close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

239.Алейников С.М., Горяйнов В.В. Высшая математика. Контрольно-измерительные материалы

код для вставкиСкачать
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Воронежский государственный архитектурно–строительный университет
Центр компьютерного тестирования знаний ВГАСУ
С.М. Алейников, В.В. Горяйнов
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Контрольно–измерительные материалы
для аттестации обучающихся в технических вузах
Практикум
Рекомендовано в качестве учебного пособия редакционно–издательским
советом Воронежского государственного архитектурно–строительного
университета для студентов всех специальностей ВГАСУ
Воронеж 2006
УДК 51 : 378. 146 (075)
ББК 22.1 в6
А 458
Алейников, С.М. Высшая математика. Контрольно-измерительные
материалы для аттестации обучающихся в технических вузах [Текст] :
А 458 практикум / С.М. Алейников, В.В. Горяйнов; под ред. С.М. Алейникова;
Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т. – Воронеж, 2006. – 131 с.
Предлагаемый практикум содержит 534 задачи по разделам высшей математики, изучаемым в высших технических учебных заведениях: линейная и
векторная алгебра; аналитическая геометрия; дифференциальное и интегральное исчисления; дифференциальные уравнения; ряды; функции комплексного
переменного; теория вероятностей и математическая статистика.
Предназначено для подготовки студентов всех специальностей ВГАСУ к
компьютерному тестированию, аудиторной и самостоятельной работе. Кроме
того, практикум может быть полезен преподавателям для аттестации и контроля знаний студентов.
Библиогр.: 12 назв.
Рецензенты: Центр мониторинга качества знаний студентов при Воронежском
государственном педагогическом университете (Ю.А. Воронин,
руководитель центра, д-р пед. наук, засл. раб. высш. шк., проф.);
А.Д. Чернышов, д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры высшей
математики Воронежской государственной технологической
академии
© Алейников С.М.,
Горяйнов В.В., 2006
© ВГАСУ, 2006
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие……………………….……………………………………..
Введение…………………………………………………………………..
1. Линейная алгебра…………………………………………………….
1.1. Определители……………………………...…………………….
1.2. Матрицы…………………………………...………………….….
1.3. Системы уравнений……………………………...………………
2. Векторная алгебра………………………………………….………..
2.1. Линейные операции над векторами………………………....….
2.2. Скалярное произведение векторов………………………….…..
2.3. Векторное произведение векторов………………………….…..
2.4. Смешанное произведение векторов………………...…………..
3. Аналитическая геометрия……………………………………….….
3.1. Аналитическая геометрия на плоскости…………………...…...
3.1.1. Прямая линия на плоскости……………………………...
3.1.2. Кривые второго порядка………………………..………...
3.2. Аналитическая геометрия в пространстве……………………...
3.2.1. Плоскость в пространстве……………………...………...
3.2.2. Прямая линия в пространстве……………………...…….
3.2.3. Прямая и плоскость в пространстве…………………..…
3.2.4. Поверхности второго порядка……………………………
4. Дифференциальное исчисление……………………………………
4.1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной...
4.2. Дифференциальное исчисление функции
нескольких переменных………………………………………...
5. Интегральное исчисление…………………………………………..
5.1. Неопределенные интегралы……………………...……………...
5.2. Определенные интегралы………………………….……………
5.3. Кратные интегралы………………………………………………
5.4. Криволинейные интегралы……………………………………...
6. Дифференциальные уравнения…………………………………….
6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка………………
6.2. Дифференциальные уравнения второго порядка……………....
6.3. Дифференциальные уравнения высших порядков………….…
7. Ряды……………………………………………………………………
7.1. Числовые ряды……………...……………………………………
7.2. Функциональные ряды……………………...…………………...
8. Функции комплексного переменного……………………………..
8.1. Действия над комплексными числами………………...…….….
8.2. Аналитические функции комплексного переменного………....
3
5
6
7
7
9
13
16
16
20
23
25
28
28
28
34
39
39
41
43
44
46
46
59
63
63
68
75
77
80
80
83
87
89
89
93
95
95
96
9. Теория вероятностей……..…………………….……………………
9.1. Элементы комбинаторики…………...…………………………..
9.2. Случайные события…………………...………………………....
9.3. Случайные величины…………………………………………….
10. Математическая статистика……………………………………....
10.1. Выборочный метод.…………………...………………………..
10.2. Числовые характеристики статистического распределения....
10.3. Статистические оценки параметров распределения……….....
Заключение…………………………….………………………………....
Библиографический список рекомендуемой литературы…...………...
Приложение. Бланк ответов на тестовые задания……..……….……...
4
105
105
106
111
122
122
123
125
128
129
130
ПРЕДИСЛОВИЕ
Наиболее актуальное направление повышения качества подготовки специалистов – внедрение автоматизированной системы контроля знаний студентов
с использованием компьютерных технологий, которая становится неотъемлемой
частью образовательного процесса.
Контроль уровня освоения учебных дисциплин студентами основан на дидактических измерениях. Традиционно, дидактические измерения – это анализ
преподавателями ответов студентов, вот почему результаты оценки всегда субъективны. Определенным этапом повышения эффективности дидактических измерений является переход к тестированию в любой его форме (бланочному, аппаратному, компьютерному). Основной целью тестирования является получение
объективной оценки уровня знаний студентов с определенной достоверностью и
точностью, которые могут быть достигнуты за счет внедрения адаптивных процедур тестирования.
Воронежским государственным архитектурно–строительным университетом приобретена инструментальная среда тестирования АСТ–ТЕСТ, включающая программное обеспечение для конструирования тестовых заданий, конвертации в электронный вид имеющихся банков тестовых заданий и проведения
компьютерного тестирования студентов. Наличие программного обеспечения
будет содействовать повышению качества обучения, совершенствованию организации учебного процесса на основе использования современных информационных технологий и технических средств обучения.
Одной из актуальных задач организации процесса компьютерного тестирования является разработка банков тестовых заданий по различным учебным
дисциплинам и блокам дисциплин на основе методологических требований,
обеспечивающих осуществление единой политики в области высшего образования и получение объективных оценок уровня знаний, умений и навыков студентов.
Решению этой задачи посвящено настоящее издание, являющееся одной из
учебно–методических работ, в котором приведены тестовые задания для студентов по дисциплине «Математика». Несмотря на то, что в печатном варианте
представлены программно–дидактические тестовые задания закрытого типа, при
их переносе в программу они могут быть преобразованы в тестовые задания других типов (открытого, установления последовательности, установления соответствия).
Учебное пособие может быть использовано преподавателями для контроля
текущей успеваемости, остаточных знаний, а также для самостоятельной работы
студентов.
Т.В. Самодурова, руководитель центра компьютерного тестирования
знаний ВГАСУ, д-р. техн. наук, проф.
5
ВВЕДЕНИЕ
Пособие охватывает все разделы курса высшей математики, изучаемые в
высших технических учебных заведениях:
- линейная и векторная алгебра;
- аналитическая геометрия;
- дифференциальное и интегральное исчисления;
- дифференциальные уравнения;
- ряды;
- функции комплексного пременного;
- теория вероятностей;
- математическая статистика.
Практикум может быть использован студентами как очной, так и заочной
форм обучения. Выполняя предложенные задания, студенты могут самостоятельно проверить свой уровень знаний по какому-либо разделу, уделить больше
внимания трудным темам. Предлагаемое пособие поможет студентам при подготовке к контрольным работам, защите расчетно-графических работ, сдаче
коллоквиумов, зачетов и экзаменов, а также к тестированию (компьютерному
или бланочному).
Представленные тестовые задания разработаны с учетом требований,
предъявляемых к составлению тестов, используемых при компьютерном тестировании*. В данном издании представлены тестовые задания закрытого типа, а
другие формы (на дополнение, на установления соответствия, на выбор нескольких правильных ответов из списка предложенных, на установление правильной последовательности) пока не использовались. Среди предложенных
вариантов ответов на тестовые задания только один является правильным. На
выполнение одного задания рекомендуется отводить от 60 до 90 секунд (в зависимости от сложности вопроса).
Приведенный в приложении образец бланка ответов на задания рассчитан
на тридцать пять тестовых заданий. Такое количество тестовых заданий не является обязательным. Преподаватели сами могут выбирать нужное количество
заданий, тем самым определяя время общего тестирования студентов.
Авторы выражают благодарность канд. физ.-мат. наук, доценту
А. Б. Кущеву, внимательно прочитавшему рукопись. Его многочисленные замечания и рекомендации помогли исправить и улучшить формулировки заданий.
*
1. Васильев В. И., Тягунова Т. Н. Культура компьютерного тестирования. Программно–дидактическое тестовое задание.- М.: МГУП, 2005. - Ч. II. – 84 с.
2. Васильев В. И., Тягунова Т. Н. Культура компьютерного тестирования. Форма тестовой ситуации и формирование теста .- М.: МГУП, 2005. - Ч. IV. – 83 с.
3. Проведение и анализ результатов педагогических измерений при самообследовании
ВУЗа / Центр государственной аккредитации . – Йошкар–Ола, 2004. – 36 с.
6
1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1.1. Определители
−1
1. Определитель 1
0
а) … 0,
г) … 10,
0 2
2. Определитель 1 4
2
4
3
0 равен…
−3 −4
б) … 15,
д) … −10.
в) … −15,
31
21 равен…
2 0 − 34
а) … 100,
г) … 101,
б) … 96,
д) … −101.
в) … −96,
−1 2 4
3. Определитель 0
3
а) … 68,
г) … −62,
4 1 равен…
0 5
б) … 22,
д) … 62.
1 0 −4
4. Определитель 2 4 − 1 равен…
0 7 5
а) … −29,
б) … 29,
г) … −72,
д) … 83.
2
5. Определитель
а) … 18,
г) … 172,
в) … −22,
в) … −83,
0 3 −1
−4 5 0
2 0 5
6
равен…
0
−1 4 0
7
б) … −7,
д) … 99.
7
в) … −8,
2
6. Определитель
4
3
1
−1 2
0
2
3
3
4 1
0 −1
б) …
д) …
а) … 178,
г) … 72,
10 2
равен…
0
1
−72,
88.
3
4 − 7 равен…
7. Определитель 0
2
0
а) … 138,
г) … 172,
3
б) … −172,
д) … 68.
−1
0
−3
8. Определитель 50
40
70 равен…
а) … 0,
г) … 20,
− 2 −1 0
б) … −160,
д) … −20.
2
9. Определитель
−4
1
3
а) … 130,
г) … −130,
10. Определитель
в) … −68,
в) … 160,
−1 3 1
2
2
1 0
равен…
0 9
0 4 3
б) … −56,
д) … 19.
в) … −98,
5
−1
4
0
3
−4
0
3
2
0
1
равен…
1
0
а) … 10,
г) … 2,
в) … −78,
2 −4 5
б) … 6,
д) … 1.
8
в) … −25,
1.2. Матрицы
 2 0 −1
11. Если A =  3 2 1  , а
1 2 0 


 −3 −5 0 
а) …  11 −10 9  ,
 8 −3 5 


4 1 1
в) …  2 −1 4  ,
 3 2 6


 3
д) …  −2
7

 0 −3 1 
B =  4 0 2  , то A ⋅ B = …
 3 −1 2 


 −3 5 4 
б) …  1 10 0  ,
 3 3 −5 


8 0 7
г) …  2 4 5  ,
9 1 0


5 −1 
7 −4  .
3 2 
 2 2 −1
 −1 0
12. Если A =  1 0 1  , а B =  0 2
0 2 4 
 3 −1



 −5 5 14 
а) …  12 0 4  ,
б) …
 2 1 2


 5 −5 14 
в) …  5 1 −6  ,
г) …
3 7 0 


4 0
 2
д) …  5
1 −7  .


 −21 −7 −2 
 −2
13. Если A =  3
1

 −6 −10
а) …  1
2
 −5 −11

5
2  , то A ⋅ B = …
1 
 −5 5 13 
 2 −1 6  ,


 12 0 8 


1 3
 4
 −2 0 7  ,


 −12 13 1 


0 −4 
1 3 7
1 1  , а B =  0 2 2  , то A ⋅ B = …
1 1 0
2 4 


14 
 −6 −10 −14 
3  ,
б) …  4 12
23  ,
 5 11 11 
−11


9
 8 −10 −1 
г) …  7 9 −4  ,
 6 −2 7 


 6 −1 4 
в) … 14 1 2  ,
 15 1 1 


 −6 10 5 
д) …  6 −3 −3  .
 7 0 10 


 −2 0 − 4 
1 3


14. Если A =  3 1 1  , а B =  0 2
1 2 4
1 1



 −6 −10 14 
а) …  1
2
3  ,
 −5 −11 −11


 −7 −9 −29 
в) …  6 −4 −4  ,
 −1 1
8 

 −6 10 5 
д) …  6 −3 −3  .
 7 0 10 


2
15. Если A =  3
0

 4 −8
а) …  −3 1
6 6

1 7
в) …  −9 2
 5 −6

4
−1 1  , то
−2 4 
4
5  ,
4 
4
8  ,
3 
 4
д) …  3
 −6

7
2  , то 2 A − 3B = …
0 
 −6 −10 −14 
б) …  4 12
23  ,
 5 11 11 


 8 −10 −1 
г) …  7 9 −4  ,
 6 −2 7 


0
A2 = …
 −1
б) …  0
 −3

12
г) …  0
8

−8 24 
−1 15  .
−6 14 
10
8 4
1 5  ,
6 4 
11 2 
5 −3  ,
−1 0 
 3 1 −1
16. Если A =  2 −1 0  , то A 2 = …
1 0 5 


10 2 −8 
а) …  4 3 −2  ,
б) …
 8 1 24 


 1 −2 8 
г) …
в) …  41 −3 0  ,
 18 11 2 


 9 −2 0 
д) …  6 0 5  .
 7 6 −4 


3 1 
, то A −1 = …
17. Если A = 

 2 −1 
2 1 
3
5 5 
5
а) … 
б) … 
,
1 −3
2



5
5
5
 1 1
 5 5
г) … 
,
2
3
−



 5 5
 −3 2 
, то A −1 = …
18. Если A = 

 2 1
 1 2
 1
 7 7
−7
б) … 
а) … 
,
2
3
−

 2



 7 7
 7
 3 1
−7 7 
г) … 
,
 2 1


 7 7
11
 10 2 8 
 −4 −3 2  ,


 −8 −1 4 


0 1 3
9 0 4 ,


5 1 7


1 
5 
,
1
− 
5
1
5
д) … 
2

5
1 2 
5 5 
в) … 
,
3 −1


5
5
1 
5 
.
3
− 
5
1
7
д) … 
2

7
 1
−7
в) … 
 3

 7
2
− 
7
.
3 

7 
2
7
,
3

7
2
7
,
1

7
 −3 2 
19. Если A = 
, то A −1 = …

 −1 4 
1
 2
 5
5
б) …
а) … 
,
3
− 1


 10 10 
 1 1
 −5 5 
г) … 
,
1
3
−



 10 10 
 2 1
− 5 5 

,
3
 1


 10 10 
 2
 −5
д) … 
− 1

 10
 2 1
 −5 5 
в) … 
,
3
− 1


 10 10 
1
10 
.
3

10 
3 2
 4 1
20. Если A = 
, а B=
, то 4 A − 2 B 2 = …


1 4
 −1 4 
−8 
 18
 18 8 
 −20 −8 
,
в)
,
б)
…
…
а) … 
 −20 −14 

 18 −14  ,


 20 −14 


 −18 −8 
 −18 −14 
,
д)
…
г) … 


.
 20 −14 
 20 −8 
10 3 0 1
21. Ранг матрицы 10 3 0 1 равен…
10 3 0 1


а) … 0,
б) … 1,
г) … 3,
д) … 4.
10 3 1 1
22. Ранг матрицы 10 3 0 1 равен…
10 3 0 1


а) … 0,
б) … 1,
г) … 3,
д) … 4.
10 3 1 1
23. Ранг матрицы 10 3 4 1 равен…
10 3 0 1


а) … 0,
б) … 1,
г) … 3,
д) … 4.
12
в) … 2,
в) … 2,
в) … 2,
10 3 1 1
24. Ранг матрицы 10 3 4 1 равен…
 9 3 0 1


а) … 0,
б) … 1,
г) … 3,
д) … 4.
в) … 2,
10 3 1 1
25. Ранг матрицы 10 3 4 1 равен…
 0 0 0 1


а) … 0,
б) … 1,
г) … 3,
д) … 4.
в) … 2,
1.3. Системы уравнений
2 x − 7 y = 1
26. Решением системы линейных алгебраических уравнений 
x − 4 y = 2
является:
а) … x = 10; y = −3 ,
б) … x = −10; y = 3 ,
в) … x = −10; y = −3 ,
г) … x = 10; y = 3 ,
д) … x = 10; y = −2 .
27. Решением системы
4 x + 6 y = −3
является:

x + 3y = 4
а) … x = 7 2; y = − 5 2 ,
в) … x = −7 6; y = 5 6 ,
д) … x = 11 2; y = 19 2 .
линейных
алгебраических
уравнений
б) … x = −11 6; y = −19 6 ,
г) … x = −11 2; y = 19 6 ,
 x + 2 y = −4
28. Решением системы линейных алгебраических уравнений 
x + y = 2
является:
б) … x = 8; y = 6 ,
а) … x = −8; y = −6 ,
в) … x = −8; y = 6 ,
г) … x = −6; y = 8 ,
д) … x = 8; y = −6 .
13
2x − y = 6
29. Решением системы линейных алгебраических уравнений 
3x + 4 y = −2
является:
а) … x = −2; y = −2 ,
б) … x = 2; y = 2 ,
в) … x = −2; y = 2 ,
г) … x = 1; y = −2 ,
д) … x = 2; y = −2 .
3 x + 8 y = −2
30. Решением системы линейных алгебраических уравнений 
 x − 9 y = 11
является:
б) … x = 2; y = 1 ,
а) … x = −2; y = −1 ,
в) … x = −1; y = 2 ,
г) … x = 2; y = −1,
д) … x = −2; y = 1 .
2 x + 3 y = 0
31. Решением системы линейных алгебраических уравнений 
4 x − y = 14
является:
б) … x = 3; y = 2 ,
а) … x = −3; y = −2 ,
в) … x = 3; y = −2 ,
г) … x = −3; y = 2 ,
д) … x = −2; y = 3 .
32. Решением системы
2 x − y + 4 z = 1

−2 x + y − 2 z = 3 является:
3 x − y + 6 z = −2

а) … x = −7; y = −7; z = 2 ,
в) … нет решений,
д) … x = 7; y = 7; z = 2 .
линейных
33. Решением системы
2 x − y + 4 z = 1

−2 x + y − 2 z = 1 является:
3 x − y + 6 z = −2

а) … нет решений,
линейных
алгебраических
уравнений
б) … x = −7; y = 7; z = 2 ,
г) … x = 7; y = −7; z = 2 ,
алгебраических
уравнений
б) … x = −5; y = −7; z = 1 ,
14
в) … x = −5; y = 7; z = 1 ,
д) … x = 5; y = −7; z = 1.
г) … x = 5; y = 7; z = 1 ,
34. Решением системы линейных алгебраических уравнений
x − y + 4z = 1

−2 x + y − 2 z = 1 является:
 x − y + 6 z = −2

а) … x = −5; y = 12; z = 3 2 ,
б) … x = 5; y = −12; z = −3 2 ,
в) … x = −5; y = −12; z = −3 2 ,
г) … нет решений,
д) … x = 5; y = 12; z = 3 2 .
35. Решением системы
2 x − y + z = 1

− x + y − z = −1 является:
3 x − y + z = 1

а) … x = 0; y = 2; z = 0 ,
в) … x = 1; y = −1; z = 0 ,
д) … x = 0; y = 0; z = 1 .
линейных
алгебраических
б) … x = 1; y = −2; z = 0 ,
г) … нет решений,
15
уравнений
2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
2.1. Линейные операции над векторами
1. Среди векторов a {1;1; −1} , b = i − j − k , c = 2 i − 2k , d = 3i + j и
m {2;0; −2} равными являются…
а) … d и c ,
г) … a и m ,
б) … m и c ,
д) … a и b .
в) … b и c ,
2. Среди векторов a {1; −1; −1} , b = i − j − k , c = 2 i − 2k , d = 3i + j и
m {2; −2;0} равными являются…
а) … d и c ,
г) … a и b ,
б) … m и c ,
д) … a и m .
в) … b и c ,
3. Среди векторов a {10; −2;0} , b = 10 i + 2 j , c {10;2;0} , d = 10 i + 2k и
m {10;0; −2} равными являются…
а) … d и c ,
г) … a и b ,
б) … m и c ,
д) … a и m .
в) … b и c ,
4. Среди векторов a {0; −6; −7} , b = 6 i − 7 j , c {0;6; −7} , d = 6 j − 7 k и
m{6;0;7} равными являются…
а) … d и c ,
г) … a и b ,
б) … m и c ,
д) … a и m .
в) … b и c ,
5. Среди векторов a {1; −4;3} , b = i − 4 j − 3k , c {1;4; −3} , d = i − 4 j + 3k и
m{1;4;3} равными являются…
а) … d и c ,
б) … m и c ,
г) … a и b ,
д) … a и d .
в) … b и c ,
6. Среди векторов a = i + j − 2k , b = i − j − 2k , c = −4 i − 4 j + 8k
d = 4 i + 4 j − 4k коллинеарны…
а) … d и c ,
г) … a и b ,
б) … b и d ,
д) … a и c .
16
в) … b и c ,
и
7. Среди векторов a = i − 3 j − 2k , b = i + 3 j − 2k , c = −2 i − 6 j − 4k и
d = 2 i + 6 j − 4k коллинеарны…
б) … b и d ,
д) … a и c .
а) … d и c ,
г) … a и b ,
в) … b и c ,
8. Среди векторов a = 6 i − 2 j + 10k , b = 3i − j − 5k , c = −3i − j + 5k и
d = 3i + j − 5k коллинеарны…
б) … b и d ,
д) … a и c .
а) … d и c ,
г) … a и b ,
в) … b и c ,
9. Из векторов a {1; −1; −1} , b = i − j − k , c = 2 i − 2k , d = 3i + j
и
m {2; −2;0} коллинеарны вектору AB , где A ( 6; −1;5 ) , B ( 9;0;5 ) …
б) … b ,
д) … m .
а) … a ,
г) … d ,
10.
Из
векторов
в) … c ,
a {2; −6; −5} ,
b = 2 i + 6 j + 5k ,
c = 2 i + 6 j − 5k
d = 2 i − 6k , и m {2; −6;5} коллинеарны вектору AB , где A ( 2;1; −3) , B ( 4;7;2 ) …
б) … b ,
д) … m .
а) … a ,
г) … d ,
11.
Из
векторов
в) … c ,
a {2; −2;20} ,
b = i + j + 10k ,
c = i − j − 10k
d = 2 i − 2k − 10k , и m {2;2;20} коллинеарны вектору AB , где A ( 0;10; −6 ) ,
B (1;9;4 ) …
а) … a ,
г) … d ,
б) … b ,
д) … m .
в) … c ,
12. Длина вектора а = 4 i + 4 j − 2k равна…
б) … 36,
а) … 6,
г) … 28,
д) … 14.
в) … 32,
13. Длина вектора а = 6 i + 8 j равна…
б) … 100,
а) … 6,
д) … 10.
г) … 8,
в) … 14,
17
14. Длина вектора а = 3i + 4 j − 5k равна…
а) … 0,
г) … 2,
б) … 50,
д) … 12.
в) … 5 2 ,
15. Длина вектора а = 8 i − j − 5k равна…
б) … 14,
а) … 10,
д) … 2.
г) … 3 10 ,
в) … 90,
16. Длина вектора а = 3i − 9 j + 3k равна…
б) … 15,
а) … −9,
г) … 3 11 ,
д) … −3.
в) … 99,
17. Числа m и n таковы, что векторы a {m;2;2} и b {1; n;4} коллинеарны.
Тогда сумма m + n равна…
б) … 9 2 ,
в) … 5 2 ,
а) … 5,
г) … 7 2 ,
д) … 4.
18. Числа m и n таковы, что векторы a {2; m;3} и b {6;0; n} коллинеарны.
Тогда сумма m + n равна…
б) … 1 2,
в) … 9 ,
а) … 0,
д) … –1.
г) … 6,
19. Числа m и n таковы, что векторы a {−1;4; m} и b {n;8;10} коллинеарны. Тогда сумма m + n равна…
а) … 7,
б) … −2,
в) … 5,
г) … 3,
д) … 12.
20. Числа m и n таковы, что векторы a {m;2; −1} и b {1;6; n} коллинеарны. Тогда сумма m + n равна…
б) … −6,
в) … −1 3 ,
а) … −8 3 ,
д) … 15.
г) … −3,
21. Сумма координат вектора CB треугольника ABC равна … при условии, что AB {−6;6;0} и AC {−2;6; −4} :
а) … −3,
г) … 2,
б) … −6,
д) … 0.
в) … 3,
18
22. Сумма координат вектора CB треугольника ABC равна … при условии, что AB {−1;2; −2} и AC {7;2;5} :
а) … 1,
б) … −1,
в) … −15,
д) … 0.
г) … 15,
23. Сумма координат вектора CB треугольника ABC равна … при условии, что AB {1; −4;8} и AC {7; −6;6} :
а) … −4,
б) … 2,
в) … 3,
д) … 0.
г) … −2,
24. Сумма координат вектора CB треугольника ABC равна … при условии, что AB {1;7; −8} и AC {3;2; −5} :
а) … −3,
б) … 6,
в) … 4,
д) … 0.
г) … 10,
25. Сумма координат вектора CB треугольника ABC равна … при условии, что AB {4; −6;4} и AC {4; −1;2} :
а) … −3,
б) … 7,
в) … −7,
д) … 0.
г) … 3,
26. В треугольнике ABC A ( −1; 5; 3) , AB {4;0; −4} , CB {5;12;4} . Тогда
сумма координат точки С равна…
а) … −13,
б) … −14,
в) … 14,
д) … 0.
г) … 13,
27. В треугольнике ABC A ( −2; 8; 2 ) , AB {8;0;7} , CB {−1; −2;6} . Тогда
сумма координат точки С равна…
б) … 17,
в) … 10,
а) … 13,
д) … 0.
г) … 20,
28. В треугольнике ABC A ( 9; 7; 9 ) , AB {0;2; −2} , CB {1; −4; −6} . Тогда
сумма координат точки С равна…
а) … 13,
б) … 34,
в) … −34,
д) … 0.
г) … 26,
29. В треугольнике ABC A ( 5; − 5; − 7 ) , AB {4;8;8} , CB {8;2; −3} . Тогда
сумма координат точки С равна…
б) … 4,
в) … − 4,
а) … 6,
19
г) … 2,
д) … 0.
30. В треугольнике ABC A ( 6; 5; − 2 ) , AB {2; −5;3} , CB {10;0; −4} . Тогда
сумма координат точки С равна…
б) … 5,
в) … − 2,
а) … 7,
д) … 0.
г) … 3,
2.2. Скалярное произведение векторов
31. Векторы
если k = …
а) … 0,
г) … − 5 2 ,
a {k ;1; − 2} и b {−2; 3; − 1} взаимно перпендикулярны,
32. Векторы
если k = …
а) … −1 2 ,
г) … − 5 2 ,
a {k ; 4; − 3} и b {−6; 0;1} взаимно перпендикулярны,
33. Векторы
если k = …
а) … −1 ,
г) … −2 ,
a {−3; k ; 5} и b {0; 5; − 1} взаимно перпендикулярны,
34. Векторы
если k = …
а) … −1 ,
г) … −2 ,
a {−3; 0; k } и b {0; 5; − 1} взаимно перпендикулярны,
35. Векторы
если k = …
а) … 3 ,
г) … 1,
a {−1; k ; 6} и b {3; − 3; 2} взаимно перпендикулярны,
б) … 1 2 ,
д) … −1 2 .
б) … 1 2 ,
д) … 0.
б) … 1 ,
д) … 0.
в) … 5 2 ,
в) … 5 2 ,
в) … 2 ,
б) … 1 ,
д) … 0.
в) … 2 ,
в) … − 5,
б) … 8,
д) … 0.
36. Среди векторов a = i + j + k , b = i − j − k , c = 2 i − 2k и d = 3i + j
взаимно перпендикулярны…
а) … d и c ,
б) … a и b ,
в) … b и c ,
г) … a и d ,
д) … a и c .
20
37. Среди векторов a = i + 2 j + 3k , b = i − 2 j − 3k , c = 2 i − 6k
и
d = 6 i − 3 j взаимно перпендикулярны…
а) … d и c ,
б) … a и b ,
г) … a и d ,
д) … a и c .
в) … b и c ,
38. Среди векторов a = 4 i + 2 j + k , b = 4 i − j − 3k , c = 4 i − 3k
и
d = i + 4 j взаимно перпендикулярны…
а) … d и c ,
б) … d и b ,
г) … a и d ,
д) … a и c .
в) … b и c ,
39. В треугольнике АВС
B
AB = 3i + j − k , AC = i + 3 j + k
cos (α) = …
α
C
A
а) … 1 11 ,
г) … 5 11,
б) … −1 11 ,
д) … −7 11.
в) … 7 11,
40. В треугольнике АВС
B
AB = 3i + j , AC = 3 j + k
cos (α) = …
α
A
а) … 1 10 ,
г) … 6 10 ,
41. Среди векторов
б) … − 3 10 ,
д) … 1.
a = i + 9 j + 7k ,
C
в) … 3 10 ,
b = 7i − 9 j + k ,
c = i − 7k
d = −7 i + 9 j взаимно перпендикулярны…
а) … d и c ,
б) … d и b ,
г) … a и d ,
д) … a и c .
21
в) … b и c ,
и
42. В треугольнике АВС
B
AB = 3i + 3k , AC = 3 j + 3k
cos (α) = …
α
C
A
б) … −1 6 ,
д) … 1 6 .
а) … 1 2 ,
г) … 1 ,
в) … −1 2 ,
43. В треугольнике АВС
B
AB = i + 2 j − 2k , AC = 2 i + j + k
проекция пр AB AC равна…
а) … 4 3,
г) … −2 3 ,
α
A
C
б) … 2 3,
д) … −4 3 .
в) … 5 6 ,
44. В треугольнике АВС
B
AB = i − 4 j + 2k , AC = i − 3 j + k
cos (α) = …
α
C
A
а) … −15 12 ,
б) … −15
г) … 0,
д) … 15
45. Среди векторов
231 ,
в) … 15 12 ,
231 .
a = 2 i + 6 j + 5k ,
b = 5 i − 6 j + 8k ,
c = −8k
d = 5 i − 6 j взаимно перпендикулярны…
а) … d и c ,
б) … d и b ,
г) … a и d ,
д) … a и c .
22
в) … b и c ,
и
46. В треугольнике АВС
B
AB = i + 2k , AC = 2 i + j
проекция пр AB AC равна…
а) … 2 5,
г) … −2 3 ,
A
α
C
б) … 2 3,
д) … −4 3 .
в) … 4 3,
47. В треугольнике АВС
B
AB = i + 3 j − 2k , AC = i + 3 j
проекция пр AB AC равна…
а) …
α
C
б) … − 10 ,
10 ,
г) … −8
A
10 ,
д) … 10
в) … 8
10 ,
14 .
48. В треугольнике АВС
B
AB = 3 j + 4k , AC = 10 i + j − k
проекция пр AB AC равна…
A
α
C
б) … −1 102 ,
д) … −1 5 .
а) … 7 5,
г) … 1 5 ,
в) … 1 102 ,
2.3. Векторное произведение векторов
49. Вектор c = a × b имеет координаты … при условии, что a {1, 0, 1} и
b {1, 1, 2}:
а) … с {–1, 1, 1} ,
г) … с {–1, 1, –1},
б) … с {–1, –1, 1},
д) … с {1, –1, –1}.
23
в) … с {1, 1, 1},
50. Вектор c = a × b имеет координаты … при условии, что a {2, 1, 0} и
b {–1, 3, 1}:
а) … с {–1, 2, 5} ,
г) … с {1, 2, 5},
б) … с {1, –2, 5},
д) … с {2, –1, 7}.
в) … с {1, –2, 7},
51. Вектор c = a × b имеет координаты … при условии, что a {3, 0, –1}
и b {1, 2, 3}:
а) … с {2, 10, 6} ,
г) … с {2, –10, 6},
б) … с {–2, –10, 6},
д) … с {–2, –10, –6}.
в) … с {2, –10, –6},
52. Вектор c = a × b имеет координаты … при условии, что a {4, 1, 1} и
b {0, 2, –3}6
а) … с {5, 12, 8} ,
г) … с {5, –12, 8},
б) … с {–5, –12, 8},
д) … с {–5, 12, 8}.
в) … с {5, –12, –8},
53. Вектор c = a × b имеет координаты … при условии, что a {2, 1, 0} и
b {0, 7, –1}:
а) … с {–1, –2, 14} ,
г) … с {–1, 2, –14},
б) … с {1, –2, 14},
д) … с {–1, 2, 14}.
в) … с {1, 2, 14},
54. Вектор c = a × b имеет координаты … при условии, что a {3, 3, 3} и
b {1, 0, 2}:
а) … с {–6, –3, 3} ,
г) … с {6, –3, –3},
55. Среди векторов
б) … с {6, –3, 3},
д) … с {– 6, 3, 3}.
в) … с {6, 3, 3},
a = 4 i − 2 j + k , b = 4 i − j − 3k , c = 4 i − 3k
и
d = 8 i − 4 j + 2k параллельны…
а) … d и c ,
б) … d и b ,
г) … a и d ,
д) … a и c .
в) … b и c ,
56. Среди векторов a = i − 5 j + 7 k , b = 3i − 2 j + k , c = 5 i − 7 k
d = 6 i − 4 j + 2k параллельны…
а) … d и c ,
б) … d и b ,
г) … a и d ,
д) … a и c .
24
в) … b и c ,
и
57. Среди векторов a = i 2 − 3k , b = 3i − 2 j , c = i − 6k и d = 6 i − j + k
параллельны…
б) … d и b ,
в) … b и c ,
а) … d и c ,
д) … a и c .
г) … a и d ,
58. Среди векторов a = i 3 − 6k , b = 3i − 2 j + k 3 , c = 6 i − 3 j + k
и
d = 2 i − j + k 3 параллельны…
а) … d и c ,
б) … d и b ,
г) … a и d ,
д) … a и c .
в) … b и c ,
2.4. Смешанное произведение векторов
59. Объем пирамиды, построенной на векторах
b = i + 4 j , c = −3 j − 4k , равен…
б) … 15,
а) … 1 6 ,
д) … 10.
г) … 5 3 ,
60. Объем пирамиды, построенной
b = i + 4 j + k , c = 2 j + 3k , равен…
б) … 2,
а) … 1,
г) … 10,
д) … 2 3.
61.
Объем
пирамиды,
построенной
в) … 5 2 ,
на
Объем
пирамиды,
построенной
b = 2 i + 4 j − k , c = i − 4k , равен…
б) … 29 6 ,
а) … 29,
д) … 13 6 .
г) … 7,
25
векторах
a = 2 i − 4k ,
в) … 12,
на
b = − i + 2 j + 4k , c = 3i + 5k , равен…
б) … 11,
а) … 8,
д) … 62.
г) … 31 3 ,
62.
a = − i + 2 j + 3k ,
векторах
a =4j +k ,
в) … 61 6 ,
на
векторах
a = 7 j + 5k ,
в) … 8,
63. Объем пирамиды, построенной на векторах
b = 4 j − 7 k , c = 2 i + 3k , равен…
б) … 12,
а) … 34,
г) … 17 6 ,
д) … 34 3 .
a = 10 i + 2 j + 3k ,
в) … 68,
64. Если a = 5 i + j + k , b = i − 6 j − 3k , c = i + 5 j + 4k , то abc = …
б) … – 41,
в) … 41,
а) … 4,
д) … 27.
г) … – 4,
65. Если a = 5 i + j + k , b = i + 6 j − 3k , c = i − 5 j + 4k , то abc = …
б) … – 27,
в) … 41,
а) … 27,
д) … 51.
г) … – 44,
66. Если a = 2 i − 2 j + 11k , b = 10 i , c = i + 5 j − 4k , то abc = …
б) … – 270,
в) … –470,
а) … 570,
д) … 470.
г) … – 440,
67. Если a = 2 j + k , b = i + 4 j + 2k , c = 2 i − 4k , то abc = …
б) … – 5,
в) … –7,
а) … 9,
д) … – 8.
г) … 8,
68. Среди векторов a {5;1; −2} , b = i − j − k , c = 2 i − 2k , d = 3i + j компланарными являются …
а) … a , c , d ,
б) … a , b , c ,
в) … b , c , d ,
г) … a , b , d .
69.
Среди
векторов
a {−1; −4;3} ,
b = i − 4 j − 3k ,
c {0;0; −6} ,
d = i − 4 j + 3k компланарными являются …
а) … a , c , d ,
б) … a , b , c ,
в) … b , c , d ,
г) … a , b , d .
70. Среди векторов a = i + j − 2k , b = i − j − 2k , c = −4 i − 4 j + 8k и
d = 2 i − 4k компланарными являются …
а) … a , c , d ,
б) … a , b , c ,
в) … b , c , d ,
г) … a , b , d .
26
71.
Среди
векторов
a = i − 3 j − 2k ,
b = i + 3 j − 2k ,
c = −6 j
и
d = 2 i + 6 j − 4k компланарными являются …
а) … a , c , d ,
б) … a , b , c ,
в) … b , c , d ,
г) … a , b , d .
72. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a = − i + 2 j + 3k ,
b = i + 4 j , c = −3 j − 4k , равен…
б) … 18,
а) … 15,
д) … 12.
г) … 5,
в) … 5 2 ,
73. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a = 2 i − 4k ,
b = i + 4 j + k , c = 2 j + 3k , равен…
б) … 2,
в) … 32,
а) … 17,
д) … 8 3 .
г) … 12,
74. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a = 4 j + k ,
b = − i + 2 j + 4k , c = 3i + 5k , равен…
б) … 41,
а) … 28,
д) … 6.
г) … 31,
27
в) … 62 ,
3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
3.1. Аналитическая геометрия на плоскости
3.1.1. Прямая линия на плоскости
1. Уравнение, соответствующее графику:
а) … x − 2 y + 4 = 0 ,
у
б) … x − 2 y − 4 = 0 ,
2
в) … x + 2 y + 4 = 0 ,
х
–4
0
г) … y − 2 x + 4 = 0 ,
д) … x + 2 y − 4 = 0 .
2. Угол между прямыми х – 2у + 7 = 0 и 3х – у – 2 = 0 равен…
а) …
г) …
π
2
π
6
π
,
б) …
,
д) … –
3
,
π
4
в) …
.
3. Уравнение, соответствующее графику:
а) … x + 2 y + 6 = 0 ,
у
6
б) … x − 2 y − 6 = 0 ,
х
0
в) … x − 2 y + 6 = 0 ,
–3
г) … −2 y − 2 x − 1 = 0 ,
д) … x + 2 y − 6 = 0 .
28
π
4
,
4. Угол между прямыми х – 2у + 7 = 0 и х – 2у – 2 = 0 равен…
а) …
π
2
,
б) …
г) … 0 ,
д) …
π
4
π
3
,
в) …
π
6
.
5. Угол между прямыми 3х – 5у + 8 = 0 и 5х + 3у – 9 = 0 равен…
а) …
г) …
π
3
π
6
,
б) …
,
д) …
π
4
π
2
,
в) … 0 ,
.
6. Уравнение, соответствующее графику:
а) … 4 x + 3 y + 12 = 0 ,
у
4
б) … 4 x + 3 y − 12 = 0 ,
в) … 4 x − 3 y − 12 = 0 ,
х
3
0
г) … 3 x + 4 y − 12 = 0 ,
д) … 3 x + 4 y + 12 = 0 .
7. Уравнение, соответствующее графику:
у
а) … 5 x + 4 y − 20 = 0 ,
х
–4
б) … 5 x − 4 y + 20 = 0 ,
0
в) … 5 x + 4 y + 20 = 0 ,
г) … 5 x − 4 y − 20 = 0 ,
–5
д) … 5 y + 4 x + 20 = 0 .
29
,
8. Угол между прямыми 2х – 4у + 5 = 0 и х + у – 9 = 0 равен…
а) …
г) …
π
3
π
6
π
2
в) … arctg ( 3 4 ) ,
б) …
,
д) … arctg 3.
9. Угол между прямыми
а) …
π
,
,
4
,
х – 2у + 6 = 0 и х – у – 8 = 0 равен…
б) … 0,
1
г) … arctg ,
3
в) … arctg1,
1
д) … arctg .
2
10. Прямые y = k1 x + b1 и y = k2 x + b2 перпендикулярны, если…
а) … k1 + k2 = −1 ,
б) … k1 − k2 = −1 ,
в) … k1 ⋅ k2 = −1 ,
г) … k1 k2 = −1 ,
д) … k1 ⋅ k2 = 1.
11. Уравнение, соответствующее графику:
а) … 7 x + 3 y − 21 = 0 ,
у
х
б) … 7 x − 3 y + 21 = 0 ,
3
0
в) … 7 x + 3 y + 21 = 0 ,
–7
г) … 3 x − 7 y − 21 = 0 ,
д) … 7 x − 3 y − 21 = 0 .
12. Уравнение, соответствующее графику:
а) … x + 2 y − 6 = 0 ,
у
б) … x + 2 y + 6 = 0 ,
в) … x − 2 y − 6 = 0 ,
3
х
0
г) … x − 2 y + 6 = 0 ,
6
д) … 2 x + y − 6 = 0 .
30
13. Прямые 3 x − 2 y − 7 = 0 и 3 x + 2 y + 6 = 0 …
а) … пересекаются,
б) … параллельны,
г) … совпадают.
в) … перпендикулярны,
14. Прямые 3 x − 5 y − 7 = 0 и 3 x − 5 y + 6 = 0 …
а) … пересекаются,
б) … параллельны,
г) … совпадают.
в) … перпендикулярны,
15. Прямые x − 2 y + 4 = 0 и 2 x − 4 y + 8 = 0 …
а) … пересекаются,
б) … параллельны,
г) … совпадают.
в) … перпендикулярны,
16. Прямые x − 2 y + 4 = 0 и 2 x + y + 8 = 0 …
а) … пересекаются,
б) … параллельны,
г) … совпадают.
в) … перпендикулярны,
17. Угловой коэффициент k прямой равен …
а) … –3,
у
б) … 1,
3
в) … –1,
х
–3
г) … 0,
0
д) … 3.
18. Угловой коэффициент k прямой равен …
а) … 2,
у
б) … −3 2 ,
2
0
в) … 2 3,
3
г) … −2 3 ,
х
д) … 3.
31
19. Угловой коэффициент k прямой равен …
а) … –1,
у
б) … –5,
в) … 1 5 ,
0
5
х
–1
г) … −1 5 ,
д) … 5.
20. Угловой коэффициент k прямой равен …
а) … 2,
у
б) … −2 3 ,
х
в) … 2 3,
0
–3
г) … −3 2 ,
–2
д) … 3.
21. Уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через
точку ( 2; −1) ,…
а) … 3 x + y − 5 = 0 ,
у
б) … x + 3 y − 5 = 0 ,
в) … 3 x − y − 5 = 0 ,
2
х
–6
г) … 3 x + y + 5 = 0 ,
0
д) … x + 3 y + 5 = 0 .
32
22. Уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через
точку ( −2;1) ,…
а) … 4 x + 5 y − 3 = 0 ,
у
5
б) … 4 x − 5 y + 3 = 0 ,
в) … 4 x − 5 y − 3 = 0 ,
–4
г) … 5 x + 4 y + 3 = 0 ,
х
0
д) … 4 x + 5 y + 3 = 0 .
23. Уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через
точку ( −3;0 ) ,…
а) … 3 x + 2 y − 9 = 0 ,
у
б) … −3 x + 2 y + 9 = 0 ,
6
в) … −3 x + 2 y − 9 = 0 ,
9
0
г) … −3 x − 2 y − 9 = 0 ,
х
д) … 3 x + 2 y + 9 = 0 .
24. Уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через
точку ( −3;1) ,…
у
а) … − x + y − 4 = 0 ,
7
б) … x + y − 4 = 0 ,
в) … − x + y − 7 = 0 ,
0
7
г) … x + y − 7 = 0 ,
х
д) … − x − y − 4 = 0 .
33
25. Уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через
точку ( 0;1) ,…
у
а) … y − x − 1 = 0 ,
7
б) … x + y − 4 = 0 ,
в) … − x + 2 y − 7 = 0 ,
7
0
г) … x + y + 1 = 0 ,
х
д) … − x − y − 4 = 0 .
3.1.2. Кривые второго порядка
26. Координаты вершины параболы y 2 − 6y − 6x − 9 = 0 имеют вид …
б) … C ( −3; −3) ,
в) … C ( 3;3) ,
а) … C ( 3; −3) ,
г) … C ( −3;0 ) ,
д) … C ( −3;3) .
27. Уравнение 4 x 2 − 3 y 2 + 20 x + 30 y + 1 = 0 определяет …
а) … гиперболу,
б) … параболу,
в) … окружность,
д) … прямую.
г) … эллипс,
28. Кривая 2 x 2 + 2 y 2 − 4 x + 6 y = 9 имеет центр в точке с координатами …
3
3
 3


а) … 1;  ,
б) …  −1; −  ,
в) … 1; −  ,
2
2
 2


3
3


д) … 1; −  .
г) …  −1;  ,
2
4


29. Кривая x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 10 = 0 имеет центр в точке с координата-
ми…
а) …
г) …
( −2; −3) ,
( −2;3) ,
б) …
д) …
( 2; −3) ,
( 4; −6 ) .
в) …
( 2;3) ,
30. Координаты вершины параболы x 2 − 6 x − 6 y − 9 = 0 имеют вид …
б) … C ( 3; −3) ,
в) … C ( 3;3) ,
а) … C ( −3; −3) ,
34
г) … C ( −3;0 ) ,
д) … C ( −3;3) .
31. Уравнение 2 x 2 + 3 y 2 + 2 x + 3 y + 15 = 0 определяет …
а) … гиперболу,
б) … параболу,
в) … окружность,
д) … прямую.
г) … эллипс,
32. Ветви параболы y 2 + 4 y + 2 x + 8 = 0 направлены …
а) … влево,
б) … вправо,
г) … вверх.
в) … вниз,
33. Радиус окружности x 2 + y 2 − 2 x + 2 y − 14 = 0 равен …
а) … 2,
б) … 3,
в) … 4,
д) … 6.
г) … 5,
34. Координаты вершины параболы y 2 − 4y − 4x − 4 = 0 имеют вид …
б) … C ( −2;2 ) ,
в) … C ( 2;2 ) ,
а) … C ( −2; −2 ) ,
г) … C ( 2; −2 ) ,
д) … C ( −4;2 ) .
35. Уравнение 9 x 2 +9 y 2 + 20 x + 30 y + 19 = 0 определяет …
а) … гиперболу,
б) … параболу,
в) … окружность,
д) … прямую.
г) … эллипс,
36. Кривая 2 x 2 + y 2 − 4 x + 4 y = 9 имеет центр в точке с координатами …
б) … ( −1; −2 ) ,
в) … (1;2 ) ,
а) … (1; −2 ) ,
г) …
( −1;2 ) ,
( 2; −1) .
д) …
37. Координаты вершины параболы x 2 − 4y − 4x − 4 = 0 имеют вид …
б) … C ( −2;2 ) ,
в) … C ( 2; −2 ) ,
а) … C ( −2; −2 ) ,
г) … C ( 0;4 ) ,
д) … C ( 2;2 ) .
38. Кривая 2 x 2 + 5 y 2 − 2 x + 5 y = 10
5 5
а) …  ; −  ,
б) …
2 2
 1 1
д) …
г) …  − ; −  ,
 2 2
имеет центр в точке с координатами…
 1 1
1 1
−
;
,
в)
…


 ; ,
 2 2
2 2
1 1
 ;−  .
2 2
35
39. Уравнение 3 y 2 + 2 x + 3 y + 15 = 0 определяет …
а) … гиперболу,
б) …параболу,
в) … окружность,
д) … прямую.
г) … эллипс,
40. Каноническое уравнение гиперболы …
x2 y 2
а) …
−
= 1,
9
7
x2 y 2
г) …
−
= 1,
7
9
x2 y 2
б) …
+
= 1,
9
7
x2 y 2
д) …
−
= 1.
9 16
x2 y 2
в) …
−
= 0,
9
7
41. Каноническое уравнение эллипса …
у
5
7
0
x2 y2
а) …
−
= 1,
49 25
x2 y 2
г) …
−
= 0,
49 25
x2 y 2
б) …
+
= 1,
49 25
y 2 x2
д) …
+
= 1.
49 25
36
х
x2 y 2
в) …
+
= 0,
49 25
42. Ветви параболы y + 4 x + 2 x 2 + 8 = 0 направлены …
а) … влево,
б) … вправо,
г) … вверх.
в) … вниз,
43. Уравнение окружности…
у
1
х
0
-1
а) … x 2 − 2 x − y 2 − 2 = 0 ,
б) … x 2 + 2 x − 2 y + y 2 − 4 = 0 ,
в) … x 2 − 2 y + y 2 + 4 = 0 ,
г) … x 2 + 2 x + y 2 = 0 ,
д) … x 2 + 2 x + 2 y + 2 = 0 .
44. Эксцентриситет эллипса равен…
у
5
7
0
12
,
7
2 6
г) … ε =
,
5
а) … ε =
49 6
,
25
2 6
д) … ε =
.
7
б) … ε =
37
х
в) … ε =
25 6
,
49
45. Радиус окружности 2 x 2 + 2 y 2 − 4 x − 4 y − 28 = 0 равен…
а) … 2,
б) … 3,
в) … 4,
д) … 6.
г) … 5,
46. Каноническое уравнение эллипса…
у
4
6
0
x2 y2
а) …
+
= 1,
36 16
y 2 x2
г) …
− = 1,
36 16
х
x2 y2
б) …
−
= 1,
36 16
y2 x2
д) …
+ = 1.
36 16
x2 y2
в) …
+
= 0,
36 16
47. Уравнение окружности…
у
3
0
-3
х
а) … x 2 + 6 x + 6 y + y 2 + 9 = 0 ,
б) … x 2 + 6 x − 6 y − y 2 + 9 = 0 ,
в) … x 2 − 6 x − 6 y − y 2 + 9 = 0 ,
г) … x 2 + 6 x − 6 y + y 2 + 3 = 0 ,
д) … x 2 + 6 x − 6 y + y 2 + 9 = 0 .
38
48. Эксцентриситет эллипса равен…
у
4
6
0
а) … ε =
х
5
5
5
2 5
5
, б) … ε =
, в) … ε =
, г) … ε = , д) … ε =
.
3
6
3
3
2
49. Ветви параболы 4 x + x 2 + 8 − 3 y = 0 направлены …
а) … влево,
б) … вправо,
г) … вверх.
в) … вниз,
50. Радиус окружности x 2 + y 2 − 3 x − 3 y − 18 4 = 0 равен…
а) … 2,
б) … 3,
в) … 4,
д) … 6.
г) … 5,
3.2. Аналитическая геометрия в пространстве
3.2.1. Плоскость в пространстве
51. Уравнение плоскости, проходящей через точку А (10,20,30 ) и параллельно плоскости yOz ,…
а) … 10 x + 20 y + 30 z = 0 ,
б) … x = 10 ,
в) … 10 x + 20 y = 30 ,
д) … x = −10 .
г) … y = 20 ,
52. Уравнение плоскости, проходящей через точку А ( −2, −5,7 ) и параллельно плоскости xOz ,…
б) … x = −2 ,
в) … y + 5 = 0 ,
а) … −2 x − 5 y + 7 z = 0 ,
д) … −2 x − 5 y + 7 z + 2 = 0 .
г) … −2 x + 7 z = −5 ,
39
53. Уравнение плоскости, проходящей через точку А ( 8, −6,1) и параллельно плоскости xOy ,…
б) … x = 8 ,
в) … y = 6 ,
а) … 8 x − 6 y + z = 0 ,
д) … 8 x − 6 y = 0 .
г) … z − 1 = 0 ,
54. Параллельно оси OX проходит плоскость…
б) … y + x = 5 , в) … y + x − z = 6 ,
а) … 8 y − 2 z + 1 = 0 ,
д) … 8 x − y + z = 0 .
г) … 2 x + 3 y − z − 1 = 0 ,
55. Параллельно оси OY проходит плоскость…
б) … y + 4 = 0 ,
а) … x + 3 y + 8 z − 4 = 0 ,
д) … x − 5 y = 7 .
г) … x + z − 1 = 0 ,
в) … y − z = 6 ,
56. Параллельно оси OZ проходит плоскость…
б) … x + z = 0 , в) … x + y − 5 z = 0 ,
а) … − x + y + 8 z − 3 = 0 ,
д) … 4 x + y − 2 = 0 .
г) … z + 7 = 0 ,
57. Через ось OZ проходит плоскость…
б) … 2 x − 3 y = 0 ,
а) … x − y + z − 3 = 0 ,
д) … y = 6 z .
г) … z − 1 = 0 ,
в) … x + 2 y = 5 z ,
58. Через ось OY проходит плоскость…
б) … y = 6 ,
а) … 6 z − 5 x = 0 ,
г) … 4 x + y − z + 2 = 0 ,
д) … y − z + 5 = 0 .
в) … 9 y = 3 z ,
59. Через ось OX проходит плоскость…
б) … x = 2 ,
а) … 3 x + z = 0 ,
д) … y − z = 8 x .
г) … 8 x + 3 y − 4 z + 1 = 0 ,
в) … 2 y = 3 z ,
60. Уравнение плоскости, проходящей через точку А ( 0,1,2 ) и перпенде-
кулярно вектору N {1; −1;0} ,…
а) … x − y − 1 = 0 ,
г) … x − y + 1 = 0 ,
б) … x + y + 1 = 0 ,
д) … y − 2 z − 1 = 0 .
40
в) … y + 2 z − 1 = 0 ,
61. Уравнение плоскости, проходящей через точку А (1, −1,0 ) и перпенде-
кулярно вектору N {1;0;2} ,…
а) … x + 2 z − 1 = 0 ,
г) … x + 2 y − 1 = 0 ,
б) … x − 2 z − 1 = 0 ,
д) … x + 2 y + 1 = 0 .
в) … x + 2 z + 1 = 0 ,
62. Уравнение плоскости, проходящей через точку А ( −3,0,1) и перпенде-
кулярно вектору N {0;6;7} ,…
а) … 6 y − 7 z − 7 = 0 ,
в) … 6 y + 7 z − 7 = 0 ,
д) … 6 x − 7 z + 7 = 0 .
б) … 6 y + 7 z + 7 = 0 ,
г) … 6 x + 7 z − 7 = 0 ,
3.2.2. Прямая линия в пространстве
63. Каноническое уравнение прямой имеет вид…
m
n
p
x + x1 y + y1 z + z1
,
б) …
а) …
=
=
,
=
=
x + x1 y + y1 z + z1
m
n
p
m
n
p
x − x1 y − y1 z − z1
,
в) …
=
=
,
г) …
=
=
x − x1 y − y1 z − z1
m
n
p
д) … m ( x − x1 ) = n ( y − y1 ) = p ( z − z1 ) .
64. Уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку
M ( −2,1,0 ) ,…
x y z
−2 x y z
x
y z
а) … =
= = ,
в) …
= ,
б) …
= = ,
2 −1 0
0
0 0
−2 0 1
x −2 y z
x
y z
= = .
г) … =
= ,
д) …
−2 1 0
1
1
0
65. Уравнение прямой, проходящей через точки A ( 2,0, −1) и B (1,7,5 ) ,…
x − 2 y z +1
x + 2 y z −1
а) …
= =
,
б) …
= =
,
−1
7
6
−1
7
6
x + 2 y z −1
x − 2 y z +1
в) …
= =
,
г) …
= =
,
1
7
6
1
7
6
x − 2 y z +1
д) …
= =
.
−1
7
4
41
66. Уравнение прямой, проходящей через точки A ( 3,4, −2 ) и B ( 0, −4,7 ) ,…
x−3 y −4 z +2
x−3 y −4 z −2
а) …
=
=
,
б) …
=
=
,
3
8
9
−3
−8
9
x y−4 z+2
x−3 y −4 z +2
в) … =
=
,
г) …
=
=
,
3
−8
9
−3
−8
9
x+3 y+4 z+2
д) …
=
=
.
−3
−8
9
67. Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки
A (1,9,0 ) и B ( −1,0,2 ) ,…
 x = 2t + 1

а) …  y = 9t + 9 ,
 z = 2t

 x = −2t − 1

б) …  y = −9t − 9 ,
 z = 2t

 x = −2t

г) …  y = −9t + 9 ,
 z = 2t

 x = −2t + 1

д) …  y = −9t .

 z = 2t + 9
 x = −2t + 1

в) …  y = −9t + 9 ,
 z = 2t

68. Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки A (1,1,4 )
и B ( 5, −2,3) ,…
 x = 4t − 1

а) …  y = −3t − 1 ,
 z = −t − 4

 x = −4t + 1

б) …  y = −3t + 1 ,

 z = −t + 4
 x = 6t + 1

г) …  y = 3t + 1 ,
 z = 7t + 4

 x = −6t + 1

д) …  y = −3t + 1 .

 z = −7t + 4
 x = 4t + 1

в) …  y = −3t + 1 ,
 z = −t + 4

69. Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки
A ( −1,3,6 ) и B ( 0,0,8 ) ,…
x = t + 1

а) …  y = −3t + 3 ,
 z = 2t + 6

 x = −t − 1

г) …  y = 3t + 3 ,
 z = 10t + 6

x = t + 1

б) …  y = 3t + 3 ,

 z = 2t − 6
x = t −1

д) …  y = −3t + 3 .

 z = 2t + 6
42
x = t −1

в) …  y = −3t − 3 ,
 z = 2t − 6

70. Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки
A ( 0, −2,0 ) и B (1,2,3) ,…
x = t −1

а) …  y = 4t − 2 ,
 z = 3t − 1

 x = −t

г) …  y = 4t − 2 ,
 z = −3t

x = t

б) …  y = 4t − 2 ,
 z = 3t

x = t

д) …  y = −4t .
 z = 3t

x = t

в) …  y = 4t ,
 z = 3t

3.2.3. Прямая и плоскость в пространстве
71. Координаты точки пересечения прямой
2 x − y + 3 z − 4 = 0 равны …
а) … x = 1; y = 0; z = −2 ,
в) … x = 1; y = 2; z = 0 ,
д) … x = 1; y = −2; z = 0 .
x −1 y − 9 z
=
= с плоскостью
−2
−9
2
б) … x = −1; y = 2; z = 0 ,
г) … x = −1; y = 0; z = 2 ,
72. Координаты точки пересечения прямой
2 x − y + 3 z − 15 = 0 равны …
а) … x = −3; y = −9; z = 4 ,
в) … x = −3; y = 4; z = 9 ,
д) … x = −3; y = 0; z = 4 .
x −1 y − 9 z
=
= с плоскостью
−2
−9
2
б) … x = 3; y = 9; z = 4 ,
г) … x = 0; y = −9; z = 4 ,
73. Координаты точки пересечения прямой
2 x − y + 3 z + 7 = 0 равны …
а) … x = 1; y = −9; z = 0 ,
в) … x = −1; y = −9; z = 0 ,
д) … x = −1; y = 9; z = 2 .
x −1 y − 9 z
=
= с плоскостью
−2
−9
2
б) … x = 1; y = 9; z = 0 ,
г) … x = 1; y = 0; z = 2 ,
43
3.2.4. Поверхности второго порядка
74. Уравнение
( x − 2)
2
( y + 3)
+
2
( y + 3)
+
2
( z − 5)
+
2
( z − 5)
−
2
= 1 определяет …
5
3
14
а) … гиперболический параболоид,
б) … эллиптический цилиндр,
в) … однополостный гиперболоид,
г) … эллипсоид,
д) … эллиптический параболоид.
( x − 2)
2
= 1 определяет …
5
3
14
а) … гиперболический параболоид,
б) … эллиптический цилиндр,
в) … эллиптический однополостный гиперболоид,
г) … эллипсоид,
д) … эллиптический параболоид.
75. Уравнение
( x − 2)
76. Уравнение −
2
( y + 3)
−
2
( z − 5)
+
2
= 1 определяет …
5
3
14
а) … гиперболический параболоид,
б) … эллиптический двуполостный гиперболоид,
в) … однополостный гиперболоид,
г) … конус,
д) … эллиптический параболоид.
77. Уравнение
( x − 2)
2
( y + 3)
+
2
( y + 3)
+
2
( z − 5)
−
5
3
14
а) … гиперболический параболоид,
б) … двуполостный гиперболоид,
в) … однополостный гиперболоид,
г) … конус,
д) … эллиптический параболоид.
( x − 2)
2
2
= 0 определяет …
= 2 z определяет …
5
3
а) … гиперболический параболоид,
б) … двуполостный гиперболоид,
в) … эллиптический цилиндр,
78. Уравнение
44
г) … конус,
д) … эллиптический параболоид.
( x − 2)
2
( x − 2)
2
( x − 2)
2
( y + 3)
−
2
= 2 z определяет …
5
3
а) … гиперболический параболоид,
б) … двуполостный гиперболоид,
в) … эллиптический цилиндр,
г) … гиперболический цилиндр,
д) … эллиптический параболоид.
79. Уравнение
( z + 3)
+
2
( z + 3)
−
2
= 1 определяет …
5
3
а) … гиперболический параболоид,
б) … параболический цилиндр,
в) … эллиптический цилиндр,
г) … гиперболический цилиндр,
д) … эллиптический параболоид.
80. Уравнение
= 1 определяет …
5
3
а) … гиперболический параболоид,
б) … двуполостный гиперболоид,
в) … эллиптический цилиндр,
г) … гиперболический цилиндр,
д) … параболический цилиндр.
81. Уравнение
82. Уравнение ( z + 3) = 6 ( x − 2 ) определяет …
а) … гиперболический параболоид,
б) … двуполостный гиперболоид,
в) … эллиптический цилиндр,
г) … гиперболический цилиндр,
д) … параболический цилиндр.
2
45
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.1. Дифференциальное исчисление
функции одной переменных
1. Угол с осью ОХ, образованный касательной к графику функции
y = x + x в начале координат, равен…
2
а) … −
π
4
π
г) … −
2
π
,
б) …
,
д) … 0.
4
,
в) …
π
2
,
2. Производная функции y = 5sin 2 ( 3 x 2 + 4 ) равна…
а) … y′ = 30sin ( 6 x 2 + 8 ) ,
б) … y′ = 30 x sin ( 3 x 2 + 4 ) ,
в) … y′ = 30 x sin ( 6 x 2 + 8 ) ,
г) … y′ = 30 x cos ( 6 x 2 + 8 ) ,
д) … y′ = 30 x cos ( 3 x 2 + 4 ) .
3. Угол с осью ОХ, образованный касательной к графику функции y = x 3
в начале координат, равен…
а) … −
г) …
π
π
3
6
,
,
б) …
д) …
π
4
π
2
,
в) … 0,
.
4. Производная функции y = l n 2 sin x равна…
б) … y′ = 2 ⋅ l n sin x ⋅ cosx ,
а) … y′ = l n sin x ⋅ tgx ,
г) … y′ = ln sin x ⋅ ctgx ,
в) … y′ = 2 ⋅ ln sin x ⋅ tgx ,
д) … y′ = 2 ⋅ ln sin x ⋅ ctgx .
5. Угол с осью ОХ, образованный касательной к графику функции y = x
1 1
в точке A  ;  , равен…
4 2
а) …
г) …
π
3
π
4
,
б) …
,
д) …
46
π
6
π
2
,
.
в) … 0,
6. Производная функции y = arctg 2 e x равна…
2arctge x
а) … y′ =
,
1 + e2 x
2e x arctge x
в) … y′ =
,
1 + ex
2e x arctge x
.
д) … y′ =
1 + x2
2e x arctge x
б) … y′ =
,
1 + e2 x
2arctge x
г) … y′ =
,
1 + ex
7. Угол с осью ОХ, образованный касательной к графику функции y = e x
в точке A ( 0;1) , равен…
а) …
г) …
π
4
π
3
,
б) …
,
д) …
π
6
π
2
,
в) … 0,
.
8. Производная функции y = arcsin( x 2 + 2 x ) равна…
а) … y′ =
x2 + 2x
1− ( x + 2
2
в) … y′ =
2 x + 2 x ln 2
1+ (x + 2
2
д) … y′ =
)
x 2
2x + 2x
)
x 2
1 + ( x2 + 2x )
,
б) … y′ =
,
г) … y′ =
2 x + 2 x ln 2
1 − ( x2 + 2x )
2 x + 2 x ln 2
1− ( x + 2
2
)
x 2
,
,
.
9. Угол с осью ОХ, образованный касательной к графику функции
1
1
1
y = x3 + x 2 +
x в начале координат, равен…
3
2
3
а) …
г) …
π
4
π
3
π
,
б) …
,
д) … 0.
47
6
,
в) …
π
2
,
10. Производная функции y = 5cos 2 ( 4 x 2 + 3) равна…
а) … y′ = −40 x sin ( 8 x 2 + 6 ) ,
б) … y′ = 40 x sin ( 8 x 2 + 6 ) ,
в) … y′ = −40sin ( 8 x 2 + 6 ) ,
г) … y′ = −40 x sin ( 4 x 2 + 3) ,
д) … y′ = 40 x sin ( 4 x 2 + 3) .
11. Угол с осью ОХ, образованный касательной к графику функции
1
1
y = x 4 + x 3 + 3x в начале координат, равен…
4
3
а) …
π
4
,
г) … 0,
б) … y′ =
в) … y′ =
г) … y′ =
д) … y′ =
6
π
д) …
12. Производная функции y = e
а) … y′ =
π
б) …
2 xe
2 xe
2e
2e
(
sin ln x 2 + 2
(
sin ln x 2 + 2
) ⋅ cos ln
+2
(x
+2
2
) ⋅ cosln
(x
2
+2
2
+2
2
+2
x2 + 2
(
sin ln x 2 + 2
(
) ⋅ sin ln
(x
x2 + 2
sin ln x 2 + 2
) ⋅ cos
x2 + 2
(x
π
2
,
) равна…
),
2
x2 + 2
(
tg7 x
=…
x →0 tg8 x
7
а) … − ,
8
(x
(
в) …
.
sin ln x 2 + 2
x2 + 2
sin ln x 2 + 2
2 xe
) ⋅ sin ln
3
,
),
),
),
).
13. lim
г) … 1,
8
,
7
8
д) … − .
7
б) …
48
в) …
7
,
8
x4 − 6 x
=…
14. lim 3
x →∞ x − x 4
а) … 1,
г) … –1,
б) … 6,
д) … 4.
в) … –6,
1 − cos 4 x
=…
x →0
sin 4 x
а) … 1,
г) … –2,
б) … –1,
д) … 0.
в) … 2,
x4 − x + 2 x6
=…
x →∞
x7 − 3x 4
а) … 1,
г) … –1,
б) … 0,
д) … 4.
в) … –6,
15. lim
16. lim
sin 7 x
=…
x →0
3x
17. lim
7
,
3
а) … 1,
б) …
7
г) … − ,
3
д) … ∞ .
18. lim
x →0
в) … –1,
1− x −1
=…
x
1
а) … − ,
2
г) … –1,
1
,
2
1
д) … .
3
б) …
в) … 0,
3sin 2 x
=…
x →0 11x 2 − 7 x
19. lim
а) … 3,
6
г) … − ,
7
6
,
7
3
д) … − .
7
б) …
49
в) … –3,
3x 2 − 5 x − 8
20. lim
=…
x →−1 3 x − 7 x 2 + 10
11
а) … − ,
17
17
,
г) …
11
51
,
77
77
д) …
.
51
77
,
51
б) …
в) … −
б) … e9 ,
д) … e −9 .
в) … e −12 ,
−3 x
21. lim ( x + 5 ) x + 4 =…
x →−4
12
а) … e ,
г) … e −3 ,
x5 − 2 x 2 + x3
22. lim 6
=…
x →∞ x − 3 x 5 + x 2 + 10
а) … 1,
б) … 6,
г) … –1,
д) … –3.
 3 x − 31 
23. lim 

x →∞ 3 x + 14


15
а) … e ,
г) … e −3 ,
в) … 0,
−5 x
=…
11x5 − 8 x 6 + x10
24. lim
=…
x →∞ 3 x 9 − 4 x 7 + 2
а) … 1,
г) … –1,
б) … e75 ,
д) … e −5 .
б) … –3,
д) … ∞ .
в) … e −12 ,
в) … 0,
25. Уравнение касательной к графику функции y = x5 + 2 в точке
A (1;3) …
а) … y + 5 x + 6 = 0 ,
б) … y − 5 x − 6 = 0 ,
г) … y + 5 x + 2 = 0 ,
в) … y − 5 x + 2 = 0 ,
д) … y − 5 x + 6 = 0 .
26. Уравнение нормали к графику функции y = x5 + 2 в точке A (1;3) …
а) … 5 y + x − 4 = 0 ,
б) … 5 y − x − 4 = 0 ,
г) … y + 5 x + 4 = 0 ,
в) … 5 y + x − 16 = 0 ,
д) … 5 y + x + 16 = 0 .
50
π

27. Производная функции y = e3 x tg  3 x +  в точке x = 0 равна …
4

б) … –9,
в) … 1,
а) … 9,
г) … –1,
д) … 3.
28. Уравнение касательной к графику функции y = 4 x3 + 2 x − 5 в точке
A ( 0; −5 ) …
а) … y + 2 x + 5 = 0 ,
б) … y − 2 x + 2 = 0 ,
г) … y − 2 x + 5 = 0 ,
в) … y − 2 x − 2 = 0 ,
д) … y − x + 5 = 0 .
29. Уравнение нормали к графику функции y = 4 x 3 + 2 x − 5 в точке
A ( 0; −5 ) …
а) … 2 y + x + 10 = 0 ,
б) … 2 y + x − 10 = 0 ,
г) … y + 2 x + 10 = 0 ,
в) … 2 y − x − 10 = 0 ,
д) … y + 2 x − 10 = 0 .
π

30. Производная функции y = ln sin  − x  в точке x = 0 равна …
2

б) … 0,
в) … 1,
а) … ∞ ,
д) … 3.
г) … –3,
31. Уравнение касательной к графику функции y = 4 x3 + 2 x − 5 в точке
A (1;1) …
а) … y + 14 x + 14 = 0 ,
б) … y − 14 x + 13 = 0 ,
г) … 14 y − x + 13 = 0 ,
в) … y − 14 x − 13 = 0 ,
д) … 14 y + x + 14 = 0 .
32. Уравнение нормали к графику функции y = 4 x 3 + 2 x − 5 в точке
A (1;1) …
а) … 14 y + x − 14 = 0 ,
б) … y + 14 x − 15 = 0 ,
г) … 14 y − x + 15 = 0 ,
в) … y + 14 x + 14 = 0 ,
д) … 14 y + x − 15 = 0 .
51
3x
33. Производная функции y =
а) … ln 3,
г) … 10 + ln 3 ,
в точке x = 0 равна …
π

ctg  + 5 x 
4

б) … 10 ,
в) … ln 3 − 10 ,
д) … 10 − ln 3 .
34. Уравнение касательной к графику функции y = x5 + 2 в точке
A ( −1;1) …
б) … y + 5 x − 6 = 0 ,
а) … y + 5 x + 6 = 0 ,
в) … y − 5 x + 2 = 0 ,
г) … y + 5 x + 2 = 0 ,
д) … y − 5 x − 6 = 0 .
35. Уравнение нормали к графику функции y = x5 + 2 в точке A ( −1;1) …
б) … 5 y − x − 4 = 0 ,
а) … 5 y + x − 4 = 0 ,
в) … 5 y + x + 4 = 0 ,
г) … y + 5 x + 4 = 0 ,
д) … 5 y + x + 2 = 0 .
π

36. Производная функции y = arcsin 5 x ⋅ tg  8 x +  в точке x = 0 равна …
4

а) … 1,
б) … 0,
в) … 8,
д) … –5.
г) … 5,
37. Длина промежутка убывания функции y = x5 − 10 x 4 + 9 равна…
б) … 4,
в) … 8,
а) … 20,
д) … 6.
г) … 5,
38. Наибольшее значение функции y = x5 − 10 x 4 + 9 на отрезке [ −5;5] рав-
но…
а) … 3,
г) … 5,
б) … 9,
д) … –5.
39. Уравнения асимптот функции
в) … 8,
( 3x − 2 )
y=
а) … y = x − 1; x = 2 3 ,
в) … x = 1 ,
д) … y = 9 x − 3; x − 1 = 0 .
52
2
имеют вид…
x −1
б) … y = x − 1; x = 1 ,
г) … y = 9 x − 3; x = 2 3 ,
40. Длина промежутка убывания функции y = 2 x3 + 9 x 2 + 12 x + 10 равна…
б) … 2,
в) … 3,
а) … 1,
д) … 5.
г) … 4,
41. Наибольшее значение функции y = 2 x3 + 9 x 2 + 12 x + 10 на отрезке
[ −3;0] равно…
б) … 2,
в) … 6,
а) … 12,
д) … 10.
г) … 9,
3x 2 + 8 x + 2
имеют вид…
42. Уравнения асимптот функции y =
3x
а) … y = x − 8 3; x = 0 ,
б) … y = x + 8 3; x = 0 ,
в) … x = 0 ,
г) … y = x − 8 3 ,
д) … y = x + 8 3 .
43. Длина промежутка убывания функции y = x3 − 9 x 2 + 24 x − 12 равна…
б) … 2,
в) … 3,
а) … 1,
д) … 5.
г) … 4,
44. Наибольшее значение функции y = x3 − 9 x 2 + 24 x − 12 на отрезке
[1;9 2] равно…
б) … 9,
в) … 24,
а) … 8,
г) … 6,
д) … 1.
45. Уравнения асимптот функции
( 3x − 1)
y=
9x 3
1
− ;x = ,
2 4
2
1
в) … x = ,
2
9x 3
1
д) … y =
− ; x=− .
2 4
2
2x − 1
2
имеют вид…
9x 3
1
+ ; x= ,
2 4
2
9x 3
г) … y =
− ,
2 4
а) … y =
б) … y =
53
46. График функции, у которой на промежутке [ a; b ] y > 0; y′ < 0; y′′ < 0 ,
имеет вид:
I
II
III
IV
а) … только I,
в) … только III,
д) … III и II.
б) … только II,
г) … только IV,
47. Длина промежутка убывания функции y = 2 x3 − 3 x 2 − 36 x + 10 равна…
б) … 2,
в) … 3,
а) … 1,
д) … 5.
г) … 4,
48. Наибольшее значение функции y = 2 x3 − 3 x 2 − 36 x + 10 на отрезке
[ −3;4] равно…
б) … 26,
в) … 54,
а) … 15,
д) … 31.
г) … 62,
54
49. График функции, у которой на промежутке [ a; b ] y > 0; y′ < 0; y′′ > 0 ,
имеет вид:
I
II
III
IV
а) … только I,
в) … только III,
д) … III и II.
б) … только II,
г) … только IV,
 x = e−2t
dy
равна…
50. Производная
функции 
3t
dx
 y = e
3
3
а) … y′x = − et ,
б) … y′x = et ,
2
2
3
3
г) … y′x = − e3t ,
в) … y′x = − e−t ,
2
2
2
д) … y′x = − e−t .
3
55
2 ( x − 2)
имеют вид…
51. Уравнения асимптот функции y =
x+2
а) … y = 2 x + 12; x = 2 ,
б) … y = 2 x − 12; x = −2 ,
в) … x = −2 ,
г) … y = 2 x + 12; x = −2 ,
д) … y = 2 x − 12 .
2
52. График функции, у которой на промежутке [ a; b ] y > 0; y′ > 0; y′′ > 0 ,
имеет вид:
I
II
III
а) … только I,
в) … только III,
д) … I и IV.
IV
б) … только II,
г) … только IV,
 x = cos3t
dy
функции 
равна…
3
dx
 y = sin t
sin t cos t
sin 2 t cos t
,
б) … y′x = −
,
а) … y′x = −
sin 3t
sin 3t
53. Производная
56
sin 2 t cos t
,
в) … y′x =
sin t
sin 2 t cos t
′
.
д) … y x = −
3sin 3t
sin 2 t
г) … y′x = −
,
sin 3t
54. График функции, у которой на промежутке [ a; b ] y > 0; y′ > 0; y′′ < 0 ,
имеет вид:
I
II
III
IV
а) … только I,
в) … только III,
д) … I и IV.
55. Производная
а) … y′x =
б) … только II,
г) … только IV,
 x = t − sin t
dy
функции 
равна…
dx
 y = 1 − cos t
1 − cos t
,
sin t
б) … y′x =
57
sin t
,
1 + cos t
sin t
,
1 − cos t
1 − sin t
.
д) … y′x =
1 − cos t
в) … y′x =
56. Производная
а) … y′x = −t 4 ,
г) … y′x =
1 + cos t
,
sin t
 x = − ln t
dy
функции 
равна…
4
dx
y
t
=

б) … y′x = −4t 2 ,
в) … y′x = −4t 3 ,
г) … y′x = 4t 4 ,
д) … y′x = −4t 4 .
57. Производная y′x функции 2 x + 2 y = 5 x + y равна…
5 x + y ln 5 − 2 x ln 2
,
а) … y′x = y
2 ln 2 + 5 x + y ln 5
5x+ y − 2 x
,
в) … y′x = y
2 − 5x+ y
5 x + y ln 5 + 2 x ln 2
.
д) … y′x = y
2 ln 2 + 5 x + y ln 5
5 x + y ln 5 + 2 x ln 2
,
б) … y′x = y
2 ln 2 − 5 x + y ln 5
5 x + y ln 5 − 2 x ln 2
г) … y′x = y
,
2 ln 2 − 5 x + y ln 5
58. Производная y′x функции y 2 − 2 xy + 3 x 2 = 0 равна…
y − 3x
y + 3x
,
б) … y′x =
,
а) … y′x =
y−x
y+x
y − 3x
y − 3x
,
в) … y′x =
,
г) … y′x =
x− y
y − 2x
2 y − 3x
д) … y′x =
.
2y − x
59. Производная y′x функции y 2 cos x = sin 2 y равна…
y 2 sin x
а) … y′x =
,
2 y cos x − 2cos y
б) … y′x =
y 2 sin x
в) … y′x =
,
y cos x − 2cos y
y 2 sin x
г) … y′x =
,
2 y cos x + 2cos 2 y
д) … y′x =
y 2 sin x
.
2 y cos x − 2cos 2 y
58
y sin x
,
2 y cos x − 2cos 2 y
60. Производная y′x функции arctg
а) … y′x =
в) … y′x =
д) … y′x =
e
y
(
y
2
x +y
2
x
(
,
б) … y′x =
)
,
г) … y′x =
)
.
)
+x
e y x2 + y 2 + y
e
y
(
y
2
x
= e y равна…
y
x − y2 + x
e
y
(
y
)
,
)
,
2
x + y2 − x
(
x
e y x2 + y 2 − y
4.2. Дифференциальное исчисление
функции нескольких переменных
61. Частная производная f y′ от функции f ( x, y ) = ln ( x 2 + y ) равна…
x2 + y
,
а) … f y′ =
2x + y
2x
,
в) … f y′ = 2
x +y
y
.
д) … f y′ = 2
x +y
2x + y
,
x2 + y
1
г) … f y′ = 2
,
x +y
б) … f y′ =
62. Частная производная f x′ функции f ( x, y ) = ln ( x 2 + y ) в точке A (1;3)
равна…
1
,
4
1
г) … ,
5
а) …
1
,
2
1
д) …
.
10
б) …
в) …
2
,
3
63. Частная производная f y′ от функции f ( x, y ) = x 2 sin y равна…
а) … f y′ = 2 x cos y ,
б) … f y′ = 2 x sin y ,
59
в) … f y′ = x 2 cos y ,
x
cos y ,
y
г) … f y′ =
x2
д) … f y′ =
cos y .
2 y
64. Частная производная
 π2 
A  2;  равна…
 4 
а) … 1,
г) … 4,
f x′ функции
f ( x, y ) = x 2 sin y
б) … 2,
д) … 5.
в точке
в) … 3,
65. Частная производная f y′ от функции f ( x, y ) = xe y + ye x равна…
а) … f y′ = xe y + e x ,
б) … f y′ = xe x + e y ,
в) … f y′ = e x + xe y ,
г) … f y′ = e x + e y ,
д) … f y′ = xe x − e y .
66. Частная производная f x′ функции f ( x, y ) = xe y + ye x в точке A ( 0;0 )
равна…
а) … 1,
б) … 2,
в) … 3,
д) … 5.
г) … 4,
x+ y
равна…
x
x
б) … f y′ =
,
2
x2 + ( x + y )
67. Частная производная f y′ от функции f ( x, y ) = arctg
а) … f y′ =
в) … f y′ =
д) … f y′ =
x2
x2 + ( x + y )
2
x2
,
x − ( x + y)
x
2
x3 + ( x + y )
3
x
x + ( x + y)
2
,
.
68. Частная производная
A (1; −1) равна…
а) … 1,
г) … 4,
г) … f y′ =
,
2
f x′ функции
б) … 2,
д) … 0.
60
f ( x, y ) = arctg
x+ y
в точке
x
в) … 3,
69. Частная производная f y′ от функции f ( x, y ) =
а) … f y′ = −
в) … f y′ =
д) … f y′ =
x2
(1 − 2 y )
2
б) … f y′ = −
,
2 x2
,
1− 2y
г) … f y′ =
x2
(1 − 2 y )
2
2 x2
(1 − 2 y )
2 x2
(1 − 2 y )2
2
,
,
.
70. Частная производная f x′ функции f ( x, y ) =
равна…
а) … 5,
г) … 8,
x2
равна…
1− 2y
б) … 6,
д) … 9.
x2
в точке A ( 3;0 )
1− 2y
в) … 7,
71. Функция z = 2 y 2 − xy + x 2 + 7 x достигает экстремума в точке…
а) … ( −4; −1) ,
б) … ( −4;1) ,
в) … ( 4; −1) ,
г) …
( 4;1) ,
д) …
( −1; −4 ) .
72. Функция z = 4 y 2 − 3 xy + 2 x 2 + 7 y достигает экстремума в точке…
 21 28 
 21 28 
а) …  − ;  ,
б) …  ; −  ,
 23 23 
 23 23 
 21 28 
 28 21 
в) …  ;  ,
г) …  − ; −  ,
 23 23 
 23 23 
 21 28 
д) …  − ; −  .
 23 23 
73. Функция z = 2 xy − 3 y 2 − x 2 + 2 y − x + 9 достигает экстремума в точке…
 1 1
 1 1
а) …  − ;  ,
б) …  − ; −  ,
 4 4
 4 4
61
1 1
в) …  ;  ,
4 4
 3 1
д) …  − ;  .
 4 4
1 1
г) …  ; −  ,
4 4
74. Функция z = xy − y 2 − 5 x 2 − 11 y − 4 x + 6 достигает экстремума в точ-
ке…
а) … ( −1;6 ) ,
г) … (1;6 ) ,
б) … (1; −6 ) ,
д) … ( −6; −1) .
в) …
( −1; −6 ) ,
75. Функция z = xy + 3 y 2 + 3 x 2 − 4 y + 46 x + 7 достигает экстремума в точ-
ке…
а) … ( −8;2 ) ,
г) … ( 8; −2 ) ,
б) …
д) …
62
( −8; −2 ) ,
( −2;8) .
в) … ( 8;2 ) ,
5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
5.1. Неопределенные интегралы
1. ∫ cos 2 xdx = …
1
1
x − sin 2 x + C ,
2
8
1
1
в) … − x − sin 2 x + C ,
2
8
1 1
д) … + sin 2 x + C .
2 8
1
1
б) … − x + sin 2 x + C ,
2
8
1
1
г) … x + sin 2 x + C ,
2
8
а) …
2. ∫ ln xdx = …
а) … x ln x + x + C ,
в) … x − x ln x + C ,
д) … ln x + x + C .
б) … x ln x − x + C ,
г) … ln x − x + C ,
3. ∫ x 2 sin xdx = …
а) …
б) …
в) …
г) …
д) …
− x 2 cos x + 2 x sin x + 2cos x + C ,
− x 2 cos x + 2 x sin x − 2cos x + C ,
− x 2 cos x − 2 x sin x − 2cos x + C ,
x 2 cos x + 2 x sin x − 2cos x + C ,
− x 2 cos x − 2 x sin x + 2cos x + C .
arctgx − x
dx = …
1 + x2
1
а) …
arctg 2 x − ln 1 + x 2 + C ,
2
1
б) …
arctg 2 x + ln 1 + x 2 + C ,
2
1
в) …
arctgx − ln 1 + x 2 + C ,
2
1
г) …
arctgx + ln 1 + x 2 + C ,
2
д) … arctg 2 x − ln 1 + x 2 + C .
4.
∫
(
(
(
(
)
)
)
)
63
cos3 x
5. ∫ 2 dx = …
sin x
1
а) …
− sin x + C ,
sin x
1
в) … −
− sin x + C ,
sin x
1
д) … −
− sin x + C .
2sin 2 x
1
+ sin x + C ,
sin x
1
г) …
+ sin x + C ,
sin x
б) … −
ctg 3 x
6. ∫ 2 dx = …
sin x
tg 4 x
а) … −
+C,
4
ctg 4 x
в) …
+C,
4
ctg 4 x
д) … −
+C.
4
ctg 3 x
+C,
б) … −
3
tg 4 x
г) …
+C,
4
7. Подстановка, которая сводит интеграл
∫
x +3
3
x2 − 5
dx к интегралу от ра-
циональной функции, имеет вид…
а) … x = t 2 ,
б) … x = t 3 ,
г) … x = t 5 ,
д) … x = t 6 .
8. Подстановка, которая сводит интеграл
в) … x = t 4 ,
dx
∫ sin x + cos x
циональной функции, имеет вид…
x
2dt
1− t2
2t
;
cos
x
=
; sin x =
,
а) … t = tg ; dx =
2
2
2
1+ t
1+ t
1+ t2
dt
1− t2
2t
; cos x =
; sin x =
,
б) … t = tgx; dx =
2
2
1+ t
1+ t
1+ t2
x
2dt
1+ t2
2t
;
cos
; sin x =
x
=
,
в) … t = tg ; dx =
2
2
2
1+ t
1− t
1− t2
x
2dt
1− t2
t2
г) … t = tg ; dx =
; cos x =
; sin x =
,
2
1+ t2
1+ t2
1+ t2
64
к интегралу от ра-
x
2dt
1− t2
2t
д) … t = tg ; dx =
;
sin
x
=
;
cos
x
=
.
2
1+ t2
1+ t2
1+ t2
9. Подстановка, которая сводит интеграл
рациональной функции, имеет вид…
а) … x − 2 = t 2 ,
в) … x − 2 = t 3 ,
д) … x − 2 = t 20 .
∫
x−2 +3
5
( x − 2)
3
−5
dx к интегралу от
б) … x − 2 = t 5 ,
г) … x − 2 = t10 ,
10. Подстановка, которая сводит интеграл
dx
∫ 6sin 5 x − 7cos5x − 3 к инте-
гралу от рациональной функции, имеет вид…
x
2dt
1− t2
2t
; cos5 x =
; sin 5 x =
,
а) … t = tg ; dx =
2
2
2
1+ t
1+ t
1+ t2
x
2dt
1− t2
2t
;
cos
x
=
;
sin
x
=
,
б) … t = tg ; dx =
2
1+ t2
1+ t2
1+ t2
5x
2dt
1− t2
2t
; cos5 x =
; sin 5 x =
,
в) … t = tg ; dx =
2
2
2
5 + 5t
1+ t
1+ t2
5x
2dt
1− t2
2t
г) … t = tg ; dx =
;
sin
5
x
=
;
cos5
x
=
,
2
5 + 5t 2
1+ t2
1+ t2
5x
2dt
1− t2
t2
; cos5 x =
; sin 5 x =
.
д) … t = tg ; dx =
2
5 + 5t 2
1+ t2
1+ t2
11. ∫ x − 4 ( x + 2) dx = …
а) …
б) …
в) …
г) …
д) …
2
2
52
32
2
( x + 2) − ( x + 2) − 2 ( x + 2) + C ,
5
3
2
2
52
32
( x − 4) − ( x − 4) − 2 ( x − 4) + C ,
5
3
2
2
52
32
2
( x + 2) + ( x + 2) + 2 ( x + 2) + C ,
5
3
2
2
52
32
( x − 4) + ( x − 4) + C ,
5
3
2
52
32
( x − 4) + 4 ( x − 4) + C .
5
65
12.
dx
∫2− x− x
2
=…
1 2− x
ln
+C,
3 1− x
1 2+ x
в) … ln
+C ,
3 1+ x
1 1− x
д) … ln
+C .
3 2+ x
1 2+ x
ln
+C ,
3 1− x
2+ x
+C,
г) … ln
1− x
а) …
б) …
13. ∫ sin 3x cos5 x dx = …
а) …
б) …
в) …
г) …
д) …
1
1
cos ( −2 x ) + cos8 x + C ,
4
16
cos ( −2 x ) − cos8 x + C ,
1
1
cos 2 x − cos8 x + C ,
4
16
1
1
cos8 x − cos ( −2 x ) + C ,
4
16
1
1
− cos ( −2 x ) − cos8 x + C .
4
16
14. ∫ x9 x dx = …
x9 x
9x
+
+C,
а) …
ln 9 ( ln 9 )2
x9 x 9 x
б) …
−
+C,
ln 9 ln 9
x
9x
−
+C,
в) …
ln 9 ( ln 9 )2
x9 x 9 x
+
+C,
г) …
ln 9 ln 9
x9 x
9x
−
+C.
д) …
ln 9 ( ln 9 )2
15.
sin x
∫ cos 5 x dx = …
1
+C,
4cos 4 x
1
+C,
в) …
5cos5 x
1
+C.
д) …
4sin 4 x
1
+C,
4cos 4 x
1
г) … −
+C,
5cos5 x
б) … −
а) …
66
16.
∫
dx
=…
2
x − 2x + 3
1
а) … ln x − 1 + x 2 − 2 x + 3 + C ,
2
1
б) … ln x + 1 + x 2 − 2 x + 3 + C ,
2
в) … ln x − 1 − x 2 − 2 x + 3 + C ,
г) … ln x − 1 + x 2 − 2 x + 3 + C ,
д) … ln x + 1 + x 2 − 2 x + 3 + C .
17.
∫
а) …
x4
5
x −5
dx = …
2 5
x −5 +C,
5
1 5
г) …
x −5 +C ,
5
x5 − 5 + C ,
б) …
в) … 2 x5 − 5 + C ,
д) …
1
ln x 5 − 5 + C .
5
18. ∫ e x сtg(e x )dx = …
а) … 2ln sin ( e x ) + C ,
б) … − ln cos ( e x ) + C ,
в) … ln cos ( e x ) + C ,
г) … − ln sin ( e x ) + C ,
д) … ln sin ( e x ) + C .
x −1
dx = …
8 + 4 x + x2
1
3
x+2
а) … ln x 2 + 4 x + 8 − arctg
+C,
2
2
2
1
3
x+2
б) … ln x 2 + 4 x + 8 + arctg
+C,
2
2
2
1
3
x+2
в) … ln x 2 + 4 x + 8 − arctg
+C,
2
2
x
19. ∫
67
г) … ln x 2 + 4 x + 8 − arctg
д) …
20.
x+2
+C,
2
1
ln x 2 + 4 x + 8 − 3arctg ( x + 2 ) + C .
2
dx
∫ cos 2 x sin 2 x = …
а) … − tgx − ctgx + C ,
б) … − tgx + ctgx + C ,
в) … tg x − ctgx + C ,
д) … tgx + ctgx + C .
г) … tgx − ctgx + C ,
2
5.2. Определенные интегралы
1
21.
∫(
)
x + 2 x 3 dx = …
0
7
,
6
3
г) … − ,
2
а) …
7
б) … − ,
6
5
д) … .
6
в) …
3
,
2
22. Объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линия2
ми y = x , y = 0, x = 2 , вокруг оси абсцисс, равен …
22
32
32
а) …
π,
б) …
π,
в) …
π,
5
5
15
22
32
г) …
.
π,
д) …
15
5
1
x4
23. ∫ 2
dx = …
+
x
1
−1
π 4
а) …
+ ,
2 3
π 4
г) …
+ ,
4 3
π
4
− ,
4 3
4
д) … .
3
б) …
68
в) …
π
4
− ,
2 3
24. Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x3 , y = 8, x = 0 , равна …
а) … 10,
б) … 13,
в) … 12,
г) … 20,
д) … 16.
1
x4
∫0 x5 + 1 dx = …
1
а) … − ln 2 ,
5
1
г) … ln 2 ,
5
25.
б) …
1
ln 6 ,
5
в) …
1
ln 2 ,
4
д) … ln 2 .
26. Укажите интеграл, представляющий площадь заштрихованной части
фигуры, изображенной на чертеже:
y
1
0
2
а) …
∫ (1 − x )
1
1
в) …
∫ (1 −
0
1
д) …
∫(
0
2
1
х
2
2
dx ,
б) …
∫ ( x + 1)
1
2
)
y dy ,
г) …
∫ ( x − 1)
2
dx ,
2
dx ,
1
)
y − 3 dy .
1
4x
∫0 5x + 1 dx = …
4
а) … ( 5 + ln 6 ) ,
25
4
в) … ( 5 + ln 6 ) ,
5
4
д) …
( 5 − ln 6 ) .
25
27.
4
( 5 − ln 6 ) ,
5
1
г) … ln 6 ,
5
б) …
69
∫ ( 2x
1
28.
3
0
(
)
x 4 + 1 dx = …
)
1
2 2 +1 ,
3
1
г) … − ,
3
а) …
б) … 2 2 − 1 ,
д) …
(
в) …
)
2 2
,
3
1
2 2 −1 .
3
 x2 + 1 
29. ∫ 
 dx = …
+
x
3

0
5
4
а) … + 10ln ,
2
3
3
4
в) … − + 10ln ,
2
3
5
4
д) … − + ln .
2
3
1
5
4
б) … − − 10ln ,
2
3
5
4
г) … − + 10ln ,
2
3
2
30. Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x + 1 и y = 5 , равна …
48
32
32
,
б) …
,
в) …
а) …
π,
3
3
3
48
32
г) …
.
π,
д) …
5
5
31. Объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линия-
ми y = x + 1 и y = 5 , вокруг оси ординат, равен …
16
16
,
б) …
π,
а) …
3
5
48
г) …
π,
д) … 8π .
5
2
в) …
32
π,
3
2
32. ∫ x 2 4 − x 2 dx = …
0
а) … −π ,
г) …
π
4
,
б) … π ,
д) …
70
π
6
.
в) …
π
2
,
33. Укажите интеграл, представляющий площадь заштрихованной части
фигуры, изображенной на чертеже:
y
4
-2
0
х
2
2
а) …
∫ ( 4 − x ) dx ,
б) …
∫(2 −
г) …
0
4
в) …
0
4
д) …
2
2
∫(
0
∫(x
2
− 4 ) dx ,
∫x
dx ,
0
2
)
y dy ,
2
0
)
y − 2 dy .
2
34. Площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1 x , y = x , y = 0 и
x = 4 , равна …
5
7
5
в) … ,
б) … ,
а) … ,
6
4
4
3
1
д) … .
г) … ,
4
2
2
35. Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x и y = 2 − x 2 , равна …
8
8
9
б) … ,
в) … ,
а) … ,
5
3
5
2
11
г) …
,
д) … .
3
4
36. Площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком
спирали Архимеда ρ = 2ϕ , равна …
16 4
16
16
а) …
π ,
б) …
π,
,
в) …
3
3
3
71
г) …
16 2
π ,
3
д) …
16 3
π .
3
32
37. Длина дуги верхней ветви полукубической параболы y = x от x = 0
до x = 5 равна …
335
305
235
а) …
,
б) …
,
в) …
,
27
27
27
330
135
,
д) …
.
г) …
27
27
38. Объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = sin x и y = 0 ( 0 ≤ x ≤ π ), вокруг оси абсцисс, равен …
а) …
г) …
π
3
,
π2
2
б) …
,
д) …
π
2
,
π2
3
в) …
π2
4
,
.
39. Объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = tg x и y = 0 ( 0 ≤ x ≤ π 4 ), вокруг оси абсцисс, равен …
б) … π ,
в) … 1 − π 4 ,
а) … 1 − π ,
д) … 1 − π 2 .
г) … 1,
40. Объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линия-
ми y = x , x = 0 и y = 1 , вокруг оси ординат, равен …
2π
3π
,
б) …
,
а) …
5
5
4π
,
д) … π .
г) …
5
3
в) …
π
5
,
41. Объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линия-
ми y = x , x = 0 и y = 1 , вокруг оси абсцисс, равен …
2π
3π
,
б) …
,
а) …
7
7
5π
6π
,
д) …
.
г) …
7
7
3
72
в) …
4π
,
7
42. Объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = 4 x , x = 1 , x = 4 и y = 0 , вокруг оси абсцисс, равен …
б) … 13π ,
в) … 14π ,
а) … 12π ,
г) … 15π ,
д) … 16π .
43. Объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = 4 x , x = 1 , x = 4 и y = 0 , вокруг оси ординат, равен …
б) … 24π ,
в) … 25π ,
а) … 23π ,
г) … 26π ,
д) … 27π .
∞
44.
Вычисление
несобственного
dx
∫4+ x
интеграла
приводит
2
к
0
результату…
а) … интеграл расходится,
в) …
π
6
,
б) …
г) …
π
3
,
д) …
π
2
π
4
,
.
0
45. Вычисление несобственного интеграла
∫ cos x dx
приводит к
−∞
результату…
а) … интеграл расходится,
в) …
π
6
,
б) …
г) …
π
3
,
д) …
π
2
π
4
,
.
∞
46.
Вычисление
несобственного
интеграла
∫e
x
dx
приводит
к
−∞
результату…
а) … интеграл расходится,
в) …
π
6
,
б) …
г) …
π
3
,
д) …
∞
47. Вычисление несобственного интеграла
∫
1
а) … интеграл расходится,
в) … 2 ,
г) … 3 ,
73
π
2
π
4
,
.
dx
приводит к результату…
x2
б) … 1,
д) … 4 .
∞
48. Вычисление несобственного интеграла
∫
1
а) … интеграл расходится,
в) … 2 ,
г) … 3 ,
∞
49. Вычисление несобственного интеграла
∫
1
а) … интеграл расходится,
в) … 2 ,
г) … 3 ,
dx
приводит к результату…
x
б) … 1 ,
д) … 4 .
dx
приводит к результату…
x
б) … 1,
д) … 4 .
2
50. Вычисление несобственного интеграла
∫
0
dx
4− x
2
приводит к
результату…
а) … интеграл расходится,
в) …
π
6
,
б) …
г) …
π
3
,
д) …
1
51. Вычисление несобственного интеграла
dx
∫x
2
π
2
π
4
,
.
приводит к результату…
0
а) … интеграл расходится,
в) … 2 ,
б) … 1,
д) … 4 .
г) … 3 ,
1
52. Вычисление несобственного интеграла
∫
0
а) … интеграл расходится,
в) … 2 ,
г) … 3 ,
1
53. Вычисление несобственного интеграла
∫
0
а) … интеграл расходится,
в) … 2 ,
г) … 3 ,
74
dx
приводит к результату…
x
б) … 1 ,
д) … 4 .
dx
приводит к результату…
x
б) … 1 ,
д) … 4 .
π 4
54. Вычисление несобственного интеграла
∫ ctg x dx
приводит к
0
результату…
а) … интеграл расходится,
в) …
π
6
,
π
б) …
г) …
π
3
,
2
π
д) …
4
,
.
55. Длина дуги кривой y = f ( x ) a ≤ x ≤ b вычисляется по формуле …
b
b
а) … L = ∫ 1 − ( f ′ ( x ) ) dx ,
б) … L = ∫ 1 + ( f ′ ( x ) ) dx ,
в) … L = ∫ 1 + f ′ ( x ) dx ,
г) … L = ∫ 1 + f 2 ( x ) dx ,
2
a
b
a
b
a
b
( f ′( x ))
д) … L = ∫
2
2
a
− 1 dx .
a
5.3. Кратные интегралы
∫∫
56. Результат расстановки пределов интегрирования в двойном интеграле
f ( x, y ) dxdy , где область D ограничена линиями y = x 2 , y = 2 − x , имеет вид:
D
1
а) …
в) …
x
2
2− x
∫∫
б) …
2
∫ dx ∫ f ( x, y ) dy ,
x
г) …
2
1
x2
−2
2− x
2− y
1
∫ dx ∫ f ( x, y ) dy ,
−2
−1
д) …
2− x
∫ dx ∫ f ( x, y ) dy ,
−1
y
2− y
2− x
∫ dy ∫ f ( x, y ) dx ,
y
x2
∫ dx ∫ f ( x, y ) dy .
57. Результат расстановки пределов интегрирования в двойном интеграле
f ( x, y ) dxdy , где область D ограничена линиями y = x 2 , y = 2 − x и y = 0 ,
D
имеет вид:
1
а) …
2− x
1
∫ dx ∫ f ( x, y ) dy ,
0
x
б) …
∫ dx ∫ f ( x, y ) dy ,
−1
2
75
2− y
y
2
в) …
д) …
∫∫
2− x
∫ dx ∫ f ( x, y ) dy ,
г) …
2
1
x
1
2− y
0
y
2− y
1
y
0
∫ dy ∫ f ( x, y ) dx ,
∫ dy ∫ f ( x, y ) dx .
58. Результат расстановки пределов интегрирования в двойном интеграле
f ( x, y ) dxdy , где область D ограничена линиями y = x 2 , y = x , имеет вид:
D
1
а) …
∫ dx ∫ f ( x, y ) dy ,
б) …
∫ dx ∫ f ( x, y ) dy ,
г) …
0
x
в) …
x
д) …
∫∫
x2
2
x
1
0
1
y
0
y
1
x
0
y
x2
1
y
0
∫ dx ∫ f ( x, y ) dy ,
∫ dy ∫ f ( x, y ) dx ,
∫ dy ∫ f ( x, y ) dx .
59. Результат расстановки пределов интегрирования в двойном интеграле
f ( x, y ) dxdy , где область D ограничена линиями y 2 + x 2 = 1 , y = 0 ( y ≥ 0 ),
D
имеет вид:
1
а) …
в) …
1− y 2
∫ dx ∫ f ( x, y ) dy ,
−1
0
1
1− x 2
0
∫ dy ∫
1
∫∫
−1
1− x 2
∫ dx ∫ f ( x, y ) dy ,
∫
г) …
0
1− y
0
1− y 2
∫ dx ∫ f ( x, y ) dy ,
−1
д) …
б) …
1
− 1− y
1
2
dy ∫ f ( x, y ) dx ,
0
2
− 1− y
f ( x, y ) dx .
2
60. Результат расстановки пределов интегрирования в двойном интеграле
f ( x, y ) dxdy , где область D ограничена линиями y = 6 − x , y = 2 x и x = 0 ,
D
имеет вид:
2
а) …
6− x
∫ dx ∫ f ( x, y ) dy ,
0
б) …
2x
76
3
6− x
0
2x
∫ dx ∫ f ( x, y ) dy ,
6− x
в) …
2
∫ dx ∫ f ( x, y ) dy ,
2x
6
д) …
г) …
0
6− y
4
y 2
0
0
∫ dy ∫ f ( x, y ) dx ,
∫ dy ∫ f ( x, y ) dx .
4
0
9
x
0
0
61. ∫ dx ∫ dy = …
а) … 27,
г) … 18,
4
ln y
2
0
б) … 15,
д) … 9.
в) … 36,
б) … 4,
д) … 8.
в) … 6,
б) … 6,
д) … 0.
в) … 12,
б) … 6,
д) … 18.
в) … 9,
62. ∫ dy ∫ e x dx = …
а) … 2,
г) … 12,
2
3
4
0
0
0
63. ∫ dx ∫ dy ∫ dz = …
а) … 24,
г) … 8,
1
2
3
0
0
0
64. ∫ dx ∫ dy ∫ ( x + y + z ) dz = …
а) … 2,
г) … 36,
2
x
y
0
0
0
65. ∫ dx ∫ dy ∫ xyzdz = …
8
,
5
г) … 2,
а) …
4
,
3
д) … 3.
б) …
5.4. Криволинейные интегралы
66. Формула Остроградского–Грина имеет вид…
 ∂Q ∂P 
а) … ∫∫ 
+
dxdy = ∫ Pdx − Qdy ,
∂
∂
x
y


D
L
77
в) …
5
,
3
б) …
 ∂Q
∂P 
∫∫  ∂x − ∂ y dxdy = ∫ Pdy + Qdx ,
D
L
 ∂Q ∂P 
∫∫D  ∂y − ∂x dxdy = ∫L Pdx + Qdy ,
 ∂Q ∂P 
г) … ∫∫ 
−
dxdy = ∫ Pdx + Qdy ,
∂
∂
x
y

D 
L
в) …
д) …
 ∂Q
∂P 
∫∫  ∂x − ∂ y dxdy = ∫ Pdy − Qdx .
D
L
67. Площадь плоской фигуры вычисляется по формуле…
1
б) … S = ∫ xdy − ydx ,
а) … S = ∫ xdy + ydx ,
2L
L
1
1
в) … S = ∫ xdy − ydx ,
г) … S = ∫ xdx − ydy ,
2L
2L
1
д) … S = ∫ xdx + ydy .
2L
68. Статический момент относительно оси OX кривой L вычисляется по
формуле…, если плотность кривой равна ρ ( x; y ) :
а) … S x = ∫ y ⋅ ρ ( x; y ) dl ,
б) … S x = ∫ x ⋅ ρ ( x; y ) dl ,
y
dl ,
ρ ( x; y )
L
x
dl .
д) … S x = ∫
x
y
ρ
;
(
)
L
г) … S x = ∫
L
L
в) … S x = ∫
L
ρ ( x; y )
y
dl ,
69. Статический момент относительно оси OY кривой L вычисляется по
формуле…, если плотность кривой равна ρ ( x; y ) :
а) … S y = ∫ y ⋅ ρ ( x; y ) dl ,
б) … S y = ∫ x ⋅ ρ ( x; y ) dl ,
y
dl ,
ρ
;
x
y
(
)
L
x
д) … S y = ∫
dl .
x
y
ρ
;
(
)
L
г) … S y = ∫
L
L
в) … S y = ∫
L
78
ρ ( x; y )
y
dl ,
70. Момент инерции относительно оси OX кривой L вычисляется по
формуле…, если плотность кривой равна ρ ( x; y ) :
а) … I x = ∫ y 2 ⋅ ρ ( x; y ) dl ,
б) … I x = ∫ x 2 ⋅ ρ ( x; y ) dl ,
L
L
2
y
dl ,
ρ
x
;
y
(
)
L
в) … I x = ∫
г) … I x = ∫
L
ρ ( x; y )
y2
dl ,
2
x
dl .
ρ
x
;
y
(
)
L
д) … I x = ∫
71. Момент инерции относительно оси OY кривой L вычисляется по
формуле…, если плотность кривой равна ρ ( x; y ) :
а) … I y = ∫ y 2 ⋅ ρ ( x; y ) dl ,
б) … I y = ∫ x 2 ⋅ ρ ( x; y ) dl ,
L
L
2
y
dl ,
x
y
ρ
;
(
)
L
в) … I y = ∫
г) … I y = ∫
L
2
x
dl .
x
y
ρ
;
(
)
L
д) … I y = ∫
79
ρ ( x; y )
y2
dl ,
6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
1. Общее решение уравнения y′ = 2 x имеет вид :
2x
,
а) … C
ln 2
г) … C 2 x ln 2 ,
б) … 2 ln 2 + C ,
x
д) … 2 x + C .
2x
в) …
+C,
ln 2
2. Общее решение уравнения y′ = x + sin x имеет вид :
x2
а) …
+ cos x + C ,
2
x2
б) … cos x − + C ,
2
2
x
г) …
− cos x + C ,
2
в) … x 2 + cos x + C ,
д) … x 2 − cos x + C .
3. Частное решение дифференциального уравнения (8 + x 3 ) y′ = x 2 y при
y (0) = 1 имеет вид :
1
1
а) … 3 8 + x3 ,
б) …
в) … 3 8 − x3 ,
8 + x3 ,
2
2
1
1
г) …
д) … 3 8 + x3 .
8 − x3 ,
2
2
4. Дифференциальное уравнение (6 + x 4 ) y′ = x 3 y соответствует названию:
а) … линейное,
б) … в полных дифференциалах,
в) … Бернулли,
г) … однородное,
д) … с разделяющимися переменными.
5. Дифференциальное уравнение ( y 3 + x 3 ) y′ = x 2 y соответствует назва-
нию:
а) …
б) …
в) …
г) …
д) …
линейное,
в полных дифференциалах,
Бернулли,
однородное,
с разделяющимися переменными.
80
6. Дифференциальное уравнение
(x
xy′ + x y =
3
2
+ 1)
y
соответствует назва-
нию:
а) …
б) …
в) …
г) …
д) …
линейное,
в полных дифференциалах,
Бернулли,
однородное,
с разделяющимися переменными.
7. Для решения уравнения y′ = xy + sin x используется замена:
а) … y = u ( x ) ⋅ υ ( x ) ; y′ = u′ ( x ) ⋅ υ ( x ) + u ( x ) ⋅ υ ′ ( x ) ,
б) … y = u ( x ) ⋅ x; y′ = u′ ( x ) ⋅ x + u ( x ) ,
в) … y = u ( x ) + υ ( x ) ; y′ = u′ ( x ) + υ ′ ( x ) ,
г) … y = u ( x ) + x; y′ = u′ ( x ) + 1 ,
д) … y = u ( x ) − υ ( x ) ; y′ = u′ ( x ) − υ ′ ( x ) .
8. Для решения уравнения y 2 y′ = xy + x 2 используется замена:
а) … y = u ( x ) ⋅ υ ( x ) ; y′ = u′ ( x ) ⋅ υ ( x ) + u ( x ) ⋅ υ ′ ( x ) ,
б) … y = u ( x ) ⋅ x; y′ = u′ ( x ) ⋅ x + u ( x ) ,
в) … y = u ( x ) + υ ( x ) ; y′ = u′ ( x ) + υ ′ ( x ) ,
г) … y = u ( x ) + x; y′ = u′ ( x ) + 1 ,
д) … y = u ( x ) − υ ( x ) ; y′ = u′ ( x ) − υ ′ ( x ) .
9. Общее решение уравнения (1 + e y ) − y′e y sin x = 0 имеет вид :
а) … ln(tg( x / 2) − С ) ,
б) … ln(C ⋅ tg( x / 2)) ,
г) … ln(C ⋅ tg( x / 2) + 1) ,
в) … C ⋅ ln(tg( x / 2) − 1) ,
д) … ln(C ⋅ tg( x / 2) − 1) .
y
x
10. Общее решение уравнения xy′ = y − xe имеет вид :
а) … ln ( ln xC ) ,
б) … x ln ( ln xC ) ,
в) … − x ln ( ln xC ) ,
г) … − x ln xC ,
д) … − ln xC .
81
11. Частное решение дифференциального уравнения x( y′ − y ) = e x при
y (1) = e имеет вид :
а) … e x ( ln x + 1) ,
б) … e x ( ln x − 1) ,
в) … e x ln x ,
д) … e − x ( ln x + 1) .
г) … ln x + 1 ,
12. Дифференциальное уравнение ( xy + y 2 )dx − (2 x 2 + xy )dy = 0 соответствует названию:
а) … линейное,
б) … в полных дифференциалах,
в) … Бернулли,
г) … однородное,
д) … с разделяющимися переменными.
13. Дифференциальное уравнение xy′ − 2 y = 2 x 4 соответствует названию:
а) … линейное,
б) … в полных дифференциалах,
в) … Бернулли,
г) … однородное,
д) … с разделяющимися переменными.
14. Дифференциальное уравнение ( x + y + 1)dx + ( x + 2 y )dy = 0 соответствует названию:
а) … линейное,
б) … в полных дифференциалах,
в) … Бернулли,
г) … однородное,
д) … с разделяющимися переменными.
y
 dy

15. Для решения уравнения  x − y  arccos = x используется замена:
x
 dx

а) … y = u ( x ) ⋅ υ ( x ) ; y′ = u′ ( x ) ⋅ υ ( x ) + u ( x ) ⋅ υ ′ ( x ) ,
б) … y = u ( x ) ⋅ x; y′ = u′ ( x ) ⋅ x + u ( x ) ,
в) … y = u ( x ) + υ ( x ) ; y′ = u′ ( x ) + υ ′ ( x ) ,
г) … y = u ( x ) + x; y′ = u′ ( x ) + 1 ,
д) … y = u ( x ) − υ ( x ) ; y′ = u′ ( x ) − υ ′ ( x ) .
82
y
− 1 − x = 0 используется замена:
1 − x2
y = u ( x ) ⋅ υ ( x ) ; y′ = u ′ ( x ) ⋅ υ ( x ) + u ( x ) ⋅ υ ′ ( x ) ,
y = u ( x ) ⋅ x; y′ = u′ ( x ) ⋅ x + u ( x ) ,
y = u ( x ) + υ ( x ) ; y′ = u′ ( x ) + υ ′ ( x ) ,
y = u ( x ) + x; y′ = u′ ( x ) + 1 ,
y = u ( x ) − υ ( x ) ; y′ = u′ ( x ) − υ ′ ( x ) .
16. Для решения уравнения y′ −
а) …
б) …
в) …
г) …
д) …
17. P ( x; y ) dx + Q ( x; y ) dy = 0 является дифференциальным уравнением в
полных дифференциалах, если …
dP ( x; y ) dQ ( x; y )
∂P ( x; y ) ∂Q ( x; y )
=
б) …
а) …
=
,
dy
dx
∂x
∂y
dP ( x; y )
dQ ( x; y )
∂P ( x; y )
∂Q ( x; y )
,
г) …
,
в) …
=−
=−
dy
dx
∂y
∂x
∂P ( x; y ) ∂Q ( x; y )
д) …
=
.
∂y
∂x
18. y′ = f ( x; y ) является однородным дифференциальным уравнением,
если f ( x; y ) …
а) … однородная функция нулевого порядка
б) … однородная функция первого порядка,
в) … однородная функция второго порядка,
г) … однородная функция третьего порядка,
д) … однородная функция четвертого порядка.
6.2. Дифференциальные уравнения второго порядка
19. Частным решением дифференциального уравнения y′′ − 4 y′ + y = 4 − x
является функция y = …
а) … – x ,
б) … x,
в) … x/2,
д) … – x/2.
г) … x/4,
20. Общее решение уравнения y′′ + y′ − 2 y = 0 имеет вид :
а) … y = C1e − x + C2e 2 x ,
в) … y = C1e x + C2e 2 x ,
д) … y = C1e x + C2e −2 x .
б) … y = C1e − x + C2e−2 x ,
г) … y = C1e x + C2e − x ,
83
21.
Частным
решением
дифференциального
y′′ + 6 y′ + 10 y = 5 x + 3 является функция y = …
а) … – x ,
б) … x/2,
д) … – x/2.
г) … x/4,
уравнения
в) … x,
22. Общее решение уравнения y′′ + 2 y′ + y = 0 имеет вид :
а) … y = e − x ( C1 + C2 x ) ,
в) … y = e −2 x ( C1 + C2 x ) ,
д) … y = e2 x ( C1 + C2 x ) .
б) … y = e x ( C1 + C2 x ) ,
г) … y = C1e x + C2e − x ,
23.
Частным
решением
дифференциального
уравнения
2x
2 y′′ + y′ − 3 y = −2e является функция y = …
2
2
2
а) … e 2 x ,
б) … − e 2 x ,
в) … − e x ,
7
7
7
2 2x
2
г) …
e ,
д) … − e 2 x .
13
13
24. Общее решение уравнения y′′ + 1 = 0 имеет вид :
а) … y = e x ( C1 sin x + C2 cos x ) ,
в) … y = C1 sin x + C2 cos x ,
д) … y = e2 x ( C1 sin x + C2 cos x ) .
б) … y = C1 sin x − C2 cos x ,
г)… y = C1 sin 2 x + C2 cos 2 x ,
25.
Частным
решением
дифференциального
уравнения
y′′ − 3 y′ + 4 y = 3 ( sin x − cos x ) является функция y = …
а) … − sin x ,
б) … sin x + cos x ,
в) … sin x ,
д) … cos x .
г) … sin x − cos x ,
26. Общее решение уравнения y′′ − 9 = 0 имеет вид :
а) … y = e −3 x ( C1 + C2 x ) ,
в) … y = e3 x ( C1 + C2 x ) ,
б) … y = C1e −3 x + C2e3 x ,
г) … y = C1 sin 3 x + C2 cos3 x ,
д) … y = C1e−3 x ⋅ C2e 2 x .
27.
Частным
решением
дифференциального
2
y′′ − 4 y′ + 4 y = x + 1 является функция y = …
1
1
5
1
5
а) … y = x 2 − x − ,
б) … y = x 2 + ,
4
2
2
4
2
84
уравнения
1 2 1
5
x + x+ ,
2
2
4
1
1
5
д) … y = x 2 + x + .
4
2
8
г) … y =
в) … y =
1 2 5
x + ,
2
8
28. Общее решение уравнения y′′ + 3 y′ = 0 имеет вид :
а) … y = C1e3 x + C2e −3 x ,
в) … y = C1 + C2e3 x ,
д) … y = C1e x + C2e −3 x .
б) … y = C1 + C2e −3 x ,
г) … y = C2e −3 x ,
29.
Частным
решением
дифференциального
уравнения
y′′ − 2 y′ + 2 y = cos x является функция y = …
1
2
2
1
а) … y = cos x − sin x ,
б) … y = cos x − sin x ,
5
5
5
5
1
2
1
в) … y = cos x + sin x ,
г) … y = cos x ,
5
5
5
2
д) … y = sin x .
5
30. Общее решение уравнения y′′ − 6 y′ = 0 имеет вид :
а) … y = C1e6 x + C2e −6 x ,
в) … y = Ce6 x ,
д) … y = C1e x + C2e6 x .
б) … y = C1 + C2e −6 x ,
г) … y = C1 + C2e6 x ,
31. Для решения уравнения xy′′ = y′ + 2 используется замена:
а) … y′ = P ( x ) ; y′′ = P′ ( x ) ⋅ P ( x ) ,
б) … y′ = P ( y ) ; y′′ = P′ ( y ) ,
в) … y′ = P ( y ) ; y′′ = P′ ( y ) ⋅ P ( y ) ,
г) … y′ = P ( x ) ; y′′ = P′ ( x ) ,
д) … y′ = P ( y ) ; y′′ = P′ ( y ) P ( y ) .
32. Для решения уравнения 2 yy′′ + ( y′) 2 = 0 используется замена:
а) … y′ = P ( x ) ; y′′ = P′ ( x ) ⋅ P ( x ) ,
б) … y′ = P ( y ) ; y′′ = P′ ( y ) ,
в) … y′ = P ( y ) ; y′′ = P′ ( y ) ⋅ P ( y ) ,
85
г) … y′ = P ( x ) ; y′′ = P′ ( x ) ,
д) … y′ = P ( y ) ; y′′ = P′ ( y ) P ( y ) .
33. Характеристическое уравнение для 2 y′′ + y′ − 5 y = 0 имеет вид:
а) … 2k 2 + k − 5 = 0 ,
б) … 2k 2 + k = 0 ,
г) … 2k 2 − 5 = 0 ,
в) … k 2 + k − 1 = 0 ,
д) … 2k 3 + k 2 − 5k = 0 .
34. Частное решение уравнения 2 y′′ + y′ − 10 y = −e 2 x будем искать в виде:
б) … Ae2 x ,
в) … Axe 2 x ,
а) … − Axe 2 x ,
г) … − Ae 2 x ,
д) … Ax 2e 2 x .
35. Для решения уравнения y′′(2 y + 3) − 2( y′) 2 = 0 используется замена:
а) … y′ = P ( x ) ; y′′ = P′ ( x ) ⋅ P ( x ) ,
б) … y′ = P ( y ) ; y′′ = P′ ( y ) ,
в) … y′ = P ( y ) ; y′′ = P′ ( y ) ⋅ P ( y ) ,
г) … y′ = P ( x ) ; y′′ = P′ ( x ) ,
д) … y′ = P ( y ) ; y′′ = P′ ( y ) P ( y ) .
36. Для решения уравнения y′′ = sin( y′ / x) + y′ / x используется замена:
а) … y′ = P ( x ) ; y′′ = P′ ( x ) ⋅ P ( x ) ,
б) … y′ = P ( y ) ; y′′ = P′ ( y ) ,
в) … y′ = P ( y ) ; y′′ = P′ ( y ) ⋅ P ( y ) ,
г) … y′ = P ( x ) ; y′′ = P′ ( x ) ,
д) … y′ = P ( y ) ; y′′ = P′ ( y ) P ( y ) .
37. Характеристическое уравнение для −3 y′′ + 7 y = 0 имеет вид:
б) … −3k 2 + 7 = 0 ,
а) … −3k 2 + 7 k = 0 ,
г) … −3k 3 + 7 k 2 = 0 ,
в) … 3k 2 − 7 k = 0 ,
д) … −3k 2 + k + 7 = 0 .
38. Частное решение уравнения 2 y′′ + y′ − 10 y = −8 x будем искать в виде:
а) … − Ax + B ,
б) … Ax ,
в) … − Ax ,
2
д) … Ax + Bx .
г) … Ax + B ,
86
6.3. Дифференциальные уравнения высших порядков
39. Общее решение уравнения y IV = sin x имеет вид :
x3
x2
+ C2 + C3 x + C4 ,
6
2
3
x
x2
y = − sin x + C1 + C2 + C3 x + C4 ,
3
2
3
2
x
x
y = sin x + C1 + C2 + C3 x + C4 ,
6
2
3
x
x2
y = − cos x + C1 + C2 + C3 x + C4 ,
3
2
3
2
x
x
y = sin x + C1 + C2 + C3 x .
6
2
а) … y = cos x + C1
б) …
в) …
г) …
д) …
(
40. Для решения уравнения y ( ) = f x; y (
n
а) … y (
n −1)
n −1)
) используется замена:
= P ( y ) ; y ( ) = P′ ( y ) ,
n
б) … y (
n −1)
= P ( x ) ; y ( ) = P′ ( x ) ,
в) … y (
n −1)
= P ( y ) ; y ( ) = P′ ( y ) ⋅ P ( y ) ,
г) … y (
n −1)
= P′ ( x ) ; y ( ) = P ( x ) ,
n
n
n
д) … y = P ( x ) ; y ( ) = P′ ( x ) .
n
41. Выражение y ( ) + a1 ( x ) y (
n
n −1)
+ a2 ( x ) y (
n−2)
+
+ an ( x ) y = f ( x ) являет-
ся…
а) …
б) …
в) …
г) …
д) …
линейным однородным дифференциальным уравнением,
нелинейным однородным дифференциальным уравнением,
алгебраическим уравнением,
нелинейным неоднородным дифференциальным уравнением,
линейным неоднородным дифференциальным уравнением.
42. Общее решение уравнения y′′′ = x + e 2 x имеет вид :
x4 1 2 x
x2
+ e + C1 + C2 x + C3 ,
а) … y =
24 8
2
4
x
1 2x
x3
x2
б) … y =
+ e + C1 + C2 + C3 x + C4 ,
24 8
3
2
87
x4 1 2 x
x2
− e + C1 − C2 x + C3 ,
в) … y =
24 8
2
4
x
1 2x
x2
г) … y = + e + C1 + C2 x + C3 ,
4 2
2
4
x
1
x2
д) … y =
+ e 2 x + C1 + C2 x .
24 8
2
43. Общее решение уравнения y′′′ = 9 + 3− x имеет вид :
3 3 3− x
x2
а) … y = x −
+ C1 + C2 x + C3 ,
2
ln 3
2
−x
9
3
x2
C
б) … y = x 3 +
+
+ C2 x + C3 ,
1
3
2
2
( ln 3)
в) … y =
3 3
3− x
x2
x +
C
+
+ C2 x + C3 ,
1
3
2
2
( ln 3)
г) … y =
3 3
3− x
x2
+
+ C2 x + C3 ,
x −
C
1
3
2
2
( ln 3)
д) … y =
9 3
3− x
x2
x −
C
+
+ C2 x + C3 .
1
2
2
2
( ln 3)
44. Общее решение уравнения yVI = x имеет вид :
а) …
б) …
в) …
г) …
д) …
x6
x5
x4
x3
x2
+ C1
+ C2
+ C3 + C4 + C5 x + C6 ,
y=
5040
120
24
6
2
7
5
4
3
x
x
x
x
x2
y=
+ C1
+ C2
+ C3 + C4 + C5 x + C6 ,
5040
120
24
6
2
7
5
4
3
x
x
x
x
x2
y=
+ C1
+ C2
− C3 − C4 + C5 ,
5040
120
24
6
2
7
5
4
3
2
x
x
x
x
x
+ C1
+ C2
+ C3 + C4 + C5 x + C6 ,
y=
720
120
24
6
2
6
5
4
3
x
x
x
x
x2
y=
− C1
− C2
− C3 − C4 − C5 x − C6 .
720
120
24
6
2
88
7. РЯДЫ
7.1. Числовые ряды
1. Для исследования сходимости числового ряда
( n + 2 )!
∑
n
n =1 7 ( n + 1)!
∞
следует
применить:
а) … признак Даламбера,
б) … признак сравнения,
в) … радикальный признак Коши,
г) … интегральный признак Коши,
д) … признак Лейбница.
∞
∑u
2. Необходимый признак сходимости числового ряда
n =1
в виде :
а) … lim un ≤ 0 ,
б) … lim un = 0 ,
в) … lim un ≥ 0 ,
г) … lim un ≠ 0 ,
n →∞
n
записывается
n →∞
n→∞
n →∞
д) … lim un = 0 .
n→1
 2n − 3 
3. Для исследования сходимости числового ряда ∑ 

n =1  1 + n 
применить:
а) … признак Даламбера,
б) … признак сравнения,
в) … радикальный признак Коши,
г) … интегральный признак Коши,
д) … признак Лейбница.
∞
4. Для исследования сходимости числового ряда
∞
∑n
n=2
менить:
а) …
б) …
в) …
г) …
д) …
признак Даламбера,
признак сравнения,
радикальный признак Коши,
интегральный признак Коши,
признак Лейбница.
89
n
следует
1
следует приln n
5. Для исследования сходимости числового ряда
∞
∑
n =1
( −1)
n
n!
следует приме-
нить:
а) …
б) …
в) …
г) …
д) …
признак Даламбера,
признак сравнения,
радикальный признак Коши,
интегральный признак Коши,
признак Лейбница.
6. Гармоническому ряду соответствует выражение:
n
∞
∞
−1)
1
(
а) … ∑ ,
б) … ∑
,
!
n
n
n =1
n =1
∞
∞
n
1
г) … ∑ ,
д) … ∑
.
n
n =1 ( −1)
n =1 n !
∞
7. Для исследования сходимости числового ряда
в) …
∞
∑
( −1)
n
n =1
n
,
n+2
∑ n3 + 1 следует примеn =1
нить:
а) …
б) …
в) …
г) …
признак Даламбера,
признак Лейбница,
радикальный признак Коши,
признак сравнения.
8. Для исследования сходимости числового ряда
∞
∑
n =1
менить:
а) …
б) …
в) …
г) …
д) …
( n + 2 )!
7n
следует при-
интегральный признак Коши,
признак Лейбница,
радикальный признак Коши,
признак Даламбера,
признак сравнения.
9. Выражение соответствующее знакочередующемуся ряду…
∞
∞
n!
б) … ∑ 2nx ,
в) …
а) … ∑ n ,
n =1 2
n =1
∞
∞
n
n
г) … ∑ n ,
д) … ∑ ( −2 ) .
n =1 2
n =1
90
∞
∑2
n =1
n
,
17 21
,1, … имеет вид…
16 22
2n + 15
7 − 2n
,
в) …
,
б) …
3n + 13
8 − 3n
4n + 13
.
д) …
6n + 14
10. Общий член un последовательности
6n + 3
,
7n + 6
n + 40
г) …
,
n + 46
а) …
n
 2n + 1 
11. Из рядов I. ∑ 
 ; II.
n
+
2


n =1
а) … только I ,
в) … только III,
д) … ни один не сходится.
∞
∞
∞
9n
1
;
III.
сходятся…
∑
∑
2
5
n
n
n
n =1
n =1
б) … только II,
г) … I и II,
19 5 31
, , … имеет вид…
13 4 27
2n + 1
27 + 2n
б) …
,
,
в) …
3n + 13
38 − 3n
7 n − 13
д) …
.
8n − 14
12. Общий член un последовательности
6n + 13
,
7n + 6
5n + 56
г) …
,
n + 42
а) …
n
 2n − 1 
13. Из рядов I. ∑ 
 ; II.
n =1  3n + 2 
а) … только I ,
в) … только III,
д) … ни один не сходится.
∞
∞
∞
n2
n2
; III. ∑ 3
сходятся…
∑
n
2
n =1 n + n + 1
n =1 9
б) … только II,
г) … I и II,
52 54
,1, … имеет вид…
51 55
2n + 17
7+n
,
в) …
б) …
,
n + 19
8 − 2n
2n − 5
д) …
.
3n − 6
14. Общий член un последовательности
3n + 43
,
5n + 51
n + 51
,
г) …
2n + 49
а) …
n
 5n + 7 
15. Из рядов I. ∑ 
 ; II.
2
n
−
3

n =1 
а) … только I ,
в) … только III,
д) … ни один не сходится.
∞
∞
∞
n!
n
;
III.
сходятся…
∑
∑
n
3
2
3
n
n
+
+
1
n =1
n =1
б) … только II,
г) … I и II,
91
27 30 1
, , … имеет вид…
56 61 2
2n + 17
17 + 2n
,
в) …
б) …
,
3n + 19
4 − 2n
n + 26
.
д) …
n + 55
16. Общий член un последовательности
3n + 24
,
5n + 51
n +1
г) …
,
2n + 4
а) …
n
 9n + 1 
17. Из рядов I. ∑ 
 ; II.
17
+
6
n


n =1
а) … только I ,
в) … только III,
д) … ни один не сходится.
∞
∞
∞
3n
1
;
III.
сходятся…
∑
∑
n
!
ln
n
n
n =1
n =1
б) … только II,
г) … I и II,
18. Выражение, соответствующее числовому ряду,…
а) …
г) …
∞
∑ 2nx ,
n =1
∞
n
∑3
n =1
x
б) …
,
д) …
∞
∑ 3nx ,
n =1
∞
n!
∑2
n =1
x
в) …
∞
∑ ( −2 )
n
,
n =1
.
19
,21, −23… имеет вид…
3
2n − 17
17 + 2n
б) …
,
,
в) …
3n − 19
5 − 2n
3n + 26
д) …
.
5n + 55
19. Общий член un последовательности
2n − 18
,
6n + 26
7n − 1
г) …
,
3n + 4
а) …
n +1
20. Из рядов I. ∑ 2
; II.
n =1 n − n + 5
а) … только I ,
в) … только III,
д) … ни один не сходится.
∞
∞
∑
n =1
( n + 1)!
5
n
; III.
∞
1
∑ n ln n
n =1
б) … только II,
г) … I и II,
92
сходятся…
7.2. Функциональные ряды
21. Ряд Тейлора произвольной функции f (x ) в окрестности точки x = 1
имеет вид:
f ′(1)
f ′′(1)
f ( n) (1)
а) … f (1) +
⋅ ( x − 1) +
⋅ ( x − 1) 2 + ... +
⋅ ( x − 1) n + ...
1
2
n
(n)
f ′(1)
f ′′(1)
f (1)
б) … f (1) +
⋅ ( x + 1) +
⋅ ( x + 1) 2 + ... +
⋅ ( x + 1) n + ...
1!
2!
n!
( n)
f ′(1)
f ′′(1)
f (1)
⋅ ( x − 1) +
⋅ ( x − 1) 2 + ... +
⋅ ( x − 1) n + ...
в) … f (1) +
1!
2!
n!
1!
2!
n!
г) … f (1) +
⋅ ( x − 1) +
⋅ ( x − 1) 2 + ... + ( n ) ⋅ ( x − 1) n + ...
f ′(1)
f ′′(1)
f (1)
f (1)
f (1)
f (1)
д) … f (1) +
⋅ ( x + 1) +
⋅ ( x + 1) 2 + ... +
⋅ ( x + 1) n + ...
1!
2!
n!
22. Радиус сходимости степенного ряда
∞
∑ an x n определяется по
n=0
формуле:
а) … R = lim
n→∞
an+1
,
an
в) … R = lim n
n→∞
б) … R = lim n
n→∞
an+1
,
an
г) … R = lim
n →∞
an
,
an+1
an
,
an+1
д) … R = lim n an .
n→∞
23. Выражение, соответствующее функциональному ряду,…
а) …
г) …
∞
∑2
n =1
∞
n
n
∑2
n =1
n
,
,
б) …
д) …
∞
∑2
n =1
∞
nx
n =1
в) …
∑ ( −2 )
n
,
n =1
n!
∑2
,
∞
n
.
24. Ряд Фурье для четной функции f (x ) с периодом T = 2l на отрезке
[ −l; l ] имеет вид…
а) …
a0 ∞
π nx
+ ∑ an cos
,
2 n=1
l
б) …
∞
∑a
n =1
93
n
cos
π nx
l
,
a0 ∞
π nx
+ ∑ bn sin
,
2 n=1
l
∞
a
π nx
π nx
д) … 0 + ∑ an cos
+ bn sin
.
2 n=1
l
l
г) …
в) …
∞
∑ b sin
n =1
π nx
n
l
,
25. Ряд Фурье для нечетной функции f (x ) с периодом T = 2l на отрезке
[ −l; l ] имеет вид…
a0 ∞
π nx
а) …
+ ∑ an cos
,
2 n=1
l
a0 ∞
π nx
в) …
+ ∑ bn sin
,
2 n=1
l
∞
a
π nx
π nx
д) … 0 + ∑ an cos
+ bn sin
.
2 n=1
l
l
б) …
∞
∑a
n
cos
π nx
l
π nx
г) … ∑ bn sin
,
l
n =1
n =1
∞
,
x n ( n + 2 )!
26. Радиус сходимости степенного ряда ∑
равен…
7n
n =1
а) … 0,
б) … 2,
в) … 7,
д) … 4.
г) … ∞ ,
∞
27. Выражение, соответствующее функциональному ряду,…
∞
∞
∞
1
en
n
,
б) … ∑ ,
в) … ∑ ( −arctg n ) ,
а) … ∑
n =1 ln n
n =1
n =1 n !
∞
∞
n
n!
г) … ∑
,
д) … ∑
.
n =1 arcsin nx
n =1 arcsin n
28. При дифференцировании или интегрировании степенного ряда в области его сходимости радиус сходимости …
а) … уменьшается в два раза,
б) … не изменяется,
в) … увеличивается в два раза,
г) … уменьшается в три раза,
д) … увеличивается в три раза.
94
8. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
8.1. Действия над комплексными числами
z1
…
z2
13 18
б) …
− i,
17 17
13 18
д) … − + i .
17 17
в)… −
z1
…
z2
4 19
б) … − − i ,
13 13
16 19
д) …
− i.
13 13
в) …
z1
…
z2
2 9
б) …
− i,
17 17
2 9
д) … − − i .
17 17
в) … −
1. Если z1 = 2 − 5i и z2 = −4 + i , то
3 18
+ i,
17 17
13 18
г) …
+ i,
17 17
а) … −
13 18
− i,
17 17
2. Если z1 = 5 − 2i и z2 = 2 + 3i , то
4 19
− i,
13 13
4 19
г) … − + i ,
13 13
а) …
4 19
+ i,
13 13
3. Если z1 = 3 + 4i и z2 = 6 − 7i , то
46 9
+ i,
85 85
46 9
г) …
− i,
85 85
а) …
2 9
+ i,
17 17
4. Модуль комплексного числа z1 z2 равен … при условии z1 = 1 + i и
z2 = 2 − i :
а) … 8 ,
г) … 10 ,
б) … 10 ,
д) … 2 .
в) …
2,
5. Модуль комплексного числа z1 z2 равен … при условии z1 = 2 − 3i и
z2 = 2 + i :
а) … 8 ,
г) … 65 ,
б) …
д) …
95
65 ,
17 .
в) …
11 ,
6. Модуль комплексного числа z1 z2 равен … при условии z1 = 3 − 2i и
z2 = 2 + 3i :
а) … 75 ,
г) … 13,
б) … 25,
д) … 75 .
в) …
27 ,
7. Число, сопряженное комплексному числу z 3 , равно…при условии
z = 3 − 3i :
а) … −i 24 3 ,
б) … i 24 3 ,
в) … 24 + i 24 3 ,
г) … 24 − i 24 3 ,
д) … −24 + i 24 3 .
8. Число, сопряженное комплексному числу z 4 , равно…при условии
z = 3 + 3i :
а) … −72 − i 72 3 ,
б) … −72 + i 72 3 ,
в) … 72 − i 72 3 ,
г) … i 72 3 ,
д) … −i 72 3 .
8.2. Аналитические функции комплексного переменного
9. Правильная часть ряда Лорана однозначной аналитической функции
f ( z ) имеет вид:
а) … + A0 + A1 ( z − a ) + A2 ( z − a ) + A3 ( z − a ) + … ,
2
3
б) … − A0 − A1 ( z + a ) − A2 ( z + a ) − A3 ( z + a ) − … ,
A−3
A−2
A
в) … … +
+
+ −1 + ,
3
2
( z − a) ( z − a) z − a
2
г) … … +
д) … … −
A3
( z − a)
3
A−3
( z + a)
3
+
−
A2
( z − a)
2
A−2
( z + a)
2
3
+
A1
+,
z−a
−
A−1
−.
z+a
10. Главная часть ряда Лорана однозначной аналитической функции f ( z )
имеет вид:
2
3
а) … + A0 + A1 ( z − a ) + A2 ( z − a ) + A3 ( z − a ) + … ,
б) … − A0 − A1 ( z + a ) − A2 ( z + a ) − A3 ( z + a ) − … ,
2
3
96
в) … … +
г) … … +
д) … … −
A−3
3
+
3
+
( z − a)
A3
( z − a)
A−3
( z + a)
3
−
A−2
2
+
A−1
+,
z−a
2
+
A1
+,
z−a
−
A−1
−.
z+a
( z − a)
A2
( z − a)
A−2
( z + a)
2
11. Для дифференцируемой функции f ( z ) = u ( x; y ) + iυ ( x; y ) условия
Коши–Римана имеют вид:
∂u
∂υ ∂u ∂υ
∂u ∂υ ∂u
∂υ
а) …
,
б) …
,
=− ,
=
=
=−
,
∂x
∂y ∂y ∂x
∂x ∂y ∂y
∂x
∂u ∂υ ∂u ∂υ
∂u
∂υ ∂u
∂υ
,
г) …
в) …
,
=
=
=− ,
=−
,
∂x ∂y ∂y ∂x
∂x
∂y ∂y
∂x
∂u ∂υ ∂u
∂υ
.
д) …
=
=−
,
∂x ∂x ∂y
∂y
12. Вычет функции f ( z ) относительно ее полюса n – го порядка вычисляется по формуле…, если а – полюс n – го порядка:
n
d n−1 ( z − a ) ⋅ f ( z ) 

,
а) … res f ( z ) = lim
n −1
z →a
a
dz
d
1
lim
б) … res f ( z ) =
a
( n − 1)! z→a
n −1
( z − a )n−1 ⋅ f ( z ) 

,
n −1
dz
n
n
d
z
a
−
⋅ f ( z )
(
)
1

,
в) … res f ( z ) = lim
n
a
dz
n ! z →a
d
1
г) … res f ( z ) =
lim
a
( n − 1)! z→a
n −1
( z − a ) ⋅ f ( z ) 
,
d z n−1
n −1
( z − a ) n ⋅ f ( z ) 

.
n −1
dz
d
1
д) … res f ( z ) =
lim
a
( n − 1)! z→a
13. Вычеты функции f ( z ) =
z
( z − 2 )( z − 3)
а) … res f ( z ) = 2, res f ( z ) = 3 ,
2
3
б) … res f ( z ) = −2, res f ( z ) = −3 ,
2
3
97
равны…
в) … res f ( z ) = −2, res f ( z ) = 3 ,
2
3
2
3
2
3
г) … res f ( z ) = −3, res f ( z ) = −2 ,
д) … res f ( z ) = −3, res f ( z ) = 2 .
1
равны…
z +9
i
i
res f ( z ) = − , res f ( z ) = ,
3i
6 −3i
6
i
i
res f ( z ) = − , res f ( z ) = − ,
3i
6 −3i
6
i
i
res f ( z ) = , res f ( z ) = ,
3i
6 −3 i
6
i
i
res f ( z ) = − , res f ( z ) = ,
3i
9 −3i
9
i
i
res f ( z ) = − , res f ( z ) = .
3i
3 −3i
3
14. Вычеты функции f ( z ) =
а) …
б) …
в) …
г) …
д) …
15. Вычет функции f ( z ) =
2
z2
( z − 3)
3
равны…
1
,
3
6
1
в) … res f ( z ) = − ,
3
3
2
д) … res f ( z ) = .
3
9
а) … res f ( z ) =
б) … res f ( z ) = 1 ,
3
1
г) … res f ( z ) = − ,
3
6
z2
16. Вычеты функции f ( z ) =
равны…
( z − 2 )( z − 3)( z − 4 )
а) … res f ( z ) = 2, res f ( z ) = 9, res f ( z ) = −8 ,
2
3
4
б) … res f ( z ) = −2, res f ( z ) = −9, res f ( z ) = 8 ,
2
3
4
в) … res f ( z ) = 2, res f ( z ) = 9, res f ( z ) = 8 ,
2
3
4
2
3
4
2
3
г) … res f ( z ) = 2, res f ( z ) = 8, res f ( z ) = −9 ,
д) … res f ( z ) = 2, res f ( z ) = −9, res f ( z ) = 8 .
4
98
z
равны…
z + 16
1
1
res f ( z ) = , res f ( z ) = − ,
4i
2 −4i
2
1
1
res f ( z ) = − , res f ( z ) = ,
4i
2 −4 i
2
1
1
res f ( z ) = , res f ( z ) = ,
4i
2 −4i
2
i
1
res f ( z ) = , res f ( z ) = − ,
4i
2 −4i
2
i
i
res f ( z ) = − , res f ( z ) = .
4i
2 −4 i
2
17. Вычеты функции f ( z ) =
а) …
б) …
в) …
г) …
д) …
18. Вычет функции f ( z ) =
а) … res f ( z ) = −16 ,
2
z4
( z − 2)
2
2
равны…
б) … res f ( z ) = 32i ,
2
в) … res f ( z ) = −16i ,
г) … res f ( z ) = 16 ,
2
2
д) … res f ( z ) = 32 .
2
19. Множество точек плоскости задается соотношением…
а) … Re z ≥ 3 ,
б) … Re z ≤ 3 ,
в) … Im z ≤ 3 ,
г) … Im z ≥ 3 ,
д) … Re z = 3 .
99
20. Множество точек плоскости задается соотношением…
а) … Re z ≥ 2 ,
б) … Re z ≤ 2 ,
в) … Im z ≤ 2 ,
г) … Im z ≥ 2 ,
д) … Re z = 2 .
21. Множество точек плоскости задается соотношением…
а) … Re z ≥ 2 ,
б) … Re z ≤ 2 ,
в) … Im z ≤ 2 ,
г) … Im z ≥ 2 ,
д) … Re z = 2 .
22. Множество точек плоскости задается соотношением…
а) … Re z ≥ 4 ,
б) … Re z ≤ 4 ,
в) … Im z ≤ 4 ,
г) … Im z ≥ 4 ,
д) … Re z = 4 .
100
23. Множество точек плоскости задается соотношением…
а) … z ≥ 5 ,
б) … z ≤ 5 ,
в) … z < 5 ,
г) … z > 5 ,
д) … z = 5 .
24. Множество точек плоскости задается соотношением…
а) … z ≥ 3 ,
б) … z ≤ 3 ,
в) … z < 3 ,
г) … z > 3 ,
д) … z = 3 .
25. Множество точек плоскости задается соотношением…
а) … z − 6 − 3i ≥ 3 ,
б) … z − 6 − 3i ≤ 6 ,
в) … z − 6 − 3i < 6 ,
г) … z − 6 − 3i ≤ 3 ,
д) … z + 6 + 3i ≤ 3 .
101
26. Множество точек плоскости задается соотношением…
а) … z < 6 ,
б) … z < 8 ,
в) … 6 ≤ z ≤ 8 ,
г) … 6 < z < 8 ,
д) … z ≥ 8 .
27. Множество точек плоскости задается соотношением…
а) … z + 7 + 7i ≥ 7 ,
б) … z − 7 − 7i < 7 ,
в) … z + 7 + 7i = 7 ,
г) … z − 7 − 7i ≤ 7 ,
д) … z − 7 − 7i = 7 .
28. Множество точек плоскости задается соотношением…
а) … z + 7 − 5i ≥ 5 ,
б) … z + 7 − 5i < 5 ,
в) … z + 7 − 5i ≤ 5 ,
г) … z + 7 − 5i ≤ 7 ,
д) … z − 7 + 5i ≤ 5 .
102
29. Множество точек плоскости задается соотношением…
а) … Arg z ≤
б) …
в) …
г) …
π
2
π
2
π
4
π
π
4
−ϕ ≤
π
4
π
+ϕ ≤
4
π
−ϕ ≤
4
−ϕ <
,
,
,
,
π
.
2
4
30. Множество точек плоскости задается соотношением…
д) …
а) … Arg z <
б) …
в) …
г) …
д) …
31. Множество точек плоскости задается соотношением…
а) … z + 6 + 7i < 6 ,
б) … z + 6 + 7i ≤ 6 ,
в) … z − 6 − 7i < 6 ,
г) … z − 6 − 7i ≤ 6 ,
д) … z + 6 + 7i < 7 .
103
π
3
π
3
π
3
π
3
π
+ϕ <
−ϕ <
+ϕ <
+ϕ ≤
6
,
π
6
π
2
π
2
π
2
,
,
,
.
32. Множество точек плоскости задается соотношением…
а) … Arg z ≤
б) …
π
3
г) … Arg z ≤
π
3
+ϕ ≤
,
3
−ϕ ≤
в) … Arg z ≥
д) …
π
π
,
6
π
3
π
6
π
6
,
,
.
33. Множество точек плоскости задается соотношением…
а) … z − 5 + 9i ≤ 5 ,
б) … z − 5 + 9i < 5 ,
в) … z − 5 + 9i > 5 ,
г) … z + 5 − 9i < 5 ,
д) … z + 5 − 9i ≤ 5 .
104
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
9.1. Элементы комбинаторики
1. Число размещений из n элементов некоторого множества по m
( m < n ) вычисляют по формуле:
n!
n!
а) … Anm =
,
б) … Anm =
,
n!( n − m )!
( n − m )!
n!
m!
в) … Anm =
,
г) … Anm =
,
m!( n − m )!
( n − m )!
д) … Anm = n!
2. Число сочетаний из n элементов некоторого множества по m
вычисляют по формуле:
n!
n!
а) … Cnm =
,
б) … Cnm =
,
n!( n − m )!
( n − m )!
n!
m!
в) … Cnm =
,
г) … Cnm =
,
m!( n − m )!
( n − m )!
( m < n)
д) … Cnm = n!
3. Число перестановок из n элементов некоторого множества вычисляют
по формуле:
n!
а) … Pn = ( n + 1)!,
б) … Pn =
,
( n − 1)!
n!
1
в) … Pn =
,
г) … Pn = ,
n!
( n + 1)!
д) … Pn = n!
4. Подрядчику нужны 3 каменщика. К нему с предложением своих услуг
обратились 8 человек. Сколькими способами можно набрать рабочую силу:
а) … 56,
б) … 336,
в) … 720,
г) … 42,
д) … 148?
105
5. Студенту необходимо сдать 3 экзамена за 8 дней. Сколькими способами можно составить ему расписание, если в один день нельзя сдавать более одного экзамена:
а) … 56,
б) … 336,
в) … 720,
г) … 42,
д) … 148?
6. Сколькими способами могут разместиться 6 человек за столом, на котором поставлены 6 приборов:
а) … 56,
б) … 336,
в) … 720,
г) … 42,
д) … 148?
7. В чемпионате России по футболу (премьер–лига) участвуют 16 команд.
Известно, что те, кто займут первые три места, получают золотую, серебряную
и бронзовую медали, а последние двое выбывают. Сколько может быть различных результатов первенства для призеров и выбывающих команд:
а) … 78,
б) … 3136,
в) … 178209,
г) … 156423,
д) … 524160?
9.2. Случайные события
8. В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того,
что наудачу вынутый шар будет черным:
2
4
4
а) … ,
б) … ,
в) … ,
5
7
5
3
3
д) … .
г) … ,
7
5
9. Вероятность произведения двух зависимых событий равна…
а) … P ( A ⋅ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) ,
б) … P ( A ⋅ B ) = P ( B ) PB ( A ) ,
в) … P ( A ⋅ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) ,
г) … P ( A ⋅ B ) = P ( A ) ⋅ PA ( B ) ,
д) … P ( A ⋅ B ) = PB ( A ) P ( B ) .
10. В урне 4 белых и 3 черных шара. Наугад выбирается два шара. Вероятность того, что это будет два черных шара равна…
1
1
а) … ,
в) … 1,
б) … − ,
7
7
106
г) …
3
,
7
д) …
2
.
7
11. Вероятность любого события находится в пределах:
б) … [− 1;1],
а) … (− ∞; ∞ ) ,
г) … ( 0;∞ ) ,
д) … (0;1) .
в) … [0;1] ,
12. В партии, состоящей из 100 деталей, двадцать бракованных. Наудачу
взято 14 деталей, которые оказались не бракованными. Какова вероятность того, что взятая для проверки пятнадцатая деталь окажется бракованной (предполагается, что взятые детали в партию не возвращаются):
20
10
3
а) …
,
б) …
,
в) …
,
43
43
86
10
3
,
д) …
?
г) …
86
43
13. В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым:
1
4
4
а) … ,
б) … ,
в) … ,
7
7
5
3
3
д) … ?
г) … ,
7
5
14. Вероятность суммы двух совместных событий равна…
а) … P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( A ⋅ B ) ,
б) … P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ⋅ B ) ,
в) … P ( A + B ) = P ( A ) − P ( B ) − P ( A ⋅ B ) ,
г) … P ( A + B ) = P ( A ) − P ( B ) + P ( A ⋅ B ) ,
д) … P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) .
15. В партии, состоящей из 100 деталей, двадцать бракованных. Наудачу
взято 14 деталей, которые оказались не бракованными. Какова вероятность того, что взятая для проверки пятнадцатая деталь окажется не бракованной (предполагается, что взятые детали в партию не возвращаются):
66
65
65
а) …
,
б) …
,
в) …
,
86
86
100
5
66
,
д) …
?
г) …
86
100
107
16. В урне 4 белых и 3 черных шара. Наугад выбирается два шара. Вероятность того, что это будет два белых шара равна…
1
1
3
а) … ,
в) … ,
б) … − ,
7
7
7
4
2
д) … .
г) … ,
7
7
17. Опыт – бросание двух игральных костей. События: А1 – хотя бы на
одной кости появится два очка; А2 – на каждой кости появится нечетное число
очков - являются…
а) … несовместными,
б) … равновозможными,
в) … единственно возможными,
г) … совместными,
д) … невозможными.
18. Cлучайным событием является:
а) … наступление весны после зимы,
б) … восход солнца,
в) … выпадение не более шести очков при подбрасывании игральной
кости,
г) … попадание в десятку при выстреле в мишень,
д) … замерзание воды при сильном морозе.
19. Опыт – извлечение одной карты из колоды: События: А1 – карта пиковой масти; А2 – туз - являются …
а) … несовместными,
б) … равновозможными,
в) … противоположными,
г) … совместными,
д) … невозможными.
20. Формула полной вероятности имеет вид:
а) … P ( A ) = P ( H1 ) PA ( H1 ) + P ( H 2 ) PA ( H 2 ) + … + P ( H n ) PA ( H n ) ,
б) … P ( A) = P ( H1 ) PH1 ( A ) + P ( H 2 ) PH 2 ( A) + … + P ( H n ) PH n ( A) ,
в) … P ( A ) = P ( A ) PA ( H1 ) + P ( A ) PA ( H 2 ) + … + P ( A ) PA ( H n ) ,
г) … P ( A ) = P ( A ) PH1 ( A ) + P ( A ) PH 2 ( A) + … + P ( A ) PH n ( A) ,
д) … P ( A) = P ( H1 ) PH1 ( A ) + P ( H 2 ) PH 2 ( A ) + … + P ( H n ) PH n ( A) .
108
21. Имеет место схема Бернулли. Формула Бернулли имеет вид:
а) … Pn ( m ) = Cnm ⋅ p m ⋅ q n−m ,
б) … Pn ( m ) = Cnm ⋅ q m ⋅ p n−m ,
в) … Pn ( m ) = Anm ⋅ p m ⋅ q n−m ,
г) … Pn ( m ) = Anm ⋅ q m ⋅ p n−m ,
д) … Pn ( m ) = Cnm ⋅ p m ⋅ q n .
22. Имеет место схема Бернулли. Интегральная формула Лапласа имеет
вид:
а) …
x1 =
б) …
m1 − np
npq
и
x2 =
x
2
x
2
x
2
m2 − np
;
npq
m1 + np
npq
и
x2 =
m2 + np
;
npq
z
−
1
2
Pn ( m1 , m2 ) ≈ Φ ( x2 ) + Φ ( x1 ) , где Φ ( x ) =
e
dz ,
∫
2π 0
x1 =
г) …
2
z
−
1
Pn ( m1 , m2 ) ≈ Φ ( x2 ) − Φ ( x1 ) , где Φ ( x ) =
e 2 dz ,
∫
2π 0
x1 =
в) …
x
z
−
1
Pn ( m1 , m2 ) ≈ Φ ( x2 ) − Φ ( x1 ) , где Φ ( x ) =
e 2 dz ,
∫
2π 0
m1 − np
npq
и
x2 =
m2 − np
;
npq
z
−
1
Pn ( m1 , m2 ) ≈ Φ ( x1 ) − Φ ( x2 ) , где Φ ( x ) =
e 2 dz ,
∫
2π 0
x1 =
m1 − np
npq
и
x2 =
m2 − np
;
npq
Pn ( m1 , m2 ) ≈ Φ ( x2 ) − Φ ( x1 ) , где Φ ( x ) =
д) …
x1 =
m1 − np
npq
и
x2 =
m2 − np
.
npq
109
1
π
x
∫e
0
−
z2
2
dz ,
23. Вероятность появления события А по классическому определению
вычисляют по формуле…, где n – общее число равновозможных исходов, а m –
число исходов, благоприятствующих появлению события А:
n
m
а) … P ( A ) = ,
б) … P ( A ) = 2 ,
m
n
m
m n
в) … P ( A ) = ,
г) … P ( A ) = − ,
n
n m
m n
д) … P ( A ) = + .
n m
24. Имеет место схема Бернулли. Формула Пуассона имеет вид … , если
λ = np :
а) … Pn ( m )
(λ )
=
eλ
,
m!
в) … Pn ( m ) =
д) … Pn ( m )
(λ )
=
m
m!e− λ
e−λ
б) … Pn ( m )
,
m!
λ
m ) e−λ
(
г) … Pn ( m ) =
,
m!
,
(λ )
m
λ ) e−λ
(
=
.
m
−m
m!
25. Имеет место схема Бернулли. Локальная формула Муавра–Лапласа
имеет вид:
2
1
1 x2
m + np
а) … Pn ( m ) =
ϕ ( x ) , где ϕ ( x ) =
,
e
и x=
npq
2π
npq
2
1
1 − x2
б) … Pn ( m ) =
ϕ ( x ) , где ϕ ( x ) =
e
npq
2π
и
x=
np − m
,
npq
2
x
−
1
1
2
в) … Pn ( m ) =
ϕ ( x ) , где ϕ ( x ) =
e
dx и
∫
npq
π
x=
2
1
1 − x2
г) … Pn ( m ) =
ϕ ( x ) , где ϕ ( x ) =
e
npq
2π
и
x=
m − np
,
npq
m − np
;
npq
2
x
−
1
1
2
д) … Pn ( m ) =
ϕ ( x ) , где ϕ ( x ) =
e
dx и
∫
npq
2π
110
x=
m − np
.
npq
9.3. Случайные величины
−
1
e
26. Плотность распределения f ( x ) =
σ 2π
ну распределения:
а) … равномерному,
б) … показательному,
в) … нормальному,
г) … биномиальному,
д) … Пуассона.
( x − a )2
2σ 2
соответствует … зако-
27. Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле:
∞
∞
а) … M ( x ) = x ∫ f ( x )dx ,
в) … M ( x ) =
−∞
∞
б) … M ( x ) = f ( x ) ∫ xdx ,
−∞
∞
∞
∫ f (x )dx ∫ xdx ,
−∞
∞
г) … M ( x ) = xf ( x) ∫ dx ,
−∞
−∞
д) … M ( x ) = ∫ xf ( x )dx .
−∞
28. Дисперсия непрерывной случайной величины определяется по фор-
муле:
∞
2
а) … D ( x ) = ∫ x 2 f ( x ) dx −  M ( x )  ,
−∞
+∞
б) … D ( x ) = ∫ ( x − M ( x ) ) dx ,
2
−∞
∞
в) … D ( x ) = ∫ f ( x)dx ,
−∞
∞
г) … D( x) = ∫ x ⋅ f ( x)dx − M ( x ) ,
−∞
∞
д) … D ( x ) = ∫ x 2 f ( x)dx .
−∞
29. Дисперсия равномерно распределенной случайной величины определяется по формуле:
2
2
а) … D ( X ) = ( b + a ) 12 ,
б) … D ( X ) = ( b − a ) 2 ,
111
в) … D ( X ) = ( b + a ) 2 ,
г) … D ( X ) = ( a − b ) 12 ,
2
3
д) … D ( X ) = ( b − a ) 12 .
2
30. Математическое ожидание суммы двух независимых случайных величин равно…
а) … M ( X + Y ) = M ( X ) − M (Y ) ,
б) … M ( X + Y ) = M ( X ) ⋅ M (Y ) ,
в) … M ( X + Y ) = M ( X ) + M (Y ) ,
г) … M ( X + Y ) = M (Y ) − M ( X ) ,
д) … M ( X + Y ) = M ( X ) : M (Y ) .
31. Коэффициенту корреляции двух случайных величин Х и Y соответствует выражение…, где K XY - корреляционный момент.
а) … rXY =
в) … rXY =
д) … rXY =
σ Xσ Y
σ Y2
K XY
K XY
б) … rXY =
,
K XY
г) … rXY =
,
σ X2
K XY
2
K XY
,
σ XσY
,
.
σ Xσ Y
32. Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется по формуле:
n
n
n
а) … M ( X ) = ∑ xi ∑ pi ,
i =1
б) … M ( X ) = ∑ xi pi ,
i =1
i =1
n
n
в) … M ( X ) = pi ∑ xi ,
г) … M ( X ) = xi ∑ pi ,
i =1
д) … M ( X ) = x1 p1 − x2 p2 + x3 p3 − … − xn pn .
33. Дискретной случайной величиной является…
а) … число студентов, сдавших экзамен по физике,
б) … число месяцев в году,
в) … дальность полета снаряда,
г) … температура воздуха в атмосфере,
д) … число дней в неделе.
112
i =1
34. Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной
величины…
а) … меньше единицы,
б) … не меньше нуля,
в) … заключена между 0 и 1,
г) … равна нулю,
д) … равна единице.
35. Дисперсия дискретной случайной величины определяется по формуле:
( )
а) … D ( X ) = M X 2 − M ( X ) ,
n
2
б) … D ( X ) = ∑  xi + M ( X )  pi ,
i =1
( )
D ( X ) = M ( X ) − ( M ( X )) ,
в) … D ( X ) = M X 2 + ( M ( X ) ) ,
2
г) …
2
2
n
2
д) … D ( X ) = ∑  xi − M ( X )  pi2 .
i =1
 1
, x ∈ [ a, b ]

соответствует …
36. Плотность распределения f ( x ) =  b − a
0,
x ∉ [ a, b ]

закону распределения:
а) … равномерному,
б) … показательному,
в) … нормальному,
г) … биномиальному,
д) … Пуассона.
λ e − λ x , x ≥ 0
37. Плотность распределения f ( x ) = 
соответствует … зако<
0,
0
x

ну распределения:
а) … равномерному,
б) … показательному,
в) … нормальному,
г) … биномиальному,
д) … Пуассона.
113
38. График функции распределения случайной величины Х имеет вид:
Тогда M ( 2 X + 3) = …
15
а) …
,
2
г) … 0,
б) … 6 ,
д) …
в) … 12 ,
9
.
2
39. Математическое ожидание произведения нескольких независимых
случайных величин равно…
а) … M ( X ⋅ Y ⋅ Z ) = M ( X ) M (Y ) M ( Z ) ,
б) … M ( X ⋅ Y ⋅ Z ) = M ( X ) + M (Y ) + M ( Z ) ,
в) … M ( X ⋅ Y ⋅ Z ) =  M ( X ) ⋅ M (Y )  M ( Z ) ,
г) … M ( X ⋅ Y ⋅ Z ) =  M ( X ) + M (Y )  ⋅ M ( Z ) ,
д) … M ( X ⋅ Y ⋅ Z ) = M ( X ) ⋅ M (Y ) ⋅ M ( Z ) .
40. График функции распределения случайной величины Х имеет вид:
Тогда M ( 5 X − 4 ) = …
а) … – 4,
г) … −9 ,
б) … 11,
д) … 4.
114
в) … 6 ,
41. Если случайная величина Х задана плотностью распределения
1
e
2 2π
а) … 0,
г) … 2,
f ( x) =
−
( x +1)2
8
, то M ( 2 X − 2 ) = …
б) … –2,
д) … –4.
в) … 4,
42. График функции распределения случайной величины Х имеет вид:
Тогда M ( 2 − 3 X ) = …
а) … −34 ,
г) … −16 ,
б) … 4 ,
д) … –8.
в) … 8 ,
43. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (α , β ) определяется по формуле:
β −a
α − a 
а) … P (α < x < β ) = Ф 
 − Ф
,
 σ 
 σ 
β −a
α − a 
б) … P (α < x < β ) = Ф 
 + Ф
,
 σ 
 σ 
a−β 
 a −α 
в) … P (α < x < β ) = Ф 
 − Ф
,
 σ 
 σ 
β +a
α + a 
г) … P (α < x < β ) = Ф 
 − Ф
,
σ
σ




a−β 
 a −α 
д) … P (α < x < β ) = Ф 
 + Ф
.
 σ 
 σ 
115
44. График функции распределения случайной величины Х имеет вид:
Тогда D ( 2 X + 3) = …
а) … 3,
б) … 6 ,
г) … –3,
д) …
в) …
3
.
2
9
,
2
45. График функции распределения случайной величины Х имеет вид:
Тогда D ( 5 X − 4 ) = …
5
а) … ,
3
23
г) … − ,
3
25
,
12
25
д) …
.
3
б) …
в) …
13
,
3
46. Если случайная величина Х задана плотностью распределения
−
1
f ( x) =
e
2 2π
а) … 4,
г) … – 4,
( x +1)2
8
, то D (1 − X ) = …
б) … 2,
д) … 8.
116
в) … –2,
47. График функции распределения случайной величины Х имеет вид:
Тогда D ( 2 − 3 X ) = …
а) … −12 ,
г) … 12 ,
б) … 16 ,
д) … 10.
в) … −10 ,
48. Если случайная величина Х задана плотностью распределения
−
1
f ( x) =
e
3 2π
а) … 3,
г) … 2,
( x − 2 )2
18
, то M ( 3 X − 1) = …
б) … –2,
д) … –5.
в) … 5,
49. Если случайная величина Х задана плотностью распределения
( x − 2 )2
−
1
f ( x) =
e 18 , то D (1 − 3 X ) = …
3 2π
а) … – 9,
г) … – 27,
б) … 81,
д) … 27.
в) … – 80,
50. Если случайная величина Х задана плотностью распределения
( x −3 ) 2
1 −
f ( x) =
e
2π
а) … –2,
г) … 10,
2
, то M (1 − 3 X ) = …
б) … –8,
д) … – 9.
в) … 9,
51. Если случайная величина Х задана плотностью распределения
1 −(
f ( x) =
e
2π
а) … – 6,
г) … 8,
x −3 )
2
2
, то D ( 2 X − 6 ) = …
б) … 2,
д) … 4.
117
в) … – 4,
52. Коэффициент корреляции между переменными Х и Y по абсолютной
величине …
а) … rXY ≤ 1 ,
б) … rXY < 1 ,
в) … rXY > 1 ,
г) … rXY ≥ 1 ,
д) … rXY ≤ 2 .
53. Случайные величины Х и Y линейно–зависимы, когда коэффициент
корреляции между ними равен …
а) … rXY = 0 ,
б) … rXY = 1 ,
в) … rXY = 2 ,
г) … rXY < 1 ,
д) … rXY > 0 .
54. Случайные величины Х и Y независимы, когда коэффициент корреляции между ними равен …
а) … rXY = 0 ,
б) … rXY = 1 ,
в) … rXY = 2 ,
г) … rXY < 1 ,
д) … rXY > 0 .
55. График функции распределения имеет вид:
Тогда P( X < 5) = …
а) … 0,26 ,
г) … 0,17 ,
б) … 0,62 ,
д) … 0,45 .
в) … 0,19 ,
56. Стипендия студентов распределяется по нормальному закону, причем
a = 8,σ = 2 . С вероятностью … стипендия случайно выбранного студента будет
заключена в границах от 4 до 12:
а) … 0,
б) … 0,9544,
в) … 0,4772,
г) … 0,3413,
д) … 0,4987.
118
57. График функции распределения имеет вид:
Тогда P( X < 7) = …
а) … 0,26 ,
г) … 0,17 ,
б) … 0,62 ,
д) … 0,45 .
в) … 0,19 ,
58. Стипендия студентов распределяется по нормальному закону, причем
a = 8,σ = 2 . С вероятностью … стипендия случайно выбранного студента будет
заключена в границах от 6 до 10:
а) … 0,
б) … 0,1915,
в) … 0,4772,
г) … 0,3413,
д) … 0,6826.
59. График функции распределения имеет вид:
Тогда P( X > 7) = …
а) … 0,38,
г) … 0,19 ,
б) … 0,62 ,
д) … 0,45 .
119
в) … 1,
60. Непрерывная случайная величина Х имеет плотность распределения
0, x ≤ 0,
2

f ( x) =  x, 0 < x ≤ 3,
9
Тогда M ( X ) = …
0, x > 3.
а) … 0,
г) … 9,
б) … 6,
д) … 2.
в) … 1,
61. Стипендия студентов распределяется по нормальному закону, причем
a = 9,σ = 2 . С вероятностью … стипендия случайно выбранного студента будет
заключена в границах от 6 до 12:
а) … 0,
б) … 0,4332,
в) … 0,8664,
г) … 0,4987,
д) … 0,1915.
62. График функции распределения имеет вид:
Тогда P( X = 5) = …
а) … 0,83 ,
г) … 0,19 ,
б) … 0,26 ,
д) … 0,45 .
в) … 1,
63. Непрерывная случайная величина Х имеет плотность распределения
0, x ≤ 0,
2

f ( x) =  x, 0 < x ≤ 3,
9
Тогда D( X ) = …
0, x > 3.
а) … 0,
б) … 0,5 ,
в) … 2,5 ,
г) … 4,5 ,
д) … 3.
120
64. График функции распределения имеет вид:
Тогда P( X = 7) = …
а) … 0,38,
г) … 0,26 ,
б) … 0,62 ,
д) … 0,17 .
в) … 1,
65. Непрерывная случайная величина Х имеет плотность распределения
0, x ≤ 0,
2

f ( x) =  x, 0 < x ≤ 3,
9
Тогда σ ( X ) ≈ …
0, x > 3.
а) … 0,
г) … 1,07,
б) … 0,57,
д) … 1,507.
121
в) … 0,707,
10. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
10.1. Выборочный метод
1.
Статистическим
аналогом
многоугольника
является …
а) … полигон частот,
б) … кривая Гаусса,
в) … эмпирическая функция распределения,
г) … функция Лапласа,
д) … гистограмма.
распределения
2. Статистическим аналогом плотности распределения вероятностей является …
а) … полигон частот,
б) … кривая Гаусса,
в) … эмпирическая функция распределения,
г) … функция Лапласа,
д) … гистограмма.
3. Статистическим аналогом функции распределения является …
а) … полигон частот,
б) … кривая Гаусса,
в) … эмпирическая функция распределения,
г) … функция Лапласа,
д) … гистограмма.
4. Простым случайным отбором называют отбор, при котором …
а) … объекты извлекают по одному из каждой типической части генеральной совокупности,
б) … объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности,
в) … объекты из генеральной совокупности извлекают сериями,
г) … генеральную совокупность делят на группы и из каждой группы отбирают один элемент.
5. Механическим отбором называют отбор, при котором …
а) … объекты извлекают по одному из каждой «типической» части генеральной совокупности,
б) … объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности,
в) … объекты из генеральной совокупности извлекают сериями,
г) … генеральную совокупность делят на группы и из каждой группы отбирают один элемент.
122
6. Площадь гистограммы частот равна …
а) … единице,
б) … объему выборки,
в) … выборочной дисперсии,
г) … выборочной средней,
д) … моде вариационного ряда.
7. Площадь гистограммы относительных частот равна …
а) … единице,
б) … объему выборки,
в) … выборочной дисперсии,
г) … выборочной средней,
д) … моде вариационного ряда.
8. Собраны данные о числе пропущенных занятий по физике у 20 студентов: 2, 5, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 5, 4, 0, 3, 3, 2, 1, 4, 0, 0, 2, 3. Значение эмпирической
функции распределения F20 ( 3) по данной выборке равно …
8
12
16
,
б) …
,
в) …
,
а) …
20
20
20
18
9
г) …
,
д) …
.
20
20
9. Собраны данные о числе пропущенных занятий по физике у 20 студентов: 2, 5, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 5, 4, 0, 3, 3, 2, 1, 4, 0, 0, 2, 3. Значение эмпирической
функции распределения F20 ( 2 ) по данной выборке равно …
8
12
16
а) …
,
б) …
,
в) …
,
20
20
20
18
9
г) …
,
д) …
.
20
20
10.2. Числовые характеристики статистического распределения
10. Модой M 0* вариационного ряда называется вариант, имеющий…:
а) … наименьшую выборочную дисперсию,
б) … наименьшую частоту,
в) … наибольшую выборочную дисперсию,
г) … наибольшую частоту,
д) … наименьший размах вариации.
123
11. Медианой M e* вариационного ряда называется вариант, слева и справа
от которого находятся …
а) … варианты, имеющие наименьшую частоту,
б) … одинаковое число вариант,
в) … варианты, имеющие наибольшую частоту,
г) … разное число вариант,
д) … варианты, имеющие наименьшую выборочную дисперсию.
12. Выборочное среднее вариационного ряда определяется по формуле:
n
n
а) … xв = ∑ xi ,
б) … xв = n ∑ xi ni ,
i =1
i =1
n
1 n
∑ ni ,
xi i =1
1 n
д) … xв = ∑ xi ni .
n i =1
г) … xв = ∑ xi ni ,
в) … xв =
i =1
13. Выборочное среднее квадратическое отклонение вариационного ряда
определяется по формуле:
а) … σ в =
в) … σ в =
(x ) + (x )
(x ) −(x )
2
в
2
в
n
2
,
б) … σ в =
( xв )2 − ( xв2 ) ,
2
,
г) … σ в =
1 n
2
∑ ( xi + xв ) ⋅ ni ,
n i =1
в
в
д) … σ в = ∑ ( xi − xв ) ⋅ ni .
2
i =1
14. Исправленная выборочная дисперсия вариационного ряда определяется по формуле:
n
n
а) … S 2 =
б) … S 2 =
Dв ,
Dв ,
n +1
n −1
n −1
Dв ,
в) … S 2 = Dв ,
г) … S 2 =
n
n +1
д) … S 2 =
Dв .
n −1
15. Величина интервалов вариационного ряда определяется по формуле:
x
+ xmin
1 + 3,322 ⋅ lg n
,
б) … h =
,
а) … h = max
xmax − xmin
1 + 3,322 ⋅ lg n
124
xmax − xmin
,
1 + 3,322 ⋅ lg n
x − xmax
.
д) … h = min
1 + 3,322 ⋅ lg n
г) … h =
в) … h =
1 + 3,322 ⋅ lg n
,
xmax + xmin
16. Размах вариации определяется по формуле:
а) … R = xmax + xmin ,
б) … R = xmin − xmax ,
г) … R = xmax − xmin ,
в) … R = 2 ( xmax − xmin ) ,
x
− xmin
.
д) … R = max
2
17. Коэффициент вариации определяется по формуле:
σ
x
б) … V = в ⋅ 100% ,
а) … V = в ⋅ 100% ,
xв
σв
σ
x
в) … V = в ,
г) … V = в ,
xв
σв
S2
⋅ 100% .
д) … V =
xв
10.3. Статистические оценки параметров распределения
18. Несмещенной оценкой называют статистическую оценку, математическое ожидание которой равно…
а) … исправленной выборочной дисперсии,
б) … выборочной средней,
в) … нулю,
г) … оцениваемому параметру генеральной совокупности,
д) … единице.
19. При измерении температуры воздуха 5 ноября в течении 6 лет получены значения: 5, 2, 7, 5, 6, 5 0С. Тогда оценка средней температуры воздуха 5
ноября равна …
25
,
в) … 6,
б) …
а) … 5,
6
29
29
г) …
,
д) …
.
5
6
125
20. Эффективной несмещенной оценкой называют статистическую оценку, которая имеет…
а) … наименьшую возможную дисперсию,
б) … наименьшее возможное математическое ожидание,
в) … наибольшее возможное математическое ожидание,
г) … наименьшее возможное среднее квадратическое отклонение,
д) … наибольшую возможную дисперсию.
21. При измерении температуры воздуха 5 апреля в течении 8 лет получены значения: 15, 12, 13, 11, 16, 12, 12, 11 0С. Тогда оценка средней температуры
воздуха 5 апреля равна …
а) … 14,
б) … 12,375 ,
в) … 10,
г) … 12,875 ,
д) … 12,75 .
22. Состоятельной называют статистическую оценку, которая …
а) … при n → 1 стремится по вероятности к оцениваемому параметру,
б) … при n → ∞ стремится к оцениваемому параметру,
в) … при n → ∞ стремится к выборочной средней,
г) … при n → 1 стремится к выборочной средней,
д) … при n → ∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру.
23. Точечной называют оценку, которая …
а) … определяется одним числом,
б) … определяется двумя числами,
в) … определяется пятью числами,
г) … определяется множеством значений вариант,
д) … определяется шестью числами.
24. Интервальной называют оценку, которая …
а) … определяется одним числом,
б) … определяется двумя числами,
в) … определяется пятью числами,
г) … определяется множеством значений вариант,
д) … равна длине интервала.
25. Надежностью оценки Θ по Θ* называют …
а) … число δ , для которого справедливо неравенство Θ − Θ* > δ ,
б) … число δ , для которого справедливо неравенство Θ − Θ* < δ ,
126
в) … вероятность γ , с которой осуществляется неравенство
Θ − Θ* = δ .,
г) … вероятность γ , с которой осуществляется неравенство
Θ − Θ* > δ .,
д) … вероятность γ , с которой осуществляется неравенство
Θ − Θ* < δ .
26. Методом нахождения точечных оценок параметров распределения является …
а) … метод Ньютона,
б) … метод сеток,
в) … метод Гаусса–Зейделя,
г) … метод моментов,
д) … метод Рунге–Кутта.
27. К критериям согласия
не относится …
а) … критерий Пирсона,
б) … критерий Колмогорова,
в) … критерий Фишера,
г) … критерий Смирнова,
д) … критерий Эйлера.
проверки
127
статистических
гипотез
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Представленное учебное пособие является одним из серии публикаций в
помощь освоения системы компьютерного тестирования. Все опубликованные
тестовые задания перенесены в среду тестирования АСТ–ТЕСТ и переданы в
«Центр компьютерного тестирования знаний ВГАСУ».
Выполнив предложенные задания, студенты лучше усвоят материал курса высшей математики. Это поможет им решать контрольные работы, выполнять и защищать расчетно-графические работы, сдавать коллоквиумы, зачеты и
экзамены.
Для успешного выполнения тестовых заданий рекомендуем студентам
ознакомиться с лекционным материалом, а также с многочисленной литературой по различным разделам высшей математики. Некоторые учебнометодические и справочные пособия приведены в настоящем практикуме в
библиографическом списке рекомендуемой литературы. В этих изданиях студенты могут найти как теоретические сведения, так и примеры выполнения
практических заданий.
В последующих публикациях авторы подробно остановятся на тех формах тестовых заданий, которые не вошли в данный практикум.
Желающие детально познакомиться с различными типами тестовых заданий и со средой тестирования АСТ-ТЕСТ могут найти полезную информацию
на сайте http://www.ast-centre.ru.
128
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
Алейников С. М. Теория функций комплексного переменного для инженеров–строителей / С. М. Алейников, А. Б. Кущев; Воронеж. гос. арх.–строит. ун–т.
– Воронеж, 2005. – 122 с.
Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся
втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.,
1986. – 544 с.
Бугров Я. С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды.
Функции комплексного переменного / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М.:
Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 464 с.
Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. –
М.: Наука, 1973. – 870 с.
Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике / В. Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2003. – 405 с.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Е.
Гмурман. – М.: Высшая школа, 2003. – 479 с.
Гончаров М. Д. Тест–практикум по высшей математике: учеб. пособие /
М. Д. Гончаров.; Воронеж. гос. арх.–строит. ун–т. – Воронеж, 2004. – 85 с.
Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. / П. Е.
Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова.– М.: Издательский дом «ОНИКС 21
Век»: Мир и Образование, 2003. – 720 с.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: в 2 т. / Н.
С. Пискунов. – М.: ИНТЕГРАЛ–ПРЕСС, 2002. – 1032 с.
Привалов И. И. Аналитическая геометрия / И. И. Привалов.– СПб.: Издательство «Лань», 2004. – 304 с.
Седаев А. А. Методы линейной алгебры и элементы конечномерного
функционального анализа: учеб. пособие / А. А. Седаев.; Воронеж. гос. арх.–
строит. ун–т. – Воронеж, 2005. – 125 с.
Шипачев В. С. Высшая математика / В. С. Шипачев. – М.: Высшая школа,
2002. – 479 с.
129
ПРИЛОЖЕНИЕ
Бланк ответов на тестовые задания
Ф.И.О. студ. _________
_____________________
_____________________
№ группы ___________
№ за- № правильного
дания
ответа
а б в г д
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
130
Учебное издание
СЕРГЕЙ МИХАЙЛОВИЧ АЛЕЙНИКОВ
ВИТАЛИЙ ВАЛЕРЬЕВИЧ ГОРЯЙНОВ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Контрольно-измерительные материалы
для аттестации обучающихся в технических вузах
Практикум
для студентов всех специальностей ВГАСУ
Редактор Лантюхова Н.Н.
Компьютерный набор и верстка Горяйнова В.В.
Оформление обложки Танкеева А.С.
Подписано в печать 10.10.2006. Формат 60 х 84 1/16. Уч.–изд. л. 8,1.
Усл.-печ. л. 8,2. Бумага писчая. Тираж 500 экз. Заказ №
.
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии Воронежского
государственного архитектурно-строительного университета
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
131
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
11
Размер файла
1 311 Кб
Теги
измерительные, 239, контрольная, материалы, математика, горяйнов, алейников, высшая
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа