close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

298. Математический анализ

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Программа и контрольное задание № 2
ко 2-й части курса математического анализа (2-й семестр)
для студентов бакалавриата заочного факультета
направления «Экономика»
Воронеж 2013
УДК 51(07)
ББК 22161.я7
Составители
В.Н. Колпачев
Н.Н. Некрасова
В.К. Евченко
Математический анализ: программа и контрольное задание № 2 ко 2-й
части курса математического анализа (2-й семестр) для студентов бакалавриата
заочного факультета направления «Экономика» / Воронежский ГАСУ; сост.:
В.Н. Колпачев, Н.Н. Некрасова, В.К. Евченко. – Воронеж, 2013. – 19 с.
Приводятся программа и контрольное задание № 2 ко 2-й части курса математического анализа (2-й семестр). Даны ссылки на литературу, которой можно
пользоваться при подготовке к экзамену и выполнении контрольной работы.
Предназначены для студентов-бакалавров 1-го курса заочного факультета
направления «Экономика».
Библиогр.: 6 назв.
УДК 51(07)
ББК 22161.я7
Рецензент – В.А. Козлов, д.ф.-м.н.,
профессор кафедры строительной техники и инженерной механики
2
ВВЕДЕНИЕ
Математические методы играют важную роль в современной науке, технике и экономике. Возможность успешного применения математики при решении конкретных задач особенно усилилась благодаря всеобщей компьютериз ации.
Курс математического анализа является основой естественнонаучного
образования бакалавра. Поэтому для успешного изучения теории вероятностей
и математической статистики, математического программирования, эконометрики, а также многих других общетеоретических и специальных дисциплин с овершенно необходимо владеть навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач.
Изучение математики и ее современных методов в экономике позволит
будущему специалисту приобрести базовые навыки, расширить кругозо р, повысить уровень мышления и общую культуру, что необходимо для успешной
профессиональной деятельности.
ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
В предлагаемом издании изложена программа 2-й части курса математического анализа, который изучается студентами-заочниками во втором семестре. Здесь приведены задачи для выполнения одной контрольной работы. Вторая
часть курса посвящена следующим разделам математического анализа: интегральное исчисление функции одной и нескольких переменных; обыкновенные
дифференциальные уравнения и ряды.
Материал следует изучать по вопросам, указанным в программе, там же
можно найти указания на страницы учебников, которые рекомендуем изучить.
К экзамену необходимо выполнить и получить зачет по контрольной р аботе. Контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради.
Оформление должно быть аккуратным, записи четкими, решение сопрово ждаться подробными пояснениями с необходимыми ссылками на теорию.
Приступать к выполнению контрольной работы следует после изучения
необходимого теоретического материала и разбора решения нескольких аналогичных задач с помощью приведенных ниже учебников и методических указ аний.
3
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для
втузов Т.1, 2 / Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2004. – 748 с.
2. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. Ч.1, 2.
/ П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 2009 – 368
с.
3. Бугров, Я.С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное
исчисления / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Наука, 1990. – 185 с.
4. Письменный, Д.К. Конспект лекций по высшей математике / Д.К.
Письменный. – М.: Айрис Пресс, 2006. – 599 с.
5. Функции нескольких переменных. Кратные и криволинейные интегралы: методические указания и контрольные задания к типовому расчету №4 по
курсу математики / Воронеж. гос. арх.-строит. ун.-т; Сост.: З.Г. Викулина, С.Н.
Ощепкова, А.А. Седаев. – Воронеж, 2004. – 32 с.
6. Дифференциальные уравнения: метод. указания и задания по математике / Воронеж. гос. арх.-строит. ун.-т; Сост.: А.М. Дементьева, Т.Г. Святская,
М.Ю. Глазкова. Р.В. Чернышова. – Воронеж, 2003. – 38 с.
Указания по обращению к рекомендуемой литературе даны в тексте программы. Номера источников из приведенного выше списка пишутся в квадратных скобках. Например, [1, гл. II, §2] означает: учебник Пискунова Н.С., глава
II, §2.
ВОПРОСЫ ПРОГРАММЫ 2-Й ЧАСТИ КУРСА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Раздел I. Комплексные числа и действия над ними
1. Комплексные числа в алгебраической форме. Их изображение на комплексной плоскости. Сопряженное число.
2. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая запись
комплексного числа.
3. Арифметические действия над комплексными числами.
4. Многочлен от одной переменной. Деление многочлена на многочлен с
остатком.
5. Теорема Безу. Корень многочлена. Основная теорема алгебры.
6. Разложение многочлена на линейные множители. Кратность корня.
7. Решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом.
8. Формула Эйлера для e z .
Литература. [1, т. 1, гл. VII, §§ 1-8], [4, гл. VI, §§ 27, 28].
4
Раздел II. Интегральное исчисление функции
одной переменной и его применение
Тема 1. Неопределенные интегралы
9. Первообразная и неопределенный интеграл.
10. Свойства неопределенного интеграла.
11. Таблица простейших интегралов.
12. Метод замены в неопределенном интеграле.
13. Формула интегрирования по частям.
14. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе.
14. Интегрирование простейших рациональных дробей.
15. Метод неопределенных коэффициентов разложения правильных рациональных дробей на простейшие.
16. Интегрирование тригонометрических выражений sin m x cosm x dx ,
sin x cos xdx , sin x sin xdx , cos x cos xdx .
17.
Интегрирование
тригонометрических
выражений
вида
R(sin x, cos x)dx , методом универсальной подстановки.
Литература. [1, т. 1, гл. X, §§ 1-12], [2, ч. 1, гл. IX, §§ 1-4], [4, гл. VII, §§
29-34].
Тема 2. Определенные интегралы
18. Понятие определенного интеграла и его вычисление по формуле Ньютона-Лейбница.
19. Основные свойства определенного интеграла.
20. Метод замены в определенном интеграле.
21. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
22. Вычисление площади криволинейной трапеции и площади криволинейного сектора.
23. Вычисление длины дуги плоской кривой.
24. Вычисление объема тела вращения.
25. Физические приложения определенного интеграла.
26. Численное интегрирование: формулы прямоугольников, трапеций,
Симпсона.
Литература. [1, т. 1, гл. XI, §§ 1-6, 8], [2, ч. 1, гл. X, §§ 1-5], [4, гл. VII, §§
35-39, 41, 42].
5
Тема 3. Несобственные интегралы
27. Несобственные интегралы I рода (по бесконечному промежутку).
28. Несобственные интегралы II рода (от разрывных функций).
Литература. [1, т. 1, гл. XI, §§ 7], [4, гл. VII, §§ 40].
Раздел III. Интегральное исчисление функции
нескольких переменных и его применение
Тема 4. Двойные интегралы
29. Определение двойного интеграла, его геометрический смысл.
30. Свойства двойного интеграла.
31. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.
32. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
33. Вычисление объемов и площадей плоских фигур.
34. Механические приложения двойного интеграла: вычисление массы,
статических моментов, моментов инерции, координат центра тяжести плос кой
пластины.
Литература. [1, т. 2, гл. XIV, §§ 1-10], [2, ч. 2, гл. I, §§ 1-6], [4, гл. XI, §53].
Тема 5. Криволинейные интегралы
35. Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода (по
дуге).
36. Формула для вычисления криволинейного интеграла первого рода.
37. Вычисление длины дуги.
38. Вычисление массы материальной дуги, ее моментов инерции, координат ее центра тяжести.
39. Определение и свойства криволинейного интеграла второго рода (по
координатам).
40. Формула для вычисления криволинейного интеграла второго рода.
41. Вычисление площади плоской фигуры.
42. Вычисление работы переменной вектор-силы.
Литература. [1, т. 2, гл. XV, §§ 1-4], [2, ч. 2, гл. I, §§ 1-4], [4, гл. XII, §§ 55, 56].
6
Раздел IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Тема 6. Обыкновенные дифференциальные уравнения
первого порядка
43. Дифференциальные уравнения. Общие понятия и определения.
44. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися
переменными.
45. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
46. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка (метод вариации произвольной постоянной).
47. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка (метод
Бернулли).
Литература. [1, т. 2, гл. XIII, §§ 1-7], [2, ч. 2, гл. IV, § 1], [4, гл. X,
§§ 47, 48].
Тема 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
второго порядка и системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
48. Дифференциальные уравнения второго порядка. Общие понятия и
определения.
49. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
y"=f(x).
50. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
y"=f(x,y').
51. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
y"=f(y,y').
52. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка.
Свойства решений. Теорема об общем решении этого уравнения.
53. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с
постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
54. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Случай различных действительных корней характеристического уравнения.
55. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Случай равных действительных корней характеристического уравнения.
56. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Случай комплексных корней характеристического уравнения.
57. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка.
Теорема об общем решении этого уравнения.
7
58. Метод вариации произвольных постоянных при решении линейного
неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка.
59. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2го порядка со специальной правой частью.
60. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Литература. [1, т. 2, гл. XIII, §§ 16-24, 29, 30], [2, ч. 2, гл. IV, §§ 2, 3, 5],
[4, гл. X, §§ 49-52].
Раздел V. Ряды
Тема 8. Числовые ряды
61. Определение числового ряда. Сходимость ряда геометрической прогрессии.
62. Свойства сходящихся рядов.
63. Необходимый признак сходимости числового ряда.
64. Признак сравнения знакоположительных рядов.
65.Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов.
66. Радикальный признак Коши сходимости знакоположительных рядов.
67. Интегральный признак Коши сходимости знакоположительных рядов.
68. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
69. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
Литература. [1, т. 2, гл. XVI, §§ 1-8], [2, ч. 2, гл. III, §§ 1], [4, XIII, §§ 59-61].
Тема 9. Функциональные ряды
70. Функциональные ряды. Основные понятия.
71. Степенные ряды. Теорема Абеля.
72. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
73. Ряды Тейлора и Маклорена.
74. Разложение в ряд Тейлора (Маклорена) элементарных функций.
75. Применение степенных рядов для приближенного вычисления значений
функций и определенных интегралов.
76. Применение степенных рядов для решения дифференциальных уравнений.
Литература. [1, т. 2, гл. XVI, §§ 9-17, 26], [2, ч. 2, гл. III, §§ 2-4], [4, гл.
XIV, §§ 62-65].
Тема 10. Ряды Фурье
77. Тригонометрические ряды. Коэффициенты и ряд Фурье для функций, имеющих период 2π.
8
78. Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2π.
79. Ряды Фурье для функций с периодом 2l.
80. Разложение в ряд Фурье функции, заданной на отрезке [0,l].
Литература. [1, т. 2, гл. XVII, §§ 1-6], [2, ч. 2, гл. III, § 8], [4, гл. XV, §§ 66-67].
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Студент определяет свой вариант следующим образом: если двузначное
число, на которое оканчивается номер вашего шифра (номер вашей зачетной
книжки), меньше 20, то это двузначное число и есть номер вашего варианта;
если делится на 20 без остатка – номер вашего варианта 20. Если в результате
деления образуется остаток (например, 5 или 16), то этот остаток и есть номер
вашего варианта.
Условие задачи состоит из общей для всех вариантов формулировки и
двадцати вариантов конкретных данных. Во всех заданных вам задачах вам
надлежит выполнить решение своего варианта.
При оформлении контрольной работы условия задач следует обязательно
переписывать полностью. Каждая контрольная работа выполняется в отдельной
тетради с полями и сдается для проверки в установленное деканатом время.
Контрольная работа №2
Задача 1. Найти неопределенные интегралы. Полученные результаты
проверить дифференцированием.
1.
а)
в)
2.
а)
в)
3.
а)
б)
x 2 e x dx ,
г)
dx
.
5 3 cos x
dx ,
б)
( x 1) ln x dx ,
x 1
dx ,
x2 x
г)
dx
.
2 sin x
б)
xe x dx ,
г)
dx
.
cos x sin x
x x 2 5 dx ,
1
x
3
x
x2
x3 2
2
x3
1 2x
в)
dx ,
4
dx ,
1
dx ,
1 x3
9
4.
arctg x dx ,
dx ,
г)
dx
.
cos x sin x
а)
x
dx ,
1 x4
б)
x 2 x dx ,
в)
x3 1
dx ,
x2 x
г)
dx
.
3 2 cos x
а)
sin(ln x )
dx ,
x
б)
x e3 x dx ,
в)
x3 1
dx ,
x3 x2
г)
1
dx .
tg 3 x
б)
x 2 sin x dx ,
г)
tg 4 x dx .
б)
( x 2) cos 4 x dx ,
1
dx .
2 3 cos x sin x
в)
5.
6.
7.
а)
в)
8.
9.
10.
11.
1
dx ,
x ln x
б)
а)
x3
x2 1
x5
x
6
(x
10
2
dx ,
x
dx ,
3)( x 1)
а) esin x cos x dx ,
в)
2 x5 2 x3 x2
dx ,
1 x4
г)
а)
x 3 cos( x 4 ) dx ,
б)
в)
x 6
dx ,
2
x ( x x 2)
г) sin 2 5x dx .
а)
sin x
dx ,
cos2 x
б) (2 x 1) cos 7 x dx ,
в)
x 3
dx ,
x4 1
г)
tg 3 2 x dx .
а)
tg 3 x 1
dx ,
cos2 x
б)
(1 x) sin 3x dx ,
г)
1 x3
dx ,
x3 x2
д)
1
dx .
2 cos x
( x 2) e4 x dx ,
10
12.
13.
14.
а)
3 x
dx ,
10 x 2
б)
x 2
dx ,
ex
в)
4 x3
dx ,
x3 x
г)
dx
.
2 4cos x 3sin x
а)
arcsin x
б)
ln x
dx ,
x3
в)
x2 6
dx ,
x( x 2 4 x 5)
г)
1
dx .
sin x 4 cos x
а)
arctgx
dx ,
x2 1
б)
x cos(1 x) dx ,
г)
dx
.
8 5sin x 4cos x
б)
x ln ( x 5) dx ,
в)
15.
а)
1 x2
x( x
4
2x
2
arccos x
1 x
в)
16.
dx ,
2
2)
dx ,
dx ,
x3 1
dx ,
x2 2x 6
ex
а)
1 e
2x
dx ,
г) sin 2 x cos2 x dx .
б)
(2 x x 2 ) ln x dx ,
в)
2x3 1
dx ,
x2 2x 7
г) sin3 2 x dx .
17. а)
4 x 3 x 4 5 dx ,
б)
x 2 e x dx ,
г)
1
dx .
ctg 2 x
б)
( x2
г)
cos3 4 x dx .
б)
arccos 2 x dx ,
в)
18.
а)
x
x3
dx ,
2x 2
2
x2
2 x
3
dx .
x 1
dx ,
в) 3
x 8
19.
а)
cos
9
x 4 dx ,
2
4 x 2) ln x dx ,
11
20.
в)
4x2 2
dx ,
x4 x2
а)
e
в)
2x3 1
dx ,
x 2 ( x 1)
x
x
г) sin 2 5x dx .
б)
dx ,
arctg 2 x dx ,
г) sin 4 9 x dx .
Задача 2. Вычислить определенные интегралы.
3
1. y ln( y 1) dy ;
x dx
.
x 1
8
2.
2
3
3. x 2 cos x dx ;
0
3
4. tg 2 x dx .
4
ex
ln 2
2
5. x cos x dx ;
6.
ex
0
0
7. x 2 sin x dx ;
0
ln 2
1
2
9.
1
2 ln 2
8.
e
arccos 2 x dx ;
0
2x
12.
0
0
x e
2x
dx ;
1
2
3
14.
15. tg x dx ;
1 ln x
dx ;
x
1
e
17.
ln 2
1
ex
e
x
dx .
sin x
dx .
(1 cos x )3
18.
2
12
1
dx .
3x 1
1
dx .
0 cos x
16.
0
dx .
6
ln 3
2
1
dx .
x
dx .
x 4
5
x sin 2 x dx ;
13.
x
5
10.
1
2
11.
3
1 ln 2 x
19.
dx ;
x
1
x
dx .
x 2 )3
4 (1
9
e
20.
Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в декартовой системе координат. Фигуру изобразить на чертеже.
1. y
2. y
3. y
4. y
5. y
6. y
x2 ,
x2 ,
x2
,
2
x2 ,
x2
,
2
2x2
3 2x .
4x 3 .
5
y
x 2.
2
y 6 5x .
x
y
3.
2
x
5x
, y
.
2
2
x , y 4x .
y 2 x2 .
y 1, x 0 .
y
y
7. y 3x 2
8. y x 2 ,
9. y x 3 ,
10. y 2 9 x , y 3x .
11. y 2 4 x , x 4 .
12. y x 2 , y 1.
13. y 2 9 x , x 1.
14. y 2 4 x , x 1.
3
x2
x.
15. y
, y
2
2
16. y x 2 , y 5x 4 .
3 2 x
x
17. y
, y 2x .
2
2
18. y x 2 , y 6 x .
2
4
x, y
x.
19. y x 2
3
3
20. y 4 x 2 , y 0 .
Задача 4. Вычислить двойной интеграл
f ( x, y ) dxdy по области D,
D
ограниченной указанными линиями:
1. f (x, y)= x2 + y;
D : y = x2; x = y2.
13
2. f (x, y) = xy;
3. f (x, y) = x + y;
4. f (x, y) = x2y;
5. f (x, y) = x3- 2y;
6. f (x, y) = y – x;
7. f (x, y) = 1 + y;
8. f (x, y) = x + y;
9. f (x, y) = x(y – 1);
10. f (x, y) = (x – 2)y;
11. f ( x, y) x y ;
12. f ( x, y) x y
D : y = x2; y = 2x.
D : y2 = x; y = x.
D : y = 2 - x; y = x; x = 0.
D : y = x2 – 1; x = 0; y = 0.
D : y = x; y = x2.
D : y2 = x; 2y = x .
D : y = x2 – 1; y = - x2 + 1.
D : y = 5x; y = x; x = 3.
D : y = x; y =2 x; x = 2.
D : y 1; y 3x; y x.
D : y = 2 - x2; y = x; x = 0.
13. f ( x, y ) sin( x
D: y
y)
x, y 0, x
14. f ( x, y ) x
15. f ( x, y) y;
D : xy 6, x
16. f ( x, y ) x;
17. f ( x, y ) 2 x
D: y
18. f ( x, y )
D: y
y;
y)2
19. f ( x, y ) ex ;
20. f ( x, y ) x 2 ( x
x
;
.
2
y 7 0.
y
2;
x;
y
x
y
2.
x2.
D : y 0; x 0; x
1
(x
x;
y
y 3.
D : x 3; x 4; y 1; y 2 x.
D : x 0; y 2; x ln y.
y );
D:x
y2;
y
x2.
Задача 5. Вычислить криволинейные интегралы.
xdl по параболе y
1.
x 2 от точки A(2,4) до точки B(1,1).
L
2. ( x 2 y )dx ( x
y )dy, где L – окружность x = 2cost; y = 2sint, при положи-
L
тельном направлении обхода.
3. xydl , где L - граница прямоугольника, ограниченного прямыми x 0,
L
x 0, y 0, x 4, y 2.
4. ( x 2 2 xy ) dx ( y 2 2 xy ) dy, где LАB – дуга параболы y = x2 от точки A(-1,
LAB
1) до точки B(1, 1).
5. (43 x 3 y ) dl, где LАB – отрезок прямой AB: A(-1,0); B(0,1).
LAB
( x2 y
6.
x)dx ( y 2 x 2 y )dy, где L – дуга эллипса: x = 3cost; y = 2sint при
L
положительном направлении обхода.
14
dl
7.
, где L – отрезок прямой y
1
x 2 , соединяющий точки
2
x y
A(0, -2) и B(4, 0).
8. ( x 2 y 2 ) dx 2 xy dy, где LOА – дуга кубической параболы y = x3 от точки
L
LOA
О(0, 0) до точки А(1, 1).
dl
, где LOB – отрезок прямой, соединяющей точки O(0,0)и
9.
2
2
8 x y
L
B(2, 2).
2 xydx x 2 dy, где LOAB – ломанная OAB: O(0,0); B(2,0); A(2,1).
10.
OB
LOBA
y )dl , где AB – отрезок прямой A(1,0); B(0,1).
(3 x
11.
AB
12.
( xy
x)dx
LAB
1 2
2
x dy , где LAB – дуга параболы y
2
4 x от точки A(0,0) до
точки B(1,2).
13. x 2 dl , где L – дуга кривой y ln x, 1 x e .
L
cos ydx sin xdy , где LAB – отрезок прямой AB, A(2 , 2 ); B ( 2 ,2 ).
14.
L AB
(x
15.
y )dl , где LABD – контур треугольника ABD с вершинами A(1,0);
LABD
B(0,1); D(0,0).
( x 2 y 2 )dx ( x
16.
y 2 )dy, где
LAB - ломанная ABC, A(1,2); B(3,2);
LAB
C(3,5).
17. xdy
ydx , где L – кривая y
x 3 от точки (0;0) до точки (2;8).
L AB
( xy 1)dx x 2 ydy, где LAB - дуга параболы y
18.
2
4 4 x от точки A(1,0)
LAB
до точки B(0,2).
19. xydl , где L – контур квадрата со сторонами x
1,
y
1.
L
( x 2 y x)dx ( y 2 x 2 y )dy, где LAB - дуга эллипса x 3cos t ,
20.
LAB
при положительном направлении обхода.
Задача 6. Решить дифференциальное уравнение.
1. y
6y
13 y
75 sin 2 x .
2. y
15
4y
4y
xe 2 x .
y 2sin t
3. y " 3 y ' 2 y 7 cos x .
5. y " 2 y ' 8 y 12e x .
7. y " 10 y ' 25 y x 2 .
9. y " y ' 2 y cos 2 x .
11. y " 4 y ' 29 y sin 5 x .
13. y " 2 y ' 8 y cos 2 x .
15. y " 2 y ' 5 y e3 x .
17. y " 4 y ' 4 y 3x 2 5 .
19. 2 y " y ' y 2e x .
4. y " 2 y ' 5 y 5 x 2 .
6. y " 2 y ' 5 y 5 x 2 6 x 12 .
8. y " 2 y ' 10 y sin 3x .
10. y " 12 y ' 36 y 3x 2 .
12. y " 2 y ' xe2 x .
14. y " 9 y ' 18 y cos x sin x .
16. y '' 4 y ' 5 y e 2 x cos x .
18. y " 2 y ' 5 y 3sin 2 x .
20. y " 7 y ' 6 y sin x .
Задача 7. Решить задачу Коши.
1. y' cos x y
3. y'
y
x ln x
1
sin 2 x, y (0) 0.
2
e2
.
x ln x; y(e)
2
2. y' 1 x 2
4. y'
5. y' (1 x 2 ) y arctgx, y (0) 1.
y
y
cos , y (1) 1.
x
x
y
9. y'
x 2 , y (1) 1.
2x
7. y'
1
11. y'
y
e x ( x 1), y (0) 1.
x 1
y
13. y'
x 2 , y (1) 0.
x
15. y' y e 2 x , y (0) 1.
e x
, y (0) ln 5.
1 x
y2 y
, y ( 1) 1.
x2 x
17. y' y
19. y'
4
y
x
y
y
x
y
10. y'
x
0.
x, y (1) 1.
6. xy' y xe
8. y'
arcsin x, y (0)
x2
0, y(1)
x 1 x
e , y (1)
x
x sin x, y
2
1
.
2e
e.
1.
y y2
, y (1) 2.
x x2
2x
2x 2
y
, y (0)
14. y'
1 x2
1 x2
16. y' 2 xy x, y (0) 1.
12. y' 4
x 1 x
e , y (1)
x
y
20. xy' y(1 ln ), y (1)
x
18. y'
y
x
2
.
3
e.
1
e
.
Задача 8. Исследовать на сходимость числовые ряды (а, б); Определить
вид сходимости (б).
1.
n!
а)
n 1
б)
n3 2
n 1
16
( 1)n
n 2
2.
2n
2n !
б)
б)
n
4
5
2 n ln n
n
5n
n
1 3
а)
n 1
3.
4.
5.
а)
а)
а)
n 1
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
n
n 1
б)
n 1
5n
n 1!
б)
n 1
3n
(n 1)!
б)
n 1
n 4n
(n 2)!
б)
n 1
n 1
(n 2)!
б)
n 1
4n
n!
а)
а)
б)
n 1
5n
n 2 !
б)
n 1
4n
n 1!
а)
а)
б)
n 1
3n 1
n!
б)
n 1
3n
(n 1)!
а)
а)
1
а)
n ln n
n 1
4n
(n 1)!
n 1
( 1) n
2n 2 3
n 1
( 1) n 1
n 3
n 1
( 1) n
2n 3
n 1
( 1) n
n2 2
n 1
( 1) n 1
n 3
n 1
( 1) n 1
n2 4
n 1
( 1) n
2n 2 1
n 1
( 1) n
n2 5
n 1
( 1) n 1
n 2
n 1
( 1) n
n 1
n 1
( 1) n
n2 5
б)
17
1 n4
4n
n 1
б)
3
n 1
а)
2n
5n 1
( 1) n 3n
n 2n
б)
n 1
а)
n
n
б)
а)
1
n 1
n!
n 3n
а)
1 n3
n6 1
17.
18.
19.
20.
б)
n 1
(n 2)!
4n 1
б)
n 1
5n
(n 1)!
а)
а)
n 1
б)
n
n!
n
1 n 3
б)
n
3n
1 (2n)!
а)
а)
( 1) n
n 5
n
( 1) n
1 n 3
n
( 1) n
2
3
1 2n
( 1)n
n 1
n 1
Задача 9. Найти область сходимости степенного ряда.
3n
1.
n 1
3.
n
n2 2
xn ;
2.
n
3n x n
;
1 n 1
n 1
6.
n 1
8.
n 1
3n 1 n
x ;
n 2
n 1
n 1 n
x
3n 2
n 1
n 5n n
x ;
n!
7.
9.
11.
;
n 1
2n
xn
n 1
n 1
n2
xn ;
(n 1)!
13.
15.
xn
n 10n
4.
3n 1 n
x ;
n!
5.
xn
;
1 n n 1
;
n 1
4n
xn
n 1!
n 1
n2 3 n
x ;
n!
10.
n 1
n 1
n 1
n 1 n
x
2n
n 1
n! n
x ;
4n
14.
16.
;
4n n
x ;
n2
7n 2
xn
(n 3)!
12.
18
;
;
;
18.
n
n2 1 n
x ;
n!
1
20.
n
n!
xn ;
4
1 n
17.
19.
19
n
2n n
x ;
1 n!
n
n 1 n
x .
n 1
1 4
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………...
ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ …………………………………………...
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ……………………...
ВОПРОСЫ ПРОГРАММЫ 2-й ЧАСТИ КУРСА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА …………………………………..
Раздел I. Комплексные числа и действия над ними …………………………
Раздел II. Интегральное исчисление функции
одной переменной и его применение ……………………………..
Раздел III. Интегральное исчисление функции нескольких переменных
и его применение ………………………………………………….
Раздел IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения ………………….
Раздел V. Ряды ………………………………………………………………….
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ …………………………………….
Контрольная работа № 2 …………………………………………..
3
3
4
4
4
5
6
6
8
9
9
Математический анализ
Программа и контрольное задание № 2
ко 2-й части курса математического анализа (2-й семестр)
для студентов бакалавриата заочного факультета
направления «Экономика»
Составители: Колпачев Виктор Николаевич
Некрасова Наталия Николаевна
Евченко Валерия Константиновна
Подписано в печать 28.02.2013. Формат 60 84 1/16. Уч.-изд. л. 1,3.
Усл.-печ. л. 1,4. Бумага писчая. Тираж 150 экз. Заказ № 115.
__________________________________________________________________
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства учебной литературы
и учебно-методических пособий Воронежского ГАСУ
394006, Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
20
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
579 Кб
Теги
анализа, 298, математические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа