперь выразить параметр r из мнимой части и подставить его выражение в вещественную
часть уравнения, получаемого после логарифмирования.
105
Это означает, что (с точностью до аффинных преобразований) мы получаем координатную запись обсуждаемой поверхности в требуемом виде
(3.45).
Замечание 1. Поверхности (3.45) - это еще одно обобщение логарифмических спиралей, полученное путем нанизывания на произвольную спираль одномерных комплексных многообразий. В отличие от Билефельдских
вееров здесь листы-многообразия являются не плоскими, а "параболически искривленными"(расплавленными от воронежской летней жары 2010
г.). Уравнение отдельного такого листа есть
w − z 2 = ζ, ζ − произвольная точка спирали {|ζ| = eB arg ζ } ⊂ C.
Замечание 2. При µ1 = Reµ = 0 мы получаем из (3.45) уравнение
алгебраической поверхности 4-го порядка
|w − z 2 | = 1.
(3.49)
Обсудим теперь 3-параметрическое семейство алгебр (3.36). Здесь наиболее важным моментом является наличие кратных собственных значений
у матрицы E1 из базиса такой алгебры.
Для обсуждаемого базиса






B 0 0
iA iB i
A B 1
E1 =  4i 0 0  , E2 =  −4 0 0  , E3 =  0 B 1 
0 0 0
0 0 0
0 0 0
(3.50)
(здесь мы используем упрощенные обозначения A = (−3/2)eßθ , B = −(r −
2iλ) ∈ C) это возможно в двух случаях:
1) при B = 0 матрица E1 имеет два нулевых характеристических корня
и одно ненулевое собственное значение;
2) при условии A2 + 16iB = 0 (A 6= 0, B 6= 0) матрица E1 помимо
простого нулевого собственного значения имеет еще 2-кратный ненулевой
характеристический корень и лишь один соответствующий ему собственный
вектор.
В первом случае получаем из (3.36) семейство (коммутативных) алгебр
с базисом






A 0 1
iA 0 i
0 0 0
E1 =  4i 0 0  , E2 =  −4 0 0  , E3 =  0 0 1  ,
(3.51)
0 0 0
0 0 0
0 0 0
106
где A = eiθ , (θ ∈ (−π/4, π/4]) - комплексное число с единичным модулем.
Предложение 3.13. С точностью до аффинных преобразований интегральным многообразием любой из алгебр (3.51) является поверхность с
уравнением (3.17), т.е.
v = e−2iθ ln(1 + eiθ z) + e2iθ ln(1 + e−iθ z),
π π
θ ∈ (− , ).
4 4
Замечание. В 3-мерном комплексном пространстве имеется семейство
голоморфно-однородных вещественных гиперповерхностей с 2-мерной группой изотропии, которое по сути "вырастает" из семейства (3.17). Его было
трудно построить в свое время (2000 г.) Речь идет о семействе
v = e−iθ ln(1 + z1 z̄2 ) + eiθ ln(1 + z2 z̄1 ),
π π
θ ∈ (− , ).
2 2
(3.52)
Для доказательства предложения 3.13 заметим, что в обсуждаемой алгебре присутствует поле E3 , что означает жесткость искомого уравнения
поверхности, т.е. представимость его в виде
v = F (z, z̄).
Далее заметим, что поля E1 , E2 связаны соотношением
E2 = iE1 .
Такое свойство изучаемой алгебры позволяет объединить два вещественных
уравнения, отвечающие основному тождеству Re(Z(Φ)) = 0 для полей E1
и E2 , в одно комплексное уравнение
E1 (Φ) = 0.
В развернутой форме это уравнение имеет вид
(Az + 1)
∂Φ
∂Φ
+ 4iz
= 0.
∂z
∂w
С учетом жесткости, т.е условия
∂Φ 1
∂F
i
= (i +
)=
∂w
2
∂u
2
уравнение (3.53) превращается в
(Az + 1)
∂F
= 2z или
∂z
107
∂F
2z
=
.
∂z
(Az + 1)
(3.53)
Его интегрирование приводит к формуле
F = 2Ā(z − Ā ln(z + Ā)) + ϕ(z̄).
(3.54)
С учетом вещественности функции F (z, z̄) это означает, что (3.54) можно записать в виде
F = 2iĀz− Ā2 (ln Ā+ln(1+Az))+(комплексно сопряженное выражение)+C,
где C ∈ R.
С точностью до аффинного преобразования последняя формула совпадает с требуемым уравнением (3.17).
Замечание. Вырожденная по Леви поверхность (3.17) расслаивается
на комплексные кривые w − iĀ2 ln(1 + Az) = R, R ∈ R.
Теперь вернемся к рассмотрению второго случая, нарушающего общность положения матрицы E1 в (3.50), а именно к
B=
iA2
(A 6= 0).
16
(3.55)
Предложение 3.14. При условии (3.55) любое интегральное многообразие алгебры (3.50), аффинно эквивалентно одной из поверхностей семейства (3.18), т.е.
π π
Re weiθ (z − eiθ w ln w) = 0, θ ∈ (− , ].
4 4
Для доказательства предложения 3.14 напомним, что в этом случае
матрица E1 имеет 2-кратное

собственное значение A/2 6= 0 и лишь один
−iA

собственный вектор
8  , отвечающий этому значению. Базис
0






A iA2 /16 1
iA −A2 /16 i
B 0 0
E1 =  4i
0
0  , E2 =  −4
0
0  , E3 =  0 B 1  .
0
0
0
0
0
0
0 0 0
(3.56)
обсуждаемой алгебры можно привести за счет подобия с матрицей


−iA
0
0
S =  8 −16/A −1/B 
(3.57)
0
0
1
108
к более удобному

ν 1

E1 =
0 ν
0 0
виду (ν = A/2)





0
iν i 0
B 0 0
0  , E2 =  0 iν 0  , E3 =  0 B 0  .
0
0 0 0
0 0 0
(3.58)
Напомним, что согласно обсуждениям из §1.6 первой главы подобие
алгебр с матрицей (3.57) означает аффинное преобразование координат (с
той же матрицей) в пространстве C2 . При этом интересующая нас точка
пространства C2 , а именно, начало координат, переходит в точку
(0, µ), µ =
A
.
16
Наличие в каждой из матриц (3.58) нулевого "окаймления" для левых
верхних 2x2-блоков позволяет при переходе в дальнейшем к экспонентам от
этих матриц обсуждать именно левые блоки и использовать в пространстве
C2 только их.
В целом экспоненты etE1 , esE2 , erE3 (t, s, r - вещественные параметры )
имеют для матриц (3.58) вид

 iνs

 νt
e
iseiνs 0
e teνt 0
(3.59)
eiνs 0  ,
g1 (t) =  0 eνt 0  , g2 (s) =  0
0
0
1
0
0 1

eBr 0 0
g3 (r) =  0 eBr 0  .
0
0 1

Рассматривая орбиту точки Q(0, µ) ∈ C2 под действием 3-х однопараметрических групп (3.59), получаем параметрическое представление искомой поверхности в виде
z = eν(t+is)+Br (t + is)µ,
w = eν(t+is)+Br µ.
Исключая из формул (3.60) параметры t, s за счет соотношения
t + is =
z
,
w
можно получить одно (комплексное) уравнение
w
= eνz/w+Br .
µ
109
(3.60)
Принимая здесь zν/µ и w/µ за новые переменные (с теми же обозначениями z и w соответственно), получим
w = ez/w+Br .
Выражая из этого уравнения вещественный параметр r, имеем
r=
1
z
(ln w − ).
B
w
Это означает, что уравнение искомой поверхности в координатной форме можно записать следующим образом
z
1
Im
(ln w − ) = 0.
B
w
С учетом формул, связывающих B и A = e−iθ ∈ S 1 , последнее уравнение
преобразуется к требуемому в (3.18) виду
Re weiθ (z − eiθ w ln w) = 0.
(3.61)
Предложение 3.14 доказано.
Для лучшего понимания ситуации можно убедиться непосредственно в
аффинной однородности поверхностей, задаваемых уравнениями (3.61).
Во-первых, такое уравнение сохраняется 2-параметрическим семейством
аффинных преобразований
z ∗ = tz + (eiθ t ln t)w, w∗ = tw
при комплексных t, свободно изменяющихся, например, вблизи точки 1.
Кроме того, имеется еще 1-параметрическая группа "растяжений"
z ∗ = ζz, w∗ = ζw
(3.62)
пространства C2 , также сохраняющих уравнение (3.61).
Это возможно, если комплексный коэффициент "растяжения" ζ удовлетворяет соотношению
Re e2iθ ln ζ = 0, ζ ∈ U (1) ⊂ Cζ .
(3.63)
Несложно видеть, что при θ = 0 уравнение (3.63) задает дугу единичной
окружности, а при 0 < |θ| < π/4 - логарифмическую спираль
|ζ| = eD arg ζ , D = tg(2θ)
110
проходящую через точку 1 ∈ Cζ .
Наконец, при θ = π/4 коэффициент ζ оказывается вещественным (спираль выпрямляется).
В случае простого спектра у матрицы
же самое, (3.50))



iA iB
A B 1
E1 =  4i 0 0  , E2 =  −4 0
0 0
0 0 0
E1 из базиса (3.36) (или, что то



B 0 0
i
0  , E3 =  0 B 1 
0 0 0
0
это 3-параметрическое семейство алгебр разбирается достаточно просто.
Предложение 3.15. В случае простого спектра у матрицы E1 из
базиса (3.36) алгебра с таким базисом аффинно-диагонализируема.
Для доказательства обозначим через ω один из квадратных корней из
ненулевого комплексного числа A2 + 16iB.
Тогда непосредственная проверка показывает, что подобие с матрицей


1
1
0
S =  8i/(A + ω) 8i/(A − ω) −1/B 
0
0
1
диагонализирует любую из рассматриваемых алгебр, переводя базис (3.50)
в






B 0 0
iλ1 0 0
λ1 0 0
E1 =  0 λ2 0  , E2 =  0 iλ2 0  , E3 =  0 B 0  ,
0 0 0
0 0 0
0 0 0
где λ1 , λ2 - собственные значения матрицы E1 , взятые в произвольном порядке
В силу предложения 3.3 из начала главы этим доказывается важное
следствие.
Следствие. В случае простого спектра у матрицы E1 из базиса алгебры
(3.36) соответствующая алгебре аффинно-однородная поверхность аффинно эквивалентна одной из поверхностей 3-параметрического семейства (3.2).
Завершая этот параграф, остается заметить, что три семейства (3.38)
(при r = ±1) и (3.41) имеют вид (3.50). При этом условие r = ±1 (семейства (3.38)) означает, что матрица E1 имеет простой спектр. Тогда в силу
только что полученного следствия любой алгебре из этих двух семейств
соответствуют поверхности из 3-параметрического семейства (3.2). То же
111
самое справедливо и относительно поверхностей семейства (3.41), отвечающих ненулевым значениям параметра λ.
Наконец, при λ = 0 формулы (3.41) задают тот же базис, что и формулы (3.40) при дполнительном условии α3 = 0. В этом случае алгебра
(3.41) является подалгеброй (3.27), а потому ей соответствует аффиннооднородная квадрика (3.15).
Теорема 3.1 полностью доказана.
Замечание. Можно еще проверить, что все построенные в этой теореме поверхности являются именно теми поверхностями, которые разыскивались в каждой конкретной ситуации. Для этого необходимо привести
уравнение каждой из этих поверхностей к каноническому виду и убедиться,
что, например, коэффициент f300 имеет для них требуемый вид.
Эти вычисления мы здесь не приводим.
§3.3. Поверхности веса 3
Основным результатом данного раздела является следующее утверждение.
ТЕОРЕМА 3.2. Любая аффинно-однородная вырожденная по Леви
гиперповерхность веса 3 пространства C2 аффинно-эквивалентна вблизи
любой своей неособой точки одной из поверхностей 3-параметрического
семейства (3.2).
3.3.1. Размерность алгебры g(M ) для однородных
поверхностей веса 3
Как и в случае поверхностей веса 2 здесь также предлагается рассмотреть младшие (до веса 4) компоненты основного тождества. Так получаются
следующие формулы для поверхностей веса 3:
B1 = 2iq.
(3.64)
B22 = p + p̄ + 2f002 q
(3.65)
A1 = 2ip − 2(f102 + if002 )q.
(3.66)
1
3
A21 + B21 f002 = −Re(f102 p + f003 q).
2
2
(3.67)
112
Эти формулы означают, что семь из восьми вещественных параметров,
составляющих комплексную 2x2-матрицу
A1 A2
e=
,
(3.68)
B1 B2
выражаются через (p, q) и параметр B21 . Свободными параметрами в алгебре g(M ) векторных полей на однородной поверхности M могут быть помимо
сдвиговых компонент (p, q) лишь коэффициенты A22 и B21 матрицы (3.68).
Следовательно, имеется оценка
3 ≤ dimR g(M ) ≤ 5
для однородных поверхностей из этого случая.
Предложение 3.16. С точностью до аффинных преобразований существует единственная Леви-плоская гиперповерхность веса 3, имеющая
5-мерную алгебру g(M ) в любой своей неособой точке. Эта поверхность конус (3.13), т.е.
|z|2 − |w|2 = 0,
а базис вида (1.44) соответствующей алгебры имеет вид:




2i 0 1
−2 0 i
E1 =  0 2i 0  , E2 =  0 2 0  ,
(3.69)
0 0 0
0 0 0






0 0 0
0 i 0
0 0 0
E3 =  2i 0 1  , E4 =  0 0 0  , E5 =  0 1 0  .
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Схема доказательства этого предложения аналогична предыдущим рассуждениям. Из общей матрицы


2ip − 2(f102 + If012 )q
A2
p
M =
2iq
B21 + i(p + p̄ + 2f002 q) q  ,
(3.70)
0
0
0
получаемой с учетом формул (3.64)-(3.67) и равенства
A2 = (−1/2) · (f002 B21 + (f102 p + f012 p̄) + 3f003 q) + iA22 ,
формируются пять гипотетических базисных матриц E1 , ..., E5 , соответствующих простейшим наборам параметров (p, q, A22 , B21 ), т.е
(1, 0, 0, 0), (i, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1).
113
Настоящий базис (3.69) появляется из проверки условий замкнутости
линейной оболочки матриц E1 , ..., E5 относительно скобки. Всего имеется
10 = C52 таких попарно различных скобок для пяти базисных матриц. В
процессе упомянутой проверки устанавливаются коммутационные соотношения в изучаемой 5-мерной алгебре:
[E1 , E2 ] = [E1 , E3 ] = [E1 , E4 ] = [E1 , E5 ] = 0,
[E2 , E4 ] = −2E4 ,
[E2 , E3 ] = 2E3 ,
[E2 , E5 ] = 0,
[E3 , E4 ] = −E2 − 2E5 ,
[E3 , E5 ] = −E3 ,
[E4 , E5 ] = E4 .
Далее остается проинтегрировать алгебру (3.69). Система уравнений в
частных производных, отвечающих полям (3.69), имеет вид:
(1 − 2y)
∂F
∂F
∂F
+ 2x
− 2F
− 2u = 0,
∂x
∂y
∂u
(1 − 2y)
∂F
− 2x = 0,
∂u
−F
−2x
∂F
∂F
+ (1 − 2y)
= 0, (3.71)
∂x
∂y
∂F
∂F
+u
= 0,
∂x
∂y
−F + u
∂F
= 0.
∂u
Общее решение последнего уравнения этой системы есть
F = u · G(X, y)
(3.72)
с произвольной аналитической функцией G(X, y). Подстановка (3.72) в третье уравнение системы приводит к формуле
(1 − 2y)G − 2x = 0,
означающей, что решением всей системы (5.34) может быть только функция
F =
2xu
.
1 − 2y
(3.73)
Легко проверяется, что найденная функция (3.73) удовлетворяет и всем
остальным уравнениям обсуждаемой системы (первому, второму и четвертому). Остается заметить, что уравнение
v=
2xu
,
1 − 2y
получаемое из (3.73), можно записать в виде
2xu + v(2y − 1) = 0.
После аффинного преобразования z → (z + i/2), w → w получаем
здесь xu + yv = 0 или
Re(z w̄) = 0.
(3.74)
114
Еще одной линейной заменой координат в пространстве C2 последнее
уравнение превращается в уравнение конуса (3.13).
Предложение 3.16 доказано.
Замечание. Выше уже говорилось, что конус является одной из линейно-однородных поверхностей 3-параметрического семейства (3.2). Переход
от алгебры (3.69) к алгебре, акцентирующей это свойство конуса, осуществляется например, подобием, с матрицей


0 1 i/2
S =  i 0 0 ,
0 0 1
состоящей из собственных векторов матрицы E1
набор (3.69) примет вид



2i 0 0
−2



E1 =
0 2i 0 , E2 =
0
0 0 0
0




0 0 0
0 2 0
E3 =  0 0 0  , E4 =  −1 0 0  ,
0 0 0
0 0 0
из (3.69). При этом весь

0 0
(3.75)
−2 0  ,
0 0


1 0 0
E5 =  0 0 0  .
0 0 0
Далее мы рассмотрим возможные меньшие размерности для алгебр в
этом случае. Для упрощения работы с матрицами вида (3.70), составлящими
такие алгебры (любых размерностей), введем новые параметры, полагая
λ = f002 , ξ = Ref102 , η = Imf102 , µ = f003 .
3.3.2. Однородные поверхности с 4-мерными алгебрами g(M )
Интересуясь всеми возможными 4-мерными алгебрами требуемого вида (3.70), отметим, что мы уже имеем много информации о трех первых
базисных матрицах такой алгебры, отвечающих стандартной тройке наборов (p, q), т.е. (1, 0), (i, 0), (0, 1). Остается лишь учесть возможные ненулевые
значения параметров B21 и A22 в этих матрицах.
У четвертой базисной матрицы гипотетической алгебры последний столбец можно считать нулевым. Тогда в соответствии с (3.37) она должна иметь
вид


0 (−1/2)λW4 + IN4 0
E4 =  0
W4
0 .
0
0
0
115
При этом W4 и N4 , равные, соответственно, значениям параметров B21
и A22 в матрице E4 - вещественные числа. Для упрощения обсуждений мы
рассмотрим здесь два случая, связанные с парой чисел (W4 , N4 ).
Прежде всего заметим, что пользуясь возможностью вещественного
масштабирования ненулевой базисной матрицы E4 , можно считать, что W4
равно либо нулю (и тогда N4 6= 0), либо любому конкретному ненулевому
числу, например, 2. Той же процедурой масштабирования можно в первом
случае упростить N4 и превратить этот коэффициент в единицу.
Таким образом, матрица E4 любой изучаемой гипотетической алгебры
может быть приведена к одному из двух видов:




0 (−λ + iN4 ) 0
0 i 0
E4 =  0
2
0  или E4 =  0 0 0  .
0
0
0
0 0 0
Пользуясь уточненной информацией о матрице E4 , мы теперь можем
внести изменения и в матрицы E1 − E3 . Учитывая сказанное выше, можно
сформулировать следующее утверждение. Оно представляет собой сокупность необходимых условий на алгебру, удовлетворяющую обозначенным
выше свойствам (4-мерная алгебра g(M ) и вес поверхности, равный 3).
Предложение 3.17. 4-мерная алгебра, отвечающая однородной поверхности веса 3, может иметь базис лишь одного из двух видов (b1 ,b2 ,
b3 ; N1 , N2 , N3 , N4 - некоторые вещественные параметры):




2i −(λb1 + ξ) 1
−2 (−λb2 + η) i
2b2
0 ,
(3.76)
E1 =  0 2(i + b1 ) 0  , E2 =  0
0
0
0
0
0
0


−2(ξ + iη + iλ) (−1/2) · (2λb3 + 3µ) 0
E3 = 
2i
2(b3 + iλ)
1  , E4
0
0
0
или



2i (iN1 − ξ) 1
−2 (η + iN2 )
E1 =  0
2i
0  , E2 =  0
0
0
0
0
0
0


−2(ξ + iη + iλ) (−3µ/2 + iN3 ) 0
E3 = 
2i
2iλ
1 ,
0
0
0
116



0 i 0
=0 0 0
0 0 0

i
0 ,
0
(3.77)

0 (−λ + iN4 ) 0
E4 =  0
2
0 .
0
0
0
Подчеркнем еще раз необходимый характер условий (3.76) и (3.77).
Теперь предлагается рассмотреть все попарные скобки матриц (3.76) и, соответственно, (3.77) и выяснить: при каких значениях входящих в них параметров линейные оболочки наборов таких матриц образуют матричные
алгебры Ли ?
Предложение 3.18. Если линейное пространство с базисом (3.76)
или (3.77) является матричной алгеброй Ли, то базис такой алгебры
можно представить в одном из двух следующих видов:
1 случай (базис (3.76), b = b1 ):



2i
−λb
1
−2 −2λ
E1 =  0 2(i + b1 ) 0  , E2 =  0
2
0
0
0
0
0



0 −λ2 b/2 0
0 i



E3 = 2i (b + 2i)λ 1 , E4 = 0 0
0
0
0
0 0
2-й случай (базис (3.77), N = N4 ):



2i 0 1
−2
E1 =  0 2i 0  , E2 =  0
0 0 0
0



0 (−i/2)(λ2 + N 2 ) 0
2iλ
1  , E4 = 
E3 =  2i
0
0
0

i
0 ,
0

0
0 ;
0

0 i
−2 0  ,
0 0
(3.78)
(3.79)

0 (−λ + iN ) 0
0
2
0 .
0
0
0
Следующий шаг состоит в выяснении вопроса о возможных подобиях
друг другу полученных матричных алгебр и о виде таких матриц, более
удобном для интегрирования.
Предложение 3.19. При любых значениях параметров λ, N алгебра
Ли с базисом (3.79) подобна алгебре g =< E1 , E2 , E3 , E4 > с матрицами








i 0 0
1 0 0
0 0 0
0 1 0
E1 =  0 i 0  , E2 =  0 0 0  , E3 =  0 1 0  , E4 =  0 0 0  .
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
(3.80)
Для доказательства предложения 3.19 используется приведение к жордановой нормальной форме матрицы E3 из (3.79), имеющей собственные
значения
−N + iλ, N + iλ, 0.
117
В связи с этим интерес представляют два случая:
1) N 6= 0 : спектр E3 - простой.
2) N = 0 : E3 имеет кратные собственные значения и только два собственных вектора.
Если N 6= 0, то преобразование подобия с матрицей


(iN − λ)/2 (iN + λ)/2 i/2
S=
1
1
0 
0
0
1
превращает базис (3.79) в

2i 0

E1 =
0 2i
0 0

(−N + iλ)
0
E3 = 
0


0
−2


0 , E2 =
0
0
0

0
0
(N + iλ) 0  , E4
0
0

0 0
−2 0  ,
0 0


2 2 0
=  0 0 0 .
0 0 0
Легко видеть, что с точностью до линейных комбинаций такой базис
совпадает с набором (3.80).
Во втором случае в качестве матрицы подобия можно использовать


−λ/2 −i/2 i/2
0
0 .
S= 1
0
0
1
При этом матрицы E1, E2 диагонализируются,
ся, соответственно, в



2 0
iλ 1 0
∗
∗
E3 =  0 iλ 0  , E4 =  0 0
0 0
0 0 0
а E3 и E4 превращают
0
0 .
0
Алгебра с таким базисом также совпадает с линейной оболочкой матриц
(3.80).
Предложение 3.19 доказано.
Предложение 3.20 Независимо от параметра λ любая алгебра Ли с
базисом (3.78) подобна алгебре g =< E1 , E2 , E3 , E4 > с матрицами


2i + b
0
0
E1 =  0
2i + b 0  ,
(3.81)
0
0
0
118






−1 0 0
0 1 0
0 0 0
E2 =  0 1 0  , E3 =  0 0 0  , E4 =  1 0 0 
0 0 0
0 0 0
0 0 0
(с тем же значением параметра b).
Для доказательства отметим, что при λ = 0 диагонализация матрицы E2 сразу переводит обсуждаемую алгебру (3.78) в подобную ей алгебру
(3.819).
При λ 6= 0 ситуация оказывается несколько сложнее предыдущего случая. Например, упомянутая выше диагонализация матрицы E2 не обеспечивает одновременного приведения всего набора (3.78) к удобному виду. Здесь
вместо базиса (3.78), возникающего при изучении канонических уравнений
однородных поверхностей, рассмотрим базис
b
1
1
E1∗ = E1 − E2 , E2∗ = E1 − E3 + λE4 ,
(3.82)
2
2
λ
1
1
1
1
1
1
E3∗ = E1 − E2 − E3 , E4∗ = − E1 − E2 + E3 .
4
4
2λ
4
4
2λ
Тогда подобие M → S −1 M S с матрицей

 
 

−λ 0 i/2
−i −1 0
iλ
λ
i/2
S = S1 S2 =  1 1 0  ·  1 i 0  =  1 − i −1 + i 0 
0 0 1
0 0 1
0
0
1
превращает набор матриц (3.82) в базис (3.81).
Для завершения описания однородных поверхностй требуемого типа с
4-мерными алгебрами g(M ) остается сослаться на следующий достаточно
простой факт.
Предложение 3.21 Интегральной поверхностью, отвечающей любой из 4-мерных алгебр (3.80), (3.81), является (с точностью до аффинной
эквивалентности) конус
Re(z w̄) = 0.
Для доказательства достаточно заметить, что любая из обсуждаемых
алгебр подобна некоторой 4-мерной подалгебре алгебры конуса.
В самом деле, для матриц (3.80) (отмеченных звездочкой во избежание путаницы) имеем следующие выражения через пять базисных матриц
алгебры конуса (3.69):
1
1
1
E1∗ = E1 , E2∗ = E5 , E3∗ = − E2 − E5 , E4∗ = E3 .
2
2
2
119
Аналогично, для алгебры (3.81)
1
1
b
E1∗ = E1 − E2 , E2∗ = − E2 − 2E5 , E3∗ = E3 , E4∗ = −E4 .
2
2
2
В силу уже использовавшихся обсуждений это означает требуемое.
Замечание. Разумеется, утверждение предложения 3.21 можно получить как непосредственным интегрированием системы уравнений в частных
производных, так и через рассмотрение одно-параметрических групп, отвечающих базисным матрицам полученных выше алгебр.
3.3.3. Однородные поверхности с 3-мерными алгебрами g(M )
В этом случае любое линейное векторное поле, касательное к обсуждаемой однородной поверхности M , имеет тот же вид (3.70). В качестве
базисных матриц мы, как обычно, рассмотрим матрицы, отвечающие стандартным наборам (p, q): пара (1, 0) образует сдвиговый вектор поля (матрицы) E1 , вектор (i, 0) отвечает матрице E2 , и, наконец, вектор (0, 1) связан с
матрицей E3 .
При этом параметры B21 , A22 таких полей принимают в трех базисных
матрицах E1 , E2 , E3 обсуждаемой алгебры некоторые числовые значения.
Пусть
α1 , α2 , α3
- это значения параметра A22 в матрицах E1 , E2 , E3 соответственно, а
β1 , β2 , β3
- значения параметра B21 в тех же матрицах.
В такой ситуации предлагается выяснить вопрос о различных 3-мерных
матричных алгебрах, состоящих из матриц вида (3.70). Как и ранее, предлагаемый вид базисных матриц оказывается весьма жестким ограничением
на обсуждаемые алгебры.
Рассмотрение скобок "базисных" матриц, детали которого мы не приводим, позволяет получить здесь следующее утверждение.
Предложение 3.22. Если набор матриц (3.70) является базисом 3мерной матричной алгебры Ли g, то с точностью до матричного подобия
g совпадает с одной из алгебр g =< E1 , E2 , E3 > следующего списка:




 iθ

1 0 0
i 0 0
e 0 0
(1)
gθ : E1 =  0 1 0  , E2 =  0 i 0  , E3 =  0 0 0  , θ ∈ [0, π);
0 0 0
0 0 0
0 0 0
120

I −α
(2)
gα : E 1 =  0
0

1 0
(3)
g(s,α) : E1 =  0 s
0 0
где s, α ∈ R


0
0
1 0
I + α 0  , E2 =  0 1
0
0
0 0


i+α
0
0
i+α
0  , E2 =  0
0
0
0


0
0
0  , E3 =  0
0
0


0
0
0  , E3 =  0
0
0

1 0
0 0 ;
0 0

1 0
0 0 ,
0 0
Предложение 3.23. С точностью до аффинной эквивалентности все
интегральные многообразия для алгебр из предложения 3.22 являются поверхностями из 3-параметрического семейства (3.2).
Для доказательства предложения 3.23 рассмотрим в первую очередь
группы линейных преобразований, порожденные алгебрами gθ1 .
Несложно проверить, что при θ ∈ (0, π/2) ∪ (π/2, π) орбитами этих
групп являются билефельдские вееры
w w = exp B arg( ) , (B = ctgθ).
z
z
При θ = 0 и θ = π/2 получаем конусы вида
w = 1 или Im(z w̄) = 0
z
сответственно.
Каждая из остальных алгебр из предложения 3.22 подобна одной из 3мерных подалгебр алгебры конуса (3.69). Следовательно, их интегральные
поверхности являются аффинными образами конуса, входящего в семейство
(3.2).
Доказательство предложения 3.23, а с ним и теоремы 3.2 завершено.
Завершая весь раздел, связанный с поверхностями веса 3, отметим, что
одно из первых его утверждений, а именно, предложение 3.3, не допускает
обращения.
В самом деле, размерность алгебры g(C) всех аффинных векторных
полей на конусе C = {Im(z w̄) = 0}, относящемуся к 3-параметрическому
семейству (3.2), равна не 3, а 5. При этом в 5-мерной алгебре g(C) имеются подалгебры размерности 3 и 4, для каждой из которых интегральным
многообразием является аффинный образ поверхности C. Трехмерные подалгебры g(C) не являются (см. Предложение 3.22) аффинно диагонализируемыми.
Группы аффинных преобразований, соответствующие всем построен(3)
ным подалгебрам конуса, легко выписываются. Например, для алгебры g(0,0)
121
из предложения 3.22 эта группа состоит из преобразований
(z, w) → λ(z, w), λ ∈ C,
(z, w) → (z + tw, w), t ∈ R.
§ 3.4. Поверхности веса 4
Теперь нам остается расмотреть последний случай, в рамках которого
обсуждаемая афффинно-однородная поверхность M веса 4 задается уравнением
X
Fk (z, z̄, u).
(3.83)
v = u2 +
k≥5
Предложение 3.24. Если вещественная гиперповерхность (3.83) аффинно-однородна, то в действительности ее уравнение имеет еще более
специальный вид
X
v = u2 + f003 u3 +
Fk (z, z̄, u),
(3.84)
k≥7
а параметры любого линейного векторного поля Z, касательного к поверхности M , удовлетворяют ограничениям
B1 = 0,
B22 = ImB2 = 2q,
B21 = −3f003 q.
(3.85)
Для доказательства этого предложения рассмотрим, как и в предыдущих разделах книги, младшие компоненты основного тождества для обсуждаемой поверхности M .
Из тождества веса 0, как всегда, вытекает условие вещественности параметра q, а компонента веса 1 превращается здесь в равенство B1 = 0.
Вместо общего уравнения веса 2
∂F2
1 ∂F4 1
∂F3 i
∂F3
Re
p
+ A1 z
+
q
+ B1 z
+ B2 (u + iF2 )
= 0,
∂z
∂z
2 ∂u
2
∂u
2
(3.86)
получаем здесь
1 ∂F4 i
Re
q
+ B2 u = 0.
2 ∂u
2
Это означает, что выполняется второе равенство из (3.85),т.е.
B22 = ImB2 = 2q.
122
В силу равенства нулю младших коэффициентов канонического уравнения (3.83) компонента веса 3 также упрощается. Ее (3,0,0)-, (2,1,0)- и (1,0,1)составляющие имеют вид:
1
(3, 0, 0) : Re
q(f301 z 3 + f031 z̄ 3 ) = 0,
(3.87)
2
1
q(f211 z 2 z̄ + f121 z z̄ 2 ) = 0,
(3.88)
(2, 1, 0) : Re
2
1
(1, 0, 1) : Re
q(2f102 zu + 2f012 z̄u) = 0.
(3.89)
2
Из этих соотношений получаем
f301 = 0,
f211 = 0 f102 = 0,
т. что F̂5 = 0, а уравнение M имеет вид:
(0)
v = u2 + F5 (z, z̄) +
X
Fk (z, z̄, u).
(3.90)
k≥6
Рассмотрим еще компоненту веса 4. В общем случае она имеет вид
∂F5 1 ∂F6 1
∂F4
+ q
+ B2 (u
− F4 ) = 0.
(3.91)
Re p
∂z
2 ∂u
2
∂u
Отсюда получаем в нашей ситуации
(0)
F5 = 0,
F̂6 = f003 u3 ,
т. что уравнение поверхности упрощается до требуемого вида (3.84).
Самую интересную часть компоненты веса 4 составляет (0,0,2)-уравнение
1 ∂F6 1
∂F4
q
+ B2 (u
− F4 ) = 0.
(3.92)
Re
2 ∂u
2
∂u
С учетом полученных выражений для F4 и F6 имеем в обсуждаемом
случае
3
1
(0, 0, 2) : f003 q + B21 = 0.
2
2
Отсюда получаем:
B21 = −3f003 q.
(3.93)
Предложение 3.24 доказано.
123
Следствие. Для алгебры G(M ), соответствующей аффинно-однородной
вырожденной гиперповерхности веса 4 справедлива следующая оценка размерности
dimR g(M ) ≤ 7.
В самом деле, в дополнение к основной тройке (p, q) свободными в алгебре g(M ) в силу предложения 1 могут быть лишь два комплексных параметра A1 и A2 .
Теперь мы можем доказать основной результат этого параграфа.
ТЕОРЕМА 3.3. Любая аффинно-однородная вырожденная гиперповерхность M веса 4 в пространстве C2(z,w) аффинно-эквивалентна декартову произведению логарифмической спирали, лежащей в плоскости Cw , на
плоскость Cz . Размерность группы аффинных преобразований, транзитивно действующей на любой такой поверхности, равна 7.
Для доказательства заметим, во-первых, что все слагаемые канонического уравнения (3.84) однородной поверхности веса 4 свободны от переменных z, z̄ и однозначно определяются вещественным коэффициентом
µ = f003 . Это легко устанавливается из индуктивного рассмотрения компонент веса k основного тождества.
Следовательно, существует не более чем 1-параметрическое семейство
аффинно-однородных поверхностей обсуждаемого вида. Все такие поверхности имеют 7-мерные группы аффинных преобразований, свободно действующие в направлении переменной z. Это означает, что все они являются
произведениями некоторых кривых в плоскости Cw на плоскость Cz .
В силу свойства аффинной однородности любой такой поверхности,
"опорная" кривая для нее является аффинно-однородной кривой относительно комплексных аффинных преобразований плоскости одной комплексной переменной w.
Теперь для завершения доказательства достаточно учесть существование логарифмических спиралей
ρ = eBϕ , B ∈ R,
(3.94)
являющихся аффинно-однородными (как в вещественном, так и в комплексном смысле) кривыми в плоскости Cw . Это означает, что декартово (прямое) произведение любой такой спирали на второй экземпляр комплексной
плоскости Cz является аффинно-однородной вещественной 3-мерной гиперповерхностью в 2-мерном комплексном пространстве C2 = Cz × Cw . Эта
поверхность вырождена по Леви в силу своей расслоенной структуры, и ее
уравнение (в любой точке) после аффинного преобразования переменной w
124
несложно записать в виде
v=
X
Dk uk = u2 +
X
Dk uk ,
(3.95)
k≥3
k≥2
являющемся частным случаем уравнения (3.90). Коэффициенты Dk из этого
уравнения определяются параметром B из уравнения (3.94).
Никаких других однородных поверхностей веса 4 не существует поскольку помимо логарифмических спиралей не существует других плоских
кривых, являющихся однородными относительно комплексных аффинных
преобразований. Этот факт является простым свойством полного списка
плоских аффинно-однородных кривых (см. Теорему 1.1 в §1.1).
Напомним, что (помимо спиралей) в этот список входят графики степенных функций v = uα , α ∈ [−1, 1) и еще две кривые v = ln u и v = u ln u.
Аффинные преобразования, реализующие однородность любой из этих кривых, являются веществеными (но не комплексными !) аффинными преобразованиями.
Теорема 3.3 доказана.
Пример 9. 7-мерная группа аффинных преобразований поверхности
(3.95) состоит из преобразований
z ∗ = A1 z + A2 w + p,
w∗ = w∗ (w, t),
(3.96)
где t ∈ R, A1 , A2 , p ∈ C. При этом вторая формула в (3.96) означает сдвиг
вдоль спирали, реализуемый умножением на текущую точку этой спирали.
В стандартных декартовых координатах такое преобразование записывается в виде
w∗ = e(B+i)t w.
Использование канонической координатной системы несколько усложняет соответствующую формулу. Ее точный вид можно определить из рассмотрения 7-мерной алгебры Ли, отвечающей поверхности (3.95) и имеющей
базис






0 0 i
0
0
0
0 0 1
E1 =  0 0 0  E2 =  0 0 0  , E3 =  0 (−3B + 2i) 1  , (3.97)
0 0 0
0 0 0
0
0
0








1 0 0
i 0 0
0 1 0
0 i 0
E4 =  0 0 0  , E5 =  0 0 0  , E6 =  0 0 0  , E7 =  0 0 0  .
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Замечание. При B = 0 спираль с уравнением (3.94) превращается в
окружность {|w| = 1} ∈ Cw .
125
Заключение
Построенная в настоящей книге классификация заполняет пробел, образовавшийся после описания Э. Картаном 80 лет назад голоморфно однородных вещественных гиперповерхностей двумерных комплексных пространств.
Эта классификация является естественным промежуточным шагом при
переходе от картановского случая к изучению голоморфной однородности
вложенных многообразий в комплексных пространствах более высоких размерностей. В задаче описания однородных гиперповерхностей, как частного
случая таких многообразий, пока имеются лишь самые общие утверждения.
Семейства аффинно-однородных многообразий образуют при этом значительную часть известных к настоящему времени примеров однородности.
В монографии иллюстрируется эффективность коэффициентного подхода в сочетании с техникой матричных алгебр Ли в задаче об аффинной
однородности вложенных многообразий. Такой комбинированный подход,
как ожидается, позволит получить в будущем новые класификационные результаты как в аффинном, так и в голоморфном случаях в пространствах
высоких размерностей.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Абросимов, А.В. О локально биголоморфной эквивалентности гладких гиперповерхностей в C2 /А.В. Абросимов //ДАН СССР. - 1988.- Т. 299.- N 4.- С. 777 - 781.
2. Azad, H. Homogeneous CR manifolds /H. Azad, A. Huckleberry, W. Richthofer //
J. Reine und Angew. Math. - 1985. - Bd. 358. - P. 125 - 154.
3. Артин, Э. Геометричеcкая алгебра/Э. Артин.- М.: Наука, 1969.- 284 с.
4. Baouendi, M. S. Real Submanifolds in Complex Space and Their Mappings/ M.S.
Baouendi, P. Ebenfelt, L.P. Rothschild.- 1998.- 409 pp.
5. Белицкий, Г.Р. Нормальные формы, инварианты и локальные отображения /Г.Р.
Белицкий.- Киев: Наукова думка, 1979.- 176 с.
6. Белошапка, В. К. О размерности групп автоморфизмов аналитической гиперповерхности/В.К. Белошапка // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1979.- Т. 43.- N 2.- C. 243 266.
7. Белошапка, В.К. Однородные гиперповерхности в C2 /В.К. Белошапка // Мат.
заметки.- 1996.- Т. 60.- N 5.- С. 760 - 764.
8. Beloshapka, V.K. Homogeneous hypersurfaces in C3 , associated with a model CRcubic / V. K. Beloshapka, I.G. Kossovskiy // J. Geom. Anal. - 2010 - V. 20.- No. 3.- P. 538 564.
126
9. Beloshapka, V.K. Classification of homogeneous CR- manifolds in dimension 4 / V.
K. Beloshapka, I.G. Kossovskiy // J. Math. Anal. Appl. - 2011.- V. 374.- No. 2.- P. 655-672.
10. Белых, Ф.А. Вещественные подалгебры малых размерностей матричной алгебры Ли M (2, C) / Ф.А. Белых, А.Ю. Борзаков, А.В. Лобода // Известия вузов. Математика. - 2007. - N 5. – С. 13 - 24.
11. Берс, Л. Уравнения с частными производными /Л. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер.
- М.: Мир, 1966.
12. Бишоп, Р. Геометрия многообразий /Р. Бишоп, Р. Криттенден. М.: Мир, 1963.
– 364 c.
13. Blaschke, W. Affine Differentialgeometrie / W. Blaschke // Berlin. – 1923.
14. Болдырева, О.А. О коэффициентном подходе к аффинной однородности / О.А.
Болдырева, А.В. Лобода // Вестник ВГУ. Серия "Физика. Математика". – 2006. N 1. –
С. 105 - 109.
15. Webster, S.M. On the Moser normal form at a nonumbilic point / S.M. Webster //
Math. Ann.- 1978.- Bd. 233.- N 2.- P. 97 - 102.
16. Webster, S.M. On the transformation groups of a real hypersurfaces / S.M. Webster
// Trans. Amer. Math. Soc.- 1977.- V. 231.- N 1. - P. 179 - 190.
17. Винберг, Э.Б. "Семинар по группам Ли и алгебраическим группам"/ Э.Б. Винберг, А.Л. Онищик.- М.: "УРСС 1995.- 344 с.
18. Winkelmann, J. The classification of 3-dimensional homogeneous complex manifolds
/ J. Winkelmann // Lecture Notes in Math. Springer, N 1602 (1995). - 230 pp.
19. Витушкин, А.Г. Голоморфные отображения и геометрия поверхностей / А.Г.
Витушкин // Современные проблемы математики. Т.7. М.:ВИНИТИ.- 1985. С. 167-226.
20. Витушкин, А.Г. Вещественно-аналитические гиперповерхности комплексных
многообразий / А.Г. Витушкин // УМН.-1985.- Т.40.- N2 (242).- C. 3-31.
21. Витушкин, А.Г. Голоморфное продолжение отображений компактных гиперповерхностей/А.Г. Витушкин // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1982.- Т. 46.- N 1.- C. 28-35.
22. Владимиров, В.С. Методы теории функций многих комплексных переменных/
В.С. Владимиров. - М.: Наука, 1964.- 412 с.
23. Wang, C.P. The classification of equiaffine indefinite flat homogeneous surfaces in
R /C.P. Wang // Geom. Dedicata. - V. 65 (1997). – P. 323 - 353.
4
24. Ганнинг, Р. Аналитические функции многих комплексных переменных/ Р. Ганнинг, Х. Росси.- М.: Мир, 1969.- 396 с.
25. Горбацевич, В.В. О классификации однородных пространств / В.В. Горбацевич
// ДАН СССР.- 1974.- Т. 216.- N 5.- С. 968 - 971.
26. Горбацевич, В.В. О трехмерных однородных пространствах/В.В. Горбацевич //
Сиб. матем. журн.- 1977.- Т. 18.- N 2.- С. 280 - 293.
27. Гузеев, Р.Н. О нормальных уравнениях аффинно-однородных выпуклых поверхностей пространства R3 / Р.Н. Гузеев Р.Н, А.В. Лобода // Известия вузов. Математика.2001.- N 3.- С. 25 - 32.
28. Гиллиган, Б. Слоения и глобализации компактных однородных CR-многообразий / Б. Гиллиган, А. Хаклберри // Изв. РАН. Сер. матем.-2009.- Т. 73.- N3- C. 67-126.
29. Guggenheimer, H. Differential geometry / H. Guggenheimer // McGraw-Hill. New
127
York. – 1963.
30. Dadok, J. Automorphisms of tube domains and spherical hypersurfaces/J. Dadok,
P. Yang // Amer. Journal of Math.- 1985.- V.107.- N 4.- P. 999-1013.
31. Данилов, М.С. Примеры аффинно-однородных индефинитных вещественных
гиперповерхностей пространства C3 /М.С. Данилов// Вестник ВГУ, Сер. "Физика. Математика". 2010.- N 1.- C. 97-106
32. Данилов, М.С. Об аффинной однородности индефинитных вещественных гиперповерхностей пространства C3 / М.С. Данилов, А.В. Лобода // Матем. заметки.- 2010.Т. 88.- N 6. С. 866-883.
33. Демин, А.М. Пример 2-параметрического семейства аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей в C3 / А.М. Демин, А.В. Лобода // Мат. заметки.- 2008.-Т.
84.- N 5 С. 791 - 794.
34. Dillen, F.J. (ed.) Handbook of Differential Geometry. Vol. 1. / F. Dillen, L.C.A.
Verstraelen // 2000, 1054 pp.
35. Doubrov, B. M. Homogeneous surfaces in the 3-dimensional affine geometry / B.M.
Doubrov, B.P. Komrakov, M. Rabinovich // Geometry and Topology of Submanifolds. – VIII,
World Scientific. – 1996. – P. 168 - 178.
36. Дубровин, Б.А. Современная геометрия / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т.
Фоменко.- М.: Наука, 1979. - 760 с.
37. Евченко, В. К. 4-мерные матричные алгебры и аффинная однородность вещественных гиперповерхностей пространства C3 / В.К. Евченко, А.В. Лобода // Вестник
ВГУ. Сер. "Физика. Математика". 2009, вып.1. С. 108 - 118.
38. Желобенко, Д. П. Представления групп Ли/ Д. П. Желобенко, А. И. Штерн //
М.: Наука, 1983 – 360 с.
39. Zaitsev D. Germs of local automorphisms of real-analytic CR structures and dependence on k-jets / D. Zaitsev // Math. Res. Let. V. 4 (1997), N 6, P. 823 - 842.
40. Zaitsev D. On different notions of homogeneity for CR-manifolds / D. Zaitsev //
The Asian Journal of Math. – V.11(2007). – N 2. – P. 331 - 340.
41. Исаев, А.В. Классификация сферических трубчатых гиперповерхностей, имеющих в сигнатуре формы Леви один минус / А.В. Исаев, М.А. Мищенко М.А. // Изв. АН
СССР, Сер. матем. – 1988. – Т. 52. – N 6. – С. 1123 - 1153.
42. Isaev, A.V. Rigid spherical hypersurfaces/A.V. Isaev // Complex Variables.- 1996.V. 31.- P. 141 - 163.
43. Isaev, A.V. On the number of affine equivalence classes of spherical tube hypersurfaces/A.V. Isaev // Math. Ann.- 2011.- V. 349.- P. 59-74.
44. Eastwood, M. Towards a classification of homogeneous tube domains in C4 / M.
Eastwood, V.V. Ezhov, A.V. Isaev J. // Dif. Geom.-2004.- N 68.- P. 553-569.
45. Eastwood, M. Examples of unbounded homogeneous domains in complex space/ M.
Eastwood, A.V. Isaev // Science in China, Ser. A, Mathematics.- 2005.- V. 48.- P. 248-261.
46. Eastwood, M. On affine normal forms and a classification of homogeneous surfaces
in affine three-space/ M. Eastwood, V.V.Ezhov // Geom Dedicata. – 1999. – V. 77. – P. 11 69.
47. Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геомет128
рия, изложенные методом подвижного репера / М.: Изд-во МГУ, 1963.- 368 с.
48. Cartan, E. Sur la geometrie pseudoconforme des hypersurfaces de deux variables
complexes / E. Cartan // Ann. Math. Pura Appl. – (4) 11 (1932). – P. 17 - 90 (Oeuvres II,
2, 1231 - 1304).
49. Kaup, W. Reele Transformationensgruppen und invariante Metriken auf Komplexen
Raumen/W. Kaup // Inv. Math.-1967. - V.3.P. 43 - 70.
50. Kaup, W. On the CR-structure of compact group orbits associated with bounded
symmetric domains /W. Kaup, D. Zaitsev// Invent. Math.- 2003.- V.153.- P. 45-104.
51. Кириллов, А.А. Элементы теории представлений /А.А. Кириллов.- М.: Наука,
1978.- 344 с.
52. Кобаяси, Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии / Ш.
Кобаяси. - М.: Наука, 1986.- 224 c.
53. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу
// М.: Наука. – 1981. т. 1 - 344 с.
54. Кружилин, Н. Г. Голоморфная эквивалентность трубчатых областей в C2 / Н.Г.
Кружилин, П.А. Солдаткин // Труды МИАН.- 2006.- Т. 253.- С. 101-110.
55. Lewy, H. On the boundary behavior of holomorphic mappings/ H. Lewy // Acad.
Naz. Lincei. V. 35 (1977). P. 1 - 8.
56. Liu, H.L. Centroaffinely homogeneous surfaces in R3 / H.L. Liu, C.P. Wang // Beitr.
Algebra Geom. – V. 35(1)(1994).– P. 109 - 117.
57. Лобода, А. В. О некоторых инвариантах трубчатых гиперповерхностей в C2 / А.
В. Лобода // Матем. заметки. – 1996. – Т. 59. – N 2 – С. 211 - 223.
58. Лобода, А. В. Об определении аффинно-однородной седловидной поверхности
пространства R3 по коэффициентам ее нормального уравнения / А. В. Лобода // Матем.
заметки.- 1999.- Т. 65.- N5.- C. 793 - 796.
59. Лобода, А.В. О размерности группы, транзитивно действующей на гиперповерхности в C3 / А. В. Лобода // Функц. анализ.- 1999.- Т. 33.- c. 68-71.
60. Лобода, А.В. Локальное описание однородных вещественных гиперповерхностей
двумерного комплексного пространства в терминах их нормальных уравнений/ А. В.
Лобода // Функц. анализ.- 2000, Т. 34. В. 2. - C. 33-42.
61. Лобода, А. В. Однородные вещественные гиперповерхности в C3 с двумерными
группами изотропии/ А. В. Лобода // Труды МИАН. – 2001. -Т. 235. – С. 114 - 142.
62. Лобода, А.В. Однородные строго псевдо-выпуклые гиперповерхности в C3 с
двумерными группами изотропии/ А.В.Лобода // Матем. сборник.- 2001.- Т. 192.- С. 3 24.
63. Лобода, А.В. Об определении однородной строго псевдо-выпуклой гиперповерхности по коэффициентам ее нормального уравнения /А.В. Лобода // Матем. заметки. –
2003. – Т. 73. – N 3. – С. 419 - 423.
64. Loboda, A.V. On homogeneity of embedded manifolds // Preprint. http://
www.mathematik.uni-bielefeld.de/sfb701/files/preprints/ sfb10091.pdf
65. Лобода, А. В. Аффинно-однородные вещественные гиперповерхности в C2 /
Функц. анализ, 2012. Принято к печати.
66. Лобода, А. В. Классификация аффинно-однородных невырожденных по Леви
129
вещественных гиперповерхностей пространства C2 / А.В. Лобода // Совр. проблемы математики и механики. вып. 3. К 100-летию со дня рождения Н.В.Ефимова. М.: Изд-во
МГУ.- 2011.- Т. VI, Математика.- С. 56 - 68.
67. Лобода, А. В. Об одном семействе аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей 3-мерного комплексного пространства / А. В. Лобода, А. С. Ходарев //
Известия вузов. Математика. – 2003. – N 10. – C. 38 - 50.
68. Montgomery, D. Topological transformation groups / D. Montgomery, L. Zippin.New York. - 1955.- 282 pp.
69. Mostow, G.D. The extensibility of local Lie groups of transformations and groups
on surfaces/G.D. Mostow // Annals of Math. V. 52, N 3, 1950.- P. 606 - 636.
70. Нгуен Т.Т.З. Об обобщениях логарифмических спиралей в пространстве C2 /
Нгуен Т.Т.З // "Вестник ВГУ Сер. "Физика. Математика". - 2010.- N 1.- С. 139-143.
71. Nomizu, K. A new model of unimodular-affinely homogeneous surfaces / K. Nomizu,
T. Sasaki // Manuscr. Math. – V. 73(1991).– N 1. – P. 39 - 44.
72. Nomizu, K. Affine Differential Geometry / K. Nomizu, T. Sasaki // Cambridge
Univ. Press, 1994. – 263 pp.
73. Норден, А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М.: Наука,
1976.- 432 с.
74. Олвер, П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер.
- М.: Мир, 1989.- 639 с.
75. Oliker, V. Affine geometry and polar hypersurfaces / V. Oliker, U. Simon // Analysis
and Geometry. – 1992. – P. 87 - 112.
76. Opozda, B., On locally homogeneous-structures / B. Opozda // Geom. Dedicata. 1998.- V.73.- P. 215-223.
77. Пинчук, С.И. Об аналитическом продолжении голоморфных отображений /
С.И. Пинчук // Матем. сб., 98(140):3(11), 1975.- С. 416-435.
78. Пинчук, С.И. О голоморфных отображениях вещественно аналитических гиперповерхностей/С.И. Пинчук // Матем. сб., 105(147):4, 1978.- С. 574-593.
79. Пинчук, С.И. Голоморфные отображения в Cn и проблема голоморфной эквивалентности /С.И. Пинчук // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам.
направления, Т. 9.1986, С. 195-223.
80. Понтрягин, Л.С. Непрерывные группы / Л.С. Понтрягин.- М.: Наука. 4-е изд.,
1984.- 520 с.
81. Постников, М.М. Группы и алгебры Ли (Лекции по геометрии. 5-й семестр)/
М.М. Постников.- М.: Наука, 1982.- 448 с.
82. Repovs, D. C 1 - homogeneous compacta in Rn are C 1 -submanifolds of Rn / D. Repovs,
A.B. Skopenkov, E.V. Schepin // Proc. Amer. Math. Soc. – V. 124 (1996). – P. 1219 - 1226.
83. Rossi, H. Homogeneous strongly pseudoconvex hypersurfaces/H. Rossi // Rice Univ.
Studies.- 1973. -V. 59.- N 3. - P. 131 - 145.
84. Серр, Ж.-П. Алгебры и группы Ли/ Ж.-П. Серр.- Ч. 1-3, "Платон 1997.- 372 с.
85. Stanton, N.K. Infinitesimal CR automorphisms of rigid hypersurfaces / N.K. Stanton
// Amer. J. Math. V. 117 (1995), N 1.- P. 141 - 167.
86. Takagi, R. On homogeneous real hypersurfaces in a complex projective space / R.
130
Takagi // Osaka J. Math. – V. 19 (1973). – P. 495 - 506.
87. Туманов, А.Е. Геометрия CR-многообразий /А.Е. Туманов // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.- М.: ВИНИТИ.-1986.- Т.9.- С. 225 246.
88. Fels, G. Classification of Levi degenerate homogeneous CR-manifolds in dimension
5 / G. Fels, W. Kaup // Acta Math. – V. 210(2008). – P. 1 - 82.
89. Vrancken, L. Degenerate homogeneous surfaces in R3 / L. Vrancken // Geom. Dedic.
– V. 53 (1994). – P. 333 - 351.
90. Фукс, Б. А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных / Б.А. Фукс.- М., Физматлит, 1963.- 428 с.
91. Хелгасон, C. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства/
С. Хелгасон, М.: Мир, 1964.- 536 с.
92. Chern, S. S. Real hypersurfaces in complex manifolds/ S. S. Chern, J. K. Moser
//Acta Math. – 1974 – 133, N 3. – P.219 - 271.
93. Чирка, Е.М. Введение в геометрию CR-многообразий /Е.М. Чирка // УМН,
46:1(277) (1991).- С. 81-164.
94. Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат.- М.: Наука, 1976. 2-е изд., т. 2 - 400 с.
95. Sharipov, R., On CR-mappings between algebraic Cauchy-Riemann manifolds and
separate algebraicity for holomorphic functions / R. Sharipov, A. Sukhov // Trans. of the
Amer. Math. Soc.- V. 348.- N 2. 1996. - P. 767 - 780.
96. Широков, А.П. Аффинная дифференциальная геометрия / Широков А.П., Широков П.А. - М.: Физматгиз, 1959. - 319 с.
97. Yang, P.C. Automorphisms of tube domains/P.C. Yang // Amer. J. Math. V.
104(1982), P. 1005 - 1024.
131
Приложение 1
Схема коэффициентной классификации
однородных гиперповерхностей в C2
I. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ(3 ≤ dimR g(M ) ≤ 5)
Каноническое уравнение произвольной невырожденной по Леви гиперповерхности имеет вид
X
fklm z k z̄ l um ,
v = |z|2 +ε(z 2 +z 2 )+iα(z−z̄)u+(f300 z 3 +f210 z 2 z̄+f120 z z̄ 2 +f030 z̄ 3 )+
k≥4
где
ε ≥ 0, α ∈ {0, 1}.
1. Поверхности с нулевой квадратичной частью в уравнении
ε = 0, f101 = iα = 0.
В этом случае
f300 = 0, f210 = 0, f201 = 0, f400 = 0, f310 = 0, f301 = 0,
f002 ∈ {−1, 0, 1}.
f002 = 0 - имеется единственная поверхность
v = |z|2 ;
(4.1)
f002 = 1 - имеется единственная поверхность
|z|2 + |w|2 = 1;
(4.2)
f002 = −1 - имеется единственная поверхность
|z|2 − |w|2 = 1;
(4.3)
2. Поверхности трубчатого типа
ε = 1/2, f101 = iα ∈ {i, 0}, if210 ∈ R.
α = 1 - нет однородных поверхностей;
α = 0. Тогда f002 ∈ {−1, 0, 1}
2.1. f002 = 1 - нет однородных поверхностей;
2.2. Случаю f002 = −1 соответствует 1-параметрическое семейство
однородных поверхностей
Re(z w̄) = |z|eB arg z ,
132
(4.4)
√
с параметром B = −3 2f102 /2.
2.3. В случае f002 = 0 можно считать, что
f210 ∈ {i, 0}.
а) при f210 = i имеется семейство поверхностей
v = |z|B arg z , B ∈ R;
(4.5)
б) если f210 = 0, то f400 ∈ R, f301 = 0. При этом можно считать,
что
f400 ∈ {−1, 0, 1}.
В случае f400 = 0 имеется единственная однородная поверхность
v = 2x2 ;
(4.6)
случаям f400 = ±1 соответствует семейство всех трубчатых поверхностей с аффинно-однородными основаниями
1) y = xs (−1 ≤ s < 1),
(4.7)
2) y = ln x,
(4.8)
3) y = x ln x,
(4.9)
4) r = eaϕ a ≥ 0.
(4.10)
Параметром этого семейства трубок является f500 ∈ R.
3. Поверхности общего положения
0 < ε 6= 1/2, f101 = iα = 0
Опорный набор коэффициентов
{f210 , f201 , f002 }.
1.1. Если f002 = 0, f201 = 0, то поверхность - жесткая. При этом условиям:
а) f002 = 0, f201 = 0, f210 = 0
соответствуют жесткие квадрики
v = |z|2 + ε(z 2 + z̄ 2 )
б) f002 = 0, f201 = 0, f210 6= 0
133
(4.11)
- жесткие обобщения логарифмических спиралей
v = |z|A eB arg z , A ∈ R \ {1}.
(4.12)
1.2. Случаям
f002 6= 0 или f201 6= 0
соответствуют обобщения логарифмических спиралей
Re(z w̄) = |z|A eB arg z , A ∈ R \ {1}, B ∈ R,
(4.13)
не допускающие жестких уравнений.
В частности, равенству f002 = 0 отвечают поверхности (2) с A = 2.
Замечание. Формулы, описывающие семейства (4.12) и (4.13), являются "естественными" обобщениями аналогичных формул (4.5) и (4.4). Однако
с коэффициентной точки зрения семейства (4.12) и (4.5) (и, соответственно
(4.13) и (4.4)) соответствуют разным типам однородных многообразий.
II. ЛЕВИ-ПЛОСКИЕ ОДНОРОДНЫЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
1. Поверхности веса 2 (3 ≤ dimR g(M ) ≤ 4 )
2
2
3
3
v = (z + z̄ ) + (f300 z + f030 z̄ ) +
X
Fk (z, z̄, u),
(4.14)
k≥4
В зависимости от значений коэффициентов f300 , f201 , λ = f002 имеется несколько типов поверхностей.
1.1. f300 = f201 = f002 = 0
Здесь имеется единственная однородная поверхность
v = z 2 + z̄ 2 .
(4.15)
У нее dimR g(M ) = 4.
Для остальных поверхностей веса 2 dimR g(M ) = 3.
1.2. f002 6= 0.
Здесь имеется семейство поверхностей
2
|w − z 2 | = eB arg(w−z ) , B =
134
α3
∈ R.
2λ
(4.16)
1.3. f300 6= 0.
Здесь имеется два исключительных семейства поверхностей
π π
a) v = e−2iθ ln(1 + eiθ z) + e2iθ ln(1 + e−iθ z), θ ∈ (− , ).
4 4
(4.17)
и
π π
(4.18)
θ ∈ (− , ].
4 4
1.4. Все остальные поверхности веса 2 - это поверхности из 3-параметрического семейства
б) Re weiθ (z − eiθ w ln w) = 0,
|z|A1 |w|A2 = earg(z
B1
w B2 )
, (A1 , A2 , B1 , B2 ) ∈ RP3 .
(4.19)
1. Поверхности веса 3 (3 ≤ dimR g(M ) ≤ 5 )
v = (z + z̄)u + F3 (z, z̄) +
X
Fk (z, z̄, u),
(4.20)
k≥4
Здесь все однородные поверхности принадлежат (с точностью до аффинной эквивалентности) 3-параметрическому семейству (4.19). Наиболее
интересная поверхность веса 3 - это конус
|z|2 − |w|2 = 0.
(4.21)
Ее алгебра g(M ) имеет размерность 5. Любая другая поверхность веса 3
эквивалентна либо конусу, либо одному из "билефельдских вееров"
w w =
exp
B
arg(
) , (B = ctgθ).
(4.22)
z
z
У последних поверхностей алгебра g(M ) трехмерна.
3. Поверхности веса 4
Любая однородная поверхность веса 4 – это поверхность с уравнением
X
v = u2 +
Bk uk ,
(4.23)
k≥3
являющаяся произведением одной комплексной плоскости на логарифмическую спираль (заданную каноническим уравнением) из другой комплексной
плоскости. Алгебра g(M ) для любой такой поверхности является 7-мерной.
4. Поверхность бесконечного веса
Здесь имеется единственная с точностью до аффинных преобразований
однородная поверхность, а именно вещественная гиперплоскость с (каноническим) уравнением
v = 0.
135
Приложение 2
Матричные алгебры Ли однородных поверхностей
Ниже приводится список матричных алгебр Ли, соответствующих каноническим уравнениям аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства C2 .
Номера формул в этом приложении совпадают с нумерацией основного
текста.
I. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ(3 ≤ dimR g(M ) ≤ 5)
1. Поверхности с нулевой квадратичной частью
1.1. dimR g(M ) = 5. Алгебра "сферы Мозера" v = |z|2






0 0 0
0 0 i
0 0 1
E1 =  2i 0 0  , E2 =  2 0 0  , E3 =  0 0 1  ,
0 0 0
0 0 0
0 0 0




i 0 0
1 0 0
E4 =  0 0 0  , E5 =  0 2 0  .
0 0 0
0 0 0
(2.9)
1.2. dimR g(M ) = 4. Параметр λ = f002 = ±1.
a) λ = 1 : алгебра сферы |z|2 + |w|2 = 1,
b) λ = −1 : алгебра гиперболоида |z|2 − |w|2 = 1.






0 2iλ 1
0 −2λ i
0 0 0
E1 =  2i 0 0  , E2 =  2 0 0  , E3 =  0 2iλ 1  , (2.17)
0 0 0
0 0 0
0 0 0


i 0 0
E4 =  0 0 0  .
0 0 0
1.3. dimR g(M ) = 3 реализуется только на подалгебрах алгебр (2.9) и
(2.17).
136
2. Поверхности трубчатого типа ε = 1/2
2.1. dimR g(M ) = 4. Алгебра трубчатой квадрики v = 2x2








0 0 1
0 0 i
0 0 0
1 0 0
E1 =  4i 0 0  , E2 =  0 0 0  , E3 =  0 0 1  , E4 =  0 2 0  .
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
(2.57)
2.2. dimR g(M ) = 3.
a) Обобщения логарифмических спиралей
Re(z w̄) = |z|eB arg z , B ∈ R,
не допускающие жестких уравнений.



2ρ − 4it −ρt − 2i(1 + ρ2 ) 1
2t (2 + iρt) i
E1 = 
4i
4ρ
0  , E2 =  0
0
0 ,
0
0
0
0
0
0


−(2 + iρt) −ρ(2 + iρt) 0
(2.29)
0
−i(2 + 3iρt) 1  ,
E3 = 
0
0
0
√
где ρ - вещественный параметр, t = 2.

б) Жесткие обобщения логарифмических спиралей
4
v = |z|eB arg z , B ∈ R, µ = − B.
3






(−µ − 4i) −µ − iµ2 /2 1
4 0 i
−µ 0 0
E1 = 
4i
−2µ
0  , E2 =  0 4 0  , E3 =  0 −µ 1  .
0
0
0
0 0 0
0
0 0
(2.41)
в) Трубчатые поверхности над аффинно-однородными основаниями






t 8iξ 1
0 0 i
0 0 0
E1 =  4i 2t 0  , E2 =  0 0 0  , E3 =  0 0 1  ,
(2.61)
0 0 0
0 0 0
0 0 0
где ξ = f400 = ±1, t ∈ R.
137
Остальные 3-мерные алгебры в этом случае являются подалгебрами
алгебры (2.57).
3. Поверхности общего положения 0 ≤ ε 6= 1/2
3.1. dimR g(M ) = 4. Алгебра квадрики
v = |z|2 + ε(z 2 + z̄ 2 ).






0
0 i
0 0 0
0
0 1
E1 =  2i(1 + 2ε) 0 0  , E2 =  2(1 − 2ε) 0 0  , E3 =  0 0 1  ,
0
0 0
0 0 0
0
0 0
(2.72)


1 0 0
E4 =  0 2 0  .
0 0 0
3.2. dimR g(M ) = 3
a) жесткие обобщения логарифмических спиралей (общего положения)
v = |z|A eB arg z (z 6= 0).




(1 − 2ε)µ + i(1 + 2ε)ν 0 1
0 0 0
E1 = 
2i(1 + 2ε)
2µ 0  , E3 =  0 0 1  ,
0
0 0
0 0 0


i((1 − 2ε)µ + i(1 + 2ε)ν) 0 i

2(1 − 2ε)
−2ν 0  ,
(2.76)
E2 =
0
0 0
где µ = Re(f210 /ε), ν = −Im(f210 /ε).
б) Обобщения логарифмических спиралей
Re(z w̄) = |z|A eB arg z , A ∈ R \ {1}, B ∈ R, z 6= 0,
не допускающие жестких уравнений.

−2εx − i(1 + 2ε)y i(4λ + iεxy)/2
E1 = 
2i(1 + 2ε)
0
0
0

2εy + i(1 − 2ε)x −(4λ + iεxy)/2
E2 =  −2(1 − 2ε)
0
0
0
138

1
0 ,
0

i
0 ,
0
(2.89)


i(4λ + iεxy)/2
0
0
E3 = 
0
i(4λ + iεxy)/2 1  ,
0
0
0
где
λ ∈ {−1, 0, 1},
(1 − 2ε)x2 + (1 + 2ε)y 2 = −16λ.
Замечание. С точки зрения алгебр Ли выделение семейства поверхностей трубчатого типа из общих рассмотрений оправдывается лишь наличием в этом семействе трубчатых поверхностей. Алгебры Ли из пп. 2.1, 2.2.а)
и 2.2.б), отвечающие поверхностям трубчатого типа, являются "естественными" включениями в семейства алгебр общего случая 3.
II. ЛЕВИ-ПЛОСКИЕ ОДНОРОДНЫЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
1. Поверхности веса 2 ( 3 ≤ dimR g(M ) ≤ 4)
1.1. dimR g(M ) = 4 - алгебра Леви-вырожденной квадрики v = z 2 + z̄ 2
с базисом








1 0 0
0 0 0
0 0 i
0 0 1
E1 =  4i 0 0  , E2 =  −4 0 0  , E3 =  0 0 1  , E4 =  0 2 0  ,
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
(3.27)
1.2.
dimR g(M ) = 3
1.2.1. 3-параметрическое семейство коммутативных алгебр
метрами arg(f300 ), r, λ):
 3

 3
− 2 f300 −(r − 2iλ) 1
− 2 if300 −i(r − 2iλ)
E1 =  4i
0
0  , E2 =  −4
0
0
0
0
0
0
(с пара
i
0 ,
0
(3.36)


−(r − 2iλ)
0
0
E3 = 
0
−(r − 2iλ) 1  .
0
0
0
Частные случаи связаны с наличием присоединенных векторов у базисной матрицы E1 .
139
а) r = λ = 0. Алгебра с базисом






A 0 1
iA 0 i
0 0 0
E1 =  4i 0 0  , E2 =  −4 0 0  , E3 =  0 0 1  ,
0 0 0
0 0 0
0 0 0
(3.51)
где A = eiθ , (θ ∈ (−π/4, π/4]), имеет в качестве интегрального многообразия поверхность
π π
v = e−2iθ ln(1 + eiθ z) + e2iθ ln(1 + e−iθ z), θ ∈ (− , ).
(3.17)
4 4
б) При A = (−3/2)eiθ , B = −(r−2iλ) = −iA2 /16 алгебре с базисом






A iA2 /16 1
iA −A2 /16 i
B 0 0
E1 =  4i
0
0  , E2 =  −4
0
0  , E3 =  0 B 1  .
0
0
0
0
0
0
0 0 0
(3.56)
соответствует поверхность
Re weiθ (z − eiθ w ln w) = 0.
(3.18)
в) в остальных случаях алгебрам из 3-параметрического семейства
(3.36) соответствуют поверхности
|z|A1 |w|A2 = earg(z
B1
wB2 )
, (A1 , A2 , B1 , B2 ) ∈ RP3 .
1.2.2. 2-параметрическое (α3 , λ ∈ R ) семейство алгебр

 
 
0 0 1
0 0 i
(α3 + 2iλ)/2
0
 4i 0 0  ,  −4 0 0  , 
0
(α3 + 2iλ)
0 0 0
0 0 0
0
0
соответствует 1-параметрическому семейству поверхностей
α3
2
|w − z 2 | = eB arg(w−z ) , B =
∈ R.
2λ
с базисом

0
1  , (3.40)
0
(3.45)
2. Поверхности веса 3. ( 3 ≤ dimR g(M ) ≤ 5)
2.1.
dimR g(M ) = 5 (алгебра конуса |z|2 − |w|2 = 0)




−2 0 I
2i 0 1
E1 =  0 2i 0  , E2 =  0 2 0  ,
0 0 0
0 0 0
140
(3.69)


0 0 0
E3 =  2i 0 1  ,
0 0 0


0 i 0
E4 =  0 0 0  ,
0 0 0


0 0 0
E5 =  0 1 0  .
0 0 0
2.2. dimR g(M ) = 3 и dimR g(M ) = 4 возможны в этом случае только
для алгебр, подобных подалгебрам (3.69).
3. Поверхности веса 4
Здесь имеется в точности 1-параметрическое семейство однородных поверхностей. Каждая из них есть произведение логарифмической спирали
ρ = eBϕ , B ∈ R,
(3.94)
из плоскости Cw на комплексную плоскость Cz .
Алгебра Ли, отвечающая каноническому уравнению такой однородной
поверхности, является 7-мерной и имеет базис






0 0 1
0 0 i
0
0
0
E1 =  0 0 0  E2 =  0 0 0  , E3 =  0 (−3B + 2i) 1  , (3.97)
0 0 0
0 0 0
0
0
0








0 i 0
0 1 0
i 0 0
1 0 0
E4 =  0 0 0  , E5 =  0 0 0  , E6 =  0 0 0  , E7 =  0 0 0  .
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
4. Поверхность бесконечного веса
Единственной (с точностью до аффинной эквивалентности) однородной поверхностью бесконечного веса является вещественная гиперплоскость
v = 0. Соответствующая ей алгебра имеет вещественную размерность 8 и
состоит из матриц вида


A1 A2 p
 0 B2 q 
0 0 0
с комплексными параметрами A1 , A2 , p и вещественными B2 , q.
141
Научное издание
А.В. ЛОБОДА
ОДНОРОДНОСТЬ ВЛОЖЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ.
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ВЕЩЕСТВЕННЫХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВА C2
Монография
Отпечатано в авторской редакции
Подписано в печать 04.06.2012. Формат 60 × 84 1/16. Уч.-изд.л. 8,8.
Усл.-печ.л. 8,9. Бумага писчая. Тираж 100 экз. Заказ N
.
——————————————————————————————————————————————–
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства учебной литературы
и учебно-методических пособий Воронежского ГАСУ
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
19
Размер файла
665 Кб
Теги
вложенные, лобода, многообразие, однородности, 143
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа