close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

299.Алейников С.М. Линейная алгебра

код для вставкиСкачать
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
С.М. Алейников, В.К. Евченко
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебно-методическое пособие
Рекомендовано редакционно-издательским советом
Воронежского государственного архитектурно-строительного университета
в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности
270115 «Экспертиза и управление недвижимостью»
Воронеж 2009
УДК 517.9 (073)
ББК 22.143я7
A458
A458
Алейников, С.М.
Линейная алгебра [Текст] : учеб.-метод. пособие/ С.М. Алейников,
В.К. Евченко; Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т. – Воронеж, 2009. –
184 с.
ISBN 978-5-89040-242-4
Пособие написано в соответствии с программой курса высшей математики для
специальности «Экспертиза и управление недвижимостью». Содержит основные
теоретические сведения по линейной алгебре, решение типовых задач, а также задания для
расчетно-графической работы.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 270115 «Экспертиза и
управление недвижимостью».
Ил. 10. Табл.1. Библиогр.: 4 назв.
УДК 517.9 (073)
ББК 22.143я7
Рецензенты: кафедра информатики и прикладной математики Московского
государственного строительного университета;
В.Г. Звягин, д. ф.-м. н., проф., зав. кафедрой алгебры и топологических
методов анализа Воронежского государственного университета
ISBN 978-5-89040-242-4
© Алейников С.М.,
Евченко В.К., 2009
© Воронежский
государственный
архитектурностроительный
университет, 2009
Оглавление
Введение .............................................................................................................................
5
Лекция 1. Матрицы и действия над ними ......................................................................
6
1.1. Основные определения ..............................................................................................
6
1.2. Виды матриц ...............................................................................................................
6
1.3. Действия над матрицами ............................................................................................
9
Лекция 2. Определитель n -го порядка. Обратная матрица .........................................
13
2.1. Определитель n -го порядка ......................................................................................
13
2.2. Обратная матрица .......................................................................................................
15
2.3. Вычисление обратной матрицы ................................................................................
16
Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений ..........................................
19
3.1. Основные определения ..............................................................................................
19
3.2. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений .......................
20
3.3. Практический способ нахождения обратной матрицы ...........................................
24
3.4. Ранг матрицы ...............................................................................................................
26
3.5. Вычисление ранга матрицы .......................................................................................
27
3.6. Решение систем линейных алгебраических уравнений ..........................................
30
3.7. Применение аппарата линейной алгебры для анализа
балансовых моделей ...................................................................................................
35
Лекция 4. Линейные пространства .................................................................................
39
4.1. Основные определения ..............................................................................................
39
4.2. Линейная зависимость и независимость векторов ..................................................
42
4.3. Размерность и базис линейного пространства .........................................................
44
4.4. Действия над векторами .............................................................................................
46
4.5. Переход к новому базису ...........................................................................................
49
4.6. Преобразование координат векторов при переходе
к новому базису ...........................................................................................................
50
Лекция 5. Евклидово пространство ................................................................................
53
5.1. Определение евклидова пространства ......................................................................
53
5.2. Норма вектора .............................................................................................................
55
5.3. Угол между векторами ...............................................................................................
58
Лекция 6. Координатное представление скалярного произведения ............................
59
6.1. Матрица Грама ............................................................................................................
59
6.2. Свойства матрицы Грама ...........................................................................................
60
Лекция 7. Ортонормированный базис ............................................................................
63
7.1. Ортогональная система векторов ..............................................................................
63
3
7.2. Выражение скалярного произведения через координаты
в ортонормированном базисе ....................................................................................
67
7.3. Ортогональные матрицы в евклидовом пространстве ............................................
68
Лекция 8. Линейные преобразования .............................................................................
71
8.1. Основные определения ..............................................................................................
71
8.2. Матрица линейного преобразования ........................................................................
71
8.3. Примеры линейных преобразований ........................................................................
73
8.4. Операции над линейными преобразованиями .........................................................
81
8.5. Изменение матрицы линейного преобразования
при переходе к новому базису ..................................................................................
84
Лекция 9. Собственные векторы и собственные значения
линейных преобразований ..........................................................................
87
9.1. Определения и свойства собственных векторов и собственных
значений .......................................................................................................................
87
9.2. Нахождение собственных векторов и собственных значений
линейного преобразования ........................................................................................
89
Лекция 10. Симметричные преобразования ..................................................................
96
10.1. Определение и свойства симметричного преобразования ...................................
96
10.2. Диагональный вид матрицы линейного преобразования .....................................
99
10.3. Диагональный вид матрицы симметричного преобразования .............................
100
10.4. Ортогональные преобразования ..............................................................................
106
10.5. Построение ортогонального преобразования ........................................................
108
Лекция 11. Квадратичные формы ...................................................................................
111
11.1. Основные определения ............................................................................................
111
11.2. Изменение квадратичной формы при линейном
преобразовании переменных ..................................................................................
114
11.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ...................................
116
Варианты расчетно-графических работ .....................................................................
121
Заключение .......................................................................................................................
181
Библиографический список ...........................................................................................
181
Предметный указатель ...................................................................................................
182
4
Введение
Алгебра – раздел математики, исследующий операции, аналогичные
сложению, вычитанию, умножению, делению и выполнимые не только над
числами, но и над другими математическими объектами, например многочленами, векторами, матрицами и т.д. В центре внимания алгебры оказываются свойства операций, а не объекты, над которыми производятся операции.
Логическая структура линейной алгебры проста и основывается на небольшом числе удобных в обращении понятий и аксиом. Тем не менее,
вследствие абстрактного характера ее понятий усвоение курса линейной алгебры представляет значительную трудность для студентов. Содержание и
порядок изложения материала в пособии целиком подчинены решению проблемы понимания курса. Кроме того, в пособии учитывается специфика подготовки студентов инженерно-строительных специальностей.
Пособие будет также полезно студентам всех технических специальностей, желающим самостоятельно познакомиться с основными понятиями линейной алгебры или восполнить имеющиеся пробелы в знаниях по этой дисциплине.
Пособие представляет собой курс лекций по линейной алгебре, неоднократно читавшийся профессором С.М. Алейниковым на строительном факультете Воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Задания расчетно-графических работ составлены совместно профессором С.М. Алейниковым и старшим преподавателем В.К. Евченко.
Материал разбит на отдельные лекции, каждая из которых иллюстрирована разобранными примерами.
Лекции 1 – 3 содержат сведения из теории определителей и систем линейных уравнений.
Лекции 4 – 7 посвящены линейным и евклидовым пространствам, в них
излагаются такие важные понятия, как размерность, базис, ортогональность и
т.д.
В лекциях 8 – 9 изучаются линейные преобразования. Подробно рассмотрены вопросы, связанные с собственными значениями и собственными
векторами линейного преобразования.
В лекциях 10 – 11 основное внимание уделено симметричным преобразованиям и их свойствам. Показано, как теория симметричных преобразований используется при исследовании квадратичных форм.
Авторы выражают глубокую благодарность доцентам А.М. Дементьевой и А.А. Седаеву, многие ценные замечания которых были учтены в ходе
работы над пособием.
5
Лекция 1
Матрицы и действия над ними
1.1. Основные определения
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел
⎛ a11 a12
⎜
⎜ a21 a22
A=⎜
M
M
⎜⎜
⎝ am1 am 2
K a1n ⎞
⎟
K a2 n ⎟
= (aij ), i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n.
O M ⎟
⎟
K amn ⎟⎠
Числа aij называются элементами матрицы. Первый индекс указывает, в какой строке стоит элемент, а второй – в каком столбце. Строки и
столбцы называются рядами матрицы. Рассмотреть два параллельных ряда
означает рассмотреть две строки или два столбца. Отметим, что в общем
случае число строк не равно числу столбцов, то есть m ≠ n .
Матрицы A = (aij ) и B = (bij ) называются равными A = B , если они
имеют одинаковые размеры m × n и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.
aij = bij при всех i = 1,..., m; j = 1,..., n.
1.2. Виды матриц
Нулевой матрицей называется матрица, в которой все элементы являются нулями:
⎛0
⎜
⎜0
O=⎜
M
⎜⎜
⎝0
6
0 K 0⎞
⎟
0 K 0⎟
.
M O M⎟
⎟
0 K 0 ⎟⎠
A1× n
⎛ a1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ a2 ⎟
Матрица размеров m × 1 называется матрицей-столбцом: A m ×1 = ⎜ ⎟ .
M
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ am ⎠
Матрица
размеров
1× n
называется
матрицей-строкой:
= (a1 a2 K an ) .
Матрица A T называется транспонированной по отношению к матрице
A , если столбцами матрицы A T являются строки матрицы A с теми же номерами, и наоборот. Если размер матрицы A – m × n , то размер транспонированной матрицы A T – n × m . Кроме того, справедливо равенство
(A )
T T
=A.
⎛ −1 1 ⎞
⎟
⎜
⎛ −1 0 3 ⎞
T
Пример 1. Если A 2 ×3 = ⎜⎜
2 ⎟.
⎟⎟ , то (A 3× 2 ) = ⎜ 0
⎝ 1 2 − 9⎠
⎜ 3 − 9⎟
⎠
⎝
Если число строк и столбцов в матрице совпадает ( m = n ), то матрица
называется квадратной
⎛ a11 a12
⎜
⎜ a21 a22
A=⎜
M
M
⎜⎜
⎝ a n1 a n 2
K a1n ⎞
⎟
K a2 n ⎟
.
O M ⎟
⎟
K ann ⎟⎠
Число n называется размером, или порядком, квадратной матрицы.
Элементы с одинаковыми индексами a11 , a22 ,..., ann образуют главную диагональ квадратной матрицы.
Важной характеристикой квадратной матрицы является ее определитель (детерминант) ([1, гл. 1, §1-5], [3, §1]):
Δ = det A .
Если определитель квадратной матрицы равен нулю, то такая матрица
называется вырожденной (особенной), иначе – невырожденной (неособенной).
7
Квадратная матрица называется симметричной, если равны элементы,
симметричные относительно главной диагонали:
aij = a ji ,
i, j = 1,..., n .
Для симметричной матрицы выполнено равенство: AT = A .
Если в матрице элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны по модулю и противоположны по знаку, то такая матрица называется антисимметричной или кососимметричной:
aij = −a ji ,
i, j = 1,..., n .
Очевидно, что элементы антисимметричной матрицы, стоящие на
главной диагонали, равны нулю.
⎛ 1 7⎞
⎛1 − 7⎞
Пример 2. ⎜⎜
⎟⎟ – симметричная матрица; ⎜⎜
⎟⎟ – кососиммет7
0
7
0
⎝
⎠
⎝
⎠
ричная матрица.
Если в квадратной матрице все элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю, то такая матрица называется нижней треугольной.
Если в квадратной матрице все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю, то такая матрица называется верхней треугольной.
Если в квадратной матрице все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю, то такая матрица называется диагональной:
aij = 0, i ≠ j .
Если все элементы диагональной матрицы, стоящие на главной диагонали, равны между собой, то такая матрица называется скалярной:
aii = λ , i = 1,..., n; aij = 0, i ≠ j .
Если при этом λ = 1 , то такая матрица называется единичной:
⎛1
⎜
⎜0
En = ⎜
M
⎜⎜
⎝0
8
0 K 0⎞
⎟
1 K 0⎟
.
M O M⎟
⎟
0 K 1 ⎟⎠
Отметим, что det E n = 1 . Аналогично легко вычисляются определители
верхних, нижних треугольных и диагональных матриц, у которых определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
n
det A = ∏ aii .
i =1
В частности, для скалярной матрицы A справедливо равенство
det A = λn .
Матрицы A и B называются согласованными ( A
столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B :
A m×n
•
•
•
•
B ), если число
Bn × p .
Порядок согласования матриц здесь весьма важен, то есть если матрицы A и B согласованы, то B и A не обязательно будут согласованными.
Пример 3. Рассмотрим матрицы
⎛ 1
⎜
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎛ 1 1 0⎞
⎜ 3
A = ⎜⎜
⎟⎟ , B = ⎜ 2 ⎟ , C = ⎜
0
⎝ 0 2 3⎠
⎜ 5⎟
⎜⎜
⎝ ⎠
⎝−8
Здесь A и B - согласованные матрицы, C и A
матрицы.
2⎞
⎟
4⎟
.
9⎟
⎟
3 ⎟⎠
также согласованные
1.3. Действия над матрицами
1.3.1. Сложение матриц
Матрицы одинаковых размеров можно складывать по следующему
правилу:
Cm×n = Am×n + Bm×n , если cij = aij + bij , i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n .
То есть при сложении матриц элементы, стоящие на одинаковых местах, складываются.
Сумма трех и более матриц определяется по следующему правилу:
A + B + C = (A + B) + C .
9
1.3.2. Умножение матрицы на число
Пусть A – матрица размеров m × n , а λ – число, тогда
Cm×n = λAm×n = Am×n λ , если cij = λaij , i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n .
Другими словами, при умножении матрицы на число все элементы
матрицы умножаются на это число.
В частном случае, когда λ = −1 , получаем C = − A , такая матрица называется противоположной матрице A .
Операцию разности матриц можно ввести так:
A − B = A + ( − B) .
Пример 4. Даны матрицы
⎛ −1 0 3 ⎞
⎛ 0 0 1⎞
A = ⎜⎜
⎟⎟ .
⎟⎟ , B = ⎜⎜
1
2
−
9
3
1
1
⎝
⎠
⎝
⎠
Найти C = 3A − B .
Складывая матрицы поэлементно, получаем
8 ⎞
⎛− 3 0
C = ⎜⎜
⎟⎟ .
−
0
5
28
⎝
⎠
Легко проверить справедливость следующих свойств операций над
матрицами:
1º. A + B = B + A ;
2º. (A + B) + C = A + (B + C) ;
3º. A + O = A ;
4º. A + ( − A) = O ;
5º. 1 ⋅ A = A ;
6º. α ( βA ) = (αβ )A ;
7º. α ( A + B) = αA + αB ;
8º. (α + β ) A = αA + βA ;
10º. α ⋅ O = O .
9º. ( A + B)T = AT + BT ;
10
1.3.3. Умножение матриц
Согласованные матрицы можно перемножать друг на друга в порядке
согласования.
Пусть A m× n и Bn × p – согласованные матрицы, матрица C = AB называется произведением матрицы A на матрицу B , если ее элементы вычисляются по правилу
n
cij = ai1 ⋅ b1 j + ai 2 ⋅ b2 j + ... + ain ⋅ bnj = ∑ aik ⋅ bkj , i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., p .
k =1
В соответствии с указанным правилом можно записать:
C m × p = A m × n ⋅ Bn × p .
Из рассмотренной формулы следует, что элементы матрицы cij получаются путем скалярного произведения i -ой строки матрицы A на j -ый
столбец матрицы B .
Отметим, что из определения произведения матриц следует, что это
произведение в общем случае не является коммутативным, то есть если AB
существует, то BA или не существует, или AB ≠ BA .
Другими словами, произведение AB матриц зависит от порядка сомножителей, поэтому говорят, что матрица A умножена на матрицу B справа, или матрица B умножена на матрицу A слева.
Если AB = BA , то матрицы A и B называются перестановочными.
⎛ 1 2⎞
⎛ −1 0 3 ⎞
Пример 1. Пусть даны матрицы A = ⎜⎜
⎟⎟ . Найти
⎟⎟ , B = ⎜⎜
−
3
4
1
2
−
9
⎝
⎠
⎝
⎠
матрицу C = AB .
Во-первых, матрицы A и B согласованные: C 2 ×3 = A 2 × 2 ⋅ B2 ×3 . Обозна⎛ c11 c12 c13 ⎞
чим C = ⎜⎜
⎟⎟ .
⎝ c21 c22 c23 ⎠
Тогда
c11 = 1 ⋅ ( −1) + 2 ⋅ 1 = 1, c12 = 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 2 = 4, c13 = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ ( −9) = −15,
c21 = ( −3) ⋅ ( −1) + 4 ⋅ 1 = 7, c22 = ( −3) ⋅ 0 + 4 ⋅ 2 = 8, c23 = ( −3) ⋅ 3 + 4 ⋅ ( −9) = −45.
Следовательно,
11
⎛ 1 4 − 15 ⎞
C = ⎜⎜
⎟⎟ .
⎝ 7 8 − 45 ⎠
Отметим, что произведение BA не существует, так как матрицы B и
A не согласованы.
⎛ 1 1⎞
⎛ 1 − 1⎞
⎛ 0 0⎞
Пример 2. Пусть A = ⎜⎜
⎟⎟ , тогда AB = ⎜⎜
⎟⎟ , B = ⎜⎜
⎟⎟ и
⎝ 1 1⎠
⎝ −1 1 ⎠
⎝ 0 0⎠
⎛ 0 0⎞
BA = ⎜⎜
⎟⎟ , то есть AB = BA . Следовательно, матрицы A и B перестано⎝ 0 0⎠
вочные.
⎛1 1⎞
⎛ 2 1⎞
⎛ 10 7 ⎞
Пример 3. Пусть A = ⎜⎜
⎟⎟ , B = ⎜⎜
⎟⎟ , тогда AB = ⎜⎜
⎟⎟ и
3
4
4
3
22
15
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛5 8⎞
BA = ⎜⎜
⎟⎟ , т. е. AB ≠ BA , а матрицы A и B неперестановочные.
13
20
⎝
⎠
Свойства операции умножения матриц
1º. (AB)C = A(BC) = ABC ;
2º. α ( AB) = (αA)B = A(αB) = αAB ;
3º. (A + B)C = AC + BC или C(A + B) = CA + CB ;
4º. AE n = E m A = A ;
5º. O ⋅ A = O , где нулевая матрица O и матрица A согласованы,
A ⋅ O = O , где матрица A и нулевая матрица O согласованы;
6º. (AB) T = BT A T или (ABC)T = CT BT A T ;
7º. AA T – симметричная матрица.
12
Лекция 2
Определители n -го порядка. Обратная матрица
2.1. Определитель n -го порядка
Понятие определителей второго и третьего порядков и способы их вычисления были ранее изучены, поэтому перейдем сразу к понятию определителя n -го порядка.
Рассмотрим квадратную матрицу n -го порядка:
⎛ a11 a12
⎜
⎜ a21 a22
A=⎜
M
M
⎜⎜
⎝ a n1 a n 2
K a1n ⎞
⎟
K a2 n ⎟
.
O M ⎟
⎟
K ann ⎟⎠
Определителем этой матрицы называется число
Δ = A = det A =
a11
a12
a21
a22 K a2 n
M
M
K a1n
O
M
,
an1 an 2 K ann
которое вычисляется по формуле
A = a11 ⋅ A11 + a12 ⋅ A12 + ... + a1n ⋅ A1n ,
где Aij = ( −1)i + j M ij , а M ij – это определитель ( n − 1) -го порядка, который получается из исходного вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца. Определитель M ij называется минором элемента aij , и число A ij – алгебраическим
дополнением элемента aij определителя матрицы A .
Таким образом, вычисление определителя n -го порядка сводится к вычислению определителя ( n − 1) -го порядка.
13
Основные свойства определителей n -го порядка
1º. При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не изменяется:
detA = detA T .
2º. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц:
detAB = detA ⋅ detB .
3º. Если в определителе переставить местами два параллельных ряда,
то определитель изменит знак.
4º. Общий множитель любого ряда можно вынести за знак определителя.
5º. Если в определителе две строки или два столбца пропорциональны,
то определитель равен нулю.
6º. Если каждый элемент k -го столбца определителя представлен в виде суммы двух слагаемых: aik = bik + cik , т.е. если
Δ=
K b1k + c1k
a11
a12
a21
M
a22 K b2 k + c2 k
M O
M
an1 an 2 K bnk + cnk
K a1n
K a2 k
,
O M
K ann
то Δ можно представить в виде суммы двух определителей:
Δ=
a11
a12
K b1k
K a1n
a21
a22 K b2 k
K a2 k
M
M
O
M
an1 an 2 K bnk
O
M
+
K ann
a11
a12
K c1k
K a1n
a21
a22 K c2 k
K a2 k
M
M
O
an1 an 2 K cnk
Аналогичное утверждение справедливо и для строк.
14
M
O
M
K ann
.
7º. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки
(столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца),
умноженные на одно и то же число.
8º. Теорема о разложении. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) и соответствующих алгебраических дополнений:
n
A = ai1 ⋅ A i1 + ai 2 ⋅ A i 2 + ... + ain ⋅ A in = ∑ aij ⋅ A ij ;
j =1
n
A = a1 j ⋅ A1 j + a2 j ⋅ A 2 j + ... + anj ⋅ A nj = ∑ aij ⋅ A ij .
i =1
9º. Сумма произведений элементов любого ряда и соответствующих алгебраических дополнений элементов параллельного ряда равна нулю.
2.2. Обратная матрица
Пусть A – квадратная матрица n -го порядка. Матрица, обозначаемая
A , называется обратной матрице A , если выполняется следующее условие:
−1
AA −1 = A −1A = E .
Отметим, что знак «-1» – это знак для обозначения обратной матрицы.
Из определения обратной матрицы следуют ее свойства:
( )
1º. A −1
−1
3º. (AB) = B−1A −1 ;
−1
= A;
( ) ( )
k
2º. A −1 = A k
−1
( )
4º. det A −1 =
;
1
.
detA
Докажем, например, свойство 4º. Действительно, если существует обратная матрица A −1 , то det(AA −1 ) = detA −1detA = detE = 1 . Так как
1
.
detA −1detA = 1 , то отсюда следует, что detA ≠ 0 , и det A −1 =
detA
( )
15
Теорема. Каждая квадратная матрица с определителем, отличным
от нуля, имеет обратную матрицу, и притом только одну.
Доказательство. Приведем подробное доказательство второй части
теоремы, а именно: если у матрицы существует обратная матрица, то она определяется единственным образом. Пусть матрица A −1 является обратной
матрице A , т.е.
A −1A = E .
Пусть у матрицы A существует еще одна обратная матрица B ,
BA = E .
Последнее равенство умножим справа на A −1 , получим с одной стороны
(BA)A −1 = EA −1 = A −1 ,
с другой стороны
B(AA −1 ) = BE = B .
Следовательно, B = A −1 .
2.3. Вычисление обратной матрицы
Пусть A – квадратная невырожденная матрица n -го порядка
⎛ a11 a12
⎜
⎜ a21 a22
A=⎜
M
M
⎜⎜
⎝ a n1 a n 2
K a1n ⎞
⎟
K a2 n ⎟
.
O M ⎟
⎟
K ann ⎟⎠
Напомним, что в силу невырожденности матрицы ее определитель отличен от нуля, т.е. detA ≠ 0 .
Поставим в соответствие матрице A присоединенную матрицу A *
16
⎛ A11
⎜
⎜ A 21
A* = ⎜
M
⎜⎜
⎝ A n1
K A1n ⎞
⎟
K A2n ⎟
,
O M ⎟
⎟
K A nn ⎟⎠
A12
A 22
M
An2
где Aij – алгебраическое дополнение элемента aij .
Можно показать, что для невырожденной матрицы обратная матрица
имеет вид ([3, §2,с. 14])
A −1 =
1
(A *)T .
detA
Отметим, что если матрица A вырожденная ( det A = 0 ), то для такой
матрицы обратной не существует.
Пример. Найти обратную матрицу для матрицы
⎛ 3 5 − 2⎞
⎜
⎟
A = ⎜1 − 3 2 ⎟ .
⎜ 6 7 − 3⎟
⎝
⎠
Найдем определитель матрицы A , используя свойства определителей
4º, 7º и 8º, разлагая определитель по первому столбцу
3
−2
5
det A = 1 − 3
6
2 = 1 −3
−3
7
0 14
0
25
−8
2 = 1 ⋅ ( −1) 2 +1
− 15
14
−8
25 − 15
= 10
7 4
5 3
= 10( 21 − 20) = 10.
Вычислим алгебраические дополнения:
A11 = ( −1)1+1
−3
2
7
−3
= −5 , A12 = ( −1)1+ 2
17
1
2
6 −3
= 15 , A13 = ( −1)1+ 3
1 −3
6
7
= 25 ,
A 21 = ( −1) 2 +1
A 31 = ( −1)3+1
5 −2
7 −3
= 1 , A 22 = ( −1) 2 + 2
5
−2
−3
2
3 −2
6 −3
= 4 , A 32 = ( −1)3+ 2
= 3 , A 23 = ( −1) 2 + 3
3 −2
1
2
3 5
6 7
= −8 , A 33 = ( −1)3+ 3
= 9,
3
5
1 −3
= −14 .
Получим
⎛ − 5 15 25 ⎞
⎜
⎟
A* = ⎜ 1
3
9 ⎟,
⎜ 4 − 8 − 14 ⎟
⎝
⎠
(A *)
T
4 ⎞
⎛−5 1
⎜
⎟
= ⎜ 15 3 − 8 ⎟ .
⎜ 25 9 − 14 ⎟
⎝
⎠
Отсюда
A
−1
4 ⎞
⎛− 5 1
⎟
1⎜
= ⎜ 15 3 − 8 ⎟ .
10 ⎜
⎟
⎝ 25 9 − 14 ⎠
Сделаем проверку:
4 ⎞
⎛1 5 − 2⎞ ⎛ − 5 1
⎛10 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
1
1
AA −1 = ⎜ 1 − 3 2 ⎟ ⋅ ⎜ 15 3 − 8 ⎟ = ⎜ 0 10 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ = E.
10 ⎜
⎟ ⎜ 25 9 − 14 ⎟ 10 ⎜ 0 0 10 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟
6
7
3
−
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠
18
Лекция 3
Системы линейных алгебраических уравнений
3.1. Основные определения
Система линейных алгебраических уравнений имеет следующий вид:
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ,
⎪ a x + a x + ... + a x = b ,
22 2
2n n
2
⎪ 21 1
⎨
⎪ ..............................................
⎪⎩am1 x1 + a m 2 x2 + ... + a mn xn = bm .
(3.1)
Система (3.1) состоит из m уравнений с n неизвестными. Отметим, что
в общем случае m ≠ n .
Решением системы линейных алгебраический уравнений (3.1) называется набор чисел x10 , x20 ,... xn0 , который после подстановки в систему (3.1) вместо
неизвестных обращает каждое уравнение в тождество.
Если система (3.1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, в противном случае – несовместной.
Совместная система (3.1) называется определенной, если она имеет
только одно решение, и неопределенной, если решений больше одного.
В дальнейшем будет показано, что если система линейных алгебраических уравнений имеет более одного решения, то таких решений бесконечное
множество.
Система (3.1) называется однородной, если b1 = b2 = ... = bn = 0 . Отметим, что однородная система всегда имеет тривиальное (нулевое) решение,
поэтому для однородных систем важен вопрос о существовании ненулевых
решений и их нахождении, если они существуют.
Две системы линейных алгебраических уравнений называются равносильными (эквивалентными), если все решения одной системы являются решениями другой системы, и наоборот.
Равносильные системы получаются с помощью следующих эквивалентных преобразований:
1) умножения любого уравнения системы на число, отличное от нуля;
19
2) умножения какого-либо уравнения системы на число, отличное от
нуля, и сложения с любым другим уравнением системы;
3) изменения порядка уравнений в системе.
Пример 1. Рассмотрим систему
⎧3x1 + 4 x2 = 2,
⎨
⎩6 x1 + 8 x2 = 7.
Легко видеть, что система несовместна: умножая первое уравнение на
два, получаем 6 x1 + 8 x2 = 4 , что противоречит второму уравнению системы.
Пример 2. Рассмотрим систему
⎧ 3x1 + 4 x2 = 1,
⎨
⎩2 x1 + 4 x2 = 0.
Вычитая из первого уравнения второе, находим x1 = 1 , поэтому
x2 = −0,5 . Система совместна и имеет единственное решение.
Пример 3. Рассмотрим систему
⎧ 3x1 + 4 x2 = 5,
⎨
⎩6 x1 + 8 x2 = 10.
Очевидно, что второе уравнение является следствием первого. Выбирая
5 − 4t
x2 = t , − ∞ < t < +∞ , а x1 =
, мы получаем решение системы. Следова3
тельно, система совместна и имеет бесчисленное множество решений,
3.2. Матричная запись системы линейных
алгебраических уравнений
В соответствии с системой (3.1) рассмотрим следующие матрицы, которые будем называть “матрица системы”, “столбец неизвестных”, “столбец
правых частей” соответственно:
20
⎛ a11 a12
⎜
⎜ a21 a22
A=⎜
M
M
⎜⎜
⎝ am1 am 2
K a1n ⎞
⎛ x1 ⎞
⎛ b1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎟
K a2 n ⎟
⎜ x2 ⎟
⎜ b2 ⎟
,
X
,
B
n ×1 =
m ×1 =
⎜ M⎟
⎜ M ⎟.
O M ⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎟
K amn ⎟⎠
x
n
⎝ ⎠
⎝ bm ⎠
Тогда система (3.1) в матричной форме примет вид
AX = B .
(3.2)
Рассмотрим случай, когда m = n , т.е. система состоит из n уравнений с
n неизвестными:
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ,
⎪a x + a x + ... + a x = b ,
22 2
2n n
2
⎪ 21 1
⎨
⎪ ..............................................
⎪⎩an1 x1 + a n 2 x2 + ... + ann xn = bn .
(3.3)
В этом случае матрицей системы является квадратная матрица
⎛ a11 a12
⎜
⎜ a21 a22
A=⎜
M
M
⎜⎜
⎝ a n1 a n 2
K a1n ⎞
⎟
K a2 n ⎟
.
O M ⎟
⎟
K ann ⎟⎠
Если матрица A невырожденная, т.е. ее определитель не равен нулю,
то для нее существует обратная матрица A −1 . Решим матричное уравнение
(3.2) с использованием обратной матрицы, для чего умножим обе части уравнения (3.2) на матрицу A −1 слева:
A −1AX = A −1B ,
EX = A −1B ,
X = A −1B .
21
(3.4)
Отметим, что решение X = A −1B единственно. Действительно, если X1
еще какое-нибудь решение матричного уравнения (3.2), то AX1 = B . Умножим обе части уравнения на матрицу A −1 слева, получим X1 = A −1B , и, следовательно, X1 = X .
Отыскание решения системы по формулам (3.4) является матричным
способом решения системы.
Пример. Решить систему
⎧3x1 + 5 x2 − 2 x3 = 1,
⎪
⎨ x1 − 3x2 + 2 x3 = 2,
⎪6 x1 + 7 x2 − 3x3 = 1,
⎩
используя формулу (3.4).
Выпишем соответствующие матрицы:
⎛ x1 ⎞
⎛ 1⎞
⎛ 3 5 − 2⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 1 − 3 2 ⎟ , X = ⎜ x2 ⎟ , B = ⎜ 2 ⎟ .
⎜ x3 ⎟
⎜ 1⎟
⎜ 6 7 − 3⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
Обратная матрица имеет вид
A
−1
4 ⎞
⎛− 5 1
⎟
1⎜
= ⎜ 15 3 − 8 ⎟ .
10 ⎜
⎟
⎝ 25 9 − 14 ⎠
Отсюда, используя формулу (3.4), получаем
4 ⎞ ⎛ 1⎞
⎛ x1 ⎞
⎛− 5 1
⎛ 1 ⎞ ⎛ 0,1 ⎞
⎜ ⎟ 1⎜
⎟ ⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ x2 ⎟ = ⎜ 15 3 − 8 ⎟ ⋅ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 13 ⎟ = ⎜ 1,3 ⎟ .
⎜ x3 ⎟ 10 ⎜ 25 9 − 14 ⎟ ⎜ 1 ⎟ 10 ⎜ 29 ⎟ ⎜ 2,9 ⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Таким образом, x1 = 0,1 ; x2 = 1,3 ; x3 = 2,9 .
Сделаем проверку. Для этого подставим найденные значения в каждое
уравнение системы:
22
⎧3 ⋅ 0,1 + 5 ⋅ 1,3 − 2 ⋅ 2,9 = 1,
⎪
⎨ 0,1 − 3 ⋅ 1,3 + 2 ⋅ 2,9 = 2,
⎪ 6 ⋅ 0,1 + 7 ⋅ 1,3 − 3 ⋅ 2,9 = 1;
⎩
⎧ 1 = 1,
⎪
⎨2 = 2,
⎪ 1 = 1.
⎩
Рассмотрим подробнее равенство (3.4), переписав его в компонентной
форме:
xi =
n
∑ aij−1 ⋅ b j ,
i = 1,2,..., n ,
j =1
здесь aij−1 – это элемент обратной матрицы A −1 , стоящий на пересечении i ой строки и j -ого столбца. Пользуясь определением обратной матрицы, получаем
1 *
1 n
1 n
Δi
a ji ⋅ b j = ∑ a *ji ⋅ b j = ∑ b j ⋅A ji = , i = 1,2,..., n ,
Δ
Δ j =1
Δ j =1
j =1 Δ
n
xi = ∑
здесь a *ji – это элемент матрицы A * , стоящий на пересечении j -ой строки и
i -ого столбца; Δ – определитель матрицы A , Δ i – определитель, полученный из определителя Δ заменой j -го столбца на столбец B .
Таким образом,
xi =
Δi
, i = 1,2,..., n .
Δ
(3.5)
Получили формулы Крамера1 для решения систем линейных уравнений
с определителем Δ , отличным от нуля. Теперь можно сформулировать следующую теорему.
Теорема. Если определитель Δ системы (3.3) отличен от нуля, то
система имеет единственное решение, которое находится по формулам
(3.5).
1
КРАМЕР Габриэль (1704-1752) – швейцарский математик. Родился в Женеве. Был учеником и
другом Иоганна Бернулли. Издатель трудов Иоганна и Якоба Бернулли, переписки Г.Лейбница с
Иоганном Бернулли. Профессор математики и философии. Основные работы относятся к высшей
алгебре и аналитической геометрии. В алгебре установил и опубликовал (1750) правила решения
систем n линейных уравнений с n неизвестными, заложил основы теории определителей. Во «Введении в анализ алгебраических кривых» (1750) Крамер существенно развил идеи современников
по аналитической геометрии; исследовал особые точки. ветви, кривизну и т.п. алгебраических
кривых высших порядков.
23
Перепишем соотношения (3.5) в виде
Δ ⋅ xi = Δ i , i = 1,2,..., n .
Пусть система линейных уравнений (3.3) является однородной, тогда
легко видеть, что Δ i = 0 , i = 1,2,..., n , и, следовательно,
Δ ⋅ xi = 0, i = 1,2,..., n .
Если определитель Δ отличен от нуля, то система имеет единственное
нулевое решение, следовательно, условие Δ = 0 является необходимым для
существования ненулевых решений у однородной системы. Именно нахождение ненулевых решений при решении однородных систем представляет
интерес. Для того, чтобы решение было ненулевым, необходимо, чтобы хотя
бы одно из xi было отлично от нуля. Тогда для того, чтобы было выполнено
Δ ⋅ xi = 0 , необходимо, чтобы определитель Δ был равен нулю, Δ = 0 .
Теорема. Для того чтобы однородная система обладала ненулевыми
решениями, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Δ был равен
нулю.
3.3. Практический способ нахождения обратной матрицы
Рассмотрим квадратную невырожденную матрицу
⎛ a11 a12
⎜
⎜ a21 a22
A=⎜
M
M
⎜⎜
⎝ a n1 a n 2
K a1n ⎞
⎟
K a2 n ⎟
.
O M ⎟
⎟
K ann ⎟⎠
Запишем обратную матрицу в виде
⎛ a11−1 a12 −1
⎜ −1
−1
a22
⎜ a21
−1
A =⎜
M
⎜ M
⎜ a −1 a −1
n2
⎝ n1
24
−1
K a1n ⎞
⎟
−1
K a2 n ⎟
⎟.
O
M ⎟
−1
K ann ⎟⎠
Обозначим
B(1)
⎛1⎞
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0 ⎟ ( 2) ⎜ 1 ⎟
⎜ 0⎟
= ⎜ ⎟ , B = ⎜ ⎟ ,..., B( n ) = ⎜ ⎟ .
M
M
M
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 0⎠
⎝ 0⎠
⎝1⎠
Тогда решение систем
AX = B( i ) , i = 1,2,...n
можно записать в матричном виде:
⎛ x1 ⎞ ⎛ a11−1 a12 −1
⎜ ⎟ ⎜ −1
−1
a22
⎜ x2 ⎟ ⎜ a21
⎜ M ⎟=⎜ M
M
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ −1
−1
⎜
an 2
⎝ xn ⎠ ⎝ an1
−1
K a1n ⎞ ⎧⎛ 1 ⎞
⎟ ⎪⎜ ⎟
−1
K a2 n ⎟ ⎪⎜ 0 ⎟
⎟⋅⎨ ,
O
M ⎟ ⎪⎜ M ⎟
⎜ ⎟
−1 ⎟ ⎪⎜ ⎟
K ann ⎠ ⎩⎝ 0 ⎠
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞ ⎫
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎪
1
⎜ ⎟
⎜ 0⎟ ⎪
K
,
⎜M⎟
⎜ M ⎟,⎬ .
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟ ⎪
⎝ 0⎠
⎝ 1 ⎠ ⎪⎭
Решая систему с правой частью B(1) , получим первый столбец обратной матрицы
−1
x1(1) = a11
,
−1
x2(1) = a21
,
xn(1) = an−11 ,
решая систему с правой частью B( 2 ) , получим второй столбец обратной матрицы, и т.д. Решая систему с правой частью B( n ) , получим последний столбец обратной матрицы.
Таким образом, практический метод состоит в следующем: решается n
систем линейных уравнений, матрицы которых совпадают с данной матрицей, а свободные члены образованы столбцами единичной матрицы. Решения
таких систем являются столбцами обратной матрицы. Отметим, что наиболее
эффективен для решения полученных систем метод Гаусса2 ([3, § 3, с. 27]).
2
ГАУСС Карл Фридрих (1777-1855) – великий немецкий математик, астроном, физик и геодезист.
Родился в Брауншвейге. С раннего возраста обнаружил выдающиеся математические способности.
В 1795-1798 учился в Геттингенском университете. В 1799 защитил докторскую диссертацию, содержащую первое доказательство так называемой основной теоремы алгебры. В разностороннем
творчестве Гаусса органично сочетались исследования по теоретической и прикладной математике, его работы оказали большое влияние на все дальнейшее развитие высшей алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории притяжения, классической теории электричества и
магнетизма, геодезии, многих отраслей теоретической астрономии.
25
3.4. Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу
⎛ a11 a12
⎜
⎜ a21 a22
A=⎜
M
M
⎜⎜
⎝ am1 am 2
K a1n ⎞
⎟
K a2 n ⎟
.
O M ⎟
⎟
K amn ⎟⎠
Выделим в этой матрице произвольные k строк и k столбцов. Из элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов, составим определитель k -ого порядка, называемый минором k -го порядка матрицы A .
Отметим, что если все миноры данной матрицы порядка k равны нулю, то все миноры более высоких порядков также будут равны нулю. Это
свойство миноров вытекает из теоремы о разложении для определителей.
Рангом матрицы A называется наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы будем обозначать r ( A ) .
Таким образом, если ранг матрицы равен r , то среди миноров этой
матрицы есть по крайней мере один минор r -го порядка, отличный от нуля, в
то время как все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю.
На основании определения ранга матрицы можно сделать выводы о
значениях ранга матрицы.
1. Если все элементы матрицы A равны нулю, то r ( A ) = 0 .
2. Если все миноры второго порядка матрицы A равны нулю, а хотя бы
один элемент ненулевой, то r ( A ) = 1 .
3. 0 ≤ r ( A) ≤ min(m, n ) .
4. Если квадратная матрица порядка n невырожденная, то r ( A ) = n .
Свойства ранга матрицы
1º. При транспонировании матрицы ее ранг не изменяется.
2º. Добавление к матрице нулевого ряда не меняет ее ранг.
26
3º. Добавление к матрице какого-то ряда увеличивает ранг матрицы на
единицу или не меняет его.
4º. Удаление какого-то ряда из матрицы может уменьшить ранг матрицы на единицу или не изменить его.
Доказательство перечисленных свойств вытекает из свойств определителей.
3.5. Вычисление ранга матрицы
Рассмотрим матрицу
⎛1 0 2 0⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 3 0 6 0⎟ .
⎜ 5 0 10 0 ⎟
⎝
⎠
Любой минор второго порядка данной матрицы равен нулю, но есть
элементы, отличные от нуля, следовательно, ранг матрицы равен единице,
r(A) = 1 .
Нахождение ранга произвольной матрицы путем непосредственного
вычисления определителей различных порядков приводит к трудоемким вычислениям. Поэтому на практике применяют другие методы отыскания ранга
матрицы.
Метод окаймляющих миноров
Опираясь на свойство миноров матрицы, можно утверждать, что если
все миноры ( k + 1) -ого порядка матрицы равны нулю, а хотя бы один минор
k -ого порядка отличен от нуля, то ранг матрицы равен k .
Объем вычислений можно сократить, используя метод окаймляющих
миноров. Под окаймляющим минором понимается минор, матрица которого
содержит матрицу рассматриваемого минора.
Пример. Вычислить ранг матрицы
27
−3 2 5⎞
⎛ 1
⎟
⎜
4
3 1⎟
⎜− 2
A=⎜ 0
− 2 7 11⎟
⎟
⎜
7
15
7
2
−
−
⎟
⎜
⎜ −1
1
5 6 ⎟⎠
⎝
методом окаймляющих миноров.
1
−3
1
−3
= −2 ≠ 0 , то ранг матрицы выше перво−2 4
го. Рассмотрим все миноры третьего порядка, содержащие элементы данного
определителя
Так как определитель
1
−2
−3 2
3 = 0, − 2
4
0
−2 7
1
−3
−2
4
7
5
0
1
1 = 0, − 2
− 15 2
−1
5
1
1 = 0, − 2
4
−3
2
3 = 0,
4
− 2 11
7
− 15 − 7
−3 2
1
−3 5
4
3 = 0, − 2
4
1 = 0.
1
5
−1
1
6
Так как все миноры третьего порядка равны нулю, то согласно определению ранга, r ( A ) = 2 , ранг данной матрицы равен двум.
Нахождение ранга матрицы с помощью
элементарных преобразований
Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие операции:
1) умножение какого-либо ряда матрицы на число, отличное от нуля;
2) перестановка местами двух параллельных рядов;
3) Прибавление к некоторому ряду другого параллельного ряда, элементы которого умножены на число, отличное от нуля.
28
Теорема. Ранг матрицы инвариантен относительно элементарных
преобразований.
Другими словами, ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях. На основе этой теоремы ранг матрицы можно вычислять, преобразуя исходную матрицу в матрицу, ранг которой легко находится.
Базисным минором матрицы называется ее отличный от нуля минор,
порядок которого равен рангу матрицы. Отметим, что базисный минор можно определить не единственным образом.
Строки и столбца матрицы, на пересечении которых стоят элементы
базисного минора, называются базисными.
Пример. Вычислить ранг матрицы
5 ⎞
⎛1 2 3
⎜
⎟
A = ⎜ 3 − 1 4 − 2⎟ .
⎜ 5 3 10 8 ⎟
⎠
⎝
Применим элементарные преобразования. Умножим первую строку на
-3 и сложим со второй строкой, затем умножим первую строку на -5 и сложим с третьей. Умножим вторую строку на -1 и сложим с третьей, далее аналогично работаем со вторым, третьим и четвертым столбцами. Ранг полученной матрицы легко вычисляется:
5 ⎞ ⎛1 2
3
5 ⎞ ⎛1 0
0
0 ⎞
⎛1 2 3
⎟
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎜
r ⎜ 3 − 1 4 − 2 ⎟ = r ⎜ 0 − 7 − 5 − 17 ⎟ = r ⎜ 0 − 7 − 5 − 17 ⎟ =
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎜
0
0 ⎟⎠
⎝ 5 3 10 8 ⎠ ⎝ 0 − 7 − 5 − 17 ⎠ ⎝ 0 0
⎛ 1 0 0 0⎞
⎟
⎜
= r⎜ 0 1 0 0 ⎟ = 2
⎜ 0 0 0 0⎟
⎠
⎝
В качестве базисного минора можно выбрать следующий:
M =
1
2
3 −1
29
= −7 ≠ 0 .
3.6. Решение систем линейных алгебраических уравнений
Напомним, что система линейных алгебраических уравнений имеет вид
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ,
⎪ a x + a x + ... + a x = b ,
22 2
2n n
2
⎪ 21 1
⎨
⎪ ..............................................
⎪⎩am1 x1 + a m 2 x2 + ... + a mn xn = bm .
(3.6)
Обозначим через A матрицу системы
⎛ a11 a12
⎜
⎜ a21 a22
A=⎜
M
M
⎜⎜
⎝ am1 am 2
K a1n ⎞
⎟
K a2 n ⎟
,
O M ⎟
⎟
K amn ⎟⎠
~
а через A – расширенную матрицу
⎛ a11 a12
⎜
~ ⎜ a21 a22
A=⎜
M
M
⎜
⎜
⎝ am1 am 2
K a1n b1 ⎞
⎟
K a2 n b2 ⎟
,
O M M ⎟
⎟
K amn bm ⎟⎠
через X – столбец неизвестных
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ x2 ⎟
X = ⎜ ⎟.
M
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ xn ⎠
Вопрос о совместности системы (3.6) в общем виде решается с помощью следующей теоремы.
30
Теорема Кронекера3-Капелли4. Система линейных уравнений (3.6) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу
расширенной матрицы, т.е.
~
r ( A) = r ( A) .
Доказательство теоремы можно найти, например, в [1, гл.1, §9, с. 45].
~
Из теоремы следует, что если r ( A ) ≠ r ( A ) , то система (3.6) несовмест~
на. Если же условие теоремы выполнено r ( A ) = r ( A) = r , а число неизвестных равно n , то r ≤ n .
Сначала рассмотрим случай, когда r = n .
В этом случае система (3.6) будет определенной, т.е. будет иметь единственное решение. Для отыскания решения требуется определить базисный
минор и соответствующие ему базисные строки и столбцы. Уравнения, не
отвечающие базисным строкам, отбрасываются (они являются следствием
базисных уравнений). В итоге получается система n уравнений с n неизвестными и невырожденной матрицей. Решение данной системы можно найти либо по формулам Крамера, либо методом Гаусса, либо матричным способом.
Пример. Исследовать систему
⎧ x1 + x2 + x3 = 3,
⎪2 x + 3x − x = −4,
2
3
⎪ 1
⎨
⎪ x1 − x2 + x3 = 5,
⎪⎩ 4 x1 + 3x2 + x3 = 4,
и решить в случае совместности.
Очевидно, последнее уравнение есть следствие первых трех уравнений,
так как получается сложением этих уравнений. В данном случае
~
r ( A ) = r ( A) = 3 , в силу теоремы Кронекера-Капелли система является совместной. Число неизвестных системы совпадает с рангом матрицы, следова3
КРОНЕКЕР Леопольд (1823-1891) – немецкий математик, член Берлинской академии наук
(1861). Родился в Легнице. Профессор Берлинского университета, член-корреспондент Петербургской академии наук. Основные работы относятся к алгебре и теории чисел – к теории квадратичных форм и теории групп, а также эллиптическим функциям. В алгебре его именем называется
критерий совместности произвольной системы линейных уравнений.
4
КАПЕЛЛИ Альфред (1855-1910) – итальянский математик. Родился в Милане. Был профессором
в Палермо и Неаполе. Оставил много трудов по теории алгебраических форм, теории подстановок,
теории алгебраических уравнений. теории эллиптических функций.
31
тельно, система имеет единственное решение. В качестве базисного минора
возьмем
1
1
1
M =2
3
−1 ≠ 0.
1 −1
1
Тогда первая, вторая и третья строки матрицы системы являются базисными.
Решим систему по формулам Крамера. Вычислим определители
1
1
1
Δ= 2
3
− 1 = −6 , Δ 1 = − 4
1 −1
1
1
3
Δ2 = 2 − 4
1
3
5
5
1
1
3
− 1 = −6 ,
−1
1
1
1 1
3
− 1 = 6 , Δ 3 = 2 3 − 4 = −18 .
1 −1 5
1
Отсюда по формулам Крамера получаем x1 = 1 , x2 = −1 , x3 = 3 .
Рассмотрим случай, когда r < n .
В этом случае система (3.6) будет неопределенной, т.е. будет иметь
бесчисленное множество решений. Для нахождения решения требуется определить базисный минор и соответствующие ему базисные строки и столбцы.
Уравнения, не отвечающие базисным строкам, отбрасываются (они являются
следствием базисных уравнений). Переменные, соответствующие базисным
столбцам, называются базисными, остальные – свободными.
Без ограничения общности можно считать, что базисный минор располагается в левом верхнем углу матрицы системы
M=
a11
a12 K a1r
a21
M
a22 K a2 r
≠ 0.
M O M
a r1
a r 2 K a rr
32
Отбросим последние (m − r ) уравнений. Перенесем свободные переменные в правую часть уравнений, им придадим произвольные действительные значения
x r +1 = C r +1 , x r + 2 = C r + 2 ,..., xn = Cn , где − ∞ < Ci < +∞, i = r + 1,...,n .
Получаем систему r линейных уравнений с r неизвестными, в которой
правые части содержат (n − r ) свободных параметров Ci . Полученная система
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1r xr = b1 − a1r +1 xr +1 − ... − a1n xn ,
⎪a x + a x + ... + a x = b − a x − ... − a x ,
2r r
2
2 r +1 r +1
2n n
⎪ 21 1 22 2
⎨
⎪ ..............................................................................
⎪⎩ ar1 x1 + a r 2 x2 + ... + arr xr = br − arr +1 xr +1 − ... − arn xn
будет иметь бесчисленное множество решений.
Пример. Исследовать систему
⎧ x1 + 2 x2 − 3x3 + 4 x4 = 7,
⎪
⎨ 2 x1 + 4 x2 + 5 x3 − x4 = 2,
⎪5 x1 + 10 x2 + 7 x3 + 2 x4 = 11.
⎩
и решить в случае совместности.
Очевидно, последнее уравнение есть следствие первых двух уравнений.
Это подтверждается вычислением ранга расширенной матрицы системы:
⎛1 2 − 3 4 7 ⎞ ⎛1 2 − 3 4 7 ⎞ ⎛1 2 − 3 4 7 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
r ⎜ 2 4 5 − 1 2 ⎟ = r ⎜ 0 0 11 − 9 − 12 ⎟ = r ⎜ 0 0 11 − 9 − 12 ⎟ = 2 .
⎜ 5 10 7
2 11⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 22 − 18 − 24 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0
0 0 ⎟⎠
⎝
~
Таким образом, r ( A ) = r ( A ) = 2 , число неизвестных n = 4 > r , поэтому
система является неопределенной. Выберем базисный минор, например,
M =
2 −3
4
5
33
= 22 ≠ 0 .
Базисными переменными будут x2 и x3 , а x1 и x4 – свободными. Перенесем свободные переменные в правую часть. Таким образом, система
примет вид
⎧2 x2 − 3x3 = 7 − x1 − 4 x4 ,
⎨
⎩4 x2 + 5 x3 = 2 − 2 x1 + x4 .
Будем считать, что x1 = C1 , x4 = C4 , и C1 и C4 принимают любые действительные значения, т.е. являются свободными параметрами
⎧2 x2 − 3x3 = 7 − C1 − 4C4 ,
⎨
⎩4 x2 + 5 x3 = 2 − 2C1 + C4 .
Решим систему методом Гаусса:
⎧2 x2 − 3x3 = 7 − C1 − 4C4 ,
⎨
⎩ 11x3 = −12 + 9C4 .
Отсюда
x3 = −
x2 =
12 9
+ C4 ,
11 11
1⎛
17 ⎞
⎛ 12 9
⎞ ⎞ 1 ⎛ 41
⎜ 7 − C1 − 4C4 + 3⎜ − + C4 ⎟ ⎟ = ⎜ − C1 − C4 ⎟ .
2⎝
11 ⎠
⎝ 11 11 ⎠ ⎠ 2 ⎝ 11
Решение системы имеет вид
12 9
1 ⎛ 41
17 ⎞
x1 = C1 , x2 = ⎜ − C1 − C4 ⎟ , x3 = − + C4 , x4 = C4 ,
2 ⎝ 11
11 ⎠
11 11
где C1 и C4 принимают любые действительные значения, не связанные между собой. Правильность полученного решения легко проверить.
34
3.7. Применение аппарата линейной алгебры для анализа
балансовых моделей
Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы
удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая
отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.
Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать,
разработана в 1936 г. экономистом В. Леонтьевым5.
Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а
другая часть предназначена для целей конечного личного и общественного
потребления.
Рассмотрим процесс производства за некоторый период (например,
год). Введем следующие обозначения: xi – общий (валовый) объем продукции i -ой отрасли ( i = 1,2,..., n ); xij – объем продукции i -ой отрасли, потребляемый j -ой отраслью в процессе производства ( i, j = 1,2,..., n ); yi – объем конечного продукта i -ой отрасли для непроизводственного потребителя. Так
как валовый объем продукции любой i -ой отрасли равен суммарному объему
продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то
n
xi = ∑ xij + yi , i = 1,2,..., n .
j =1
Такие уравнения называются соотношениями баланса. Будем
рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины,
входящие в соотношения баланса, имеют стоимостное выражение.
5
ЛЕОНТЬЕВ Василий (1906-1999) - американский экономист, удостоенный в 1973 году
Нобелевской премии по экономике. Родился в Мюнхене. В 1925г. окончил Ленинградский университет, в 1924г. работал на кафедре экономической географии, продолжил учебу в Берлине, в
1928г. получил степень доктора наук. С 1975г. работал в Нью-Йоркском университете, был директором Института экономического анализа при университете до 1986г. В 1970-х годах руководил
работами по прогнозированию мирового экономического развития до 2000г.. В последние годы
жизни посвятил себя исключительно науке. В 1988г. был избран иностранным членом АН СССР.
Главным достижением ученого стала разработка теоретических основ метода "затраты - выпуск"
(метода межотраслевого баланса), одного из направлений эконометрики, в котором впервые в истории экономической науки к анализу обширных статистических данных были применены электронно-вычислительные машины.
35
Введем коэффициенты прямых затрат
aij =
xij
, i , j = 1,2,..., n ,
xj
показывающие затраты продукции i -ой отрасли на производство единицы
продукции j -ой отрасли.
Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты
aij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии
производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от
валового выпуска, т.е.
xij = aij x j , i, j = 1,2,..., n ,
вследствие чего простроенная на этом основании модель межотраслевого
баланса получила название линейной. Теперь соотношения баланса примут
вид
n
xi = ∑ aij x j + yi , i = 1,2,..., n .
(3.7)
j =1
Обозначим
⎛ a11 a12
⎜
⎜ a21 a22
A=⎜
M
M
⎜⎜
⎝ am1 am 2
K a1n ⎞
⎛ x1 ⎞
⎛ y1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎟
K a2 n ⎟
x
2
⎜ ⎟
⎜ y2 ⎟
=
=
,
X
,
Y
⎜ M⎟
⎜ M ⎟.
O M ⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎟
K amn ⎟⎠
x
⎝ n⎠
⎝ ym ⎠
где X - вектор валового выпуска, Y - вектор конечного продукта, A матрица прямых затрат (технологическая матрица).
Тогда систему (3.7) можно записать в матричном виде
X = AX + Y .
(3.8)
Основная задача межотраслевого баланса состоит в нахождении
такого вектора валового выпуска X , который при известной матрице
прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y .
Перепишем уравнение (3.8) в виде
(E − A )X = Y .
Если матрица (E − A ) невырожденная, то
X = (E − A ) Y .
−1
Матрица S = (E − A )
−1
(3.9)
называется матрицей полных затрат. Каждый
36
элемент sij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i -ой
отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного
продукта j -ой отрасли. В соответствии с экономическим смыслом задачи
значения xi должны быть неотрицательными при неотрицательных
значениях yi ≥ 0 и aij ≥ 0 , где i, j = 1,2,..., n .
Матрица A ≥ 0 называется продуктивной, если для любого вектора
Y ≥ 0 существует решение X ≥ 0 уравнения (3.8). В этом случае и модель
Леонтьева называется продуктивной.
Существует несколько критериев продуктивности матрицы A . Один из
них говорит о том, что матрица A продуктивна, если aij ≥ 0 для любых
i, j = 1,2,..., n и max
n
∑ aij ≤ 1 , и существует номер
j =1, 2 ,... n i =1
j такой, что
n
∑ aij < 1
i =1
Пример. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл. ден. ед.:
Таблица 1.
Потребление
МашиноЭнергетика
строение
Отрасль
Производство
Конечный
продукт
Валовой выпуск
Энергетика
7
21
72
100
Машиностроение
12
15
123
150
Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.
Решение. Имеем x1 = 100 , x2 = 150 , x11 = 7 , x21 = 12 , x12 = 21 , x22 = 15 ,
y1 = 72 , y2 = 123 .
Найдем коэффициенты прямых затрат:
a12 = 0,07 , a21 = 0,12 , a12 = 0,14 , a22 = 0,10 .
Составим матрицу прямых затрат
⎛ 0,07 0,14 ⎞
A = ⎜⎜
⎟⎟ .
0
,
12
0
,
10
⎝
⎠
37
Матрица A продуктивна, так как все ее элементы неотрицательны и
выполнен критерий продуктивности:
max{0,07 + 0,12;0,14 + 0,10} = max{0,19;0,24} = 0,24 < 1 ,
Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле (3.9). Сначала найдем
матрицу полных затрат:
S = (E − A ) =
−1
1 ⎛ 0,9 0,14 ⎞
⎟.
⎜
0,8202 ⎝⎜ 0,12 0,93⎟⎠
⎛144 ⎞
По условию вектор Y = ⎜⎜
⎟⎟ . Тогда по формуле (3.9) получаем вектор
123
⎝
⎠
валового выпуска
X=
1 ⎛ 0,9 0,14 ⎞ ⎛144 ⎞ ⎛ 179 ⎞
⎟⋅⎜
⎟=⎜
⎟,
⎜
0,8202 ⎝⎜ 0,12 0,93⎟⎠ ⎜⎝ 123 ⎠⎟ ⎝⎜160,5 ⎟⎠
то есть валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить на 179
усл.ед., а в машиностроительной – до 160,5 усл.ед.
38
Лекция 4
Линейные пространства
4.1. Основные определения
Определение. Множество R ( R = {x , y , z ,...}) элементов любой природы называется линейным (векторным) пространством, если для его элементов определены операции сложения x + y ∈ R и умножения на вещественное
число λx ∈ R , удовлетворяющие следующим аксиомам:
1. x + y = y + x , где x , y ∈ R .
2. ( x + y ) + z = x + ( y + z ) , где x , y , z ∈ R .
3. Существует нулевой элемент θ ∈ R такой, что x + θ = x для любого
x ∈R.
4. Для каждого x ∈ R существует противоположный элемент x * ∈ R
такой, что x + x * = θ .
5. 1 ⋅ x = x , где x ∈ R .
6. (α ⋅ β ) ⋅ x = α ⋅ ( β ⋅ x ) = β ⋅ (α ⋅ x ) , где x ∈ R , α , β – вещественные
числа.
7. (α + β ) ⋅ x = α ⋅ x + β ⋅ x , где x ∈ R , α , β – вещественные числа.
8. α ⋅ ( x + y ) = α ⋅ x + α ⋅ y , где x , y ∈ R , α – вещественное число.
Следствия из определения линейного пространства
1. В линейном пространстве существует единственный нулевой элемент.
Доказательство. Предположим, что в линейном пространстве сущест39
вует два нулевых элемента θ1 и θ 2 . Согласно определению нулевого элемента получаем:
θ1 + θ 2 = θ1 ,
θ 2 + θ1 = θ 2 .
Так как θ1 + θ 2 = θ 2 + θ1 , то θ1 = θ 2 .
2. В линейном пространстве существует единственный противоположный данному элементу элемент.
Доказательство. Пусть для произвольно выбранного элемента x ∈ R
существует два противоположных элемента x1 * ∈ R и x2 * ∈ R . Согласно определению противоположного элемента получаем:
( x1 * + x ) + x2 * = θ + x2 * = x2 * ,
x1 * + ( x + x2 *) = x1 * +θ = x1 * .
Так как левые части равенств равны, то равны и правые части, т.е
x1* = x2 * .
3. Для каждого x ∈ R произведение 0 ⋅ x = θ .
В самом деле, для каждого x ∈ R имеем 0 ⋅ x = (0 + 0) ⋅ x = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x .
Прибавляя к левой и правой частям этого равенства элемент противоположный элементу 0 ⋅ x , получим θ = 0 ⋅ x .
4. Элемент ( −1) ⋅ x = x * .
Действительно, используя аксиому 7 и следствие 3,
x + ( −1) ⋅ x = (1 − 1) ⋅ x = 0 ⋅ x = θ .
5. Разность элементов в линейном пространстве вводится по правилу
x + ( −1) ⋅ y = x − y = x + y * .
40
Примеры линейных пространств
1. R1 – множество всех векторов, лежащих на одной прямой l , с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на число (рис. 1).
l
a
b
Рис. 1. Множество векторов, лежащих на одной прямой
2. R 2 – множество всех векторов, лежащих в одной плоскости, с введенными обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на
число (рис. 2).
a
b
Рис. 2. Множество векторов, лежащих в одной плоскости
3. R 3 – множество всех векторов, лежащих в пространстве, с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на число.
4. Множество всех матриц {A m×n } размера m × n с обычными операциями сложения матриц и умножения на число.
5. Множество всех многочленов {Pn ( x )} степени не выше n с обычными операциями сложения многочленов и умножения на число.
Отметим, что множество всех многочленов степени n не будет образовывать линейного пространства, так как при сложении двух многочленов
41
может получиться многочлен, степень которого может оказаться меньше n .
6. Множество C[ a , b ] = {y = y ( x )} всех непрерывных на отрезке [a, b]
функций.
7. Множество упорядоченных наборов из n чисел
Rn = {( x1 , x2 ,..., xn )}, где x1 , x2 ,..., xn – некоторые числа,
с операциями сложения и умножения на число, вводящимися так же, как и
для матриц, т.е. соответствующие компоненты складываются и умножаются
на число. Такое пространство будем называть n -мерным координатным пространством.
8. Приведем пример множества, не являющегося линейным пространством. Множество его элементов определим как наборы из n чисел, как и в
предыдущем примере, причем операция сложения будет определяться по такому же правилу, как и в примере 7 – сложение соответствующих компонентов, а операция умножения на число по другому правилу, а именно
α ⋅ x = (αx1 , x2 ,..., xn ) .
Проверим, выполнена ли в таком случае аксиома 7.
С одной стороны,
(α + β ) ⋅ x = ((α + β ) x1 , x2 ,..., xn ) .
А с другой
α ⋅ x + β ⋅ x = ((α + β ) x1 ,2 x2 ,...,2 xn ) .
Очевидно, что (α + β ) ⋅ x ≠ α ⋅ x + β ⋅ x . Следовательно, указанное множество не образует линейного пространства.
4.2. Линейная зависимость и независимость векторов
Определение. Векторы x1 , x2 ,..., xk линейного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа α1 , α 2 ,..., α k , не равные одновременно нулю, что
α1 x1 + α 2 x2 + ... + α k xk = θ .
42
(4.1)
Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми.
Другими словами, для линейно независимых векторов равенство (4.1)
выполняется тогда и только тогда, когда α1 = α 2 = ... = α k = 0 .
Пусть векторы x1 , x2 ,..., xk ∈ R линейно зависимы, тогда существуют
такие числа α1 , α 2 ,..., α k , хоты бы одно из которых отлично от нуля, что выполнено равенство (4.1). Для определенности будем считать, что α k ≠ 0 . Тогда (4.1) можно записать в виде
xk = −
Обозначим Ci = −
α1
α2
α k −1
x1 −
x2 − ... −
x k −1 .
αk
αk
αk
αi
, i = 1,2,..., k − 1 . Тогда последнее выражение можαk
но записать как
xk = C1 x1 + C2 x2 + ... + Ck −1 xk −1 .
(4.2)
Если имеет место выражение (4.2), то говорят, что вектор xk является
линейной комбинацией векторов x1 , x2 ,..., xk −1 , или, что вектор xk линейно
выражается через вектора x1 , x2 ,..., xk −1 . Таким образом, если векторы
x1 , x2 ,..., xk линейно зависимы, то, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные. Ясно, что верно и обратное, т.е. что если одни из
векторов линейно выражается через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.
Рассмотрим примеры линейно зависимых и независимых векторов.
Пример 1. Множество R1 всех векторов, лежащих на одной прямой. В
этом линейном пространстве любые два вектора линейно зависимы. Действительно, пусть a и b – два вектора, лежащие на одной прямой, тогда найдется такое число λ , не равное нулю, что a = λb . Т.е. вектор a линейно выражается через вектор b и эти два вектора линейно зависимы.
Пример 2. Множество R 2 всех векторов, лежащих в одной плоскости.
В этом линейном пространстве любые два неколлинеарных вектора линейно
независимы ([3, §4, c. 31]), а любые три вектора линейно зависимы, так как
любой вектор плоскости может быть разложен по двум неколлинеарным векторам.
43
Пример 3. Множество R 3 всех векторов, лежащих в трехмерном пространстве. В этом линейном пространстве любые три некомпланарных вектора линейно независимы, а любые четыре вектора линейно зависимы ([1, гл.
1, §2, c. 65]).
4.3. Размерность и базис линейного пространства
Определение. Линейное пространство R называется n -мерным, если в
нем можно найти n линейно независимых векторов, а любые ( n + 1) векторы
линейно зависимы.
Таким образом, размерность пространства – это максимальное число
содержащихся в нем линейно независимых векторов. Размерность пространства обозначается dim( R ) .
Линейное пространство размерности n называется n -мерным линейным пространством и обозначается R n .
Из рассмотренных ранее примеров следует, что
dim( R1 ) = 1 , dim( R 2 ) = 2 , dim( R 3 ) = 3 .
Пространство, имеющее конечную размерность, называется конечномерным. Если в пространстве можно указать сколь угодно много линейно независимых векторов, то оно называется бесконечномерным. Например, пространство C[ a , b ] непрерывных на отрезке [a, b] функций является бесконечномерным.
Определение. Базисом n -мерного линейного пространства R n называется любая упорядоченная система n линейно независимых векторов.
Теорема. Любой вектор x линейного n -мерного пространства R n
можно всегда представить, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации векторов базиса.
Доказательство. Пусть x – произвольный вектор n -мерного пространства, а e1 , e2 ,..., en – базис в R n . Так как любая система ( n + 1) векторов
является линейно зависимой, то существует набор чисел α1 , α 2 ,..., α n , α , не
всех равных нулю, таких, что выполняется равенство
α1e1 + α 2 e2 + ... + α n en + αx = θ .
44
Очевидно, что именно α ≠ 0 , так как если α = 0 , то в силу линейной
независимости векторов e1 , e2 ,..., en все α i = 0 , что противоречит условию
линейной зависимости. Значит, можно последнее равенство записать так
x=−
Обозначим xi = −
α1
α2
αn
e1 −
e2 − ... −
en .
α
α
α
αi
, i = 1,2,..., n . Окончательно получим
α
x = x1e1 + x2 e2 + ... + xn en .
(4.3)
Таким образом, получено разложение произвольного вектора x по
векторам базиса e1 , e2 ,..., en .
Покажем, что в заданном базисе разложение (4.3) будет единственным.
Действительно, пусть существует помимо (4.3) еще одно разложение
x = y1e1 + y 2 e2 + ... + y n en ,
тогда, вычитая из уравнения (4.3) второе уравнение, получим
θ = ( x1 − y1 )e1 + ( x2 − y2 )e2 + ... + ( xn − y n )en .
Так как векторы e1 , e2 ,..., en образуют базис, то последнее условие будет
выполняться тогда и только тогда, когда
x1 = y1 , x2 = y2 ,..., xn = yn ,
что и доказывает единственность разложения по векторам базиса.
Числа xi , i = 1,2,..., n , называются координатами вектора x в базисе
e1 , e2 ,..., en . Вследствие теоремы о разложении в данном базисе вектор x может быть задан набором чисел (координат)
x = ( x1 , x2 ,..., xn ) .
Отметим, что между вектором и его координатами (в некотором базисе) устанавливается взаимнооднозначное соответствие.
45
Замечание. Координаты вектора x могут быть записаны как строкой
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
x2
x = ( x1 , x2 ,..., xn ) , так и столбцом x = ⎜⎜ ⎟⎟ , который будем называть коордиM
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ xn ⎠
натным столбцом. Кроме того, можно показать, что векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные
столбцы. (Доказательство см., например, [2, гл. 6, §1, c. 193]).
4.4. Действия над векторами
Пусть x = x1e1 + x2 e2 + ... + xn en и y = y1e1 + y 2 e2 + ... + y n en – векторы n мерного линейного пространства R n , разложенные по одному базису.
1. Сложение векторов
x + y = ( x1 + y1 )e1 + ( x2 + y 2 )e2 + ... + ( xn + y n )en = ( x1 + y1 , x2 + y 2 ,..., xn + y n )
Итак, при сложении векторов их координаты складываются.
2. Умножение вектора на число
λx = λx1e1 + λx2 e2 + ... + λxn en = (λx1 , λx2 ,..., λxn ) .
При умножении вектор на число координаты вектора умножаются на
это число.
3. Разность векторов
x − y = x + ( −1) y = ( x1 − y1 )e1 + ( x2 − y2 )e2 + ... + ( xn − yn )en =
= ( x1 − y1 , x2 − y2 ,..., xn − yn )
Итак, при вычитании векторов их координаты вычитаются.
Пример 1. Рассмотрим пятимерное пространство R 5 , в котором базисом является набор векторов e1 , e2 , e3 , e4 , e5 . Найдем координаты векторов e2
и x = 3e1 − e3 + 2e4 в указанном базисе.
Разложение вектора e2 по базису имеет вид
46
e2 = 0 ⋅ e1 + 1 ⋅ e2 + 0 ⋅ e3 + 0 ⋅ e4 + 0 ⋅ e5 ,
отсюда координаты вектора e2 будут (0,1,0,0,0) .
Разложение вектора x по базису имеет вид
x = 3 ⋅ e1 + 0 ⋅ e2 − 1 ⋅ e3 + 2 ⋅ e4 + 0 ⋅ e5 ,
следовательно, координаты вектора x будут (3,0,−1,2,0) .
Пример 2. Даны координаты векторов x и y в некотором базисе
x = (2,−1,3,5) , y = (− 1,4,0,−2 ) . Найти координаты вектора 2 x − 3 y .
Используя правила умножения вектора на число и вычитания векторов,
получаем
2 x − 3 y = 2(2,−1,3,5) − 3(− 1,4,0,−2 ) = (7,−14,6,16) .
Пример 3. Даны векторы a = e1 + e2 + e3 , b = 2e2 + 3e3 , c = e2 + 5e3 , где
e1 , e2 , e3 – базис линейного пространства R .
1. Доказать, что векторы a , b и c образуют базис.
2. Найти координаты вектора d = 2e1 − e2 + e3 в базисе a , b , c .
Отметим, что размерность пространства R равна трем, так как именно
три вектора e1 , e2 , e3 образуют базис. Следовательно, для того чтобы векторы a , b , c образовывали базис, достаточно, чтобы они были линейно независимыми. Проверим это.
Составим линейную комбинацию векторов a , b , c :
α1a + α 2 b + α 3c = θ .
Запишем полученное выражение в координатной форме в базисе e1 , e2 ,
e3 :
⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
⎛ 1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
α 1 ⎜ 1⎟ + α 2 ⎜ 2 ⎟ + α 3 ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ,
⎜ 5⎟ ⎜ 0⎟
⎜ 3⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
и перейдем к системе
α1 = 0,
⎧
⎪
⎨ α1 + 2α 2 + α 3 = 0,
⎪α1 + 3α 2 + 5α 3 = 0.
⎩
Полученная система, является однородной.
Как известно, однородная система имеет единственное решение, при47
чем нулевое, тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Вычислим определитель нашей системы:
1 0 0
1 2 1 = 7 ≠ 0.
1 3 5
Следовательно,
система
имеет
только
нулевое
решение
α1 = α 2 = α 3 = 0 . Это означает, что векторы a , b , c являются линейно независимыми и образуют базис.
Найдем координаты вектора d = 2e1 − e2 + e3 в базисе a , b , c . Как известно, любой вектор единственным образом раскладывается по векторам базиса, т.е.
d = x1a + x2 b + x3c .
Запишем полученное выражение в координатной форме в базисе e1 , e2 ,
e3 :
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
⎛1⎞
⎛2⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
x
x
x
+
+
=
−
1
1
2
1
2
3
⎜1⎟ ,
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 5⎟
⎜ 3⎟
⎜1⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
и перейдем к системе
x1 = 2,
⎧
⎪
⎨ x1 + 2 x2 + x3 = −1,
⎪ x1 + 3x2 + 5 x3 = 1.
⎩
Найдем решение этой системы, подставив x1 = 2 во второе и третье
уравнения системы:
⎧ 2 x2 + x3 = −3,
⎨
⎩3x2 + 5 x3 = −1.
Отсюда x2 = −2 , x3 = 1 . Следовательно, координаты вектора d в базисе a , b , c будут (2,−2,1) и разложение примет вид d = 2a − 2b + c .
48
4.5. Переход к новому базису
В линейном пространстве базис определяется неоднозначно. Пусть
{e1 , e2 ,..., en } – некоторый базис в n -мерном пространстве, будем называть его
старым базисом, а {e1 ' , e2 ' ,..., en '} – другой (новый) базис. Разложим векторы
нового базиса по векторам старого базиса:
⎧ e1 ' = p11e1 + p21e2 + ... + pn1en ,
⎪e ' = p e + p e + ... + p e ,
n2 n
12 1
22 2
⎪ 2
⎨
⎪ ..............................................
⎪⎩en ' = p1n e1 + p2 n e2 + ... + pnn en .
(4.4)
Компоненты pij , i = 1,2,..., n ; j = 1,2,..., n можно записать в виде квадратной матрицы порядка n :
⎛ p11
⎜
⎜ p21
P=⎜
M
⎜⎜
⎝ p n1
p12
p22
M
pn 2
K p1n ⎞
⎟
K p2 n ⎟
.
O M ⎟
⎟
K pnn ⎟⎠
Матрица P называется матрицей перехода от старого базиса к новому.
Столбцы матрицы – это координатные столбцы векторов e1 ' , e2 ' ,..., en ' в
базисе e1 , e2 ,..., en . Так как векторы e1 ' , e2 ' ,..., en ' линейно независимы, то
столбцы матрицы P будут также линейно независимыми. Следовательно,
определитель матрицы P не равен нулю ( det P ≠ 0 ) и матрица является невырожденной.
Можно показать, что любая невырожденная матрица может служить
матрицей перехода к новому базису. [2, гл.6, §1, с.196]
Пример. Пусть i , j – единичные векторы, направленные по осям прямоугольной декартовой системы координат. Повернем оси координат на угол
α против часовой стрелки, и пусть i ' , j ' – новые базисные векторы (рис.3).
Разложим векторы нового базиса по векторам старого базиса, получим
⎧ i ' = cos α ⋅ i + sin α ⋅ j,
⎨
⎩ j ' = − sin α ⋅ i + cos α ⋅ j.
49
Y
Y′
X′
j'
α j i'
0
α
i
X
Рис. 3. Поворот системы координат на угол α
Выпишем матрицу перехода
⎛ cos α
P = ⎜⎜
⎝ sin α
− sin α ⎞
⎟.
cos α ⎟⎠
Отметим, что матрица перехода является невырожденной, так как
det P =
cosα
sin α
− sin α
= 1.
cos α
4.6. Преобразование координат векторов при переходе
к новому базису
Найдем связь между координатами вектора в разных базисах. Будем
считать, что связь между базисами известна, т.е. задана матрица перехода P .
Разложим вектор x по старому и новому базисам соответственно:
x = α1e1 + α 2 e2 + ... + α n en ,
x = α1 ' e1 '+α 2 ' e2 '+... + α n ' en ' .
Подставив соотношения (4.4) в последнее выражение, получим
50
x = α1 ' ( p11e1 + p21e2 + ... + pn1en ) +
+ α 2 ' ( p12 e1 + p22 e2 + ... + pn 2 en ) +
+ .................................................. +
+ α n ' ( p1n e1 + p2 n e2 + ... + pnn en ) =
= (α1 ' p11 + α 2 ' p12 + ... + α n ' p1n )e1 +
+ (α1 ' p21 + α 2 ' p22 + ... + α n ' p2 n )e2 +
+ ................................................... +
+ (α1 ' pn1 + α 2 ' pn 2 + ... + α n ' pnn )en .
Так как координаты вектора x в старом базисе определяются единственным образом, то получим
⎧ α1 = α1 ' p11 + α 2 ' p12 + ... + α n ' p1n ,
⎪α = α ' p + α ' p + ... + α ' p ,
n
1
21
2
22
2n
⎪ 2
⎨
⎪ ...................................................
⎪⎩α n = α1 ' pn1 + α 2 ' pn 2 + ... + α n ' pnn .
Эти формулы связывают координаты вектора в старом базисе с координатами вектора в новом базисе. Запишем их в матричной форме:
⎛ α1 ⎞
⎛ α1 ' ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
α
2
⎜ ⎟
⎜α2 ' ⎟
=
P
⋅
⎜ M ⎟
⎜ M ⎟.
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
α
⎝ n⎠
⎝αn ' ⎠
Отсюда, так как матрица перехода невырожденная, будем иметь
51
(4.5)
⎛ α1 ' ⎞
⎛ α1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜α2 ' ⎟
−1 ⎜ α 2 ⎟
⎜ M ⎟ = P ⋅⎜ M ⎟.
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
'
α
n
⎝ ⎠
⎝αn ⎠
(4.6)
Пример. Задан вектор x = e1 − 2e2 . Осуществлен переход к новому базису e1 ' = e1 , e2 ' = e1 + e2 . Найти координаты вектора x в новом базисе.
Сначала определим матрицу перехода:
⎛ 1 1⎞
P = ⎜⎜
⎟⎟ .
0
1
⎝
⎠
Координаты вектора x в старом базисе имеют следующие значения:
⎛ α1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝α 2 ⎠ ⎝ − 2 ⎠
Разложим вектор x по новому базису:
x = α1 ' e1 '+α 2 ' e2 ' .
Координаты вектора x в новом базисе находятся по формуле
−1
⎛ α1 ' ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝ α 2 ' ⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝ − 2 ⎠
Обратная матрица к матрице перехода легко вычисляется:
⎛ 1 − 1⎞
P −1 = ⎜⎜
⎟⎟ .
0
1
⎝
⎠
Следовательно,
⎛ α1 ' ⎞ ⎛ 1 − 1⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ,.
α
'
0
1
2
⎝ ⎠ ⎝
⎠⎝ − 2 ⎠ ⎝ − 2 ⎠
Получили разложение вектора x в новом базисе: x = 3e1 '−2e2 ' .
52
Лекция 5
Евклидово пространство
5.1. Определение евклидова пространства
Рассмотрим линейное пространство R . Наряду с имеющимися в этом
пространстве операциями (сложение векторов и умножение вектора на число) введем еще одну операцию следующим образом. Каждой паре векторов
x , y этого пространства поставим в соответствие число, обозначаемое
(x, y ) , так, что для любых x , y , z ∈ R и любого действительного числа λ выполняются следующие аксиомы:
I. ( x , y ) = ( y , x ) ;
II. ( x + y , z ) = ( x , z ) + ( y , z ) ;
III. (λx , y ) = λ ( x , y ) ;
IV. ( x , x ) ≥ 0 , причем равенство имеет место только в том случае, когда
x будет нулевым вектором.
Введенная операция называется скалярным умножением векторов, а
число ( x, y ) - скалярным произведением.
Скалярное произведение ( x, x ) называется скалярным квадратом вектора x и обозначается x 2 , т.е. ( x , x ) = x 2 .
Заметим, что если хотя бы один из сомножителей скалярного произведения нулевой, то скалярное произведение равно нулю.
Действительно,
(θ , y ) = (0 ⋅ x , y ) = 0 ⋅ (x , y ) = 0 .
Определение. Евклидовым пространством E называется линейное
пространство, в котором задана операция скалярного умножения векторов.
Если n -мерное линейное пространство – евклидово, то будем называть
его евклидовым n -мерным пространством E n , а базис линейного простран53
ства – базисом евклидова пространства.
Пример 1. Пусть R 3 – пространство свободных векторов. В аналитической геометрии для векторов определена операция скалярного умножения,
которая удовлетворяет аксиомам I ... IV. Следовательно, пространство R 3 с
обычной операцией скалярного умножения векторов является евклидовым
пространством.
Пример 2. Рассмотрим линейное пространство всех матриц размера
n × 1 . Каждой паре матриц
⎛ x1 ⎞
⎛ y1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ x2 ⎟
⎜ y2 ⎟
X = ⎜ ⎟, Y = ⎜ ⎟
M
M
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ xn ⎠
⎝ yn ⎠
поставим в соответствие число
(X, Y ) = X
T
n
Y = ∑ xi yi .
(5.1)
i =1
Формула (5.1) задает скалярное произведение элементов X и Y , так
как выполнены аксиомы I...IV. Следовательно, рассматриваемое пространство матриц с введенной операцией скалярного умножения есть евклидово
пространство.
Пример 3. Легко убедиться, что линейное пространство вещественных
матриц размеров 1 × n также является евклидовым, если скалярное произведение введено по формуле
n
(X, Y ) = XY T = ∑ xi yi , где
X = ( x1
i =1
x2 K xn ) , Y = ( y1
y2 K yn ) .
Пример 4. Евклидовым будет пространство функций, непрерывных на
отрезке [a, b] , с заданным в нем скалярным произведением
b
(x , y ) = ∫ x( s ) y ( s )ds
a
54
Отметим, что в любом конечномерном линейном пространстве можно
ввести скалярное произведение.
5.2. Норма вектора
Определение. Нормой (длиной) вектора x евклидова пространства называется арифметическое значение квадратного корня из скалярного квадрата вектора x . Норму вектора x будем обозначать x .
Таким образом,
x = x 2 или x =
(x , x ) .
Свойства нормы
1º. x = 0 тогда и только тогда, когда x = θ ;
2º. λx = λ ⋅ x , где λ – вещественное число;
3º. ( x , y ) ≤ x ⋅ y (неравенство Коши6-Буняковского7);
4º. x + y ≤ x + y (неравенство треугольника).
В справедливости формул 1º и 2º легко убедиться самостоятельно, опираясь на определение скалярного произведения.
Докажем свойство 3º. Если хотя бы один из векторов нулевой, то свойство 3º очевидно. Пусть x и y – произвольные ненулевые векторы евклидова пространства, а λ – любое вещественное число. В силу аксиомы IV имеем
6
КОШИ Огюстен Луи (1789-1867) – французский математик, член Парижской академии наук,
Петербургской академии наук. Родился в Париже. Работы Коши относятся к различным областям
математики. Всего же он написал и опубликовал свыше 800 работ по арифметике и теории чисел,
алгебре, математическому анализу, дифференциальным уравнениям, теоретической и небесной
механике, математической физике и т.д. Быстрота, с которой он переходил от одного предмета к
другому, отчасти дала ему возможность проложить в математике множество новых путей.
7
БУНЯКОВСКИЙ Виктор Яковлевич (1804-1889) – русский математик, член Петербургской академии наук. Родился в Баре. Работал преимущественно над теорией чисел и теорией вероятностей
с ее приложениями; ему принадлежат также работы, посвященные вопросам математического
анализа, геометрии и алгебры.
55
(λx − y )2 ≥ 0
(5.2)
или, учитывая аксиомы I...III,
λ2 x 2 − 2λ ( x , y ) + y 2 ≥ 0 .
Так как λ – произвольное вещественное число, а левая часть последнего неравенства есть квадратный трехчлен относительно λ , то это неравенство справедливо только тогда, когда дискриминант квадратного трехчлена не
положителен, т.е.
b 2 − 4ac ≤ 0 , где a = x 2 , b = 2( x , y ) , c = y 2 ,
4( x , y ) − 4 x 2 y 2 ≤ 0 ,
2
(x , y )2 ≤ x 2 y 2 .
Так как обе части неравенства неотрицательные, то
(x , y )2
≤ x 2 y 2 или ( x , y ) ≤ x ⋅ y .
Замечание. В формуле 3º равенство достигается тогда и только тогда,
когда векторы x и y линейно зависимы.
Действительно, пусть векторы x и y линейно зависимы, тогда y = λx
и
( x , y ) = ( x , λx ) = λ ⋅ ( x , x ) = λ ⋅
(x , y ) =
x
2
=λ⋅ x ⋅ x = y ⋅ x ,
x ⋅ y
(5.3)
Пусть имеет место равенство (5.3). Предположим, что векторы x и y
линейно независимы. Тогда λx − y ≠ 0 при любом λ ≠ 0 . При этом в соотношении (5.2), а следовательно, и 3º имеет место строгое неравенство, что противоречит условию (5.3). Следовательно, векторы x и y линейно зависимы.
Для доказательства свойства 4º рассмотрим равенства
56
x + y = ( x + y , x + y ) = ( x , x ) + ( y , y ) + 2( x , y ) = x + y + 2 ( x , y )
2
2
и
(x
+ y
)2 =
2
2
2
x + y +2 x ⋅ y .
Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского в виде
(x , y ) ≤
x ⋅ y .
Следовательно,
x + y ≤ x + y +2 x ⋅ y =( x + y
2
2
2
)2 или
2
x+y
≤(x + y
)2 .
Извлекая квадратный корень, окончательно получим
x+y ≤ x + y .
Отметим, что неравенства Коши-Буняковского и треугольника для евклидовых пространств из примеров 2 и 3 имеют соответственно вид
n
n
∑ xi y i ≤
∑ xi ⋅
i =1
i =1
2
n
∑ yi
2
n
∑ ( xi + y i ) 2 ≤
и
i =1
i =1
n
∑ xi +
2
i =1
n
∑ yi
2
.
i =1
В случае евклидова пространства из примера 4 соответственно получаем
b
b
a
a
∫ x( s) y ( s )ds ≤ ∫ x
b
∫ (x( s) + y ( s))
a
2
ds ≤
2
( s )ds ⋅
b
∫y
2
( s )ds ;
a
b
∫x
a
57
2
( s )ds +
b
∫y
a
2
( s )ds .
5.3. Угол между векторами
Из неравенства Коши-Буняковского следует, что для ненулевых векторов
(x , y )
x ⋅ y
Значит, число
(x , y )
x ⋅ y
≤ 1 или − 1 ≤
(x , y )
x ⋅ y
≤ 1.
можно рассматривать как косинус некоторого
угла ϕ .
Угол ϕ , для которого cos ϕ =
(x , y )
x ⋅ y
( 0 ≤ ϕ < 2π ), называется углом
между векторами x и y .
Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Очевидно, что нулевой вектор ортогонален любому другому вектору.
Из определения следует, что для того, чтобы ненулевые векторы x и y
были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы cos ϕ = 0 , т.е. угол
3π
π
ϕ = или ϕ =
.
2
2
Для того, чтобы ненулевые векторы x и y были линейно зависимы,
т.е. y = λx , необходимо и достаточно, чтобы cos ϕ = ±1 , т.е. ϕ = 0 при λ > 0
или ϕ = π при λ < 0 . Действительно, если в соотношении 3º имеет место равенство, т.е. ( x , y ) = x ⋅ y , то cos ϕ = ±1 , откуда ϕ = 0 или ϕ = π . Но, как
отмечалось ранее, в соотношении 3º равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы.
Заметим, что введенное понятие угла между векторами в линейном
пространстве R 3 совпадает с понятием угла, рассматриваемым в векторной
алгебре для свободных векторов (пример 1). Ортогональность векторов в
этом пространстве означает их перпендикулярность.
58
Лекция 6
Координатное представление скалярного произведения
6.1. Матрица Грама
Полезным инструментом исследования свойств некоторого набора
элементов {f1 , f 2 ,..., f k } в евклидовом пространстве является матрица Грама8.
Определение. В евклидовом пространстве E матрицей Грама системы элементов {f1 , f 2 ,..., f k } называется матрица
⎛ ( f1 , f1 )
⎜
⎜ ( f 2 , f1 )
Γf = ⎜
M
⎜
⎜(f , f )
⎝ k 1
( f1 , f 2 )
( f2 , f2 )
M
( fk , f2 )
K
K
O
K
( f1 , f k )⎞⎟
( f 2 , f k )⎟ .
M ⎟
⎟
( f k , f k )⎟⎠
Заметим, что эта матрица симметрическая.
Пусть в n -мерном евклидовом пространстве E n задан базис
{g1 , g 2 ,..., g n }. Рассмотрим в E n скалярное произведение векторов x и y ,
предварительно записав из разложения по базису
n
x = ∑ ξi g i , y =
i =1
n
∑η j g j .
j =1
Согласно определению скалярного произведения получаем
n n
n
⎛n
⎞ n n
⎜
⎟
(x , y ) = ⎜ ∑ ξi gi , ∑η j g j ⎟ = ∑ ∑ ξiη j (gi , g j ) = ∑ ∑ γ ijξiη j ,
i =1 j =1
j =1
⎝ i =1
⎠ i =1 j = 1
где γ ij = (g i , g j ) , i = 1,2,..., n; j = 1,2,..., n – компоненты матрицы Γg , называемой базисной матрицей Грама.
Теперь координатное представление скалярного произведения может
быть записано так:
8
ГРАМ Иорген (1850-1916) – датский математик. Выявил связь между разложениями в ряды из
ортогональных функций и проблемой наилучшего квадратичного приближения.
59
(x , y ) = X g T Γg Yg = (ξ ξ 2
⎛ (g1 , g1 )
⎜
⎜ (g 2 , g1 )
K ξn )⋅ ⎜
M
⎜⎜
⎝ (g n , g1 )
(g1 , g 2 )
(g 2 , g 2 )
M
(g n , g 2 )
K
K
O
K
(g1 , g n ) ⎞⎛ η1 ⎞
⎟⎜ ⎟
( g 2 , g n ) ⎟⎜η 2 ⎟
,
M ⎟⎜ M ⎟
⎟⎜ ⎟
(g n , g n )⎟⎠⎜⎝ηn ⎟⎠
где X g и Yg – координатные столбцы векторов x и y в базисе {g1 , g 2 ,..., g n }.
6.2. Свойства матрицы Грама
Теорема. Определитель любой базисной матрицы Грама сохраняет
знак при переходе к другому базису (позже будет показано, что det Γg > 0 ).
Доказательство. Сначала покажем, что при переходе от базиса
{g1 , g 2 ,..., g n } к новому базису {g1 ' , g 2 ' ,..., g n '} с матрицей перехода P для матрицы Грама имеет место равенство
Γg ' = P T Γg P .
По определению матрицы перехода от одного базиса к другому в линейном пространстве имеют место соотношения
gi ' =
n
∑ p ji g j ,
i = 1,2 , ...,n .
j =1
Тогда
n
⎛n
⎞ n n
⎜
γ kl ' = (g k ' , g l ' ) = ⎜ ∑ pik gi , ∑ p jl g j ⎟⎟ = ∑ ∑ pik p jl (gi , g j ) =
j =1
⎝ i =1
⎠ i =1 j =1
n
n
n
n
n
i =1
j =1
i =1
= ∑ ∑ pik p jlγ ij = ∑ pik ∑ γ ij p jl = ∑ pki
i =1 j =1
T
T
n
∑ γ ij p jl
j =1
для всех k = 1,2,..., n; l = 1,2,..., n , где pki – это элемент матрицы P T .
Таким образом, в матричной форме запишем
Γg ' = P T Γ g P .
Согласно свойствам определителя
det Γg ' = det P T det Γg det P ,
60
2
det Γg ' = det Γg (detP ) .
(6.1)
Из формулы (6.1), учитывая невырожденность матрицы перехода
( detP ≠ 0 ), видно, что при изменении базиса определитель базисной матрица
Грама сохраняет знак, или, другими словами, величина sgn(det Γ) является
инвариантной при переходе к новому базису.
Рассмотрим определитель матрицы Грама для системы линейно независимых векторов.
Теорема. Система элементов {f1 , f 2 ,..., f k } линейно независима тогда
и только тогда, когда определитель матрицы Грама этой системы отличен
от нуля.
Доказательство. Покажем, что если элементы {f1 , f 2 ,..., f k } линейно
зависимы, то определитель их матрицы Грама равен нулю. Действительно,
пусть существуют не равные нулю одновременно числа λ1 , λ2 ,..., λk такие,
что
λ1 f1 + λ2 f 2 + ... + λk f k = θ .
Умножим это равенство скалярно на элемент f i , где i – любой номер
от 1 до k . Тогда получим систему линейных алгебраических уравнений:
λ1 ( f i , f1 ) + λ2 ( f i , f 2 ) + ... + λk ( f i , f k ) = 0 , i = 1,2,..., k .
Данная система представляет собой однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно λ1 , λ2 ,..., λk , матрица системы – это
матрица Грама системы {f1 , f 2 ,..., f k }, которая будет иметь равный нулю определитель, так как есть ненулевые решения.
С другой стороны, если элементы {f1 , f 2 ,..., f k } линейно независимы, то
система должна иметь только нулевое решение, что выполняется, когда определитель матрицы Грама – определитель системы – будет не равен нулю.
Теорема. Координатный столбец любого элемента x евклидова пространства E n в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } может быть представлен в виде:
−1
X = Γg B ,
(6.2)
⎛ ξ1 ⎞
⎛ ( x , g1 ) ⎞
⎟
⎜ ⎟
⎜
⎜ ξ2 ⎟
⎜ ( x , g 2 )⎟
где X = ⎜ ⎟ – координаты вектора x в базисе {g1 , g 2 ,..., g n }, B = ⎜
,
M
M ⎟
⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜
(
)
ξ
x
,
g
n
n
⎝ ⎠
⎝
⎠
Γg – базисная матрица Грама.
61
Доказательство. Выпишем разложение вектора x в базисе
{g1 , g 2 ,..., g n }:
n
x = ξ1 g1 + ξ 2 g 2 + ... + ξ n g n = ∑ ξi g i .
i =1
Умножив скалярно обе части равенства на g k , где k – любой номер от
1 до n , получим значения элементов матрицы B
n
n
n
i =1
i =1
i =1
(x , g k ) = ∑ ξi (g i , g k ) = ∑ ξiγ ik = ∑ ξiγ ki , k = 1,2,..., n ,
B = Γg X ,
Γg X = B ,
Поскольку матрица Грама является невырожденной, получим
−1
X = Γg B .
62
Лекция 7
Ортонормированный базис
7.1. Ортогональная система векторов
Определение. Система векторов x1 , x2 ,..., xn ( n ≥ 2 ) называется линейно независимой, если векторы, входящие в эту систему, являются линейно
независимыми.
Определение. Система векторов x1 , x2 ,..., xn ( n ≥ 2 ) называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны, т.е. ( xi , x j ) = 0 при i ≠ j .
Теорема. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.
Доказательство. Пусть x1 , x2 ,..., xn – ортогональная система ненулевых
векторов. Предположим, что она линейно зависима. Тогда существуют числа
α1 , α 2 ,..., α n , среди которых хоты бы одно отлично от нуля, такие, что
α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn = θ .
(7.1)
Пусть для определенности α i ≠ 0 . Тогда равенство (7.1) умножим скалярно на вектор xi
(xi , α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn ) = 0
и получим
α1 ( xi , x1 ) + α 2 ( xi , x2 ) + ... + α i ( xi , xi ) + ... + α n ( xi , xn ) = 0 .
Так как ( xi , x j ) = 0 при i ≠ j , то
α i ( xi , x i ) = 0 .
Откуда xi = 0 , т.е. xi – нулевой вектор, что противоречит условию
теоремы.
Определение. Вектор x называется нормированным, или единичным,
если его норма равна единице, т.е. x = 1 .
Если вектор x – ненулевой вектор, то
x0 =
63
x
,
x
(7.2)
x* = −
x
x
(7.3)
есть нормированные векторы.
Нахождение для данного вектора нормированного вектора по формулам (7.2) или (7.3) называется нормированием данного вектора, а множитель
μ=±
1
x
называется нормирующим множителем.
Определение. Система векторов x1 , x2 ,..., xn ( n ≥ 2 ) называется ортонормированной, если она ортогональна, и каждый вектор является нормированным, т.е. если
⎧0, i ≠ j,
(xi , x j ) = δ ij = ⎨
где i, j = 1,2,..., n .
⎩1, i = j,
Очевидно, что если x1 , x2 ,..., xn – ортогональная система ненулевых
векторов, то система, полученная из данной нормированием каждого вектора, также является ортогональной и, кроме того, будет еще и ортонормированной.
Определение. Базис евклидова n -мерного пространства называется
ортонормированным, если базисные векторы {e1 , e2 ,..., en } составляют ортонормированную систему.
Теорема. Во всяком евклидовом n -мерном пространстве ( n ≥ 2 ) существует ортонормированный базис.
Доказательство. Пусть {g1 , g 2 ,..., g n } – некоторый базис данного евклидова пространства. Составим ортогональную систему векторов
{f1 , f 2 ,..., f n } следующим образом.
Положим f1 = g1 . В качестве f 2 возьмем вектор f 2 = g 2 + λ1( 2 ) f1 , где
λ1( 2 ) – число. При любом λ1( 2 ) вектор f 2 – ненулевой, так как векторы g1 и g 2
линейно независимы. Подберем λ1( 2 ) так, чтобы ( f1 , f 2 ) = 0 , т.е.
(f , g
1
2
)
+ λ1( 2 ) f1 = 0 .
Отсюда
( f1 , g 2 ) + λ1( 2) ( f1 , f1 ) = 0 ,
( f1 , g 2 ) + λ1( 2)
Так как f1 ≠ 0 , то
64
f1
2
= 0.
λ1( 2 ) = −
( f1 , g 2 ) .
f1
2
В качестве f 3 возьмем вектор
f 3 = g 3 + λ1( 3) f1 + λ(23) f 2 ,
(7.4)
где λ1( 3) , λ(23) - числа. При любых λ1( 3) и λ(23) вектор f 3 – ненулевой (в этом
легко убедиться, подставив в равенство (7.4) вместо f1 и f 2 их выражения
через g1 и g 2 ). Подберем λ1( 3) и λ(23) так, чтобы ( f1 , f 3 ) = 0 и ( f 2 , f 3 ) = 0 , т.е.
(f , g
(f , g
)
f )= 0.
1
3
+ λ1( 3) f1 + λ(23) f 2 = 0 ,
2
3
+ λ1( 3) f1 + λ(23)
2
Следовательно,
( f1 , g3 ) + λ1(3) ( f1 , f1 ) + λ(23) ( f1 , f 2 ) = 0 ,
( f 2 , g 3 ) + λ1(3) ( f 2 , f1 ) + λ(23) ( f 2 , f 2 ) = 0 .
Так как ( f1 , f 2 ) = ( f 2 , f1 ) = 0 , а ( f1 , f1 ) = f1
λ(i 3) = −
2
≠ 0 , ( f2 , f2 ) = f2
2
≠ 0 , то
( f i , g3 ) , i = 1,2 .
fi
2
Пусть найдены векторы {f1 , f 2 ,..., f k −1 }. В качестве f k возьмем вектор
f k = g k + λ1( k ) f1 + λ(2k ) f 2 + ... + λ(kk−)1 f k −1 ,
)
где λ(k
i , i = 1,2,..., k − 1 – числа. Как и ранее, легко убедиться в том, что при
)
(k )
любых λ(k
i , i = 1,2,..., k − 1 вектор f k – ненулевой. Находя λi , i = 1,2,..., k − 1
из условий
( f k , f i ) = 0 , i = 1,2,..., k − 1 ,
получим
λi( k ) = −
( f i , g k ) , i = 1,2,..., k − 1.
fi
2
Это построение будем продолжать до тех пор, пока не найдем послед65
ний (ненулевой) вектор
f n = g n + ξ1 f1 + ξ 2 f 2 + ... + ξ n −1 f n −1 ,
ортогональный ко всем предыдущим векторам f1 , f 2 ,..., f n −1 . В силу предыдущей теоремы векторы f1 , f 2 ,..., f n линейно независимы и, значит, образуют
(ортогональный) базис.
Итак, построена ортогональная система ненулевых векторов
{f1 , f 2 ,..., f n }. Пронормировав каждый вектор этой системы, получим ортонормированную систему векторов
⎧⎪ f1 f 2
f n ⎫⎪
,
,...,
⎬,
⎨
f
f
f
1
2
n
⎪⎭
⎪⎩
которая является ортонормированным базисом.
Процесс построения по данному базису ортонормированного базиса
называется ортогонализацией данного базиса, а в процессе доказательства
теоремы получен метод ортогонализации базиса (метод Грама-Шмидта9).
Процесс ортогонализации Грама-Шмидта может быть применен к любой, в том числе к линейно зависимой, системе элементов евклидова пространства. Если ортогонализируемая система линейно зависима, то на некотором шаге мы получим нулевой элемент, после отбрасывания которого
можно продолжить процесс ортогонализации.
Пример. Рассмотрим евклидово пространство E матриц-строк, где
m = 1 , n = 3 . В качестве базиса возьмем линейно независимые векторы
g1 = (1 − 1 1) , g 2 = (2 − 3 4 ) , g 3 = (2 2 6) (показать это самостоятельно).
Построим по данному базису ортонормированный базис. Положим
f1 = g1 , f 2 = g 2 + λ1( 2 ) f1 ,
λ1( 2 ) = −
( f 1 , g 2 ) = − 2 + 3 + 4 = −3 .
f1
2
( 3)
2
Следовательно,
9
ШМИДТ Эрхард (1876-1959) - немецкий математик. Родился в Дерпте, с 1917 профессор Берлинского университета. В 1946-1958 первый директор Института математики академии наук ГДР.
Основные его труды по теории функций, интегральным уравнениям, функциональному анализу.
Определил и геометрически изучил гильбертово пространство в полной аналогии с геометрией
Евклида. Занимался квадратичными формами. Известен оператор Гильберта-Шмидта.
66
f 2 = (− 1 0 1) .
Далее, находим
f 3 = g 3 + λ1( 3) f1 + λ(23) f 2 ,
где
λ1( 3) = −
Таким образом,
( f1 , g3 ) = −2 , λ(3) = − ( f 2 , g3 ) = −2 .
f1
2
2
f2
2
f 3 = (2 4 2 ) .
Нормируя векторы f1 , f 2 , f 3 , получим ортонормированный базис
⎛ 1
e1 = ⎜
⎝ 3
−
1
3
1 ⎞
⎛ 1
⎟, e2 = ⎜ −
2
3⎠
⎝
0
1 ⎞
⎛ 1
⎟, e3 = ⎜
2⎠
⎝ 6
2
6
1 ⎞
⎟.
6⎠
7.2. Выражение скалярного произведения через координаты
в ортонормированном базисе
Пусть в n -мерном евклидовом пространстве задан некоторый ортонормированный базис {e1 , e2 ,..., en }.
Рассмотрим в этом пространстве векторы x и y , координаты которых
в данном базисе соответственно равны α1 , α 2 ,..., α n ; β1 , β 2 ,..., β n , т.е.
x = α1e1 + α 2 e2 + ... + α n en ,
y = β1e1 + β 2 e2 + ... + β n en .
Вычислим скалярное произведение этих векторов:
(x , y ) = (α1e1 + α 2 e2 + ... + α n en , β1e1 + β 2 e2 + ... + β n en ) .
Так как {e1 , e2 ,..., en } – ортонормированный базис, то
⎧0, i ≠ j,
где i, j = 1,2,..., n .
⎩1, i = j.
(ei , e j ) = δ ij = ⎨
Следовательно,
n
(x , y ) = α1β1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = ∑ α i β i .
i =1
Таким образом, если векторы заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.
67
Используя полученную формулу, можно записать формулу для нормы
вектора.
Действительно, так как x = ( x , x ) , то
x = α12 + α 22 + ... + α n2 .
Нормирующий множитель для вектора x имеет вид
μ=±
1
α + α + ... + α
2
1
2
2
2
n
,
где α1 , α 2 ,..., α n – координаты вектора x в ортонормированном базисе.
Заметим, что в ортонормированном базисе базисная матрица Грама является единичной, т.е. Γe = E , следовательно, det Γe = 1. Приняв во внимание,
2
2
что det Γg = det Γe (det P ) (см. формулу (6.1)), получим det Γg = (det P ) > 0 ,
т.е. в любом базисе определитель матрицы Грама является положительным
( det Γg > 0 ).
Кроме того, в ортонормированном базисе {e1 , e2 ,..., en } евклидова проn
странства E n для любого элемента x = ξ1e1 + ξ 2 e2 + ... + ξ n en = ∑ ξi ei этого
i =1
пространства имеют места равенства
ξ i = ( x , ei ), i = 1,2,..., n .
Действительно, так как в ортонормированном базисе {e1 , e2 ,..., en } матрица Грама единична, то обратная к ней матрица Γe −1 также является единичной, а следовательно, из формулы (6.2) получаем
⎛ ξ1 ⎞
⎛ ( x , e1 ) ⎞ ⎛ ( x , e1 ) ⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎟ ⎜
(
x
,
e
)
(
x
,
e
)
2
2
⎜ ξ2 ⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
,
=
X = ⎜ ⎟ = Γe−1 ⋅ ⎜
M
M ⎟ ⎜ M ⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟ ⎜⎜
ξ
(
x
,
e
)
(
x
,
e
)
n
n
n
⎝ ⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠
отсюда ξi = ( x , ei ), i = 1,2,..., n .
7.3. Ортогональные матрицы в евклидовом пространстве
Определение. Матрица Q , удовлетворяющая соотношению QT = Q −1 ,
называется ортогональной.
68
Основные свойства ортогональных матриц
1º. Q T Q = QQ T = E .
Оба эти равенства говорят о том, что у ортогональной матрицы столбцы (строки), если их рассматривать как элементы пространства матрицстолбцов (строк), сами образуют ортонормированную систему ([1, гл.5, §3, с.
158]).
2º. det Q = ±1 .
Ортогональная матрица, для которой det Q = 1 , называется собственной.
3º. Любая ортогональная матрица не вырождена (следует из свойства
2).
4º. Произведение двух ортогональных матриц – ортогональная матрица.
Действительно, пусть A и B – две ортогональные матрицы, тогда
(AB)T AB = BT A T AB = BT EB = BT B = E .
5º. Если Q – ортогональная матрица, то и QT также ортогональная матрица.
Покажем это.
( )
T
QQ T = E , или Q T Q T = E ,
следовательно,
(Q ) = (Q )
T −1
T T
,
что означает, что QT – ортогональная матрица.
6º. Если Q – ортогональная матрица, то и Q −1 также ортогональная
матрица.
Так как Q – ортогональная матрица, то QT = Q −1 . Следовательно,
(Q ) = (Q ) = (Q )
T −1
−1 T
−1 −1
.
Теорема. Ортогональные матрицы, и только они, в n -мерном евклидовом пространстве E n могут служить матрицами перехода от одного
ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису.
69
Доказательство. Рассмотрим в E n следующие два различных ортонормированных базиса: {e1 , e2 ,..., en } – старый базис, а {e1 ' , e2 ' ,..., en '} – новый
базис. Пусть P является матрицей перехода от старого базиса к новому. Поскольку в этих базисах матрица Грама единичная, то из соотношения
Γe ' = P T Γe P
следует равенство
E = P T EP,
E = P T P.
Поскольку матрица перехода P невырожденная, то окончательно имеем
P T = P −1 .
То есть матрица перехода P является ортогональной.
С другой стороны, покажем, что если P – ортогональная матрица, то
она служит матрицей перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису. Действительно, так как P – ортогональная матрица, то она является невырожденной и
P T = P −1 .
В силу ортонормированности базиса {e1 , e2 ,..., en } Γe = E , тогда
Γe ' = P T Γe P = E ,
следовательно, новый базис {e1 ' , e2 ' ,..., en '} является ортонормированным.
Приведем в качестве примеров следующие ортогональные матрицы:
⎛ 0,6 − 0,8 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ,
0
,
8
−
0
,
6
⎝
⎠
⎛ cos α
⎜⎜
⎝ sin α
− sin α ⎞
⎟,
cosα ⎠⎟
⎛ 1 0 0⎞
⎜
⎟
⎜ 0 − 1 0⎟ .
⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠
Проверьте, будут ли данные матрицы ортогональны, опираясь на определение ортогональной матрицы.
70
Лекция 8
Линейные преобразования
8.1. Основные определения
Если каждому элементу x линейного пространства R поставлен в соответствие элемент y этого же пространства R , то говорят, что в линейном
пространстве R задано преобразование A (оператор A ):
A
x ⎯⎯
⎯→ y ,
которое обозначается следующим образом:
y = A (x) = A x .
Элемент y будем называть образом элемента (вектора) x .
В том случае, если соответствие устанавливается между элементами
различных пространств, т.е. элементы x и y принадлежат различным пространствам, то говорят, что задано отображение. Преобразование является
частным случаем отображения.
Преобразование A называется линейным, если для любых элементов
x , y ∈ R и любого вещественного числа выполняются следующие условия:
1.
A ( x + y) = A
2.
A (αx ) = αA
x +A y,
x.
8.2. Матрица линейного преобразования
Пусть {e1 , e2 ,..., en } – базис линейного n -мерного пространства R . Для
любого элемента x ∈ R и его образа y = A x справедливы равенства
x = x1e1 + x2 e2 + ... + xn en ,
y = y1e1 + y2 e2 + ... + yn en .
Очевидно,
y = A x = A ( x1e1 + x2 e2 + ... + xn en ) = x1A e1 + x2 A e2 + ... + xn A en .
71
Векторы
Поэтому
A
ei ∈ R n также можно разложить по базису
A ei = a1i e1 + a2i e2 + ... + ani en , i = 1,2,..., n .
y = A x = x1 ( a11e1 + a21e2 + ... + an1en ) +
+ x2 ( a12 e1 + a22 e2 + ... + an 2 en ) +
+ ............................................... +
+ xn ( a1n e1 + a2 n e2 + ... + ann en ) =
= ( a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn )e1 +
+ ( a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn )e2 +
+ ............................................... +
+ ( an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn )en .
Из единственности разложения вектора y по базису следует
⎧ y1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ,
⎪ y = a x + a x + ... + a x ,
21 1
22 2
2n n
⎪ 2
⎨
M
⎪
⎪⎩ y n = an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn .
Формулы (8.1) выражают координаты образа
самого вектора x .
Если рассмотреть матрицу
⎛ a11 a12
⎜
⎜ a21 a22
A=⎜
M
M
⎜⎜
⎝ a n1 a n 2
K a1n ⎞
⎟
K a2 n ⎟
O M ⎟
⎟
K ann ⎟⎠
и матрицы координат векторов x и y
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ x2 ⎟
X=⎜ ⎟
M
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ xn ⎠
и
⎛ y1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ y2 ⎟
Y =⎜ ⎟,
M
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ yn ⎠
то формулы (8.1) в матричной форме имеют вид
Y = A⋅X.
72
(8.1)
A
x через координаты
Таким образом, в координатной форме линейное преобразование вектора осуществляется умножением некоторой квадратной матрицы на матрицу его координат.
Матрица A называется матрицей линейного преобразования. Отметим,
что i -й столбец матрицы A составлен из координат вектора A ei .
Таким образом, линейному преобразованию A в заданном базисе
{e1 , e2 ,..., en } линейного n -мерного пространства R n соответствует матрица
A . Очевидно и обратное, а именно: каждой квадратной матрице A в линейном пространстве R n соответствует линейное преобразование A .
Если определитель матрицы A равен нулю, то соответствующее ей линейное преобразование A называется вырожденным, если определитель
матрицы A отличен от нуля, то линейное преобразование A называется невырожденным.
8.3. Примеры линейных преобразований
1. Поворот векторов в плоскости на угол α против часовой стрелки
вокруг начала координат.
Как уже отмечалось (лекция 4), множество векторов, лежащих в одной
плоскости, можно рассматривать как двумерное линейное пространство, поставив каждому вектору, выходящему из начала координат, пару чисел ( x, y ) .
Рассмотрим теперь преобразование A , которое все векторы плоскости поворачивает вокруг начала координат на угол α против часовой стрелки.
Очевидно, что это преобразование является линейным, так как в данном случае безразличен порядок следующих действий: сложить два вектора и
повернуть результирующий или повернуть два вектора и сложить результирующие. Аналогично безразлично, в каком порядке производить умножение
вектора на число и поворот: умножить вектор на число и повернуть его или
повернуть вектор и умножить на число (рис. 4).
Выберем в качестве базиса единичные, взаимно перпендикулярные
векторы i = (1,0) и j = (0,1) . Построим матрицу преобразования A в этом базисе. Так как
⎧ A i = cos α ⋅ i + sin α ⋅ j,
⎨
⎩A j = − sin α ⋅ i + cos α ⋅ j,
то
⎛ cos α
A = ⎜⎜
⎝ sin α
− sin α ⎞
⎟.
cos α ⎟⎠
Преобразование является невырожденным, действительно
73
det A =
cos α
sin α
− sin α
=1 ≠ 0.
cos α
Y
λA a
Aa
λa
a
α
0
X
Рис. 4. Поворот вектора в плоскости
2. Ортогональная проекция векторов трехмерного пространства на
плоскость XOY .
Преобразование является линейным, так как, по свойствам проекций,
проекция суммы есть сумма проекций, проекция произведения на число есть
произведение числа на проекцию вектора (рис. 5).
Z
a
k
j
i
A
a
Y
X
Рис. 5. Проекция векторов трехмерного пространства на плоскость
Найдем матрицу этого преобразования в базисе i ,
a = {x, y , z}, a A a = {x ' , y ' , z '}, то
⎧ x ' = x,
⎪ y' = y,
⎨
⎪⎩ z ' = 0.
74
j , k . Если
Следовательно,
⎛ 1 0 0⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 0 1 0 ⎟ , det A = 0 .
⎜ 0 0 0⎟
⎝
⎠
Преобразование является вырожденным, так как его матрица вырожденная.
Матрицу линейного преобразования можно также построить на основе
преобразования векторов базиса. Учитывая, что
⎧ i'= A i,
⎪
где ⎨ j ' = A j,
⎪⎩k ' = A k ,
⎧ i'= i,
⎪ j ' = j,
⎨
⎪⎩k ' = θ ,
получаем ту же матрицу линейного преобразования
⎛ 1 0 0⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 0 1 0⎟ .
⎜ 0 0 0⎟
⎝
⎠
3. Симметричное отражение вектора в плоскости относительно оси
OX .
Преобразование, очевидно, является линейным, так как при симметричном отображении относительно оси OX сумма векторов преобразуется в
сумму симметрично отраженных векторов. Аналогично свойство линейности
проявляется при умножении вектора на число (рис. 6).
Y
a
0
X
Aa
Рис. 6. Симметричное отражение вектора в плоскости
75
A
Найдем матрицу этого преобразования в базисе i , j . Если a = {x, y}, a
a = {x ' , y '}, то
⎧ x ' = x,
⎨
⎩ y ' = − y.
⎛1 0 ⎞
A = ⎜⎜
⎟⎟ , det A = −1 ≠ 0 .
⎝ 0 − 1⎠
Так как матрица A невырожденная, преобразование
вырожденным.
A
является не-
Используя второй способ, получаем
⎧ i'= A i = i,
⎨
⎩ j ' = A j = − j,
откуда
⎛1 0 ⎞
A = ⎜⎜
⎟⎟ .
⎝ 0 − 1⎠
4. Тождественное преобразование в линейном n -мерном пространстве.
Преобразование
A
называется тождественным, если
A
x = x.
Следовательно, формулы, связывающие координаты
x = ( x1 , x2 ,..., xn ) и образа y = A x = ( y1 , y 2 ,..., y n ) , имеют вид
⎧ y1 = x1 ,
⎪y = x ,
2
⎪ 2
⎨
⎪ M
⎪⎩ yn = xn .
Получаем матрицу линейного преобразования
76
элемента
⎛ 1 0 K 0⎞
⎜
⎟
⎜ 0 1 K 0⎟
A=⎜
= E.
M M O M⎟
⎜⎜
⎟⎟
0
0
1
K
⎝
⎠
Соответствующее этой матрице линейное преобразование обозначается
E
.
5. Преобразование подобия в линейном n -мерном пространстве.
Преобразование подобия задается следующим образом:
A
x = λx , где λ ≠ 0 .
Следовательно, формулы, связывающие координаты
x = ( x1 , x2 ,..., xn ) и образа y = A x = ( y1 , y 2 ,..., y n ) , имеют вид
⎧ y1
⎪y
⎪ 2
⎨
⎪
⎪⎩ yn
элемента
= λx1 ,
= λx2 ,
M
= λxn .
Матрица линейного преобразования принимает диагональный вид
⎛λ 0 K 0 ⎞
⎜
⎟
K
0
0
λ
⎜
⎟
A=⎜
.
M M O M⎟
⎜⎜
⎟⎟
0
0
K
λ
⎝
⎠
Отметим, что тождественное преобразование является частным случаем преобразования подобия при λ = 1 .
Пример 1. Рассмотрим упругое тело, испытывающее деформацию, и
r
выделим в нем элемент объема. Назовем вектором напряжений σ n силу, дей-
r
ΔF
ствующую на единицу площади поверхности, то есть σ n = lim
(плотΔQ → 0 ΔQ
r
ность результирующих сил на площади ΔQ ). Вектор напряжения не обязательно перпендикулярен к элементу поверхности и, в общем случае, содер77
жит нормальную и касательную составляющие.
Покажем, что для любого элемента поверхности с заданным направлением нормали можно определить вектор напряжения, если в этой точке известны напряжения на площадках с тремя некомпланарными направлениями
нормалей, направленными, например, вдоль осей прямоугольной системы
координат.
Выберем в качестве элемента объема малый тетраэдр, три грани которого df x , df y , df z лежат в координатных плоскостях, а четвертая df имеет
r
r
r
r
внешнюю нормаль n = (cos α , cos β , cos γ ) . Обозначим через σ x , σ y , σ z векторы напряжения на площадках с нормалями, направленными вдоль осей координат X , Y , Z .
Запишем условия равновесия бесконечно малого тетраэдра, вырезанного в твердом теле:
r
r
r
r
σ n = σ x cos α + σ y cos β + σ z cos γ ,
известное из курса сопротивления материалов и теории упругости как равенr r
r
ство Коши, где σ x , σ y , σ z – векторы напряжения на гранях тетраэдра с норr r r
малями i , j , k соответственно (рис. 7).
Z
r
n
r
σx
r
σn
r
σy
0
Y
r
σz
X
Рис. 7. К определению тензора напряжений
r
r
r r r
r
Разложим векторы σ x , σ y , σ z по векторам базиса i , j , k :
r
r
r
r
⎧σ x = σ xx i + σ xy j + σ xz k ,
r
r
r
⎪r
⎨σ y = σ yx ir + σ yy rj + σ yz rk ,
⎪ σr z = σ zx i + σ zy j + σ zz k .
⎩
Коэффициенты в этих разложениях можно записать в виде матрицы
78
⎛ σ xx σ xy
⎜
S = ⎜ σ yx σ yy
⎜ σ zx σ zy
⎝
σ xz ⎞
⎟
σ yz ⎟ .
σ zz ⎟⎠
Представим условие равновесия в компонентной форме
⎧σ n1 = σ xx cos α + σ yx cos β + σ zx cos γ ,
⎪ 2
⎨σ n = σ xy cos α + σ yy cos β + σ zy cos γ ,
⎪ σ n3 = σ xz cos α + σ yz cos β + σ zz cos γ .
⎩
(8.2)
Эти формулы можно записать в матричной форме
⎛ σ n1 ⎞
⎜ 2⎟
⎜ σ n ⎟ = ST
⎜σ 3 ⎟
⎝ n⎠
⎛ cos α ⎞
⎜
⎟
⋅ ⎜ cos β ⎟ .
⎜ cos γ ⎟
⎝
⎠
(8.3)
Смысл элементов матрицы ST заключается в следующем: коэффициентам с одинаковыми индексами соответствуют нормальные напряжения, а с
различными индексами – касательные напряжения. Совокупность всех девяти коэффициентов представляет собой тензор напряжений, который удобно
записывать в виде матрицы S – тензора напряжений.
Кроме того, известен закон парности касательных напряжений, указывающий на симметричность тензора, то есть σ ij = σ ji (i, j = x, y , z ) . Поэтому
матрица S является симметричной.
Таким образом, можно заключить, что формулы (8.2) и (8.3) каждому
r
направлению нормали n = (cos α , cos β , cos γ ) ставят в соответствие с помощью
линейного преобразования, определяемого матрицей S , определенный векr
тор напряжений σ n .
Построенная матрица напряжений S осуществляет преобразование
компонент вектора нормали в компоненты вектора напряжений. Данное преобразование является линейным.
Пример 2. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a евклидова
пространства свободных векторов, где a = 3i + 4 j + 5k . Требуется найти:
а) матрицу линейного преобразования A в ортонормированном
базисе i , j, k ;
б) координаты вектора u = A x в базисе i , j, k , если x = 3 j − k .
79
Матрица A имеет столбцы, являющиеся координатами образов базисных векторов, т.е. векторов A i , A j , A k
Найдем эти векторы:
A i = (i , a ) a , A
Так
как
базис
j = ( j, a )a ,
ортонормированный,
A
то
k = ( k , a )a .
для
любого
вектора
a = a1i + a 2 j + a3k :
(i , a ) = a1 , ( j, a ) = a2 , ( k , a ) = a3 .
В рассматриваемом случае a = 3i + 4 j + 5k , поэтому
(i , a ) = 3 , ( j , a ) = 4 , ( k , a ) = 5
и, следовательно,
A i = 3(3i + 4 j + 5k ) = {9,12,15},
A
j = 4(3i + 4 j + 5k ) = {12,16,20},
A
k = 5(3i + 4 j + 5k ) = {15,20,25}.
Матрица A данного линейного преобразования принимает вид
⎛ 9 12 15 ⎞
⎟
⎜
A = ⎜12 16 20 ⎟ .
⎜ 15 20 25 ⎟
⎠
⎝
Найдем вектор u = A x , где x = 3 j − k , обозначим координаты
u = (u1 , u2 , u3 ) и найдем их из соотношения:
⎛ u1 ⎞
⎛ x1 ⎞ ⎛ 9 12 15 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 21⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ u2 ⎟ = A ⋅ ⎜ x2 ⎟ = ⎜12 16 20 ⎟ ⋅ ⎜ 3 ⎟ = ⎜ 28 ⎟ .
⎜ u3 ⎟
⎜ x3 ⎟ ⎜ 15 20 25 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ 35 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Таким образом, вектор u = 21i + 18 j + 35k .
Пример 3. Задано линейное преобразование B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов, где a = 3i + 4 j + 5k , [ x , a ] – векторное
произведение вектора x на вектор a . Требуется найти:
а) матрицу линейного преобразования B в ортонормированном
базисе i , j, k ;
80
б) координаты вектора v = B x в базисе i , j, k , если x = 3 j − k .
Сначала найдем координаты образов базисных векторов i = (1,0,0) ,
j = (0,1,0) , k = (0,0,1) :
i j k
B i = [i , a ] = 1
0 0 = −5 j + 4 k ,
3 4
B
5
i j k
j = [ j, a ] = 0 1 0 = 5i − 3k ,
3 4
i
B k = [k , a ] = 0
5
j k
0 1 = −4i + 3 j .
3 4
5
Следовательно, матрица линейного преобразования имеет вид
5 − 4⎞
⎛ 0
⎟
⎜
B = ⎜−5 0
3 ⎟.
⎜ 4 −3 0 ⎟
⎠
⎝
Найдем координаты вектора v = B x при x = 3 j − k , обозначим
v = ( v1 , v2 , v3 ) и найдем координаты вектора из соотношения
5 − 4 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 19 ⎞
⎛ x1 ⎞ ⎛ 0
⎛ v1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3 ⎟ ⋅ ⎜ 3 ⎟ = ⎜ − 3⎟ .
⎜ v2 ⎟ = B ⋅ ⎜ x 2 ⎟ = ⎜ − 5 0
⎜ x 3 ⎟ ⎜ 4 − 3 0 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 9 ⎟
⎜ v3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎝ ⎠
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Таким образом, вектор v = 19i − 3 j − 9k .
8.4. Операции над линейными преобразованиями
Пусть заданы два линейных преобразования A и B в линейном пространстве R и соответствующие им матрицы A и B в некотором базисе.
1. Сложение линейных преобразований
Суммой преобразований A и B называется такое преобразование
D = A + B , которое определяется равенством
81
Dx=A
x + B x для любых x ∈ R .
Ясно, что преобразованию D = A + B будет соответствовать сумма
матриц A и B . Кроме того, понятно, что рассмотренное преобразование D
будет линейным, так как линейны преобразования A и B .
2. Умножение линейного преобразования на число
Произведением линейного преобразования A на вещественное число
λ называется такое преобразование D = λA , которое определяется равенством
D x = λA x
для любых x ∈ R .
Ясно, что преобразованию D = λA будет соответствовать матрица
λA . Кроме того, понятно, что рассмотренное преобразование D будет линейным, если A – линейное преобразование. Действительно,
D (x + y ) = λA (x + y ) = λ (A
x + A y ) = λ A x + λA y = D x + D y ;
D (αx ) = λA (αx ) = αλ (A x ) = αD x .
3. Умножение линейных преобразований
Произведением линейных преобразований A и B называется такое
преобразование D = AB , которое определяется равенством
D x = A ( B x ) для любых
x∈R.
Таким образом, произведение линейных преобразований представляет
собой последовательное применение преобразований: сначала к элементу x
применяется преобразование B , а затем к вектору B x применяется преобразование A . В итоге получается суперпозиция преобразований. Преобразование D = AB является линейным (см., например, [3, §5, с.45]).
Как известно, каждому линейному преобразованию в заданном базисе
соответствует некоторая матрица. Пусть D матрица линейного преобразования D , X – координатный столбец произвольного вектора x ∈ R , Z – координатный столбец вектора z = D x . В матричной форме равенство z = D x
имеет вид
Z = D ⋅ X = A ⋅ (B ⋅ X) = (A ⋅ B) ⋅ X .
82
Так как равенство справедливо для всех векторов x ∈ R , матрица D
равна произведению матриц AB . То есть произведению преобразований A
и B соответствует произведение матриц A и B .
Пример 1. Пусть преобразованию A соответствует поворот вектора
на угол ϕ , а преобразованию B – на угол ψ . Произведение преобразований
AB представляет собой поворот вектора на угол ϕ +ψ . В этом случае
AB = BA , т.е. произведение преобразований перестановочно.
Пример 2. Пусть A – преобразование симметрии относительно оси
OX в плоскости (см. пример 3). Тогда
AA
=A 2 =E ,
где E – тождественное преобразование. Действительно, матрица преобразования в ортонормированном базисе i , j имеет вид
⎛1 0 ⎞
A = ⎜⎜
⎟⎟ ,
⎝ 0 − 1⎠
поэтому
⎛ 1 0 ⎞⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞
A 2 = ⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ = E .
−
−
0
1
0
1
0
1
⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠
4. Обратное преобразование
Пусть A – невырожденное линейное преобразование с матрицей A в
некотором базисе {e1 , e2 ,..., en }. Справедливо следующее утверждение.
Для любого невырожденного преобразования
линейное преобразование A -1 , что
AA -1 = A -1A = E
Линейное преобразование
A
существует такое
.
A -1 называется обратным к A
.
Отметим, что в силу невырожденности линейного преобразования
83
A
– существует обратная матрица A−1 . Эта матрица A−1 является матрицей линейного преобразования A -1 в базисе {e1 , e2 ,..., en } (см., например, [1, гл. 3,
§2, с. 110]).
Заметим, что если A и B – невырожденные линейные преобразования, то таким же будет и их произведение, причем
(AB )
−1
= B −1A −1 .
Для матриц A и B этих преобразований соответственно имеет место
формула (AB)−1 = B−1A−1 ([1, гл. 3, §2, с. 111]).
8.5. Изменение матрицы линейного преобразования
при переходе к новому базису
Теорема. Пусть {e1 , e2 ,..., en } и {e1 ' , e2 ' ,..., en '} – два базиса линейного
пространства R n , A – линейное преобразование, которому соответствуют матрицы A и A' в данных базисах. Тогда справедлива формула
A' = P −1AP ,
где P – матрица перехода от старого базиса к новому.
Доказательство. Разложим произвольный вектор x ∈ R n по векторам
старого и нового базисов:
x = x1e1 + x2 e2 + ... + xn en ,
x = x1 ' e1 '+ x2 ' e2 '+... + xn ' en ' .
В матричной форме связь между координатами вектора в старом базисе
и в новом можно записать следующим образом:
84
⎛ x1 ⎞
⎛ x1 ' ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ x2 ⎟
⎜ x2 ' ⎟
=
P
⋅
⎜ M ⎟
⎜ M ⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
x
n
⎝ ⎠
⎝ xn ' ⎠
или
⎛ x1 ' ⎞
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ x2 ' ⎟
−1 ⎜ x 2 ⎟
⎜ M ⎟ = P ⋅⎜ M ⎟.
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
x
'
n
⎝ ⎠
⎝ xn ⎠
Обозначим
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ x2 ⎟
X =⎜ ⎟,
M
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ xn ⎠
⎛ x1 ' ⎞
⎜ ⎟
⎜ x2 ' ⎟
X' = ⎜ ⎟ ,
M
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ xn ' ⎠
тогда
X = PX ' или X' = P −1X .
Аналогично, разложим вектор y = A x ∈ R n по векторам старого и нового базисов:
y = y1e1 + y2 e2 + ... + yn en ,
y = y1 ' e1 '+ y2 ' e2 '+... + yn ' en ' .
В матричной форме связь между координатами вектора в старом базисе
и в новом можно записать в следующем виде:
Y = PY ' или Y' = P −1Y ,
где
⎛ y1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ y2 ⎟
Y = ⎜ ⎟,
M
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ yn ⎠
⎛ y1 ' ⎞
⎜ ⎟
⎜ y2 ' ⎟
Y' = ⎜ ⎟ .
M
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ yn ' ⎠
С другой стороны,
Y = AX или Y' = A' X' .
85
Тогда
Y' = P −1Y = P −1AX = P −1APX' .
Отсюда следует
A' = P −1AP .
Таким образом, для того, чтобы иметь матрицу линейного преобразования в любом базисе, достаточно знать эту матрицу в некотором базисе и
соответствующую матрицу перехода к новому базису.
Следствие. Определитель матрицы линейного преобразования не зависит от выбора базиса.
(
)
Действительно, detA' = detP −1 ⋅ (detA ) ⋅ (detP ) = detA .
⎛17 6 ⎞
Пример. Задана матрица A = ⎜⎜
⎟⎟ в базисе e1 ,e2 . Найти матрицу A'
⎝ 6 8⎠
в базисе из векторов e1 ' = e1 − 2e2 , e2 ' = 2e1 + e2 .
Матрица перехода и обратная к ней имеют вид
⎛ 1 2⎞
P = ⎜⎜
⎟⎟ ,
−
2
1
⎝
⎠
1 ⎛ 1 − 2⎞
P −1 = ⎜⎜
⎟.
5 ⎝ 2 1 ⎟⎠
Тогда
1 ⎛ 1 − 2 ⎞ ⎛17 6 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 1 − 2 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 5 0 ⎞
A' = P −1AP = ⎜⎜
⎟.
⎟⋅⎜
⎟⋅⎜
⎟⋅⎜
⎟=⎜
⎟=⎜
5 ⎝ 2 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 8 ⎠⎟ ⎝⎜ − 2 1 ⎠⎟ ⎝⎜ 8 4 ⎠⎟ ⎝⎜ − 2 1 ⎠⎟ ⎜⎝ 0 20 ⎟⎠
86
Лекция 9
Собственные векторы и собственные значения
линейных преобразований
9.1. Определения и свойства собственных векторов и
собственных значений
Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного
преобразования A , если существует такое число λ , что
A
x = λx .
(9.1)
Число λ называется собственным значением линейного преобразования A , соответствующим вектору x .
Свойства собственных векторов и собственных значений
1. Если x – собственный вектор линейного преобразования A с собственным значением λ , то вектор αx также будет собственным вектором с
тем же самым собственным значением λ . Другими словами, собственные
векторы определяются с точностью до постоянного множителя.
Доказательство. Пусть выполняется условие (9.1), тогда
A (αx ) = αA (x ) = αλx = λ (αx ) .
2. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение.
Доказательство. Предположим, что вектору x соответствуют два собственных значения λ1 и λ2 , тогда
A
x = λ1 x ,
A
x = λ2 x .
Вычитая из первого равенства второе, получим
θ = (λ1 − λ2 ) x .
Так как x по определению ненулевой вектор, то λ1 = λ2 .
87
3. Сумма линейно независимых собственных векторов, отвечающих
одному собственному значению, будет собственным вектором с тем же самым собственным значением.
Доказательство. Пусть x1 и x2 – собственные векторы линейного преобразования A , причем обоим соответствует одно собственное значение λ .
Тогда
A
x1 = λx1 и
A (x1 + x2 ) = A
A
x2 = λx2 ;
x1 + A x2 = λ ( x1 + x2 ) .
В силу линейной независимости векторов x1 и x2 , ( x1 + x2 ) ≠ θ и учитывая последнее равенство, получаем, что вектор ( x1 + x2 ) является собственным вектором линейного преобразования с собственным значением λ .
4. Число линейно независимых собственных векторов линейного преобразования не превышает размерности пространства.
5. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
Доказательство. Данное свойство доказывается по индукции. Мы ограничимся проверкой свойства для двух собственных векторов, принадлежащих различным собственным значениям. Полное доказательство можно
найти в [2, гл. 4, §4, с. 217].
Пусть x1 и x2 – собственные векторы линейного преобразования с соответствующими различными собственными значениями λ1 и λ2 . Предположим противное, т.е. что x1 и x2 линейно зависимы, тогда существует нетривиальная комбинация
α1 x1 + α 2 x2 = θ .
Пусть для определенности α1 ≠ 0 , тогда
x1 = −
α2
x2 = Cx2 , C ≠ 0 .
α1
Вектор x2 является собственным с собственным значением λ2 , но, с
другой стороны, так как x1 = Cx2 , то вектор x1 является собственным с собственным значением λ2 и, следовательно, λ1 = λ2 , что противоречит условию.
88
9.2. Нахождение собственных векторов и собственных значений
линейного преобразования
Рассмотрим n -мерное линейное пространство, в нем некоторый базис и
линейное преобразование A , действующее в этом пространстве. Пусть матрица этого преобразования в данном базисе имеет вид
⎛ a11 a12
⎜
⎜ a21 a22
A=⎜
M
M
⎜⎜
⎝ a n1 a n 2
K a1n ⎞
⎟
K a2 n ⎟
.
O M ⎟
⎟
K ann ⎟⎠
Поставим задачу нахождения собственных векторов и собственных
значений линейного преобразования A . Пусть искомый собственный вектор x имеет координаты ( x1 , x2 ,..., xn ) , а соответствующее ему собственное
значение равно λ . По определению собственного вектора A x = λx , или в
матричной форме
A ⋅ X = λ ⋅ X или (A − λE) ⋅ X = 0 ,
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
x2
где X = ⎜⎜ ⎟⎟ – неизвестная пока ненулевая матрица-столбец, а λ – неизвестM
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ xn ⎠
ное число. Последнее матричное уравнение эквивалентно системе линейных
уравнений:
⎧ ( a11 − λ ) x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0,
⎪a x + ( a − λ ) x + ... + a x = 0,
22
2
2n n
⎪ 21 1
⎨
M
⎪
⎪⎩an1 x1 + an 2 x2 + ... + ( ann − λ ) xn = 0.
(9.2)
Получена система линейных однородных уравнений для определения
собственных значений λ и собственных векторов x . Эта система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, то
есть.
det (A − λE ) = 0 .
89
(9.3)
Последнее условие означает, что собственное значение λ удовлетворяет уравнению (9.3).
Левая часть уравнения (9.3) представляет собой многочлен ϕ n (λ ) n -ой
степени относительно λ . Этот многочлен называется характеристическим
многочленом матрицы A , а уравнение (9.3), записанное в виде
ϕ n (λ ) = 0 ,
(9.3′)
называется характеристическим, или вековым уравнением.
Уравнения (9.3) и (9.3′) позволяют определить собственные значения
преобразования A (или матрицы A ), а по собственным значениям λ далее
становится возможным нахождение собственных векторов из системы (9.2).
Согласно основной теореме алгебры, многочлен n -ой степени имеет
ровно n корней вещественных или комплексных с учетом их кратности. Нас
будут интересовать только вещественные корни характеристического уравнения. Может случиться так, что характеристическое уравнение не имеет ни
одного вещественного корня и, следовательно, линейное преобразование не
имеет вещественных собственных значений и собственных векторов. Таким
образом, не у всякого линейного преобразования есть собственные векторы
(см. ниже пример 3).
Покажем, что характеристический многочлен не зависит от выбора базиса.
Пусть
ϕ n (λ ) = det (A − λE )
– характеристическое уравнение для матрицы A в старом базисе, а P – матрица перехода от старого базиса к новому. Тогда в новом базисе характеристический многочлен примет вид
ϕ~n (λ ) = det (P −1AP − λP −1EP ) = det P −1 det (A − λE ) det P = det (A − λE ) .
Пример 1. Тождественное преобразование E x = x . Согласно формуле
(9.1) любой ненулевой вектор линейного пространства является собственным
для преобразования E , причем соответствующее собственное значение равно единице ( E x = x = 1 ⋅ x ).
Пример 2. Проектирование векторов трехмерного пространства на
плоскость (рис. 5). В этом случае любой вектор плоскости будет
90
собственным вектором с собственным значением λ = 1 , а любой вектор, перпендикулярный плоскости, – собственным с λ = 0 .
Пример 3. Преобразование поворотом вектора в плоскости на угол
ϕ ≠ kπ (рис. 4). В этом случае линейное преобразование вообще не имеет
собственных значений (подробнее см. в [1, гл. 3, §7, с. 128]).
Пример 4. Преобразование D дифференцирования в пространстве
дифференцируемых функций. Очевидно, что это преобразование линейно.
Укажем для каждого числа λ собственный вектор этого преобразования.
Так как
D (eλt ) = λ (eλt ) ,
то e λt – собственный вектор, соответствующий собственному значению λ .
Пример 5. Найти собственные векторы и собственные значения линейного преобразования, заданного в некотором базисе двумерного линейного
пространства, матрицей
⎛1 2⎞
A = ⎜⎜
⎟⎟ .
5
4
⎝
⎠
Сначала составим характеристическое уравнение
1− λ
2
5
4−λ
= 0,
и решим его:
(1 − λ )( 4 − λ ) − 10 = 0 ,
λ2 − 5λ − 6 = 0 ,
λ1 = −1, λ2 = 6 .
Запишем систему линейных уравнений для определения собственных
векторов x = ( x1 , x2 ) , отвечающих найденным собственным значениям:
91
⎧ (1 − λ ) x1 + 2 x2 = 0,
⎨
⎩5 x1 + ( 4 − λ ) x2 = 0.
Пусть λ1 = −1 , тогда система принимает вид
⎧2 x1 + 2 x2 = 0,
⎨
⎩ 5 x1 + 5 x2 = 0.
Откуда x1 = − x2 .
Полагая, например, x2 = −1 , получим x1 = 1 . Следовательно, в качестве
собственного вектора, отвечающего собственному значению λ1 = −1 , можно
взять x1 = (1,−1) (или любой вектор коллинеарный x1 ).
Аналогично в случае λ2 = 6 система принимает вид
⎧− 5 x1 + 2 x2 = 0,
⎨
⎩ 5 x1 − 2 x2 = 0.
x1 =
2
x2 .
5
Полагая, например, x2 = 5 , получим x1 = 2 . Следовательно, в качестве
собственного вектора, отвечающего собственному значению λ2 = 6 , можно
взять вектор x2 = ( 2, 5) (или любой вектор коллинеарный x2 ).
Проверим, выполнено ли для найденных собственных значений и собственных векторов равенство
A
x = λx .
Для этого запишем его в матричной форме:
AX = λX .
Действительно,
⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ − 1⎞
⎛1⎞
AX1 = ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = −1 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = λ1X1 ,
⎝ 5 4 ⎠ ⎝ − 1⎠ ⎝ 1 ⎠
⎝ − 1⎠
92
⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 12 ⎞
⎛ 2⎞
AX 2 = ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = 6 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = λ2 X 2 .
⎝ 5 4 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 30 ⎠
⎝ 5⎠
Таким образом, собственные значения и собственные векторы найдены
верно.
Пример 6. Найти собственные векторы и собственные значения линейного преобразования, заданного в некотором базисе трехмерного линейного
пространства матрицей
⎛1 2 − 2 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜1 0 3 ⎟ .
⎜1 3 0 ⎟
⎝
⎠
Сначала составим характеристическое уравнение
1− λ
2
1
−λ
1
3
−2
3 = 0,
−λ
или
(1 − λ )(λ2 − 9) = 0 ,
решением которого будет
λ1 = 1, λ2 = 3, λ3 = −3.
Составим систему линейных уравнений для определения собственных
векторов x = ( x1 , x2 , x3 ) , отвечающих найденным собственным значениям:
⎧(1 − λ ) x1 + 2 x2 − 2 x3 = 0,
⎪ x − λx + 3x = 0,
1
2
3
⎨
⎪⎩ x1 + 3x2 − λx3 = 0.
Пусть λ1 = 1 , тогда система принимает вид
93
⎧ x2 − x3 = 0,
⎪ x1 − x2 + 3x3 = 0,
⎨
⎪⎩ x1 + 3x2 − x3 = 0.
Третье уравнение системы является следствием предыдущих, поэтому
⎧ x2 − x3 = 0,
⎨
⎩ x1 − x2 + 3x3 = 0.
Полагаем x3 = C , тогда x2 = C , x1 = −2C , где − ∞ < C < +∞ .
Пусть C = 1 , тогда x3 = 1 , x2 = 1, x1 = −2 . Следовательно, в качестве
собственного вектора, отвечающего собственному значению λ1 = 1 , можно
взять x1 = ( −2,1,1) (или любой вектор коллинеарный x1 ).
Пусть λ2 = 3 , тогда система принимает вид
⎧ − x1 + x2 − x3 = 0,
⎪ x1 − 3x2 + 3x3 = 0,
⎨
⎪⎩ x1 + 3x2 − 3x3 = 0.
Сложив второе и третье уравнения, найдем x1 = 0 , следовательно,
⎧ x2 − x3 = 0,
⎪
⎨− x2 + x3 = 0,
⎪⎩ x2 − x3 = 0.
x 2 − x3 = 0 .
Полагая x3 = C , получим x2 = C , где − ∞ < C < +∞ .
Пусть C = 1 , тогда x3 = 1 , x2 = 1 . Следовательно, в качестве собственного вектора, отвечающего собственному значению λ2 = 3 , можно взять
x2 = (0,1,1) (или любой вектор коллинеарный x2 ).
Пусть λ3 = −3 , тогда система принимает вид
94
⎧ 2 x1 + x2 − x3 = 0,
⎪ x1 + 3x2 + 3x3 = 0,
⎨
⎪⎩ x1 + 3x2 + 3x3 = 0.
Решив систему, например методом Гаусса, получим
7
6
x3 = C , x2 = − C , x1 = C , где − ∞ < C < +∞ .
5
5
Полагая C = 5 , получим x3 = 5 , x2 = −7 , x1 = 6 . Следовательно, в качестве собственного вектора, отвечающего собственному значению λ3 = −3 ,
можно взять x3 = (6,−7,5) (или любой вектор коллинеарный x3 ).
Проверим, выполнено ли для найденных собственных значений и собственных векторов равенство
A
x = λx .
Для этого запишем его в матричной форме:
AX = λX .
Действительно,
⎛1 2 − 2 ⎞ ⎛ − 2 ⎞ ⎛ − 2 ⎞
⎛ − 2⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
AX1 = ⎜1 0 3 ⎟ ⋅ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1 ⎟ = 1 ⋅ ⎜ 1 ⎟ = λ1X1 ;
⎜1 3 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟
⎜ 1 ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛1 2 − 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎛ 0⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
AX 2 = ⎜1 0 3 ⎟ ⋅ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 3 ⎟ = 3 ⋅ ⎜ 1 ⎟ = λ2 X 2 ;
⎜1⎟
⎜1 3 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 2 − 2 ⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎛ − 18 ⎞
⎛ 6 ⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜ ⎟
AX 3 = ⎜1 0 3 ⎟ ⋅ ⎜ − 7 ⎟ = ⎜ 21 ⎟ = −3 ⋅ ⎜ − 7 ⎟ = λ3X 3 .
⎜1 3 0 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ − 15 ⎟
⎜ 5 ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎠
⎝ ⎠
Видно, что собственные числа и собственные векторы найдены верно.
95
Лекция 10
Симметричные преобразования
10.1. Определение и свойства симметричного преобразования
Определение. Линейное преобразование называется симметричным,
если его матрица является симметричной в некотором ортонормированном
базисе евклидова пространства E n .
Напомним, что для симметрической матрицы справедливо равенство
A = AT .
Свойства симметричных преобразований отражают следующие четыре
теоремы.
Теорема 10.1. Для того, чтобы линейное преобразование A было
симметрическим, необходимо и достаточно, чтобы для любых векторов x
и y евклидова пространства E n выполнялось равенство
(A
x , y ) = (x , A y ).
(10.1)
Доказательство
Необходимость. Пусть A – симметричное преобразование, тогда для
него существует матрица A = A T в некотором ортонормированном базисе.
Покажем, что для такого преобразования выполнено условие (10.1).
В скалярном произведении перейдем от векторной записи к матричной
записи, учитывая, что
A
x = AX,
A
y = AY ,
где X и Y – матрицы-столбцы, составленные из координат векторов x и y в
ортонормированном базисе, причем AX и AY также будет матрицамистолбцами. Для записи скалярного произведения потребуются матрицыстроки в первых сомножителях.
Скалярное произведение в (10.1) принимает вид
(A
x , y ) = (AX ) ⋅ Y = (X ) ⋅ A T ⋅ Y = (X ) ⋅ AY = ( x , A y ) .
T
T
96
T
Достаточность. Пусть выполнено равенство (10.1) для любых векторов евклидова пространства E n . Тогда (10.1) должно выполняться в том числе и для векторов ортонормированного базиса ei , i = 1,2,..., n . На основании
свойств скалярного произведения
(A ei , e j ) = (ei , A e j ) = (A e j , ei ) ,
i, j = 1,2,..., n, i ≠ j .
(10.2)
Воспользуемся равенством
A ei = a1i e1 + a2i e2 + ... + ani en ,
i = 1,2,..., n ,
подставив которое в соотношение (10.2) получим a ji = aij , что говорит о том,
что матрица преобразования A является симметричной, т.е. само преобразование симметричное.
Теорема 10.2. Все собственные значения симметрического преобразования вещественные.
Доказательство. Проведем доказательство для случая n = 2 . Обозначим через A матрицу рассматриваемого симметричного преобразования в
каком-нибудь ортонормированном базисе в виде
⎛ a b⎞
A = ⎜⎜
⎟⎟ .
⎝b c⎠
Покажем, что в этом случае характеристическое уравнение, которое
будет квадратным, имеет неотрицательный дискриминант. Действительно,
a−λ
b
b
c−λ
= 0,
( a − λ )( c − λ ) − b 2 = 0 ,
λ2 − (a + c )λ + ac − b 2 = 0 ,
D = ( a + c ) 2 − 4ac + 4b 2 = ( a − c ) 2 + 4b 2 ≥ 0 .
97
Последнее выражение справедливо при любых значениях a, b, c . Так
как дискриминант неотрицателен, то корни будут действительными.
Доказанная теорема допускает следующую матричную формулировку:
если A – вещественная симметричная матрица, то все ее собственные значения вещественные.
Теорема 10.3. Собственные векторы, соответствующие различным
собственным значениям симметрического преобразования, ортогональны.
Доказательство. Пусть x1 и x2 – собственные векторы симметрического преобразования A , соответствующие различным собственным значениям λ1 ≠ λ2 , т.е.
A
x1 = λ1 x1 и
A
x2 = λ2 x2 .
(10.3)
Рассмотрим скалярное произведение
(A
x1 , x2 ) = ( x1 , A x2 ) .
На основании (10.3) имеем
(λ1 x1 , x2 ) = (x1 , λ2 x2 ) ,
или
λ1 ( x1 , x2 ) = λ2 ( x1 , x2 ) .
Таким образом,
(λ1 − λ2 )( x1 , x2 ) = 0 .
Так как λ1 ≠ λ2 , то
(x1 , x2 ) = 0 , т.е. x1 и x2 ортогональны.
Теорема 10.4. Симметричное преобразование в n -мерном евклидовом
пространстве E n имеет ровно n попарно ортогональных собственных векторов.
Доказательство. Если все собственные значения различны, то доказательство следует из предыдущей теоремы. Аналогичное утверждение имеет
место в случае кратных корней (без доказательства).
98
10.2. Диагональный вид матрицы линейного преобразования
Теорема. Для того чтобы матрица линейного преобразования в некотором базисе n -мерного линейного пространства была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы векторы базиса были собственными векторами этого преобразования.
Доказательство
Необходимость. Пусть матрица линейного преобразования в заданном
базисе ei , i = 1,2,..., n имеет диагональный вид
⎛ λ1 0
⎜
⎜ 0 λ2
A=⎜
M
M
⎜⎜
⎝0 0
0⎞
⎟
K 0⎟
.
O M ⎟
⎟
K λn ⎟⎠
K
По определению, столбцы этой матрицы представляют собой координаты векторов-образов A ei , i = 1,2,..., n в заданном базисе, значит можно
записать n равенств:
A e1 = λ1 ⋅ e1 + 0 ⋅ e2 + ... + 0 ⋅ en = λ1e1 ,
A e2 = 0 ⋅ e1 + λ2 ⋅ e2 + ... + 0 ⋅ en = λ2e2 ,
........................................................
A en = 0 ⋅ e1 + 0 ⋅ e2 + ... + λn ⋅ en = λn en .
Отсюда видно, что векторы базиса являются собственными векторами
преобразования A .
Достаточность. Пусть векторы базиса являются собственными векторами линейного преобразования A с соответствующими собственными
значениями, т.е.
A e1 = λ1e1 = λ1 ⋅ e1 + 0 ⋅ e2 + ... + 0 ⋅ en1 ,
A e2 = λ2e1 = 0 ⋅ e1 + λ2 ⋅ e2 + ... + 0 ⋅ en ,
........................................................
A en = λn en = 0 ⋅ e1 + 0 ⋅ e2 + ... + λn ⋅ en .
Отсюда видно, что матрица линейного преобразования в заданном базисе имеет вид
99
⎛ λ1 0
⎜
⎜ 0 λ2
A=⎜
M
M
⎜⎜
⎝0 0
0⎞
⎟
K 0⎟
,
O M ⎟
⎟
K λn ⎟⎠
K
т.е. является диагональной.
Доказанная теорема указывает на важность знания собственных векторов. Если в качестве базиса взять систему из собственных векторов преобразования, то в этом базисе матрица преобразования будет иметь вне главной
диагонали нули и, значит, будет иметь наиболее простой вид.
10.3. Диагональный вид матрицы симметричного
преобразования
Согласно теореме 10.4 симметричное преобразование в n -мерном евклидовом пространстве E n имеет ровно n попарно ортогональных собственных векторов. С другой стороны, система попарно ортогональных ненулевых
векторов является линейно независимой, значит, эти векторы можно принять
за векторы базиса и тогда в таком базисе матрица преобразования имеет диагональный вид. Таким образом, в качестве вывода можно сформулировать
следующую теорему.
Теорема. В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица симметрического преобразования имеет диагональный вид
⎛ λ1 0
⎜
⎜ 0 λ2
A=⎜
M
M
⎜⎜
⎝0 0
0⎞
⎟
K 0⎟
,
O M ⎟
⎟
K λn ⎠⎟
K
где λ1 , λ2 ,..., λn – собственные значения симметрического преобразования.
Ортонормированность в данном случае имеет место, так как любая ортогональная система может быть преобразована в ортонормированную и остаться при этом линейно независимой.
Геометрически эта теорема означает, что для симметричного преобразования существуют такие взаимно ортогональные направления, в которых
преобразование или «растягивает» ( λi > 1 ), или «сжимает» ( λi < 1 ) векторы
пространства.
100
Пример 1. Рассмотрим подробнее пример о векторе напряжений, вычисляемый по формуле
r
r
σn = S⋅n ,
r
где n – единичный вектор нормали, а S – тензор (матрица) напряжений
⎛ σ xx σ xy
⎜
S = ⎜ σ yx σ yy
⎜ σ zx σ zy
⎝
σ xz ⎞
⎟
σ yz ⎟ , σ ij = σ ji , i, j = x, y , z ,
σ zz ⎟⎠
которая является симметричной на основании закона парности касательных
напряжений. При переходе к новому базису, составленному из собственных
ортонормированных векторов, матрица напряжений принимает диагональный вид
0⎞
⎛σ1 0
⎜
⎟
S' = ⎜ 0 σ 2 0 ⎟ ,
⎜ 0 0 σ3 ⎟
⎝
⎠
где числа σ 1 , σ 2 , σ 3 – собственные значения преобразования S , называеr
мые главными напряжениями, соответствующие главным направлениям n1 ,
r r
n2 , n3 .
σ n1 = σ 1 ⋅ n1
n1
Рис. 8. Главные векторы и главные направления
r
Пусть вектор n1 – собственный вектор, отвечающий собственному знаr
r
r
r
чению σ 1 , то есть S ⋅ n1 = σ 1 ⋅ n1 , с другой стороны, σ n1 = S ⋅ n1 , тогда,
101
σ n1 = σ 1 ⋅ n1 .
Из последнего соотношения видно, что вектор напряжений σ n1 коллиr
неарен вектору нормали n1 . Следовательно, на соответствующей площадке
действует только нормальные напряжения и отсутствуют касательные напряжения.
Аналогичные рассуждения можно провести для собственных векторов
r
r
n2 и n3 , отвечающих собственным значениям σ 2 и σ 3 соответственно.
Таким образом, в каждой точке деформируемого тела определены три
взаимно перпендикулярные площадки, нормали которых являются ортонормированными собственными векторами преобразования S и на этих площадках действуют только нормальные напряжения (рис. 9).
r
r
σ 2n
σ 1n
r
n1
r
r n3
n2
r
σ 3n
Рис. 9. Напряженное состояние в точке деформируемого тела
Пример 2. Рассмотрим тензор напряжений в случае плоского напряженного состояния и найдем главные напряжения для этого состояния. В
этом случае матрица напряжений имеет второй порядок:
⎛ σ xx
S = ⎜⎜
⎝ σ xy
σ xy ⎞ ⎛ σ x τ ⎞
⎟=⎜
⎟.
σ yy ⎠⎟ ⎝⎜ τ σ y ⎟⎠
Главные напряжения для этого состояния будем искать известным образом:
det (S − λE ) =
σx −λ
τ
= (σ x − λ )(σ y − λ ) − τ 2 = 0 ,
τ
σy −λ
λ2 − (σ x + σ y ) ⋅ λ + σ x ⋅ σ y − τ 2 = 0 .
102
Решаем полученное квадратное уравнение и находим главные напряжения:
λ1,2 = σ 1,2 =
σx +σ y
2
2
⎛σx +σ y ⎞
2
± ⎜
⎟ + τ − σ x ⋅σ y .
⎝ 2 ⎠
Приводя подобные, окончательно получим формулу
σ 1,2 =
σx +σ y
2
2
⎛σ x −σ y ⎞
2
± ⎜
⎟ +τ .
⎝ 2 ⎠
Пример 3. Пусть A – линейное преобразование, действующее в
трехмерном евклидовом пространстве, имеет в ортонормированном базисе
e1 , e2 , e3 матрицу
⎛ 0 1 1⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 1 0 1⎟ .
⎜ 1 1 0⎟
⎝
⎠
Требуется указать ортонормированный базис пространства, в котором
матрица линейного преобразование A имеет диагональный вид, и привести
матрицу A к диагональному виду.
Найдем собственные значения и собственные векторы матрицы A в
базисе e1 , e2 , e3 . Для этого составим характеристическое уравнение
−λ
1
1
−λ
1
1
1
1 = λ3 − 3λ − 2 = 0
−λ
и решим его:
λ1 = λ2 = −1, λ3 = 2 .
Поскольку матрица A симметричная в ортонормированном базисе, то
линейное преобразование A является симметричным и соответствующие
ему собственные векторы будут попарно ортогональны. Найдем эти собственные векторы. Для этого составим систему (см. формулу (9.2)):
103
⎧− λx1 + x2 + x3 = 0,
⎪ x1 − λx2 + x3 = 0,
⎨
⎪⎩ x1 + x2 − λx3 = 0.
(10.4)
Для λ1 = λ2 = −1 система (10.4) принимает вид
⎧ x1 + x2 + x3 = 0,
⎪ x1 + x2 + x3 = 0,
⎨
⎪⎩ x1 + x2 + x3 = 0.
Второе и третье уравнения эквивалентны первому, поэтому их можно
не рассматривать и решать только одно уравнений:
x1 + x2 + x3 = 0 .
Его решением будет
x2 = C2 , x3 = C3 , x1 = −C2 − C3 , где − ∞ < C2 , C3 < +∞ .
Полагая C2 = 0, C3 = 1 , получим x3 = 1 , x2 = 0, x1 = −1 . Следовательно,
один собственный вектор, отвечающий собственному значению λ = −1 , имеет вид x1 = ( −1,0,1) .
Для нахождения второго собственного вектора, соответствующего тому же самому собственному значению λ = −1 , будем использовать ортогональность собственных векторов, т.е. условие
(x1 , x2 ) = −1 ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 + 1 ⋅ x3 = 0 .
При этом получим неопределенную систему
⎧ − x1 + x3 = 0,
⎨
⎩ x1 + x2 + x3 = 0.
Найдем ее решение:
x3 = C , x1 = C , x2 = −2C , где − ∞ < C < +∞ .
Полагая, например, C = 1 , получим x3 = 1 , x1 = 1, x2 = −2 . Следователь104
но, второй собственный вектор, отвечающий кратному собственному значению λ = −1 , имеет вид x2 = (1,−2,1) .
Для λ3 = 2 система (10.4) принимает вид
⎧− 2 x1 + x2 + x3 = 0,
⎪ x1 − 2 x2 + x3 = 0,
⎨
⎪⎩ x1 + x2 − 2 x3 = 0.
Третье уравнение системы является следствием предыдущих (проверьте это), поэтому
x3 = C , x2 = C , x1 = C , где − ∞ < C < +∞ .
Полагая, например, C = 1 , получим x3 = 1 , x2 = 1, x1 = 1 . Следовательно,
собственный вектор, отвечающий собственному значению λ3 = 2 , имеет вид
x3 = (1, 1, 1) .
Проверка для каждого собственного вектора легко осуществляется.
Составим ортонормированный базис e1 ' , e2 ' , e3 ' из полученных собственных векторов. Для этого сначала найдем длину каждого собственного
вектора, а затем пронормируем его:
x1 = ( −1) 2 + 02 + 12 = 2 , e1 ' =
x1 ⎛ − 1
1 ⎞
=⎜
,0,
⎟;
x1 ⎝ 2
2⎠
x2 = 12 + ( −2) 2 + 12 = 6 , e2 ' =
x2 ⎛ 1 − 2 1 ⎞
=⎜
,
,
⎟;
x2 ⎝ 6 6 6 ⎠
x3 = 12 + 12 + 12 = 3 , e3 ' =
x3 ⎛ 1 1 1 ⎞
=⎜
,
,
⎟.
x3 ⎝ 3 3 3 ⎠
Запишем матрицу перехода P от базиса e1 , e2 , e3 к новому базису
e1 ' , e2 ' , e3 ' . Столбцы матрицы P образованы координатами векторов
e1 ' , e2 ' , e3 ' в базисе e1 , e2 , e3 :
105
⎛ −1
⎜
⎜ 2
P=⎜ 0
⎜
⎜ 1
⎜
⎝ 2
1
6
−2
6
1
6
1 ⎞
⎟
3⎟
1 ⎟
.
3⎟
1 ⎟
⎟
3⎠
Отметим, что матрица P является ортогональной ( P −1 = PT ), так как
столбцы являются ортонормированными, и собственной, так как det P = 1.
В итоге мы получаем, что в ортонормированном базисе e1 ' , e2 ' , e3 ' матрица A примет диагональный вид A' :
⎛ −1 0 0⎞
⎜
⎟
A' = ⎜ 0 − 1 0 ⎟ .
⎜0
0 2 ⎟⎠
⎝
Для того, чтобы проверить правильность полученного результата воспользуемся известной формулой, связывающей матрицы линейного преобразования в разных базисах:
A' = P −1AP = P T AP .
Действительно,
⎛ −1
⎜
⎜ 2
1
P T AP = ⎜
⎜ 6
⎜ 1
⎜
⎝ 3
0
−2
6
1
3
1 ⎞
⎛ −1
⎟
⎜
2 ⎟ ⎛ 0 1 1⎞ ⎜ 2
⎟
1 ⎟ ⎜
⋅ ⎜ 1 0 1⎟ ⋅ ⎜ 0
⎜
6⎟ ⎜
⎟
1
1
0
⎠ ⎜ 1
1 ⎟ ⎝
⎟
⎜
3⎠
⎝ 2
1
6
−2
6
1
6
1 ⎞
⎟
3 ⎟ ⎛ −1 0 0⎞
⎟
1 ⎟ ⎜
= ⎜ 0 − 1 0 ⎟ = A'.
3⎟ ⎜
0 2 ⎟⎠
1 ⎟ ⎝0
⎟
3⎠
10.4. Ортогональные преобразования.
Определение. Линейное преобразование в евклидовом пространстве
E называется ортогональным, если в некотором ортонормированном базисе
его матрица является ортогональной.
n
Напомним, что ортогональные матрицы определяются как удовлетво106
ряющие соотношению QT = Q −1 .
Кроме того, важно, что ортогональное преобразование переводит любой ортонормированный базис в ортонормированный.
Теорема. Ортогональное преобразование не меняет скалярного произведения векторов евклидова пространства E n , т.е.
(Qx , Qy ) = (x , y ) для любых
x, y ∈ E n .
Доказательство. Пусть e1 , e2 ,..., en – некоторый ортонормированный
базис в E n , в котором матрица преобразования Q ортогональна, Для векторов x , y ∈ E n верны следующие разложения:
x = x1e1 + x2 e2 + ... + xn en , x ∈ E n ,
y = y1e1 + y2 e2 + ... + yn en , y ∈ E n .
Можно записать:
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn .
Найдем соответствующие образы:
Qx = x1Qe1 + x2Qe2 + ... + xnQen ,
Qy = y1Qe1 + y2Qe2 + ... + ynQen .
Здесь Qe1 , Qe2 ,..., Qen будет ортонормированным базисом. Следовательно,
(Qx , Qy ) = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn ,
т.е.
(Qx , Qy ) = (x , y ) .
107
Следствия из теоремы
1. Ортогональное преобразование не меняет норму вектору.
2. Ортогональное преобразование не меняет углов между векторами.
Свойства ортогональных преобразований
Приведем свойства ортогональных преобразований, которые соответствуют свойствам ортогональных матриц.
1. Ортогональные преобразования являются невырожденными.
2. Для ортогонального преобразования существует обратное преобразование, которое также является ортогональным.
3. Преобразование, соответствующее матрице транспонированной к
матрице ортогонального преобразования в ортонормированном базисе, является обратным преобразованием.
4. Произведение ортогональных преобразований также является ортогональным преобразованием.
10.5. Построение ортогонального преобразования
Для построения ортогонального преобразования в евклидовом пространстве E n достаточно найти ортогональную матрицу Qn × n . Как известно,
у ортогональной матрицы столбцы (строки), если их рассматривать как векторы, образуют ортонормированную систему (см. лекцию 7). Следовательно,
необходимо построить систему n ортонормированных векторов (строк или
столбцов). Для этого можно применить процедуру ортогонализации ГрамаШмидта к некоторой системе векторов или осуществить следующий эвристический прием.
Сначала строиться n попарно ортогональных ненулевых n -мерных
векторов, а потом каждый вектор нормируется. Матрица, в столбцах которой
расположены компоненты этих векторов, будет ортогональной.
Для построения n попарно ортогональных ненулевых n -мерных векторов в качестве первого рассматривают любой вектор
108
x1 = (q11 , q21 ,..., qn1 ) ,
у которого хотя бы одна из компонент отлична от нуля.
Второй вектор системы
x2 = (t1 , t2 ,..., tn )
определяют как ненулевой вектор такой, чтобы x2 и x1 были ортогональны,
т.е.
q11t1 + q21t2 + ... + qn1tn = 0 .
Последнее уравнение имеет бесчисленное множество решений. Это одно уравнение с n неизвестными, где, по крайней мере, один коэффициент отличен от нуля. Выбираем какое-нибудь ненулевое решение:
t1 = q12 , t2 = q22 ,..., ti = qi 2 ,..., tn = qn 2 .
Далее по аналогии определяем третий и последующие векторы. Если
построена ортогональная система векторов x1 , x2 ,..., xk , то координаты
z1 , z2 ,..., zn для вектора xk +1 , 1 < k < n ищем из условия, что вектор xk +1 ортогонален каждому вектору x1 , x2 ,..., xk , то есть
(xi , xk +1 ) = 0 , i = 1,2,..., k .
Расписывая указанные k равенств в координатной форме, получаем
систему k линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, которая
имеет бесконечное множество решений, из которого выбираем любое ненулевое решение:
⎧ q11 z1 + q21 z2 + ... + qn1 zn = 0,
⎪ q z + q z + ... + q z = 0,
n2 n
⎪ 12 1 22 2
⎨
⎪ ...........................................
⎪⎩q1k z1 + q2 k z2 + ... + qnk zn = 0.
Далее полученная система векторов x1 , x2 ,..., xn нормируется и их координатами заполняют столбцы (строки) ортогональной матрицы.
Пример. Построить ортогональное преобразование трехмерного евклидова пространства, отличное от тождественного.
109
Решение. Построим сначала ортогональную матрицу третьего порядка.
Возьмем произвольный ненулевой вектор
x1 = (− 2, 1, 2 ) .
Координаты вектора x2 = (t1 , t2 , t3 ) найдем из уравнения
− 2t1 + t2 + 2t3 = 0 .
Его решением будет
t1 = C1 , t3 = C3 , t2 = 2C1 − 2C3 , где − ∞ < C1 , C3 < +∞ .
Полагая C1 = 1, C3 = 1 , получим x3 = 1 , x2 = 0, x1 = 1 . Следовательно,
x2 = (1, 0, 1) .
Координаты вектора x3 = (z1 , z2 , z3 ) найдем из системы
⎧− 2 z1 + z2 + 2 z3 = 0,
⎨
z1 + z3 = 0.
⎩
Решая систему методом Гаусса, получим z3 = C , z2 = −4C , z1 = −C , где
− ∞ < C < +∞ . Полагая C = −1 , имеем x3 = (1, 4, − 1) .
Пронормировав векторы x1 , x2 , x3 , получим
1 ⎞
4
−1 ⎞
⎛ 2 1 2⎞
⎛ 1
⎛ 1
x1 ' = ⎜ − , , ⎟ , x2 ' = ⎜
, 0,
,
,
⎟ , x3 ' = ⎜
⎟.
2⎠
⎝ 3 3 3⎠
⎝ 2
⎝3 2 3 2 3 2 ⎠
Матрица
⎛ 2
⎜−
⎜ 3
1
Q=⎜
⎜ 3
⎜ 2
⎜
⎝ 3
1
2
0
1
2
1 ⎞
⎟
3 2⎟
4 ⎟
.
3 2⎟
−1 ⎟
⎟
3 2⎠
является ортогональной, следовательно, преобразование Q , имеющее в ортонормированном базисе матрицу Q , является ортогональным.
110
Лекция 11
Квадратичные формы
11.1. Основные определения
Рассмотрим применение линейной алгебры для исследования специального класса функций нескольких переменных, которые называются квадратичными формами.
Примерами квадратичных форм могут являться следующие функции:
1. Φ ( x, y ) = x 2 − 3xy + 2 y 2 ;
2
2
2. Ψ ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 + x1 x2 + x1 x3 + 2 x3 x4 − x3 .
Выражения, стоящие в правых частях таких функций, возникают, например, в уравнениях кривых и поверхностей. Переменные в эти функции
входят либо во второй степени, либо перемножаются друг на друга.
Определение. Функция n переменных Φ ( x1 , x2 ,..., xn ) называется
квадратичной формой, если она имеет вид
n
n
Φ ( x1 , x2 ,..., xn ) = ∑ ∑ aij xi x j , i, j = 1,2,..., n .
i =1 j =1
Числа aij образуют квадратную матрицу размера n × n
A n × n = (aij ), i,j = 1,2,..., n ,
называемую матрицей квадратичной формы.
Введем обозначение вектора-столбца
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ x2 ⎟
X =⎜ ⎟,
M
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ xn ⎠
111
(11.1)
тогда выражение (11.1) можно записать в матричной форме:
Φ ( x1 , x2 ,..., xn ) = X T AX = ( x1
x2
⎛ a11 a12
⎜
⎜ a21 a22
K xn ) ⋅ ⎜
M
M
⎜⎜
⎝ an1 an 2
K a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎟ ⎜ ⎟
K a2 n ⎟ ⎜ xn ⎟
⋅
.
O M ⎟ ⎜ M⎟
⎟ ⎜ ⎟
K ann ⎟⎠ ⎝⎜ xn ⎟⎠
Отметим, что матрица A одной и той же квадратичной формы неоднозначна, так как фактически коэффициент cij при произведении переменных
xi ⋅ x j , i ≠ j равен сумме cij = aij + a ji . Поэтому, взяв произвольное значение
aij и a ji = cij − aij , получим одну и ту же функцию Φ ( x1 , x2 ,..., xn ) . Учитывая
вышесказанное, в матрице A берут aij = a ji =
cij
. Коэффициенты квадратич2
ной формы cii при xi 2 = xi ⋅ xi будут равны диагональным элементам матрицы
A , cii = aii . Тогда матрица квадратичной формы будет определяться однозначно по ее коэффициентам и будет всегда симметричной.
Пример 1. Рассмотрим квадратичную форму Φ ( x, y ) = x 2 − 3xy + 2 y 2 .
Запишем матрицу квадратичной формы:
⎛ 1
− 3 ⎞⎟
2 ,
A1 = ⎜
3
⎜−
2 ⎟
⎝ 2
⎠
и квадратичную форму в матричном виде:
Φ ( x , y ) = X A1 X = ( x
T
⎛ 1
− 3 ⎞⎟ ⎛ x ⎞
⎜
2 ⋅⎜ ⎟.
y)⋅
⎜− 3
2 ⎟ ⎜⎝ y ⎟⎠
⎝
2
⎠
Пример 2. Рассмотрим квадратичную форму
2
2
Ψ ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 + x1 x2 + x1 x3 + 2 x3 x4 − x3 .
Запишем матрицу квадратичной формы:
112
⎛ 1
⎜
⎜1
A2 = ⎜ 2
⎜ 12
⎜ 0
⎝
1
2
0
0
0
0⎞
⎟
2
0 0⎟
⎟,
−1 1⎟
1 0 ⎟⎠
1
и квадратичную форму в матричном виде:
Φ ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = X T A 2 X = ( x1
x2
x3
⎛ 1
⎜
⎜1
x4 ) ⋅ ⎜ 2
⎜ 12
⎜ 0
⎝
1
2
0
0
0
0 ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎟ ⎜ ⎟
2
0 0 ⎟ ⎜ x2 ⎟
⎟⋅⎜ ⎟.
− 1 1 ⎟ ⎜ x3 ⎟
⎜ ⎟
1 0 ⎟⎠ ⎝ x4 ⎠
1
Пример 3. Дана матрица
⎛ 1 −2 3 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ − 2 5 − 1⎟ .
⎜ 3 −1 0 ⎟
⎝
⎠
Требуется написать квадратичную форму, матрицей которой является
симметричная матрица A , то есть требуется решить обратную задачу.
Φ ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1
x2
⎛ 1 − 2 3 ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟
x 3 ) ⋅ ⎜ − 2 5 − 1⎟ ⋅ ⎜ x 2 ⎟ ,
⎜ 3 − 1 0 ⎟ ⎜ x3 ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
Φ ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + 5 x2 − 4 x1 x2 + 6 x1 x3 − 2 x2 x3 .
2
2
Рангом квадратичной формы называется ранг соответствующей матрицы квадратичной формы.
Квадратичная форма называется невырожденной, если ее матрица невырожденная. Очевидно, ранг невырожденной квадратичной формы равен
числу переменных.
Квадратичные формы – это функции n переменных, принимающие
любые действительные значения. Так как переменные квадратичных форм
имеют одинаковые области определения, то равенство квадратичных форм
113
Φ1 ( x1 , x2 ,..., xn ) и Φ 2 ( x1 , x2 ,..., xn )
возможно тогда и только тогда, когда их матрицы совпадают.
11.2. Изменение квадратичной формы при линейном
преобразовании переменных
Определение. Линейным преобразованием переменных называется
преобразование
⎧ x1 = b11 y1 + b12 y2 + ... + b1n yn1 ,
⎪ x = b y + b y + ... + b y ,
21 1
22 2
2n n
⎪ 2
⎨
⎪ ..............................................
⎪⎩ xn = bn1 y1 + bn 2 y2 + ... + bnn yn
(11.2)
или в матричной форме записи
X = BY ,
⎛ x1 ⎞
⎛ y1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ x2 ⎟
⎜ y2 ⎟
где X = ⎜ ⎟ , Y = ⎜ ⎟ ,
M
M
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ xn ⎠
⎝ yn ⎠
⎛ b11 b12
⎜
⎜ b21 b22
B=⎜
M
M
⎜⎜
⎝ bn1 bn 2
K b1n ⎞
⎟
K b2 n ⎟
.
O M ⎟
⎟
K bnn ⎟⎠
Матрица B называется матрицей линейного преобразования переменных.
Линейное преобразование переменных называется невырожденным,
если его матрица B невырожденная.
Линейное преобразование переменных называется ортогональным, если матрица B линейного преобразования ортогональная.
Рассмотрим квадратичную форму
n
n
Φ ( x1 , x2 ,..., xn ) = X T AX = ∑ ∑ aij xi x j .
i =1 j =1
Преобразуем ее, используя формулу (11.2), Найдем новую матрицу C квадратичной формы:
114
~
Φ ( y1 , y2 ,..., yn ) = Y T CY .
Очевидно, что
(
)
~
T
Φ ( y1 , y2 ,..., yn ) = X T A X = (BY ) A (BY ) = Y T BT AB Y = Y T BT AB Y ,
т.е.
C = BT AB .
Таким образом, квадратичная форма Φ ( x1 , x2 ,..., xn ) с матрицей A при
линейном преобразовании переменных X = BY переходит в квадратичную
~
форму Φ ( y1 , y2 ,..., yn ) с матрицей C = BT AB , т.е.
~
Φ ( x1 , x2 ,..., xn ) = X T AX = Φ ( y1 , y2 ,..., yn ) = Y T BY .
Матрица C будет симметрическая, как и матрица A :
(
)
( )
CT = BT AB = (AB) BT
T
T
T
= BT A T B = BT AB = C .
Отметим также, что
(
)
detC = det BT AB = detBT detAdetB = (detB) detA ,
2
то есть определитель матрицы квадратичной формы при невырожденных
преобразованиях переменных сохраняет знак.
Пример. Найти квадратичную форму, полученную при линейном преобразовании переменных
6
⎧⎪
x1 = y1 − y2 ,
⎨
17
⎪⎩
x2 = y 2
квадратичной формы
Φ ( x1 , x2 ) = 17 x1 + 12 x1 x2 + x2 .
2
115
2
Сначала выпишем матрицу квадратичной формы
⎛17 6 ⎞
A = ⎜⎜
⎟⎟ ,
6
12
⎝
⎠
и матрицу B линейного преобразования переменных
⎛1 − 6 ⎞
17 ⎟ .
B = ⎜⎜
1 ⎟⎠
⎝0
Тогда матрица C искомой квадратичной формы примет вид
0 ⎞ ⎛17 6 ⎞ ⎛ 1 − 6 ⎞ ⎛17
0 ⎞
⎛ 1
⎟ ⋅ ⎜⎜
⎜
⎜
⎟
17
C = BT AB = ⎜⎜ 6
⋅
=
⎟
100 ⎟⎟
⎟
⎜
−
1 ⎟ ⎝ 6 12 ⎟⎠ ⎜ 0
0
1 ⎠ ⎝
⎝
17 ⎠
⎝ 17 ⎠
и, следовательно,
100 2
~
2
Φ ( y1 , y2 ) = 17 y1 +
y2 .
17
11.2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Определение. Квадратичная форма называется канонической, или имеет канонический вид, если
aij = 0 , при i ≠ j , i, j = 1,2,..., n ,
то есть квадратичная форма принимает вид
n
Φ ( x1 , x2 ,..., xn ) = ∑ aii xi =a11 x1 + a22 x2 + ... + ann xn .
2
2
2
2
i =1
В этом случае матрица квадратичной формы будет диагональной. Ясно,
что канонический вид является простейшим видом квадратичной формы.
116
Пример 1. Φ1 ( x1 , x2 ) = 2 x1 + 3x1 x2 − x2 - квадратичная форма, имеющая неканонический вид;
2
2
Пример 2. Φ 2 ( x1 , x2 ) = 3x1 + 2 x2 - квадратичная форма, имеющая канонический вид;
2
2
2
2
Пример 3. Ψ ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = − x1 + x2 − x4
имеющая канонический вид.
2
- квадратичная форма,
Канонический вид квадратичной формы называется нормальным, если
модули всех ненулевых диагональных элементов ее матрицы равны единице
(или говорят, что квадратичная форма имеет нормальный вид).
Нахождение по данной квадратичной форме с помощью линейного
преобразования квадратичной формы канонического вида называется приведением квадратичной формы к каноническому виду. Отметим, что для любой
квадратичной формы существует неединственный канонический вид, полученный с помощью линейных преобразований. Известны способ Лагранжа10
(выделение полных квадратов), метод Якоби11 и ряд других способов приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью различных
преобразований. Наиболее эффективен способ приведения квадратичной
формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования
переменных. Остановимся на нем подробнее.
Квадратичную форму Φ ( x1 , x2 ,..., xn ) можно рассматривать как функцию
от элементов x некоторого n -мерного пространства, где ( x1 , x2 ,..., xn ) есть координаты вектора x в некотором базисе {e1 , e2 ,..., en }. Тогда линейное преобразование переменных X = BY есть не что иное, как изменение координат
вектора x при переходе от старого базиса {e1 , e2 ,..., en } к новому базису
10
ЛАГРАНЖ Жозеф Луи (1736-1813) – французский математик и механик, член Берлинской академии наук, Парижской академии наук, почетный член Петербургской академии наук. Родился в
Турине. Он получил важнейшие результаты в диофантовом анализе, теории алгебраических уравнений, вариационном исчислении, аналитической и небесной механике ( применение метода вариации произвольных постоянных, задача трех тел и др.), интегрировании уравнений с частными
производными, сферической астрономии, картографии. Разработал метрическую систему мер. Сочинения Лагранжа по математике, астрономии и механике составляют 14 томов.
11
ЯКОБИ Карл Густа Якоб (1804-1851) – немецкий математик, член Берлинской академии наук,
Лондонского королевского общества, почетный член Петербургской академии наук, Венской академии наук, член-корреспондент Парижской, Мадридской и др. академий. Родился в Потсдаме.
Якоби – один из создателей теории эллиптических функций, сделал важные открытия в области
теории чисел, линейной алгебры, вариационного исчисления и теории дифференциальных уравнений, исследовал дифференциальные уравнения динамики, ввел в употребление функциональные
определители, исследовал один из классов ортогональных многочленов.
117
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
x
{e1 ' , e2 ' ,..., en '}, где X = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ – координаты вектора x в
M
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ xn ⎠
⎛ y1 ⎞
⎛ b11
⎜ ⎟
⎜
y
2
⎜ ⎟
⎜ b21
Y = ⎜ ⎟ – координаты вектора x в новом базисе и B = ⎜
M
M
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜
⎝ yn ⎠
⎝ bn1
матрица перехода от старого базиса к новому.
старом базисе,
b12
b22
M
bn 2
K b1n ⎞
⎟
K b2 n ⎟
O M ⎟
⎟
K bnn ⎠⎟
Поскольку матрица A квадратичной формы симметрическая, то существует ортонормированный базис из собственных векторов, в котором матрица A диагональна, причем по диагонали стоят ее собственные значения
λ1 , λ2 ,..., λn . Следовательно, сама квадратичная форма, записанная через координаты вектора x в новом базисе x = ( y1 , y2 ,..., yn ) , будет иметь вид
n
Φ ( y1 , y2 ,..., yn ) = ∑ λi yi =λ1 y1 + λ2 y2 + ... + λn yn .
2
2
2
2
(11.3)
i =1
Отметим, что матрица перехода B от исходного базиса, который без
ограничения общности можно считать ортонормированным, к базису из собственных векторов является ортогональной.
На основании изложенных ранее фактов получаем следующий способ
нахождения ортогонального преобразования, приводящего квадратичную
форму к каноническому виду:
1) формируется матрица A данной квадратичной формы, и находятся
собственные значения этой матрицы;
2) находится ортонормированная система собственных векторов матрицы A ;
3) составляется ортогональное преобразование переменных (11.2);
4) записывается искомый вид квадратичной формы (11.3).
Пример. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго
порядка
17 x 2 + 12 xy + 8 y 2 + 20 5 x + 20 = 0
и построить линию, определяемую данным уравнением.
Во-первых, выпишем соответствующую заданному уравнению квадратичную форму
118
Φ ( x, y ) = 17 x 2 + 12 xy + 8 y 2
и ее матрицу
⎛17 6 ⎞
A = ⎜⎜
⎟⎟ .
⎝ 6 8⎠
Найдем собственные значения этой матрицы:
17 − λ
6
6
8−λ
= 0 , λ1 = 20, λ2 = 5 .
Далее найдем собственные векторы и пронормируем их.
⎛2 ⎞
⎛ 2⎞
⎜
5⎟ ;
При λ1 = 20 x1 = ⎜⎜ ⎟⎟ , а g1 = ⎜
⎟
⎜ 1 ⎟
⎝1⎠
5⎠
⎝
⎛ −1 ⎞
⎛ − 1⎞
⎜
5⎟.
при λ2 = 5 x2 = ⎜⎜ ⎟⎟ , а g 2 = ⎜
⎟
⎜ 2
⎟
⎝2⎠
5⎠
⎝
Матрица ортогонального преобразования составляется из столбцов
собственных ортонормированных векторов:
−1 ⎞
⎛2
⎜
5
5⎟ .
B=⎜
⎟
2
⎜1
⎟
5
5⎠
⎝
Составим линейное ортогональное преобразование переменных:
⎧
⎪x =
⎨
⎪y =
⎩
2
x′ −
5
1
x′ +
5
Квадратичная форма будет иметь вид
119
1
y ′,
5
2
y ′.
5
Φ ( x ' , y ' ) = 20( x ')2 + 5( y ')2 .
После применения ортогонального преобразования в новых переменных уравнение кривой второго порядка примет следующий вид:
1 ⎞
⎛ 2
x '−
y ' ⎟ + 20 = 0 ,
20( x ′)2 + 5( y ′)2 + 20 5 ⎜
5 ⎠
⎝ 5
или
2
2
20( x ′) + 5( y ′) + 40 x ′ − 20 y ′ + 20 = 0 .
Теперь выделим полные квадраты при переменных x ' и y ' , так что
уравнение кривой второго порядка примет канонический вид
( x ′ + 1) 2 ( y ′ − 2) 2
+
= 1.
1
4
Получили уравнение эллипса, которое теперь легко построить (рис. 10).
Y
Y′
2
0′
-1
X′
0
X
Рис. 10. Эллипс в старой и новой системах координат
120
Варианты расчетно-графических работ
Характеристика задания
Предлагаемые задания индивидуальны для каждого студента. Каждый
вариант состоит из 20 задач, которые необходимо выполнить четко, с
кратким описанием решения.
В первой задаче требуется вычислить значение выражения
a ⋅ A + b ⋅ B + c ⋅ C , от студента потребуется знание приемов сложения матриц
и умножения матрицы на число (лекция 1, см. также [3, §2, с. 11]).
Во второй задаче необходимо найти произведение матриц; естественно,
следует обратить свое внимание на то, что произведение двух матриц AB
имеет смысл только в том случае, когда матрицы A и B являются
проверьте, являются ли матрицы
согласованными. Поэтому сначала
согласованными, а затем найдите их произведение (лекция 1, см. также [2,
гл.5, §6, с. 174]).
В третьей задаче требуется найти матрицу Х, удовлетворяющую
условию a ⋅ A + λ ⋅ X = b ⋅ B . Для решения этого задания требуется выразить
матрицу Х через матрицы A и B , а затем, используя правила сложения матриц и умножения матрицы на число, вычислить элементы матрицы Х (лекция
1, см. также [3, §2, с. 11]).
В четвертой задаче необходимо найти значение многочлена f ( x ) от
матрицы А. Для решения задачи подставьте в многочлен вместо аргумента
A2
⋅ ...
A , то решение задания сводится к умножематрицу А: так как A n = A
1⋅4
4⋅3
n раз
нию, сложению матриц и умножению матрицы на число. (лекция 1, см. также
[2, гл.5, §6, с. 174]).
Пятая задача посвящена вычислению определителей. Определитель
третьего порядка можно вычислить по правилу треугольника [1, см. также
гл.1, §1, с. 13], а определитель четвертого порядка – разлагая его по строке
или столбцу (лекция 2, [3, см. также §1, с. 4]).
В шестой задаче требуется решить уравнение с определителем третьего
порядка в левой части относительно неизвестного х. Для решения задания
необходимо разложить определитель по строке или столбцу (лекция 2, см.
также [3, §1, с. 4]), а затем полученное выражение приравнять к нулю и
решить полученное алгебраическое уравнение.
В седьмой задаче требуется проверить свойство определителя
det(A ⋅ B) = det(A) ⋅ det(B) . Для этого отдельно вычислите выражение det (A ⋅ B) в
левой части равенства и det(A) ⋅ det(B) в правой части (отметим, что данные
определители могут быть посчитаны либо по правилу треугольника, либо
разложением по строке или столбцу) (лекция 2, см. также [1, гл.1, §1, с. 13],).
Восьмая задача посвящена отысканию обратной матрицы A −1 . Как
известно, обратная матрица существует только у невырожденных матриц,
121
поэтому предварительно следует вычислить определитель матрицы А: если
он отличен от нуля, то матрицы A невырожденная и можно переходить к
отысканию обратной матрицы A −1 (лекция 2, см. также [3, §2, с. 14]).
В девятой задаче необходимо решить простейшее матричное
уравнение с использованием обратной матрицы, для этого требуется
умножить обе части данного уравнения на матрицу, обратную к одной из
данных, таким образом, чтобы в левой части уравнения осталась только
матрица Х . При решении помните, что обратная матрица существует только
у невырожденных матриц (лекции 2,3, см. также [2, гл.5, §6, с. 179]).
В десятой задаче требуется найти ранг матрицы методом
эквивалентных преобразований и указать какой-нибудь базисный минор. Как
известно, при эквивалентных преобразованиях ранг матрицы не меняется,
поэтому задача состоит в преобразовании исходной матрицы в матрицу, ранг
которой легко находится. Напомним, что базисный минор представляет
собой определитель r -го порядка (где r - это ранг матрицы), составленный
из элементов данной матрицы, отличный от нуля (лекция 3, см. также [1, гл.1,
§7, с. 36])
В одиннадцатой задаче необходимо найти значения параметра λ, при
котором ранг данной матрицы равен указанному числу r . Для решения
задачи следует вспомнить определение ранга матрицы: рангом матрицы A
называется наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля (лекция 3, см.
также [2, гл.5, §4, с. 159]).
В двенадцатой задаче требуется решить данные системы линейных
уравнений по формулам Крамера, матричным способом и методом Гаусса.
Отметим, что, начав решение системы по формулам Крамера, целесообразно
сразу ответить на вопрос, имеет ли система единственное решение, для этого
необходимо вычислить определитель системы, в случае, если он отличен от
нуля, ответ однозначен, система имеет решение и притом единственное
(лекция 3, см. также [3, §3, с. 19]).
Тринадцатая задача посвящена исследованию систем линейных
уравнений. Для установления совместности системы требуется использовать
теорему Кронекера-Капелли. Кроме того, в случае совместности системы
требуется ее решить методом Гаусса или методом Крамера (лекция 3, см.
также [3, §3, с. 19]).
Четырнадцатая задача посвящена нахождению собственных значений
и собственных векторов линейного преобразования, заданного матрицей А.
Вопрос об отыскании собственных значений и собственных векторов
линейного преобразования сводится к решению характеристического
уравнения det (A − λE ) = 0 относительно неизвестного λ , далее по каждому
найденному собственному значению λ составляется однородная система
(A − λE) ⋅ X = 0 , ее ненулевое решение и является собственным вектором,
отвечающим собственному значению λ (лекция 9, см. также [3, §4, с. 47]).
В пятнадцатой задаче требуется проверить, образуют ли векторы a , b ,
122
c базис линейного пространства R , если да, то с помощью матрицы
перехода найти координаты вектора d в базисе a , b , c . Из условия задачи
следует, что размерность пространства R равна трем, так как три координаты
у заданных векторов. Следовательно, для того чтобы векторы a , b , c
образовывали базис, достаточно, чтобы они были линейно независимыми.
Если векторы a , b , c – базис линейного пространства R , то матрица,
столбцами которой являются координаты этих векторов в базисе e1 , e2 , e3 , и
будет матрицей перехода P от базиса e1 , e2 , e3 к новому a , b , c . Связь
между координатами вектора d в базисе a , b , c и в базисе e1 , e2 , e3
устанавливается с помощью матрицы перехода (лекция 4, см. также [1,гл. 2,
§4, с. 73]).
В шестнадцатой задаче необходимо в евклидовом пространстве
вещественных матриц размером 1× 3 по данному базису g1 , g 2 , g 3 построить
ортонормированный базис e1 , e2 , e3 . Как известно, это всегда можно сделать,
применив процесс ортогонализации Грама-Шмидта (лекция 7, см. также
[1,гл. 4, §2, с. 139]).
В семнадцатой задаче задано линейные преобразования A x = ( x , a )a и
B x = [ x , a ] евклидова пространства свободных векторов. Требуется найти
матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе
i , j, k , а также найти в базисе i , j, k координаты векторов u = A x и v = B x .
Известно, что линейному преобразованию A ( B ) в ортонормированном
базисе i , j, k евклидова пространства свободных векторов соответствует
матрица A ( B ). Для ее отыскания необходимо вычислить скалярное
произведение в случае линейного преобразования A и векторное
произведение в случае линейного преобразования B , взяв в качестве
вектора x последовательно базисные векторы i , j, k , полученные координаты образов базисных векторов A i , A j , A k ( B i , B j , B k ) будут являться столбцами матрицы A ( B ) (лекция 8, см. также [1,гл. 3, §1, с. 96]).
В восемнадцатой задаче дана матрица A линейного преобразования в
базисе e1 , e2 , e3 . Требуется найти матрицу линейного преобразования в
базисе a , b и c , указанном в задании №15. Для решения этой задачи
необходимо воспользоваться формулой, связывающей матрицы линейного
преобразования в разных базисах (лекция 8).
В девятнадцатой задаче требуется указать базис пространства, в
котором матрица линейного преобразования A имеет диагональный вид, и
привести матрицу A к диагональному виду. Как известно, матрица линейного
оператора A имеет диагональный вид в базисе из своих собственных
векторов, поэтому сначала необходимо найти собственные векторы матрицы
линейного преобразования A , а затем выписать матрицу A в новом базисе.
Для того чтобы проверить полученный результат, воспользуйтесь формулой,
связывающей матрицы линейного преобразования в разных базисах (лекция
10, см. также [2,гл. 6, §4, с. 221]).
В двадцатой задаче необходимо привести к каноническому виду
123
уравнение кривой второго порядка и построить линию, определяемую
данным уравнением. Для решения этой задачи необходимо выписать
матрицу квадратичной формы, соответствующей данному уравнению, найти
собственные значения и векторы этой матрицы, затем выписать линейное ортогональное преобразование переменных. С его помощью преобразовать
уравнение линии, перейдя к новым переменным, далее построить линию,
соответствующую новому уравнению (лекция 11, см. также [3, §5, с. 54]).
124
ВАРИАНТ № 1
№1. Вычислить 3А+4В-2С, где
⎛ 1 0 − 2⎞
⎛ −1 1 0⎞
⎛3 4 5⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
,
,
A = ⎜ 2 1 −3⎟ B = ⎜ 2 − 3 4⎟ C = ⎜1 − 3 2⎟ .
⎜− 4 3 5 ⎟
⎜ 1 − 5 6⎟
⎜8 − 6 7⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎠
⎝
№2. Найти произведение матриц
№3. Даны матрицы
4 1⎞
⎛1 1 1 ⎞
⎛ 3
⎜
⎟
⎜
⎟
A=⎜ 0
2 5⎟ , B = ⎜ 2 9 3 ⎟ .
⎜ 7 5 − 2⎟
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Найти матрицу Х из уравнения А – 1/3Х = 2В.
№4. Найти значение многочлена
f(x)= 3x5 + 2x - 7 от матрицы
№5. Вычислить определители
3 −1 2 1
2 −3 1
5 6 8 , − 6 1 1 2.
1
0 0 0
1 1 2
1 −3 2 2
№6. Найти x из уравнения
№7. Найти detAB и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
2 − 1⎞
2
1 3⎞
⎛3
⎛
⎜
⎟
⎜
⎟
2 ⎟.
A = ⎜ − 1 3 1 ⎟, B = ⎜ − 1 0
⎜ 1 −2 1 ⎟
⎜ −1 −1 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
3⎞
⎛1 2
⎜
⎟
⎜ 2 − 3 − 1⎟.
⎜0 1
2 ⎟⎠
⎝
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
−1 4 ⎞
⎛ 3 1 2 − 1 ⎞ ⎛⎜
⎟
⎜
⎟⎜ 2
0 ⎟
⎜ 2 0 1 − 1⎟ ⎜
⎜ − 1 3 0 − 4 ⎟ ⎜ 1 − 3 ⎟⎟
⎝
⎠⎜
1 ⎟⎠
⎝ 4
3− x
8
0
2− x
0
⎛ −1 2⎞
⎛ 5 −1⎞
⎟⎟ X = ⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟.
⎝ − 2 − 7⎠
⎝ 3 4⎠
0
1
3 =0.
8− x
3
0 ⎞
⎛ 1 −1 2
⎜
⎟
6 −1 2 ⎟
⎜− 2 0
.
⎜−3 0
4 −4 2 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 1 − 2 − 8 − 2 − 2⎠
№11. При каких значениях параметра “λ” ранг
матрицы равен указанному числу
⎛ 2λ
⎜⎜
⎝ 4
⎛1 0 ⎞
A = ⎜⎜
⎟⎟ .
2
−
1
⎝
⎠
1⎞
⎟ , r = 2.
λ ⎟⎠
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б) матричным
способом; в) методом Гаусса
x
+
⎧4 x1 + 2 x2 − x3 = 0
⎧ 1 3x2 − x3 = −1
2) ⎪
1) ⎪
⎨4 x1 + 4 x 2 + 3x3 = 3 , ⎨ x1 + 2 x2 + x3 = 1 .
⎪3x1 − 2 x 2 + 5 x3 = 13
⎪ x − x = −3
⎩
⎩ 2 3
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧ 2 x1 − 3 x 2 − x 3 = 0
⎧ x1 − x 2 + x 3 − x 4 = 3
⎧2 x1 − x 2 = 3
⎧ x1 + x 2 + x 3 = 0
⎪
а) ⎪⎨ x1 − 3x 2 = −5 , б) ⎪ x1 + x 2 + x 3 = 1
в) ⎪⎪2 x1 + x 2 − 3x 3 + x 4 = 0 г) ⎪
, ⎨
, ⎨3x1 + x 2 + 2 x 3 = 0.
⎨
3 x1 − 2 x 2 = 1
3x1 + x 2 − x 3 + 3x 4 = −1 ⎪
⎪4 x1 + 5 x 2 = −7
⎪
⎪
⎩
⎩5 x1 − 2 x 2 − x 3 = 0
⎩⎪ x1 − 2 x 2 − 2 x 3 = −1
⎩⎪6 x1 − x 2 − 3x 3 + 3 x 4 = 7
125
значения и собственные
⎛ 2 − 1 − 1⎞
⎜
⎟
преобразования, заданного матрицей
A = ⎜ 0 − 1 0 ⎟.
⎜0 2 1 ⎟
⎝
⎠
№14.
Найти
собственные
векторы
линейного
a = ( 2,2,3) , b = (1,3,2) , c = (3,1,1) и
d = (7,1,6) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№15. Даны координаты векторов
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1 y 2 y3 ) по данному базису
g1 = (1 − 1 0),
g 2 = (2 1 2 ),
g 3 = (0 0 3) построить ортонормированный базис e1 , e2 , e3 . Найти угол между
векторами x = −2e1 + e2 + 3e3 , y = 2e1 + 4e2 − e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов, найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j , k ,
если a = −2i + j + k ;
б) координаты векторов u = A x и v = B x в базисе i , j , k , если x = j − 6k .
⎛ 1 1 0⎞
⎜
⎟
№18. Дана матрица A = ⎜ 0 − 3 2 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 , e2 ,
⎜ 4 0 1⎟
⎝
⎠
e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании
№15.
⎛ 1 −2 0 ⎞
⎜
⎟
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ − 2
2 − 2⎟
⎜ 0 −2 3 ⎟
⎝
⎠
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
5 x 2 + 4 xy + 8 y 2 − 12 5 x − 12 5 y − 20 = 0 .
126
ВАРИАНТ № 2
№1. Вычислить
⎛ −1
⎛ 1 0 − 2⎞
⎜
⎟,
⎜
A = ⎜ 2 1 − 3⎟ B = ⎜ 2
⎜1
⎜− 4 3 5 ⎟
⎝
⎠
⎝
2А+0,5В-С, где
1 0⎞
⎛ 3 4 5⎞
⎟
⎟
⎜
,
− 3 4⎟ C = ⎜1 − 3 2⎟ .
⎜ 8 − 6 7⎟
− 5 6⎟⎠
⎠
⎝
№2. Найти произведение матриц
1 ⎞ ⎛1 1
⎛1 −1 0
⎜
⎟⎜
⎜ 2 − 2 3 − 3⎟ ⎜ 3 − 3
⎜3 4 − 5 1 ⎟ ⎜7 6
⎜
⎟⎜
⎜0 0
6
0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 2
⎝
№3. Даны матрицы
4 1⎞
⎛ 3
⎛ 1 1 − 1⎞
⎜
⎟,
⎜
⎟
A=⎜ 0
2 5 ⎟ B = ⎜ 2 9 3 ⎟. .
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝ 7 5 − 2⎠
1 ⎞
⎟
4 − 4⎟
.
5 − 4⎟
⎟
0 1 ⎟⎠
1
№4. Найти значение многочлена
f(x)= 3x2 + 2x - 7 от матрицы
Найти матрицу Х из уравнения X +0,5B =A.
⎛1 0 ⎞
⎟⎟ .
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
№5. Вычислить определители
№6. Найти x из уравнения
1 3 6
−2 0 3,
2
1 1
2 1
−3 0
1
3
1
0
−1
0
2 1
1
1 −1 − 2
3− x
1
3
3− x 3− x
5 =0.
0
0
5− x
.
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
⎛ 2 0 3⎞
⎛ 1 2 3⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 1 ⎟, B = ⎜ 2 1 1 ⎟.
⎜ 4 − 3 2⎟
⎜ 1 1 2⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
1
2 ⎞
⎛ 0
⎟
⎜
⎜ − 1 − 2 − 3 ⎟.
⎜− 4 5
1 ⎟⎠
⎝
0 − 2 ⎞ ⎛1 1 ⎞
X ⎛⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟.
3
4
⎝
⎠ ⎝1 − 8 ⎠
5 −1 1 ⎞
⎛ 1
⎜
⎟
0 2⎟
⎜− 2 2
⎜ 3 − 2 2 6 ⎟.
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 − 2 3 10 ⎠
№11. При каких значениях параметра “λ”
ранг матрицы равен указанному числу
⎛λ
⎜
⎜1
⎜0
⎝
−1 2⎞
⎟
λ 1 ⎟ , r = 3.
2 λ ⎟⎠
№12. Решить системы уравнений: а) по
формулам Крамера; б) матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧2 x1 + x3 + 3x 4 = 0
⎧ x1 + x 2 − x3 = 6
⎪2 x − x − x − 2 x = 2
⎪
⎪
4
1) ⎨2 x1 + 3 x 2 − 4 x3 = 21, 2) ⎨ 2 1 3
.
4
2
−
+
=
x
x
x
2
4
⎪7 x − x − 3 x = 6
⎪ 1
2
3
⎩ 1
⎪⎩ x1 + 2 x 2 + x3 + 3 x 4 = 3
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧2 x1 − 3 x2 + x3 = 0
⎧ x1 − x 2 + 2 x3 = 1
⎧ x1 + 2 x2 = −1
⎧9 x1 − x 2 = 0
⎪
⎪
а) ⎪3x1 + x2 + x3 = −2 б) ⎪ x + x + x = 0 ,
в) ⎪3x − x = 4 , г) ⎪ x1 + x2 + x3 = 1
⎨
⎨
1
2
.
1
2
3
,
⎨
⎨
x
+
x
−
x
=
−
4
5
1
3
+
+
=
x
x
x
⎪
⎪
1
2
3
1
2
3
⎪
⎪
⎩5 x1 + 3x2 = 2
⎩2 x1 − x 2 − x3 = 0
⎪⎩7 x1 + 3 x2 + x3 = 3
⎪⎩ x1 − x 2 + x3 = 0
127
Найти
№14.
собственные
значения
⎛2
преобразования, заданного матрицей A = ⎜ 0
⎜
⎜0
⎝
и
−1
1
1
собственные
векторы
линейного
0 ⎞
⎟
− 1 ⎟.
3 ⎟⎠
a = ( 2,2,3) , b = (1,3,2) , c = (3,1,1) и
d = (7,1,6) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№15. Даны координаты векторов
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1 × 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1
построить
y2
y3 ) по данному базису g1 = (3 4 0), g 2 = (0 3 1), g 3 = (0 0 2 )
ортонормированный
базис
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = 2e1 − 5e2 + e3 , y = e1 + e2 + e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов, найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j , k ,
если a = i − 3 j + 4k ;
б)
координаты
x = i + 2 j + 3k .
векторов
u =A x
и
v=B x
в
базисе
i , j, k , если
⎛ −1 3 2⎞
⎜
⎟
№18. Дана матрица A = ⎜ 1
0 5 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 ,
⎜ 0 − 2 4⎟
⎝
⎠
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в
задании №15.
⎛ 2 2 − 1⎞
⎜
⎟
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ 2 3 2 ⎟
⎜ −1 2 2 ⎟
⎝
⎠
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
8 x 2 + 6 xy − 6 10 x − 4 10 y − 10 = 0 .
128
ВАРИАНТ № 3
№1. Вычислить - А – В + 3С, где
⎛ 3 4 5⎞
⎛ −1 1 0⎞
⎛ 1 0 − 2⎞
⎟
⎜
⎟,
⎜
⎟,
⎜
A = ⎜ 2 1 − 3⎟ B = ⎜ 2 − 3 4⎟ C = ⎜1 − 3 2⎟ .
⎜8 − 6 7⎟
⎜ 1 − 5 6⎟
⎜− 4 3 5 ⎟
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
№2. Найти произведение матриц
№3. Даны матрицы:
№4. Найти значение многочлена
f(x)= 2x2 - 2x + 7 от матрицы
4
⎛ 3
⎜
2
A=⎜ 0
⎜⎜
⎝−1 − 2
1⎞
⎛1 1 −1⎞
⎟
⎜
⎟
5⎟, B = ⎜ 2 9 3 ⎟.
⎟
⎜ 7 5 − 2⎟
3⎟⎠
⎝
⎠
⎛ 4 2 − 1 0 ⎞ ⎛⎜ 2 − 1 ⎞⎟
⎜
⎟ 6 9 ⎟
⎜ 5 3 − 1 − 1 ⎟ ⎜⎜
⎟.
⎜ 3 1 7 − 2 ⎟ ⎜ 11 0 ⎟
⎝
⎠⎜
⎟
⎝10 − 3 ⎠
⎛1 0 ⎞ .
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
Найти матрицу Х, из уравнения 2A–X = 3B.
№5. Вычислить определители
2 1 −1 3
1 −1 3
2 1 5,
2 −3 8
5
1
4
0
0
0
−1
.
0
1
−5
3
2
№6. Найти x из уравнения
3− x
8
19
0
2− x
3
0
0
x − 14
=0.
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
⎛1 −1 1⎞
⎛ 3 2 − 2⎞
⎜
⎟
⎟
⎜
A = ⎜ 2 − 1 0 ⎟, B = ⎜ 0 1 1 ⎟.
⎜ 2 2 2⎟
⎜− 3 1 1 ⎟
⎝
⎠
⎠
⎝
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
⎛ 2 − 3 0⎞
⎜
⎟
−
1
1
4
⎜
⎟.
⎜ 3 − 2 5⎟
⎝
⎠
10 − 1⎞ ⎛ − 1 2 ⎞
⎟⎟.
⎟⎟ = ⎜⎜
2
1
1
2
−
⎠
⎝
⎠ ⎝
X ⎛⎜⎜
1
2
4 ⎞
⎛ 3
⎟
⎜
4 ⎟
⎜ 8 −4 2
⎜ − 5 3 − 1 − 2 ⎟.
⎟
⎜
0
3
6 ⎟
⎜ 6
⎜ 1
1
1
2 ⎠⎟
⎝
№11. При каких значениях параметра “λ” ранг
матрицы равен указанному числу
⎛ − 1 λ − 2 ⎞ , r = 2.
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 1 12 − λ ⎠
№12. Решить системы уравнений: а) по
формулам Крамера; б) матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧ x1 + 2 x2 + 3 x3 = 6
⎧4 x1 + 2 x2 − x3 = 0
⎪
⎪
1) ⎨2 x1 + 3 x2 − x3 = 4, 2) ⎨ x1 + 2 x2 + x3 = 1 .
⎪3 x + x − 4 x = 0
⎪ x − x = −3
3
⎩ 1 2
⎩ 2 3
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧ x1 + x 2 − x3 = 1
⎧ x1 − x 2 − x3 − x 4 = 1
⎧2 x1 + 3x2 = 3
⎧ x1 + x2 + x3 = 0
⎪
⎪
а) ⎨3x − x = 0 , б) ⎪ x1 − x 2 + x 4 = 2
в) ⎪
г)
2 x1 + x 2 − x3 + x 4 = 3, ⎪⎨2 x1 − 3x2 + x3 = 0.
⎨
1
2
,
⎨
⎪3x + x = 4
⎪ x − 4 x = −3
⎪x − 2x = 0
⎪2 x1 + x 2 − 3x3 = 0
2
4
⎩ 1
2
⎩ 1
⎩ 1
⎪⎩4 x1 + x 2 − 4 x3 + x 4 = 7
129
Найти
№14.
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
⎛ 2 − 1 − 1⎞
⎟
⎜
преобразования, заданного матрицей A = ⎜ 0 − 1 0 ⎟.
⎜0 2 1 ⎟
⎠
⎝
№15. Даны координаты векторов a = (3,1,5) , b = ( −1,2,1) , c = (1,4,2) и
d = (12,6,3) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1 × 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1
построить
y2
y3 ) по данному базису g1 = (1 3 2 ), g 2 = (0 1 0), g 3 = (0 0 3)
ортонормированный
базис
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = − e1 + e2 + e3 , y = −2e1 + 4e2 + 5e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов, найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j, k ,
если a = j + k ;
б)
координаты
x =i +7j−k .
векторов
u =A x
и
v=B x
в базисе
i , j, k , если
⎛ −1 0 1⎞
⎜
⎟
№18. Дана матрица A = ⎜ 2
0 3 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 ,
⎜ 1 − 5 2⎟
⎝
⎠
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в
задании №15.
⎛ 3 −8 4 ⎞
⎜
⎟
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ − 8 17 − 4 ⎟
⎜ 4 − 4 11 ⎟
⎝
⎠
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
48 x 2 + 64 xy + 32 5 x + 16 5 y + 5 = 0 .
130
ВАРИАНТ № 4
№1. Вычислить
⎛ −1
⎛ 1 0 − 2⎞
⎜
⎜
⎟,
A = ⎜ 2 1 − 3⎟ B = ⎜ 2
⎜1
⎜− 4 3 5 ⎟
⎝
⎝
⎠
3А – 2В + С, где
1 0⎞
⎛ 3 4 5⎞
⎟,
⎜
⎟
− 3 4⎟ C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟ .
⎜8 − 6 7⎟
− 5 6⎟⎠
⎝
⎠
№2. Найти произведение матриц
0
5⎞
⎛ 5 − 7 0 ⎞ ⎛⎜ 4
⎟
⎜
⎟
⎜− 3 1 0 ⎟ ⎜ 7 − 2 9 ⎟.
⎜ 12 6 − 4⎟ ⎜⎝ 3
0
6 ⎟⎠
⎝
⎠
№3. Даны матрицы
№4. Найти значение многочлена
f(x)= x3 + 2x - 5 от матрицы
⎛1 1 −1⎞
⎛ 5 −7 0 ⎞
⎜
⎟
⎟
⎜
A = ⎜− 3 1
0 ⎟ , B = ⎜ 2 9 3 ⎟.
⎜7 5 − 2⎟
⎜ 12 6 − 4 ⎟
⎝
⎠
⎠
⎝
⎛1 0 ⎞
⎟⎟ .
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
Найти матрицу Х, из уравнения A +2X =4B.
№5. Вычислить определители
1 0 0 0
4 −3 2
1 1 0 , − 2 1 0 0.
3 6 1 0
2 2 1
2 1 3 2
№6. Найти x из уравнения
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
2
3 ⎞
⎛1
⎛ 1 − 1 1⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ − 1 2 − 3 ⎟, B = ⎜ − 1 1 1⎟.
⎜ 1 −1 0 ⎟
⎜ − 1 1 1⎟
⎝
⎝
⎠
⎠
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
x
x −1 3
1
−2
−1
5 =0.
4
⎛ 2 5 6⎞
⎜
⎟
⎜ 1 2 5 ⎟.
⎜ 1 3 2⎟
⎝
⎠
3 − 3⎞ ⎛ 1 0⎞
X ⎛⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟.
1
2
⎝
⎠ ⎝ 2 3⎠
⎛ − 8 1 − 7 − 5 − 5⎞
⎟
⎜
⎜ − 2 1 − 3 − 1 − 1 ⎟.
⎜ 1 1 −1 1
1 ⎟⎠
⎝
№11. При каких значениях параметра “λ”
ранг матрицы равен указанному числу
−2
2 ⎞
⎛ 1
⎜
⎟
⎜ − 2 λ + 1 − 6 ⎟ , r = 2.
⎜− 2
− 6 ⎟⎠
4
⎝
2
№12. Решить системы уравнений: а) по
формулам Крамера; б) матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧2x1 − 3x2 + 5x3 = 11 ⎧2x1 − x2 + 5x3 = 4
⎪
⎪
1) ⎨3x1 − x2 + 5x3 = 10 , 2) ⎨5x1 + 2x2 +13x3 = 2
⎪3x − x + 5x = 0
⎪x + 2x − 4x = −7
3
2
3
⎩ 1 2
⎩1
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧2 x1 − x3 − x 4 = 0
⎧ x1 − 2 x 2 = 1
⎧3x1 + 4 x2 − x3 = 0
⎧ x 2 + 2 x3 + 3 x 4 = 2
⎪x + 2x − x = 1
⎪
⎪
⎪
2
3
а) ⎨5 x1 + x 2 = 0, б) ⎪ 1
, в) ⎨ x1 − x 2 − x3 − 2 x 4 = 0, г) ⎨ x1 + 2 x2 + x3 = 0 .
⎨
⎪6 x − x = 1
⎪ x + x + x = −1
⎪2 x − x + x = 0
⎪ x2 + x4 = 2
2
⎩ 1
2
4
⎩ 1
3
⎩ 1 2
⎪⎩3x1 + 3x2 − 2 x3 = 0
131
№14.
Найти
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
⎛ 5 −7 0 ⎞
⎟
⎜
преобразования, заданного матрицей A = ⎜ − 3 1
0 ⎟.
⎜ 12 6 − 3 ⎟
⎠
⎝
a = ( 2,1,1) , b = ( −1,3,−2) , c = (3,−1,2) и
d = ( −4,11,−7) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№15. Даны координаты векторов
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1 y 2 y3 ) по данному базису
g1 = (− 1 − 2 1),
g 2 = (2 0 0),
g 3 = (0 3 2 ) построить ортонормированный базис e1 , e2 , e3 . Найти угол между
векторами x = 4e1 + e2 + 8e3 , y = −6e1 + e2 + e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j , k ,
если a = 3i − j + 2k ;
б) координаты векторов u = A x и v = B x в базисе i , j , k , если x = 5i + k .
⎛ 0 1 − 3⎞
⎟
⎜
№18. Дана матрица A = ⎜ 5
0 2 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 ,
⎜− 2 1 0 ⎟
⎠
⎝
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в
задании №15.
⎛ 11 2 − 8 ⎞
⎟
⎜
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ 2
2 10 ⎟
⎜ − 8 10 5 ⎟
⎠
⎝
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
5 x 2 + 6 xy + 6 y 2 − 16 2 x − 16 2 y − 16 = 0 .
132
ВАРИАНТ № 5
№1. Вычислить
⎛−1
⎛ 1 0 − 2⎞
⎜
⎜
⎟ ,.
A = ⎜ 2 1 − 3⎟ B = ⎜ 2
⎜1
⎜− 4 3 5 ⎟
⎝
⎠
⎝
А + 2В – С, где
1 0⎞
⎛ 3 4 5⎞
⎜
⎟
⎟,
− 3 4 ⎟ C = ⎜ 1 − 3 2⎟ .
⎜ 8 − 6 7⎟
− 5 6 ⎟⎠
⎝
⎠
№2. Найти произведение матриц
⎛ 1 8⎞
⎜
⎟
⎜ 4 3 ⎟ ⎛⎜ 5 6 11 3 ⎞⎟.
⎜ − 2 5 ⎟ ⎜⎝ − 2 0 0 1 ⎟⎠
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 6 0⎠
№3. Даны матрицы
⎛1 1 −1⎞
4 1⎞
⎛3
⎜
⎟.
⎜
⎟,
A=⎜ 0
2 5 ⎟ B = ⎜ 2 9 3 ⎟.
⎜ 7 5 − 2⎟
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Найти матрицу Х из уравнения 5A–X–B=0.
№4. Найти значение многочлена
f(x)= –x3 – 3x + 2 от матрицы
№5. Вычислить определители
0 0 0 2
−1 3 2
2 8 1 , 1 3 6 8.
1 2 3 4
1 1 2
2 2 −2 1
№6. Найти x из уравнения
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
⎛ 1 0 2⎞
⎛ 1 1 1⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 2 1 ⎟, B = ⎜ 2 1 1 ⎟.
⎜ 3 1 4⎟
⎜ 1 1 3⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
2 − 9 1 3⎞
⎛ 1
⎟
⎜
2 − 4 0 1⎟
⎜ 1
⎜ − 3 − 2 − 1 1 1 ⎟.
⎟⎟
⎜⎜
⎝ − 1 2 − 14 2 5 ⎠
⎛1 0 ⎞ .
⎟⎟
A = ⎜⎜
2
−
1
⎝
⎠
x
1
3
2 −1 =
x−5 1
2
1
2
1
−1 3
.
⎛ 1 2 2⎞
⎜
⎟
⎜ 2 1 5 ⎟.
⎜ 1 3 2⎟
⎝
⎠
⎛ 1 2⎞
− 2 0⎞ ⎜
⎟
⎛
X⎜
=
⎜ 1 1 ⎟⎟ ⎜ 3 4 ⎟.
⎝
⎠ ⎜
⎟
⎝ − 2 2⎠
№11. При каких значениях параметра “λ”
ранг матрицы равен указанному числу
0
4 ⎞
⎛ 0
⎜
⎟
⎜ − 1 λ + 2 1 ⎟ , r = 3.
⎜1
3
− 7 ⎟⎠
⎝
№12. Решить системы уравнений: а) по
формулам Крамера; б) матричным
способом; в) методом Гаусса
2
x
⎧ 1 + 3x2 + 5 x3 = 12
⎧2 x1 − x2 = 0
⎪
1) ⎨ x1 − 4 x2 + 3x3 = −22, 2) ⎪⎨ x1 + 2 x2 − x3 = 1.
⎪3x − x − 2 x = 0
⎪x + x = 0
3
⎩ 1 2
⎩ 2 3
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧2 x1 − 3x 2 + x3 = 0
⎧3x1 − 7x2 = 4
⎧2 x1 + x3 + 2 x 4 = 5
⎧3x1 − 5 x 2 − x3 = 0
⎪x − x − x = 1
⎪
⎪
⎪
3
4
а) ⎨2x1 − 3x2 = 1 , б) ⎪ 2
, в) ⎨ x2 − x3 + x4 = 0 , г) ⎨2 x1 − x 2 − 2 x3 = 0.
⎨
⎪x − 4x = 3
⎪2 x + x + 3 x = 5
⎪x − 4x + x = 0
⎪ x1 + x 2 + 2 x3 = 0
2
2
3
⎩1
⎩ 1
2
3
⎩ 1
⎪⎩3x1 − x 2 + 2 x3 − x 4 = 0
133
№14.
Найти
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
⎛ 2 19 30 ⎞
⎜
⎟
преобразования, заданного матрицей A = ⎜ 0 − 5 − 12 ⎟.
⎜0 2
5 ⎟⎠
⎝
№15. Даны координаты векторов a = (3,3,2) , b = ( −2,4,−1) , c = ( 4,−2,−1) и
d = (12,6,−9) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1 y 2 y3 )
по
данному
базису
g1 = (0 1 2 ),
g 2 = (2 3 − 1),
g 3 = (2 0 0) построить ортонормированный базис e1 , e2 , e3 . Найти угол между
векторами x = e1 − 5e2 + 2e3 , y = e1 + e2 − 4e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j , k ,
если a = −4i + j + 2k ;
б)
координаты
x =i +5j+k .
векторов
u =A x
и
v =B x
в базисе
i , j, k , если
⎛ 5 −1 2⎞
⎟
⎜
№18. Дана матрица A = ⎜ 0 3 0 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 , e2 ,
⎜ 4 0 1⎟
⎠
⎝
e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании
№15.
⎛ 2 −2 0 ⎞
⎟
⎜
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ − 2
1 − 2⎟
⎜ 0 −2 0 ⎟
⎠
⎝
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
x 2 + 2 xy + y 2 − 8 2 x + 4 = 0 .
134
ВАРИАНТ № 6
№1. Вычислить 0,5А + В + BС, где
№2. Найти произведение матриц
⎛ −1 1 0⎞
⎛ 1 0 − 2⎞
⎛ 3 4 5⎞
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
A = ⎜ 2 1 − 3⎟ B = ⎜ 2 − 3 4 ⎟ C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎜− 4 3 5 ⎟
⎜8 − 6 7⎟
⎝
⎠
⎠
⎝
⎝ 1 − 5 6⎠
9 ⎞ ⎛1 0
⎛ 2 − 6 13
0 − 1 ⎞ ⎛ 1 0 0 − 1⎞
⎜
⎟⎜
⎟
⎟⎜
0 − 10 ⎟ ⎜ 0 − 1 − 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 ⎟
⎜4 0
⎜ 5 1 −1 3 ⎟ ⎜ 3 − 3 5 − 5⎟ ⎜ 0 0 1 0 ⎟
⎜
⎟⎜
⎟
⎟⎜
⎜2 − 2 8
7 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 − 4 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 1 ⎟⎠
⎝
№3. Даны матрицы
4 1⎞
⎛1 1 −1⎞
⎛3
⎜
⎟
⎟,
⎜
A=⎜ 0
2 5 ⎟ B = ⎜ 2 9 3 ⎟. .
⎜ 7 5 − 2⎟
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎝
⎠
⎠
⎝
Найти матрицу Х, из уравнения 3A–X=2B.
№4. Найти значение многочлена
f(x)= 4x3 – 4x2 + 1 от матрицы
№5. Вычислить определители
−2 0 0 0
1 2 3
2 1 1 , −1 1 3 1 .
2 1 1 2
6 1 −8
4 0 −3 3
№6. Найти x из уравнения
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
⎛ 1 0 2⎞
⎛ 1 2 1⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
A = ⎜ 1 1 3 ⎟, B = ⎜ 2 1 1 ⎟.
⎜ 3 1 4⎟
⎜ 2 1 1⎟
⎝
⎠
⎠
⎝
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать какойнибудь базисный минор
⎛ − 1 0 ⎞ X ⎛ 3 4 ⎞ = ⎛ 1 1⎞
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟.
⎟⎟ ⎜⎜
⎜⎜
2
1
1
2
⎠ ⎝ 1 1⎠
⎝
⎠ ⎝
⎛1 0 ⎞
⎟⎟ .
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
−1
1
1
− 2 = 0. .
5
−3
x
⎛ 0 2 1⎞
⎜
⎟
1
1
0
−
⎜
⎟.
⎜ 1 1 0⎟
⎝
⎠
8 ⎞
⎛ 1 −3 5
⎜
⎟
2 ⎟
⎜ 0 −1 1
.
⎜ 0
2 − 2 − 4⎟
⎜⎜
⎟
4 ⎠⎟
⎝− 2 − 5 1
№11. При каких значениях “λ” ранг
матрицы равен указанному числу
⎛λ 2 3⎞
⎜
⎟ , r = 3.
⎜ 1 0 − 1⎟
⎜−1 0 λ ⎟
⎝
⎠
2 x+2
№12. Решить системы уравнений: а) по
формулам Крамера; б) матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧2 x1 + x2 = 3
⎧3 x3 + x2 + 6 = 0
⎪
, 2) ⎪⎨ x1 − 2 x2 − x3 = 5 .
1) ⎨ x1 + x3 = 5
⎪3x + x + 2 x = 0 ⎪3x + 4 x − 2 x = 13
3
2
3
⎩ 1 2
⎩ 1
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧3x1 − 5 x 2 − 8 x3 = 0
⎧ x1 − x 2 + x 4 = 1
⎧2 x1 + x 2 = 7
⎧4 x 2 + 2 x 3 − 3 x 4 = 0
⎪
⎪
⎪
а) ⎪
, г) ⎨− x1 + 3x 2 + 2 x3 = 0.
⎨ x1 + 3 x 2 = 1 , б) ⎪⎨ x 2 + x3 − x 4 = −1, в) ⎨3x1 − 3x2 + x 4 = 3
⎪5 x + x − 4 x = 0
⎪x − 2x = 6
⎪3x + x + 2 x − 2 x = 3
⎪2 x1 − x3 + x 4 = 0
2
2
2
3
4
⎩ 1
⎩ 1
3
⎩ 1
⎪
⎩3 x1 + x 4 = 5
135
Найти
№14.
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
⎛ − 3 2 0⎞
⎜
⎟
преобразования, заданного матрицей A = ⎜ − 2 1
0 ⎟.
⎜ 15 − 7 4 ⎟
⎝
⎠
№15. Даны координаты векторов a = (8,1,4) , b = (3,1,1) , c = ( −6,−1,−3) и
d = ( −4,2,−5) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1 y 2 y3 ) по данному базису g1 = (3 0 4 ), g 2 = (3 − 1 1), g 3 = (1 2 3)
построить
ортонормированный
базис
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = e1 + 3e2 − 5e3 , y = e1 + 2e2 + e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j , k ,
если a = 2i + j − 8k ;
б) координаты векторов u = A x и v = B x в базисе i , j, k , если x = 9i − 5k .
⎛ 3 0 0⎞
⎟
⎜
№18. Дана матрица A = ⎜ 0 − 2 1 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 , e2 ,
⎜ 2 4 4⎟
⎠
⎝
e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании
№15.
⎛ 3 2 0⎞
⎟
⎜
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ 2 2 2 ⎟ линейного
⎜ 0 2 1⎟
⎠
⎝
оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
8 x 2 − 4 xy + 5 y 2 + 4 5 x − 10 5 y − 41 = 0 .
136
ВАРИАНТ № 7
№1. Вычислить 4А + 2В – 3С, где
⎛3 4 5⎞
⎛ −1 1 0⎞
⎛ 1 0 − 2⎞
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 − 3 ⎟, B = ⎜ 2 − 3 4 ⎟, C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟.
⎜8 − 6 7 ⎟
⎜ 1 − 5 6⎟
⎜− 4 3 5 ⎟
⎝
⎠
⎠
⎝
⎝
⎠
№3. Даны матрицы
№2. Найти произведение матриц
⎛ − 10 54 36 ⎞ ⎛ 0 − 2 − 3 ⎞
⎜
⎟⎜
⎟
− 1 0 ⎟ ⎜ − 2 0 − 3 ⎟.
⎜ 0
⎜ − 3 18 11 ⎟ ⎜ 0
2
1 ⎟⎠
⎝
⎠⎝
№4. Найти значение многочлена
f(x)= –x2 – 5x + 3 от матрицы
4 1⎞
⎛1 1 − 1⎞
⎛3
⎟.
⎜
⎜
⎟,
A=⎜ 0
2 5 ⎟ B = ⎜ 2 9 3 ⎟.
⎜ 7 5 − 2⎟
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎠
⎝
⎝
⎠
Найти матрицу Х из уравнения 5B = 2A +3X.
№5. Вычислить определители
6 2 0 3
2 −2 3
6 1 1 , 0 9 0 3.
1 2 d 2
2 −2 3
0 0 0 d
⎛1 0 ⎞
⎟⎟ .
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
№6. Найти x из уравнения
x2
3
x
0
− 1 1 = 0.
1 4
2
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
⎛1 5 6 ⎞
⎛ −1 3 2⎞
⎜
⎟
⎟
⎜
A = ⎜1 7 8 ⎟, B = ⎜ 4 0 0 ⎟.
⎜1 8 9 ⎟
⎜ 6 3 1⎟
⎝
⎠
⎠
⎝
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
⎛ 0 1 −1 2 5⎞
⎟
⎜
⎜ − 3 0 4 2 2⎟
⎜ 1 2 4 0 0 ⎟.
⎟⎟
⎜⎜
2
3
7
4
7
−
⎝
⎠
7 ⎞
⎛2 5
⎜
⎟
4 ⎟.
⎜6 3
⎜ 5 − 2 − 3⎟
⎝
⎠
− 4 1⎞ ⎛ 2 0⎞
X ⎜⎛
=
⎜ 1 4 ⎟⎟ ⎜⎜ − 3 1 ⎟⎟.
⎝
⎠ ⎝
⎠
№11. При каких значениях параметра “λ” ранг
матрицы равен указанному числу
⎛ − 1 2 4⎞
⎜
⎟
⎜ 0 − 4 0 ⎟ , r = 3.
⎜1
λ 1 ⎟⎠
⎝
№12. Решить системы уравнений: а)по
формулам Крамера; б) матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧4 x1 + 2 x2 − x3 = 12
⎧x1 + 2x2 + 3x3 = 1
⎪
⎪
1) ⎨ x1 + 2 x2 + x3 = 7 , 2) ⎨5x1 + 8x2 − x3 = 7 .
⎪x − x = −1
⎪2 x − 3x + 2 x = 9
2
3
⎩ 2 3
⎩ 1
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧4 x1 + x3 + 3x 4 = 1
⎧4 x1 − x2 − x3 = 0
⎧2 x 2 + x 3 + 4 x 4 = 0
⎧2 x1 + x 2 = 0
⎪3x − x + x = 2
⎪
⎪
⎪
3
4
а) ⎨ x1 + x 2 = −3 , б) ⎪ 1
.
, в) ⎨ x1 − x3 + x 4 = 2 , г) ⎨ x1 + x2 + x3 = 0
⎨
⎪x + 2 x + 5x = 1
⎪3x − 2 x − 2 x = 0
⎪3x + 2 x = −3
⎪ x1 + 2 x3 + 2 x4 = 0
2
1
2
4
2
⎩ 1
⎩
3
⎩ 1
⎪⎩3x2 − x3 − x4 = −1
137
№14.
Найти
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
⎛ − 1 − 2 12 ⎞
⎟
⎜
преобразования, заданного матрицей A = ⎜ 0
4 3 ⎟.
⎜0
5 6 ⎟⎠
⎝
№15. Даны координаты векторов a = ( 4,1,8) , b = (1,1,3) , c = ( −3,−1,−6) и
d = (9,−2,12) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
скалярным
y = ( y1
y2
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где
g1 = (2 − 2 1),
данному
базису
произведением
y3 )
по
x = ( x1
x2
x3 ) ,
g 2 = (0 3 0),
g 3 = (0 0 1) построить ортонормированный базис e1 , e2 , e3 . Найти угол между
векторами x = e1 + 2e2 − 2e3 , y = 4e1 + e2 + e3 .
№17. Задано линейное преобразование
пространства свободных векторов найти:
A
x = ( x , a )a и
B x = [ x , a ] евклидова
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j , k ,
если a = 6i − 4 j + k ;
б) координаты
x = 2i − 2 j + k .
векторов
u =A x
и
v =B x
в базисе
i , j, k , если
⎛ 3 − 5 0⎞
⎟
⎜
№18. Дана матрица A = ⎜ 2 0 1 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 , e2 ,
⎜ 2 − 1 0⎟
⎠
⎝
e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании
№15.
2 ⎞
⎛6 2
⎟
⎜
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ 2
3 − 4⎟
⎜2 − 4 1 ⎟
⎠
⎝
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
x 2 − 8 xy + 7 y 2 + 6 5 x − 6 5 y − 5 = 0 .
138
ВАРИАНТ № 8
№1. Вычислить А – 5В – 4С, где
⎛3 4 5⎞
⎛ −1 1 0⎞
⎛ 1 0 − 2⎞
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 − 3 ⎟, B = ⎜ 2 − 3 4 ⎟, C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟.
⎜8 − 6 7⎟
⎜ 1 − 5 6⎟
⎜− 4 3 5 ⎟
⎠
⎝
⎠
⎝
⎝
⎠
№3. Даны матрицы
№2. Найти произведение матриц
⎛ 2 9⎞
⎛ 6 − 3 4 1 ⎞ ⎜ − 7 4⎟
⎟
⎜⎜
⎟⎟ ⎜
.
⎝ 0 − 2 − 5 4 ⎠ ⎜ 13 0 ⎟
⎟⎟
⎜⎜
1
1
−
⎠
⎝
№4. Найти значение многочлена
f(x)= 5x2 – 5x + 3 от матрицы
4 1⎞
⎛1 1 − 1⎞
⎛3
⎜
⎟.
⎜
⎟,
A=⎜ 0
2 5 ⎟ B = ⎜ 2 9 3 ⎟.
⎜ 7 5 − 2⎟
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛1 0 ⎞
⎟⎟ .
A = ⎜⎜
2
−
1
⎝
⎠
Найти матрицу Х из уравнения A + 3X = 5B.
№5. Вычислить определители
1 1 1 1
1
2
3
−5
2
1
−3
−1 ,
1
1 2 1 2
1 1 3 1
№6. Найти x из уравнения
1
4
.
3
5
2 −1
1 2 1 4
x
− 1 = 0.
5
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
7⎞
⎛3 5
⎛ − 1 2 1⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
0 3 ⎟, B = ⎜12 − 8 − 1⎟.
A=⎜ 1
⎜ 0 15 2 ⎟
⎜ 3 − 4 1⎟
⎠
⎝
⎠
⎝
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
⎛ 2 3 − 1⎞
⎜
⎟
⎜ 3 − 2 4 ⎟.
⎜1 −1 0 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 2⎞ X =⎛ 4 3 2 ⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟.
−
2
3
−
1
0
1
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ −1 4 2 0 ⎞
⎜
⎟
⎜ 1 8 2 1 ⎟.
⎜ 2 7 1 − 4⎟
⎝
⎠
№11. При каких значениях параметра “λ” ранг
матрицы равен указанному числу
⎛− 2 0
⎜⎜
⎝ 1 λ
6 ⎞
⎟ , r = 1.
− 3 ⎟⎠
№12. Решить системы уравнений: а)по
формулам Крамера; б)матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧ x1 + 5 x2 + x3 = 0
⎧2 x1 + 3 x2 − x3 = 4
⎪
⎪
1) ⎨ x1 + 2 x2 + 2 x3 = 5 , 2) ⎨2 x1 − 4 x2 − 3 x3 = −1.
⎪3 x + 4 x + 2 x = 8
⎪3 x + 4 x − 5 x = 2
2
3
2
3
⎩ 1
⎩ 1
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧3x1 + x 2 + x3 = 4
⎧2 x 2 + x3 + 4 x 4 = 0
⎧7 x1 − x 2 = 1
⎧7 x1 + x 2 − 3x3 = 0
⎪
⎪ x + x − 3x = 1
⎪
а) ⎨3 x1 + x 2 = 3 , б) ⎪ 1
в) ⎨ x1 + x3 − 2 x 4 = 2 , г) ⎪
3
4
⎨4 x1 − x 2 + x3 = 0 .
,
⎨
2
2
2
−
−
=
x
x
x
⎪
⎪4 x − 2 x = −2
⎪3x + 2 x − 2 x = 0
2
3
⎪ 1
2 x1 + x 2 + 2 x 4 = 2
⎩
2
2
⎩ 1
3
⎩ 1
⎪
⎩3x1 + 2 x2 + x 4 = 5
139
Найти
№14.
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
⎛ 1 8 23 ⎞
⎜
⎟
преобразования, заданного матрицей A = ⎜ 0 5 7 ⎟.
⎜0 3 1 ⎟
⎝
⎠
№15. Даны координаты векторов a = ( 2,7,4) , b = (3,−5,0) , c = ( 4,0,11) и
d = (33,24,39) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1
построить
y2
y3 ) по данному базису g1 = (1 4
ортонормированный
базис
2 ), g 2 = (0 0 1), g 3 = (2 2 1)
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = −8e1 + e2 − 3e3 , y = e1 + 5e2 − e3 .
№17. Задано линейное преобразование
пространства свободных векторов найти;
A
x = ( x , a )a и
B x = [ x , a ] евклидова
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j, k ,
если a = i + 3 j + k ;
б) координаты векторов u = A x и v = B x в базисе i , j , k , если x = i + j .
0 ⎞
⎛0 3
⎟
⎜
№18. Дана матрица A = ⎜ 0 2
5 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 ,
⎜ 2 − 1 − 3⎟
⎠
⎝
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в
задании №15.
⎛ 5 − 6 − 3⎞
⎟
⎜
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ − 6 9
0 ⎟
⎜−3 0
9 ⎟⎠
⎝
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
6 x 2 + 4 xy + 9 y 2 − 15 5 x − 5 5 y − 50 = 0 .
140
ВАРИАНТ № 9
№1. Вычислить 4А + 3В + С, где
№2. Найти произведение матриц
⎛ −1 1 0⎞
⎛ 1 0 − 2⎞
⎛3 4 5⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 − 3 ⎟, B = ⎜ 2 − 3 4⎟, C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟.
⎜ 1 − 5 6⎟
⎜− 4 3 5 ⎟
⎜8 − 6 7 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
1 ⎞ ⎛ 0 0 2⎞ ⎛1 0 0⎞
⎛1 1
⎟
⎜
⎟⎜
⎟⎜
6 ⎟ ⎜ − 1 2 9 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟.
⎜2 0
⎜ 3 − 5 − 2⎟ ⎜ 8 6 4⎟ ⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠⎝
⎠
⎠⎝
Даны матрицы
⎛1 1 − 1⎞
1⎞
⎟
⎜
⎟
5 ⎟ B = ⎜ 2 9 3 ⎟.
⎜ 7 5 − 2⎟
3 ⎟⎠
⎠.
⎝
,
Найти матрицу Х из уравнения 4X–0,5A=1/3B.
№4. Найти значение многочлена
f(x)= –x2 + 3x –5 от матрицы
№5. Вычислить определители
3 −5 −2 2
1 3
2
4 4
1 −4 8 , −4 7
.
4 −9 −3 7
1 1 −2
2 −6 −3 2
№6. Найти x из уравнения
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
⎛ 1 2 0⎞
⎛ 2 0 0⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ − 1 3 1 ⎟, B = ⎜ 0 2 0 ⎟.
⎜ 1 4 0⎟
⎜ 0 0 2⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
⎛ 1 −1 −1 5 1⎞
⎟
⎜
1 2 ⎟.
⎜− 2 0 1
⎜ − 3 1 2 − 4 1⎟
⎠
⎝
№3.
4
⎛3
⎜
A=⎜ 0
2
⎜−1 − 2
⎝
⎛1 0 ⎞
⎟⎟ .
A = ⎜⎜
2
−
1
⎠
⎝
−4
3
x
2
−1
3 = 0.
x + 10
1
1
⎛ 0 3 1⎞
⎟
⎜
⎜ − 1 2 0 ⎟.
⎜ 1 4 0⎟
⎝
⎠
X ⎛⎜⎜
5 0⎞ ⎛1 1 ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟.
1
2
⎝
⎠ ⎝ 2 − 1⎠
№11. При каких значениях параметра “λ” ранг
матрицы равен указанному числу
⎛1 − 3 − 2⎞
⎜
⎟
⎜ 2 − 6 − 4 ⎟ , r = 2.
⎜1 λ
0 ⎟⎠
⎝
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б) матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧2 x1 − x 2 = −1
⎧3x1 + x2 + x3 = 1
⎪
1) ⎨ x1 − 2 x 2 − x 3 = −2, 2) ⎪x + 2 x − x = −2 .
⎨1
2
3
⎪ x + x = −2
⎪
3
⎩ 2
⎩2 x1 − 3x2 + 2 x3 = 2
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧ x1 − x3 − x 4 = 1
⎧ x1 + 2 x2 + x3 = 0
⎧ x1 − 2 x2 + 3x3 = 3
⎧ x1 + x 2 = 4
⎪
⎪
⎪ x + x + 2 x 4 = 2 в) ⎪2 x + x − x = 1
а) ⎪
г) ⎨ x1 − x2 − x3 = 0 .
,
⎨ 1
⎨2 x1 − x 2 = 8 , б) ⎨ 1 2
,
3
4
2 x 2 + x3 − x 4 = 5
⎪3x + x + x = 0
⎪ x + 2 x − 2 x − x = −2
⎪x − 2x = 4
⎪
1
2
3
4
2
⎩
⎩ 1
3
⎩ 1 2
⎪⎩2 x1 + 2 x 2 + x3 = 0
141
№14.
Найти
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
⎛ 4 0 5⎞
⎜
⎟
преобразования, заданного матрицей A = ⎜ 7 − 2 9 ⎟.
⎜ 3 0 6⎟
⎝
⎠
№15. Даны координаты векторов a = ( 2,7,4) , b = (3,−5,0) , c = ( 4,1,1) и
d = (12,−33,−7) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1 y 2 y3 ) по данному базису g1 = (3 2 1), g 2 = (− 1 1 0), g 3 = (0 0 5)
построить
ортонормированный
базис
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = e1 + 6e2 + 7e3 , y = − e1 + 5e2 + e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j , k ,
если a = −3i + j − k ;
б)
координаты
x = i + 2 j + 6k .
векторов
u =A x
и
v =B x
в базисе
i , j, k , если
⎛ 0 − 1 3⎞
⎟
⎜
№18. Дана матрица A = ⎜ 2 0 2 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 , e2 ,
⎜ 4 − 3 0⎟
⎠
⎝
e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании
№15.
⎛ 12 − 3 − 1⎞
⎟
⎜
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ − 3 9
0⎟
⎜ −1 0
9 ⎟⎠
⎝
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
2 x 2 + 4 xy + 5 y 2 − 16 5x − 16 5 y + 20 = 0 .
142
ВАРИАНТ № 10
№1. Вычислить 1/3А + 1/3В – 2С, где
№2. Найти произведение матриц
⎛ 2 −1 3 − 4⎞ ⎛ 7 8 6 9 ⎞
⎟⎜
⎜
⎟
⎜ 3 − 2 4 − 3⎟ ⎜ 5 7 4 5⎟ .
⎜ 5 − 3 − 2 1 ⎟ ⎜ 3 4 5 6⎟
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
3
3
1
2
−
−
⎝
⎠ ⎝ 2 1 1 2⎠
⎛3 4 5⎞
⎛ −1 1 0⎞
⎛ 1 0 − 2⎞
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 − 3 ⎟, B = ⎜ 2 − 3 4 ⎟, C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟.
⎜8 − 6 7⎟
⎜ 1 − 5 6⎟
⎜− 4 3 5 ⎟
⎠
⎝
⎠
⎝
⎝
⎠
№3. Даны матрицы
№4. Найти значение многочлена
f(x)= –x4 + 2x –7 от матрицы
4 1⎞
⎛3
⎛1 1 −1⎞
⎜
⎟,
⎜
⎟.
A=⎜ 0
2 5 ⎟ B = ⎜ 2 9 3 ⎟.
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎜ 7 5 − 2⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛1 0 ⎞ .
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
Найти матрицу Х из уравнения B + 0,5X=3A.
№5. Вычислить определители
1 0 2 c
1 −3 2
7 0 − 6 , 2 0 в 0.
3 a 6 4
2 3
1
d 0 0 0
№6. Найти x из уравнения
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
⎛ 0 0 3⎞
⎛1 −1 1⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 3 4 ⎟, B = ⎜ 0 3 0 ⎟.
⎜ 3 0 0⎟
⎜0 1 0⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
x 1 1
1
1 1
⎛− 4
⎜
⎜ −1
⎜ 1
⎜⎜
⎝ −1
⎝ 1 3⎠
№11. При каких значениях параметра “λ”
ранг матрицы равен указанному числу
1
3⎞
⎛1
⎜
⎟
0
0 ⎟ , r = 2.
⎜−1
⎜ 4 λ + 2 1⎟
⎝
⎠
x
⎛3 − 4 5 ⎞
⎟
⎜
⎜ 2 − 3 1 ⎟.
⎜ 3 − 5 − 1⎟
⎠
⎝
2 1 ⎞ ⎛ 3 1⎞
X ⎛⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟.
⎝1 2⎠
x 1 = 0.
0 ⎞
⎟
2 ⎟
.
2 − 4 − 3⎟
⎟
3 − 4 − 7 ⎟⎠
1
0
2
1
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б)матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧2 x1 + x2 − x3 = 0
⎧3 x1 + 2 x2 + 5 x3 = −10
⎪
⎪
1) ⎨3 x2 + 4 x3 + 6 = 0, 2) ⎨2 x1 + 5 x2 − 3 x3 = 6 .
⎪x + x = 1
⎪ x + 3 x − 6 x = 12
2
3
⎩1 3
⎩1
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧ x 2 − x3 + x 4 = −1
⎧2 x1 + 2 x2 + x3 = 5
⎧5 x1 − 3x2 = 7
⎧ x1 − x3 + x4 = 0
⎪2 x + 3 x − x = 2
⎪x − x + x = 0
⎪
⎪
⎪ 1
3
4
3
4
а) ⎨ x1 + x 2 = 6 , б) ⎪ 1
, г) ⎨2 x1 + x3 − 2 x4 = 0.
, в) ⎨
⎨
⎪4 x − 4 x = 1
⎪3x + 2 x − x = 0
⎪ x1 + x 2 − x 4 = −3
⎪3x1 + 2 x3 + x4 = 1
2
⎩ 1
2
⎩ 1
4
⎪⎩3 x1 + 4 x 2 − x 4 = −2
⎪⎩ x2 + x3 − x4 = 0
143
№14.
Найти
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
⎛ 1 − 1 16 ⎞
⎟
⎜
преобразования, заданного матрицей A = ⎜ 0 1 − 1⎟.
⎜0 1
3 ⎟⎠
⎝
№15. Даны координаты векторов a = (1,0,3) , b = ( 4,5,−2) , c = ( −1,4,5) и
d = (6,−20,−22) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1 y 2 y3 )
по
данному
базису
g1 = (1 0 − 1), g 2 = (4 2 0),
g 3 = (0 0 − 3) построить ортонормированный базис e1 , e2 , e3 . Найти угол между
векторами x = e1 + 5e2 + 4e3 , y = e1 − e2 + e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j , k ,
если a = −i − j + k ;
б)
координаты
x = 8i − 2 j + k .
векторов
u =A x
и
v =B x
в базисе
i , j, k , если
⎛1 0 0 ⎞
⎟
⎜
№18. Дана матрица A = ⎜ 5 2 − 2 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 , e2 ,
⎜3 0 3 ⎟
⎠
⎝
e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании
№15.
2⎞
⎛4 2
⎟
⎜
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ 2 3 − 1⎟
⎜2 −1 3 ⎟
⎠
⎝
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
2 x 2 + 8 xy + 2 y 2 − 6 2 x − 12 2 y + 26 = 0 .
144
ВАРИАНТ № 11
№1. Вычислить 2А + В – 3С, где
⎛ 3 4 5⎞
⎛ −1 1 0⎞
⎛ 1 0 − 2⎞
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
A = ⎜ 2 1 − 3 ⎟, B = ⎜ 2 − 3 4 ⎟, C = ⎜1 − 3 2⎟.
⎜8 − 6 7 ⎟
⎜ 1 − 5 6⎟
⎜− 4 3 5 ⎟
⎝
⎠
⎠
⎠
⎝
⎝
№2. Найти произведение матриц
1
1
−1⎞ ⎛ 7 − 2 3 4⎞
⎛ 1
⎟⎜
⎜
⎟
⎜ − 5 − 3 − 4 4 ⎟ ⎜ 11 0 3 4 ⎟ .
⎜ 5
1
4 − 3⎟ ⎜ 5
4 3 0⎟
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 16 − 11 − 15 14 ⎠ ⎝ 22 2 9 8 ⎠
№3. Даны матрицы
4 1⎞
⎛3
⎛1 1 −1⎞
⎜
⎟,
⎜
⎟
A=⎜ 0
2 5 ⎟ B = ⎜ 2 9 3 ⎟. .
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎜ 7 5 − 2⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Найти матрицу Х из уравнения 4A + X=2B.
№4. Найти значение многочлена
f(x)= x3 – x2 + x + 1 от матрицы
№5. Вычислить определители
1 1 −1 1
−3 4 2
1
2 3 , 1 −1 1 1 .
1 1 −1 1
5 −1 6
1 1
1 −1
№6. Найти x из уравнения
2 x + 2 0 −1
1
1
0 −2
= 0.
5
3
2 0
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
5
−3
0
x
⎛ 2 7 3⎞
⎜
⎟
⎜ 3 9 4 ⎟.
⎜ 1 5 3⎟
⎝
⎠
⎛ 4 0 5⎞
⎛ 1 − 1 10 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 7 − 2 9 ⎟, B = ⎜ 0 1 − 1⎟.
⎜ 3 0 6⎟
⎜0 1 3 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
⎛ 1 − 3 ⎞ X = ⎛ 0 2 − 1⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟.
⎝2 5 ⎠
⎝1 1 1 ⎠
3 −1 1⎞
⎛ 1
⎟
⎜
⎜ − 2 3 0 5 ⎟.
⎜ 4 −1 6 1⎟
⎠
⎝
№11. При каких значениях параметра “λ”
ранг матрицы равен указанному числу
⎛1
⎜⎜
⎝λ
⎛1 0 ⎞ .
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
2 ⎞
⎟⎟ , r = 1.
− 3⎠
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б)матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧ x1 + 2 x2 + x3 = 8
⎧2 x1 + x3 + 3 x4 = 0
⎪
⎪
1) ⎨3x2 − 2 x1 − 3x3 = −5, 2) ⎪2 x2 − x1 − x3 − 2 x4 = −3
.
⎨
⎪3x − 4 x + 5x = 10
2
3
⎩ 1
⎪ x1 − x2 + 4 x4 = −3
⎪⎩ x1 + 2 x2 + x3 + 3 x4 = −6
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧ x 2 + 3 x3 = 7
⎧ x1 − x 2 − x3 − 2 x 4 = 0
⎧4 x1 − 2 x3 + 5 x 4 = 0
⎧3 x1 + x 2 = 3
⎪
⎪
а) ⎪ x + x = 0 , б) ⎪ x1 + x 2 + x3 = 8
в) ⎪2 x1 − 3x 2 − x3 + x 4 = 1 г) ⎪
⎨3x1 + x3 − x 4 = 0 .
,
⎨ 1
2
,
⎨
⎨
2
2
1
x
+
x
−
x
=
x
x
x
−
−
=
3
4
1
⎪ x − 3x + 6 x = 0
⎪4 x + 2 x = 3
3
4
2
4
⎪ 1
⎪ 1
3
4
⎩ 1
2
⎩ 1
⎪⎩ x1 + x 2 + 2 x3 − 2 x 4 = 0
⎪⎩ x1 − 2 x 2 − 2 x3 + 3x 4 = 1
145
Найти
значения и собственные
⎛ − 3 11 7 ⎞
⎟
⎜
преобразования, заданного матрицей A = ⎜ 0 5 − 4 ⎟.
⎜ 0 1 1 ⎟
⎠
⎝
№14.
собственные
векторы
линейного
№15. Даны координаты векторов a = (3,3,2) , b = ( −2,4,−1) и c = ( 4,−2,−1) ,
d = ( 21,9,10) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1
построить
y2
y3 ) по данному базису g1 = (2
ортонормированный
базис
0 1), g 2 = (1 1 0), g 3 = (0 0 4 )
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = −3e1 + e2 + 5e3 , y = e1 + 2e2 − 2e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j, k ,
если a = −2i + j − 3k ;
б) координаты векторов u = A x и v = B x в базисе i , j , k , если x = 4i + 8k .
⎛1 0 1 ⎞
⎟
⎜
№18. Дана матрица A = ⎜ 0 1 − 2 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 , e2 ,
⎜0 3 2 ⎟
⎠
⎝
e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании
№15.
⎛ 3 −2 0 ⎞
⎟
⎜
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ − 2
5 − 2⎟
⎜ 0 −2 3 ⎟
⎠
⎝
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
3x 2 + 4 xy + 6 5 x + 6 5 y + 12 = 0 .
146
ВАРИАНТ № 12
№1. Вычислить 2А + В + 2С, где
⎛ 1 0 − 2⎞
⎛ −1 1 0⎞
⎛3 4 5⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 − 3⎟, B = ⎜ 2 − 3 4 ⎟, C = ⎜1 − 3 2⎟.
⎜− 4 3 5 ⎟
⎜ 1 − 5 6⎟
⎜8 − 6 7 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
№2. Найти произведение матриц
⎛ 6 1 − 5⎞ ⎛ 0 3 0 ⎞ ⎛ 1 0 0⎞
⎟⎜
⎟.
⎜
⎟⎜
⎜ 3 0 2 ⎟ ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0⎟
⎜ − 9 8 11 ⎟ ⎜ 4 5 − 2 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟
⎠⎝
⎠
⎝
⎠⎝
№3. Даны матрицы
4 1⎞
⎛ 3
⎛1 1 −1⎞
⎜
⎟
⎟
⎜
A=⎜ 0
2 5 ⎟ , B = ⎜ 2 9 3 ⎟. .
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎜ 7 5 − 2⎟
⎝
⎠
⎠
⎝
Найти матрицу Х из уравнения A+X–3B=0.
№4. Найти значение многочлена
f(x)= x2 – 7 x + 6 от матрицы
№5. Вычислить определители
2 −3 2 1
1 −2 3
− 1 5 8 , 0 1 −1 1 .
0 2 −1 0
1 −1 0
0 3 −1 1
№6. Найти x из уравнения
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
x2
1
1
x −1
− 1 2 = 0.
1
3
⎛ 2 1 − 1⎞
⎟
⎜
⎜ 3 0 4 ⎟.
⎜1 0 1 ⎟
⎠
⎝
⎛ 1 8 − 1⎞
⎛1 −1 0 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜0 5
7 ⎟, B = ⎜ 0 1 − 1⎟.
⎜0 − 3 1 ⎟
⎜2 1 1 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
4 ⎞
2
0⎞
⎛5
⎛ 1
⎟⎟ X = ⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟.
−
1
−
2
−
−
−
3
2
1
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ −1 − 4 3 1 ⎞
⎜
⎟
⎜ − 1 2 − 1 − 1⎟
.
⎜ −1 0
1 − 1⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 −6 6 0 ⎠
№11. При каких значениях параметра “λ”
ранг матрицы равен указанному числу
0
⎛ 1
⎜
⎜ − 2 − 2λ
⎜ 3
3λ
⎝
⎛1 0 ⎞ .
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
− 2⎞
⎟
4 ⎟ , r = 2.
− 6 ⎟⎠
№12. Решить системы уравнений: а) по
формулам Крамера; б)матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧2 x1 − 3x 2 − x3 = 0
⎧4x1 − x2 − 3x3 = 1
⎪
1) ⎨3 x1 + 4 x 2 + 3 x3 + 5 = 0, 2) ⎪3x + 6x + 2x = 4.
⎨ 1
2
3
⎪x + x + x + 2 = 0
2
3
⎪2x + 4x + x = 4
⎩ 1
2
3
⎩ 1
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧3 x1 − 2 x 2 − x3 = 1
⎧ x1 − x 2 − x3 − 2 x 4 = 0
⎧4 x1 − 2 x3 + 5 x 4 = 0
⎧ x1 + x2 = 0
⎪x + x + x = 0
⎪2 x − 3x − x + x = 1
⎪
⎪
⎪
2
3
2
3
4
а) ⎨ x − 3x = 2, б) ⎨ 1
, в) ⎪⎨ 1
, г) ⎨3x1 + x3 − x 4 = 0 .
1
2
⎪ x − 3x + 6 x = 0
⎪3x − x = 2
⎪5 x 2 + x3 = 7
⎪3x1 − 4 x 2 − x 4 = 1
3
4
2
⎩ 1
⎩ 1
⎪⎩ x1 + 3 x 2 = 6
⎪⎩ x1 − 2 x 2 − 2 x3 + 3x 4 = 1
147
Найти
№14.
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
⎛5 9 7 ⎞
⎜
⎟
преобразования, заданного матрицей A = ⎜ 0 3 − 2 ⎟.
⎜0 2 −1⎟
⎝
⎠
№15. Даны координаты векторов a = (3,2,1) , b = ( −2,3,−2) , c = ( −5,−4,3) и
d = (5,12,−1) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1 y 2 y3 ) по данному базису g1 = (3 0 1), g 2 = (− 1 0 0), g 3 = (4 3 2 )
построить
ортонормированный
базис
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = 5e1 + e2 − e3 , y = − e1 + 3e2 + e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j, k ,
если a = i − j − k ;
б)
координаты
x = −5i + j − 2k .
векторов
u =A x
и
v =B x
в базисе
i , j, k , если
⎛ 4 0 − 3⎞
⎜
⎟
№18. Дана матрица A = ⎜ 2 − 1 0 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 ,
⎜0 2
5 ⎟⎠
⎝
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в
задании №15.
⎛ 3 2 − 2⎞
⎜
⎟
1 0 ⎟
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ 2
⎜− 2 0 1 ⎟
⎝
⎠
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
8 x 2 + 6 xy + 8 y 2 − 15 2 x − 7 2 y − 25 = 0 .
148
ВАРИАНТ № 13
№1. Вычислить А – 4В – 2С, где
№2. Найти произведение матриц
⎛3 1 ⎞
1 4⎞ .
⎟ ⎛ 2 − 1⎞ ⎛ 5
⎜
⎜ 5 − 6 ⎟ ⎜⎜ 3 4 ⎟⎟ ⎜⎜ − 2 − 3 0 ⎟⎟
⎠⎝
⎠
⎜7 − 8⎟ ⎝
⎠
⎝
⎛3 4 5⎞
⎛ −1 1 0⎞
⎛ 1 0 − 2⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 − 3 ⎟, B = ⎜ 2 − 3 4 ⎟, C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟.
⎜8 − 6 7 ⎟
⎜ 1 − 5 6⎟
⎜− 4 3 5 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
№3. Даны матрицы
⎛1 1 − 1⎞
4 1⎞
⎛3
⎟
⎜
⎜
⎟,
A=⎜ 0
2 5 ⎟ B = ⎜ 2 9 3 ⎟. .
⎜ 7 5 − 2⎟
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎠
⎝
⎝
⎠
Найти матрицу Х из уравнения A–1/5X=2B.
№4. Найти значение многочлена
f(x)= 5x5 – 6x + 2 от матрицы
№5. Вычислить определители
2 −1 1 1
5 4 −3
2 1
1 , 3 6 2 0.
2 −1 1 0
0 −1 1
1 2 1 0
№6. Найти x из уравнения
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
⎛ 6 5 1⎞
⎛5 3 − 2⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 8 7 1⎟, B = ⎜ 1 0 − 1 ⎟.
⎜ 9 8 1⎟
⎜3 4 7 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать какойнибудь базисный минор
X
⎛ 2 1 ⎞ =⎛ 0 1⎞
⎟⎟ ⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟.
3
−1
−
5
2
⎝
⎠ ⎝
⎠
№11. При каких значениях “λ” ранг
матрицы равен указанному числу
⎛3 1 0⎞
⎜
⎟ , r = 2.
⎜1 0 λ ⎟
⎜0 1 3⎟
⎝
⎠
⎛1 0 ⎞
⎟⎟ .
A = ⎜⎜
2
−
1
⎝
⎠
x −2 2
1 1 − 1 = 0.
1 −1 1
⎛ 2 −1 2⎞
⎜
⎟
3
1
5
⎜
⎟.
⎜ 2 − 4 3⎟
⎝
⎠
⎛ 1 2 − 2 −1 5 ⎞
⎜
⎟
0 − 3⎟
⎜ −1 4 1
.
⎜0 4 0
0
0 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
1 ⎠
⎝ 1 13 − 1 1
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б)матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧2 x1 − x 2 = 0
⎧ x1 − x 2 − 3 x 3 = 13
⎪
⎪
1) ⎨ x1 + 2 x 2 − x 3 = −2, 2) ⎨2 x1 + x 2 − x 3 = 0
.
⎪x + x = 5
⎪3 x − 2 x + 4 x = −15
3
2
3
⎩ 2
⎩ 1
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧ x1 − 4 x 2 − x 4 = 0
⎧4 x1 − 4 x2 − x3 = 0
⎧3x1 + 4 x 2 = 1
⎧2 x1 + 2 x2 + x3 = 3
⎪
⎪
а) ⎨ x − x = 3 , б) ⎪ x 2 − x3 + x 4 = 1
в) ⎪
г)
⎪
−
+
=
1
x
x
x
⎪
2
3
1
2
, ⎨ 1
, ⎨ x1 − 5x2 + x3 = 5 .
⎨
⎪5 x + 2 x = 7
⎪ x1 − 2 x 2 − 2 x3 + x 4 = 2
⎪3x1 − 2 x2 − 2 x3 = 1 ⎪⎩3x1 − 3x2 + 2 x3 = 9
2
⎩ 1
⎪⎩ x1 − 5 x 2 + x3 − 2 x 4 = −1 ⎪⎩ x1 − 2 x2 + 2 x3 = 1
149
№14.
Найти
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
⎛ 5 0 21⎞
⎜
⎟
преобразования, заданного матрицей A = ⎜ 21 2 16 ⎟.
⎜1 0 1⎟
⎝
⎠
№15. Даны координаты векторов a = ( 4,2,1) , b = (1,−1,1) , c = ( 4,2,2) и
d = (19,11,8) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1 y 2 y3 ) по данному базису g1 = (2 1 − 3), g 2 = (0 3 0), g 3 = (0 0 1)
построить
ортонормированный
базис
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = −3e1 + e2 + e3 , y = e1 − 2e2 + 7e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j , k ,
если a = i − 5 j + 2k ;
б) координаты векторов u = A x и v = B x в базисе i , j , k , если x = −3i + k .
⎛2 3 0 ⎞
⎜
⎟
№18. Дана матрица A = ⎜ 5 0 − 2 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 , e2 ,
⎜0 3 4 ⎟
⎝
⎠
e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании
№15.
0 ⎞
⎛1 0
⎜
⎟
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ 0 15 − 4 ⎟
⎜0 − 4 9 ⎟
⎝
⎠
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
7 x 2 + 4 xy + 4 y 2 + 8 5 x + 16 5 y − 20 = 0 .
150
ВАРИАНТ № 14
№1. Вычислить –5А – 7В + 4С, где
⎛3 4 5⎞
⎛ −1 1 0⎞
⎛ 1 0 − 2⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 − 3 ⎟, B = ⎜ 2 − 3 4 ⎟, C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟.
⎜8 − 6 7 ⎟
⎜ 1 − 5 6⎟
⎜− 4 3 5 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
№2. Найти произведение матриц
2 − 1⎞ ⎛ 27 − 18 10 ⎞
⎛ 0
⎟⎜
⎜
⎟.
⎜ − 2 − 1 2 ⎟ ⎜ − 46 31 − 17 ⎟
⎜ 3 − 2 − 1⎟ ⎜ 3
2
1 ⎟⎠
⎠⎝
⎝
№3. Даны матрицы
№4. Найти значение многочлена
f(x)= x4 – 3x2 + 6 от матрицы
⎛1 1 − 1⎞
4 1⎞
⎛ 3
⎜
⎟.
⎟,
⎜
A=⎜ 0
2 5 ⎟ B = ⎜ 2 9 3 ⎟.
⎜ 7 5 − 2⎟
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎝
⎠
⎠
⎝
Найти матрицу Х из уравнения 6B–0,5X=4A.
⎛1 0 ⎞ .
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
№5. Вычислить определители
3
6
−3 9
3 2 1
2
7
2 5 3 , −5 8
.
4 −5 −3 −2
3 4 2
7 −8 − 4 −5
№6. Найти x из уравнения
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
⎛ − 2 1 0⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 0 1 2 ⎟,
⎜ 2 3 1⎟
⎝
⎠
x2
4
9
x 1
2 1 = 0.
3 1
⎛ 1 2 − 3⎞
⎜
⎟
−
3
2
4
⎜
⎟.
⎜ 2 −1 0 ⎟
⎝
⎠
⎛2 0 3 ⎞
⎜
⎟
B = ⎜ 1 4 − 1⎟.
⎜2 3 0 ⎟
⎝
⎠
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
⎛ 4 −1 2 0 ⎞
⎜
⎟
⎜ −1 1 1 1 ⎟
⎜ 1 3 2 − 1⎟.
⎜⎜
⎟⎟
⎝0 4 3 0⎠
⎛ −1 2⎞
7 − 1⎞ ⎜
⎟
⎛
X ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜ 2 1 ⎟.
⎝1 1 ⎠ ⎜
⎟
⎝ 3 0⎠
№11. При каких значениях параметра “λ” ранг
матрицы равен указанному числу
⎛ λ 2 ⎞ , r = 1.
⎟⎟
⎜⎜
3
λ
⎝
⎠
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б) матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧3 x1 + 4 x2 + 2 x3 = 8
⎧2 x2 − x3 = 2
⎪
2
4
3
1
,
x
−
x
−
x
=
−
1) ⎨ 1
2) ⎪
2
3
⎨3 x1 − 4 x2 = −2.
⎪x + 5x + x = 0
⎪2 x + x = 6
2
3
⎩ 1
⎩ 1 3
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 2
⎧2 x 2 − 3 x 3 + x 4 = 1
⎧2 x1 − 3x 2 = −1
⎪
а) ⎪
б) ⎪ x1 + x 2 − 2 x3 − x 4 = −1 в) ⎪⎪2 x1 − x3 + 2 x4 = −1
г) ⎧3x1 + 2 x2 − x3 − x4 = 0 .
⎨
⎨ x1 + x 2 = 4 ,
,
,
⎨
⎨
⎩2 x1 − 2 x2 − 4 x3 − 2x4 = 0
2
2
4
2
3
−
−
−
=
−
x
x
x
x
3
5
0
x
+
x
−
x
=
⎪3x − 2 x = 3
2
3
4
2
3
⎪ 1
⎪ 1
2
⎩ 1
⎪⎩4 x1 + 4 x 4 = −3
⎪⎩2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 6 x4 = 1
151
№14.
Найти
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
⎛ 2 −1 2 ⎞
⎟
⎜
преобразования, заданного матрицей A = ⎜ 5 − 3 3 ⎟.
⎜ −1 0 − 2⎟
⎠
⎝
№15. Даны координаты векторов a = ( 2,4,1) , b = (−1,1,1) , c = ( 2,4,2) и
d = (0,6,4) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1 y 2 y3 ) по данному базису g1 = (1 3 − 2 ), g 2 = (0 4 4 ), g 3 = (2 0 1)
построить
ортонормированный
базис
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = −7e1 + e2 − 2e3 , y = e1 − 5e2 + e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j , k ,
если a = 2i + 4 j + k ;
б) координаты векторов u = A x и v = B x в базисе i , j, k , если x = −5i + j .
⎛ 2 2 0⎞
⎜
⎟
№18. Дана матрица A = ⎜ 1 − 3 1 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 , e2 ,
⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠
e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании
№15.
⎛ 2 3 − 4⎞
⎜
⎟
0 ⎟
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ 3 2
⎜− 4 0 2 ⎟
⎝
⎠
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
10 x 2 + 6 xy + 2 y 2 + 9 10 x − 5 10 y + 100 = 0 .
152
ВАРИАНТ № 15
№1. Вычислить: –А – 0,5В + 5С, где
⎛3 4 5⎞
⎛ 1 0 − 2⎞
⎛ −1 1 0⎞
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
A = ⎜ 2 1 − 3 ⎟, B = ⎜ 2 − 3 4 ⎟, C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟.
⎜8 − 6 7 ⎟
⎜ 1 − 5 6⎟
⎜− 4 3 5 ⎟
⎝
⎝
⎠
⎠
⎝
⎠
№2. Найти произведение матриц
⎛ 4 ⎞
−
4
2
9
7
⎛
⎞ ⎜⎜ 3 ⎟⎟
(− 11 9 3 6 ).
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 8 3 11 0 ⎠ ⎜ − 2 ⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 8 ⎠
№3. Даны матрицы
4 1⎞
⎛1 1 −1⎞
⎛3
⎜
⎟
⎜
⎟,
A=⎜ 0
2 5 ⎟ B = ⎜ 2 9 3 ⎟. .
⎜ 7 5 − 2⎟
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Найти матрицу Х из уравнения 3X–0,5A=5B.
№4. Найти значение многочлена
f(x)= 2x3 – 4x2 + 3 от матрицы
№5. Вычислить определители
6 −5 8
4
1 2 3
7
5
6
4 5 6, 9
.
7
5
3
7
7 8 9
− 4 8 −8 −3
№6. Найти x из уравнения
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
⎛ 1 0 − 1⎞
⎛ 2 1 0⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 3 0 ⎟, B = ⎜ 3 2 1 ⎟.
⎜ −1 2 1 ⎟
⎜ −1 1 0⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
⎛1 0 ⎞X
⎟⎟
⎜⎜
2
−
3
⎝
⎠
⎛1 0 ⎞ .
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
3 x
4 4
9 x2
2
1 ⎞
⎛ 1
⎜
⎟
2
3
3
−
−
⎜
⎟.
⎜ 3 −4 5 ⎟
⎝
⎠
⎛ − 2 − 1⎞ = ⎛ 1 1 ⎞
⎟⎟ ⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟.
−
−
2
5
3
1
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎛ −1 − 2 1 0 1 ⎞
⎜
⎟
⎜ − 4 1 − 2 1 − 1⎟.
⎜ 5 −2 3 1 4 ⎟
⎝
⎠
№11. При каких значениях параметра “λ” ранг
матрицы равен указанному числу
⎛ λ
⎜
⎜− 2
⎜−3
⎝
5
4 = 0.
25
0
− 1⎞
⎟ , r = 3.
(1 − λ ) 4 ⎟
0
λ ⎟⎠
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б) матричным
способом; в) методом Гаусса
+
x
5
⎧ 1 8 x 2 − x3 = 0
⎧4 x1 + 2 x2 − x3 = 12
⎪
⎪
1) ⎨2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 0, 2) ⎨ x1 + 2 x2 + x3 = 7 .
⎪ x + 2 x + 3x = 1
⎪ x − x = −1
2
3
⎩ 1
⎩ 2 3
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧ x1 − x 2 + x3 − x 4 = 3
⎧3x1 − 2 x 2 + 3 x3 = −4
⎧ x1 + 3x 2 = 3
⎧ x1 − x 2 + x3 + x 4 = 0
⎪
⎪
а) 3x − 2 x = −1, б) ⎪4 x 2 − 3x3 + x 4 = 1
в) ⎪⎪2 x1 + x3 − x 4 = 1
г) ⎪
⎨ 1
2
⎨2 x1 + x 2 + x3 − x 4 = 0.
,
,
⎨
⎨
3
2
5
2
4
0
−
+
=
−
+
=
x
x
x
x
x
x
⎪2 x − 5 x = −4
⎪x + 2x − 2x = 0
3
4
2
3
⎪ 1
⎪ 1
2
⎩ 1
2
4
⎩ 1
⎪⎩2 x1 + x 2 − 3x3 + 2 x 4 = 0
⎪⎩3x1 − 2 x 2 + 3 x3 + x 4 = −1
153
Найти
№14.
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
⎛ 3 −1 1 ⎞
⎟
⎜
преобразования, заданного матрицей A = − 1 5 − 1 .
⎟
⎜
⎜ 1 −1 3 ⎟
⎠
⎝
№15. Даны координаты векторов a = ( 2,1,4) , b = (−1,1,1) , c = ( 2,2,4) и
d = (8,11,22) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1
построить
y2
y3 ) по данному базису g1 = (1 0 0), g 2 = (0 5 1), g 3 = (2
ортонормированный
базис
3 5)
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = − e1 + 3e2 + e3 , y = e1 + 2e2 + e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j, k ,
если a = i − 3 j ;
б)
координаты
x = 2i + 3 j + k .
векторов
u =A x
и
v =B x
в базисе
i , j, k , если
2⎞
⎛0 3
⎜
⎟
6 − 1⎟ линейного преобразования в базисе e1 ,
№18. Дана матрица A = ⎜ 0
⎜4 − 2 1 ⎟
⎝
⎠
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в
задании №15.
⎛ 2 −2 0 ⎞
⎜
⎟
1 − 2⎟
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ − 2
⎜ 0 −2 5 ⎟
⎝
⎠
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
5 x 2 + 6 xy + 5 y 2 − 8 2 x − 16 2 y + 10 = 0 .
154
ВАРИАНТ № 16
№1. Вычислить 10А – 4В + 4С, где
⎛ 1 0 − 2⎞
⎛3 4 5⎞
⎛ −1 1 0⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 − 3⎟, B = ⎜ 2 − 3 4 ⎟, C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟.
⎜− 4 3 5 ⎟
⎜8 − 6 7⎟
⎜ 1 − 5 6⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
№3. Даны матрицы
1⎞
⎛
⎟,
⎜
A=⎜
5⎟
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎠
⎝
3
0
4
2
№2. Найти произведение матриц
−1⎞ ⎛ 7 − 2 3 4⎞
1
1
⎛ 1
⎜
⎟⎜
⎟
⎜ − 5 − 3 − 4 4 ⎟ ⎜ 11 0 3 4 ⎟ .
⎜ 5
1
4 − 3⎟ ⎜ 5
4 3 0⎟
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ − 16 − 11 − 15 14 ⎠ ⎝ 22 2 9 8 ⎠
№4. Найти значение многочлена
f(x)= 8x2 – 7x + 6 от матрицы
⎛1 1 −1⎞
⎜
⎟.
B = ⎜ 2 9 3 ⎟.
⎜ 7 5 − 2⎟
⎝
⎠
Найти матрицу Х из уравнения 2A–0,5B=4X.
⎛1 0 ⎞ .
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
№5. Вычислить определители
7 6 3 7
1 5 25
1 7 49 , 3 5 7 2 .
5 4 3 5
1 8 64
5 6 5 4
№6. Найти x из уравнения
3
x 0 −4
2
−1 0 3
= 0.
4
3 2 1
x + 10 1 0 1
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
⎛ −1 3 2 ⎞
⎜
⎟
⎜ 1 0 − 3 ⎟.
⎜1 1 2⎟
⎝
⎠
⎛ 1 0 1⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 0 ⎟,
⎜ −1 2 1⎟
⎝
⎠
⎛ −1 3 0⎞
⎜
⎟
B = ⎜ 0 2 1 ⎟.
⎜ 1 1 2⎟
⎝
⎠
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
⎛ −1 − 2⎞ X =⎛3 0 ⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟.
3
1
−
5
1
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 0
⎜
⎜ −1
⎜ 1
⎜⎜
⎝− 2
№11. При каких значениях параметра “λ”
ранг матрицы равен указанному числу
⎛2 − λ
⎜⎜
⎝ 1
− 1 ⎞ , r = 2.
⎟
− λ ⎟⎠
3 −3 1
1 2 −3
2 −5 4
5 1 −5
2⎞
⎟
1⎟
.
1⎟
⎟⎟
4⎠
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б) матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧3x3 + x2 + 6 = 0
⎧x1 + 3x2 − 3x3 = 13
⎪
⎪
1) ⎨x1 − 2x2 − x3 = 5 , 2) ⎨2 x1 − 3x2 + 3x3 = −10.
⎪3x − 4x − 2x = 13 ⎪x + x = 0
2
3
⎩ 1
⎩ 3 1
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧2 x1 + x 2 − x 4 = 2
⎧ x1 − 2 x 2 + x3 = 4
⎧3 x1 + x 2 = 9
⎧ x1 + x2 − x4 = 0
⎪x + 2x + x = 0
⎪2 x + x + x = 2
⎪
⎪
⎪
2
3
4
3
4
а) ⎨ x1 − 2 x 2 = 1 , б) ⎪ 2
, г) ⎨ x2 + x3 + x4 = 0.
, в) ⎨
⎨
⎪2 x + 3 x = 8
⎪x − 4 x = 0
⎪2 x1 + 2 x 2 + 3 x3 = 2
⎪− 3x1 − x 2 + x3 + x 4 = 1
2
⎩ 1
4
⎩ 3
⎪⎩2 x1 − 3 x3 − 2 x 4 = 2
⎪⎩ x1 + 3x 2 − x3 − x 4 = 5
155
№14.
Найти
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
⎛ 2 5 − 6⎞
⎜
⎟
преобразования, заданного матрицей A = ⎜ 4 6 − 9 ⎟.
⎜ 3 6 − 8⎟
⎝
⎠
№15. Даны координаты векторов a = ( 2,1,3) , b = (−1,5,4) , c = ( −3,1,2) и
d = (−9,20,15) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1 y 2 y3 )
по
данному
базису
g1 = (− 2 − 1 0), g 2 = (0 4 3),
g 3 = (2 2 1) построить ортонормированный базис e1 , e2 , e3 . Найти угол между
векторами x = e1 + 8e2 + e3 , y = e1 + 5e2 − 6e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j, k ,
если a = i − 4 j + k ;
б)
координаты
x = 6i + 2 j + k .
векторов
u =A x
и
v =B x
в базисе
i , j, k , если
⎛ 2 − 1 − 1⎞
⎜
⎟
№18. Дана матрица A = ⎜ 0
0
3 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 ,
⎜5 − 2 7 ⎟
⎝
⎠
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в
задании №15.
⎛ 3 2 0⎞
⎜
⎟
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ 2 2 2 ⎟ линейного
⎜ 0 2 6⎟
⎝
⎠
оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
2 x 2 + 12 xy + 7 y 2 −
3 13
7 13
x−
y + 40 = 0 .
2 2
4 2
156
ВАРИАНТ № 17
№1. Вычислить 4А + 3В – 7С, где
⎛ 1 0 − 2⎞
⎛3 4 5⎞
⎛ −1 1 0⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 − 3 ⎟, B = ⎜ 2 − 3 4 ⎟, C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟.
⎜− 4 3 5 ⎟
⎜8 − 6 7⎟
⎜ 1 − 5 6⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
№2. Найти произведение матриц
⎛8 − 2⎞
⎛ − 3 11 7 ⎞ ⎜
⎟ ⎛ 2 0⎞ .
⎟⎟ ⎜ 5 0 ⎟ ⎜⎜
⎜⎜
⎟
0 2 ⎟⎠
⎝ 0 5 − 4⎠ ⎜
⎝
⎟
⎝6 0 ⎠
№3. Даны матрицы
4 1⎞
⎛3
⎛1 1 −1⎞
⎜
⎟,
⎟
⎜
A=⎜ 0
2 5 ⎟ B = ⎜ 2 9 3 ⎟. .
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎜ 7 5 − 2⎟
⎝
⎠
⎠
⎝
Найти матрицу Х из уравнения 5A–0,5X=4B.
№4. Найти значение многочлена
f(x)= 5x5 – 7x3 + 4x от матрицы
№5. Вычислить определители
a 3 0 5
3 4 −5
8 7 − 2 , 0 b 0 2.
1 2 c 3
2 −1 8
0 0 0 d
№6. Найти x из уравнения
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
x −1 1− x 0
x
1
1 = 0.
x
1
1
⎛ 1 − 3 0⎞
⎜
⎟
⎜10 2 7 ⎟
⎜10 7 8 ⎟
⎝
⎠
⎛ 3 − 1 2⎞
⎛ 4 0 2⎞
⎜
⎟,
⎜
⎟
A = ⎜ 0 1 2⎟ B = ⎜ 3 1 0⎟
⎜1 0 1⎟
⎜1 2 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
3 ⎞ ⎛ 1 − 3⎞
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ .
−
2
−
4
−
−
2
4
⎝
⎠ ⎝
⎠
X ⎜⎜⎛
⎛1 0 ⎞ .
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
1
1 − 2⎞
⎛ 0
⎟
⎜
⎜− 4 2 − 8⎟
⎜−3 −3 3 ⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎝ − 2 1 − 4⎠
№11. При каких значениях параметра “λ” ранг
матрицы равен указанному числу
2 ⎞
⎛− 2 − λ
⎟⎟ , r = 2.
⎜⎜
1− λ ⎠
⎝ 2
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б) матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧2 x1 − x 2 = 0
⎧2 x1 + 4 x 2 + 3x3 = 3
1) ⎪
, 2) ⎪
⎨ x1 + 2 x 2 − x 3 = 1 ⎨3x1 − 2 x 2 + 5x3 = 13
⎪x + x = 0
⎪x + 3x − x = −1
⎩ 1
3
2
3
⎩ 1
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧ x 2 + x3 + 3 x 4 = 3
⎧4 x + 5 x 3 + x 4 = 0
⎧4 x1 − 10 x2 = 3 ⎪ 2
⎧2 x3 + 4 x4 = 0
⎪
а) ⎪
б) ⎪ x1 − 7 x2 − 3 x3 = 1
в) ⎪ x1 − x3 + x4 = −1
г) ⎪
⎨ x1 + x2 = 1
⎨ x1 + x2 − x4 = 0
⎨
⎨
x
x
x
+
+
=
4
2
x
x
x
x
−
3
+
5
+
3
=
0
⎪2 x − 12 x = 1 ⎪ 1
⎪2 x + 3 x − x = 0
4
2
3
4
⎪ 1 2
⎩ 1
2
⎩ 1
2
3
⎪⎩ x1 − x2 + 2 x3 − 2 x4 = −4
⎪⎩ x2 + 3 x3 − x4 = 4
157
Найти
№14.
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
2 1⎞
⎛1
⎟
⎜
преобразования, заданного матрицей A = 0 − 1 0 .
⎟
⎜
⎜ − 1 − 1 3⎟
⎠
⎝
№15. Даны координаты векторов a = ( 2,3,1) , b = (−1,4,5) , c = (−3,2,1) и
d = (0,1,−3) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1 y 2 y3 ) по данному базису g1 = (1 0 2 ), g 2 = (0 − 3 1), g 3 = (1 1 1);
построить
ортонормированный
базис
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = 3e1 + 2e2 + e3 , y = e1 − 9e2 + 11e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j , k ,
если a = i − 6k ;
б) координаты
x = −3i − 2 j + k .
векторов
u =A x
и
v =B x
в базисе
i , j, k , если
⎛ 3 1 0 ⎞
⎜
⎟
№18. Дана матрица A = ⎜ − 5 2 − 2 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 ,
⎜ 0 3 1 ⎟
⎝
⎠
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в
задании №15.
0⎞
⎛2 1
⎜
⎟
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ 1 1 − 1⎟
⎜0 −1 2 ⎟
⎝
⎠
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
5 x 2 + 12 xy + 5 y 2 − 2 x − 10 2 y + 20 = 0 .
158
ВАРИАНТ № 18
№1. Вычислить 3А + 2В + С, где
⎛ 1 0 − 2⎞
⎛3 4 5⎞
⎛ −1 1 0 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 − 3 ⎟, B = ⎜ 2 − 3 4⎟, C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟.
⎜− 4 3 5 ⎟
⎜8 − 6 7 ⎟
⎜ 1 − 5 6⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
№2. Найти произведение матриц
№3. Даны матрицы
⎛1 1 −1⎞
4 1⎞
⎛3
⎜
⎟.
⎜
⎟,
A=⎜ 0
2 5 ⎟ B = ⎜ 2 9 3 ⎟.
⎜ 7 5 − 2⎟
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Найти матрицу Х из уравнения A = X – 2B.
№4. Найти значение многочлена
f(x)= 6x2 –7x + 4 от матрицы
№5. Вычислить определители
№6. Найти x из уравнения
11 − x
8
19
2− x 2− x
3 = 0.
0
0
x − 14
cos α
sin α cos β
− sin α
cos α cos β
0
− sin β
sin α sin β
cos α sin β ,
cos β
1
0
5
2
− 2 13
7
1
2
10 − 1 5
− 3 − 15 − 6 13
⎛1 0 ⎞
⎟⎟ .
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
.
№7. Найти det(AB), и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
⎛ 2 1 3⎞
⎜
⎟
⎜1 0 2⎟
⎜1 0 4⎟
⎝
⎠
⎛ 1 2 − 1⎞ ,
⎛ 4 3 − 1⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 0 2 2 ⎟ B = ⎜0 1 2 ⎟
⎜ −1 0 1 ⎟
⎜2 0 1 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
2 − 3 − 4⎞
⎛ 1
⎟
⎜
1
1 ⎟.
⎜− 2 1
⎜ 4
2 −1 1 ⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎝ 0 − 1 6 10 ⎠
⎛ 3 2⎞
2 − 2⎞ ⎜
⎟
⎛
X ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜ − 1 2 ⎟
⎝1 4 ⎠ ⎜
⎟
⎝ 0 0⎠
№11. При каких значениях параметра “λ” ранг
матрицы равен указанному числу
⎛1 − λ
⎜
⎜ 0
⎜ 0
⎝
⎛ 2 19 30 ⎞ ⎛ − 3 2 0 ⎞
⎟.
⎟⎜
⎜
⎜ 0 − 5 − 12 ⎟ ⎜ − 2 1 0 ⎟
⎜0 2
5 ⎟⎠ ⎜⎝ 15 − 7 4 ⎟⎠
⎝
−5 ⎞
⎟
2−λ
0 ⎟ , r = 3.
1
3 − λ ⎟⎠
4
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б)матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧2x1 − x2 + 5x3 = 4
⎧7 x1 − x2 − 3x3 = 6
1) ⎪
, 2) ⎪
⎨5x1 + 2x2 +13x3 = 2 ⎨2x1 + 3x2 − 4x3 = 21
⎪3x − x + 5x = 0
⎪x + x − x = 6
3
⎩ 1 2
⎩1 2 3
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧ x2 + x3 + 3x4 = 3
⎧ x 2 + 2 x 3 + 3x 4 = 0
⎧ x1 − 7 x2 = 1
⎧2 x3 + 4 x4 = 0
⎪ x − x + x = −1
а) ⎪3 x + x = 2 , б) ⎪
в)
г)
x
x
x
+
−
3
=
1
⎪
⎪
⎪ 1
1
3
4
2
3
⎨ 1
2
, ⎨ x1 + x2 − x4 = 0 .
, ⎨
⎨
⎪2 x + 8 x = 1 ⎪ x1 − x 2 + x 4 = 2
⎪2 x + 3 x − x = 0
⎪ x1 + x2 + 4 x4 = 2
2
⎩ 1
⎩ 1
2
3
⎪⎩2 x1 + x 2 − x 3 + 4 x 4 = 0 ⎪
⎩ x1 − x2 + 2 x3 − 2 x4 = −4
159
Найти
№14.
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
⎛ 3 1 0⎞
⎜
⎟
A = ⎜ − 1 1 0⎟ .
⎜ 0 − 1 3⎟
⎝
⎠
преобразования, заданного матрицей
№15. Даны координаты векторов a = ( −3,3,1) , b = (5,1,−4) , c = (6,1,−2) и
d = ( −8,−4,−9) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1
построить
y2
y3 ) по данному базису g1 = (1 5 0), g 2 = (0 2
ортонормированный
базис
2 ), g 3 = (1 0 3)
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = 9e1 + e2 − 8e3 , y = e1 + 2e2 + e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j , k ,
если a = 2i + j − 2k ;
б)
координаты
векторов
x = 3i + 9 j + k .
u =A x
и
v =B x
в базисе
i , j, k , если
⎛ 0 0 − 2⎞
⎜
⎟
№18. Дана матрица A = ⎜ 3 2
0 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 ,
⎜− 6 2 5 ⎟
⎝
⎠
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в
задании №15.
⎛ 1 − 4 − 3⎞
⎜
⎟
1
0 ⎟
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ − 4
⎜−3 0
1 ⎟⎠
⎝
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
10 x 2 + 14 xy + 10 y 2 − 4 2 x − 13 2 y − 40 = 0 .
160
ВАРИАНТ № 19
№1. Вычислить – 2А + 1/4В – 1/3С, где
№2. Найти произведение матриц
⎛ −1 1 0⎞
⎛3 4 5⎞
⎛ 1 0 − 2⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 − 3 ⎟, B = ⎜ 2 − 3 4 ⎟, C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟.
⎜ 1 − 5 6⎟
⎜8 − 6 7 ⎟
⎜− 4 3 5 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛5 9⎞ 3 4
⎛5 9 7 ⎞ ⎜
⎞.
⎟⎛
⎜⎜
⎟⎟ ⎜ 0 3 ⎟ ⎜⎜
⎟
− 1 0 ⎟⎠
⎝0 3 − 2⎠ ⎜
⎝
⎟
⎝ 0 2⎠
№3. Даны матрицы
⎛1 1 − 1⎞
4 1⎞
⎛3
⎜
⎟
⎜
⎟,
A=⎜ 0
2 5 ⎟ B = ⎜ 2 9 3 ⎟. .
⎜ 7 5 − 2⎟
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Найти матрицу Х из уравнения A–2X+3B=0.
№4. Найти значение многочлена
f(x)= 6x2 –7x + 4 от матрицы
№5. Вычислить определители
1 0 2 a
4 2 −1
2 0 b 0
5 3 −2,
.
3 c 4 5
3 2 −1
d 0 0 0
№6. Найти x из уравнения
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
x −3 1
0 x 1 = 0.
0 −x 8
⎛ −1 2 0⎞
⎟
⎜
3 1⎟
⎜3
⎜ 1 − 2 1⎟
⎠
⎝
⎛ 2 3 − 1⎞ ,
⎛ −1 1 0⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜1 2 1 ⎟ B = ⎜ 3 0 1⎟
⎜0 1 0 ⎟
⎜ 2 2 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
8 ⎞
⎛4
⎛ 5 − 1⎞
⎟⎟ X = ⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝ − 1 − 3⎠
⎝1 1 ⎠
⎛ −1 3 −1 − 6 − 5 ⎞
⎜
⎟.
⎜ 1 2 −1 −1 − 2⎟
⎜ 3 1 −1 4
1 ⎟⎠
⎝
№11. При каких значениях параметра “λ” ранг
матрицы равен указанному числу
⎛1
⎜
⎜λ
⎜2
⎝
⎛1 0 ⎞ .
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
λ⎞
⎟
4 ⎟ , r = 2.
2λ ⎟⎠
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б) матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧3x1 + x2 − 4 x3 = 0
⎧4 x1 + 2 x2 − x3 = 0
1) ⎪
, 2) ⎪
⎨x1 + 2 x2 + 3x3 = 6.
⎨ x1 + 2 x2 + x3 = 1
⎪2 x + 3x − x = 4
⎪ x − x = −3
2
3
⎩ 1
3
⎩ 2
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧2 x1 + x 2 + 4 x 3 = 1
⎧2 x1 + 3x2 − x4 = 1
⎧6 x1 + 2 x2 = 1
⎧2 x1 − 3x2 + 4 x3 = 0
⎪
а) ⎪
б) ⎪ x 2 + x3 − x 4 = −2
в) ⎪⎪ x1 + x2 − 2 x3 = 2
г) ⎪
⎨2 x1 − x2 = 2 , ⎨
, ⎨
, ⎨ x1 + x3 + 4 x4 = 0 .
⎪4 x + 3 x = −3 ⎪2 x1 + 2 x 2 + 3x3 + x 4 = 0 ⎪ x1 − x2 + 2 x4 = −1
⎪2 x + 2 x = 0
⎩ 1
2
⎩ 2
3
⎪⎩ x1 + x 2 + x 3 = 0
⎪⎩4 x1 − x2 − 2 x3 + 5x4 = 2
161
Найти
№14.
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
⎛ 1 6 12 ⎞
преобразования, заданного матрицей A = ⎜ 0 1 1 ⎟ .
⎜
⎟
⎜0 − 5 7 ⎟
⎝
⎠
№15. Даны координаты векторов a = (3,−3,1) , b = (1,5,−4) , c = (1,6,−2) и
d = ( −4,36,−19) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1 y 2 y3 ) по данному базису g1 = (2 3 0), g 2 = (0 1 − 1), g 3 = (0 0 4 )
построить
ортонормированный
базис
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = 4e1 + 5e2 + e3 , y = e1 − 3e2 + e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j, k ,
если a = 5 j + k ;
б)
координаты
x = 2i + j − 5k .
векторов
u =A x
и
v =B x
в базисе
i , j, k , если
⎛ 8 − 4 0⎞
⎜
⎟
№18. Дана матрица A = ⎜ − 1 3 0 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 ,
⎜2
2 1 ⎟⎠
⎝
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в
задании №15.
⎛ 1 − 4 − 3⎞
⎜
⎟
1
0 ⎟
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ − 4
⎜−3 0
1 ⎟⎠
⎝
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
9 x 2 + 8 xy + 9 y 2 − 16 2 x − 10 2 y − 40 = 0 .
162
ВАРИАНТ № 20
№1. Вычислить
⎛ −1
⎛ 1 0 − 2⎞
⎜
⎟
⎜
A = ⎜ 2 1 − 3 ⎟, B = ⎜ 2
⎜1
⎜− 4 3 5 ⎟
⎝
⎠
⎝
6А –3В –2С, где
1 0⎞
⎛3 4 5⎞
⎜
⎟
⎟
− 3 4⎟, C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟.
⎜8 − 6 7⎟
− 5 6⎟⎠
⎝
⎠
№2. Найти произведение матриц
⎛5 6 9⎞ ⎛ 0 0 2⎞ ⎛ 5 4 6⎞
⎜
⎟⎜
⎟.
⎟⎜
⎜6 5 9⎟ ⎜ 0 2 0⎟ ⎜ 6 5 4⎟
⎜0 −1 0⎟ ⎜ 2 0 0⎟ ⎜ − 4 3 1⎟
⎝
⎠⎝
⎠
⎠⎝
№3. Даны матрицы
⎛1 1 −1⎞
4 1⎞
⎛3
⎟
⎜
⎟,
⎜
A=⎜ 0
2 5 ⎟ B = ⎜ 2 9 3 ⎟. .
⎜7 5 − 2⎟
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎠
⎝
⎠
⎝
Найти матрицу Х из уравнения 4A–1/3X=2B.
№4. Найти значение многочлена
f(x)= 7x3 –5x2 + 1 от матрицы
№5. Вычислить определители
2 −1 4 1
4 −3 5
3 − 2 8 , 4 − 2 3 2.
2 1 0 0
1 −7 −5
3 1 4 3
№6. Найти x из уравнения
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
⎛0 1 2 ⎞
⎛5 0 1 ⎞
⎟,
⎜
⎟
⎜
A = ⎜ 1 2 − 1⎟ B = ⎜ 3 4 2 ⎟
⎜1 0 1 ⎟
⎜ 0 1 − 1⎟
⎠
⎝
⎠
⎝
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
⎛1 0 ⎞ .
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
1 − x −1
x 1
x = 0.
1 x
1
⎛ 2 3 4⎞
⎜
⎟
⎜ 1 2 3⎟
⎜1 4 9⎟
⎝
⎠
⎛1 − 3 ⎞ X = ⎛ 2 ⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜ ⎟⎟
1
−
2
⎝
⎠
⎝ 4⎠
⎛1 0 1 0 − 2⎞
⎟.
⎜
⎜ 0 2 0 2 − 4⎟
⎜1 − 4 1 − 4 6 ⎟
⎠
⎝
№11. При каких значениях параметра “λ” ранг
матрицы равен указанному числу
⎛ 1 −2 3 ⎞
⎜
⎟
λ ⎟ , r = 3.
⎜ −1 2
⎜ − 2 4 − 6⎟
⎝
⎠
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б)матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧3x1 + 4x2 + 2x3 = 8 ⎧ x1 + 2 x2 − 4 x3 = 7
1) ⎪
, 2) ⎪
⎨x1 + 5x2 + 2x3 = 5
⎨2 x1 − 3x2 + 5 x3 = 11
⎪2x + 3x + 4x = 3 ⎪3x − x + 5 x = 10
⎩ 1
2
3
3
⎩ 1 2
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧ x 2 + 3x3 − x 4 = −5
⎧3x2 + 4 x3 + 5 x4 = 2
⎧ x1 − 7 x2 = 4
⎧ x1 + 2 x3 − x4 = 0
⎪
⎪
⎪
а) x + 6 x = 1 , б) ⎪ x1 − x2 + x3 − x4 = 1
в) ⎪ x1 − x 2 + x3 = 0
г) ⎪
⎨ 1
⎨2 x1 + x2 + x3 = 0.
,
2
,
⎨
⎨
3
2
1
x
+
x
+
x
=
⎪6 x − x = 5
⎪x − x + x = 0
3
4
⎪ 1
⎪2 x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 0
⎩ 1 2
⎩ 1 3 4
⎪⎩2 x1 + 7 x3 + x 4 = −4
⎪⎩3x1 + 3 x2 + 3x3 + 5 x4 = 7
163
Найти
№14.
собственные
значения
и
⎛ 5
собственные
векторы
линейного
2 0⎞
⎟
− 5 0⎟.
19 4 ⎟⎠
преобразования, заданного матрицей A = ⎜ − 12
⎜
⎜ 30
⎝
№15. Даны координаты векторов a = (3,5,1) , b = (−1,1,2) , c = (1,2,4) и
d = (−11,8,16) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1
построить
y2
y3 ) по данному базису g1 = (1 2
ортонормированный
базис
4 ), g 2 = (0 5 2 ), g 3 = (0 0 1)
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = 3e1 + 4e2 + e3 , y = −e1 − e2 + e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j, k ,
если a = i − 8 j + k ;
б)
координаты
x = i − 6 j + 3k .
векторов
u =A x
и
v =B x
в базисе
i , j, k , если
⎛ 2 3 0⎞
⎜
⎟
№18. Дана матрица A = ⎜ 0 − 1 3 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 , e2 ,
⎜ 4 5 0⎟
⎝
⎠
e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании
№15.
2⎞
⎛9 2
⎜
⎟
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ 2 3 − 1⎟
⎜2 −1 3 ⎟
⎝
⎠
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
x 2 + 8 xy + 7 y 2 − 4 5 x − 7 5 y + 20 = 0 .
164
ВАРИАНТ № 21
№1. Вычислить 4А + 6В –5С, где
1
0 − 2⎞
⎛ −1 1 0⎞
⎛3 4 5⎞
⎛
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 − 3 ⎟, B = ⎜ 2 − 3 4 ⎟, C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟.
⎜ 1 − 5 6⎟
⎜8 − 6 7 ⎟
⎜− 4 3 5 ⎟
⎝
⎝
⎠
⎠
⎝
⎠
№2. Найти произведение матриц
№3. Даны матрицы
4 1⎞
⎛1 1 −1⎞
⎛3
⎜
⎟
⎜
⎟
A=⎜ 0
2 5 ⎟ , B = ⎜ 2 9 3 ⎟. .
⎜ 7 5 − 2⎟
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Найти матрицу Х из уравнения 3X – 4B = 2A.
№4. Найти значение многочлена
f(x)= 10x2 –5x + 6 от матрицы
№5. Вычислить определители
1 3 0 5
2 0 3
7 1 6 , 0 2 0 2.
1 2 3 3
6 0 5
0 0 0 4
№6. Найти x из уравнения
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
⎛ 4 3 ⎞ ⎛ − 28 93 ⎞ ⎛ 7 3 ⎞ .
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 7 5 ⎠ ⎝ 36 − 126 ⎠ ⎝ 2 1 ⎠
⎛1 0 ⎞ .
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
5− x
1
3
5
3− x
5 = 0.
5− x
1
5− x
⎛ 2 − 3 − 1⎞
⎜
⎟
3⎟
⎜3 4
⎜1 1
1 ⎟⎠
⎝
⎛ −1 0 1⎞
⎛ − 3 2 1⎞
⎜
⎟
⎜
⎟,
A = ⎜ 0 3 2⎟ B = ⎜ 3 2 1⎟
⎜ 1 2 0⎟
⎜ 0 1 2⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
2 ⎞
⎛ 1
⎛ 2 0⎞
⎟⎟ X = ⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝ − 3 − 5⎠
⎝1 4⎠
⎛ − 2 1 −1 3 1 ⎞
⎜
⎟
⎜ 1 0 2 −1 1 ⎟ .
⎜ 1 3 11 2 − 5 ⎟
⎝
⎠
№11. При каких значениях параметра “λ” ранг
матрицы равен указанному числу
⎛ 3 −2 1 ⎞
⎜
⎟
2 − 1 ⎟ , r = 2.
⎜ λ
⎜ − 6 4 − 2⎟
⎝
⎠
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б)матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧x1 + 2x2 − x3 = 2
⎧x1 − 4x2 + 3x3 = −22
⎪
1)
, 2) ⎪
⎨2x1 − 3x2 + 2x3 = 2 ⎨2x1 + 3x2 + 5x3 =12
⎪3x + x + x = 8
⎪3x − x − 2x = 0
⎩ 1 2 3
⎩ 1 2
3
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧2x1 + x2 + x3 = 0
⎧ x1 − 2 x3 + 3 x4 = 1
⎧3x3 + 4x4 = 0
⎧2 x1 + 3 x2 = 1
⎪
⎪
в) ⎪x1 + x3 − x4 = 3
г) ⎪x + x + x = 0 .
а) ⎪ x − x = −1 , б) ⎪ x1 − x 2 − x4 = 1
⎨ 1
, ⎨1 2 4
, ⎨
2
⎨
+
+
−
=
3
3
3
x
x
x
x
⎪3x + 2 x = 0 ⎪2 x2 − x3 + x4 = −4
⎪2x + x − x = 0
1
2
3
4
⎪
2
⎩ 1
⎩ 1 2 4
⎪⎩2 x1 + x2 − 3 x3 + 3 x4 = 2 ⎪⎩4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 6
165
Найти
значения и собственные
⎛ 1 − 7 15 ⎞
⎜
⎟.
преобразования, заданного матрицей
A = ⎜ 0 1 − 2⎟
⎜ 0 2 − 3⎟
⎝
⎠
№14.
собственные
векторы
линейного
№15. Даны координаты векторов a = (3,5,1) , b = (−1,1,2) , c = (1,2,4) и
d = (9,11,19) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1 y 2 y3 ) по данному базису g1 = (3 − 4 0), g 2 = (0 0 2 ), g 3 = (1 1 − 1)
построить
ортонормированный
базис
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = −5e1 + 6e2 + e3 , y = e1 − 7e2 − 9e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) найти матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе
i , j, k , если a = 2i − 7 j + k ;
б)
координаты
x =i +2j+k .
векторов
u =A x
и
v =B x
в базисе
i , j, k , если
⎛ 5 −1 7⎞
⎜
⎟
№18. Дана матрица A = ⎜ 4
2 1 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 ,
⎜ − 3 0 0⎟
⎝
⎠
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в
задании №15.
⎛ 3 − 2 −1⎞
⎜
⎟
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ − 2 11 − 2 ⎟
⎜ −1 − 2 3 ⎟
⎝
⎠
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
3x 2 + 10 xy + 3 y 2 − 10 2 x − 6 2 y + 30 = 0 .
166
ВАРИАНТ № 22
№1. Вычислить: – А –4В + 3С, где
№2. Найти произведение матриц
⎛3 4 5⎞
⎛ −1 1 0⎞
⎛ 1 0 − 2⎞
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 − 3 ⎟, B = ⎜ 2 − 3 4 ⎟, C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟.
⎜8 − 6 7 ⎟
⎜ 1 − 5 6⎟
⎜− 4 3 5 ⎟
⎠
⎝
⎠
⎝
⎝
⎠
⎛3 1 ⎞
⎛1 0 0⎞
⎜
⎟ ⎛ 5 −1 − 4⎞ ⎜
⎟.
⎜ 5 − 6 ⎟ ⎜⎜ 2 − 3 0 ⎟⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟
⎠⎜
⎜7 − 8⎟ ⎝
⎟
⎝
⎠
⎝0 0 1⎠
№3. Даны матрицы
№4. Найти значение многочлена
f(x)= 9x6 –27x4 –2 от матрицы
4 1⎞
⎛1 1 − 1⎞
⎛ 3
⎜
⎟
⎜
⎟,
2 5 ⎟ B = ⎜ 2 9 3 ⎟. .
A=⎜ 0
⎜ 7 5 − 2⎟
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Найти матрицу Х из уравнения 4B–X=9A.
⎛1 0 ⎞ .
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
№5. Вычислить определители
2 0 −3 0
5 6 3
7
0 1 0, 0 5 6
.
0 5 6
7
7 4 5
0 1 2 −3
№6. Найти x из уравнения
№7. Найти det(AB), и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
⎛ − 3 0 1⎞
⎛4 0 1 ⎞
⎜
⎟
⎟,
⎜
A = ⎜ 5 3 7 ⎟ B = ⎜ 2 3 2⎟
⎜ 1 2 0⎟
⎜ 0 1 − 3⎟
⎝
⎠
⎠
⎝
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
x2 − x 4 1
x
− 1 1 = 0.
0
1 4
⎛1 2 4⎞
⎜
⎟
⎜ 0 1 3⎟
⎜0 1 9⎟
⎝
⎠
9 8⎞ ⎛ −1 2⎞
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 2 1⎠ ⎝ 3 3⎠
X ⎜⎜⎛
1 −3
⎛ 0
⎜
⎜ −1 − 2 5
⎜−6 −5 9
⎜⎜
1
1
⎝ 4
№11. При каких значениях параметра “λ”
ранг матрицы равен указанному числу
⎛1 − λ − 2 ⎞ , r = 2.
⎜⎜
⎟⎟
3
2
λ
−
−
⎝
⎠
1⎞
⎟
1⎟ .
1⎟
⎟
1⎟⎠
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б)матричным
способом; в) методом Гаусса
+
x
3
⎧ 1 x 2 − 6 x3 = 12
⎧ x1 + x3 = 1
1) ⎪
, 2) ⎪
⎨3x1 + 2 x 2 + 5x3 = −10 ⎨2 x1 + x3 = 3
⎪2 x + 5x − 3x = 6
⎪3 x + x + 2 x = 0
⎩ 1
2
3
2
3
⎩ 1
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧2 x + 2 x3 − 4 x4 = 1
⎧ x1 + 2 x2 + x3 − x4 = 4
⎧2 x1 + 7 x 2 = 0 ⎪ 2
⎧ x1 − 3x 2 − 4 x3 + x 4 = 0
а) ⎪ x − x = 1 , б) ⎪3x1 + x2 − x3 − x4 = 2
в) ⎪⎪3x1 + 2 x2 − x3 − x4 = 0 г) ⎪3x − 2 x − 5 x − 4 x = 0 .
⎨ 1
, ⎨
, ⎨ 1
2
2
3
4
⎨
2 x1 − x2 + x3 + 2 x4 = −1 ⎪
x1 + x2 + x3 + x4 = −1
⎪ x + x = −1
⎪
⎪
2
⎩ 1
⎩5 x1 − 8 x2 − 13x3 − 2 x 4 = 0
⎪⎩4 x1 + 4 x2 + 2 x3 − 4 x4 = 0 ⎪⎩6 x1 + 3x2 + x3 = 3
167
14.
Найти
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
⎛ 6 5 0⎞
⎜
⎟
преобразования, заданного матрицей A = ⎜ 4
3 0⎟ .
⎜12 − 2 2 ⎟
⎝
⎠
a = ( 2,2,3) , b = (3,1,2) , c = (1,3,1) и
d = ( 4,0,1) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№15. Даны координаты векторов
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1
построить
y2
y3 ) по данному базису g1 = (1 2
ортонормированный
базис
4 ), g 2 = (0 5 2 ), g 3 = (0 0 1)
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = 3e1 + 4e2 + e3 , y = −e1 − e2 + e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j, k ,
если a = 3i − 4 j + k ;
б) координаты векторов u = Ax и v = Bx в базисе i , j, k , если x = 9i − k .
⎛ 1 − 3 4⎞
⎜
⎟
№18. Дана матрица A = ⎜ 2 5 0 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 , e2 ,
⎜ 0 2 1⎟
⎝
⎠
e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании
№15.
⎛ 2 2 − 2⎞
⎜
⎟
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ 2
1 1 ⎟
⎜− 2 1 1 ⎟
⎝
⎠
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
2 x 2 + 4 xy + 2 y 2 + 10 2 x − 18 2 y + 60 = 0 .
168
ВАРИАНТ № 23
№1. Вычислить 7А + 3В –5С, где
⎛ −1 1 0⎞
⎛ 3 4 5⎞
⎛ 1 0 − 2⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 − 3 ⎟, B = ⎜ 2 − 3 4⎟, C = ⎜1 − 3 2⎟.
⎜ 1 − 5 6⎟
⎜8 − 6 7⎟
⎜− 4 3 5 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
№2. Найти произведение матриц
⎛ 2 − 6⎞
⎜
⎟
⎜ 0 4 ⎟ ⎛⎜ 5 − 7 0 1 ⎞⎟ .
⎜ 3 9 ⎟ ⎜⎝ − 3 1 0 3 ⎟⎠
⎜⎜
⎟⎟
⎝11 10 ⎠
№3. Даны матрицы
4 1⎞
⎛3
⎛1 1 −1⎞
⎟
⎟
⎜
⎜
A=⎜ 0
2 5 ⎟ , B = ⎜ 2 9 3 ⎟. .
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎜ 7 5 − 2⎟
⎠
⎠
⎝
⎝
Найти матрицу Х из уравнения 0,5X–2B=3A.
№4. Найти значение многочлена
f(x)= – 2x3 + 2x2 –1 от матрицы
№5. Вычислить определители
3
1 −1 2
1 1 −1
−5 1
3 −4
1 −2 3 ,
.
2
0
0
0
1 3 −6
1 −5 3 −3
№6. Найти x из уравнения
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
⎛ −1 3 2⎞
⎛0 3 1 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟,
A = ⎜ 4 5 0 ⎟ B = ⎜ 1 0 2⎟
⎜ 0 1 1⎟
⎜ 1 7 − 3⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
⎛1 0 ⎞ .
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
2− x
1
2
2− x 2− x
3 = 0.
0
0
3− x
2 − 1⎞
⎛ 0
⎜
⎟
⎜ − 2 −1 2 ⎟
⎜ 3 − 2 − 1⎟
⎝
⎠
⎞
3 − 3 ⎞ ⎛⎜
⎟
X ⎜⎜⎛
=
⎟⎟ ⎜ 2 1 ⎟
⎝2 1 ⎠ ⎜
⎟
1 2
⎛ − 2 1 4 − 1 1⎞
⎜
⎟.
⎜ 3 0 − 6 3 1⎟
⎜ 1 2 − 2 3 1⎟
⎝
⎠
⎝1 2⎠
№11. При каких значениях параметра “λ” ранг
матрицы равен указанному числу
⎛ 1 −2 3 ⎞
⎜
⎟
λ ⎟ , r = 1.
⎜ −1 2
⎜ − 2 4 − 5⎟
⎝
⎠
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б)матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧2x1 + 4x2 + x3 = 4
⎧4 x1 + 2 x2 − x3 = 14
1) ⎪
,2) ⎪
.
⎨3x1 + 6x2 + 2x3 = 4 ⎨ x1 + 2 x2 + x3 = 14
⎪4x − x − 3x = 1
⎪x − x = 7
⎩ 1 2
3
⎩ 2
3
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧ x1 + x3 − x4 = 7
⎧2 x1 − 2 x2 + x3 − x4 = 0 ⎧2 x + x + x = 0
⎧3 x1 − x2 = 1
1
2
3
⎪
⎪
а) ⎪ x + x = −8 , б) ⎪2 x1 + x2 + x4 = 6 в) ⎪ x1 + x2 − x3 − x4 = 0
г) ⎪ x − 2 x + x = 0 .
⎨ 1
, ⎨
2
3
2
, ⎨ 1
⎨
−
+
=
−
5
x
x
x
4
3
10
−
−
=
x
x
x
⎪2 x − 2 x = 9 ⎪ 1 2 3
⎪3x − x + 2 x = 0
1
3
4
⎪
3
⎩ 1 2
⎩ 1
2
⎪⎩4 x1 + 2 x3 = 0
⎪⎩ x1 − 3 x2 − x3 = 0
169
№14.
Найти
собственные
значения
⎛ 1
⎜
преобразования, заданного матрицей
A=⎜ 7
⎜ 23
⎝
и
собственные
векторы
линейного
0⎞
⎟.
0⎟
3 ⎟⎠
3
5
8
a = ( 2,2,3) , b = (3,1,2) , c = (1,3,1) и
d = (12,16,8) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№15. Даны координаты векторов
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1 y 2 y3 )
по
данному
базису
g1 = (− 3 0 − 4 ), g 2 = (0 2 0),
g 3 = (1 2 6) построить ортонормированный базис e1 , e2 , e3 . Найти угол между
векторами x = 8e1 + e2 + 8e3 , y = −2e1 + e2 + 3e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j, k ,
если a = 3i − 3 j + k ;
б)
координаты векторов
x = 5i + j + k .
u =A x
и
v =B x
в базисе
i , j, k , если
5 ⎞
⎛ −1 0
⎜
⎟
№18. Дана матрица A = ⎜ 2 − 3 8 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 ,
⎜2
0 − 4 ⎟⎠
⎝
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в
задании №15.
⎛ 15 − 8 4 ⎞
⎜
⎟
− 4⎟
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ − 8 1
⎜ 4 −4 9 ⎟
⎝
⎠
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
5 x 2 + 12 xy + 10 y 2 + 6
170
13
13
x + 10
y − 20 = 0 .
2
2
ВАРИАНТ № 24
№1. Вычислить 3А –4В + 2С, где
№2. Найти произведение матриц
⎛3 4 5⎞
⎛ −1 1 0⎞
⎛ 1 0 − 2⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 − 3 ⎟, B = ⎜ 2 − 3 4 ⎟, C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟.
⎜8 − 6 7⎟
⎜ 1 − 5 6⎟
⎜− 4 3 5 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 3 2⎞ 2 1
⎛1 3 2⎞ ⎜
⎞.
⎟⎛
⎟⎟ ⎜ − 1 0 ⎟ ⎜⎜
⎜⎜
⎟
− 1 2 ⎠⎟
⎝ 4 −1 0⎠ ⎜
⎝
⎟
⎝ 5 6⎠
№3. Даны матрицы
№4. Найти значение многочлена
f(x)= 11x5 –8x3 –3 от матрицы
4 1⎞
⎛3
⎜
⎟,
A=⎜ 0
2 5⎟
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎝
⎠
⎛1 1 − 1⎞
⎜
⎟.
B = ⎜ 2 9 3 ⎟.
⎜7 5 − 2⎟
⎝
⎠
Найти матрицу Х из уравнения 3A–0,5X=B
⎛1 0 ⎞ .
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
№5. Вычислить определители
1 0 2 4
1 1 1
2 0 3 0
4 5 9 ,
.
3 2 4 5
16 25 81
1 0 0 0
№6. Найти x из уравнения
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
0 − x −1
2x 1
x = 0.
2
1
x
⎛ 4 1 3⎞
⎜
⎟
⎜ 3 0 2⎟
⎜ 9 0 4⎟
⎝
⎠
⎛ 3 7 0⎞
⎛ 2 1 0⎞
⎜
⎟,
⎟
⎜
A = ⎜ 0 1 2⎟ B = ⎜ 1 0 1⎟
⎜ −1 0 3⎟
⎜ −1 2 1⎟
⎝
⎠
⎠
⎝
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
3⎞
⎛ 4
⎛10 11⎞
⎟⎟ X = ⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
−
2
−
1
1
2
⎝
⎠
⎝
⎠
1
1 − 3 − 1⎞
⎛ 4
⎟.
⎜
⎜− 4 2 − 2 2 2 ⎟
⎜ 0 −3 1
1 − 1⎟⎠
⎝
№11. При каких значениях “λ” ранг матрицы
равен указанному числу
⎛4 λ
⎜
⎜0 1
⎜0 λ
⎝
λ2 ⎞
⎟
− λ ⎟,
r = 3.
− 1 ⎟⎠
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б)матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧2x1 + x2 − x3 = 0
⎧ x2 − x1 = −1
1) ⎪
2) ⎪
⎨x1 − x2 − 3x3 = 13
⎨ x1 + x3 + 2 x2 = 7
⎪3x − 2x + 4x = −15 ⎪2 x + 4 x − x = 12
⎩ 1
2
3
⎩ 2
1
3
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧ x2 + x3 + x4 = 1
⎧ x1 + x3 + 2 x4 = 0
⎪
x
−
x
+
x
−
x
=
−
1
в) ⎪
г)
⎪ 1
2
3
4
, ⎨ x1 − x3 + x4 = 0 .
, ⎨
⎪ x + x + 3x = 0
⎪ x1 + 2 x3 = 0
4
⎩ 1 2
⎪⎩2 x1 + x2 + x3 − x4 = 1 ⎪⎩ x1 − 2 x2 − 2 x4 = −2
⎧2 x1 + 3 x2 = 9 ⎧3 x1 − x4 = 0
а) ⎪ x − 2 x = 1 , б) ⎪
⎪ x1 − x2 − x3 = 9
⎨ 1
2
⎨
⎪x + 5x = 8
⎪2 x1 + x2 + x4 = 1
2
⎩ 1
171
№14.
Найти
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
⎛ 6 0 3⎞
⎟
1 7⎟ .
⎜ 5 0 4⎟
⎝
⎠
преобразования, заданного матрицей A = ⎜ 9
⎜
№15. Даны координаты векторов a = (1,2,3) , b = ( −2,3,−2) , c = (3,−4,−5) и
d = (14,−16,−8) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1 y 2 y3 ) по данному базису g1 = (2 0 1), g 2 = (− 3 3 0), g 3 = (0 0 5)
построить
ортонормированный
базис
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = 2e1 + 5e2 + 6e3 , y = − e1 − e2 − e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j, k ,
если a = i + 4 j + 3k ;
б) координаты векторов u = A x и v = B x в базисе i , j , k , если x = 2i − k .
⎛1 2 0 ⎞
⎜
⎟
№18. Дана матрица A = ⎜ 0 4 − 3 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 , e2 ,
⎜9 3 2 ⎟
⎠
⎝
e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании
№15.
⎛ 1 3 − 6⎞
⎜
⎟
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ 3 5 0 ⎟
⎜− 6 0 5 ⎟
⎝
⎠
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
x 2 + 12 xy + y 2 − 14 2 x − 14 2 y + 20 = 0 .
172
ВАРИАНТ № 25
№1. Вычислить: – 3А + 4В –5С, где
№2. Найти произведение матриц
⎛ 1 0 − 2⎞
⎛3 4 5⎞
⎛ −1 1 0⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 − 3 ⎟, B = ⎜ 2 − 3 4 ⎟, C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟.
⎜− 4 3 5 ⎟
⎜ 1 − 5 6⎟
⎜8 − 6 7 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 4 0 5 ⎞ ⎛ 1 8 − 1⎞ ⎛ 1 − 1 10 ⎞
⎜
⎟⎜
⎟
⎟⎜
7 ⎟ ⎜ 0 1 − 1⎟
⎜7 − 2 9⎟ ⎜0 5
⎜ 3 0 6⎟ ⎜ 0 − 3 1 ⎟ ⎜ 0 1 3 ⎟
⎝
⎠⎝
⎠
⎠⎝
№3. Даны матрицы
⎛1 1 − 1⎞
4 1⎞
⎛3
⎜
⎟
⎜
⎟,
B = ⎜ 2 9 3 ⎟. .
2 5⎟
A=⎜ 0
⎜ 7 5 − 2⎟
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Найти матрицу Х из уравнения 4A–1/3X=B
№4. Найти значение многочлена
f(x)= 6x3 –2x –1 от матрицы
№5. Вычислить определители
0 1 2 3
2 1 3
1 0 1 2
5 3 2,
.
2 1 0 1
1 4 3
3 2 1 0
№6. Найти x из уравнения
№7. Найти det(AB), и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
⎛ 5 0 − 1⎞
⎛ 3 2 1⎞
⎜
⎟,
⎜
⎟
A = ⎜4 2 1 ⎟
B = ⎜ 2 1 0⎟
⎜0 3 2 ⎟
⎜ −1 1 0⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
4
3 1⎞
⎛ 1
⎟
⎜
3 0⎟ .
⎜− 2 1
⎜ 4
5
1 1⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎝ 1 −1 − 2 1 ⎠
3
9
2
2
x x 2 = 0.
7 49 2
⎛ 1 −1 2⎞
⎜
⎟
5 0⎟
⎜ 3
⎜− 2 − 3 1⎟
⎝
⎠
⎛ −1 1 ⎞ X =⎛ 2 4 ⎞
⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜
⎝ 2 − 3⎠
⎝ − 1 − 1⎠
№11. При каких значениях параметра “λ”
ранг матрицы равен указанному числу
⎛1 − λ
⎜
⎜ −1
⎜ 0
⎝
⎛1 0 ⎞ .
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
1⎞
⎟
λ 4 ⎟ , r = 3.
0 λ ⎟⎠
0
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б)матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧2 x1 + x3 = 6
⎧ x1 + 2 x2 + 2 x3 = 5
1) ⎪
, 2) ⎪
.
⎨3 x1 − 4 x2 = −2
⎨2 x1 + 3 x2 − x3 = 4
⎪2 x − x = 2
⎪3 x + 4 x − 5 x = 2
⎩ 2 3
⎩ 1
2
3
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧3 x1 − x3 − 5 x4 = 5
⎧ x1 − x2 + x3 = 7
⎧ x1 − 3x2 = 7
⎧ x1 − 2 x2 − x3 = 0
⎪
⎪
⎪
а) 3 x + x = 2, б) ⎪ x1 + 2 x2 + x4 = 5
в) ⎪2 x1 − x2 + x4 = 1
г) ⎪ x + 2 x − x = 0.
⎨ 1
⎨ 1
2
2
4
,
,
⎨
⎨
x
x
x
x
5
6
−
−
−
=
+
−
=
x
x
x
2
0
⎪4 x − x = 9
⎪
1
2
3
4
3
4
⎪
⎪ 2
2
⎩ 1
⎩ x1 + 3x4 = 0
⎪⎩ x1 + x2 − x3 − 6 x4 = 4
⎪⎩2 x1 + x2 + x3 + x4 = 1
173
значения и собственные
0 ⎞
⎛3 1
⎜
⎟.
преобразования, заданного матрицей
A = ⎜−1 1
0 ⎟
⎜ 16 − 1 − 3 ⎟
⎝
⎠
№14.
Найти
собственные
векторы
линейного
№15. Даны координаты векторов a = (1,8,−4) , b = (1,3,−1) , c = ( −1,−6,3) и
d = (1,2,−3) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1 y 2 y3 ) по данному базису g1 = (1 0 − 1), g 2 = (0 3 0), g 3 = (0 2 1)
построить
ортонормированный
базис
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = 2e1 + 7e2 + 6e3 , y = −e1 + e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j , k ,
если a = i − 3 j + 2k ;
б)
координаты векторов
x = 5i + 6 j + 2k .
u =A x
и
v=B x
в базисе
i , j, k , если
⎛1 2 3 ⎞
⎜
⎟
№18. Дана матрица A = ⎜ 2 4 − 3 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 , e2 ,
⎜1 3 2 ⎟
⎝
⎠
e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании
№15.
⎛ 2 − 1 − 1⎞
⎜
⎟
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ − 1 4 − 1⎟
⎜−1 −1 4 ⎟
⎝
⎠
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
2 x 2 + 6 xy + 2 y 2 − 4 2 x − 11 2 y + 10 = 0 .
174
ВАРИАНТ № 26
№1. Вычислить 2А –5В –3С, где
№2. Найти произведение матриц
⎛ 1 0 − 2⎞
⎛ −1 1 0⎞
⎛3 4 5⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 − 3⎟, B = ⎜ 2 − 3 4 ⎟, C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟.
⎜− 4 3 5 ⎟
⎜ 1 − 5 6⎟
⎜8 − 6 7 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎝
⎠
⎠
⎛ 5 3 7 ⎞ ⎛ − 4 1 3⎞
⎜
⎟⎜
⎟.
⎜1 − 6 3⎟ ⎜ 4 − 2 6⎟
⎜ 2 − 4 1⎟ ⎜ − 2 1 0⎟
⎝
⎠⎝
⎠
№3. Даны матрицы:
⎛1 1 − 1⎞
4 1⎞
⎛3
⎜
⎟
⎟,
⎜
B = ⎜ 2 9 3 ⎟. .
A=⎜ 0
2 5⎟
⎜ 7 5 − 2⎟
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎝
⎠
⎠
⎝
Найти матрицу Х из уравнения 2A–1/4X=2B
№4. Найти значение многочлена
f(x)= 3x4 –8x2 + 5 от матрицы
№5. Вычислить определители
№6. Найти x из уравнения
3 2 −4
4 1 −2,
5 2 −3
a
b
b
c
c
a
1
1
c
a
b
1
(b + c ) / 2 (c + a ) / 2 (a + b ) / 2
⎛1 0 ⎞ .
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
.
1
−x
x
−1
2
−1
2 = 0.
0
1
3
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
3
7 0⎞
⎛
⎛ −1 5 0⎞
⎜
⎟,
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 − 1⎟
B = ⎜ 1 4 2⎟
⎜0 2 1 ⎟
⎜ 2 0 3⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
⎛0 1 1⎞
⎜
⎟
⎜1 0 1⎟
⎜1 1 0⎟
⎝
⎠
⎛ − 2 − 4⎞ X ⎛ 1 2 ⎞ =⎛ 0 1 ⎞
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜⎜
3 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 − 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 −1⎟⎠
⎝ 1
⎛ 1 − 2 − 2 0 − 3⎞
⎜
⎟
1 −1 2 ⎟ .
⎜0 1
⎜0 3
6 − 3 3 ⎟⎠
⎝
№11. При каких значениях параметра “λ” ранг
матрицы равен указанному числу
⎛ 3 −1 λ ⎞
⎜
⎟ , r = 2.
⎜ 0 0 1⎟
⎜ −1 3 λ ⎟
⎝
⎠
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б)матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧2 x1 − 3 x2 + 3 x3 = −10 ⎧2 x1 + x2 = −1
1) ⎪
2) ⎪
⎨ x1 + 3 x2 − 3 x3 = 13
⎨− x1 + 2 x2 = 8
⎪x + x = 0
⎪3 x + x + x = 2
⎩ 1 3
⎩ 1
2
3
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
x + 5x3 + 2 x4 = 0
⎧3x1 + x2 + 5x3 = 1
⎧3x2 + x3 + 4 x4 = 0
⎧7 x1 + x2 = −1 ⎧⎪ 2
⎪x − x − 4 x = 5
⎪
1
x
x
−
+
=
в) ⎪ 1 2
г) ⎪
а) x + x = 3 , б) ⎪ 3
4
4
⎨ 1
, ⎨ x1 + x3 − x4 = 0 .
, ⎨
2
⎨
⎪2 x + 3x = 0
⎪5 x − x = −7 ⎪x2 + 2 x3 − x4 = −1
⎪x2 + x3 + x4 = −1
4
⎩ 1
⎩ 1 2
⎪⎩x1 + 2 x2 + 6 x3 + x4 = 9 ⎪⎩3x1 + 2x2 + 6x3 + x4 = 3
175
№14.
Найти
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
⎛5 9 7 ⎞
⎟
3 − 2⎟.
⎜0 2 −1⎟
⎝
⎠
преобразования, заданного матрицей A = ⎜ 0
⎜
№15. Даны координаты векторов a = (1,1,1) , b = (1,3,−1) , c = ( −1,−6,3) и
d = (1,2,−3) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1 y 2 y3 ) по данному базису g1 = (1 2 − 2 ), g 2 = (1 0 0), g 3 = (0 3 − 1)
построить
ортонормированный
базис
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = 2e1 + 8e2 − e3 , y = −2e1 + 2e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j , k ,
если a = i − 2 j + 2k ;
б) координаты векторов u = A x и v = B x в базисе i , j, k , если x = j + 4k .
⎛0 2 0 ⎞
⎜
⎟
№18. Дана матрица A = ⎜ 2 3 − 5 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 , e2 ,
⎜1 0 2 ⎟
⎠
⎝
e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании
№15.
⎛−1 1 2 ⎞
⎟
⎜
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ 1 0 1 ⎟
⎜ 2 1 − 1⎟
⎝
⎠
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
10 x 2 − 6 xy + 10 y 2 − 21 2 x − 21 2 y − 100 = 0 .
176
ВАРИАНТ № 27
№1. Вычислить
1
0 − 2⎞
⎛
⎛ −1
⎜
⎟
⎜
A = ⎜ 2 1 − 3⎟, B = ⎜ 2
⎜− 4 3 5 ⎟
⎜1
⎝
⎠
⎝
А + 7В –10С, где
1 0⎞
⎛3 4 5⎞
⎟
⎜
⎟
− 3 4⎟, C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟.
⎜8 − 6 7 ⎟
− 5 6⎟⎠
⎝
⎠
№2. Найти произведение матриц
⎛ − 2 0 0⎞ ⎛ −1 0 0⎞ ⎛1 0 0⎞
⎜
⎟⎜
⎟.
⎟⎜
⎜ 0 2 0⎟ ⎜ 0 2 0⎟ ⎜ 0 1 0⎟
⎜ 0 0 1⎟ ⎜ 0 0 3⎟ ⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠⎝
⎠
⎠⎝
№3. Даны матрицы
⎛1 1 −1⎞
4 1⎞
⎛3
⎜
⎟
⎜
⎟,
B = ⎜ 2 9 3 ⎟. .
A=⎜ 0
2 5⎟
⎜7 5 − 2⎟
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Найти матрицу Х из уравнения 6A – 3X = B.
№4. Найти значение многочлена
f(x)= – 4x2 + 5x –4 от матрицы
№5. Вычислить определители
2 1
8
1
3
1 −5
1
−
3
9
−
6
−1 −1 0 ,
№6. Найти x из уравнения
1− x −1 0
4
2
5
0
1
2
4
−5
0
2
6
⎛1 0 ⎞ .
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
1
2
.
№7. Найти det(AB) и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
3 − x 0 = 0.
3
1
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
⎛1 1 1 ⎞
⎜
⎟
⎜1 2 3 ⎟
⎜1 3 6 ⎟
⎝
⎠
⎛ 2 1 − 1⎞ ,
⎛2 3 0⎞
⎜
⎟
⎟
⎜
A = ⎜ 3 7 0 ⎟ B = ⎜ 1 0 − 1⎟
⎜0 2 1 ⎟
⎜ −1 2 1 ⎟
⎝
⎠
⎠
⎝
№9. Решить матричное уравнение
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
⎛ − 1 − 3⎞ X = ⎛ 8 1 − 2 ⎞
⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜
⎝ − 2 −1⎠
⎝3 0 − 3⎠
0
1
⎛ 1
⎜
3
⎜ 2 1
⎜ − 3 −1 − 4
⎜
⎜ 4 −1 3
⎜ 1 1
2
⎝
№11. При каких значениях параметра “λ” ранг
матрицы равен указанному числу
⎛ 1 −1 λ ⎞
⎜
⎟ , r = 1.
2
2
4
−
⎜
⎟
⎜ 1 −1 − 2⎟
⎝
⎠
−1 ⎞
⎟
− 2⎟ .
3 ⎟
⎟
− 4⎟
− 1 ⎟⎠
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б) матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧ x1 + x2 − x3 = −2
⎧ x2 + x3 = −2
1) ⎪
, 2) ⎪
⎨4 x1 − 3x2 + x3 = 1
⎨ x2 − 2 x1 = 1
⎪2 x + x − x = 1
⎪− x + 2 x + x = 2
⎩ 1 2 3
⎩ 1
2
3
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧2 x1 − x3 − x4 = −3
⎧ x 2 − 3 x3 + x 4 = 2
⎧6 x1 − 3 x2 = 1
⎧ x1 − 2 x2 + 4 x3 = 0
⎪
⎪
а) ⎪5 x + x = −3, б) ⎪3 x1 + x2 − 2 x3 = 0
в) ⎪
г)
−
+
=
−
7
1
x
x
x
⎪
2
4
⎨ 1 2
, ⎨ x1 + x2 − x3 = 0 .
, ⎨ 1
⎨
⎪x − 4x = 4
⎪ x1 + x2 − 10 x3 + 2 x4 = 0 ⎪
⎪ x1 − x2 − x3 = −1
⎩ 1
⎩2 x1 − x2 + 3 x3 = 0
2
⎪⎩6 x1 − x2 − x3 − 3x4 = 2 ⎪⎩ x1 + x2 + x3 = 0
177
Найти
значения и собственные
⎛5 9 7 ⎞
⎜
⎟.
преобразования, заданного матрицей
A = ⎜0 3 − 2⎟
⎜0 2 −1⎟
⎝
⎠
№14.
собственные
векторы
линейного
№15. Даны координаты векторов a = (1,5,3) , b = ( 2,1,−1) , c = ( 4,2,1) и
d = (31,29,10) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) найти координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
y = ( y1
построить
y2
y3 ) по данному базису g1 = (2 1 2 ), g 2 = (0 1 1), g 3 = (3 0 1)
ортонормированный
базис
e1 , e2 , e3 . Найти угол между векторами
x = −6e2 + 2e3 , y = −4e1 + e3 .
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j , k ,
если a = 4i − 3 j + k ;
б) координаты векторов u = A x и v = B x в базисе i , j , k , если x = 5i − 7k .
⎛ 0 2 1 ⎞
⎜
⎟
№18. Дана матрица A = ⎜ 2 0 − 3 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 ,
⎜−1 3 0 ⎟
⎝
⎠
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в
задании №15.
3 − 6⎞
⎛ 1
⎟
⎜
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ 3 13 0 ⎟
⎜ − 6 0 13 ⎟
⎝
⎠
линейного оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
x 2 + 8 xy − 5 y 2 − 14 5 x − 14 5 y = 0 .
178
ВАРИАНТ № 28
№1. Вычислить 5А –11В + 6С, где
⎛3 4 5⎞
⎛ −1 1 0⎞
⎛ 1 0 − 2⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 − 3⎟, B = ⎜ 2 − 3 4 ⎟, C = ⎜ 1 − 3 2 ⎟.
⎜8 − 6 7⎟
⎜ 1 − 5 6⎟
⎜− 4 3 5 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
№2. Найти произведение матриц
⎛ − 4 1 3⎞ ⎛ 5 3 7 ⎞
⎟.
⎜
⎟⎜
⎜ 4 − 2 6⎟ ⎜ 1 − 6 3 ⎟
⎜ − 2 1 0⎟ ⎜ 2 − 4 1 ⎟
⎝
⎠⎝
⎠
№3. Даны матрицы
№4. Найти значение многочлена
f(x)= 9x5 –2x2 + 4 от матрицы
⎛1 1 −1⎞
⎜
⎟.
B = ⎜ 2 9 3 ⎟.
⎜7 5 − 2⎟
⎝
⎠
4 1⎞
⎛3
⎟
⎜
A=⎜ 0
2 5⎟ ,
⎜ − 1 − 2 3⎟
⎠
⎝
Найти матрицу Х из уравнения 2X–1/3B=4A
№5. Вычислить определители
2 1 −5 1
1 −2 1
1 −3 0 −6
3 1 −5,
4
2
5
0
1
2
4
−1
−7
2
6
⎛1 0 ⎞ .
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
№6. Найти x из уравнения
0
x−4
x−4
3
3 = 0.
x−2
4
1
x −1
.
№7. Найти det(AB), и проверить, что
det(AB)=det(A) det(B)
⎛ 3 1 0⎞
⎛ 0 5 − 1⎞
⎜
⎟
⎜
⎟,
A = ⎜ 2 4 1 ⎟ B = ⎜ 4 0 2⎟
⎜ −1 2 1⎟
⎜3 0 2 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
№8. Найти матрицу, обратную к матрице
⎛ − 2 5 0⎞
⎜
⎟
1 2⎟
⎜ 1
⎜ − 4 − 1 3⎟
⎝
⎠
№10. Найти ранг матрицы и указать
какой-нибудь базисный минор
⎛ 1 1 2 3 −1 ⎞
⎟
⎜
⎜ 2 −1 0 − − 5 ⎟ .
⎜ −1 −1 0 − 3 − 2 ⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎝ 6 3 4 8 − 3⎠
№9. Решить матричное уравнение
−1 1⎞
⎟⎟ = (2 − 5)
⎝ 0 2⎠
X ⎛⎜⎜
№11. При каких значениях параметра “λ” ранг
матрицы равен указанному числу
1 2⎞
⎛ λ
⎟⎟ , r = 2.
⎜⎜
λ
+
1
−
2
1
⎝
⎠
№12. Решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б)матричным
способом; в) методом Гаусса
⎧x1 + x2 − x3 =1
⎧2 x1 + x3 + 3x4 = −5
⎪
1) ⎨8x + 3x − 6x = 2 2) ⎪⎪2 x2 − x1 − x3 − 2 x4 = −8
1
2
3
⎪− 4x − x + 3x = −3 ⎨⎪x1 − x2 + 4 x4 = −9
3
⎩ 1 2
⎪⎩ x1 + 2 x2 + x3 + 3x4 = −2
№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
⎧ x 2 + x 3 − x 4 = −2
⎧ x1 + x2 = 7
⎧ x1 − x2 − x3 = 0
⎧2 x1 + x3 + 3 x4 = −1
⎪
⎪
⎪
а) 2 x − x = 1 , б) ⎪ x1 + x2 − x4 = 1
в) ⎪ x 1 + x 2 − x 3 = 4
г) ⎪ x + x + x = 0 .
⎨ 1 2
⎨ 1 2
3
,
,
⎨
⎨
x
+
x
+
x
=
2
3
⎪ x − 2 x = −6
⎪
x
x
−
=
4
1
2
4
3
4
⎪
⎪
⎩ 1
2
⎩2 x1 − x2 − x3 = 0
⎪⎩3 x 1 + 3 x 2 = 0
⎪⎩3 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 4
179
№14.
Найти
собственные
значения
и
собственные
векторы
линейного
⎛5 9 7 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 0 3 − 2⎟ .
⎜0 2 −1⎟
⎝
⎠
преобразования, заданного матрицей
№15. Даны координаты векторов a = (1,2,4) , b = (1,−1,1) , c = ( 2,2,4) и
d = ( −1,−4,−2) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R найти;
а) доказать, что векторы a , b и c образуют базис;
б) координаты вектора d в базисе a , b , c .
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров 1× 3 со
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , где x = (x1 x2 x3 ) ,
скалярным
произведением
g1 = (3 0 4 ),
g 2 = (0 1 0),
g 3 = (0 1 − 1) построить ортонормированный базис e1 , e2 , e3 . Найти угол между
векторами x = 2e1 + e3 , y = − e1 + 7e2 + e3 .
y = ( y1
y2
y3 )
по
данному
базису
№17. Задано линейное преобразование A x = ( x , a )a и B x = [ x , a ] евклидова
пространства свободных векторов найти:
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j, k ,
если a = i − 3 j + 6k ;
б)
координаты векторов
x = −4i + j + 7k .
u =A x
и
v =B x
в базисе
i , j, k , если
⎛ 1 0 1⎞
⎜
⎟
№18. Дана матрица A = ⎜ 0 − 2 1 ⎟ линейного преобразования в базисе e1 , e2 ,
⎜ 1 1 0⎟
⎝
⎠
e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании
№15.
⎛2 1 0 ⎞
⎟
⎜
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = ⎜ 1 2 0 ⎟ линейного
⎜ 0 0 − 1⎟
⎝
⎠
оператора
A
имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и
построить линию, определяемую данным уравнением:
x 2 + 6 xy + y 2 − 4 2 x − 8 2 y − 50 = 0 .
180
Заключение
Роль математики в современной науке и технике становится все более
существенной. Будущим инженерам и научным работникам требуется
серьезная математическая подготовка для решения своих практических
задач. Как известно, аппарат линейной алгебры применяется в самых
различных областях науки: физике, сопротивлении материалов, теории
упругости, экономике и т.д. Знание основных понятий и методов линейной
алгебры позволит современному инженеру решать поставленную перед ним
задачу быстро и качественно.
Изложенный в пособии материал посвящен в основном ключевым
понятиям и методам линейной алгебры, отметим, что не затронутыми
остались некоторые приложения. Для более глубокого изучения следует
обратиться к работам [1], [4].
Следует отметить, что изучение математики не только развивает
логическое мышление, но и помогает анализировать ситуацию и принимать
правильные решения в условиях быстроменяющегося современного мира.
Библиографический список
1. Головина, Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения / Л.И.
Головина. М.: Наука, 1972. – 288 с.
2. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры / Д.В. Беклемишев. М.: Наука, 1998. – 290 с.
3. Казиев, Э.А. Линейная алгебра (курс лекций) / Э.А. Казиев, Я.Б.
Рутицкий; Воронеж. инж.-строит. ин-т., 1973. – 58 с.
4. Седаев, А.А. Методы линейной алгебры и элементы конечномерного
функционального анализа / А.А. Седаев; Воронеж. арх.-строит. ун-т., 2005. –
125 с.
181
Предметный указатель
Алгебраическое дополнение элемента
матрицы (определителя) 13
Антисимметричная матрица 8
Матрица системы 30
Матрица-столбец 7
Матрица-строка 7
Матрицы равные 7
Матричный способ решения
системы 22
Метод Крамера решения системы 23
Метод окаймляющих миноров 27
Метод ортогонализации
Грама-Шмидта 66
Минор k-го порядка матрицы 26
Минор элемента определителя 13
Базис линейного пространства 44
Базисный минор 29
Бесконечномерное пространство 44
Верхнетреугольная матрица 8
Вырожденная матрица 7
Диагональная матрица 8
Невырожденная матрица 7
Невырожденное линейное
преобразование 73
Неоднородная система линейных
алгебраических уравнений 19
Неравенство Коши–Буняковского 55
Длина вектора 57
Евклидово пространство 53
Единичная матрица 8
Квадратичная форма 111
Квадратная матрица 7
Конечномерное пространство 44
Координаты вектора в базисе 45
Неравенство треугольника 55
Несовместная система линейных
алгебраических уравнений 19
Нижнетреугольная матрица 8
Норма вектора 55
Нормированный вектор 63
Нулевая матрица 6
Линейная комбинация векторов 43
Образ вектора 71
Линейно зависимые (независимые) векторы 42
Обратная матрица 15
Однородная система линейных
алгебраических уравнений 19
Определенная система линейных
алгебраических уравнений 19
Определитель (матрицы) 7, 13
Ортогональная матрица 68
Ортогональная система векторов 63
Ортогональное преобразование 106
Ортогональные векторы 58
Ортонормированная система
векторов 63
Канонический вид квадратичной формы 116
Линейное (векторное) пространство 39
Линейное преобразование векторов линейного
пространства 71
Линейное преобразование переменных 114
Матрица 6
Матрица квадратичной формы 111
Матрица линейного преобразования 71
Матрица перехода 49
182
Ортонормированный базис 64
Теорема Кронекера-Капелли 31
Порядок квадратной матрицы 7
Тождественное преобразование 76
Транспонированная матрица 7
Тривиальное решение 19
Преобразование подобия 77
Произведение линейных преобразований 84
Произведение матриц 11
Произведение матрицы на число 10
Угол между векторами 58
Формула вычисления обратной
матрицы 16
Размерность линейного пространства 44
Ранг матрицы 26
Расширенная матрица системы 31
Решение системы линейных алгебраических
уравнений 19
Ряд матрицы 6
Свойства определителя 14
Симметричная матрица 8
Симметричное преобразование 96
Система линейных алгебраических
уравнений 19
Скалярное произведение 53
Сложение матриц 9
Собственное значение линейного
преобразования 87
Собственный вектор 87
Совместная система линейных
алгебраических уравнений 19
Согласованные матрицы 9
183
Характеристическое уравнение 90
Эквивалентные матрицы 6
Эквивалентные системы 19
Элемент матрицы 6
Элементарные преобразования
матрицы 28
Учебное издание
АЛЕЙНИКОВ Сергей Михайлович
ЕВЧЕНКО Валерия Константиновна
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебно-методическое пособие
Подписано в печать 18 .06.2009. Формат 60 × 84 1/16. Уч.-изд. л. 11,5.
Усл.-печ. л. 11,6. Бумага писчая. Тираж 200 экз. Заказ №
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии Воронежского государственного
архитектурно-строительного университета
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
125
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
29
Размер файла
2 228 Кб
Теги
линейная, алгебра, 299, алейников
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа