close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

481.Общая физика в задачах (1)

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»
ОБЩАЯ ФИЗИКА В ЗАДАЧАХ
МЕХАНИКА. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Сборник задач
Рекомендовано научно-методическим советом Воронежского ГАСУ
в качестве учебного пособия для студентов
направления 280700 «Техносферная безопасность»
Воронеж – 2012
УДК 53(07)
ББК-22.3я7
О-28
Авторский коллектив:
А.В. Калач, А.К. Тарханов,
О.Б. Рудаков, А.И. Никишина, Е.В. Алексеева
Общая физика в задачах. Механика. Молекулярная физика и
О-28 термодинамика. Электричество и магнетизм: учебн. пособие/
А.В. Калач [и др.]; Воронежский ГАСУ. – Воронеж, 2012. – 181 с.
ISBN 978-5-89040-429-9
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов полной и сокращенной форм обучения. Приведены краткие теоретические сведения,
примеры решения и условия задач по темам «Механика», «Молекулярная
физика и термодинамика», «Электричество и магнетизм». Ко всем задачам
приведены ответы.
Ил. 43. Табл. 2. Библиогр.: 11 назв.
Рецензенты:
кафедра физики и теплообменаУральского института ГПС МЧС России;
Булгаков В.И., к.т.н., зав. кафедрой физики Академии гражданской
защиты МЧС России
УДК 53(07)
ББК 22.3я7
ISBN 978-5-89040-429-9
© Калач А.В., Тарханов А.К.,
Рудаков О.Б., Никишина А.И.,
Алексеева Е.В., 2012
© Воронежский ГАСУ, 2012
2
Введение
Предлагаемый сборник предназначен для студентов, обучающихс я в
бакалавриате по направлению «Техносферная безопасность». Разнообразие
подобранных задач позволяет студентам изучать физические явления и законы с разных сторон, формировать глубокие представления о фундаментальных физических явлениях и их практическом использовании.
Выбор тематики и распределение задач по трудности обусловлены
учебным планом, однако оставляют возможность использовать этот задачник
студентам и преподавателям различных высших учебных заведений, колледжей и лицеев.
Составители учебного пособия использовали не только собственные
разработки, но и прошедшие широкую апробацию в студенческой аудитории
задачи, представленные в учебных пособиях Трофимовой Т.И., Савельева
И.В., Сивухина Д.В., Леденева А.Н., Серова И.К., Чертова А.Г. и др.
Структура сборника задач представляется логичной и последовательной, состоит из введения, четырех глав, каждая из которых содержит теор етические сведения, примеры решения задач, задачи для самостоятельного
решения. В конце учебного пособия представлены таблицы, содержащие
краткие математические сведения и необходимый набор физических констант, ответы к задачам. Выбор формул и краткость их пояснения рассчитана
на студентов, знакомых с материалами данного раздела. Все формулы и ответы приведены в системе СИ. В конце учебного пособия приведены наиболее
часто используемые математические соотношения, основные физические
константы и справочные таблицы. Предлагаемый материал призван помочь
усвоению теоретических знаний. Самостоятельное выполнение контрольных
заданий способствует более глубокому пониманию курса физики и закреплению его в памяти.
3
ГЛАВА 1. СВЕДЕНИЯ О ВЕКТОРАХ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Механическое движение – изменение с течением времени взаимного
расположения тел или их частей.
В механике (физике) для описания движения тел в зависимости от
условий конкретных задач используют физические модели.
Материальная точка – тело, обладающее массой, размерами которого
в данной задаче можно пренебречь.
Абсолютно твердое тело – тело, которое ни при каких условиях не
может деформироваться, и при всех условиях расстояние между двумя точками (или, точнее, между двумя частицами) этого тела остается постоянным.
Положение материальной точки определяется по отношению к некоторому, произвольно выбранному телу, называемому телом отсчета.
Система отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета.
Система координат. Чтобы задать положение точки, лежащей на прямой линии, выбирают произвольно
начало отсчета (точка 0 на рис. 1), единицы масштаба и одно из двух возможных направлений в качестве положительного. Такая прямая называется коРис. 1
ординатной прямой. Полупрямая,
идущая в положительном направлении,
называется положительной полуосью; полупрямая, идущая в противоположном направлении, – отрицательной полуосью. Координатой точки М1,
находящейся на оси, называют расстояние х1 от начала отсчета, взятое со
знаком плюс, если точка лежит на положительной полуоси, или со знаком минус, если точка
лежит на отрицательной полуоси.
Для того чтобы задать числами положение
точки на плоскости, выбирают на ней две координатных оси, пересекающиеся, вообще говоря,
под произвольным углом (отличным от 00 и
1800). Мы будем использовать две взаимно перпендикулярные оси, образующие декартову, или
Рис. 1.2
Рис. 2
прямоугольную, систему координат. Одну ось
назовем осью x, другую – осью y. Точку пересечения осей называют началом координат, оно является началом отсчета
каждой из координатных осей (рис. 2). Пусть М1 – произвольная точка на
плоскости. Спроектируем точку на координатные оси, т.е. проведем через М1
перпендикуляры к прямым Оx и Оy и обозначим основание этих перпендику4
ляров соответственно М1х и М1y. Координатами
х1 и y1 точки М1 называют координаты точек М1х
и М1y.
Положение точки М1 в пространстве
определяется координатами х1, y1, z1 основания
перпендикуляра, опущенного на три взаимно
перпендикулярные координатные оси Оx, Oy,
Oz (рис. 3).
При движении материальной точки ее коРис. 1.3
ординаты с течением времени изменяются. В
Рис.
3
общем случае движение определяется скалярными уравнениями (они называются параметрическими):
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
эквивалентными векторному уравнению
 
r r (t ) .
Скалярной величиной называется величина, значение которой определяется только положительными и отрицательными числами. Примерами
таких величин являются масса, заряд, плотность, работа и т.д.
Векторной величиной называется направленный отрезок прямой (рис. 4).
Точка О называется началом вектора, А – концом вектора. Длина отрезка

OA a
называется величиной или модулем вектора. Следовательно, вектор характеризуется направлением и
модулем. Два вектора равны друг другу, если они
имеют равные модули и одинаковые направления.
Над обозначением вектора принято сверху ставить
стрелочку
, при обозначении модуля символ
вектора
пишут
в
вертикальных черточках
Рис. 4
.
Умножение вектора на скаляр. В результате умножения вектора на
скаляр d получается новый вектор:

b a d,
модуль которого в | d | раз больше, чем a:
b = | d | a.
При положительном d направление вектора совпадает с направлением вектора , при отрицательном d его направление противоположно .
Сложение векторов. Правило треугольников: векторы и (рис. 5)
переносятся параллельно самим себе так, чтобы конец одного вектора совместился с началом другого вектора, тогда вектор (рис. 5 б), проходящий через
начало первого вектора и конец другого вектора, равен сумме этих векторов:
5
Эта сумма называется векторной.
.
Рис. 5
Правило параллелограмма. Векторы и переносятся параллельно самим себе так, чтобы начала их совместились (рис. 5, в), сумма векторов будет
изображаться диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.
Разность векторов. Начала векторов и совмещаются (без изменения их направления), затем проводится вектор от конца вычитаемого вектора к концу
уменьшаемого вектора (рис. 6); этот вектор будет раРис. 6
вен разности векторов:
–
.
Проекции векторов на оси координат. Проекцией вектора на любую
ось (х, y, z) называется произведение модуля вектора на косинус угла между
вектором и положительной полуосью х (y, z) (рис. 7):

PQ = a cos
Рис. 7
6
Проекция вектора положительна, если угол острый (рис. 7, а), отрицателен, если угол тупой (рис. 7, б), и равна нулю, если угол прямой.
Координатами ах, аy, аz вектора в прямоугольной системе координат
xyz в пространстве называется его проекции на координатные оси x, y, z:
Здесь , , – углы между вектором и осями. Вектор с координатами ах, аy,
аz записывается в виде

a (ах, аy, аz).
Проекции вектора АВ, заданного двумя точками А (x1, y1, z1) и В
(x2, y2, z2), равны разностям соответствующих координат точек:
Модуль вектора вычисляется по формуле

a
a x2 a 2y a z2 ,

2
2
a
x x1
y y1
z
z1
2
.
  
Введем орты координатных осей, т.е. единичные векторы i , j , k (рис. 8).
Вектор называется единичным, если его модуль равен единице.
Рис. 8
Рис. 9
Используя единичные векторы, можно представить вектор




a axi a y j az k .
7
в виде
Радиус-вектором точки называется вектор, проведенный из начала
координат в данную точку А. Его проекции на оси равны координатам
(рис. 9):
Радиус-вектор можно представить в виде

 

r xi yj zk ,
а его модуль равен:
r
r (t )
x2
y2
z2 ,
rx2 ry2 rz2 .
Скалярным произведением
векторов и называется скаляр,
равный произведению модулей этих векторов на косинус
угла между ними (рис. 10):

ab = ab cos .
Скалярное произведение векторов и величина
скалярная.
Векторное произведение
двух векторов и образует новый
вектор , направленный перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы и (рис. 11), равный по модулю произведению их модулей на синус
угла между ними:
c = ab sin .
Рис. 10
Направление вектора можно определить по
правилу правого винта: если поворот головки винта соответствует повороту вектора
к вектору
по наименьшему углу, то поступательное перемещение винта будет указывать направления вектора
. Векторы типа
, направление которых связыРис. 11
вается с направлением вращения, называются
псевдовекторами. При определенном условии, например при переходе от правой системы координат к левой, направление
псевдовекторов изменяется на обратное, истинные векторы при этом
направления не меняют.
8
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Даны два вектора
и . Найдите сумму этих векторов, если они
направлены в одну сторону вдоль одной прямой. Модули векторов равны:
= 5,
= 4.
2. Два вектора
и
расположены в одном направлении на одной
прямой. Определите: 1) сумму этих векторов; 2) разность между 1-м и 2-м
векторами; 3) разность между 2-м и 1-м векторами.
3. Вдоль прямой АВ навстречу друг другу направлены два равных по
модулю вектора . Определите сумму и разность этих векторов.
4. Угол между двумя векторами и равен 600. Определите модуль вектора
и угол между и . Модули векторов равны
= 3,
= 2.
0
5. Вектор , модуль которого равен 4, составляет угол = 240 с вектором , модуль которого равен 6. Определите модуль вектора
и угол
между и .
6. Для векторов, заданных в задаче 6, определите модуль вектора
и угол между и .
7. Даны три взаимно перпендикулярных вектора , , , модули которых равны соответственно 3, 6,
. Найдите модуль вектора
.
8. В координатах x, y задано положение точки М: x = 5, y = 5. Определите модуль вектора , соединяющего начало координат и точку М, а также
угол между этим вектором и осью х.
9. Вектор , модуль которого равен 6, направлен под углом = 300 к
оси х. Определите проекции этого вектора на координатные оси х, y.
10. Если конец вектора , модуль которого равен 4, соединить с началом вектора , то модуль вектора , соединяющего начало вектора с концом вектора , будет равен 4 . Угол между и будет равен 300. Определите угол между векторами и , а также модуль вектора .
11. Вектор , равный по модулю 3, составляет угол = 300 с прямой
АВ. Под каким углом к АВ надо направить вектор , равный по модулю ,
чтобы вектор
был параллелен АВ? Чему равен модуль вектора ?
12. Даны точки М1 (1;10), М2 (5;6). Определите модуль вектора, соединяющего точку М1 с М2.
13. В координатах x, y заданы два вектора. Определите модуль суммарного вектора и угол его наклона к оси х.
14. Векторы и заданы в координатах x, y. Определите модули векторов
и
.
15. Даны два вектора и , модули которых равны
= 2,
=1. Угол
между ними = 600. Найдите векторы
и
.
9
16. Разложите векторы на составляющие по заданным направлениям
(рис. 12).
Рис. 12
17. У вектора известна одна из составляющих
(рис. 13). Найдите
вторую составляющую .
18. Вектор является суммой трех векторов , , . Заданы векторы
и и направления МN и M1N1, вдоль которых распложены векторы и
(рис.14). Определите векторы и .
Рис. 13
Рис. 14
19. Два параллельных вектора и направлены в одну сторону. Расстояние между векторами равно 6 см. Найдите расстояние до суммарного
вектора, если известно, что = .
20. Два антипараллельных вектора, модули которых равны 8 и 2, находятся на расстоянии 12 см друг от друга. Определите сумму этих векторов и
линию действия полученного вектора.
10
ГЛАВА 2. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Кинематика поступательного и вращательного движения
При равномерном движении по прямой в одном направлении путь равен
S = υt.
Скорость равна
Средняя скорость равна
ср
S1
t1
S2  Sn
.
t2  tn
Cреднее ускорение:
Мгновенное ускорение:
где ax = dυ x / dt, ay = dυ y / dt, az = dυ z / dt – проекции ускорения
динат.
Величина ускорения равна
на оси коор-
a
a x2 a 2y a z2 .
При равнопеременном движении по прямой в одну сторону путь равен
Скорость равна
Мгновенная скорость :
где υ x = dx / dt, υ y = dy / dt, υ z = dz / dt – проекции скорости на оси координат.
Начальная скорость υ 1, конечная υ 2, ускорение а и путь, пройденный
телом, связаны уравнением
Движение материальной точки (тела) на плоскости определяется системой параметрических уравнений
x f1 (t ),
y f 2 (t ).
11
Решение этой системы дает уравнение траектории
y f 2 ( x).
При решении задач о движении точки на плоскости желательно использовать принцип независимости движения по каждой оси.
Примеры: 1) движение тела, брошенного горизонтально:
2) движение тела, брошенного под углом
со скоростью
:
При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих:
  
an a a .
Величина этих ускорений:
a
an2 a 2 ,
где R – радиус кривизны в данной точке траектории.
Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется
углом поворота (или угловым перемещением) .
Средняя угловая скорость:
где
,
t
– изменения угла поворота за интервал времени
Мгновенная угловая скорость:
d
.
dt
Среднее угловое ускорение:
t
и мгновенное угловое ускорение:
d
.
dt
12
,
t.
Кинематическое уравнение равномерного вращения:
t,
0
где 0 – начальное угловое перемещение, t – время, – угол поворота.
Время полного оборота вокруг оси (период вращения):
T 2 / ,
частота вращения:
где N – число оборотов, совершаемых за время t; Т – период вращения.
Уравнение равноускоренного вращения:
t2 2,
0
0t
где 0 и 0 – начальные угловая скорость и угловое перемещение.
Угловая скорость при равноускоренном вращении:
t.
0
Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими
вращение материальной точки, выражается следующими формулами:
путь, пройденный телом:
S
R,
линейная скорость:
υ = ωR,
тангенциальное ускорение:
a
R,
нормальное ускорение:
Динамика материальной точки и поступательного движения
абсолютно твёрдого тела
Импульс (количество движения) материальной точки (тела):
где m – масса материальной точки; – скорость материальной точки.
Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона):
  N 
ma F
Fi ,
i 1

F
где
N

Fi – геометрическая сумма сил, действующих на материальную
i 1
точку;
– ускорение; N – число сил, действующих на точку.
13
Уравнение движения материальной точки в проекциях на касательную
и нормаль к траектории точки:
где R – радиус кривизны траектории в данной точке;
– угловая скорость.
Изменение импульса материальной точки (системы тел):

 2
p2 p1
Fdt ,
1


F t
mv ,

где dt ( t ) – время действия силы; ( F t ) – импульс силы.
Закон сохранения импульса для замкнутой системы:
где N – число материальных точек (или тел), входящих в систему.
Уравнение движения тела переменной
массы (уравнение Мещерского):
  
ma F Fp ,
где реактивная сила:
dm
FP = u
,
dt
где u – скорость истечения газов из ракеты (тела).
Формула Циолковского для определения скорости ракеты:
где m0 – начальная масса ракеты; m – текущая масса ракеты; u – скорость частиц газа относительно ракеты.
Координаты центра масс системы материальных точек:
где mi – масса i-й материальной точки; xi , yi , zi – её координаты.
Радиус-вектор, определяющий положение центра масс системы частиц
в пространстве относительно произвольной точки О:
14
Закон всемирного тяготения:
m1m2
,
r2
где F – сила всемирного тяготения (гравитационная сила) двух материальных
точек; m1 и m2 – их массы; r – расстояние между точками; G – гравитационная постоянная.
Ускорение свободного падения, создаваемого планетой, массу M которой можно считать распределенной сферически симметрично:
M
g G 2,
R
g0
,
g1
2
1 h/ R
где g0 и g1 – ускорения свободного падения на поверхности планеты радиусом R и на высоте h над поверхностью планеты.
Сила тяжести:
P mg .
Закон Гука для нормального растяжения или сжатия:
Fупр kx ,
где x – абсолютное удлинение; k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость).
Напряжение при упругой деформации:
Fупр
,
S
где S – площадь поперечного сечения; Fупр – растягивающая (сжимающая)
сила.
Относительное продольное растяжение (сжатие):
F
G
где ∆l x – изменение длины тела при растяжении (сжатии); l – длина тела до
деформации.
Относительное поперечное растяжение (сжатие):
где ∆d – изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии); d – диаметр
стержня.
Связь между относительным поперечным сжатием (растяжением) и относительным продольным растяжением (сжатием):
'
,
где μ – коэффициент Пуассона.
15
Напряжение при продольном растяжении (сжатии):
Fупр
l
E,
S
l
где E – модуль Юнга.
Закон Гука для сдвига:
Fупр d
d
,
GS
где G – модуль поперечной упругости (модуль сдвига).
Сила трения скольжения:
Fтр
fN ,
где – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.
Сила трения качения:
Fтр f к N r ,
где к – коэффициент трения качения; r – радиус катящегося тела.
Для неинерциальных систем уравнение движения имеет вид
  
ma F Fин ,
где
;
– сила инерции.
Работа и энергия
Работа, совершаемая постоянной силой:
dA FS dS FdS cos ,
где FS – проекция силы на направление перемещения; α – угол между
направлением силы и перемещения.
Работа, совершаемая переменной силой на пути S:
dA FS dS
F cos dS .
S
S
Средняя мощность за промежуток времени t:
Мгновенная мощность:
Кинетическая энергия движущегося тела:
Изменение кинетической энергии движущегося тела:
16
Связь между силой, действующей на тело в данной точке поля, и потенциальной энергией частицы:
где
– единичные векторы координатных осей; EП – потенциальная
энергия частицы.
В случае, когда поле сил обладает сферической симметрией (как,
например, гравитационное):
Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на
высоту h:
EП = mgh.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами m1 и m2 , находящихся на расстоянии r друг
от друга:
поле:
Работа сил поля равна убыли потенциальной энергии частицы в данном
Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или
растянутой пружины):
где k – коэффициент жесткости; x – абсолютная деформация.
Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы):
где E – полная механическая энергия системы.
Коэффициент восстановления:
где υ n′ и υ n – соответственно нормальные составляющие относительной скорости тел после и до удара.
Скорости двух тел массами m1 и m2 после абсолютно упругого удара:
17
Вращательное движение абсолютно твёрдого тела
Момент инерции материальной точки относительно какой-либо оси
вращения:
J mr 2 ,
где m – масса материальной точки; r – расстояние до оси вращения.
Момент инерции системы (тела) материальных точек:
в случае непрерывного распределения масс:
J
r 2 dm ,
где ri – расстояние от материальной точки массой mi до оси вращения, приращение массы dm dV , тогда
J
r 2 dV
,
где – плотность тела объемом V.
Теорема Штейнера:
J J 0 ma 2 ,
где J0 – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр
масс; J – момент инерции тела относительно оси, параллельной первой и отстоящей от нее на расстояние a; m – масса тела.
Таблица 1
Момент инерции тел правильной геометрической формы
(тела считаются однородными)
Тело
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R (обруч,
кольцо)
Сплошной цилиндр или
диск
Прямой тонкий стержень
длиной l
Прямой тонкий стержень
длиной l
Шар радиусом R
Положение оси
вращения
Ось симметрии
Ось симметрии
Ось перпендикулярна стержню
и проходит через его середину
Ось перпендикулярна стержню
и проходит через его конец
Ось проходит через центр
шара
18
Момент
инерции
mR 2
1
mR 2
2
1
ml 2
12
1 2
ml
3
2
mR 2
5
Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения:
 
L

L
pr
J
,
,
где – радиус-вектор;
– импульс тела; J – момент инерции тела от
носительно заданной оси; ( ) – угловая скорость; ri – расстояние от оси до
отдельной частицы тела; mi i – импульс этой частицы.
Закон сохранения момента импульса
для систем тел:

L const ,
для двух взаимодействующих тел:
J 1 1 J 2 2 J1 1 J 2 2 ,
где J1 , J 2 , 1 , 2 – момент инерции и угловые скорости тел до взаимодействия; J1 , J 2 , 1 , 2 – те же величины после взаимодействия.
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела
относительно неподвижной оси:
где – угловое ускорение;
ки (оси).
– момент силы относительно неподвижной точ-
где – радиус-вектор, проведенный из этой точки (оси) в точку приложения силы .
Модуль момента силы:
M = Fd,
где d – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и
осью вращения).
Работа постоянного момента силы M, действующего на вращающееся тело:
A = Mφ,
где – угол поворота тела.
Мощность, развиваемая при вращении тела:
P = Mω.
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:
19
где J – момент инерции тела относительно оси вращения; ω – его угловая
скорость.
Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:
где m – масса тела; υ – скорость центра масс тела; J – момент инерции тела
относительно оси, проходящей через его центр масс; ω – угловая скорость
тела.
Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение кинетической
энергии его связаны соотношением
A
2
2
J
2
2
1
J
2
.
Величины, характеризующие динамику вращательного движения, формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам
и формулам поступательного движения. Эта аналогия раскрывается в табл. 2.
Таблица 2
Поступательное движение
Вращательное движение
Основной закон динамики
F∆t = mυ 2 – mυ 1
M t J 2 J 1
F = ma
M J
Закон сохранения
импульса
момента импульса
Работа и мощность
A M
A Fs
P = Fυ
P = Mω
Кинетическая энергия
Тяготение. Элементы теории поля
Закон всемирного тяготения:

mm
F G 12 2 ,
r
20

где F – сила взаимного притяжения двух материальных точек; m1 и m2 – их
массы; r – расстояние между точками; G – гравитационная постоянная.
Сила тяжести:


F mg ,

где m – масса тела; g – ускорение свободного падения.
Напряженность поля тяготения:

 F
g
,
m
где – сила тяжести, действующая на материальную точку массой m, помещенную в данную точку поля.
Напряженность гравитационного поля, создаваемого планетой, массу
M которой можно считать распределенной сферически симметрично:
g
GM
,
r2
где r – расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля, находящейся вне планеты.
Ускорение свободного падения (напряженность гравитационного поля)
на высоте h над поверхностью планеты (Земли):
g0
g
,
(1 h / R) 2
где R – радиус планеты (Земли); g0 – ускорение свободного падения на поверхности планеты (Земли).
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами m1 и m2 на расстоянии r друг от друга:
Потенциал поля тяготения:
Потенциал поля, создаваемого планетой, массу M которой можно считать распределенной сферически симметрично:
M
G ,
r
где r – расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля, находящейся вне планеты.
Потенциальная энергия тела массой m, находящегося на расстоянии
h ( h ) от поверхности планеты (Земли):
EП = mgh.
Последнее соотношение справедливо если g практически не изменяется
на расстоянии h.
21
Первая и вторая космические скорости:
,
,
где R – радиус планеты (Земли).
Законы Кеплера:
1. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце.
2. Радиус-вектор планеты за равные отрезки времени описывает одинаковые площади.
3. Квадраты периодов обращения любых двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:
T12 a13
.
T22 a23
Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:
Здесь – ускорение тела в неинерциальной системе отсчета, – ускорение тела в инерциальной системе отсчета, FIN – сила инерции.
Сила инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета:
где а0 – ускорение системы отсчета.
Сила инерции, действующая на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета (центробежная сила инерции):
где ω – угловая скорость вращения системы отсчета; R – расстояние от тела
до оси вращения.
Сила инерции, действующая на тело, движущееся во вращающейся системе
отсчета (сила Кориолиса):
где
– скорость тела, направленная вдоль радиуса вращения;
скорость вращения системы отсчета.
В общем случае сила инерции имеет вид
Механика жидкостей и газов
где
Гидростатическое давление столба жидкости на глубине h:
p
gh ,
– плотность жидкости.
Закон Архимеда:
22
– угловая
FA
gV ,
где FA – выталкивающая сила; V – объем вытесненной жидкости (газа).
Уравнение неразрывности:
Sυ = const,
где S – площадь поперечного сечения трубки тока; υ – скорость жидкости.
Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости:
где P – статическое давление жидкости для определенного сечения трубки
тока; υ – скорость жидкости для этого же сечения; ρυ 2 / 2 – динамическое
давление жидкости для этого же сечения, h – высота, на которой расположено сечение, gh – гидростатическое давление.
Для трубки тока, расположенной горизонтально:
Формула Торичелли, позволяющая определить скорость истечения
жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде:
где h – глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.
Сила внутреннего трения между слоями текущей жидкости:
x – градиент скорости между
где – динамическая вязкость жидкости;
слоями жидкости; S – площадь соприкасающихся слоев.
Число Рейнольдса, определяющее характер движения жидкости:
где – плотность жидкости;
– средняя по сечению трубки скорость жидкости; d – характерный линейный размер, например диаметр трубки.
Формула Стокса, позволяющая определить силу сопротивления, действующую на медленно движущийся в вязкой среде шарик:
F=6πηrυ,
где r – радиус шарика; υ – его скорость.
Формула Пуазейля, позволяющая определить объем жидкости, протекающей за время t через капиллярную трубку длиной l:
R 4 pt
V
,
8 l
где R – радиус трубки; p – разность давлений на концах трубки.
23
Лобовое сопротивление:
где Сх – безразмерный коэффициент сопротивления; ρ – плотность среды;
υ – скорость движения тела; S – площадь наибольшего поперечного сечения
тела.
Подъемная сила:
где Cy – безразмерный коэффициент подъемной силы.
Поверхностное натяжение жидкостей:
F
E
,
l
S
где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости; ∆E – поверхностная энергия, связанная с
площадью ∆S поверхности пленки.
Формула Лапласа, позволяющая определить избыточное давление для
произвольной поверхности жидкости двоякой кривизны:
1
1
p
,
R1 R2
где R1 и R2 – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости; радиус кривизны положителен, если
центр кривизны находится внутри жидкости (выпуклый мениск), и отрицателен, если центр кривизны находится вне жидкости (вогнутый мениск). В случае сферической поверхности
2
p
.
R
Высота подъема жидкости в капиллярной трубке:
2 cos
h
,
gr
где – краевой угол; r – радиус капилляра;
– плотность жидкости; g –
ускорение свободного падения.
Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными
плоскостями:
2 cos
h
,
gd
где d – расстояние между плоскостями.
24
Релятивистская механика
Преобразования Лоренца:
где предполагается, что система отсчета K′ движется со скоростью v в положительном направлении оси х системы отсчета K, причем оси x′ и x совпадают, а оси y′ и y, z′ и z параллельны; с – скорость распространения света в вакууме.
Релятивистское замедление хода часов:
где – промежуток времени между двумя событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами; – промежуток времени между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами.
Релятивистское (лоренцово) сокращение длины стержня:
где l0 – длина стержня в системе координат K′, относительно которой стержень покоится (собственная длина, стержень параллелен оси x′); l – длина
стержня, измеренная в системе K, относительно которой он движется со скоростью υ; с – скорость распространения электромагнитного излучения.
Релятивистское сложение скоростей:
где υ′ – относительная скорость тела в системе K′; υ 0 – скорость тела относительно системы K.
Сложение скоростей в пространстве:
25
где система отсчета K движется со скоростью υ в положительном направлении оси х системы отсчета K, причем оси x и х совпадают, оси y и y, оси z
и z параллельны.
Интервал S12 между событиями (инвариантная величина):
где t12 – промежуток времени между событиями 1 и 2; l12 – расстояние между
точками, где произошли события.
Релятивистская масса:
где m0 – масса покоя.
Релятивистский импульс:
Основной закон релятивистской динамики:
где
– релятивистский импульс частицы.
Полная энергия релятивистской частицы:
где EK – кинетическая энергия частицы,
E0 m0 c 2
– её энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если υ << c.
Кинетическая энергия релятивистской частицы:
Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы:
E2
p 2c 2
Энергия связи системы:
26
m02 c 4 ,
где m0i – масса покоя i – й частицы в свободном состоянии; М0 – масса покоя
системы, состоящей из N частиц.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Кинематика поступательного и вращательного движения
Пример 1. Уравнение движения материальной точки имеет вид
х = А + Bt + Ct 3 , где А = 2 м, В = 1 м/с, С = – 0,5 м/с 3 . Найдите координату х,
скорость υ x и ускорение axточки в момент времени t = 2 с.
Решение. Координату х найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t:
х = (2 + 1·2 – 0,5·23) = 0.
(1)
Мгновенная скорость относительно оси х есть первая производная от
координаты по времени:
.
(2)
Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по
времени:
.
(3)
В момент времени t = 2 с.
Ответ: υ x = – 5 м/с; ax = – 6 м/с 2.
Пример 2. Автобус движется со скоростью υ = 18 км/ч. С некоторого
момента он начинает двигаться с ускорением a в течение t = 10 с, а последние 110 м проходит за одну секунду. Определите ускорение и конечную скорость автобуса υ 1.
Решение. Весь путь, проделанный автобусом, делится на два S1 и S2
(рис. 15).
υ0
υ
S1, t1
υ1
S2, t2
Рис. 15
Запишем для двух этих участков уравнения движения:
at12
S1
;
0 t1
2
27
(1)
S2
at 22
2
t2
и законы изменения скорости:
(2)
,
.
(3)
(4)
Подставим (3) в (2):
S2
(
Выразим a:
0
a t1 ) t 2
at22
2
0
a
t2
at1 t 2
S2
0
t1 t 2
Подставим в (6) числовые данные:
a
t2
t 22
2
110 м 5 м / с 1с
( 1с )2
10с 1с
2
a t 22
2
0
t2
.
a( t1 t 2
t 22
) . (5)
2
(6)
10 м / с 2 .
Теперь подставим (3) в (4):
(7)
Произведем вычисления:
υ 1 = 5 м/с + 10 м/с2 (10 с + 1 с) = 115 м/с.
Ответ: ускорение автобуса a = 10 м/с 2, конечная скорость автобуса
υ 1 = 115 м/с.
Пример 3. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону
φ = A+Bt+Ct2, где А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = – 2 рад/с 2 . Найдите полное
ускорение a точки, находящейся на расстоянии r = 0,1 м от оси вращения, для
момента времени t = 4 с.
Решение. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии,
может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения
, направленного по касательной к траектории, и нормального уско рения
, направленного к центру кривизны траектории:
+ .
(1)
Так как векторы и
взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения равен
.
(2)
Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами
,
28
,
(3)
где ω – модуль угловой скорости тела; ε – модуль его углового ускорения.
Подставляя выражения aτ и an в формулу (2), находим
.
(4)
Угловую скорость ω найдем, взяв первую производную от угла поворота по времени:
.
(5)
В момент времени t = 4 с модуль угловой скорости:
ω 20 2( 2)4 рад/с
4рад/с 2 .
(6)
Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:
.
(7)
Подставляя значения ω, ε и r в формулу (4), получим
.
2
Ответ: a = 1,65 м/c .
Динамика материальной точки и поступательного движения
абсолютно твёрдого тела
Пример 1. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх
пуля массой m = 20 г поднялась на высоту h = 5 м. Определите жесткость k
пружины пистолета, если она была сжата на х = 10 см. Массой пружины и
силами трения пренебречь.
Решение. Рассмотрим систему «пружина–пуля». Так как на тела системы действуют только консервативные силы, то для решения задачи можно
применить закон сохранения энергии в механике. Согласно ему полная механическая энергия E1 системы в начальном состоянии (в данном случае перед
выстрелом) равна полной энергии E2 в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т.е.
E1 = Е2, или EK1 + EП1 = EK2 + EП2,
(1)
где EK1, EK2, EП1 и EП1 – кинетические и потенциальные энергии системы в
начальном и конечном состояниях.
Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид
EП1 = EП2.
Потенциальная энергия упруго деформированной пружины:
.
29
(2)
(3)
Примем потенциальную энергию пули в поле сил тяготения Земли, когда пуля покоится на сжатой пружине, равной нулю, а высоту подъема пули
будем отсчитывать от торца сжатой пружины. Тогда энергия системы в
начальном состоянии будет равна потенциальной энергии пули на высоте h,
т.е. EП2 = mgh.
Подставив выражения EП1 и EП2 в формулу (2), найдем
1 2
kx = mgh,
2
откуда
(4)
Подставим в формулу (4) значения величин и произведем вычисления:
Ответ: k = 1,96 Н/м.
Пример 2. Шарик плотностью ρ равномерно всплывает на поверхность
жидкости. Плотность жидкости ρ1 в 6 раз больше, чем плотность шарика.
Определите отношение силы трения, возникающей между шариком и жидкостью, к силе тяжести, действующей на него.
Решение. По второму закону Ньютона вектроная сумма сил, действующих на шарик, равна нулю, т.к. он всплывает равномерно. Проекция второго закона Ньютона на ось OY, направленную вверх, имеет вид
Fa – mg – Fтр = 0.
(1)
Здесь Fa – сила Архимеда, действующая на шарик:
Fa = 1⋅V∙g.
(2)
Объём V шарика связан с его массой и плотностью соотношением
.
(3)
Тогда
.
(4)
Подставив (4) в (1), получаем:
Значит, искомое отношение сил
Fтр=5mg.
(5)
(6)
Ответ: Fтр / mg = 5.
Работа и энергия
Пример 1. Шар массой m1, движущийся горизонтально с некоторой
скоростью υ 1, столкнулся с неподвижным шаром массой m2. Шары абсолют-
30
но упругие, удар прямой, центральный. Какую долю δ своей кинетической
энергии первый шар передал второму?
Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится
соотношением
,
(1)
где ЕК1 – кинетическая энергия первого шара до удара; u2 и ЕК2 – скорость и
кинетическая энергия второго шара после удара.
Как видно из формулы (1), для определения δ надо найти u2. Согласно
условию задачи импульс системы двух шаров относительно горизонтального
направления не изменяется и механическая энергия шаров в другие виды не
переходит. Пользуясь этим, найдем:
m1υ 1 = m1u1 + m2u2;
(2)
.
(3)
Решим совместно уравнения (2) и (3):
.
(4)
Подставив выражение (4) в формулу (1) и сократив на υ 1 и m1, получим
.
(5)
Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.
Ответ:
.
Пример 2. Шар массой m = 0,25 кг и радиусом R = 3 см катится без
скольжения по горизонтальной плоскости с частотой вращения ν = 4 об/с.
Найти кинетическую энергию шара EK.
Решение. Кинетическая энергия шара, который катится по горизонтальной плоскости без скольжения, складывается из энергии поступательного и вращательного движения:
m 2 J 2
EК
,
(1)
2
2
где m – масса шара, υ – линейная скорость (скорость поступательного движения), J – момент инерции шара относительно оси вращения, проходящей через центр масс, ω – угловая скорость (скорость вращательного движения).
Известно, что для шара радиусом R
31
2
mR 2 .
5
Угловая скорость ω связана с линейной скоростью υ соотношением
J
а с линейной частотой ν
R
,
(2)
(3)
2
.
(4)
Подставим (2), (3) и (4) в (5) и сделаем необходимые преобразования:
2
mR 2
2
m( R )
7
7
5
(5)
EК
mR 2 2
mR 2 ( 2 )2 .
2
2
10
10
Подставим в (5) числовые данные:
7
EК
0 ,25 ( 3 10 2 ) 2 ( 2 3,14 4 ) 2 0 ,1 Дж .
10
Ответ: кинетическая энергия шара ЕК = 0,1 Дж.
Пример 3. Шар массой m1 = 2 кг, движущийся горизонтально со скоростью υ 1 = 4 м/с, столкнулся с неподвижным шаром массой m2 = 3 кг. Считая
удар центральным и абсолютно неупругим, найти количество теплоты Q, выделившееся при ударе.
Решение. Запишем закон сохранения импульса:
.
(1)
Здесь υ 1 и υ 2 – скорости первого и второго шаров до удара соответственно, u1
и u2 – скорости первого и второго шаров после удара соответственно. После
неупругого столкновения тела движутся с одинаковой скоростью, поэтому
u1 = u2 = u. Запишем проекцию уравнения (1) на направление движения шаров с учетом того, что υ 2 = 0 м/с:
m1 1 ( m1 m2 )u .
(2)
При неупругом ударе закон сохранения энергии не выполняется. Разность между энергией системы до удара (ЕК1) и энергией после удара (ЕК2)
равна количеству теплоты, выделившемуся при ударе:
Q EК 1 EК 2 .
(3)
Кинетическая энергия системы до удара:
m1 12
EК 1
.
(4)
2
Кинетическая энергия системы после удара:
( m1 m2 )u 2
EК 2
.
(5)
2
Выразим из (2) u и подставим в (5):
32
2
m1 1
( m1 1 )2
.
(6)
EК 2
2
m1 m2
2( m1 m2 )
С учетом (4) и (6) вычислим количество теплоты Q:
m1 12
( m1 1 )2
2кг ( 4 м / с )2 ( 2кг 4 м / с )2
Q
9 ,6 Дж .
2
2( m1 m2 )
2
2( 2кг 3кг )
Ответ: количество теплоты, выделившееся при ударе, Q = 9,6 Дж.
( m1
m2 )
Вращательное движение абсолютно твёрдого тела
Пример 1. Маховик в виде сплошного диска радиусом R = 0,2 м и массой m = 50 кг раскручен до частоты вращения ν1 = 480 мин-1 и предоставлен
сам себе. Под действием сил трения маховик остановился через t = 50 с.
Найдите момент М сил трения.
Решение. Для решения задачи воспользуемся основным уравнением
динамики вращательного движения в виде
dLZ = MZ dt,
(l)
где dLZ – изменение проекции на ось z момента импульса маховика, вращающегося относительно оси z, совпадающей с геометрической осью маховика,
за интервал времени dt; MZ – момент внешних сил (в данном случае момент
сил трения), действующий на маховик относительно оси z.
Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени (MZ = const), поэтому интегрирование уравнения (1) приводит к выражению
∆LZ = MZ Δt.
(2)
При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение проекции момента импульса
∆LZ = JZ ∆ω,
(3)
где JZ – момент инерции маховика относительно оси z; ∆ω – изменение угловой скорости маховика.
Приравнивая правые части равенств (2) и (3), получим
MZ ∆t = JZ ∆ω,
(4)
откуда
MZ = JZ
.
(5)
t
Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется формулой
.
(6)
Изменение угловой скорости
= 2
1 выразим через конечную ν2
и начальную ν1 частоты вращения, пользуясь соотношением ω = 2πν:
.
(7)
33
Подставив в формулу (5) выражения (6)и (7), получим
.
(8)
Подставим в (8) числовые значения величин и произведем вычисления,
учитывая, что
ν1= 480 мин-1 = 480/60 с-1 = 8 с-1,
Знак минус показывает, что момент сил трения оказывает на маховик
тормозящее действие.
Ответ: MZ = – 1 Н⋅м.
Пример 2. Платформа в виде сплошного диска радиусом R = 1,5 м и
массой m1 = 180 кг вращается около вертикальной оси с частотой
ν = 10 мин-1. В центре платформы стоит человек массой m2 = 60 кг. Какую
линейную скорость υ относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
Решение. Согласно условию задачи момент внешних сил относительно
оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно
считать равным нулю. При этом условии проекция LZ момента импульса системы платформа-человек остается постоянной:
LZ = JZ = const.
(1)
Здесь JZ – момент инерции платформы с человеком относительно оси z;
ω – угловая скорость платформы.
Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии JZ = J1 + J2, а в конечном состоянии JZ = J1'+ J2'. С учетом этого равенство (1) примет вид
(J1 + J2) = (Jl' + J2') .
(2)
Здесь значения моментов инерции J1 и J2 платформы и человека соответственно относятся к начальному состоянию системы; J1′ и J2' – к конечному.
Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека
не изменяется:
.
(3)
Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться.
Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции
J2 в начальном состоянии (в центре платформы) можно считать равным нулю.
В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека:
J2' = m2R2.
(4)
Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (ω = 2πν) и конечной угловой скорости (ω′ = υ/R, где υ – скорость человека относительно пола):
34
.
(5)
После сокращения на R и простых преобразований находим скорость:
2
Произведем вычисления:
Ответ: линейная скорость υ = 1 м/с.
Пример 3. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 12 кг. Найти момент инерции барабана, если
груз опускается с ускорением a = 1,81 м/с 2. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.
Решение.
О
R
α
T
T
a
mg
Y
Рис. 16
Запишем основной закон динамики вращательного движения:
(1)
Здесь J – момент инерции цилиндра относительно оси вращения, проходящей
через центр масс, ε – угловое ускорение (ускорение вращательного движения), M – момент силы, заставляющей барабан вращаться. Такой силой является сила натяжения шнура Т. Модуль момента силы равен:
M RT sin .
(2)
0
Из рис. 16 видно, что α=90 , поэтому
(3)
M RT .
Угловое ускорение ε связано с линейным ускорением a соотношением
a
,
(4)
R
где R – радиус барабана.
С учетом (3) и (4) перепишем (1) в скалярном виде (вектор М и вектор ε
направлены в одну сторону):
35
RT
J
Выразим из (5) J:
a
.
R
(5)
RT
R 2T
J
.
(6)
a/ R
a
Силу натяжения шнура Т найдем из второго закона Ньютона, записанного для поступательно движущегося груза (рис. 2):
.
(7)
Сила натяжения шнура, вращающая барабан, и сила, действующая на
груз, равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Проекция
уравнения (7) на ось OY имеет вид
ma mg T .
(8)
Выразим из (8) Т и подставим полученное выражение в (6):
R2m
J
( g a ).
(9)
a
Подставим в (9) числовые данные:
0 ,5 2 12
J
( 9 ,81 1,81 ) 12 м 2 кг .
2
Ответ: момент инерции барабана J = 12 м2кг.
Тяготение. Элементы теории поля
Пример 1. Какую скорость υ нужно сообщить ракете, чтобы она не
вернулась на Землю? Сопротивление атмосферы не учитывать.
Решение. С удалением ракеты от Земли будет увеличиваться её потенциальная энергия и уменьшаться кинетическая.
По закону сохранения энергии
,
(1)
где m – масса ракеты, М – масса Земли, γ – гравитационная постоянная; υ 0 –
скорость ракеты в рассматриваемый момент;
M
R
потенциал поля тяготения
Земли на расстоянии R от центра Земли. Сокращая обе части равенства (1) и
делая необходимые преобразования, получаем
.
(2)
Ракета не вернётся на Землю, если её скорость будет равна нулю в бесконечности, т.е. υ = 0 при R = ∞. В этом случае
.
(3)
Из закона всемирного тяготения следует, что на поверхности Земли
,
(4)
36
откуда
,
(5)
где g – ускорение свободного падения на поверхности Земли. Подставляя
значение (5) в (3), найдём, что
(6)
или
.
(7)
Считая, что ракета набирает нужную скорость уже вблизи поверхности Земли, и полагая радиус Земли равным 6370 км, найдём
Скорость, необходимая для преодоления поля тяготения Земли, наз ывается второй космической скоростью или параболической скоростью.
Ответ: υ 0 = 11,2 км/с.
Механика жидкостей и газов
Пример 1. Вертикальная трубка впаяна в узкую часть горизонтальной
трубы диаметром d1 = 3 см. В широкой части трубы диаметром d2 = 9 см
скорость газа υ 1 = 25 см/с. На какую высоту h поднимется вода в вертикальной трубке?
Решение. Согласно уравнению неразрывности
,
(1)
где S1 и S2 – площади поперечного сечения горизонтальной и вертикальной
труб соответсвенно; υ 1 и υ 2 – скорости течения жидкости в горизонтальной и
вертикальной трубах соответсвенно.
Учитывая (1) и зная, что
и
получим соотношение между скоростями
,
(2)
.
(3)
Уравнение Бернулли трубки тока, расположенной горизонтально:
(4)
где P1 и P2 – статические давления жидкости для сечений горизонтальной и
вертикальной труб соответсвенно;
и
– динамические давления жидкости для этих сечений.
Из (4) найдем разность давлений P1 и P2 :
–
–
.
Эта разность равна гидростатическому давлению:
–
.
37
(5)
(6)
Из (5) и (6) следует, что
–
.
(7)
Подставим в (7) числовые данные:
Ответ: h = 25,5 см.
Релятивистская механика
Пример 1. Найдите кинетическую энергию электрона EК, который
движется с такой скоростью, что его масса увеличивается в два раза.
Решение. Кинетическая энергия релятивистской частицы:
(1)
Здесь c – скорость света, m0 – масса покоя электрона, m – масса электрона в
состоянии движения (релятивистская масса), которая определяется соотношением
.
(2)
По условию задачи
.
Подставив выражение (3) в (1), получаем:
(3)
(4)
Подставим в (4) числовые данные:
EK = 9,1∙10 -31∙(3∙10 8) 2 = 81,9∙10 15Дж.
Учитывая соотношение
1 эВ = 1,6∙10 -19Дж,
получаем, что кинетическая энергия электрона
EK = 0,51∙10 6 эВ = 0,51 МэВ.
Ответ: EK = 0,51 МэВ.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Кинематика поступательного и вращательного движения
1. В каком случае пройденный материальной точкой путь и модуль
вектора перемещения совпадают?
2. Координаты материальной точки изменяются со временем по закону
x = 4t, y = 3t, z = 0. Найдите зависимость пройденного точкой пути S(t) от
38
времени, отсчитывая расстояние от начального ее положения. Какой путь S
пройдет точка за t = 5 с?
3. Через открытое окно в комнату влетел жук. Расстояние от жука до
потолка менялось со скоростью υ 1 = 1 м/с, расстояние до стены, противоположной окну, менялось со скоростью υ 2 = 2 м/с, до боковой стены – со скоростью υ 3 = 2 м/с. Через t = 1 с полета жук попал в угол между потолком и боковой стеной комнаты. Определите скорость полета жука и место в окне, через которое он влетел в комнату. Высота комнаты h = 2,5 м, ширина a = 4 м,
длина b = 4 м.
4. Строительный самосвал движется по шоссе со скоростью υ 1 = 120
км/ч, а с песком – со скоростью всего υ 2 = 30 км/ч. Чему равна его средняя
скорость υ ср, если: а) самосвал едет половину пути пустой, а вторую половину пути с грузом; б) самосвал едет половину времени пустой, а оставшееся
время гружёный?
5. Первую четверть пути пожарный автомобиль проехал со скоростью
υ 1 = 10 м/с, вторую со скоростью υ 2 = 15 м/с, третью со скоростью υ 3 = 20 м/с
и последнюю со скоростью υ 3 = 5 м/с. Определите среднюю скорость пожарного автомобиля υ ср на всем пути.
6. Два плитовоза выезжают одновременно из одного города в другой.
Расстояние между городами l0. Один плитовоз проходит первую половину
пути со скоростью υ 1, вторую – со скоростью υ 2. Второй плитовоз первую половину всего времени движения проходит со скоростью υ 1, вторую – со скоростью υ 2. Какой из плитовозов и насколько раньше прибудет к месту разгрузки? Каково расстояние l1 между автомобилями в тот момент, когда один
из них финиширует? Решите задачу аналитически и графически.
7. При неподвижном эскалаторе метрополитена пассажир поднимается
за t1 = 120 c, а по движущемуся при той же скорости относительно ступенек –
за t2 = 30 с. Определите время t подъема пассажира, неподвижно стоящего на
движущемся эскалаторе.
8. Работник ремонтно-строительного поезда, движущегося со скоростью υ 1 = 15 м/с, заметил, что встречный состав длиной l = 210 м прошел мимо него за t = 6,0 с. Определите скорость встречного поезда υ 2.
9. Определите скорость встречного ветра, если при движении автобуса
со скоростью υ 1 = 15 м/с капли дождя, имеющие вертикальную составляющую скорости υ 2 = 10 м/с, образуют на оконном стекле автобуса полосы под
углом = 300.
10. Спасатели на лодке переплывают реку, отправляясь из пункта А.
Скорость лодки в стоячей воде υ = 5 м/с, скорость течения реки u = 3 м/с,
ширина реки S = 200 м. Определите: а) в какой точке лодка пристанет к противоположному берегу, если держать курс перпендикулярно берегам? б) какой курс следует держать, чтобы попасть в точку В, расположенную строго
напротив точки А? Для обоих случаев найдите время переправы.
39
11. По прямому шоссе движется автобус со скоростью υ 1 = 16 м/с.
Впереди по ходу автобуса в поле на расстоянии d = 60 м от шоссе и S = 400 м
от автобуса находится человек, который может бежать со скоростью
υ 2 = 4 м/с. В каком направлении он должен бежать, чтобы успеть “перехватить” автобус? При какой наименьшей скорости человека υ 2min это возможно?
В каком направлении следует бежать с такой скоростью?
12. Движение снаряда описывается уравнением S = 850t 10t2. Определите ускорение снаряда a, его начальную скорость υ 0 и скорость υ через
t = 5 с после начала движения.
13. Движение материальной точки задано уравнением: x = A + Bt + Ct2,
где А = 4 м, В = 10 м/с, С = 0,5 м/с 2. В какой момент t скорость точки равна
нулю? Найдите координату и ускорение точки в этот момент.
14. Кинематическое уравнение прямолинейного движения строительного крана имеет вид S = At + Bt3, где А = 5 10-2 м/с, В = 2 10-6 м/с 3. Найдите:
1) зависимость скорости υ(t) и ускорения a(t) от времени и пострйте графики
этих зависимостей; 2) перемещение S и скорость движения υ строительного
крана через t =15 минут после начала движения.
15. Определите траекторию движения подъёмного крана, заданного
уравнениями: x = 4t2 + 2; y = 6t2 3; z = 0. Постройте график зависимости пути, пройденного подъёмным краном, от времени.
16. Движение материальной точки задано уравнениями: x = 8t2 + 4;
y = 6t2 3; z = 0. Определите значения скорости υ и ускорения a точки в момент времени t = 10 с.
17. Определите путь S строительного крана, который движется по прямолинейной траектории в течение t = 10 с, если его скорость изменяется по
закону υ = 30 + 2t. В момент времени t0 = 0, x0 = 0.
18. Прямолинейное движение точки описывается уравнением
. Найдите путь S, пройденный точкой за первые 4 с
движения.
19. Частица движется с ускорением
. Определите
модуль скорости частицы в момент времени t = 2 с, если в начальный момент
времени t0 = 0 ее скорость была
– .
20. Зависимость пройденного телом пути S от времени t выражается
уравнением S =At Bt2+Ct3 (А = 2 м/с, В = 3 м/с 2, С = 4 м/с 3). Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите для момента времени t =2 с после начала движения: пройденный путь S; скорость υ; ускорение a.
21. Движение материальной точки в плоскости xy описывается законом
x = At, y = At(1 + Bt), где А и В – положительные постоянные. Определите:
1) уравнение траектории материальной точки y(x); 2) радиус-вектор r точки в
зависимости от времени; 3) скорость υ точки в зависимости от времени;
4) ускорение a точки в зависимости от времени.
40
22. Рядом с поездом на одной линии с передними буферами паровоза
стоит человек. В тот момент, когда поезд начал двигаться с ускорением
а = 0,1 м/с 2, человек начал идти в том же направлении со скоростью
υ =1,5 м/с. Через какое время t поезд догонит человека? Определите скорость
υ 1 поезда в этот момент и путь S, пройденный за это время человеком.
23. Со строительной базы в одном направлении, поочерёдно с разницей
в t = 2 с, выехали самосвалы: первый с начальной скоростью υ 1 = 1 м/с и
ускорением а1 = 2 м/с 2, второй – с начальной скоростью υ 2 = 10 м/с и ускорением а2 = 1 м/с 2. Определите, через какое время t1 и на каком расстоянии S от
начала движения самосвалы поравняются.
24. Пожаный поезд прошел расстояние S =17 км между двумя станциями со средней скоростью υ ср =60 км/ч. При этом на разгон в начале движения
и торможения перед остановкой ушло в общей сложность t1 = 4 мин, а
остальное время поезд двигался с постоянной скоростью u. Чему равна эта
скорость?
25. Время отправления грузового состава t = 12 часов. На станции часы
показывают ровно 12, но мимо вас уже начинает проезжать предпоследний
вагон, который движется мимо вас в течение t1 = 10 с. Последний вагон проходит мимо вас в течение t2 = 8 с. Состав отправился вовремя и движется
равноускоренно. На какое время ∆t отстали часы на станции?
26. Движение точки по прямой задано уравнением x = At + Bt2, где
А = 2 м/с, В = 0,5 м/с 2. Определите среднюю путевую скорость υ ср. Движение точки в интервале времени от t1 = 1 c до t2 = 3 с.
27. Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением а = 0,5 м/с 2. Определите полное ускорение а точки на участке кривой с
радиусом кривизны R = 3 м, если точка движется на этом участке со скоростью υ = 2 м/с.
28. По дуге окружности радиусом R = 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки аn = 4,9 м/с 2; в этот момент
векторы полного и нормального ускорений образуют угол = 60 . Найдите
скорость υ и тангенциальное ускорение а точки.
29. Движение автокара по кривой задано уравнениями x = A1t3 и y = A2t,
где А1 = 1 м/с 2, А2 = 2 м/с 2. Найдите уравнение траектории автокара, его скорость υ и полное ускорение а в момент времени t = 0,8 с.
30. Пожаный автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему
радиус кривизны R = 100 м. Уравнение движения пожарного автомобиля
имеет вид: S(t) =A+Bt+Ct2, где А=20 м, В=54 км/ч, С=0,25 м/с 2. Определите
скорость υ пожарного автомобиля, его нормальное аn, тангенциальное а и
полное ускорение a в момент времени t = 10 с, а также среднюю скорость υ ср
и путь S, пройденный автомобилем за это время.
31. Пожарный поезд движется равнозамедленно по закруглению радиусом R и, пройдя путь S, приобретает скорость υ. Его начальная скорость υ 0.
Найдите время t движения и полное ускорение a в начале и в конце пути.
41
32. При падении камня в колодец звук его удара о поверхность воды
доносится через t = 5 с. Принимая скорость звука υ = 330 м/с, определите
глубину h колодца.
33. Гуманитарный груз, сброшенный с вертолета, за последние 3 с падения проходит половину пути. С какой высоты H сброшен груз, если в момент его сбрасывания вертолет был неподвижен? Сопротивление воздуха не
учитывать.
34. С вертолета, находящегося на высоте Н = 1960 м, сброшен гуманитарный груз. Через какое время t груз достигнет земли, если вертолет: 1)
неподвижен; 2) поднимается со скоростью υ = 19,6 м/с; 3) опускается со скоростью υ = 19,6 м/с?
35. Вертикально вверх с начальной скоростью υ 0 = 20 м/с брошен камень. Через t = 1 с после этого брошен вертикально вверх другой камень с
такой же скоростью. На какой высоте Н встретятся камни?
36. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью
υ 0 = 5 м/с. Через t = 2 с мячик упал на землю. Определите высоту H балкона
над землей и скорость мячика в момент удара о землю.
37. Пистолетная пуля пробила два вертикально закрепленных листа
бумаги, расстояние l между которыми равно 30 м. Пробоина во втором листе
оказалась на h = 10 см ниже, чем в первом. Определите скорость υ пули, если
к первому листу она подлетела, двигаясь горизонтально. Сопротивлением
воздуха пренебречь.
38. Снаряд вылетает из ствола орудия, установленного на высоте
H = 122,5 м, со скоростью υ = 400 м/с в горизонтальном направлении. Определите время t полета снаряда. Поразит ли снаряд одну из целей, расположенных на расстояниях l1 = 2 км и l2 = 5,8 км от орудия (по горизонтали) в
направлении полета снаряда? Сопротивлением воздуха пренебречь.
39. С башни высотой Н = 30 м в горизонтальном направлении брошено
тело с начальной скоростью υ 0 = 10 м/с. Напишите уравнение траектории тела y(x). Найдите 1) скорость υ тела в момент падения на землю; 2) угол φ, который образует эта скорость с горизонтом в точке его падения.
40. Мешки сбрасывают горизонтально со скоростью υ 0 = 15 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите радиус кривизны траектории R
мешков через t = 2 с после начала движения.
41. Камень, брошенный горизонтально с высоты H = 6 м, упал на землю на расстоянии S = 10 м от точки бросания. Напишите уравнение траектории y(x). Найдите: 1) начальную скорость камня υ 0; 2) угол падения φ; 3)
нормальное an и тангенциальное aτ ускорение камня через время t = 0,2 с после начала движения; 4) радиус кривизны траектории R в этот момент.
42. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении с начальной скоростью υ 0 = 30 м/с. Определите скорость υ, тангенциальное а и нормальное аn ускорения камня в конце второй секунды после начала движения.
42
43. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении. Через
промежуток времени t = 2 с камень упал на землю на расстоянии S = 40 м от
основания вышки. Определите начальную υ 0 и конечную υ скорости камня.
44. Самолет пикирует со скоростью υ 0 до высоты H0 под углом к горизонту. На каком расстоянии S от объекта бомбометания он должен сбросить бомбу? Сопротивлением воздуха пренебречь. Задачу решите в общем
виде. Рассмотрите случай, когда самолет выходит из пикирования на высоте
H = 10 км при скорости υ = 500 м/с.
45. Подача груза на платформу происходит под углом к горизонту с
начальной скоростью υ 0. Напишите уравнение траектории y(x).
46. Через какое время t вектор скорости тела, брошенного под углом
= 600 к горизонту с начальной скоростью υ 0 = 20 м/с, будет составлять с горизонтом угол = 300? Сопротивление воздуха не учитывать.
47. Артиллерийское орудие установлено на горе высотой Н = 75,5 м.
Снаряд вылетает из ствола со скоростью υ 0 = 500 м/с под углом = 300 к горизонту. Определите дальность полета L снаряда и скорость полета υ в момент падения. Сопротивление воздуха не учитывать.
48. Миномет, установленный на крыше здания высотой Н = 60 м, стреляет под углом = 300 к горизонту и поражает цель, удаленную на расстояние L = 7500 м (по горизонтали). Определите начальную скорость мины υ 0 и
продолжительность ее полета t. Сопротивление воздуха не учитывать.
49. С башни высотой Н = 40 м брошено тело с начальной скоростью
υ 0 = 20 м/с под углом = 450 к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите: 1) время t движения тела; 2) на каком расстоянии S от основания башни тело упадет на землю; 3) скорость υ падения тела на землю;
4) угол , который составит траектория тела с горизонтом в точке его падения.
50. Пуля пущена с начальной скоростью υ 0 = 200 м/с под углом = 600
к горизонту. Определите максимальную высоту h подъема, дальность L полета и радиус R кривизны траектории пули в ее наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.
51. С какой скоростью υ 0 должен в момент старта ракеты вылететь снаряд из пушки, чтобы поразить ракету, стартующую вертикально с ускорением а? Расстояние от пушки до места старта ракеты равно L, пушка стреляет
под углом α = 450 к горизонту.
52. Утка летела по горизонтальной прямой с постоянной скоростью u.
В нее бросил камень неопытный «охотник», причем бросок был сделан без
упреждения, т.е. в момент броска скорость камня υ была направлена как раз
на утку под углом к горизонту. На какой высоте H летела утка, если камень
все же попал в нее?
53. Сверхзвуковой самолет летит горизонтально со скоростью
υ = 1440 км/ч на высоте H = 20 км. Когда самолет пролетает над зенитной
43
установкой, из орудия производится выстрел. Какова должна быть минимальная начальная скорость υ 0 снаряда и угол ее с горизонтом, чтобы снаряд попал в самолет?
54. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R = 4 м, задается уравнением an = A+Bt+Ct2 (А=1 м/с 2, В = 3 м/с 3,
С = 9 м/с 4). Определите: 1) тангенциальное ускорение точки а ; 2) путь S,
пройденный точкой за время t1 = 5 c после начала движения; 3) полное ускорение a для момента времени t2 = 1 с.
55. Зависимость пройденного телом пути по окружности радиусом
R = 3 м задается уравнением S = At2 + Bt (A = 0,4 м/с 2, В = 0,1 м/с). Определите для момента времени t = 1 c после начала движения ускорения:
1) нормальное an; 2) тангенциальное aτ ; 3) полное a.
56. Материальная точка начинает двигаться по окружности радиусом
R = 12,5 см с постоянным тангенциальным ускорением а = 0,5 см/с 2. Определите: 1) момент времени t, при котором вектор ускорения а образует с вектором скорости угол = 450; 2) путь S, пройденный за это время движущейся
точкой.
57. Линейная скорость υ 1 точки, находящейся на ободе вращающегося
колеса, в три раза больше, чем линейная скорость υ 2 точки, находящейся на 6
см ближе к его оси. Определите радиус колеса R.
58. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением = 3 рад/с 2.
Определите радиус колеса R, если через t = 1 с после начала движения полное
ускорение колеса a = 7,5 м/с 2.
59. Два бумажных диска насажены на общую горизонтальную ось так,
что плоскости их параллельны и отстоят на расстоянии d = 30 см друг от друга. Диски вращаются с частотой равной ν = 25 Гц. Пуля, летевшая параллельно оси на расстоянии r = 12 см от нее, пробила оба диска. Пробоины в дисках
смещены друг относительно друга на расстоянии S = 5 см, считая по дуге
окружности. Найдите среднюю путевую скорость υ ср пули в промежутке
между дисками и оцените создаваемое силой тяжести смещение пробоин в
вертикальном направлении. Сопротивление воздуха не учитывать.
60. Ось с двумя дисками, расположенными на расстоянии l = 0,5 м друг
от друга, вращается с частотой ν = 1600 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси,
пробивает оба диска; при этом отверстие от пули во втором диске смещено
относительно отверстия в первом диске на угол = 120. Найдите скорость υ
пули.
61. Маховик начал вращаться равноускоренно и за время t = 10 с достиг
частоты вращения ν = 300 мин 1. Определите угловое ускорение маховика и
число N оборотов, которое он сделал за это время.
62. Барабан бетономешалки вращается с угловым ускорением
= 2 рад/с 2. Сколько оборотов N сделает барабан при изменении частоты
44
вращения от ν1 = 240 мин 1 до ν2 = 90 мин 1? Найдите время t, в течение которого это произойдет.
63. Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная
скорость υ 1 точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости υ 2
точки, лежащей на расстоянии r = 5 см ближе к оси колеса.
64. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости
= 20 рад/с через N = 10 об. после начала вращения. Найдите угловое ускорение колеса.
65. За время движения в канале ствола пуля делает один полный оборот. Какова средняя угловая скорость ωср вращения пули, если в момент вылета скорость ее υ = 860 м/с, а длина ствола L = 1 м? Чему равно среднее угловое ускорение εср пули?
66. Определите угловую скорость ω и угловое ускорение ε твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z по закону
= At
Bt2,
где А = 20 с 1, B = 1 с 2. Каков характер движения этого тела? Постройте графики зависимости угловой скорости и углового ускорения от времени.
67. Диск радиусом R = 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что
зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением
=A+Bt+Ct2 +Dt3 (В = 1 рад/с, С = 1 рад/с 2, D = 1 рад/с 3). Определите для точек
на ободе диска к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение а ; 2) нормальное ускорение аn; 3) полное ускорение a.
68. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла
поворота радиуса диска от времени задается уравнением
= At2
(A = 0,1 рад/с). Определите полное ускорение а точки на ободе диска к концу
второй секунды после начала движения, если линейная скорость этой точки в
этот момент υ = 0,4 м/с.
69. На цилиндр, который может вращаться около горизонтальной оси,
намотана нить. К концу нити привязали грузик и предоставили ему возможность опускаться. Двигаясь равноускоренно, грузик за время t = 3 c опустился на h = 1,5 м. Определите угловое ускорение цилиндра, если его радиус
R = 4 см.
Динамика материальной точки и поступательного движения
абсолютно твёрдого тела
1. Тело массой m = 0,5 кг движется прямолинейно, причем зависимость
пройденного телом пути S от времени t дается уравнением
S A Bt Ct 2 Dt 3 , где С = 5 м/с 2 и D = 1 м/с 3. Найдите силу F, действующую на тело в конце первой секунды движения.
2. Под действием постоянной силы F = 9,8 Н тело движется прямолинейно так, что зависимость пройденного телом пути S от времени t дается
45
уравнением S A Bt Ct 2 . Найдите массу тела m, если постоянная
С = 1 м/с 2.
3. Тело массой m движется так, что зависимость пройденного пути от
времени описывается уравнением S Acos t , где А и – постоянные. Запишите закон изменения силы от времени F(t).
4. К нити подвешен груз массой m = 500 г. Определите силу натяжения
нити T, если нить с грузом: 1) поднимается с ускорением a = 2 м/c 2; 2) опускается с ускорением a = 2 м/с 2.
5. При разборе завала используется подъемный кран. Трос крана выдерживает силу натяжения T = 4000 Н. С каким наибольшим ускорением a
можно поднимать обломок стены массой m = 400 кг, чтобы трос при этом не
разорвался?
6. Масса лифта с пассажирами равна m = 800 кг. Найдите, с каким
ускорением a и в каком направлении движется лифт, если известно, что
натяжение T троса, поддерживающего лифт, равно: 1) 11760 Н, 2) 5880 Н.
7. К нити подвешена гиря. Если поднимать эту гирю с ускорением
а1 = 2 м/с 2, то натяжение Т нити будет вдвое меньше того натяжения, при котором нить разрывается. С каким ускорением а2 надо поднимать эту гирю,
чтобы нить разорвалась?
8. Вагон массой m = 20 т движется с начальной скоростью υ = 54 км/ч.
Определите среднюю силу F, действующую на вагон, если известно, что вагон останавливается в течение: 1) 1 мин 40 с, 2) 10 с, 3) 1с.
9. Автомобиль массой m = 1020 кг останавливается при торможении за
t = 5 с, пройдя при этом равнозамедленно расстояние S = 25 м. Найдите
начальную скорость автомобиля υ 0 и силу торможения F.
10. Два груза (m1 = 500 г и m2 = 700 г)
связаны невесомой нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности (рис. 17).
К грузу m1 приложена горизонтально
Рис. 17
направленная сила F = 6 H. Пренебрегая
трением, определите: 1) ускорение грузов a; 2) силу натяжения нити T.
11. На столе стоит тележка массой m1 = 4 кг. К тележке привязан один
конец шнура, перекинутого через блок. С каким ускорением а будет двигаться тележка, если к другому концу шнура привязать гирю массой m2 = 1 кг?
12. Простейшая машина Атвуда, применяемая для изучения законов
равноускоренного движения, представляет собой два груза с неравными массами m1 и m2 (например, m1 > m2), которые подвешены на легкой нити, перекинутой через неподвижный блок (рис. 18). Считая нить и блок невесомыми
и пренебрегая трением в оси блока, определите: 1) ускорение грузов a; 2) силу натяжения нити Т; 3) силу F, действующую на ось блока.
46
Рис. 18
Рис. 19
Рис. 20
13. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут шнур, к
концам которого привязали грузы массами m1 = 1,5 кг и m2 = 3 кг. Каково
будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура
пренебречь.
14. На рисунке (рис.19) изображена система блоков, к которым подвешены грузы массами m1 = 200 г и m2 = 500 г. Считая, что груз m1 поднимается, а подвижный блок массой m2 опускается, нить и блоки невесомы, силы
трения отсутствуют, определите: 1) силу натяжения нити Т; 2) ускорения a1 и
a2, с которыми движутся грузы.
15. Груз массой m = 10 кг поднимается вверх с помощью системы подвижного и неподвижного блоков (рис. 20). Определите ускорение груза a,
если к концу нити, перекинутой через неподвижный блок, приложена сила
F = 60 Н. Массой нити и блоков можно пренебречь.
16. В погрузчике (рис. 21) угол
наклонной плоскости с горизонтом
0
равен 20 , массы тел m1 = 200 г и m2 = 150 г. Считая нить и блок невесомыми
и пренебрегая силами трения, определите ускорение a, с которым будут двигаться эти тела, если тело m2 опускается.
Рис. 21
Рис. 22
17. Тело А массой М = 2 кг (рис. 22) находится на горизонтальном столе и соединено нитями посредством блоков с телами В (m1 = 0,5 кг) и
47
С (m2 = 0,3 кг). Считая нити и блоки невесомыми и пренебрегая силами трения, определите: 1) ускорение a, с которым движутся тела; 2) разность сил
натяжения нитей T1 – T2.
18. В установке углы и с горизонтом соответственно равны 300 и
450, массы тел m1 = 0,45 кг и m2 = 0,5 кг. Считая нить и блок невесомыми и
пренебрегая силами трения, определите: 1) ускорение a, с которым движутся
тела; 2) разность сил натяжения нитей T1 – T2.
19. Тело массой m движется в плоскости xy по закону x = Acos t,
y = Bsin t, где А, В и – некоторые постоянные. Определите модуль силы F,
действующей на это тело.
20. Частица массой m движется под действием сил F = F0 cos t, где F0
и – некоторые постоянные. Определите положение частицы, т.е. выразите
ее радиус-вектор как функцию времени r(t), если в начальный момент времени t = 0, r(0) = 0 и υ(0) = 0.
21. На рельсах стоит платформа массой m1 = 10 т. На платформе закреплено орудие массой m2 = 5 т, из которого производится выстрел вдоль
рельсов. Масса снаряда m3 = 100 кг; его начальная скорость относительно
орудия υ 0 = 500 м/с. Определите скорость υ х платформы в первый момент после выстрела, если: 1) платформа стояла неподвижно; 2) платформа двигалась со скоростью υ 1 = 18 км/ч и выстрел был произведен в направлении ее
движения; 3) платформа двигалась со скоростью υ 1 = 18 км/ч и выстрел был
произведен в направлении противоположном ее движению.
22. Человек массой m1 = 60 кг, бегущий со скоростью υ 1 = 8 км/ч, догоняет тележку массой m2 = 80 кг, движущуюся со скоростью υ 2 = 2,9 км/ч, и
вскакивает на нее. С какой скоростью u станет двигаться тележка? С какой
скоростью будет двигаться тележка, если человек бежал ей навстречу?
23. Нейтрон (масса m0) ударяется о неподвижное ядро атома углерода
(m = 12m0). Считая удар центральным и упругим, найдите, во сколько раз
уменьшится кинетическая энергия нейтрона при ударе.
24. Молекула массой m = 4,65 10 26 кг, летящая нормально к стенке сосуда со скоростью υ = 600 м/с, ударяется о стенку и упруго отталкивается от
нее без потери скорости. Найдите импульс силы F∆t, полученный стенкой за
время удара.
25. Молекула массой m = 4,65 10 26 кг, летящая со скоростью
υ = 600 м/с, ударяется о стенку сосуда под углом α = 600 к нормали и под таким же углом упруго отталкивается от нее без потери скорости. Найдите импульс силы F∆t, полученный стенкой за время удара.
26. При землетрясении обломок здания массой m = 1 т падает с высоты
h = 2 м на мостовую. Длительность удара t = 0,01 с. Определите среднее
значение силы <F> удара.
27. При тушении пожара струя воды из брандспойта сечением S = 6 см2
ударяется о стенку под углом α = 600 и упруго отталкивается от нее без поте48
ри скорости. Найдите силу F, действующую на стенку, если известно, что
скорость воды в струе υ = 12 м/с.
28. Какова средняя сила давления F на плечо при стрельбе из автомата,
если масса пули m = 10 г, а скорость пули при вылете ее из ствола
υ = 300 м/с? Число выстрелов из автомата в единицу времени n = 300 мин 1.
29. Мяч массы m = 150 г ударяется о гладкую стенку под углом α = 300
к ней и отскакивает без потери скорости. Найдите среднюю силу F, действующую на мяч со стороны стенки, если скорость мяча υ = 10 м/с, а продолжительность удара t = 0,1 с.
30. Платформа с песком общей массой M = 2 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m = 8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определите, с какой скоростью u будет
двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда υ = 450 м/с,
а ее направление – сверху вниз под углом α = 300 к горизонту.
31. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью υ 0 = 3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с орудием M = 10 т.
Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Снаряд массой
m = 10 кг вылетает из ствола под углом = 600 к горизонту. Определите скорость снаряда υ (относительно земли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в n = 2 раза.
32. Лодка массой М = 150 кг и длиной l = 2,8 м стоит неподвижно в
стоячей воде. Рыбак массой m = 90 кг в лодке переходит с носа на корму.
Пренебрегая сопротивлением воды, определите, на какое расстояние S при
этом сдвинется лодка.
33. Тело массой m1 = 2 кг движется со скоростью υ 1 = 3 м/с и догоняет
второе тело массой m2 = 3 кг, движущееся со скоростью υ 2 = 1 м/с. Каково
должно быть соотношение между массами тел, чтобы при упругом ударе
первое тело после удара остановилось?
34. Платформа нагружена песком, который высыпается через отверстие
в дне с постоянной скоростью Q = 10 кг/с. Найдите скорость платформы u
через время t = 2 мин от начала движения, если при t = 0 υ 0 = 0, масса платформы M = 20 103 кг и на нее начала действовать постоянная сила тяги
F = 1000 Н. Трение не учитывать.
35. На пожарном катере массой m = 4,5 т находится водомет, выбрасывающий со скоростью υ = 6 м/с относительно катера назад Q = 25 кг/с воды.
Пренебрегая сопротивлением движению катера, определите: 1) скорость катера через t = 3 мин после начала движения; 2) предельно возможную скорость катера.
36. Ракета, масса которой в начальный момент времени М = 2 кг, запущена вертикально вверх. Относительная скорость выхода продуктов сгор ания u = 150 м/с, расход горючего Q = 0,2 кг/с. Пренебрегая сопротивлением
воздуха, определите ускорение а ракеты через t = 3 с после начала ее движения. Поле силы тяжести считать однородным.
49
37. Ракета, масса которой в начальный момент времени М = 300 г,
начинает выбрасывать продукты сгорания с относительной скоростью
u = 200 м/с. Расход горючего Q = 100 г/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха и внешним силовым полем, определите: 1) за какой промежуток времени t скорость ракеты станет равной υ 1 = 50 м/с; 2) скорость υ 2, которую достигнет ракета, если масса заряда m0 = 0,2 кг.
38. Ракета с жидким топливом массой М = 15 103 кг запускается в вертикальном направлении. Расход топлива Q = 150 кг/с. На какую высоту H
поднимется ракета за время работы двигателя t = 1 мин, если скорость истечения газов из сопла u = 3 км/с?
39. Какую массу газов ежесекундно должна выбрасывать ракета с
начальной массой М, направленная вертикально вверх, чтобы через некоторое время от начала движения она могла оставаться неподвижной в поле тяжести? Скорость газовой струи относительно ракеты u. Изменение ускорения
силы тяжести с высотой не учитывать.
40. Ракета массой m = 1 т, запущенная с поверхности Земли вертикально вверх, поднимается с ускорением а = 2g. Скорость υ струи газов, вырывающихся из сопла, равна 1200 м/с. Найдите расход Q горючего.
41. Космический корабль имеет массу m = 3,5 т. При маневрировании
из его двигателей вырывается струя газов υ = 800 м/с; расход горючего
Q = 0,2 кг/с. Найдите реактивную силу Fp двигателей и ускорение а, которое
она сообщает кораблю.
42. Ракета с начальной массой m0 начинает движение из состояния покоя. К некоторому моменту времени t, израсходовав топливо массой m, развивается скорость υ. Пренебрегая сопротивлением воздуха и внешним силовым полем, определите зависимость υ от m, если скорость истечения топлива
относительно ракеты равна u.
43. Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально
вверх. Начальная масса ракеты m0, скорость истечения газов относительно
ракеты постоянна и равна u. Пренебрегая сопротивлением воздуха, выразите
скорость ракеты υ в зависимости от m и t (m – масса ракеты; t – время ее
подъема). Поле силы тяжести считать однородным.
44. Ракета с начальной массой m0 = 1,5 кг начинает движение из состояния покоя вертикально вверх, выбрасывая непрерывную струю газов с постоянной относительно нее скоростью u = 800 м/с. Расход газов Q = 0,3 кг/с.
Определите, какую скорость υ приобретает ракета через время t = 1 с после
начала движения, если она движется: 1) при отсутствии внешних сил; 2) в
однородном поле силы тяжести. Оцените относительную погрешность, сделанную для данных условий задачи при пренебрежении внешним силовым
полем.
45. Спасательный вертолет массой m = 3,5 т с ротором, диаметр d которого равен 18 м, «висит» в воздухе. С какой скоростью υ ротор отбрасывает
50
вертикально вниз струю воздуха? Диаметр струи считать равным диаметру
ротора. Возможно ли нахождение людей в этом месте?
46. Определите положение центра масс половины круглого диска радиусом R, считая его однородным.
47. Определите положение центра масс системы, состоящей из 4 шаров, массы которых равны соответственно m, 2m, 3m и 4m, в следующих
случаях (рис. 23): а) шары расположены на одной прямой; б) шары расположены по вершинам квадрата; в) шары расположены по 4 смежным вершинам куба. Во всех случаях расстояние между соседними шарами равно a
= 15 см. Направление координатных осей показано на рисунке.
48. Определите координаты центра масс системы, состоящей из 4 шаров массами 2m, 3m, 4m и m, которые расположены в вершинах и в центре
равностороннего треугольника со стороной а = 20 см (рис. 24). Направление
координатных осей указано на рисунке.
Рис. 23
Рис. 24
49. На двух параллельных пружинах одинаковой длины висит стержень, весом которого можно пренебречь. Коэффициенты деформации пр ужины равны соответственно k1 = 19,6 Н/см и k2 = 29,4 Н/см. Длина стержня
равна расстоянию между пружинами L = 10 см. В каком месте стержня надо
подвесить груз, чтобы стержень оставался горизонтальным?
50. Гирька, привязанная к резиновому шнуру длиной l0, описывает в
горизонтальной плоскости окружность. Сила тяжести гирьки mg = 4,9 Н.
Скорость вращения гирьки соответствует частоте ν = 2 об/с. Угол отклонения
шнура от вертикали
= 300. Найдите длину l0 нерастянутого резинового
шнура. Для растяжения шнура на х1 = 1 см требуется сила F1 = 6 Н.
51
51. Стальной шарик, упавший с высоты h1 = 1,5 м на стальную доску,
отскакивает от нее со скоростью υ 2 = 0,75υ 1, где υ 1 – скорость, с которой он
подлетел к доске. На какую высоту h2 поднимается шарик? Сколько времени
пройдёт от начала движения шарика до вторичного его падения на доску?
52. Металлический шарик, падая с высоты h1 = 1 м на стальную плиту,
отскакивает от неё на высоту h2 = 81 см. Найдите коэффициент восстановления шарика k.
53. К проволоке диаметром d = 2 мм подвешен груз массой m = 1 кг.
Определите напряжение , возникшее в проволоке.
54. Какой наибольший груз может выдержать стальная проволока диаметром d = 1 мм, не выходя за предел упругости упр = 294 МПа? Какую долю
δ первоначальной длины составляет удлинение проволоки при этом грузе?
55. При проведении спасательных работ с помощью вертолета человек
находится на проволоке из углеродистой стали длиной l = 1,5 м и диаметром
d = 2,1 мм, масса человека m = 110 кг. Принимая для стали модуль Юнга
Е = 118 ГПа и предел пропорциональности п = 330 МПа, определите: 1) какую долю δ первоначальной длины составляет удлинение проволоки при
этом грузе; 2) превышает приложенное напряжение или нет предел пропо рциональности.
56. К вертикальной проволоке длиной l = 0,5 м и площадью поперечного сечения S = 2 мм2 подвешен груз массой m = 5,1 кг. В результате проволока удлинилась на х = 0,6 мм. Найдите модуль Юнга Е материала проволоки.
57. Две пружины жесткостью k1 = 0,3 кН/м и k2 = 0,8 кН/м соединены
последовательно. Определить абсолютную деформацию x1 первой пружины,
если вторая деформирована на х2 = 1,5 см.
58. Определите жесткость k′ системы двух пружин при последовательном и параллельном их соединении. Жесткость пружин k1 = 2 кН/м и
k2 = 6 кН/м.
59. Трамвай, трогаясь с места, движется с постоянным ускорением
а = 0,5 м/с 2. Через t = 12 с после начала движения мотор трамвая выключается и трамвай движется до остановки равнозамедленно. На всем пути движения трамвая коэффициент трения равен k = 0,01. Найдите: 1) наибольшую
скорость движения трамвая υ max; 2) общую продолжительность движения T;
3) отрицательное ускорение трамвая при равнозамедленном движении a;
4) общее расстояние S, пройденное трамваем.
60. На автомобиль массой m = 1 т во время движения действует сила
трения, равная 0,1 его силы тяжести. Чему должна быть равна сила тяги F,
развиваемая мотором автомобиля, чтобы автомобиль двигался: 1) равномерно; 2) с ускорением a = 2 м/с 2?
61. При торможении железнодорожного вагона его скорость равномерно изменяется за время t = 3,3 с от υ 0 = 47,5 км/ч до υ = 30 км/ч. Определите,
при каком предельном значении коэффициента трения μ ящики начнут
скользить по полу.
52
62. Если со стены начинает свисать больше четверти от всей длины каната, то он начинает скользить. Определите, чему равен коэффициент трения
μ каната о стену?
63. На бензовоз массой m = 1 т во время движения действует сила трения, равная 0,1 его силы тяжести. Найдите силу тяги F, развиваемую мотором бензовоза, если бензовоз движется с постоянной скоростью: 1) в гору с
уклоном h = 1 м на каждые s = 25 м пути; 2) под гору с тем же уклоном.
64. Наклонная плоскость, образующая угол = 250 с плоскостью горизонта, имеет длину l = 2 м. Ведро, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с
этой плоскости за время t = 2 с. Определите коэффициент трения μ ведра о
плоскость.
65. Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью
υ 0 = 20 м/с 2, остановилась через t = 40 с. Найдите коэффициент трения μ шайбы о лед.
66. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 450. Зависимость пройденного телом расстояния S от времени t
дается уравнением S = Ct2, где С = 1,73 м/с 2. Найдите коэффициент трения
тела о плоскость μ.
67. Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью υ 0 = 2 м/с,
прошел до полной остановки расстояние S = 20,4 м. Найдите коэффициент
трения μ камня о лед, считая его постоянным.
68. На горизонтальной поверхности находится доска массой m2, на которой лежит брусок массой m1. Коэффициент трения бруска о поверхность
доски равен μ. К доске приложена горизонтальная сила F, зависящая от времени по закону F = At, где А – некоторая постоянная. Определите: 1) момент
времени t0, когда доска начинает выскальзывать из-под бруска; 2) ускорения
бруска а1 и доски а2.
69. По наклонной плоскости высотой H = 0,5 м и длиной склона L = 1 м
скользит тело массой m = 3 кг. Тело приходит к основанию наклонной плоскости со скоростью υ = 2,45 м/с. Найдите: 1) коэффициент трения тела о
плоскость μ, 2) количество теплоты Q, выделенное при трении. Начальная
скорость равна нулю.
70. Автомобиль массой m = 2 т движется в гору. Уклон горы равен
h = 4 м на каждые s = 100 м пути. Коэффициент трения равен μ = 8 %. Найдите: 1) работу A, совершенную двигателем автомобиля на пути S = 3 км,
2) мощность P, развиваемую двигателем, если известно, что этот путь был
пройден за t = 4 мин.
71. Найдите мощность P, развиваемую двигателем автомобиля, если
известно, что автомобиль едет с постоянной скоростью υ = 36 км/ч: 1) по горизонтальной дороге; 2) в гору с уклоном h = 5 м на каждые s = 100 м пути;
3) под гору с тем же уклоном. Коэффициент трения μ = 0,07, масса автомобиля m = 1 т.
53
72. Трамвайный вагон массой m = 5 т идёт по закруглению радиусом
R = 128 м. Найдите силу F бокового давления колёс на рельсы при скорости
υ = 9 км/ч.
73. Пожарное ведро с водой, привязанное к верёвке длиной l = 60 см,
равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найдите: 1) наименьшую
скорость вращения ведёрка υ min, при которой в высшей точке вода из него не
выливается; 2) натяжение верёвки T при этой скорости в высшей и низшей
точках окружности. Масса ведёрка с водой m = 2 кг.
74. Камень, привязанный к верёвке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найдите массу камня m, если известно, что разность
между максимальным и минимальным натяжением верёвки равна
Tmax – Tmin = 9,8 Н.
Работа и энергия
1. При аварии в шахте под действием постоянной силы F вагонетка
прошла путь S = 5 м и приобрела скорость υ = 2 м/с. Определите работу A силы, если масса m вагонетки равна 400 кг и коэффициент трения μ = 0,01.
2. При ликвидации последствий взрыва используют подъемный кран.
Вычислите работу A, совершаемую при равноускоренном подъеме обломков
массой m = 100 кг на высоту h = 4 м за время t = 2 с.
3. При вертикальном подъеме груза массой m = 2 кг на высоту h = 1 м
постоянной силой F была совершена работа A = 78,5 Дж. С каким ускорением a поднимали груз?
4. Тело массой m = 5 кг поднимают с ускорением а = 2 м/с 2. Определите работу силы A в течение первых пяти секунд.
5. При погрузке гуманитарного груза в автомобиль используют
наклонную плоскость. Определите работу A, совершаемую при подъеме гру0
за массой m = 50 кг по наклонной плоскости с углом наклона
к горизонту на расстояние S = 4 м, если время подъема t = 2 с, а коэффициент трения μ = 0,06.
6. Тело скользит с наклонной плоскости высотой h и углом наклона к
горизонту и движется далее по горизонтальному участку. Принимая коэффициент трения на всем пути постоянным и равным μ, определите расстояние S,
пройденное телом на горизонтальном участке, до полной остановки.
7. Какую мощность P должен развивать трактор при перемещении аварийного автомобиля массой m = 5 т вверх по уклону со скоростью υ = 1 м/с,
если угол наклона
2 0, а коэффициент трения прицепа = 0,2?
8. Определите мощность двигателя P шахтной клети, поднимающего из
шахты глубиной h = 200 м груз массой m = 10 т за t = 60 с, КПД равен 80 %.
9. Поезд массой m = 106 кг поднимается вверх по уклону с углом
наклона
1 0 со скоростью υ = 15 м/с и проходит путь S = 2 км. Определите работу A и среднюю мощность P, развиваемую тепловозом при движении
поезда. Коэффициент трения μ = 0,05.
54
10. Плитовоз массой m = 1,8 т движется в гору, уклон которой составляет h = 3 м на каждые s = 100 м пути. Определите: 1) работу A, совершаемую двигателем автомашины на пути S = 5 км, если коэффициент трения
μ = 0,1; 2) развиваемую двигателем мощность P, если известно, что этот путь
был преодолен за t = 5 мин.
11. Насос мощностью P используют для откачки нефти из поврежденного танкера с глубины h. Определите массу m жидкости, поднятой за время
t, если КПД насоса равен .
12. Поезд массой m = 600 т движется под гору с уклоном
, 0 и за
время t = 1 мин развивает скорость υ = 18 км/ч. Коэффициент трения
μ = 0,01. Определите среднюю мощность P локомотива.
13. Какую работу A надо совершить, чтобы заставить движущееся тело
массой m = 2 кг: 1) увеличить свою скорость от υ 0 = 2 до υ = 5 м/с, 2) остановиться при начальной скорости υ 0 = 8 м/с?
14. При расследовании дорожно-транспортного происшествия необходимо определить скорость автомобиля υ 0 перед торможением. Тормозной
путь составляет S = 25 м. Сила трения в тормозных колодках постоянна и
равна F = 3840 Н. Масса автомобиля m = 1 т. Трением колес о дорогу пренебречь.
15. Под действием постоянной силы F = 400 Н, направленной вертикально вверх, груз массой m = 20 кг был поднят на высоту h = 15 м. Какой
потенциальной энергией EП будет обладать поднятый груз? Какую работу A
совершит сила F?
16. Самолет поднимается и на высоте h = 5 км достигает скорости
υ = 360 км/ч. Во сколько раз работа, совершаемая при подъеме против сил
тяжести, больше работы, идущей на увеличение скорости самолета?
17. На автомобиль массой m = 1 т во время движения действует постоянная сила трения, равная 0,1 его силы тяжести. Какую массу бензина расходует двигатель автомобиля на то, чтобы на пути S = 0,5 км увеличить скорость движения автомобиля от υ 0 = 10 до υ = 40 км/ч? КПД двигателя
η = 20 %.
18. Какую массу бензина m расходует двигатель автомобиля на пути
S = 100 км, если при средней мощности двигателя P = 15 л.с. средняя скорость его движения была равна υ = 30 км/ч? КПД двигателя η = 22 %.
Остальные необходимые данные взять из условия предыдущей задачи.
19. Материальная точка массой m = 2 кг двигалась под действием некоторой силы, направленной вдоль оси Ox, согласно уравнению
x A Bt Ct 2 Dt 3 , где B = 2 м/с, C = 1 м/с 2, D = 0,2 м/с 3. Найдите
мощности P1 и P2, развиваемую силой в моменты времени t1 = 2 c и t 2 = 5 c.
20. Материальная точка массой m = 1 кг двигалась под действием некоторой силы согласно уравнению s A Bt Ct 2 Dt 3 (B = 3 м/с, C = 5м/c2,
55
D = 1 м/c3). Определите мощность P, затрачиваемую на движение точки в
момент времени t = 1 с.
21. Ветер действует на парус площадью S с силой F As (v0 v) / 2 ,
где A – некоторая постоянная; ρ – плотность воздуха; υ 0 – скорость ветра;
υ – скорость лодки. Определите, при какой скорости лодки мгновенная мощность ветра максимальна.
22. Тело массой m поднимается без начальной скорости с поверхности
Земли под действием силы F, меняющейся с высотой подъема по закону
F
2mg (1 Ay ) (где A – некоторая положительная постоянная), и силы тяжести mg. Определите: 1) весь путь подъема S; 2) работу силы F на первой
трети пути подъема. Поле силы тяжести считать однородным.
23. Тело массой m начинает двигаться под действием силы
, где и – соответственно единичные векторы координатных
осей x и y. Определите зависимость мощности P(t), развиваемую силой в момент времени t.
24. С какой наименьшей высоты hmin должен начать скатываться акробат на велосипеде (не работая ногами), чтобы проехать по дорожке, имеющей
форму «мертвой петли» радиусом R = 4 м, и не оторваться от дорожки в
верхней точке петли? Трением пренебречь.
25. Шайба массой m скользит без трения с высоты h по желобу, переходящему в петлю радиусом R. Определите: 1) силу давления F шайбы на
опору в точке, определяемой углом ; 2) угол , при котором произойдет отрыв шайбы.
26. Тело массой m = 0,4 кг скользит с наклонной плоскости высотой
h = 10 см и длиной s = 1 м. Коэффициент трения тела на всем пути μ = 0,04.
Определите кинетическую энергию тела у основания плоскости EK и путь S,
пройденный телом на горизонтальном участке до остановки.
27. Камень бросили под углом
= 6 0 к горизонту со скоростью
υ 0 = 15 м/с. Найдите кинетическую EK, потенциальную EП и полную E энергии камня: 1) спустя одну секунду после начала движения, 2) в высшей точке
траектории. Масса камня m = 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.
28. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге. Какую наименьшую
скорость υ он должен развить, чтобы, выключив мотор, проехать по треку,
имеющему форму «мертвой петли» радиусом R = 4 м? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.
29. Зависимость потенциальной энергии EП тела в центральном силовом поле от расстояния r до центра поля задается функцией
EП(r) =(A / r2) – (B / r) (A = 6 мкДж·м2, В = 0,3 мДж·м). Определите, при каких
значениях r максимальное значение принимают: 1) потенциальная энергия
тела; 2) сила, действующая на тело.
30. На рис. 25 представлена качественная зависимость потенциальной энер56
гии П взаимодействия двух потенциальных частиц от расстояния r между
ними. Объясните, каким расстояниям между частицами соответствует равновесие, при каком расстоянии оно является устойчивым и при каком – неустойчивым.
31. Сила, действующая на тело в некотором поле консервативных сил,
описывается законом
, где A – некоторая постоянная, и –
соответственно единичные векторы координатных осей х и у. Определите по4
тенциальную энергию EП (х, у) тела в этом поле.
32. Два неупругих шара массами m1 = 2 кг и m2 = 3 кг движутся со ско- r
ростями соответственно υ 1 = 8 м/с и υ 2 = 4 м/с. Определите увеличение U
внутренней энергии шаров при их столкновении в двух случаях: 1) меньший
шар нагоняет больший; 2) шары движутся навстречу друг другу.
33. Шар массой m1, летящий со скоростью υ 1 = 5 м/с, ударяет неподвижный шар массой m2. Удар прямой, неупругий. Определить скорость u
шаров после удара, а также долю δ кинетической энергии летящего шара, израсходованной на увеличение внутренней энергии этих шаров. Рассмотреть
два случая: 1) m1 = 2 кг, m2 = 8 кг; 2) m1 = 8 кг; m2 = 2 кг.
34. Металлический шарик падает вертикально на мраморный пол с высоты h1 = 80 см и отскакивает от него на высоту h2 = 72 см. Определите коэффициент восстановления шарика k.
35. Шарик из некоторого материала, падая вертикально с высоты
h = 0,9 м, несколько раз отскакивает от пола. Определите коэффициент восстановления материала шарика k при ударе о пол, если с момента падения до
второго удара прошло время t = 1 с.
36. Конькобежец массой m1 = 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в
горизонтальном направлении камень массой m2 = 3 кг со скоростью
υ 2 = 8 м/с. Найдите, на какое расстояние S откатится при этом конькобежец,
если известно, что коэффициент трения коньков о лед μ = 0,02.
37. Тело массой m1 = 2 кг движется навстречу второму телу массой
m2 = 1,5 кг и неупруго сталкивается с ним. Скорость тел непосредственно перед столкновением соответственно υ 1 = 1 м/с и υ 2 = 2 м/с. Сколько времени t
будут двигаться эти тела после столкновения, если коэффициент трения
μ = 0,05?
38. Тело массой m1 = 5 кг ударяется о неподвижное тело массой
m2 = 2,5 кг, которое после удара начинает двигаться с кинетической энергией
E2 = 5 Дж. Считая удар центральным и упругим, найдите кинетическую энергию первого тела до E01 и после E1 удара.
39. Шар массой m1 = 2 кг налетает на покоящийся шар массой
m2 = 8 кг. Импульс движущегося шара p1 = 10 кг·м/c. Удар шаров прямой,
упругий. Определите непосредственно после удара: 1) импульсы p1 первого
шара и p2 второго шара; 2) изменение p1 импульса первого шара; 3) кинетические энергии EK1 первого шара и EK2 второго шара; 4) изменение EK1
57
кинетической энергии первого шара; 5) долю δ кинетической энергии, переданной первым шаром второму.
40. Шар массой m1 = 200 г, движущийся со скоростью υ 1= 10 м/с, ударяет неподвижный шар массой m2 = 800 г. Удар прямой, абсолютно упругий.
Каковы будут скорости u1 и u2 шаров после удара?
41. При центральном упругом ударе движущееся тело массой m1 ударяется в покоящееся тело массой m2, в результате чего скорость первого тела
уменьшается в 2 раза. Определите: 1) во сколько раз масса первого тела
больше массы второго тела; 2) кинетическую энергию EK2 второго тела
непосредственно после удара, если первоначальная кинетическая энергия
первого тела EK1 = 800 Дж.
42. Тело массой m1 = 2 кг движется со скоростью υ 1 = 3 м/с и догоняет
второе тело массой m2 = 3 кг, движущееся со скоростью υ 2 = 1 м/с. Найдите
скорости тел u1 и u2 после столкновения, если 1) удар был неупругий; 2) удар
был упругий. Тела движутся по одной прямой. Удар центральный.
43. Два шара массами m1 = 9 кг и m2 = 12 кг подвешены на нитях длиной l = 1,5 м. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем мень0
ший шар отклонили на угол
и отпустили. Считая удар неупругим,
определите высоту h, на которую поднимутся оба шара после удара.
44. Два шара массами m1 = 3 кг и m2 = 2 кг подвешены на нитях длиной
l = 1 м. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем больший
шар отклонили от положения равновесия на угол
6 0 и отпустили. Считая
удар упругим, определите скорость υ 2 второго шара после удара.
45. Пуля массой m = 15 г, летящая с горизонтальной скоростью
υ = 0,5 м/с, попадает в баллистический маятник массой M = 6 кг и застревает
в нем. Определите высоту h, на которую поднимется маятник, откачнувшись
после удара.
46. Пуля массой m = 15 г, летящая горизонтально, попадает в баллистический маятник длиной l = 1 м и массой M = 1,5 кг и застревает в нем.
Маятник в результате этого отклонился на угол = 0. Определите скорость
υ пули.
47. Пуля массой m = 12 г, летящая горизонтально со скоростью
υ = 200 м/с, попадает в баллистический маятник длиной l = 1 м и массой
M = 1,5 кг и застревает в нем. Определите угол отклонения маятника.
48. В баллистический маятник массой M = 5 кг попала пуля массой
m = 10 г и застряла в нем. Найдите скорость υ пули, если маятник, отклонившись после удара, поднялся на высоту h = 10 см.
49. Молот массой m1 = 5 кг ударяет небольшой кусок железа, лежащий
на наковальне. Масса наковальни равна m2 = 100 кг. Удар неупругий. Определите КПД удара молота при данных условиях. Массой куска железа пренебречь.
58
50. Боек свайного молота массой m1 = 500 кг падает с некоторой высоты на сваю массой m2 = 100 кг. Найдите КПД удара бойка, считая удар неупругим. Изменением потенциальной энергии сваи при ее углублении пренебречь.
51. Молоток, масса которого m1 = 1 кг, забивает в стену гвоздь массой
m2 = 75 г. Определите КПД удара молотка при данных условиях.
52. Груз массой m = 1 кг, висящий на нити, отклоняют на угол 0.
Найдите натяжение нити T в момент прохождения грузом положения равновесия.
53. Какую работу А нужно совершить, чтобы растянуть на х = 1 мм
стальной стержень длинной l = 1 м и площадью поперечного сечения
S = 1 см2?
54. Определите относительное удлинение алюминиевого стержня, если
при его растяжении затрачена работа A = 6,9 Дж. Длина стержня l = 1 м,
площадь поперечного сечения S = 1 мм2, модуль Юнга для алюминия
Е = 69 ГПа.
55. Для сжатия пружины на х1 = 1 см нужно приложить силу F = 10 H.
Какую работу А нужно совершить, чтобы сжать пружину на х2 = 10 см, если
сила пропорциональна сжатию?
56. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, поставленной на подставке, сжимает ее на х = 2 мм. На сколько ∆x сожмет пружину
та же гиря, упавшая на конец пружины с высоты h = 5см?
57. Гиря массой m = 10 кг падает с высоты h = 0,5 м на подставку,
скрепленную с пружиной жесткостью k = 30 Н/см. Определите при этом
смещение х пружины.
58. Две пружины с жесткостями k1 = 0,3 кН/м и k2 = 0,5 кН/м скреплены
последовательно и растянуты так, что абсолютная деформация х2 второй
пружины равна 3 см. Вычислите работу А растяжения пружин.
59. Две пружины, жесткости которых k1 = 1 кН/м и k2 = 3 кН/м, скреплены параллельно. Определите потенциальную энергию EП данной системы
при абсолютной деформации х = 5 см.
60. Вагон массой m = 12 т двигался со скоростью υ = 1 м/с. Налетев на
пружинный буфер, он остановился, сжав пружину буфера на х = 10 см.
Найдите жесткость k пружины.
61. Камень массой m = 0,5 кг, привязанный к веревке длиной l = 50 см,
равномерно вращается в вертикальной плоскости. Натяжение веревки в низшей точке окружности Т = 44 Н. На какую высоту h поднимется камень, если
веревка обрывается в тот момент, когда скорость направлена вертикально
вверх?
62. Пуля массой m1 = 10 г вылетает со скоростью υ = 300 м/с из дула
автоматического пистолета, масса затвора которого равна m2 = 200 г. Затвор
пистолета прижимается к стволу пружиной жесткостью k = 25 кН/м. На какое
59
расстояние l отойдет затвор после выстрела? Считать пистолет жестко закрепленным.
63. С какой скоростью υ вылетит из пружинного пистолета шарик массой m = 10 г, если пружина была сжата на х = 5 см. Жесткость пружины
k = 200 Н/м.
64. В пружинном ружье пружина сжата на х1 = 20 см. При взводе ее
сжали еще на х2 = 30 см. С какой скоростью υ вылетит из ружья стрела массой m = 50 г, если жесткость пружины k = 120 Н/м?
Вращательное движение абсолютного твердого тела
1. Определите момент инерции шара J относительно оси, совпадающей
с касательной к его поверхности. Радиус шара R = 0,5 м и масса m = 5 кг.
2. Чему равен момент инерции J тонкого однородного стержня длиной
l = 0,5 м и массой m = 0,2 кг относительно оси, перпендикулярной к его длине
и проходящей через точку стержня, которая удалена на a = 0,15 м от одного
из его концов?
3. Определите момент инерции J сплошного однородного диска радиусом R = 40 см и массой m = 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.
4. Определите момент инерции J тонкого однородного стержня длиной
l = 50 см и массой m = 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и
проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от конца стержня
на 1/6 его длины.
5. Горизонтальная платформа массой m = 25 кг и радиусом R = 0,8 м
вращается с частотой ν1 = 18 мин 1. В центре стоит человек и держит на расставленных руках гири. Считая платформу диском, определите частоту вращения платформы ν, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент
инерции от J1 = 3,5 кг·м2 до J2 = 1 кг·м2.
6. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень
длиной l = 2,5 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально вдоль оси
вращения скамьи. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции J = 10 кг·м2 и вращается с частотой ν1 = 12 мин 1. Определите частоту ν2
вращения системы, если стержень повернуть в горизонтальное положение.
7. Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой M = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной
вертикальной оси с частотой ν1 = 10 мин 1, переходит к ее центру. Считая
платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой,
определите, с какой частотой ν2 будет тогда вращаться платформа.
8. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой
m = 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью v = 20 м/с.
Траектория мяча проходит на расстоянии r = 0,8 м от вертикальной оси вра60
щения скамьи. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции J
человека и скамьи равен 6 кг·м2?
9. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой m1 = 60 кг. На какой угол
повернётся платформа, если человек пройдет вдоль края платформы и, обойдя
его, вернётся в исходную точку на платформе? Масса платформы m2 = 240 кг.
Момент инерции J человека рассчитывать как для материальной точки.
10. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена постоянная касательная сила F = 98,1 Н. При вращении на диск действует момент
сил трения Мтр = 4,9 Н·м. Найдите массу m диска, если известно, что диск
вращается с постоянным угловым ускорением = 100 рад/с 2.
11. Однородный стержень длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг вращается
в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через с ередину стержня. С каким угловым ускорением ε вращается стержень, если
вращающий момент равен M = 9,81·10 2 Н·м?
12. К ободу однородного сплошного диска массой m = 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила F = 30 Н. Определите
кинетическую энергию диска EК через время t = 4 с после начала действия
силы.
13. Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси
симметрии согласно уравнению = +Bt2+Ct3 (B = 2 рад/с 2, C = 0,5рад/с 3).
Определите момент сил М для t = 3 с.
14. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого
J = 150 кг·м2, вращается с частотой ν = 240 об/мин. Через время t = 1 мин, когда на маховик стал действовать момент сил торможения, он остановился.
Определите: 1) момент М сил торможения; 2) число оборотов N маховика от
начала торможения до полной остановки.
15. К ободу колеса, имеющего форму диска, радиусом R = 0,5 м и массой m = 50 кг приложена касательная сила F = 98,1 Н. Найдите: 1) угловое
ускорение колеса ε; 2) через сколько времени после начала действия силы
колесо будет иметь скорость, соответствующую частоте ν = 100 об/с.
16. Маховик радиусом R = 0,2 м и массой m = 10 кг соединен с мотором
при помощи приводного ремня. Натяжение ремня, идущего без скольжения,
постоянно и равно Т = 14,7 Н. Какое число оборотов ν в секунду будет делать
маховик через t = 10 с после начала движения? Маховик считать однородным
диском. Трением пренебречь.
17. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 50 см
намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 6,4 кг.
Груз опускается с ускорением a = 2 м/с 2. Определите: 1) момент инерции вала J; 2) массу m вала.
61
18. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 5 см и
массой m1 =10 кг намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз
m2 = 1 кг. Определите: 1) зависимость S(t), согласно которой движется груз;
2) силу натяжения нити T; 3) зависимость (t), согласно которой вращается
вал; 4) угловую скорость вала через время t = 1 c после начала движения;
5) тангенциальное а ускорение точек, находящихся на поверхности вала.
19. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого
привязан груз m1 = 10 кг. Найдите момент инерции барабана J, если известно,
что груз опускается с ускорением = 2,04 м/с 2.
20. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого
J = 0,1 кг·м2, намотан шнур, к которому привязан груз массой m1 = 0,5 кг. До
начала вращения барабана высота груза над полом h1 = 1 м. Найдите: 1) через
сколько времени груз опустится до пола; 2) кинетическую энергию EK груза в
момент удара о пол; 3) натяжение нити T. Трением пренебречь.
21. Через блок, масса которого m = 100 г, перекинута тонкая гибкая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены два груза массами m1 = 200 г
и m2 = 300 г. Грузы удерживаются в неподвижном положении. С каким ускорением a начнут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Чему
равно угловое ускорение блока ε, если его радиус R = 10 см? Трением пренебречь.
22. Из колодца с помощью ворота поднималось ведро с водой массой
m = 10 кг. В момент, когда ведро находилось на высоте h = 5 м от поверхности воды, рукоятка освободилась и ведро стало двигаться вниз. Определите
линейную скорость υ рукоятки в момент удара ведра о поверхность воды в
колодце, если радиус рукоятки R = 30 см, радиус вала ворота r = 10 см, его
масса m1 = 20 кг. Трением и массой троса, на котором подвешено ведро, пренебречь.
23. Диск массой m = 2 кг катится без скольжения по горизонтальной
плоскости со скоростью υ = 4 м/с. Найдите кинетическую энергию диска EK.
24. Шар диаметром D = 6 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая ν = 4 об/с. Масса шара m = 0,25 кг. Найдите кинетическую энергию шара EK.
25. Кинетическая энергия вала, вращающегося с постоянной скоростью, соответствующей частоте ν = 5 об/с, равна EK = 60 Дж. Найдите момент
количества движения этого вала L.
26. Найти кинетическую энергию велосипедиста EK, едущего со скоростью υ = 9 км/ч. Масса велосипедиста вместе с велосипедом m = 78 кг, причем
на массу колес приходится m1 = 3 кг. Колеса велосипеда считать обручами.
27. С какой наименьшей высоты Н должен съехать велосипедист, чтобы по инерции (без трения) проехать дорожку, имеющую форму «мертвой
петли» радиусом R = 3 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли.
Масса велосипедиста вместе с велосипедом m = 75 кг, причем на массу колес
приходится m1 = 3 кг. Колеса велосипеда считать обручами.
62
28. Какой путь S пройдет катящийся без скольжения диск, поднимаясь
вверх по наклонной плоскости с углом наклона α = 300, если ему сообщена
начальная скорость υ 0 = 7,0 м/с, параллельная наклонной плоскости?
29. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью
υ = 7,2 км/ч. На какое расстояние S может вкатиться обруч на горку за счет его
кинетической энергии? Уклон горки равен h = 10 м на каждые s = 100 м пути.
30. Имеются два цилиндра: алюминиевый (сплошной) и свинцовый
(полый) – одинакового радиуса R = 6 см и одинаковой массы m = 0,5 кг. Поверхности цилиндров окрашены одинаково. Как, наблюдая поступательные
скорости цилиндров у подножья наклонной плоскости, можно различить их?
Чему равны моменты инерции этих цилиндров. За сколько времени каждый
цилиндр скатится без скольжения с наклонной плоскости? Высота наклонной
плоскости h = 0,5 м, угол наклона плоскости = 300, начальная скорость цилиндров равна нулю.
31. Пуля массой m = 10 г летит со скоростью υ = 800 м/с, вращаясь около продольной оси с частотой ν = 3000 с 1. Принимая пулю за цилиндрик
диаметром d = 8 мм, определите полную кинетическую энергию EK пули.
32. Маховое колесо начинает вращаться с постоянным угловым ускорением = 0,5 рад/с 2 и через t1 = 15 с после начала движения приобретает
момент количества движения L = 73,5 кг·м2/с. Найдите кинетическую энергию колеса EK через t2 = 20 с после начала вращения.
33. Колесо, вращаясь равнозамедленно при торможении, уменьшило за
одну минуту частоту вращения от ν1 = 300 до ν2 = 180 об/мин. Момент инерции колеса J = 2 кг·м2. Найдите: 1) угловое ускорение колеса ε, 2) тормозящий момент M, 3) работу сил торможения A, 4) число оборотов, сделанных
колесом за эту минуту N.
34. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте
ν = 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно,
сделал до остановки N =75 об. Работа сил торможения равна A = 44,4 Дж.
Найдите: 1) момент инерции вентилятора J, 2) момент сил торможения M.
35. Маховик вращается с постоянной скоростью, соответствующей частоте ν = 10 об/с; его кинетическая энергия Ek = 7,85 кДж. За сколько времени
вращающий момент М = 50 Н·м, приложенный к этому маховику, увеличит
угловую скорость в два раза?
36. К ободу диска массой m = 5 кг приложена постоянная касательная
сила F = 19,6 Н. Какую кинетическую энергию EK будет иметь диск через
t = 5 с после начала действия силы?
37. Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом R = 1 м и массой М = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой ν1= 10 мин 1, переходит к ее
центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определите работу A, совершаемую человеком при переходе от
края платформы к ее центру.
63
38. Определите тормозящий момент, которым можно остановить за
t = 20 с маховое колесо массой m = 50 кг и радиусом R = 0,30 м, вращающееся с частотой ν = 20 об/с. Массу маховика считать распределённой по ободу.
Чему равна работа A, совершаемая тормозящим моментом?
39. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением
= A+Bt+Ct2, где А = 2 рад, В = 32 рад/с, С = 4 рад/с 2. Найдите среднюю
мощность P, развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если его момент инерции J = 100 кг·м2.
40. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением
= A+Bt+Ct2, где А = 2 рад, В = 16 рад/с, С = 2 рад/с 2. Момент инерции маховика J = 50 кг·м2. Найдите законы, по которым меняются вращающий момент М и мощность P. Чему равна мощность в момент времени t = 3 с?
41. Якорь мотора вращается с частотой ν = 1500 мин 1. Определите
вращающий момент М, если мотор развивает мощность P = 500 Вт.
42. Со шкива диаметром D = 0,48 м через ремень передаётся мощность
P = 9 кВт. Шкив вращается с частотой ν = 240 мин 1. Сила натяжения Т1 ведущей ветви ремня в два раза больше силы натяжения Т2 ведомой ветви.
Найдите силы натяжения обеих ветвей.
43. Для определения мощности мотора на его шкив диаметром
D = 20 см накинули ленту. К одному концу ленты прикреплён динамометр, к
другому подвесили груз весом Р. Найдите мощность P мотора, если мотор
вращается с частотой ν = 24 с 1, масса m груза равна 1 кг и показания динамометра F = 24 Н.
44. Маховик в виде диска массой m = 80 кг и радиусом R = 30 см находится в состоянии покоя. Какую работу А1 нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту ν = 10 с 1? Какую работу А2 пришлось бы совершить,
если бы при той же массе диск имел меньшую толщину, но вдвое больший
радиус?
Тяготение. Элементы теории поля
1. Определите период T обращения вокруг Солнца искусственной планеты, если известно, что большая полуось ее эллиптической орбиты больше
на 107 км большой полуоси земной орбиты.
2. Период обращения кометы Галлея вокруг Солнца T = 76 лет. Минимальное расстояние, на котором она проходит от Солнца, составляет
lmin = 180 Мм. Определите максимальное расстояние lmax, на которое комета
Галлея удаляется от Солнца.
3. Считая орбиту Земли круговой, определите линейную скорость υ
движения Земли вокруг Солнца. Радиус орбиты Земли R0 = 150 Мм.
4. Период обращения искусственного спутника Земли T = 3 ч. Считая
его орбиту круговой, определите, на какой высоте h от поверхности Земли
находится спутник.
64
5. Определите, во сколько раз сила притяжения на Земле больше силы
притяжения на Марсе, если радиус Марса составляет 0,53 радиуса Земли, а
масса Марса – 0,11 массы Земли.
6. Определите среднюю плотность Земли ρ, если известна гравитационная постоянная.
7. На какой высоте h над поверхностью Земли напряженность gh гравитационного поля равна 1 Н/кг? Радиус R Земли считать известным.
8. Радиус R планеты Марс равен 3,4 Мм, ее масса М равна 6,4⋅1023 кг.
Определите напряженность gh гравитационного поля на поверхности Марса.
9. Масса Земли в n = 81,6 раза больше массы Луны. Расстояние l между
центрами масс Земли и Луны равно l = 60,3R (R – радиус Земли). На каком
расстоянии r (в единицах R) от центра Земли находиться точка, в которой
суммарная напряженность гравитационного поля Земли и Луны равна нулю?
10. Искусственный спутник обращается вокруг Земли по окружности
на высоте h = 3,6 Мм. Определите линейную скорость υ спутника. Радиус R
Земли и ускорение свободного падения g на поверхности Земли считать известными.
11. Стационарным искусственным спутником Земли называется спутник, находящийся постоянно над одной и той же точкой экватора. Определите расстояние h от такого спутника до центра Земли.
12. На экваторе некоторой планеты (плотность планеты = 3 г/см3) тела весят в два раза меньше, чем на полюсе. Определите период обращения T
планеты вокруг собственной оси.
13. Сравните ускорение свободного падения у поверхности Луны с
ускорением свободного падения у поверхности Земли.
14. Как изменится период колебания математического маятника при
перенесении его с Земли на Луну?
15. Радиус Земли в n = 3,66 раза больше радиуса Луны; средняя плотность Земли в k = 1,66 раза больше средней плотности Луны. Определите
ускорение свободного падения gл на поверхности Луны, если на поверхности
Земли ускорение свободного падения считать известным.
16. На какую часть уменьшается вес тела на экваторе вследствие вращения Земли вокруг оси?
17. Какой продолжительности должны были бы быть сутки на Земле,
чтобы тела на экваторе не имели веса?
18. Принимая, что радиус Земли известен, определите, на какой высоте
h над поверхностью Земли напряженность поля тяготения равна
gh = 4,9 Н/ кг.
19. Определите, в какой точке (считается от Земли) на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, напряженность поля тяготения равна нулю.
Расстояние между центрами Земли и Луны равно R, масса Земли в 81 раз
больше массы Луны.
65
20. Принимая потенциальную энергию на бесконечно большом расстоянии равной нулю, определите зависимость потенциальной энергии тела массой m от расстояния R до центра Земли.
21. Как известно, искусственный спутник Земли движется вокруг нее
по круговой орбите. Определите, во сколько раз гравитационная потенциальная энергия спутника больше его кинетической энергии.
22. Определите работу А, которую совершат силы гравитационного поля Земли, если тело массой m = 1 кг упадет на поверхность Земли: 1) с высоты h, равной радиусу Земли; 2) из бесконечности. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на ее поверхности считать известными.
23. Определите значение потенциала
гравитационного поля на поверхностях Земли и Солнца.
24. Определите числовое значение первой космической скорости, т. е.
горизонтально направленной минимальной скорости, которую надо со общить телу, чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала круговой (тело
могло превратиться в искусственный спутник Земли).
25. Определите числовое значение второй космической скорости, т.е.
наименьшей скорости, которую надо сообщить телу, чтобы его орбита в поле
тяготения Земли стала параболической (тело могло превратиться в искусственный спутник Солнца).
26. Найдите числовое значение второй космической скорости, т.е. такой скорости, которую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно
преодолело тяготение Земли и навсегда удалилось от неё.
27. Определите числовое значение второй космической скорости для
Луны.
28. Искусственный спутник вращается вокруг Земли по окружности на
высоте h = 3,6 км. Определите линейную скорость υ спутника. Радиус Земли
и ускорение свободного падения считать известными.
29. Найдите линейную скорость движения Земли по орбите. Орбиту
Земли считать круговой.
30. На какую высоту h над поверхностью Земли поднимется ракета,
пущенная вертикально вверх, если начальная скорость υ ракеты равна первой
космической скорости.
Механика жидкостей и газов
1. На какой глубине h в открытом водоеме давление в n =3 раза больше
нормального атмосферного давления? Нормальное атмосферное давление P0
считать равным 1 105 Па.
2. В открытый цилиндрический сосуд налиты ртуть и вода в равных по
массе количествах. Общая высота двух слоев жидкости h = 29,2 см. Определите давление жидкостей на дно сосуда.
66
3. Открытую с обеих сторон узкую цилиндрическую трубку длиной
l = 80 см до половины погружают вертикально в ртуть. Затем закрывают
верхнее отверстие в трубке и вынимают ее из ртути. При этом в трубке остается столбик ртути высотой h = 22 см. Чему равно атмосферное давление P0?
4. В цилиндрических сообщающихся сосудах находится ртуть. Отношение диаметров сосудов d1 / d2 = 0,25. В узкий сосуд наливают воду; высота
столба воды h = 80 см. На сколько опустится уровень ртути в узком сосуде и
на сколько он поднимется в широком?
5. В сообщающиеся сосуды налита ртуть, поверх которой в один из сосудов налита вода. Разность уровней ртути h = 02 мм. Найдите высоту
столба воды.
6. Высота плоской льдины над уровнем океана h = 2 м. Определите
толщину всей льдины d, если плотность океанической воды
3
3
2 = 1,03 10 кг/м .
7. Найдите минимальную массу груза mmin, который нужно положить
на плоскую льдину, чтобы она полностью погрузилась в воду. Площадь
льдины S = 1 м2, ее толщина d = 20 см.
8. Металлический брусок плавает в сосуде, в который налита ртуть, а
поверх нее – вода. При этом в ртуть брусок погружен на a1 = 1/4 своей высоты, а в воду – на a2 = 1/2 высоты. Найдите плотность металла ρ.
9. Плавающее в ртути тело погружено в нее на n1 = 0,25 своего объема.
Какая часть n2 объема тела будет погружена в ртуть, если поверх ртути
налить слой воды, полностью закрывающий тело?
10. Полый медный шар весит в воздухе 3 Н, а в воде – 2 Н. Пренебрегая выталкивающей силой воздуха, определите объем V внутренней полости
шара.
11. На столе стоит цилиндрический сосуд, наполненный водой до
уровня Н = 20 см от дна. Если в воду опустить плавать тонкостенный никелевый стакан, то уровень воды поднимается на h = 2,2 см. Определите уровень
Н1 воды в сосуде, если стакан утопить.
12. По трубе радиусом r = 1,5 см течет углекислый газ. Определите
скорость его течения υ, если за t = 20 мин через поперечное сечение трубы
протекает m = 950 г газа.
13. В бочку заливается вода со скоростью υ = 200 см3/с. На дне бочки
образовалось отверстие площадью поперечного сечения s = 0,8 см2. Пренебрегая вязкостью воды, определите уровень h воды в бочке.
14. В сосуд заливается вода со скоростью υ = 0,5 л/с. Пренебрегая вязкостью воды, определите диаметр D отверстия в сосуде, при котором вода
поддерживалась бы в нем на постоянном уровне h = 20 см.
15. Бак цилиндрической формы площадью основания S = 10 м2 и объемом V = 100 м3 заполнен водой. Пренебрегая вязкостью воды, определите
время t, необходимое для полного опустошения бака, если на дне бака образовалось круглое отверстие площадью s = 8 см2.
67
16. Определите работу A, которая затрачивается на преодоление трения
при перемещении воды объемом V = 1,5 м3 в горизонтальной трубе от сечения с давлением P1 = 40 кПа до сечения с давлением P2 = 20 кПа.
17. Для точного измерения малых разностей давления служат
U - образные манометры, которые заполнены двумя различными жидкостями. В одном из них при использовании нитробензола и воды получили разность уровней h = 26 мм. Определите разность давлений ∆P.
18. Пренебрегая вязкостью жидкости, определите скорость υ истечения
жидкости из малого отверстия в стенке сосуда, если высота h уровня жидкости над отверстием составляет 1,5 м.
19. В боковой поверхности цилиндрического сосуда, стоящего на горизонтальной поверхности, имеется отверстие, поперечное сечение которого
значительно меньше поперечного сечения самого сосуда. Отверстие расположено на расстоянии h1 = 49 см от уровня воды в сосуде, который поддерживается постоянным, и на расстоянии h2 = 25 см от дна сосуда. Пренебрегая
вязкостью воды, определите расстояние l по горизонтали от отверстия до места, куда попадает струя воды.
20. Широкий цилиндрический сосуд высотой h = 40 см наполнен водой. Пренебрегая вязкостью, определите, на какой высоте H от дна сосуда
должно располагаться небольшое отверстие, чтобы расстояние по горизонтали от отверстия до места, куда попадает струя воды, было максимальным.
21. Площадь соприкосновения слоев текучей жидкости S = 10 см2, коэффициент динамической вязкости жидкости = 10 3 Па·с, а возникающая
сила трения между слоями F = 0,1 мН. Определите градиент скорости.
22. Шарик всплывает с постоянной скоростью в жидкости, плотность
которой в три раза больше плотности материала шарика. Определите отношение n силы трения, действующей на всплывающий шарик, к его весу.
23. Смесь свинцовых дробинок диаметром d1 = 4 мм и d2 = 2 мм одновременно опускают в широкий сосуд глубиной h = 1,5 м с глицерином (динамическая вязкость = 1,48 Па·с). Определите, на сколько больше времени
потребуется дробинкам меньшего размера, чтобы достичь дна сосуда.
24. В широком сосуде, наполненном глицерином (динамическая вязкость = 1,48 Па·с), падает свинцовый шарик. Считая, что при числе Рейнольдса Re 0,5 выполняется закон Стокса (при вычислении Re в качестве
характерного размера берется диаметр шарика), определите предельный диаметр D шарика.
25. Стальной шарик диаметром d = 0,8 см падает с постоянной скоростью в касторовом масле (динамическая вязкость = 0,99 Па·с). Учитывая,
что критическое значение числа Рейнольдса Reкр = 0,5, определите характер
движения масла, обусловленный падением в него шарика.
26. Пробковый шарик диаметром d = 6 мм всплывает в сосуде, наполненном касторовым маслом, с постоянной скоростью υ = 1,5 см/с. Определи-
68
те для касторового масла: 1) динамическую вязкость ; 2) кинематическую
вязкость .
27. В боковую поверхность цилиндрического сосуда вставлен горизонтальный капилляр внутренним диаметром d = 2 мм и длиной l = 1,2 см. Через
капилляр вытекает касторовое масло (динамическая вязкость = 0,99 Па·с),
уровень которого в сосуде поддерживается на постоянной высоте h = 30 см
выше капилляра. Определите время t, которое требуется для протекания через капилляр 10 см3 масла.
28. Парашют (m1 = 32 кг) пилота (m2 = 65 кг) в раскрытом состоянии
имеет форму полусферы диаметром d = 12 м, обладая коэффициентом сопротивления Cx = 1,3. Определите максимальную скорость υ max, развиваемую пилотом.
29. Автомобиль с площадью миделя (наибольшая площадь сечения в
направлении, перпендикулярном скорости) S = 2,2 м2, коэффициентом лобового сопротивления Cx = 0,4 и максимальной мощностью Р1 = 45 кВт может
на горизонтальных участках дороги развивать скорость до υ 1 = 140 км/ч. При
реконструкции автомобиля уменьшают площадь миделя до S1 = 2 м2, оставляя Cx прежним. Принимая силу трения о поверхность дороги постоянной,
определите, какую максимальную мощность P2 должен иметь автомобиль,
чтобы он развивал на горизонтальных участках дороги скорость до υ 2 = 160
км/ч.
Релятивистская механика
1. В лабораторной системе отсчета в точках с координатами x1 и
x2 = x1+l0 одновременно происходят события l и 2, причем l0 = 1,4 км. Определите 1) расстояние l , фиксируемое наблюдателем в системе отсчета, связанной с ракетой, которая движется со скоростью υ = 0,6 с (c – скорость света) в
отрицательном направлении оси х; 2) время τ между этими событиями, фиксируемое наблюдателем в системе отсчета, связанной с ракетой.
2. Две нестабильные частицы движутся в системе отсчета K в одном
направлении вдоль одной прямой с одинаковой скоростью υ = 0,6 с. Расстояние между частицами в системе K равно 64 м. Обе частицы распались одновременно в системе K′, которая связана с ними. Определите промежуток ∆t
времени между распадом частиц в системе K.
3. Докажите, что длительность события, происходящего в некоторой
точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна.
4. Определите, во сколько раз увеличивается время жизни нестабильной частицы (по часам неподвижного наблюдателя), если она начинает двигаться со скоростью, равной υ = 0,9 с.
5. Собственное время жизни частицы отличается на 1% от времени
жизни по неподвижным часам. Определите = υ/с.
69
6. Космический корабль движется со скоростью υ = 0,8 с по направлению к Земле. Определите расстояние l, пройденное им в системе отсчета, связанной с Землей (системе K), за t0 = 0,5 с, отсчитанное по часам в космическом корабле (системе K′).
7. Мюоны рождаясь в верхних слоях атмосферы, при скорости
υ = 0,995 с пролетают до распада l = 6 км. Определите: 1) собственную длину
пути, пройденную ими до распада; 2) время жизни мюона для наблюдателя
на Земле; 3) собственное время жизни мюона.
8. Докажите, что линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.
9. Определите относительную скорость движения, при которой релятивистское сокращение линейных размеров тела составляет 10 %.
10. В системе K′ покоится стержень (собственная длина l0 = 1,5 м), ориентированный под углом
= 300 к оси Ox . Система K′ движется относительно системы K со скоростью υ = 0,6 с. Определите в системе K: 1) длину
стержня l; 2) соответствующий угол .
11. Определите собственную длину стержня, если в лабораторной системе его скорость υ = 0,6 м/с, длина l = 1,5 м и угол между ним и направлением движения = 300.
12. Пользуясь преобразованиями Лоренца, выведите релятивистский
закон сложения скоростей, если переход происходит от системы K к системе K′.
13. Космический корабль удаляется от Земли с относительной скоростью υ 1 = 0,8 с, а затем с него стартует ракета (в направлении от Земли) со
скоростью υ 2 = 0,8 м/с относительно корабля. Определить скорость υ ракеты
относительно Земли.
14. Ионизированный атом, вылетев из ускорителя со скоростью
υ = 0,8 с, испустил фотон в направлении своего движения. Определите скорость фотона относительно ускорителя.
15. Две ракеты движутся навстречу друг другу относительно неподвижного наблюдателя с одинаковой скоростью, равной υ = 0,5 с. Определите
скорость сближения ракет, исходя из закона сложения скоростей: 1) в класс ической механике; 2) в специальной теории относительности.
16. Релятивистская частица движется в системе K со скоростью u под
углом к оси x. Определите соответствующий угол в системе K′, движущейся
со скоростью υ относительно системы K в положительном направлении оси х,
если оси х и x′ обеих систем совпадают.
17. Докажите, что интервал между двумя событиями является величиной инвариантной, т.е. имеет одно и то же значение во всех инерциальных
системах отсчета.
18. Воспользовавшись тем, что интервал является инвариантной величиной по отношению к преобразованиям координат, определите расстояние,
которое пролетел -мезон с момента рождения до распада, если время его
70
жизни в этой системе отсчета t = 4,4 мкс, а собственное время жизни t0 = 2,2
мкс.
19. Частица движется со скоростью υ = 0,8 с. Определите отношение
массы релятивистской частицы к ее массе покоя.
20. Определите, на сколько процентов масса релятивистской элементарной частицы, вылетающей из ускорителя со скоростью υ = 0,75 с, больше
ее массы покоя.
21. Определите скорость движения релятивистской частицы, если ее
масса в два раза больше массы покоя.
22. Определите релятивистский импульс протона, если скорость его
движения υ = 0,8 с.
23. Определите скорость частицы, при которой релятивистский импульс превышает ее ньютоновский импульс в n = 3 раза.
24. Определите зависимость скорости частицы (масса покоя m0) от времени, если движение одномерное, сила постоянна и уравнение движения р елятивистское.
25. Полная энергия релятивистской частицы в 8 раз превышает ее энергию покоя. Определите скорость этой частицы.
26. Кинетическая энергия частицы оказалась равной ее энергии покоя.
Определите скорость частицы υ.
27. Определите релятивистский импульс р и кинетическую энергию EK
протона, движущегося со скоростью υ = 0,75 с.
28. Определите кинетическую энергию электрона EK, если масса движущегося электрона втрое больше его массы покоя. Ответ выразить в электрон-вольтах.
29. Определите, какую ускоряющую разность потенциалов ∆φ должен
пройти протон, чтобы его скорость составила 90 % скорости света.
30. Определите, какую ускоряющую разность потенциалов ∆φ должен
пройти электрон, чтобы его продольные размеры уменьшились в два раза.
31. Определите работу A, которую необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой покоя m0 от υ 1 = 0,5 с до υ 2 = 0,7 с.
32. Выведите в общем виде зависимость между релятивистским импульсом, кинетической энергией релятивистской частицы и ее массой покоя.
33. Определите релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого EK = 1 ГэВ.
34. Докажите,
что
выражение
релятивистского
импульса
при υ с переходит в соответствующее выражение
классической механики.
35. Докажите, что для релятивистской частицы величина –
является инвариантной.
71
ГЛАВА 3. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов
Плотность вещества определяется из соотношения
m
,
V
где m – масса вещества, V – его объем.
Количество вещества определяется из соотношений
N
m
,
NA M
где N – число частиц; NA – число Авогадро; m – масса вещества; M – его молярная масса.
Основное уравнение молекулярно–кинетической теории идеальных газов:
где n – число молекул в единице объема (концентрация); m0 – масса одной
молекулы;
– среднеквадратичная скорость молекул; ε0 – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа; k –
постоянная Больцмана; T – абсолютная температура газа.
Закон Дальтона для давления смеси N идеальных газов:
где pi – парциальное давление i-го компонента смеси.
Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клайперона–
Менделеева):
где Vm – молярный объем газа; m – масса газа; M – молярная масса газа; R –
молярная газовая постоянная; ν = m/M – число молей газа.
Закон распределения молекул по энергиям теплового движения (закон
Максвелла) позволяет найти число молекул N, имеющих кинетическую
энергию поступательного движения в интервале от до + :
dN
2N
(kT )
3
2
1
2 l kT d
72
Nf ( )d .
Скорости молекул:
среднеквадратичная:
среднеарифметическая:
наиболее вероятная:
Барометрическая формула:
где P и P0 – давление газа на высоте h и h0; g – ускорение свободного падения.
Распределение (Больцмана) молекул во внешнем потенциальном поле:
где n и n0 – концентрация молекул на высоте h и h0 = 0; g – ускорение свободного падения; m0 – масса одной молекулы; M – молярная масса газа.
Средняя длина свободного пробега молекулы газа:
где dэфф – эффективный диаметр молекулы.
Среднее число столкновений одной молекулы в единицу времени:
Общее число столкновений всех молекул в единице объема за единицу
времени:
Число молекул, ударяющих за единицу времени в единичную площадку, которая помещена в газе:
nv
n
.
4
73
Масса, перенесенная за время t при диффузии (закон Фика):
S t,
x
где p / x – градиент плотности в направлении, перпендикулярном к площадке S; D – коэффициент диффузии.
m
D
Количество теплоты, перенесенное за время t за счет теплопроводности, определяется формулой
T
Q
S t,
x
где T / x – градиент температуры в направлении, перпендикулярном площадке S; – коэффициент теплопроводности.
где cV = CV/M – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме;
плотность газа.
Сила внутреннего трения Fтр в газе:
–
где υ / x – градиент скорости течения газа в направлении, перпендикулярном к площадке S; η – динамическая вязкость.
Основы термодинамики
Средняя кинетическая энергия поступательного движения, приходящаяся на одну степень свободы молекулы:
kT
,
1
2
где k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура.
Средняя энергия молекулы:
ikT
,
0
2
где i – число степеней свободы (поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы).
Число степеней свободы для молекул газа:
– одноатомных i = 3;
– двухатомных i = 5;
– трехатомных i = 6.
74
Внутренняя энергия идеального газа:
m i
i
U
RT
RT ,
M 2
2
где ν – количество вещества, m – масса газа, М – молярная масса газа, R – молярная газовая постоянная.
Первое начало термодинамики может быть записано в виде
dQ dU dA ,
где dQ – количество теплоты, подводимое к системе; dU – изменение внутренней энергии системы; dA – работа, совершаемая системой или над ней
внешними силами.
Связь между молярной C и удельной c теплоемкостями газа:
C = cM,
где М – молярная масса газа.
Молярные теплоемкости газа:
– при постоянном объеме
iR
;
CV
2
– при постоянном давлении
i 2R
Cp
.
2
Связь молярных теплоемкостей при постоянном объеме и постоянном
давлении:
C p CV R .
Изменение внутренней энергии идеального газа:
m
dU
CV dT .
M
Работа, совершаемая газом:
где V1 и V2 – начальный и конечный объемы газа.
Работа газа при различных процессах:
– при изобарном
– при изотермическом
Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона):
75
где
где n
Cp
.
CV
Работа при адиабатическом процессе:
m
A
CV T1 T2 .
M
Уравнение политропического процесса:
C Cp
– показатель политропы.
C CV
Работа при политропическом процессе:
T
m RT1
A
1 2 .
Mn 1
T1
Коэффициент полезного действия тепловой машины (практический
КПД):
Q1 Q2
,
Q1
где Q1 – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя; Q2 –
количество теплоты, отданное холодильнику.
Для цикла Карно:
T1 T2
,
T1
где Т1 – температура нагревателя; Т2 – температура холодильника.
Разность энтропий двух состояний:
2
dQ 2 dU dA
S1 2 S 2 S1
.
T
T
1
1
Термодинамическая вероятность W и энтропия S связаны соотношением
S k lnW .
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов
Пример 1. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением
P1 = 1МПа и при температуре T1 = 300 К. После того, как из баллона было
взято m = 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т2 = 290 К. Определите давление Р2 гелия, оставшегося в баллоне.
76
Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева –
Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:
,
(1)
где m2 – масса гелия в баллоне в конечном состоянии; μ – молярная масса гелия; R – молярная газовая постоянная.
Из уравнения (1) выразим искомое давление:
.
(2)
Массу m2 гелия выразим через массу m1, соответствующую начальному
состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона:
.
(3)
Массу m1 гелия найдем также из уравнения Менделеева – Клапейрона,
применив его к начальному состоянию:
.
(4)
Подставив выражение массы m1 в (3), а затем выражение m2 в (2),
найдем
,
или
.
Произведем
M = 4⋅10-3 кг/моль:
P2
вычисления
290
10 6
300
10 2
4 10 3
по
формуле
8,31
290 Па
10 2
(5)
(5),
3,64 10 5 Па
учитывая,
что
0,364 МПа .
Ответ: P2 = 0,364 МПа.
Пример 2. Баллон содержит m = 80 г кислорода и m2 = 320 г аргона.
Давление смеси P =1 МПа, температура Т = 300 К. Принимая данные газа за
идеальные, определите объем V баллона.
Решение. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. По уравнению Клапейрона –
Менделеева парциальные давления P1 кислорода и P2 аргона выражаются
формулами
.
(1)
(2)
По закону Дальтона давление смеси газов
(3)
Следовательно, с учетом (1) и (2)
.
77
(4)
Найдем объем V из выражения (4):
.
(5)
-3
Произведем вычисления, учитывая, что M1 = 32·10 кг/моль,
а M2 = 40·10-3 кг/моль:
Ответ: V = 26,2 л.
Пример 3. Двухатомный газ, находящийся под давлением P = 0,1 МПа
в сосуде объемом V = 0,5 м3, нагревают от T1 = 30 до T2= 130 0С. Определить
количество теплоты Q, необходимое для изохорического нагревания газа.
Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания, можно
найти по формуле
(1)
Q cV m( T2 T1 ) .
Здесь cV – удельная теплоемкость при постоянном объеме.
Молярная СV и удельная сV теплоемкости связаны соотношением
CV = cVM.
(2)
Молярная теплоемкость при постоянном объеме:
i
СV
R,
(3)
2
где i – число степеней свободы.
Из (2) и (3) следует, что
.
(4)
Молярную массу газа найдем из уравнения Менедлеева-Клапейрона,
характеризующего начальное состояние газа:
,
(5)
.
(6)
Подставим (6) в (4), а затем полученное выражение подставим в (1):
iRP1V
,
(7)
сV
2mRT1
iRP1V
(8)
Q m
( T2 T1 ) ,
2mRT1
iP1V
(9)
Q
( T2 T1 ) .
2T1
Подставим в (9) числовые данные и получим значение Q:
5 0.1 10 6 0 ,5
Q
( 403 303 )К 41 10 3 Дж 41кДж .
2 303
Ответ: количество теплоты Q = 41 кДж.
78
Основы термодинамики
Пример 1. Средняя длина свободного пробега
молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Какова средняя арифметич еская скорость
молекул? Сколько столкновений в секунду испытывает молекула?
Решение. Средняя арифметическая скорость
молекул определяется
по формуле
,
где M – масса киломоля газа.
Подставив числовые значения, получим
Число столкновений молекулы в секунду
зависит о средней скорости молекул
и от ее средней длины свободного пробега
и выражается
формулой
Подставив в эту формулу значения
= 362 м/с, l =40 нм=40⋅10-9 м = 4⋅10-8м,
получим
Ответ:
= 9,05⋅109 с -1.
Пример 2. Вычислите удельные теплоемкости при постоянном объеме
сV и при постоянном давлении cP неона и водорода, принимая эти газы за
идеальные.
Решение. Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами
,
(1)
,
где i – число степеней свободы молекулы газа; M – молярная масса.
Для неона (одноатомный газ) i = 3, M = 20⋅10-3 кг/моль.
79
(2)
Для водорода (двухатомный газ) i = 5 и M = 2⋅10-3 кг/моль. Тогда
Ответ: неон: cV = 0,62 кДж/(кгК), cP = 1,04 кДж/(кгК);
водород: cV = 10,4 кДж/(кгК), cP = 14,5 кДж/(кгК).
Пример 3. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно.
Температура теплоотдатчика Т1 = 500 К. Определите термический КПД
цикла и температуру Т2 теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу А = 350 Дж.
Решение. Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля
теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой
(1)
где Q1 – теплота, полученная от теплоотдатчика; А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины.
Зная КПД цикла, можно по формуле =(Т1–Т2)/Т1 определить температуру охладителя Т2:
(2)
Произведем вычисления:
Ответ: η = 325 К.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов
1. Определите массу m молекулы: 1) углекислого газа; 2) поваренной
соли.
2. Найдите молярную массу M серной кислоты H2SO4.
3. В сосуде вместимостью V = 2 л находится кислород, количество вещества которого равно 0,2 моль. Определите плотность газа.
80
4. Определите количество вещества и число N молекул азота массой
m = 0,2 кг.
5. В сосуде вместимостью V = 12 л находится газ, число молекул которого равно N = 1,44·1018. Определите концентрацию n молекул газа.
6. Определите вместимость V сосуда, в котором находится газ, если
концентрация молекул n = 1,25·1026 м-3, а общее их число N = 2,5·1023.
7. В сосуде вместимостью V = 5 л находится кислород, концентрация
молекул которого n = 9,41·1023 м-3. Определите массу m газа.
8. Определите число N атомов в 1 кг водорода и массу m0 одного атома
водорода.
9. В закрытом сосуде вместимостью V = 20 л находятся водород массой
m1 = 6 г и гелий массой m2 = 12 г. Определите: 1) давление P; 2) молярную
массу газовой смеси в сосуде M, если температура смеси T = 300 К.
10. Определите плотность ρ смеси газов водорода массой m1 = 8 г и
кислорода массой m2 = 64 г при температуре T = 290 К и при давлении
P = 0,1 МПа. Газы считать идеальными.
11. В баллоне вместимостью V = 15 л находится азот под давлением
P1 = 100 кПа при температуре t1 = 27 0С. После того как из баллона выпустили азот массой m = 14 г, температура газа стала равной t2 = 17 0С. Определите
давление азота P2, оставшегося в баллоне.
12. Баллон вместимостью V = 20 л содержит смесь водорода и азота
при температуре T = 290 К и давлении P = 1 МПа. Определите массу водорода m1, если масса смеси m = 150 г.
13. Азот массой m = 7 г находится под давлением P1 = 0,1 МПа и температуре T1 = 290 К. Вследствие изобарного нагревания азот занял объем
V2 = 10 л. Определите: 1) объем V1 газа до расширения; 2) температуру T2 газа
после расширения.
14. В сосуде вместимостью V = 1 л находится кислород массой m = 1 г.
Определите концентрацию n молекул кислорода в сосуде.
15. В сосуде вместимостью V = 5 л при нормальных условиях находится азот. Определите: 1) количество вещества ; 2) массу кислорода m; 3) концентрацию n его молекул в сосуде.
16. Молекула азота, летящая со скоростью υ = 600 м/с, упруго ударяется о стенку сосуда по нормали к ней. Найдите импульс p, полученный стенкой сосуда.
17. Молекула аргона, летящая со скоростью υ = 500 м/с, упруго ударяется о стенку сосуда. Направление скорости молекулы и нормаль к стенке со-
81
суда составляет угол α = 600. Найдите импульс p, полученный стенкой сосуда.
18. Молекула азота летит со скоростью υ = 430 м/с. Найдите импульс p
этой молекулы.
19. Найдите число молекул n водорода в единице объема сосуда при
давлении Р = 266,6 Па, если среднеквадратичная скорость его молекул
= 2,4 км/с.
20. Среднеквадратичная
скорость
молекул некоторого газа
= 450 м/с. Давление газа Р = 50 кПа. Найдите плотность газа при этих
условиях.
21. Плотность некоторого газа = 0,06 кг/м3, среднеквадратичная скорость его молекул
= 500 м/с. Найдите давление Р, которое газ оказывает
на стенки сосуда.
22. Во сколько раз среднеквадратичная скорость пылинки, взвешенной
в воздухе, меньше среднеквадратичной скорости молекул воздуха? Масса
пылинки m = 10-8 г. Воздух считать однородным газом, молярная масса которого M = 0,029 кг/моль.
23. В сосуде объемом V = 2 л находится масса m = 10 г кислорода при
давлении p = 90,6 кПа. Найдите среднеквадратичную скорость
молекул
газа, число молекул N, находящихся в сосуде, и плотность газа.
24. Какое число молекул n содержит единица объема сосуда при температуре t = 10 0С и давлении P = 1,33·10-9 Па?
25. Для получения хорошего вакуума в стеклянном сосуде необходимо
прогревать стенки сосуда при откачке для удаления адсорбированного газа.
На сколько может повыситься давление в сферическом сосуде радиусом
r = 10 см, если адсорбированные молекулы перейдут со стенок в сосуд?
Площадь поперечного сечения молекул S0 = 10-19 м2. Температура газа в сосуде t = 300 0С. Слой молекул на стенках считать мономолекулярным.
26. В сосуде находится количество 1 = 10-7 моль кислорода и масса
m2 = 10-6 г азота. Температура смеси t = 100 0С, давление в сосуде
P = 133 мПа. Найдите объем V сосуда, парциальные давления P1 и P2 кислорода и азота и число молекул n в единице объема сосуда.
27. В момент взрыва атомной бомбы развивается температура T 107 К.
Считая, что при такой температуре все молекулы полностью диссоциированы на атомы, а атомы ионизированы, найдите среднеквадратичную скорость
иона водорода.
82
28. Некоторый газ плотностью = 0,082 кг/м3 находится под давлением
Р = 100 кПа и температуре t = 17 0С. Найдите среднеквадратичную скорость
молекул газа. Какова молярная масса M этого газа?
29. Из ядра атома радия вылетают α-частицы (M = 4 кг/моль) со скоростью υ = 15,3 Мм/с. При какой температуре атомы гелия имели бы такую же
среднеквадратичную скорость?
30. Определите среднеарифметическую скорость
молекул газа, если
известно, что их среднеквадратичная скорость
= 600 м/с.
31. Какова наивероятнейшая скорость υ в при температуре t = 127 0С
молекул метана и гелия?
32. Определите наиболее вероятную скорость υ в молекул газа, плотность ρ которого при давлении P = 40 кПа составляет 0,35 кг/м3.
33. Определите среднюю кинетическую энергию ε0 поступательного
движения молекул газа, находящегося под давлением P = 0,1 Па. Концентрация молекул газа n = 1013 см-3.
34. Определите: 1) наиболее вероятную скорость υ в; 2) среднеарифметическую ; 3) среднеквадратичную
скорости молекул азота (N2) при t
0
= 27 С.
35. Какая часть молекул азота при t = 7 0С обладает скоростями, лежащими в интервале от υ 1 = 500 до υ 2 = 510 м/с?
36. Какая часть молекул кислорода обладает скоростями, отличающимися от наивероятнейшей не более чем на 10 м/с, при температурах t1 = 0 0С,
t2 = 300 0С?
37. В сосуде находится масса m = 8 г кислорода при температуре
T = 1600 К. Какое число Nx молекул кислорода имеет кинетическую энергию
поступательного движения, превышающую энергию = 6,65·10-20 Дж?
38. Обсерватория расположена на высоте h = 3250 м над уровнем моря.
Найдите давление P воздуха на этой высоте. Температуру воздуха считать не
зависящей от высоты и равной t = 5 0С. Молярная масса воздуха
M = 0,029 кг/моль. Давление воздуха на уровне моря P0 = 101,3 кПа.
39. На какой высоте h давление воздуха составляет 75 % от давления
на уровне моря? Температуру воздуха считать постоянной и равной t = 0 0С.
40. На поверхности земли барометр показывает P1 = 101 кПа. Каково
будет показание барометра P2 при подъеме его на телевизионную башню
Московского телецентра в Останкино высотой H = 533 м? Температуру считать постоянной и равной t = 7 0С.
83
41. При подъеме вертолета на некоторую высоту барометр, находящийся в его кабине, изменил свое показание на ∆P = 11 кПа. На какой высоте
H летит вертолет, если на взлетной площадке барометр показывал
P1 = 0,1 МПа? Температуру воздуха считать постоянной и равной t = 17 0С.
42. Каковы давление и число молекул в единице объема воздуха на высоте H = 2 км над уровнем моря? Давление на уровне моря P1 = 101 кПа, а
температура t1 = 10 0С. Изменением температуры с высотой пренебречь.
43. Найдите плотность воздуха: а) у поверхности Земли; б) на высоте
H = 4 км от поверхности Земли. Температуру воздуха считать не зависящей
от высоты и равной t = 00С. Давление воздуха у поверхности Земли
Р0 = 100 кПа.
44. На какой высоте H плотность газа вдвое меньше его плотности на
уровне моря? Температуру газа считать не зависящей от высоты и равной
t = 00С. Задачу решите для: а) воздуха; б) водорода.
45. Найдите среднюю длину свободного пробега
молекул углекис0
лого газа при температуре t = 100 С и давлении Р = 13,3 Па. Диаметр молекул углекислого газа d = 0,32 нм.
46. При помощи манометра, установленного на искусственном спутнике Земли, было обнаружено, что на высоте h = 300 км от поверхности Земли
концентрация частиц газа в атмосфере n = 1015 м-3. Найдите среднюю длину
свободного пробега частиц газа на высоте. Диаметр частиц газа d = 0,2 нм.
47. Найдите среднюю длину свободного пробега
молекул воздуха
при нормальных условиях. Диаметр молекул воздуха d = 0,3 нм.
48. Найдите среднее число столкновений
в единицу времени моле0
кул углекислого газа при температуре t = 100 С, если средняя длина свободного пробега l = 870 мкм.
49. Найдите среднее число столкновений
в единицу времени молекул азота при давлении Р = 53,33 кПа и температуре t = 27 0С.
50. В сосуде объемом V = 0,5 л находится кислород при нормальных
условиях. Найдите общее число столкновений z между молекулами кислорода в этом объеме за единицу времени.
51. Ниже какого давления можно говорить о вакууме между стенками
сосуда Дьюара, если расстояние между стенками сосуда l = 8 мм, а температура t = 17 0С? Эффективный диаметр молекул воздуха принять равным
dэфф = 0,27 нм.
52. Давление разреженного газа в рентгеновской трубке при температуре t = 17 0С равно P = 130 мкПа. Можно ли вести разговор о высоком ваку84
уме, если характерный размер l0 (расстояние между катодом и анодом трубки) составляет 50 мм? Эффективный диаметр молекул воздуха принять равным dэфф = 0,27 нм.
53. При температуре T = 300 К и некотором давлении средняя длина
свободного пробега молекул кислорода l = 0,1 мкм. Чему равно среднее число
столкновений, испытываемых молекулами в 1 с, если сосуд открывать
до 0,1 первоначального давления? Температуру газа считать постоянной.
54. Определите коэффициент диффузии D кислорода при нормальных
условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода принять равным
0,36 нм.
55. Определите массу m азота, прошедшего вследствие диффузии через
площадку S = 50 см2 за t = 20 с, если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен 1 кг/м 4. Температура азота T = 290 К, а
средняя длина свободного пробега его молекул
= 1 мкм.
56. Найдите коэффициент диффузии D водорода при нормальных условиях, если средняя длина свободного пробега l = 0,16 мкм.
57. Найдите среднее число столкновений z в единицу времени молекул
некоторого газа, если средняя длина свободного пробега l = 5 мкм, а среднеквадратичная скорость его молекул
= 500 м/с.
58. Найдите теплопроводность воздуха при давлении P = 100 кПа и
температуре t = 10 0С. Диаметр молекул воздуха d = 0,3 нм.
59. В сосуде объемом V = 2 л находится N = 4·1022 молекул двухатомного газа. Теплопроводность газа = 14 мВт/(м·К). Найдите коэффициент
диффузии D газа.
60. Определите коэффициент теплопроводности азота, находящегося
в некотором объеме при температуре 280 К. Эффективный диаметр молекул
азота принять равным 0,38 нм.
61. Кислород находится при нормальных условиях. Определите коэффициент теплопроводности кислорода, если эффективный диаметр его молекул dэфф = 0,36 нм.
62. Пространство между двумя параллельными пластинами площадью
S = 150 см2 каждая, находящимися на расстоянии a = 5 мм друг от друга, заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре
t1 = 17 0С, другая – при температуре t2 = 27 0С. Определите количество теплоты Q, прошедшее за t = 5 мин посредством теплопроводности от одной пластины к другой. Кислород находится при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода считать равным dэфф = 0,36 нм.
85
63. Для гелия коэффициент внутреннего трения при t = 0 0С равен
16,3 мкПа·с. Определите диаметр d молекул гелия.
64. Определите, во сколько раз отличаются коэффициенты динамической вязкости углекислого газа и азота, если оба газа находятся при одинаковой температуре и давлении. Эффективные диаметры молекул этих газов
считать равными.
65. Азот находится под давлением P = 100 кПа при температуре
T = 290 К. Определите коэффициенты диффузии D и внутреннего трения .
Эффективный диаметр молекул азота принять равным 0,36 нм.
Основы термодинамики
1. Азот массой m = 10 г находится при температуре Т = 290 К. Определите: 1) среднюю кинетическую энергию одной молекулы азота;
2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения всех молекул
азота. Газ считать идеальным.
2. Кислород массой m = 1 кг находится при температуре Т = 320 К.
Определите среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул кислорода. Газ считать идеальным.
3. В закрытом сосуде находится смесь азота массой m1 = 56 г и кислорода m2 = 64 г. Определите изменение внутренней энергии ∆U этой смеси,
если ее охладить на ∆t = 20 0C.
4. Энергия поступательного движения молекул азота, находящегося в
баллоне объемом V = 20 л, UПОСТ = 5 кДж, а среднеквадратичная скорость его
молекул
= 2 103 м/с. Найдите массу m азота в баллоне и давление
P,
под которым он находится.
5. Какое число молекул N двухатомного газа содержит объем
V = 10 см3 при давлении P = 5,3 кПа и температуре t = 27 0С? Какой энергией
теплового движения U они обладают?
6. Считая азот идеальным газом, определите его удельную теплоемкость: 1) для изобарного процесса cP; 2) для изохорного процесса cV.
7. Определите удельные теплоемкости cV и cP некоторого газа, если
известно, что он при нормальных условиях имеет удельный объем
V = 0,7 м3/кг. Что это за газ?
8. Определите удельные теплоемкости cV и cP смеси углекислого газа
массой m1 = 3 г и азота массой m2 = 4 г.
86
9. Удельная теплоемкость при постоянном давлении некоторого газа
cP = 978 Дж/(кг К), масса одного киломоля его равна μ = 34 кг/кмоль. Определите, каким числом степеней свободы i обладают молекулы этого газа.
10. Разность между удельными теплоемкостями cV и cP некоторого газа
составляет 260 Дж/(кг К). Определите молекулярную массу M данного газа.
11. Определите для газовой смеси, состоящей из m1 = 4 г водорода и
m2 = 22 г углекислого газа.
12. Воздух содержит 25 % водяного пара. Считая сухой воздух двухатомным газом с молекулярной массой M = 29 кг/кмоль, определите удельную теплоемкость cP влажного воздуха при постоянном давлении.
13. В сосуде объемом V = 20 л находится азот при давлении
P = 0,1 МПа. Какое количество теплоты Q надо сообщить азоту, чтобы:
а) при P = const объем увеличился вдвое; б) при V = const давление увеличилось вдвое?
14. В закрытом сосуде находится масса m = 14 г азота при давлении
P1 = 0,1 МПа и температуре t1 = 27 0С. После нагревания температура в сосуде повысилась в 5 раз. До какой температуры T2 был нагрет газ? Найдите
объем V сосуда и количество теплоты Q, сообщенное газу.
15. Какое количество теплоты Q надо сообщить массе m = 12 кг кислорода, чтобы нагреть его на t = 50 0С при Р = const?
16. Кислород массой m = 32 г находится в закрытом сосуде под давлением P = 0,1 МПа при температуре T1 = 290 К. После нагревания, давление в
сосуде повысилось в 4 раза. Определите: 1) объем сосуда V; 2) температуру
T2, до которой газ нагрели; 3) количество теплоты Q, сообщенное газу.
17. Определите количество теплоты Q, сообщенное газу, если в процессе изохорного нагревания кислорода объемом V = 20 л его давление изменилось на P = 100 кПа.
18. Двухатомный идеальный газ ( = 2 моль) нагревают при постоянном
объеме до температуры Т1 = 289 К. Определите количество теплоты Q, которое
необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление в 3 раза.
19. При изобарном нагревании некоторого идеального газа ( = 2 моль)
на Т = 90 К ему было сообщено количество теплоты Q = 2,1 кДж. Определите: 1) работу A, совершаемую газом; 2) изменение внутренней энергии газа
∆U; 3) величину γ = cP / cV.
20. Азот массой m = 280 г расширяется в результате изобарного процесса при давлении P = 1 МПа. Определите: 1) работу расширения A;
87
2) конечный объем газа V2, если на расширение затрачена теплота Q = 5 кДж,
а начальная температура азота Т1 = 290 К.
21. Кислород объемом V1 = 1 л находится под давлением P1 = 1 МПа.
Определите, какое количество теплоты Q необходимо сообщить газу, чтобы:
1) увеличить его объем вдвое в результате изобарного процесса; 2) увеличить
его давление вдвое в результате изохорного процесса.
22. Азот массой m = 14 г сжимают изотермически при температуре
Т = 300 К от давления Р1 = 100 кПа до давления Р1 = 500 кПа. Определите:
1) изменение внутренней энергии газа ∆U; 2) работу сжатия A; 3) количество
выделившейся теплоты Q.
23. Азот массой m = 50 г находится при температуре Т1 = 280 К. В результате изохорного охлаждения его давление уменьшилось в 2 раза, а затем
в результате изобарного расширения температура газа в конечном состоянии
стала равной первоначальной. Определите: 1) работу A, совершаемую газом;
2) изменение внутренней энергии газа ∆U.
24. Работа расширения некоторого двухатомного газа составляет
А = 2 кДж. Определите количество подведенной к газу теплоты Q, если процесс протекал: 1) изотермически; 2) изобарно.
25. Азот массой m = 1 кг занимает при температуре Т1 = 300 К объем
V1 = 0,5 м3. В результате адиабатического сжатия давление газа увеличилось
в 3 раза. Определите: 1) конечный объем газа V2; 2) его конечную температуру T2; 3) изменение внутренней энергии газа ∆U.
26. Азот, находившийся при температуре T1 = 400 К, подвергли адиабатическому расширению, в результате которого его объем увеличился в 5 раз,
а внутренняя энергия уменьшилась на ∆U = 4 кДж. Определите массу m азота.
27. Двухатомный идеальный газ занимает объем V1 = 1 л и находится
под давлением Р1 = 0,1 МПа. После адиабатического сжатия газ характеризуется объемом V2 и давлением Р2. В результате последующего изохорного
процесса газ охлаждается до первоначальной температуры, а его давление
Р3 = 0,2 МПа. Определите: 1) объем V2; 2) давление Р2. Начертите график
этих процессов.
28. Кислород, занимающий при давлении Р1 = 1 МПа объем V1 = 5 л,
расширяется в 3 раза. Определите конечное давление Р2 и работу A, совершенную газом. Рассмотрите следующие процессы: 1) изобарный,
2) изотермический; 3) адиабатический.
29. Кислород массой m = 10 г, находящийся при температуре
T1 = 370 К, подвергли адиабатическому расширению, в результате которо-
88
го его давление уменьшилось в 4 раза. В результате последующего изотермического процесса газ сжимается до первоначального давления. Определите: 1) температуру газа в конце процесса T2; 2) количество теплоты Q,
отданное газом; 3) приращение внутренней энергии газа ∆U; 4) работу A,
совершенную газом.
30. Идеальный двухатомный газ, занимающий объем V1 = 2 л, подвергли адиабатическому расширению, в результате которого его объем возрос
в 5 раз. После этого газ подвергли изобарному сжатию до первоначального
объема, а затем он в результате изохорного нагревания был возвращен в первоначальное состояние. Постройте график цикла и определите термический
КПД цикла η.
31. Идеальный двухатомный газ ( = 3 моль), занимающий объем
V1 = 5 л и находящийся под давлением P1 = 1 МПа, подвергли изохорному
нагреванию до Т2 = 500 К. После этого газ подвергли изотермическому расширению до первоначального давления, а затем в результате изобарного
сжатия он был возвращен в первоначальное состояние. Постройте график
цикла и определите термический КПД цикла.
32. Рабочее тело (идеальный газ) теплового двигателя совершает цикл,
состоящий из следующих процессов: изобарного, адиабатического и изотермического. В результате изобарного процесса газ нагревается от Т1 = 300 К до
Т2 = 600 К. Определите термический КПД теплового двигателя η.
33. Азот массой m = 500 г, находящийся под давлением Р1 = 1 МПа при
температуре t1 = 127 0С, подвергли изотермическому расширению, в результате которого давление газа уменьшилось в 3 раза. После этого газ подвергли
адиабатическому сжатию до начального давления, а затем он был изобарно
сжат до начального объема. Постройте график цикла и определите работу,
совершенную газом за цикл.
34. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 70 % количества теплоты, полученного от нагревателя, отдает холодильнику. Количество теплоты, получаемое от нагревателя, равно QН = 5 кДж. Определите: 1) термический КПД
цикла η; 2) работу A, совершенную при полном цикле.
35. Идеальный газ совершает цикл Карно. Газ получил от нагревателя
количество теплоты QН = 5,5 кДж и совершил работу A = 1,1 кДж. Определите: 1) термический КПД цикла η; 2) отношение температур нагревателя и холодильника TН / TХ.
89
36. Идеальный газ совершает цикл Карно, термический КПД которого
равен η = 0,4. Определите работу A1 изотермического сжатия газа, если работа изотермического расширения составляет A2 = 400 Дж.
37. Холодильная машина, работающая по обратному циклу Карно, совершает за один цикл работу А = 37 кДж. При этом она берет тепло от тела с
температурой t2 = –10 0С и передает тепло телу с t1 = –17 0С. Найдите КПД
цикла η, количество теплоты Q1, отнятое у холодного тела за один цикл, и количество теплоты Q2, переданное более горячему телу за один цикл.
38. Холодильная машина, работающая по обратному циклу Карно, передает тепло от холодильника с водой при температуре t2 = 0 0С кипятильнику с водой при температуре t1 = 100 0С. Какую массу m0 воды нужно заморозить в холодильнике, чтобы превратить в пар массу m1 = 1 кг воды в кипятильнике?
39. В идеальной холодильной машине, работающей по обратному циклу Карно, совершается перенос теплоты от тела с температурой t1 = –20 0С к
воде, имеющей температуру t2 = 10 0С. Определите, сколько теплоты будет
отнято от охлаждаемого тела за один цикл, если известно, что данная холодильная машина приводится в действие с помощью тепловой машины, которая работает в интервале температур t3 = 202 0С и t4 = 107 0С и передает за
каждый цикл холодильнику QХ = 504 кДж теплоты.
40. Холодильник мощностью Р за время превратил в лед n литров воды, которая первоначально имела температуру t. Какое количество теплоты
Q выделилось в комнате за это время?
41. Какую работу A совершают внешние силы в идеальной холодильной машине, работающей по обратному циклу Карно, чтобы отобрать от холодильника Q = 100 кДж теплоты? Температура холодильника t1 = –100 0С,
температура нагретого тела t = 10 0С.
42. КПД паровой машины составляет η = 50 % от КПД идеальной паровой машины, которая работает по циклу Карно в том же интервале темпер атур. Температура пара, поступающего из котла в паровую машину,
t1 = 227 0С, температура в конденсоре t2 =77 0С. Определите мощность паровой машины P, если она за t = 1 ч потребляет m = 200 кг угля с теплотворной
способностью q = 31 МДж/кг.
43. Применяемый в двигателях внутреннего сгорания цикл состоит из
двух изохор и двух адиабат. В работающем по такому циклу двигателе рабочая смесь, которую можно считать двухатомным газом, сжимается до объема
90
V = 2 дм3, ход и диаметр поршня равны соответственно h = 40 и D = 15 см.
Определите КПД цикла η.
44. Паровая машина мощностью Р = 14,7 кВт потребляет за время
t = 1 ч работы массу m = 8,1 кг угля с удельной теплотой сгорания
q = 33 МДж/кг. Температура котла t = 200 0С, температура холодильника
t0 = 58 0С. Найдите фактический КПД машины и сравните его с КПД '
идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно между теми же
температурами.
45. Паровая машина мощностью Р = 14,7 кВт имеет площадь поршня
S = 0,02 м2; ход поршня h = 45 см. Адиабатический процесс происходит при
движении поршня на одну треть его хода. Давление пара в котле
P1 = 1,6 МПа, давление пара в холодильнике P2 = 0,1 МПа. Сколько циклов за
время t = 1 мин делает машина, если показатель адиабаты = 1,3? Объемом
V0 по сравнению с объемами V1 и V2 пренебречь.
46. В цилиндрах карбюраторного двигателя внутреннего сгорания газ
сжимается политропически до V2 =V1/6. Начальное давление Р1 = 90 кПа,
начальная температура t1 = 127 0С. Найдите давление Р2 и температуру t2 газа
в цилиндрах после сжатия. Показатель политропы n = 1,3.
47. В цилиндрах карбюраторного двигателя внутреннего сгорания газ
сжимается политропически так, что после сжатия температура газа становится равной t2 = 427 0С. Начальная температура газа t1 = 140 0С. Степень сжатия
V2 / V1 = 5,8. Найдите показатель политропы.
48. Карбюраторный двигатель мощностью Р = 735,5 Вт потребляет за
время t = 1 ч минимальную массу m = 265 г бензина. Найдите потери бензина
на трение, теплопроводность и пр. Степень сжатия бензина V2 / V1 = 6,2.
Удельная теплота сгорания бензина q = 46 МДж/кг. Показатель политропии
n = 1,2.
49. Найдите приращение S энтропии при плавлении m = 1 кг льда при
0
t = 0 С.
50. Массу m = 640 г расплавленного свинца при температуре tПЛ вылили
на лед (t = 0 0С). Найдите приращение S энтропии при этом процессе.
51. Найдите приращение S энтропии при изотермическом расширении
массы m = 6 г водорода от давления P1 = 100 кПа до давления P2 = 50 кПа.
52. Масса m = 10,5 г азота изотермически расширяется от объема
V1 = 2 л до объема V2 = 5 л. Найдите приращение S энтропии при этом процессе.
91
53. При нагревании количества = 1 кмоль двухатомного газа его термодинамическая температура увеличивается от Т1 до Т2 = 1,5 Т1. Найдите
приращение S энтропии, если нагревание происходит: а) изохорически;
б) изобарически.
54. В результате нагревания массы m = 22 г азота его термодинамическая температура увеличилась от Т1 до Т2 = 1,2 Т1, а энтропия увеличилась на
S = 4,19 Дж/К. При каких условиях производилось нагревание азота (при
постоянном объеме или при постоянном давлении)?
55. Во сколько раз необходимо увеличить объем = 5 моль идеального
газа при изотермическом расширении, чтобы увеличение его энтропии составило ∆S = 57,6 Дж/К?
56. При нагревании двухатомного идеального газа ( = 3 моль) его термодинамическая температура увеличилась в 2 раза. Определите изменение
энтропии ∆S, если нагревание происходит: 1) изохорно; 2) изобарно.
57. Как будет выглядеть изображение цикла Карно на диаграмме S-T,
если выразить состояние системы через энтропию S и абсолютную температуру Т вместо давления и объема?
58. Равные массы кислорода и водорода одинаково изотермически
сжимают. Для какого газа изменение энтропии будет больше и во сколько
раз?
59. Смешивают m1 = 4 кг воды при t1 = 80 0С и m2 = 6 кг воды при
t2 = 20 0С. Определите изменение энтропии ∆S при этом процессе.
60. Камень массой m = 2,2 кг падает с высоты h = 13,6 м на землю.
Определите вызванное этим процессом изменение энтропии системы ∆S "камень - земля". Температура камня и окружающей среды t = 20 0С.
92
ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Электростатика
Закон Кулона:
где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2; r – расстояние
между зарядами; – диэлектрическая проницаемость среды; 0 – электрическая постоянная ( 0 = 8,85 10 12 Ф/м).
Закон сохранения зарядов:
где
– алгебраическая сумма зарядов, входящих в изолированную систему; N – число зарядов.
Напряженность электрического поля:
где – сила, действующая на точечный положительный заряд q, помещенный в электрическое поле.
Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей, согласно
которому напряженность результирующего поля, созданного двумя и более
зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженнoстей складываемых полей:
  
E E1 E2

EN .
В случае двух электрических полей с напряженностями
вектора напряженности:
E
где
E12
E22
2E1E2 cos ,
– угол между векторами
и .
Электрический момент диполя (дипольный момент):
где – плечо диполя.
Модуль напряженности электрического поля диполя:
1
p
E
1 3 cos 2 ,
3
4 0 r
93
и
модуль
где p – электрический момент диполя; r – радиус-вектор, проведенный из
центра диполя в точку, где определяется E; – угол между векторами и .
Поток вектора напряженности через площадку dS:
где
– вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с
направлением нормали к площадке; En – проекция вектора на нормаль
к площадке.
Поток вектора напряженности через произвольную поверхность S:
Теорема Остроградского – Гаусса:
поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность,
охватывающую заряды q1,q2 . . . qN:
где
– алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой
поверхности, N – число зарядов.
Линейная плотность заряда:
Поверхностная плотность заряда:
Объемная плотность заряда:
т.е. соответственно заряд, приходящийся на единицу длины, поверхности и
объема.
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью:
E
/(2 0 ) .
Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименными плоскостями:
E
/ ( 0 ).
Если плоскость представляет собой диск радиусом R, то напряженность
поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восстановленном из центра
диска на расстоянии a от него:
E
2
a
1
R
0
94
2
a
2
.
Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно длинной
нитью:
где а – расстояние от нити до данной точки.
Если нить имеет конечную длину, то напряженность поля в точке,
находящейся на перпендикуляре, восстановленном из середины нити на расстоянии а от нее:
где θ ‒ угол между направлением нормали к нити и радиус-вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концу нити.
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферич еской поверхностью R с общим зарядом q на расстоянии r от центра сферы:
E = 0 при r < R (внутри сферы),
при r ≥ R (вне сферы).
Напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром радиусом R с общим зарядом Q на расстоянии r от центра шара:
при r ≤ R (внутри шара),
при r ≥ R (вне шара).
Поляризованность:

P

pi / V ,
i

где V – объем диэлектрика; pi – дипольный момент i -й молекулы.
Связь между поляризованностью диэлектрика и напряженностью электростатического поля:

P

x 0E ,
где x – диэлектрическая восприимчивость вещества.
Связь диэлектрической проницаемости ε c диэлектрической восприимчивостью x:
1 x.
Связь между напряженностью в диэлектрике и напряженность E0
внешнего поля:
E E0 P / 0 ,
или
E E0 / .
Связь между векторами электрического смещения и напряженностью
электростатического поля:
95
Связь между ,
и :
Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля в диэлектрике:
где
– алгебраическая сумма заключенных внутри замкнутой поверхности S свободных электрических зарядов; Dn – составляющая вектора по
направлению нормали к площадке dS;
– вектор, модуль которого
равен dS, а направление совпадает с нормалью к площадке.
Работа электрического поля по перемещению заряда q:
где

dA Fd  ,
r1
A
r2
dA .
Электростатическое поле является потенциальным полем, следовательно, для него справедливо:
dA = – dEП,
A = – (EП2 – EП1),
где EП1, EП2 – потенциальная энергия. Потенциал есть величина, равная отношению потенциальной энергии точечного положительного заряда, помещенного в данную точку поля, к этому заряду:
или потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки
поля в бесконечность к этому заряду:
Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным нулю. Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом
q на расстоянии r от заряда:
Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несущей
заряд q сферой радиусом R, на расстоянии r от центра сферы:
при r < R (внутри сферы),
96
при r = R (на поверхности сферы),
при r > R (вне сферы).
Потенциал электрического поля, созданного системой N точеных зарядов, в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрич еских полей равен алгебраической сумме потенциалов 1, 2, . . . n, создаваемых отдельными точечными зарядами q1, q2, . . . qn:
N
1
2
...
n
i
i 1
Энергия W взаимодействия систем точечных зарядов q1, q2, . . . qn определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой
где i – потенциал поля, создаваемого всеми N зарядами (за исключением
i - го) в точке, где расположен заряд qi.
Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением
Ex
;
x

E grad. .
В случае однородного поля, т.е. поля, напряженность которого в каждой точке одинакова как по модулю, так и по направлению:
E ( 1
2)/ d,
где 1 и 2 – потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей;
d – расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой
линии.
Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда q из одной точки поля, имеющей потенциал 1, в другую, имеющую
потенциал 2:
где El – проекция вектора напряженности
dl – перемещение.
В случае однородного поля:
на направление перемещения;
где l – перемещение; α – угол между направлением вектора
перемещением l.
97
и
Напряжение (разность потенциалов, взятая с обратным знаком) между
двумя точками электрического поля определяется работой, которую надо с овершить, чтобы единицу положительного заряда перенести из одной точки в
другую:
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль
замкнутого контура:

Edl
E l dl 0,
L
L
где El – проекция вектора на направление элементарного перемещения
Интегрирование производиться по любому замкнутому пути L.
Электроемкость уединенного проводника:
.
где q – заряд, сообщенный проводнику; φ – потенциал проводника.
Электрическая емкость плоского конденсатора:
где S – площадь каждой пластинки конденсатора; d – расстояние между пластинами.
Электрическая емкость уединенной проводящей сферы радиусом R,
находящейся в бесконечной среде с диэлектриком проницаемостью ε:
Электрическая емкость сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусами R1 и R2, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε):
Электрическая емкость цилиндрического конденсатора:
где l – длина обкладок конденсатора; R1 и R2 – радиусы полых коаксиальных
цилиндров.
Электрическая емкость батареи последовательно соединенных конденсаторов:
1
1
1
1
1
,
С С1 С 2 С 2 С n
где n – число конденсаторов. Для двух конденсаторов
98
В случае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью C1 каждый
Электрическая емкость параллельно соединенных конденсаторов:
Энергия уединенного заряженного проводника:
Энергия заряженного конденсатора:
тора:
Сила притяжения между двумя разноименными обкладками конденса-
Энергия электростатического поля плоского конденсатора:
где S – площадь одной пластинки; U – разность потенциалов между пластинками; V = Sd – объем конденсатора.
Объемная плотность энергии:
где D – электрическое смещение.
В электрическом поле заряженная частица получает ускорение:
где q – заряд частицы; m – масса частицы; E – напряженность электрического
поля (это равенство справедливо для однородных полей).
Электрическое поле совершает работу по перемещению заряженных
частиц:
где U – разность потенциалов (напряжение); υ 1 и υ 2 – начальные и конечные
скорости частиц.
Угол между направлением движения частицы и осью OХ (рис. 26):
99

y
y

x
O
α
x
Рис. 26
.
Постоянный электрический ток. Электрические токи в металлах,
жидкостях, вакууме и газах
Сила постоянного тока:
где q и dq – количество электричества, прошедшее через поперечное сечение
проводника за время t (dt).
Плотность электрического тока:
I
,
S
j
где S – площадь поперечного сечения проводника.
Сопротивление проводника:
где – удельное сопротивление вещества проводника; l – длина проводника с
поперечным сечением S.
Проводимость G проводника:
и удельная проводимость вещества:
Зависимость удельного сопротивления и сопротивления проводника от
температуры:
t) ,
0 (1
R R 0 (1
t) ,
100
где и R и 0 и R0 – удельное сопротивление и сопротивление при температурах t и 0 0С; t – температура (по шкале Цельсия); – температурный коэффициент сопротивления. Для чистых металлов (при не очень низких температурах)
1/273 К 1. Поэтому при использовании шкалы Кельвина температурная зависимость сопротивления имеет вид
R
R0 T .
Сопротивление проводников
при последовательном соединении:
R = R1+R2+ . . . +RN,
при параллельном соединении:
1 1
1
1

,
R R1 R2
RN
при соединении параллельно N одинаковых сопротивлений R1:
R R1 / N .
Закон Ома:
для однородного участка цепи:
I U / R,
для неоднородного участка цепи:
I
(
для замкнутой цепи:
I
1
2
12 ) /
R,
/( R r ) ,
в дифференциальной форме для однородного участка цепи:
j
E,
в дифференциальной форме для неоднородного участка цепи:
где U – напряжение на участке цепи; R – сопротивление цепи (участка цепи);
1 –
2 – разность потенциала на концах участка цепи; 12 – ЭДС источника
тока, входящего в участок цепи; – ЭДС всех источников тока в цепи;
r – внутреннее сопротивление источника тока; Е – напряженность электростатического поля; ЕСТ – напряженность поля сторонних сил.
Электродвижущая сила источника тока:
где А – работа сторонних сил по перемещению по цепи положительного заряда q0;
– напряженность сторонних сил.
В общем случае сопротивление имеет вид
R r R1 ,
101
где r – внутреннее сопротивление источника тока, R1 – сопротивление внешней цепи.
Работа тока за время t:
A
U2
t.
R
2
IUt
I Rt
Мощность тока:
I 2R U 2 / R.
P UI
Закон Джоуля – Ленца:
Q
2
I Rt
U2
t,
R
IUt
где Q – количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за время t.
Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме:
E2,
jE
где
– удельная тепловая мощность тока.
Полная мощность и работа, выделяемые в цепи:
P
I,
A
It .
Коэффициент полезного действия цепи:
A1
IUt U
R
,
A2
I t
R r
где А1 – полезная работа в цепи; А2 – полная работа в цепи; R – сопротивление внешнего участка цепи; r – внутреннее сопротивление источника тока.
Правила Кирхгофа:
1) алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю:
N
i 1
Ii
0;
2) в замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех
участках контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил:
N
i 1
I i Ri
K
i 1
i
,
где Ii – сила тока на i-м участке; Ri – сопротивление на i-м участке; i – ЭДС
источника на i-м участке; N – число участков, содержащих сопротивление Ri;
К – число участков, содержащих источники тока.
Плотность тока в проводнике:
j ne ,
где
– скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике; n – концентрация зарядов; е – элементарный заряд.
102
Термоэлектродвижущая сила, возникшая в термопаре:
(Т1 Т 2 ) ,
где – удельная термо-ЭДС, зависящая от природы двух контактирующих
металлов.
Для электролитов выполняются следующие соотношения:
1) масса m вещества, выделяющаяся при прохождении тока:
m KIt KQ ,
где Q = I t – количество электричества, проходящего через электролит, при
токе I за время t; К – электрохимический эквивалент;
2) электрохимический эквивалент определяется из соотношения
1 M
K
,
F z
где F – постоянная Фарадея (F = 96,5 кКл/моль); М – молярная масса ионов
данного вещества; z – валентность ионов;
3) подвижность ионов:
u
,
E
где
– средняя скорость упорядоченного движения ионов; Е – напряженность электростатического поля;
4) удельная электропроводность электролита:
1
СZF U
U ,
где – степень диссоциации; С – число кг моль в единице объема; Z – валентность; F – число Фарадея; U+ и U– – подвижность ионов;
п1 / п0 ,
где n1 – число диссоциированных молекул в единице объема; n0 – число всех
молекул в единице объема;
5) закон Ома в дифференциальной форме для электролитов и газов при
самостоятельном разряде в области далекой от насыщения:
j
qn(U
U )E ,
где q – заряд иона; n – концентрация ионов; U+ и U– – подвижность положительных и отрицательных ионов;
6) число ионов, рекомбинирующих за единицу времени в единице объема газа:
n2
rn 2 ,
где r – коэффициент рекомбинации.
Плотность тока насыщения:
jн
qn0 d ,
103
где n0 – число пар ионов, создаваемых ионизатором в единице объема в единицу времени; d – расстояние между электродами;
n0 N / Vt ,
где N – число пар ионов, создаваемых ионизатором за время t в пространстве
между электродами объемом V.
Магнитное поле
Магнитная индукция
соотношением
и напряженность
магнитного поля связаны
модуль магнитной индукции и напряженности:
где
– магнитная постоянная, – магнитная проницаемость среды.
Закон Био-Савара-Лапласа
0

dB
0

I dl r
r3
4
,
где
– магнитная индукция поля, создаваемая элементом длины
проводника с током I; – радиус-вектор, проведенный от к точке, в которой
определяется магнитная индукция.
Модуль вектора
:
‒ угол между векторами и .
Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитная индукция В результирующего поля равна векторной сумме магнитных индукций В1, В2,…Вn
складываемых полей, т.е.
где

B

B1

B


B2 ... Bn ,
N 
Bi
i 1
.
Магнитная индукция поля, создаваемая бесконечно длинным прямым
проводником с током:
где R – расстояние от оси проводника до точки рассмотрения.
Магнитная индукция поля, создаваемая отрезком проводника:
Магнитная индукция в центре кругового проводника с током:
104
где R ‒ радиус кривизны проводника.
Магнитная индукция точечного заряда q, свободно движущегося с нерелятивистской скоростью :
где ‒ радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения.
Модуль магнитной индукции:
‒ угол между векторами и .
Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора ):
где
 
Bdl
Bl dl
L
N
0
L
i 1
Ii ,
где 0 – магнитная постоянная;
– вектор элементарной длины контура,
направленной вдоль контура; Вl = B cos – составляющая вектора
в
направлении касательной контура L произвольной формы (с учетом выбранN
ного направления обхода);
– угол между векторами
и
;
i 1
I i – алгеб-
раическая сумма токов, пронизывающих контур.
Магнитная индукция поля внутри соленоида (в вакууме), имеющего N
витков:
где l – длина соленоида; n = N/l – число витков на единицу длины.
Магнитная индукция поля на оси соленоида конечной длины:
где 1 и 2 – угол между осью соленоида и радиус-вектором, проведенным из
рассматриваемой точки к концам соленоида.
Закон Ампера:
сила, действующая на проводник с током в магнитном поле:

F

dl B I ,
где I – сила тока; – вектор, равный по модулю длине dl проводника и совпадающий по направлению с током; – магнитная индукция поля.
Модуль вектора F определяется выражением
F = BIlsinα,
105
где
– угол между векторами и .
Сила взаимодействия двух прямых бесконечно длинных параллельных
проводников с токами I1 и I2, находящихся на расстоянии d друг от друга,
рассчитанная на отрезок проводника длиной l:
Магнитный момент контура с током:

IS ,

pm
где – вектор, равный по модулю площади S, охватываемой контуром и совпадающей по направлению с нормалью к его плоскости.
Механический момент, действующий на контур с током, помещенный
в однородное магнитное поле:

M
 
pm B .
Модуль механического момента:
M
pm Bsin ,
где
– угол между векторами
и .
Сила, действующая на контур с током в магнитном поле (изменяющемся вдоль оси х):
где
– изменение магнитного поля вдоль оси х, рассчитанное на единицу
длины; – угол между векторами
и .
Период колебаний магнитной стрелки (контура с током), обладающей
магнитным моментом
и находящейся в магнитном поле индукции :
T
I
2
pm B
,
где I ‒ момент инерции стрелки относительно точки подвеса.
Электромагнитная индукция
Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) через площадку
dS:
dФB
 
BdS
Bn dS ,
где
– вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с
нормалью к площадке; Вn – проекция вектора на направление нормали к
площадке.
Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность S:
106
 
BdS
ФB
S
Bn dS .
S
Потокосцепление (полный магнитный поток, сцепленный со всеми
витками соленоида):
Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле:
dA = IdФ,
где dФ – магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.
Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле:
dA = IdФ′,
где dФ′ – изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.
Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея):
где dФ/dt – скорость изменения магнитного потока, пронизывающего контур;
N – число витков в контуре.
ЭДС индукции, возникающая в рамке площадью S при вращении рамки
с угловой скоростью в однородном магнитном поле с индукцией B:
где t – мгновенное значение угла между вектором
к плоскости рамки.
В рамке с N витками
и вектором нормали

n
Количество электричества q, протекающего в контуре:
где R – электрическое сопротивление контура.
Магнитный поток, создаваемый током I в контуре с индуктивностью L:
Ф LI .
ЭДС самоиндукции:
Индуктивность соленоида (тороида):
где N – число витков соленоида; l – его длина; S – площадь поперечного сечения соленоида.
Токи при размыкании цепи:
при замыкании цепи:
107
где τ = L/R – время релаксации (L – индуктивность, R – сопротивление цепи).
ЭДС взаимной индукции (ЭДС, индуцируемая изменением силы тока в
соседнем контуре):
где L12 – взаимная индуктивность контуров.
Взаимная индуктивность двух катушек (с числом витков N1 и N2),
намотанных на общий тороидальный сердечник:
где l – длина сердечника по средней линии; S – площадь сердечника.
Коэффициент трансформации:
где N, , I – соответствующее число витков, ЭДС и сила тока в обмотках
трансформатора.
Энергия магнитного поля, связанного с контуром индуктивностью L,
по которому течет ток I:
Объемная плотность энергии однородного магнитного поля длинного
соленоида:
B2
2
0
0
H2
2
BH
.
2
Магнитное поле в веществе
Связь орбитального магнитного
моментов электрона:

pm

gLe
и орбитального механического
e 
Le ,
2m
где g = e /(2m) – гиромагнитное отношение орбитальных моментов.
Намагниченность:
где
– магнитный момент магнетика, равный векторной сумме магнитных моментов отдельных молекул.
Связь между намагниченностью и напряженностью магнитного поля:
108
где
– магнитная восприимчивость вещества.
Связь между векторами ,
, :
где μ0 – магнитная постоянная.
Связь между магнитной проницаемостью и магнитной восприимчивостью вещества:
Угловая скорость прецессии (ларморова частота):
где е – элементарный заряд; m – масса заряженной частицы; В – магнитная
индукция поля.
Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора ):
 
Bdl
L
Be dl
0 (I
I ),
L
где
– вектор элементарной длины контура, направленный вдоль обхода
контура; Be – составляющая вектора в направлении касательной контура L
произвольной формы; I и I′ – соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых заданным контуром.
Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля:
 
Hdl
I,
L
где I – алгебраическая сумма сил токов проводимости, охватываемых контуром L.
Магнитная проницаемость вещества:
где H0 и В0 – напряженность и магнитная индукция магнитного поля.
Движение заряженных частиц в магнитном поле
Сила Лоренца:
где ‒ сила, действующая на заряд q, движущийся в магнитном поле индукцией со скоростью .
Модуль силы Лоренца:
109
где – угол между направлениями векторов скорости частицы и магнитной
индукции.
Результирующая сила, действующая на движущийся заряд со стороны
магнитного и электрического полей:
где и – напряженность электрического и индукция магнитного полей соответственно.
Холловская поперечная разность потенциалов:
Ux
R
IB
,
d
где В – магнитная индукция I ‒ сила тока d – толщина пластинки
R = 1/(е n) – постоянная Холла (е – заряд электрона, n – концентрация электронов).
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Электростатика
Пример 1. Два маленьких одинаковых заряженных шарика, находящиеся на расстоянии r = 0,2 м друг от друга, притягиваются с силой
F1
-3
= 4⋅10 H. После того, как шарики были приведены в соприкосновение и затем разведены на прежнее расстояние, они стали отталкиваться с силой
F2 = 2,25⋅10-3 H. Определить первоначальные заряды шариков.
Решение. Так как вначале шарики притягивались, то их заряды противоположны по знаку. По закону Кулона
qq
F1
k 1 22 .
(1)
r
После приведения шариков в соприкосновение заряд перераспределяq q2
ется и на каждом из шариков становится равным 1
. Сила, с которой те2
перь взаимодействуют шарики
(q1 q2 ) 2
F2 k
.
(2)
4r 2
Решая совместно уравнения (1) и (2), находим
F1r 2
q1q2
,
(3)
k
F
q1 q2 2r 2 .
(4)
k
110
Для определения q1 и q2 воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой
теореме и соотношениям (3) и (4), q1 и q2 – корни квадратного уравнения:
F2
F1r 2
2
x 2r
x
0.
(5)
k
k
Находим эти корни:
F
F2r 2
F1r 2
r
(6)
x1, 2 r 2
( F2
F2 F1 ) ,
k
k
k
k
где k = 9 109Ф/м.
Следовательно,
r
q1
( F2
F2 F 1 ) 2,67 10 7 Кл ,
(7)
k
r
q2
( F2
F2 F 1 ) 0,67 10 7 Кл .
(8)
k
Заметим, что в соответствии с симметрией задачи возможны и такие
значения зарядов: q1 = ‒2,67⋅10-7 Кл, q2 = 0,67⋅10-7 Кл.
Ответ: q1 = 2,67⋅10-7 Кл, q2 = ‒ 0,67⋅10-7 Кл.
Пример 2. Два точечных заряда q1 = 6 нКл и q2 = ‒ 6 нКл расположены
на расстоянии r = 5 см. Найти напряженность E электрического поля в точке,
находящейся на расстоянии a = 3 см от положительного и отрицательного зарядов.
Решение.
D
A
B
N
q1
q
2
С
M
Рис. 27
Согласно принципу суперпозиции полей:
,
(1)
где
и
– векторы напряженности полей, создаваемых в точке А точечными зарядами q1 и q2 соответственно. Модули этих векторов:
.
(2)
Здесь a – расстояние от зарядов q1 и q2 соответственно до точки А.
111
Из рис. 27 (Δ CMN) следует, что:
.
(3)
Откуда
.
(4)
Из треугольника Δ ВDC найдем:
.
Подставив (2) и (5) в (4), окончательно получаем
.
Подставим числовые данные:
(5)
(6)
.
Ответ: напряженность электрического поля E = 100 мВ/м.
Пример 3. На пластинах плоского конденсатора находится заряд
q = 10 нКл. Площадь каждой пластины конденсатора равна S = 100 см2, диэлектрик – воздух. Определить силу, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.
Решение. Заряд q одной пластины находится в поле напряженностью
E1, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый
заряд действует сила
.
(1)
Напряженность поля пластины:
,
(2)
где σ – поверхностная плотность заряда пластины, ε0 – электрическая постоянная, ε – диэлектрическая проницаемость, по условию задачи равная 1.
С учетом выражения (2) формула (1) примет вид
.
(3)
Подставив числовые данные в (3), получим
( 10 10 9 Кл )2
F
5 ,65 10 4 565 мкН .
Ф
2 8 ,85 10 12
100 10 4 м 2
м
Ответ: сила, с которой притягиваются пластины, F = 565 мкН.
Пример 4. Шарик с массой m = 1 г и зарядом q = 10 нКл перемещается
из точки 1, потенциал которой 1 = 600 В, в точку 2, потенциал которой
2 = 0. Найти его скорость в точке 1, если в точке 2 она стала равной
υ 2 = 20 см/с.
Решение. Работа сил поля по перемещению заряда q из точки поля с
потенциалом φ1 в точку с потенциалом φ2:
.
(1)
112
ряда:
С другой стороны, работа равна изменению кинетической энергии за.
Приравняем (1) к (2), учитывая, что
(2)
2=0:
.
(3)
.
(4)
.
(5)
.
(6)
Откуда
Подставим в (6) числовые данные:
.
Ответ: скорость заряда в точке 1 υ 1 = 0,17 м/с.
Постоянный электрический ток. Электрические токи в металлах,
жидкостях, вакууме и газах
Пример 1. Определите среднюю скорость направленного движения
электронов вдоль медного проводника, питающего бетономешалку при плотности тока j = 11 А/мм2. Считать, что на каждый атом меди в металле приходится один свободный электрон. Атомная масса меди μ = 64 г/моль.
Решение. Плотность тока j связана с величиной заряда электрона e,
концентрацией электронов n и средней скоростью их упорядоченного движения соотношением
.
(1)
Действительно, по определению j=I/S, где S – площадь поперечного сечения проводника;
, где ∆q – заряд, прошедший через поперечное
сечение проводника за время ∆t. В свою очередь ∆q = neV, где e – величина
заряда электрона, V=S ∆t – объем, в котором окажутся прошедшие через сечение проводника электроны за время ∆t. Из записанных выше соотношений
получается уравнение (1).
Найдем концентрацию электронов в медном проводнике. Эта величина
будет равна числу молей, содержащихся в единице объема, умноженному на
число Авогадро N A , т.е.
.
(2)
Здесь
– плотность меди.
Из (1) и (2) получим:
.
113
(3)
Подставим числовые данные:
.
Ответ: = 8,2·10-4 м/с.
Пример 2. Через лампу накаливания течет ток, сила которого I = 0,6 А.
Температура вольфрамовой нити диаметром d = 0,1 мм равна t = 2200 0С.
Определите напряженность E электрического поля в вольфрамовой проволоке, для которой температурный коэффициент сопротивления = 0,0045 0С-1.
Решение. Напряженность электрического поля в проводнике можно
найти из дифференциальной формы закона Ома:
E
j
E
,
(1)
где
1/ – проводимость металла, j – плотность тока. Удельное электрическое сопротивление зависит от температуры по закону
(2)
(1 t ) ,
0
где t – температура металла, 0 – удельное сопротивление при t = 0 С.
С другой стороны, плотность тока можно представить в виде
,
(3)
где I – сила тока в лампе, S – площадь сечения проводника. В результате
можно записать для напряженности поля выражение
I
E j
.
(4)
S
Поскольку сечением проводника является круг диаметром d, то площадь сечения S=πd2/4. Подставляя в формулу для напряженности поля выражения для S и , получим
4I
E
t) .
(5)
0 (1
d2
Произведем вычисления:
0
Ответ: напряжённость поля в проволоке Е = 46 В/м.
Пример 3. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 120 Ом равномерно возрастает от I0 = 0 до I1 = 5 А за время = 15 с. Определите выделившееся за это время в проводнике количество теплоты Q.
Решение. Рассмотрим малый промежуток времени dt, в течение которого изменение величины силы тока было мало, тогда можно записать закон
114
Джоуля-Ленца для количества теплоты dQ, выделившегося за этот короткий
промежуток:
dQ I 2 R dt .
(1)
Поскольку сила тока возрастала равномерно, то представим ее в виде
функциональной зависимости от времени I = kt, где параметр k определяется
выражением
I I
k 1 0.
(2)
Чтобы найти количество теплоты, выделившееся за весь промежуток
времени, необходимо проинтегрировать выражение (1):
.
(3)
Запишем (3) с учетом (2):
.
(4)
Подставим числовые данные:
Ответ: Q = 15·кДж.
Пример 4. На схеме, представленной на рис. 28, R1 = R, R2 = 2R,
R3 = 3R, R4 = 4R. Емкость конденсатора равна C. Определить заряд q на конденсаторе, если напряжение на батарее U0.
C
R3
R2
R4
R1
U0
Рис. 28
Решение. В данной схеме напряжение на конденсаторе будет
определяться суммой напряжений на сопротивлениях R1 и R2. Поскольку ток
через конденсатор не течет, то данная схема может быть заменена
эквивалентной схемой. В результате этого для токов может быть записано
I 0 I1 I 2 I 4 , I 2 I 3 .
(1)
Поскольку сопротивления R2 и R3 соединены последовательно, то
R23 R2 R3 5R .
Тогда
115
(2)
R23 R4
20R
.
(3)
R23 R4
9
Полное сопротивление цепи определиться по формуле
20R 29R
R0 R1 R234 R
.
(4)
9
9
Применяя закон Ома, получаем для тока
U 0 9U 0
.
(5)
I0
R0 29R
Поскольку сопротивления R23 и R4 соединены параллельно, то напряжения в этих участках цепи равны и
R234
(6)
I 2 R23 I 4 R4 .
Подставив значения сопротивлений, получаем
5
(7)
I4
I2 .
4
Поскольку токи, протекающие через сопротивления R23 и R3, дадут в
сумме ток I0, мы можем записать:
5
9
I2 I4 I2
I2
I2 I0 .
(8)
4
4
Отсюда, подставив значение I0, получаем:
9
9 U0
I2
.
(9)
4
29 R
Тогда
4 U0
I2
.
(10)
29 R
Поскольку токи I1 и I2 известны, можно определить напряжение на
конденсаторе:
17
U C I1 R1 I 2 R2
U0 .
(11)
29
Подставив значение напряжения на конденсаторе, определим заряд
конденсатора:
17
q CU C
U 0C .
(12)
29
17
U 0C .
Ответ: заряд на конденсаторе q
29
Пример 5. Найти ЭДС источника тока ε и внутреннее сопротивление r,
если при силе тока I1 = 40 А мощность во внешней цепи равна P1 = 200 Вт, а
при силе тока I2 = 10 А эта мощноть равна P2 = 150 Вт.
Решение. Запишем закон Ома для полной цепи:
,
(1)
116
.
(2)
Учитывая, что
,
(3)
,
(4)
.
(5)
закон Ома примет вид
Решая совместно уравнения (4) и (5), получим
.
(6)
.
(7)
Подставив числовые данные, получим
,
.
Ответ: r = 0,33 Ом, ε = 18,33 В.
Магнитное поле
Пример 1. Два параллельных бесконечно длинных провода D и C, по
которым текут в одном направлении токи силой I = 60 А расположены на
расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить индукцию B магнитного поля в точке А, отстоящей от одного проводника на расстоянии r1 = 5 см и от
другого на расстоянии r2 = 12 см.
Решение. Для нахождения индукции магнитного поля B в указанной
точке А (рис. 29) определим направление векторов индукции
и
полей,
создаваемых каждым проводником в отдельности, и сложим их
геометрически (по правилу параллелограмма), т.е.
+ .
Абсолютное значение индукции B
может быть найдено по теореме косинусов:
B
B12 B22 2 B1 B2 cos , (1)
где
– угол между векторами
и .
Значение индукций B1 и B2 выражаются соответственно через силу тока I и
расстояния r1 и r2 от проводов до точки А,
индукцию поля в которой мы вычисляем:
117
I
0I
, B2
.
(2)
2 r1
2 r2
Подставляя B1 и B2 в формулу (1) и вынося 0 I / 2 за знак корня,
получим:
1
1 2 cos
0I
B
.
(3)
2
r1 r2
r12 r22
Вычислим cos . По теореме косинусов из треугольника ADC имеем:
d 2 r12 r22 2r1r2 cos ,
(4)
где d – расстояние между проводниками.
Отсюда
B1
cos
r12
r22 d 2
,
2r1r2
0
(5)
или
5 2 122 102 23
.
(6)
2 5 12
40
Подставляя в формулу (3) значения I, r1, r2 и значение cos , определяем искомую индукцию:
4 3,14 10 7 60
1
1
2
23
= 3,08 10-4 Тл.
B
2
2
2 3,14
(0,05)
(0,12)
0,05 0,12 40
-4
Ответ: B = 3,08 10 Тл.
cos
Пример 2. Плоский квадратный контур со стороной a = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией B = 1 Тл. Определить работу A , совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину
его противоположных сторон, на угол: 1) α1 = 900; 2) α2 = 30. При повороте
контура сила тока в нем поддерживается неизменной.
Решение. Как известно, на контур с током в магнитном поле действует
момент сил:
.
(1)
По условию задачи, в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю (M =0), а значит,
α = 0, т.е. векторы
и совпадают по направлению.
Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремиться возвр атить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит
от угла поворота α), то для подсчета работы применим формулу работы в
дифференциальной форме:
118
.
(2)
2
Подставив сюда выражение (1) и учитывая, что pm = IS = Ia , где I ‒ сила тока в контуре; S = a2 ‒ площадь контура, получим:
.
(3)
Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:
.
(4)
0
1. Работа при повороте на угол α1 = 90 :
.
(5)
Подставим числовые значения:
.
2. Работа при повороте на угол α2 = 3 . В этом случае, учитывая, что
угол α2 мал, заменим в выражении (4) sinα ≈ α:
0
(6)
Выразим угол α2 в радианах и подставим числовые значения в (6):
.
Ответ: А1 = 1 Дж, А2 = 1,37 мДж.
Пример 3. В однородном магнитном поле с индукцией B = 0,02 Тл
находится проводник длиной l = 1 м и массой m = 0,005 кг, расположенный
горизонтально. Линии индукции поля также горизонтальны и перпендикулярны к проводнику. Какой ток должен протекать через проводник, чтобы он
завис?
Решение. На проводник действуют две силы:
силы тяжести
(1)
и сила Ампера
,
(2)
где α – угол между направлением тока в проводнике и вектором индукции.
По условию задачи α = 900, следовательно,
(3)
Для того чтобы проводник завис, необходимо, чтобы эти силы уравновешивали друг друга, т.е. были противоположно направлены и равны по модулю:
.
(4)
Выразим из этого выражения силу тока I:
.
Подставив числовые данные, получим:
119
(5)
.
Ответ: I = 2,45 А.
Пример 4. Максимальный вращающий момент, действующий на рамку
площадью S =1 см2, находящуюся в магнитном поле, равен Mmax = 2 мкН⋅м.
Сила тока в рамке I = 0,5 А. Определите индукцию магнитного поля B.
Решение. Механический момент M, действующий на контур с током,
помещенный в однородное магнитное поле:
,
(1)
где pm – магнитный момент.
.
(2)
Механический момент максимален при sinα=1. Т.о.
.
(3)
Отсюда
.
(4)
Подставим числовые данные:
.
Ответ: B = 0,04 Тл.
Электромагнитная индукция
Пример 1. Проволочная рамка площадью S = 20⋅10 2 м 2 расположена в
однородном магнитном поле так, что линии индукции перпендикулярны
плоскости рамки. В некоторый момент времени магнитное поле выключают
так, что за ∆t = 5 мс поле убывает по линейному закону от величины
В0 = 1 Тл до B = 0. Найдите ЭДС индукции ε в рамке.
Решение. ЭДС индукции найдем по формуле
.
(1)
Магнитный поток Ф определяется как
.
(2)
Т.к. по условию задачи линии индукции перпендикулярны плоскости
рамки, то α = 0, т.е.
.
(3)
Тогда ЭДС индукции:
.
(4)
Подставим числовые данные:
.
Ответ: ЭДС индукции ε = 40 В.
120
Пример 2. Какой заряд q пройдет через поперечное сечение витка, сопротивление которого R = 0,03 Ом, при уменьшении магнитного потока
внутри витка на ∆Ф = 12 мВб?
Решение. Заряд q, который пройдет через сечение витка за время ∆t,
определим из соотношения
.
(1)
Сила тока I связана с ЭДС индукции:
.
(2)
МодульЭДС индукции найдем по формуле
.
(3)
Таким образом,
.
(4)
Подставим числовые данные:
.
Ответ: ∆q = 0,4 Кл.
Пример 3 .В однородном магнитном поле B = 0,1 Тл равномерно с частотой ν = 10 об/с вращается рамка, содержащая N = 1000 витков, плотно
прилегающих друг к другу. Площадь рамки S = 150 см2. Определить мгновенное значение ЭДС индукции, соответствующее углу поворота рамки в 300.
Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции ε определяется
основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла:
,
(1)
где ‒ магнитный поток через рамку.
В однородном поле поток через рамку, имеющую N витков, плотно
прилегающих друг к другу, можно выразить соотношением
(2)
где B ‒ магнитная индукция; S ‒ площадь рамки. При вращении угол
можно выразить через частоту вращения по формуле
.
(3)
Подставим в формулу (2) выражение , а получившуюся формулу для
подставим в (1):
.
(4)
Продифференцировав получившееся выражение по времени, найдем
мгновенное значение ЭДС индукции:
.
(5)
Выражение, стоящее под знаком синуса, является фазой, поэтому
можно не определять момент времени, в который вычисляется ЭДС, а сразу
121
подставить значение фазы из условия. Подставим в (4) числовые данные,
получим
.
Ответ: ε = 47,1 В.
Пример 4. Определите энергию W магнитного поля соленоида, в котором при силе тока I = 10 А возникает магнитный поток Ф = 0,6 Вб.
Решение. Энергию магнитного поля соленоида найдем по формуле
,
(1)
где L – индуктивность соленоида, значение которой можно определить из
выражения
.
(2)
Таким образом, выражение для энергии магнитного поля соленоида
принимает вид
.
(3)
Подставим числовые данные:
.
Ответ: W = 3 Дж.
Магнитное поле в веществе
Пример 1. Найдите индуктивность L соленоида, полученного при
намотке провода длиной l = 12 м на цилиндрический железный стержень
длиной l0 = 24 см. Магнитная проницаемость железа = 400.
Решение. Индуктивность соленоида найдем по формуле
.
(1)
Здесь N – число витков, l0 – длина соленоида, S – площадь витка соленоида.
Получим связь площади витка S с длиной проволоки l:
.
(2)
.
(3)
Здесь R – радиус витка.
.
(4)
С учетом этого выражение для определения индуктивности L принимает вид
.
(5)
Подставим числовые данные:
.
Ответ: L = 0,1 Гн.
122
Движение заряженых частиц в магнитном поле
Пример 1. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов
U = 400 В, влетает в однородное магнитное поле напряженностью
H = 103 А/м со скоростью, перпендикулярной линиям магнитной индукции.
Определить радиус R кривизны траектории и частоту ν обращения электрона
в магнитном поле.
Решение. Радиус кривизны траектории электрона определим исходя из
следующих соображений: на движущийся в магнитном поле электрон
действует сила Лоренца FЛ (действием силы тяжести можно пренебречь).
Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости (α=900) и, следовательно,
сообщает электрону нормальное ускорение:
(1)
или
.
(2)
Из формулы (2) найдем
.
(3)
Входящий в равенство (2) импульс mv может быть выражен через кинетическую энергию EK электрона:
.
(4)
Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоренную разность
потенциалов U, определяется равенством
.
(5)
Подставив (4) в формулу (3), получим
.
(6)
Магнитная индукция B может быть выражена через напряженность H
магнитного поля в вакууме соотношением:
B
(7)
0H ,
где 0 — магнитная постоянная.
Подставляя найденные выражения B и mv в формулу (2), определим:
.
(8)
Произведем вычисления:
2 9,11 10 31 1,6 10 19 400
R
= 5,37 10-2 м = 5,37 см.
7
19
3
4 3,14 10 1,6 10 10
Для определения частоты обращения ν воспользуемся формулой, связывающей частоту со скоростью и радиусом:
.
(9)
Подставив в формулу (9) выражение (3) для радиуса кривизны, получим
,
(10)
123
или
.
Подставим их и произведем вычисления:
(11)
.
7
-1
Ответ: ν = 3,52 10 с .
Пример 2. Во сколько раз электрическая сила, действующая на протон,
больше силы Лоренца, если напряженность электрического поля Е = 2 кВ/м,
а индукция магнитного поля В = 0,4 Тл? Скорость протона υ= 100 м/с и
направлена перпендикулярно линиям индукции магнитного поля.
Решение. Сила, действующая на частицу со стороны электрического
поля:
,
(1)
а со стороны магнитного поля
.
(2)
Разделив первое выражение на второе, получим
.
(3)
Произведем вычисления:
.
Ответ: электрическая сила в 50 раз больше силы Лоренца.
Пример 3. Небольшой шарик массой m заряжен положительным зарядом q, подвешен к легкой непроводящей и нерастяжимой нити длиной 2l и
помещен в однородное магнитное поле с индукцией B. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой может двигаться шарик (рис. 30). Какую минимальную скорость надо сообщить шарику в горизонтальном направлении,
чтобы шарик смог совершить полный оборот?
Решение.
m
l
Рис. 30
124
Пусть υ 1 – скорость шарика в верхней точке траектории (рис. 30). Запишем проекцию второго закона Ньютона на ось OY, направленную вниз,
для момента прохождения шариком этой точки:
.
(1)
Здесь T – сила натяжения нити, FЛ – сила Лоренца (FЛ = qυ 1B), mg – сила тяжести, l – радиус окружности, по которой движется шарик.
Запишем закон сохранения и превращения механической энергии для
нижней и верхней точек траектории:
m 2
2
m 12
2
2mgl ,
(2)
m 2
m 12
где
и
– кинетическая энергия шарика в нижней и верхней точках
2
2
траектории соответственно; 2mgl ‒ потенциальная энергия шарика в верхней
точке траектории. Отсюда
2
2
(3)
4gl .
1
Минимальная скорость υ, при которой шарик в верхней точке будет
описывать окружность, достигается при T = 0.
Решая совместно уравнения (1) и (2) с учетом упомянутого условия,
получим:
5gl q 2 B 2 l 2 (1
Ответ:
5gl q 2 B 2 l 2 (1
1 4m2 g / q 2 B 2l ) / 2m2 .
1 4m2 g / q 2 B 2l ) / 2m2 .
Пример 4. Пластинка полупроводника толщиной d = 0,2 мм помещена
в однородное магнитное поле с индукцией В = 1 Тл, перпендикулярное пластинке. Перпендикулярно к направлению поля вдоль пластинки пропускается
ток I = 0,1 А. При этом возникает поперечная разность потенциалов
U = 3,25 мВ. Удельное сопротивление полупроводника = 10 мкОм⋅м.
Определить подвижность носителей тока u в полупроводнике.
Решение. Поперечная разность потенциалов:
,
(1)
где е ‒ заряд электрона, n – концентрация электронов. Удельная проводимость σ с одной стороны
,
(2)
с другой –
.
(3)
Здесь u – подвижность носителей тока в проводнике. Выразим из (2) и (3) n:
(4)
и подставим получившееся выражение в (1):
125
.
(5)
Отсюда
.
(6)
Подставим числовые данные:
.
2
Ответ: u = 0,65 м /В⋅с.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Электростатика
1. Металлическому шару путем удаления части электронов сообщается заряд q = 2 Кл. На сколько при этом уменьшится масса шара?
2. Какую долю валентных электронов δN следует удалить с медного
шарика объемом V = 1 см3, чтобы получить на нем заряд q = 1 Кл? Валентность меди n = 1. Молярная масса меди M = 64 г/моль.
3. На двух одинаковых капельках воды из цементного раствора находится по одному избыточному электрону, причем сила электрического отталкивания капелек уравновешивает силу их гравитационного притяжения.
Найдите радиусы r капелек.
4. Два заряженных шарика, находящиеся на расстоянии r = 0,6 м, отталкиваются с силой F = 0,3 H. Суммарный заряд шариков q = – 8 мкКл.
Найдите заряды q1 и q2 шариков.
5. Заряженные шарики, находящиеся на расстоянии r = 60 см, притягиваются с силой F = 0,3 Н. Суммарный заряд шариков q = 4 нКл. Определите заряды q1 и q2 шариков.
6. Три одинаковых точечных заряда q = 3,46 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. При помещении в центр треугольника
точечного заряда q1 результирующая сила, действующая на каждый заряд q,
не изменяется по направлению, а по величине уменьшается в n = 2 раза.
Определите q1.
7. Два точечных заряда находятся на некотором расстоянии, их суммарный заряд равен q. Каковы эти заряды, если сила, действующая со стороны одного из них на другой, максимальна по величине при данном q?
8. Два одинаковых проводящих шарика с зарядами q1 = 2,4 нКл и
q2 = 9,6 нКл находятся на некотором расстоянии. Шарики приводят в соприкосновение и удаляют на прежнее расстояние. Найдите отношение F2 / F1 величин сил взаимодействия шариков до и после соприкосновения.
9. Одинаковые металлические шарики, находящиеся на некотором
расстоянии, заряжены одноименными зарядами q1 и q2. Шарики привели в
126
соприкосновение и удалили на прежнее расстояние. В результате сила отталкивания шариков возросла в n = 2 раза. Найдите отношение .
10. Докажите, что если два одинаковых металлических шарика, заряженных одноименно неравными зарядами, привести в соприкосновение и затем
раздвинуть на прежнее расстояние, то сила взаимодействия увеличится, причем
приращение величины силы пропорционально квадрату разности зарядов.
11. Двум одинаковым проводящим шарикам сообщили заряды q1 и q2.
Находясь на расстоянии r = 0,2 м, они притягиваются с силой F1 = 4 мН. После того, как шарики были приведены в соприкосновение и возвращены в
прежнее положение, они стали отталкиваться с силой F2 = 2,25 мН. Найдите
q 1 и q 2.
12. Точечные заряды q1 = 0,9⋅10-8 Кл, q2 = 10-8 Кл, q3 = 6,4⋅10-8 Кл
расположены на одной прямой, при этом расстояние между первым и
вторым зарядами r1 =3 мм, между вторым и третьим – r2 = 4 мм. Найдите
величину и направление результирующей силы F, с которой q1 и q3 действуют на заряд q2.
13. Два одинаковых точечных заряда q = 2 мкКл находятся на расстоянии r = 0,15 м друг от друга. Какова величина F силы, с которой они действуют на точечный заряд q1 = 6 мкКл, находящийся на таком же расстоянии
от каждого из них?
14. Два положительных точечных заряда q и 4q закреплены на расстоянии r = 60 см друг от друга. Определите, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд q1 так, чтобы он находился в равновесии. Укажите, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым, если перемещения заряда возможны только
вдоль прямой, проходящей через закрепленные заряды.
15. Два точечных заряда q = 1,1 нКл каждый находятся на расстоянии
r = 17,0 см. С какой силой F и в каком направлении они действуют на единичный положительный заряд, находящийся на таком же расстоянии от каждого из них?
16. Четыре шарика массой m = 2 г каждый с одинаковыми зарядами
q = 2 мкКл удерживаются в вершинах квадрата со стороной l = 0,02 м. Определите величину ускорения a любого из шариков сразу после того, как их отпустят.
17. Два одинаковых шарика подвешены на непроводящих нитях длиной l = 2 м в одной точке. Когда каждому шарику сообщили заряд q = 2⋅10-8
Кл, они разошлись на расстояние r = 16 см. Определите величину T силы
натяжения каждой нити.
18. Маятник состоит из металлического шарика (строительный отвес),
подвешенного на невесомой нерастяжимой непроводящей нити. Как изменится период его колебаний, если шарику сообщить положительный заряд, а
127
другой шарик, заряженный отрицательно, поместить внизу на одной вертикали с нитью подвеса маятника?
19. Тонкий стержень длиной l = 10 см равномерно заряжен. Линейная
плотность заряда τ = 1 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии
а = 20 см от ближайшего конца находится точечный заряд q = 100 нКл.
Определите силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.
20. Два заряженных шарика, подвешенные на нитях одинаковой длины,
опускаются в керосин. Какова должна быть плотность материала шариков,
чтобы угол расхождения нитей в воздухе и керосине был один и тот же?
21. Каков диаметр D масляной капли, которую с помощью одного избыточного электрона можно уравновесить в электрическом поле напряженностью Е = 10 кВ/м?
22. Точечные заряды q1 = 25 нКл и q2 = – 9 нКл расположены на расстоянии r = 6 см. Найдите расстояние l от заряда q1 до точки, в которой
напряженность электрического поля равна нулю.
23. Напряженность электрического поля точечного заряда в точке А
равна ЕA = 25 В/м, а в точке В, лежащей на прямой, проходящей через заряд и
точку А, составляет ЕB =16 В/м. Найдите величину ЕC напряженности электрического поля в точке С – середине отрезка АВ. Точечный заряд не лежит
на отрезке АВ.
24. В точке А находится точечный заряд. Точки В и С лежат на прямой,
проходящей через точку А, по разные стороны от нее. Какова величина ЕD
напряженности электростатического поля в точке D – середине отрезка ВС,
если в точке В напряженность ЕB = 90 В/м, в точке С – ЕC = 10 В/м?
25. Два точечных заряда, равные по величине и противоположные по
знаку, закреплены на расстоянии r = 2 мм. Величина вектора напряженности
электрического поля, созданного системой зарядов в точках, удаленных от
каждого из них на расстояние d = 1 см, равна Е = 2 В/м. Найдите величину
каждого заряда q1 и q2.
26. Расстояние между зарядами q1 = q2 = 2 нКл r = 20 см. Определите
напряженность поля E, созданного этими зарядами в точке, находящейся на
расстоянии r1 = 15 см от первого и r2 = 10 см от второго заряда.
27. Точечные заряды q1 = 20 нКл и q2 = 10 нКл находятся в воздухе на
расстоянии r = 10 см друг от друга. Определите напряженность поля Е в точке,
удаленной на расстояние r1 = 8 см от первого и r2 = 7 см от второго заряда.
28. В середине отрезка, на концах которого находятся точечные заряды
q1 и q2, величина напряженности электрического поля Е0 = 7,2 кВ/м, а во всех
равноудаленных от зарядов точках вектор напряженности электрического
поля параллелен вектору . Расстояние между зарядами r = 0,2 м. Найдите
q1 и q2.
29. Найдите величину Е напряженности электрического поля в вершине квадрата со стороной а = 3 м, если в три остальные вершины помещены
точечные заряды q = 2 нКл.
128
30. В вершинах острых углов прямоугольного треугольника расположены точечные заряды q1 = 2 и q2 = – 2 нКл. Найдите величину Е напряженности электрического поля в вершине прямого угла. Длины катетов a = 3 см
и b = 4 см.
31. Точечные заряды q = 1 нКл расположены в трех вершинах прямоугольного треугольника с катетами а = 40 см и b = 30 см. Найдите величину
Е напряженности электрического поля в точке пересечения гипотенузы с
перпендикуляром, опущенным на нее из вершины прямого угла.
32. В двух вершинах правильного треугольника со стороной a = 0,2 м
расположены одинаковые точечные заряды q = 9 нКл. Величина напряженности электрического поля в центре треугольника Е = 300 В/м. Определите
диэлектрическую проницаемость ε среды, в которой находятся заряды.
33. Кольцо радиусом r = 5 см из тонкой проволоки равномерно заряжено с линейной плотностью = 14 нКл/м. Определите напряженность поля EA
на оси, проходящей через центр кольца, в точке А, удаленной на расстояние
а = 10 см от центра кольца.
34. Электрический диполь с зарядами q1 =90 нКл и q2 = 90 нКл и расстоянием между ними l = 10 см находится в воздухе. Определите напряженность поля на оси диполя на расстоянии l/4 от одного из зарядов; в центре
диполя; на перпендикуляре к оси диполя, проходящем через один из его зарядов, на расстоянии l/2; на перпендикуляре к оси диполя, восстановленном
из середины его, на расстоянии l/2. Постройте график Е = f(l) распределения
поля между зарядами.
35. Определите напряженность поля E, создаваемого диполем с электрическим моментом р = 10 9 Кл м на расстоянии r = 25 см от центра диполя
в направлении, перпендикулярном оси диполя.
36. Две стороны равностороннего треугольника – однородно заряженные палочки. В центре треугольника величина напряженности электрического поля Е. Найдите напряженность электрического поля в центре треугольника после удаления одной из палочек.
37. По квадратной пластине со стороной а = 20 см равномерно распределен заряд q = 35 нКл. Оцените величины напряженностей электрического
поля E на перпендикуляре к квадрату, проходящему через его центр, в то чках, отстоящих от квадрата на расстояния b = 1 см и с = 15 м.
38. Заряд равномерно распределен по поверхности шара с поверхнос тной плотностью σ. Найдите величину Е напряженности электрического поля
в точке, находящейся от поверхности шара на расстоянии, равном его диаметру.
39. Определите поверхностную плотность заряда σ, создающего вблизи
поверхности Земли напряженность Е = 200 В/м.
40. Электростатическое поле создается двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными равномерно одноименными зарядами с
поверхностной плотностью соответственно 1 = 2 нКл/м2 и 2= 4 нКл/м2.
129
Определите напряженность электростатического поля: 1) между плоскостями; 2) за пределами плоскостей. Постройте график изменения напряженности
поля вдоль линии, перпендикулярной плоскостям.
41. С какой силой F электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на каждый метр заряженной бесконечно длинной нити, помещенной в это поле? Линейная плотность заряда на нити τ = 3 10 8 Кл/см и
поверхностная плотность заряда на плоскости σ = 2 10 9 Кл/см2.
42. С какой силой Fl (на единицу длины) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда τ = 3 10 8 Кл/см, находящиеся на расстоянии a = 2 см друг от
друга? Какую работу Al (на единицу длины) надо совершить, чтобы сдвинуть
эти нити до расстояния r = 1 см?
43. Две длинные одноименно заряженные нити расположены на расстоянии а = 10 см друг от друга. Линейная плотность заряда на нитях
7
1 = 2 = 10 Кл/см. Найдите численное значение и направление напряженности результирующего электрического поля в точке, находящейся на рассто янии r = 10 см от каждой нити.
44. С какой силой FS (на единицу площади) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда σ = 3 10 8 Кл/см2?
45. Найдите силу F, действующую на заряд q = 0,7 10–9 Кл, если заряд
помещен: 1) на расстоянии a = 2 см от заряженной нити с линейной плотностью заряда τ = 2 10 9 Кл/см; 2) в поле заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ = 2 10 9 Кл/см2; 3) на расстоянии a = 2 см от поверхности заряженного шара с радиусом R = 2 см и поверхностной плотностью заряда σ = 2 10 9 Кл/см2. Диэлектрическая проницаемость среды во всех
трех случаях ε = 6.
46. Длинный прямой провод, расположенный в вакууме, несет заряд,
равномерно распределенный по всей длине провода с линейной плотностью
τ = 2 нКл/м. Определите напряженность Е электростатического поля на расстоянии r = 1 м от провода.
47. Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолинейного
коаксиального провода радиусом R1 = 1,5 мм заряжен с линейной плотностью
1 = 0,20 нКл/м. Внешний цилиндрический проводник этого провода радиусом R2 = 3 мм заряжен с линейной плотностью 2 = 0,15 нКл/м. Пространство между проводниками заполнено резиной. Определите напряженность E
электростатического поля в точках, лежащих от оси провода на расстояниях:
1) r1 = 1 мм; 2) r2 = 2 мм; 3) r3 = 5 мм.
48. Заряд q = 20 нКл равномерно распределен на тонкой нити длиной
l = 1 м. Определите напряженность поля Е в точке, находящейся на расстоянии r = 10 см от нити и равноудаленной от ее концов.
130
49. На металлической сфере радиусом R = 10 см находится заряд
q = 1 нКл. Определите напряженность Е электрического поля в следующих
точках: 1) на расстоянии r1 = 8 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы;
3) на расстоянии r2 = 15 см от центра сферы. Постройте график зависимости
Е = f(r).
50. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами
R1 = 6 см и R2 = 10 см несут соответственно заряды q1 = 1 нКл и q2 = 0,5 нКл.
Найдите напряженности Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1 = 5 см, r2 = 9 см, r3 = 15 см. Постройте график зависимости
Е = f(r).
51. На металлической сфере радиусом R = 15 см находится заряд
q = 2 нКл. Определите напряженность Е электростатического поля: 1) на расстоянии r1 = 10 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на расстоянии r2 = 20 см от центра сферы. Постройте график зависимости Е = f(r).
52. Поле создано двумя равномерно заряженными концентрическими
сферами радиусами R1 = 5 см и R2 = 8 см. Заряды сфер соответственно равны
q1 = 2 нКл и q2 = 1 нКл. Определите напряженность электростатического
поля в точках, лежащих от центра сфер на расстояниях: 1) r1 = 3 см;
2) r2 = 6 см; 3) r3 = 10 см. Постройте график зависимости Е = f(r).
53. Шар радиусом R = 10 см заряжен равномерно с объемной плотностью ρ = 10 нКл/м3. Определите напряженность электростатического поля:
1) на расстоянии r1 = 5 см от центра шара; 2) на расстоянии r2 = 15 см от центра шара. Постройте график зависимости Е = f(r).
54. Эбонитовый сплошной шар радиусом R = 5 см несет заряд, равномерно распределенный с объемной плотностью ρ = 10 нКл/м3. Определите
напряженность Е и смещение D электрического поля в точках: 1) на расстоянии r1 = 3 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на расстоянии
r2 = 10 см от центра сферы. Постройте графики зависимостей Е = f(r) и
D = f(r).
55. Длинный парафиновый цилиндр радиусом R = 2 см несет заряд,
равномерно распределенный по объему с объемной плотностью
ρ = 10 нКл/м3. Определите напряженность Е и смещение D электрического
поля в точках на расстоянии: 1) r1 = 1 см; 2) r2 = 3 см. Обе точки равноудалены от концов цилиндра. Постройте графики зависимостей Е = f(r) и D = f(r).
131
56. Точечные заряды q1 = 6,6 нКл и q2 = 13,2 нКл находятся на расстоянии r1 = 40 см. Какую работу А следует совершить, чтобы медленно сблизить
их до расстояния r2 = 25 см?
57. Точечные заряды q1 = 25 мкКл q2 = – q1 находятся на расстоянии
r = 5 см. Какую работу А совершает внешняя сила при равномерном перемещении пробного заряда q = 0,12 мкКл вдоль прямой, соединяющей заряды, из
точки посередине между зарядами в точку, лежащую на а = 1см ближе к заряду q2?
58. Расположение точечных зарядов q1 = 10 мкКл, q = 100 мкКл,
q2 = 25 мкКл (рис. 31). Расстояние между зарядами q1 и q r1 = 3см, а между q2
и q расстояние r2 = 5см. Какую миниq
q2
мальную работу А следует совершить, q1
q
q
q
чтобы поменять заряды q1 и q2 местами? 1
2
Рис. 31
59. Какую минимальную работу А
следует совершить для перевода трех бесконечно удаленных друг от друга
электронов в вершины равностороннего треугольника со стороной a = 10-10 м?
60. В вершинах квадрата со стороной а = 50 см расположены точечные
заряды q1 = 3 мкКл. Какую минимальную работу А следует совершить, чтобы
переместить точечный заряд q2 = – 8мкКл из центра квадрата в середину любой стороны?
61. Четыре точечных заряда q расположены на прямой. Расстояние
между ближайшими зарядами равно r. Какую минимальную работу А следует
совершить, чтобы поместить заряды в вершинах тетраэдра с ребром r?
62. При перемещении заряда q = 20 нКл между двумя точками поля
внешними силами была совершена работа А = 4 мкДж. Определите работу А1
сил поля и разность
потенциалов этих точек поля.
63. Вычислите потенциальную энергию EП системы двух точечных зарядов q1 = 100 нКл и q2 = 10 нКл, находящихся на расстоянии r = 10 см друг
от друга.
64. Электрическое поле создаётся положительно заряженной бесконечной плоскостью с постоянной поверхностной плотностью = 10 нКл/м2. Какую работу A нужно совершить для того, чтобы перенести электрон вдоль
линии напряженности на расстояние от r1 = 2 см до r2 = 1см?
65. Электрическое поле создаётся положительно заряженной бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью = 1 нКл/см. Какую скорость
υ приобретёт электрон, приблизившись под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстояния r1 = 1,5 см до r2 = 1 см?
66. Электростатическое поле создаётся точечным зарядом. Потенциалы
в точках А и В равны φA = 30 В и φB = 20 В соответственно. Найдите потенциал φC в точке С, лежащей посередине между точками А и В (прямая АВ
проходит через заряд).
132
67. Поле создано точечным зарядом q = 1 нКл. Определите потенциал
поля в точке, удаленной от заряда на расстояние r = 20 см.
68. Заряды q1 = 1 мкКл и q2 = 1 мкКл находятся на расстоянии
r = 10 см. Определите напряженность Е и потенциал поля в точке, удаленной на расстояние a = 10 см от первого заряда и лежащей на линии, проходящей через первый заряд перпендикулярно направлению от q1 к q2.
69. Кольцо радиусом R = 5 см из тонкой проволоки несёт равномерно
распределённый заряд q = 10 нКл. Определите потенциал электростатического поля: 1) в центре кольца, 2) на оси, проходящей через центр кольца, в
точке, удалённой на расстояние a = 10 см от центра кольца.
70. На кольце с внутренним радиусом r = 80 см и внешним R = 1 м равномерно распределён заряд q = 10 нКл. Определите потенциал φ в центре
кольца.
71. Металлический шар радиусом R = 5 см несёт заряд q = 10 нКл.
Определите потенциал электростатического поля: 1) на поверхности шара,
2) на расстоянии a = 2 см от его поверхности. Постройте график зависимости
= f(а).
72. Полый шар несёт в себе равномерно распределённый заряд. Определите радиус шара R, если потенциал в центре шара равен 1 = 200 В, а в
точке, лежащей от его центра на расстоянии r = 50 см, 2 = 40 В.
73. Электростатическое поле создаётся бесконечной плоскостью, заряженной равномерно с поверхностной плотностью = 5 нКл/м2. Определите
числовое значение φ на расстоянии l = 1 м от плоскости и направление градиента потенциала этого поля.
74. Электрическое поле создаётся положительно заряженной бесконечной нитью. Протон, двигаясь от нити под действием поля вдоль линии
напряженности с расстояния r1 = 1 см до r2 = 5 см, изменил свою скорость от
υ 1 = 1 до υ 2 = 10 Мм/с. Определите линейную плотность τ заряда нити.
75. Величина напряженности однородного электрического поля
Е = 600 В/м. Найдите разность потенциалов φA – φB в точках А и В таких, что
составляет угол α = 600 с . Расстояние между точками A и B равно
d = 2 мм.
76. В пространство между обкладками А
A
и В незаряженного плоского конденсатора
вносится металлическая пластина с зарядом q
l1
(рис.32). Между пластиной и обкладками конденсатора при этом остаются зазоры шириной
l2
l1 и l2. Площади пластины и обкладок одинаковы и равны S. Определите разность φA – φB поB
тенциалов обкладок конденсатора.
77. Две пластины равномерно заряжены
Рис. 32
с
поверхностной
плотностью
заряда
133
σ = 0,2мкКл/м одна положительным, другая отрицательным зарядами. Расстояние между пластинами d1 = 1мм. Найдите приращение ∆(φA – φB) разности потенциалов пластин при увеличении расстояния между ними до
d2 = 3 мм.
78. Электрическое поле создаётся бесконечной плоскостью, равномерно заряженной с поверхностной плотностью = 1 нКл/м2. Определите разность потенциалов φ1 – φ2 между двумя точками этого поля, лежащими на
расстоянии r1 = 20 см и r2 = 50 см от плоскости.
79. Электростатическое поле создается шаром радиусом R = 8 см, равномерно заряженным с объемной плотностью = 10 нКл/м3. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии r1 = 10 см и r2 = 15 см от центра шара.
80. Электростатическое поле создается бесконечным цилиндром радиусом R = 8 мм, равномерно заряженным с линейной плотностью
=
10 нКл/м. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии r1 = 2 см и r2 = 7 см от поверхности этого цилиндра.
81. Шарик радиусом R = 0,2 см, имеющий заряд q = 18 пКл, находится
в воздухе. Найдите радиусы эквипотенциальных поверхностей R1 и R2, потенциалы которых отличаются друг от друга на
= 15 В. Влиянием других
заряженных тел пренебречь.
82. Найдите потенциал капли ртути, получившейся в результате слияния n одинаковых шарообразных капель ртути, имеющих один и тот же потенциал 1.
83. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины
до другой, приобретает скорость υ = 108 см/с. Расстояние между пластинами
d = 5,3 мм. Найдите: 1) разность потенциалов между пластинами ∆φ; 2)
напряженность электростатического поля внутри конденсатора E; 3) поверхностную плотность заряда σ на пластинах.
84. Между двумя вертикальными пластинами падает пылинка. Вследствие сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна υ = 2 см/с.
Через какое время t после подачи на пластины разности потенциалов
∆φ = 3000 В пылинка достигнет одной из пластин? Какое расстояние l по
вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину? Расстояние между
пластинами равно d = 2 см, масса пылинки m = 2 10 9 г, заряд ее
q = 6,5 10 17 Кл.
85. После пролета заряженной частицы через заряженный конденсатор
емкостью С = 4,4 пФ образовалось N = 2⋅105 пар однократно заряженных положительных и отрицательных ионов. Найдите приращение ∆U напряжения
на конденсаторе.
86. Плоский конденсатор, расстояние между обкладками которого
d1 = 1 см, зарядили до напряжения U1 = 100 В, затем отключили от источника
2
134
напряжения и раздвинули обкладки конденсатора до расстояния d2 = 2 см.
Определите напряжение U2 на конденсаторе в конечном состоянии.
87. Величина напряженности электрического поля в плоском конденсаторе, использующемся в строительном дефектоскопе, Е = 56 кВ/м, разность
потенциалов между обкладками ∆φ = 280 В. Площадь каждой обкладки
1
S = 10 м2. Найдите емкость С конденсатора.
88. Обкладки конденсатора из блока питания прибора для нарезания
резьбы на водопроводной трубе представляют собой две полоски фольги,
каждая площадью S = 0,4 м2, разделенные парафиновой бумагой, толщина
которой d = 0,08 мм, диэлектрическая проницаемость ε = 2,2. Найдите приращение ∆q заряда конденсатора, при котором напряжение на конденсаторе
увеличится на ∆U=175 В.
89. Конденсатор с воздушным зазором емкостью C = 4,5 нФ подключен
к источнику постоянного напряжения U = 112 B. Не отключая конденсатор
от источника, воздушный зазор целиком заполняют слюдой. Найдите прир ащение ∆q заряда конденсатора.
90. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено
двумя слоями диэлектриков: слоем стекла толщиной d1 = 1см и слоем парафина толщиной d2 = 2см. Определите емкость С конденсатора. Площадь каждой обкладки S = 100 см2.
91. Плоский конденсатор состоит из
трех пластин (рис. 33). Площадь каждой пластины S = 100 см2, расстояние между ближайшими пластинами d = 0,5 см. Найдите емкость С конденсатора. Как изменится емкость
конденсатора при погружении его в керосин?
92. Конденсатор,
заряженный
до
напряжения U1 = 100 В, соединяют с конденРис. 33
сатором той же емкости, заряженным до
U2 = 200 В: один раз одноименно заряженными обкладками, другой – разноименно заряженными обкладками. Какие напряжения UI и UII установятся на
конденсаторах?
93. Расстояние между пластинами плоского конденсатора составляет
d = 5 мм. После зарядки конденсатора до разности потенциалов U = 500 В
между пластинами конденсатора вдвинули стеклянную пластину. Определите: 1) диэлектрическую восприимчивость стекла κ; 2) поверхностную плотность связанных зарядов на стеклянной пластинке σ.
94. Между пластинами плоского конденсатора помещено 2 слоя диэлектрика – пластина слюды толщиной d1 = 1 мм и парафин толщиной
d2 = 0,5 мм. Определите: 1) напряженность E электростатических полей в
слоях диэлектрика; 2) электрическое смещение D, если разность потенциалов
между пластинами конденсатора ∆φ = 500 В.
135
95. Вакуумный цилиндрический конденсатор для строительного разрядника имеет радиус внутреннего цилиндра r = 1,5 см, радиус внешнего цилиндра R = 3,5 см. Между цилиндрами приложена разность потенциалов
U = 2300 В. Какую скорость υ получит электрон под действием этого конденсатора, двигаясь с расстояния l1 = 2,5 см до расстояния l2 = 2 см от оси цилиндра?
96. Цилиндрический конденсатор состоит из внутреннего цилиндра
r = 3 мм, двух слоев изолятора и внешнего цилиндра радиусом R = 1 см. Первый слой изолятора толщиной d1 = 3 мм примыкает к внутреннему цилиндру.
Найдите отношение падений потенциала U1 /U2 в этих слоях.
97. Конденсатор состоит из двух металлических сфер. Радиус внутренней сферы R1 = 10 см, внешней R2 = 10,2 см. Промежуток между сферами заполнен парафином. Внутренней сфере сообщен заряд q = 5 мкКл. Определите
разность потенциалов U между сферами.
98. Сферический конденсатор состоит из двух концентрических сфер
радиусами r1 = 5 см и r2 = 5,5 см. Пространство между обкладками конденсатора заполнено маслом. Определите: 1) емкость C этого конденсатора; 2) шар
какого радиуса R, помещенный в масло, обладает такой емкостью.
99. Емкость батареи конденсаторов, образованной двумя последовательно соединенными конденсаторами, С = 100 пФ, а заряд q = 20 нКл.
Определите емкость второго конденсатора, а также разности потенциалов U1
и U2 на обкладках каждого конденсатора, если С1 = 200 пФ.
100. При помощи электрометра сравнивали между собой емкости двух
конденсаторов. Для этого заряжали их до разных потенциалов: U1 = 300 В и
U2 = 100 В и соединяли оба конденсатора параллельно. Измеренная при этом
электрометром разность потенциалов между обкладками конденсатора оказалась равной U = 250 В. Найдите отношение емкостей С1 / С2.
101. Конденсатор емкостью С1 = 20 мкФ заряжен до напряжения
U1 = 200 В. К нему присоединяют параллельно незаряженный конденсатор
С2 = 300 мкФ. Какое напряжение U установится после их соединения?
102. Систему конденсаторов емкостью С = 100 мкФ, состоящую из
трех параллельно соединенных одинаковых конденсаторов, включили в сеть
напряжением U = 250 В. На обкладках одного из конденсаторов появился заряд q1 = 10 мкКл. Определите емкость C2 и C3 и заряд q2 и q3 каждого из двух
остальных одинаковых конденсаторов.
103. Между пластинами плоского конденсатора из строительного лазерного дальномера вложена тонкая слюдяная пластинка. Какое давление P
испытывает эта пластинка при напряженности электростатического поля
E = 10 кВ/см?
104. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора S = 100 см2
и расстояние между ними d = 5 мм. Какая разность потенциалов U была приложена к пластинам конденсатора, если известно, что при разряде конденс атора выделилось Q = 4,19 10 3 Дж тепла?
136
105. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами
которого d = 2 см, заряжен до потенциала φ = 3000 В. Какова будет напряженность поля E конденсатора, если, не отключая источника напряжения,
пластины раздвинуть до расстояния d2 = 5 см? Вычислите энергию конденсатора W1 и W2 до и после раздвижения. Площадь пластин S = 100 см2.
106. После зарядки до разности потенциалов U = 1,5 кВ плоский воздушный конденсатор с расстоянием между пластинами d = 2 см и площадью
пластин S = 0,20 м2 каждая отключают от источника тока и увеличивают расстояние между пластинами вдвое. Определите работу A, совершаемую против сил поля по раздвижению пластин, и плотность энергии электрического
поля конденсатора до и после раздвижения пластин.
107. Пластины плоского конденсатора площадью S = 100 см2 каждая
притягиваются друг к другу с силой F = 2,9 10 2 Н. Пространство между пластинами заполнено слюдой. Найдите: 1) заряды q, находящиеся на пластинах,
2) напряженность поля E между пластинами; 3) энергию W в единице объема
поля.
108. Заряженная капелька жидкости массой m = 2⋅10-12 кг покоится в
электрическом поле напряженностью Е = 0,13 МВ/м. Определите величину q
заряда капельки.
109. Отрицательно заряженная капелька массой m = 10-12 кг покоится
в электрическом поле плоского конденсатора, напряжение на котором
U = 1 кВ. Расстояние между обкладками d = 4,8 мм. Сколько избыточных
электронов N находится на капельке?
110. В плоском конденсаторе с горизонтально расположенными обкладками, расстояние между которыми d, находится заряженная капелька
массой m. В отсутствие электрического поля капелька падает равномерно с
некоторой постоянной скоростью. Если напряжение на конденсаторе U, капелька падает вдвое медленнее. Найдите заряд q капельки.
111. Электрон движется с начальной скоростью υ 0 = 106 м/с в однородном электрическом поле напряженностью Е = 120 В/м ( ↑↑ ). Найдите
время t движения электрона до остановки.
112. С какой скоростью υ достигают анода электронной лампы электроны монитора строительного дефектоскопа, испускаемые катодом, если
напряжение между анодом и катодом U = 200 В? Начальная скорость электронов мала.
113. Электрон движется с нулевой начальной скоростью в однород2
ном электрическом поле с ускорением a = 10 Тм/с . Найдите: 1) величину Е
напряженности поля; 2) величину υ скорости электрона в момент времени
τ = 1 мкс; 3) работу А сил электрического поля на перемещении за время от
t = 0 до t = τ; 4) разность потенциалов (φ2 – φ1) в конечной и начальной точках
перемещения электрона.
114. В плоский конденсатор с зарядом q влетает электрон со скоростью параллельно обкладкам. Найдите величину υ скорости электрона при
137
вылете из конденсатора и угол α между векторами и . Емкость конденсатора С, расстояние между обкладками d = 1 см, длина каждой обкладки L.
115. Электрон со скоростью υ 0 =20 Мм/с влетает в плоский конденсатор параллельно обкладкам. Величина напряженности электрического поля в
конденсаторе Е = 6 кВ/м. Найдите величину ∆υ приращения скорости электрона за время пролета конденсатора. Длина каждой обкладки L = 6 см.
116. Частица, заряд которой q, а масса m, пролетает область однородного электрического поля протяженности d за время t. Скорость υ частицы на
входе в поле направлена вдоль поля. Определите напряженность E электрического поля.
117. Протон и -частица, ускоренные одинаковой разностью потенциалов, влетают в плоский конденсатор параллельно пластинам. Во сколько раз
отклонение протона полем конденсатора будет больше отклонения
частицы?
118. Электрон движется в плоском горизонтальном конденсаторе параллельно его пластинам со скоростью υ = 3,6 104 км/с. Напряженность поля
внутри конденсатора E = 37 В/см. Длина пластин конденсатора L = 20 см. На
какое расстояние l сместится электрон в вертикальном направлении под действием электрического поля за время его движения в конденсаторе?
119. Электрон влетает в область однородного электрического поля
напряженностью E = 200 В/м со скоростью υ = 107 м/с. Скорость направлена
вдоль электрического поля. В течение какого времени t электрон будет находиться в области этого поля? Определите, на каком расстоянии x от места
входа в поле электрон выйдет из него, если он влетает под углом α = 450 к
направлению поля.
120. Оцените, при какой разности потенциалов U между плоскими
электродами зажигается газовая лампа, если энергия ионизации атомов газа
W = 3 10 16 Дж. Средняя длина пробега электронов в газе 1 мм, расстояние
между пластинами d = 1 см.
Постоянный электрический ток. Электрические токи в металлах,
жидкостях, вакууме и газах
1. По проводнику, питающему сварочный аппарат, течет ток величиной I = 8 А. Площадь поперечного сечения проводника S = 5 см2. Концентрация свободных электронов в проводнике n = 1028 см-3. Определите величину υ
скорости упорядоченного движения электронов.
2. Птица сидит на проводе линии электропередачи, по которому течет
ток величиной I = 1800 А. Сопротивление каждого метра провода
R1 = 2⋅10-5 Ом/м. Если расстояние между лапами птицы d = 2,5 см, то под каким напряжением U находится птица?
3. Резистор сопротивлением R = 38 Ом изготовлен из медного провода
массой m = 11,2 г. Найдите длину l и диаметр d провода.
138
4. По медной проволоке диаметром d = 0,8 мм течет ток силой
I = 0,5 А. Определите величину Е напряженности электрического поля в проволоке.
5. Сопротивление провода питания бетономешалки длиной l1 = 20 м и
диаметром d1 = 1,5 мм равно R1 = 2,5 Ом. Найдите сопротивление R2 провода
из того же материала длиной l2 = 35 м и диаметром d2 = 3 мм. Температуры
проводов одинаковы.
6. Сопротивление проволоки электроплитки подогрева цементного
раствора R = 36 Ом. Когда ее разрезали на N равных частей и соединили эти
части параллельно, сопротивление полученного резистора оказалось равным
r = 1 Ом. На сколько N частей разрезали проволоку?
7. Сила тока в проводнике при начале работы цементного вибратора
равномерно нарастает от I0 = 0 до I = 2 А в течение времени τ = 5 с. Определите заряд q, прошедший в проводнике.
8. Определите плотность тока j, если за τ = 2 с через проводник сечением S = 1,6 мм2 прошло n = 2 1019 электронов.
9. Ламповый реостат состоит из пяти электрических лампочек, включенных параллельно. Найдите сопротивление реостата R: 1) когда горят все
лампочки; 2) когда вывинчиваются: а) одна; б) две; в) три; г) четыре лампочки. Сопротивление каждой лампочки равно Ri = 350 Ом.
10. Катушка из медной проволоки (электромагнит башенного крана)
имеет сопротивление R = 10,8 Ом. Масса медной проволоки m = 3,41 кг.
Сколько метров l проволоки и какого диаметра d намотано на катушке?
11. Найдите сопротивление железного стержня диаметром d = 1 см, если масса этого стержня m = 1 кг.
12. Два цилиндрических проводника, один из меди, а другой из алюминия, имеют одинаковую длину и одинаковое сопротивление. Во сколько раз
медный провод тяжелее алюминиевого?
13. Во сколько раз величина тока в момент подключения лампы с
вольфрамовой нитью к источнику постоянного напряжения при комнатной
температуре t1 = 20 0С больше величины тока в рабочем состоянии, если температура накала t2 = 2400 0С? Температурный коэффициент сопротивления
вольфрама α = 0,51⋅10-2 К-1.
14. Найдите рабочую температуру t нити вольфрамовой лампы накаливания в рабочем состоянии, если известно, что сопротивление нити в момент включения при температуре t0 = 20 0С в 12,6 раза меньше, чем в рабочем состоянии.
15. По проводнику сопротивлением R = 20 Ом течет постоянный ток.
За время τ = 5 мин через проводник прошел заряд q = 300 Кл. Найдите количество Q тепла, выделившегося в проводнике за время τ.
16. Протекающий через резистор ток изменяется во времени по закону
I = k⋅ , где k = 1 А⋅c-1/2 (время измеряется в секундах, величина тока в амперах). За какое время τ от начала протекания тока на резисторе выделилось
Q = 1,8 кДж тепла? Сопротивление резистора R = 100 Ом.
139
17. Две проволоки одинаковых размеров, одна из которых железная, а
другая медная, соединены последовательно и включены в сеть. Найдите о тношение Q1 / Q2 количеств теплоты, выделяющихся в каждой проволоке за
время t.
18. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 120 Ом равномерно
возрастает от I0 = 0 до Imax = 5 А за время = 15 с. Определите выделившееся
за это время в проводнике количество теплоты Q.
19. Определите напряженность E электрического поля в алюминиевом
проводнике объемом V = 10 см3, если при прохождении по нему постоянного
тока за время t = 5 мин выделилось количество теплоты Q = 2,3 кДж.
20. Спираль нагревателя сопротивлением R0 = 5 Ом подключена к батарее с внутренним сопротивлением r = 20 Ом. При каком сопротивлении R
шунта к нагревателю количество теплоты Q, выделяющейся в нагревателе,
уменьшится в n = 9 раз?
21. Найдите диаметр d медного провода, если проводка рассчитана на
максимальную величину тока Imax = 40 А и на одном метре l провода не
должно выделяться более Pmax = 40 Вт/м тепла.
22. Электрическая лампочка с вольфрамовой нитью рассчитана на
напряжение U = 220 В и мощность P = 40 Вт. Температура накаленной нити
T = 2700 К. Найдите величину I0 тока, протекающего в лампочке в первый
момент включения лампы (T0 = 273 К). Температурный коэффициент сопротивления вольфрама α = 0,51⋅10-2 К-1.
23. На спираль электроплитки мощностью P = 576 Вт подано напряжение U = 120 В. Какое количество N электронов ежесекундно проходит через
поперечное сечение спирали?
24. У электроплитки на η1 = 10 % укоротили спираль. На сколько процентов η2 увеличилась мощность плитки?
25. Электрический нагреватель работает от источника с напряжением
U = 120 В и при токе I = 5 А за τ = 20 мин нагревает m = 1,5 кг воды от t1 = 16 0С
до t2 =100 0С. Найдите коэффициент полезного действия η нагревателя.
26. Лампочка в кабине башенного крана рассчитана на напряжение
U0 = 120 В и мощность P0 = 40 Вт. Какое добавочное сопротивление R следует включить последовательно с лампочкой, чтобы она горела нормальным
накалом при напряжении в сети U = 200 В?
27. От источника с напряжением U = 5 кВ при помощи проводов с удельным сопротивлением
= 2⋅10-8 Ом·м и площадью поперечного сечения
2
S = 10-6 м передают электроэнергию. На нагрузке сопротивлением R = 1,6
кОм выделяется мощность Р = 10 кВт. Найдите расстояние l от источника до
нагрузки. Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало.
28. Нагревательный элемент в электрической кастрюле состоит из двух
одинаковых секций. Сопротивление каждой секции R = 20 Ом. Через какое
время τ закипит вода объемом V = 2,2 л, если: 1) включена одна секция;
2) обе секции включены последовательно; 3) обе секции включены парал140
лельно? Начальная температура воды t1 = 16 0С, напряжение в сети
U = 110 В, КПД нагревателя η = 85 %. Температура кипения воды t2 = 100 0С.
29. Нагревательный элемент электрического чайника состоит из двух
секций. При включении одной из них вода закипает через τ1 = 15 мин, при
включении другой через время τ2 = 10 мин. Через какое время τ3, τ4 закипит
вода, если секции включить последовательно, параллельно?
30. От источника с напряжением U = 750 В необходимо передать удаленному потребителю мощность Р = 5 кВт. При какой величине R сопротивления линии передачи потери энергии составят η = 10 % полезной мощности?
31. Сопротивление вольфрамовой нити электрической лампочки при
t1 = 20 0С равно R = 35,8 Ом. Какова будет температура t2 нити лампочки, если
при включении в сеть напряжением U = 120 В по нити идет ток I = 0,33 А?
Температурный коэффициент сопротивления вольфрама α = 4,6 10 3 0С 1.
32. Обмотка катушки из медной проволоки при температуре t1 = 14 0С
имеет сопротивление R1 = 10 Ом. После пропускания тока сопротивление обмотки стало равно R2 = 12,2 Ом. До какой температуры t2 нагрелась обмотка?
Температурный коэффициент сопротивления меди равен α = 4,15 10-3 0С 1.
33. В схеме (рис. 34) показание амперметра I = 5 А, показание вольтметра U = 100 В. Внутреннее сопротивление вольтметра r = 2500 Ом. Определите величину R сопротивления резистора. Найдите относительную погрешность δ определения величины
V
сопротивления,
обусловленную
предположением о большом по
сравнению с R сопротивлении вольтметра.
R
34. Для определения сопроA
тивления резистора проводят измерения по двум электрическим схемам a) и b), подавая в обоих случаях
Рис. 34
одинаковое напряжение на клеммы
CD (рис. 35). В первом случае (схема a) вольтметр V показал напряжение U1
=190 В, амперметр А – ток I1 = 1,9 А. Во втором случае (схема b) U2 = 170 В и
I2 = 2 А. Найдите сопротивление R резистора.
V
V
R
R
A
C
D
a
A
C
b
Рис. 35
141
D
35. Плоский конденсатор емкостью С и расстоянием между обкладками
d заполнен слабопроводящей средой с диэлектрической проницаемостью ε и
удельным сопротивлением . Найдите установившуюся величину Е напряженности поля в среде после подключения конденсатора к источнику с ЭДС
ε и внутренним сопротивлением r.
36. Элемент атомной батареи (источника тока) представляет собой
плоский конденсатор, на одну из обкладок которого однородно нанесен р адиоактивный препарат, испускающий α-частицы со скоростью υ = 2,2⋅106 м/с.
Определите ЭДС ε такого элемента. Отношение заряда α-частицы к ее массе
= 4,8⋅107 Кл/кг.
37. В плоский конденсатор, расстояние между пластинами которого
d = 5, мм, вдвигают стеклянную пластину ( = 7) с постоянной скоростью
υ = 50 м/с. Ширина пластины b = 4,5 мм, ЭДС батареи = 220 В. Определите
силу тока I в цепи батареи, подключенной к конденсатору.
38. Найдите диаметр d железного провода длиной l = 5 см, если после
замыкания им батареи с ЭДС ε = 1,5 В и внутренним сопротивлением
r = 0,2 Ом величина тока в цепи I = 0,6 А.
39. При подключении некоторого сопротивления R к ЭДС ε = 30 В и
внутренним сопротивлением r = 2 Ом напряжение на зажимах источника
U = 28 В. Найдите величину I тока в цепи.
40. При подключении к батарее сопротивления R1 = 5 Ом по цепи течет
ток I1 = 3 А. При подключении сопротивления R2 = 10 Ом ток в цепи I2 = 2 А.
Найдите ток I0 короткого замыкания батареи.
41. Определите напряжение U на полюсах источника питания электрокара с ЭДС ε = 12 В, если сопротивление внешней части цепи равно внутреннему сопротивлению источника.
42. К источнику с ЭДС ε = 11 В подключают последовательно три проводника одинаковой длины с площадями поперечного сечения S1 = 1 мм2,
S2 = 2 мм2, S3 = 3 мм2 соответственно. Все проводники изготовлены из одного
материала. Определите напряжения U1, U2, U3 на проводниках. Внутреннее
сопротивление источника пренебрежимо мало.
43. Сопротивления R1 = 12 Ом и R2 = 24 Ом соединены параллельно и
подключены к батарее с ЭДС ε = 28 В и внутренним сопротивлением
r = 6 Ом. Найдите величины токов I1, I2 и I, текущих через батарею и сопротивления.
44. Батарейка для карманного фонаря замкнута на реостат. При сопротивлении реостата R1 = 1,65 Ом напряжение на нем U1 = 3,3 В, а при сопротивлении реостата R2 = 3,5 Ом напряжение на реостате U2 = 3,5 В. Найдите
ЭДС ε и внутреннее сопротивление r батареи.
142
45. При подключении к батарее гальванических элементов сопротивления R1 = 16 Ом величина тока в цепи I1 = 1 А, а при замене сопротивления R1
сопротивлением R2 = 8 Ом величина тока в цепи I2 = 1,8 А. Найдите ЭДС ε и
внутреннее сопротивление r батареи.
46. При замыкании источника тока на резистор с сопротивлением
R1 = 5 Ом в цепи идет ток I1 = 5 А, а при замыкании на резистор с сопротивлением R2 = 2 Ом идет ток I2 = 8 А. Найдите внутреннее сопротивление r и
ЭДС источника тока .
47. Амперметр с сопротивлением R1 = 2 Ом, подключенный к источнику тока, показывает силу тока I1 = 5 А. Вольтметр с сопротивлением
R2 = 150 Ом, подключенный к такому же источнику тока, показывает напряжение U = 12 В. Найдите ток короткого замыкания IК источника.
48. Даны четыре элемента с ЭДС = 1,5 В и внутренним сопротивлением r = 0,2 Ом. Как нужно соединить эти элементы, чтобы получить от с обранной батареи наибольшую силу тока во внешней цепи, имеющей сопротивление R = 0,2 Ом? Определите максимальную силу тока Imax.
49. В схеме (рис. 36) 1 = 2 = 110 В, R1 = R2 = 200 Ом, сопротивление
вольтметра RV = 1000 Ом. Найдите показание вольтметра U. Сопротивлением
батарей пренебречь.
50. В схеме (рис. 36) 1 = 2,
ε1
R1 = R2 = 100 Ом. Вольтметр показывает
U = 150 В, сопротивление вольтметра
равно RV = 150 Ом. Найдите ЭДС батарей
1 и
2. Сопротивлением батарей пренебречь.
R1
R2
V
51. Для покрытия цинком металлических изделий в электролитическую
ванну помещен цинковый электрод массой m = 120 г. Найдите заряд q, который
ε2
должен пройти через ванну, чтобы электрод полностью израсходовался. Электрохимический
эквивалент
цинка
-7
Рис. 36
k = 3,4⋅10 кг/Кл.
52. При никелировании детали в течение τ = 2 ч через ванну проходил ток I = 25 А. Какова толщина d слоя ни2
келя? Площадь детали S = 0,2 м . Электрохимический эквивалент никеля
k = 3⋅10-7 кг/Кл.
53. Какое количество N ионов осядет на катоде при электролизе из соли
любого двухвалентного металла за τ = 40 мин при величине тока I = 4 А?
143
54. При силе тока I = 5 А за время τ = 10 мин в электролитической ванне выделилось m = 1,02 г двухвалентного металла. Определите его относительную атомную массу А.
55. Ток плотностью j = 5 мА/см2 протекает через электролитический
раствор сульфата никеля (NiSO4). За какое время τ отложится слой толщиной
d = 50 мкм и какая мощность P нужна для того, чтобы в течение t = 1 ч покрыть никелем поверхность площадью S = 1 мм2 до указанной толщины, если
напряжение U = 7 В?
56. Для гальванического покрытия золотом пользуются раствором хлорида золота (АuСl3). Через какое время τ можно получить слой золота толщиной d = 5 мкм, если плотность тока j = 0,2 А/дм2?
57. Какой заряд q нужно пропустить через электролитическую ванну,
наполненную подкисленной водой, чтобы заполнить водородом шар-зонд
диаметром D = 10 м при нормальных условиях?
58. При силе тока I = 2,2 А за τ =1 ч 12 мин в электролите, содержащем
медь, на катоде выделилась медь массой m = 1,65 г. Определите КПД установки η.
59. Концентрация электронов проводимости в металле равна
n = 2,5⋅1022 см-3. Определите среднюю скорость их упорядоченного движения при плотности тока j = 1 А/мм2.
60. Ток насыщения при несамостоятельном разряде равен I = 9,6 пА.
Определите число пар ионов n, создаваемых в 1 с внешним ионизатором.
Магнитное поле
1. Магнитная индукция В поля в вакууме равна 10 мТл. Найдите
напряженность Н магнитного поля.
2. Максимальный момент сил, действующих на прямоугольную рамку
с током I = 50 А в однородном магнитном поле, равен M = 1 Н⋅м. Какова индукция поля B, если ширина рамки a = 10 см, а длина b = 20 см?
3. Определите индукцию магнитного поля B, если максимальный момент сил, действующих на рамку площадью S = 1 см2 при силе тока I = 1 А,
равен M = 50 мН⋅м. Рамка состоит из N = 100 витков провода.
4. Равномерно заряженная с линейной плотностью τ = 5 нКл/м квадратная рамка со стороной a = 10 см вращается с угловой скоростью
= 12 рад/с вокруг одной из сторон. Найдите магнитный момент рамки pm.
5. Равномерно заряженный тонкий диск радиусом R = 8 см вращается
с угловой скоростью = 10 рад/с вокруг своего неподвижного диаметра.
Полный заряд диска q = 12 мкКл. Найдите магнитный момент диска pm.
6. Тонкое кольцо массой m = 15 г и радиусом R = 20 см несет заряд,
равномерно распределенный с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Кольцо
равномерно вращается с частотой ν = 8 с -1 относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящий через ее центр. Определите отношение
144
магнитного момента pm кругового тока, создаваемого кольцом к его моменту
импульса L.
7. Прямой провод длиной l = 10 см, по которому течет ток силой
I = 20 А, находится в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,01 Тл.
Найдите угол α между направлением вектора магнитной индукции и током,
если на провод действует сила F = 10 мН.
8. Прямой проводник длиной l = 20 см, по которому течет ток I = 50 А,
движется в однородном магнитном поле с индукцией B = 2 Тл. Какую работу
A совершат силы, действующие на проводник со стороны поля, переместив
его на a = 10 см, если направление перемещения перпендикулярно линиям
индукции и длине проводника?
9. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся
на некотором расстоянии друг от друга. По проводникам текут одинаковые
токи в одном направлении. Найдите токи I1 и I2, текущие по каждому из проводников, если известно, что для того, чтобы раздвинуть эти проводники на
вдвое большее расстояние, пришлось совершить работу (на единицу длины
проводников) A = 55 мкДж/м.
10. В однородном магнитном поле с индукцией B = 0,5 Тл движется
равномерно проводник длиной l = 10 см. По проводнику течет ток I = 2 А.
Скорость движения проводника υ = 20 см/с и направлена перпендикулярно к
направлению магнитного поля. Найдите работу A по перемещению проводника за время t = 10 с.
11. Проводник массой m = 10 г и длиной l = 20 см подвешен в горизонтальном положении в верикальном магнитном поле с индукцией B = 0,25 Тл.
На какой угол β от вертикали отклонятся нити, на которых подвешен проводник, если по нему пропустить ток силой I = 2 А?
12. Стержень массой m = 20 г и длиной l = 5 см положили горизонтально на гладкую наклонную плоскость, составляющую с горизонтом угол
β = 170. Вся система находится в вертикальном магнитном поле с индукцией
B = 150 мТл. При какой силе тока I стержень будет находиться в равновесии?
13. В вертикальной плоскости расположены два горизонтальных прямых, параллельных друг другу проводника. Сила тока в каждом проводнике
I = 100 А. Верхний проводник можно считать бесконечно длинным. Нижний
проводник имеет длину l = 10 м и массу m = 0,01 кг. Каково должно быть
расстояние d между проводниками, чтобы сила их взаимодействия уравновешивала силу тяжести нижнего проводника?
14. Три стороны квадрата из проволоки жестко связаны друг с другом,
а четвертая может скользить по ним. Квадрат расположен на горизонтальной
поверхности и находится в вертикальном магнитном поле с индукцией
B = 100 мТл. Какой ток I надо пропустить по контуру, чтобы сдвинуть подвижную сторону, если ее масса m = 20 г, а коэффициент трения в контактах
μ = 0,2? Сторона квадрата a = 20 см.
145
15. Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с
длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу.
Сила тока в рамке и проводе одинакова и равна I = 1 кА. Определите силу F,
действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится
на расстоянии, равном ее длине.
16. В тонком проводнике в виде кольца радиусом R = 20 см сила тока
I = 100 А. Перпендикулярно плоскости кольца создано однородное магнитное
поле с индукцией В = 2⋅10-2 Тл. Чему равна сила F, растягивающая кольцо?
17. Ток I = 20 А, протекая по кольцу из медной проволоки сечением
S = 1,0 мм2, создает в центре кольца напряженность магнитного поля
H = 178 А/м. Какая разность потенциалов U приложена к концам проволоки,
образующей кольцо?
18. Из какого материала изготовлена обмотка соленоида длиной l = 0,3
м, если диаметр соленоида D = 0,05 м, напряженность магнитного поля на
его оси Н = 15 А/м, напряжение на концах обмотки U = 0,9 В? Диаметр провода d = 10-3 м.
19. Считая, что электрон в атоме водорода движется по круговой орбите радиусом R = 0,53⋅10-8 см, определите индукцию магнитного поля B в центре орбиты. Силу кругового тока, эквивалентного движущемуся электрону,
принять I = 1 мА.
20. По трем параллельным прямым проводам, находящимся на одинаковом расстоянии d = 30 см друг от друга, текут одинаковые токи силой
I = 100 А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислите силы
Fl1, Fl2 и Fl3, действующие на единицу длины каждого провода.
21. По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток I = 50 А.
Определите магнитную индукцию B в точке, удаленной на расстояние
a = 5 см от проводника.
22. Определите магнитную индукцию B в центре кругового проволочного витка радиусом R = 10 см, по которому течет ток I = 1 А.
23. Определите магнитную индукцию B на оси тонкого проволочного
кольца радиусом R = 5 см, по которому течет ток I = 10 А, в точке А, расположенной на расстоянии a = 10 см от центра кольца.
24. Определите магнитную индукцию В0 на оси тонкого проволочного
кольца радиусом R = 10 см в точке, расположенной на расстоянии a = 20 см
от центра кольца, если в центре индукция равна В = 50 мкТл.
25. По обмотке очень короткой катушки радиусом R = 16 см течет ток
силой I = 5 А. Сколько витков N проволоки намотано на катушку, если
напряженность магнитного поля в ее центре H = 800 А/м?
26. Два длинных параллельных провода находятся на расстоянии
d = 5 см один от другого. По проводам текут в противоположных направлениях одинаковые токи I = 10 А. Найдите напряженность Н магнитного поля в
точке, находящейся на расстоянии a1 = 2 см от одного и a2 = 3 см от другого
провода.
146
27. По двум бесконечно длинным прямым
проводникам, скрещенным под прямым углом,
d
текут токи I1 = 30 А и I2 = 40 А (рис.37). Расстояние между проводниками d = 20 см. Определите
d
d
магнитную индукцию В в точке С, одинаково
удаленной от обоих проводников на расстояние,
I2 равное d.
28. Два круговых витка радиусом R = 6 см
Рис. 37
каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d = 12 см друг от друга. По виткам в одном направлении
текут токи I1 = I2 = 3 A. Найдите напряженность H магнитного поля на оси
витков в точке, находящейся на равном расстоянии от них.
29. Два одинаковых круговых проволочных витка расположены в двух
взаимно перпендикулярных плоскостях так, что центры витков совпадают.
По виткам текут токи I1 и I2. Как следует расположить третий виток того же
радиуса и какой величины I3 по нему пропустить ток, чтобы магнитное поле
в общем центре трех витков было равно нулю? Все проводники изолированы
друг от друга.
30. Круговой виток радиусом R = 15 см расположен относительно бесконечно длинного провода так, что его плоскость параллельна проводу. Перпендикуляр, восстановленный на провод из центра витка, является нормалью
к плоскости витка. Сила тока в проводе I1 = 1 А, сила тока в витке I2 = 5 А.
Расстояние от центра витка до провода d = 20 см. Определите магнитную индукцию B в центре витка.
31. По контуру в виде равностороннего треугольника идет ток I = 40 А.
Сторона треугольника a = 30 см. Определите магнитную индукцию B в точке
пересечения высот треугольника.
32. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной a = 60 см, течет
ток I = 3 А. Определите магнитную индукцию B в центре квадрата.
33. Найдите магнитный поток Ф, создаваемый соленоидом сечением
S = 10 см2, если он имеет 10 витков на каждый сантиметр его длины при силе
тока I = 20 А.
34. На длинный картонный каркас диаметром D = 2 см уложена однослойная обмотка (виток к витку) из проволоки диаметром d = 0,5 мм. Определите магнитный поток, создаваемый таким соленоидом при силе тока I = 4
А.
35. Плоский контур площадью S = 10 см2 находится в однородном магнитном поле индукцией B = 0,02 Тл. Определите магнитный поток Ф, пронизывающий контур, если плоскость его составляет угол α = 700 с направлением линий индукции.
36. Проволочный контур в виде квадрата со стороной a = 20 см расположен в магнитном поле так, что его плоскость перпендикулярна линиям индукции магнитного поля. Индукция магнитного поля В = 0,2 Тл. Контур поI1
C
147
вернули на угол α = 600. На сколько и как изменился магнитный поток Ф,
пронизывающий контур?
37. Соленоид содержит N = 4000 витков провода, по которому течет
ток I = 20 А. Определите магнитный поток Ф, если индуктивность L = 0,4 Гн.
38. Сколько ампер-витков потребуется для создания магнитного потока
Ф = 0,42 мВб в соленоиде с железным сердечником длиной l = 120 см и площадью поперечного сечения S = 3 см2?
39. Проволочный круговой виток радиусом R = 1 см согнули по диаметру под прямым углом и поместили в однородное магнитное поле так, что
линия сгиба витка перпендикулярна линиям индукции. Найдите максимальный магнитный поток Фmax через поверхность, опирающуюся на виток, если
величина индукции магнитного поля В = 0,1 Тл.
40. В магнитном поле, индукция которого B = 0,05 Тл, вращается стержень длиной l =1 м. Ось вращения, проходящая через один из концов стержня, параллельна направлению магнитного поля. Найдите магнитный поток Ф,
пересекаемый стержнем при каждом обороте.
41. Виток, радиус которого R = 4 см, находится в однородном магнитном поле напряженностью H = 150 А/м. Плоскость витка перпендикулярна
линиям индукции поля. Какую работу A нужно совершить, чтобы повернуть
виток около его диаметра на угол φ = 600 при силе тока в витке I = 10 А?
42. Виток радиусом R = 10 см, по которому течет ток силой I = 20 А,
свободно установился в однородном магнитном поле напряженностью
H = 103 А/м. Виток повернули относительно диаметра на угол φ = 600. Определите совершенную работу A.
43. Прямоугольная рамка с током расположена в магнитном поле параллельно линиям индукции и испытывает со стороны поля вращающий момент M
= 50 мН м. Вычислите работу сил поля A при повороте рамки на угол φ = 600.
44. Виток диаметром D = 0,2 м может вращаться вокруг вертикальной
оси, совпадающей с одним из диаметров витка. Виток установлен в плоскости магнитного меридиана, и сила тока в нем I = 10 А. Найдите механический момент M, который надо приложить к витку, чтобы удержать его в
начальном положении. Горизонтальная составляющая магнитной индукции
поля Земли В = 20 мкТл.
45. Из проволоки длиной l = 20 см сделаны контуры: а) квадратный;
б) круговой. Найдите вращающий момент сил M, действующих на каждый
контур, помещенный в однородное магнитное поле индукцией В = 0,1 Тл.
Сила тока в каждом контуре I = 2 А, а плоскость каждого контура составляет
угол β = 450 с вектором магнитной индукции.
46. Прямой провод длиной l = 20 см с током I = 5 А, находящийся в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,1 Тл, расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определите работу сил поля A, под действием которых проводник переместился на a = 2 см.
47. Квадратный проводящий контур со стороной a = 20 см и током
148
I = 10 А свободно подвешен в однородном магнитном поле с индукцией
B = 0,2 Тл. Определите работу A, которую необходимо совершить, чтобы повернуть контур на φ = 1800 вокруг оси, перпендикулярной направлению магнитного поля.
48. В однородном магнитном поле с магнитной индукцией B = 0,2 Тл
находится квадратный проводящий контур со стороной a = 20 см и током
I = 10 А. Плоскость квадрата составляет с направлением поля угол β = 300.
Определите работу A удаления контура за пределы поля.
49. Квадратная рамка подвешена на проволоке так, что направление
магнитного поля составляет угол α = 900 с нормалью к плоскости рамки.
Сторона рамки a = 1 см. Магнитная индукция поля B = 13,7 мТл. Если по
рамке пропустить ток I = 1 А, то она поворачивается на угол φ = 10. Найдите
модуль сдвига G материала проволоки. Длина проволоки l = 10 см, радиус
нити r = 0,1 мм.
50. На расстоянии а = 20 см от длинного прямолинейного вертикального провода на нити длиной l = 0,1 мм диаметром d = 0,l мм висит короткая
магнитная стрелка, магнитный момент которой рm = 0,01 А⋅м2. Стрелка находится в плоскости, проходящей через провод и нить. На какой угол φ повернется стрелка, если по проводу пустить ток I = 30 А? Модуль сдвига материала нити G = 5,9 ГПа. Система экранирована от магнитного поля Земли.
Электромагнитная индукция
1. Магнитный поток через поверхность, опирающуюся на проволочный виток сопротивлением R = 3⋅10-2 Ом, за ∆t = 2 с равномерно увеличился
на ΔФ = 1,2⋅10-2 Вб. Найдите величину I индукционного тока в витке.
2. Магнитный поток через любую поверхность, опирающуюся на проволочное кольцо, равномерно возрастает со временем. Как зависит от времени величина индукционного тока в кольце? Рассмотрите два случая: сопротивление кольца конечное, кольцо в сверхпроводящем состоянии.
3. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл расположен
2
проволочный виток площадью S = 50 см . Нормаль к плоскости витка составляет с линиями магнитной индукции угол α = 600. Найдите среднее значение <ε> ЭДС индукции в витке при выключении поля в течение ∆t = 0,02 с.
4. Проволочная рамка площадью S = 10-2 м2 расположена в однородном магнитном поле так, что линии индукции перпендикулярны плоскости
рамки. В некоторый момент времени магнитное поле выключают так, что за
∆t = 1 мс поле убывает по линейному закону от величины В0 = 1 Тл до нуля.
Найдите ЭДС индукции ε в рамке.
5. Проволочная квадратная рамка со стороной а = 50 см помещена в
однородное магнитное поле. Линии индукции перпендикулярны плоскости
рамки. При равномерном уменьшении магнитного поля до нуля в течение
149
∆t = 0,01 с в рамке возбуждается ЭДС индукции ε = 50 мВ. Определите величину В индукции магнитного поля.
6. Треугольный проволочный контур, длины сторон которого
l = 20 см, помещен в однородное магнитное поле с индукцией В = 1 Тл так,
что нормаль к плоскости контура составляет с линиями индукции угол
α = 600. Начиная с некоторого момента величина индукции магнитного поля
равномерно уменьшается до нуля, при этом в контуре возбуждается ЭДС индукции ε = 100 В. Найдите время ∆t уменьшения индукции магнитного поля
до нуля.
7. Из двух одинаковых кус ков проволоки изготовлены два контура
– круглый и квадратный. Оба контура расположены в одной плоскости и
находятся в однородном магнитном поле, изменяющемся во времени. В
круглом контуре индуцируется постоянный ток величиной I 1 = 12,8 А.
Найдите величину I 2 тока в квадратном контуре.
8. Вектор индукции магнитного поля перпендикулярен плоскости
проводящего кольца диаметром d = 22 см. Проекция вектора на нормаль к плоскости кольца изменяется равномерно от В n1 = – 0,4 Тл до
В n2 = 0,55 Тл за ∆t = 80⋅10-3 с. Найдите величину ЭДС индукции ε в
кольце.
2
9. Проволочный виток площадью S = 100 см разрезан в некоторой точке и в разрез включен конденсатор емкостью С = 10 мкФ. Виток
помещен в однородное магнитное поле, линии индукции которого пе рпендикулярны плоскости витка. Индукция магнитного поля равномерно
возрастает со скоростью ∆B/∆t = 5⋅10-3 Тл/с. Определите заряд q конденсатора.
10. Кольцо диаметром D = 20 см, изготовленное из медной проволоки
диаметром d = 2 мм, находится в однородном магнитном поле, линии индукции которого перпендикулярны плоскости кольца. С какой по величине скоростью ∆B/∆t изменяется индукция, если индукционный ток в кольце
I = 10 А?
11. Проволочное кольцо диаметром d = 10 см и сопротивлением
R = 5 Ом находится в переменном однородном магнитном поле. Магнитная
индукция линейно растет от нуля до В = 0,02 Тл за время t1 = 15 с и затем линейно уменьшается до нуля за время t2 = 20 с. Какое количество Q тепла выделится в кольце за время (t1 + t2)?
12. Кольцо радиусом
Bn , Тл
R = 6 см, изготовленное из
медной проволоки диамет0,01
ром d = 0,5 мм, помещено в
однородное магнитное по0,5
1,5
ле, линии индукции котоt, мс
0
1,0
рого
перпендикулярны
- 0,01
Рис. 38
150
плоскости кольца. На графике (рис. 38) представлена зависимость проекции
вектора индукции магнитного поля на нормаль к плоскости кольца от
времени. Постройте график зависимости тока I в кольце от времени.
13. Кольцевой проволочный виток находится в однородном магнитном поле, индукция
которого
перпендикулярна плоскости витка (рис. 39). Виток, не выходя из
плоскости, превратили в «восьмерку», составленную из двух равных колец. Во сколько раз
Рис. 39
изменилась амплитуда тока в витке?
14. Квадратную рамку из проводника
вращают равномерно в перпендикулярном оси рамки в переменном магнитном поле, изменяющемся по закону В = 0,05sinπt. Сторона рамки a = 20 см. В
начальный момент времени угол между плоскостью рамки и направлением
индукции магнитного поля α = 900, угловая скорость вращения рамки ω = π
рад/с. Найти зависимость ЭДС индукции, которая возникает в рамке, от времени.
15. Проволочный виток в виде кольца состоит из двух половин длиной
L каждая с равными площадями S поперечного сечения и удельными сопротивлениями ρ1 и ρ2 соответственно. Виток помещен в зависящее от времени
однородное магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны
плоскости витка. Найдите мгновенные мощности Р1 и Р2 тепловых потерь в
каждом проводнике, если известно, что индукция магнитного поля изменяется во времени по закону (t)= (1+cos t), где
и – постоянные.
16. Площадь проводящего витка уменьшается с постоянной скоростью
2
∆S / ∆t = 6,5⋅10-2 м /с. Виток находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,4 Тл. Линии индукции перпендикулярны плоскости витка.
Найдите величину ε ЭДС индукции в витке в момент τ = 2 с.
17. Длины сторон квадратного проводящего витка увеличиваются со
скоростью ∆a / ∆t = 2 см/с. Виток находится в однородном магнитном поле с
индукцией В = 1 Тл. Линии индукции перпендикулярны плоскости витка.
При τ1 = 0 с длины сторон квадрата а0 = 10 см. Найдите величину ε ЭДС индукции в витке в момент τ2 = 2 с.
18. Сколько витков N провода должна содержать обмотка на сердечнике площадью поперечного сечения S = 50 см2, чтобы в ней при изменении
магнитной индукции от В1 = 1,1 Тл до В2 = 0,1 Тл в течение времени t = 5 мс
возбуждалась ЭДС индукции ε = 100 В?
19. Катушка помещена в однородное магнитное поле индукцией
В=
0
5 мТл так, что ось катушки составляет угол α = 60 с вектором магнитной индукции. Радиус катушки R = 20 см. На сколько ∆N нужно изменить число витков катушки, чтобы магнитный поток через нее увеличился на ∆Ф = 0,1 Вб?
151
20. Соленоид, состоящий из N = 80 витков и имеющий диаметр
D = 8 см, находится в однородном магнитном поле, индукция которого
В = 0,06 Тл. Соленоид поворачивают на угол α1 = 1800 в течение t = 0,2 с.
Найдите среднее значение ЭДС индукции соленоида, если его ось до и после
поворота параллельна линиям магнитной индукции (α2 = 0).
21. Коротко замкнутая катушка сопротивлением R = 100 Ом, состоящая
из N = 1000 витков площадью S = 5 см2 каждый, внесена в однородное магнитное поле. Линии индукции параллельны оси катушки. В течение некоторого времени индукция магнитного поля уменьшилась по величине от
В1 = 0,8 Тл до В2 = 0,3Тл и не изменилась по направлению. Какой заряд q
прошел по катушке?
22. На рамку площадью S = 5 см2 намотано N = 1000 витков провода,
сопротивление которого R = 100 Ом. Она помещена в однородное магнитное
поле с индукцией В = 10 мТл, причем линии индукции перпендикулярны ее
плоскости. Какой электрический заряд q пройдет через гальванометр, подключенный к рамке, если направление вектора магнитной индукции изменить на противоположное?
23. Из куска тонкой проволоки сделано кольцо. При включении магнитного поля, линии индукции которого перпендикулярны плоскости кольца,
по кольцу прошел заряд q1 = 10-5 Кл. Какой заряд q2 пройдет по кольцу, если
при включенном поле кольцо деформировать в квадрат, расположенный в
той же плоскости?
24. Кусок провода длиной l = 2 м и сопротивлением R = 1 Ом складывают вдвое и концы замыкают. Затем провод растягивают в квадрат так, что
плоскость квадрата перпендикулярна горизонтальной составляющей индукции магнитного поля Земли В = 20 мкТл. Какой заряд q пройдет по проводу?
25. Катушку радиуса R = 3,0 см с числом витков N = 1000 помещают в
однородное магнитное поле (ось катушки направлена вдоль линий поля). Индукция поля изменяется с постоянной скоростью υ = 10 мТл/с. Какой заряд q
будет на конденсаторе, подключенном к концам катушки? Емкость конденсатора С = 20 мкФ.
26. Проводник длиной l = 0,5 м движется со скоростью υ = 5 м/с перпендикулярно силовым линиям в однородном магнитном поле, индукция которого В = 8 мТ. Найдите разность потенциалов U, возникающую на концах
проводника.
27. Найдите ЭДС индукции, возникающей в проводнике, движущемся в
однородном магнитном поле со скоростью υ = 5 м/с под углом α = 300 к линиям магнитной индукции. Длина активной части проводника l = 0,25 м, индукция магнитного поля В = 8 мТл.
28. Прямой проводник длиной l = 0,3 м пересекает магнитное поле под
углом α = 600 к линиям магнитной индукции со скоростью υ = 6 м/с перпендикулярно линиям индукции. Определите магнитную индукцию B, если
ЭДС, индуцируемая в проводнике, ε = 3,2 В.
152
29. Между рельсами железнодорожного пути башенного крана включен вольтметр. Над ним с постоянной скоростью проходит поезд. Каковы
будут показания вольтметра при приближении поезда, в момент нахождения поезда над вольтметром и при удалении поезда? Вертикальная составляющая магнитного поля Земли В = 50 мкТл. Ширина колеи L = 1,2 м. Скорость поезда υ = 60 км/ч.
30. Реактивный самолет с размахом крыльев L = 50 м летит горизонтально со скоростью υ = 800 км/ч. Определите разность ∆φ потенциалов
между концами крыльев. Вертикальная составляющая вектора индукции
магнитного поля Земли В = 50 мкТл.
31. Металлический стержень длиной l = 1 м падает с высоты h = 10 м,
оставаясь все время параллельным поверхности земли. Какая максимальная разность потенциалов ∆φ возникнет на концах стержня, если создать
однородное магнитное поле с индукцией В = 1 мТл, параллельное поверхности земли? Магнитное поле Земли не учитывать.
32. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,4 Тл вращается
с частотой ν = 16 с -1 стержень длиной l = 10 см. Ось вращения параллельна
линиям индукции, перпендикулярна стержню и проходит через один из ее
концов. Найдите разность потенциалов ∆φ между концами стержня.
33. Металлический стержень длиной l = 60 см вращается с частотой
ν = 2 с -1 в однородном магнитном поле с индукцией В = 6 мТл. Найдите
разность потенциалов ∆φ между концами стержня. Ось вращения параллельна линиям индукции, перпендикулярна стержню и проходит через
стержень на расстоянии l/3 от одного из его концов.
34. Металлический диск радиусом r = 10 см вращается вокруг оси,
проходящей через его центр, с частотой ν = 100 с -1. Диск расположен в однородном магнитном поле В = 1 Тл. Линии индукции перпендикулярны
плоскости диска. Два скользящих контакта (один на оси диска, другой – на
окружности) соединяют диск с нагрузкой, сопротивление которой R = 5
Ом. Найдите мощность Р, рассеиваемую на нагрузке.
35. Стержень массой m = 0,2 кг лежит на горизонтальных рельсах.
Расстояние между рельсами l = 40 см равно длине стержня. Вектор индукции однородного магнитного поля величиной В = 50 мТл направлен вертикально вверх. Коэффициент трения скольжения по рельсам μ = 0,1. При какой минимальной величине Imin тока в стержне начинается перемещение
стержня?
36. Прямой легкий проводник длиной l = 10 см помещен в однородное магнитное поле с индукцией В = 1 Тл. Концы проводника замкнуты
гибким проводом, уходящим за пределы магнитного поля. Сопротивление
цепи R = 0,4 Ом. Какая мощность P потребуется, чтобы перемещать проводник перпендикулярно вектору со скоростью υ = 20 м/с? Вектор скорости перпендикулярен проводнику.
153
37. Система проводников (рис. 40) находится в однородном магнитном поле, линии индукции которого вертикальны. Длина подвижного проводника l, сопротивление R. Какой величины F силу следует приложить к
подвижному проводнику, чтобы перемещать его по гладким неподвижным
проводникам равномерно со скоростью υ? Сопротивление неподвижной
части контура пренебрежимо мало.

B
C
l, R
F
V
Рис. 40
Рис. 41
38. По двум гладким металлическим параллельным рейкам, расположенным в горизонтальной плоскости и замкнутым на конденсатор емкостью
С, может без трения двигаться проводник массой m и длиной l. Вся система
находится в однородном магнитном поле, вектор индукции которого направлена вертикально вверх. К середине проводника приложена сила F (рис. 41).
Найдите величину a ускорения подвижного проводника. Электрическое сопротивление системы считать пренебрежимо малым.
39. По обмотке соленоида индуктивностью L = 0,2 Гн течет ток
I = 10 А. Определите энергию W магнитного поля соленоида.
40. Индуктивность L катушки (без сердечника) равна 0,1 мГн. При какой силе тока I энергия магнитного поля равна W = 100 мкДж?
41. Соленоид содержит N = 1000 витков. Сила тока в его обмотке
I = 1 А, магнитный поток через поперечное сечение соленоида Ф = 0,1 мВб.
Вычислите энергию W магнитного поля.
42. Определите энергию магнитного поля W соленоида, содержащего
N = 500 витков, которые намотаны на картонный каркас радиусом r = 2 см и
длиной l = 0,5 м, если сила тока в нем I = 5 А.
43. В обмотке соленоида, сопротивление которой R = 1 Ом и индуктивность L = 20 мГн, сила тока I = 5 А. Чему равна энергия магнитного поля соленоида W через t = 1 мс после отключения источника?
44. Индуктивность соленоида при длине l = 1 м и площади поперечного
сечения S = 20 см2 равна L = 0,4 мГн. Определите силу тока I в соленоиде,
при котором объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида
равна ω = 0,1 Дж/м3.
154
45. Тороид с воздушным сердечником содержит N = 20 витков на каждый сантиметр длины. Определите объемную плотность энергии ω в тороиде,
если по его обмотке протекает ток I = 3 А.
46. Обмотка тороида с немагнитным сердечником имеет N = 10 витков
на каждый сантиметр длины. Определите плотность энергии поля, если по
обмотке течет ток I = 16 А.
47. Индуктивность катушки L = 2,0 Гн, сила тока в ней I = 1 А. Найдите
ЭДС самоиндукции ε, которая возникает в катушке, если силу тока в ней
равномерно уменьшить до нуля за время t = 0,1 с.
48. Соленоид содержит N = 1000 витков. Площадь сечения сердечника
S = 10 см2, по обмотке течет ток, создающий поле с индукцией В = 1,5 Тл.
Найдите среднюю ЭДС самоиндукции ε, возникающую в соленоиде, если
силу тока уменьшить до нуля за время t = 500 мкс.
49. При изменении силы тока в соленоиде от I1 = 2,5 А до I2 = 14,5 А
его магнитный поток увеличился на ∆Ф = 2,4 мВб. Соленоид имеет
N = 800 витков. Найдите среднюю ЭДС самоиндукции ε, которая возникает в
нем, если изменение силы тока происходит в течение времени t = 0,15 с.
Найдите изменение ∆W энергии магнитного поля в соленоиде.
50. На катушке с сопротивлением R = 8,2 Ом и индуктивностью
L = 25 мГн поддерживают постоянное напряжение U = 55 В. Определите
энергию магнитного поля W. Какое количество теплоты Q выделится в катушке при размыкании цепи?
Магнитное поле в веществе
1. Магнитная восприимчивость марганца
= 1,21 10 4. Вычислите
намагниченность J, удельную намагниченность Jуд и молярную намагниченность Jm марганца в магнитном поле напряженностью Н =100 кА/м.
2. Найдите магнитную восприимчивость AgBr, если его молярная
магнитная восприимчивость m = 7,5 10 9 м3/кг.
3. Висмутовый шарик радиусом R = 1 см помещен в однородное магнитное поле (В = 0,5 Тл). Определите магнитный момент pm, приобретенный
шариком, если магнитная восприимчивость висмута = 1,5 10 4.
4. Напряженность магнитного поля в меди Н = 1 МА/м. Определите
намагниченность J меди и магнитную индукцию В, если известно, что удельная магнитная восприимчивость уд = –1,1 10 9 м3/кг.
5. Принимая, что электрон в невозбужденном атоме водорода движется по круговой орбите радиусом r = 52,8 пм, определите: 1) магнитный момент pm эквивалентного кругового тока; 2) орбитальный механический момент Le электрона.
155
6. Использузая результаты, полученные в предыдущей задаче, определите гиромагнитное отношение орбитальных моментов, доказав, что оно
совпадает со значением, определяемым универсальными постоянными.
7. В пространство между полюсами электромагнита подвешиваются
поочередно висмутовый и алюминиевый стержни. Оказалось, что при включении электромагнита алюминиевый стержень располагается вдоль магнитного поля, а висмутовый – поперек магнитного поля. Объясните различие в
их поведении.
8. В однородное магнитное поле вносится вольфрамовый стержень
(магнитная проницаемость вольфрама = 1,0176). Определите, какая доля δ
суммарного магнитного поля в этом стержне определяется молекулярными
токами.
9. Напряженность однородного магнитного поля в платине H = 5 А/м.
Определите магнитную индукцию поля B, создаваемого молекулярными токами, если магнитная восприимчивость платины равна = 3,6 10 4.
10. По круговому контуру радиусом r = 40 см, погруженному в жидкий
кислород, течет ток I = 1 А. Определите намагниченность J в центре этого
контура. Магнитная восприимчивость жидкого кислорода = 3,4 10 3.
11. По обмотке соленоида индуктивностью L = 3 мГн, находящегося в
диамагнитной среде, течет ток I = 0,4 А. Соленоид имеет длину l = 45 см,
площадь поперечного сечения S = 10 см2 и число витков N = 1000. Определите магнитную индукцию B внутри соленоида.
12. По обмотке соленоида индуктивностью L = 4 мГн, находящегося в
диамагнитной среде, течет ток I = 0,7 А. Соленоид имеет длину l = 38 см,
площадь поперечного сечения S = 10 см2 и число витков N = 2000. Определите намагниченность J внутри соленоида.
13. Соленоид, находящийся в диамагнитной среде, имеет длину l = 30
см, площадь поперечного сечения S = 15 см2 и число витков N = 500. Индуктивность соленоида L = 1,5 мГн, а сила тока, протекающего по нему, I = 1 А.
Определите: 1) магнитную индукцию B внутри соленоида; 2) намагниченность J внутри соленоида.
14. Обмотка тороида с железным сердечником имеет N = 151 виток.
Средний радиус тороида составляет r = 3 см. Сила тока через обмотку равна
I = 1 А. Определите для этих условий: 1) индукцию магнитного поля B внутри тороида; 2) намагниченность сердечника J; 3) магнитную проницаемость
сердечника μ.
15. На рисунке (рис. 42 а, б) качественно представлены гистерезисные
петли для двух ферромагнетиков. Объясните, какой из приведенных ферр омагнетиков применяется для изготовления сердечников трансформаторов и
какой – для изготовления постоянных магнитов.
156
а)
б)
Рис. 42
16. Сколько ампер-витков N потребуется для создания потока магнитной индукции Ф = 4,2 10 4 Вб в соленоиде с железным сердечником длиной
l = 120 см и площадью поперечного сечения S = 3 см2?
17. Определите магнитную индукцию в замкнутом железном сердечниа
ке тороида длиной l = 20,9 см, если число ампер-витков обмотки тороида
)
N = 1500. Найдите магнитную проницаемость материала сердечника при
этих условиях.
18. Замкнутый железный сердечник длиной l = 50 см имеет обмотку
N = 1000 витков. По обмотке течет ток силой I1 = 1 А. Какой ток I2 надо пустить через обмотку, чтобы при удалении сердечника индуктивность осталась прежней?
19. В соленоид длиной l = 50 см вставлен сердечник из такого сорта
железа, для которого зависимость В = f(Н) неизвестна. Число витков на единицу длины соленоида равно Nl = 400, площадь поперечного сечения соленоида S = 10 см2. Найдите магнитную проницаемость μ материала сердечника
при силе тока через обмотку соленоида I = 5 А, если известно, что при этих
условиях магнитный поток, пронизывающий площадь поперечного сечения
соленоида с сердечником, равен Ф = 1,6 10 3 Вб.
20. Найдите индуктивность соленоида, используя условия предыдущей
задачи.
21. Имеется соленоид с железным сердечником длиной l = 50 см, площадью поперечного сечения S = 10 см2 и числом витков N = 1000. Найдите
индуктивность L этого соленоида, если по обмотке соленоида течет ток:
1) I1 = 0,1 А, 2) I2 = 0,2 А; 3) I3 = 2 А.
22. На железный сердечник сечением S1 = 5 см2 и длиной l = 30 см
намотан соленоид, содержащий 500 витков медной проволоки сечением
S2 = 1 мм2. Чему равна индуктивность соленоида при подключении его к аккумулятору с ЭДС ε = 1,26 В? Внутренним сопротивлением аккумулятора r и
сопротивлением подводящих проводников пренебречь.
157
23. На длинный стальной сердечник сечением S = 4 см2 намотан соленоид, содержащий N = 1000 витков, по которым протекает ток I = 0,5 А.
Определите индуктивность L соленоида при этих условиях, если напряженность магнитного поля внутри соленоида Н = 2,0 кА/м. Воспользуйтесь графиком В = f(Н).
24. Найдите индуктивность L соленоида, полученного при намотке
провода длиной l1 = 10 м на цилиндрический железный стержень длиной
l2 = 10 см. Магнитная проницаемость железа = 400.
25. Тороид из чистого железа имеет обмотку, содержащую N = 500
витков, в которой сила тока I = 2 А. Сечение тороида S = 10 см2, средний
радиус R = 30 см. Определите магнитную энергию W, запасенную в сердечнике.
26. Прямоугольный ферромагнитный брусок объемом V = 10 см3 в магнитном поле напряженностью Н = 800 А/м приобрел магнитный момент
pm = 0,8 А м2. Определите магнитную проницаемость ферромагнетика.
27. При индукции поля В = 1 Тл плотность энергии магнитного поля в
железе
= 200 Дж/м2. Определите магнитную проницаемость
железа в
этих условиях.
28. Определите объемную плотность энергии магнитного поля в сердечнике, если индукция магнитного поля В = 0,5 Тл.
29. Индукция магнитного поля тороида со стальным сердечником возросла от В1 = 0,5 Тл до В2 = 1 Тл. Найдите, во сколько раз изменится объемная плотность энергии магнитного поля.
30. При некоторой силе тока I плотность энергии магнитного поля соленоида (без сердечника) равна = 0,2 Дж/м2. Вычислите, во сколько раз n
увеличивается плотность энергии поля при этой же силе тока, если соленоид
будет иметь железный сердечник?
Движение заряженных частиц в магнитном поле
1. Заряженная частица движется со скоростью υ = 0,6⋅106 м/с по
окружности радиусом R = 4 см в однородном магнитном поле с индукцией
В = 0,31 Тл. Кинетическая энергия частицы Т = 1,2⋅10-15 Дж. Найдите заряд q
частицы.
2. Электрон, обладая импульсом p = 6,4⋅10-23 кг⋅м/с, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,02 Тл перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определите радиус окружности R, по которой движется
электрон.
3. Протон и α-частица влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Сравните радиусы дуг окружностей, по которым движутся частицы, считая одинаковыми: а) скорости; b) энергии. Заряд
α – частицы в 2 раза, а масса в 4 раза больше, чем заряд и масса протона.
158
4. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией
В = 0,1 Тл по окружности. Определите угловую скорость вращения электрона .
5. Электрон, обладая скоростью = 10 Мм/с, влетел в однородное
магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Индукция
магнитного поля В = 0,1 мТл. Определите нормальное an и тангенциальное aτ
ускорения электрона.
6. α-частица, момент импульса которой L = 1,33⋅10-22 кг⋅м2/с, влетает в
однородное магнитное поле, перпендикулярное к направлению ее движения.
Индукция магнитного поля B = 25 мТл. Найдите кинетическую энергию EK
α-частицы.
7. Найдите кинетическую энергию EK (в электронвольтах) протона,
движущегося по дуге окружности радиусом R = 60 см в магнитном поле с
индукцией B = 1 Тл.
8. Поток α-частиц, ускоренных разностью потенциалов U = 1 МВ, влетает в однородное магнитное поле напряженностью H = 1,2 кА/м. Скорость
каждой частицы направлена перпендикулярно к направлению магнитного
поля. Найдите силу FЛ, действующую на каждую частицу.
9. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 0,5 кВ, движется
параллельно прямолинейному длинному проводнику на расстоянии r = 1 см
от него. Определите силу FЛ, действующую на электрон, если через проводник пропускает ток I = 10 А.
10. Заряженная частица, прошедшая ускоряющую разность потенциалов ∆φ = 2 кВ, движется по окружности радиусом R = 1 см в однородном
магнитном поле с индукцией В = 1,51⋅10-2Тл. Найдите величину |q|/m удельного заряда частицы.
11. Два одинаково заряженных иона, ускоренных одинаковой разностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле. Первый ион движется по окружности радиусом R1 = 5 см, второй – по дуге окружности радиусом R2 = 2,5 см. Найдите отношение m1 / m2 масс ионов.
12. Протон, ускоренный разностью потенциалов U = 0,5 кВ, влетая в
однородное магнитное поле с магнитной индукцией В = 2 мТл, движется по
окружности. Определите радиус R этой окружности.
13. Электрон, прошедший ускоряющую разностью потенциалов
U = 500 В, попал в вакууме в однородное магнитное поле и движется по
окружности радиусом R = 10 см. Определите модуль магнитной индукции B,
если скорость электрона перпендикулярна силовым линиям.
14. Протон и -частица влетают в однородное магнитное поле. Скорости частиц направлены перпендикулярно силовым линиям поля. Во сколько
раз период обращения протона в магнитном поле Tp больше периода обращения -частицы Tα?
15. Заряженная частица, обладающая скоростью = 2 106 м/с, влетела в
однородное магнитное поле с индукцией В = 0,52 Тл. Найдите отношение
159
q / m заряда частицы к ее массе, если частица в поле описала дугу окружности радиусом R = 4 см. По этому отношению определите, какая это частица.
16. Протон с кинетической энергией EK = 1 МэВ влетел в однородное
магнитное поле перпендикулярно линиям индукции (В = 1 Тл). Какова должна быть минимальная протяженность l поля в направлении, по которому летел протон, когда он находился вне поля, чтобы оно изменило направление
движения протона на противоположное?
17. Электрон движется по окружности в однородном магнитном поле
напряженностью Н = 10 кА/м. Вычислите период T вращения электрона.
18. Определите частоту ν вращения электрона по круговой орбите в
магнитном поле, индукция которого В = 0,2 Тл.
19. Электрон, влетев в однородное магнитное поле с магнитной индукцией В = 2 мТл, движется по круговой орбите радиусом R = 15 см. Определите магнитный момент pm эквивалентного кругового тока.
20. Электрон, движущийся в вакууме со скоростью = 106 м/с, попадает в однородное магнитное поле с индукцией В = 1,2 Тл под углом = 300 к
силовым линиям поля. Определите радиус R винтовой линии, по которой будет двигаться электрон и ее шаг.
21. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 6 кВ, влетает в
однородное магнитное поле под углом = 300 к направлению поля и начинает двигаться по винтовой линии. Индукция магнитного поля В = 1,3 10 2
Тл. Найдите: 1) радиус витка винтовой линии R; 2) шаг винтовой линии h.
22. Электрон, обладая скоростью = 10 Мм/с, влетает в однородное
магнитное поле под углом = 600 к направлению поля и начинает двигаться
по спирали. Напряженность магнитного поля Н = 1,5 кА/м. Определите:
1) шаг спирали h; 2) радиус витка спирали R.
23. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью 0 = 107 м/с. Длина конденсатора l = 5
см; напряженность электрического поля конденсатора Е = 100 В/см. При
вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны силовым линиям электрического поля.
Индукция магнитного поля В = 10 2 Тл. Найдите: 1) радиус винтовой траектории электрона в магнитном поле R; 2) шаг винтовой траектории электрона h.
24. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией
В = 9 мТл по винтовой линии радиусом R = 1 см и шагом h = 7,8 см. Определите период Т обращения электрона и его скорость .
25. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 3000 В, влетает
в магнитное поле соленоида под углом = 300 к его оси. Число ампер-витков
соленоида равно N = 5000. Длина соленоида l = 25 см. Найдите шаг h винтовой траектории электрона в магнитном поле соленоида.
160
26. Циклотрон ускоряет протоны до энергии EK = 10 МэВ. Определите
радиус R дуантов циклотрона при индукции магнитного поля В = 1 Тл.
27. Вычислите скорость и кинетическую энергию EK -частиц, выходящих из циклотрона, если, подходя к выходному окну, ионы движутся по
окружности радиусом R = 50 см. Индукция магнитного поля циклотрона
В = 1,7 Тл.
28. В циклотроне требуется ускорять ионы гелия (Не ++). Частота переменной разности потенциалов, приложенной к дуантам, = 10 МГц. Какова
должна быть индукция В магнитного поля, чтобы период Т обращения ионов
совпадал с периодом изменения разности потенциалов?
29. Определите число N оборотов, которые должен сделать протон в
магнитном поле циклотрона, чтобы приобрести кинетическую энергию
EK = 10 МэВ, если при каждом обороте протон проходит между дуантами
разность потенциалов U = 30 кВ.
30. Циклотроны позволяют ускорять протоны до энергий EK = 20 МэВ.
Определите радиус дуантов циклотрона R, если магнитная индукция
В = 2 Тл.
31. Определите удельный заряд частиц q / m, ускоренных в циклотроне
в однородном магнитном поле с индукцией В = 1,7 Тл при частоте ускоряющего напряжения = 25,9 МГц.
32. Протоны ускоряются в циклотроне в однородном магнитном поле с
индукцией В = 1,2 Тл. Максимальный радиус кривизны траектории протонов
составляет R = 40 см. Определите: 1) кинетическую энергию протонов в конце ускорения EK; 2) минимальную частоту νmin ускоряющего напряжения, при
которой протоны ускоряются до энергий EK = 20 МэВ.
33. Во сколько раз электрическая сила F, действующая на электрон,
больше магнитной силы FЛ, если напряженность электрического поля
Е = 1,5 кВ/м, а индукция магнитного поля В = 0,1 Тл? Скорость электрона
υ = 200 м/с и направлена перпендикулярно линиям индукции магнитного
поля.
34. Протон в магнитном поле с индукцией B = 0,01 Тл движется по дуге
окружности радиусом R = 10 см. После вылета из магнитного поля он полностью тормозится электрическим полем. Чему равна тормозящая разность потенциалов U, если отношение заряда протона к его массе q / m =10 кКл/кг?
35. Отрицательно заряженная частица влетает в область однородного
магнитного поля с индукцией B = 0,001 Тл, где движется по дуге окружности радиусом R = 0,2 м. Затем частица попадает в однородное электрическое
поле, где пролетает участок с разностью потенциалов U = 1 кВ, при этом ее
скорость уменьшается в 3 раза. Определите конечную скорость частицы υ k .
36. Протон, пройдя ускоряющую разностью потенциалов U = 800 В,
влетает в однородные, скрещенные под прямым углом магнитное
(В = 50 мТл) и электрическое поля. Определите напряженность Е электрического поля, если протон движется в скрещенных полях прямолинейно.
161
37. Магнитное поле, индукция которого равна В = 5 Тл, направлено
перпендикулярно электрическому полю, напряженность которого равна
Е = 10 В/см. Пучок электронов, летящих со скоростью , влетает в пространство, где расположены эти поля, причем скорость электронов перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы Е и В. Найдите: 1) скорость
электронов , если при одновременном действии обоих полей пучок электронов не испытывает отклонения; 2) радиус кривизны траектории электр онов R при условии включения одного магнитного поля.
38. Магнитное поле напряженностью Н = 8 103 А/м и электрическое
поле напряженностью Е = 10 В/см направлены одинаково. Электрон влетает
в такое электромагнитное поле со скоростью = 105 м/с, направленной параллельно силовым линиям. Найдите нормальное an, тангенциальное а ускорения электрона.
39. Решите предыдущую задачу для случая, когда скорость электрона
направлена перпендикулярно силовым линиям полей.
40. Заряженная частица движется по окружности радиусом R = 1 см в
однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл. Параллельно магнитному полю возбуждено электрическое поле напряженностью Е = 100 В/м.
Вычислите промежуток времени t, в течение которого должно действовать
электрическое поле, для того чтобы кинетическая энергия частицы возросла
вдвое.
41. При какой скорости υ пучок заряженных частиц, проходя перпендикулярно область, в которой созданы однородные поперечные электрич еское и магнитное поля с Е = 10 кВ/м и В = 0,2 Тл, не отклоняется?
42. Заряженная частица движется в однородном магнитном поле по дуге окружности радиусом R1 = 2 см. После прохождения через свинцовую пластинку радиус кривизны траектории R2 = 21 см. Определите относительное
приращение δ энергии частицы.
43. Заряженная частица влетела перпендикулярно линиям индукции в
однородное магнитное поле, созданное в среде. В результате взаимодействия
с веществом частица, находясь в поле, потеряла половину своей первоначальной энергии. Во сколько раз будут отличаться радиусы кривизны R1 / R2
траектории начала и конца пути?
44. Заряженная частица, двигаясь в магнитном поле по дуге окружности радиусом R1 = 2 см, прошла через свинцовую пластинку, расположенную
на пути частицы. Вследствие потери энергии частицей радиус кривизны тр аектории изменился и стал равным R2 = 1 см. Определите относительное изменение δ энергии частицы.
45. Тонкая медная лента толщиной d = 0,1 мм помещена в однородное
магнитное поле с индукцией В = 0,9 Тл так, что плоскость ленты перпендикулярна силовым линиям поля. В ленте сила тока I = 10 А. Определите разность потенциалов U, возникающую вдоль ширины ленты, считая, что в меди
имеется по одному свободному электрону на каждый атом.
162
46. Полагая, что в алюминии число свободных электронов, приходящихся на каждый атом, Z = 2, определите разность потенциалов U, которая
возникает вдоль ширины ленты при помещении ее в однородное магнитное
поле с индукцией B = 0,60 Тл. Ширина ленты b = 10 см, плотность тока в
ленте j = 5,0 МА/м2. Вектор индукции магнитного поля перпендикулярен
плоскости ленты.
47. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,80 Тл помещена
тонкая медная пластина, в которой сила тока I = 5,0 А. Вектор индукции магнитного поля перпендикулярен плоскости пластины. Толщина пластины
d = 0,01 мм. Определите концентрацию n свободных электронов в меди, если
возникшая вдоль ширины ленты разность потенциалов U = 2,0 мкВ.
48. В случае эффекта Холла для натриевого проводника при плотности
тока j = 150 А/см2 и магнитной индукции В = 2 Тл напряженность поперечного электрического поля ЕВ = 0,75 мВ/м. Определите концентрацию n электронов проводимости, а также ее отношение к концентрации атомов в этом
проводнике.
49. Через сечение медной пластинки толщиной d = 0,1 мм пропускается
ток I = 5,0 А. Пластина помещена в однородное магнитное поле с индукцией
В = 0,5 Тл, перпендикулярное ребру пластинки и направлению тока. Считая
концентрацию электронов проводимости равной концентрации атомов, определите возникающую в пластине поперечную (холловскую) разность потенциалов U.
50. Определите, во сколько раз постоянная Холла у меди больше, чем у
алюминия, если известно, что в алюминии на один атом в среднем приходится два свободных электрона, а в меди – 0,8 свободных электронов.
163
ОТВЕТЫ
СВЕДЕНИЯ О ВЕКТОРАХ
1. 9. 2. 1) 7; 2) 1; 3) 5. 3. 2. 4.
= 4,4; = 23 0. 5.
= 8,7; = 370.
6.
= 8,7; = 217 0. 7.
= 6. 8.
= 7,1; = 45 0. 9. rx = 5,2; ry = 3,0.
10.
= 4;
= 60 0. 11.
= 1,7; 1 = 240 0;
= 3,5; 2 = 300 0.
12. М1 М2 = 5. 13.
= 10; = 580. 14.
= 5,8;
= 7,1. 15.
= 2,6;
= 1,7. 16.
a)
; b)
. 19. х = 2 см. 20.
. 17.
;
= 6; х = 4 см от большего вектора.
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
Кинематика поступательного и вращательного
движения
1. При прямолинейном движении тела и одинаковом направлении.
2. S = 25 см. 3. υ = 3 м/с, в 1 м от потолка и 2 м от боковой стены.
4. а) υ ср = 48 км/ч; б) υ ср = 75 км/ч. 5. υ ср = 25 м/с. 6.
l1 = υ 2∆t
(υ 2< υ 1);
(υ 2>3 υ 1). 7.
t = 40 c. 8.
;
υ 2 = 20 м/с.
9. υ = 2,3 м/с. 10. а) l = 120 м; б) = 37 0. 11. 370
1430; v2min = 2,4 м/с.
12. a = – 20 м/c2; υ 0 = 850 м/с; υ = 750 м/с. 13. t = 10 с; х = 54 м; а = – 1 м/с2.
14. υ = 5 10–2+6 10–6 t2 м/с; а = 12 10–6 t м/с2; S = 1503 м; υ = 4,91 м/с.
15. Прямая 3х –2y = 12, расположенная в плоскости XY с началом в точке
х0 = 2, y0 = – 3. 16. υ = 200 м/с, a = 20 м/с2. 17. S = 400 м/с. 18. S = 86 м.
19. υ = 12,4 м/с. 20. S = 24 м; 2) υ = 38 м/с; 3) a = 42 м/с2. 21. 1) y = υ+Bx2/A;
2) r = Ati+At(1+Bt)j; 3)
; 4) a = 2AB. 22. t = 30 с;
υ 1 = 3 м/с; S = 45 м. 23. t1 = 3,4 с, S = 15 м и t1 = 10,6 с, S = 123 м.
24. u = 68 км/ч. 25. ∆t = 31 с. 26. υ ср = 0,5 м/с. 27. a = 1,43 м/с2.
28. υ = 7 м/с; aτ = 8,5 м/с2. 29. y3 – 8x = 0; υ = 2,77 м/с; a = 4,3 м/с2.
30.
υ = 20 м/с. 31.
;
. 32.
h = 109 м.
33. Н = 615 м. 34. t1 = 20 c; t2 = 22,1 с; t3 = 18,1 с. 35. H = 9,2 м.
36. H = 9,62 м. 37. υ = 210 м/с. 38. t = 5 с. 39. y = (g/2υ 20)x2; 1) υ = 26,2 м/с;
2) φ = 67,8 0. 40. R = 102 м. 41. y = (3/32)x2; 1) υ 0 = 7,1 м/с; 2) φ = arctg2/3;
3) аn = 9,4 м/с2, а = 2,7 м/с2; 4) R = 5,3 м. 42. υ = 2,58 м/с; aτ = 5,37 м/с2;
an = 8,22 м/с2. 43. υ 0 = 20 м/с; υ = 28 м/с. 44.
164
.
45. y = xtg – gx2/2 (υ 0cos ) 2. 46. t = 1,2 с. 47. L = 21650 м. 48. υ 0 = 289 м/с.
49. 1) t = 4,64 с; 2) S = 65,7 м; 3) υ = 34,4 м/с; 4) β = 65,7. 50. h = 1,53 км;
L= 3,53 км; R = 1,02 км. 51.
. 52. H = (2u/g)(υcos –u)tg2 .
53. α = 57 0. 54. 1) aτ = 6 м/с2; 2) S = 85 м; 3) a = 17 м/с2. 55. 1) an = 0,27 м/с2;
2) aτ = 0,8 м/с2; 3) a = 0,84 м/с2. 56. 1) t = 5 c; 2) S = 6,25 см. 57. R = 9 см.
58. R = 79 см. 59. υ ср = 400 м/с. 60. υ = 113 м/с; ∆l = 35 мкм.
61.
= 3,14 рад/с2; N = 25. 62. N = 12,6; t = 7,85 с. 63. R = 8,33 см.
64. ε = 3,2 рад/с2. 65. ωср = 2700 Гц; εср = 2,3∙10 6 с-2. 66.
= 2(10 – t) с-1;
= – 2 с-2. 67. 1) aτ = 1,4 м/с2; 2) an = 28,9 м/с2; 3) a = 28,9 м/с2;
68. a = 0,26 м/с2. 69. = 8,33 рад/с2.
Динамика материальной точки и поступательного движения
абсолютно твердого тела
1. F = 2 Н. 2. m = 4,9 кг. 3. F
m 2 A c o s t . 4. 1) T = 5,9 Н;
2) T = 3,9 Н. 5. а = 1,25 м/c2. 6. 1) a = 4,9 м/с2; 2) а = 2,45 м/с2.
7. а2 = 13,8 м/с2. 8. 1) F = 3 кН.; 2) F = 30 кН; 3) F = 300 кН. 9. υ 0= 36 км/ч;
F = 2,04 кН. 10. 1) a = 5 м/с2; 2) T = 3,9 Н. 11. а = 1,96 м/с2.
4m1m2 g
m1 m2
2m1m2 g
a
g;
T
F
12.
1)
2)
;
3)
.
m1 m2
mm1 m2
m1 m2
4m1m2 g
13. F
= 39,2 Н. 14. 1) 2,26 Н.; 2) а 1 = 1,5 м/с2, а2 = 0,75 м/с2.
m1 m2
15. а = 2,2 м/с2. 16. а = 2,29 м/с2. 17. 1) a = 0,78 м/с2; 2) T1 – T2 = 1,33 Н.
2
x2 y2 .
1) a = 1,33 м/с2; 2) T1 – T2 = 2,8 Н. 19. F m
1 cos t F0
20. r (t )
; 21. 1) υ x= – 12 км/ч; 2) υ x = 6 км/ч ; 3) υ x = – 30 км/ч.
m 02
22. 1) u = 5,12 км/ч; 2) u = 1,71 км/ч. 23. в 1,4 раза. 24. F t = 5,6 ⋅ 10-23Н ⋅ с.
25. F t = 2,8 ⋅ 10 -23 Н ⋅ с. 26. <F> = 626 кН. 27. F = 85 Н. 28. F = 15 H.
29. F = 15 H. 30. u = 1,55 м/с. 31. υ = 835 м/с. 32. S = 1,05 м.
33. m1/m2 = 1/3. 34. u = 6,2 м/с. 35. 1) 3,8 м/с; 2) 6 м/с. 36. a = 11,6 м/с2.
37. 1) t = 0,66 с; 2) υ 2 = 220 м/с. 38. H = 65 км. 40. Qm = 24,5 кг/с.
41. Fp = –160 Н; а = – 4,57 см/с2. 42.
.
43.
–
44. 1) υ = 134 м/с; 2) υ = 124 м/с; 7,5 %.
45. υ = 10,2 м/с. 46. 4R/(3 ) от центра. 47. а) ХС = 30 см. б) Х С = 7,5 см.;
YC = 4,5 см. в) Х С = 1,5 см. YC = 4,5 см. ZC = 3 см. 48. ХС = 12 см. YC = 5,77 см.
49. l = 6 ⋅ 10 -2 м. 50. l0 = 6,3 м. 51. 1) h2 = 0,84 м; 2) t = 1,4 c. 52. k = 0,9.
53. = 3,12 МПа. 54. δ = 23 %. 55. 1) δ = 0,14 %; 2) нет. 56. Е = 208 ГПа.
k1 k 2
57. х1 = 4 см. 58. k
=1,5 кН/м. 59. 1) υ max = 21,6 км/ч; 2) T = 73 c.
k1 k 2
18.
165
3) а = – 0,098 м/с2; 4) S = 218 м. 60. 1) F = 980 Н, 2) F = 3 кН. 61. μ = 0,15.
62. μ = 0,33. 63. 1) F = 1,37 кН. 2) F = 590 Н. 64. μ = 0,35. 65. μ = 0,051.
66. μ = 0,5. 67. μ = 0,01. 68. 1) t0=(m1 + m2) μg/A; 2) a1 a2 At /(m1 m2 ) .
69. 1) μ = 0,22; 2) Q = 5,7 Дж. 70. 1) А = 7 МДж; 2) P = 29,4 кВт.
71. 1) P = 6,9 Квт; 2) P = 11,8 кВт; 3) P=1,98 кВт. 72. F = 245 H.
73. 1) υ min = 2,43 м/с; 2) в высшей точке Т = 0; в низшей точке Т = 39,3 Н.
74. m = 0.5 кг.
Работа и энергия
1. A = 996 Дж. 2. A = 4,72 Дж. 3. a = 29,4 м/с2. 4. A = 1,48 Дж.
5. А = 1,48 кДж. 6. S = h(1 – μctgα)/μ. 7. P = 26 кВт. 8. P = 4,1 ⋅105 Вт.
9. A = 4,4 ⋅109 Дж. 10. 1) A = 11,5 кДж; 2) P = 38,3 кВт. 11. m = ηPt/(gh).
12. P = 195 кВт. 13. 1) А = 21,0 Дж; 2) A = 375 Дж. 14. υ 0 = 50 км/ч.
15. ЕП = 2,94 кДж; A = 6 кДж. 16. в 10 раз. 17. m = 0,06 кг. 18. m = 13 кг.
19. P1 = 0,32 Вт; P2 =56 Вт. 20. P = 16 Вт. 21. υ = υ 0/3. 22. 1) S = 1/A;
2) AF=5mg/9A. 23.
P(t) = (2t3 + 3t5)/m. 24.
hmin = 10 м.
2 h
arcsin (
1) . 26. EK = 0,24 Дж;
25. 1)
; 2)
3 R
S = 1,53 м. 27. 1) EK ′ = 6,6 Дж, EП ′ = 15,9 Дж, E ′ = 22,5 Дж;
2) EK ′′ = 5,7 Дж, EП ′′ = 16,8 Дж, E ′′ = 22,5 Дж. 28. υ = 14 м/с.
29. 1) r = 4 см; 2) r = 6 см. 30. r2 – устойчивое равновесие; r4 – неустойчивое
равновесие. 31. ЕП(x,y) = –Axy+C, где С – аддитивная постоянная.
32. 1) ∆U = 9,6 Дж; 2) ∆U = 86,4 Дж. 33. 1) u = 1 м/с; δ = 0,8; 2) u = 2 м/с;
δ = 0,2. 34. k = 0,95. 35. k = 0,67. 36. S = 0,3 м. 37. t = 0,58 с.
38. E01 = 5,62 Дж; E1 = 0,62 Дж. 39. 1) p1′ = –6 кг м/с, p2′ = 16 кг м/с;
2) ∆p1 = 16 кг м/с; 3) EK1′ = 9 Дж, EK2′ = 16 Дж; 4) EK1 = 16 Дж;
5) δ = 0,64. 40. u1 = –6 м/с, u2 =4 м/с. 41. 1) в 3 раза; 2) EK2 ′′ = 450 Дж.
42. 1) u1 = u2 = 1,8 м/с; 2) u1 = 0,6 м/с, u2 = 2,6 м/с. 43. h = 3,7 см.
44. υ 2′ = 3,76 м/с. 45. h = 7,9 см 46. υ = 164 м/с. 47. = 36,9 0. 48. υ = 701 м/с.
49. η = 0,952. 50. η = 0,833. 51. η = 0,93. 52. T = 12,4 Н. 53. A = 10 Дж.
54. 5,9 МДж/м3. 55. A = 5 Дж. 56. ∆x = 16,3 мм. 57. x = 21,6 см.
58. A = 0,6 Дж. 59. EП = 5 Дж. 60. k = 1,2 МН/м. 61. h = 2 м.
62. l = 4,25 см. 63. υ = 7,07 м/с. 64. υ = 22,5 м/с.
Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела
1. J = 0,07 кг м2. 2. J = 6 10-2 кг м2. 3. J = 0,12 кг м2.
4. 1) J = 3 10-2 кг м2; 2) J = 1,75 10-2 кг м2. 5. ν = 23 мин –1. 6. ν2 = 8,5 мин-1.
7. ν2 = 20 мин-1. 8.
= 1,02 рад/с. 9.
= 2 /3. 10. m = 7,36 кг.
2
11.
= 2,35 рад/с . 12. EK = 1,44 кДж. 13. M = –0,1 Н м.
166
14. 1) M = 62,8 Н м; 2) N = 16. 15. 1) = 7,8 рад/с2; 2) через 1 мин 20 с.
16. ν = 23,4 об/с. 17. 1) J = 6,25 кг м2; 2) m = 50 кг. 18. 1) S = 0,82t 2;
2) T = 8,2 Н; 3) = 16,4t 2; 4) ω = 32,8 рад/с; 5) а = 1,64 м/с2.
19. J = 9,5 кг м2. 20. 1) через 1,1 с; 2) EK = 0,81 Дж; 3) Т = 4,1 Н.
21. а = 1,8 м/с2, = 18 с-2. 22. υ = 21 м/с. 23. EK = 24,0 Дж. 24. EK = 0,1 Дж.
25. L = 3,8 кг м2/с. 26. EK = 253 Дж. 27. Н = 7,56 м. 28. S = 7,5 м.
29. S = 4,1 м. 30. J1 = 9 10-4 кг м2, J2 = 15,9 10-4 кг м2. 31. EK = 3,21 Дж.
32. EK = 490 Дж. 33. 1) = –0,21 рад/с2; 2) М = 0,42 Н м; 3) А = 630 Дж;
4) N = 240 об. 34. 1) J = 0,01 кг м2; 2) М = 9,4 10-2 Н м. 35. t = 5 с.
36. EК = 1,92 кДж. 37. A = 65,8 Дж. 38. М = 36 кДж. 39. P = 12,8 кВт.
40. M = 2CJ; P = 2CJ(B+2Ct); P = 800 Вт. 41. М = 3,18 Н м. 42. Т1 = 2,98 кН;
Т2 = 1,49 кН. 43. P = 214 Вт. 44. А1 = 7,11 Дж; А2 = 28,4 кДж.
Тяготение. Элементы теории поля
1. T = 13,2 мес. 2. lmax = 5,2 109 км. 3. υ = 29,8 км/с. 4. h = 4,19 Мм.
5. В 2,55 раза. 6. ρ = 5,51 г/см2. 7. h = 13,6 Мм. 8. gh = 3,7 Н/кг. 9. r = 54,3R.
10. υ = 6,33 км/с. 11. h = 4,2 104 км. 12. T = 2,74 ч. 13. gЛ = 0,165gЗ.
14. в 2,46 раза. 15. gЛ = 1,61 м/с2. 16. x = 0,34 %. 17. 1 ч. 25 мин.
18. h = 2,64 Мм. 19. 0,9R. 20. EП(R) = –mgR02 /R, где R0 – радиус Земли.
21. В 2 раза. 22. 1) A = 31,2 МДж; 2) A = 62,4 МДж. 23. = –62,6 МДж/кг;
= –190 ГДж/кг. 24. υ 1 = 7,9 км/с. 25. υ 2 = 11,2 км/с. 26. υ 2 = 11,2 км/с.
27. υ 1 = 2,37 км/с. 28. υ = 30 км/с. 29. υ = 6,33 км/с. 30. h = R.
Механика жидкостей и газов
1. h = 20 м. 2. P = 5,3 кПа. 3. P0 = 94 кПа. 4. ∆h1 = 6 см; ∆h1 = 0,4 см.
5. h = 27 см. 6. d = 16 м. 7. m = 20 кг. 8. ρ = 4 ⋅103 кг/м3. 9. n2 =.0,19.
10. V = 67,8 см3. 11. H1 = 1,25 мм. 12. υ = 0,15 м/с. 13. h = 0,32 м.
14. D = 1,8 см. 15. t = 3,5 часа. 16. A = 30 кДж. 17. P = 51,8 Па.
18. υ = 5,42 м/с. 19. l = 0,7 м. 20. H = 0,2 м. 21. grad = 100 c-1. 22. n = 2.
23. t = 76,1 с. 24. D = 5,41 мм. 25. Re = 2,2, Re > Reкр: движенире жидкости турбулентное. 26. 1) = 0,99 Па с; 2) = 1,03 10-3 м2/с. 27. t = 107 с.
28. υ max = 3,17 м/с. 29. P2 = 58,5 кВт.
Релятивистская механика
1. 1) l′ = 1,75 км, 2) = 3,5 мкс. 2. ∆t = 0,2 мкс. 4. В 2,29 раза.
5. β = 0,141. 6. l = 200 Мм. 7. 1) l0 = 599 м. 2) t = 20,1 мкс; 3) t0 = 2 мкс.
9. υ = 1,31 ⋅105 км/с. 10. 1) l = 1,28 м. 2) θ = 35 048 . 11. l0 = 1,79 м.
13. υ = 0,976 м/с. 14. υ = с – скорость света. 15 1) υ = с ; 2) υ = 0,8с.
167
16.
22.
. 18. S = 1,14 км. 19. 1,67. 20. На 51,2 %. 21. υ = 0,87с.
p = 6,68 10–19 кг⋅м/с. 23.
υ = 0,94с. 24.
.
25. υ = 298 Мм/с. 26. υ = 260 Мм/с. 27. p = 5,68 10–19 кг⋅м/с;
EK = 7,69 10–11 Дж. 28. EK = 1,02 МэВ. 29. ∆φ = 1,22 ГВ. 30. ∆φ = 512 кВт.
31. A = 0,245 m0c2. 32.
. 33. p = 5,34 10–19 кг⋅м/с.
35. E2 – p2c2 = m02c4.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов
1. 1) m = 7,31∙10 -26 кг; 2) m = 9,70∙10 -26 кг. 2. M = 98 кг/моль.
3. ρ = 3,2 кг/м3. 4. = 7,14 моль; N = 4,30∙1024. 5. n = 1,2∙10 20 м–3. 6. V = 2 л.
7. m = 0,25 г. 8. N =3,01∙10 26; m0 = 3,32∙10 -27 кг. 9. 1) P = 0,75 кПа;
2) M = 3∙10 -3 кг/моль. 10. ρ = 0,498 кг/м3. 11. P2 = 16,3 кПа. 12. m1 = 6,3 г.
13. 1) V1 = 6,03∙10 -3 м3; 2) T2 = 481 К. 14. n = 1,88∙10 25 м-3.
15.
1)
= 0,223 моль; 2) m = 6,24 г; 3) n = 2,69∙10 25 м -3.
16. p = 5,6∙10 -23 кг∙м/с. 17. p = 3,3∙10 -23 кг∙м/с. 18. p = 2∙10 -23 кг∙м/с.
19. n = 4,2∙10 25 м-3. 20. ρ = 0,74 кг/м3. 21. P = 5 кПа. 22. В 1,44∙10 7 раза.
23.
= 230 м/с; N = 1,9∙10 23;
= 5 кг/м3. 24. n = 3,4∙10 11 м-1.
25. ∆P = 2,4 Па. 26. V= 3,2 л; P1 = 98 мПа, P2 = 35 мПа; n = 2,6∙10 19 м-3.
27.
= 5∙10 5 м/с. 28.
= 1,9 км/с; M = 0,002 кг/моль. 29. T = 37 ГК.
30.
= 533 м/с. 31. υ в = 645 м/с; υ в = 1,29 км/с. 32. υ в = 478 м/с.
33. ε0 = 1,5∙10 -19 Дж. 34. 1) υ в = 422 м/с; 2)
= 476 м/с; 3)
= 517 м/с.
22
35. 1,9 %. 36. 4,4 %; 3 %. 37. Nx = 1,8∙10 . 38. P = 6,72 кПа. 39. h = 2,3 км.
40. P2 ≈ 94,9 кПа. 41. H = 1 км. 42. P = 79,3 кПа; 2∙10 -25 м-3.
43. а)
= 1,28 кг/м3; б)
= 0,78 кг/м3. 44. а) H = 5,5 км; б) H = 80 км.
45.
= 850 км. 46.
= 5,6 км. 47.
= 93 нм. 48. z = 4,9∙10 5 с-1.
49.
= 2,47∙10 9 с-1. 50.
= 3∙10 31. 51. P ≤ 1,55 Па. 52.
= 95,1 м, мож8 -1
-6 2
но, т.к. >>l0. 53.
= 4,45∙10 с . 54. D = 9,18∙10 м /с. 55. m = 15,6 мг.
-5
2
56. D = 9,1∙10 м /с. 57.
= 9,2∙10 7 с-1. 58. λ = 13,2 мВт/(м∙К).
59. D = 2∙10 -5 м2/с. 60. λ = 8,25 мВт/(м∙К). 61. λ = 8,49 мВт/(м∙К).
62. Q = 76,4 Дж. 63. d ≈ 0,19 нм. 64. 1,25. 65. D = 9,74∙10 -6 м2/с,
= 1,13∙10 -5 кг/(м∙с).
Основы термодинамики
1. 1) 10 -20 Дж; 2) 860 Дж. 2. 208 кДж. 3. 1,66 кДж. 4. m = 2,5 г;
P = 167 кПа. 5. N = 1,3 1020; U = 0,133 Дж. 6. 1) cV = 742 Дж/(кг К);
168
2) cP = 1,04 кДж/(кг К). 7. 1) cV = 649 Дж/(кг К); 2) cP = 900 Дж/(кг К).
8. 1) cV = 667 Дж/(кг К); 2) cP = 918 Дж/(кг К). 9. i = 6. 10. M = 32 кг/моль.
11. γ = 1,38. 12. cP = 1,2 кДж/(кг К). 13. 1) Q = 700 Дж; 2) Q = 500 Дж.
14.
Т2 = 1500 К; V = 12,4 л; Q = 12,4 кДж. 15.
Q = 545 Дж.
-2 3
16. 1) V = 2,41 10 м ; 2) Т 2 = 1160 К; 3) Q = 18,1 кДж. 17. Q = 5 кДж.
18. Q = 24 кДж. 19. 1) A = 1,5 кДж; 2) ∆U = 0,6 кДж; 3) γ = 1,4.
20. А = 1,43 кДж; V2 = 0,026 м3. 21. 1) Q = 3,5 кДж; 2) Q = 2,5 кДж.
22. 1) ∆U = 0; 2) A = – 2,01 кДж; 3) Q = 2,01 кДж. 23. 1) A = 2,08 кДж;
2) ∆U = 0. 24. 1) Q = 3 кДж; 2) Q = 7 кДж. 25. 1) V2 = 0,228 м3;
2) Т2 = 441 К; 3) ∆U = 82,4 кДж. 26. m = 28 г. 27. 1) V2 = 0,5 л;
2) P2 = 264 Па. 28. 1) P2 = 1 МПа, A = 10 кДж; 2) P2 = 0,33 МПа,
A = 5,5 кДж; 3) P2 = 0,21 МПа, A = 4,63 кДж. 29. 1) T2 = 249 К;
2) Q = 869 Дж; 3) ∆U = – 786 Дж; 4) A = – 110 Дж. 30. η = 34,3 %.
31. η = 15,3 %. 32. η = 30,7 %. 33. A = 11,5 кДж. 34. 1) η = 30 %;
2) A = 1,5 кДж. 35. 1) η = 20 %; 2) 1,25. 36. A = 240 Дж. 37.
= 9,3 %;
Q1 = 397 кДж; Q2 = 360 кДж. 38. m0 = 4,94 кг. 39. Q = 1,06 МДж.
c n
t
n , где и с – плотность и удельная теплоем40. Q P
кость воды, – удельная теплота плавления льда. 41. A = 7,6 кДж.
42. P = 258 кВт. 43. η 45 %. 44.
= 20 %; ′ = 0. 45. 104 цикла.
46. P2 = 930 кПа; Т2 = 686 К. 47. n = 1,3. 48. 8 %. 49. S = 1230 Дж/К.
50.
S = 63 Дж/К.
51.
S = 17,3 Дж/К.
52.
S = 2,9 Дж/К.
53. 1) S = 8,5 кДж/К; 2) S = 11,8 кДж/К. 54. При постоянном давлении.
55. В 4 раза. 56. 1) ∆S = 28,8 Дж/К; 2) ∆S = 40,3 Дж/К.
58. S H2 / SO2 16 раз. 59. ∆S = 48 Дж/К. 60. ∆S = 1 Дж/К.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Электростатика
1. ∆m = 10 -11 кг. 2. δN = 7,4 ⋅10-5. 3. r = 5⋅10-5 м. 4. q1 = – 2⋅10-6 Кл;
q2 = – 6⋅10-6 Кл. 5. q1 = 6⋅10-6 Кл; q2 = – 2⋅10-6 Кл. 6. q1 = – 10-6 Кл.
7. q1 = q2= q/2. 8. F2 / F1 = 1,5. 9. q1 / q2 = 5,8; q1 / q2 = 0,2.
11. q1 = – 0,15 ⋅10-6 Кл; q2 = – 0,12 ⋅10-6 Кл. 12. Если заряд q2 расположен
между зарядами q1 и q3, то F = 0,27 Н и сила направлена от заряда q2 к заряду q1. Если заряд q2 расположен вне отрезка q1 q3, то F = 0,45 Н и сила
направлена от зарядов q1, q3. 13. F = 8,3 Н. 14. x=40 см отзаряда q4; положительный. 15. F = 1,5 мН. 16. a=8,6⋅102 м/с2. 17. Т = 3,5 ⋅10-3 Н. 20. ρ = 1,6
г/см3. 21. d = 7⋅10-7 м. 22. s = 15 см. 23. EC = 20 В/м. 24. ED = 90 В/м.
25. q1 = 0,09 ⋅10-6 Кл; q2 = – 0,01 ⋅10-6 Кл. 26. E = 2,14 кВ/м. 27. E = 35 кВ/м.
28. q1 = 4⋅10-9 Кл; q2 = – q1. 29. Е = 3,8 В/м. 30. Е = 2,3 ⋅104 В/м.
31. Е = 246 В/м. 32. ε = 2. 33. EA = 2,83 кВ/м. 34. E1 = 1,43 МВ/м;
169
E2 = 648 В/м; E3 = 194 кВ/м; E4 = 230 кВ/м. 35. E = 576 кВ/м. 36. В центре
треугольника вектор напряженности будет перпендикулярен оставшейся
заряженной палочке и не изменится по величине. 37. Eb = 5⋅104 В/м;
EC = 1,4 В/м. 38. E = σ / 9ε0. 39. σ = 1,77 нКл/м2. 40. 1) E = 113 В/м;
2) E = 339 В/м. 41. F = 3,4 Н. 42. 1) Fl = 8 Н/м; 2) Al = 0,012 Дж/м.
43. Е = 3,12 ⋅10-6 В/м. 44. FS = 5,1 кПа. 45. 1) F = 2⋅10-5 Н; 2) F = 12,6 ⋅10-5 Н;
3)F = 6,28 ⋅10-5 Н. 46. E = 36 В/м. 47. 1) E = 0; 2) E = 800 В/м;
3) E = 180 В/м. 48. Е = 3,5 кВ/м. 49. 1) E = 0; 2) E = 900 В/м; 3) E = 400 В/м.
50. Е1 = 0; Е2 = 21,11 кВ/м; Е3 = 200 В/м. 51. 1) E = 0; 2) E = 800 В/м;
3) E = 450 В/м. 52. 1) E = 0; 2) E = 5 кВ/м; 3) E = 0,9 кВ/м. 53. 1) 18,8 В/м;
2) 16,7 В/м. 54. 1) Е1 = 3,78 В/м; D1 = 0,1 нКл/м; 2) Е 2 = 6,28 В/м,
Е 2 = 18,8 В/м; D 2 = 167 пКл; 3) Е 3 = 4,72 В/м, D3 = 41,7 пКл/м2.
55. 1) E1 = 2,838 В/м; D1 = 30 пКл/м2; 2) E2 = 7,55 В/м; D2 = 66,7 пКл/м2.
56. А = 1,2 ⋅10-6 Дж. 57. А = – 1 Дж. 58. А = 180 Дж. 59. А = 7 ⋅10-8 Дж.
60. А = – 0,06 Дж. 61. А = 5kq2/3r. 62. А1 = – 4 мДж. 63. EП = 90 мДж.
64. A = 9 10-13 Дж. 65. υ = 16 Мм/с. 66. φC = 24 В, если точечный заряд расположен вне отрезка АВ; φ C = 120 В, если точечный заряд расположен на
отрезке АВ. 67. φ = 45 В. 68. E = 664 кВ/м. 69. 1) φ = 1,8 кВ; 2) φ = 805 В.
70. φ = 100 В. 71. 1) φ = 1,8 кВ; 2) φ = 1,29 кВ. 72. R = 10 см. 73. φ = 0,28
кВ; градиент потенциала направлен к плоскости. 74. τ = 17 мкКл/м.
75. φA – φB = 16,9 В. 76. φA – φB = 0,64 В. 77. ∆(φA – φB) = 73 В.
78. φ1 – φ2 = 45 В. 79. φ1 – φ2 = 18 В. 80. φ1 – φ2 = 73 В. 81. R1 =23 см,
R2 = 48 см. 82.
. 83. 1) ∆φ = 2,8 В; 2) Е = 530 В/м 3) = 4,7 10-9
Кл/м3. 84. t = 1 с. 85. ∆U = – 7.3⋅10-3 В. 86. U2 = 200 В. 87. С = 1,8 ⋅10-11 Ф.
88. ∆q = 1,7 ⋅10-5 Кл. 89. ∆q = 0,27 мкКл. 90. С = 7,7 пФ. 91. С = 36 пФ; емкость конденсатора увеличится в ε раз. 92. 1) UI = 150 В; 2) UII = 50 В.
93. 1) κ = 6; 2) σ = 759 нКл/м 2. 94. 1) E1 = 182 кВ/м, Е 2 = 637 кВ/м;
2) D = 113 мкКл/м2. 95. = 1,46 107 м/с. 96. U1 / U2 = 1,35. 97. U = 4,41 кВ.
98. 1) C = 135 пФ; 2) R = 0,55 мм. 99. С2 = 200 пФ; U1 = 100В; U2 = 100 В.
100. C1 / C2 = 3. 101. U = 12,5. 102. С2 = С3 = 30 мкФ. Q2 = Q3 = 7,5 мКл.
103. P = 26,5 Па. 104. U = 21,7 кВ. 105. Е = 60 кВ/м; W1 = 2 10-5 Дж;
W2 = 0,8 10-5 Дж. 106. А = 99,5 мкДж. 107. 1) q = 1,77 10-7 Кл;
2) Е = 333 кВ/м; 3) W = 2,94 Дж/м3. 108. q = 1,5 ⋅10-16 Кл. 109. N = 300.
110.
. 111. t = 4,7 10-8 с. 112. υ = 8,4 106 м/с. 113. 1) E = 5,7 В/м;
2)
= 10 6 м/с; 3) A = 4,5 10-19 Дж 2,8 эВ; 4) φ 2 – φ1 = 2,8 В.
114.
;
. 115.
∆υ = 3,2 106 м/с.
116. E = (d – υt)m / qt2. 117. Отклонение протона и -частицы будет одинаковым. 118. На l = 0,01 м. 119. t = 0,56 мкс, х = 2,8 м. 120. U = 19 кВ.
170
Постоянный ток. Электрические токи в металлах,
жидкостях, вакууме и газах
1. υ= 10 -6 м/с. 2. U = 0,9 ⋅10-3 В. 3. l = 53 м; d = 0,18 мм.
4. E = 17 мВ/м. 5. R2 = 1,1 Ом. 6. N = 6. 7. q = 5 Кл. 8. j = 1 А/мм2.
9. 1) R = 70 Ом; 2) а) R = 87,5 Ом, б) R = 116,7 Ом, в) R = 175 Ом,
г) R = 350 Ом. 10. l = 500 м; d = 1 мм. 11. R = 1,8 мОм. 12. В 2,22 раза.
13. В 12 раз. 14. t =2294,5 0С. 15. Q = 6 кДж. 16. τ = 6 с. 17. Q1 / Q2 = 5,8.
18. Q = 15 кДж. 19. E = 0,141 В/м. 20. R = 2 Ом. 21. d ≥ 4,4 мм.
22. I0 = 2,4 А. 23. N = 3⋅1019 с-1. 24. η2 = 11 %. 25. η = 73,5 %.
26. R = 240 Ом. 27. l = 10 4 м. 28. 1) τ1 = 750 с; 2) τ2 = 1500 с; 3) τ3 = 375 с.
29. τ3 = 25 мин; τ4 = 6 мин. 30. R = 9,3 Ом. 31. t2 = 2200 0С. 32. t2 = 70 С.
33. R = 20 Ом, δR = 0,8 %. 34. R = 90 Ом. 35.
. 36.
ε = 50 кВ.
37. I = 0,15 А. 38. d = 0,52 мм. 39. I = 1 А. 40. I0 = 6 А. 41. U = 6 В.
42. U1 = 6 В, U2 = 3 В, U3 = 2 В. 43. I = 2 А; I1 = 1,3 А; I2 = 0,7 А.
44. ε = 3,7 В; r = 0,2 Ом. 45. ε = 18 В; r = 2 Ом. 46. r = 3 Ом, = 40 В.
47. Iк = 29,6 А. 48. Imax = 1,4 А. 49. U = 100 В. 50. ε = 200 В.
51. q = 0,35 ⋅106 Кл. 52. d = 3 ⋅10-5 м. 53. N = 3⋅1022. 54. A = 65,4.
55. τ = 8,1 ч; Р = 2,8 мВт. 56. τ = 39 мин. 57. q = 4,5 ГКл. 58. = 53,0 %.
58.
= 250 м/с. 60. n = 2∙10 7.
Магнитное поле
1. H = 7,69 кА/м. 2. B = 1Тл. 3. B = 5Тл. 4. pm = 0,12 Н∙м.
5. pm = 1,18 Н∙м. 6. pm / L =251 нКл/кг. 7. α = 30 0. 8. A = 2 Дж. 9. I1 = I2 = 20 А.
10. A = 0,2 Дж. 11. β = 45 0. 12. I = 8 А. 13. x = 0.2 м. 14. I = 4 А.
15. F = 0,1 Н. 16. F = 0,4 Н. 17. U = 0,12 В. 18. ρ = 10-6 Ом⋅м.
19. B = 11,8 Тл. 20. Fl1 = Fl2 = 20 мН; Fl3 = 34,6 мН. 21. B = 200 мкТл.
22. B = 6,28 мкТл. 23. B = 112 мкТл. 24. B0 = 4,47 мкТл. 25. N = 51.
26. H = 132 А/м. 27. B = 50 мкТл. 28. H = 17,7 А/м. 29. Плоскость третьего
витка должна составлять с плоскостью первого угол
; величина тока в третьем витке
. 30.
B = 21,2 мкТл.
31. B = 120 мкТл. 32. B = 5,7 мкТл. 33. Ф = 1,6 мкВб. 34. Ф = 24,3 мкВб.
35. Ф = 17,3 мкВб. 36. σ = 10 5 Па. 37. Ф = 0,8 мкВб. 38. 2700.
39. Фmax = 2,2 ⋅10-5 Вб. 40. Ф = 157 мВб. 41. A = 1,7 Дж. 42. A = 18 мДж.
43. A = 0,6 мДж. 44. M = 6,28 мкН⋅м. 45. M = 3,5 ⋅10-4 Н⋅м. 46. A = 24 Дж.
47. A = 16,3 Дж. 48. A = 0,04 Дж. 49. G = 50 ГПа. 50. φ = 0,52 рад или
φ = 30 0.
171
Электромагнитная индукция
1. I = 0,2 А. 2. При R конечном
= const; при R = 0 I~Ф~t.
3.
ε = 25 мВ. 4. ε = 10 В. 5. B = 2 мТл. 6. ∆t = 0,86⋅10-4 с. 7. I2 = 10 А.
ε = 0,45 В. 9. q = 5⋅10-10 Кл. 10.
= 1,1 Тл/с. 11. Q = 0,6 ⋅10-9 Дж.
8.
12. I0 = 14 А.
I0
I, A
0,5
1,0
1,5 2,0
0
t, мс
-I0
Рис. 43
15.
13. Амплитуда тока уменьшилась в 2 раза. 14.
;
ε = –2π⋅10-3sin(2πt).
.
16. ε = 2,6 ⋅10-2 В. 17. ε = 0,56 ⋅10-2 В. 19. ∆N = 318. 20. ε = 0,24 В.
21. q = 2,5 ⋅10-3 Кл. 22. q = 10 -4 Кл. 23. q2 = –0,2⋅10-5 Кл. 24. q = 0,5⋅10-5 Кл.
27. ε = 5 мВ. 28. B = 3,6 Тл. 29. U = 1 мВ. 30. ∆φ = 0,55 В.
31. ∆φ = 1,4 ⋅10-2 В. 32. ∆φ = 0,2 В. 33. ∆φ = 4,5 мВ. 34. P = 2 Вт.
35. Imin = 10 А. 36. P = 10 Вт. 37.
. 38.
. 39. W = 10 Дж.
40. I = 1,4 А. 41. 50 мДж. 42. W = 10 мДж. 43. W = 0,23 Дж. 44. I = 1 А.
45. ω = 528 Дж/м3. 46. ω = 161 Дж/м3. 47. ε = 20 В. 48. ε = 3 кВ.
49. ε = 12,8 В; ∆W = 2⋅10-2 Дж. 50. W = 0,56 Дж.
Магнитное поле в веществе
1. J = 12,1 А/м; Jуд = 1,66 мА⋅м2; 91 мкА⋅м2/моль. 2. χ = 7,3 ⋅10 -5.
3. pm = 250 мкА.м2. 4. J = – 9,8 А/м. 5. pm = 9,25 .10 -24Ам2;
Le = 1,05 .10 -34 кгм2/с. 6. 87,8 ГКл/кг. 8. δ = 1,73%. 9. B = 2,26 нТл.
10. J = 4,25 мА/м. 11. B = 1,2 мТл. 12. J = 66 А/м. 13. 1) B = 2 мТл;
2) J = 75 А/м. 14. 1) B = 1,2 Тл; 2) J = 954 кА/м; 3) μ = 1,19·10 3. 16. N =
855. 17. В = 1,8 Тл; = 200. 18. I2 = 620 А. 19. = 640. 20. L = 6,4 ⋅10-2 Гн.
21. 1) L = 9 Гн; 2) L = 5,8 Гн; 3) L = 0,83 Гн. 22. L = 0,2 Гн. 23. L = 40 мГн.
24. L = 1 Гн. 25. W = 0,6 Дж. 26. μ = 101. 27. μ = 2·10 3. 28. ω = 25 Дж/м3.
3
29. 2
1 = 6,4. 30. n = 1,6·10 раза.
172
Движение заряженных частиц в магнитном поле
1. q =±3,2 ⋅10-19 Кл. 2. R = 2 см.3. а) Rp / Rα = 1/2; б) Rp / Rα = 1.
4. ω = 1,76 ⋅1010 рад/с. 5. n = const =1,76 ⋅1014 м/с2; τ = 0. 6. EK = 30 МэВ.
7. EK = 17,3 МэВ. 8. FЛ = 4,7 ⋅10 -12 Н. 9. FЛ = 4,24 ⋅10 -16 Н.
10. q/m = 1,75 ⋅1011 Кл/кг. 11. m1 / m2 = 4. 12. R = 16,1 см. 13. В = 0,75 мТл.
14. В 2 раза. 15. q/m = 96,3 МКл/кг. 16. l = 14,5 см. 17. T = 2,84 с.
18. ν = 562 МГц. 19. pm = 1,27 ⋅10 -12 А⋅м2. 20. R = 2,4 мм. 21. 1) R = 1 см;
2) h = 11 см. 22. 1) h = 9,49 мм; 2) R = 2,62 мм. 23. 1) R = 5 мм;
2) h = 3,6 см. 24. T = 4 с. 25. h = 3,94 см. 26. R > 47 см. 27. = 41 Мм/с;
EK = 39,4 МэВ. 28. В = 1,3 Тл. 29. N = 167. 30. R > 32,3 см.
31. q/m = 9,57 .108 Кл/кг. 32. 1) EK = 11 МэВ; 2) νmin = 24,6 МГц.
33. F / FЛ = 75. 34. U = 5 мВ. 35. υ к = 3 Мм/с. 36. E = 112 кВ/м.
14
⋅
37. 1) = 2.106 м/с; 2) R = 2,3 .10 -2 м. 38.
м/с2; n = 0.
τ = 1,76 10
39. n = const =2,5⋅1014 м/с2; τ = 0. 40. t = 10 мк. 41.
= 0,12 Мм/с.
42. δ = – . 43. R1 / R2 =
. 44. δ = Т/Т = 0,75. 45. U = 4,5 мкВ.
46. U = 16 кВ. 47. n = 8,3 .1029 м -3. 48. n = 2,5 ⋅1028м -3; n/n1 = 0,984.
49. U = 1,85 мкВ. 50. В 1,78.
173
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
Трофимова, Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов / Т.И.
Трофимова. – Изд. 10-е, стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007.–
560 с.
2.
Савельев, И.В. Курс физики: учеб.пособие для втузов в 5 кн. /
И.В. Савельев. –Изд. 4-е, перераб. – М.: Наука. Физматлит, 1998.– 227 с.
3.
Зисман, Г.А. Курс общей физики. Т. 1,2,3 / Г.А. Зисман, О.М. Тодес.– Киев: Днипро,1994.– 620 с.
4.
Детлаф, А.А. Курс физики: учеб. пособие для втузов / А.А.
Детлаф, Б.М.Яворский. – Изд. 6-е, стер. – Издательский центр «Академия»,
2007.– 720 с.
5.
Трофимова, Т.И. Сборник задач по курсу физики / Т.И. Трофимова.– М.: Высшая школа, 1996.– 303 с.
6.
Волькенштейн, В.С. Сборник задач по общему курсу физики /
В.С. Волькенштейн.– СПб.: Изд-во Лань, 2003.– 328 с.
7.
Сивухин, Д.В. Общий курс физики: учеб. пособие для вузов. в 5 т. /
Д.В. Сивухин. – Изд. 5-е, стер. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 560 с.
8.
Енохович, А.Е. Справочник по физике и технике: учеб. пособие для
учащихся./ А.Е. Енохович. – М.: Просвещение, 1989. – 224 с.
9.
Белко, В.Н.,. Электричество и магнетизм: метод. указания к решению задач по физике для студентов всех специальностей дневной, заочной
и ускоренной форм обучения / В.Н.Белко, А.К. Тарханов. ВГАСУ.– Воронеж, 2009. – 34 с.
10. Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Электричество и магнетизм. Колебания и волны. Оптика. Элементы квантовой механики, атомной и ядерной физики: метод. указания и контрольные задания по
физике для студентов всех специальностей факультета дистанционного обучения в двух частях / ВГАСУ; сост.: А.К.Тарханов, А. И.Никишина, Ю.С. Золототрубов; – Воронеж, 2011. – 60 с.
11. Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Электростатика и постоянный ток: метод. указания к выполнению контрольных работ по
физике для студентов факультета заочного обучения по направлению «Стр оительство»/ Воронежский ГАСУ; сост.: А.И. Никишина, А. К. Тарханов, Д.
Ю Золототрубов, Е.В. Алексеева.. – Воронеж, 2012. – 44 с.
174
ПРИЛОЖЕНИЕ
СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ
1. Фундаментальные физические постоянные
Постоянная Авогадро
NA = 6,02·1023 моль-1
Молярная газовая постоянная
R = 8,31 Дж/(К·моль)
Постоянная Больцмана
k = 1,38·10-23 Дж/К
Гравитационная постоянная
G = 6,67·10-11 Н·м2/кг2
Электрическая постоянная
ε0 = 8,85·10-12 Ф/м
Магнитная постоянная
μ0 = 4π·10-7 Гн/м
Постоянная Фарадея
F = 9,65·104 Кл/моль
Элементарный заряд
е = 1,60·10–19 Кл
Масса покоя электрона
m0е = 9,11·10-31 кг
Масса покоя протона
m0p = 1,67·10-27 кг
Масса покоя нейтрона
m0n = 1,67·10-27 кг
Удельный заряд электрона
e/m0е = 1,76·1011 Кл/кг
Скорость света в вакууме
с = 3,00·108 м/с
Постоянная Стефана-Больцмана
σ = 5,67·10-8 Вт/(м2·К4)
Постоянная закона смещения Вина
С = 2,90·10-3 м·К
Постоянная Планка
h = 6,63·10-34 Дж·с
Радиус первой боровской орбиты
a = 5,29·10-11м
2. Греческий алфавит
Альфа
Аα
Эта
Нη
Ню
Nν
Тау
Тτ
Бета
Вβ
Тета
Θθ
Кси
Ξξ
Ипсилон
Υυ
Гамма
Гγ
Йота
Iι
Омикрон
Οо
Фи
Фφ
Дельта
∆δ
Каппа
Кκ
Пи
Пπ
Хи
Χχ
Эпсилон
Еε
Лямбда
Λ λ Ро
Рρ
Пси
Ψψ
(Д)зета
Zζ
Мю
Σσ
Омега
Ωω
Мμ
Сигма
175
3. Сведения о Солнце, Земле и Луне
Радиус Солнца
6,96·108 м
Масса Солнца
1,989·1030 кг
Средний радиус Земли
6,371·106 м
Масса Земли
5,976·1024 кг
Среднее расстояние от Земли до Солнца
1,496·1011 м
Время полного оборота Земли вокруг своей оси 23 ч 56 мин 4,09 с
Радиус Луны
1,737·106 м
Масса Луны
7,35·1022 кг
Среднее расстояние от Луны до Земли
3,844·108 м
Ускорение свободного падения на поверхности
Луны
1,623 м/с 2
Период обращения Луны вокруг Земли
27 сут 7 ч 43 мин
4. Множители и приставки СИ
для десятичных кратных и дольных единиц
Приставка
экса
пета
ОбозначеОбозначеМножитель Приставка
Множитель
ние
ние
(рус.,
(рус.,
Э, Е
1018
деци
д, d
10-1
межд.)
межд.)
П, Р
1015
санти
с, с
10-2
тера
Т, Т
1012
милли
м,
m
10-3
гига
Г, G
109
микро
мк, μ
10-6
мега
М, М
106
нано
н,
n
10-9
кило
к,
k
103
пико
п,
р
10-12
гекто
r,
h
102
фемто
ф,
f
10-15
дека
да, da
101
атто
а,
а
10-18
176
5. Плотность ρ, 103 кг/м3, некоторых веществ
Алюминий
Железо
Латунь
Лед
Медь
Никель
Нихром
Бензин
Вода
Глицерин
Керосин
Касторовое масло
Азот
Воздух
Твердые тела
2,7·
Натрий
7,9·
Платина
8,4·
Пробка
0,9
Свинец
8,9·
Серебро
8,8·
Сталь
8,4
Цинк
Жидкости
0,70
Масло
1,00
Нефть
1,26
Нитробензол
0,80
Ртуть
0,96
Спирт
Газы
(при нормальных условиях)
1,25
Кислород
1,29
Углекислый газ
0,97
21,4
0,20
11,3
10,9
7,70
7,00
0,90
0,80
1,20
13,6
0,79
1,43
7,50
6. Диэлектрическая проницаемость ε некоторых веществ
Вещество
Анилин
Бензин
Вода
Воск
Глицерин
Керосин
Лед
Масло
ε
84,0
2,30
81,0
5,80
39,0
2,00
3,20
2,20
Вещество
Парафин
Парафинированная
бумага
Резина
Слюда
Стекло
Фарфор
Эбонит
ε
2,0
2,0
3,0
6-9
7,0
4-7
2,7
7. Удельная теплоемкость с, 10 3 Дж/(кг⋅К), некоторых веществ
Вещество
Алюминий
Вода
Воздух
Лед
Медь
с
0,89
4,19
1,01
0,38
2,10
Вещество
Олово
Платина
Ртуть
Свинец
Сталь
177
с
0,23
1,05
0,14
0,13
0,46
8. Удельное сопротивление ρ, 10-8 Ом·м, некоторых веществ (при 20 0С)
Вещество
Алюминий
Вольфрам
Железо
Золото
Константан
Латунь
Медь
Никелин
Никель
ρ, Ом·м
2,8
5,5
9,8
2,2
4,7
6,3
1,7
4,2
7,3
Вещество
Нихром
Олово
Осмий
Платина
Реотан
Ртуть
Свинец
Серебро
Цинк
ρ, Ом·м
1,10
1,10
9,50
1,05
4,50
9,54
2,07
1,60
5,95
9. Удельная теплота сгорания топлива , МДж/кг (при 20 0С)
Вещество
Бензин
Дерево
Дизельное топливо
Вещество
Каменный уголь
Керосин
Спирт
44
10
42
29
46
29
10. График зависимости индукции B от напряженности H
магнитного поля для некоторого сорта железа
2
B, Тл
1,5
1
0,5
H, 103 А/м
0
1
2
3
4
Рис. 44
178
5
6
7
8
11. Молярная масса некоторых веществ M, 10-8 кг/моль
Вещество
Азот N
Аргон
Алюминий
Водород
M
M
Вещество
Воздух
Гелий
Кислород
Углерод
28
40
27
2
29
4
16
12
12. Некоторые математические формулы
Геометрия
L = 2πr – длина окружности радиусом r;
S = πr2 – площадь окружности радиусом r;
– площадь треугольника высотой h и основанием a;
– объем шара радиусом r;
– объем цилиндра высотой h и радиусом r.
Производные элементарных функций
Интегралы
Тригонометрия
2
2
sin α+cos α=1;
sin2α = 2sinαcosα;
a2 = b2+c2– 2bc∙cosα;
b2 = a2+c2– 2ac∙cosα;
c2 = b2+a2– 2ab∙cosα.
α
b
β
γ
a
179
c
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………………………………………………..............
Глава 1. Сведения о векторах…………………………………………..
Теоретические сведения………………………………………………
Задачи для самостоятельного решения……………………………...
Глава 2. Физические основы механики……………………………….
Теоретические сведения……………………………………………....
Примеры решения задач……………………………………………...
Задачи для самостоятельного решения……………………………...
Кинематика поступательного и вращательного движения……………….
Динамика материальной точки и поступательного движения абсолютно
твердого тела……………..…………………………………………………..
Работа и энергия……………………………………………………………...
Вращательное движение абсолютно твердого тела……………………….
Тяготение. Элементы теории поля………………………………………….
Механика жидкостей и газов………………………………………………..
Релятивистская механика……………………………………………………
Глава 3. Молекулярная физика и термодинамика…………………
Теоретические сведения………………………………………………
Примеры решения задач……………………………………………...
Задачи для самостоятельного решения……………………………...
Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов……….
Основы термодинамики………………………………………..
Глава 4. Электричество и магнетизм…………………………………
Теоретические сведения……………………………………………..
Примеры решения задач……………………………………………...
Задачи для самостоятельного решения……………………………...
Электростатика………………………………………………………………
Постоянный электрический ток. Электрические токи в металлах,
жидкостях, вакууме и газах………………………………………………….
Магнитное поле…………………………………………………………..…..
Электромагнитная индукция………………………………………………..
Магнитное поле в веществе…………………………………………………
Движение заряженных частиц в магнитном поле…………………………
Ответы…………………………………………………………………….
Библиографический список…………………………………………….
Приложение………………………………………………………………
180
3
4
4
9
11
11
27
38
38
45
54
60
64
66
69
72
72
76
80
80
86
93
93
110
126
126
138
144
149
155
158
164
174
175
Учебное издание
Калач Андрей Владимирович,
Тарханов Андрей Константинович,
Рудаков Олег Борисович,
Никишина Анна Игоревна,
Алексеева Елена Валерьевна
ОБЩАЯ ФИЗИКА В ЗАДАЧАХ
МЕХАНИКА. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Сборник задач
Редактор Акритова Е.В.
Подписано в печать 11. 12. 2012. Формат 60 × 84 1/16. Уч.-изд. л. 11,3. Усл.-печ. л. 11,4.
Бумага писчая. Тираж 200 экз. Заказ № 618.
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии
издательства учебной литературы и учебно-методических пособий
Воронежского ГАСУ
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
181
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
51
Размер файла
3 621 Кб
Теги
физики, общая, 481, задача
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа