close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

146.Ханкин Е.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения

код для вставкиСкачать
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
Е.И. Ханкин
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Курс лекций
Рекомендовано в качестве учебного пособия редакционно-издательским
советом Воронежского государственного архитектурно-строительного
университета для студентов, обучающихся по направлениям 270200
«Транспортное строительство» и 190200 «Транспортные машины
и транспортно-технологические комплексы»
Воронеж 2009
1
УДК 517.9
ББК 22.1
Х19
Рецензенты:
кафедра функционального анализа и операторных уравнений
Воронежского государственного университета;
А.Д. Баев, к.ф.-м. н., доцент,
декан математического факультета Воронежского государственного
университета
Х19
Ханкин, Е.И.
Обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст]: курс
лекций / Е.И. Ханкин; Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т, 2009. - 68 с.
ISBN 978-5-89040-248-6
В соответствии с учебной программой излагается курс дифференциальных уравнений.
Приводятся примеры и задачи на приложение теории и подробно поясняются пути их решения.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 270200 «Транспортное строительство» и 190200 «Транспортные машины и транспортно-технологические комплексы».
Ил. 9. Табл. 8.
УДК 517.9
ББК 22.1
ISBN 978-5-89040-248-6
© Ханкин Е.И., 2009
© Воронежский государственный
архитектурно-строительный
университет, 2009
2
Предисловие
Предлагаемый курс лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям содержит материал, предусмотренный обязательной программой для
студентов, обучающихся по направлениям 270200 «Транспортное строительство» и 190200 «Транспортные машины и транспортно-технологические комплексы», и может быть использован для других специальностей, программы
которых близки или совпадают с указанной выше.
Этот курс сложился в результате многолетней работы автора на механико-автодорожном факультете Воронежского архитектурно-строительного университета и, несмотря на небольшой объем его, материал изложен по возможности строго и доступно. Для пояснения и закрепления теоретического материала
в каждом разделе приведены примеры и решения соответствующих задач. Чтобы избежать формального введения основных понятий в курсе дифференциальных уравнений рассматриваются геометрические и физические задачи, приводящие к этим понятиям.
При изложении определенных разделов сохранялась методика, заложенная в основных учебниках по высшей математике для втузов (А.Ф. Берманта и
И.Г. Арамановича, Н.С. Пискунова и других авторов), которая проверена многолетней практикой и оправдала себя.
Следует отметить, что объем материала, включенный в некоторые разделы
лекций несколько расширен, и может быть сокращен по усмотрению преподавателя, но в то же время оказать существенную практическую помощь при самостоятельном изучении излагаемого материала и решении конкретных задач.
Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность за тщательное рецензирование рукописи, деловые замечания и рекомендации по ее совершенствованию доцентам кафедры высшей математики ВГАСУ В.С. Муштенко, А.А. Седаеву, сотрудникам кафедры функционального анализа и операторных уравнений ВГУ и ее зав. кафедрой д. ф.-м. н., проф. М. И. Каменскому, а
также декану математического факультета ВГУ к. ф.-м. н., доценту А.Д. Баеву.
Автор
3
Лекция 1
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ
К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
При решении многих геометрических и физических задач приходится
отыскивать неизвестную функцию по данному соотношению между этой неизвестной функцией, ее производными и независимыми переменными. Такое соотношение называется дифференциальным уравнением, а отыскание функции,
удовлетворяющей уравнению, называется решением или интегрированием
данного уравнения.
Рассмотрим несколько задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.
ЗАДАЧА 1. Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в
точке касания.
Пусть y = f (x ) - уравнение искомой кривой, M ( x, y ) - произвольная
точка кривой (рис. 1).
Рис. 1. Геометрическая интерпретация задачи
Угловой коэффициент касательной в этой точке равен y′ . По условию
AM = MB, т.е OP = PA = x , а значит, в
y
y
tg∠MAP = − y′ = ; следовательно, y′ = − .
x
x
любой
точке
М
кривой
Мы получили соотношение, связывающее неизвестную функцию y , независимую переменную x и производную от y по x , т. е. получили диффе-
4
ренциальное уравнение относительно y . Этому уравнению удовлетворяет
c
, где С - любое число.
x
c
c
y
c
и − =−
.
Действительно, если y = , то y ' = −
x
x
x2
x2
функция y =
Таким образом, указанным выше свойством обладает бесчисленное множество кривых ("семейство" кривых), различающихся значениями постоянной С.
Это - семейство равносторонних гипербол, асимптотами которых являются оси
координат.
Для того чтобы из этого семейства кривых выделить одну определенную
кривую, достаточно задать точку ( x0 , y0 ) , через которую проходит эта кривая,
и определить соответствующее значение постоянной С.
Например, через точку (2,4) будет проходить та кривая семейства, для которой 4 =
c
8
, т.е. C = 8. Уравнение этой кривой y = .
2
x
Дадим определения основных понятий.
Обыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и
ее производные:
F ( x, y, y′, ... , y ( n ) ) = 0,
где F - функция, определенная в некоторой области,
x - независимая переменная,
y - искомая функция переменной x, а y′, y′′, ... , y ( n) - ее производные.
( n −1)
При этом функция F может явно не зависеть от x, y, y′, ... , y
, но обязательно должна зависеть от y
(n )
.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей
входящей в него производной.
Так, например,
2
2
x
• уравнения y′ + xy − x = 0, xy′ + e = 0, yy ′ − 1 = 0,
дут дифференциальными уравнениями первого порядка;
•
3
уравнения xy′′ − y′ − y = 0,
уравнениями второго порядка;
2
y′6 + e y бу-
y′′ − y′ = 1 будут дифференциальными
2
5
• уравнение y − y′′′ + x = 0 имеет третий порядок и т.д.
5
Решением
дифференциального уравнения называется всякая функция
y = ϕ ( x ), подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество.
Например, дифференциальное уравнение y′′ + y = 0 имеет решением
функцию y = cos x , так как если y = cos x , то y′ = − sin x, y′′ = − cos x и
− cos x + cos x = 0.
Решение дифференциального уравнения, заданное неявно соотношением
Ф( x, y ) = 0 , называют интегралом этого уравнения.
График решения дифференциального уравнения называется его интегральной кривой.
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА,
РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ,
И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Как уже было сказано, дифференциальным уравнением первого порядка
называется соотношение между независимым переменным, неизвестной функцией и ее производной.
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:
если соотношение (2.1) разрешить относительно y , то получится уравнение вида
F ( x, y, y′) = 0 ;
(2.1)
если соотношение (2.1) разрешить относительно y′ , то получится уравнение вида
y′ = f ( x, y ) .
(2.2)
Оно называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, всегда можно записать в так называемой дифференциальной форме:
P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 .
(2.3)
Действительно, если
y ′ = f ( x, y ), то
f ( x, y )dx − dy = 0.
6
dy
= f ( x, y ), а значит,
dx
Наоборот, всякое уравнение вида (2.3), если Q ( x, y ) ≠ 0 , можно разрешить относительно производной:
dy
P ( x, y )
=−
,
dx
Q ( x, y )
т.е. записать в виде y′ = f ( x, y ).
Выясним геометрический смысл уравнения (2.2).
Пусть x и y - декартовы прямоугольные координаты точек плоскости, а
y = ϕ ( x) - решение данного уравнения. График этого решения – интегральная
кривая уравнения (2.2) есть непрерывная кривая, в каждой точке которой имеется касательная. Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в
ее точке ( x, y ) равен y′ , т.е. равен f ( x, y ). Таким образом, уравнение
y′ = f ( x, y ) дает связь между координатами точки и угловым коэффициентом
касательной к интегральной кривой в этой точке. В каждой точке ( x, y ) области D, в которой определена функция f ( x, y ), мы можем вычислить у', т.е.
указать направление касательной к той интегральной кривой, которая проходит через эту точку. Построив в каждой точке области черточку ("стрелку"),
наклоненную к оси ОХ под углом, тангенс которого равен f ( x, y ), получим
так называемое "поле направлений" (рис. 2).
Задать уравнение y′ = f ( x, y ) - значит задать в области D поле направлений.
Решить это уравнение - значит найти кривую, касательная к которой в
каждой ее точке совпадала бы с направлением поля в этой точке.
Рис. 2. Поле направлений
Таких кривых будет не одна, а целое семейство (построение можно начинать с любой точки данной области). Чтобы выделить определенную интегральную кривую, нужно задать точку ( x0 , y0 ) , через которую должна прохо-
7
дить кривая. При некоторых ограничениях на правую часть уравнения (2.2) через каждую точку области D будет проходить одна интегральная кривая.
Дифференциальное уравнение первого порядка вида y′ = f ( x, y ) имеет,
вообще говоря, не одно, а бесчисленное множество решений. Для того чтобы из
этого бесчисленного множества решений выделить определенное решение,
обычно приходится задавать значение искомой функции y0 при некотором значении аргумента x0 . Пару чисел x0 , y0 называют начальными условиями, или
начальными данными, решения. Геометрически задание начальных условий
равносильно заданию точки ( x0 , y0 ) - "начальной точки" плоскости ХОУ. Будем говорить, что решение y = ϕ (x) уравнения y′ = f ( x, y ) удовлетворяет
начальным условиям x0 , y0 , если
ϕ ( x0 ) = y0 , т.е. если график этого решения
проходит через точку ( x0 , y0 ) .
Отыскание решения дифференциального уравнения y′ = f ( x, y ) , удовле-
творяющего заданным начальным условиям x0 , y0 , является одной из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши.
Естественно, возникает вопрос: всегда ли существует решение задачи
Коши и, если существует, будет ли оно единственным?
Ответы на эти вопросы дает теорема Коши - теорема существования и
единственности решения дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Приведем ее формулировку.
Теорема Коши. Если функция f (xy ) непрерывна в некоторой области
D плоскости ХОУ и имеет в этой области непрерывную частную производную
по f y′ ( x, y ) , то, какова бы ни была точка ( x0 , y0 ) области D , существует, и при-
том единственное, решение y = ϕ (x) уравнения y′ = f ( x, y ) , определенное в
некотором интервале, содержащем точку x0 , принимающее при x = x0 значе-
ние ϕ ( x0 ) = y0 .
Геометрически это утверждение означает, что через каждую внутреннюю
точку ( x0 , y0 ) области D проходит, и притом только одна, интегральная кривая уравнения (рис. 3).
Из теоремы Коши следует, что в области D уравнение f y′ ( x, y ) имеет
бесчисленное множество решений. Действительно, считая x0 постоянным и изменяя значение y0 в некоторых пределах, получим для каждого значения y0
свое решение: y = ϕ ( x, y0 ) (рис. 4).
Введем теперь следующие основные определения.
8
Функция y = ϕ ( x, С ) , зависящая от одной произвольной постоянной С, называется общим решением уравнения y′ = f ( x, y ) в некоторой области σ, если она является решением этого уравнения для любого значения постоянной С
(или для любого значения С из некоторого множества) и если любое решение
уравнения, лежащее в области σ , может быть записано в виде y = ϕ ( x, С ) при
конкретном значении С.
Рис. 3. Геометрический смысл
теоремы Коши
Рис. 4. Семейство интегральных
кривых
Равенство Ф( x, y, C ) = 0 , неявно задающее решение, называется общим
интегралом уравнения (2.1) в области σ.
Решения, получающиеся из общего при определенных значениях постоянной С, называются частными решениями данного уравнения. Аналогично
определяются частные интегралы.
Геометрически общее решение (общий интеграл) уравнения (2.1) в области σ представляет собой семейство интегральных кривых уравнения, обладающее тем свойством, что каждая интегральная кривая, лежащая в области σ ,
принадлежит этому семейству кривых.
Если при этом функция f ( x, y ) , стоящая в правой части уравнения (2.2)
области σ удовлетворяет условиям теоремы Коши, то через каждую точку
( x0 , y0 ) области σ проходит одна определенная кривая семейства
y = ϕ ( x, C ), (Φ ( x, y, C ) = 0). Соответствующее ей значение постоянной С
можно определить, подставив координаты начальной точки ( x0 , y0 ) в уравнение y = ϕ ( x, C ), (Φ ( x, y, C ) = 0). Если y0 = ϕ ( x0 , C0 ), (Φ ( x0 , y0 , C0 ) = 0) , то
интегральная кривая, проходящая через точку ( x0 , y0 ) , будет иметь уравнение
y = ϕ ( x, C0 ), (Φ( x, y, C0 ) = 0). Эта кривая будет изображать частное решение
уравнения (2.1), соответствующее значению С0 . Таким образом, для выделения
9
из общего решения (интеграла) частного решения (интеграла) уравнения (2.2)
достаточно задать его начальные условия.
ПРИМЕР: Уравнение y′ = 2 y разрешено относительно производной.
Функции f ( x, y ) = 2 y
и
f y′ ( x, y ) =
1
y
определены и непрерывны для
y〉 0. Следовательно, условия теоремы Коши для уравнения y′ = 2 y выполнены в верхней полуплоскости y〉 0. Через каждую ее точку проходит одно определенное решение уравнения.
Основной задачей теории дифференциальных уравнений является
отыскание всех решений данного дифференциального уравнения (в явной или
неявной форме) и изучение свойств этих решений. Нахождение решений дифференциальных уравнений называют интегрированием этих уравнений.
Лекция 2
3. НЕКОТОРЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ
Рассмотрим некоторые, наиболее важные типы дифференциальных уравнений первого порядка, интегрирование которых сводится к вычислению одного или нескольких неопределенных интегралов. Действие вычисления неопределенного интеграла, чтобы не было путаницы с термином "интегрирование
уравнения", будем называть квадратурой
3.1. Уравнение вида y′ = f ( x)
Уравнение вида y′ = f (x) , где f (x) - функция, определенная и непрерывная на некотором интервале a 〈 x〈b оси ОХ .
Как известно из курса интегрального исчисления, все решения этого простейшего дифференциального уравнения исчерпываются соотношением
y = ∫ f ( x)dx + C ,
(3.1)
где С - произвольная постоянная.
Геометрически это значит, что все интегральные кривые уравнения
y′ = f ( x ) в полосе {a 〈 x〈b, − ∞〈 y 〈+∞}получаются из одной из них, например
y = ∫ f ( x)dx , сдвигом, параллельным оси OY. Задавая в этой полосе любую
точку M 0 ( x0 , y0 ), можно единственным образом определить постоянную
10
C0 так, что соответствующая интегральная кривая y = ∫ f ( x)dx + C0 проходит
через точку.
Соотношение (3.1) представляет собой общее
решение уравнения y′ = f ( x ) в данной полосе.
2
ПРИМЕР: Правая часть уравнения y′ = 3x непрерывна в промежутке − ∞〈 x〈∞.
Общее решение уравнения во всей плоскости
3
ХОY имеет вид y = x + C , где С - произвольная
постоянная.
Найдем частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям: x0 = 1, y0 = 3. Для него
3 = 1 + C0 , C0 = 2, т.е. y = x3 + 2.
Геометрически это значит, что из семейства
3
Рис. 5.
Геометрический смысл
решения примера
кубических парабол y = x + C , представляющего
собой общее решение уравнения, выделена парабола, проходящая через точку (1, 3) - частное решение уравнения (рис. 5 ).
3.2. Уравнение с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение y′ = f ( x, y ) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде
y′ = ϕ ( x) ⋅ψ ( y ) ,
(3.2)
т.е. если его правая часть есть произведение двух функций, одна из которых не
зависит от y , а другая от x .
Предположим, что функции
a 〈 x〈b, c〈 y 〈 d и что ψ ( y ) ≠ 0.
ϕ (x) и ψ ( y ) непрерывны на интервалах
Умножая обе части уравнения (3.2) на dx и деля на
в виде
dy
= ϕ ( x)dx .
ψ ( y)
ψ ( y ) , запишем его
(3.3)
При этом переменные разделяются: в одной части уравнения оказывается
функция от y и дифференциал y , в другой - функция от x и дифференциал
x.
11
Пусть Ψ ( y ) = ∫
dy
,
ψ ( y)
Φ ( x ) = ∫ ϕ ( x ) dx на рассматриваемых ин-
тервалах. Если y - решение уравнения (3.2), то, как следует из соотношения
(3.3), на интервале a 〈 x〈b
dΨ ( y ) ≡ dΦ ( x) ,
а значит, Ψ ( y ) ≡ Φ ( x) + C , где С - некоторое число.
Наоборот, Ψ ( y ) ≡ Φ ( x ) + C , где С- любое число, то dΨ ( y ) ≡ dΦ ( x ) ,
т.е. y - решение уравнения (3.2).
Таким образом, соотношение Ψ ( y ) = Φ ( x) + C , т.е.
∫
dy
= ∫ ϕ ( x)dx + C
ψ ( y)
(3.4)
где С - произвольная постоянная, охватывает все решения уравнения (3.2) в области {a 〈 x〈b, c〈 y 〈 d } . Соотношение (3.4) представляет собой общий интеграл
уравнения (3.2) в указанной области.
2
ПРИМЕР . Уравнение y′ = x( y + 1) есть уравнение с разделяющимися
переменными. Функции
ϕ ( x) = x и ψ ( y ) = y 2 + 1 непрерывны всюду и
y 2 + 1 ≠ 0.
Разделяя переменные
dy
y 2 +1
= xdx и интегрируя, получаем
x2
arctg y =
+C
2
(3.5)
 x2

π x
π
y = tg  + C , − 〈 + C 〈 .
2 2
2
 2

(3.6)
- общий интеграл данного уравнения во всей плоскости ХОУ.
Разрешая соотношение (3.5) относительно у, находим общее решение
уравнения в виде
Задавая любые начальные условия x0 , y0 , можно из соотношения (3.5)
определить C0 :
x0 2
x0 2
arctg y0 =
+ C0 , С0 = arctg y0 −
,
2
2
12
и, следовательно, определить соответствующий частный интеграл данного
уравнения
x0 2
x2
arctg y =
+ arctg y0 −
2
2
и частное решение
2
 x2
x
0
.
y = tg  + arctg y0 −
 2
2 

(3.7)
3.3. Однородные уравнения
Функция f ( x, y ) называется однородной п-го измерения относительно
своих аргументов x и y , если для любого значения t имеет место тождество
f (tx, ty ) = t n f ( x, y ).
(3.8)
3
2
Например, f ( x, y ) = x + 3 x y - однородная функция третьего измерения относительно x и у , так как
f (tx, ty ) = (tx)3 + 3(tx) 2 (ty ) = t 3 ( x3 + 3 x 2 y ) = t 3 f ( x, y ).
Аналогично устанавливается, что функции
x3 + y 3
x− y
x3
x
2
f ( x, y ) = 2
,
(
x
,
y
)
,
(
x
,
y
)
y
ln
ϕ
=
ψ
=
+
x + 2y
y
y
x + xy + y 2
являются однородными функциями соответственно первого, нулевого и второго
3
2
x− y
измерений. Функции x − 3 x y + y, e
+ 2, x sin( x / y ) однородными не
являются, так как для них условие (3.8) не выполняется ни при каких t .
Однородные функции, как следует из определения, обладают следующими свойствами:
• Сумма однородных функций одинакового измерения есть однородная
функция того же измерения.
• Произведение однородных функций есть однородная функция, измерение
которой равно сумме измерений сомножителей.
• Частное однородных функций есть однородная функция. Ее измерение
равно разности измерений делимого и делителя.
Дифференциальное уравнение y ′ = f ( x, y ) называется однородным, если
его правая часть f ( x, y ) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.
Однородным будет также всякое уравнение вида
P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0 ,
где P ( x, y ) и Q ( x, y ) - однородные функции одинакового измерения.
13
В этом легко убедиться, решая уравнение относительно y′ (или x′ ).
Покажем, что интегрирование однородного уравнения
y ′ = f ( x, y )
(3.9)
с помощью специальной подстановки сводится к интегрированию уравнения с
разделяющимися переменными.
Действительно, так как f ( x, y ) - однородная функция нулевого измерения, то для любого
t
f (tx, ty ) = f ( x, y ) .
В частности, полагая t =
1
, получаем
x
 y
f ( x, y ) = f 1,  .
 x
Это значит, что правая часть уравнения (3.9) фактически зависит от одного аргумента - отношения
y
 y
: f ( x, y ) = ϕ  ,
x
 x
т.е. уравнение (3.9) можно записать в виде
 y
y′ = ϕ  .
 x
(3.10)
Введем новую неизвестную функцию и с помощью подстановки y = ux
получим вместо (3.10) уравнение u ′x + u = ϕ (u ) или, что то же, уравнение
u′ =
ϕ (u ) − u
x
.
(3.11)
Это - уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной
функции u .
Предположим, что функция ϕ (u ) непрерывна на интервале a 〈u 〈b и
ϕ (u ) − u ≠ 0.
Разделяя переменные в уравнении (3.11) и интегрируя, находим общие интегралы этого уравнения в областях {a 〈u 〈b, x〉 0} и {a 〈u 〈b, x〈 0} в виде
∫
du
dx
= ∫ + C,
x
ϕ (u ) − u
где С - произвольная постоянная.
Заменяя в этом соотношении вспомогательную функцию и ее выражением
через x и y , находим в квадратурах общие интегралы данного уравнения в областях
 y   y
a 〈 〈b  и a〈 〈b,
 x   x

x〈 0 (рис. 6).

14
Рис. 6. График области общих интегралов
ПРИМЕР. Уравнение − y ′ =
y
y
(ln + 1) однородное.
x
x
y
y
(ln + 1) определена в областях {x〈0, y 〈 0} и
x
x
{x〉 0, y〉 0} (там y 〉 0, т.е. ln y имеет смысл). Полагаем, y / x = u, y = ux. При
x
x
этом y′ = u ′x + u , u ′x + u = u (ln u + 1), u ′x = u ln u - уравнение с разделяющимися переменными относительно u . Решая его в областях {u 〉 0, x〉 0} и
{u〉 0, x〈0}, получаем
du
dx
= , ln | ln u |= ln | x | + ln | C |, C ≠ 0, ln u = Cx, u = eCx .
u ln u x
Функция
f ( x, y ) =
Подставляя u =
y
y
= eCx , y = xeCx - совокупность решений дан, находим
x
x
ного уравнения. Здесь С - любое отличное от нуля число.
При разделении переменных утеряно решение u = 1 , т.е. y = x.
Так как его можно получить в виде y = xe
Cx
при С=0, заключаем, что
y = xeCx , где С - любое число - общее решение данного уравнения в областях
{x〉 0, y〉 0} и {x〈0, y 〈0}.
15
Лекция 3
4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальное уравнение y ′ = f ( x, y ) называется линейным, если
оно линейно относительно искомой функции у и ее производной у', т.е. если
оно может быть записано в виде
y′ + P ( x) y = Q( x),
(3.12)
Примеры линейных уравнений:
y′ + x 2 y = x 5 ,
y′ + x + e x y = 0,
y′ = y и т.д.
Если в уравнении (3.12) правая часть Q ( x ) не равна тождественно нулю, то это уравнение называется линейным неоднородным уравнением, или
линейным уравнением с правой частью. Если же Q ( x) = 0, то уравнение
(3.12) называется линейным однородным уравнением, или уравнением без
правой части.
Уравнение y′ + P ( x) y = 0, полученное из уравнения (3.12) заменой функции
Q ( x) нулем, называется линейным однородным уравнением, соответствующим данному неоднородному уравнению.
Будем рассматривать линейное уравнение
y′ + P ( x ) y = Q ( x )
на интервале a 〈 x〈b непрерывности функции P ( x ) и Q ( x) .
Покажем, что такое уравнение интегрируется в квадратурах.
Возьмем сначала линейное однородное уравнение
y′ + P( x) y = 0,
(3.13)
соответствующее данному неоднородному.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и
интегрируя, находим
dy
= − P ( x)dx, ln | y |= − ∫ P( x)dx + ln | C |,
y
y = Ce − ∫ P ( x ) dx ,
где С - произвольная постоянная, отличная от нуля.
При разделении переменных утеряно решение y = 0. Так как его можно
− P ( x ) dx
получить из соотношения y = Ce ∫
при C = 0 , заключаем, что соотношение
y = Ce − ∫ P ( x ) dx ,
16
(3.14)
где С - произвольная постоянная, есть общее решение уравнения (3.13) в полосе {a 〈 x 〈b, − ∞〈 y 〈+∞}.
Для отыскания решений линейного неоднородного уравнения (3.12) применим метод вариаций произвольной постоянной. А именно, будем искать решение уравнения (3.12) в том же виде (3.14), что и решение соответствующего
однородного уравнения. Тогда С придется считать не постоянной, а функцией
от x , C = C ( x) . Эта функция С(х) должна быть такова, чтобы при подстановке
y = C ( x)e − ∫ P ( x ) dx и y′ = C ′( x)e − ∫ P ( x ) dx − C ( x) P ( x)e − ∫ P ( x ) dx
в уравнение (3.12) оно обращалось в тождество на интервале a 〈 x〈b .
Для определения функции С(х) получаем уравнение с разделяющимися переменными:
C ′( x)e − ∫ P ( x ) dx = Q( x)
Интегрируя его, находим
C ( x ) = ∫ Q ( x )e ∫ P ( x ) dx dx + C ,
где С - произвольная постоянная.
Таким образом, для любого значения постоянной С функция
− P ( x ) dx
P ( x ) dx
y=e ∫
( ∫ Q( x)e ∫
dx + C )
(3.15)
является решением уравнения (3.12).
Наоборот, так как функция e ∫
отлична от нуля, любое решение уравнения (3.12) на промежутке a 〈 x〈b можно записать в виде
− P ( x ) dx
y = C ( x)e − ∫ P ( x ) dx ,
а значит, в виде (3.15) при некотором значении постоянной С .
Следовательно, соотношение (3.15) является общим решением уравнения
(3.12) в области {a 〈 x〈b, − ∞〈 y 〈+∞}. Заметим, что общее решение линейного неоднородного уравнения (3.12)
− P ( x ) dx
P ( x ) dx
y=e ∫
( ∫ Q( x)e ∫
dx + C )
оказывается равным сумме общего решения соответствующего однородного уравне− P ( x ) dx
ния (Сe ∫
)
и частного решения данного неоднородного уравнения
(e − ∫ P ( x ) dx ⋅ ∫ Q ( x)e ∫ P ( x ) dx dx.
Рассмотренный выше метод вариации произвольной постоянной применяется
обычно при отыскании решений линейных неоднородных уравнений.
17
ПРИМЕР, y′ − 2 xy = ( x + 1)e
x2
- линейное неоднородное уравнение.
Функции P ( x) = −2 x и Q ( x) = ( x + 1)e
x2
непрерывны всюду.
Решаем сначала линейное однородное уравнение y′ − 2 xy = 0, соответствующее данному уравнению:
dy
= 2xdx, ln | y |= x 2 + ln | C |,
y
2
y = Ce x .
Ищем общее решение данного уравнения в виде:
2
y = C ( x )e x .
Тогда y′ = C ′( x)e
x2
+ C ( x)2 xe x
2
y и
Подставляя
y′ в
уравнение
2
y′ − 2 xy = ( x + 1)e x , после приведения подобных членов получим
2
2
C ′( x)e x = ( x + 1)e x ,
( x + 1) 2
откуда С ′( x) = x + 1, C ( x) =
+ C1 , где С1 - произвольная постоянная.
2
 ( x + 1) 2
 2
Общее решение данного уравнения имеет вид y = 
+ C1  ⋅ e x . Для
 2

решения линейного дифференциального уравнения y′ = P ( x) y = Q ( x) возможен и другой путь: применим подстановку y = uv (3.16), где u и y - некоторые функции от x . Тогда y′ = u′v + uv′ (3.17). Подставив (3.16) и (3.17) в (3.12),
получим
u ′v + uv′ + P ( x)uv = Q( x).
Сгруппируем левую часть по u (либо по v ): u (v′ + P ( x)v) + u ′v = Q ( x) (3.18)
и наложим условие; чтобы v было таким, при котором выражение в скобках
обратится в 0, это, очевидно, возможно.
Тогда уравнение (3.18) распадется на два уравнения; т.е. на систему дифференциальных уравнений:
v′ + P ( x)v = 0,
(3.19)

u ′v = Q( x).
dv
Решив первое уравнение системы
= P ( x) ⋅ v , которое является уравdx
нением с разделяющимися переменными, найдем какое-либо частное решение v = v(x) , при этом постоянную величину С не учитываем. Затем найденную функцию v( x) подставляем во второе уравнение системы (3.19),
18
du
⋅ v( x) = Q( x) , из которого находим множество первообразных функций
dx
u ( x, C ) = 0.
u (x) И v(x) подставляем в (3.16) и получаем общее решение линейного
дифференциального уравнения (3.12).
ПРИМЕР. Решить линейное дифференциальное уравнение y′ −
y
= x2 .
x
Пусть y = uv, то y′ = u ′v + uv′. Исходное уравнение примет вид
uv
= x2.
x
v′ 

2
Сгруппируем левую часть уравнения по u : u  v′ −  + u ′v = x .
x

u ′v + uv′ −
Выберем u таким, чтобы выражение в скобках обратилось в 0, т.е. v′ −
После чего получим
v
= 0.
x
dv v
− =0,
dx x
du
⋅ v = x2 .
dx
dv v dv dx
= ,
= ,
Решаем 1-е уравнение:
dx x v
x
проинтегрировав обе части, получим частное решение ln | v |= ln | x |, откуда
v = x. Подставим v = x во второе уравнение системы (3.20):
du
⋅ x = x2
dx
Сократим на x и разделим переменные: du = xdx, после чего найдем u .
x2
(3.21)
∫ du = ∫ xdx, u = + C .
2
3
 x2

x

Так как y = uv , то общим решением будет y = x
 2 + C  или y = 2 + Cx.


5. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
a
Уравнением Бернулли называется уравнение вида y + p ( x) y = Q ( x) y ,
19
где
α ≠ 1 и α ≠ 0, т.е. уравнение Бернулли относится уже к нелинейным.
1−α
преобразуются в линейные.
Уравнения такого типа подстановкой z = y
Однако, их можно решать аналогично вышеизложенному, т.е. подстановкой
y = uv.
y
= xy 2 , (α = 2). Обозначим y = uv , тогда
x
uv
y′ = u ′v + uv′ и исходное уравнение примет вид u ′v + uv′ − = xu 2v 2 .
x
Сгруппируем только левую часть по u либо по v :
ПРИМЕР: Решить уравнение y′ −
u  v′ − v  + u ′v = xu 2v 2.
x

(3.22)
Выберем v таким, чтобы выражение в скобах обратилось в 0 :
v
dv v dv dx
= 0; ⇒
= ;
= ; v = x.
x
dx x
v
x
Найденное значение v = x , подставим в уравнение (3.22) и решим его относиdu
= x ⋅ x 2 ⋅ u 2 . Сократим на x обе части уравнения и, разделив петельно ux
dx
du
1 x3
2
ременные, получим
= x dx. Проинтегрировав, получим − =
+ C,
2
u
3
u
 x 3 + 3C 
1
, u = − 3 . Так как y = uv, то общим решением будет
= − 

u
x 3 + 3C
 3 
− 3x
y= 3
.
x + 3C
v′ −
6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка (некоторые из них были изложены выше) пригодны лишь
для сравнительно небольшой части уравнений, встречающихся на практике.
В связи с этим большое значение приобретают методы приближенного
интегрирования дифференциальных уравнений.
20
В зависимости от формы, в которой они представляют решения, эти
методы делятся в основном на три группы:
1. Аналитические методы, дающие приближенные решения дифференциальных уравнений в виде аналитических выражений;
2. Графические методы, дающие приближенные решения уравнений в
виде графиков;
3. Численные методы, дающие приближенные численные значения решений для указанных значений аргумента.
Эта классификация является в известной степени условной Так, например, приведенные ниже графические методы дают одновременно способы численного решения и т.д.
Рассмотрим некоторые из наиболее употребительных методов приближенного решения задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка.
6.1. Метод последовательных приближений
Пусть дано уравнение
y ′ = f ( x, y ) ,
(6.1)
правая часть которого в прямоугольнике { x − x0 ≤ a, y − y0 ≤ b} непрерывна и имеет непрерывную частную производную по y . Требуется найти решение уравнения (6.1), удовлетворяющее начальным условиям x0 , y0 . По теореме Коши в некоторой окрестности точки ( x0 , y0 ) такое решение существует
и является единственным. Рассмотрим вспомогательное уравнение
x
y = y0 + ∫ f ( x, y )dx
(6.2)
x0
с неизвестной функцией y = y (x) . Такое уравнение называется интегральным
(неизвестная функция входит под знак интеграла). Всякое непрерывное решение уравнения (6.2) (т. е. всякая непрерывная функция, обращающая это уравнение в
тождество) является вместе с тем решением уравнения (6.1) с начальными условиями x0 , y0 .
Действительно, если y = y (x) - непрерывная функция, для которой
x
y ( x) = y0 + ∫ f ( x, y ( x))dx,
x0
то она дифференцируема:
21
y′( x) ≡
x

d 
y0 + ∫ f ( x, y ( x))dx  ≡ f ( x, y ( x))


dx 
x0

x
и
y ( x0 ) = y 0 + ∫ f ( x, y ( x))dx = y0 ,
x0
т.е. функция y = y ( x) . удовлетворяет уравнению (6.1) и начальным условиям
x0 , y0 .
Таким образом, для решения поставленной выше задачи Коши достаточно
найти непрерывное решение интегрального уравнения (6.2). С этой целью применим так называемый метод последовательных приближений. А именно, построим
бесконечную последовательность непрерывных функций:
y0 ( x ) = y0 ,
x
y1 ( x ) = y 0 + ∫ f ( x , y 0 ) dx ,
x0
x
y 2 ( x ) = y 0 + ∫ f ( x , y1 ( x )) dx ,
x0
.......... .......... ....
x
y n −1 ( x ) = y 0 + ∫ f ( x , y n −1 ( x )) dx ,
x0
.......... .......... ....
называемых соответственно нулевым, первым, вторым, ... п приближениями решения.
Можно показать, что для каждого значения x в некоторой окрестности точки x последовательность y1 ( x), y2 ( x), ... , yn ( x), ... имеет предел
lim yn ( x) = y ( x),
n →∞
причем функция y (x) непрерывна и является решением уравнения (6.2) в этой
окрестности.
Отсюда следует, что решение y = y (x) уравнения y′ = f ( x, y ) с начальными условиями x0 , y0 в некоторой окрестности точки x0 может быть най-
дено с любой степенью точности, если положить y ( x) ≈ yn ( x), где n - достаточно большое число.
22
Метод последовательных приближений позволяет найти аналитическое
выражение приближенного решения поставленной задачи Коши, т. е. является
аналитическим методом. Оценка погрешности, получающейся от замены решения y (x) его n -м приближением в окрестности x0 − h〈 x〈 x0 + h дается следующим неравенством:
где
MN n h n +1e Nh
,
y ( x) − yn ( x) ≤
(n + 1)!
M = max / f ( x, y ) /, N = max / f y ′ ( x, y ) /
{ x − x0
≤ a, y − y0 ≤ b}, а h - меньшее из чисел a и
в
прямоугольнике
b
.
M
ПРИМЕР. Найдем методом последовательных приближений n -е приближение решения уравнения y′ = y с начальными условиями (0;1) и сравним
его с точным решением этой задачи Коши.
′
Функции f ( x, y ) = y и f y ( x, y ) = 1 - непрерывны в любом прямоугольнике.
По определению
y0 = 1,
x
y1 ( x) = 1 + ∫ 1dx = 1 + x,
0
x2
y2 ( x) = 1 + ∫ (1 + x)dx = 1 + x + ,
2!
0
x
x2
x 2 x3
+ ,
y3 ( x) = 1 + ∫ (1 + x + )dx = 1 + x +
2
!
2
!
3!
0
x
.......................................................................
x n −1
x2
xn
+ ... + ,
yn ( x) = 1 + ∫ (1 + x + ... +
)dx = 1 + x +
−
n
n!
(
1
)!
2
!
0
x
.......................................................................
Пусть a = 1, b = 1. Тогда M = 2, N = 1, h =
1
.
2
1 1
x2
xn
Если положить y ( x) ≈ 1 + x +
+ ... +
на интервале − 〈 x〈 ,
2 2
2!
n!
23
допущенная при этом погрешность удовлетворяет неравенству

x2
x n 

+ ... +  ≤
y ( x ) − 1 + x +
2
!
n! 

2⋅
1
⋅e
n +1
1
2
2
(n + 1)!
.
В частности, если взять п = 4, то погрешность равенства
x 2 x3 x 4
y ( x) ≈ 1 + x +
+
+
2! 3! 4!
1 1
〈 x〈 не будет превышать 0,001.
2 2
Интегрируя уравнение y′ = y методом разделения переменных и опреде-
на интервале −
ляя по начальным условиям (0; 1) постоянную С, получим точное решение поx
ставленной задачи Коши: y = e .
Лекция 4
6.2. Метод Эйлера
Будем рассматривать задачу отыскания решения дифференциального
уравнения
y ′ = f ( x, y ) ,
(6.3)
удовлетворяющего начальному условию y ( x0 ) = y0 .
Известно, что при определенных условиях, например, если в некоторой
окрестности точки ( x0 , y0 ) плоскости ХОУ функция f ( x, y ) имеет непрерывную производную по y , эта задача имеет единственное решение.
Геометрически это означает, что при выполнении этих условий через
точку ( x0 , y0 ) проходит единственная кривая, являющаяся графиком решения
уравнения (6.3). Эта кривая называется интегральной кривой этого дифференциального уравнения.
Ввиду того, что решение уравнения (6.3) в явном виде удается найти не
всегда, во многих практических задачах приходится искать приближенное решение. При этом часто достаточно знать приближенные значения искомой
функции y ( x) в отдельных точках. Составление таблицы приближенных значений решения задачи (6.3) для отдельных значений аргумента называют численным интегрированием дифференциального уравнения.
Существует много различных методов численного интегрирования дифференциального уравнения (6.3). Рассмотрим наиболее простые из них. Везде
ниже предполагается, что для задачи (6.3) выполнены условия существования и
единственности решения.
24
Метод Эйлера. Пусть требуется составить таблицу приближенных значений решения задачи (6.3) для равноотстоящих значений аргумента
x0 , x0 + h = x1, x0 + 2h = x2 и т.д.
Суть метода Эйлера заключается в том, что при достаточно малом значении
шага h уравнение (6.3) на интервале [x0 , x0 + h] заменяется конечноразностным уравнением
y − y0 = f ( x0 , y0 )( x − x0 ).
(6.4)
Геометрически это означает, что интегральную кривую уравнения (6.3), проходящую через точку M 0 ( x0 , y0 ), заменяют отрезком касательной, проходящей
через ту же точку (рис. 7). Из уравнения (6.4) мы находим приближенное значение y1 в точке x1 = x0 + h :
y1 = y0 + f ( x0 , y0 )h.
(6.5)
Зная x1 и y1 , мы таким же путем находим
y2 в точке
x2 = x1 + h : y2 = y1 + f ( x1, y1 )h и т.д.
приближенное
значение
Погрешность метода Эйлера на каж2
дом шаге порядка h , но так как, вообще
говоря, погрешности накапливаются, то при
большом числе шагов приближенное значение может весьма значительно отличаться
от точного. В связи с этим метод Эйлера,
Рис. 7. Графическое изображение
несмотря на всю его простоту, редко примеметода Эйлера
няется в вычислительной практике.
Если большая точность не нужна, то
можно рекомендовать следующее видоизменение метода Эйлера, при достаточно малом h делают один шаг по формуле (6.5). После того, как значение y1
в точке x1 = x0 + h найдено, остальные значения находят по формуле
yk +1 = yk −1 + 2 f ( xk , yk )h,
(6.6)
3
точность которой несколько выше (порядка h ).
ПРИМЕР. Пользуясь формулой (6.6), составить таблицу приближенных
значений решения дифференциального уравнения
y′ = 2xy,
(6.7)
удовлетворяющего начальному условию y (0) = 1, на отрезке [0,1] с шагом
h = 0,1.
Вычисление будем вести по формуле (6.6), записанной в виде
yk +1 = yk −1 + 2∆yk ,
25
где ∆yk = f ( xk , yk ) h = f k h,
yk = y ( xk ),
xk = x0 + kh (k = 1, ...).
(6.8)
Значение y1 находим по формуле (6.5). Для удобства записи составляем табл.1.
Таблица 1
k
xk
yk
f k = 2 ⋅ xk yk
2 ⋅ ∆yk = 0,2 ⋅ f k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.0000
1.0000
1.0400
1.0832
1.1700
1.2704
1.4241
1.6122
1.8755
2.2124
2.6720
0.2000
0.4160
0.6499
0.9360
1.2704
1.7089
2.2571
3.0008
3.9823
-
0.0400
0.0832
0.1300
0.1872
0.2541
0.3418
0.4514
0.6002
0.7965
3
В силу сказанного выше погрешность будет порядка h = 0,001. Поэтому мы можем ручаться только за 2-3 знака в начале таблицы и за 1-2 знака в
конце ее (см. табл. 7 точных значений функций).
Метод, основанный на применении формулы Тейлора. Если правая
часть f ( x, y ) уравнения (6.3) в точке ( x0 , y0 ) имеет непрерывные производные по x и y до ( n + 1) -го порядка включительно, то для решения y ( x)
задачи (6.3) можно написать формулу Тейлора:
y′′( x0 ) 2
y[n ]( x0 ) n y [n +1]( x0 + θh) n +1
y ( x0 + h) = y0 + y′( x0 )h +
h + ... +
h +
h ,
n!
2!
(n + 1)!
где 0〈θ 〈1. Отбрасывая в этой формуле остаточный член, мы можем написать
приближенное равенство:
y′′( x0 ) 2
y [n ] ( x0 ) n
y ( x0 + h) ≈ y0 + y′( x0 )h +
h + ... +
h .
(6.9)
2!
n!
Значения y′( x0 ), y ′′( x0 ), ... мы находим из уравнения (6.3), последовательно
дифференцируя это уравнение.
Вычислив y1 , мы по той же формуле (6.9) (заменив x0 , y0 соответственно на
x1 = x0 + h и y1 ) находим y2 и т.д.
Очевидно, метод Эйлера является частным случаем рассматриваемого
метода при n = 1 . Погрешность этого метода на каждом шаге есть величина
порядка h
k +1
.
26
ПРИМЕР. Вычислим значение y1 , y2 и y3 задачи (6.7) для значений
x = 0,1; 0,2 и 0,3. Будем при этом пользоваться формулой (6.10) при n = 3 :
yk +1 = yk + yk′ h + 1 / 2 yk′′ h 2 + 1 / 6 yk′′′h3 .
(6.10)
Дифференцируя уравнение (6.7), получаем
у" = 2ху' + 2у, у'" = 2ху" + 4у'.
Для использования формулы (6.10) составляем табл. 2.
Таблица 2
yk′ = 2 xk yk
yk′′ = 2 xk yk′ + 2 yk
yk′′′ = 2 xk yk′′ + 4 yk′
0 0.0 1.00000
0.00000
2.00000
0.00000
1 0.1 1.01000
0.202000
2.06040
1.22008
2 0.2 1.04070
0.41628
2.24791
2.56428
3 0.3 1.09400
-
-
-
k
xk
yk
Для вычисления yk +1 составляем вспомогательную табл. 3.
Таблица 3
k
yk
yk′ h
1 / 2 yk′′ h 2
1 / 6 y′′′k h3
yk +1
0
1.00000
0.00000
0.01000
0.00000
1.01000
1
1.01000
0.02020
0.01030
0.00020
1.04070
2
1.04070
0.04163
0.01124
0.00043
1.09400
3
1.09400
-
-
-
4
Так как погрешность этого метода на каждом шаге порядка h = 0,0001 ,
то мы вели вычисления с одним лишним знаком.
6.3. Метод Адамса
Более удобным в вычислительной практике является метод Адамса. Точность
этого метода в том виде, в котором он излагается ниже, такая же, как и точность пре4
дыдущего метода при n = 3, т.е. порядка h .
27
Суть этого метода заключается в следующем. Пусть известны значения
искомого
решения
задачи
(6.3)
в
точках
y0 , y1, y2 , y3
x0 , x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h и x3 = x0 + 3h.
Для продолжения таблицы значений y (x) вычисляем величины
q0 = hf ( x0 , y0 ), q1 = hf ( x1, y1 ), q2 = hf ( x2 , y2 ), q3 = hf ( x3 , y3 )
и составляем табл. 4 конечных разностей.
k
xk
0
x0
1
x1
2
x2
3
x3
yk
Таблица 4
f k = f ( xk , yk )
qk = hf k
∆qk
∆2 qk
∆3qk
f ( x0 , y 0 )
q0
∆q0
∆2 q0
∆3q0
f ( x1, y1 )
q1
∆q1
∆2 q1
f ( x2 , y2 )
q2
∆q2
f ( x3 , y3 )
q3
y0
y1
y2
y3
По формуле Адамса
∆yk = qk + 1 / 2∆qk −1 + 5 / 12∆2 qk − 2 + 3 / 8∆3qk − 3 ,
(6.11)
взятой для k = 3 , используя подчеркнутые в табл.4 величины, вычисляем ∆y3 и
находим y4 = y3 + ∆y3 . Используя найденное значение y4 , вычисляем
q4 = hf ( x4 , y4 ), ∆q3 , ∆2 q2 , ∆3q1 и снова по формуле (6.11) находим ∆y4 и
y5 = y4 + ∆y4 и т.д. Таким образом диагональная табл. 4 может быть продолжена
до нужного значения y ( x). Для контроля вычислений нужно одновременно с вычислением ∆yk по формуле (6.11) вычислить ∆yk по формуле
∆yk = qk + 1 / 2∆qk − 1 / 12∆2 qk + 1 / 24∆3qk .
(6.12)
Так как эта формула, как и формула (6.11), приближенная, то ∆yk , вычисленные по этой формуле, могут отличаться в последних знаках от ∆yk , вычисленных
по формуле (6.11).
Для применения метода Адамса, как мы видим, кроме данных значений
x0 , y0 нужно знать еще три значения y1, y2 , y3 функции y (x) . Эти значения могут быть найдены, например, при помощи формулы Тейлора (метод II).
28
Формулы (6.11) метода Адамса, как уже отмечалось, дают на каждом шаге по4
грешность вычисления порядка h . Поэтому если необходимо получить значения
y с точностью до 10− n , то шаг h выбирают из неравенства h〈10− n .
Ведя вычисления с одним - двумя запасными знаками, следят за ходом
3
третьих конечных разностей ∆ q , добиваясь того, чтобы они оставались практически постоянными, т.е. отличались не более чем на одну - две единицы заданного
−n
разряда. Наоборот, если задан шаг таблицы h , то неравенство h〈10
позволяет
оценить погрешность результата. При этом вычисления надо вести с одним - двумя
лишними знаками, округляя полученные значения до нужного разряда.
ПРИМЕР. Пользуясь методом Адамса, продолжим таблицу значений y
для задачи (6.7), используя полученные в примере 2 значения y1, y2 , y3 .
Составляем табл. 5 конечных разностей q .
Таблица 5
k
xk
yk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.0000
1.01000
1.04070
1.09400
1.17323
1.28356
1.43257
1.63107
1.89445
2.24461
2.71294
f k = 2 xk yk qk = hf k
0.0000
0.20200
0.41628
0.65640
0.93858
1.28356
1.71908
2.28350
3.03112
4.04030
5.42588
0.00000
0.02020
0.04163
0.06564
0.09386
0.12836
0.17191
0.22835
0.30311
0.40403
0.54259
∆qk
∆2 qk
∆3q k
0.02020
0.02143
0.02401
0.02822
0.03450
0.04355
0.05644
0.07476
0.10092
0.13856
-
0.00123
0.00258
0.00421
0.00628
0.00905
0.01289
0.01832
0.02616
0.03764
-
0.00135
0.00163
0.00421
0.00277
0.00384
0.00543
0.00784
0.01198
-
Для вычисления ∆yk по формуле (6.11) мы воспользовались вспомогательной табл.6.
Таблица 6
k
qk
1 / 2∆qk −1
5 / 12∆2 qk − 2
3 / 8∆3qk −3
∆y k
3
4
5
6
7
8
9
10
0.06564
0.09386
0.12836
0.17191
0.22835
0.30311
0.40403
0.54259
0.01200
0.01411
0.01725
0.02178
0.02822
0.03738
0.05046
0.06928
0.00108
0.00175
0.00262
0.00377
0.00537
0.00763
0.01090
0.01567
0.00051
0.00061
0.00078
0.00104
0.00144
0.00204
0.00294
0.00431
0.07923
0.11033
0.14901
0.19850
0.26338
0.35016
0.46833
0.63185
29
Для вычисления контрольного значения по формуле (6.12) нужно также составить таблицу, аналогично табл. 6.
ЗАМЕЧАНИЕ. При работе на калькуляторе можно обойтись без вспомогательной табл. 6, так как, записав величину ∆yk в виде
∆yk = qk + 1/ 2 [ ∆qk −1 + 5 / 6 (∆2qk −2 + 9 / 10∆3qk −3 ) ] ,
мы можем ввести вычисления без промежуточных записей. При этом y вносят
сразу в основную таблицу, для чего делают еще один столбик. Аналогично, записав формулу (6.12) в виде
∆yk = qk + 1 / 2 [ ∆qk + 1 / 6 (∆2 qk + 1 / 2∆3 qk ) ] ,
мы можем и здесь обойтись без вспомогательной таблицы.
В заключение приведем табл. 7 точных значений (с точностью до 0,0001) реx
шения y = e задачи (6).
Таблица 7
k
xk
yk
k
xk
yk
0
1
2
3
4
5
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1.0000
1.0101
1.0408
1.0942
1.1735
1.2840
6
7
8
9
10
-
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
-
1.4333
1.6323
1.8965
2.2479
2.7183
-
Академик А.Н. Крылов предложил некоторый метод последовательных приближений, который позволяет находить y1, y2 , y3 без применения метода II. Метод Адамса – Крылова получил широкое применение в вычислительной практике,но мы не имеем возможности здесь его касаться.
Лекция 5
7. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
Решение большого количество математических и физических задач приводит к составлению и последующему интегрированию дифференциальных
уравнений первого порядка. Составление дифференциальных уравнений, особенно в задачах прикладного характера, обычно вызывает затруднения, так как
30
для этого необходимо значение разнообразных физических законов и наличие
известных навыков в переводе физических задач на математический язык. Универсального рецепта для составления дифференциальных уравнений не существует. В одних случаях полезно (особенно в задачах геометрического характера)
использовать геометрический смысл производной от функции как тангенса угла
наклона касательной к графику функции, в других - механический смысл первой и второй производных как скорости и ускорения процесса, иногда целесообразнее оказывается составить приближенные соотношения между бесконечно
малыми приращениями искомых величин или дифференциалами этих величин
и т.д.
Рассмотрим несколько задач на составление и интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка.
7.1. Задача об охлаждении тела
Ньютон установил, что скорость изменения температуры охлаждающегося тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды (температура среды считается постоянной).
Обозначим через T температуру тела в момент времени t , через Tср - температуру окружающей среды ( Т ср 〈Т ). Скорость изменения температуры тела
дается производной от температуры по времени. Следовательно, по закону
Ньютона
dT
= − k (T − Tср ),
dt
где k - коэффициент пропорциональности, k 〉 0.
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя, получаем
T = Tср + Сe − kt
Для определения постоянной С необходимо задание начальных условий
процесса. Пусть, например, в момент времени t0 температура тела равнялась
T0 . Тогда
T = Tср + С0e − kt0 , C0 = (T0 − Tср )e kt0 ,
т.е. закон изменения температуры охлаждающегося тела имеет вид
T = Tср + (T0 − Tср )e − k (t − t 0 ) 0 .
Коэффициент k либо задается непосредственно, либо определяется с помощью
дополнительного условия: T / t =t .
1
31
7.2. Задача о прожекторе
Определить, форму зеркала, отражающего все лучи, выходящие из данной
точки О параллельно данному направлению l .
Искомая поверхность есть поверхность вращения. Рассмотрим любую
плоскость, проходящую через точку О параллельно l . Введем на ней систему
координат, приняв точку О за начало координат и направив ось ОХ по данному
направлению l (рис.8). Поверхность зеркала пересекает выбранную плоскость
по кривой, уравнение которой y = f ( x) . Пусть M ( x, y ) - любая точка этой
кривой, МL- касательная, МQ - нормаль к кривой в этой точке. Так как угол падения луча равен углу отражения, имеем ∠OMQ = ∠OMN .
Рис. 8. Графическое изображение задачи о прожекторе
Следовательно,
∠OLM = ∠OML, OL = OM = x 2 + y 2 , LP = x + x 2 + y 2 , OE = y,
tg∠MLP =
y
2
x+ x + y
2
.
Учитывая геометрический смысл производной y , получаем дифференциальное уравнение для определения искомой кривой:
y′ =
y
2
x+ x + y
2
.
Это - однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Выбирая
x за неизвестную функцию, а y - за аргумент, перепишем полученное уравнение в виде
32
dx x
= +
dy y
x2
y
2
+1.
Для решения применим подстановку x = uy, где u - новая неизвестная
функция. При этом
dx
du
=u+
y,
dy
dy
du
u+
y = u + u 2 + 1,
dy
du
dy
= ,
u2 +1 y
ln | u + u 2 + 1 |= ln | y | + ln | C |,
u + u 2 + 1 = Cy , - общий интеграл вспомогательного уравнения.
1
1
2
=
, т.е.
Так как u + u + 1 = Cy ,
2
Cy
u + u + 1 = Cy
u − u2 +1 1
=
.
−1
Cy
2
Складывая соотношения u + u + 1 = Cy и
u − u2 +1 = −
1
,
Cy
находим
общее решение вспомогательного уравнения в виде
1
1 
u =  Cy −
.
2
Cy 
Общее решение данного уравнения получим, заменив функцию u ее выражением через x и y :


x = 1  Cy 2 − 1 ,
2
C
C 2 y 2 = 2Cx + 1.
Таким образом, искомая кривая - парабола, в фокусе которой помещается источник света, а искомая отражательная поверхность - параболоид вращения.
7.3. Задача о колебаниях в электрической цепи
Электродвижущая сила E включается в некоторый момент времени (t = 0)
в контур, состоящий из последовательно соединенных катушки самоиндукции L и
33
сопротивления R . Требуется найти ток I в момент времени t , если в начальный момент времени он был равен нулю.
По закону Кирхгофа электродвижущая сила в цепи равна сумме падений напряжения на индуктивном и активном сопротивлениях:
E = uL + uR ,
где
uL = L
Таким образом,
L
dI
,
dt
u R = RI .
dI
+ R ⋅1 = E
dt
Предположим, что электродвижущая сила меняется по закону
E = B sin ωt.
Задача определения закона изменения тока в цепи сводится, таким образом, к решению линейного неоднородного уравнения:
B
dI R
+ ⋅ I = ⋅ sin ωt
dt L
L
с начальными данными t0 = 0, I 0 = 0.
Решить полученное уравнение предлагается студентам самостоятельно.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА.
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Как уже говорилось выше, дифференциальным уравнением п-го порядка
называется соотношение
F ( x, y, y′,K , y ( n ) ) = 0,
(8.1)
связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные
до n -го порядка включительно. Всякое дифференциальное уравнение порядка
выше первого называется уравнением высшего порядка.
Так, например, уравнения
y′′′ − 1 = 0, xy′ − 2 y′′ + y′3 = 0, y y 3 − e 4 y ′′′ + 1 = 0 - уравнения высших (соот-
ветственно третьего, второго и пятого) порядков.
34
y
(n )
В некоторых случаях уравнение (8.1) удается разрешить относительно
, т.е. записать в виде
(8.2)
y ( n) = f ( x, y, y′,L , y ( n −1) ).
Такое уравнение называется уравнением n -го порядка, разрешенным от-
носительно старшей производной.
Так же как и дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения высших порядков имеют, вообще говоря, бесчисленные
множества решений, каждое из этих решений изображается на плоскости ХОУ
некоторой кривой (интегральной кривой).
Дифференциальному уравнению второго порядка
F ( x, y, y′, y′′) = 0
(8.3)
легко дать геометрическое и механическое истолкование.
Кривизна кривой y = ϕ ( x) в каждой ее точке вычисляется по формуле
K=
y′′
.
(1 + y′2 )3 2
Записав уравнение (8.3) в виде
F ( x, y, y′,
y′′
2 32
′
(
1
+
) ) = 0,
y
(1 + y′2 )3 2
видим, что дифференциальное уравнение второго порядка выражает зависимость
между координатами точки интегральной кривой, угловым коэффициентом ее касательной и кривизной в этой точке. Интегральные кривые уравнения (8.3) - это
кривые, которые в каждой своей точке имеют предписываемое уравнением соотношение между угловым коэффициентом касательной к кривой и кривизной.
Если независимую переменную (обозначим ее через t ) рассматривать как
время, а искомую функцию y - как путь, пройденный прямолинейно движущейся точкой за время t , то дифференциальное уравнение
2 

dy
d
y
(8.4)
F  t , y, , 2  = 0
dt
dt


выражает в каждый момент времени t зависимость между пройденным пуdy
d2y
тем y ,скоростью
и ускорением
движущейся точки. Решить такое
2
dt
dt
уравнение - значит определить по указанной зависимости закон движения, т.е. дать
соотношение y = f (t ) , позволяющее в любой момент времени t определять положение движущейся точки. Уравнение (8.4) определяет, вообще говоря, бесчисленное
35
множество решений (их называют движениями). Для того чтобы из этого бесчисленного множества движений выбрать определенное, в механике обычно задают начальное положение точки, т.е. значение y при t = t0 (обозначим его y0 ), и начальную
скорость, т.е. значение
dy
при t = t0 (обозначим ее y0′ ).
dt
Так, например, при решении задачи о притяжении материальной точки m неподвижным центром О мы получили бесчисленное множество решений уравнения
my′′ = −ky ( k - коэффициент пропорциональности) в виде
y = C1 cos ωt + C2 sin ωt ,
R
, а C1 и C2 - произвольные постоянные.
m
Если в начальный момент времени ( t0 = 0 ) точка m находилась от центра
притяжения на расстоянии a0 ( y0 = a0 ) и не имела начальной скорости ( y0′ = 0) ,
то постоянные C1 и C2 однозначно определяются из соотношений
где
ω=
y = C1 cos ωt + C2 sin ωt , C1 = a0 ,
y′ = −C1ω sin ωt + C2ω cos ωt , C2ω = 0, C2 = 0,
и мы получаем конкретное колебательное движение:
y = a0 cos ωt.
В связи с тем, что дифференциальные уравнения широко применяются в механике, независимо от конкретного физического или геометрического смысла аргумента x и искомой функции y , числа x0 , y0 , y0′ , представляющие собой некоторое
значение аргумента ( x = x0 ) и значения искомой функции ( y = y0 ) и ее произ-
водной ( y′ = y0′ ) при этом значении аргумента принято называть начальными условиями или начальными данными для уравнения второго порядка:
F ( x, y, y′, y′′) = 0.
Говорят, что решение y = ϕ ( x ) этого уравнения удовлетворяет начальным
условиям x0 , y0 , y0′ , если ϕ ( x0 ) = y0 , ϕ ′( x0 ) = y0′ .
Геометрически это значит, что соответствующая интегральная кривая
уравнения проходит через точку ( x0 , y0 ) плоскости ХОУ и имеет в этой точке
касательную с угловым коэффициентом y0′ .
Не останавливаясь на механической и геометрической интерпретации
дифференциальных уравнений третьего и более высоких порядков, заметим,
что для отыскания конкретного решения уравнения третьего порядка
F ( x, y, y′, y′′, y′′′) = 0
36
достаточно, вообще говоря, задать значения y, y′, y′′ при некотором значении
x = x0 (начальные условия x0 , y0 , y0′ , y0′′ ), для уравнения четвертого порядка значения y, y′, y′′, y′′′ при x = x0 (начальные условия x0 , y0 , y0′ , y0′′ , y0′′′ ) и т. д.
Для уравнения n -го порядка (8.1) или (8.2) начальными условиями назы( n −1)
, представляющих навают систему из ( n + 1) -го чисел x0 , y0 , y0′ ,L , y0
чальное значение независимой переменной x( x = x0 ) и значения искомой
функции y и всех ее производных до ( n − 1) -го порядка включительно при
x = x0 .
Решение y = ϕ (x) уравнения (8.1) или (8.2) удовлетворяет начальным ус( n −1)
ловиям x0 , y0 , y0′ ,L , y0
, если
ϕ ( x0 ) = y0 , ϕ ′( x0 ) = x0′ ,L , ϕ ( n −1) ( x0 ) = y0 ( n −1) .
Отыскание решения уравнения (8.1) или (8.2), удовлетворяющего заданным на( n −1)
, называется решением задачи Коши для
чальным условиям x0 , y0 , y0′ ,L , y0
этих уравнений.
Достаточные условия существования и единственности решения задачи
Коши для уравнения, разрешенного относительно старшей производной, даются теоремой, сформулированной по аналогии с теоремой Коши для уравнения
первого порядка на геометрическом языке.
Теорема Коши Если функция ( n + 1) -го переменного f ( x, y, y′,L , y
( n −1)
) в
некоторой области D ( n + 1) -мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по y, y′,L, y
( n −1)
, то, какова бы ни была
( n −1)
точка ( x0 , y0 , y0′ ,L , y0
) этой области, существует, и притом единственное, решение y = ϕ (x) уравнения
y ( n) = f ( x, y, y′,L , y ( n −1) ) ,
определенное в некотором интервале, содержащем точку x , удовлетворяю( n −1)
щее начальным условиям ( x0 , y0 , y0′ ,L , y0
).
Заметим, что единственность решения задачи Коши для уравнения n -го
порядка ( n〉1) не означает, что через данную точку ( x0 , y0 ) плоскости ХОУ
проходит только одна интегральная кривая y = ϕ ( x ) , как это имело место для
уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.
Например, для уравнения второго порядка с начальными условиями
x0 , y0 , y0′ единственность решения задачи Коши нужно понимать в том смыс-
37
ле, что через точку ( x0 , y0 ) плоскости ХОУ проходит единственная интегральная кривая уравнения, касательная к которой в этой точке имеет угловой коэффициент y0′ . Через ту же точку ( x0 , y0 ) проходит еще бесчисленное множество
интегральных кривых уравнения с другим наклоном касательной в этой точке.
Теорию дифференциальных уравнений высших порядков рассмотрим, ограничившись для краткости изучением дифференциальных уравнений второго
порядка как наиболее часто встречающихся в инженерных расчетах.
Лекция 6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
9. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Дифференциальное уравнение второго порядка связывает независимую
переменную, искомую функцию и ее первую и вторую производные. В частных случаях в уравнении могут отсутствовать x, y, y′. Однако уравнение второго порядка обязательно должно содержать y′′.
Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае записывается в виде
F ( x, y, y′, y′′) = 0
(9.1)
или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй производной:
y′′ = f ( x, y, y′).
(9.2)
Как и в случае уравнения первого порядка, для уравнения второго порядка существует общее и частное решение.
Возьмём простейшее уравнение второго порядка
y′′ = 2.
(9.3)
Для его решения возьмем обозначение y′ = v(x). Тогда y′′ = v′ , и уравнение
(9.3) примет вид v′ = 2. Отсюда следует, что v = 2 x + C1 или y′ = 2 x + C1.
2
Интегрируя еще раз, найдем y = x + C1 x + C2 .
Полученное решение зависит от двух произвольных постоянных (общее
решение). Геометрически это решение представляет множество парабол (интегральных кривых), причем через каждую точку плоскости, очевидно, проходит
бесконечное множество парабол, имеющих в этой точке различные касательные (рис 9).
38
Рис. 9 Множество интегральных кривых
Для выделения из множества этих кривых какой-либо одной интегральной кривой необходимо, кроме координат точки ( x0 , y0 ) , через которую проходят параболы, дополнительно задать угловой коэффициент касательной, т.е.
значение в этой точке производной y′.
Таким образом, условия, с помощью которых из общего решения уравнения второго порядка выделяется частное решение (начальные условия), имеют
вид: y / x = x = y 0 , y ′ / x = x = y 0′ , где x0 , y0 , y0′ - заданные числа. Первое из
0
0
этих условий указывает точку,
через которую
должна проходить интегральная кривая. Второе условие определяет наклон интегральной кривой в
данной точке.
Зададим, например, для уравнения (9.3) следующие начальные
условия: y / x =1 = 2, y′ / x =1 = 1.
2
Из общего решения y = x + C1 x + C2 находим y′ = 2 x + C1. Используя начальные условия, получаем для определения С1 и С2 систему уравнений
2 = 1 + C1 + C2 ,
1 = 2 + С1 .
Из этой системы находим значения C1 = −1 и C2 = 2. Поэтому искомое ча2
стное решение имеет вид y = x − x + 2.
Результаты, полученные в этом простейшем примере, остаются справедливыми и в общем случае уравнения второго порядка. Для уравнения второго
порядка, как и для уравнения первого порядка, имеет место теорема существования и единственности (теорема Коши), которую мы приводим без доказательства.
Теорема. Пусть правая часть f ( x, y, y′) уравнения y′′ = f ( x, y, y′) и ее
частные производные f y′ ( x, y, y′) и f y′′ ( x, y, y′) определены и непрерывны в
39
некоторой области G изменения переменных x, y, y′. Тогда какова бы ни была
внутренняя точка ( x0 , y0 , y0′ ) этой области, данное уравнение имеет единственное решение y = ϕ ( x ) , удовлетворяющее начальным условиям
y / x = x0 = y0 , y′ / x = x0 = y0′ .
(9.3.)
Задача нахождения решения уравнения y′′ = f ( x, y , y′) , удовлетворяющего заданным начальным условиям, как и в случае уравнения первого порядка, называется задачей Коши.
Дадим теперь определения общего и частного решений уравнения второго порядка y ′′ = f ( x, y , y ′) , правая часть которого удовлетворяет условиям
теоремы Коши в некоторой области G изменения переменных x, y, y′.
О п р е д е л е н и е . Функция y = ϕ ( x, C1 , C2 ) , зависящая от аргумента x и
двух произвольных постоянных C1 и C2 , называется общим решением уравнения (9.2) в области G , если она удовлетворяет двум условиям:
1. При любых значениях произвольных постоянных C1 и C2 функция
2.
y = ϕ ( x, C1, C2 ) является решением уравнения (9.2);
Каковы бы ни были начальные условия
y / x= x0 = y 0 , y ′ / x= x0 = y 0′ ,
(9.4)
существуют единственные значения постоянных C10 и C20 , такие,
что функция y = ϕ ( x1 , C10 , C20 ) является решением уравнения (9.2) и
удовлетворяет начальным условиям (9.4).
З а м е ч а н и е 1. Значения постоянных C10 ,C20 находятся из системы
уравнений
y0 = ϕ ( x0 , C10 , C20 ),
y0′ = ϕ ′( x0 , C10 , C20 ).
З а м е ч а н и е 2. При задании начальных условий (9.4) необходимо, чтобы значения переменных x0 , y0 , y0′ принадлежали области G.
З а м е ч а н и е 3. Если общее решение дифференциального уравнения
второго порядка получено в виде, не разрешенном относительно искомой
функции Φ ( x, y, C1 , C2 ) = 0, то это соотношение называют общим интегралом
данного дифференциального уравнения.
О п р е д е л е н и е . Всякое решение y = ϕ ( x1 , C10 , C20 ) уравнения (9.2), по-
лучающееся из общего решения y = ϕ ( x, C1 , C2 ) при конкретных значениях
постоянных C1 = C10 , C2 = C20 , называется частным решением.
40
10. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА,
ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Здесь мы рассмотрим уравнения второго порядка, которые с помощью
замены переменной сводятся к уравнениям первого порядка. Такое преобразование уравнения называется понижением порядка. Простейшими уравнениями
второго порядка, допускающими понижение порядка, являются следующие:
1. y′′ = f ( x) ,
2. y′′ = f ( x, y′) ,
3. y′′ = f ( y, y′) .
(10.1)
(10.2)
(10.3)
Рассмотрим последовательно, как осуществляется понижение порядка и как
интегрируется каждое из указанных уравнений.
1. Уравнение y′′ = f (x). Введем новую функцию v(x), положив
y′ = v(x) . Тогда y′′ = v′(x), и мы получим уравнение первого порядка:
v′( x) = f ( x).
Решая его, получим
v( x) = ∫ f ( x)dx = F ( x) + C1,
где F ( x) - одна из первообразных от f ( x ). Так как v ( x ) = y′ то
y′ = F ( x) + C1 . Отсюда, интегрируя еще раз, находим общее решение уравне-
ния (10.1):
y = ∫ F ( x)dx + C1x + C2
П р и м е р 1. Найти общее решение уравнения y′′ = sin x .
РЕШЕНИЕ. Полагая y ′ = v ( x ) , получаем уравнение v′( x ) = sin x . Интегрируя,
находим v( x) = − cos x + C1. Заменяя v ( x ) на y′ и интегрируя еще раз, находим
общее решение уравнения: y = − sin x + C1 x + C2 .
2. Уравнение. y′′ = f ( x, y′). Это уравнение не содержит явно искомой
функции y . Вводя, как и в предыдущем случае, новую функцию v( x) = y′ и, замечая, что y ′′ = v′( x ) , получаем уравнение первого порядка относительно функции
v′(x) :
v′( x) = f ( x, v).
Допустим, что найдено общее решение этого уравнения
v = ϕ ( x, C1 ).
Заменяя в этом решении функцию v на y′ , получаем
y′ = ϕ ( x, C1 ).
41
Отсюда общее решение уравнения (10.2) будет иметь вид
y = ∫ ϕ ( x, C1 )dx + C2 .
П р и м е р 2. Найти общее решение уравнения
(1 + x 2 ) y′′ − 2 xy′ = 0
и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.
y / x =1 = 0, y ′ / x=1 = 1.
РЕШЕНИЕ: Положим y′ = v(x) . Тогда y′′ = v′(x). Подставляя эти выражения в
данное уравнение, получим уравнение первого порядка
(1 + x 2 )v′ − 2 xv = 0.
Разделяя в этом уравнении переменные, находим
dv 2 x ⋅ dx
=
.
v 1 + x2
Интегрируя, получаем
ln/ v / = ln(1 + x 2 ) + ln C0 .
Потенцируя, находим
v = ±C0 (1 + x 2 ) = C1 (1 + x 2 ).
2
Так как v = y ′, то y′ = C1 (1 + x ). Интегрируя еще раз, получаем общее решение данного уравнения:
3

x
y = C1 x +  + C2 .
3

Выделим из этого общего решения частное решение. Используя первое на-
4
 1
C1 + C2 = 0.
3
 3
2
Дифференцируем общее решение: y′ = C1 (1 + x ). Используя второе начальное условие y′ / x =1 = 1, получим 1 = C1 (1 + 1), откуда С1 = 1 / 2.
Таким образом, для определения постоянных C1 и C2 получаем систему
чальное условие y / x =1 = 0, находим 0 = C1 1 +  + C2 или
уравнений
C1 = 1 / 2,

.
4 / 3 ⋅ С1 + С2 = 0
42
Отсюда С1 = 1 / 2, C2 = −2 | 3. Следовательно, искомое частное решение
x3 x 2
данного уравнения имеет вид y =
+ − .
6 2 3
3. Уравнение y′′ = f ( y, y′) . Это уравнение не содержит явно независимой
переменной x . Для понижения порядка уравнения снова вводим новую функцию
v( y ) , зависящую от переменной y , полагая
y′ = v( y ).
Дифференцируем это равенство по x , помня, что y является функцией от x :
y′′ =
Так как
d ( y′) dv( y ) dv( y ) dy
=
=
⋅ .
dx
dx
dy dx
dy
= v( y ), то
dx
dv
v.
(10.4)
dy
Подставляя выражения для y и y′′ в данное дифференциальное уравнение,
получаем уравнение первого порядка относительно функции v( y ) :
y′′ =
ния.
dv
v = f ( y, v) .
dy
Пусть функция v( y ) = ϕ ( y,C1) является общим решением этого уравне-
Вспоминая, что
ными
dy
= v( y ), получим уравнение с разделяющимися переменdx
dy
= ϕ ( y, C1 ) .
dx
Интегрируя его, находим общий интеграл первоначального уравнения (10.3):
∫
dy
= x + C2 .
ϕ ( y, C1 )
2
П р и м е р 3. Найти общее решение уравнения 1 + y′ = 2 yy′′.
РЕШЕНИЕ. Вводим новую неизвестную функцию v ( y ) , полагая
y′ = v( y );
43
тогда, согласно равенству (10.4), y′′ =
y′′ в данное уравнение, получим
dv
v. Подставляя выражения для y′ и
dy
1 + v 2 = 2 yv
dv
.
dy
В этом уравнении первого порядка переменные разделяются:
2v ⋅ dv
=
dy
.
y
1 + v2
2
2
Интегрируя, находим ln(1 + v ) = ln/ y / + ln C0 . Отсюда 1 + v = ±Co y = C1 y
и v = ± C1 y − 1.
dy
dy
dy
Так как v =
, то
= ± C1 y − 1 и, следовательно, dx =
.
dx
dx
± C1 y − 1
Интегрируя, получаем общий интеграл
( x + C2 ) = ± C1 y − 1 или ( x + C2 ) 2 =
4
C12
(C1 y − 1).
Отсюда находим общее решение:
C12 ( x + C2 ) 2 + 4
y=
.
4C1
Лекция 7
11. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Большое количество задач математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к особому виду дифференциальных уравнений,
так называемым линейным уравнениям.
Ниже будет изложена теория линейных уравнений второго порядка.
11.1. Определения и общие свойства
О п р е д е л е н и е . Дифференциальное уравнение вида
а0 ( x) y′′ + a1 ( x) y′ + a2 ( x) y = b( x)
называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.
44
(11.1)
Здесь коэффициенты уравнения a0 ( x), a1 ( x), a2 ( x) и свободный член
b(x) -заданные функции аргумента x . Если b( x) ≡ 0, то линейное уравнение
принимает вид
а0 ( x) y′′ + a1 ( x) y′ + a2 ( x) y = 0
(11.2)
и называется однородным линейным дифференциальным уравнением (или
уравнением без правой части). Если же b( x) ≡ 0, то уравнение (11.1) называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением (или уравнением с
правой частью).
Например, уравнения
xy′′ + 5 xy′ + 2 y = e x и y′′ + y′ + x 3 y = 0
будут линейными уравнениями, причем первое из них неоднородное, а второе однородное.
Уравнения
y′′ + 5( y′) 2 − 2 y = 0 и 3 yy′′ − x 2 y′ + y = cos x
не принадлежат к виду (11.1) и не будут линейными. Первое из них содержит
квадрат производной, а второе - член с произведением второй производной на
искомую функцию.
Решим уравнение (11.1) относительно y′′ :
y′′ =
b( x) − a1 ( x) y′ − a2 ( x) y
.
a0 ( x)
(11.3)
Так как это уравнение является частным видом дифференциального уравнения y′′ = f ( x, y, y′), то для него справедлива теорема существования и
единственности решения Коши.
Действительно, допустим, что коэффициенты уравнения
a0 ( x), a1 ( x), a 2 ( x) и свободный член b( x) непрерывны на некотором интер-
вале (α , β ), причем коэффициент a0 ( x) не обращается в нуль ни в одной
точке этого интервала. Тогда правая часть уравнения (11.3)
f ( x, y, y′) =
b( x) − a1 ( x) y′ − a2 ( x) y
a0 ( x)
и ее частные производные
f y′ ( x, y, y′) = −
a2 ( x)
a0 ( x)
и
f y′′ ( x, y, y′) =
− a1 ( x)
a0 ( x )
будут непрерывными функциями при любых значениях переменных y и y′ и
при значениях x , принадлежащих интервалу (α , β ) . Поэтому уравнение (11.3)
удовлетворяет условиям теоремы Коши. На основании сказанного сформулиру-
45
ем теперь теорему существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения (11.1).
Теорема. Если коэффициенты a0 ( x), a1 ( x), a 2 ( x) и правая часть b( x )
линейного уравнения (11.1) непрерывны на интервале (α , β ), причем коэффи-
циент a0 ( x) не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала, то ка-
ковы бы ни были начальные условия y / x = x = y 0 , y ′ / x = x = y 0′ , где точка x0
0
0
принадлежит интервалу (α , β ), существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям.
11.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка
Рассмотрим некоторые свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений.
Теорема 1. Если функции y1 = y1 ( x) и y2 = y2 ( x) являются решениями
линейного
однородного
уравнения
(11.2),
то
и
функция
y = C1 y1 ( x) + C 2 y 2 ( x) также является решением этого уравнения при любых
значениях постоянных C1 и C2 .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Подставив функцию y = C1 y1 ( x) + 1 + C2 y2 ( x)
и ее производные в левую часть уравнения (11.2), получим
″
′
a0 ( x) [ C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) ] + a1 ( x) [ C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) ] +
″
″
+ a2 ( x) [ C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) ] = a0 ( x)  C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) +


′
′
a1 ( x)  C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x)  + a2 ( x) [ C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) ] =


″
′
= C1  a0 ( x) y1 ( x) + a1 ( x) y1 ( x) + a2 ( x) y1 ( x)  +


″
′
+ C2  a0 ( x) y2 ( x) + a1 ( x) y2 ( x) + a2 ( x) y2 ( x)  = 0 ,


так как функции y1 ( x) и y2 ( x) являются решением уравнения (11.2) и, следовательно, последние два выражения в квадратных скобках равны нулю.
Так как общее решение y = ϕ ( x, C1 , C2 ) дифференциального уравнения
второго порядка содержит две произвольные постоянные C1 и C2 , то возника-
46
ет вопрос, не будет ли решение y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) общим решением
уравнения (11.2).
Покажем, что это не всегда имеет место. Так, например, уравнение
y′′ + 4 y = 0 удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения при любых начальных условиях. Это уравнение имеет, как легко
проверить, частные решения y1 = sin 2 x и y2 = 10 sin 2 x . Однако их линейная
комбинация y = C1 sin 2 x + C210 sin 2 x, являясь решением данного уравнения, не будет его общим решением Действительно, нетрудно убедиться в том,
что
функция
y = cos 2 x,
y / x = 0 = 1, y′ / x = 0 = 0 ,
удовлетворяющая
является
решением
начальным
условиям
(единственным)
уравнения
y′′ + 4 y = 0. Однако это решение нельзя получить из линейной комбинации
y = C1 sin 2 x + C210 sin 2 x,
так
как
уже
первое
начальное
условие
y / x = 0 = 1 для функции y = C1 sin 2 x + C210 sin 2 x не выполняется ни при
каких значениях C1 и C2 : C1 sin 0 + C210 sin 0 ≠ 1.
Заметим, что все частные решения вытекают из общего решения дифференциального уравнения.
О п р е д е л е н и е 1 . Два частных решения
y1 ( x)
y2 ( x) одно-
родного линейного дифференциального уравнения второго порядка образуют
фундаментальную систему решений на некотором интервале (α , β ), если ни в
одной точке этого интервала определитель
y1 ( x) y2 ( x)
′ ( x) − y ′ ( x) ⋅ y ( x)
W ( x) = ′
=
y
(
x
)
⋅
y
1
2
1
2
y1 ( x) y2′ ( x)
не обращается в нуль.
Определитель W (x) называется определителем Вронского (или вронскианом).
47
П р и м е р 1. Выше мы указали, что уравнение y′′ + 4 y = 0 имеет своими частными решениями функции y1 = sin 2 x , y 2 = 10 sin 2 x , y 3 = cos 2 .
Легко убедиться, что первое и второе решения не образуют фундаментальной
системы, а первое и третье образуют фундаментальную систему на всей числовой оси.
Действительно,
sin 2 x 10 sin 2 x
W ( x) =
= 20 sin 2 x ⋅ cos 2 x − 20 sin 2 x ⋅ cos 2 x ≡ 0;
1
2 cos 2 x 20 cos 2 x
sin 2 x cos 2 x
W ( x) =
= −2 sin 2 2 x − 2 cos 2 2 x = −2 ≠ 0.
2
2 cos 2 x − 2 sin 2 x
П р и м е р 2. Легко проверить, что уравнение
x 2 y′′ − 2 xy′ + 2 y = 0
2
имеет частные решения y1 = x и y2 = x . Эти решения образуют фундаментальную систему на любом интервале, не содержащем точку x = 0 .
Действительно,
W ( x) =
x2
x
1 2x
= 2x2 − x2 = x ,
т.е. определитель Вронского не обращается в ноль при x ≠ 0.
З а м е ч а н и е . Очевидно, всякое линейное однородное уравнение имеет решение y1 ≡ 0. Однако это решение ни с одним другим частным решением
y2 = y2 ( x) фундаментальной системы не образует, так как в этом случае оп-
ределитель Вронского тождественно равен нулю:
W ( x) =
0
y2 ( x )
0
y2 ( x )
≡ 0.
Ответ на поставленный выше вопрос о виде общего решения однородного линейного уравнения дает следующая теорема.
Теорема 2 (о структуре общего решения однородного уравнения). Если два частных решения уравнения y1 = y1 ( x) и y2 = y2 ( x) уравнения (11.2)
образуют на интервале (α , β ) фундаментальную систему, то общее решение
этого уравнения имеет вид
y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) .
(11.4)
При этом предполагается, что коэффициенты a0 ( x), a1 ( x), a2 ( x) непрерывны
и a0 x ≠ 0 на интервале (α , β )
48
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Прежде всего заметим, что при любых C1 и C2
функция y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) на основании теоремы 1 является общим решением уравнения (11.2), остается показать, что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
y x = 0 = y0 , y′x = 0 = y0′ ,
(11.5)
где точка x0 принадлежит интервалу (α , β ) , а y0 и y0′ произвольны.
Пусть y = y ( x ) - какое-либо частное решение уравнения (11.2), удовлетворяющее начальным условиям (11.5). Покажем, что оно может быть выделено из
решения (11.4) надлежащим выбором постоянных C1 и C2 .
′
′
Действительно, так как y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) и y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x),
то, представляя начальные условия, получим
y = C y ( x ) + C y ( x ),
0
1 1 0
2 2 0
y ′ = C y ′ ( x ) + C y ′ ( x ).
0
1 1 0
2 2 0
Эти равенства представляют собой систему уравнения с неизвестными C1 и C2
Определитель этой системы
y1 ( x0 ) y2 ( x0 )
W ( x0 ) = ′
y1 ( x0 ) y2′ ( x0 )
равен значению определителя Вронского W (x) при x = x0 . Так как по условию
частные решения y1 ( x ) и y 2 ( x) образуют фундаментальную систему частных решений на интервале (α , β ) , которому принадлежит точка x0 , то W ( x0 ) ≠ 0. Поэтому для неизвестных C1 и C2 получим следующие единственные значения:
C10 =
y0
y0′
y2 ( x0 )
y2′ ( x0 )
y0
y0
.
W ( x0 )
Полученное частное решение y = C10 y1 ( x) + C20 y2 ( x) в силу теоремы
единственности будет совпадать с решением y (x). Итак, показано, что если
y1 ( x) y 2 ( x) образуют фундаментальную систему частных решений, то общее решение имеет вид
W ( x0 )
, C20 =
y1 ( x0 )
y1′ ( x0 )
y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) .
Из доказанной теоремы следует, что для нахождения общего решения достаточно знать два его частных решения, образующие фундаментальную систему.
49
2
Пример 3. Рассмотрим уравнение x y′′ − 2 xy′ + 2 y = 0. Как мы видели в
2
примере 2, функции y1 = x и y2 = x образуют фундаментальную систему решений на любом интервале, не содержащем точку x = 0. Поэтому на основании теоре2
мы 2 общее решение этого уравнения имеет вид y = C1 x + C2 x . Найдем частное
решение данного уравнения при следующих начальных условиях:
y / x =1 = 0, y′ / x =1 = 0.
Так как y′ = C1 + 2C2 x, то, подставляя начальные условия, получим систему
уравнений для определения постоянных C1 и C2 :
0 = C1 + C2 ,
1 = C1 + 2C2 .
Решая эту систему, находим C1 = −1, C2 = 1. Таким образом, искомое частное
2
решение имеет вид y = x − x.
11.3. Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения второго порядка
Рассмотрим теперь основные свойства линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (11.1)
a0 ( x) y′′ + a1 ( x) y′ + a2 ( x) y = b( x).
Линейное однородное уравнение, левая часть которого совпадает с левой частью неоднородного уравнения (11.1), в дальнейшем будем называть соответствующим однородным уравнением.
Теорема 1 (о структуре общего решения неоднородного уравнения).
Если y (x) - частное решение линейного неоднородного уравнения (11.1), а
Y ( x) - общее решение соответствующего однородного уравнения, то функция
y = y ( x) + Y ( x) является общим решением неоднородного дифференциального
уравнения (11.1).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как y (x) есть решение уравнения (11.1), то
a0 ( x ) y ′′( x ) + a1 ( x ) y ′( x ) + a 2 ( x ) y ( x ) ≡ b ( x ).
Аналогично, вследствие того что Y (x) есть решение соответствующего однородного уравнения,
a0 ( x)Y ′′( x) + a1 ( x)Y ′( x) + a2 ( x)Y ( x) ≡ 0.
В таком случае имеем
50
″
′
a0 ( x) [ y ( x) + Y ( x) ] + a1 ( x) [ y ( x) + Y ( x)] + a2 ( x)
= [ a0 ( x) y′′( x) + a1 ( x) y′( x) + a2 ( x) y ( x) ] +
+ [ a0 ( x) Y ′′( x) + a1 ( x) Y ′( x) + a2 ( x) Y ( x) ] ≡
[ y ( x) + Y ( x) ] =
≡ b ( x) + 0 ≡ b ( x).
Отсюда следует, что функция y = y ( x) + Y ( x) действительно является
решением неоднородного уравнения (11.1). Для того чтобы убедиться, что это
решение является общим, остается показать, что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (11.5):
y / x= x0 = y0 , y′ / x= x0 = y0′ .
Пусть y1 ( x) и y2 ( x) - два частных решения соответствующего однородного уравнения, образующие фундаментальную систему частных решений. В
таком случае Y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) и
y = y ( x) + Y ( x) = y ( x) + C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x).
(11.6)
Пусть y = ϕ (x) - какое-либо частное решение неоднородного уравнения
(11.1), удовлетворяющее начальным условиям (11.5). Покажем, что оно может
быть выделено из решения (11.6) соответствующим подбором C1 и C2 .
Действительно, так как
y = y ( x) + C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) и y′ = y ′( x) + C1 y1′ ( x) + C2 y2′ ( x),
то, подставляя начальные условия, получим систему уравнений для определения неизвестных C2 и C1 :
y0 = y ( x0 ) + C1 y1 ( x0 ) + C2 y2 ( x0 ),
y0′ = y ′( x0 ) + C1 y1′ ( x0 ) + C2 y2′ ( x0 ),
или
C1 y1 ( x0 ) + C2 y2 ( x0 ) = y0 − y ( x0 ),
C1 y1′ ( x0 ) + C2 y2′ ( x0 ) = y0′ − y′( x0 ).
Эта система имеет единственное решение С10 и С20 , так как ее определитель
отличен
от
нуля.
Полученное
частное
решение
y = y ( x) + C10 y1 ( x) + C20 y2 ( x) в силу теоремы единственности будет совпадать
с решением y = ϕ ( x) Таким образом, теорема доказана.
51
Лекция 8
12. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Рассмотрим частный случай линейных уравнений второго порядка, когда коэффициенты уравнения постоянны, т.е. являются числами. Такие уравнения называются уравнениями с постоянными коэффициентами. Этот вид уравнений находит
особенно широкое применение.
12.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим уравнение
a0 y′′ + a1 y′ + a2 y = 0,
в котором коэффициенты a0 , a1 , a2 постоянны. Полагая, что a0 ≠ 0, деля все
члены уравнения на a0 и обозначая
a1
a2
= p,
= q,
a0
a0
запишем данное уравнение в виде
y′′ + py′ + qy = 0.
(12.1)
Как известно, для нахождения общего решения линейного однородного уравнения второго порядка достаточно знать его фундаментальную систему частных решений. Покажем, как находится фундаментальная система частных решений для однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Будем искать частное решение этого уравнения в виде
y = e kx .
(12.2)
Решение ищется в виде показательной функции, т. к. она обладает тем свойством, что её вид сохраняется при нахождении произведений любого порядка, а следовательно, слагаемые выражения (12.1) отличаются друг от друга только коэффициентами.
Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для
y, y′ и y′′ в уравнение (12.1), получим
52
e kx k 2 + pke kx + qe kx = 0.
Так как e
kx
≠ 0, то, сокращая на e kx , получим уравнение
ϕ (k ) ≡ k 2 + pk + q = 0.
(12.3)
Из этого уравнения определяются те значения k , при которых функция
e kx будет решением уравнения (12.1).
Алгебраическое уравнение (12.3) для определения коэффициента k называется характеристическим уравнением данного дифференциального уравнения (12.1).
Характеристическое уравнение является уравнением второй степени и
имеет, следовательно, два корня. Эти корни могут быть либо действительными
различными, либо действительными и равными, либо комплексными сопряженными.
Рассмотрим, какой вид имеет фундаментальная система частных решений в каждом из этих случаев.
1. Корни характеристического уравнения действительные и различные: k1 ≠ k 2 .
В этом случае по формуле (12.2) находим два частных решения:
y1 = e k1 x , y2 = e k 2 x .
Эти два частных решения образуют фундаментальную систему решений
на всей числовой оси, так как определитель Вронского нигде не обращается в
нуль:
W ( x) =
e k1 x
k1e k1 x
e k1 x
k2e k 2 x
= e ( k1 + k 2 ) x (k 2 − k1 ) ≠ 0.
Следовательно, общее решение уравнения согласно формуле (11.4) имеет
вид
Y = C1e k1x + C2 e k2 x .
(12.4)
2. Корни характеристического уравнения равные: k1 = k 2 .
В этом случае оба корня будут действительными. По формуле (12.2) получаем только одно частное решение
y1 = e k1 x .
Покажем, что второе частное решение y2 ( x), образующее вместе с первым фундаментальную систему, имеет вид
53
y2 = xe k1 x .
Прежде всего, проверим, что функция y2 ( x) является решением уравне-
ния (12.2).
Действительно,
″
′
y2 + py2 + qy2 = ( xe k1x )′′ + p ( xe k1x )′ + q ( xe k1x ) =
2k1e k1x + k12 xe k1x + p (e k1x + xk1e k1x ) + qxe k1x =
= e k1x (2k1 + k12 x + p + pxk1 + qx) =
= e k1x [x(k12 + pk1 + q) + ( p + 2k1 )] .
2
Но k1 + pk1 + q = 0, так как k1 есть корень характеристического уравнения (12.3). Кроме того, по теореме Виета p = −( k1 + k 2 ) = −2k1. Поэтому
′
″
p + 2k1 = 0. Следовательно, y2 + py2 + q = 0, т.е. функция
y2 ( x) = xe k1 x действительно является решением уравнения (12.1).
Покажем теперь, что найденные частные решения y1 = e
k1 x
и
y2 = xe k1 x образуют фундаментальную систему решений. Действительно,
e k1 x xe k1 x
e k1 x xe k1 x
2 k1 x
W ( x) = k x
=
=
e
≠ 0.
k1 x
k1 x
k1 x
1
e (1 + k1x)
(e )′ ( xe )′ k1e
Таким образом, в этом случае общее решение однородного линейного
уравнения имеет вид
Y = C1e k1x + C2 xe k1x
или
Y = e k1 x (C1 + C2 x).
(12.5)
3. Корни характеристического уравнения комплексные
Как известно, комплексные корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами являются сопряженными комплексными числами, т.е.
имеют вид k1 = α + β i, k 2 = α − β i. В этом случае частные решения уравнения (12.1), согласно формуле (12.2), будут иметь вид
y1 = e k1 x = e (α + βi ) x = eαx e βix ,
y2 = e k 2 x e = e (α − βi ) x = eαx e − βix .
54
Применяя формулы Эйлера, выражения для y1 и y2 , можно записать в виде
y1 = e ax (cos βx + i sin β x),
y2 = e ax (cos βx − i sin βx).
Эти решения являются комплексными. Чтобы получить действительные
решения, рассмотрим новые функции
1
y = ( y + y ) = eαx cos βx,
1 2 1 2
1
y = ( y − y ) = eαx sin β x.
2 2i 1 2
Они являются линейными комбинациями решений y1 и y2 и, следовательно, сами являются решениями уравнения (12.1).
Легко показать, что определить Вронского для этих решений отличен от
αx
αx
нуля и, следовательно, решения y1 = e cos β x и y2 = e sin β x образуют фундаментальную систему решений.
Таким образом, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения в случае комплексных корней характеристического уравнения
имеет вид
Y = C1eαx cos βx + C2 eαx sin βx
или
Y = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx).
Приведем в заключение формулы общего решения уравнения (12.1) в зависимости от вида корней характеристического уравнения (табл.8).
Таблица 8
Y ′′ + pY ′ + qY = 0
Уравнение
Характеристическое уравнение
Корни характеристического уравнения
k 2 + pk + q = 0
k1 = α + βi,
k1 ≠ k2
k1 = k2
Фундаментальная
система частных
решений
ek1x
ek1x
eαx cos βx
ek2 x
xek1x
eαx sin βx
Формула общего
решения
k1 x
Y = C1e
+ C 2 xe
k1 x
55
Y =e
k1 x
(C1 + C2 x )
k2 = α − βi.
Y = eα x ( C1сos β x +
+ C 2 sin β x ).
Пример 1. Найти общее решение уравнения y′′ + 5 y′ + 6 y = 0.
РЕШЕНИЕ: Характеристическое уравнение данного дифференциального
2
уравнения имеет вид k + 5k + 6 = 0. Его корни k1 = −2, k 2 = −3. Фундаментальная система частных решений: y1 = e
−2x
, y2 = e − 3 x . Общее решение:
Y = C1e − 2 x + C2e − 3 x .
Пример 2. Найти общее решение уравнения y′′ − 2 y′ + y = 0.
2
РЕШЕНИЕ: Характеристическое уравнение k − 2k + 1 = 0 имеет равные
корни
k1 = k 2 = 1. Фундаментальная система частных решений:
y1 = e x , y2 = xe x . Общее решение уравнения
Y = e x (C1 + C2 x).
Пример 3. Найти общее решение уравнения y ′′ + 4 y ′ + 13 y = 0.
2
РЕШЕНИЕ: Характеристическое уравнение k + 4k + 13 = 0 имеет корни k1 = −2 + 3i и k 2 = −2 − 3i. Здесь α = −2, β = 3. Фундаментальная
система частных решений: y1 = e
уравнение имеет вид
−2x
cos 3x, y2 = e − 2 x sin 3x. Общее решение
Y = e − 2 x (C1 cos 3x + C2 sin 3x).
Пример 4. Наши общее решение уравнения y′′ + 2 y = 0.
2
РЕШЕНИЕ: Характеристическое уравнение k + 2 = 0 имеет корни
k1 = 2i и k2 = − 2i. Здесь α = 0 и β = 2. Фундаментальная система
частных решений: y1 = cos 2 x, y2 = sin 2 x. Общее решение уравнения
Y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x.
12.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим теперь уравнение
y′′ + py′ + qy = f ( x),
(12.6)
в котором коэффициенты p и q по-прежнему некоторые числа и правая часть
f (x) - известная функция. Как было показано выше, общее решение уравнения (12.6) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
56
Метод нахождения общего решения однородного уравнения с постоянными коэффициентами (12.1) подробно рассмотрен в предыдущем пункте. Для
нахождения частного решения неоднородного уравнения (12.6) можно применить метод вариаций постоянных. Этот метод применим, вообще говоря, к любой правой части. Однако для уравнений с постоянными коэффициентами, правые части которых имеют специальный вид, существует более простой способ
нахождения частного решения. Этот способ называется методом подбора формы частного решения. Не приводя выводов, укажем форму, в которой следует
искать частное решение в зависимости от вида правой части f ( x) дифференциального уравнения.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
y′′ + py′ + qy = f ( x)
можно записать в виде суммы
y = y0 + Y ,
(12.7)
где y0 - общее решение соответствующего уравнения (12.6) без правой части,
определяемое по формулам (12.4)-(12.6), и Y - частное решение данного уравнения (12.7).
Функция Y может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях:
1. f ( x) = e ax Pn ( x), где Pn ( x) - многочлен степени n.
α не является корнем характеристического уравнения (12.3),
ax
т.е. ϕ (α ) ≠ 0, то полагают Y = e Qn ( x), где Qn (x) - много-
• Если
член степени n с неопределенными коэффициентами.
• Если α есть корень характеристического уравнения (12.6), т.е.
ϕ (α ) = 0, то Y = x r e axQn (x), где r кратность корня α ( r = 1
или r = 2 ).
αx
2. f ( x) = e
• Если
[Pn ( x) cos bx + Qm ( x) sin bx].
ϕ (a + bi ) ≠ 0, то полагают
Y = eαx [S N ( x) cos bx + TN ( x) sin bx ], где S N ( x) и TN ( x) - многочлены степени N = max{n, m}.
• Если же ϕ ( a + bi ) = 0, то
Y = x r eαx S ( x) cos bx + T ( x) sin bx,
N
 N

где r – кратность корней (a+bi) (для уравнений 2-го порядка r=1).
Пример 1: Найти общее решение уравнения 2 y′′ − y′ − y = 4 xe
57
2x
.
2
Решение: Характеристическое уравнение 2k − k − 1 = 0 имеет корни
1
k1 = 1, k 2 = − . Общее решение соответствующего однородного уравнения
2
имеет
вид)
−
x
2
y0 = C1e + C2 e .
x
2x
Правая
ax
часть
заданного
уравне-
2x
ния f ( x) = 4 xe = e Pn ( x). Следовательно, Y = e ( Ax + B ), так как n=1
и r=0.
Дифференцируя Y два раза и подставляя производные в данное уравнение, получим
2e 2 x (4 Ax + 4 B + 4 A) − e 2 x (2 Ax + 2 B + A) − e 2 x ( Ax + B) = 4 xe 2 x .
Сократим на e
ные:
2x
, раскроем скобки в левой части равенства и приведем подоб-
8Ax+8B+8A-2Ax-2B-A-Ax-B=4x,
5Ax+7A+5B=4x.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x и свободные члены в
левой и в правой частях:
x
5A = 4,
x0 7 A + 5B = 0 .
28
4
,B=−
25
5
28 
2x  4
Таким образом, Y = e  x −
, а общее решение данного уравнения
25 
5
Решив систему, получим A =
y = C1e x + C2
x
e2
28 
4
+ e 2 x  x − .
25 
5
Пример 2. Найти общее решение уравнения
y′′ − 6 y′ + 25 y = e 3 x [ (3 x 2 − 2 x + 4) cos 4 x + ( x − 3) sin 4 x ] .
Общее решение данного уравнения будет иметь вид y = y0 + Y .
Найдем y0 - общее решение однородного уравнения, для чего составим
характеристическое
уравнение:
k 2 − 6k + 25 = 0;
его
k1 = 3 + 4i, k 2 = 3 − 4i и yo = e3 x (C1 cos 4 x + C2 sin 4 x).
58
корнями
будут
Правая часть данного уравнения
f ( x) = e 3 x [ (3 x 2 − 2 x + 4) cos 4 x + ( x − 3) sin 4 x ] ,
откуда видим, что
α = 3 - коэффициент показателя степени e3 x , m = 2 - наи-
[
]
высший показатель степени (3x − 2x + 4) и n=1 – наивысший показатель
степени x-3 и b=4 - коэффициент аргумента cos4x или sin4x.
Таким образом, ϕ ( a + bi ) = ϕ (3 + 4i ) = 0, т.е. 3+4i – совпадает с одним
2
из корней характеристического уравнения k1 , следовательно, r=1,
N=max{m.n}=max{2;1}=2.
Исходя из полученного будем иметь, что частное решение неоднородного
уравнения:
Y = xe3 x Ax 2 + Bx + C cos 4 x + Dx 2 + Ex + F sin 4 x .
[(
)
(
)
]
Найдя Y ′ и Y ′′, подставим полученные значения производных в левую часть
исходного уравнения и, раскрыв скобки в правой части, приравняем неизвестные коэффициенты при подобных членах правой части к соответствующим известным коэффициентам левой части. Получим линейную систему алгебраических уравнений, откуда и найдем по формулам Крамера (или иным методом)
значение А, В, С, Д, Е и F. Подставив их в Y , найдем частные решения, после
чего и общее решение неоднородного уравнения: y = y0 + Y .
Заметим, что при нахождении коэффициентов, обе части равенства со3x
кращаются на e , это упрощает дальнейшие расчеты. Для нахождения частного решения неоднородного уравнения должны быть даны начальные условия:
y ( x0 ) = y0 и y′( x0 ) = y0′ , используя их, найдем C1 и C2 , а следовательно, и
частное решение данного уравнения.
Лекция 9
13. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
13.1. Общие понятия
Во многих задачах математики, физики и техники требуется определить
сразу нескольких функций, связанных между собой несколькими дифференциальными уравнениями. В частности, к таким системам приводят задачи, в которых изучается движение тел в пространстве под действием заданных сил.
59
Пусть,
например, по некоторой кривой (L) в пространстве под действием
r
силы F движется материальная точка массы m . Требуется определить закон
движения точки, т.е. зависимость координат точки от времени.
r r
Допустим, что r = r (t ) - радиус-вектор движущейся точки. Если переменные координаты точки обозначить через x(t ), y (t ), z (t ), то
r
r
r
r
r = x(t )i + y (t ) j + z (t )k .
Скорость и ускорение движущейся точки вычисляется по формулам
r
r dr dx r dy r dz r
= i+
j + k,
v=
dt
dt
dt dt
r
r d 2r d 2 x r d 2 y r d 2 z r
a = 2 = 2 i + 2 j + 2 k.
dt
dt
dt
dt
r
Сила F , под действием которой движется точка, вообще говоря, является функцией времени, координат точки и проекций скорости на оси координат:
r
dx dy dz  r
dx dy dz  r


F = Fx  t , x, y, z , , , i + Fy  t , x, y, z , , ,  j +
dt dt dt 
dt dt dt 


dx dy dz  r

+ Fz  t , x, y, z , , , k .
dt dt dt 

На основании второго закона Ньютона
уравнение движения точки запиr r
сывается следующим образом: ma = F .
Проектируя векторы, стоящие в левой и правой части этого равенства, на
оси координат, получим три дифференциальных уравнения движения:
d 2x
dx dy dz  

m 2 = Fx  t , x, y, z , , , , 
dt dt dt  

dt
d2y
dx dy dz  

m 2 = Fy  t , x, y, z , , , ,
dt dt dt  

dt
d 2z
dx dy dz  

m 2 = Fz  t , x, y, z , , , . 
dt dt dt  

dt
(13.1)
Эти дифференциальные уравнения представляют собой систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно трех искомых функций:
x = x(t ), y = y (t ), z = z (t ).
60
В дальнейшем мы ограничимся изучением только системы уравнений
первого порядка специального вида относительно искомых функций
y1 ( x), y2 ( x), y3 ( x), K , yn ( x). Эта система имеет вид
dy1

= f1 ( x, y1, y2 , y3 ,K , yn ), 
dx

dy2
= f 2 ( x, y1, y2 , y3 ,K , yn ),
dx

KKKKKKKKKKKK 

dyn
= f n ( x, y1, y2 , y3 ,K , yn ).
dx

(13.2)
Система уравнений (13.2) называется системой в нормальной форме, или
нормальной системой
В нормальной системе правые части уравнений не содержат производных
искомых функций.
Решением системы (13.2) называется совокупность функций
y1( x), y2 ( x), y3 ( x), K , yn ( x), удовлетворяющих каждому из уравнений этой
системы.
Рассмотрим, например, нормальную систему из трех уравнений с тремя
неизвестными функциями x, y, z :
dx

= f1(t , x, y, z ), 
dt

dy

= f 2 (t , x, y, z ),
dt

dz

= f3 (t , x, y, z ). 
dt

(13.3)
Для нормальной системы дифференциальных уравнений теорема Коши
существования и единственности решения формулируется следующим образом.
Теорема. Пусть правые части уравнений системы (13.3), т.е. функции
f i (t , x, y, z ) (i = 1,2,3) непрерывны по всем переменным в некоторой области
df i df i df i
,
, . Тогда каdx dy dz
ковы бы ни были значения t0 , x0 , y0 , z0 , принадлежащие области G , сущест-
G и имеют в ней непрерывные частные производные:
61
вует единственное решение системы x(t ), y (t ), z (t ), удовлетворяющее начальным условиям:
x(t0 ) = x0 , y (t0 ) = y0 , z (t0 ) = z0 .
Для интегрирования системы (13.3) можно применить метод, с помощью
которого данная система, содержащая три уравнения относительно трех искомых функций, сводится к одному уравнению третьего порядка относительно
одной неизвестной функции. Покажем на примере применение этого метода.
Для простоты ограничимся системой из двух уравнений. Пусть дана система
уравнений
dx

= −7 x + y, 

dt

dy
= −2 x − 5 y.
dt

(13.4)
Для нахождения решения системы поступаем следующим образом. Дифференцируя первое из уравнений системы по t , находим
d 2x
dx dy
+ .
dt dt
dt 2
dy
из второго уравнения систеПодставляя в это равенство выражение
dt
dx
d 2x
=
−
+ (−2 x − 5 y ).
мы, получим
7
2
dt
dt
Заменяя, наконец, функцию y ее выражением из первого уравнения системы
dx
(13.5)
y = + 7x,
dt
= −7
получим линейное однородное уравнение второго порядка относительно одной
неизвестной функции:
d 2x
dx
dx
=
−
−
−
+ 7 x), или
7
2
x
5
(
2
dt
dt
dt
d 2x
dt 2
+ 12
dx
+ 37 x = 0.
dt
Интегрируя это уравнение, находим его общее решение
:
x = e − 6t (C1 cos t + C2 sin t ).
Дифференцируя равенство (13.6), находим
dx
= −6e − 6t (C1 cos t + C2 sin t ) + e − 6t (−C1 sin t + C2 cos t ).
dt
62
(13.6)
Подставляя выражения для x и
члены, получим
dx
в равенство (13.5) и приводя подобные
dt
y = −6e − 6t (C1 cos t + C2 sin t ) + e − 6t (−C1 sin t + C2 cos t ) +
+ 7e − 6t (C1 cos t + C2 sin t ) = e − 6t [(C2 + C1 ) cos t + (C2 − C1 ) sin t ].
Функции
x = e −6t (C cos t + C sin t ),
1
2
y = e −6t (C + C ) cos t + (C − C ) sin t 
1
2 1
 2

(13.7)
являются решением данной системы.
Итак, интегрируя нормальную систему двух дифференциальных уравнений, мы получили ее решение, зависящее от двух произвольных постоянных
С1 и С2 . Можно показать, что и в общем случае для нормальной системы, состоящей из n уравнений, ее общее решение будет зависеть от n произвольных
постоянных.
13.2. Системы линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
Кроме рассмотренного метода интегрирования нормальной системы
уравнений, мы укажем сейчас еще один метод, применимый только к нормальным системам линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
Пусть дана нормальная система линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами. Для простоты ограничимся системой трех
уравнений с тремя неизвестными функциями:
dx

= a11x + a12 y + a13 z , 
dt

dy

= a21x + a22 y + a23 z ,
dt

dz

= a31x + a32 y + a33 z. 
dt

(13.8)
Будем искать частное решение этой системы в виде
x = αe kt , y = β y kt , z = γe kt .
63
(13.9)
Мы должны определить коэффициенты α , β , γ и показатель степени k так,
чтобы функции (13.9) были решением системы (13.8). Подставляя эти функции
систему (13.8) и сокращая на множитель e
kt
≠ 0, получим
kα = a11α + a12 β + a13γ , 

kβ = a21α + a22 β + a23γ ,
kγ = a31α + a32 β + a33γ . 
Перенося все члены в одну сторону, получим следующую систему алгебраических уравнений относительно неизвестных:
(a − k )α + a β + a γ = 0, 
11
12
13

a α + (a − k )β + a γ = 0,
21
22
23

a α + a β + (a − k )γ = 0. 
31
32
33

(13.10)
Система (13.10) является однородной системой уравнений. Как известно,
для того чтобы однородная система имела отличные от нуля решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю. Таким образом, для того чтобы система (13.10) имела отличные от нуля решения, должно
иметь место равенство
a11 − k
a12
a13
a21
a22 − k
a23
a31
a32
a33 − k
= 0.
(13.11)
Равенство (13.11) представляет собой уравнение третьей степени
относительно к и называется характеристическим уравнением для систем (13.8). Ограничимся случаем, когда характеристическое уравнение имеет
различные действительные корни k1 , k 2 , k3 . Для каждого из этих корней напишем соответствующую систему уравнений (13.10) и определим коэффициенты
α1, β1, γ 1, α 2 , β 2 , γ 2 , α 3 , β 3 , γ 3 . Если обозначить частные решения системы,
соответствующие корню характеристического уравнения k1 через x1 , y1 , z1; соответствующие корню k2 - через x2 , y2 , z2 и корню k3 - через x3 , y3 , z3 ; то,
как можно показать, общее решение системы дифференциальных уравнений
(13.8) запишется в виде
x(t ) = C1 x1 + C2 x2 + C3 x3 ,
y (t ) = C1 y1 + C2 y2 + C3 y3 ,
z (t ) = C1 z1 + C2 z 2 + C3 z3 .
64
или в виде
x(t ) = C1α1e k1t + C2α 2e k 2t + C3α 3e k3t ,
y (t ) = C1β1e k1t + C2 β 2e k 2t + C3 β 3e k3t ,
(13.12)
z (t ) = C1γ 1e k1t + C2γ 2e k 2t + C3γ 3e k3t .
ПРИМЕР.
Найти общее решение системы
dx

= −2 x − 3 y,

dt

dy

= − x.

dt
(13.13)
РЕШЕНИЕ: Характеристическое уравнение (13.11), соответствующее
данной системе дифференциальных уравнений, имеет вид
−2−k
−1
−3
= 0,
0−k
2
или k + 2k − 3 = 0. Его корни k1 = −3, k2 = 1. Частные решения системы будем искать в виде
kt
k t
x = α e 1 , x = α e 21 ,
1 1
2
2
kt
k t
y =β e 1 , y =β e 2 .
1 1
2
2
Система уравнений (13.10) для определения
вид
[− 2 − (−3)]α1 − 3β1 = 0,

− α1 + [0 − (−3)]β1 = 0. 
или
α и β при k1 = −3 имеет
α1 − 3β1 = 0, 

− α1 + 3β1 = 0.
Эта система имеет бесчисленное множество решений, так как второе
уравнение есть следствие первого. Полагая, например, β1 = 1, находим α1 = 3.
Итак, корню характеристического уравнения k1 = −3 соответствуют частные
− 3t
− 3t
решения x1 = 3e
и y=e .
Система уравнений (13.10) для определения α 2 и
− 3α 2 − 3β 2 = 0,

− α 2 − β 2 = 0. 
65
β 2 при k = 1 имеет вид
В качестве решений этой системы можно взять α 2 = 1, β 2 = −1 . Тогда
корню характеристического уравнения k = 1 соответствуют частные решения
x2 = e t и y 2 = − e t .
Общее решение данной системы (13 5), согласно формуле (13 12), запишется в
виде
x(t ) = 3C1e − 3t + C2 e e ,
y (t ) = C1e − 3t − C2et .
Если среди корней характеристического уравнения (13 11) имеются комплексные, то соответствующие им частные решения преобразуются по формулам Эйлера
подобно тому, как это делалось для одного линейного уравнения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Освоив данный курс лекций «Обыкновенные дифференциальные уравнения»,
Вы фактически ознакомились с классической теорией решения дифференциальных
уравнений определенного вида.
Трудно переоценить значение теории дифференциальных уравнений в познании сущности процессов, происходящих как в неживом, так и биологическом виде. К
сожалению, в настоящее время, используя известные методы решений, многие уравнения далеко не всегда удается решить, что существенно затрудняет понять суть исследуемых процессов.
Каждый, кто желает внести свой вклад в развитие теории дифференциальных
уравнений, может попытаться это сделать. В случае успеха человечество и наука будут Вам благодарны за это.
66
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................................................................................................. …..3
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Лекция 1
1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Основные определения ................................................................................ ….4
2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные
относительно производной, и их геометрический смысл.
Основные понятия........................................................................................ ….6
Теорема Коши ................................................................................................................ ….8
Лекция 2
3. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка,
интегрируемые в квадратурах .................................................................... …10
3.1. Уравнения вида y′ = f ( x, y ) ............................................................. …10
3.2. Уравнения с разделяющимися переменными............................................ …11
3.3. Однородные уравнения ................................................................................... …13
Лекция 3
4. Линейные уравнения.................................................................................... …16
5. Уравнение Бернулли. ................................................................................... …19
6. Приближенные методы интегрирования дифференциальных
уравнений первого порядка. ...................................................................... …20
6.1. Метод последовательных приближений ..................................................... …21
Лекция 4
6.2. Метод Эйлера..................................................................................................... …24
6.3. Метод Адамса .................................................................................................... …27
Лекция 5
7. Применение дифференциальных уравнений первого порядка
к решению некоторых задач механики и физики.................................... …30
7.1. Задача об охлаждении тела............................................................................. …31
7.2. Задача о прожекторе ........................................................................................ …32
7.3. Задача о колебаниях в электрической цепи. ............................................... …33
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
8. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Общие понятия. ...... …34
8.1. Теорема Коши.................................................................................................... …37
Лекция 6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
9. Основные понятия........................................................................................ …38
67
10. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие
понижение порядка .......................................................................................... …41
Лекция 7
11. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.................. …44
11.1. Определения и общие свойства ...................................................................…44
11.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка................................................................................................…46
11.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка................................................................................................…50
Теорема 1 (О структуре общего решения
неоднородного уравнения) ............................................................…50
Лекция 8
12. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами ............................................................ …52
12.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.................................................…52
12.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.................................................…56
Лекция 9
13. Понятие о системах дифференциальных уравнений.............................. …59
13.1. Общие понятия ................................................................................................…59
13.2. Системы линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами.................................................................…63
ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………………….66
Учебное издание
Ханкин Евгений Иванович
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Курс лекций
Подписано в печать 17.07.2009. Формат 60х84х 1/16.
Уч.-изд. л. 4,2.Усл.-печ. л. 4,3. Бумага писчая.
Тираж 100 экз. Заказ № .
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии Воронежского
государственного архитектурно-строительного университета
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября,
68
84
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
12
Размер файла
668 Кб
Теги
обыкновенное, уравнения, дифференциальной, 146, ханкин
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа