close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

392. Математика программа и контрольные задания №1, 2

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
“Воронежский государственный архитектурно-строительный университет”
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИКА
Программа и контрольные задания №1, 2
по 1-й части (1-й семестр) курса математики
для студентов бакалавриата заочной формы обучения
направления 120700 «Землеустройство и кадастры»
Воронеж 2014
УДК 51(07)
ББК22.1я7
Составители
Н.Н. Некрасова, М.Д. Гончаров, М.Ю. Глазкова
Математика программа и контрольные задания №1, 2 по 1 ч. (1-й семестр)
курса математики для студ. бакалавриата заочной формы обучения
направления 120700 «Землеустройство и кадастры»/ Воронежский ГАСУ ;
сост.: Н.Н. Некрасова, М.Д. Гончаров, М.Ю. Глазкова. – Воронеж, 2014. – 24 с.
Приводится программа и контрольные задания №1,2 к 1-й части курса
математики (1 семестр). Даны ссылки на литературу, которой можно
пользоваться при подготовке к зачету и выполнении контрольных работ.
Методические указания предназначены для студентов-бакалавров 1-го
курса заочной формы обучения специальности «Землеустройство и кадастры».
Библиогр.: 6 назв.
УДК 51(07)
ББК22.1я7
Рецензент – В.П. Авдеев, доктор тех. наук, проф. кафедры
информатики и графики Воронежского государственного архитектурностроительного университета
2
Введение
Математические методы играют важную роль в современной науке,
технике и экономике. Возможность успешного применения математики при
решении конкретных задач особенно усилилась благодаря всеобщей
компьютеризации.
Курс математики является основой естественнонаучного образования
бакалавра. Поэтому для успешного изучения физики, механики,
электротехники, теории машин и механизмов, а также многих других
общетеоретических и специальных дисциплин необходимо понимать смысл
математических терминов и понятий таких, как уравнение, функция,
производная, интеграл и тому подобное.
Математика – инструмент познания. Она развивает методы решения
широких классов задач, которые постоянно встречаются на практике. Однако
изучение математики невозможно без решения учебных задач и
систематического, вдумчивого чтения учебной литературы. Все это развивает
мышление, приучает самостоятельно находить пути выхода из сложных
ситуаций, что необходимо для успешной профессиональной деятельности.
Общие рекомендации
К первой части (1-й семестр) курса математики отнесены элементы
линейной и векторной алгебры, аналитическая геометрия, введение в
математический анализ и дифференциальное исчисление функции одной
переменной.
Материал рекомендуем разбирать по вопросам, указанным в рабочей
программе. Там же вы найдете страницы учебников и номера задач, которые
следует проработать.
К зачету необходимо выполнить две контрольных работы. Каждая работа
выполняется в отдельной тетради. Оформление должно быть аккуратным,
записи четкими, а решение должно сопровождаться подробными пояснениями
с необходимыми ссылками на теорию.
Приступать к выполнению контрольных работ следует после изучения
необходимого теоретического материала и разбора решения нескольких
аналогичных задач.
Относитесь добросовестно к изучению теории и самостоятельному
решению задач контрольной работы, т. к. на зачете вам придется решать
аналогичные задачи и отвечать на вопросы программы.
3
Список рекомендуемой литературы
1. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. 4-е
изд. /Д.В. Беклемишев. – М.: Наука, 1980. – 225 с.
2. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов
Т.1/Н.С. Пискунов.– М.: Наука, 1985. - 432 с.
3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1/П.Е. Данко,
А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1999. – 304 с.
4. Бугров, Я.С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии/ Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Наука, 1990.
– 176 с.
5. Бугров ,Я.С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное
исчисление/ Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Наука, 1990. – 185 с.
6. Седаев , А.А. Некрасова Н.Н. Элементы линейной алгебры, аналитическая
геометрия и введение в математический анализ/ А.А. Седаев , Н.Н. Некрасова
- Учебное пособие, из-во ВГАСУ, 2007. - 184 с.
Указания по обращению к рекомендуемой литературе даны в тексте
рабочей программы. Номера источников из приведенного выше списка
пишутся в квадратных скобках. Например [I, гл. 2, §2] означает: учебник
Беклемишева Д.В., гл. II, §2. Особенно рекомендуем пособие 6, специально
написанное для заочников ВГАСУ и имеющееся в библиотеке.
Вопросы программы к контрольной №1
Раздел I. Элементы линейной алгебры
1. Система m линейных уравнений с n неизвестными. Понятие решения
системы, совместные и несовместные системы.
2. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса, условие их
несовместности.
3. Матрица, ее строки, столбцы и размеры. Основная матрица и расширенная
матрицы системы линейных уравнений.
4. Определители 2-го и 3-го порядка. Свойства определителей. Минор и
алгебраическое
дополнение
элемента
определителя.
Вычисление
определителя любого порядка разложением по строке или столбцу.
5. Формула Крамера. Условие несовместности системы.
Литература: [I, гл.V, §3]; [3, задачи 391-393; 445-447, 449]; [I, гл. I §3,
п. 5-9]; [3, задачи 208-211, 217, 219, 222, 225, 227, 228]; [I, гл. V, §2)] [3,
задача 387]; [4, §§ 1, 2, 3, 4], [6, гл 1, стр. 9-23].
4
Раздел II. Векторная алгебра
1. Векторы. Равные векторы. Коллинеарные и компланарные векторы.
2. Сложение и вычитание векторов, правила параллелограмма, треугольника и
многоугольника. Умножение вектора на число. Свойства.
3. Пропорциональность коллинеарных векторов. Разложение вектора на
плоскости по двум неколлинеарным векторам.
4. Разложение вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам.
Координаты разложения.
5. Понятие базиса, координаты разложения вектора по базису. Действия над
векторами в координатой форме.
6. Числовая ось. Декартова система координат на плоскости. Нахождение
координат точки, построение точки по ее координатам.
7. Радиус - вектор точки. Координаты радиуса - вектора в базисе из единичных
векторов, направленных по осям координат. Вычисление координат вектора
через координаты его начала и конца. Вычисление длины вектора.
8. Формулы для координат точки, делящей отрезок в данном отношении.
9. Скалярное произведение векторов и его свойства, физический смысл.
10. Вычисление скалярного произведения через координаты сомножителей в
базисе i , j , k .
11. Вычисление длины вектора, угла между векторами и расстояния между
точками в декартовой системе координат.
12. Векторное произведение и его свойства, механический смысл.
13. Вычисление векторного произведения через координаты сомножителей в
базисе i , j, k .
14. Вычисление площади параллелограмма и треугольника через координаты
его вершин.
15. Смешанное произведение трех векторов. Его свойства и геометрический
смысл.
16. Вычисление смешанного произведения через координаты сомножителей.
Вычисление объема пирамиды.
Литература: [ I, гл. I, §1, §2]; [3, гл. I, §1 гл. II, §1, §2]; [4, §§5,7,14,16],
гл 2, стр. 37-74].
[6,
Раздел III. Аналитическая геометрия
1. Понятие об уравнении линии на координатной плоскости. Геометрическое
изображение множества решений уравнений F ( x, y ) 0 на координатной
плоскости.
5
2. Уравнение прямой в общем виде. Построение прямой и нахождение вектора,
перпендикулярного к прямой, по ее уравнению.
3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, геометрический смысл его
коэффициентов.
4. Вычисление угла между прямыми через их угловые коэффициенты.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых через их угловые
коэффициенты.
5. Уравнение прямой с данным угловым коэффициентом k , проходящей через
точку M 0 ( x0 , y0 ).
6. Уравнение прямой, проходящей через две точки: M1 ( x1, y1 ) и M 2 ( x2 , y2 ) .
7. Вычисление расстояния от точки M 0 ( x0 , y0 ) до прямой Ax By C 0 .
8. Полярная система координат на плоскости. Связь между полярными и
декартовыми координатами точки. Примеры задания кривых уравнением в
полярной системе координат.
9. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке M 0 (x0 , y0 ) .
10. Эллипс, его фокусы, каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет
эллипса и окружности.
11. Гипербола, фокусы, каноническое уравнение. Асимптоты и эксцентриситет.
12. Парабола. Фокус и директриса. Каноническое уравнение параболы. Ось
симметрии.
13. Преобразование координат точки при параллельном переносе системы
координат.
14. Преобразование координат точки при параллельном переносе системы
координат.
15.Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду.
16. Параметрическое задание кривой.
17. Уравнение поверхности. Цилиндрические поверхности.
18. Уравнение плоскости, проходящей через точку ( x0 , y 0 , z 0 )
перпендикулярно вектору n ( A, B, C ) . Уравнение плоскости в общем виде.
19. Уравнение плоскости, проходящей через три точки: ( x0 , y 0 , z 0 ) ,
( x1 , y1 , z1 ) , ( x 2 , y 2 , z 2 ) .
20.Задание прямой в пространстве в общем виде. Нахождение координат
пересечения прямой и плоскости через их уравнения.
21. Расстояние от точки ( x0 , y 0 , z 0 ) до плоскости Ax By Cz D 0 .
22. Уравнение прямой, параллельной вектору a (l , m, n) и проходящей через
точку ( x0 , y 0 , z 0 ) (параметрическое задание прямой и канонические
уравнения прямой).
23. Уравнения прямой, проходящей через две точки: ( x1 , y1 , z1 ) , ( x 2 , y 2 , z 2 ) .
24. Уравнение сферы радиуса R с центром в точке ( x0 , y 0 , z 0 ) .
25. Эллипсоид. Каноническое уравнение и форма.
26. Однополостный гиперболоид. Каноническое уравнение и форма.
6
27. Двуполостный гиперболоид. Каноническое уравнение и форма.
28. Эллиптический параболоид. Каноническое уравнение и форма.
29. Гиперболический параболоид. Каноническое уравнение и форма.
Литература: [1, , гл. II, §1, п. 1, 3, 5; §§ 2,3, гл. III, §1,2, п. 1,2,3 гл. III, §4 ],
[2, гл. I, §10, упр. 41-45], [ 3, гл. I, §1, задачи 37-39, 41, 42, 49, 51-56, 42, 4451; §2 задачи 63-69, 78-90; §3, задачи 141,144, 146, 149, 151, 154, 155, 156,
167, 168, 169; §4, задачи 176-181, 199-201, гл. III, §1, задачи 287-290, 297,
316, 328, 333, 334, §2, 369, 371, 372], [4, §§8, 9,10, 19, 24, 25], [6, гл 3, стр.74115 , гл 4, стр. 115-140].
Вопросы программы к контрольной №2
Раздел IV. Введение в математический анализ
1. Понятие функции. Область определения и область значений. График
функции. Возрастание и убывание функции, периодические функции.
2. Способы задания: а) аналитический (явный, неявный); б) табличный; в)
графический.
3. Понятие обратной функции.
4. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
5. Предел числовой последовательности и переменной величины.
6. Понятие о пределе функции y y (x) в точке x a .
7. Основные правила нахождения пределов: предел суммы, произведения и
частного переменных величин, имеющих пределы.
0
8. Понятие неопределенности. Раскрытие неопределенности типа или .
0
9. Признаки существования предела: теорема о промежуточной переменной;
теорема о монотонной ограниченной переменной.
10. Первый замечательный предел (с выводом).
11. Второй замечательный предел и число e (без вывода).
12. Следствия из первого и второго замечательных пределов.
13. Односторонние пределы функции в точке. Связь с обычным пределом.
14. Определение непрерывности функции в точке и на интервале. Точки
разрыва. Иллюстрация на графике.
15. Определение непрерывности на языке односторонних пределов. Точки
разрыва и их классификация.
16. Понятие сложной функции. Непрерывность сложной функции,
составленной из непрерывных.
17. Свойства непрерывных на отрезке функций.
7
Литература: [2, гл. I, §1-6, упр. 1-6, §7, упр. 8-10, 12, 14, 16, 18, 2, 29, 34,
39, 40; §8, упр. 7 §9 , гл. II, §§1-5, упр. 1, 4, 6, 8-14, 18, 19, §6, упр. 31-33, 35,
37-40; §§7,8, упр. 41-44, 46, 48, 49; §9, упр. 2, 3, 21-23, 25-30, 45, 47, 57, 59;
§§10, 11, упр. 60-62], [3, гл. VI, §2, §3, §§4,6], [5, §§1.4-1.11, 3.1], [6, гл 5, стр.
140-170].
Раздел V. Дифференциальное исчисление функции
одной переменной и его применение
1. Определение производной функции в точке. Ее геометрический и
физический смысл.
2. Правила дифференцирования: производная суммы и разности функций;
производная произведения функций; производная частного функций;
производная константы; производная произведения функции на число; правило
нахождения производной сложной функции.
3. Таблица производных основных элементарных функций.
4. Вторая производная и ее механический смысл. Производные высших
порядков.
5. Дифференциал функции в точке и его связь с приращением функции (два
основных свойства дифференциала). Формула вычисления дифференциала
функции через ее производную и дифференциал (приращение) аргумента.
Символическая запись производной в виде отношения дифференциалов.
Применение дифференциала для приближенного вычисления значений
функции.
6. Формула Лагранжа (формула конечных приращений).
0
7. Формула Коши. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей , .
0
x
m
8. Представление функций e , cos x , sin x , ln(1 x) , (1 x) по формуле
Тейлора в окрестности нуля.
9. Приложения формулы Тейлора для приближенного вычисления значений
функции.
10. Возрастание и убывание функции на интервале. Связь со знаком первой
производной.
11. Точки максимума и минимума (точки экстремума). Необходимое условие
экстремума кусочно-дифференцируемой функции. Критические точки
функции. Постоянство знака производной кусочно-дифференцируемой
функции на интервале между соседними критическими точками.
12. Проверка критической точки на существование в ней экстремума с
помощью знака первой производной. Достаточный признак экстремума,
основанный на знаке первой производной.
8
13. Проверка стационарной точки на существование в ней экстремума с
помощью знака второй производной. Достаточный признак экстремума,
основанный на знаке второй производной.
14. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной и кусочно дифференцируемой функции на отрезке.
15. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Связь
направления выпуклости графика функции со знаком второй производной.
16. Понятие асимптоты графика функции. Вертикальные асимптоты и их
отыскание.
17. Наклонные асимптоты и их отыскание.
18. Общая схема исследования функции заданной формулой: область
определения; исследование поведения функции на границе ее области
определения (предел функции на границе, асимптоты); нахождение первой
производной; определение с ее помощью критических точек, интервалов
возрастания и убывания функции и точек экстремума; нахождение второй
производной; определение с ее помощью интервалов выпуклости и вогнутости
графика функции и точек перегиба. Построение графика функции по
результатам исследования.
Литература : [2, глава III, задачи 1, 3, 4, 7, 10, 15, 16, 20-22, 40, 45, 71,
50-80, 116, 120, 137, 222-227; глава V, задачи 3, 14, 22, 27, 32, 34, 40, 52, 54, 62,
67-71, 75, 78, 84, 95, 103]; [3, глава VII, задачи 739-765, 768-770, 945-948, 975977, 980, 1015-1020, 1053].
Определение варианта
Для определения номера своего варианта возьмите двузначное число, на
которое оканчивается номер вашего шифра (номер вашей зачетной книжки).
Если оно не превосходит 20, то это номер вашего варианта. В противном
случае вычитайте из этого числа 20 до тех пор, пока остаток не станет меньше
21. Тогда этот остаток и есть номер вашего варианта.
Условие задачи состоит из общей для всех вариантов формулировки и
двадцати вариантов конкретных данных. Именно для этих данных вам
надлежит выполнить решение своего варианта.
При оформлении контрольной работы условия задач следует переписывать
полностью. Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради с
полями и сдается (отсылается) для проверки в установленное деканатом время.
9
Контрольная работа №1
Задача 1. Решить неоднородную систему линейных уравнений методом
Гаусса и методом Крамера.
2x
y 3z
y 2z
1. x
x 2y
z
7
3.
6
x 2 y 3z 4
4. 2 x y 3z 3 .
3x 2 y z 2
7.
10.
2x 3y z
x
y z
4x 3y 4z
0
1.
3
2x 3y z 4
x 2 y 2 z 5.
3x 4 y 5 z 2
x
y z 6
13. 2 x 3 y 4 z 21.
7 x y 3z 6
x 2y z 4
2. 3 x 5 y 3 z 4.
2x 7 y z 6
5.
3.
3x y
z 8
2x
y 2z 1 .
x 2 y 3z 7
2x
y 3z 6
8. x 3 y z 4 .
x 2y z 1
x 5y z
11. 2 x 4 y 3z
3x 4 y 2 z
7
4.
4
x 3y 2z 7
6. 2 x 2 y z 3 .
2 x y 3z 4
z
z
z
1
2.
2
0
2x
y
1. 12. x 2 y z
y z
8
1
2.
2
9.
4 x y 3z 1
14. 3 x 6 y 2 z 4.
2x 4 y z 4
16.
3x 4 y 2 z 8
x 5 y 2 z 5.
2x 3y 4z 3
4x 2 y
17. x 2 y
y
19.
2 x y 5z 4
5 x 2 y 13z 2.
3x y 5 z 0
x 2y z 2
20. 2 x 3 y 2 z 2.
3x y z 8
10
2x 4 y 9z
7x 3y 6z
x 2 y 5z
x y
2x y
x 2y
x
y 3z
15. 2 x y z
3x 2 y 4 z
z 12
z 7 . 18.
z
1
x y
z
8x 3 y 6 z
4 x y 3z
13
0.
15
1
2.
3
Задача 2. На плоскости дана прямоугольная система координат XOY и
базис e1 , e2 , состоящий из векторов единичной длины, направленных по
соответствующим осям координат. Построить на плоскости XOY точки
A, B, C по их координатам. Построить векторы a и b по их координатам
в базисе e1 , e2 . Найти координаты векторов d
базисе e1 , e2 [6, с. 37-58].
1. A(4,2), B( 1,5), C ( 5, 8), a
(5, 2); b
2. A( 2,6), B( 5, 3), C (1,4), a
(3,1); b
3. A(2,3), B( 3,1), C (3,4), a
(3, 2), b
4. A( 4,1), B( 1,3), C (2, 2), a
(3,7), d
(4,1); d
6. A( 4,2), B( 4, 3), C (3,1), a
( 3,2), b
7. A( 4, 2), B( 2, 6), C (1,3), a
( 3, 2), b
9. A(1, 4), B(5, 1), C ( 3,2), a
(5,2), b
b.
2a
b.
a
( 3, 2); d
( 1, 4); d
( 5, 2), b
8. A( 3,1), B( 1, 5), C (3,2), a
3b .
2a
( 5,2); d
( 2,4), b
b.
3a
(7, 1), d
( 1,6), b
5. A( 3,5), B( 5, 1), C (3, 1), a
b , AB , AC и BC в
a
b.
2a
(2, 3); d
(4, 1); d
(1, 3); d
2b .
a
2b .
2a
3b .
a
3b .
a
10. A(2, 5), B(6, 1), C ( 2,1), a
(4,4), b
(1, 6); d
a
2b .
11. A(6,3), B( 2, 7), C ( 5,3), a
(2,4), b
( 3,1); d
2a
b.
12. A(7,3), B(1,10), C ( 5, 3), a
( 2,6), b
(3,1); d
13. A( 3, 5), B(3,5), C (10, 2), a
( 3, 3), b
14. A( 3,7), B(6, 3), C( 8, 4), a
(4,2), b
(2, 3); d
15. A(6, 4), B( 3, 7), C ( 5,3), a
( 2,3), b
(2,5); d
11
2a
3b .
(3,2); d
2a
a
3a
b.
2b .
b.
16. A(7,4), B( 2,6), C ( 3, 5), a
17. A(2,7), B( 8,6), C(7,3), a
(2, 3), b
( 3, 3), b
( 4,2); d
2b .
3a
(2,3); d
3a
4b .
(5,3); d
3a
2b .
18. A(2, 7), B(11,4), C( 5,3), a
(3, 2), b
19. A(4, 8), B(11,4), C (1,12), a
( 3, 2), b
( 5,3); d
20. A( 6, 7), B( 7,5), C (8,2), a
(2, 4), b
( 3, 3); d
b.
2a
b.
2a
Задача 3. Даны длины векторов a и b и угол между ними. Требуется:
а) используя определение и свойства скалярного произведения, вычислить
b ) ; б)
используя определение и свойства
b) ( a
b ) через
векторного произведения, выразить d ( a
вектор ; в) найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
a и b как на сторонах [6, с. 60-70].
X
( a
b) ( a
1. a
3, b
4,
30 0 , X
(3a
2. a
2, b
5,
450 , X
(2a b ) (a 3b ), d
3. a
6, b
2,
60 0 , X
(a
4. a
6, b
5,
1200 , X
(a
2b ) (2a
3b ), d
5. a
3, b
4,
1350 , X
(a
3b ) (3a
b ), d
(a
b ) (a
6. a
10, b
b ) (a
b ), d
(a
3b ) (a
2b ) .
7. a
3, b
4,
30 0 , X
(a
b ) ( 2a
3b ), d
(3a
b ) (a
2b ) .
8. a
7, b
3,
450 , X
( 2a
3b ) (a
2b ), d
(a
3b ) (3a
b).
9. a
4, b
6,
60 0 , X
( 2a
b ) (a
2,
1500 , X
2b ) (a
3b ) (3a
(3a
12
2b ), d
(a
b) .
(3a b ) (a 2b ) .
b ), d
b ), d
b ) ( 2a
( 4a
(a
( 2a
b ) (3a
2b ) .
b ) ( 2a
b ) (a
b) .
b).
2b ) .
10. a
9, b
3,
1350 , X
(a
b ) (a
3b ), d
(a
b ) ( 4a
b).
11. a
5, b
2,
30 0 , X
( 2a
b ) (a
b ), d
( 2a
3b ) (a
b).
12. a
3, b
4,
60 0 , X
(a
b ) (3a
4b ), d
(a
2b ) (3a
13. a
4, b
2,
450 , X
(3a
b ) (a
2b ), d
( 2a
3b ) (a
2b ) .
14. a
2, b
5,
90 0 , X
(a
3b ) (2a
(a
b ) ( 4a
5b ) .
15. a
6, b
2,
1200 , X
(5a
16. a
3, b
4,
1350 , X
(a
b ) (3a
2b ), d
( 2a
b ) (a
17. a
5, b
3,
1500 , X
( 2a
b ) (a
4b ), d
(a
3b ) (a
18. a
6, b
2,
30 0 , X
(3a
19. a
2, b
5,
450 , X
(a
3b ) (5a
20. a
3, b
4,
60 0 , X
(a
b ) (3a
2b ), d
b ) ( 2a
3b ), d
4b ) (2a
(a
b ), d
b ), d
b ), d
(a
b).
2b ) (3a
( 2a
(3a
b).
2b ) .
b).
b) ( a
b ) ( 2a
3b ) (a
b) .
b).
b).
Задача 4. Даны координаты вершин пирамиды ABCD . Требуется
найти: а) скалярное произведение AB AC ; б) длины сторон AB и AC ;
в) угол между этими сторонами; г) площадь грани ABC ; д) объем
пирамиды ABCD [6, с. 60-73].
1. А (1,1,1), В (6,3,1), С (3,6,1), D (2,3,5).
2. А (2,-1,1), В (0,2,1), С (0,-1,5), D (2,2,9).
3. А (1,2,-2), В (2,1,1), С (-1,4,-1), D (4,0,3).
4. А (1,3,2), В (3,2,2), С (1,4,2), D (1,3,5).
13
5. А (2,2,1), В (3,5,4), С (1,6,0), D (1,4,7).
6. А (4,1,1), В (3,4,2), С (4,6,1), D (3,3,7).
7. А (0,2,1), В (3,4,2), С (3,5,1), D (1,2,6).
8. А (2,1,0), В (1,3,2), С (3,4,1), D (2,3,7).
9. А (2,-2,0), В (3,3,1), С (0,4,2), D (1,3,6).
10. А (-1,3,2), В (1,2,2), С (1,9,1), D (1,5,10).
11. A(1,5,10), B( 1,3, 6), C (2,3,7), D(1,2,6).
12. А (1, 1, 1), В (2, -1,1), С (1, 2, -2), D(2, 7, 5).
13. A (1,3,2), B (2,2,1), C (4,1,1), D(2,2,9).
14. A (2,1,0), B (2,-2,0), C (-1, 3,2), D(4,0,3).
15. A (6,7,1), B (0,2,1), C (2,1,1), D(1,3,5).
16. A (3,2,2), B (3,5,4), C (3,4,2), D (1,4,7).
17. A (1,3,2), B (3,3,1), C (1,8,2), D (7,3,7).
18. A (3,6,1), B (0,-1,5), C (1,4,2), D (1,3,6).
19. A (1,6,0), B (3,5,1), C (3,6,1), D (2,3,7).
20. A (3,4,1), B (0,4,2), C (1,9,1), D (1,5,10).
Задача 5. Даны координаты вершин треугольника ABC. Построить на
плоскости XOY точки A, B, C по их координатам. Затем а) написать
уравнения прямых АВ и АС; б) вычислить угол между этими прямыми
через их угловые коэффициенты; в) написать уравнение высоты, опущенной
из вершины В на сторону АС; г) найти длину высоты треугольника,
опущенный из вершины В .
1. А (11, -15),
2. А (9, -9),
3. А (19, -2),
В (6, -3),
В (4, 3),
В (7, 3),
С (-2, -9).
С (-2, -5).
С (-1, -3).
14
4. А (7, -8),
5. А (11, -7),
6. А (14, -1),
7. А (11, -10),
8. А (13, -11),
9. А (8, -7),
10. А (10, -15),
11. А (11, -3),
12. А (13, -11),
13. А (14, -10),
14. А (9, -9),
15. А (9, -11),
16. А (8, -5),
17. А (15, 12),
18. А (15, -9),
19. А (6, -11),
20. А (12, -13),
В (2, 4),
В (-1, -2),
В (2, 4),
В (6, 2),
В (1, -6),
В (3, 5),
В (6, -3),
В (-1, 2),
В (8, 1),
В (2, -5),
В (4, 3),
В (-3, -6),
В (-4, 0),
В (10, 0),
В (3, -4),
В (1, 1),
В (0, -8),
С (-6, -2).
С (5, 6).
С (-4, -4).
С (0, -6).
С (-7, -12).
С (-5, -1).
С (-2, -9).
С (-7, -6).
С (2, -7).
С (-6, -11).
С (-4, -3).
С (3, 2).
С (-10, -8).
С (4, -8).
С (-5, -10).
С (-7, -5).
С (6, 0).
Задача 6. Дано уравнение кривой в полярной системе координат.
Требуется: а) построить в полярной системе координат точки этой
2 3 5
0, , , , ,
, , ,
кривой, давая
значения
в № 1 – 10 и
6 4 3 2 3 4 6
,
,
,
, 0, , , ,
в № 11 – 20;
2
3
4
6
6 4 3 2
б) перейдя к уравнению той же кривой в декартовой системе координат,
показать, что это уравнение кривой второго порядка;
в) приводя это уравнение к каноническому виду, назвать кривую и
нарисовать ее на координатной плоскости XOY [6, с. 91-110].
1.
10
5 2 cos
4.
8
3 cos
7.
10
2 cos
10.
2.
3
1 cos
.
5.
1
2 2 cos
.
8.
3
1 cos
.
5
6 3 cos
.
11.
.
.
.
6
5 2 sin
.
15
3.
4
.
2 cos
6.
5
3 2cos
.
9.
1
3 3 cos
.
12.
3
1 sin
.
13.
4
.
1 sin
16.
5
4 3 sin
19.
5
1 sin
.
.
14.
8
3 sin
.
15.
1
2 2 sin
17.
8
2 sin
.
18.
1
1 sin
20.
6
6 3 sin
.
.
.
Задача 7. Используя данные своего варианта из задачи 4:
а) написать уравнение плоскости, проходящей через точку А
перпендикулярно стороне ВС;
б) написать уравнение грани АВС;
в) написать уравнения прямой, проходящей через точки С и D , перейти
от канонического задания этой прямой к её параметрическому заданию;
г) найти точку пересечения этой прямой с плоскостью x y z 1
[6, с. 118-132].
Контрольная работа №2
Задача 1. Вычислить следующие пределы [6, с. 159-170]:
2 x 3 3 x 2 11
1. а) lim 4
,
x
x 5 x3 6
arcsin3x
,
0 sin 2 x
в) lim
x
2.
а) lim
x
x3
2 x3
2
,
8x 5
1-cos x
,
0
5x2
в) lim
x
3.
б) lim
x
x2
2
3x 2
,
x 4
2
x 5
lim
г) x
x 2
x 4
.
x2 6x 7
б) lim 2
,
x 7 x
9 x 14
x
2x 1
г) xlim
.
2x 1
3x3 3x 2 5
а) lim
,
x
2 x3 x 2
x2 x 2
б) lim 2
,
x 1
x x
1 cos7x
,
в) lim
x 0 x sin 7 x
4x 1
г) xlim
4x
16
2x 3
.
4.
5.
6.
7.
3x 4 x 2 6
,
x
2 x4 x 2
arctg3x
в) lim
,
x 0
2x
а) lim
3
x2
9
,
2x 3
1/ x
lim(1 2 x )
б)
x
tg3x
,
в) lim
x 0 2sin x
5x
lim
г) x 0
arctg x .
3 x 5x4
а) lim 4
,
x
x 12 x 1
x 2 ctg2 x
в) lim
,
x 0
sin 3x
x 2 x2 5x4
а) lim
,
x
2 3x x 4
sinx cos x 1
,
0
sin 2 x
x
3x 6
,
2 x3
8
б) lim
x
3x 2
5x 2
,
x 1
2
1
г) xlim0(1
4 x)
5 x 2 3x 1
а) lim 2
,
x
3x x 5
x2 9
б) lim 2
,
x 3 x
3x
x
а) lim
x
7 x4
2 x3 2
,
x4 3
1 cos4x
,
в) lim
x 0 2 xtg2 x
8 x5 3x 2 9
10. а) lim 5
,
x
2 x 2 x2 5
sin7x
,
в) lim
x 0 sin 5 x
.
x
x
г) xlim
tg 2 x
,
0
x2
(1 x) / x
6 5x x2
б) lim
,
x 2
x3 8
в) lim
в) lim
.
0
б) lim
2
9.
x
x2
2 x2 6 x 5
а) lim
,
x
5x2 x 1
x
8.
б) lim
.
x 1
3x 2
г) xlim
3x 1
2x
.
x 2 10 x 25
б) lim 2
,
x 5 x
4x 5
г) xlim2(3x
5)
2 x /( x2 4)
x3 8
б) lim 2
,
x
2 x
x 2
г) xlim3(3x 8)
17
2 /( x 3)
.
.
x3 5
,
x
x3 8 x 1
2x
в) lim
,
x 0 sin 3 x
11. а) lim
5 x 4 2 x3 1
12. а) lim
,
x
x4 2 x2
sinx
,
0 arctg2 x
в) lim
x
13. а) lim
x
x3 2 x 8
,
2 x3 x 6
cos 2 x 1
,
в) lim
x 0 x sin x
14. а) lim
x
3x 4 3x 2
,
x 4 3x3
б) lim
x
x2
2x 3
,
x2 9
3
x
г) xlim (1 2 / x) .
x2 4 x 5
б) lim 2
,
x 5
x 25
г) xlim0(1
б) lim
x
2
x2
x2
x)1/ x .
4x 4
,
3x 2
x 1
г) xlim
x 1
б) lim
x 1
x2
x2
x
.
3x 2
,
4x 3
tgx
,
в) lim
x 0 sin 2 x
1/( x 1)
lim
x
.
г) x 1
2 x3 x 2 x
15. а) lim 3
,
x
4x x 5
x2
x2
,
в) lim
x 0 arctg2 x
3x3 4 x
16. а) lim 3
,
x
x 15
arcsinx
,
0
5x
в) lim
x
8x2 6 x 1
17. а) lim
,
x
x3 8
cos3 x 1
,
в) lim
x 0
x2
б) lim
x
2
x
2
4
x 2
,
2/ x .
lim
(
1
x
)
г) x 0
x2 5x 6
б) lim 2
,
x 3 x
x 6
2 x
lim
г) x
x 3
x2
б) lim 2
x
2 x
г) xlim0(1
18
x
.
4x 4
,
3x 2
x) 2 / x .
18. а) lim
x
2 x3 x 2 x
,
4 x3 x 7
б) lim
x 1
x
3 x
lim
г) x
x
2
sin 3 x
,
0
x2
в) lim
x
x2 1
,
x3 1
x 4 18 x 1
19. а) lim
,
x
4 x 4 3x
.
x2 4 x 3
б) lim 2
,
x
3 x
x 6
x2
в) lim
,
x 0 1 cos4x
x
г) lim
x 1
x 3 8 x 11
20. а) lim
,
x
2 x 3 16 x
arcsin3x
,
в) lim
x 0 arctgx
б) lim
x
3
2 /( x 1)
x2
x
2
.
9
,
2x 3
1/(2 x)
г) xlim2( x 1)
.
Задача 2. Исследовать функцию на непрерывность и построить ее
график [6, с. 173-174].
1. y
x/3 , x
0
sin x , 0
x
x
4. y
2
,x
2
tg x , 0
2
, x
, 2. y
2
x , x 0
x 2 1, 0 x 1 ,
x/2 ,
x 1
x2 , x
7. y
1 x,
5. y
0
x
3
, 8. y
tg x
, 0
1
, x
x
4x , x 0
sin x , 0 x
x 2, x
0
x
4
, 3. y
4
, 6. y
0,4 x 2 0,6 , x 1
6 5x
, 1 x 3 , 9. y
x 3
, x 3
3
19
cos x , x 0
x 2 1, 0 x 1 ,
x
,x 1
( x 1), x
1
( x 1)2 , 1 x 0 ,
x
, x 0
2x
,
x 0
2x 2 1, 0 x 1 ,
3
, x 1
x , 0 x 4 , 11. y
1 , x 4
x 4, x 1
x 2 2, 1 x 1 , 12. y
2 x,
x 1
x,
cos x, x 0;
2x ,
10. y
x
x 0
( x 1) 2 ,
x 3,
13. y
0
x,
x 0;
sin x, 0 x
x 2, x .
16. y
2 x,
x2
2,
19. y
x 2 1, 0 x 1 , 15. y
x,
x 1.
0 x 2 , 14. y
x 2.
( x 1), x
, 17. y
x
( x 1)2 ,
x,
2 x, x
0 x 1 , 20. y
x 1.
1,
x,
1,
x
1
x,
x2 ,
x 0;
x2 ,
x 0;
1 x 1,
x 3, x 1
0 x
x 2, x .
1;
1 x 0 , 18. y
x 0.
0;
x 2,
x 2 1,
tgx,
0 x
2,
x
,
4 ,
4
0;
0 x 4 .
x 4.
Задача 3. Найдите производные функций.
1. а) y
sin (3x 5)
;
x
2. а) y (lg x) 3 ;
3. а) y
4. а) y
x
4x
б) y
;
б)
2
2x ;
3
x 1
y
x arcsin x ; в) y
x 4
x;
cos arcsin x
в) y
б) y
5
x 1
в) y
x 2 log3 x ;
; б) y
lg x;
ctgx
;
x2 1
в) y
г) y
ln
г) y
x
5 sin x .
1 tg 2 x ; г) y
sin (e x )
;
x 1
tg( x 2 5) ; в) y
20
1 ex
.
ex
3x 2 1
x
; г) y e tgx .
sin x
; в) y
б) y log5 x 1 ;
tgx
5. а) y 10 ;
6. а) y
б) y
3
г) y
x
1 x
1 x2
arcsin x
2
.
.
1 ln x
; г) y x cos2 x 1 .
1 ln x
7. а) y log3 (tgx) ;
8. а) y
9. а) y
б) y
3
(cos 2 x) ;
б) y
10. а) y lg( x 2 1); ;
11. а) y tg x sin x ; б) y
14. а) y 6 e
;
б) y sin
3x2
;
б) y
в) y
log3 x ;
x
tg2x ;
2
16. а) y x
2
3x
в) y
б) y sin x log 3 x ;
1 ln x
;
lg x
19. а) y
б) y
x arccos x ; в) y
ln(1 lg x) ;
1 x3
.
x
x
sin x
cos x
г) y
1
3
x
tgx
в) y
e
3
arcsin x
в) y 5
21
г) y tg
5x
3x
б) y
;
sin x
.
1 cos x
2x
.
arctgx
г) y
;
в) y
18. а) y ( x 2 1) cos x ;
x 10
5
в) y
б) y
17. а) y
2
x
4
x lg x ;
x2
x2
x
2
;
.
x3
г) y
x 5 x ; г) y
2cos x
;
log5 x 1
x
x5
г) y
в) y lg cos 3x ;
б) y (lg x) arctgx ;
arcsin x ;
x arctgx .
cos 2 x ; г) y
в) y
в) y
2
ln x ;
г) y
tgx
в) y 5 ;
x
15. а) y
;
log 2 x 5
;
5
x arccos x ;
lg x
3
в) y arctg x ;
x sin x 3 ;
12. а) y arctg( 4 x ) ; б) y
x
1 x
arccos x
;
x
б) y
1 x3
в) y
;
б) y lg x sin x ;
x 2 cos 4 x;
13. а) y 10
x
1
3
; г) y
; г) y
x
3x
.
.
.
2 sin 2 x
.
cos 2 x
x
.
1 cos x
2
г) y (arctgx) .
1 cos x
.
sin x
2
1 tgx
10 x ; г) y
.
sin x
2 x ; г) y
8 sin 3x
;
5x
20. а) y
б) y
x 2 log 2 2 x ;
в) y cos5 x ; г) y 7sin 4 x.
Задача 4. Вычислите приближенно с помощью дифференциала.
25,01 .
3.
15,97 .
4.
3
5.
(3,03)5 .
6.
4
8.
(2,01)3 .
168,02 .
7.
2.
3 63,98 .
1.
1,2 .
27,02 .
81,01 .
9.
6
63,97 .
10.
11.
5
242,98 .
12.
4 80,98 .
13.
121,2 .
14.
3
65 .
15.
(4,01)1,5 .
16.
3
27,5 .
18.
(5,07)3 .
15 .
17.
19.
3
1,02 .
20.
4
14 .
Задача 5. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной
функции y f (x) на отрезке a, b .
1.
f ( x)
x 3 12 x 7; [0; 3].
2.
f ( x)
x 5 (5 / 3) x 3 2; [0; 2].
3.
f ( x ) ( 3 / 2) x cos x; [0; / 2].
4.
f ( x)
x 4 16 x 3 2; [ 3; 1].
5.
f ( x)
x 3 3x 1; [1 / 2; 2].
6.
f ( x)
x 4 4 x; [ 2; 2].
22
7.
f ( x ) ( 3 / 2) x sin x; [0; / 2].
8.
f ( x)
9.
10.
11.
12.
f ( x ) 3 2 x 2 ; [ 1; 3].
x4
4 x; [ 1;4].
f ( x)
x sin x; [
f ( x)
4
x /4
f ( x)
32 x
13. f ( x )
6x
3
; ].
17; [16; 20].
x 4 ; [ 1; 4].
x 5 5 x 4 5 x 3 1; [ 1; 2].
14. f ( x ) 3x 4 16 x 3 2; [ 3; 1].
15. f ( x ) x cos x; [ ; ].
16. f ( x ) 2 x 3 3x 2 12 x 1; [ 1; 5].
17. f ( x)
x3 3x 2
18. f ( x )
x 4 2 x 2 5; [ 2; 2].
19. f ( x)
x2
2 x 2; [ 3;2].
20. f ( x)
x6
6
8 x 2 ; [ 3; 1].
2; [ 1;1].
Задача 6. Провести полное исследование функции и построить ее
график.
1. y 4 x /(4 x 2 ).
2. y ( x 2 1) / ( x 2 1).
11. y 9 /( x 2 9).
12. y (4 x3 1) / x.
3. y ( x 2 1) / ( x 2 1).
13. y
2 x /(2 x 2 ).
x 2 / ( x 1).
14. y
( x 2 1) /( x 2
5. y ln( x 2 1).
15. y
( x 3 4) / 4 x 2 .
6. y (4 x 2 5) / ( x 1) .
7. y ( x 2 5) /( x 3) .
16. y ( x 3 16) / x.
17. y x e x .
8. y x 4 /( x 3 1) .
9. y x e x .
18. y ln(1 x 2 ).
4. y
10. y
(2 4 x 2 ) /(1 4 x 2 ) .
19. y ( x 2 1) / x.
20. y e
23
2 x 2 x2
.
2).
Оглавление
Введение ……………………………………...……………..3
Общие рекомендации …………………….………………..3
Список рекомендуемой литературы ……. ………………. 4
Вопросы программы к контрольной работе № 1 .………...4
Вопросы программы к контрольной работе № 2 ………...7
Определение своего варианта…………………………… 9
Контрольная работа № 1…………………………………..10
Контрольная работа № 2 ………………………………….16
МАТЕМАТИКА
Программа и контрольные задания №1, 2
по 1-й части (1-й семестр) курса математики
для студентов бакалавриата заочной формы обучения
направления 120700 «Землеустройство и кадастры»
Составители: Некрасова Наталия Николаевна,
Гончаров Михаил Данилович
Глазкова Мария Юрьевна
Подписано в печать 02.12. 2014. Формат 60 84 1/16.
Уч.-изд. л. 1.5. Усл.-печ. л. 1,6. Бумага писчая. Тираж 100 экз. Заказ № 509
__________________________________________________________________
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства учебной литературы
и учебно-методических пособий Воронежского ГАСУ
394006, Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
24
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
14
Размер файла
812 Кб
Теги
задание, программа, контрольная, 392, математика
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа