close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

225.18 Расчеты на прочность при плоском изгибе балок

код для вставкиСкачать
РАСЧЁТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ БАЛОК
Методические указания
к выполнению расчѐтно-проектировочной работы
по дисциплине «Сопротивление материалов»
для студентов направлений 270100.62 «Архитектура»
и 270300.62 «Дизайн архитектурной среды»
Воронеж 2014
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждения высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно–строительный университет»
Кафедра строительной механики
РАСЧЁТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ БАЛОК
Методические указания
к выполнению расчѐтно-проектировочной работы
по дисциплине «Сопротивление материалов»
для студентов направлений 270100.62 «Архитектура
и 270300.62 «Дизайн архитектурной среды»
Воронеж 2014
УДК 624
ББК 30.121
Составители С.П. Попов, В.М. Суднин
Расчѐты на прочность при плоском изгибе балок: метод. указания к
выполнению расчѐтно-проектировочной работы по дисциплине
«Сопротивление материалов» для студентов направлений 270100.62
«Архитектура» и 270300.62 «Дизайн архитектурной среды»/ Воронежский
ГАСУ; сост.: С.П. Попов, В.М. Суднин. – Воронеж, 2013. – 34 с.
Даны рекомендации по выполнению расчѐтно-проектировочной работы,
условия и варианты задач, входящих в расчетно-проектировочную работу.
Приведены краткие теоретические сведения и основные расчѐтные формулы по
теме расчѐтно-проектировочной работы. Даѐтся пример выполнения работы с
подробными комментариями и рекомендациями.
Даны рекомендации и
приведены примеры решения подобных задач на ПЭВМ с использованием
популярного математического пакета Mathcad.
Предназначены для студентов дневной формы обучения.
Табл. 1 .Ил. 13. Библиогр.: 4 назв.
УДК 624
ББК 30.121
Печатается по решению научно-методического совета Воронежского ГАСУ
Рецензент – А.В. Резунов, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры
строительной механики Воронежского ГАСУ
3
ВВЕДЕНИЕ
В процессе изучения курса «Сопротивление материалов» студенты
выполняют расчетно-проектировочные работы (РПР). Цель РПР - сознательное
усвоение теоретического курса и приобретение навыков решения задач,
имеющих как академический, так и практический характер. Количество РПР и
задач, входящих в каждую из этих работ, определяется рабочей программой
дисциплины «Сопротивление материалов» для каждого направления
(специальности).
Для студентов, обучающихся по направлениям 270100.62 «Архитектура»
и 270300.62 «Дизайн архитектурной среды», рабочей программой дисциплины
«Сопротивление материалов» предусмотрено выполнение двух расчетнопроектировочных работ по темам: «Расчеты на прочность и жесткость при
центральном растяжении – сжатии» и «Расчеты на прочность при плоском
изгибе балок».
В данных методических указаниях даны общие рекомендации по
выполнению расчѐтно-проектировочной работы, условия и варианты задач,
входящих в расчетно-проектировочную работу по теме «Расчеты на прочность
при плоском изгибе балок». Приведены краткие теоретические сведения и
основные расчѐтные формулы по теме расчѐтно-проектировочной работы.
Даѐтся пример выполнения работы с подробными комментариями и
рекомендациями.
Даны рекомендации и приведены примеры решения
подобных задач на ПЭВМ с использованием популярного математического
пакета Mathcad.
4
1. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ
1.1. Основные понятия и определения
Изгиб – такой вид деформирования, при котором в поперечных сечениях
бруса возникают изгибающие моменты.
Изгиб называют чистым, если в поперечных сечениях бруса возникают
только изгибающие моменты. Если кроме изгибающих моментов в поперечных
сечениях бруса возникают поперечные силы, то изгиб называют поперечным.
Брус, подверженный изгибу, принято называть балкой.
Изгиб называют прямым (или плоским), если все приложенные к балке
нагрузки располагаются в плоскости, проходящей через ось балки и одну из
главных осей инерции поперечного сечения. При прямом изгибе изогнутая ось
балки - это плоская кривая, расположенная в плоскости действия нагрузок.
При прямом поперечном изгибе в вертикальной плоскости в поперечных
сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила
и изгибающий момент
. Величины
и
определяются методом
сечений.
Согласно методу сечений поперечная сила
в сечении балки численно
равна алгебраической сумме проекций на вертикальную ось сечения всех
внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, т.е.
на отсеченную часть балки:
∑
(1.1)
Изгибающий момент
в сечении балки численно равен алгебраической
сумме моментов всех нагрузок, действующих на отсеченную часть балки,
относительно оси , проходящей через центр тяжести данного сечения и
перпендикулярной плоскости действия нагрузок:
∑
(1.2)
.
Для поперечной силы и изгибающего момента вводятся следующие
правила знаков.
Нагрузка, поворачивающая отсеченную часть балки относительно
рассматриваемого сечения по часовой стрелке, дает положительную
поперечную силу (т.е. положительное слагаемое в выражении ) и наоборот
(рис. 1).
Рис. 1. Правило знаков для поперечной силы
5
Нагрузка, создающая относительно рассматриваемого сечения момент,
изгибающий балку выпуклостью вниз (и создающий сжатие в верхних
волокнах балки), дает положительный изгибающий момент (положительное
слагаемое в выражении ) и наоборот (рис. 2).
Рис. 2. Правило знаков для изгибающего момента
Для выявления опасных сечений, где действуют наибольшие изгибающие
моменты и поперченные силы, строят графики изменения
и
по длине
балки, т.е. эпюры. При построении эпюр
и
балку разбивают на участки.
Участком называют часть балки, в пределах которой закон изменения
внутреннего силового фактора описывается одним аналитическим выражением.
При разбиении балки на участки руководствуются следующим правилом.
Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные
силы, сосредоточенные моменты, а также места резкого изменения
интенсивности распределенной нагрузки.
Записав аналитические выражения
и
по участкам балки, строят
эпюры
и
. При этом положительные значения
откладывают выше
нулевой линии, а отрицательные – ниже. Ординаты эпюр изгибающих
моментов
принято откладывать со стороны растянутых волокон (т.е.
положительные значения
откладывают ниже нулевой линии).
При построении эпюр
и
, а также для их проверки используют
дифференциальные зависимости Д.И. Журавского между
,
и
интенсивностью распределенной нагрузки :
(1.3)
.
ставится знак «минус», если распределенная
В зависимостях (1.3) перед
нагрузка направлена вниз.
Из дифференциальных зависимостей (1.3) вытекают следствия, которые
позволяют установить некоторые особенности эпюр
и
, а также
контролировать правильность их построения:
1. На участке, где нет распределенной нагрузки
, поперечная
сила постоянна
, а изгибающий момент
– линейная
функция координаты .
6
2. На участке балки, загруженном равномерно распределенной
нагрузкой
, эпюра
представляет собой прямую,
наклонную к нулевой линии, эпюра
– дугу квадратной параболы,
обращенной выпуклостью по направлению распределѐнной нагрузки
(правило паруса). Если на этом участке эпюра поперечной силы
пересекает нулевую линию, то в этом сечении на эпюре
наблюдается
локальный экстремум (максимум или минимум).
3. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре
наблюдается скачок (т.е. скачкообразное изменение ординаты),
равный по величине сосредоточенной силе, а на эпюре
- излом.
7
2. В сечение, где приложен сосредоточенный момент, на эпюре
наблюдается скачок, равный по величине приложенному
сосредоточенному моменту, а на эпюре
изменений не будет.
1.2 . Определение напряжений и расчеты на прочность
При плоском (прямом) поперечном изгибе в поперечных сечениях балки
возникают нормальные
и касательные
напряжения.
Нормальные напряжения вызваны изгибающим моментом и
определяются по формуле
,
(1.4)
где
– величина изгибающего момента в сечении (алгебраическая);
– ордината точки, в которой определяется ;
– момент инерции
поперечного сечения балки относительно нейтральной оси .
Из соотношения (1.4) видно, что нормальные напряжения линейно
зависят от величины . График, изображающий закон изменения нормальных
напряжений по высоте сечения, называемый эпюрой напряжений, показан на
рис. 3.
Рис. 3. Эпюра нормальных напряжений
8
При плоском (прямом) изгибе нейтральная ось
совпадает с главной
центральной осью инерции поперечного сечения, перпендикулярной плоскости
действия нагрузок.
Анализ формулы (1.4) и эпюры напряжений (рис. 3) позволяет записать
условие прочности при плоском изгибе по нормальным напряжениям.
При расчете на прочность по методу предельных состояний для балок из
пластичных материалов это условие имеет вид
| |
| |
| |
.
|
| |
или
где
| |
|
,
(1.5)
(1.6)
.
Здесь
– осевой момент сопротивления сечения;
| |
– расстояние от нейтральной линии (ось z) до наиболее удаленной
точки сечения, взятое по модулю;
– расчетное сопротивление материала по пределу текучести.
Для хрупких материалов, когда расчетные сопротивления материала балки
на растяжение
и на сжатие
не равны (т.е.
) между собой,
условие прочности записывают отдельно для растянутой и сжатой зоны
поперечного сечения:
| |
| |
;
(1.7)
|
| |
где
| |
;
|
(1.8)
,
| |
.
(1.9)
В формулах (1.9) величины | |
и | |
– взятые по модулю расстояния
от нейтральной линии сечения до наиболее растянутого и наиболее сжатого
волокна.
Из условий прочности (1.5), (1.7) и (1.8) выполняют три вида расчетов:
Проверочный расчет. Он заключается в проверке выполнения условий
(1.5), (1.7) и (1.8) при заданных нагрузках, материале балки, форме и размерах
поперечного сечения.
Проектный расчет. Его цель – подбор поперечного сечения балки при
заданных нагрузках и материале балки. Из условия прочности определяют
требуемое значение осевого момента сопротивления, принимая | |
.
Например, для балки из пластичного материала из (1.5) получим
| |
.
По значению
и известной форме сечения определяют его размеры или
подбирают номер стандартного прокатного профиля из таблицы сортамента.
Расчет грузоподъемности. Цель этого расчета – определение
максимальных значений нагрузок, которые могут быть приложены к балке, при
9
заданных: материале балки, форме и размерах поперечного сечения, а также
схеме приложения нагрузок.
Из условия прочности определяют максимальное по модулю значение
изгибающего момента:
| |
.
По значению | |
с использованием эпюры
, которая связывает
с
приложенными нагрузками, определяют максимально допустимые значения
нагрузок.
Касательные напряжения в сечении балки при плоском поперечном изгибе
возникают от поперечной силы и определяются по формуле Д.И. Журавского:
|
|
,
(1.10)
где
– поперечная сила в сечении;
- статический момент относительно
нейтральной оси площади сечения, расположенной выше или ниже точки, в
которой определяются касательные напряжения ; в
– ширина сечения на
уровне точки, в которой определяется касательное напряжение .
Наибольшие по модулю касательные напряжения | |
будут возникать в
точках, где отношение
|
|
достигает максимума.
Условие прочности балки по касательным напряжениям будет иметь вид
| |
|
|
|
|
.
(1.11)
Здесь
– расчетное сопротивление материала балки на сдвиг.
Наибольшее значение | |
берут из эпюры поперечных сил.
Из условия прочности (1.11) могут выполняться те же три вида расчетов, что
и из условий прочности (1.5), (1.7) и (1.8).
2. ЗАДАНИЕ НА РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНУЮ РАБОТУ ПО
ТЕМЕ «РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ БАЛОК»
2.1. Задача № 1. Для деревянной консольной балки, расчетная схема которой
дана на рис. 4 (схема 1), из условия прочности по методу предельных
состояний подобрать размеры
и в прямоугольного поперечного сечения,
приняв
в, расчетное сопротивление дерева на растяжение
,а
расчетное сопротивление при сдвиге
.
Длины участков и расчетные значения нагрузок взять из табл.1.
2.2. Задача № 2. Для стальной балки, расчетная схема которой дана на рис. 4
(схема 2), требуется:
- подобрать из условия прочности по методу предельных состояний
поперечное сечение в виде стандартного двутавра;
- для сечения, в котором действует наибольшая поперечная сила, проверить
выполнение условия прочности по касательным напряжениям.
10
Материал балки ВСт.3, для которого расчетное сопротивление по пределу
текучести
, расчетное сопротивление при сдвиге
.
Длины участков балки и расчетные значения нагрузок взять из табл.1.
Таблица 1
Номер строки
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
F, кН
12
10
12
6
8
10
6
8
6
12
11
12
10
12
6
1
2
3
2
1
3
2
1
2
1
1
3
2
1
2
2
2
2
3
3
1
2
2
1
3
2
3
3
1
2
Вариант 1
1 схема
2 схема
Вариант 2
1 схема
2 схема
Вариант 3
1 схема
2 схема
24
16
12
18
20
12
12
12
16
10
12
18
20
12
12
5
4
6
2
4
2
3
6
5
6
6
2
4
2
3
11
Вариант 4
1 схема
2 схема
Вариант 5
1 схема
2 схема
Вариант 6
1 схема
2 схема
Вариант 7
1 схема
2 схема
Вариант 8
1 схема
2 схема
Вариант 9
1 схема
2 схема
12
Вариант 10
1 схема
2 схема
Вариант 11
1 схема
2 схема
Вариант 12
1 схема
2 схема
Вариант 13
1 схема
2 схема
Вариант 14
1 схема
2 схема
Вариант 15
1 схема
2 схема
13
Вариант 16
1 схема
2 схема
Вариант 17
1 схема
2 схема
Вариант 18
1 схема
2 схема
Вариант 19
1 схема
2 схема
Вариант 20
1 схема
2 схема
Вариант 21
1 схема
2 схема
Вариант 22
1 схема
2 схема
14
Вариант 23
1 схема
2 схема
Вариант 24
1 схема
2 схема
Вариант 25
1 схема
2 схема
Вариант 26
1 схема
2 схема
Вариант 27
1 схема
2 схема
Вариант 28
1 схема
2 схема
15
Вариант 29
1 схема
2 схема
Вариант 30
1 схема
2 схема
Вариант 31
1 схема
2 схема
Вариант 32
1 схема
2 схема
Вариант 33
1 схема
2 схема
Вариант 34
1 схема
2 схема
Рис. 4. Расчетные схемы балок
16
3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА БАЛОК
3.1. Пример решения задачи № 1
Для деревянной балки консольного крепления, расчетная схема которой
приведена на рис. 5,а, из условия прочности по методу предельных состояний
подобрать размеры
и в прямоугольного поперечного сечения (рис. 5,б),
приняв
в,
, расчетное сопротивление дерева на растяжение
, расчетное сопротивление при сдвиге
.
Расчетные значения нагрузок:
, М=25 кН ,
Рис. 5. Расчетная схема балки (а), эпюры поперечных сил (в) и изгибающих
моментов (г)
Решение
1. Определение вида расчета.
По условию задачи требуется подобрать размеры поперечного сечения
балки, т.е. требуется выполнить проектный расчет. Из условия прочности по
нормальным напряжениям проектный расчет выполняется по соотношению
17
|
|
.
Поскольку значение расчетного
сопротивления
задано, то для
выполнения расчета следует знать | |
. Для проверки прочности по
касательным напряжениям необходимо знать | |
. Для определения
| |
и| |
строим эпюры
и .
2.Построение эпюр
и
а) Определение реакций опор.
Обычно построение эпюр
и
начинают с определения реакций опор.
В данной задаче балка консольная, поэтому нет необходимости определять
реакции опор, так как эпюры
и
можно построить, двигаясь от свободного
конца к заделке и рассматривая отсеченную правую часть, на которую не
наложены связи.
б) Разбиваем балку на участки.
Используя правило, изложенное в разделе 1.1, разбиваем балку на три
участка.
в) Записываем аналитические выражения
и
по участкам.
Рассекая балку на каждом из участков произвольным сечением, координаты
которых обозначены
и рассматривая каждый раз отсеченную правую
часть балки, записываем выражения
и
по участкам
Участок I:
;
.
Анализируя полученные выражения, приходим к выводу, что поперечная
сила
изменяется по линейной зависимости, а изгибающий момент –
квадратичная функция координаты
граничных сечениях I участка:
при
;
. Определим значения
и
в
;
при
;
.
Так как поперечная сила
на первом участке, меняя знак в одном из
сечений (обозначим его координату ) , обращается в нуль (см. рис. 5,в), то в
соответствии со следствием 3 из дифференциальных зависимостей (1.3)
изгибающий момент в этом сечении будет иметь локальный экстремум.
18
Приравнивая выражение
сечения:
нулю, определим координату
этого
, отсюда
.
Подставляя значение
в выражение
, находим экстремальное значение
на первом участке. Это будет локальный максимум
Переходим к рассмотрению участка II.
Участок II:
Рассматривая отсеченную правую часть, получим:
Таким образом, поперечная сила во всех сечениях второго участка
постоянна и равна +
, а изгибающий момент – линейная функция
координаты
. Для построения эпюры
на втором участке определим
значения
в граничных сечениях этого участка.
При
;
при
.
Участок III:
Рассматривая по-прежнему отсеченную правую часть, получим:
;
Как и на участке II, поперечная сила на участке III постоянна во всех его
поперечных сечениях (т.к. не зависит от координаты ), а изгибающий момент
– линейная функция координаты
. Для построения эпюры
на участке III
определим значения изгибающего момента в граничных сечениях этого
участка.
При
;
.
19
г) По полученным данным строим эпюры
и , располагая их строго под
схемой балки (рис. 5,в,г).
Для построения эпюры
проводим нулевую линию эпюры параллельно
оси балки. Положительные значения
откладываем выше нулевой линии, а
отрицательные – ниже (рис. 5,в).
Для построения эпюры
проводим нулевую линию параллельно оси
балки. Положительные значения
откладываем ниже нулевой линии, а
отрицательные – выше (рис. 5,г).
д) Используя следствия из дифференциальных зависимостей, проводим
проверку правильности построения эпюр.
3. Подбор размеров поперечного сечения
Из эпюры
следует, что |
|
|
, следовательно,
|
.
Осевой момент сопротивления для прямоугольного сечения при заданном
соотношении сторон (
в) определяется по формуле
.
Приравнивая
найдем размер в:
; в
√
.
Округляя в большую сторону, примем:
в
,
.
Проверим прочность подобранного сечения по нормальным напряжениям:
.
|
|
.
Прочность по нормальным напряжениям обеспечена. Недонапряжение в
1% объясняется округлением размера сечения в в большую сторону.
4. Проверка прочности по касательным напряжениям
Поскольку балка изготовлена из дерева, то проверка прочности по
касательным напряжениям является обязательной.
Для проверки прочности по касательным напряжениям используем
условие (1.11):
| |
|
|
|
Из эпюры поперечны сил следует, что
|
.
20
|
Для
|
прямоугольного сечения
.
. С учетом соотношения
в
в4 .
получим
Наибольшие касательные напряжения для прямоугольного сечения
возникают в точках, лежащих на главной и центральной оси , так как
для
половины сечения максимален, а в(y) = в = Const (рис. 6).
.
| |
.
;
Рис.6. Схема сечения балки
Таким образом,
| |
|
, а максимальные касательные напряжения
|
.
Приходим к выводу, что прочность по касательным напряжениям
обеспечена с большим запасом.
Окончательно принимаем следующие размеры поперечного сечения:
в
; h= 46 см.
3.2. Пример решения задачи № 2
Для балки, расчетная схема которой приведена на рис. 7,а, требуется:
- подобрать из условия прочности по методу предельных состояний
поперечное сечение в виде стандартного двутавра;
- для сечения, в котором действует наибольшая поперечная сила, проверить
выполнение условия прочности по касательным напряжениям.
Материал балки ВСт.3. Расчетное сопротивление по пределу текучести
, расчетное сопротивление при сдвиге
. Расчетные
значения нагрузок:
. М=20 кН ,
. Размер
.
21
Рис. 7. Расчетная схема балки (а) , эпюры поперечной силы (б) и изгибающего
момента (в)
Решение
Определение вида расчета
Согласно условию задачи требуется провести проектный расчет балки, а
затем выполнить проверочный расчет по касательным напряжениям.
Из условия прочности по нормальным напряжениям проектный расчет
выполняется по соотношению
| |
.
Таким образом, для проведения расчета следует знать | |
. Для
проверки прочности по касательным напряжениям необходимо знать | |
.
Для определения | |
и| |
строим эпюры
и .
Построение эпюр
и
а) Определение реакций опор.
22
Мысленно отбросив опоры, заменим их реакциями
уравнений статики определим значения реакций:
∑
;
;
∑
.
,
и
. Из
.
∑
:
.
Проверка: ∑
;
;
Таким образом, реакции найдены верно.
б) Разбиваем балку на участки.
Используя правило, изложенное в разделе 1.1, разбиваем балку на три
участка и нумеруем их.
в) Записываем аналитические выражения
и
по участкам и вычисляем
значения
и
на границах участков.
Участок I:
;
.
Из полученных выражений следует, что поперечная сила
на первом
участке постоянна во всех его сечениях и равна +20кН, а изгибающий момент
- линейная функция координаты . Определяем значения
в
граничных сечениях I участка:
при
;
при
Участок II:
,
Так же как и на предыдущем участке, поперечная сила
- постоянна
во всех сечениях второго участка и равна -36.67 кН, а изгибающий момент
– линейная функция координаты . В граничных сечениях второго
участка получим:
при
;
.
Участок III:
На третьем участке выгоднее рассматривать отсеченную левую часть
балки, на которую действует меньшее число нагрузок. Поэтому
будем
отсчитывать от опоры В.
При этом получим:
;
23
Из полученных выражений следует, что
координаты
Определим
, а
и
– линейная функция
меняется по параболической зависимости.
в граничных сечениях третьего участка:
при
;
;
при
;
.
Эпюра
пересекает нулевую линию (т.к.
меняет знак),
следовательно, на эпюре
будет локальный экстремум. Определим
координату
сечения, в котором
принимает экстремальное
значение, приравняв
нулю.
, отсюда
Определяем экстремальное значение
:
.
Это будет максимум.
г) По полученным данным строим эпюры
и
, располагая их строго под
схемой балки (рис. 7,б и рис. 7,в).
д) Используя следствия из дифференциальных зависимостей (1.3), проводим
проверку правильности построения эпюр.
Подбор размеров поперечного сечения
Из эпюры
находим, что | |
.
Следовательно,
|
|
.
Из таблицы (по ГОСТ 8239-89,приложение ) выбираем двутавр
которого
.
Поскольку|
|
|
|
№ 22, у
>
оценим перегрузку.
|
|
Перегрузка
, что
вполне допустимо.
Проверка прочности по касательным напряжениям
Условие прочности по касательным напряжениям записываем в виде (1.11):
| |
Из эпюры
устанавливаем |
|
|
|
|
|
.
.
24
Из таблицы (по ГОСТ 8239-89, приложение ) находим для двутавра № 22:
– статический момент полусечения; в=
– толщина стенки.
Подставляя эти величины в условие прочности по касательным
напряжениям, получим
| |
.
Таким образом, условие прочности по касательным напряжениям
соблюдается с большим запасом.
Окончательно принимаем сечение балки в виде стандартного двутавра № 22.
4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ
«РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ БАЛОК»
1. Какой вид деформирования называется изгибом?
2. Какой изгиб называют чистым, а какой – поперечным?
3. Какой изгиб называют прямым или плоским?
4. Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечных сечениях балки
при плоском поперечном изгибе?
5. Какой метод используется для определения внутренних силовых факторов в
поперечных сечениях балки?
6. Как определяют величины
и
в поперечных сечениях балки согласно
методу сечений?
7. Каково правило знаков для
и ?
8. Какие дифференциальные зависимости существуют между ,
и ?
9. Какие следствия вытекают из дифференциальных зависимостей при изгибе?
10. По какой формуле определяются нормальные напряжения в точках
поперечного сечения при плоском поперечном изгибе?
11. Как определяются касательные напряжения в поперечных сечениях балки
при плоском поперечном изгибе?
12. Напишите условие прочности по нормальным напряжениям при плоском
поперечном изгибе для балок из пластичных и хрупких материалов.
13. Какие три типа расчетов можно выполнять из условия прочности по
нормальным напряжениям при изгибе?
14. Каков порядок подбора сечения балки из условия прочности по нормальным
напряжениям?
15. Запишите условие прочности балки по касательным напряжения.
25
5. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
СИСТЕМЫ MATHCAD
5.1. Задача № 1. Для выполнения расчетов с использованием
вычислительной среды системы MATHCAD необходимо задать исходные
умноженные на размерность

1
M1
L2
L1
M
q
О
L3
F
Рис. 8. Расчетная схема консольной балки
Так как в системе MATHCAD используется правая система координат,
необходимо определить опорную реакцию R и опорный момент M1. Для этого
составим уравнения равновесия:
ΣУ= R1+ F- q*( L3 - L2 ) = 0;
ΣМ(О) = F* L3 – q*( L3 - L2)*( L3 + L2)/2 – M + M1 = 0.
Из этих уравнений получаем:
R1 =10 кН ; M1=40 кНм.
Основные операторы программирования расположены на панели
Programming , вызываемой щелчком на кнопке Programming Toolbar
математической панели.
Для создания программы надо выполнить следующее.
26
1. Вводится имя выражения-программы.
2. Вводится оператор присвоения (:=).
3. Кнопкой Add Program Lane (Добавить строку программы) панели
программирования вводится вертикальная линия.
4. В появившиеся места ввода вводятся нужные операторы. Чтобы создать
необходимые места ввода, надо установить синий уголок курсора в конец
строки, после которой ввести новую строку:
Q(x):={
[
]
Момент M не оказывает влияния на поперечную силу Q(x), поэтому при
построении программы вместо трех рассматриваются два участка.
Для построения эпюры поперечных сил (Q(x)) необходимо:
1. Установить курсор в то место, где должна быть построена эпюра.
2. На математической панели Graph (график) щелкнуть по кнопке X-Y Plot
(двухмерный график).
3. В появившемся на месте курсора шаблоне двухмерного графика ввести на
оси абсцисс значения длин (х), а на оси ординат- имя эпюры.
4. Щелкнуть мышью вне графика – для заданного диапазона изменения длин
эпюра будет построена.
x := 0 ,
L3
10
-3
 10
.. L3
10
10
Q( x)
0
кН
0
- 10
- 20
- 20
0
1
0
2
3
x
4.5
Рис. 9. Эпюра поперечной силы
Аналогично строиться эпюра изгибающих моментов М(х):
М(х):
{
(
4
)
27
40
40
30
- M ( x) 20
( кНм)
10
0
0
- 10
- 13.333
- 20
0
1
2
0
3
4
x
4.5
Рис. 10. Эпюра изгибающего момента
Примечание .Эпюра изгибающих моментов строится на растянутом волокне,
поэтому на графике вводят «- М(х)»
Подбор поперечного сечения балки
В соответствии с заданием необходимо подобрать прямоугольное
поперечное сечение балки, приняв h=4b. Расчетное сопротивление R = 10 Мпа,
сопротивление сдвигу Rs = 5 МПа.
Из эпюр следует: │Mmax│= 40 МПа;│ Qmax│= 20 МПа .
Требуемый момент сопротивления изгибу равен:
W тр= │Mmax│/R; для прямоугольного сечения W тр = bh2/6 , h=4b,
W тр= 16b3/6=8b3/3.
Подставляя эти выражения в условие прочности, получим размер b.
В системе MATHCAD это выглядит так:
M max := 40.0  кН  м
W :=
M max
 :=
R
-3 3
W = 4  10
M max
W
R := 10  М Па
3
b :=
m
6 W
b
16
mm
= 114.471
Окончательно принимаем: b1= 115 мм, h =460 мм
Проверяем прочность сечения по нормальным напряжениям:
.
28
b1 := 115  mm
1 :=
 :=
h := 460  mm
M max
1
W1
М Па
1 - R
R
 100
W1 :=
b1  h
2
6
= 9.863
 = -1.373
.
Недогрузка составляет 1,373 %,что допустимо.
Проверим прочность по касательным напряжениям :
 :=
J :=
b1  h
12
3
4
m
S :=
b1  h

М Па
8
Q S
J  b1
2
,
Q := 20  кН
3
m
 :=
3 Q
8  b1
= 0.567
0.567  МПа  5  МПа .
Прочность по касательным напряжениям обеспечена.
5.2. Задача № 2. Решается аналогично предыдущей.
R1
R2
F
4м
2м
L1
M
L2
L3
Рис. 11. Расчетная схема балки
Ниже приводится листинг программы.
2м
2
29
м := m
Н := N
кН := 10  N
L1 := 4  м
q := 20 
2

L1 

R2 :=
  F  L3  M  q 
L2 
2 
1
R1 := 43.33  кН
кН
R1 :=
6
М Па := 10  Па
2
m
L3 := 8  м
L2 := 6  м
F := 20  кН
N
Па := 1 
3
M := 20  кН  м
м
1
L2
мм := mm
 q  L1   L2 -


L1 
2

 - M - F  ( L3 - L2)


R2 := 56.67  кН
Q( x) :=
( R1 - q  x) if 0  x  L1
( R1 - q  L1) if L1  x  L2
( R1 - q  L1  R2) if L2  x  L3
50
43.33
41
32
23
Q( x) 14
кН
5
0
-4
- 13
- 22
- 36.67 - 31
- 40
0
2
0
4
x
6
8
8
Рис. 12. Эпюра поперечной силы
M ( x) :=
2

 R1  x - q  x  if 0  x  L1
2 

R1  ( x) - q  L1   x - L1   M if L1  x  L2




2 



R1  ( x) - q  L1   x - L1   M  R2  ( x - L2) if L2  x  L3




2 



30
x := 0 ,
L3
10
-3
 10
.. L3
50
40.02
37.5
25
- M ( x)
( кНм)
12.5
0
0
- 12.5
- 25
- 37.5
- 46.937
- 50
0
2
4
0
6
8
x
8
Рис. 13. Эпюра изгибающего момента
Подбор поперечного сечения балки
По заданию требуется подобрать поперечное сечение балки в виде двутавра.
Из эпюр М и Q находим: │Mmax │= 46,937 кНм , │Qmax │= 43,33 кН.
Mmax := 46.937  кН  м
W :=
R := 200  МПа
Mmax
-4 3
W = 2.347  10
R
m
По сортаменту выбираем двутавр № 22, у которого W1=232 см3 ;
-6
W1 := 232  10
3
m
Проверяем прочность по нормальным напряжениям :
1 :=
 :=
1 - R
R
M max
1
W1
М Па
 100
 = 1.157
Перегрузка составляет 1,157 %, что допустимо.
= 202.315
31
Проведем проверку прочности балки по касательным напряжениям. Из
сортамента для двутавра № 22 имеем: Jz=2550 см4, Smax =131 см3,
| |
= 41.222 МПа < 130 МПа = Rs.
Прочность по касательным напряжениям обеспечена.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Александров А. В. Сопротивление материалов : учебник / А. В. Александров,
В. Д. Потапов, Б. П. Державин ; под ред. А. В. Александрова. – М. : Высшая
шк., 1995. – 560 с. ; 2000. – 560 с.
2.Варданян Г. С. Сопротивление материалов с основами теории упругости и
пластичности : учебник / Г. С. Варданян и др. – М. : ИНФА-М, 2003.-480с.
3.Валиев Ф. С. Сопротивление материалов : метод. указания и контрольные
задания для студентов всех специальностей и форм обучения / Ф. С. Валиев. –
Новосибирск : НГАСУ, 2003. – 47 с.
4.Андреев В.И., Паушкин А.Г., Леонтьев А.И. Техническая механика (для
учащихся строительных вузов и факультетов): Учебник. - М., Издательство
АСВ, 2012.-251с.
32
Приложение
Таблица сортамента
Двутавры стальные горячекатаные
(по ГОСТ 8239—89)
h — высота двутавра;
Jx, Jy — моменты инерции;
b — ширина полки; Wx, Wy — моменты сопротивления;
d — толщина стенки; Sx — статический момент
полусечения;
t — средняя толщина полки; ix, iy — радиусы инерции;
А — площадь поперечного сечения.
Ном
ер
дву10
вра
Масс Размеры, мм
а
b
d
1 м, h
9,46
100 55 4,5
кг
t
7,2
12
11,5
120 64
4,8
14
13,7
140 73
16
15,9
18
18,4
A,
см2
Jx,
см4
Wx,
см3
ix,см Sx,3
см
Jy,
см4
Wy,
см3
iy,см
12
198
39,7
4,06
23
17,9
6,49
1,22
7,3
14,7
350
58,4
4,88
33,7
27,9
8,72
1,38
4,9
7,5
17,4
572
81,7
5,73
46,8
41,9
11,5
1,55
160 81
5
7,8
20,2
873
109
6,57
62,3
58,6
14,5
1,7
180 90
5,1
8,1
23,4
1290
143
7,42
81,4
82,6
18,4
1,88
18a 19,9
180 100 5,1
8,3
25,4
1430
159
7,51
89,8
114
22,8
2,12
20
200 100 5,2
8,4
26,8
1840
184
8,28
104
115
23,1
2,07
20а 22,7
200 110 5,2
8,6
28,9
2030
203
8,37
114
155
28,2
2,32
22
220 110 5,4
8,7
30,6
2550
232
9,13
131
157
28,6
2,27
22а 25,8
220 120 5,4
8,9
32,8
2790
254
9,22
143
206
34,3
2,50
24
27,3
240 115 5,6
9,5
34,8
3460
289
9,97
163
198
34,5
2,37
24а 29,4
240 125 5,6
9,8
37,5
3800
317
10,1
178
260
41,6
2,63
27
31,5
270 125 6
9,8
40,2
5010
371
11,2
210
260
41,5
2,54
27а 33,9
270 135 6
10,2 43,2
5500
407
11,3
229
337
50
2,80
30
36,5
300 135 6,5
10,2 46,5
7080
472
12,3
268
337
49,9
2,69
30а 39,2
300 145 6,5
10,7 49,9
7780
518
12,5
292
436
60,1
2,95
33
42,2
330 140 7
11,2 53,8
9840
597
13,5
339
419
59,9
2,79
36
48,6
360 145 7,5
12,3 61,9
13380
743
14,7
423
516
71,1
2,89
40
57
400 155 8,3
13
19062
953
16,2
545
667
86,1
3,03
21
24
72,6
33
Ном
ер
двувра
45
Масс Размеры, мм
а
b
d
1 м, h
кг
66,5 450 160 9
t
50
78,5
55
60
A,
см2
Jx,
см4
Wx,
см3
ix,см
Sx,
см3
Jy,
см4
Wy,
см3
iy,см
14,2 84,7
27696
1231 18,1
708
808
101
3,09
500 170 10
15,2 100
39727
1589 19,9
919
1043 123
3,23
92,6
550 180 11
16,5 118
55962
2035 21,8
1181 1356 151
3,39
108
600 190 12
17,8 138
76806
2560 23,6
1491 1725 182
3,54
34
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение…………………………………………………………………………..3
1. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ…………………..4
1.1. Основные понятия и определения…………………………………………..4
1.2. Определение напряжений и расчеты на прочность………………………..7
2. ЗАДАНИЕ НА РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНУЮ РАБОТУ ПО ТЕМЕ
«РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ БАЛОК»…………9
2.1. Задача №1…………………………………………………………………….9
2.2. Задача №2…………………………………………………………………….9
3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА БАЛОК……………………………………………...16
3.1. Пример решения задачи№1………………………………………………. 16
3.2. Пример решения задачи №2……………………………………………….21
4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ «РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ БАЛОК»………………………………………….25
5. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
СИСТЕМЫ MATHCAD………………………………………………………….26
5.1. Задача № 1……………………………………………………………………26
5.2. Задача № 2……………………………………………………………………29
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………………………………..31
ПРИЛОЖЕНИЕ. Таблица сортамента………………………………………32
РАСЧЁТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ БАЛОК
Методические указания
к выполнению расчѐтно-проектировочной работы
по дисциплине «Сопротивление материалов»
для студентов направлений 270100.62 «Архитектура»
и 270300.62 «Дизайн архитектурной среды»
СОСТАВИТЕЛИ:
профессор ВГАСУ, канд. техн. наук
Попов Сергей Петрович,
профессор ВГАСУ, докт. техн. наук
Суднин Валентин Митрофанович
Подписано в печать 00. 01.2014. Формат 60×84 1/16. Уч.-изд. л. 2,1.
Усл.-печ. л.2,2 . Бумага писчая. Тираж 150 экз. Заказ № _____.
____________________________________________________________________
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии
издательства учебной литературы и учебно-методических пособий
Воронежского ГАСУ
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
1 151 Кб
Теги
изгиб, балов, расчет, прочность, 225, плоское
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа