close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

352.Порядина В.Л. Основы научных исследований в управлении

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»
В.Л. Порядина, С.А. Баркалов, Т.Г. Лихачева
ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
В УПРАВЛЕНИИ
СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИМИ
СИСТЕМАМИ
Учебное пособие для студентов, обучающихся по специальностям:
080200 «Менеджмент»,
080400 «Управление персоналом»,
081100 «Государственное и муниципальное управление»,
220100 «Системный анализ и управление»
Воронеж 2015
1
УДК 005.8:624
ББК 60.823.238
П 609
Рецензенты:
кафедра естественнонаучных дисцилин и информационного обеспечения управления
Воронежского института экономики и социального управления;
Ю.В. Бондаренко, д-р техн. наук, доцент кафедры математических методов
исследования операций Воронежского государственного университета
П 609
Порядина, В.Л.
ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ В УПРАВЛЕНИИ
СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ: учеб.пособие /
В.Л. Порядина, С.А. Баркалов, Т.Г. Лихачева / Воронежский ГАСУ. —
Воронеж, 2015. – 262 с.
ISBN 978-5-89040-564-7
В пособии изложены основные методические положения по построению
математических моделей основных функций при управлении социальноэкономическими системами. Предполагается, что читатель знаком с основами
важнейших разделов «Теории вероятностей и математической статистики», «Теории
графов», «Теории линейного и динамического программирования»,
«Теории
массового обслуживания», «Управления организационными системами».
Учебное пособие предназначено для студентов специальностей 080200
«Менеджмент», 080400 «Управление персоналом», 081100 «Государственное и
муниципальное управление», 220100 «Системный анализ и управление», изучающих
курс «Основы научных исследований в управлении социально-экономическими
системами».
Ил. 104.Табл. 167. Библиогр.: 101 назв.
УДК 005.8:624
ББК 60.823.238
Печатается по решению учебно-методического совета
Воронежского ГАСУ
© Порядина В.Л., Баркалов С.А.,
Лихачева Т.Г., 2015
© Воронежский ГАСУ, 2015
ISBN 978-5-89040-564-7
2
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................................................................ 5
ГЛАВА I. ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ В УПРАВЛЕНИИ ПРОЕКТАМИ ................... 8
1.1. Понятие проекта ..................................................................................................................... 8
1.2. Понятие управления проектом ........................................................................................... 19
1.3. Задачи ресурсного планирования комплексов работ ....................................................... 26
ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ОБЪЕМОВ РАБОТ В УПРАВЛЕНИИ ПРОЕКТАМИ ...... 47
2.1. Методы решения задач оптимизации объемов работ........................................................ 47
2.1.1. Линейный случай ........................................................................................................... 47
2.1.2. Независимые работы. Степенной случай .................................................................... 52
2.1.3. Независимые работы. Линейный случай ..................................................................... 55
2.1.4. Потоковая модель .......................................................................................................... 58
2.1.5. Многоресурсная модель ................................................................................................ 61
2.2. Дискретные модели .............................................................................................................. 63
2.2.1. Последовательные и параллельные сети ..................................................................... 63
2.2.2. Агрегируемые сети ........................................................................................................ 66
2.2.3. Общий случай ................................................................................................................. 68
2.2.4. Модели с несколькими видами ресурсов .................................................................... 72
ГЛАВА 3. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЕКТАМИ ПРИ
РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЯХ МЕЖДУ РАБОТАМИ................................................... 80
3.1. Задачи управления проектами при зависимостях рекомендательного типа ................... 80
3.2. Алгоритм решения задачи построения календарного плана с минимальной
продолжительностью проекта .................................................................................................... 81
3.3. Построение календарного плана с минимальными дополнительными затратами с
использованием метода дихотомического программирования ............................................... 84
3.4. Построение календарного плана заданной продолжительности при минимальном увеличении
затрат ................................................................................................................................................................................. 88
ГЛАВА 4. МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ
ПРОЕКТНОЙ ОРГАНИЗАЦИИ ...................................................................................................................... 90
4.1. Оптимальное размещение единиц проектирования во времени ...................................... 90
4.2. Оптимальное размещение работ между подразделениями проектной организации .... 91
ГЛАВА 5. МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ ПОРТФЕЛЕЙ ВЗАИМОЗАВИСИМЫХ ПРОЕКТОВ И
КАЛЕНДАРНЫХ ПЛАНОВ ИХ РЕАЛИЗАЦИИ ....................................................................................... 95
5.1. Формирование портфеля взаимозависимых проектов ...................................................... 95
5.2. Формирование календарного плана взаимозависимых проектов .................................. 107
5.3. Оптимизация последовательного выполнения проектов по критерию упущенной выгоды.... 123
5.4. Задача Джонсона с критерием упущенной выгоды ......................................................... 131
ГЛАВА 6. МОДЕЛИ И МЕХАНИЗМЫ КОМПЛЕКСНОГО РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИКИ И
СОЦИАЛЬНОЙ СФЕРЫ РЕГИОНА............................................................................................................ 141
3
6.1. Модель комплексного развития социально-экономической системы на основе
экспертного выбора вариантов развития в иерархии смысловых матриц ........................... 141
6.2. Модель комплексной оценки вариантов программы ...................................................... 147
6.3. Методы построения гибких систем комплексного оценивания ..................................... 154
6.4. Модель управления риском при выполнении региональной программы ..................... 161
ГЛАВА 7. МОДЕЛЬ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗЕМЕЛЬНОГО
УЧАСТКА С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЙ НА ЕГО ПЛОЩАДЬ И СТОИМОСТЬ
СТРОИТЕЛЬСТВА........................................................................................................................................... 166
7.1. Учет ограничений на площадь земельного участка ........................................................ 166
7.2. Табличный метод допустимых решений .......................................................................... 174
7.3. Учет рисков при формировании плана застройки земельного участка ........................ 180
7.4. Задача оптимальной застройки района по критерию прибыли ..................................... 182
ГЛАВА 8. МЕХАНИЗМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОРПОРАТИВНОГО ЗАКАЗА.............................. 194
8.1. Механизм управления в экономических системах .......................................................... 194
8.2. Распределение корпоративного заказа ............................................................................. 200
8.3. Распределение корпоративного заказа. Механизм внутренних цен ............................. 206
8.4. Механизмы внутренних цен без перераспределения прибыли ...................................... 212
8.5. Согласованные механизмы распределения корпоративного заказа .............................. 214
8.6. Механизмы внутреннего кредитования ............................................................................ 218
8.7. Внутренний кредит с гибкими ставками .......................................................................... 221
8.8. Механизмы совместного финансирования ....................................................................... 223
ГЛАВА 9. РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ ................................................................................................................... 226
9.1. Основные правила приоритета .......................................................................................... 226
9.2. Распределение ресурсов по степени критичности работ ................................................ 228
9.3. Распределение ресурсов по минимальной продолжительности работ .......................... 235
9.4. Распределение ресурсов по минимальным поздним моментам окончания .................. 237
9.5. Гибкие правила приоритета работ..................................................................................... 239
ГЛАВА 10. МОДЕЛИ И МЕХАНИЗМЫ МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ В
ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ............................................................................................................................ 240
10.1. Определение согласованных цен на материалы и оптимальное распределение
заказов ......................................................................................................................................... 240
10.2. Теоретико-игровой анализ механизма определения согласованных цен и определение
сроков и объемов оптовых закупок .......................................................................................... 243
10.3. Построения сетевой модели, содержащей все рациональные варианты закупок
продукции ................................................................................................................................... 247
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................................................................. 253
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК........................................................................................................... 255
4
ВВЕДЕНИЕ
На практике очень часто возникают трудности, связанные с
распределением имеющихся ресурсов по нескольким видам деятельности. Это
продиктовано
требованиями
диверсификации
видов
деятельности
производственной структуры с целью повышения конкурентоспособности и
рыночной устойчивости в условиях нестабильной экономической и
политической ситуации, так как в настоящее время однопродуктовые фирмы в
своем подавляющем большинстве обречены на неудачу. В то же время следует
отметить, что задачи подобного рода стоят и перед бюджетами различных
уровней, цель которых − обеспечение максимальной эффективности
использования бюджетных средств. Вместе с тем, как правило, проекты тогда
считаются успешными, когда удается достигнуть поставленных целей при
соблюдении установленных сроков и бюджета. К наиболее часто называемым
причинам неудач реализации проектов относят: недостаток ресурсов и
нереальные сроки, что является следствием низкого качества планирования.
С другой стороны, учитывая, что большинство предприятий в настоящее
время организованы по принципу бизнес-единиц, когда имеется некий
корпоративный центр и несколько бизнес-единиц, занятых реализацией
некоторых проектов. В корпоративный центр, как правило, включаются кроме
управляющих
органов,
еще
и
подразделения,
обеспечивающие
функционирование производственной системы в целом. Следовательно,
возникает проблема распределения затрат на содержание вспомогательных и
обеспечивающих структур между бизнес-единицами. Вместе с тем в процессе
распределения приходится сталкиваться с проблемой недостоверности
информации об объеме распределяемых ресурсов или затрат, что связано с
вероятностным характером производственной деятельности предприятия.
Чаще всего задачи распределения затрат и доходов относятся, пожалуй, к
наиболее распространенным задачам распределения ресурсов в условиях
рыночной экономики. Действительно, характерной чертой современных
рыночных отношений является объединение усилий рыночных предприятий,
фирм, других юридических и физических лиц, а также федеральных и местных
органов власти для реализации проектов и программ, представляющих общий
интерес. Как делить затраты на реализацию проекта или программы, как
распределять доход, получаемый в результате их реализации - центральные
задачи, от эффективности решения которых зависит успех в достижении
поставленных целей. Задачи распределения доходов и затрат весьма близки к
известной задаче распределения ограниченного ресурса, методы решения
которой разработаны весьма детально. Однако, в отличие от последней в
данном случае затраты (доход) не являются ограниченными, а зависят от
суммарного дохода (затрат), который желают получить (могут потратить)
участники, называемые далее агентами. Тем не менее существует достаточно
тесная связь между механизмами распределения ограниченных ресурсов и
механизмами распределения доходов или затрат.
Если проекты характеризуются временными границами, высокой
5
затратностью и уникальностью, то процесс реализации проекта занимает
достаточно значительный промежуток времени. Основной задачей
управляющего проектом на начальном этапе ею выполнения является
определение временных границ. Такая задача в общей постановке достаточно
сложна, и ее решение разбивается на последовательность этапов реализации
проекта, которые получили название фаз проекта. Все фазы суммарно
составляют жизненный цикл проекта. Начальные этапы реализации проекта
характеризуются высокой степенью неопределенности, которая с течением
времени уменьшается за счет поступления новой информации. Естественно, что
создавать механизмы управления, учитывающие всю степень начальной
неопределенности и дающие универсальные рецепты на все возможные
ситуации, невозможно, да и нецелесообразно. Следовательно, возникает
необходимость исследования динамики реализации проекта с учетом
особенностей каждой фазы всего жизненного цикла проекта, что достигается
путем постоянного контроля и анализа хода выполнения проекта, сбора и
уточнения его параметров функционирования и оценки возможных результатов
его реализации. Таким образом, деятельность управляющего проектом на всех
стадиях реализации проекта может быть охарактеризована как оперативное
управление проектом.
Высокая степень неопределенности и связанный с этим риск,
сопровождающий реализацию строительных проектов, требуют разработки
соответствующих компенсационных мер, направленных на снижение
проектного риска.
Решению поставленных задач и посвящено данное учебное пособие,
которое будет полезно для подготовки квалифицированных бакалавров.
Цель учебного пособия:
1) научить разрабатывать оптимизационные модели управления
проектами;
2) научить решать задачи управления организационными структурами,
применяя основы теории графов;
3) овладеть методологией, методами и методиками управления
изменениями в условиях ограниченных ресурсов;
4) развить заложенный научно-исследовательский компонент в
управлении социально-экономическими системами на основе изучения
множества специальных научных правил, методов и приемов
количественного анализа разного рода информации.
В результате изучения дисциплины на базе данного учебного пособия
студент должен:
знать:
1) алгоритм построения календарного плана с минимальной
продолжительностью проекта;
2) модели и методы формирования производственной программы;
3) модели и механизмы комплексного развития экономики региона;
4) механизмы распределения корпоративного заказа;
6
5) эвристические модели распределения ресурсов;
6) модели и механизмы материально-технического обеспечения в задачах
управления проектами;
уметь:
1) применять количественные и качественные методы анализа при
принятии управленческих решений и строить экономические,
финансовые и организационно-управленческие модели;
2) выбирать
математические
модели
организационных
систем,
анализировать их адекватность, проводить адаптацию моделей к
конкретным задачам управления;
3) использовать в практической деятельности организаций информацию,
полученную в
результате
маркетинговых исследований и
сравнительного анализа лучших практик в менеджменте;
владеть:
1) навыками организации и проведения научных исследований
информации об объеме распределяемых ресурсов или затрат, анализа и
обобщения их результатов;
2) навыками разработки эвристических моделей распределения ресурсов;
3) навыками разработки модели комплексного развития экономики и
социальной сферы региона;
4) навыками
формирования
модели
материально-технического
обеспечения в задачах управления проектами.
В пособии изложены основные методические положения по построению
математических моделей основных функций при управлении социальноэкономическими системами. Предполагается, что читатель знаком с основами
важнейших разделов «Теории вероятностей и математической статистики»,
«Теории графов», «Теории линейного и динамического программирования»,
«Теории массового обслуживания», «Управления организационными
системами».
Авторы понимают, что отбор тем для подобного издания еще нельзя
считать окончательно установившимся, поскольку не все функции и фазы
управления социально-экономическими системами рассмотрены в данном
учебном пособии.
7
ГЛАВА I. ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
В УПРАВЛЕНИИ ПРОЕКТАМИ
1.1.
Понятие проекта
Любую деятельность человека, а также развитие общества, предприятия,
экономики можно представить в виде совокупности отдельных процессов,
имеющих определенные конечные цели, временные рамки и ограниченные
ресурсы, что удобно для анализа и изучения этой деятельности.
Понятие проекта широко используется практически во всех сферах
научно-исследовательской и прочей деятельности человека. А в последнее
время этот термин стал употребляться и во многих других областях, например в
искусстве и культуре. А значит, точного определения проекта,
удовлетворяющего всем возможным употреблениям термина, не существует.
Приведем некоторые определения этого понятия, которые можно
встретить в литературе [4]:
1. Советский энциклопедический словарь: проект (от дат.Projectus.
буквально  брошенный вперед): 1. Совокупность документов
(расчетов, чертежей и др.) для создания какого-либо сооружения или
изделия. 2. Предварительный текст какого-либо документа. 3. Замысел, план;
проектирование:
процесс
создания
проекта-прототипа,
прообраза
предполагаемого или возможного объекта, состояния. Наряду с традиционными
видами (архитектурно-строительный, машиностроительный, технологический и
др.) начали складываться самостоятельные направления проектов человекомашинных систем, трудовых процессов, организаций, экологическое,
социальное, инженерно-психологическое, генетическое и др.)
2. Толковый словарь Вебстера: проект (англ. – project) – это что-либо,
что задумывается или планируется, большое предприятие.
3. Толковый словарь Даля: «Проект м. лат. прожект франц. план,
предположение, предначертание; задуманное, предположенное дело, и самое
изложение его на письме или в чертеже».
4. Определение этого термина Российской Ассоциации Управления
проектами СОВНЕТ: «Проект – это ограниченное во времени
целенаправленное изменение отдельной системы с установленными
требованиями к качеству результатов, возможными рамками расхода средств и
ресурсов и специфической организацией».
5. Специалисты компании «Консалтинг ПРИМ» считают, что: «Проект 
комплекс взаимосвязанных мероприятий, предназначенных для достижения
определенной цели в течение заданного периода времени и в рамках
выделенного бюджета».
6. Московское отделение Ассоциации управления проектами Project
Management Institute дает следующее определение: «Проект – это временное
предприятие, предназначенное для создания уникальных продуктов или услуг».
Так что же такое проект?
8
Человек постоянно осуществляет проекты в своей повседневной жизни.
Приведем простые примеры: ремонт в квартире, проведение исследований,
написание книги. Все эти виды деятельности имеют между собой целый ряд
общих признаков, делающих их проектами:
 они направлены на достижение конкретных целей;
 они
включают
в
себя
координированное
выполнение
взаимосвязанных действий;
 они имеют ограниченную протяженность во времени, с
определенным началом и концом;
 они в определенной степени неповторимы и уникальны.
Именно эти четыре характеристики отличают проекты от других видов
деятельности. Каждая из названных характеристик имеет важный смысл, и
поэтому стоит их рассмотреть [4].
Достижение конкретных целей
Проекты нацелены на получение определенных результатов – т.е. они
направлены на достижение целей. Именно эти цели являются движущей силой
проекта, и все усилия по его планированию и реализации предпринимаются для
того, чтобы эти цели были достигнуты. Проект обычно предполагает целый
комплекс взаимосвязанных целей. Например, основной целью проекта,
связанного с компьютерным программным обеспечением, может быть
разработка
информационной
системы
управления
предприятием.
Промежуточными целями (подцелями) могут быть разработка базы данных,
разработка математического и программного обеспечения, тестирование
системы. В разработке базы данных, в свою очередь, также могут быть
выделены цели более низкого уровня – разработка логической структуры базы
данных, загрузка данных и т. д.
Тот факт, что проекты ориентированы на достижение цели, имеет
большой внутренний смысл для управления ими. Прежде всего, он
предполагает, что важной чертой управления проектами является точное
определение и формулирование целей, начиная с высшего уровня, а затем
постепенно опускаясь до наиболее детализированных целей и задач. Кроме
того, отсюда следует, что проект можно рассматривать как достижение
тщательно выбранных целей и что продвижение проекта вперед связано с
достижением целей все более высокого уровня, пока наконец не достигнута
конечная цель.
Координированное выполнение взаимосвязанных действий
Проекты сложны по самой своей сути.
Они включают в себя выполнение многочисленных взаимосвязанных
действий. В отдельных случаях эти взаимосвязи достаточно очевидны
(например, технологические зависимости), в других случаях имеют более
сложные связи. Некоторые промежуточные задания не могут быть
реализованы, пока не завершены другие задания; некоторые задания могут
осуществляться только параллельно и т. д. Если нарушается синхронизация
выполнения разных заданий, весь проект может оказаться невыполнимым.
9
Можно сказать, что проект – это система, то есть целое, складывающееся из
взаимосвязанных частей, причем система динамическая и, следовательно,
требующая особых подходов к управлению.
Ограниченная протяженность во времени
Проекты выполняются в течение конечного периода времени. Они
временны. У них есть более или менее четко выраженные начало и конец.
Проект заканчивается, когда достигнуты его основные цели. Значительная
часть усилий при работе с проектом направлена именно на обеспечение того,
чтобы проект был завершен в намеченное время. Для этого готовятся графики,
показывающие время начала и окончания заданий, входящих в проект. Отличие
проекта от производственной системы заключается в том, что проект является
однократной, не циклической деятельностью. Серийный выпуск продукции не
имеет заранее определенного конца во времени и зависит лишь от наличия и
величины спроса. Когда исчезает спрос, производственный цикл кончается.
Производственные циклы не являются проектами. Однако в последнее время
проектный подход все чаще применяется и к процессам, ориентированным на
непрерывное производство. Например, проекты увеличения производства до
указанного уровня в течение определенного периода исходя из заданного
бюджета или выполнение определенных заказов, имеющих договорные сроки
поставки.
Проект как система деятельности существует ровно столько времени,
сколько его требуется для получения конечного результата. Концепция
проекта, однако, не противоречит концепции организации или предприятия и
вполне совместима с ней. Напротив, проект часто становится основной формой
деятельности организации.
Уникальность
Проекты – мероприятия отчасти неповторимые и однократные.
Вместе с тем степень уникальности одного проекта от другого может
сильно отличаться. Можно привести следующий пример: рассмотрим
компанию,
занимающуюся
строительством
многоэтажных
домов.
Строительство очередного здания не является уникальным проектом, если этот
и несколько предыдущих, построенных компанией сооружений, однотипны.
Уникальным может быть проект, в котором используются новые материалы в
строительстве или новый ландшафт местности. С другой стороны, если кто-то
разрабатывает уникальный прибор или технологию, то это уникальный опыт. И
сложно ожидать при выполнении проекта, что получится в итоге.
Многообразие проектов, с которыми приходится сталкиваться в
повседневной жизни, чрезвычайно велико. Они могут отличаться по сфере
использования, составу, длительности, сложности исполнения, предметной
области. Для удобства анализа проектов их множество может быть
классифицировано по различным основаниям. Возьмем следующую
классификацию:
10
1. Тип проекта. Определяется по основной сфере деятельности, в которой
применяется
проект.
Примеры:
технический,
экономический,
организационный, социальный или смешанный проекты.
2. Масштаб проекта. Определяется по количеству участников, степени
влияния на окружающий мир, размерам самого проекта. Примеры: мелкие,
средние, крупные и очень крупные проекты. Разделение условное, можно
классифицировать более конкретно: международные, межгосударственные,
национальные, межрегиональные, межотраслевые, корпоративные, отраслевые,
ведомственные, проекты одного предприятия.
3. Класс проекта (по составу, структуре и предметной области):
монопроект, мультипроект, мегапроект. Монопроект – это отдельный проект
различного типа, вида и масштаба. Мультипроект – более сложный проект,
состоящий из ряда монопроектов, требующий многопроектного управления.
Мегапроект – целевые программы развития регионов, отраслей, включающие в
свой состав ряд моно- и мультипроектов.
4. Длительность
проекта
(по
продолжительности
периода
осуществления проекта): краткосрочные (до 3-х лет), среднесрочные (от 3-х до
5-ти лет), долгосрочные (больше 5-ти лет).
5. Сложность проекта (по степени сложности): простые, сложные, очень
сложные.
6. Вид проекта (по характеру предметной области): инновационный,
инвестиционный, научно-исследовательский, учебный, смешанный. К
инвестиционным относят проекты, главной целью которых является создание
основных фондов, требующих вложения капиталов. К инновационным относят
проекты, направленные на введение и применение новых технологий,
обеспечивающих развитие системы.
Данная классификация не является единой и полной, а представляет
собой пример подобного составления.
В соответствии с классификацией и разделением проектов на виды можно
выделить отдельные особенности и условия, позволяющие отличать проекты
друг от друга.
Инвестиционные проекты. Проекты, для которых точно определенны и
фиксированы: цель проекта, срок завершения и продолжительность, расходы на
проект. Примеры инвестиционных проектов: строительство жилого дома,
реконструкция предприятия. Для данных проектов цели – это жилая площадь,
объем производства продукции. Требуемые ресурсы и фактическая
продолжительность проекта будут зависеть от хода выполнения проекта.
Проекты исследования и развития. Такие проекты, как исследования в
какой-либо научной области, разработка нового продукта или новой
информационно-управляющей системы, характеризуются следующими
особенностями: четко определена главная цель, но отдельные цели должны
уточняться по мере достижения частных результатов; срок завершения и
продолжительность проекта определены заранее, их соблюдение желательно,
но они должны корректироваться в зависимости от полученных
11
промежуточных результатов и общего продвижения проекта; планирование
расходов на проект часто зависит от выделенных ассигнований и меньше от
действительного продвижения проекта; ограничения связаны с использованием
имеющихся мощностей (оборудования и специалистов).
Экономические проекты. Примеры: введение новой системы налогов
или приватизация предприятия. Особенности: цель проектов – улучшение
экономических показателей функционирования системы, поэтому их сложно
оценить; главные цели намечаются, но корректируются по ходу выполнения
проекта; то же происходит и с ресурсами и со сроком проекта. То есть
экономические результаты должны быть достигнуты в фиксированные сроки
при установленных расходах, а ресурсы предоставляются по потребности.
Организационные проекты. Создание новой организации, проведение
международного форума, реформирование предприятия – это экономические
проекты, характеризующиеся следующим: цели заранее определены, но
результаты проекта определить сложнее, т.к. они связаны с организационным
улучшением системы. Продолжительность проекта задается предварительно,
ресурсы предоставляются по мере возможности.
Социальные проекты. Реформирование системы социального
обеспечения, социальная защита необеспеченных слоев населения, преодоление
последствий природных и социальных потрясений, эти проекты обладают
следующими свойствами. Их цели только намечаются, а потом корректируются
по мере достижения промежуточных результатов, количественная и
качественная оценка затруднена. Сроки и продолжительность проекта зависят
от вероятностных факторов; расходы зависят от бюджетных ассигнований,
ресурсы выделяются по мере возможности. Социальные проекты обладают
наибольшей неопределенностью.
Осуществление проекта происходит в окружении динамической
внутренней и внешней среды, которая оказывает на него определенное
воздействие. Важно учесть все возможное влияние на проект, так как в
определенных условиях каждое из этих воздействий может оказать решающее
воздействие на проект. Так как проект нельзя отделить от этих окружающих
условий и их развития, то необходимо заранее учитывать их влияние и процесс
их изменений.
Рассмотрим факторы окружения проекта на примере проекта развития
продукта для предприятия, производящего некоторый вид продукции. Во время
реализации проекта продолжается нормальный процесс функционирования
предприятия, включающий в себя производство и сбыт продукции, управление
производством. Само предприятие и есть непосредственное окружение проекта,
а окружение предприятия есть дальнее окружение проекта.
Факторы, влияющие на проект (в нашем случае – на предприятие):
руководство предприятия – определяет цель и главные требования к
проекту исходя из мнений экспертов и собственных требований к проекту.
Руководство может настоять на определенной методике выполнения проекта,
12
корректировке цели по ходу выполнения, учитывать мнения специалистов и
отделов, участвующих в проекте;
сфера финансов – определяет бюджетные рамки проекта, учитывая
затраты на выпуск продукции, покрытия расходов на проект, ищет источники
финансирования проекта;
сфера сбыта – предъявляет необходимые требования к проекту,
связанные с последующим сбытом продукта. При этом изучается мнение
покупателей, продукция конкурентов;
сфера изготовления – формирует условия, связанные с рынком средств
производства, предъявляет требования к использованию определенных
технологий и оборудования, условия на нагрузку производственных участков,
учитывает возможности рынка средств производства;
сфера материального обеспечения – изучает рынок сырья и выдвигает
требования к проекту, связанные с возможностью обеспечения сырьем,
оборудованием и материалами по приемлемым ценам;
сфера инфраструктуры – связана с рынком услуг и сервиса, формирует
требования к проекту относительно его обеспечения (например, требования к
телекоммуникациям, информационному и другим видам инженерного
обеспечения, к транспорту, связи, рекламе);
сфера очистки и утилизации отходов – учитывает требования, связанные
с охраной окружающей среды, правильным использованием отходов
производства.
Существуют и другие сферы влияния на проект со стороны различных
отделов предприятия.
Сбор всех требований к проекту: обеспечение информацией о проекте
всех его участников; определение возможности удовлетворения предъявляемых
требований к проекту; сбор информации о требованиях к проекту и ее
обработка; исследование динамики изменений в окружении проекта;
формирование шкалы ценностей требований к проекту – все эти обязанности
входят в сферу деятельности руководства проекта.
Факторы дальнего окружения проекта (окружение предприятия для
нашего примера):
политические факторы: политическая стабильность; торговый баланс со
странами-участниками; участие в военных союзах; поддержка проекта
правительством; уровень преступности;
экономические факторы: структура национального хозяйства; виды
ответственности и имущественные права; налоги и тарифы; состояние
банковской системы; степень свободы предпринимательства и хозяйственной
самостоятельности; источники инвестиций и капитальных вложений; уровень
цен; страховые гарантии; уровень инфляции и стабильность валюты; развитость
рыночной инфраструктуры; состояние рынков: сбыта, инвестиций, средств
производства, сырья, рабочей силы;
общественные факторы: условия и уровень жизни; трудовое
законодательство;
уровень
образования;
свобода
перемещений;
13
здравоохранение и медицина; запрещение забастовок; общественные
организации, пресса и телевидение; отношение местного населения к проекту;
законы и право: права человека; права предпринимательства; права
собственности; законы о предоставлении гарантий и льгот;
наука и техника: уровень развития фундаментальных и прикладных наук;
уровень промышленных и производственных технологий; уровень
информационных технологий и компьютеризации; транспортные системы:
связь, коммуникации; энергетические системы;
природные и экологические факторы: климатические условия:
температура, влажность, осадки, ветры, высота над уровнем моря,
сейсмичность, топография и ландшафт; природные ресурсы; расположение и
связь с транспортными сетями; стандарты по качеству: воздуха, воды, почвы;
санитарные требования к окружающей среде;
факторы инфраструктуры: средства связи, транспорта и коммуникации,
перевозка грузов; информационные системы; энергоснабжение; коммунальные
службы; сырье и услуги; материально-техническое снабжение; сеть сбыта;
промышленная инфраструктура;
культура: уровень грамотности; культурные традиции; религия;
культурные потребности: жизнеобеспечение, работа, отдых, спорт; уровень
требований к качеству результатов и условий труда;
Существенное влияние на проект оказывает внутреннее окружение
проекта. Для предприятия можно привести как пример следующие факторы:
команда проекта – является его исполнительным органом, от которого в
большой степени зависит его успех;
стиль руководства проектом – определяет психологический климат в
команде проекта, что влияет на работоспособность и творческую активность;
специфическая организация проекта – определяет взаимоотношения
между участниками проекта, распределение обязанностей и прав, ответственности
за исполнение проекта. Все это влияет на успех реализации проекта;
участники проекта – предъявляют свои требования к проекту в
зависимости от их заинтересованности в нем, от целей, которые они хотят
посредством его добиться; оказывают влияние на проект пропорционально
степени их вовлечения и заинтересованности в нем;
экономические условия проекта – это его бюджет, смета, налоги, тарифы,
риск, страхование, льготы и другие экономические факторы, которые
действуют внутри проекта и определяют его основные стоимостные
характеристики;
методы и средства коммуникации – от них зависит оперативность
обмена информацией между участниками проекта, а также ее достоверность.
Успех проекта во многом зависит от этого фактора;
социальные условия проекта – характеризуются: уровнем заработной
платы
участников,
обеспечением
стандартных
условий
жизни,
предоставляемыми коммунальными услугами и социальными условиями,
условиями труда и техники безопасности.
14
Следует перечислить и прочие факторы:
 экологическое воздействие результатов проекта на окружающую
среду;
 уровень компьютеризации и информатизации проекта;
 организация, система документации проекта;
 технические условия: принятые условия технологии проекта,
оборудование.
Связи проекта с окружением весьма широки, их степень влияния на
проект зависит от самого проекта. Чтобы определить их, можно обратиться к
оценкам экспертов.
Состав участников проекта зависит от самого проекта (от его типа,
сложности, масштаба). От этих же условий зависят роли участников в проекте,
их функции и ответственность. В ходе выполнения проекта состав участников
может меняться, но функции по реализации проекта остаются постоянными.
Можно перечислить следующих участников проекта.
Инициатору принадлежит главная идея проекта, предложения по его
осуществлению.
Заказчик – главная сторона, именно он заинтересован в осуществлении
проекта и достижении его результатов. Он определяет основные требования к
проекту и его масштабы. Заказчик обеспечивает финансирование проекта (как
за счет собственных средств, так и за счет привлечения инвестиций), заключает
контракты с исполнителями проекта, несет ответственность за проект перед
законом, управляет процессом реализации проекта.
Инвесторы – стороны, вкладывающие в проект инвестиции, их цель –
максимизация прибыли от инвестиций за счет реализации проекта.
Инвесторами могут быть банки, инвестиционные фонды. Инвесторы являются
полноправными участниками проекта и владельцами всего имущества, которое
приобретается за счет инвестиций, пока им не будут выплачены все средства по
контракту с заказчиком.
Руководитель проекта – юридическое лицо, имеющее полномочия по
руководству проектом: организации всех работ, планированию, контролю
работы других участников проекта. Состав функций руководителя
определяется контрактом с заказчиком.
Команда
проекта
–
специфическая
структура,
управляемая
руководителем проекта и создаваемая на период осуществления проекта.
Состав и функции команды проекта зависит от масштабов, сложности и других
характеристик проекта.
Контрактор – участник проекта, вступающий в отношения с заказчиком,
берущий на себя ответственность за выполнение работ по контракту на
выполнение проекта. Цель контрактора – получение максимальной прибыли. В
его функции входит заключение контракта с заказчиком или инвестором,
обеспечение координации работ, принятие и оплата работ исполнителей.
15
Проектировщик – юридическое лицо, выполняющее для проекта
проектно-изыскательные работы по контракту. Вступает в договорные
отношения с контрактором или с заказчиком.
Генеральный подрядчик – юридическое лицо, чье предложение принято
заказчиком. Несет ответственность за выполнение работ в соответствии с
контрактом.
Поставщики осуществляют разные виды поставок на контрактной
основе.
Лицензоры – организации, выдающие лицензии на право владения чемлибо или выполнение определенных работ.
Органы власти – сторона, удовлетворяющая свои интересы за счет
налогов от участников проекта, выдвигающая требования (экологические,
социальные, государственные), связанные с реализацией проекта.
Производитель конечной продукции проекта – осуществляет
эксплуатацию основных фондов и производит конечную продукцию. Главная
цель – получение прибыли от продажи готовой продукции потребителям.
Принимает участие во всех фазах проекта, взаимодействует с основными
участниками проекта.
Потребители конечной продукции – юридические и физические лица,
являющиеся покупателями и пользователями конечной продукции,
определяющие требования к производимой продукции и оказываемым услугам,
формирующие спрос на них. За счет потребителей возмещаются затраты на
проект и формируется прибыль всех участников проекта.
Другие участники проекта. На осуществление проекта оказывают
влияние и другие стороны, которые тоже могут быть отнесены к участникам
проекта: конкуренты основных участников проекта; население и общественные
группы, чьи интересы затрагивает осуществление проекта; спонсоры проекта;
различные организации, вовлеченные в осуществление проекта.
Для определения полного состава участников проекта, построения его
функциональной и организационной структур для каждого проекта на стадии
разработки проекта необходимо определить:
1. Предметную область – цели, задачи, работы и основные
результаты, масштабы, сложность, допустимые сроки;
2. Отношения собственности, вовлеченной в процесс реализации
проекта;
3. Основные идеи реализации проекта;
4. Основные участники проекта;
5. Каковы мотивации участников проекта.
Ответы на эти вопросы позволяют выявить участников проекта, их цели,
мотивации, что позволяет принять обоснованные решения по реализации
проекта.
Одним из основных понятий, связанных с проектом, является понятие
цели и задач проекта. Цель – это желаемый результат деятельности,
достигнутый в пределах некоторого интервала времени. Задача – желаемый
16
результат деятельности, достижимый за заданный интервал времени и
характеризующийся набором количественных данных или параметров этого
результата. Цель становится задачей, если указан срок ее достижения и заданы
количественные характеристики желаемого результата. Для каждого проекта
может быть поставлено множество целей, отражающих структуру самого
проекта и его участников. Для того чтобы определить степень достижения этих
целей, необходимо выбрать соответствующие критерии. На основе этих
критериев можно оценить альтернативные решения по достижению целей
проекта. Цели должны находиться в области допустимых решений проекта.
Для выявления и осознания целей, состава и содержания проекта,
организации планирования и контроля процессов осуществления проектов
необходимо определить и построить структуру проекта, которая представляет
собой стройную иерархическую декомпозицию проекта на составные части,
необходимые и достаточные для планирования и контроля осуществления
проекта для различных его участков.
Любой проект проходит через определенные фазы в своем развитии.
Стадии жизненного цикла проекта могут различаться в зависимости от сферы
деятельности и принятой системы организации работ. Однако у каждого
проекта можно выделить начальную стадию, стадию реализации проекта и
стадию завершения работ по проекту. Это может показаться очевидным, но
понятие жизненного цикла проекта является одним из важнейших в
управлении, поскольку именно текущая стадия определяет задачи и виды
деятельности по управлению, используемые методики и инструментальные
средства.
Руководители проектов разбивают цикл жизни проекта на этапы
различными способами. Например, в проектах по разработке программного
обеспечения часто выделяются такие этапы, как осознание потребности в
информационной системе, формулирование требований, проектирование
системы, кодирование, тестирование, эксплуатационная поддержка. Однако
наиболее традиционным является разбиение проекта на четыре фазы:
концепция, разработка, реализация и завершение.
Начальная фаза проекта (разработка концепции) подразумевает
функцию выбора проекта. Проекты инициируются в силу возникновения
потребностей, которые нужно удовлетворить. Однако, в условиях дефицита
ресурсов невозможно удовлетворить все потребности без исключения.
Приходится делать выбор. Одни проекты выбираются, другие отвергаются.
Решения принимаются исходя из наличия ресурсов, и в первую очередь
финансовых возможностей, сравнительной важности удовлетворения одних
потребностей и игнорирования других, сравнительной эффективности
проектов.
Решения по отбору проектов к реализации тем важнее, чем масштабнее
предполагается проект, поскольку крупные проекты определяют направление
деятельности на будущее (иногда на годы) и связывают имеющиеся
финансовые и трудовые ресурсы.
17
Для сравнительного анализа проектов на данном этапе применяются
методы проектного анализа, включающие в себя финансовый, экономический,
коммерческий, организационный, экологический, анализ рисков и другие виды
анализа проекта.
Фаза разработки проекта в том или ином виде производится в течение
всего срока реализации проекта. В самом начале жизненного цикла проекта
обычно разрабатывается неофициальный предварительный план – грубое
представление о том, что потребуется выполнить в случае реализации проекта.
Решение о выборе проекта в значительной степени основывается на оценках
предварительного плана.
Формальное и детальное планирование проекта начинается после
принятия решения о его реализации. Определяются ключевые точки (вехи)
проекта, формулируются задачи (работы) и их взаимная зависимость. Именно
на этом этапе используются системы для управления проектами,
предоставляющие руководителю проекта набор средств для разработки
формального плана: средства построения иерархической структуры работ,
сетевые графики.
Как правило, план проекта не остается неизменным и по мере
осуществления проекта подвергается постоянной корректировке с учетом
текущей ситуации.
Фаза реализации проекта. После утверждения формального плана
появляется задача по его реализации. По мере осуществления проекта
руководители обязаны постоянно контролировать ход работ. Контроль
заключается в сборе фактических данных о ходе работ и сравнении их с
плановыми. В управлении проектами всегда случаются отклонения между
плановыми и фактическими показателями. Поэтому задачей команды проекта
является анализ возможного влияния отклонений в выполненных объемах
работ на ход реализации проекта в целом и в выработке соответствующих
управленческих решений. Например, если отставание от графика выходит за
приемлемый уровень отклонения, может быть принято решение об ускорении
выполнения определенных критических задач за счет выделения на них
большего объема ресурсов.
Фаза завершения проекта. Проект заканчивается, когда достигнуты
поставленные перед ним цели. Иногда окончание проекта бывает внезапным и
преждевременным, как в тех случаях, когда принимается решение прекратить
проект до его завершения по графику. Как бы то ни было, но когда проект
заканчивается, необходимо выполнить ряд мероприятий, завершающих проект.
Конкретный характер этих обязанностей зависит от характера самого
проекта. Если в проекте использовалось оборудование, надо произвести его
инвентаризацию и, возможно, передать его для нового применения.
В случае подрядных проектов надо определить, удовлетворяют ли
результаты условиям подряда или контракта. Может быть, необходимо
составить окончательные отчеты, а промежуточные отчеты по проекту
организовать в виде архива.
18
1.2.
Понятие управления проектом
История управления проектами насчитывает пять тысяч лет. Результаты
одних проектов можно видеть до сих пор (египетские пирамиды и
ирригационные каналы, Великая китайская стена), а о других можно узнать из
истории (военные походы Чингисхана и Александра Македонского, морские
экспедиции Колумба и Магеллана). Сегодня существуют серьезные научные
работы, посвященные методам управления проектами, которые применяли
древние египтяне при строительстве пирамид и викинги, когда проводили
военные операции.
В основе методов управления проектами лежат методики сетевого
планирования, разработанные в конце 50-х годов в США. В 1956 г. М. Уолкер
из фирмы «Дюпон», исследуя возможности более эффективного использования
принадлежащей фирме вычислительной машины Univac, объединил свои
усилия с Д. Келли из группы планирования капитального строительства фирмы
«Ремингтон Рэнд». Они попытались использовать ЭВМ для составления
планов-графиков крупных комплексов работ по модернизации заводов фирмы
«Дюпон». В результате был создан рациональный и простой метод описания
проекта с использованием ЭВМ. Первоначально он был назван методом
Уолкера-Келли, а позже получил название Метода Критического Пути – МКП
(или СРМ – Critical Path Method).
Параллельно и независимо в военно-морских силах США был создан
метод анализа и оценки программ PERT (Program Evaluation and Review
Technique). Данный метод был разработан корпорацией «Локхид» и
консалтинговой фирмой «Буз, Аллен энд Гамильтон» для реализации проекта
разработки ракетной системы «Поларис», объединяющего около 3800 основных
подрядчиков и состоящего из 60 тыс. операций.
Использование метода PERT позволило руководству программы точно
знать, что требуется делать в каждый момент времени и кто именно должен это
делать, а также вероятность своевременного завершения отдельных операций.
Руководство программой оказалось настолько успешным, что проект удалось
завершить на два года раньше запланированного срока. Благодаря такому
успешному началу данный метод управления вскоре стал использоваться для
планирования проектов во всех вооруженных силах США. Методика отлично
себя зарекомендовала при координации работ, выполняемых различными
подрядчиками в рамках крупных проектов по разработке новых видов
вооружения.
Крупные промышленные корпорации начали применение подобной
методики управления практически одновременно с военными для разработки
новых видов продукции и модернизации производства. Широкое применение
методика планирования работ на основе проекта получила в строительстве.
Например, для управления проектом сооружения гидроэлектростанции на реке
Черчилль в Ньюфаундленде (полуостров Лабрадор). Стоимость проекта
составила 950 млн долларов. Гидроэлектростанция строилась с 1967 по 1976 г.
Этот проект включал более 100 строительных контрактов, причем стоимость
19
некоторых из них достигала 76 млн долларов. В 1974 году ход работ по проекту
опережал расписание на 18 месяцев и укладывался в плановую оценку затрат.
Заказчиком проекта была корпорация Churchill Falls Labrador Corp., которая для
разработки проекта и управления строительством наняла фирму Acress
Canadian Betchel. Значительный выигрыш по времени образовался от
применения точных математических методов в управлении сложными
комплексами работ, что стало возможным благодаря развитию вычислительной
техники. Однако первые ЭВМ были дороги и доступны только крупным
организациям. Таким образом, исторически первые проекты представляли
собой грандиозные по масштабам работ, количеству исполнителей и
капиталовложениям государственные программы.
Введем определение управления проектом.
1. Управление проектом – это планирование, координация и контроль
работ по проекту для достижения его целей в рамках заданного бюджета
и сроков, с надлежащим качеством («Консалтинг ПРИМ»);
2. В своде знаний по управлению проектами PMI записано: «Управление
проектом (УП) или Project Management (PM) – это искусство руководства
и координации людских и материальных ресурсов на протяжении
жизненного цикла проекта путем применения современных методов и
техники управления для достижения определенных в проекте результатов
по составу и объему работ, стоимости, времени, качеству и
удовлетворению участников проекта»;
3. Управление проектами – это приложение знаний, опыта, методов и
средств к работам проекта для удовлетворения требований,
предъявляемых к проекту, и ожиданий участников проекта. Чтобы
удовлетворить эти требования и ожидания необходимо найти
оптимальное сочетание между целями, сроками, затратами, качеством и
другими характеристиками проекта. УП подчиняется четкой логике,
которая связывает между собой различные области знаний и процессы
управления проектами (Московское отделение PMI).
Все перечисленные признаки управления имеют силу для всех видов
проектов. Таким образом, управление проектами, по определению профессора
Решке, – «прямая, межпрофессиональная корпорация процессов планирования,
управления и принятия решений при межпрофессиональной постановке задач».
Проекты, как правило, тогда считаются успешными, когда удается
достигнуть поставленных целей проектов при соблюдении установленных
сроков и бюджета. Наиболее часто называемые причины неудач реализации
проектов:
 недостаток ресурсов;
 нереальные сроки;
 ошибки формулирования целей;
 несплоченность команды проекта;
 недостаточно детальное планирование;
 неэффективное взаимодействие внутри проекта;
20
 изменение целей в ходе проекта;
 конфликты
между
целями
проекта
и
интересами
подразделений организации.
Проект состоит из процессов. Процесс – это совокупность действий,
приносящая результат. Процессы проекта обычно выполняются людьми и
распадаются на две основные группы: процессы управления проектами
(касающиеся организации и описания работ проекта), и процессы,
ориентированные на продукт (касающиеся спецификации производства
продукта). Эти процессы определяются жизненным циклом проекта и зависят
от области приложения.
В проектах процессы управления проектами и процессы,
ориентированные на продукт, накладываются и взаимодействуют. Например,
цели проекта не могут быть определены при отсутствии информации о том, как
создать продукт.
Процессы управления проектами могут быть разбиты на шесть
основных групп, реализующих различные функции управления:
 инициации – принятие решения о начале выполнения проекта;
 планирования – определение целей проекта и разработка схем
их достижения;
 исполнения – координация людей и ресурсов для выполнения
плана;
 анализа – определение соответствия плана и исполнения
проекта поставленным целям и принятие решений о
необходимости применения корректирующих воздействий;
 управления – определение необходимых корректирующих
воздействий, их согласование, утверждение и применение;
 завершения – проверка выполнения проекта и подведение его к
упорядоченному финалу.
Процессы управления проектами накладываются друг на друга и
происходят с разными интенсивностями на всех стадиях проекта.
Процессы управления проектами связаны своими результатами –
результат выполнения одного становится исходной информацией для другого.
Также имеются взаимосвязи групп процессов различных фаз проекта.
Например, закрытие одной фазы может являться входом для начала следующей
фазы. В реальном проекте фазы могут не только предшествовать друг другу, но
и накладываться.
Основные функции управления, характерные для ключевых фаз
реализации проекта, приведены в табл. 1.2.1.
Внутри каждой группы процессы управления проектами связаны друг с
другом через свои входы и выходы.
21
Таблица 1.2.1
Процессы планирования
Планирование целей
Декомпозиция целей
Определение состава операций (работ)
проекта
Определение взаимосвязей операций
Оценка длительностей или объемов
работ
Определение
ресурсов
(людей,
оборудования, материалов) проекта
Назначение ресурсов
Оценка стоимостей
Составление расписания выполнения
работ
Оценка бюджета
Разработка плана исполнения проекта
Определение критериев успеха
Процессы исполнения,
контроля и анализа
Учет
Подтверждение качества
Подготовка
предложений
Выбор поставщиков
Контроль контрактов
Развитие
команды
проекта
Анализ сроков;
Анализ стоимости
Анализ качества
Подтверждение целей
Процессы
управления
Общее
управление
изменениями
Управление
ресурсами
Управление
целями
Управление
качеством
Управление
рисками
Управление
контрактами
Входы – документы или документированные показатели, согласно
которым процесс исполняется.
Выходы – документы или документированные показатели, являющиеся
результатом процесса.
Методы и средства – механизмы, по которым вход преобразуется в
выход. Для большинства проектов характерны описываемые ниже процессы.
Процессы инициации. Инициация включает единственный подпроцесс –
авторизацию, т.е. решение начать следующую фазу проекта.
Процессы планирования. Планирование имеет большое значение для
проекта, поскольку проект содержит то, что ранее не выполнялось.
Планирование включает много процессов. Напомним, что следует различать
цели проекта и цели продукта проекта, под которым понимается продукция
(или услуги), созданная или произведенная в результате исполнения проекта.
В ходе исполнения проекта эти процессы многократно повторяются.
Изменениям могут подвергнуться цели проекта, его бюджет, ресурсы и т.д.
Различные команды проекта могут разработать различные планы для одного и
того же проекта. А пакеты управления проектами могут составить различные
расписания выполнения работ при одних и тех же исходных данных.
Основные процессы планирования. Некоторые из процессов
планирования имеют четкие логические и информационные взаимосвязи и
выполняются в одном порядке практически во всех проектах. Так, например,
сначала следует определить, из каких работ состоит проект, а уж затем
рассчитать сроки выполнения и стоимость проекта. Эти основные процессы
выполняются по несколько раз на протяжении каждой фазы проекта. К
основным процессам планирования относятся:
22
 Планирование целей – разработка постановки задачи (проектное
обоснование, основные этапы и цели проекта).
 Декомпозиция целей – декомпозиция этапов проекта на более
мелкие и более управляемые компоненты для обеспечения более
действенного контроля.
 Определение состава операций (работ) проекта – составление
перечня операций, из которых состоит выполнение различных этапов
проекта.
 Определение взаимосвязей операций – составление и
документирование технологических взаимосвязей между операциями.
 Оценка длительностей или объемов работ – оценка количества
рабочих временных интервалов либо объемов работ, необходимых для
завершения отдельных операций.
 Определение ресурсов (людей, оборудования, материалов)
проекта – определение общего количества ресурсов всех видов, которые
могут быть использованы на работах проекта (ресурсов организации) и их
характеристик.
 Назначение ресурсов – определение ресурсов, необходимых для
выполнения отдельных операций проекта.
 Оценка стоимостей – определение составляющих стоимостей
операций проекта и оценка этих составляющих для каждой операции,
ресурса и назначения.
 Составление расписания выполнения работ – определение
последовательности выполнения работ проекта, длительностей операций и
распределения во времени потребностей в ресурсах и затрат, исходя и с
учетом наложенных ограничений и взаимосвязей.
 Оценка бюджета – приложение оценок стоимости к отдельным
компонентам проекта (этапам, фазам, срокам).
 Разработка плана исполнения проекта – интеграция результатов
остальных подпроцессов для составления полного документа.
 Определение критериев успеха – разработка критериев оценки
исполнения проекта.
Вспомогательные процессы планирования. Кроме перечисленных
основных процессов планирования имеется ряд вспомогательных процессов,
необходимость в использовании которых сильно зависит от конкретного
проекта. Такие процессы включают в себя:
планирование качества – определение того, какие стандарты качества
использовать в проекте, и того, как эти стандарты достичь;
планирование организации – определение, документирование и
назначение ролей, ответственности и взаимоотношений отчетности в
организации;
назначение персонала – назначение человеческих ресурсов на
выполнение работ проекта;
23
планирование взаимодействия – определение потоков информации и
способов взаимодействия, необходимых для участников проекта;
идентификация риска – определение и документирование событий риска,
которые могут повлиять на проект;
оценка риска – оценка вероятностей наступления событий риска, их
характеристик и влияния на проект;
разработка реагирования – определение необходимых действий для
предупреждения рисков и реакции на угрожающие события;
планирование поставок – определение того, что, как и когда должно быть
поставлено;
подготовка условий – выработка требований к поставкам и определение
потенциальных поставщиков.
Взаимосвязи между вспомогательными подпроцессами зависят от
проекта.
Процессы исполнения и контроля. Под исполнением подразумеваются
процессы реализации составленного плана. Исполнение проекта должно
регулярно измеряться и анализироваться для того, чтобы выявить отклонения
от намеченного плана и оценить их влияние на проект. Регулярное измерение
параметров проекта и идентификация возникающих отклонений далее также
относится к процессам исполнения и именуется контролем исполнения.
Контроль исполнения следует проводить по всем параметрам, входящим в план
проекта.
Как и в планировании, процессы исполнения можно подразделить на
основные и вспомогательные.
К основным можно отнести сам процесс исполнения плана проекта.
Среди вспомогательных процессов можно перечислить:
 учет исполнения – подготовка и распределение необходимой для
участников проекта информации с требуемой периодичностью;
 подтверждение качества – регулярная оценка исполнения
проекта с целью подтверждения соответствия принятым стандартам
качества;
 подготовка
предложений–сбор
рекомендаций,
отзывов,
предложений, заявок и т.д.;
 выбор поставщиков – оценка предложений, выбор поставщиков и
подрядчиков и заключение контрактов;
 контроль контрактов – контроль исполнения контрактов
поставщиками и подрядчиками;
 развитие команды проекта – повышение квалификации
участников команды проекта.
Процессы анализа. Процессы анализа включают как анализ плана, так и
анализ исполнения проекта. Анализ плана означает определение того,
удовлетворяет ли составленный план исполнения проекта предъявляемым к
нему требованиям и ожиданиям участников проекта. Он выражается в оценке
показателей плана командой и другими участниками проекта. На стадии
24
планирования результатом анализа плана может быть принятие решения о
необходимости изменения начальных условий и составления новой версии
плана либо принятие разработанной версии в качестве базового плана проекта,
который в дальнейшем служит основой для измерения исполнения. Процессы
анализа исполнения предназначены для оценки состояния и прогноза
успешности исполнения проекта согласно критериям и ограничениям,
определенным на стадии планирования. В силу уникальности проектов эти
критерии не являются универсальными, но для большинства проектов в число
основных ограничений и критериев успеха входят цели, сроки, качество и
стоимость работ проекта. При отрицательном прогнозе принимается решение о
необходимости корректирующих воздействий, выбор которых осуществляется
в процессах управления изменениями.
Процессы анализа также можно подразделить на основные и
вспомогательные.
К основным относятся те процессы анализа, которые непосредственно
связаны с целями проекта и показателями, характеризующими успешность
исполнения проекта:
 анализ сроков – определение соответствия фактических и
прогнозных сроков исполнения операций проекта директивным или
запланированным;
 анализ стоимости – определение соответствия фактической и
прогнозной стоимости операций и фаз проекта директивным или
запланированным;
 анализ качества – мониторинг результатов с целью их проверки
на соответствие принятым стандартам качества и определения путей
устранения причин нежелательных результатов исполнения качества
проекта;
 подтверждение целей процесс формальной приемки результатов
проекта его участниками (инвесторами, потребителями и т. д.).
Вспомогательные процессы анализа связаны с анализом факторов,
влияющих на цели и критерии успеха проекта. Эти процессы включают:
 оценку исполнения – анализ результатов работы и распределение
проектной информации с целью снабжения участников проекта данньми
о том, как используются ресурсы для достижения целей проекта;
 анализ ресурсов – определение соответствия фактической и
прогнозной загрузки и производительности ресурсов запланированным, а
также анализ соответствия фактического расхода материалов плановым
значениям.
В результате анализа либо принимается решение о продолжении
исполнения проекта по намеченному ранее плану, либо определяется
необходимость применения корректирующих воздействий
Процессы управления. Управление исполнением проекта – это
определение и применение необходимых управляющих воздействий с целью
успешной реализации проекта. Если в процессе реализации возникли
25
отклонения, анализ которых показал, что необходимо определение и
применение корректирующих воздействий, то в этом случае требуется найти
оптимальные корректирующие воздействия, скорректировать план оставшихся
работ и согласовать намеченные изменения со всеми участниками проекта. К
основным процессам управления, встречающимся практически в каждом
проекте, относятся:
 общее управление изменениями – определение, согласование,
утверждение и принятие к исполнению корректирующих воздействий и
координация изменений по всему проекту.
 управление ресурсами – внесение изменений в состав и назначения
ресурсов на работы проекта;
 управление целями – корректировка целей проекта по результатам
процессов анализа;
 управление качеством – разработка мероприятий по устранению
причин неудовлетворительного исполнения.
Вспомогательные процессы управления:
 управление рисками – реагирование на события и изменение
рисков в процессе исполнения проекта;
 управление контрактами – координация работы подрядчиков,
корректировка контрактов, разрешение конфликтов.
Процессы
завершения.
Завершение
проекта
сопровождается
следующими процессами:
 закрытие контрактов – завершение и закрытие контрактов,
включая разрешение всех возникших споров.
 административное завершение – подготовка, сбор и
распределение информации, необходимой для формального завершения
проекта.
Особый вид проектов представляют организационные проекты.
Примерами таких проектов являются реформирование предприятий, создание
новой системы управления, новой организации, проведение конференции,
свадьбы и т. д.
1.3.
Задачи ресурсного планирования комплексов работ
Основные понятия и определения
При постановке задач ресурсного планирования предполагается, что
проект описан в виде комплекса работ с определенными зависимостями между
ними. Зависимости между работами отображаются в виде сетевого графика
(сети).
Существуют два способа изображения работ в сетевом графике. В первом
способе работы изображаются в виде вершин сети, а зависимости между
работами – в виде дуг сети. Во втором способе вершины сети соответствуют
событиям сети, то есть моментам завершения одной или нескольких работ, а
дуги – работам сети, при этом, для отображения всех требуемых взаимосвязей
26
иногда приходится вводить дуги специального вида – фиктивные работы
(можно считать, что такие дуги соответствуют работам нулевой
продолжительности, не требующим ресурсов). На рис. 1.3.1,а приведен
комплекс работ в виде «вершина – работа», а на рис. 1.3.1,б этот же комплекс
представлен в виде «вершина – событие» (зависимость, соответствующая
фиктивной работе показана пунктиром). В скобках на рис. 1.3.1,б указаны
номера работ рис. 1.3.1,а, которым соответствуют дуги рис. 1.3.1,б.
1
3
(1)
1
(3)
0
2
3
(2)
4
а)
2
(4)
б)
Рис. 1.3.1
Как правило, будем применять изображение комплекса работ в виде
«вершина – работа».
Для полного описания комплекса работ необходимо задать описание
каждой работы [2].
Важной характеристикой работы является ее объем W. Он определяется
на основе нормативов, экспертных оценок или имеющегося опыта. Объем
может измеряться в единицах трудоемкости, стоимости и т.д.
Следующей характеристикой работы является ее продолжительность
(время выполнения). В простейшем случае работа описывается величиной
продолжительности и количеством требуемых для ее выполнения ресурсов. В
этом случае будем говорить, что работа выполняется с фиксированной
интенсивностью. Тогда объем работы для решения задачи ресурсного
планирования не нужен, он используется при контроле хода реализации
проекта. Если количество ресурсов на работу может принимать различные
значения, то и продолжительность работы тоже может быть разной. При этом,
если количество ресурсов в процессе выполнения работы не меняется, то будем
говорить, что работа выполняется с постоянной интенсивностью. Для описания
работы, выполняемой с постоянной интенсивностью, достаточно задать
продолжительность работы при различных уровнях ресурсов, то есть
зависимость (u), где u – количество ресурсов, выполняющих работу.
Отношение
W
w u  
(1.3.1)
u 
определяет
интенсивность
выполнения
работы
(производительность
участвующих в работе ресурсов), которую мы будем называть скоростью
выполнения работы (или просто – скоростью работы). Из выражения (1.3.1)
видно, что скорость измеряется объемом работ, выполняемым в единицу
27
времени. Без ограничения общности можно принять, что скорость работы
является неубывающей функцией количества ресурсов.
Заметим, что одновременное увеличение (уменьшение) и объема, и
скорости работы в одно и то же число раз не изменяет ее продолжительности.
Следовательно, и величина объема, и его единица измерения могут быть
выбраны произвольно. Как правило, единица измерения объема выбирается из
содержательного смысла.
Наиболее сложным является случай, когда работа может выполняться с
переменной интенсивностью, то есть количество ресурсов на работе может
меняться в процессе ее выполнения. Для описания работы в этом случае
необходимо задать ее объем W и зависимость w = f(u) скорости работы от
количества выполняющих ее ресурсов. Обозначим через u(t) количество
ресурсов на работе в момент времени t, t н – момент начала работы, tк – момент
ее окончания. Имеет место соотношение:
tк
 f ut d  W .
(1.3.2)
tн
Типичный вид зависимости скорости операции от количества ресурсов
приведен на рис. 1.3.2. Сначала с ростом количества ресурсов средняя
производительность растет, а затем она начинает падать.
w
u
Рис. 1.3.2
На практике применяются более простые либо линейные зависимости
вида
0, u  a

f u   a , a  u  b ,
b, b  u


либо степенные вида f(u) = u (как правило,  < 1).
Важной характеристикой работы являются затраты ресурсов:
(1.3.3)
k
S   u d
tн
28
(1.3.4)
(прямые затраты сырья, материалов, трудозатраты, финансовые и т.д.). В ряде
случаев ограничения наложены на затраты ресурсов на работу. Очевидно, что с
ростом затрат продолжительность работ не увеличивается при разумном
использовании ресурсов. Определим зависимость продолжительности работы 
от затрат на ее выполнение при заданной зависимости скорости работы от
количества ресурсов, предполагая, что ресурсы распределяются оптимально.
Примем сначала, что зависимость f(u) является вогнутой дифференцируемой
функцией, то есть для любого 0 <  < 1 и любых u1 и u2
f(u1 + (1-)u2)  f(u1) + (1-)f(u2).
Теорема 1.3.1 [2]. Оптимальному распределению ресурсов соответствует
выполнение работы с постоянной интенсивностью.
Доказательство. Пусть работа выполняется за время  периодов.
Поставим задачу, распределить затраты по периодам так, чтобы объем
выполненной работы был максимальным, то есть

 f u   max
k
k 1
при ограничении

u
k 1
k
 S,
где uk – количество ресурсов в периоде k. Применяя метод множителей
Лагранжа получим необходимое условие оптимальности:
f(uk) = , k = 1T.
Следовательно, uk = u для всех k. Учитывая, что u = S и
f(u) = W,
получаем
S
f    W.

Из этого уравнения определяется зависимость (S) либо S().
Пример 1.3.1
(1.3.5)
Пусть f u   u  ,   1.
1
1
S 
Имеем      W .

Из этого уравнения получаем
W
S   1 .

W2
В случае  = 2 S  
.

Заметим, что в случае линейной зависимости затраты равны объему
работы W. Если величину затрат умножить на стоимость единицы ресурса, то
получим стоимость работы, которая является основой формирования сметы и
бюджета проекта. Если зависимость f(u) имеет произвольный вид (например,
29
задана в конечном числе точек), то строим вогнутую зависимость, максимально
близкую к заданной. Способ построения ясен из рис. 1.3.3.
f(u)
В
С
А
вогнутая
зависимость
u
u1
u*
u2
Рис. 1.3.3
Далее для заданной продолжительности  определяем u* и
соответственно S = u*, принимая полученную вогнутую зависимость за
истинную. Представим точку u* как выпуклую линейную комбинацию
ближайших точек u1 и u2:
u* = u1 + (1-)u2, 0 <  < 1.
Очевидно, что
f(u*) = f(u1) + (1-)f(u2).
(1.3.6)
Разделим интервал времени  на два: 1 =  и 2 = (1-). Примем u = u1 в
интервале 1 и u = u2 в интервале 2. Из условия (1.3.6). Имеем
f(u*) = 1f(u1) + 2f(u2) = W,
u11 + u22 = [u1 + (1-)u2] = u*,
то есть полученное допустимое распределение ресурсов позволяет выполнить
весь объем работ с затратами ресурсов S.
Из полученного результата следует важный вывод: для любых
зависимостей f(u) и затрат S существует оптимальное распределение затрат во
времени с не более чем двумя интервалами постоянства уровней ресурсов.
Типичными зависимостями затрат от времени, применяемыми на практике,
являются кусочно-линейные (рис. 1.3.4) и степенные:
c
S   b 
,   a,   0 .
  a 
S
min
max
Рис. 1.3.4
30

В выполнении работ проекта, как правило, участвуют различные ресурсы.
Можно выделить две взаимосвязанные группы ресурсов. Материальнотехнические ресурсы, т.е. сырье, материалы, конструкции, комплектующие,
энергетические ресурсы, топливо, т.е. ресурсы типа «мощность» или
технологические ресурсы, т.е. машины, механизмы для выполнения работ
проекта, устанавливаемое оборудование и пр. трудовые ресурсы,
осуществляющие непосредственную работу с материально-техническими
ресурсами (например, строители, водители машин, монтажники оборудования и
пр.).
Это многообразие сводится к двум основным типам.
Невоспроизводимые, складируемые, накапливаемые ресурсы в процессе
выполнения работ расходуются полностью, не допуская повторного
использования. Неиспользованные ресурсы в данный отрезок времени могут
использоваться в дальнейшем. Иными словами, такие ресурсы можно
накапливать с последующим расходованием запасов. Поэтому их часто
называют ресурсами типа «энергия». Примерами таких ресурсов являются
топливо, предметы, средства труда однократного применения, а также
финансовые средства.
Воспроизводимые,
нескладируемые,
ненакапливаемые
ресурсы
сохраняют свою натурально-вещественную форму и по мере высвобождения
могут использоваться на других работах. Если эти ресурсы простаивают, то их
неиспользование в данный отрезок времени не компенсируется в будущем, т.е.
они не накапливаются, поэтому ресурсы второго типа называют еще ресурсами
типа «мощности». Примерами ресурсов типа «мощности» являются люди и
средства труда многократного использования (машины, станки, механизмы
и т.д.).
В дальнейшем будем предполагать, что ресурсы участвуют в работе в
определенном соотношении, образуя набор ресурсов. Как правило, один из
видов ресурсов является определяющим (например, на один токарный станок
нужен один токарь, инструменты, детали для обработки и т.д.). Параметры
набора показывают количество ресурса данного вида, требуемого на единицу
определяющего ресурса. Скорость операции задается в этом случае как
функция количества определяющего ресурса.
Ограничения на ресурсы, которые можно использовать на работах проекта,
определяются функцией наличия (доступности) ресурсов. Если N(t) – функция
наличия определяющего ресурса, то ограничения на распределение ресурсов по
работам проекта имеет вид
n
 u t   N t  ,
i 1
i
где ui(t) – количество ресурса на работе i, n – число работ проекта. Довольно
часто работы проекта разбиваются на классы, так что работы одного класса
выполняются ресурсами одного вида. Если обозначить Pj – множество работ,
выполняемых ресурсами j-го вида, Nj(t) – функцию наличия ресурсов j-го вида,
то ограничения на распределение ресурсов записываются следующим образом:
31
 u t   N t ,
i
iP j
j
j  1, m .
Для накапливаемых ресурсов ограничения задаются в интегральном виде:
n
t
  u d  St  .
i 1 0
i
Если ограничены общие затраты S на проект (или ограничена стоимость
проекта), то ограничения на ресурсы определяются следующим неравенством:
n
s
i 1
 S,
i
где si – затраты ресурса на i-й работе (или стоимость i-й работы). Задача
оптимального распределения ресурсов заключается в определении допустимого
по ограничениям распределения ресурсов, минимизирующего заданный
критерий оптимальности. Если ограничены ресурсы, то, как правило, ставится
задача минимизации продолжительности T проекта, либо задача минимизации
упущенной выгоды:
n
Ф   ci t i ,
i 1
где ti – момент окончания i-й работы, ci – коэффициент упущенной выгоды.
Если задан срок завершения проекта либо допустимая величина упущенной
выгоды, то решается в определенном смысле обратная задача – минимизации
ресурсов либо затрат.
Поставленные задачи достаточно сложны и, как правило, не имеют
эффективных методов решения. В общем случае для их решения применяются
приближенные и эвристические алгоритмы. Точные методы получены для ряда
частных случаев, которые рассматриваются ниже. В первую очередь
выделяются различные виды сетевых графиков.
Будем рассматривать два частных вида сетевых графиков: независимые
операции и сети с упорядоченными событиями. Случай независимых операций
соответствует ситуации, когда все работы могут выполняться одновременно, то
есть отсутствуют логические (технологические) зависимости между работами.
Случай сети с упорядоченными событиями соответствует ситуации, когда
задана некоторая очередность свершения событий сети. В сетях с
упорядоченными событиями естественно использовать представление сети в
виде «вершина – событие», рис. 1.3.5.
(2)
0
(1)
(4)
1
2
3
(3)
Рис. 1.3.5
Однако можно определить аналог таких сетей и в представлении
«вершина – работа», рис. 1.3.6.
32
Для этого определим понятие «фронта работ» как максимального
множества независимых работ, то есть таких, которые могут выполняться
одновременно.
В сети рис. 1.3.6 можно выделить три различных фронта работ: (1; 2), (3;2),
(3;4). Заметим, что эти фронты в определенном смысле упорядочены, а именно
фронт (1;2) расположен «левее» фронта (3;2), а последний – «левее» фронта
(3;4). Другими словами, для любых двух фронтов работы одного из них либо
совпадают, либо предшествуют работам другого. Таким образом, сетям с
упорядоченными событиями соответствуют сети с упорядоченными фронтами.
1
3
2
4
Рис. 1.3.6
Оптимизация по стоимости
Задачи оптимизации комплексов работ по стоимости относятся к классу
задач, для которых существуют достаточно эффективные алгоритмы. Сначала
рассмотрим простой случай, когда сетевой график представляет собой
последовательную цепочку работ. Примем, что зависимость стоимости от
продолжительности является линейной для каждой работы:
Si(i) = ai – kii, di  i  Di, i  1, n ,
где di – минимально возможная продолжительность работы, Di – максимальная.
Примем продолжительности всех работ равными максимальным i = Di. При
этом продолжительность проекта
n
T   Di .
i 1
Если мы хотим сократить продолжительность проекта с минимальным
увеличением стоимости, то очевидно, что в первую очередь необходимо
сокращать продолжительность работы, имеющей минимальную величину
коэффициента ki. Действительно, величина ki определяет увеличение стоимости
проекта при уменьшении продолжительности i-й работы на единицу.
Продолжая таким образом, получим зависимость стоимости проекта от его
продолжительности. Рассмотрим на примере обобщение этого алгоритма на
случай произвольного сетевого графика [2].
Пример 1.3.2. Пусть сетевой график («вершина – событие») имеет вид
рис. 1.3.7.
33
1
(5; 4)
(6; 3)
(4; 1)
0
3
(8; 5)
(3; 6)
2
Рис. 1.3.7
Величины ai, ki, di и Di для всех работ приведены в табл. 1.3.1.
Таблица 1.3.1
(0, 1)
(0, 2)
(1, 2)
(1, 3)
(2, 3)
ai
20
45
7
23
20
ki
3
5
1
4
6
di
2
5
1
1
1
Di
6
8
4
5
3
1 шаг. Полагаем i = Di для всех работ и определяем критический путь в
сети. На рис. 1.3.7 в скобках у дуг указаны значения Di (первые числа) и ki
(вторые числа) соответствующих работ. Критический путь выделен толстыми
дугами. Для критического пути T0 = 13, стоимость проекта S0 = 15. Очевидно,
что сокращать следует работу (1, 2). При сокращении работы (1, 2) на две
единицы, критическими становятся работы (0, 2) и (1, 3) на рис. 1.3.8, длина
критического пути T1 = 11, стоимость проекта S1 = 17.
2 шаг. Чтобы сократить продолжительность проекта теперь следует
сократить продолжительность всех критических путей. Для этого необходимо
определить множество работ, таких что каждый критический путь содержит
хотя бы одну работу из этого множества и сумма коэффициентов ki является
минимальной. Это задача эквивалентна задаче определения разреза в сети,
имеющего минимальную пропускную способность, которая является
двойственной к задаче о потоке максимальной величины (коэффициенты k i
определяют
пропускные
способности
дуг).
В
нашем
примере
непосредственным
перебором
можно
убедиться,
что
уменьшение
продолжительностей работ (0, 1) и (0, 2) дает минимальное увеличение
стоимости проекта (8 единиц на каждую единицу уменьшения
продолжительности. Уменьшаем продолжительности работ (0, 1) и (0, 2) на 3
единицы. Больше нельзя, т.к. минимальная продолжительность работы (0, 2)
равна 5. Длина критического пути становится равной T2 = 8, стоимость проекта
S2 = 41.
34
1
(5; 4)
(6; 3)
(2; 1)
0
3
(8; 5)
(3; 6)
2
Рис. 1.3.8
3 шаг. Теперь минимальное увеличение стоимости обеспечивается при
уменьшении продолжительностей работ (0, 1) и (2, 3). Уменьшаем
продолжительности работ (0, 1) и (2, 3) на единицу (при этом
продолжительность работы (0, 1) становится минимальной). Длина
критического пути T3 = 7, стоимость проекта S3 = 50.
4 шаг. Заметим, что в сети имеются всего 2 критических пути (рис. 1.3.9).
Сокращаем продолжительности работ (1, 3) и (2, 3) на 1. Продолжительность
проекта становится равной T4 = 6, стоимость проекта S4 = 60.
1
(2; )
0
(5; 4)
(2; 1)
3
(5; )
(2; 6)
2
Рис. 1.3.9
1.4 . Задачи календарного планирования
Рассмотрим существующие формы представления расписаний работ.
Как известно, существуют три формы представления календарных
графиков:
 линейная;
 циклограммная;
 сетевые графики.
Линейные модели представляют собой простейшее графическое
изображение процесса реализации проекта. Такое представление однозначно
определяет номенклатуру и последовательность выполнения работ, сроки
начала и завершения каждой работы и всего проекта в целом, объемы работ,
подлежащих выполнению, состав исполнителей.
35
Такая модель имеет простое математическое описание: определить
множество фиксированных значений сроков начала и окончания работ, то есть [58]
n
P  Tiн ; Tiо i 1 ,
где Р – множество, определяющее расписание работ;
Tiн - срок начала i-й работы;
Tiо - срок окончания i -й работы;
i=1,2,…,n – нумерация работ, n – число работ, подлежащих выполнению.
При этом на сроки выполнения работ могут быть наложены ограничения
вида:
Tiн  u i , Tiо  Ui i=1,2,…,n,
это означает, что i-я работа должна быть начата не ранее момента времени u i и
завершена не позднее U i .
Линейные модели представления календарного графика характеризуются
простотой, наглядностью и доступностью, что объясняет их широкое
распространение для описания последовательности выполняемых работ по
проекту. Вместе с тем для этих моделей наряду с достоинствами имеют место и
существенные недостатки:
 линейное представление процесса реализации проекта характеризует
только один из возможных вариантов его выполнения; если в процессе работы
возникает необходимость внесения изменений, то это, как правило, ведет к
полной переработке модели, то есть такие модели неустойчивы к внешним
возмущениям;
 данная модель не представляет возможным выделение процессов,
оказывающих ключевое влияние на продолжительность выполнения всего
проекта, не дает ответа на вопросы оперативного управления процессом
реализации проекта, то есть как изменится общий срок строительства, если
увеличилась продолжительность выполнения некоторой работы;
 ограниченность математического представления не позволяет
использовать вычислительную технику.
Другой формой представления календарных планов являются
циклограммные модели. Эти модели являются обобщением линейных моделей
с изображением перемещения исполнителей от одной работы к другой при
условии непрерывности их деятельности и соблюдения принятых ограничений.
При этом формализованное описание циклограммных моделей может
быть представлено в следующем виде [58]:
Trsн  Trо1,s , Trsн  Trо,s1 ,
при этом должно выполняться условие непрерывности деятельности
исполнителей
n
Trnо  Trн1   t rs ,
s 1
где r – номер исполнителя; s – номер работы (s=1,2,…,n).
36
Основная проблема заключается в увязке работы исполнителей, причем
так, чтобы достигалось максимально возможное сближение исполнителей,
выполняющих смежные работы. Этим достигается сокращение сроков
выполнения проекта.
Относительно просто такая задача решается для частных случаев
соотношения производительностей работы различных исполнителей, например,
когда объемы работ и состав исполнителей подобран таким образом, что
продолжительность выполнения каждой работы будет одинакова, но уже для
более общих случаев, когда продолжительности хотя бы нескольких работ
будут различны, задача увязки становится гораздо сложнее. Рассмотрим этот
алгоритм на простейшем примере [58].
Пусть L – объем работы, подлежащий выполнению, тогда длительность
работы смежных исполнителей p и r определяется по следующей формуле:
L
L
Tp 
, Tr 
,
k pIp
k rIr
y p , y r - производительность исполнителей; k p , k r - сменность выполнения работ
исполнителями p и r соответственно.
Необходимо
определить
минимально
возможную
величину
организационного перерыва между исполнителями p и r  r при условии, что
между работами, выполняемыми этими исполнителями, должен выдерживаться
минимальный организационный перерыв t crp .
За время, равное  r , исполнитель p выполнит объем работ, равный  r k p I p ,
в то время как объем выполненных работ исполнителем r будет равен 0. За
произвольный промежуток времени t объемы работ соответственно будут
равны:  r k p I p  t  k p I p и t  k r I r . Тогда фронт работ для рассматриваемого
потока будет определяться выражением
(1.4.1)
Fr   r k p I p  t  k p I p  t  k r I r .
Причем необходимо соблюдение следующего неравенства:
(1.4.2)
Fr  t crp max k p I p ; k r I r ,
обеспечивающего выполнение условия, что между последовательно
работающими исполнителями будет выдерживаться организационный перерыв
не менее чем t crp .
При этом возможны два случая:
 темп работы рассматриваемого исполнителя ниже темпа работы
предыдущего исполнителя, то есть k p I p  k r I r ;
 темп рассматриваемого исполнителя выше темпа предыдущего
исполнителя ( k p I p  k r I r ).
Рассматривая первый случай, запишем соотношение (1.4.2) с учетом
(1.4.1) в следующем виде:
37
 kI 
 r  t crp  t  1  r r  .
(1.4.3)
 k pIp 
Так как рассматривается первый случай, то это означает, что выражение в
квадратных скобках будет всегда положительным, поэтому величина  r должна
равняться минимально возможному организационному перерыву, то есть
(1.4.4)
 r  t crp .
Рассматривая второй случай, приходим к неравенству следующего вида:
 kI 
t crpk r I r
r 
 t  1  r r  .
(1.4.5)
k pIp
k
I
p p 

В данном случае выражение в скобках будет всегда отрицательным,
поэтому неравенство (1.4.5) будет выполняться при t  Tp   r . После
преобразований получаем
 r  t crp  Tr  Tp .
Для случая синхронизированной работы исполнителей получаем  r  t crp .
Таким образом, увязка работы исполнителей при построении
циклограммных моделей представляет собой достаточно сложную задачу. Но
вместе с тем для данных моделей характерны и все недостатки, присущие
линейным моделям.
Большими возможностями в области оперативного управления
производства по сравнению с линейными и циклограммными моделями,
обладают сетевые модели. Эти модели хорошо передают последовательность
выполнения работ, позволяют определить набор работ, в наибольшей степени
влияющих на общую продолжительность строительства, и сделать выводы о
возможном изменении сроков строительства в случае изменения сроков
выполнения отдельной работы.
Математическое описание модели представляет собой набор
неравенств вида
Tiо  Tiн  t i , Tjн  Tjо  0 ,
где t i - продолжительность i-й работы; i, j – номера зависимых работ,
i, j= 1,2,…,n.
В сетевых моделях учет директивных сроков строительства
осуществляется путем задания ограничений в форме неравенств
T1н  u1 , Tnо  U n .
Следует отметить, что традиционные сетевые модели имеют ряд
существенных недостатков, связанных со сложностью представления
совмещения выполняемых работ, с гибкой взаимоувязкой отдельных
исполнителей. Данные модели не позволяют описать совмещение работ,
которое на практике имеет место. Для моделирования совмещения работ
приходится разбивать объем выполняемых работ на некоторое число
фиксированных частей, после чего возможно построение сетевой модели. В том
38
случае если число частей в силу каких-то причин изменилось, то приходится
строить модель заново, так как при этом меняется вся топология сети и весь
расчет необходимо осуществлять заново. Таким образом, при построении
сетевой модели приходится заранее задаваться числом частей, на которые
разбивается работа, то есть необходимо заранее определить степень
совмещения выполняемых работ. Но, как известно из практики, степень
совмещения работ является величиной нечеткой, то есть значение, которое
может изменяться в некоторых пределах, а, как уже было сказано, всякое такое
изменение в конечном итоге приводит к необходимости повторного построения
модели. В целях устранения этих недостатков традиционные сетевые графики
получили дальнейшее развитие в обобщенных сетевых моделях (ОСМ) [99].
Обобщенные сетевые модели представляют собой попытку объединения
достоинств линейных моделей при моделировании совмещения работ и
достоинств традиционных сетевых моделей в части оперативного управления
процессом реализации проекта.
Для процедуры формализованного описания совмещения работ
используют метод, который оперирует коэффициентами совмещения работ [9].
Известны два вида коэффициентов совмещения:
 коэффициент совмещения по началу (Кн);
 коэффициент совмещения по концу (Ко).
Коэффициент совмещения по началу определяет, какая часть
предыдущей работы должна быть выполнена к началу последующей.
Коэффициент совмещения по концу показывает, какая часть последующей
работы должна остаться после завершения предыдущей (рис. 1.4.1).
Кн = а1 / (а1+а2)
Ко = в2 / (в1+в2).
Предыдущая работ
а1
а2
Последующая работа
в1
в2
Рис. 1.4.1
Величина коэффициента совмещения может варьироваться в пределах от
0 до 1. Она определяется экспертно в зависимости от объемно-планировочного
и конструктивно-технологического решения здания, трудоемкости работ,
состава и количества бригад, методов механизации процессов, требований
техники безопасности и др.
Полученные коэффициенты совмещения могут быть использованы для
четких количественных расчетов при определении взаимосвязи межу
различными работами.
39
В модели, описанной в [99], календарный план должен удовлетворять
следующим требованиям:
 timк = timн + tim - где timк - момент окончания i-й работы m-м
исполнителем, timн - момент начала i-й работы m-м исполнителем, timпродолжительность выполнения i-й работы m-м исполнителем;
 синхронизация процесса выполнения работ предполагает, что момент
окончания i-й работы m-м исполнителем совпадает с моментом начала
i-й работы m+1-м исполнителем;
 проведение i-й работы m-м исполнителем зависит от выполнения
предыдущей и последующей работ, что выражается коэффициентом
опережения или запаздывания;
 завершение проекта происходит после выполнения всего комплекса
работ.
Соблюдение описанных ограничений позволяет сформировать
календарный план, при котором взаимные увязки работ осуществляются в
следующий вариантах (табл. 1.4.1).
Таблица 1.4.1
N
1
Виды взаимной увязки работ
i
j
Описание
Работы i и j выполняются
последовательно
2
i
Работы i и j выполняются
последовательно при наличии
технологического перерыва
j
3
Работы
i и
одновременно
i
j
начинаются
j
4
Работы i и
одновременно
i
j
заканчиваются
j
5
Работа
j
начинается
после
выполнения части rij работы I
i
j
rij
6
Часть pij работы j остается после
выполнения работы I
i
j
pij
40
В матричных моделях календарного планирования [99] предполагается,
что i=1, ..., N - множество исполнителей, j=1, ..., M виды работ по проекту.
Если Pij j-я работа, выполняемая i-м исполнителем, то непосредственно
предшествующие работы будем обозначать Pih (h=1, ..., j-1), а последующие Pik
(k=1, ..., M).
Поток считается заданным, если для любой работы Pij известны
предшествующие ей Pih (h=1, ..., j-1), а также:
 tij − продолжительность работы Pij;
 t ij ( k ) − минимальная продолжительность работы Pij, после которой
должна начаться работа Pik;
 t ij ( h ) − минимальная продолжительность работы Pij, которая должна
быть выполнена к окончанию работы Pih.
Матричные модели, используя сравнительно простой аппарат, позволяют
в аналитической форме получать все характеристики календарного плана. Это
очень перспективно для использования ЭВМ. Однако наряду с этим матричные
модели по своей наглядности уступают другим способам моделирования
процесса календарного плана.
В настоящее время для моделирования процесса календарного
планирования применяются обобщенные сетевые модели (ОСМ), которые
могут строиться как в терминах "событий", так и в терминах "работ" [99].
Последний способ хорошо зарекомендовал себя при совмещенном выполнении
работ.
Пусть а и b - две связанные работы. Для них выполняется соотношение
a<b (a предшествует b). Обозначим через Taн, Tbн − время начала работ a и b,
Taо, Tbо- время окончания этих работ. Если ta и tb − продолжительности работ,
то Taо =Taн+ta, Tbо =Tbн+tb.
Связь между двумя работами может быть задана следующим образом
(табл. 1.4.2).
Можно построить более сложную связь между двумя произвольными
точками работ xa и xb (рис. 1.4.2). Это может быть связь типа "не ранее" или "не
позднее".
Tbн +nb>Taн+na+t1(xa, xb);
Tbн +nb<Taн+na+t2(xa, xb),
где na (nb) продолжительность части работы a (b) от ее начала до момента
xa(xb), t1(xa, xb)и t2(xa, xb) − параметры временных связей, обозначающие, что
момент xbработы b может наступить не ранее чем через t1(xa, xb) и не позднее
чем через t2(xa, xb) единиц времени от момента xa работы a.
41
Таблица 1.4.2
Пример связи
N
1
Описание
Начало-Начало (начало последующей
работы связано с началом предыдущей)
2
Начало-Конец (конец последующей
работы связан с началом предыдущей)
3
Конец-Начало (начало последующей
работы связано с концом предыдущей)
4
Конец-Конец (конец последующей
работы связан с концом предыдущей)
na
xa
Taн
Taо
nb
xb
Tbн
Tbо
Рис. 1.4.2
Определенный интерес представляет вариационная постановка задачи
календарного планирования [17]. Состояние каждой работы будем
представлять в виде фазового вектора, координатами которого будут
параметры процесса (обеспеченность материалами, степень подготовки,
рабочие кадры и т. д.).
Запишем уравнение в виде
Xi=f(Xit, Ui, t) i=1, ..., n,
где Xi − фазовый вектор состояния i-й СМР, Ui − ресурс, требуемый для
выполнения этой работы, Xit − производная фазового вектора по времени,
n − число работ по проекту.
На ресурсы накладываются ограничения, связанные с емкостью
"резервуара ресурсов". Они могут быть представлены как в дискретной, так и в
интегральной форме:
42
T
n
u
i 1
 U ,  ui (t )  U ,
i
0
где U − общее количество ресурсов, T − период потребления.
Обычно предполагается, что работы надо так расставить во времени,
чтобы общая продолжительность строительства была бы минимальной:
n
J   Ti  min ,
i 1
где Ti − время выполнения i-й работы.
Если предположить, что состояние работы будет определяться только
долей ее выполнения, то Xi − скалярная величина, определяемая как Xi=Uit/Qi,
где Ui − количество рабочих, Qi − трудоемкость i-й СМР.
Граничные условия могут быть представлены в виде Xi(0)=0 Xi(T)=1.
Если работы i и j связаны друг с другом, то это условие записывается в
виде Xi(t)=0 если Xj(t)<1. Такие условия могут быть учтены в функционале
методом штрафных функций:
T
I  J 
n
x
0 i , j 1
i
2
(t )(1  x j (t ))2 dt .
Решение подобной задачи может быть получено с помощью метода максимума
А. С. Понтрягина [75].
Наряду с описанными преимуществами данные подходы обладают и
рядом существенных недостатков. Прежде всего, для определения
коэффициентов совмещения необходимо проводить большой экспертный опрос
с привлечением высококлассных специалистов каждый раз, когда необходимо
построить календарный план. С другой стороны, даже самые
квалифицированные эксперты затрудняются в однозначном количественном
определении коэффициентов совмещения между работами.
Исходя из этих предпосылок процесс календарного планирования был
формализован с помощью аппарата нечетких множеств. Основой исходных
данных построения календарного плана является набор последовательных
событий, для которых указаны моменты их наступления t1, t2, ..., tn. В выражения
могут также участвовать и идентификаторы временных отношений [9]:
 r0 – быть одновременно;
 r1 – быть раньше;
 r2 – быть позже;
 r3n – быть раньше на n дискретных единиц;
 r4n – быть позже на n дискретных единиц;
 r5n – быть раньше не более чем на n дискретных единиц;
 r6n – быть раньше не менее чем на n дискретных единиц;
 r7n – быть позже не более чем на n дискретных единиц;
 r8n – быть позже не менее чем на n дискретных единиц;
 r9– быть не позже;
 r10 – быть не раньше.
43
Формально эти отношения могут быть заданы как функции на декартовом
произведении TxT:
0 1 , 2 = 1, если 1 = 2 , и 0, если нет;
1 1 , 2 = 1, если 1 < 2 , и 0, если нет;
2 1 , 2 = 1, если 1 > 2 , и 0, если нет;
3 1 , 2 = 1, если 1 +  = 2 , и 0, если нет;
4 1 , 2 = 1, если 1 −  = 2 , и 0, если нет;
5 1 , 2 = 1, если 2 −  < 1 < 2 , и 0, если нет;
6 1 , 2 = 1, если 2 ≤ 1 < 2 + , и 0, если нет;
7 1 , 2 = 1, если 1 ≤ 2 − , и 0, если нет;
8 1 , 2 = 1, если 1 ≥ 2 + , и 0, если нет;
9 1 , 2 = 1, если 1 ≤ 2 , и 0, если нет;
10 1 , 2 = 1, если 1 ≥ 2 , и 0, если нет.
функции представляют собой характеристические
Эти
функции
отношений.
В качестве квантификаторов могут выступать и нечеткие временные
отношения, которые получаются из соответствующих им четких с
использованием добавления ―быть примерно‖, то есть ―быть примерно
одновременно‖, ―быть примерно раньше на n дискретных единиц‖ и т. д.
Поставим в соответствие каждому событию x функцию распределения
Пx – величину, характеризующую возможность наступления x в различных
точках временной шкалы. Тогда возможность того, что x произойдет в момент
t, будет равняться величине  r0 (t , ) для всех t из T.
Используя подобную методу, можно построить сложные предикаты,
характеризующие нечеткие временные зависимости между СМР.
Однако следует отметить, что данный метод для своей реализации на
ЭВМ требует использования большого числа эвристических правил для
определения числовых характеристик коэффициентов совмещения работ во
времени, что требует построения для этой методики еще и дополнительной
экспертной системы.
Применение сетевых моделей объясняется их хорошей формализацией,
то есть возможностью использования математических алгоритмов,
позволяющих получить оптимальный по некоторым критериям календарный
график. Но в данном случае следует отметить, что все задачи календарного
планирования относятся к классу многокритериальных задач, в то время как
преобладающее большинство алгоритмов направлено на решение
исключительно однокритериальных задач оптимизации. В связи с этим
возникает проблема редукции исходной задачи к задаче с единственным
критерием оптимальности.
44
Такое преобразование может быть выполнено одним из следующих
способов:
 сверткой множества критериев в один, интегральный;
 выделение одного критерия в качестве критерия оптимальности,
при этом остальные будут играть роль ограничений;
 ранжирование критериев с использованием лексиграфических
предпочтений;
 использование метода последовательных уступок в целях
нахождения множества компромиссных решений.
Построение интегрального критерия оптимальности может быть
осуществлено различными путями: например в качестве такой результирующей
оценки может быть принято выражение вида
P  P    Pn
,
K 1 2
Pn 1  Pn  2    Pm
где P1 , P2 ,..., Pn - показатели, которые необходимо увеличить; Pn 1 , Pn  2 ,..., Pm −
показатели, которые необходимо уменьшить. Естественно, что все
используемые в данном подходе критерии должны быть приведены к
безразмерному виду и пронормированы.
Другой подход к данной проблеме заключается в использовании
взвешенной суммы отдельных критериев, то есть интегральный критерий
находится по формуле вида
K  1 P1   2 P2  ...   m Pm .
В данном случае используемые здесь критерии должны быть не только
безразмерными и пронормированными, но и приведенными к одному типу
параметров: или все критерии должны быть типа, чем больше, тем лучше, или
же наоборот. Весовые коэффициенты  i позволяют усилить или ослабить
влияние отдельного параметра на результат решения. Назначение этих
коэффициентов осуществляется экспертным путем, что сильно затрудняет
процедуру решения, так как проведение процедуры экспертного опроса
является достаточно длительным и дорогостоящим мероприятием.
Использование интегрального критерия достаточно ограничено при
решении задач оптимизации календарного планирования. Объясняется это тем,
что результирующий показатель может принимать достаточно высокое
значение только за счет одного какого-то из критериев, в то время как
остальные могут иметь неприемлемое значение для разработчика. В качестве
примера можно рассмотреть задачу на быстродействие, то есть построение
такого расписания работ, которое бы выполнялось за минимальное время.
Казалось бы, сокращение сроков реализации проекта должно устраивать всех,
но оказывается, что такое сокращение связано с привлечением дополнительных
трудовых и технических ресурсов, а это в свою очередь приводит к увеличению
непроизводительных расходов, связанных с обеспечением выполнения условий
оптимального календарного плана, например неполной загрузкой мощностей
предприятия, снижению фондоотдачи, то есть полученное оптимальное
45
решение не будет являться таковым для исполнителя. Но сокращение сроков
реализации проекта может все-таки оказаться выгодным и для исполнителя,
важно только определить точку экстремума, но определение весовых
коэффициентов и в этом случае представляет собой сложнейшую задачу,
которая до сих пор не имеет точного решения.
Устранение указанного недостатка возможно на основе выделения одного
критерия в качестве критерия оптимальности, а остальные учесть в виде
ограничений, предварительно задав их пороговые значения. Тогда задача
многокритериальной оптимизации приводится к задаче математического
программирования с ограничениями в форме неравенств.
Другим способом решения задачи многокритериальной оптимизации
может служить ранжирование всех показателей по возрастанию их
предпочтительности. Тогда решение x, соответствующее некоторому
фиксированному набору значений оцениваемых параметров, будет
предпочтительнее, варианта y только тогда, когда выполняется одно из трех
условий:
P1 ( x )  P1 ( y),
P1 ( x )  P1 ( y), P2 ( x )  P2 ( y),
P1 ( x )  P1 ( y), P2 ( x )  P2 ( y), P3 ( x )  P3 ( y).
Такая задача получила название лексиграфической задачи оптимизации.
Но использование данного алгоритма может быть затруднено тем
обстоятельством, что выполняемый проект, затрагивает интересы различных
структур, и эти интересы зачастую противоположны. Эти противоречия делают
процедуру ранжирования весьма субъективной и неоднозначной: все зависит от
того, кто это ранжирование производит, то есть от его функционального места
в строительном производстве.
В какой-то степени эти противоречия может сгладить метод
последовательных уступок, который не предполагает столь жесткого
ранжирования критериев, как лексиграфический метод. Сущность алгоритма
заключается в том, что, выстроив критерии в порядке возрастания важности,
осуществляют решение задачи оптимизации по первому критерию P1 , находя
его оптимальное значение P1* . Затем задают величину возможного ухудшения
этого критерия P1 , добавляют к системе ограничений исходной задачи новое
ограничение вида P1*  P1  P1 и решают полученную задачу оптимизации, но
уже по критерию P2 . Аналогично, осуществляется решение задачи оптимизации
и по всем критериям. То есть решение многокритериальной задачи с n
критериями оптимальности, заменяется на решениеn задач оптимизации по
одному критерию. Данный метод привлекателен тем, что дает количественную
оценку для компромиссного решения, то есть становится ясно, какой ценой
достигается выигрыш по каждому из показателей.
В целом следует отметить, что трудности построения оптимальных
расписаний связаны с многогранностью сферы строительного производства, в
которую вовлечены многие участники с антагонистическими целями, поэтому
46
следует уделять особое внимание экономическому обоснованию постановки
задачи, так как никакой, даже самый совершенный, алгоритм, не в состоянии
будет компенсировать изначальные ошибки, заложенные в модель.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте понятие проекта.
2. Какие характеристики отличают проекты от других видов деятельности?
Классифицируйте проекты.
Какие факторы влияют на проект?
Кто может входить в состав участников проекта?
На какие фазы можно разбить цикл жизни проекта?
Сформулируйте определение управления проектом.
Назовите шесть основных групп, на которые можно разбить процессы
управления проектами.
9. В чем заключается алгоритм решения задачи оптимизации комплексов
работ по стоимости?
10.Назовите три формы представления календарных графиков.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ОБЪЕМОВ РАБОТ
В УПРАВЛЕНИИ ПРОЕКТАМИ
2.1. Методы решения задач оптимизации объемов работ
2.1.1. Линейный случай
Задан сетевой график с объемами работ Wij , (i, j)  U (U – множество дуг
(работ) графа). Примем, что продолжительность работы  ij является линейной
функцией объема работ x ij :
(2.1.1.1)
ij  K ij  xij , 0  xij  Wij
Если при продолжительностях работ Dij  K ij  Wij продолжительность
проекта превышает требуемую величину Т, то в случае невозможности
увеличения ресурсов часть объемов работ выполняется сторонними
организациями (субподряд). Если объем ( Wij  xij ) работы (i, j) выполняется
сторонними организациями, то дополнительные затраты составят
(2.1.1.2)
Sij (xij )  Cij  (Wij  xij ) ,
где Cij – оплата единицы объема.
Задача. Определить объемы x ij (i, j)  U , так чтобы продолжительность проекта
не превышалаТ, а суммарные затраты
S ( x) 
C
( i , j )U
ij
 ( Wij  xij )
были минимальными.
47
(2.1.1.3)
Примем, что продолжительность выполнения работ сторонними
организациями также является линейной функцией объемов:
ij  qij (Wij  xij )
Очевидно, что сокращение продолжительности работы (i, j) определяется
выражением
ij  max[ K ij xij ; qij (Wij  xij )] .
Эта величина минимальна при условии
K ij xij  qij (Wij  xij )
или
qW
x ij  ij ij  B ij
K ij  q ij
и равна
K  q  Wij
d ij  ij ij
 Dij  K ij  Wij .
(2.1.1.4)
K ij  q ij
Понятно, что уменьшение объемов ниже Bij , а значит, уменьшение
продолжительности
ниже
нецелесообразно.
Таким
d ij
продолжительности x ij лежат в пределах dij  xij  Dij .
c ij
, (i, j)  U – пропускные способности дуг сети.
Обозначим p ij 
K ij
Описание алгоритма
образом,
1. Полагаем продолжительности работ xij  Dij , (i, j)  U и определяем
критический путь (пути) в сети. Если его длина T( W )  T , то определяем сеть
критических путей (сеть КП).
2. В сети КП находим разрез минимальной пропускной способности. Для
этого определяем поток максимальной величины и соответственно разрез
минимальной пропускной способности.
3. Сокращаем продолжительности дуг, заходящих в разрез (обозначим
множество таких дуг V(W)) на величину Δ>0. Величина Δ определяется из двух
условий:
а) в сети КП появился новый критический путь,
б) продолжительность хотя бы одной работы сети КП стала равной d ij . В
этом случае полагаем пропускную способность соответствующей дуги
равной ∞ (или просто достаточно большому числу).
4. Сокращаем продолжительности дуг, заходящих в разрез, на величину,
равную
min( ; T( W)  T) ,

а объемы работ (i, j)  V ( W) полагаем равными x ij  Wij 
.
K ij
48
5. Если T(x)  T , то алгоритм закончен. Если T(x)  T , то повторяем
шаги алгоритма.
Обоснование алгоритма
Сокращение продолжительности проекта возможно только при
сокращении продолжительностей работ, заходящих в какой-либо разрез.
Выбирая разрез с минимальной пропускной способности,
сокращаем
продолжительности (а следовательно, и объемы) работ с минимальными
затратами.
Замечание 2.1.1.1. Предложенный алгоритм аналогичен алгоритму
решения задачи минимизации сети по стоимости, в которой, однако, речь идет
не об объемах и времени, а о стоимости и времени.
Пример 2.1.1.1. Рассмотрим сеть на рис. 2.1.1.1.
1
3
4
0
2
6
5
Рис. 2.1.1.1
Данные о работах приведены в табл. 2.1.1.1.
Таблица 2.1.1.1
(i, j)
Wij
Kij
qij
cij
(0,1)
6
1
1
5
(0,2)
9
2
1
4
(1,3)
5
3
2
9
(1,4)
3
2
1
8
(2,4)
6
4
2
4
(2,5)
8
1
1
3
(3,6)
4
3
1
6
(4,6)
7
5
2
10
(5,6)
3
6
3
6
На основе этой таблицы определяем Dij , dij и p ij , (i, j)  U (табл. 2.1.1.2).
Таблица 2.1.1.2
(i, j)
Dij
dij
pij
(0,1)
6
3
5
(0,2)
18
6
2
(1,3)
15
6
3
(1,4)
6
23
4
49
(2,4)
24
8
1
(2,5)
8
4
3
(3,6)
12
3
2
(4,6)
35
10
2
(5,6)
18
6
1
Пусть Т=30.
1. Определяем критический путь в сети (на рис. 2.1.1.2 продолжительности Dij
указаны у дуг, пропускная способность дуг в скобках).
[6]
6(5)
[21]
15(3)
1
6(4)
[0]
0
24(1
)
18(2)
2 8(3)
[18]
3
[42]
12(2)
4 35(2)
6
[77]
18(1)
5
[26]
Рис 2.1.1.2
Критический путь выделен толстыми дугами. Его длина Т1=77>30.
2. Множество работ, заходящих в разрез минимальной пропускной
способности, V (w )  (2,4) , p 24  1.
3. Определяем Δ. Заметим, что если взять  24  d 24  8 , то критический путь не
изменится. Поэтому берем   24  8  16 . Полагаем p 24   .
4. Сокращаем продолжительность работы (2,4) на 16 единиц. Соответственно ее
объем на 16/4=4 единицы. Остается объем x124  2 . Затраты на субподрядные
работы равны ( W24  x 24 )  c 24  4  4  16 .
5. Имеем Т(х1)=61>40.
Повторяем шаги алгоритма.
1. Критический путь (0,2,4,6).
2. Множество V(x1 )  (0,2) (можно взять (4,6)).
3. Определяем Δ. Заметим, что при  02  d 02  6 критический путь остается
прежним. Поэтому берем   D02  d 02  12 . Полагаем p 02   .
4. Сокращаем продолжительность работы (0,2) на 12 единиц. Соответственно ее
2
объем на 6 единиц, x02
 3 . Затраты на субподрядные работы увеличились на
6  4  24 и составили c(x2 )  16  24  40 .
5. Поскольку Т(х2)=46>40, то повторяем шаги алгоритма.
1. Критический путь (0,2,4,6).
2. Множество V(x2 )  (4,6) .
3. Определяем Δ. Заметим, что при  46  19 в сети появится еще один
критический путь (0,1,3,6), рис. 2.1.1.3, Поэтому   35  19  16 .
6(5)
1
15(3)
3
12(2)
6(4)
0
6(∞)
4 19(2)
8(∞)
2
8(3)
5
Рис. 2.1.1.3
50
6
18(1)
4. Сокращаем продолжительность работы (4,6) на Δ=16 единиц.
Соответственно ее объем на 3,2 единицы. x346  3.8 . Затраты увеличились на
3.2 10  32 единицы и стали равны c(x3 )  72 .
5. Поскольку Т(х3)=33>30, то повторяем шаги алгоритма.
1. Сеть критических путей показана на рис. 2.1.1.3.
2. Множество V(x3 )  {( 4,6), (3.6)} . Пропускная способность разреза равна 4.
3. Определяем Δ. Заметим, что при Δ=1 в сети появляется еще один
критический путь (0,2,5,6). Берем Δ=1.
4. Сокращаем продолжительности работ (3,6) и (4,6) на 1. Соответственно их
2
объемы на 1/3 и 1/5 ( x 364  3 , x 346  3.8  0.2  3.6 ). Затраты увеличились на
3
1
1
 6  2 и  10  2 , то есть на 4 единицы и составили c(x 4 )  76 единиц.
3
5
5. Поскольку Т(х4)=32>30, то повторяем шаги алгоритма.
1. Сеть критических путей приведена на рис. 2.1.1.4.
1
15(3)
3
6(5)
11(2)
6(4)
0
6(∞)
4
8(∞)
2
5
8(3)
18(2)
6
18(1)
Рис. 2.1.1.4
2. Множество V(x4 )  {(3,6)(4,6), (5,6)} . Пропускная способность разреза равна 5.
3. Определяем Δ. Поскольку Т(х4)-Т=2, то Δ=3.
4. Сокращаем продолжительности работ (3,6), (4,6) и (5,6) на 2 единицы.
Соответственно их объемы уменьшим на 2/3 (для работы (3,6)), на 0,4 единицы
для работы (4,6) и на 1/3 единицы для работы 5,6). Затраты увеличились на
2
1
 6  4 для работы (3,6), 0.4 10  4 для работы (4,6) и
 6  2 для работы
3
3
(5,6), то есть на 10 единиц, что составляет c(x5 )  76  10  86 единиц.
5. Поскольку Т(х5)=30=Т, то задача решена.
Оптимальные объемы работ, выполняемых своими силами, ( y ij  Wij  x ij )
объемы работ, передаваемые на субподряд, и дополнительные затраты
приведены в табл. 2.1.1.3.
51
Таблица 2.1.1.3
(i, j)
хij
уij
сij,уij
(0,1)
6
0
0
(0,2)
3
6
24
(1,3)
5
0
0
(1,4)
3
0
0
(2,4)
2
4
16
(2,5)
8
0
0
(3,6)
3
1
6
(4,6)
3,2
3,8
38
(5,6)
2 2/3
1/3
2
2.1.2. Независимые работы. Степенной случай
В предыдущей модели не учитывалась возможность использования
освобождающихся ресурсов на других работах проекта. Рассмотрим ряд
простых моделей, учитывающих эту возможность. Пусть работы проекта
независимы, а скорости работ w ij являются степенными функциями количества
ресурсов u i :
1
w ij  u ij  , где α>1.
Количество ресурсов ограничено и равно N. Рассмотрим сначала случай
α=2. В случае независимых работ и вогнутых зависимостей скоростей работ от
количества ресурсов оптимальное решение по критерию минимума времени
удовлетворяет следующим двум условиям:
1. Все работы начинаются и заканчиваются одновременно.
2. Все работы выполняются с постоянной интенсивностью.
Пусть Т(х) − минимальная продолжительность проекта при объемах х.
Имеем
x
wi  i  ui ,
T(x)
2
 x 
ui   i  ,
 T(x) 
2
 xi 
i ui  i  T(x)   N ,


T( x ) 
x
2
i
i
N
.
Из ограничения Т(х)≤Т получаем
x
2
i
 NT2 .
(2.1.2.1)
i
Целевая функция имеет вид
C(x)   ci (wi  xi ) ,
(2.1.2.2)
0  xi  wi , i  1, n .
(2.1.2.3)
i
52
c x
Задача заключается в максимизации
i
i
при ограничениях (2.1.2.1),
i
(2.1.2.3). Применим метод множителей Лагранжа, не учитывая ограничение
(2.1.2.3). Функция Лагранжа имеет вид


L( , x)   ci xi     xi2  NT2  ,
(2.1.2.4)
i
 i

Дифференцируя по xi, получаем
c
2 x i  c i , x i  i .
2
Множитель λ определяем из уравнения
ci2
i 4x2  NT2 ;

c
2
i
i
2T N
.
Окончательно получаем
xi 
ci T N
c
, i  1, n .
(2.1.2.5)
2
j
i
Если x i  w i для всех i, то задача решена. Пусть Q - множество работ, для
которых x i  w i .Полагаем x i  w i для i  Q и решаем следующую задачу.
Минимизировать
c x
i
iQ
i
(2.1.2.6)
при ограничении
x
iQ
2
i
 NT2   w i2  A(Q) .
(2.1.2.7)
iQ
Ее решение:
xi 
ci A(Q)
c
jQ
, i Q .
2
j
Если x i  w i для всех i  Q , то задача решена. В противном случае
повторяем предыдущий шаг.
За конечное число шагов будет получено решение, удовлетворяющее (2.1.2.3).
Пример 2.1.2.1. Имеются 3 работы, данные о которых приведены в табл. 2.1.2.1.
53
Таблица 2.1.2.1
I
wij
cij
1
8
10
2
10
4
3
16
5
ПримемN=9, Т=5, NT2  225 .
1шаг. Определяем
c12  c22  c32  100  16  25  141  12 ,
10  15
4  15
5  15
 12,5 , x 2 
 15 , x3 
 6,25 .
12
12
12
Поскольку x1  w1 то полагаем x1  w1  8 .
x1 
2 шаг.
Определяем A(1)  NT2  W12 :
A(1)  209  13 , c22  c32  41  6,4 ,
4 13
5 13
 8 , x3 
 10 .
6,4
6,4
Поскольку x 2  w 2 , x 3  w 3 , то задача решена. Оптимальные объемы
x1  8 , x 2  8 , x 3  10 .
Дополнительные затраты
C(x)  4  2  5  6  38 .
Обобщим решение для случая произвольного α>1.
По аналогии с предыдущими выкладками, получаем
x2 
1

 x 
ui   i  ,
 T(x) 
 x 
i  T(xi ) 





 
x
 i 
 .
 N , T( x )   i
N






Из ограничения T(x)  T получаем
x
2
i
 NT2 .
i
Функция Лагранжа имеет вид


L( , x)   ci xi     xi2  NT2  ,
i
 i

получаем
ci  xi 1 ,
c 
xi   i 
  
54
1
 1
.
Множитель λ определяем из уравнения

  c  11 
  i    NT .

  
 i 


 c
i


 1
i
 1




N T
xi 
1
 1
i
1
2
c NT
1
2
 1

.
 1
, i  1, n .


 c 
 i

Далее алгоритм работает аналогично описанному выше.

 1
i
2.1.3. Независимые работы. Линейный случай
Рассмотрим линейный случай, когда зависимость скоростей работ от
количества ресурсов имеет вид
ui , ui  ai
.
(2.1.3.1)
wi  
a
,
u

a
 i i
i
В этом случае при количестве ресурсов N продолжительность проекта
определяется выражением


  xi
x
(2.1.3.2)
T(x)  max 
; max i  .
i
N
a
i 



Определим множество работ Q, таких что
T(Q) 
w
iQ
i
N   ai
 i , i  Q ,
iQ
T(Q)   i , i  Q .
Для определения множества Q применяем следующий алгоритм.
1шаг. Вычисляем
T1 
w
i
.
N
Определяем множество работ Q1, таких что  i  T1 , i  Q 1 .
2 шаг.
Вычисляем
55
w
T(Q1 ) 
iQ1
i
N   ai
.
iQ1
Определяем множество работ Q2, таких что  i  T(Q1 ), i  Q 2 .
Если Q2=Q1, то задача решена и Q=Q1. В противном случае определяем
T (Q 2 ) 
w
iQ 2
i
N   ai
и т.д.
iQ 2
За конечное число шагов будет определено множество Q.
Обоснование алгоритма
Заметим, что Q1  Q 2  ...  Qk , где Q k определяет множество Q. При
этом имеет место
T(Q1 )  T(Q 2 )  ...  T(Q k ) ,
поскольку количество ресурсов на работах множества Qj увеличивается с
сокращением числа работ. С другой стороны, если
a
i
 N , то множество Q
i
не может быть пустым. В силу монотонного уменьшения числа работ множеств
Q j с ростом j процедура конечна.
Пример 2.1.3.1. Имеются 5 работ, данные о которых приведены в табл. 2.1.3.1.
Таблица 2.1.3.1
i
wi
аi
τi
ci
1
9
3
3
5
2
8
4
2
4
3
12
2
6
3
4
15
3
5
2
5
10
5
2
1
Примем N=12.
1шаг. Вычисляем
T1 
Имеем Q 1  {1,2,5} .
w
N
i

54
 4.5 .
12
9  8  10 27
6

3 .
12  5
7
7
Так как  i  T(Q1 ) для всех i  Q1 , то алгоритм закончен, Q  Q1  {1,2,5} .
2 шаг.
Вычисляем
T(Q1 ) 
56
Рассмотрим алгоритм решения задачи определения оптимальных объемов
работ.
1 случай. Пусть T  T(Q) .
Обозначим Р множество работ i  Q для которых  i  T . Очевидно, что
продолжительность этих работ должна быть уменьшена на  i   i  T , а
объемы соответственно должны быть уменьшены на  ia i . Следовательно,
x i  w i   ia i для i  P и x i  0 для i  P .
2 случай. T  T(Q) .
В этом случае объемы всех работ i  Q должны быть сокращены на  ia i ,
где  i   i  T и равны x i  w i   i a i .
Что касается работ i  Q , то для определения оптимальных объемов
необходимо решить задачу максимизации
C(x, Q)   c i x i ,
iQ
при ограничениях
0  x i  a i min( T,  i )  b i , i  Q ,
x
iQ
i
 NT   w i  iai   D ,
iQ
где
D  NT   w i  iai  .
iQ
Алгоритм решения
Пусть
работы пронумерованы
c1  c 2  ...  c n .
1. Определяем номер k, такой что
k 1
в
очередности
k
 a b   a b , k  1, n, a
i 1
i
i
i 1
i
i
0
2. Полагаем
xi  aibi , i  1, k  1,
k 1
x k  (k  1)D   x i ,
1
x i  0, i  k  1, n .
57
 0.
убывания
ci ,
т.е.
Обоснование алгоритма
Обоснование алгоритма следует из того, что, во-первых,
x
iQ
i
 D , а, во
вторых, для всех xi имеет место x i  b i и, следовательно, все работы будут
выполнены за время Т. Оптимальность легко следует из вида задачи линейного
программирования.
Пример 2.1.3.2. Возьмем данные из примера. Примем Т=2,5.
Имеем: b1=2,5, b2=2, b5=2. Вычисляем
D  NT  5  7,5  17,5 .
a1b1  7,5  17 ,5 ,
a1b1  a 2b 2  15,5  17 ,5 ,
a1b1  a 2 b 2  a 5 b 5  25,5  17 ,5 ,
Таким образом, k=3.
Получаем оптимальное решение х1=7,5, х2=8, х3=5, х4=7,5, х5=2.
Соответственно объем работ, отдаваемых на субподряд, составит у1=1,5, у2=0,
у3=7, у4=7,5, у5=8, а дополнительные затраты
Сmin=7,5+0+21+15+8=51,5.
2.1.4. Потоковая модель
До сих пор мы рассматривали задачи с постоянным уровнем ресурсов N.
Рассмотрим модель с переменным уровнем ресурсов. А именно примем, что
отрезок [0,Т] разбит на m отрезков постоянства уровней ресурсов. Обозначим
Nk - количество ресурсов в k-м интервале. Кроме того, примем, что работа i
может выполняться в промежутке от интервала diдо интервала Diвключительно.
Ограничимся линейным случаем. По-прежнему считаем, что работы
пронумерованы по убыванию коэффициентов сi.
Определим сеть из (n+m+z) вершин, состоящую из входа 0, n вершин
первого слоя, m вершин второго слоя и выхода z. На рис. 2.1.4.1. приведен
пример такой сети для случая n=5, m=4.
(9)9
1
(6)3
(12)12
(12)9
17(18)
(24)14
0
2 (12)12
3
(15)9
(9)9
1
(18)18
(6)5
(8)5
(4)0
(6)0
(3)0
2
5(5)
3
(21)18
4
(9)9
4
0(3)
5
(9)9
Рис. 2.1.4.1
58
(20)20
0
Вершина 0 соединена со всеми вершинами первого слоя дугами (0,i)
пропускной способности P0 i  Wi . Вершина i первого слоя соединена с
вершиной j второго слоя дугой (i, j), если работа i может выполняться в
интервале j. Пропускная способность дуги (i, j) равна pij  ai  j , где Δj длительность интервала j.
Наконец, каждая вершина j второго слоя соединена с вершинойzдругой
(j,z) пропускной способности p jz   j N j . Определим поток {xij} в сети
следующим образом:
0  x0i  c0i , i  1, n ,
0  x ij  c ij , i  1, n, j  1, m ,
0  x jz  c jz ,
x
jR i
ij
j  1, m ,
 x0 i , i  1, n ,
где Ri – множество дуг, исходящих из вершины i первого слоя.
x
iPj
ij
 x jz , j  1, m ,
где Ро – множество дуг, заходящих в вершинуjвторого слоя.
Заметим, что любому потоку {xij} однозначно соответствует допустимое
распределение объемов работ по периодам. И наоборот, любому допустимому
распределению работ по периодам однозначно соответствует поток в сети.
Задача заключается в определении потока, минимизирующего
C(x)   w i  x0i ci
i
или максимизирующего
Ф(x)   ci x0i .
i
Описание алгоритма
1шаг.
2 шаг.
k шаг.
Определяем поток максимальной величины, проходящей по дуге (0,1)
первого слоя.
Определяем поток максимальной величины, проходящей по дуге (0,2)
первого и не уменьшающей величины потока по дуге (0,1) первого
слоя.
Определяем поток максимальной величины, проходящей по дуге (0,k)
первого слоя и не уменьшающей величины потоков по дугам (0,i)
первого слоя (i<k).
Теорема 2.1.4.1. Описанный выше алгоритм дает оптимальное решение задачи.
Доказательство. Поток по любой дуге (0,k) первого слоя можно увеличить
только за счет уменьшения на ту же величину потоков по дугам (0,i) первого
59
слоя, где i<k. Но это не приведет к уменьшению затрат, поскольку C i  Ck для
всех i<k. Это доказывает теорему.
Пример 2.1.4.1. Имеются 5 работ, данные о которых приведены в табл. 2.1.4.1.
Таблица 2.1.4.1
i
wi
аi
τi
ci
[di,Di]
1
12
3
4
5
[1,2]
2
18
6
3
4
[2,3]
3
24
4
6
3
[1,2,3]
4
15
3
5
2
[2,3,4]
5
9
3
3
1
[3,4]
Примем Т=9.
Длительности интервалов и уровни ресурсов указаны в табл. 2.1.4.2.
Таблица 2.1.4.2
k
Nk
Δk
1
6
3
2
10
2
3
5
1
4
7
3
Потоковая сеть приведена на рис. 2.1.4.1 (в скобках указаны пропускные
способности дуг)
1шаг. Определяем поток максимальной величины по дуге (0,1). Возможный
вариант
x11  9, x12  3 (указано без скобок у дуг), x 01  12 .
2 шаг. Определяем поток максимальной величины по дуге (0,2).
x 22  12 , x 23  5 , x 02  17 .
3 шаг. Определяем поток максимальной величины по дуге (0,3).
x 31  9, x 32  5, x 33  0 , x 03  14 .
4 шаг. Определяем поток максимальной величины по дуге (0,4).
x 42  0, x 43  0, x 44  9 , x 04  9 .
5 шаг. Определяем поток максимальной величины по дуге (0,5).
x 53  0, x 54  9 , x 05  9 .
Объемы работ, передаваемых на субподряд равны
у1=0, у2=1, у3=10, у4=6, у5=0,
затраты составляют
С(х)=0+4+30+12+0=46.
60
2.1.5. Многоресурсная модель
Рассмотрим произвольный сетевой график, в котором работы
выполняются ресурсами многих видов. При этом имеется определяющий
ограниченный ресурс. Остальные ресурсы имеются в достаточном количестве,
так что продолжительности работ, выполняемых другими ресурсами, можно
принять равными τi. Количество ограниченного ресурса равно N. При этом
предлагается, что работы, выполняемые ограниченными ресурсами
независимы, то есть никакие две работы не принадлежат одному пути. Пример
такой сети приведен на рис. 2.1.5.1. В данном случае удобно работы изображать
вершинами сети. Работы, выполняемые ограниченными ресурсами, отмечены
двойными
кружками.
В
нижних
половинах
вершин
указаны
продолжительности τi. Для удобства работы, выполняемые ограниченным
ресурсом, пронумерованы от 1 до n, где N – число таких работ.
Пусть Т=32. Определим ранние и поздние времена начала работ,
выполняемых ограниченным ресурсом. Для определения ранних моментов
начала просчитываем сеть с начала.
Ранние моменты начала указаны у работ в квадратных скобках слева. Для
определения поздних моментов начала просчитываем сеть с конца. Поздние
моменты начала указаны в квадратных скобках справа у вершин.
[12]
[0]
5
5
[0]
6
4
[5]
7
7
[12]
[5]
8
3
[4]
9
28
[8]
[6]
4
6
3
3
2
4
41
5
[16]
[22]
10
7
[19]
[21]
[25]
11
4
[29]
13
3
[30]
14
2
[25]
12
5
[20]
Рис. 2.1.5.1
Теперь можно определить интервалы, в которых должны выполняться
работы:
работа 4: [13;22];
работа 3: [13;22];
работа 2: [9;25];
работа 1: [7;25].
61
Таким образом, мы пришли к потоковой модели, рассмотренной выше.
Получаем четыре интервала (7;8), (9;12), (13;22), (23;25):
Δ1=2, Δ2=4, Δ3=10, Δ4=3.
Примем N1=5,N2=6,N3=3,N4=2.
Данные о работах приведены в табл. 2.1.5.1.
Таблица 2.1.5.1
i
wi
аi
ci
1
30
6
5
2
20
5
4
3
15
5
3
4
42
7
2
Построим потоковую сеть (рис. 2.1.5.2).
1шаг. Определяем поток максимальной величины по дуге (0,1):
x11  10 , x12  14 , x14  6 , x 01  30 .
2 шаг. Определяем поток максимальной величины по дуге (0,2):
x 22  10 , x 23  10 , x 02  20 .
3 шаг. Определяем поток максимальной величины по дуге (0,3):
x 33  15 , x 03  15 .
4 шаг. Определяем поток максимальной величины по дуге (0,4):
x 43  5 , x 04  5 .
(10)
1
1
(24)14
(30)30
(18)6
(20)20
0
(15)15
2
(60)0
(20)10
(10)10
2
(50)10
(15)
3
3
(30)15
(24)24
30(30)
(6)
(42)5
4
(70)5
4
Рис. 2.1.5.2
Оптимальные объемы работ:
х1=30, х2=20, х3=15, х4=5.
Объемы работ, передаваемых на субподряд, равны:
у1=0, у2=0, у3=0, у4=37.
Затраты составляют 37·2=74 единицы.
62
0
2.2. Дискретные модели
2.2.1. Последовательные и параллельные сети
Рассмотрим ситуацию, в которой работы передаются на субподряд
целиком, либо не передаются. Задачи такого типа относятся к задачам
дискретной оптимизации, которые относятся, как правило, к сложным
(NP-трудным) задачам оптимизации. Рассмотрим различные постановки.
Пусть проект представляет собой последовательную цепь (путь) из n
работ. Обозначим τi – продолжительность i-й работы, di – ее
продолжительность при выполнении внешней организацией (очевидно, что
di<τi и
d
i
i
 T ). Если T(w)   i  T , то часть работ придется отдать
i
внешним исполнителям. Обозначим x i  0 , если работа i отдается внешним
исполнителям, x i  1 – в противном случае.
Задача. Определить {xi, i  1.n }, минимизирующие
 (1  x )c ,
i
i
i
где сi – оплата i–й работы, выполняемой внешними исполнителями при
ограничении
 (1  x )d   x 
i
i
i
i
T
i
или
 x (
i
i
i
 di )  T   di .
i
Обозначим  i  d i  b i , T   di  B эффект во времени при выполнении
i
работы внешним исполнителем. Тогда задачу можно преобразовать к виду:
максимизировать
c x
i
(2.2.1.1)
i
i
при ограничении
b x
i
i
 B.
(2.2.1.2)
Это классическая задача о ранце, эффективно решаемая при
целочисленных значениях параметров, например методом дихотомического
программирования.
Пример 2.2.1.1. Имеются пять работ, данные о которых приведены в табл. 2.2.1.1.
63
Таблица 2.2.1.1
i
τi
di
ci
bi
1
7
3
5
4
2
4
2
4
2
3
5
2
3
3
4
8
3
2
5
5
9
8
1
1
Пусть Т=24, B  T   di  6 .
i
Задача о ранце имеет вид:
максимизировать
5х1+4х2+3х3+2х4+х5.
при ограничении
4х1+2х2+3х3+5х4+х5≤6.
Примем метод дихотомического программирования. Возьмем структуру
дихотомического представления задачи (рис. 2.2.1.1).
IV
III
I
II
1
1шаг.
2
3
4
5
Рис. 2.2.1.1
Рассматриваем работы 1 и 2. Решение приведено в табл. 2.2.1.2.
Таблица 2.2.1.2
1
4;2
9;6
0
0;0
5;4
0
1
2
1
Первое число в клетке – это эффект, второе – затраты. Результаты
сведены в табл. 2.2.1.3.
Таблица 2.2.1.3
Вариант
Эффект
Затраты
0
0
0
1
4
2
64
2
5
4
3
9
6
2 шаг.
Рассматриваем работы 3 и 4. Решение приведено ниже в табл. 2.2.1.4.
Таблица 2.2.1.4
1
2;5
-
0
0;0
3;3
0
1
4
3
Результаты сведены в табл. 2.2.1.5 (оставлены только Паретооптимальные варианты). Так вариант (2,5) исключен, поскольку при больших
затратах мы получаем меньший эффект.
Таблица 2.2.1.5
Вариант
0
1
Эффект
0
3
Затраты
0
3
3 шаг.
Рассматриваем объединенную работу II и работу 5. Решение
приведено в табл. 2.2.1.6.
Таблица 2.2.1.6
1
3;3
4;4
-
-
0
0;0
1;1
-
-
0
1
-
-
II
5
Результаты сведены в таблицу 2.2.1.7.
Таблица 2.2.1.7
Вариант
Эффект
Затраты
4 шаг.
0
0
0
1
1
1
2
3
3
3
4
4
Рассматриваем объединенные работы I и III. Решение приведено в табл. 2.2.1.8.
Таблица 2.2.1.8
3
9;6
-
-
-
2
5;4
6;5
-
-
1
4;2
5;3
7;5
8;6
0
0;0
1;1
3;3
4;4
0
1
2
3
I
II
65
Оптимальное решение определяется клеткой (9;6). Ей соответствует
вариант 3 объединенной работы I, то есть выполнение своими силами работ 1 и
2 и передача на субподряд работ 3, 4 и 5. Дополнительные затраты составят
3+2+1=6.
Параллельные (независимые) работы
Случай независимых работ является достаточно простым. Действительно,
если τi>T , то работу i следует отдавать внешним исполнителям. Если
обозначить Q множество работ, такие что τi>T, то дополнительные затраты
составят
C(Q)   ci .
iQ
2.2.2. Агрегируемые сети
Определение 2.2.2.1. Сеть называется агрегируемой, если путем
агрегирования последовательных и (или) параллельных работ ее можно свести
к одной комплексной работе.
Пример агрегируемой сети приведен на рис. 2.2.2.1. (работы изображены
дугами сети).
1
(6;3)
(4;2)
3
(6;3)
(7;2)
0
6
(8;4)
(5;3)
2
(7;3)
(3;2)
5
Рис. 2.2.2.1
Работы (0,1) и (1,3) образуют последовательную сеть. Заменяя их одной
комплексной работой, получаем параллельную сеть из двух работ (0,3). Заменяя
их одной комплексной работой (0,3), получим последовательную сеть (0,3,6),
которую агрегируем в комплексную работу (0,6).
Аналогично последовательную сеть (0,2,5) агрегируем в комплексную
работу (0,5), которая вместе с работой (0,5) образует параллельную сеть. Ее
агрегируем в комплексную работу (0,5), которая вместе с работой (5,6) образует
последовательную сеть. Агрегируя эту сеть, получаем комплексную работу
(0,6), которая вместе с полученной ранее комплексной работой (0,6) образует
параллельную сеть. Агрегируя эти две работы, получаем одну комплексную
работу (0,6). Методы решения задачи синтеза объемов работ для
66
последовательных и параллельных сетей были описаны выше. Применяя их в
процессе
агрегирования,
получаем
решение
задачи.
Алгоритм
проиллюстрируем на примере.
Пример 2.2.2.1. Рассмотрим сеть на рис. 2.2.2.2.
1
(8;5)
0
(6;2)
(12;6)
(5;4)
2
3
Рис.2.2.2.2
Данные о работах приведены в таблице 2.2.2.1.
Таблица 2.2.2.1
(i,j)
τij
dij
bij
cij
(0,1)
8
5
3
5
(0,2)
12
6
6
4
(1,2)
6
2
4
3
(2,3)
5
4
1
6
У дуг сети приведены значения τij и dij. Примем Т=15.
1шаг. Рассматриваем последовательную сеть (0,1,2). Заметим, что
продолжительность Т02 пути (0,1,2) не может быть меньше чем
d 01  d12  7 и не должна быть больше чем T  d 23  11 . Следовательно,
Т02 принимает значения от 7 до 11.
Определяем B 02  T03  d 01  d12  T03  7 .
Следовательно, B02 принимает значения от 0 до 4.
Решаем задачу о ранце:
минимизировать
C02  5x 01  3x12
при ограничении
3x 01  4x12  4 .
Как известно решение задачи о ранце при B 02  4 дает решения для всех
меньших значений B02. Решение приведено в табл. 2.2.2.2.
Таблица 2.2.2.2
Комплексная работа I
Вариант
B02
С02
Т02
0
0
0
7
67
1
3
5
12
Вариант x12  1, x 01  0 отбрасываем, поскольку он доминируется
вариантом x12  0, x 01  1 (при меньшем b получаем больший с).
2 шаг. Рассматриваем параллельную сеть из комплексной работы I и работы
(0,2). Величина Т02 по-прежнему может принимать значения от 7 до 11.
Результаты приведены в табл. 2.2.2.3.
Таблица 2.2.2.3
Комплексная работа II
Вариант
ТII
СII
0
7
0
1
10
5
Поясним табл. 2.2.2.3. При Т02=7,8,9, очевидно, все работы отдаются
внешним исполнителям. При Т02=10 появляется возможность выполнять работу
(0,1) своими силами (работы (0,2) и (0,2) по-прежнему выполняются внешними
исполнителями). При Т02=11 появляется возможность выполнять работу (1,2)
своими силами. Однако при этом работы (0,1) и (0,2) выполняются внешними
исполнителями. Но это менее выгодный вариант, чем передача внешним
исполнителям работы (0,1), поскольку c 01  c12 .
3 шаг. Рассматриваем последовательную сеть из комплексной работы II и
работы (2,3). Определяем: ВIII=T-11=4.
Решаем задачу о ранце:
максимизировать:
5x II  6x 23
при ограничении
3x II  1x 23  4 .
Поясним это ограничение. Для комплексного проекта II имеем ТII=7 или
10. Поскольку
d II  max( d 01  d12 ; d 02 )  7 ,
то b II равно либо 0 либо TII  d II  3 . Оптимальное решение задачи
x II  1, x 23  1, CIII  11 .
Само решение определяем методом обратного хода. Решению x II  1
соответствует вариант 1 табл. 2.2.2.3, то есть выполнение (0,1) своими силами,
а решение x 23  1 соответствует выполнение работы (2,3) своими силами.
2.2.3. Общий случай
Если сеть не является агрегируемой, то ее можно свести к агрегируемой
путем деления ряда вершин (и соответственно дуг). При этом эффекты cij также
делятся произвольным образом на число разделенных дуг. Так, на рис. 2.2.3.1
приведена сеть, которая не является агрегируемой.
Разделим вершину 1 на две 1 и 4, соответственно поделив с01
произвольным образом также на две части u01и u04, u01+u04= с01 (рис. 2.2.3.2).
68
1
(5;2)
(14;9)
(4;2)
0
(7;3)
2
(10;4)
3
Рис. 2.2.3.1
(5;2)
0
(5;2)
1
4
(13;9)
(4;2)
(7;3)
3
2
(7;4)
Рис. 2.2.3.2
Получили агрегируемую сеть.
Имеет место
Теорема 2.2.3.1. Решение задачи оптимизации объемов работ для агрегируемой
сети дает оценку сверху для исходной задачи.
Доказательство. Любому допустимому решению исходной задачи
соответствует допустимое решение для агрегируемой сети. Это доказывает
теорему.
Без ограничения общности можно принять, что каждая разделяемая дуга
делится на две.
Теорема 2.2.3.2. Пусть в оптимальном решении для агрегируемой сети для
любой дуги (i,j), разделенной на дуги (i,p)и (i,s),имеет место либо
хip=хis=1, либо хip=хis=0. В этом случае полученное решение
является оптимальным для исходной задачи.
Доказательство следует из того, что в этом случае полученное решение
является допустимым для исходной задачи и, следовательно, оптимальным.
Обозначим с(u,v) величину критерия в оптимальном решении задачи для
агрегируемой сети.
Обобщенная двойственная задача (ОДЗ)
Определить
u ij  v is  c ij , (i, j)  P ,
где Р - множество разделенных дуг, так, чтобы с(u,v) была минимальной.
Теорема 2.2.3.2. ОДЗ является задачей выпуклого программирования.
Доказательство. Пусть (u1,v1) и (u2,v) два допустимых решения ОДЗ. Возьмем
выпуклую линейную комбинацию
69
u  u1  (1  )u2 ,
v  v1  (1  )v 2 ,
(u,v) также является допустимым решением для ОДЗ.
Рассмотрим задачу максимизации.
C(x, u, v) 
c x
( i , j )P
ij
ij

 u
( i , j )P
1
ij
 (1  )u ij2 x ij  v1ij  (1  ) v i2j x ij 
при ограничении
T( x )  T .
Представим cij  cij  (1  )cij . Имеет место
C(u, v)  max C(x, u, v)   max C(x, u1 , v1 )  (1  ) max C(x, u 2 , v 2 ) 
x
x
x
 C(u , v )  (1  )C(u , v )
Таким образом, ОДЗ можно решать методами локальной оптимизации.
1
1
2
2
Пример 2.2.3.1. Рассмотрим сеть (рис. 2.2.3.1) и агрегируемую сеть (рис. 2.2.3.4).
Данные о работах приведены в таблице 2.2.3.4.
Таблица 2.2.3.4
(i,j)
τij
dij
bij
cij
(0,1)
5
2
3
6
(0,2)
7
4
3
5
(1,2)
4
2
2
4
(1,3)
13
9
4
7
(2,3)
7
3
4
4
Примем Т=15. Возьмем u01  u04  3 . Решаем задачу для агрегируемой
сети.
1шаг.
Рассматриваем
последовательную
B  T  d01  d13  4 .
Решаем задачу о ранце:
максимизировать
сеть
(0,1,3).
Имеем
C(0,1,3)  3x 01  7 x13
при ограничении
3x 01  4x13  4 .
Решение приведено в табл. 2.2.3.5
Таблица 2.2.3.5
Вариант
Т
СI
0
11
0
1
14
3
2
15
7
Оптимальному решению соответствует вариант 2, то есть выполнение
работы (1,3) своими силами.
70
2 шаг.
Рассматриваем последовательную сеть (0,4,2). (Комплексная работа I).
Заметим, что ТI не может быть меньше 4 и не может быть больше 12.
Имеем B  TII  d 04  d 02  TII  4 .
Решаем задачу о ранце:
максимизировать
3x 04  4x 42
при ограничении
3x 04  2x 42  TI  4 .
Ее решение приведено в табл. 2.2.3.6.
Таблица 2.2.3.6
Комплексная работа I
Вариант
ТII
СII
0
4
0
1
6
4
2
9
7
Рассматриваем параллельную сеть из комплексной работы I и работы
(0,2). Заметим, что ТII не может быть меньше 4 и не может быть
больше 12.
Решение приведено в табл. 2.2.3.7.
3шаг.
Таблица 2.2.3.7
Комплексная работа II
Вариант
ТII
СII
4 шаг.
0
4
0
1
6
4
2
7
9
3
9
13
Рассматриваем последовательную сеть из комплексного проекта II и
работы (2,3). Определяем В=T-7=8. Решение приведено в табл. 2.2.3.8.
Таблица 2.2.3.8
1
4;4
6;8
7;13
-
-
0
0;0
2;4
3;9
5;12
-
0
1
2
3
4
(2,3)
II
Оптимальное решение определяется клеткой (7;13). Ему соответствует
вариант 1 работы (2,3) (то есть ее выполнение собственными силами) и вариант
2 комплексной работы II. Варианту 2 комплексной работы II соответствует
вариант 1 комплексной работы I и вариант 1 работы (0,2) (выполнение своими
силами). Наконец, варианту 1 комплексной работы I соответствует выполнение
71
работы (4,2) своими силами. Окончательно своими силами выполняются
работы (0,2), (4,2) и (1,3) с эффектом 20.
Заметим, что обе работы (0,1) и (0,4) не входят в число выполняемых
работ. Поэтому в силу теоремы 2.2.3.2 получено оптимальное решение. Однако
это не всегда так. Пусть например c13=2 вместо 7. В этом случае на шаге 1 мы
получаем оптимальное решение х01=1, то есть работа (0,1) выполняется своими
силами. В то же время работа (1,4) выполняется внешними организациями.
Поэтому полученная в этом решении оценка эффекта 16 будет оценкой сверху.
В данном случае возможны два варианта.
Первый вариант. Улучшаем оценку, решая ОДЗ. Для этого уменьшаем
u01 на 1 и увеличиваем v04 на 1. Теперь на шаге 1 получаем два оптимальных
решения: х01=1 или х13=1. На втором шаге также получаем два оптимальных
решения: х04=1 или х42=1. Выбирая пару х01=1, х04=1 или пару х13=1, х42=1
получаем два оптимальных решения, поскольку условия теоремы 2.2.3.2
выполняются для обоих решений.
Первое решение: х01=1, х04=1, х02=1, х42=1.
Второе решение: х13=1, х02=1, х42=1, х23=1.
Оба с эффектом 15.
Второй вариант. Не тратить время на решение ОДЗ, а применить метод
ветвей и границ. В нашем случае разбиваем множество всех решений на два
подмножества. В первом работа (0,1) выполняется своими силами, а во втором
– выполняется внешними организациями.
Алгоритм решения остается прежним при фиксации переменных хij тех
работ, на основе которых производится разбиение на подмножества.
2.2.4. Модели с несколькими видами ресурсов
Рассмотрим ряд задач, которые объединены названием «задачи обработки
деталей на станках». Имеется n деталей. Каждая деталь проходит обработку на
двух станках. Известно время обработки деталей. Обозначим ai
продолжительность обработки i–й детали на первом станке, bi - на втором.
Рассмотрим ряд задач, отличающихся числом станков первого и второго типа.
Один станок первого типа, n станков второго типа
Для данной задачи оптимальная очередность обработки деталей
определяется правилом: детали обрабатываются в очередности убывания bi.
Действительно, рассмотрим оптимальную последовательность. Пусть в этой
последовательности детали j и i находятся рядом, причем деталь i
обрабатывается первой.
Если bj<bi, то, очевидно, продолжительность обработок двух деталей
составит аj+аi+bi. Поменяем местами детали j и i. Время обработки детали i
равно
аi+bi<аj+аi+bi.
Время обработки детали j равно
72
аi+аj+bj<аj+аi+bi.
Таким образом, обработка первой детали j не может быть оптимальной.
Пусть детали пронумерованы в очередности убывания bi, то есть
b1≥b2≥…≥bn.
На рис. 2.2.4.1 приведен сетевой график обработки деталей (для случая
n=4, работы изображены вершинами).
1
1
2
2
3
3
4
4
Рис. 2.2.4.1
Пусть длина критического пути в этой сети больше Т. Тогда ряд деталей
следует отдать внешним исполнителям. Обозначим хi=1, если i–я деталь
обрабатывается своими силами, хi=0 − в противном случае. Для того, чтобы
обработка деталей была завершена за время, не большее Т, необходимо, чтобы
длины всех путей сети не превышали Т. Это можно записать в виде системы
неравенств:
k
x a
i 1
i
i
 T  b k , k  1, n .
(2.2.4.1)
Задача. Определить {xi, i=1,n}, максимизирующие
C(x)   ci xi .
(2.2.4.2)
при ограничениях (2.2.4.1).
Для решения задачи применим метод динамического программирования.
Описание алгоритма
1шаг.
Проверяем условие a1  T  b1 или рассматриваем первые две детали.
Решаем задачу максимизации
C( x)  c1x1  c 2 x 2
при ограничении
a1x1  a 2 x 2  A 2 ,
где А – параметр, A 2  T  b 2 .
В результате получаем зависимость C1(A) максимального эффекта от
параметра А.
73
Рассматриваем первые (k+1) деталей.
kшаг. Пусть уже получена зависимость Ck(A), A k  T  b k . Зависимость
Ck+1(A), A k 1  T  bk 1 определяется из уравнения Беллмана
(2.2.4.3)
Ck 1 (A)  min
[ck (A  ak1 )  ck1 ] ,
A
Пример 2.2.4.1. Имеются четыре детали, данные о которых приведены в табл. 2.2.4.1.
Таблица 2.2.4.1
i
аi
bi
ci
1
2
6
7
5
4
5
4
3
10
4
3
4
3
2
6
Примем Т=16.
1 шаг. Проверяем условие a1  6  T  b1  9  A1 .
2 шаг. Берем детали 1 и 2. A 8  8 .
Решение приведено в табл. 2.2.4.10.
Таблица 2.2.4.2
1
4;4
-
0
0;0
6;5
0
1
2
1
Правое число в клетке равно затратам (времени), а второе - эффекту от
экономии средств. Результаты сведены в табл. 2.2.4.3
Таблица 2.2.4.3
Комплексная деталь II
Вариант
С2
А2
3 шаг.
0
0
0
1
4
4
2
5
6
Добавляем деталь 3. Решение приведено в табл. 2.2.4.4.
A 3  16  4  12 .
Таблица 2.2.4.4
Комплексная деталь III
1
10;3
-
-
0
0;0
4;4
6;5
0
1
2
3
II
74
Результаты сведены в таблицу 2.2.4.5.
Таблица 2.2.4.5
Вариант
С3
А3
0
0
0
1
4
4
2
6
5
Оставлены только Парето-оптимальные варианты.
4 шаг. Добавляем деталь 4. Решение приведено
A 4  16  2  14 .
в
табл.
2.2.4.6
Таблица 2.2.4.6
1
3;2
7;6
9;7
0
0;0
4;4
6;5
0
1
2
4
II
Оптимальное решение определяется клеткой (9;7). Этой клетке
соответствует вариант 1 детали 4 (эта деталь обрабатывается своими силами) и
вариант 2 комплексной детали III. Варианту 2 комплексной детали III
соответствует обработка деталей 3 и 2 внешними исполнителями и обработка
детали 1 своими силами. Окончательно получаем, что своими силами
обрабатываются детали 1 и 4. Дополнительные затраты составляют 7 единиц.
Один станок второго типа и n станков первого типа
Пусть Q − множество деталей, обрабатываемых своими силами. Тогда
оптимальная очередность обработок этих деталей определяется правилом:
детали обрабатываются в очередности возрастания аi. Действительно, если
a j  ai и деталь j обрабатывается первой, то продолжительность обработки этих
двух деталей равна
max( a j  b j  bi ; ai  bi ) .
Если поменять детали местами, то получим время обработки:
max( ai  bi  bj ; aj  bj ) .
Заметим, что ai  bi  bj  aj  bj  bi , а (aj  bj )  aj  bj  bi , что
обосновывает правило.
Однако мы не знаем множество Q, а значит, не знаем, какая деталь будет
обрабатываться первой. Поэтому переберем все n вариантов. При этом если
первой обрабатывается деталь i, то в множество обрабатываемых своими
силами деталей не должны входить детали, у которых a j  a i .
Пусть детали пронумерованы по возрастанию a i , то есть
a1  a 2  ...  a n .
75
Перебор начинаем с первой детали. Если первой обрабатывается деталь i,
то решается задача максимизации
i
Ci (x)   ci xi
(2.2.4.4)
ji
при ограничениях
b x
ji
i
i
 T  ai , i  1, n .
(2.2.4.5)
Эта задача для каждого i также решается методом динамического
программирования аналогично предыдущей задаче.
Пример 2.2.4.2. Имеются 4 детали, данные о которых приведены в табл. 2.2.4.7.
Таблица 2.2.4.7
i
аi
bi
ci
1
2
6
4
1
8
5
4
3
10
6
5
4
13
8
6
Примем Т=19.
1 шаг.
Первая деталь обрабатывается первой. Решаем задачу максимизации
х1+4х2+5х3+6х4
при ограничениях
4х1+5х2+6х3+8х4≤19-6=13,
5х2+6х3+8х4≤19-8=11,
6х3+8х4≤19-10=9,
8х4≤19-13=6.
Ее решение х1=1, х3=1, с1=6.
2 шаг.
Вторая деталь обрабатывается первой. Решаем задачу максимизации
4х2+5х3+6х4
при ограничениях
5х2+6х3+8х4≤11,
6х3+8х4≤9,
8х4≤6.
Ее решение х2=1, х3=1, с2=11.
3 шаг.
Третья деталь обрабатывается первой. Решаем задачу максимизации
5х3+6х4
при ограничениях
6х3+8х4≤9,
8х4≤6.
Ее решение х3=1, с3=5.
Оптимальным является обработка первой второй детали.
76
Один станок каждого типа
(задача Джонсона)
Рассмотрим ситуацию, когда имеется по одному станку каждого типа. Эта
задача известна как задача Джонсона. Решение задачи Джонсона получается на
основе следующего правила: сначала обрабатываются детали, для которых
ai≤bi, в очередности возрастания ai. Затем обрабатываются детали, для которых
ai≥bi в очередности убывания bi.
Пусть детали пронумерованы согласно этому правилу. В этом случае
допустимое решение должно удовлетворять следующей системе неравенств:
k
n
j1
jk
 a jx j   b jx j  T, k  1, n
(2.2.4.6)
Задача заключается в определении {xj, j  1.n }, максимизирующих
C(x)   c jx j
(2.2.4.7)
j
при ограничениях (2.2.4.6).
Для решения задачи можно применить программы решения задач
дискретной оптимизации в переменных 0,1. Однако в ряде случаев
эффективным является метод ограниченного перебора. Так, если для
выполнения неравенств (3,6) достаточно удалить не более k любых деталей, то
перебор составляет не более
k
M   c ni ,
i 1
и при небольших k алгоритм достаточно эффективен.
Пример 2.2.4.3. Имеются 4 детали, данные о которых приведены в табл. 2.2.4.8.
Таблица 2.2.4.8
i
аi
bi
ci
1
2
4
6
6
3
7
9
3
4
8
4
2
6
5
7
Примем Т=25.
Получаем систему неравенств
12х1+9х2+4х3+5х4≤25,
4х1+16х2+4х3+5х4≤25,
4х1+7х2+12х3+5х4≤25,
4х1+7х2+8х3+11х4≤25.
Заметим, что достаточно удалить одну первую деталь вместе с любой
другой, либо одну вторую деталь, либо третьего с любой другой, либо
четвертую деталь. Оптимальный вариант, как легко проверить, удалить
(выполнять внешними организациями) вторую деталь с дополнительными
затратами 3 единицы.
77
Рассмотрим два частных случая.
1 случай. Имеет место ai≥bj для всех i, j.
В этом случае момент окончания обработки детали k выполняется по
формуле
k
t k   a j  bk ,
(2.2.4.8)
j1
что совпадает с моментом окончания обработки k-ой детали в случае, когда
имеется один станок первого типа и n станков второго типа (см. формулу
(2.2.4.1)). Поэтому в этом случае можно применить метод динамического
программирования, как описано выше.
2 случай. Имеет место ai≤bj для всех i,j.
В этом случае момент окончания отработки k-й детали, в случае, когда
первой обрабатывается деталь i≠k, вычисляется по формуле
t k  ai   b j
(2.2.4.9)
ji
(см. формулу (2.2.4.5)).
Как описано выше, задача решается перебором всех деталей. Для каждого
i (деталь i обрабатывается первой) решается задача (2.2.4.4), (2.2.4.5) методом
динамического программирования.
Три типа станков. Один станок для второго типа
Рассмотрим задачу, когда каждая деталь обрабатывается на трех станках,
причем станков первого и третьего типа достаточно, а станок второго типа
один. Обозначим τi, ai, bi − продолжительности обработки i-й детали на станках
соответственно первого, второго и третьего типов.
Заметим, что начало обработки i-й детали на втором станке равно
di  i  1 ,
а поздний момент окончания равен
Di  Т  b i .
Таким образом, i-я деталь должна быть обработана на отрезке времени
[d i , Di ] . Для решения задачи применяем потоковую модель, описанную в
п.2.1.4. Разница в том, что каждая деталь обрабатывается на одном станке.
Поэтому пропускные способности c 0 i  a i , cij  ij , c jz   j , i  1, m , где mчисло интервалов.
Пример 2.2.4.4. Имеются 5 деталей, данные о которых приведены в табл. 2.2.4.9.
Таблица 2.2.4.9
i
τi
аi
bi
ci
1
2
5
2
5
5
3
2
2
7
4
4
3
3
6
3
78
5
6
3
4
2
7
1
3
1
Примем Т=12.
Интервалы [d i , Di ] приведены в табл. 2.2.4.10.
Таблица 2.2.4.10
i
1
di
Di
2
6
7
3
4
5
4
4
6
5
7
8
8
9
Выделим шесть интервалов длительности. Потоковая сеть приведена на
рис. 2.2.4.2.
1
1
1
1
2
(2)2
(1)1
1
2(2)
2
(1)1
3
0
0
(3)0
3
0
1
0
1(1)
z
4
(3)1
(1)1
(1)1
4
0
(1)1
1
(1)1
5
5
1
6
Рис. 2.2.4.2
Пропускные способности всех дуг (i,j) и (j,z) равны 1. Потоки указаны у
дуг (без скобок). На исполнение внешним организациям передается деталь 3 и
2
/3 части обработки детали 4 с дополнительными затратами 2/3·3·2+3=7 единиц.
В данном случае мы допустили передачу обработки части детали на втором
станке. Заметим, что обработка деталей − это только одна из интерпретаций
задачи. Как правило, имеются другие содержательные интерпретации, более
близкие к управлению проектами (выполнение проектных работ, выполнение
строительных работ, завершение проекта и др.). Если передача части работ
недопустима, задача становится существенно сложнее и в настоящее время не
решена.
79
1.
2.
3.
4.
5.
6.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Сформулировать алгоритм решения задачи оптимизации объемов работ для
случая линейной зависимости продолжительностей работ от их объемов.
В чем заключается суть потоковой модели для задачи оптимизации объемов
работ при переменном уровне ресурсов?
Сформулировать метод решения задачи оптимизации объемов работ при
переменном уровне ресурсов, основанный на последовательном решении
ряда задач о максимальном потоке.
Какие методы решения задачи оптимизации объемов работ можно
предложить для дискретных моделей?
В чем заключается метод решения путем преобразования сети общего вида
в агрегируемую?
В чем заключаются постановки задач оптимизации объемов работ с
несколькими видами ресурсов.
ГЛАВА 3. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ
ПРОЕКТАМИ ПРИ РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЯХ МЕЖДУ
РАБОТАМИ
3.1. Задачи управления проектами при зависимостях
рекомендательного типа
Существует четыре типа зависимостей между работами проекта: «стартфиниш», «старт-старт», «финиш-финиш» и «финиш-старт», причем было
отмечено, что наиболее часто встречаются зависимости «финиш-старт». Эти
зависимости имеют обязательный характер, то есть должны выполняться
неукоснительно (недаром их еще называют жесткими зависимостями). Однако
на практике нередки ситуации, когда эти зависимости носят не обязательный, а
рекомендательный характер. Другими словами, они могут нарушаться, но их
нарушение ведет к определенным потерям, либо к увеличению
продолжительности работ, либо к росту затрат на реализацию проекта.
Так, при строительстве дома рационально проложить сначала трубы, а
затем асфальтировать площадку. Можно делать в обратном порядке, но при
этом увеличатся затраты и время. При выполнении работы остаются отходы
материала, которые можно использовать при выполнении другой работы, что
снижает стоимость. Примеров можно привести много. Заметим, что обычные
жесткие зависимости можно формально свести к зависимостям
рекомендательного типа, если ввести большие потери или значительное
увеличение продолжительности работы при их нарушении. Зависимости
рекомендательного типа будем называть мягкими.
Пусть имеется проект из n работ, мягкие зависимости между которыми
описаны сетевым графиком (рис. 3.1.1). Будем рассматривать зависимости
«финиш-старт». Вершины сетевого графика соответствуют работам проекта. В
верхней половине вершины указан номер работы, а в нижнем − ее
80
продолжительность. Дуги соответствуют мягким зависимостям между
работами. Для каждой дуги заданы два числа: аij и bij. Первое число аij
определяет увеличение продолжительности работы j, если зависимость (i; j)
нарушается, то есть если работа j начата до окончания работы i. Второе число
bij определяет увеличение затрат на выполнение работы j, если зависимость
(i, j) нарушается.
1
3
(8;2)
(3;1)
3
7
(5;3)
(1;1)
4
4
(4;5)
2
5
(7;2)
6
8
5
2
(2;3)
(1;4)
7
6
(3;4)
Рис. 3.1.1
Для описанной модели возможны различные постановки задач.
Задача 3.1.1.
Пусть заданы только числа аij (можно считать, что все bij=0).
Требуется определить календарный план с минимальной
продолжительностью проекта.
Задача 3.1.2.
Пусть заданы только числа bij (можно считать, что все аij=0).
Требуется определить календарный план с минимальными
дополнительными затратами.
Задача 3.1.3.
Пусть заданы оба числа аij и bij. Определить календарный
план, при котором проект выполняется за время Т, а увеличение
затрат минимально.
Заметим, что сетевой график при мягких зависимостях может иметь
контуры в отличие от сетевого графика при жестких зависимостях.
3.2. Алгоритм решения задачи построения
календарного плана с минимальной продолжительностью проекта
Присваиваем всем работам сетевого графика начальные индексы i=i,
i  1, n .
Рассматриваем
каждую
работу
i.
Обозначим
через
Qi множество работ, предшествующих работе i, то есть в сетевом графике
существует дуга (j, i) для jQi . Обозначим через mi число дуг, заходящих в
вершину i (число элементов множества Qi). Рассмотрим все подмножества из mi
элементов (их число равно 2m ). Для каждого подмножества, содержащего
вершины RiQi, вычисляем
(3.2.1)
ti Ri    i  max  j   a ji .
i
jRi
jRi
Определяем новый индекс вершины i:
i  min ti Ri  .
Ri
81
(3.2.2)
Алгоритм заканчивается, когда все индексы установятся. Конечность
алгоритма следует из того, что последовательность индексов для каждого i
является возрастающей. С другой стороны, индексы i ограничены величиной
T   i   a ji .
jQi
Пример 3.2.1. Рассмотрим сетевой график (рис. 3.2.1).
[4]
[6]
1
6
2
2
2
[11]
3
4
8
3
3
6
[5]
1
3
5
4
6
4
3
5
4
2
[10]
7
[12]
Рис. 3.2.1
1 шаг 1=2, 2=3, 3=1, 4=4, 5=2, 6=3.
2 шаг Рассматриваем вершину 1. В нее заходит одна дуга (2,1). Если
соответствующую зависимость не учитывать, то продолжительность работы
увеличиться на 2 единицы и будет равна t1=4. Если же зависимость (2,1)
учитывать (считать жесткой), то момент окончания работы будет равен
t1=2+3=5. Поэтому выгоднее зависимость (2,1) не учитывать. Имеем
1  min 4;5  4
Рассматриваем вершину 2. В нее заходит также только одна дуга (6;2).
Если соответствующую зависимость не учитывать, то момент окончания
работы 2 будет равен t2=3+3=6. Если учитывать, то t1=6+2=6. Обе величины
равны, поэтому 2  6.
Рассматриваем работу 3. В нее также заходит только одна дуга (2,3). Если
соответствующую зависимость не учитывать, то 3   3  a23  5 , а если
учитывать, то 3  2   3  6  1  7 .
Выбираем минимальное время 3  min 5;7  5 .
Рассматриваем работы 4. В данном случае в величину 4 заходят две дуги
(2;4) и (3;4). Поэтому имеются 4 варианта.
Обе зависимости (2,4) и (3,4) не учитываем. Продолжительность работы
увеличивается на a24  a34  8  6  14 и момент ее окончания 4  4  14  18 .
Учитываем только одну зависимость (2,4). Продолжительность работы 4
a34  16 ,
увеличивается
на
а
момент
ее
окончания
равен
4  2   4  a34  4  6  6  16 .
82
Учитываем только зависимость (3,4). Продолжительность работы
увеличивается
на
а
момент
ее
завершения
равен
a24  8 ,
4  3   4  a 24  5  8  4  17 .
Учитываем обе зависимости (2,4) (3,4). Продолжительность работы не
увеличивается, а момент ее завершения равен
4  max(  2 ; 3 )   4  6  4  10 .
Выбираем вариант с минимальной величиной , то есть
4  min( 18,16,17 ,10 )  10 .
Рассматриваем работу 5. В нее также заходят две дуги (2,5) и (4,5).
Потому рассматриваем четыре варианта. Обе зависимости не учитываем.
Имеем
5   5  a 25  a 45  2  4  7  13 . Учитываем зависимость (2,5). Имеем
5   5  a 45  2  2  7  6  15 .
Учитываем зависимость (4,5). Имеем 5   5  a 25  4  2  4  10  16 . Учитываем
обе зависимости (2,5) (4,5). Имеем 5  max(  2 ; 4 )   5  2  10  12 .
Выбираем четвертый вариант 5  12 .
Рассматриваем работу 6. В вершину 6 заходят три дуги (1,6) (3,6) и (5,6) в
данном случае имеем 23=8 вариантов. Все три зависимости не учитываем.
Имеем 6   6  a16  a36  a56  3  6  5  3  17 .
Учитываем зависимость (1,6). Имеем
6   6  a36  a56  1  3  5  3  4  15 .
Учитываем зависимость (3,6). Имеем
6   6  a16  a56  3  3  6  3  5  17 .
Учитываем зависимость (5,6). Имеем
6   6  a16  a36  5  26 .
Учитываем зависимости (1,6) и (3,6). Имеем
6   6  a56  max( 1 ; 3 )  3  3  5  11 .
Учитываем зависимости (1,6) и (5,6). Имеем
6   6  a36  max( 1 ; 5 )  3  5  12  20 .
Учитываем зависимости (3,6) и (5,6). Имеем
6   6  a16  max( 3 ; 5 )  21 .
Учитываем все три зависимости (1,6), (3,6) и (5,6). Имеем
6  max(  1 ; 3 ; 5 )   6  15 .
Выбираем пятый вариант 6  11 .
Замечание 3.2.1. Число вариантов можно сохранить, если дуги множества Qi
рассматривать в очередности убывания i. В этом случае, если мы учитываем
дугу (j;i), то можно сразу учесть все дуги с меньшими или равными k  j . В
нашем случае достаточно рассмотреть 4 вариант. В общем случае, если в
вершину i заходит mi дуг, достаточно рассмотреть (mi+1) вариант.
Проверим корректировку индексов вершин в том же порядке.
83
Рассматриваем вершину 1. Имеем одну заходящую дугу и значит два
варианта 2  min(  1a21; 1  2 )  4 .
Величина индекса не изменилась.
Рассматриваем вершину 2. Имеем такие два варианта
2  min(  2 a62 ; 2  6 )  6 .
Величина индекса не изменилась.
Рассматриваем вершину 3. Имеем два варианта
3  3 min( a23 ; 2 )  5 .
Величина индекса не изменилась.
Рассматриваем вершину 4. Имеем три варианта, так как в вершину 4 заходят 2
дуги. Имеем
4  4 min( 6;13;18)  10 .
Величина индекса не изменилась.
Рассматриваем вершину 5. Имеем три варианта
5  5 min( 10;13;11)  12 .
Величина индекса не изменилась.
Рассматриваем вершину 6. Имеем четыре варианта, так как в вершину 6 заходят
3 дуги. Имеем
6  6 min( 12;8;12 )  11 .
Величина индекса не изменилась.
Поскольку индексы установлены, то алгоритм закончен.
Теорема 3.2.1. Установившиеся значения индексов i определяют минимальные
ранние сроки завершения работ.
Доказательство. Заметим, что величины индексов, получаемые на каждом
шаге, являются нижними оценками моментов окончания соответствующих
работ. После того как индексы установились, можно выделить те зависимости,
то есть становятся жесткими зависимости. Можно построить сетевой график
выполнения работ с учетом только жестких зависимостей. Очевидно, что этот
сетевой график не имеет контуров. Рассчитывая его известными алгоритмами (с
учетом того, что зависимости, которые не выполняются, приводят к
увеличению продолжительностей работ), мы получим те же самые
установившиеся индексы. Это доказывает теорему.
3.3. Построение календарного плана с минимальными дополнительными
затратами с использованием метода дихотомического программирования
Рассмотрим сетевой график без контуров, в котором некоторое
множество Q зависимостей являются мягкими (рис. 3.3.1), мягкие зависимости
показаны пунктиром.
При построении дихотомического представления естественно учитывать
только моменты окончания тех работ j, которые связаны мягкими
зависимостями хотя бы с одной работой, т.е. существует работа i, такая что
(i,j)Q. В нашем примере таких работ три. Это работы 4,6 и 7.
84
1
5
(5)
3
4
6
5
(6)
4
3
(12)
2
6
5
2
(2)
7
6
Рис. 3.3.1
Дихотомическое представление сетевого графика (рис. 3.3.1) приведено
на рис. 3.3.2.
Т
T6
T7
(2.4)
(3.6)
T4
(1.4)
(5.7)
Рис. 3.3.2
Построим соответствующие матрицы для t4, t6 t7. Матрица для момента t4
приведена на рис. 3.3.3.
Опишем более детально метод построения этой матрицы. Возможно 4
варианта для мягких зависимостей.
0
9
3
6
5
6
9
8
0
t1
18
0
6
12
0
t2
0
12
Рис 3.3.3
1 вариант. Учитываем обе зависимости. В этом случае момент завершения
работы 4 равен
t 4  4  max( t1 , t 2 )  9 ,
а дополнительные затраты равны 0.
2 вариант. Учитываем только зависимость (1,4). В этом случае
t 4   4  t1  8 ,
85
а дополнительные затраты равны 12.
3 вариант. Учитываем только зависимость (2,4). В этом случае
t4   4  t2  9 ,
а дополнительные затраты равны 6. Заметим, что этот вариант можно не
рассматривать, поскольку при учете зависимости (2,4) автоматически
учитывается зависимость (1,4).
4 вариант. Не учитываем ни одной зависимости. В этом случае
t 4  4  3 ,
а дополнительные затраты составят 18.
Матрица для момента t6 приведена на рис. 2.4. Заметим, что момент t4
используется дважды. Во-первых, для определения t6, а во-вторых, для
определения t7. Поэтому затраты в матрице для t4 необходимо разделить на две
части – одна часть для матрицы t6, а другая – для матрицы t7. Поделим их
поровну. В этом случае получаем следующую матрицу (t6) (рис. 3.3.4).
0
14
13
5
(t6)=
9
0
t3
5
14
8
11
14
0
9
14
6
8
t4
14
0
9
3
6
9
Рис. 3.3.4
Матрица для момента t7 приведена на рис. 3.3.5.
0
15
14
2
(t7)=
8
2
15
14
0
t5
9
8
0
9
14
6
8
t4
11
0
9
3
6
9
Рис. 3.3.5
Окончательно получим дихотомическое представление, приведенное на
рис. 3.3.6.
Теперь можно решить задачу оптимизации дополнительных затрат для
любого T.
1. Возьмем T15. Из матрицы (t7) получаем t5=8, t4=9. Следовательно,
зависимость (5,7) учитывается. Из матрицы (t4) получаем при t4=9, t1=5, t2=6, то
есть учитываются обе зависимости (1,4) и (2,4).
Из матрицы (t6) получаем t3=9, t4=9, то есть зависимость (3,6)
учитывается. Таким образом, учитываем все зависимости и дополнительные
затраты S(15)=0.
2. Возьмем T14. Анализируя матрицу (t7), мы видим, что t4=9 не
удовлетворяет ограничению T14 при любом t5. Поэтому решение t4=9 не
рассматриваем. Из матрицы (t7) получаем t4=8, t5=8, то есть зависимость (5.7)
86
учитывается. Из матрицы (t6) получаем t3=9, t4=8 (поскольку решения с t4=9 мы
исключили). Наконец, из матрицы (t4) получаем при t4=8, t1=5, t2=0, то есть
зависимость (2,4) не учитываем, а зависимость (1,4) учитываем. Окончательно
получаем решение, в котором не учитывается только зависимость (2,4) с
дополнительными затратами S(14)=12.
3. Возьмем T13. Анализируя матрицу (t7), видим, что t4=9 и 8 следует
исключить. Имеем t4=3, t5=0, то есть зависимость (5.7) не учитывается. Из
матрицы (t6) получаем t3=0, t4=3, то есть зависимость (3,6) не учитывается. Из
матрицы (t4) получаем t1=t2=0, то есть обе зависимости (1,4) и (2,4) не
учитываем. Получаем решение, в котором ни одна из зависимостей не
учитывается. Продолжительность проекта составляет Т=9, а дополнительные
затратами S=25.
В рассмотренном примере и в матрице (t6) и в матрице (t7) мы получили
одинаковые значения t4 при любых Т. Поэтому полученные решения являются
допустимыми, а значит оптимальными. В более сложных случаях значения ti,
полученные в разных матрицах могут не совпадать. В этих случаях мы
получаем оценку снизу дополнительных затрат. Можно попытаться улучшить
эту оценку, применив деление затрат. Если это не удается, то применяем метод
ветвей и границ.
t7
t6
0
14
13
5
t3

9
5
14
11
14
0
t3
8
0
9
14
6
0
8
9
15
t5
9
14
2
0
3
6
15
2

14
8
t4
0
8
14
0
9
t4
9
6
5
9
0
0
t1
1,4
8
6
t2
18
0
12
0
0
12
3,6
2,4
Рис. 3.3.6
87
14
8
3
6
11
6
t4
0
9
5,7
9
3
6
9
3.4. Построение календарного плана заданной продолжительности при
минимальном увеличении затрат
Метод дихотомического программирования можно обобщить на задачу 3.1.3.
Изменение состоит только в том, что при формировании матриц
дихотомического
представления
необходимо
учитывать
увеличение
продолжительности работ. Дадим иллюстрацию метода на примере сетевого
графика (рис. 3.3.1) Примем следующее значение аij, для мягких зависимостей
(i,j)
aij
(1.4)
3
(2.4)
1
(3.6)
4
(5.7)
2
Построим соответствующие матрицы для t4, t6 и t7.
Матрица для момента t4 приведена на рис. 3.4.1.
Поясним, как получаются значения моментов окончания работы 4 для
разных вариантов учета мягких зависимостей (1,4) и (2,4). Если учтены обе
зависимости, то t1=5, t2=6, 4=3, t 4  3  max 5;6  9 .
Если зависимость (1,4) не учитывается, а зависимость (2,4) учитывается,
то t1=0, t2=6, 4=4 +а14=6, t 4  6  max 0;6  12 .
Заметим, что этот случай можно не рассматривать, поскольку при учете
зависимость (2,4) естественно учесть и зависимость (1,4).
0
12
6
(t4)=
5
7
6
9
0
t1
18
9
0
6
t2
12
0
0
12
Рис. 3.4.1
Если зависимость (1,4) учитывается, а зависимость (2,4) не учитывается,
то t1=5, t2=0, 4=3 +а24=4, t 4  max t1; t 2   4  9 .
Наконец, если обе зависимости не учитываются, то t1=t2=0, 4=4 +а14+а24 =7.
Матрица для момента t6 приведена на рис. 3.4.2. Значение t4 =12 мы
исключили, поскольку оно доминирует значением t4=9.
0
14
5
(t6)=
9
12
6
14
0
t3
23
14
0
9
t4
7
7
0
Рис. 3.4.2
88
9
Матрица для момента t7 приведена на рис. 3.4.3.
0
17
2
(t7)=
8
15
2
15
0
t5
11
14
0
9
t4
9
7
0
9
Рис.3.4.3
Решим задачу для случая Т<15.
Из матрицы (t7) имеем t4=7, t5=8, учитывается зависимость (5,7).
Из матрицы (t6) имеем t3=9, t4=7, учитывается зависимость (3,6).
Действительно, значение t4=9 исключаем, поскольку в матрице (t7) в
столбце со значением t4=9 нет значений t7 меньше 15.
Из матрицы (t4) имеем t1=0, t2=0, то есть не учитываются зависимости
(1,4) и (2,4).
Окончательно получаем решение, в котором не учитывается только две
зависимости (1,4) и (2,4). Продолжительность проекта составляет Т=14, а
дополнительные затраты S=18. При этом продолжительности работ
увеличились в сумме на 4 единицы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какие зависимости между работами проекта называются зависимостями
рекомендательного типа?
2. К чему ведет нарушение зависимостей рекомендательного типа?
3. Сформулируйте алгоритм решения задачи построения календарного плана с
минимальной продолжительностью проекта.
4. В чем заключается алгоритм построения календарного плана с
минимальными дополнительными затратами.
5. Сформулируйте правила построения матриц для моментов t.
6. В чем заключается анализ матриц при решении задач оптимизации
дополнительных затрат для любого Т.
7. Сформулируйте алгоритм построения календарного плана
заданной
продолжительности при минимальном увеличении затрат.
8. Как определить из матриц продолжительность проекта и дополнительные
затраты?
89
ГЛАВА 4. МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ
ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ ПРОЕКТНОЙ ОРГАНИЗАЦИИ
4.1. Оптимальное размещение единиц проектирования во времени
Рассмотрим случай независимых проектных работ. В этом случае задача
решается отдельно для каждого вида проектных работ. Пусть ограничение C is
отсутствует, то есть при наличии ресурсов каждая работа может быть
выполнена в одном интервале. В этом случае существует простое правило
оптимального распределения ресурсов: в первую очередь начинаются работы с
минимальными поздними сроками окончания (правило А).
Доказательство. Пусть в каком-либо интервале s назначена работа i, хотя
имеется работа j с меньшей величиной b j  b i . Заметим, что соответствующий
объем работы j выполняется в некотором более позднем интервале q. Однако в
этом же интервале может выполняться и работа i. Поэтому мы можем поменять
объемы работ (то есть объем работы j, выполняемый в q-м интервале,
переносим в интервал s, и наоборот соответствующий объем работ i переносим
в интервал q). Поступая таким образом всякий раз, когда нарушается правило,
мы придем к решению, в котором все работы выполняются в соответствии с
правилом А принятия решения.
1 шаг.
Определяем начальную величину :
 W
 0  max  1;  ,
(4.1.1)
 Q
где W   Wi ; Q   Q s .
s
i
Применяем правило А при количестве ресурсов  0 Q s , s  1, T . Если
удается выполнить все работы, то получено оптимальное решение. В
противном случае возможны два варианта:
1 вариант. Найдется ближайший интервал S, такой, что
x
iPs
is
  0Q ,
то есть ресурсы не полностью используются.
Исключаем все работы, которые выполнены в интервалах 1, S . Для
оставшихся работ определяем
 W(s ) 

 1  max  1;
Q
(
s
)

,
где W(s) 
 Wi , Q(s) 
iP s 
T
Q
p  s 1
p
, Р(s) – множество невыполненных работ.
Применяем правило А для распределения объемов невыполненных работ,
начиная с интервала (s+1). Если удалось выполнить все работы, то получено
оптимальное решение
90
2 вариант. Найдется ближайший интервал, такой, что объем работ,
который должен быть выполнен в s-м интервале, превышает Qs (таким образом,
ресурсов не хватит для выполнения всех работ, которые должны быть
завершены в интервалах 1, S ). В этом случае определяем
 V (s ) 

 1  max  1;
H
(
s
)

,
где
V (s ) - объем работ, которые должны быть выполнены в интервалах 1, S ,
s
H(s)   Q p , и применяем правило А.
p 1
За конечное число шагов будет получено оптимальное решение.
4.2. Оптимальное размещение работ между
подразделениями проектной организации
Пусть в организации имеются  подразделений, располагающих
мощностями ресурсов одного вида. Обозначим Qi объем проектных работ,
который может выполнить i-е подразделение, Wi − объем i-й работы, i  1, n .
Требуется распределить работы между подразделениями так, чтобы загрузка
подразделений (или их перегрузка) была максимально равномерной. Обозначим
xij  1 , если i-я работа выполняется подразделением j, xij  0 − в противном
случае. Тогда уровень загрузки (перегрузки) подразделения i можно оценить
величиной
1
(4.2.1)
Fi 
 w i x ij .
Qi j
Задача заключается в распределении работ по подразделениям так, чтобы
минимизировать
1
(4.2.2)
max
 w i x ij .
i
Qi j
Рассмотрим сначала частный случай, когда Qi=Q для всех i. В этом
случае задача сводится к классической «задаче о камнях».
Рассмотрим постановку «задачи о камнях». Имеется n «камней» разного
веса. Требуется разбить их на m групп (куч) так, чтобы максимальный вес
камней в группе был минимален. Задача о камнях имеет многочисленные
варианты
применения
(равномерное
распределение
работ
между
исполнителями, функций по подразделениям организационной структуры и
т.д.). Дадим формальную постановку задачи.
Задача 4.2.1. Обозначим через ai вес 1-го камня; x ij  1 , если камень i
попал в j-ю кучку, xij  0 в противном случае. Суммарный вес камней в j-й
группе равен
91
Tj   a i x ij .
(4.2.3)
i
Максимальный вес группы
T  max  a i x ij  min .
j
(4.2.4)
i
Поскольку каждый камень должен быть помещен только в одну группу,
имеем ограничения:
x
ij
 1, i  1, n .
(4.2.5)
j
Задача заключается в минимизации (4.2.4) при ограничениях (4.2.5). Мы
будем рассматривать вспомогательную задачу следующего вида.
Задача 4.2.2. Фиксируем допустимый вес каждой группы Т и
сформулируем следующую задачу: максимизировать сумму весов
размещенных в ящики вместимостью Т камней:
Ф   a i x ij  max
(4.2.6)
i ,j
при ограничениях (4.2.5) и
a x
i
ij
 T,
j  1, m .
(4.2.7)
i
Связь между задачами (4.2.4)-(4.2.5) и (4.2.5)-(4.2.7) очевидна.
Минимальное Т, при котором в оптимальном решении задачи 4.2.2 размещены
все камни, определяет оптимальное решение задачи 4.2.1.

j
X11
X12

j


j
X21
j
X22

j
X31
X32
Рис. 4.2.1
Сначала получим сетевое представление задачи 4.2.2. Оно представлено
на рис. 4.2.1 для случая n=3, m=2. Поскольку структура сетевого представления
имеет вид сети, а не дерева, то для построения оценочной задачи разделяем
каждую вершину нижнего уровня на две вершины. Преобразованная структура
приведена на рис. 4.2.2. Все так же делим на 2 части u ij и v ij для каждой
вершины нижнего уровня так, что
(4.2.8)
u ij  v ij  a i для всех i, j.
92
Рассмотрим следующие две задачи.
Задача 4.2.3.Определить x ij так, чтобы максимизировать
u
ij
(4.2.9)
x ij
i,j
при ограничениях (4.2.5).
Задача 4.2.4. Максимизировать
v
ij
(4.2.10)
x ij
i,j
при ограничениях (4.2.7).
Обозначим Sm(u) и Lm(v) оптимальные решения 4.2.1 и 4.2.2 задач при
заданных u и v. Оценочная задача заключается в определении u ij  и v ij ,
минимизирующих
F(u,v)=Sm(u) + Lm(v)
(4.2.11)
при ограничении (4.2.8).
Заметим, во-первых, что в оптимальных решениях этих задач можно
принять
u ij  y i , v ij  a i  y i , j  1, m
.
Во-вторых, решение задачи 4.2.3 очевидно:

j
X11
X12

j
X21


j
X22

j
X31
X11
X32
X12
X21
j
X22
X31
X32
Рис. 4.2.3
S m (x)   y i
(4.2.12)
i
В-третьих, решение m задач 4.2.4 при заданных {уi} сводится к решению
одной задачи о ранце: определить x i  0,1 , максимизирующие
 x (a
i
i
 yi )
(4.2.13)
i
при ограничении
x a
i
i
 T.
i
Решим задачу (4.2.13) и (4.2.14) при y i  0, i  1, n .
93
(4.2.14)
Обозначим через Q  {Q j } множество векторов х, удовлетворяющих
(4.2.14) и упорядоченных по убыванию: M j   a i , Y j   y i , а
iQ j
iQ j
Z  max (M j  Yj ) .
j
(4.2.15)
Заметим, что при заданных {y i } Z определяет оптимальное решение
каждой из m вторых задач. Оценка (4.2.11) при этом равна
F( y )  mZ   y i ,
(4.2.16)
i
где y i  0 удовлетворяют неравенствам
y
iQ j
i
 Z M j ,
j  1, N .
(4.2.17)
где N − число различных решений неравенства (4.2.14). Таким образом,
оценочная задача свелась к определению 0  y i  a i , i  1, n и 0  Z  M j ,
максимизирующих (4.2.16) при ограничениях (4.2.17). Это обычная задача
линейного программирования.
Фиксируем величину Z и определяем максимальный номер k такой, что
Z  M k . Рассматриваем следующую задачу линейного программирования:
определить 0  y i  a i , i  1, n , минимизирующие
Y( Z )   y i
(4.2.18)
i
при ограничениях (4.2.17), где j  1, k . Двойственная задача имеет вид:
определить u j  0 , j  1, k , максимизирующие
k
 (M
j1
j
 Z)u j
при ограничениях
u
jR i
j
 1, i  1, n ,
где Ri — множество j, содержащих камень i.
Обозначим через Y0(Z) минимальное значение Y(Z). Оценочная задача
сводится к минимизации функции одного переменного
Y0 ( Z )  mZ  min .
(4.2.19)
Берем T0  A / m , где A   a i , и решаем задачу 4.2.2. Если Ф max (T0 )  A ,
i
то увеличиваем Т0 до T1 так, чтобы появился хотя бы один новый вектор Qj.
Если Ф max (T1 )  A , то продолжаем увеличение T до тех пор, пока не получим
величину Tk такую, что Ф max (Tk )  A . Величина Tk является нижней оценкой
для задачи 4.2.1 . Далее можно применить метод ветвей и границ на основе
полученной оценки.
94
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте правило оптимального распределения ресурсов в случае,
когда каждая работа может быть выполнена в одном интервале.
2. В чем заключается алгоритм решения задачи о размещении единиц
проектирования во времени.
3. Сформулируйте формальную постановку задачи оптимального размещения
работ между подразделениями проектной организации.
4. В чем заключается «задача о камнях»?
5. Сформулируйте формальную постановку «задачи о камнях»?
ГЛАВА 5. МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ ПОРТФЕЛЕЙ
ВЗАИМОЗАВИСИМЫХ ПРОЕКТОВ И КАЛЕНДАРНЫХ ПЛАНОВ ИХ
РЕАЛИЗАЦИИ
5.1. Формирование портфеля взаимозависимых проектов
Рассматривается
задача
формирования
портфеля
проектов,
взаимозависимых в том смысле, что включение обоих проектов в портфель
даст
дополнительный
эффект.
Для
решения
задачи
предложен
модифицированный метод дихотомического программирования с частичным
перебором и метод сетевого программирования.
Постановка задачи
Имеются n проектов.
Обозначим ai эффект от проекта i, aij дополнительный эффект при
включении в портфель обоих проектов i и j, сi – затраты на проект i, R –
средства на реализацию проектов. Введем переменные xi= 1, если проект i
включен в портфель, xi = 0 в противном случае, i = 1, . Предполагается, что ai,
aij, ci – целые положительные числа для всех i, j, R – целое положительное
число.
Постановка задачи имеет вид – максимизировать

А(x) =    +  ,   
(5.1.1)
при ограничении
(5.1.2)
   ≤ R.
Рассмотрим теоретико-графовую интерпретацию задачи. Определим n –
вершинный граф G взаимосвязей проектов с эффектами ребер аij и весами
(затратами) вершин сi. Задача заключается в определении подграфа, имеющего
максимальную сумму эффектов ребер и вершин при ограничении R на
суммарный вес вершин. Пример такого графа приведен на рис. 5.1.1.
Верхние числа в вершинах соответствуют номерам проектов, нижние –
эффектам числа у ребер – эффектам aij.
95
Модифицированный алгоритм дихотомического программирования
Удалим из графа взаимосвязей минимальное число вершин так, чтобы
получить многокомпонентный граф с небольшим числом вершин в каждой
компоненте. Существует эффективный эвристический алгоритм решения этой
задачи: последовательно удаляем вершины с максимальной степенью, следя за
тем, чтобы не образовались компоненты с ―очень малым‖ числом вершин
(например, с одной вершиной). Это требование обусловлено тем, что при
наличии таких компонент увеличивается как число удаляемых вершин, так и
число компонент. Так, если в графе (рис. 5.1.1) удалить вершину 11 с
максимальной степенью, а затем вершину 10, то получим трехкомпонентный
граф, у которого каждая компонента состоит из трех вершин. Каждую
компоненту графа будем называть комплексным проектом.
2
2
1
3
4
3
5
4
4
3
8
2
1
02
6
6
5
5
2
12
9
1
6
1
09
3
5
6
7
7
4
9
9
7
3
6
5
8
8
Рис. 5.1.1
96
Описание алгоритма
1 шаг. Для каждой компоненты графа рассматриваем все возможные
варианты вхождения в портфель проектов. Таких вариантов 2q , где q– число
вершин компоненты. В результате получаем таблицу ―затраты – эффект‖ для
каждой компоненты.
2 шаг. Рассматриваем все возможные варианты вхождения в портфель
удаленных вершин (таких вариантов 2р , где p – число удаленных вершин). Для
каждого варианта корректируем таблицы ―затраты – эффект‖, добавляя эффект
от проектов, вошедших в портфель. Упорядочиваем варианты таблиц ―затраты
– эффект‖ по возрастанию затрат, оставляя только Парето-оптимальные
варианты. Применяем метод дихотомического программирования, выбрав
структуру дихотомического представления задач.
3 шаг. Сравнивая все варианты вхождения в портфель удаленных
вершин, определяем оптимальный вариант.
4 шаг. Для оптимального варианта находим решение задачи (перечень
проектов, входящих в портфель) методом обратного хода.
Пример 5.1.1. Рассмотрим граф рис. 5.1.1. Затраты проектов приведены в табл. 5.1.1.
Таблица 5.1.1
i 1
сi 2
2
3
3
5
4
6
5
4
6
7
7
3
8
2
9 10 11
8 10 7
Примем
R=20. После удаления вершин
10
и
11 получаем
трехкомпонентный граф.
1 шаг. Рассматриваем компоненту,
состоящую из вершин
1, 2, 3
(комплексный проект 1). Возможные варианты вхождения в портфель
соответствующих проектов приведены в табл. 5.1.2.
Таблица 5.1.2
Вариант
Затраты
Эффект
0
0
0
1
2
3
2
3
4
3
5
8
4
5
9
5
6 7
7
8 10
15 15 24
Рассматриваем компоненту, состоящую из вершин 4, 5, 6 (комплексный
проект 2). Возможные варианты приведены в табл. 5.1.3.
Таблица 5.1.3
Вариант
Затраты
Эффект
0
0
0
1
4
5
2
6
6
3 4 5 6 7
7 10 11 13 17
6 12 17 14 26
Рассматриваем компоненту, состоящую из вершин 7, 8, 9 (комплексный
проект 3). Возможные варианты представлены в табл. 5.1.4.
97
Таблица 5.1.4
Вариант
Затраты
Эффект
0
0
0
1
2
8
2 3
3 5
7 18
4 5 6 7
8 10 11 13
9 22 20 36
2 шаг. Рассматриваем все варианты вхождения в портфель проектов 10
и 11. Таких вариантов 4.
1 вариант. Ни один проект не входит в портфель. Удаляем из таблиц все
доминируемые варианты. Получаем таблицы затраты – эффект для
комплексных проектов 1, 2, 3.
Таблица 5.1.5
Комплексный проект 1
Вариант 0 1 2 3 4 5
Затраты 0 2 3 5 7 10
Эффект 0 3 4 9 15 24
Таблица 5.1.6
Комплексный проект 2
Вариант
Затраты
Эффект
0 1 2 3 4 5
0 4 6 10 11 17
0 5 6 12 17 26
Таблица 5.1.7
Комплексный проект 3
Вариант 0 1 2 3 4
Затраты 0 2 5 10 13
Эффект 0 8 18 22 36
Решаем
задачу
методом
дихотомического
программирования.
Рассматриваем комплексные проекты 1 и 2. Решение приведено табл. 5.1.8.
Таблица 5.1.8
5
17;26* 19;29* 20;30*
4
11;17* 13;20* 14;21* 16;26*
3
10;12* 12;15* 13;16* 15;21* 17;27* 20;36
-
-
-
18;32
-
2
6;6*
8;9*
9;10*
11;15* 13;21* 16;30
1
4;5
6;8*
7;9*
9;14*
0;0
2;3
3;4
5;9
7;15
10;24
0
1
2
3
4
5
0
2
1
98
11;20* 14;29
Результаты сведены в табл. 5.1.9.
Таблица 5.1.9
Комплексный проект 4
Вариант
Затраты
Эффект
0
0
0
1
2
3
2
3
4
3
4
5
4 5 6 7 8 9 16
5 7 10 14 16 18 20
9 15 24 29 30 32 36
Рассматриваем комплексные проекты 3 и 4. Решение приведено в табл. 5.1.10.
Таблица 5.1.10
4
13;36 15;39 16;40 17;41 18;45 20;51
3
10;22 12;25 13;26 14;27 15;31 17;37 20;46
2
5;18
7;21
8;22
9;23 10;27 12;33 15;42 19;47
1
2;8
4;11
5;12
6;13
7;17
9;23 13;32 16;37 18;38 20;40
0
0;0
2;3
3;4
4;5
5;9
7;15 10;24 14;29 16;30 18;32 20;36
0
1
2
3
4
3
4
5
-
6
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
7
8
9
-
10
Максимальный эффект F(x10 = 0; x11 = 0) = 51.
2 вариант. В портфель входит проект 10. Корректируем таблицы
―затраты – эффект‖. Заметим, что остаток ресурса равен R – C10 =10.
Таблица 5.1.11
Комплексный проект 1
Вариант
Затраты
Эффект
0
0
0
1
2
3
2 3 4 5
3 5 7 8
9 14 21 26
Таблица 5.1.12
Комплексный проект 2
6
Вариант 0 1 2 3 4 5
Затраты 0 4 6 7 10 11 17
Эффект 0 5 8 11 14 22 33
Таблица остается прежней, поскольку проект 10 не влияет на проекты 7, 8, 9.
Таблица 5.1.13
Комплексный проект 3
Вариант
Затраты
Эффект
0
0
0
1 2 3 4
2 5 10 13
8 18 22 36
99
Применяем метод дихотомического программирования. Рассматриваем
комплексные проекты 1 и 2. Решение приведено в табл. 5.1.14.
Таблица 5.1.14
4
10;14*
3
7;11*
2
-
-
-
9;14* 10;20*
-
-
-
6;8*
8;4*
9;17*
-
-
-
1
4;5*
6;8*
7;14*
9;19*
-
-
0
0;0
2;3
3;9
5;14
0
1
2
3
2
1
-
-
7;21 8;26
4
-
Результаты сведены в табл. 5.1.15
Таблица 5.1.15
Комплексный проект 4
Вариант
Затраты
Эффект
0
0
0
1
2
3
2 3 4 5
3 5 7 8
9 14 21 26
Рассматриваем комплексные проекты 3 и 4. Решение приведено в табл. 5.1.16.
Таблица 5.1.16
3
10;22
2
5;18
7;21 8;27 10;32
1
2;8
4;11 5;17
7;22
9;29 10;34
0
0;0
2;3
3;9
5;14
7;21
8;26
0
1
2
3
4
5
3
4
-
-
-
-
-
-
-
Максимальный эффект F(x10 = 1; x11 = 0) = 34 + 2 = 36.
3 вариант. В портфель входит проект 11.
Остаток ресурсов равен R–c11= 13. Корректируем таблицы ―затраты –
эффект‖.
Таблица 5.1.17
Комплексный проект 1
Вариант
Затраты
Эффект
0
0
0
1
2
3
100
2 3 4
3 5 10
4 17 24
Таблица 5.1.18
Комплексный проект 2
Вариант 0 1
Затраты 0 4
Эффект 0 5
2 3 4
5
6 7 10 11
6 11 12 17
Таблица 5.1.19
Комплексный проект 3
Вариант
Затраты
Эффект
0
0
0
1 2 3 4 5 6
2 3 5 10 11 13
8 10 21 29 30 46
Применяем метод дихотомического программирования. Рассматриваем
комплексные проекты 1 и 2. Решение приведено в табл. 5.1.20.
Таблица 5.1.20
4
10;24
3
5;17
9;22 11;23*
12;28
2
3;4
7;9*
9;10*
10;15* 13;16*
1
2;3
6;8*
8;9*
9;14*
12;15* 13;20*
0
0;0
4;5
6;6*
7;11*
10;12* 11;17*
0
1
2
3
1
2
-
-
-
4
5
Результаты сведены в табл. 5.1.21.
Таблица 5.1.21
Комплексный проект 4
Вариант
Затраты
Эффект
0
0
0
1
2
3
2
3
4
3 4 5 6 7
4 5 9 10 12
5 17 22 24 28
Рассмотрим комплексные проекты 3 и 4.
F( x10 = 0; x11 = 1) = 46 + 9 = 55.
6
13;46
5
11;30 13;33
4
10;29 12;32 13;33
3
5;21
7;24
8;25
9;26 10;38
2
3;10
5;13
6;14
7;15 10;27 12;32 13;34
-
1
2;8
4;11
5;12
6;13
7;25
11;30 12;32
-
0
0;0
2;3
3;4
4;5
5;17
9;22
0
1
2
3
4
5
3
4
-
Таблица 5.1.22
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
101
10;24 12;28
6
7
4 вариант. В портфель входят оба проекта 10 и 11. Остаток ресурса
равен R - c10 – c11 = 3. В данном случае задачу можно решить простым
перебором. Действительно, на оставшиеся 3 единицы ресурса можно включить
в портфель только один из проектов 1, 2, 7 или 8. Нетрудно убедиться, что
наилучший
вариант
–
включить
проект
7
с
эффектом
7 + 3 = 10. Получаем
F(x10 = 1; x11 = 1) = 10 + 9 + 2 + 12 = 32.
Сравнивая все четыре варианта, получаем: оптимальным является
вариант 3 (в портфель входит проект 11) с эффектом 55. Для определения
решения применяем для третьего варианта метод обратного хода.
Оптимальному варианту соответствует клетка (13; 46). Этой клетке
соответствует вариант 0 комплексного проекта 4 и вариант 6 комплексного
проекта 3, то есть включение в портфель всех трех проектов 7, 8 и 9.
Окончательно получаем, что в портфель включаются проекты 7, 8, 9 и 11 с
эффектом 55.
Метод сетевого программирования
Применим для получения верхних оценок
программирования. Для этого представим aijв виде
aij = uij + vij,, uij, vij≥ 0.
Имеет место
uijxij + vij,xj aijxixj, (i, j) U.
метод
сетевого
(5.1.3)
(5.1.4)
Для определенности определим произвольным образом ориентацию
ребер графа взаимосвязей, то есть превратим их в дуги (i, j) U. При этом
параметр uij припишем к начальной вершине дуги (i, j), а параметр vij – к
конечной вершине j дуги (i, j).
Определим
bi(ui, vi)= (,)∈+  + (,)∈−  + ai.
(5.1.5)
Рассмотрим оценочную задачу:
максимизировать
В(U, V, x) =
при ограничении
 
 ,  
с  R .
(5.1.6)
(5.1.7)
В силу (5.1.4) решение задачи (5.1.6), (5.1.7) дает верхнюю оценку для
исходной задачи при любых u, v.
Обобщенная двойственная задача (ОДЗ)
Определить u, v, удовлетворяющие (5.1.4) и минимизирующие
F(u, v) =  B(u, v, x).
ОДЗ является задачей выпуклого программирования. Получим
необходимые и достаточные условия оптимальности решения ОДЗ. Пусть u, v –
102
некоторое допустимое решение ОДЗ. Обозначим Q(u, v) множество
оптимальных решений задачи (5.1.6), (5.1.7),  ≥ 0, если uij = 0,  ≤ 0, если uij
= aij,, vij U.
Теорема 5.1.1. Для оптимальности решения (u, v) необходимо и
достаточно отсутствие решений системы неравенств
 - (,)∈−  ) < 0 для всех x Q .
(5.1.8)
  ( (,)∈+

Доказательство.
Необходимость
Пусть существуют  , удовлетворяющие (5.1.8). Тогда решение (uij +  ;
vij-  ) уменьшает B(u, v).
Достаточность. Пусть (8) имеет место. Тогда не существует  , при
которых B(u + δ; v – δ, x ) уменьшается для всех x Q.
Теорема доказана.
Пример 5.1.2. Рассмотри граф взаимосвязей рис. 5.1.2. Верхние числа в
вершинах соответствуют номерам проектов, нижние – значениям ai . Числа у
дуг в скобках равны aij. Значения затрат приведены в табл. 5.1.23.
Таблица 5.1.23
i
ci
1
2
2
3
3
4
4
2
5
3
1
6
(2)
(7)
2
5
9
5
(5)
(6)
3
(3)
7
4
6
Рис. 5.1.2
Примем R = 8.
Возьмем начальные значения uij указанные в табл. 5.1.24.
Таблица 5.1.24
(i,j) (2,1) (3,2) (4,3) (5,4) (1.5)
4
3
1
3
1

3
3
2
2
1

103
Определяем bi(ui, vi):
i
bi(ui, vi)
1
10
2
12
3
12
4
9
5
13
1 шаг. Решаем задачу максимизации
10 x1 + 12 x2 + 12 x3 + 9 x4 + 13 x5
при ограничении
2 x1 + 3 x2 + 4x3 + 2 x4 + 3 x5 ≤ 8 .
Ее решение x1 = x2 = x5 = 1, F = 35.
Выписываем неравенство - δ32 + δ54< 0.
Возьмем δ32 = 0, δ54 = -1 (меньше нельзя, поскольку при
появляется новое решение задачи).
2 шаг. Решаем задачу максимизации
10 x1 + 12 x2 + 12 x3 + 9 x4 + 12 x5
при том же ограничении (5.1.9) имеем два оптимальных решения:
1)
x1 = 1, x2 = 1, x5 = 1,
2)
x1= 1, x4 = 1, x5 = 1,
F = 34.
(5.1.9)
δ54 = -1
Выписываем неравенства:
- δ32 + δ54< 0,
δ21 - δ32 + δ43 - δ15< 0.
Одно из решений
δ32 = 0, δ54 = -1, δ21 = 0, δ43 = -1, δ15 = 0.
3 шаг. Решаем задачу максимизации
10 x1 + 12 x2 + 13 x3 + 10 x4 + 11 x5
при ограничении (5.1.9).
Имеем три оптимальных решения
1) x1 = 1, x2 = 1, x5 = 1,
2) x2 = 1, x4 = 1, x5 = 1,
3) x1= 1, x3 = 1, x4 = 1,F = 33.
Выписываем неравенства:
- δ32 + δ54< 0,
δ21 - δ32 + δ43 - δ15< 0,
δ15 - δ21 + δ32 - δ54< 0,
Заметим, что δ43 ≥ 0, т.к. u43 = 0.
Можно показать, что эта система не имеет решений.
Итак, получено оптимальное решение обобщенной двойственной задачи
(табл. 5.1.25).
Таблица 5.1.25
(i, j) (2,1) (3,2) (4,3) (5,4) (1,5)
4
3
0
1
1
uij
3
3
3
4
1
vij
104
Теперь можно применить метод ветвей и границ. Мы не будем решать
каждый раз при ветвлении ОДЗ, а зафиксируем полученные значения u и v.
Метод ветвей и границ
1 шаг. Выбираем для ветвления проект 1 . Разбиваем множество всех
решений на два подмножества. В первом проект 1 входит в портфель, а во
втором – не входит.
Оценка первого подмножества
Проект 1 входит в портфель, что добавляет к эффектам a2 и a3 эффекты
a21 и a15 соответственно. Получаем граф взаимосвязей (рис. 5.1.3).
5
11
2
12
(6)
(5)
3
7
4
6
(3)
Рис. 5.1.3
Остаток ресурса равен 6.
Определяем bi( ui, vi):
i
bi(ui, vi)
2
15
3
13
4
10
5
12
Решаем задачу максимизации
10 x2 + 13 x3 + 10 x4 + 12 x5
при ограничении
3 x2 + 4 x3 + 2 x4 + 3 x5 ≤ 6.
Оптимальное решение:x2 = 1, x5 = 1, F = 27. Добавляя эффект а1 = 6,
получаем оценку F(x1 = 1) = 33.
Оценка второго подмножества
Определяем bi(ui, vi) по табл. 5.1.26.
Таблица 5.1.26
i
bi(ui, vi)
2 3 4 5
8 13 10 10
Решаем задачу максимизации
8 x2 + 13 x3 + 10 x4 + 10 x5
при ограничении
3 x2 + 4x3 + 2 x4 + 3 x5 ≤ 8.
Оптимальное решение:x2 = 1, x4 = 1, x5 = 1, F (x1 = 0) = 28. Выбираем
первое подмножество.
105
2 шаг. Выбираем для ветвления проект 3.
Оценка первого подмножества (x3 = 1).
Граф взаимодействия распадается на две компоненты (рис. 5.1.4).
5
11
2
18
(5)
4
13
Рис. 5.1.4
Остаток ресурса равен 2.
Можно включать в портфель только проект 4. Имеем
F (x1 = 1; x3 = 1) = 22.
Оценка второго подмножества (x3 = 0).
Возможны всего 3 варианта включения в портфель. Это либо проекты 2 и
4, либо 2 и 5, либо 4 и 5.
Проверяем простым перебором:
для варианта (1, 2, 4) эффект равен 24;
для варианта (1, 2, 5) эффект равен 29;
для варианта (1, 4, 5) эффект равен 28.
Наилучший
вариант (1, 2, 5) с эффектом 29. Это решение является
оптимальным.
Дерево ветвлений приведено на рис. 5.1.5.
33
33
33
3
1
(1)
33
3
( 3)
22
29
Рис. 5.1.5
106
2
8
5.2. Формирование календарного плана взаимозависимых проектов
Рассматривается задача календарного планирования взаимозависимых
проектов, то есть их совместная реализация дает дополнительный
(синергетический) эффект. Проекты выполняются в Т периодах времени.
Заданы ограничения на финансирование по периодам. В качестве критерия
принимается минимизация упущенной выгоды. Чем в более позднем периоде
выполняется проект, тем больше упущенная выгода. Учитывается
дополнительный (синергетический) эффект, возникающий при совместной
реализации взаимозависимых проектов.
Постановка задачи
Имеются n проектов. Каждый проект характеризуется эффектом aiот его
реализации и затратами сiна реализацию. Ряд проектов взаимозависимы в том
смысле, что их совместная реализация дает дополнительный (синергетический)
эффект. Обозначим bij эффект от совместной реализации проектов i и j.
Взаимозависимость проектов можно наглядно представить в виде графа
взаимозависимостей G. Вершины графа соответствуют проектам, вершины
iиjсоединены ребром (i, j), если совместная реализация этих проектов дает
дополнительный эффект bij (рис. 5.2.1, дополнительные эффекты указаны у
ребер графа).
1м
(5)
2
м
(7)
(3)
м5
(6)
(4)
м
4
м
6
(2)
3м
(8)
Рис. 5.2.1
Проекты выполняются в Т периодах. Заданы ограничения на
финансирование проектов по периодам. Чем в более позднем периоде
выполняется проект, тем больше упущенная выгода от его реализации. Для
формальной постановки задачи обозначим Rk объем финансирования проектов
за k периодов. Очевидно, R1<R2< …<RT.
Обозначим далее qkуменьшение эффекта при выполнении проекта в k-м
периоде по сравнению с его выполнением в первом периоде q1 >q2> … >qT. Для
107
однозначности учета эффектов bij зададим произвольным образом ориентацию
ребер (i, j). Обозначим U множество дуг графа.
Введем переменные xik = 1, если проект i выполняется в периоде k, xik= 0
в противном случае. Выпишем выражение для упущенной выгоды:
Ф(x) =
,   
+
, 
(,)∈
  ⁡
( ;  ).
(5.2.1)
Ограничения имеют вид
= 1, i = ,  ;
(5.2.2)
≤ RS, s = ,  .
(5.2.3)
то есть все проекты могут быть выполнены за T
 


= =  
(предполагаем, что   RT,
периодов).
Поясним критерий (5.2.1). Если (i, j) G, то синергетический эффект
появится после реализации обоих проектов, то есть после реализации более
позднего проекта.
Частный случай
Рассмотрим случай двух периодов. В этом случае обозначим xj= 1, если
проект i выполняется в первом периоде, xj= 0 в противном случае. Критерий
(5.2.1) принимает вид
Ф(x) =     + ≠     +q2 ≠  [xi (1 – xj) + xj (1 – xi) +
+(1 – xi) (1 – xj) ] =   + ≠  + ( q1 - q2 ) [    + ≠    ].
Отбрасывая постоянную составляющую и постоянный множитель,
получаем
Ф(x) =    + ≠    .
(5.2.4)
Получим задачу целочисленного квадратичного программирования в
переменных 0,1.
Рассмотрим сначала случай, когда граф взаимозависимостей является
паросочетанием (рис. 5.2.2).
1
4
6
6
(5)
(6)
3
2
9
2
3
2
(8)
Рис. 5.2.2
108
7
7
Основные эффекты ai указаны в нижних половинах вершин. В этом
случае эффективным является метод дихотомического программирования.
Возьмем структуру дихотомического представления таким образом, чтобы все
пары вершин i, j такие, что (i, j) U, находились на нижнем уровне структуры
дихотомического представления (рис. 5.2.3).
11
10
7
1
9
8
2
5
4
3
6
Рис. 5.2.3
Пример 5.2.1.Рассмотрим граф взаимодействия на рис. 5.2.2 Данные о
затратах сi приведены в табл. 5.2.1.
Таблица 5.2.1
i 1 2 3 4 5 6
ci 6 7 3 9 5 4
Примем R1 = 17, R2 = 34.
1 шаг. Рассматриваем проекты 1 и 2. Решение приведено в табл. 5.2.2.
Таблица 5.2.2
Комплексный проект 7
Вариант
Затраты
Эффект
0
0
0
1
3
2
2 3
9 13
7 18
2 шаг. Рассматриваем проекты 3 и 4. Решение приведено в табл. 5.2.3.
Таблица 5.2.3
Комплексный проект 8
Вариант
Затраты
Эффект
0
0
0
1
3
2
2 3
9 12
7 17
3 шаг. Рассматриваем проекты 5 и 6. Решение приведено в табл. 5.2.4.
109
Таблица 5.2.4
Комплексный проект 9
Вариант
Затраты
Эффект
0
0
0
1 2
4 9
6 15
В данном случае вариант, когда включается в план первого периода
только проект 5, исключен, поскольку он доминируется включением в план
первого периода проекта 6.
4 шаг. Рассматриваем комплексные проекты 7 и 8. Решение приведено табл. 5.2.5.
Таблица 5.2.5
3
12;17*
-
-
-
2
9;7
*
*
15;11
1
3;2
9;6*
0
8
7
0;0
6;4
7;9
13;18
0
1
2
3
10;11 16;20
Результаты сведены в табл. 5.2.6.
Таблица 5.2.6
Комплексный проект 10
Вариант
Затраты
Эффект
0
0
0
1
3
2
2
6
4
3 4 5 6
7 10 13 16
9 11 18 20
5 шаг. Рассматриваем комплексные проекты
приведено в табл. 5.2.7.
9
и
10.
Решение
Таблица 5.2.7
2
9;15 12;17 15;19 16;24
1
4;6
7;8
0
0;0
3;2
6;4
7;9
0
1
2
3
9
10
-
-
10;10 11;15 14;17 17;24
110
-
10;11 13;18 16;20
4
5
6
Оптимальное решение определяется клеткой (16;24) либо клеткой
(17;24). Само решение определяем методом ―обратного хода‖. Клетке (16;24)
соответствует вариант 3 табл. 5.2.6 и вариант 2 табл. 5.2.4. Варианту 3 табл.
5.2.6 соответствует включение в план первого периода второго варианта
комплексного проекта 7, то есть включение проекта 2. Варианту 2 табл. 5.2.4
соответствует включение в план первого периода проектов 5 и 6. Таким
образом, проекты 2, 5 и 6 выполняются в первом периоде, а проекты 1, 3 и 4 во
втором.
Общий случай многих периодов
Пусть число периодов Т 2. Для получения верхних оценок рассмотрим
(Т – 1) задач следующего вида:
максимизировать
Vk (x) =    + ,∈   
(5.2.5)
при ограничении
(5.2.6)
   ≤ Rk.
Обозначим Wk (k = 1, Т − 1) величину в оптимальном решении задачи
(5.2.5), (5.2.6).
Теорема 5.2.1. Величина
W = =( - − )  ,
(5.2.7)
где w0 = 0, wT=   + , ∈  дает верхнюю оценку для исходной задачи.
Доказательство. Запишем (5.2.7) в следующем виде:
W = =( - − )  , + = 0.
(5.2.8)
Для произвольного решения обозначим QK множество проектов,
выполняемых в периодах от 1 до К включительно.
V(QK) = ∈  + (,)∈()  ,
где U(Qk) – множество дуг соответствующего подграфа. Очевидно, что
V(Qk ) ≤ Wk для любого Qk , k = 1,T. Это доказывает теорему.
Таким образом, для получения верхней оценки требуется решить (Т-1)
задачу (5.2.5), (5.2.6).
Обозначим Tk множество проектов, полученных в результате решения
задачи (5.2.6), (5.2.7), k = 1, Т-1.
Теорема 5.2.2. Если имеет место
Т1 Т2 ⊂ ⋯ ⊂ ТТ-1 ,
(5.2.9)
то совокупность Tk, k = 1, Т − 1 определяет оптимальное решение задачи.
Если граф взаимодействия является паросочетанием, то для решения
задач
(5.2.5),
(5.2.6)
можно
применить
метод
дихотомического
программирования.
Пример 5.2.2. Пусть Т =3, R1=15, R2=30, R3= 44, n=8, q1=2, q2=1, q3=0,5.
Данные о проектах приведены на рис. 5.2.4.
111
1
8
3
2
(4)
(3)
2
7
5
9
3
7
6
4
(8)
5
6
4
2
(2)
Рис. 5.2.4
Таблица затрат приведена в табл. 5.2.8.
Таблица 5.2.8
i 1 2 3 4 5 6 7 8
ci 3 7 4 6 5 2 9 8
Формируем 4-комплексный проект.
Таблица 5.2.9
Комплексный проект I (проекты 1, 2)
Вариант
Затраты
Эффект
0
0
0
1
3
3
2 3
7 10
5 12
Таблица 5.2.10
Комплексный проект II (проекты 3, 4)
Вариант
Затраты
Эффект
0 1
0 4
0 7
2
10
17
Таблица 5.2.11
Комплексный проект III (проекты 5, 6)
Вариант 0 1 2 3
Затраты 0 2 5 7
Эффект 0 4 6 12
112
Таблица 5.2.12
Комплексный проект IV (проекты 7, 8)
Вариант 0 1 2 3
Затраты 0 8 9 17
Эффект 0 2 9 14
1 шаг. Рассматриваем комплексные проекты I и II. Решение приведено в табл. 5.2.13.
Таблица 5.2.13
2
10;17
13;20
17;22
1
4;7
7;10
11;12* 14;19*
0;0
3;3
7;5*
10;12*
0
1
2
3
II
I
20;29
Результаты сведены в табл. 5.2.14.
Таблица 5.2.14
Комплексный проект V
Вариант
Затраты
Эффект
0
0
0
1
3
3
2 3 4 5 6 7
4 7 10 13 17 20
7 10 17 20 22 29
2 шаг. Рассматриваем комплексные проекты III и IV. Решение приведено в
табл. 5.2.15.
Таблица 5.2.15
3
7;12
15;14*
16;21
24;26
2
5;6
13;8*
14;15
22;20*
1
2;4
10;6*
11;13* 19;18*
0
III
IV
0;0
8;2*
9;9*
17;14*
0
1
2
3
Результаты сведены в табл. 5.2.16
Таблица 5.2.16
Комплексный проект VI
Вариант
Затраты
Эффект
0
0
0
1
2
4
2 3 4 5 6 7
5 7 11 14 16 24
6 12 13 15 21 26
113
Рассматриваем комплексные проекты V и VI. Решение приведено в табл. 5.2.17.
Таблица 5.2.17
7
24;26 27;29 28;33
6
-
-
-
16;21 19;24 20;28 23;31 26;38
29;41
-
-
5
14;15 17;18 18;22 21;25 24;32
27;35
-
-
4
11;13 14;16 15;20 18;23 21;30
24;33
28;35
-
3
7;12
10;32
24;34*
27;41
2
5;6
8;9
9;13
12;16 15;23
18;26
22;28
25;35
1
2;4
5;7
6;11
9;14
12;21
15;24
19;26
22;33
0
VI
0;0
3;3
4;7
7;10
10;17
13;20
17;22
20;29
0
1
2
3
4
5
6
7
V
-
-
10;15 11;19 14;22 17;29
Определяем оптимальные решения при R1 = 15 и R2 = 30. Имеем:
оптимальное решение при R1 = 15 определяется клеткой (15; 24). Применяя
метод обратного хода, получаем, что клетке (15; 24) соответствует вариант 5
комплексного проекта V и вариант 1 комплексного проекта VI. Варианту 5
комплексного проекта V соответствует вариант 1 комплексного проекта I и
вариант 2 комплексного проекта II, то есть выполнение в первом периоде
проектов 1, 3 и 4. Варианту 1 комплексного проекта VI соответствует вариант
0 комплексного проекта IV и вариант 1 комплексного проекта III, то есть
выполнение в первом периоде проекта 6. Имеем Т1= (1, 3, 4, 6). Получим
оптимальное решение при R2 = 30. Оно определяется двумя клетками: (29; 41) и
(27; 41).
Рассмотрим клетку (29;41). Ей соответствует вариант 5 комплексного
проекта V и вариант 6 комплексного проекта VI. Варианту 5 комплексного
проекта V соответствует включение в план первых двух периодов проектов 1, 3
и 4, а варианту 6 комплексного проекта VI соответствует включение в план
двух периодов проектов 5, 6 и 7. Имеем Т1= (1, 3, 4, 6), Т2 = (1, 3, 4, 5, 6, 7).
Поскольку Т1⊂ Т2, полученное решение является оптимальным.
Имеем w1 = 24,w2 = 41, W = 2 ∙ 24 + 1∙ 17 + 0,5 ∙ 14 = 72. Рассмотрим
клетку (27; 41). Ей соответствует вариант 7 комплексного проекта V, вариант 3
комплексного проекта VI. Варианту 7 комплексного проекта V соответствует
включение в план первых двух периодов проектов 1, 2, 3 и 4. Варианту 3
комплексного проекта VI соответствует вариант 3 комплексного проекта III и
вариант 0 комплексного проекта 4, то есть включение в план первых двух
периодов проектов 5, 6. Имеем T1 = (1, 3. 4, 6), T = (1, 2, 3, 4, 5, 6). Поскольку
Т1⊂ Т2, то полученное решение также является оптимальным.
114
Метод ветвей и границ
Решение большого числа примеров показало, что в большинстве случаев
условия теоремы 2 выполняются и полученное решение является допустимым.
Однако, это не всегда так, что показывает следующий пример.
Пример 5.2.3. Граф взаимозависимостей приведен на рис. 5.2.5.
1
4
4
7
(5)
(7)
2
6
3
3
Рис. 5.2.5
Таблица затрат приведена в табл. 5.2.18.
Таблица 5.2.18
i 1 2 3 4
ci 2 6 3 7
Примем R1 = 6, R2 = 10, R3 = 18. Имеем два комплексных проекта.
Таблица 5.2.19
Комплексный проект I
Вариант
Затраты
Эффект
0
0
0
1
2
4
2
6
6
3
8
15
Таблица 5.2.20
Комплексный проект II
Вариант
Затраты
Эффект
0
0
0
1
3
3
2
7
7
3
10
17
Рассматриваем комплексные проекты I и II. Решение приведено в табл. 5.2.21.
Таблица 5.2.21
3
10;17 12;21 16;23 18;32
2
7;7
9;11
1
3;3
5;7
9;9
11;18
0
0;0
2;4
6;6
8;15
0
1
2
3
II
I
115
13;13 15;22
Оптимально решение при R1 = 6 определяется клеткой (5;7), что
соответствует включению в план первого периода проектов 1 и 3, Т1= (1;3).
Оптимальное решение при R2 = 10 определяется клеткой (10;17), что
соответствует включению в план первых двух периодов проектов 3 и 4, то есть
Т2= (3, 4) . Примем q1 = 2, q2 = 1, q3 = 0,5. Имеем w1 = 7, w2 = 17. Оценка сверху
равна W = q1 ∙ w1 + q2 (w2 - w1) + q3(w3 - w2) = 31,5.
Применим метод ветвей и границ. Для ветвления выберем проект 1.
Оценка первого подмножества (x11 = 1). Поскольку проект 1 является решением
первой задачи, то он должен входить и в решение второй. Поэтому вариант 0
комплексного проекта 1 исключаем. В этом случае оптимальный вариант
определяется клеткой (8;15), что соответствует включению в план двух
периодов проектов 1 и 2. Имеем w1 = 7, w2 = 15. Оценка сверху равна 2 ∙ 7 +
1 ∙ (15 – 7) + 0,5 (32 – 15) = 30,5. Оценка второго подмножества (x11 = 0).
Поскольку проект 1 не входит в план первого периода, то варианты 1 и 3
комплексного проекта I исключаем при R1 = 6. Оптимальный вариант
определяется клеткой (6; 6), что соответствует включению в план первого
периода проекта 2 (Т1= 2). Для плана двух периодов ранее было получено
решение Т2= (3; 4). Имеем w1 = 6, w2 = 17. Оценка сверху равна 2 ∙ 6 = 1 ∙ (17
– 6) + 0,5 (32 – 17) = 30,5. Выбираем второе подмножество. Для ветвления
выбираем проект 2. Оценка первого подмножества (x21 = 1). Имеем при R1 = 6
Т1 = (2), w1 = 6.
Рассматриваем R2 = 10. У первого комплексного плана исключаем
варианты 0 и 1. Оптимальное решение определяется клеткой (8; 15), что
соответствует включению в план первых двух периодов проектов 1 и 2,
Т2= (1,2). Поскольку Т 1 ⊂ Т2, то это решение оптимально в подмножестве
x 11 = 0, x21 = 1. Имеем w1 = 6, w2 = 15. Оценка равна 2 ∙ 6 + 1 ∙ (15 – 6) + 0,5 (32
– 15) = 29,5. Оценка второго подмножества (x21 = 0). Имеем T1 = (3), Т2 = (3, 4),
w1 = 3, w2 = 17, оценка равна 2 ∙ 3 + 1 ∙ 14 +0,5 ∙18 = 29.
Теперь выбираем подмножество x11 = 1 с оценкой 30,5. Для ветвления
выбираем проект 3. Оценка первого подмножества (x31 = 1). Имеем при R1 = 6
Т1 = (1; 3), w1 = 7. Имеем при R2 = 10 Т2 = (1; 3), w2 = 7, поскольку при
включении в план проектов 1 и 3 больше ни одного проекта нельзя включить
в план двух периодов. Оценка равна 2 ∙ 7 + 0,5 ∙ 25 = 26,5. Оценка второго
подмножества (x31 = 0). Имеем при R1 = 6, Т1 = (1), w1 = 4. Имеем при R2 = 10,
Т2 = (1; 4), w2 = 11. Оценка равна 2 ∙ 4 + 1 ∙ (11 – 4) + 0,5 ∙ 21 = 26,5.
Теперь наилучшую оценку имеет подмножество x11 = 0, x21 = 1, которое и
определяет оптимальное решение Т1 = (2), Т2 = (1; 2). Эффект равен 29,5.
Дерево ветвлений приведено на рис. 5.2.6.
116
31,5
X11=1
X11=0
30,5
X31=1
26,5
30,5
X31=0
X21=1
26,5
29,5
X22=0
29
Рис. 5.2.6
Метод сетевого программирования
Применим для решения задачи метод сетевого программирования. Для
этого представим bij в виде
bij= uij + vij,, (i, j) U
(5.2.10)
и определим для всех (i, j) U
di (u; v) = ai + uij,
(5.2.11)
dj (u; v) = aj + vij .
Рассмотрим задачу о ранце:
максимизировать
(5.2.12)
  (u, v) xi
при ограничении
(5.2.13)
   ≤ RT.
Как было показано выше, решение этой задачи дает оптимальные
решения при всех RK, k = 1, Т . Обозначим Wk(u, v) значение (5.2.12) в
оптимальном решении задачи (5.2.12), (5.2.13) при R = Rk. По аналогии с
теоремой 5.2.1 имеет место
Теорема 5.2.3. Величина
W(u, v) = =  (wk(u, v) – wk-1 (u, v) ) ,
(5.2.14)
где w0 (u, v) = 0, wт(u, v) =   (, ) дает оценку сверху для исходной задачи.
Обобщенная двойственная задача: определить u, v , удовлетворяющие
(5.2.10) и минимизирующие (5.2.14). Для применения метода ветвей и границ
выберем значения uijи vij исходя из следующих условий:
  + 
  +
=
,


uij +vij= bij,
Решая эту систему, получаем
uij=
  −   +  
 + 
(i,j)
, vij=
117
U.
  −   +  
 + 
.
(5.2.15)
При этом, если uij bij, то принимаем uij=bij, vij= 0, а если uij< 0, то
принимаем uij= 0, vij= bij.
Пример 5.2.4. Рассмотрим задачу из примера 5.2.2 и решим ее, получая
оценки методом сетевого программирования.
1 шаг. Определяем diи dj согласно (5.2.11), (i, j) U.
Таблица 5.2.22
i
1
2
3
4
5
6
7
8
di
3,6
8,4
7
10
8
4
9
5
ci
3
7
4
6
5
2
9
ri
1,2
1,2
14
2
1
8
5
8
3
2
13
3
15

где ri =   , i =1 , n.

2 шаг. Решаем задачу о ранце:
максимизировать
3,6 x1 + 8,4 x2 + 7 x3 + 10 x4 + 8 x5 + 4 x6 + 9 x7 + 5 x8
при ограничении
3 x1 + 7 x2 + 4 x3 + 6 x4 + 5 x5 +2 x6 + 9 x7 + 8 x8 30.
Мы не будем подробно рассматривать решение этой задачи. Приведем
сразу результаты.
При R1 = 15 оптимальное решение
x3 = 1, x4 = 1, x5 = 1,
то есть в план первого периода включаются проекты Т1= (3, 4, 5), w1 = 25.
При R2 = 30 оптимальное решение
x1= 1, x3 = 1, x4 = 1, x5 = 1, x6 = 1, x7 = 1, w2 = 41,6,
то есть
Т2= (1, 3, 4, 5, 6, 7).
Поскольку Т1⊂ Т2, то полученное решение является допустимым для
исходной задачи. Однако, поскольку di(u,v) = 3,6 >ai = 3, то это решение дает
оценку сверху W = 2 ∙ 25 + 1 ∙ 16,6 + 0,5 ∙ 13,4 =74,3. Для данного решения
определим суммарный эффект. Он равен Q = 2 ∙ 23 + 1 ∙ 18 + 0,5 ∙ 14 = 71.
Возможность оценить погрешность полученного решения является
несомненным достоинством предложенного метода. В данном случае она
составляет не более 2,1 или примерно 3 %.
Метод ветвей и границ
Для получения точного решения применяем метод ветвей и границ.
Выбираем для ветвления проект 6, дающий наибольшую погрешность.
Разбиваем множество всех решений на два подмножества. В первом – проект 6
включен в план первых двух периодов, а во втором – не включен.
Оценка первого подмножества (x61 = 1). В этом случае оптимальное
решение при R1 = 15 имеет вид Т1 = (1, 3, 4, 6), w1 = 24,6.
118
При R2 = 30 оптимальное решение остается прежним: Т2 = (1, 3, 4, 5, 6, 7).
Оценка равна W(x51 = 1) = 2 ∙ 24,6 + 1 ∙ 17 + 0,5 ∙ 13,4 = 73,9.
Оценка второго подмножества (x61 = 0). Если проект 6 не включен в план
первого периода, то u56 = 0 для плана первого периода и b5 = 6. В этом случае
оптимальное решение для первого периода имеет вид Т1(3, 4, 5) с оценкой w1 =
23. Оценка сверху равна
W(x51 = 0) = 2 ∙ 23 + 1 ∙ 18,6 + 0,5 ∙ 13,4 = 72,3.
Выбираем первое подмножество. Заметим, что для соответствующего
допустимого решения эффект равен
Ф = 2 ∙ 24 + 1 ∙ 17 + 0,5 ∙ 14 = 72.
Полученное решение Т1 = (1, 3, 4, 5, 6, 7) является оптимальным.
Дерево ветвлений приведено на рис. 5.2.7.
74,3
74,3
x21=1
x61=1
x61=0
73,9
72,3
X21=0
67
72
Рис. 5.2.7
Метод «затраты – эффект»
При большом числе проектов существует эффективный приближенный
метод решения задачи о ранце, называемый методом «затраты – эффект». Суть
его состоит в том, что проекты упорядочиваются по убыванию эффективностей

ri =   , i = 1,  . Далее проекты включаются в план в этой очередности. Примем

этот метод для решения задачи о ранце, полученной в результате применения
метода сетевого программирования. (Задача (5.2.13), (5.2.14)). Алгоритм
рассмотрим на примере 5.2.5.
Пример 5.2.5.
эффективностей ri .
Упорядочим
проекты
119
таблицы
по
убыванию
Таблица 5.2.23
i
6
3
4
5
1
2
7
8
di
4
7
10
8
3,6
8,4
9
5
ci
2
4
6
5
3
7
9
ri
2
14
1,2
1,2
1
8
5
8
3
2
13
3
15
1 шаг. R1 = 15. Включаем в план первого периода проекты Т1= (6, 3, 4),
w1 = 21.
2 шаг.R2 = 30. Включаем в план второго периода проекты Т2= (1, 2, 3, 4, 5, 6),
w2 = 41.
Поскольку в этом методе всегда Т1⊂ Т2, то получено допустимое
решение. Оценка равна W = 2 ∙ 21 + 1 ∙ 20 + 0,5 ∙ 14 = 69. Заметим, что это
верхняя оценка с учетом погрешности метода «затраты – эффект».
Соответствующее решение является оптимальным с учетом погрешности
метода, то есть его нельзя улучшить на основе применения метода «затраты –
эффект». Однако это не всегда так. Если например, R2 = 26, то в план второго
периода будут включены проекты Т2 = (6, 3, 4, 5, 2) и соответствующая оценка
W2 = 37,4, W = 2 ∙ 21 + 1 ∙ 16,4 + 0,5 ∙ 17,6 = 67,2 будет только оценкой сверху,
поскольку b2 = 8,4 >a2 = 5. На самом деле полученное решение дает эффект Ф =
2 ∙21 + 1 ∙ 13 + 0,5 ∙ 21 = 65,5. В данном случае можно применить метод ветвей
и границ с получением оценок с помощью метода «затраты – эффект».
Ветвление проводим по проекту 2.
Оценка первого подмножества (x22 = 1). Метод «затраты – эффект» дает
решение Т2= (6, 3, 4, 5, 2), w2 = 34, поскольку проект 1 не выполняется. Имеем
W = 2 ∙ 21 + 1 ∙ 13 + 0,5 ∙ 21 = 65,5. Это решение является допустимым.
Оценка второго подмножества (x22 = 1). Решение, полученное методом
«затраты – эффект», Т2= (6, 3, 4, 5, 1), причем b1 = 3, поскольку проект 2 не
выполняется в первых двух периодах. Имеем W2 = 32, W = 2 ∙ 21 + 1 ∙ 11 +
0,5 ∙ 23 = 64,5. Это решение также является допустимым. Выбирая первое
подмножество, получаем оптимальное решение в рамках погрешности метода
«затраты – эффект».
Если решать задачу при R2 = 26 не приближенно (на основе метода
«затраты – эффект»), то из табл. 5.2.23 получаем оптимальное решение Т1 =
(1, 3, 4, 6), Т2 =(1, 3, 4, 5, 6, 7) со значением эффекта 72. Ошибка составляет 6,5
или примерно 9 %. Этот пример показывает, что при малом числе проектов
метод «затраты – эффект» может дать ощутимую погрешность.
Общий случай
Рассмотрим случай произвольного графа взаимозависимостей. В данном
случае рассмотрим два подхода к решению задачи. Первый подход состоит в
том, что путем удаления из графа ряда вершин граф превращается в
120
паросочетание. Далее рассматриваются все варианты включения в план
проектов, соответствующих удаленным вершинам. Для каждого варианта
задача решается одним из описанных выше алгоритмов. Все варианты
сравниваются, и выбирается наилучший. Этот подход рассмотрим для случая
двух периодов, поскольку с увеличением числа периодов быстро растет число
возможных вариантов. Если, число удаленных вершин равно s, то число
возможных вариантов равно 2s.
Пример 5.2.6. Рассмотрим граф взаимозависимостей на рис. 5.2.8.
2
3
(3)
(5)
1
2
(2)
3
4
(4)
(3)
5
1
(6)
4
7
Рис. 5.2.8
Таблица затрат приведена в табл. 5.2.24.
Таблица 5.2.24
i 1 2 3 4 5
ci 4 3 2 5 3
Если удалить вершину 1, то получаем паросочетание. Поэтому следует
рассмотреть два варианта: вершина 1 входит в план первого периода или
вершина 1 входит в план второго периода. Примем q1=2, q2=1, R1=12, R2=17.
Первый вариант
Для
решения
задачи
применим
метод
программирования. Формируем комплексные проекты.
дихотомического
Таблица 5.2.25
Комплексный проект I (проекты 2 и 3)
Вариант 0 1 2 3
Затраты 0 2 3 5
Эффект 0 4 6 15
121
К эффекту проекта 2 добавлен эффект b12 = 3, поскольку проект 1
включен в план первого периода.
Таблица 5.2.26
Комплексный проект II (проекты 4 и 5)
Вариант 0
Затраты 0
Эффект 0
1
3
5
2
5
7
3
8
18
Рассматриваем комплексные проекты I и II.
Таблица 5.2.27
3
8;18 10;22 11;24
2
5;7
7;11
8;13
10;22
1
3;5
5;9
6;11
8;20
0
0;0
2;4
3;6
5;15
0
1
2
3
II
I
-
Оптимальное решение определяется клеткой (8;20), что соответствует
включению в план первого периода проектов 1, 2, 3, 5. Имеем w1 = 22, w2 = 40,
Ф = 2 ∙ 22 + 1 ∙ 18 = 62.
Второй вариант
Таблица 5.2.28
Комплексный проект I (проекты 2 и 3)
Вариант 0
Затраты 0
Эффект 0
1
2
4
2
5
12
Таблица 5.2.29
Комплексный проект II (проекты 4 и 5)
Вариант 0
Затраты 0
Эффект 0
1
3
5
2
5
7
3
8
14
Рассматриваем комплексные проекты I и II.
Таблица 5.2.30
2
5;12 8;13 10;19
1
2;4
5;5
7;11
10;18
0
0;0
3;1
5;7
8;14
0
1
2
3
I
II
122
-
Оптимальное решение определяется клеткой (10;19), что соответствует
включению в план первого периода проектов 2, 3 и 4. Имеем w1 = 19, w2 = 40,
Ф = 2 ∙ 19 + 1 ∙ 21 = 59.
Оптимальному варианту соответствует включение в план первого
периода проектов 1, 2, 3 и 5 с эффектом 62.
Второй подход состоит в применении для получения верхних оценок
метода сетевого программирования.
5.3. Оптимизация последовательного выполнения проектов
по критерию упущенной выгоды
Рассматривается задача определения последовательности выполнения
проектов, минимизирующей упущенную выгоду с учетом эффектов от
взаимозависимости проектов.
Постановка задачи
Имеютcя nпроектов. Каждый проект характеризуется эффектом aiот его
реализации и временем τi его реализации. Если выполнить два проекта i и j, то
возникает дополнительный (синергетический) эффект
bij. Для описания
взаимозависимости проектов определим граф взаимозависимостей G, вершины
которого соответствуют проектам, а дуги отражают наличие дополнительного
эффекта при реализации обоих
проектов. Проекты выполняются
последовательно. Если
ti – момент окончания проекта i,
tj – момент окончания проекта j,
то дополнительный эффект возникает в момент t=max (ti, tj). Чем позже
реализован проект, тем больше упущенная выгода от его реализации.
Пусть π = (i1, i2, …,in) – некоторая последовательность реализации
проектов. Тогда упущенную выгоду можно записать в виде
F(π) =   ( ) + ( , )∈   max(  ,  ) ,
(5.3.1)
где  = =1  , k = 1, .
Если эффекта взаимозависимости нет (все bij=0), то получаем
классическую задачу максимизации упущенной выгоды. Ее решение состоит в
упорядочении проектов по убыванию величины:

qi =  , i = 1, .
(5.3.2)

Учет синергетического эффекта делает задачу существенно более
сложной.
Получение нижних оценок
Для получения нижних оценок представим
bij = uij+ vij, (i, j) G .
123
(5.3.3).
Имеет место неравенство
uijti + vijtj  max (ti , tj).
Действительно,
uijti+ vijtj  max (ti ; tj) +  max (ti ; tj) =  max (ti , tj).
Подставляя в (5.3.1), получаем
 (π) =  ( + (  )∈ i k  +  , ∈   ) .

(5.3.4)
(5.3.5)
Обозначим
bi(u, v) = ai+ (, )∈  + ( ,)∈  ,
(5.3.6)
где U – множество дуг графа G.
Получаем оценочную задачу: определить последовательность π,
минимизирующую
 (π) =

 (u, v) .
(5.3.7)
Ее решение известно, необходимо упорядочить проекты по убыванию:
 =
  (,)

, i = 1,  .
(5.3.8)
Обозначим W(u, v) значение (5.3.7) в оптимальном решении задачи.
Теорема 5.3.1. W(u, v) является нижней оценкой для исходной задачи.
Доказательство следует из неравенства (5.3.4).
Обобщенная двойственная задача (ОДЗ)
Определить u, v, максимизирующие W(u, v) при условиях (5.3.3).
Теорема 5.3.2. ОДЗ является задачей выпуклого программирования.
Доказательство. Пусть 1 ,  1 и 2 ,  2 – допустимые решения ОДЗ.
Возьмем их выпуклую линейную комбинацию u, v
 =  1 + 1 −  2 ,  =  1 + 1 −  vij2 , (i, j)∈  .
Очевидно, что (u, v) – допустимое решение ОДЗ. Представим bi(u, v) в
виде
bi(u, v) = α [ +
1
(, )∈+ 
+
1
 , ∈− 
] + (1 – α) [ +
2
(, )∈+ 
+
2
 , ∈− 
].
Заметим, что максимум суммы меньше или равен суммы максимумов.
Поэтому

 ,   ≥ α

 (1 ,  1 ) + (1 – α)

 (2 ,  2 ).
Таким образом  () вогнутая функция u, v и задача ее максимизации
является задачей выпуклого программирования.
124
Частный случай графа взаимозависимостей (паросочетание)
Пусть граф взаимозависимостей является паросочетанием (рис. 5.3.1).
1
6
6
7
6
2
3
6
3
5
4
4
4
4
8
Рис. 5.3.1
Определим
уравнений
значение
двойственных
Pi (u, v) =
  +  

=
  + 

переменных,
решая
систему
= pj(u, v), (i, j) ∈  .
Учитывая, что uij+ vij= bij , получаем
uij=
vij =
    −    +   
 + 
    −     +   
 + 
,
.
(5.3.9)
Пот этом, если uij>bij , то полагаем uij= bij , vij= 0.
Если uij< 0, то полагаем uij= 0, vij= bij.
Теорема 5.3.3. Значения u, v, определяемые (5.3.9), дают оптимальное
решений ОДЗ.
Доказательство. Если pi(u, v) = pj(u, v), (i, j) ∈  , то эти два проекта в
оптимальном решении находятся рядом. Пусть первым выполняется проект i,
а вторым – проект j . Если уменьшить uij,, то проекты меняются местами и
оценка увеличивается. Если uij>bij в решении (5.3.9), то, полагая uij= bij,
получаем, что pj(u, v)>pi(u, v) и в оптимальном решении проект j выполняется
раньше проекта i . Если uij< 0 в решении (5.3.9), то, полагая uij= 0, мы получаем
pi(u, v)>pj(u, v) и проект i выполняется раньше проекта j.
Заметим, что если 0 <uij<bij , то проекты i и j выполняются рядом. В
этом случае заменим их одним проектом с параметрами  ij   i   j ,
aij  ai  a j  bij . Получим необходимые условия оптимальности.
125
Пусть проекты k , i и j выполняются последовательно, причем
pi(u, v) = pj(u, v) . Рассматривая проекты i и j как один сложный проект (i, j),
поменяем местами проекты kи (i, j). Если подпоследовательность k , i , j
входит в оптимальный вариант, то должно выполняться условие
(t   k )bk  (t   k   i )ai  (t   k   i   j )( a j  bij ) 
 (t   i )ai  (t   i   j )( ai  bij )  (t   i   j   r )bk .
После несложных преобразований получаем

Pk = 
  +  +  
  + 

= pij .
(5.3.10)
Аналогично можно показать, что если два сложных проекта (i, j) и (k, s)
расположены рядом (причем проект (i, j) первый в оптимальном решении
должно выполняться условие
  +   +  
  +   +  
 + 
  + 
.
(5.3.11)
Исходя из полученных результатов можно предложить следующий
алгоритм решения задачи.
Описание алгоритма
1 шаг. Определяем двойственные переменные u, v по формуле (5.3.9).
2 шаг. Все пары проектов, для которых 0 <uij<bij, превращаем в сложные
проекты с параметрами  =  +  +  ,  =  +  .
3 шаг. Упорядочиваем проекты по убыванию эффективностей piиpij.
4 шаг. Определяем величину упущенной выгоды.
Пример 5.3.1. Имеются шесть проектов (рис.5.3.1).
Данные о продолжительностях приведены в табл. 5.3.1.
Таблица 5.3.1
i
τi
pi
1
2
3
2
3
2
3
4
1
4
2
4
5
3
1
13
6
3
1
23
1. Определяем двойственные переменные:
2 ∙6 −3 ∙6 +2 ∙6
6
1
6
4
(1, 2): u12 =
= = 1 , v12 = 6 - = 4 ;
5
4 ∙ 8 −2 ∙ 4 + 4 ∙4
5
2
5
5
5
(3, 4): u34=
=6 .
6
3
Поскольку u34 > 4, то полагаем u34 = 4, v34 = 0,
3 ∙ 7 −3 ∙ 4 + 9
(5, 6): u56=
= 3, v56 = 0.
6
2. Поскольку u12 > 0, то образуем сложный проект с эффективностью
18
p12 = = 3,6
5
3. Упорядочиваем проекты, включая сложный проект по убыванию
эффективностей (табл. 5.3.2).
126
Таблица 5.3.2
i
4
(1,2)
6
pi
4
3,6
23
1
5
3
1
23
2
В сложном проекте проект 1 делается первым, поскольку p1>p2.
Получаем оптимальное решение π = (4, 1, 2. 6, 5, 3).
Упущенная выгода равна
F = 2 ∙ 8 + 4 ∙ 6 + 7 ∙ 12 + 10 ∙ 7 + 13 ∙ 7 + 17 ∙ 8 = 421.
Общий случай. Приближенный алгоритм
Рассмотрим случай произвольного графа взаимосвязей. Для решения
задачи в этом случае рассмотрим приближенный алгоритм, в основе которого
лежит метод локальной оптимизации для решения обобщенной двойственной
задачи.
Описание алгоритма
1 шаг. Задаем начальные значения 1 ,  1 переменных обобщенной
двойственной задачи.
2 шаг. Определяем  (1 ,  1 ),  (1 ,  1 ), оптимальную последовательность
проектов π1 и оценку снизу упущенной выгоды w(u, v).
3 шаг. Для полученного решения определяем реальную величину
упущенной выгоды F(π1). Если погрешность Δ1 = F((π1) – W(u, v) в пределах
допустимой, алгоритм закончен. Определим ошибку приближения. Для этого
обозначим H(1 ,  1 ) множество дуг (ik; is) таких, что k<s и 1  или 1  больше
нуля. Ошибка приближения равна
Δ ( 1 ,  1 ) =
(  ,  )∈  1  1
(1  + 1  ) ( -  ).
(5.3.12)
Для уменьшения ошибки применяем алгоритм локальной оптимизации.
Для этого выбираем пару ( ,  ) такую, что k<s,  или   больше
нуля и
   ( 1 , 1 )    ( 1 , 1 )


 
>
выполнения равенства

. Уменьшаем 1  (либо   )
либо до 0, либо до

=    . Затем берем следующую пару и т. д.

Пример 5.3.2. Рассмотрим граф взаимосвязей на рис. 5.3.2.
1
4
(3)
(3)
2
6
5
3
(5)
(4)
3
2
4
Рис. 5.3.2
127
2
Таблица продолжительностей приведена ниже.
Таблица 5.3.3
1
3
i

2
2
3
1
4
2
5
4
Возьмем следующие начальные значения 1 ,  1 .
Таблица 5.3.4
(i, j) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2
2
2
2
uij
2
2
3
1
vij
Вычисляем
b1 = 4 + 1 = 2 = 2 = 2 = 11,
b2 = 6 + 2 = 8, b3 = 2 + 2 = 4,
b4 = 5 + 3 = 8, b5 = 3 + 1 = 4.
Определяем эффективности:
2
p1 = 33; p2 = 4; p3 = 4; p4 = 4; p5 = 1.
Оптимальная последовательность: π1 = (2. 3, 4, 1, 5).
Оценка упущенной выгоды:
W1 = 2 ∙ 8 + 3 ∙ 4 + 5 ∙ 8 + 8 ∙ 11 + 12 ∙ 4 = 204.
Упущенная выгода для решения π1:
F(π1) = 2∙ 6 + 3 ∙ 2 + 5 ∙ 5 + 8 ∙ 16 + 12 ∙ 6 = 243.
Ошибка равна 39 или примерно 16 %.
Применяем алгоритм локальной оптимизации.
Шаг 1. Берем пару (1, 5). Уменьшаем u15 до 0 соответственно v15 = 3.
Легко проверить, что оптимальная очередность остается прежней.
Однако оценка увеличивается и станет равной 212. Погрешность уменьшилась
до 31 или примерно 12 %.
6 + 12
8+  12
8+(3− 12 )
Шаг 2. Берем пару (1, 2). Из уравнения
=
=
4
2
1
3
3
определяем v12 = ; u12 = 2 .
5
5
Эффективность проектов 1 и 2 сравнялась и равна 3, 4.
Оптимальная последовательность π2 = (3, 4, 2, 1, 5).
Оценка увеличилась и стала равна
4
1
W1 = 1 ∙ 4 + 3 ∙ 8 + 5 ∙ 65 + 8 ∙ 105 + 12 ∙ 6 = =215,6.
Оценка опять увеличилась до 215,6, а ошибка уменьшилась до 11 %.
Заметим, что эффективность первого проекта стала равной 3,4. Далее
можно продолжать шаги локальной оптимизации. Однако в данном случае,
учитывая специфику графа взаимосвязей можно сразу получить решение
обобщенной двойственной задачи. Для этого выпишем систему уравнений
4+  12 +  13 +  14
6+ 12
2+ 13
5+ 14
=
=
=
= λ.
3
2
Вычисляем: 9 - 12 = 2 λ , 12 = 9 - 2 λ,
128
1
2
6 - 13 = λ , 13 = 6 - λ,
10 - 14 = 2 λ,
14 =10 – 2 λ.
Подставляя в левое выражение, получаем:
4 + (9 – 2 λ) + (6 – λ) + (10 – 2 λ) = 3 λ или λ=
3
3
3
4
1
8
5
4
1
4
8
4
29
8
5
=3 ,
8
12 = 1 , 13 = 2 , 14 = 2 ,
v12 = 1 , v13 = 1 ,  = 2 .
Определим оценку снизу.
7
3
5
1
8
4
8
4
Имеем b1 = 10 , b2 = 7 , 3 = 3 , 4 = 7 , 5 = 6.
Поскольку оптимальных решений оценочной задачи несколько, возьмем
любые из них, например, π3 = (1, 2, 3, 4, 5).
Вычисляем: W = 3 ∙ 10
7
8
3
5
1
1
4
8
4
8
+ 5 ∙ 7 + 6 ∙ 3 + 8 ∙ 7 + 12 ∙ 6 = 223 .
Заметим, что решение π2 также является оптимальным решением
7
оценочной задачи. Погрешность F(π1) - W = 19 8 или примерно 8 %.
Однако можно определить оптимальное решение оценочной задачи с
меньшей упущенной выгодой. Возьмем, например,решение, в котором первым
выполняется проект 1, а остальные выполняются в порядке убывания
эффективностей: π4 = (1, 3, 4, 2, 5).
Вычисляем:
F(π4) = 3 ∙ 4 + 4 ∙ 6 + 6 ∙ 10 + 8 ∙ 9 + 12 ∙ 6 = 240.
Погрешность составляет 11
5
8
или
7 %.
Граф взаимозависимостей типа «куст»
Рассмотренная выше структура графа взаимозависимостей типа «куст»
представляет большой практический интерес. Речь идет о ситуации, когда
существует один проект, реализация которого позволяет повысить эффект от
целого ряда других проектов (такие проекты называются бизнесобразующими).
Рассмотрим эту ситуацию в общем случае. Имеется один бизнесобразующий проект 1 и (n – 1) сопутствующих проектов. Примем, что
продолжительности всех проектов одинаковы, то есть τ1 = 1, i = 1, .
Пусть проект 1 выполняется k-м по очереди. Тогда (k – 1) проект
выполняется до него, а (n – k) после него.
Обозначим sij= j (ai+ kb1i) , j = 1,  − 1 ;
sij= j (ai + b1i) , j =  + 1, ;
s1k= ai. .
129
Примем xij = 1, если проект i выполняется на j-м месте, xij = 0 в
противном случае. Очевидны ограничения: xik = 1,

=2 
 ≠
= 1, j = 1, , j k,
(5.3.13)
 = 1, i = 2,  .
(5.3.14)
Покажем, что
Sk (x)=
,   +
1 ∙  .
(5.3.15)
Определяет величину упущенной выгоды. Действительно, если  = 1 и
j<k, то упущенная выгода от проекта i составляет jai + kb1i, поскольку эффект
b1iпоявляется только в момент k. Если  = 1 и j>k, то упущенная выгода
составляет (ai+ b1i) j. Наконец, упущенная выгода от проекта 1 равна а1∙  .
Таким образом, задача свелась к решению n задач по критерию
минимума о назначениях. Решая эти n задачи и выбирая вариант с
минимальной величиной упущенной выгоды, получаем оптимальное решение.
Пример 5.3.3. Рассмотрим граф взаимозависимостей (рис. 5.3.2).
1 шаг. Полагаем, что проект 1 выполняется первым. Матрица (sij) приведена табл. 5.3.5.
Таблица 5.3.5
j
i
2
3
4
5
2
3
4
5
18
12
20
12
27
18
30
18
36
24
40
24
45
30
50
30
В данном случае решение известно: проекты нужно выполнять в порядке
убывания эффективностей (ai+ b1i), то есть оптимальная последовательность
π1 = (1, 4, 2, 3, 5).
Упущенная выгода s1 = 4 + 20 + 27 + 24 + 30 = 105.
2 шаг. Проект 1 выполняется вторым (табл. 5.3.6).
Таблица 5.3.6
j
i
2
3
4
5
1
3
4
5
12
10
15
9
27
18
30
18
36
24
40
24
45
30
50
30
Получаем решение задачи x21 = 1, x43 = 1, x34 = 1, x55 = 1, S2 = 12 + 30 +
24 + 30 + 4 ∙ 2 = 104.
3 шаг. Проект 1 выполняется третьим (табл. 5.3.7).
130
Таблица 5.3.7
j
i
2
3
4
5
1
2
4
5
15
14
20
12
21
16
25
15
36
24
40
24
45
30
50
30
Получаем x21 = 1, x42 = 1, x34 = 1, x55 = 1, S3 = 94 + 12 = 106.
4 шаг. Проект 1 выполняется четвертым (табл. 5.3.8).
Таблица 5.3.8
j
i
2
3
4
5
1
2
3
5
18
18
25
15
24
20
30
18
30
22
35
21
45
30
50
30
Получаем x21 = 1, x42 = 1, x42 = 1, x53 = 1, x34 = 1, S4 = 99 + 4 ∙ 4 = 115.
5 шаг. Проект 1 выполняется последним (табл. 5.3.9).
Таблица 5.3.9
j
i
2
3
4
5
1
2
3
4
21
22
30
18
27
24
35
21
33
26
40
24
39
28
45
27
S5 = 108 + 4 ∙ 5 = 128.
Оптимальная последовательность π = (2, 1, 4, 3, 5) с величиной
упущенной выгоды
F(π) = 1 ∙ 6 + 2 ∙ 7 + 3 ∙ 10 + 4 ∙ 6 + 5 ∙ 6 = 104.
5.4. Задача Джонсона с критерием упущенной выгоды
Рассмотрим классическую задачу Джонсона о станках. Имеются n
деталей, которые обрабатываются на двух станках. Каждая деталь сначала
обрабатывается на первом станке, а затем на втором. Обозначим
ai продолжительность обработки детали i на первом станке, bi − на втором.
Имеется по одному станку каждого типа. Требуется определить очередность
обработки детали, при которой продолжительность обработки всех деталей
минимальна. Оптимальная очередность обработки деталей получается по
следующему правилу: сначала обрабатываются детали, для которых ai≤bi, в
очередности возрастания ai, а затем обрабатываются детали, для которых
ai≥bi, в очередности убывания bi.
131
Рассмотрим задачу Джонсона с критерием минимизации упущенной
выгоды. В этом случае решение задачи существенно усложняется.
Обозначим сi − коэффициент упущенной выгоды, ti − момент окончания
обработки i–й детали. Целевая функция имеет вид
C(t)   c i t i  min .
i
Получим необходимые условия оптимальности. Для этого применим
прием транспозиции, то есть перестановки двух соседних деталей. Пусть в
оптимальном решении детали i и j обрабатываются одна за другой, причем
деталь i обрабатывается первой. Переставим местами детали i и j. Рассмотрим
различные возможные случаи:
1. aj≥bi, ai≥bj.
Имеем необходимое условие оптимальности
(t  a i  b i )c i  (t  a i  a j  b j )c j  (t  a j  b j )c j  (t  a j  a i  b i )c i
или
a i c j  a jc i ,
c c
pi  i  j  p j .
ai a j
2. aj≥τi, ai≤τj.
Имеем
(t  a i  b j )c i  (t  a i  a j  b j )c j  (t  a j  b j )c j  (t  a j  b j  b i )c i
или
a i c i  a i c j  a jc i  b jc i ,
ai (ci  c j )  ci (a j  b j ) ,
a  bj
pi  j
.
ci  c j
3. aj≤τi, ai≤τj.
Имеем
(t  a i  b i )c i  (t  a i  b i  b j )c j  (t  a j  b j )c j  (t  a j  b j  b i )c i
или
a i c i  a i c j  b i c j  a jc i  a jc i  b jc i ,
(ai  bi  a j )c j  (a j  b j  ai )ci ,
ai  bi  a j a j  b j  ai

.
ci
cj
4. aj≤bi, ai≥bj.
Имеем
(t  a i  b i )c i  (t  a i  b i  b j )c j  (t  a j  b j )c j  (t  a j  a i  b i )c i
или
132
a i c j  b i c j  a jc j  a jc i ,
(ai  bi  a j )c j  a jci ,
ai  bi  a j a j
c
ci
  pj  j 
.
cj
cj
a j ai  bi  a j
Определим полный асимметрический n-вершинный граф.
Любые две вершины соединим дугой (i, j), если выполняется одно из
условий оптимальности. Очевидно, что любому гамильтонову пути в графе
соответствует локально-оптимальное решение задачи. И наоборот, любому
локально-оптимальному решению задачи соответствует гамильтонов путь в
графе.
Опишем алгоритм определения гамильтонового пути графа.
1. Берем произвольную перестановку вершин (i1, i2, …, in).
2. Если (ik, ik+1)  U (U– множество дуг графа), то производим
транспозицию, то есть меняем местами вершины ik и ik+1. За конечное число
транспозиций получаем гамильтонов путь.
Пример 5.4.1. Имеется четыре детали, данные о которых приведены в табл. 5.4.1.
Таблица 5.4.1
i
аi
bi
ci
1
5
6
1
2
7
4
2
3
8
5
3
4
3
9
4
Рассматриваем все пары вершин (деталей).
1. Пара (1,2). Имеем a1  b 2 , a 2  b1 (случай 1). Поскольку
a1
a
 5  2  3.5 , то оптимальная очередность 2→1. В графе появляется дуга
c1
c2
(2,1).
13
2. Пара (1,3). Имеем a1  b 3 , a 3  b1 (случай 2). Поскольку p1  5  , то
4
оптимальная очередность (3,1). В графе появляется дуга (3,1).
3. Пара (1,4). Имеем a1  b 4 , a 4  b1 (случай 3). Поскольку
a1  b 1  a 4 8 a 4  b 4  a1 7
 
 , то оптимальная очередность (4,1). В графе
c1
1
c4
4
появляется дуга (4,1).
7
8
4. Пара (2,3). Имеем a 2  b 3 , a 3  b 2 (случай 1). Поскольку p 2   p3 
4
3
, то оптимальная очередность (2,3). В графе появилась дуга (2,3).
133
5. Пара (2,4). Имеем a 2  b 4 , a 4  b 2 (случай 3). Поскольку
a2  b2  a4
a  b4  a2 7
4 4
 , то оптимальная очередность (4,2). В графе
c2
c4
4
появилась дуга (4,2).
6. Пара (3,4). Имеем a 3  b 4 , a 4  b 3 (случай 3). Поскольку
a 2  b 3  a 4 10 a 4  b 4  a 3


 1, то оптимальная очередность (4,3). В графе
c3
3
c4
появилась дуга (4,3).
Полученный граф приведен на рис. 5.4.1.
1
2
3
4
Рис. 5.4.1
В данном случае существует единственный гамильтонов путь (4,2,3,1),
который и определяет оптимальное решение задачи.
Учтем теперь взаимозависимости деталей (проектов), то есть
дополнительные эффекты bij , возникающие при реализации (обработке) обоих
проектов i и j. Для этого, как и ранее, представим bij в виде bij  uij  vij и
воспользуемся неравенством
uijt i  vijt j  bij max( t i ; t j ) .

Добавляя uij , j  ui и v ji , j  ui к коэффициентам c i и решая задачу
описанным выше способом (перебирая все гамильтоновы пути), мы получим
оценку снизу для исходной задачи. Далее можно улучшать оценку, решая
обобщенную двойственную задачу либо применить метод ветвей и границ.
Заметим, однако, что перебор всех гамильтоновых путей является при большом
числе вершин графа достаточно трудоемкой задачей. Поэтому рассмотрим
другие способы получения нижних оценок для метода ветвей и границ.
Получение нижней оценки
Для получения нижних оценок примем, что станков второго типа
достаточно для выполнения одновременно всех деталей. В этом случае, для
любой последовательности (i1, i2, …, in) время окончания обработки детали (ik)
равно
k
t ik   a i   i ,
j 1
134
j
k
(5.4.1)
что меньше или равно реальному времени окончания обработки детали ik в этой
последовательности. Оценочная задача заключается в максимизации
 k

a i   i c i .
(5.4.2)
k  
 j 1

Покажем, что оптимальной является обработка деталей в очередности
убывания
c
pi  i .
ai
Действительно, пусть в оптимальном решении
детали (i, j)
обрабатываются одна за другой. Поменяем местами детали i и j.
Имеем
(t  ai   i )ci  (t  ai  a j   j )c j  (t  a j   j )c j  (t  a j  ai   i )ci ,
j
или
k
k
a i c j  a jc i ,
pi  p j .
Теорема 5.4.1. Если ai   j для всех i, j, то обработка деталей в очередности
убывания (возрастания) p i дает оптимальное решение задачи.
Доказательство. Поскольку ai   j , то момент окончания обработки детали
ik в точности равен (5.4.1). Это доказывает теорему.
Теперь можно учесть эффект взаимодействия, как это делалось ранее, и
решая оценочную задачу, получить нижние оценки упущенной выгоды,
приближенное решение задачи, которое является точным, если выполняются
условия теоремы 4.1.
k 1
k
Пример 5.4.2. Граф взаимовлияний приведен на рис. 5.4.2.
6
1
7
8,5
5
2
7
3
4
Рис. 5.4.2
Данные о проектах (деталях) приведены в табл. 5.4.2.
Таблица 5.4.2
i
аi
τi
ci
1
2
3
1
2
3
4
2
3
6
5
3
135
4
8
6
4
5
8
7
5
6
5
8
6
Вычисляем:
1  u12 2  7  u12
1)
, u12  3 , v12  4 , b1  4 , b 2  6 , p1  p 2  2 ;

2
3
3  u 23 4  7  u 23
2)
, u 23  3 , v 23  4 , b 2  6 , b 3  8 , p 2  p 3  1;

6
8
5  u56 6  8,5  u56
3)
, u 56  7 , v 56  1,5 , b 5  12 , b 6  7,5 , p 5  p 6  1,5 .

8
5
Оптимальная очередность обработки деталей (1,2)→(5,6)→(3,4).
 0  4  5  9  6  20  12  26  7,5  29  8  31  6  927 .
Для определения допустимого решения, соответствующего оценочному
решению определим оптимальную очередность пар (1,2), (5,6) и (3,4) простым
перебором.
1. Пара (1,2). Очередность 1→2. Вычисляем:
(a1  1 )c1  (a1  a 2   2 )(c 2  b12 )  5  9  9  89 .
Очередность 2→1. Вычисляем:
(a 2   2 )c 2  (a 2   2  1 )(c1  b12 )  14  80  94 .
Оптимальная очередность 1→2.
2. Пара (3,4). Очередность 3→4. Вычисляем:
(a3   3 )c3  (a3  a 4   4 )(c 4  b 34 )  33  20  11  253 .
Очередность 4→3.
(a 4   4 )c 4  (a 4  a3   3 )(c3  b 34 )  56  190  246 .
Оптимальная очередность 4→3.
3. Пара (5,6). Очередность 5→6. Вычисляем:
(a5   5 )c5  (a5   5   6 )(c6  b 56 )  75  333 ,5  408 ,5 .
Очередность 6→5.
(a 6   6 )c6  (a 6  a5   5 )(c5  b 56 )  78  270  348 .
Оптимальная очередность 6→5.
Окончательно получаем допустимое решение (1,2,6,5,4,3) величиной
упущенной выгоды.
  5 1  9  9  18  6  13,5  25  32  4  37 10  1029,5 .
Относительная погрешность составляет

1029 ,5  927
102 ,5

 0,1,
1039 ,5
1039 ,5
то есть примерно 10 %.
Метод локальной оптимальности
Применим для решения задачи метод локальной оптимизации. Для этого
предварительно следует скорректировать необходимые условия оптимальности
с учетом взаимовлияния проектов. Рассмотрим также четыре случая:
1) aj≤τj, aj≤τi.
136
Имеем
(t  ai  i )ci  (t  ai  i   j )(cj  bij )  (t  aj   j )cj  (t  aj   j  i )(ci  bij ) ,
или
(ai  i  aj )cj  aibij  (aj   j  ai )ci  ajbij .
2) aj≥τj, aj≤τi.
Имеем
(t  ai   i )ci  (t  ai   i   j )(c j  bij )  (t  a j   j )c j  (t  a j  ai   i )(ci  bij ) ,
или
aicj  icj  cjbij  ajcj  ajci  ajbij ,
(ai  i  aj )cj  aici  (aj   j )bij .
3) ai≤τj, aj≥τi.
Имеем
(t  ai   i )ci  (t  ai  a j   j )(c j  bij )  (t  a j   j )c j  (t  a j   j   i )(ci  bij ) ,
или
aici  aicj  ajci   jci  (i  ai )bij .
aicj  (ai  i )bij  (aj   j  ai )ci .
4) ai≥τj, aj≥τi.
Имеем
(t  ai   i )ci  (t  ai  a j   j )(c j  bij )  (t  a j   j )c j  (t  a j  ai   i )(ci  bij ) ,
или
aicj   jbij  ajci  ibij .
Применим эти условия к предыдущему примеру.
Пример 5.4.3. Рассматриваем все 12 пар (3 пары были рассмотрены ранее).
Пара (1,3). b13  0 , c3  b 34  10 . Имеем a1   3 , a 3  1 (случай 3).
Вычисляем: (a3   3  a1 )c1  9 . Оптимальная очередность 3→1.
Пара (1,4). b14  0 . Имеем a1   4 , a 4  1 (случай 4). Вычисляем: a 3c1  6 .
Оптимальная очередность (1,4) или (4,1).
Пара (1,5). b15  0 . Имеем a1   5 , a 5  1 (случай 3). Вычисляем:
a1c5  10  (a5   5  a1 )c1  13 . Оптимальная очередность 1→5.
Пара (1,6). b16  0 , c6  b16  14 ,5 . Имеем a1   6 , a 6  1 (случай 3).
Вычисляем: a1 (c6  b16 )  29  (a 6   6  a1 )c1  13 . Оптимальная очередность
6→1.
Пара (2,3). b 23  0 , c3  b 43  10 , c 2  b12  9 . Имеем a 2   3 , a 3   2 (случай
3).
Вычисляем: a 2 (c3  b 43 )  30  (a3   3  a 2 )(c 2  b12 )  81 .
Оптимальная
очередность 2→3.
Пара (2,4). Имеем a 2   4 , a 4   2 (случай 3). Вычисляем:
a 2  c 4  12  (a 4   4  a 2 )(c 2  b12 )  22 . Оптимальная очередность 2→4.
137
Пара (2,5). c 2  b12  9 , c5  b 56  13,5 . Имеем a 2   5 , a 5   2 (случай 3).
Вычисляем: a 2 (c5  b 56 )  40 ,5  (a5   5  a 2 )(c 2  b12 )  108 .
Оптимальная
очередность 2→5.
Пара (2,6). c 2  b12  9 . Имеем a 2   6 , a 6   2 (случай 3). Вычисляем:
a 2  c 6  18  (a 6   6  a 2 )(c 2  b12 )  90 . Оптимальная очередность 2→6.
Пара (3,5). c3  b 34  10 , c5  b 56  13,5 . Имеем a 3   5 , a 5   3 (случай 3).
Вычисляем: a3 (c5  b 56 )  81  (a5   5  a 3 )(c3  b 34 )  120 .
Оптимальная
очередность 3→5.
Пара (3,6). c3  b 34  10 . Имеем a 3   6 , a 6   3 (случай 3). Вычисляем:
a 3  c 6  36  (a 6   6  a3 )(c3  b 34 )  70 . Оптимальная очередность 3→6.
Пара (4,5). c5  b 56  13,5 . Имеем a 4   5 , a 5   4 (случай 4). Вычисляем:
a 4 (c5  b 56 )  108  (a 5   5  a 4 )c 4  28 . Оптимальная очередность 5→4.
Пара (4,6). Имеем a 4   6 , a 6   4 (случай 2). Вычисляем:
a 4   4  a 6 )c 6  54  a 4c 4  32 . Оптимальная очередность 6→4.
На рис. 5.4.2 приведен граф оптимальных очередностей.
6
1
5
2
4
3
Рис. 5.4.3
Как легко видеть, локально-оптимальных решений достаточно много.
Однако можно высказать предположение, что решение, полученное на основе
оценочной задачи, является оптимальным или во всяком случае достаточно
близким к оптимальному. Так, например, для локально-оптимального решения
(1,2,6,4,3,5) имеем
  5  81  108  96  290  526,5  1106,5 ,
что больше чем 1029,5.
Было решено 20 задач размерностью до 10 деталей. Во всех случаях было
получено оптимальное решение (проверка оптимальности осуществлялась
путем перебора всех локально оптимальных решений).
Выше было показано, что при ai  b j для всех (i, j) получаемое на основе
обобщенной двойственной задачи решение является оптимальным. Рассмотрим
еще один частный случай, в определенном смысле обратный этому, а именно
138
примем, что ai   j для всех i, j. В этом случае для любого решения (i1, i2, …, in)
имеет место
k
t ik  ai    ij .
1
(5.4.3)
j1
При этом по аналогии с теоремой нетрудно показать, что оптимальное
решение обобщенной двойственной задачи определяет оптимальное решение
исходной задачи. Отличие от предыдущего случая в том, что решение зависит от
выбора первой детали (то есть от величины аij). Поэтому для получения
оптимального решения необходимо перебрать все варианты выбора первой
детали.
Пример 5.4.4. Рассмотрим граф взаимодействия рис. 5.4.3. Данные о деталях
приведены в табл. 5.4.3.
Таблица 5.4.3
i
аi
τi
ci
1
2
3
6
1
3
5
7
5
4
4
8
3
5
6
9
6
6
3
7
2
4
9
4
Найдем решение обобщенной двойственной задачи:
1  u12 5  7  u12
7
1) пара (1,2). Вычисляем:
, u12  3 ,

8
3
5
5
7
1
p1  p 2  1 , b1  4 , b 2  8 .
8
8
8
3  u34 6  7  u34
2) пара (3,4). Вычисляем:
, u34  3,4 ,

4
6
p 3  p 4  1,6 , b 3  6,4 , b 4  9,6 .
2  u56 4  8,5  u56
3
3) пара (5,6). Вычисляем:
, u 56  4 ,

14
3
4
2
1
3
p 5  p 6  2 , b1  6 , b 2  8 .
14
14
7
Оптимальное решение оценочной задачи (5,6)→(1,2)→(3,4).
Определим оптимальные очередности в парах. Поскольку  i  a j
i, j, то всегда имеем случай 1 условий оптимальности:
1) пара (1,2). Вычисляем:
(a1  1  a 2 )c 2  20  (a 2   2  a1 )c1  (a 2  a1 )b12  23 .
Оптимальная очередность 1→2.
2) пара (3,4). Вычисляем:
(a 3   3  a 4 )c 4  36  (a 4   4  a 3 )c3  (a 4  a 3 )b14  26 .
Оптимальная очередность 4→3.
3) пара (5,6). Вычисляем:
139
1
v12  3 ,
8
v 34  3,6 ,
2
v 56  4 ,
7
для всех
(a 5   5  a 6 )c 6  24  (a 6   6  a 5 )c5  (a 6  a 5 )b 56  28,5 .
Оптимальная очередность 5→6.
Итак, получаем допустимое решение (5,6,1,2,4,3) величиной упущенной
выгоды.
  10  2  19  12,5  22  1  23  12  31  6  38  10  1121,5 .
В данном случае не требуется проверять варианты с другой первой
деталью, поскольку деталь 5 имеет минимальную величину a i  3 .
Возьмем, например, решение, в котором первой обрабатывается
деталь 1. Определяем:
c  b12 12
p2  2
  2,4 .
a2
5
Поэтому деталь 2 обрабатывается второй. Получаем решение (1,2,5,6,4,3)
с величиной упущенной выгоды
  9  16  12  22  2  27  12,5  33  6  38  10  1160,5  1121,5 .
Что касается общего случая и произвольного графа взаимозависимостей,
то здесь можно предложить приближенный алгоритм путем решения задачи с
последующей локальной оптимизацией на основе необходимых условий
оптимальности.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте
постановку
задачи
формирования
портфеля
взаимозависимых проектов.
2. В чем заключается модифицированный метод дихотомического
программирования с частичным перебором?
3. В чем заключается метод сетевого программирования?
4. Расскажите правила построения двойственной задачи к данной задачи
линейного программирования.
5. Сформулируйте обобщенную двойственную задачу.
6. Метод ветвей и границ при решении задачи формирования портфеля
взаимозависимых проектов.
7. Сформулируйте постановку задачи формирования календарного плана
взаимозависимых проектов.
8. Как решить задачу формирования календарного плана взаимозависимых
проектов с помощью метода дихотомического программирования?
9. Метод ветвей и границ при решении задачи формирования календарного
плана взаимозависимых проектов.
10. Сформулируйте постановку задачи оптимизации последовательного
выполнения проектов по критерию упущенной выгоды.
11. В чем заключается задача Джонсона с критерием упущенной выгоды.
140
ГЛАВА 6. МОДЕЛИ И МЕХАНИЗМЫ КОМПЛЕКСНОГО РАЗВИТИЯ
ЭКОНОМИКИ И СОЦИАЛЬНОЙ СФЕРЫ РЕГИОНА
6.1. Модель комплексного развития социально-экономической системы на
основе экспертного выбора вариантов развития в иерархии смысловых
матриц
Слова «стратегический фактор»,
«стратегическое решение»,
«стратегически важный» имеют в контексте рассматриваемой задачи смысл
«существенно важный для получения результата», «поворотное, судьбоносное
решение» и т.д. Для стратегических решений в отличие от технических прежде
всего характерна необходимость выбора из ряда взаимоисключающих
(альтернативных) вариантов действий; крупные масштабы изменений при
переходе от одной альтернативы к другой; необходимость сопоставить и
комплексно оценить различные аспекты, факторы и критерии; необходимость
сделать принципиальный выбор и т.д. При этом если главный, стратегических
выбор сделан,
то дальше остаѐтся конкретизировать,
детализировать
программу работ и контролировать еѐ реализацию, так чтобы достигнуть
намеченного результата. Это тоже необходимые задачи, но уже не такие
масштабные, не требующие принципиальных решений. Такие задачи называют
тактическими, текущими, они сравнительно легко решаются в повседневной
практике.
Функционирование региона как ячейки всей страны – это целостный
процесс деятельности,
направленный на удовлетворение потребностей
населения в товарах и услугах (услуги понимаются в широком смысле –
здравоохранение, быт, культура, спорт и др.). Деятельность эта включает
различные области.
1. Связи с внешней средой:
 внешний рынок продукции (покупатели, конкуренты);
 внешний рынок поставщиков ресурсов (сырья, материалов, энергетических
ресурсов и т. п.);
 приток и отток населения (эмигранты, беженцы, переселенцы и т.д.);
 привлечение внешних инвестиций;
 взаимоотношения с другими регионами и федеральными властями.
2. Управление собственной деятельностью:
 обеспечение производства товаров и услуг в необходимых объемах и
требуемого качества;
 управление бюджетом и внебюджетными фондами;
 управление социальной сферой (образование, здравоохранение, спорт,
культура, охрана правопорядка).
Важнейшими элементами стратегического управления являются цели и
критерии их достижения.
Четкая формулировка целей и критериев обеспечивает возможность
управления по результатам, создание системы мотивации, повышающей
141
надежность успешной реализации программы, сопоставления и оценки
вариантов решений и, в конечном счете, концентрацию сил на приоритетных
направлениях деятельности, обеспечивающей успех.
Цели на рассматриваемый период (обычно это год и четыре – пять лет)
рекомендуется структурировать в виде четырех групп целей и
критериев их достижения.
1. Рыночные цели (критерии: доля самообеспечения, то есть доля
потребления, обеспечиваемая за счет продукции и услуг, производимых в
регионе; объем валового регионального продукта; экономические приоритеты).
Пример формулировки типичной целевой установки: увеличить валовый
региональный продукт на 20 % в первую очередь за счет увеличения
производства агропромышленного комплекса.
2. Финансово-экономические цели (критерии: величина бюджета,
прибыль, рентабельность, финансовая устойчивость, прирост фондов и др.).
Пример формулировки типичной целевой установки: стабильное обеспечение
финансовыми ресурсами программы развития, рост бюджетных поступлений
на 30 %, рост прибыли на 40 %, увеличение регионального капитала за счет
строительства новых предприятий и реконструкции старых в полтора раза.
3. Социальные цели (критерии: уровень жизни населения,
доля
населения, находящегося за чертой бедности, то есть с доходом ниже
прожиточного минимума,
уровень бытовых услуг,
здравоохранения,
образования и др.).
4. Экологические и природоохранные цели.
Для достижения поставленных целей разрабатываются мероприятия
(проекты), оцениваются требуемые ресурсы и сроки реализации. Кроме того,
каждое мероприятие оценивается по вкладу (эффекту), который оно вносит в
достижение поставленных целей.
Для того чтобы оценить потенциал отрасли и тем самым потенциальную
возможность достичь поставленных целей, строится зависимость «затраты –
эффект» по каждому критерию.
Рассмотрим метод еѐ построения на примере.
Пусть определена совокупность возможных мероприятий, данные о
которых приведены в табл. 6.1.1
Таблица 6.1.1
Номер
мероприятия
1
2
3
4
Затраты S
Эффект Q
Эффективность Э = Q/S
40
100
50
60
80
300
50
240
2
3
1
4
Далее изменяем номера мероприятий так, чтобы самое эффективное
мероприятие получило номер 1, следующее за ним – №2 и т.д. При новой
нумерации строим таблицу, в которой помимо затрат и эффекта по каждому
мероприятию добавляются столбцы, в которых определяются затраты и эффект
нарастающим итогом (табл. 6.1.2).
142
Таблица 6.1.2
Номер
Затраты S Эффект Q
мероприятия
1
2
3
4
60
100
40
50
240
300
80
50
Затраты
нарастающим
итогом
60
160
200
250
Эффект
нарастающим итогом
240
540
620
670
Таблица затрат и эффекта нарастающим итогом, в которой мероприятия
пронумерованы в порядке убывания эффективности, и является зависимостью
«затраты-эффект» по соответствующему критерию. График этой зависимости
приведен на рис. 6.1.1. Эта зависимость имеет замечательное свойство, она
определяет максимальный эффект по данному критерию, который можно
получить от заданного множества мероприятий при заданной величине
финансирования. Фактический эффект может быть меньше за счет
дискретности мероприятий. Действительно, если мы имеем 140 единиц
финансовых ресурсов, то мы не можем реализовать первые два мероприятия,
требующие 160 единиц ресурса. Оптимальный вариант – реализовать второе и
третье мероприятия, что дает суммарный эффект 380 единиц, что меньше, чем
получается по зависимости, показанной на рис. 6.1.1 – эффект 480 единиц.
Конечно, если бы каждое мероприятие можно было реализовать частично, с
пропорциональным уменьшением и затрат, и эффекта, то зависимость,
представленная на рис. 6.1.1, соответствовала бы реальному эффекту при
любом уровне затрат.
эффект
700
670
620
600
540
500
400
300
240
200
100
50
6
150 160
100
200
Рис. 6.1.1 Зависимость «затраты – эффект»
143
250
Для построения реальной зависимости «затраты-эффект» необходимо
решить так называемую задачу о ранце,
задавая различные уровни
финансирования. Дадим математическую формулировку этой задачи.
Обозначим xi = 1, если мероприятие i реализуется и xi = 0 в противном
случае. Пусть объем финансирования равен R. Задача о ранце имеет вид для
рассматриваемого примера:
240x1 + 300x2 + 80x3 + 50x4 max
при ограничении
60x1 + 100x2 + 40x3 + 50x4 R.
Для решения этой задачи при различных значениях R эффективным
является метод динамического программирования. Для применения метода
предварительно строим на плоскости систему координат, одна ось которой
соответствует мероприятиям, а вторая – объему финансирования. По оси
мероприятий отмечаем номера мероприятий – 1, 2, 3, 4.
Из начала координат проводим две дуги – одна горизонтальная, в точку
(1, 0), а другая – в точку (1, 60), где 60 – объем финансирования первого
мероприятия. Первая дуга соответствует случаю, когда первое мероприятие не
финансируется, а вторая, – когда оно финансируется. Из каждой полученной
точки ((1, 0) и (1, 60)) проводим также по две дуги для второго мероприятия.
Получаем уже четыре точки – (2, 0), (2, 60), (2, 100) и (2, 160),
соответствующие четырем возможным вариантам для двух первых
мероприятий (если бы оба мероприятия требовали одинакового
финансирования, то мы получили бы три точки). Продолжая таким же образом,
получаем сеть, приведенную на рис. 6.1.2. Очевидно, что любой путь в сети из
начальной вершины (0, 0) в конечные вершины соответствует некоторому
набору мероприятий. И наоборот, любому набору мероприятий соответствует
вполне определенный путь в сети, соединяющий начальную вершину с
конечной.
Значение координаты по второй оси равно объему финансирования
соответствующего набора мероприятий (или пакета проектов, или портфеля
проектов, названия бывают различные). Примем длины горизонтальных дуг
равными 0, а длины наклонных – эффектам от соответствующих мероприятий.
В этом случае длина пути, соединяющего начальную вершину с одной из
конечных, будет равна суммарному эффекту от соответствующего этому пути
множества мероприятий. Следовательно,
путь максимальной длины,
соединяющий начало координат и точку (4, S) будет соответствовать
множеству мероприятий, дающему максимальный эффект среди всех множеств
мероприятий, требующих совокупного финансирования ровно S единиц.
Таким образом, мы получаем оптимальные наборы мероприятий при любых
объемах финансирования.
144
[670]
250
210
[590]
[620]
[430 ]
[620]
200
190
[540 ]
160
[540 ]
150
[540 ]
[370]
[380 ]
[380 ]
140
110
[300]
100
[290]
[300]
[130]
[320]
90
60
[240]
[240]
[240]
50
[240]
[50]
[80]
[80]
40
[0]
1
[0]
[0]
[0]
2
3
Рис. 6.1.2
4
Анализируя приведенные решения (рис.6.1.2),
можно заметить
любопытный парадокс. При финансировании, например, в объеме 100 единиц,
мы получаем эффект в 300 единиц, а при увеличении объема финансирования
на 10 эффект составляет всего 290 единиц, то есть на 10 единиц меньше.
Аналогичная картина наблюдается при сравнении эффектов при объемах
финансирования 200 и 210 единиц, 140 и 150 и т.д. Парадокс в том, что если
задать вопрос, в каком случае будет больший эффект  при финансировании в
100 или в 110 единиц, то любой здравомыслящий человек скажет, что чем
больше объем финансирования, тем больше эффект, естественно, при
оптимальном наборе мероприятий. Этот парадокс возникает из-за дискретности
задачи. Понятно, что варианты, нарушающие монотонность (парадоксальные
варианты), мы не должны рассматривать. Полученные значения максимального
эффекта при различных объемах финансирования выпишем в табл. 6.1.3.
Таблица 6.1.3
Объем финансирования
Эффект
40
80
60
240
100
300
140
380
160
540
200
620
250
670
График этой зависимости приведен на рис. 6.1.3. На этом же рисунке
тонкой линией показан прежний график «затраты-эффект» (рис. 6.1.1).
Имея зависимость «затраты-эффект» можно решать и задачи привлечения
дополнительных финансовых ресурсов, в частности взятия кредита. Пусть,
например, имеется 90 единиц ресурса, а кредит можно взять под 300 %. Какой
величины кредит взять, чтобы получить максимальный финансовых результат?
Из графика на рис. 6.1.3 видно, что рассмотреть следует 4 варианта –
взять кредит 10, 70, 110 или 160 единиц. При взятии кредита 10 единиц
145
дополнительный эффект составит 300 - 240 = 60 единиц,
то есть
эффективность равна 600 %, что выше, чем ставка кредита. Это значит, что
брать кредит целесообразно. Если взять кредит в размере 70 единиц, то
дополнительный эффект составит 540 - 240 = 300 единиц,
что дает
эффективность 430 %, что также больше ставки кредита. При кредите в 110
единиц дополнительный эффект составит 620 - 240 = 380 единиц, что дает
эффективность 345 %, то есть больше, чем ставка кредита. Наконец, при
кредите в 160 единиц дополнительный эффект составит 670 - 240 = 430
единиц, что дает эффективность 281 %, то есть ниже ставки кредита. Таким
образом, оптимальная величина кредита равна 70 единиц, что дает эффект 540
единиц и, за вычетом процентов за кредит 540 - 370 = 330 единиц.
эффект
670
620
540
380
300
240
80
40
60
100
140
160
200
250
Рис. 6.1.3
Зависимость «затраты-эффект» характеризует потенциал отрасли по
соответствующему критерию. Зная эту зависимость, можно определить
минимальный уровень финансирования,
достаточный для достижения
поставленных целей. И, наоборот, при ограниченных финансах определяется
максимальный уровень, который можно достичь по данному критерию. Так,
например, если поставлена цель обеспечить по данному критерию эффект в
600 единиц, то при заданном множестве мероприятий для этого потребуется не
менее 200 единиц финансовых ресурсов (из графика видно, что эффект
составит 620 единиц, но при уменьшении финансирования он сразу падает до
540, то есть поставленная цель не достигается). Если же имеется всего 150
единиц финансовых ресурсов, то максимальный уровень эффекта, который
можно достичь, составит 380 единиц (причем достаточно для достижения цели
всего 140 единиц ресурса).
146
6.2. Модель комплексной оценки вариантов программы
Метод «затраты-эффект» позволяет оценить потенциал развития по
каждому критерию. Заметим, что ряд критериев взаимосвязаны в том смысле,
что мероприятие, улучшающее значение одного критерия, одновременно
улучшает и значение другого. Например, мероприятия, обеспечивающие рост
прибыли, одновременно увеличивают и валовый региональный продукт, рост
валового регионального продукта, как правило, сопровождается ростом
прибыли и бюджетных поступлений и т.д. Однако имеются и относительно
независимые критерии. К ним относятся в первую очередь такие, как уровень
жизни, финансово-экономическая эффективность (например, прибыль) и
уровень экологической безопасности. Действительно,
мероприятия,
повышающие уровень жизни непосредственно не влияют на финансовоэкономическую эффективность (хотя косвенное влияние, естественно, имеется,
поскольку рост заработной платы, например, связан с ростом объѐмов продаж,
а значит, с ростом прибыли и т.д.). Аналогично мероприятия, обеспечивающие
рост финансово-экономической эффективности, непосредственно не влияют на
уровень экологической безопасности (хотя внедрение новых технологий и
развитие новых производств может приводить как к ухудшению, так и к
улучшению экологической обстановки). Для того чтобы учесть основные цели
развития, рассмотрим задачу формирования программы развития с учѐтом всех
основных критериев. Эта задача является задачей многокритериальной
оптимизации.
Существует несколько подходов к решению задач многокритериальной
оптимизации. Большинство из них, так или иначе, связаны с формированием
комплексной оценки, которая в агрегированном виде отражает все цели
программы. Пусть программа оценивается по m критериям. Обозначим x j –
значение j-го критерия. Наиболее простой формой представления комплексной
оценки является линейная свертка:
m
F   j x j ,
j 1
где j – вес j-го критерия, определяемый, как правило, на основе экспертных
заключений. Недостатком линейных сверток является опасность потери
эффективных вариантов. Вариант называется эффективным (паретооптимальным), если не существует другого варианта, который не хуже данного
по всем критериям (мы считаем, что любые два варианта программы
отличаются хотя бы по одному критерию). Эту опасность иллюстрирует рис. 6.2.1.
147
x2
A
В
С
D
x1
Рис. 6.2.1
Легко видеть, что какие бы веса 1, 2 мы ни взяли, будет выбран либо
вариант А, либо вариант D, но никогда не будут выбраны варианты В и С. Для
того чтобы избежать этой опасности, можно применить нелинейное
преобразование шкал таким образом, чтобы в новом пространстве варианты
программы располагались так, как показано на рис. 6.2.2.
При таком расположении для любого варианта всегда существуют веса 1
и 2, при которых будет выбран именно этот вариант. Заметим, что
нелинейное преобразование может быть выбрано различными способами,
однако при этом затрудняется работа экспертов по определению весов в новом
пространстве, если оно не имеет достаточно хорошей содержательной
интерпретации. В этом случае веса можно определять на основе экспертной
информации о сравнительной эффективности выбранных базовых вариантов.
Пусть, например, выбраны четыре базовых варианта A, B, C, D (рис. 6.2.2) и
эксперты установили следующие оценки сравнительной эффективности этих
вариантов:
D > C > A > B.
2(x2)
A
В
С
D
1(x1)
Рис. 6.2.2
Пусть варианты имеют следующие оценки по двум критериям в
преобразованном пространстве (табл. 6.2.1).
Таблица 6.2.1
Вариант
Критерий 1
Критерий 2
А
1
7
В
2
6
148
С
3
4
D
4
1
Очевидно, что веса 1 и 2 должны быть такими, чтобы выполнялись
неравенства
41 + 2> 31 + 42>1 + 72 > 21 + 62.
Решим следующую задачу линейного программирования: определить 1,
2 и , такие что
 max,
1 + 2 = 1,
41 + 2 31 + 42 + ,
31 + 421 + 72 + ,
1 + 72  21 + 62+ .
Подставляя 2 =1 – 1, преобразуем неравенства к виду
1 
3
.
 1 
2
4
Из этого уравнения определяем  = -1/3, 1 = 2/3.
Отрицательная величина  означает,
что оценки экспертов
противоречивы. Тем не менее мы получили значения весов, при которых это
противоречие свелось к минимуму. Другими словами, система неравенств не
имеет решения, но мы нашли решение с минимальной невязкой. При
полученных значениях весов комплексные оценки вариантов будут
следующими:
FA = 3, FB = 31/3, FC = 31/3, FD = 3.
Заметим, что такого противоречия не возникает, если эксперты просто
назовут лучший вариант из предъявленных. Пусть это вариант В. Тогда
получаем следующую задачу:
 max,
1 + 2 = 1,
21 + 621 + 72 + ,
21 + 62 41 + 2 + ,
21 + 62  31 + 42 + .
Эта система неравенств сводится к следующей
1 
5 2 
 1  min 
;
.
2
3 
 7
Соответствующее решение с максимальной величиной имеет вид
 = 1/5; 1 = 3/5; 2 = 2/5.
При этих значениях весов получаем следующие комплексные оценки
вариантов:
FA = 3,4; FB = 3,6; FC = 3,4; FD = 2,8.
Недостатком описанного выше подхода является достаточно большая
нагрузка на экспертов, вынужденных давать оценки весов всех критериев. В
последнее время большую популярность получил метод формирования
149
комплексной оценки на основе построения иерархической структуры (дерева)
критериев. Идея в том, что все критерии организуются в определенную
иерархическую структуру. На каждом уровне этой структуры происходит
построение агрегированной оценки критериев предыдущего уровня. На рис. 6.2.3
приводится иерархическая структура для трех критериев оценки программы
развития – экономической эффективности, уровня жизни и экологической
безопасности (обозначим их соответственно буквами Э, Ж и Б).
К
С
Э
Ж
Б
Рис. 6.2.3
Представляется естественным сначала объединить критерии уровня жизни и экологической безопасности в один агрегированный критерий социального
уровня (С). Далее,
объединяя социальный уровень с экономической
эффективностью, получим комплексную оценку социально-экономического
уровня, который обеспечивает анализируемый вариант программы развития.
Особенностью иерархической структуры (рис. 6.2.3) является агрегирование в
каждом узле дерева только двух оценок. Это крайне привлекательная
особенность. Дело в том,
что комплексная оценка должна отражать
приоритеты развития региона. Формирование этих приоритетов, а значит и
формирование комплексной оценки, должно проводиться первыми лицами
(главой администрации, его заместителями, начальниками управлений), то
есть лицами,
принимающими решения. Здесь сталкиваемся с чисто
психологической проблемой. Человек способен эффективно оценить
(соразмерить) только ограниченное число целей, и лучше всего, если на
каждом шаге оценки приходится сравнивать не более двух критериев. Такое
сравнение в случае двух критериев удобно проводить, представляя результаты
в виде таблицы (матрицы). Предварительно перейдем к дискретной шкале
оценок по каждому критерию, а именно будем оценивать состояние отрасли по
каждому критерию по четырехбалльной шкале: плохо, удовлетворительно,
хорошо, отлично, или в числовых оценках  один, два, три, четыре. В таких
же шкалах будем оценивать агрегированную и комплексную оценки. В табл. 6.2.2
приведен пример свертки критерия «уровень жизни» с критерием
«экологическая безопасность».
150
Таблица 6.2.2
4
2
3
4
4
3
1
2
3
3
2
1
2
3
3
1
1
1
1
2
Ж
1
2
3
4
Б
Как уже отмечалось, матрица, представленная в табл. 6.2.2, отражает
общественные приоритеты, так при критическом положении в области
экологии и по уровню жизни приоритет отдается обоим критериям. При
удовлетворительном положении в области экологической безопасности
приоритет имеет показатель «уровень жизни», поскольку состояние с хорошей
оценкой по безопасности и удовлетворительной по уровню жизни оценивается
как удовлетворительное, а обратная картина (оценка «хорошо» по уровню
жизни и «удовлетворительно» по безопасности) оценивается как оценка
«хорошо». С ростом уровня жизни приоритет смещается в сторону показателя
экологической безопасности, поскольку состояние «отлично» возможно только
при оценке «отлично» по показателю безопасности (при этом возможна оценка
«хорошо» по уровню жизни). Имея оценку социального уровня, можно
построить матрицу свертки для комплексной оценки социальноэкономического уровня. Пример такой оценки приведен на табл. 6.2.3.
Таблица 6.2.3
4
2
3
4
4
3
2
2
3
3
2
1
2
3
3
1
1
1
2
2
1
2
3
4
С
Э
Здесь также можно заметить изменение системы приоритетов. При
кризисном положении в экономике и обществе приоритет имеют оба
показателя  и социальный уровень, и уровень экономической эффективности.
При удовлетворительном или хорошем значении этих показателей приоритет
смещается в сторону экономической эффективности. Наконец, при высоких
оценках (хорошо или отлично) приоритет снова имеет показатель социального
151
уровня. Граничные состояния,
отделяющие плохие состояния от
удовлетворительных, удовлетворительные от хороших и хорошие от отличных,
можно также определять по-разному. Более того, эти границы могут и должны
меняться со временем. Так, состояние «плохо» соответствует сегодняшнему
состоянию и по экономической эффективности в регионе, и по уровню жизни
ее работников,
и по уровню экологической безопасности. Состояние
«удовлетворительно»
может
соответствовать
средним
значениям
соответствующих показателей по другим регионам. Состояние «хорошо» –
лучшим значениям показателей по регионам, а «отлично» – средним значениям
по другим странам в соответствующих направлениях. При росте
эффективности экономики и уровня жизни цели могут измениться. Так,
состояние «отлично» может соответствовать лучшим значениям показателей в
мире. Обе матрицы, объединенные в графическую схему формирования
комплексной оценки социально-экономического уровня, приведены на рис. 6.2.4.
Имея дерево свертки критериев, можно оценивать любой вариант
программы развития региона и на основе этого выбирать оптимальный вариант.
Рассмотрим задачу выбора программы развития, обеспечивающей переход от
состояния «плохо» к состоянию «удовлетворительно». Для этого определим
понятия напряженных вариантов программы. Каждый вариант будем
описывать вектором x={xЖ, xБ, xЭ}, компоненты которого определяют оценки
по соответствующим критериям.
C
4
2
3
4
4
3
2
2
3
3
2
1
2
3
3
1
1
1
2
2
1
2
3
4
С
Э
4
2
3
4
4
3
1
2
3
3
2
1
2
3
3
1
1
1
2
2
1
2
3
4
Б
Ж
Б
Ж
Э
Рис. 6.2.4
152
К
Так, вариант x = (2, 2, 4), имеющий комплексную оценку К = 3, не
является напряженным, так как имеется вариант y = (2, 2, 3), имеющий такое
же значение комплексной оценки, и в то же время его оценки по критериям не
превышают оценок варианта x. Для варианта y = (2, 2, 3) таких вариантов не
существует. Поэтому он является напряженным. Значение напряженных
вариантов в том, что варианты программы развития, обеспечивающие
получение требуемого значения комплексной оценки с минимальными
затратами, должны быть напряженными. Фактически напряженные варианты
это парето-оптимальные варианты в пространстве критериев. Таким образом,
можно ограничиться рассмотрением только напряженных вариантов.
Вернемся к вопросу построения собственно смысловых матриц, которые
являются обязательным начальным этапом формирования иерархии критериев,
требуемых для организации построения напряженных вариантов, а также, что
не менее важно, к оценке достигнутого состояния социально-экономической
системы. Как уже отмечалось, распределение приоритетов в матрицах лежит
на ЛПР и их отражение в смысловых матрицах вполне по их силам, хотя
окончательная процедура будет носить совещательный характер. Что касается
оценки достигнутого состояния системы, то здесь уже не обойтись без
привлечения квалифицированных специалистов в соответствующих отраслях.
Таким образом, построение матриц и оценка состояния связаны с работой
специалистов в предметной области – экспертов, позволяющих правильно
оценить положение дел в предметной области только на основе своего
абстрактного и практического опыта.
Существенным недостатком экспертных оценок является низкая
достоверность получаемой информации,
связанная в основном с
незаинтересованностью опрашиваемых,
а зачастую и с сознательным
искажением экспертами сообщаемых данных, что обусловлено наличием у
экспертов собственных интересов в решениях, которые будут приниматься на
основе экспертизы.
Пусть имеется n экспертов,
оценивающих какой-либо объект по
скалярной шкале. Каждый эксперт сообщает оценку dsiD, где d и D –
соответственно минимальная и максимальные оценки. Итоговая оценка u=P(s) –
на основании которой принимается решение, является функцией оценок,
сообщенных экспертами s = (s1, s2, … , sn). Обозначим ri – субъективное
мнение i-го эксперта, его истинное представление об оцениваемом объекте.
Пусть P(s) – строго возрастающая функция si, причем P(a, a, …, a) = a для
1 n
всех daD. Типичные процедуры такого типа – средняя u   s i или
n i 1
n
взвешенная u    i s i , где i – веса, удовлетворяющие условию нормировки.
i 1
Обычно предполагается, что каждый эксперт сообщает свое истинное
мнение ri, тогда при хорошем подборе группы экспертов средняя либо
взвешенная оценки достаточно объективно и точно оценивают объект (гипотеза
153
―объективности в среднем‖ группы экспертов). Однако
если эксперты
заинтересованы в результатах экспертизы, то они не обязательно будут
сообщать истинное мнение, т.е. функция P(s) может быть подвержена
манипулированию. Поэтому очень важной является задача построения
экспертизы, дающей в ситуации равновесия Нэша оценку, максимально
близкую к объективной средней.
В работах [32, 41] показано, что существует механизм, называемый
―механизмом честной игры‖ (точнее, существует множество таких
механизмов), позволяющий решить эту задачу. Каждый механизм из этого
класса определяется множеством чисел w(Q), задаваемых для каждого
подмножества Q экспертов, причем w()=D, w(I)=d, где I – множество всех
экспертов. При этом если Q1Q2, то w(Q1)w(Q2).
Итоговая оценка определяется следующей процедурой: упорядочиваются
оценки экспертов по возрастанию, т.е. s1s2 … sn. Определяем подмножества
экспертов Q1 = {1}; Q2 = {1, 2}, …, Qn = {1, 2, …, n} и соответствующие им
числа wi = wi (Qi), i=1, n-1. Находим номер k такой, что wk-1>sk-1, wksk
(существует один и только один такой номер) и определяем итоговую оценку:
u = min[wk-1, sk].
Данное множество описывает все неманипулируемые механизмы, среди
которых выбирается такой вариант, который минимизирует максимальное
абсолютное отклонение полученной итоговой оценки от средневзвешенной.
Решение этой задачи определяется следующим множеством чисел w(Q):
w(Q) = [1-A(Q)]D+A(Q)d, где Q – любое подмножество экспертов, A(Q)=  k .
kQ
6.3. Методы построения гибких систем комплексного оценивания
Описанный выше подход показывает перспективность использования
смысловых (матричных) свѐрток для оценки социально-экономического
состояния региона и разработке на этой основе программы его развития.
Следует отметить, что важным условием эффективности системы оценивания
на основе матричных свѐрток является еѐ согласованность с существующей
структурой регионального управления.
Смысл в том, что руководитель каждого структурного подразделения
должен отвечать за некоторую промежуточную оценку, величина которой
характеризует эффективность его работы. С другой стороны, каждая оценка
должна быть адресной, то есть должно быть структурное подразделение,
отвечающее за эту оценку. Отсюда следует, что в идеале структура дерева
целей (оценок) должна соответствовать структуре управления регионом.
Однако в этом случае дерево целей получается излишне громоздким,
поскольку число логических матриц на единицу меньше числа структурных
подразделений. Как совместить требования согласованности системы
оценивания и требования еѐ достаточной простоты? Выход состоит в
разработке гибкой системы оценивания. Суть в том, что в рассматриваемом
периоде времени в системе оценивания учитываются только важнейшие
154
(критические) показатели (и соответствующие структурные подразделения),
требующие особого внимания и разработки неотложных программ улучшения
состояния в соответствующей области. Остальные показатели, находящиеся в
относительно удовлетворительных или хороших пределах,
составляют
определенный фон для всей системы оценивания. Разумеется, за этими
показателями ведется контроль, разрабатываются меры по их дальнейшему
росту (или снижению в зависимости от содержательного смысла), но это
происходит в режиме обычной (нормальной) работы аппарата. Однако, как
только тот или иной показатель приближается к критической границе,
включается «сигнал тревоги» и этот показатель входит в состав показателей
комплексной системы оценивания. Ниже рассматривается метод построения
новой системы оценивания, включающей введенный показатель. В основе
метода лежит идея максимального учета информации, содержащейся в старой
системе. Описание метода дается на примере системы оценивания, структура
которой приведена на рис. 6.3.1.
Пусть разработана система оценивания,
дерево целей которой
представлено на рис. 6.3.1.
Z
y1
x1
y2
x2
x3
x4
Рис. 6.3.1
Висячим вершинам дерева целей (x1, x2, x3, x4) соответствуют
существенные (критически важные) для рассматриваемого периода показатели
социально-экономического состояния региона, промежуточным вершинам y1 и
y2 соответствуют обобщенные оценки работы руководителей, курирующих
соответствующие группы структурных подразделений (например, зам. главы
администрации), наконец, комплексная оценка Z отражает уровень социальноэкономического состояния региона.
Предположим, что в определенный момент времени один из «фоновых»
показателей (то есть показателей, не входящих в комплексную систему
оценивания), приблизился к критическому уровню. Согласно методологии
гибких систем комплексного оценивания, этот показатель должен быть
включен в систему. Примем, что этот показатель соответствует структурному
подразделению,
входящему в группу подразделений,
непосредственно
155
курируемых руководителем с оценкой у2. Более того, содержательно этот
показатель близок к показателю х3 в том смысле, что существует некоторый
обобщенный показатель у3, который в содержательном смысле отражает
эффективность работы обоих структурных подразделений х 3 и х5 (либо
показатель х5 курирует то же подразделение, что и показатель х3). Так
например, если показатель х3 соответствует комитету по образованию,
показатель х4 – центру занятости населения, а показатель х5 – отделу по
культуре, то логично объединить оценки уровня образования и уровня
культуры в обобщенную оценку «уровень образования и культуры». Таким
образом, новая структура дерева целей будет выглядеть следующим образом
(рис. 6.3.2).
Возникает проблема построения соответствующих матриц свертки
(нужно построить 4 матрицы, поскольку показателей 5). Заметим, что
построение (заполнение) логических матриц происходит с непременным
участием соответствующих руководителей как экспертов. Это очень
ответственная процедура, поскольку логические матрицы отражают политику
(приоритеты) руководства и являются основой дальнейшей разработки
программы развития. Как правило, эта процедура занимает много времени у
руководителей. Поэтому если эта работа уже проведена при настройке системы
оценивания со структурой, представленной на рис. 6.3.1, то желательно
максимально использовать эту информацию для построения новой системы
оценивания со структурой, представленной на рис. 6.3.2. Для этого поступим
следующим образом. Сначала рассмотрим промежуточную структуру,
приведенную на рис. 6.3.3.
Z
y1
x1
y2
x2
y3
x3
Рис.6.3.2
156
x4
x5
Z1
x5
Z
y1
y2
x1
x2
x3
x4
Рис. 6.3.3
Для построения системы оценивания со структурой (рис. 6.3.3)
достаточно заполнить одну матрицу свертки интегральной оценки Z и новой
оценки х5. Теперь можно перейти от системы оценивания со структурой (рис.
6.3.3) к требуемой системе со структурой (рис. 6.3.2), в которой показатели х3 и
х5 агрегируются в обобщенную оценку у2. Назовем расстоянием между
показателями хi и xj число ребер цепи, соединяющей соответствующие
висящие вершины дерева. Заметим, что расстояние между показателями,
которые агрегируются друг с другом, равно 2. В структуре (рис. 6.3.3)
расстояние между показателями х3 и х5 равно 4. Для уменьшения расстояния
между показателями х3 и х5 рассмотрим следующую операцию преобразования
структуры. Выделим две ветви дерева (рис. 6.3.3; они показаны на рисунке
жирными линиями) и поменяем их местами. Получим структуру, показанную
на рис. 6.3.4, в которой расстояние между показателями х3 и х5 равно 3, то есть
на единицу меньше.
Z1
Z
y1
y2
x5
x1
x4
x3
Рис. 6.3.4
157
x2
Задача свелась к построению двух матриц Р(х5, у2) и Р(Z, у1) таким
образом, чтобы при любых возможных значениях оценок показателей х 5, у2 и
у1 значения интегральной оценки системы оценивания со структурой (рис.
6.3.4) совпадали со значением интегральной оценки системы оценивания со
структурой на рис. 6.3.3. Пусть число градаций шкал всех показателей равно m.
Определим матрицу Q c m строками и m столбцами. Строка (i, j) матрицы Q
соответствует паре оценок (i, j) показателей х5 и у2, а столбец к – оценке к
показателя у1. Элемент матрицы Q на пересечении строки (i, j) и столбца к
равен значению соответствующей интегральной оценки Z1. Задача заключается
в назначении весов (целых положительных чисел) столбцов матрицы Q,
которые и определяют элементы матрицы Р(х5, у2), а следовательно, и матрицу
Р(Z, у1). При этом должно выполняться условие согласования шкал: веса двух
различающихся столбцов должны быть различными. Действительно, если два
различных столбца имеют одинаковые веса, то мы не сможем однозначно
определить элементы матрицы Р(Z, у1). Отсюда следует, что минимальное
число различных элементов матрицы Р(х5, у2) равно числу различных столбцов
матрицы Q.
Пример 6.3.1.Пусть m=3 и матрицы Р(у1, у2) и Р(Z, х5) имеют вид (рис. 6.3.5):
y2
3
2
2
1
1
1
1
3
2
2
2
3
3
2
3
z
3
2
3
3
2
1
2
3
1
1
2
2
1
2
3
y1
x5
Рис. 6.3.5
Построим матрицу Q (табл. 6.3.1).
Таблица 6.3.1
у1
(х5, у2)
1
2
3

(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
3
2
2
2
4
2
2
2
4
2
2
2
4
2
3
3
5
2
3
3
5
3
3
3
6
В последней строке указаны веса столбцов. Получилось шесть различных
весов, поэтому матрица Р(Z, у1) будет иметь размерность (63).
Окончательный вид системы оценивания со структурой (рис. 6.3.4)
приведен на рис. 6.3.6 (приведена только часть системы, полученная в
результате преобразований).
158
Описанная процедура преобразования структуры обратима, то есть
можем перейти от системы оценивания со структурой (рис. 6.3.4) к системе со
структурой (рис. 6.3.3), применяя описанный выше алгоритм. При этом
получим систему (рис. 6.3.5) (естественно, при соответствующем назначении
весов). Чтобы убедиться в этом достаточно построить матрицу Q (табл. 6.3.2),
столбцы которой соответствуют парам оценок показателей у1, у2, а строки –
показателю х5.
3
3
3
6
3
3
4
6
5
2
3
3
у2 2
2
4
5
4
2
2
2
1
1
4
5
3
1
2
2
1
2
х5
3
2
1
1
2
1
1
1
1
1
2
у5
3
Рис. 6.3.6
Таблица 6.3.2
х5
(у1, у2)
1
2
3

(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
2
2
3
3
1
2
3
2
2
2
3
3
2
2
3
3
Теперь осталось из структуры рис. 6.3.4 получить структуру рис. 6.3.2.
Для этого повторяем описанную выше процедуру для показателей х 3, х4, х5, а
именно, меняем местами показатели х4 и х5. Пусть матрица Р(х3, х4) имеет вид
(табл. 6.3.3):
Таблица 6.3.3
3
2
3
3
х2 2
1
2
3
1
1
2
2
1
2
3
х3
Строим матрицу Q, столбцы которой соответствуют парам оценок (х3, х5),
а строки – оценке х4 (табл. 6.3.4).
159
Таблица 6.3.4
х4
(х3, х5)
1
2
3

(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
1
1
2
1
4
4
4
4
5
5
5
5
2
2
3
2
4
4
4
4
5
5
6
6
2
3
3
3
4
4
4
4
5
6
6
7
Окончательный вид системы оценивания со структурой рис. 6.3.2
приведен на рис. 6.3.7 (матрица Р(х1, х2) исключена, поскольку она не менялась
при всех преобразованиях, изменены также обозначения обобщенных оценок в
соответствии со структурой рис. 6.3.2.
у1
х4
3
2
1
3
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
3
2
2
2
3
2
1
2
1
1
2
3
3
2
3
Z
2
2
1
3
у2
4
4
4
4
у3
5
4
1
2
2
2
2
4
3
3
2
5
3
3
3
6
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
5
7
6
7
х5
4
4
2
3
2
3
х3
Рис. 6.3.7
Таким образом, получена система оценивания в новой структуре,
эквивалентная исходной системе со структурой рис. 6.3.3.
Таким образом, получена система оценивания в новой структуре,
эквивалентная исходной системе со структурой рис. 6.3.4.
Для практических комплексных оценок следует использовать
предложенный механизм гибкого построения иерархического дерева
смысловых матриц, что позволит точнее сопоставить мероприятия социальноэкономического развития региона со структурой управления государственными
структурами и регулирования рыночной ситуации в регионе.
160
6.4. Модель управления риском при выполнении
региональной программы
При реализации мероприятий программы всегда существует риск того,
что намеченная мера либо не будет реализована, либо не даст ожидаемого
эффекта. Это, в свою очередь, может привести к тому, что цели программы не
будут достигнуты. Пусть разработан вариант программы, в котором критерий i
принимает значение j(i). Пусть далее определены вероятности Рiк того, что
фактическое значение оценки по i-му критерию будет равно k. Поставим
задачу, определить вероятности Рк того,
что фактическое значение
комплексной оценки будет равно k, k  1, m .
Опишем алгоритм определения этих вероятностей, предполагая, что
фактические значения оценок по критериям являются независимыми
случайными событиями. В основе алгоритма лежит процедура определения
распределения вероятностей некоторой обобщенной оценки при известных
распределениях вероятностей исходной пары критериев, свертка которых дает
обобщенную оценку. Пусть, например, матрица свертки двух критериев i и j
имеет вид, приведенный в табл. 6.4.1.
Таблица 6.4.1
0
0, 1
0, 7
0, 2
Рj
Pi
2
1
1
1
3
2
2
1
4
3
3
2
4
3
3
2
0,1
0,2
0,6
0,1
В первом столбце и первой строке указаны вероятности соответствующих
оценок. Определим вероятности различных значений обобщенной оценки.
Оценка 1 может быть получена в четырех случаях: (1, 1), (1, 2), (2, 1) и (3, 1),
где первое число указывает оценку по критерию i, а второе – по критерию j.
Следовательно, согласно известным фактам теории вероятности, вероятность
того, что обобщенная оценка будет равна единице определяется выражением:
P(1) = p11p21 + p12p21 + p11p22 + p11p23 =
0,10,2 + 0,20,2 +0,10,7 +0,10,1 =0,14.
Оценка 2 может быть получена в пяти случаях: (3, 1), (4, 1), (2, 2), (2, 3)
и (1, 4). Аналогично предыдущему имеем
P(2) = p13p21 + p14p21 + p12p22 + p12p23 + p11p24 = 0,3.
Действуя аналогичным образом, получаем
P(3) = p13p22 + p14p22 + p13p23 + p14p23 + p12p24 = 0,56,
P(4) = p13p24 + p14p24 = 0.
Заметим, что если планируемые значения критериев равны 3 по
критерию i и 2 по критерию j, то планируемое значение обобщенной оценки
равно 3. Таким образом, вероятность успеха, то есть вероятность того, что
фактическое значение обобщенной оценки равно 3, составляет 0,56. Для
получения распределения вероятностей комплексной оценки достаточно
161
применять описанный алгоритм, двигаясь снизу вверх от исходных критериев
к комплексной оценке. Применим описываемый алгоритм к системе
оценивания (рис. 6.2.6). Распределение вероятностей по критериям
экологической безопасности, уровня жизни и экономической эффективности
указаны в табл. 6.4.2.
Таблица 6.4.2
1
0, 2
0, 1
0, 8
Рб
Рж
Рэ
2
0, 7
0, 2
0, 1
3
0, 1
0, 6
0, 1
4
0
0, 1
0
Вычисления удобно проводить, непосредственно помещая результаты в
клетках матриц свертки. Для этого каждую клетку делим по диагонали на две
части. В верхней части записываем результат свертки (обобщенную или
комплексную оценку в зависимости от матрицы), а в нижней – произведение
соответствующих вероятностей (рис. 6.4.1).
Для того чтобы получить распределение вероятностей комплексной
оценки, достаточно сложить числа в нижних областях квадратов с
одинаковыми значениями комплексной оценки. Имеем
Р(1) = 0, 112 + 0, 014 + 0, 24 = 0, 366,
Р(2) = 0, 014 + 0, 03 + 0, 448 + 0, 056 = 0, 548,
Р(3) = 0, 03 + 0, 056 = 0, 086.
4
2
3
0
3
0
2
0,56
2
С
2
0,448
1
0,3
1
С
2
0
3
Б
3
0
1
1
0,1
2
2
0,01
1
0,7
1
0,07
1
0,2
Б
1
0,1
0,06
0,01
3
0,42
2
0,04
2
0
3
3
0,14
0,02
1
Ж
0,02
0,07
2
0,12
3
0,2
0,02
4
0,6
Ж
Рис. 6.4.1
162
2
0,014
3
0,1
0
0
4
0,1
0
4
0
3
2
2
2
0
3
0,03
0,014
0,8
4
0
3
1
0
3
0,056
0,03
0,112
Э
4
3
2
1
4
0
0,056
0,24
0,14
4
0
0,1
Э
Таким образом, если планируемый вариант программы соответствует
оценкам по критериям Хб=2, Хж=3, Хэ=2,
то планируемое значение
комплексной оценки равно 2, а вероятность успеха равна сумме вероятностей
Р(2) + Р(3) = 0,634.
Сделаем два предположения, при выполнении которых процедура
оценки риска существенно упрощается. Во-первых, примем, что вероятности
фактических состояний выше (лучше), чем планируемые, равны 0. Это
означает, что намеченные цели по каждому критерию не будут превышаться,
то есть при достижении какой-либо цели ресурсы перераспределяются на
другие цели. Во-вторых, будем рассматривать только напряженные варианты
программы. А это значит, что успех программы возможен только в случае
достижения запланированных оценок по всем критериям. Если теперь
обозначить через qij – вероятность достижения оценки j по критерию i, если эта
оценка является целевой установкой по данному критерию, то вероятность
успеха программы равна
Q   qij i  ,
i
где j(i) – целевая установка по i-му критерию. Соответственно,
программы равен
риск
R  1  Q  1   qij i  .
i
Если для разработанного варианта программы оценка риска оказалась
ниже требуемой величины, то необходимо принять меры по снижению риска.
Рассмотрим два подхода к решению этой задачи. В основе первого подхода
лежит идея компенсирующих мероприятий, снижающих риск до приемлемого
уровня. Естественно,
что разработка и реализация компенсирующих
мероприятий требует дополнительных затрат. Примем следующую стратегию
снижения риска: в первую очередь компенсирующие мероприятия проводятся
для снижения риска наиболее рисковых мероприятий. Основание такой
стратегии состоит в том, что наиболее рисковые мероприятия оказывают
максимальное влияние на уровень риска программы в целом.
Необходимость разработки стратегии в трудных и неопределенных
условиях не должна служить причиной отказа от структурного планирования.
При формировании комплексного плана развития надо лишь иметь в виду
следующие вопросы:
 устойчивость – дает ли выбранное решение устойчивую ситуацию,
означающую, что небольшие просчеты в оценках необходимых ресурсов не
приведут к принципиальным изменением состояния управляемой системы;
 осуществимость – обладаем ли мы необходимыми ресурсами и
целеустремленностью, для оценки этой характеристики применяются широко
известные модели распределения ресурсов [41];
 эффективность – каковы количественные последствия от реализации
выбранного варианта для развития региона.
163
Для учета возможных кризисных ситуаций в результате срабатывания
рисков необходимо оперативно менять приоритеты развития и перечень
значащих факторов в соответствии с механизмами экспертного оценивания и
гибкой комплексной оценкой. Кроме того, для эффективного препятствования
кризисным ситуациям следует:
 по результатам анализа риска выявить чувствительные места и зоны
опасности;
 построить систему слежения и выработки сигналов тревоги
(желательно автоматизированный продукт),
в максимальной степени
использующую предварительные индикаторы;
 разработать план реакции или переориентации (сценариев),
опирающийся на заранее выработанную резервную стратегию, что также
рекомендуется предварительно ―проиграть‖ на автоматизированной системе
имитационного моделирования;
 сформировать приоритеты развития с учетом прежде всего главных
рисков.
Заметим, что в реализации комплексной программы развития региона
принимают участие большое количество исполнителей,
обладающих
собственными интересами, иногда противоречащими интересам развития
системы, что служит одной из важнейших причин образования рисков
отклонения в проекте.
Следует управлять риском в этих случаях, поскольку это позволит
достичь его практического снижения по всей программе достижения заданной
оценки комплексного состояния.
Пусть в проекте участвуют n> 1 исполнителя, деятельность которых
происходит в условиях вероятностной неопределенности. ЛПР прогнозирует
действия, выбираемые исполнителями как {yi}. Надежность i-го исполнителя
обозначим как qi(Ci) – обозначающую вероятность исполнения i-м
исполнителем проектных обязательств при наличии механизма стимулирования
Ci. Тогда pi(yi) = 1 – qi(yi) будет обозначать риск i-го исполнителя. Считаем, что
вклад каждого исполнителя достаточный для изменения управляемой системы
в соответствии с комплексной оценкой, если результат деятельности такого
исполнителя превышает соответствующее критическое значение Vi. Фонд
материального стимулирования имеет в качестве ограничения величину R,
одинаковую для всех периодов. Требуется создать систему стимулирования
{Sti(zti)}, i=1, n, t=1, 2, … минимизирующую риск. Вероятность того, что на
протяжении k2 периодов i-й исполнитель выполнит свой план, равна
а вероятность того,
выполнена:
Qi(k) = 1 – pi(Ci)k,
что за к периодов вся программа развития будет
n
Q(k )   (1  [ pi (Ci )] k ).
i 1
164
n
Имеем задачу оптимизации: Q(k)  max
Сi
при ограничении
C
i 1
i
R.
Если в начале первого периода {Ci} является оптимальным
распределением фонда стимулирования, тогда если кто-то из исполнителей
уже выполнил свои задания, то в последующем периоде можно их не
стимулировать, т.е. в каждом периоде фонд стимулирования распределяется
между исполнителями, еще не выполнившими своих заданий.
Пусть Pi(Ci) = 1-Ci/R при CiR и 0 при CiR, где i=1, n. Очевидно, что
проект завершается за время T=n с вероятностью 1. В первом периоде весь
фонд выделяется первому исполнителю, во втором второму и т.д.
Рассмотрим следующую модель оперативного управления риском. Пусть
о начале реализации проекта известно, что конечный результат достигается
несколькими способами. При этом имеется n заданий (работ), проект
представим в виде графа из n+2 вершин. 0-я вершина соответствует началу
выполнения проекта, последняя его завершению, остальные вершины –
отдельным операциям. Пусть любой путь из нулевой вершины в последнюю
соответствует полному выполнению проекта.
Тогда аналогично выполнимости комплексной программы риск будет
оцениваться по правилу произведения вероятностей, но в качестве длин дуг,
например можно выбирать нормированные доли фонда финансирования
исполнителей по отношению к тем величинам, которые потребуются для
выполнения своей операции. Разумеется, найденный вариант должен быть
допустим с точки зрения бюджетного ограничения.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Сформулируйте цели стратегического управления.
Сформулируйте критерии достижения целей стратегического управления.
В чем заключается задача о ранце?
Какой метод используется при решении задачи о ранце?
Как построить график зависимости "затраты-эффект"?
Что характеризует зависимость "затраты-эффект"?
Какая задача называется задачей многокритериальной оптимизации?
В чем состоит недостаток линейных сверток?
Сформулируйте метод формирования комплексной оценки на основе
построения иерархической структуры (дерева) критериев.
10. В чем заключается ―механизм честной игры‖?
11. В чем заключается условие эффективности системы оценивания на основе
матричных свѐрток?
12. Как совместить требования согласованности системы оценивания и
требования еѐ достаточной простоты?
13. В чем заключается метод построения новой системы оценивания,
включающей введенный показатель?
14. Что называется расстоянием между показателями хi и xj?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
165
15. Сформулируйте условие согласования шкал.
16. Сформулируйте классическое определение вероятности.
17. В чем заключается алгоритм определения вероятностей Рк того, что
фактическое значение комплексной оценки будет равно k, k  1, m .
18. Чему равен риск программы?
19. Как можно снизить риск?
20. Какие вопросы надо учитывать при формировании комплексного плана
развития?
21. В чем заключается модель оперативного управления риском?
ГЛАВА 7. МОДЕЛЬ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ
ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗЕМЕЛЬНОГО УЧАСТКА С УЧЕТОМ
ОГРАНИЧЕНИЙ НА ЕГО ПЛОЩАДЬ И СТОИМОСТЬ
СТРОИТЕЛЬСТВА
7.1. Учет ограничений на площадь земельного участка
Рассмотрим задачу формирования плана застройки земельного участка
административно-территориального
образования.
По
существующим
нормативам рассматриваемый земельный участок может быть застроен
зданиями различного типа, число которых m. Понятно, что унификация
производства дает существенную экономию в затратах, поэтому общая
стоимость возведения зданий i-го типа зависит от количества построенных
зданий данного типа и эта зависимость будет являться вогнутой функцией от
количества возведенных зданий данного типа, то есть чем больше однотипных
зданий будет построено, тем больше будет экономия на затратах. Естественно,
что доход строительных компаний будет пропорционален общей площади
построенных сооружений и, естественно, что компании стремятся в рамках
заданного бюджета и площади выделенного для строительства участка
получить максимально возможный эффект, который в данном случае
заключается в максимизации общей площади построенных зданий.
Учет ограничений на площадь земельного участка приводит к
дополнительному ограничению. Обозначим ti − площадь, требуемую для
строительства дома i-го типа, N-общая площадь земельного участка,
отведенного под строительство жилых домов. Ограничимся случаем линейной
зависимости стоимости строительства от числа домов каждого типа. Задача
заключается в максимизации площади жилых помещений
S(x)   xi  si ,
i
при ограничениях
166
(7.1.1)
C(x)   ci  xi  R ,
(7.1.2)
T(x)   t i  xi  N .
(7.1.3)
i
i
Получили задачу целочисленного линейного программирования с двумя
ограничениями. Для ее решения можно применить стандартные программы.
Рассмотрим, однако, другой подход, в основе которого лежит метод сетей
допустимых решений, предложенный Бурковым В.Н. Идея метода состоит в
следующем. Рассмотрим первое ограничение (7.1.2) и построим сеть всех
допустимых решений для этого ограничения. Способ построения такой сети
описан, например, в [43]. Поэтому ограничимся иллюстрацией на примере.
Примем для упрощения вычислений, что дома строятся пакетами. Положим
x i  1 , если строится пакет домов i-го типа (пакет содержит определенное число
домов), x i  0 в противном случае.
Пример 7.1.1
1шаг.
Пусть ограничение (7.1.2) имеет вид
x1  2x 2  2x 3  2x 4  x 5  5 .
Соответствующая сеть всех допустимых вариантов приведена на рис. 7.1.1.
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
Рис. 7.1.1
2 шаг. Рассмотрим ограничение (7.1.3):
6x1  2x 2  2x3  3x 4  4x5  8 .
Соответствующая сеть приведена на рис. 7.1.2
167
5
[3]
8
(2)
7
[1]
[1]
6
(2)
5
[4]
(1)
4
(2)
[2]
3
(2)
2
1
0
5
1
(1)
[4]
(1)
[4]
(2)
(1)
[2]
[2]
(2)
2
(2)
3
[2]
(1)
4
Рис.7.1.2
Определение. Проблемной вершиной сети всех допустимых решений (сеть
ВДР) назовем вершину, не принадлежащую последнему слою (в нашем случае
слою 5), имеющую сеть захода больше 1. Заметим, что сеть ВДР (рис.7.1.1.)
имеет шесть проблемных вершин, а сеть ВДР (рис.7.1.2.) имеет одну
проблемную вершину (3.2).
Вершины сети будем обозначать номером переменной (в нашем случае 3)
и величиной требуемой площади земельного участка (в нашем случае 2).
3 шаг.
Выбираем сеть с минимальным числом проблемных вершин.
Назовем эту сеть основной. Длины дуг сети берем равными соответствующим
коэффициентам другой сети, в нашем случае первой сети (длины дуг
приведены у дуг на рис. 7.1.2 в скобках).
Определяем кратчайшие пути в каждую вершину основной сети. Если
длина кратчайшего пути в вершину больше правой части первого ограничения,
то есть 5, то соответствующую дугу исключаем. Исключенные дуги
перечеркнуты на рис. 7.1.2.
Имеет место
Теорема 7.1.1. Полученная сеть ВДР содержит все допустимые решения
системы неравенств (7.1.2), (7.1.3).
Доказательство. Если длина кратчайшего пути в какую-либо вершину сети
превышает правую часть первого ограничения, то не существует ни одного
допустимого решения задачи, которому соответствуют пути, заканчивающиеся
в данной вершине. Поэтому соответствующую заходящую дугу можно
исключить. В нашем примере для дуги [(3;4), (4;7)] имеет место
 (3;4)  c 4  6  5
(  (3;4) - потенциал вершины (3;4)).
Поэтому эту дугу, а значит, и следующую за ней дугу [(4;7), (5;7)]
исключаем. Полученная сеть приведена на рис. 7.1.3.
4 шаг. Полагаем длины дуг сети рис. 7.1.3. равными соответствующим
коэффициентам целевой функции. Пусть целевая функция имеет вид
168
6x1  3x 2  x 3  5x 4  6x 5 .
Определим путь максимальной длины.
Теорема 7.1.2. Длина максимального пути в сети ВДР определяет оценку
сверху для исходной задачи (7.1.1)-(7.1.3).
Доказательство следует из теоремы 7.1.1, поскольку сеть ВДР содержит все
допустимые решения.
[9]
8
[9]
[9]
[10]
(3)
[11]
7
[6]
6
(6)
[6]
[8]
5
[4]
4
(6)
[4]
(1)
3
[3]
2
(5)
(3)
0
1
[6]
(6)
[5]
[5]
[3]
[3]
[3]
1
[8]
(6)
(1)
2
(5)
3
(6)
4
5
Рис. 7.1.3
В примере длина максимального пути равна 11 (путь выделен на рис. 7.1.3).
Следствие. Если среди путей максимальной длины существует путь, для
которого соответствующее решение задачи удовлетворяет первому
ограничению, то это решение является оптимальным. Доказательство очевидно.
В нашем случае это именно так. Пути максимальной длины соответствует
решение х=(0,0,0,1,1), которое удовлетворяет неравенству (7.1.2). Поэтому это
решение является оптимальным.
Более того, имеет место
Теорема 7.1.3. Если путь максимальной длины не содержит проблемных
вершин, то соответствующее решение является оптимальным.
Доказательство. Если путь не содержит проблемных вершин, то, очевидно,
соответствующее решение удовлетворяет неравенству (7.1.2). Если решение,
соответствующее пути максимальной длины не удовлетворяет ограничению
(7.1.2), то применяем метод ветвей и границ, причем ветвление проводим по
переменной, соответствующей одной из проблемных вершин. Приведем
пример.
Пример 7.1.2. Пусть ограничение (7.1.3) имеет вид
3x1  3x 2  2x 3  3x 4  4x 5  10 ,
(7.1.4)
а целевая функция
169
S(x)  x1  6x 2  5x 3  4x 4  2x 5 .
(7.1.5)
Построим сеть ВДР для ограничения (7.1.4), рис. 7.1.4.
10
1
2
6
5
4
[5]
9
[5]
8
(2)
7
[5]
(2)
(2)
[3]
[3]
[3]
6
(2)
5
[1]
4
(1)
[3]
[3]
(2)
(2)
[1]
(1)
[1] (5)
(1)
(1)
[1]
[2]
3
(2)
(1)
(2)
(2)
[2]
(1)
2
1 0
1
2
3
4
5
Рис. 7.1.4
Число проблемных вершин равно 5, что меньше чем для сети рис. 7.1.1
Поэтому в качестве основной, берем сеть рис. 7.1.4. Подставляя длины дуг из
ограничения (7.1.2), получаем, что ни одна дуга не исключается. Берем длины
дуг, равными коэффициентам целевой функции (7.1.5), и определяем путь
максимальной длины (длины дуг указаны над уровнем ограничения 10). Путь
максимальной длины   [(0;0); (1;0); (2;3); (3;5); (4;8); (5;10)] . Его длина равна
15. Соответствующее решение х=(0,1,1,1,0). Однако это решение не
удовлетворяет неравенству (7.1.2). Поэтому 15 − это оценка сверху. Применяем
метод ветвей и границ. Для ветвления берем проблемную вершину (4;8), то есть
переменную х. Делим множество всех решений на два подмножества. В первом
подмножестве х4=1, а во втором х4=0.
Оценка первого подмножества.
Исключаем дуги, соответствующие х4=0, получаем сеть, представленную
1
6
5
4
на рис. 7.1.5.
[12
10
2
[11
]
[15
]
9
8
[7]
[7]
7
[11
]
6
5
[10
]
[1]
[6]
[9]
[6]
4
[4]
0
1 5
[5]
1
2
3
Рис.7.1.5
170
]
[6]
[10
]
[9]
[4]
3
2
][11
]
[15
4
Оптимальное решение определяется путем максимальной длины. Этот
прежний путь длины 15.
Оценка второго подмножества.
Если х4=0, то путь максимальной длины [(0;0); (2;3); (3;5); (4;5); (5;9)] с
длиной 13. Выбираем первое подмножество (х4=1). Теперь для ветвления берем
проблемную вершину (2;3), то есть переменную х2.
Оценка первого подмножества (х2=1).
Если х2=1 , то путь кратчайшей длины в вершину (4;8) будет равен 6>5.
Поэтому дугу [( 2;3); (3;5)]
исключаем. Путь максимальной длины
[(0;0); (1;0); (2;3); (3;3); (4;6); (5;0)] с длиной 12.
Оценка второго подмножества (х2=0).
Путь максимальной длины [(0;0); (1;0); (2;0); (3;2); (4;5); (5;9)] с длиной 11.
Теперь выбираем подмножество (х4=0) с максимальной оценкой 13.
Соответствующее решение х=(0,1,1,0,1) удовлетворяет ограничению (7.1.2) и
поэтому является оптимальным. Дерево ветвлений приведено на рис. 7.1.6.
В данном случае число ветвлений равно 2. В общем случае число
ветвлений не превышает числа 2q, где q − число проблемных вершин.
15
х4=1
х4=0
13
15
х2=1
х2=0
12
11
Рис. 7.1.6
Получим нижнюю оценку для задачи (7.1.1)-(7.1.3). Для этого на сети рис.
7.1.4 ищем пути не минимальной, а максимальной длины в каждую вершину
(рис.7.1.7).
1
2221
10
[5]
9
[5]
[5]
8
7
[3]
[3]
[4]
[4]
6
[4]
5
4
[1]
[2]
[2]
[2]
[2]
[2]
3
2
1 0
1
2
3
Рис. 7.1.7
.
171
4
5
Если длина максимального пути превышает 5, то соответствующая дуга
удаляется. В нашем примере это дуга [(3;5); (4;8)] .
Эта сеть содержит только допустимые пути, то есть пути, которым
соответствуют решения, удовлетворяющие обоим неравенствам. Определяем в
этой сети пути максимальной длины, беря в качестве длин дуг коэффициенты
целевой функции (7.1.5) (рис. 7.1.8). Определяя пути максимальной длины в
этой сети, получаем решение х=(0,1,1,0,1), которое является оптимальным.
Однако это не всегда так, поскольку сеть может содержать не все допустимые
пути.
1
1
2
6
5
0
4
[12
]
9
8
[7
]
[1
1]
[7
]
7
5
[6
]
[6
]
[5
]
4
3
2 0
1
1
2
2]
[8
]
[1
0]
[1
0]
[1
1]
6
[1
]
[1
2]
[1
3]
[1
[1
1]
[1
2]
[2
][6
[6
]
]
[5
]
[5
]
3
4
Рис. 7.1.8
Рассмотренный алгоритм, естественно, обобщается на случай, когда хi
принимает значения не только 0 или 1, а любые целочисленные значения на
отрезке [0; bi ], i  1, n . В этом случае просто несколько усложняется построение
сетей всех допустимых решений.
Пример 7.1.3. Пусть имеются 5 типов домов, причем bi  2, i  1,5 .
Ограничение (2) имеет вид
3x1  4x 2  5x3  6x 4  x5  8 .
(7.1.6)
Построим сеть ВДР (рис. 7.1.9)
Проблемная вершина всего одна. Поэтому берем эту сеть в качестве
основной. Пусть ограничение (3) имеет вид
2x1  x 2  3x 3  4x 4  3x 5  6 .
(7.1.7)
Определяем кратчайшие пути в сети (рис. 7.1.9) при длинах дуг, равных
tiхi неравенства (7.1.7). Сеть не изменилась.
172
[2]
[2]
(2) [3]
[3]
8
7
[2]
(3)
[3]
(6)
[4]
[4]
(3)
[4]
6
5
(1)
(4)
[1]
4
[2]
3
(1)
[3]
[3]
(3)
(6)
[1]
(3)
(6)
[2]
(3)
[2]
(3)
(3)
(6)
[1]
[2]
(2)
2
[4]
(4)
(6)
1
(3)
0
1
2
3
4
5
Рис.7.1.9
Пусть целевая функция имеет вид
x1  2x 2  5x 3  6x 4  3x 5 .
Определим путь максимальной длины в сети при длинах дуг, равных siхi
(рис. 7.1.10).
1
2
[4]
8
5
(2) [3]
7
[4]
6
[3]
[4] 3
(3)
[9]
[6]
(6)
[2]
[2]
(5)
[2]
6
5
(4)
(2)
4
[2]
[1]
3
(2)
(1)
2
[1]
(5)
[2]
[5]
[2]
[1]
(3)
[8]
(6)
[5]
(3)
(6)
[2]
(3)
(6)
[1]
(3)
[5]
[4]
[1]
(6)
[6]
(6)
1
[3]
(3)
0
1
2
3
4
5
Рис. 7.1.10
Путь максимальной длины [(1;0); (2;0); (3;0); (4;7); (5;8)] с длиной 9.
Однако соответствующее решение х=(0,0,0,1,1) не удовлетворяет неравенству
(7.1.7). Поэтому применим метод ветвей и границ. Для ветвления выбираем
проблемную вершину (4;7), то есть переменную х4.
Оценка первого подмножества (х4=1).
Если х4=1, то дугу [( 4;7); (5;8)] следует исключить из сети. Теперь путь
максимальной длины [(1;0); (2;0); (3;0); (4;7); (5;7)] длины 6. На этом пути нет
173
проблемных вершин. Поэтому соответствующее решение х=(0,0,0,1,0) является
оптимальным в этом подмножестве.
Оценка второго подмножества (х4=0).
Путь максимальной длины [(1;0); (2;0); (3;5); (4;5); (5;6)] с длиной 8. Этот
путь также не имеет проблемных вершин. Поэтому соответствующее решение
х=(0,0,1,0,1) является оптимальным в данном подмножестве.
Выбираем второе подмножество. Оптимальное решение х=(0,0,1,0,1) с
величиной целевой функции 8.
7.2. Табличный метод допустимых решений
Можно не строить сеть ВДР, а использовать табличный способ
вычислений.
Пример 7.2.1
1шаг. Рассматриваем переменные х1 и х2. Решение приведено табл. 7.2.1
Таблица 7.2.1
1
3;2;6
6;3;7
0
0;0;0
9;1;1
0
1
2
1
Поясним эту таблицу. Первое число в каждой клетке − это сумма
соответствующих величин ti, второе – сумма соответствующих величин сi,а
третье − сумма соответствующих величин si. Результаты представим в виде
табл. 7.2.2.
Таблица 7.2.2
Вариант
T
C
S
0
0
0
0
1
3
1
6
2
6
3
7
Поясним эту таблицу. У клеток (0,1) и (1,0) первые числа совпадают.
Поэтому второе число в варианте 1 равно минимальному из вторых чисел этих
клеток, а третье – максимальному.
2 шаг. Рассматриваем объединенную переменную y1=(х1,х2)и переменнуюх3.
Решение приведено табл. 7.2.3.
Таблица 7.2.3
1
3;2;5
5;3;11
8;5;12
0
0;0;0
3;1;6
6;3;7
0
1
2
3
(1,2)
174
Результаты представлены в табл. 7.2.4.
Таблица 7.2.4
Вариант
T
C
S
0
0
0
0
1
2
2
5
2
3
1
6
3
5
3
11
4
6
3
7
5
8
5
12
3 шаг. Рассматриваем
объединенную
переменную
переменнуюх4. Решение приведено в табл. 7.2.5.
y2=(х1,х2,х3)и
Таблица 7.2.5
1
3;2;4
5;4;9
6;3;10
8;5;15
9;5;11
-
0
0;0;0
2;2;5
3;1;6
5;3;11
6;3;7
8;5;12
0
1
2
3
4
5
4
(1,2,3)
Результаты представлены в табл. 7.2.6.
Таблица 7.2.6
Вариант
T
C
S
0
0
0
0
1
2
2
5
2
3
1
6
3
5
3
11
4
6
3
10
5
8
5
15
6
9
5
11
4 шаг. Рассматриваем
объединенную
переменную
переменнуюх5. Решение приведено в табл. 7.2.7.
y3=(х1,х2,х3,х4)и
Таблица 7.2.7
1
4;1;2
6;3;7
7;2;8
9;4;13
10;4;12
-
-
0
0;0;0
2;2;5
3;1;6
5;3;11
6;3;10
8;5;15
9;5;11
0
1
2
3
4
5
6
5
(1,2,3,4)
Определяем клетку с максимальным третьим числом. Это клетка (8;5;15).
Соответствующее решение не является допустимым. Поэтому применяем метод
ветвей и границ. Для ветвления, как и ранее, берем переменную х4.
Оценка первого подмножества(х4=1).
Поскольку х4=1, то следует рассмотреть задачу с четырьмя переменными при
ограничениях N=6 иС=3. Первый шаг остается без изменений. На втором шаге
175
исключается вариант 5, поскольку Т=8>6, а С=5>3. Рассматриваем объединенную
переменную y1=(х1,х2,х3)и переменнуюх5. Решение приведено в табл. 7.2.8.
Таблица 7.2.8
1
4;1;2
6;3;7
-
-
-
0
0;0;0
2;2;5
3;1;6
5;3;11
6;3;7
0
1
2
3
4
5
(1,2,3)
Оптимальный вариант определяется клеткой (5;3;11) с величиной
полезной площади 11+4=15.
Оценка второго подмножества(х4=0).
Достаточно на четвертом шаге вместо второй строчки подставить вторую
строчку из третьего шага, поскольку х4=0. Решение приведено в табл. 7.2.9.
Таблица 7.2.9
1
4;1;2
6;3;7
7;2;8
9;4;13
10;4;9
-
0
0;0;0
2;2;5
3;1;6
5;3;11
6;3;7
8;5;12
0
1
2
3
4
5
(1,2,3)
Оптимальное решение определяется клеткой (9;4;13) с величиной жилой
площади 13.
Выбираем первое подмножество. Соответствующее решение не
допустимо. Для ветвления выбираем вершину 2.
Оценка первого подмножества (х2=1).
Поскольку х4=1 и х2=1, то остаются три переменных. Имеем N=4, С=1.
Оптимальное решение определяется сразу: х1=0, х2=1, х3=0, х4=1, х5=1, S=12.
Оценка второго подмножества (х2=0).
Оптимальное решение также сразу определяется х1=0, х2=0, х3=1, х4=1,
х5=1 с величиной полезной площади S=11.
Выбираем подмножество х4=0. Ему соответствует решениех1=0, х2=1,
х3=1, х4=0, х5=1 с величиной жилой площади 13, которое является
оптимальным.
Метод таблиц ВДР в отличие от метода сетей ВДР можно применить для
любого сетевого представления ограничений задачи. Как известно, в основе
метода дихотомического программирования лежит процедура рассмотрения
пар переменных и (или) обобщенных переменных. Опишем основной шаг этой
процедуры.
176
Описание алгоритма основного шага
Обозначим y1  (0; a11; a12 ; ...; a1m ) , где a1j  (t1j ; c1j ; s1j ) − варианты первой
обобщенной переменной (предположим, что ограничение (7.2.3) является
основным), y 2  (0; a21; a22 ; ...; a2m ) , где a2 j  (t 2 j ; c2 j ; s2 j ) − варианты первой
обобщенной переменной.
1 шаг. Вычисляем:
y12  (0; a1j  a2k ) , j  1, m1 , k  1, m2 ,
1
2
a1j  a2k  (t1j  t 2k ; c1j  c2k ; s1j  s2k ) .
Если существуют (j, k) и (p, r), такие что
t1j  t 2k  t1p  t 2r ,
то определяем:
c1j  c2k  c1p  c2r  C[( j, k ), (p, r)]  min[ c1j  c2k ; c1p  c2r ] ,
s1j  s2k  s1p  s2r  S[( j, k ), (p, r)]  max[ s1j  s2k ; s1p  s2r ] .
Соответствующий вариант назовем проблемным.
3 шаг.
Все варианты, для которых T  t1j  t 2k  N , исключаем из
рассмотрения. Исключаем из рассмотрения также варианты, для которых
C  c1j  c2k  R . В результате получаем таблицу вариантов обобщенной
переменной y  (y1 ; y 2 ) .
Если число переменных равно n, то потребуется (n-1) основных шагов,
чтобы получить все допустимые варианты строительства.
Заметим, что, по сути дела, мы получаем дерево, содержащее все
допустимые (и возможно недопустимые) решения задачи (7.1.1)-(7.1.3).
Поэтому по аналогии с теоремами 7.1.1, 7.1.2, 7.1.3 имеет место теорема.
Теорема 7.2.1. Вариант j (n-1)основного шага с максимальным третьим числом
Sj определяет оценку сверху для исходной задачи, причем, если
соответствующее решение удовлетворяет ограничению (2), то оно является
оптимальным.
Доказательство. Проводится аналогично доказательству теорем 7.1.1, 7.1.2, 7.1.3.
Пример 7.2.2. Возьмем данные примера 7.2.2. Рассмотрим структуру
дихотомического представления ограничений (рис.7.2.1).
где
2 шаг.
y
y3
y1
1
y2
2
3
Рис.7.2.1
177
4
5
1 шаг. Рассматриваем переменные х1 и х2. Этот шаг совпадает с первым
шагом примера 7.2.2. Варианты обобщенной переменной y1 приведены в табл. 7.2.10.
Таблица 7.2.10
Вариант j
Tj
Cj
Sj
0
0
0
0
1
3
1
6
2
6
3
7
Заметим, что вариант 1 является проблемным.
2 шаг. Рассматриваем переменные х3 и х4. Решение приведено в табл. 7.2.11
Таблица 7.2.11
1
3;2;4
5;4;9
0
0;0;0
2;2;5
0
1
4
3
Результаты сведены в табл. 7.2.12.
Таблица 7.2.12
Вариантj
Tj
Cj
Sj
0
0
0
0
1
2
2
5
2
3
2
4
3
5
4
9
3 шаг. Рассматриваем обобщенную переменную y2 и переменную х5.
Решение приведено в табл. 7.2.13.
Таблица 7.2.13
1
4;1;2
6;3;7
7;3;6
9;5;11
0
0;0;0
2;2;5
3;2;4
5;4;9
0
1
2
3
5
(3,4)
178
Результаты сведены в табл. 7.2.14.
Таблица 7.2.14
Вариантj
Tj
Cj
Sj
0
0
0
0
1
2
2
5
2
3
2
4
3
4
1
2
4
5
4
9
5
6
3
7
6
7
3
6
7
9
5
11
4 шаг. Рассматриваем обобщенные переменные y1 и y3. Решение приведено в табл. 7.2.15.
Таблица 7.2.15
2
6;3;7
8;5;12
9;5;11
10;4;9
-
-
-
-
1
3;1;6
5;3;6
6;3;10
7;2;8
8;5;15
9;4;13
10;4;12
-
0
0;0;0
2;2;5
3;2;4
4;1;2
5;4;9
6;3;7
7;3;6
9;5;11
0
1
2
3
4
5
6
7
(1,2)
(3,4,5)
Оптимальное решение определяется клеткой (8;5;15). Ей соответствует
решение х=(0,1,1,1,0). Однако оно не удовлетворяет ограничению (7.1.2),
поскольку содержит проблемный вариант 1 первого шага. Применим метод
ветвей и границ. Ветвление проводим по переменной х2 (можно по х1).
Оценка первого подмножества (х2=1).
Поскольку х2=1, то таблица четвертого шага принимает вид (табл. 7.2.16)
Таблица 7.2.16
2 (6;3;7)
6;3;7
8;5;12
9;5;11
10;4;9
-
-
-
-
1 (3;2;6)
3;2;6
5;4;11
6;4;10
7;3;8
-
9;5;13
10;5;12
-
0
0;0;0
1
2;2;5
2
3;2;4
3
4;1;2
4
5;4;9
5
6;3;7
6
7;3;6
7
9;5;11
(1,2)
(3,4,5)
Заметим, что клетка (8;6;15) исключена, так как 2+4=6>5. Оптимальное
решение определяется клеткой (9;5;13). Это решение х=(0,1,1,0,1) с оценкой 13.
Это решение является допустимым и поэтому оптимальным в данном
подмножестве.
Оценка второго подмножества (х2=0).
В этом случае таблица четвертого шага принимает вид (табл. 7.2.17)
179
Таблица 7.2.17
1
9;1;1
5;3;6
6;3;5
7;2;3
8;5;10
9;4;8
10;4;7
-
0
0;0;0
2;2;5
3;2;4
4;1;2
5;4;9
6;3;7
7;3;6
9;5;11
0
1
2
3
4
5
6
7
(1,2)
(3,4,5)
Оптимальное решение определяется клеткой (9;5;11) с оценкой 11.
Выбираем первое подмножество. Итак, оптимальное решение
х=(0,1,1,0,1) с оценкой 13.
Заметим, что число ветвей в данном случае меньше, чем в рассмотренной
выше структуре дихотомического представления. Это и понятно, поскольку
число проблемных вариантов в данном случае меньше (всего один проблемный
вариант).
7.3.
Учет рисков при формировании плана застройки земельного участка
На практике учет рисков, как правило, производится на основе
качественных шкал. В частности, в Сбербанке России применяется
трехбалльная шкала: 1 – низкий риск, 2 – средний риск, 3 – высокий риск.
Примем, что каждый тип домов имеет определенную оценку рискаri, i  1, n .
Для учета рисков введем ограничения на суммарный риск варианта застройки
R(x)   ri xi  Q ,
(7.3.1.)
i
Для решения задачи (7.1.1)-(7.1.3), (7.3.1) применим метод дерева
допустимых решений, удовлетворяющих неравенствам (7.1.2) и (7.1.3) и
повторим основные шаги алгоритма его построения, заметив параметры ci
(вторые числа каждого варианта) на параметры ri. Дадим иллюстрацию
алгоритма на данных примера 7.2.2.
Пример 7.3.1. Пусть ограничение (7.3.1) имеет вид
x1  2x 2  2x 3  x 4  2x 5  4
(допускается всего один тип домов со средним риском).
1 шаг.
Рассматриваем переменные х1 и х2. Решение приведено в табл. 7.3.1.
Таблица 7.3.1
1
0
2
1
3;2;6
0;0;0
6;3;7
3;1;1
0
1
180
Результат представлен в табл. 7.3.2.
Таблица 7.3.2
Вариант j
2 шаг.
Tj
0
0
1
3
2
6
Rj
0
1
3
Sj
0
6
7
Рассматриваем переменные х3 и х4. Решение приведено в табл. 7.3.3.
Таблица 7.3.3
1
0
3;1;4
0;0;0
5;3;9
2;2;5
0
1
4
3
Результат представлен в табл. 7.3.4.
Таблица 7.3.4
Вариант j
Tj
Rj
Sj
0
0
0
0
1
2
2
5
2
3
1
4
3
5
3
9
3 шаг. Рассматриваем объединенную переменную y2 и переменную х5.
Решение приведено в табл. 7.3.5.
Таблица 7.3.5
1
4;2;2
6;4;7
7;3;6
-
0
0;0;0
2;2;5
3;1;4
5;3;9
0
1
2
3
5
(3,4)
Результаты сведены в табл. 7.3.6.
Таблица 7.3.6
Вариант j
Tj
Rj
Sj
0
0
0
0
1
2
2
5
2
3
1
4
181
3
4
2
2
4
5
3
9
5
6
4
7
6
7
3
6
4 шаг. Рассматриваем объединенные переменные y1 и y3. Решение приведено
в табл. 7.3.7.
Таблица 7.3.7
2
1
0
y1
y3
6;3;7
3;1;6
0;0;0
5;3;11
2;2;5
9;4;11
6;2;10
3;1;4
7;3;8
4;2;2
8;4;15
5;3;9
6;4;7
10;4;12
7;3;6
0
1
2
3
4
5
6
Оптимальное решение определяется клеткой (8;4;15). Ему соответствует
решение(0,1,1,1,0). Однако это решение является не допустимым. Проводим
ветвление по проблемному варианту 1 первого шага, то есть по переменной x2.
Оценка первого подмножества (х2=1).
Если х2=1, то таблица четвертого шага принимает вид (табл. 7.3.8).
Таблица 7.3.8
2 (6;3;7)
6;3;7
-
9;4;11
-
-
-
-
1 (3;2;6)
3;2;6
5;4;11
6;3;10
7;4;8
-
-
-
0
0;0;0
1
2;2;5
2
3;1;4
3
4;2;2
4
5;3;9
5
6;4;7
6
7;3;6
y1
y3
Оптимальное решение определяется клеткой (9;4;11) и (5;4;11) с оценкой 11.
Оценка второго подмножества (х2=0).
Если х2=0, то таблица четвертого шага принимает вид (табл. 7.3.9).
Таблица 7.3.9
1
3;1;1
5;3;6
6;2;5
7;3;3
8;4;10
-
10;4;7
0
0;0;0
2;2;5
3;1;4
4;2;2
5;3;9
6;4;7
7;3;6
0
1
2
3
4
5
6
y1
y3
Оптимальное решение определяется клеткой (8;4;10) с оценкой 10.
Выбираем первое подмножество. Ему соответствуют два решения
х1=(1,1,0,0,1) и х2=(0,1,1,0,0). Второе решение является допустимым и,
следовательно, оптимальным.
7.4.
Задача оптимальной застройки района по критерию прибыли
Рассматриваются задачи оптимальной застройки района по критерию
прибыли.
Имеем n участков возможного строительства и m типов домов. Задача
состоит в выборе числа домов каждого типа, обеспечивающих максимальную
прибыль от продажи квартир.
182
Стоимость строительства домов i-го типа Сi(хi), зависит от числа xiдомов
i-го типа, включенных в план застройки, и является вогнутой функцией
0  xi  bi . Имеются n участков для строительства домов. Строительство дома
i-го типа на участке j требует дополнительных затрат Δij. Известно количество
Si жилой площади домов i-го типа и рыночная цена рi 1м2 жилой площади
домовi-го типа. Обозначим уij=1, если на j-м участке строится дом i–го типа и
уij=0 в противном случае, i  1, m, j  1, n .
Прибыль от продажи квартир x i   y ij домов i -го типа равна
j
Qi  p i s i x i    ij y ij  Ci (x i ) ,
(7.4.1)
j
Задача. Определим {y ij }, i  1, m, j  1, n максимизирующие


Q   (p i s i   ij )y ij   c i   y ij 
i ,j
i
 j

(7.4.2)
при ограничениях
y
ij
 1, j  1, n ,
(7.4.3)
 bi , i  1, m .
(7.4.4)
i
y
ij
i
В линейном случае Ci (x i )  q i x i и (2) принимает вид
Q   t ij  y ij ,
(7.4.5)
i ,j
где
t ij  pisi  ij  qi .
В этом случае задача является частным случаем транспортной задачи.
7.4.1. Метод решения
Применим
для
решения
задачи
метод
дихотомического
программирования. Пусть ij  i , i  1, m . Тогда имеет место теорема.
Теорема 7.4.1.1. Существует оптимальное решение, в котором из числа
проектов, включенных в план, не более одного проекта включено с числом
домов менее bi.
Доказательство. Если ij  i , то
 y
i
i ,j
ij
  i
i
независимо от величины yij. Без учета  i (7.4.2) принимает вид
Q(x)   pisi xi  Ci (xi ) ,
i
так как Сi(хi) вогнутые функции, то
183
(7.4.1.1)
 i  p i s i x i  Ci ( x i )
выпуклые функции. Задача максимизации суммы выпуклых функций при
x
ограничениях 0  xi  bi , i  1, m ,
i
 n не является задачей выпуклого
i
программирования. В этом случае максимум достигается в крайних (угловых)
точках множества ограничений. Это доказывает теорему.
Теперь можно применить подход для решения задачи минимизации
стоимости строительства. А именно, предполагаем, что проект j является тем
проектом, который будет включен в план с числом домов менее чем bi.
Исключаем этот проект и решаем задачу определения z i  {0;1} , i  j ,
максимизирующих
D j ( x)   d i z i ,
(7.4.1.2)
i j
где
d i  s ip ib i
при ограничении
z b
i j
i
i
 t , 0  t  n,
(7.4.1.3)
Это классическая задача о ранце, эффективно решаемая при
целочисленных
значениях
параметров
методом
дихотомического
программирования.
Обозначим Bj(t) оптимальное значение Dj(x) как функцию t.
Минимальная величина затрат определяется выражением
(7.4.1.4)
Dj (n)  max[B j (t )  S j (n  t )] .
t
Число t, на котором достигается минимум (7.4.1.4), определяет
количество домов j-го типа.
Решая задачу для всех значений j и выбирая лучшее решение, получаем
оптимальное решение задачи.
Пример 7.4.1.1. Имеются четыре проекта, данные о которых приведены в табл. 7.4.1.1.
В клетках указаны значения φi(xi).
Таблица 7.4.1.1
хi
i
1
2
3
4
1
2
3
4
5
pi
di
1
-1
-1
1
4
2
2
6
7
7
7
12
10
14
12
19
15
-
6
8
7
10
30
32
28
50
28
Примем n=11.
I. Исключаем проект 4.
1 шаг. Рассматриваем проекты 1 и 2. Решение приведено в табл. 7.4.1.2.
184
Таблица 7.4.1.2
1
0
4;32
0;0
9;62
5;30
0
1
2
1
Первое число в клетках это количество домов, а второе прибыль. Вариант
(5; 30) исключаем, поскольку он доминируется вариантом (4; 32) (при меньшем
числе домов получаем большую прибыль).
Результаты приведены в табл. 7.4.1.3.
Таблица 7.4.1.3
Вариант
Число домов
Прибыль
0
0
0
1
4
32
2
9
62
2 шаг. Рассматриваем объединенный проект (1,2) и проект 3. Решение
приведено в табл. 7.4.1.4
Таблица 7.4.1.4
1
0
3
(1,2)
4;28
0;0
8;60
4;32
9;62
0
1
2
Зависимость B4(t) приведена в табл. 7.4.1.5 ( 6  t  11).
Таблица 7.4.1.5
t
B4(t)
Вычисляем:
8
60
9
62
D4 (n)  max 60  19; 62  12  79 .
Имеем t4=2 дома.
II. Исключаем проект 1.
1 шаг. Рассматриваем проекты 3 и 4. Решение приведено в табл. 7.4.1.6.
Таблица 7.4.1.6
1
0
4
3
5;50
0;0
9;78
4;28
0
1
Результаты сведены в табл. 7.4.1.7.
185
Таблица 7.4.1.7
Вариант
Число домов
Прибыль
0
0
0
1
4
28
2
5
50
3
9
78
2 шаг. Рассматриваем объединенный проект (3,4) и проект 2. Решение
приведено в табл. 7.4.1.8.
Таблица 7.4.1.8
1
0
4;32
0;0
8;60
4;28
9;82
5;50
9;78
0
1
2
3
2
(3,4)
Зависимость B1(t) 6  t  11 приведена в табл. 7.4.1.9.
8
60
t
Dj(t)
Таблица 7.4.1.9
9
82
Вычисляем:
D1 (n)  max( 60  7;82  4)  86 .
Имеем t1=2 дома.
III. Исключаем проект 3.
Рассматриваем объединенный проект (1,2) табл. 7.4.1.3 и проект 4.
Решение приведено в табл. 7.4.1.10.
Таблица 7.4.1.10
5;50
0;0
9;82
4;32
9;62
0
1
2
1
0
4
(1,2)
Зависимость B3(t) 6  t  1 имеет вид B3(9)=82.
Вычисляем: D3 (n)  82  2  84 .
IV. Исключаем проект 2.
Рассматриваем объединенный проект (3,4) и проект 1. Решение
приведено в табл. 7.4.1.11.
Таблица 7.4.1.11
1
0
1
(3,4)
5;30
0;0
9;58
4;28
10;80
5;50
9;78
0
1
2
3
186
Зависимость B2(t) 6  t  1 имеет видB2(9)=78, B2(10)= 80.
Вычисляем: D2 (n)  max( 78  2;80  1)  80 .
Сравнивая все 4 варианта, определяем оптимальный вариант II, согласно
которому в план включаются проекты 2 и 4 с максимальным количеством
домов и проект 1 с двумя домами.
7.4.2. Метод ветвей и границ
К сожалению, в случае произвольных Δij, теорема 7.4.1.1 не имеет
смысла. Поэтому можно применить либо метод дихотомического
программирования для всех возможных значений x i  b i , i  1, m либо метод
ветвей и границ.
Рассмотрим применение метода ветвей и границ. Пусть в результате
ветвления (разбиение множества решений на подмножества) получено
подмножество, в котором
d i  x i  Di .
Для получения нижней оценки этого подмножества решается следующая
транспортная задача:
Q(y )   t ij y ij  max ,
(7.4.2.1)
y
 1, j  1, m ,
(7.4.2.2)
d i   y ij  Di , i  1, n ,
(7.4.2.3)
i ,j
ij
i
j
где
t ij  aij  qi [di Di ], i  1, n, j  1, m ,
Ci (Di )  Ci (d i )
, i  1, n .
Di  d i
Обозначим Q[d i Di ] значение (7.4.2.1) в оптимальном решении этой
задачи. Величина
Q(d i Di )  a i q i  Ci (a i ) .
(7.4.2.4)
Является нижней оценкой для подмножества решений, удовлетворяющих
условиям d i  x i  Di , i  1, n . Для решения оценочной задачи опишем
модификацию алгоритма решения задачи о назначениях, описанной в [41].
Дадим иллюстрацию алгоритма на простом примере.
q i [d i Di ] 
Пример 7.4.2.1. Имеются три проекта, данные о параметрах аij и p i s i приведены
в табл. 7.4.2.1.
Примем n=11.
187
Таблица 7.4.2.1
d
i
1
2
3
1
2
3
4
p i si
9
5
6
8
7
5
7
7
6
8
6
4
10
9
7
Значения функции Сi(xj), приведены в табл.7.4.2.2.
Таблица 7.4.2.2
xi
i
1
2
3
1
2
3
qi
7
6
5
8
7
7
9
8
9
3
2 2/3
3
Предварительный шаг.
Вычисляем:
Имеем
Оценка Q равна
2


max (ai1  q i )  max  9  3;5  2 ;6  3   6, y11  1 .
i
3


2


max (ai 2  q i )  max  8  3;7  2 ;5  3   6, y12  1.
i
3


2
1


max (ai 3  q i )  max  7  3;7  2 ;6  3   4 , y 23  1.
i
3
3


2


max (ai 4  q i )  max  8  3;6  2 ;4  3   5, y14  1 .
i
3


x1  3, x2  1, x3  0 .
1
1
Q  6  5  4  5  20 .
3
3
1 шаг. Проводим ветвление по проекту 2. Оценка первого подмножества (х2=0).
Вычисляем:
y11  1, y12  1, y33  1, y14  1, x1  3, x3  1.
Оценка:
Q  6  5  3  5  19 .
Оценка второго подмножества (х2≥1) q2(1,3)=1.
Вычисляем:
y11  1, y 22  1, y 23  1, y 24  1, x1  1, x2  3 .
Оценка:
Q( x 2  1)  23  16  17 .
Выбираем первое подмножество.
188
2 шаг. Проводим ветвление по проекту 3. Оценка первого подмножества (х2=0;
х3=0). Допустимого решения не существует.
Оценка второго подмножества (х2=0; х3≥1) q3(1,3)=2.
Вычисляем:
y11  1, y12  1, y33  1, y14  1, x1  3, x2  1.
Оценка:
Q(x 2  0; x 3  1)  20  3  17 .
Это решение является допустимым и следовательно, оптимальным.
3 шаг. Для проверки существования других оптимальных решений выбираем
подмножество (х2≥1). Проводим ветвление по проекту 1.
Оценка первого подмножества (х2≥1; х1=0).
Вычисляем:
y 41  1, y 22  1, y 23  1, y 24  1, x2  3, x4  1 .
Оценка:
Q(x 2  1; x1  0)  17  1  6  12 .
Оценка второго подмножества (х2≥1; х1≥1) q1(1,3)=1.
Вычисляем:
y11  1, y12  1, y 23  1, y14  1.
Оценка
Q(x 2  0; x1  1)  28  2  13  17 .
Это решение является допустимым и, следовательно, также
оптимальным.
В результате получаем два оптимальных решения:
1) y11  1, y12  1, y33  1, y14  1, x1  3, x3  1;
2) y11  1, y12  1, y 23  1, y14  1, x1  3, x2  1.
Дерево ветвлений приведено на рис. 7.4.2.1.
201/3
х2=0
17
19
х3=0
-∞
х2≥1
х1=0
х3≥1
12
17
Рис.7.4.2.1
189
х1≥1
17
7.4.3. Приближенный алгоритм
Решение задачи методом ветвей и границ может привести к большому
объему вычислений за счет большого числа ветвлений и необходимости решать
задачи транспортного типа для получения нижних оценок.
Рассмотрим приближенный алгоритм решения задачи. Для этого заметим,
что, как правило, стоимость проекта существенно превышает затраты на
привязку проекта к конкретному земельному участку. Поэтому сначала решаем
задачу по критерию максимизация прибыли без учета дополнительных затрат
Δij. После получения оптимального решения xo решается задача минимизации
дополнительных затрат, то есть задача определения yij, i  1, m , j  1, n ,
минимизирующих
 y
ij
(7.4.3.1)
ij
i ,j
при ограничениях
y
ij
 1, j  1, n ,
(7.4.3.2)
y
ij
 xoi , i  1, m .
(7.4.3.3)
i
j
Это классическая транспортная задача.
Пример 7.4.3.1. Рассмотрим задачу с данными примера 7.4.1.1. Применяя
метод дихотомического программирования, получаем оптимальное решение
без дополнительных затрат
x1  3, x2  1, x3  0, Q  24 .
Значения Δij приведены в табл.7.4.3.1
Таблица 7.4.3.1
j
i
1
2
3
1
2
3
4
1
4
1
2
2
2
3
2
1
2
3
3
Решаем транспортную задачу. Ее оптимальное решение
y11  1, y12  1, y14  1, y 23  1.
Дополнительные затраты равны 7. Прибыль составляет 24-7=17, что
совпадает с предшествующим решением. Приведенные вычислительные
эксперименты показали, что предложенный приближенный алгоритм в 90 %
случаях давал оптимальное решение, а средняя относительная ошибка не
превышала 3 % при условии, что доля дополнительных затрат была не более 10 %
от стоимости проекта.
190
7.4.4.Задача частичной коммерческой застройки
Во многих случаях условием коммерческой застройки является
безвозмездная передача части жилой площади администрации района.
Рассмотрим постановку задачи без учета дополнительных затрат на привязку
проекта к земельному участку. Обозначим yisi часть жилой площади домов
i-го типа, передаваемых администрации, R – общее количество жилой площади,
передаваемой администрации.
Постановка задачи.
Определить хi и уi, i  1, m , максимизирующие
Q(x, y )   di z i  Ci (xi ) ,
(7.4.4.1)
i
d i  p i s i , при ограничениях
0  xi  bi , i  1, m ,
x
i
(7.4.4.2)
 n,
(7.4.4.3)
i
  s i y i  R .
(7.4.4.4)
i
Рассмотрим случай линейных зависимостей Сi(хi)=Сiхi, i  1, m . Целевая
функция (7.4.4.1) примет вид
Q(x, y)   (di  ci )z i  ci y i   i xi  ci y i ,
i
(7.4.4.5)
i
где i  di  ci , i  1.m .
Сформулируем двойственную задачу. Обозначим ui≥0, i  1, m , w, z
двойственные переменные.
Двойственная задача:
минимизировать
V(u, v, w, z)   biui  nz  Rw
(7.4.4.6)
при ограничениях wi, vi≥0, i  1, m .
z  ui  si w  ci , i  1, m ,
(7.4.4.7)
i
z  ui  i , i  1, m .
(7.4.4.8)
Из условий (7.4.4.7) имеем
u i  max( 0; s i w  c i ) .
Из условий (7.4.4.8) имеем
u i  max( 0;  i  z ) .
Заметим, что
max( s i w  c i  z;  i  z )   i  z , если w 
191
di
 pi ,
si
di
 pi .
si
Пусть p1≤p2≤…≤pm.Поэтому достаточно рассмотреть задачу на отрезках
[pk-1, pk], k=1, m-1, p0=0. На отрезке [pk-1, pk] критерий (7.4.4.6) примет вид
k 1
m
V   bi max( 0;  i  z)   max( 0; si w  ci  z) .
i 1

k

и равен s i w  ci  z , если w 
Алгоритм решения
Предварительный шаг. Упорядочиваем проекты по возрастанию величин πi и
si w k  ci .
Основной шаг. Определяем номер q такой, что
m
b
q 1
i
 n,
ij
n,
m
b
jq
 i , если i q  k  1
z
s i w k  ci , если i q  k
.
Перебирая не более m отрезков, определяем оптимальное решение
двойственной задачи.
Полагаем
q
q
Пример 7.4.4.1. Возьмем данные примера 1. Примем R=15, p1  2, s1  5 ,
p2  3, s2  3 , p3  1, s3  7 .
1 шаг. Проводим оптимизацию по w при z=0.
Имеем p3<p1<p2,w=p3=1.
v1  0, v2  0, v3  7 .
2 шаг. Проводим оптимизацию по z при w=1.
Имеем π1=7, π2=61/3,π3=4.
u1  max[ 0;7  z ] ,
 1

u 2  max 0;6  z  ,
 3

u 3  max[ 0;4  z ] .
1
2
Имеем z=6 /3,u1= /3, u2  0, u3  0 .
3 шаг. Проводим оптимизацию по w при z=61/3.
2

u1  max 0; max( 0;5w  10)   ,
3

u 2  max 0; max( 0;3w  9) ,
1

u 3  max 0; max( 0;7w  7)  2  .
3

4
Оптимальная величина w= /3.
192
2
Имеем u1  , u 2  0, u3  0 .
3
1
v1  0, v 2  0, v3  2 .
3
2
1
1
V   3  3  2  4  6  20  8 .
3
3
3
1
Поскольку z  v3  u3  6  0  0  4  3 , то в силу соотношений
3
двойственности x3  b3  3 .
Поскольку v1  s1w  5  10  d1 , то y 1  0 .
Поскольку v 2  s 2 w  3  9  d 2 , то y 2  0 .
15
1
Имеем x1  1, x2  0, x3  3 , y1  0, y 2  0, y 3   2 .
7
7
Пример 7.4.4.2. Имеются три проекта, данные о которых приведены в табл. 7.4.4.1.
Таблица 7.4.4.1
i
1
2
3
bi
3
3
3
si
5
4
7
pi
2
2
1
di
10
8
7
ci
3
2
3
πi
7
6
4
Примем n=4, R=14.
Поскольку pi=1 или 2, то следует рассматривать всего два интервала
w [0;1]и [1;2].
I. Пусть w  1 , то есть w  1 . В этом случае
V  3max( 0;4  z )  max( 0;7  z )  max( 0;6  z )  4z  14 w .
Максимум достигается при w  1, z  6 , V (w  1)  13 .
II. Пусть 1  w  2 . В этом случае
V  3max( 0;7 w  3  z )  max( 0;7  z )  max( 0;6  z )  4z  14 w .
10
3

Максимум достигается при w  , z  7 , V w  1   0  28  20  8 .
7
7

Это решение является оптимальным.
Заметим теперь, что неравенство z  3 выполняется как строгое.
Поэтому x 3  0 . Аналогично y 2  y3  0 . Получаем оптимальное решение
прямой задачи:
y1  2, x2  2, Q  8 .
Рассмотренная задача может быть обобщена на другие случаи. Так
представляет интерес решить задачу частичной коммерческой застройки для
нелинейных вогнутых функций C i ( x i ) . Это и другие обобщения требуют
дальнейших исследований.
193
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Сформулируйте задачу формирования плана застройки земельного участка.
К чему приводит учет ограничений на площадь земельного участка?
В чем заключается идея метода сетей допустимых решений?
Какая вершина сети всех допустимых решений называется проблемной?
Табличный метод допустимых решений задачи формирования плана
застройки земельного участка.
6. Сформулируйте постановку задачи формирования плана застройки
земельного участка с учетом рисков.
7. В чем заключается задача оптимальной застройки района по критерию
прибыли?
8. Расскажите алгоритм решения задачи коммерческой застройки.
1.
2.
3.
4.
5.
ГЛАВА 8. МЕХАНИЗМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОРПОРАТИВНОГО
ЗАКАЗА
8.1. Механизм управления в экономических системах
Основная задача корпоративных механизмов управления (экономических
механизмов корпоративного управления) – согласовать экономические
интересы всех участников корпоративных отношений, в первую очередь
предприятий, входящих в корпорацию, с интересами корпоративного центра.
Зададимся вопросом: что такое эффективный механизм управления, или
какие механизмы управления хотелось бы иметь в корпорации? Для ответа на
этот вопрос рассмотрим основные этапы функционирования организационной
системы. Таких этапов три – это этап получения данных для принятия решений,
этап принятия решений и этап реализации принятых решений.
На этапе получения данных центр формирует информацию, необходимую
для принятия решений. В иерархических организационных системах, как
правило, многие данные центр получает непосредственно от предприятий.
Основная опасность, которая возникает на этом этапе, – это опасность получения
недостоверной, сознательно искаженной информации. Завышение оценок
требуемых ресурсов как материальных, так и финансовых, завышение сроков
выполнения работ и проектов – типичные явления, свидетельствующие о
неэффективности действующих в корпорации механизмов управления.
Признак эффективности механизма – представление предприятиями
корпоративному центру на этапе получения данных достоверной информации
(конечно, в меру информированности самих предприятий) или, другими
словами, отсутствие тенденции к завышению или занижению представляемых
данных. Механизмы управления, при которых предприятиям выгодно
представлять достоверную информацию (выгодно быть честными), называются
механизмами открытого управления или «честной игры».
Можно задать вопрос: в каких случаях предприятиям выгодно быть
честными. Ответ достаточно очевиден – в тех случаях, когда представляемая
194
информация не будет использована центром для принятия невыгодных для
предприятий решений, а будет использована только для принятия выгодных
решений. Очевидный факт, но, тем не менее, механизмы честной игры до сих
пор довольно редкое явление в российской, да и в мировой экономике. В
теории активных систем доказано, что для получения центром от активных
элементов системы достоверной информации необходимо и достаточно, чтобы
центр применял механизмы честной игры. На этапе принятия решений все
определяется способностью центра (директора и его управленческой команды)
принимать эффективные решения. Если эффективное решение принято, то
крайне важно, чтобы на этапе реализации предприятия были заинтересованы в
его реализации. Механизм управления, при котором предприятия
заинтересованы в реализации принятых решений, называется согласованным
механизмом.
При довольно общих предположениях о применяемых системах
стимулирование предприятий за реализацию корпоративных планов доказано,
что эффективный механизм управления должен быть согласованным
механизмом. Механизм управления, обладающий обоими свойствами, то есть
согласованный механизм честной игры, называется правильным.
Кроме эффективного текущего функционирования важно, чтобы
предприятия были заинтересованы в развитии, то есть в росте эффективности
производства, что в первую очередь связано со снижением издержек.
Механизмы управления, при которых предприятиям выгоден рост
эффективности производства (рост качества, снижение издержек), называются
прогрессивными, а если речь идет только о снижении издержек, то
противозатратными. Рассмотрим свойства этих механизмов на примерах
простых задач принятия решений. Будем рассматривать двухуровневую
активную систему, состоящую из центра и n активных элементов, например,
объединение из n предприятий. Примем, что объединение имеет
централизованный фонд развития величины R. Обозначим х ί средства,
получаемые из этого фонда предприятием ί, φί (хί) – эффект от использования
этих средств. Задача заключается в таком распределении средств R, чтобы
суммарный эффект был максимален. Если бы центр имел информацию о
функциях эффекта предприятий, то, решая задачу
n
max  i x i 
x
i 1
при ограничениях x i  0. i  1, n ,
n
x
i
R ,
(8.1.1)
i 1
он получил бы оптимальное распределение финансовых ресурсов. Пусть,
например, i ( xi)  2 ri xi , где rί- показатель, характеризующий эффективность
производства ί-го предприятия.
195
Тогда оптимальное решение имеет вид
ri
 R,
xi 
H
(8.1.2)
n
где H   ri .
i 1
Проблема, однако, в том, что коэффициенты rί центру не известны и он
вынужден запрашивать информацию о них у предприятий. Обозначим Sί оценку
эффективности rί, сообщаемую предприятием ί. Заметим, что если Sί ≠ rί, то
решение (8.1.2) может быть весьма далеким от оптимального. Для обеспечения
достоверной информации о функциях эффекта, как было сказано выше,
необходимо принять механизмы честной игры.
Введем плату λ за единицу предоставляемого предприятию ресурса. В
этом случае целевая функция ί-го предприятия будет иметь вид
i x i   x i  2 ri x i  x i .
(8.1.3)
В силу принципа честной игры при установлении платы λ центр обязан
дать ί-му предприятию то количество ресурса, которое обеспечивает
предприятию максимум величины (8.1.3). Нетрудно показать, что этот
r
максимум достигается при ri x i  i2 .

H
Выбирая λ из условия (8.1.1), получаем  
.
R
n
Подставляя вместо rί оценку Sί , а вместо Н соответственно S   Si ,
i 1
получаем процедуру распределения ресурсов на основе информации {Sί} от
предприятий:
S
Si
.
(8.1.4)
xi   R ,  
S
R
При достаточно большом числе предприятий изменение оценки
отдельного предприятия слабо влияет на параметр λ. Если принять, что
предприятия не учитывают этого слабого влияния при принятии решения о
сообщении оценки Sί (гипотеза слабого влияния), то механизм управления
(8.1.4) является механизмом честной игры. Это означает, что максимум
прибыли (8.1.3) предприятие получает при сообщении достоверной оценки Sί=
rί.
Заметим, что при этом распределение ресурсов обеспечивает максимум
суммарного эффекта для объединения. Очевидно также, что данный механизм
является согласованным, то есть предприятию выгодно реально израсходовать
ресурс в количестве хί (запланированное количество), обеспечив
запланированную величину 2 x i ri . Чтобы показать, что данный механизм
196
является прогрессивным, достаточно подставить (8.1.4) в целевую функцию
(8.1.3):
r
2 x i ri  x i  i
.
Очевидно, что с ростом эффективности rί увеличивается и прибыль
предприятия. В задачах текущего планирования, как правило, используется
имеющаяся нормативная информация об издержках производства
(материальных и трудовых). Поэтому основным требованием к механизмам
текущего планирования является обеспечение заинтересованности в реализации
плана, то есть требование согласованности механизма.
Обозначим хί план производства ί-го предприятия, а уί – реализацию
плана. Представим целевую функцию предприятия в виде
i(xi, yi) = hi(yi) – i(xi, yi),
где hi(yi) – функция дохода (прибыли) от выпуска продукции в количестве уί,
i(xi, yi) – функция штрафа, если уί ≠хί.
Обозначим Sί
множество планов, которые предприятию выгодно
выполнять. Другими словами, если xi Si, то максимум целевой функции i(xi, yi)
достигается в точке уί = хί, то есть при точном выполнении плана. Множество Sί
называется множеством согласованных планов, а задача поиска оптимального
плана на множестве согласованных планов – задачей оптимального
согласованного планирования. При достаточно общих условиях на функции
штрафа оптимальный механизм управления существует среди механизмов
согласованного планирования.
К наиболее известным условиям на функции штрафа относится так
называемое «неравенство треугольника»:
i(xi, yi) + i(yi, zi)  i(xi, zi)
(8.1.5)
В частности, любые функции штрафа, вогнутые на полуосях (рис. 8.1.1),
удовлетворяют неравенству (8.1.5) и, следовательно, для таких функций
штрафа механизм текущего планирования должен быть согласованным
механизмом.
i(xi, yi)
Хί
Рис.8.1.1
197
хί
Противозатратные механизмы рассмотрим на примере системы
«производитель – потребитель». Производитель может выполнить некоторый
проект (разработку), нужный потребителю.
Минимальные затраты на проект у производителя составляют r, а
максимальная (предельная) цена, которую согласен заплатить потребитель,
равна L. Требуется установить механизм определения цены Ц(S,L) в
зависимости от оценки затрат S, даваемой производителем, и предельной цены
L потребителя. Механизм ценообразования является противозатратным, если
производитель заинтересован, во-первых, в сообщении достоверной
(минимальной) оценки затрат S = r, во-вторых, в снижении издержек, а в
третьих, в снижении цены при снижении издержек.
Примем, что интерес производителя определяется стремлением к
максимизации суммы планируемой прибыли и остающейся у него доли 
сверхплановой прибыли:
П = [Ц(S, L) – S] + (S – r).
Эта зависимость должна быть убывающей функцией S. Обозначим L/S
эффективность проекта и будем искать зависимость Ц(S, L) в виде
Ц(S, L) + [1 + ρ(Э)]S.
Для этого случая условия противозатратности имеют вид
< h (Э) < 1,
где
dp
(8.1.6)
h (Э)  Э
 p (Э)
dЭ
– характеристическая функция множества противозатратности. Зная
характеристическую функцию, легко определить множество значений
эффективности, на котором свойство противозатратности имеет место.
Пример 8.1.1. Принцип равных рентабельностей. Суть принципа в том,
что цена должна быть установлена на уровне, обеспечивающем одинаковую
планируемую прибыль на единицу затрат и для производителя, и для
потребителя, то есть
Ц S S  Ц

.
S
Ц
Отсюда получаем механизм ценообразования:
Ц  L S  1 ( Э 1) S
.
Определим характеристическую функцию, учитывая, что p (Э)  Э 1.


Имеем
dp
1
1
 p Э 
Э  Э11
Э
dЭ
2
2
.
Из условия противозатратности
Э
198
 1
получаем
1
Э 1
2
0< Э< 4 (1 – )2.
Таким образом, механизм, основанный на принципе равных
рентабельностей, противозатратен только в области малых эффективностей.
Механизм ценообразования, противозатратный при всех значениях
эффективности Э>1, получается, если взять h(Э), удовлетворяющую (8.1.6), и
решить обратную задачу, то есть получить р(Э). Так, если h (Э) = k, где < k < 1,
то получаем следующий механизм:
р(Э) = k (Э – 1), Ц = S +k(L – S).
Недостатком рассмотренных механизмов ценообразования является
необходимость деления прибыли на планируемую (плановую) и
сверхплановую. От этого недостатка свободны противозатратные механизмы
налогообложения.
Противозатратным механизмом налогообложения (прибыли) называется
такой налоговый механизм, который заинтересовывает монопольного
производителя снижать издержки производства и при этом снижать цену
продукции. Заметим, что действующие механизмы налогообложения не
являются противозатратными в указанном смысле. Так, например, механизм
налогообложения с постоянной налоговой ставкой является только
слабопротивозатратным, то есть стимулирует снижение только издержек, но не
цены. Образно говоря, он действует по принципу «дешево производить –
дорого продавать» Действительно, при налоговой ставке  остаточная прибыль
производителя составит
П0 = (1 –) (Ц – S).
Очевидно, что, желая увеличить эту прибыль, производитель будет
уменьшать S до минимальной величины r (дешево производить) и увеличивать
Ц до предельной величины L (дорого продавать).
Если ввести предельный уровень рентабельности и всю прибыль сверх
этого уровня изымать в бюджет, то получаем затратный механизм
налогообложения, действующий по принципу «дорого производить – дорого
продавать». Действительно, монополисту в этом случае будут выгодны цена и
издержки, при которых уровень рентабельности равен предельном уровню , то
есть
П0 = (1 –) S,
Ц = (1 –) S = L.
Таким образом, монополист будет продавать продукцию по предельной
цене L (дорого продавать), увеличивая издержки до уровня S = L/ (1 +),
обеспечивающего предельный уровень рентабельности  (дорого производить).
Для того, чтобы получить противозатратный механизм налогообложения,
необходимо предельный уровень рентабельности сделать не фиксированным, а
199
зависящим от эффективности производства монополиста. Если взять, например,
 = k(Э-1), то по-прежнему монополисту будет выгодно устанавливать цену и
издержки так, чтобы рентабельность продукции равнялась предельному
уровню. В этом случае
П0 = (1 –) S = (1- ) k (L –S),
Ц = (1 –) S = S + k (L- S).
Легко видеть, что монополисту выгодно снижать издержки до минимума
величины r (дешево продавать) и при этом снижать цену до величины
Ц = r + k(L-r) (дешево продавать).
Пример 8.1.2. Пусть L = 1000, r = 100, k = 1/3. В этом случае самая
выгодная для монополиста цена продукции составит
Ц = 100 + 1/3 (1000 – 100) = 400 << 1000.
8.2. Распределение корпоративного заказа
Как уже отмечалось выше, объединившись в корпорацию, предприятия
получают существенные конкурентные преимущества. Одним из них является
возможность организации корпоративной маркетинговой службы, что
позволяет проводить серьезные маркетинговые исследования и получать
крупные заказы. Однако при этом возникает проблема распределения
корпоративного заказа между предприятиями корпорации. Эта проблема
возникает в двух случаях. В первом случае в условиях горизонтальной
интеграции предприятия могут пересекаться по выпускаемой номенклатуре. Во
втором случае предприятия выпускают различную номенклатуру, но величина
заказов ограничена величиной корпоративных оборотных средств. В данном
случае фактически речь идет о распределении корпоративных оборотных
средств. Далее для определенности будем рассматривать первый случай.
Дадим формальную постановку задачи. Имеются n предприятий,
входящих в корпорацию, и корпоративный заказ величиной R (величину заказа
будем измерять в единицах продукции). Обозначим через Qi величину заказа,
которую может взять предприятие, а через Ci – себестоимость производства
данной продукции (прямые затраты). Проблема возникает в том случае, когда
n
Q  R ,
i 1
i
то есть величина заказа меньше, чем суммарные возможности предприятий.
Обозначим через xi величину заказа, выполняемую предприятием ί. Если xi
заданы, то маргинальная прибыль корпорации составит
   Ц д  С i x i ,
n
(8.2.1)
i 1
где Цд – договорная цена продукции при ограничениях
0  xi  Qi ,
n
x
i 1
200
i
R
.
(8.2.2)
(8.2.3)
Поставим задачу определения xi, i 1, n так, чтобы прибыль (8.2.1) была
максимальной при ограничениях (8.2.2), (8.2.3). Решение этой задачи очевидно.
Пусть предприятия пронумерованы по возрастанию себестоимости Ci, то есть
C1  C2  C3  …  Cn
Ц  ci
(или по убыванию маргинальных рентабельностей i  д
). Определим
ci
предприятие k такое, что
k 1
k
Q
j1
j
 R  Qj .
(8.2.4)
j1
В оптимальном решении задачи первые k предприятий получают
максимальный заказ:
x i0  Qi , i  1, k ,
предприятие (k+1) получает остаток:
k
x
0
k 1
 R  Qj ,
j1
а остальные предприятия не получают заказ. Проблема, однако, в том, что
Корпоративный центр не имеет полной и достоверной информации о
себестоимостях Ci. Эта информация сообщается в корпоративный центр
самими предприятиями. Здесь мы сталкиваемся с проблемой достоверности
представляемых данных, или с проблемой манипулирования. Причем
возможны случаи как завышения оценок себестоимости, так и их занижения.
Завышение оценок себестоимости преследует цель занизить планируемую
прибыль, то есть прибыль, определяемую на основе сообщаемых
(планируемых) оценок себестоимости, и тем самым уменьшить величину
отчислений от прибыли в корпоративный центр. Занижение оценок преследует
цель получить заказ даже за счет увеличения отчислений в корпоративный
центр. Проведем анализ различных механизмов распределения корпоративного
заказа с позиций возможного манипулирования информацией.
Конкурсные механизмы. Конкурсные механизмы распределения
финансовых ресурсов достаточно детально исследованы в работах, где
получены оценки их эффективности. Конкурсные механизмы распределения
корпоративного заказа отличаются от конкурсных механизмов распределения
ресурсов и поэтому требуют отдельного исследования. Рассмотрим простой
конкурсный механизм, когда заказ распределяется в первую очередь
предприятиям с наименьшими оценками себестоимости (или наибольшими
оценками маргинальной рентабельности).
Замечание. В данном случае простой конкурсный механизм совпадает с
прямым конкурсным механизмом, поскольку мы имеем дело с непрерывным
конкурсом (предприятие может получить любую величину заказа от 0 до Qi).
Исследуем сначала возможности занижения оценок себестоимости.
Обозначим через Si оценку себестоимости, сообщаемую предприятием ί в
корпоративный центр. Как уже отмечалось, занижение себестоимости
201
преследует цель получить заказ. При этом увеличивается прибыль, отчисляемая
предприятием в корпоративный центр, так как отчисления производятся от
планируемой прибыли, которая равна
i = Цд - Si < Цд - Ci,
если Si < Ci. Обозначим через φ норматив отчислений от планируемой прибыли
корпоративному центру. Тогда прибыль, остающаяся в распоряжении
предприятия, будет равна
i0 = (Цд - Сi) – φ(Цд - Si),
а остаточная маргинальная рентабельность заказа (с учетом доли прибыли,
отчисляемой центром) составит
Цд  Ci    Цд  Si 
0
.
(8.2.5)
Рi 
Ci
Обозначим через Pm минимальную величину рентабельности, при
которой предприятию целесообразно выполнение корпоративного заказа.
Заметим, что с уменьшением оценки Si уменьшается и маргинальная
рентабельность Рi0 . Поэтому, если при Si = Ci (то есть при сообщении
достоверной оценки себестоимости) имеет место Рi0  Рm , то предприятие ί не
будет занижать оценку себестоимости. Получим условие, при котором
возможно занижение оценки себестоимости предприятием ί. Для этого возьмем
Si = Ci в (8.2.5) и рассмотрим неравенство
Цд  Ci    Цд  Ci   P
(8.2.6)
m,
Ci
которое после несложных преобразований приводится к виду
(1-)Pi > Pm ,
Цд  C i
где Рi 
– маргинальная рентабельность продукции для ί-го
Ci
предприятия. Проведем анализ полученного условия (8.2.6). Во-первых,
занижение оценок себестоимости целесообразно только для предприятий, не
получивших заказа, то есть для предприятий, имеющих более низкую величину
маргинальной рентабельности Pί. Отсюда следует, что вероятность выполнения
неравенства (8.2.6) для таких предприятий относительно мала. Во-вторых, если
неравенство (8.2.6) выполняется для предприятия, не получившего заказа, то
оно тем более выполняется для любого предприятия, получившего заказ
(поскольку любое такое предприятие имеет величину Pί не менее чем любое
предприятие, не получившее заказ). А отсюда следует, что если предприятие ј,
уменьшив оценку Sj, получило заказ, ранее распределенный предприятию ί, то
предприятие ί всегда может вернуть заказ, в свою очередь уменьшив оценку Sί.
Приведенные выше рассуждения позволяют обосновать гипотезу, что в
конкурсном механизме будут отсутствовать случаи манипулирования
информацией в сторону занижения оценок себестоимости. Приняв эту
гипотезу, далее будем предполагать, что манипулирование информацией
возможно только в сторону завышения оценок Sj, то есть Si  Ci для всех ί.
202
Примем также, что для любого j ≤ k + 1 имеет место x 0j  Qk 2 , то есть
предприятие (k+2) может выполнить заказ любого из предприятий j  k + 1. В
этом случае имеет место следующее утверждение.
Утверждение 8.2.1. Ситуации равновесия Нэша соответствует
оптимальное распределение корпоративного заказа в смысле критерия (8.2.1)
(максимум маргинальной прибыли корпорации).
Доказательство утверждения достаточно очевидно. Действительно, если
первые (k+1) предприятий, которые в оптимальном плане получают
корпоративный заказ, сообщили достоверные оценки себестоимости, то они
гарантированно получают заказ. Остальные предприятия ничего не могут
сделать, так как их себестоимость больше (не меньше), а в силу гипотезы
незанижения оценок имеет место Si  Ci. Неоднозначность возникает только в
случае равенства себестоимости ряда предприятий, не получивших заказ,
себестоимости предприятий (k+1), получивших заказ. Для снятия этой
неопределенности будем считать, что в случае равенства себестоимости выбор
делается в пользу предприятия с меньшим номером.
Итак, мы показали, что простой конкурсный механизм приводит к
оптимальному распределению корпоративного заказа с точки зрения
маргинальной прибыли корпорации. Однако если речь идет о прибыли,
отчисляемой в распоряжение корпоративного центра, то это не так.
Действительно, поскольку отчисления в распоряжение корпоративного
центра производятся от планируемой прибыли, то предприятиям выгодно
занижать планируемую прибыль, завышая оценки себестоимости.
Замечание.
Может
возникнуть
вопрос:
почему
отчисления
корпоративному центру целесообразно делать от планируемой прибыли, а не от
фактической? Безусловно, можно и от фактической, но при этом возникает
неустойчивая ситуация на этапе распределения корпоративного заказа.
Гипотеза незанижения оценок уже не может быть принята, а если от нее
отказаться, то простой конкурсный механизм не имеет равновесия Нэша. На
практике это может привести к затягиванию процедуры распределения
корпоративного заказа и к конфликтам между предприятиями.
Определим ситуацию равновесия Нэша. Очевидно, что, сообщая оценки
Si  Ck2 , i  1, (k 1) , все предприятия от 1 до (k+1) сохраняют свои заказы.
Если хотя бы одно предприятие сообщит оценку больше чем Ck+2, то это
предприятие потеряет заказ (его заказ перейдет к предприятию Ck+2).
Таким образом, ситуация равновесия Нэша имеет вид
C , i  1, k  2;
S i   k  2
C i , i  k  2.
Прибыль корпоративного центра будет равна
Пц = (Цд – Сk+2)R.
203
Максимально возможная прибыль, при условии, что Центр имеет достоверную
информацию о себестоимостях предприятий, составляет
k 1
0
П    Цд  Ci  xi
m
ц
i 1
Отношение Пцк Пмц
механизма.
.
характеризует эффективность простого конкурсного
Э
Пц (Пд  Ck  2) R

m
m
Пц
Пц
.
Пример 8.2.1. Пусть имеются три предприятия, себестоимости
производства продукции у которых равны соответственно C1 = 5, C2 = 8,
C3 = 12, а величины максимально возможного производства Q1 = 5, Q2 = 50,
Q3 = 45. Величина корпоративного заказа равна R = 80, договорная цена
Цд = 15,  = 0,5. Максимально возможная прибыль центра составит
m
Пц  05 (15  5)  40  (15 8) 40   340 .
В равновесии и первое, и второе предприятия сообщат оценки
S  S  C3  12. Поэтому планируемая прибыль составит
Пц = 0,5  80  3 = 120.
Эффективность конкурсного механизма равна
120 6
Э

 3  0,35
340 17
,
то есть примерно 35 %.
Отметим еще раз, что распределение координационного заказа по
предприятиям является оптимальным, то есть прибыль корпорации
максимальна. Завышая оценки себестоимости предприятия, по сути дела
перераспределяют корпоративную прибыль в свою пользу.
Утверждение 8.2.1 было доказано при условии, что предприятие (k+1)
может выполнить заказ любого предприятия. Если это не так, то анализ
ситуации равновесия становится более сложным. Более того, утверждение 8.2.1
в общем случае уже не имеет места. Чтобы показать это, рассмотрим простой
пример.

1

2
Пример 8.2.2. В корпорации 5 предприятий. Данные о себестоимостях и
максимальных объемах производства приведены в табл. 8.2.1
Таблица 8.2.1
ί
Сί
Qί
1
5
50
2
7
60
3
9
10
Пусть R =100, Цд = 15,  = 0,5.
204
4
13
10
5
14
10
При сообщении оценки S1 = S2 = С3 = 9 первое предприятие получает х1 = 50
и второе х2 = 50, при этом прибыль, остающаяся у первого предприятия,
составит
1 = (Цд-C1)x1 - (Цд-S1)x1 = 350,
а у второго –
2 = 400 – 150 > 250.
Прибыль корпоративного центра Пц = 300. Однако это не является
ситуацией равновесия. Действительно, пусть второе предприятие сообщает
оценку S2 = 13. В этом случае третье предприятие, сообщая меньшую оценку
S3< 13, получает часть заказа второго предприятия x3 = 10. У второго
предприятия остается заказ x2 = 40. Однако при этом остающаяся у него
прибыль увеличивается за счет уменьшения отчислений корпоративному
центру.
Действительно,
1  (15  7)  40  0,5 (15 13)  40  320  40  280  250 .
Суммарная прибыль корпорации уменьшилась, поскольку заказ
распределен не оптимально. Ранее суммарная прибыль была равна
(15 – 5) ∙50 + (15 – 7)∙50 = 900,
а теперь
(15 – 5) ∙5 + (15 – 7) ∙40 + (15 – 9) ∙10 = 880.
Посмотрим, выгодно ли второму предприятию увеличивать оценку до
величины S2 = 14. В этом случае второе предприятие теряет еще десять единиц
заказа. Остающаяся у него прибыль будет равна
1  (15  7)  30  (15 14)  0,5 30  225 ,
что меньше 280. Следовательно, в ситуации равновесия второе предприятие
сообщает оценку S2 13 , первое предприятие также сообщает оценку S 2 13 ,
поскольку оно имеет приоритет перед вторым предприятием в случае равенства
оценок, а третье предприятие может сообщить любую оценку S2  13 ,
например, S 3 12 если допускаются только целочисленные оценки. При
этом, заказ первого предприятия x1  50, второго x2  40, а третьего x3  10.
Прибыль корпоративного центра составит
Пц = 0,5 [(15 – 13) ∙50 + (15 – 13) ∙40 + (15 – 12) ∙10] = 210,
то есть уменьшается на 90 единиц.
Полученная ситуация равновесия не единственная. Действительно,
инициативу в дальнейшем завышении оценок могло проявить первое
предприятие, увеличив свою оценку до S1 = 13 и теряя при этом 10 единиц
заказа, которые передаются третьему предприятию. Прибыль, остающаяся у
первого предприятия, будет равна
1  (15  5)  40  0,5 (15 13)  40  360 ,
что больше чем 350. При этом больше всего выигрывает второе предприятие,
сообщая оценку S2 = 12 и получая прежний заказ x2 = 50. Остаточная прибыль
второго предприятия при этом будет равна
205
2  (15  7)  50  0,5 (15 12)  50  325 .
Из рассмотренного примера можно сделать четыре важных вывода:
1. Простой конкурсный механизм с отчислениями Корпоративному
центру от планируемой прибыли в общем случае не дает в равновесии
оптимального распределения корпоративного заказа.
2. Ситуации
равновесия
соответствуют
завышенные
оценки
себестоимости предприятий, получивших корпоративный заказ.
3. Существует, как правило, несколько ситуаций равновесия, что делает
неустойчивой процедуру планирования.
4. Эффективность простого конкурса может быть весьма низкой.
Ситуация становится более благоприятной, если в корпорации имеется
«прозрачная» система управленческого учета, позволяющая оценить
достаточно точно фактические затраты на производство продукции, а значит, и
фактические себестоимости Сί .
Разделим фактическую прибыль на две части: планируемую прибыль
(Цд – Si) и сверхплановую прибыль (Si – Ci). Очевидно, что их сумма равна
фактической прибыли. Примем, что норматив отчислений β от сверхплановой
прибыли больше, чем норматив отчислений φ от планируемой прибыли. Это
естественно, так как большие отклонения фактической прибыли от
планируемой свидетельствуют о низком качестве системы планирования на
предприятии.
Условие
β>φ
стимулирует
предприятия
повышать
эффективность и точность системы планирования. Прибыль, остающаяся у
предприятия, составит
i  (1 ) Цд Si  1  Si  Ci    Si  (1  ) Цд  (1) Сi .
Легко видеть, что при β > φ прибыль, остающаяся у предприятия, убывает
с увеличением оценки Sί. Поэтому доминантной стратегией каждого
предприятия является сообщение достоверной оценки себестоимости, что
позволяет осуществить оптимальное распределение заказа. Таким образом,
простой конкурсный механизм при наличии в корпорации эффективной
системы управленческого учета и при выделении двух составляющих
фактической прибыли (планируемой и сверхплановой) является оптимальным.


8.3. Распределение корпоративного заказа.
Механизм внутренних цен
В теории активных систем для распределения корпоративного заказа был
предложен механизм внутренних цен. Его исследование было проведено для
функций производственных издержек типа Кобба-Дугласа. Приведем основные
результаты этого исследования. Пусть функции производственных издержек
предприятий имеют вид
1 1q q
 ri  xi ,
(8.3.1)
i ( x i , ri ) 
q
206
где q > 1, rί  коэффициент, характеризующий эффективность производства
(чем больше величина rί , тем меньше затраты на производство продукции, то
есть тем меньше себестоимость).
Замечание. В отличие от рассматриваемой нами модели, в которой
себестоимость производства не зависит от объема выпуска, в данном случае
себестоимость производств растет с ростом объема выпуска продукции. Как мы
увидим далее, это различие является принципиальным. Задача, как и прежде,
заключается в распределении корпоративного заказа величины R так, чтобы
прибыль корпорации была максимальной и прибыль корпоративного центра
также была максимальной. Решая задачу на максимум прибыли корпорации,
получаем оптимальное распределение заказа
n
ri
0
xi  , i  1, n , где Н   ri .
H
i 1
Как и ранее, предполагаем, что функции издержек не известны
корпоративному центру. Более того, не известны коэффициенты
эффективности производства rί. Оценки Sί этих коэффициентов сообщаются
предприятиям в корпоративный центр.
Основная идея построения оптимального механизма распределения
корпоративного заказа заключается в введении нового управленческого
параметра – внутренней (корпоративной) цены продукции Цв и соответственно
внутренней прибыли предприятия:
в
(8.3.2)
Пi  Цв x i  i x i , ri  .
При этом планы хί назначаются на основе принципа «честной игры», то
есть из условия максимума функции предпочтения:
Ц в x i   i x i , S i  .
Условие максимума функции предпочтения имеет вид
di x i , Si   x i 
  
dx i
 Si 
q 1
 Цв
.
1
q 1
в
Из этого условия получаем x i  Si Ц
Внутренняя цена определяется из ограничения
n
x
i 1
i
S Ц
1
q 1
в
 R , где
n
S Si
i 1
и равна
R
Цв   
S
q 1
,
(8.3.3)
а планы предприятий
xi 
Si
R.
S
207
(8.3.4)
Важной
особенностью
механизма
внутренних
цен
является
распределение фактической прибыли корпорации между предприятиями прямо
пропорционально их внутренним прибылям, а именно:
в
П
i
 Пk ,
(8.3.5)
Пi 
 Пвj
j
где Пk – прибыль корпорации. Если подставить в (8.3.5) выражения (8.3.2),
(8.3.3) и (8.3.4), то получим
1

1
q 1 
Ц в Si  r1iq Siq 
q

 П
Пi  1
k


1
Ц вq 1  S  r1jq Siq 
j
q
j 

.
1
q 1
в
Поскольку Ц
входит и в числитель, и в знаменатель, то, сокращая на этот
множитель, получаем, что максимизация Пί эквивалентна максимизации
величины:
1 1q q
(8.3.6)
Si  ri  Si
q
по Sί. А максимум (8.3.6) достигается, как легко проверить, при Sί = rί. Из этого
факта следует два важных свойства механизма внутренних цен:
1. Все предприятия сообщают достоверные оценки коэффициентов r ί, то
есть механизм внутренних цен является механизмом «честной игры».
2. Распределение заказа между предприятиями является оптимальным как
по критерию прибыли корпорации, так и по критерию прибыли
корпорационного центра.
Как следует из выражения (8.3.5), механизм внутренних цен
предусматривает перераспределение прибыли между предприятиями, то есть Пί
в общем случае может не совпадать с фактической прибылью, полученной
предприятием ί, то есть с величиной
Цдxi - i(xi, ri).
(8.3.7)
Удивительным, однако, оказалось следующее свойство механизма
внутренних цен.
3. В случае производственных функций типа Кобба-Дугласа величина Пί
в точности совпадает с фактической прибылью, полученной предприятием ί, то
есть никакого перераспределения прибыли не происходит.
Три отмеченных уникальных свойствах механизма внутренних цен при
функциях производственных издержек типа Кобба-Дугласа естественно ставят
вопрос: сохраняются эти свойства для других функций производственных
издержек. Проведем исследование этого вопроса для нашего случая, то есть для
линейных функций производственных издержек:
i(xi, ci) = cixi, 0  xi  Qi.
208
Опишем механизм внутренних цен для линейных функций
производственных издержек.
1. Каждое предприятие сообщает в корпоративный центр оценку Sί
себестоимости С ί.
2. На основе полученной информации в Корпоративном центре решается
задача распределения заказа R и определяется внутренняя цена Цв. Это
происходит следующим образом. Пусть предприятия пронумерованы в порядке
возрастанияния Sί, то есть
S1 ≤ S2 ≤ ... ≤ Sn.
Определяем пример k такой, что
k 1
k
 Q R   Q
i 1
i
i 1
i
.
Первые k предприятий получают заказ хί =Qί, а предприятие (k + 1) – остаток
k
xk1  R   Qi . Остальные предприятия заказа не получают. Легко видеть,
i 1
что процедура распределения заказа такая же, как в простом конкурсном
механизме. Внутренняя цена определяется выражением
Цв = (1+Pm)Sk+1,
(8.3.8)
где Рm – минимальный уровень маргинальной рентабельности для предприятий
корпорации.
3. Определяется внутренняя прибыль каждого предприятия:
в
Цi  (Цв  Ci ) x i ,
и фактическая прибыль корпорации
Пкор   (Цд  Ci) x i .
i
Наконец, прибыль корпорации распределяется прямо пропорционально
внутренним прибылям предприятий, то есть
в
П
i
 Пкор
(8.3.9)
Пi 
j Пвj
.
Анализ механизма внутренних цен начнем со случая двух предприятий.
Пусть S1 ≥ S2. В этом случае внутренняя цена
Цв = (1+Pm)S2.
Внутренняя прибыль первого предприятия
П1в = [(1+Pm)S2 – C1]Q1,
а второго
Пв2 = [(1+Pm)S2 – C2](R-Q1).
209
Фактическая прибыль первого предприятия равна
1 
а второго
2 
(1  Pm) S 2  C1Q1 П кор
,
(1  Pm) S 2  C1Q1  (1 Pm) S 2  C 2( R  Q1)
(1  Pm) S2  C2Q1 Пкор (R  Q1)
(1  Pm) S2  C1Q1  (1 Pm) S2  C2(R  Q1) .
Заметим, что и внутренние и фактические прибыли предприятий не
зависят от оценки S1 первого предприятия. Поэтому из условия
благожелательности к центру первое предприятие сообщит оценку S1 =С1.
Проверим, как зависит прибыль второго предприятия от его оценки S2.
d 2
Знак производной
зависит от знака числителя, который с точностью до
d S2
положительного множителя имеет вид
(C2 – C1) > 0,
так как С2> С1. Таким образом, прибыль второго предприятия является
возрастающей функцией его оценки S2. Увеличивая оценку S2, второе
предприятие добивается перераспределения прибыли в свою пользу. Так,
например, при больших S2 прибыль второго предприятия будет фактически
равна
R  Q1
 Пкор ,
R
то есть корпоративная прибыль распределяется прямо пропорционально
величине заказа. По сути дела первое предприятие передает часть прибыли
второму.
Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:
1. Механизм внутренних цен в случае двух предприятий обеспечивает
оптимальное распределение заказа.
2. Механизм внутренних цен не является механизмом честной игры,
поскольку второе предприятие завышает оценку S2 настолько, насколько это
допустимо.
3. Корпоративная прибыль перераспределяется таким образом, что часть
прибыли первого предприятия передается второму, что может привести к
напряженности и конфликту между предприятиями и корпоративным центром.
Таким образом, выводы существенно отличаются от выводов,
полученных для функций производственных издержек типа Кобба-Дугласа. За
исключением первого пункта.
Рассмотрим случай n предприятий.
Как и ранее, найдется предприятие (k+1), которое определяет
внутреннюю цену Цв = (1+Pm)Sk+1. При этом заказы первых k предприятий
x i  Qi , i  1, k,
заказ
(k+1)-го
предприятия
k
xk1  (R   Qi) ,
i 1
210
заказы
основных предприятий равны 0. Как и в случае двух предприятий, внутренние
и фактические прибыли предприятий не зависят от оценок первых k
предприятий, а зависят только от оценки Sk+1. Фактическая прибыль (k+1)-го
предприятия составит k 1 
(1  Pm) S k  C k 1xk 1
(1  P
m
П кор.
) S k 1  C j x j
j
Беря производную по Sk+1, получаем с точностью до положительного
1
1
множителя значение числителя Ck 1   C x j  0 , так как
 C j x j , это
R j j
R j
средняя себестоимость продукции, а Ck+1 – максимальная себестоимость. Таким
образом, как и в случае двух предприятий, предприятию (k+1)выгодно
завышать оценку Sk+1. До какой величины предприятие (k+1) будет завышать
оценку, зависит от себестоимости и максимальных объемов выпуска продукции
предприятий, не получивших заказ.
В целом следует признать, что рассмотренный механизм внутренних цен
в общем случае не обеспечивает оптимального распределения заказа,
манипулируем (то есть имеет место завышение оценок себестоимости ряда
предприятий). Кроме того, имеет место перераспределение прибыли, что
порождает напряженность и конфликты в корпорации.
Рассмотрим другой вариант механизма внутренних цен с
перераспределением прибыли, в котором перераспределение прибыли
происходит на основе планируемых внутренних прибылей, то есть на основе
величин
в
i  (Цв  Si) x i .
в
( Ц в  S i ) xi

i

Для любого предприятия ί ≤ k имеем  i 
П кор .
в П кор
 j
 (Ц в  S j) x j
i
j
Достаточно очевидно, что Пί – убывающая функция Sί. Однако возникает
другая отрицательная тенденция – предприятию выгодно занижать оценку Sί,
что приводит к завышению планируемой прибыли. Для исключения этой
тенденции предлагается смешанный вариант перераспределения, а именно:
корпоративная прибыль распределяется прямо пропорционально внутренней
прибыли, если она меньше, чем внутренняя планируемая прибыль, или
внутренней планируемой прибыли, если последняя меньше внутренней
прибыли.
Рассмотрим предприятие (k+1), оценка которого определяет внутреннюю
цену Цв = (1+Pm)Sk+1. Для этого предприятия имеем
PmSk 1x k 1П кор
П k 1 
1  Pm Sk 1  S j0 x j  PmSk 1x k 1

ji
.
В данном случае П(k+1) также является убывающей функцией Sk+1, то есть
возникает тенденция занижения оценки Sk+1. Для исключения этой тенденции
также
предлагается
распределять
корпоративную
прибыль
прямо


211
пропорционально минимальной из внутренней и планируемой внутренней
прибылей. Окончательно получаем механизм внутренних цен с
перераспределением прибыли, в котором корпоративная прибыль
распределяется прямо пропорционально величинам
в Ц
i
в
 max Si , Ci  .
(8.3.10)
Этот максимум стимулирует представление достоверной информации о
себестоимостях производства продукции на предприятиях корпорации и, как
следствие, оптимальное распределение корпоративного заказа. Его
единственным минусом является перераспределение корпоративной прибыли.
Однако, если внутренняя цена близка к договорной цене, то перераспределение
прибыли фактически не происходит.
8.4. Механизмы внутренних цен без перераспределения прибыли
Перераспределение прибыли между предприятиями, входящими в
корпорацию, как уже отмечалось, может привести к конфликту интересов.
Рассмотрим поэтому механизм внутренних цен, не включающий процедуру
перераспределения прибыли. В этом случае корпоративный центр как бы
покупает продукцию у предприятий по внутренней цене Цв. Внутренняя
прибыль совпадает с фактической и остается у предприятия за исключением
доли , отчисляемой корпоративному центру. Свойства механизма внутренних
цен без перераспределения прибыли во многом аналогичны свойствам
конкурсного механизма. Действительно, если предприятие (k+2), не
получившее заказа, может выполнить заказ любого предприятия, включенного
в план, то в ситуации равновесия заказ получают первые (k+1) предприятий,
причем
Цв  (1 Pm) Sk1  (1 Pm) Ck2 . Распределение заказа является
оптимальным с точки зрения корпоративной прибыли, хотя завышение оценок

Si  Ck2 , i 1, k  1 приводит к завышенной внутренней цене Цв, что, в свою
очередь, уменьшает прибыль корпоративного центра:
k 1
Пкц    (Цв  C j) x j  (Цд  Цв)R .
(8.4.1)
j1
Действительно, так как (–1) Цв R отрицательна, то с ростом Цв
уменьшается прибыль корпоративного центра. Однако имеется и ряд
существенных отличий рассматриваемого механизма от конкурсного. Так,
переход к отдельному учету планируемой и сверхплановой прибыли в данном
случае не обеспечивает достоверности оценок (k+1) предприятий.
Действительно, прибыль (k+1) предприятия при сообщении им оценок Sk+1
составит
Пk1 (1 ) Pm Sk1  (1) (Sk1  Ck1)xk1 ,
где β – норматив отчислений в Корпоративный центр от сверхплановой
прибыли. Видно, что Пk+1 является возрастающей функцией Sk+1.
212
Еще одной особенностью является гораздо большая вероятность
образования коалиции предприятий. Дадим иллюстрацию этого на простом
примере.
Пример 8.4.1. Имеются три предприятия, данные о которых приведены в табл. 8.4.1.
Таблица 8.4.1
i
1
2
3
Сί
Qί
S
40
6
30
8
40
Пусть R= 70, Цд = 15, Rm = 0,25. Ситуация равновесия Нэша в данном
случае имеет вид



S1 S2  8, S3  8,   0,5 ;
 1
Цв  1   8  10, x1  40, x 2  30, x 3  0
 4
.
Прибыль корпоративного центра составляет
Пкц  (0,5 (10  5) 40  (10  6) 30  5  70  510 .
Прибыль предприятий с учетом отчислений корпоративному центру:
П1= 100, П2 = 60.
Однако, если предприятие 2 образует коалицию с предприятием 3, то
предприятие 3 может сообщить, например, максимальный объем производства
1
Q3  2 . При этом предприятие 2 сообщает оценку S2 = 12 (больше нельзя,
поскольку внутренняя цена не должна превышать договорной цены), а
предприятие 3-оценку S3 = 11. Внутренняя цена становится равной договорной
Цв = 15, а распределение заказа x1 = 40, x2 = 28, x3 = 2.
Прибыль первого предприятия выросла до П1 = 200, второго до П2 = 126,
а прибыль третьего до П3 = 3. Все предприятия выиграли. Однако прибыль
корпоративного центра уменьшилась:
Пкц = 200 +126 + 3 = 329,
что значительно меньше чем 510. Немного уменьшилась и прибыль корпорации
в целом. Она стала равна
Пкор = 658,
что меньше на 12 единиц, чем в ситуации равновесия.
В целом следует сделать вывод, что механизм внутренних цен без
перераспределения прибыли уступает по эффективности как конкурсному
механизму, так и механизму внутренних цен с перераспределением прибыли.
213
8.5. Согласованные механизмы распределения
корпоративного заказа
Согласованными механизмами называются механизмы, в которых
предприятиям корпорации выгодно выполнять взятый корпоративный заказ.
Дело в том, что предприятие может иметь свои заказы, которые имеют более
высокую маргинальную рентабельность, чем полученный корпоративный заказ.
Согласованность плана распределения корпоративного заказа обеспечивается
путем установления (увеличения) внутренней цены либо путем уменьшения
доли прибыли, отчисляемый корпоративному центру. Рассмотрим метод
решения задачи распределения корпоративного заказа для случая, когда
согласованность обеспечивается путем уменьшения доли прибыли,
отчисляемой корпоративному центру. Пусть φ0 – норматив отчислений от
прибыли корпоративному центру, φ0 > φ1 > ... > φк – упорядоченные по
убыванию значения норматива такие, что при φ = φί появляется хотя бы одно
предприятие, для которого нормативный заказ становится выгодным по
сравнению с φ < φί. Обозначим через Ύί множество предприятий, для которых
выгоден корпоративный заказ при величине норматива φ < φί. Очевидно, что
Ύ0  Ύ1  ...  Ύк, то есть число предприятий, согласных принять
корпоративный заказ, увеличивается с уменьшением доли от прибыли,
отчисляемой корпоративному центру.
Метод решения основан на переборе всех возможных значений φ ί и
решении при каждом из них задачи оптимального распределения
корпоративного заказа между теми предприятиями, для которых
корпоративный заказ выгоден при нормативе i. Предполагаем, что в
корпорации существует нормативная база себестоимостей продукции
предприятий либо применяется один из механизмов распределения
корпоративного
заказа,
обеспечивающий
достоверность
оценок
себестоимостей.
Обозначим через Пί максимальную прибыль корпоративного центра при
нормативе отчислений φί. Путем перебора всех возможных значений φί
определяем норматив, при котором прибыль Корпоративного центра
максимальна.
Пример 8.5.1. Имеется пять предприятий, данные о которых приведены в табл.8.5.1.
Таблица 8.5.1
ί
Сί
Qί
1
5
50
2
6
40
3
8
30
4
9
60
5
10
40
Пусть φ0 = 0,7, Ύ0 = {3, 4}, φ1 = 0,5, Ύ0 = {2, 3, 4}, φ2=0,25, Ύ2={1, 2, 3, 4}.
Примем R = 90, Ц∂ = 10.
214
1 шаг. Полагаем φ=φ0=0,7 и решаем задачу оптимального распределения
заказа на предприятиях 3 и 4. Ее решение очевидно:x1 = Q1 = 0, x2 = Q2 = 60.
Прибыль Корпоративного центра
φ0 = 0,7[2 ∙ 30 + 1∙ 60] = 84.
2 шаг. Полагаем φ=φ1=0,5 и решаем задачу оптимального распределения
корпоративного заказа на предприятиях 2, 3 и 4. Ее решение:x2 = Q2 = 40, x3 =
Q3 = 30, x4 = 20. Прибыль Корпоративного центра составит
Ф1= 0,5[4 ∙ 40 + 2∙ 30 + 1 ∙ 20] = 120.
3 шаг. Полагаем φ=φ2=0,25 и решаем задачи размещения заказа на
предприятиях 1, 2, 3 и 4. Ее решение:x1 = Q1 = 50, x2 = Q2 = 400, x3 = 0, x4 = 0.
Прибыль Корпоративного центра составит
Ф2 = 0,25[5 ∙ 50 + 4 ∙ 40] = 102,5.
Сравнивая три варианта, видим, что оптимальному решению
соответствует норматив φ=0,5.
Замечание 8.5.1. Если решать задачу, последовательно уменьшая
норматив , то нет необходимости перебора всех i. Достаточно на очередном
шаге определить следующий норматив, при котором появляется хотя бы одно
более эффективное предприятие, согласное взять заказ.
Замечание 8.5.2. Описанный метод получения согласованного плана
распределения корпоративного заказа подвержен манипулированию, если
оценки i сообщают сами предприятия. Так, например, в предыдущем примере
предприятие 2 могло сообщить оценку 1 = 0,25 вместо 1 = 0,5 и все равно
получило бы корпоративный заказ, так как при этом прибыль корпоративного
центра составила бы 102,5. Однако, если принято, что оценки i сообщаются
предприятиями только один раз без права корректировки и предприятия
руководствуются принципом гарантированного результата, то возможности
манипулирования уменьшаются. Тем не менее, эта проблема требует
дальнейших исследований.
Итак, мы рассмотрели различные механизмы распределения
корпоративного заказа:
Механизм А – конкурсный механизм с отчислениями корпоративному
центру от фактической прибыли.
Механизм Б – конкурсный механизм с отчислениями корпоративному
центру от планируемой прибыли и от сверхплановой прибыли.
Механизм В – механизм внутренних цен с перераспределением прибыли
прямо пропорционально внутренней прибыли.
Механизм Г – механизм внутренних цен с перераспределением прибыли
прямо пропорционально внутренней прибыли.
Механизм Д – механизм внутренних цен с перераспределением прибыли
прямо пропорционально минимальной из внутренней и планируемой
внутренней прибыли.
Механизм Е – механизм внутренних цен без перераспределения прибыли.
Выделим основные характеристики исследуемых механизмов.
215
1. Оптимальность распределения корпоративного заказа по критерию
максимума прибыли корпорации (напомним, что прибыль корпорации состоит
из прибыли предприятий, входящих в корпорацию, и прибыли корпоративного
центра).
2. Эффективность с позиций корпоративного центра, понимаемая
как отношение прибыли корпоративного центра к прибыли, которую он имел
бы при наличии достоверной информации о себестоимости продукции
предприятий.
3. Манипулируемость, то есть наличие тенденций к занижению или
завышению оценок.
4. Возможность образования коалиции предприятий.
Оценим эти характеристики для рассмотренных шести механизмов,
опираясь на результаты аналитических исследований.
Механизм А
1. Оптимальность распределения корпоративного заказа можно оценить
как среднюю (см. утверждение 8.2.1), поскольку возможны занижения оценок
предприятий, не получивших заказа. В этом случае распределение заказа будет
не оптимальным.
2. Эффективность также можно оценить как среднюю, поскольку
корпоративный центр получает определенную долю  прибыли корпорации.
Поэтому в данном случае эффективность тесно связана с оптимальностью.
3. Манипулируемость имеет место, а именно, возможно занижение
оценок предприятий с целью получения заказа.
4. Возможность образования коалиций маловероятна. Оценим ее как
низкую.
Механизм Б
1. Оптимальность
высокая,
поскольку
предприятия
достоверные оценки себестоимости.
2. Эффективность также высокая.
3. Манипулируемость отсутствует.
4. Возможность образования коалиций низкая.
сообщают
Механизм В
1. Оптимальность средняя, так как возможно неоптимальное
распределение заказа при завышении оценок предприятий, получивших заказ.
2. Эффективность средняя по причине средней оптимальности.
3. Манипулирование имеет место, в основном, в сторону завышения
оценок себестоимости предприятием, определяющим внутреннюю цену.
4. Возможность образования коалиций низкая.
216
Механизм Г
1. Оптимальность низкая по причине тенденции занижения оценок
себестоимости.
2. Эффективность низкая по причине низкой оптимальности.
3. Манипулирование имеет место в сторону занижения оценок.
4. Возможность образования коалиций низкая.
Механизм Д
1. Оптимальность высокая, поскольку сообщаемые оценки достоверны.
2. Эффективность высокая по причине высокой оптимальности.
3. Манипулирование практически отсутствует, хотя возможны случаи
занижения оценок предприятий, не получивших заказ.
4. Возможность образования коалиций низкая.
Механизм Е
1. Оптимальность средняя, так как возможны случаи неоптимального
распределения заказа при завышении оценок предприятий.
2. Эффективность низкая за счет завышения внутренней цены и
перераспределения прибыли в пользу предприятий.
3. Манипулируемость имеет место, в основном, в сторону завышения
оценок предприятий.
4. Возможность образования коалиций высокая.
Результаты сведены в табл. 8.5.2.
Таблица 8.5.2
Оптимальность
Механизм
А
Б
В
Г
Д
Е
средняя
высокая
средняя
низкая
высокая
средняя
Характеристика
Эффективность Манипулируемость Образование
коалиций
средняя
занижение
низкая
высокая
отсутствует
низкая
средняя
завышение
низкая
низкая
занижение
низкая
высокая
отсутствует
низкая
низкая
завышение
высокая
Анализ таблицы позволяет выделить два механизма: Б и Д, которые
характеризуются
высокой
оптимальностью,
эффективностью,
неманипулируемостью и малой вероятностью образования коалиций. Следует,
однако, отметить, что внедрение этих механизмов требует эффективной и
прозрачной системы управленческого учета, поскольку в этих механизмах
используются понятия планируемой и сверхпланируемой прибыли.
217
8.6. Механизмы внутреннего кредитования
Корпоративные финансовые ресурсы образуются за счет отчислений от
прибыли предприятий, входящих в корпорацию, а также от финансовоэкономической деятельности корпоративного центра, связанной с операциями
на фондовых рынках, продажей собственности и др. Помимо использования на
общекорпоративные нужды (капитализацию, создание корпоративных служб и
др.) часть этих ресурсов распределяется на инвестиционные проекты
предприятий. Понятно, что каждое предприятие стремится получить большую
часть общих ресурсов. Как правило, это приводит к тенденции завышения
заявок на требуемые финансовые средства, к конфликтам при распределении
корпоративных средств.
Дадим формальную постановку задачи. Примем, что в корпорации n
предприятий. Каждое предприятие подает в инвестиционный комитет (или
бюджетный комитет) корпорации заявку на выполнение инвестиционных
проектов. Такая заявка (бизнес-план) содержит обоснование предлагаемого
проекта, включая оценку требуемого финансирования и ожидаемого эффекта.
На основе заявок предприятий инвестиционный комитет принимает решение о
финансировании проектов.
Каждый проект характеризуется двумя основными параметрами:
затратами на реализацию проекта si и доходами от его реализации di. Разность
дохода и затрат определяет эффект от реализации проекта Эi = di – si, а
отношение эффекта к затратам qi = Эi/si = di/si – 1 называется эффективностью
проекта. Примем, что все проекты пронумерованы в порядке убывания
эффективностей и построим табл. 8.6.1 (для примера из трех проектов).
Таблица 8.6.1
№
проекта
1
2
3
Затраты
S
30
20
50
Эффект
Э
135
80
150
Эффективность
q%
450
400
300
Затраты нарастающим
итогом
30
50
100
Эффект нарастающим
итогом
135
215
365
Два последних столбца таблицы (затраты нарастающим итогом и эффект
нарастающим итогом) дают возможность определить набор проектов в
зависимости от имеющихся финансовых ресурсов.
Построим график зависимости эффекта нарастающим итогом от затрат
нарастающим итогом – (рис. 8.6.1.)
218
400
365
Эффект
300
215
200
135
100
Затраты
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Рис. 8.6.1
На основе этого графика (или таблицы) можно решать ряд важных задач.
Так, если у корпорации имеется 50 ед. финансовых ресурсов, то максимальный
эффект, который можно получить, реализовав на эти деньги проекты, равен 215
ед., что сразу следует из графика. С другой стороны, если необходимо достичь
эффекта в 215 ед., то минимальный объем средств, который для этого нужен,
равен 50 ед., что также непосредственно видно из графика. Конечно, если
имеющийся объем средств занимает промежуточное положение между точками
графика (например, имеется 70 ед. ресурсов), то график дает завышенное
представление об эффекте. Для получения точной картины необходимо решить
так называемую задачу о ранце при различных объемах финансирования. В
данном случае можно заметить, что при объеме финансирования 70 ед. выгоднее
делать второй и третий проекты (а не первый, который наиболее эффективен) с
общим эффектом 230 ед., а при финансировании 80 ед. самый выгодный набор
проектов – это первый и третий с общим эффектом 285 ед. Точный вид графика
«затраты – эффект» приведен на рис. 8.6.2 (числа у стрелок показывают номера
выполняемых проектов).
400
365
Эффект
1,2,3
300
285
1,3
230
215
200
1,2
135
100
80
2,3
1
2
10 20
Затраты
30
40 50
60 70
Рис. 8.6.2
219
80
90
100
Построив график «затраты – эффект» можно формировать оптимальный
пакет мер при любых объемах финансирования. Метод «затраты –
эффективность» позволяет обоснованно принимать решения о взятии кредита,
покупке ценных бумаг или депозитных вложениях.
Правило взятия кредита в методиках, применяемых консалтинговыми
фирмами, формулируется, обычно, в следующем виде: если эффективность
проекта выше процентной ставки за кредит (за тот же период времени), то
кредит брать выгодно. Однако в ряде ситуаций кредит выгодно брать и в
случае, если эффективность проекта ниже процентной ставки! Покажем это на
примере.
Пример 8.6.1. Пусть у корпорации имеется 70 ед. собственных средств. В
этом случае, если не брать кредита, то оптимальный набор проектов – это
проекты 2 и 3 с суммарным эффектом 230 ед. Пусть процентная ставка за
кредит равна 400 % (числа взяты для иллюстрации утверждения). Если кредит
брать, то, как будет показано ниже, в оптимальный набор войдут уже все три
проекта при кредите в 30 ед. Суммарный эффект с учетом выплаты процентов
составит
Э = 365 – 430 = 245 > 230,
то есть кредит брать выгодно, хотя процентная ставка кредита,  400 %,
существенно выше эффективности третьего проекта, равной 300 %.
Для того чтобы получить точное правило взятия кредита, рассмотрим два
случая. Обозначим через R величину средств, имеющихся у корпоративного
центра, а – процентную ставку за кредит. Пусть k такое, что
k
k 1
i 1
i 1
 si  R   s i , то
есть средств R хватает для реализации первых k проектов, но не хватает для
реализации первых (k+1) проектов.
Первый случай. qk+1 > a. В этом случае полностью работает приведенное
выше правило взятия кредита: в оптимальный набор входят все проекты,
эффективность которых выше процентной ставки.
Второй случай. qk+1 a. В этом случае необходимо сравнить два варианта.
В первом варианте кредит не берется. Тогда в оптимальный набор Q входят
проекты, определенные в результате решения задачи о ранце: определить набор
проектов Q, максимизирующий  Э i при ограничении  s i  R . Обозначим
iQ
iQ
Э(Q0) суммарный эффект оптимального набора Q0. Заметим, что если
S(Q 0 )   s i  R , то остаток средств можно положить на депозит (или вложить
iQ0
в ценные бумаги и т.д.). Если обозначить через b депозитную ставку (за тот же
период времени), то суммарный эффект от средств R составит Э(Q0) + b(R – S(Q0)).
220
Во втором варианте кредит берется. В этом случае в оптимальный набор
входят первые (k+1) проектов. Суммарный эффект с учетом выплаты процентов
k 1
 k 1

за кредит составит  Э i  a   s i  R  .
i 1
 i1

Сравнивая, принимаем окончательное решение о целесообразности
взятия кредита.
8.7. Внутренний кредит с гибкими ставками
В основе механизма внутреннего кредитования с гибкими ставками лежит
следующая классическая модель. Пусть функции дохода предприятий φί (хί ,rί)
являются вогнутыми функциями количества выделенных ресурсов х ί и
параметрически зависят от коэффициента эффективности rί. Коэффициент
эффективности rί не известен корпоративному центру, и его оценка Sί
сообщается предприятием. Получив оценки Sί всех предприятий,
корпоративный центр решает следующую задачу распределения финансовых
ресурсов:
n
   i ( x i , Si )  max
(8.7.1)
i 1
при ограничении
n
x
i 1
i
R
(8.7.2)
.
Как известно, оптимальное решение удовлетворяет условиям
d i  xi , S i 
1  , i 1,n.
dxi
(8.7.3)
x i  i (1 , Si ) , i 1, n ,
(8.7.4)
Из условий (8.7.3) получаем
где ξί – функция, обратная φί.
Параметр β (множитель Лагранжа) определяется из уравнения
n
  (1 , S )  R .
i 1
i
i
(8.7.5)
Примем β в качестве ставки внутреннего кредита. Тогда целевую
функцию предприятия ί можно записать в виде
(8.7.6)
i x i , ri   (1 ) x i .
Доказано, что при так называемой гипотезе слабого влияния (предприятие
не учитывает влияния своей оценки на общую для всех ставку β) механизм (8.7.1),
(8.7.2), (8.7.5) обладает следующими замечательными свойствами:
1. Каждое предприятие сообщает достоверную оценку коэффициента r ί,
Sί = rί, то есть механизм является механизмом честной игры.
2. Корпоративные финансы распределяются оптимально в смысле
максимума корпоративного дохода.
221
Дадим модификацию рассмотренного механизма на наш случай. Решение
задачи (8.7.1), (8.7.2) в нашем случае – это метод «затраты-эффект», который
уже рассматривался в раннее. Пусть все проекты упорядочены по
эффективности и (k+1) – последний проект, получивший финансирование Sk+1
от корпоративного центра.
Примем ставку внутреннего кредита равной следующей величине:
= Эk+1 – ρ0,
(8.7.7)
где Эk+1 – эффективность (k+1)-го проекта, ρ0 – минимальная рентабельность,
при которой проекты предприятий принимаются к рассмотрению
корпоративным центром. Проведем исследование проблемы манипулирования
информацией для предложенного механизма. Заметим, во-первых, что оценки
первых k проектов не влияют на ставку β. Поэтому для соответствующих
предприятий имеет место обычный конкурсный механизм на основе метода
«затраты-эффект». Рассмотрим предприятие (k+1). Для этого предприятия
прибыль равна
Пk+1 = μ (Дk+1 – (1 + β)Sk+1 = μ ρ0 Sk+1,
(8.7.8)
то есть прибыль растет с ростом оценки Sk+1. Следовательно, в отличие от
классического случая, манипулирование информацией имеет место, как и в
конкурсном механизме. Однако в данном случае имеются новые варианты
манипулирования информацией для первых k проектов, направленные на
уменьшение β. Рассмотрим эти варианты на примере.
Пример 8.7.1. Имеются три проекта, данные о которых приведены в табл. 8.7.1,
причем первый и второй проект представлены первым предприятием, а третий – вторым.
Таблица 8.7.1
ί
1
2
3
Дί
100
80
60
rί
20
40
50
Эί
4,00
1,0
0,2
Пусть R = 70, ρ0 = 0,2, μ = 0,8,  = 0,2.
Если все предприятия сообщили истинные оценки, то финансирование
получают первые два проекта. При этом, ставка внутреннего кредита
 = Э2 - 0 = 0,8 и прибыль первого предприятия составит
П1 = 0,8 (100 – 36) + 0,8 (80 – 72) = 57,6.
А. Если первое предприятие завысит оценку по первому проекту до 30, то
его прибыль составит
П1 = 1,2 · 10 + 0,8 (100 – 54) + (80 – 72) = 55, 2 < 57,
то есть прибыль уменьшилась. Это и понятно, так как
μ + β = 1,6 > 1 +  = 1,2
Б. Возьмем другой вариант. Первое предприятие завышает на 10 оценку
по второму проекту. В этом случае ставка внутреннего кредита составит
222
β = Э2 – 0,2 = 0,6 – 0,2 = 0,4,
и прибыль первого предприятия
П1 = 1,2 + 0,8 (100 – 28) + 0,8(80 – 70) = 77,6,
что существенно превышает 57,6.
Эти два способа манипулирования достаточно очевидны. Однако
возможны нестандартные способы манипулирования, направленные на
уменьшение ставки β. Рассмотрим эти способы.
В. Пусть первое предприятие сообщило оценку S2 = 60 по второму
проекту. В этом случае средств на финансирование второго проекта не хватает,
и финансирование получает третий проект второго предприятия. Ставка
внутреннего кредита становится равной
β= Э3 – 0,2 = 0 и прибыль первого
предприятия составит
Г. Однако для первого предприятия существует еще более выгодная
ситуация, а именно: первое предприятие сообщает заинтересованную оценку S 1
= 10 по первому проекту и завышенную оценку S2 = 6 по второму. В этом
1
случае эффективность второго проекта Э 2   0,3 и по-прежнему выше, чем
3
эффективность третьего проекта. Ставка внутреннего кредита становится
равной β = Э2 – 0,2 = 0,1, и прибыль первого предприятия
П1 = 0,8 (100 – 11) + 0,8(80 66) + 12 = 94,4.
При этом первое предприятие получает финансирование в размере 70 ед. на два
проекта и перераспределяет эти средства, выделяя на первый проект 20 ед., на
второй – 40 ед., а 10 ед. идут на выполнение других проектов с эффективностью
 = 0,2.
8.8. Механизмы совместного финансирования
Идея совместного финансирования в том, что корпоративный центр
выделяет только часть ресурсов, требуемых для реализации проекта, а
остальную часть выделяет само предприятие, подавшее заявку на проект.
Такие механизмы предлагались для финансирования приоритетных
направлений науки и техники [41], где они были названы механизмами
смешанного финансирования. Их исследования для непрерывного случая при
линейных функциях затрат или функциях затрат типа Кобба-Дугласа были
проведены в работе [41], где показано, что при смешанном финансировании
эффективность использования централизованных сроков существенно
увеличивается. Рассмотрим механизмы совместного финансирования
применительно к корпорации, включающей n предприятий. Каждое
предприятие может подать одну или несколько заявок на финансирование,
содержащих оценку ожидаемого дохода dί и оценку требуемого
финансирования Sί . Средства хί, выделяемые корпоративным центром на ί-й
проект, определяются выражением
S
xi  i  R   Si ,
(8.8.1)
S
223
n
где
S   Si  суммарная величина требуемых средств,

j1
R
S
 доля
корпоративных ресурсов в финансировании проектов.
Возможны различные варианты взаимодействия корпоративного центра и
предприятий. При достаточно жесткой схеме взаимодействия корпоративный
центр
может
потребовать
перечисления
недостающей
суммы
Sί - хί = (1-γ)Sί в централизованный фонд как гарантии того, что предприятие
имеет необходимые средства. При этом после реализации проекта
корпоративный центр получает долю эффекта (прибыли) в размере (1-μ)(dί-Sί).
В этом случае прибыль предприятия будет определяться выражением
Пί = di - (1-μ)(dί-Sί) – (1-γ)Sί ,
(8.8.2)
то есть из ожидаемого дохода вычитается доля эффекта, отдаваемая
Корпоративному центру, и величина средств, перечисляемая в центральный
инвестиционный фонд. Определим оценку Sί, предполагая, что Sί ≥ rί (нетрудно
показать, что заявлять оценку Sί< rί предприятию не выгодно). Преобразуем
выражение (8.8.2) к виду
Пί = μdί - (μ -. γ) Sί .
(8.8.3)
Задача сводится к определению Sί, при котором величина (8.8.3) минимальная,
R
с учетом того, что   .
S
Беря производную выражения (8.8.3) по Sί , получаем
d i
SS
  2 i  R 0 .
(8.8.4)
d Si
S
Решая это уравнение относительно Sί, имеем
S
(8.8.5)
Si  S(1 )
R
из условия  Si  S , получаем окончательно
i
n 1
n 1
 R , Si 
R .
(8.8.6)
n
 n2
Учтем ограничения Sί ≥ rί для всех ί. Пусть rί ≤ r2 ≤ ... ≤ rn и kмаксимальный номер, такой, что
n 1
rk  2 R
n
.

S
Полагаем Sί = rί для всех i 1, k,
k
H k   ri ,
S  H k  (n  k ) S
.
В этом случае для определения S получаем квадратное уравнение
1
224
S
),
(8.8.7)
R
решая которое определяем новые значения Si . Если среди них есть Si < rί, то
процедуру повторяем.
S  H k  (n  k ) S (1
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Назовите основные этапы функционирования организационной системы.
Какой механизм управления называется механизмом открытого
управления или «честной игры»?
3. Какой механизм управления называется согласованным механизмом?
4. Какой
механизм
называется
противозатратным
механизмом
налогообложения (прибыли)?
5. Чему равна остаточная маргинальная рентабельность заказа?
6. Как можно вычислить эффективность простого конкурсного механизма?
7. Назовите общий вид функции производственных издержек типа КоббаДугласа.
8. В чем заключается основная идея построения оптимального механизма
распределения корпоративного заказа?
9. Сформулируйте свойства механизма внутренних цен.
10. Опишите механизм внутренних цен для линейных функций
производственных издержек.
11. В чем заключается механизм внутренних цен без перераспределения
прибыли?
1.
2.
12. Какие механизмы называются согласованными механизмами
распределения корпоративного заказа?
13. Сформулируйте метод решения задачи распределения корпоративного
заказа для случая, когда согласованность обеспечивается путем
уменьшения доли прибыли, отчисляемой Корпоративному центру.
14. Перечислите
механизмы,
которые
характеризуются
высокой
оптимальностью, эффективностью, неманипулируемостью и малой
вероятностью образования коалиций.
15. В чем заключается механизм внутреннего кредитования?
16. Сформулируйте правило взятия кредита.
17. Почему не работают конкурсные механизмы, если берется внешний
кредит?
18. В чем заключается механизм внутреннего кредитования с гибкими
ставками?
19. Какими свойствами обладает механизм внутреннего кредитования с
гибкими ставками?
20. Какой механизм называется механизмом совместного финансирования?
225
ГЛАВА 9. РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
9.1. Основные правила приоритета
Будем рассматривать задачи распределения ресурсов в следующей
достаточно
общей
постановке.
Во-первых,
будем
рассматривать
воспроизводимые ресурсы (типа «мощности») m различных видов. Работы
проекта разбиты на классы так, что каждая работа выполняется ресурсами
определенного (одного) вида. Далее примем, что зависимость скорости работы
от количества ресурсов является линейной вида (9.1.1). В качестве критерия
оптимизации берем продолжительность проекта T. Обозначим через Nj
количество ресурсов j-го вида, Pj – множество работ, выполняемых ресурсом j-го
вида,суммарный объем работ j-го вида ,Q j   wi ,
iP j
(9.1.1)
минимальная продолжительность i-й работы–
i 
wi
, i  1, n ,
ai
(9.1.2)
минимальное время, необходимое для выполнения всех работ j-го вида, –
j 
Qj
Nj
, j  1, m .
(9.1.3)
Примем продолжительности работ равными минимальным i и
определим поздние сроки начала всех работ tiн и поздние сроки окончания всех
работ tiо. Для этого определяем продолжительность проекта T0, не учитывая
ограничений на ресурсы, и просчитываем сетевой график «с конца». Алгоритм
определения поздних моментов начала и окончания работ рассмотрим на
примере.
Пример 9.1.1. На рис. 9.1.1 приведен сетевой график из семи работ. В
верхней половине кружка записан номер работы, в нижней слева –
продолжительности i. Сначала определим ранние сроки начала и длину
критического пути T0. Ранние сроки окончания указаны в квадратных скобках у
соответствующих вершин. Длина критического пути равна T0 = 22. Для
определения поздних сроков начала производим просчет сетевого графика с
конца.
226
[7]
3
4 9
[3]
1
3 3
[13]
4
7 6
[6]
2
6 0
[8]
[22]
6
9 13
[18]
7
5 17
5
2 15
Рис. 9.1.1
Для работ 6 и 7 очевидно, что
t6н = T0-6 = 13, t7н = T0-7 = 17.
Для работы 4:
t4н = min(t6н,t7н)-4 =13-7 = 6.
Продолжая таким образом, получаем:
t5н = t7н-5 = 17-2 = 15,
t3н = t6н-3 = 13-4 = 9,
t2н = min(t3н,t5н)-2 = 6-6 = 0,
t1н = min(t3н,t4н)-1 = 6-3 = 3.
Значения tiн указаны в нижних половинках кружков справа. Зная tiн, легко
определить поздние сроки окончания:
tiо = tiн + i, i  1, n .
Как уже отмечалось, для решения задач распределения ресурсов
применяются в общем случае эвристические алгоритмы. Рассмотрим основные
эвристические правила распределения ресурсов по фронту работ.
Правило 9.1.1 (по степени критичности работ). В первую очередь
начинаются работы с минимальным поздним сроком начала (поздний срок
начала называется также степенью критичности работы, отсюда и название
правила. Для иллюстрации этого правила рассмотрим сетевой график (рис. 9.1.1), и
примем, что работы 1, 2, 6, 7 выполняются каждая единицей ресурсов первого
вида, а работы 3, 4 и 5 – единицей ресурсов второго вида каждая. Примем
N1 = N2 = 1.
1 шаг. t = 0. Так как t1н = 3 > t2н = 0, то выполняем работу 2.
2 шаг. t = 6. Выполняем работы 1 и 5.
3 шаг. t = 9. Выполнены работы 1 и 5. Начинаем работу 4, так как t4н < t3н.
4 шаг. t = 15. Выполнена работа 4. Выполняем работы 3 и 7.
5 шаг. t = 20. Выполнены работы 3 и 7. Выполняем работу 6.
Проект завершается за T1 = 20+9 = 29 дней.
227
Правило 9.1.2 (по минимальной продолжительности работ). В первую
очередь начинается работа, имеющая минимальную продолжительность.
Пример 9.1.2. Рассмотрим сетевой график (рис. 9.1.1), и применим к
нему правило 9.1.2.
1 шаг. t = 0. Начинаем работу 1, так как 1 < 2.
2 шаг. t = 3. Выполняем работы 2 и 3.
3 шаг. t = 9. Выполнены работы 2 и 3. Выполняем работу 5, так как
5 < 4.
4 шаг. t = 11. Выполняем работу 4.
5 шаг. t = 18. Выполняем по очереди работы 6 и 7 (в любом порядке).
Проект завершается за T2 = 18+14 = 32 дня.
Правило 9.1.3 (по минимальному позднему сроку окончания).
Рассмотрим сетевой график (рис. 9.1.1), и применим к нему правило 9.1.3.
1 шаг. t = 0. Обе работы имеют одинаковые значения t1о = t2о = 6. Поэтому
начинаем любую, например, работу 1.
2 шаг. t = 3. Работа 1 выполнена. Начинаем работы 2 и 3.
3 шаг. t = 9. Работы 2 и 3 выполнены. Начинаем работу 4, так как
о
t4 = 13 < t5о = 17.
4 шаг. t = 16. Начинаем работы 5 и 6.
5 шаг. t = 25. Работы 5 и 6 выполнены. Начинаем работу 7.
Проект завершается за T3 = 25+5 = 30 дней.
В данном случае наилучшее решение дает правило 9.1.1. Однако
нетрудно привести примеры, когда наилучшее решение дает правило 9.1.2 или
9.1.3. Возникает задача исследования этих правил с тем, чтобы выделить
случаи, в которых то или иное правило является более эффективным.
9.2. Распределение ресурсов по степени критичности работ
Определение
называется
9.2.1.
Пропускной
способностью
CF   a i .
фронта
работ
F
(9.2.1)
iF
Определение 9.2.2. Фронт работ F, такой, что C(F) < N, называется
«узким местом» сетевого графика.
Заметим, что если в каком-либо интервале выполняются работы,
являющиеся узким местом, то в этом интервале ресурсы используются
неполностью, что может привести к увеличению продолжительности проекта.
Действительно, при полной занятости ресурсов продолжительность проекта
составит
Tmin 
Q
, где Q   w i .
N
i
Рассмотрим ряд частных случаев, когда правило 9.1.1 всегда дает
оптимальное решение.
228
Пусть сетевой график имеет вид дерева (рис. 9.2.1), все работы
выполняются единицей ресурсов (с фиксированной интенсивностью) и имеют
одинаковые продолжительности  (без ограничения общности примем  = 1). В
данном случае приоритетность по минимальной степени критичности
эквивалентна приоритетности по максимальному рангу соответствующей
вершины дерева (ранг вершины равен числу вершин пути, соединяющего
данную вершину с конечной). Для случая N = 2 на рис. 9.2.1 пунктиром
выделены множества работ, выполняемых одновременно, а римские цифры
показывают очередность их выполнения. Минимальная продолжительность
проекта равна 7.
I
1
2
II
3
IV
7
4
VI
11
8
III
V
5
9
6
10
VI
I13
12
Рис. 9.2.1
Приведем еще один частный случай, когда правило 9.1.1 дает
оптимальные решения.
Будем говорить, что фронт F1 находится правее фронта F2, (F1 F2), если
для любой пары (i,j) работ такой, что i  F1, j  F2, не существует пути,
соединяющего работу i с работой j.
Рассмотрим сетевой график такой, что для любых F1 и F2, F1 F2, имеет
место C(F1) ≤ C(F2). Будем называть такие сетевые графики монотонными.
Содержательно это означает, что фронт работ с выполнением работ проекта не
увеличивается. Если построить левосдвинутый график потребности в ресурсах
(все работы начинаются в наиболее ранние моменты), то этот график будет
невозрастающей функцией времени.
Гипотеза 9.2.1. Для монотонных сетевых графиков правило 9.1.1 дает
оптимальное решение.
Строгого доказательства этого факта нет. Однако не удалось найти ни
одного примера, опровергающего эту гипотезу. Рассмотрим сетевой график на
рис. 9.2.2. Пусть N = 4.
229
1 4
3 0
2 4
3 0
31
45
61
3 9
43
43
71
57
51
45
81
3 9
Рис. 9.2.2
Поскольку обе работы, 1 и 2, имеют одинаковые степени критичности, то
распределяем ресурсы поровну. Через 6 дней начинаем работу 4, u4= 3.
Оставшуюся 1 ресурса распределяем на работы 3 и 5 поровну, u3= u5= 0,5. Через
4 дня завершается работа 4 и наполовину выполнены работы 3 и 5. Далее
выполняются работы 3, 5 и 7, а после завершения работ 3 и 5 выполняются
работы 6, 7 и 8. Продолжительность проекта составляет T = 15 дней.
Если ресурсы могут принимать только целочисленные значения, то в
интервале (6,10), когда u3= u5= 0,5, поступаем следующим образом. В интервале
(6,8) выполняется работа 3, u3= 1, а в интервале (8,10) – работа 5, u5= 1. При этом
выполнение работы 3 прерывается. Если прерывание работы запрещено, то
правило 9.1.1 может не дать оптимального решения. В этом случае оптимальное
решение выглядит следующим образом. Сначала выполняется работа 1 (или 2).
Через 3 дня выполняются работы 2 и 3. Через 7 дней выполняются работы 4 и 5.
И, наконец, через 11 дней выполняются работы 6, 7 и 8. Минимальная
продолжительность проекта составляет T = 16 дней.
Если применение правила 9.1.1 (или любого другого правила) привело к
попаданию на «узкое место», то возникает задача его устранения либо
уменьшения простоев ресурсов. Рассмотрим подход к устранению «узких мест»
на основе следующей задачи.
Задача редактора. Имеется n рукописей. Каждая рукопись редактируется
редактором, затем направляется авторам, а потом снова возвращается
редактору для окончательного редактирования. Обозначим через ai
продолжительность
первого
редактирования
i-й
рукописи,
bi
–
продолжительность работы авторов, ci – продолжительность второго
редактирования. Задача заключается в определении очередности работы с
рукописями редактора, минимизирующей продолжительность обработки всех
рукописей.
Обозначим через i = ci-ai, qi = ai+bi. В [3] доказано, что если очередности
первичной и вторичной обработок одинаковы, то оптимальная очередность
определяется по следующему правилу: сначала редактор работает
с
рукописями, для которых i ≥ 0 в очередности возрастания qi, а затем – с
230
рукописями, для которых i ≤ 0 в очередности убывания qi. Заметим, что с
параметрами i, qi задаче можно дать другую экономическую интерпретацию.
Задача самоокупаемости. Имеется n проектов. Проект i требует
финансирования qi, а после реализации дает доход i (или убыток, если i –
отрицательно, что имеет место для социальных проектов). Предполагается, что
проекты реализуются поочередно. Для реализации всех проектов берется кредит
S. Задача заключается в определении очередности реализации проектов, при
которой требуется минимальный кредит. В такой интерпретации правило
определения оптимальной очередности выглядит достаточно естественным.
Действительно, вначале целесообразно выполнять проекты, дающие
положительный (неотрицательный) доход, начиная с тех, которые требуют
минимального финансирования, а затем – убыточные проекты, начиная с самых
дорогих.
Применим это правило для решения задачи устранения «узких мест» в
более общем случае. Рассмотрим сетевой график на рис. 9.2.3.
[2]
1 2
3
1
[6]
2 3
6
3
[27]
4 1
18 2
7
3
5 [21]
12
8
5
[22]
3
6
6
7
[37]
[26]
[34
9 ]
9
Рис. 9.2.3
Работы 4, 5 и 6, как и в задаче редактора, образуют «узкое место»
сетевого графика, поскольку выполняются ресурсами других видов, количество
которых достаточно. Работы 1, 2, 3, 7, 8 и 9 выполняются единицей ресурсов.
Отличие от задачи редактора в том, что существуют дополнительные
зависимости между работами (это зависимости (1,5), (2,6) и (5,7)).
Разделим работы, выполняемые ресурсами первого вида, которые
связаны зависимостями с несколькими работами, образующими «узкое место»,
на несколько отдельных работ (по числу зависимостей). При этом
продолжительность работы делим произвольным образом между работами, на
которые разделена данная работа. Так, работу 1 делим на две работы,
продолжительности которых равны 2 и 1 соответственно. Работу 2 делим на две
работы, продолжительности которых равны 3 и 3 соответственно. Наконец,
работу 7 делим на две работы, продолжительности которых равны 1 и 2
соответственно.
Теперь
суммируем
продолжительности
работ,
предшествующих одной и той же работе «узкого места». Соответственно
суммируем продолжительности всех работ, следующих за одной и той же
работой «узкого места». В результате получаем задачу редактора (рис. 9.2.4).
231
[6]
I
1
2
II
2 [4]
4
4
18
5 [16]
12
[15]
III
3
9
[24]
[33
7 ]
1
8
7
[23]
[22]
6
7
9
9
[32]
Рис. 9.2.4
Так, например, работа 2 будет иметь продолжительность 2= 3+1 =4, работа 3 –
3= 6+3 =9 и т.д.
Оптимальная очередность первичной обработки рукописей имеет вид
II  I  III. Заметим, что очередность вторичной обработки – II  III  I, так
что вышеприведенное правило здесь не применимо. При этом
продолжительность обработки всех рукописей составит  = 33. Если при этой
очередности определить продолжительность проекта (рис. 9.2.3), то, как легко
вычислить, она равна T = 38.
Теорема 9.2.1.Полученная в результате решения задачи редактора оценка
 продолжительности обработки всех рукописей является оценкой снизу
продолжительности проекта T.
Доказательство. Если при разбиении работы на несколько
работ мы сохраним все зависимости для каждой из полученных в результате
разбиения работ, то, очевидно, что мы получим задачу, эквивалентную
исходной. Проводя суммирование продолжительностей, как было описано
выше, мы фактически исключили часть зависимостей. Очевидно, что при
исключении из сетевого графика части зависимостей продолжительность
проекта не увеличивается. Это доказывает теорему.
Поскольку деление продолжительности работ на части является
произвольным, то возникает задача определения такого разделения
продолжительностей работ, при котором нижняя оценка является
максимальной.
Рассмотрим сетевой график (рис. 9.2.4). Критический путь =(2,5,8,9,7).
Для его увеличения необходимо увеличить продолжительность 2. Возьмем
2=7, а 3=6 соответственно. Нетрудно убедиться, что оптимальное решение
задачи редактора в данном случае III  II  I. Однако продолжительность
обработки рукописей увеличилась: = 34. Попробуем еще улучшить (то есть
увеличить) нижнюю оценку путем изменения разбиения продолжительностей
работ. Возьмем 1=3, 2=3, 3=9, 7=3, 8=5, 9=9 (рис. 9.2.5).
232
1
3
[3]
2 [15]
3
[12]
3
9
[36
4 [21]
18
7 ]
3
5 [27]
12
8 [33
5 ]
6
7
[19]
9 [28
9 ]
Рис. 9.2.5
Оптимальная очередность и первичной, и вторичной обработки
рукописей II  III  I. При этом продолжительность обработки составит
 = 36.
Продолжительность проекта при очередности 2  3  1 составляет
T = 36, что совпадает с нижней оценкой. Таким образом, решение задачи, в
котором работы 1, 2 и 3 выполняются в очередности 2  3  1, является
оптимальным.
Рассмотрим на примере задачу выбора оптимального разбиения
продолжительности работ.
Пример 9.2.1. На рис. 9.2.6 приведен сетевой график из 6 работ.
1
5
3
10
5
6
2
7
4
17
6
9
Рис. 9.2.6
Обозначим через 0 ≤ x1 ≤ 7 часть продолжительности работы 2, которая
присоединяется к работе 1, а через 0 ≤ x2 ≤ 9 – часть продолжительности работы
6, которая присоединяется к работе 5. Соответствующая (оценочная) задача
редактора приведена на рис. 9.2.7.
Рассмотрим различные возможные случаи.
При очередности обработки I  II продолжительность обработки
рукописей определяется выражением
T12 = max(30+x1; 38-x2).
(9.2.2)
1
5+x1
2
7-x1
3
10
6+x2
4
17
9-x2
Рис. 9.2.7
233
5
6
При очередности II  I продолжительность обработки рукописей
определяется выражением
T21 = max(39-x1; 28+x2).
(9.2.3)
Это выражение справедливо, однако если работа 4 заканчивается не
позже работы 3, то есть мы можем начать работу 6 раньше работы 5. Дело в
том, что решение задачи редактора получено при условии, что очередность
первичной обработки рукописей та же самая, что и очередность вторичной
обработки. Если это условие отбросить, то полученное правило определения
очередности обработки рукописей может не дать оптимального решения. Так,
если 0 ≤ x1 <2, то при очередности обработки II  I работа 3 заканчивается в
момент времени t3 = 22, что меньше, чем момент окончания работы 4, t4 = 24-x1.
Поэтому после окончания работы 3 начинается работа 5, а затем работа 6.
Продолжительность обработки рукописей составит  = 37 при любых 2 ≤ x1 ≤ 7
и 0 ≤ x2 ≤ 9. При 0 ≤ x1 ≤ 2, T21 = 37. Таким образом, выражение (9.2.3)
справедливо только при 0 ≤ x1 ≤ 2.
Очевидно,
что
оптимальная
очередность
и
минимальная
продолжительность определяются из условия
 = min(T12; T21).
(9.2.4)
Поскольку  согласно теореме 9.2.1 является нижней оценкой
продолжительности проекта, то естественно поставить задачу определения
0 ≤ x1 ≤ 7 и 0 ≤ x2 ≤ 9 таких, что величина (9.2.4) принимает максимальное
значение. Для решения этой задачи рассмотрим три случая.
А. x1 + x2 ≤ 8. В этом случае
 = min(38-x2; 39-x1) при x1 ≥ 2 и
 = min(38-x2; 37)при 0 ≤ x1 ≤ 2.
Оптимальные значения: 0 ≤ x1 ≤ 2, 0 ≤ x2 ≤ 1,  = 37.
Б. 8 ≤ x1 + x2 ≤ 11. В этом случае
 = min(30+x1; 39-x1).
Оптимальные значения: x1 = 4,5, 0 ≤ x2 ≤ 6,5,  = 34,5.
В. x1 + x2 ≥ 11. В этом случае
 = min(30+x1; 28+x2).
Оптимальные значения: x1 = 7, x2 = 9,  = 37.
Выбираем варианты А и В, дающие наибольшее значение нижней оценки.
Для этих вариантов, как легко убедиться, оптимальная очередность обработки
рукописей II  I с продолжительностью обработки T = 37.
Возвращаясь к исходной задаче, определим продолжительность проекта
при очередности работ 2  1. Она, как легко убедиться, равна T = 37, что
совпадает с нижней оценкой. Поэтому полученное решение является
оптимальным.
Получим достаточные условия, при выполнении которых в оптимальном
решении задачи редактора очередности первичной и вторичной обработки
рукописей совпадают. Пусть i1, i2, … , in – произвольная очередность первичной
234
обработки рукописей. Для того, чтобы вторичная обработка могла проводиться
в той же очередности, достаточно выполнение следующих условий:
k 1
k
ai

j 1
j
 bi k   a i j  bi k 1 , k  1, n  1 .
j 1
Эти условия эквивалентны следующим:
ai k1  bi k1  bi k , k  1, n  1 .
Для того, чтобы эти условия выполнялись для любой очередности,
достаточно, чтобы для любых i, j имело место:
qi = ai + bi ≥ bj.
(9.2.5)
При выполнении условия (9.2.5) приведенное выше правило определения
очередности обработки рукописей в задаче о редакторе всегда будет давать
оптимальное решение.
9.3. Распределение ресурсов по минимальной
продолжительности работ
Проведем анализ второго правила приоритета работ, согласно которому
максимальный приоритет имеют работы с минимальной продолжительностью.
Рассмотрим сначала частный случай, когда это правило всегда дает
оптимальное решение.
Задача Джонсона. Имеются n деталей, которые проходят обработку на
двух станках. Обозначим через ai (bi) продолжительность обработки i-й детали
на первом (втором) станке. Имеется по одному станку каждого типа. Требуется
определить очередность обработки деталей на станках, минимизирующую
продолжительность обработки всех деталей. Сначала обрабатываются детали,
для которых ai ≤ bi в очередности возрастания ai. Затем обрабатываются детали,
для которых ai ≥ bi в очередности убывания bi.
Заметим, что если для всех деталей имеет место ai ≤ bi, то оптимальным
становится
правило
9.1.2
упорядочения
работ
по
возрастанию
продолжительностей. Обоснование этого правила состоит в том, что если
B   bi   a i  A , то есть объем работ второго вида больше, чем объем работ
i
i
первого вида, то следует максимально быстро обеспечить фронт работ для
ресурсов второго вида (в данном случае – для второго станка).
Дадим обобщение правила 9.1.2 на случай произвольного сетевого
графика. Обозначим через Lj минимальное время, через которое можно начать
хотя бы одну работу j-го вида, Rj – минимальное время завершения проекта
после выполнения всех работ j-го вида, j, как было определено выше, –
минимальная продолжительность выполнения всех работ j-го вида, Tкр – длина
критического пути (минимальная продолжительность проекта при наличии
достаточного количества ресурсов). Заметим, что величина
Mj = Lj + j + Rj
является оценкой снизу продолжительности проекта. Обозначим через
M  max M j  Mk .
j
235
Если Mk >> Tкр, то очевидно, что следует обратить первоочередное
внимание на выполнение работ k-го вида, а следовательно, приоритет получают
работы, выполнение которых позволяет максимально быстро открыть фронт
для работ k-го вида.
Рассмотрим сетевой график на рис. 9.3.1.
1
3
5
12
7
9
11
5
2
5
4
9
8
14
10
3
3
6
6
8
9
2
13
6
12
16
Рис. 9.3.1
Все работы выполняются единицей ресурса. Продолжительности работ
указаны в нижних половинах кружков. Работы, выполняемые ресурсами
второго вида, выделены. Имеется по единице ресурсов каждого вида.
Вычисляем Tкр= 52. Определяем L2. Чтобы начать работу 5, необходимо
выполнить работы 1, 2 и 4, что требует 17 дней. Чтобы начать работу 8,
необходимо выполнить работы 3 и 6, что требует 14 дней. Следовательно,
L2 = 14. После завершения всех работ второго вида потребуется минимум R2 = 5
дней для завершения проекта. Суммарная продолжительность работ второго
вида равна 2 = 51. Имеем:
М2 = 14 + 51 +5 = 70 >> 52.
Следовательно, скорейшее начало выполнения работ второго вида
является приоритетной задачей.
1 шаг. t = 0. Выполняем последовательно работы 3 и 6, максимально
быстро открывающие фронт работ для ресурсов второго вида.
2 шаг. t = 14. Выполняем работу 8 и последовательно работы 9, 1, 2 и 4.
3 шаг. t = 28. Выполняем работу 12 и последовательно работы 4, 10 и 13.
4 шаг. t = 44. Выполняем последовательно работы 5, 7 и 11.
Продолжительность проекта составляет T = 70 дней, что совпадает с
нижней оценкой. Таким образом, полученное обобщение правила приоритета
по минимальным продолжительностям можно сформулировать в следующем
виде:
Правило 9.3.1. В первую очередь начинаются работы, выполнение
которых за минимальное время открывает фронт работ для определяющих
ресурсов (то есть ресурсов k-го вида, таких, что k = max
j > Tкр).
j
236
9.4. Распределение ресурсов по минимальным
поздним моментам окончания
Будем рассматривать задачи распределения ресурсов в следующей
постановке. Существует фронт работ, разделяющий сетевой график на две
части. Работы левой части выполняются единицей ресурсов первого вида,
каждая работа правой части выполняется ресурсами других видов, количество
которых достаточно для выполнения всех работ за минимальное время.
Количество ресурсов первого вида равно 1.
Обозначим через R множество начальных работ других видов, то есть
таких работ, которые могут выполняться сразу после выполнения работ
первого вида. Далее обозначим через Ai – множество работ первого вида,
предшествующих работе i  R (множество работ Ai необходимо выполнить для
того, чтобы можно было выполнить работу i). Наконец, обозначим через
(Ai)    j .
jA i
Утверждение 9.4.1. Существует оптимальное решение, в котором работы
первого вида выполняются в определенной очередности множеств {Ai}:
Ai  Ai    Ai .
(9.4.1)
Другими словами, сначала выполняются работы множества A i , затем
множества Ai \ A i , затем Ai \ A i  A i  и т.д.
Доказательство. Пусть определено расписание работ, в котором работы
множества R начинаются в определенной очередности:
t iн  t iн    t iн .
Обозначим через Bi множество работ, выполненных до момента t iн .
Очевидно, что A i  Bi . Изменим очередность выполнения работ множества Bi
таким образом, чтобы работы множества A i выполнялись в первую очередь.
При этом получим новое расписание, в котором момент начала работы i 1 не
~
увеличился, ti н  t iн , а моменты начала всех остальных работ множества R
также не увеличились. Продолжая таким образом, получаем расписание, в
котором работы выполняются в очередности (9.4.1), а продолжительность
o
проекта T не увеличилась. Обозначим через Ti поздний момент окончания
всех работ множества Аi (эта же величина определяет поздний момент начала
работы iR).
1
2
n
1
2
1
3
2
1
1
2
n
1
1
1
1
1
1
1
1
Теорема 9.4.1. Правило выполнения множества работ Ai в очередности
o
возрастания поздних моментов окончания Ti дает оптимальное расписание
проекта.
Доказательство. Пусть  = (i1,i2,…,in) – оптимальное расписание (то есть
оптимальная очередность выполнения работ множества Ai) и пусть k –
минимальный номер такой, что Tio  Tio . Изменим очередность выполнения
k
k 1
237
множеств работ Ai и A i . Заметим, что это никак не повлияет на моменты
начала остальных работ iR. Обозначим через ti моменты начала работ iR в
расписании , T0 – минимальная продолжительность проекта, Tкр –
продолжительность проекта при наличии достаточного количества ресурсов всех
видов. Имеем
T0  ti  Tкр - Ti0 , T0  ti  Tкр - Ti0 .
Обозначим через Bi  A i множество невыполненных работ из множества
Ai после выполнения работ всех предыдущих множеств. Соответственно
Bi  Ai
– множество невыполненных работ из множества A i
после
выполнения работ множеств A i , 1 ≤ j < k. Соответственно
k
k 1
k
k
k 1
k
k 1
k
k
k 1
k 1
k 1
j
  
 Bi k 

iBi k
i
 
 Bi k1 
iBi k 1
,
i
.
После изменения очередности выполнения работ множеств
получаем новые моменты окончания работ этих множеств:
ti  t i  Bi   t i ,
ti  t i .
Имеем:
k 1
k 1
k 1
k
Bi k
и
Bi k 1
k 1
k 1
T0  t i k 1  T0  t i k 1  Tкр - Tiok 1
,
T0  ti k  T0  t i k 1  Tкр - Tiok 1  Tкр - Tiok
.
Таким образом, при изменении очередности работ множеств Ai и A i
продолжительность проекта по-прежнему равна T0. Продолжая таким образом,
получаем оптимальное решение, в котором все работы множества A i
выполняются в очередности убывания поздних моментов окончания Tio .
Теорема доказана.
Рассмотренный частный случай определяет ситуации, в которых
предпочтительно применять правило 9.1.3 в его модифицированной форме. Эти
ситуации можно охарактеризовать следующим образом. Имеется множество
работ A   Ai , выполняемых ограниченным количеством ресурсов одного вида
k
k 1
i
(левая часть сетевого графика), для которых необходимо определить
приоритетность выполнения. Имеется второе множество работ, выполняемых
ресурсами других видов (правая часть сетевого графика), количество которых
достаточно для выполнения каждой работы за минимальное время. Суть правила
сводится к тому, чтобы возможно скорее начать работы второго множества с
минимальными поздними сроками начала, что соответствует приоритету работ
множеств Ai с минимальными поздними моментами окончания Tio .
238
9.5. Гибкие правила приоритета работ
Проведенный анализ эвристических правил приоритета показал, что нет
универсального эффективного правила. Различные правила эффективны в
различных ситуациях, причем ситуация может измениться в процессе
реализации проекта. Поэтому наиболее эффективной является гибкая система
приоритетов. Суть ее в том, что по мере реализации проекта следует
анализировать тип складывающейся ситуации и в зависимости от нее
применять то или иное правило приоритета. В простейшем случае для выбора
правил
приоритета
можно
воспользоваться
введенными
ранее
характеристиками: Ткр и Tj, j  1, m . Напомним, что Ткр – это продолжительность
проекта при условии, что продолжительности всех работ равны минимальным,
Tj – это минимальное время, требуемое для выполнения всех работ j-го вида.
Если
max Tj  Tk  Tкр , Tk  Tj , j  k ,
j
то это значит, что ресурсы k-го вида являются определяющими и следует
применить модификацию правила 9.1.2, то есть максимально быстро открыть
фронт работ для k-го вида ресурса. Если Tкр  max Tj , то следует предпочесть
j
правило 9.1.1 (по степени критичности работ), обращая особое внимание на
возможность появления узких мест. Если max Tj  Tk  Tкр , причем работы k-го
j
вида выполняются и в начальной стадии проекта, и в его завершающей стации,
то можно построить оценочную задачу редактора и определить правила
приоритета работ на этой основе. Наконец, если max Tj  Tk  Tкр , причем работы
j
k-го вида выполняются в начальной стадии проекта, а затем выполняются
работы других видов, обеспеченные ресурсами в достаточной степени, то
целесообразно применение изложенной выше модификации правила 9.1.3.
Заметим, что если оценка Tкр и {Tj} различаются незначительно, то
можно не менять применяемого правила, поскольку в такой ситуации все
правила, как показывают примеры расчетов, дают близкие результаты. Из
сказанного следует, что пересчет оценок Tкр и {Tj} следует осуществлять
периодически.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте общую постановку задачи распределения ресурсов.
2. В чем заключается правило распределения ресурсов по степени
критичности работ?
3. В чем заключается правило распределения ресурсов по минимальной
продолжительности работ?
4. Сформулируйте понятие пропускной способности фронта работ F.
5. Какие сетевые графики называются монотонными?
6. В чем заключается задача редактора?
7. Сформулируйте общую постановку задачи самоокупаемости.
239
8. В чем заключается правило распределения ресурсов по минимальной
продолжительности работ?
9. Сформулируйте общую постановку задачи Джонсона.
10. В чем состоит эффективность гибких правил приоритета работ?
ГЛАВА 10. МОДЕЛИ И МЕХАНИЗМЫ МАТЕРИАЛЬНОТЕХНИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ
10.1. Определение согласованных цен на материалы и оптимальное
распределение заказов
В централизованной схеме снабжения вопросы материальнотехнического обеспечения берет на себя специализированная организация
(центр), заключающая договор с организациями-потребителями. Центр
проводит оптовые закупки продукции у производителей, что позволяет ему
покупать по более низким ценам и за счет этого обеспечивать
привлекательность централизованной схемы для потребителей.
Рассмотрим сначала задачу снабжения одним видом продукции. Пусть в
регионе имеется n организаций – потенциальных потребителей продукции
данного вида. Обозначим через ci цену, по которой i-й потребитель согласен
приобретать продукцию у центра, а через vi – количество продукции, требуемое
i-му потребителю в рассматриваемый период времени. Очевидно, что
потребитель i будет выбирать централизованную схему снабжения, если цена
продукции у центра, которую мы будем обозначать через q, будет меньше или
равна ci, то есть q  ci. Таким образом, количество продукции, которое будет
заказано центру, равно сумме потребностей тех потребителей, для которых
централизованная схема является выгодной.
Обозначим через P(q) множество потребителей, выбирающих
централизованную схему снабжения при цене продукции центра равной q.
Тогда количество продукции, заказываемое у центра, можно записать в
следующем виде:
V (q)   vi .
(10.1.1)
iP ( q )
Зависимость V(q) имеет вид, показанный на рис. 10.1.1. Это кусочнопостоянная, непрерывная слева, убывающая функция q.
V(q)
v1
v2
v3
vn-1
vn
c1
c2
c3
  
Рис. 10.1.1
240
cn-1
cn
q
Примем, что центр закупает продукцию у одного производителя, получая
скидки к оптовой цене при больших объемах закупок. Обозначим через b(V)
цену продукции производителя при объеме закупок V. Очевидно, что b(V)
также убывающая функция V (как правило, кусочно-постоянная). Прибыль
центра при цене продажи потребителям q составит:
P = (q – b)V(q).
(10.1.2)
В данном случае мы полагаем, что транспортные расходы на доставку
продукции от производителя центру входят в цену b(V), а транспортные
расходы на доставку продукции от центра потребителям производятся за счет
потребителей. Задача заключается в определении цены q, которая обеспечит
максимум прибыли центра. Эта цена называется согласованной ценой,
поскольку она выгодна и потребителям, и центру.
Для решения задачи перейдем от функции V(q) (рис. 10.1.1) к обратной
функции – q(V). Эта функция показывает, какую максимальную цену может
установить центр для того, чтобы обеспечить объем заказа V. Эта функция
также является убывающей, кусочно-постоянной и непрерывной слева (рис. 10.1.2).
Теперь выражение (10.1.2) можно записать в виде зависимости прибыли
от объема закупок центра:
П(V)  q(V) - b(V) V .
(10.1.3)
Если обозначить разность цен [q(V) – b(V)] через (V), то выражение
(10.1.3) примет вид
П(V)   (V) V .
(10.1.4)
Геометрически величина П(V) равна площади прямоугольника со
сторонами (V) и V (рис. 10.1.3).
q(V)
cn
cn-1



c3
c2
c1
V
vn
vn-1
v3
v2
v1
Рис. 10.1.2
(V)
(V)
П(V)
V
V
Рис. 10.1.3
241
Из этого факта следует простое, но полезное свойство: если для двух
точек (V1, (V1)) и (V2, (V2)) имеет место V2 V1 и (V2) (V1), то, очевидно,
решение (V2, (V2)) лучше, чем решение (V1, (V1)). Это свойство позволяет
перейти от зависимости (V) к зависимости ~ (V) , которая является убывающей
функцией V. Способ построения зависимости ~ (V) ясен из рис.10.1.4
(зависимость ~ (V) показана толстой линией).
Вспомним теперь, что зависимость (V) (а значит, и ~ (V) ) является
кусочно-постоянной, непрерывной слева функцией. Поэтому фактически нам
следует сравнить конечное число вариантов. Приведем простое геометрическое
правило, позволяющее сравнивать любые два варианта. Для этого запишем
условие того, что вариант (V1, 1) лучше варианта (V2, 2):
V11> V2 2.
(V)
~ ( V)
V
Рис. 10.1.4
Перепишем это условие в виде
tg  1 
1
V2

2
V1
 tg  2 .
(10.1.5)
Геометрический смысл условия (10.1.5) ясен из рис. 10.1.5.
1
1
2
2
V1
V2
Рис. 10.1.5
Действительно, 1/V2 равно тангенсу угла 1, а 2/V1 равно тангенсу угла
2. Следовательно, вариант (V1, 1) лучше варианта (V2, 2), если угол 1
больше угла 2. Это наглядное правило позволяет решать задачу с помощью
карандаша и линейки, попарно сравнивая варианты.
Выше предполагалось, что имеется один производитель продукции,
которую заказывает центр. В случае нескольких производителей возникает
задача распределения заказов между ними.
Обозначим через bk(xk) цену продукции k-го производителя при его объеме
заказа xk. Рассмотрим задачу распределения заказа величиной V между m
242
производителями так, чтобы минимизировать стоимость заказа. Формальная
постановка задачи следующая. Требуется так определить величины xk 0, чтобы
общий объем заказа был не менее V:
m
x
k 1
k
V
,
а стоимость заказа
m
S   sk ( xk ) ,
где sk(xk) = xkbk(xk)
k 1
была минимальной. Сложность решения этой задачи определяется тем, что
функции bk(xk) - разрывные (имеют скачки).
Задачи такого вида называются многоэкстремальными задачами
математического программирования. Для решения таких задач, как правило,
применяются специальные методы (динамического программирования,
локальной оптимизации, ветвей и границ и другие).
10.2. Теоретико-игровой анализ механизма определения согласованных
цен и определение сроков и объемов оптовых закупок
При оценке эффективности описанного выше механизма определения
согласованных цен следует учитывать активность потребителей, которая
проявляется в стремлении занизить предлагаемые им цены. Рассмотрим,
насколько велики могут быть потери центра от занижения цен потребителями.
Пусть максимум прибыли центра достигается при V = Vk, то есть
k  Vk  max  i Vi .
i
Пусть далее следующий по величине максимум равен V, то есть
k  Vk     V  max  i Vi .
i k
Рассмотрим два возможных случая. В первом случае V> Vk, q< qk. В
этом случае потребителю k выгодно снизить цену ck = qk до величины q. При
этом центр установит согласованную цену q = q, потребитель k остается
включенным в централизованную схему снабжения, покупая продукцию по
более низкой цене. Заметим, что при этом выигрывают все потребители,
включенные в централизованную схему снабжения. Если следующий по
величине максимум будет достигаться при V > V, то произойдет дальнейшее
снижение цены.
Во втором случае V< Vk. В этом случае потребителю k также выгодно
снизить цену, но так, чтобы величина kVk оставалась максимальной. В
противном случае он выпадает из централизованной схемы снабжения. Из
условия
(ck – bk)Vk = (q - b)V
определяем минимальную цену, которую может установить потребитель k:
ck = bk + (q - b) V <qk.
Vk
243
Пусть график (V), полученный на основе достоверных цен,
предлагаемых потребителями, имеет вид, показанный на рис. 10.2.1.
Достоверными мы будем называть цены, при которых потребителям одинаково
выгодно
использование
как
централизованной
схемы,
так
и
децентрализованной.
(V)
5
4
3
2
1
6
9
13
19
V
Рис. 10.2.1
Оптимальным, как легко проверить, является вариант V3 = 13,
3 = 3, 3V3 = 39. Следующим по величине является вариант V4 = 19,
4 = 2, 4V4 = 38. Так как V4> V3, то третьему потребителю выгодно снизить
предлагаемую цену до c3 = 2. В этом случае центр назначит цену q(14) на
единицу меньше, чем q(13), и третий потребитель получит дополнительную
прибыль.
После четвертого потребителя следующим по величине V является
вариант V2 = 9, 2 = 4, 2V2 = 36. Так как V2< V4 = 14, то и третий и четвертый
потребители могут снизить цену, но так, чтобы новое значение произведения
19  ~
 (19) было меньше 36. Независимо от того, кто снижает цену, она должна
быть не менее 36/19 1,89.
Отметим еще одну интересную тенденцию. Первый и второй
потребители, видя, что цена центра q  2 значительно ниже цен, которые они
предлагают, вполне возможно, и предлагать будут более низкие цены. Таким
образом, возникает общая тенденция снижения цен. Действительно, если
первый и второй потребители снизят цены, например, до c2 = 3, то это позволит
третьему и четвертому потребителям также снизить цены до величины 39/19
1,5, что подтолкнет первого и второго к дальнейшему снижению цен и т.д.
Вполне обоснованной представляется гипотеза о том, что с течением времени
цены, предлагаемые потребителями, будут близкими. Рассмотрим поэтому
случай, когда все потребители предлагают одинаковые цены ci = q. Кроме того,
примем, что в рассматриваемом интервале величин заказов V оптовые цены
b(V) также не меняются. В этом случае (V) =  будет постоянной величиной.
Предположим, что потребитель i снизил цену на некоторую величину i> 0. Для
того, чтобы ―не выпасть‖ из централизованной схемы снабжения, потребитель i
v
должен выбирать i из условия ( - i)V >(V – vi) или  i  i .
V
Действительно, если ivi /V, то центр исключит потребителя i, сохранив
244
цену q и получая прибыль (V - vi). Таким образом, возможности снижения
цены у каждого потребителя ограничены. Тем не менее, тенденция для всех
потребителей действует в одну сторону – в сторону снижения предлагаемых
цен. Учитывая такую тенденцию, центр должен применять более гибкую
стратегию. Возможный вариант – при снижении цен потребителями как
минимум одного из них исключать из централизованной схемы, даже если это
не выгодно.
Выше была рассмотрена задача определения согласованных цен, а значит,
множества потребителей, включенных в централизованную схему снабжения.
На основе этой информации можно построить график поставок продукции от
центра к потребителям. Для обеспечения этого графика соответствующие
объемы продукции должны быть своевременно заказаны у производителей и
находиться на складе у центра.
С точки зрения оптовых цен, очевидно, самое выгодное – закупить сразу
весь объем продукции, заказанный потребителями в рассматриваемом периоде
времени, и держать его на складе. Однако при этом возрастают затраты на
хранение продукции на складе, а также возможные потери в качестве и
количестве
продукции.
Кроме
того,
большие
закупки
требуют
соответствующего количества оборотных средств, что приведет к
необходимости взятия кредита и выплаты процентов. Требуется найти
оптимальный вариант закупок, обеспечивающий минимум суммарных потерь.
В качестве основного требования примем безусловное выполнение
центром графика поставок потребителям (считаем, что санкции за срыв
поставок превышают возможную экономию от уменьшения издержек на
хранение и процентов за кредит). Рассмотрим интегральный график поставок
продукции потребителям (рис. 10.2.2).
Смысл этого графика в том, что к моменту ti центр должен поставить
потребителям продукцию в объеме wi. На основе графика поставок можно
построить интегральный график закупок продукции у производителей (рис.
10.2.3), учитывая сроки поставок продукции от производителя центру.
W(t)
w5
w4
w3
w2
w1
t1
t2
t3
Рис. 10.2.2
245
t4
t5
t
W(t)
w5
w4
w3
w2
w1
1
2
3
4
5
t
Рис. 10.2.3
Можно закупать и раньше, но позже нельзя, поскольку это приведет к
срыву графика поставок потребителям. В дальнейшем будем считать, что рост
цен на продукцию незначителен, так что закупка продукции раньше, чем
требуется, нецелесообразна. По этой причине возможные закупки продукции
будут производиться центром в момент i, определяемый сроками ti изменения
объема поставок. Очевидно, что в момент 1 центр должен закупить продукции
в объеме не менее w1. При этом, если следующая закупка продукции будет
производиться в момент i, то в момент 1 центр должен закупить продукции в
объеме wi-1. Действительно, объем продукции, закупленной в момент 1 должен
быть достаточен для того, чтобы обеспечить всех потребителей, поставки
которым, должны быть раньше, чем ti.
Предположим сначала, что оптовая цена продукции не зависит от объема
закупок (это вполне возможная ситуация, когда объемы закупок попадают в
интервал постоянства оптовой цены). Покажем, что в этом случае оптимальная
стратегия закупок состоит в том, чтобы производить закупки продукции в
моменты i в объеме i = wi – wi-1, то есть в объеме, который требуется для
выполнения заказов потребителей в момент ti. Действительно, закупки ранее
требуемого срока приведут только к росту затрат на хранение и процентов за
кредит. Таким образом, закупка в момент i продукции в объеме более чем i
целесообразна, только если объем закупочной партии будет обеспечивать
скидку в оптовой цене. Примем, что скидка к оптовой цене дается
производителем в случае, если объем закупок не менее определенной величины
Q. Рассмотрим метод построения всех рациональных стратегий закупок.
Начнем с момента времени 1 первой закупки. Очевидно, что в этот момент
центр должен произвести закупку продукции либо в объеме 1 = w1, либо не
менее Q. Действительно, как было показано выше, закупать больше чем 
имеет смысл только в том случае, если объем закупки не менее Q. Пусть
wiQ<wi+1. Это означает, что объема Q достаточно, чтобы обеспечить
потребителей до момента i включительно. Нетрудно показать, что если объем
закупленной продукции равен Q, то следующую закупку рационально сделать в
момент i+1 (не ранее), поскольку в противном случае возникают
246
дополнительные расходы на хранение и, возможно, проценты за кредит. По той
же причине в случае, если объем закупленной продукции превышает Q, то
рациональные варианты закупок составят wi+1, wi+2, ... , wm. Аналогичные
рассуждения можно провести для момента 2 и т.д.
Одно важное замечание. Когда мы переходим к рассмотрению вариантов
закупок в момент i, то в зависимости от выбираемых вариантов закупок на
предыдущих шагах мы будем иметь различные остатки продукции на складе к
моменту i. Понятно, что каждую ситуацию, характеризуемую определенным
количеством продукции на складе, следует рассматривать отдельно. Сказанное
выше позволяет выделить все рациональные стратегии закупок продукции. Их
удобно представить в виде сетевой модели.
10.3. Построения сетевой модели, содержащей все рациональные варианты
закупок продукции
Способ построения сетевой модели, содержащей все рациональные
варианты закупок продукции, рассмотрим на примере. Пусть график закупок
имеет следующий вид (табл. 10.3.1).
Таблица 10.3.1
1
5
10
10
i
i
wi
i
2
10
20
10
3
17
23
3
4
20
40
17
5
22
44
4
Примем, что хранение единицы продукции в течение суток обходится в
0,1 тыс. руб. (учитываются только переменные издержки, связанные с охраной,
мерами по предотвращению порчи и т.д.). Оптовая цена на продукцию равна 5
тыс. руб., если объем закупок меньше 25 ед. Если объем закупок не менее 25
ед., то оптовая цена равна 4 тыс. руб.
Для построения всех рациональных вариантов закупок построим сеть.
Сетью называется граф с выделенными начальной и конечной вершинами (вход
и выход сети).
1 шаг. Рассмотрим вершину 1, соответствующую закупкам в момент 1.
Как было показано выше, рациональные объемы закупок в момент 1 = 5 равны
10, 25, 40, 44. Проведем из вершины 1 дуги, соответственно в вершины 2, 4, 5, 6
(рис. 10.3.1).
1
2
3
4
5
6
Рис. 10.3.1
Так, например, дуга (1, 4) означает, что закупается 25 единиц продукции,
а следующая закупка состоится в момент 4 = 20, дуга (1, 6) означает, что
закупается 44 единицы.
247
2 шаг. Рассматриваем вершину 2, соответствующую моменту 2. Здесь
мы имеем четыре рациональных варианта закупок: 10, 25. 30, 34. Поэтому
проводим дуги (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6). Заметим теперь, что дугам (1, 4) и (2, 4)
соответствуют разные величины остатков продукции на складе центра. Для
дуги (1, 4) остаток продукции равен 2 ед., так как закуплено 25 ед., и
отправлено потребителям к моменту t4 только 23 ед. Для дуги (2, 4) остаток
равен 12 ед., так как закуплено в момент 2 25 ед., а отправлено потребителям
только 13 ед. Наконец, для дуги (3, 4) остаток равен 0. Чтобы различить эти три
ситуации представим вершину 4 в виде трех вершин: 4, 41, 42 (рис. 10.3.2).
41
1
2
3
4
5
6
42
Рис. 10.3.2
3 шаг. Рассматриваем вершину 3, соответствующую моменту 3. Здесь
мы
имеем
всего
два
рациональных
варианта
закупок:
3
и
25 ед. Проводим соответственно дуги (3, 4) и (3, 6) (рис. 10.3.3).
41
1
2
3
4
5
6
42
Рис. 10.3.3
4 шаг. Рассматриваем вершины 4, 41, 42, соответствующие моменту 4.
Для вершины 4 имеем два рациональных варианта закупок: 17 и 25 ед.,
проводим дуги (4, 5) и (4, 6). Для вершины 41 имеем два рациональных
варианта закупок: 15 и 25 единиц, а для вершины 42 тоже два варианта: 5 или 25
единиц. Проводим дуги (41, 5), (41, 6), (42, 5), (42, 6).
5 шаг. Рассматриваем вершину 5, соответствующую моменту 5. Имеется
два рациональных варианта закупок: 4 и 25 ед. Сравнивая эти варианты,
оставляем лучший (метод сравнения будет описан ниже при определении длин
дуг). Проводим дугу (5, 6). Окончательный вид сети рациональных вариантов
закупок (сеть РВЗ) приведен на рис. 10.3.4 (для удобства вершины 1 и 6
изображены в виде прямоугольников). В верхней половине каждой вершины
указан ее номер, а в нижней – минимальные затраты на реализацию
соответствующего варианта. Алгоритм определения минимальных затрат
рассматривается ниже.
248
(216,9)
42
(111,6)
(84)
111,6
1
5 (20)
(194,1)
(15)
4
(85) 186,6
(104,6)
(50)
2
(216,9)
41
(50)
0
(114,1)
(89,6)
115
3
100
6
(56)
164,1
195,6
(159,9)
50
Рис. 10.3.4
Эта сеть обладает важным свойством, а именно: любому рациональному
варианту закупок соответствует один и только один путь в сети, соединяющий
вход сети (вершина 1) с выходом (вершина 6). И наоборот, любому пути,
соединяющему вершину 1 с вершиной 6, соответствует один, и только один
рациональный вариант закупок продукции. Любой дуге сети РВЗ соответствует
закупка определенного количества продукции в определенный момент времени.
Так, например, дуге (4, 6) соответствует закупка 25 ед. продукции в момент 4 =
20.
Положим длины дуг графа РВЗ равными затратам на оплату закупаемой
продукции и ее хранения на складе (пока не учитываем проценты за кредит).
Рассмотрим метод определения длин дуг.
Дуге (1, 2) соответствует закупка 10 ед. продукции в момент 1 = 5 по
цене 5 тыс. руб. Для этого потребуется 50 тыс. руб. Продукция сразу же
отправляется потребителю, поэтому затраты на хранение отсутствуют. Таким
образом, затраты равны 50 тыс. руб., а значит, длина дуги (1, 2) равна 50.
Дуге (1, 41) соответствует закупка 25 ед. продукции по льготной цене 4
тыс. руб. в момент 1 = 5. Для этого требуется 254 = 100 тыс. руб. Однако 10 ед.
продукции будут лежать на складе до 10 числа, то есть 5 дней, 3 ед. будут
лежать на складе до 17 числа, то есть 12 дней, а 2 ед. будут лежать до 20 числа,
то есть 15 дней. Учитывая, что затраты на хранение продукции составляют 0,1
тыс. руб. в сутки, получаем, что суммарные затраты на хранение равны (105 +
312 + 215)0,1 = 11,6 тыс. руб., и значит, длина дуги (1, 41) равна 111,6.
Дуге (1, 5) соответствует закупка 40 ед. продукции в момент
1 = 5. Для этого потребуется 160 тыс. руб. Определим затраты на хранение.
Дополнительно к затратам на хранение, определенным для операции (1, 4 1),
появляются затраты на хранение 15 ед. продукции в течение 15 дней, то есть
22,5 тыс. руб. Суммарные затраты составят 160 + 11,6 + 22, 5 = 194,1 тыс. руб.
Это и есть длина дуги (1, 5).
Дуге (1, 6) соответствует закупка 44 ед. продукции по льготной цене в
момент 1. Для этого потребуется 176 тыс. руб. Дополнительные затраты на
хранение по сравнению с операцией (1, 5) составляют 4170,1 = 6,8 тыс. руб.
Следовательно, длина дуги (1, 6) равна 176 + 34,1 + 6,8 = 216,9.
Дуге (2, 3) соответствует закупка 10 ед. продукции по 5 тыс. руб.
249
Следовательно, длина дуги равна 510 = 50.
Дуге (2, 42) соответствует закупка 25 ед. продукции по льготной цене. Для
этого потребуется 100 тыс. руб. Затраты на хранение составят (37 + 1210) 0,1
= 14,1. Длина дуги равна 114,1.
Дуге (2, 5) соответствует закупка 30 ед. продукции по льготной цене. Для
этого потребуется 120 тыс. руб. Дополнительные затраты на хранение по
сравнению с операцией (2, 42) составят 5100,1 = 5 тыс. руб. Длина дуги равна
120+14,1+5=139,5.
Дуге (2, 6) соответствует закупка 34 ед. продукции по льготной цене. Для
этого потребуется 344 = 136 тыс. руб. Дополнительные затраты на хранение по
сравнению с операцией (2, 5) составят 4120,1 = 4,8 тыс. руб. Длина дуги (2, 6)
равна 136 + 19,1 + 4,8 = 160,7.
Дуге (3, 4) соответствует закупка 3 ед. продукции по 5 тыс. руб. Длина
дуги равна 15.
Дуге (3, 6) соответствует закупка 25 ед. продукции по льготной цене. Для
этого потребуется 100 тыс. руб. Затраты на хранение до момента 5 = 22
составят (173 + 55)0,1 = 7,6 тыс. руб. После отправки продукции всем
потребителям остается еще 1 ед. продукции. Необходимо оценить ожидаемые
затраты (или ожидаемый доход) от этого избыточного количества. Очевидно,
это зависит от возможности реализации избыточной продукции. Пусть в нашем
примере ожидаемый доход оценивается экспертами величиной 3 тыс. руб. на
ед. избыточной продукции. Теперь можно определить длину дуги (3, 6),
которая равна 100+7,6–3=104, 6.
Дуге (4, 5) соответствует закупка 17 ед. продукции по 5 тыс. руб. Длина
дуги равна 85.
Дуге (4, 6) соответствует закупка 25 ед. продукции по льготной цене. Для
этого потребуется 100 тыс. руб. Затраты на хранение до момента 6 = 22
составляют 820,1 = 1,6 тыс. руб. С учетом ожидаемого дохода от 4 единиц
избыточной продукции получим, что длина дуги (4, 6) равна 100 + 1,6 - 12 =
89,6.
Дуге (41, 5) соответствует закупка 15 ед. продукции по 5 тыс. руб. Длина
дуги (41, 5) равна 75.
Дуге (41, 6) соответствует закупка 25 ед. продукции по льготной цене. Для
этого потребуется 100 тыс. руб. Затраты на хранение до 22 числа составят
1020,1 = 2 тыс. руб. С учетом дохода от 6 единиц избыточной продукции
получаем, что длина дуги (41, 6) равна 100 + 2 - 18 = 84.
Дуге (42, 5) соответствует закупка 5 ед. продукции по цене 5 тыс. руб.
Длина дуги (42, 5) равна 25.
Дуге (42, 6) соответствует закупка 25 ед. продукции по льготной цене. Для
этого потребуется 100 тыс. руб. Затраты на хранение до 22 числа составят
2020,1 = 4 тыс. руб. С учетом дохода от 16 единиц избыточной продукции
получаем, что длина дуги (42, 6) равна 100 + 4 - 48 = 56.
Дуге (5, 6) соответствуют две рациональные операции закупки. Первая –
250
закупить 4 ед. продукции по цене 5 тыс. руб. Затраты при этом составят 20 тыс.
руб. Вторая – закупить 25 ед. продукции по льготной цене. Затраты с учетом
дохода от 21 ед. избыточной продукции составят 254 - 213 = 37 тыс. руб.
Выберем вариант с меньшими затратами. Длина дуги (5, 6) равна 20.
Длины всех дуг указаны на рис. 10.3.4 - у соответствующих дуг в скобках.
Таким образом, мы построили сетевую модель, которая содержит все
рациональные варианты закупок продукции. Каждому такому варианту
соответствует путь в сети, соединяющий вход с выходом. Затраты на оплату
продукции и хранение ее на складе равны длине соответствующего пути.
Задача свелась к определению пути минимальной длины.
Алгоритмы определения экстремальных путей в графах (то есть путей
максимальной или минимальной длины) достаточно хорошо известны и
описаны в литературе [45]. Для нашего случая наиболее эффективен алгоритм
определения кратчайших путей при правильной нумерации вершин сети.
Напомним, что нумерация вершин называется правильной, если для любой
дуги (i, j) имеет место i<j. В этом случае кратчайший путь определяется на
основе последовательного присвоения вершинам сети индексов qi согласно
следующей процедуре (индекс вершины 1 принимается равным 0):
qi  min q j  s ji ,
j i


где sji – длина дуги (j, i). В этом случае индекс последней вершины qm+1будет
равен длине кратчайшего пути или величине минимальных затрат. Путь
минимальной длины определяется на основе процедуры ―обратного хода‖.
Опишем эту процедуру. Находим вершину i1 такую, что
q m 1  q i 1  s i 1 , m 1 .
Если i1 1, то находим вершину i2, такую, что qi1  qi 2  si 2 ,i1 .
Продолжаем таким образом, пока на очередном шаге k не получим ik = 1, то
есть
qi k 1  q1  s1,i k 1 .
Путь  = (1, ik-1, ik-2, ... , i1, m+1) и является путем минимальной длины.
Применим этот алгоритм к сети (рис. 10.3.4). Индексы вершин указаны в
нижней половине соответствующего кружка. Имеем:
q1 = 0;
q2 = 0+50 = 50;
q3 = 50+50 = 100;
q4 = 100+15 = 115;
q 1 = 0+111,6 = 111,6;
4
q
42
= 50+114,1 = 164,1;
251
q5= min [111,6+75; 115+85; 50+139,5; 164,1+25] = 186,6;
q6 = min [216,9; 186,6+20; 111,6+84; 115+89,6; 100+104,6; 164,1+56;
50+160,7] = 195,6.
Кратчайший путь, определенный методом ―обратного хода‖, выделен
толстыми дугами. Это путь (1, 41, 6), которому соответствует следующий
вариант закупок. В момент 1 = 5 закупается партия продукции в объеме 25 ед.
по льготной цене. Такая же партия в 25 ед. по льготной цене закупается в
момент 4 = 20. Суммарные затраты на оплату продукции и ее хранение на
складе с учетом дохода от 6 ед. избыточной продукции составляют 95,6 тыс.
руб. По сравнению с оптовой закупкой всей продукции в объеме 44 ед. в
момент 1 = 5 получаем экономию 216,9 – 195,6 = 21,3 тыс. руб. По сравнению с
другим крайним вариантом закупки объемов i в момент i получаем экономию
220 – 195,6 = 24,4 тыс. руб.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. В чем заключается задача снабжения потребителя одним видом продукции?
2. По какой формуле можно найти прибыль центра при цене продажи
потребителям q?
3. Какая цена называется согласованной?
4. Сформулируйте задачу распределения заказов между производителями.
5. Какими методами можно решить задачу распределения заказов между
производителями.
6. Какие цены называются достоверными?
7. Сформулируйте условие, из которого потребитель i должен выбирать i для
того, чтобы ―не выпасть‖ из централизованной схемы снабжения.
8. Какие возникают дополнительные затраты, если закупить сразу весь объем
продукции, заказанный потребителями в рассматриваемом периоде времени
и держать его на складе?
9. В чем заключается метод построения всех рациональных стратегий
закупок?
10. Каким свойством должна обладать сеть, содержащая рациональные
варианты закупок продукции?
11. Сформулируйте алгоритмы определения экстремальных путей в графах.
12. Какой алгоритм используется для определения кратчайших путей при
правильной нумерации вершин сети?
13. В чем заключается процедура ―обратного хода‖?
252
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Управление проектами − это раздел науки управления в социальных и
экономических системах, который занимается разработкой методологии,
методов, методик и программных средств управления изменениями в условиях
ограниченных ресурсов. Важным разделом управления проектами являются
задачи оптимального распределения ограниченных ресурсов. Как правило,
задачи распределения ресурсов относятся к сложным многоэкстремальным
задачам, эффективные методы решения которых известны только для ряда
частных случаев. Решению этих задач и посвящено данное учебное пособие,
которое будет полезно для подготовки квалифицированных бакалавров
специальностей:
080200 «Менеджмент»,
080400 «Управление персоналом»,
081100 «Государственное и муниципальное управление»,
220100 «Системный анализ и управление».
В пособии рассмотрены следующие темы и разделы:
1. Задачи распределения ресурсов в управлении проектами.
2. Задачи оптимизации объемов работ в управлении проектами.
Предложены методы решения задач оптимизации объемов работ.
3. Оптимизационные
модели
управления
проектами
при
рекомендательных зависимостях между работами, в том числе
решены задачи построения календарного плана с минимальной
продолжительностью проекта, минимальными дополнительными
затратами, заданной продолжительности при минимальном
увеличении затрат.
4. Модели и методы формирования производственной программы
проектной организации, в том числе оптимальное размещение
единиц проектирования во времени, оптимальное размещение работ
между подразделениями проектной организации.
5. Методы формирования портфелей взаимозависимых проектов и
календарных планов их реализации, в том числе оптимизация
последовательного выполнения проектов по критерию упущенной
выгоды.
6. Модели и механизмы комплексного развития экономики и
социальной сферы региона. Описаны методы построения гибких
систем комплексного оценивания.
7. Модель повышения эффективности использования земельного
участка с учетом ограничений на его площадь и стоимость
строительства.
253
8. Механизмы распределения корпоративного заказа, в том числе
механизмы внутренних цен без перераспределения прибыли,
согласованные механизмы распределения корпоративного заказа,
механизмы внутреннего кредитования и механизмы совместного
финансирования.
9. Разработка и исследование эвристических моделей распределения
ресурсов, в том числе распределение ресурсов по степени
критичности работ, по минимальной продолжительности работ, по
минимальным поздним моментам окончания.
10. Модели и механизмы материально-технического обеспечения в
задачах управления, в том числе определение согласованных цен на
материалы и оптимальное распределение заказов.
Вполне понятно, что рассмотренными в учебном пособии моделями не
охватывается вся совокупность изучаемых в данной дисциплине проблем.
Например, остались практически незатронутыми вопросы решения
оптимизационных задач при нечетких критериях и многие другие. Отчасти это
объясняется ограниченностью объема учебного пособия и научными
интересами авторов. Интересующимся этими проблемами читателям следует
обратиться к литературе, приведенной в конце пособия для более углубленного
изучения проблем управления проектами.
254
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
рекомендуемой литературы
1. Алферов, В.И. Основы научных исследований по управлению
строительным производством: лабораторный практикум / В.И. Алферов, С.А.
Баркалов, П.Н. Курочка, Т.В. Мещерякова, В.Л. Порядина. – Воронеж: изд-во
"Научная книга", 2011.
2. Андронникова, Н.Г. Модели и методы оптимизации региональных
программ развития / Н.Г. Андронникова [и др.]. – М.: ИПУ РАН, 2001.
3. Ануфриев, И.К. Модели и механизмы внутрифирменного управления /
И.К. Ануфриев [и др.]. – М.: ИПУ РАН, 1994.
4. Бабкин, В.Ф. Модели, методы и механизмы повышения эффективности
учебного процесса / В.Ф. Бабкин, С.А. Баркалов, И.В. Буркова. – М: Препринт,
Ин-т проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2001.
5. Багриновский, К.А. Основы согласования плановых решений / К.А.
Багриновский. – М.: Наука, 1977.
6. Баранников, Н.И. Управление проектами: учебное пособие / Н.И.
Баранников, С.А. Баркалов, В.Л. Порядина, П.И. Семенов, Б.А. Шиянов. –
Воронеж: изд-во "Научная книга", 2011.
7. Балашов, В.Г. Модели и методы принятия выгодных финансовых
решений / В.Г. Балашов. – М.: Физматлит, 2003.
8. Баркалов, С.А. Задачи распределения ресурсов в управлении проектами
/ С.А. Баркалов [и др.]. – М., 2002.
9. Баркалов, С.А. Теория и практика календарного планирования в
строительстве / С.А. Баркалов. – Воронеж, 1999.
10. Баркалов, С.А. Управление проектами в строительстве: учебное пособие
/ С.А. Баркалов, В.Ф. Бабкин. – Воронеж, 2000.
11. Баркалов, С.А. Прикладные модели в управлении организационными
системами / С.А. Баркалов [и др.]. – Тула: ИПУ РАН, ВГАСУ, ТГУ. 2002.
12. Баркалов, С.А. Минимизация упущенной выгоды в задачах управления
проектами / С.А. Баркалов, В.Н. Бурков. – М.: ИПУ РАН, 2001.
13. Баркалов, С.А. Диагностика, оценка и реструктуризация строительного
предприятия. Бизнес-планирование / С.А. Баркалов [и др.]. – Воронеж, 2000.
14. Баркалов,
С.А.
Задачи
управления материально-техническим
снабжением в рыночной экономике / С.А. Баркалов [и др.]. – М.: ИПУ РАН,
2000.
15. Баркалов, С.А. Модели и методы распределения ресурсов в управлении
проектами / С.А. Баркалов, И.В. Буркова, В.Н. Колпачев, А.М. Потапенко. –
М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2004г.
255
16. Баркалов, С.А. Механизмы активной экспертизы в задачах комплексного
оценивания
/
С.А.
Баркалов,
В.Н.
Бурков,
В.Л.
Порядина//
Вестник Воронеж. гос. техн. ун-та. − Воронеж, 2009. Т. 5. № 6.
17. Баркалов, С.А. Моделирование и автоматизация организационнотехнологического проектирования строительного производства / С.А. Баркалов,
П. Н. Курочка, В. Я. Мищенко. – Воронеж, 1997.
18. Баркалов, С.А. Модель строительной производственной системы / С.А.
Баркалов, П.Н. Курочка// Управление в социальных и экономических системах
ч.2; меж. вуз. сб. ВГТУ. − Воронеж, 2001.
19. Баркалов, С.А. Основы научных исследований по технологии и
организации строительного производства: лабораторный практикум / С.А.
Баркалов [и др.]; ВГАСА – Воронеж, 1999.
20. Баркалов, С.А. Определение состояния производственной системы /
С.А. Баркалов, П.Н. Курочка, В.Н. Колпачев. – Липецк: «Современные
сложные системы управления» сб. тр. междунар. конф., ЛГТУ, 12-14 марта
2001.
21. Баркалов, С.А., Курочка П.Н., Мищенко В.Я. Автоматизация
организационно-технологического
проектирования
строительного
производства / С.А. Баркалов, П.Н. Курочка, В.Я Мищенко: Информ. листок;
ЦНТИ. – Воронеж, № 53-93, 1993.
22. Баркалов, С.А. Вариационное представление задачи календарного
планирования строительного производства / С.А. Баркалов, П.Н. Курочка, В.Я.
Мищенко. – Новосибирск: Известия ВУЗов «Строительство», №12, 1995.
23. Баркалов, С.А. Динамическая производственная система со связанными
затратами / С.А. Баркалов, П.Н. Курочка, И.М. Смирнов// Современные
сложные системы управления; сб. тр. меж. конф. ВГАСУ. – Воронеж, 2003.
24. Баркалов, С.А. Основы научных исследований по организации и
управлению строительным производством. Часть 1 / С.А. Баркалов, О.К.
Мещерякова, П.Н. Курочка, В.Н. Колпачев. – Воронеж: ВГАСУ, 2002.
25. Баркалов, С.А. Основы научных исследований по организации и
управлению строительным производством: ч. 2/ С.А. Баркалов, О.К.
Мещерякова, П.Н. Курочка, В.Н. Колпачев: ВГАСУ – Воронеж, 2002.
26. Баркалов, С.А. Математические методы и модели в управлении и их
реализация в MX EXCEL: учеб. пособие / С.А. Баркалов, С.И. Моисеев, В.Л.
Порядина: Воронежский ГАСУ – Воронеж, 2015.
27. Баркалов, С.А. Система управления и методы интегрированного
менеджмента стабильного функционирования строительной организации / С.А.
Баркалов,
В.П.
Морозов,
А.И.
Сырин,
А.В.
Никитенко//
Экономика и менеджмент систем управления. 2012. Т. 6. № 4.
256
28. Баркалов, С.А. Задачи распределения ресурсов в управлении проектами
/ С.А. Баркалов, В.Н. Колпачев, А.В. Глагольев.– М.: ИПУ РАН, 2002.
29. Баркалов, С.А. Отимизация объемов работ в управлении проектами /
С.А. Баркалов, В.Л. Порядина, Д.Н. Золоторев// Экономика и менеджмент
систем управления. 2014. Т. 12. № 2.
30. Бережная, Е.В. Математические методы моделирования экономических
систем / Е.В. Бережная, В.И. Бережной. – М.: «Финансы и статистика», 2001.
31. Берж, К. Теория графов и ее применения / К. Берж. – М.: Иностранная
литература, 1962.
32. Бурков, В.Н. Теория активных систем и совершенствование
хозяйственного механизма / В.Н. Бурков. – М.: Наука, 1984.
33. Бурков, В.Н. Как управлять организациями / В.Н. Бурков, Д.А. Новиков.
– М.: СИНТЕГ, 2004.
34. Бурков, В.Н. Основы математической теории активных систем / В.Н.
Бурков. – М.: Наука, 1977.
35. Бурков, В.Н. Задачи дихотомической оптимизации: материалы
международной
конференции
«Системные
проблемы
качества,
математического
моделирования,
информационных
и
электронных
технологий»/ В.Н. Бурков, И.В. Буркова. – М.: Радио и связь, 2003.
36. Бурков, В.Н. Метод дихотомического программирования. – Теория
активных систем / В.Н. Бурков, И.В. Буркова. Труды международной научнопрактической конференции. Общая редакция – В.Н. Бурков, Д.А. Новиков. Том
1. – М.: ИПУ РАН, 2003.
37. Бурков, В.Н. Прикладные задачи теории графов / В.Н. Бурков, И.А.
Горгидзе, С.Е. Ловецкий. – Тбилиси: Мецниереба, 1974.
38. Бурков, В.Н. Модели и механизмы распределения затрат и доходов в
рыночной экономике / В.Н. Бурков, И.И. Горгидзе, Д.А. Новиков, Б.С. Юсупов.
– М.: ИПУ РАН, 1997.
39. Бурков, В.Н. Механизмы функционирования социально-экономических
систем с сообщением информации / В.Н. Бурков, А.К. Еналеев, Д.А. Новиков//
Автоматика и Телемеханика. 1996. № 3.
40. Бурков, В.Н. Механизмы финансирования программ регионального
развития / В.Н. Бурков, А.Ю. Заложнев, С.В. Леонтьев, Д.А. Новиков, Р.А.
Чернышев. – М.: ИПУ РАН, 2002.
41. Бурков, В.Н. Теория графов в управлении организационными
системами / В.Н. Бурков, А.Ю. Заложнев, Д.А. Новиков. – М.: СИНТЕГ, 2001.
42. Бурков, В.Н. Механизмы функционирования организационных систем /
В.Н. Бурков, В.В. Кондратьев. – М.: Наука, 1981.
257
43. Бурков, В.Н. Сетевые модели и задачи управления / В.Н. Бурков, Б.Д.
Ланда, С.Е. Ловецкий, А.И. Тейман, В.Н. Чернышев. – М.: Советское радио,
1967.
44. Бурков, В.Н. Как управлять организациями / В.Н. Бурков, Д.А. Новиков.
– М.: Синтег, 2004.
45. Бурков, В.Н. Как управлять проектами / В.Н. Бурков, Д.А. Новиков//
Серия "Информатизация России на пороге XXI века". М.: СИНТЕГ-ГЕО, 1997.
46. Буркова, И.В. Модели и методы оптимизации планов проектных работ /
И.В. Буркова, П.В. Михин, М.В. Попок, П.И. Семенов, Л.В. Шевченко. – М.:
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2005.
47. Буркова, И.В. Метод дихотомического программирования в задачах
управления проектами / И.В. Буркова; ВГАСУ – Воронеж, 2004.
48. Буркова, И.В. Формирование календарного плана взаимозависимых
проектов
/
И.В.
Буркова,
В.Л.
Порядина,
Г.В.
Зенищева.
Экономика и менеджмент систем управления. 2014. Т. 14. № 4.1.
49. Бушуев, С.Д. Методы и средства разрешения конфликтов при
управлении сложными проектами / С.Д. Бушуев, Е.В. Колосова, Г.С. Хулап,
А.В. Цветков: материалы Международного симпозиума по управлению
проектами. − С.-Пб., 1995.
50. Васильев, В.М. Автоматизация организационно-технологического
планирования в строительном производстве / В.М. Васильев, Л.Б. Зеленцов. –
М.: Стройиздат, 1991.
51. Васильев, Д.К. Типовые решения в управлении проектами / Д.К.
Васильев, А.Ю. Заложнев, Д.А. Новиков, А.В. Цветков. – М.: ИПУ РАН, 2003.
52. Воронов, А.А. Исследование операций и управление / А.А. Воронов. –
М.: Наука, 1970.
53. Воропаев, В.И. Методические указания по декомпозиции объектов
строительства на проектно-технологические модули / В.И. Воропаев. – М.:
ВНИИГМ, 1988.
54. Воропаев, В.И. Управление проектами в России / В.И. Воропаев. – М.:
Аланс, 1995.
55. Завадскас, Э.К. Комплексная оценка и выбор ресурсосберегающих
решений в строительстве / Э.К Завадскас. – Вильнюс: Мокслас, 1987.
56. Завадскас, Э.К. Системотехническая оценка решений строительного
производства / Э.К Завадскас. – Л.: Строийиздат, 1991.
57. Заде, Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к
принятию решений / Л. Заде. – М.: Мир, 1976.
58. Кендалл, И. Современные методы управления портфелями проектов и
офис управления проектами: максимизация ROI / И. Кендалл, К. Роллинз. – М.:
ПМСОФТ, 2004.
258
59. Кузьмицкий, А.А. Организационные механизмы управления развитием
приоритетных направлений науки и техники / А.А. Кузьмицкий, Д.А.
Новиков.– М.: ИПУ РАН, 1993.
60. Курочка, П.Н. Моделирование задач организационно-технологического
проектирования / П.Н. Курочка; ВГАСУ. – Воронеж, 2004.
61. Курочка, П.Н. Анализ состояния производства / П.Н. Курочка. –
Воронеж: Компаньон, №3, 2000.
62. Курочка, П.Н. Проблемы реструктуризации предприятий / П.Н.
Курочка. – Воронеж: Компаньон, №2, 2000.
63. Курочка, П.Н. Механизмы распределения затрат при управлении
проектами / П.Н. Курочка, С.А. Баркалов, А.М. Потапенко// сб. науч. тр.
Системы автоматизированного управления производствами, предприятиями и
организациями горнометалургического комплекса: – Старый Оскол: СТИ, 2003.
64. Курочка, П.Н. Механизм формирования программы реформирования
предприятий / П.Н. Курочка, В.В. Дорохин, А.М. Котенко; ВГАСУ – Воронеж,
«Управление и экономика в организационных системах» Межвуз. сб., 2001.
65. Курочка, П.Н. Модель взаимодействия в конкурентной среде. Теория
активных систем / П.Н. Курочка, Е.В. Коновальчук// Труды международной
научно-практической конференции. Том 1. – М.: ИПУ РАН, 2003.
66. Курочка, П.Н. Синтез оптимальных организационных структур
управления предприятием / П.Н. Курочка, Е.В. Коновальчук// Системы
управления и информационные технологии. №3. 2004.
67. Курочка, П.Н. Механизмы внутрифирменного ценообразования / П.Н.
Курочка, И.А. Малинова, О.К. Мещерякова// Управление и экономика в
организационных системах; межвуз. сб. − Воронеж, 2001.
68. Литвак, Б.Г. Экспертная информация: методы получения и анализа /
Б.Г. Литвак. – М.: Радио и связь, 1982.
69. Литвак, Б.Г. Экспертные оценки и принятие решений / Б.Г. Литвак. –
М.: Патент, 1996.
70. Лифшиц, А.Л., Мальц Э.А. Статистическое моделирование систем
массового обслуживания / А.Л. Лифшиц, Э.А. Мальц. – М.: «Советское радио»,
1978.
71. Лотов, А.В. Введение в экономико-математическое моделирование /
А.В. Лотов – М.: Наука, 1984.
72. Морозов, В.П. Методология и технология интегрированного
менеджмента строительной организации: монография / В.П. Морозов;
Воронежский Гасу. − Воронеж, 2012.
73. Морозов,
В.П.
Методологические
основы
интегрированного
менеджмента стабильного функционирования строительной организации / В.П.
259
Морозов,
А.И.
Сырин,
А.В.
Никитенко,
Д.Г.
Кобзарь//
Экономика и менеджмент систем управления. 2012. № 4.1 (6).
74. Новиков, Д. А. Механизмы управления динамическими активными
системами / Д.А. Новиков, И.М. Смирнов, Т.Е. Шохина. – М.: ИПУ РАН, 2002.
75. Новиков, Д.А. Институциональное управление организационными
системами / Д.А. Новиков. – М.: ИПУ РАН, 2003.
76. Новиков, Д.А. Механизмы стимулирования в моделях активных систем
с нечеткой неопределенностью / Д.А. Новиков. – М.: ИПУ РАН, 1997.
77. Новиков, Д.А. Механизмы функционирования многоуровневых
организационных систем / Д.А. Новиков. – М.: Фонд "Проблемы управления",
1999.
78. Новиков, Д.А. Обобщенные решения задач стимулирования в активных
системах / Д.А. Новиков. – М.: ИПУ РАН, 1998.
79. Новиков, Д.А. Сетевые структуры и организационные системы / Д.А.
Новиков. – М.: ИПУ РАН, 2003.
80. Новиков, Д.А. Стимулирование в организационных системах / Д.А.
Новиков. – М.: Синтег, 2003.
81. Новиков, Д.А. Стимулирование в социально-экономических системах
(базовые математические модели) / Д.А. Новиков. – М.: ИПУ РАН, 1998.
82. Новиков, Д.А. Курс теории активных систем / Д.А. Новиков, С.Н.
Петраков. – М.: СИНТЕГ, 1999.
83. Новиков Д.А., Смирнов И.М., Шохина Т.Е. Механизмы управления
динамическими активными системами – М.: ИПУ РАН, 2002.
84. Новиков, Д.А. Механизмы стимулирования в многоэлементных
организационных системах / Д.А. Новиков, А.В. Цветков. – М.: Апостроф,
2000.
85. Новиков, Д.А. Механизмы функционирования организационных систем
с распределенным контролем / Д.А. Новиков, А.В. Цветков. – М.: ИПУ РАН,
2001.
86. Новиков, О.А. Прикладные вопросы теории массового обслуживания /
О.А. Новиков, С.И. Петухов. – М.: Сов. радио, 1969.
87. Ногин, В.Д. Основы теории оптимизации / В.Д. Ногин, И.О.
Протодьяконов, И.И. Евлампиев. – М.: Высшая школа, 1986.
88. Организация и планирование строительного производства. Под ред.
Шрейбера А.К. – М.: Высшая школа, 1987.
89. Орлов, А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях / А.И.
Орлов. – М.: Наука, 1979.
90. Орловский, С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной
информации / С.А. Орловский. – М.: Наука, 1981.
260
91. Перегудов, Ф.И. Введение в системный анализ / Ф.И. Перегудов, Ф.П.
Тарасенко. – М.: Высшая школа, 1989.
92. Петраков, С.Н. Механизмы планирования в активных системах:
неманипулируемость и множества диктаторства / С.Н. Петраков. – М.: ИПУ
РАН, 2001.
93. Порядина, В.Л. Аддитивные свертки в задачах комплексного
оценивания строительных проектов / В.Л. Порядина// Научный вестник
Воронежского государственного архитектурно-строительного университета.
Серия: Управление строительством. 2013. № 1 (4).
94. Порядина, В.Л. Метод обобщенных аддитивных сверток в задачах
принятия решений: диссертация на соискание ученой степени кандидата
технических наук / В.Л. Порядина: Воронежский ГАСУ. − Воронеж, 2008.
95. Порядина, В.Л. Модель оптимальной процедуры коллективной
экспертизы / В.Л. Порядина, Л.П. Мышовская// Научный вестник
Воронежского государственного архитектурно-строительного университета.
Серия: Управление строительством. 2013. № 1 (4).
96. Порядина, В.Л. Динамическая модель оперативного управления
портфелем проектов / В.Л. Порядина, Д.А. Скоробогатов, Б.К. Уандыков//
Экономика и менеджмент систем управления. 2015. Т. 15. № 1.2.
97. Поспелов, Г.С. Программно-целевое планирование и управление / Г.С.
Поспелов, В.А. Ириков. – М.: Советское радио, 1976.
98. Поспелов, Г.С. Процедуры и алгоритмы формирования комплексных
программ / Г.С. Поспелов, В.А. Ириков, А.Е. Курилов. – М.: Наука, 1985.
99. Теория расписаний и вычислительные машины/ под ред. Э.Г.
Коффмана. – М.: Наука, 1984.
100. Цыганов, В.В. Адаптивные механизмы в отраслевом управлении / В.В.
Цыганов.– М.: Наука, 1991.
101. Шелобаев, С.И. Математические модели и методы в экономике,
финансах, бизнесе: учеб. пособие для вузов / С.И. Шелобаев. – М.: ЮНИТИ
ДАНА, 2001.
261
Учебное издание
Порядина Вера Леонидовна
Баркалов Сергей Алексеевич
Лихачева Татьяна Геннадиевна
ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ В УПРАВЛЕНИИ
СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
Учебное пособие для студентов, обучающихся по специальностям:
080200 «Менеджмент»,
080400 «Управление персоналом»,
081100 «Государственное и муниципальное управление»,
220100 «Системный анализ и управление»
Отпечатано в авторской редакции
Подписано в печать 31.03. 2015. Формат 60х84 1/16. Уч.-изд. 16,4 л. . Усл.-печ. л. 16,5.
Бумага писчая. Тираж 100 экз. Заказ №_
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства учебной литературы
и учебно-методических пособий Воронежского ГАСУ
394006 Воронеж ул. 20-летия Октября, 84
262
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
132
Размер файла
4 041 Кб
Теги
научный, основы, управления, порядина, исследование, 352
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа