close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

144.Колпачев В.Н.Теория вероятностей

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно–строительный университет»
В.Н. Колпачев, В.К. Каверина, В.В. Горяйнов, А.Д. Чернышов
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебно-методическое пособие
Воронеж 2015
УДК 519.21(075)
ББК 22.17я7
К615
Рецензенты:
кафедра математического анализа
Воронежского государственного университета;
Н.В. Минаева, д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры высшей математики
Воронежского государственного университета инженерных технологий
Колпачев, В.Н.
Теория
вероятностей:
учеб-метод.
пособие
/
К615
В.Н. Колпачев, В.К. Каверина, В.В. Горяйнов, А.Д. Чернышов; Воронежский ГАСУ – Воронеж, 2015. – 69 с.
Содержит теоретический материал по курсу «Теория вероятностей», изучаемому студентами, обучающимися по направлениям подготовки бакалавров
«Управление персоналом» и «Менеджмент». Приведены 30 вариантов расчетно-графической работы с примерами решения типовых задач.
Предназначено для самостоятельной работы студентов указанных направлений. Будет полезно студентам других специальностей и направлений
подготовки бакалавров.
Библиогр.: 6 назв.
УДК 519.21(075)
ББК 22.17я7
ISBN 978-5-89040-534-0
© Колпачев В.Н., Каверина В.К.,
Горяйнов В.В., Чернышов А.Д., 2015
© Воронежский ГАСУ, 2015
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………….……………………………………….....
1. Случайные события ………………………………………………….
1.1. Элементы комбинаторики………………………………………..
1.1.1. Принцип умножения………………………………………
1.1.2. Размещения………………………………………………...
1.1.3. Перестановки………………………………………………
1.1.4. Сочетания…………………………………………………..
1.2. Основные определения…………………………………………...
1.3. Классическое определение вероятности………………………...
1.4. Теоремы сложения и умножения вероятностей………………...
1.5. Формула полной вероятности……………………………………
1.6. Схема Бернулли…………………………………………………...
1.6.1. Формула Бернулли………………………………………...
1.6.2. Формула Пуассона………………………………………...
1.6.3. Локальная формула Муавра-Лапласа…………………….
1.6.4. Интегральная формула Муавра-Лапласа………………...
2. Случайные величины………………………………………………..
2.1. Дискретные случайные величины……………………………….
2.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины…
2.2.1. Математическое ожидание дискретной
случайной величины………………………………………
2.2.2. Дисперсия дискретной случайной величины……………
2.2.3. Среднее квадратическое отклонение……………………..
2.3. Непрерывные случайные величины……………………………..
2.4. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
2.5. Нормальный закон распределения………………………………
3. Варианты расчетно-графической работы…………………………
3.1. Характеристика заданий………………………………………….
3.2. Индивидуальные задания………………………………………...
Заключение……………………………………………………………….
Библиографический список рекомендуемой литературы…………
3
4
5
5
5
5
6
6
7
8
10
12
14
14
14
15
16
18
18
19
19
20
21
25
26
29
31
31
32
68
68
ВВЕДЕНИЕ
Теория вероятностей – раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений. Возникновение теории вероятностей относится к середине XVIII века и связано с именами Гюйгенса, Паскаля, Ферма и Якова Бернулли. Современное развитие теории вероятностей характеризуется большим
интересом к ней, а также расширением круга ее практических приложений.
Предлагаемое учебно-методическое пособие содержит краткий теоретический материал и варианты расчетно-графической работы по курсу «Теория
вероятностей», изучаемому студентами, обучающимися по направлениям подготовки бакалавров «Управление персоналом» и «Менеджмент».
Данное пособие состоит из трех глав. Первая глава посвящена случайным
событиям и включает основные определения теории вероятностей, элементы
комбинаторики, классическое определение вероятности, теоремы сложения и
умножения вероятностей, формулу полной вероятности и схему Бернулли.
Во второй главе приводятся сведения о случайных величинах – дискретных и непрерывных. Рассматриваются такие их числовые характеристики, как
математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Описан нормальный закон распределения непрерывной случайной величины.
Тридцать вариантов и характеристика заданий расчетно-графической работы приведены в третьей главе. Каждый вариант содержит 10 заданий. Подробное решение задач, подобных входящим в расчетно-графическую работу,
приведено в тексте учебно-методического пособия.
Авторы выражают благодарность кандидату физ.-мат. наук, доценту
А.М. Дементьевой, внимательно прочитавшей рукопись. Ее ценные замечания
и рекомендации помогли улучшить содержание пособия.
4
1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
1.1. Элементы комбинаторики
1.1.1. Принцип умножения
Пусть необходимо выполнить одновременно k действий. Если первое
действие можно выполнить n1 способами, второе - n2 способами, ..., k -е действие - nk способами. Тогда все k действий вместе можно выполнить
n1  n2    nk способами.
Пример 1.1. Сколько существует двузначных чисел?
Решение. Двузначное число – это число, состоящее из двух цифр: первая
цифра показывает число десятков, вторая цифра – число единиц. Первая цифра
может быть любой, кроме 0, следовательно n1  9 , вторая цифра может быть
любой, поэтому n2  10. Значит, всего двузначных чисел: n1  n2  9  10  90 .
Другой способ решения этой задачи – это простой перебор всех двузначных чисел.
Пример 1.2. Подбрасывают три игральные кости и наблюдают за числом
очков, выпавших на каждой кости. Сколько различных комбинаций может
быть?
Решение. В первом действии подбрасываем первую игральную кость, на
выпавшей грани может появиться от одного до шести очков, т.е. n1  6 . Аналогично n2  6 , n3  6 . Тогда число всех комбинаций: n1  n2  n3  6  6  6  216.
Замечание 1.1. Если на выполнение какого-либо из k действий наложено
ограничение, то подсчет удобнее начинать с выполнения именно этого действия.
Пример 1.3. В машине 7 мест, одно место водителя. Сколькими способами могут сесть в машину 7 человек, если место водителя могут занять только
трое из них?
Решение. Учитывая замечание 1.1, начнем с места водителя n1  3 , следующее место может занять любой из оставшихся человек, т.е. n2  6 , аналогично
n3  5 ,
n4  4 ,
n5  3 ,
n6  2 ,
n7  1 .
Следовательно,
n1  n2  n3  n4  n5  n6  n7  3  6  5  4  3  2  1  2160.
1.1.2. Размещения
Пусть A - множество, состоящее из элементов a1 , a2 ,..., an .
Определение 1.1. Упорядоченные наборы, состоящие из k элементов
5
множества A , будем называть размещениями из n элементов множества A по
k элементов.
Находится число всех размещений из n элементов множества A по k
элементов по формуле
n!
,
Ank 
(n  k )!
где n!  1  2    n - факториал числа n .
Пример 1.4. В соревнованиях участвуют 10 команд. Сколькими способами могут распределиться призовые места?
Решение. Всего участвуют 10 команд, значит n  10 . Поскольку при распределении призовых мест порядок важен, речь идет о размещениях. Так как
призовых мест три, то k  3 . Следовательно,
A103 
10!
10!

 10  9  8  720 .
(10  3)! 7!
1.1.3. Перестановки
Определение 1.2. Перестановками из n элементов называют наборы, состоящие из всех n элементов, отличающиеся только порядком элементов в них.
Находится число всех перестановок из n элементов по формуле
Pn  n! .
Пример 1.5. Сколькими способами 4 человека могут разместиться в четырехместном купе?
Решение. Очевидно, что здесь речь идет о перестановках из 4 элементов,
следовательно: P4  4!  1  2  3  4  24 .
1.1.4. Сочетания
Определение 1.3. Неупорядоченные наборы, состоящие из k элементов
множества A , будем называть сочетаниями из n элементов множества A по k
элементов.
Находится число всех сочетаний из n элементов множества A по k элементов по формуле
n!
.
Сnk 
k !(n  k )!
Пример 1.6. На окружности выбрано 10 точек. Сколько различных треугольников с вершинами в этих точках можно построить?
6
Решение. Треугольник имеет три вершины, значит, необходимо выбрать
три точки из 10, причем порядок выбранных точек не имеет значения. Поэтому
число различных треугольников находится по формуле
С103 
10! 10  9  8

 120 .
3!7! 1  2  3
Пример 1.7. В группе 5 отличников, 10 хорошистов и 15 троечников. Для
поездки на конференцию отбирают 7 человек. Сколькими способами можно
набрать студентов так, чтобы среди них было 4 отличника, 2 хорошиста и один
троечник.
Решение. Требуется выполнить одновременно три действия:
1. Выбрать 4 отличника из 5.
2. Выбрать 2 хорошиста из 10.
3. Выбрать 1 троечника из 15.
10! 10  9
5!
15!

 45 ; n3  С151 
Тогда n1  С54 
 5 ; n2  C102 
 15 .
4!1!
1!14!
2!8! 1  2
Различных наборов студентов на конференцию может быть:
n1  n2  n3  5  45  15  3375.
1.2. Основные определения
Всякий факт, который может наблюдаться при наличии некоторых условий, будем называть событием. Условия, при наличии которых может произойти событие, будем называть опытом или испытанием. В дальнейшем любое событие, которое может появиться в результате опыта, будем называть исходом опыта. Если нельзя отдать предпочтение ни одному из исходов в смысле
возможности его появления, то исходы называют равновозможными.
Определение 1.4. Событие называют случайным, если в результате опыта
оно может появиться или не появиться.
Определение 1.5. Достоверным событием называется событие, которое
обязательно произойдет в результате опыта.
Определение 1.6. Событие, которое в результате опыта не может произойти, называется невозможным.
События обозначают заглавными буквами латинского алфавита.
Определение 1.7. Возможность появления того или иного события характеризуется числом, называемым вероятностью этого события.
7
Вероятность обозначается буквой Р и для невозможного события равна
нулю, для достоверного – равна единице, а для случайного находится в пределах от нуля до единицы, т.е.
0  P  A   1.
Определение 1.8. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же опыте. В
противном случае эти события называют совместными.
Определение 1.9. События A1 , A2 ,..., An называют полной группой событий, если в результате опыта появляется хотя бы одно из этих событий.
Определение 1.10. Событие A называют противоположным событию A ,
если события A и A несовместны и образуют полную группу.
Определение 1.11. Два события называются независимыми, если вероятность любого из них не зависит от появления или непоявления другого. В противном случае события называют зависимыми.
Определение 1.12. Пусть A и B - зависимые события. Условной вероятностью P ( B | A) (или PA ( B) ) называют вероятность события B , вычисленную в
предположении, что событие A уже наступило. Если A и B - независимые события, то PA ( B )  P( B) .
Определение 1.13. Суммой событий A и B называется событие
C  A  B , которое заключается в появлении хотя бы одного из событий A , B .
Определение 1.14. Произведением событий A и B называется событие
C  A  B , которое заключается в совместном появлении событий A и B .
1.3. Классическое определение вероятности
Рассмотрим опыт, в результате которого может появиться событие A .
Пусть известно, что этот опыт имеет n равновозможных, несовместных исходов, образующих полную группу. В этом случае можно использовать классическое определение вероятности. Элементарные исходы, в которых появляется
событие A , называются благоприятствующими этому событию.
8
Определение 1.15. Вероятностью события А называется число P( A) ,
равное отношению числа исходов опыта, благоприятствующих событию А , к
общему числу исходов:
m
P ( A)  ,
n
где n - общее число исходов опыта, m - число исходов опыта, благоприятствующих событию А .
Пример 1.8. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что
сумма очков на выпавших гранях равна семи.
Решение. Опыт состоит в подбрасывании двух игральных костей один
раз и наблюдении за суммой выпавших очков. Будем считать разными исходами опыта различные варианты выпавших очков на обеих костях. Исходы опыта
являются равновозможными, несовместными и образуют полную группу, значит, можно применить классическое определение вероятности.
Число всех исходов опыта можно найти, используя принцип умножения:
n  6  6  36 .
Рассмотрим событие A - сумма очков на выпавших гранях равна семи.
Исходы, благоприятствующие событию А : 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4, 4 и 3, 5 и 2, 6 и 1.
Всего m  6 . Найдем вероятность события A :
P( A) 
m 6 1

 .
n 36 6
Пример 1.9. Набирая номер телефона, человек забыл три последние цифры, но помнит, что они различные, и набрал их наудачу. Найти вероятность того, что он набрал нужные цифры.
Решение. Опыт состоит в выборе наудачу трех различных цифр из 10.
Все исходы опыта – множество размещений из 10 по 3, т.е.
10!
n  A103 
 8  9  10  720 .
7!
Рассмотрим событие A - набраны нужные цифры. Очевидно, что такое
расположение цифр единственно, т.е. m  1 . Найдем вероятность события A :
P( A) 
m
1

.
n 720
Пример 1.10. В ящике находится 20 деталей, из них 8 бракованных. Из
ящика наудачу извлекают 5 деталей. Найти вероятность того, что среди них
окажутся две бракованные детали.
Решение. Опыт состоит в выборе наудачу пяти деталей из 20. Множество
элементарных исходов опыта – множество сочетаний из 20 по 5, т.е.
9
5
n  С20

20! 16  17  18  19  20

 15504 .
5!15!
1 2  3  4  5
Рассмотрим событие A - среди 5 деталей, извлеченных из ящика, две
бракованные, т.е. среди 5 деталей будет 2 бракованные и 3 небракованные.
Число исходов, благоприятствующих событию А , можно найти по принципу
умножение. Необходимо выполнить два действия: из 8 бракованных деталей
выбрать 2 детали; из 12 небракованных деталей выбрать 3 детали. Тогда первое
8! 7  8

 28 способами, второе дейстдействие можно выполнить n1  С82 
2!6! 1  2
12! 10  11  12
вие можно выполнить n2  С123 

 220 способами. Итак,
3!9!
1 2  3
m  28  220  6160 .
Найдем вероятность события A :
P( A) 
m 6160

 0,397 .
n 15504
1.4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое уже наступило:
P( A  B)  P( A)  P( B | A) .
Следствие 1.1. Вероятность произведения двух независимых событий
равна произведению вероятностей этих событий:
P ( A  B)  P ( A)  P ( B) .
Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух событий находится по формуле
P( A  B)  P( A)  P ( B)  P ( A  B ) .
Следствие 1.2. Вероятность суммы двух несовместных событий равна
сумме вероятностей этих событий:
P ( A  B)  P( A)  P( B ) .
Следствие 1.3. Для противоположных событий A и A справедлива фор-
мула
10
P( A)  P( A)  1.
Пример 1.11. Два радиолокатора независимо друг от друга ищут цель.
Вероятность ее обнаружения для первого локатора равна 0,8; для второго - 0,7.
Какова вероятность того, что хотя бы один из них обнаружит цель?
Решение. Пусть событие A - хотя бы один из локаторов обнаружит цель;
событие A1 - первый локатор обнаружит цель, причем вероятность этого события дана по условию: P( A1 )  0,8 ; событие A2 - второй локатор обнаружит цель,
причем P( A2 )  0,7 .
Рассмотрим два способа решения задачи.
Первый способ. Очевидно, что A  A1  A2 . Так как события A1 и A2 совместны, то
P ( A)  P( A1  A2 )  P( A1 )  P ( A2 )  P( A1  A2 ) .
Согласно условию события A1 и A2 независимы, следовательно:
P( A1  A2 )  P( A1 )  P ( A2 ) .
Получаем
P( A)  P ( A1 )  P( A2 )  P( A1 )  P( A2 )  0,8  0,7  0,8  0,7  0,94 .
Второй способ. Этот способ решения задачи состоит в рассмотрении события противоположного событию A , а именно события A - ни один локатор
не обнаружил цель, т.е. A  A1  A2 . События A1 и A2 также являются независимыми, причем P ( A1 )  1  P ( A1 )  1  0,8  0,2 , а P ( A2 )  1  P ( A3 )  1  0,7  0,3 .
Получаем: P( A)  P( A1  A2 )  P( A1 )  P ( A2 )  0,2  0,3  0,06 , а вероятность события A равна: P( A)  1  P( A)  1  0,06  0,94 .
Замечание 1.2. Второй способ решения задачи удобно использовать при
отыскании вероятности суммы трех и более совместных событий. Например,
событие A  A1  A2  A3 состоит в появлении хотя бы одного из событий A1 ,
A2 , A3 . Тогда противоположное событие A  A1  A2  A3 заключается в непоявлении ни одного из событий A1 , A2 , A3 , т.е. A  A1  A2  A3 . Следовательно,
P( A)  1  P ( A1  A2  A3 )  1  P( A1  A2  A3 ) .
Пример 1.12. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна
0,9; второй экзамен – 0,8; третий экзамен – 0,7. Найти вероятность того, что:
1) студент сдаст только один экзамен;
2) студент сдаст не менее двух экзаменов.
Решение. Обозначим через A1 событие - студент сдаст первый экзамен,
11
причем P ( A1 )  0,9 ; через A2 - студент сдаст второй экзамен, P( A2 )  0,8 ; через
A3 - студент сдаст третий экзамен, P( A3 )  0,7 .
1. Пусть событие A - студент сдаст только один экзамен.
Событие A произойдет, если студент сдаст первый экзамен и не сдаст
второй и третий, или студент сдаст второй экзамен и не сдаст первый и третий,
или студент сдаст третий экзамен и не сдаст первый и второй. Тогда получим
A  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 .
Все слагаемые события являются несовместными, а в каждом слагаемом
события (множители) независимы, поэтому
P( A)  P( A1 ) P ( A2 ) P( A3 )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 
 P ( A1 )(1  P( A2 ))(1  P( A3 ))  (1  P( A1 )) P( A2 )(1  P( A3 )) 
 (1  P( A1 ))(1  P( A2 )) P( A3 ) 
 0,9  0, 2  0,3  0,1  0,8  0,3  0,1  0,2  0,7  0,092.
2. Пусть событие B - студент сдаст не менее двух экзаменов.
Событие B произойдет, если студент сдаст первый и второй экзамены и
не сдаст третий, или студент сдаст первый и третий экзамены и не сдаст второй,
или студент сдаст второй и третий экзамен и не сдаст первый или сдаст все три
экзамена. Тогда получим
B  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 .
Все слагаемые события B являются несовместными, а в каждом слагаемом события (множители) независимы, поэтому
P( B )  P ( A1 ) P( A2 ) P ( A3 )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 
 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )  P( A1 ) P( A2 )(1  P( A3 ))  P( A1 )(1  P( A2 )) P( A3 ) 
 (1  P( A1 )) P( A2 ) P( A3 )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 
 0,9  0,8  0,3  0,9  0,2  0,7  0,1  0,8  0,7  0,9  0,8  0,7  0,902.
1.5. Формула полной вероятности
Пусть событие A происходит только совместно с одним из событий (гипотез) H1 , H 2 ,..., H n , которые образуют полную группу попарно несовместных
событий. Тогда вероятность события A находится по формуле полной вероятности:
P( A)  P( H1 ) P( A | H1 )  P ( H 2 ) P ( A | H 2 )  ...  P ( H n ) P( A | H n ) ,
12
где P( H i ) ( i  1,..., n ) – вероятность гипотезы H i ; P ( A | H i ) ( i  1,..., n ) – условная
вероятность события A , т.е. вероятность появления события A при условии,
что гипотеза H i уже наступила.
Пример 1.13. Три станка изготовляют одинаковые детали. Известно, что
первый станок производит 30 % всей продукции, второй – 25 %, а третий –
45 %. Вероятность изготовления стандартной детали на первом станке равна
0,9; на втором – 0,95; на третьем – 0,98. Все изготовленные за смену детали
складываются вместе. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь будет
бракованной.
Решение. Пусть событие A - взятая наудачу деталь бракованная. Это событие может произойти, когда деталь произведена на первом, или втором, или
третьем станке. Поэтому гипотезы сформулируем так: H1 - деталь изготовлена
на первом станке; H 2 - деталь изготовлена на втором станке; H 3 - деталь изготовлена на третьем станке. Тогда вероятность события A можно найти по формуле полной вероятности:
P( A)  P( H1 ) P( A | H1 )  P ( H 2 ) P ( A | H 2 )  P ( H 3 ) P ( A | H 3 ) .
Найдем указанные вероятности. С учетом производительности станков
30%
25%
45%
получаем: P( H1 ) 
 0,3 , P( H 2 ) 
 0,25 , P( H 3 ) 
 0,45 . Вы100%
100%
100%
числим условные вероятности брака, используя данные о вероятности изготовP( A | H1 )  1  0,9  0,1;
ления стандартной детали каждым станком:
P( A | H 2 )  1  0,95  0,05 ; P( A | H 3 )  1  0,98  0,02 . Следовательно,
P( A)  0,3  0,1  0,25  0,05  0,45  0,02  0,0515 .
Пример 1.14. В магазин поступают телевизоры с двух заводов, причем
телевизоров с первого завода в три раза больше, чем со второго. Первый завод
поставляет 90 % телевизоров, способных прослужить гарантийный срок, а второй – 85 %. Найти вероятность того, что купленный телевизор прослужит гарантийный срок.
Решение. Пусть событие A - купленный телевизор прослужит гарантийный срок. Это событие может произойти, когда телевизор произведен на первом или втором заводах. Поэтому гипотезы сформулируем так: H1 - телевизор
изготовлен на первом заводе; H 2 - телевизор изготовлен на втором заводе. Тогда вероятность события A можно найти по формуле полной вероятности:
P ( A)  P( H1 ) P ( A | H1 )  P ( H 2 ) P( A | H 2 ) .
С учетом производительности заводов получаем:
13
P ( H1 ) 
3
 0,75 ,
4
90%
1
 0,25 . Вычислим условные вероятности: P( A | H1 ) 
 0,9 ;
100%
4
85%
P( A | H 2 ) 
 0,85 . Следовательно,
100%
P( H 2 ) 
P( A)  0,75  0,9  0,25  0,85  0,8875 .
1.6. Схема Бернулли
1.6.1. Формула Бернулли
Пусть проводится n однотипных испытаний независимо друг от друга, в
каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p и не появиться с вероятность q  1  p . Такая ситуация называется схемой повторения
независимых испытаний или схемой Бернулли.
Вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз в n независимых испытаниях, можно вычислить по формуле Бернулли:
Pn (k )  Cnk p k q nk .
Пример 1.15. Прибор состоит из пяти узлов. Надежность (вероятность
безотказной работы в течение времени t ) для каждого узла равна 0,9. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что за время
t откажут ровно два узла.
Решение. Пусть событие A - выход из строя узла за время t . Тогда
p  P ( A)  0,1 ; q  1  p  0,9 . Число испытаний n  5 (равно числу узлов), а
число отказавших узлов за время t : k  2 . Найдем вероятность того, что за
время t откажут ровно два узла, по формуле Бернулли:
P5 (2)  C52 (0,1) 2 (0,9)3 
5!
 0,01  0,729  0,0729 .
2!3!
1.6.2. Формула Пуассона
Если число испытаний велико, а вероятность p близка к нулю ( p  0,1 ),
то формулу Бернулли заменяют приближенной формулой Пуассона:
Pn (k ) 
 k  e 
где   n  p  10 .
14
k!
,
Пример 1.16. Автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,003. Найти вероятность того, что
среди 1000 деталей будет ровно две бракованные детали.
Решение. Имеем схему Бернулли: p  0,003 ; n  1000 . Так как p мало, а
n велико, то для отыскания P1000 (2) применим формулу Пуассона, где
  1000  0,003  3 , а k  2 :
32  e 3 4,5
 3  0, 228 .
P1000 (2) 
e
2!
1.6.3. Локальная формула Муавра-Лапласа
Если число испытаний n велико, а вероятность p не близка к нулю или
единице ( 0,1  p  0,9 ), то формулу Бернулли заменяют локальной формулой
Муавра-Лапласа:
Pn (k ) 
1
  ( x ) ,
npq
2
k  np
1  x2
;  ( x) 
где x 
e .
npq
2
Значения функции  ( x) приведены в таблице при x  [0;5] (см. [2, с. 79]).
Если x  [0;5] , то значения функции  ( x) находят, используя ее свойства:
1) функция  ( x) является четной, т.е.  ( x)   ( x) ;
2) lim  ( x)  0 , поэтому при x  5 полагают  ( x)  0 .
x 
Пример 1.17. Вероятность надежной работы конструкции при приложении нагрузки равна 0,9. Найти вероятность того, что из 150 конструкций, испытанных независимо друг от друга, ровно 20 выйдут из строя.
Решение. Имеем схему Бернулли: p  0,1 ; n  150 . Так как p близко к
нулю и n велико, то для отыскания P150 (20) применим локальную формулу
Муавра-Лапласа. Вычислим предварительно:
x
20  150  0,1
5

 1,36 ;  ( x)   (1,36)  0,1582 .
150  0,1  0,9 3,67
Тогда вероятность того, что из 150 конструкций, испытанных независимо
друг от друга, ровно 20 выйдут из строя будет равна
15
P150 (20) 
1
 0,1582  0,0431.
150  0,1  0,9
1.6.4. Интегральная формула Муавра-Лапласа
Пусть в схеме Бернулли требуется найти вероятность того, что событие
A произойдет не менее k1 , не более k2 раз в n испытаниях, тогда при малых k1
и k2 используют формулу
Pn (k1; k2 )  Pn (k1 )  Pn (k1  1)  ...  Pn (k2 ) ,
где каждое слагаемое вычисляется либо по формуле Бернулли (если n мало),
либо по формуле Пуассона (если n велико, а p мало).
Пример 1.18. Из партии деталей отобраны для контроля 8 штук. Известно, что доля нестандартных деталей во всей партии составляет 20 %. Найти вероятность того, что не менее 6 деталей окажутся стандартными.
Решение. Имеем схему Бернулли: p  0,8 ; q  0,2 ; n  8 . Так как n мало,
то для отыскания вероятности P8 (6;8) применим формулу
P8 (6;8)  P8 (6)  P8 (7)  P8 (8) ,
где каждое слагаемое найдем по формуле Бернулли:
P8 (6;8)  P8 (6)  P8 (7)  P8 (8)  C86 0,860,22  C87 0,87 0,21  C88 0,880,20 
 28 32 16 
 0,86  
   0,629.
 25 25 25 
Пример 1.19. Завод отправил на базу 2000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,001. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено не более одного изделия.
Решение. Имеем схему Бернулли: p  0,001 ; n  2000 . Так как p мало, а
n велико, то для отыскания вероятности P1000 (0;1) применим формулу
P1000 (0;1)  P1000 (0)  P1000 (1) ,
каждое слагаемое найдем по формуле Пуассона (   2000  0,001  2 ), в результате получим:
20 e 2 21 e 2 1 2

 2  2  0,411 .
P1000 (0;1)  P1000 (0)  P1000 (1) 
0!
1!
e e
16
Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, а вероятность p не
близка к нулю или единице ( 0,1  p  0,9 ), то вероятность того, что событие A
произойдет не менее k1 , не более k2 раз в n испытаниях, находят по интегральной формуле Муавра-Лапласа:
Pn (k1; k2 )   ( x2 )  ( x1 ) ,
x
2
t

k1  np
k2  np
1
где x1 
e 2 dt .
; x2 
;  ( x) 

npq
npq
2 0
Функция  ( x) называется функцией Лапласа. Значения функции  ( x)
приведены в таблице при x  [0;5] (см. [2, с. 80]). Если x  [0;5] , то значения
функции  ( x) находят, используя ее свойства:
1) функция  ( x) является нечетной, т.е.  ( x)   ( x) ;
2) lim  ( x)  0,5 , поэтому при x  5 полагают  ( x)  0,5 .
x 
Пример 1.20. Произведено 100 независимых выстрелов по цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,85. Найти вероятность того, что
будет от 80 до 95 попаданий в цель.
Решение. Имеем схему Бернулли: p  0,85 ; q  0,15 ; n  100 . Так как p
не близко к 0 или 1 и n велико, то для отыскания P100 (80;95) используем интегральную формулу Муавра-Лапласа. Вычислим предварительно:
80  100  0,85
5
95  100  0,85
10

 1,4 ; x2 

 2,8 ;
100  0,85  0,15 3,57
100  0,85  0,15 3,57
 ( x1 )   (1,4)   (1,4)  0, 4192 ;  ( x2 )   (2,8)  0,4974 .
x1 
Тогда вероятность того, что будет от 80 до 95 попаданий в цель, равна
P100 (80;95)   (2,8)   (1,4)  0,4974  (0, 4192)  0,9166 .
17
2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Определение 2.1. Случайной величиной называется величина, которая в
результате опыта примет одно и только одно возможное значение, при этом заранее неизвестно, какое именно.
Случайные величины обозначаются обычно заглавными буквами латинского алфавита X , Y ,... , возможные значения случайной величины строчными
буквами - x, y,... .
Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными.
2.1. Дискретные случайные величины
Определение 2.2. Дискретной называется случайную величину, значения
которой являются конечной или бесконечной последовательностью.
Полная информация вероятностного характера о дискретной случайной
величине содержится в следующей таблице:
X
P
x1
p1
x2
p2
...
...
xn
pn
Здесь в первой строке таблицы перечислены в возрастающем или убывающем порядке все значения xi дискретной случайной величины X , а во второй строке перечислены вероятности, с которыми эти значения могут произойти в опыте: pi  P( X  xi ) , i  1,..., n . Такая таблица называется законом распределения дискретной случайной величины X .
Ясно, что события X  x1 , X  x2 ,..., X  xn образуют полную группу несовместных событий. Поэтому сумма их вероятностей равна 1:
p1  p2  ...  pn  1 .
Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить
графически, для этого в декартовой системе координат строят точки ( xi , pi ) , а
затем последовательно соединяют их отрезками. Полученную ломаную называют многоугольником распределения.
Отметим, что полностью описать вероятностный характер случайной величины как дискретной, так и непрерывной можно, задав функцию распределения случайной величины.
Определение 2.3. Пусть x ‒ любое вещественное число. Функцию F ( x)
18
называют функцией распределения случайной величины X , если ее значения
определяются формулой
F ( x)  P( x  X ) ,
т.е. значение функции распределения для каждого x ‒ это вероятность того, что
случайная величина X примет значение, лежащее левее, чем x .
Для дискретной случайной величины очевидно, что функцию распределения можно находить по формуле
F ( x) 
p.
i:xi  x
i
Свойства функции распределения дискретной случайной величины:
1. 0  F ( x)  1 .
2. F ( x) ‒ неубывающая функция.
3. F ( x) ‒ ступенчатая функция, имеющая в каждой точке xi  i  1,2,...
разрывы первого рода со скачками, равными pi .
4. F ( x)  0 при x  x1 и F ( x)  1 при x  xn .
2.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины
2.2.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины
Пусть закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей:
X
P
x1
p1
x2
p2
...
...
xn
pn
Математическим ожиданием M ( X ) случайной величины X называется
число, которое находится по формуле
M ( X )  x1 p1  x2 p2  ...  xn pn .
Введем ряд определений.
Определение 2.4. Случайные величины X и Y называются независимыми, если независимы случайные события  X  x  и Y  y  для любых х, у. Ес-
ли события  X  x  и Y  y  зависимы для каких-нибудь х, у, то X и Y – зависимые случайные величины.
19
Определение 2.5. Суммой X  Y случайных величин X и Y называют
случайную величину, значения которой равны сумме значений величин X и Y .
Определение 2.6. Произведением X  Y случайных величин X и Y называют случайную величину, значения которой равны произведению значений
величин X и Y .
Свойства математического ожидания.
1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной:
M (c)  c , где c  const .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического
ожидания:
M (cX )  cM ( X ) , где c  const .
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:
M ( X  Y )  M ( X )  M (Y ) .
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:
M ( X  Y )  M ( X )  M (Y ) .
Замечание 2.1. Справедлива формула
M ( X   Y )   M ( X )   M (Y ) ,
где  ,  - некоторые числа.
2.2.2. Дисперсия дискретной случайной величины
Дисперсией D( X ) случайной величины X называется число, которое находится по формуле
D  X   M  ( X  M ( X )) 2  .
С учетом свойств математического ожидания формулу можно преобразовать к виду
20
D  X   M ( X 2 )  ( M ( X )) 2 .
Пусть закон распределения дискретной случайной величины X задан
таблицей:
X
P
x1
p1
x2
p2
...
...
xn
pn
Тогда дисперсию дискретной случайной величины можно находить по
формулам:
n
D( X )    xi  M ( X )   pi
2
i 1
или
n
D( X )   xi 2  pi  ( M ( X )) 2 .
i 1
Свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D(c)  0 , где c  const .
2. Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его
в квадрат:
D(cX )  c 2 D( X ) , где c  const .
3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
D( X  Y )  D( X )  D(Y ) .
4. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме
дисперсий этих величин:
D( X  Y )  D( X )  D(Y ) .
2.2.3. Среднее квадратическое отклонение
Средним квадратическим отклонением  ( X ) случайной величины называется квадратный корень из дисперсии этой величины:
 ( X )  D( X ) .
21
Пример 2.1. Стрелок стреляет по мишени три раза. Вероятность попасть в
цель при первом выстреле 0,8; при втором – 0,6; при третьем – 0,5. Построить
закон распределения случайной величины – числа попаданий в цель. Вычислить числовые характеристики случайной величины.
Решение. Случайная величина X - число попаданий в цель, может принимать следующие значения:
x1  0 , x2  1 , x3  2 , x4  3 .
Пусть событие A1 - стрелок попал в цель при первом выстреле, его вероятность равна P( A1 )  0,8 ; событие A2 - стрелок попал в цель при втором выстреле, его вероятность равна P( A2 )  0,6 ; событие A3 - стрелок попал в цель
при третьем выстреле, его вероятность равна P( A3 )  0,5 .
Тогда вероятность того, что случайная величина X примет значение
x1  0 , означает, что произойдет событие – стрелок ни первый, ни второй, ни
третий раз не попал в цель, т.е.
p1  P( X  x1 )  P ( X  0)  P ( A1  A2  A3 )  (1  P ( A1 ))(1  P ( A2 ))(1  P ( A3 )) 
 (1  0,8)(1  0,6)(1  0,5)  0,04.
Аналогично,
p2  P ( X  x2 )  P( X  1)  P ( A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A3 ) 
 0,8  (1  0,6)  (1  0,5)  (1  0,8)  0,6  (1  0,5)  (1  0,8)  (1  0,6)  0,5  0,26.
p3  P( X  x3 )  P( X  2)  P ( A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A3 ) 
 0,8  0,6  (1  0,5)  (1  0,8)  0,6  0,5  0,8  (1  0,6)  0,5  0, 46.
p4  P( X  x4 )  P ( X  3)  P ( A1  A2  A3 )  0,8  0, 6  0,5  0, 24.
Составим закон распределения случайной величины X :
X
P
0
0,04
1
0,26
2
0,46
3
0,24
Проверим тождество p1  p2  ...  pn  1 :
0,04+0,26+0,46+0,24=1.
Найдем числовые характеристики случайной величины X :
M ( X )  0  0,04  1  0,26  2  0,46  3  0,24  1,9 .
Для вычисления дисперсии применим формулу
22
n
D( X )   xi 2  pi  ( M ( X ))2  02  0,04  12  0,26  22  0,46  32  0,24-(1,9)2  0,65 .
i 1
 ( X )  0,65  0,86 .
Пример 2.2. Экзаменатор задает студенту не более трех дополнительных
вопросов. Вероятность того, что студент ответит на любой вопрос, 0,7. Преподаватель прекращает экзаменовать студента, как только студент не отвечает на
дополнительный вопрос. Построить закон распределения случайной величины
– числа дополнительных вопросов, заданных студенту. Вычислить числовые
характеристики случайной величины.
Решение. Случайная величина X - число дополнительных вопросов, заданных студенту, может принимать следующие значения:
x1  1 , x2  2 , x3  3 .
Пусть событие A - студент ответил на дополнительный вопрос,
P ( A)  0,7 .
Тогда вероятность того, что случайная величина X примет значение
x1  1 , означает, что произойдет событие – студент не ответил на первый вопрос, т.е.
p1  P( X  x1 )  P( X  1)  P( A)  1  P( A)  1  0,7  0,3 .
Аналогично,
p2  P( X  x2 )  P( X  2)  P( A  A)  0,7  (1  0, 7)  0, 21.
p3  P( X  x3 )  P( X  3)  P( A  A)  0, 7  0, 7  0, 49.
Составим закон распределения случайной величины X :
X
P
1
0,3
2
0,21
3
0,49
Проверим тождество p1  p2  ...  pn  1 :
0,3+0,21+0,9=1.
Найдем числовые характеристики случайной величины X :
M ( X )  1  0,3  2  0,21  3  0,49  2,19 .
Для вычисления дисперсии применим формулу
23
n
D( X )   xi 2  pi  ( M ( X ))2  12  0,3  22  0,21  32  0,49  (2,19)2  0, 7539 .
i 1
 ( X )  0,7539  0,868 .
Пример 2.3. Независимые случайные величины заданы законами распределения:
1
0
1
X
0,3
0,5
0,2
P
2
0,8
Y
P
4
0,2
Найти числовые характеристики случайной величины Z  X 2  2Y  10 .
Решение. С учетом свойств математического ожидания получим:
M ( Z )  M ( X 2  2Y  10)  M ( X 2 )  M (2Y )  M (10)  M ( X 2 )  2 M (Y )  10 .
Найдем M ( X 2 ) , для этого составим закон распределения случайной величины X 2 :
X2
12
(1) 2
02
0,3
0,5
0,2
P
Тогда
M ( X 2 )  1  0,3  0  0,5  1  0,2  0,5 , а M (Y )  2  0,8  4  0,2  2,4 .
M ( Z )  0,5  2  2,4  10  5,7 .
С учетом свойств дисперсии получим:
D( Z )  D( X 2  2Y  10)  D ( X 2 )  D (2Y )  D (10) 
 D( X 2 )  4 D(Y )  0  D( X 2 )  4 D(Y ).
Так как D( X 2 )  M ( X 4 )  ( M ( X 2 )) 2 , то найдем сначала M ( X 4 ) , для этого
составим закон распределения случайной величины X 4 :
X4
P
(1) 4
0,3
04
0,5
14
0,2
Тогда:
M ( X 4 )  1  0,3  0  0,5  1  0,2  0,5 ,
D( X 2 )  M ( X 4 )  ( M ( X 2 )) 2  0,5  (0,5) 2  0,25 .
24
Аналогично найдем D(Y )  M (Y 2 )  ( M (Y )) 2 , составив закон распределения случайной величины Y 2 :
Y2
P
22
0,8
42
0,2
Тогда
M (Y 2 )  4  0,8  16  0,2  6,4 , а D(Y )  6,4  (2,4) 2  0,64 .
D( Z )  D( X 2 )  4 D(Y )  0,25  4  0,64  2,81 .
 ( Z )  D( Z )  2,81  1,67 .
2.3. Непрерывные случайные величины
Определение 2.7. Случайная величина X называется непрерывной, если
ее функция распределения F ( X ) является непрерывной. (Определение функции распределения см. в п.2.1.)
Свойства функции распределения непрерывной случайной величины:
1. 0  F ( x)  1 .
2. F ( x) - неубывающая функция.
3. Если множеством значений величины X является отрезок  a, b  , то
F ( X )  0 для x  a и F ( X )  1 для x  b .
4. Если множеством значений величины X является вся числовая ось, то
lim F ( X )  0 и lim F ( X )  1 .
x 
x 
5. Для любых a  b верно
P (a  X  b)  F (b)  F (a ) .
Замечание 2.2. Справедлива формула
P(a  X  b)  P(a  X  b)  P(a  X  b)  P(a  X  b)  F (b)  F (a) .
Определение 2.8. Функция f ( x) , являющаяся производной функции распределения F ( x) случайной величины X , называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X , т.е.
f ( x)  F ( x) .
25
Функция f ( x) существует во всех точках, в которых существует производная функции F ( x) .
Свойства плотности распределения вероятностей:
1. f ( x)  0 .
2. Справедливо условие нормировки


f ( x)dx  1 .

3. Если функция f ( x) непрерывна на отрезке [a, b] , то
b
 f ( x)dx  P(a  X  b) .
a
4. Функцию распределения F ( x) можно находить по известной плотности распределения вероятностей f ( x) :
x

F ( x) 
f (t )dt .

Замечание 2.3. Функцию распределения F ( x) называют интегральной
функцией распределения, а плотность распределения вероятностей f ( x) дифференциальной функцией распределения.
2.4. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Математическое ожидание непрерывной случайной величины – число,
определяемое по формуле

M (X ) 
 x  f ( x)dx ,

если сходится несобственный интеграл.
Если множеством значений непрерывной случайной величины X является отрезок [a, b] , то математическое ожидание можно находить по формуле
b
M ( X )   x  f ( x)dx .
a
26
Дисперсия D( X ) непрерывной случайной величины определяется так же,
как в п.2.2.2, и находится по формуле

D( X ) 
  x  M ( X )
2
 f ( x)dx ,

если сходится несобственный интеграл.
Более удобной для вычисления дисперсии является формула

D( X ) 

x 2  f ( x)dx   M ( X )  .
2

Если множеством значений непрерывной случайной величины X является отрезок [a, b] , то дисперсию можно находить по формулам:
b
b
D( X )    x  M ( X )   f ( x)dx или D( X )   x 2  f ( x)dx   M ( X )  .
2
a
2
a
Замечание 2.4. Свойства математического ожидания и дисперсии одинаковы в случае дискретной и непрерывной случайных величин.
Среднее квадратическое отклонение  ( X ) непрерывной случайной величины X также равно квадратному корню из D( X ) :
 ( X )  D( X ) .
Пример 2.4. Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна
0
при x  0;


f ( x)  a  4  x  при 0  x  4;

0
при x  4.

Найти функцию распределения и числовые характеристики случайной величины X ; вероятность P(1  X  3) .
Решение. Для нахождения параметра a воспользуемся условием нормировки:



f ( x)dx 
0
4

4

0
4
0
 0dx   a(4  x)dx   0dx  0   a(4  x)dx  0 
 4 x2 4 
 a  4x 
 a 16  8   8a  1,
 0 2 0 


27
1
Отсюда a  .
8
Тогда функцию плотности распределения можно переписать:
0
при x  0;

1

f ( x)    4  x  при 0  x  4;
8
0
при x  4.

x
Найдем функцию распределения F ( x) 
 f  t  dt .

x
При x  0 : F ( x) 
 0dt  0 .

t2  x 1 
x2 
1
1
При 0  x  4 : F ( x)   0dt   (4  t )dt  0   4t     4 x   .
8
8
2  0 8
2

0
0
4
x
1
1
1
t2  4
При x  4 : F ( x)   0dt   (4  t )dt   0dt  0   4t    0  16  8   1 .
8
8
20
8

0
4
x
0
Следовательно, функция распределения имеет вид:
0
при x  0;


x2 
1 
F ( x)    4 x   при 0  x  4;
2 
8 

1
при x  4.

Найдем числовые характеристики случайной величины X :
b
4
4
1
1
M ( X )   x  f ( x)dx   x(4  x)dx   (4 x  x 2 )dx 
8
80
0
a
1  4 x 2 x3  4 1 
64  4
 
    32    .
8 2
3  0 8
3  3
b
D( X )   x  f ( x)dx   M ( X ) 
2
a
2
2
4
4
.
1
16
4 1
  x 2 (4  x)dx      (4 x 2  x 3 )dx  
8
9
3 8 0
0
1  4 x 3 x 4  4 16 1  256 256  16 8 16 8
 
    

    .
8 3
4  0 9 8 3
4  9 3 9 9
28
 ( X )  D( X ) 
8
 0,94 .
9
Вычислим P(1  X  3) , используя функцию распределения:
1
32
P(1  X  3)  F (3)  F (1)   4  3 
8
2

15
0 .
16

2.5. Нормальный закон распределения
Случайная величина X распределена по нормальному закону, если ее
плотность распределения вероятностей задается функцией
f ( x) 
1
2
e

( x  a )2
2 2
,
где a и  - параметры распределения,   a   ,   0 .
Нормально распределенную величину с параметрами a и  обозначают
X  N ( a;  ) .
Параметры a и  нормально распределенной случайной величины являются ее математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением
соответственно, т.е.
M (X )  a ,  (X )   .
Вероятность того, что случайная величина X , распределенная по нормальному закону с параметрами a и  , примет значения, лежащие в интервале
( ;  ) , находится по формуле
 a
  a 
P(  X   )   
  
,
  
  
где  ( x) - функция Лапласа (см. п. 1.6.4.).
Вероятность того, что случайная величина X , распределенная по нормальному закону с параметрами a и  , примет значения, лежащие в симметричном относительно a интервале (a   ; a   ) , находится по формуле

P ( X  a   )  2 


.

Правило трех сигм: для случайной величины, распределенной по нор29
мальному закону, можно практически достоверно утверждать, что ее значения
отклоняются по модулю от математического ожидания не более чем на три
средних квадратических отклонения, т.е.
P( X  a  3 )  0,9973  1 .
Пример 2.5. На станке изготавливается деталь. Ее длина X - случайная
величина, распределенная по нормальному закону с параметрами a  23,5 см и
  1,7 см. Найти вероятность того, что длина детали заключена между 23 см и
25 см. Какое отклонение длины детали от a можно гарантировать с вероятностью 0,95? В каких пределах лежит практически длина любой детали?
Решение. Длина детали X - случайная величина, распределенная по
нормальному закону с параметрами a  23,5 см и   1,7 см. Тогда вероятность
того, что длина детали заключена между 23 см и 25 см, найдем по формуле
 25  23,5 
 23  23,5 
P (23  X  25)   
 

    0,88     0,29  
1,7
1,7




   0,88     0, 29   0,3106  0,1141  0,4247.
Для того, чтобы найти отклонение длины детали от a , гарантированное с
вероятностью 0,95, используем формулу

P ( X  a   )  2 


.

Нам требуется найти  , для которого вероятность P( X  a   )  0,95 , т.е.

2 

  

  0,95;  
  0,475;

 1,7 

1,7
 1,96;   3,332 .
Это означает, что с вероятностью 0,95 можно гарантировать отклонение
длины детали от a менее чем на 3,332 см.
Учитывая правило трех сигм, длина практически любой детали лежит в
интервале (a  3 ; a  3 ) . Так как 3  3  1,7  5,1 , то искомый интервал –
(18, 4; 28,6) .
30
3. ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
3.1. Характеристика заданий
Студенты выполняют один из 30 вариантов расчетно-графической работы, каждый из которых содержит 10 заданий. Приступая к выполнению расчетно-графической работы, студент должен знать основные определения, понятия
и формулы теории вероятностей. Для этого ему нужно будет изучить первую и
вторую главы данного пособия.
Первое задание расчетно-графической работы связано с классическим
определением вероятности. Отметим, что в этом задании потребуется от студента знание элементов комбинаторики. При решении первой задачи студент
должен обратить внимание на примеры 1.1 – 1.10.
Второе задание посвящено теоремам сложения и умножения вероятностей. В первую очередь, студенту необходимо разобраться с такими понятиями,
как совместные и несовместные, зависимые и независимые события, а также с
понятиями суммы и произведения событий. В этой задаче требуется обратить
внимание на примеры 1.11 и 1.12.
Третье задание связано со знанием студентами формулы полной вероятности (см. примеры 1.13 и 1.14).
Четвертое, пятое и шестое задания расчетно-графической работы направлены на освоение студентом схемы Бернулли. Отметим, что в четвертом
задании следует использовать формулу Бернулли, в пятом – локальную и интегральную формулы Муавра-Лапласа, а в шестом задании – формулу Пуассона.
Решая эти задачи, студент должен обратить внимание на примеры 1.15 – 1.20.
Седьмое и восьмое задания расчетно-графической работы посвящены
дискретной случайной величине. Седьмое задание требует от студентов умения
составлять закон распределения дискретной случайной величины (см. примеры
2.1 и 2.2). Восьмое задание связано с вычислением числовых характеристик
дискретной случайной величины. При выполнении этого задания студентам
следует обратить внимание на пример 2.3.
В девятом задании расчетно-графической работы студенты познакомятся с непрерывной случайной величиной. Выполняя данное задание, студент
может использовать пример 2.4.
Десятое задание расчетно-графической работы посвящено нормальному
закону распределения непрерывной случайной величины. При решении десятого задания необходимо обратить внимание на пример 2.5.
31
3.2. Индивидуальные задания
Вариант 1
1. В урне 4 черных, 6 белых и 5 красных шаров. Наудачу извлечены 7
шаров. Найти вероятность того, что среди них окажутся 2 черных, 3 белых и 2
красных шара.
2. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение смены
первый станок потребует его внимания, равна 0,2; второй – 0,25; третий – 0,3.
Найти вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потребуют
какие-либо два станка; все три станка.
3. Три станка подают детали в общий бункер. Вероятность выпуска
бракованной продукции для первого станка 0,03, для второго – 0,02 и для
третьего – 0,01. Производительность первого станка в 3 раза больше
производительности второго, а производительность третьего в два раза больше,
чем второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь из бункера
окажется годной?
4. Вероятность надежной работы конструкции при приложении расчетной
нагрузки равна 0,96. Найти вероятность того, что из 10 конструкций,
испытанных независимо друг от друга, больее двух выйдут из строя.
5. Вероятность выхода из строя каждого из 900 независимо работающих
элементов некоторого узла в течение заданного времени равна 0,1. Найти
вероятность того, что по истечении заданного времени будут работать 800
элементов; будут работать от 800 до 850 элементов.
6. Завод отправил на базу 2000 изделий. Вероятность повреждения
изделия в пути равна 0,0015. Найти вероятность того, что в пути будет
повреждено: хотя бы одно изделие; не более одного изделия.
7. В бригаде 8 рабочих, из них 5 учатся. Наудачу по списку отобраны 3
человека. Составить закон распределения дискретной случайной величины
X – числа рабочих, которые учатся. Найти M  X  , D  X  и   X  .
8. Случайная величина Х задана законом распределения
Х
Р
1 0,7 1,5 4
0,2 0,4 0,1 …
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
Z  2 X 2  1,5 X .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна
32
 0

  2a  x 
f  x  
2
 2a
 0
x  0,
при
при
0  x  2 a,
при
x  2a.
Найти интегральную функцию распределения
F  x ,
M X ,
D X 
и
вероятность P  a  X  1,5a  .
10. Диаметр детали – нормально распределенная случайная величина с
параметрами: a  75 мм,   2 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой из партии детали составит от 74 до 76,4 мм; отличается от а не более чем на 1,4 мм. Какое отклонение диаметра от а можно гарантировать с вероятностью 0,92? В каких пределах лежат диаметры практически всех изготовленных деталей?
Вариант 2
1. В партии из 7 деталей 5 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Какова вероятность того, что среди них 2 детали стандартны?
2. В поисках нужной книги студент опрашивает 3-х товарищей. Вероятности получить нужную книгу у 1-го, 2-го, 3-го товарищей соответственно равны 0,3; 0,4; 0,5. Определить вероятность того, что студент получит книгу только у одного из товарищей.
3. Часы изготавливаются на трех заводах и поступают в магазин. Первый
завод производит 40 % всей продукции, второй – 35 %, третий – 25 %. Из продукции первого завода спешат 10 % часов, у второго – 15 %, у третьего – 20 %.
Какова вероятность того, что купленные часы спешат?
4. Вероятность выхода из строя конструкции при приложении расчетной
нагрузки 0,05. Какова вероятность того, что из восьми конструкций, испытанных независимо друг от друга, не менее шести выдержат нагрузку?
5. Произведено 100 выстрелов, вероятность попадания при одном выстреле – 0,95. Найти вероятность того, что попали 96 раз; не менее 96 раз.
6. Завод отправил на базу 2000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что будет повреждено не более
трех изделий.
7. Устройство состоит из четырех независимо работающих элементов.
Вероятность отказа каждого элемента в течение времени t равна 0,2. Составить
закон распределения случайной величины X – числа работающих элементов в
течение времени t . Найти M  X  , D  X  и   X  .
8. Независимые случайные величины Х и Y заданы законами распределения.
33
X
P
0,4
0,25
0,6
0,15
1,25
0,2
2
…
Y
P
0,5 1,5 2
0,4 0,1 …
Найти дисперсию случайной величины Z  3 X 2  2Y .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна
 0

f  x   c( x 2  1)
 0

при
x  1,
при
0  x  2,
при
x  2.
Найти коэффициент с, интегральную функцию распределения F  x  , M  X  ,
D  X  и вероятность P 1,5  X  2  .
10. Автомат штампует детали. Контролируемая длина детали X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина)
а  120 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 116,5 мм и не
более 123,5 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали
меньше 117,2 мм. Какое отклонение длины детали от математического ожидания можно гарантировать с вероятностью 0,99?
Вариант 3
1. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди
отобранных окажутся три женщины.
2. Вероятности того, что нужная сборщику деталь содержится в первом,
втором, третьем или четвертом ящиках, соответственно равны: 0,6; 0,7; 0,8; 0,9.
Найти вероятность того, что нужная деталь содержится не менее чем в двух
ящиках.
3. На автобазе имеется 80 грузовых и 20 легковых автомашин. Вероятность того, что грузовая машина неисправна, равна 0,08, а легковая – 0,05. Найти вероятность того, что наудачу по номеру вызванная автомашина окажется
исправной.
4. Произведено 12 независимых выстрелов по цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,85. Найти вероятность того, что будет не менее двух промахов в цель.
5. Событие В появится в том случае, если событие А наступит не менее
150 раз. Найти вероятность появления события В, если произведено 200 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,7.
6. Завод отправил на базу 1000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено
34
ровно три изделия; менее трех.
7. На складе имеются 8 покрышек, из них 3 - изношенных. Наудачу
отобраны 3 покрышки. Составить закон распределения дискретной случайной
величины X – число годных покрышек среди отобранных. Найти M  X  , D  X 
и   X .
8. Случайная величина X задана законом распределения
X ‒0,3
P 0,2
0,5
0,2
1
0,25
2
…
Найти математическое ожидание и дисперсию величины Z  2 X  3 X 2 .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна
 0

f  x   a ( x  1)
 0

при
при
при
x  1,
1  x  3,
x  3.
Найти коэффициент а, интегральную функцию распределения F  x  , M  X  ,
D  X  и вероятность P(1  X  1,5) .
10. Автомат штампует детали. Контролируемая длина детали Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина)
а  135 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 131  X  139 мм. Найти
вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 133 мм. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,96?
Вариант 4
1. В группе 16 студентов, среди которых 4 отличника. По списку наудачу
отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 3 отличника.
2. ОТК проверяет три изделия на соответствие стандарту. Вероятность
того, что первое изделие стандартно, равна 0,8; второе – 0,9; третье – 0,95. Найти вероятность того, что из проверенных изделий только одно стандартно; хотя
бы одно стандартно.
3. В первой урне 10 шаров, из них 8 белых; во второй – 20 шаров, из них 4
белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих шаров взяли один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
4. Вероятность безотказной работы каждого из семи независимо работающих элементов некоторого устройства равна 0,85. Найти вероятность того,
что выйдут из строя не более трех элементов.
5. Испытывается каждый из 120 элементов некоторого устройства. Веро-
35
ятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти вероятность
того, что выдержат испытание ровно 110 элементов; более 110 элементов.
6. Автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь
окажется бракованной, равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 500 деталей окажется хотя бы одна бракованная; не более одной бракованной.
7. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 4 библиотеки. Найти M  X  , D  X  и   X  .
8. Независимые случайные величины Х и Y заданы законами распределения
X
P
2
0,2
0,5
0,4
1
0,1
Y 3 2
4
P 0,3 0,2 …
3
…
Найти дисперсию случайной величины Z  2 X 2  1,5Y .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна
0

f  x   cx3
0

при
x  0,
при
0  x  1,
при
x  1.
Найти коэффициент с, интегральную функцию распределения F  x  , M  X  ,
D  X  и вероятность P(0,5  X  1) .
10. Диаметр детали – нормально распределенная случайная величина X с
параметрами: a  70 мм,   1,8 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали из партии составит от 69 мм до 70,9 мм; отличается от а не
более чем на 1,5 мм. Какое отклонение диаметра от а можно гарантировать с
вероятностью 0,93? В каких пределах лежат диаметры практически всех изготовленных деталей?
Вариант 5
1. В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу
извлекает 4 детали. Найти вероятность того, что 2 детали среди извлеченных
окажутся окрашенными.
2. В партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что первое из трех наудачу взятых изделий окажется высшего сорта,
0,85; второе – 0,95; третье – 0,75. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий не менее двух будут высшего сорта.
3. Три цеха производят одинаковые детали, которые поступают на общую
36
сборку. Вероятность изготовления стандартной детали в первом цехе – 0,93, во
втором – 0,88, в третьем – 0,85. Первый цех имеет три технологические линии,
второй – две, третий – одну (линии одинаковой производительности). Найти
вероятность того, что наудачу взятая деталь на сборке окажется нестандартной.
4. Вероятность выхода из строя каждого из 9 независимо работающих
элементов некоторого узла в течение времени t равна 0,1. Найти вероятность
того, что по истечении времени t будут работать не менее 7 элементов.
5. Электрическая цепь состоит из 100 параллельно включенных приборов.
Вероятность надёжной работы каждого из них 0,9, а взаимное влияние в цепи
отсутствует. Найти вероятность того, что откажет менее 5 % от общего числа
приборов; ровно 5 % приборов.
6. Коммутатор учреждения обслуживает 200 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02.
Найти вероятность того, что в течение одной минуты позвонит хотя бы один
абонент; не более одного абонента.
7. В комплекте из 12 изделий имеются 8 изделий первого сорта и 4 второго. Наудачу отобраны 3 изделия. Составить закон распределения дискретной
случайной величины X – число изделий второго сорта среди отобранных. Найти
M  X  , D X  и   X .
8. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X ‒2
P 0,2
0,5
0,4
1
0,1
3
…
Найти математическое ожидание и дисперсию величины Z  2 X 2  3 X  1 .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна
 0

f  x   b  cos3 x
 0

при
x  0,
при
0  x   / 6,
при
x   / 6.
Найти коэффициент b, интегральную функцию распределения F  x  , M  X  ,
D  X  и вероятность P(0  X   12) .
10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, распределеная по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина)
a  125 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 122, 4  Х  127, 6 мм.
Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 123,4 мм. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,98?
37
Вариант 6
1. На складе имеются 10 покрышек, из них 2 изношенных. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 5 покрышек окажутся 4 годных.
2. Неисправность может возникнуть в одном из 4-х блоков устройства.
Вероятность возникновения неисправности в первом блоке равна 0,20, во втором – 0,15, в третьем и в четвертом – 0,10. Найти вероятность появления неисправности только в одном блоке; хотя бы в одном блоке.
3. На сборке находятся детали, изготовленные на 3-х станках, причем деталей, изготовленных на первом станке, вдвое больше, чем изготовленных на
втором станке, и в 1,5 раза больше, чем изготовленных на третьем. Вероятности
того, что деталь высокого качества, равны 0,8 для первого станка, 0,75 – для
второго станка и 0,7 – для третьего. Найти вероятность того, что наудачу взятая
деталь на сборке будет высокого качества.
4. Произведено 10 выстрелов, вероятность попадания при одном выстреле
0,9. Найти вероятность не менее 8 попаданий.
5. Автотранспортное предприятие имеет 180 автобусов. Вероятность выхода на линию каждого автобуса равна 0,9. Найти вероятность нормальной работы предприятия в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 160 автобусов, ровно 160 автобусов.
6. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,01.
Найти вероятность того, что в течение одной минуты позвонят менее трех абонентов.
7. Найти закон распределения дискретной случайной величины X – числа
появлений шестерки при четырех подбрасываниях игральной кости. Найти
M  X  , D X  и   X .
8. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения
X
P
0,4
0,25
0,6
0,15
1,25
0,2
2
…
Y 0,5 1,5 2
P 0,4 0,1 …
Найти дисперсию случайной величины Z  3 X  2Y 2 .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна
 0

 ax
f  x  
a (2  x)
 0
при
при
при
x  0,
0  x  1,
1  x  2,
при
x  2.
Найти коэффициент а, интегральную функцию распределения F  x  , M  X  ,
38
D  X  и вероятность P(0,5  X  1,5) .
10. На станке изготавливается деталь. Её длина X – случайная величина,
распределенная по нормальному закону с параметрами а  21, 0 см,   1, 2 см.
Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 20 и 21,9 см.
Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью
0,90; 0,98? В каких пределах, симметричных относительно а, будет лежать
длина практически любой детали?
Вариант 7
1. В комплекте 12 деталей первого сорта и 16 – второго. Наудачу вынимаются 4 детали. Найти вероятность того, что среди них окажутся 3 детали второго сорта.
2. В урне 5 белых и 4 красных шара, одинаковых на ощупь. Наудачу вынимаются 3 шара. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров будет
не менее двух красных.
3. Комплект состоит из 16 деталей завода № 1, 12 деталей завода № 2 и 22
деталей завода № 3. Вероятности того, что деталь низкого качества соответственно равны 0,08 для первого завода; 0,06 – для второго завода и 0,1 – для
третьего. Найти вероятность того, что наудачу вынутая деталь из комплекта
будет высокого качества.
4. Событие В появится в том случае, если событие А наступит не менее
двух раз. Найти вероятность появления события В в результате проведения
шести независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления
события А равна 0,4.
5. Автобаза обслуживает 140 магазинов. От каждого из них заявка на автомашины на следующий день может поступить с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что поступит не менее 110 и не более 120 заявок; ровно 110
заявок.
6. Коммутатор учреждения обслуживает 200 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,01.
Найти вероятность того, что в течение минуты позвонят более двух абонентов.
7. В команде 9 спортсменов, из них 4 – первого разряда и 5 – второго.
Наудачу отобраны 3 спортсмена. Составить закон распределения дискретной
случайной величины X – числа спортсменов второго разряда среди отобранных.
Найти M  X  , D  X  и   X  .
8. Дискретная случайная величина X задана рядом распределения
X 0,8
P 0,3
1,4
0,5
39
2
…
Найти M  2 X 2  1, 2 X  и D  2 X 2  1,2 X  .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна
 0

f  x   c  sin 2 x
 0

при
при
при
x  0,
0  x   / 2,
x   / 2.
Найти коэффициент с, интегральную функцию распределения F  x  , M  X  ,
D  X  и вероятность Р ( / 6  X   / 3).
10. На станке изготавливается деталь. Ее длина X – случайная величина,
распределенная по нормальному закону с параметрами а  23, 0 см,   1, 6 см.
Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 22 и 24,2 см.
Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью
0,92; 0,98? В каких пределах, симметричных относительно а, будет лежать
практически длина любой детали?
Вариант 8
1. В партии 8 изделий первого сорта и 7 второго. Найти вероятность того,
что среди наудачу выбранных 6 изделий окажутся 3 изделия первого сорта.
2. В урне 7 белых и 5 красных шаров, одинаковых на ощупь. Наудачу извлекаются 4 шара. Найти вероятность того, что среди них будет не менее трех
красных.
3. В коробке 10 деталей завода № 1, 15 деталей завода № 2 и 25 деталей
завода № 3. Вероятности того, что деталь высокого качества, равны соответственно 0,95 для первого завода; 0,85 для второго и 0,7 для третьего. Найти вероятность того, что наудачу вынутая деталь из коробки будет высокого качества.
4. Испытывается каждый из 12 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти вероятность
того, что выдержат испытание более 9 элементов.
5. Две равносильные ЭВМ играют шахматный матч. Что вероятнее: выиграть (ничейный результат исключается) не менее двух партий из четырёх, от
двадцати до тридцати партий из сорока или ровно двадцать партий из сорока?
6. Учебник издан тиражом 200000 экземпляров. Вероятность того, что
учебник сброшюрован неправильно, равна 0,00001. Найти вероятность того,
что тираж содержит ровно две бракованные книги; не более двух бракованных
книг.
7. Составить закон распределения дискретной случайной величины X –
числа появлений герба при четырех подбрасываниях монеты. Найти M  X  ,
D X  и   X .
40
8. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределе-
ния
X
P
0,4
0,25
0,6
0,15
1,25
0,2
2
…
Y 0,5 1,5 2
P 0,4 0,1 …
Найти дисперсию случайной величины Z  Y 2  2 Х 2 .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х равна
 0

f  x   a  cos 2 x
 0

при
при
при
x  0,
0  x   / 4,
x   / 4.
Найти коэффициент а, интегральную функцию распределения F  x  , M  X  ,
D  X  и вероятность P  0  X   6  .
10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая
распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная
а  145 мм.
длина)
Фактическая
длина
изготовленных
изделий
140,5  Х  149,5 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали
больше 147,7 мм. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с
вероятностью 0,94?
Вариант 9
1. Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрываются 7
билетов, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?
2. В урне 4 белых и 6 красных шаров. Наудачу извлекаются 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется менее двух красных шаров.
3. Два завода выпускают одинаковые изделия. Вероятность брака для
первого завода 0,05, для второго – 0,10. Первый завод имеет 200 станков; второй – 300. Изделия поступают на склад. Какова вероятность того, что взятое
наудачу со склада изделие является бракованным.
4. Электрическая цепь состоит из 7 параллельно включенных приборов.
Вероятность надежной работы каждого из них 0,9, а взаимное влияние в цепи
отсутствует. Найти вероятность того, что откажет менее половины приборов.
5. Что вероятнее – выиграть у равносильного противника (ничейный результат исключается) не менее трех партий из пяти, не менее 30 партий из 50
или ровно 30 партий из 50?
6. При штамповке металлических клемм получается в среднем 98 % годных. Какова вероятность того, что среди 200 клемм будут две бракованные; более двух бракованных?
41
7. В команде 11 спортсменов, из них 7 первого разряда и 4 второго. Наудачу выбраны 3 спортсмена. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа спортсменов первого разряда среди отобранных.
Найти M  X  , D  X  и   X  .
8. Случайная величина X задана законом распределения
X
P
0,2
0,2
1,2
0,15
1,5
0,4
3
…
Найти M (2 X 2  X ) и D(2 X 2  X ) .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна
 0

f  x   a  sin x
 0

при
при
при
x  0,
0  x ,
x  .
Найти коэффициент а, интегральную функцию распределения F  x  , M  X  ,
D  X  и вероятность P(0  X  2 / 3) .
10. Ha станке изготавливается деталь. Ее длина X – случайная величина,
распределенная по нормальному закону с параметрами а  22, 0 см,   1, 4 см.
Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 20 и 24,1 см.
Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью
0,90; 0,95? В каких пределах, симметричных относительно а, будет лежать
практически длина любой детали?
Вариант 10
1. Бригада рабочих, состоящая из 6 сборщиков и 10 разнорабочих, произвольным образом делится на 2 равные группы. Какова вероятность того, что в
каждой группе окажется одинаковое число сборщиков?
2. В урне 7 черных и 5 желтых шаров. Найти вероятность того, что среди
наудачу извлеченных 4-х шаров окажется более 2-х желтых.
3. Три станка-автомата штампуют однотипные детали. Первый станок
вырабатывает 45 % всех деталей, второй – 35 %, третий – 20 %. При этом каждый из станков штампует нестандартных деталей в среднем соответственно
2,5 %; 2 %; 1,5 %. Найти вероятность того, что наудачу взятая со склада деталь
стандартна.
4. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой машины равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в
ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 9 автомашин.
42
5. Пусть вероятность того, что наудачу взятая деталь нестандартна, равна
0,1. Найти вероятность того, что среди 200 взятых наудачу деталей окажется не
более 20 нестандартных; ровно 20 нестандартных деталей.
6. При штамповке металлических клемм получается в среднем 99 % годных. Найти вероятность того, что среди 500 клемм будет хотя бы одна бракованная; не более двух бракованных.
7. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,4.
Производится четыре выстрела. Составить закон распределения дискретной
случайной величины X – числа попаданий в цель. Найти M  X  , D  X  и
  X .
8. Независимые случайные величины Х и Y заданы законами распределения
Y  2 0,6 1,5
P 0,15 0,5 0,15
X 2
3
1,5
P 0,35 0,25 …
2
…
Найти дисперсию случайной величины Z  5Y 2  3 X .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х равна
 0

f  x   a  cos x
 0

при
при
при
x  0,
0  x   / 2,
x   / 2.
Найти коэффициент а, интегральную функцию распределения F  x  , M  X  ,
D  X  и вероятность Р  0  Х   / 4  .
10. Диаметр детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: а  60 мм,   1,5 мм. Найти вероятность того,
что диаметр наудачу взятой из партий детали составит от 58 до 62,4 мм; отличается от а не более чем на 1,2 мм? Какое отклонение диаметра детали от а
можно гарантировать с вероятностью 0,95? В каком интервале с вероятностью
0,9973 будут заключены диаметры практически всех изготовленных деталей?
Вариант 11
1. Для проведения лабораторных работ группа студентов, в которой 10
студентов и 6 студенток, произвольным образом делится на 2 равные подгруппы. Найти вероятность того, что в каждой из подгрупп окажется по одинаковому числу студенток.
2. На книжной полке 8 журналов, из которых 5 в переплете. Наудачу взяты 4 журнала. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее трех в
переплете.
3. В двух урнах имеются шары: в первой – 7 красных и 5 желтых, во вто-
43
рой – 10 красных и 4 желтых. Не глядя извлекаются из первой урны 2 шара, а из
второй – 1 шар. Из этих трех шаров затем наудачу вынимается один шар. Найти
вероятность того, что этот шар красный.
4. Автобаза обслуживает 12 магазинов. От каждого из них заявка на автомашину на следующий день может поступить с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что на следующий день поступит не более 9-ти заявок.
5. В системе установлено 200 независимо работающих предохранителей.
Для каждого из них вероятность выхода из строя по истечении заданного времени работы равна 0,05. Если вышло из строя менее 20 предохранителей, то
система не требует ремонта. Найти: вероятность выхода из строя 20 предохранителей; вероятность того, что система не потребует ремонта по истечении заданного времени работы.
6. Радиоаппаратура состоит из 800 независимо работающих элементов.
Вероятность отказа одного элемента в течение года работы равна 0,005 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух элементов за год; более двух элементов за год?
7. В коробке находятся 5 деталей первого сорта и 3 – второго сорта. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа деталей второго сорта среди 4-х отобранных. Найти M  X  , D  X  и   X  .
8. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X
P
0,5
0,3
0,7
0,2
1,2
0,1
2
…
2
Найти М ( 2 Х 2  5) и D(2 X  5) .
9. Дифференциальная функция распределения f(x) случайной величины X
равна
 0

f  x   a ( x  0,5)
 0

при
при
при
x  1,
1  x  2,
x  2.
Найти коэффициент а, интегральную функцию распределения F  x  , M  X  ,
D  X  , вероятность Р 1  Х  1,5  .
10. Автомат штампует детали. Контролируется длина Х, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина)
а  135 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 131  Х  139 мм. Найти
вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 133 мм. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,96?
44
Вариант 12
1. У сборщика имеется 10 деталей, не отличающихся по внешнему виду.
Из них 6 деталей первого сорта, а 4 ‒ второго. Какова вероятность того, что
среди наудачу взятых 5 деталей окажутся 3 первого сорта?
2. В ящике 10 деталей, среди которых 6 окрашенных. Наудачу извлекаются четыре детали. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее
трех окрашенных.
3. В двух урнах находятся шары. В первой – 6 белых и 4 черных, во второй – 8 белых и 2 черных. Не глядя извлекаются из первой урны 2 шара и из
второй – один и из этих трех шаров наудачу извлекается один шар. Найти вероятность того, что последний шар белый.
4. Два равносильных шахматиста играют матч. Что вероятнее: выиграть
не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти?
5. Вероятность того, что наудачу взятая деталь из партии стандартна,
равна 0,8. Найти вероятность того, что среди 600 взятых случайным образом
деталей окажется oт 500 до 530 стандартных; ровно 500 стандартных.
6. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других
элементов. Какова вероятность отказа не менее трех элементов за год; ровно
трех элементов за год?
7. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,4.
Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа
промахов при пяти выстрелах. Найти M  X  , D  X  и   X  .
8. Независимые случайные величины Х и Y заданы законами распределения
X
P
2
0,35
0,8
0,25
1,5
0,4
2
…
Y
P
 0,8
0,25
0,6
0,35
1,5
0,2
4
…
Найти среднее квадратическое отклонение величины Z  2Y 2  X .
9. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей
 0

f  x   3  sin 3 x
 0

при
при
при
x   / 6,
 / 6  x   / 3,
x   / 3.
Найти: F  x  , M  X  , D  X  и Р ( / 4  Х   / 3) .
10. На станке изготавливается партия деталей. Длина детали X - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами
а  22,5 см и   1,5 см. Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 21 и 24,5 см. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,91; 0,99? В каких пределах, симметричных отно45
сительно а, будет лежать длина практически любой детали?
Вариант 13
1. У сборщика имеется 14 деталей, не отличающихся по внешнему виду,
из них 8 – первого сорта, а 6 – второго. Найти вероятность того, что среди наудачу отобранных 9-ти деталей 4 окажутся второго сорта.
2. Вероятности того, что нужная деталь содержится в 1-м, 2-м, 3-м или
4-м ящиках, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того,
что нужная деталь находится не более чем в двух ящиках.
3. В ящике содержится 12 деталей завода № 1, 20 деталей завода № 2 и 18
деталей завода № 3. Вероятности того, что выбранная деталь отличного качества, равны 0,9 для первого завода, 0,85 для второго и 0,8 для третьего. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь будет отличного качества.
4. Что вероятнее – выиграть у равносильного противника (ничейный результат исключается) не менее трех партий из четырех или не менее шести партий из восьми?
5. Вероятность того, что станок-автомат в течение смены потребует внимания рабочего, равна 0,2. Предполагается, что неполадки на станках независимы. Найти вероятность того, что внимания рабочего в течение смены потребуют менее 15 станков из 50, обслуживаемых им; ровно 15 станков.
6. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,005. Найти
вероятность того, что среди 600 деталей окажется не более одной нестандартной детали; хотя бы одна нестандартная деталь.
7. В коробке находятся 6 деталей 1-го сорта и 4 детали 2-го сорта. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной
величины X – числа деталей 1-го сорта среди отобранных. Найти M  X  , D  X 
и   X .
8. Случайная величина задана законом распределения
X 4
P 0,5
5
0,3
6
…
Найти М (2 Х 2  3 Х  1) и D(2 X 2  3 Х  1) .
9. Случайная величинах Х задана плотностью распределения вероятностей
 0

 x/3
f  x  
2 x / 3  2
 0
46
при
при
при
x  0,
0  x  2,
2  x  3,
при
x  3.
Найти: F  x  , M  X  , D  X  и вероятность Р 1  Х  2,5  .
10. Диаметр детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: а  55 мм и   1, 4 мм. Найти вероятность того,
что диаметр наудачу взятой из партии детали составит от 53 до 57,1 мм; отличается от а не более чем на 0,7? Какое отклонение диаметра детали от а
можно гарантировать с вероятностью 0,96? В каком интервале с вероятностью
0,9973 заключены диаметры изготовленных деталей?
Вариант 14
1. С конвейера для комплектования поступают детали, из которых 20 % с
дефектами. Комплекты состоят из 20 деталей. Контролируют наудачу отобранные 9 деталей из комплекта, и комплект признается годным, если среди них не
более двух с дефектами.
2. В урне 8 черных и 4 желтых шара. Найти вероятность того, что среди
наудачу извлеченных 4-х шаров окажется не более двух желтых.
3. В двух урнах содержатся шары. В первой – 8 белых и 12 черных, во
второй – 9 белых и 11 черных. Не глядя из первой урны извлекается 1 шар, из
второй – 2, а затем из этих трех шаров наудачу извлекается один. Найти вероятность того, что он окажется белым.
4. В приборе стоят 6 независимо работающих предохранителей. Для каждого из них вероятность перегореть после 1000 часов работы равна 0,4. Если
перегорело не менее 4-х предохранителей, то прибор требует ремонта. Найти
вероятность того, что прибор потребует ремонта после 1000 часов работы.
5. Испытывается каждый из 150-ти независимо работающих элементов
некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание,
равна 0,9. Найти вероятность того, что выдержат испытание более 130-ти элементов; ровно 130 элементов.
6. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,005. Найти
вероятность того, что среди 1000 деталей окажется более трех нестандартных.
7. Рабочий проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что
изделие стандартно, равна 0,8. В проверяемой партии 4 изделия. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа нестандартных
изделий среди проверяемых. Найти M  X  , D  X  и   X  .
8. Независимые случайные величины Х и Y заданы законами распределения
X
P
0,4
0,25
0,6
0,15
1,25
0.2
2
…
Y 0,5 1,5 2
P 0,4 0,1 …
Найти среднее квадратическое отклонение величины Z  2 Х 2  1,5Y .
47
9. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей
 0

f  x   a ( x  2) 2 / 4
 0

при
x  2,
при
 2  x  0,
при
x  0.
Найти коэффициент а, интегральную функцию распределения F  x  , M  X  ,
D  X  и вероятность Р(1  X  0) .
10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая
распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная
длина) а  140 мм. Фактическая длина изготовленных деталей находится в
диапазоне 137, 75  X  142, 25 . Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет больше 141,7 мм. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,95?
Вариант 15
1. С конвейера для комплектования поступают детали, из которых 15 % с
дефектами. Комплекты состоят из 25 деталей. Контролируют наудачу отобранные 11 деталей из комплекта, и комплект признается годным, если среди них не
более двух с дефектами.
2. В урне 3 черных и 7 красных шаров. Найти вероятность того, что среди
наудачу извлеченных пяти шаров окажется не менее трех красных.
3. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность изготовления стандартной детали для станка № 1 равна 0,96, для станка № 2 равна 0,92. Станок № 1 изготавливает в 1,5 раза меньше деталей, чем станок № 2.
Найти вероятность того, что наудачу взятая на сборке деталь окажется нестандартной.
4. Пусть вероятность того, что наудачу взятая деталь стандартна, равна
0,9. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу деталей окажется
не более двух нестандартных.
5. На участке 90 станков. Вероятность работы каждого из них – 0,85.
Найти вероятность того, что в данный момент работают не менее 80 из них;
ровно 80 станков.
6. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти
вероятность того, что среди проверенных 1000 деталей окажется не менее трех
нестандартных деталей.
7. В урне находятся 7 красных и 5 черных шаров. Наудачу извлекаются 3
шара. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа красных шаров среди отобранных. Найти M  X  , D  X  и   X  .
48
8. Закон распределения случайной величины X задан в виде таблицы
X
P
-3
0,2
2
0,3
1
0,3
4
…
Найти М (2 Х 2  0, 5 Х ) и D (2 X 2  0, 5 X ) .
9. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей
 0

f  x   a  sin x
 0

при
при
при
x  0,
0  x ,
x  .
Найти коэффициент a , интегральную функцию распределения F  x  , M  X  ,
D  X  и вероятность Р(0  Х  1) .
10. Диаметр детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: а  50 мм,   1, 2 мм. Найти вероятность того, что
диаметр наудачу взятой детали из партии: составит от 49 мм до 51,5 мм; отличается от а не более чем на 0,9 мм. Какое отклонение диаметра от а можно
гарантировать с вероятностью 0,97? В каком интервале с вероятностью 0,9973
будут заключены диаметры всех изготовленных деталей?
Вариант 16
1. С конвейера для комплектования поступают детали, из которых 25 % с
дефектами. Комплекты состоят из 40 деталей. Контролируют наудачу отобранные 15 деталей из комплекта, и комплект признается годным, если среди них не
более двух с дефектами.
2. Вероятность безотказной работы первого из четырех независимо работающих элементов устройства равна p1  0,9 , второго p2  0,85 , третьего
p3  0,75 и четвертого p4  0,65 . Найти вероятность выхода из строя двух элементов устройства.
3. На сборку поступило 500 деталей с первого станка, 400 деталей со второго и 200 деталей с третьего. Первый станок дает 0,6 % брака, второй – 0,25 %,
а третий – 0,5 %. Найти вероятность того, что деталь, взятая наудачу из нерассортированной продукции станков, окажется небракованной.
4. Вероятность того, что наудачу взятая деталь из партии нестандартна,
равна 0,2. Найти вероятность того, что среди шести взятых случайным образом
деталей окажется не менее половины стандартных.
5. На автобазе 120 машин. Вероятность выезда на линию каждой из них –
0,9. Найти вероятность того, что в данный момент на линии работает не менее
ста машин; ровно 100 машин.
49
6. Автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь
окажется бракованной, равна 0,005. Найти вероятность того, что среди 400 деталей не менее трех бракованных; ровно три бракованных.
7. В урне 9 шаров, среди которых 5 белых, а остальные – черные. Наудачу
извлекаются 3 шара. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа черных шаров среди отобранных. Найти M  X  , D  X  и
  X .
8. Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид
X
P
Найти
математическое
1
2
0,1 0,3
ожидание
и
3
4
0,35
…
дисперсию
случайной
величины
Z  3X 2  2 X  4 .
9. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей:
при
x  0,
 0
 2
f  x   ax / 9 при 0  x  3,
 0
при
x  3.

Найти коэффициент а, интегральную функцию распределения F  x  , M  X  ,
D  X  и вероятность P  0  X  2  .
10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая
распределена по нормальному закону с параметрами a  145 мм,   1 мм.
Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет больше 143,5
мм и меньше 146 мм. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,94? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут
заключены длины деталей?
Вариант 17
1. Комплект из 18 деталей, содержащий 6 окрашенных деталей, произвольным образом делится на две равные группы. Какова вероятность того, что в
каждой группе окажутся по три окрашенных детали?
2. Вероятности того, что на складе нужная сборщику деталь содержится в
1-й, 2-й или 3-й коробках, равны соответственно 0,6; 0,75 и 0,7. Найти вероятность того, что нужная сборщику деталь находится более чем в двух коробках.
3. Партия электрических лампочек на 20 % изготовлена заводом № 1, на
30 % – заводом № 2 и на 50 % – заводом № 3. Для завода № 1 вероятность вы50
пуска бракованной лампочки равна 0,004, для завода № 2 – 0,005, а для завода
№ 3 – 0,006. Какова вероятность того, что взятая наудачу лампочка окажется
бракованной?
4. Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,4. Предполагается, что неполадки на станках независимые. Найти
вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребуют не менее
двух станков из четырех, обслуживаемых им.
5. Из партии деталей отобраны для контроля 210 штук. Известно, что доля стандартных деталей во всей партии составляет 90 %. Найти вероятность того, что более 190 деталей окажутся стандартными; ровно 190 деталей окажутся
стандартными.
6. Вероятность того, что изделие не выдержит испытание, равна
0,001.Найти вероятность того, что из 5000 изделий более двух не выдержат испытание.
7. В комплекте 80 % окрашенных деталей, остальные – не окрашены.
Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа окрашенных деталей среди отобранных. Найти
M  X  , D X  и   X .
8. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X
P
1
0,2
2
0,5
3
…
Найти M  X 2  2 X  и D  X 2  2 X  .
9. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей
при
x  1,
 0

f  x   c  x  1 при 1  x  1,
 0
при
x  1.

Найти: коэффициент с, интегральную функцию распределения F  x  , M  X  ,
D  X  и вероятность P  0  X  0,5  .
10. На станке изготавливается деталь. Ее длина X – случайная величина,
распределенная по нормальному закону с параметрами a  23,5 см и   1,7 см.
Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 22 и 26 см.
Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,9;
0,95? В каких пределах будут лежать длины практически всех деталей?
Вариант 18
1. Колода из 52-х карт произвольно делится пополам. Найти вероятность
51
того, что в каждой половике будет ровно по два туза.
2. В приборе имеются четыре независимо работающих блока. Вероятность выхода из строя за время Т блока № 1 равна p1  0,18 ; № 2 – p2  0,15 ;
№ 3 – p3  0,12 и № 4 – p4  0,1 . Найти вероятность того, что за время Т выйдет
из строя хотя бы один блок; только один блок.
3. Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено из
группы № 1 четыре студента, из группы № 2 – шесть и из группы № 3 – пять
студентов. Вероятность того, что выбранный студент из первой группы попадет
в сборную команду, равна 0,5, из второй – 0,4, из третьей – 0,3. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент попадет в сборную.
4. Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагается, что неполадки на станках независимые. Найти
вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребуют не более
двух станков из четырех, обслуживаемых им.
5. Отбирают для контроля 500 деталей. Известно, что вероятность брака
таких деталей равна 0,1. Найти вероятность того, что от 440 до 470 деталей
окажутся стандартными; ровно 440 деталей окажутся стандартными.
6. Аппаратура содержит 2000 независимых элементов. Вероятность отказа каждого из них равна 0,0005. Какова вероятность отказа хотя бы одного элемента; менее трех элементов?
7. В комплекте 9 деталей, среди которых шесть нужного размера. Наудачу отобраны четыре детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа деталей нужного размера среди отобранных. Найти
M  X  , D X  и   X .
8. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения
X
P
1
0,2
1,5
0,5
Y
P
2
0,3
 1,75
0,2
0,8
0,5
1,6
…
Найти дисперсию случайной величины Z  X 2  2Y .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X задана
графически:
Найти  и аналитическое выражение для f  x  ; интегральную функцию распределения F  x  , M  X  , D  X  и вероятность P  0  x  0,5  .
52
10. Диаметр изготавливаемой в цехе партии деталей является случайной
величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами a  40 мм,
  0,8 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали составит от 39 до 42 мм; отклоняется от а не более чем на 1 мм. Какое отклонение
диаметра от а можно гарантировать с вероятностью 0,99? В каком интервале с
вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных деталей?
Вариант 19
1. Для уменьшения общего количества игр на соревнованиях 14 команд
разбиты по жребию на две подгруппы по 7 команд в каждой. Найти вероятность того, что 2 наиболее сильные команды окажутся в разных подгруппах.
2. В урне 8 синих и 7 зеленых шаров. Наудачу извлекаются 6 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее 5 синих.
3. Вероятности того, что во время работы ЭВМ произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти или в остальных устройствах,
относятся как 3,5:2,5:4,0. Вероятности обнаружения сбоя в них соответственно
равны 0,9; 0,95; 0,85. Найти вероятность того, что возникающий в машине сбой
будет обнаружен.
4. На участке четыре независимо работающих станка. Вероятность надежной работы каждого из них – 0,85. Найти вероятность того, что в данный
момент работает менее трех из них.
5. Со склада отбирают 300 автопокрышек. Вероятность изношенности
покрышки равна 0,15. Найти вероятность того, что более 270-ти покрышек
окажутся неизношенными; ровно 270 автопокрышек окажутся неизношенными.
6. Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что среди 500 деталей окажется хотя бы одна бракованная; не
более одной бракованной.
7. Вероятность нестандартности детали равна 0,14. Наудачу отобраны три
детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X –
числа стандартных деталей среди отобранных. Найти M  X  , D  X  и   X  .
8. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X
P
1
0,1
0
0,05
Найти M  X 2  X  1 и D  X 2  X  1 .
0,5
0,2
1,2
0,3
2
…
9. Плотность распределения вероятностей f  x  случайной величины X
задана графически:
53
Найти  и аналитическое выражение для f  x  . Определить интегральную
функцию распределения
F  x  , дисперсию
D X 
и вероятность
P  0,5  x  0  .
10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая
распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная
длина) a  150 мм. Фактическая длина изготовленных деталей находится в пределах 145  155 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали
будет больше 152 мм. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,93?
Вариант 20
1. В партии из 35-ти изделий есть 5 бракованных. Подвергаются контролю 17 наудачу выбранных изделий. Партия будет принята, если среди них окажется 15 годных. Найти вероятность того, что партия будет принята.
2. В урне 8 синих и 7 красных шаров. Найти вероятность того, что среди 9
наудачу извлеченных шаров окажется более 6 синих.
3. В двух урнах находятся шары. В первой – 9 красных и 8 синих, во второй – 11 красных и 6 синих. Из первой урны вынут один шар и переложен во
вторую. Затем из второй урны извлекается наудачу один шар. Найти вероятность того, что это синий шар.
4. В типографии 4 машины. Вероятность надежной работы каждой из них
– 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент в типографии работает не
менее 3-х машин.
5. Вероятность того, что наудачу взятая деталь из партии стандартна,
равна 0,92. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 600 деталей менее 50 окажутся нестандартными; ровно 50 деталей окажутся нестандартными.
6. Вероятность неточной сборки прибора равна 0,004. Найти вероятность
того, что среди 500 приборов окажется более четырех неточно собранных.
7. В урне 6 белых и 2 черных шара. Наудачу извлечены 5 шаров. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа белых
шаров среди извлеченных. Найти M  X  , D  X  и   X  .
54
8. Случайные величины X и Y заданы законами распределения
.X
P
0,5
0,25
2
0,4
3
0,15
3,5
…
Y
P
2,5
0,5
3
0,3
4,5
…
Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины: Z  3 X  Y 2 .
9. Плотность распределения вероятностей f  x  задана графически:
Найти  и аналитическое выражение для f  x  . Определить функцию распределения F  x  , M  X  , D  X  и вероятность Р(-0,5<Х<0).
10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая
распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная
длина) а=158 мм. Фактическая длина изготовленных деталей находится в пределах 157,6  158,4 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет больше 158,2 мм. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,91? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут
заключены длины изготовленных деталей?
Вариант 21
1. С конвейера для комплектования поступают детали, из которых 10 % с
дефектами. Комплекты состоят из 20 деталей. Контролируют наудачу отобранные 9 деталей из комплекта, и комплект признается годным, если среди них не
более двух деталей с дефектами.
2. В коробке лежат 12 белых и 8 красных шаров одинаковых на ощупь.
Вынули 8 шаров. Какова вероятность того, что красных шаров вынуто не более
двух?
3. В вычислительной лаборатории имеются 6 клавишных автоматов и 4
полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета
автомат не выйдет из строя, равна 0,98; для полуавтомата эта вероятность равна
0,95. Студент проводит расчет на выбранной наудачу машине. Чему равна вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя?
4. Контролируются 12 деталей. Известно, что вероятность бракованных
55
деталей составляет 0,15. Найти вероятность того, что более 9 деталей окажутся
стандартными.
5. Электрическая цепь состоит из 600 параллельно включенных потребителей. Вероятность отказа каждого из них равна 0,1, а взаимное влияние в цепи
отсутствует. Найти вероятность того, что откажут 40 потребителей.
6. Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется не менее трех бракованных.
7. Вероятность нестандартности детали – 0,1. Наудачу отобраны 4 детали.
Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа нестандартных деталей среди отобранных. Построить многоугольник распределения X. Найти M  X  , D  X  и   X  .
8. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X
P
‒2
0,2
2,5
0,4
2
0,1
3
…
Найти M  3 X  2 X 2  и D  3 X  2 X 2  .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X задана
графически:
Найти аналитическое выражение для f  x  ; интегральную функцию распределения F  x  , M  X  , D  X  и вероятность P  0,25  X  1 .
10. Диаметр изготовляемой в цехе партии деталей является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами: a  45 мм,
  1 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали составляет от 44 до 47 мм; отклоняется от а не более чем на 1,1 мм. Какое отклонение
диаметра детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,96? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных деталей?
Вариант 22
1. Из полной колоды карт (52 штуки) извлекаются наугад сразу 3 карты.
Найти вероятность того, что эти карты будут: тройка, семерка, туз.
56
2. Устройство состоит из 4 независимо работающих узлов, каждый из которых в течение времени t может выйти из строя. Вероятность выхода из строя
за время t первого узла p1  0,2 , второго узла p2  0,15 , третьего p3  0,1 , четвертого p4  0,12 . Найти вероятность того, что за время t выйдут из строя два
узла.
3. В двух урнах находятся шары. В первой – 6 белых и 3 черных, во второй – 4 белых и 7 черных. Из второй урны не глядя вынут один шар и переложен в первую. Затем из первой урны наудачу извлекается один шар. Какова вероятность того, что этот шар черный.
4. Отбирают для контроля 10 деталей. Известно, что брак при изготовлении деталей составляет 20 %. Найти вероятность того, что не менее 8 деталей
окажутся стандартными.
5. Испытывается каждый из 1400 независимо работающих элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти вероятность того, что выдержат испытание от 1250 до 1300 элементов; ровно 1250 элементов.
6. Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,005. Найти вероятность того, что среди 600 деталей окажется не более 4-х бракованных.
7. В комплекте 10 деталей, из них 7 деталей первого сорта, остальные
второго. Наудачу извлечены 4 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных.
Найти M  X  , D  X  и   X  .
8. Закон распределения случайной величины X имеет вид
X
P
5
0,1
2
0,3
3
0,4
4
…
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины
Z  X 2  2X .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X задана
графически:
Найти аналитическое выражение для плотности f  x  ; интегральную функцию
распределения F  x  , M  X  и вероятность P 1  X  1,5  .
57
10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая
распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная
длина) а=155 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 149,5  X  160,5
мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 157,2 мм.
Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью
0,92?
Вариант 23
1. Из полной колоды карт (52 штуки) извлекаются наугад сразу 4 карты.
Найти вероятность того, что эти карты будут королями.
2. Прибор состоит из 3-х независимо работающих узлов, каждый из которых может в течение времени t выйти из строя. Вероятность безотказной работы за время t первого узла равна p1  0,8 , второго узла p2  0,9 , третьего –
p3  0,7 . Найти вероятность того, что за время t выйдут из строя ровно 2 узла;
хотя бы 1 узел; все 3 узла.
3. В 4-х урнах белые и черные шары, одинаковые на ощупь. В первой – 3
белых и 1 черный шар, во второй – 6 белых и 4 черных, в третьей – 9 белых и 1
черный, в четвертой – 2 белых и 5 черных. Из наудачу выбранной урны случайным образом вынимается 1 шар. Найти вероятность того, что он белый.
4. Отбирают для контроля 30 деталей. Известно, что брак при изготовлении деталей составляет 15 %. Найти вероятность того, что не более двух деталей окажутся стандартными.
5. Контролируются 700 пневматических шин. Известно, что доля негодных шин при изготовлении составляет 10 %. Найти вероятность того, что не
менее 620 и не более 660 шин окажутся годными; ровно 640 шин окажутся годными.
6. Автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь
окажется бракованной, равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей будет не менее трех бракованных.
7. Устройство состоит из 3-х элементов, работающих независимо. Вероятность работы элемента в одном испытании равна 0,85. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа отказавших элементов в
одном испытании. Найти M  X  , D  X  и   X  .
8. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения
.X
P
1
0,2
3
0,3
5
0,4
6
…
Y
P
1,5
0,2
2
0,5
2,5
…
Найти дисперсию случайной величины Z  3 X  2Y 2 .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X задана
графически:
58
Найти аналитическое выражение для f  x  , интегральную функцию распределения F  x  , математическое ожидание M  X  , дисперсию D  X  и вероятность P  0  X  0,5  .
10. На станке изготавливается деталь. Ее длина X – случайная величина
распределенная по нормальному закону с параметрами: a  25 см,   2 см.
Найти вероятность того, что длина детали заключена между 23 и 26,4 см. Какое
отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,85;
0,95? В каких пределах будут лежать длины практически всех деталей?
Вариант 24
1. В коробке находятся 6 деталей первого сорта, 7 – второго и 4 – третьего сорта. Найти вероятность того, что среди наудачу выбранных 8-ми деталей
окажутся 3 детали первого сорта; 3 детали второго сорта и 2 – третьего сорта.
2. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих
сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает 1-й сигнализатор,
равна 0,9, 2-й – 0,85, 3-й – 0,8. Найти вероятность того, что при аварии сработают два сигнализатора; все три.
3. В телеателье имеются 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп
выдержит гарантийный срок службы соответственно равны 0,2; 0,85; 0,9; 0,95.
Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный
срок службы.
4. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/8. Найти вероятность того, что лицо, имеющее 6 билетов, выиграет не более чем по двум
билетам.
5. Контролируется работа каждого из 100 независимых узлов устройства.
Вероятность того, что узел окажется неисправным, равна 0,2. Найти вероятность того, что не менее 70 узлов окажутся исправными; ровно 70 узлов окажутся исправными.
6. Вероятность нарушения герметичности баллона равна 0,005. Найти вероятность того, что среди 600 баллонов окажется хотя бы один негерметичный;
менее двух негерметичных.
59
7. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти M  X  , D  X  и   X  .
8. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения
.X
P
2
0,15
3
0,6
Y
P
4,5
…
0,5
0,2
1
0,1
2,5
0,3
3
…
Найти дисперсию случайной величины Z  X 2  3Y .
9. Плотность распределения вероятностей f  x  случайной величины X
задана графически:
Написать аналитическое выражение для f  x  , найти интегральную функцию
распределения F  X  , математическое ожидание M  X  , дисперсию D  X  ,
P  1  X  0  .
10. Диаметр изготавливаемой в цехе партии деталей является случайной
величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами a  80 мм,
  2, 2 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали составит от 79 до 81,8 мм. С какой вероятностью он отличается от математического
ожидания не более чем на 1,8 мм? Какое отклонение диаметра детали от математического ожидания можно гарантировать с вероятностью 0,91? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных деталей?
Вариант 25
1. В ящике лежат 5 красных, 7 синих и 6 зеленых шаров, одинаковых на
ощупь. Наудачу извлекаются 6 шаров. Какова вероятность того, что будут вынуты 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара?
2. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что первое изделие стандартно, равна 0,95, вероятность того,
что стандартно второе изделие, равна 0,98. Найти вероятность того, что из двух
проверенных изделий только одно стандартно.
3. В пирамиде установлены 5 винтовок, из которых 3 снабжены оптиче-
60
ским прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при первом выстреле из винтовки с прицелом равна 0,95, для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
4. Электрическая цепь состоит из 6 параллельно включенных приборов.
Вероятность отказа каждого из них равна 0,2, а взаимное влияние в цепи отсутствует. Найти вероятность того, что откажет не менее половины приборов.
5. На заводе 800 станков. Вероятность отказа каждого из них 0,1. Найти
вероятность того, что в данный момент времени работают от 700 до 750 станков; ровно 700 станков.
6. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг
от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002.
Найти вероятность того, что за время t откажут более двух элементов.
7. Устройство состоит из 4-х элементов, работающих независимо. Вероятность надежной работы каждого элемента в течение времени t равна 0,9. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа отказавших элементов в течение времени t . Найти M  X  , D  X  и   X  .
8. Независимые дискретные случайные величины X и Y заданы законами
распределения
.X
P
1
0,1
2
0,2
4
0,5
Y
P
7
…
3
0,4
1,5
0,1
5
…
Найти среднее квадратическое отклонение величины Z  2 X  3Y 2 .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х равна
0


2
f  x   2  c  x  / c 2

0

при
x  0,
при 0  x  c,
при
x  c.
Найти: интегральную функцию распределения F  x  , M  X  , D  X  , вероят-
ность P  0  X  c / 2  .
10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая
распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная
длина) a  160 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 154 мм
и не более 166 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали
больше 163 мм. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с
вероятностью 0,91?
61
Вариант 26
1. На стеллаже в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем 5
из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность
того, что из взятых учебников 2 окажутся в переплете.
2. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень
при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.
3. Станок 1/3 своего времени обрабатывает деталь № 1 и 2/3 времени –
деталь № 2. При обработке детали № 1 он простаивает 15 % времени, а при обработке детали № 2 – 9 % времени. Какова вероятность застать станок простаивающим?
4. Испытывается каждый из 15 независимо работающих элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна
0,9. Найти вероятность того, что выдержат испытание более 12 элементов.
5. Вероятность того, что наудачу взятый из партии подшипник стандартный, равна 0,92. Найти вероятность того, что среди отобранных наудачу 600
подшипников менее 60 окажутся нестандартными; ровно 60 окажутся нестандартными.
6. Вероятность нарушения герметичности баллона равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 500 баллонов окажется более трех негерметичных
баллонов.
7. В урне из 7 шаров 5 красных, а остальные белые. Наудачу извлекаются
4 шара. Составить закон распределения дискретной случайной величины X –
числа красных шаров среди отобранных. Найти M  X  , D  X  и   X  .
8. Случайные величины X и Y независимы и подчинены законам распределения
.X
P
1
0,15
4
0,6
Y
P
5
…
2
0,2
3
0,3
4
0,3
6
…
Найти среднее квадратическое отклонение величины Z  2 X 2  3Y .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X задана
графиком:
62
Написать аналитическое выражение для f  x  , найти интегральную функцию
распределения F  x  , вычислить дисперсию D X  , определить вероятность
P0  X  0 ,5 .
10. На станке изготавливается деталь. Ее длина Х – случайная величина,
распределенная по нормальному закону с параметрами a  25 см,   2 см.
Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 24 и 27 см.
Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,9;
0,99? В каких пределах будет лежать длина практически всех деталей?
Вариант 27
1. Колода из 36 карт делится наугад на 2 равные части. Найти вероятность того, что в каждой части окажется по 2 туза.
2. В соревнованиях участвуют 16 команд, из которых случайным образом
формируются 2 группы по 8 команд в каждой. Среди участников имеется 5
сильных команд. Найти вероятность того, что в одну группу попадут 2 сильные
команды, а в другую – 3.
3. В комплекте содержатся детали 3-х типов. Известно, что деталей первого типа в 1,5 раза больше, чем деталей второго, и в 2 раза больше, чем деталей третьего типа. Вероятность того, что детали первого типа окажутся низкого
качества, равна 0,1, второго типа – 0,15, а третьего – 0,2. Найти вероятность того, что наудачу взятая из комплекта деталь окажется высокого качества.
4. Отобраны для контроля 8 деталей. Известно, что доля нестандартных
деталей при изготовлении составляет 15 %. Найти вероятность того, что не менее шести деталей окажутся стандартными.
5. Вероятность надежной работы конструкции при приложении нагрузки
равна 0,9. Найти вероятность того, что из 150-ти конструкций, испытанных независимо друг от друга, не более 20-ти выйдут из строя; ровно 20 выйдут из
строя.
6. Автомат изготавливает детали. Вероятность того, что изготавливаемая
деталь окажется стандартной, равна 0,995. Найти вероятность того, что среди
600 деталей окажется более двух бракованных.
7. Вероятность нестандартности детали 0,2. Наудачу отобраны 4 детали.
63
Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа
стандартных деталей среди отобранных. Найти M  X  , D  X  и   X  .
8. Случайные величины X и Y заданы законами распределения
.X
P
2
0,3
1,5
0,4
3
0,2
Y
P
4
…
2
0,3
1,5
0,4
3
0,2
4
…
Найти среднее квадратическое отклонение величины Z  2 X  1,5Y 2 .
9. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей
x  3,
0
при

 3
45
f  x    x 2  6 x 
при 3  x  5,
4
4

0
при
x  5.

Найти интегральную функцию распределения F  x  , M  X  и D X  , вероятность попадания X в интервал (3,5; 4,5).
10. Диаметр детали – нормально распределенная случайная величина с
параметрами a  85 мм,   2,4 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой из партии детали составит от 84 до 87 мм, вероятность отклонения
диаметра от а не более чем на 1,6 мм. Какое отклонение диаметра от а можно
гарантировать с вероятностью 0,9? В каком интервале с вероятностью 0,9973
будут заключены диаметры изготовленных деталей?
Вариант 28
1. В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, среди
которых имеется 6 команд экстра-класса. Все команды случайным образом разбиваются на 2 группы по 9 команд. Найти вероятность того, что в каждую
группу попадут по 3 команды экстра-класса.
2. Устройство состоит из 4-х независимых узлов. Вероятность отказа 1-го
узла равна 0,1; 2-го – 0,12; 3-го – 0,15 и 4-го – 0,2. Найти вероятность надежной
работы двух; трех узлов.
3. На сборку поступают детали четырех типов. Деталей первого типа в 1,5
раза меньше, чем деталей второго типа, в 2 раза меньше, чем деталей третьего
типа и столько же, сколько деталей четвертого типа. Вероятность того, что деталь первого типа окажется годной, равна 0,9, второго типа – 0,85, третьего –
0,9 и четвертого типа – 0,75. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется бракованной.
4. Контролируется работа каждого из 10 узлов устройства. Вероятность
того, что узел окажется неисправным, равна 0,2. Найти вероятность того, что не
менее 8 узлов окажутся исправными.
64
5. Вероятность выхода из строя узла конструкции при приложении расчётной нагрузки 0,05. Какова вероятность того, что из 800 узлов, испытанных
независимо друг от друга, не менее 750-ти выдержат нагрузку; ровно 750 выдержат нагрузку?
6. Найти вероятность того, что среди 2000 деталей окажется более 3-х нестандартных, если вероятность изготовления стандартной детали равна 0,998.
7. В партии 10 деталей, из них 7 стандартных, остальные нестандартные.
Наудачу отобраны 4 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа нестандартных деталей среди отобранных. Найти
M  X  , D X  и   X .
8. Случайные величины X и Y заданы законами распределения
.X
P
2
0,3
1,5
0,4
2
0,2
Y
P
3
…
2
0,35
1
0,25
2,5
…
Найти среднее квадратическое отклонение величины Z  3 X  Y 2  4 .
9. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей
0
при
x  2,

 3
9
f  x    x 2  x  6 при 2  x  4,
2
 4
0
при
x  4.

Найти: F  x  , M  X  , D X  , P2 ,5  X  3,5 .
10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая
распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная
длина) a  115 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 112  X  118 .
Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 113 мм. Какое отклонение длины от а можно гарантировать с вероятностью 0,95?
Вариант 29
1. На складе имеются 15 кинескопов, из них 5 исчерпавших ресурс. Найти
вероятность того, что среди 5-ти взятых наудачу кинескопов окажутся 2 кинескопа, исчерпавших ресурс работы.
2. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень
при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8, для
третьего – 0,9. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет
только один из стрелков; хотя бы один стрелок.
3. В двух урнах находятся шары: в первой – 14 красных и 6 зеленых; во
второй – 15 красных и 8 зеленых. Из первой урны вынуты 2 шара и переложены
во вторую. Затем из второй урны извлекается наудачу один шар. Какова веро-
65
ятность того, что вынутый шар зеленый?
4. На участке 8 независимо работающих станков. Вероятность отказа каждого из них 0,1. Найти вероятность того, что в момент времени t работает не
менее половины станков.
5. Произведено 1200 независимых выстрелов по цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,85. Найти вероятность того, что будет от 160
до 200 промахов в цель; ровно 180 промахов в цель.
6. Устройство состоит из 4-х независимо работающих однотипных элементов. Вероятность отказа элемента в течение смены равна 0,005. Найти вероятность того, что в течение смены работают не менее трех элементов.
7. Устройство состоит из пяти независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение смены равна 0,9. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа отказавших элементов в течение смены. Найти M  X  , D  X  и   X  .
8. Случайные величины X и Y заданы законами распределения
.X
P
 1,5
0,25
 0,5
0,35
Y
P
2
…
2
0,4
1
0,3
1,5
0,2
3
…
Найти среднее квадратическое отклонение величины Z  2 X  1,5Y 2 .
9. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей
0
при
x  0,


f  x   a  x 2  2 x  при 0  x  1,

0
при
x  1.

Найти а, интегральную функцию распределения F  x  , M  X  , D X  и вероятность попадания X в интервал (0,2; 0,8).
10. На станке изготавливается деталь. Ее длина X – случайная величина,
распределенная по нормальному закону с параметрами: a  20 см,   1,1 см.
Найти вероятность того, что длина детали заключена между 19 и 21,1 см. Какое
отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,9; 0,99?
В каких пределах будет лежать длина практически всех деталей?
Вариант 30
1. У сборщика имеются 10 деталей, мало отличающихся по внешнему виду. Из них 6 деталей первого сорта, а 4 – второго. Какова вероятность того, что
среди взятых наудачу 5 деталей 3 окажутся первого сорта?
2. В урне 7 черных шаров и 5 желтых шаров. Найти вероятность того, что
среди наудачу извлеченных 4-х шаров окажется более 2-х желтых.
3. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность из-
66
готовления стандартной детали для первого станка равна 0,96, а для второго
станка – 0,92. Детали складываются в одном месте, причем первый станок изготавливает в 1,5 раза меньше деталей, чем второй. Найти вероятность того, что
взятая наудачу деталь окажется нестандартной.
4. Вероятность того, что наудачу взятая из партии деталь стандартна,
равна 0,92. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу шести деталей не
менее двух окажутся нестандартными.
5. Вероятность безотказной работы каждого из 700 независимо работающих элементов некоторого устройства равна 0,85. Найти вероятность того, что
выйдут из строя от 80 до 120 элементов; ровно 100 элементов.
6. Автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь
окажется бракованной, равна 0,005. Найти вероятность того, что среди 600 деталей окажется хотя бы одна бракованная; не более одной бракованной.
7. Устройство состоит из 4-х элементов, работающих независимо друг от
друга. Вероятность надежной работы каждого элемента в одном испытании
равна 0,9. Составить закон распределения дискретной случайной величины X –
число отказавших элементов в одном опыте. Найти M  X  , D  X  и   X  .
8. Независимые случайные величины Х и Y заданы законами распределения
.X
P
2
0,1
1,5
0,3
2
0,2
Y
P
3
…
 1,5
0,3
0
0,2
2
…
Найти среднее квадратическое отклонение величины Z  2 X 2  3Y .
9. Плотность распределения вероятностей f  x  случайной величины X
задана графически:
Найти аналитическое выражение для f  x  ; интегральную функцию распределения F  x  , математическое ожидание M  X  , дисперсию D X  и вероятность
P0 ,5  X  1,2  .
10. На станке изготавливается деталь. Ее длина X – случайная величина,
распределенная по нормальному закону с параметрами: a  23,5 см и   1,7
см. Найти вероятность того, что длина детали заключена между 23 и 25 см. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,9;
0,95? В каких пределах лежит длина практически всех деталей?
67
Заключение
Пособие в первую очередь предназначено для студентов Воронежского
государственного архитектурно-строительного университета, обучающихся по
направлениям подготовки бакалавров «Управление персоналом» и «Менеджмент», хотя может быть использовано и студентами других специальностей и
направлений подготовки бакалавров, изучающих теорию вероятностей.
Пособие позволит студентам выполнить расчетно-графическую работу,
так как включает и необходимые теоретические сведения по курсу «Теория вероятностей», и примеры решений всех типов задач, входящих в расчетнографическую работу.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алейников, С.М. Высшая математика. Контрольно–измерительные материалы для аттестации обучающихся в технических вузах: практикум / С.М.
Алейников, В.В. Горяйнов; Воронеж. гос. арх.–строит. ун–т. – Воронеж, 2006. –
131 с.
2. Алейников, С.М. Элементы теории вероятностей и математической статистики: курс лекций / С.М. Алейников, А.М. Дементьева; Воронеж. гос. арх.–
строит. ун–т. – Воронеж, 2002. – 84 с.
3. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2003. – 405 с.
4. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е.
Гмурман. – М.: Высшая школа, 2003. – 479 с.
5. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. / П.Е.
Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова.– М.: Издательский дом «ОНИКС 21
Век»: Мир и Образование, 2003. – Ч.2.– 416 с.
6. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: в 2 т. /
Н.С. Пискунов. – М.: ИНТЕГРАЛ–ПРЕСС, 2002. – Т. 2. – 544 с.
68
Учебное издание
КОЛПАЧЁВ ВИКТОР НИКОЛАЕВИЧ
КАВЕРИНА ВАЛЕРИЯ КОНСТАНТИНОВНА
ГОРЯЙНОВ ВИТАЛИЙ ВАЛЕРЬЕВИЧ
ЧЕРНЫШОВ АЛЕКСАНДР ДАНИЛОВИЧ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебно-методическое пособие
Редактор Акритова Е.В.
Подписано в печать 13.02. 2015. Формат 60 х 84 1/16. Уч.–изд. л. 4,3.
Усл. – печ. л. 4,4.Бумага писчая. Тираж 100 экз. Заказ №
.
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства
учебной литературы и учебно-методических пособий Воронежского ГАСУ
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
69
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
248
Размер файла
666 Кб
Теги
144, вероятности, колпачев, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа