close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

457. - Теория математической обработки геодезических измерений

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА КАДАСТРА НЕДВИЖИМОСТИ,
ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВА И ГЕОДЕЗИИ
ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Методические указания
к выполнению практических работ
для студентов 2-го курса, обучающихся по направлению 120700
«Землеустройство и кадастры»
Воронеж 2013
УДК 528
ББК 26.1
Составители С.П. Гриднев, Ю.С. Нетребина
Теория математической обработки геодезических измерений : метод.
указания к выполнению практических работ по дисциплине «Теория математической обработки геодезических измерений» для студ. напр. 120700 / Воронежский ГАСУ; сост.: С.П. Гриднев, Ю.С. Нетребина. – Воронеж, 2013. – 44 с.
Дана последовательность выполнения практических работ по дисциплине
«Теория математической обработки геодезических измерений»: цель работы,
соответствующие теоретические положения, порядок проведения вычислений,
способы обработки результатов и описание используемых методик.
Предназначены для студентов, обучающихся по направлению 120700
«Землеустройство и кадастры» всех форм обучения.
Табл. 26. Библиогр.: 2 назв.
УДК 528
ББК 26.1
Печатается по решению научно-методического совета
Воронежского ГАСУ
Рецензент – В.А. Чертов, к.т.н. доц. кафедры технологии
строительного производства Воронежского ГАСУ
ВВЕДЕНИЕ
В теории погрешностей измерений на основе теории вероятностей с
использованием методов математической статистики решают следующие
задачи:
‒ изучение видов, причин возникновения и законов распределения
погрешностей измерений и их свойств;
‒ нахождение по результатам измерений наиболее надежного значения
измеряемой величины из результатов ее многократных измерений;
‒ установление критериев требуемой точности;
‒ оценка точности результатов измерений и функций измеренных величин;
‒ предвычисление ожидаемой точности измерений.
Цель практических работ: научиться выполнять обработку результатов
равноточных и неравноточных измерений, определять наиболее надежные
значения измеренной величины, производить оценку точности результатов
непосредственно выполненных наблюдений и их функций, устанавливать
допуски, ограничивающие использование полученных результатов в заданных
пределах точности.
В соответствии с этим выполнение расчетной работы предусматривает
решение следующих задач:
1. Оценка точности многократно измеренной величины по истинным погрешностям;
2. Оценка точности функций независимых измеренных величин;
3. Обработка результатов равноточных измерений одной и той же величины;
4. Оценка точности по разностям двойных равноточных измерений;
5. Определение весов неравноточных измерений
6. Определение весов функций независимых измеренных величин;
7. Обработка результатов неравноточных измерений одной величины;
8. Оценка точности по разностям двойных неравноточных измерений;
9. Оценка точности измерений углов и превышений по невязкам в ходах и
полигонах.
При выполнении работы следует использовать следующую литературу
1. Маслов, А.В. Геодезия: учеб. для вузов / А.В. Маслов, А.В. Гордеев,
Ю.Г. Батраков – М.: Колос, 2006 (гл. 9, пп.9.1 – 9.23).
2. Поклад, Г.Г. Геодезия: учебное пособие / Г.Г. Поклад, С.П. Гриднев –
М.: Академический проект, 2007 (часть II, гл. 1 – 4).
При выполнении работы студентам необходимо использовать инженерный микрокалькулятор.
Отчет по работе оформляется в рабочей тетради и должен содержать
краткую пояснительную записку с изложением методики обработки данных
наблюдений с результатами расчетов.
3
Теоретические сведения
Основным содержанием геодезических работ является измерение
физических величин (горизонтальных и вертикальных углов, длин линий и др.).
Измерение представляет собой процесс сравнения данной величины с другой
однородной величиной, принятой за единицу меры (эталон).
Любые измерения сопровождаются неизбежными погрешностями. Под
истинной погрешностью измерения величины ∆ понимают отклонение
результата измерения l от его точного (истинного) значения X, т. е.
l X.
(1)
Величина погрешности характеризует степень приближения результата
измерения к истинному значению измеряемой величины, или, как принято
говорить, точность измерения.
По характеру действия погрешностей на результаты измерений их
разделяют на грубые, систематические и случайные.
Грубые и систематические погрешности при обработке могут быть
обнаружены, изучены и исключены из результатов измерений. Поэтому в
дальнейшем будем полагать, что на результаты измерений основное влияние
оказывают случайные погрешности.
Основным критерием точности измерений является средняя
квадратическая погрешность т, определяемая по формуле Гаусса:
2
m
2
2
1
...
2
2
n
n
,
n
(2)
где Δi – истинные ошибки измерений; n – число измерений.
Средней погрешностью
называется среднее арифметическое из
абсолютных величин случайных погрешностей:
1
...
2
n
n
n
.
(3)
Вероятной погрешностью r называется такое значение случайной
погрешности Δ, больше или меньше которого по абсолютной величине
погрешности в ряду измерений равновозможны, т.е.
P
r
P
r
0, 5 .
Вероятная погрешность r находится в середине ряда, в котором все
ошибки располагают по убыванию или возрастанию их абсолютных значений.
Средняя квадратическая погрешность является более предпочтительной
оценкой точности и достаточно надежно определяется даже при небольшом
числе измерений (n 10).
4
Поскольку ряд измерений, из которого определяется средняя
квадратическая погрешность, является конечным, то значение самой этой
случайной погрешности получается с некоторой погрешностью:
m
.
2n
mm
(4)
Величина mm является оценкой точности (надежности) определения
средней квадратической погрешности m.
При большом числе измерений существуют устойчивые зависимости
между рассмотренными критериями точности:
m = 1,25 , (1,25 = k1);
m = 1,48r, (1,48 = k2).
(5)
Другой важной характеристикой точности измерений является
предельная погрешность, т.е. такое значение случайной погрешности,
появление которого при данных условиях измерений маловероятно. При
топографо-геодезических работах за предельную допустимую величину
погрешности обычно принимают утроенную среднюю квадратическую
погрешность, т.е.
mпред =3m.
При выполнении ответственных измерений предельную допустимую
погрешность ограничивают величиной
mпред=2m.
По форме числового выражения все погрешности разделяют на
абсолютные и относительные.
Абсолютные (средние, средние квадратические, вероятные и
предельные) погрешности выражаются в тех же единицах, что и измеряемые
величины; обычно они используются для оценки точности измерений, не
зависящих от значения измеряемой величины (например, от величины
измеряемого угла). Однако абсолютные погрешности не всегда наглядно
характеризуют точность измерений, особенно результатов непосредственных
измерений линейных величин, погрешности которых зависят от длин линий. В
таких случаях используют понятие относительной погрешности.
Относительной погрешностью называется отношение абсолютной
погрешности к измеренной величине. Она выражается правильной дробью,
числитель которой равен единице. Например, если линия длиной l измерена с
абсолютной средней квадратической погрешностью ml, то относительная
погрешность
f отн
ml
l
1
l : ml
1
N
.
(6)
В случае косвенных измерений конечный результат получают как
функцию непосредственно измеренных величин.
5
Среднюю квадратическую погрешность функции общего вида y = f(x1, x2,
... , xn), аргументы которой x1, x2, ... , xn независимо измерены со средними
квадратическими погрешностями m1, m2, ... , mn определяют из выражения
M
где
f
,
x1
f
f
, ... ,
x2
xn
2
f
x1
2
y
2
f
x2
2
1
m
2
2
m
f
xn
...
2
mn2 ,
(7)
– частные производные данной функции, вычисленные для
соответствующих значений аргументов.
Все другие функции можно рассматривать как частные случаи функции
общего вида. Рассмотрим погрешности некоторых простейших функций
измеренных величин.
1. Алгебраическая сумма измеренных величин y x1 x2 ... xn , причем
x1 ,x2 ,...,xn определены со средними квадратическими погрешностями m1, m2, … ,
mn.
M y2
m12 m22 ... mn2 .
В частном случае, если m1 m2
(8)
mn ,
My
m n.
(9)
2. Произведение двух независимых величин y x z, где величины x и z
определены соответственно с погрешностями mx и mz.
M y2
x 2 mz2
z mx2 .
(10)
Для произведения постоянного числа k на измеренную величину x, т.е.
y k x,
My
k mx .
(11)
3. Частное двух независимых величин y
x
, где величины
z
x
и
z
определены соответственно с погрешностями mx и mz.
M
2
y
1
mx2
2
z
x2 2
mz
z4
z 2 mx2
x 2 mz2
z4
.
4. Линейная функция у k1 x1 k2 x2 ... kn xn , где k1 , k2 , ... , kn
коэффициенты; x1 , x2 , ..., xn − независимые величины, измеренные
погрешностями m1 , m2 , ..., mn .
M y2
k12 m12 k22 m22 ... kn2 mn2 .
(12)
−
с
(13)
С условиями измерений связаны понятия равноточных и неравноточных
измерений. Измерения, выполняемые при неизменных условиях, позволяющих
считать
результаты
измерений одинаково надежными, называют
6
равноточными. Если хотя бы один из факторов, определяющих содержание
условий измерений, будет изменяться, то такие измерения называют
неравноточными.
Равноточные измерения. Для равноточных измерений наиболее
надежным (вероятнейшим) значением измеренной величины является среднее
арифметическое или простая арифметическая середина:
l
.
n
x
(14)
Поскольку измерения равноточны, т.е. m1 m2 ... mn m , то средняя
квадратическая погрешность арифметической середины
m
.
n
M
(15)
Для определения средней квадратической погрешности отдельного
измерения формула (2) Гаусса применима лишь в редких случаях, когда
известно истинное значение измеряемой величины. На практике по результатам
измерений обычно вычисляют среднее арифметическое (вероятнейшее)
значение величины. В этом случае среднюю квадратическую погрешность
отдельного результата вычисляют по их уклонениям от среднего
арифметического u l x по формуле Бесселя
m
u2
n 1
.
(16)
Величина т характеризуется средней квадратической погрешностью
mm
будет
m
.
2(n 1)
(17)
Тогда средняя квадратическая погрешность среднего арифметического
M
u2
n(n 1)
.
Для оценки точности угловых измерений часто используют формулу
Петерса
m
1, 25 u
n 0, 5
.
(18)
Неравноточные измерения. За характеристику надежности результата
неравноточных измерений принимают величины, обратно пропорциональные
квадратам их средних квадратических погрешностей ‒ вес измерения
7
c
mi2
pi
,
(19)
где с ‒ коэффициент пропорциональности, постоянный для всех измерений
ряда; тi ‒ средняя квадратическая погрешность i-го результата измерений.
Обычно вес одного из результатов с погрешностью
принимают за
единицу и относительно его вычисляют веса остальных результатов измерений:
2
p1
2
; p2
2
m22
m1
где
m1 p1 m2 p2 .... mn pn
единицы веса.
2
; … ; pn
mn2
.
(20)
‒ средняя квадратическая погрешность
Наиболее надежным значением измеряемой величины является общая
арифметическая середина (весовое среднее)
pL
,
p
X
(21)
где Li ‒ значения неравноточных измерений; pi ‒ соответственно, их веса.
Веса измерений удобно выражать не через средние квадратические
погрешности, которые обычно неизвестны, а через другие числовые
характеристики измерений: например, число измерений, число приемов, числа,
обратно пропорциональные числу станций или длине хода и т.д.
Погрешность единицы веса определяется по формуле Бесселя для
неравноточных измерений
pu 2
n 1
,
(22)
где u ‒ уклонения от весового среднего.
Средняя квадратическая погрешность весового среднего
M0
pu 2
p ( n 1)
p
.
(23)
Средняя квадратическая погрешность функции общего вида y = f(x1, x2, ...,
xn), аргументы которой измерены с весами p1, p2, ... , pn, определяется по
формуле (7), а обратный вес функции
1
Py
f
x1
2
1
p1
f
x2
2
1
p2
...
f
xn
2
1
.
pn
Частные случаи функции общего вида:
1. Алгебраическая сумма измеренных величин y x1 x2
8
(24)
xn :
1
Py
1
p1
1
p2
1
.
pn
2. Произведение двух независимых величин
1
Py
1 2
z
px
(25)
y
x z:
1 2
x .
pz
(26)
Для частного случая функции y k x , где k ‒ постоянная величина:
1
Py
1 2
k .
px
3. Частное двух независимых величин
1
Py
4. Линейная функция
1
Py
y
1 1
px z 2
(27)
x
:
z
y
1 x2
.
pz z 4
(28)
k1 x1 k2 x2 ... kn xn :
1 2
k1
p1
1 2
k2
p2
...
1 2
kn .
pn
(29)
Задание 1
Оценка точности многократно измеренной величины
по истинным погрешностям
Данный способ оценки используют при исследовании точности
технических средств измерений (например, мерных лент и рулеток, теодолитов,
нивелиров и др. приборов).
Порядок оценки точности результатов равноточных геодезических
измерений рассмотрен на примерах 1 и 2.
Пример 1
Длина линии измерена мерной лентой 15 раз (табл. 1). Эта же линия была
измерена светодальномером; при этом получено точное (истинное) значение ее
длины L=181,216 м. Требуется: найти оценку систематической погрешности,
среднюю квадратическую погрешность одного измерения m, оценить точность
вычисления средней квадратической погрешности тт, определить предельную
погрешность mпред и относительную среднюю квадратическую погрешность
измерений fотн., проверить значимость вычисленной систематической
погрешности.
9
Таблица 1
Результаты измерения длины линии мерной лентой
Номер
измерений
1
2
3
4
5
i
Результаты
измерений li,м
181,22
181,23
181,28
181,26
181,27
Номер
измерений
6
7
8
9
10
Результаты
измерений li,м
181,28
181,21
181,25
181,28
181,25
Номер
измерений
11
12
13
14
15
Результаты
измерений li,м
181,20
181,27
181,23
181,21
181,24
Порядок решения:
1. Результаты измерений сводят в табл. 2.
2. Для оценки систематической погрешности находят отклонения
li L .
3.
Оценку
систематической
погрешности
получают
как
n
44, 0
15
2, 9см .
4. Находят истинные погрешности
i
i
.
Таблица 2
Вычисления, выполняемые при решении задачи
Номер
измерений
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Результаты
измерений li,м
181,22
181,23
181,28
181,26
181,27
181,28
181,21
181,25
181,28
181,25
181,20
181,27
181,23
181,21
181,24
lср = 181,25
∆i, см
∆i2
2
i
+0,4
+1,4
+6,4
+4,4
+5,4
+6,4
‒0,6
+3,4
+6,4
+3,4
‒1,6
+5,4
+1,4
‒0,6
+2,4
‒2,5
‒1,5
+3,5
+1,5
+2,5
+3,5
‒3,5
+0,5
+3,5
+0,5
‒4,5
+2,5
‒1,5
‒3,5
‒0,5
6,4
2,4
12,0
2,2
6,1
12,0
12,5
0,2
12,0
0,2
20,6
6,1
2,4
12,5
0,3
0,2
2,0
41,0
19,4
29,2
41,0
0,4
11,6
41,0
11,6
2,6
29,2
2,0
0,4
5,8
[ ] = 44,0
[∆] = 0,0
[∆2 ] = 107,8
[ 2 ] = 236,8
i,
см
10
как
5. Среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения находят
2
m
107 , 8
15
n
2, 68 см ,
т.е. с учетом совместного влияния ошибок случайного и систематического характера
2
2
m
2
236 , 8
15
2
n
n
n
44, 0
15
2
2, 68 см .
6. Оценивают точность (надежность) полученной средней квадратической
погрешности:
mm
m
2n
2, 68
2 15
0, 49 см .
Из последнего следует, что величине т следует оставлять только две значащих цифры, т.е. средняя квадратическая погрешность одного измерения длины линии мерной лентой равна т ≈ 2,7 см.
7. Предельную среднюю квадратическую погрешность рассчитывают,
приняв = 3 для топографо-геодезических работ
mпред = m = 3m =8,1 см.
8. Относительная средняя квадратическая погрешность будет
f отн
m
l
1
l :m
1
181, 2 : 0, 027
1
.
6700
9. Для решения вопроса о значимости величины систематической погрешности используют критерий
m
,
n
t
где t выбирается из таблицы распределения коэффициентов Стьюдента (прил. VI)
при п = 15, и по вероятности = Ф (t). Находят для = 0,95 t = 2,1. Тогда
t
m
n
2, 1
2,7
15
1, 5 см .
Как видно, = 2,9см > 1,5см, следовательно, систематические погрешности в данных измерениях значимы.
Пример 2
В табл. 3 приведены невязки суммы углов в треугольниках триангуляции 2-го
разряда. Требуется вычислить: среднюю квадратическую погрешность суммы
углов в одном треугольнике и оценить точность ее получения, среднюю и
11
вероятную погрешности той же суммы и среднюю квадратическую
погрешность одного угла.
Таблица 3
Вычисления, выполняемые при решении задачи
Номер
невязки
f ,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
+10
+2
+33
+1
+1
+38
+35
‒12
‒18
+23
f
Номер
невязки
2
100
4
1089
1
1
1444
1225
144
324
529
f ,
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
+3
‒4
+28
‒7
‒5
+32
‒13
+6
+31
‒10
Номер
невязки
2
f
9
16
784
49
25
1024
169
36
961
100
f ,
‒31
+23
+15
‒24
‒3
+1
+11
‒19
‒25
‒35
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
f
2
961
529
225
576
9
1
121
361
625
1225
Порядок решения:
1. Невязки треугольников f можно считать истинными погрешностями
Δ, т.к. сумму углов в треугольнике можно рассматривать как измеренную
величину, истинное значение которой равно 180 . Находят ряд сумм,
необходимых для дальнейших вычислений:
f2
2
12667 ,
499 .
f
2. Рассчитывают среднюю квадратическую погрешность суммы углов в
одном треугольнике:
2
m
12667
30
n
20, 5
20 .
3. Оценивают точность полученной средней квадратической погрешности:
m
2n
mm
20, 5
2 30
2, 6 .
4. Вычисляют среднюю погрешность :
n
499
30
16 , 6
17 .
Эта же погрешность может быть найдена как
m
1, 25
20
1, 25
16 .
5. Для определения вероятной погрешности r располагают истинные погрешности в ряд по возрастанию их абсолютных величин:+1, +1, +1, +2, +3, ‒3,
‒4, ‒5, +6, ‒7, +10, ‒10, +11, ‒12, ‒13, +15, ‒18, ‒19, +23, +23, ‒24, ‒25, +28,
12
+31, ‒31, +32, +33, +35, ‒35, +38. Тогда по погрешностям, расположенным в середине ряда, находят
15
r
13 15
2
16
2
14
.
Данная погрешность может быть найдена как r
m
1, 48
20
1, 48
13, 5
14 .
6. Находят среднюю квадратическую погрешность измерения угла в треугольнике:
m
3
m1
20
3
11, 5
12 .
Заданием предусмотрено решение двух нижеприведенных задач 1 и 2.
Задача 1
Для исследования теодолита 3Т5КП им многократно измерен один и тот
же горизонтальный угол. Результаты измерений приведены в табл. 4. Тот же
угол был измерен высокоточным теодолитом Т1. Приняв результат измерения
теодолитом Т1 за точный, требуется вычислить: систематическую, среднюю
квадратическую и предельную погрешности измерения горизонтального угла;
оценить точность (надежность) вычисленной средней квадратической погрешности, после чего правильно произвести ее округление; проверить значимость
вычисленной систематической погрешности.
Таблица 4
Результаты измерения горизонтального угла теодолитом 3Т5КП
Угол
Номер
измерений
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
65
65
65
65
65
65
65
65
65
65
Угол
Номер
измерений
16,8
16,8
15,9
16,8
16,0
16,7
16,9
16,0
17,1
16,4
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
65
65
65
65
65
65
65
65
65
65
Угол
Номер
измерений
16,9
16,9
16,8
17,1
15,7
17,3
16,4
17,1
16,5
16,0
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
65
65
65
65
65
65
65
65
65
65
16,3
16,1
15,5
15,8
16,4
15,8
16,8
16,1
16,9
16,5
Примечание. Каждому студенту значение угла, измеренного высокоточным теодолитом, выбрать из табл. 5 в соответствии с номером своего варианта.
13
Таблица 5
Результаты измерения горизонтального угла теодолитом Т1
Номер
варианта
1
2
3
1
4
5
6
7
8
9
10
Угол
65
65
65
2
65
65
65
65
65
65
65
16
16
16
3
16
16
16
16
16
16
16
0
2
4
4
6
8
10
12
14
16
18
Номер
варианта
11
12
13
5
14
15
16
17
18
19
20
Угол
65
65
65
6
65
65
65
65
65
65
65
16
16
16
7
16
16
16
16
16
16
16
20
22
24
8
26
28
30
32
34
36
38
Номер
варианта
21
22
23
9
24
25
26
27
28
29
30
Угол
65
65
65
10
65
65
65
65
65
65
65
16
16
16
11
16
16
16
16
16
16
16
40
42
44
12
46
48
50
52
54
56
58
Задача 2
В табл. 6 приведены истинные погрешности округлений некоторой величины. Вычислить: среднюю квадратическую, предельную, среднюю и вероятную погрешности округлений. Оценить точность (надежность) получения средней квадратической погрешности.
Таблица 6
Истинные погрешности округлений
Номер
п/п
1
2
3
4
5
6
∆i, см
+0,01
‒0,15
‒0,46
‒0,04
+0,30
‒0,11
Номер
п/п
7
8
9
10
11
12
∆i, см
+0,00
+0,37
‒0,27
+0,38
+0,28
+0,10
Номер
п/п
13
14
15
16
17
18
∆i, см
+0,18
‒0,24
+0,05
‒0,36
‒0,02
‒0,03
Номер
п/п
19
20
21
22
23
24
∆i, см
+0,44
‒0,29
+0,47
‒0,03
‒0,33
+0,07
Номер
п/п
25
26
27
28
29
30
∆i, см
‒0,10
‒0,25
+0,03
‒0,07
+0,30
‒0,14
Примечание. Каждому студенту исключить из данных таблицы истинные
погрешности с номерами №, №+1, №+2, где № - номер варианта (например, для
варианта 15 следует исключить погрешности с номерами 15, 16, 17).
Задание 2
Оценка точности функций независимых измеренных величин
В геодезической практике часто значения искомых величин (например,
приращений координат точек, площадей, превышений и т.п.) находят по
результатам непосредственных измерений углов, линий и др. Очевидно, что
если непосредственные измерения (аргументы) сопровождаются случайными
погрешностями, то и результаты косвенных измерений как функции этих
аргументов будут иметь погрешности. При этом величина средней
14
квадратической погрешности функции измеренных величин зависит не только
от погрешностей аргументов, но и от вида функции, связывающей
непосредственные измерения с косвенными (см. формулы (7) ‒ (13)).
Ниже приведены примеры решения некоторых геодезических задач.
Пример 3
Угол измерен двумя полуприемами, в результате чего получены значения
угла
и КП . Средняя квадратическая погрешность измерения угла в
КЛ
полуприеме равна 1′, т.е. m
m
1 . Требуется определить среднюю
квадратическую погрешность m угла, измеренного полным приемом.
Выражение для вычисления среднего значения угла можно записать в
виде
КЛ
КП
1
2
КЛ
1
2
КП
.
Согласно формуле (13)
m
Поскольку m
КЛ
m КП
1
2
2
2
m
2
КЛ
1
2
2
m 2КП .
m , то
m2
1 2
m
2
и m
m
2
1
2
0,7 .
Пример 4
Длины сторон a = 62 м и b = 46 м земельного участка прямоугольной
формы измерены с относительной погрешностью fотн=1:1000. Найти
абсолютную и относительную средние квадратические погрешности
определения площади участка.
Площадь участка S = аb = 62 · 46=2852 м2.
Поскольку fотн
ma
a
mb
b
1
, то абсолютные погрешности измерения
1000
длин сторон mа = 0,062 м, mb = 0,046 м.
Согласно формуле (10)
mS2
b2 ma2
a 2 mb2 .
Тогда mS2 =462 · 0,062 2+622 · 0,046 2=17,0 м4,
f отн
mS
S
4,1м2
2852м2
15
mS = 4,1 м2.
1
.
700
Пример 5
Найти погрешность определения приращения координаты Δx,
вычисленного по формуле Δx = d cos α, если длина стороны d = 150,0 м
измерена со средней квадратической погрешностью md = 0,1 м, а дирекционный
угол
60 02 определен с погрешностью m 1 .
Исходя из выражения (7)
m
m
2
x
2
m2x
f
d
f
d
cos ;
2
cos
x
0, 4995 0, 1
m
x
2
f
md2
md
f
2
2
m2 ;
dsin ;
dsin
m
1
150 0, 8663
3438
0, 00392
2
;
2
0, 00392 ;
0, 06 м.
Заданием предусмотрено решение задач 3 ‒ 7.
Задача 3
Вычислить среднюю квадратическую и предельную погрешности суммы
углов полигона, имеющего n углов, если известно, что погрешность измерения
одного угла составляет т = 0,5 .
Примечание. Каждому студенту количество углов в полигоне n взять
равным 5+№, где № ‒ номер варианта; например, для варианта №15 n будет
равно 5+15=20 углов.
Задача 4
Угол измерен тремя приемами. Вычислить среднюю квадратическую
погрешность измерения угла, если погрешность угла, измеренного одним
полуприемом, равна т 10 .
Примечание. Каждому студенту погрешность измерения угла одним
полуприемом т принять равной 10 +№, где № ‒ номер варианта; например, для
варианта №5 т будет равно 10 +5=15 .
Задача 5
По плану масштаба 1:5000 измерены две стороны прямоугольного
участка а и b (табл. 7). Измерения выполнялись линейкой с миллиметровыми
16
делениями. Найти площадь этого участка S и среднюю квадратическую
погрешность площади mS, если СКП совмещения нулевого штриха линейки с
началом стороны участка равна тн = 0,3 мм, а СКП отсчитывания по линейке в
конце стороны участка равна тк = 0,5 мм. Ответ выразить в гектарах.
Таблица 7
Результаты измерения сторон прямоугольного участка
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Длины,
a
10,85
10,44
10,16
10,45
10,48
10,72
10,61
10,62
10,77
10,48
см
b
19,69
19,27
19,57
19,75
19,44
19,70
19,75
19,78
19,67
19,87
Номер
варианта
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Длины,
a
10,23
10,23
10,78
10,75
10,85
10,41
10,63
10,50
10,57
10,53
см
b
19,37
19,74
19,43
19,24
19,40
19,19
19,54
19,26
19,55
19,39
Номер
варианта
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Длины,
a
10,37
10,74
10,83
10,64
10,75
10,30
10,79
10,22
10,78
10,34
см
b
19,51
19,59
19,76
19,43
19,79
19,83
19,88
19,71
19,63
19,15
Задача 6
В треугольнике измерены длины двух сторон d1, d2 со средними
квадратическими погрешностями т1, т2 и горизонтальный угол между ними с
погрешностью т (табл. 8). Вычислить по измеренным величинам площадь
треугольника S и среднюю квадратическую mS и относительную fS погрешность
площади. Ответ выразить в гектарах.
Задача 7
Превышение между точками местности определялось электронным
тахеометром методом тригонометрического нивелирования; при этом были
измерены(табл. 9): наклонное расстояние D со средней квадратической
погрешностью mD , угол наклона визирной оси
при наведении на центр
отражателя с погрешностью т , высота прибора i = 1,65 м и высота визирной
цели (отражателя) V = 1,50 м с погрешностями тi = mV = 0,005 м. Вычислить
превышение, его среднюю квадратическую и предельную погрешности.
Таблица 8
Результаты измерений в треугольнике
Длины сторон, d
Номер
вар. d1 , м т1 , d2 , м т2 ,
см
см
1
2
3
4
92,48
79,55
98,18
102,10
6,5
8,0
2,5
3,5
162,66
153,57
124,25
132,53
2,0
8,0
7,0
4,0
Длины сторон, d
Номер
вар. d1 , м т1 , d2 , м т2 ,
см
см
Угол,
т
46
63
38
74
47,0
29,3
32,3
22,6
0,6
0,9
0,6
0,6
17
16
17
18
19
102,63
134,53
125,99
134,32
7,0
6,5
4,5
2,5
182,44
125,12
183,62
174,88
4,0
5,5
6,5
6,5
Угол,
т
53
73
94
42
56,1
52,9
09,1
34,3
0,4
0,3
0,9
0,3
Длины сторон, d
Номер
вар. d1 , м т1 , d2 , м т2 ,
см
см
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
142,80
85,43
121,60
110,45
150,06
88,25
136,16
112,91
141,07
96,38
116,70
8,0
4,0
1,5
2,0
5,5
2,0
8,5
8,0
5,5
8,0
4,5
156,50
174,99
117,31
100,45
118,36
170,39
135,48
107,91
185,30
176,11
179,97
4,0
4,0
4,5
8,5
5,0
2,5
7,0
5,5
6,5
7,5
5,0
Угол,
Длины сторон, d
Номер
вар. d1 , м т1 , d2 , м т2 ,
см
см
т
94
89
95
80
78
55
63
51
86
43
71
18,9
18,7
21,2
27,2
12,3
06,9
49,1
00,8
09,9
22,7
07,2
0,8
0,7
0,5
0,4
0,1
0,5
0,3
0,6
0,1
0,7
0,6
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
100,44
114,35
100,48
93,23
129,35
113,03
140,61
124,85
116,08
110,22
100,52
2,5
2,5
8,0
1,5
3,0
4,5
3,0
8,0
2,5
5,5
6,5
174,67
177,98
165,39
107,26
125,04
118,60
134,74
175,92
169,97
192,82
185,56
Угол,
т
8,0
6,5
3,0
5,0
5,5
7,0
8,0
6,5
2,5
4,5
2,5
81
72
55
87
79
88
92
63
37
40
53
34,8
24,6
52,3
42,7
34,9
43,3
37,0
44,6
14,1
18,2
33,8
0,3
0,8
0,6
0,9
0,2
0,9
0,9
0,5
0,3
0,1
0,8
Таблица 9
Результаты измерений при определении превышения
Номер Расстояние, м
вар.
D
md
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
112,79
149,83
87,88
89,58
154,54
129,82
147,85
148,81
98,20
124,23
144,51
78,16
88,35
118,15
129,12
0,04
0,03
0,04
0,03
0,02
0,01
0,02
0,04
0,03
0,01
0,04
0,03
0,01
0,02
0,03
Угол наклона
т
+2
‒3
+13
‒6
‒16
+3
‒16
+7
‒18
‒14
‒7
‒11
‒16
+17
‒9
25,7
37,9
14,5
09,5
36,7
01,2
42,4
28,5
49,0
43,5
15,5
31,1
57,4
42,2
16,4
Номер
вар.
0,5
0,5
0,4
0,1
0,4
0,2
0,3
0,1
0,4
0,4
0,1
0,5
0,2
0,5
0,5
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Расстояние,
м
D
md
115,97
107,93
137,22
84,03
84,09
154,02
123,49
113,90
109,96
146,69
95,69
96,48
89,50
83,76
109,80
0,03
0,04
0,03
0,02
0,01
0,02
0,03
0,03
0,02
0,02
0,04
0,02
0,01
0,02
0,03
Угол наклона
т
+4
+19
+10
+7
+13
+0
‒14
+18
‒12
‒1
‒14
‒10
+9
+13
‒7
04,3
56,5
52,4
24,5
21,6
11,1
14,5
25,6
42,0
41,3
13,3
52,6
04,1
18,5
26,6
0,3
0,1
0,2
0,5
0,3
0,3
0,4
0,3
0,2
0,1
0,2
0,3
0,1
0,5
0,5
Задание 3
Обработка результатов равноточных измерений одной и той же величины
Обработка результатов измерений одной и той же величины имеет целью
нахождение наиболее надежного значения измеренной величины и оценку
точности этого результата.
Пусть выполнен ряд равноточных измерений некоторой величины,
истинное значение которой Х неизвестно. В результате измерений получены
значения li , свободные от систематических погрешностей. Обработку ряда
равноточных измерений проводят в следующей последовательности.
18
1. Находят наиболее надежное (вероятнейшее) значение измеренной
величины, которым является простая арифметическая середина или среднее
арифметическое
l
n
x
l0
n
,
(30)
где
l0 – приближенное значение результата измерений, близкое к
арифметической середине; ‒ "остатки", определяемые как
i
li l0 .
(31)
В качестве l0 рекомендуется выбирать наименьший результат из ряда
измерений l1, l2, … , ln; в этом случае всегда остатки
0.
2. Вычисляют уклонения каждого измерения от среднего арифметического:
ui
li
x.
3. Найденные значения среднего арифметического x и уклонений ui
контролируют равенством u 0 .
Если значение среднего арифметического получено с округлением, то
u
где
n
окр
,
(32)
‒ погрешность округления x.
4. Вычисляют и контролируют величину u 2 по формуле
окр
2
u
2
2
.
n
(33)
5. Вычисляют среднюю квадратическую
измерения по формуле Бесселя
m
погрешность отдельного
[u 2 ]
.
n 1
6. Определяют надежность средней квадратической погрешности
отдельного результата измерений:
m
mm
7. Вычисляют
арифметического:
среднюю
M
.
2 n 1
квадратическую
u2
m
n
n n 1
погрешность
среднего
.
8. Определяют надежность средней квадратической погрешности
среднего арифметического:
19
M
.
2( n 1)
mM
Пример 6
Горизонтальный угол измерен 8-ю приемами (табл. 10). Выполнить
математическую обработку результатов равноточных независимых измерений.
Таблица 10
Обработка результатов равноточных измерений
Номер
приема
Результат измерения li
1
2
3
4
5
6
7
8
Остатки
li l0
i
+0,2″
+0,8
0,0
+0,5
+0,7
+0,2
+0,4
+0,6
∑ = +3,4
75 27 18,8
19,4
18,6
19,1
19,3
18,8
19,0
75 27 19,2
l0 = 75 27 18,6
x l0
n
75 27 18, 6
3, 4
8
2
m
mm
2
1,98
n
u2
n 1
m
2 n 1
u
−0,2″
+0,4
−0,4
+0,1
+0,3
−0,2
0,0
+0,2
+0,2
0,04
0,16
0,16
0,01
0,09
0,04
0,00
0,04
0,54
−0,04
+0,32
0,00
+0,05
+0,21
−0,04
0,00
+0,12
+0,62
75 27 19, 025 ;
окр
u
2
u
u2
0,04
0,64
0,00
0,25
0,49
0,04
0,16
0,36
1,98
Контроль:
2
Уклонения
u
0, 54
8 1
3,4 2
8
0, 28
0,28
2 8 1
= – 0,025″;
n
окр
8 ( 0,025 )
0,2 ;
0,54 ;
0, 3 ;
0,07
M
0,1 ;
mM
m 0,28
0,10 0,1 ;
n
8
M
0, 10
0, 03 .
2 7
2 n 1
Ответ: 75˚ 27′ 19,0″; М = 0,1″.
Заданием предусмотрено решение задач 8 и 9.
Задача 8
Длина стороны теодолитного хода была измерена 30 раз. Результаты
измерений приведены в табл. 11. Выполнить математическую обработку
данного ряда измерений:
‒ определить окончательный результат измерений (среднее
арифметическое);
‒ вычислить среднюю квадратическую погрешность отдельного
результата измерения длины и ее надежность;
20
‒ вычислить среднюю квадратическую погрешность окончательного
результата измерений (среднего арифметического) и ее надежность;
‒ рассчитать относительную погрешность измерения длины.
Таблица 11
Результаты измерений длины стороны теодолитного хода
Номер
Длина,
измерем
ния
1
2
3
4
5
6
156,36
156,46
156,36
156,34
156,35
156,44
Номер
Номер
Длина,
Длина,
измереизмерем
м
ния
ния
7
8
9
10
11
12
156,36
156,45
156,38
156,44
156,33
156,46
13
14
15
16
17
18
156,39
156,46
156,38
156,34
156,34
156,45
Номер
Длина,
измерем
ния
19
20
21
22
23
24
156,46
156,43
156,35
156,33
156,48
156,31
Номер
Длина,
измерем
ния
25
26
27
28
29
30
156,45
156,42
156,42
156,31
156,40
156,39
Примечание. Каждому студенту следует исключить из таблицы
результаты (или результат) измерений, номера которых (которого) совпадают с
цифрами варианта.
Задача 9
Для исследования полярного планиметра было произведено 30 измерений
площади участка на плане масштаба 1:2000. Результаты измерений приведены в
табл. 12. Произвести математическую обработку данного ряда измерений.
Ответ выразить в гектарах.
Таблица 12
Результаты измерений площади участка планиметром
№
п/п
1
2
3
4
5
6
Площадь,
см 2
233,29
232,83
232,74
232,46
232,84
233,31
№
п/п
7
8
9
10
11
12
Площадь,
см 2
233,62
232,88
233,44
233,20
232,44
232,40
№
п/п
13
14
15
16
17
18
Площадь,
см 2
232,89
232,68
232,58
233,04
233,52
232,73
№
п/п
19
20
21
22
23
24
Площадь,
см 2
232,80
232,97
232,26
233,58
233,17
233,13
№
п/п
25
26
27
28
29
30
Площадь,
см 2
232,31
232,47
233,66
232,83
233,21
232,55
Примечание. Каждому студенту следует исключить из таблицы
результаты (или результат) измерений, номера которых (которого) совпадают с
цифрами варианта.
Задание 4
Оценка точности по разностям двойных
равноточных измерений
В практике производства геодезических работ приходится измерять
большие группы однородных величин, причем каждую величину для контр оля
21
и повышения точности измеряют дважды. Такие измерения принято называть
двойными (парными).
Пусть имеем ряд парных равноточных измерений l1 и l1 , l2 и l2 , …, ln и
ln
( m1 m1 m2 m2 ... mn mn ml ) некоторых однородных величин Х1, Х2, … , Хn.
1. Вычисляют разности двойных измерений по каждой паре:
di
(34)
li li
2. Наиболее надежные, окончательные значения определяемых величин
находят как
l
lср
l
2
.
3. Для определения значимости (допустимости) систематической
погрешности используют критерий
.
| d | 0,25 d
(35)
4. Если условие (35) выполняется, то делают вывод о том, что систематическими погрешностями можно пренебречь. В противном случае делают з аключение о значимости систематических погрешностей и необходимости их
учета при оценке точности измерений.
При отсутствии (допустимости) систематических погрешностей
значения разностей можно рассматривать как истинные погрешности самих
разностей, так как истинное значение разностей равно нулю. Тогда среднюю
квадратическую погрешность одной такой разности можно определить по
формуле Гаусса как
md
d2
n
или
md
ml 2 ,
где n − число всех разностей; ml погрешность отдельного измерения li или li .
5. Вычисляют погрешность тl отдельного результата измерений:
ml
d2
md
2
2n
.
(36)
6. Учитывая, что измерения равноточны, т.е. mi mi ml , находят среднюю
квадратическую погрешность наиболее надежных значений определяемых
величин:
mlср
ml
2
1
2
d2
n
.
(37)
Если в результатах измерений присутствуют систематические
погрешности, т.е. неравенство (35) не выполняется, то из каждой разности
22
двойных измерений исключают остаточное влияние систематических
погрешностей.
7. Величину остаточной систематической погрешности определяют как
среднее арифметическое
d
.
n
c
(38)
8. Исключают из каждой разности систематическую погрешность
di
di
c
c
,
:
(39)
где d i ‒ уклонения разностей от их арифметической середины c .
9. Среднюю квадратическую погрешность одной разности двойных
измерений находят по формуле Бесселя
2
d
md
n 1
,
а погрешность отдельного измерения l :
ml
d
md
2
2
2 n 1
(40)
.
10. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность среднего
арифметического значения двойного измерения
ml
2
mlср
d
1
2
2
n 1
.
(41)
11. Вычисление d и суммы d 2 контролируют по формулам:
2
d
где
окр
n
окр
;
d
2
d
d
,
n
2
(42)
– ошибка округления систематической погрешности
c
.
Пример 7
Требуется определить средние квадратические погрешности одного
превышения и среднего из превышений на станции по данным геометрического
нивелирования трассы, выполненного двумя нивелирами (табл. 13).
Таблица 13
Оценка точности по разностям двойных измерений превышений
Номера
станций
1
2
3
4
Превышения, мм
h′
h″
+1607,5
+1602,5
−753,0
−750,0
−616,5
−614,0
+449,0
+451,0
d, мм
d2
d , мм
+5,0
−3,0
−2,5
−2,0
25,00
9,00
6,25
4,00
+3,6
−4,4
−3,9
−3,4
23
d
2
12,96
19,36
15,21
11,56
Превышения, мм
h′
h″
−374,5
−379,5
−772,0
−774,5
−1344,5
−1348,5
+2115,5
+2117,0
+842,0
+840,0
+627,5
+623,0
∑
Номера
станций
5
6
7
8
9
10
c
d
d
n
14
10
d, мм
d2
d , мм
+5,0
+2,5
+4,0
−1,5
+2,0
4,5
+14,0
25,00
6,25
16,00
2,25
4,00
20,25
118,00
+3,6
+1,1
+2,6
−2,9
+0,6
+3,1
0,0
d
2
12,96
1,21
6,76
8,41
0,36
9,61
98,40
1,4 мм;
14,0 0,25
8,
d
следовательно,
c
нужно исключить из значений
разностей d.
md
d
2
n 1
98, 4
10 1
3, 3мм ,
mh
md
2
3,3
2
2,3мм ;
2
Контроль:
d
2
d
2
d
;
n
98,4=118,0 −
mhср
mh
2
2,3
2
1,6 мм .
14 2
= 98,4.
10
Заданием предусмотрено решение задачи 10.
Задача 10
Произвести оценку точности угловых измерений, выполненных
теодолитом 3Т5КП (табл. 14), по разностям двойных измерений направлений
(круг право и круг лево).
Таблица 14
Результаты измерений горизонтальных направлений
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Измеренные направления
КЛ
КП
154
202
48
26
58
151
192
203
191
179
64
213
153
142
83
37,8
48,6
30,3
53,6
58,2
12,7
32,4
52,8
52,4
49,4
28,6
41,5
47,7
01,6
52,5
334
22
228
206
238
331
12
23
11
359
244
33
333
322
263
№
п/п
37,6
48,4
30,1
54,3
58,3
12,5
32,1
52,7
52,5
49,8
28,6
41,2
47,8
01,4
52,2
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
24
Измеренные направления
КЛ
КП
48
82
72
216
47
209
97
217
103
116
38
161
206
206
128
28,8
50,9
54,0
59,6
51,3
25,9
59,3
45,3
59,5
51,3
56,7
04,1
28,9
38,9
43,6
228
262
252
37
227
29
277
37
283
296
218
341
26
26
308
28,5
51,5
53,8
0,0
51,1
25,9
59,1
45,8
59,6
51,8
57,3
04,4
29,5
39,0
43,5
Примечание. Каждому студенту следует исключить из таблицы
результаты (или результат) измерений, номера которых (которого) совпадают с
цифрами варианта.
Задание 5
Определение весов неравноточных измерений
Измерения,
выполненные
в
неодинаковых
условиях
и
характеризующиеся различными средними квадратическими погрешностями,
называются неравноточными. При определении наиболее надежного значения
из ряда неравноточных измерений, нельзя пользоваться средним
арифметическим, так как оно не учитывает степень надежности каждого
отдельного измерения. Следует поступать так, чтобы большее влияние на
окончательный результат оказывали измерения с меньшими погрешностями,
т.е. обладающие большим весом.
Поскольку средние квадратические погрешности измерений обычно
неизвестны, то на практике веса измерений выражают через другие числовые
характеристики измерений.
Так, при обработке результатов геометрического нивелирования за веса
принимают величины, обратно пропорциональные числу станций хода ni, т.е.
pi
c
ni
.
(43)
В случаях, когда число станций на 1 км в нивелирных ходах примерно
одинаково, вместо числа станций используют число километров хода Lкм, т.е.
pi
c
.
LiКМ
(44)
За веса измеренных длин сторон полигонометрических ходов принимают
величины, обратно пропорциональные длинам ходов Li , т.е.
pi
c
Li
.
(45)
За веса превышений, полученных из результатов тригонометрического
(геодезического)
нивелирования,
принимают
величины,
обратно
пропорциональные квадратам длин сторон Di, т.е.
pi
c
Di2
.
(46)
Ниже приведены случаи определения весов измерений при решении некоторых геодезических задач.
25
Пример 8
Вес угла рi равен 4. Найти среднюю квадратическую погрешность тi
этого угла, если средняя квадратическая погрешность единицы веса
равна
12 .
Из выражения (20) следует
2
mi2
pi
или mi
pi
12
4
6 .
Пример 9
Три горизонтальных угла были измерены одним и тем же теодолитом, но
разным числом приемов: n1 = 3, n2 = 5, n3 = 2. Найти веса средних значений
каждого угла pср i, если вес измерения угла одним приемом принять равным
единице p1 = 1.
Согласно свойству весов измерений можем записать:
m12
,
mср2 i
pср i
p1
(47)
где m1 – средняя квадратическая погрешность угла, измеренного одним приемом (единицы веса); mср i – средняя квадратическая погрешность среднего значения i‒го угла.
Известно, что mср вычисляется как mср i
Учитывая сказанное, запишем
pср i
1
m1
, или
ni
mср2 i
m12
.
ni
m12
ni , или окончательно pср i
m12
ni ,
т.е. вес среднего значения горизонтального угла равен числу приемов, которым
этот угол был измерен. Следовательно: рср 1 = 3, рср 2 = 5, рср 3 = 2.
Заданием предусмотрено решение задач 11 ‒ 14.
Задача 11
Вычислить веса превышений по ходам геометрического нивелирования
соответственно длиной 10, 20, 30 км, приняв в качестве измерения с единичным
весом превышение по ходу длиной с = № (км), (№ ‒ номер варианта).
Задача 12
Результатам измерения горизонтальных углов соответствуют средние
квадратические погрешности: т1 = 5 , т2 = 15 , т3 = 25 . Вычислить их веса,
если известно, что средняя квадратическая погрешность единицы веса
= (5+№) (№ ‒ номер варианта).
Задача 13
Приняв веса результатов измерений каждого из 10 углов теодолитного
хода, равными 1, вычислить вес суммы всех углов.
26
Примечание. Число углов в полигоне принять равным 7 + №, (№ ‒ номер
варианта).
Задача 14
Горизонтальный угол измерен n1 раз теодолитом со средней
квадратической погрешностью одного измерения 1. Сколько раз необходимо
измерить этот же угол другим теодолитом, дающим среднюю квадратическую
погрешность одного измерения 2, чтобы веса результатов измерений были
одинаковы?
Значения n1, 1, 2 выбрать в соответствии с номером варианта (табл. 15).
Таблица 15
Исходные значения n1, 1 и 2
Номер
варианта
n1
1
2
Номер
варианта
n1
1
2
Номер
варианта
n1
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
21
9
22
11
19
9
23
21
7
23
5,4
3,8
5,1
6,0
5,1
5,7
4,2
2,2
4,9
4,3
4,7
6,1
3,1
7,2
3,3
5,0
2,9
1,8
7,6
3,4
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
16
23
14
7
12
23
15
20
15
24
4,1
2,2
4,7
2,9
4,8
4,1
5,0
5,0
5,1
4,7
3,1
1,6
5,5
3,6
5,9
3,1
6,3
3,2
6,3
3,2
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
19
16
15
7
24
8
21
17
21
15
3,1
4,8
2,6
3,6
4,1
3,8
2,0
5,3
3,1
4,8
2,5
4,2
1,9
5,6
2,4
5,7
1,4
4,1
1,8
6,1
Задание 6
Определение весов функций независимых измеренных величин
Для получения средней квадратической погрешности любого результата
измерений, в том числе и функции измеренных величин, необходимо знать погрешность единицы веса
и вес P этой функции. Значения весов функций
определяют по формулам (24) ‒ (29).
Примеры определения весов функций геодезических измерений рассмотрены ниже.
Пример 10
Найти веса следующих функций:
1. y 3x1 0, 3x2 0,7 x3 ;
2. y 3x12 4x2 ,
если px 3 ; px 0, 4 ; px 4 ; х1 = 1.
1
2
3
Решение:
1.
y
x1
3;
y
x2
0, 3;
y
x3
0, 7 ;
27
2.
1
ру
32
1
рх1
y
x1
1
ру
6 х1 ;
(6 х1 ) 2
1
рх2
( 0 , 32 )
y
x2
1
рх1
(0, 7 )2
1
рх3
3, 3 ;
ру
1
3, 3
0, 3 .
4;
42
1
рх2
52 ;
1
52
ру
0, 02 .
Пример 11
Найти вес р угла, полученного по равноточным измерениям из девяти
приемов, приняв вес угла р , измеренного одним полуприемом, равным единице.
Так как каждый прием состоит из двух полуприемов, то для угла измеренного девятью приемами запишем
1
18
18
i
i 1
Тогда
1
p
1
18
2 18
1 i
1
p
1
18
2
18 ;
p
18 .
i
Заданием предусмотрено решение задач 15 ‒ 17.
Задача 15
Два угла треугольника измерены соответственно n1 и n2 приемами, а третий получен из вычислений. Найти вес третьего угла, если вес угла, измеренного одним приемом, принят равным единице.
Примечание. Каждому студенту принять n1 = (3 + №) и n2 = (33 ‒ №), где
№ ‒ номер варианта.
Задача 16
Найти вес площади прямоугольника, если его ширина а получена с весом
ра, а длина b ‒ с весом рb.
Примечание. Каждому студенту принять: а = 6; b = 10; ра = (3 + №); рb
= (33 ‒ №), где № ‒ номер варианта.
Задача 17
Найти длину d и вес рd гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами х и у, приняв за измерение с весом, равным единице, линию длиной с.
Решение выполнить по одному из вариантов, приведенных в табл. 16.
28
Таблица 16
Длины катетов х, у и линии с весом, равным единице
Номер
варианта
х, м
у, м
с, м
Номер
варианта
х, м
у, м
с, м
Номер
варианта
х, м
у, м
с, м
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
17
22
41
20
34
16
18
35
34
33
33
34
22
27
42
68
40
65
24
59
20
10
10
30
30
30
40
10
40
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
23
42
27
47
13
38
39
10
32
41
28
58
25
35
55
39
40
30
29
40
30
30
30
20
30
20
30
40
10
40
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
25
19
31
45
34
35
17
37
33
47
29
28
26
28
21
47
52
38
37
47
30
30
40
40
20
30
20
20
30
20
Задание 7
Обработка результатов неравноточных измерений одной величины
Обработку ряда неравноточных измерений одной и той же величины выполняют в следующей последовательности.
1. Находят веса результатов измерений. Если средние квадратические погрешности результатов измерений mi известны заранее, то веса вычисляют как
c
mi2
pi
.
Если средние квадратические погрешности результатов не известны, то в
качестве весов принимают численные характеристики ряда измерений (число
измерений в отдельных сериях измерений, число станций в ходах, длины ходов
и т.п.)
2. Вычисляют наиболее надежное значение измеряемой величины по
формуле для общей арифметической середины (весового среднего)
X
pl
p
p
.
p
l0
(48)
где – остаток, определяемый как разность между результатом каждого измерения и выбранной величиной, т.е. i li l0 .
3. Вычисляют уклонения результатов измерений от весового среднего :
ui
pu
li
X.
Значения уклонений и и весового среднего X контролируют равенством
0.
Если значение X дается с округлением, то контроль выполняют по фор-
муле
29
pu
где
p
окр
,
(49)
‒ погрешность округления X .
4. Вычисляют и контролируют величину pu 2 по формуле
окр
pu 2
p
p
2
2
.
p
(50)
5. Определяют среднюю квадратическую погрешность единицы веса и
оценивают ее надежность:
pu 2
n 1
;
m
2 n 1
.
(51)
6. Находят среднюю квадратическую погрешность весового среднего и ее
надежность:
M0
p
;
m
mM0
.
(52)
p
7. Если средние квадратические погрешности отдельных измерений
заранее не были известны, то их вычисляют по формуле
mi
pi
.
Пример 12
Угол измерен различным числом приемов ni в четырех сериях. Известны
средние арифметические значения угла в каждой серии измерений xi . Произвести полную математическую обработку результатов измерений по данным,
приведенным в табл. 17.
Таблица 17
Обработка результатов неравноточных измерений угла
Среднее
арифметиЧисло
Номер ческое зна- приемов
серии чение угла в
ni
серии xi
1
12
68º 13 10
2
16
10
3
12
6
4
24
4
l0 68 13 10
Вес
n
p
2
6
5
3
2
16
0
+6
+2
+14
30
2
p
p
0
+30
+6
+28
+64
0
180
12
392
584
u
pu
pu 2
‒4,0
+2,0
‒2,0
+10,0
‒24,0
+10,0
‒6,0
+20,0
0
96,0
20,0
12,0
200,0
328,0
m
i
4,3
4,7
6,0
7,4
p
p
X
64
16
4,0 ;
p
p
l0
68 13 10
Контроль: pu
pu 2
M0
p
2
10, 5
16
68 13 14,0 .
4,0
p
p
2
p
328,0
4 1
N 1
0.
окр
64 2
16
584
10 ;
10,5
2, 6
2
328 .
10, 5
6
m
2 N 1
3 ;
m
mM0
Ответ: 68 13 14 ,
4
16
p
M
0
4, 3
4 ;
1 .
3 .
Заданием предусмотрено решение задач 18 и 19.
Задача 18
Линия измерена мерной лентой шесть раз различным числом приемов ni.
Результаты измерений приведены в табл. 18. Выполнить математическую обработку данного ряда измерений по одному из вариантов:
‒ определить наиболее надежное значение результата измерений (общую
арифметическую середину);
‒ вычислить среднюю квадратическую погрешность единицы веса и ее
надежность;
‒ вычислить среднюю квадратическую погрешность окончательного
результата измерений и ее надежность;
‒ вычислить средние квадратические погрешности каждого из шести
измерений;
‒ рассчитать относительную погрешность измерения длины линии.
Таблица 18
Результаты многократных измерений длины линии
Длина линии, м
L3
L4
Количество измерений
n2
n3
n4
n5
Номер
варианта
L1
L2
L5
L6
n1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
191,30
176,13
171,75
193,90
157,16
193,94
168,58
161,29
172,81
174,43
191,31
176,05
171,81
193,96
157,19
194,01
168,53
161,23
172,91
174,35
191,27
176,03
171,74
193,96
157,21
193,95
168,52
161,26
172,95
174,42
191,30
175,96
171,71
193,90
157,16
193,87
168,56
161,18
172,97
174,41
191,25
176,00
171,64
193,94
157,11
193,85
168,48
161,23
172,88
174,49
191,19
176,01
171,64
194,02
157,15
193,92
168,53
161,28
172,96
174,49
5
10
9
4
6
5
4
4
2
2
2
4
9
4
5
8
4
4
6
4
6
6
8
10
3
2
7
2
10
6
6
8
4
2
6
3
6
5
6
7
8
7
4
8
6
4
7
5
6
6
6
5
2
6
3
4
8
7
6
6
31
n6
Номер
варианта
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
L1
163,53
178,35
194,37
188,17
189,08
188,83
175,63
161,30
168,33
157,52
192,39
186,53
171,36
191,31
175,43
181,35
198,28
189,16
194,37
166,37
L2
163,52
178,38
194,36
188,15
188,98
188,74
175,68
161,38
168,31
157,52
192,40
186,49
171,27
191,32
175,40
181,27
198,22
189,24
194,34
166,31
Длина линии, м
L3
L4
163,43 163,42
178,41 178,35
194,42 194,47
188,19 188,11
189,00 189,07
188,70 188,80
175,63 175,65
161,37 161,35
168,31 168,22
157,45 157,43
192,37 192,34
186,42 186,34
171,36 171,41
191,34 191,37
175,34 175,44
181,24 181,27
198,25 198,18
189,14 189,09
194,37 194,45
166,39 166,42
L5
163,43
178,34
194,39
188,01
188,97
188,82
175,59
161,25
168,17
157,52
192,32
186,44
171,34
191,37
175,45
181,18
198,23
189,08
194,47
166,36
L6
163,34
178,38
194,49
188,05
188,89
188,89
175,56
161,19
168,08
157,49
192,33
186,53
171,41
191,28
175,52
181,12
198,30
189,06
194,42
166,44
n1
4
4
3
7
5
6
6
8
10
2
6
2
6
9
10
6
10
4
4
10
Количество измерений
n2
n3
n4
n5
n6
10
9
7
10
2
9
4
10
2
10
6
10
5
8
8
7
6
3
6
9
9
3
2
8
5
8
8
6
8
8
9
3
7
5
8
4
9
7
6
5
5
4
7
8
8
3
9
4
9
5
10
5
9
8
9
10
8
7
7
2
9
2
9
4
9
5
2
3
3
10
4
5
6
10
6
8
7
5
10
3
3
2
10
3
6
5
7
7
3
10
4
2
10
6
7
2
8
5
5
8
Задача 19
На узловой репер по шести ходам геометрического нивелирования с различным числом станций передана высота. Произвести математическую обработку выполненного ряда измерений по одному из вариантов в табл. 19.
Таблица 19
Результаты определения высоты узлового репера
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
H1
25,618
12,664
33,204
26,260
14,974
10,812
37,383
33,277
24,468
20,704
37,165
22,235
23,900
35,536
H2
25,621
12,645
33,199
26,258
14,973
10,813
37,395
33,258
24,464
20,684
37,146
22,217
23,920
35,548
Высота репера, м
H3
H4
25,607 25,599
12,635 12,644
33,200 33,210
26,250 26,233
14,983 15,001
10,794 10,792
37,400 37,387
33,252 33,257
24,468 24,470
20,689 20,697
37,160 37,157
22,200 22,215
23,915 23,927
35,530 35,550
H5
25,599
12,627
33,206
26,251
14,992
10,779
37,391
33,256
24,475
20,705
37,168
22,207
23,923
35,542
32
H6
25,588
12,628
33,211
26,239
15,009
10,792
37,391
33,269
24,481
20,710
37,185
22,190
23,916
35,523
n1
29
40
37
27
31
16
29
40
30
37
19
15
24
15
Число станций
n2
n3
n4
n5
33
39
28
39
31
20
18
36
30
37
29
34
15
37
23
24
20
20
17
37
16
19
29
35
34
29
26
39
19
15
35
23
31
22
39
17
36
17
36
34
20
32
15
30
32
39
32
16
25
16
38
33
32
25
24
32
n6
23
29
23
40
22
16
28
32
28
37
34
33
22
30
Окончание табл. 19
Номер
варианта
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
H1
12,356
32,621
14,668
12,356
35,958
39,052
32,979
13,535
12,680
18,181
34,208
14,421
23,617
33,344
34,360
37,904
H2
12,363
32,637
14,686
12,367
35,947
39,045
32,999
13,529
12,662
18,183
34,204
14,425
23,610
33,345
34,365
37,910
Высота репера, м
H3
H4
12,353 12,351
32,618 32,637
14,679 14,693
12,349 12,360
35,945 35,934
39,042 39,047
33,005 33,018
13,546 13,560
12,655 12,671
18,197 18,185
34,218 34,201
14,445 14,452
23,622 23,611
33,342 33,324
34,376 34,379
37,919 37,931
H5
12,360
32,622
14,706
12,354
35,943
39,035
33,029
13,575
12,653
18,195
34,199
14,467
23,608
33,333
34,374
37,919
H6
12,376
32,608
14,709
12,371
35,946
39,016
33,018
13,578
12,659
18,189
34,206
14,448
23,624
33,322
34,360
37,932
n1
37
38
25
19
18
19
36
34
23
24
16
19
25
21
30
17
n2
37
17
22
34
21
36
40
35
34
31
26
37
39
27
15
27
Число станций
n3
n4
n5
40
26
34
33
25
20
24
16
31
31
25
23
28
31
37
35
25
38
31
36
19
35
16
36
37
30
25
35
21
35
28
16
39
31
31
28
39
36
21
16
19
25
36
15
18
24
25
36
n6
22
37
21
39
18
38
33
19
18
33
33
30
34
38
38
30
Задание 8
Оценка точности по разностям двойных неравноточных измерений
Пусть имеем ряд парных результатов измерений l1 и l1 , l2 и l2 , …, ln и
ln ; в каждой паре результаты равноточны (имеют один и тот же вес pl ), но
каждая пара в ряде измерений неравноточна другим парам, т.е.
m1 m1 m2 m2 ... mn mn и p1 p1 p2 p2 ... pn pn .
1. Вычисляют разность для каждой пары измерений:
li li .
di
2. Рассматривая разность как алгебраическую сумму измеренных величин, с учетом выражения (25) определяют вес каждой пары:
1
pdi
1
pli
1
pli
2
,
pi
или
pd
pi
.
2
(53)
3. Наиболее надежные, окончательные значения определяемых величин
находят как среднее арифметическое.
4. Для определения значимости (допустимости) систематической погрешности используют критерий
d p
0,25 d p .
(54)
5. Если условие (54) выполняется, то делают вывод о том, что систематическими погрешностями можно пренебречь. В противном случае делают з а-
33
ключение о значимости систематических погрешностей и необходимости их
учета при оценке точности измерений.
При отсутствии (допустимости) систематических погрешностей,
значения разностей рассматривают как истинные погрешности Δ.
6. Применяя формулу Гаусса для неравноточных измерений, рассчитывают среднюю квадратическую погрешность единицы веса:
pd 2
.
2n
(55)
7. Рассчитывают среднюю квадратическую погрешность одного измерения:
ml
,
pl
(56)
8. Находят среднюю квадратическую погрешность наиболее надежных
значений определяемых величин
ml
2
mlср
2 pl
.
(57)
Если в результатах измерений присутствуют систематические
погрешности, т.е. неравенство (54) не выполняется, то из каждой разности
двойных измерений исключают остаточное влияние систематических
погрешностей.
9. Определяют величину остаточной систематической погрешности:
pd
.
p
c
(58)
10. Исключают из каждой разности систематическую погрешность
di
di
c
.
11. Рассматривая полученные разности di как вероятнейшие погрешности
измерений с весами pi 2 , определяют среднюю квадратическую погрешность
единицы:
pd
2
2 n 1
.
(59)
12. Определяют надежность вычисления средней квадратической погрешности единицы веса:
m
2 n 1
.
13. Среднюю квадратическую погрешность одного измерения и наиболее
надежных значений определяемых величин находят по формулам (56, 57).
34
Пример 13
Даны разности d двойных измерений некоторых величин и веса
измерений. Выполнить оценку точности результатов двойных измерений по
данным, приведенным в табл. 20.
Таблица 20
Оценка точности результатов двойных измерений
Номер
разности
Веса
измерений
pl
pl
pi
Разности
di
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
+0,7
+5,1
‒3,7
‒2,1
‒0,1
+4,6
‒7,0
‒3,2
+0,2
+5,8
pd
p
c
d p
di pi
+0,8
+1,2
‒1,6
‒2,3
‒0,1
+5,0
‒2,1
‒1,0
+0,1
+1,9
pd = +1,9
+0,73
+2,50
‒2,45
‒2,18
‒0,08
+4,80
‒3,83
‒1,78
+0,12
+3,28
0,3;
1,10 0,25
pidi2
i
1,09
0,24
0,44
1,08
0,62
1,09
0,30
0,31
0,34
0,32
p = 5,83
1,9
5,95
pidi
0,53
6,24
6,02
4,76
0,01
23,06
14,70
3,17
0,01
10,76
pd 2 = 69,29
d p = 1,10
d p = 21,76
d p
5,44 ,
следовательно,
систематическая
погрешность допустима;
pd 2
2n
m1
p1
69, 29
20
1,9
1,09
1,8 ;
1, 9 ;
m1ср
m
2n
1, 9
20
1,9
2,18
2 p1
0, 4 ;
1,3 .
Пример 14
Выполнить оценку точности результатов двойных измерений линий по
данным, приведенным в табл. 21.
35
Таблица 21
Оценка точности результатов двойных измерений линий
Номер
разности
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Di ,
м
Разности Веса pi,
di, cм
с = 100м
Di ,
м
100,84
100,73
252,05
251,96
131,69
131,59
208,21
208,19
184,03
183,91
208,72
208,69
298,29
298,31
232,38
232,25
253,32
253,20
234,22
234,07
2103,33
d p
62,37
0,25
+11
+9
+10
+2
+12
+3
‒2
+13
+12
+15
+85
d p
0,99
0,40
0,76
0,48
0,54
0,48
0,34
0,43
0,39
0,43
5,24
di pi
ci,
см
di ,
см
pid i2
+10,96
+5,67
+8,72
+1,39
+8,85
+2,08
‒1,16
+8,53
+7,54
+9,80
+62,37
+4
+10
+5
+8
+7
+8
+12
+9
+10
+9
82
+7
‒1
+5
‒6
+5
‒5
‒14
+4
+2
+6
3
48,62
0,40
18,99
17,29
13,59
11,98
65,71
6,89
1,58
15,38
200,41
‒
16 ,17
систематическая погрешность
значима.
Определяют коэффициент остаточного систематического влияния:
d
D
0, 85
2103
4, 04 10 4 ;
и систематические погрешности
pd
2
200, 41
18
2 n 1
m1м
m1
с
p1
3, 34
100
3,34
0,99
3, 34см ;
ci
m
Di
2n
3, 34
20
0,79см ;
0, 33см
3,35см ;
m1ср
2 p1
3,34
1,98
2,37см .
Заданием предусмотрено решение задачи 20.
Задача 20
В табл. 22 приведены результаты геометрического нивелирования секций
с различным числом станций в прямом и обратном направлениях. Произвести
оценку точности результатов двойных измерений превышений.
36
Примечание. Каждому студенту следует исключить из таблицы
результаты (или результат) измерений, номера которых (которого) совпадают с
цифрами варианта.
Таблица 22
Результаты двойных измерений превышений
Номер
секций
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Превышение, м Число Номер Превышение, м Число Номер Превышение, м Число
обрат- стан- секобрат- стан- секобрат- станпрямо
прямо
прямо
ций
ций
ций
ций
ций
но
но
но
+0,382 ‒0,390
7
11 ‒1,356 +1,348
13
21
‒1,131 +1,136
5
+2,618 ‒2,622
4
12 +4,912 ‒4,907
4
22
+1,481 ‒1,480
11
‒3,493 +3,489 10
13 ‒3,222 +3,213
13
23
+1,394 ‒1,392
6
‒1,109 +1,114
‒1,822
‒0,677
6
14
+1,812
6
24
+0,673
5
+3,261 ‒3,260
7
15 ‒2,043 +2,040
7
25
+0,742 ‒0,744
12
+1,159 ‒1,168
9
16 ‒2,253 +2,247
6
26
+4,276 ‒4,283
5
+2,275 ‒2,279 10
17 ‒1,889 +1,890
4
27
+4,679 ‒4,687
4
‒1,841 +1,842 15
18 +3,074 ‒3,076
5
28
+0,503 ‒0,513
12
+0,934 ‒0,942
7
19 ‒0,872 +0,871
4
29
+4,203 ‒4,204
10
‒1,461 +1,455 13
20 ‒0,535 +0,536
11
30
+2,271 ‒2,272
10
Задание 9
Оценка точности измерений углов и превышений по невязкам
в ходах и полигонах
Поскольку невязки определяются по тому же принципу, что и истинные
погрешности, их используют для оценки точности выполненных измерений.
При этом, как уже отмечалось ранее, веса измерений выражают обычно не через средние квадратические погрешности, а через другие числовые характеристики измерений: например, число углов в полигоне, длины нивелирных ходов,
выраженных числом станций (штативов) или в километрах и т.п. В качестве
измерения с весом, равным единице, принимают измерение одного угла, превышения на одной станции или в ходе длиной 1км и т.д.
1. Сеть теодолитных ходов. В результате угловых измерений в N полигонах с числом углов n1, n2, … , nN получены невязки f , f , …, f в каждом
полигоне.
Полученные невязки являются истинными погрешностями сумм углов в
каждом полигоне, поэтому для оценки точности измерений используют формулу Гаусса для неравноточных измерений
1
p
n
Заменив
получим
2
N
2
.
(60)
на f , а число погрешностей n на число невязок (полигонов) N
37
pf 2
.
N
(61)
Приняв вес измерения угла равным единице, вес невязки каждого полигона будет
pi
1
ni
.
Тогда среднюю квадратическую погрешность измерения одного угла
определяют как
f2
n
.
N
(62)
В случае, если сеть состоит из треугольников (сеть триангуляции),
n1 = n2 = … =3
f2
.
3N
(63)
2. Сеть нивелирных полигонов (ходов). В сети геометрического нивелирования, состоящей из N полигонов, получены невязки f h , f h , …, f h , периметры
которых L1 , L2 , …, LN (в километрах). Невязки f h являются истинными погрешностями соответствующих сумм превышений. Приняв вес превышения в
ходе длиной 1 км равным единице, вычисляют веса сумм превышений в каждом полигоне:
1
2
N
i
pi
1
Li
.
Тогда, как и в предыдущем примере, среднюю квадратическую погрешность единицы веса определяют по формуле
f h2
L
,
N
(64)
где L – длина хода, км.
Для системы из N полигонов тригонометрического нивелирования за веса
превышений принимают величины, обратно пропорциональные квадратам длин
сторон Di, т.е.
pi
c
Di2
38
.
Тогда
f h2
D2
,
N
(65)
где D – периметр полигона, км.
Пример 15
Вычислить среднюю квадратическую погрешность измерения
горизонтального угла по невязкам в N полигонах, приведенным в табл. 23.
Таблица 23
Результаты угловых измерений в полигонах
Номер
полигона
Невязка,
f
Число
углов, n
1
2
3
4
5
‒1,3
+1,4
‒1,2
‒2,0
+1,5
17
26
20
25
16
f2
n
f2
n
0,10
0,08
0,07
0,16
0,14
[0,55]
Номер
полигона
Невязка,
f
Число
углов, n
6
7
8
9
10
+2,4
+1,0
‒2,5
‒1,8
+1,5
30
21
26
15
24
f2
n
0,19
0,05
0,24
0,22
0,09
[0,79]
1, 34 ;
f2
n
1, 34
10
N
0, 37
0, 4 ;
m
2N
0, 37
20
0, 08 .
Пример 16
Произвести оценку точности результатов геометрического нивелирования
по невязкам в N полигонах, приведенных в табл. 24, и исследовать
систематические погрешности.
Таблица 24
Результаты геометрического нивелирования
Номер
полигона
1
2
3
4
5
Невязка
f h , мм
+9
‒23
+17
‒23
‒7
[‒27]
Длина L,
км
9
5
10
6
10
[40]
Номер
полигона
6
7
8
9
10
f h2
n
9,0
105,8
28,9
88,2
4,9
[236,8]
39
Невязка
f h , мм
+6
‒43
‒1
+15
‒16
[‒39]
Длина L,
км
9
10
5
12
14
[50]
f h2
n
4,0
184,9
0,2
18,8
18,3
[226,1]
хода
Находят систематическую погрешность определения превышения на 1 км
fh
L
66
90
0,73мм / км .
f h2
L
2
h 1км
h 1км
mh
N 1
6 ,79
18
h
2( N 1)
Значимость
критерий
2
h 1км
L
h
L
414, 5
9
6 ,79мм 7 мм;
1, 60мм.
систематической
погрешности
оценивают,
используя
.
Если условие выполняется, делают вывод о незначимости
систематических погрешностей, в противном случае – систематические
погрешности существенны. В нашем случае
0, 73мм / км
h 1км
2
h
L
1, 43мм / км ‒ систематические погрешности незначимы.
Заданием предусмотрено решение задач 21 и 22.
Задача 21
По невязкам в треугольниках триангуляции, приведенным в табл. 25,
произвести оценку точности угловых измерений и исследовать
систематические погрешности.
Таблица 25
Невязки в треугольниках триангуляции
Номер
треугольника
Невязка,
f
Номер
треугольника
Невязка,
f
Номер
треугольника
Невязка,
f
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
‒8
+3
‒5
+18
‒3
+3
+9
‒10
‒8
+6
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
‒12
‒11
+2
+19
+18
‒20
‒12
‒16
‒10
‒10
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
+4
‒14
+7
+12
+9
‒7
+13
‒6
+11
‒11
40
Примечание. Каждому студенту следует исключить из таблицы
результаты (или результат) измерений, номера которых (которого) совпадают с
цифрами варианта.
Задача 22
Произвести оценку точности результатов геометрического нивелирования
по невязкам в N полигонах, приведенных в табл. 26, и исследовать
систематические погрешности.
Таблица 26
Невязки в полигонах
Число
Число
Число
Номер Невязка штативов Номер
Невязка штативов Номер Невязка штативов
полигона f h , мм
в поли- полигона f h , мм
в поли- полигона f h , мм в полигоне, n
гоне, n
гоне, n
1
‒13
21
11
‒17
27
21
‒15
17
2
‒7
12
12
‒3
11
22
+30
22
3
+17
18
13
+9
24
23
‒21
14
4
+8
18
14
+7
18
24
+24
22
5
+19
20
15
+36
28
25
+36
14
6
+24
27
16
+23
10
26
‒18
21
7
+10
30
17
‒8
25
27
+21
22
8
‒15
21
18
+23
10
28
+7
10
‒23
‒11
‒11
9
25
19
19
29
25
10
+23
14
20
+39
22
30
‒14
12
Примечание. Каждому студенту следует исключить из таблицы
результаты (или результат) измерений, номера которых (которого) совпадают с
цифрами варианта.
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте понятие измерения.
2. Какие измерения называют равноточными и неравноточными?
3. Какие измерения называют необходимыми и избыточными?
4. Что называется истинной погрешностью?
5. Приведите классификацию погрешностей измерений.
6. Назовите свойства случайных погрешностей.
7. Перечислите основные критерии оценки точности результатов измер е-
ний.
8. Какие погрешности являются абсолютными?
41
9. Что называется относительной погрешностью?
10. Напишите формулу для средней квадратической погрешности, выражен-
ной через истинные погрешности измерений.
11. Напишите формулу для вычисления относительной погрешности.
12. Напишите выражение для средней квадратической погрешности ту функ-
ции вида у = l1 + l2.
13. Напишите выражение для средней квадратической погрешности ту функ-
ции вида у = l1 ‒ l2.
14. Напишите выражение для средней квадратической погрешности ту про-
изведения
у =а∙l постоянной а на непосредственно измеренную величину l.
15. Напишите выражение для средней квадратической погрешности ту ал-
гебраической суммы у = l1 ± l2 ± … ± ln , n измеренных величин l1, l2, … , ln
.Напишите выражение для средней квадратической погрешности ту линейной функции вида у = а 1l1 + а2l2 + а3l3 + … + а nln.
16. Напишите выражение для средней квадратической погрешности ту функ-
ции общего вида у = F(l1, l2, l3, … , ln) непосредственно измеренных величин l1, l2, l3, … , ln.
17. Укажите формулу для нахождения среднего арифметического.
18. С какой целью определяется арифметическая середина?
19. Напишите формулу для вычисления средней квадратической погрешно-
сти отдельного измерения выраженной через уклонения от арифметической середины.
20. Напишите формулу для средней квадратической погрешности арифмети-
ческой середины.
21. Напишите формулу для средней квадратической погрешности измерения
тl, определяемой по разностям двойных равноточных измерений
l1 ,l2 ,l3 ,...,ln ;l1 ,l2 ,l3 ,...,ln .
22. Дайте понятие веса измерения
42
23. Для чего находят среднюю квадратическую погрешность единицы веса
.
24. Какими свойствами обладают веса измерений?
25. Напишите выражение для вычисления веса Ру функции вида у = аl.
26. Напишите выражение для вычисления веса Ру алгебраической суммы у =
l1 ± l2 двух неравноточно измеренных величин.
27. Напишите выражение для вычисления веса Ру алгебраической суммы s =
l1 ± l2 двух равноточно измеренных величин, т.е. p1 = р2 = р.
28. Напишите выражение для вычисления веса Ру функции вида s = l1 ± l2 ± l3
± ... ± ln.
29. Напишите выражение для вычисления веса Ру функции вида у = a 1l1 ± a 2l2
± ... ± anln.
30. Напишите выражение для веса Ру функции общего вида у = F(l1, l2, l3, … ,
ln) непосредственно измеренных величин l1, l2, l3, … , ln с весами р1, р2, р3,
… , р n.
31. Напишите формулу для нахождения общей арифметической середины.
32. Напишите формулу для нахождения средней квадратической погрешно-
сти единицы веса, выраженной через уклонения от среднего весового.
33. Чему равен вес общей арифметической середины?
34. Как вычисляется средняя квадратическая погрешность общей арифмети-
ческой середины?
35. Как вычисляется средняя квадратическая погрешность
измерения, вес
которого равен единице, и определяемая по разностям двойных неравноточных измерений l1 ,l2 ,l3 ,...,ln ;l1 ,l2 ,l3 ,...,ln , с весами p1 , p2 , p3 ,..., pn ?
36. Напишите выражения для оценки точности угловых и высотных измере-
ний по невязкам в полигонах и ходах.
43
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
Теоретические сведения
Задание 1
Оценка точности многократно измеренной величины по истинным погре шностям
Задание 2
Оценка точности функций независимых измеренных величин
Задание 3
Обработка результатов равноточных измерений одной и той же величины
Задание 4
Оценка точности по разностям двойных равноточных измерений
Задание 5
Определение весов неравноточных измерений
Задание 6
Определение весов функций независимых измеренных величин
Задание 7
Обработка результатов неравноточных измерений одной величины
Задание 8
Оценка точности по разностям двойных неравноточных измерений
Задание 9
Оценка точности измерений углов и превышений по невязкам в ходах и полигонах
Вопросы самоконтроля
ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Методические указания
к выполнению практических работ
Для студентов 2-го курса, обучающихся по направлению 120700
«Землеустройство и кадастры»
Составители: Гриднев Сергей Петрович
Нетребина Юлия Сергеевна
Подписано в печать 28.10.2013. Формат 60×84 1/16. Уч.-изд. л. 2,8.
Усл.-печ. л. 2,9. Бумага писчая. Тираж 60 экз. Заказ №____
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства учебной литературы
и учебно-методических пособий Воронежского ГАСУ
394006 г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
44
3
4
9
9
14
14
18
18
21
21
25
25
27
27
29
29
33
33
37
37
41
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
53
Размер файла
1 974 Кб
Теги
измерение, математические, геодезических, теория, обработка, 457
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа