close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

342.Головинский П.А. Электричество и магнетизм. Колебания

код для вставкиСкачать
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
П. А. Головинский, М. А. Преображенский,
Ю. С. Золототрубов
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
КОЛЕБАНИЯ
Курс лекций
2-е издание,
переработанное и дополненное
Рекомендовано в качестве учебного пособия
редакционно-издательским советом
Воронежского государственного архитектурно-строительного университета
для студентов всех специальностей
Воронеж 2009
1
УДК 537(07)
ББК 22.333 я 7
Г611
Рецензенты:
кафедра экспериментальной физики
Воронежского государственного университета;
А. Ф. Клинских, доктор физ.-мат. наук,
профессор кафедры физики Воронежского аграрного университета
Г611
Головинский, П. А.
Электричество и магнетизм. Колебания : курс лекций для студ. всех спец. /
П. А. Головинский, М. А. Преображенский, Ю. С. Золототрубов ; Воронеж. гос.
арх-строит. ун-т. — 2-е изд., перераб. и доп. — Воронеж, 2009. — 102 с.
ISBN 978-5-89040-259-2
Изложены основные законы электростатики, постоянного и квазистационарных токов, магнетизма и основы теории колебаний. Приведены примеры их применения к решению конкретных задач. Учебное пособие содержит теоретический
материал, контрольные вопросы и упражнения. Объем материала и его разбиение
по главам соответствует учебным планам строительных специальностей технических университетов.
Ил. 72. Библиогр.: 8 назв.
УДК 537(07)
ББК 22.333 я 7
© Головинский П.А.,
Преображенский М.А.,
Золототрубов Ю.С., 2009
© Воронежский государственный
архитектурно-строительный
университет, 2009
ISBN 978-5-89040-259-2
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................................................................................... 6
Обозначения физических величин ........................................................................ 7
Введение ...................................................................................................................... 8
Раздел I. Электричество и магнетизм ................................................................. 10
Глава 1. Электростатическое поле ...................................................................... 10
Закон Кулона ........................................................................................................................... 10
Принцип суперпозиции .......................................................................................................... 10
Напряженность электрического поля ................................................................................... 11
Теорема Остроградского-Гаусса ........................................................................................... 12
Теорема Ирншоу ..................................................................................................................... 14
Контрольные вопросы и упражнения ................................................................................... 15
Глава 2. Электрическое поле внутри диэлектрика .......................................... 15
Полярные и неполярные диэлектрики .................................................................................. 15
Поляризация диэлектриков .................................................................................................... 16
Относительная диэлектрическая проницаемость ................................................................ 17
Нормальная составляющая поля на границе раздела диэлектриков ................................. 18
Поле равномерно заряженной нити ...................................................................................... 19
Поле равномерно заряженного шара .................................................................................... 19
Поле внутри плоского конденсатора .................................................................................... 20
Контрольные вопросы и упражнения ................................................................................... 21
Глава 3. Потенциал и энергия электрического поля ....................................... 21
Циркуляция вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру ...... 21
Тангенциальная составляющая поля на границе раздела диэлектриков........................... 22
Связь между напряженностью и потенциалом .................................................................... 22
Потенциал поля точечного заряда......................................................................................... 23
Энергия диполя во внешнем однородном поле ................................................................... 24
Проводник в электрическом поле ......................................................................................... 25
Электроемкость уединенного проводника ........................................................................... 25
Электроемкость конденсатора ............................................................................................... 25
Энергия системы зарядов ....................................................................................................... 26
Плотность энергии электростатического поля .................................................................... 26
Контрольные вопросы и упражнения ................................................................................... 27
Глава 4. Законы постоянного тока ...................................................................... 27
Плотность тока, сила тока ...................................................................................................... 28
Уравнение непрерывности для постоянного тока ............................................................... 28
Закон Ома для однородного участка цепи в интегральной форме .................................... 29
Сопротивление проводника ................................................................................................... 29
Закон Ома для однородного участка цепи в дифференциальной форме .......................... 30
Закон Ома для неоднородного участка цепи в дифференциальной форме ...................... 30
Правила Кирхгофа .................................................................................................................. 31
Закон Джоуля-Ленца .............................................................................................................. 33
Квазистационарные токи. Зарядка и разрядка конденсатора ............................................. 33
Контрольные вопросы и упражнения ................................................................................... 35
3
Глава 5. Магнитное поле в вакууме .................................................................... 35
Сила Лоренца .......................................................................................................................... 36
Относительный характер электрических и магнитных компонент поля.......................... 36
Принцип суперпозиции магнитных полей .......................................................................... 36
Закон Био-Савара-Лапласа .................................................................................................... 37
Магнитное поле бесконечного прямолинейного проводника с током ............................. 37
Индукция магнитного поля на оси кругового витка с током............................................. 38
Теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля ...................................................... 39
Закон полного тока................................................................................................................. 40
Магнитное поле соленоида ................................................................................................... 41
Контрольные вопросы и упражнения................................................................................... 41
Глава 6. Сила Ампера ............................................................................................. 42
Закон Ампера .......................................................................................................................... 42
Работа силы Ампера. Магнитный поток .............................................................................. 43
Магнитный момент ................................................................................................................ 44
Энергия катушки с током ...................................................................................................... 45
Плотность энергии магнитного поля ................................................................................... 45
Контрольные вопросы и упражнения................................................................................... 46
Глава 7. Магнитное поле в веществе .................................................................. 46
Теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля в веществе .................................. 46
Относительная магнитная проницаемость. Диамагнетики и парамагнетики .................. 47
Условия на границе раздела магнетиков ............................................................................. 47
Ферромагнетизм. Магнитный гистерезис ............................................................................ 49
Доменная структура ферромагнетиков ................................................................................ 50
Контрольные вопросы и упражнения................................................................................... 50
Глава 8. Электромагнитная индукция ............................................................... 51
Электродвижущая сила индукции ........................................................................................ 51
Связь ЭДС с силой Лоренца .................................................................................................. 51
Вихревые токи ........................................................................................................................ 52
Взаимная индукция. Коэффициент взаимной индукции ................................................... 53
Самоиндукция. Коэффициент самоиндукции ..................................................................... 53
Ток размыкания цепи ............................................................................................................. 54
Ток замыкания цепи ............................................................................................................... 55
Контрольные вопросы и упражнения................................................................................... 55
Глава 9. Уравнения Максвелла............................................................................ 56
Физический смысл уравнений Максвелла в интегральной форме .................................... 56
Ток смещения ......................................................................................................................... 56
Скорость электромагнитной волны ...................................................................................... 58
Поток вектора через бесконечно малую поверхность ........................................................ 59
Циркуляция вектора по бесконечно малому контуру ........................................................ 60
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме ........................................................... 61
Контрольные вопросы и упражнения................................................................................... 62
Раздел II. Колебания ............................................................................................... 62
Глава 10. Гармонические колебания................................................................... 62
Колебания................................................................................................................................ 62
Пружинный маятник. Дифференциальное уравнение
гармонических колебаний и его решение ............................................................................ 63
4
Физический и математический маятники ............................................................................ 64
Малые колебания в окрестности положения устойчивого равновесия ............................. 65
Идеальный электрический колебательный контур ............................................................. 66
Энергия гармонического осциллятора ................................................................................. 67
Контрольные вопросы и упражнения ................................................................................... 68
Глава 11. Сложение гармонических колебаний
и векторные диаграммы ........................................................................................ 69
Сложение колебаний .............................................................................................................. 69
Векторная амплитуда ............................................................................................................. 69
Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты и направления ...................... 70
Биения ...................................................................................................................................... 70
Комплексное представление гармонических колебаний .................................................... 71
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты.......................... 73
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
с разными частотами. Фигуры Лиссажу ............................................................................... 74
Контрольные вопросы и упражнения ................................................................................... 75
Глава 12. Затухающие колебания ........................................................................ 76
Дифференциальное уравнение
затухающих механических колебаний и его решение ........................................................ 76
Энергия затухающего осциллятора ...................................................................................... 78
Добротность осциллятора с затуханием ............................................................................... 79
Затухающие колебания в электрическом контуре ............................................................... 80
Контрольные вопросы и упражнения ................................................................................... 81
Глава 13. Вынужденные колебания. Резонанс .................................................. 81
Вынужденные электрические колебания ............................................................................. 81
Резонанс напряжений ............................................................................................................. 83
Мощность, выделяющаяся в цепи переменного тока ......................................................... 84
Вынужденные механические колебания .............................................................................. 84
Контрольные вопросы и упражнения ................................................................................... 86
Глава 14. Связанные колебания. Нелинейные колебания ............................. 86
Осцилляторы, связанные упругими силами ......................................................................... 86
Нормальные переменные, нормальные частоты ................................................................. 87
Нелинейные колебания физического маятника ................................................................... 89
Период нелинейных колебаний ............................................................................................. 91
Контрольные вопросы и упражнения ................................................................................... 91
Глава 15. Фазовые траектории. Автоколебания .............................................. 92
Фазовое пространство. Фазовая траектория ........................................................................ 92
Фазовые траектории гармонических и затухающих колебаний ........................................ 92
Фазовая траектория нелинейных колебаний........................................................................ 94
Автоколебания. Часы ............................................................................................................. 94
Контрольные вопросы и упражнения ................................................................................... 97
Заключение ............................................................................................................... 97
Библиографический список рекомендуемой литературы .............................. 98
Алфавитный указатель .......................................................................................... 99
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое учебное пособие является продолжением курса лекций по
физике, первая часть которого «Механика. Молекулярная физика и термодинамика» опубликована в 2008 г. Книга существенно переработана и дополнена
по сравнению с вышедшим в 2003 г. первым изданием, за которое авторы награждены дипломом издательской программы «300 лучших учебников для
высшей школы в честь 300-летия Санкт-Петербурга».
Авторы, ограниченные рамками государственного образовательного стандарта по физике, не стремились к полноте изложения, а сосредоточили внимание на принципиальных вопросах. Поэтому ряд практически важных вопросов
(электролиз, термоэлектрические явления и другие) остались за пределами изложения. Технические приложения теории лишь упоминаются в тексте. При
этом авторы стремились подготовить читателя к непосредственному переходу к
изучению общетехнических дисциплин, основанных на теории электричества
или теории колебаний.
Главной целью данной книги является выявление физического смысла и
связи основных положений теории электричества, а также продемонстрировать
на конкретных примерах использование общих принципов и методов в решении конкретных задач и показать их широкую применимость и универсальный
характер. Эти примеры призваны помочь студенту в самостоятельных поисках
аналогий между различными явлениями. В равной степени сказанное относится
и к теории колебаний.
Для понимания излагаемого материала читатель должен обладать навыками дифференциального и интегрального исчисления, а также векторной алгебры в объѐме курса математики технического университета. Минимальные
сведения по векторному анализу излагаются в тексте по мере надобности.
Лекционный курс с учѐтом специфики конкретных специальностей может
быть расширен, для чего предусмотрен резерв времени 6 академических часов.
6
ОБОЗНАЧЕНИЯ
ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
B
Вектор магнитной индукции
R
Сопротивление
C
Электроемкость
R, r
Радиус-вектор
c
Скорость света в вакууме
S
Вектор площадки
D
Электрическая индукция
U
Напряжение
dl
Вектор элемента тока
V
Объем
E
Напряженность
электрического поля
W
Энергия
e
Элементарный заряд
w
Плотность энергии
H
Напряженность
магнитного поля

Электродвижущая сила
I
Сила тока

Относительная
диэлектрическая
проницаемость
j
Вектор плотности тока
0
Электрическая постоянная
L
Индуктивность

Относительная магнитная
проницаемость
n
Единичный вектор нормали
к площадке

Объемная плотность заряда
P
Вектор поляризации

Поверхностная плотность
заряда
p
Магнитный момент.
Дипольный момент

Линейная плотность заряда
q
Электрический заряд

Диэлектрическая
восприимчивость
Жирным шрифтом обозначаются векторные величины, курсивом — скалярные величины.
7
ВВЕДЕНИЕ
Электросильное взаимодействие является одним из типов фундаментальных взаимодействий. Обширный класс явлений, в которых можно не учитывать
силы тяготения и ядерные силы, может быть описан на основе изучения движения и взаимодействия электрических зарядов. Поэтому принципиальное значение учения об электричестве столь велико. Кроме того, из него выросли две области техники — электротехника и радиотехника, развитие которых в значительной степени определяет прогресс цивилизации. Все это делает изучение
данного раздела физики столь важным.
Как стало понятно в начале XX века, все тела построены из электрически
нейтральных частиц и частиц, обладающих электрическим зарядом. Величина
заряда кратна элементарному заряду e  1,60 1019 Кл . Знак заряда может принимать два значения. Принято считать, что легкие частицы — электроны заряжены отрицательно, а тяжелые, входящие в состав атомных ядер, — положительно. Электрически нейтральными тела являются до тех пор, пока содержат
равное количество зарядов разных знаков.
Последовательная теория электричества должна строиться на изучении
законов взаимодействия и движения зарядов. Однако в подавляющем большинстве случаев реально наблюдаемые заряды содержат громадное число элементарных зарядов, а наблюдаемые характеристики тел являются усредненными.
Поэтому можно не учитывать атомистическую структуру электричества и пользоваться моделью протяженных электрических зарядов, характеризующихся
подвижностью и объемной плотностью. Эта модель аналогична использовавшейся в механике модели непрерывной среды.
Моделью непрерывного объемного заряда мы будем часто пользоваться
при изучении электрических явлений. Даже в тех случаях, когда мы будем описывать движение элементарных зарядов (в так называемой электронной теории), наблюдаемые величины будут получаться суммированием вклада большого числа частиц электричества. Таким путем мы покажем, как макроскопические законы вытекают из законов движения и взаимодействия большого числа заряженных частиц. При этом следует иметь в виду, что последовательная
макроскопическая теория должна базироваться на основе квантовой механики,
к изучению которой мы приступим позднее. Поэтому те электрические явления,
в которых квантовые эффекты являются определяющими, будут либо изложены
чисто феноменологически (например, ферромагнетизм), либо их изложение будет отложено (полупроводники, сверхпроводимость и другие).
Классическая теория электричества, не учитывающая квантовых эффектов, приобрела свою современную форму в результате формулировки уравнений Максвелла. Эти уравнения являются одной из вершин классической физики и играют при описании электрических явлений столь же важную роль, как
уравнения Ньютона в механике и начала термодинамики в тепловых процессах.
8
Система уравнений Максвелла позволяет с единой точки зрения описать большое число явлений, до того считавшихся разнородными. Так, из них вытекает
существование единого электромагнитного поля, различными компонентами
которого являются электрическое и магнитное поля. Поэтому теория электричества описывает также и магнитные явления.
В данной части курса мы не останавливаемся на истории открытий и
вкладе отдельных ученых в развитие науки. Однако необходимо отметить, что
учение об электричестве принадлежит к тем областям физики, в которые российские ученые внесли особенно весомый вклад. Одно перечисление фамилий
говорит о многом.
До XVII века сведения об электричестве ограничивались античными опытами по электризации трением. Импульс развитию науки дали наблюдения атмосферного электричества, выполненные академиками М. В. Ломоносовым и
Г. Рихманом. Далее изучение электрических явлений были продолжены в Российской академии наук Э. Х. Ленцем и Б. С. Якоби, а в Московском университете А. Г. Столетовым, Н. А. Умовым, П. Н. Лебедевым. Наряду с фундаментальными исследованиями необходимо отметить и вклад российских изобретателей Н. П. Яблочкова, А. Н. Лодыгина в развитие электротехники, а
А. С. Попова — в становление радиотехники. В советский период международное признание получили работы И. М. Мандельштама, Г. С. Папалекси и многих других ученых
9
РАЗДЕЛ I
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Глава 1. Электростатическое поле
Физические тела при определенных условиях могут приобретать некомпенсированный электрический заряд. Это явление, часто возникающее при трении сухих тел, было известно еще древним исследователям. В домашних условиях можно поставить элементарный опыт. Достаточно взять сухую газету,
приложить ее в развернутом виде к стене и натереть одежной щеткой. В результате электризации при трении газета легко приобретает заряд и остается
висеть на стене за счет электростатического притяжения.
ЗАКОН КУЛОНА. В результате обобщения экспериментальных данных было
установлено, что на заряд материальной точки (в дальнейшем — точечный заряд)
величиной q со стороны другого точечного заряда величиной q1 действует сила
(1.1)
где r — расстояние между телами, k — константа, зависящая от выбора системы
единиц измерения, n — единичный вектор, направленный от q1 к q. Уравнение
(1.1) называется законом Кулона и справедливо для точечных зарядов, движущихся со скоростями много меньшими, чем скорость света. Заряды могут отличаться как по величине, так и по знаку. В соответствии с уравнением (1.1) одноименные заряды отталкиваются, а разноименные — притягиваются. Закон
Кулона справедлив также и для сферически симметричных зарядов, которые
нельзя считать точечными. В этом случае r является расстоянием между центрами тел.
В системе СИ единица измерения заряда является производной, в то время
как основной единицей является единица измерения силы тока — ампер (А). Через нее единица измерения заряда — кулон (Кл) выражается в виде Кл = А ∙ с.
В системе СИ константа закона Кулона записывается как
(1.2)
где универсальная константа ε0 = 8,854∙l0-12 Kл2 Н-1 м2 и называется абсолютной
диэлектрической проницаемостью вакуума.
ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ. Если данный заряд q взаимодействует с совокупностью зарядов, то полная сила, действующая на этот заряд, равна сумме
сил, действующих на него со стороны отдельных зарядов:
(1.3)
Соотношение (1.3) является результатом обобщения экспериментальных
данных и называется принципом суперпозиции электрических сил. Оно справед10
ливо в пустоте, но во многих случаях сохраняется и при взаимодействии зарядов в веществе.
НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. Взаимодействие зарядов может
быть описано также и с помощью понятия электростатического поля, силовой
характеристикой которого является напряженность E. Поскольку сила взаимодействия зарядов q и q1 выражается через произведение q1∙q, то сила, действующая на заряд q со стороны заряда q1, может быть представлена в виде
(1.4)
где вектор Е носит название напряженности электрического поля. Вектор напряженности электрического поля равен силе, действующей на единичный положительный точечный заряд (в дальнейшем — пробный заряд):
(1.5)
Подставляя уравнения (1.1), (1.2) в (1.5), имеем
(1.6)
Уравнение (1.6) представляет собой закон Кулона в полевой форме.
С помощью понятия напряженности описание взаимодействия пары зарядов строится следующим образом: заряд q1 создает электрическое поле, определяющееся только величиной q1 и расстоянием r от заряда до рассматриваемой
точки пространства. Второй заряд q взаимодействует с тем электрическим полем, которое имеется в точке, где он находится. В рамках электростатики два
способа описания: через силу взаимодействия и через напряженность электрического поля — приводят к одинаковым результатам.
Как показывает эксперимент, возникновение электрического поля может
быть вызвано не только наличием электрических зарядов. Соответствующие
физические явления будут изучены нами далее. Понятие поля позволяет описывать широкий класс явлений с общей точки зрения, и данным способом мы
будем пользоваться в дальнейшем.
Из принципа суперпозиции для сил следует принцип суперпозиции для
векторов напряженности электрического поля:
(1.7)
Следует отметить, что понятие напряженности имеет смысл лишь при условии, что влиянием пробного заряда на заряды, создающие это поле, можно
пренебречь. Внесение реальных, а не мыслимых зарядов зачастую приводит к
силовому изменению расположения зарядов, создающих поле, и соответственно к изменению исходного электрического поля.
Для наглядного описания электрического поля используется понятие линий
напряженности электрического поля. Линии напряженности электрического поля располагаются так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором Е, а густота силовых линий пропорциональна величине поля Е. Линии по11
ля, создаваемые положительным (а) и
отрицательным (б) зарядами, а также
парой разноименных зарядов (в), показаны на рис. 1.1.
ТЕОРЕМА
ОСТРОГРАДСКОГО–
ГАУССА. Линии напряженности электрического поля начинаются или заканчиваются на зарядах или уходят в
бесконечность. В этом смысле заряды являются источниками электрического поля. Мысленно окружим
систему зарядов замкнутой поверхностью. Разность числа силовых линий, входящих и выходящих из такой
поверхности, пропорциональна алРис. 1.1. Характерный вид линий
гебраической сумме зарядов внутри
напряженности электрического поля,
нее. Это утверждение называется
создаваемого одним или двумя зарядами
теоремой Остроградского-Гаусса.
Придадим ей теперь математический вид. Но сначала уточним понятие
замкнутой поверхности. Это понятие интуитивно ясно, но во избежание недоразумений определим его более строго.
Назовем замкнутой поверхность, разбивающую пространство на две области — внутреннюю (конечного размера) и внешнюю (бесконечного) таким
образом, что переместить точку из одной области в другую можно, только пересекая границу.
Нам также понадобится математическое понятие потока вектора через
поверхность. Определим поток вектора. Представим себе однородное электрическое поле с напряженностью Е, составляющей угол  с нормалью к плоской
поверхности площадью S. Тогда поток вектора напряженности, который мы
обозначим буквой ФE, будет равен произведению величины нормальной к поверхности компоненты напряженности поля Еn на площадь S:
(1.8)
где S — вектор площадки. Модуль вектора равен площади S, а направление совпадает с перпендикуляром (нормалью) к площадке (рис. 1.2).
Поскольку величина напряженности поля
пропорциональна плотности силовых линий и
площадку пересекают только векторы, имеющие отличную от нуля нормальную компоненту, то поток сквозь данную площадку пропорционален числу пронизывающих эту площадку
силовых линий.
12
Рис 1.2. Взаимное расположение
вектора и элементарной
площадки при расчете
величины потока вектора
В случае если поле не является однородным или поверхность имеет
сложную форму, разделим всю поверхность на бесконечно малые участки с
вектором отдельной площадки dS. Определив поток через каждую площадку в
соответствии с уравнением (1.8)
(1.9)
и просуммировав все элементарные потоки, получим интеграл через поверхность:
(1.10)
Очевидно, что больший заряд создает более густую структуру линий напряженности электрического поля. Придадим этому качественному соображению количественную форму. Рассмотрим замкнутую поверхность в форме сферы радиуса r, окружающую точечный положительный заряд q, расположенный
в ее центре. Направление вектора нормали выберем наружу по отношению к
замкнутой поверхности. Величина электрического поля на поверхности сферы
будет всюду одинакова, равна
и направлена радиально наружу, как
показано на рис. 1.3. Поскольку в данном случае
,
то поток вектора Е через поверхность сферы будет равен величине Е, умноженной на площадь поверхности сферы S = 4r2, то есть
(1.11)
E
n
q1
A1
q
A2
Рис. 1.3. Взаимное расположение силовых линий точечного заряда
и поверхности сферы при расчете потока вектора
13
Более детальное математическое исследование показывает, что соотношение (1.11), выведенное нами для одного точечного заряда и сферической поверхности, справедливо и для любой системы зарядов внутри произвольной
замкнутой поверхности. Оно составляет содержание теоремы ОстроградскогоГаусса. Следует отметить, что отрицательный заряд порождает отрицательный
по величине поток вектора E.
Заряды, расположенные вне замкнутой поверхности (например, q1 на
рис 1.3), не дают вклада в поток ФE. Это связано с тем, что силовые линии
внешних зарядов пересекают поверхность дважды, входя и выходя из нее (точки А1 и А2 на рис. 1.3). Знаки нормальных составляющих Еn вектора напряженности в точках входа и выхода противоположны, и потоки через окрестности
точек А1 и А2 взаимно компенсируются.
Учитывая два последних замечания, окончательно можно сформулировать теорему Остроградского-Гаусса в следующем виде: поток вектора напряженности электрического поля системы зарядов через произвольную
замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов,
заключенных в объеме, окруженном этой поверхностью:
(1.12)
Если заряды распределены непрерывно с объемной плотностью , то
суммирование в правой части формулы (1.12) заменяется интегрированием по
объему заряженного тела и
(1.13)
ТЕОРЕМА ИРНШОУ. Теорема Остроградского-Гаусса позволяет доказать
неустойчивость равновесия заряженной частицы в чисто электростатическом
поле (теорема Ирншоу) методом от противного. Пусть положение заряда q устойчиво.
Это означает, что при смещении в любом направлении от положения равновесия на него
будет действовать возвращающая сила со стороны внешних электрических зарядов.
Примем для определенности, что q > 0.
Тогда для устойчивости необходимо, чтобы линии напряженности в окрестности заряда были
направлены к нему, как показано на рис. 1.4.
Тогда поток вектора Е через малую поверхность, окружающую заряд q, отличен от нуля.
Однако по теореме Остроградского-Гаусса это
Рис. 1.4. Предполагаемый вид
невозможно, поскольку поле создается только
линий напряженности
внешними для данной замкнутой поверхности
электрического поля,
удерживающего в равновесии
зарядами. Полученное противоречие и докаположительный заряд
зывает сформулированное нами утверждение.
14
Контрольные вопросы и упражнения
1. Нарисуйте силовые линии электрического поля, создаваемого четырьмя
одинаковыми положительными зарядами, расположенными в вершинах квадрата.
2. Пользуясь принципом суперпозиции, найдите результирующее поле,
если координаты векторов поля равны соответственно Ех1 = 2 В/м, Еу1 = 2 В/м,
Ez1 = l В/м и Ех2 = 2 В/м, Еу2 = 1 В/м, Ez2 = 2 В/м.
3. От чего зависит выбор величины константы k в формуле (1.1) для закона Кулона?
4. Нарисуйте силовые линии электрического поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью. Знак заряда считать отрицательным.
5. Пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, найдите поток вектора
однородного электрического поля Е через поверхность полусферы радиусом R.
Угол между вектором напряженности и плоской круговой поверхностью, лежащей в основании полусферы, равен θ.
Глава 2. Электрическое поле внутри диэлектриков
Все вещества можно разделить на два основных класса по отношению к
способности проводить электрический ток — диэлектрики и проводники. В диэлектриках положительные и отрицательные заряды связаны и не могут свободно перемещаться под действием электрического поля. Напротив, в проводниках имеются свободные заряды, которые под действием даже небольших полей способны перемещаться.
ПОЛЯРНЫЕ И НЕПОЛЯРНЫЕ ДИЭЛЕКТРИКИ. Диэлектрики состоят из молекул. Молекула электрически нейтральна и содержит одинаковое количество положительных и отрицательных зарядов. Если в отсутствие внешнего электрического поля заряды разного знака смещены в молекулах относительно друг друга,
то состоящий из них диэлектрик называется полярным. Свойства таких молекул
хорошо описываются моделью жесткого диполя: системой находящихся на фиксированном расстоянии равных по
модулю разноименных зарядов
l
(рис. 2.1). Вектор р = ql называется
-q дипольным моментом. Здесь q —
q
величина положительного заряда,
Рис. 2.1. Модель электрического диполя
l — вектор, соединяющий отрицательный и положительный заряды.
При отсутствии внешнего электрического поля вследствие теплового
движения все направления дипольных моментов равновероятны. Под действием внешнего поля полярные молекулы ориентируются преимущественно в направлении внешнего поля тем сильней, чем больше отношение энергии взаимодействия молекул с полем к энергии теплового движения.
+
-
15
В неполярных диэлектриках центры зарядов разных знаков совпадают.
Относительное смещение положительных и отрицательных зарядов происходит
под действием внешнего поля. Диполь, моделирующий такие молекулы, уже
нельзя считать жестким: расстояние между разноименными зарядами растет с
ростом напряженности внешнего поля E0.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ. Процессы ориентации и деформации молекулярных диполей, приводящие к частичному разделению отрицательных и
положительных зарядов, называются поляризацией диэлектрика. Количественной мерой поляризации служит вектор поляризации Р. Его определяют как векторную величину, равную суммарному дипольному моменту системы. Вектор
поляризации единицы объема V есть
(2.1)
где n — число молекул в единице объема, р — средний дипольный момент молекулы.
Для широкого класса изотропных диэлектриков и не очень больших значений напряженности электрического поля справедливо равенство
(2.2)
где χ — диэлектрическая восприимчивость, E — напряженность суммарного
поля, то есть внешнего поля E0 и внутреннего поля.
Связанность зарядов в диэлектрике приводит к тому, что объемная плотность заряда внутри него равна нулю как без действия внешнего поля, так и при
его наличии. Рассмотрим прямоугольный однородный полярный диэлектрик,
помещенный в постоянное электрическое поле E0, как показано на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Поляризация диэлектрика
Тогда поляризация диэлектрика во внешнем поле приводит к появлению
на двух перпендикулярных полю границах тонких слоев связанных зарядов с
модулем поверхностной плотности заряда ζb. При этом поле этих слоев направ16
лено противоположно внешнему полю. Мысленно вырежем из диэлектрика цилиндр с основаниями площадью S, лежащими на границах диэлектрика, и осью,
параллельной линиям напряженности (пунктир на рис. 2.2). Поскольку на основаниях цилиндра имеется некомпенсированный связанный заряд, равный Sζb, а
высота цилиндра равна толщине диэлектрика d, модуль дипольного момента
цилиндра определяется равенством
(2.3)
Здесь учтено, что объем цилиндра V = Sd. Из уравнения (2.3) видно, что
величина дипольного момента единицы объема диэлектрика равна поверхностной плотности связанных зарядов ζb:
(2.4)
Таким образом, поверхностная плотность связанного заряда совпадает по
величине с величиной поляризации. При этом направление вектора Р совпадает
с направлением E0. Соотношение (2.4) справедливо как для полярных, так и для
неполярных диэлектриков.
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ. Рассмотрим теперь
поле бесконечной равномерно положительно заряженной плоскости, помещенной в однородную диэлектрическую среду, как показано на рис. 2.3. Обозначим
поверхностную плотность заряда . В результате поляризации вблизи поверхности возникает двойной слой связанных зарядов отрицательного знака с каждой стороны от плоскости с плотностью, модуль которой равен ζb. Поле, порождаемое этими зарядами, направлено противоположно внешнему. Для определения величины поля E0 порождаемого свободными и связанными зарядами,
воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса.
Рис.2.3. Поле равномерно заряженной плоскости
Выберем замкнутую поверхность в форме цилиндра, ось которого параллельна E0, а площади торцов равны S (пунктир на рис 2.3). Из соображений
17
симметрии ясно, что и суммарное поле Е так же, как и E0 параллельно оси цилиндра и, следовательно, поток вектора Е через боковую поверхность равен нулю. Поток вектора напряженности через торцы цилиндра площадью S равен
(2.5)
Подставляя (2.2) с учетом (2.4) в (2.5), получим:
(2.6)
В отсутствие диэлектрика
(2.7)
Из уравнений (2.6) и (2.7) следует, что в диэлектрической среде
(2.8)
где ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды. Тогда можно
записать:
(2.9)
В общем случае определить плотность связанных зарядов нелегко, и при
использовании теоремы Остроградского-Гаусса для расчета полей в диэлектриках даже в случае высокой симметрии возникают трудности. Для удобства расчета электрических полей вводят вспомогательный вектор электрической индукции D. Он представляет собой сумму разнородных величин — напряженности суммарного поля и вектора поляризации единицы объема:
(2.10)
Можно показать, что для вектора электрической индукции теорема Остроградского-Гаусса имеет следующий вид: поток вектора индукции через любую замкнутую поверхность выражается через алгебраическую сумму только
свободных зарядов q внутри замкнутой поверхности:
(2.11)
Поскольку в соответствии с уравнением (2.10) вектор D пропорционален
напряженности суммарного поля, расчет полей в диэлектриках значительно упрощается.
НОРМАЛЬНАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ ПОЛЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДИЭЛЕКТРИКОВ.
На границе раздела диэлектриков свободных зарядов нет. Выберем замкнутую
поверхность в форме цилиндра малой высоты, ось которого перпендикулярна
плоской границе раздела диэлектриков I и II (рис 2.4).
В соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса
(2.12)
18
откуда
(2.13)
или
(2.14)
Таким образом, нормальная
составляющая электрической индукции при переходе через границу
раздела диэлектриков не изменяется.
Нормальная составляющая напряженности электрического поля изменяется скачком.
ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОЙ НИТИ. Теорему ОстроградскогоГаусса можно применить для расчета поля систем, обладающих высокой симметрией. Найдем поле бесконечной равномерно заряженной
прямолинейной нити с линейной
плотностью заряда . Выберем замкнутую поверхность в форме цилиндра так, чтобы ось цилиндра совпадала с нитью, как показано на рис. 2.5.
Поток вектора D через торцы цилиндра равен нулю, а поток через
боковую поверхность
Рис. 2.4. Преломление вектора
электрической индукции
на границе раздела двух диэлектриков
(2.15)
Отсюда следует, что
(2.16)
Следовательно,
(2.17)
ПОЛЕ
РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕН-
Вычислим поле, создаваемое шаром радиуса R, заряд которого q равномерно распределен по
его объѐму V с плотностью
,в
НОГО ШАРА.
Рис. 2.5. Поле равномерно заряженной нити
произвольной точке пространства. Из соображений симметрии ясно, что индукция поля направлена по лучам, проходящим через центр шара, а модуль индукции зависит только от расстояния до центра (рис. 2.6). При такой конфигу19
рации поля естественно выбрать в
качестве замкнутой поверхности для
применения теоремы Остроградского-Гаусса сферу радиуса r, концентрическую с поверхностью шара.
Поток вектора индукции через
такую сферу равен произведению
модуля вектора D на площадь сферы (Dn = D):
(2.18)
Если
, величина заряда,
заключенного внутри поверхности,
не зависит от ее радиуса и равна заряду шара q. Подставляя в (2.11) поток (2.18) и заряд q, имеем
Рис. 2.6. Поле
равномерно заряженного шара
(2.19)
что совпадает по виду с законом Кулона. Таким образом, закон Кулона описывает не только поле точечного заряда, но и поле равномерно заряженного шара
для расстояний r, больших его радиуса.
Если
, то внутри поверхности находится лишь часть заряда шара,
пропорциональная объему
, охватываемому поверхностью:
(2.20)
Подставляя в (2.11) поток (2.18) и заряд (2.20), имеем
(2.21)
ПОЛЕ ВНУТРИ ПЛОСКОГО КОНДЕНСАТОРА. Как видно из приведенных примеров, применение теоремы Остроградского-Гаусса непосредственно к расчету
полей эффективно только в случае, когда из соображений симметрии можно
указать поверхности, на которых D = const.
Рассмотрим поле между двумя проводящими плоскими параллельными
пластинами, имеющими равные, но противоположные по знаку заряды (рис. 2.7).
Пусть промежуток между пластинами заполнен диэлектриком с относительной
проницаемостью .
Поле внутри конденсатора найдем, воспользовавшись формулой (2.9) для
поля равномерно заряженной плоской поверхности и принципом суперпозиции
электрических полей. Согласно принципу суперпозиции поле внутри конденсатора равно удвоенному полю, создаваемому отдельной заряженной поверхностью:
(2.22)
20
-
E-

+
E
E+
Рис. 2.7. Поле внутри плоского конденсатора
Модуль напряженности поля вне конденсатора равен разности модулей
напряженности полей, создаваемых каждой из пластин. В силу равенства по величине зарядов пластин он равен нулю.
В более сложных случаях применение теоремы Остроградского-Гаусса не
позволяет непосредственно определить поле и для его расчета, как правило,
приходится пользоваться принципом суперпозиции электрических полей.
Контрольные вопросы и упражнения
1. Нарисуйте внутреннее электрическое поле (силовые линии) в плоском
диэлектрике во внешнем однородном поле.
2. Где могут начинаться и заканчиваться линии напряженности электрического поля при наличии границы раздела диэлектриков?
3. Нарисуйте расположение линий индукции электрического поля относительно замкнутой поверхности для случая, если поток этого вектора равен нулю.
4. Как ведут себя свободные и связанные заряды в постоянном электрическом поле?
5. Нарисуйте график зависимости модуля вектора индукции электрического поля D от расстояния r до центра заряженного шара.
6. Пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, рассчитайте поле равномерно заряженного цилиндра бесконечной длины. Нарисуйте график зависимости D от расстояния r до оси.
7. Пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, рассчитайте поле равномерно заряженной сферы. Нарисуйте график зависимости индукции D от расстояния r до цента.
Глава 3. Потенциал и энергия электрического поля
ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПО ЗАМКНУТОМУ КОНТУРУ. Электростатические поля создаются точечными зарядами и являются суммой стационарных центральных полей. Как показано в механике, для
21
полей такого вида силы являются консервативными. Поскольку работа консервативной силы при перемещении тела по замкнутой траектории равна нулю, то
(3.1)
равна нулю и циркуляция вектора напряженности электрического поля по любому замкнутому контуру, то есть
(3.2)
ТАНГЕНЦИАЛЬНАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ ПОЛЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДИЭЛЕКТРИКОВ. Потенциальность электрического поля позволяет установить связь между
тангенциальными составляющими электрического поля у границы раздела двух
диэлектрических сред. Выберем замкнутый контур, как показано на рис. 3.1,
так, чтобы выполнялось неравенство
.
Рис. 3.1. Преломление напряженностей электрического поля
на границе раздела двух диэлектриков
Вычисляя интеграл (3.2) по этому контуру и пренебрегая вкладом малых
сторон b, получим
(3.3)
где Е1 и Е2 — тангенциальные проекции векторов Е1 и Е2 на границу раздела
диэлектриков. Из (3.3) следует условие на границе раздела
(3.4)
СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННОСТЬЮ И ПОТЕНЦИАЛОМ. Поле консервативных
сил характеризуется потенциальной энергией U = U (x, y, z), которая связана с
силой известным из механики соотношением
(3.5)
В соответствии с определением напряженности разделим обе части уравнения (3.5) на величину заряда q, на который действует поле.
22
Тогда получим
(3.6)
где θ = U / q — потенциал электрического поля — величина, численно равная
потенциальной энергии единичного положительного точечного заряда.
Переход от напряженностей к потенциалам обладает тем достоинством,
что потенциалы, в отличие от напряженностей, являются скалярными величинами. Производная от суммы равна сумме производных, и принципу суперпозиции для напряженностей соответствует принцип суперпозиции для потенциалов. Поэтому для нахождения потенциала, создаваемого системой зарядов, достаточно алгебраически сложить потенциалы, создаваемые каждым из зарядов в
отдельности:
(3.7)
Использование принципа суперпозиции в форме (3.7) значительно проще,
чем векторное сложение напряжѐнностей (1.7).
ПОТЕНЦИАЛ ПОЛЯ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА. Проверим прямым вычислением,
что потенциал, создаваемый точечным зарядом,
(3.8)
приводит к правильному выражению для напряженности электрического поля.
Действительно,
(3.9)
что совпадает с формулой (1.6).
Часто в практических задачах встречаются нейтральные системы, состоящие из разноименных зарядов, разделенных в пространстве. Рассмотрим
поле простейшей нейтральной системы из двух зарядов — электрического диполя в точке A, находящейся на расстоянии от положительного заряда и от
отрицательного, как показано на рис. 3.2.
В соответствии с принципом суперпозиции (3.7) в точке А потенциал
(3.10)
Рассмотрим поле на расстоянии r от центра диполя, значительно превышающего размеры диполя, то есть когда выполняется неравенство
. Тогда
и
Учитывая определение вектора дипольного момента
, имеем
(3.11)
23
A
r+
+
r
-q

+q
Рис. 3.2. Электрический диполь
ЭНЕРГИЯ ДИПОЛЯ ВО ВНЕШНЕМ ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ. Энергия диполя во
внешнем поле как системы из двух зарядов определяется равенством
(3.12)
где
— потенциал внешнего поля в точке, в которой находится положительный (отрицательный) заряд. Если изменением напряженности поля вдоль
диполя можно пренебречь, то, используя связь между напряженностью и потенциалом однородного поля
, получим
(3.13)
Из формулы (3.13) следует, что минимальную энергию диполь имеет в
положении
, то есть во внешнем электрическом поле свободный диполь
ориентируется по направлению поля.
При перемещении по поверхности постоянного потенциала (эквипотенциальной поверхности) выполняется равенство
(3.14)
Условие (3.14) при ненулевом поле у поверхности может быть выполнено
только в случае, если угол между Е и dr равен
(рис. 3.3). Это значит, что
силовые линии ортогональны эквипотенциальным поверхностям.
Рис. 3.3. Взаимное расположение векторов электрического поля
и эквипотенциальной поверхности
24
ПРОВОДНИК В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ. Пользуясь свойствами поверхностей
равного потенциала, рассмотрим теперь проводник, находящийся в постоянном
электрическом поле. Под действием поля заряды в проводнике придут в движение до тех пор, пока не уравняют своим полем внутри проводника действующее
извне поле. Это означает, что поле внутри проводника равно нулю и, следовательно, потенциал остается внутри проводника постоянным: θ = const. Поэтому
поверхность проводника является эквипотенциальной. Следовательно, силовые
линии перпендикулярны поверхности проводника.
Установим связь между поверхностной плотностью заряда проводника ζ
и величиной электрического поля Е у поверхности. Выберем замкнутую поверхность в виде малого параллелепипеда с гранью, параллельной поверхности
проводника (рис. 3.3) и содержащей элемент поверхности внутри себя. Применение теоремы Остроградского-Гаусса с учетом того, что
, дает
(3.15)
где q — заряд части поверхности, находящейся внутри параллелепипеда, S —
площадь грани, или
(3.16)
ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ УЕДИНЕННОГО ПРОВОДНИКА. Поскольку потенциал проводника является постоянной величиной для всего тела, то связь между зарядом
проводника q и его потенциалом θ осуществляется коэффициентом пропорциональности С, который называется электроемкостью (часто — емкостью):
(3.17)
Электроемкость С измеряется в фарадах (Ф = Кл/В).
ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ КОНДЕНСАТОРА. Если проводник не уединен, то его емкость зависит от расположения других проводников, поскольку они искажают
его поле. Система из двух противоположно заряженных и близко расположенных проводников называется конденсатором. Поле такой системы экранировано от внешних полей, и ее емкость остается практически постоянной.
Ранее, во второй лекции, мы нашли, что поле внутри плоского конденсатора
(3.18)
Определим емкость плоского конденсатора. Разность потенциалов
θ = Ed, где d — расстояние между обкладками. С учетом (3.18) имеем
(3.19)
Следовательно, емкость плоского конденсатора
(3.20)
25
Отсюда ясно, что для увеличения емкости конденсатора необходимо увеличивать площадь поверхности обкладок S, уменьшать расстояние между ними d
и увеличивать диэлектрическую проницаемость изолятора между обкладками.
ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ. Рассмотрим вопрос о потенциальной энергии взаимодействующих зарядов. Для точечных зарядов этот вопрос решается
просто. Энергия взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2 в соответствии с
(3.8) равна
(3.21)
Энергия системы n зарядов равна сумме энергии их попарного взаимодействия:
(3.22)
В формуле (3.22) индекс суммирования удовлетворяет неравенству i > j
для того, чтобы исключить повторный учет взаимодействия двух зарядов и
взаимодействие заряда с самим собой, поскольку rij = 0.
Рассмотрим энергию, накапливаемую проводником при сообщении ему
заряда. Чтобы увеличить заряд проводника на величину dq, необходимо совершить работу против сил электростатического отталкивания, равную
(3.23)
По закону сохранения энергии полная работа равна бесконечно малому
изменению энергии dW проводника. Считая энергию незаряженного проводника равной нулю и учитывая уравнение (3.17), получим полную энергию с зарядом q, равную
(3.24)
Эта формула применима и к расчету энергии, накопленной произвольным
конденсатором.
ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. Найдем плотность
энергии
в плоском конденсаторе. Здесь V — объем конденсатора. С
учетом (3.24) и (3.20) получим
(3.25)
Учитывая связь напряженности поля с индукцией (2.10), будем иметь
(3.26)
Выражение (3.26) показывает, что энергия заключается в самом электрическом поле и можно говорить о плотности энергии электрического поля. Если
26
поле не является однородным, как в плоском конденсаторе, то, разбивая объем
на бесконечно малые части и суммируя их энергии, получим выражение
(3.27)
для полной энергии электрического поля в объеме V.
Контрольные вопросы и упражнения
1. Найти напряженность электрического поля, соответствующую потенциалу U = A (х2 + у2 + z2).
2. Вычислите криволинейный интеграл от вектора Е = Аxi + Вy j + Czk по
участку (a, b) вдоль оси x, если Аx, Вy, Cz — константы.
3. Какова должна быть форма заряженного проводника, чтобы можно
было применять формулу (3.16) для расчета поля?
4. Какими способами можно увеличивать емкость конденсатора и какие
при этом возникают ограничения?
5. Выразите емкость батареи конденсаторов при последовательном соединении через емкости отдельных конденсаторов.
6. Выразите емкость батареи
конденсаторов при параллельном соединении через емкости отдельных
конденсаторов.
7. Найти угол α2 между вектором
напряженности E2 во втором диэлектрике и границей раздела. Относительная
диэлектрическая проницаемость второго
диэлектрика 2, угол между границей
раздела и вектором напряженности E1 в
первой среде — α2, а ее диэлектрическая
Рис. 3.4. Взаимное расположение
проницаемость 1 (рис. 3.4).
векторов напряженности поля
8. Показать, что потенциал однов двух диэлектриках
и
границы их раздела
родного электрического поля
Глава 4. Законы постоянного тока
Электрический ток представляет собой направленное движение зарядов.
Мы ограничимся рассмотрением электрического тока в проводниках, главным
образом в металлах. Носителями тока в проводящей среде могут быть электроны (в металлах и плазме), ионы (в электролитах и плазме), а также любые
другие заряженные частицы. В отсутствие электрического поля заряженные
частицы совершают хаотическое движение и ток отсутствует. При включении
27
электрического поля на хаотическое движение носителей накладывается упорядоченное движение со средними скоростями u+ для положительных и u_ для
отрицательных зарядов.
ПЛОТНОСТЬ ТОКА. СИЛА ТОКА. Количественной мерой направленного
движения ансамбля заряженных частиц служит вектор плотности тока
(4.1)
где ρ+ и ρ- — объемные плотности положительного и отрицательного носителей
зарядов, u+ и u- — средние скорости положительных и отрицательных зарядов
соответственно. Поскольку
,а
, направление вектора j совпадает с
направлением скорости положительных зарядов. Вектор плотности тока описывает распределение потока зарядов по сечению проводника. Для постоянного
тока в практически наиболее важном случае однородного проводника плотность тока остается постоянной по сечению и более удобной для описания является скалярная характеристика — сила тока I. Сила тока численно равна заряду, протекающему через поперечное сечение проводника в единицу времени:
(4.2)
Единицей измерения силы тока является одна из основных единиц системы СИ — ампер (А). Именно сила тока, а не величина заряда положена в основу стандарта СИ, поскольку величину силы тока легко измерить по ее электролитическому или магнитному действию.
Покажем связь между плотностью и силой тока. Для этого вычислим поток вектора j через сечение проводника с электронной проводимостью. В этом
случае ρ = ρ-, u- = u, а поток вектора находится интегрированием по поперечному сечению проводника:
(4.3)
Если учесть, что
и
, получим
(4.4)
Таким образом, поток вектора плотности тока через любую площадку равен силе тока, протекающего через нее:
(4.5)
и для однородного проводника I = jS.
УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ДЛЯ ПОСТОЯННОГО ТОКА. Полный электрический заряд в замкнутой системе не может изменяться — это фундаментальный закон природы, который носит название закона сохранения заряда. Заряды
могут только перемещаться, а если возникают новые, то только парами с равными и противоположными по знаку зарядами. В силу этого поток вектора
28
плотности тока через замкнутую поверхность равен убыли заряда внутри этой
поверхности в единицу времени. Математически это можно записать в виде
(4.6)
Это соотношение называется уравнением непрерывности. Оно является
одной из математических формулировок закона сохранения заряда. Следует обратить особое внимание на то, что уравнение (4.6), в отличие от (4.5), справедливо только для замкнутой поверхности.
Особенно явно отличие этих законов видно в случае постоянного тока,
когда распределение зарядов в пространстве должно оставаться неизменным,
поскольку на место ушедших зарядов приходит такое же количество новых.
Внутри замкнутой поверхности dq/dt = 0 и
(4.7)
Поле вектора j можно изобразить графически с помощью линий тока так
же, как и поля векторов E и D изображались силовыми линиями. Из уравнения
(4.7) следует, что линии постоянного тока являются замкнутыми. Если линия
вышла из замкнутой поверхности, то она в нее и войдет.
При действии электрического поля положительные заряды в проводнике
перемещаются от большего потенциала к меньшему. Разность потенциалов
1–2 в случае постоянного тока называется напряжением U12 = 1–2. Напряжение численно равно работе электрического поля по перемещению единичного положительного заряда между заданными точками.
ЗАКОН ОМА ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ЦЕПИ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ.
Как показывает опыт, для однородных проводников справедлив закон Ома: сила постоянного тока I пропорциональна напряжению U, приложенному к проводнику:
(4.8)
где R — сопротивление проводника. Единицей сопротивления является Ом = В/А.
Закон Ома справедлив для металлов и электролитов. Для таких сред, как плазма, полупроводники и газы, сопротивление является более сложной функцией
напряжения и линейная зависимость (4.8) нарушается.
СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРОВОДНИКА. В простейшем случае однородного проводника постоянного поперечного сечения S сопротивление проводника зависит от его длины l и площади S следующим образом:
(4.9)
где  — удельное электрическое сопротивление, определяемое материалом
проводника и его температурой.
29
Воспользовавшись формулой (4.9), закон Ома (4.8) можно переписать в
виде
(4.10)
ЗАКОН ОМА ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ЦЕПИ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
ФОРМЕ. Учтем, что в однородном поле U / l = E — напряженность электрического поля в проводнике, I / S = j — плотность тока. Тогда
(4.11)
где σ = 1 / ρ — удельная электропроводимость среды. Соотношение (4.11) выражает закон Ома в дифференциальной форме. В однородных и изотропных
проводниках линии электрического тока, вдоль которых перемещаются электрические заряды, совпадают с направлением линий напряженности электрического поля. Поэтому закону Ома в дифференциальной форме можно придать
векторный вид:
(4.12)
Если в проводнике имеется только электрическое поле, то под его действием произойдет перемещение зарядов в проводнике таким образом, что внешнее поле полностью компенсируется внутренним полем зарядов. Чтобы этого
не произошло, необходимо существование в цепи участков, на которых положительные заряды двигаются в направлении возрастания электрического потенциала, а отрицательные — в направлении его уменьшения, то есть против
сил электростатического поля.
Поэтому для поддержания тока в проводнике необходимы силы не электростатической природы. Такие силы называются сторонними. Физическая
природа сторонних сил может быть различной. Они могут быть обусловлены,
например, химической или физической неоднородностью проводника (гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы).
ЗАКОН ОМА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ЦЕПИ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
ФОРМЕ. Для количественной характеристики сторонних сил вводят понятие
поля сторонних сил и его напряженность E* как стороннюю силу, действующую на единичный положительный заряд.
С учетом действия сторонних сил закон Ома в дифференциальной форме принимает обобщенный вид:
(4.13)
Перейдем теперь к интегральному закону Ома для неоднородного участка
цепи. Неоднородным называется участок цепи, на котором действуют сторонние силы. Разделим обе части уравнения (4.13) на ζ и проинтегрируем вдоль
контура проводника от точки 1 до точки 2.
30
Для левой части уравнения имеем
(4.14)
Здесь учтено, что в соответствии с уравнением (4.9)
есть сопротивление элементарного участка проводника длиной dl. Суммируя элементарные сопротивления, получаем полное сопротивление участка R. Интегрируя
правую часть уравнения (4.13) вдоль цепи на участке 1—2, имеем
(4.15)
где
представляет собой электродвижущую силу (ЭДС), действующую на данном участке цепи. Электродвижущая сила численно равна работе
сторонних сил, совершаемой при перемещении единичного положительного
заряда вдоль участка цепи. ЭДС измеряется в вольтах. С учетом (4.14) и (4.15)
мы получаем обобщенный закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме:
(4.16)
Для замкнутой цепи точки 1 и 2 совпадают, поэтому θ1 = θ2 и
(4.17)
ПРАВИЛА КИРХГОФА. Цепи постоянного тока могут иметь сложный разветвленный вид. В этом случае их расчет основывается на законах Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа является следствием уравнения непрерывности для постоянного тока (4.6). Пусть имеется узел, в котором сходится несколько проводников, как показано на рис. 4.1.
I1
I2
I4
I3
Рис. 4.1. Токи в узле цепи
31
Тогда в соответствии с (4.7) первый закон Кирхгофа можно сформулировать в следующем виде: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна
нулю:
(4.18)
При этом токи, идущие к узлу, и токи, исходящие из узла, следует считать
величинами разных знаков.
Второй закон Кирхгофа относится к любому выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру. Рассмотрим некоторый выделенный замкнутый
контур и зададим направление его обхода, например, по часовой стрелке, как
показано на рис. 4.2. Напомним, что на схемах положительный электрод источника постоянной ЭДС обозначается длинным отрезком, а отрицательный — коротким.
Рис. 4.2. Обход контура в цепи постоянного тока с источниками ЭДС
Для каждого неразветвленного участка между соседними узлами применим обобщенный закон Ома (4.16). Записав совокупность таких уравнений
вдоль всего контура, а затем сложив их, получим второй закон Кирхгофа:
(4.19)
согласно которому алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных
участках произвольного замкнутого контура на их сопротивления (сумма падений напряжений) равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом
контуре.
32
При этом положительной считается такая ЭДС, когда обход контура
внутри источника происходит в направлении от (-) к (+), а отрицательной — от
(+) к (-). Законы Кирхгофа позволяют рассчитать любую цепь постоянного тока
на основе решения соответствующей им системы линейных уравнений.
ЗАКОН ДЖОУЛЯ-ЛЕНЦА. Прохождение электрического тока через проводник сопровождается выделением тепловой энергии. Рассмотрим однородный
участок проводника. При переносе в этом участке проводника заряда q электрическое поле совершает работу
(4.20)
Поскольку скорость направленного движения электронов в цепи постоянного тока остается неизменной по ее длине, то вся затраченная работа выделяется в виде тепла Q и A = Q. Для постоянного тока q = It. Поэтому
(4.21)
а тепловая мощность
(4.22)
Соотношение (4.22) выражает закон Джоуля-Ленца. В неоднородном участке цепи работу могут совершать также сторонние силы. Можно показать, что
для замкнутой цепи, содержащей один источник ЭДС,
(4.23)
то есть общее количество выделяемой в единицу времени тепловой энергии
равно мощности только сторонних сил.
КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ. ЗАРЯДКА И РАЗРЯДКА КОНДЕНСАТОРА. Введенные понятия и законы постоянного тока могут быть использованы и при расчете квазистационарных токов, то есть токов, которые меняются медленно, если
под силой тока I понимать ее мгновенное значение I (t). Под медленно меняющимися токами понимаются такие токи, когда характерное время их изменения
 намного больше времени распространения электромагнитного поля вдоль цепи l/v (l — длина цепи, v — скорость распространения электромагнитного взаимодействия вдоль проводника):  >> l/v. В этом случае все процессы в цепи
можно рассматривать как одновременные без учета явлений запаздывания, обусловленных конечностью скорости распространения взаимодействия.
В качестве примера квазистационарного процесса рассмотрим процесс
зарядки и разрядки конденсатора. Если обкладки заряженного конденсатора
емкостью С замкнуть через сопротивление R, как показано на рис. 4.3, то в цепи
потечет ток силой I (t). Запишем силу тока разрядки конденсатора:
(4.24)
33
Согласно закону Ома (4.16) для
внешнего участка цепи, содержащего
сопротивление R,
(4.25)
Учитывая связь между зарядом и
напряжением в конденсаторе U = q /C,
преобразуем уравнение (4.25) к виду
(4.26)
Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении:
Рис.4.3. Цепь разряда конденсатора
через сопротивление
(4.27)
После интегрирования получим:
(4.28)
где q0 — начальный заряд конденсатора,
η = RC — постоянная с размерностью
времени, которая называется временем
релаксации. Время релаксации равно
времени уменьшения заряда конденсаРис.4.4. Закон уменьшения заряда
тора в е раз. На рис. 4.4 показан график
короткозамкнутого конденсатора
зависимости заряда конденсатора от
со временем
времени.
Продифференцировав (4.28) по времени, найдем закон изменения тока со
временем:
(4.29)
где I0 = q0 /η — сила тока в момент времени t = 0.
Аналогичным образом решается задача о зарядке конденсатора от источника постоянного тока в цепи, показанной на рис. 4.5.
Закон Ома для замкнутой цепи принимает вид
(4.30)
Разделение переменных дает
(4.31)
Интегрирование этого уравнения с начальным условием q = 0 при t = 0
приводит к следующему решению:
(4.32)
34
где qm = εC — максимальное значение заряда конденсатора при t → ∞, η = RC.
Ток со временем изменяется по закону
(4.33)
где I0 = ε / R. График зависимости заряда от времени показан на рис. 4.6.
Рис.4.5. Цепь заряда конденсатора
от постоянного источника ЭДС
Рис.4.6. Закон возрастания
заряда конденсатора со временем
Контрольные вопросы и упражнения
1. Как изменится сопротивление проводника, если его сложить вдвое?
2. Выведите формулу для сопротивления проводников при последовательном соединении.
3. Выведите формулу для сопротивления проводников при параллельном соединении.
4. Как изменяется тепловая мощность цепи, если ее сопротивление
уменьшить на 10 %, а напряжение оставить неизменным, как это бывает, например, при ремонте утюга или электрической плитки?
5. За какое время конденсатор емкостью 1000 мкФ разрядится вдвое через сопротивление 10 кОм?
Глава 5. Магнитное поле в вакууме
На электрические заряды при наличии электрического поля всегда действует сила
(5.1)
где q — величина заряда, Е — напряженность электрического поля. Помимо
этого, на движущиеся заряды может действовать сила, которая также пропорциональна величине заряда, а кроме того, пропорциональна скорости заряда и
35
направлена всегда перпендикулярно вектору скорости. Эту составляющую силы можно описать, введя понятие магнитного поля.
СИЛА ЛОРЕНЦА. Силовое действие магнитного поля характеризуется вектором магнитной индукции В. Полная сила, действующая на движущийся заряд, называется силой Лоренца. Она равна
(5.2)
Выражение (5.2) справедливо как для постоянных, так и для переменных
электрических и магнитных полей. Подчеркнем, что на покоящийся электрический заряд магнитная составляющая силы Лоренца не действует. Не действует
она и на заряд, движущийся вдоль линий магнитного поля В, поскольку в этом
случае векторное произведение [v, B]=0. Постоянное магнитное поле не совершает работу над свободно движущимся зарядом. Действительно, мощность
можно записать в виде
(5.3)
Поскольку векторное произведение [v, B], определяющее направление
действия силы, перпендикулярно вектору скорости v, то фигурирующее в (5.3)
скалярное произведение этих векторов равно нулю.
Это означает, что мощность равна нулю и энергия частицы, движущейся
в постоянном магнитном поле, остается постоянной независимо от характера ее
движения.
ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ КОМПОНЕНТ
ПОЛЯ. В нерелятивистском приближении сила Лоренца, как и любая другая сила, не зависит от системы отсчета. Однако изменение инерциальной системы
отсчета меняет скорость частицы.
Так, в системе отсчета, связанной с частицей, ее скорость равна нулю и
магнитная сила отсутствует. Для неизменности полной силы Лоренца (5.2) в
соответствии с принципом относительности в разных системах отсчета необходимо соответствующее изменение напряженности электрического поля
E → E/ = E - q [Δv, B], которое обеспечит постоянство силы при малых изменениях скорости. Тем самым разделение полей на электрическую и магнитную
часть зависит от системы отсчета.
ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ. Магнитное поле создается
движущимися зарядами. В практических приложениях обычно речь идет о магнитных полях, создаваемых электрическим током. Каждый элемент тока и каждый отдельный ток создают магнитное поле независимо. Вектор магнитной индукции полного поля равен векторной сумме магнитных полей, создаваемых
каждым отдельным источником:
(5.4)
36
Соотношение (5.4) для магнитных полей носит название принципа суперпозиции. Этот принцип выполняется с высокой точностью в вакууме и большинстве веществ, но нарушается в таких веществах, как ферромагнетики.
ЗАКОН БИО-САВАРА-ЛАПЛАСА. Магнитное поле, создаваемое постоянными
электрическими токами, можно найти с помощью закона Био-Савара-Лапласа,
являющегося обобщением экспериментальных данных. Пусть по проводнику
течет ток силой I, как показано на рис. 5.1. Бесконечно малый участок проводника, направленный в сторону тока, обозначим как вектор dl, а радиус-вектор
из точки проводника О в точку наблюдения А как вектор r.
Тогда бесконечно малый участок
проводника с током создает в точке А в
вакууме магнитное поле с индукцией:
(5.5)
Формула (5.5) выражает закон
Био-Савара-Лапласа. Магнитная постоянная μ0 связана с выбором системы
единиц СИ, в которой μ0 = 4π∙10-7 Гн/м.
В соответствии с формулой (5.5)
магнитное поле направлено перпендикулярно проводнику и радиусу-вектору,
проведенному в точку наблюдения.
Рис. 5.1. Взаимное расположение векторов
Это направление легко определить сов законе Био-Савара-Лапласа
гласно правилу буравчика (винта): если
правый винт совершает поступательное движение в направлении тока, то его вращение (вращение рукоятки буравчика) указывает направление линий магнитного поля, показанного пунктиром
на рис. 5.1.
Полное поле B, в силу принципа суперпозиции в вакууме, определяется
интегрированием выражения (5.5) по всем элементам тока:
(5.6)
Прямой расчет по этой формуле часто бывает сложен, однако в некоторых случаях его можно провести в аналитическом виде до конца. Рассмотрим
два простейших примера.
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ БЕСКОНЕЧНОГО ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ПРОВОДНИКА С
ТОКОМ. Согласно рис. 5.2 магнитные поля, создаваемые в произвольной точке
всеми элементарными токами, имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости рисунка.
37
Рис. 5.2. Взаимное расположение векторов при расчете магнитного поля,
создаваемого прямолинейным проводником с постоянным током
Поэтому векторное суммирование сводится к сложению модулей, и
(5.7)
Здесь учтено, что sin β = cos α.
Из рис. 5.2 следует также, что dl cos α = rd r = b/ cos α, где b — кратчайшее расстояние от проводника до точки А. После преобразования (5.7) получим
(5.8)
Линии поля бесконечного прямолинейного тока представляют собой окружности, центры которых лежат на проводнике с током.
ИНДУКЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ОСИ КРУГОВОГО ВИТКА С ТОКОМ. Направим ось z по оси витка. Как видно из рис. 5.3, лежащие на одном диаметре элементы тока dl1, и dl2 создают поля, проекции которых на перпендикулярное оси z
направление противоположны и, следовательно, взаимно уничтожаются. Поэтому суммарный вектор будет иметь только одну, отличную от нуля проекцию Bz.
Все проекции на ось z направлены одинаково, а их модули связаны с модулем индукции, порождаемой элементарным участком, следующим образом:
dBz = dB∙cos β. Тогда
(5.9)
38
Рис. 5.3. Взаимное расположение векторов при расчете магнитного поля,
создаваемого круговым проводником с постоянным током
ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА ДЛЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. Линии вектора В совпадают с его направлением в данной точке пространства, а их густота
пропорциональна величине этого поля. Силовые линии магнитного поля являются замкнутыми и охватывают создающие их токи. В этом смысле магнитное
поле не имеет источников, поскольку отсутствуют точки (заряды), в которых
начинаются или заканчиваются силовые линии. По этой причине полный поток
вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Поэтому теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля имеет вид
(5.10)
Важной характеристикой магнитного поля является его циркуляция по
замкнутому контуру:
(5.11)
где п — число токов Ii, пронизывающих контур.
39
ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА. Соотношение (5.11) справедливо для произвольного контура и утверждает, что циркуляция вектора В пропорциональна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода контура
правилом винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Соотношение (5.11) называют законом полного тока или теоремой о
полной циркуляции магнитного поля. Он может быть доказан на основе закона
Био-Савара-Лапласа.
В общем случае такое доказательство проводится довольно сложно, и мы
ограничимся его иллюстрацией для прямолинейного тока. Выберем контур, как
показано на рис. 5.4, в виде окружности, перпендикулярной проводнику так,
что ее центр пересекается проводником.
Рис. 5.4. Линия индукции магнитного поля,
создаваемого бесконечным прямолинейным проводником с постоянным током
В этом случае контур совпадает с одной из силовых линий. В силу этого
и
. Вдоль контура, согласно соотношению (5.8), величина индукции В не меняется. Поэтому
(5.12)
что подтверждает справедливость закона полного тока для рассмотренного частного случая.
Теорема о циркуляции магнитного поля позволяет легко находить магнитное поле симметричных систем. В качестве примера найдем магнитное поле, создаваемое соленоидом. Соленоидом называется проводник, намотанный
по винтовой линии на поверхность цилиндра.
40
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ СОЛЕНОИДА. Для соленоида, длина которого значительно превышает его диаметр, поле внутри него почти однородно, а снаружи
очень мало.
Применим к соленоиду закон полного тока, выбрав контур
интегрирования abcd, как показано на рис. 5.5.
Из соображений симметрии
ясно, что линии вектора В внутри
соленоида направлены вдоль его
оси. Циркуляция вектора В по такому контуру определяется только интегралом по стороне ad и
равна Bl.
Стороны ab и cd не вносят
Рис. 5.5. Магнитное поле внутри соленоида
вклад в циркуляцию, поскольку
вектор индукции В перпендикулярен им.
Вкладом в циркуляцию стороны bс можно пренебречь, так как поле вне
соленоида мало.
По закону полного тока циркуляция по замкнутому контуру равна μ0nlI,
где п — число витков на единицу длины соленоида, I — сила тока в соленоиде.
Тогда из формулы (5.11) получаем:
(5.13)
и
(5.14)
Произведение пI называют числом ампер-витков на единицу длины соленоида.
Контрольные вопросы и упражнения
1. Чем отличается вектор индукции магнитного поля В от вектора напряженности электрического поля Е, ведь с каждым из этих векторов связана
сила, действующая на заряд?
2. Как зависит величина магнитного поля от расстояния до создающего
его элементарного тока?
3. Что такое циркуляция вектора индукции магнитного поля и в каком
случае она равна нулю?
4. Нарисуйте линии индукции магнитного поля, создаваемого соленоидом конечной длины.
5. Как определить направление магнитного поля, зная направление создающего его электрического тока?
41
Глава 6. Сила Ампера
ЗАКОН АМПЕРА. Если проводник с током помещен в магнитное поле, на
каждый элементарный носитель тока действует магнитная сила Лоренца. Действие суммарной силы передается проводнику в целом. Найдем эту силу. Для этого
рассмотрим элемент проводника dl с объемом dV, как показано на рис. 6.1.
Рис. 6.1. Направления движения электронов в металле,
магнитного поля и силы Ампера
Пусть проводимость проводника определяется перемещением электронов. Тогда с учетом того, что направленное движение электронов характеризуется скоростью u, на каждый электрон в проводнике будет действовать сила
(6.1)
В элементе объема dV находится dN = ndV электронов, где п — их концентрация. Умножая (6.1) на число электронов, получим величину силы, действующей на элемент проводника:
(6.2)
где S — поперечное сечение проводника. Поскольку плотность тока в соответствии с (4.1) j = u = neu, а сила тока I = jS, то выражение (6.2) можно преобразовать к виду
(6.3)
в котором направление элементарного участка проводника dl выбрано по направлению технического тока (противоположно направлению движения элек42
тронов). Формула (6.3) выражает закон Ампера. Интегрируя выражение (6.3)
по всей длине проводника, можно найти полную силу, действующую на проводник с током.
РАБОТА СИЛЫ АМПЕРА. МАГНИТНЫЙ ПОТОК. При перемещении контура с
током в магнитном поле совершается работа. Для получения общей формулы
работы амперовых сил рассмотрим частный случай. Пусть имеется контур с
подвижной перемычкой длиной l, находящийся в однородном магнитном поле.
Магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости (рис. 6.2). В однородном поле на каждый участок перемычки действует постоянная сила (6.3).
Рис. 6.2. Перемещение проводника с током в магнитном поле
Модуль силы, действующей на всю перемычку, выражается равенством
(6.4)
а направление (на рис. 6.2 — вправо) определяется правилом левой руки. При
перемещении перемычки вправо на величину dx эта сила совершает работу
(6.5)
где dS — площадь описываемая перемычкой при перемещении. Поскольку
(6.6)
есть изменение магнитного потока при перемещении контура, то в общем случае элементарная работа
(6.7)
а при конечных перемещениях
(6.8)
Если при перемещении ток поддерживается постоянным, то
(6.9)
43
Сила Ампера является физической основой действия электродвигателей.
Основой любого электродвигателя является замкнутый плоский контур с током, помещенный в магнитное поле, как правило, однородное. Как известно из
механики, движение любой системы полностью определяется суммой сил и
суммой моментов сил, действующих на ее части.
Рассчитаем вначале сумму сил Ампера, действующих на произвольный
замкнутый контур в однородном магнитном поле. Применим принцип суперпозиции. Учитывая, что в однородном поле константа В может быть вынесена за
знак интегрирования и что a + b, c  a, c  b, c , имеем
(6.10)
Интеграл
представляет собой сумму замкнутой цепочки элементарных векторов dl, и поэтому он равен нулю. Следовательно, равна нулю и результирующая сила Ампера.
МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ. Суммарная сила Ампера в неоднородном магнитном поле отлична от нуля. Вычисления по формуле (6.10) для В  const в общем случае весьма сложны. Особый интерес представляет случай плоского
контура, когда его размеры достаточно малы. Такой контур называется элементарным. Нетрудно показать, что сила Ампера в
этом случае может быть выражена через вектор
магнитного момента контура:
(6.11)
Рис. 6.3. Магнитный момент
контура с током
где вектор n — нормаль к контуру, направление
которой связано с направлением тока в контуре
правилом правого винта (рис. 6.3).
Сила Ампера пропорциональна модулю рm
и производной вектора В по направлению нормали n:
(6.12)
Момент силы, действующей на контур с током, для однородного поля не
равен нулю. Пусть контур имеет вид прямоугольника со сторонами а и b, как
показано на рис. 6.4. Ось вращения 00' параллельна сторонам b и проходит через середины сторон а. Вектор В направлен вертикально вверх. Угол между
нормалью к контуру и вектором В равен α (рис. 6.4). Силы, действующие на
стороны длиной а, перпендикулярны им и индукции поля и, следовательно, направлены по оси 00'. Поскольку плечо этих сил относительно 00' равно нулю,
равен нулю и их момент. Стороны длиной b перпендикулярны В, и на каждую
a
из них действует сила F  IbB с плечом sin  . Суммарный момент М этих сил
2
равен IbBa sin  .
44
Рис. 6.4. Взаимное расположение векторов
магнитного и механического моментов
Учтем, что аb есть площадь контура и момент М направлен по оси вращения перпендикулярно как В, так и n. Уравнение для момента силы имеет
следующую векторную форму:
(6.13)
ЭНЕРГИЯ КАТУШКИ С ТОКОМ. Выражение для работы (6.7) не предполагает
обязательного перемещения проводника, поскольку магнитный поток через
контур может изменяться также за счет изменения магнитного поля. Это позволяет применить данное выражение к расчету энергии, запасенной катушкой с
током. В главе 5 мы нашли, что поле внутри соленоида
(6.14)
Соответственно магнитный поток через все N витков соленоида длиной l
равен
(6.15)
С учетом (6.8) и (6.15) работа по созданию тока силы I равна
(6.16)
где
генри (Гн).
— индуктивность соленоида. Индуктивность измеряется в
ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. Работа равна запасенной энергии. Выразим ее через величину магнитного поля внутри соленоида. Подставляя выражение тока через индукцию поля из (6.14), получим энергию в виде
(6.17)
где V — объем соленоида.
45
Отсюда для плотности энергии (энергии в единице объема) получаем
(6.18)
Как и в случае электрического поля, мы можем заключить, что энергия
магнитного поля также локализована в пространстве, которое поле занимает, и
может быть отнесена к самому магнитному полю. Для неоднородного магнитного поля можно считать его близким к однородному в малых объемах, а полную энергию поля вычислить как интеграл по объему:
(6.19)
Это выражение позволяет вычислять энергию магнитного поля различных конфигураций.
Контрольные вопросы и упражнения
1. В металле электроны находятся в постоянном тепловом движении.
Почему без подключения проводника к источнику ЭДС на такой проводник в
магнитном поле не действует сила Ампера?
2. Сила Лоренца, действующая на свободно движущийся электрон, не
совершает работы. Сила Ампера есть совокупность сил Лоренца, действующих
на отдельные электроны. Почему же сила Ампера может совершать работу?
3. Как при заданной силе тока энергия, накопленная соленоидом, зависит от его геометрических размеров?
4. Как определить направление силы Ампера?
Глава 7. Магнитное поле в веществе
ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА ДЛЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ВЕЩЕСТВЕ.
Если в магнитное поле поместить то или иное вещество, то в результате поле
изменится. Это объясняется тем, что всякое вещество является магнетиком, то
есть содержит элементарные магниты, которые под действием магнитного поля
ориентируются тем или иным образом. В результате внешнее магнитное поле
В0 и поле элементарных магнитов вещества В' складываются, образуя результирующее поле:
(7.1)
Здесь под В' и В имеются в виду поля, усредненные по малым объемам
вещества. Поле В', как и внешнее поле В0, не имеет источников (магнитных зарядов) в том смысле, что нет таких точек в пространстве, в которых линии этих
полей начинались бы или заканчивались. Все линии полей магнитной индукции
46
являются замкнутыми, и поэтому для результирующего поля В, в том числе при
наличии вещества, справедлива теорема Остроградского-Гаусса
(7.2)
которая математически формулирует тот факт, что все входящие в произвольную замкнутую поверхность линии магнитной индукции затем ее покидают,
то есть дважды пересекают такую замкнутую поверхность. Иначе говоря, полный поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность
равен нулю.
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ МАГНИТНАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ. ДИАМАГНЕТИКИ И
ПАРАМАГНЕТИКИ. Существуют различные механизмы намагничивания для разных типов веществ. Изменение магнитного поля в веществе описывается с помощью относительной магнитной проницаемости μ:
(7.3)
В диамагнитных веществах μ < 1, а в парамагнитных — μ > 1. Как для
диамагнетиков, так и для парамагнетиков величина μ практически не зависит от
индукции и слабо отличается от единицы. Поэтому в большинстве технических
приложений в таких средах можно считать μ = 1.
Для удобства описания магнитного поля в веществе вводят вспомогательный вектор напряженности магнитного поля Н. Он имеет размерность А/м
и связан с вектором индукции магнитного поля В соотношением
(7.4)
Для вектора напряженности закон полного тока приобретает особенно
простой вид:
(7.5)
Таким образом, циркуляция вектора Н по произвольному замкнутому
контуру равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим
контуром.
Отметим, что название вектора Н — «напряженность магнитного поля» —
носит исторический характер и не отражает его истиной природы, поскольку силовой характеристикой магнитного поля является индукция магнитного поля В.
УСЛОВИЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА МАГНЕТИКОВ. Рассмотрим поведение магнитного поля на границе раздела двух однородных магнетиков.
Для этого мы воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса (7.2) и теоремой о циркуляции (7.5). Найдем с помощью соотношения (7.2) условие для
нормальных к поверхности раздела компонент вектора В. Представим себе бесконечно тонкий параллелепипед, расположенный на границе раздела магнетиков, как показано на рис. 7.1. Потоком вектора В через малые боковые грани
пренебрегаем. Тогда поток
(7.6)
47
n
B2
S

1
B1
Рис. 7.1. Взаимное расположение поверхностей и векторов индукции
на границе раздела магнетиков при расчете потока
В силу (7.2) B = 0. Отсюда следует условие на границе раздела магнетиков для нормальных составляющих магнитной индукции:
(7.7)
Воспользуемся теперь теоремой (7.5) о циркуляции вектора напряженности магнитного поля H для определения поведения его тангенциальных составляющих на границе раздела магнетиков. Для этого выберем бесконечно
тонкий прямоугольный контур, как показано на рис. 7.2. Вкладом в циркуляцию малых боковых сторон контура можно пренебречь. Если на границе раздела сред токов проводимости нет (I = 0), то
(7.8)

H2
2

1
l
H1
Рис. 7.2. Взаимное расположение поверхностей и векторов напряженности
на границе раздела магнетиков при расчете циркуляции
Отсюда следует условие на границе раздела магнетиков для тангенциальных составляющих напряженности поля:
(7.9)
48
С учетом связи (7.4) между В и Н можно переписать это соотношение в
виде
(7.10)
Таким образом, на границах раздела магнетиков происходит преломление
силовых линий поля в соответствии с уравнениями (7.7) и (7.10).
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ. МАГНИТНЫЙ ГИСТЕРЕЗИС. Существуют сильно магнитные вещества, для которых μ >> 1. Кроме того, они в отсутствие внешнего поля
могут обладать спонтанной, то есть самопроизвольной намагниченностью. Это
так называемые ферромагнетики (от лат. ferrum — «железо»). К ним относятся
железо, кобальт и многие их сплавы. Характерной особенностью ферромагнетиков является сложная нелинейная зависимость В (Н), показанная на рис. 7.3.
Рис. 7.3. Характерный вид петли магнитного гистерезиса
Значение В на этой кривой зависит не только от величины Н, но и от предыдущей истории намагничивания. Это явление называется магнитным гистерезисом. Так, если в начале B = 0, то с ростом H намагничивание идет вдоль
линии 0-1 (основная кривая намагничивания). При последующем уменьшении
внешнего поля до Н = 0 сохраняется остаточная индукция В0. Для полного размагничивания образца требуется приложить магнитное поле противоположного
направления Нс, носящее название коэрцитивной силы. При циклическом изменении внешнего магнитного поля в одном, а затем противоположном направлении кривая В (Н) описывает так называемую петлю гистерезиса (линия 12341).
Можно показать, что площадь петли гистерезиса равна работе, затрачиваемой
на перемагничивание образца:
(7.11)
49
При перемагничивании ферромагнетик выделяет тепло, эквивалентное по
величине работе (7.11).
Определение μ из уравнений (7.3) или (7.4) возможно только для диамагнетиков и парамагнетиков. Для ферромагнетиков в любой точке петли гистерезиса μ вычисляется по формуле
(7.12)
Относительная магнитная проницаемость  в ферромагнетиках может
достигать значений 104—105. С ростом температуры ферромагнетика его способность намагничиваться уменьшается, а при температуре Т = Тc (температуре Кюри) ферромагнитные свойства исчезают.
ДОМЕННАЯ СТРУКТУРА ФЕРРОМАГНЕТИКОВ. Магнитные свойства ферромагнетиков определяются наличием в них областей размером 1—10 мкм спонтанного (самопроизвольного) намагничивания. Эти области называются доменами. Поле отдельного домена ферромагнетика не зависит от внешнего магнитного поля. При включении внешнего магнитного поля домены, ориентированные по полю, растут за счет доменов, ориентированных против поля. В более сильных полях происходит одновременная переориентация магнитных моментов в пределах всего образца. Этот процесс является необратимым, и после
выключения поля ферромагнетик остается намагниченным. При дальнейшем
увеличении поля магнитные моменты всех доменов оказываются ориентированными в направлении H, и дальнейший рост результирующего поля В происходит только за счет роста H (точки 1 и 3 на рис. 7.3). Это явление носит название насыщения. Гистерезисные явления можно понять, приняв во внимание
трение на границах доменов, которое затрудняет их выстраивание в одном направлении (по внешнему полю).
Контрольные вопросы и упражнения
1. Для чего вводится понятие
напряженности магнитного поля?
2. Чему равна циркуляция вектора напряженности магнитного поля
при отсутствии токов?
3. Найти угол θ2, под которым
направлен вектор B2 во второй среде
(рис. 7.4), если известны угол θ2 и магнитные проницаемости μ1 и μ2.
4. В каких случаях целесообразно для практических применений выбирать ферромагнетик с большой площадью петли гистерезиса?
50
Рис. 7.4. Векторы магнитной индукции
на границе раздела двух сред
5. Выполняется ли принцип суперпозиции магнитных полей для ферромагнетиков?
6. Нарисуйте график зависимости относительной магнитной проницаемости μ(H) для диамагнетика и парамагнетика.
7. Нарисуйте график зависимости относительной магнитной проницаемости μ(H) для первоначально размагниченного ферромагнетика.
Глава 8. Электромагнитная индукция
При изучении силы Лоренца мы пришли к выводу, что деление поля на
электрическую и магнитную компоненту имеет относительный характер и зависит от системы отсчета, в которой рассматривается задача. В частности, всегда может быть указана такая система, в которой отличной от нуля будет только одна из компонент электромагнитного поля. Вследствие этого электрическое
и магнитное поля должны рассматриваться вместе как единый физический объект — электромагнитное поле.
ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ИНДУКЦИИ. Одним из законов, количественно
описывающих связь между электрическим и магнитным полями, является закон
индукции Фарадея, который записывается в виде
(8.1)
где ЭДС — электродвижущая сила индукции, то есть работа сторонних сил по
перемещению единичного положительного заряда вдоль замкнутого проводящего контура, а
— поток вектора магнитной индукции, пронизывающий площадь, охватываемую этим контуром.
СВЯЗЬ ЭДС С СИЛОЙ ЛОРЕНЦА. В общем случае закон индукции Фарадея
(8.1) является фундаментальным законом природы и не сводится к другим
уравнениям и законам. В частном случае его можно вывести, опираясь на выражение для силы Лоренца:
(8.2)
Рассмотрим замкнутый проводящий контур, показанный на рис. (8.1), в
котором перемычка ab является подвижной.
Пусть магнитное поле В направлено перпендикулярно плоскости рисунка
по направлению зрения. Это расположение показано на рисунке крестиком .
При движении перемычки ab вправо в ней на каждый электрон будет действовать сила Лоренца (8.2) и возникнет сторонняя сила с напряженностью
(8.3)
51
по правилу левой руки направленная от b к а. Легко вычислить циркуляцию
вектора Е* по контуру, равную
(8.4)
Рис. 8.1. Действие силы Лоренца в проводящем контуре
Возникающий в контуре ток направлен вдоль направления E* и соответствует обходу контура против часовой стрелки. Вызываемое этим током магнитное поле направлено против внешнего поля. Тем самым увеличение магнитного потока через контур за счет увеличения его площади будет частично компенсироваться магнитным полем индукционного тока. Это правило применимо
для определения направления индукционного тока (правило Ленца): индукционный ток в контуре направлен таким образом, чтобы скомпенсировать изменение внешнего магнитного потока. Данное правило выражается знаком (-) в
формуле (8.1) и фактически показывает инерционность электромагнитного поля, поскольку индукционный ток направлен так, чтобы противодействовать
причине, его вызывающей. Тем самым правило Ленца является частным случаем общего принципа Ле-Шателье.
ВИХРЕВЫЕ ТОКИ. Индукционные токи могут возникать не только в замкнутых проводящих контурах, но и в сплошных массивных проводниках. Они
носят вихревой характер (то есть линии тока замкнуты) и называются токами
Фуко. Токи Фуко используются, например, в металлургической промышленности для плавления руды металлов. Токи Фуко обусловливают потери энергии в
трансформаторах. Для уменьшения таких потерь трансформаторные сердечники делают разрезными, составленными из отдельных тонких листов стали. Высокочастотные индукционные токи протекают по поверхности проводников, не
проникая вглубь. Поэтому это явление носит название скин-эффект (от англ.
skin — «кожа»).
52
Электромагнитная индукция возникает во всех случаях изменения магнитного потока. Магнитный поток может меняться не только в результате перемещения контура, но также за счет изменения самого магнитного поля и при
совокупном действии обеих причин.
ВЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ. КОЭФФИЦИЕНТ ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ. Изменения
магнитного поля можно достичь путем изменения тока в проводящем контуре
(проводнике). В расположенном
вблизи этого контура втором проводнике (рис. 8.2) будет создаваться изменяющийся магнитный поток
и возникнет ЭДС индукции. Магнитный поток во втором контуре
Ф2 пропорционален силе тока I1 в
первом контуре:
(8.5)
Коэффициент L21 называется
коэффициентом взаимной индукции второго контура относительно
первого. Можно показать, что
вследствие закона сохранения энергии L21 =L12. В соответствии с законом индукции Фарадея (8.1) ЭДС,
возникающая во втором контуре,
равна
Рис. 8.2. Расположение линий
магнитной индукции
при взаимной индукции проводников
(8.6)
Если коэффициент взаимной индукции не зависит от силы тока I1 в первом проводнике, то
(8.7)
При наличии ферромагнитных сердечников в системе или при возможности деформации контуров под действием магнитных сил L = L(I), и коэффициент взаимной индукции нельзя считать константой.
САМОИНДУКЦИЯ. КОЭФФИЦИЕНТ САМОИНДУКЦИИ. Еще одним важным
случаем электромагнитной индукции является возникновение ЭДС в самом
контуре, где меняется ток. Пусть поток через контур, в котором протекает ток
силой I, равен
(8.8)
где L называется коэффициентом самоиндукции. Он так же, как и коэффициент
взаимной индукции, измеряется в генри (Гн). Индуктивностью 1 Гн обладает
53
контур, магнитный поток через который равен 1 Вб при токе в 1 А (Гн = Вб / А).
При изменении тока в цепи в контуре возникает так называемая ЭДС самоиндукции:
(8.9)
Если L = const, то
(8.10)
Явление самоиндукции влияет на установление тока в цепи при ее замыкании и размыкании и позволяет описать так называемые переходные процессы.
ТОК РАЗМЫКАНИЯ ЦЕПИ. Рассмотрим ток при размыкании цепи, показанной на рис. 8.3. Размыкание соответствует перемещению ключа из положения 1 в
положение 2.
В начальном положении 1, если
оно выдерживается достаточно долго,
протекает постоянный электрический
ток. В соответствии с законом Ома для
полной цепи с ЭДС ε его сила
(8.11)
Рис. 8.3. Электрическая схема
протекания тока при размыкании
и замыкании цепи
с постоянным источником ЭДС
После переключения цепи в положение 2 закон Ома примет вид
(8.12)
или
(8.13)
Разделяя переменные в уравнении
(8.13), получаем:
(8.14)
Интегрирование (8.14) дает
(8.15)
Сила тока уменьшается с харакРис. 8.4. Закон изменения силы тока
терным временем η = L / R, как показано
при размыкании цепи
на рис. 8.4.
Формально ток существует в описанной нами модели бесконечно долго. В действительности через время t >> η
он станет неразличим на фоне случайных тепловых колебаний концентрации
электронов и его можно будет считать нулевым.
54
ТОК ЗАМЫКАНИЯ ЦЕПИ. Пусть теперь ток в цепи отсутствует, и мы замкнем цепь, переместив ключ из положения 2 в положение 1. После замыкания
закон Ома примет вид
(8.16)
или
(8.17)
При замыкании цепи ток будет увеличиваться от нулевого значения, пока
не достигнет максимальной величины,
.
Нетрудно убедиться, что этому условию и уравнению (8.7) удовлетворяет
решение
(8.18)
График зависимости тока замыкания от времени показан на рис. 8.5.
Рис. 8.5. Закон изменения силы тока при замыкании цепи
Характерное время η = L / R, за которое ток в цепи достигает максимального значения, называется временем переходного процесса (временем
релаксации).
Контрольные вопросы и упражнения
1. Перечислите условия, при которых возникает явление электромагнитной индукции.
2. Что означает знак минус в законе индукции Фарадея?
3. В чем отличие явления самоиндукции от явления взаимной индукции
проводников?
4. За счет чего можно изменить магнитный поток через замкнутый контур?
5. Дайте качественное объяснение явлению постепенного нарастания
силы тока при замыкании цепи с источником постоянного тока.
6. Почему при отключении утюга из розетки проскакивает искра?
55
Глава 9. Уравнения Максвелла
Изученные нами законы электродинамики можно свести теперь к четырем уравнениям в интегральной форме:
(9.1)
(9.2)
(9.3)
(9.4)
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ.
Первое уравнение (9.1) показывает, что источниками электрического поля являются электрические заряды. Второе уравнение (9.2) демонстрирует замкнутость линий индукции магнитного поля и отсутствие источников (зарядов) магнитного поля. Третье уравнение (9.3) представляет собой теорему о полной
циркуляции вектора напряженности магнитного поля, в которой полный ток
выражен через вектор плотности тока. Уравнение (9.4) является записью закона
электромагнитной индукции Фарадея.
ТОК СМЕЩЕНИЯ. Максвелл обратил внимание на то, что в уравнениях,
справедливых для постоянных токов, отсутствует симметрия между электрическим и магнитным полями. Действительно, в соответствии с уравнением (9.4)
переменное магнитное поле создает вихревое электрическое поле и следует
ожидать, что и переменное электрическое поле должно порождать магнитное
поле. В то же время уравнение (9.3) показывает, что вихревое магнитное поле
создается только за счет тока электрических зарядов.
Для того чтобы устранить такую несимметричность теории, рассмотрим
протекание переменного тока в цепи с конденсатором, как показано на рис. 9.1.
Если вычислить циркуляцию магнитного поля по контуру, охватывающему поверхность S1, то в соответствии с уравнением (9.3) получится некоторое ненулевое значение.
Рис. 9.1. Расположение поверхностей
при определении величины тока смещения в конденсаторе
56
Если теперь деформировать поверхность таким образом, что она замкнется через пространственный промежуток между пластинами конденсатора, то
поток вектора плотности тока проводимости j теперь будет равен нулю, в то
время как контур не изменился и циркуляция магнитного поля осталась ненулевой. Это приводит к нарушению справедливости уравнения (9.3). Следовательно, для того чтобы уравнение сохранило свою справедливость и в этом
случае, электрическое поле в конденсаторе должно создавать такое же магнитное поле, как если бы между обкладками существовал ток, имеющий такую же
силу, как и в подходящих к конденсатору проводниках. Это условие позволяет
найти связь между переменным электрическим полем внутри конденсатора и
создаваемым им магнитным полем. В соответствии с уравнением для напряженности электрического поля внутри конденсатора
(9.5)
модуль вектора электрической индукции
равен поверхностной плотности заряда на положительной обкладке конденсатора:
(9.6)
Следовательно, заряд обкладки пропорционален ее площади и величине
вектора электрической индукции:
(9.7)
Если за время dt заряд конденсатора меняется на dq, в проводах течет ток,
называемый током смещения силой
(9.8)
и плотностью
(9.9)
Знак частной производной в уравнении (9.9) отражает тот факт, что для
неоднородного электрического поля D (r, t) магнитное поле возникает только за
счет изменения вектора электрической индукции D во времени. Если в проводнике течет переменный ток, то в нем одновременно существуют и направленное движение зарядов, называющееся током проводимости, и переменное
электрическое поле. Поэтому плотность полного j тока складывается из плотностей токов проводимости jпр и смещения jс:
(9.10)
При таком определении полного тока его линии являются замкнутыми,
вследствие чего поток вектора полного тока теперь не меняется при деформациях поверхности. В частности, поток оказывается одинаковым для поверхностей S1 и S2 на рис. 9.1. Наличие тока смещения, плотность которого пропорциональна скорости изменения электрического смещения, восстанавливает
симметрию электрического и магнитного полей. Теперь не только переменное
57
магнитное поле в соответствии с (9.4) порождает электрическое, но и переменное электрическое поле порождает магнитное. Заменяя в уравнении (9.3) ток
проводимости на полный ток (9.10), окончательно получим уравнение Максвелла
(9.11)
Здесь и далее под j будет пониматься плотность тока проводимости, а индекс «пр» будет опущен. Уравнение (9.11) предусматривает возможность возбуждения вихревого магнитного поля за счет переменного электрического поля.
СКОРОСТЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ. Взаимосвязь электрического и
магнитного полей объясняет появление и распространение электромагнитных
волн. Рассмотрим плоскую электромагнитную волну и определим скорость ее
распространения. Плоская электромагнитная волна характеризуется тем, что
она во всех точках пространства имеет одинаковое направление распространения. Рис. 9.2 изображает часть плоской волны. Передняя часть волны (крайняя
правая на рис. 9.2) называется фронтом волны. Фронт волны лежит в плоскости, перпендикулярной к направлению ее распространения (перпендикулярно к
плоскости рисунка). За фронтом волны (на рис. 9.2 слева) имеется однородное
электрическое поле с напряженностью Е, перпендикулярной плоскости чертежа, направленное от нас (оно изображено в сечении крестиками), и однородное
магнитное поле с напряженностью Н, направленной вверх в плоскости чертежа.
Такая волна может возникнуть, например, при быстрой зарядке полубесконечной плоскости. Спереди от фронта волны (на чертеже справа) нет ни электрического, ни магнитного поля. Фронт волны движется направо со скоростью V.
Выберем квадратный контур в плоскости чертежа, как показано на рис. 9.2.
H
E +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

+



+
Рис. 9.2. Распространение фронта электромагнитной волны
Тогда до достижения фронтом волны правой стороны контура интеграл
теоремы о полной циркуляции по периметру квадрата равен просто HL. Чтобы
пересечь квадрат шириной L, волне требуется время t, определяемое соотноше58
нием t = L / V, где V — скорость распространения волны. Полное изменение потока вектора электрической индукции за это время равно
. Скорость изменения потока равна
.
В соответствии с уравнением Максвелла (9.11)
, то есть
(9.12)
Аналогичным образом, выбирая квадратный контур в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа, получим из уравнения Максвелла (9.4)
(9.13)
то есть
. Подставляя (9.13) в (9.12), получим выражение для скорости распространения электромагнитной волны в виде
(9.14)
Мы рассмотрели уравнения Максвелла в интегральной форме. Часто, когда задача не обладает симметрией, более перспективным оказывается путь,
основанный на дифференциальной форме уравнений Максвелла. Дифференциальной называется такая форма уравнений, в которой все входящие в них величины заданы в одной точке.
Исходя из этого определения ясно, что для получения дифференциальной
формы необходимо сделать бесконечно малыми области интегрирования в
уравнениях (9.1), (9.2), (9.4) и (9.11).
ПОТОК ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛУЮ ПОВЕРХНОСТЬ. Рассмотрим
вначале, как выглядит при стягивании в точку поверхности выражение для потока вектора.
Вычислим поток произвольного вектора (например, D) через поверхность
бесконечно малого куба, три грани которого совпадают с координатными плоскостями, а длины ребер равны dx, dy, dz (рис. 9.3).
Рис. 9.3. Форма поверхности для вычисления локального потока
59
Рассмотрим поток через грани, перпендикулярные оси х. Поскольку
нормаль к правой грани направлена в положительном, а к левой — в отрицательном направлении оси х, поток dx есть разность модулей потоков через
эти грани:
(9.15)
Аналогично для граней, перпендикулярных к осям у и z, имеем
(9.16)
Суммируя (9.15) и (9.16), получим поток через всю поверхность:
(9.17)
В теории поля выражение
называется дивергенцией векто-
ра D и обозначается divD. Используя это обозначение, имеем
(9.18)
где dV — элемент объема. Следовательно, интегрирование по поверхности в левой части уравнения (9.1) можно заменить интегрированием по заключенному в
ней объему:
(9.19)
Уравнение (9.1) можно переписать в дифференциальной форме:
(9.20)
Аналогично из уравнения (9.2) получим
(9.21)
ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА ПО БЕСКОНЕЧНО
МАЛОМУ КОНТУРУ. Рассчитаем теперь циркуляцию dCz вектора E по бесконечно малому контуру, ограничивающему перпендикулярную оси z площадку.
В качестве контура выберем прямоугольник, две стороны которого совпадают с
осями х, у и имеют длины dx, dy соответственно. Примем положительный обход контура против часовой стрелки, как показано
на рис. 9.4.
60
Рис. 9.4. Форма контура
для вычисления
локальной циркуляции
Циркуляция dCz по прямоугольнику есть сумма интегралов по его сторонам.
Учитывая, что направление обхода двух сторон совпадает с положительным, а
двух — с отрицательным направлением осей координат, имеем
(9.22)
Разложим проекции напряженности Е с точностью до первых степеней
приращений аргументов dx, dy:
(9.23)
Здесь dSz есть величина перпендикулярной оси z площадки. Для площадок, перпендикулярных осям х и у, аналогично можно получить
(9.24)
Вектор с компонентами в скобках выражений (9.22) и (9.23) называется
ротором Е и обозначается rot E:
(9.25)
Уравнения (9.4) и (9.11) справедливы и для произвольно ориентированных площадок, а не только для тех, чьи плоскости совпадают с координатными
плоскостями.
Поэтому закон электромагнитной индукции (9.4) может быть записан в
следующей форме:
(9.26)
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ. Меняя порядок
дифференцирования и интегрирования в правой части уравнения (9.26), получим закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме:
(9.27)
Проделав те же операции и для уравнения (9.11), получим закона полного
тока в дифференциальной форме:
(9.28)
Совокупность уравнений (9.20), (9.21), (9.27) и (9.28) образует систему
уравнений Максвелла в дифференциальной форме. Физическое содержание
уравнений как в дифференциальной, так и в интегральной форме одинаково.
Вопрос, какой из форм пользоваться, решается исходя из особенностей конкретной задачи.
61
Контрольные вопросы и упражнения
1. Какие законы выражает каждое из уравнений Максвелла?
2. В чем заключается смысл введения тока смещения?
3. Как из интегральных соотношений получить операцию div?
4. Как из интегральных соотношений получить операцию rot?
5. Чему равна скорость света в веществе с μ = 1, 2, ε = 1,5?
Раздел II
Колебания
Глава 10. Гармонические колебания
КОЛЕБАНИЯ. Многие системы в природе и технике имеют одно или несколько состояний устойчивого равновесия. Если система выведена из равновесия внешним воздействием, то происходит самопроизвольное возвращение системы в состояние равновесия под действием внутренних сил. Обычно существует граница внешних воздействий, без выхода за которую система всегда возвращается в состояние равновесия.
Поведение большого числа систем вблизи положения устойчивого равновесия подчиняется общим законам и может быть описано одинаковыми уравнениями. Происходящие при этом процессы характеризуются повторяемостью во
времени и носят название колебаний. Мы рассматриваем поведение физических
систем, однако для демонстрации общего характера колебательных закономерностей приведем два нефизических примера колебаний. Колебательный характер имеет процесс изменения численности популяции животных при периодическом изменении внешних условий или в экологической системе, состоящей
из совокупности хищников и их жертв, например рысей и зайцев. Колеблется
около равновесия и цена товара при изменении спроса и предложения.
Проще всего математически описывается поведение системы, состояние
которой определяется одним параметром x — отклонением от положения равновесия. Такие системы называются одномерными. Движение системы к положению равновесия обусловлено тем, что в ответ на внешнее возмущение x в
системе возникает отклик:
(10.1)
где k(x) — положительная функция, а знак (–) означает, что отклик системы направлен противоположно внешнему воздействию. Такой отклик называется возвращающей силой. Следует понимать определенную условность этого термина.
Смысл величины F зависит от характера исследуемого явления, и она не всегда
является силой даже для механических процессов. Отклик (10.1) стремится вернуть систему к положению равновесия только при условии k(x) > 0. Это условие
62
и определяет верхнюю границу воздействия k(x) = 0, после перехода через которую k(x) < 0 и система уже не стремится вернуться в исходное состояние.
Приведем примеры физических колебательных систем и выясним смысл
возвращающей силы в конкретных случаях. Рассмотрим вначале системы, в которых k(x) есть постоянная величина, и покажем, что поведение таких систем описывается простейшими периодическими функциями времени — cos и sin. Такие
колебания называются гармоническими, а системы, их совершающие, — линейными, или гармоническими осцилляторами (в дальнейшем — осцилляторами).
ПРУЖИННЫЙ
МАЯТНИК. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ И ЕГО РЕШЕНИЕ. Рассмотрим поведение пружинного маятника,
то есть тела массой m, движущегося без трения по горизонтальной оси х под
действием упругой силы, подчиняющейся линейному закону Гука:
(10.2)
где x — деформация пружины
(рис. 10.1). Уравнение (10.1) совпадает с (10.2) при k = const, и упругая сила является возвращающей, а положение равновесия соответствует нулевой деформации
пружины. Движение тела массой m
описывается
вторым
законом
Ньютона:
Рис. 10.1. Схема горизонтально расположенного
пружинного маятника
(10.3)
Перенося член -kx в левую часть равенства, деля его на m и вводя обозначение
(10.4)
получаем линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
(10.5)
Уравнение (10.5) есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Легко проверить (полезно проделать это самостоятельно), что общее
решение уравнения (10.5) имеет вид
(10.6)
Максимальное смещение от положения равновесия x0 называется амплитудой, аргумент гармонической функции α = (ωt + α0) — фазой, величина α0 —
начальной фазой колебаний, а ω — круговой (циклической) частотой. Выбор
начальной фазы α0 означает определенный выбор начала отсчета времени, и ее
всегда можно сделать для одного независимого гармонического колебания рав63
ной нулю за счет изменения начала такого отсчета. Поэтому всюду в дальнейшем, где это не существенно, мы будем полагать α0 = 0. Наряду с ω применяется связанная с ней простым соотношением величина
, называемая частотой (иногда линейной частотой). Поскольку в дальнейшем мы редко будем
использовать линейную частоту, прилагательное «круговая» будет опускаться.
Частота измеряется в рад/с, но поскольку радианная мера углов является стандартной, то соответствующее указание обычно опускается и пишут 1/с.
Величина ω имеет простой физический смысл. Поскольку период гармонической функции равен 2π, то, если к времени t в уравнении (10.6) добавить
слагаемое
(10.7)
значение гармонической функции не изменится. Таким образом, T в (10.7) есть
период колебаний.
Свойства системы определяют только
частоту ω и, следовательно, период T. Константы x0 и α, возникающие в решении дифференциального уравнения, определяются первоначальным внешним воздействием. При этом амплитуда x0 зависит от его величины, а начальная фаза α
определяется моментом времени, от которого ведется отсчет колебаний.
ФИЗИЧЕСКИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИКИ. Физическим маятником называется помещенное в однородное поле силы тяжести абсолютно твердое тело, подвешенное на неподвижной горизонтальной оси вращения, не проходящей через центр тяжести (рис. 10.2).
Если не учитывать силу трения, то основной закон динамики вращательного движения в
этом случае примет вид
Рис. 10.2. Физический маятник
(10.8)
где θ — угол поворота, I — момент инерции маятника относительно оси О, а
момент силы тяжести M является в этом случае возвращающей силой и следующим образом выражается через расстояние l от оси вращения до центра
масс С и вес тела mg:
(10.9)
Здесь lsin(θ) = h есть плечо силы (рис. 10.2).
При малых колебаниях можно считать, что
(10.10)
64
Тогда уравнение (10.8) приобретает вид
(10.11)
Перенося слагаемое
в левую часть равенства и деля получающееся равенство на I, имеем уравнение
(10.12)
совпадающее с уравнением (10.5) при заменах x → θ и
(10.13)
Если физический маятник с достаточной для решения конкретной задачи
точностью можно описывать моделью материальной точки, то момент инерции
имеет вид I = ml2. Такая колебательная система называется математическим
маятником.
Моделью математического маятника достаточно хорошо описывается твердое тело, подвешенное на нити, длина которой много больше размеров
тела, а масса много меньше массы тела (рис. 10.3).
Частота колебаний математического маятника
(10.14)
и зависит только от его длины и ускорения свободного падения.
МАЛЫЕ
КОЛЕБАНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ. Физический маят-
Рис. 10.3. Математический
маятник
ник является примером системы, которую можно
лишь приближенно считать линейной. Понятие линейности играет большую
роль в физике и математике и подробно разбирается в курсе линейной алгебры.
Для колебательных систем наиболее важным проявлением линейности является
то, что если в системе возможны два вида колебаний, то возможно и колебание,
являющееся их суммой.
Точность линейного приближения при описании физического маятника
определяется выполнением условия (10.10). Выясним, каким требованиям
должна удовлетворять система в общем случае, для того чтобы в ней могли
происходить гармонические колебания. Как известно из механики, потенциальная энергия U следующим образом связана с силой:
(10.15)
Для упругой силы, подчиняющейся закону Гука (10.2), имеем
(10.16)
65
где C — произвольная постоянная. С другой стороны, разлагая произвольную
потенциальную энергию U (x) в ряд Тейлора в окрестности положения равновесия x = 0, получим
(10.17)
Уравнение (10.17) совпадает с (10.16) при выполнении трех условий:
1. Производная
, и, следовательно, в точке x = 0 функция
имеет экстремум. В отсутствие внешних воздействий система может находиться в таком состоянии сколь угодно долго. Это состояние является положением
равновесия.
2.
>0, и, следовательно, экстремум является минимумом. Поскольку
сила F при x ≠ 0 стремится вернуть систему к положению равновесия, то равновесие является устойчивым. Движение системы в окрестности устойчивого
равновесия является периодическим, хотя и не всегда гармоническим.
3. Гармонический характер движение приобретает, когда зависимость
потенциальной энергии от координаты мало отличается от параболической. Это
выполняется, если смещение x от положения минимума столь мало, что
.
Таким образом, практически в любой системе малые колебания в окрестности устойчивого равновесия являются гармоническими. Этот факт определяет
особую важность изучения данного вида колебаний.
ИДЕАЛЬНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР. Рассмотрим последовательное соединение идеальной (с нулевым сопротивлением)
катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью С в замкнутый контур (рис. 10.4).
По закону Ома для замкнутой цепи электродвижущая сила самоиндукции –LI равна напряжению на конденсаторе q/C. Учитывая связь силы тока I с зарядом q: I = q, получаем уравнение
(10.18)
Рис. 10.4. Идеальный
электрический контур
Роль возвращающей силы в (10.18) играет напряжение на конденсаторе.
После очевидных преобразований приводим уравнение (10.18) к виду
(10.19)
совпадающему с уравнением (10.5) при замене q → x и
(10.20)
66
Формула (10.20) определяет частоту собственных колебаний в идеальном
электрическом контуре и называется формулой Томпсона. Решение уравнения
(10.19) имеет вид
(10.21)
Сила тока в цепи I, как и величина заряда q, гармонически зависит от
времени, поскольку
(10.22)
где введено обозначение для амплитуды силы тока I0 = ωq0.
ЭНЕРГИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА. Поскольку энергия системы
является одной из основных ее физических характеристик, важно определить ее
составляющие и зависимость от времени. Начнем с механических колебаний
пружинного маятника. Зная зависимость смещения осциллятора от времени
(10.6), можно легко определить зависимость от времени его скорости:
(10.23)
и кинетической энергии от времени:
(10.24)
В последнем равенстве учтено, что в соответствии с уравнением (10.4)
. С другой стороны потенциальная энергия имеет вид
(10.25)
Следовательно, полная механическая энергия осциллятора не зависит от
времени:
(10.26)
Поскольку в системе действует только консервативная упругая сила, это
утверждение является еще одним случаем прямого подтверждения общего закона сохранения механической энергии.
Как видно из уравнений (10.24), (10.25) и (10.26), максимальные значения
кинетической и потенциальной энергий совпадают и равны полной энергии осциллятора
,
а энергия периодически полностью переходит из одного вида в другой.
График зависимости потенциальной (сплошная жирная линия), кинетической (сплошная тонкая линия) и полной энергии (прямая линия) от t при α =π/3,
ω = 2π приведен на рис. 10.5. Масштаб по оси ординат выбран так, что полная
энергия осциллятора равна единице.
67
Рис. 10.5. Зависимость от времени
потенциальной и кинетической энергии колебаний пружинного маятника
Контрольные вопросы и упражнения
1. Приведите примеры колебаний в природе и технике. Что является
возвращающей силой в каждом случае?
2. Смещение зависит от времени согласно уравнению (10.6). Как зависят
от времени скорость и ускорение?
3. Как изменится период колебаний пружинного маятника, если его
пружину заменить на две одинаковые пружины, соединенные параллельно? Что
произойдет с периодом, если пружины соединить последовательно?
4. Определить период колебаний шара радиусом 10 см относительно
оси, проходящей через середину радиуса шара.
5. Нарисовать график зависимости потенциальной, кинетической и полной энергии гармонических колебаний от смещения.
6. Для тела какой формы (рис. 10.6) вертикальные колебания плавающего тела будут гармоническими? Что является возвращающей силой в данном
случае?
Рис. 10.6. Вертикальные колебания плавающих тел
68
Глава 11. Сложение гармонических колебаний
и векторные диаграммы
СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ. До сих пор мы имели дело с отдельными гармоническими колебаниями. В физике и технике часто встречаются ситуации, когда происходит сложение двух и более гармонических колебаний одинаковой
частоты и одинакового направления. Если эти колебания не влияют друг на
друга, то математически эта задача ставится как задача о сложении колебаний,
заданных уравнениями отдельных колебаний:
(11.1)
Результирующее колебание является в этом случае суммой отдельных колебаний: x = x1 + x2. Оно, очевидно, имеет ту же частоту, что и складываемые
колебания, и может быть записано в виде
(11.2)
Для нахождения результирующего колебания необходимо выразить его
амплитуду x0 и начальную фазу α через амплитуды x01, x02 и фазы α1, α2 исходных колебаний. Можно решить эту задачу с помощью тригонометрических соотношений.
Более общие и эффективные подходы основаны на описании гармонических колебаний с помощью векторной амплитуды или комплексного представления гармонических колебаний.
ВЕКТОРНАЯ АМПЛИТУДА. Введение понятия векторной амплитуды основано на связи гармонических колебаний и равномерного вращения. Его суть
состоит в том, что смещение при гармоническом колебании можно представить как проекцию равномерно вращающегося вектора длиной x0 на фиксированную ось, лежащую в плоскости вращения. Проекция задается функцией
x = x0cos (ωt + α), в которой аргумент ωt + α соответствует равномерно увеличивающемуся со временем углу поворота вектора относительно оси. Одному
обороту вектора соответствует одно колебание, а угловая скорость его вращения совпадает с частотой колебаний.
Для формализации этой идеи выберем произвольно полярную ось и построим вектор x1, называемый векторной амплитудой первого колебания, по
следующим правилам (рис. 11.1):
1. Угол между осью и x1 равен начальной фазе α1 первого колебания.
2. Длина вектора x1 равна амплитуде x01 первого колебания.
Если равномерно вращать вектор x1 против часовой стрелки с угловой
скоростью ω, то угол между полярной осью и векторной амплитудой будет равен (ωt + α1). Проекция вектора на ось равна x01cos (ωt + α1) и совпадает со
смещением x1. Таким образом, вращающийся вектор x1 представляет гармоническое колебание.
69
t
B
x2
x

O
x1
x1 D



x2 C
Рис. 11.1. Векторная диаграмма сложения двух гармонических колебаний
СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТЫ И
НАПРАВЛЕНИЯ. Отложим векторную амплитуду x2 от конца вектора x1 (рис. 11.1)
в момент времени t = 0. Поскольку проекция на ось вектора x2, вращающегося
вместе с x1, равна x02cos(ωt + α1), то проекция вектора x = x1 + x2 описывает
суммарное колебание. Результат графического сложения векторных амплитуд
называется векторной диаграммой. Таким образом, сумма векторных амплитуд
складываемых колебаний представляет собой векторную амплитуду суммарного колебания. Частоты складываемых колебаний одинаковы, вследствие чего
треугольник ОDВ, показанный на рис. 11.1, с течением времени не деформируется. Применяя теорему косинусов к треугольнику ОDВ, получаем для квадрата
амплитуды x0 следующее выражение:
(11.3)
Из треугольника ОСВ получаем соотношение для начальной фазы α результирующего колебания:
(11.4)
БИЕНИЯ. Тем же методом может быть исследована и картина сложения
колебаний двух различных частот ω и ω + Δω. Поскольку в этом случае отрезки
ОD и DВ вращаются с различными скоростями, треугольник ОDВ перестает
70
быть жестким и результирующее колебание не является гармоническим. Его
амплитуда по-прежнему может быть представлена в виде (11.3), однако разность фаз складываемых колебаний теперь пропорциональна времени:
(11.5)
Если частоты складываемых колебаний близки, то есть Δω << ω, то амплитуда результирующего колебания медленно меняется во времени. При этом
результирующее колебание близко к гармоническому. Такие колебания носят
название биения. Характерная картина биений приведена на рис. 11.2. Тонкой
кривой изображено смещение, а жирной — медленно меняющаяся во времени
амплитуда огибающей.
Рис. 11.2. Образование биений в результате сложения колебаний с близкими частотами
В соответствии с уравнением (11.3) амплитуда биения изменяется с частотой Δω/2 от величины x0 = x20 - x10 (в те моменты, когда векторные амплитуды направлены противоположно) до значения x0 = x20 + x10 (в те моменты, когда
векторные амплитуды имеют одинаковое направление). В случае одинаковых
амплитуд эти результаты могут быть легко получены аналитически.
В результате сложения колебаний получим
(11.6)
Множитель
играет роль медленно меняющейся амплитуды.
КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ. Кроме действительного решения в виде гармонических функций дифференциальное
уравнения гармонических колебаний (10.5) имеет комплексное решение:
(11.7)
71
где мнимая единица i удовлетворяет
уравнению i2 = -1. Комплексную величину z = Re z + i Im z можно изобразить
в декартовой системе координат
(рис. 11.3), где действительная часть
Re z отложена по оси абсцисс, а мнимая
часть Im z — по оси ординат.
Тот же вектор можно изобразить
и в полярной системе координат в виде
произведения модуля
(11.8)
Рис. 11.3. Представление
комплексного числа
вектором в комплексной плоскости
на фазовый множитель exp (iβ). Учитывая формулу Муавра-Лапласа
(11.9)
уравнение (11.7) можно представить в виде
(11.10)
где
(11.11)
(11.12)
Физическим смыслом обладает действительная часть решения (11.11),
совпадающая с решением в форме (10.6).
Для одного гармонического колебания предпочтительно сразу выбирать
решение в виде (10.6), минуя вспомогательное уравнение (11.7) и последующий
переход (11.10). Однако, поскольку операции дифференцирования и интегрирования с экспоненциальной функцией (11.7) проще, чем с косинусом, в более
сложных случаях при решении уравнений колебаний использование комплексного решения (11.7) оказывается очень полезным.
Комплексное представление гармонических колебаний позволяет с новой
точки зрения взглянуть на метод векторных диаграмм. В комплексном представлении векторная амплитуда x1 есть просто графическое изображение комплексного числа x01exp (iα) на комплексной плоскости. Вращение векторной диаграммы с угловой скоростью ω соответствует умножению амплитуды на exp (iωt), а
проектирование на действительную ось — операции вычисления действительной
части. Таким образом, геометрическое сложение векторных амплитуд можно заменить алгебраическим сложением комплексных амплитуд x01exp (iα).
Особенно эффективным является этот прием в двух случаях:
1) при сложении большого числа колебаний одинаковой амплитуды и
кратных начальных фаз. В этом случае слагаемые представляют собой члены
геометрической прогрессии. Этот метод будет применен в дальнейшем при
сложении когерентных волн;
72
2) при сложении колебаний, получающихся в результате дифференцирования или интегрирования исходного гармонического колебания. В этом случае
начальные фазы получаемых колебаний отличаются от исходной на величину
кратную π/2. Покажем, что такое изменению фазы происходит, например, при
дифференцировании функции вида (11.7):
(11.13)
Можно сформулировать следующие правила обращения с колебаниями,
представленными в комплексной форме:
1) умножение комплексной амплитуды на мнимую единицу приводит к
повороту вектора амплитуды на угол π/2 против часовой стрелки;
2) дифференцирование уравнения гармонических колебаний приводит к
увеличению их фазы на π/2 и умножению амплитуды на частоту ω;
3) интегрирование уравнения гармонических колебаний приводит к
уменьшению их фазы на π/2 и делению амплитуды на частоту ω.
Проверку последнего правила полезно проделать самостоятельно. Эти
правила будут неоднократно применяться в дальнейшем.
СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ ОДИНАКОВОЙ
ЧАСТОТЫ. Пусть частица участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях. Совместив оси Х и Y системы координат с направлениями
колебаний и выбрав начальный момент времени так, чтобы начальная фаза колебания по оси Х равнялась нулю, запишем смещение по осям в виде
(11.14)
Эта система уравнений задает траекторию частицы в параметрической
форме. Для определения траектории в явной форме исключим из (11.14) параметр t. Разделив обе части второго из уравнений системы на y0, раскрыв косинус
суммы и учтя, что в соответствии с первым уравнением cos(ωt) = x / x0, получим
(11.15)
Уединяя радикал и возводя обе части равенства в квадрат, имеем
(11.16)
Окончательно получим уравнение траектории в виде
(11.17)
Уравнение (11.17) представляет собой общее уравнение эллипса.
73
В данном случае оси эллипса не совпадают с осями координат, но при
α = π/2 уравнение (11.17) упрощается:
(11.18)
В этом виде оно описывает эллипс с полуосями длиной y0, x0, совпадающими по направлению с координатными осями Х и Y.
При α = nπ (здесь n = 0, 1, 2,…) уравнение (11.17) вырождается в уравнение отрезка прямой:
(11.19)
Траектории для α = π/2, π/4, π/8, π/16 и y0 = x0 изображены на рис. 11.3.
Рис. 11.3. Траектории в форме эллипса
при сложении взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты
СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ С РАЗНЫМИ ЧАСТОФИГУРЫ ЛИССАЖУ. Эллипс представляет собой частный случай траектории частицы, участвующей во взаимно перпендикулярных колебаниях. В общем случае такие траектории называются фигурами Лиссажу.
Хотя уравнения этих кривых достаточно сложны, их некоторые общие
свойства могут быть сформулированы.
1. Вид траектории зависит только от отношения частот складываемых
колебаний. Если это отношение является рациональным числом, то есть
,
ТАМИ.
где n, m — целые числа, траектория периодически повторяется.
2. Фигура Лиссажу всегда ограничена прямоугольником со сторонами
2y0, 2x0. Траектории всегда касаются сторон этого прямоугольника.
74
3. При рациональном отношении частот отношение числа точек касания,
лежащих на оси Х, к числу точек касания, лежащих на оси Y, обратно пропорционально отношению соответствующих частот.
Примеры кривых Лиссажу приведены на рис. 11.4. Полезно самостоятельно проанализировать, какому соотношению частот соответствуют разные
фигуры рисунка.
Рис. 11.4. Фигуры Лиссажу
Контрольные вопросы и упражнения
1. Какова максимальная и минимальная амплитуда результирующего
колебания, возникающего при сложении колебаний одинакового направления с
амплитудами x01 и x02?
2. При какой разности начальных фаз складываемых колебаний одинакового направления амплитуда результирующего колебания максимальна? Минимальна?
3. Определить амплитуду и фазу результирующего колебания, возникающего при сложении колебаний одинакового направления, описываемых уравнениями: x1 = 2cos(2t + π/2), x1 = 4cos(2t + π/4). Нарисовать векторную диаграмму.
4. Определить траекторию частицы, участвующей во взаимно перпендикулярных колебаниях x = 2cos(2t + π/2), y = 4cos(2t + 3π/2).
5. Начальная фаза гармонического колебания равна π/2, а частота равна
-1
π с . Определить зависимость фазы скорости и ускорения от времени.
75
Глава 12. Затухающие колебания
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ И ЕГО РЕШЕНИЕ. До сих пор мы рассматривали идеализированные гармонические колебания, в которых механическая энергия сохранялась и смещение изменялось по закону косинуса неограниченно долго. В действительности в
любой реальной системе на каждом такте колебаний некоторая доля механической энергии переходит в тепло из-за наличия сил трения. Этот процесс называется диссипацией энергии. Поэтому в отсутствие внешних поддерживающих
колебание воздействий амплитуда осциллятора всегда будет уменьшаться во
времени.
В случае вязкого трения при малых скоростях движения наличие сопротивления описывается с помощью силы
, пропорциональной скорости и
направленной противоположно ей. Второй закон Ньютона для системы, в которой действует возвращающая сила (10.2), с учетом диссипации имеет вид
(12.1)
Часто уравнение (12.1) применяют и при наличии других видов трения. В
этом случае оно уже не описывает колебания количественно правильно, хотя
качественно многие характеристики остаются близкими к более простому случаю, который мы рассматриваем. Перенося все слагаемые в левую часть, деля
равенство на массу частицы m и вводя обозначения
(12.2)
приведем уравнение (12.1) к виду
(12.3)
Решим это уравнение методом комплексной амплитуды. Для этого подставим вместо x функцию
(12.4)
в дифференциальное уравнение (12.3) и получим характеристическое алгебраическое уравнение
(12.5)
Корни квадратного уравнения (12.5) имеют вид
(12.6)
Вид решения уравнения (12.5) зависит от соотношения между параметрами δ и ω0. При δ > ω0 сила трения очень велика и оба корня уравнения (12.6)
действительны и отрицательны. В этом случае система плавно возвращается в
состояние равновесия с нулевым смещением без осцилляций около положения
равновесия. Процесс в этом случае не является колебательным и носит назва76
ние апериодического. Для иллюстрации на рис. 12.1 приведена зависимость
смещения от времени в системе с большой силой трения. Мы не будем исследовать его более подробно.
Рис. 12.1. Затухающее апериодическое колебание
При δ < ω0 движение хотя и не является строго периодическим, но характеризуется повторяемостью во времени. Решение (12.6) может быть преобразовано следующим образом:
(12.7)
Здесь введено обозначение
(12.8)
для величины, играющей роль частоты затухающих колебаний.
Одно из комплексных решений уравнения (12.3) имеет вид
(12.9)
Вычисляя действительную часть решения (12.9), получаем решение исходного уравнения затухающих колебаний (12.3):
(12.10)
Роль амплитуды в решении (12.10) играет затухающий множитель
(12.11)
Хотя формально в решении время с начала до полного прекращения затухающих колебаний бесконечно, практически при достаточно больших временах
отличием амплитуды от нуля на фоне флуктуаций можно пренебречь. В физике
принято характеризовать скорость экспоненциального затухания временем η,
необходимым для уменьшения амплитуды в e раз. Это время называется постоянной времени затухания, или временем релаксации.
77
В соответствии с уравнением (12.11)
(12.12)
Подставляя (12.12) в (12.11), получим
(12.13)
График зависимости смещения (жирная линия) и амплитуды (тонкая линия) затухающих колебаний от времени приведен на рис. 12.2.
Рис. 12.2. Затухающие колебания
ЭНЕРГИЯ ЗАТУХАЮЩЕГО ОСЦИЛЛЯТОРА. В соответствии с уравнением
(10.26) полная механическая энергия осциллятора в точке максимального смещения от положения равновесия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Вследствие диссипации механическая энергия затухающих колебаний
уменьшается по экспоненциальному закону:
(12.14)
где E0 — механическая энергия при t = 0. Зависимости потенциальной энергии
U и кинетической энергии Ek от времени при малом затухании описываются
уравнениями, аналогичными (10.24) и (10.25):
(12.15)
(12.16)
78
График зависимости потенциальной (жирная сплошная линия), кинетической (тонкая сплошная линия) и полной энергии (монотонная кривая) затухающих колебаний от времени приведен на рис. 12.3.
Рис. 12.3. Зависимость потенциальной и кинетической энергии
затухающих колебаний от времени
Рассчитаем скорость уменьшения механической энергии осциллятора :
(12.17)
Здесь учтено, что в соответствии с законом движения (12.1)
.
Поскольку есть пройденный в единицу времени путь, а
— сила
трения, то уравнение (12.17) имеет простой физический смысл: скорость
уменьшения механической энергии равна работе силы трения в единицу времени, то есть мощности этой силы.
ДОБРОТНОСТЬ ОСЦИЛЛЯТОРА С ЗАТУХАНИЕМ. Безразмерная величина —
добротность Q характеризует скорость диссипации энергии. Она определяется
как изменение фазы колебаний при уменьшении полной энергии в e раз. Как
следует из уравнения (12.14), время этого процесса равно 1/2δ. Умножая это
время на частоту ω из уравнения (12.8), мы получим изменение фазы за это
время или добротность:
(12.18)
При малом затухании δ << ω0 и, следовательно, при большой добротности
уравнение (12.18) можно упростить, так что
(12.19)
79
Здесь использованы соотношения (12.2).
При δ << ω механическая энергия, теряемая за один период T, может быть
определена следующим образом:
(12.20)
Таким образом, добротность характеризует отношение полной энергии
системы E к энергии ΔE, теряемой за один период:
(12.21)
Добротность является важной характеристикой осциллятора с затуханием.
ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ. Так же, как в механической системе, наличие силы трения приводит к диссипации энергии, наличие сопротивления электрической цепи R приводит к переходу электрической энергии в тепло. Закон Ома для замкнутой цепи (рис. 12.4), состоящей из катушки индуктивности L, конденсатора C и сопротивления R, с учетом самоиндукции в
катушке имеет вид
(12.22)
Учитывая, что
, получаем
(12.23)
Уравнение (12.23) совпадает с уравнением (12.1) при заменах параметров
(12.24)
Таким образом, заряд q зависит от
времени согласно уравнению
Рис. 12.4. Электрический
колебательный контур
(12.25)
где
(12.26)
Добротность электрического контура определяется его сопротивлением,
емкостью и индуктивностью, и при малом затухании
(12.27)
Параметр δ имеет размерность частоты c-1, а произведение ωL имеет размерность сопротивления R Ом. В Омах измеряется также величина .
80
Контрольные вопросы и упражнения
1. За 1 мин амплитуда затухающих колебаний уменьшается в 4 раза. Во
сколько раз она уменьшится за 1,5 мин?
2. За 1 мин энергия затухающих колебаний уменьшается в 4 раза. Во
сколько раз она уменьшится за 1,5 мин?
3. За 1 мин амплитуда затухающих колебаний уменьшается в 4 раза. Во
сколько раз уменьшится их энергия за 1,5 мин?
4. Колебательный контур состоит из сопротивления в 1 Ом, индуктивности в 0,001 Гн и конденсатора емкостью в 10-6 Ф. Определить частоту колебаний, время затухания и добротность контура.
Глава 13. Вынужденные колебания. Резонанс
Во всякой реальной колебательной системе возникающие за счет первоначального толчка колебания вследствие диссипации энергии с течением времени затухают. Чтобы поддерживать в системе незатухающие колебания, необходимо компенсировать потерю энергии за счет внешних источников. Если эта
компенсация происходит периодически, возникают вынужденные колебания.
Простейшим случаем периодического внешнего воздействия является гармоническое воздействие.
ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.
Схема цепи, в которой возникают вынужденные
электрические колебания, содержит сопротивление
R, катушку индуктивности L, конденсатор С и источник переменной ЭДС ε с гармонической зависимостью ее величины от времени (рис. 13.1).
Закон Ома для замкнутой цепи в этом случае
имеет вид
(13.1)
или в комплексной форме
(13.2)
Рис. 13.1. Схема
Общее решение неоднородного уравнения
последовательного
(13.2) равно сумме общего решения соответствуюколебательного контура
щего однородного уравнения и частного решения
с источником
неоднородного уравнения. Физически это означает,
переменной ЭДС
что колебания системы представляют собой наложение ее свободных колебаний с собственной частотой, определяемой однородным уравнением, и колебаний под действием внешней силы. Однородное урав81
нение, соответствующее (13.2), есть уравнение затухающих колебаний, и его решение уже получено в предыдущей главе. Запишем его в комплексном виде:
(13.3)
где
(13.4)
Далее будем искать частное решение неоднородного уравнения в комплексной форме:
(13.5)
Подставив (13.5) в (13.2) и учитывая, что 1/i = -i, получим
(13.6)
Здесь использованы правила дифференцирования и интегрирования экспоненциальных функций вида (13.5). Сокращая множитель exp(iωt) в обеих
частях равенства, преобразуем соотношение (13.6) к виду
(13.7)
откуда получаем комплексную амплитуду тока
(13.8)
Таким образом, полное решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний содержит два слагаемых:
1) затухающее со временем слагаемое вида (13.3);
2) незатухающее со временем слагаемое (13.5), амплитуда которого (13.8)
не зависит от времени.
Режим колебаний, при котором необходимо учитывать оба слагаемых, называется переходным. Время релаксации большинства реальных систем мало, и их поведение
довольно быстро становится практически
стационарным. Векторная диаграмма для
стационарных колебаний в контуре приведена на рис. 13.2. Коэффициент пропорциональности Z между током и ЭДС, играющий
для переменного тока ту же роль, что и сопротивление для постоянного тока, называется импедансом, а выраженное через Z соотношение между ЭДС и током
(13.9)
носит название закона Ома в комплексной
форме.
82
Рис. 13.2. Векторная диаграмма
вынужденных
электрических колебаний
В соответствии с (13.7) импеданс следующим образом выражается через
параметры цепи и частоту:
(13.10)
Комплексную величину Z можно представить в виде
(13.11)
где
(13.12)
(13.13)
Формула (13.13) определяет начальную фазу тока. Модуль амплитуды тока
(13.14)
а разность фаз между ЭДС и током в цепи совпадает с фазой импеданса θ.
РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ. Как видно из уравнения (13.14), амплитуда силы
тока в цепи существенно зависит от частоты ω внешней вынуждающей силы и
имеет максимум
при выполнении для частоты условия
(13.15)
Явление, заключающееся в резком возрастании амплитуды вынужденных
колебаний силы тока при стремлении частоты внешней силы к фиксированному
значению ωr, называется резонансом напряжений. Из уравнения (13.15) следует
формула Томпсона для величины резонансной частоты:
(13.16)
Таким образом, резонанс напряжений наблюдается при совпадении
частоты внешней вынуждающей силы с собственной частотой идеализированного контура с сопротивлением R = 0. Высота и ширина резонансного
максимума зависят от величины активного сопротивления. Графики зависимости амплитуды тока от частоты при различных активных сопротивлениях
приведены на рис. 13.3.
Как следует из уравнения (13.14), в точке резонанса импеданс действителен и совпадает с активным сопротивлением: Z = R. С другой стороны, в соответствии с (13.13)
(13.17)
и, следовательно, сдвиг фаз между током и ЭДС равен нулю: θr = 0. Этот факт
делает понятной физическую причину возрастания амплитуды тока в резонансе. Поскольку в резонансе ток и ЭДС находятся в одной фазе, то нет моментов
времени, в которые ЭДС противодействует возрастанию тока.
83
Рис. 13.3. Резонансные зависимости силы тока от частоты
МОЩНОСТЬ, ВЫДЕЛЯЮЩАЯСЯ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА. Покажем, что в
резонансе система наиболее эффективно поглощает энергию из внешнего источника. Мгновенная мощность, выделяющаяся в колебательном контуре, равна произведению мгновенной ЭДС ε0cos (ωt + θ) на мгновенное значение тока
. Средняя мощность Р за период Т есть интеграл от мгновенной мощности, деленный на период:
(13.18)
Таким образом, максимальная мощность выделяется при θ = 0, что соответствует условию резонанса напряжений. В реальных электрических цепях
большая часть реактивной нагрузки является индуктивной. Для увеличения величины cosθ в цепи ставят конденсаторы большой емкости.
ВЫНУЖДЕННЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. По аналогии с электрическими колебаниями нетрудно рассмотреть и вынужденные механические колебания с учетом затухания. Уравнение движения механического осциллятора
при наличии внешней гармонической силы с амплитудой F0 и частотой ω имеет вид
(13.19)
Аналогом этого уравнения является уравнение (13.1), переписанное через
функцию q.
(13.20)
84
Поскольку уравнение (13.1) решалось относительно функции тока
,
все сделанные ранее выводы относительно зависимости силы тока от частоты
теперь справедливы для скорости после замен
(13.21)
В частности, импеданс механического осциллятора равен
(13.22)
и, аналогично резонансу токов, положение резонанса скоростей не зависит от
сопротивления среды. Физически понятна также причина увеличения амплитуды скорости в резонансе. Поскольку фаза скорости и вынуждающей силы совпадают, внешняя сила всегда увеличивает скорость осциллятора. При не равной
нулю разности фаз существуют части периода, когда сила и скорость имеют
разные знаки и, следовательно, внешняя сила тормозит осциллятор.
В отличие от резонанса скоростей, положение резонанса смещений зависит не только от массы и коэффициента упругости, но от сопротивления среды:
. В результате интегрирования гармонической функции в знаменателе
появляется множитель , и экстремум смещения наблюдается при условии
(13.23)
или
(13.24)
Отсюда либо ω = 0, либо резонансная частота
(13.25)
Экстремум  =0 является минимумом и соответствует статической силе,
не приводящей к вынужденным колебаниям. Из уравнения (13.25) видно, что с
увеличением силы трения положение резонанса смещений сдвигается в сторону
малых частот. График зависимости амплитуды смещения от частоты приведен
на рис. 13.5.
Рис. 13. 5. График зависимости амплитуды смещения от частоты
85
Контрольные вопросы и упражнения
1. Нарисуйте график зависимости смещения вынужденных колебаний от
времени для интервалов времени, меньших времени релаксации.
2. Нарисуйте график зависимости смещения вынужденных колебаний от
времени для вынуждающей силы, представляющей собой короткие периодические толчки с периодом, превышающим время релаксации.
3. Нарисуйте векторную диаграмму для скоростей механического осциллятора, движущегося под действием силы с нерезонансной частотой.
4. Нарисуйте векторную диаграмму для скоростей механического осциллятора, движущегося под действием силы с резонансной частотой.
5. Нарисуйте векторную диаграмму для смещений механического осциллятора, движущегося под действием силы с нерезонансной частотой.
Глава 14. Связанные колебания. Нелинейные колебания
До сих пор мы рассматривали поведение изолированных осцилляторов,
но в природе осцилляторы редко находятся в полной изоляции. Чаще они взаимодействуют с другими осцилляторами, вследствие чего становится возможным перенос энергии от одной колебательной системы к другой. В том случае,
если взаимодействие происходит за счет диссипативных элементов (электрического сопротивления, силы трения и др.), происходит потеря энергии и затухание колебаний. В противоположном случае, если взаимодействие происходит
за счет реактивных элементов (емкости, индуктивности, пружины и др.), возможен перенос энергии через большое число осцилляторов. Этот механизм
представляет собой основу волнового движения.
ОСЦИЛЛЯТОРЫ, СВЯЗАННЫЕ УПРУГИМИ СИЛАМИ. Рассмотрим два одинаковых математических маятника массой m и длиной l, связанных невесомой пружиной с коэффициентом жесткости k. Длина недеформированной пружины
равна расстоянию между находящимися в равновесии телами (рис. 14.1).
Рис. 14.1. Система двух связанных маятников
86
Будем рассматривать малые колебания в плоскости чертежа. Обозначим
смещения точечных масс от их положения равновесия через х и y соответственно. Уравнения движения имеют вид
(14.1)
Введем обозначения
(14.2)
Перепишем уравнения (14.1) в виде
(14.3)
Решение системы двух уравнений (14.3) уже довольно сложно. График зависимости смещения х от времени, имеющий вид биений, приведен на рис. 14.2.
Рис. 14.2. График зависимости смешения одного из маятников от времени
Трудности решения быстро нарастают с ростом числа связанных элементов. Однако для любой физической системы, в которой действуют только возвращающие силы, можно ввести функции, удовлетворяющие независимым
уравнениям колебательного движения.
Эти новые функции линейно связаны со смещениями отдельных элементов от положения равновесия, и их зависимость от времени является чисто гармонической.
НОРМАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ, НОРМАЛЬНЫЕ ЧАСТОТЫ. Проиллюстрируем
этот факт на примере двух связанных математических маятников. Введем две
новые функции:
(14.4)
Функция Х с точностью до множителя 1/2 совпадает с координатой центра масс системы. Функция Y описывает относительное движение материальных точек в системе центра масс.
87
Складывая уравнения (14.3), получаем
(14.5)
С учетом (14.4) имеем уравнение
(14.6)
с гармоническим решением
(14.7)
Вычитая уравнения (14.3), получим уравнение
(14.8)
решением которого является гармоническая функция
(14.9)
где
(14.10)
Таким образом, движение системы упруго связанных осцилляторов описывается двумя функциями, каждая из которых удовлетворяет уравнению гармонических колебаний с разными частотами, определяемыми уравнениями
(14.2) и (14.10). Переменные, позволяющие привести систему уравнений движения к набору уравнений независимых колебаний, называются нормальными
переменными, соответствующие им частоты — нормальными частотами, а
решения отдельных уравнений — нормальными модами. Для двух одинаковых
связанных осцилляторов нормальные переменные имеют вид (14.4).
Выражая смещения отдельных осцилляторов через нормальные моды
(14.11)
мы получим сложение гармонических колебаний одинакового направления и
разных частот. Результатом такого сложения будут биения (рис. 14.2). Для однозначного определения зависимости смещений элементов системы от положения равновесия, кроме решений дифференциальных уравнений (14.3), необходимо знать также начальные условия: координаты и скорости в начальный момент времени
. Коэффициенты Ax, Bx, Ay, By, с которыми
нормальные моды входят в решение исходной системы, определяются начальными условиями.
Существуют два предельных случая, когда нормальные моды можно наблюдать по отдельности. Если мы выведем оба осциллятора из положения равновесия на одинаковое расстояние и одновременно их отпустим, как показано
на рис. 14.3, то они будут колебаться в одной фазе и пружина останется недеформированной.
Вследствие этого осцилляторы будут колебаться независимо, и во все
моменты времени x = y и Bx = By = 0 (синфазная мода). Движение полностью
описывается уравнением (14.6), частота колебаний обоих маятников совпадает
88
с частотой колебаний отдельного свободного маятника ω0, а жесткость связи не
оказывает влияния на движение.
Рис. 14.3. Синхронные колебания двух одинаковых связанных маятников
Рис. 14.4. Колебания двух связанных маятников в противофазе
Если мы выведем оба осциллятора из положения равновесия, сместив на
одинаковые по модулю, но противоположные по знаку расстояния, и одновременно их отпустим (рис. 14.4), то во все последующие моменты времени смещения x = -y и Ax = Ay = 0 (противофазная мода). Это движение полностью
описывается уравнением (14.8). Частота таких колебаний больше частоты колебаний отдельного маятника.
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА. Ранее мы изучили
колебания системы в малой окрестности положения устойчивого равновесия,
которые всегда являются гармоническими. Теперь рассмотрим движение, возникающее при снятии ограничения на амплитуду колебаний. Вернемся к уравнению движения физического маятника (10.8)
(14.12)
Это дифференциальное уравнение уже не является линейным уравнением
с постоянными коэффициентами и не может быть решено использованными
ранее методами. Поскольку в системе действуют только консервативные силы,
для поиска решения можно применить закон сохранения механической энергии
89
и понизить степень дифференциального уравнения. Кинетическая энергия вращающегося тела следующим образом связана с моментом инерции I и угловой
скоростью :
(14.13)
Потенциальную энергию будем считать равной нулю в нижнем положении маятника при θ = 0,
то есть начало отсчета энергии понизим на величину l от точки подвеса О (рис. 14.5).
Тогда
(14.14)
и закон сохранения механической энергии имеет
вид
(14.15)
Вводя обозначения
Рис. 14.5. Физический
маятник
на оси подвеса
(14.16)
выделим из уравнения (14.15)
(14.17)
Здесь частота ω0 совпадает с частотой малых гармонических колебаний
рассматриваемого физического маятника. Режим движения маятника зависит от
соотношения между полной энергией маятника E и его максимальной возможной потенциальной энергией Umax = 2mgl.
Если E < Umax, существует угол поворота θ0, при котором энергия полностью переходит в потенциальную, а кинетическая энергия, следовательно, и угловая скорость
становятся равными нулю. В соответствии с уравнением
(14.17) при равной нулю левой части должно выполняться равенство
.
Таким образом, θ0 есть угловая амплитуда колебаний, которые совершает
маятник при выполнении условия E < Umax.
В случае если E > Umax, справедливо неравенство a > 1 и в процессе движения маятник проходит наивысшую точку, продолжая вращательное движение в том же направлении.
В случае колебательного режима, извлекая квадратный корень из обеих
частей равенства (14.17), получим
(14.18)
90
Разделяя в (14.18) переменные и интегрируя полученное уравнение, имеем
(14.19)
Интеграл (14.19) дает зависимость времени от угла: t (θ). Вычисляя обратную функцию, можно найти искомую зависимость углового перемещения от
времени θ (t). Интеграл (14.19) не берется в элементарных функциях, и аналитическое исследование зависимости θ (t) требует знаний, выходящих за рамки
стандартного курса математики технического университета.
ПЕРИОД НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ. Период Т нелинейных колебаний, в
отличие от периода гармонического осциллятора, зависит не только от параметров маятника, но и от амплитуды колебаний и не является элементарной
функцией. Вычислим первую поправку к периоду гармонического осциллятора.
Очевидно, что период Т равен учетверенному времени прохождения от положения равновесия до максимального отклонения θ0.
(14.20)
При малых значениях θ0 можно ограничиться членами первого порядка в
разложении периода в ряд по величине
:
(14.21)
Первое слагаемое совпадает с периодом гармонических колебаний, а второе представляет собой поправку первого порядка по параметру
, связанную с нелинейным характером колебаний. Остальные члены разложения в
ряд периода по степеням параметра a могут быть получены при учете старших
членов разложения в ряд интеграла (14.20).
Контрольные вопросы и упражнения
1. Выразите потенциальную энергию колебаний одинаковых связанных
осцилляторов через их нормальные координаты.
2. Выразите полную энергию колебаний одинаковых связанных осцилляторов через их нормальные координаты.
3. Нарисуйте график зависимости смещения одного из связанных осцилляторов от времени при возбуждении только синфазной моды.
4. Нарисуйте график зависимости смещения одного из связанных осцилляторов от времени при возбуждении только противофазной моды.
5. Нарисуйте график зависимости смещения одного из связанных осцилляторов от времени при возбуждении обеих мод.
6. Как изменяется период колебаний физического маятника при увеличении амплитуды колебаний?
91
Глава 15. Фазовые траектории. Автоколебания
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО. ФАЗОВАЯ ТРАЕКТОРИЯ. Решение уравнений движения для нелинейных колебаний значительно сложнее, чем в случае линейных
систем. Существует, однако, метод, позволяющий выявить общий характер
движения и его качественные черты без решения уравнений движения. Этот
метод основан на понятии фазового пространства (в частном случае одномерного движения, который и будет рассматриваться в дальнейшем, — фазовой
плоскости). Фазовая плоскость дает наглядный «портрет» динамической системы и позволяет одновременно охватить взглядом полный набор возможных
движений, которые могут возникнуть при различных начальных условиях.
Пусть положение частицы определяется одной координатой q. Тогда фазовой плоскостью называется плоскость, определяемая декартовой системой
координат, по оси ординат которой откладываются значения координаты q, а по
оси абсцисс — скорости частицы . Каждому состоянию физической системы
соответствует одна точка фазовой плоскости, называемая изображающей. Каждой точке фазовой плоскости соответствует одно состояние системы. Изменению состояния системы соответствует движение изображающей точки по кривой, называющейся фазовой траекторией.
ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ ГАРМОНИЧЕСКИХ И ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ. Как
известно, смещение гармонически колеблющейся точки описывается уравнением
(15.1)
Скорость определяется равенством
(15.2)
Уравнения (15.1) и (15.2) описывают гармонические колебания одинаковой частоты, происходящие по взаимно перпендикулярным направлениям осей
q и фазовой плоскости. Метод определения траектории движения частицы,
одновременно участвующей в таких колебаниях, описан в главе 11. Деля обе
части уравнений (15.1) и (15.2) на коэффициенты при тригонометрических
функциях, возводя полученные равенства в квадрат и складывая их, получим
уравнение фазовой траектории
(15.3)
Это уравнение семейства эллипсов с постоянным отношением осей, пропорциональных амплитуде колебаний, по которым происходит движение изображающей точки (рис. 15.1).
Периодическим движениям соответствуют замкнутые фазовые траектории. Состоянию равновесия соответствует фазовая траектория, выродившаяся в
точку (при q0, q, → 0).
92
Рис. 15.1. Фазовые траектории гармонических колебаний
Уравнение фазовой траектории можно получить и алгебраическими методами, не решая дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Запишем закон сохранения энергии для пружинного маятника, обобщенная координата которого совпадает с декартовой координатой x:
(15.4)
Деля обе части равенства на энергию Е, получим уравнение эллипса
(15.5)
Амплитуда затухающих колебаний уменьшается со временем. Поэтому
фазовая траектория для них представляет собой семейство спиралей, для которых начало координат является асимптотической точкой при t → ∞, как показано на рис. 15.2.
Рис. 15.2. Фазовая траектория затухающих колебаний
93
Движение при этом не является периодическим, вследствие чего фазовые
траектории не замкнуты.
ФАЗОВАЯ ТРАЕКТОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ. Уравнение (14.17) задает фазовую траекторию физического маятника:
(15.6)
Вид решения определяется значением безразмерного параметра a.
1. Пусть a < 1. С физической точки зрения это условие означает, что энергии маятника недостаточно для того, чтобы он достиг верхнего положения. Это
означает, что sin2θ/2 ≤ a. Такие фазовые траектории являются замкнутыми, а
движение маятника периодическим (кривые 1 на рис. 15.3).
2. Если a = 1, то маятник имеет в верхнем положении нулевую скорость. Условие точного равенства физически не может быть реализовано.
Исследование такого рода фазовых траекторий имеет смысл для отделения
одних видов движения от других. В этом случае фазовая траектория называется сепаратрисой (от лат. separate — «разделяю»). На рис. 15.3 сепаратрисы изображены кривыми 2.
3. При a > 1энергии маятника достаточно для того, чтобы он не только
достиг верхнего положения, но и продолжал движение. Уравнение (15.6) определено при всех углах отклонения. Фазовые траектории незамкнуты, и движение
маятника является неограниченным (кривые 3 на рис. 15.3). Маятник совершает
неравномерное вращательное движение в течение неограниченного времени.
Рис.15.3. Фазовый портрет нелинейных колебаний физического маятника
АВТОКОЛЕБАНИЯ. ЧАСЫ. Перед тем, как дать определение автоколебаний,
рассмотрим пример часового механизма, на котором будут продемонстрированы основные свойства автоколебательных систем. Часовой механизм обязательно содержит следующие три части:
1. Колеблющаяся система (физический или крутильный маятник, кварцевый кристалл и т. д.). В дальнейшем для определенности будем говорить о
маятнике.
94
2. Источник энергии (гиря, пружина, источник постоянной ЭДС и т. д.).
3. Спусковой механизм, связывающий источник энергии с колеблющейся
системой. Эта связь состоит в том, что при определенном положении маятника
или через определенные промежутки времени спусковой механизм передает
колеблющейся системе фиксированный кратковременный импульс.
Рассмотрим фазовые траектории часового механизма. Между толчками
спускового механизма происходят затухающие колебания, и фазовые траектории имеют вид спиралей (рис. 15.4).
Рис. 15.4. Фазовый портрет автоколебаний
Уменьшение размеров спирали определяется работой А силы трения за
время между толчками. Поскольку модуль силы вязкого трения уменьшается с
уменьшением скорости, работа А тем меньше, чем меньше размеры траектории.
Через равные промежутки времени спусковой механизм увеличивает скорость
маятника на фиксированную величину
(вертикальные скачки на фазовой
траектории на рис. 15.4) и, следовательно, увеличивает энергию на величину
ΔE. Для спиралей малого начального размера ΔE > A после каждого толчка
спускового механизма энергия маятника растет, и размеры спирали увеличиваются (рис. 15.4). Этот рост прекращается при выполнении условия ΔE = A.
С другой стороны, для спиралей большого начального размера энергия
внешнего источника, передаваемая маятнику спусковым механизмом, меньше
работы силы трения: ΔE < A. В этом случае размеры спирали уменьшаются. Это
уменьшение прекращается при выполнении условия ΔE = A. При выполнении
условия ΔE = A фазовая траектория становится замкнутой и, следовательно, колебания становятся периодическими. Такой цикл, который устанавливается вне
зависимости от начальных условий, называется предельным. На рис. 15.4 фазовая точка траектории из точки (0,1) за 16 циклов выходит на предельный цикл,
фазовым изображением которого является эллипс с полуосями (0.4,2.2).
95
Этот пример позволяет сформулировать важнейшее свойство автоколебаний — независимость характеристик предельных циклов от начальных условий. Не все автоколебательные системы обладают этим свойством в чистом виде. В некоторых системах могут существовать несколько предельных циклов, и
тот или другой из них устанавливается в зависимости от начальных условий.
Однако и в этом случае целой области начальных условий соответствуют одни
и те же характеристики незатухающих колебаний. Так, например, если в часовом механизме кроме вязкого трения учесть также и сухое трение, то незатухающие колебания устанавливаются только при достаточно больших начальных амплитудах. Если первоначальный толчок оказывается слабым, то часы останавливаются.
Другая типичная черта автоколебаний состоит в следующем: компенсация рассеянной во внешней среде энергии происходит за счет постоянного источника (деформированная пружина или поднятая гиря, гальванический элемент и др.). Нелинейный характер спускового механизма позволяет периодически черпать порции энергии из этого источника. При этом как период, так и величина самих порций определяются свойствами колеблющейся системы. Таким
образом, автоколебательные системы создают периодический процесс за счет
постоянного источника энергии.
Примером автоколебательных систем
являются генераторы релаксационных колебаний. Спусковым механизмом в них
служит газовый разряд (чаще всего неоновая лампа). Другим важным примером автоколебаний является работа тепловых двигателей как внешнего, так и внутреннего
сгорания. Роль спускового механизма играет система клапанов. Устройство двигателя
делает невозможным изменение амплитуды
колебаний. Различные предельные циклы
отличаются друг от друга скоростью вращения. Поэтому фазовые траектории в
Рис.15.5. Фазовый портрет
плоскости: угол поворота — угловая скоработы двигателя
рость
— уже не являются подобными
и деформируются по оси угловых скоростей
(рис. 15.5).
Период предельного цикла определяется положением дроссельной заслонки в двигателе внутреннего сгорания или давлением пара в котле паровой
машины. Автоколебательный характер имеет также движение ветвей деревьев
и дрожание их листьев под действием ветра.
Подобным образом реагируют на ветровую нагрузку и искусственные сооружения (башни, мосты, крыши и др.). При больших амплитудах колебаний
это приводит к разрушению объектов. Автоколебательный механизм разрушения оказывается намного более сильным, чем статический. Каждый год в мире
96
регистрируется несколько десятков случаев разрушения мостов вследствие автоколебаний. Именно таким образом в 1968 г. была разрушена крыша Горьковского дворца спорта. Поэтому при проектировании сооружений, особенно в местностях с сильными ветрами, должны быть предприняты специальные меры
борьбы с автоколебаниями. К сожалению, нередко автоколебания путают с резонансными вынужденными колебаниями, между тем как методы управления
этими процессами существенно различны.
Контрольные вопросы и упражнения
1. Укажите координаты фазовой плоскости для математического маятника, пружинного маятника, колебательного контура.
2. Нарисуйте фазовые портреты малых колебаний математического маятника, пружинного маятника, колебательного контура.
3. Получите уравнение сепаратрисы нелинейных колебаний физического
маятника.
4. В чем отличие вынужденных колебаний от автоколебаний?
5. Что общего между автоколебаниями и вынужденными колебаниями?
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предложенный курс лекций по разделам «Электричество и магнетизм»,
«Колебания» освещает большинство вопросов учебной программы по общей
физике. При необходимости читатель может пополнить свои знания из книг,
которые рекомендованы в библиографическом списке.
Как показал опыт использования первого издания курса лекций, методика
изложения материала позволяет студентам получить достаточно полное представление об изучаемых физических явлениях. Несмотря на краткость изложения, они хорошо усваивают физический смысл величин и законы физики. Знания, полученные студентами по данному разделу курса физики, совершенно
необходимы при изучении таких общетехнических дисциплин, как «Электротехника», «Динамика сооружений», «Процессы и аппараты».
Авторы надеются, что второе издание курса лекций увеличит свою методическую привлекательность и в дальнейшем поможет читателю использовать
полученные знания в своей практической деятельности.
97
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Головинский П. А. Механика. Молекулярная физика и термодинамика : курс лекций / П. А. Головинский, М. А. Преображенский, Ю. С. Золототрубов. — Воронеж : Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т, 2008. — 139 с.
2. Савельев И. В. Курс общей физики : учеб. пособие : в 5 кн. /
И. В. Савельев. — М. : Астрель: АСТ, 2003.
Кн. 1 : Механика. — 336 с. ; Кн. 2 : Электричество и магнетизм. — 336 с.
3. Детлаф А. А. Курс физики : учеб. пособие для вузов / А. А. Детлаф,
Б. М. Яворский. — М. : Academia, 2005. — 719 с.
4. Иродов В. И. Основные законы электричества / В. И. Иродов. — М. :
Высш. шк., 1986. — 183 с.
5. Калашников С. Г. Электричество / С. Г. Калашников. — М. : Наука,
1964. — 666 с.
6. Орир Дж. Физика : в 2 т. / Дж. Орир ; пер. с англ. под ред. Е.М. Лейкина. — М. : МИР, 1981. — Т. 1. — 336 с. ; Т. 2 .— 1981 .— 622 с.
7. Ландау Л. Д. Курс общей физики / Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезер,
Е. М. Лифшиц. — М. : Наука, 1965. — 384 с.
8. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Колебания и волны / Д. В. Сивухин. — М. : Наука, 1986. — 512 с.
98
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
сохранения заряда ................................ 28
Ома в комплексной форме .................. 82
Ампер-виток ..................................... 41
Амплитуда .................................... 63-64
Зарядка конденсатора ................. 33-35
Затухания ..................................... 76-80
векторная .............................................. 69
Биение ............................................... 71
Импеданс .......................................... 82
Индуктивность ............................ 53-54
Вектор:
соленоида ........................................... 45
площадки .............................................. 12
поляризации ......................................... 16
Индукция электрическая ................. 18
Вещества:
Колебания......................................... 62
диамагнитные ..................................47-49
парамагнитные ................................47-49
вынужденные ..................................81-83
гармонические.......................63,69,70-73
затухающие .....................................76-80
малые..................................................... 66
нелинейные......................................86-91
собственные.......................................... 67
Волна электромагнитная ................. 58
Время
переходного процесса ...................... 55
релаксации ................................ 34, 77, 55
Комплексное представление
гармонических колебаний ............... 69
Конденсатор...................................... 25
Контур:
Гистерезис магнитный .................... 49
Движение волновое ......................... 86
Диаграмма векторная ....................... 70
Диамагнетики ........................... 47-49
Дивергенция ...................................... 60
Диполь ............................................... 15
Диэлектрик ........................................ 15
колебательный ..................................... 66
элементарный ....................................... 44
Коэффициент:
взаимной индукции ............................. 53
самоиндукции ...................................... 53
неполярный ..................................... 15,16
полярный .........................................15-16
Линии:
Добротность ...................................... 79
Домены .............................................. 50
силовые магнитного поля ................... 39
напряженности ..................................... 11
Емкость ............................................. 25
Магнетики ........................................ 46
плоского конденсатора........................ 25
Маятник:
математический ................................... 65
пружинный ......................................63-67
физический ........................................... 64
Закон:
Ампера .......................................... 41-42
Био-Савара-Лапласа ............................ 37
Джоуля-Ленца ...................................... 33
индукции Фарадея ............................... 51
Кирхгофа .............................................. 31
Кулона ................................................... 10
Кулона в полевой форме ..................... 11
Ома в дифференциальной форме ....... 30
полного тока ...................................... 40
Механизм спусковой ....................... 95
Мода:
нормальная ........................................... 88
противофазная ...................................... 89
синфазная ............................................. 88
Момент:
дипольный .............................................. 15
магнитный ............................................ 44
99
Напряженность ................................. 11
Резонанс напряжений ...................... 83
Ротор .................................................. 61
магнитного поля................................... 47
электрического поля .......................11-12
Сепаратриса ................................... 94
Напряжение ...................................... 29
Насыщение ........................................ 50
Носители тока ................................... 27
Сила:
Ампера .................................................. 44
возвращающая ....................................... 62
индукции электродвижущая ............... 51
коэрцитивная ........................................ 49
Лоренца ................................................. 36
тока ........................................................ 28
электродвижущая ................................. 31
сторонние .............................................. 30
Осцилляторы:
гармонические .................................. 63
линейные........................................... 63
Парамагнетики ............................47-49
Переменные нормальные ................. 88
Петля гистерезиса ............................. 49
Плоскость фазовая ............................ 92
Плотность:
Система линейная .......................... 63
Скин-эффект ..................................... 52
Соленоид ........................................... 40
Сопротивление активное ................. 83
тока ........................................................ 28
энергии магнитного поля ...............45-46
энергии электрического поля ............. 26
Температура Кюри .......................... 50
Теорема:
Поле:
Ирншоу ................................................. 14
о циркуляции магнитного поля ......... 40
Остроградского-Гаусса ................. 12, 14
Остроградского-Гаусса
для магнитного поля ............................ 39
магнитное ............................................. 36
электромагнитное ................................ 51
электростатическое .............................. 11
Поляризация диэлектрика ............... 16
Постоянная времени затухания....... 77
Потенциал электрического поля ..... 22
Поток вектора ................................... 12
Правило:
Ток:
замыкания цепи .................................... 55
переменный .......................................... 84
проводимости ....................................... 57
размыкания цепи ................................... 54
смещения .............................................. 57
электрический ...................................... 27
буравчика (винта) ................................ 37
Ленца ..................................................... 52
Принцип:
Ле-Шателье........................................... 52
суперпозиции ....................................... 10
Токи:
вихревые ............................................... 52
квазистационарные ........................ 33-35
Фуко ...................................................... 52
Проводники ....................................... 15
Проницаемость:
вакуума диэлектрическая .................... 10
относительная магнитная .................... 47
среды относительная
диэлектрическая ................................... 18
Точка изображающая ....................... 92
Траектория фазовая.......................... 92
Узел цепи ..................................... 31-33
Пространство фазовое ...................... 92
Процесс апериодический ................. 77
Уравнение:
дифференциальное гармонических
колебаний ............................................. 63
дифференциальное затухающих
механических колебаний .............. 76-78
непрерывности ..................................... 29
Равновесие устойчивое.................... 62
Разрядка конденсатора ................33-35
Режим колебаний переходный ........ 82
100
Фаза начальная................................. 63
Частота:
круговая ................................................ 63
линейная ............................................... 64
собственная ............................................ 81
циклическая .......................................... 63
нормальная ........................................... 88
Ферромагнетики ................................. 49
Фигуры Лиссажу .............................. 74
Форма уравнения
дифференциальная ........................... 59
Формула Томпсона ..................... 67 ,83
Фронт волны ..................................... 58
Электроемкость ............................... 25
Энергии диссипация ........................ 76
Энергия:
Цикл предельный ............................. 95
Циркуляция:
диполя ................................................... 24
системы зарядов ................................... 26
вектора ................................. 21-22, 60-61
магнитного поля .................................. 39
101
Учебное издание
Головинский Павел Абрамович
Преображенский Михаил Артемьевич
Золототрубов Юрий Степанович
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
КОЛЕБАНИЯ
Курс лекций
Редакторы Акритова Е. В.,
Башлыкова О.И.
Подписано в печать 23.11.2009. Формат 60 × 84 1/16. Уч.-изд. л. 6,0.
Усл. печ. л. 6,0. Бумага писчая. Тираж 500 экз. Заказ №
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии
Воронежского государственного архитектурно-строительного университета
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
102
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
12
Размер файла
3 173 Кб
Теги
головинский, электричество, магнетизм, колебания, 342
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа