close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

522. Линейная алгебра

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Методические указания и контрольные задания
для студентов, обучающихся по образовательным программам
бакалавров и магистрантов всех направлений
Воронеж 2014
УДК 51.07
ББК 22.143я7
Составители:
Л.В. Акчурин, А.Б. Кущев
Линейная алгебра: методические указания и контрольные задания по курсу
математики / Воронежский ГАСУ; сост.: Л.В. Акчурина, А.Б. Кущев. – Воронеж, 2014. – 32 с.
Методические указания содержат краткие теоретические сведения по алгебре матриц и решению систем линейных уравнений, нахождению собственных чисел и собственных векторов линейных преобразований, решение типовых
задач, а также индивидуальные задания для студентов очной и заочной форм
обучения. Приведены 25 вариантов контрольных заданий.
Предназначены для студентов всех специальностей.
Библиогр.: 10 назв.
УДК 51.07
ББК 22.143я7
Печатается по решению научно-методического совета
Воронежского ГАСУ
Рецензент – В.Д. Коробкин, д. ф.-м .н., проф. кафедры строительной физики
и инженерной механики Воронежского ГАСУ
2
Введение
В последние годы все больше возрастает роль линейной алгебры в различных разделах математики и техники. При изучении студентами строительных специальностей таких дисциплин как строительная механика, строительные
конструкции, теплотехника, математическое моделирование и др., существенно
используются линейные преобразования и действия над матрицами.
Настоящие методические указания предназначены для того, чтобы помочь студенту всех форм обучения овладеть приемами и методами решения задач по теме: “Линейная алгебра”, а также обеспечить самостоятельность выполнения типового расчета и контрольных работ. Характер и объём заданий подходит как для аудиторной, так и внеаудиторной самостоятельной работы студентов и магистров.
Материал методических указаний содержит:
1.
Краткие теоретические сведения;
2.
Решения типовых задач;
3.
Варианты контрольных заданий типового расчета.
Студенту перед каждым практическим заданием рекомендуется:
1.
Изучить по учебнику и по конспекту лекций теоретический матери-
ал по соответствующему разделу темы “Линейная алгебра”;
2.
Запомнить теоретические сведения (определения, формулы, теоре-
мы), разобрать решения типовых примеров и затем самостоятельно решить свой
вариант контрольных заданий.
3
1. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
Прямоугольная таблица из чисел аij ( i 1,2,...,m; j 1,2,...,n ) вида
A
a11
a 21
...
a m1
a12
a 22
...
am2
... a1n
... a 2 n
,
... ...
... a m n
(1)
состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей порядка m n . Элемент матрицы аij располагается на пересечении i -ой строки и j -го столбца.
Квадратной матрицей порядка n называется матрица порядка n n , т.е. матрица,
у которой число строк и столбцов совпадает.
Единичной называется квадратная матрица вида E
1
0
...
0
0
1
...
0
...
...
...
...
0
0
.
...
1
Матрица, полученная из исходной путем замены каждой ее строки столбцом с
тем же номером (или наоборот), называется транспонированной матрицей, и
a11
a
обозначается AT : AT = 12
...
a1n
a 21
a 22
...
a2n
... a m1
... a m 2
.
... ...
... a m n
Сложение и вычитание матриц Am n aij и Bm n bij одного порядка совершается почленным сложением (вычитанием) соответствующих элементов исходных
матриц, при этом C A B ( D A B ) есть матрицы, составленная из чисел
сij aij bij ( d ij aij bij )
(2)
где i 1,2,..., m; j 1,2,..., n .
Для умножения матрицы Am n aij на число нужно каждый элемент матрицы
умножить на это число
A
aij ,
(3)
где i 1,2,..., m; j 1,2,..., n . Очевидно, что на число может быть умножена матрица любого порядка.
Произведением матриц Am n aij и Bn p bij называется матрица Сm p сij ,
каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i -ой строки
первой матрицы A на соответствующие элементы j -ого столбца второй матрицы B , т.е.
с ij
n
a ik bkj
,
(4)
k 1
где i 1,2,..., m; j 1,2,..., p , по формулам для вычисления скалярного произведения. Важно отметить, произведение матриц вводится лишь в том случае, если
4
количество столбцов первой из перемножаемых матриц равно числу строк второй матрицы.
Для матриц справедливы все алгебраические свойства, кроме коммутативности,
т.е. обычно A B B A . Если A B B A , то матрицы A и B называются перестановочными.
Как в обычной алгебре целой положительной степенью Ak k 1 квадратной
матрицы A называется произведение 
A
A...
A.

k
1 2 3
1 3 4
Пример 1. Даны матрицы А = 2 1 4 ; B = 5 7 8 .
3 2 3
1 2 4
Найти матрицу X , удовлетворяющую условию X 0,5 A B 0,5 .
Решение. Из условия X 0,5 A B 0,5 , выразив X , получим
X
2A
2 4 6
1 3 4
3 7 10
B = 4 2 8 + 5 7 8 = 9 9 16 .
6 4 6
1 2 4
7 6 10
Пример 2. Найти произведения AB , BA и ВС матриц, если заданы матрицы А =
1
4 ,В= 2 4 1 и С
3
1 2 3
2 1 4 .
3 2 3
Решение. Согласно определению произведения матриц, имеем
1
1 2 1 4 11
4 2 4 1 = 4 2 4 4 4 1
3
3 2 3 4 31
=(2 + 16 + 3) =( 21).
2 4 1
8 16 4 . BA = 2 4 1
6 12 3
AB
=
1
4 = (2 1 + 4 4 + 1 3) =
3
Сравнивая результаты, замечаем, что в данном примере A B
В A.
1 2 3
ВС = 2 4 1 2 1 4 = 2 1 4 2 1 3 2 2 4 1 1 2 2 3 4 4 1 3 = 13 10 25 .
3 2 3
2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И МАТРИЦЫ
Преобразование, в котором новые координаты (со штрихом) выражаются через
старые координаты линейным образом
x1
x2
xn
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn
a 21 x1 a 22 x2 ... a 2 n xn
.....................
a n1 x1 a n 2 x2 ... a nn xn ,
(5)
называется линейным. Очевидно, каждому линейному преобразованию (5) соответствует квадратная матрица
5
a11 a12
a
a
А = 21 22
... ...
a n1 a n 2
... a1n
... a 2 n
,
... ...
... a nn
(6)
Если еще ввести векторы-столбцы x x1 x 2 ... x n T и x x1 x 2 ... x n T , то
преобразование (5) в матричной форме примет вид
(7)
x Ax .
Из линейных свойств матрицы следуют свойства аддитивности и однородности
линейного преобразования (5):
(8)
A( x y ) Ax Ay , A( x )
Ax .
Если заданы два линейных преобразования x Ax и x B x , то суперпозиция
линейных преобразований, выражающие координаты x через неизвестные x
задаются матрицей
C B A.
(9)
T
Легко проверить, что вектор e1 a11 a21 ... an1 , который является
первым столбцом матрицы A , является образом единичного орта
T
i 1 0 ... 0 : Ai e1 . Аналогично, Aj e2 задает второй столбец матрицы и
т.д. В силу линейных свойств матрицы A она переводит вектор
x x1 i x2 j x3 k в вектор Ax x1 e1 x2 e2 x3 e3 , т.е. ортонормированный
базис i , j, k в базис e1 , e2 , e3 (для невырожденных матриц, определитель которой
не равен нулю A 0 ). Из геометрического смысла смешанного произведения
следует геометрический смысл модуля определителя матрица А – коэффициент
изменения объема при данном преобразовании. Аналогично, на плоскости ед иничный квадрат, построенный на векторах i , j переходит в параллелограмм, построенный на векторах e1 Ai и e2 Aj , а det A S пар м а . Основными типами линейных преобразований на плоскости являются преобразования гомотетии (подобие с центром в начале координат), поворот на угол вокруг начала координат и симметрии. Матрица гомотетии с коэффициентом подобия k имеет вид
Г
k 0
0 k
цы вида
k1
kE , где E
k1
0
1 0
единичная матрица. В случае диагональной матри0 1
0
, при k1
k2
0 , k2
0 , являющуюся обобщением матрицы Г , где
k 2 , является преобразованием растяжения k i
по соответствующей оси.
Матрица поворота П ( ) на угол
П( )
1 , или сжатия 0
ki
1 , i 1, 2
вокруг начала координат имеет вид
cos
sin
sin
cos
.
Отметим, что матрицы поворота перестановочны между собой т.е.
П( )П( ) П( )П( ) П(
).
6
(10)
Пример 3. Написать матрицу симметрии С относительно прямой y=x.
Решение. Симметрия относительно биссектрисы в 1-ом и 3-ем координатных
углах переводит ось OX в ось OY и наоборот, следовательно,
Cj
Ci
1
. Соединив найденные 1-ый и 2-ой столбцы, получим C
0
i
j
0
,
1
0 1
.
1 0
Отметим, что ее определитель C 1 . В общем случае, любое линейное преобразование на плоскости является комбинацией вышеперечисленных типов, а если определитель отрицателен, то в этом преобразовании будет участвовать
симметрия относительно некоторых прямых.
Пример 4. Определить геометрическое преобразование, заданное матрицей
A
3 0
.
0 12
3
0
Решение. Заметим, что Ai
3
1
0
3i , аналогично, Aj
0
12
1 0
2 1
1
j.
2
Следовательно, данное преобразование по оси Оx задает растяжение в 3 раза, а
по оси Oy – сжатие в 2 раза.
Пример 5. Указать матрицу линейного преобразования D в пространстве, которое выполняет поворот векторов вокруг оси Oz на угол 6 .
Решение. Так как ось Oz остается на месте, то Ak
k
0
0 . При этом проекции
1
вектора в плоскости xOy должны поворачиваться на угол 6 , тогда
1
2 . Окончательно получим D=
3
2
3
2
1
2
0
Пример 6. Даны два линейных преобразования на плоскости
x
y
cos
П( )
6
x
y
sin
7x
x
6
6
sin
cos
3
2
1
2
6
6
1 0
2
3 0 .
2
0 1
3x 4 y
,
5x y
2y
. Найти преобразование, преобразующее вектор a ( x; y ) в b ( x ; y ) .
6y
Решение. Выпишем матрицы преобразований A
7
1
по формуле (9) C B A
2 3
6 5
4
1
21 10
3 30
3
5
4
иB
1
28 2
4 6
7
1
11
27
2
, тогда
6
30
.
10
Вернувшись к неизвестным укажем результирующее преобразование, соответствующее матрице С:
x
y
11x 30 y
.
27 x 10 y
7
3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ МАТРИЧНЫМ СПОСОБОМ
1
Матрица А называется обратной к квадратной матрице А , если
А 1 А АА 1 Е , где Е – единичная матрица. Для невырожденной квадратной
матрицы (6), существует единственная обратная матрица
А
1
A11
1 A12
A ...
A1n
A21
A22
...
A2 n
... An1
... An 2
,
... ...
... Ann
(11)
где Aij - есть алгебраические дополнения элементов aij матрицы A . Отметим,
что если A - вырождена ( A 0 ), то обратной к ней не существует.
Пример 7. Найти матрицу А 1 , обратную к матрице A
1
2
1
1 0
3 4 .
2 2
Решение. Вычисляем det A 10 0 , значит A - не вырождена и А 1 существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A :
3 4
2 2
A11
( 1)1 1
A22
2 , A23
( 1)1
2 ; A12
3 , A31
Следовательно, A 1
4 , A32
2
8
7
1
10
2
2 4
1 2
8 ; A13
4 , A33
1.
2
2
3
4
4
1
( 1)1
0,2
0,8
0,7
2 3
1 2
3
0,2
0,2
0,3
7 , и т.д. A21
2,
0,4
0,4 .
0,1
Кроме методов Крамера и Гаусса решения систем линейных алгебраических
уравнений для квадратных систем вида
a11 x1
a12 x 2
... a1n x n
b1
a 21 x1
a 22 x 2
... a 2 n x n
b2
(12)
...............................................
a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nn x n bn
существует матричный способ решения, согласно которому систему удобно
a11 a12
a
a
представить в виде произведения матриц 21 22
... ...
a n1 a n 2
... a1n
... a 2 n
... ...
... a nn
x1
x2
b1
b2
xn
, т.е Ax b .
bn
Из последнего уравнения, умножением на обратную матрицу A обеих частей
равенства A 1 Ax A 1b , получим x A 1b , т.е.
1
x1
x2
xn
A11
1 A12
A ...
A1n
A21
A22
...
A2 n
8
... An1
... An 2
... ...
... Ann
b1
b2
bn
(13)
x1 x2
2 x1 3x2
x1 2 x2
Пример 8. Найти общее решение системы
1
4 x3
2 x3
2.
3
Решение. 1. Основная матрица системы имеет вид
A
1
2
1
1 0
3 4 , ее обратная A
2 2
1
0,2
0,8
0,7
0,2
0,2
0,3
0,4
0,4 вычислена в примере 7.
0,1
x1
2. Найдем общее решение по формуле (13) x2
x3
0,2
0,8
0,7
0,2
0,2
0,3
0,4 1
0,4 2
0,1 3
1
0 .
1
Ответ: x1 1, x2 0 , x3 1.
Замечание. Матричный способ удобно применять в тех случаях, когда нужно
решать одну и туже не вырожденную систему с разными правыми частями.
Определив один раз обратную матрицу для матрицы A , можно легко находить
соответствующие решения системы.
4. РАНГ МАТРИЦЫ. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Выделим в произвольной матрице (1) k произвольных столбцов и k произвольных строк, где k min n, m . Определитель k-ого порядка, составленный из элементов матрицы A , расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-ого порядка матрицы A .
Рангом матрицы A называется наибольший порядок минора, определитель которого отличен от нуля (таких определителей может быть несколько).
Базисным минором является всякий отличный от нуля ее минор, порядок которого равен рангу данной матрицы.
На практике для вычисления ранга матрицы удобно приводить ее к трапециевидной форме
~
A
a~11 a~12
0 a~22
... ...
0
0
0
0
0
0
0
0
a~13
a~23
...
0
0
0
0
...
...
...
...
...
...
...
a~1r
a~2 r
...
~
a rr
0
0
0
...
...
...
...
...
...
...
a~1n
a~2 n
...
~
a rn
0
0
0
(14)
с помощью элементарных преобразований, не изменяющих ранга матрицы, к
которым относятся:
1) умножение произвольного ряда матрицы на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одной строке (столбцу) матрицы другой строки (столбца),
умноженной на произвольное число;
3) перестановка местами двух параллельных строк (столбцов) матрицы;
9
4) вычеркивание из матрицы одной из одинаковых (или пропорциональных)
строк (столбцов);
5) вычеркивание нулевой строки (столбца).
Пример 9. Найти ранг матрицы A
1
1
2
3
2 3
1 4
1 7
3 10
4
4
и указать базисный минор.
4
8
Решение. Выполняя последовательно перечисленные ниже элементарные преобразования, получим
1
1
2
3
2 3
1
4
1 7
3 10
3
4
4
4
8
1
0
0
1
1
1
2
3
2 3
1 7
3 1
2 3
1
4
1 7
3 10
1
2
1
4
1
1
1
2
1
0
0
2
1
0
0
0
2
1
3
3
3
7
1
1
1
2
1
1
3
2 3 1
1 7 2 .
0 22 5
(1)– весь последний столбец умножен на 1 4 ;
(2) – ко второй строке прибавлена первая; к третьей строке прибавлена первая,
умноженная на (–2); к четвертой строке прибавлена первая, умноженная на (–3);
(3) – отброшена одна из равных строк;
(4) – к третьей строке прибавлена вторая, умноженная на 3.
Последняя матрица имеет трапециевидную форму и ранг ее равен 3 – количество ненулевых строк. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 3.
Рангообразующий минор находится в первых 3-х строках и столбцах, т.е.
М3
1
1
2
2 3
1 4
1 7
22
0 . Ответ: r ( A)
3 , минор М 3 является базисным.
Пусть дана система m уравнений с n неизвестными
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21x1 a22 x2 ... a2 n xn b2
,
(15)
.......... .......... .......... .......... ....
am1 x1 am 2 x2 ... am n xn bm
Напомним, что система называется совместной, если у нее существует, по
крайней мере, одно решение, в противном случае она называется несовместной.
Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система (15) была совместной,
необходимо и достаточно, чтобы
rang ( A) rang ( B) ,
(16)
10
где А - основная матрица, составленная из коэффициентов перед неизвестныa11
a
ми, а B = 21
...
a m1
a12
a 22
...
am2
... a1n b1
... a 2 n b2
... ... ...
... a m n bm
– расширенная матрица системы.
При решении системы (15) возможны два случая:
1) если rang ( A) rang ( B) , то система несовместна,
2) rang ( A) rang ( B) , то система совместна, причем при rang ( B) n система имеет
единственное решение (которое может быть определено методами Крамера,
Гаусса и обратной матрицы), а при rang ( B) n система имеет бесчисленное
множество решений и решить такую систему возможно только методом Гаусса.
Отметим, что определение совместности системы рекомендуется начинать с
вычисления ранга расширенной матрицы B , при вычислении которого нельзя
переставлять последний столбец. Ранг основной матрицы А определяется по
рангу полученной из B матрицы, у которой отбросили последний столбец.
Если система совместна и имеет бесконечное множество решений
rang ( B) r n , то без ущерба общности можно считать, что базисный минор
располагается в первых r строчках и столбцах расширенной матрицы B , тогда
отбросив последние (m r ) уравнений системы (15), записываем укороченную
систему:
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
.......................................... ,
ar1 x1 ar 2 x2 ... arn xn br
(17)
которая эквивалентна исходной.
Неизвестные x1 , x2 ,..., xr называются базисными, а xr 1 ,..., xn – свободными. Перенося слагаемые, содержащие свободные неизвестные, в правую часть уравнений
(17), получим систему относительно базисных неизвестных:
a11x1 a12 x2 ... a1r xr b1 a1r 1 xr 1 ... a1n xn
.................................................................... ,
ar1 x1 ar 2 x2 ... arr xr br arr 1 xr 1 ... arn xn
которая для каждого набора значений свободных переменных xr 1 с1 ,..., xn сn r
имеет единственное решение x1 (с1 ,...,cn r ) ,…, xr (с1 ,...,cn r ) . Итак, общее решение
системы (15) содержит (n r ) произвольных постоянных с1 , с2 ,...,cn r и имеет вид
11
x1 (с1 ,...,cn r )
x2 (с1 ,...,cn r )
.............
xr (с1 ,...,cn r ) ,
с1
.............
cn r
X (с1 ,...,cn r )
(18)
Пример 10. Установить совместность системы линейных уравнений
x1 3x2 5 x3 7 x4 9 x5 1
x1 2 x2 3x3 4 x4 5 x5
2 x1
2
x2 8 x3 3x4 14 x5
4
1
Решение. Выпишем расширенную матрицу B = 1
2
3 5
2 3
1 8
7 9 1
4 5 2 .
3 14 4
и вычислим её ранг:
1
B= 1
2
3 5
2 3
1 8
1
как M 3 = 0
0
7 9 1
1
4 5 2 ~ 0
3 14 4
0
3 1
5 1
0 1
5
3
5
5
5
2
2
7
11
11
0 , то rang (B)
3.
9 1
1
4 1 ~ 0
4 2
0
3
5
0
5
2
0
7
11
0
9 1
4 1 . Так
0 1
Очевидно rang ( A) 2 , так как при от-
брасывании последнего столбца третья строка будет нулевой. В силу теоремы
Кронекера-Капелли система несовместна.
Пример 11. Найти общее решение системы линейных уравнений
x1
x2 2 x3 3x4 1
x1 2 x2 3x3 4 x4
2 x1 x2
x3
x4
3
4
Решение. Выпишем матрицу B и вычислим её ранг.
1
B= 1
2
1
2
1
2
3
1
3 1
1
4 3 ~ 0
1 4
0
1
3
3
2
5
5
3 1
1
7 2 ~
0
7 2
1
3
2
5
3 1
.
7 2
Следовательно, rang ( B) rang ( A) 2 , а значит система совместна.
Поскольку rang ( B) rang ( A) r 2 4 n , то система имеет бесчисленное множество решений, выпишем из последней матрицы эквивалентную исходной систему
x1
x2
0 x1
3x2
2 x3
5 x3
12
3x 4
7 x4
1
2
.
Выберем переменные x3
вправо:
c1 и x4
x1
c2 в качестве свободных и перенесем их
x 2 1 2c1 3c 2
.
3 x 2 2 5c1 7c 2
Найдем из второго уравнения системы x2
x1
x2 1 2c1 3c2
2 5c1 7c2
, тогда из первого
3
5 c1 2c2
.
3
Соответствующее общее решение исходной системы имеет вид
X (с1 , c2 )
где c1 R , c2
5 c1 2c2
3
2 5c1 7c2
,
3
c1
c2
R . Укажем хотя бы одно решение из всего множества решений.
Например, при c1
c2
0 получаем решение X T
5
3
2
3
0 0
.
Важным частным случаем линейных систем являются однородные
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn 0
a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn 0
,
(19)
.......... .......... .......... .......... ....
am1 x1 am 2 x2 ... am n xn 0
где b1 b2 ... bm 0 . Она всегда совместна, так как основная матрица системы А отличается от расширенной B одним последним нулевым столбцом, который не изменяет на ранг матрицы, т.е. rang ( A) rang ( B) и, значит, всегда
имеет решение, по крайней мере – тривиальное решение X (0,0,..., 0) .
Для существования нетривиальных решений произвольной однородной системы (19) необходимо и достаточно, чтобы rang ( B) rang ( A) n .
Для существования нетривиального решения квадратной однородной системы
(19) необходимо и достаточно, чтобы A 0 , что тоже следует из условия
rang ( A) n .
Решением системы является упорядоченный набор чисел, который обращает в
тождество каждое уравнение системы, или просто вектор. Далее введем некоторые понятия векторной алгебры, которые легко описывают структуру решения системы.
Если записать однородную систему (19) в матричной форме Ax 0 (решениями которой являются векторы размерности n ), то в силу линейных свойств матрицы A сумма решений и решение, умноженное на константу, тоже будет ре-
13
шением этой системы. Так как среди всех решений есть тривиальное, то множество всех решений системы (19) будет подпространством R размерности
(20)
dim( R) n rangA
Полагая по очереди в формуле (18) одно из свободных неизвестных ck 0
(например, равное единице), а все остальные равные нулю, можно выбрать базис e1 , e2 ,..., en r в этом пространстве (его еще называют фундаментальной системой решений) и найти общее решение системы (19) по формуле
(21)
X oo c1e1 c2 e2 ... cn r en r ,
где c1 , c2 ,..., cn r R .
Пример 12. Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы
x1
x2 2 x3 3x4
0
x1 2 x2 3x3 4 x4
2 x1 3x2
x3
x4
0
0
Решение. Выпишем матрицу B и вычислим ранг этой матрицы.
1 1
B= 1 2
2 3
2
3
1
1 1
3 0
4 0 ~ 0 1
0 1
1 0
2
5
5
3 0
1 1
7 0 ~ 0 1
7 0
0 0
2
5
0
3 0
7 0 .
0 0
Очевидно, rang ( A) rang ( B) 2 , а значит система совместна. Поскольку
rang ( A) 2 4 n , то базис множества решений системы состоит из двух векторов, так как по формуле (20) dim( R) n rangA 4 2 2 .
Вычисление ранга расширенной матрицы по преобразованиям совпадает с решением системы методом Гаусса, тогда отбросив последнюю нулевую строку,
получим эквивалентную систему
x1
x2
x2
2 x3 3 x 4 0
5 x3 7 x 4 0
Выбрав неизвестные x3 , x 4 в качестве свободных, выразим базисные переменные x1 , x 2 через свободные:
x1
x2
x2
1)
полагая x3 1 , x4
2 x3 3 x 4
.
5 x3 7 x 4
0 , тогда система имеет вид
и x1 7 , что дает первый базисный вектор e1
14
7
5
;
1
0
x1
x2
x2
2
, откуда x2
5
5
2) полагая x3
x1
x1
0 , x4 1, тогда система имеет вид
x2
3
, откуда x2
x2 7
7 и
10
7
.
0
1
10 , что дает второй базисный вектор e2
По фундаментальной системе решений e1 , e2 найдем общее решение системы
по формуле (21)
X оо (с1 , c2 )
c1e1 c2 e2
c1
7
5
1
0
7c1 10c2
5c1 7c2
.
c1
c2
10
7
0
1
c2
Замечание. В случае бесчисленного множества решений есть важная связь
между решением неоднородной системы и соответствующей ей однородной системы. Если X чн какое-либо частное решение системы (15), а X oo общее решение системы (19), то общее решение неоднородной системы (15) определяется
формулой
X oн X oo X чн .
(22)
x1
x2 2 x3 3x4
5
Пример 13. Найти общее решение системы x1 2 x2 3x3 4 x4 5 .
2 x1 3x2
x3
x4 10
Решение. Заметив, что третье уравнение системы является суммой первых двух
уравнений и есть минор
M2
1 1
1 2
1 0,
можно сделать вывод, что
rang ( A) rang ( B) 2 4 и у данной системы будет бесчисленное множество
решений. Рассматриваемой системе соответствует однородная система, которая
решена в предыдущем примере 12: X оо c1
7
5
1
0
c2
10
7
.
0
1
Далее определим какое-либо неоднородное решение системы, опираясь на факт,
что базисными переменными будут x1 и x2 , а свободными x3 c1 и x4 c2 . Зададим свободным переменным значения x3 0 и x4 0 , тогда система примет
вид
15
x1 x2
5
x1 2 x2
5
2 x1 3x2 10
приведем
систему к
треугольному
виду
x1
x2
x2
0
x2
0
5
x1
5
x2
0
5
0
.
0
0
, тогда X чн
Итак, общее решение имеет вид
X oн
X oo
X чн
c1
7
5
1
0
c2
10
7
0
1
5
0
0
0
7c1 10c 2 5
5c1 7c 2
, c1 , c2
c1
c2
R.
5. СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Рассмотрим квадратную матрицу n -го порядка A aij , i, j 1,2,..., n и
n-
мерный вектор x ( x1 , x2 ,..., xn )T .
Если линейное преобразование (задаваемое матрицей A ) ненулевого вектора x ,
тождественно операции умножения вектора на некоторый скаляр , т.е.
(23)
Ax
x ( x 0 ),
то скаляр называется собственным значением указанной матрицы, а вектор x ,
соответствующий собственному значению , есть собственный вектор матрицы
A.
Для определения собственных значений запишем (23) в виде
( A E)x 0 ,
(24)
что дает однородную систему
(a11
) x1 a12 x2 ... a1n xn
a21x1 (a22
) x2 ... a2 n xn
0
0
...............................................
an1 x1 an 2 x2 ... (ann
) xn 0
.
(25)
Для того чтобы однородная система (25) имела отличное от нуля решение и,
следовательно, матрица A имела хотя бы один отличный от нуля собственный
вектор, необходимо, чтобы её основной определитель был равен нулю
a11
a 21
...
a n1
a12
a 22
...
an2
...
a1n
...
a2n
...
...
... a nn
0 (т.е. A
E
0 ).
(26)
Этот определитель называется характеристическим определителем матрицы A ,
а уравнение A E 0 именуется характеристическим (вековым) уравнением
той же матрицы. Определитель представляет собой многочлен n -ой степени
относительно .
Решив характеристическое уравнение (26), находим собственные значения
1 , 2 ,..., n , среди которых могут быть кратные корни. Далее для разных соб-
16
ственных чисел 1 , 2 ,..., k (с учетом кратности) составляются однородные системы (25) ( A i E ) x 0 , i 1,2,..., k (с нулевым определителем и бесчисленным множеством ненулевых решений), решая которые находят решения – соответствующие собственные векторы.
Укажем некоторые основные свойства собственных значений и собственных
векторов:
1. Собственный вектор матрицы определяется с точностью до постоянного
множителя (если ei собственный вектор собственного значения i для всех
i 1,2,..., k , то cei тоже собственный вектор с тем же собственным значением).
2. Собственный вектор имеет единственное собственное значение (обратное
утверждение не верно, у одного собственного значения может быть несколько
собственных векторов).
3. Собственные векторы матрицы, принадлежащие различным собственным
значениям, линейно независимы.
4. Симметрическая матрица (транспонирование которой ее не меняет) имеет
только действительные собственные значения.
5. Собственные векторы симметрической матрицы, принадлежащие различным
собственным значениям, ортогональны.
Пример 14. Найти собственные значения и собственные векторы квадратной
матрицы A
1 2
.
1 4
Решение. Решать будем пошагово.
1) Выпишем характеристическое уравнение матрицы.
1
2
2
A E
5
6 0.
1 4
У полученного квадратного уравнения корни 1 2 , 2 3 являются собственными значениями матрицы A .
2) Собственные векторы определяются из системы (25)
(1 ) x1 2 x2 0
.
x1 (4 ) x2 0
x1 2 x2 0
, которая экx1 2 x2 0
вивалентна одному уравнению с двумя неизвестными x1 2 x2 0 . Положив
2
.
x2 1, найдем из уравнения x1 2 , что дает собственный вектор e1
1
Для собственного значения
1
2 получим систему
17
Для собственного значения
2
2 x1 2 x2 0,
, которая эквиx1 x2 0.
3 получим систему
валентна одному уравнению с двумя неизвестными
0 . Положив
1
.
x2 1, найдем из уравнения x1 1 , что дает собственный вектор e2
1
Ответ: собственным значениям 1 2 и 2 3 соответствуют собственные векто-
ры e1
2
и e2
1
x1
x2
1
.
1
Замечание. Для матрицы второго порядка у системы уравнений (26) для нахождения собственных векторов эти уравнения будут пропорциональными.
Пример 15. Найти собственные значения и собственные векторы соответствующие симметрической квадратной матрице третьего порядка
0 0 1
0 1 0 .
1 0 0
A
Решение. 1) Характеристическое уравнение матрицы A имеет вид:
0
A
E
0
1
1
0
1
2
(1
) (1
)
(1
)(
1) 2
0.
0
Его корни 1
1 (простой), 2
1 (двукратный) являются собственными
3
значениями матрицы A .
2) Найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям.
Для собственного значения
лентна двум уравнениям
1
x1 x3 0,
1 получим систему 2 x2 0 , которая эквиваx1 x3 0.
x1 x3 0,
. Очевидно, переменная x2
2 x 2 0.
x3 1 , найдем из первого уравнения x1
e1
0 . Положив
1 , что дает собственный вектор
1
0 .
1
Для собственного значения
вивалентна двум уравнениям
2
3
1 получим систему
x1 x3 0
0 x2 0 , которая экx1 x3 0
x1 x3 0
. Очевидно, второе уравнение системы
0 x2 0
обращается в тождество при всех значениях x2 с2 . Положив x3 c1 , найдем из
18
первого уравнения x1
c1
c1 , что дает собственный вектор c 2 . Поскольку своc1
бодных переменных две, полагая c1 1, а c2
0 и c1 0 , а c2
1
0
0 и e3
1 .
1
0
ственных вектора, соответственно, e2
Ответ. Собственному значению
e1
1
0 , а векторы e2
1
чениям
2
3
1
0 и, e3
1
1
1 найдем два соб-
1 соответствует собственный вектор
0
1 соответствуют кратным собственным зна0
1.
6. ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Рассмотрим уравнение кривой второго порядка
a11x 2
2a12 xy a22 y 2
(27)
левая часть которой является квадратичной формой двух переменных. Если ввести симметрическую матрицу
a11 a12
,
(28)
A
a12 a22
и вектор X
b,
x
, то квадратичную форму можно задать с помощью скалярного
y
произведения AX X . Пусть найдены собственные значения 1 , 2 и соответствующие собственные векторы e1 , e2 . Выбрав новую систему OX и OY (она
задается собственными векторами e1 , e2 , выходящими из начала координат),
она тоже будет ортогональной, так как в силу свойств для собственных векторов
симметрической матрицы e1 e2 . Новая (штриховая) ортогональная система
координат геометрически представляет поворот осей вокруг точки начала
O(0;0) . В системе X OY
матрица (28) принимает диагональный вид A
1
0
0
2
,а
уравнение (27) превратится в уравнение
2
2
b.
(29)
1 x
2 y
Без ущерба общности можно считать b 0 (иначе умножим уравнение на (–1)).
Уравнение (29) представляет уравнение кривой второго порядка: при 1 2 0
(при 1 0 ) имеем уравнение эллипса; при 1 2 0 – гиперболы; при 1 2 0
19
(где 1
0 ) это уравнение задает параболу (при условии, что в уравнении
2
(29) содержатся линейные слагаемые).
Выписав характеристическое уравнение A E 0 для матрицы (28) с помощью теоремы Виета легко убедиться, что 1 2 A . Следовательно, получается
легко проверяемый критерий того, какую кривую задает квадратичная форма в
общем уравнении кривых второго порядка:
2
2
A
0 эллипс;
A
0 гипербола;
A
0 парабола.
(30)
Пример 16. Дано уравнение кривой второго порядка 5x 2 6 xy 5 y 2 8 , требуется
назвать кривую, привести ее уравнение к каноническому виду и построить эту
кривую на плоскости.
Решение. 1) По коэффициентам квадратичной формы, записанной в виде,
5x 2
2 3xy 5 y 2
8 , выпишем симметрическую матрицу A
5 3
. Вычислив
3 5
определитель матрицы A 25 9 16 0 , из классификации кривых (30) делаем вывод, что мы имеем кривую, которая является эллипсом.
2) Найдем собственные значения матрицы A : A
E
5
3
3
5
0 , то полу-
чим характеристическое уравнение 5
9 0 , отсюда 1 2 , 2 8 .
3) Определим собственные векторы для вычисленных собственных значений,
2
они определяются системой:
5
3x
При
5 2 x 3y 0
, которая эквивалентна одному урав3x 5 3 y 0
1
нению y
При
1
2 получим систему
x 3y
5
y
x . Положим x 1, тогда y
8 получим систему
0
.
0
1 и, значит, e1
5 8 x 3y
3x 5 8 y
1
.
1
0
, которая эквивалентна одному урав0
1
.
1
4) Уравнение эллипса в новой системе координат X OY , где её оси направлены
по собственным векторам e1 , e2 , найдем по формуле (29):
2( x ) 2 8( y ) 2 8 .
Разделив последнее уравнение на 8, приведем его к каноническому виду:
нению y
x . Положим x 1, тогда y 1 и, значит, e2
(x )2
4
( y )2
1
20
1.
1
и e2
1
5) Начертим по векторам e1
1
новые оси координат OX и OY .
1
Отложив по оси OX большую полуось a 2 , а по оси OY меньшую полуось
b 1, построим эллипс.
Замечание. Аналогичные преобразования можно проводить для уравнений поверхностей второго порядка. Матрица квадратичной формы в этом случае будет
квадратной матрицей 3-го порядка, а характеристическое уравнение будет кубическим уравнением. Корни кубического уравнения, в общем случае, уже то чно
найти не удается, поэтому, приходится прибегать к приближенным вычислениям.
7. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка:
x a11x a12 y
,
y a12 x a22 y
(31)
которая в матричной форме принимает вид X AX .
Если искать ее решение в виде X e t e , то после подстановки решения в систему и сокращения на e t получим матричное уравнение Ae
e . Вычислив собственные значения 1 и 2 (далее ограничимся случаем действительных и разных корней) и соответствующие собственные векторы e1 и e2 , можно построить
общее решение с двумя произвольными постоянными
X oo (t ) c1e t e1 c2 e t e2 .
(32)
Пример 17. Найти общее решение однородной системы линейных дифференци1
альных уравнений:
x
y
2x 7 y
.
x 4y
Решение.
21
2
2 7
, собственные значения которой найдем
1 4
Выпишем матрицу системы A
2
1
из характеристического уравнения (26)
Виета
( 2
1
3,
2
)x
7y
x (4
)y
7
4
2
2
15
0 . По теореме
5 . Определим собственные векторы из системы (25)
0
для нашей матрицы A .
0
Для 1
3 получим систему, которая эквивалентна одному уравнению
x 7 y 0 , тогда при y1 1 получим x1
7 и соответствующий собственный
вектор e1
7
.
1
Для
5 получим систему, которая эквивалентна одному уравнению
2
x y 0 , тогда при y2 1 получим x2 1 и соответствующий собственный
вектор e2
1
.
1
x(t )
y (t )
Согласно (32), получим X oo (t )
системы имеет вид
x(t )
y (t )
7c1e
c1e
3t
3t
c1e
c2 e 5 t
c2 e 5 t
3t
.
22
7
1
c 2 e 5t
1
, тогда общее решение
1
Характеристика задания
Предлагаемые варианты индивидуальны для каждого студента. Каждый
вариант состоит из 12 задач, которые необходимо выполнить четко, с кратким
описанием решения.
Первая задача: найти матрицу X из уравнения а A
X b B.
Вторая задача: вычислить произведение матриц.
Третья задача: даны два линейных преобразования, найти результирующее
преобразование.
Четвертая задача: найти матрицу линейного преобразования, заданного геометрически.
Пятая задача: найти собственные значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного матрицей A .
Шестая задача: найти решение системы линейных уравнений матричным способом.
Седьмая задача: найти ранг матрицы и указать какой-либо базисный минор.
Восьмая задача: исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их.
Девятая задача: найти фундаментальную систему решений и общее решение
однородной системы линейных уравнений.
Десятая задача: решить матричное уравнение.
Одиннадцатая задача: по уравнению кривой второго порядка определить ее
тип, привести это уравнение к каноническому виду и построить соответствующую кривую.
Двенадцатая задача: решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.
Варианты контрольных заданий
ВАРИАНТ №1
3
5
2
№1. A
2 4
1 0
1 7
2 3 2
5 3 1
1 0 2
,В
.
№2.
Найти матрицу X из уравнения
X 0,5В А .
№4. Найти на плоскости матрицу
линейного преобразования, задающую симметрию относительно оси
OX.
№7.
№10.
1
2
3
0
X
5
2
2
2
0
3
2
4
1 1
0 2
2 6
3 10
1
1
.
1
8
№5. А
№8.
.
1
1
0
1
№11.
1
2
0
3
0
3
3
0
2
0
0
1
3
1
6
1
1
1
1
3
7
0
1
2
6
2
1
4
5
0
1
4
3
1
0
.
1
3
2 x1 3x 2 x3 0
x 2y
1
x1 x 2 x3 1
,
.
3x y 4
4 x1 5 x 2 x3
1
5x 3 y 2
7 x1 3x 2 x3 3
5x2
4 xy 2 y 2
23
18 .
.
№3.
x
y
7x 2 y , x
4x 3y y
x
y
z
5x
x
6y
8y
.
6
№6. 2 x 3 y 4 z 21 .
7x
y 3z
6
№9.
x1 2 x3 x3 x4 3x5 0
.
3x1 x2 4 x3
x5 0
x1 3x2 6 x3 2 x4 5 x5 0
№12.
x x 4 y .
y 2 x 3 y
ВАРИАНТ № 2
3
2 4
,
5 1 0
2
1 7
Найти матрицу X из уравнения
2 A X 3 B.
№4. Написать матрицу линейного
преобразования, при котором по оси
ОX происходит растяжение в 5 раз, а
по оси ОY сжатие в 3 раза. Преобразование симметрично относительно
плоскости XОY.
1
1 2
3
0
№7. 2 0 6
1 2 .
3 0
4
4 2
1
2
8
2
2
№1.
8
1
0
A
№10.
2 1
1 2
1 2
1
3
,В
2
X
3
№2.
№5.
№8.
3
2
1
А
1 2
0 1
3 0
2
0
0
1
2
1
1
1
1
4
1
1
2
№3.
4
0 .
3
4
x
y
8x 6 y
x 6y
.
№6.
1
0
1
x 3y z
1
.
4 x 4 y 3z 3
3x 2 y 5 z 13
№9.
x1 x2
x3 x4 3
2x y 3
,
2 x1 x2 3x3 x4 0
x 3y 2
3x1 x2 x3 3x4
1
4x 5 y 7
6 x1 x2 3x3 3x4 7
4 x1 2 x2
x3 2 x4
x5
0
x1 2 x2
x3 2 x4
x5
0
2 x5
0
x2
№11. 5x2 4 10 xy 2 y 2 30 .
1 1
2 8
4x 2 y , x
x 3y y
x3
x
y
№12.
x4
.
5x 4 y
2 x 11 y
ВАРИАНТ №3
3
2
1
№1. A
4 5
3 4
5 6
1
2
1
,B
1 0
3 4
5 6
№2. 2 3
1 2
3
5
2
1
0
Найти матрицу X из уравнения
2X
В/3
вокруг оси ОX на угол
часовой стрелки.
1
2
1
6
1
1
1
3
2
0
0
4
3
1
3
8
30
1
5
2
3
0
против №5.
А
5 9
0 3
0 2
7
2
1
5x 4 y , x
4x y y
x 2y
x 3y
x2
.
№8.
1 1
1 2
2
x y 7
, x1 x 2
2x y 1
x 2y
6 2 x1 x 2
x3
x4
x3
x4
x2
2
№9.
4.
2 x1
x2
3x3
x4
2 x1
x2
2 x3
2 x4
x1
x2
4 x3
x4
3
0
№11. 4 x2 2 6 xy 3 y 2 24
5
x y z
8x 3 y 6 z
4 x y 3z
№6.
.
x1
№10. X
x
y
.
4А
№4. Написать матрицу поворота
№7.
№3.
2 4
.
1 0
1 7
№12.
x
y
1
.
2
3
2 x5
0
x5
0
x5
.
0
3x y
x 3y
ВАРИАНТ № 4
3
0
1
№1. A
4 1
2 5
2 3
1 1
2 9
7 5
,В
1
3
2
.
Найти матрицу X из уравнения
6 А 3X B .
№4. Написать на плоскости матрицу
симметрии относительно оси ОY.
№7.
№10.
1
2
3
4
1
0
1
1
1
1
1
2
1
3
4
3
2
3
X
1
1
2
3
4
1
1
2
№2.
2 0 0
0 2 0
0 0 3
№5.
№8.
.
№3.
А
5
0
0
1 0 0
0 2 0
0 0 3
1 1
3 2
2 1
4
1
№6.
.
№11. 4x 2 4 5xy 3 y 2 8
24
3x 4
4x 6 y
x 5y
.
x y z
2
.
4x 3y z 1
2x y z 1
№9.
x 2 3x 3 x 4 2
6x 3y 1
,
x
7
x4
1
5x y
3 1 x2
x
x
10
x
2
x
0
1
2
3
4
x 4y 4
2 x1 6 x 2 10 x 3
3x 2 y , x
y
2x 3y
x
y
1 0 0
.
0 1 0
0 0 2
3
x1
x2
x3
x4
2 x1
x2
x3
2x4
x5
0
x1
2x2
x3
x4
2 x5
0
№12.
x x 2 y
y 3x 6 y
x5
0
.
ВАРИАНТ № 5
1 1 0
В
2
3 4
A
1
5 6
Найти матрицу X из уравнения
2 A (1 / 4) X 2 B .
1 0 2
2 1 3
4 3 5
№1.
,
№2.
№4. Написать матрицу линейного
преобразования, при котором по оси
ОY происходит растяжение в 6 раз, а
по оси ОZ сжатие в 2 раза. Преобразование симметрично относительно
плоскости YОZ.
1
1
2
№7.
2
3
1
2
1
1
3 2
3 1
0 1
2
4
1
3
.
№5.
№8.
3
1
3
2
4
1
2
1
9 0
1 3
1 2
А
3x y
x y
5x y
0
4
2
3
2
1
4
0
0
2
1
1
3
,
3
1
2
2
1
2
X
2
4
0
2
№3.
1
1
1
2
.
3x1
x2
x1
x2
5x3
4x4
x2
15
x3
2x2
1
№9.
5
x4
6 x3
x4
2x 3y
11x 2 y
.
2 x 3 y 3z 4
.
x 3 y 3z 2
x
z 3
№6.
2 x1
x2
x3
x4
x5
0
1
x1
2x2
3x 3
2x4
x5
0
3
3x1
x2
x3
2 x5
0
№11. 6x2 2 5xy 2 y 2 21
1
1
2x 4 y , x
5x 6 y y
x
y
.
3x1
№10.
1
2
1
1
x
№12.
x4
5x y
3x 9 y
.
y
ВАРИАНТ №6
№1.
1 0
2 1
4 3
A
2
3
5
1
2
1
,В
1 0
3 4
5 6
.
Найти матрицу X из уравнения
4A X / 3 B .
№4. Написать матрицу поворота
вокруг оси ОY на угол
450 по
часовой стрелке.
№7.
№10.
1
2
4
1
4
1
5
1
1
2
3
3
1
2
1
X
3
1
0
1
1
№3.
1 0
2 1
4 0
№5.
.
2
1
№2.
№8.
3
1
16
А
0 0
3 4
5 6
1
1
1
0
0
3
3
1
8
2
4 5
3 2
0 0
.
.
2 21xy 2 y
2
x
y
x 12 y , x
x 14 y y
x1
№6.
x1 x 2 x 3
x 2y 7
, x1 2 x 2
3x y 2
2 x 2 x3
4x y 9
2 x1 x 2 x 3
№11. 6x
4
1
1
2
1
2
3
5
7
x4
5.
x4
0
x4
1
2 x3
5
4
2 x1
3x2
x3
3x1
4 x2
5 x3
.
2
№9.
3x1
x3 5 x 4 x5 0
.
2 x1 x 2 x3 x 4 x5 0
x1 x 2 x3 6 x 4 2 x5 0
x
№12.
9
2 x2
x 2y
2x 3y
y
x 6y
2x 9 y
ВАРИАНТ № 7
3
0
1
№1. A
4 1
2 5
2 3
,В
1 1
2 9
7 5
1
3
2
Найти матрицу X из уравнения
3A X / 2 B .
№4. Написать на плоскости матрицу
симметрии относительно оси ОX.
№7.
№10.
4
4
0
1
2
3
4
2
1
2
1
3
X
1
3
2
1
1
2
1
10 11
1 2
.
. №2.
№5.
№8.
1
4
3 2
1 0
3 2
1 0
5 6
6 0 3
9 1 7
5 0 4
А
2 1
1 2
.
№11. 5x
4 2 xy 3 y
25
3x 4 y , x
5x 6 y y
x
y
№6.
.
3x1
x4 0
2x 3 y 9
9 .
, x1 x2 x3
x 2y 1
2 x1 x2
x4 1
x 5y 8
2 x1 x2 x3 x4 1
2
№3.
2
14
5x
x
6y
8y
.
2x y z 5
.
x y 3z 2
3x 2 y 4 z
5
№9.
x1
x2
x1
2x2
x3
x4
2 x5
4 x1
2x2
x3
x4
x5
№12.
x 2x4
x 3 x 4 y
y 2 x y
x5
0
0
0
.
.
ВАРИАНТ № 8
№1.
3
5
2
A
2 4
1 0
1 7
,
1
2
2
В
0
4
3
2
6
5
.
2
6
4
3 9
11 10
Найти матрицу X из уравнения
0,5 X 2 В 3 А .
№4. Написать матрицу линейного
преобразования, при котором по оси
ОZ происходит растяжение в 7 раз, а
по оси ОX сжатие в 2 раза. Преобразование симметрично относительно
плоскости YОZ.
2 1
3 0
1 2
№7.
№10.
0
3
4
6
2
1 1
3 1
3 1
2
X
4
2
4
.
5
3
№2. 0
№5.
1 3 0
7 5 0
23 8 3
А
7 0 1 .
1 0 3
.
2 x1 2 x 2 x 3 x 4 1
3x y 1
, x1 x 2 x3 x 4 2
x y
8
4 x1
x 3 3x 4 10
2x 2 y 9
x1 2 x 2 2 x 3
4
№8.
№11. 5x2 4 6 xy 3 y 2 9
3
5
№3.
x
y
x 3y , x
8x 3 y y
6x y
2x 3y
№6.
2x 4 y z 4
.
3x 6 y 2 z 4
4 x y 3z 1
№9.
4 x1 2 x2
x1 2 x2
x2
x
y
№12.
x3
x4
x3
.
x5
0
x4 2 x5
0
x3 2 x4
x5
0
11x 4 y
2x 5 y
ВАРИАНТ №9
№1.
3
0
1
A
4 1
1 5
2 4
1
2
1
,В
1
1 3
9 3
1 3
Найти матрицу X из уравнения
4B X 9 A .
№4. Написать матрицу поворота
вокруг оси ОZ на угол
600 против
часовой стрелки.
№7.
№10.
0
1
6
4
1
2
5
1
3
5
9
1
X
1 2
3 4
1
1
1
1
5
3
.
1
1
№5.
№8.
А
№3.
4
0
3
4
. №2
2
6
2
12
5
1
1 4 2 .
2 3 0
5 0
3 0
2 2
18 x y , x
2x y y
2 x 2 2 x3 4 x 4 1
2x 7 y 0
, 3x1 x 2 x3 x 4 2
x 6y 1
x1 x 2 x 3 x 4
1
x y
1
2 x1 2 x 2 x 3 2 x 4 0
2x
4x
y
y
.
x 3 y 6 z 15
.
3x 2 y 5 z
8
2 x 5 y 3z 11
№6.
.
№11. 7 x2 6 2 xy 4 y 2 15
1
3
x
y
№9.
x1 2 x2 x3 x4 3x5
2 x1 x2 x3 2 x4 x5
x1 3x2 2 x3 x4 x5
0
.
0
0
x 6 x 2 y
y 3x y
№12.
ВАРИАНТ № 10
3
2
1
№1. A
4 5
3 4
5 6
1
2
1
,B
1 0
3 4
5 6
. №2. 2 3
Найти матрицу X из уравнения
3 X 4В 2 А .
№4. Написать на плоскости матрицу симметрии относительно биссектрисы второго и четвертого координатных углов.
№7.
№10.
1
6
1
6
1
3
1
3
2
6
0
4
1 1
X
1 2
3
8
3
8
1
6
2
3
.
1 3
4 2
№5.
№8.
1 2
1
0
1
0
0
7
1
2
1 2
2 1
3 0
15
2
3
7 3 .
1 0
№3.
x
y
17 x y , x
x 2y y
.
№6.
x1
2 x 3 3x 4 1
2x 3 y 1
x4 1 .
, x1 x 2
x y
1
2 x 2 x3 x 4
4
3x 2 y 0
2 x1 x 2 3x 3 3x 4 2
№9.
А
№11. 7 x2 4 10 xy 4 y 2 12
26
x1 4 x 2
№12.
.
x 2y z 2
.
2x 3y 2z 2
3x y z 8
3x 3
2 x1 3x 2
3x1
3x 2 y
7x y
x2
x4
x5
0
5 x 3 3x 4
x5
0
2 x3
x
y
x4
2 x5
9x y
3x 5 y
0
.
.
ВАРИАНТ № 11
1 1
1
2 9 3
7 5
2
Найти матрицу X из уравнения
4 A X / 3 2B .
№1.
3 4 1
0 2 5
1 2 3
A
,В
.
2 0 0
0 2 0
0 0 3
№2.
№4. Написать матрицу линейного
преобразования, при котором по оси №5.
ОX происходит растяжение в 3 раза,
а по оси ОY сжатие в 5 раз. Преобразование на оси ОZ точки оставляет
на месте.
№7.
1
2
3
4
5
0
1
1
1
1
1
2
№10.
1
1
3
2
4
3
3
4
4
5
3
X
1
№8.
.
1
2
3
5
2 0
12
5 0
30 19 4
А
№3.
3 2 .
4
x
y
5x 3 y
3x 4 y
.
№6.
.
3x 2 y 4 z 3
.
2x 3 y 2z 6
3x y z 4
№9.
x1
2 x 3 3x 4 2
x 3y 1
, x1 x 2
x4 0 .
2x y
1
2 x 2 x3 x 4 2
3x 2 y 0
2 x1 x 2 3x 3 3x 4 2
x1
2x2
3x 3
2 x1 3x 2
3x1
№11. 3x2 2 14 xy 8 y 2 10
1 3
2 1
x 2y , x
2x 7 y
y
x2
x5
0
x5
1
x5
2
2 x3
x
y
№12.
x4
2x4
.
9x 6 y
2x y
ВАРИАНТ №12
№1.
1 0
2 1
4 3
A
2
3
5
1 1 0
2 3 4
1 5 6
,В
.
Найти матрицу X из уравнения
A 2 X 3B 0.
№4. Написать матрицу поворота
вокруг оси ОX на угол
900 по
часовой стрелке.
№7.
1 3
1 2
3 1
1
1
1
6
1
4
5
2
1
.
№2.
№5.
5 9
0 3
1
0
0
А
1
2
1
7
2
6 12
1
3
9 7
№10.
X
2
1
4
3
№11.
3 1
1 2
3x
x
y
x2
x1
x2
2
x 18 y , x
x 2y y
x4
2 x3
x2
2 x3
5x 4
.
1
2
3x1
x1
2 x2
2 x2
4 x3
x3
2 x1 3x2
x4
x4
x3
x5
2 x5
2 x4
0
0
x5
.
0
x x 2 y
y 4 x 3 y
№12.
12
.
№9.
1
2
2x4
x 2y
3x y
4x 2 y z 1
.
x 2y z 1
y z
2
№6.
x1
12 xy 8 y
№3.
.
.
4 x1
2
5 8
0 3
0 2
2 x1 3x 2
6x 2 y
1
,
2x y 2
4x 3 y
3
№8.
1 0
3 4
5 6
ВАРИАНТ № 13
1 0
2 1
4 3
№1. A
2
3
5
,В
1 1 0
2 3 4
1 5 6
Найти матрицу X из уравнения
A X 4B .
№4. Написать в пространстве матрицу симметрии относительно оси
ОX.
№7.
№10.
1
2
3
1
0
3
4
1
6
1
3
3
9
2
2
X
4
1
0
1
1
.
2
1
№5.
№8.
1
3
1 0
2 1
4 0
№2.
3
1
0
3 1 0
1 2 0
0 1 2
2
3
5
1
1
1
0
0
3
2
3
1
.
№3.
x
y
.
№6.
x 2 2 x 3 3x 4 0
x 7y 1
1 .
, x1 x 2 3x 3
3x y 2
x1 x 2
x4 2
2x 8 y 1
2 x1 x 2 x 3 4 x 4 0
№9.
А
№11. 7 x2 2 6 xy 2 y 2 24 .
27
8x y , x
y
4x 3y
7 x1
2 x y 5z 4
.
5 x 2 y 13z 2
3x y 5 z 0
x2
3x 3
2 x1 3x 2
x1
№12.
2x 6 y
x 3y
x2
4 x3
x3
x5
x4
x4
x 5 x 2 y
y 4 x 11 y
2 x5
0
0
0
ВАРИАНТ № 14
1 1
1
2 9 3
7 5
2
Найти матрицу X из уравнения
5 A X / 2 4B .
№1.
3
0
1
A
4 1
2 5
2 3
№2.
,В
1 2
1 2 3
5 1
0 2 1
1 0
№4. Написать матрицу линейного
преобразования, при котором по оси №5.
ОY происходит растяжение в 4 раза,
а по оси ОZ сжатие в 6 раз. Преобразование на оси ОX точки оставляет
на месте.
0
4
3
2
№7.
1
2
2
8 .
3 3
1
4
1 3
10 11
2 4
1 2
№10. X
№8.
А
1
0
1
2 1
1 0
1 3
№3.
.
2 1
1 2
7x 2 y , x
y
4x 3y
x
y
x2
4 x 10 y 3
, x1
x y 1
x1
2 x 12 y 1
x1
x3
3x 4
3
x2
x4
1
x2
4x4
2
2x2
x3
7x4
№11. 7 x2 4 6 xy 2 y 2 10 .
4
.
2 x 4 y 3z 5
.
3x 2 y 5 z 16
x 3y z
1
№6.
.
2x 4 y
x y
№9.
4 x 2 5 x3 x 4 x5 0
.
x1 7 x 2
3x 4 x 5 0
x1 x 2 x3 3x 4 2 x5 0
x
№12.
x 3y
2x 6 y
y
ВАРИАНТ №15
№1.
3
5
2
A
2 4
1 0
1 7
,
1
2
2
В
0 2
4 6
3 5
. №2.
Найти матрицу X из уравнения
2 A 0,5B 4 X .
№4. Написать матрицу поворота
вокруг оси ОY на угол
тив часовой стрелки.
№7.
0
1
1
2
№10.
3
1
2
5
0
3
3
2
5
1
2
X
4
1
3
4
5
1200 про2
1
1
4
№5.
1
1
0
1
А
1
2
0
3
0
3
3
0
5
7
0
1
3
1
6
4
0
3
1
3 12
1
6
0
3
1
2
0
1
2
1
5
2
№3.
3x 5 y , x
6x 7 y y
x
y
2 x1 x 2
x4 2
3x y 9
,
x 2 2 x3 x 4 0
x 2y 1
2 x1 2 x 2 3x 3
2
2x 3y 8
2 x1 3x 2 5 x 3 x 4 1
№8.
2
4
№11. 9x2 4 2 xy 2 y 2 20 .
3x 2 y
2x y
.
y 3z
3
.
x 2y z 8
7x 4 y 2z 1
№6.
.
.
2
3
.
№9.
x1 2 x3 3x3 x 4 x5 0
.
2 x1 3x 2 3x3
x5 0
x1 x 2 3x3 x 4 2 x5 0
x 5 x 3 y .
y x 9 y
№12.
ВАРИАНТ №16
№1. A
3 4 1
0 1 5
1 2 4
,В
1
2
1
1 3
9 3
1 3
.
Найти матрицу X из уравнения
3 X 0.5 A 5B .
№4. Написать в пространстве матрицу симметрии относительно оси
ОY.
№7.
№10.
1
4
5
2
1
2
5
2
1 0
2 1
3 1
1
X
1
1
1
4
.
1 1
2 5
№2.
№5.
№8.
3
2
1
А
1 2
0 1
3 0
1
0
0
1
1
4
2 12
4 3
5 6
4
3
2
1
.
.
3x1 2 x2 3x3
3
x 3y 3
2 x1
x3 x4 2
,
3x 2 y
1
5 x1 2 x2 4 x3 x4 5
2x 5 y
4
3x1 2 x2 3x3
3
№11. 9 x2 2 30 xy 2 y 2 12 .
28
№3.
x
y
3x 6 y , x
6x 7 y y
8x
2x
y
y
5x 8 y z 1
.
2x 3y 2z 5
x 2 y 3z 7
№6.
№9.
x1
x2
x3
x4
2 x5
0
4 x 2 3x 3
x4
x5
0
x3
x4
x5
0
3x1
№12.
x x 2 y .
y 6 x 9 y
.
ВАРИАНТ №17
3 4 5
1 1 0
,
2
3 4 B 2
3 4
1
5 6
1
5 6
Найти матрицу X из уравнения
6В X 4 А .
№1. A
7
4
3
. №2.
№4. Написать матрицу линейного
преобразования, при котором по оси №5.
ОZ происходит растяжение в 2 раза,
а по оси ОX сжатие в 7 раз. Преобразование на оси ОY точки оставляет
на месте.
1
5
4
6
1
2
3
3
2
3
1
4
№10. X
5
2
1
1
№7.
3
2
1
8
1
2
1
3
.
№8.
4
7
3
А
0 5
2 9
0 6
2 4 5
1 0 3
1 7 1
2
№3.
.
x
y
3x 3 y , x 6 x
x 2y
y
x
2 10 xy 3 y
4 x4
3
2 x4
1
2 x4
3
6 x4 1
.
№9.
2 x 2 3x 3
x1
x2
2 x3
x1 3x 2
№12.
16 .
2
7y
y
3x 4 y 2 z 8
.
2 x 4 y 3z
1
x 5y z 0
№ 6.
.
2 x2 3x3
2x 3y
1
, 2 x1
x3
x y 4
2 x1 2 x2 4 x3
3x 2 y 3
2 x1 2 x2 2 x3
№11. 6x
1 1
2 5
3
5
2
1 10
3
1
1 1
x4
x5
x4
2 x5
0
0
5x 4
x5
0
.
x 3x 2 y .
y 4 x y
ВАРИАНТ №18
№1.
3
2
1
A
4 5
3 4
5 6
,
1
1
2
B
1 0
3 1
3 2
Найти матрицу X из уравнения
3В X 2 А .
№4. Написать в пространстве матрицу симметрии относительно оси
ОZ.
№7.
1 2
1 4
0 4
1 13
2
1
0
1
1
2
3
X
1
№10.
1
0
0
1
5
3
0
1
.
. №2.
№5.
№8.
3
5
6
2
3
1
4
5 0 21
21 2 16
1 0 1
А
5
2
2
1 4
3 0
№3.
.
x
y
3x 5 y , x
6x 7 y y
4 7 xy 3 y
2
x3
2 x3
x3
x4
0
x4
1
x4
2
2x4
3
.
№9.
4 x1 4 x 2
x3
x1
x3
x2
3x 5
3x1 2 x 2
№12.
10 .
9x 2 y
2x y
2x y
1
.
x 2y z
2
y z 5
№6.
.
x1 4 x 2
3x 4 y 1
,
x2
x y 3
x1 2 x 2
5x 2 y 7
x1 5 x 2
№11. 6x
2 1
1 3
1
6
8
2x4
0
x5
0
2 x5
0
x 11x 2 y .
y 4 x 5 y
ВАРИАНТ №19
1 0
2 1
4 3
№1. A
2
3
5
1
2
1
,В
1 0
3 4
5 6
1
2
1
. №2.
1 0
3 4
5 6
1 0
2 1
4 3
2 2
3 1
5 -1
№3.
.
x
y
x 2y , x
4x 3y y
5x
3x
4y
2y
Найти матрицу X из уравнения
A X 3B 0 .
№4. Написать матрицу поворота
вокруг оси ОZ на угол
часовой стрелке.
№7.
№10.
1
1
1
0
4
2
0
6
X
1 2
5 4
3
1
1
6
1
1
1
0
150 по
0
.
2 2
3 4
№5.
№8.
5
0
0
А
9
5
3
7
7
1
x1 x 2 x 3 2 x 4
x y 0
, 2 x1 3x 2 x3 x 4
x 3y 2
4 x1 4 x 2
x4
3x y 2
2 x1 x 2 x 3 2 x 4
№11. 4x
2
4 3xy 5 y
29
2
2x 3 y z 0
.
3x 4 y 3z
5
x y z
2
№6.
.
40 .
0
1
1
1
№9.
3x1 2 x 2
x1
x2
5x 2
№12.
x
y
x3
x5
0
x3
x5
0
3x 5
0
x4
6x 3y .
2x y
.
.
.
ВАРИАНТ № 20
1 1 0
2
3 4
A
1
5 6
Найти матрицу X из уравнения
4 A X / 2 2B .
1 0
2 1
4 3
№1.
2
3
5
,В
. №2.
№4. Написать матрицу линейного
преобразования, при котором по оси
ОY происходит растяжение в 9 раз, по
оси ОX сжатие в 2 раза, а по оси ОZ
растяжение в 2 раза.
1
2
4
№7.
№10.
3
3
1
2
1
1 1
0 5
6 1
4
X
1
.
№5.
1
5
5
16
1
3
1
11
А
3 11
0 5
0 1
№8.
0 2
1 1
1
1
,В
1 1
2 9
7 5
7
11
5
22
1
1
4 4
4
3
15 14
7
4
1
2
0
4
2
3
3
3
9
4
4
0
8
x
y
x 5y , x
x 7y y
.
№6.
x1 x 2 x 3 2 x 4 0
3x y 3
,
2 x1 3x 2 x 3 x 4 2
x y 0
3x1 4 x 2
x4 1
4x 2 y 3
x1 2 x 2
3x 4 1
№9.
№11. 4 x2 2 30 xy 5 y 2 10 .
.
№3.
x 2y
12 x y
.
x 2y z 8
.
2 x 3 y 3z
5
3x 4 y 5 z 10
x1 2 x 2 3x3 x 4 x5 0
.
2 x1 x 2 3x3
x5 0
x1 x 2 3x3 x 4 2 x5 0
x 9 x 3 y .
y x 5 y
№12.
ВАРИАНТ № 21
№1.
3
0
1
A
4 1
2 5
2 3
1
3
2
. №2.
Найти матрицу X из уравнения
B X / 2 3A.
№4. Написать матрицу поворота вокруг прямой x y z на угол
1200
против часовой стрелки.
№7.
№10.
4
1
1
1
X
1
0
2
3
2
1
4
4
10 11
1 2
0
2
3
7
.
№5.
№8.
4
2
3
1
2 1
1 2
А
1 16
1
1
1 3
№3.
.
x
y
2x
2
4 xy 5 y
x 2y
2x y
.
2x
y z 0
.
3 y 4z
6
x
z 1
№9.
2 x1
2 x5
0
x1
2x2
x3
x4
x5
0
3x1
2 x3
x4
x5
0
x3
.
x 9 x 2 y .
y 6 x y
№12.
18 .
2
9x 8 y , x
7x 6 y y
№6.
.
x 2 x3 x 4
1
5x 3 y 7
, 2 x1
3x 3 x 4 2
x y 6
x1 x 2
x4
3
4x 4 y 1
3x1 x 2 3x 3 2 x 4
2
№11.
.
1
0
0
3 2
1 0
5 6
2 1 0
3 4 5
ВАРИАНТ № 22
3
5
2
№1. A
2 4
1 0
1 7
1
2
2
,В
0
4
3
2
6
5
Найти матрицу X из уравнения
4X В / 2 A/ 4.
№4. Написать матрицу гомотетии в
пространстве с коэффициентом подобия k 3 .
№7.
2 1
3 0
1 1
4
6
2
1 1
3 1
2 2
.
. №2.
№5.
№8.
5
3
А
2
6
0 4
3 9
11 10
7 0 1
1 0 3
4
7
3
0 5
2 9
0 6
№3.
.
x
y
№6.
.
x1 2 x 2
x y 4
,
2 x y 8 2 x1
x 2 y 4 x1 2 x 2
x y , x 5 x 11 y
2x 3y
y 2x y
3x 3
x3
x4
2 x3
x4
3
№9.
2
x1
2
x1
2x y
x 2y z
y z
1
.
2
2
x3
x4
x5
2x4
3x 5
x2
2x2
№10.
X
1
3
2
2
0
3
2
4
№11. 2 x 2 4 10 xy 5 y 2 30 .
30
№12.
x3
x
y
x4
x5
5x 2 y .
2x 2 y
0
0
0
.
.
ВАРИАНТ № 23
1
1 3
2 9 3
A
1
1 3
Найти матрицу X из уравнения
2 A 3 X 4B .
3
0
1
№1.
4 1
1 5
2 4
. №2.
,В
№4. Написать матрицу симметрии в
№5.
пространстве относительно начала
координат.
№7.
1 4 2
1 8 2
2 7 1
№10.
X
0
1
4
2
3
1
2
1
1
1 4 2
2 3 0
1 8 23
0 5 7
0 3 1
А
4
0
3
4
№3.
.
x
y
2
4
№11. 3x
.
x 12 y
x 5y
.
2x 3y z 4
.
x 2 y 2z 5
3x 4 y 5 z 2
№9.
3x1 x 2
7x y 1
, x
3x y 3
1
4x 2 y
2 2 x1 x 2
0
3
x 15 y , x
x 7y
y
№6.
.
№8.
.
2
4
5
1
2
5
x1
5x2
x3
2x4
2
2 x1
4x2
3x3
2x4
x5
0
2x4
2
3x1
4x2
2 x3
x4
2 x5
0
x3
x3
2 6 xy 4 y
2
№12.
24 .
x
y
x4
x5
0
.
3x 6 y .
6x 8 y
ВАРИАНТ № 24
№1.
3
2
1
A
4 5
3 4
5 6
,
B
1
2
1
1 0
3 4
5 6
Найти матрицу X из уравнения
5B 2 A 3 X .
№4. Написать матрицу результирующего преобразования на плоскости,
состоящего из поворота на угол
4 и растяжения в 2 раза по
любому лучу, выходящему из начала
координат.
№7.
№10.
0
3
1
2
1
0
2
3
1
4
4
7
2
2
0
4
1 2
X
3 4
5
2
0
7
4
2
1 2
2 1
3 0
. №2.
№5.
№8.
.
7 3
1 0
1 0 0
2 4 5
12 3 6
А
2 3
1 2
1
0
№3.
.
x
y
8x 4 y , x
3x 5 y
y
x1
x3 x4 2
2x y 1
,
.
x y 0
x1 2 x2
5 x4 1
3x y 4
2 x2 x3 4 x4 0
№11. 3x
3
1
4 5xy
4y
2
4 x1
x 3 3x 4
2 x5
3x1
x3
x5
№12.
8.
.
№9.
2 x1 2 x 2
2
2y
y
4 x 2 y z 12
.
x 2y z 7
y z
1
№6.
.
3x
x
x
y
x4
2x4
0
0
2 x5
.
0
2x 2 y .
2x 5 y
ВАРИАНТ № 25
3
0
1
№1. A
4 1
2 5
2 3
1 1
2 9
7 5
,В
Найти матрицу X из уравнения
2 X A 5B .
№4. Написать матрицу поворота
вокруг прямой x y z на угол
1
3
2
.
№2.
№5.
1200 по часовой стрелке.
№7.
№10.
1
0
0
2
3
1
2
5
X
7 3
2 1
5
1
2
1
8
2
4
4
5 2
2 1
.
№8.
2
1
0
1
А
1
3
0
4
3
2
0
8
9
0
0
1
6
2
6
2 15
1
7
0
4
1
0
0
4
2
2
0
3
3
1
3
3
0
6
2
0
.
.
3x1
3x 3 x 4 3
2x y 7
, 3x1 x 2 2 x3 2 x 4 3
x 3y 1
4 x 2 2 x 3 3x 4 0
x 2y 6
6 x1 x 2 x 3 x 4 1
№11. 2x 2 2 5xy 6 y 2 21 .
31
№3.
x
y
3x 2 y , x
x 11y y
№6.
№9.
.
2x y
1
.
x
z
3
3x y 2 z
1
x1
x2
x2
2 x1
№12.
12 x y
2x 3y
x4
2 x5
0
x3
x4
4 x5
0
x3
x4
2 x5
0
x 8 x 6 y .
y 6 x 3 y
.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Алейников, С.М. Линейная алгебра [текст]: учеб.-метод. пособие: учебное пособие / С.М.
Алейников, В.К. Евченко; Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т. Воронеж, 2009. – 183 с.
2. Беклемишев, Д.И. Дополнительные главы линейной алгебры [текст]: учеб. пособие / Д.И.
Беклемишев, 2-е изд., перераб. и доп. – СПб; М.; Краснодар, Лань, 2008. – 490 с.
3. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры /Д.В. Беклемишев.
– М.: Физматлит, 2008. – 307 с.
4. Виленкин, И.В. Высшая математика. Лин. алгебра. Аналит. геометрия. Дифф. и интегр.
исчисления [текст] / И.В. Виленкин, В.М. Гробер, 6-е изд. – Ростов н/д: Феникс, 2001. – 414 с.
5. Воеводин, В.В. Линейная алгебра [текст]: учеб. пособие / В.В. Воеводин, 4-е изд., – СПб;
М.; Краснодар, Лань, 2008. – 400 с.
6. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я.
Кожевникова, Ч. 1. – М.: Оникс, 2009. – 386 с.
7. Кострикин, А.И. Линейная алгебра и геометрия [текст]: учеб. пособие / А.И. Кострикин. 3-е изд. – СПб; М.; Краснодар: Лань, 2005. – 302 с.
8. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов . Ч.2. / Н.С.
Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2009. – 544 с.
9. Седаев, А.А. Методы линейной алгебры и элементы конечн. функц. анализа [текст]: учеб.
пособие / А.А. Седаев, Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т. –Воронеж, 2005. – 125 с.
10. Шевцов, Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные: учеб. пособие / Г.С. Швецов. – М.:
Финансы и статистика, 2003. – 575 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………….....................................................................................
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА ЗАДАНИЯ
1. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ………………………………………………………
2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И МАТРИЦЫ….………………………………
3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
МАТРИЧНЫМ СПОСОБОМ……………............................................................................
4. РАНГ МАТРИЦЫ. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ…………..
5. СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ КВАДРАТНОЙ
МАТРЦЫ.................................................................................................................................
6. ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ……
7. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ…………………………....
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ….. …...……..……………………………….
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………………………………………………...
3
4
5
8
9
16
19
21
23
32
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Методические указания и контрольные задания
по курсу высшей математики.
Составители: Людмила Васильевна Акчурина
Анатолий Борисович Кущев
Подписано в печать 06.10. 2014. Формат 60/84 1/16 Уч.-изд.л.2,0. Усл.-печ. л. 2,1.
Бумага писчая. Тираж 200 экз. Заказ №
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства учебной литературы
и учебно-методических пособий Воронежского ГАСУ
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
32
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
1 561 Кб
Теги
линейная, алгебра, 522
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа