close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

247. Математика программа и контрольные задания № 3,4

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»
1097
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИКА
Программа и контрольные задания № 3, 4
к 2-й части (2 семестр) курса математика
для студентов заочного обучения специальности
«Наземные транспортно-технологические средства»
Воронеж 2015
УДК 51:625.08(07)
ББК 22.1:38.6−5я73
Составители
М.Ю. Глазкова, Л.В. Акчурина, Н.Н. Некрасова, Е.И. Ханкин
Математика: программа и контрольные задания № 3,4 ко 2-й части
(2 семестр) курса математика для студентов заочного обучения
специальности «Наземные транспортно-технологические средства» /
Воронежский ГАСУ; сост. М.Ю. Глазкова, Л.В. Акчурина, Н.Н. Некрасова,
Е.И. Ханкин: – Воронеж, 2015. – 16 с.
Приводятся программа и контрольные задания № 3,4 ко 2-й части
(2 семестр) курса математика. Даны ссылки на литературу, которой можно
пользоваться при подготовке к экзамену и выполнении контрольных работ.
Предназначены для студентов 1-го курса заочного обучения
специальности «НТТС».
Библиогр.: 6 назв.
УДК 51:625.08(07)
ББК 22.1:38.6−5я73
Печатается по решению учебно-методического совета
Воронежского ГАСУ
Рецензент – А.К. Тарханов, к. ф.-м. н.,
доц. кафедры физики
2
ВВЕДЕНИЕ
Курс математики является основой естественнонаучного образования
бакалавра. Для успешного изучения теории вероятностей и математической
статистики, математического программирования, эконометрики, а также
многих других общетеоретических и специальных дисциплин совершенно
необходимо владеть навыками применения современного математического
инструментария для решения задач.
Изучение математики и ее современных методов позволит будущему
специалисту приобрести базовые навыки, расширить кругозор, повысить
уровень мышления и общую культуру, что необходимо для успешной
профессиональной деятельности.
ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
В предлагаемом издании изложена программа 2-й части курса
математика, который изучается студентами-заочниками во втором семестре.
Здесь приведены задачи для выполнения одной контрольной работы.
Контрольные работы включают в себя задания по дифференциальному
исчислении. Функции двух переменных и интегральному исчислению
функций одной и двух переменных.
Материал следует изучать по вопросам, указанным в программе, там
же можно найти указания на страницы учебников и номера задач, которые
рекомендуем рассмотреть.
К экзамену необходимо выполнить контрольные работы и получить
зачет. Контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради.
Оформление должно быть аккуратным, записи четкими, решение
сопровождаться подробными пояснениями с необходимыми ссылками на
теорию.
Приступать к выполнению контрольной работы следует после изучения
необходимого теоретического материала и разбора решения нескольких
аналогичных задач с помощью приведенных ниже учебников и методических
указаний.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для
втузов Т.1, 2 / Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2004. – 748 с.
2. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. Ч.1.
/ П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 2009 –
368 с.
3. Бугров, Я.С. Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисления / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Наука, 1990.
– 185 с.
3
4. Письменный, Д.К. Конспект лекций по высшей математике / Д.К.
Письменный. – М.: Айрис Пресс, 2006. – 599 с.
5. Введение в математический анализ: методические указания и
задания по математике для студентов 1 и 2-го курсов всех специальностей и
форм обучения / Воронеж. гос. арх.-строит. ун.-т; сост.: С.М. Алейников,
В.Н. Колпачев, Н.Н. Некрасова. – Воронеж, 2004. – 49 с.
6. Седаев, А.А. Элементы линейной алгебры, аналитической геометрии
и введение в математический анализ / А.А. Седаев, Н.Н. Некрасова;Воронеж.
гос. арх.-строит. ун-т. – Воронеж, 2007. – 184 с.
Указания по обращению к рекомендуемой литературе даны в тексте
программы. Номера источников из приведенного выше списка пишутся в
квадратных скобках. Например, [1. гл. II, §2] означает: учебник Пискунова
Н.С., глава II, §2. Особенно рекомендуем учебное пособие [6], написанное
специально для заочников Воронежского ГАСУ и имеющееся в библиотеке.
ВОПРОСЫ ПРОГРАММЫ 2-Й ЧАСТИ КУРСА
МАТЕМАТИКА
Раздел I. Функции двух и трех переменных
Область определения, предел и непрерывность.
Частные производные и полный дифференциал.
Градиент функции и его свойства.
Производная по направлению.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Частные производные высших порядков.
Формула Тейлора.
Экстремум функции двух переменных.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух
переменных, непрерывной на замкнутой, ограниченной области.
10. Метод наименьших квадратов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Литература: [1]; [2, гл. IX]; [4]; [5, гл. VII, §29-33]; [6, стр. 5-16].
Раздел II. Неопределенные интегралы
Тема 1. Неопределенные интегралы
1. Первообразная и неопределенный интеграл.
2. Свойства неопределенного интеграла.
3. Таблица простейших интегралов.
4. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
5. Формула интегрирования по частям.
4
6. Интегрирование простейших рациональных дробей.
7. Метод неопределенных коэффициентов разложения правильной
рациональной дроби на простейшие.
8.
Интегрирование
тригонометрических
выражений:
m
n
Интегрирование
cos  x cos  x; cos  x sin  x; sin  x sin  x; cos x sin x.
выражений R(cos x,sin x) методом универсальной тригонометрической
подстановки.
9. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.
Литература: [1]; [2, гл. IX]; [4]; [5, гл. VII, §29-33]; [6, стр. 5-16].
Тема 2. Определенный интеграл
1. Понятие определенного интеграла и его вычисление по формуле
Ньютона-Лейбница.
2. Основные свойства определенного интеграла.
3. Замена переменной в определенном интеграле.
4. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
5.Вычисление площади криволинейной трапеции и площади
криволинейного сектора в полярной системе координат.
6. Вычисление длинны дуги кривой.
7. Вычисление объема тела вращения.
8. Физические приложения определенного интеграла.
9. Численное интегрирование: формулы прямоугольников, трапеций,
Симпсона.
Литература: [1]; [2, гл. X]; [4]; [5, гл. VIII, §35-39]; [6, стр. 17-20].
Тема 3. Несобственные интегралы
1. Несобственные интегралы I рода (по бесконечному промежутку).
2. Несобственные интегралы II рода (от разрывных функций).
Литература: [1]; [2, гл. X, §2]; [4]; [5, гл. VIII, §40]; [6, стр. 21-22, стр. 41].
Тема 4. Двойные интегралы
1. Определение двойного интеграла, его геометрический смысл.
2. Свойства двойного интеграла.
3. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.
4. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
5. Вычисление объемов и площадей плоских фигур.
6. Механические приложения двойного интеграла: вычисление массы,
статических моментов, моментов инерции, координат центра тяжести плос кой пластины.
5
Литература. [1, т. 2, гл. XIV, §§ 1-10], [2, ч. 2, гл. I, §§ 1-6], [4, гл. XI, §53].
Тема 5. Криволинейные интегралы
дуге).
1. Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода (по
2. Формула для вычисления криволинейного интеграла первого рода.
3. Вычисление длины дуги.
4. Вычисление массы материальной дуги, ее моментов инерции, коор динат ее центра тяжести.
5. Определение и свойства криволинейного интеграла второго рода (по
координатам).
6. Формула для вычисления криволинейного интеграла второго рода.
7. Вычисление площади плоской фигуры.
8. Вычисление работы переменной вектор-силы.
Литература. [1, т. 2, гл. XV, §§ 1-4], [2, ч. 2, гл. I, §§ 1-4], [4, гл. XII, §§ 55,
56].
Контрольная работа №3
Задача 1. Дана функция z=f(x,y).
а) Вычислить приближенно значение функции в заданной точке,
используя полный дифференциал функции в подходящей точке (x0,y0) .
б) Написать уравнение касательной плоскости к графику функции в
точке (x0,y0) из предыдущего пункта.
в) Найти производную по направлению a  1, 1 в точке A1; 1
г) Найти экстремум этой функции.
2
2
1. z  4  x  y , z(0,1; - 1,1)
2. z
 x 2  y 2  1, z(2,9; - 1,2)
2
2
3. z  9  x  y , z(-4,2; 0,1)
2
2
5. z  ln (5  x  y ), z(-1,9; 0,2)
7.
z  2 x 2  y 2  1,
4. z  16  x  y , z(0,3; 3,1)
2
2
2
6. z  3 x  y ,
z(-3,1; 1,2)
6
2
z(0,2; - 2,1)
8.
z  4 y 2  x 2  1,
9.
z  5 y 2  x 2  1,
z(1,1; 2,2)
z(-1,1; - 3,2)
2
2
10. z  ln (10  x  y ), z(-0,2; 3,1)
11. z 
x2  y2 ,
.
z(-1,1; - 3,2)
12. z  sin 2 x  9e y , z(-0,1; - 0,2)
.
13. z  3 x 2  y 2 ,
.
z(-1,1; - 0,2)
14. z  16e x  y 2 ,
.
z(-0,1; - 3,2)
15. z  x 2  ln y ,
.
z(-1,1; - 1,2)
y
z(-1,1; - 1,2)
16. z  arctg ,
x
z(1,1; - 0,2)
17. z  ln x 3  y 3 ,
z(2,1; - 3,2)
18. z  x y ,

.

19. z  x 2  y 2  10 ,
x2
20. z  arctg ,
y
.
.
.
z(-0,1; - 3,2)
z(-1,1; 1,1)
.
Задача 2. Найти неопределенные интегралы. В пп. а) и б) результаты
проверить дифференцированием.
1. a)
xdx
 1  3x 2 dx ;
б)  sin(3x  5)dx ;
в)  x  cos xdx.
2. а)
 x 2  3x dx ;
x 2 dx
б)  3
dx ;
x 2
в)  x  e x dx .
б)  cos(1  4 x)dx ;
в)  x  ln xdx.
2
3. а)  x
4. а)

5. а)

2
2  3x 3 dx ;
x2
1 x
2
dx
xdx
1  2x
2
;
б)  sin 5x  cos xdx
б) 
2x  2
dx ;
x2  2x
7
в)  arctgxdx.
в)  x  5x dx.
6. а) 
xdx
;
x2  3
xdx
б)  tgxdx ;
в)  arcsin xdx.
x2
б)  3
dx ;
x 1
в)  ( x  4)  sin 2 xdx.
7. а)

8. а)
xdx
 1  x2 ;
б) 
9. а)
xdx
 1  2x2 ;
б)  cos2 xdx;
10. а)
sin xdx
 cos 2 x ;
б)  x  cos 1  x 2 dx ;
;
1  x2
11. а)  5sin x  cos xdx;
x2
12. а)  e xdx ;
ln x
dx ;
x

б)
arctgx
 1 x
2
в)  x  cos(3x  2)dx.
в)  x  1  2 x dx .

dx ;
в)  arccos 2 xdx.
в)  4 x  cos 2 xdx.
б)  cos(4 x  3)dx ;
в)  x ln( x  1)dx .
б)  sin 2 xdx;
в)  (5x  1)  lg xdx.
2
14. а)  x 4  x dx ;
б)  sin3x cos5 xdx ;
в)  x  sin3xdx.
15. а)  x(1  4 x 2 )7 dx ;
б)
12 x 2 dx
;
16. а)  3
4x  3
б)  cos4 x  cos3xdx;
в)  x  sin(3x  4)dx.
x 2dx
17. а)  2 ;
x 5
б)  cos2 4 xdx;
в)  x cos(2 x  1)dx .
13. а)
xdx
 x 2 1 ;
18. а) 
xdx
3
2x  3
2
;
б)
cos x
dx ;
2
x
 sin
x
 x4  16dx ;
в)  arccos 2 xdx.
в)  (4 x  1)32 x dx .
19. а)
xdx
 25  x 2 ;
б)  x cos(3  5 x 2 )dx ;
в)  ( x  3)  sin(2 x  1)dx.
20. а)
xdx
б)  sin 3x  sin 2xdx ;
в)  x  e4 x dx.

x 4
2
;
Контрольная работа №4
8
Задача 1. Вычислить определенные интегралы.
3
1.
 x ln( x  1)dx.
4.
x 1 1
dx .
x 1 1

3
3
x2  1
3.  x  e
.
5.
 x  cos xdx .
0
5

13.  x  e
2 x
dx
.
0 x  4x  5
6. 
2
1
2
dx
 ex 1.
ln 2
0
 arccos 2 xdx .
9.

5
2
11.   x   cos xdx .
1
2
0
dx
 1  2x  1
0
14.
1
2

8
ln 3
dx
16.  x
.
x
e

e
ln 2
17.  sin x  sin 3xdx .

ln 2 x
19.  2 dx .
1 x
2
20. 


15.  x  sin x  cos xdx .

1
18.  arctg xdx .
0
0
e
xdx
 x4 .
0
12.
4
dx .
x
2 dx .
1
0
8.
dx
10. 
.
2
x

3
x

1
0

2
2
2 ln 2
2
 x  sin xdx .
0


7.
xdx
2. 
2
8
8
4
dx
.
1  cos2 x
Задача 2. Вычислить несобственные интегралы или доказать их
расходимость.

1
xdx
1. 
.
4
16x

1
0
3
4.

1

7.

1
2.
0

dx
x 2  6x  9
xdx
16x  1
4
3
.
5.

0
3
.
8.
3
1

dx
.
2  4x
3.
16 xdx
 16 x 4  1 .
0
1
2
3
x dx
16x 4  1
dx
.
6.

0
0
3  x 
5
.
9.
9
x
xdx
 x

1
x dx .
2
e3 
2
4

.
ln 3 x  1
10. 
dx .
3x  1
1

1
11.
3
0
3

13.
4
0
x 2 dx
x
3
8
1

4
.
12.
4

1
xdx
16  x 
2 5
.
ln 3
dx
16.  x  x .
0 e e
dx
 20 x 2  9 x  1 .
1
ln 2dx
14. 
.
2
(1

x
)ln
(1

x
)
1
15.
2

4
xdx
x  4x  1
2
.

1
dx
xdx
17. 
. 18. 
.
4
2
1

x

x

4x

5
0
1




xdx
19.  2
.
x

4x

5
1
6
20.
6
0
cos 3x
1  sin 3x 
5
.
Задача 3.
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в
декартовой системе координат. Сделать чертеж.
y  x2 ; y  3  2x
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в
декартовой системе координат. Сделать чертеж.
y  3x 2  x; y  4 x
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в
декартовой системе координат. Сделать чертеж.
y  5 x  3x 2 ; y  2 x
4 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в
декартовой системе координат. Сделать чертеж.
x
5
y  2x2  ; y  x
2
2
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в
декартовой системе координат. Сделать чертеж.
y  3x 2  x; y  4 x
6. Вычислить объем тела, полученного при вращении фигуры, лежащей в
плоскости XOY и ограниченной заданными линиями, вокруг оси ОХ.
10
y  2 x  x 2 ; y  x.
7. Вычислить объем тела, полученного при вращении фигуры, лежащей в
плоскости XOY и ограниченной заданными линиями, вокруг оси ОХ.
y  4 x  2 x 2 ; y  x.
8. Вычислить объем тела, полученного при вращении фигуры, лежащей в
плоскости XOY и ограниченной заданными линиями, вокруг оси ОХ.
y  2 x  x 2 ; y  0.
9. Вычислить объем тела, полученного при вращении фигуры, лежащей в
плоскости XOY и ограниченной заданными линиями, вокруг оси ОХ.
y  2 x ; x  2.
10. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением параметрической
форме.
x  2 cos3 t , y  2 sin 3 t
11. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в параметрической
форме.
x  2cos t  t sin t , y  2sin t  t cos t , 0  t  
12. . Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в параметрической
форме.
x  4 cos3 t , y  4 sin 3 t
13. . Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в параметрической
форме.
x  5 cos2 t , y  4 sin 2 t , 0  t 

2
.
Найти длину дуги кривой y 2  4x 3 от точки A 0; 0 до точки
B 1; 2 .
x2 3
15. Найти длину дуги кривой y 
 , отсеченной осью Ox.
2 2
14. .
11
16. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в полярных
координатах   sin 3

, 0  
3

.
2
17. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в полярных
координатах   2 sin 3

3
, 0  

2
.
18. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в полярных
координатах   6 cos3

3
, 0  

2
.
19. . Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением параметрической
форме. y  9t  sin t , y  91  cos t , 0  t  2 .
20. . Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением параметрической
форме. x  3t , y  t  t , 0  t  2 .
2
3
 f ( x, y) dxdy
Задача 4. Вычислить двойной интеграл
по области D,
D
ограниченной указанными линиями:
1. f (x, y)= x2 + y;
2. f (x, y) = xy;
3. f (x, y) = x + y;
4. f (x, y) = x2y;
5. f (x, y) = x3- 2y;
6. f (x, y) = y + x;
7. f (x, y) = 1 + y;
8. f (x, y) = x -y;
9. f (x, y) = x(y – 1);
10. f (x, y) = (x – 2)y;
11.
D : y = x2; x = y2
D : y = 3x; y = 2x; x=1
D : y =12 x; y = 3x 2
D : y = 2 - x; y = x; x = 0
D : y = x2 – 1; x = 0; y = 0
D : y = x; y =2 x, x=2
D : y2 = x; y = x
D : y = x2 – 1; y = - x2 + 1
D : y = 5x; y = x; x = 3
D : y = x; y =2 x; x = 2.
f  x, y   x  y 2 ;
D : y  x 2 , y  1.
12.
f x, y   x 2 y ; D : y  2 x 3 , y  0, x  1 .
13.
f  x, y   x 2  y 2 ;
14.
f x, y   xy ;
15.
f x, y   x  y ; D : y  x 3 , y  8, y  0, x  3 .
16.
f x, y   x2 x  y  ;
D : y  1  x2 , y  0 .
17.
f x, y   y1  x  ;
D : y 3  x, y  x .
18.
f  x, y   xy 3 ;
19.
f x, y   x y  5 ;
D : x  y 2 , x  1.
D : x  2, y  0, y  x 3 .
D : y 2  1  x, x  0 .
D : y  x  5, x  y  5  0, x  0 .
12
20. f x, y   x  y ;
D : y  x 2  1, y  3
Задача 5. . Вычислить криволинейные интегралы
1.  (2 z  x 2  y 2 ) dl , где L – дуга кривой:
L
x  t cos t; y  t sin t; z  t; 0  t  2 .
2.  ( x 2  y 2 ) dl, где L – дуга окружности x2+y2=4.
L
3.
dl
, где LOB – отрезок прямой, соединяющей точки O(0, 0) и
8  x2  y2

LOB
B(2, 2).
4.  (43 x  3 y ) dl, где LАB – отрезок прямой AB: A(-1,0); B(0,1).
LAB
dl
, где LАB – отрезок прямой, заключенной между точками
5
(
x

y
)
L
A(0, 4) и B(4, 0).

ydl


2
(
1

cos

)
0



.
6.  2
,
где
L
–
дуга
кардиоиды
2
x  y2
L
5.

AB
7.  y dl, где L – дуга астроиды x = cos3t, y = sin3t, заключенной между
LAB
точками A(1, 0); B(0, 1).
1
dl
8. 
, где L – отрезок прямой y  x  2 , соединяющий точки
2
L x  y
A(0, -2) и B(4, 0).
9.  ( x 2  y 2  z 2 ) dl, где L – дуга кривой x  cos t ; y  sin t ; z  3t ; 0 t  2 .
L

y
10.  arctg dl , где L – дуга кардиоиды:   (1  cos ) ; 0    .
2
x
L
2
2
11.  ( x  2 xy ) dx  ( y  2 xy ) dy, где LАB – дуга параболы y = x2 от точки
LAB
A(-1, 1) до точки B(1, 1).
x 2 dy  y 2 dx
12.  3 5
, где LАB – дуга астроиды: x = cos3t; y = sin3t от точки
5
x 3 y
L
A(2, 0) до точки B(0, 2).
13.  ( x 2  y 2 ) dx  2 xy dy, где LOА – дуга кубической параболы y = x3 от
AB
LOA
точки О(0, 0) до точки А(1, 1).
14.  ( x  2 y )dx  ( x  y )dy, где L – окружность x = 2cost; y = 2sint, при
L
положительном направлении обхода.
13
15.  ( x 2 y  x)dx  ( y 2 x  2 y )dy, где L – дуга эллипса: x = 3cost; y = 2sint, при
L
положительном направлении обхода.
16.  ( xy  1)dx  x 2 ydy , где LAB – дуга эллипса:
x  cos t;
y  2 sin t от
L AB
точки A(1,0) до точки B(0,2).
17.  2 xydx  x 2 dy, где LOAB – ломанная OAB: O(0,0); B(2,0); A(2,1).
LOBA
18.
2
2
 ( x  y )dx  xydy , где LAB – отрезок прямой AB: A(1,1); B(3,4).
L AB
 cos ydx  sin xdy,
19.
где
LAB
–
отрезок
прямой
AB:
L AB
A(2 ,2 ); B( 2 ,2 ).
ydx  xdy
20. 
, где LAB – отрезок прямой AB: A(1,2); B(3,6).
x2  y2
L
AB
Оглавление
Введение……………………….………………………………………......
Общие рекомендации…………………….………………………………
Список рекомендуемой литературы…….……………………………….
Вопросы программы к контрольной работе
№3,4………………………………………………………………………
4
Контрольная работа № 3………………………………………………….
5
Контрольная работа № 4………………………………………………….
7
14
3
3
4
Математика
программа и задания для выполнения контрольных работ №3,4
для студентов 1-го курса заочного обучения,
обучающихся по специальности
««Наземные транспортно-технологические средства»
Составители: Глазкова Мария Юрьевна
Акчурина Людмила Васильевна
Некрасова Наталия Николаевна
Ханкин Евгений Иванович
Подписано в печать__.__. 2015. Формат 60х84 1/16.
Уч.-изд. л. 0,9.Усл.-печ. л. 1.
394006, Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
15
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
371 Кб
Теги
задание, программа, контрольная, 247, математика
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа