close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

599.Математика. Пособие для подготовки к ЕГЭ

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»
МАТЕМАТИКА
Пособие для подготовки к ЕГЭ
В 2 частях
Часть 1
Учебное пособие
Составители
В.Н. КОЛПАЧЕВ, М.Ю. ГЛАЗКОВА, Т.Г. СВЯТСКАЯ
Воронеж 2013
1
УДК 372.8.51
ББК 74.262.21
М34
Составители
Колпачев В.Н., М.Ю. Глазкова, Т.Г. Святская .
Рецензенты:
кафедра математического анализа
Воронежского государственного университета;
С.А. Телкова, к.п.н., доцент кафедры высшей математики ВИ МВД РФ
Математика. Пособие для подготовки к ЕГЭ: учеб. пособие : в 2 ч. /
сост. Колпачев В.Н., М.Ю. Глазкова, Т.Г. Святская ; Воронежский
М34
ГАСУ. Воронеж, 2013. 95 с.
ISBN 978-5-89040- 442-8
Пособие разработано для выпускников средних школ и абитуриентов как
вспомогательный материал для подготовки к единому государственному
экзамену. К каждому рассматриваемому разделу приводится необходимый
теоретический материал, разобраны решения типовых задач и даны задачи для
самоконтроля.
Пособие может быть использовано учителями для подготовки учащихся к
экзамену по математике в форме ЕГЭ, а также старшеклассниками и
абитуриентами для самоподготовки и самоконтроля.
Библиограф.: 7 назв.
УДК 372.8.51
ББК 74.262.21
Печатается по решению научно-методического совета Воронежского ГАСУ
© Колпачев В.Н., Глазкова М.Ю.,
Святская Т.Г., составление, 2013
© Воронежский ГАСУ, 2013
ISBN 978-5-89040- 442-8 (ч. 1)
ISBN 978-5-89040-443-5
2
ВВЕДЕНИЕ
Пособие предназначено для слушателей подготовительных курсов Воронежского
ГАСУ. Пособие состоит из двух частей.
Часть I включает семь разделов и приложение. Разделы посвящены таким темам, как
рациональные уравнения; уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля;
иррациональные уравнения; системы алгебраических уравнений; рациональные неравенства;
неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля; иррациональные неравенства,
текстовые задачи, прогрессии, преобразование тригонометрических выражени й,
тригонометрические уравнения и неравенства.
В каждом из этих разделов рассматриваются решения типичных примеров с кратким
теоретическим обоснованием, а также примеры, которые решаются нестандартно, т.е., когда
надо придумать «свой метод», применить искусственный прием. В конце каждого раздела
даются задания для самостоятельного решения.
В приложении представлены варианты экзаменационных работ по математике во
ВГАСУ для различных специальностей.
Основной литературой для подготовки к вступительным экзаменам являются
учебники и учебные пособия средней школы. В качестве дополнительной литературы можно
рекомендовать пособия и задачники, представленные в библиографическом списке.
3
1. ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ
1.1.Основные математические понятия и факты
·Арифметика, алгебра и начала анализа
1. Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Общий
наибольший делитель. Общее наименьшее кратное.
2. Признаки делимости на 2,3,5,9,10.
3. Целые числа (Z). Рациональные числа (Q), их сложение, вычитание, умножение и
деление. Сравнение рациональных чисел.
4. Действительные числа (R), их представление в виде десятичных дробей.
5. Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический
смысл.
6. Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы сокращенного умножения.
7. Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень
8. Логарифмы, их свойства.
9. Одночлен и многочлен.
10. Многочлен с одной переменной.
11. Понятие функции. Способы задания функции. Область определения, множество значений
функции.
12. График функции. Возрастание и убывание функции, периодичность, нечетность.
13. Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке. Понятие
экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма).
Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на
промежутке.
14. Определение и основные свойства функций линейной, квадратичной у=ах 2 +bх+с,
степенной у=ах n (n N), у=k/х, показательной у=ах, а 0, логарифмической,
тригонометрической функции (у=sin x; y=cos x; y=tg x), арифметического корня у= х.
15. Уравнение. Корни уравнения. Понятия о равносильных уравнениях.
16. Неравенства. Решения неравенств. Понятие о равносильных неравенствах.
17. Система уравнений и неравенств. Решения системы.
18. Арифметическая и геометрическая прогрессия. Формула n-го члена и суммы первых n
членов арифметической прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n членов
геометрической прогрессии.
19. Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы).
20. Преобразование в произведение сумм sin
sin ; cos cos .
21. Определение производной. Ее физический и геометрический смысл.
22. Производные функции у= sin х; у= cos х; у=tg х; у= х n (n Z); у=ах.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
·Геометрия
Прямая, луч, отрезок, ломаная, длина отрезка. Угол, величина угла. Вертикальные и
смежные углы. Окружность, круг. Параллельные прямые.
Примеры преобразования фигур, виды симметрии. Преобразование подобия и его
свойства.
Векторы. Операции над векторами.
Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.
Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольника. Соотношения
между сторонами и углами прямоугольного треугольника
Четырехугольник, параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.
Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус. Касательная к окружности. Дуга
окружности. Сектор.
4
8. Центральные и вписанные углы.
9. Формулы площади треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата,
трапеции.
10. Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла. Площадь круга и
площадь сектора.
11. Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур.
12. Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости.
13. Параллельность прямой и плоскости.
14. Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.
15. Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла. Перпендикулярность двух
плоскостей.
16. Многогранники. Их вершины, ребра, грани. Диагонали. Прямая и наклонная призмы,
пирамиды. Правильная призма и правильная пирамида. Параллелепипеды, их виды.
17. Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус сферы и шара.
Плоскость, касательная к сфере.
18. Формула объема параллелепипеда.
19. Формулы площади поверхности и объема призмы.
20. Формулы площади поверхности и объема пирамиды.
21. Формулы площади поверхности и объема цилиндра.
22. Формулы площади поверхности и объема конуса.
23. Формулы объема шара.
24. Формулы площади сферы.
1.2.Основные формулы и теоремы
Алгебра и начала анализа
1. Свойства функции у=ах+b и ее график.
2. Свойства функции у=k/х и ее график.
3. Свойства функции у=ах 2 +bх+с и ее график.
4. Формула корней квадратного уравнения.
5. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
6. Свойства числовых неравенств.
7. Логарифмы произведения, степени, частного.
8. Определение и свойства функции у= sin х и у= cos х и их графики.
9. Определение и свойства функции у= tg х и ее график.
10. Решение уравнений вида sin х = а, cos х = а, tg х = а.
11. Формулы приведения.
12. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
13. Тригонометрические функции двойного аргумента.
14. Производная суммы двух функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Геометрия
Свойства равнобедренного треугольника.
Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка.
Признаки параллельности прямых.
Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника.
Признаки параллелограмма.
Окружность, описанная около треугольника.
Окружность, вписанная в треугольник.
Касательная к окружности и ее свойство.
Измерение угла, вписанного в окружность.
5
10. Признаки подобия треугольников.
11. Теорема Пифагора.
12. Формулы площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.
13. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение окружности.
14. Признак параллельности прямой и плоскости.
15. Признак параллельности плоскостей.
16. Теорема о перпендикулярности прямой и плоскости.
17. Перпендикулярность двух плоскостей.
18. Теоремы о параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
19. Теорема о трех перпендикулярах.
6
2.ЗАДАЧИ С ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ
2.1. Задачи с целыми числами. Признаки делимости
Пример 2.1. Найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел
3780 и 7056.
Наибольшим общим делителем (Н.О.Д.) нескольких чисел называется наибольшее
натуральное число, на которое делятся все эти числа.
Для нахождения Н.О.Д. данных чисел разложим их на простые множители:
3780 2
7056 2
1890 2
3528 2
945 3
1764 2
315 3
882 2
105 3
441 3
35 5
147 3
7 7
49 7
1
7
1
Следовательно, 3780=22.33.5.7, 7056=24.32.72 ; выпишем общие множители этих чисел и
перемножим их, таким образом, Н.О.Д. (3780, 7056)= 2 2.32.7=252.
Наименьшим общим кратным (Н.О.К.) нескольких чисел называется наименьшее
натуральное число, которое делится на все данные числа.
Для нахождения Н.О.К. воспользуемся разложением данных чисел на простые
множители, затем выпишем все множители из наибольшего числа и к ним допишем
недостающие множители из разложения второго числа, получим:
Н.О.К. (3780, 7056) = 24.32.72.3.5 = 105840.
2.2.Действительные числа
Пример 2.2. Выполнить действия:
1
) : 0,25
3
0,12(3) : 0,0925
(0, (6)
12,5 0,64.
Чисто периодическая десятичная дробь обращается в обыкновенную по формуле
а1 а 2 ...а n
0, (а1 а 2 ...а n )
, а смешанная бесконечная периодическая десятичная дробь – по
99
...
9

n раз
формуле
0, а1 а 2 ...а n (b1b2 ...bm )
а1 а 2 ...а n b1b2 ...bm a1 a 2 ...a n
.
99
...
9
00
...
0
 
m
Таким образом, 0, (6)
6
9
2
123 12
; 0,12(3)
3
900
7
111
900
n
37
,
300
отсюда следует
2 1
) : 0,25
3 3
12,5 0,64
37 10000
300 925
25
(
4
4
3
8 11.
Ответ: 11
1 17
1
(1 : (
0,6 0,005)) 1,7 4,75 7
5 40
2 : 0,25.
Пример 2.3. Вычислить
5
1
23
5
1
1
33 : 4
6
3
30
7
1)17/40+0,6-0,005=0,425+0,600-0,005=1,020=1,02. Здесь удобнее 17/40 записать в виде
десятичной дроби: 17/40=17.25/40.25=0,425.
1
2) 1 : 1,02. В случае деления чаще переходят к обыкновенным дробям; имеем
5
1
6 102 6 100 20
1 :1,02
:
.
5
5 100 5 102 17
20
20 17
3)
1,7
2.
17
17 10
5
1
23 5 4 53 25 40 53 12 2
4)
1
1
.
6
3
30 6 3 30
30
30 5
2 2 5
5) 2 :
5.
5
2
1
6) 4,75 7
4,75 7,5 12,25.
2
5 33 33 33 7
7) 33 : 4
:
7.
7 1 7 1 33
1
49 1 7
8) 12,25 : 7 12 : 7
1,75.
4
4 7 4
9)1,75:0,25=175:25=7.
10)5+7=12.
Ответ: 12.
2.3.Процент числа. Основные задачи на проценты
Процентом числа (величины) называется сотая часть данного числа (величины), 1% =
0,01.
Обычно рассматривают три основные задачи на проценты.
Первая задача. Нахождение процентного отношения двух чисел.
Чтобы найти процентное отношение числа b к числу а, достаточно найти их
отношение и умножить последнее на 100, т.е. р%=b/а.100%, где р – искомое процентное
отношение.
Вторая задача. Нахождение процентов данного числа.
Чтобы найти р% данного числа а, достаточно это число разделить на 100 и умножить
на число процентов, т.е. b = ар/100, где b – число, равное р% числа а.
Третья задача. Нахождение числа по данному количеству его процентов.
Чтобы найти неизвестное число а, р% которого составляют данное число b,
достаточно число b умножить на 100 и полученное произведение разделить на р, т.е. а =
b.100/р.
8
Пример 2.5. Кусок сплава меди с оловом весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько
чистого олова надо прибавить к данному куску, чтобы получившийся новый сплав имел 40%
меди?
Сплав содержит 12.45/100 = 5,4 (кг) меди. Так как в новом сплаве эти
5,4 кг меди составляют по весу 40%, то вес нового сплава будет
5,4 .100/40=13,5 (кг). Значит нужно добавить 13,5-12=1,5(кг) олова.
Ответ: 1,5 кг.
2.4.Преобразование числовых и алгебраических выражений
2.4.1.Свойства степеней
Пусть а R и n N, n 1, тогда аn = aa
...

a;
а =а.
n
о
-n
m
n
n
n
Пусть а 0, тогда а =1; а =1/а ; а
a m , (m, n N , n 1).
Для любых х,у и положительных а и b верны равенства:
ах ау
ах у;ах :ау
ах
.
bх
а
ах bх;( )х
b
а ху ; (аb) х
0, 75
4
3
5
Пример 2.6. Вычислить
а х у ; (а х ) у
0,09
0,5
( 3 0 ) (0,1) 4 .
С учетом определения степени с отрицательным, нулевым и дробными показателями,
а также указанных свойств, имеем
3
5
3
1
0,09
1
2
27 10 10000
125 3
1
1 10 4
7200.
Ответ: 7200.
2.4.2. Свойства арифметических корней
Арифметическим корнем n-ой степени (n N, n 1) из неотрицательного числа а
называется неотрицательное число х, такое, что х n =а. Обозначается n а х.
Пусть а 0, b 0, n N, n 1, m 1.
a na
n
ab n а n b ; n
(b 0); ( n a ) m n a m ; n m a nm a ; n a nm a m ; ( n a ) n a(a 0);
n
b
b
a, если a 0
2n 1 a a
a2 a
; 2n a 2n a ; 2n 1 a
0).
a, если a 0
Пусть а 0, b 0 и n=2k, т.е. четное число, то
n
ab
a
n
n
b ;n
n
a
b
n
a
; 2n a 2m
n
a
m
.
b
Пример 2.7. Вычислить
( 2
3 2
)
2
2
3
(1
2)
3
2
3
2
3
cos
4
9
2
3
2
2
(1
2)
1
23
cos
4
.
a, если a 0,
то
a, если a 0,
Так как по определению модуля действительного числа a
2
3
2
3
2
2
3
2
2 и
2 1
1
2
2
2
2 2
1
4
1
4
0.
Ответ: 0.
Пример 2.8. Разность
40 2
57
57 является целым числом. Найдите
40 2
это число.
2
Так как 40 2
3200, а 57
2
40 2
Пусть х
57 40 2
57 0, т.е.
3249, то 40 2 57 и 40 2
57
40 2
57
57 40 2.
Очевидно, х<0 и
57 40 2 .
2
х2
2
57 40 2
2 57 40 2 57
57 40 2 2 3249 3200
Так как х<0, то х= - 10.
57
40 2
57
40 2
40 2 114 2 49 114 14 100.
Ответ: - 10.
Пример 2.9. Проверить справедливость равенства
3
38
1445 3 38
1445 4.
Воспользуемся тем, что два числа равны, если равны кубы этих чисел. Возведем в куб
обе части данного равенства.
Так как (а+b)3 =а3 +3а2 b+3аb2 +b3 = а3 +b3+3аb(а+b), то получим
38
1445
38
33 38
1445
1445 38
1445 4
76 33 1444 1445 4 76 3 4 64,
а в правой части получим 43 , следовательно, 64=43 , т.е. данное равенство справедливо.
Пример 2.10. Освободиться от иррациональности в знаменателях дробей:
1
1
5
г)
; б)
; в) 3
;
.
3
1
2
3
2
5 32
9 36 34
1
3
а)
( a
Выражения
b и
a
взаимно
b
1
b ) a b, поэтому
b) ( a
a
3
2
3
3
2
2
3
сопряжены,
2
а)
так
3
2
3 2
3
как
2.
б)
1
1
2
1
3
1
2
в) Выражения
a 3 b и 3 a2
рациональны.
3
3
ab
2
3
3 1
1
2
3
b и
3
3
a2
2
1 2 2
3
1
3
2 3
3
b2 ,
2
2 2
а
3 2
2
2
2
4
6
.
также
3
a
3
b 2 взаимно сопряжены, так как их произведения (а+b) и (а-b)
ab
10
3
1
3
г) 3
3
5
5
3
9
3
6
3
4
9
5
3
2
53 3
3
2
3
2
3
6
3
4
Ответ: a) 3
3
25
3
3
3
10
3
25
3
4
10
3
4
3
53 3
3
3
2; б)
2
3
3
3
25
5
2
2
2
4
3
25
6
; в)
3
10
3
3
4
.
2.
3
10
3
43
; г )3 3
3
2.
Пример 2.11. Упростить: а) 15
29 ; б ) 17 2 30 .
а) Воспользуемся формулой преобразования сложного радикала.
15
29
29 1
В
15
225 29
2
1
( 58
2
2
А
А
А2
2
В
15
А
А2
2
225 29
2
В
, получим
15 14
2
15 14
2
2 ).
1
( 58
2
б) На практике удобно пользоваться следующими более простыми формулами:
Ответ:
а
b
2 ab
а
a
b
a
b
2 ab
2 ).
b,
a
b
b , где а 0, b 0.
a
Представим 17 в виде суммы двух чисел, произведение которых равно 30. Такими
числами являются 15 и 2. (15+2=17; 15.2=30). Следовательно,
17
2 30
15 2 2 15 2
15
2
2
15
2.
Ответ: 15
2.
2.4.3. Формулы сокращенного умножения
Для любых а и b верны равенства:
a2 -b2 =(a-b)(a+b);
(a+b)2 =a2 +2ab+b2 ;
(a-b)2 =a2 -2ab+b2 ;
(a+b)3 =a3 +3a2 b+3ab2 +b3 ;
(a-b)3 =a3 -3a2 b+3ab2 -b3 ;
a3 +b3 =(a+b)(a2 -ab+b2 );
a3 -b3 =(a-b)(a2 +ab+b2 );
Пример 2.12. Разложить на множители (а+b+c)3 -a3 -b3 -c3 .
Представим выражение в виде ((а+b)+c)3 -a3 -b3 -c3 и воспользуемся формулой куба
суммы, получим (a+b)3 +3(a+b)2 c+3(a+b)c2 +c3 -(a3 +b3 )-c3 =
(a+b)(a2 +2ab+b2 +3ac+3bc+3c2 -a2 +ab-b2 ),
после
приведения
подобных
членов
(a+b)(3ab+3ac+3bc+3c2 )=3(a+b)(a(b+c)+c(b+c))=3(a+b)(b+c)(a+c).
Ответ: 3(a+b)(b+c)(a+c).
11
Пример 2.13. Разложить на множители х 4 +4.
Представим х 4 +4=х 4 +4х 2 +4-4х 2 =(х 2 +2)2 -(2х)2 =(х 2 +2х+2)(х 2 -2х+2)
(использована формула а2 +b2 =(a+b)2 -2ab).
2.4.4. Деление многочлена на многочлен
Стандартным видом многочлена Р(х) называется выражение
Р(х)=а0 х n +a1 x n-1 +a2 x n-2 +…+an-1 x+an ,
где n N, a0 , a1 , …,an – действительные числа, причем а0 0.
Если существует многочлен S(x) такой, что Р(х)=Q(x)/S(x), то говорят, что многочлен
Р(х) делится на многочлен Q(x). Р(х) называется делимым, Q(x) – делителем, S(x) – частным.
Если многочлен Р(х) не делится на многочлен Q(x), то рассматривают деление с
остатком, т.е. Р(х)=Q(x)/S(x)+R(x), где степень многочлена R(x) меньше степени многочлена
Q(x).
При делении многочленов, приведенных к стандартному виду, применяется правило
«деления углом», аналогичное в некотором смысле правилу деления целых чисел.
Пример 2.14. Разделить многочлен на многочлен
(2х 4 -х 3 -6х 2 +7х-2): (х 2 +х-2)=2х 2 -3х+1.
2х4 -х3 -6х2 +7х-2
х2 +х-2
4
3
2
2х +2х -4х
2х2 -3х+1
-3х3 -2х2 +7х
-3х3 -3х2 +6х
х2 +х-2
х2 +х-2
0
Пример 2.15. Разделить многочлен на многочлен
x4
x3
6x 2
10 x
4 : x3
5x 2
4x
6
x
6
20 x 2 40 x 40
.
x 3 5x 2 4 x 6
х4 -х3 -6х2 +10х-4
х3 +5х2 +4х-6
х4 +5х3 +4х2 -6х
х-6
3
2
-6х -10х +16х-4
-6х3 -30х2 -24х+36
20х2 +40х-40
При тождественных преобразованиях алгебраических выражений применяются
следующие приемы:
1) приведение алгебраических дробей к общему знаменателю;
2) разложение многочленов на множители;
а) с помощью формул сокращенного умножения;
б) с помощью их корней;
в) вынесением общего множителя за скобку;
г) способом группировки, а также их комбинации.
12
Тождественные преобразования алгебраических выражений
приведением алгебраических дробей к общему знаменателю
Пример 2.16. Упростить выражение
1
2
4
1
a
1
:
4
1
b
b(abc
a
c)
.
a
1
b
c
Будем последовательно приводить дроби к общему знаменателю
1
2
4
1
4
, воспользуемся правилом деления дробей и снова
1
ab 1 b(abc a c)
a
bc 1
b
c
приведем к общему знаменателю, получим
:
1
2
4
a
c
bc 1
ab 1
b
4(bc 1)(ab 1)
(abc b c)b
4
b(abc
4(ab 2 c ab bc 1 1)
b(abc a c)
a
1
2
c)
4b(abc a c)
b(abc a c)
1
2
1
2
4
b(abc
a
c)
1
.
2
Ответ: 1/2.
Тождественные преобразования алгебраических выражений
на основании определения степени с отрицательным показателем
и с помощью формул сокращенного умножения
Пример 2.17. Упростить выражение
4 x 2 (2 x 1)
x2
.
1
2
4 1
1 2x
4
x x2
Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем
1
64
6
1
4 x 2 (2 x 1)
x2
x
a m
.
(а>0), получим
2 1
4 1
1 2x
am
4
4
x x2
x x2
Приведем к общему знаменателю числитель и знаменатель первой дроби и
знаменатель второй
x 6
4 2x
64
x
13
1 64 x 6 x 2 x 2 x 2
4x 2 2x 1
, 4х 2 +2х+1 – неполный квадрат суммы
1 2x
x 6 4x 2 2x 1 4x 2 4x 1
чисел 2х и 1, поэтому числитель разложим по формуле разности квадратов 1-64х 6 =(18х 3 )(1+8х 3 ), а 4х 2 -4х+1=(1-2х)2 , затем разложим 1-8х 3 как разность кубов, получим
1 8x 3 1 2 x 1 2 x 4 x 2
4x 2 2x 1
2
1 2x
4x 2 2x 1 1 2x
1 8x 3 8x 3
1 2x
4x 2
1 2x 1 2x
1 2x
1 2 x.
Ответ: 1+2х.
Тождественные преобразования алгебраических выражений
разложением квадратного трехчлена на линейные множители
Пример 2.18. Упростить выражение
x2
4 x 5 ( x 5) x 2
2
2
1
, х>1.
x
4 x 5 ( x 5) x 1
Воспользуемся формулой ax +bx+c=a(x-x 1 )(x-x 2 ), где х 1 , х 2 – корни уравнения
ах 2 +bx+c=0, разложим на множители квадратные трехчлены в числителе и знаменателе
2
дроби:
x 5 ( x 1) ( x 5) x 2
1
2
1
( x 5)( x 1) ( x 5) x
Так
x 1
как
x 1
2
х>1,
то
.
в
силу
2
и х 1
х 1 .
соотношения
2n
х 1(( х
Значит
5) х 1 ( х 5) х 1
х 1(( х 5) х 1 ( х
х 1
.
х 1
откуда после сокращения получим
имеем
a, если а 0 ,
a 2n
5) х 1
,
х 1
.
х 1
Ответ:
Тождественные преобразования алгебраических выражений
методом группировки
x3
Пример 2.19. Упростить выражение
xy 2
x2 y
y3
y 5 4 x 4 y 4 xy 4
x5
Сгруппируем первое и второе слагаемые и третье и четвертое слагаемые, как в
числителе, так и в знаменателе, получим
4
x3
4
y5
y
4
4
x2 y
x4 y
x2
x
4
xy 2
4
xy 4
y2
y4
4
x4
y3
4
x2
y
4
x
4
затем вынесем общие множители из каждой скобки
,
x5
y2
y4
4
x4
.
4
x4
x
4
Из условия примера очевидно х>0, у>0, поэтому
x2
x
x,
y2
x, аналогично 4 y 4
y
y и
x
4
y, в результате
y
x
x
x
y x
y
4
y
y
4
x
4
x
4
y
4
x
4
4
y
y
4
x
4
y.
Ответ:
14
4
y.
Тождественные преобразования алгебраических выражений
делением многочлена на многочлен
Пример 2.20. Упростить выражение
5x 2 6 x 3
2x
2 x 4x
: 2x 1
.
x 1
x 1
Приведем каждую скобку к общему знаменателю, получим
- 17 –
2
2
2
2x 2 x
x 4x
4 x 5x
6x 3
x 1
4 x 3 3x 1
x 1
2x
2x x 1 2x 2x 2 x 1
разделим многочлен на многочлен
4х3 -3х+1
2х2 +х-1
4х3 +2х2 -2х
2х-1
-2х2 -х+1
-2х2 -х+1
0
Ответ: 2х-1.
Тождественные преобразования алгебраических выражений
освобождением от иррациональности знаменателей дробей
Пример 2.21. Упростить выражение
1
a 1
.
a 1
a
a 1
a
a 1
Избавимся от иррациональности в знаменателях первой и второй дроби, получим
a
a
a 1
a 1
a
a
a 1
a (a 1)
1
a
a 1
a
: 1
a 1
a 1
a
a 1
a
a
a 1
a 1
a 1
:
a (a 1)
a 1
a 1
: 1
a 1
a 1
a
a 1
a 1
a 1
a 1
a 1.
Ответ:
a 1.
Тождественные преобразования алгебраических выражений
приведением радикалов к одному показателю
Пример 2.22. Упростить выражение
4
6 x(5 2 6 )
3 2x
2 3x .
Воспользуемся свойством n a nm a m , приведем корни к одному показателю и
предварительно вынесем общий множитель под вторым корнем
4
6 x(5 2 6
4
2 3 x( 3
2)
2
4
6 x(5 2 6
4
6 x(5 2 6)
4
(6 x) 2 25 24
6x.
Ответ:
15
6x .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ВАРИАНТ 1
1. 108, 216 и 135.
43
0,23(7)
450 .
2.
113
0,5(61)
495
7 47
3.
: 1,25
9 42
4.
6,25
5.
6.
7.
14
4
3
3
9
8
2
: 0,358 0,108 1,6
3
0
1
( 4)
2
5
2
5
17
28
0 , 25
1
16
0,5
6
7
0,343 .
3
3
2
5
80
3.
1
2
2 sin
7
.
4
.
3
80
9
8. (ab+ac+bc)(a+b+c)-abc.
9. (x 3 +3x 2 +x-2): ( x+2).
10.
a2 1
n 2 an
ab
11. 2
a b
3
12.
1
1
1
n
an 3 n 4
1 a2
a
1
n
.
2
1
a 1b 1 a 1 b 1
.
a 2 b 2 ab 1 a 1b
2
ab 3 b 2
3
a2
3
3
2
a
4
a b
3
3
2
3
a4
b4
3
3
a2 .
a b
2
3
1
13.
x
1
2
4x
2 x
1
2
3
x x
3
4 x
x2
8 x 16 .
ВАРИАНТ 2
1.360, 540 и 640.
16
19
.
25
0, (3 1,1(6)
2.
0,1(6) 0, (3)
7 4 3
:1
5 7 11
1
1
1,5
: 18
4
3
3
27
1 9
3 80
5.
1
3
32
2
0,66...
0,2
4
4
2
:2
9
3
.
2
25
64
1
9
3
.
5 4
1
5
20 10 0,2
4 5
5
1
1
2
4
2
6
140 0,02
2
8
9
3
3
2
3
3
2
3
.
3
10
1
4.
3
6.
6,75
3, (3) 0,3 0, (2)
0,5 : 1,25
3.
2
3
4,5 1
2
.
5
.
7. 3 26 15 3 2
3
1.
8.а3 +b3 +c3 -3abc.
9.(x4 +2x 3 +2x 2 +2x+1) : (x+1).
10.
a 4 a 2 2a 1 a 4
:
a 3 2a 2 1
a
11.
a
12.
1
1
b
b
3
3
(a 2
3
a4
a 2b 2
:
(a b) 2 3ab
b 2 )(3 a
3
2a 3 a 2
.
4 4
1
a a2
ab 3
3
3
b)
a 3b
3
a2
b4
1
b2
ab
.
.
2
13.
4a 9a
2a
1
2
3a
1
a
1
2
4 3a
a
1
2
a
1
1
2
.
ВАРИАНТ 3
1.680, 612.
1
1
2
3 : 13 :
2. 2 : 3
5
4
3
2
5
18
17
36
18
65
17
0,1(6) 0, (3)
.
0, (3) 1,1666...
1
3 0,125 : 2 1
3.
3
2
(5,2 1,4) :
70
2
2
20
4.
.
2
2
1
2
2
5( 2)
2
3
2,7 0,8 2
5.
6.
3
2
( 3
1
3
2
3
3
3
2)
0,43.
1
2
3
2
1
1
2
3
2
cos
.
4
7. 8 2 10 2 5
8 2 10 2 5
20 4 5 .
8.х 3 +5х 2 +3х-9.
9. ( x 5
x4
2x 3
1
1
10. a b c
1
1
a b c
1 x 2
11. 1
1
x
12.
13.
2
(a 2
x
2x 2
1 x2
x
c2 a2
2bc
2
x
1
2
1
2
x
b 2 )(a 2
a3 b
b2
1
2
a a
1
2 x 1) : ( x 3
x
3
2
b2
x
x
1
2
a b c
:
a3 b
1 x
1 x2
2
.
.
a3 b )
ab 2
b3 b
x 1).
6
a3
b
a 3b 2
3
1 x
x 1
1 x
1 x
ВАРИАНТ 4
1.195, 156 и 260.
3
0,41(6)
4
.
0,59
1,125 1
0,8333... 0,4(6)
5
1
6
4
7
1
58
56
: 0,8 2 0,225
15
24
9
.
3.
3 3
8
4 5
2.
18
b2
.
.
a a
5
.
4
(0,6) 0
4.
1
3
23
3
2
(0,1)
1
3
.
1
1
3
1
1
1 1 1 1
9
2
27
3
3
12
2
3
3
5.
.
1
1
1
1 4
0,5 1,5 2 20
32
3
2
50
12
6.
.
3
11 3 5
2,4
7.
8
21 8 5
4
8. x 4
6x 3 y
9. ax 4
10.
4
12.
1
3
x
a6
a2
1
2
ab
1
6
a b
4
xy 4
5
1
3
x
5
x
a
9y4.
c : (x 2
bx
1).
b6
.
b2
1
a
2
3
b
4
x4 y
3
b
4
.
y5
4
y
x a
13.
2.
6 xy 3
c) x 2
(a
b6
b2
a
a
8x 2 y 2
bx 3
a6
a2
11.
9 4 5
5
x a
x
x2
a2
x
y.
4
a
:
x
a
x2
a2
1, х>а>0.
3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ,
СОДЕРЖАЩИЕ НЕИЗВЕСТНОЕ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3.1.Рациональные уравнения
Рациональным называется уравнение, которое может быть приведено к виду Р(х)=0,
где Р(х) – многочлен с действительными коэффициентами.
Основные методы решения рациональных уравнений
3.1.1. Простейшие: решаются путем обычных упрощений – перенесения всех членов
уравнения в одну часть, приведения к общему знаменателю, приведения подобных членов, в
результате получается уравнение вида Р(х)/Q(х)=0, где Р(х) и Q(х) – многочлены первой или
второй степени, решение которого сводится к решению системы Р(х)=0
Q(х) 0
19
Пример.3.1. Решить уравнение 1
2x
2
27
7x
6
.
2x 1
x 4 2x
4
Перенесем все члены уравнения в левую часть
2x
27
6
1
0,
2
x 4 2x
7x 4 2x 1
разложим знаменатель второй дроби на множители, воспользовавшись формулой
ах 2 +bx+c=a(x-x 1 )(x-x 2 ), где x 1, х 2 – корни многочлена.
Так как 2х 2 +7х-4=2(х+4)(х-1/2)=(х+4)(2х-1), то уравнение принимает вид
2x
27
6
1
0.
x 4 ( x 4)(2 x 1) 2 x 1
Приведем его к общему знаменателю:
2 x 2 7 x 4 2 x(2 x 1) 27 6( x 4)
0.
( x 4)(2 x 1)
После приведения подобных получим уравнение
6x 2 x 1 0
6x 2 x 1
0
1 .
( x 4)(2 x 1)
x
4; x
2
Из уравнения 6х 2 -х-1=0 находим х 1 =-1/3; х 2 =1/2.
При х=1/2 знаменатель обращается в нуль; значит 1/2 не является корнем уравнения.
1
Ответ:
.
3
3.1.2.Разложение на множители: применяется, если в уравнении Р(х)=0, где Р(х) –
многочлен степени n>2 удается разложить Р(х) на многочлены Р1 (х), Р2 (х),…Рk(х) более
низкой степени чем n, тогда уравнение примет вид Р1 (х).Р2 (х)…Рk(x)=0 и равносильно
совокупности уравнений Р1 (х)=0; Р2 (х)=0;…Рk(х)=0.
При решении рациональных уравнений с действительными коэффици ентами
целесообразно применять следующие теоремы.
1.Если коэффициенты уравнения – целые числа и коэффициент при высшей степени
равен единице, то рациональными корнями такого уравнения могут быть только целые
числа.
2. Если коэффициенты уравнения – целые числа, то его целые корни являются
делителями свободного члена уравнения.
3.Если х=а (а – действительное число) является корнем рационального уравнения, то
многочлен Р(х) делится на разность х-а
Пример 3.2. Решить уравнение x 4 8 x 2 4 x 3 0.
Будем искать целые корни данного уравнения. Ими могут быть только делители
свободного члена 3, т.е. числа ±1, ±3. Непосредственной подстановкой убеждаемся, х 1 =-1 и
х 2 =3 – корни уравнения, так как
Р(1)=1-8-4+3 0,
Р(3)= 34 -8.32 -4.3+3=81-72-12+3=0,
Р(-1)=1-8+4+3=0,
Р(-3)=(-3)4 -8(-3)2 -4(-3)+3=81-72+12+3 0.
Следовательно, многочлен х 4 -8х 2 -4х+3 разделится на х+1 и на х-3, а значит и на их
произведение (х+1)(х-3)=х 2 -2х-3. Выполним это деление
20
х4
-8х2 -4х+3
х2 -2х-3
4
3
2
х -2х -3х
х2 +2х-1
2х3 -5х2 -4х
2х3 -4х2 -6х
-х2 +2х+3
-х2 +2х+3
0
Таким образом, исходное уравнение принимает вид
(х+1)(х-3)(х 2 +2х-1)=0
Это уравнение равносильно совокупности уравнений
х+1=0,
х 1 =-1,
х-3=0,
или
х 2 =3,
2
х +2х-1=0,
х 3 = -1+ 2 ,
х 4 = -1- 2 .
Ответ: х 1 =-1; х 2 =3; х 3 = -1+ 2 ; х 4 = -1- 2 .
Пример 3.3. Решить уравнение х 4 +4х 3 +3х 2 +2х-1=0.
Это уравнение четвертой степени, которое можно разложить на множители путем
выделения полного квадрата.
Выделим в левой части полный квадрат, получим
(х 4 +4х 3 +4х 2 )-х 2 +2х-1=0 или
(х 2 +2х)2 -(х 2 -2х+1)=0
или
(х 2 +2х)2 -(х-1)2 =0.
Раскладывая левую часть уравнения на множители, как разность квадратов, получаем
(х 2 +2х+х-1)(х 2 +2х-х+1)=0, т.е.
2
(х +3х-1)(х 2 +х+1)=0.
Произведение двух действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда
хотя бы одно из них равно нулю.
Решим совокупность уравнений
х 2 +х+1=0,
т.к. Д=1-4 0, то нет действительных корней;
3
13
3
13
x1
, x2
.
х 2 +3х-1=0,
2
2
3
13
3
13
, x2
.
Ответ: x1
2
2
3.1.3. Введение новой переменной: применяется, если в уравнении есть некоторое
повторяющееся выражение, замена которого новой переменной значительно упрощает
уравнение.
Пример 3.4. Решить уравнение
2
x
x 1
x
x 1
2
3
.
2
О.д.з.: х -1, х 0.
Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения решаются введением новой
переменной.
Обозначим
x
x 1
2
t , тогда
x 1
x
2
1
.
t
21
Уравнение принимает вид t
t1
1
; t2
2
x
3
, или 2t 2
2
2 0, откуда находим
3t
2, поэтому
2
x 1
x 1
x
1
t
1
, это уравнение не имеет действительных решений.
2
2
2, или
x
2 , или
x 1
решая эти уравнения, находим x1
2
x
2 и
x 1
2 , x2
2
x
2,
x 1
2.
Ответ: x1
2
2 , x2
2
2.
В более сложных случаях при введении новой переменной замена возможна лишь
после преобразований:
3.1.3.1. Уравнение вида (х+а)(х+b)(х+c)(х+d)=l, где а+b=c+d.
Пример 3.5. Решить уравнение (х-2)(х-3)(х-4)(х-5)=24.
Имеем (х-2)(х-5)=х 2 -7х+10; (х-3)(х-4)=х 2 -7х+12.
Перепишем уравнение в виде (х 2 -7х+10)(х 2 -7х+12)=24.
Введем новую переменную, полагая, что х 2 -7х+10=у,
тогда х 2 -7х+12=у+2.
Получим у(у+2)=24 или у2 +2у-24=0; откуда y
1 1 24 или
у1 =-1+5=4; у2 =-1-5=-6.
Следовательно, решение данного уравнения сводится к решению совокупности
уравнений
х 2 -7х+10=4,
х 2 -7х+10=-6,
или
х 2 -7х+6=0,
х 2 -7х+16=0,
х 1 =1; х 2 =6.
нет действительных корней
т.к. D<0.
Ответ: х 1 =1; х 2 =6.
3.1.3.2.Возвратное или симметричное уравнение
Уравнение вида ах n +bx n-1 +cх n-2 +…+cx 2 +bx+a=0 (a 0), у которого коэффициенты
членов, равноотстоящих от начала и конца, равны называется возвратным или
n
2
x k, ;
симметричным. Если n - четное (n=2k), решается делением всех членов на x
группировкой членов, равноотстоящих от начала и конца и введением новой переменной
1
x
y. Если n – нечетное, уравнение имеет корень х = -1, делением его на х+1
x
получают уравнение четной
степени.
Пример 3.6. Решить уравнение 2х 4 -9х 3 +14х2-9х+2=0.
2
Разделим уравнение на х 2 (х 0), получим 2 x
9 x 14
Сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами:
22
9
x
2
x2
0.
2 x2
x2
1
x2
9 x
1
x
14 0, введем
x
1
x
y,
тогда x 2
2x
1
x
1
x2
1
.
y2
или
1
y 2 2. Получим 2(у2 -2)-9у+14=0 или 2у2 -9у+10=0.
2
x
Корни этого уравнения у1 =5/2, у2 =2, следовательно,
1 5
1
,
,
2 x 2 5x 2 0 ,
x
x1 2; x 2
x 2
2
1
или
x3 x 4 1.
x 2 2 x 2 0 , или
x
2,
x
Ответ: x1
2; x 2
1
, x3
2
x4
1.
3.1.4. Нестандартные методы решения
2x
13x
6.
2
2x
5x 3 2 x
x 3
Разделим числитель и знаменатель каждой дроби левой части уравнения на х 0,
2
13
6.
получим
3
3
2x 5
2x 1
x
x
3
Обозначим
тогда
относительно
у
получим
уравнение
2x
y,
x
2
13
6 ( y1 5, y 2
1), или 2у2 -13у+11=0, откуда у1 =1; у2 =11/2.
y 5 y 1
3
Если у1 =1, то 2 x
1 или 2х 2 -х+3=0, уравнение не имеет действительных корней.
x
11
3 11
3
Если y 2
, то 2 x
, 4х2 -11х+6=0, x1
; x 2 2.
2
x 2
4
3
Ответ: x1
; x 2 2.
4
Пример 3.8. Решить уравнение 2(х 2 +х+1)2 -7(х-1)2 =13(х 3 -1).
Перепишем уравнение в виде 2(х 2 +х+1)2 -7(х-1)2 =13(х-1)(х 2 +х+1).
Это так называемое «однородное уравнение второй степени», решается делением
обеих частей уравнения на (х-1)2 0, получим
Пример 3.7. Решить уравнение
2
Обозначим
x2
x2
2
x 1
x 1
2
13
x2
x 1
x 1
7 0.
x 1
t , тогда уравнение принимает вид 2t 2 -13t-7=0, т.е. t 1 =7; t 2 =x 1
1/2.
Следовательно, при t 1 =7
x2
x 2 6x 8
x 1
7 или
x 1
x 1
23
0, т.е. х 1 =2, х 2 =4.
При t 2
x2 x 1
1
имеем
x 1
2
1
2 x 2 3x 1
или
0, т.е. x3
2
x 1
1, x 4
Ответ: х 1 =2, х 2 =4, x3
1
.
2
1, x 4
1
.
2
3.1.5. Уравнения с параметром (линейные, квадратные и приводимые к ним)
Решить уравнение с параметром а (f(х,а)=0), это значит для каждого действительного
значения а найти множество действительных значений х, удовлетворяющих этому
уравнению.
Пример 3.9. Решить уравнение 2а(а-2)х=а-2.
Рассмотрим, прежде всего, те значения параметра, которые обращают в нуль коэффициент
при х.
Пусть а=0, тогда 0.х=-2, отсюда х Ø.
Пусть а=2, тогда 0.х=0, отсюда х R.
a 2
1
При а 0, а 2, x
, откуда x
.
2a(a 2)
2a
Ответ: если а=0, х Ø; если а=2, х R; если а 0, а 2, x
1
.
2a
Пример 3.10. Решить уравнение (а-1)х 2 +2(2а+1)х+4а+3=0.
Выделим особо значение параметра а=1. дело в том, что при а=1 данное уравнение
не является квадратным, а при а 1 оно будет квадратным. Значит, решать его в каждом из
этих случаев надо по-своему.
Если а=1, уравнение принимает вид 6х+7=0, откуда х=-7/6.
При а 1 для квадратного уравнения выделим те значения параметра, при которых
дискриминант уравнения обращается в нуль. Имеем D=5а+4, т.е. при а=-4/5 D.
Если а -4/5, D 0, следовательно, уравнение не имеет решений.
(2a 1)
5a 4
.
Если а -4/5 и а 1, то D 0 и x
a 1
7
4
Ответ: если а=1, то x
; если a
, то х Ø;
6
5
(2a 1)
5a 4
4
.
если a
и а 1 то x
a 1
5
3.2. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля
При решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов
f ( x)
f ( x), если f ( x) 0,
f ( x), если f ( x) 0.
24
Пример 3.11. Решить уравнение x
2
x 3
5.
Согласно определению модуля имеем
x 2, если x 2 0, т.е. x
2,
x 2
( x 2), если x 2 0, т.е. x
2.
x 3, если x 3 0, т.е. x 3,
x 3 , если x 3 0, т.е. x 3.
Разобьем числовую прямую точками, в которых каждое слагаемое обращается в нуль.
x 3
Х
-2
х+2
х-3
3
-
+
-
+
+
Эти точки разбивают числовую прямую на следующие промежутки:
1) х<-2; 2) -2<x<3; 3)x 3.
Исследуем уравнение в каждом из полученных интервалов:
1)если х<-2, то х+2<0, х-3<0 и уравнение принимает вид –(х+2)-(х-3)=5 или –х-2х+3=5, т.е. х=-2 (- ,-2);
2)если -2<х<3, то х+2 0, х-3<0 и получаем х+2-(х-3)=5, т.е. 5=5, значит х – любое из [2,3];
3)если х 3, то х+2+х-3=5, 2х=6 и х=3 [3,+ ].
Таким образом, решение данного уравнения х= [-2,3]U{3},
т.е. х= [-2,3].
Ответ: х= [-2,3]
Пример 3.12. Решить уравнение x 2
По определению x
2
x 1
x 1 2 x 1, x
x 1, если x 2
x2
3
.
3
,
x 1 0,
(x
x 1), если x
x 1 0.
Корни квадратного трехчлена х +х-1найдем,решив уравнение х 2 +х-1=0,
2
2
2
x1
2
1
5
2
x 1), если
1
, x2
x
1
2
5
2
5
5
2
1
x 1
(x 2
Очевидно,
5
x 1, если
x2
Тогда x 2
1
x
.
1
и
5
2
1
x
,
5
2
3
, поэтому исходное уравнение эквивалентно совокупности
3
систем:
25
1
x
2
x 0, т.е. x3
x2
1
x
5
2
x 1 2x 1
x2
1
5
2
x2
x
x 1
,
5
,
принадлежат
1
3
,
3
2x 1
5
x2
x6
,
5
2
3
3x 2 0, x5
3
1
нет решений
).
3
,
3
x
2
1 (оба корня не
0, x 4
17
2
17
1
2
1
5
2
5
2
,
,
3
.
3
3
3
Ответ: x
3
17
2
.
3.3. Иррациональные уравнения
Иррациональными называются уравнения, содержащие неизвестное под знаком корня.
Они решаются чаще всего методами уединения радикала и подстановки (введение
вспомогательной переменной). В обоих случаях необходимо возводить уравнение в
соответствующую степень один или несколько раз. О.д.з. получающегося рационального
уравнения, как правило, шире исходного, а поэтому решения его нуждаются в проверке.
(Если новое уравнение получается путем возведения данного только в нечетную степень,
то оно эквивалентно исходному).
Напоминание: 1) 2n x 2n
2) из равенства
2n
a
x , где n N, n>1;
x следует а) х 0, б) а 0,
в)х 2n =а.
Основные методы решения иррациональных уравнений
3.3.1. Простейшие: приступая к решению иррационального уравнения,
целесообразно предварительно определить О.д.з., так как может оказаться, что это уравнение
не определено в области действительных чисел.
1 x 6.
Пример 3.13. Решить уравнение x 10
Область определения этого уравнения определяется системой неравенств
х-10 0,
х 10
1-х 0,
или
х 1,
которая решений не имеет. Уравнение не определено в множестве действительных чисел.
Ответ: х Ø.
26
x 1
2.
Пример 3.14. Решить уравнение x 2
Поскольку корни арифметические, то левая часть уравнения неотрицательна, а правая
отрицательная; следовательно, данное уравнение решений не имеет.
Ответ: х Ø.
3.3.2. Уравнения, в которых одно или несколько подкоренных выражений –
точные квадраты
Пример 3.15. Решить уравнение
Приведем уравнение к виду
Рассмотрим
x
5
x
последнее
x2
(x
2)
4x
2
x2
4
( x 5)
уравнение,
10 25 10.
10, или x
2
т.к.
x
2
x 5 10.
x
2
2, если x 2,
а
(ч 2), если x 2,
5, если x 5,
то решение будем искать на промежутках
( x 5), если x 5,
х
-2
5
-
x
2
x
2,
x 2
x
x
x
5 10,
x 5,
2 x 5 10,
2
3,5 (
x 5
7 10, т.к. 7
, 2),
2
или
х 5
х 6,5 [5,
х 5,
х 2 х 5 10,
0, х
,
).
Ответ: х 1 =-3,5; х 2 =6,5.
3.3.3. Уединение радикала и возведение в степень
2 x 6 6.
Пример 3.16. Решить уравнение x 1
x 1 0,
x 1,
О.Д.З. этого уравнения
или
.
2 x 6 6,
x
3, т.е. x 1
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение следствие
x 1 2 ( x 1)(2 x 6) 2 x 6 36, т.е. 2 ( x 1)(2 x 6) 31 3x.
Возведем в квадрат обе части полученного уравнения:
8х 2 +16х-24=9х 2 -186х+961, или х 2 -202х+985=0, откуда х 1 =5, х 2 =197.
Проверкой убеждаемся, что х 1 =5 является корнем заданного уравнения, т.к.
5 1
2 5 6 6. При х=197 имеем
197 1
2 197 6 6. Поэтому х 2 =197 –
посторонний корень.
Ответ: {5}.
Пример 3.17. Решить уравнение x 2 3 3x 2
Представим уравнение в виде x 2 3 3x 2.
27
0.
x
О.Д.З. этого уравнения
3x
2
.
3
х
2 0,
2 0, т.к. левая часть уравнения
неотрицательна
Возводим в шестую степень: (х+2)3 =(3х+2)2 , т.е. х 3 +6х 2 +12х+8=9х 2 +12х+4, или х 3 3х +4=0; представим это выражение в виде х 3 -3х 2 +1+3=0, группируем: (х 3 +1)-3(х 2 -1)=0,
(х+1)(х 2 -х+1)-3(х-1)(х+1)=0, или (х+1)(х 2 -х+1-3х+3)=0 или х+1=0,
х 1 =-1
х 2 -4х+4=0
х 2 =х 3 =2
2
Значение х 1 =-1 не удовлетворяет О.Д.З.
Ответ: х=2.
3.3.4.Уравнения, содержащие кубические радикалы
Основным методом решения таких уравнений является последовательное возведение в
куб обеих частей уравнения, используя формулы
(а+b)3 =a3 +b3 +3ab(a+b),
(а-b)3 =a3 -b3 -3ab(a+b).
Пример 3.18. Решить уравнение 3 x 34 3 x 3 1.
Возведя обе части
данного
уравнения в
куб,
получим уравнение
x 34 x 3 33 ( x 34)( x 3) 3 x 34 3 x 3 1, учитывая, что выражение в скобках
равно 1 (см. условие), получаем 37 33 ( x 34)( x 3) 1 1 или 3 ( x 34)( x 3) 12.
Возведем в куб: (х+34)(х-3)=1728 или х 2 +31х-102-1728=0, т.е. х 2 +31х-1830=0.
Отсюда х 1 =30; х 2 =-61.
Проверкой убеждаемся, что это корни уравнения. При х=30, получаем
3
3
64
27 1, 1=1; при х=-61, получаем 3 27 3 64 1, 1=1.
Ответ: х 1 =30; х 2 =-61
3.3.5. Введение вспомогательной переменной
Пример 3.19. Решить уравнение
x
3 2 x
2
x
27 10 x
2
2
Обозначим x 2 t (t 0 при х
2); тогда х=t -2.
Уравнение относительно t принимает вид
t2
2t 1
t2
10t
25
4 или
t 1
t 5
t 1, если t 1,
t 5, если t 5,
, а t 5
(t 1), если t 1
(t 5), если t 5.
Решение будем рассматривать: 1) при t<1; 2) при 1 t<5; 3) при t 5.
Так как t 1
28
4.
4.
Отсюда
t 1,
t 1 t
t 1,
t 1 (
5 4,
1 t 5,
t 1 t 5 4,
t 5,
t 1 t
,1),
1 t 5,
4 4 все значения t [1,5)
или
решения
уравнения,
t
t
5 4,
5,
5 5,
).
Поскольку решениями уравнения относительно t являются 1 t 5, то 1
х 2 5,
или 1 х+2 25, отсюда -1 х 23.
Ответ: х -1,23 .
Пример 3.20. Решить уравнение x 2 3
2 x 2 3x 2 1,5( x 4).
Умножим обе части уравнения на 2, получим
2x 2
3x 6 2 2 x 2
3x
2
0. 2 x 2
6 2 2x 2
3x
2
3x 12, или
Полагая 2 x 2 3x 2 y ( y 0), получим 2х 2 -3х+2=у2 , тогда 2х 2 -3х=у2 -2 и
относительно у уравнение принимает вид у2 -2у-8=0, откуда у1 =4, у2 = -2. Т.к. у= -2<0, то его
отбрасываем.
Решая уравнение
2x 2
3x
Проверка: при х=7/2
при х= -2
2
4 или 2х2 -3х-14=0, находим х1 =7/2, х2 = -2.
49
4
3
4 3
49
2
21
2
2 1,5
7
2
4 , т.е.
45
4
45
;
4
8 6 2 1,5( 2 4) или 3=3.
Ответ: х1 =7/2, х2 = -2.
x 2 1.
Пример 3.21. Решить уравнение 3 5 x
О.Д.З.: х-2 0 или х 2.
Введем новые переменные: обозначим 3 5 x u, a
x 2 v, тогда 5+х=и3 , а хu v 1
.
2=v 2 , отсюда 3
u
v2 7
Подставив во второе уравнение системы v=u-1, получим u3 -(u-1)2 -7=0 или u3 -u2 +2u8=0.
Для решения этого кубического уравнения разложим его левую часть на множители.
Последовательно получаем u3 -u2 +2u-8=u3 -8-u(u-2)=(u-2)(u2 +2u+4)-u(u-2)=(u-2)(u2 +u+4)=0,
отсюда решением этого уравнения будет u=2, т.к. u2 +u+4=0
не имеет действительных
корней. Следовательно, для определения х мы получили уравнение 3 5 x 2, откуда х=3.
Подставив в исходное уравнение х=3, имеем
3
8
3
1 1, т.е. 1=1.
Ответ: х = 3.
29
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решить уравнения:
ВАРИАНТ 1
3
2x 1
2x 1
.
2
x 2 x 1 x
3x 2
2. x 4 8 x 2 9 x 2 0.
3. 16 x( x 1)( x 2)( x 3) 9.
6
8
4.
1.
( x 1)( x 2) ( x 1)( x 4)
1.
5. x 4 x 3 4 x 2
6. x 2 x 3
7. x 2
3x
2
8 x 1
3
3
x4
3
x
1
x2
12. 3x 2
4 x 10 0.
x
9. 3x 1
10. 3 2 x 2
11.
x 1 0.
5.
6
x.
4
9
x.
3
9 2 x 1.
3
x2
3
1
1
x 1
2 x2
4.
5 x 1 2 15 x.
13. 4
x
4
14. 3 5
x
x 2 1.
2a x
16a 2
.
x 2a 4a 2 x 2
15.
x
2a
x
x
4
4
x
4
ВАРИАНТ 2
1.
x 1
x 1
x
x
2
3
4
( x 1)( x
0.
3)
2. x 3 x 2 8 x 12 0.
3. ( x 1)( x 3)( x 5)( x 7) 9.
x2
x 5
3x
4 0.
2
x
x
x 5
5. 2 x 4 3x 3 16 x 3x 2 0.
6. x 3 x 1 3x 5.
4.
7. x
2
8. x
4x 3 3 x
x
x 1
4
9. x 2
3
10. 25 x 3 3
2
6 0.
1
.
2
x x2
x
6 x 11.
4.
30
x.
11.
3
x3 x 1
3
x
2
3
1
12. x 2
x2
1
x2
2x
12.
x 1
2 x 8 12 0.
13. x 5 4 x 1
4
14. 80 x
15. (a 3) x 2
4
x 10 6 x 1 1.
2 x 4.
(3a 1) x a
0.
ВАРИАНТ 3
12
8
1.
x 1 x 1
2. x 4 x 2 2 x 1 0.
3. ( x 2)( x 3)( x 1)( x
1.
4.
6
( x 1)( x
8
( x 1)( x
2)
5. 4 x 4 33x 3 76 x 2
6. 7 4 x 4 x 7 .
x2
7. 1 x
x 3
8. x 2
6x
9. 1
1 x x2
3
10. x
4
3
45
x
11.
12. 2 x 2
24
x2
x
1) x
4 0.
14
,
3
.
x.
5
.
2
7
15. (a 2
33x
x 16 1.
13. x 8 2 x
2x
1.
4)
1.
3x 5 2 x 2
14. 4
96 0.
0, x
1 x
x
1 x
6)
( 2a 2
3x 9
3 0.
x 1
x
7
2.
a 3) 0.
ВАРИАНТ 4
1.
y
y
2
2. x 4
1
9
4x 3
y
2
3
6y 2y2
3y
2x 2
x
6 0.
31
0.
4.
3. ( x
2)( x 1)( x 1)( x
4. ( x 2
x 1)( x 2 x 2) 12.
4x
3x
1.
2
8 x 7 4 x 10 x 7
5.
4x 2
6. 2 x 3
7. x
13. x
2
4.
x 1,
4 x 13
7
11. 6 4 x
12. ( x
3x
2x 5
9. x 1
10. 3 5 x
2 0.
3 2 x.
2x 1
8. 2 x 2
2)
3
x (
3x 12.
5 x 12 1.
x2
x
4.
4)( x 1) 3 x 2
2
, 2 ).
2x
5
5x
x
2
6.
2 3 2x
5
7 2.
14. 4 x 8 4 x 8 3.
1
a 1
.
15. a
a a ( x 1)
4. СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. НЕРАВЕНСТВА,
СОДЕРЖАЩИЕ НЕИЗВЕСТНОЕ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
4.1. Системы алгебраических уравнений
Системой уравнений называют совокупность нескольких уравнений с несколькими
неизвестными. Решением такой системы уравнений называется совокупность значений этих
неизвестных, обращающих каждое уравнение системы в тождество.
Основные методы решения систем уравнений
4.1.1. Способ подстановки: из какого-либо уравнения системы выражаем одно
неизвестное через другие и подставляем в оставшееся уравнение системы.
Пример 4.1. Решить систему уравнений
32
x2
2x
3 xy y 2
y 3.
2x
3y
6,
Из второго уравнения системы найдем
у=2х-3.
Подставив это значение у в
2
2
первое уравнение системы, получим x
или,
3x(2 x 3) (2 x 3)
2 x 3(2 x 3) 6,
после
преобразования,
2
х -5х+6=0, откуда найдем х 1 =2, х 2 =3; тогда у1 =2.2-3=1, у2 =2.3-3=3.
Проверкой убеждаемся, что найденные пары чисел – решения данной системы.
Действительно, если х 1 =2, у1 =1, имеем
4-6+1+4+3=6,
6=6,
4-1=3,
или
3=3;
если х 2 =3, у2 =3, то
9-27+9+6+9=6,
6-3=3,
или
6=6
3=3
Ответ: (2,1); (3,3).
4.1.2. Способ алгебраического сложения: поясним на примере
Пример 4.2. Решить систему уравнений
x2
y2
2
2 x 3 y 9 0,
2
2x
2y
x 5 y 1 0.
Используем метод сложения. Если первое уравнение системы умножить на 2 и
вычесть полученное уравнение из второго уравнения системы, то взаимно уничтожаются
члены,
содержащие
переменные
во
второй
степени:
2
2
2
2
(2 x
2y
x 5 y 1) (2 x
2y
4 x 6 y 18) 0;
5 x 11y 17 0.
В результате приходим к более простой системе
x 2 y 2 2x 3y
5 x 11 y 17 0,
9 0,
которую нетрудно решить методом подстановки:
11y 17
x
,
11y 17
x
,
5
или
5
2
11y 17
11y 17
146 y 2 409 y 234 0.
y2 2
3 y 9 0,
5
5
Из второго уравнения последней системы находим у1 =2, у2 =117/146.
Так как х=(11у-17)/5, то при у=2 получаем х=1, при у=117/146 получаем
х= - 239/146.
239 117
Итак, заданная система имеет два решения (1;2) и
;
.
146 146
239 117
;
.
146 146
4.1.3. Способ введения новых переменных: суть метода поясним на примере
Ответ: (1;2) и
5( x
y) 6
Пример 4.3. Решить систему уравнений
(x
y) 2
Используем метод введения новых переменных.
1 1
v.
Положим х+у=и,
x y
33
12
1
x
1
x
1
y
1
y
20,
35.
Тогда система примет вид
5u
6v
20,
2
u 12v 35.
Применив метод подстановки, получим равносильную систему
5u
v
20
6
2
5u
,
20
v
т.е.
5u
20
6
10u
,
откуда находим u1 =-15,
35,
u2
75 0,
6
v 1 =-95/6; u2 =5, v 2 =5/6. Таким образом, получаем совокупность систем
x y
15,
x y 5,
x y
15,
x y 5,
или
x y
x y 5
1 1
95
1 1 5
95 и
;
,
,
x y
6
x y 6
xy
6
xy
6
равносильную заданной системе уравнений. Каждую решим методом подстановки. В
результате получим следующее множество решений системы:
u
(2;3);(3;2);
12
285 3 8873
;
38
285 3 8873
;
38
285 3 8873
;
38
285 3 8873
;
38
Ответ: (2;3);(3;2);
285 3 8873
;
38
Пример 4.4. Решить систему уравнений
x2
x
285 3 8873
38
285 3 8873
;
38
285 3 8873
38
y2
y
xy 13,
xy
3.
О.Д.З.: ху 0.
Воспользуемся формулой «суммы квадратов», т.е. формулой а2 +b2 =
2
(a+b) -2ab; перепишем данную систему
( x y) 2 2 xy xy 13,
( x y) 2 3xy 13,
т.е.
x y
xy 3,
x y
xy 3.
Введем новые переменные u и v, обозначим х+у=u,
Система принимает вид
v, v 0 .
u 2 3v 2 13,
u v 3.
u
v
(v
3) 2
9 3v 2 13, т.е. 2v 2 6v 4 0, т.е. v 2
v1 = 1
и
u1 =v 1 +3=4,
v2 = 2
и
u2 =v 2 +3=5.
Вернувшись к старым переменным, имеем
3v
Применив метод подстановки, получим
v2
xy
6v
34
3,
3v 2
13,
т.е.
2 0, отсюда
x
y
4,
xy 1
и
x
y 5,
xy
или
2
x y 4,
xy 1
x y 5,
xy 4.
и
Решаем первую систему: у=4-х, тогда х 2 -4х+1=0, x1
y1
2
3 и y2 2
3.
Решения второй системы: х3 =4; х4 =1, а у3 =1; у4 =4.
Ответ: 2
3; 2
3;
x2
Пример 4.5. Решить систему уравнений
y2
3 и x2
2
2
x
3; 2
2
3, а
3 ; (4;1); (1; 4).
y 8
x 2 y 2 xy 7.
Это система уравнений, симметричных относительно неизвестных, т.е. таких, которые
не изменяются при любых перестановках неизвестных. Такие системы решаются заменой
x y u,
xy v.
Воспользовавшись формулой x 2 y 2 ( x y ) 2 2 xy, получим x 2 y 2 u 2 2v и
относительно u и v система примет вид
u 2 2v u 8,
u 2 u 2v 8,
или
u 2 2v v 7
u 2 v 7.
Из второго уравнения v=u2 -7. Подстановкой в первое получаем
2
u +u -2u2 +14=8, или u2 -u-6=0, откуда и1 =-2, и2 =3. Тогда v 1 =-3, v 2 =2. Данная система
приводится к решению двух систем:
x1
3,
x 2 1,
x y
2,
и
из которой находим
y1 1
y2
3;
xy
3,
x y 3,
xy 2,
x3
1,
y3
2
2 xy
y2
11,
2
17.
из которой находим
и
x4
2,
y 4 1.
Ответ: (-3;1); (1;-3); (1;2); (2;1).
Пример 4.6. Решить систему уравнений
3x 2
x
2
2 xy
3y
Системы уравнений, левые части которых однородны относительно х и у, а правые не
содержат неизвестных, можно решать, пользуясь заменой х=ty. Введем замену х=ty; система
y 2 (3t 2 2t 1) 11,
примет вид
y 2 (t 2 2t 3) 17.
3t 2 2t 1 11
, или, после
t 2 2t 3 17
преобразований, 10t 2 +3t-4=0, откуда t 1 =-4/5, t 2 =1/2. Если t 1 =4/5, тогда из уравнения
Разделив левые и правые части уравнений (у 0), получим
35
y2 (t 2 +2t+3)=17 находим y 2
4
5
тогда x1
5 3
3
16
25
8
5
4 3
;
3
x2
1
4
1 3
Если t=1/2, тогда y 2
25
, откуда y1
3
17, или y 2
3
5 3
;
3
y2
5 3
;
3
4 3
.
3
17, или у2 = 4, откуда у3 = -2; у4 = 2, а х 3 =1/2(-2)= -1,
х 4 =1.
4 3 5 3
;
;
3
3
Ответ:
4
Пример 4.7. Решить систему уравнений
x
x
4
y
4 3 5 3
;
; ( 1; 2); (1;2).
3
3
3,
y 17.
x 0,
y 0.
О.Д.З.:
4
x
u 0,
4
y
v 0.
u v 3,
Обозначим
4
Относительно u и v система принимает вид
u
или
v 3,
u
v 17
((u v) 2 2uv) 2 2u 2 v 2 17.
Подставив значение u+v=3 из первого уравнения системы во второе, получим (92uv)2 -2u2 v 2 =17 или u2 v2 -18uv+32=0. Решая последнее, найдем uv=2 и uv=16.
Таким образом, получим совокупность двух систем уравнений:
u+v=3,
u+v=3,
uv=2
и
uv=16.
Решив уравнения, найдем u1 =1, u2 =2,
v 1 =2; v 2 =1 (вторая система не имеет решений).
Относительно х и у система принимает вид:
4
4
x 1,
y
2
4
или
4
4
x
2,
откуда
y 1,
x1
1,
x2
16,
y1
16;
y2
1.
Ответ: (1;16); (16;1).
4.1.4.Нестандартные методы решения
Пример 4.8. Решить систему уравнений
2 x 2 15 xy 4 y 2
2
2
12 x
45 y
24 0,
x
xy 2 y
3x 3 y 0.
Разложим левую часть второго уравнения системы на множители. Рассмотрим это
уравнение как квадратное относительно х:
х 2 +(у-3)х-2у2 +3у=0;
решив его, найдем х 1 =у и х 2 =3-2у. Тогда второе уравнение системы можно переписать как
(х-у)(х-3+2у)=0, равносильное двум уравнениям:
х-у=0 и х+2у-3=0.
Следовательно, данная система равносильна совокупности двух систем уравнений:
36
2 x 2 15 xy
x y 0;
4y2
12 x
45 y
24 0,
2 x 2 15 xy 4 y 2
x 2 y 3 0;
12 x
45 y
24 0,
x1
1,
y1
1;
x2
y2
решив ее, найдем
8
,
3
8
;
3
x3
y3
5,
1;
x4
1,
y4
1.
Ответ: (1;1); (5; -1); (8/3; 8/3).
xy 12,
Пример 4.9. Решить систему уравнений xz 15,
yz 20.
Перемножим левые и правые части уравнений системы, получим x2 y2 z2 =3600, или
xyz= 60. Разделив полученное уравнение на каждое из заданных, получим x 1 = 3, y1 = 4,
z1 = 5; х 2 =-3, у2 =-4, z2 =-5.
Ответ: (3; 4; 5); (-3,-4,-5).
4.2. Рациональные неравенства
Неравенства с одной переменной имеют вид
f(х) g(х); f(х)<g(х); f(х) g(х); f(х) g(х).
Решением неравенства называется множество значений переменной, при которых
данное неравенство становится верным числовым неравенством.
Методы решения неравенств
Эти методы зависят в основном от того, к какому классу относятся функции,
составляющие неравенство.
4.2.1. Линейные неравенства, т.е. неравенства вида ах+b>0 (<0, 0, 0).
Если а>0, то х>-b/a, если а<0, то х<-b/a, если а=0, b>0, то х R, а если а=0, b 0, то
х
.
Пример 4.10. Решить неравенство
x 2
2x 3 x
12 x
2( x 1)  5(3x 1)
.
3
2
3
Освободимся от знаменателей, для чего умножим обе части неравенства на
положительное число 6, оставив без изменения знак неравенства:
72х-2(х-2)+12(х+1) 30(3х-1)-3(2х+3)-2х.
Далее, последовательно получаем
72х-2х+4+12х+12 90х-30-6х-9-2х;
82х+16 82х-39; 82х-82х -39-16; 0.х -55.
Последнее неравенство верно при любом значении х, поэтому множеством его
решений (а значит, и множеством решений заданного неравенства) служит вся числовая
прямая: х (- ,+ ).
Ответ : х (- ,+ ).
37
4.2.2. Квадратные неравенства, т.е. неравенства вида ах 2 +bx+c>0 (<0, 0, 0), где
а 0. При решении неравенства ах 2 +bx+c>0 возможны следующие случаи.
1) D 0, тогда ах 2 +bx+с=а(х-х 1 )(х-х 2 ), где х1 и х2 – действительные различные корни
(х1 х2 ).
Если а>0 то (х-х 1 )(х-х 2 )>0 и х (- ,х 1 ) (х 2 ,+ ).
Если а<0, то (х-х 1 )(х-х 2 )>0 и х (х 1 , х 2 ) .
2) D<0, тогда, если а>0, х R и если а<0, х
.
3) D=0, тогда х 1 =х 2 и а(х-х 1 )2 0,если а>0, (х-х 1 )2 0 и х (- ,х 1 ) (х 1 ,+ ), если же а<0,
(х-х 1 )2 <0, х
.
Пример 4.11. Решить неравенства:
а) 2х 2 -5х+2>0; б) –2х 2 +х-1<0; в) 4х 2 -12х+9 0.
Решим неравенства графическим методом.
а) 2х 2 -5х+2>0, т.к. D=25-16=9>0, корни квадратного трехчлена действительны и
различны, следовательно , 2х 2 -5х+2=2(х-2)(х-1/2). Неравенство 2(х-2)(х-1/2)>0 или (х-2)(х1/2)>0 имеет решения х (- , -1/2) (2,+ ), т.к.
½
2
Ответ: х (- , -1/2) (2,+ ).
б) Умножим левую и правую части неравенства на –1, получим
2х 2 -х+1>0. Так как D=1-4.1.2<0, то уравнение 2х 2 -х+1=0 не имеет действительных корней,
график функции у=2х 2 -х+1 не пересекает ось Ох, он целиком расположен выше оси Ох, т.е.
у>0 при х R.
Ответ: х R.
в) Уравнение 4х 2 -12х+9=0 имеет два равных действительных корня х 1 =х 2 =3/2,
поскольку D=0. График функции у=4х 2 -12х+9 касается оси ОХ в точке х=3/2, все остальные
точки графика расположены выше этой оси, поэтому 4х 2 -12х+9 0 при х=3/2.
3/2
Ответ: х=3/2.
4.2.3. Рациональные неравенства высших степеней, т.е. неравенства вида
an x +an-1 xn-1+…+a1x+a0 >0 (<0, 0, 0), n>2.
С помощью методов решения рациональных уравнений многочлен степени n>2 надо
разложить на множители, т.е. неравенство записать в виде
an (x-x 1 )(x-x 2 )…(x-x n )>0 (<0, 0, 0).
Для решения полученного неравенства использовать метод интервалов.
n
Пример 4.12. Решить неравенство (х+5)2 (х+4)(х-1)4 (х-3)3 (х-6)<0.
38
Разделим обе части неравенства на (х+5)2 >0 при условии х -5 и на (х-1)4 при х 1.
Множитель (х-3)3 заменим на х-3, так как при любых значениях х эти выражения имеют
одинаковые знаки. Получим неравенство
(х+4)(х-3)(х-6)<0, равносильное исходному при всех х, кроме х=-5 и х=1.
Применим метод интервалов, разбив числовую ось точками х=-4, х=3, х=6, в которых
левая часть неравенства обращается в нуль; изменение знаков левой части неравенства
проиллюстрируем с помощью «кривой знаков».
+
- -5
-4
1
3
+
6
-
Так как при х>6 все множители положительны, то левая часть неравенства
положительна, при переходе через нули левой части неравенства знак
меняется на противоположный, кроме того «выколим» на числовой прямой точки х=-5 и х=1,
получим х (- ;-5) (-5;-4) (3;6).
Ответ: х (- ;-5) (-5;-4) (3;6).
Пример 4.13. Решить неравенство х 3 -6х 2 +11х-6<0.
Разложим левую часть неравенства на множители х 3 -6х 2 +11х-6=(х3 -х2 2
-5х +5х+6х-6)=(х 2(х-1)-5х(х-1)+6(х-1))=(х-1)(х 2-5х+6)=(х-1)(х-2)(х-3).
Таким образом, неравенство примет вид (х-1)(х-2)(х-3)<0.
Решим его методом интервалов:
+
-
+
1
2
-
,
3
откуда х (- ;1) (2;3).
Ответ: х (- ;1) (2;3).
4.2.4. Дробно-рациональные неравенства, т.е. неравенства вида
P( x)
R( x) ( 0, 0, 0), где P( x), Q( x) и R( x) многочлены.
Q( x)
При решении дробно-рациональных неравенств можно придерживаться следующей
схемы:
1)перенести все члены неравенства в левую часть;
2)привести в левой части полученного неравенства все члены к общему знаменателю.
P ( x)
0 ( 0, 0, 0);
В результате получим неравенство вида i
Q( x)
3)заменить дробное неравенство целым, т.е. записать его в виде
P1 ( x) Q( x) 0,
( 0, 0, 0);
Q( x) 0.
4)решить полученное неравенство по правилу решения рациональных неравенств
высших степеней (см. п.4.2.3).
Пример 4.14. Решить неравенство
1
x
39
3
2
x 3
.
Применим приведенную выше схему решения дробно-рационального неравенства:
1
3
перенесем все члены неравенства в левую часть
0; приведем к общему
x 2 x 3
x 3 3x 6
2x 9
знаменателю
0, приведем подобные
0. Заменим дробное
( x 2)( x 3)
( x 2)( x 3)
неравенство целым
-(2х+9)(х+2)(х-3)<0,
х+2 0, х-3 0. Умножив на (-1), получим (2х+9)(х+2)(х-3)>0. Применим метод интервалов:
+
-
+
-4,5
-2
х
3
-
Решением исходного неравенства будет х (-4,5;-2) (3;+ ).
Ответ: х (-4,5;-2) (3;+ ).
Пример 4.15. Решить неравенство
6x
2
3
x 12
25 x 47
3
.
10 x 15 3x 4
3
25 x 47
(3 x 4)(2 x 3) 5(2 x 3)
Представим данное неравенство в виде
приведем его к общему знаменателю. Тогда
15 (25 x 47)(3x 4) 15(2 x 3)
5(3x 4)(2 x 3)
75 x 2 71x 158
(3x 4)(2 x 3)
0,
3
3x
4
0 и
0,
79
( x 2)
75 x
71x 158
75
0,
0.
(3x 4)(2 x 3)
(3x 4)(2 x 3)
Заменим дробное неравенство целым, т.е. равносильным ему неравенством
79
4
3
x
( x 2)(3 x 4)(2 x 3) 0, x
, x
.
75
3
2
Применим метод интервалов:
75 x
2
+
+
-4/3
получим x
-
;
4
3
+
-79/75
79 3
;
75 2
3/2
(2;
-
2
).
Ответ: x
40
;
4
3
79 3
;
75 2
(2;
).
4.2.5. Неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля.
При решении неравенств, содержащих неизвестное под знаком модуля пользуемся
f ( x),
если f ( x) 0,
определением: f ( x)
f ( x), если f ( x) 0.
Полезно помнить, что решение неравенства х <a, где а>0, равносильно двойному
x
a,
неравенству -а<x<a или системе неравенств
x a,
а решение неравенства
х >a, где а>0, равносильно совокупности неравенств
x
x
a,
a.
2x 3
1.
3x 2
Это неравенство равносильно совокупности неравенств
2x 3
5x 1
1,
0,
3x 2
3x 2
или
или
Пример 4.16. Решить неравенство
2x 3
1,
3x 2
x 5
3x 2
1 2
; ,
5 3
x
или
2
;5 ,
3
+
x
+
-1/5
-
0,
отсюда
1 2
;
5 3
x
2
;5 .
3
2/3
+
+
2/3
-
5
Ответ: x
Пример 4.17. Решить неравенство 3x 2
Согласно определению модуля имеем
2
3x 2,
если x
,
3
3x 2
a
2
(3x 2), если x
,
3
x
4
4
2
;5 .
3
5.
x
x
1 2
;
5 3
4, если x 4,
( x 4), если x 4.
Разобьем числовую прямую точками, в которых одно из слагаемых обращается в
нуль.
41
3х+2
х-4
-
-2/3
+
-
4
+
+
Рассмотрим неравенство на каждом из полученных промежутков:
2
,
3
11
;
2
x
2
x
,
3
3x 2
x
x
4 5;
2
3
2
x 4,
3
3x 2 x 4 5;
x 4,
3x 2
x
11 2
;
,
2 3
x
2 7
; ,
3 4
x 4,
7
;
4
x 4,
1
x
;
2
x
4 5
11 2
;
2 3
Таким образом, x
x
2 7
;
3 4
или
нет
x
.
решений
11 7
; .
2 4
Ответ:
Пример 4.18. Решить неравенство
x2
x
x
12
3
2 x.
x, x 0,
x, x 0.
Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем
x 0,
По определению
x
x2
x 12
x 3
x 0,
x2
2 x;
x 12
2 x.
x 3
Дробно-рациональные неравенства будем решать по схеме (см. п.4.2.4).
42
x
11 7
; .
2 4
x 0,
x 0,
x2
7 x 12
x 3
x 0,
x2
5 x 12
x 3
( x 2 7 x 12)( x 3) 0,
x 3 0;
;
0
т.е.
т.е.
x 0,
( x 2 5 x 12(( x 3) 0,
x 3 0;
0;
x 0,
( x 4)( x 3) 2
x 3 0;
разделим на ( x 3) 2
0,
0
x 0,
x 3 0, т.к. x 2
5 x 12 0, для
0
3
x 0,
x 4 0,
x 3,
т.е.
x (
4
x (
,
,3),
или
x 0,
x 3;
x
), ( D 25 48 0).
x (
,3).
0, 3 ,
Ответ: х ( ;3).
4.2.6. Иррациональные неравенства
При решении иррациональных неравенств необходимо помнить, что корни нечетных
степеней рассматриваются при всех действительных значениях подкоренных выражений, а
корни четной степени – только арифметические, т.е. из 2 n x a следует х 0, а 0. Операция
возведения в четную степень возможна лишь при условии, что обе части неравенства
нетрицательны.
f ( x) g ( x) равносильно системе неравенств
Неравенство вида
f ( x) 0,
g ( x) 0,
f ( x)
Неравенство вида
f ( x)
g 2 ( x).
g ( x) равносильно совокупности двух систем
43
f ( x) 0,
g ( x) 0,
f ( x) 0,
g ( x) 0;
g 2 ( x).
f ( x)
Пример 4.19. Решить неравенство 3x x 2 4 x.
Данное неравенство равносильно системе неравенств
3x x 2 0,
x( x 3) 0,
4 x 0,
т.е. x 4,
x2
3x
(4
x) 2 ,
2x 2
11x 16 0.
2
Так как 2х -11х+16>0 при х R, то полученная система неравенств равносильна
системе
x( x 3) 0,
x 4.
0
3
+
+
Итак, х [0, 3].
4
Ответ: х [0, 3].
Пример 4.20. Решить неравенство x 2 3x 2 x 3.
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем
x 3 0,
x 3 0,
x 2 3x 2 0,
2
x
3x 2 0;
x 2 3x 2 ( x 3) 2 .
Второе неравенство второй системы можно опустить как следствие третьего
неравенства той же системы.
Решение первой системы:
x 3 0,
x
3,
или
( x 2)( x 1) 0;
x 1, x
т.е. х<-3.
2;
Вторая система имеет решение
x
3,
x
3,
или
7 , т.е. x
9x
7;
x
9
7
.
9
3,
Объединив найденные множества решений систем, получим x
,
7
.
9
Ответ: x
Пример 4.21. Решить неравенство
4
2
Обозначим
2
x
t
(t
0).
44
x
2
x
2.
,
7
.
9
4
4 t 2 2t
t 2 0
0.
t
t
Так как t>0, то 4-t 2 -2t<0 или t 2 +2t-4>0, т.е. неравенство относительно новой
переменной t можно представить в виде следующей системы неравенств
Тогда получаем
t ( 1
t 0,
t
1
5 ) (t
( 1
5 )) 0,
решение которой
5.
+
+
-1- 5
-1+ 5
0
Перейдем к первоначальной переменной: 2
x
1
5
2
x 0,
x 2,
x 2,
2
x ( 5 1) 2 ;
2
x 2 5
x 5 2 5 1;
4;
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задания № 1-5. Решить системы уравнений.
Задания № 6-15. Решить неравенства.
ВАРИАНТ1
1.
2.
x
x
2
3 x 2 0,
xy y 0.
x2
y2
3x 2
2 x 10 y
3y 2
1
3.
x
4.
x
3
2
x
y
x
7.
y
2 xy
3y 2
9,
4 xy
2
5.
y
x
5y
4 0.
2,
y
4
y
x2
x
5.
1
y
x
4x 6 y
6 0,
5
,
2
x 2 y 2 15.
5x 6
1.
6.
x 6
x 2 4x 4
0.
7. 2
2x
x 1
45
x 2 5
4.
2( x 3)
1
.
x ( x 6) x 1
9.(х-1)3 (х-2)2 (х-3)5(х-4)>0.
3x 1
10.
3.
x 3
8.
11.
x2
5x 6
x 7
12. x
3
x 3
13. ( x 1) x 2
14. x
0.
x 2
78
x
0.
6.
x2
15. 1 x
2.
2x.
ВАРИАНТ 2
2
1.
2.
( x 0,2)
(y
x y 0,9.
x3
y3
x2 y
3.
xy 2
20.
y
(x
9,
20.
y
4.
2x 2
x
5.
3xy
2
2 xy
x y
1,
65,
x
y
y) x
x
0,3)
2
y2
3,
2
6.
2y
y x
6,
x 2 y y 2 x 20.
5x 8
6.
2.
4 x
( x 1)( x 2) 2
0.
7.
1 x
2( x 4 )
1
.
8.
( x 1)( x 7) x 2
9. x 8
10.
11.
6x 7
2
x
x2
12. x
13. ( x 2
9x 4
x2
6x
9 0.
1.
4
6x 7
x 4
2
0.
x 1
1) x 2
14. x 18
2
x 3
x 2
4.
0.
x.
46
x2
15. 5
x 1.
ВАРИАНТ 3
3x y x y
1. x 1
2y
x y 4.
2.
x2
y 1,
2
x 1.
y
3.
4.
x
y
x2
y2
xy
2
x
x
7.
4 xy 3x 2
2
y
17,
16.
y 2
2x 1
2x 1
y 2
5.
6.
xy 5,
2y2
y
2,
2,
2.
4
2
1.
x 1 1 x
x 2 5 x 12
3.
7. 2
x
4x 5
( x 2)( x 2 2 x 1)
8.
4 3x x 2
2x
1
.
9. 2
x
9 x 2
2x 1
10.
2.
x 1
x 2 7 x 10
0.
11. 2
x
6x 9
9
x 2.
12.
x 5 3
13. ( x 1) x 2
14. x
15. x
7
2
0.
x 2
0.
x.
x
2
x 1.
ВАРИАНТ 4
x 3 x 1
1. y 4 y 4
11x 3 y 1.
16
y
2
16
0,
47
2.
(x
y)( x 2
y 2 ) 5,
(x
y)( x 2
y 2 ) 9.
3.
4.
2
x
x
2
y
3
3
y
x2
xy
y2
2 xy 15 0.
x
6. 2
32.
y2
y
x
x
y
5.
3,
21,
3
,
2
y
xy 9.
3
2
.
x
x 1
x 2 3x 24
4.
x 2 3x 3
( x 2 1)( x 2 3 x 2) 2
0.
8.
( x 5) 3 ( x 2 4 x 3)
7
9
1 0.
9.
( x 2)( x 3) x 3
7.
10.
11.
3x
x
2
4
1.
x 3
x
2
5x 6
7
x
12.
x 1 3
13. ( x
2) x 2
2.
2.
2 x 3 0.
14. 2 x 1
x
2.
15. x
2
5x
2
x
4.
48
5. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
Можно предложить следующую схему решения текстовых задач:
выбирают удобные для описания условия задачи неизвестные;
составляют необходимые уравнения или системы уравнений (реже неравенства);
решают полученные уравнения или системы уравнений;
отбирают подходящие по смыслу задачи решения.
5.1. Задачи на движение
Принятые обозначения: расстояние – S, L; скорости тел – u, w, … или
,
, …;
время движения – t, T.
Обычно в качестве неизвестных выбирают расстояние и скорости движущихся тел.
Время в качестве неизвестного выбирается достаточно редко, так как в этом случае
запись условий задачи получается громоздкой.
5.1.1. Равномерное движение по прямой
Напомним следующие часто использующиеся при решении задач, допущения.
1) Движение на отдельных участках считается равномерным, и пройденный путь
определяется соотношением – S=vt.
2) При движении тела по течению реки, его скорость относительно берега w
слагается из скорости тела в стоячей воде (собственной скорости) u и скорость
течения реки v: w=u+v; при движении против течения: w=u-v. Тела, не
имеющие двигателей (плот, бревно и т. д.), обладают скоростью течения реки:
w=v.
3) В задачах со встречами тел: при движении тел на встречу друг другу они
встречаются через время
S
v1 v2
( где S – начальное расстояние между телами;
движении тел в одну сторону (
и
–скорости тел); при
) они встречаются через время
>
S
v1 v2
(первое тело догоняет второе).
Пример 5.1. Из пункта А в 12 ч вышел поезд. В 14 ч в том же направлении вышел
другой поезд. Он нагнал первый поезд в 20 ч. Найти скорости поездов, если при
49
одновременном движении навстречу друг другу из городов, расстояние между которыми
420 км, эти поезда встречаются через 6 ч.
Пусть скорость первого поезда -
, скорость второго -
,
>
второго поезда первый находился в пути 2 ч и прошел за это время
движения второго поезда, расстояние между поездами составляло
. До отправления
, (км). К началу
. Так как второй поезд
нагнал первый в 20 ч (т.е. через 6 ч после начала движения), то имеем уравнение
2v1
v 2 v1
6.
При движении навстречу друг другу при расстоянии 420 км поезда встречаются также
через 6 ч. Поэтому получаем уравнение
420
v2
6.
v1
Итак имеем систему уравнений
2v1
v2 v1
420
v2 v1
6
6
Или
4v1
3v2
v1 v2
70
.
Решив эту линейную систему уравнений, найдем: v1 =30 км/ч, v 2 =40 км/ч.
Для
наглядности
рекомендуем
сопровождать
задачи
рисунками,
схемами,
диаграммами и т. д. На рисунке изображены условия первой встречи поездов. Сначала из
пункта А выезжает первый поезд со скоростью v1 . Через два часа первый поезд находится в
точке В (на расстоянии АВ=2 v1 , от пункта А) и в этот момент из пункта А выезжает второй
поезд со скоростью v 2 . В пункте С второй поезд догоняет первый и это происходит через 6 ч
после выхода второго поезда.
А
(12ч)
С
В
(20ч)
(14ч)
50
На следующем рисунке изображены условия второй встречи поездов. Теперь поезда
выходят одновременно из пунктов D и Е (с теми же скоростями что и раньше) навстречу
друг другу. Расстояние DE=420 км и встреча происходит в пункте F через 6 часов после
начала движения.
Е
D
F
420 км
После этих рисунков составленные уравнения становятся более наглядными.
5.1.2. Движение по окружности с постоянной скоростью
Пример 5.2. Два тела движутся по окружности равномерно в одну сторону. Первое
тело проходит окружность на 2 с быстрее второго и догоняет второе тело каждые 12 с.
За какое время каждое тело проходит окружность?
Пусть длина окружности S и скорости тел
окружности первым телом
S
S
, вторым –
и
1
2
(
1
>
2
). Тогда время прохождения
. Так как первое тело проходит окружность на
2
1
2 с быстрее второго, то имеем уравнение:
S
S
2
1
2 . Кроме того, известно, что первое тело
догоняет второе каждые 12 с. Поэтому запишем уравнение
S
12 .
1
S
По условию задачи надо найти времена
2
S
и
. Из второго уравнения имеем
2
1
S 12(
1
2
).
Подставив в первое уравнение, получим
12(
1
2
) 12(
2
1
2
)
2.
1
Сократив все члены уравнения на 2, и разделив дроби почленно, имеем:
6
1
1
61
2
Введя замену неизвестной x
1
2
1.
1
, получим квадратное уравнение: , корни которого
2
51
x
2
и x
3
3
. Тогда
2
3
.
2
1
2
Отсюда первое тело проходит окружность за 4 с, второе
– за 6 с.
5.2. Задачи на работу и производительность труда.
Принятые обозначения: работа – А, V; производительность труда (работа в единицу
времени) – N; время работы–t. При этомA=Nt.
В качестве неизвестных обычно выбирают работу и производительность труда.
Пример 5.3. Первый рабочий может выполнить некоторую работу на 4 ч раньше,
чем второй. Вначале они 2 ч работали вместе, после чего оставшуюся работу выполнил
один первый рабочий за час. За какое время может выполнить всю работу второй
рабочий?
Пусть объём всей работы A, производительность труда первого рабочего
.Тогда первый рабочий выполнит всю работу за время
уравнение:
A
N1
A
N2
, второго –
A
A
, второй –
. Получаем
N2
N1
4
Запишем второе условие задачи. За два часа совместного труда рабочие сделали
2( N1
N 2 ) , за час первый рабочий сделал N1 , в итоге работа была выполнена:
2( N1
N2 )
A
.
Получаем систему уравнений:
A
N2
A
N1
4;
3 N1 2 N 2
из которого надо найти
A.
A
. Из второго уравнения имеем:
N1
N1
A 2N 2
.
3
Подставив это выражение в первое уравнение, получим:
A
N1
3A
A 2N2
или
52
4
A2 9 AN 2 8 N 22
0.
Отсюда имеем
A 8N 2 ; A N 2 .
Второе решение, очевидно, не подходит, так как если один второй рабочий может
сделать всю работу за 1 час, то это противоречит условиям задачи. Итак, второй рабочий
сделает всю работу за 8 часов.
5.4. Задачи на процентное содержание и концентрацию
Пример 5.4. Расстояние от Москвы до Ленинграда составляет 650 км, а расстояние от
Москвы до Тулы 30% предыдущего расстояния. Найти расстояние от Москвы до Тулы.
Прежде всего, найдём 1% от 650 км. Так как 1% - сотая доля этой величины, то 1% от 650
км составляет 6,5 км. Тогда 30% от 650 км будут равны величине в 30 раз большей, т. е.
6,5 30 195км . Итак, расстояние от Москвы до Тулы 195 км.
Пример 5.5. Один сплав содержит два металла, массы которых относятся как 2:3, а в
другом сплаве массы этих же металлов относятся как 3:7. Какие массы первого и второго
сплавов надо сплавить вместе, чтобы получить третий сплав, массой 1,5 кг, в котором эти
металлы (по массе) находились бы в отношении 1:2?
Пусть сплавы состоят из металлов А и Б. Для удобства дальнейшие рассуждения будем
иллюстрировать диаграммой.
А
Б
1-й сплав x (кг)
A
Б
2-й сплав y (кг)
A 0,5
Б 1,0
3-й сплав (1,5 кг)
Пусть 1-й сплав содержит xкг, 2-й сплав – yкг обоих металлов.
Найдём вес каждого из металлов в отдельности в этих сплавах.
Рассмотрим сначала первый сплав. Пусть, x A и x Б – вес каждого и металлов в этом
сплаве. Тогда по условию задачи имеем:
xA
xБ
xA
xБ
x,
2
.
3
53
Отсюда:
2
xБ
3
xБ
x
.
Отсюда
xБ
3
x
5
xA
2
x.
5
и тогда
Полностью аналогично находятся веса металлов во 2-м и 3-м сплавах.
Так как третий сплав был получен из первых двух, то соответствующие металлы А и Б
перешли из первого и второго сплавов в третий. Поэтому запишем эти условия:
2
x 0,3x 0,5;
5
3
x 0,7 x 1.
5
Заметим, что вместо второго уравнения системы можно было записать и более простое
условие на вес сплавов: x + y= 1,5(в нашем случае это условие получается при сложении
уравнений системы). Решив полученную систему линейных уравнений найдём единственное
решение: x=0,5; y= 1.
В тех случаях, когда задача содержит параметры, необходимо учитывать те
ограничения на параметры, которые следуют из условий задачи.
5.5. Задачи на числа
Пример 5.6. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном
получится 3, а в остатке 7. Если из суммы квадратов цифр этого числа вычесть
произведение его цифр, то в результате получится данное двузначное число. Найти это
число.
Обозначим через a и b, соответственно, число десятков и число единиц искомого
числа 10a+b. Отметим, что a и b − натуральные числа, не превосходящие 9, причем b
может быть равно нулю. Составим по условиям задачи систему уравнений для
определения a и b:
54
10a b
7
3
,
a b
a b
a 2 b 2 ab 10a b
10a b
3(a b) 7,
a2
ab 10a b
b2
7(a 1)
,
2
39a 2 138a 63 0
b
a
b
7(a 1)
b
,
2
a 3
7
a
13
a
b
3,
7,
7
,
13
21
.
13
Второе решение системы следует отбросить, так как a и b − натуральные числа. Таким
образом, искомое число есть 37.
6. ПРОГРЕССИИ
6. 1. Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия - числовая последовательность
a1 , a 2 ,...,a n ,... определяемая условиями:
1)
2) a n
an
1
d
(d − разность арифметической прогрессии).
Свойства арифметической прогрессии:
Формула n-го члена:
Формулы суммы n первых членов:
Пример 6.1. Купец имел 14 чарок серебряных, причём веса чарок растут по
арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить,
сколько весят все чарки?
S14
a1 a14
14 7 a1 a14 ,
2
55
d = 4,
59 , a14
a14
S14
a1 13d , a1 59 13 4 7 ,
7(7 59)
462 .
Ответ: 462 лата
Пример 6.2. Лестница имеет 100 ступеней. На первой ступени сидит 1 голубь, на
второй – 2, на третьей – 3, так на всех ступенях до сотой. Сколько всего голубей?
S100
2a1 99d
100 101 50 5050
2
Ответ: 5050 голубей
6. 2. Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия - числовая последовательность b1 , b2 ,...,bn ,... определяемая
условиями:
n = 1, 2, ... (q - знаменатель геометрической прогрессии).
Свойства геометрической прогрессии:
Формула n-го члена:
Формулы суммы n первых членов:
.
56
Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
Пример 6.3. Составьте конечную геометрическую прогрессию из шести членов, зная,
что сумма трех первых членов равна 14. а трех последних 112.
b1 b2 b3 14,
b1 (q 3 1)
q 1
3
b4 b5 b6
14,
b1 (q 2
3
b1 q (q 1)
q 1
3
b1 q (q
112,
112.
q 1) 14,
2
q 1) 112.
Решая полученную систему, находим, что b1 =2, q=2.
Имеем конечную геометрическую прогрессию 2, 4, 8, 16, 32, 64.
Ответ: 2, 4, 8, 16, 32, 64.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ВАРИАНТ 1
1. Если двузначное число уменьшить на сумму его цифр, то получится 405. Если число,
записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, умножить на сумму его цифр, то
получится 486. Найдите это число.
2. Авиалинию, связывающую пункты А и В, обслуживают самолеты трех типов. Каждый
самолет первого, второго и третьего типов может принять на борт соответственно 230, 110 и
40 пассажиров, а также 27, 12 и 5 контейнеров. Все самолеты, используемые на линии, могут
принять на борт одновременно 760 пассажиров и 88 контейнеров. Найдите количество
используемых на линии самолетов каждого типа, если их общее число не превосходит 8.
3. Первый член арифметической прогрессии равен 3, разность прогрессии равна 2. Найдите
десятый член и сумму первых двенадцати первых членов прогрессии.
4. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления,
затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость
лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч.
5. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же
места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго.
Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?
57
6. Между числами 1 и1/8 вставьте два положительных числа так, чтобы получились четыре
последовательных члена геометрической прогрессии.
7. При сушке ромашки теряется 85% первоначального веса. Учащиеся собрали 105 кг цветов
ромашки. Достаточно ли этого количества, чтобы выполнить взятое обязательство – сдать в
аптеку 15 кг сухой ромашки?
8. . Имеется два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение золота к меди
равно 1 : 2, а во втором 2 : 3. Если сплавить 1/3 первого слитка с 5/6 второго, то в
получившемся слитке окажется столько золота, сколько было бы в первом меди, а если 2/3
первого слитка сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке окажется меди на 1
кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?
9. В 400 г воды растворили 80 г соли. Какова концентрация полученного раствора?
10. Найдите сумму всех трехзначных чисел от 100 до 450, дающих при делении на 8 в
остатке 5.
11. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел
на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость
путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
12. Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со
скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость
автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
13. Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города A в город B со скоростью 60
км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал
со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили
встретятся? Ответ дайте в километрах.
14. Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один
круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на один круг. За
сколько минут второй лыжник проходит один круг?
15. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 80 км, выехал автобус. В середине
пути он был задержан на 10 мин, но увеличив скорость на 20 км/ч, прибыл в пункт В
вовремя. С какой скоростью автобус проехал первую половину пути?
ВАРИАНТ 2
1. Произведение цифр двузначного числа в 3 раза меньше самого числа. Если к искомому
числу прибавить 18, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном
порядке. Найдите это число.
2. Пятый член арифметической прогрессии равен 10, а сумма ее первых восьми членов равна
20. Найдите эту прогрессию.
3. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна15 км, одновременно в одном
направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч,
скорость второго равна 80 км/ч. Сколько минут с момента старта пройдет, прежде чем
первый автомобиль будет опережать второй ровно на 1 круг?
58
4. Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу
одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их
скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?
5. . Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час — со скоростью
100 км/ч, а затем два часа — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля
на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
6. . Найдите те значения переменной t, при которых числа t, 4t, 8 являются
последовательными членами геометрической прогрессии.
7. Разность между вторым и первым членами геометрической прогрессии равна -6, а
разность между третьим и вторым её членами равна 12. Чему равна сумма первых пяти
членов прогрессии?
8. . В сосуде находится определенное количество смеси воды с кислотой. Чтобы уменьшить
концентрацию кислоты на 34% (было p%, а стало p-34%) в сосуд надо долить 3 л воды, а
чтобы уменьшить её на 17%, надо долить 1 л воды. Какова концентрация кислоты в сосуде?
9. Имеется три слитка золота массой 2 кг, 3 кг и 5 кг с различным процентным содержанием
золота. Каждый слиток разделен на три куска и из 9 получившихся кусков получили три
слитка массой 2 кг, 3 кг и 5 кг, но уже с равным процентным содержанием золота. На какие
части следует разделить каждый слиток, чтобы гарантировать равное процентное
содержание золота в получившихся слитках независимо от его содержания в исходных
слитках.
10. Из пункта А в пункт В, между которыми 70 км, выехал велосипедист. Через некоторое
время вслед за ним выехал мотоциклист со скоростью 50 км/ч и догнал велосипедиста в 20км
от пункта А. Продолжая движение, мотоциклист доехал до пункта В и через 36 минут
повернул обратно и встретился с велосипедистом через 3часа 20 минут после начала
движения велосипедиста. Какова скорость велосипедиста?
11. Расстояние между городами A и B равно 470 км. Из города A в город B выехал первый
автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 60
км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили
встретились на расстоянии 350 км от города A. Ответ дайте в км/ч.
12. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 10 км, одновременно в одном
направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 90 км/ч, и
через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один крут. Найдите скорость
второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
13. Из пункта А отправили по течению реки плот. Через 5 часов 20 мин вслед за ним из A
вышла моторная лодка и догнала плот на расстоянии 20 км от А. С какой скоростью двигался
плот, если известно, что моторная лодка шла быстрее его на 12км/час
14. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и
четвертого ее членов равна -20. Чему равна сумма первых шести членов прогрессии?
15. Найдите четырехзначное натуральное число, в котором цифра тысяч, цифра сотен и
двузначное число, составленное из его двух последних цифр, образуют геометр. прогрессию,
а его три последние цифры арифметическую
59
ВАРИАНТ 3
1. Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80 т, но один вагон оказался загружен
не полностью. Тогда весь груз переложили в вагоны вместимостью по 60 т, однако
понадобилось на 8 вагонов больше и при этом все равно один вагон остался не полностью
загруженным. Наконец, груз переложили в вагоны вместимостью по 50 т, однако
понадобилось еще на 5 вагонов больше, при этом все такие вагоны были загружены
полностью. Сколько тонн груза было?
2. Седьмой член арифметической прогрессии рапвен2, а сумма ее первых тринадцати членов
равна 26. Найдите эту прогрессию.
3. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально
противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут
мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше
скорости другого?
4. Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после
него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй
велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего
велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал
первого. Ответ дайте в км/ч.
5. Третий член геометрической прогрессии равен 2, а шестой равен 54. Найдите первый член
прогрессии.
6. Катя ест пирожок с малиновым вареньем. После каждого откусывания масса пирожка
уменьшается на 20%. После второго откусывания она составила 160г. Какой она была
вначале? Сможет ли Катя при таких условиях доесть пирожок?
7. Имеется два слитка, представляющие собой сплавы цинка с медью. Масса первого слитка
2 кг, масса второго – 3 кг. Эти два слитка сплавили вместе с 5 кг сплава цинка с медью, в
котором цинка было 45 %, и получили сплав цинка с медью, в котором цинка стало 50%.
Если бы процентное содержание цинка в первом слитке было бы равно процентному
содержанию цинка во втором, а процентное содержание цинка во втором такое же как в
первом, то сплавив эти два слитка с 5 кг сплава, в котором содержится 60% цинка, мы бы
получили сплав, в котором цинка содержится 55%. Найдите процентное содержание цинка в
первом и втором слитках.
8. Решить уравнение
9. Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны
соответственно 15км/ч и 20км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?
10. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном
направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и
через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость
второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
11. . Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со
скоростью 120 км/ч, а последнюю — со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость
автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
12. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и
четвертого ее членов равна -20. Чему равна сумма первых шести членов прогрессии?
60
13. Дана геометрическая прогрессия:8; -4; … . Найдите номер члена этой прогрессии,
равного 1/32.
14. Вкладчик взял из сбербанка 25% своих денег, потом 4/9 оставшихся и ещё 64 тыс. р.
После этого у него осталось на сберкнижке 15 % всех его денег. Как велик вклад?
15. Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист.
Мотоциклист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились
они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?
ВАРИАНТ 4
1. В автопарке имеются машины двух марок − ЛиАЗы и Икарусы. В один из дней на линию
вышли одна треть ЛиАЗов и все Икарусы, причем машин на линии оказалось не более 8. На
другой день на линию вышли половина Икарусов и все ЛиАЗы, при этом машин вышло не
более 10. Определите, какое наибольшее количество машин может быть в автопарке и
сколько при этом среди них ЛиАЗов и Икарусов.
2. Шестой член арифметической прогрессии равен 5, а сумма ее первых одиннадцати членов
равна 50. Найдите эту прогрессию.
3. От пристани А до пристани В катер плывет по реке 15 минут, а обратно 20. Найти
скорость течения реки, если собственная скорость катера 14 км/ч.
4. Какова мах скорость бегуна если известно что на разгон ему надо 3,4 сек и стометровку он
пробегает за 10 сек?
5. . Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним
отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в
первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость
мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
6. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в
четвертый раз поравняется с часовой?
7. Из городов A и B, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу
одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от
города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.
8. Расстояние между городами A и B равно 150 км. Из города A в город B выехал
автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист,
догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль
прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.
9. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а
вторую половину времени — со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля
на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч
10. Первую половину времени, затраченного на все путешествие, турист двигался со
скоростью 4 км/ч, а вторую половину времени - со скоростью 6 км/ч. Какова средняя
скорость движения туриста на протяжении всего путешествия?
61
11. Сумма второго и третьего членов геометрической прогрессии равна 6, а знаменатель
прогрессии равен 2. Найдите первый член прогрессии.
12. Найдите четыре числа, из которых первые три составляют геометрическую прогрессию, а
последние три - арифметическую, если сумма крайних чисел равна 32, а сумма средних
чисел равна 24.
13. Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 42, те же числа составляют
1, 2 и 6 члены возрастающей арифметической прогрессии. найти эти числа.
14. Имеется два разных сплава меди со свинцом. Если взять 1 кг первого сплава и 1 кг
второго сплава и переплавить их, то получится сплав с содержанием 65% меди. Известно,
что если взять кусок № 1 и кусок № 2 первого и второго сплавов соответственно, имеющих
суммарную массу 7 кг, и переплавить их, то получится сплав с содержанием 60% меди.
Какова масса меди, содержащаяся в сплаве, получающемся при совместной переплавке куска
первого сплава, равного по массе куску № 2, и куска второго сплава, равного по массе куску
№ 1?
15. Имеется три слитка: первый слиток – сплав меди с никелем, второй – никель с цинком,
третий цинка с медью. Если сплавить первый кусок со вторым, то процент меди в
получившемся слитке будет в два раза меньше, чем он был в первом слитке. Если сплавить
второй слиток с третьим, то процент никеля в получившемся слитке будет в три раза меньше,
чем он был во втором слитке. Какой процент цинка будет содержать слиток, получившийся
при сплаве всех трех слитков, если во втором слитке было 6% цинка, а в третьем – 11%?
7. ТРИГОНОМЕТРИЯ
7.1. Тригонометрические выражения.
7.1.1. Основные понятия
Обобщенным углом АОА¹ называется угол поворота луча ОА¹ вокруг точки О от своего
начального положения ОА. Углы, полученные вращением угла ОА¹ против часовой стрелки,
считаются положительными, по часовой стрелке – отрицательными.
А¹
α
А
В тригонометрии величины углов, как правило, измеряются в радианах и значительно реже в
градусах. При этом за угол в 1 радиан (1рад; слово «рад» обычно не пишут) принимают
центральный угол, опирающий на дугу окружности длиной, равной радиусу окружности; за
угол в 1 градус (1°) – центральный угол, опирающийся на дугу окружности длиной, равной
1/360 длины окружности. Между этими мерами существует простое соотношение.
62
Так как значения тригонометрических функций не зависят от радиуса R рассматриваемой
окружности, то обычно длину радиуса выбирают равной единице. В таком случае
окружность называют единичной.
Тогда тригонометрические функции имеют наглядный
смысл
y=sin
1
y=cos
y
1
А¹
y
α
-1
0
y
А
y
А¹
α
А
x
x
1
-1
-1
0
1
X
-1
Синус угла α равен ординате у конца подвижного единичного радиуса – вектора ОА¹ ,
образующего угол α с положительной полуосью абсцисс.
Косинус угла α равен абсциссе х конца подвижного единичного радиуса-вектора ОА¹,
образующего угол α с положительной полуосью абсцисс.
Линией тангенсов называется прямая, заданная уравнением х = 1.
Тангенс угла α равен ординате у точки М пересечения линии тангенсов и продолжения
подвижного единичного радиуса – вектора ОА¹, образующего угол α с положительной
полуосью абсцисс.
y
1
y
А¹
M
y
α
-1
0
А 1
M
1
А¹
α
А
x
x
-1
-1
0
-1
Линией котангенсов называется прямая, заданная уравнением y = 1.
63
1 xᴹ
Котангенсом угла α равен абсциссе х точки М пересечения линии котангенсов и
продолжения подвижного радиуса вектора ОА¹, образующего угол α с положительной
полуосью абсцисс.
Пример 7.1. Найти
A
3 sin 2
sin
cos
2 cos 2
sin 2
cos 2
,
если
sin
sin
cos
2 cos
2.
Найдем связь между sinα и cos α, используя условие задачи:
sin α + cos α = 2sin α – 4cos α
или 5cos α = sin α.
Подставив sin α в выражение А, получим A
71
27
Рассмотрим новое свойство функций – периодичность.
Функция у(х) называется периодичной с периодом Т (Т – число, Т≠ 0), если для любого
х0
Х (Х – область определения функции) выполнены для условия:
а) точка (х 0 + Т) Х,
б) у(х 0 + Т) = у(х 0 ), т.е. значения функции у(х) в точках х = х 0 + Т
и х = х 0 совпадают.
Понятие периодичности означает, что функция у(х) регулярно повторяется.
На рисунке схематично изображен график периодичной функции у(х). Видно, что при х = х 0
+ Т и при х = х 0 значения функции у(х) одинаковы.
у
Т
y(х 0 )
х0 -Т
х0
64
х 0 +Т
х
Приведем в таблице основные свойства тригонометрических функций.
Свойства
Функции у(х)
Область
определения
Область
изменения
Ограниченность
Честность
Периодичность
Нули функции
(у = 0)
Функции у(х)
y=cosx
y=sinx
R
y = tg x
R
[-1;1]
x
[-1;1]
ограничена
нечетная
sin(-x) =
= -sin x
Т = 2π
sin(x + 2π)=
= sin x
x = πn
четная
cos(-x) =
= cos x
Т = 2π
cos(x + 2π)=
= cos x
2
x
n
2
R
ограничена
x=
y=ctgx
R
не
ограничена
нечетная
tg(-x) =
= -tg x
Т=π
tg(x + π)=
=tg x
x = πn
+ πn
n
не
ограничена
нечетная
сtg(-x) =
= -ctg x
Т=π
ctg(x + π)=
= ctg x
x=
2
+ πn
7.1.2. Связь между функциями одного угла
Эти тождества следуют из определения тригонометрических функций.
sin 2
tg
cos 2
sin
cos
ctg
n
)
2
(
cos
sin
(1)
1
(
(2)
(3)
n)
Формулы (1 – 3) позволяют по значению одной функции угла α найти все остальные.
Пример 7.2. Упростить выражение A
1 2 sin 2
1 2 sin cos
tg
tg
1
.
1.
В первой дроби заменим единицу по формуле (1), во второй дроби используем
соотношение (2):
65
A
sin
cos
sin
cos
sin 2
cos 2
2 sin 2
sin 2
cos 2
2 sin cos
(sin
1
1
cos 2
(sin
sin 2
cos ) 2
sin
sin
sin
sin
cos
cos
cos )( sin
cos )
2
(sin
cos )
cos
cos
0
С использованием (1–3) по известным комбинациям тригонометрических функций с
учётом формул сокращённого умножения могут быть найдены их неизвестные комбинации.
7.1.3. Функции суммы и разности углов
Заметим, что эти формулы основополагающие и с их помощью могут быть получены
практически все соотношения, используемые в тригонометрии.
sin(
cos(
)
)
sin
cos
cos cos
(4)
cos sin
 sin
(5)
sin
Пример 7.3. Найти cos15 0 .
cos 15 0
cos(45 0
2
2
30 0 )
3
2
2 1
2 2
6
2
2
.
Таким образом, формулы (4 – 5) позволяют расширить значения тригонометрических
функций, приведенных ранее в таблице.
7.1.4. Преобразования произведения функций в сумму
sin sin
1
(cos(
2
) cos(
))
(6)
cos cos
1
(cos(
2
) cos(
))
(7)
1
(sin(
2
) sin(
))
(8)
sin
cos
Пример 7.4. Вычислить A sin 15 0 cos 7 0
cos110 cos 79 0
sin 4 0 sin 86 0 .
Используя формулы (6−8), запишем
A
1
(sin 80
2
1
(sin 80
2
sin 22 0
sin 22 0 )
1
(cos 68 0
2
cos 68 0
cos 82 0 )
cos 90 0 )
1
(sin 80
2
66
1
(cos 82 0
2
sin 22 0
cos 90 0 )
sin 22 0
sin 80 )
0
7.1.5. Преобразование суммы функций в произведение. Функции кратных углов
sin
sin
sin
2 sin
cos
2
sin
2 sin
cos
cos
2 cos
cos
cos
2 sin
sin 2
2 sin cos .
cos
2
cos 2
cos 2
cos
2
sin
2
sin 2
Пример 7.5. Упростить выражение
,
2
2
2
(9)
,
(10)
,
(11)
.
(12)
2
(13)
.
(14)
sin 3
sin cos 2
sin 3
sin
.
Воспользуемся формулами (4) и (9):
sin 3
sin cos 2
sin 3
sin
sin
cos 2
cos sin 2
2 sin 2 cos
sin
Пример 7.5. Упростить выражение
sin 2
cos 2
cos 2
1
.
2
sin 4
cos 4
sin 6
cos 6
sin 8
.
cos 8
Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе:
(sin 2
(cos 2
sin 8 ) (sin 6
cos 8 ) (cos 6
sin 4 )
cos 4 )
2 sin 5 cos 3
2 cos 5 cos 3
2 sin 5 cos
2 cos 5 cos
sin 5
cos 5
tg 5 .
7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства
В начале этого раздела остановимся вкратце на обратных тригонометрических фун кций.
Напомним решения простейших тригонометрических уравнений.
sin x= a x =(-1)k arcsin a +πk (|a|≤1), k Z
cos x = a x = ± arccos a + 2πk (|a|≤1), k Z
tg x = a x = arctg a +πk,
k Z
ctg x = a x = arctg a + πk,
k Z
Пример 7.6. Решить уравнение sin 2 x
3
1.
Это частный случай:
67
(17)
(18)
(19)
(20)
2x
3
2
2 k, k
Z.
Отсюда
2x
5
6
2 k, k Z.
x
5
6
k, k Z.
И
7.2.1. Замена неизвестной
Если в уравнении тригонометрические функции удается выразить через одну
функцию, то эту функцию можно выбрать в качестве новой неизвестной.
Пример 7.8. Решить уравнение 5-7 sin x = 3cos2 x.
Используя основные тригонометрические тождества, выразим cos 2 x = 1 - sin2 x и запишем
уравнение в виде
5 - 7sin x = 3(1- cos2 x)
или
5-7sin x = 3 - 3 sin2 x
или
3sin2 x -7sin x + 2 = 0.
Выведем новую неизвестную y = sin x и получим квадратное уравнение
3y2 - 7y + 2 = 0,
корни которого y1 =1/3 и y2 =2. Вернемся к старой неизвестной x. Получаем простейшее
1
тригонометрическое уравнение. Его решение x ( 1) k arcsin
k,k Z.
3
Пример 7.9. Решить уравнение 2sin x + 5 cos x =0.
Данное уравнение является однородным уравнением первой степени. Проверим, что cos x = 0
не удовлетворяет уравнению. При постановке cos x = 0 в уравнении получаем 2sin x = 0 или
sin x = 0. Но, если cos x = 0 u sin x =0, то не выполняется основное тригонометрическое
тождество. Следовательно, таких значении x не существует.
Разделим все члены уравнения на cos x (т.к .cos x ≠ 0):
2tg x + 5 = 0.
Получаем простейшее тригонометрическое уравнение tg x = - 5/2, его решение x = -arctg5/2
+ πk , k Z . Здесь учтено, что функция арктангенс − нечетная.
Пример 7.10. Решить уравнение 2sin2 x + 5sin x cos x + 5cos2 x = 1.
Левая часть уравнения представляет собой однородный многочлен второй степени про
переменным sin x и cos x. Однако в правой части уравнения стоит число 1. Поэтому,
используется основное тригонометрическое тождество, запишем число 1 также в виде
однородного многочлена второй степени:
1 = sin2 x + cos2 x.
Получаем уравнение:
2sin2 x + 5sin xcos x + 5cos2 x = sin2 x +cos2 x
или
sin2 x + +5sin xcos x + 4cos2 x = 0.
Такое уравнение является однородным.
68
Можно проверить, что значение cos = 0 не удовлетворяет этому уравнению. Разделим все
члены уравнения на cos2 x (т.к. cos х≠ 0). Имеем:
tg2 x + 5tg x + 4 = 0.
Введем новую неизвестную y = tg x и получим квадратное уравнение
y2 + 5y + 4 = 0,
корни которого y1 = -1и y2 = -4. Вернемся к старой неизвестной x. Имеем простейшее
тригонометрическое уравнения: tg x = -1 (его решения x = arctg (-1) + πk = -π/4 + πk, k Z ) и
tg x = -4 (решения x = -arctg4 + πk, k Z ).
Пример 7.11. Решить уравнение sin 2 x 4 sin x 4 cos x 4 0 .
Тригонометрические уравнения вида F (sin 2 x, sin x cos x) 0 с помощью подстановки
t sin x cos x приводится к рациональному относительно t уравнению.
Сделаем замену t sin x cos x . Отсюда sin 2 x t 2 1 .
Получаем уравнение
t 2 4t 3 0
t1 1 и t 2 3 .
n
, n Z.
t1 1 sin 2 x 0
2x
n
x
2
нет решений.
t 2 3 sin 2 x 8
7.2.2. Понижение степени
3
.
2
Пример7.12.Решить уравнение sin 2 x cos 2 x sin 2 3x
Воспользуемся формулами понижения степени. Получаем уравнение
cos 6 x cos 2 x cos 4 x
0
2 cos 4 x cos 2 x cos 4 x
0.
Или
cos 4 x(2 cos 2 x 1)
0
cos 4 x 0
2 cos 2 x 1
4x
2x
2
3
n
x
2 k
x
n
4
8
6
k
(n и k − целые числа).
7.2.3.Введение вспомогательного угла
Этот способ основан на использовании формул для синуса или косинуса суммы
(разности) двух углов. Он применяется при решении уравнений a sin x + cos x = c (где a,b,c
–некоторые коэффициенты ).
Разделим обе части уравнения на
и получим :
cos x =
.
69
Так как выполнены условия
считать
и
и
+
= 1, то можно
(или наоборот). Из этих соотношений можно
= sin
найти угол . Тогда уравнение имеет вид:
или
. Это уравнение является пройстейшим и имеет решения только при
.
Пример 7.13. Решить уравнение sin x +
Найдем
1
sin x
2
и разделим все члены уравнения на 2. Получаем:
3
cos x
2
1
, будем считать что cos
2
cos
или
3
=
sin x sin
, sin
3
cos x
, тогда
= . Уравнение имеет вид :
1
2
sin x
= .
3
, откуда x =
Решения уравнения x + =
Пример 7.14. Решить уравнение sin 10x + cos 10x =
Преобразуем левую часть уравнения. Вычислим
члены уравнения на
. Получаем :
и sin
=
, тогда
=
, где
.
sin 16x.
и разделим все
Будем считать, что cos =
.
Уравнение принимает вид :
sin
или
sin 10 x
4
Преобразуем разность синусов в произведение :
sin 16 x
0
cos 13x
0.
8
8
Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю. Получаем
а) x =
n, n .
2 sin 3x
б) x
3
104
x
, k
13
Z.
7.2.4. Ограниченность тригонометрических функций
При решении уравнений этого типа существенным является ограниченность функций
синус и косинус.
Пример 7.15. Решить уравнение sin 2x – sin 6x + 2 = 0.
70
Очевидно, что в силу ограниченности функции синус такое уравнение имеет решение в
случае одновременного выполнения равенств
т.е
или
Из этих решений необходимо выбрать общие, т.к именно при таких решениях система
обращается в равенства. Нанесем на числовой оси решения и для нескольких значений n и
k . Из рисунка видно, что общие решения совпадают с .
Итак :
.
n= 0
k =-1
n=1
k=0
k=1
k=2
n=2
k=3
k=4
k=5
7.2.5.Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции
На экзаменах такие уранения встречаются значительно реже уравнений, рассмотренных выше.
Их решение, как правило, основано на определении обратных тригонометрических функций и
знании их свойств.
Пример 7.16.. Решить уравнение
Функция arcsinx определена при
Следовательно, ОДЗ данного уравнения
причем при
значение arcsin
.
Введем новую неизвестную
и получим рациональное уравнение:
Корни уравнения
и
или
Оба корня входят в область значений функции
Вернемся к старой неизвестной x. Имеем уравнения.
а)
б)
Итак, уравнение имеет два корня
71
7.3. Тригонометрические неравенства.
Тригонометрические неравенства удобно решать, используя
тригонометрический круг.
Пример 7.17. Решить неравенство
.
На тригонометрическом круге по оси ординат отложим значение
5
и построим соответствующие углы x1
и x2
.
6
6
Видно, что неравенству
удоволетворяют значения
или
где n
Z.
В случае сложного аргумента тригонометрической функции
рекомендуется обозначить его новой переменной, решить для него неравенство, а затем вернуться
к старой неизвестной.
Пример 60. Решить неравенство
.
Обозначим аргумент косинуса
и получим неравенство
. Решим это неравенство. На тригонометрическом круге на
оси косинусов отложим значение
углы
значения
,
где n
и
. Тогда неравенству
. Учтем периодичность функции
и построим
соответствующие
удовлетворяют
и получим решения
Z . Вернемся к старой неизвестной x и получим двойное линейное неравенство :
. Ко всем частям прибавим число
. Все
части неравенства разделим на положительное число 3. При этом знак нерав енства сохраняется:
или
, где n
Z.
Если неравенство не является простейшим, то используя преобразования, аналогичные тем,
которые применялись для уравнений, сводим неравенство к простейшему.
72
Пример 7.18. Решить неравенство
.
Введем новую переменную
и получим квадратное неравенство
. Это неравенство имеет решение
.
Вернемся к старой неизвестной x и получим
.
На тригонометрическом круге по оси тангенсов отложим значения 1 и ,
Построим соответствующие углы
и
. Тригонометрическому
неравенству удовлетворяют значения
Учтем периодичность
функции тангенс и получим
или
, где n
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ВАРИАНТ1
1. sin
3
,
5 2
. Вычислите cos , tg
, ctg
.
5
3
, cos
,
,
5
13 2
3. Доказать тождество (sin 6
cos 6
1) 3 27 sin 6 cos 6
0.
2
4. Доказать тождество (ctg
.
1) 2 (ctg
1) 2 tg
sin 2
5. Доказать тождество cos 2 (1 tg )(1 tg ) cos 2
sin 2 .
cos 2
cos 2 sin 2
6. Доказать тождество
ctg 2 ctg 2 .
2
2
sin
sin
3
cos 2
cos 2 ( )
2
1.
7. . Доказать тождество
3
tg 2 (
2 )
2
tg
2
2. Вычислите sin(
) , если sin
8. Вычислить ctg arccos1 2arctg
3
3
9. Вычислить sin 2arctg 3 .
10. Решить уравнение 2 sin 2 x 3 cos x 3 0 .
11. Решить уравнение sin 2 x 10 sin x cos x 21cos 2 x 0 .
2.
12. Решить уравнение 3 sin x cos x
2
1
sin x
13. Решить уравнение sin
.
3
2
73
3
.
2
1
Z.
1
.
2
15. Решить неравенство sin x 3 cos x 0 .
14. Решить неравенство sin x
ВАРИАНТ 2
1.
12
,
13
. cos
3
. Вычислите sin
2
2. Вычислите sin(
3. Доказать тождество cos (sin
, ctg
4 3
,
5 2
4
, sin
5
) , если cos
, tg
2 ,
cos )(1 tg ) cos 4
sin 4
4. Доказать тождество tg 2
sin 2
sin 2 tg 2 .
5. Доказать тождество sin 3 (1 ctg ) cos 3 (1 tg ) sin
1 tg
tg 2
6. Доказать тождество
tg 2 .
2
1 ctg
ctg
tg
7. Упростить
2
ctg (
sin(
8. Вычислить sin arctg 3 arcsin
.
3
.
2
.
cos .
3
2
) cos
)
3
2
.
9. Вычислить cos
2 arcsin 0,8 .
10. . Решить уравнение cos 2 x cos x 2 0 .
11. Решить уравнение 8 sin 2 x sin x cos x cos 2 x 4 0 .
12. Решить уравнение sin 2 x tgx 2 .
5
13. Решить уравнение cos
sin 2 x 1 .
3 3
1
14. Решить неравенство cos x
.
2
15. Решить неравенство 2 sin 2 x sin 2 x .
ВАРИАНТ 3
1. tg
3
,
4 2
2. Вычислите sin(
. Вычислите cos , sin
) , если cos
, ctg
4 3
,
5 2
4
, sin
5
.
2 ,
cos )(1 tg ) cos 2
sin 2 .
3. Доказать тождество cos (sin
4. Доказать тождество tg 2 (1 tg 2 )(1 ctg 2 ) (1 tg 2 ) 2 4tg 2 .
tg 2 (1 tg 2 ) .
5. Доказать тождество cos 2 (1 tg )(1 tg ) cos 2
74
3
.
2
sin 2
cos 2
6. Доказать тождество
tg 2
ctg 2
3
2
1 ctg 2
7. Доказать тождество
tg
1 ctg
cos
8. Вычислить cos
tg 6 .
2
2
1.
2
2
2
.
2
arctg 3 2 arcsin
9. . Решить уравнение 5ctg 2 x 8ctgx 3 0 .
10. Решить уравнение sin 2 x 6 sin x cos x 5 cos 2 x 0 .
11. Решить уравнение sin x cos x
2 sin 5x .
7
x
3
12. Решить уравнение tg
.
sin
6 3
2
3
1
13. Решить неравенство cos x
.
2
14. Решить неравенство cos 2 x 5 cos x 3 0 .
3
1
arccos .
3
2
15. . Вычислить sin 2 arcctg
ВАРИАНТ 4
1. ctg
4 3
,
3 2
2 . Вычислите cos , sin
, tg
.
5
3
, cos
,
5
13 2
(sin
cos ) 2
3. Доказать тождество
2tg 2 .
ctg
sin cos
2
4. Доказать тождество sin
sin 2
sin 2 sin 2
cos 2
2. Вычислите sin(
) , если sin
5. Доказать тождество 2(sin
6
6. Доказать тождество cos
cos
sin
sin
6
) 3(sin
cos
1
tg
0.
cos
ctg
7. Доказать тождество
tg (
8. Вычислить ctg
9. Вычислить tg
4
) tg
cos(2
2
arcsin
cos 2
) 1 0.
)
sin
2
sin(
arccos 0,6 .
3
2
4
3
.
5
75
)
3
.
2
,
.
1.
10. Решить уравнение 7 sin 2 x 5 cos 2 x 2 0 .
11. Решить уравнение sin 2 x 2 sin x cos x 3 cos 2 x 0 .
12. Решить уравнение sin 5x cos 5x sin 7 x cos 7 x .
5
13. Решить уравнение ctg
cos 2 x
3.
6 3
3
.
3
15. Решить неравенство sin x sin 3x 0 .
14. Решить неравенство tgx
76
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВАРИАНТ 1
1.Решить уравнение cos 2 x
2.Вычислить
40 2
2,5 sin x
57
40 2
Ответ: x ( 1) n
2.
6
n , n Z.
Ответ: -10.
57 .
6
10000
lg
.
lg(10 x)
x
5 x 7 y 27,
3.Решить неравенство
4.Решить систему
1
Ответ: х (0; 0,1)
[10, 100].
Ответ: (4, 1).
9 x 17 y 19.
5.Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна l и составляет с боковым ребром угол .
Найти
объем
параллелепипеда,
если
периметр
его
основания равен
Р.
2
2
P
l
sin 2
l cos .
Ответ: V
8
2
ВАРИАНТ 2
1.Решить уравнение
3
3
1 x
2.Доказать тождество sin
2
x
sin
4
3.Решить неравенство log x 1 ( x 2
4.Решить систему
xy
4x
5
y
3
y
Ответ: х1 =1; х2 =2; х3 =1,5.
3 2x.
2 sin .
4
x 6) 2
4.
Ответ: х
(0; 1].
x
3
Ответ: (1,1); (2, 1/8).
1
x
( x 0, y 0).
y
5.Угол между диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда равен . Диагональ
параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол . Найти высоту параллелепипеда,
если его объем равен V.
3
Ответ: H
3
2Vtg 2
.
sin
ВАРИАНТ 3
1.Решить уравнение
3x
2.Доказать тождество sin 4
3.Решить неравенство
5
2x
7
x 1
cos 4
4 7 5x
1
12 5 x
2.
3
4
Ответ: х1 =-1; х2 =3.
1
cos 4 .
4
2
.
4 3
Ответ: х (log5 0,4; log5 0,8) (log5 2;+ ).
77
y
4.Решить систему
2
logx y
5
1
x
2
5
Ответ: (16; 4).
3y
log x 4.
x
5.Через вершину D основания ВСD правильной треугольной пирамиды АВСD проведена
плоскость перпендикулярно боковому ребру АВ. Эта плоскость составляет с плоскостью
основания угол, косинус которого равен 2/3. Найти косинус угла между двумя боковыми
гранями. Ответ: соs =1.7.
1 log x 1
ВАРИАНТ 4
1.Решить уравнение sin
x
2.Упростить
x x
x
12
1
:
x
sin
1
2
x x
10
3.Решить неравенство log x
x
x
4
x
1.
Ответ: х= /12+2k , k Z.
Ответ: х-1.
.
log x 100
.
log(1000 x)
Ответ: х (0;0,001); [0,01;1) [10,+ ).
4.Решить систему
5
x
52x
5
y
y
5
5x
x y
2y
11
30.
Ответ: (0,1); (1,0); (log5 2, log5 3); (log5 3, log5 2);
5.Основанием пирамиды АВСD служит правильный треугольник ВСD. Боковое ребро АВ
перпендикулярно плоскости ВСD и равно l, АС и АD образуют с плоскостью ВСD угол,
равный . В пирамиду вписана прямая призма: три ее вершины лежат на боковых ребрах
пирамиды, три другие – на основании пирамиды. Диагональ боковой грани призмы
составляет с плоскостью основания угол, равный . Найти высоту призмы.
l
.
Ответ:
1 tg ctg
ВАРИАНТ 5
1.Решить уравнение sin 2 2 x sin 2 3x sin 2 4 x sin 2 5 x 2.
Ответ: х 1 = /2+k , k Z; x 2 = /4+l /2, l Z; x 3 = /14+n /7, n Z.
0
0
2
cos 10 sin 10
.
2.Вычислить
Ответ:
.
0
0
2
3 cos 25 cos 65
log x 25
5
.
3.Решить неравенство log x 6
log 5 (5 x)
x
Ответ: х (0;0,2) (1;25] [125;+ ).
x
x
2x 1
y 1
(9
3 ) (3
5
20) 144
4.Решить систему
Ответ: (1,0).
x
x
y 1
4 9
3 5
44.
5. Найти радиус сферы касающейся основания и боковых ребер правильной треугольной
пирамиды, у которой сторона основания равна а, а двугранный угол при основании равен .
78
a
Ответ: r
3
tg 2
ctg
4
2.
ВАРИАНТ 6
1.Преобразовать в произведение
sin 3
cos 3
2
3
2
cos
2
3
2
sin
.
2
sin
2
4
Ответ: х= /4+n , n Z.
Ответ: х (- ;3/8).
Ответ:
sin 2 .
2.Решить уравнение 2sin 2x + 3tg x = 5.
3.Решить неравенство 7-3х>5х+4.
4.Решить систему 4х-11у=1
5х-7у=8.
Ответ: (3; 1).
5.В правильную четырехугольную пирамиду вписан полушар так, что плоская грань его
лежит на основании пирамиды, а шаровая поверхность касается боковых граней пирамиды.
Найти отношение полной поверхности полушара к полной поверхности пирамиды и объем
полушара, если боковые грани наклонены к плоскости основания под углом и разность
между стороной основания и диаметром шара равна m.
S полушара 3 sin 2
cos
m 3 sin 3
; V
.
Ответ:
S пирам иды 4
1 cos
12(1 sin ) 3
ВАРИАНТ 7
1.Вычислить
tg 210 0
2.Решить уравнение
ctg 210 0
4 cos 2 x
tg 220 0
2
4 сos x
3,
8
ctg 220 0
x
3
3
;1 .
4
cos 20 0.
Ответ: 0.
Ответ: х= /4.
3.Решить неравенство 13х-2 19х+4.
Ответ: х (- ,-1].
3
x 3 y 4
4.Решить систему
Ответ: (1, 27); (27, 1).
x y 28.
5.В правильной прямой треугольной призме через сторону основания проведена плоскость,
которая в сечении дала треугольник с периметром вдвое большим, чем у основания. Найти
угол между этой плоскостью и плоскостью основания и отношение радиуса круга,
вписанного
в
сечение,
к
радиусу
круга,
описанного
около
основания.
2
2
;
.
Ответ: arccos
4
2
ВАРИАНТ 8
1.Преобразовать в произведение cos
cos 2
cos 6
cos 7 .
Ответ: 4 cos
2.Решить уравнение 1
1
2x
lg 3 lg 2 lg 27 3
79
1
x
.
2
cos 4
Ответ: х=1/2.
cos
5
.
2
3.Решить неравенство log 3 (4 x
1)
log ( 4 x
1)
3 2,5.
Ответ: (
4.Решить систему
tgx tgy 2
ctg 2 x ctg 2 y
, log 4 ( 3 1)]
3
[ ,
2
).
1,8.
1
5
n , y1 arctg
k , k, n Z;
2
2
Ответ:
5
1
x 2 arctg
n , y2
arctg
k , k, n Z.
2
2
5.В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, у которого один острый угол
равен и радиус вписанного круга равен r. Каждая из боковых граней образует с основанием
угол . Найти объем пирамиды.
1 3
r 1 ctg
1 ctg
tg .
Ответ:V
6
2
4 2
x1
arctg
ВАРИАНТ 9
1.Доказать тождество tg
2.Решить уравнение
x2
ctg
tg 3
x2
9
3.Решить неравенство log 2 x
4
8 cos 2 2
.
sin 6
ctg 3
7
2.
log 0,5
x3
8
Ответ: х 1 =4; х 2 = -4.
9 log 2
32
x2
2
4 log 0,5 x .
Ответ: х (1/8; 1/4) (4;8).
x y
y x
32
4.Решить систему 4
log 3 ( x y ) 1 log 3 ( x
Ответ: (2;1).
y).
5.В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник АВС, у которого угол С
равен 900 , угол А равен и катет АС равен b. Диагональ боковой грани призмы, проходящей
через гипотенузу АВ, образует с боковой гранью, проходящей через катет АС, угол . Найти
объем призмы.
Ответ: V
1 3
b tg 2
2
ctg 2
ВАРИАНТ 10
1 ctg 2
1.Доказать тождество
2.Решить уравнение 3
log32 x
3.Решить неравенство log
x
x
3
2
ctg
log3 x
3
8 2x
ctg
3
2
tg
1
tg 2 .
2
Ответ: х 1 =9; х 2 =1/9.
162.
2.
80
1 tg .
Ответ: x (
4.Решить систему
lg
x
y
2
, 2]
( 1,0)
(0,1)
4
,4).
3
1
Ответ: (10/3; 20/3); (-10; 20).
lg y lg x lg 2.
5.В прямоугольном параллелепипеде точка пересечения диагоналей нижнего основания
соединена с серединой одного из боковых ребер прямой, длина которой равна d. Она
образует с основанием угол
и с одной из боковых граней угол
2 . Найти объем
параллелепипеда.
1 sin 2 2 .
Ответ: V 4d 3 2 cos 2
ВАРИАНТ 11
1.Вычислить tg142 0 30
2
3
6.
2.Решить уравнение lg( x 20) lg x log x 0,1 1.
3.Решить неравенство log 0, 25
4.Решить систему
4 7 4x
2x 1
x 3
16 y
1
2
1
.
2
Ответ: 2.
Ответ: х=5.
4
; 1
3
Ответ: x
34 6 49 x
5 4y
4 7x
3 2y
1;
1
.
2
2
Ответ: (0, 1).
3 7 4 x 2 4 y 1 59 2 49 x 11 4 y 8 7 x 5 2 y 2.
5.В шаре радиуса R из точки его поверхности проведены три равные хорды под углом
2R
друг к другу. Найти их длину.
Ответ:
1 2 cos .
3
ВАРИАНТ 1 2
1.Решить уравнение 2 4 x
2
2.Решить систему уравнений
3.Решить неравенство
x
x2
4 2 x 1 0.
x 2 y 2 2( xy
x
y
Ответ: х= -3.
2))
Ответ: (4;2); (2;4).
6.
5
log
4
3
2
2 cos 2 x
cos 2 x
3 cos 2 x
2.
Ответ: х=1/2.
4. Решить уравнение sin x cos x sin x cos x 1. Ответ: х=2 n; x= /2+2 n, n Z.
5.В правильной треугольной пирамиде со стороной основания а углы между ребрами при ее
вершине равны между собой и каждый равен ( 900 ). Определить углы между боковыми
гранями пирамиды и площадь сечения, проведенного через сторону основания
перпендикулярно к противолежащему боковому ребру.
Ответ:
1
2 arcsin
2 cos
81
; S сеч.
2
a2
2
sin 60 0
2
sin 60 0
2
.
ВАРИАНТ 13
1.Определить, какое из чисел больше: 2 log 3 4 или 3 log
2.Решить уравнение
x2
2x 5
2.
sin 3 x
3.Среди корней уравнения
3
1
.
17
Ответ: второе число больше.
Ответ: х 1 =3, х 2 = -1.
1
27
0 найти тот, который имеет наименьшее расстояние от
tg x
числа 7 на числовой прямой.
Ответ: 7/3.
4.Найти наименьшее из значений, которые принимает выражение х+5у, если х и у
положительны и удовлетворяют неравенству х 2 -6х у+у2 +21 0.
Ответ: 7 3.
5.Из середины высоты правильной четырехугольной пирамиды опущен перпендикуляр на
боковое ребро, равный h, и перпендикуляр на боковую грань, равный а. Найти объем
16a 3 h 3
пирамиды.
Ответ:V
.
3(h 2 a 2 ) 2a 2 h 2
ВАРИАНТ 14
1.Вычислить
128
3
7
27
1
3
2
1
2
lg 48
10
2.Решить уравнение 11 14 sin
ctg
6x 5
2
1
1
2
3
2
3 cos 2 6 x 5 .
5
6
Ответ: x
3.Решить неравенcтво
53x
50 2
7x 1
.
Ответ: 5.
2 6 2.
1 1
6 2
2k , x 2
Ответ: x
5
6
1 1
6 2
log 16000 6400; log 125
128
2k , k
0,1,2,...
25
.
64
4.Найти все пары чисел х и у, удовлетворяющие системе неравенств
4 x y 3 42x 1 2
1 1
1 1
Ответ: x
log 4 3; y
log 4 3.
3 x y 1 log 4 3.
2 2
2 2
5.Через центр основания правильной прямоугольной пирамиды, параллельно двум не
пересекающимся ребрам ее, проведена плоскость. Найти площадь получившегося сечения,
если
боковое
ребро
пирамиды
равно
l,
а
ребро
основания
а.
Ответ: S= 2/9al.
ВАРИАНТ 15
1
1.Вычислить
594 10
0,6
2
0,9 :
2
1
27 : 1
1,2 : 0,04 :
7
70
1
3 : 4 1,5 0,4 : 0,02
5
82
.
Ответ: 459.
2.Решить неравенство
3 log 2 x 6
log 2 x 2 .
7
1
2
Ответ: x( ( 2, 2 ]
7 2
3.Решить систему уравнений
x
6y
1
2
[2 ,2).
2
Ответ: (3;-9).
3 2
5 y 93.
4.Найти все значения х из интервала ( /2; ), при каждом из которых производная функции
x 1
( x)
cos
x
2
cos x
cos x cos
2
x
обращается в нуль.
1
1
Ответ: x
( ( 2, 2 2 ] [2 2 ,2).
5.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, высота пирамиды h.
Через сторону основания пирамиды и середину скрещивающегося с ней бокового ребра
проведено сечение. Определить расстояние от вершины пирамиды до плоскости этого
сечения.
2ah
.
Ответ:
9a 2 4h 2
ВАРИАНТ 16
1.Решить уравнение
5
2x 1
2
x
3x
3.Найти все решения уравнения
2
Ответ: х=1/8.
.
2
7 xy y
9
7 16
Ответ: (1;1);
;
.
2 y 1.
11 11
ctg(3cos x) = 1, удовлетворяющие условию
2.Решить систему уравнений
Ответ: x1
4x 3
5
; x2
arccos .
12
4
4.Доказать, что все решения неравенства
х 2 .
arccos
log 2 ( x 1) log 3 ( x 2
1) 2 удовлетворяют
неравенству log 3 ( x 1) log 3 9( x 1) 2 log 2 ( x 1) log ( x 1).
5.Вычислить радиусы оснований усеченного конуса, описанного около шара радиуса R, зная,
что отношение полной поверхности усеченного конуса к поверхности шара равно m.
R
R
Ответ: r
2m 1 3 , r1
2m 1
2m 3 .
2
2
2
2
2
2
ВАРИАНТ 17
1.Вычислить
5
2
2
5
3
2.Решить систему уравнений
3
2
3.Решить неравенство
1
2
x
1
2
5
7 2x
2
x
3
5
2 sin
5y
y
1 2x
7
Ответ: 2.
Ответ: (1; log 5 7).
14.
x2
5
lg( 3x 1) lg
2
7
.
4
0.
83
1 1
3
15
;
;1
2 .
3 2
4
4.Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство
5 sin 2 x 2a sin x cos x cos 2 x a 1 6 выполняется для любых значений х.
Ответ: x
24
a 0.
5
5.Даны четыре равных шара радиуса R, из которых каждый касается трех других. Пятый шар
касается каждого из данных шаров внешним образом, шестой - внутренним образом. Найти
отношение
объема
шестого
шара
V6
к
объему
пятого
V5 .
V
Ответ: 6 485 198 6.
V5
Ответ:
ВАРИАНТ 18
1.Решить неравенство
2x 5
1.
x 1
Ответ: х [-2,-1) (-1,+ ).
2.Решить уравнение 2 x 2 5 x 2 2 3 x 5 3 x .
3.Решить уравнение sin x (3 sin 2 x sin 3 x 12 sin 2 x sin x 16 cos x)
m
Ответ: x
, m Z; x
2
4.Решить уравнение log 2
2
3
(x 2
2 x 2) log 2
3
(x 2
Ответ: х=1.
2 sin 4 x 0.
1
1
arccos
2
3
n, n Z .
2 x 3).
Ответ: x1 1 11 4 3 ; x 2 1 11 4 3 .
5.В шаре из точки его поверхности проведены три равные хорды под углом 2 друг к другу.
Определить их длины, если радиус шара равен R.
4R
Ответ:
sin( 60 0
) sin( 60 0
).
3
ВАРИАНТ 19
4
1.Упростить выражение
p3
p
2.Решить систему уравнений
4
1
2
q
q3
4
1
2
32 x
2y
3x
2 0,5 y
3.Решить уравнение log 2 cos 2 x
cos
x
2
p
4
q
p
q
1
4
Ответ: -р1/4 .
1.
725
Ответ: (3;2).
25.
log 1 sin x
2
cos
x
2
Ответ:
84
0.
6
4 l, l
Z;
5
6
2 n, n Z .
4.Найти все значения параметра р, при каждом из которых уравнение
( x p) 2 ( p( x p) 2 p 1)
1 имеет больше положительных корней, чем отрицательных.
Ответ: р 1.
5.В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Определить угол наклона боковой грани
пирамиды к плоскости основания, зная, что отношение объема пирамиды к объему шара
2
27 3
равно
Ответ: и 2arctg .
.
4
3
3
ВАРИАНТ 20
2x 3
4 x
1.Решить неравенство
1
.
x
2x y
2.Решить систему уравнений
2
3.Решить уравнение
4
x 2y
Ответ: х (-1,0) (2,4).
x2
y2
12
Ответ: (2;-3); (3,2;-2,4).
256.
x 2 (sin 2 x 3 cos x) 0.
3
1 1 3
;
; ; ; 2.
2
2 2 2
4.Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению
x 3 a x 1 4.
Ответ:
2;
Ответ: при а=1 решением будет любое значение х 1;
при а=-1 решением будет любое значение -3 х 1;
7 a
при а 1 x1
и х 2 =1; при a 1 х=1.
a 1
5.В трапеции одна из боковых сторон равна b и образует с большим основанием, равным 2а,
угол . Меньшее основание равно а. Определить объем тела, образованного вращением этой
трапеции вокруг данной боковой стороны.
7 a 2 b sin 2
.
Ответ: V
3
ВАРИАНТ 21
x2
1.Найти область определения функции y
x2
9
x
.
20
Ответ: (-4,-3] [3,5).
2.Вычислить
3.Решить уравнение
log 5 30
log 30 5
3
x
log 5 150
.
log 6 5
x 1
x
Ответ: 1.
6.
Ответ: х=-2, х=4.
4.Найти все целые числа х и у, удовлетворяющие равенству
9 x 2 y 2 6 xy 2 9 x 2 y 2 x 2 y 2 18 xy 7 x 5 y 6 0.
Ответ: (0;-2), (-2;0), (0;3), (2;1).
5.В правильную n-угольную пирамиду с ребром основания q и боковым ребром а вписан
шар. Найти его радиус.
85
180 0
qctg
n
Ответ: R
180 0
4a sin
n
2
180 0
2 q cos
n
4a
2
2
q
2
q2
.
180 0
sin
n
ВАРИАНТ 22
x
1.Решить систему уравнений
3y 9
Ответ: (9;2).
x 1 ( x 1) y.
1
2
2.Упростить выражение 1 m 2
1
2
1 m (1 m 2 )
1 m2
1
1
2
m 2 (1 m 2 )
1 m2
1
2
.
Ответ:0.
3.Решить неравенство
log
x 1
2
1
8 3 log 4 ( x 1) 9 .
4
1
Ответ: x (0;2 6 1] [63; ).
4.Найти все значения параметра
из интервала (2,5), при каждом из которых существует
хотя
бы
одно
число
х
из отрезка [2,3],
удовлетворяющее уравнению
9 15
Ответ:
,
.
log 2 (3 sin x ) cos x
.
6
13 13
5.Шар радиуса R вписан в пирамиду, в основании которой лежит ромб с острым углом .
Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом . Найти объем
пирамиды.
Ответ: V
8 3
R
3
cos 4
sin
cos
2
.
sin
2
2
ВАРИАНТ 23
x2
1.Решить уравнение x 2 11
2.Решить уравнение cos 7 x cos x
Ответ: x
11 42. Ответ: х 1 =5 и х 2 = -5.
2 cos 3x(sin 2 x 1).
6
n
, n Z;
3
x ( 1) m
1
arcsin
2
1
17
4
m
, m Z.
2
3
x 1.
Ответ: x ( 2; 2 ) ( 2 ,2).
2
4.Для каждого неотрицательного значения параметра а решить неравенство
a 3 x 4 6a 2 x 2 x 9a 3 0.
3.Решить неравенство log 3 x 2
2
log 3
86
x 3 при
a 0;
1 12a 1 1 12a
1
;
x
при 0 a
;
2a
2a
12
1
x
при a
.
2
5.В конус вписан шар радиуса r. Найти объем конуса, если известно, что плоскость,
касающаяся шара и перпендикулярная к одной из образующих конуса, отстоит от вершины
конуса на расстояние d.
Ответ:
x
1
1 2 (r
r
3
Ответ: V
r2
(d
(d
r) 2
r ) 2 ]3
.
ВАРИАНТ 24
1.Упростить выражение
a
2 a
1 ( a
b) ( a
b)
2.Решить неравенство log x ( x 2 2 x 3) 0.
3.Решить уравнение
4.Решить уравнение
x2
4 6x
1 cos(
3
x
x)
Ответ: 3.
2.
1) 2
( a b) ( a
Ответ: x (3;1
Ответ: -1.
4.
x
5 ).
2
16 x 55 16 x
x
2
3
cos(
x ) 56.
Ответ: х=8.
5.Расстояние от центра основания правильной четырехугольной пирамиды до боковой грани
и до бокового ребра равны соответственно а и b. Найти двухгранный угол при основании
пирамиды.
2a 2 b 2
.
Ответ: arccos
b
ВАРИАНТ 25
1.Упростить выражение
3
a3 a
a
3
a2
a
3
x
3
a
3
x
2
33 a
3
x
2
.
Ответ: 4(а-х).
2.Решить неравенство log 5 3 log 3 x
4
5 log x x
2
2 log x 25.
5
Ответ: x1
5, x2
25, x3
5
41
4
.
x3 y3 7
Ответ: (-1; -2); (2; 1).
. x y 1.
4.Найти
все значения параметра
а,
при
каждом из которых функция
2
( x) sin 2 x 8(a 1) sin x (4a
8a 14) x
является возрастающей на всей числовой
прямой и при этом не имеет критических точек.
Ответ: a
2
5, a
5.
5.В пирамиде SАВС произведения длин ребер каждой из четырех граней равны одному и
102
, а
тому же числу. Длина высоты пирамиды, опущенной из S на грань АВС, равна 2
55
3.Решить систему уравнений
87
величина угла САВ равна
5SС2 =60.
arccos
Ответ:
1 17
. Найти объем пирамиды SАВС, если SА2 +SВ2 6 2
34 6
.
3
ВАРИАНТ 26
1 sin 2
1 sin 2
1.Упростить выражение
2.Решить уравнение 32 log5 x
2
3.Решить систему уравнений
4.Найти
все
значения
cos 2
.
cos 2
Ответ: tg .
2
Ответ: x1, 2
1 4 3 log5 x .
x
4 y 18,
2
2
x
y
параметра
5
log 3 (2
3).
2 76
;
, (2;4).
17 17
из которых неравенство
Ответ:
20.
а,
при
каждом
1
x axy y 25 x 2 выполняется для любых пар чисел (х; у) таких, что x y .
100
Ответ: 50.
5.Стороны нижнего и верхнего оснований правильной треугольной усеченной пирамиды
равны соответственно а и b (а>b), боковая грань составляет с плоскостью основания угол .
Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через среднюю линию боковой
грани и центр нижнего основания.
Ответ:
7a 3b
3(a 2 b 2 2ab cos 2 .
144 cos
25 y 2
ВАРИАНТ 27
1.Упростить выражение
cos(
) cos(
4 sin(
2.Решить неравенство log 2 x ( x
) sin
4) log x 1 (6
)
2
2
Ответ: ctg 2 .
.
2
x) 0.
3.Решить уравнение 3 16 x 36 x 2 81x .
4.При каких значениях а уравнение 2a( x 1) 2
Ответ: х (4,5) (5,6).
Ответ: х= 1/2.
x 1 1 0 имеет четыре различных
1
.
8
5.Точка О – общая вершина двух равных конусов, расположенных по одну сторону от
плоскости
так, что только одна образующая каждого конуса (ОА для одного конуса и ОВ
для другого) принадлежит плоскости . Известно, что угол между высотами конусов равен
, а угол между высотой и образующей конуса равен , причем 2 < . Найти угол между
образующей ОА и плоскостью основания другого конуса, которой принадлежит точка В.
решения?
Ответ: a
0;
2 sin 2
Ответ:
88
2
arccos cos
cos
2 .
ВАРИАНТ 28
4
1
x3
1.Упростить выражение
x
2
3
8x 3 y
23 xy
4y
2
3
1
y
1 23
x
3
Ответ: 0.
x2 .
4 x 1.
2.Решить уравнение 3x 5
Ответ: х=3.
2
2
3.Решить уравнение
2sin x+tg x=2.
Ответ: х = /4+ n, n Z.
4.Найти все значения а, для которых неравенство
log 5 (a cos 2 x (1 a 2 cos 2 x) sin x 4 a) 1 выполняется при всех х.
Ответ:[0;1).
5.Три последовательные стороны плоского выпуклого пятиугольника равны 1, 2 и а. Найти
оставшиеся две стороны этого пятиугольника, если известно, что он является ортогональной
проекцией на плоскость правильного пятиугольника. При каких значениях а задача имеет
решение?
5.
Ответ: 5 2 a
ВАРИАНТ 29
1.Упростить выражение
a b
a
a a b b
a b
b
2.Решить уравнение 1 log x 2 (4 x 11) 2 log 4 x
cos x cos y
y
3
:
a b
(4 x 2
2 ab
b
19 x
Ответ:1/а.
.
Ответ: х=5.
22).
3,
3.Решить систему уравнений
x
11
2
Ответ: x
.
4.Найти все значения а, при которых неравенство x 2
4x
6
6a x
2 n, y
2
9a 2
6
2 n.
0 имеет не более
2
; ).
3
5.Длина ребра основания правильной треугольной пирамиды SАВС (S – вершина) равна
трем. Точки K и L расположены на ребрах АС и ВС соответственно, причем СK = 3/2, ВL=1.
Известно, что для данной пирамиды существует единственный конус, вершина которого
совпадает с точкой K, центр основания лежит на ребре SВ, а отрезок KL является одной из
образующих. Найти объем этого конуса.
Ответ:
3
11 3
;
V
.
2 12
20 10
одного решения.
Ответ:
ВАРИАНТ 30
1.Найти область определения функции y
x 4
.
x2 4
Ответ: х (-2;2) [4,+ ).
89
2.Решить систему уравнений
3 x 2 y 1152,
log 5 ( y x) 2.
3.Решить уравнение
cos 6 x sin 6 x
Ответ: х=2; у=7.
2 cos 2 2 x.
n
, x2
4 2
Ответ: x1
4.Решить неравенство 5 9 x
18 15 x
9 25 x
0.
Ответ: x
1
arccos(4
2
; log 3 3
13 )
n, n Z .
(1; ).
5
5.Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а. Вычислить объем
пирамиды, если известно, что ее боковая поверхность в 10 раз больше площади основания.
Ответ:
9a 3 11
.
4
ВАРИАНТ 31
1.Найти
(х 0 )
9 12 x
4x 2
24 x
9 4x 2
2x
,
3 2x
x 0 2,5.
Ответ: - 1,5.
9 12 x 4 x 2
2.Решить неравенство log 5 ( x 2) log 5 (1 x) log 5 [(1 x)( x 2 8x 8)].
Ответ: х (-2; -1].
sin 3x
5
n
1.
3.Решить уравнение
Ответ: x
, n Z.
12 12
cos x
6
4.Автомобили «Рено» и «Крайслер» движутся по кольцевой дороге, 1/4часть которой
проходит по городу. Скорость «Рено» в городе 2v, а за пределами
( x)
города равна 9v/4. Скорость «Крайслера» в городе равна v, а за пределами города равна 3v.
Автомобили одновременно въезжают в город. Через какое
время один из них совершит обгон другого, если длина городского участка кольцевой дороги
56 S
равна S?
Ответ:
.
3 v
5.Сфера, касающаяся верхнего основания цилиндра, имеет единственную общую точку с
окружностью его нижнего основания и делит ось цилиндра в отношении 2:6:1, считая от
центра одного из оснований. Найти объем цилиндра, если известно, что сфера касается двух
2 6
его образующих, находящихся на расстоянии
друг от друга.
441
.
Ответ:
8
ВАРИАНТ 32
1.Упростить выражение и вычислить при данных значениях параметров
3
3
a2
b2
(a 2
ab)
1
2
3
:
2
( a b) 3 a 3
a
3
2
b
3
2
Ответ: 39.
, a 5, b 2.
90
1
tg 2
2.Доказать тождество
2 cos 2
1
.
3
2
1 sin 2
2
2
3.Решить уравнение lg 2 lg( 4 x 9) 1 lg( 2 x 1).
Ответ: х=0.
2
4.Найти все значения х, при которых неравенство (4-2а)х +(13а-27)х+
+(33-13а)>0 выполняется для всех а, удовлетворяющих условию 1<a<3
. Ответ: 3
6;2
5;3
6 ..
5.Из середины высоты правильной четырехугольной пирамиды проведены перпендикуляр
длиной а к боковому ребру и перпендикуляр длиной b к боковой грани. Найти объем
пирамиды.
16a 3 b 3
Ответ: V
при b a
2b.
2
2
2
2
3(a
b ) 2b
a
ВАРИАНТ 33
27
1
log2 3
5
log25 49
1.Упростить
81
1
log16 25
3 5
5x
2
1.
2.Решить неравенство
2
4x
x 3
1
log4 9
8 log4 9
Ответ: -11.
.
5
log5 3
2
3.Решить уравнение
а,
21
2
;
1
21
2
.
Ответ: x
.
2 n, n Z .
2
4
при каждом из которых корни уравнения
1 cos 4 x sin x
4.Найти все значения
1
Ответ: x
2 sin
a существуют и принадлежат отрезку [2; 17].
Ответ: [1; 3].
5.На диагонали АС параллелепипеда АВСDА В С D взята точка M, а на прямой В С –
точка N так, что отрезки MN и ВD параллельны. Найти отношение длин этих отрезков.
Ответ: 1/3.
x
3 4 x 1
x 8 6 x 1
ВАРИАНТ 34
2.Решить систему уравнений
log 4 x
2
3.Решить уравнение sin x
6
x y
2
6
cos x
x2
3x 4
.
x 3
log 4 y 1 log 4 9,
1.Найти область определения функции y
Ответ: х (3,+ ).
Ответ: (18;2), (2;18).
1024.
2(sin 4 x
cos 4 x) 1.
n
; x2
n, n Z .
4 2
2
4.Строительной организации необходимо построить некоторое количество одинаковых
домов общей площадью ровно 2500 кв. м. Стоимость одного дома площадью а кв. м.
складывается из стоимости материалов р1 а3/2 тыс. руб., стоимости строительных работ р2 а
тыс. руб. и стоимости отделочных работ р3 а1/2 тыс. руб. Числа р1, р2 , р3 являются
Ответ: x1
91
последовательными членами геометрической прогрессии, их сумма равна 21, а их
произведение равно 64. Если построить 63 дома, то затраты на материалы будут меньше,
чем затраты на строительные и отделочные работы. Сколько следует построить домов, чтобы
общие затраты были минимальными?
Ответ: 156.
5.Дан куб АВСDА1 В1 С1 D1 с ребром а ; прямая l проходит через вершину D1 и центр грани
ВСС1 В1 . Найти длину наименьшего отрезка, середина которого находится на прямой l, а
2a
концы – в плоскостях АВСD и ВСС1 В1 . Ответ:
.
5
ВАРИАНТ 35
1.Найти
( x)
(х), предварительно упростив выражение для (х)
x
6
6x 3
9
4( x 4
x 2 6x
x2 )
9
6
16 log2 x
9 log3 x .
Ответ: ( x)
2.Решить неравенство log 5 ( x 3)
3.Решить уравнение cos x
6
1
log 5 3
2
sin x
3
1
log 5 (2 x 2
2
6x
x 0.
Ответ: х
(3;10).
7).
Ответ: x
.
3x 2 1
,
4
3
n, n
Z.
4.За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в
1
1
размере 5% в месяц, затем 11 % , потом 7 % и, наконец, 12% в месяц. Известно, что под
9
7
действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по
истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 180%. Определить
срок хранения вклада.
Ответ: 12 месяцев.
5.Все грани треугольной пирамиды – прямоугольные треугольники. Длина наибольшего
ребра равна а, противоположное ребро равно b. Двугранный угол при наибольшем ребре
равен . Найти объем этой пирамиды.
1 2
ab ctg .
Ответ:V
6
92
ЛИТЕРАТУРА
1.
Дорофеев,
Г.В.
ЕГЭ 2006-2007.Математика. Суперрепетитор./ Г.В.
Дорофеев, Е.А. Седова, С.А. Шестаков. − М.: Изд-во Эксмо, 2006. − 448 с.
2. Семенов, А.Л. 3000 задач с ответами по математике./ А.Л. Семенов, И.В. Ященко,
И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, М.А. Посицельская, С.Е. Посицельский, С.А. Шестаков, Д.Э.
Шноль, П.И. Захаров, А.В. Семенов, В.А. Смирнов. − М.: Издательство «Экзамен», 2011. −
511 с.
3. Шахмайстер, А.Х. Задачи с параметрами в ЕГЭ./А.Х. Шахмайстер. − СПб.: «ЧеРона-Неве», 2004. − 224 с.
4. Шамшин, В.М. Тематические тесты для подготовки к ЕГЭ по математике./ В.М.
Шамшин. − Ростов-на-Дону: Изд-во «Феникс», 2003. − 448 с.
5. Лунгу, К.Н. Тесты по математике./ К.Н. Лунгу. − М.: Айрис-пресс, 2004. − 352 с.
6. Рурукин А.Н. Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по математике./
А.Н. Рурукин − М. «ВАКО», 2006. − 304 с.
7. Черкасов О.Ю. Математика для поступающих в серьезные вузы./ О.Ю. Черкасов,
А.Г Якушев– М.: Московский лицей, 1998.- 400 с.
93
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………… 3
1.Программа по математике………………………. …………………………….4
2.Задачи с целыми числами. Признаки делимости. Действительные
числа. Задачи на проценты. Преобразование алгебраических
выражений…………………………………………………………………….. 7
Задачи для самостоятельного решения……………………………………. .16
3.Рациональные уравнения. Уравнения, содержащие неизвестное
под знаком модуля. Иррациональные уравнения………………………….. 19
Задачи для самостоятельного решения…………………………………….. .30
4.Системы алгебраических уравнений. Рациональные неравенства.
Неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля.
Иррациональные неравенства………………………………………………. 32
Задачи для самостоятельного решения…………………………………….. .45
5. Текстовые задачи……………………………………………………………...49
6. Прогрессии……………………………………………………………………55
Задачи для самостоятельного решения…………………………………….. .57
7. Тригонометрия………………………………………………………………..62
Задачи для самостоятельного решения…………………………………….. .73
ПРИЛОЖЕНИЕ. …………………………. …………………………………….77
Литература………………………………………………………………………. 93
94
Учебное издание
МАТЕМАТИКА
Пособие для подготовки к ЕГЭ
В 2 частях
Часть 1
Учебное пособие
Составители
Колпачев Виктор Николаевич
Глазкова Мария Юрьевна
Святская Татьяна Георгиевна
Отпечатано в авторской редакции
Подписано в печать 16.04. 2013. Формат 60*84 1/16. Уч.-изд. л. 6,0.
Усл.-печ. л. 6,1. Бумага писчая. Тираж 100 экз. Заказ № 210.
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства учебной литературы
и учебно-методических пособий Воронежского ГАСУ
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
95
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
41
Размер файла
2 156 Кб
Теги
егэ, 599, математика, пособие, подготовки
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа