close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

265.662 Неопределенный и определенный интегралы

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
Методические указания и контрольные задания
к типовому расчету № 3
по курсу математики
для студентов 1-го курса
Воронеж 2010
УДК 517
ББК 22161.я7
Составители
В.С. Муштенко
Л.В. Стенюхин
В.К. Евченко
Неопределенный и определенный интегралы: метод. указания и
контрольные задания к типовому расчету № 3 по курсу математики для студ.
1-го курса / Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т; сост.: В.С. Муштенко,
Л.В. Стенюхин, В.К. Евченко – Воронеж, 2010. – 48 с.
Методические указания содержат краткие сведения по интегральному
исчислению и рекомендации по решению задач, входящих в расчетнографические задания.
Приведены 25 вариантов заданий.
Предназначены для студентов 1-го курса всех специальностей.
Библиогр.: 4 назв.
УДК 517
ББК 22161.я7
Печатается
Воронежского
университета.
по решению редакционно-издательского совета
государственного
архитектурно-строительного
Рецензент – А.М.Дементьева, к.ф.-м.н., доц. кафедры высшей
математики Воронежского государственного
архитектурно-строительного университета
ВВЕДЕНИЕ
Основной целью данных методических указаний является оказание
помощи студентам всех специальностей дневного обучения при изучении
тем «Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл», «Несобственные интегралы», «Приложения определенных интегралов». В каждом разделе
приводятся необходимые формулы, определения и образцы решения задач.
Методические указания содержат 25 вариантов, содержащих необходимый для выполнения типового расчета набор примеров и задач. Выполнение студентами типового расчета контролируется преподавателем. Типовой
расчет выполняется в отдельной тетради, с четкими чертежами и рисунками,
с кратким описанием решения задач и примеров.
Типовой расчет состоит из 9 задач:
Первая задача: найти неопределенные интегралы.
Вторая задача: вычислить определенные интегралы.
Третья задача: вычислить несобственные интегралы или доказать их
расходимость.
Четвертая задача: вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,
заданными в декартовой системе координат. Фигуру изобразить на чертеже.
Пятая задача: вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярной системе координат или в параметрической форме. Фигуру изобразить на чертеже.
Шестая задача: вычислить объем тела, полученного при вращении фигуры, лежащей в плоскость XOY и ограниченной заданными линиями, вокруг оси (ось указана в задании). Фигуру изобразить на чертеже.
Седьмая задача: вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в
декартовой системе координат.
Восьмая задача: вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в
полярной системе координат или в параметрической форме.
Девятая задача: решить задачу на физические или механические приложения определенного интеграла.
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
Функцию F (x ) называют первообразной для функции f (x ) , если
F ′( x ) = f ( x ) .
Неопределенным интегралом ∫ f ( x )dx от функции f (x ) называется
множество всех первообразных функции f (x ) , то есть
∫ f ( x )dx = F ( x ) + C ,
где F (x ) - некоторая первообразная функции f (x ) , а C - произвольная постоянная. Функцию f (x ) называют подынтегральной функцией, а f ( x )dx подынтегральным выражением.
1.2. Таблица неопределенных интегралов
Из формул дифференцирования основных элементарных функций
можно получить таблицу неопределенных интегралов:
1. ∫ dx = x + C .
x α +1
α
+ C , α ≠ −1 .
2. ∫ x dx =
α +1
dx
3. ∫ = ln x + C .
x
ax
x
4. ∫ a dx =
+C.
ln a
5. ∫ e x dx = e x + C .
6. ∫ cos xdx = sin x + C .
7. ∫ sin xdx = − cos x + C .
dx
8. ∫
= tg x + C .
cos 2 x
dx
9. ∫ 2 = − ctg x + C .
sin x
dx
1
x
=
+ C , a = const .
arctg
10. ∫ 2
a
x + a2 a
dx
1
x−a
11. ∫ 2
=
ln
+ C , a = const .
x − a 2 2a x + a
dx
x
=
+ C , a = const .
12. ∫ 2
arcsin
a
a − x2
dx
= ln x + x 2 + k + C , k = const .
13. ∫ 2
x +k
4
1.3. Свойства неопределенного интеграла
Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:
1.
2.
3.
4.
5.
(∫ f ( x )dx )′ = f ( x ) .
d (∫ f ( x )dx ) = f ( x )dx .
∫ dF ( x ) = F ( x ) + C .
∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx , k = const .
∫ ( f ( x ) ± g ( x ) )dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx .
(
)
Пример 1.1. Найти интеграл ∫ 2 cos x + 3x 2 − x + 4 x + 5 dx .
Решение. Применяя свойства (4) - (5) и формулы (6), (2), (1), получим
цепочку равенств
(
)
2
∫ 2 cos x + 3x − x + 4 x + 5 dx =
1
2
= 2 ∫ cos xdx + 3∫ x dx − ∫ x dx + 4 ∫ xdx + 5∫ dx =
2
1
+1
2
x
x
x2
= 2 sin x + 3 −
+ 4 + 5x + C =
3 1 +1
2
2
3
= 2 sin x + x 3 −
3
2
2x
+ 2 x 2 + 5 x + C.
3
Используем свойство (1) неопределенного интеграла для проверки:
′
3
⎛
⎞
⎜
⎟
2x 2
3
2
sin
x
+
x
−
+ 2 x 2 + 5x + C ⎟ =
⎜
3
⎜
⎟
⎝
⎠
1
2 3
= 2 cos x + 3x − ⋅ x 2 + 2 ⋅ 2 x + 5 =
3 2
= 2 cos x + 3x 2 − x + 4 x + 5.
2
Мы получили подынтегральную функцию. Следовательно, интеграл
найден правильно.
5
1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:
а) x = ϕ (t ) , где ϕ (t ) - монотонная, непрерывно дифференцируемая
функция новой переменной t . Формула замены переменной в этом случае
имеет вид
∫ f ( x )dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt ;
б) u = ψ (x ) , где u - новая переменная. Формула замены переменной
при такой подстановке:
∫ f (ϕ ( x ))ϕ ′( x )dx = ∫ f (u )du .
Пример 1.2. Найти интеграл ∫ 1 + 3x dx .
Решение. Сделаем подстановку 1 + 3x , то есть x =
в силу а)
∫ 1 + 3x dx = ∫ t
1
2
3
2
dt 1 t
2
= ⋅ +C =
9
3 3 3
2
t −1
dt
, dx = . Тогда
3
3
(1 + 3x )3 + C .
Пример 1.3. Найти интеграл ∫ e sin x cos x dx .
Решение. Сделаем подстановку t = sin x , dt = cos xdx . Тогда в силу б)
∫e
sin x
cos xdx = ∫ e t dt = e t + C = esin x + C .
1.5. Интегрированием по частям
Интегрированием по частям называется отыскание интеграла по формуле
∫ u dv = uv − ∫ v du ,
где u = u (x ) , v = v (x ) - непрерывно дифференцируемые функции.
6
С помощью этой формулы нахождение интеграла ∫ u dv сводится к
отысканию другого интеграла ∫ v du ; ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо подобен ему.
Для интегралов вида ∫ P( x )eαx dx , ∫ P( x ) sin αx dx , ∫ P( x ) cos αx dx ,где
P (x ) - многочлен, за u следует принять P (x ) , а за dv - соответственно выражения eαx dx , sin αx dx , cos αx dx . Для интегралов вида ∫ P( x ) ln x dx ,
∫ P( x ) arcsin x dx , ∫ P( x ) arccos x dx , ∫ P( x )arctg x dx , ∫ P( x )arcctg x dx за u
принимаются соответственно ln x , arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x , а за dv
- выражения P( x )dx .
Пример 1.4. Найти интеграл ∫ x cos x dx .
Решение. Применим формулу интегрирования по частям:
u = x; du = dx;
=
∫ x cos x dx =
dv = cos x dx; v = ∫ dv = ∫ cos x dx = sin x + C
= x sin x − ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C.
Пример 1.5. Найти интеграл ∫ x 2 ln x dx .
Решение. Применим формулу интегрирования по частям:
2
∫ x ln x dx =
u = ln x; du =
dx
;
x
=
x3
dv = x dx; v = ∫ dv = ∫ x dx = + C
3
x3
x 3 dx x 3
1 2
x3
x3
= ln x − ∫ ⋅ = ln x − ∫ x dx = ln x − + C.
3
3 x
3
3
3
9
2
2
1.6. Для интегрирования выражений, содержащих квадратный трехчлен
в знаменателе
Для интегрирования выражений, содержащих квадратный трехчлен в
знаменателе, необходимо выделить полный квадрат по формуле
2
⎡⎛
b ⎞ b 2 − 4ac ⎤
ax + bx + c = a ⎢⎜ x + ⎟ −
⎥.
2
2
a
4
a
⎝
⎠
⎣
⎦
b
b
Затем ввести новую переменную t = x +
; x=t−
; dx = dt и попы2a
2a
таться свести полученный интеграл к табличным интегралам (10)-(13).
2
7
Пример 1.6. Найти интеграл ∫
3x + 5
dx .
x − 4 x + 13
2
Решение. Выделим полный квадрат:
x 2 − 4 x + 13 = ( x − 2) 2 + 9 .
∫
t = x − 2; x = t + 2;
3x + 5
3x + 5
dx
dx
=
=
=
∫
dx = dt
x 2 − 4 x + 13
( x − 2) 2 + 9
3(t + 2) + 5
3t + 11
1
t
dt = ∫ 2
dt = 3∫ 2
dt + 11∫ 2 2 dt =
2
t +9
t +9
t +9
t +3
3 2t
11
3
11
t
t
= ∫ 2
dt + arctg + C = ln t 2 + 9 + arctg + C =
2 t +9
3
3
2
3
3
3
11
x−2
= ln x 2 − 4 x + 13 + arctg
+ C.
2
3
3
=∫
1.7. Интегрирование рациональных дробей
P( x )
, где P (x ) и Q (x ) - мноQ( x)
гочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P (x ) ниже степени многочлена Q (x ) ; в противном случае дробь называется неправильной.
Простейшими дробями называются правильные дроби вида:
A
1.
.
x−a
A
, где k - целое число, больше единицы.
2.
(x − a )k
Ax + B
, где квадратный трехчлен x 2 + px + q не имеет действи3. 2
x + px + q
тельных корней.
Ax + B
4. 2
, где квадратный трехчлен x 2 + px + q не имеет дейстn
(x + px + q )
вительных корней, где n - целое число, больше единицы.
Во всех четырех случаях предполагается, что A , B , a , p , q - действительные числа.
Интегралы от простейших дробей первых трех типов соответственно
равны:
Рациональной дробью называется дробь
8
A
dx = A ln x − a + C .
x−a
1
A
A
2. ∫
dx =
⋅
+C .
k
1 − k ( x − a )k −1
(x − a )
Ax + B
2
2x + p
3. ∫ 2
dx =
arctg
+C .
x + px + q
4q − p 2
4q − p 2
1. ∫
Интегрирование рациональной дроби следует проводить по следующей
схеме:
а) если дробь неправильная, необходимо выделить целую часть, то есть
представить в виде
P( x )
R( x )
,
= H ( x) +
Q( x)
Q( x)
где H (x ) - многочлен,
R( x )
- правильная рациональная дробь;
Q( x)
б) если дробь правильная, разложить знаменатель на линейные и квадратичные сомножители
Q ( x ) = ( x − a ) k ...( x 2 + px + q) m ... ,
где квадратный трехчлен x 2 + px + q не имеет действительных корней;
в) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:
R( x )
A1
A2
Ak
=
+
+ ... +
+ ... +
2
Q( x) x − a (x − a )
(x − a )k
B1 x + C1
B2 x + C2
Bm x + Cm
+ 2
+ 2
+ ... + 2
+ ...,
2
m
x + px + q (x + px + q )
(x + px + q )
где Ai , Bi , Ci - неизвестные коэффициенты, которые можно найти, приведя
последнее равенство к общему знаменателю, а затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.
В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.
9
x5 − x + 4
dx .
Пример 1.7. Найти интеграл ∫
x4 −1
Решение. Выделим целую часть:
4
x5 − x + 4
= x+ 4
.
4
x −1
x −1
Правильную дробь разложим по формуле
4
4
A
B
Cx + D
.
=
=
+
+ 2
2
x − 1 ( x − 1)( x + 1)(x + 1) ( x − 1) ( x + 1) (x + 1)
4
После приведения правой части к общему знаменателю, приравняв
числители, получим
4 = A( x + 1)( x 2 + 1) + B( x − 1)( x 2 + 1) + (Cx + D )( x − 1)( x + 1),
4 = 4 = A( x 3 + x 2 + 1) + B( x 3 − x 2 + x − 1) + C ( x 3 − x ) + D ( x 2 − 1),
4 = ( A + B + C ) x 3 + ( A − B + D ) x 2 + ( A + B − C ) x + ( A − B − D ).
Приравнивая коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях x в
левой и правой частях, имеем систему уравнений
⎧ A + B + C = 0,
⎪ A − B + D = 0,
⎪
⎨
⎪ A + B − C = 0,
⎪⎩ A − B − D = 4.
Решая эту систему, получим A = 1 , B = −1 , C = 0 , D = −2 . Таким образом,
x5 − x + 4
1
1
2 ⎞
⎛
dx
=
x
+
−
−
⎜
∫ x4 −1
∫ ⎝ (x − 1) (x + 1) (x 2 + 1)⎟⎠dx =
x2
=
+ ln x − 1 − ln x + 1 − 2arctgx + C.
2
1.8. Универсальная тригонометрическая подстановка
Интегралы вида ∫ R(sin x, cos x )dx , где R - рациональная функция,
можно свести к интегралам от рациональной функции одной переменной с
помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки:
10
x
1 − tg 2
x
2
t
2 =
t = tg , sin x =
, cos x =
2
2
1
+
t
2 x
1 + tg
1 + tg 2
2
2tg
′
x = 2arctg t , dx = d (2arctg t ) = (2arctg t ) dt =
Пример 1.8. Найти интеграл ∫
x
2
2 = 1− t ,
x 1+ t2
2
2
dt .
1+ t2
dx
.
2 + cos x
x
Решение. Полагая t = tg , получим
2
2dt
dt
2
dx
dt
1+ t2
= ∫ 1 + t 2 = 2∫
= 2∫
=
∫
2
2
1− t
2(1 + t ) + 1 − t
2 + cos x
3 + t2
2+
1+ t2
1+ t2
x
tg
2
t
2
=
arctg
+C =
arctg 2 + C.
3
3
3
3
1.9. Интегрирование тригонометрических выражений
Интегралы вида ∫ sin m x cosm x dx целесообразно разбить на два случая:
а) хотя бы один из показателей m или n - нечетное положительное
число. Если m - нечетное число, то применяется подстановка t = cos x . Если
n - нечетное число, то применяется подстановка t = sin x ;.
б) оба показателя степени m и n - четные положительные числа. Тогда
следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул
sin 2 x =
1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
, cos 2 x =
.
2
2
Пример 1.9. Найти интеграл ∫ sin 3 x ⋅ cos4 x dx .
Решение. Полагая t = cos x , dt = − sin x dx , получим
3
4
2
4
∫ sin x ⋅ cos x dx = − ∫ sin x ⋅ cos x ⋅ ( − sin x dx ) =
= − ∫ (1 − cos2 x ) ⋅ cos4 x ⋅ ( − sin x dx ) = − ∫ (1 − t 2 ) ⋅ t 4 dt = − ∫ (t 4 − t 6 ) dt =
=−
t5 t7
cos5 x cos7 x
+ +C = −
+
+ C.
5 7
5
7
11
Пример 1.10. Найти интеграл ∫ cos4 x dx .
Решение.
2
1
⎛ 1 + cos 2 x ⎞
2
⎟ dx = ∫ (1 + 2 cos 2 x + cos 2 x ) dx =
∫ cos xdx = ∫ ⎜
2
4
⎝
⎠
1 ⎛
1 + cos 4 x ⎞
1 ⎛3
cos 4 x ⎞
= ∫ ⎜1 + 2 cos 2 x +
⎟ dx = ∫ ⎜ + 2 cos 2 x +
⎟ dx =
4 ⎝
2
4
2
2
⎠
⎝
⎠
4
1⎛3
sin 4 x ⎞
= ⎜ x + sin 2 x +
⎟+C
4⎝2
8 ⎠
Интегралы вида ∫ sin αx ⋅ cos βxdx , ∫ sin αx ⋅ sin βxdx , ∫ cos αx ⋅ cos βxdx
можно легко решить, применив формулы тригонометрии:
1
[sin(α + β )x + sin(α − β )x ] ,
2
1
sin αx ⋅ sin βx = [cos(α − β )x − cos(α + β )x ] ,
2
1
cos αx ⋅ cos βx = [cos(α + β )x + cos(α − β )x ] .
2
sin αx ⋅ cos βx =
Пример 1.11. Найти интеграл ∫ sin 7 x ⋅ cos 3x dx .
Решение.
∫ sin 7 x ⋅ cos 3x dx =
1
1 ⎛ cos10 x cos 4 x ⎞
−
⎟+C.
∫ (sin 10 x + sin 4 x ) dx = ⎜ −
2
2⎝
10
4 ⎠
2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2.1. Свойства определенного интеграла:
b
a
a
a
b
1. ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx .
2. ∫ f ( x )dx = 0 .
a
b
c
b
3. ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx , c ∈ ( a , b) .
a
b
a
c
b
b
a
a
4. ∫ ( f ( x ) ± g ( x ) )dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx .
a
12
b
b
a
a
5. ∫ c ⋅ f ( x )dx = c ⋅ ∫ f ( x )dx .
6. Если f (x ) - нечетная функция на отрезке [ − a, a ] , то есть
f ( − x ) = − f ( x ) , где x ∈ [ − a , a ] , то
a
∫ f ( x )dx = 0 .
−a
Если f ( x ) - четная функция на отрезке [ − a , a ] , то есть f ( − x ) = f ( x ) ,
где x ∈ [ − a , a ] , то
a
a
−a
0
∫ f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx .
2.2. Формула Ньютона-Лейбница
Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a, b] , то она интегрируема
на этом отрезке. Для всякой функции f ( x ) , непрерывной на отрезке [a, b] ,
существует на этом отрезке неопределенный интеграл ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C и
имеет место формула Ньютона-Лейбница
b
∫ f ( x )dx = F (b) − F ( a ) .
a
При вычислениях эту формулу обычно пишут в виде
b
∫ f ( x )dx = F ( x ) ,
a
a
b
где символ – «подстановка от a до b » - обозначает ту же самую разность
F ( b) − F ( a ) .
Пример 2.1. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить инте2
грал ∫ x 3dx .
−1
Решение.
2
3
∫ x dx =
−1
x 4 2 2 4 ( −1) 4 16 1 15
= −
= − = .
4
4 4 4
4 −1 4
13
π
2
Пример 2.2. Вычислить интеграл ∫ cos2 ϕ dϕ .
0
Решение. Преобразуем подынтегральное выражение по формуле
1 + cos 2ϕ
cos 2 ϕ =
2
π
π
π
2
2 1 + cos 2ϕ
1 2
2
dϕ = ∫ (1 + cos 2ϕ ) dϕ =
∫ cos ϕ dϕ = ∫
2
2 0
0
0
π
π
π
1 2
1 2
1 π 1
π
= ∫ dϕ + ∫ cos 2ϕ dϕ = ϕ 2 + sin 2ϕ 2 = .
2 0
2 0
2 0 4
4
0
2.3 Замена переменной в определенном интеграле
Пусть функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b] , и пусть:
1) функция x = ϕ (t ) , где ϕ (t ) - монотонная, непрерывно дифференцируемая функция, когда новая переменная t меняется от α до β ;
2) ϕ (α ) = a , ϕ ( β ) = b .
Тогда имеет место следующее правило замены переменной в определенном интеграле:
b
β
a
α
∫ f ( x )dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt .
Первое условие обеспечивает непрерывность функции под знаком интеграла в правой части равенства.
Монотонность функции x = ϕ (t ) нужна для того, чтобы при изменении
t от α до β соответствующее значение x = ϕ (t ) не вышло за пределы отрезка [a, b] , где функция f ( x ) может быть не задана.
Второе условие устанавливает соответствие между пределами интегрирования до и после замены переменной по формуле x = ϕ (t ) .
9
dx
.
Пример 2.3. Вычислить ∫
x
4 1+
Решение. Перейдем к новой переменной интегрирования, полагая
x = t 2 . При этом новая переменная выражается через старую так: t = x .
Так как старая переменная меняется в пределах от 4 до 9, то новая переменная будет меняться от 2 до 3, так как при x = 4 t = 2 , при x = 9 t = 3 .
14
Пределы изменения для новой переменной удобно находить при поx 4 9
мощи следующей таблицы:
, а все преобразования удобно записыt 2 3
вать в фигурных скобках. Тогда получаем
dx
=
∫
x
4 1+
9
x = t2, t = x,
dx = 2tdt ,
x 4 9
3
2dt
1 ⎞
⎛
= 2 ∫ ⎜1 −
⎟ dt =
1+ t ⎠
21+ t
2⎝
3
=∫
2 3
t
3
9
= 2(t − ln t + 1 ) = 2 + ln .
2
16
При замене переменной часто удобно пользоваться не подстановкой
x = ϕ (t ) для перехода к новой переменной t , а, наоборот, обозначить новой
переменной u = ψ (x ) . В этом случае новые пределы определяют по формулам α = ψ (a ) , β = ψ (b) .
e
Пример 2.4. Вычислить ∫
(ln x )2 dx .
x
1
Решение.
e
(ln x )
1
x
∫
2
dx
u = ln x;
1
dx
u3 1 1
2
=
= d (ln x ) = du; = ∫ u du =
= .
x
3 0 3
0
x 1 e
u 0 1
2.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Если функции u = u (x ) , v = v (x ) имеют непрерывные производные на
отрезке [a, b] , то имеет место формула
b
b
b
a
a
a
∫ u dv = uv − ∫ v du ,
b
где uv = u(b)v (b) − u( a )v ( a ) .
a
15
π
2
Пример 2.5. Найти интеграл ∫ x cos x dx .
0
Решение. Применим формулу интегрирования по частям в определенном интеграле
π
u = x; du = dx;
2
∫ x cos xdx =
dv = cos xdx; v = ∫ dv = ∫ cos xdx = sin x + C
0
π
π
2
= x sin x 2 − ∫ sin xdx =
0
0
π
2
sin
π
2
− 0 + cos
π
2
− cos 0 =
π
2
=
− 1.
1
Пример 2.5. Найти интеграл ∫ x arctgx dx .
0
Решение.
1
∫ x arctgx dx =
u = arctg x; du = d ( arctgx ) =
x2
dv = xdx; v =
2
0
dx
;
1 + x2 =
1 1 x2
x2
1
1 1 (x 2 + 1) − 1
dx = arctg1 − 0 − ∫
dx =
= arctgx − ∫
0 0 2(1 + x 2 )
2
2
2 0 (1 + x 2 )
=
π
1 π 1 π π 1
11
11 1
π 1 1 1
− ∫ dx + ∫
dx
=
−
x
+
arctg
x
= − + = − .
0 8 2 8 4 2
8 20
2 0 (1 + x 2 )
8 2 0 2
3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.1. Интегралы с бесконечными пределами или несобственные интегралы первого рода
Если функция y = f (x ) непрерывна при a ≤ x < +∞ , то интеграл
+∞
∫ f ( x )dx называется несобственным с бесконечным пределом и он вычисля-
a
ется по формуле
+∞
b
a
a
[F (b) − F (a )] ,
∫ f ( x )dx = blim
∫ f ( x )dx = blim
→+∞
→+∞
16
где F ′( x ) = f ( x ) .
Если предел в правой части равенства существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае он называется расходящимся.
Аналогично определяется несобственный интеграл с нижним бесконечным пределом и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами:
b
b
−∞
a
[F (b) − F (a )] ,
∫ f ( x )dx = alim
∫ f ( x )dx = alim
→−∞
→ −∞
+∞
c
b
−∞
a
c
∫ f ( x )dx = alim
∫ f ( x )dx + blim
∫ f ( x )dx .
→−∞
→ +∞
+∞
Пример 3.1. Вычислить несобственный интеграл ∫
0
dx
.
(x + 1)6
Решение.
b
b
⎡ ( x + 1)−5 ⎤ b
dx
dx
−6
= lim ∫
= lim ∫ ( x + 1) d ( x + 1) = lim ⎢
∫
⎥ =
6
6
b→+∞ 0 ( x + 1)
b→ +∞ 0
b→+∞
5
−
0 ( x + 1)
⎦0
⎣
+∞
⎡
⎤b
⎡
1
1
1⎤ 1
= lim ⎢
+ ⎥= ,
= lim ⎢
5⎥
5
b→ +∞ − 5( x + 1)
⎦ 0 b→+∞ ⎣ − 5(b + 1) 5 ⎦ 5
⎣
и, следовательно, несобственный интеграл сходится.
dx
1
Пример 3.2. Вычислить несобственный интеграл ∫
−∞
3
x2
.
Решение.
∫
−∞
3
[
⎡ 13 ⎤ 1
= lim ∫ 3 2 = lim ∫ x dx = lim ⎢3x ⎥ = lim 3 − 33 a
2
a → −∞ a
a →−∞ a
a →−∞
x
x
⎣ ⎦ a a→−∞
dx
1
1
dx
1
−
2
3
и, следовательно, несобственный интеграл расходится.
dx
.
2
−∞ 1 + x
+∞
Пример 3.3. Вычислить несобственный интеграл ∫
17
] 1 = +∞
a
Решение. Это интеграл с обоими бесконечными пределами. Так как по1
четная, то по свойству 7 определенного
дынтегральная функция f ( x ) =
1 + x2
+∞ dx
+∞ dx
.
интеграла получим ∫
=
2
∫
2
2
−∞ 1 + x
0 1+ x
+ ∞ dx
b dx
b
π
Тогда ∫
=
=
arctg
x
=
arctg
b
=
.
lim
lim
lim
∫
2
2
b→ +∞ 0 1 + x
b→+∞
0 b→+∞
2
0 1+ x
+∞ dx
Таким образом, ∫
= π и, следовательно, несобственный интеграл
2
−∞ 1 + x
сходится.
3.2. Интегралы от неограниченных функций или несобственные интегралы второго рода
Если в некоторой точке « c » отрезка [a, b] функция y = f (x ) имеет
b
бесконечный разрыв, то есть f ( c ) = ∞ , a < c < b , то интеграл ∫ f ( x )dx назыa
вается несобственным интегралом от неограниченной функции и он вычисляется по формуле:
b
c −ε
b
∫ f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx + lim ∫ f ( x )dx .
a
ε →0 a
δ →0 c +δ
Если точка « c » является одним из концов отрезка [a, b] , то есть c = a
или c = b , то имеем соответственно
b
b−ε
∫ f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx, если f(b) = ∞ ,
a
b
ε →0 a
a
δ →0 a +δ
b
∫ f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx, если f(a) = ∞ .
Несобственный интеграл от неограниченной функции называется сходящимся, если существуют и конечны пределы в правой части указанных
формул, и расходящимися, если не существует хотя бы одни из них.
dx
1
Пример 3.4. Вычислить несобственный интеграл ∫
1 − x2
0
Решение. Подынтегральная функция f ( x ) =
1
.
не определена и не
1− x
ограничена в точке x = 1 , так как f (x ) = ∞ , поэтому данный интеграл является несобственным интегралом от неограниченной функции.
18
2
Для вычисления этого интеграла применим формулы
1
∫
0
dx
1−ε
= lim ∫
1 − x2
ε →0 0
dx
= lim arcsin x
1 − x2
1−ε
ε →0
= lim [arcsin(1 − ε ) − arcsin 0] = arcsin 1 =
ε →0
=
0
π
2
.
Несобственный интеграл сходится.
Пример 3.5. Исследовать, сходится ли несобственный интеграл
2 cos x dx
.
∫
2
0 sin x
cos x
Решение. Подынтегральная функция f ( x ) = 2 в точке обращается
sin x
в бесконечность, следовательно, данный интеграл несобственный.
Тогда
π
2 cos x dx
2 d sin x
1 ⎞π
cos x dx
⎛
= lim ∫
= lim ∫
= lim ⎜ −
⎟2=
∫
2
δ →0 δ
sin 2 x δ →0 δ sin 2 x δ →0 ⎝ sin x ⎠ δ
0 sin x
π
2
π
⎛
1
1
= lim ⎜ −
+
δ →0 ⎜ sin π
sin δ
⎝
2
π
⎞
1 ⎞
⎛
⎟=
−1+
lim
⎜
⎟ = ∞,
⎟ δ →0 ⎝
sin δ ⎠
⎠
1
→ ∞ при δ → 0 , и, следовательно, несобственный интеграл расsin δ
ходится.
так как
4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
4.1. Площадь плоской криволинейной фигуры
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой
y = f (x ) ( f ( x ) ≥ 0 ), слева и справа соответственно прямыми x = a и x = b , а
снизу осью OX , вычисляется по формуле
b
S = ∫ f ( x )dx .
a
19
Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f1 ( x )
и y = f2 ( x)
( f1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) ) и прямыми x = a и x = b , находится по формуле
b
S = ∫ [ f 2 ( x ) − f1 ( x )] dx .
a
Если кривая задана параметрическими уравнениями x = ϕ (t ) , y = ψ (t ) ,
то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми
x = a и x = b и осью OX , выражается формулой
β
S = ∫ψ (t ) ϕ ′(t ) dt ,
α
где α и β определяются из уравнений a = ϕ (α ) , b = ψ ( β ) .
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в
полярных координатах уравнением ρ = ρ (ϕ ) и двумя полярными радиусами
ϕ = α и ϕ = β ( α < β ), находится по формуле
S=
1β 2
∫ ρ (ϕ )dϕ .
2α
4.2. Длина дуги кривой
Длина дуги кривой, заданной уравнением в явном виде y = f (x ) , где
a ≤ x ≤ b , вычисляется по формуле
b
L = ∫ 1 + ( y ′) 2 dx .
a
Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями x = ϕ (t ) ,
y = ψ (t ) , α ≤ t ≤ β , выражается формулой
β
L = ∫ (ϕ t′) 2 + (ψ t′) 2 dt .
α
Если кривая задана уравнениями в полярных координатах ρ = ρ (ϕ ) ,
α ≤ ϕ ≤ β , то длина дуги кривой находится по формуле
β
L = ∫ ( ρ ) 2 + ( ρ ′) 2 dt .
α
20
4.3. Объем тела вращения
Если криволинейная трапеция, имеющая основанием отрезок a ≤ x ≤ b ,
вращается вокруг оси OX , то объем полученного тела вращения вычисляется
по формуле
b
V = π ∫ ( f ( x )) 2 dx ,
a
где y = f (x ) - уравнение кривой, ограничивающей криволинейную трапецию
сверху.
Если тело получено от вращения вокруг осиOX фигуры, ограниченной
кривыми y = f1 ( x ) и y = f 2 ( x ) ( f1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) ) и прямыми x = a и x = b , то
объем тела вращения равен
b
[
]
V = π ∫ ( f 2 ( x ) ) − ( f1 ( x ) ) dx .
a
2
2
Если криволинейная трапеция, имеющая основанием отрезок c ≤ y ≤ d ,
вращается вокруг оси OY , то объем такого тела вращения вычисляется по
формуле
d
V = π ∫ (ϕ ( y )) 2 dy ,
c
где x = ϕ ( y ) - уравнение кривой, ограничивающей криволинейную трапецию
справа.
Если тело получено от вращения вокруг оси OY фигуры, ограниченной
кривыми x = ϕ1 ( y ) и x = ϕ 2 ( y ) и прямыми y = c и y = d , то объем тела вращения равен
d
[
]
V = π ∫ (ϕ 2 ( y ) ) − (ϕ1 ( y ) ) dy .
c
2
2
4.4. Некоторые физические задачи
4.4.1. Путь, пройденный телом
Если материальная точка движется по некоторой прямой со скоростью
v = f (t ) , то путь S , пройденный ею за промежуток времени α ≤ t ≤ β , вычисляется по формуле
β
S = ∫ f (t )dt .
α
21
4.4.2. Работа переменной силы
Пусть под действием силы F = f (x ) материальная точка движется по
прямой. Работа A этой силы на участке пути [a, b] определяется по формуле
b
A = ∫ f ( x )dx .
a
4.4.2 Давление жидкости
Для вычисления силы давления жидкости используется закон Паскаля,
согласно которому давление жидкости на площадку равно ее площади S ,
умноженной на глубину погружения h , на плотность ρ и ускорение силы
тяжести g , то есть
P = ρ g h S.
22
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Вариант 1
1. 1) ∫ x x − 5 dx ;
2
x3
8) ∫ 2
dx ;
x + x +1
5x − 1
dx ;
3x − 2 x + 1
5
dx ;
1− 2x
9) ∫
3) ∫ sin(1 − 3x ) dx ;
10) ∫
4) ∫ cos3 x sin x dx ;
11) ∫
x −1
dx ;
x ( x + 1)
5) ∫ x 2 e x dx ;
12) ∫
dx
;
5 − 3 cos x
6) ∫ ln x dx ;
13) ∫
cos3 x
dx ;
4 + sin x
2) ∫
7) ∫
1
dx ;
x + x2
3
3
2. 1) ∫ y ln( y − 1) dy ;
2
+∞
3. 1) ∫
0
1
x − 4x + 5
2
dx ;
14) ∫ sin 3x ⋅ cos 2 x dx .
8
2) ∫
3
x
dx ;
16 x 4 + 1
2
1
2) ∫ 3
0
x dx
.
x +1
dx
.
2 − 4x
4. y = x 2 , y = 3 − 2 x .
5. ρ = 3 cos ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π .
6. y = 2 x − x 2 , y = x , (OX).
3
2
7. y = x от x = 0 до x = 5 .
8. x = 2 cos3 t , y = 2 sin 3 t .
9. Скорость тела задается формулой v = 1 + t м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 10 с после начала движения.
23
Вариант 2
x2
8) ∫ 2
dx ;
x + x +1
1. 1) ∫ x 2 − 3x dx ;
2
1
dx ;
3x 2 − 2 x + 4
x2
2) ∫ 3
dx ;
x −2
9) ∫
3) ∫ cos (2 + 6 x ) dx ;
10) ∫
4) ∫
x−2
x +1
2
2x + 1
dx ;
5 − 4x − x2
x +1
dx ;
11) ∫
x +1 − 4 x +1
dx ;
dx
;
2 + sin x
5) ∫ xe − x dx ;
12) ∫
6) ∫ ( x + 1) ln x dx ;
13) ∫ sin 2 3x dx ;
7) ∫
x −1
dx ;
x2 + x
14) ∫ sin 3x ⋅ sin x dx .
π
π
3
2) ∫ tg 2 x dx .
2. 1) ∫ x 2 cos x dx ;
π
0
+∞
3. 1) ∫
0
4
4x3
x +1
4
3
2) ∫
3
dx ;
1
dx
(3 − x ) 2
.
4. y = x 2 , y = 4 x − 3 .
5. ρ = 3(1 + cos ϕ ) , 0 ≤ ϕ ≤ 2π .
6. y = 2 x − x 2 , y = 0 , (OX).
7. y = ln cos x от x = 0 до x =
π
6
.
8. x = 2(cos t + t sin t ) , y = 2(sin t − t cos t ) , 0 ≤ t ≤ π .
9. Вычислить работу, которую нужно затратить на сооружение конического кургана, радиус основания которого R = 2 м , а высота H = 3 м , из однородного строительного материала плотностью δ = 2,5т / м 3 .
24
Вариант 3
1. 1) ∫ x
2) ∫
x2 + 1
8) ∫ 2
dx ;
x +x
2 + 5 x dx ;
2
3
sin x
dx ;
x
3) ∫ e 2+7 x dx ;
4) ∫
x3
1 − 2x
4
13) ∫ sin 4 x dx ;
14) ∫ sin 8 x ⋅ cos x dx .
π
ln 2
2
2. 1) ∫ x ⋅ cos x dx ;
2) ∫
0
0
3. 1) ∫
0
( x 3 + 8)5
dx ;
11) ∫ 3
1
dx ;
1 − x3
x2
2 − 2x − x
2
x
dx ;
x −5
dx
;
12) ∫
cos x + sin x
dx ;
6) ∫ ln( x + 2) dx ;
+∞
1
10) ∫
5) ∫ x 2 e x dx ;
7) ∫
2x + 5
dx ;
x 2 − 6 x + 10
9) ∫
0
2) ∫ 3
dx ;
−
1
3
ex
dx .
ex + 3
dx
.
1 + 3x
x2
5
4. y = , y = x − 2 .
2
2
5. ρ = 4 sin 2ϕ (четырехлепестковая роза).
6. y = 4 x − 2 x 2 , y = 0 , (OX).
7. y = ln sin x от x =
π
3
до x =
2π
.
3
8. x = 4 cos3 t , y = 4 sin 3 t .
9. Вычислить силу давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что его основание 8м, высота 12м, верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глубине 5м. Плотность δ = 1 кг / м 3 .
25
Вариант 4
1. 1) ∫
2) ∫
1
dx ;
x ln x
x3
8) ∫ 2
dx ;
x −1
x
e
x
9) ∫
dx ;
x
6x + 4
dx ;
x 2 − 8x + 4
1
dx ;
10) ∫
dx ;
11) ∫
x
dx ;
x −1
5) ∫ arctg x dx ;
12) ∫
dx
;
cos x − sin x
6) ∫ cos(ln x ) dx ;
13) ∫ sin 2 x ⋅ cos2 x dx ;
3) ∫
4) ∫
7) ∫
1 − x4
x+2
1− x
2
1
dx ;
x + x3
π
1
dx .
ln 2 e − 1
2 ln 2
2) ∫
0
+∞
0
dx ;
14) ∫ sin 2 x ⋅ cos 4 x dx .
2. 1) ∫ x 2 ⋅ sin x dx ;
3. 1) ∫
x2 + 4x + 2
1
dx ;
2
π ( x + 4 x + 5)
2
2) ∫ 3
0
x
x 2 dx
64 − x 6
.
4. y = x 2 , y = 6 − 5 x .
5. ρ = 2(1 − cos ϕ ) , 0 ≤ ϕ ≤ 2π .
6. y = 4 x − 2 x 2 , y = x , (OX).
x2
7. y =
от x = 0 до x = 2 .
2
8. x = 5 cos 2 t , y = 5 sin 2 t , 0 ≤ t ≤
π
2
.
9. Скорость движения материальной точки v = 4te −t
пройдет точка от начала движения до полной остановки?
26
2
м/с. Какой путь
Вариант 5
1. 1) ∫
2x + 2
dx ;
x2 + 2x
x3 + 1
8) ∫ 2
dx ;
x +x
2) ∫
cos x
dx ;
x
9) ∫
3) ∫
x
dx ;
1 + x4
10) ∫
4) ∫
x
1 − 2x2
dx ;
1
dx ;
1 − 3x − x 2
5x − 1
6 + 4x − x2
11) ∫ 4
x3
(
1
)
x −1
dx ;
dx ;
dx
;
3 + 2 cos x
5) ∫ x arctg x dx ;
12) ∫
6) ∫ x ⋅ 2 x dx ;
13) ∫ cos5 x dx ;
x2 + 1
7) ∫
dx ;
x − x3
14) ∫ cos 3x ⋅ cos 5 x dx .
1
2
2. 1) ∫ arccos 2 x dx ;
−
1
dx .
0 2 x + 3x + 1
5
2) ∫
1
2
0
3. 1) ∫
−∞
x
( x 2 + 4) 3
dx ;
dx
.
9
0,5 1 − 2 x
1
2) ∫
x2
x
4. y = , y = + 3 .
2
2
5. ρ = 4 cos 3ϕ .
6. y = 3x − x 2 , y = 0 , (OX).
7. y = ( x − 1) 3 от x = 1 до x = 6 .
8. x = 9(t − sin t ) , y = 9(1 − cos t ) , 0 ≤ t ≤ 2π .
9. Вычислить силу давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что его основание 2м, высота 3м, верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глубине 4м. Плотность δ = 1 кг / м 3 .
27
Вариант 6
1. 1) ∫
sin(ln x )
dx ;
x
x3 + 1
8) ∫ 3
dx ;
x − x2
1
2) ∫ 3 3 dx ;
x +x
9) ∫
3) ∫ tg x dx ;
10) ∫
x2 +
1
dx ;
x + 2x + 2
2
2x −1
x + 16 x + 60
2
dx ;
x
dx ;
4
x −3
11) ∫
x
dx ;
23 x + 3 x
5) ∫ x 2 arctg x dx ;
12) ∫
sin x dx
;
3 + cos x
6) ∫ x ⋅ e 3 x dx ;
13) ∫
1
dx ;
tg 3 x
x3 − 1
7) ∫ 2
dx ;
x + x−2
14) ∫ sin 3x ⋅ cos 5 x dx .
4) ∫
3
5
π
2) ∫
2. 1) ∫ x ⋅ sin 2 x dx ;
0
−π
x2
+∞
3. 1) ∫
0
3
( x 3 + 4) 4
x
dx .
x+4
ln(3x − 1) dx
.
1
3x − 1
1
dx ;
2) ∫
3
4. y = 2 x 2 +
x
5x
, y=
.
2
2
5. ρ = 2ϕ , один виток спирали Архимеда и полярная ось.
6. xy = 4 , 2 x + y − 6 = 0 , (OX).
7. y = 1 − ln cos x от x = 0 до x =
π
6
.
8. x = 7(t − sin t ) , y = 7(1 − cos t ) , 0 ≤ t ≤ 2π .
9. Скорость тела задается формулой v = 3t 2 + 2t + 1 м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 3 с после начала движения.
28
Вариант 7
1. 1) ∫
cos(ln x )
dx ;
x
x3 + 1
8) ∫ 2
dx ;
x − 5x + 6
x5
2) ∫ 6
dx ;
x + 10
9) ∫
3) ∫ ctg x dx ;
10) ∫
4) ∫
x+5
6− x
2
dx ;
x
x 2 − 4 x + 10
8
dx ;
4 x + 16 x − 20
2
6
11) ∫
x
2− x
3
dx ;
5) ∫ x 2 sin x dx ;
12) ∫ sin 3 2 x dx ;
6) ∫ ( x 2 + 9) ⋅ ln x dx ;
13) ∫ tg 4 x dx ;
7) ∫
x
dx ;
( x 2 + 3)( x − 1)
0
−2 x
+∞
1
1
dx .
0 cos x
6
dx ;
2) ∫
4
dx ;
x (1 + ln 2 x )
2) ∫ 5
1
2
3. 1) ∫
14) ∫ sin 3x ⋅ sin 5 x dx .
π
2. 1) ∫ x ⋅ e
−
dx ;
1
3
4
dx
.
3 − 4x
4. y = 3x 2 + x , y = 4 x .
5. ρ = 4 sin 2 ϕ .
6. y = x , y = x 3 , (OX).
7. y = ( x + 1) 3 от x = −1 до x = 4 .
8. x = 3t 2 , y = t − t 3 .
9. Определить работу A , которую необходимо затратить, чтобы выкачать
воду из прямого кругового цилиндра. Радиус основания цилиндра R = 2 м ,
высота h = 4 м .
29
Вариант 8
1. 1) ∫ e sin x cos x dx ;
2) ∫
2x − 5
3 − x2
dx ;
2x5 − 2 x3 + x2
8) ∫
dx ;
1 − x4
3x + 5
9) ∫
x2 − 4x + 5
dx ;
8
dx ;
x − 6 x + 25
arcctg 2 x
dx ;
3) ∫ 2
x +1
10) ∫
4) ∫ sin(2 x − 7) dx ;
11) ∫ 3
5) ∫ x 2 arcsin x dx ;
12) ∫
6) ∫ ( x + 2) ⋅ cos 4 x dx ;
13) ∫ cos2 3x sin 3x dx ;
x−2
dx ;
x3 + x2 + x − 3
14) ∫ cos 4 x ⋅ cos 5 x dx .
7) ∫
π
3
2
2. 1) ∫ tg x dx ;
1
dx ;
2
−1 4 x + 4 x + 5
+∞
x
dx ;
2x + 3
1
dx ;
2 − 3 cos x + sin x
1
dx .
−x
ln 2 e − e
ln 3
2) ∫
0
3. 1) ∫
2
x
x dx
.
4
0 1− x
1
2) ∫
4. y = x 2 , y = 2 − x 2 .
5. ρ = cos 2ϕ .
6. y = e x , y = 0 , x = 0 , x = 1 , (OX).
7. y = x 3 от x = 0 до x = 4 .
8. x = 7(t − sin t ) , y = 7(1 − cos t ) , 0 ≤ t ≤ 2π .
9. Определить работу A , которую необходимо затратить, чтобы выкачать
воду из полусферического сосуда, диаметр которого равен 20 м , если плотность воды δ = 1 кг / м 3 .
30
Вариант 9
x3 + x − 1
8) ∫ 2
dx ;
x + x−2
1. 1) ∫ x 3 cos( x 4 ) dx ;
2) ∫
x+4
dx ;
3 + 2x2
9) ∫
3
x2 + 6x + 5
dx ;
3) ∫ ctg 5 x dx ;
10) ∫
x
dx ;
2 x − 12 x + 15
4) ∫ 4 5 − 3x dx ;
11) ∫
x +1
dx ;
3− x − 2
5) ∫ ln 2 x dx ;
12) ∫
1
dx ;
− 2 cos x + sin x
6) ∫ ( x + 2) ⋅ e 4 x dx ;
13) ∫ sin 2 5 x dx ;
7) ∫
x+6
dx ;
x ( x + x + 2)
14) ∫ sin 4 x ⋅ cos15 x dx .
2
sin x
dx .
3
π (1 − cos x )
π
1 + ln x
2. 1) ∫
dx ;
x
1
e
+∞
3. 1) ∫
0
2
2) ∫
2
1
dx ;
2
x +4
1
x 4 dx
0
1 − x5
2) ∫
.
4. y = sin x , y = 0 .
5. x = 3 cos t , y = 2 sin t , 0 ≤ t ≤ 2π .
6. y = x 2 , y 2 = x , (OX).
7. y = 1 − ln cos x от x = 0 до x =
8. ρ = sin 3
ϕ
3
0≤ϕ ≤
π
2
π
6
.
.
9. Скорость тела задается формулой v = 2t 2 − t + 3 м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 5 с после начала движения.
31
Вариант 10
1. 1) ∫
sin x
dx ;
cos2 x
2 − x2
8) ∫ 2
dx ;
x +1
2x +1
dx ;
3 − 5x 2
9) ∫
2) ∫
8x + 3
27 + 12 x − 4 x 2
1
dx ;
x − 8 x + 15
3) ∫ e 5 x −6 dx ;
10) ∫
4) ∫ x sin (1 − x 2 ) dx ;
11) ∫ 3
5) ∫ arctg x dx ;
12) ∫
6) ∫ ( 2 x + 1) ⋅ cos 7 x dx ;
13) ∫ tg 3 2 x dx ;
7) ∫
x+3
dx ;
x4 −1
−∞ 3
x
( x 2 + 5) 7
x
dx ;
x −2
1
dx ;
5 + 2 cos x + sin x
x
dx .
2 3
4 (1 + x )
1 + ln 2 x
dx ;
x
1
9
e
0
2
14) ∫ cos 4 x ⋅ cos 5 x dx .
2) ∫
2. 1) ∫
3. 1) ∫
dx ;
π sin x dx
.
2) ∫ 3
2
π
cos x
dx ;
2
4. y = x 3 , y = 1 , x = 0 .
5. ρ = 4 sin 2 ϕ .
6. y = 2 x − x 2 , y = 0 , (OX).
7. y = ln sin x от x =
π
3
до x =
π
2
.
8. ρ = 3 cos ϕ .
9. Материальная точка движется со скоростью v = 3t 2 − 2t + 2 м/с. Какой
путь она пройдет за первые 5 с после начала движения?
32
Вариант 11
1 + x3
8) ∫ 3
dx ;
x − x2
tg 3 x + 1
1. 1) ∫
dx ;
cos2 x
2) ∫
3 − 9x
3 + x2
dx ;
9) ∫
5x + 3
5 + 4x − x2
1
dx ;
x + 3x + 3
3) ∫ e 3−5 x dx ;
10) ∫
4) ∫ x cos(1 − 4 x 2 ) dx ;
11) ∫
5) ∫ arccos 2 x dx ;
12) ∫
6) ∫ (1 − x ) ⋅ sin 3x dx ;
13) ∫ sin 5 2 x dx ;
7) ∫
x
dx ;
x + 6x2 + 5
e2
5
2) ∫
2. 1) ∫ x ln x dx ;
2
1
+∞
0
2
x2 + 9 − 6
x2 + 9
dx ;
1
dx ;
2 + cos x
14) ∫ sin 7 x ⋅ sin 5 x dx .
4
3. 1) ∫
dx ;
arctg x
dx ;
π (1 + x 2 )
1
2) ∫
0
x
dx .
x −1
2 x dx
1 − x4
.
4. y 2 = 9 x , y = 3x .
5. ρ = 4(1 + cos ϕ ) .
6. y = cos x , x = 0 , x =
π
2
, y = 0 (OX).
7. y = 2 x 3 от x = 0 до x = 4 .
8. ρ = 5 sin ϕ .
9. Определить работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если известно, что сила, растягивающая пружину на x м , равна
F ( x ) = kx , где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от упругости пружины, и что для растяжения пружины на 0,01 м необходима сила 1 кг.
33
Вариант 12
1. 1) ∫ cos3 2 x ⋅ sin 2 x dx ;
2) ∫
3+ x
dx ;
10 − x 2
e x +1
3) ∫
dx ;
x +1
4) ∫
x
4 + x3
8) ∫ 3
dx ;
x −x
9) ∫
x+3
dx ;
5 + x − x2
10) ∫
dx ;
11) ∫
5) ∫ sin(ln x ) dx ;
12) ∫
6) ∫
1+ x
4
x−2
dx ;
ex
x2
7) ∫
dx ;
( x − 1) 3
1
2. 1) ∫ arctg x dx ;
0
+∞
3. 1) ∫
0
x
dx ;
1 + x4
1
x 2 + 6 x + 12
dx ;
x −6
dx ;
x +5
1
dx ;
2 + 4 cos x − 3 sin x
13) ∫ sin 4 x dx ;
14) ∫ sin 7 x ⋅ cos 8 x dx .
1
dx .
2
1 x + x
2
2) ∫
1
2) ∫ 5
0
dx
.
1− x
4. y 2 = 4 x , x = 4 .
5. x = 4 cos3 t , y = 4 sin 3 t .
6. y = x + 2 , x = 2 , y = 1 (OX).
7. y = x 2 от x = 0 до x = 2 .
8. ρ = 2(1 − cosϕ ) .
9. Определить работу A , которую необходимо затратить, чтобы выкачать
воду из котла, имеющего форму полушара радиусом R = 4 м , если плотность
воды δ = 1 кг / м 3 .
34
Вариант 13
x3 + 1
8) ∫ 3
dx ;
x + x2 − x
1. 1) ∫ sin ( 2 x − 9) dx ;
2) ∫
3) ∫
0,5 x + 1
dx ;
x2 + x
arcsin x
1− x
2
9) ∫
dx ;
1
10) ∫
4) ∫ tg 3x dx ;
5) ∫
x −5
dx ;
1 + x + x2
2 x 2 + 8x + 7
11) ∫ 3
ln x
dx ;
x3
12) ∫
dx ;
x +1
dx ;
3x + 1
1
dx ;
sin x − 4 cos x
6) ∫ ( 2 x + 5) sin x dx ;
13) ∫ sin 2 3x dx ;
x2 + 6
dx ;
7) ∫
x ( x 2 + 4 x + 5)
14) ∫ sin 6 x ⋅ sin 8 x dx .
1
3
2. 1) ∫ ( x + 3)e −2 x dx ;
2) ∫
0
0
+∞
3. 1) ∫
0
7
1
dx ;
4x2 + 4x + 5
0
2) ∫ 3
−
1
3
x2
x3 + 9
dx .
dx
.
1 + 3x
4. y = x 2 , y = 1 .
5. x = 4 cos t , y = 5 sin t .
6. y =
x
+ 3 , x = 4 , y = 1 (OX).
2
7. y = ln cos x от x = 0 до x =
π
2
.
8. ρ = 3 cosϕ .
9. Материальная точка движется со скоростью v = t 2 − 2t + 2 м/с. Какой
путь она пройдет за первые 7 с после начала движения?
35
Вариант 14
1. 1) ∫ cos ( 2 − 9 x ) dx ;
x2 + 1
8) ∫ 2
dx ;
x + x−6
4x − 5
dx ;
10 + 6 x + x 2
2) ∫
x
dx ;
x2 + 3
9) ∫
3) ∫
arctgx
dx ;
x2 + 1
10) ∫
1
5 − 2x + x2
dx ;
x
dx ;
x +1 +1
4) ∫ e sin x cos x dx ;
11) ∫
5) ∫ ln ( x + 5) dx ;
12) ∫
6) ∫ x cos(1 − x ) dx ;
13) ∫ sin 3 x cos4 x dx ;
7) ∫
4
dx ;
x ( x 2 + 2 x + 2)
14) ∫ sin 2 x ⋅ cos 6 x dx .
π
8
2. 1) ∫ x ⋅ sin 4 x dx ;
ln12
2) ∫
ln 5
0
+∞
3. 1) ∫
1
1
dx ;
x (1 + ln 2 x )
1
dx ;
8 + 5 sin x − 4 cos x
dx
ex + 4
.
sin x dx
.
3
π
cos x
π
2) ∫
2
4. y 2 = 9 x , y = 3x .
5. x = 4 cos3 t , y = 4 sin 3 t .
6. y = x , x = 4 , x = 1 , y = 0 (OX).
7. y =
1 x
(e + e − x ) от x = 0 до x = 1.
2
8. ρ = 3 sin ϕ .
9. Материальная точка движется со скоростью v = t ⋅ e −0,5t м/с. Какой путь
она пройдет за первые 2 с после начала движения?
36
Вариант 15
1. 1) ∫ ctg 5 x dx ;
2) ∫
3) ∫
1
dx ;
3x + 5
arccos x
1− x
2
dx ;
3
x3 + 1
8) ∫ 2
dx ;
x + 2x − 6
9) ∫
1
dx ;
5 + 2x + x2
2x − 6
10) ∫
5 − 2x − x2
dx ;
1
dx ;
x− x
4) ∫ e x +5 x 2 dx ;
11) ∫ 3
5) ∫ x ln ( x + 5) dx ;
12) ∫
6) ∫ ( 2 + x )e1− x dx ;
13) ∫ sin 2 x cos2 x dx ;
7) ∫
4
dx ;
x 2 ( x + 2)
1
2. 1) ∫ arcsin (1 − x ) dx ;
1
2
+∞
3. 1) ∫
0
1
dx ;
x2 + 9
1
dx ;
1 + sin x − cos x
14) ∫ cos 4 x ⋅ cos 6 x dx .
dx
.
2
−1 4x − 9
0
2) ∫
3 3
9 x dx
0
9 − x2
2) ∫ 3
.
4. y 2 = 4 x , x = 1 .
5. ρ = 3 cosϕ .
6. y = sin x , y = 0 (OX).
3
2
7. y = ( x − 1) от x = 1 до x = 5 .
8. x = 3(t − sin t ) , y = 3(1 − cos t ) , 0 ≤ t ≤ 2π .
9. Шар лежит на дне бассейна глубиной h = 8 м . Определить работу, которую необходимо затратить, чтобы извлечь шар из воды, если его радиус
R = 2 м и удельный вес шара и воды равен 1.
37
Вариант 16
2x3 + 1
8) ∫ 2
dx ;
x + 2x + 7
1. 1) ∫ x sin (5 x + 3) dx ;
2
2) ∫
3) ∫
4) ∫
1
dx ;
2x − 7
ex
1− e
2x
9) ∫
3x − 2
dx ;
x 2 − 8x − 8
1
10) ∫
dx ;
2x − 3
dx ;
x2 + 5
3 − 6x − x
11) ∫ 3
x
x2 −1
1
dx ;
5 + 3 sin 2 x
12) ∫
6) ∫ ( 2 + x + x 2 ) ln x dx ;
13) ∫ sin 3 2 x dx ;
1
dx ;
x ( x + 1) 2
dx ;
dx ;
5) ∫ x cos ( 4 x + 5) dx ;
7) ∫
2
14) ∫ cos 4 x ⋅ sin 5 x dx .
1
1
2. 1) ∫ xe x dx ;
2) ∫
x2
3. 1) ∫ 3
dx ;
0 x +1
2) ∫ 3
0
−1
8
+∞
0
x dx
.
5 − 4x
dx
.
8− x
x2
3
4. y = , y = − x .
2
2
5. x = 4 cos3 t , y = 4 sin 3 t .
x2
6. y = 2 − , x + y = 2 , (OX).
2
7. y = ln cos x от x = 0 до x =
π
6
.
8. ρ = 4(1 + cos ϕ ) .
9. Материальная точка движется со скоростью v = t ⋅ 2 −0,05t м/с. Какой путь
она пройдет за первые 2 с после начала движения?
38
Вариант 17
1. 1) ∫ 4 x
3
x − 5 dx ;
4
x3
8) ∫ 2
dx ;
x + 2x + 2
x −1
dx ;
3x 2 − 2 x − 4
5
dx ;
1 − 6x
9) ∫
3) ∫ sin (1 + 3x ) dx ;
10) ∫
4) ∫ cos x sin x dx ;
11) ∫
5) ∫ x 2 e − x dx ;
12) ∫
dx
;
5 − cos 2 x
6) ∫ ( x + 1) ln x dx ;
13) ∫
1
dx ;
ctg 2 x
2) ∫
7) ∫
x+5
dx ;
x3 + x2
1
2. 1) ∫
dx ;
0 cos x
x
3. 1) ∫ 4
dx ;
0 x + 16
x − 2x + 5
2
dx ;
2x + 1
dx ;
2x + 1 + 5
14) ∫ cos 3x ⋅ cos 2 x dx .
π
6
1
2x −1
dx .
2
1 x +7
2
2) ∫
1
4
+∞
2) ∫ 3
0
dx
.
1 − 4x
4. y = x 2 , y = 5 x − 4 .
5. ρ = 3 cos 2ϕ .
6. y = x − x 2 , y = 0 , (OX).
3
2
7. y = x от x = 0 до x = 3 .
8. x = 2 cos t , y = 2 sin t .
9. Вычислить работу, которую нужно затратить на сооружение конического кургана, радиус основания которого R = 3 м , а высота H = 4 м , из однородного строительного материала плотностью δ = 3,5 кг / м 3 .
39
Вариант 18
1. 1) ∫
2) ∫
x2
2 + x3
x2 + 1
8) ∫ 2
dx ;
x + x +1
dx ;
1
dx ;
2 + 5x
9) ∫
3) ∫ e 2−3 x dx ;
4) ∫
x
dx ;
x 2 − 2 x + 10
1
10) ∫
1
(arcsin x ) 1 − x
2
2
dx ;
x + 8 x + 11
2
11) ∫ 4
x
dx ;
x +1
dx
;
cos x + 3 sin 2 x
5) ∫ x 2 cos x dx ;
12) ∫
6) ∫ ( x 2 + 4 x + 2) ln x dx ;
13) ∫ cos3 4 x dx ;
7) ∫
x +1
dx ;
x3 − 8
1
2. 1) ∫
dx ;
0 2 + cos x
+∞
3. 1) ∫
2
e
4. y =
1
dx ;
x (ln x − 1) 2
2
14) ∫ sin 4 x ⋅ sin 2 x dx .
π
2
dx ;
1
2
x−3
0
1 − x2
2) ∫
1
2) ∫ 3
0
x4
1 − x5
dx .
dx .
3 2 x
x + , y = 2x .
2
2
5. x = t − sin t , y = 1− cos t .
6. y = 2 − x 2 , y = x 2 , (OX).
3
2
7. y = x от x = 1 до x = 4 .
8. ρ = 6(1 − cos ϕ ) .
9. Вычислить силу давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что его основание 9м, высота 13м, верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глубине 4м. Плотность δ = 1,5 кг / м 3 .
40
Вариант 19
x4 + 1
8) ∫ 4
dx ;
x + 5x 2 + 4
⎛9
⎞
1. 1) ∫ cos⎜ x + 4 ⎟ dx ;
⎝2
⎠
2) ∫
1
dx ;
2 − 7x
9) ∫
6
3x + 8
dx ;
x − 4x + 8
2
1
3) ∫ x 5e 2−3 x dx ;
10) ∫
arctg 2 5 x
dx ;
4) ∫
1 + 25 x 2
11) ∫ 6
5) ∫ x sin (5 x + 3) dx ;
12) ∫
6) ∫ arccos 2 x dx ;
13) ∫ sin 2 5 x dx ;
7) ∫
4x2 − 2
dx ;
x4 − x2
ln 4
2
2. 1) ∫ x ⋅ sin x dx ;
2) ∫
0
0
+∞
1
dx ;
1
dx ;
x +1
dx
;
5 cos 2 x + 3 sin 2 x
14) ∫ sin 8 x ⋅ cos 2 x dx .
π
3. 1) ∫
x − 2x − 3
2
1
dx ;
6 x 2 − 5x + 1
ex
dx .
ex + 6
4
x
0
16 − x
2) ∫
2
dx .
4. y = x 2 , y = 6 − x .
5. x = 4 cos3 t , y = 4 sin 3 t .
6. 2 y = x 2 , 2 x + 2 y − 3 = 0 , (OX).
7. y = 1 − ln cos x от x = 0 до x =
π
4
.
8. ρ = 6 sin ϕ .
9. Определить путь, пройденный телом за 6 секунд с начала движения, есt3
ли скорость тела определяется формулой v = + 2t − 1 м/с.
3
41
Вариант 20
2x3 + 1
8) ∫ 2
dx ;
x ( x + 1)
1. 1) ∫ cos8 x ⋅ sin x dx ;
2) ∫
3) ∫
4) ∫
1+ x
dx ;
5 + x2
9) ∫
x
e
x
2x − 5
10) ∫
dx ;
arccos x
1 − x2
1
dx ;
2 x − 3x − 6
2
dx ;
11) ∫
5) ∫ cos (ln x ) dx ;
12) ∫
x 2 − 16 x + 70
x
1− 3 x
dx ;
dx ;
1
dx ;
7 + 4 cos x + 4 sin x
6) ∫ arctg 2 x dx ;
13) ∫ sin 4 9 x dx ;
3x 2 + 1
dx ;
7) ∫
( x − 1)( x 2 − 1)
14) ∫ sin 6 x ⋅ cos 8 x dx .
π
1
dx .
0 x + 3x + 2
1
2
2. 1) ∫ esin x cos x dx ;
2) ∫
0
+∞
3. 1) ∫ xe
−3 x
1
2) ∫ 7
dx ;
1
3
0
2
dx
.
1 − 3x
2
4
4. y = x 2 − x , y = x .
3
3
5. x = 4 cos t , y = 3 sin t .
6. xy = 4 , 2 x + y − 6 = 0 , (OX).
7. y =
3
(3 − x ) 3 от x = 0 до x = 2 .
2
8. ρ = 4 cos ϕ .
9. Определить работу A , которую необходимо затратить, чтобы выкачать
воду из котла, имеющего форму полушара радиусом R = 3,5 м , если плотность воды δ = 1,3 кг / м 3 .
42
Вариант 21
6x4
8) ∫ 2
dx ;
( x − x )( x + 2)
ctgx + 1
dx ;
1. 1) ∫
sin 2 x
2) ∫
1− x
3 + x2
dx ;
x+3
9) ∫
8 + 4x − x2
3) ∫ e 2 x +5dx ;
10) ∫
4) ∫ x 3 sin( x 4 ) dx ;
11) ∫
6) ∫ (1 + 2 x ) ⋅ cos 2 x dx ;
8x
dx ;
( x + 6 x + 5)( x + 3)
2
sin (ln x )
2. 1) ∫
dx ;
x
1
x
3. 1) ∫
0 4
(4 + x )
2 5
x2 + 4 − 6
dx ;
2
dx ;
13) ∫ sin 2 2 x cos x dx ;
14) ∫ sin 7 x ⋅ sin 5 x dx .
π
e
+∞
1
dx ;
x + 5x + 9
2
x +4
1
12) ∫
dx ;
cos x − 3 sin x
5) ∫ ln ( x 2 + 1) dx ;
7) ∫
dx ;
cos x
dx .
2
0 1 + sin x
2
2) ∫
1
3
2) ∫
0
e
⎛1 ⎞
⎜ +3 ⎟
⎝x ⎠
x2
dx
.
4. y = 4 − x 2 , y = 0 .
5. ρ = 4 cos 2ϕ .
6. y = e x , x = 0 , x = 1 , y = 0 (OX).
7. y =
1 x
(e + e − x ) от x = 0 до x = 1.
2
8. ρ = 3 cos3
ϕ
3
.
9. Определить работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,04 м, если известно, что сила, растягивающая пружину на x м , равна
F ( x ) = kx , где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от упругости пружины, и что для растяжения пружины на 0,01 м необходима сила 21H.
43
Вариант 22
x 3 + 3x + 2
8) ∫
dx ;
x2 + 1
⎛5
⎞
1. 1) ∫ sin ⎜ x + 3⎟ dx ;
⎝ 12
⎠
x−2
dx ;
x − 4x − 8
2) ∫
1
dx ;
2x + 5
9) ∫
3) ∫
ex
dx ;
e2 x + 4
10) ∫
4) ∫
x−3
dx ;
x2 − 8
11) ∫ 4
5) ∫ ( 4 x + 5) cos x dx ;
12) ∫
2
1
4 + 2x − x2
dx ;
x
dx ;
x +1
1
dx ;
3 cos x − 4 sin x
6) ∫
ln x
dx ;
x
13) ∫ cos3 4 x dx ;
7) ∫
1
dx ;
( x + 5)( x + 1) 2
14) ∫ cos 7 x ⋅ sin 5 x dx .
1
3
2. 1) ∫ x 2 e x +1dx ;
2
x dx
1
x +8
2
x 2 dx
0
64 − x 6
2) ∫
0
3 − x2
3. 1) ∫ 2
dx ;
0 x +4
+∞
2) ∫
2
.
.
4. y = 2 x 2 , y = 8 x − 6 .
5. x = 3 cos t , y = 3 sin t .
6. y = 8 x − 2 x 2 , y = 2 x , (OX).
7. y = ln cos x от x = 0 до x =
π
6
.
8. ρ = 8(1 − cos ϕ ) .
9. Материальная точка движется со скоростью v = t ⋅ 3−0,05t м/с. Какой путь
она пройдет за первые 2 сек после начала движения?
44
Вариант 23
2 x5 − 2 x + 1
8) ∫
dx ;
1 − x4
⎛ 10
⎞
1. 1) ∫ cos ⎜ x + 4 ⎟ dx ;
⎝9
⎠
2) ∫
1
dx ;
2 + 5x
9) ∫
3) ∫ tg 2 x dx ;
4) ∫
10) ∫
arcsin 3 5 x
1 − 25 x
2x + 1
dx ;
x − 8x + 5
2
2
1
dx ;
x − 4x − 9
6
x+3
11) ∫ 3
dx ;
x+3+ x+3
dx ;
2
5) ∫ x arctg x dx ;
dx
;
12) ∫
5 cos x + 3 sin x
6) ∫ ( x 2 + 1) e x dx ;
13) ∫ sin 2 4 x dx ;
7) ∫
4x2 + 2
x + 4x
4
x
1
2. 1) ∫
0
ex
+∞
3. 1) ∫
0 3
2
−1
2
14) ∫ sin 8 x ⋅ cos 2 x dx .
dx ;
3x + 4
dx .
2
0 x +6
1
dx ;
x+2
( x 2 + 4 x + 1) 4
2) ∫
π
e tgx
dx .
2) ∫
2
0 cos x
2
dx ;
4. y = 3x 2 , y = 18 − 15 x .
5. ρ = 2 sin ϕ .
6. y = 3x − 3x 2 , y = 0 , (OX).
7. y = ln cos x от x = 0 до x =
π
4
.
8. x = 3 cos t , y = 3 sin t .
2
9. Скорость движения тела v = 5te −t м/с. Какой путь пройдет тело от начала движения до полной остановки?
45
Вариант 24
2x5 − 2 x3 − x2
8) ∫
dx ;
1 − x4
1. 1) ∫ cos3 x ⋅ sin x dx ;
x
2) ∫
3) ∫
5 − x2
9) ∫
dx ;
sin x
dx ;
x
1
dx ;
x − 3x − 6
2
2x − 5
10) ∫
x 2 − 10 x + 5
dx ;
11) ∫
1
dx ;
3+ x
5) ∫ cos (ln x ) dx ;
12) ∫
1
dx ;
7 + cos x + 5 sin x
6) ∫ arctg x dx ;
13) ∫ sin 4 2 x dx ;
x2 − 6x + 8
dx ;
7) ∫
x3 + 8
14) ∫ sin 6 x ⋅ cos10 x dx .
4
4) ∫
arccos x
1 − x2
dx ;
π
6
2. 1) ∫ e
sin x
1
dx .
0 x + 2x + 2
1
2) ∫
cos x dx ;
0
+∞
3. 1) ∫
0
x
dx ;
4 + x4
1
2) ∫ 3
1
5
2
dx
.
1 − 5x
4. y = 4 x 2 + x , y = 5 x .
5. ρ = 5ϕ (один виток спирали Архимеда и полярная ось).
6. y = 8 − x 2 , y = x 2 , (OX).
7. y =
3
(3 − x ) 3 от x = 0 до x = 2 .
2
8. ρ = 6 cos3
ϕ
3
.
9. Найти массу земной атмосферы, полагая, что ее плотность ρ меняется с
увеличением высоты по закону ρ = ρ 0 e − ah , где h – расстояние от поверхности
Земли до рассматриваемой точки (Земля считается шаром радиуса R).
46
Вариант 25
x3
8) ∫ 2
dx ;
x + 2x + 1
1. 1) ∫ 2 x x − 5 dx ;
2
2x −1
dx ;
3x 2 − 6 x − 4
5
dx ;
1 + 6x
9) ∫
3) ∫ sin (5 − 3x ) dx ;
10) ∫
2) ∫
1
dx ;
(1 + x ) arctg 2 x
1
5 − 4x − x2
dx ;
11) ∫
x +1
dx ;
x +1 + 2
5) ∫ x cos ( 2 x + 1) dx ;
12) ∫
dx
;
5 cos x − 2 sin x
6) ∫ ( x 2 + 3x + 1) ln x dx ;
13) ∫
1
dx ;
tg 3 x
4) ∫
7) ∫
2
4x + 2
dx ;
x4 + 4x2
14) ∫ cos 3x ⋅ cos 5 x dx .
1
sin
π
2. 1) ∫ 2 x dx ;
2 x
3
2x − 5
dx .
2
1 x +1
2
2) ∫
π
+∞
x
0
( x + 16)
3. 1) ∫
2
3
dx ;
1
7
2) ∫ 5
0
dx
.
1− 7x
x
3
4. y = x 2 − , y = x .
2
2
5. ρ = 1 − cos ϕ .
6. y = 6 x − x 2 , y = 0 , (OX).
7. y =
1 2
x − ln x от x = 1 до x = e .
2
8. x = 2 cos t , y = 2 sin t .
9. Вычислить работу, которую нужно затратить на сооружение конического кургана, радиус основания которого R = 1,5 м , а высота H = 2,5 м , из однородного строительного материала плотностью δ = 2 кг / м 3 .
47
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление (для
втузов). Т.1./ Н.С. Пискунов. – М.: ИНТЕГРАЛ–ПРЕСС, 2002. – 540 с.
2. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н.
Берман. – М.: Наука. – 2003г. – 416 с.
3. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. Ч.1.
/ П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова.– М.: Издательский дом
«ОНИКС 21 Век»: Мир и Образование, 2003. – 304 с.
4. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике. / В.С. Шипачев. –
М.: Высш. шк., 2003. – 304 с.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ........................................................................................................
1. Неопределенный интеграл .......................................................................
2. Определенный интеграл ...........................................................................
3. Несобственные интегралы .......................................................................
4. Приложения определенных интегралов .................................................
Варианты контрольных заданий .................................................................
Библиографический список .........................................................................
3
4
12
16
19
23
48
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
Методические указания и контрольные задания
к типовому расчету №3 по курсу
математики для студентов 1-го курса.
Составители: Владимир Сергеевич Муштенко
Леонид Витальевич Стенюхин
Валерия Константиновна Евченко
Редактор Акритова Е.В.
Подписано в печать
. .2010. Формат 60х84 1/16. Уч.-изд.л.2,8. Усл.-печ. л. 2,9.
Бумага писчая. Тираж 800 экз. Заказ №
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства учебной литературы и
учебно-методических пособий Воронежского государственного
архитектурно-строительного университета
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
48
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
24
Размер файла
1 624 Кб
Теги
265, интеграл, 662, определенное, неопределенн
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа