close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

152.Основы научных исследований

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»
А.В. Крылова, Е.И. Шмитько, Т.Ф. Ткаченко
ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ
ЭКСПЕРИМЕНТА
Лабораторный практикум
Рекомендовано редакционно-издательским советом
Воронежского государственного архитектурно-строительного
университета в качестве учебного пособия для студентов,
обучающихся по направлению 200500 (552200)
«Метрология, стандартизация и сертификация»
Воронеж 2011
1
УДК 658.516(07)
ББК38.3-80я-7
К85
Рецензенты:
кафедра городского строительного хозяйства
Белгородского государственного технологического университета
им. В.Г. Шухова;
П.Ф. Федюшин, главный инженер ОАО «Завод ЖБИ-2»
г. Воронежа
Крылова, А.В.
К85
Основы научных исследований, организация и планирование
Эксперимента : лаб. практикум / А.В. Крылова, Е.И. Шмитько,
Т.Ф. Ткаченко ; Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т. - Воронеж,
2011. - 52 с.
Представлены краткие теоретические сведения и методики выполнения
лабораторных работ по двум важным направлениям подготовки магистров
при изучении дисциплины «Основы научных исследований, организация и
планирование эксперимента», касающихся исследования состава, структуры
и свойств строительных материалов и планирования экстремальных экспериментов при решении технологических задач.
Предназначен для магистрантов, обучающихся по направлению 200500
(552200) «Метрология, стандартизация и сертификация».
Ил. 8. Табл. 14. Библиогр.: 5 назв.
УДК 658.516(07)
ББК38.3-80я-7
ISBN 978-5-89040-361-2
 А.В. Крылова,Е.И. Шмитько,
Т.Ф. Ткаченко, 2011
 Воронежский государственный
архитектурно-строительный
университет, 2011
2
ВВЕДЕНИЕ
Содержание лабораторного практикума направлено на дальнейшее развитие знаний, полученных в области планирования однофакторных и многофакторных экстремальных экспериментов и решение технологических оптимизационных задач, а также на изучение основных современных методов
анализа строительных материалов, их фазового состава и фазовых превращений. Предусматривает изучение и освоение методики выполнения рентгенофазового анализа при исследовании гидратации вяжущих веществ (на примере строительного гипса), дифференциально-термического анализа при исследовании минералогического состава силикатного камня.
Кроме того, владея методами планирования экстремальных экспериментов, магистрант должен поставить и решить несколько оптимизационных
задач из перечня, предложенного преподавателем, или соответственно теме
магистерской диссертации. В любом случае речь идет, прежде всего, о выполнении экспериментальных исследований и поиске функции отклика –
критерия оптимизации. Предметом исследования чаще всего выступает поиск составов цементных систем с различного рода добавками-модификаторами, в том числе комплексными.
Для оценки значимости изучаемых факторов, получения адекватной
математической модели предусматривается освоение методики дисперсионного анализа при постановке как однофакторных, так и многофакторных экстремальных экспериментов.
Учитывая определенную сложность решаемых задач, перед выполнением лабораторных работ необходимо изучить соответствующий лекционный материал, ознакомиться с краткими теоретическими сведениями, представленными в каждой лабораторной работе.
Отчет о лабораторной работе должен содержать сведения о целях и задачах работы, методике ее выполнения и полученные результаты. В заключении необходимо дать выводы по работе.
Лабораторный практикум соответствует учебному плану подготовки
магистров по направлению 200500 (552200) «Метрология, стандартизация и
сертификация».
3
Лабораторная работа № 1
РЕНТГЕНОФАЗОВЫЙ АНАЛИЗ
СТРОИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ
И ЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
КИНЕТИКИ ГИДРАТАЦИИ СТРОИТЕЛЬНОГО ГИПСА
1.1. Цель работы
 Изучить сущность рентгенофазового анализа строительных материалов.
 Изучить методику определения степени гидратации вяжущих веществ путем использования рентгенофазового метода исследования.
 Изучить кинетику гидратации строительного гипса рентгеновским
методом.
1.2. Краткие теоретические сведения
Применение рентгеновского излучения – поперечных электромагнитных колебаний с длиной волны 10-2 – 102 Å (1 Å = 10-8 см) для исследования
кристаллических веществ основано на том, что длина этих волн сопоставима
с расстоянием между упорядоченно расположенными атомами в решетке
кристалла, которая, по сути, является для него естественной дифракционной
решеткой.
Сущность рентгеновских методов анализа заключается в изучении дифракционной картины, получаемой при отражении рентгеновских лучей кристаллографическими плоскостями (гранями) элементарной ячейки кристаллического вещества.
Монокристалл представляет собой совокупность параллельных равноудаленных кристаллографических плоскостей; его основной структурной характеристикой является межплоскостное расстояние d.
Поликристалл – это совокупность хаотически сросшихся монокристаллических плоскостей. Его структуру можно описать совокупностью межплоскостных расстояний d1, d2, d3 и т.д.
Все строительные материалы – поликристаллические вещества, но для
каждого из них характерной является своя совокупность межплоскостных
расстояний, то есть каждый компонент минерала имеет свой характерный их
набор в зависимости от своей кристаллической структуры.
Прибор, в котором осуществляется дифракция рентгеновских лучей в
кристаллической решетке того или иного материала, называется рентгеновским дифрактометром. Он позволяет на диаграммной ленте записать картину
отражения рентгеновских лучей от отдельных монокристаллических областей в виде рентгенограммы.
Типичный вид рентгенограммы представлен на рис. 1.1.
4
50
40
30
Угол поворота
4,86
3,03
2,61
2,76
2,18
1,92
1,76
60
20
10
Рис. 1.1. Типичная рентгенограмма поликристаллического вещества
Рентгенограмма представляет собой серию дифракционных максимумов, возвышающихся на различное расстояние над плавной линией фона.
Дифракционный максимум является отражением рентгеновского луча от различных монокристаллических плоскостей поликристаллического вещества с
определенными, только ему присущими межплоскостными расстояниями.
Съемка рентгенограммы и принцип работы дифрактометра, схема которого изображена на рис. 1.2, состоит в следующем.
Рис. 1.2. Схема дифрактометрической съемки плоского образца:
1 - генератор рентгеновских лучей; 2 - рентгеновская трубка; 3 - диафрагма первичного
рентгеновского луч; 4 - исследуемый образец; 5 - диафрагма дифрагированного рентгеновского луча; 6 - счетчик рентгеновских квантов; 7 - самописец
Пучок рентгеновских лучей направляется на изучаемый образец, который располагается в центре окружности. По касательной во взаимно перпендикулярном направлении находятся рентгеновская трубка и счетчик рентгеновских квантов. В дифрактометре образец вращается таким образом, чтобы
5
создать всем имеющимся монокристаллическим областям условия для отражения рентгеновских лучей. Счетчик рентгеновских квантов посылает информацию на самописец, который записывает данную картину в виде рентгенограммы.
Записанная на дифрактометре рентгенограмма подлежит расшифровке,
то есть определению величин межплоскостных расстояний d для каждого отражения на рентгенограмме.
Расчет d ведется по формуле
n
d
,
(1.1)
2 sin 
где  - длина волны;
n - целое число волн;
 - угол, под которым произошло каждое отражение рентгеновских лучей (определяется с помощью прибора гониометра, который через каждый
градус делает метки-репера).
Каждый минерал (фаза) имеет свою картину на рентгенограмме. Например, получены рентгенограммы (прил. А) с набором дифракционных максимумов, соответствующих межплоскостным расстояниям d, равным 1,92;
2,05; 2,22; 2,61; 2,71; 3,01; 3,55; 4,86 Å. Чтобы расшифровать полученную
рентгенограмму, надо воспользоваться стандартными рентгенограммами, то
есть сравнить полученные значения с эталонными межплоскостными расстояниями (прил. А). Выясняется, что линии 2,05; 2,22; 2,71; 3,01 Å принадлежат кальциту – СаСО3, а линии 2,61; 4,86 Å – портландиту – Са(ОН)2. Если
система содержит кварцевый песок – SiO2, то самой сильной линией на рентгенограмме будет 3,33 Å и т.д. Если справочная информация об изучаемом
материале отсутствует, то необходимо выполнить химический анализ вещества. Для более точной расшифровки рентгенограммы и определения фазового состава строительного материала рекомендуется воспользоваться другими методами анализа, например, методом дифференциально-термического
анализа (ДТА).
Рассмотренный метод рентгенофазового анализа называется качественным, так как позволяет определить (идентифицировать) природу кристаллических фаз, содержащихся в исследуемом материале. Количественный
рентгенофазовый анализ, в задачу которого входит определение содержания
отдельных фаз в поликристаллических многофазных строительных материалах, основан на зависимости интенсивности определяемых дифракционных
максимумом (отражений) от количества определяемой фазы. С увеличением
ее содержания интенсивность отражения рентгеновских лучей возрастает. На
этом основан рентгеновский метод определения степени гидратации вяжущих веществ.
Степень гидратации - это количество вяжущего вещества, перешедшее
в гидраты за определенный период времени твердения, отнесенное к его ис-
6
ходному содержанию. Кинетику процесса гидратации вяжущих веществ характеризуют величиной степени гидратации к данному моменту времени.
При использовании рентгеновского метода определения степени гидратации вяжущих веществ измеряется интенсивность линии гидратных новообразований в твердеющей системе к определенному моменту времени. Она
сопоставляется с интенсивностью той же линии в полностью прогидратированном веществе. Отношение интенсивностей указанных линий на рентгенограмме характеризует степень гидратации вяжущего вещества.
Для прекращения процесса гидратации производится предварительное
обезвоживание подготовленных проб этиловым спиртом и серным эфиром с
последующей сушкой. Затем материал растирают в агатовой ступке агатовым
пестиком и просеивают через сито № 0063; растирание ведется до полного
прохождения его через сито. Пробы образцов до анализа хранятся в эксикаторе. Для проведения рентгенофазового анализа порошкообразный материал
запрессовывается в специальную кювету и помещается в держатель рентгеновского дифрактометра. В процессе рентгеновской съемки образца дифракционные максимумы регистрируются на диаграммной ленте самопишущего
потенциометра. Затем полученная запись дифракционной картины (рентгенограмма образца) расшифровывается ранее описанным способом.
1.3. Задание
Определить степень гидратации строительного гипса, используя рентгеновский метод. На основании полученных данных оценить кинетику процесса гидратации строительного гипса.
1.4. Методика выполнения работы
Экспериментальные исследования выполняются в следующей последовательности:
- отвешивается навеска строительного гипса m = 100 г, рассчитывается
количество воды затворения (водогипсовое отношение принимается постоянным);
- готовится гипсовое тесто, которое помещается в кювету прибора;
- через определенные промежутки времени (например, через 2 мин)
производится съемка рентгенограммы, отражающей ход процесса гидратации
строительного гипса.
Используя рентгеновский метод, имеется возможность проследить за непрерывным образованием двуводного гипса путем наблюдения за увеличением интенсивности линии I с межплоскостным расстоянием d = 4,26 Å, соответствующей образующейся в ходе гидратации строительного гипса фазе
СаSO42Н2О. Интенсивность измеряется высотой линии над уровнем рентгенограммы.
7
Степень гидратации гипсового вяжущего рассчитывается по соотношению интенсивности линии I (с межплоскостным расстоянием d = 4,26 Å) на
рентгеногамме двух фаз СаSO40,5Н2О и СаSO42Н2О в определенный момент
времени и интенсивности I0 новой фазы СаSO42Н2О к моменту полного завершения процесса гидратации. Для выполнения количественного анализа
необходимо воспользоваться соотношением
X 1  1
I

,
(1.2)
I 0 X 1 ( 1   2 )  1
где I0 - интенсивность наиболее сильной линии на рентгенограмме, что соответствует фазе СаSO42Н2О, мм;
I - интенсивность той же линии на рентгенограмме смеси СаSO40,5Н2О
и СаSO42Н2О, мм;
µ1 и µ2 - коэффициенты, µ1 = 141, µ2 = 184;
X1 - содержание двуводного гипса или степень гидратации строительного
гипса.
Отсюда степень гидратации (Сг) строительного гипса определяется по
формуле
I
184 100
I0
,%.
(1.3)
Сг 
I
 43  141
I0
1.5. Результаты работы
Результаты работы представляются в виде рентгенограммы, в табличной форме и графически в виде зависимости Сг = f(), где  - время гидратации строительного гипса.
Таблица 1.1
Результаты определения степени гидратации строительного гипса
Время
гидратации,
, мин
I
I0
I ,
мм
8
Степень
гидратации,
Сг, %
1.6. Выводы по работе
На основании выполненных исследований с использованием рентгенофазового анализа делается вывод о характере изменения степени гидратации
строительного гипса в ходе развития этого процесса во времени.
Контрольные вопросы
1. Какова сущность рентгеновских методов анализа строительных материалов?
2. Каково устройство рентгеновского дифрактометра?
3. Что такое степень гидратации вяжущего вещества?
4. Как с помощью рентгеновского метода можно определить степень
гидратации строительного гипса?
Лабораторная работа № 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МИНЕРАЛОГИЧЕСКОГО СОСТАВА
СТРОИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ
МЕТОДОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ТЕРМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
2.1. Цель работы
 Изучить сущность дифференциально-термического анализа (ДТА)
строительных материалов.
 Изучить методику определения минералогического состава строительного материала (силикатного камня), используя метод ДТА.
2.2. Краткие теоретические сведения
Дифференциально-термический анализ относится к термоаналитическим методам исследования строительных материалов. Он основан на важнейшем свойстве вещества – изменении его теплосодержания при нагревании. Сущность метода состоит в определении температуры нагрева, при которой происходит изменение физического или химического состояния материала. При выполнении данного анализа разносторонняя информация о целом комплексе свойств различных строительных материалов выявляется на
основании так называемых тепловых эффектов, сопровождающих фазовые
изменения и превращения веществ при термическом воздействии на них в
определенном диапазоне температур.
Тепловые эффекты могут быть как экзотермическими (тепловой знак
«+»), так и эндотермическими (тепловой знак «-»). Например, гидратация
9
вяжущего вещества идет с выделением тепла – это экзотермический процесс,
а дегидратация протекает с его поглощением, полиморфное превращение
 - кварца в  - кварц при температуре 575 оС характеризуется тепловым знаком «-», а переход из аморфного состояния вещества в кристаллическое – со
знаком «+».
Тепловые эффекты характеризуются не только температурой (начальной, конечной, максимальной), но и формой, и площадью. По форме теплового эффекта можно судить о скорости процесса превращения вещества, по
площади – о его количественном содержании.
Прибор, с помощью которого регистрируются тепловые эффекты, называется дериватографом.
Схема прибора представлена на рис. 2.1.
Главным узлом дериватографа является дифференциальная термопара с
подключенным к ней гальванометром, световой сигнал которого проектируется на фоточувствительную бумагу. Дериватограф позволяет при непрерывном нагревании по заданной программе (скорость нагрева составляет
10 оС/мин) автоматически регистрировать не только кривую ДТА, но и температурную
(Т),
термовесовую
(ТГ)
и
дифференциальнотермогравиметрическую (ДТГ) кривые.
1
4
5
2
3
8
6
7
Рис. 2.1. Схема дериватографа:
1 - тигель с исследуемым веществом; 2 – тигель с инертным веществом;
3 - термопара; 4 - печь; 5 - регулятор напряжений; 6 - весовое устройство;
7 - гальванометры; 8 - регистрирующее устройство
10
Кривая ТГ показывает изменение массы вещества в зависимости от
температуры нагрева (для этого в приборе установлены аналитические весы).
При совместном анализе кривых ТГ и ДТА можно определить, какими превращениями объясняется изменение массы вещества. Например, это может
быть удаление воды из кристаллогидратов, образующихся при взаимодействии цемента с водой и т.д. Дифференцирование изменения массы вещества
во времени (кривая ДТГ) дает информацию о скорости такого изменения, то
есть речь идет о скорости той или иной реакции, которая имеет место при
изменении температуры.
Для определения минералогического состава строительного материала
необходимо расшифровать его дериватограмму, то есть учесть наличие тепловых эффектов, их количество, тепловой знак, а также интенсивность, форму этих эффектов и температуру их появления (по кривой Т). Заключительной частью дифференциально-термического анализа является выявление
природы зарегистрированных эффектов. Путем идентификации, то есть
сравнения полученных термограмм с эталонными, делается вывод о составе
исследуемого строительного материала.
Эталонные термические эффекты (прил. Б) получены для чистых минералов и представлены в справочных пособиях.
2.3. Задание
Определить минералогический состав силикатного камня, используя
метод дифференциально-термического анализа.
2.4. Методика выполнения работы
Для выполнения дифференциально-термического анализа готовятся
представительные пробы образцов силикатного камня. Предварительно производится обезвоживание подготовленных проб этиловым спиртом и серным
эфиром с последующей их сушкой. Затем материал растирается в агатовой
ступке и просеивается через сито № 0063; растирание ведется до полного
прохождения материала через данное сито.
Подготовленная таким образом проба образцов силикатного камня в
количестве около 1 г помещается в тигель, который устанавливается в печь
дериватографа на спай термопары, соединенный с аналитическими весами.
Второй тигель с эталонным веществом – оксидом алюминия, прокаленным
при температуре 1200 оС, помещается на спай второй термопары. Оксид
алюминия в изучаемом температурном интервале не претерпевает никаких
термических превращений.
Далее осуществляется процесс нагрева исследуемого вещества с регистрацией кривых Т, ТГ, ДТА и ДТГ.
11
2.5. Результаты работы
Результаты работы представляются в виде снятой дериватограммы силикатного камня, которая подлежит расшифровке. Чтобы помочь решить поставленные задачи и оценить состав силикатного камня, рассмотрим следующий пример, где представлены дериватограммы строительного композита
– цементного мелкозернистого бетона в различные сроки твердения (рис. 2.2).
На дериватограмме зафиксированы эндоэффекты при температурах
о
160 С; 575 оС и 800 оС.
Возраст бетона
7
суток
14
суток
90
суток
1 год
2 года
0
200
400
600
800
о
Температура, С
1000
Рис. 2.2. Дериватограммы цементного мелкозернистого бетона
в различные сроки твердения
Согласно эталонным термограммам можно сделать следующее заключение. Во-первых, при температуре 160 оС удаляется кристаллизационная вода из гидросиликатов кальция группы С-S-Н(I) с отношением СаО/SiO2  1,5.
Следовательно, в изучаемой системе содержались именно эти соединения.
Во-вторых, отмечаем, что при температуре 575 оС происходит полиморфное
превращение  - кварца в  - кварц. Следовательно, в системе присутствует
кварцевый песок. Наконец, при температуре 800 оС происходит декарбонизация СаСО3, который образовался в результате взаимодействия Са(ОН)2 –
12
портландита с СО2 воздуха. Таким образом, делаем вывод, что в исследуемом
образце присутствуют компоненты, входящие в состав мелкозернистого цементного бетона*.
2.6. Выводы по работе
На основании выполненных исследований, используя результаты расшифровки полученных дериватограмм, делается вывод о минералогическом
составе новообразований силикатного камня.
Контрольные вопросы
1. Что такое минералогический состав строительного материала?
2. Какое практическое значение имеет определение минералогического
состава строительного материала?
3. В чем состоит сущность ДТА?
4. Каково принципиальное устройство дериватографа?
5. Как осуществляется расшифровка дериватограмм?
Лабораторная работа № 3
ПОСТАНОВКА АКТИВНОГО ОДНОФАКТОРНОГО
ЭКСПЕРИМЕНТА МЕТОДОМ КИФЕРА-ДЖОНСОНА
И ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ ДАННЫХ
3.1. Цель работы
 Изучить методику постановки активного однофакторного эксперимента методом Кифера-Джонсона.
 Решить оптимизационную технологическую задачу (по заданию
преподавателя), используя метод Кифера-Джонсона.
 Изучить методику дисперсионного анализа и выполнить его применительно к решаемой задаче.
_______________________
* В том случае, когда некоторые выводы при расшифровке дериватограмм подлежат сомнению, необходимо дополнить данные дифференциально-термического анализа
результатами рентгенофазового анализа.
13
3.2. Краткие теоретические сведения
В практике математического планирования экстремальных однофакторных экспериментов применяется несколько методов, которые делятся на
две группы: методы исключения и шаговые поисковые методы.
Суть методов исключения состоит в следующем. Предположим, что
значение экстремума достигается при какой-то величине фактора х из заранее
известного (априори) интервала хmin – xmax, называемого интервалом неопределенности - L. Требуется, поставив наименьшее количество опытов, в максимальной степени сузить длину данного интервала, последовательно исключая те его части, в которых нахождение точки экстремума оказывается
невозможным. При этом предполагается, что, во-первых, функция отклика у
(х) унимодальна, то есть обладает единственным экстремумом в точке х* и не
имеет участков постоянства, другими словами для всех х1  х2  х* справедливо у (х1)  у (х2), а для х*  х3  х4 верно у (х3)  у (х4). Во-вторых, предполагается, что случайные помехи полностью отсутствуют. Очевидно, что в
этих условиях для того, чтобы уменьшить длину исходного интервала неопределенности L = хmax – xmin, необходимо поставить как минимум два опыта в
некоторых точках х1 и х2: xmin  х1  хmax. У такого эксперимента могут иметь
место только следующие три варианта полученного результата:
- у (х1)  у (х2), тогда оптимум (в данном случае максимум) находится в
точке х*  х1 и первоначальный интервал неопределенности L превратится в
новый интервал, более узкий (х1 - хmax) ;
- у (х1) = у (х2) – весьма редкий случай, означающий, что точка экстремума находится между х1 и х2, и новый интервал неопределенности будет
(х1 - х2).
Существует несколько вариантов размещения указанных точек на каждом этапе экспериментирования. Различают следующие методы одномерного
поиска экстремума:
- метод последовательной дихотомии;
- метод поиска Фибоначчи, базирующийся на использовании так называемых чисел Фибоначчи, определяемых рекуррентным соотношением
FN  FN 1  FN 2 , где N  1;
(3.1)
F0 = F1 = 1
(данный метод более известен как метод Кифера-Джонсона);
- метод золотого сечения, который является частной разновидностью
метода поиска Фибоначчи и отличается от него лишь тем, что здесь нет необходимости в обязательном предварительном определении общего числа
опытов N.
Сопоставление этих методов показывает, что наибольшей эффективностью и простотой использования отличается метод поиска Фибоначчи. Затем
14
следует метод золотого сечения, где используется деление интервала неопределенности на две части, причем отношение большей и меньшей частей равно отношению всего интервала к его большей части. Такое деление было
предложено Евклидом и получило название золотого сечения. Наименее эффективным является метод последовательной дихотомии, хотя он прост и
очевиден.
Общим недостатком всех перечисленных методов является потеря их
работоспособности при случайных помехах. Поэтому при практическом использовании данных методов необходимо быть уверенным в достоверности
полученных данных. Для достижения этой цели применяются положения
дисперсионного анализа.
В данной работе предлагается для постановки активного однофакторного эксперимента использовать процедуру поиска экстремума унимодальной целевой функции методом Кифера-Джонсона
3.3. Задание на выполнение работы
Определить оптимальную дозировку добавки к цементам (бетонам),
приняв за критерий оптимизации прочность цементного камня (бетона) при
сжатии (вид добавки назначается преподавателем).
3.4. Методика и результаты выполнения работы
Первоначальный интервал изучаемой добавки, который в кодированном виде принимается равным единице, может быть весьма широким. Его
границы устанавливаются априори, исходя из имеющихся литературных
данных, технологических соображений или используя другие источники.
Первые два опыта ставят при значениях дозировок изучаемой добавки,
равных в кодированном выражении
F
F
(3.2)
x1  N 1 ; x2  N 2 ;
FN
FN
где FN-2, FN-1, FN - числа Фибоначчи (табл. 3.1)
Таблица 3.1
Числа Фибоначчи (фрагмент)
Количество опытов, N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
Число Фибоначчи, FN
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
…
15
Расчеты показывают, что при достаточно большом числе опытов эти
значения в условных единицах будут равны: х1 = 0,62; х2 = 0,38.
Руководствуясь необходимой степенью локализации искомого оптимума, задаются числом опытов N. При этом необходимо иметь в виду, что
получение интервала, в котором находится оптимум, не может быть меньше
того значения, которое обеспечивается техническими возможностями дозирования изучаемой добавки.
Обычно в подобных исследованиях число опытов N принимается равным 6 – 10; в этом случае точность локализации оптимума, оцениваемая ве1
1 1
, будет находиться в

рассматриваемого интервала. Есличиной
FN
13 89
ли по технологическим соображениям такая точность недостаточна, то число
опытов N следует увеличить.
Затем дозировки изучаемой добавки рассчитываются в натуральных
показателях.
Если используется жидкая добавка в виде водного раствора определенных концентрации и плотности, то ее количество рассчитывается по формуле
ЦД
Д
,
(3.3)
К 
где Ц – расход цемента на замес, г;
Д – количество вводимой добавки от массы цемента, считая на сухое
вещество, %;
К – концентрация водного раствора добавки, %;
 - плотность водного раствора добавки, г/см3.
Готовятся необходимые замесы цементного теста (бетонной смеси),
формуются образцы, которые твердеют или ускоренным способом по заданному режиму в пропарочной камере, или в нормальных условиях при влажности среды 100 % и температуре 20  2 оС. После твердения определяются
геометрические размеры и масса образцов, затем они испытываются на гидравлическом прессе.
Полученные результаты обрабатываются с использованием известных
методов математической статистики: рассчитываются средние значения
прочности, оценки дисперсии, среднеквадратического отклонения и коэффициента вариации при вероятности Р = 0,95. Согласно принятой стратегии
планирования активного однофакторного эксперимента методом КифераДжонсона полученные результаты сравниваются, затем проводится следующий анализ. Если Rcж  Rcж , то, исходя из условия унимодальности функ1
2
ции отклика, искомый оптимум будет находиться уже в новом интервале,
равном 0  х  0,62 (в условных единицах), где 0 - начало отсчета. Если
Rcж  Rcж , то новый интервал, содержащий оптимум, будет равен 0,38 х 1
1
2
(он также условно принимается равным единице).
16
В пределах полученного того или иного нового интервала дозировки
F
добавки выбирается экспериментальная точка х3 = N 3 . Она отстоит на веFN
F
личину, равную N 2 , от одного из концов нового интервала. В результате
FN
интервал, содержащий точку оптимума, продолжает сужаться. Например, используя метод Кифера-Джонсона, можно, выполнив 10 опытов, локализовать
искомый оптимум в 1/89 части первоначального рассматриваемого интервала.
В то время как при выполнении так называемого пассивного эксперимента
точность определения оптимума при том же числе опытов соответствовала бы
1/10 части интервала. Это свидетельствует о высокой эффективности используемого метода одномерного поиска при решении оптимизационных задач.
Результаты работы оформляются в виде табл. 3.2. Кроме того, строится
график зависимости прочности цементного камня (бетона) от дозировки вводимой добавки (в процентах от массы цемента).
Затем полученные данные обрабатываются методом дисперсионного
анализа, задачей которого является оценка значимости влияния добавки на
прочность цементного камня (бетона), то есть необходимо ответить на вопрос: «Не являются ли полученные результаты следствием случайных факторов (помех, шума)?»
Оценка достоверности результатов эксперимента производится путем
сравнения выборочной дисперсии, которая учитывает только влияние вводимой добавки, с дисперсией воспроизводимости, учитывающей действие
только случайных факторов.
Таблица 3.2
Результаты активного эксперимента по определению
оптимальной дозировки добавки
Номер
опы
та
0
1
2
3
.
.
.
Дозировка
добавки, %
от массы
цемента
-
Геометрические
размеры
образца, м
Масса
образца,
кг
17
Разрушающая
нагрузка,
кГс
Предел
прочности
при сжатии,
МПа
Коэффициент
изменчивости, %
Предварительно следует убедиться в том, что все полученные результаты являются равноточными. Для этого надо определить критерий Кохрена
G по формуле
S2
(3.4)
G  kmax ,
2
 Si
i 1
2 S max
максимальная, полученная во всех опытах, эмпирическая
дисперсия;
2
S i - дисперсия, рассчитанная по результатам повторяющихся опытов
при каждом заданном уровне значений изучаемого фактора.
Если в результате расчетов получается, что вычисленное значение G
 G1- (k, f), то есть табличного значения (прил. В), то результаты в сериях
опытов можно считать равноточными (дисперсии однородны). Тогда эти результаты могут быть использованы для дальнейшего анализа. В противном
случае опыт следует повторить, исключив так называемые грубые ошибки.
Что касается табличного значения критерия Кохрена G < G1-ρ (k, f), то
оно определяется при:
р - заданном уровне значимости, равном в технологических задачах 0,05;
k - заданных уровнях входной переменной x (их число равно числу серий
опытов);
f - числе степеней свободы в каждой серии опытов: f = n - 1,
где n – число опытов в одной серии.
Следующим этапом дисперсионного анализа является проверка значимости выборочной дисперсии, которую проводят по критерию Фишера. Если
расчетное значение критерия Фишера меньше табличного, то считается что
влияние фактора незначимо, и наоборот.
Критерий Фишера вычисляется по формуле
S2
F  2А ,
(3.5)
SОШ
где S А2 – общая выборочная дисперсия, учитывающая влияние изучаемого
фактора и случайных факторов;
2
S ОШ – выборочная дисперсия, учитывающая влияние только случайных
факторов.
Ранее сформулированное условие значимости с использованием критерия Фишера можно записать так:
F  F1- (f1,,f2),
(3.6)
где
где f1= k - 1, а f2 = k (n - 1) = N – k; (N – общее число опытов во всех сериях);
F1- (f1, f2) определяют по таблице (прил. Г).
При выполнении дисперсионного анализа данные эксперимента принято представлять в специальной форме в виде табл. 3.3.
18
Таблица 3.3
Исходные данные для выполнения дисперсионного анализа
Номер
опыта
в одной
серии
1
2
3
.
.
n
Итого
Уровни фактора А
a1
a2
a3
a4
…
ak
При выполнении дисперсионного анализа определяют следующие характеристики:
- среднее значение выходной переменной на i-ом уровне фактора А:
n
 yij
А
yi  i1  i ;
n
n
- общее среднее значение по всей выборке из N:
1 k n
y    yij ;
N i1 j 1
- общую выборочную дисперсию:
k n
S2
  ( yij  y )
(3.7)
(3.8)
2
i 1 j 1
;
(3.9)
N 1
- выборочную дисперсию на каждом уровне фактора А:
1 n
Si2 
(3.10)
 ( yij  yi ) 2 ;
n 1 j 1
- выборочную дисперсию, характеризующую только фактор
случайности:
2  1 k S2 ;
(3.11)
SОШ

k i 1 i
- общую выборочную дисперсию, учитывающую влияние как фактора
А, так и случайных факторов:
2
(3.12)
S А2  n А2  SОШ
.

Общая выборочная дисперсия рассчитывается через оценочную характеристику  А2 , которая равна:
2 .
 А2  S 2  SОШ
19
(3.13)
3.5. Выводы по работе
На основании выполненного эксперимента необходимо сделать вывод
о влиянии изучаемой добавки на прочность цементного композита и о величине ее оптимальной дозировки. Следует также оценить достоверность полученных результатов, делая ссылку на выполненный дисперсионный анализ.
Контрольные вопросы
1. В чем состоит суть оптимизационных методов одномерного поиска?
2. Что означает унимодальность функции отклика?
3. Какие три варианта могут иметь место при постановке активного однофакторного эксперимента?
4. Что такое числа Фибоначчи и как они связаны с числом опытов при
постановке активного однофакторного эксперимента?
5. Какие виды добавок к цементам и бетонам Вы знаете и какова цель
их применения?
6. В чем состоит разница при постановке активного и пассивного экспериментов?
7. Какова цель дисперсионного анализа? Кто его автор?
8. Как определяется критерий Кохрена?
9. Как определяется критерий Фишера?
Лабораторная работа № 4
ПОСТАНОВКА МНОГОФАКТОРНОГО
ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ РЕШЕНИИ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
И ПОЛУЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
4.1. Цель работы
 Изучить методику постановки многофакторного эксперимента
при решении оптимизационных задач.
 Разработать планы и матрицы планирования многофакторного
эксперимента, используя метод Бокса-Уилсона.
 Выполнить экспериментальные исследования, используя план 32.
Выполнить дисперсионный анализ результатов эксперимента.
4.2. Краткие теоретические сведения
Задача экспериментального поиска оптимума при решении оптимизационных технологических задач возникает тогда, когда требуется выбрать
20
значения варьируемых независимых переменных (факторов), приводящих к
экстремуму некоторый критерий оптимальности (функцию отклика).
Поиск функции отклика осуществляется при выполнении определенным образом спланированных экспериментов. Процедура поиска строится
таким образом, чтобы локализовать искомый оптимум в так называемом
факторном пространстве с требуемой точностью, выполнив при этом минимально возможное число опытов.
Методы поиска оптимума при постановке многофакторного эксперимента основаны на аппроксимации полученных результатов в уравнении регрессии в виде полинома той или иной степени.
В общем виде функцию оптимума можно записать так:
y  f ( x1, x2 ,..., xk ) ,
(4.1)
где x1, x2 ,..., xk - изучаемые независимые переменные (факторы).
Традиционно данная задача решалась путем постановки пассивного
эксперимента, в котором из k независимых экспериментов в каждой серии
опытов фиксируется на постоянном заданном уровне (k - 1) факторов, и затем
последовательно изучается зависимость функции отклика только от одной
переменной (фактора). При этом считается, что суммарное воздействие изучаемых факторов можно оценить по индивидуальному влиянию каждого из
них, что обычно бывает неверным. Поэтому постановка пассивного эксперимента, как правило, не приводит к получению оптимума и, кроме того, требует выполнения большого объема экспериментальных исследований.
Современная методология поиска оптимума функции нескольких независимых переменных (факторов) сводится к выполнению так называемого
активного эксперимента, в котором поиск ведется согласно строгим правилам – алгоритмам, а не случайным образом. Кроме того, использование методов планирования многофакторных экспериментов позволяет при минимальном количестве опытов в соответствии с выбранным планом получить
математическую модель, описывающую изучаемый процесс, найти оптимальные условия его протекания. Вид математической модели может быть
различным, но желательно, чтобы она была более простой, и главное - адекватной. Последнее означает то, что модель должна быть способна предсказывать результаты влияния изучаемых факторов с достаточной для конкретно
решаемой оптимизационной задачи точностью. Окончательный вид математической модели получается после выполнения дисперсионного анализа.
В современной теории математического планирования многофакторных экспериментов разработано несколько эффективных методов поиска оптимума функции отклика. В данной лабораторной работе будут рассмотрены
два наиболее часто применяемых на практике метода планирования экстремальных экспериментов Бокса-Уилсона. Их сущность сводится к тому, что
вначале выбирается вид функции, которой можно описать исследуемый процесс. Для оптимизационных задач это обычно полином второй степени. За-
21
тем составляется соответствующий план эксперимента и его матрица, выполняются требуемые опыты. Заключительной частью является дисперсионный анализ полученных данных, в результате выполнения которого получается расчетное уравнение регрессии, связывающее критерий оптимизации с
величинами входных переменных изучаемого процесса. В дальнейшем полученная зависимость может быть подвергнута исследованию на экстремум с
целью определения точного значения оптимума.
Непосредственно само планирование экспериментальных исследований сводится к тому, чтобы наметить такие значения экспериментальных точек (исходных параметров – факторов), которые охватывали бы всё так называемое факторное пространство и которые при минимальном числе опытов
позволяли бы получить несмешанные оценки коэффициентов уравнения регресии, отражающих влияние факторов и их взаимодействий в полиномиальной модели.
Основой математического планирования многофакторных экспериментов является полный факторный эксперимент (ПФЭ), в котором реализуются
всевозможные неповторяющиеся комбинации уровней факторов, располагаемых в вершинах и в центре условного гиперкуба. При числе факторов,
равном двум – это квадрат, трём – куб. Принято реальные значения уровней
изучаемых факторов кодировать следующим образом: меньшее из принимаемых значений, которое называется нижним уровнем, обозначается «-1»;
большее, которое называется верхним уровнем – «+1», а среднее значение
записывается как «0».
Для аппроксимации на основании полученных данных полинома второй степени для каждой независимой переменной опыты должны быть поставлены как минимум в трех точках факторного пространства. В этом случае общее число опытов определяется по формуле
N = 3k,
(4.2)
где k - число исследуемых факторов.
Как видим, число планируемых опытов быстро возрастает с увеличением количества изучаемых независимых переменных. Чтобы уменьшить число
опытов и в то же время иметь возможность получать адекватные полиномиальные модели, были разработаны соответствующие математические методы
(так называемые дробные реплики).
В данной лабораторной работе предлагается освоить два метода планирования многофакторных экспериментов при решении оптимизационных задач. Первый – полный факторный эксперимент 3k ; второй представляет собой разновидность неполного факторного эксперимента, получившего достаточно надежное математическое обоснование, ядро которого составляет ПФЭ
2k . К нему добавляется 2k так называемых звездных точек, располагаемых на
координатных осях факторного пространства с координатами (; 0) и (0;
), где  - звездное плечо, равное расстоянию от центра плана (нулевой
22
точки) до звездной точки. Соответствующие планы получили название композиционных планов Бокса-Уилсона.
Значение звездного плеча в виде 2 определяется из табл. 4.1
Таблица 4.1
Значения 2
n0
k
n0
k
1
2
1,00
3
1,476
4
2,00
5
2,39
6
2
1,742
3
2,325
4
2,950
5
3,31
2
1,160
1,650
2,164
2,58
7
1,873
2,481
3,140
3,49
3
1,317
1,881
2,390
2,77
8
2,00
2,633
3,310
3,66
4
1,475
2,000
2,580
2,95
9
2,113
2,782
3,490
3,83
5
1,606
2,164
2,770
2,14
10
2,243
2,928
3,660
4,00
На рис. 4.1 и 4.2 представлено схематическое изображение рассматриваемых планов, когда число изучаемых факторов k равно двум.
Если k = 3, то схематически композиционный план будет выглядеть
так, как на рис. 4.3.
Расчетное уравнение регрессии в виде полинома второй степени при
k = 2 запишется следующим образом:
y b0 b1x1b 2 x 2 b12 x1x 2 b11x 21b 22 x 22 ,
(4.3)
где у - критерий оптимизации (расчетный);
b0 - свободный член;
b1,b 2 , - коэффициенты, отражающие силу влияния каждого фактора в
b12
отдельности;
- коэффициент, учитывающий силу парного взаимодействия изучае-
мых факторов;
b11,b22 - коэффициенты, отражающие степень
кривизны изучаемой
зависимости.
Если k = 3, то
у b 0 b1 x1 b 2 x 2 b 3 x 3 b12 x1 x 2 b13 x1 x 3 b 23 x 2 x 3 
где b 123
,
(4.4)
b123 x1 x 2 x 3 b11 x 21 b 22 x 22 b 33 x 23
- коэффициент, учитывающий силу совместного воздействия трех
факторов.
23
х2
3
(-1,+1)
9
(+1,+1)
6
(0,+1)
5
(0, 0)
х1
2
(-1, 0)
8
(+1, 0)
1
(-1,-1)
4
(0,-1)
7
(+1,-1)
Рис. 4.1. Схема ПФЭ 32
7
(0, +,)
4
(+1,+1)
2
(-1,+1)
+
9
(0, 0)
6
(-, 0)
+
5
(+, 0)
-
-
1
(-1,-1)
8
(-, 0)
Рис. 4.2. Схема композиционного плана (k = 2)
24
3
(+1,-1
хо2
(-1,+1,-1)
(+1,+1,-1)
(+1,-1,-1)
+
(-1,+1,+1)
-
(-1,-1,-1)
(+1,-1,-1)
+
-
хо1
-
+
(-1,-1,+1)
(+1,-1,+1)
хо3
Рис. 4.3. Схема композиционного плана при k = 3
План экспериментальных исследований для двух факторов в табличной
форме в случае применения ПФЭ 32 будет иметь следующий вид (табл. 4.2).
Таблица 4.2
План эксперимента 32
Номер
опыта
1
2
3
Факторы в кодированном виде
х1
х2
-1
-1
-1
0
-1
+1
Критерий оптимизации,
yi
y1
y2
y3
4
5
0
0
-1
0
y4
y5
6
0
+1
y6
7
+1
-1
y7
8
+1
0
y8
9
+1
+1
y9
25
В том случае, когда используются композиционные планы БоксаУилсона, они представляются в виде табл. 4.3. В качестве примера дается более сложный композиционный план, когда k = 3.
Таблица 4.3
Композиционный план с дополнением в виде звездных точек (k = 3)
Номер
опыта
х1
Факторы в кодированном виде
х2
х3
Критерий
оптимизации,
yi
1
2
.
.
.
-1
-1
.
.
.
-1
+1
.
.
.
-1
-1
.
.
.
y1
y2
.
.
.
Для расчета коэффициентов уравнения регрессии необходимо дополнить этот план до матричной формы. Для этого в него вводится столбец так
называемой фиктивной переменной х0, всем значениям которой в кодированном виде присваивается знак «+1». Кроме того, вводятся столбцы произведений х1х2, х1х3, х2х3, учитывающих парные взаимодействия, получаемые искусственно путем перемножения соответствующих значений факторов в кодированном виде, а также столбцы квадратичных членов x12 , x22 и x32 , учитывающих степень кривизны функциональной зависимости. Тогда рассматриваемый композиционный план в матричной форме будет иметь следующий
вид (табл. 4.4).
Матрица такого вида носит название информационной. Являясь неортогональной (ортогональность – это обязательное условие для выполнения
расчетных действий с матрицей планирования), она не позволяет вычислить
все коэффициенты уравнения регрессии, в частности, коэффициенты при
квадратичных членах уравнения регрессии b11,b22,b33 . Ортогональность матрицы композиционного плана достигается специальным ее обращением и
применением условия равенства нулю недиагональных элементов матрицы.
Для обращения информационной матрицы в ортогональную выполняется
следующее преобразование квадратичных столбцов xi2 . Вводится величина
xi , равная
xi  xi2  xi2 ,
(4.5)
N
xi2 
 xij2
j 1
,
N
где N – число опытов в плане эксперимента (в данном случае N = 15).
где
26
(4.6)
Следовательно:
N
xi  xi2 
 xij2
j 1
.
(4.7)
N
После выполнения операции обращения матрицы композиционный
план в матричной ортогональной форме будет представлен в виде табл. 4.5.
Как видим, экспериментальная часть трехфакторного эксперимента будет состоять из 14 опытов, в каждом из которых заданы исходные значения
независимых переменных (факторов). Опыт № 15 ставится в нулевой точке,
то есть в центре плана (n0 = 1). Величина 2 и соответственно длина звездного плеча  определяются для композиционного плана по табл. 4.1 при n0 = 1
и k = 3. В данном случае 2 = 1,476, а   1,476  1,215 . Результаты опыта
№ 15, так же как и остальных (№ 16, № 17), в дальнейшем будут использованы для определения дисперсии воспроизводимости при дисперсионном анализе полученных данных.
После выполнения экспериментальной части работы и получения средних значений критерия оптимизации yi приступают к расчету коэффициентов уравнения регрессии и определению их значимости.
Независимые оценки коэффициентов уравнения регрессии bi рассчитываются по формуле
N
bi 
 xij  y j
j 1
N
.
 xij2
(4.8)
j 1
Значимость этих коэффициентов определяется с помощью критерия
Стьюдента ti:
ti
bi
S bi
,
(4.9)
где bi - абсолютное значение коэффициентов уравнения регрессии;
Sbi – ошибка, с которой определяются эти коэффициенты.
Для определения Sbi необходимо знать дисперсию воспроизводимости
2
Sвоспр
, которая вычисляется с использованием данных дополнительно поставленных опытов в нулевой точке с учетом такого же опыта, входящего в
план многофакторного эксперимента (это опыты № № 16, 17, 18 и 9 в табл.
4.5). Для этого надо определить среднее значение критерия оптимизации в
нулевой точке по формуле
27
Таблица 4.4
Композиционный план 23 в матричной форме
28
Номер
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
.
.
.
N
х0
х1
х2
х3
х1 х2
х1 х3
х2 х3
х1 х2 х3
х12
х22
х32
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
+
-
0
0
0
0
0
0
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
0
0
+
-
0
0
0
0
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
0
0
0
0
+
-
0
0
+1
-1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
2
2
0
0
0
0
0
0
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
0
0
2
2
0
0
0
0
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
0
0
0
0
2
2
0
0
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
28
уj
Таблица 4.5
Ортогональный план второго порядка: k = 3; n0 = 1
Номер
опыта
х0
х1
х2
х3
х1
29
х 2
х 3
х1 х2
х1 х3
х2 х3
х1х2х3
1
+1
-1
-1
-1
0,27
0,27
0,27
+1
+1
+1
-1
2
+1
-1
+1
-1
0,27
0,27
0,27
-1
+1
-1
+1
3
+1
-1
+1
+1
0,27
0,27
0,27
-1
-1
+1
-1
4
+1
-1
-1
+1
0,27
0,27
0,27
+1
-1
-1
+1
5
+1
+1
-1
-1
0,27
0,27
0,27
-1
-1
+1
-1
6
+1
+1
+1
-1
0,27
0,27
0,27
+1
-1
-1
-1
7
+1
+1
+1
+1
0,27
0,27
0,27
+1
+1
+1
+1
8
+1
+1
-1
+1
0,27
0,27
0,27
-1
+1
-1
-1
9
+1
0
0
0
-0,73
-0,73
-0,73
0
0
0
0
10
+1
+1,215
0
0
0,75
-0,73
-0,73
0
0
0
0
11
+1
-1,215
0
0
0,75
-0,73
-0,73
0
0
0
0
12
+1
0
+1,215
0
-0,73
0,75
-0,73
0
0
0
0
13
+1
0
-1,215
0
-0,73
0,75
-0,73
0
0
0
0
14
+1
0
0
+1,215
-0,73
-0,73
0,75
0
0
0
0
15
+1
0
0
-1,215
-0,73
-0,73
0,75
0
0
0
0
16
+1
0
0
0
-0,73
-0,73
-0,73
0
0
0
0
17
+1
0
0
0
-0,73
-0,73
-0,73
0
0
0
0
18
+1
0
0
0
-0,73
-0,73
-0,73
0
0
0
0
29
уj
n0
у 0
 у i0
i0 1
n0
,
(4.10)
где n0 = 4.
Дисперсия воспроизводимости определяется по формуле
n0
 ( уi  у 0 )2
0
i0 1
S 2 воспр
n0  1
.
(4.11)
Оценка среднеквадратического отклонения Sвоспр определяется как
2
Sвоспр  Sвоспр
.
(4.12)
Тогда ошибку для свободного члена b0 можно вычислить по формуле
S
Sb  воспр ,
(4.13)
N
0
где N – число опытов в плане многофакторного эксперимента (№ 15).
Ошибка для коэффициентов, отражающих силу влияния на критерий
оптимизации каждого изучаемого фактора х1, х2,…,хk в отдельности, определяется по формуле
S
воспр
Sb 
.
(4.14)
k
2
i
2 2
Например, при k = 3 и  = 1,215
Sb 
S воспр
.
3,46
Ошибка для коэффициентов, учитывающих силу парного взаимодействия факторов, равна
i
Sb 
ui
S воспр
2
k
; u , i  1, 2,..., k ; u  i ,
(4.15)
и, наконец, ошибку для коэффициентов, отражающих степень кривизны изучаемой зависимости, можно определить по формуле
Sb 
ii
S воспр
k
2 2
2
2
2 (1  x ) 2(  x )  n ( x )
i
i
0 i
3, используя преобразование,
при k =
10,828
x12  x22  x32 
 0,72 и тогда при n0 = 1 имеем
15
Так,
2 2
30
.
(4.16)
получаем,
что
Sb
S воспр

3
2
2
2

S воспр
1,435
.
2 (1  0,72) 2  (1,414  0,72) 1  0,72
Ошибку любого из коэффициентов уравнения регрессии можно рассчитать по более простой формуле
ii
S2
воспр
N
2
 x
ij
j 1
Sbi 
.
(4.17)
N
Выражение  xij2 в знаменателе данной формулы имеет то же числовое
j 1
значение, что и в уравнении (4.8).
После нахождения ошибок коэффициентов уравнения регрессии вычисляются критерии Стьюдента по формуле (4.9), а затем полученные значения tрасч сравниваются с tтабл (прил. Д). Существует правило: если расчетное
значение критерия Стьюдента больше табличного tрасч  tтабл, то коэффициент уравнения регрессии значим.
Табличная величина критерия Стьюдента находится при уровне значимости р = 0,05 и числе степеней свободы дисперсии воспроизводимости
f = n0 - 1, где n0 – число опытов в нулевой точке (в данном примере n0 = 4).
Полиномиальное уравнение регрессии (с учетом выполненных ранее
преобразований для квадратичных членов) при k = 3 в общем виде можно записать следующим образом:
у b 0 b1 x1 b 2 x 2 b 3 x 3 b12 x1 x 2 b13 x1 x 3 b 23 x 2 x 3 b123 x1 x 2 x 3 
b11 ( x 21 0,73) b 22 ( x 22 0,73) b 33 ( x 23 0,73)  [b 0 0,73(b11 b 22 b 33 )] 
b1 x1 b 2 x 2 b 3 x 3 b12 x1 x 2 b13 x1 x 3 b 23 x 2 x 3 b123 x1 x 2 x 3 b11 x b 22 x b 33 x
2
1
2
2
(4.18)
2
3
и затем, выполнив соответствующие вычисления определить b0 в окончательном виде.
Заканчивается дисперсионный анализ оценкой адекватности полученной математической модели, которая осуществляется по критерию Фишера:
S 2 ост
F 2
,
S воспр
(4.19)
2
- остаточная дисперсия, вычисляемая по формуле
где S ост
N
2
Sост

 ( y j  yˆ j ) 2
j 1
N l
,
(4.20)
где у j - среднее экспериментальное значение критерия оптимизации в каждой строке матрицы планирования;
у̂ j - расчетное значение критерия оптимизации, полученное по уравнению регрессии, в каждой строке матрицы планирования;
31
l - число значимых коэффициентов в уравнении регрессии.
Расчетное значение критерия Фишера сравнивается с табличным значением Fтабл  F1 P ( f1 , f 2 ) , которое определяется при уровне значимости
р = 0,05 и числе степеней свободы f1 =N - l и f2 = k - 1.
Если Fрасч  Fтабл, то полученное уравнение регрессии адекватно отражает данные эксперимента.
4.3. Задание
1. Провести экспериментальные исследования, применив метод многофакторного планирования Бокса-Уилсона и определить оптимальный состав
комплексной добавки, приняв за критерий оптимизации предел прочности
цементного камня при сжатии.
2. Получить математическую модель зависимости прочности цементного камня от изучаемых факторов и оценить ее адекватность.
4.4. Методика и результаты выполнения работы
Так как решается оптимизационная задача, в которой число компонентов комплексной добавки k = 2, то математическую модель можно представить в виде полинома второй степени:
y b0 b1x1b 2 x 2 b12 x1x 2 b11x 21b 22 x 22 .
33
Число опытов, входящих в план экспериментов, будет равно
N = 3k = 32 = 9.
Дополнительные два опыта, которые должны быть поставлены в нулевой точке, необходимы для определения дисперсии воспроизводимости.
Составляется план двухфакторного эксперимента, где компоненты
комплексной добавки представляются в кодированном виде и в натуральном
выражении (в процентах от массы цемента).
В роли первого компонента в составе комплексной добавки используется молотый кварцевый песок (он может быть заменен другим минеральным
компонентом, в том числе техногенным порошкообразным отходом).
В качестве второго компонента используется поверхностно-активное
вещество - разжижитель С-3 в виде тонкодисперсного порошка.
Учитывая накопленный опыт работы с добавками подобного вида, назначаются следующие значения их верхних и нижних уровней, а также интервал варьирования (табл. 4.6).
Затем принимается наиболее употребительное значение В/Ц-отношения, например, 0,4, которое во всех опытах остается постоянной величиной.
Готовятся замесы цементного теста: вначале эталонного состава без добавок,
а затем – составов в соответствии с разработанным планом 32. Формуются
32
образцы, которые после твердения в нормальных условиях испытываются
для определения предела прочности при сжатии.
Таблица 4.6
Значения уровней компонентов комплексной добавки
Компонент
Минеральный
ПАВ
Верхний уровень, %
от массы
цемента
30
1,5
Нижний уровень, %
от массы
цемента
10
0,3
Интервал варьирования, % от массы
цемента
10
0,6
Результаты испытаний после их статистической обработки заносятся в
последний столбец матрицы планирования эксперимента. Затем выполняется
дисперсионный анализ полученных данных: определяются коэффициенты
уравнения регрессии, оценивается их значимость и устанавливается окончательный вид математической модели, которая проверяется на адекватность
по критерию Фишера.
4.5. Выводы по работе
На основании результатов, полученных в данной работе, делаются выводы о влиянии дозировок минерального компонента и поверхностноактивного вещества, входящих в состав комплексной добавки, на прочностные свойства цементного камня.
Устанавливается оптимальное сочетание вводимых компонентов, позволяющее обеспечить получение наиболее высоких прочностных показателей модифицированного цементного камня. Оценивается возможность экономии цемента при использовании данного вида комплексной добавки.
Контрольные вопросы
1. Что такое план и матрица планирования эксперимента, в чем их
отличие?
2. Как оценивается значимость коэффициентов уравнения регрессии?
3. Как определяется дисперсия воспроизводимости?
4. С помощью какого критерия оценивается адекватность математической модели?
5. По каким формулам рассчитываются математические критерии
Фишера и Стьюдента?
6. Что такое уровни факторов и сколько их должно быть, если решается оптимизационная задача?
7. Что такое звездные точки и звездное плечо? Каково их значение при
33
планировании многофакторного эксперимента методом БоксаУилсона?
8. Какова методика планирования многофакторных экспериментов?
9. Какое назначение имеют комплексные добавки к цементам и бетонам, какова эффективность их применения?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ахназарова, С.Л. Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии: учеб. пособие / С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров; М.:
Высшая школа, 1978. – 319 с.
2. Зедгинидзе, И.Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем: монография / И.Г. Зедгенидзе; М.:
Наука, 1976. – 390 с.
3. Вознесенский, В.А. Статистические методы планирования эксперимента в технико-экономических исследованиях: монография / В.А.
Вознесенский; М.: Финансы и статистика, 1981. – 262 с.
4. Бондарь, А.Г. Планирование эксперимента при оптимизации
процессов химической технологии (алгоритмы и примеры): учеб. пособие/ А.Г.Бондарь, Г.А. Статюха, И.А. Потяженко. - Киев: Высшая школа. Головное изд-во, 1980. – 264 с.
5. Хамханов, К.М. Основы планирования эксперимента: метод.
пособие / К.М. Хамханов. - Улан-Удэ: ВСГТУ, 2001. – 93 с.
34
Приложение А
Идентификационные характеристики соединений,
входящих в состав вяжущих материалов
МЕЖПЛОСКОСТНОЕ
ИНТЕНСИВНОСТЬ
МЕЖПЛОСКОСТНОЕ
ИНТЕНСИВНОСТЬ
РАССТОЯНИЕ
ЛИНИИ
РАССТОЯНИЕ
ЛИНИИ
5
10
5
5
4
5
4
9
5
9
2,76
2,40
1,69
Si02
4,24
3,33
2,45
2,27
2,23
2,12
1,975
1,815
1,668
1,537
СаО
СаСО3
3,85
3,03
2,49
2,28
2,09
1,912
1,87
1,601
1,52
Са(ОН)2
4,89
3,11
2,63
1,93
1,79
1,69
1,485
50
25
100
50
40
30
20
Сильная
Очень сильная
Сильная
Очень сильная
Средняя
Сильная
Средняя
Средняя
Сильная
C3A
4,21
4,07
2,81
2,70
2,39
2,36
2,19
2,04
1,948
1,908
1,558
2
10
5
6
7
8
9
6
6
-C2S
С3S
3,03
2,78
2,75
2,60
2,32
2,19
1,975
1,938
1,77
40
100
63
3,02
2,84
2,77
2,72
2,60
2,45
2,38
2,27
2,18
2,01
1,97
1,885
1,782
1,700
1,62
Слабая
Средняя
Очень слабая
Очень слабая
Сильная
Слабая
Слабая
Средняя
Сильная
Слабая
Средняя
Слабая
Слабая
Слабая
Средняя
С4АF
Слабая
Сильная
Слабая
Очень слабая
Слабая
Слабая
Средняя
Слабая
Слабая
Сильная
Сильная
3,6
2,77
2,63
2,20
2,15
2,04
1,92
1,81
1,73
1,57
35
Слабая
Сильная
Очень сильная
Слабая
Слабая
Средняя
Сильная
Слабая
Очень слабая
Слабая
1,92
2,61
4,86
Окончание прил. А
3,55
3,01
2,22
2,71
14 сут
2,05
Возраст бетона
7 сут
90 сут
1 год
2 года
60
50
40
30
20
10
Угол поворота, град
Рис. П. 1. Рентгенограммы цементного мелкозернистого бетона
в различные сроки твердения
36
Приложение Б
ПРИРОДА ТЕРМИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ
1. Кварц SiO2: (-) 575 оС - обратное полиморфное превращение
 - кварца в  - кварц.
2. Кальцит СаСО3: (-)650 - 1000 оС - диссоциация с образованием СаО.
3. Гидроокись кальция Са(ОН)2: (-)480 - 520 оС - дегидратация и переход в СаО.
4. Гипс (двуводный) СаSO4  2Н2О: (-)180 оС - дегидратация до полуводного гипса, (-)220 оС - полное обезвоживание, (+)380 - 420 оС - перестройка кристаллической решетки с превращением нерастворимого ангидрита в
растворимый.
5. Гипс (полуводный) СаSO4  0,5Н2О: (-)200 - 220 оС - дегидратация.
6. Эттрингит (высокосульфатная форма гидросульфоалюмината кальция) ЗСаО • Аl2О3 • ЗСаSO4 • 32Н2О: (-)150 оС - дегидратация.
7. Низкосульфатная форма гидросульфоалюмината кальция) ЗСаО •
Аl2О3 • СаSO4 • 12Н2О: (-)200 оС - дегидратация.
8. Тоберморит 11,3 Å: 5СаО • 6SiO2 • 5Н2O: (-)200 - 230 оС - дегидратация, (+)830 - 850 оС - кристаллизация волластонита.
9. С - S - Н (II) гидросиликат кальция с отношением 1,5  Са/SiO2  2:
(-)120 - 150 оС - дегидратация, (+)850 - 900 оС - кристаллизация волластонита.
10. С - S - Н (I) гидросиликат кальция с отношением Са/SiO2  1,5:
(-)140 - 180 оС - дегидратация, (+)830 - 850 оС - кристаллизация волластонита.
37
Приложение В
Квантили распределения Кохрена Gр-1 для р = 0,05
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
24
30
40
60
120

f
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
16
36
9985
9669
9065
8412
7808
7271
6798
6385
6020
5410
4709
3894
3434
2929
2370
1737
0998
0000
9750
8709
7679
6838
6161
5612
5157
4775
4450
3924
3346
2705
2354
1980
1576
1131
0632
0000
9392
7977
6841
5981
5321
4800
4377
4027
3733
3264
2758
2205
1907
1593
1259
0895
0495
0000
9057
7457
6287
5441
4803
4307
3910
3584
3311
2880
2419
1921
1656
1377
1082
0765
0419
0000
8772
7071
5895
5065
4447
3974
3595
3286
3029
2624
2195
1735
1493
1237
0968
0682
0371
0000
8534
6771
5598
4783
4184
3726
3362
3067
2823
2439
2034
1602
1374
1137
0887
0623
0337
0000
8332
6530
5365
4564
3980
3535
3185
2901
2666
2299
1911
1501
1286
1061
0827
0583
0312
0000
8159
6333
5175
4387
3817
3384
3043
2768
2541
2187
1815
1422
1216
1002
0780
0552
0292
0000
8010
6167
5017
4241
3682
3259
2926
2659
2439
2098
1736
1357
1160
0958
0745
0520
0279
0000
7880
6025
4884
4118
3568
3154
2829
2568
2353
2020
1671
1303
1113
0921
0713
0497
0266
0000
7341
5466
4366
3645
3135
2756
2462
2226
2032
1737
1429
1108
0942
0771
0595
0411
0218
0000
6602
4748
3720
3066
2612
2278
2022
1820
1655
1403
1144
0879
0743
0604
0462
0316
0165
0000
38
144
5813
4031
3093
2513
2119
1833
1616
1446
1308
1100
0889
0675
0567
0457
0347
0234
0120
0000

5000
3333
2500
2000
1667
1429
1250
1111
1000
0833
0667
0500
0417
0333
0250
0167
0083
0000
Приложение Г
Квантили распределения Фишера Fр-1 для р = 0,01
f2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
24
26
28
30
40
60
120

1
4052
98,5
34,1
21,2
16,3
13,7
12,3
11,3
10,6
10,0
9,7
9,3
9,1
8,9
8,7
8,5
8,4
8,3
8,2
8,1
7,9
7,8
7,7
7,6
7,6
7,3
7,1
6,9
6,6
2
4999
99,0
30,8
18,0
13,3
10,9
9,6
8,7
8,0
7,6
7,2
6,9
6,7
6,5
6,4
6,2
6,1
6,0
5,9
5,9
5,7
5,6
5,5
5,5
5,4
5,2
5,0
4,8
4,6
3
5403
99,2
29,5
16,7
12,1
9,8
8,5
7,6
7,0
6,6
6,2
6,0
5,7
5,6
5,4
5,3
5,2
5,1
5,0
4,9
4,8
4,7
4,6
4,6
4,5
4,3
4,1
4,0
3,8
f1
4
5
5625
99,3
28,7
16,0
11,4
9,2
7,9
7,0
6,4
6,0
5,7
5,4
5,2
5,0
4,9
4,8
4,7
4,6
4,5
4,4
4,3
4,2
4,1
4,1
4,0
3,8
3,7
3,5
3,3
5764
99,3
28,2
15,5
11,0
8,8
7,5
6,6
6,1
5,6
5,3
5,1
4,9
4,7
4,6
4,4
4,3
4,3
4,2
4,1
4,0
3,9
3,8
3,8
3,7
3,5
3,3
3,2
3,0
39
6
5859
99,4
27,9
15,2
10,7
8,5
7,2
6,4
5,8
5,4
5,1
4,8
4,6
4,5
4,3
4,2
4,1
4,0
3,9
3,9
3,8
3,7
3,6
3,5
3,5
3,3
3,1
3,0
2,8
12
6106
99,4
27,1
14,4
9,9
7,7
6,5
5,7
5,1
4,7
4,4
4,2
4,0
3,8
3,7
3,6
3,5
3,4
3,3
3,2
3,1
3,0
3,0
2,9
2,8
2,7
2,5
2,3
2,2
24
6234
99,5
26,6
13,9
9,5
7,3
6,1
5,3
4,7
4,3
4,0
3,8
3,6
3,4
3,3
3,2
3,1
3,0
2,9
2,9
2,8
2,7
2,6
2,5
2,5
2,3
2,1
2,0
1,8

6366
99,5
26,1
13,5
9,0
6,9
5,7
4,9
4,3
3,9
3,6
3,4
3,2
3,0
2,9
2,8
2,7
2,6
2,4
2,4
2,3
2,2
2,1
2,1
2,0
1,8
1,6
1,4
1,0
Окончание прил. Г
Квантили распределения Фишера Fр-1 для р = 0,05
f2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
24
26
28
30
40
60
120

1
164,4
18,5
10,1
7,7
6,6
6,0
5,6
5,3
5,1
5,0
4,8
4,8
4,7
4,6
4,5
4,5
4,5
4,4
4,4
4,4
4,3
4,3
4,2
4,2
4,2
4,1
4,0
3,9
3,8
2
199,5
19,2
9,6
6,9
5,8
5,1
4,7
4,5
4,3
4,1
4,0
3,9
3,8
3,7
3,7
3,6
3,6
3,6
3,5
3,5
3,4
3,4
3,4
3,3
3,3
3,2
3,2
3,1
3,0
3
215,7
19,2
9,3
6,6
5,4
4,8
4,4
4,1
3,9
3,7
3,6
3,5
3,4
3,3
3,3
3,2
3,2
3,2
3,1
3,1
3,1
3,0
3,0
2,9
2,9
2,9
2,8
2,7
2,6
f1
5
230,2
19,3
9,0
6,3
5,1
4,4
4,0
3,7
3,5
3,3
3,2
3,1
3,0
3,0
2,9
2,9
2,8
2,8
2,7
2,7
2,7
2,6
2,6
2,6
2,5
2,5
2,4
2,3
2,2
4
224,3
19,3
9,1
6,4
5,2
4,5
4,1
3,8
3,6
3,5
3,4
3,3
3,2
3,1
3,1
3,0
3,0
2,9
2,9
2,9
2,8
2,8
2,7
2,7
2,7
2,6
2,5
2,5
2,4
40
6
234,0
19,3
8,9
6,2
5,0
4,3
3,9
3,6
3,4
3,2
3,1
3,0
2,9
2,9
2,8
2,7
2,7
2,7
2,6
2,6
2,6
2,5
2,4
2,4
2,4
2,3
2,3
2,2
2,1
12
244,9
19,4
8,7
5,9
4,7
4,0
3,6
3,3
3,1
2,9
2,8
2,7
2,6
2,5
2,5
2,4
2,4
2,3
2,3
2,3
2,2
2,2
2,1
2,1
2,1
2,0
1,9
1,8
1,8
24
249,0
19,5
8,6
5,8
4,5
3,8
3,4
3,1
2,9
2,7
2,6
2,5
2,4
2,3
2,3
2,2
2,2
2,1
2,1
2,1
2,0
2,0
1,9
1,9
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5

254,3
19,5
8,5
5,6
4,4
3,7
3,2
2,9
2,7
2,5
2,4
2,3
2,2
2,1
2,1
2,0
2,0
1,9
1,8
1,8
1,8
1,7
1,7
1,6
1,6
1,5
1,4
1,3
1,0
Приложение Д
Квантили распределения Стьюдента
Число степеней свободы f
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120

Уровни значимости р
0,20
3,08
1,89
1,64
1,53
1,48
1,44
1,42
1,40
1,38
1,37
1,36
1,36
1,35
1,34
1,34
1,34
1,33
1,33
1,33
1,33
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
1,31
1,31
1,31
1,31
1,30
1,30
1,29
1,28
0,10
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
1,94
1,90
1,86
1,83
1,81
1,80
1,78
1,77
1,76
1,75
1,75
1,74
1,73
1,73
1,73
1,72
1,72
1,71
1,71
1,71
1,71
1,70
1,70
1,70
1,70
1,68
1,67
1,66
1,64
0,05
12,71
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,37
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,11
2,10
2,09
2,09
2,08
2,07
2,07
2,06
2,06
2,06
2,05
2,05
2,04
2,04
2,02
2,00
1,98
1,96
0,02
31,82
6,97
4,54
3,75
3,37
3,14
3,00
2,90
2,82
2,76
2,72
2,68
2,65
2,62
2,60
2,58
2,57
2,55
2,54
2,53
2,52
2,51
2,50
2,49
2,48
2,48
2,47
2,47
2,46
2,46
2,42
2,39
2,36
2,33
41
0,01
63,66
9,93
5,84
4,60
4,03т
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,06
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
2,86
2,85
2,83
2,82
2,81
2,80
2,79
2,78
2,77
2,76
2,76
2,75
2,70
2,66
2,62
2,58
0,005
127,32
14,09
7,45
5,60
4,77
4,32
4,03
3,83
3,69
3,58
3,50
3,4
3,37
3,33
3,29
3,25
3,22
3,20
3,17
3,15
3,14
3,12
3,10
3,09
3,08
3,07
3,06
3,05
3,04
3,03
2,97
2,91
2,86
2,81
0,001
636,62
31,60
12,94
8,61
6,86
5,96
5,41
5,04
4,78
4,59
4,44
4,32
4,22
4,14
4,07
4,02
3,97
3,92
3,88
3,85
3,82
3,79
3,77
3,75
3,73
3,71
3,69
3,67
3,66
3,65
3,55
3,46
3,37
3,29
Приложение Е
Перечень тестовых заданий
для коллоквиума по тематике
лабораторных работ
1. Рентгенофазовый анализ позволяет определить:
а) содержание различных фаз в исследуемом материале;
б) количество воды затворения;
в) прочность строительного материала;
г) морозостойкость бетона.
2. Термоаналитические методы исследования основаны
на использовании:
а) тепловых эффектов;
б) электрических воздействий;
в) изменений вещественного состава материалов;
г) изменений содержания влаги в материалах.
3. Назначение метода ДТА состоит в определении:
а) фазового состава вещества по тепловым эффектам;
б) степени гидратации цемента;
в) изменений линейных размеров образца;
г) изменений объема образца.
4 . Полиморфное превращение  - кварца в  - кварц можно
выявить:
1) методом ДТА;
2) разрушающим методом испытания;
3) испытанием на истираемость;
4) электромагнитным методом.
5. При использовании термогравиметрического метода
исследования применяют:
а) термовесы;
б) термопару;
в) термометр;
г) калориметр.
6. Тепловой эффект на дериватограмме означает:
а) фазовое превращение;
б) изменение объема материала;
42
в) изменение прочностных показателей материала;
г) изменение модуля упругости.
7. Эксперимент - это:
а) система операций, воздействий и (или) наблюдений, направленных
на получение информации об изучаемом объекте исследования;
б) наблюдение за объектом исследования;
в) варьирование факторов на уровнях «+1» и «-1»;
г) определение функции откликов в зависимости от числа факторов.
8. Опыт – это воспроизведение исследуемого явления:
а) в определенных уровнях проведения эксперимента при возможности
регистрации его результатов;
б) при постоянных значениях исследуемых факторов;
в) при условиях планирования эксперимента на двух уровнях;
г) при условиях планирования эксперимента на трех уровнях.
9. Схема планирования экспериментальных исследований
включает в себя:
а) семь этапов: формирования задачи, выбор факторов и их уровней,
выбор отклика, плана эксперимента, проведения эксперимента
и выводы;
б) четыре этапа: формирования задачи, выбор отклика, проведения
эксперимента и выводы;
в) три этапа: формирования задачи, выбор плана и математической
модели.
10. План эксперимента - это:
а) совокупность данных, определяющих число, условие и порядок
реализации опытов;
б) совокупность изучаемых факторов;
в) чередование независимые переменные, принимающие значения
х1, х2, ... , хk;
г) совокупность факторов и откликов.
11. Фактор в теории планирования экспериментов – это:
а) измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый
момент времени определенное значение;
б) величина, состоящая из совокупности различных значений;
в) переменная величина, принимающая оптимальное значение;
г) заданная постоянная величина.
43
12. Требования к факторам при планировании эксперимента:
а) управляемость, однозначность, совместимость и независимость;
б) управляемость и независимость;
в) совместимость и однозначность.
13. Независимость фактора - это:
а) возможность задать любой уровень независимо от уровней других факторов;
б) когда кодированное значение одного фактора принимает «+1» ,
а другого «-1»;
в) когда факторы не могут быть равными «0»;
г) возможность факторов принимать значения «+1», «-1», «0».
14. Область планирования – это:
а) область факторного пространства, в которой размещаются точки, отвечающие условиям проведения опытов;
б) когда число опытов равно N;
в) когда факторы принимают значения «+1», «-1», «0»;
г) когда определяется «почти стационарная область».
15. Совместимость факторов – это возможность:
а) измерения отклика в любой точке той части факторного пространства, которая является областью планирования;
б) планирования экспериментов, когда число факторов равно 2;
в) функции отклика принимают значения уi ;
г) измерения функции отклика, когда факторы принимают значения «+1», «-1».
16. Матрица плана – это:
а) стандартная форма записи плана эксперимента в виде таблицы,
строки которой отвечают опытам, а столбцы – факторам;
б) форма записи плана, в котором отсутствует результат опыта, уi ;
в) чередование столбцов и строк;
г) форма записи плана, где нет фиктивной переменной х0.
17. Отклик или критерий оптимизации – это:
а) наблюдаемая случайная переменная, зависящая от факторов;
б) независимая переменная;
в) результат опыта;
г) показатель, независящий от влияния изучаемых факторов.
44
18. Функция отклика – это:
а) математическая зависимость, связывающая параметр оптимизации и факторы;
б) полиноминальная математическая модель;
в) когда величина отклика принимает максимальное значение.
19. Функции отклика:
а) бывают нулевого, первого, второго и т.д. порядков;
б) бывают только второго порядка;
в) оцениваются линейной моделью.
20. Интервал варьирования факторов – это:
а) расстояние на координатной оси между основными уровнями
и верхним (или нижним);
б) число, прибавление которого к основному уровню даст хmax;
в) число, связывающее хmax и хmin.
21. Поверхность отклика – это:
а) геометрическое представление функции отклика;
б) факторное пространство;
в) пространство, ограниченное значениями независимых переменных;
г) изучаемая область факторного пространства.
22. Число опытов при планировании экспериментов определяется
по формуле:
а) nk, где n-число уровней, k -число факторов;
б) kn;
в) kn-k.
23. Факторное пространство – это:
а) множество возможных значений, контролируемых факторов,
представляющих собой область в многомерном пространстве;
б) гиперкуб;
в) квадрат;
г) количество опытов в одной серии.
24. Для построения линейной модели достаточно варьирования
факторов на:
а) двух уровнях;
б) трех уровнях;
в) на уровнях «+1» и «0»;
г) на уровнях «-1» и «0».
45
25. Однофакторный (классический) эксперимент предусматривает:
а) поочередное варьирование каждого из факторов, когда остальные
стабилизированы на некотором уровне;
б) отсутствие варьирования факторов;
в) варьирование двух любых факторов;
г) изменение лишь одного фактора.
26. Матрица планирования
а)
б)
в)
имеет вид:
Номер
опыта
1
2
3
4
План эксперимента
X1
X2
-1
-1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
Номер
опыта
1
2
План эксперимента
X1
X2
-1
-1
+1
+1
Номер
опыта
1
2
3
4
План эксперимента
X1
X2
+1
+1
-1
-1
0
+1
+1
0
Отклик,
Y1
Y2
Y3
Y4
Отклик,
Y1
Y2
Отклик,
Y1
Y2
Y3
Y4
27. Одно из важных свойств матрицы планирования –ортогональность - математически можно записать так:
N
а)  x ji xni  0;
i 1
N
j n;
б)  x ji  0;
i 1
N
в)  x 2ji  N.
i 1
28. Переменная х0 вводится в матрицу планирования для того,
чтобы вычислить:
а) свободный член уравнения регрессии;
б) коэффициенты при х2 и х22 ;
в) коэффициенты при парных взаимодействиях.
46
29. Полный факторный эксперимент (ПФЭ) – это эксперимент,
использующий:
а) одинаковое число раз все возможные сочетания уровней факторов;
б) различное число факторов;
в) число опытов, равное числу факторов;
г) число опытов, равное числу уровней.
30. Стратегия проведения многофакторного эксперимента
состоит в:
а) варьировании всех переменных одновременно;
б) поочередном варьировании интересующих исследователя факторов;
в) выборе специальных входных переменных (факторов).
31. Геометрические точки плана ПФЭ
а) в вершинах k - мерного гиперкуба;
б) в центре гиперкуба;
в) на координатных осях;
г) в центре гиперкуба и его вершинах.
размещаются:
32. Начальным этапом построения планов многофакторного
эксперимента является:
а) выбор локальной области факторного пространства;
б) выбор только параметра оптимизации;
в) получение математической модели.
36. Нулевой (основной), верхний и нижний уровни фактора
в кодированном виде - это:
а) 0; +1; -1;
б) +1; 0; -1;
в) +1; -1; 0;
г) х; хmах; хmin.
33. Полный факторный эксперимент при использовании
двух уровней – это планирование:
а) 2k , где k - число факторов;
б) nk , n - число опытов; k = 2;
в) 2k-2.
34. Полный факторный эксперимент (ПФЭ) при варьировании
факторов на двух уровнях «+1» и «-1» позволяет оценить
только:
а) линейные эффекты и эффекты взаимодействия;
б) линейные эффекты;
47
в) эффекты взаимодействия.
35. Полный факторный эксперимент типа 3k предусматривает
вариации на:
а) трех уровнях;
б) нулевом (основном) уровне;
в) двух уровнях: «0», «1».
36. Если число факторов k = 3 , то при использовании планов
второго порядка, число опытов будет равно:
а) 27;
б) 64;
в) 9.
37. Запись «ПФЭ 32» означает, что это:
а) двухфакторный эксперимент, в котором реализуются все сочетания 2-х факторов, каждый из которых варьируется на трех уровнях;
б) трехфакторный эксперимент;
в) дробная реплика, позволяющая получить линейное приближение при минимуме опытов;
г) трехфакторный эксперимент, при котором число опытов равно
двум.
38. Принцип оптимальности планирования эксперимента заключается в том, что план эксперимента:
а) должен обладать некоторыми оптимальными свойствами;
б) должен обладать ортогональностью;
г) должен позволять найти оптимум.
39. Экстремальный эксперимент ставится с целью:
а) решения задачи оптимизации;
б) планирования эксперимента;
в) определения дисперсии;
г) определение дисперсии воспроизводимости.
40. Экстремальные эксперименты - это эксперименты,
с помощью которых:
a) решаются задачи оптимизации;
б) получаются математические модели;
48
в) определяется функция отклика.
41. Дисперсионный анализ позволяет:
а) исследовать влияние тех или иных факторов на изменчивость
получение в опыте средних показателей;
б) определить адекватность математической модели;
в) изучить влияние факторов на функцию отклика;
г) определить дисперсию воспроизводимости.
42. Полиноминальная модель – это:
a) математическая модель в виде уравнения регрессии, коэффициенты которого интегрируются как коэффициенты ряда Тейлора;
б) комбинированная модель, построенная на основании всестороннего анализа сложной системы;
в) эскизная модель, заданная дифференциальным уравнением.
г) программная модель, когда систему можно представить
совокупностью программ, составленных для ЭВМ.
4. Чтобы найти коэффициенты уравнения регрессии b j ,
надо выражение
N
 x ji yi , где j = (0,1, ... , k) разделить на:
i 1
а) число опытов N;
б) число факторов k – 1;
в) число факторов k, умноженное на число опытов N;
г) число факторов k.
44. Коэффициенты математической модели определяются
по формуле:
N
 x ji  y j
а) bi  i 1
б)
N
;
N
bi   x  y ;
ji
j
в) bi 
i 1
N
 yj
i 1
N
.
49
45. Дисперсия коэффициентов уравнения регрессии определяется
по формуле:
2
N
Sвоспр
2
а) Sb  N
;
б) Sb2  S 2   x 2 ;
ji
j
j
i 1
 x 2ji
i 1
в) Sb2 
j
Sвоспр
N
.
46. Коэффициенты уравнения регрессии значимы, если:
а) t j  t p ( f1) ;
б) t j  t p ( f1) ;
в) t j  t p ( f1) .
47. Адекватность уравнения регрессии определяется по Критерию:
а) Фишера;
б) Кохрена;
в) Стьюдента.
48. Уравнение регрессии адекватно, если:
а) F  F1 p ( f1, f 2 ) ;
б) F  F1 p ( f1, f 2 ) ;
в) F  F1 p ( f1, f 2 ) .
51. Критерий Стьюдента рассчитывается по формуле:
b
а) t j  j ;
Sb
j
б)
t j  b j  Sb ;
в)
t j  b j  Sb2 .
j
j
50
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................
Лабораторная работа № 1. РЕНТГЕНОФАЗОВЫЙ АНАЛИЗ
СТРОИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ И ЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЛЯ
ИССЛЕДОВАНИЯ КИНЕТИКИ ГИДРАТАЦИИ СТРОИТЕЛЬНОГО
ГИПСА..........................
Лабораторная работа № 2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МИНЕРАЛОГИЧЕСКОГО СОСТАВА
СТРОИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВМЕТОДОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОТЕРМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА...................................................................
Лабораторная работа № 3. ПОСТАНОВКА АКТИВНОГО ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА МЕТОДОМ КИФЕРА-ДЖОНСОНА И
ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗПОЛУЧЕННЫХ ДАННЫХ....................
Лабораторная работа № 4. ПОСТАНОВКА МНОГОФАКТОРНОГО
ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ РЕШЕНИИОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ
И ПОЛУЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.................................
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ........................................................
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Эталонные межплоскостные расстояния.
Рентгенограммы цементного мелкозернистого
бетона в различные сроки твердения............................
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Эталонные термические эффекты..................................
ПРИЛОЖЕНИЕ В. Квантили распределения Кохрена Gр-1
для р = 0,05................................................................
ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Квантили распределения Фишера Fр-1 для р = 0,05
и р = 0,01.....................................................................
ПРИЛОЖЕНИЕ Д. Квантили распределения Стьюдента.........................
ПРИЛОЖЕНИЕ Е. Перечень тестовых заданий к коллоквиуму
по тематике лабораторных работ..................................
51
3
4
9
13
20
34
35
37
38
39
41
42
Учебное издание
Крылова Алла Васильевна,
Шмитько Евгений Иванович,
Ткаченко Татьяна Федоровна
ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
Лабораторный практикум
для магистрантов направления 200500 (552200)
«Метрология, стандартизация и сертификация»
Редактор Черкасова Т.О.
Подписано в печать 17.10.2010. Формат 60х84 1/16. Уч.-изд. л. 3,2.
Усл.-печ. л. 3,3.
Бумага писчая. Тираж 30 экз. Заказ ___.
_____________________________________________________________
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства
учебно-методических пособий
Воронежского государственного архитектурно-строительного университета
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
52
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
27
Размер файла
709 Кб
Теги
152, научный, основы, исследование
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа