close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

521. Ряды

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»
РЯДЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
к курсу математики
для студентов 2-го курса всех специальностей
Воронеж 2012
1
УДК 512.64+517(07)
ББК 22.143+22.151.5+22.161я7
Составители А.Б. Кущев, А.А. Ларин
Ряды: метод. указания и контрольные задания к курсу математики
для студентов 2-го курса всех специальностей / Воронежский ГАСУ; сост.:
А.Б. Кущев, А.А. Ларин. – Воронеж, 2012. – 43 с.
Приводятся образцы решений задач по темам “Ряды” и “Уравнения
математической физики”. Даны ссылки на литературу, которой можно
пользоваться при подготовке к экзамену и выполнении контрольных работ.
Предназначены для студентов 2-го курса всех специальностей.
Ил.:3. Библиогр.: 4 назв.
УДК 512.64+517(07)
ББК 22.143+22.151.5+22.161я7
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Воронежского ГАСУ
Рецензент – П.А. Головинский, д. ф.-м. н., проф. кафедры физики
и химии Воронежского ГАСУ
2
ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАНИЯ
Вам приходилось находить значения sin x и других основных элементарных функций, вводя аргумент в калькулятор и мгновенно получая
ответ. Это стало возможным благодаря красивой идее заменить функцию
степенным рядом, взяв достаточно много слагаемых которого, можно вычислить приближенное значение функции с помощью многочлена. Благодаря рядам стало возможным взять «неберущиеся» интегралы и проинтегрировать ранее не поддающиеся решению дифференциальные уравнения;
в ряде Фурье, описывающем колебание струны, увидеть слышанные не раз
обертоны, дающие окраску звука; получить другие изящные приложения.
Данное методическое указание содержит как необходимый теоретический материал, так и решение основных типов примеров по теме «Ряды».
Каждый вариант контрольного задания содержит 18 примеров (для
магистрантов предлагаются более сложные примеры того же типа под тем
же номером, но со «звездочкой»), из них первые восемь – на исследование
сходимости числовых рядов; следующие восемь примеров – на нахождение области сходимости функциональных, в том числе степенных рядов и
приложения последних; наконец, последние два примера - на ряды Фурье и
их применение для решения уравнений математической физики.
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА ЗАДАНИЯ
1. Числовые ряды
Напомним основные признаки сходимости числовых рядов, сферу их
применимости и разберем соответствующие примеры.
Числовой ряд
a1
a2
... an
...
an
(1)
n 1
называется сходящимся, если предел его частичных сумм
lim S n lim a1 a2 ... an S
n
n
(2)
существует и является конечным числом. Само число S при этом называется суммой ряда, и пишут
S , придавая тем самым символу
an
n 1
an числовой смысл.
n 1
Необходимый признак сходимости ряда: если ряд (1) сходится, то
общий член ряда an стремится к нулю при n
:
lim an 0 .
(3)
n
Необходимый признак не является достаточным и применяется для
доказательства расходимости.
3
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
n 1
2n 1
.
2000n 5
Применим необходимый признак сходимости:
1
2
2n 1
2
n
lim an lim
lim
0,001 0 .
n
n
n
5 2000
2000n 5
2000
n
Необходимый признак не выполнен, следовательно, ряд расходится.
n
2n 1
Пример 1*. Исследовать на сходимость ряд
.
2
n 1 2n
Применим необходимый признак сходимости:
lim an
lim
n
n
2n 1
2n 2
lim
3n
lim
n
2n 2
n
n
1
3
2
2
n
lim
n
2n 2 3
2n 2
n
lim 1
n
3
2n 2
3
3
n
2n 2
2n 2
3
e
e 2 0.
Необходимый признак не выполнен, следовательно, ряд расходится.
Отметим, что мы воспользовались вторым замечательным пределом
e
1
lim 1
1
0
e.
2. Положительные ряды
Имеется большое количество достаточных признаков для изучения
сходимости положительных an 0 рядов.
I. Признаки сравнения.
Признак 1. Если даны два положительных ряда
an и
n 1
чем, начиная с некоторого номера n0 ,
0 an bn n n0 ,
то:
а) из сходимости ряда
bn , приn 1
(4)
bn с бóльшими членами следует сходимость
n 1
ряда
an с меньшими членами;
n 1
б) из расходимости ряда
a n с меньшими членами следует расходиn 1
мость ряда
bn с бóльшими членами.
n 1
4
Признак 2. Если для рядов с положительными членами
an ,
n 1
bn
n 1
an
(5)
K, 0 K
,
n
bn
то рассматриваемые ряды сходятся или расходятся одновременно.
Для признаков сравнения используют стандартные (так называемые
обобщённо-гармонические) ряды
1
,
(6)
p
n 1 n
которые сходятся при p 1 и расходятся при p 1 .
lim
II. Признаки, сравнивающие положительный ряд
a n по скорости
n 1
сходимости с геометрической прогрессией.
1. Признак Даламбера. Пусть существует конечный предел:
a
(7)
lim n 1 q
n
an
или
2. Радикальный признак Коши. Пусть существует конечный предел:
lim n an q .
(8)
n
Тогда ряд
an
n 1
сходится при
q 1
(9)
расходится при q 1.
Если q 1, то эти признаки не дают ответа на вопрос о сходимости
исследуемого ряда. В этом случае следует воспользоваться другим признаком.
III. Интегральный признак Коши. Если члены положительного ряда
a n представимы в виде an
f n , n 1, 2,..., где функция f x непре-
n 1
рывна и монотонно убывает при x a , то ряд (1) и соответствующий несобственный интеграл
f x dx
(10)
1
сходятся или расходятся одновременно.
Возникает вопрос: когда какой признак применить? Рекомендуем:
1. Необходимый признак применять для доказательства расходимости ряда, если легко видеть, что предел общего члена не равен нулю или
вообще не существует.
5
2. Если члены ряда меняются быстро (типа показательной функции
a , n! и так далее) или заданы рекуррентным соотношением, то применять
признак Даламбера; радикальный признак Коши рекомендуется применять, когда члены ряда представляют собой выражение в степени, зависящей от n .
3. Если члены ряда меняются медленно (типа степенной функции
p
n , логарифмической log a n и так далее), то применять или признаки
сравнения (если видно с каким табличным рядом сравнивать), или интегральный признак Коши.
n 1
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
.
3
n 2 2n 1
n 1 n
n
1
Члены ряда при больших n мало отличаются от 3
, поэтому
n
n2
воспользуемся первым признаком сравнения, взяв в качестве табличного
n 1
1
1
сходящийся ряд
.
Проверим,
что
:
p
2
1
2
n 3 n 2 2n 1 n 2
n 1 n
n 1
1
n3 n2 n3 n2 2n 1
2n 1 - неравенство не
3
2
2
n n 2n 1 n
выполняется при натуральных n . Увеличим члены табличного ряда в два
n 1
2
раза и проверим, что 3
:
2
n n 2n 1 n 2
n 1
2
n3 n2 2n3 2n2 4n 2
3
2
2
n n 2n 1 n
n 2 4n 2 n 3 .
Последнее неравенство справедливо при всех натуральных n . Так
2
как члены искомого ряда не превосходят членов сходящегося ряда
,
2
n
n 1
то по первому признаку сравнения данный ряд сходится.
Этот же пример можно решить, используя второй из приведённых
признаков сравнения. Взяв в качестве табличного тот же сходящийся ряд
1
, получим:
2
n
n 1
n 1
1
1
3
2
3
2
n n
n
lim n n 2n 1 lim 3
lim
1, K 1, 0 K
.
2
n
n
1
n n 2n 1 n 1 1 2 1
n2
n n2 n3
n
По второму признаку сравнения рассматриваемый ряд сходится.
2n 1
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд
.
1!
n 1 2n
6
2n 1 1
2 n 1 1!
Применим признак Даламбера. Так как an 1
2n 2
,
2n 1 !
то
2 n 2 2n 1 !
2 2n 1 !
an 1
1
q lim
lim
lim
lim
0.
n
1
n
n
an n
2n 1 ! 2
2n 1 ! 2n 2n 1 n n 2 n 1
Так как q 0 1, то по признаку Даламбера данный ряд сходится.
1
.
2
n
ln
n
n 2
Воспользуемся интегральным признаком Коши:
1
N
N
dx
ln x
dx
2
x
lim
lim
ln
x
d
ln
x
lim
2
2
N
N
N
1
2 x ln x
2 ln x
2
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд
1
ln N
lim
N
1
ln 2
1 N
2
1
.
ln 2
Так как соответствующий интеграл сходится, то и данный ряд сходится.
ln n 4 1
Пример 4*. Исследовать на сходимость ряд
.
n2
n 1
Так как при n 1 n 4 1 2n 4
4
2n , то для членов нашего ряда спра-
4
ln n 4 1
ведлива оценка
n2
ln 2n
4 ln 2n
.
2
n
n2
ln 2n
Применим к ряду
интегральный признак Коши:
n2
n 1
1
u ln 2 x, du
dx,
N
N
ln 2 x
ln 2 x
ln 2 x
x
dx lim
dx
lim
2
2
N
N
dx
1
x
x
x 1
1
1
dV
,
V
2
x
x
lim
N
ln 2 N
N
N
ln 2
1
x1
lim
N
ln 2 N
N
ln 2
lim
N
1
N
N
1
dx
x2
1
1 2
ln 2 0 1 ln 2 1 .
N
2N
Так как несобственный интеграл сходится, то и соответствующий
ln 2n
вспомогательный ряд
сходится, а следовательно, и ряд
n2
n 1
lim
7
4 ln 2n
тоже сходится. В силу первоначальной оценки искомый ряд по
n2
n 1
первому признаку сравнения тоже сходится.
n 1
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд
sin 2 .
n
n 1
n 1 n 1 1
Так как при больших n члены ряда sin 2
, то воспользуn
n2
n
1
емся вторым признаком сравнения, взяв табличный ряд
.
n
n 1
Тогда
n 1
n 1 n 1
n 1
sin 2
sin 2
sin 2
2
n 1
1
n
n
n
n
lim
lim
lim
lim
1 lim 1
1.
n
n
n
n
1
n 1 1
n 1 n
n
n
n
n2 n
n2
Так как выбранный для сравнения табличный гармонический ряд
1
расходится p 1 , то и данный ряд расходится.
n
n 1
Пример 5*. Исследовать на сходимость ряд
arctg
n 1
Сначала оценим дробь:
n
3n 2
1 n 3n 2 n
n 1
2 2
2
2
n
n
n
Так как arctg x строго возрастающая функция, то
an
arctg
n
3n 2
1 n
n
2
Сравним вспомогательный ряд
arctg
n 1
arctg
lim
2
n
arctg
2
n
1 n
n2
.
2
.
n
bn .
2
с гармоническим рядом.
n
2
n 2 2, K 2, 0 K
.
2
n
1
Так как гармонический ряд
расходится, то по второму признаку
n
n 1
сравнения вспомогательный ряд тоже расходится. В силу выше приведенной оценки искомый ряд по первому признаку сравнения тоже расходится.
2n 1
4n 1
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд
.
2
n 1 3n
n
1
n
lim
arctg
n
3n 2
n
8
ъПрименим радикальный признак Коши:
2n 1
2
4n 1 n
4
16
q lim n an lim
.
n
n
3n 2
3
9
Так как q 1 , то по радикальному признаку Коши данный ряд расходится.
3. Знакочередующиеся ряды
Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда
a1 a2
a3 a4 ...
1
n 1
an
(an
0)
(11)
n 1
выполнен необходимый признак сходимости
lim an 0 ,
n
(12)
начиная с некоторого номера n0 члены ряда убывают по абсолютной величине
(13)
an 1 an ,
то ряд (11) сходится, при этом остаток ряда rn S S n n n0 по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из слагаемых
остатка:
rn an 1 .
(14)
Проверка условия (13) иногда затруднительна. Возможен другой
путь: рассмотреть ряд
a n , составленный из абсолютных величин членов
n 1
изучаемого знакочередующегося ряда, применить к нему соответствующий достаточный признак сходимости для положительных рядов, и если
этот ряд сходится, то отсюда вытекает сходимость исходного знакочередующегося ряда (11).
Наконец, напомним, что числовой ряд
u n с членами произвольn 1
ных знаков называется абсолютно сходящимся, если он сходится вместе с
рядом
u n , составленным из абсолютных величин его членов (сходиn 1
мость ряда
u n следует из сходимости ряда
n 1
u n ), и условно сходящимn 1
ся, если он сам сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его
членов, расходится. Исследование ряда на абсолютную и условную сходимость рекомендуется начинать с изучения ряда на абсолютную сходимость.
Приведем образцы решений соответствующих примеров из типового
расчета № 6.
9
Пример 7. Исследовать на сходимость ряд
n
( 1)n 1 n
.
2
1
1 n
Воспользуемся признаком Лейбница:
1
n
n
lim
a
lim
lim
0 . Проверим, что an 1 an :
n
2
n
n
n
1
n 1
1
n2
n 1
n
n 2 1 n 1 n n 2 2n 2
n3 n2 n 1
2
2
n 1
1 n 1
n3 2n 2 2n
n2 n 1 0 .
Так как выполнен необходимый признак сходимости и члены ряда
убывают по абсолютной величине, то по признаку Лейбница ряд сходится.
Замечание. Второе условие признака Лейбница об убывании членов
ряда можно обосновать методами анализа, доказав, что у функции
x 2 1 x2 x
1 x2
x
0 при x 1 .
её производная y
y
2
2
x2 1
x2 1
x2 1
Пример 8. Исследовать ряд
n 2
1
ln n
n
n
на абсолютную и условную
сходимость.
1
, составленный из абсолютных величин
n
n 2 ln n
членов исходного ряда, и применим к нему радикальный признак Коши:
1
1
1
q lim n an lim n
lim
0 1.
n
n
n
n
ln n
ln n
Ряд из абсолютных величин членов исходного ряда сходится, следовательно, сам ряд тоже сходится. Поэтому исходный знакочередующийся
ряд является абсолютно сходящимся.
Рассмотрим ряд
4. Функциональные и степенные ряды
Областью сходимости функционального ряда
u n x называется
n 1
множество всех x , при которых сходятся соответствующие числовые ряды.
Важную роль играют степенные ряды
a0
a1 x
a2 x 2
... an x n
an x n ,
...
(15)
n 0
о сходимости которых известно следующее: если ряд сходится не при всех
x и не только при x 0 , то существует такое положительное число R ,
10
называемое радиусом сходимости ряда, что ряд (15) сходится при x R и
расходится при x R . Радиус сходимости может быть найден по формулам
R lim
n
an
, R
an 1
1
,
(16)
lim an
n
n
если пределы, фигурирующие в этих формулах, существуют.
Если ряд (15) сходится при всех x , то полагают R
. Если же ряд (15)
сходится только при x 0 , то полагают R 0 . Формулы (16) для нахождения радиуса сходимости ряда применимы и в этих случаях, с той лишь
оговоркой, что во второй из них R
соответствует случаю lim n an 0 , а
n
R 0 соответствует случаю lim n an
.
n
Замечание 1. Отметим, что в случае R 0 интервал ( R ; R ) называется интервалом сходимости степенного ряда (15).
Замечание 2. Заметим ещё, что в случае 0 R
в граничных точках
x
R и x R интервала сходимости ( R ; R ) ряд может как сходиться, так
и расходиться. В каждой из этих точек нужно проводить дополнительное
исследование, т.е. нужно исследовать сходимость числовых рядов
an R n и
n 1
an ( R ) n .
n 1
Рассмотрим задания из типового расчета № 6 на определение области сходимости.
Пример 9. Найти область сходимости функционального ряда
e nx .
n 1
0 , то можно применить радикальный признак
Так как функции e
Коши: q x lim n u n x lim n e nx lim e x e x . В силу свойств функции
nx
n
n
n
e q x 1 при x 0 и при таких x ряд сходится. Кроме того, на границе
области сходимости при x 0 исходный ряд превращается в числовой ряд
x
e0 x
1 1 ... 1 ... , lim an
n
n 1
lim1 1 0 и в этой точке ряд расходится.
n
;0 .
Следовательно, область сходимости данного ряда есть интервал
Пример 10. Определить область сходимости степенного ряда
n
1 xn
.
n2 n
n 1
Найдем радиус сходимости по первой из формул (16):
n 1 2n 1
an
n 1
R lim
lim
2lim
2 lim (1 1 n ) 2 .
n
n
n
an 1 n
n 2n
n
Итак, при x
2 ряд сходится.
11
Исследуем теперь сходимость данного ряда на границе его интервала
n
n
2n
1
2
1 2n
1
сходимости. При x 2 получается ряд
,
n
n
n2
n2
n 1
n 1
n 1n
который расходится (это табличный ряд, получающийся из формулы (6)
при
При
p 1 ).
x 2 получается знакочередующийся ряд
n
1 2n
n2 n
n
1
, для которого выполнены оба условия признака Лейn
n 1
n 1
1
1
1
бница: lim
0,
, n 1,2,..., поэтому этот ряд сходится. Следоваn
n
n 1 n
тельно, область сходимости изучаемого степенного ряда есть промежуток
( 2;2] .
Пример 11. Найти область сходимости степенного ряда
n
Сделав замену переменной ( x 1)
2
( x 1)2 n
.
n
9
1
y , получим степенной ряд
yn
. Вычислим радиус сходимости полученного ряда по второй из форn
n 1 9
мул (16):
1
1
lim n an
1
lim n n
n
9
R
n
9.
В граничных точках интервала сходимости y 9 общие члены соответ9n
( 9)n
ствующих числовых рядов
1,
( 1)n не стремятся к
n
n
n 19
n 1
n 1 9
n 1
нулю при n
, и потому эти ряды расходятся. Следовательно, ряд
n
yn
сходится только при | y | 9 . Для нахождения области сходимости
n
1 9
( x 1)2 9 :
исходного
ряда
остаётся
решить
неравенство
( x 1)2 9 | x 1| 3
2 x 4.
Следовательно, область сходимости исходного ряда есть интервал
2 x 4.
5. Ряды Маклорена и их приложения
Степенные ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать на интервалах их сходимости. Кроме того, каждую функцию, сколь
12
угодно раз дифференцируемую в нуле, можно разложить на некотором
промежутке вида ( R ; R ) в степенной ряд Маклорена
f 0 2
fn 0 n
(17)
x ...
x ... .
2!
n!
при условии, что дополнительный член в формуле Маклорена Rn ( x) стремится в каждой точке этого промежутка к нулю при n
(см., например,
[4]). Равенство (17) может оказаться справедливым и в граничных точках
интервала ( R ; R ) (в одной или обеих). Отметим, что критерием разложимости функции f ( x ) на промежутке произвольного вида в ряд Маклорена
является выполнение в каждой точке x этого промежутка уже упомянутого условия lim Rn ( x ) 0 .
f x
f 0
f 0x
n
Приведем табличные разложения некоторых основных элементарных функций (в скобках указан промежуток сходимости):
x2
xn
x
;
,
(18)
e 1 x
...
...
2!
n!
x3
x 2n 1
n
;
, (19)
sin x x
...
1
...
3!
2n 1 !
2n
x2
n x
;
, (20)
cos x 1
...
1
...
2!
2n !
n
x 2 x3 x 4
n 1 x
1; 1 , (21)
ln 1 x x
...
1
...
2
3
4
n
2n 1
x3 x5 x7
n x
arctg x x
...
1
...
1; 1 , (22)
3 5 7
2n 1
1 2
1 ...
n 1 n
1; 1 . (23)
1 x
1 x
x ...
x ...
2!
n!
Для приближенного вычисления значения функции f ( x ) в точке
x x0 берут сумму n 1 слагаемых в ряде Маклорена (17) (в предположении, что он сходится в точке x0 к f ( x0 ) ), полагая
f 0 2
fn 0 n
f x0
f 0 f 0 x0
x0 ...
x0 ,
(24)
2!
n!
при этом сумма остатка ряда Rn x0 (погрешность) имеет вид
Rn x0
fn
1
x0n
n 1!
1
(0
x0 при x0
0 или x0
0 при x0
0 ). (25)
За счет выбора номера n достигается выполнение условия Rn x0
и,
следовательно, приближенное значение функции получается с точностью
до .
В случае если ряд в формуле (17) оказывается знакочередующимся,
проще воспользоваться оценкой (14).
13
Разлагая подынтегральную функцию или решение задачи Коши в ряд
Маклорена, можно вычислять интегралы или решать дифференциальные
уравнения.
Приведем образцы решения соответствующих примеров из типового
расчета № 6.
e x 1
Пример 12. Разложить функцию y
в ряд Маклорена.
x
Подставив в табличное разложение y e x по формуле (18) вместо x выражение x 2 , получим:
2
n
2n
x2
x2
x4
n x
x
2
2
e
1
x
...
... 1 x
...
1
... ,
2!
n!
2!
n!
отсюда
2n
x4
n x
e x 1
x2
...
1
... , и, наконец, при делении на x все
2!
n!
степени у ряда справа понизятся на единицу:
2
2
2
x2
2n 1
x3
n x
...
1
... .
x
2!
n!
Замечание. Данная функция в нуле не определена и непосредственно
по формуле Маклорена (17) ее разложить нельзя. Полученный с помощью
формулы (18) ряд сходится к данной функции во всех точках, кроме x 0 .
Если доопределить исходную функцию в нуле по непрерывности, положив
e
1
ее значение равным lim
e
x
x2
1
0 , то ряд в ответе будет сходиться к этой
x
продолженной функции на всей числовой оси.
Пример 13. Найти функцию, соответствующую ряду Маклорена
S x 1 2 x 3x 2 ... nx n 1 ... .
Заменяя x на t в приведённом равенстве, проинтегрируем его в пределах от 0 до x, | x | 1 (так как радиус сходимости ряда равен 1). В результате получим
x
x
x
S (t ) dt
0
0
x
1 2t 3t
2
... nt
n 1
x
x
2
dt 2 tdt 3 t dt ... n t n 1dt
... dt
0
x
0
0
0
0
x2
x3
xn
3
... n
...
xn .
2
3
n
n 1
Получили бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом a1 x и знаменателем q x , ее сумму при q x 1 можно найти по
... x 2
14
формуле
a1
x
1 q
1 x
. Чтобы получить S x , надо продифференцировать
x
найденную сумму: S x
x
1 x x
1
1
.
2
1
x
x
1
0
Пример 14. Вычислить число e с точностью до 0,001.
Возьмем в разложении (18) функции e x в ряд Маклорена n 1 слагаемое, и пусть
x 2 x3 x 4 x5 x6 x7
xn
,
Sn ( x ) 1 x
...
2! 3! 4! 5! 6! 7!
n!
e xn 1
x
тогда по формуле (25) e Sn ( x ) Rn x
,0
x , если x 0, и
n 1!
S (t ) dt
1 x
2
x
0, если x 0 (любая производная от e x равна самой функции e x ).
Полагая теперь x 1 , получим:
1 1 1 1 1 1
1
e Sn (1) Rn (1) 2
...
Rn 1 ,
2! 3! 4! 5! 6! 7!
n!
e
1 . Так как e x - возрастающая функция, то
где Rn 1
, 0
n 1!
3
e e1 , кроме того, известно, что e 3 . Следовательно, Rn 1
. За
n 1!
счет выбора достаточно большого n добьемся, чтобы выполнялось нера3
венство
При
величина
n 5
0,001.
n 1!
3
3
1
1
R5 1
,
0,001 ,
но
уже
при
n 6
6! 720
240 240
3
3
1
R6 1
0,001.
7! 5040 1680
Следовательно, с точностью до 0,001
1 1 1 1 1
1 1 1
1
1
e 2
2
2 0,5 0,167 0,042
2! 3! 4! 5! 6!
2 6 24 120 720
0,008 0,001 2,718 .
Отметим, что естественно проводить все вычисления с точностью до
0,001.
1
sin x
dx с точностью
Пример 15. Вычислить определенный интеграл
x
0
до 0,001.
В силу первого замечательного предела доопределим подынтегральную функцию в нуле значением единица, тогда наш интеграл от функции,
непрерывной на отрезке 0, 1 , существует и, кроме того, доопределённую
15
таким образом подынтегральную функцию можно разложить в ряд Маклорена (см. замечание к примеру 12), используя табличное разложение (19):
x3 x5 x 7
x 2n 1
n
sin x x
...
1
... ,
3! 5! 7!
2n 1 !
sin x
x
1
1
sin x
dx
x
0
1
1
dx
0
0
x2
dx
3!
1
x
x3
3 3! 0
1
0
0
x4
5!
x6
...
7!
x2
1
3!
x4
5!
x6
...
7!
1
1
0
x4
dx
5!
1
x5
5 5! 0
0
1
3 6
... ,
n
1 x 2n
2n 1 !
... dx
1
x6
x 2n
n
dx ... ( 1)
dx ...
7!
(2
n
1)!
0
1
1
x7
...
7 7! 0
1
1
1
...
3 3! 5 5! 7 7!
1
1
1
... 1
5 120 7 5040
18
1
1
n
1 x 2n
2n 1 !
x2
1
3!
1
1
n
n
x 2n 1
...
2n 1 2n 1 ! 0
1
...
2n 1 2n 1 !
1
1
1 0,056 0,002 0,946
600 7 5040
.
Замечание. Мы воспользовались формулой (14), учитывая, что как
только в знакочередующемся ряде, удовлетворяющем условия признака
1
Лейбница, встретилось первое слагаемое
, по модулю меньше
7 5040
0,001, то, начиная с него, можно отбросить остаток ряда, первым членом
которого является это слагаемое, так как сумма этого остатка в силу оценки (14) по модулю тоже меньше 0,001.
Пример 16. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в
ряд Маклорена решения задачи Коши y x 2 y 2 , y 0 1 (предполагается, что такое разложение существует).
Воспользуемся разложением решения нашей задачи Коши в ряд Маклорена:
x2
x3
yx y0 y 0x y 0
y 0
... .
2!
3!
Из начального условия y 0 1. Подставив в правую часть дифференциального уравнения x 0 , y 1 , получим y 0 0 2 12 1 . Для того,
чтобы найти вторую производную, продифференцируем обе части исхо дного дифференциального уравнения по x , при этом производную от y 2
находим по правилу дифференцирования сложной функции:
y 2 x 2 yy ; подставив сюда x 0 , y 1 и найденное на предыдущем
16
шаге значение y 0 1, получим y 2 0 2 1 1 2 . Наконец, подставив
найденные значения в ряд Маклорена, получим:
x2
yx 1 1 x 2
1 x x2 .
2!
Замечание. Если некоторые из коэффициентов разложения решения
в ряд Маклорена обратятся в нуль, то нужно продолжить процесс, пр одифференцировав выражение для второй производной и вычислив значение третьей производной в нуле. Повторяем это до тех пор, пока не наберется три отличных от нуля коэффициента.
Пример 16*. Решить задачу Коши y xy 0 , y 0 0 , y 0 1 .
Решение будем искать в виде степенного ряда:
y x a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 a4 x 4 ... an x n ... .
Так как a0 y 0 0 и a1 y 0 1 , то
y x x a2 x 2 a3 x 3 a4 x 4 ... an 3 x n 3 ... an x n ... .
Найдем:
y x 1 2a2 x 3a3 x 2 4a4 x 3 ... nan x n 1 ... ,
y x 2a2 6a3 x 12a4 x 2 ... n n 1 an x n 2 ... .
Подставив y x и y x в исходное уравнение, получим:
2a2 6a3 x 12a4 x 2 ... n n 1 an x n 2 x 2 a2 x 3 a3 x 4 a4 x 5 ... an 3 x n 2 ... 0.
Считая левую часть разложением нуля в ряд Маклорена (для которого все
коэффициенты равны нулю), приравниваем коэффициенты при равных
степенях: 2a2 0 , 6a3 0 , 12a4 1 , … .
В общем случае, отметив, что у слагаемых со знаком минус индекс
коэффициента на единицу меньше показателя степени x , в частности при
x n 2 будет коэффициент an 3 , получим: n n 1 an an 3 .
Это дает рекуррентную формулу
an 3
an
(при n 4 ),
nn 1
которая показывает как связаны коэффициенты при увеличении номера на 3 единицы.
Так как a2 a3 0 , то
a5 a8 ... a3k 1 ... 0 и a3 a6 ... a3k ... 0 .
a4
1
a1
1
1
, a7
,…,
a4
6 7 3 4 6 7
3 4 3 4 12
1
( k 1).
a3k 1
3 4 6 7 ... 3k 3k 1
Следовательно, решение задачи Коши можно задать в виде степенного ряда:
yx
x
k 1
x 3k 1
.
3 4 6 7 ... 3k 3k 1
17
Легко видеть, что радиус сходимости полученного ряда R
.
6. Ряды Фурье
Другим важным классом функциональных рядов являются ряды
Фурье. Пусть l произвольное фиксированное положительное число.
Каждой функции f x , интегрируемой на отрезке [ l ; l ] , можно поставить
в соответствие тригонометрический ряд вида
a0
n x
n x
an cos
bn sin
,
(26)
2 n1
l
l
коэффициенты которого a0 , an , bn , n 1,2,... вычисляются по формулам
l
a0
1
f x dx , an
l l
l
1
n x
f x cos
dx , bn
l l
l
l
1
n x
f x sin
dx , n 1, 2, ... (27)
l l
l
Такой тригонометрический ряд называется рядом Фурье функции f x , а
коэффициенты a0 , an , bn , n 1,2, ...
коэффициентами Фурье этой функции.
Ответ на вопрос о сходимости ряда Фурье даёт следующая теорема.
Теорема. Пусть функция f x кусочно-дифференцируема на отрезке
l; l . Тогда ряд Фурье функции f x в каждой точке x ( l ; l ) сходится
и его сумма равна
f ( x 0) f ( x 0)
.
2
В частности, в точках непрерывности функции f x её ряд Фурье сходитl и x l ряд
ся к значению функции f x в этой точке. В точках x
также сходится и имеет своей суммой число
f ( l 0)
f (l 0)
2
.
Таким образом, во всех точках x ( l ; l ) , в которых функция непрерывна, справедливо равенство
a
n x
n x
f ( x) 0
an cos
bn sin
.
2 n1
l
l
Отметим ещё, что сумма S ( x) ряда Фурье кусочно-дифференцируемой
на отрезке l; l функции f x является 2 l периодической функцией,
определенной на всей вещественной оси.
18
Для четных и нечетных функций коэффициенты ряда Фурье имеют
специальный вид.
Для четных функций коэффициенты bn 0, n 1,2,..., а коэффициенты an , n 0,1,2,... могут быть вычислены по формулам
l
l
2
2
n x
(28)
a0
f x dx , an
f x cos
dx , n 1, 2,... .
l 0
l
l 0
Для нечетных функций
a0 0 , an 0, n 1,2,..., а коэффициенты
bn , n 1,2,..., могут быть найдены по формулам
l
2
n x
f x sin
dx , n 1, 2, ... .
l 0
l
bn
(29)
Пример 17. Разложить в ряд Фурье функцию y x x на отрезке
2; 2 .
Так как функция y x x нечетная, то воспользуемся формулами (29)
при l 2 . Получаем:
an 0 , n 0, 1, 2, ... ,
2
bn
u
2
x ,
dv sin
d
n x
dx, v
2
x,
cos
x 2 sin
0
n x
dx
2
du 2 x dx
2 2
n x
x cos
n
2
u
2
2
n x
x x sin
dx
20
2
2
2
0
0
sin
n x
dx
2
2
n
sin
2
n x
cos
2 x dx
n
2
n x n x
d
2
2
2
n x
cos
n
2
8
n 2
cos
n
2
4
n
2
x cos
0
n x
dx
2
du dx
n x
dx,
2
cos
8
cos n
n
8
cos n
n
8
cos n
n
4
n
n x
dx
2
2
n
cos
2
2
n x
x
sin
n
2
4
2
n 2
2
sin
n
n
2
16
cos n
n3 3
8
n
1
n
2
1
n
2
19
2
2
n x
sin
n
2
2
0
2
n x
sin
dx
n
2
0
2
n
2
n x
cos
n
2
8
n
cos 0
n x n x
d
2
2
1
1
16
n3 3
n
2
n
n
2
2
.
2
0
1
n
1
Подставив найденные коэффициенты Фурье в формулу (26), получим ряд
Фурье для функции y x | x | :
n 1
8
n
1
2
n 1
n
2
1
2
2
n
n
2
sin
2
n x
.
2
Функция x | x | непрерывна и кусочно-дифференцируема на отрезке
2; 2 , и в силу приведенной теоремы при | x | 2 справедливо равенство
x|x|
n
8
1 n
1
2
n 1
n
2
1
2
2
n
n
2
2
sin
n x
.
2
В точках
сумма ряда равна 0, т.е. величине
x
2
y ( 2 0) y (2 0)
2
y ( 2) y (2)
, и не совпадает со значениями разлагаемой функции:
2
y ( 2)
4, y (2) 4.
7. Применение рядов Фурье
Ряды Фурье являются эффективным средством для решения уравнений математической физики. В частности, при решении волнового уравнения
2
2
u
x, t
t2
a
2
u
x, t ,
x2
(30)
описывающего малые поперечные колебания u x, t упругой струны длины l , закрепленной на концах. Здесь координата точки струны x 0; l ,
переменная времени t [0; ) , искомая функция u x, t удовлетворяет граничным условиям
u 0, t
u l, t
0 , t [0;
),
(31)
и начальным условиям
u x, 0
f x,
u
x, 0
t
x , x
0; l .
(32)
Граничные условия обеспечивают закрепление струны на концах, функция
f x задает начальное положение струны в момент времени t 0 , а функ20
ция
x - начальную скорость (по вертикали) в каждой точке x
Используя ряды Фурье, можно получить решение в виде ряда
u x, t
an cos
n 1
an t
l
bn sin
an t
n x
,
sin
l
l
0; l .
(33)
где коэффициенты a n , bn находятся по формулам
l
an
2
n x
f x sin
dx , bn
l 0
l
2
an
l
x sin
0
n x
dx , n 1, 2,... .
l
(34)
Наконец, решение уравнения теплопроводности
T
x, t
t
2
T
x, t
x2
a2
(35)
для стержня длины l при начальном распределении температуры в стержне
f x , x
T x, 0
0; l ,
(36)
и условии теплоизолированности концов
T
0, t
x
T
l, t
x
0, t
0;
,
(37)
задается формулой
T x, t
n
n x
an cos
exp
l
0
n2
2
l2
a 2t
,
(38)
где коэффициенты a n находятся по формулам
2
2
n x
an
f x cos
dx , n 0, 1, 2, ... .
(39)
l 0
l
Пример 18. Струна длины l 2 в начальный момент времени t 0
оттянута в точке x0 1 на расстояние u0 1 вверх. Найти решение уравнения колебаний закрепленной струны, для которой a 3 , если она начинает
колебаться из состояния покоя.
Решение. В начальный момент времени t 0 струна имеет форму
треугольника с вершиной в точке A 1;1 (рис. 1).
21
U
A (1; 1)
1
U0 =1
B (2;0)
O (0; 0)
x
1
Рис. 1
Уравнение стороны ОА, поскольку угловой коэффициент равен 1,
будет y x . Составим уравнение стороны АВ:
y 1 x 1
x 2.
, y
0 1 2 1
Таким образом,
u x, 0
f x
x
2
0 x 1,
x 1 x 2.
Так как струна начинает колебаться из состояния покоя, то
u
x, 0
x 0.
t
Подставив a 3 , b 2 , l 2 в формулу (33), получим:
u x, t
an cos
n 1
3n t
2
bn sin
3n t
n x
sin
.
2
2
По формулам (34) найдем коэффициенты a n и bn . Коэффициент
bn 0 , так как подынтегральная функция x тождественно равна 0, и коэффициент
2
an
2
n x
f x sin
dx
20
2
1
n x
x sin
dx
2
0
2
2
x sin
1
b
n x
dx
2
b
b
(интегрируем по частям по формуле u dv u v a
a
22
v du )
a
u1
x,
dv1
u2
sin
2
dv2
x
n x
dx, v2
2
2
n x
cos
n
2
2
n x
cos
n
2
2
n
cos
n
2
n2
2
n x
dx
2
2
x dx
sin
n x
dx
2
1
1
0
0
2
1
4
n2
n
2
1
2 2
n n
sin 0 sin
cos
0
2 2
n n
1
dx
2
n x
cos
n
2
2
n x
cos
n
2
1
n x
sin
2
2 0
2
n x
cos
n
2
2
n x
cos
dx
n
2
2
2
n
cos
n
2
2 1
sin
sin
du2
2
n
cos
n
2
4
dx
n x
dx, v1
2
x,
sin
x
2
du1
n x n x
d
2
2
2
cos
1
2
n
cos
n
2
n 2
2
dx
sin
n
2
n x n x
d
2
2
4
n2
8
n2
2
n x
sin
2
2 1
sin
2
n
.
2
Подставив найденные значения a n , bn в формулу для u x, t , получим:
8
n
3n t
n x
u x, t
sin
cos
sin
.
2 2
2
2
2
n 1 n
Это выражение можно записать в более простом виде, если заметить, что
0
при п 2k ,
n
sin
k 1
2
1
при п 2k 1.
n
На тригонометрическом круге всем углам вида
(при всех возможных
2
n ) соответствуют четыре точки A1 , ..., A4 (рис. 2);
23
Y
A1 (n=1,5,…)
1(((((n=1,5,9,
…)
A2 (n=2,6,…) -1
0
1
А4
X
(n=4,8,…)
(n=4,8,…)
-1
A3 (n=3,7,…)
Рис. 2
отметим, что аналогично
0
при п 2k 1,
n
k
2
1
при п 2k .
Следовательно, ответ можно записать в виде
cos
8
1
k 1
3 2k 1 t
2k 1
sin
2
2
x
.
2
k
1
k 1
Пример 19. Пусть в начальный момент времени t 0 распределение
температуры в стержне длины 2 задается по закону треугольника (см. рис.
1), и концы стержня теплоизолированы. Найти распределение температуры
стержня, если коэффициент температуропроводности a 3 .
Решение. Так же, как и при решении примера 18, найдем, что
x
0 x 1,
T x, 0 f x
2 x 1 x 2.
Подставив a 3 , l 2 в формулу (38), получим:
n x
n 2 2 9t
T x, t
an cos
exp
,
(40)
2
4
n 0
где коэффициенты a n вычисляются по формуле (39) при l 2 :
1
2
22
n x
n x
n x
an
f x cos
dx
x cos
dx
2 x cos
dx
20
2
2
2
0
1
u x, t
2
2
cos
b
b
b
(интегрируем по частям по формуле u dv u v a
a
u1
dv1
x,
cos
du1
n x
dx, v1
2
a
dx
cos
24
n x
dx
2
v du )
2
n x
sin
n
2
u2
2
dv2
x,
cos
du2
n x
dx, v2
2
1
2
n x
x sin
n
2 0
2
x dx
dx
cos
n x
dx
2
2
n x
sin
n
2
2
n2
4
n
2
2
cos
n
2
cos0 cos
Заметим теперь, что
2
2
1
2 2
n n
0
22
sin
1
1
n2
n
1.
2
2cos
4
n
2
2
n x
cos
2
2
n 2
n
cos
2
2
an
n x n x
d
2
2
4
0
dx
n x n x
d
2
2
sin
2
n
n x
cos
2
2
0
n x
dx
2
2
n x
sin
n
2
1
2
n
2 1
sin
n
2
4
sin
2
2
n x
2 x
sin
n
2 1
2
n
sin
n
2
1
2
n
4
n
n
2
2
2
1
2cos
cos n
2
2m 1
cos n
при k
2
2m 1,
.
при k
0
2m.
Осталось найти коэффициент a0 по формуле (39) при n 0 , l
2
2
f x cos 0dx
20
a0
2 1
x
2
2
2x 1
0
2 2
x
2
1
1
2
xdx
0
1
2 2 1
2
25
2
x dx
1
22
2
1 ,
1
4
k
1
1
при n 2k ,
2
k
0
при n 2k 1,
n
2
1
2
1.
2.
Подставив найденные значения a n в формулу (40) для T x, t , (сначала n 2k , а затем k 2m 1), получим распределение температуры
T x, t в каждой точке стержня x 0; 2 в любой момент времени t 0 :
cos 2m 1 x 9 2 2 m 1 2 t
4
.
T x, t 1
e
2
2
2m 1
m 1
ЗАДАНИЯ К ТИПОВОМУ РАСЧЁТУ № 6 ПО ТЕМЕ «РЯДЫ»
В задачах № 1-7 требуется исследовать сходимость числовых рядов.
В примере № 8 нужно исследовать числовой ряд на абсолютную и условную сходимости. В задачах № 9-11 требуется найти область сходимости
функциональных (в частности, в примерах № 10-11 степенных) рядов. В
примере № 12 требуется разложить данную функцию в ряд Маклорена, а в
примере № 13 – решить обратную задачу нахождения функции по её ряду
Маклорена. В примере № 14 нужно вычислить значение функции
y f ( x ) в точке x x0 с точностью
0,001. В задаче № 15 нужно вычис0,001. В прилить приближённо определённый интеграл с точностью
мере № 16 требуется найти три первых отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена решения задачи Коши. В задаче № 16 нужно решить
задачу Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка, представив решение в виде степенного ряда. В примере № 17 разложить в ряд Фурье функцию y f ( x ) в указанном промежутке. В задаче
№ 18 студентам всех специальностей, кроме ТВ и ВВ, найти решения
уравнения колебаний струны
2
2
u
u
2
x, t a
x, t
2
t
x2
при условии, что струна закреплена на концах x 0 и x l :
u(0, t ) u(l , t ) 0 ,
имеет в начальный момент времени форму треугольника с вершиной в
точке A0 ( x0 ; u0 ) (рис 3) и начинает колебаться из состояния покоя:
u
( x,0) 0, 0 x l .
t
U
A (x0 , u0 )
x0
x
l
Рис. 3
26
Для студентов специальностей ТВ и ВВ в задаче № 18 найти решение уравнения теплопроводности:
2
T
T
2
x, t a
x, t
t
x2
для стержня длины l с теплоизолированными концами
T
T
(0, t )
(l , t ) 0, t [0; ).
x
x
Температура в начальный момент времени t 0 распределена по закону
треугольника (рис. 3).
Вариант 1
3n 2 n 1
3
2n 2 3
1 5n
1.
n
1.
n 1
arctg(2 ( 1)n )
3.
2.
3
n
1
n 1
n
3
5.
n
n
n
15
n 1
1
( 1) tg
8.
n
1
( x 1) n
n 3n
1
11.
n
2
13. x
x
2
( 1)
n 1
n 1
11 .
n 1
3
1
n
16. y 2 y 2 e x , y (0)
x
(
2
n
9.
n
n 2 5n 2 x 1
9n 1
3
1
1
16 . y
3
x
n
2n 1
n 4
4.
n 1
6.
n 1
10.
n
12. f ( x )
ln (1
15.
n
n 2
n 3
(2 x) n
n!
1
x2
2
x exp
x
)
5 dx
0
x
4y
0 , y (0)
0, y (0)
1
18. a 6, l 3, x0 1, u0 0,1
Вариант 2
1.
n
3.
n
5n 1
1 7n 2
n!
n
1 5
1.
n 1
4.
n
1
n 1
n 4
2
ln( n 1)
2n
ln 1
2.
n
1
n
4.
n 1
3n
n 5
27
1
n2
n
( 1)n 1 sin n
2n 1
3
2.
n 1
n 2
n 3
n2
1
7.
n ln(3n 1)
n
2x y
)
1
1
nx
1
... 14. sin29
1
n3
sin
1
2 n ln n
6.
n
n 30
2.
3n 1
4n 2
n
x
x
...
3
n
17. f ( x )
1
1
)
n
2n
4.
n!
n
1
n (1 cos 4 )
n
5.
n
n
1
ln (1
3
n
n2
5.
n
1
n
2n
ln n
2
1
2n
5.
n
1
n ln 3 n
6.
n
2
6.
n
n 3
( 1) ln
n 1
2
n
8.
n
n
11 .
n 1
n2
2x
4 2x
n
n
( 1)n sin
7.
1
n
enx
1 n!
9.
1
1
n
ne
10.
n
x2
12. f ( x )
1 x
1
1 x
1 n 2
1
n
n
11.
n
( x 2) n
4n
1
4 2
2n x n
13. 2 2 x
x ...
3
n!
1
...
0,5
14. arctg 0,5
(1 x 2 )1/3 dx 16. y
15.
y 2 sin( xy), y(0) 1
0
3x 2 y
16 . y
1, y (0)
2 при
x 0,
3 при 0 x
2 17. f ( x )
0, y (0)
18. a 5, l 5, x0 3, u0 0,2
Вариант 3
1.
n
4n 2 n 3
4
n2 1
1 5n
2
2.
n 1
n 2
n2 4
2n n !
5.
n
n 1 n
2n
n
n 1
n
n
n
3
1 n!
9.
n 2 ln n 5x 1
3n 2
2
n
5n 1
3n 2
4.
n 1
ln(3n 3 1)
6.
5.
n2
n 1
2n 3
1 1000n 121406
2.
n
n 1
3.
1
( 1) arcsin
n
1
11 .
n 1
2
n
8.
n 3
1.
n
2n
1
3
1 n (3 ln n)
sin nx
10.
2
1 n
n
( 1) n 1 x n
n
1 ( n 1)5
nn
4.
n 1
6.
e
n 1
n
3n 1
n
n2
7.
n
( 5) n
1 n!
n n ( x 3) n
11.
n 1
n
12. f ( x ) ( x tg x)cos x
13. 1 3x 2 5 x 4 ... (2 n 1) x 2 n ...
14. e
0,25
x sin x dx
15.
16. y
xy 2 cos( xy ), y(0) 0,2
0
16 . y
6 x y 12 y 24,
y(0) 2, y (0) 1 17. f ( x ) 3 | x | ( 3 x 3)
18. a 12, l 6, x0 2, u0 0,2
28
Вариант 4
2n 1
1 9n 5
1.
n
3.
n
1
1.
n 2
1
1
arcsin
n
n
n
1
( 1) n ln(1
7.
n
1
1
)
2n 1
( 1) n 2 n
x
2 n
n
4
1
11.
n
n
n
1
4.
n 1
1
n (7 5ln n) 2
n3
n
1 ( 2)
8.
n
n
n 1
1
5.
n
1
4n 3
5n 4
n ln ( n 3 1)
nx
10.
1
n
n
12. f ( x )
1
n! n
x
2n
x
(1 x )2
0,5
22 n 1 2 n
( 1)
x
...
(2n 1)!
n
3
xe x dx
15.
14. cos31
0
xy
2
x e , y(0) 0,5 16 . y
3x y
x 1 при 1 x 0,
1 при 0 x 1
17. f ( x )
18.
9 xy
2 15x 3 , y(0)
0, y (0) 1
a 15, l 15, x0 7, u0 0,6
Вариант 5
1.
(e
n
1
n
n 2
5.
1)
3
1.
1
n e
n2 1
2.
1
n
n 1
n2 2
n2 3
sin
n
2
n
1
2.
3n
1
n 2
e
1
n 1 sin
n
n 3
3n n!
nn
6.
9.
n 2 2n 3x 7
3n 2
5
11 .
1
2.
n
n
4 2 4 4
x
x ...
3
15
13. 2
16. y
1
tg 2
2.
7n
1 n!
4.
1
) 6.
2n
n
n 2 n arctg 4 n (
5.
n
n2 1
n2 3
3n 2
3.
n
n
1
arctg
n 1
1
n
4n 1
n 2 (2 cos n )
6.
2 n3 1
n 1
5.
n 1
7.
3n 7
n 2
( 1)
n 1
n 1
n
4.
n
n 1
n 2
n3
2n
29
1
n2 n 2
1000n 2 999n 1
(2n 3)3
n!
1
nn
4.
n 1 (2 n 1)!
n2
n sin
6.
n
1
1
n2
8.
( 1)
n
n 1
n
n 1
2
9.
1
n 10.
n 1
n 1
x
x
12. f ( x ) x 3cos 13. 1
2
2
16. y
y
2
2n
x
n
2
x 3n
x 11.
11 .
1
n 1 n!
n
n2
n
1
2
n
n
3
(5x
1)n
0,5
x2
xn 1
...
... 14. 3 e
3
n
x ln(1 x 3 ) dx
15.
0
2
x , y(0) 2
17. f ( x ) x | x | ( 1 x 1)
16 . y 4 x y 8 y
24, y (0) 3, y (0) 1
18. a 7, l 7, x0 4, u0 0,2
Вариант 6
n 3 4n
1.
n 1 ( n 1)!
3.
n
1.
n 1
5.
n 1
( 1)n
7.
3
n 1 n 1
11 .
n 1
2.
n 1
n 1
3
n 2
2.
n
n 2 (2 cos n )
4.
2 n3 1
n 1
n 3 4n 2 1
5
n3 1
1 2n
2n 1
2n 3
(n!)2
(2 n)!
3n
n
n sin
n 1
5.
n 1
(n 2)2
8.
n
n 1 ( 4)
3n 1 7 x 3
2n 2 3
5
4n 2 5n
4.
n 1
1
9.
nx
n 12
10.
n
1
9n8 3n 1
ln (3n 2 1)
6.
n3 9
n 1
ln (n 1)
6.
n 1
n 1
(3x )n
1 ( n 1)!
( 1)n 1 4 n
11.
x
2
n
n 1
n
12. f ( x) x 2 sin2 x
2n 1
8 2 32 4
n 2
13. 2 x
x ... ( 1)
x 2 n ...
3
5
2n 1
16. y
n
n
2 (ln n )
0,5
14. ln1,02
15.
0
dx
1 x4
x y y 2 , y(0) 5
16 . y 2 x y 4 y 8, y (0) 2, y (0) 1
18. a 9, l 9, x0 5, u0 0,3
17. f ( x ) 4 | x | ( 4 x 4)
Вариант 7
1.
n 1
n 2
n 3
n2
n2 1
n 2n
1.
2.
n
n 1 (ln ( n 1))
n 1 ( n 1)!
30
arctg(3 ( 1)n 1 2)
1
2.
sin
n
n
n 1
n2
3
3.
n e
n 2
4.
999 n 1
n
4.
n 1
n 1
n
6.
n3 1
n 1
n
n 1
6.
7n
xn
nn
10.
2
1
7.
5n10 3n 1
n 1
n
x
cos
9.
3n 2
1
n 1
3n
2n 1
2n 3
( 1)
n 1
arcsin
n 1
11.
n 1
n 2 (2 ( 1)n )
5.
2 n3 1
n 1
3
5. sin
n
n 1
2
( x 1) n
n 2
2
n 1
2n
3x
1 2.
5 x 2
n 1 n
1
12. f ( x ) x ln(1 3 x) 13. 2 x 5x 4 8x 7 ... (3 n 1) x 3 n
8.
3n 2 1
( 5) n
n!
n
...
0,2
15.
14. sin20
x cos xdx
x2
16. y
2 xy 2 , y(0) 3
0
2
16 . y 3x y 9 x y 0, y(0)
18. a 16, l 8, x0 6, u0 0,3
17. f ( x ) | x 3 | (2 x 4)
0, y (0) 1
Вариант 8
1.
(2
1
n
1)
1
1
1.
ln (1 sin ) 2.
n
n 1n
n
3
n 1
n2 1
n2 2
3.
n 1
n
4.
n 1
2n 1
5.
5.
2
10
n
n 1 7n
( 1) n
7.
5
n 1 3n 1
n2
n 1
13.
1
n 1 2n
n!
3n (n !)2
2.
n 1 (2 n )!
3
2
11 .
3
3n n
1
(n 1) 3 2ln( n 1)
2
1
3n 1
3n 2 2
3
n
8.
n 1
5x
3
4
n
n2 1
n
y cos x
16 . y
2x y
3nx
9.
n 1 (2 n 1)!
n ln ( n 3 3)
n 2 n sin n
6.
4n 8 1
n 1
n
n x
10.
(2 x 1) n
11.
n
n 1
n
n 1
x2
12. f ( x) arctg
2
0,5
5
14. 1 / e
15.
0
cos y , y(0) 0
14 y
n 1
n3 n2 1
6.
n5 1
n 1
2n 1
x x3 x5
n x
... ( 1)
...
2! 4! 6!
(2n)!
16. y
1
4.
0, y(0) 0, y (0) 1
17. f ( x ) 2 x | x | ( 2 x 2)
18. a 10, l 10, x0 8, u0 0,3
31
1 cos x
dx
x
1
Вариант 9
n3 1
1.
1.
3
5
n
n 1 9n
1
n 2
n3 3
4.
n 1
n 2 2n cos n
5.
4n 7 1
n 1
7.
6.
( 1)
n 1
ln
x 6n
11.
n 1 (2 n 1)!
x6
6
16. y
ex
16 . y
n 1
4
n 1
n 3
n 5
n2
n4 n2 3
5.
7
n 1
n 1 n
1
6.
n ln (n 3 3)
n 1
n 5
1
9.
n 1
n 2 1 5x 3
3n n
4
nx
2
10.
n
xn
n
1 ( n 2)3
n
1 x3
12. f ( x )
1
x9
x3 n
...
...
9
3n
y
2
3
n 1
n 1
n ln (n 2 1)
2.
n3 1
n 1
5
1 ( n 2) 5 3ln( n 2)
8.
11 .
n
9n 3
n 7
4.
n 1
n 1
n 2
x3
13.
3
n
n 2 1 3n
n!
5
2.
n
3
2
3. sin
n
n 1
n2 1
3n 2 1
3n 2 2
15. e
14. arctg0,3
x2
2
dx
0
xy , y(0) 0
2 xy 14 y 0, y(0) 0, y (0) 1
|x|
( 6 x 6)
2
18. a 6, l 12, x0 9, u0 0,5
17. f ( x ) 1
Вариант 10
n3 n 1
1.
1.
3
2
8
n
n
3
n
n 1
3.
tg
n 1
4
7
3
n
6.
(3 ( 1) )
( 1) n
7.
2
1
n 1n
11 .
n 2
3n 2
5n 4
n 1
n n
n 1
1
4.
n
5.
3n 2
3n 11
n
n 3
4.
n 2
n 1
(3
1
n
e
1) 9.
n 1
n 1
( 1)n 1 x
n2 1 1 x
3n6 n 1
2.
2.
8
4
5
n
n
3
n
n 1
4
1 ( n 3)(2 3ln( n 3))
( 1)
8.
7n
n
x3
12. f ( x )
1 x
32
n2 x
n 1
n 1
1
n 3 3n
ln 3
n 1
n ( n 1)
3
5.
n 1
6.
n 1
n 2 en
(n 3)!
1
(n 1)ln (2n 2 )
1
x
10.
n 1n 4 3
n
( x 5) n
11.
n
n 1
13. 2 4 x 4 x
n n 1
8 3
n 1 2 x
x ... ( 1)
...
3
( n 1)!
2
14. cos32
1
x2
15. sin
dx 16. y
2
0
16 . y
xe y
y 1, y(0) 0
x
( 3 x 3)
2
0, y(0) 1, y (0) 0 17. f ( x ) 1
xy
18. a 8, l 4, x0 3, u0 0,1
Вариант 11
1.
n 1
n3 n
n2 5
n2 3
2.
n
4
2
1 ( n 3)(9 ln ( n 3))
3
1
3n 5
3. arcsin
4.
3
n
n 7
n 1
n 1 4n
( 3) n
7.
n 1 ( n 3)!
10.
n 1
4.
n 1
7n 4 n 2 1
6.
7
n4 2
n 1 3n
2n 1
2n 2 3
6.
2 ln n
n (ln 3 n 1)
n2 3
5
5.
n 1
( n 1
n )arctg
n 1
n
1
8 . ( 1)n 1 ln 1
8. ( 1) tg 3
n 20
n
n 1
n 1
n
(5 x) n
n
11.
n 1
12. f ( x) x 3 1 x
2n x n
( 1)
n!
n
n 1
2
3
n 3 ln n
5.
n n
n 1 (5 ( 1) )
2.
x8n
nn
11 .
n 1
13. 2 2 x
2n 3 3 x
4n 2 1 3 x
2
1
4 2
x ...
3
1
1
0
16. y
2 y 3 e x , y (0)
1
3
16 . y
xy
0, y (0)
0 , y(0)
15. sin x 2 dx
14. ln1,03
...
1
17. f ( x ) x 2 x ( 2 x 2)
18. a 4, l 4, x0 1, u0 0,1
33
n
2n 3 3n
(2n)!
1
n
9.
n 1
sin 2 nx
n3
Вариант 12
4
1. arctg 2 3
n
n 1
2.
n 1
n 2 3 2n
n!
5
3.
n 1
n3 1
n3 3
5.
n 1
2n
3
n2
n 2
n 1
n
n3 1
n
n
1 (4 ( 1) 2)
4.
n
1
6.
2
1 ( n 4)(25 ln ( n 4))
n
6.
n
3
7. ( 1) sin 3 8.
n
n
n 1
( 1)n x n
10.
n 1 2n 1
1
( 1) n
3 2n 3
5.
n
n 3
1n 7
5n x n
( 1)
...
n
14. e
3
4
1
(n 1)ln ( n 2 1)
n
2
n
11 .
2n ( 1)n n x 3
4n 3
8
n 1
n!5nx
9.
n 1
25x 2
13. 5x
2
n
2
( 1)n 1 arctg
8.
(3x 3)n
11.
n2
n 1
x
12. f ( x ) x cos
2
1
n 1
n
125x 3
...
3
0,4
15.
3 2
x )dx
4
sin(
0
y 3 sin xy, y (0) 1 16 . y
xy
3 при
x 0,
2 при 0 x
17. f ( x )
)
3
n
16. y
2n 2 1
n 1
4n3 n 2 2
6
n3 5
1 9n
4.
n
n n ln n (1
2.
y
0, y(0) 1, y (0)
0
18. a 8, l 4, x0 3, u0 0,2
Вариант 13
6n 1
1 2n 9
1.
n
2.
n
n!
3.
n 1
5.
n 2
6.
n
3
3n 2 2 7n
1000
ln n
( 1)n 1 arcsin
n 1
4.
n 1
n 9 10
n 1
4.
(2n 3) 4 4 ln(2n 3)3
n n ln n (1
5.
n 3 2n 1
2.
7
n
n2 n 1
n n
1 (3 ( 1) )
8.
5n 2 n 1
5
n2 2
1 4n
n
n 1
3n
7.
( 1) n sin 2
2
n 1
5n
10n 2 3
1
)
ln 2 (1
6.
n 1
5
3
n
8.
n
nx
9.
n 2
n 1
1
3
)
n
( 7) n
1 (2 n 3)!
10.
n
34
(n3
(2 n 1)! n
x
2n
1
n2
1)ln 2 n
5n ( x 3) n
11.
n
n 1
3n ( 1)n n 4 x 1
5n 3
7
11 .
n 1
13. 2 2 3x 3 4 x 2 ... (n 1)nx n
2
n
12. f ( x )
...
e
x
1 x
x
14. sin33
1
15. cos x 2dx 16. y
xy 3
cos xy, y(0) 0,2
0
16 . y
xy
0, y(0) 0, y (0) 1 17. f ( x ) 2
y
|x|
( 4 x 4)
18. a 9, l 6, x0 5, u0 0,2
Вариант 14
ln n
2n
1.
n 2
n2
n
ln(n 1)
n 1
1.
n 1
5n 6 n 2 1
3.
9
n3 3
n 1 7n
4.
(e
3
n
6.
n 1
(3n 2) 7 5 ln(3n 2)6
( 1)n
8.
n 1
11 .
n 1
3
n
1
n
1)
2
n 1
2
ln 2 n
8 . ( 1)
n
n 2
n 2n
3n 1
2x 3
5
2.
n 1
ln (n 2 1)
4.
3n 1
n 2
6.
n
2
3n 2
1 8n 3
2.
n 2
n 1
2
(2n 1)ln n
e
9.
n3 x
n 1
5n 2 1
2
3n 1
3n 2 2
7
5.
n 1
3n 5 4 2 n
(3n 1)!
( 1) n
7.
2
4
n 1 3n
1
x
10.
n 1n 6 2
n
x10n
11.
n 1 (2n 3)!
n
12. f ( x ) ( x ctg x)sin x
13. 1 3x 2 5x 4 ... ( 1)n (2n 1) x 2n ...
1
14. arctg0,4
15. cos( x x ) dx
16. y
0
16 . y
2 xy 8 y
17. f ( x )
0 , y (0) 1, y (0)
0
1 при 1 x 0,
x 2 при 0 x 1
18. a 3, l 15, x0 8, u0 0,6
35
2 x e xy , y (0) 0,5
Вариант 15
(2 n 4)!
1.
n 1
(3n 6 7)5 n
4n 7
2.
n 1 9n 8
2
n 2 n ln(n 1)
3.
n
n 1
5.
(5
2
n
3
8
1)
3n 1
ne
2 n 1
n 2
2.
n 1
( 1) n
7.
n 1
n 1
xn
10.
n
n 1 ( n 1)
3.
n
4.
n
2n
n 1
n 1
n 1
(1 x) 2 n
11.
n
n 1 n16
n
1
1 cos
n
(3n 4) 4 8 ln(3 n 4) 5
( 1)n 1 log53 (1
8.
8n6 n 4 7
8
5n6 4
1 9n
8
6.
1
5n 3 6
7
4 n2 3
n
n
ln n
ln (5n 1)
5.
n3 1
n 1
4
n 1
6.
4.
2n 2 3
2n 2 7
1
)
n
n 3 2n 7 x 1
10n 9
3
11 .
n 1
9.
n
cos(2 n x)
n2
1
n
2n 1 2 n
x4
4 2 4 4
x
n 2
12. f ( x )
13. 2
x
x ... ( 1)
...
3
15
(2n 1)!
2x 1
14. ln1,04
0,5
sin(4 x 2 ) dx
15.
x2
16. y
y 3 , y (0) 2
0
16 . y 2 xy 10 y 0 , y(0) 0, y (0) 1
17. f ( x ) | x | x ( 3 x 3)
18. a 7, l 11, x0 5, u0 0,3
Вариант 16
3n 5
1.
1. ( 1)n
100
n
1
n 1
n
3n8 n6 3
3.
9
n7 4
n 1 8n
5.
n
1
2n 2 1
2n 2 9
4 n2 1
2.
n 1
n 1
9
3 2
1 (4n 3)(6 ln(4n 3) )
n2
n5 n 1
5.
ne
n 1
n (3 ( 1)n 2)
6.
3n 2 l
n 1
36
3n 2 1
nn e
2.
1
3n
n
1
n 1
(4n 2 5)6 3n
4.
(2n 7)!
n 1
2n ln (n 1)
3.
3n 6
3n 9
2
n ln(1
6.
n 1
1
)
n3
( 1) n
7.
n 1
1
8.
3n 2 1
6
(n 2) x
5n
log (1
n 3 5n
9n 7
11 .
n 1
n 1
x y y 3 , y(0) 2
16. y
3x 2
6
(4 x) n
10.
2
n 1 n
n
x
(1 2 x )2
12. f ( x )
0,3
x2
xn 1
... ( 1) n 1
...
3
n
x
13. 1
2
6nx
9.
n 1 (2 n 1)!
3
)
4
n
3
5
n 1
n
11.
( 1)
n 1
1
4
.
c
o
s15. 2
6e
2 x2
0
16 . xy
17. f ( x ) 5
y (0) 1
18. a 2, l 9, x0 4, u0 0,3
y
0, y (0)
0,
| x | ( 5 x 5)
Вариант 17
ln n
n
1.
n 2
n
2
n 1
n
7 n2
n 2
n 1
3
n 1 5n
5.
2
n 2
5
1
x
10.
n 1n 7 3
12. f ( x ) x
2
n
n
11.
n 1
1
sin
n
n
x 9
3
( 1)n
8.
n 2
n
11 .
n 1
ln n
n
1
9.
n 1
5n 2n
( x 2)n
n
9 n
2n 1
x
x3 x5 x7
n x
2sin
... ( 1)
...
13.
2
2! 4! 6!
(2 n)!
1
14. arctg 0,6
ln(4n 2)
4.
2
1)
n 1 n (n
n
2
6.
(2n 2 3)ln n n 1 (5n 3)(9 ln(5n 3) 2 ) 4
3n 2
8. ( 1)
(2n 1)!
n 1
3
7. ( 1) sin 4
n
n 1
n
7n 1
1 9999n 1
4n5 6n 2 1
1
n 1
4.
ln
7
n 1
3n 6 2
n
n 2 5n
3.
(3n 2)!
5.
2.
1
n 1
4n 2 1
4n 2 3
2.
nn e
1.
n
3
2n
15.
0
ln (1 3x 2 )
dx
x2
16. y
16 . y x y 2 y 0 , y(0) 0, y (0) 1
17. f ( x ) | x 1| ( 2 x 0)
18. a 14, l 7, x0 3, u0 0,4
37
x 2 2 xy 3 , y(0) 3
nx
3
dx
Вариант 18
4n 3 5
1.
1.
2
1
n
n 1 9n
arcsin 3
3.
n 1
4.
n 2
1
5
4
n
n 1
n 1
(3n 2 1)ln n
5.
n 1
e
n 1
3n 2 2
4n 1
4n 5
10.
n 1
n 1
12. f ( x ) x 3 cos3 x
n 1 4
( 1)
(3n 1) x
8.
( 1)
16. y
x
17. f ( x )
n 1
n 1
3
11.
n 1
3n
(5n 2)!
n
2x 7
n 3
11 .
n 1
n
2n 1 x 1
2n 2 3 9
13. 2 x 5x 4 8x 7 ...
3n 2
... 14. sin34
15.
0
2
2n 2 1 2 n
2
0,2
n 1
(2 n 7) 3 ln(2 n 7) 5
(5n 3)!
6.
3
xn
n 7n
9
4.
( 1) n
7. tg
n 1
n 1
n (2 ( 1)n )
6.
4 n2 1
n 1
9.
4n 2 3n 1
ln(7 n 3)
2.
2.
5
3
n4 1
1
n 1 2n
n 1 7n
1
n
arctg 2
n 1
n
3.
n ( x 1)
2n 1
3n 10
3n 11
3
2 xy , y(0) 3 16 . y
1 e
x
2x
dx
2(1 2 x2 ) y 0, y (0) 2, y (0) 1
4x y
2 x / | x |, x 0,
0, x 0
( 6 x 6)
18. a 8, l 6, x0 4, u0 0,4
Вариант 19
2n 5
1.
1.
n 1 30n 11
n
1
n
n sin
n 1
5n6 n3 1
3.
9
n4 n 2
n 1 7n
n 1
n 2 4
n
(7
3
4.
n 1
5.
n 1
1)
n 1
ln (6 1)
n (n 2 1)
n3 2
n3 5
6.
n
38
2
2.
n 1
n
(4n 3)!
5.
2.
3
n
1
n2
arcsin 3
n 1
n
n 4 3n
n
4
n.
3
1
n
2n
n 1
4
5
1 (6 n 1)ln(6 n 1)
6.
ne
n 1
3 n
c
2
( 3) n
( 1) n
7. sin 6
8.
n
n 1 (5n 2)!
n 1
5
2n 2 1 4 x 3
7n 2
2
11 .
n 1
13. 3 9 x
16. y e
9.
n
arctg nx
1 n n
x y
n 1
n
5
4
2
1
n 1
12. f ( x) x 2 ln(1 2 x)
0,2
2
xy , y (0) 1
16 . y
14.
e
15.
2x y
16 y
0, y (0)
Вариант 20
(3n 7)!
3
n 1
2n 3 5 n
3n5 8
n n6 1
3.
n 1
2.
2
n
4n 3
1 9n 10000
5
n
arctg 4
4.
n 1
3
5.
n 1
4
(5n 2) 7 ln(5n 2)
6.
sin
n 1
n
n
4n 1
ln 2 n
9. n ! e
8 . ( 1)
n 3 n 1
n 2
n 1
2n 3n
( x 1)n
n
6 n 1
x3
13.
3
0,4
15.
0
16. y
x6
6
1
cos
x2
xe y
x9
9
ln 2 1
ne
... ( 1)
2n
n 1
nx
6.
log (1
2n 2 5
2n 2 9
3n 3 n
( 1)n
8.
2
4
n 1n
( 1)n n
( x 7)3n
10.
x 11.
3 n
n
n 1 n 3
n 2 (ln n )
12. f ( x ) x 2 arctg
n 1
2n 2 1
4
)
3
n
2
7
n
n 2
n
n 1
n 1
n
11 .
n 1
n 1
( 1)
7.
n arcsin
n 1
5.
6
2.
4.
x3 n
...
3n
x
2
14. ln1,05
x
2 dx
y 2 1, y(0)
1
16 . xy
y(0) 7, y (0) 7
39
e
0
17. f ( x ) 3 2 | x | ( 8 x 8)
y (0) 0
18. a 3, l 5, x0 3, u0 0,5
1.
(3nx) 2 n
x n 11.
n
2n 1 2n
243x 4
x
n 3
... ( 1)
...
5
2n 1
2
n
10.
( x 1) y
y
0,
1,
6 x2
dx
17. f ( x ) 1 6 x ( 4 x 4)
18. a 3, l 5, x0 2, u0 0,1
Вариант 21
7n 3 3 2 n
2. ln(1
(4n 3)!
n 1
4
1.
n 1
n 1
6
n
4
6.
n e
n5
n 1
1
n 1
n (2
5.
n 1
cos
14 n 2
( 1)n n
3n 2 1
3.
n
2 n 4 3n
5n 3
5n 3 4
4.
3
4n n 1
8
n6 2
1 9n
ln 2 1
3
n 1
n arctg
n 1
3.
5.
6
) 2.
7
n
n
4.
n
n 1
n
)
2
1
6.
n
2
1 cos
n
n
4
3 2
1 (6n 5)(8 ln(6n 5) )
( 1)n
8. arcsin
9. n x
n
n 1
n 1
( 1)n 3 n 7 2
7.
(3n 1)!
n 1
2n
2n 7
1 10000n 1
3
5
xn
10.
n
n 1 ( n 1)5
n
11.
(2n 3)! x
7n
11 .
n 1
n 1
13. 2 2 3 x 3 4 x
2
x2
ln (1
)
5 dx
x2
1
15.
0
16 . xy
( x 1) y
n
xn
... ( 1) ( n 1) n
2
y 2 2e x , y (0)
16. y
y
2n 3 10 x 1
12. f ( x)
7n 2 2
3
... 14. arctg 0,3
1
2
0, y(0) 2, y (0) 2
17. f ( x ) 1 x 2 ( 3 x 3)
18. a 4, l 5, x0 4, u0 0,7
Вариант 22
4
1.
n 1
(9n 4) 6 5 ln(9 n 4) 3
2.
n tg
n 1
n
2n 1
3.
n 1
1.
1
2n 3
2.
n ln (2n 1)
n 1 1000n 9
2
n 1
3n 2
3n 4
5n 2 n
nn e
3.
n 1
40
2
3n 1
n
1
3
1 x2
3n 7 n5 2
4.
9
n6 3
n 1 8n
2n
6.
e
( 1)
n
n 1
n
n
2
1
n 1
1
n
2
)
n
n 1
ln 2 (5n 1)
5 ( 1)
7.
arctg
6 2n 1
3n 3 1
n 1
1
6.
n
9.
e
n2 x2
n2
10.
n 1
n 3 2n 7 x 1
10n 9
3
11 .
n 1
3n
n 1
sin 2 (
5.
1)
n 1
5n 7 4 (3 n 7)!
n 1 3
8.
3
5.
5
4
n
3
n 1
n
12.
n
3
4
xn
11.
n 1
n!
( x 2) n
n
n
x
8 2
2n x n
2
2
x
x
...
13.
3
n
1 x2
f ( x)
n 1
1
...
14. cos 25
1
dx
15.
0
3
8 x
16. y
3
2 x 2 y 2 , y(0)
xy
y
1, y (0) 0,
x при 1 x 0,
0 при 0 x 1
17. f ( x )
y (0) 0
1 16 . y
18. a 5, l 9, x0 4, u0 0,3
Вариант 23
4n 2 n 3
1.
4
2n 2 1
n 1 6n
2
2.
n 1
n 1
n2 3
3n
n 4
1.
n 1
n
n 1
2
n
3.
n
7
1 n!
1
ln(4n 2 1)
6.
5.
4
2
n
n 1 n(5 ln n )
n 1
4n 2
3n 1
4.
n 1
6.
e
3
n 100
n 1
12. f ( x ) x sin x cos x
n
2n
4.
( 2)n
7.
n 1 n!
n
xy 3 cos xy, y (0) 2
0
16 . 4 x y
2y
y
0, y (0)
8 .
n 1
n
13.1 4 x3 7 x6 ... (3n 1) x3n ... 14.
x x sin xdx 16. y
n
2n 1
n
n 1
0,5
15.
n
3n 2
1 100n 21406
n2
6n n !
5.
n
n 1 n
1
(n 1 ) 7 a r c t g
n
n3 ln n 4 x 1)
11. n ( x 1) 11 .
n
3
2
n 1
n 1 4
( 1)n x n
10.
n
n 1 ( n 2)6
sin nx
9.
9
n 1 n
2.
2,
41
7
e4
n
17. f ( x ) 2 | x | ( 4
y (0)
1
18. a 24, l 12, x0 4, u0 0,4
x 4)
Вариант 24
1.
arcsin
53 n
n 1
3
3.
n 1
3
2
n 1
n 1
6.
n
)
n2 1
n 1
3
2 n4
2n
n n ln n(1
2.
n 2 4 2n
3n 4 n 2 1
4.
6
n!
n3 4
n 1 9n
n4 1
n4 2
5.
n 3
n 2
2.
n2
4.
n 1
n4 2
(5 ( 1)n 3)n
5.
n 1
n 4
2n 7
1
2
1 ( n 2)(20 ln ( n 2))
1
n
n
( 1)n 1
n
n
8.
6.
7.
(
1)
cos
8
.
(
1)
arcsin
3
1) n 1
3n 1 n 1 4 3n 2
n2 1
n 2 (3n 1)ln( n
n 1
9.
n !7
n2 x
10.
n 1
n 1
x
12. f ( x ) x sin
2
5
(4 x 3)n
11.
n3
n 1
( 1)n 1 x n
3n 1
13. 7 x
49 x 2
2
3n ( 1)n n
11 .
(3x 1)n
n
5 4
n 1
n n
343x 3
n 17 x
... ( 1)
...
3
n
14. e
4
5
0,5
15. arctg( x 2 ) dx 16. y
y 4 cos xy, y(0)
1
0
16 . x y
17. f ( x )
y
xy
0 , y(0)
1, y (0)
0
3 при 2 x 0,
2 при 0 x 2
18. a 14, l 12, x0 4, u0 0,8
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: в
2 т. Т. 2. / Н.С. Пискунов. - М.: Интеграл-Пресс, 2007. - 544 с.
2. Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа. / А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. - М.: 2009. – 720 с.
3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах ч. 2. /
П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М.: Высшая школа, 2007. –
416 с.
4. Алейников, С.М. Ряды. / С.М. Алейников, А.А. Ларин. - Воронеж,
ВГАСУ, 2010. - 114 с.
42
ОГЛАВЛЕНИЕ
Характеристика задания............................................................................
Решение типового варианта задания.......................................................
1. Числовые ряды.......................................................................................
2. Положительные ряды............................................................................
3. Знакочередующиеся ряды.....................................................................
4. Функциональные и степенные ряды....................................................
5. Ряды Маклорена и их приложения......................................................
6. Ряды Фурье.............................................................................................
7. Применение рядов Фурье......................................................................
Задания к типовому расчету №6 по теме «Ряды»...................................
Библиографический список......................................................................
3
3
3
4
9
10
12
18
20
26
42
РЯДЫ
Методические указания и контрольные задания
к курсу математики
для студентов 2-го курса всех специальностей
Составители: Кущев Анатолий Борисович,
Ларин Александр Александрович
Редактор Черкасова Т.О.
Подписано в печать 14.09.2012. Формат 60 × 84 1/16. Уч.-изд. л. 2,6. Усл.-печ. л. 2,7.
Бумага писчая. Тираж 000 экз. Заказ № ____.
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии
издательства учебной литературы и учебно-методических пособий
Воронежского ГАСУ
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
43
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
2 770 Кб
Теги
521, ряды
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа