close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

334. Неопределенные и определенные интегралы

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»
Кафедра высшей математики
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ И ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Методические указания и задания по математике
для студентов архитектурного института
УДК 51.07
ББК 22.143я7
Составители:
Л.В. Акчурина, А.М. Дементьева, Н.А. Сапожкова
Неопределенные и определенные интегралы: Методические указания и
задания по математике. / Воронежский ГАСУ, сост. Л.В. Акчурина, А.М. Дементьева, Н.А. Сапожкова. - Воронеж, 2015. – 32 с.
Методические указания содержат краткие теоретические сведения по курсу интегрального исчисления.
Приведены 32 варианта контрольных заданий.
Предназначено для студентов архитектурного института, направления
“Архитектура” и “Реконструкция и реставрация архитектурного наследия”.
Библиогр.: 6 назв.
УДК 51.07
ББК 22.143я7
Печатается по решению учебно-методического совета
Воронежского ГАСУ
Рецензент – С.Н. Дементьев доцент кафедры высшей математики и теоретической механики Воронежского ГАУ, к.ф.-м.н.
2
Введение
Методические указания и контрольные задания составлены в соответствии с программой по высшей математике для архитектурного института. Основной целью методических указаний является помощь студентам архитектурных специальностей в освоении интегрального исчисления для выполнения индивидуального контрольного задания. В каждом разделе приводятся основные
определения, необходимые формулы и образцы решения задач. Выполнять указанные задания следует после изучения соответствующего теоретического материала.
Ниже приводятся теоретические вопросы, которые необходимо изучить
прежде, чем приступить к решению контрольных заданий.
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл.
1.2. Основные свойства неопределенного интеграла.
1.3. Таблица основных интегралов.
1.4. Интегрирование заменой переменной.
1.5. Интегрирование по частям.
2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2.1. Понятие определенного интеграла.
2.2. Основные свойства определенного интеграла.
2.3. Формула Ньютона-Лейбница.
2.4. Интегрирование заменой переменной.
2.5. Интегрирование по частям.
3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
3.1. Вычисление площадей в декартовых координатах.
3.2. Вычисление объемов тел вращения.
3.3. Вычисление длин дуг плоских кривых.
3
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
4.1. Понятие дифференциального уравнения.
4.2. Понятие общего решения дифференциального уравнения.
4.3. Понятие частного решения дифференциального уравнения.
4.4. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися
переменными
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл.
Функцию F (x) называют первообразной для функции
F ( x)
f (x) , если
f ( x) . Для функции f (x) существует бесконечно много первообразных,
отличающихся на произвольную постоянную величину C (константу). Действительно, т.к. F ( x) C
F ( x) , то F ( x) C является первообразной для
f (x) . Совокупность всех первообразных функции f (x) называется неопределенным интегралом и обозначается
f ( x)dx , т.е.
f ( x)dx = F ( x) C .
Нахождение неопределенного интеграла функции является операцией,
обратной дифференцированию. Поэтому основные формулы интегрирования
получаются обращением формул дифференцирования.
1.2. Основные свойства неопределенного интеграла.
1. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
f1 ( x ) f 2 ( x ) dx
f1 ( x)dx
f2 ( x)dx.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интегр ала, т.е. kf ( x )dx k f ( x )dx ( k 0 – const).
4
3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой
функции с точностью до постоянного слагаемого: df ( x ) f ( x ) C .
4. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
f ( x )dx
f ( x) .
5. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выр ажению: d
f ( x )dx .
f ( x )dx
1.3. Таблица основных интегралов.
1. 1 dx
2.
3.
dx x C.
8.
xn 1
x dx
C, n
n 1
dx
ln x C.
x
n
x
4. a dx
ax
ln a
1.
9.
10.
C.
11.
5.
e x dx e x
C.
12.
6.
sin xdx
cos x C.
13.
7.
cos xdx
dx
tgx C.
cos 2 x
dx
ctgx C.
sin 2 x
dx
x
arcsin
C
a
a2 x2
dx
1
x
arctg
C.
2
2
a
a
a x
dx
1
a x
ln
C.
2
2
2a a x
a
x
dx
ln x
x2 a2
2
2
x a
C.
sin x C.
Замечание. Табличные формулы инвариантны относительно замены переменной, т.е. остаются справедливыми, если переменную x заменить любой
другой переменной или дифференцируемой функцией x u (t ) .
3x 3
2 x3 2
Пример 1. Вычислить интеграл
dx .
x
Применяя свойства интеграла 1, 2 и формулы 2 и 3 таблицы интегралов, получим
3
1
1
3x 3 2 x 3 2
2
dx
2
2
2
dx
3x 2 x
dx 3 x dx 2 x 2 dx 2
x
x
x
1
x3
3
3
1
x2
2
2 ln x
1
1
2
C
5
x
3
4 32
x
3
2 ln x
C.
5x 2
dx .
3x 1
x
25 5
1
C
4 4
ln 5
4
Пример 2. Вычислить интеграл
5x 2
dx
4x 1
25 5 x
dx
4 4x
x
25
4
5
dx
4
1 5x
ln0.8 4 x
2
1
C.
При нахождении интеграла использовалась формула 4 таблицы интегралов.
1.4. Интегрирование заменой переменной.
Если f ( x)dx нельзя найти непосредственно, используя свойства и таблицу интегралов, то преобразуют подынтегральное выражение, заменяя переменную интегрирования. Это можно сделать двумя способами – либо перемен(t ) ), либо
ную x заменяют функцией, зависящей от другой переменной ( x
какое-нибудь выражение, зависящее от x , считают новой переменной ( x) t :
f ( x)dx
x
(t )
( ( x) t )
f
(t ) d (t )
f
(t )
(t )dt
(1.1)
Оба пути решения ведут, как правило, к упрощению подынтегрального выр ажения, чтобы полученный интеграл стал табличным или раскладывался на
сумму табличных. После вычисления полученного интеграла возвращаются к
старой переменной. Основан метод на свойстве инвариантности формул интегрирования.
dx
Пример 3. Вычислить интеграл
.
x ln 3 x
dx
1 1
Заметим,
dx ln 3 x ln x dx
ln 3 xd ln x . Подынте3
3
x ln x
ln x x
( x) ln x , тогда получим
гральное выражение выражается через функцию t
интеграл ln 3 xd ln x
t 3 dt , который имеется среди табличных интегралов:
t
3
t dt
1
2t 2
3 1
3 1
C
t
Итак,
ln 3 xd ln x
C
ln x
1
2t 2
C . Далее выполним обратную замену переменных:
1
2 ln 2 x
коротко,
замена
ln x t
C.
dx
1 1
dx ln 3 x ln x dx
3
3
x ln x
ln x x
обратная замена
1
1
C.
C
t 3dt =
2
2 ln 2 x
t ln x
2t
получим
Пример 4. Вычислить интеграл
x 8 3 5 7 x 9 dx .
6
Здесь можно обозначить через новую переменную t подкоренное выражение, т.к. его производная 5 7 x 9
63x 8 , с точностью до множителя, является множителем подынтегрального выражения, т.е.
5 7x9
t
83
x
9
5 7 x dx
8
обратная замена
t
5 7x
t
63x dx =
dt
x 8 dx
63
dt
1
dt
1 t
=
63
63 4
3
1 3
5 7x9
84
9
4
4
1
t
84
3
C
3
4
3
C=
C.
5 x 2 3x 1
dx .
3x 2 27
Подынтегральное выражение является неправильной дробью, интегрирование
которой следует начать с выделения целой части в дроби:
3
1
3
1
3
46
x2
x
x2 9 9
x
x
2
5 x 3x 1 5
5
5 5
5
5 5 1 5
5 .
2
2
2
2
3x 27
3
x 9
3
x 9
3
x 9
Пример 5. Вычислить интеграл
Проинтегрируем
3
46
x
5
1 5 2 5 dx
3
x 9
5
3
3
46
x
5
5 dx
2
x 9
dx
5
3
x
46
1
x
dx
dx .
2
2
3
5 x 9
5 x 9
Последний интеграл есть среди табличных:
x
А в интеграле
x
2
производная ( x 2 9)
9
1
x
2
dx
9
1
x 3
ln
2 3 x 3
dx введем замену переменной t
x2
C.
9 , заметив, что
2 x содержится в числителе, с точностью до коэффициен-
та:
x
x
2
9
dx
x2
9 t
x
t
dx
9
dt
2 t 9
t
9
t
dt
2 t 9
7
1 dt
2 t
1
ln t
2
C
1
ln x 2
2
9
C .
5
3
5 x 2 3x 1
Получим:
=
x
ln x 2 9
dx
2
3
10
3x 27
23 x 3
ln
15 x 3
C.
1.5. Интегрирование по частям.
Пусть U U (x) и V V (x) две дифференцируемые функции. Найдём
дифференциал от их произведения: d (UV ) UdV VdU , или, что тоже самое,
UdV d (UV ) VdU . Проинтегрируем полученное равенство:
(1.2)
UdV UV
VdU .
Формула (1.2) называется формулой интегрирования по частям, она применяется, в основном, если под знаком интеграла находится произведение многочлена Pn (x) на одну из функций e kx , a kx , sin ax , cos ax , loga x , arcsin x ,
arccos x , arctg x , arcctg x . Причем, для получения положительного результата
нужно руководствоваться следующим правилом выбора функции U (x) и дифференциала dV (x) :
U ( x)
e kx
ln x
arcsin x
Pn ( x) arccos x dx
arctg x
arcctg x
e kx
kx
Pn ( x)
Pn ( x)
a
dx
dV
sin ax
cos ax
kx
a
dx
sin ax
cos ax
;
Пример 6. Вычислить интеграл ( x 3
Согласно правилу (1.3) U ( x) ln x :
U
(x
3
x4
4
x 2 dx
)
2 x
(
x4
4
(x3
dU
x)dx
x2
) ln x
2
(
V
x3
4
U ( x)
dV
Pn ( x)dx
x) ln xdx .
x) ln xdx
dV
(
ln x
ln x
arcsin x
arccos x
. (1.3)
arctg x
arcctg x
(x3
x
x4
)dx (
2
4
d ln x
dx
x
x4
4
x4 x2
) ln x
=(
x2
4
2
x)dx
2
2
4
x
x
x2
) ln x
C.
2
16 4
Пример 7.
5x
2
3x 1 cos xdx
U
5 x 2 3x 1
dV cos xdx
dU (10 x 3)dx
V sin x
8
(5 x 2
3x 1) sin x
U 10 x 3 dU
dV sin xdx V
(10 x 3) sin xdx
d (10 x 3) 10dx
sin xdx
cos x
(5 x 2
3x 1) sin x
10x 3 cos x 10 cos xdx (5x 2 3x 1) sin x 10x 3 cos x 10 sin x C.
Иногда применение формулы (1.2) позволяет выразить искомый интеграл
через самого себя, тогда в процессе решения имеем уравнение относительно
этого интеграла, решая которое, получаем ответ к примеру.
Пример 8.
x
2
3dx
x2
U
dV
x x
2
x x2
3
3
x2
V
3 3
dx
x 3
x 2 3dx
x2
dx
dx
3
x x2
x2
3
x2
3 , то есть:
x x2
x2
3dx
откуда находим
1
x x2
2
x 2 3dx
x
x
x
3
3dx
3dx 3 ln x
3
3
x
x x2
2
x2
x
3 dU
x
2
3
2
3
dx
dx =
3 ln x
x2
3,
3 3 ln x
x2
3 +С.
2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2.1. Понятие определенного интеграла
Предположим, что на отрезке a; b задана непрерывная функция y f (x) .
Разобьем отрезок a; b на n частей точками деления x0 , x1 , x2 , ..., xn , при условии
a x0 x1 x2 ... xn b . В каждом из отрезков x0 ; x1 , x1 ; x2 … xn 1 ; xn возьмем по точке, которые обозначим 1 , 2 ,..., n , и вычислим в них значения
функции f 1 , f 2 ,…, f n . Составим сумму, которая называется интегральной суммой для функции y f (x) на отрезке a; b :
n
Sn
f
1
x1
f
2
x2
...
f
n
xn
f
i
xi ,
i 1
где xi xi xi 1 , i 1, 2,..., n .
Определение. Если при любых разбиениях отрезка a; b точками x0 , x1 , ..., xn ,
xi
0 , и при любом выборе точек i на отрезках xi 1 ; xi ,
такими что max
i
i 1, 2,..., n , интегральная сумма S n
n
f
i 1
9
i
xi стремиться к одному и тому
же пределу (числу), то этот предел и называется определенным интегралом от
функции y
b
f (x) на отрезке a; b и обозначается f ( x)dx , т.е.
a
b
n
lim 0
f
max xi
i
n
f ( x)dx .
xi
i
i 1
(2.1)
a
Число a называется нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом.
Замечание. Доказано, что в наших предположениях о непрерывности функции
f (x) на отрезке a; b предел в левой части формулы (2.1) существует, т.е.
определенный интеграл от непрерывной функции на отрезке a; b существует.
2.2. Основные свойства определенного интеграла
b
1) Определенный интеграл не зависит от переменной:
b
a
a
2)
b
f ( x)dx 0 ;
3)
a
a
a
a
b
f ( x)dx ;
f ( x)dx
f (t )dt ;
f ( x)dx
b
4) Af ( x)dx
b
a
A f ( x)dx ;
a
5) Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов
b
от этих функций:
b
f ( x)
g ( x) dx
g ( x)dx ;
f ( x)dx
a
a
b
6) Для любого c
b
a
c
a; b : f ( x)dx
a
b
f ( x)dx ;
f ( x)dx
a
7) Для четных (нечетных) функций
c
0, если f ( x) нечетная ;
a
f ( x)dx
a
2 f ( x)dx, если f ( x) четная.
a
0
2.3. Вычисление определенного интеграла
Для вычисления определенного интеграла пользуются формулой Ньютона-Лейбница:
b
f ( x)dx
b
F ( x) a
F (b)
F (a) ,
(2.2)
a
где f (x) – непрерывная на a; b функция,
Пример 9.
4
4
2
1
24
14
(x
x
)dx
xdx
xdx
dx
3
3
31
31
1
1
3
3
1
1
(16 1) (4 2 1 2 )
(4 1) 7.5 7
2
3
Пример 10.
2
1 24
x
2 1
2 3 32 4
x
1
32
1 4
x
3 1
1 1.5 .
2
2sinxdx 2 sinxdx
0
F (x) – любая из первообразных f (x) .
2cos x 0 2
0
10
2(cos
2
cos 0)
2(0 1) 2 .
2.4. Замена переменной в определенном интеграле
При вычислении определенного интеграла требуется вычислять первоо бразную функции f (x) , а если интеграл не указан среди табличных, то, как и в
неопределенном интеграле, применяется замена переменной. Следует обратить
внимание на то, что замена затрагивает пределы интегрирования, т.е. если
0;1 , то при замене t
x
3 новая переменная t
x2
Если замена имеет вид x
3;4 .
(t ) , то
b
f ( (t )) (t )dt ,
f ( x)dx
(2.3)
a
где
и
находятся из условий a
( ) . После замены переменной
( ), b
и изменения пределов интегрирования возвращаться к исходной переменной не
нужно.
Замечание. Замена x
(t ) только тогда выполняется корректно, если функция
(t ) является непрерывно-дифференцируемой на отрезке
x
Пример 11.
t
4 x
x 4 t2
dx
2tdt
x
dx при x 0 имеем t
4 0 2
4 x
т.е. при x
при x 3 имеем t
4 1 1
3
0
( 4 t2 )
2tdt
t
2
Пример 12.
1
2
2
2 ( 4 t )dt
1
t
2
cos 4 x sin xdx
cos x
dt
2
2
2 4(2 1)
1
.
t
2;1
1
(8 1)
3
=
10
.
3
sin xdx
при x 0 имеем t
при x
0
2 4t
t3
3
0;3
;
имеем t
cos 0 1
cos
2
0
т.е. при x
0;
2
t
1;0
=
1
t5
1 5
1
t dt t dt
1 05
.
5
5
5
1
0
0
2.5. Интегрирование по частям в определенном интеграле
0
1
4
4
Если для вычисления интеграла требуется применить формулу интегрирования по частям UdV UV
VdU , где функции U (x) и V (x) непрерывно-
11
дифференцируемы на a; b , то используя формулу Ньютона-Лейбница, получим
b
b
U dV
UV
VdU
UV
a
b
b
VdU .
a
(2.5)
a
a
Пример 13.
x
dx
2
0 cos x
4
4
x
, dU dx
= xtgx 0 4
dx
dV
, V tgx
cos 2 x
t cos x dt
sin xdx
sin x
dx
0 cos x
4
Пример 14.
U
при x 0
cos 0 1
при x
cos
4
U 2 x 1 dU
(2 x 1)e dx
dV e x dx V
0
(3e 1) 2(e 1) e 1 .
1
x
4
sin x
dx
0 cos x
4
4
tgxdx
0
2
2
4
2
2
2dx
x 1
=
(
2
x
1
)
e
0
ex
1
4
tg
dt
t
0
4
2
4
ln t 1 2
1
4
ln
2
2
1
2 e x dx (3e 1) 2e x 0 =
0
3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
3.1. Вычисление площадей в декартовых координатах
1) Если плоская фигура ограничена сверху графиком функции y
f (x) , снизу осью ox , слева и
справа прямыми x a и x b , то ее площадь вычисляется по формуле
b
f ( x)dx .
S
(3.1)
a
2) Если плоская фигура ограничена справа графиком функции x
( y ) , слева осью oy , сверху и
снизу прямыми y
d и y c , то ее площадь вы-
числяется по формуле
d
( y )dy .
S
c
12
(3.2)
3) Если плоская фигура ограничена сверху графиком функции y
f1 ( x) , снизу графиком функции
f 2 ( x) , слева и справа прямыми x a и x b , то
y
ее площадь вычисляется по формуле
b
S
f1 ( x)
f 2 ( x) dx .
(3.3)
a
Если фигура ограничена прямыми y
ций x
1
( y) и x
2
( y) (
2
( y)
1
d , y c ( c d ) и графиками функ-
( y) на c, d ), то для вычисления площади
получаем формулу, аналогичную (3.3):
d
S
1
( y)
( y ) dy .
2
(3.4)
c
Пример 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y x 2 4 1 и
y 2 x.
Решение. Укажем на рисунке фигуру,
площадь которой нужно вычислить,
определив для этого точки пересечения линий:
x2
1
4
2 x
y
y
A(2,0) и B( 6,8) .
Из указанных выше формул вычисления площади выберем формулу (3.3),
т.к. фигура ограничена сверху и снизу кривыми y1 ( x) 2 x и y 2 ( x)
а слева и справа прямыми x
этих кривых: S
1 dx
( 6) 2
3( 6)
2
( 6) 3
12
(2
6
22
3 2
2
23
12
6 , x 2 , проходящими через точки пересечения
x2
4
2
x)
2
3 x
6
21
x2
dx
4
3x
x2
2
1
(кв. ед.).
3
Пример 16. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами
y2
4y
x2 4 1,
x 3 0 и y2
13
4y
x 0 , где x 0 .
x3
12
2
6
Чтобы построить параболы, приведем их к каноническому виду
y2
4y
x 3 0
( y 2) 2
( x 1)
x
( y 2) 2 1
(1)
y2
4y
x 0
( y 2) 2
( x 4).
x
( y 2) 2
(2)
4
Изобразим фигуру (см. рис. слева) – искомая
площадь между параболами и осью Oy заштрихована. Вычислять площадь в данном
случае проще, если переменной интегрирования считать y , иначе фигуру придется разбивать на несколько частей.
Заметим, что искомая площадь может
быть определена как разность площадей, образуемых с осью Oy параболой (2)
– S1 и параболой (1) – S 2 . Определив точки пересечения парабол с осью Oy ,
применим
4
формулу (3.4):
S
S1
S2
3
( y
2
2
4)dy
0
4
4
y
0
2
2 dy
3
4 dy
0
3
2
dy =
y 2 dy
1
1
( y
2
2
1)dy
1
y 2
3
3 4
4
4y 0
0
y 2
3
3 3
3
y1
1
28
3
3.2. Вычисление объемов тел вращения
Если плоская фигура сверху ограничена графиком функции y
f (x) , снизу осью Ox , слева и справа
прямыми x a и x b , то объем тела, полученного
вращением этой фигуры вокруг оси Ox , находится по
формуле
b
2
f ( x) dx .
Vox
(3.5)
a
Если плоская фигура справа ограничена графиком
функции x
мыми y
( y ) , слева осью Oy , сверху и снизу пря-
d и y c , то объем тела, полученного враще-
14
нием этой фигуры вокруг оси Oy , находится по формуле
d
2
( y ) dy .
Voy
(3.6)
c
Пример 17. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox плоской
фигуры, ограниченной линиями x 2y
0 и x2
4y 0 .
Первая линия является прямой, вторая параболой, найдем точки, в которых линии пересекаются. Для этого решим систему уравнений:
x 2y
x
2
0
4y
x
2
x2
4
y
0
y
A(0;0)
В(2;1).
Изобразим тело вращения, заштриховав
вращаемую фигуру.
Объем всего тела вращения вокруг оси
Ox равен разности объемов – V1 , полученного
от вращения треугольника, и V2 , полученного от вращения криволинейного
треугольника,
2
0
x
2
2
2
dx
0
ограниченного
x2
4
2
dx
x3
6
2
0
сверху
x5
80
2
0
дугой
23
6
параболы:
25
80
V
V1 V2
14
.
15
Пример 18. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy плоской
фигуры, ограниченной линиями x 2
4y2
8 и x2
4 y 0 , где y 0 .
Первая линия является эллипсом, вторая параболой. Найдем точки, в которых линии пересекаются. Для этого решим систему уравнений:
x2
4y2
x2
4y 0
8 4 y2
4y
8
x2
8 4 y2
x2
4y
A(2;1)
y 1
В( 2;1).
Изобразим тело вращения, заштриховав вращаемую фигуру.
15
Объем всего тела вращения вокруг оси Oy равен сумме объемов верхней
части – V1 и нижней части – V2 . Для вычисления объемов V1 и V2 , применим
формулу (3.6):
2
V V1 V2
8 4y
2
2
1
dy
2
1
8 4 y dy
0
y2
4
2
1
(8 2
0
1
2
2 y dy
1
y3
8y 4
3
2
2
4
1
ydy
0
4
4
( 2 ) 3 ) (8
)
3
3
2 (1 0)
2
8 2 7
3
.
3.3. Вычисление длин дуг плоских кривых
Если линия – это график функции y
этой линии, вычисляется по формуле l
f (x) где x
b
a; b , то длина дуги
f ( x) dx , где функция f (x) на
2
1
a
рассматриваемом отрезке – непрерывно-дифференцируема.
Пример 19. Вычислить длину дуги линии y 1 ln(sin x ) , где
Используем формулу длины дуги l
b
4
x
2
.
f ( x) dx , тогда получим:
2
1
a
2
2
l
1
1 ln(sin x
2
dx
1
4
2
4
cos x
sin x
4
d cos x
cos 2 x 1
1 cos x 1
ln
2 cos x 1
2
4
2
2
dx
1
dx
sin x
4
cos
1
1
2
ln
2 cos
1
2
cos
1
1
4
ln
2 cos
1
4
2
d cos x
sin 2 x
4
1
2 1
ln
.
2
2 1
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
4.1. Понятие дифференциального уравнения
Уравнение, содержащее неизвестную функцию, ее аргументы, производные или дифференциалы искомой функции, называется дифференциальным
уравнением. Если искомая функция зависит от одного аргумента, то уравнение
называется обыкновенным дифференциальным уравнением:
16
F ( x, y( x), y ( x), y ( x),...) 0 .
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок
производной, входящей в уравнение. Например, y
y x3
y 2 x – обыкновенное
дифференциальное уравнение второго порядка.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение
F ( x, y( x), y ( x)) 0 (или для упрощения записи F ( x, y, y ) 0 ). Уравнение может быть записано через дифференциалы F ( x, y, dx, dy) 0 .
Некоторые уравнения первого порядка разрешимы относительно производной и могут быть записаны в виде
y
f ( x, y) .
(4.1)
4.2. Понятие общего решения дифференциального уравнения
Общим решением дифференциального уравнения (4.1) называется функция вида
y
( x, c ) ,
(4.2)
которая зависит от переменной x и от произвольной постоянной c и при подстановке в уравнение (4.1) обращает его в тождество.
4.3. Понятие частного решения дифференциального уравнения
Частным решением дифференциального уравнения (4.1) называется решение, которое получается из общего (4.2) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной c .
Задачей Коши называют задачу нахождения такого частного решения
y
( x, c ) уравнения (4.1), которое удовлетворяет заданному начальному
условию y0
условием y0
y( x0 ) , т.е. значение произвольной постоянной c определяется
( x0 , c ) . График частного решения называется интегральной
кривой.
17
Общее решение (4.2) дифференциального уравнения (4.1) на плоскости
xOy это множество интегральных кривых, а каждому частному решению уравнения (4.1) соответствует одна из них. Если частное решение определяется
начальным условием y0
y( x0 ) , то интегральная кривая проходит через точку
M ( x0 , y0 ) .
Решениями дифференциального уравнения
y1 ( x)
2 x , очевидно, являются функции
y
x 2 , y 2 ( x)
x 2 1 , y 2 ( x)
x2
5 и т.д.,
которые можно коротко записать в виде
y
( x, c )
x2
c – это и есть общее решение,
а интегральные кривые на плоскости – параболы (см. слева).
Для определения интегральной кривой,
проходящей через точку A(2;5) , найдем значение произвольной постоянной c
из условия: y0
y( x0 ) , в нашем случае: 5
y (2) , т.е. 5
довательно, c
1. Соответствующее частное решение имеет вид y
(2, c )
c , сле-
22
x2
1 , его
график обозначен на рисунке штриховой линией.
4.4. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися
переменными
Если дифференциальное уравнение может быть представлено в виде (4.1),
где правая его часть f ( x, y ) допускает представление в виде произведения:
f ( x, y ) h( x) g ( y ) , то такое уравнение называется уравнением c разделяющимися переменных. Такое уравнение можно привести к виду, где разные переменные сгруппированы в разных частях равенства
y
h( x) g ( y)
dy
dx
h( x ) g ( y )
18
dy
g ( y)
h( x)dx ,
последнее уравнение называется уравнением в разделенных переменных.
Замечание. В процессе деления на g ( y ) необходимо чтобы g ( y ) 0 , т.к.
имеется возможность потерять решение y
a ( a const ), где g (a)
необходимо отдельно проверить является ли функция y
0 – тогда
a решением исходно-
го уравнения.
Пример 20. Найти общее решение дифференциального уравнения
y
2 x xy .
Представим уравнение в виде
dy
dx
x(2
на в виде произведения f ( x, y ) h( x) g ( y )
y ) , где правая часть представле-
x( 2
y) , т.е. исходное уравнение,
dy
при делении его (2
y ) допускает разделение переменных
проверить, что y
2 есть решение уравнения). Проинтегрируем последнее
уравнение:
y ( x, C1 )
C1e
dy
2
x2
2
y
xdx
2 . Если C1
ln y
2
x2
2
c
y 2
e
x2
c
2
2
y
y 2
0 , то получим потерянное решение y
xdx (далее
x2
2
e C1 , т.е.
2.
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными может
быть задано в виде
f1 ( x, y)dx
f 2 ( x, y)dy ,
(4.3)
где функции f1 ( x, y) и f 2 ( x, y) тоже могут быть представлены в виде произведения функций f1 ( x, y) h1 ( x) g1 ( y) , f 2 ( x, y) h2 ( x) g 2 ( y) :
h1 ( x) g1 ( y)dx h2 ( x) g 2 ( y)dy .
(4.4)
Чтобы решить уравнение (4.4) необходимо выполнить разделение переменных, для этого выполним деление обеих его частей на произведение
h2 ( x) g1 ( y) . Получим уравнение в разделенных переменных:
h1 ( x)
g 2 ( y)
dx
dy .
h2 ( x)
g1 ( y )
Интегрируя обе части уравнения (4.5), получим общее решение
19
(4.5)
Пример
xy 2
Найти
21.
x2 y
x dx
h1 ( x)
g 2 ( y)
dx
dy .
h2 ( x)
g1 ( y )
общее решение дифференциального
вида
(4.4).
Разделим
( x 2 1)( y 2 1)
h2 ( x) g1 ( y )
уравнения
y dy .
Представим уравнение в виде x y 2 1 dx
нение
(4.6)
0:
обе
x
x
2
1
y x 2 1 dy , очевидно, это урав-
его
y
dx
y
2
1
части
на
произведение
x
dy , отсюда
x
2
dx
1
y
y
2
dy .
1
Вычислим каждый из интегралов:
x
x
2
U
dx
1
аналогично,
x2 1
dU 2 xdx
dU
xdx
2
y
y
2
dy
1
1 dU
U 2
1 dU
2 U
обе
ln C x 2 1
части
1
ln x 2 1 C1 ,
2
C1
1
ln y 2 1 C 2 .
2
1
ln x 2 1 (C1 C 2 )
2
Общее решение (4.6) имеет вид:
жим
1
ln U
2
на
2
и
представив
ln y 2 1 , откуда C x 2 1
1
ln y 2 1 , умно2
2(C1 C2 ) ln C ,
y2 1
y
C x2 1
получим
1.
Пример 22. Найти частное решение дифференциального уравнения
xy 2
x dx
x2 y
y dy удовлетворяющее начальному условию y (0) 2 .
Решение состоит из двух этапов.
1 этап. Определяется общее решение дифференциального уравнения. См. пр имер 21, в котором оно было найдено: y
C x2 1
1.
2 этап. Из общего решения определяется то единственное, которое соответствует начальному условию y (0) 2 , т.е. при x0
ние постоянной C : 2
C 02 1
1
Итак, частное решение имеет вид y
2
0 и y0
C 1
5 x2 1
20
1.
2 >0 определяется значе4 C 1
C
5.
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Задания для самостоятельной работы.
№ 1 - № 7. Вычислите неопределенные интегралы.
№ 8, № 9. Вычислите определенные интегралы.
№ 10. Найдите площадь фигуры ограниченной заданными линиями.
№ 11. Вычислите длину кривой на заданном интервале.
№ 12. Найдите объем тела полученного в результате вращения плоской фигуры
вокруг заданной (в фигурных скобках) оси.
№ 13. Найдите общее решение дифференциального уравнения.
№ 14. Найдите частное решение дифференциального уравнения.
Вариант 1.
1.
-
8.
2.
9.
3.
10.
11.
12.
13.
14.
4.
5.
6.
4y=8x-x2, 4y=x+6
y=lnx, 1≤x≤2
x2+y2=9, y≥0, {ох}
(3+ex)yy/=ex
tgxy/=tgy, y(π/6)=π/4
7.
Вариант 2.
1.
8.
2.
9.
3.
10. y=4-x2, y=3
11. y2=x3, 0≤x≤5
4.
5.
6.
7.
12. y=
, x-3y+5=0, {ох}
/
13. y(1+lny)+xy =0
14. tgysin2xdx+cos2yctgxdy=0 y(π/4)=π/4
21
Вариант 3.
1.
8.
2.
9.
3.
4.
10. y=-x2-2x, y=0,5x+1
11. 9y2=4x3, 0≤x≤3
12. x+2y-4=0, y=x, x=0, {оу}
5.
13.
6.
7.
14. y /tgx=-y2,
+yy/
=0
y(π/4)=-1
Вариант 4.
1.
8.
2.
3.
9.
6.
10.
11.
12.
13.
7.
14. xyy/==
4.
5.
x=
, x=0, y=0, y=1
4-y=lnx, 1≤x≤2
2y=x2, 8y=x3, {ох}
2xyy/=1-4x3
,
y(1)=π
Вариант 5.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
7.
22
xy=6, y=7-x
y=
, 0≤x≤5
y=x2, y=2x, {ох}
4xdx-3ydy=3x2ydy-2xy2dx.
y/ctgx-y=2, y(π/3)=-1
Вариант 6.
1.
8.
2.
9.
3.
4.
5.
6.
–
10. y=-x2+6x и осью OX
11. y=0,25x2-0,5lnx, 1≤x≤L
12. y2=4x, y=2, x=3, {оу}
13.
y/+xy2+x=0
14. (1+cosx)xx/=siny, x(π/4)=2
7.
Вариант 7.
1.
8.
2.
9.
3.
10. y=x2+4x, y=x+4
11. y=lnsinx, π/6≤x≤π/3
12. y=x2-9, y=-5, {оу}
4.
5.
13.
6.
14. cosysinxdy=cosxsinydx, y(π/2)=π/6
dx-ydy=x2ydy
7.
Вариант 8.
1.
2.
3.
4.
5.
8.
9.
10. x2+y=4x,
11.
12.
13.
14.
6.
7.
23
y=2x
y=0,5x2, 0≤x≤
y=x x2+y2=2x, {оу}
(1+x3)y/-x2y=0
cos 2xy/=y3, y(0)=1/2
Вариант 9.
1.
8.
2.
9.
3.
10.
11.
12.
13.
14.
4.
5.
6.
y=(x-1)2, y2=x-1
y=lnx-2, 1≤x≤2
y=2-x, y=2x-x2, {оу}
(yx2+y)y/=x-xy2=0
cos 2(y)x/=x3, x(0)=1/2
7.
Вариант 10.
1.
8.
2.
9.
3.
4.
5.
6.
7.
10. y=3ex, y=3, x=2
11. (y-1)2=x3, 0≤x≤5
12. xy=4, y=1, x=1, {ох}
13. (ex+3)dy=y3exdx
14. (1+cosx)y /=y2sinx, x(π/2)=-1
Вариант 11.
1.
8.
2.
9.
3.
10. y=
4.
11. 9(y+2)2=4x3, 0≤x≤3
12. xy=6, y=1, x=1, {ох}
13. y(x+2)y /=y2+4
5.
6.
7.
, x=
14. (2+y)y /=
24
, x(0)=π/2
Вариант 12.
1.
2.
3.
8.
9.
5.
10. y2+x-5=0, x=0
11. x2+(y-1)2=4, 0≤x≤1
12. y=x2+1, y=3x+1, {ох}
6.
13. y /=
7.
14. y /=4x3cos 2y, y(0)=π/4
4.
Вариант 13.
1.
8.
2.
9.
3.
4.
5.
6.
10. x=4-(y-1)2,
x=0
11. y-2= x2- lnx, 1≤x≤e
12. y2=4-x, x=1, {оу}
13. xyy/=2+y2
14. tgyx/=tgx, y(π/6)=π/4
7.
Вариант 14.
1.
8.
2.
9.
3.
5.
10.
11.
12.
13.
6.
14.
4.
7.
25
x=4y2-4y+3, x=0
y+2=lnsinx, π/6≤x≤π/3
y=2x-x2, y=x, {оу}
(x2+x2y3)dy=(y2+y2x3)dy
dx=
, y(π)=2
Вариант 15.
1.
8.
2.
9.
3.
10. x=7ex, x=3, y=7
11. y-3=lncosx, 0≤x≤π/3
12. y+x-5=0, yx=4, {ох}
13. ex(1+ex)dx+ey(1+ex)dy=0
14. y2cos 2xy/=1/3 y(0)=0
4.
5.
6.
7.
Вариант 16.
1.
8.
2.
9.
10. y=32-x 2, 4x+y=0
3.
11. 2y-1=x2, 0≤x≤
12. y=8-x2, y=x2, {ох}
4.
5.
13. y/=
6.
7.
14. x2cos2yx/=1/3, x(0)=0
Вариант 17.
1.
8.
2.
9.
3.
4.
5.
6.
7.
10. y=-x2+6x, y=x+4
11. x2+y2=4, 0≤x≤1
12. y=3x-x2, y=2
13. 2xdx-2ydy=x2ydy-2xy2dx
14. y /tgx+x=1, y(0)=0
26
Вариант 18.
1.
8.
2.
9.
10. 4y=x2, 4x=y2
11. (4-y)2=x3, 0≤x≤5
12. y2=5x, 5y=x2, {ох}
3.
4.
5.
13. y/=
6.
7.
14. y/=y2ctgx,
y(π/2)=-1
Вариант 19.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. y=x+4, y2=1+x
11. (y-1)2=9x3, 0≤x≤3
12. xy=2, x+2y-5=0, {ох}
13.
=
14. yy/=-
, y(0)=π/2
Вариант 20.
1.
8.
2.
9.
3.
5.
10. x=1, y2=4-x
11. x2+(y-5)2=4, 0≤x≤1
12. y=x2/2, y=x3/8, {ох}
13. xydy=(2+x2)dx
6.
14. y/=-
4.
7.
27
, y(-π/2)=e
Вариант 21.
1.
8.
2.
9.
3.
10. xy=4, x+y-5=0
11. 2+4y=x2-2lnx, 0≤x≤e
12. y2=3x, x2=3y, {ох}
4.
5.
13. x
6.
dx+y
dy=0
14. (2+cosx)y/=ysinx, y(π)=e
7.
Вариант 22.
1.
8.
2.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
3.
4.
5.
6.
y=8-x2, y=x2
7+y=lnsinx, π/3≤x≤ π/2
y=e2x, y=1, x=1, {ох}
(x2-1)y/=2y2
y/tgx-y=2, y(π/4)=-1
7.
Вариант 23.
8.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
.
9.
10. xy=2, x+2y-6=0
11. y=3+lncosx, π/6≤x≤π/3
12. y=x2-2x+3, y=0, x=1, x=2, {ох}
13. x2y/-(2x-1)y=0
14. y/=tgxtgy, y(0)=π/6
7.
28
Вариант 24.
8.
1.
2.
.
3.
9.
10. y2=3x,
x2 =3y
11. 2y-7=x2, 0≤x≤
12. x2+4y-16=0, x-2y+4=0, {ох}
4.
5.
13. y/+
6.
14. y/tgx-y=1,
y=0
y(π/3)=0
7.
Вариант 25.
1.
2.
8.
.
9.
4.
10. y=x2-5x+6 y=0, x=-1, x=2
11. y-3=lnx, 1≤x≤2
12. y=ex, y=e-x, x=-1, {ох}
5.
13. yy/=
6.
14. cosxsinydy=sinxcosydx, y(0)=π/4
3.
7.
Вариант 26.
1.
2.
3.
4.
8.
9.
10. y=ex, y=e-x, x=-1
11. (y-4)2=x3, 0≤x≤5
12. y=x2, y=2-x4, {ох}
5.
6.
13. y/+
7.
14. y3y/=1+2x,
29
=0
y(0)=2
Вариант 27.
1.
8.
2.
9.
3.
10.
11.
12.
13.
14.
4.
5.
6.
7.
x2+y-16=0 y=x
(y-1)2=25x3, 0≤x≤3
y=2x2, y=3-x4, {ох}
xx/+y=1
(1+cosx)yy/=sinx, y(π/4)=2
Вариант 28.
1.
8.
2.
9.
3.
10. y=x2+6x, y=5-x4
11. (y+5)2+ x2=4, 1≤x≤1
4.
12. 2y=3
, 4y=4-x, {ох}
13. xydy+(x+1)dx=0
14. y/tgx+y=2, y(π/4)=1
5.
6.
7.
Вариант 29.
1.
8.
2.
9.
3.
4.
5.
6.
7.
10. y=x2+4, y=2x+1
11. 4y+1=x2-2lnx, 1≤x≤e
12. y2=2x-2, y=x-1, {оу}
13. y(x2+1)y/=1+y2
14. (1+ex)yy/=ex, y(0)=1
30
Вариант 30.
1.
8.
2.
9.
3.
10. y2-2x+2=0, x-y-1=0
11. y-2/3=lnsinx, π/3≤x≤ π/2
4.
12. 2y=3
, 4y=4-x2, {ох}
13. xyy/=1-x2
14. y/ctgx+y=0, y(π/3)=1
5.
6.
7.
Вариант 31.
1.
8.
2.
9.
10.
11.
12.
13.
3.
4.
5.
y=4x-x4, y=2x
y+1/2=lncosx, 0≤x≤ π/3
y=2x, y=0, x=1, x=3, {ох}
tgxsin2ydx=cos 2xctgydy
14. (x2-1)y/+2xy2=0, y(
6.
)=1
7.
Вариант 32.
8.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
.
9.
10. y=3x, x=y, x=2
11.
12.
13.
14.
7.
31
3+2y-3= x2, 0≤x≤
y2=4x, y=x, {оу}
y/=tgxtgy
x2y2y/=1-x2
y(1)=0
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики / И.П. Натансон.– СПб; М.;
Краснодар: Лань, 2009. – 736 с.
2. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г.
Попов, Т.Я. Кожевникова, Ч. 1. – М.: Оникс, 2009. – 386 с.
3. Щипачев В.С. Высшая математика: Учеб. пособие:/В.С. Щипачев – М.:
Высшая школа, 2003 г. – 479 с.
4. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление [текст]: учеб.
пособие; Т.1 /Н.С. Пискунов.– М.: Интеграл–Пресс, 2008. – 416 с.
5. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление [текст]: учеб.
пособие; Т.2 /Н.С. Пискунов.– М.: Интеграл–Пресс, 2008. – 544 с.
6. Виленкин, И.В. Высшая математика. Лин. алгебра. Аналит. геометрия. Дифф.
и интегр. исчисления [текст] / И.В. Виленкин, В.М. Гробер, 6-е изд. – Ростов
н/д: Феникс, 2001. – 414 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………….....................................................................................
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ……………………………………………………...
2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ…………………………………………………………
3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА......................................................
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ……………………………………………….
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ….. …...……..……………………………….
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………...……..…………….
3
4
9
12
17
21
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
Методические указания и контрольные задания
по курсу высшей математики.
Составители: Людмила Васильевна Акчурина
Александра Марковна Дементьева
Наталья Александровна Сапожкова
Подписано в печать 06.10. 2014. Формат 60/84 1/16 Уч.-изд.л.2,0. Усл.-печ. л. 2,1.
Бумага писчая. Тираж 200 экз. Заказ № 402.
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства учебной литературы
и учебно-методических пособий Воронежского ГАСУ
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
32
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
15
Размер файла
1 903 Кб
Теги
интеграл, 334, определенное, неопределенн
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа