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431. Раскрытие неопределенностей в теории пределов

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x
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x
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x
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2
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2
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x
2. lim
x
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lim
x
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x
1
x2
5
x2
3
x2
3
x
2
x2
6
x2
2
x3
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8
8x 6 x 2
4 x 2 3x
x
7
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lim
3
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x
3
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x
3
x2
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6
0
5
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8
0
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x
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x
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x
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x
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lim
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lim sin x
x 0 1
x
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3. ?????:
x
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2
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, x 1
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lim
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2
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1.
0 sin x
lim
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lim sin x
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x
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2
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1
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??-????????????? ???????: lim f ( x) ( x) , ???? lim f ( x) 1 , lim ( x)
x
x
a
a
x
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1
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lim 1
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3x
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y
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0 , ?? ? tgx
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??? ??????? ? ???? (1+ ), ? ? ?????????? ??????? ????????? : :
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x 1
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x
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lim 1
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x
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1
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17
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2x
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lim
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x 1
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x 1
2
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.
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0
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.
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0
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, x 2
,
2
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2
).
2
2
ln x 2 5 x 7
ln 1 (
lim
1 1 1.
2
x 2
0
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ln 1 x
lim
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x
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x
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3x
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x
x
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x 0
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x
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x
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.
x
1 sin x 1
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x
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x
0
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18
1
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a
1
.
7
1
a.
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???????
x ?????????? ?????????? ????? ???????? [1, 3, 11], ????
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0 , x x0 .
x
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x
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(18)
x x0
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sin 7 x
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lim x 0
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7x
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x
0 , ?? ?????????? ?????
???? ?? c 0 , ?.?. lim
x ??????????
x x0
x
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?? ????????? ? (x) .
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x x0 ? ??????: (x) ???? «?» ????? ?? (x) ??? x x0 .
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x 0 sin x
x x
x 0 sin x
lim
0 , ?????????????,
( x)
x 2 ???? ???-
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?????????? ????? ??????? x ? x ?????????? ??????????????
x
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x x0
x
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(19)
x .
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x 0 3x
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19
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??????? ??????? ?? ????????? ???????
???????
x
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x
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1 x ??? x
x x0
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x
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x
x
x
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(20)
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x x x0 1 x
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??? ??????? ????????? ?? ?????? ??????? ???????? ????????? ???????? (?????????? ????????????????). ????? ????? ?????? ??????????? ? ???,
???, ??????? ????????? ?????? ??????? ?????????? ????????????? ??
???????, ??????? ???? ????????? ?? ??????????, ?? ?????? ???????????????? ???????? ????? ???????? (??? ???????????) ??????.
?????????. ??? ??????????? ? ??????? ????? ??? ????? ??????????
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, x x0 0 , x x0 0 , x 0 .
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e kx 1 ~ kx,
arcsin kx ~ kx ,
ln(1 kx) ~ kx ,
lim x
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a kx 1 ~ kx ln a,
arctg kx ~ kx ,
kx
1 cos kx ~ 2( ) 2 .
2
(1 x) kx ~ kx,
(21)
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.
x 3x
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0
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0
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sin( x 3)
1.
3
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sin x 3
( x 3)
lim
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2
2
x 3
x 3
x 4x 3
x 4x 3
.
( x 3)
1
1
lim
lim
.
x 3
x 3 x 1 x 3x 1 2
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2. ????? lim
.
2
x 0
x
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2
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2
????? ?? ?????????????, ???????
1 cos 5 x
x 0
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cos 4 x cos 2 x
3. ????? lim
.
x 0
arcsin 2 3x
???????
lim
5x
2
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lim
x 0
x2
2
2 25 2
x
4
x2
25
.
2
a b
a b
sin
, ??
2
2
4x 2x
4x 2x
cos 4 x cos 2 x
2 sin
sin
2 sin 3x sin x .
2
2
??? x 0 sin 3x ~ 3x , sin x ~ x , arcsin 3x ~ 3x , arcsin 3x 2 ~ 3x 2 .
???????, ??????? ?????? ??????? ?? ?????????????, ????????
cos 4 x cos 2 x
2 sin 3x sin x
2 3x x
2
.
lim
lim
lim
2
2
2
x 0
x 0
x 0
3
arcsin 3x
arcsin 3x
3x
7
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4. ????? lim 2 x 4 .
x 0 e
1
??? ??? cos a cos b
2 sin
???????
7
7
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4
4
7
7
arctg x
x
7
4
4
lim
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.
x 0 e
8
1 x 0 ( 2 x)
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5. ????? lim
.
sin 5 x sin 2 x
21
2x ,
???????. ??????????? ????????? ? ???????????, ? ????? ??????? ??????????????.
??? ??? e5 x e2 x e2 x e3x 1 ~ e2 x 3x , e3 x 1 ~ 3x , ??
3x 3x
7x
3x
7 x 3x
, ?.?. sin ~
.
sin 5 x sin 2 x 2 cos
sin
~ 2 cos
2
2
2 2
2
2
e5x e 2x
0
e 2 x 3x
e5x
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lim x 0
lim
1.
x 0 sin 5 x sin 2 x
3x
7x x 0
7x
0
2 cos
cos
2
2
2
ln x 1
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.
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x
x
ln 1
1
ln
e
ln x 1
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e
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.
lim
lim
lim
x e x e
x e
x e x e
x e
x e
x e
x
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1 ) ? ?????????? ?????, ?????
e
x
x
ln 1
1
1
e
ln x 1
1
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.
lim
lim
lim
lim
x e x e
x e
x e x e
x e
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.
x
sin 3 x
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x , ????? x
?????? ?????????? ?????
sin 2 x
sin 2
sin 2
2
2
lim
lim
lim
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.
x
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x 1
2
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??????? ?????????????? ?????? ??????????. ???? ?????? ???????????
x 1
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0 ??? x
1 , ?????
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x
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lim
lim
ctg
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0
ux
1
tg
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2
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2
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0
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lim
0
tg
2
2
.
2
2
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(???????????????? ???? (1 ), ?????? ????????? ??????? (4):
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x
lim v ln u
v
e
x0
x
xo
.
(22)
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x
1
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x
x
.
??? ??? ??? x
1
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x
x
, 1
x
lim
ex
5
2. ????? lim cos
x
x
5
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x
x
x
25
2 lim x
x
4 x2
1
x
x ln 1
1 ?
1
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x
e
lim x
x
, ????????? ???????? (10),
1
x
e.
x
.
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lim x ln cos
x
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5
lim x cos 1
x
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5
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25
1
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2 x
x
e
e 0 1.
sin x x 3 x 5
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.
x 0
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?.?.
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sin x x 3 x 5 ~ sin x ,
x 0
3
5
3
5
sin x x x
sin x x x ?????????? ????? ??????? ????? ????????
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??????? ?? ????????? ? sin x x 3 x 5 ? ? sin x .
?????????? 3x x 4 ~ 3x .
???????
sin x x 5 x 5
sin x 1
lim
lim
.
x 0
x 0 3x
3
3x x 4
23
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?? ??????? ????????
???????? ??????? ??????????? ? ???????? ????????????????? ????
?????? ??????? ??? ?????????? ????????. ??????????? ???? ???????, ????????? ??? ????????? «??????? ????????», ???????? ???????? ???????
??? ????????? ????????????????? ??? ?????? ???????????.
??????? ????????. ????? ??????? f x ? x ??????????????? ?
????????? ??????????? ????? x0 , ?? ???????????, ???? ?????, ????? ?????
x0 ? ??????????? ???????:
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lim x 0 ,
x
x0
x
( lim f x
x
x0
lim
x0
x
x
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x0
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????? ???? ?????????? ?????? ?????????
lim
x
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f x
x
lim
x
x0
f x
.
x
( 23)
0
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?????? ??0
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? ????????? (23) x0 ????? ???? ???? ??????, ????
, ???
.
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.
x 2 ln x 2
3
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????? ???????, ??? ????????????????? ????
0
.
0
? ???????????????? ????
???????? ??????? ???????? :
x 2 3x 2
lim
x 2 ln x 2 3
0
0
lim
x
2
x2
3x 2
ln x 2
3
24
2x 3
lim
x 2 2x
x2 3
lim
x
2
x2
3 2x 3
2x
1
.
4
?????????. ???? ?????? ????????? ??????????? ????? ????????????
0
????? ???????????????? ????
???
, ?? ????? ????????? ???????
0
???????? ?????. ????? ???????, ??????? ???????? ????? ????????? ??? ?????????.
??????
2 x 2 3x 1
????? lim
.
2
x
3x 5
???????? ????????? ? ????????? ?????? ??????????? ?? ????????? ?
??????????? ??? x
???? ???????????????? ????
, ??????? ?????
????????? ??????? ???????? ??????:
2 x 2 3x 1
4x 3
4 2
lim
lim
lim
.
x
x
x
6x
6 3
3x 2 5
?????????. ??? ???????? ????? ?????????? ? ???? ??????? ????????
????????? ?????????? ??????? ????????, ? ????? ??????? ?????????? ?
??????? ????????? ??? ?????????? ????????????????.
??????
x2
2x
2
2
lim x
lim x
lim x
0.
x
x
x
e
e
e
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?????? ????????? ????? ??????? ????? ????????????, ? ?? ????? ??? ?????? ????????? ??????????? ????? ???? , ???? ?? ??????????.
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1. ????? lim
.
x
x cos x
sin x
1
x sin x
x
lim
1.
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x
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x cos x x
1
x
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( x sin x)
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lim x
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( x cos x)
sin x
x sin x
.
2. ????? lim x
x
x sin x
sin x
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lim x
1
1.
x
x
x
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25
( x sin x)
cos x
???? ?? ??????????.
lim x
x
1
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???????,
???????
?????????
?
???????????
??
?,
?
sin x
cos x
lim
0 и lim
0 , ??? ????????? ???????????? ??????? sin x ?
x
x
x
x
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lim x
x sin x
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x
x
1
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x
x cos x
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??? ????? ????), ? ???? ????????? ??????????? ?????x 0 , ? ??? x
???? ????? ??????????????? ????????. ?????????????, ??????? ???????? ?
???? ?????? ???????????.
?? ?????? ????: lim
lim
12. ????????? ????????????? ?????? ?????????
????????????????? ????
0
0, ,
,
, 1 , 00 ,
, 0
??? ?????????? ????? ????????????????? ???????? ?????????? ????????? ????????:
1. ???????????????? 0, .
??????????
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lim f x
x ,
lim f x 0 ,
x
lim x
lim
x
x0
.
( x)
2.????????????????
,
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x0
x
x0
x0
x
.
lim f x
x
x ,
x0
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lim f x
x
x0
.
3.???????????????? 1
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x
x
x0
, ???? lim f x
x
1 , lim
x0
x
.
x
x0
4.???????????????? 0 0 .
x
?????????? ??????? lim f x
x
5. ????????????????
x0
0
x
x0
0 , lim
x
x
x0
0.
.
?????????? ??????? lim f x
x
, ???? lim f x
x0
x
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x
6. ???????????????? 0 .
26
x0
, lim
x
x0
x
0.
,
x
?????????? ??????? lim f x
x
, ???? lim f x
x
x0
x0
0 , xlimx
.
x
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0
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x
x
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???
, ?.?. ???? ?? ?????1
x
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x
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.
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x
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1
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.
(24)
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x
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x
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x
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x f x 1
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lim
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x 1
1
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1
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x 1
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1
1
1
x 1 ln x
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27
x 1 ln x
x 1 ln x
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1 .
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x 1
1
ln x
1
x 1 ln x
lim
x 1
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.
x 1
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1
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x 1
x 1 ln x
ln x
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1
1
x 1
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1
x
.
lim
lim
lim
x 1
x 1 ln x 1 1
x 1 x 1 x ln x x 1
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ln x
x
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??????? ??????? ?? ??????? ?????????????? ?????? ???????.
??????
x
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x 2 ).
x
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x
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0
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?????????? ??????? ??????? ? ???? ??????? ????? ?????? ? ????????? ????????????????? ???? 0,
??? ?????? ?????????? ??????????????:
f x
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x
x
e
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x
.
(25)
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f x0
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.
x0
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x
0
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lim x tgx
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0
ex
0
28
ln x
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lim tgx ln x
e
x
.
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? ?????????? ?? ???????????????? ???? 0,
??????? ? ???????????????? ????
lim tgx
x
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0
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0
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1
x
1
sin 2 x
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x 0
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e
sin 2 x
x
lim
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sin x
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32
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