close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

667.Шапиро Д.М. Нелинейная механика грунтов

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»
Д.М. ШАПИРО
НЕЛИНЕЙНАЯ МЕХАНИКА ГРУНТОВ
Учебное пособие
Воронеж-2016
УДК 624.131(07)
ББК 38.58я73
Ш 233
Рецензенты:
кафедра «Конструкции зданий и сооружений»
Тамбовского государственного технического университета;
А.Б. Пономарёв, д-р техн. наук, проф.,
зав. кафедрой строительного производства и геотехники
Пермского национального исследовательского
политехнического университета
Ш 233
Шапиро, Д.М.
Нелинейная механика грунтов: учеб. пособие /
Д.М. Шапиро; Воронежский ГАСУ. – Воронеж: 2016. – 123 с.
Изложено содержание курса лекций по дисциплине «Нелинейная механика грунтов» для учащихся магистратуры по программам, связанным с фунд аментостроением и геотехникой.
Изложены теоретические основы и алгоритмизация решения плоской и
осесимметричной смешанных (упругопластических) задач теорий упругости и
пластичности грунтов на математической основе метода конечных элементов.
Обоснован и описан нелинейный метод расчёта для проектирования и научных
исследований грунтовых оснований, природных и искусственно возводимых
геотехнических объектов.
Приводятся примеры решения научно-технических задач.
Книга также рассчитана на инженеров, научных работников и аспирантов, совершенствующих свои знания в области проектирования и научных исследований объектов строительства.
Ил. 54. Табл. 11. Библиогр.: 20 назв.
УДК 624.131(07)
ББК 38.58я73
Печатается по решению учебно-методического совета
Воронежского ГАСУ
© Шапиро Д.М., 2016
© Воронежский ГАСУ, 2016
ISBN 978-5-89040-580-7
2
Введение
В современном строительстве растёт число проектов и научных исследований, осуществлённых с использованием нелинейных методов расчёта на математической основе МКЭ. Решения строгой теории всегда (прежде и теперь)
востребованы в фундаментостроении и геотехнике, учитывая сложность математического описания и изменчивость строительных свойств грунтов. В последние десятилетия в связи с успехами компьютерной и вычислительной техники решения нелинейной механики грунтов удалось сделать достоянием практики. Известные российским специалистам программы PLAXIS, Midas GTS и
др., реализующие (или способные реализовать) нелинейные геотехнические
расчёты, стали частью современных проектных технологий.
Физически нелинейные расчётные модели наряду с экспериментами используются для получения эталонных решений при обосновании упрощённых
расчётных схем новых разновидностей геотехнических объектов.
Нелинейная механика грунтов содержит большую группу расчётных моделей, основанных на разных наборах уравнений состояния и деформирования
грунта. В настоящем учебном пособии автор ограничился рассмотрением и
описанием одной из таких моделей, но главной для российских специалистов.
Описываемая модель основывается на уравнениях законов Гука, Кулона, условиях предельного напряжённого состояниях по Мору-Кулону, МизесуШлейхеру-Боткину, в которых используются механические характеристики
грунтов, знакомые учащимся по пройденным дисциплинам, определяемые по
давно сложившимся стандартам.
Освоение наукоёмких компьютерных технологий требует от исполнителей высокого профессионализма и способностей к научному анализу. При выполнении расчётной части проектов существует опасность некритически довериться результатам, выдаваемым программой. Решение научно-технической задачи представляет ценность только в том случае, если авторы хорошо
понимают особенности расчётной модели, способны объяснить полученные р езультаты в увязке с описанием расчётной области, граничными условиями и закодированными в программе математическими процессами.
Цель настоящего учебного пособия – подготовка учащихся и помощь
практическим инженерам в овладении теоретическими знаниями, инженерными и вычислительными идеями, которые необходимы для применения на практике решений нелинейных задач фундаментостроения и геотехники без отступления при этом от российских стандартов и норм строительного проектирования.
Учебное пособие состоит из трёх разделов.
Первый раздел посвящён изложению и обоснованию уравнений, описывающих предельное напряжённое состояние, линейное и пластическое дефо рмирование грунтов. Рассматриваются расчётные модели геотехнических с истем: классические, в которых уравнения теорий линейного деформирования и
3
предельного напряжённого состояния грунтов используются раздельно, и упругопластическая модель, сочетающая обе группы уравнений.
Во втором разделе изложена принятая в строительной механике линейная
версия МКЭ в форме метода перемещений со способом аппроксимации функций формы при помощи степенных полиномов. Описание алгоритмов и математических процессов решения задач приводится на примерах наиболее употребительных механике грунтов конечных элементов и расчётных областей.
Идеи МКЭ и приёмы их алгоритмизации, реализованные в программах, но
скрытые от пользователей, изложены в форме, доступной для читателей, не
имеющих специальной математической подготовки. Отдельный параграф посвящён способам решения физически нелинейных задач средствами МКЭ.
В третьем разделе содержится постановка и решение смешанной (упругопластической) задачи теорий упругости и пластичности грунтов и теоретич еские основы нелинейного метода расчёта оснований и геотехнических объектов. Приводятся примеры решения научно-технических задач.
Учебное пособие рассчитано на читателей (магистрантов, аспирантов,
инженеров строительных специальностей), которые прошли курс инженерной
подготовки в обычном объёме или в объёме бакалавриата, в том числе знакомы
с дисциплинами «Механика грунтов», «Основания и фундаменты», «Инженерная геология».
4
1. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ
И РАСЧЁТНЫЕ МОДЕЛИ МЕХАНИКИ ГРУНТОВ
1.1. Классификация и физико-механические
характеристики грунтов. Строение оснований
Общие положения. Физически нескальные грунты являются дисперсными двухфазными средами (твёрдые частицы – скелет, поровая вода) не считая
газообразной составляющей. Но в прикладной механике грунтов, дисциплине,
которую инженеры понимают как теорию фундаментостроения и геотехники,
принят постулат о грунтах как сплошных, изотропных средах. Для большинства задач с достаточной степенью обоснованности используется группа мод елей грунта как однофазной среды, описываемых уравнениями теорий упругости
и пластичности. По этим причинам инженерная классификация и отбор определяющих характеристик грунтов направлены на представление грунтовых сред
сплошными телами с непрерывным распределением напряжений и деформаций.
Излагаемое ниже описание строительных свойств и характеристик грунтов соответствует положениям современных документов, реализующих техническое регулирование в области строительного проектирования:
– свода правил СП 22.13330.2011 Основания зданий и сооружений. Актуализированная редакция СНиП 2.02.01-83*;
– ГОСТ 25100-2011 Грунты. Классификация;
– ГОСТ 12248-2010 Грунты. Методы лабораторного определения характеристик прочности и деформативности;
– ГОСТ 20522-2012 Грунты. Методы статистической обработки результатов испытаний.
На рис. 1 изображена структурная схема, представляющая сокращённую,
адаптированную к задачам строительного проектирования классификацию
природных дисперсных грунтов по следующим группам признаков:
– по наименованиям в зависимости от размеров частиц – крупнообломочные, песчаные и глинистые виды грунтов;
– по показателям плотности и влажности (пластичности, текучести) –
разновидности в составе видов глинистых грунтов.
Используемые на рис. 1 обозначения разъясняются в последующем тексте
настоящего параграфа. Указанные на рисунке размеры частиц и их процентное
содержание (по массе) характеризуют деление на виды крупнообломочных и
песчаных грунтов. Содержание рис. 1 в части, относящейся к крупнообломочным и песчаным грунтам, дополняют табл. 1 и 2.
5
дисперсные грунты
крупнообломочные
грунты
пески
глыбовые(валунные): 200 мм;
щебенистые
(галечниковые): 10 мм;
дресвяные (гравийные): 2мм;
200; 10; 2 мм – характерные
размеры частиц, содержание которых более 50% по
массе
гравелистые:>2мм – >25%;
крупные: >0,5мм – >50%;
средней крупности:
>0,25мм – >50%;
плотные е 0,55 ;
средней плотности
е 0,55 0,70 ;
рыхлые е 0,70 ;
2мм; 0,5мм; 0,25 мм –
характерные размеры
частиц
мелкие:
0,1мм
75% ;
пылеватые: 0,1мм 75% ;
плотные: е 0,60 ;
средней плотности:
е 0,60 0,75(0,80) ;
рыхлые: е 0,75(0,80) ;
0,1мм – характерный размер
частиц
глинистые грунты
супеси I р
7:
твердые I L 0 ;
пластичные I L 0 1 ;
текучие I L 1,0
суглинки I р
глины I р
7 17 ;
17 :
твердые I L 0 ;
полутвердые
I L 0 0,25 ;
тугопластичные
I L 0,25 0,50 ;
мягкопластичные
I L 0,50 0,75 ;
текучепластичные
I L 0,75 1,0 ;
текучие I L 1,0
Рис. 1. Классификация дисперсных грунтов (структурная схема)
Сокращённый характер классификации заключается в том, что в ней не
представлены такие показатели, как происхождение и условия образования,
вещественный (химико-минеральный) состав грунтов. Кроме того, на рисунке 1
отсутствуют особые виды и разновидности грунтов, в том числе структурно неустойчивые. К таким геологическим образованиям относятся мёрзлые, вечномёрзлые, лёссовые, набухающие слабые водонасыщенные глинистые грунты,
засолённые, насыпные грунты, торфы и заторфованные грунты, техногенные
отложения.
6
Таблица 1
Классификация крупнообломочных и песчаных грунтов
по гранулометрическому составу
Размер зёрен, Содержание
Разновидности грунтов
частиц
зёрен, частиц,
d, мм
% по массе
Крупнообломочные:
– валунный (при преобладании неока>200
>50
танных частиц – глыбовый)
– галечниковый (при неокатанных
гранях – щебенистый)
>10
>50
– гравийный (при неокатанных гранях –
дресвянный)
>2
>50
Пески:
– гравелистый
>2
>25
– крупный
>0,50
>50
– средней крупности
>0,25
>50
– мелкий
>0,10
≥75
– пылеватый
>0,10
<75
Таблица 2
Классификация песков по коэффициенту пористости
Коэффициент пористости, е
Разновидности
Пески гравелистые,
Пески
Пески
песков
крупные, средней
мелкие
пылеватые
крупности
Плотный
<0,55
<0,60
<0,60
Средней плотности
0,55 – 0,.70
0,60 – 0,75
0,60 – 0,80
Рыхлый
>0,70
>0,75
>0,80
Физические и механические характеристики грунтов. Разнообразие
состава, строения и состояния грунтов привело к введению в инженерную
практику двух групп характеристик, определяемых опытным (лаборатор ным)
путём или при помощи готовых таблиц, обобщающих многочисленные опыты.
К первой группе относятся физические характеристики, связанные с соотношениями объёмов и масс твёрдой, жидкой и газообразной компонент грунта в соответствии со схематичным изображением на рис. 2. В табл. 3 содержатся наименование и краткое описание рассматриваемой группы характеристик: плотности и
удельного веса (общих, частиц грунта, скелета грунта), пористости, влажности
грунтов и их производных коэффициентов.
7
Рис. 2. Схематичное
изображение компонент
(фаз) в объёме грунта.
Таблица 3
Физические характеристики грунтов
Наименование,
определение
Плотность – отношение массы грунта к его объёму, г/см3 ,
т/м3
Удельный вес, кН/м3
Влажность – отношение
массы воды к массе твёрдых
частиц
Плотность частиц грунта –
отношение массы твёрдых частиц к их объёму, г/см3, т/м3
Формула
m1
M
V
V1
m2
V2 V3
g
m2
m1
W
S
Удельный вес частиц, кН/м3
Плотность сухого грунта
(скелета грунта) – отношение
массы сухого грунта (частиц
грунта) к объёму всего грунта, г/см3 , т/м3
Удельный вес сухого грунта
(скелета грунта), кН/м3
Пористость грунта – отношение объёма пор к объёму
грунта
Относительное содержание
твердых частиц
Коэффициент пористости
грунта
для
для
для
для
m1
V1
d
M
m1
песков 2,65−2,67;
супесей 2,68−2,72;
суглинков 2,69−2,73;
глин 2,71−2,76
S
Sg
m1
V
1 W
d
m
e
Коэффициент водонасыщения
– отношение объёма воды в
порах к объёму пор
n
m
Sl
8
d
V2 V3
V
n
m1
V1
;
V
g
d
1
S
m n 1
n
S
1 n
W
e
S
W
d
d
W S
e W
На рис. 2 и в табл.3 обозначено: V и М – общий объём и масса, V1, V2, V3,
m1, m2, m3 – соответственно объёмы и массы твёрдых частиц, воды и воздуха в
составе образца трёхкомпонентного массива грунта.
К числу физических характеристик также относятся показатели текучести
глинистых грунтов: супесей, суглинков и глин. В строительном грунтоведении
приняты три возможных состояния указанных видов грунтов, зависящие от показателя текучести: твёрдое, пластичное и текучее.
Значение влажности между твёрдым и пластичным состояниями принято
называть границей раскатывания или нижним пределом пластичности. На
практике граница раскатывания представляетсобой искусственно подобранную
(путём увлажнения или подсушивания) влажность, при которой природный образец грунта, раскатанный в «шнур» толщиной 3 мм, начинает рас падаться на
мелкие части.
Влажность между пластичным и текучим состояниями называется «границей текучести» или верхним пределом пластичности. При определении этого
показателя влажность природного образца грунта искусственно доводится до
такого состояния, при котором стандартный конус погружается в грунтовую
пасту (тесто) на 10 мм.
Влажности на границах текучести и раскатывания принято обозначать в
процентах как WL и WP. Разность между ними называется числом пластичности:
IP = WL WP.
(1.1)
По числу пластичности глинистые грунты делятся на супеси 1 IP 7,
суглинки – 7 IP 17, глины – IP 17.
Показатель текучести IL, соответствующий природному или некоторому
заданному уровню влажности W, определяется по формуле
IL
W WP
WL WP
(1.2)
с графической иллюстрацией на рис. 3. При влажности ниже «границы раскатывания» (IL 0) грунт находится в твёрдом состоянии, при влажности выше
границы текучести (IL 1,0) состояние грунта считается текучим, при промежуточных значениях влажности (IL от 0 до 1,0) состояние супесей считается пластичным. Для суглинков и глин с показателем текучести в пределах от 0 до 1,0
принято более мелкое деление (с шагом 0,25) на полутвёрдые, туго-, мягко- и
текучепластичные грунты (см. рисунок 1).
Характеристики рассматриваемой группы являются определяющими для
классификации грунтов, используются в инженерных прогнозах, но не участвуют в расчётах непосредственно.
9
Рис. 3. Число пластичности IP и показатели состояния глинистых грунтов:
1 – твёрдое состояние; 2 – пластичное
состояние; 3 – текучее состояние
Вторую группу характеристик грунтов принято называть механическими.
К ним относятся прочностные и деформационные параметры законов Кулона и
Гука: угол внутреннего трения , удельное сцепление с, модуль деформации Е,
коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) . Физическое
содержание этих констант рассматривается ниже, в п. 1.3 – 1.4.
В строительном грунтоведении и проектной практике учитываются и широко используются соответствия между физическими и механическими характеристиками. Увеличение (или, наоборот, снижение) пористости и влажности
глинистых грунтов влечёт за собой уменьшение (повышение) их прочности и
одновременно повышение (уменьшение) деформативности. Такое же соответствие характерно для плотности и механических параметров песчаных грунтов.
Эти связи обобщены в многочисленных таблицах, наиболее авторитетные из
которых включены в состав современного СП 22.13330.2011 и ранее действовавших вариантов главы СНиП по проектированию оснований зданий и сооружений.
Нормативные и расчётные значения характеристик грунтов. Не касаясь содержания и объёма инженерно-геологических изысканий и лабораторных
определений, рассмотрим современный порядок аналитической обработки полученных результатов. В своде правил СП 22.13330.2011 регламентируются два
способа определения нормативных и расчётных характеристик грунтов.
Более строгий расчёт в соответствии с ГОСТ 20522-2012 выполняется в
следующем порядке.
1. Нормативные значения всех (физических и механических) характеристик грунтов определяются как среднеарифметические значения результатов
частных опытных измерений.
2. Расчётные значения характеристик грунтов определяются путем деления нормативных величин на коэффициенты надёжности g 1,0. При вычислении расчётных прочностных характеристик c, и плотности грунта коэффициенты g определяются по вычислительной процедуре, изложенной в ГОСТ
20522-2012, в зависимости от трёх параметров: числа выполненных определений; коэффициента вариации, характеризующего изменчивость лабораторных
определений; доверительной вероятности.
10
3. Доверительная вероятность (т. е. доля образцов грунта, имеющих показатель не ниже расчётного) указанных выше значений c, , принимается в
следующих размерах:
– при расчётах оснований по несущей способности =0,95;
– при расчётах по деформациям = 0,85.
Для сооружений I (повышенного) уровня ответственности допускается
(но необязательно) принимать более высокие доверительные вероятности характеристик грунтов.
4. Для физических характеристик и модуля деформации Е принимается
γg =1.
Упрощённый способ определения характеристик грунтов, изложенный в
СП 22.13330.2011, допускается применять для предварительных расчётов оснований всех объектов, а при проектировании зданий и сооружений (пониженного) и части объектов II (нормального) уровней ответственности – для окончательных расчётов оснований. В упрощённом способе используются следующие
положения.
1. Нормативные значения механических характеристик (угла внутреннего
трения, удельного сцепления, модуля деформации) допускается принимать на
основании нормативных физических характеристик по таблицам рекомендуемого приложения Б СП 22.13330.2011.
2. Расчётные значения механических характеристик определяются путём
деления нормативных величин на коэффициенты надёжности по грунту:
– в расчётах оснований по деформациям g = 1,0;
– в расчётах оснований по несущей способности: для удельного сцепления g=1,5, для угла внутреннего трения песков g=1,1, глинистых грунтов
g=1,15.
Инженерная схематизация грунтовых объектов. Построенные по результатам полевых изысканий и лабораторных исследований вертикальные колонки (буровых скважин, точек зондирования) и разрезы оснований и грунтовых массивов расчленяются на однородные объёмы грунтов, называемые инженерно-геологическими элементами (ИГЭ). В качестве ИГЭ принимается слой
грунта одного вида, происхождения, возраста, для которого по результатам статистической обработки приняты общими все физические и механические характеристики.
В некоторых достаточно редких случаях при инженерной схематизации
геологического разреза вместо ИГЭ выделяются более крупные фрагменты,
называемые расчётными грунтовыми элементами (РГЭ). Для РГЭ не обязательно единство вида и происхождения, но должны быть постоянными (или закономерно меняющимися по глубине) нормативные и расчётные характеристики
грунта.
При построении инженерно-геологического разреза сначала наносят вертикальные колонки с отметками границ геологических напластований. Затем
11
проводят границы между ИГЭ и/или РГЭ путём соединения прямыми линиями
пограничных точек на вертикальных колонках. Для линейных сооружений (железных и автомобильных дорог, мостов, трубопроводов и др. подобных объектов) достаточно одного продольного инженерно-геологического разреза. При
описании инженерно-геологической обстановки в основаниях площадочных
объектов (зданий, сооружений) необходимо строить несколько характерных
пересекающихся разрезов.
1.2. Формы расчётных областей, системы координат,
правила знаков
Напомним читателю и уточним применительно к теме настоящего учебного пособия группу понятий, которые лежат в основе дальнейшего изложения:
схематизацию форм расчётных областей, системы координат и правила знаков.
В теории фундаментостроения и геотехники используются три варианта форм
расчётных областей (или, другими словами, три вида напряжённого состояния):
пространственное напряжённое состояние, плоская деформация, осесимметричная задача.
Обратим внимание на то, что сжатие, которое присуще грунтам в большинстве случаев, считается отрицательным направлением нормальных напряжений. Это положение отражают направления нормальных напряжений на р исунках 4, 5, 6, которые являются сжимающими.
Пространственное напряжённое состояние представляет собой общий
случай формы расчётной области и приложения действующих сил. Система
прямоугольных координат (начало и направления осей X,Y,Z), положительные
направления перемещений U, W, V , отрицательные направления нормальных
σх, σу, σz напряжений и положительные направления касательных τxy, τxz, τyz
напряжений показаны на рис. 4.
а)
б)
Рис. 4. Общий случай формы расчётной области:
а – система координат, положительные направления перемещений U, W, V; б – отрицательные направления нормальных σх, σу, σz и положительные направления касательных τxy, τxz, τyz
напряжений
12
Из двух версий плоской задачи теорий упругости и пластичности–
плоского напряжённого состояния и плоской деформации–для геотехнических
система возможна только последняя. Расчётная схема в виде плоской деформации описывает напряжённое состояние сечений линейных сооружений типа
ленточных фундаментов, земляного полотна (насыпей, выемок), откосов, подпорных стенок, тоннелей, сохраняющих свои поперечные размеры, а также с истему действующих сил на некотором протяжении (примеры показаны на р исунке 5,а). Для расчёта выделяются отрезки единичной длины (1 м, 1 см) в
направлении оси Y. Расчётные области помещаются на плоскости XOZ.
а)
б)
Рис. 5. Плоская деформация: а – примеры расчётных областей – ленточный фундамент,
дорожная насыпь, б – положительные направления осей, отрицательные направления нормальных σх, σz и положительные направления касательных τxz, τzх напряжений
Отрицательные направления нормальных σх, σz и положительные направления касательных τxz, τzх напряжений на расчётной плоскости показаны на рисунке 5,б. Касательные напряжения τуz, τух равны нулю. Нормальные к плоскости действия сил относительные деформации и перемещения W=0, εy=0, а нормальные главные напряжения того же направления нулевыми не являются:
σу≠0.
Осесимметричная расчётная область представляет собой тело вращения
относительно оси Z. Осевая симметрия обязательна для системы действующих
сил. На рис. 6 показан пример осесимметричной расчётной области – расчётная
схема буронабивной сваи, система координат и направления напряжений: о трицательные радиальных σх, вертикальных σz, тангенциальных σθ и положительные касательных τxz.
13
а)
б)
Рис. 6. Пример осесимметричной расчётной области: а – буронабивная свая, система координат,
б – отрицательные направления нормальных σх,
σz, σθ и положительные направления касательных
τxz, τzх напряжений; 1 – продольное сечение расчётной области, 2 – буронабивная свая, 3 – границы геологических слоёв, 4 – закрепления на
границах расчётной области, 5 – ось симметрии
1.3. Условия предельного напряженного
состояния грунтов
Закон Кулона. Сжатие со сдвигом (формоизменением) является основным видом напряжённого состояния грунта в точке. При этом по каждой площадке элементарного объёма грунта действует нормальная n и касательная n
составляющие напряжений (рис. 7,а). Закон внутреннего трения Кулона устанавливает равенство (предельное равновесие) сдвигающих и удерживающих
сил на рассматриваемой площадке в соответствии с уравнением
n
n
tg
c,
(1.3)
где
и с – характеристики сопротивления грунта сдвигу: угол внутреннего
трения и удельное сцепление.
14
Альтернативные уравнению (1.3) неравенства
tg c (или
c ) означают допредельное, устойчивое (или физически невозможn
n tg
ное) соотношения напряжений.
n
n
Рис. 7. Схема к уравнениям
закона Кулона
Метод лабораторного определения сопротивления грунтов срезу.
Конкретизацией физического смысла уравнения (1.3) и характеристик с, φ является метод лабораторного определения сопротивления срезу песчаных и глинистых грунтов согласно ГОСТ 12248-2010. На рис. 8 изображена схема прибора для испытания грунтов на срез по фиксированной плоскости. Основными узлами срезной коробки являются: неподвижная 1 и подвижная 2 части, кольцо 3
с образцом грунта 6, штамп 4.
Образцы грунта должны иметь форму цилиндра диаметром не менее 70
мм и высотой от 1/3 до 1/2 диаметра.
Рис. 8. Схема прибора для испытания грунтов на срез:
1 – неподвижная часть; 2 – подвижная часть – каретка; 3 – кольцо; 4 – штамп;
5 – индикаторы; 6 – грунт; 7 – соединительные винты; 8 – ролики
15
ГОСТ 12248-2010 предусматривает две схемы выполнения опыта в срезном приборе: консолидированно-дренированный (медленный) и неконсолидированный быстрый срез. Сравнение схем испытания содержится в табл. 4.
Таблица 4
Характеристика и сравнение схем испытания
образцов грунта в срезном приборе
Наименование
сравниваемых
характеристик
Цель опыта
Консолидированнодренированный срез
Неконсолидированный
быстрый срез
Определение характеристик прочности грунта:
угла внутреннего трения, удельного сцепления
в условиях стабилизированного состояния
в условиях нестабилизированного состояния
Исследуемые
грунты
пески
и глинистые
грунты независимо от
коэффициента водонасыщения
водонасыщенные глинистые и
органоминеральные
грунты;
просадочные грунты, замоченные до полного
водонасыщения
Описание опыта
испытание на срез грунта,
предварительно
уплотненного
вертикальной
нагрузкой, проводимое в
условиях дренирования
путём повышения срезающей нагрузки с такой
скоростью, при которой
обеспечивается
полная
консолидация
грунта
(медленное испытание)
испытание на срез грунта (без
предварительного
уплотнения),
проводимое в условиях (практически) отсутствия дренирования
путём приложения вертикальной
и срезающей нагрузок с такой
скоростью (быстрое испытание),
при которой обеспечивается практическая неизменность начальных
значений плотности и влажности
грунта
Главная часть опыта по схеме консолидированно-дренированного среза
заключается в следующем. После передачи на образец грунта фиксированной
нагрузки Р начинается приложение горизонтальной силы Т в кинематическом
или статическом режиме. При кинематическом режиме горизонтальная сила
возрастает с постоянной скоростью деформации среза образца. При ступенч атой передаче срезающая нагрузка добавляется шагами, равными 0,05Р. Испытание считается законченным после того, как на очередной ступени горизонтальной нагрузки фиксируется мгновенный срез или относительная деформация 10%.
16
Результатом однократного испытания образца является сопротивление
грунта срезу
T A (А –площадь среза). Опыт повторяется не менее трёх раз,
принимая для каждого образца различные величины p P A . Для опытов одной серии используются образцы, вырезанные из однородного монолита. Обр аботка результатов опыта заключается в построении линейного графика зависимости τ=f(σ) (рисунок 9), которая представляет собой графическую форму закона Кулона. В условиях опыта напряжения τ и σ тождественны τп и σп в
уравнении (1.3).
Рис. 9. Графическая форма закона
Кулона; точки 1, 2, 3 изображают
результаты испытаний отдельных
образцов
Предельное напряжённое состояние грунта. Плоская деформация. В
теории предельного напряжённого состояния условие прочности по уравнению
(1.3) рассматривается на точечном уровне: в элементарном объёме грунтового
массива.
Уточним некоторые понятия. Под напряжённым состоянием в точке (на
плоскости или в пространстве) понимается совокупность нормальных и кас ательных напряжений, действующих по всем возможным площадкам, пересекающимся в этой точке.
Компоненты напряжений n , n на произвольной площадке могут быть
определены, если известны напряжения (например x , z , xz ) на двух взаимно
перпендикулярных площадках, проходящих через ту же точку (рис. 10, а):
n
x
n
(
cos 2
x
z
z
sin 2
sin 2 ;
xz cos 2 .
xz
) sin cos
Формула, по которой определяются главные (максимальное
мальное 2 ) напряжения
(1.4)
1
и мини-
2
x
1, 2
z
x
2
2
17
2
z
xz
,
(1.5)
также получена по условиям равновесия. Напомним, что площадки, на которых
действуют главные напряжения 1, 2 , также называются главными. Касательные
напряжения на этих площадках равны нулю.
Если предположить, что две взаимно перпендикулярные площадки на
рис. 10,а являются главными, то в соответствии с (1.4) можно записать
n
1
cos 2
1
2
sin 2
1
;
n
(
1
2
) sin
1
cos
1
.
(1.6)
Графической иллюстрацией условий равновесия в точке является диаграмма на рис. 10, б, изображающая круг Мора. Горизонтальная ось (х) является осью нормальных напряжений σп, а вертикальная ось (z) – осью касательных напряжений τп. Аналитическая
геометрия даёт следующее уравнение для точек окружности с
центром в точке О1:
(x–d)2+z2=R2.
(a)
Запишем также:
R
x1 x2
, d
2
x1 x2
2
(b)
Координаты точки п:
xn=d+Rcos2α1 , zn =Rsin2α1.
(c)
Если принять, что x1=σ1, x2=σ2, x п=σп, zn=τп , то произведя
соответствующие замены и подставляя (b) в (c), можно получить
записи, тождественные (1.6):
1
n
2
1
2
2
1
n
2
2
2
cos 2a1
sin 2a1
(
1
1
cos 2 a1
2
) sin a1 cos a1 ,
2
sin 2 a1 ;
где α1 – угол пересечения площадок 1 и n (см. рис. 10,б).
На площадке п1, перпендикулярной п и образующей с площадкой 1 угол α1+π/2, действуют компоненты напряжений σп1, τп1 ,
изображённые на круге Мора точкой п 1 и определяемые по тем же
уравнениям (1.6) с подстановкой в них α1 +π/2 вместо α1 .
Следовательно, точки п и п1 являются изображениями нормальных и касательных напряжений σп , τп и σп1, τп1 на взаимно перпендикулярных площадках, а круг Мора – геометрическим местом
изображений компонентов напряжений на всех площадках, проходящих через точку деформируемого тела.
18
а)
б)
Рис. 10. Схемы к описанию напряженного состояния в точке:
а – к уравнениям (1.4) и (1.6); б – круг Мора и взаимное положение площадок 1, п и п1
Объединение уравнений (1.3) и (1.6) позволяет получить угол наклона
площадок скольжения к главным площадкам 450∓φ/2 и запись
1
2
2
1
2
2
sin
c cos
0,
(1.7)1
которая известна как условие прочности грунта в точке по Мору-Кулону.
На рис. 11, а, б представлены графические иллюстрации к уравнению
(1.7). Прямая АВ, выражающая зависимость (1.3), совмещена на одном графике
с кругами Мора, изображающими три качественно различных напряжённых состояния грунта в точке (см. рис. 11, а). Расположение круга Мора ниже прямой
АВ означает, что левая часть уравнения (1.7) меньше нуля и прочность грунта
обеспечена. Касание прямой АВ круга Мора с центром О2 показывает, что на
одной из площадок, проходящих через исследуемую точку, имеет место предельное равновесие в соответствии с зависимостью (1.7). Уравнение (1.7) может быть получено из построений на диаграмме для этого круга: О2С=О2D+DC,
где О2С=½(σ1–σ2), О2D=½(σ1+σ2) sinφ, DC=c cosφ. Из рассматриваемого рисунка (круг Мора с центром О2) также видно, что вектор О2С образует с осями
главных напряжений σ1,2 углы π/2±φ, что соответствует углам наклона площадок скольжения к главным площадкам 450∓φ/2.
1
Напомним, что сжатие считается отрицательным направлением напряжений и деформаций: 3
3
2
1 ;
3
2
1 .
2
1,
3
2
1,
19
Согласно излагаемой теории круг Мора не должен пересекать прямую,
выражающую закон Кулона, так как грунт не может воспринять изображаемое
напряжённое состояние. Если по результатам расчёта такое положение (круг с
центром О3) всё же получено, то это свидетельствует о несовершенстве метода
определения компонентов напряжений в грунтовом массиве.
а)
б)
Рис. 11. Графические иллюстрации к условию
прочности Мора-Кулона (а) и области COAB
физически возможных напряженных состояний на плоскости 1 , 2 (б)
На рис. 11, б изображена плоскость главных напряжений 1, 2 . Ось симметрии ОС соответствует гидростатическому напряжённому состоянию
( 1
2
1 ), действительной является только часть
2 ). Так как
2
1 (
диаграммы выше оси ОС. Если напряжённое состояние в элементарном объёме
грунта изображается точкой М с координатами 1 , 2 , то точка L соответствует
ср
1
2
2
, а проекции отрезка LM на оси координат равны
Прямая АВ, наклонённая к оси
2
под углом
20
arctg tg 2 45
1
max
2
2
2
.
и пересе-
2c cos
от начала ко2
2
1 sin
ординат является графической формой уравнения (1.7). Поэтому для грунта физически возможными считаются только такие координаты 1 , 2 , при которых
изображаемая точка находится в области ОАВС.
В учебной и научно-технической литературе встречаются записи
условия прочности грунта в точке, тождественные уравнению (1.7), полученные в результате его преобразований. Приведём два из таких выражений:
кающая её на расстоянии
OA
2c ctg 45
2
с
с
2
1
с
с
1
1
2
1
2
ctg 2 45
2
2
,
sin ,
(1.8)
(1.9)
с
c
– характеристика грунта, называемая «давлением связности».
tg
Условие прочности по Мору-Кулону широко и успешно применяется в научных исследованиях и инженерной практике. В настоящее время в
теории механики грунтов нет другого равноценного постулата для условий плоской задачи, сочетающего простоту, ясность физического смысла
и удовлетворительное соответствие данным наблюдений и научных исследований.
Пространственная задача. Перейдём к рассмотрению условий
прочности при пространственном (трёхмерном) напряжённом состоянии,
определяемом главными напряжениями 1 , 2 , 3 (или 1,2 ,3 ) и изображаемом графически в виде точки М на рис. 12, а. При анализе трёхмерного напряжённого состояния используются следующие приёмы.
1. Разложение тензора напряжений на гидростатическую (шаровой
тензор) и девиаторную части. Под тензором напряжений в точке понимается совокупность напряжений, действующих на трёх взаимно перпендикулярных площадках (рис. 12, б). Матричная запись тензора напряжений имеет вид:
где
c
T
x
xy
xz
yx
y
yz
zx
zy
z
1
или
21
0
0
0
2
0
0
0
3
.
(1.10)
Гидростатическая часть напряжённого состояния включает три пары
равных напряжений:
x
m
y
z
1
2
3
3
3
.
(1.11)
Напряжения m не меняют своей величины при повороте осей, т. е.
являются равными (и одновременно главными) на всех площадках, проходящих через точку М.
Матричная запись шарового тензора имеет вид:
m
Tш
а)
0
0
0
m
0
0
0
.
(1.12)
m
б)
в)
Рис. 12. Пространство главных напряжений 1 , 2 ,
3 и графическая форма условия прочности МизесаШлейхера-Боткина (а); компоненты напряжений в
условиях пространственной задачи (б); октаэдрическая площадка (в)
Девиаторная часть включает касательные напряжения и разности между
нормальными напряжениями и их средним значением m . Матричная запись
девиатора напряжений имеет вид:
22
x
D
m
xy
yx
y
xz
m
zx
.
yz
zy
z
(1.13)
m
Девиаторное напряжённое состояние характерно тем, что его сумма главных
напряжений равна нулю.
Матрицы (1.10), (1.12), (1.13) связаны равенством
T
ние.
Tш
D .
(1.14)
Шаровой тензор вызывает изменение объёма, девиатор – формоизмене-
2. Использование инвариантов напряжённого состояния, т. е. таких комбинаций напряжений, которые не меняют своих значений при повороте осей.
Наибольшее практическое значение имеют первый инвариант тензора напряжений
(1.15)
I1
x
y
z
1
2
3
и второй инвариант девиатора напряжений
I2
1
(
6
x
y
1
3
1
(
6
1
)2
(
2
y
2
1
)2
(
z
3
)2
(
z
2
(
1
2
2
2
3
)2
(
x
2
1
)2
2
6
3
3
)2
2
xy
3
2
yz
1
) .
2
zx
(1.16)
Ось симметрии ОА на рис. 12, а изображает гидростатические напряжённые состояния 1
1, 2 , 3 под равными
2
3 . Эта прямая наклонена к осям
2
и является нормалью к девиаторной плоскости, проходящей
3
через начало координат и определяемой тем, что суммы координат её точек
0.
1
2
3
углами arcsin
Покажем способ получения инвариантов I1, I2 и доказательство
их независимости от положения осей координат. Выполним для этого следующие построения. В параллелепипеде на рисунке 13 выделим тетраэдр, образованный наклонной плоскостью, пересекающей
оси координат Х, Y, Z. Предположим, что выбранная (обозначенная
штриховкой) наклонная плоскость является одной из трёх главных
площадок в рассматриваемой точке, и нормаль v параллельна σ –
23
одному из трёх главных напряжений.
Рис. 13. Схема к уравнениям (1.13)
Обозначим через l, m, n направляющие косинусы нормали v по
отношению к осям Х, Y, Z. Направляющие косинусы связаны соотношением
l2+m2 +n2 =1.
(a)
Отношения площадей граней, лежащих на координатных плоскостях, к площади Fv главной площадки, нормальной к оси v, будут
равны Fyz/Fv=l, Fxz/Fv=m, Fxy/Fv=n. Запишем три уравнения равновесия проекций напряжений на оси Х, Y, Z:
или
Fv [(σx–σ)l+τxym+τxzn]=0;
Fv [τyxl+(σy–σ)m+τyzn]=0;
Fv [τzxl+τzym+(σz–σ)n]=0
(σx–σ)l+τxym+τxzn=0;
τyxl+(σy–σ)m+τyzn=0;
τzxl+τzym+(σz–σ)n=0.
(б)
(1.17)
В высшей алгебре системы уравнений этого вида называются
однородными с двумя вариантами решения относительно неизвестных, которыми в нашем случае являются направляющие косинусы l,
m, n. Первый вариант – l, m, n равны нулю. Это невозможно, так как
противоречит уравнению (a). Второй вариант – определитель системы (1.17) равен нулю:
24
x
xy
yx
xz
y
zx
yz
zy
0
(в)
z
Раскрытие определителя (в) ведёт к кубическому уравнению
следующего вида:
σ3 – I1σ2 – I2σ – I3=0.
(1.18)
Три корня уравнения (1.18) являются значениями трёх главных
напряжений σ1, σ2, σ3. Коэффициенты уравнения (1.18) являются инвариантами тензора напряжений:
I1=σx+σy+σz,
I2=–σx σy – σy σz – σzσx + τxy2 + τyz2 + τzx2,
I3 =σxσyσx – σx τyz2 – σy τxz2– σz τxy2+2τxy τyz τxz.
(1.19)
Инвариантность выражений (1.19) обосновывается тем, что при
одних и тех же значениях главных напряжений σ1 , σ2 , σ3 коэффициенты I1 , I2, I3 не зависят от положения координатных осей.
Решение системы (1.17) можно получить путём подстановки
вместо σ одного из трёх 1,2 ,3 главных напряжений, полученных в
результате решения кубического уравнения (1.18), совместно с
уравнением (а).
Получим теперь инвариант I2 для условий девиатора напряжений в соответствии с (1.13). Для этого в запись этого инварианта в
составе (1.19) вместо σx,y,z введём выражения (σx,y,z–⅓I1), а последние
три члена τxy2+τyz2+τzx2 оставим без изменения и временно исключим
из рассмотрения. Выполним тождественные преобразования с первыми тремя членами:
–(σx–⅓I1)(σy–⅓I1) –(σy–⅓I1)(σz–⅓I1)–(σz–⅓I1 )(σx–⅓I1)=
=–[σxσy–⅓I1(σx+σy)+(⅓I1 )2]–[σyσz–⅓I1(σy+σz)+(⅓I1)2]–
–[σzσx–I1(σz+σx)+(⅓I1)2]=
=–σx σy – σy σz – σzσx+⅔I12–⅓I12 =–σx σy – σy σz – σzσx+⅓I12 =
=–σx σy – σy σz – σzσx+⅓(σx2+σy2 +σx2 +2σx σy+2σy σz+2σzσx)=
=⅓(σx2+σy2+σx2–σx σy – σy σz – σzσx)= 16 [(σx–σy)2+(σx–σy)2+(σx–σy)2 ].
Присоединяя к последнему выражению τxy2+τyz2 +τzx2, получаем
окончательный вид второго инварианта девиатора напряжений в соответствии с (1.16):
I2= 16 [(σx–σy)2 +(σx–σy)2+(σx–σy)2]+τxy2+τyz2+τzx2=
= 16 [(σx–σy)2+(σx–σy)2+(σx–σy)2 +6τxy2+6τyz2+6τzx2].
25
В механике грунтов при анализе пространственного напряжённого состояния используется условие прочности Мизеса-Шлейхера-Боткина, описываемое
уравнением
I 2 aI1 k 0 ,
(1.20)
где и k – прочностные характеристики грунта, подобные sin и с в уравнении (1.7).
Графической формой уравнения (1.20) является коническая поверхность,
ось которой совпадает с гидростатической (рис.12, а). Физически возможными
являются напряжённые состояния 1 2 3 , изображённые на рис.12, а точками М, находящимися на конической поверхности (1.20) или внутри неё.
Уравнение (1.20) тождественно соотношению с более конкретным физическим содержанием, выражающему предельное равновесие на октаэдрической
площадке, аналогичное закону Кулона:
окт
окт
tg
окт
nокт ,
(1.21)
I1
2
,
– касательное и нормальное напряжения на октаэдI
о
кт
окт
2
3
3
рической (равнонаклонённой с осям главных напряжений, рис.12, в) площадке;
ρокт и покт – прочностные характеристики грунта. Уравнения (1.20) и (1.21)
tg окт
3
nокт .
тождественны при
иk
2
6
Уравнение (1.7) и тем более (1.20), (1.21) изменяют первоначальное представление о механизме разрушения грунта. Если по закону Кулона это явление
происходит как взаимное смещение частей сыпучего тела, то условия прочности Мора-Кулона и Мизеса-Шлейхера-Боткина объясняют разрушение как результат формоизменяющего (девиаторного) воздействия приложенных сил.
где
Испытание грунта методом трёхосного сжатия. Физической иллюстрацией формы разрушения в соответствии уравнениями (1.7) и (1.20) является лабораторное испытание образцов грунта цилиндрической формы в соответствии
с ГОСТ 12248-2010 в приборе трёхосного сжатия (стабилометре) с принципиальной схемой на рис. 14. Прибор допускает деформации образца грунта в радиальном направлении при фиксированном (контролируемом) горизонтальном
давлении. Размеры образца: диаметр не менее 35 мм, отношение высоты к диаметру от 1,85:1 до 2,25:1.
Опыт заключается в приложении к образцу грунта (ненарушенного сложения с природной влажностью или нарушенного сложения с заданными значениями плотности и влажности) осесимметричной системы сил (рис . 15, а):
вертикальных σ3 и горизонтальных
26
Рис. 14. Принципиальная схема прибора для испытания грунта методом трехосного сжатия:
1 – основание камеры; 2 – корпус камеры; 3 –
вентиль для выпуска воздуха; 4 – шток; 5 – образец грунта в оболочке; 6 – верхний штамп; 7 –
нижний штамп; 8 – трубки для дренирования и
измерения порового давления; 9 – трубка для заполнения камеры и измерения давления в камере;
10 – манометр; 11 – индикатор; 12 – жидкость
а)
б)
Рис. 15. К анализу результатов испытания грунта
методом трехосного сжатия: а – схема приложения
напряжений σ3 и σ1,2 к образцу грунта; б – определение и с
(радиальных) напряжений 1
2( 3
1, 2 ) . При каждом отдельном испытании радиальные напряжения σ1,2 остаются постоянными, а напряжения σ3 увеличиваются небольшими ступенями. Испытание считается законченным после
исчерпания прочности грунта по одному из следующих признаков: разрушение
образца; пластическое течение без приращения напряжений σ3; достижение относительной
деформацией величины ε3 = − 0,15. Опыт повторятся не менее
трёх раз (с тремя образцами исследуемого грунта) при разных значениях рад иальных напряжений σ1,2. По результатам измерений по известным значениям
пар главных напряжений (σ΄1,2, σ΄3; σ˝1.2, σ˝3; σ˝΄1.2, σ˝΄3)
определяются значения прочностных характеристик (φ и с или α и k) расчётным путём в соответствии с уравнениями (1.7) или (1.20) или графически при помощи диаграмм на
рис. 15,б.
27
ГОСТ 12248-2010 предусматривает три варианта проведения опыта:
– неконсолидированное-недренированное испытание – для опре-деления
сопротивления сдвигу водонасыщенных глинистых, органо-минеральных и органических грунтов природной плотности;
– консолидированное-недренированное испытание с измерением порового давления – для определения характеристик прочности φ и с для водонасыщенных в природных условиях дисперсных грунтов;
– консолидированное-дренированное испытание – для определения характеристик прочности φ, с и характеристик деформируемости Е, ν дисперсных
грунтов.
1.4. Зависимость между перемещениями, напряжениями и
деформациями
В настоящем параграфе рассматриваются условия деформирования грунтов (связи между перемещениями, напряжениями и относительными деформациями) с делением на стадии линейного деформирования и пластического течения (до и после достижения условия текучести в соответствии с уравнениями Мора-Кулона или Мизеса-Шлейхера-Боткина).
Соотношения Коши и обобщённый закон Гука. Напомним обозначения составляющих перемещений в точке U, W, V по направлениям осей X, Y, Z
и введём обозначения деформаций: εx, εy, εz, γxy, γxz, γyz – относительные осевые
и угловые деформации в прямоугольных координатах; ε1, ε2, ε3 – главные относительные деформации.
Линейные соотношения, связывающие перемещения, относительные деформации и напряжения, имеют следующий вид.
Соотношения Коши связи между перемещениями и деформациями (выражают непрерывность и относительную малость перемещений):
U
,
x
x
xy
U
y
W
,
x
yz
y
W
, z
y
W
V
,
z
y
xz
V
,
z
U
z
V
.
x
(1.22)
Напомним читателям происхождение указанных выше уравнений. С
этой целью рассмотрим проекцию и перемещения на плоскости XOZ
элементарного объёма упругого тела с размерами dx dy dz (рис. 16). В соответствии с изображением на рисунке абсолютные удлинения по
направлениям X и Z соответственно равны (дU/дх)dx и (дV/дy)dy, а относительные удлинения (деформации)
x
(
U
dx) / dx
x
28
U
;
x
z
(
V
dz ) / dz
z
V
.
z
Изменение угла в плоскости XOZ (см. рис. 16):
xz
1
2
U
V
dz ) / dz ( dx) / dx
z
x
(
U
z
V
.
x
Аналогичным путём (при помощи проекций на плоскости XOY, YOZ)
получим относительную деформацию εy и углы γxy, γyz.
Рис. 16. Проекция и перемещения элементарного объёма упругого тела
Положительные направления εx, εy, εz соответствуют удлинению по соответствующим направлениям, а γxy, γxz, γyz – уменьшению углов.
Уравнения закона Гука для сплошных изотропных расчётных областей
имеют следующий вид.
Плоская деформация:
1
x
x
E
1
,
z
xz
xz
G
1
z
z
E
2 xz 1
E
1
x
,
.
(1.23)
Пространственное напряженное состояние:
x
1
E
x
y
z
,
1
E
y
y
x
,
z
1
E
z
z
x
y
,
(1.24)
xy
xy
G
,
xz
xz
G
29
,
yz
yz
G
.
В уравнениях (1.23) и (1.24) обозначено: E –модуль деформации, – коE
эффициент Пуассона (поперечной деформации), G
– модуль сдвига.
21
Продолжим рассмотрение тех же постулатов применительно к условиям
осесимметричного напряжённого состояния и деформирования (рис . 17), принимая следующие обозначения: U, V – составляющие перемещений в точке в
направлениях радиальной X и вертикальной Z осей; εx, εz, εθ, σx, σz, σθ – относительные деформации и напряжения в радиальном, вертикальном и тангенциальном направлениях; γxz, τxz – угловые деформации и касательные напряжения
в плоскости XOZ; ε1, ε2, ε3, σ1, σ2, σ3 – главные относительные деформации и
напряжения.
Рис. 17. Схема осесимметричного
напряженного состояния
Соотношения Коши и уравнения закона Гука:
U
,
x
x
x
1
E
V
,
z
z
x
z
1
E
,
z
x
U
,
x
1
E
z
U
z
xz
z
,
V
;
x
,
x
xz
xz
G
(1.25)
.
(1.26)
Инварианты относительных деформаций. При анализе результатов
экспериментов и постановке задач строгой теории используются инварианты
деформаций, подобные инвариантам тензора напряжений I1, I2: первый инвариант J1 тензора деформаций, равный объёмной деформации εv :
J1= εv =ε1+ ε2+ ε3= εx+εy+εz;
второй инвариант девиатора деформаций:
30
(1.27)
1
J2 = [(ε1−ε2)2+(ε2−ε3)2+(ε3−ε1)2]=
6
=
1
[(εx−εy)2+(εy−εz)2+(εz−εx)2+1.5(γxy2+γyz2+γxz2)];
6
(1.28)
интенсивности линейных εi и угловых γi деформаций:
i
2
J2 ;
3
i
2 J2 .
(1.29)
Характеристики деформируемости грунтов. В рассматриваемых ниже
расчётных моделях используются три деформационные характеристики грунтов: модуль деформации Е, модуль упругости Ее и коэффициент поперечной
деформации (коэффициент Пуассона) ν. Различие между модулями Е и Ее заключается в том, что первый из них отражает полную деформацию, состоящую
из линейной и нелинейной (обратимой и необратимой) составляющих на допредельной стадии деформирования, второй отражает только упругую (восстанавливающуюся) часть деформаций, которая фиксируется при снятии и повторном приложении нагрузки.
Назначение деформационных характеристик относится к числу наиболее
ответственных решений при проектировании, особенно в сочетании с численными методами, ведущими к расширению области использования деформационных расчётов. Существуют многочисленные таблицы (в том числе в приложении Б СП 22.13330.2011), связывающие модули деформации Е с физическими характеристиками грунтов. Табличные данные используются на практике в
связи с ограниченными возможностями проведения специализированных инженерно-геологических изысканий при проектировании объектов средней технической сложности. В указанном нормативном документе предусмотрена во зможность упрощённого назначения модуля упругости по соотношению Ее=5Е.
Для коэффициентов ν также существуют табличные значения, последний
вариант которых содержится в табл. 5 , повторяющей данные СП
22.13330.2011, табл. 5.10.
Таблица 5
Коэффициенты поперечной деформации
Коэффициенты поперечной
Грунты
деформации ν
Крупнообломочные грунты
0,27
Пески и супеси
0,30−0,35
Суглинки
0,35−0,37
Глины при показателе текучести
IL≤0
0,20−0,30
0< IL≤0,25
0,30−0,38
0,25< IL≤1
0,38−0,45
31
Табличные данные в нормативно-методических документах отражают обширный эмпирический материал, основанный на полевых и лабораторных измерениях. Знание схем и способов проведения различных видов
испытаний позволяет лучше понимать физическое содержание рассматриваемых характеристик, учитывать погрешности их измерений.
Одним из способов лабораторного определения деформационных
характеристик является рассмотренный выше метод трёхосного сжатия
образцов грунта по версии консолидированно-дренированного испытания.
Модуль деформации и коэффициент поперечной деформации в опыте при
постоянном значении напряжений σ1,2 определяются по формулам
E
3
,v
3
1.2
,
3
где Δσ3 – приращение напряжений σ3 в заданном диапазоне;
1, 2
1
(
2
v
3
),
v
(1.30)
3
h
,
h
V
– приращение относительной вертикальной,
V
поперечной и объёмной деформаций образца; Δh, ΔV – абсолютные вертикальная и объёмная деформации образца грунта с учётом поправки на
сжатие камеры, h, V – начальные высота и объём образца.
Другими известными способами определения Е и ν являются следующие эксперименты. Лабораторные испытания: компрессионные, одноосные. Полевые измерения: штамповые, прессиометрические испытания,
статическое и динамическое зондирование. Их описание не относится к
задачам настоящего издания.
Фазы напряжённого состояния грунтов. Диаграмма Прандтля. В
теории механики грунтов принято выделять две фазы напряжённодеформированного состояния грунта: 1) фазу уплотнения и локальных
сдвигов; 2) фазу значительных сдвигов.
Первая фаза характеризуется преобладанием деформаций уплотнения, близкой к линейной зависимостью между напряжениями и деформациями, быстрым затуханием деформаций. Если оценивать напряжённое
состояние грунта в соответствии с условиями текучести Мора-Кулона и
Мизеса-Шлейхера-Боткина, то на данной стадии площадки сдвига (пластические области) только зарождаются либо не образуются вообще. Состояние грунта оценивается как допредельное.
При возрастании величины и неравномерности нагрузки площадки
скольжения соединяются, образуя развитые поверхности. Грунт переходит в близкое к предельному состояние, которому присущи разрывы
32
сплошности или образование обширных пластических областей с нелинейной связью между напряжениями и деформациями. Такое напряжённое состояние, если оно приближается к исчерпанию несущей способности или характеризуется прогрессирующей текучестью, является недопустимым.
При проектировании (расчётах) геотехнических объектов с использованием в качестве теоретической основы законов Гука, Кулона, уравнений Мора-Кулона, Мизеса-Шлейхера-Боткина принимается билинейная
зависимость ε=f(σ), известная в теории как диаграмма Прандтля (рис. 18),
позволяющая получить качественно верную, удовлетворяющую практическим требованиям картину напряжённо-деформированного состояния.
Точка А на билинейной диаграмме изображает предел текучести. Условия
деформирования грунта на наклонном и горизонтальном участках билинейной диаграммы качественно отличаются и описываются разными
уравнениями.
Для наклонного участка ОА принимается модель линейнодеформируемого тела, описываемая обобщённым законом Гука и характеризуемая модулем деформации Е и коэффициентом Пуассона ν.
Рис. 18. Двухмерная аналогия зависимостей
f ( ) к модели упругопластического тела в соответствии с диаграммой
Прандтля
В соответствии с уравнениями закона Гука направления векторов главных напряжений (σ1,2) и главных относительных деформаций (ε1.2) совпадают
или (в терминах теории деформируемых тел) соосны, коаксиальны. Объёмная
деформация в теле Гука
εv =εx+εy+εz=
1 2
1 2
(σx+σy+σz)=
E
E
(σ1+σ2+σ3).
(1.31)
Девиатор напряжений {σ1–σm σ2–σm σ3–σm} не воздействует на объёмную
деформацию.
Достижение предела текучести связано с наступлением предельного
напряжённого состояния грунта в соответствии с уравнениями Мора-Кулона
или Мизеса-Шлейхера-Боткина. На горизонтальном участке диаграммы ОАВ
33
численные значения деформаций (перемещений) не определяются, а их векторы описываются соотношениями теории пластичности, которые рассматриваются ниже.
Понятие о векторах пластических деформаций. Дилатансия. При решении смешанных задач теории упругости и пластичности требуется расчётное
описание вектора относительных деформаций на ветви АВ (см. рис. 18) диаграммы Прандтля. При этом рассматриваются два вопроса: об ориентации осей
тензора-девиатора деформаций и о влиянии формоизменения на объёмное деформирование.
На стадии пластического течения векторы главных напряжений и дефо рмаций так же, как и на упругой стадии, принимаются соосными. Однако в этом
случае рассматриваемое положение вводится не как следствие физических
уравнений, а в качестве самостоятельного допущения, основанного на экспериментальных данных или полученного при помощи соотношений теории пластического течения.
Изложенные выше положения позволяют считать соосными векторы
главных напряжений, линейных и пластических составляющих главных деформаций на всех стадиях деформирования элементарного объёма (точки) грунтовой среды.
Ещё одним положением теории деформирования на стадии пластического
формоизменения является наличие дилатансии, т. е. изменения (как правило,
увеличения, «разрыхления») объёма. Явление дилатансии при сдвиге грунтов
зафиксировано во многих экспериментах и объясняется как следствие изменения взаимного положения («переупаковки») частиц грунта при формоизменении.
Пластическое деформирование элементарного объёма грунта в условиях
плоской деформации происходит в соответствии со схемой на рис . 18 по уравнению
p
1, 2
2
1) ,
(
(1.32)
где ε1,2р – пластические составляющие главных деформаций; λ – малая скалярная величина; Λ* – параметр дилатансии, константа, отражающая изменение
объёма при формоизменении (сдвиге) грунта в условиях плоской деформации.
Из уравнения (1.32) следует, что
p
1
*
p
2
p
1
p
.
(1.33)
2
Наличие коэффициента Λ*≠0 отличает деформацию в соответствии с уравнением (1.32) от течения при постоянном объёме, где ε1,2p=± , а на площадках,
2
34
наклонённых под углом 450 по отношению к осям главных напряжений, имеет
1
место εpπ/4=0, γрπ/4= (ε1р – ε2р) = .
2
2
Рис. 19. Формоизменение и дилатансия элементарного объема грунта при пластическом
деформировании:
1 – первоначальные размеры;
2 – сдвиг при постоянном объеме (Λ* =0);
3 – формоизменение с дилатансией (Λ* >0)
Ассоциированный и неассоциированный законы течения. Теория
пластического течения связывает поле скоростей (приращений) пластических
деформаций ij с частными производными некоторой функции F=0, называемой пластическим потенциалом:
F
ij
,
(1.34)
ij
где λ – неопределённый положительный коэффициент пропор-циональности,
малая скалярная величина. Пластический потенциал F(σij)=0 описывает в пмерном пространстве напряжений некоторую поверхность. Математически з ависимость (1.34) означает перпендикулярность вектора приращений (скоростей) пластических деформаций к линии или поверхности F=0.
В частном случае, если в качестве пластического потенциала принять
уравнение текучести (1.7) или (1.20) F =Fр=0, соотношение
Fp
ij
(1.35)
ij
будет выражать ассоциированный закон течения. Данный термин связан с общей (ассоциированной) записью зависимостей, определяющих предельное
напряжённое состояние и вектор пластического течения.
Уравнениям пластических потенциалов
35
Fp
(
1
2
)
(
1
2
2
)
2
Fp
I2
sin
0,
c cos
aI1 k
0
можно придать более общий вид путём подстановки вместо sinφ и α параметров
дилатансии Λ*, Λ, определяемых экспериментальным путём, выражающих линейную связь объёмных деформаций и формоизменения в условиях плоской
деформации и пространственного напряжённого состояния. Новые соотношения [3]
F
1
(
2
2
1
2
)
2
F
I2
const
I1 const
0,
0
(1.36)
(1.37)
описывают пластические потенциалы неассоциированного закона течения.
Из уравнений (1.34)–(1.37) следуют важные в практическом отношении
зависимости. При F=0, определяемом уравнением (1.36), в условиях плоской
деформации
1, 2
F
1, 2
2
(
*
1) ;
*
1
1
2
.
2
(1.38)
Обратим внимание на то, что соотношения последней строки повторяют
приведенные выше уравнения (1.32), (1.33) с графической иллюстрацией на
рис. 19.
Графической формой уравнений (1.32)–(1.38) являются диаграммы на
рис. 20, изображающие пластические потенциалы Fр=0 и F=0 и векторы ассоциированного и неассоциированного законов течения на плоскости главных
напряжений σ1, σ2.
Рис. 20. Пластические потенциалы неассоциированного (ассоциированного) законов
течения 1(2) и соответствующие им векторы пластических деформаций 3(4)
36
При F=0 в соответствии с (1.37) в условиях пространственной задачи
1, 2 , 3
1, 2,3
m
.
2 I2
(1.39)
В соответствии с последним уравнением объёмная пластическая деформация Jр1=εр1+εр2+εр3=3λΛ, а выражение
J p2
1
(
6
p
1
p 2
2
)
(
p
2
p 2
3
)
(
p
3
p 2
1
)
1
.
2
Откуда следует
J p1
6 J p2
.
(1.40)
В научной литературе и некоторых программах расчётов геотехнических
объектов используется термин «угол дилатансии», связывающий объёмную деформацию при сдвиге с деформацией сдвига ψ=arc tg Λ* (или Λ).
Следствием изложенного выше являются следующие кинематические
свойства рассматриваемой модели:
– тензоры-девиаторы скоростей пластических деформаций и напряжений
соосны (коаксиальны);
– пластические деформации формоизменения должны сопровождаться
относительным увеличением объёма со скоростью λΛ* или 3λΛ.
Указанные выше положения подтверждаются большинством экспериментов, и их практическое использование можно считать пригодным для прикладных задач. Обобщение большого числа опытных исследований (А. К. Бугров,
19801) позволило сделать вывод о том, что относительное увеличение объёма,
сопровождающее формоизменение, меньше или близко к значениям ассоциированного закона: в экспериментах с плотными грунтами Λ*=(0.87÷1.00)sinφ, а
в опытах с грунтами рыхлыми и средней плотности Λ*=(0.30÷0.50)sinφ.
Модель Друккера-Прагера в соответствии с описанием в статье [9] является версией модели Мизеса-Шлейхера-Боткина со следующими особенностями.
В качестве условия текучести принято уравнение (1.20)
I1
I2
k
0 .
(а)
Бугров А.К. Напряжённо-деформированное состояние оснований и земляных сооружений с областями предельного равновесия грунта // Диссертация на соискание учёной степени доктора технических наук. – Ленинград, 1980.
1
37
Описание деформирования после достижения предела текучести в соо тветствии с ассоциированным законом течения:
Fp
ij
ij
или
(
x, z, y
I 1 / 3)
x, z , y
,
2 I2
(б)
где
I1=σх+σz+σy=σ1+σ2+σ3,
I2=
(в)
1
[(σх–σz)2+(σz–σy)2+ (σy–σx)2]+τxz2+ τxy2+τyz2
6
(г)
– первый инвариант тензора и второй инвариант девиатора напряжений в точке
(элементарном объёме) грунта.
В условиях плоской деформации τxy=τyz=0. Требуется, чтобы третья (нормальная к расчётной плоскости) главная деформация ε3=εу равнялась нулю, и
грунт одновременно удовлетворял уравнению (а)–(1.17) и условию текучести
Мора-Кулона (1.7):
(
z)
x
2
2
xz
2
x
z
c cos
2
0.
(д)
Основываясь на этих соображениях, можно сделать следующие записи:
y
3
I1
x
z
2
0;
(1.41)
2 I 2 I1 / 3 ;
2
I1 / 3 ; I1
2
x
z
3
3
3 I2 ;
x
z
2
(1.42)
y
y
I2
I1
y
I1 / 3
2I 2
3
3
3
38
I2
x
z
2
.
I2 ;
(1.43)
(1.44)
Подстановка (1.44) в уравнение (г) после некоторых преобразований позволяет получить
I2
1
6
2
2
x
z
I2
z
1 3
6 2
3
I2
2
x
x
3
2
18
z
2
z
2
1
2
2
xz
I2
x
I2
z
2
2
x
z
2
xz
z
2
3
2
xz
I2 .
Из последнего уравнения следует:
1
I2
2
2
x
2
1 3
или
1
I2
2
xz
z
2
2
x
2
xz
z
.
(1.45)
2
1 3
Подстановка (1.42) в уравнение (а)–(1.20) Fp=0 позволяет получить
Fp=3α[½(σx+σz)]+(1–3α2) I 2 –k=0.
Заменяя в последнем выражении
получаем
1
2
2
x
2
xz
z
1
I 2 правой частью уравнения (1.45),
3
2
x
(1.46)
z
1 3
k
2
1 3
0.
2
(1.47)
Уравнение (1.47) является одновременно тождественной формой выражений (а)–(1.20) и (д)–(1.7) при условиях
sin
3
1 3
2
1 12
, cos
1 3
2
2
,c
k
1 12
2
.
Если приближённо принять 1 3 2 1,0 , можно получить простые соотношения связи между парами прочностных характеристик α, k и φ, с
sin
, k
3
39
c cos .
(1.48)
О сопротивлении грунта растяжению. При проектировании, а также
реальном поведении сооружений возможны условия, когда на некоторой части
грунтового массива возникает растяжение. Грунты слабо сопротивляются растягивающим напряжениям, в зонах их действия образуются трещины, отрыв
поверхностей фундаментных конструкций от основания (например, при воздействии на сваю горизонтальной силы). В расчётах обычно принимается, что
грунт работает только на сжатие, не воспринимает растягивающие напряжения,
деформируется при их воздействии без сопротивления. Важным аргументом в
пользу такого допущения является соображение о том, что даже в тех случаях,
когда растягивающие напряжения незначительны и не вызывают разрывов, теряет силу закон внутреннего трения и модуль деформации значительно ниже,
чем при сжатии.
1.5. Расчётные модели геотехнических систем
1.5.1. Упрощённые модели
В действующих нормативных документах и в практике проектирования геотехнических объектов используются две группы расчётных моделей (РМ), основанные на одном из наборов рассмотренных выше физических уравнений и изображаемые диаграммами 1 и 2 на рис. 21:
– модели теории линейного деформирования;
– модели жёсткопластических сред (теории предельного равновесия и
предельного напряжённого состояния грунтовых оснований и массивов).
В обеих теориях (группах теорий) общими и основополагающими являются условия равновесия, а также допущения о сплошности и изотропности расчётных областей.
Рис. 21. Двухмерная аналогия зависимоf ( ) к моделям линейно дестей
формируемого 1, жесткопластического 2
и упругопластического 3 тел
Следует иметь в виду, что диаграммы на рис.18 и 21 представляют собой не реальные графики, а двухмерные аналогии зависимостей
ε=f(σ). Общее число компонентов напряжений и деформаций в точке
(элементарном объёме) грунтовой среды больше двух (четыре, шесть,
двенадцать) и, следовательно, не может быть изображено в виде точки
на плоскости или трёхмерном пространстве.
40
Диаграммы 1 и 2 являются ветвями общего графика 3 (диаграммы Прандтля),
моделирующего
деформирование
идеализированного
упругопластического тела, которое является универсальной расчётной моделью теорий упругости и пластичности.
Теории линейного деформирования. Первая РМ (линия 1 на рис. 21)
представляет собой теорию линейно деформируемой среды, описываемую физическими уравнениями закона Гука и геометрическими соотношениями Коши.
Линейно деформируемые тела в отличие от упругих не восстанавливают деформаций при разгрузке (понимаемой как возвращение
к исходному напряжённо-деформированному состоянию). Поскольку
при проектировании объектов строительства разгрузка, как правило,
не предполагается, указанное различие не препятствует применению
теории упругости при расчётах оснований, грунтовых и взаимодействующих с грунтом объектов.
Границей линейного деформирования является предел текучести (точка
А), принимаемый для грунтов в соответствии с уравнениями Мора-Кулона (1.7)
или Мизеса-Шлейхера-Боткина (1.20)–(1.21). Получение на части расчетной
области «зоны (подобласти) разрушения» («физически невозможного» напряжённого состояния), где не удовлетворяются условия прочности в соответствии
с указанными уравнениями, свидетельствует о неполной корректности или даже непригодности линейного метода расчета.
В современном проектировании существуют и развиваются два направления решения задач теории линейно деформируемой среды: классическое – с
использованием решений математической теории упругости (как правило, в виде готовых таблиц) и индивидуальные численные расчёты по методу конечных
элементов (МКЭ).
Ещё одной разновидностью линейной модели является метод местных упругих деформаций (метод коэффициента постели), предназначенный для решения
контактных задач расчета изгибаемых конструкций (свай, шпунтовых стенок, плит
фундаментов конечной жёсткости), взаимодействующих с грунтом оснований. В
дальнейшем изложении этот метод не рассматривается.
Модели жёстко-пластических сред. Вторая теория представляет собой
группу РМ в виде жёстко-пластических тел (сред), описываемых уравнениями
предельного равновесия или предельного напряженного состояния и изобр ажённых на рис.21 линией 2. При проектировании геотехнических объектов с
использованием моделей рассматриваемой группы применяются уравнения закона Кулона и условие прочности Мора-Кулона. Предполагается, что линейная
(упругая) часть перемещений (деформаций) пренебрежимо мала по сравнению
с пластической составляющей. В расчетах учитываются только прочностные
характеристики грунтов (с, ), задачи решаются как статически определимые.
Перемещения остаются неопределенными и не вычисляются, так как жёстко-
41
пластическая РМ не содержит соотношений, связывающих напряжения и деформации.
На рис. 22 показаны структурные схемы линейной и жёстко-пластической
РМ, изображающие наборы формирующих эти модели уравнений равновесия,
физических, геометрических соотношений. В нижней части структурных схем
показаны связи РМ с прикладными задачами и практическими приложениями.
Указанные РМ несовместимы по принятым допущениям и используемым
механическим характеристикам грунтов. Их упрощенный характер объясняется
тем, что напряженно-деформированное состояние предполагается только допредельным на всей расчетной области, подчиняющимся закону Гука и соотношениям Коши; либо предельным. Несмотря на это, применяемые раздельно
уравнения теорий линейного деформирования и предельного равновесия
(напряжённого состояния) позволили создать комплекс достаточно эффективных методов расчета по предельным состояниям (ПС), предназначенных для
проектирования среднесложных геотехнических объектов массового стро ительства.
Предельные состояния и расчётные проверки норм проектирования.
Основные положения по расчётам объектов строительства на силовые воздействия нормативно закреплены в национальном стандарте Российской Федер ации ГОСТ Р 54257-2010*. Указанный ГОСТ включает основные понятия и
определения (в том числе приведенное выше определение ПС), которые фо рмируют современную методологию технических расчётов в строительстве.
____________________________________________________________
*ГОСТ Р 54257-2010 Надёжность строительных конструкций и оснований. Основные
положения и требования (утв. и введён в действие Приказом Росстандарт от
23.12.2010 № 1059-ст.
42
Условия
равновесия
Дифференциальные уравнения равновесия.
Принцип Лагранжа, равновесие узлов системы МКЭ
Физические
уравнения
Закон Гука
Геометрические
соотношения
Равновесие тела обрушения и его частей (отсеков).
Предельное напряженное состояние в точке
Закон Кулона
Уравнение Мора-Кулона
Соотношения Коши
Нестрогие
постулаты
Линейные соотношения X ( Z ) C X ( Z ) Y X ( Z )
Расчётная
модель
Линейно
деформируемая среда
Метод коэффициента постели
43
Прикладные
задачи
Задача Фламана
Практические
приложения
Задача Буссинеска
Расчеты осадок и кренов
Начальная критиМетод углоческая нагрузка
вых точек
на основание
Расчет свай и свайных фундаментов на
совместное действие
вертикальной, горизонтальной сил и
момента
Жёстко-пластическая среда
Теория
предельного
равновесия
Задачи о
подпорных
стенках
Метод круглоцилиндрических
поверхностей
скольжения
Теория
предельного
напряженного состояния
Расчеты оснований по
несущей
способности
Метод горизонтальных
сил Г.М. Шахунянца
Рис. 22. Линейная и жёстко-пластическая модели механики грунтов:
связи с определяющими уравнениями, прикладными задачами и практическими приложениями (структурная схема)
43
Таблица 6
Главные расчётные проверки оснований, фундаментов, откосных
сооружений и их связь с видами предельных состояний
и расчётными моделями
Наименование
Расчётная
Группы и виды ПС
расчётов (проверок)
модель грунта
Жёстко-пластическая
Первая группа:
Расчёт несущей спосреда: предельное
-пластическое или хрупкое
собности оснований
напряженное состояразрушение;
ние
-потеря устойчивости с переРасчёт устойчивости
ходом в изменяемую систе- Жёстко-пластическая
оснований и откосов
му;
среда: предельное
против глубокого и
-ползучесть, сдвиг, образова- равновесие
оползневого сдвига
ние трещин, ведущие к преПредельное равновеРасчёт несущей спо- кращению эксплуатации.
сие при вдавливании /
собности свай
выдергивании сваи
Расчёт устойчивости
Первая группа:
против опрокидываПредельное равнове-потеря устойчивости с перения и сдвига фундасие
ходом в изменяемую систему
мента
Вторая группа:
Расчёт осадок, кренов
-достижение предельных де- Линейно деформируфундаментов мелкого
формаций, прогибов, поворо- емая среда
заложения
тов, предельных осадок
Первая группа:
-пластическое или хрупкое
Расчёт свайных фун- разрушение;
даментов на совмест- -ползучесть, сдвиг, образованое действие верти- ние трещин, ведущие к пре- Метод коэффициента
кальных, горизонкращению эксплуатации.
постели
тальных сил и моВторая группа:
ментов
-достижение предельных деформаций, прогибов, поворотов, предельных осадок.
44
Стандарт предусматривает расчёты объектов строительства по ПС трёх
групп:
– первая группа – состояния строительных объектов, превышение которых ведёт к потере несущей способности строительных конструкций;
– вторая группа – состояния, при превышении которых нарушается нормальная эксплуатация строительных объектов, исчерпывается ресурс их долговечности или нарушаются условия комфортности;
– особые предельные состояния – состояния, возникающие при особых
воздействиях и ситуациях, превышение которых приводит к разрушению зданий и сооружений с катастрофическими последствиями.
Описания видов ПС изложены в ГОСТ Р 54257-2010 в наиболее общем
виде, непригодном для использования при проектировании. Их конкретизацией
являются расчётные проверки, отражающие предупреждаемые (расчётами)
формы разрушения и деформирования, способы их математического описания.
В табл. 6 показана связь между главными нормируемыми расчётными
проверками современных сводов правил, расчётными моделями линейного деформирования, предельного равновесия и предельного напряжённого состо яния геотехнических объектов и видами ПС в соответствии с формулировками
стандарта.
1.5.2. Нелинейные модели грунта
Общие положения. В рассмотренных ранее РМ геотехнических объектов
используется только одна группа физических уравнений: либо уравнения закона Гука, либо условия предельного равновесия по закону Кулона (предельного
напряжённого состояния грунта в соответствии с уравнением Мора-Кулона).
Распределение напряжений на всём континууме расчётной области предполагается либо соответствующим решению теории линейно деформируемой среды,
либо предельным.
В действительности в большинстве расчётных областей одновременно
существуют напряжённые состояния обоих типов. Для того чтобы это положение отразить в расчёте, требуется решение физически нелинейной задачи механики грунтов.
В современном строительном проектировании расширяется область использования нелинейных методов расчёта на математической основе МКЭ. Это
связано с растущим числом объектов, которые
могут быть качественно запроектированы только при помощи решений строгой
теории. Примерами таких объектов являются следующие разновидности объектов:
– крупномасштабные (высотные, большепролетные) сооружения с тяжелыми нагрузками на несущие конструкции и основания;
45
– сооружения в сложных инженерно-геологических условиях, когда
упрощённые расчётные схемы недостаточны для обоснования проектных решений;
– объекты в аварийном или предаварийном состояниях;
– объекты с высокими или повышенными требованиями к точности расчета перемещений (в частности осадок оснований);
– неизученные технические решения.
Но главной предпосылкой востребованности нелинейных (упругопластических) методов расчёта является их доступность (чего не было раньше) в связи
с успехами компьютерной и вычислительной техники.
Использование нелинейных методов предполагает выполнение расчётов
по предельным состояниям первой и второй группы без изменения модели
грунта. Это позволяет (в отличие от упрощённых методов расчёта) не прибегать
к ограничению действующих нагрузок для обеспечения корректности способа
определения расчётных напряжений, получать во всех точках физически возможное (допредельное или предельное) напряжённое состояние.
Физически нелинейные задачи строительной механики не имеют единственного решения в связи с различными гипотезами, принятыми на стадии
пластического деформирования. Применительно к геотехническим объектам
существуют два направления постановки и решения задач строгой теории:
– упругопластические задачи на основе теории пластического течения
(смешанные задачи теорий упругости и пластичности);
– физически нелинейные задачи на основе деформационной теории пластичности грунтов.
Упругопластическая модель (смешанная задача теории упругости и
пластичности) грунта основывается на следующих представлениях:
– присущими грунтам являются три вида физической нелинейности: пластическое формоизменение при сложном напряженном состоянии; беспрепятственное деформирование при растяжении; сдвиг по заданной или определя емой расчётом поверхности;
– элемент (элементарный объём) грунта при соответствующем нагружении проходит стадии допредельного и предельного (пластического) напряженных состояний, определяемых физическими уравнениями теорий упругости и
пластичности;
– в связи с неравномерным распределением напряжений в грунтовом массиве имеют место оба вида (допредельное и предельное) напряженного состояния, локализирующиеся в областях с фиксируемыми расчетом границами;
– предельные состояния (потеря устойчивости, прогрессирование пер емещений) являются следствием развития пластических областей, линий скольжения и накопления присущих им деформаций.
Вернёмся к рис. 21, на котором рассматриваемая модель грунта изображена линией 3. Постановка смешанной задачи теорий упругости и пластичности предполагает совместное использование физических уравнений, формир у46
ющих расчётные модели грунта как линейно деформируемой и жёсткопластической сред. Это позволяет использовать в качестве исходных данных те же
механические характеристики грунтов (Е, ν, φ, с), которые применяются раздельно в моделях, изображаемых линиями 1 и 2. Физическое содержание указанных характеристик доступно для понимания широкого круга специалистов.
Они могут быть определены по стандартным методикам, освоенным в совр еменных грунтовых лабораториях, либо при помощи широко апробированных
табличных данных.
Деформационная теория пластичности грунтов (теория малых упругопластических деформаций А.А. Ильюшина) основана на предположении о том,
что объёмная деформация
=J1 (в соответствии с (1.27) и (1.31))] и интенсивность угловой (формоизменяющей) деформации i (в соответствии с (1.29))
связаны со средним нормальным напряжением m и интенсивностью касательных напряжений
i
I 2 соотношениями
m
K
где K
m
tg
m
иG
i
i
i
,
i
G
m
,
i
– переменные секущие
tg
(1.49)
модули объ-
i
ёмной деформации и сдвига, зависящие от
а)
m
и
i
(рис. 23 а ,б).
б)
Рис. 23. Зависимости между инвариантами напряжений и деформаций
и i
f2
f1
m
i в соответствии с деформационной теорией пластичности
Из соотношений (1.49) следуют уравнения связи между напряжениями и
деформациями:
47
x
x
m
2G
3K
i
y
y
z
i
z
m
i
xy
;
xy
m
m
2G
2G
m
m
3K
;
3K
;
m
;
i
yz
yz
m
m
G
G
G
(1.50)
i
zx
zx
;
.
i
Криволинейные диаграммы на рисунке 23 предполагают единый закон
деформирования во всём диапазоне действующих нагрузок. Деление деформаций на упругие и пластические составляющие
отсутствует. Это положение затрудняет интерпретацию результатов нелинейного расчёта.
Переменные модули K m и G i не являются стандартными показателями механических свойств грунтов. Для их определения нужны специальные
лабораторные эксперименты, проводимые без ГОСТов и документов технич еского регулирования. Геологические лаборатории проектных организаций не
оснащены необходимыми приборами.
По указанным выше причинам практическое использование деформационной теории крайне ограничено. Упругопластическая модель с пределами текучести по уравнениям Мора-Кулона и Мизеса-Шлейхера-Боткина остаётся
единственной, пригодной для массового проектирования. Только она рассматривается при дальнейшем изложении.
О геометрической нелинейности. Применительно к геотехническим
объектам возможны три случая геометрической нелинейности, под которыми
понимается отказ от использования соотношений Коши (1.22).
1. Развитие деформаций в слабых грунтах, когда теряет силу предположение о малости расчётных перемещений. В этом случае изменение местоположения точек при деформировании расчётной области может влиять на распределение усилий в системе.
2. Изгиб тонкостенных конструкций в грунтово-стержневых системах,
влияющий на распределение усилий в стенках конструкций и связанные с этим
условия деформирования окружающего грунта. Примерами таких конструкций
являются трубы из гофрированного металла в дорожных насыпях; ограждения
котлованов, устраиваемых вблизи существующих зданий; изгибаемые фундаментные плиты, связанные общими перемещениями с надфундаментными частями зданий.
3. Продольный изгиб центрально и внецентренно сжатых свай, стенок в
грунте при поперечных перемещениях осей конструкций.
48
Контрольные вопросы для самопроверки
1. Опишите физические характеристики грунтов (плотность, пористость,
влажность): определения, формульные зависимости, размерности.
2. Назовите классы, виды, разновидности грунтов и определяющие их показатели.
3. Охарактеризуйте пространственное напряжённое состояние, плоскую деформацию, осесимметричную задачу.
4. Изобразите положительные направления осей при решении задач теории
упругости и пластичности: координат, усилий, напряжений.
3. Запишите закон Кулона и представьте его графическую форму.
4. Опишите и дайте объяснение метода лабораторного определения грунтов
срезу.
5. Опишите и дайте объяснение испытания грунта методом трёхосного
сжатия.
6. Дайте объяснение и приведите доказательство условия предельного напряжённого состояния грунта по Мору-Кулону.
7. Объясните разницу между предельным равновесием грунта по закону Кулона и предельным напряжённым состоянием по уравнению Мора-Кулона.
8. Приведите записи инвариантов пространственного напряжённого состояния.
9. Что представляют собой фазы напряжённого состояния грунтовых оснований и геотехнических объектов?
10. Охарактеризуйте теории линейного деформирования и жёсткопластичности и области их практического использования.
11. Охарактеризуйте связь видов предельных состояний, расчётных моделей
грунта и расчётных проверок сводов правил (СНиП).
49
2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В МЕХАНИКЕ ГРУНТОВ
Современная прикладная (применяемая в проектной практике) нелинейная механика грунтов использует в качестве своей математической основы метод конечных элементов (МКЭ). Изучению этого метода как средства решения
нелинейных задач должно предшествовать знакомство с его теоретической и
линейной основой. Настоящий раздел содержит изложение и обоснование
уравнений и математических процедур МКЭ в объёме, необходимом для последующего восприятия идей, алгоритмов и прикладных задач нелинейной механики грунтов.
2.1. Теоретические основы МКЭ. Идеи, постулаты
Общие положения. МКЭ позволяет на единой вычислительной основе
осуществить расчёт систем любой конфигурации (плоских, осесимметричных,
пространственных, комбинированных), встречающейся в строительном и геотехническом проектировании, с произвольным нагружением. Расчётная схема
проектируемого (или исследуемого) объекта условно делится на конечные элементы (КЭ) с конечным числом степеней свободы, понимаемых как определяемые в расчёте векторы перемещений узлов. На рисунке 24 приводятся примеры
такого деления. Контактирующие КЭ, представляющие собой топологически
изученные геометрические фигуры, сопрягаются (скрепляются) общими узлами
(вершинами, рёбрами).
Каждому узлу и каждому КЭ присваивается порядковый номер. Обе нумерации начинаются с 1. Расчётная область находится под действием сил и моментов, приложенных в узлах (узловых сил). Температурные воздействия и
нагрузки, приложенные к точкам и площадкам внутри КЭ, заменяются эквивалентными наборами узловых сил.
На рисунках 24 и 25 представлены наиболее употребительные в современном проектировании разновидности КЭ с указанием векторов степеней свободы узлов.
В стержневых плоских (пространственных) КЭ возможны три (шесть)
степени свободы: две (три) осевые x1, z1 (x1, y1, z1) по направлениям в системе
координат на рисунке 24 и одна угловая (поворот) относительно оси y1 (три угловые относительно осей x1, y1, z1). Напряжённое состояние плоских (пространственных) стержней, определяемое по результатам расчёта, описывается пр одольной силой в направлении оси x1, поперечной силой в направлении оси z1
(поперечными силами в направлении осей y1, z1), изгибающим моментом относительно оси y1 (изгибающими моментами относительно осей y1, z1 и крутящим
моментом относительно оси x1).
50
а)
б)
1, 2, 3…100
– номера узлов,
– номера КЭ,
– номера инженерногеологических элементов
Рис. 24. Примеры членения расчётных схем (областей) на конечные элементы:
а – фрагмент полупространства, плоская деформация (прямоугольные КЭ); б – осесимметричная система (тело вращения) – свая круглого сечения, вдавливаемая в грунтовое основание осевой силой; стенка; 1 – пластинчатые КЭ, 2 – полосовая нагрузка, 3 – буронабивная
свая, 4 – вдавливающая сила, 5 – плоскость (ось) симметрии; 6 – кольцевой КЭ треугольного
сечения, 7 – границы геологических слоёв
а)
б)
Рис. 25. Плоский и пространственный стержневые КЭ
с тремя (1, 2, 3) и шестью (1, 2, 3, 4, 5, 6) степенями свободы в узле
При идеализации плоских и сплошных тел (сред) прилегающие друг к
другу КЭ считаются шарнирно скреплёнными в узлах. Поэтому в узлах расчётных областей, напряжённо-деформированное состояние которых соответствует
условиям плоской задачи приняты степени свободы по направлениям осей X и
51
Z. Результатом расчёта таких систем являются нормальные σx, σz и касательные
τxz компоненты напряжений (рисунок 26,а). В пространственных системах возможны перемещения по направлениям осей X, Y, Z, и в расчёте определяются
все шесть компонентов напряжений: σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz (рисунок 26,б).
На рисунке 24,б изображено продольное сечение осесимметричной расчётной области (тела вращения) с кольцевыми КЭ треугольного сечения. Каждый узел такой системы имеет две степени свободы по направлениям X и Z, угловое перемещение относительно оси Z отсутствует. Определяемые компоненты напряжений (рисунок 26,в) – σx, σz, σθ, τxz. Так как по векторам степеней
свободы рассматриваемая задача не отличается от плоской, то и решается по
аналогичной процедуре.
Как будет показано в дальнейшем, деление сплошных тел (сред) на КЭ не
сопровождается разрывами на контактах. Задачи решаются так, чтобы условие
совместности перемещений выполнялось не только в общих узлах, но и на гр аницах КЭ. Поля перемещений в сплошных упругих (линейно деформируемых)
телах (средах) являются непрерывными (согласованными), а поля деформаций,
напряжений, углов поворота могут иметь (и чаще всего имеют) разрывы на гр аницах КЭ.
а)
б)
в)
Рис. 26. Примеры плоских, пространственных и осесимметричного конечных элементов:
а – плоские треугольные трёх- и шестиузловой КЭ, прямоугольные четырёх- и восьмиузловой КЭ с двумя степенями свободы в узле; б – пространственные КЭ: тэтраэдр и параллелепипед с тремя степенями свободы в узле; в – осесимметричный КЭ (фрагмент тела вращения)
треугольного сечения с двумя степенями свободы в узле; 1, 2, 3 – векторы степеней свободы.
52
Связь МКЭ с методом перемещений. Наиболее известный проектировщикам и исследователям, применяемый в строительной механике вариант МКЭ
основан на процедуре метода перемещений. Уравнения, связывающие перемещения узлов на концах (вершинах) КЭ и силы, действующие по направлениям
этих перемещений, известны из теории и определены заранее. Эти соотношения
формируют общую (глобальную) систему уравнений, выражающую равновесие
сил и неразрывность перемещений в общих узлах контактирующих КЭ. Расчёт
заключается в формировании и решении системы уравнений, неизвестными в
которой являются перемещения свободных от связей узлов.
Применительно к стержневым расчётным схемам рассматриваемый способ реализации МКЭ может рассматриваться как матричная форма метода перемещений, отличающаяся долее глубокой формализацией алгоритма в связи
его ориентацией на использование ЭВМ.
Связь МКЭ с теорией упругости: общность и различия. В математической теории упругости существует ограниченное число решённых задач даже
для однородных расчётных областей. Практическая значимость и привлекательность МКЭ связаны с возможностью получать решения научных и технических задач с любыми граничными условиями и такими усложняющими факторами как физическая неоднородность, взаимодействие с заделанными в линейно-деформируемую среду стержневыми элементами, внутренние разрывы
сплошности.
Как известно, в теории упругости используются три группы определяющих уравнений:
– закон равновесия в форме дифференциальных соотношений частных
производных внутренних напряжений;
– линейные геометрические соотношения Коши связи между перемещениями и деформациями, выражающие непрерывность и относительную малость
перемещений;
– линейные физические уравнения (закон Гука) связи между напряжениями и относительными деформациями.
Кроме того, полученные решения должны удовлетворять уравнениям
совместности Сен-Венана, выраженным через относительные деформации или
напряжения.
В МКЭ (в отличие от теории упругости) статическое равновесие представлено уравнениями метода перемещений, выражающими равновесие узлов.
Равновесие узловых сил и напряжений внутри КЭ описывается энергетическими соотношениями по принципу Лагранжа со следующей формулировкой.
Принцип Лагранжа. Если некоторое упругое тело находится в равновесии под действием внешних сил, то из всех мыслимых вариаций перемещений
материальных точек этого тела действительными являются те, при которых
потенциальная энергия системы (т. е. тела и приложенных к нему сил) будет
иметь стационарное (минимальное) значение.
53
В настоящем учебном пособии доказательство принципа Лагранжа не
приводится, и основанные на нём соотношения МКЭ записываются без вывода.
Геометрические соотношения Коши используются в МКЭ в своей классической записи в соответствии с уравнениями (1.19) и (1.22).
В МКЭ уравнения закона Гука используются в обратной записи: напряжения
определяются в зависимости от деформаций. Причина этого станет понятной
при чтении параграфа 2.2.4. Матричная форма соотношений закона Гука, принятая в МКЭ, приводится в таблице 7.
Матричная форма уравнений закона Гука, принятая в МКЭ
Вид напряжёнЗаписи уравнений
ного состояния
Общий случай,
1
0
0
0
пространx
1
0
0
0
ственное
y
1
0
0
0
1
2
напряжённое
E
z
0
0
0
0
0
состояние
2
(
1
)(
1
2
)
xy
xz
yz
Плоская
деформация
x
z
(1
0
0
0
0
0
0
0
0
E
)(1 2 )
xz
Осесимметричное напряжённое состояние
1
0
1
x
z
(1
1
E
)(1 2 )
1
0
xz
0
0
0
1 2
2
0
0
1 2
2
1
0
1 2
2
0
Таблица 7
0
0
0
1 2
2
x
y
z
xy
xz
yz
x
z
xz
x
z
xz
2.2. Матрицы жёсткости конечных элементов
2.2.1. Общие положения
Рассмотрим построение матриц жёсткости КЭ, не касаясь пока вопроса о
том, как они используются для решения задач МКЭ. Покажем это на примерах
(рисунок 27,а,б,в) стержня общего вида с тремя степенями свободы (связями)
на концах, треугольного и прямоугольного КЭ плоской (плоское напряжённое
состояние или плоская деформация) системы с двумя степенями свободы в
каждой вершине.
54
а)
б)
в)
Рис. 27. Плоские конечные элементы (а – стержень общего вида, б – треугольник,
в – прямоугольник), перемещения и узловые силы на их концах и вершинах
Предполагается, что действующие силы приложены только в узлах (1, 2
на рисунке 27,а; a, b, с, d на рисунках 27,б,в) и приведены к направлениям перемещений. Матрица жёсткости КЭ содержит коэффициенты уравнений, связывающих векторы сил и перемещений узлов по направлениям координатных
осей.
2.2.2. Матрица жёсткости стержневого КЭ
В общем виде связь между перемещениями U1…U6 и узловыми силами
F1…F6 (см. рисунок 26,а) с постоянной жёсткостью растяжении-сжатии ЕА и
изгибе EI выражается матричным соотношением
{F}=[K]{U},
(2.1)
где
F
F1
F2
F3
,
F4
F5
F6
U
U1
U2
U3
,
U4
U5
U6
K 14
K 24
...
K 64
K 15
K 25
...
K 65
(2.2)
− векторы-столбцы сил и перемещений,
K
K 11
K 21
...
K 61
K 12
K 22
...
K 62
K 13
K 23
...
K 63
55
K 16
K 26
...
K 66
(2.3)
− матрица жёсткости КЭ. Каждый коэффициент Kij выражает реакцию (узловую силу) в закреплении по направлению i-й степени свободы (считая это
закрепление неподвижным) на единичное перемещение U j=1.
На рисунке 28 показаны возможные перемещения Uj=1 (j=1…6) и вызываемые ими силы Kij в закреплениях на концах стержня. Так, например, при
U1=1 (рисунок 28,а) K11=EA/l, K21=0, K31=0, K41=−EA/l, K51=0, K61=0. При U3=1
(рисунок 28,в) K13=0, K23=−6EI/l2, K33=4EI/l, K43=0, K53=6EI/l2, K63=2EI/l.
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Рис. 28. К построению матрицы жесткости стержня общего вида с шестью закреплениями на концах; а…е – усилия в закреплениях при перемещениях U1 … U 6 ; 1 – первоначальное
положение стержня; 2 – деформированная ось; 3 – эпюра моментов
56
Полная запись системы уравнений (2.1), включающей матрицу жёсткости
КЭ, имеет вид:
EA
l
F1
F2
F3
F4
F5
F6
0
0
EA
l
0
0
0
0
12EI
l3
6 EI
l2
6 EI
l2
4 EI
l
0
0
12EI
l3
6 EI
l2
6 EI
l2
2 EI
l
EA
l
0
0
EA
l
0
0
0
0
12EI
l3
6 EI
l2
6 EI
l2
2 EI
l
0
0
12EI
l3
6 EI
l2
6 EI
l2
4 EI
l
U1
U2
U3
. (2.4)
U4
U5
U6
Аналогичным путём осуществляется построение матриц жёсткости
стержневых элементов с другими условиями закрепления концов.
2.2.3. Функции перемещений континуальных
конечных элементов
Перейдём к рассмотрению матриц жёсткости плоских континуальных КЭ
на рис. 27, б, в, в которых коэффициенты Kij по-прежнему обозначают реакции
в закреплениях при единичных перемещениях узлов. Для того, чтобы выразить
коэффициенты Kij через геометрические и физические характеристики конечных элементов, вводится допущение о форме уравнений (аппроксимирующих
функций) для компонентов перемещений.
Выбор аппроксимирующих функций обусловливают следующие требования, которые станут понятными из последующего изложения:
1) количество коэффициентов в степенных полиномах, описывающих
компоненты перемещений, должно быть равно числу степеней свободы (опр еделяемых перемещений узлов) КЭ;
2) неразрывность перемещений не только в узлах, но и на границах КЭ;
для этого показатели степеней членов полиномов должны быть на единицу
меньше числа узлов, скрепляющих контактирующие КЭ.
Здесь используется математическое правило о том, что через п точек
можно провести одну кривую, изображающую полином (п–1) порядка, а через
две точки – одну прямую.
Покажем построение функций перемещений на примерах простейших КЭ
(трёхузлового треугольника и четырёхузлового прямоугольника) континуальных систем.
57
Треугольный КЭ. Для треугольного КЭ с шестью степенями свободы
(см. рис. 27, б) вид функции перемещений представляет собой следующие записи:
u=α1+α2x+α3z, v=α4+α5x+α6z,
(2.5)
где u=u(x,z), v=v(x,z) – перемещения в произвольной точке с координатами x и
z; α1…α6 – неизвестные пока коэффициенты, способ определения которых излагается ниже.
Введём обозначения (см. рис. 27, б): Ua, Ub, Uc, Va, Vb, Vc – перемещения
узлов треугольного КЭ по направлениям координатных осей X, Z; xa, xb, xc, za, zb,
zc – координаты узлов a, b, c. Уравнения (2.5) становятся определёнными, если
коэффициенты αk (k=1…6) выражены через перемещения и координаты узлов
a, b, c, которые используются в качестве граничных условий.
Поскольку записи (2.5) распространяются на вершины треугольника,
можно записать:
Ua
Ub
Uc
Va
Vb
Vc
1
1
1
4
4
4
xa
2 xb
2 xc
5 xa
5 xb
5 xc
2
z ;
3 zb ;
3 zc ;
.
6 za ;
6 zb ;
6 zc .
3 a
(2.6)
В матричной форме уравнения (2.6) имеют вид:
Ua
Ub
Uc
Va
Vb
Vc
1 xa
1 xb
1 xc
0 0
0 0
0 0
za
zb
zc
0
0
0
0 0
0 0
0 0
1 xa
1 xb
1 xc
0
0
0
za
zb
zc
1
2
3
.
(2.6*)
4
5
6
Помещая начало координат в узел а и принимая xа=0, zа=0, находим решение системы уравнения (2.6):
58
1
2
3
4
5
6
Ua;
1
( zb
2S
1
( xc
2S
Va ;
1
( zb
2S
1
( xc
2S
z c )U a
z cU b
z bU c ;
xb )U a
xcU b
xbU c ;
(2.7)
z c )Va
z cVb
z bVc ;
xb )Va
xcVb
xbVc ,
где S=½[(xa–xb)(za–zc)−(xa–xc)(za–zb)]=½(xbzc−xczb) – площадь треугольника.
В треугольных КЭ сплошность контакта на границах обеспечена в связи с
линейным распределением перемещений. Поскольку смежные КЭ скреплены в
двух узлах, то и смежные грани, проходящие через эти узлы, после деформир ования остаются на одной (общей) прямой.
Прямоугольный КЭ. Для четырёхузлового прямоугольного КЭ с восьмью степенями свободы (см. рис. 27, в) функции перемещений записываются в
следующем виде:
u=α1+α2x+α3z+α4xz, v=α5+α6x+α7z+α8xz,
(2.8)
где обозначения u=u(x,z), v=v(x,z), x, z, а также αk , сохраняют те же значения,
что в уравнениях (2.5).
Повторим изложенный выше способ определения коэффициентов αk для
прямоугольного КЭ на рис. 26, в, принимая координатные функции в виде
уравнений (2.8).
Отметим, что и в этом случае соблюдается равенство числа неизвестных
коэффициентов αk (k=1…8) и степеней свободы узлов. Перемещения на границах распределены линейно, т. е. требование их совместности (непрерывности)
выполняется.
Матричная форма уравнений для перемещений узлов имеет следующий
вид:
Ua
Ub
Uc
Ud
1
1
1
1
xa
xb
xc
xd
za
zb
zc
zd
xa z a
xb z b
xc z c
xd z d
1
2
3
4
59
Va
V
, b
Vc
Vd
1
1
1
1
xa
xb
xc
xd
za
zb
zc
zd
xa z a
xb z b
xc z c
xd z d
5
6
7
8
.(2.8*)
Системы уравнений (2.8) так же, как (2.6), разрешимы относительно αk .
Для прямоугольного КЭ с началом координат в узле а решение имеет следующий вид:
1
2
3
4
5
6
7
8
Ua;
Ub Ua
;
l
Uc Ua
;
m
Ud Ua Ub Uc
;
lm
Va ;
Vb Va
;
l
Vc Va
;
m
Vd Va Vb Vc
,
lm
(2.9)
где l и m – стороны прямоугольника на рис. 27,в.
*
*
*
В табл. 8 представлены формы и функции перемещений наиболее известных плоских и пространственных КЭ, используемых в расчётах конструкций и
оснований. Минимальное число узлов (возможные перемещения которых являются степенями свободы) соответствует числу вершин геометрических фигур. Такие КЭ занимают первые пять строк таблицы. Количество неизвестных
коэффициентов αk равно удвоенному (в плоских и осесимметричном КЭ) и
утроенному (в пространственных КЭ) числу вершин. Функции перемещений
являются полиномами первых степеней координат.
Последние две строки занимают примеры КЭ с удвоенным (по сравнению
с минимальным) числом узлов. Функции перемещений в таких КЭ построены
на основе многочленов второй степени каждой из переменных. Возможно
дальнейшее повышение степени многочленов и увеличение числа узлов (степеней свободы) КЭ. Усложнение КЭ (увеличение числа степеней свободы в о дном узле) позволяет повысить точность решения, т. е. эквивалентно увеличению частоты членения расчётной области.
60
Таблица 8
Характеристика некоторых континуальных КЭ
Наименование КЭ
Форма КЭ, система координат, векторы степеней свободы в узлах
Компоненты напряжений в
точках
Трехузловой треугольный КЭ
плоской системы
Функции перемещений
u=α1+α2x+α3z
v=α4+α5x+α6z
61
Четырехузловой
прямоугольный
КЭ плоской системы
u=α1 +α2x+α3z+α4xz
v=α5 +α6x+α7z+α8xz
Осесимметричный пространственный КЭ треугольного сечения
u=α1+α2x+α3z
v=α4+α5x+α6z
61
Продолжение табл. 8
Наименование КЭ
Форма КЭ, система координат, векторы степеней свободы в узлах
Компоненты напряжений в
точках
Функции перемещений
u=α1+α2x+α3y+α4z
Тетраэдр, пространственное
напряженное состояния
v=α5+α6x+α7y+α8z
w=α9 +α10x+α11y+α12z
u=α1 +α2x+α3y+α4z+
+α5xy+α6yz+α7xz+α8xyz
62
Параллелепипед,
пространственное
напряженное состояние
v=α9+α10x+…
w=α17+α18x+…
62
Окончание табл. 8
Наименование КЭ
Форма КЭ, система координат, векторы степеней свободы в узлах
Компоненты напряжений в
точках
Функции перемещений
u=α1+α2x+α3z+α4xz+
+α5x2 +α6z2
Шестиузловой
треугольный КЭ
v=α7+α8x+α9z+α10xz+
+α11x2 +α12z2
63
u=α1+α2x+α3z+α4xz+
+α5x2+α6z2+α7x2z+α8xz2
Восьмиузловой
прямоугольный
КЭ
v=α9+α10x+α11z+α12xz+
+α13 x2+α14z2+α15x2 z+α16 xz2
63
2.2.4. Построение матриц жёсткости континуальных КЭ
Треугольный КЭ. Общий вид связи между узловыми перемещениями и
силами в вершинах треугольника на рис. 27, б представляет собой матричное
соотношение
{F}=[K]{U},
(2.10)
подобное (2.1), где {F} и {U} по-прежнему векторы-столбцы сил и перемещений в узлах КЭ:
Fxa
Ua
Fxb
Ub
Fxc
Uc
,
,
(2.11)
F
U
Fza
Va
Fzb
Vb
Fzc
Vc
[K] – матрица жёсткости, подобная (2.4), которую необходимо построить.
Условно принимается, что в матричном соотношении (2.10) силы {F} неизвестны, а шесть перемещений {U} узлов заданы.
Исходными соотношениями для решения поставленной задачи (определения коэффициентов Kij, формирующих матрицу [K]) являются соотношения
Коши (1.19), уравнения закона Гука (табл. 7) и координатные функции (2.5) с
коэффициентами αk (k=1…6) в соответствии с уравнениями (2.7).
Построение уравнений связи между известными перемещениями {U} и
неизвестными силами {F} осуществляется в три этапа.
1. Определение относительных деформаций. Подстановка функций (2.5)
в дифференциальные соотношения Коши (1.19) позволяет получить следующие
значения относительных деформаций εх, εz, γxz:
x
u
x
2
;
z
v
z
6
;
xz
u
z
v
x
3
5
,
(2.12)
где α2, α3, α5, α6 – коэффициенты в соответствии с (2.7).
x
Соотношения между столбцами деформаций
z
и {U} могут
xz
быть представлены в матричной форме:
{ε}=[В]{U},
64
(2.13)
где
B
1
2S
zb
zc
zc
0
xc
za
za
0
xb
xa
zb
0
0
xc
xb
0
xc
zb
xa
xb
zc
xa
zc
0
xc
za
xb
za
xa
zb
(2.14)
− матрица соотношений Коши. Размерность матрицы [B] м–1.
2.Переход от деформаций к компонентам напряжений. Относительные
деформации связаны с напряжениями σх, σz, τxz уравнениями закона Гука:
x
D
или
x
D
z
z
xz
, {σ}=[D] [В]{U},
(2.15)
xz
где [D] – матрица закона Гука из табл. 7 для плоской деформации.
Рассмотрим уравнения (2.5), (2.7) и (2.12) – (2.15). Перемещения u, v являются линейными функциями координат, относительные деформации {ε}, как
первые производные перемещений, постоянны на всей площади треугольника.
Компоненты напряжений, связанные с деформациями матрицей констант [D],
также не изменяются от точки к точке, т. е. являются постоянными в пределах
треугольного КЭ.
3.Определение узловых сил по известным напряжениям. Заключительный
этап построения матрицы жёсткости КЭ связан с получением уравнений связи
между матрицами-столбцами напряжений {σ} и узловых сил {F}. В связи с невозможностью реализовать обычные условия равновесия при построении матриц жёсткости континуальных КЭ используется принцип Лагранжа минимума
потенциальной энергии системы. В МКЭ использование принципа Лагранжа
выражается в виде следующего матричного соотношения, которое (применительно к плоским системам) записывается без вывода:
{F} = t∫∫S [В]Т{σ}dS,
(2.16)
где t=1 м – толщина КЭ в условиях плоской деформации, S – площадь КЭ, [В]Т
– транспонированная матрица [В] со следующей записью:
B
Т
zb zc
zc za
1 z a zb
0
2S
0
0
0
0
0
xc
xa
xb
65
xb
xc
xa
xc
xa
xb
zb
zc
za
xb
xc
xa
.
zc
za
zb
(2.17)
Для треугольного КЭ с постоянными напряжениями на всей площади
треугольника ∫∫SdS=S выражение (2.17) принимает вид
{F} = St [В]Т{σ}.
(2.18)
В развёрнутой записи соотношения (2.18) имеют следующий вид:
Fxa
Fxc
Fzb
t
2
t
2
t
2
x
( zb
zc )
xz
( xc
xb ) , Fxb
x
(za
zb )
xz
( xb
x a ) , Fza
z
( xa
xc )
xz
( zc
z a ) , Fzc
t
2
t
2
t
2
x
( zc
za )
xz
( xa
xc ) ,
z
( xc
xb )
xz
( zb
zc ) ,
z
( xb
xa )
xz
(za
zb ) .
В окончательном виде матричное соотношение между узловыми силами и
перемещениями узлов треугольника представляет собой следующее выражение:
где
{F} = St [В]Т [D] [В] {U}=[K]{U},
(2.19)
[K]= St [В]Т [D] [В] −
(2.20)
− матрица жёсткости треугольного КЭ.
В развёрнутой записи матрица (2.20) имеет следующий вид:
Az bc2
Gxbc2
Az ac zbc
Gxac xbc
Az ac2
Gxac2
K
t
4S
Az ab zbc
Gxab xbc
Az ab zac
Gxab xac
Az ab2
2
ab
Gx
Bxbc zbc
Cxbc zac
Gxac zbc
Cxbc zac
Cxac zbc
Gxbc zac
Bxac zac
Cxac zab
Gxab zbc
Axbc2
Gxab zac
Axac xbc
Gzbc2
Gzac zbc
Axac2
Gzac2
Cxab zbc
Gxbc zab
Cxab zac
Gxac zab
Bxab zab
Axab xbc
Gzab zbc
Axab xac
Gzab zac
Axab2
Gzab2
66
.
(2.21)
В матричном выражении (2.21) приняты следующие обозначения:
xab=xa−xb, xbc=xb−xc, xac=xa−xc, zab=za−zb, zbc=zb−zc, zac=za−zc; A, B, C,
G=E/2(1+ν) – коэффициенты, включающие параметры закона Гука. Для плоской деформации
A
E (1 v)
,B
(1 v)(1 2v)
E
,C
2(1 v)(1 2v)
Ev
.
(1 v)(1 2v)
(2.22)
Размерность коэффициентов Kij – Нм-1, кНм-1.
Четырёхузловой прямоугольный КЭ. Исходной базой для построения
матрицы жёсткости прямоугольного КЭ является схема на рис. 27, в и уравнения (2.8) функций перемещений с коэффициентами α1…α8 в соответствии с
(2.9).
Для построения матрицы жёсткости необходимо получить соотношения
[B], т. е. определить относительные деформации как частные производные
уравнений (2.9) с подстановкой в них значений αk (k =1…8):
U
x
V
z
z
U
xz
z
Uc Ua
m
x
2
7
V
x
Ud
4
8
z
x
3
Ua
Ub
Vb
4
Ua
Ud
l
Va
m
x
Ub
lm
Vd
6
Uc
8
x
Ua
Ub Uc
z;
lm
Va Vb Vc
x;
lm
(2.23)
z
Vb
Va
Vd
l
Va
Vb
lm
Vc
где l и m – размеры сторон прямоугольника.
В матричной форме эти соотношения выглядят так:
Ua
Ub
Uc
x
Ud
,
;
U
B U ;
z
Va
xz
Vb
Vc
Vd
B
1
S
m z m z
z z
0
0
0
0
l x
x l x x
67
0
l x
m z m
0
x
0
l x x ,
z
z z
z,
(2.24)
0
(2.25)
где S lm − площадь КЭ.
Матрица [B] может быть представлена как матричное произведение:
[B]= [L] [Q],
(2.26)
где
Q
1
m
S
l
S
1
S
0
0
m
S
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
m
S
l
S
1
S
0
m
S
0
0
0
0
1
S
0
l
S
1
S
0
1
S
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
[ L]
0
1
S
l
S
1
S
,
(2.27)
0
1
S
0 1 0 z 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 x.
0 0 1 x 0 1 0 z
(2.28)
Матрица [Q] выражает связи между столбцами {α} и {U} ({α}=[Q]{U}) в
соответствии с (2.19) и включает только постоянные величины. Матрица [L]
выражает связи между {ε} и {α} в соответствии с (2.23): {ε}= [L]{α}.
Транспонированная матрица [B] имеет вид:
B
Т
[Q]T [ L]T
1
S
m z
m z
z
z
0
0
0
0
68
0
0
0
0
l
l
x
x
l x
x
x
x
l x
x
m z
m z
z
z
(2.29)
Теперь не остаётся препятствий к тому, чтобы, руководствуясь соотношением (2.16), получить матрицу жёсткости четырёхузлового прямоугольного
КЭ:
{F} = t∫∫S [В]Т{σ}dS= t∫∫S [В]Т [D] [В] {U}dS=[K]{U},
(2.30)
[ K ] t [ B]T [ D][B]dS ;
(2.31)
где
S
Am
3l
Gl
3m
K
Am
3l
Gl
6m
Am
3l
Gl
3m
t
Am
6l
Gl
3m
Am
6l
Gl
6m
Am
3l
Gl
3m
Am
6l
Gl
6m
Am
6l
Gl
3m
Am
3l
Gl
6m
Am
3l
Gl
3m
B
4
G
C
G
B
4
B
4
B
4
4
G
C
B
4
4
B
4
4
Al
3m
Gm
3l
Симмет
рично
G
4
C
C
G
C
4
B
4
C
C
G
G
4
4
Al
6m
Gm
3l
Al
3m
Gm
3l
Al
3m
Gm
6l
Al
6m
Gm
6l
Al
3m
Gm
3l
G
C
4
B
4
Al
6m
Gm
6l
Al
3m
Gm
6l
Al
6m
Gm
3l
Al
3m
Gm
3l
, (2.32)
где А, В, С – жёсткостные характеристики в соответствии с (2.22) и G=E/2(1+ν).
69
Восьмиузловой прямоугольный КЭ. Выше было рассмотрено построение матриц жёсткости простейших плоских КЭ: треугольника и прямоугольника с шестью и восьмью степенями свободы. Продолжим построение матриц
жёсткости на примере более сложного КЭ – восьмиузлового прямоугольника с
16-ю степенями свободы в узлах. Покажем, что при любом уровне сложности
КЭ процедура построения матрицы жёсткости остаётся одной и той же. Достаточно получить матрицу [B]=[L][Q], и последующий математический процесс
состоит только из перемножения, транспонирования готовых матриц и интегрирования в соответствии со следующим выражением:
[K]=t∫∫S[B]T[D][B] dS = t∫∫S[Q]T [L]T [D][L] [Q] dS.
(2.33)
Запишем функции перемещений для восьмиузлового прямоугольника с
16 степенями свободы в узлах (рис. 29):
ю
u
v
x
1
2
9
10 x
3
z
11 z
4
xz
12 xz
5
x2
2
13 x
6
z2
2
14 z
7
x2 z
2
15 x z
8
xz 2 ,
2
16 xz .
Рис. 29. Восьмиузловой прямоугольник с 16 ю степенями свободы в узлах;
1…16 – номера степеней свободы
70
(2.34)
Матричная форма уравнений для перемещений узлов имеет следующий вид:
Ua
Ub
Uc
Ud
Ue
Uf
Ug
Uh
Va
Vb
Vc
Vd
Ve
Vf
Vg
Vh
1 0
l
1
2
1 l
1 0
1 l
1 0
l
1
2
1 l
1 0
l
1
2
1 l
1 0
1 l
1 0
l
1
2
1 l
0
0
0
0
0
m
2
m
2
m
0
0
l2
4
l2
0
0
m
lm
2
0
lm
2
lm
0
0
0
0
0
m
2
m
2
m
0
0
l2
4
l2
0
0
m
m
m
lm
2
0
lm
2
lm
l
2
0
l2
4
l2
l
2
0
l2
4
l2
0
0
0
0
0
0
1
0
m2
4
m2
4
m2
0
0
2
0
0
3
4
2
2
l m
2
0
l 2m
4
2
l m
lm
4
0
lm 2
2
lm 2
0
0
0
0
0
0
9
0
m2
4
m2
4
m2
0
0
10
0
0
l 2m
2
0
l 2m
4
2
l m
lm 2
4
0
lm 2
2
lm 2
m2
m
2
m2
m
2
;
5
6
7
8
.
(2.35)
11
12
.
13
14
15
16
Решение систем уравнений (2.35) относительно коэффициентов α1…α16
позволяет получить соотношение
где
{α1-16}=[Q] {U},
Q
Q1
0
71
0
,
Q1
(2.36)
Q1
1
3m
3l
5
2m
1
l
lm 2l
m
2
l
2
m
0
4m
0
4
4m
l
0
m
0
1
2m
l
0
0
4
l
2
l
2
m
0
0
0
4l
4
0
0
0
4
0
0
l
1
0
0
0
4
0
0
0
3
0
0
0
0
0
4l
m
0
0
0
0
0
4
m
4
m
2l
m
2
l
2
m
4
l
.
(2.37)
2
l
2
m
0
Относительные деформации описываются следующими выражениями:
U
x
V
z
U
z
x
z
xz
10
z 2
2
4
11
12
V
x
2
12 z
x 2
3
13
14
4
x 2
x 2
5
z
x 2
15
7
xz
xz
15
6
x2
z
16
7
8
z2;
2
16
x2
xz;
8
,
(2.38)
xz
z2,
на основании которых строится матрица [L]:
L
0 1 0 z 2 x 0 2 xz
0 0 0 0 0 0
0
0 0 1 x 0 2z x2
z2
0
0
0 0 0 0 0 0
0 0 1 x 0 2z
1 0 z 2x 0 2x
0
x2
z
0
2 xz . (2.39)
z2
Матрицы [Q] и [L] получены, матрица [D] берётся из табл. 7. Этого достаточно для запуска математического процесса построения матрицы [K] в соответствии с (2.33). Развёрнутая запись матрицы [K] не требуется.
72
2.3. Глобальная матрица жёсткости системы
2.3.1. Общая и местная системы координат
До сих пор КЭ рассматривались изолированно, без учёта того, что каждый из них является частью системы (ансамбля), моделирующей реальное с ооружение или его часть (конструкцию, основание). Процедура МКЭ предполагает включение членов (Kij) готовых (известных из теории или вновь созданных) матриц жёсткости конечных элементов в глобальную (общую) систему
уравнений, выражающую равновесие и неразрывность узлов.
При расчёте стержневых систем узловые перемещения должны быть преобразованы в связи с переходом от местной (локальной) x1, y1, z1 к общей (глобальной) X, Y, Z системе координат. Покажем это на примере стержня с тремя
степенями свободы в узле в плоскости XОZ (рис. 30, а, б).
а)
б)
Рис. 30. Общая и местная системы координат: а – стержень М;
б – направления векторов U 1 …U6 , F1 …F6 , х 1i, х 2i, х 3i, х 1k, х 2k, х 3k, PM1 …PM6
Плоский КЭ на рис. 30, а находится в общей XОZ и местной x11z1 системах координат. В местной системе номера узлов в начале (конце) стержня 1 (2).
В общей системе приняты сквозные нумерации узлов и конечных элементов,
начиная с единицы. Местная система расположена под углом α к общей системе координат. Уравнения связи между координатами в общей и местной системах:
X=X1+x1 cosα, Z=Z1+z1sinα,
(2.40)
где X1, Z1 – координаты узла 1, отсчитываемые от точки О (см. рис. 30, а).
Примем обозначения: U1, U2…U6 – по-прежнему перемещения в местной
системе (рис. 30, б), х1i, х2i, х3i, х1k , х2k , х3k – перемещения тех же узлов в общей
системе, где им присвоены номера i и k. Обе группы перемещений связаны следующими соотношениями:
U1= х1icosαМ+х2isinαМ; U2=− х1isinαМ+х2icosαМ; U3=x3i;
U4= х1k cosαМ+х2k sinαМ; U5=− х1k sinαМ+х2k cosαМ; U6=x3k .
73
Те же уравнения в матричной форме
U1
U2
U3
U4
U5
U6
cos
sin
0
cos
sin
0
sin
cos
0
sin
cos
0
0
0
1
0
0
1
x1i
x 2i ;
x 3i
x1k
x2k .
x3 k
(2.41)
Аналогичным путём силы F1, F2…F6 в местной системе уравниваются с
силами PM1, PM2…PM6 (М – номер стержня) в глобальной системе:
P1M
P2M
P3M
cos
sin
0
sin
cos
0
0
0
1
F1
F2 ;
F3
P4M
P5M
P6M
cos
sin
0
sin
cos
0
0
0
1
F4
F5 .
F6
(2.42)
2.3.2. Формирование систем уравнений
Стержневая система. Равновесие k-го узла. Каждое уравнение глобальной системы выражает равновесие узловых сил по направлению одного из перемещений. Каждое неизвестное представляет собой одно из возможных (определяемых в расчёте) перемещений каждого узла, объединяющего концы ко нтактирующих элементов.
На рис. 31, а показан фрагмент плоской стержневой системы с тремя
степенями свободы в узлах. В k-м узле соединяются два конечных элемента M и
N с номерами узлов i−k и k−l в общей системе и 1−2 в местных системах. К kму узлу приложены силы P1k , P2k , Р3k , приведенные к общей системе координат.
Равновесие k-го узла может быть выражено при помощи уравнений
P1k = FM4cosαM − FM5sinαM+FN1cosαN −FN2sinαN,
P2k = FM4 sinαM +FM5cosαM+FN1sinαN +FN2cosαN,
P3k = FM6+FN3,
74
где индексы M и N соответствуют номерам КЭ в общей системе, углы αM и
αN показаны на рис. 31, а; FM4,5,6, FN1,2,3 – узловые силы в стержнях в местных системах.
а)
б)
Рис. 31. Схемы к уравнениям равновесия k-го узла:
а – стержни M и N в общей системе, узловые силы P1k , P2k , Р3k ;
б – те же стержни в местных системах, векторы FM4,5,6 , FN1,2,3
Те же уравнения в матричной форме
P1k
P2 k
P3k
cos
sin
0
cos
sin
0
M
M
sin
cos
0
sin
cos
0
N
N
N
N
M
M
0
0
1
F4M
F5M
F6M
F1N
F2N .
F3N
0
0
1
(2.43)
Уравнения (2.43) могут быть преобразованы следующим образом. Сначала при помощи соотношений (2.4) силы FM4,5,6, FN1,2,3 выражаются через перемещения U1, U2…U6. Затем вместо U1, U2…U6 с помощью геометрических равенств (2.41) вводятся перемещения узлов i, k, l с обозначениями xqs (где q=1, 2,
3 – индексы направлений; s= i, k, l – номера узлов). Покажем это на примере первого слагаемого матричного уравнения (2.43):
cos
sin
0
M
M
sin
cos
0
M
M
0
0
1
F4M
F5M
F6M
75
cos
sin
0
M
M
sin
cos
0
M
M
0
0
1
EFM
lM
0
0
0
cos
sin
0
0
0
0
M
M
EFM
lM
0
0
0
12EI M 6 EI M
12EI M
0
l M3
l M2
l M3
6 EI M
2 EI M
6 EI M
0
l M2
lM
l M2
sin M 0
0
0
cos M 0
0
0
0
1
0
0
0
0 cos M
sin M
0
0
sin M cos M
0
0
0
0
6 EI M
l M2
4 EI M
lM
0 x1i
0 x 2i
0 x 3i
.
0 x1k
0 x2k
1 x3k
(2.44)
В уравнениях (2.44) индексы М по-прежнему используются для обозначения параметров, относящихся к стержню i−k. Запись второго слагаемого в
уравнении (2.43) аналогична (2.44), но индексы М заменяются на N, а из матрицы жёсткости (2.4) используются первые три строки.
В развёрнутой записи уравнения (2.43)–(2.44) содержат по девять членов:
по числу перемещений xqs (q=1, 2, 3; s=i, k, l), вызывающих реакции в узле.
Уравнения (2.43)–(2.44) являются фрагментом общего матричного соотношения, в котором представлены узловые силы и перемещения по направлениям
степеней свободы в каждом узле. Это и есть глобальная система уравнений, неизвестными в которой являются перемещения xqs.
Равновесие k-го узла континуальной и комбинированной систем. Порядок составления систем уравнений для расчётных областей, состоящих из
плоских (двухмерных) и пространственных КЭ, а также их сочетаний со стержневыми КЭ, аналогичен изложенному выше. Геометрические преобразования,
подобные (2.41) и (2.42), как правило, не производятся, так как векторы степеней свободы в местной и общей системах совпадают.
Покажем построение уравнений равновесия на примере k-го узла комбинированной системы на рис. 32,а. В этом узле объединены вершины четырёх
прямоугольных КЭ: А, B, C, D и концы двух стержневых КЭ: М и N.
Уравнения равновесия сил, сходящихся в k-м узле:
P1k
P2k
F4M F1N FXA2 FXB1 FXC4
F5M F2N FZA2 FZB1 FZC4
P3k F6M F3N .
76
FXD3 ,
FZD3 ,
(2.45)
а)
б)
Рис. 32. Схемы к уравнениям равновесия k-го узла комбинированной системы: а –
стержни М, N, прямоугольные КЭ А, B, C, D в общей системе, узловые силы Pk; б – те же КЭ
(условно раздвинуты) в местных системах (номера узлов 1, 2, 3, 4 те же, что а, b, с, d на рис.
27,в)
Последующие выкладки, выполняемые программой, заключаются в замене сил F произведениями перемещений узлов, присутствующих на схемах
(на рис. 32 всего 9 узлов и 21 перемещение: по три степени свободы в узлах i, k,
l и по две – в остальных шести узлах), на соответствующие коэффициенты матриц жёсткости конечных элементов. Всего в первое уравнение системы (2.45)
войдут 18 неизвестных перемещений, во второе уравнение 21, в третье уравнение 6.
Уравнения (2.45) в развёрнутой записи являются частью общей (глобальной) системы, в которой участвуют все действующие (известные) узловые силы
Р1,2,3k и перемещения по направлениям степеней свободы в каждом узле.
2.3.3. О решении системы уравнений
Следующим этапом расчёта, который программа выполняет без участия
пользователя, является решение глобальной системы линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ). Для задач расчёта строительных объектов средней технической сложности число уравнений глобальной системы находится в пределах от
менее ста до десятков тысяч.
Методы решения на ЭВМ систем уравнений высоких порядков является
специальной областью математики. В вычислительных комплексах, реализующих МКЭ, преимущественно используются методы решения СЛАУ Гаусса и
А.-Л. Холецкого или более сложные алгоритмы, основанные на модификациях
идей этих методов.
Пользователю программного обеспечения МКЭ полезно учитывать следующие особенности глобальных матриц, влияющие на точность результатов,
объём вычислений и режим работы ЭВМ.
77
1. Матрица глобальной системы уравнений имеет ленточную структуру
(рис. 33). Это означает, что отличные от нуля элементы матрицы находятся
только в пределах заштрихованной полосы («ленты»). Внутри «ленты» также
имеются нули. Уменьшение ширины т «ленты» способствует минимизации
вычислений.
Есть формула, по которой определяется ширина ленты:
т=(R+1)Q,
где R – наибольшая разность между номерами узлов отдельного КЭ, Q – число
степеней свободы в узле.
Поэтому лучшая нумерации та, при которой разность номеров одного КЭ
минимальна. Знание этого положения полезно авторам расчётов, несмотря на то
что в современных программных комплексах нумерация узлов чаще всего выполняется автоматически.
Рис. 33. Матрица симметричной
ленточной структуры
2. При решении систем линейных уравнений арифметические операции
производятся с использованием логарифмов с 16-разрядной мантиссой. Это
позволяет добиться необходимой точности решения, несмотря на накопления
ошибок при округлениях.
2.3.4. Завершающие процедуры статического расчёта
Выше была рассмотрена центральная часть расчёта МКЭ – формирование
и решение системы линейных уравнений, результатом чего является определение вектора перемещений всех свободных от закреплений узлов. При расчёте
континуальных (плоских, пространственных, в том числе осесимметричных)
систем это линейные перемещения x1,2,3k по направлениям осей координат, а
при расчёте стержневых, комбинированных, плитных систем определяются
также угловые перемещения.
Статический расчёт стержневой системы завершает преобразование ос евых перемещений в перемещения в местных системах координат, определение
78
усилий F1–6 на концах стержней, используя для этого соотношения матриц
жёсткости КЭ (2.4), и последующее построение эпюр M, Q, N.
Процедура расчёта МКЭ допускает приложение «местной нагрузки», т. е.
сил, действующих в пределах длины стержней. В этом случае (как и в методе
перемещений) в процессе решения задачи на ЭВМ выполняется дополнительный этап расчёта. Определяют усилия в стержнях от местной нагрузки, принимая закрепления концов неподвижными. Полученные при этом усилия в узлах
складываются с узловыми силами. Результаты расчётов на «местную»
(внеузловую) и «общую» (приложенную в узлах) нагрузки суммируются.
Статический расчёт континуальной (плоской, пространственной, в том
числе осесимметричной) системы, а также континуальных КЭ в комбинированной системе продолжает определение деформаций и компонентов напряжений
в КЭ при помощи соотношений {ε}=[B]{U} и {σ}=[D]{ε}=[D][B]{U}. В конечных элементах без внутренних узлов чаще всего бывает достаточно определить
компоненты напряжений в их центрах. При необходимости (по заданию пользователя) программа вычисляет напряжения или относительные деформации в
узловых точках.
2.4. Специальные конечные элементы
Из числа специальных КЭ наиболее употребительными являются две разновидности: связи конечной жёсткости и жёсткие вставки.
Связи конечной жёсткости. Рассматриваемый вид КЭ (рис. 34,а,б) используется для описания упругоподатливых связей (условных «пружин») в узлах, на внешних границах или на контактах элементов внутри расчётных областей. Связи конечной жёсткости задаются по направлениям осей в глобальной
системе координат.
а)
б)
Рис. 34. Связи конечной жёсткости: в узле на внешней границе (а)
и на контакте внутри (б) расчётной области; k, l – номера узлов
КЭ в узле на внешней границе описывает связь конечной жёсткости по
направлению одной степени свободы. Это может быть сила, вызывающая единичное перемещение узла по направлению одной из осей X, Y, Z, или момент,
вызывающий единичный поворот относительно одной из тех же осей.
79
КЭ, моделирующие упругоподатливые связи внутри расчётных областей,
описываются как силы, вызывающие взаимное единичное перемещение узлов
по направлениям осей X, Y, Z или взаимный единичный поворот узлов относительно тех же осей.
Описание упругоподатливой связи состоит из кода направления и числа,
выражающего жёсткость связи (условной «пружины») при растяжении-сжатии
(если связь противодействует продольному перемещению) или при повороте.
Размерность задаваемой жёсткости упругоподатливых КЭ – Н или Нм.
Жёсткие вставки. Применение жёстких (бесконечно жёстких) фрагментов расчётных областей МКЭ является полезным (а иногда – незаменимым) инструментом инженерной схематизации.
Жёсткое тело представляется в виде группы узлов, расстояния между которыми остаются неизменными. В такой группе один узел ведущий, остальные
–ведомые. Поступательные ui и угловые θi перемещения ведомых узлов связаны
с соответствующими перемещениями u0, θ0 ведущего узла следующими соотношениями:
θi = θ0, ui= u0+θ0r0-i,
(2.46)
где r0-i – радиус-вектор, соединяющий ведущий и ведомый (i-й) узлы.
Примером использования процедуры жёсткой вставки может быть расчёт
фундамента в виде жёсткого штампа. На расчётной схеме такого фундамента
выделяется один ведущий узел с перемещениями u0, θ0, а остальные будут ведомыми со связями между перемещениями по соотношениям (2.46).
2.5. Решения физически нелинейных задач средствами МКЭ
Решение нелинейных задач МКЭ складывается (и это будет показано в
дальнейшем) из процедурной основы (известного из теории математического
процесса) и её содержательного наполнения: физических уравнений или соо тношений. Физические уравнения (соотношения) отражают конкретные формы
пластического деформирования, содержание расчётных моделей. Их рассмотрение вынесено содержится в третьем разделе.
Под процедурной основой понимаются канонические методы, представляющие собой (применительно к МКЭ) решения рекуррентных (повторяющихся) последовательностей систем линейных уравнений. В теории пластичности
таких методов существует несколько. Ниже рассматриваются приёмы решения
нелинейных задач МКЭ, которые наиболее широко используются в современном программном обеспечении (программы ANSYS, PLAXIS, Midas GTS и др.):
метод упругих решений, метод Ньютона–Рафсона. Понятие об обоих методах
даётся в виде схематичных описаний и двухмерных аналогий.
Метод упругих решений. Двухмерная аналогия итерационного процесса
метода упругих решений (МУР) изображена на рис. 35. Кривая 0–1–2–i–(i+1)
80
изображает нелинейную связь между перемещениями U и внешней нагрузкой F
в соответствии с физическими условиями задачи. Примем линейный оператор
Е0=tgθ0, соответствующий начальному модулю упругости (начальным деформационным параметрам системы). Точка 1´ на пересечении координат F, U1
изображает начальное упругое решение задачи. В действительности перемещениям U1 на части расчётной области соответствует нагрузка F1 (точка 1). Элементы расчётной области (каждый, где это требуется, в отдельности) разгр ужаются от напряжений, вызванных силами ΔF1=F–F1. Условия задачи выполнены, но образовалась невязка сил ΔF1. Затем (в соответствии с кусочной
диаграммой 1´–1–2´ на рисунке 35) расчётная область (в целом) нагружается
этими силами (но противоположного направления), приложенными в тех же
точках, сохраняя при этом начальный линейный оператор Е0.
Рис. 35. Схема итерационного процесса метода упругих решений
В общем виде восходящая ветвь итерационного процесса МУР на одной
ступени итерации описывается условным уравнением
Е0 (Ui+1–Ui)=F–Fi .
(2.47)
В научной литературе известно ещё одно название этого метода: метод
начальных напряжений (МНН).
Рассмотрим процедуру МУР-МНН на примере задачи о совместном растяжении силой F=300 кН нитей А и В, объединённых диском С (рис. 36, а).
Диск С закреплён от поворота и поперечного смещения и свободно перемещается в направлении силы F. Диаграммы δ=f(FА,В) растяжения нитей изображены
на рис. 35, б. Нить А растягивается упруго без предела текучести; нить В растягивается в соответствии с билинейной диаграммой с пределом текучести 100
кН. Жёсткости обеих нитей (до достижения предела текучести нитью В) равны.
Решение задачи очевидно: сила F=300 кН распределяется между нитями на 200
кН (нить А) и 100 кН (нить В).
Получим тот же результат при помощи решения задачи методом упругих
решений.
Вначале получим линейное решение: сила F=300 кН распределяется
между нитями А и В поровну – FА=FВ=150 кН. Этот результат противоречит
81
условию задачи о пределе текучести нити В на уровне FВ=100 кН. Приложим к
нити В сжимающую силу ΔF=–50 кН. Теперь условия задачи соблюдены, но
имеет место невязка силы ΔF1=–50 кН. Чтобы её компенсировать, увеличим силу F на 50 кН и приложим её в той же точке, что и сила F=300 кН.
а)
б)
Рис 36. Схема (а) и диаграммы u=f(FА,В) (б)
к задаче о совместном растяжении нитей А и В
Разделим дополнительную силу –ΔF1=50 кН между нитями А и В в соответствии с решением линейной задачи на равные части по 25 кН. Теперь
FА=150+25=175 кН, FВ=150–50+25=125 кН; часть продольной силы, которую
неспособна воспринять нить В, составляет 25 кН. К нити В прикладывается
сжимающая сила ΔF=–25 кН. Теперь невязка силы ΔF2=–25 кН. Чтобы её компенсировать, увеличим силу F на величину –ΔF2=25 кН. После деления
ΔF2=25кН
между
двумя
нитями
на
равные
части,
получим
FА=150+25+12.5=187,5 кН, FВ=150–50+25–25+12,5=112,5 кН.
Процесс можно продолжить. После каждой новой ступени расчёта (итерации) невязка силы уменьшается в два раза: ΔF3=–12,5 кН, ΔF4=–6,25 кН и т.
д.; силы FА и FВ становятся ближе к своим конечным значениям 200 и 100 кН.
Рассмотренный пример показывает, что на каждой (i-й) ступени итерационного процесса МУР вычисления выполняются в два шага.
1. Выявляется пластическая подобласть (в рассмотренном примере – нить
В), в которой нагрузки (напряжения), полученные на предыдущей ступени расчёта, превышают предел текучести. На пластическую подобласть накладываются силы, переводящие её в физически возможное напряжённое состояние.
Определяется невязка силы.
2. Устранение невязки силы: те же силы, но с противоположным знаком,
прикладываются ко всей расчётной области.
При расчётах континуальных (плоских, пространственных) систем «невязка сил» {ΔF}i в узлах КЭ образуется из «невязки напряжений» {Δσ}i на его
континууме на i-й ступени итерации при помощи матричного соотношения
{ΔF}i=∫[B]T{Δσ}idV,
82
(2.48)
где V, [B]T – объём пространственного КЭ (или произведение площади S на
толщину t плоского КЭ) и транспонированная матрица соотношений Коши.
Получаемые при этом векторы {ΔUi} накапливаются и складываются с
начальными перемещениями упругого расчёта. Расчёт доводится до значений
{ΔUi} или {–ΔFi}, близких к нулю. Параметры {ΔUi} или {–ΔFi} удобно использовать в качестве меры невязки.
Главными достоинствами МУР являются ясность физического содержания и постоянство в процессе расчёта начальной «упругой» матрицы жёсткости
системы. Это качество иллюстрирует параллельность наклонных отрезков диаграмм на рис. 35 и 36,б.
Недостаток метода – не всегда быстрая сходимость итерации. Наиболее
известный способ ускорения сходимости – использование повышающих коэффициентов к невязкам напряжений и сил.
Например, если в рассмотренной выше задаче о растяжении нитей А и В к
невязке силы ΔF1=–50 кН применить повышающий коэффициент 2,0, то получим ΔF1=–50×2=–100 кН. Повторив те же действия, что и ранее, получим
FА=150+100/2=200 кН, FВ=150–100+100/2=100 кН. Решение с нулевой невязкой
получено за одну ступень итерации.
Метод Ньютона–Рафсона (рис. 37) является развитием МУР. Его отличие заключается в определении (в зависимости от достигнутого уровня дефо рмации) и использовании на каждой (i+1)-й ступени итерации переменных деформационных параметров Еi=tgθi.
Лучи 0–1´, 1–i´, изображающие на рис. 37 зависимости между приращениями перемещений ΔUi+1=Ui+1–Ui и нагрузками F–Fi, являются касательными
к кривой 0–1–i–(i+1). Вычислительную схему метода Ньютона–Рафсона характеризует следующее условное уравнение восходящей ветви одной ступени итерации:
Еi (Ui+1– Ui)=F–Fi .
(2.49)
Рис. 37. Схема к математической процедуре метода Ньютона-Рафсона
Метод Ньютона–Рафсона позволяет ускорить сходимость за счёт сокращения числа ступеней итерации, но на каждой ступени необходимо заново
строить матрицу жёсткости. При этом в соотношениях [D] связи деформаций и
напряжений теряется симметрия, и нулевые члены, отражающие в законе Гука
83
независимость объёмного деформирования от формоизменения, заменяются
значащими числами.
2.6. Заключительные замечания. Ключевые положения МКЭ
В настоящей разделе изложено описание линейной версии МКЭ на основе уравнений, постулатов и понятийного аппарата строительной механики и
теории упругости. Обобщением основных идей, математических процедур,
приёмов их алгоритмизации являются следующие ключевые положения МКЭ.
1. Конечный элемент – «область тела в совокупности с заданными в ней
аппроксимирующими функциями» [11] перемещений.
Разделение сплошной среды на конечные элементы (КЭ) не сопровождается разрывами на контактах. Задача решается так, что условие неразрывности
выполняется не только в узлах, но и на границах КЭ. Это положение не относится к полям относительных деформаций и напряжений, разрывы (скачкоо бразные изменения) которых на границах КЭ не только возможны, но в большинстве случаев неизбежны.
Одним из показателей качества численного решения является абсолютная
или относительная величина этих разрывов. Чем она меньше, тем выше качество решения.
2. Основными принципами, определяющими уравнениями, на которых
основано решение задач теории упругости средствами МКЭ, являются следующие положения: 1) условия равновесия узлов конечно-элементной системы;
2) закон Гука; 3) геометрические соотношения Коши, выражающие непрерывность и относительную малость перемещений; 4) описание перемещений в континуальных КЭ при помощи некоторых функций, из которых чаще всего используются степенные полиномы; 5) вариационный принцип минимума для перемещений Лагранжа.
3. В качестве основного способа решения задач МКЭ используется метод
перемещений:
– канонические уравнения выражают равновесие узлов;
– неизвестными канонических уравнений являются перемещения узлов.
4. При расчёте систем, состоящих из плоских и пространственных (трёхмерных) конечных элементов, все силы должны быть приложены в узлах.
5. Каждый член матрицы жёсткости КЭ Kij выражает реакцию (узловую
силу) в закреплении по направлению i-й степени свободы (считая это закрепление неподвижным) на единичное перемещение Uj по направлению j-й степени
свободы.
6. При расчётах стержневых и континуальных систем каждый КЭ находится в глобальной и местной системах координат.
Нумерация узлов в местной системе является общепринятой и используется по умолчанию для каждого типа КЭ. Первый узел помещается в начало
координат местной системы. Примеры нумерации других узлов: в стержневом
84
КЭ второй узел совпадает с концом стержня; в треугольном КЭ узлы номер уются последовательно против часовой стрелки, в прямоугольном КЭ сначала
номеруются нижние два узла слева направо, затем верхние два узла слева
направо.
Контрольные вопросы для самопроверки
1. Опишите наиболее известные формы конечных элементов.
2. Охарактеризуйте степени свободы узлов конечных элементов:
– стержневых плоских и пространственных;
– плоских треугольных и прямоугольных;
– осесимметричных;
– тетраэдров и параллелепипедов.
3. Назовите компоненты напряжений в плоских, пространственных и осесимметричных конечных элементах.
4. Дайте определение коэффициента в составе матрицы жёсткости конечного элемента.
5. Опишите матрицу жёсткости стержневого конечного элемента с тремя
степенями свободы в узле.
6. Объясните понятия о континууме, континуальных конечных элементах,
функциях перемещений.
7. Объясните построение матриц жёсткости треугольного и прямоугольного
плоских конечных элементов.
8. Что представляют собой общая и глобальная системы координат и какова
их роль в схеме решения задач МКЭ?
9. Опишите формирование глобальной системы уравнений на примере фра гмента расчётной области, состоящей из прямоугольных и стержневых
плоских конечных элементов.
10. Охарактеризуйте конечные элементы, моделирующие связи конечной
жёсткости.
85
3. СМЕШАННАЯ (УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ) ЗАДАЧА
ТЕОРИЙ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ.
НЕЛИНЕЙНЫЙ РАСЧЁТ ГЕОТЕХНИЧЕСКИХ
ОБЪЕКТОВ
3.1. Упругопластическая задача для грунтов
(постановка и решение)
Модель грунта. В условиях современного проектирования
наиболее
эффективной и востребованной является рассматриваемая ниже упругопластическая модель грунта, сочетающая использование четырёх групп уравнений:
1) закона Гука (для допредельной стадии деформирования); 2) соотношений
Коши; 3) условий текучести (предельного напряжённого состояния) в соответствии уравнениями Мора-Кулона или Мизеса-Шлейхера-Боткина; 4) кинематических соотношений теории пластического течения.
Условия
равновесия
Физические
уравнения
Геометрические и кинематические
соотношения
Расчетные
модели
Равновесие узлов системы МКЭ. Принцип Лагранжа
Уравнение
Мора - Кулона
Закон Кулона
(для заданных
поверхностей
сдвига)
Закон Гука
Уравнение Мизеса Шлейхера - Боткина
Соотношения Коши
Кинематические соотношения теории пластического течения
Смешанная (упругопластическая) задача теорий
упругости и пластичности
Плоская
деформация
Пространственная и осесимметричная задача
Рис. 38. Структурная схема упругопластической модели грунта
На рис. 38 представлена структурная схема РМ, сочетающей уравнения
теорий линейно деформируемой и жёстко-пластической сред, которые прошли
длительный отбор и многократную проверку при проектировании различных
86
категорий сооружений. Получаемое по расчёту напряжённо-деформированное
состояние является физически возможным во всех точках. Геометрической иллюстрацией (двухмерной аналогией) упругопластической РМ является диаграмма Прандтля в виде линии 3 на рис. 21.
Постулаты и гипотезы, формирующие принятую модель грунта, и описывающие их уравнения для условий плоской деформации, пространственной и
осесимметричной задач представлены в табл. 9.
Для подготовки исходных данных при решении смешанных задач теорий
упругости и пластичности требуется шесть параметров каждого слоя грунта:
удельный вес γ, модуль деформации Е, коэффициент поперечной деформации ν,
угол внутреннего трения φ, удельное сцепление с, параметр дилатансии Λ* или
Λ. Для пространственной (осесимметричной) задачи параметры φ и с заменяются другой парой: α≈(sinφ)/3 и k≈ccosφ.
Решение упругопластической задачи. Задача решается средствами
МКЭ в сочетании с рассмотренной выше процедурой метода упругих решений
по версии «метода начальных напряжений» (МНН).
Введём следующие обозначения: {σ}={σx σy σz τxy τyz τxz σ1 σ2 σ3}, {ε}={εx εy
εz γxy γyz γxz ε1 ε2 ε3} – матрицы-строки компонентов напряжений и относительных
деформаций в точке (элементарном объёме грунта), конечном элементе или
центре конечного элемента. Те же матрицы, содержащие члены с верхним индексом «е» ({σе}, {εе}), означают результаты линейного (упругого) решения задачи. Матрица {σр} содержит компоненты напряжений, удовлетворяющие физическим условиям задачи; при этом одно из условий выполняется на предельном уровне: Fp=0, где Fp – правая часть уравнений, описывающих предельное
напряжённое состояние.
Предположим, что на некоторой части расчётной области по результатам
линейного расчёта получено распределение напряжений, не удовлетворяющее
одному из условий прочности. Его необходимо «исправить», т.е. получить на
всей расчётной области физически возможное напряжённое состояние, которое
может быть допредельным (Fe<0) или предельным {σр}, определяемым в зависимости от {σе} и соответствующим условию Fp=0.
Учитывая, что грунты слабо сопротивляются растяжению, при котором теряет силу закон сопротивления сдвигу и снижается модуль деформации, будем считать их работающими только на сжатие. Поэтому, если в
линейном решении {σе} получено σ1е>0, то принимается σ1р=0. При этом
второе главное напряжение должно удовлетворять условиям одноосного
сжатия грунтов:
0 ≥σ2е ≥ –2c cosφ/(1–sinφ).
.
87
Таблица 9
Описание упругопластической модели грунта
Характеристика РМ
Учитываемые проявления
нелинейности грунта
Зависимость между напряжениями и деформациями
Уравнения закона Гука для линейной части деформации
D
Осесимметричное
напряженное состояние
1. Пластическое формоизменение при сложном напряженном состоянии
Плоская деформация
2. Деформирование без сопротивления
3. Сдвиг по заданной (контактной) поверхности
Билинейная в соответствии с диаграммой 3 на рис. 21
x
z
0
0
1 2
2
1
0
0
1
x
88
(
1
2
) (
2
1
2
)
2
п
1, 2
*
(
п
1
п
1
sin
*
c cos
z
(1
1
E
)(1 2 )
1
0
xz
xz
0
0
x
z
xz
Уравнение Мизеса-ШлейхераБоткина
I2
0
1)
I1 K
0
I1
3)
1, 2 , 3
п
1, 2 , 3
(
2
I2
J 1п
п
2
п
2
р
z1
Природное давление в основа1, 2
нии, ограниченном горизонталь- (z1– координата глубины основания,
ной плоскостью
отсчитываемая от его поверхности)
88
0
0
0
1 2
2
x
z
Уравнение Мора-Кулона
F
Дилатансионные соотношения на
стадии пластического течения
(1
1
xz
Уравнение предела текучести
Уравнения для пластических
деформаций
E
)(1 2 )
6
1, 2 , 3
р
J 2п
z1
Графической иллюстрацией связей между σ1,2е и σ1,2р являются схемы на
плоскости главных напряжений (рисунок 39), где линия ВС изображает уравнение Мора-Кулона Fp=0, точка В – напряжённое состояние σ1=0, σ2=–2ccosφ/(1–
sinφ). При σ1е>0, 0 ≥σ2е ≥ –2c cosφ/(1–sinφ) принимается σ1р=0, σ2р=σ2е (точки 1 и
1´). При σ1е>0, σ2е>0 принимается σ1р=0, σ2р=0 (точки 2 и 2´). При σ1е>0,
σ2е<–2c cosφ/(1–sinφ) принимается σ1р=0, σ2р=–2ccosφ/(1–sinφ) (точки 3 и 3´).
Рис 39. Графическая форма связей между σ1,2 р и σ1,2 е
на плоскости главных напряжений
При пространственном напряжённом состоянии зависимости, связывающие напряжения σ2е и σ2р, распространяются на σ3е и σ3р.
Наибольшее практическое значение имеет случай, когда исходное напряжённое состояние {σе} является всесторонне сжимающим, но не удовлетворяет
условию текучести в соответствии с уравнениями Мора-Кулона (1.7) или Мизеса-Шлейхера-Боткина (1.17): Fe>0. Для составления уравнений связи между
{σе} и {σр} воспользуемся условием, согласно которому «упругие» деформации
{εе}, вызываемые напряжениями {σе}, равны упругопластическим деформациям
от напряжений {σр}. Это равенство иллюстрирует рисунок 40, а, где на билинейном графике ε=f(σ) точка Е изображает напряжённо-деформированное состояние {σе}–{εе}, а точка Р – напряжения {σр}, которые требуется определить.
а)
б)
Рис. 40. Графические иллюстрации:
а – к уравнениям (3.1); б – к уравнениям (3.13), (3.14)
89
Кроме того, в расчёт вводится условие о коаксиальности (соосности) тензоров-девиаторов напряжений и скоростей пластических деформаций, следствием чего является соосность напряжений σ1,2,3е и σ1,2,3р. Это позволяет записать следующие уравнения для условий плоской деформации:
1
[(1
2G
1
[(1
2G
)
)
e
e
1
2
e
e
2
1
1
[(1
2G
1
[(1
2G
]
]
p
)
2
p
)
1
(
2
1
p
(
1 ]
2
p
1
2
]
1),
(3.1)
1),
E
– модуль сдвига; Е, ν, λ, Λ* сохраняют значения, принятые в п.
2(1 )
1.4. Левые части уравнений (3.1) выражают относительные деформации
1
e
e
e
[(1 ) 1, 2
первые
члены
правых
частей
1.2
2 ,1 ] ,
2G
1
p
p
p
[(1 ) 1, 2
1 .2
2 ,1 ] – «упругие» части главных деформаций от
2G
1
n
(
1) – пластическую деформацию
напряжений {σр}, вторые члены 1, 2
2
формоизменения c дилатансией.
где G
чести
Неизвестные главные напряжения должны удовлетворять условию текуp
F
p
p
1
p
2
p
1
2
2
2
sin
c cos
0.
(3.2)
Уравнения (3.1) и (3.2) образуют замкнутую систему, решение которой
позволяет получить следующие соотношения связи между σ1,2р и σ1,2е:
1 2
;
G (1 2
sin )
1 2
e
e
,
1, 2  F
1 2
sin
Fe
p
1, 2
(3.3)
(3.4)
где
e
F
e
e
1
2
e
e
1
2
2
2
sin
c cos .
(3.5)
В конечных элементах пластической области Fе>0.
Вернёмся к рис. 39, где на плоскости главных напряжений пограничная
прямая линия ВKРС изображает уравнение Мора-Кулона Fp=0, пунктирная ли90
ния ОА – гидростатическую ось. Рассмотрим связь между напряжениями σ1,2p и
σ1,2е в графической форме. Допустим, что отрезок LE изображает изменение
напряжённого состояния в элементарном объёме грунтового массива после
приложения нагрузки: точка L (σ1,2=–р) соответствует начальному (природному) давлению; точка Е (σ1,2е) – результат линейного решения задачи, изображаемое ею напряжённое состояние физически невозможно.
В действительности в момент пересечения вектором LE пограничной
прямой ВС (точка K) напряжённое состояние переходит в упругопластическую
стадию, определяемую ломаной линией ВKР. Точка Р изображает напряжения
σ1,2p в соответствии с (3.4). Отрезок ЕР изображает разность между напряжениями σ1,2р и σ1,2е: ЕР=∓Fе(1–2ν±Λ*)/(1–2ν+Λ*sinφ), состоящую из девиаторной
ЕМ и гидростатической МР частей:
ЕМ=∓ Fе(1–2ν)/(1–2ν+Λ*sinφ), МР=–FеΛ*/(1–2ν+Λ*sinφ).
Для трёхмерной задачи при допущении о соосности σ1,2,3е, ε1,2,3е, σ1,2,3р
уравнения, выражающие совместность деформаций и условие прочности, записываются в следующем виде:
1
[
E
e
l
(
e
e
m
n
p
1
[
E
)]
I1
p
l
p
(
I2
p
p
m
p
n
k
)]
(
0,
l
p
I1 / 3
2 I2
p
),
(3.6)
(3.7)
где l, m, n – 1, 2, 3, остальные обозначения прежние (см. п. 1.3, 1.4).
Совместное решение этих уравнений относительно σ1,2,3р и λ позволяет получить следующие соотношения связи между σ1,2,3р и σ1,2,3е и их инвариантами:
Fe
I1
p
I1
e
p
1, 2 , 3
где F e
I1
e
I2
e
k
1 2
,
G[6a (1 ) 1 2 ]
3 E
p
e
I2
G,
, I2
1 2
p
e
p
I1
I1
I2
e
( 1, 2,3
)
,
e
3
3
I2
(3.8)
(3.9)
(3.10)
0.
Графическая форма связи напряжённых состояний σ1,2,3р и σ1,2,3е аналогична рассмотренной выше на рис. 39, но изображается в пространстве главных
напряжений, где условие (3.10), заменяющее (3.4) для плоской задачи, имеет
вид конической поверхности.
91
Изложенный выше способ определения главных напряжений σ1,2,3р и их
положения на плоскости σ1, σ2 (в пространстве σ1, σ2, σ3) главных напряжений
необходим, но не достаточен для решения упругопластической задачи. При з амене относительных деформаций {εе} равными по величине упругопластическими деформациями {εр}+{εп} неразрывность системы сохраняется, но происходит нарушение равновесия, возникает «невязка сил».
Для корректного перехода от напряжений σ1,2,3е к σ1,2,3р необходимо выполнить следующую двухшаговую процедуру МУР на математической основе
МКЭ.
Первый шаг.
1. Определение главных начальных напряжений Δσ1,2,3=σ1,2,3р−σ1,2,3е в конечных элементах, в которых получено Fe>0. Переход от главных напряжений
Δσ1,2,3 к осевым «начальным напряжениям» Δσx, Δσy, Δσz, Δτxy, Δτxz, Δτyz. Сложение начальных напряжений {Δσ} с компонентами напряжений {σе} линейного
(упругого) решения задачи. На этом шаге расчёта в конечных элементах пластической области получены компоненты напряжений {σр}.
2. Определение вектора «невязки силы» в матричной форме в соответствии с соотношениями, принятыми в МКЭ: {ΔР}=V[B]T{Δσ}, где [B]T− транспонированная матрица соотношений Коши, V – объём конечного элемента; в
условиях плоской деформации V=St; S – площадь конечного элемнта, t=1 м
(см) – толщина расчётной области.
Второй шаг. Наложение вектора сил {ΔР} с обратным знаком (−{ΔР}) на
систему (расчётную область) в целом. Определение компонентов напряжений
{σΔР} и относительных деформаций {εΔР} путём расчёта системы на воздействие сил {ΔР}. Получение новых напряжений и относительных деформаций в
конечных элементах пластической области:
{σ}={σр}+{σΔР}={σе}+{Δσ}+{σΔР},
{ε}={εе}+{εΔР}={εр}+{εп}+{εΔР}
(3.11)
и в конечных элементах, в которых исходное (начальное) напряжённое состо яние было допредельным:
{σ}={σе}+{σΔР}, {ε}={εе}+{εΔР}.
(3.12)
Уравнения (3.11) и (3.12) не являются окончательными записями решения
упругопластической задачи. Распределение напряжений в конце «второго шага» необязательно удовлетворяет установленным требованиям. После проверки
на выполнение условий прочности на части расчётной области могут остаться
или вновь появиться конечные элементы, в которых получено Fе>0. В этом случае новое распределение напряжений и деформаций принимается в качестве
исходного, повторяется процедура метода начальных напряжений, а затем, если
понадобится, повторяется необходимое число раз. Это означает, что процесс
92
решения упругопластической задачи является итерационным. Итерация заканчивается после того, как величина «начальных напряжений» (или некоторый
характеризующий её параметр) удовлетворяет установленному критерию сходимости.
Число ступеней итерации можно уменьшить, а их размер – увеличить,
при помощи коэффициента «ускорения сходимости» k>1,0 к величинам
{Δσ}={σр}−{σе} в конечных элементах пластической области.
В связи с итерационным путём решения упругопластической задачи тр ебуется корректировка уравнений (3.11) и (3.12) и придание им следующего
окончательного вида:
{σе}i+1={σе}i + k ({σp}i−{σе}i)+{σΔР}i, {εe}i+1={εp}i={εe}i+{εΔР}i,
(3.13)
{σе}i+1={σе}i+{σΔР}i, {εe}i+1={εp}i={εе}i+{εΔР}i,
(3.14)
где i, i+1 − номера ступеней итерации.
Уравнения (3.13) и (3.14) предопределяют алгоритм решения упругопластической задачи, который состоит из следующих расчётов, выполняемых на
каждой ступени итерации.
1. Определение исходных компонентов напряжений {σе}i и деформаций
{εе}i, полученных после действий предыдущей ступени итерации по уравнениям (3.13) и (3.14).
2. Определение компонентов напряжений {σp}i в соответствии с изложенным выше в настоящем параграфе (уравнения (3.4), (3.11), рис. 39).
3. Выполнение двухшаговой процедуры метода начальных напряжений:
– определение начальных напряжений {Δσ}i={σр}i−{σе}i и вектора «невязки сил» {ΔР}i= kV [B]T{Δσ}i или {ΔР}i= k St[B]T{Δσ}i;
– определение компонентов напряжений {σΔР}i и деформаций {εΔР}i путём
расчёта системы на воздействие сил {−ΔР}i.
4. Определение новых компонентов напряжений {σе}i+1 и деформаций
{εе}i+1; проверка выполнения условий прочности и сходимости итерации.
Графической иллюстрацией процесса решения с использованием уравнений (3.13) и (3.14) являются ломаные линии на рис. 40, б, где точки Еi изображают напряжённо-деформированное состояние {σе}i−{εе}i в начале i-й ступени
итерации на билинейной диаграмме ε=f(σ), а точки Рi – напряжения {σp}i.
При поэтапном приложении нагрузки приращения напряжений {δσе}j j-го
этапа загружения добавляются к полученным после (j−1) этапов {σр}i;j-1. Эти
суммы принимаются за исходные значения {σе}i=1;j, после чего выполняются
расчёты метода начальных напряжений с использованием уравнений (3.13) и
(3.14). Такой путь решения графически изображён на рис. 40, б. Пусть точка А
обозначает достигнутый уровень напряжений и деформаций после (j−1)-го этапа приложения нагрузки. Отрезок АВ изображает связь напряжений {δσе}j и деформаций {δεе}j в соответствии с линейным решением при j-м догружении. В
93
этом случае использование соотношений (3.13), (3.14) равносильно предположению о том, что начальное напряжённо-деформированное состояние
{σе}i=1;j−{εе}i=1;j в точке В состоит из упругой части СВ и ранее накопленных
пластических деформаций ОС.
Пример расчёта. Рассмотрим реализацию изложенного выше решения на
численном примере задачи о полосовой нагрузке на основании, ограниченном
горизонтальной плоскостью.
Однородное основание, разделённое на конечные элементы в виде пр ямоугольников (рис. 41), загружено полосовой нагрузкой с интенсивностью
р=300 кПа и шириной полосы b=6 м в условиях плоской деформации. Для
грунта основания приняты следующие характеристики: Е=30 МПа, ν=0,42,
φ=200, с=30 кПа, Λ*=0, γ=18 кН/м3.
Рис. 41. Результаты расчета основания полосовой нагрузки
1 – граница пластической области; 2 – конечные элементы зоны разрушения по линейному
решению задачи; 3 – направления главных напряжений; 4 – плоскость симметрии
На рисунке 40 заштрихована «зона разрушения» [Fe=½(σ1е − σ2е) + ½(σ1е+
+σ2е)sin φ − c cos φ >0], полученная в результате первого упругого решения.
Глубина её проникновения в основание составила 3.6 м. После пяти ступеней
итерации величина параметра Fe во всех конечных элементах не превышала 1
кПа, и расчёт был прекращён. При этом пластическая подобласть достигла размеров, очерченных на рисунке.
Перед началом итерации вертикальные перемещения верхней границы
основания составляли 5,2 мм в точке Е и 30,6 мм в точке D, горизонтальное пе94
ремещение в точке Е – 0,83 мм. В ходе расчёта вертикальные перемещения
практически не изменились, а горизонтальное перемещение в точке Е увеличилось на 0,42 мм.
На рис. 42, а изображены круги Мора, соответствующие напряжённому
состоянию в центрах конечных элементов № 95 и 75 (см. рис. 41) в начале расчёта (первое упругое решение) и после окончания итерации. На рис. 42, б показана динамика изменения касательных напряжений τmax=½(σ1−σ2) (радиуса круга Мора) в этих же точках на диаграмме γmax=f(τmax). Вертикальные отрезки соответствуют уменьшению касательных напряжений на первом шаге каждой (iй) ступени итерации, наклонные – приложению системы сил {ΔР}i на втором
шаге. Сплошные горизонтальные линии обозначают пластические составляющие деформации в начале расчёта, пунктирные – в конце расчёта. Их несовпадение связано с изменением в ходе итерации среднего нормального напряжения.
а)
б)
Рис. 42. Диаграммы, описывающие итерационный процесс в конечных элементах (КЭ) №75
и №95: а – круги Мора по результатам линейного расчета (1) и в конце итерации (2); б –
графики зависимости γmax=½(ε1 −ε2 )= f(τmax)
Компьютерная реализация этого решения осуществлена в программах
START (Д.М. Шапиро, Г.В. Полторак, 1989) для ЭВМ поколения ЕС и УПРОС
95
(2000–2010) для современных РС. В обеих программах реализованы плоская и
осесимметричная версии изложенного выше решения упругопластической задачи.
Кроме того, на основе того же алгоритма в Полтавском нацональном техническом
университете им. Ю. Кондратюка была разработана программа «Основание» (О.А.
Голов, 2002), содержащая только плоскую версию.
Программа УПРОС («Упругопластический расчёт объектов строительства»)
разработана и внедрена автором совместно с кандидатами технических наук Р.Н.
Гузеевым и Н.Н. Мельничуком в 2000–2010 г.г. для целей научных исследований
и проектирования геотехнических объектов. Являясь результатом научных работ
небольшой группы специалистов, эта программа не оснащена качественными преи постпроцессорами, графическими интерфейсами. Она предназначена для ограниченного круга пользователей с исследовательскими целями, а также может
быть использована для тестирования современных программ промышленного
назначения.
В расчётах учитываются рассмотренные выше проявления нелинейности
грунтовой среды: пластическое формоизменение с дилатансией, деформирование без сопротивления при растяжении, сдвиг по заданной контактной повер хности. Программа позволяет рассмотреть напряжённо-деформированное состояние при одновременном или постадийном (ступенчатом) приложении нагр узок. Может быть учтено исходное напряжённое состояние, полученное
системой на предыдущих стадиях приложения нагрузок, или гидростатически
распределённое природное давление в основании.
Библиотека используемых в программе конечных элементов содержится
в табл. 10. Компоненты напряжений {σе}i, {σр}i определяются в центрах конечных элементов, моделирующих грунт, внутренние усилия − на концах стержневых конечных элементов, перемещения − в узлах сетки.
В качестве показателя сходимости итерации принята норма невязки силы
2
E P,i
( Ps ) i , где {ΔРs}i – вектор невязки силы, определяемый в соответствии с процедурой МНН, s – номера узлов, i – текущая ступень итерации. Допустимая величина ЕΔР задаётся как часть (3÷5%) аналогичной нормы
2
( Ps ) i действующей нагрузки {Рs}.
Итерационный процесс прекращается после снижения нормы «невязки
силы» до установленного уровня или исчерпания лимита ступеней итерации.
Вводимая информация состоит из следующих массивов исходных данных:
– координаты узлов;
– связи (узлы с нулевыми перемещениями и узлы с равными перемещениями);
– описание нагрузок (величины, направления, узлы приложения);
– описание конечных элементов (номера узлов, модули деформации, коэффициенты поперечной деформации конечных элементов, моделирующих грунт
и массивные конструкции; площади сечения и моменты инерции стержней; меEP
96
ханические характеристики грунтов: угол внутреннего трения, удельное сцепление, параметр дилатансии; природное или исходное напряжённое состояние);
– коэффициент ускорения сходимости k;
– допустимая величина нормы невязки силы (параметр ЕΔР);
– максимальное число циклов итерации, после достижения которого расчёт
прекращается с выводом об отсутствии сходимости.
Таблица 10
Библиотека конечных элементов, используемых в программе УПРОС
Наименование
КЭ
Форма (схема) КЭ,
система координат,
векторы степеней
свободы
Компоненты
напряжений в
континуальных
КЭ
Функции
перемещений
континуальных
КЭ
Стержень
Трехузловой
треугольный КЭ
плоской системы
U
V
Четырехузловой
прямоугольный
КЭ плоской
системы
U
V
x
5x
1
2
4
x
6x
1
z
7z
2
5
3
z
6z
3
xz
8 xz
4
z
Z(V)
x
Осесимметричный КЭ
треугольного
сечения
xz
x
U
V
1
4
x
5x
2
z
6z
3
X(U)
z
Выходная информация – результаты расчёта в конце итерации и на указанных в задании ступенях итерации:
– перемещения узлов;
– компоненты напряжений в центрах континуальных конечных элементов;
– продольные, поперечные силы и моменты на концах стержневых элементов;
– данные о наличии и видах пластических явлений в конечных элементах;
– нормы нагрузки ЕР и невязки силы ЕΔР,i.
97
3.2. Программное обеспечение.
Критерии предельных состояний
В современном проектировании и научных исследованиях геотехнических объектов находят применение несколько зарубежных программных ко мплексов, созданных для решения физически и (если требуется) геометрически
нелинейных задач. Всех их объединяет математическая основа МКЭ по версии
метода перемещений с «функциями формы» в виде степенных полиномов.
Ниже в качестве примеров рассматриваются хорошо знакомые российским специалистам версии программ PLAXIS 2D и Midas GTS, предназначенные
для численного анализа плоскодеформируемых и осесимметричных геотехнических систем. Важным достоинством двухмерных задач (по сравнению с версиями 3D) является ограниченные размеры расчётных областей и связанная с
этим доступность анализа выходной информации, причинных связей результатов расчётов с параметрами исходных данных.
В двухмерных версиях расчётных комплексов PLAXIS 2D и Midas GTS
(как и других подобных программ в строительной области) реализованы следующие технические возможности:
– создание расчётных схем в режиме черчения с учётом неоднородности
строения грунтовых оснований, геометрии сооружений, действующих нагрузок,
граничных условий;
– автоматическая разбивка расчётных областей на конечные элементы с
возможностью общего и локального измельчения сетки;
– моделирование этапов строительства и темпов возведения; описание
начального напряжённого состояния с учётом процессов его формирования;
– моделирование строительных конструкций в виде стержневых и пластинчатых элементов (свайных рядов, стенок, геотекстиля, георешёток), взаимодействующих с основаниями и грунтовыми массивами;
– моделирование упругопластических моделей для грунтов с описанием
предельного напряжённого состояния по уравнениям Мора-Кулона, ДруккераПрагера, ассоциированного или неассоциированного законов течения;
– расчётное описание других математических моделей грунта и геоматериалов из зарубежной расчётной (проектной) практики;
– расчёт нагрузочных эффектов (напряжений, деформаций, усилий, перемещений) в элементах геотехнических систем;
– расчёты устойчивости и несущей способности грунтовых оснований и
откосных сооружений;
– оперативный анализ и представление результатов расчётов в виде таблиц, диаграмм (эпюр, графиков), изолиний, анимационных изображений.
В программе PLAXIS 2D для описания используются два типа высокоточных конечных элементов: шестиузловой и пятнадцатиузловой треугольники
(рис. 43).
98
а)
б)
Рис. 43. Шестиузловой и пятнадцатиузловой треугольные КЭ,
используемые в программе PLAXIS 2D
20 м
В программе Midas GTS грунтовые плоские и осесимметричные расчётные области описываются треугольными трёхузловыми и четырёхугольными
(произвольной формы) четырёхузловыми КЭ. На рис. 44 показано основание
ленточного фундамента как пример описания расчётной области в пр ограмме
Midas GTS.
2
3м
р
γh=36кН/м
1,2,3
40 м
Рис. 44. Пример описания расчётной области в программе Midas GTS.
Расчётная область основания ленточного фундамента: размеры, граничные условия,
членение на конечные элементы
Более полное представление о программах PLAXIS 2D и Midas GTS читатель может найти в Интернете или в описаниях, предназначенных для польз ователей. Современные программные комплексы постоянно развиваются и перерабатываются, в связи с чем описание действующих редакций быстро устаревает. Кроме того, словесные описания и чтение документов не могут заменить
99
пользовательской работы с программами, решений с их помощью конкретных
научно-технических задач.
Особенностью решений нелинейных задач является выполнение расчётов
по предельным состояниям обеих групп по одной расчётной схеме при одной
модели грунта. Расчёт может быть выполнен путём поэтапного загружения: с иловые воздействия вначале доводятся до значений, соответствующих расчёту
по предельным состояниям второй группы; затем – увеличиваются (или уменьшаются) до размеров наиболее неблагоприятных расчётных величин.
На рис. 45 изображена структурная схема связей между видами предельных состояний в соответствии с ГОСТ Р 54257-2010 и противостоящими им
расчётными проверками.
Формы разрушения и деформирования, способы их выявления, присущие
используемой модели грунта и математической процедуре, отражают следующие проверки ПС:
– сходимость итерационного процесса;
– достижение предельных размеров пластических областей;
– оценка степени прогрессирования перемещений в заданных узлах системы;
– достижение предельных значений пластических перемещений;
– образование кривых скольжения по линиям разрыва пластических деформаций грунта.
Сходимость итерационного процесса, т. е. решение, удовлетворяющее
всем установленным требованиям (при допустимой невязке), свидетельствует о
получении статического напряжённого состояния, исключающего потерю
прочности и устойчивости.
Ограничение расчётных размеров пластических областей и величин пластических деформаций направлено на обеспечение стабильности грунтового
континуума.
Оценка уровня прогрессирования перемещений в заданных узлах системы выполняется при помощи соотношения
R=(δU/δP)/(U/P) = (δU/U)×(P/δР),
(3.15)
где R – параметр, характеризующий степень прогрессирования перемещений
при достигнутом уровне нагрузки Р; δU – перемещения в заданных точках от
нагрузки δP, составляющей 5÷10 % от полной величины нагрузки Р; U – перемещения в тех же точках от нагрузки Р. Нагрузки Р и δP могут представлять
собой какое-то одно силовое воздействие (например, силу, вдавливающую
сваю) или обобщать систему наиболее значимых сил.
100
1-я группа:
по потере несущей
способности
2-я группа:
по непригодности
к нормальной эксплуатации
Группы и виды предельных состояний (ПС)
проявления текучести, ползучести,
недопустимые
сдвиги основания
потеря
устойчивости
положения
хрупкое,
вязкое
разрушение
недопустимые
прогибы, осадки
основания, изменения положения
образование
или
раскрытие
трещин
расчет железобетонных
конструкций по трещиностойкости, образованию и
раскрытию трещин
проверка вертикальных и
горизонтальных перемещений в заданных узлах
системы
расчет несущей способности свай по грунту
расчет прочности несущих
конструкций (стоек, свай,
плит)
сходимость итерации с допустимой невязкой
достижение предельных
размеров пластических
областей
расчет устойчивости с построением поверхностей
скольжения
101
проверка степени прогрессирования перемещений в
заданных узлах системы
Проверочные расчеты, критерии обеспеченности от наступления ПС
Рис. 45. Предельные состояния и способы проверки обеспеченности от их наступления
101
Сущность рассматриваемой проверки иллюстрирует условный график
«нагрузка-перемещение» на рис. 46, а. Сравниваются наклон «касательной» АВ
и секущей ОВ. Нагрузка Р считается предельной при достижении параметром
R обусловленной величины.
Контрольные узлы, численные значения параметров, определяющих критерии предельных состояний (число ступеней и допустимая навязка итерации,
параметр R, размеры пластических областей, абсолютная или относительная
величина пластических частей перемещений) выбираются индивидуально применительно к условиям решаемых задач и являются предметом специальных
исследований.
В двухмерных версиях рассматриваемых программ (PLAXIS 2D и Midas
GTS) используется следующий приём расчёта устойчивости грунтовых массивов с получением расчётной линии скольжения и коэффициента запаса усто йчивости. Расчёт представляет собой двухшаговую процедуру. Вводимая информация содержит полное описание расчётной области, включая расчётные
значения механических характеристик грунтов. На первом шаге выполняется
обычный упругопластический расчёт. Его результат фиксируется как расчётное
распределение напряжений (усилий) и деформаций в системе. На втором шаге,
принимая полученное ранее напряжённо-деформированное состояние в качестве исходного, производят постепенное (одновременное и пропорциональное)
снижение пары прочностных характеристик «tgφ-c» до получения предельного
напряжённого состояния и образования линии скольжения как геометрического
места разрыва пластических перемещений. Коэффициент запаса устойчивости
определяется как отношение начальных (расчётных) «tgφ-c» к конечным значениям тех же параметров, при которых получено предельное равновесие по расчётной линии скольжения.
а)
б)
Рис. 46. Графические изображения к критериям предельных состояний:
а – диаграмма U=f(P) к определению параметра R;
б – кривая скольжения по расчёту основания армогрунтовой подпорной стенки
102
Пример практической реализации такого способа получения кривой
скольжения показан на рис. 46, б с изображением результата расчёта армогрунтовой подпорной стенки высотой 10 м [29]. В качестве материала грунтовой засыпки принят песок с удельным весом γ=1,9 кН/м3, φ=300, с=2 кПа, Е=30
МПа, ν=0,30, параметром дилатансии Λ*=0. Материал армирующих элементов
– геотестиль из высокопрочного полиэфира с кратковременной прочностью при
разрыве 200 кН/м и относительным удлинением при разрыве 10 %. Длина полотнищ геотекстиля – 8 и 15 м, шаг укладки по высоте 0,5 м. Основание засыпки и подпорной стенки – тугопластичный суглинок с удельным весом γ=18
кН/м3 и следующими прочностными и деформационными характеристиками:
φ=210, с=25 кПа, Е=23 МПа, ν=0.35, Λ*=0,18. Разрыв пластических перемещений по кривой скольжения 1 на рисунке 46, б получен после снижения прочностных характеристик «tgφ-c» на 20%, что соответствует коэффициенту запаса устойчивости 1,2.
Другие проверки, представленные на рис. 45, не требуют специальных
пояснений. Это проверки прочности и раскрытия трещин стержневых элементов, несущей способности свай по грунту, перемещений в заданных точках, выполняемые путём сравнения результатов расчёта с предельными величинами.
Представленный на структурной схеме набор проверок не является исчерпывающим или единственно возможным. Можно предположить, что по результатам численных решений новых нелинейных задач геотехники будут
предложены другие пока неизвестные способы конкретизации предельных с остояний.
3.3. Примеры решения научно-технических задач1
1. Расчёт основания ленточного фундамента является частью научного
исследования, результаты которого более полно изложены в статье [26].
Размеры расчётной области 20×40 м, размеры ленточного фундамента:
ширина 3 м, глубина заложения 2 м; граничные условия, членение на КЭ пр иняты в соответствии с рис. 44. Основание сложено тугопластичным суглинком
с модулем деформации Е=25 МПа, коэффициентом поперечной деформации
ν=0,35, углом внутреннего трения φ=210, удельным сцеплением с=25 кПа,
Λ*=0,18.
Давление, передаваемое фундаментом, было приложено к основанию по
трём схемам: в виде полосовой нагрузки (ПН); «гладкого штампа» (ГШ), не
препятствующего горизонтальным перемещениям основания на контактной поверхности; «шероховатого штампа» (ШШ), допускающего только вертикальные
перемещения на контактной поверхности.
1
Расчёты рассматриваемых ниже примеров выполнены кандидатами техн. наук
Ю.А. Готманом, Н. Н. Мельничуком, А.П. Тютиным.
103
Расчёты выполнены МКЭ в сочетании со способом получения физически
нелинейных решений по процедуре Ньютона-Рафсона с использованием программы Midas GTS. Была принята упругопластическая модель грунта в соответствии с описанием в п. 3.1 со следующими допущениями:
– описание пластического деформирования элементарных объёмов грунта
в соответствии с уравнением (1.29) неассоциированного закона течения;
– распределение природного давления грунта в основании по гидростатическому закону: σx=σz=–γz, где γ – удельный вес грунта основания, z – вертикальная координата, считая от поверхности основания.
Интенсивность нагрузки увеличивалась ступенями. К основанию, сложенному тугопластичным суглинком, сначала было приложено давление
р1=293 кПа (полная нагрузка на штамп F1=879 кН/м), затем нагрузка добавлялась ступенями по 0,17р1: р2=1,17р1=343 кПа (F2=1029 кН/м), р3=1,34р1=392
кПа (F3=1176 кН/м) до исчерпания несущей способности.
На рис. 47 показаны области предельного напряжённого состояния по
условию Мора-Кулона (пластические области) при трёх значениях внешней
нагрузки р1–F1, р2–F2, р3–F3, действующей по схемам ПН и ГШ–ШШ. Пластические области, полученные по расчёту по схемам ГШ и ШШ, практически
совпали и по форме отличаются от результатов расчёта с приложением нагрузки по схеме ПН.
а)
б)
Рис. 47. Результаты расчёта основания ленточного фундамента:
пластические области в основании с Е=25 МПа, ν=0,35, φ=210 , с=25 кПа с при нагрузках
р1 =293 кПа (области 1), р2 =343 кПа (области 2), р3 =392 кПа (область 3); а – ПН, б – ГШ-ШШ
На рис. 48 представлены диаграммы зависимостей s=f(p) для трёх рассмотренных схем приложения нагрузки. Линиями 4 и 5 обозначены:
– «начальная критическая нагрузка» – расчётное сопротивление R по СП
22.13330.2011, формула (5.7), соответствующие предположению о границе правомерного использования (корректности) решения теории упругости для расч ёта осадки;
104
– предельное сопротивление основания р=р и=N/b по СП 22.13330.2011,
формула (5.32), в соответствии с решением теории предельного напряжённого
состояния..
Полученные по результатам расчёта осадки s=f(p) становятся прогрессирующими при нагрузках, близких к предельному сопротивлению р=ри.
Рис. 48. Диаграммы зависимостей «осадка–нагрузка» s=f(p):
1 – ПН, 2 – ГШ, 3 – ШШ, 4 – начальная критическая нагрузка,
5 – предельное сопротивление основания
Полученные результаты иллюстрируют развитие напряжённодеформированного состояния основания, позволяют определить осадки и степень их прогрессирования при пройденных расчётами уровнях нагрузки. Метод
расчёта оснований с использованием решения упругопластической задачи может быть применён на правах более информативного «контрольного расчёта»,
выполняемого параллельно с обычным расчётом по СП (СНиП). Изложенный
способ решения смешанной (упругопластической) задачи полезен для расчётов
обследуемых эксплуатируемых и реконструируемых зданий.
2. Расчётное моделирование фундаментов в пробитых скважинах
(ФПС). Выполненное исследование (Д.М. Шапиро, Н.Л. Зоценко, С.В. Беда,
1996) посвящено сравнению результатов статических испытаний и математического моделирования ФПС, изготовленных по следующей технологии. Цилиндрической трамбовкой диаметром 50 см были пробиты три скважины глубиной
2 м. В две скважины после их образования были втрамбованы объёмы щебня
Vщ=0,45 и 0,9 м, образующие уширения по форме эллипсоидов. После этого
стволы ФПС были забетонированы враспор.
105
В качестве исходных данных были приняты механические характеристики грунтов, полученные путём исследования околосвайной области основания,
включавшие компрессионные, сдвиговые испытания, пенетрацию и зондирование Расчёты были выполнены по осесимметричной версии программы START.
Граничные условия и членение на конечные элементы приняты в соответствии
с изображениями на рис. 49, а.
Рис. 49. Схемы к расчётному моделированию нагружения ФПС вдавливающей силой:
а – расчётная область и граничные условия ФПС с Vщ =0; б, в – фрагменты расчётных областей ФПС с Vщ =0,45; 0,90м3 ; г – фрагмент расчётной области ФПС ( Vщ =0,90м3 ) с членением на конечные элементы и выделением подобласти предельного напряжённого состояния
(10) при Р=147 кН; 1 – железобетонная свая; 2 – щебеночное уширение; 3 – уплотненная зона грунта; 4 – суглинок Е=5 МПа, =0,35, с=17кПа, =13 ; 5 – суглинок Е=12МПа, =0,35,
с=37кПа, =14 ; 6 – ось симметрии;
подобласти в уплотненной зоне: 7 – Е=6МПа, =0,35, с=18кПа, =13 ,
8 – Е=9МПа,
=0,35, с=20кПа, =14 ; 9 – Е=13МПа, =0,35, с=25кПа, =15
106
Процедурные параметры расчётов были приняты в следующих размерах:
коэффициент ускорения сходимости k=1,5, допустимая норма невязки силы ЕР
в размере 0,05 от предполагаемой предельной вдавливающей силы Р. На последних ступенях нагрузки число шагов итерации, требуемых для достижения
сходимости, составило 30 – 50.
На рис. 50 представлены шесть кривых «осадка-нагрузка» s=f(P): три
расчетных (2, 4, 6) и три (1, 3, 5) по результатам испытаний ФПС с объёмом
щебня Vщ= 0; 0,45; 0,9 м3. Попарное сравнение кривых 1–2, 3–4, 5–6 свидетельствует о близости результатов, полученных по расчётам, и данных измерений.
Рис. 50. Сравнение зависимостей s=f(P) по результатам расчётов и статических испытаний:
1 – испытание, 2 – расчет – ФПС Vщ =0; 3 – испытание, 4 – расчет – ФПС Vщ =0,45 м3 ;
5 – испытание, 6 – расчет – ФПС Vщ =0,9 м3
3. Расчёт несущей способности буронабивных свай. Ниже приводятся
два примера численного моделирования средствами МКЭ статических испытаний (вдавливания ступенчато возрастающей нагрузкой) буронабивных свай
(Шапиро Д. М., Мельничук Н. Н. 2006 – 2007). При изготовлении таких свай (в
отличие от свай, устраиваемых с уплотнением грунта основания) сохраняются
природные характеристики грунтов, принимаемые в качестве исходных данных.
Условие предельного напряжённого состояния принимается в соответствии с уравнением (1.17). В расчёты введено ограничение касательных напр яжений τ на боковой поверхности буронабивной сваи: τ≤f, где f – предельное
удельное сопротивление грунта по боковой поверхности в соответствии с СП
24.13330.2011, таблица 7.3.
В расчёте использованы кольцевые осесимметричные конечные элементы
треугольного сечения: упругие, представляющие на расчётной схеме буронабивную сваю; упругопластические, моделирующие грунтовую среду.
Радиус расчётной области одиночной сваи принят в размере 6d, где d –
диаметр сваи. Нижняя граница «сжимаемой толщи», учитываемой при расчёте
107
осадки сваи, определяется по условию о соотношении дополнительного (связанного с действием осевой силы) σzp и σzg природного давлений: σzp=0,2 σzg. В
соответствии с этим условием при добавлении нагрузки (на каждой ступени
вдавливающей силы) размер «сжимаемой толщи» увеличивается, т. е. даже на
линейной стадии деформирования диаграмма «осадка−нагрузка» является кр иволинейной (прогрессирующей).
В расчётах был принят размер параметра невязки ξ=ЕР/Р=0,05 при числе
шагов итерации до 50, коэффициент ускорения сходимости k=1,5.
Ниже приводятся результаты сопоставительных расчётов с использованием осесимметричной версии программы УПРОС к статическим испытаниям
двух буронабивных свай.
Пример № 1. Для расчета использованы результаты статических испытаний двух буронабивных свай диаметром 1,0 м длиной 18 м, выполненных на
испытательной площадке в зоне строительства Волгодонского завода тяжелого
машиностроения (А.А. Григорян, И.И. Хабибуллин, 1977). Расчетная область,
геологическое строение и членение на конечные элементы изображены на рис.
51, а. Основание буронабивных свай сложено тремя разновидностями суглинков. Для всех слоев суглинков принят коэффициент поперечной деформации
ν=0,35, параметр дилатансии Λ=α/2=(sinφ)/6. Для литого бетона буронабивных
свай принят модуль деформации 26600 МПа, установленный авторами экспериментов. Нижние концы свай заделаны в суглинок «среднего яруса» на глубину 4 м.
Диаграммы «осадка – нагрузка» s=f(P) по данным статических испытаний
буронабивных свай и по результатам расчетов с использованием упругопластической модели грунта показаны на рисунке 51, б.
При выполнении расчетов нагрузка прикладывалась ступенями по схеме
10х0,25МН+15х0,1МН. По ходу расчетов предельное напряженное состояние
было получено в такой последовательности: сначала было достигнуто предельное сопротивление грунта касательным напряжениям на боковой поверхности
буронабивной сваи (Р=2,5 3,0 МН); при Р=2,5 МН получено предельное
напряженное состояние в трех конечных элементах (рис. 51, в); при нагрузке
Р=3,1 МН область предельного напряженного состояния пересекла ось симметрии на расчетной схеме. После этого размеры пластической области прогрессивно увеличивались при сохранении плавности кривой s=f(P).
Достижение предельного напряжённого состояния в соответствии с уравнением (1.17) в конечных элементах на оси симметрии в слое грунта высотой
0,5 м, равной половине диаметра сваи, (Р=3,1 МН) совпало с исчерпанием несущей способности при статическом испытании и с расчетной осадкой (s=37,6
мм), близкой к 40 мм, принятой в п. 7.3.5 СП 24.13330.2011 в качестве одного
si si 1 прииз показателей предельного сопротивления сваи. Отношение
ращений осадки si и si 1 на двух соседних ступенях увеличения нагрузки (i-й
и (i-1)-й) достигло максимума (η=3,94) при достижении предельного сопротивления трению по боковой поверхности буронабивной сваи. На заключительных
108
ступенях нагрузки (после Р=3,0МН) параметр η оставался практически постоянным (η=1,15 1,22).
Инженерно-геологические
элементы:
- суглинок «верхнего»
(Е=12 МПа, с=15 кПа,
=17,3 кН/м3 );
- суглинок «среднего»
(Е=12 МПа, с=24 кПа,
=17,9 кН/м3 );
- суглинок «нижнего»
(Е=22 МПа, с=30 кПа,
=19,2 кН/м3 ).
яруса
=19 ,
яруса
=17 ,
яруса
=19 ,
Рис. 51. Графические изображения к примеру № 1: а – расчетная область, членение
на КЭ, граничные условия; б – диаграммы зависимостей s=f(P): 1, 2 – по данным статических испытаний; 3, 4 – по результатам упругопластического расчета при значениях
расчетного сопротивления грунта трению по боковой поверхности сваи без понижающего коэффициента и с коэффициентом γcf=0,8; 5 – упругое решение, 6, 7 – разгрузка,
в–области предельного напряженного состояния: 1, 2, 3 – при нагрузке P соответственно 2,5; 3,1 и 3,5 МН
Линия 5 на рис. 51, б изображает зависимость s=f(P) в соответствии с линейным решением задачи. При осевой силе Р=3,1 МН «упругая» часть осадки
составила 15 мм, пластическая часть 22,6 мм, т. е. их доли в общей осадке сваи
составили 40 и 60%.
Пример № 2. Буронабивная свая диаметром 1,7 м длиной 26,8 м (рис. 52,
а) была изготовлена при строительстве свайного фундамента большого моста в
1992 г. При бурении скважины были пройдены (табл. 11) три разновидности
песков (φ=28÷330) и четыре слоя пылевато-глинистых грунтов (φ=19÷270,
с=15÷54 кПа). Свая была заделана на 1,6 м в слой пылеватого плотного песка
(Е=28 МПа, φ=320) общей мощностью 4,0 м. Подстилающие слои: тугопластичный суглинок (мощность 1,2 м, Е=17 МПа, φ=200, с=17 кПа), полутвёрдая
109
глина (Е=23 МПа, φ=180, с=40 кПа). В расчетах принят удельный вес грунтов
γ=19 кН/м3.
Рис 52. Графические изображения к примеру 2: а–расчетная область, членение на КЭ,
граничные условия;
…
- номера ИГЭ в соответствии с табл. 11; б – диаграммы
зависимостей s f (P) : 1 – по данным статического испытания; 2 – по результатам
упругопластического расчета, 3 – упругое решение, 4, 5 – при разгрузке сваи; в – области предельного напряженного состояния: 1, 2, 3 – при нагрузках P соответственно
15,0, 17,0 и 18,0 МН
Свая была испытана в проектном положении как одиночная. Испытание доведено до нагрузки 12,5 МН и было прекращено в связи с исчерпанием мощности анкерной системы. Несущая способность (предельное
сопротивление) сваи не была достигнута.
При выполнении упругопластического расчета, моделирующего испытание буронабивной сваи, была принята конечно-элементная расчетная
схема с размерами: радиусом 10,2 м, высотой 37 м. Расчет был доведен до
нагрузки 20 МН.
110
Таблица 11
Механические характеристики грунтов
Номер
ИГЭ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Наименование грунта
Е, МПа
с, кПа
Глина полутвердая
Суглинок тугопластичный
Песок пылеватый плотный
Суглинок тугопластичный
Глина полутвердая
Суглинок полутвердый
Песок пылеватый плотный
Супесь твердая
Песок средней крупности
Песок средней крупности
23,0
17,0
28,0
28,0
30,0
45,0
33,0
60,0
30,0
25,0
40,0
17,0
0,1
24,0
54,0
28,0
4,7
15,3
0,1
0,01
18
20
32
21
19
24
33
27
33
28
0,40
0,35
0,35
0,35
0,40
0,35
0,30
0,30
0,30
0,30
Диаграммы на рис. 52, б показывают хорошее совпадение зависимостей
«осадка–нагрузка» по результатам упругопластического расчета и статического
испытания. Расчетная кривая получена плавной до конца расчета. На рис. 52, в
показаны области предельного напряженного состояния при трех значениях
нагрузки Р=15,0; 17,0 и 18,0 МН.
При вдавливающей силе Р=17,5 МН область предельного напряженного
состояния грунта под нижним концом буронабивной сваи пересекла ось симметрии расчётной области и достигла высоты 0,9 м (0,5 диаметра сваи); расчетная осадка составила 80 мм (0,047 диаметра сваи); доля «упругой» части 30 мм
(см. рисунок 52, б, линия 3) составляет 37 % от общей осадки.
Обобщение результатов расчётного моделирования статических испытаний буронабивных свай различных диаметров позволило обосновать в качестве
критериев предельного сопротивления следующие показатели:
– образование на оси симметрии области предельного напряжённого с остояния высотой, равной половине диаметра сечения сваи;
– осадка, равная 0,05 диаметра сваи;
– отношение пластической и упругой частей общей осадки Sпласт./Sупр.=1,5.
4. Расчёт водопропускной трубы в дорожной насыпи. На рисунке 53, а
показан пример расчётной области земляного полотна автомобильной дороги с
водопропускной трубой отверстием 3,89 м со стенками из гофрированной стали
с расчётным сопротивлением 265 МПа. Форма гофров с размером 164×57 мм,
толщиной стенки 3.5 мм показана на рис. 53, б. Диаметр трубы по средней линии гофров 3,92 м, высота насыпи 8,7 м (включая дорожную одежду). Геометрические характеристики гофров, образующих стенки трубы на рисунке 53, б:
площадь сечения 44,8 см2/м, момент инерции 181,4 см4/м, момент сопротивления крайних волокон 60,0 см3/м. Расчётный удельный вес: грунта насыпи 19,5
кН/м3, грунтов основания 18,7 кН/м3. Механические характеристики грунтов
приводятся в подписи к рисунку 53.
111
а)
б)
Рис. 53. Расчётная область водопропускной трубы диаметром 3,92м в насыпи высотой 8,72м
на основании, сложенном полутвёрдым и мягкопластичным суглинком (а) и геометрическая
схема гофров (б);
1 – труба из гофрированной стали,
2 – обойма из плотного грунта Е=30 МПа, ν=0,35, φ=330 , с=1 кПа,
3 – насыпь из мелкого песка Е=15 МПа, ν=0,35, φ=330 , с=1 кПа,
4 – суглинок полутвёрдый Е=13 МПа, ν=0,36, φ=190 , с=21 кПа,
5 – суглинок мягкопластичный Е=6.3 МПа, ν=0,36, φ=180 , с=16 кПа,
6 – временная вертикальная нагрузка с интенсивностью 38 кПа
При подготовке исходных данных и решении упругопластической задачи
(программа PLAXIS 2D) использована симметрия расчётной области. Граничные условия расчётной области на рис. 53, а: на вертикальных границах запрещены горизонтальные перемещения, вертикальные перемещения не ограничиваются; на нижней границе установлены вертикальные и горизонтальные связи.
В расчёте использованы 15-узловые треугольные КЭ, распределённые по
схеме на рис. 53, а. Нагрузка от веса насыпи и временная вертикальная нагрузка
приложены в одну ступень.
112
а)
б)
Рис. 54. К расчёту водопропускной трубы: а – членение расчётной области
на 15-узловые треугольные конечные элементы, б – эпюра моментов в стенках трубы
Из результатов расчёта на рисунках 54, б, в показаны эпюры расчётных
моментов (от 6,48 до –3,31 кНм/м) в сечениях металлической гофрированной
трубы. Предельный момент 15,9 кНм/м. Уменьшение вертикального диаметра
трубы составило 17,6 мм, увеличение горизонтального диаметра –22,9 мм
Контрольные вопросы для самопроверки
1. Назовите уравнения, формирующие упругопластическую модель грунта, и объясните их физическое содержание.
2. Запишите и дайте объяснение уравнениям, на которых основано решение упругопластической задачи.
3. В чём заключаются особенности входной и выходной информации программ, реализующих физически нелинейные решения для грунтов?
4. Назовите критерии предельных состояний по результатам нелинейных расчётов геотехнических объектов.
5. Дайте объяснение способа оценки прогрессирования перемещений в качестве критерия предельного состояния геотехнического объекта.
6. Дайте объяснение способа получения кривых скольжения по результатам упругопластических расчётов геотехнических объектов.
113
Заключительные замечания
Приведём две цитаты, которые во многом характеризуют условия технического применения нелинейных решений строительной механики.
1. О. Зенкевич, из книги [10] (1975).
«Следует сделать одно существенное замечание. В нелинейных задачах,
в отличие от линейных, часто нет единственности решения. Таким образом,
найденное решение не обязательно будет искомым. Для получения правильного
ответа необходимо применять метод малых приращений и чётко представлять физическую сущность задачи.
Здесь могут быть использованы формальные численные итерационные
методы, такие, например, как методы Ньютона-Рафсона и т. д. Однако их
применение требует понимания физической природы задачи, и поэтому на
практике численные методы более успешно разрабатываются инженером
(или физиком) нежели математиком».
2. Из Руководства пользователя программы PLAXIS 2.1 AE [30].
«Важное предупреждение об отказе от ответственности
PLAXIS представляет собой программу конечно-элементного расчёта
для решения геотехнических задач, в которых поведение грунта моделируется
с помощью ряда математических моделей. Мы очень тщательно отнеслись к
разработке программы и моделей грунта. Однако, несмотря на всесторонние
испытания и проверку программы, мы не можем гарантировать полного отсутствия ошибок в программе PLAXIS. Кроме того, моделирование геотехнических задач с помощью метода конечных элементов само по себе неизбежно
подразумевает появление численных ошибок и ошибок моделирования. Точность, с которой удаётся изобразить реальную ситуацию, в значительной
степени от опыта пользователя в вопросе моделирования, понимания используемых моделей грунта с присущими им ограничениями, выбора параметров
модели и способности оценить надёжность полученных результатов вычислений. Поэтому программа PLAXIS может использоваться только профессионалами, обладающими необходимым опытом и знаниями. Пользователь должен
осознавать свою ответственность при использовании результатов вычислений для геотехнического проектирования. Организация PLAXIS не несёт ответственности за ошибки проектирования, которые могут возникнуть при
использовании выходных данных, полученных с помощью программ PLAXIS.»
Сказанное выше можно продолжить следующими соображениями и рекомендациями авторам нелинейных расчётов, пользователям реализующих эти
расчёты программ.
1. Нелинейный расчёт представляет ценность только в том случае, если
авторы способны объяснить и интерпретировать его результаты в увязке с исходными данными, описанием расчётной области и граничными условиями.
2. Анализ решений нелинейных задач предполагает качественное и численное сопоставление выходных данных с «инженерными ожиданиями», т.е.
114
практическим опытом (если он имеется) и результатами, которые могут быть
получены обычными (классическими) методами, если они корректны при имеющихся условиях.
3. Также полезно решать одну и ту же задачу несколько раз, варьируя параметры, чувствительные для получаемых решений: размеры расчётной области и граничные условия; механические характеристики грунтов, из которых
наиболее изменчивым и влияющим на результат расчёта является коэффициент
поперечной деформации (Пуассона) грунтов.
4. Изложенные выше рекомендации не снижают доверие, а направлены на
обеспечение надёжности физически нелинейных расчётных моделей, которые
являются наиболее теоретически строгими и информативными в современной
механике грунтов.
115
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Безухов, Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести/ Н. И. Безухов. – М.: Высшая школа, 1968. – 512 с.
2. Болдырев, Г. Г. Методы определения механических свойств грунтов. Состояние
вопроса: монография/ Г. Г. Болдырев. – Пенза: ПГУАС, 2008. – 696 с.
3. Бугров, А.К. О применении неассоциированного закона пластического течения
к смешанной задаче теории упругости и теории пластичности грунтов / А. К.
Бугров. – Труды Ленингр. политех. ин-та, 1976. – № 354. С. 43 – 49.
4. Вялов, С. С. Реологические основы механики грунтов / С. С. Вялов. – М.:
Высшая школа, 1978. – 349 с.
5. Голов, О.O. Програмний комплекс «Основание» для розв’язання геотехнiчних
задач / О. О. Голов // Збiрник наукових праць // Полт. нац. техн. ун-т iм. Ю.
Кондратюка. Вип. 10. – Полтава, 2002. – С. 55-58.
6. Григорян, А.А. Несущая способность буронабивных свай на площадках строительства Волгодонского завода тяжёлого машиностроения / А. А. Григорян, И.
И. Хабибуллин И.И. // Основания, фундаменты и механика грунтов. – 1977. –
№2. – С. 13 – 16.
7. Гузеев, Р.Н. Упругопластический расчёт МКЭ при проектировании и исследовании геотехнических систем / Р. Н. Гузеев // Современные методы
статического и динамического расчёта сооружений. Вып. 5.:
Воронеж, 2000. – С. 63 – 72.
8. Далматов, Б. И. Механика грунтов, основания и фундаменты (включая специальный курс инженерной геологии) / Б. И. Далматов. – 2-е изд. перераб. и
доп.-Л.: Стройиздат, Ленинградское отделение, 1988. – 415 с.
9. Друккер, Д. Механика грунтов и пластический анализ или предельное проектирование / Д. Друккер, Б. Прагер // Определяющие законы механики грунтов /
Под ред. В. Н. Николаевского. – М., 1975. – С. 166 – 177.
10. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич – М.: Мир. –
1975. – 375 с.
11. Кашеварова, Г. Г. Численные методы решения задач строительства на ЭВМ /
Г. Г. Кашеварова , Т. Б. Пермякова. – Учеб. пособие / Изд. второе, перераб. и
дополн. – Пермь: Пермский ГТУ. – 2003. – 351 с.
12. Мангушев, Р. А. Механика грунтов // Р. А. Мангушев, В. Д. Карлов, И. И.
Сахаров И. И.. – М.: Изд-во АСВ, 2009 – 264 с.
13. Мангушев, Р. А. Основания и фундаменты / Р. А. Мангушев, В. Д. Карлов,
И. И. Сахаров, А. И. Осокин. – М.: Изд-во АСВ, 2009 – 264 с.
14. Маслов, Н.Н. Основы инженерной геологии и механики грунтов / Н. Н. Маслов – М.: «Высшая школа», 1982. – 510 с.
15. Николаевский, В.Н. Механические свойства грунтов и теория пластичности //
Механика твёрдых деформируемых тел (Итоги науки и техники) / В. Н. Николаевский. – 1972. – №6. – 84 с.
116
16. Парамонов, В. Н. Метод конечных элементов при решении нелинейных задач механики грунтов / В. Н Парамонов. – С.-Пб.: Группа компаний «Геореконструкция», 2012. – 262 с.
17. Перельмутер, А.В. Расчётные модели и возможность их анализа /. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. – Киев: Изд-во «Сталь», 2002. – 600 с.
18. Свод правил СП 22.13330.2011 Основания зданий и сооружений. Актуализированная редакция СНиП 2.02.01-81* – М.: ОАО ЦПП, 2011. – 160 с.
19. Свод правил СП 24.13330.2011 Свайные фундаменты. Актуализированная редакция СНиП 2.02.03-85 – М.: ОАО ЦПП, 2011. – 85 с.
20. Смирнов, А.Ф. Сопротивление материалов / А. Ф. Смирнов, А. В. Александров, А.В., Н. И.Монахов, Д. Ф. Парфёнов, А. И. Скрябин, Г. В. Федорков, В.
В. Холчин // Учебник – М.: Трансжелдориздат, 1961. – 592 с.
21. Тер-Мартиросян, З.Г. Механика грунтов / З. Г. Тер-Мартиросян. – М.: Изд-во
Ассоциации строительных вузов, 2005. – 488 с.
22. Ухов, С. Б. Механика грунтов, основания и фундаменты: Учебник / С. Б. Ухов,
В. В. Семёнов, В. В. Знаменский, З. Г. Тер-Мартиросян, С. Н. Чернышёв – М.:
Изд-во АСВ, 1994. – 524 с.
23. Цытович, Н.А. Механика грунтов, 4-е изд., вновь перераб. и доп. / Н. А. Цытович. – М.: Стройиздат, 1963. – 636 с.
24. Шапиро, Д.М. Теория и расчётные модели оснований и объектов геотехники
/ Д. М. Шапиро.– Воронеж: НПЦ «Научная книга», 2012. – 164 с.
25. Шапиро, Д. М. Метод конечных элементов в строительном проектировании
/ Д. М. Шапиро. – М.: Издательство АСВ, 2015. – 176 с.
26. Шапиро, Д. М. Упругопластический расчёт оснований фундаментов мелкого
заложения / Д. М. Шапиро, Ю. А. Готман // Основания, фундаменты и механика грунтов. – 2013. – №4. – С. 19 – 23.
27. Шапиро, Д.М. Упругопластический расчёт несущей способности свай / Д. М
Шапиро, Н. Л. Зоценко, С. В. Беда // Известия ВУЗов. Строительство и архитектура. – 1996. – №6. – С. 34 – 39.
28. Шапиро, Д.М. Расчётное моделирование нагружения буронабивных свай осевой силой / Д. М. Шапиро, Н. Н. Мельничук // Проблемы механики грунтов и
фундаментостроения в сложных условиях / Труды международной научно технической конференции. Том 1.–Уфа, 2006.– С. 155–164.
29. Шапиро, Д. М. Расчётные модели оснований откосных сооружений и армогрунтовых подпорных стенок / Д. М. Шапиро, А. А. Тарасов // Основания,
фундаменты и механика грунтов. – 2014. – №4. – С. 13 – 18.
30. PLAXIS 2D AE. Руководство пользователя. – 2014.
117
ПРИЛОЖЕНИЕ
Сведения из алгебры матриц
1. Понятия, определения
Наименование
понятий
Матрица
Определение,
содержание понятий
Система чисел,
расположенных
в прямоугольной
таблице
Элемент (член)
матрицы
Строка матрицы
Число в составе
матрицы
Горизонтальный ряд
чисел в матрице
Столбец
Вертикальный ряд
матрицы
Квадратная матрица Число членов в строках
(сталбцов) n и число
строк m равны (m=n)
Прямоугольная
n≠m
матрица
Матрица–строка
m=1
Матрица–столбец
n=1
Примеры, обозначения
a11
a21
...
am1
a12
a22
...
am 2
Число членов строк и
столбцов матрицы
118
... a1n
... a2 n
... ...
... am n
αij
...
a i1
...
...
ai 2
...
...
ai 3
...
... a1 j
... a 2 j
... ...
... a m j
... ...
... ain
... ...
...
...
...
...
{A}={a1 a2 a3 … an}
B
Размер матрицы
a13
a23
...
am 3
b1
b2
b3
...
bm
mxn
2. Действия с матрицами
Наименование
действия
Сложение (вычитание) матриц
Матрицы–
слагаемые должны быть одинакового размера
Умножение матриц на число
Умножение
прямоугольной
матрицы на матрицы–столбец.
Число элементов
(размер) строки
прямоугольной
матрицы равно
размеру матрицы–столбца
Характеристика
(описание) действия
Складываются
(вычитаются) соответствующие элементы
матриц–слагаемых
Каждый элемент матрицы–произведения [B]
равен проиозведению
соответствующего
элемента матрицы [A]
на число α
Каждый элемент
матрицы–произведения
получается путем
умножения элемента
строки αij прямоугольной матрицы на
элемент bj матрицы
столбца
Примеры, обозначения
[C]=[A]±[B]
cij=aij±bij
[B]=α[A]
bij =α aij
[C]=[A]х[B]=
a11
...
a i1
...
a m1
a12
...
ai 2
...
am2
a11b1
a 21b1
...
a m1b1
... a1n
... ...
... ain
... ...
... a m n
a12b2
a 22b2
...
a m 2 b2
... a1n bn
... a 2 n bn
...
...
... a m nbn
cij=aij bj
119
b1
...
bj
...
bn
Окончание табл.2
Наименование
Характеристика
действия
(описание) действия
Умножение
Строки первой матрипрямоугольных цы перемножаются со
матриц
столбцами второй.
Каждый член матрицы–
произведения равен
сумме произведений
элементов строки
первой матрицы
(сомножителя) на соответствующие элементы
столбцов второй
матрицы (сомножителя)
Произведение двух
матриц не обладает
переместительным
свойством:
[A]х[B]≠ [B] х[A]
Транспониро- Замена строк столбцавание матриц
ми и столбцов строками
Примеры, обозначения
a11 a12
a 21 a 22
a31 a32
b11 b12
b21 b22
a11b11 a12b21 a11b12 a12b22
a 21b11 a22b21 a21b12 a 22b22
a31b11 a32b21 a31b12 a32b22
a11b13 a12b23
a 21b13 a22b23
a31b13 a32b23
[A]T – транспонированная
матрица [A]
A
AT
a11
a 21
...
a m1
a12
a 22
...
am2
... a1n
... a 2 n
... ...
... a m n
a 21
a 22
...
a2n
... a m1
... a m 2
... ...
... a m n
a11
a12
...
a1n
([ A] [ B])T
([ A] [ B])T
120
b13
b23
[ A]T [ B]T
[ B]T [ A]T
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.......................................................................................................
1. Определяющие уравнения и расчётные модели механики грунтов.............................................................................................................
1.1. Классификация и физико-механические характеристики грунтов. Строение оснований..................................................................
1.2. Формы расчётных областей, системы координат, правила знаков.......................................................................................................
1.3. Условия предельного состояния грунтов.......................................
1.4. Зависимость между напряжениями и деформациями ..................
1.5. Расчётные модели геотехнических систем....................................
1.5.1. Упрощённые модели.............................................................
1.5.2. Нелинейные модели грунтов................................................
Контрольные вопросы для самопроверки ............................................
2. Метод конечных элементов в механике грунтов..................................
2.1. Теоретические основы МКЭ. Идеи, постулаты.............................
2.2. Матрицы жёсткости конечных элементов.....................................
2.2.1. Общие положения..............................................................
2.2.2. Матрица жёсткости стержневого КЭ...................................
2.2.3. Функции перемещений континуальных КЭ....................
2.2.4. Построение матриц жёсткости континуальных КЭ...........
2.3. Глобальная система уравнений.......................................................
2.3.1. Общая и местная система координат...................................
2.3.2. Формирование уравнений глобальных систем...................
2.3.3. О решении системы уравнений............................................
2.2.4. Завершающие процедуры статического расчёта............
2.4. Специальные конечные элементы..............................................
2.5. Решение физически нелинейных задач средствами МКЭ..........
2.6. Заключительные замечания. Ключевые положения МКЭ........
Контрольные вопросы для самопроверки............................................
3. Смешанная (упругопластическая) задача теорий упругости и пластичности грунтов. Нелинейный расчёт геотехнических объектов...
3.1. Упругопластическая задача для грунтов....................................
3.2. Программное обеспечение. Критерии предельных состояний.................................................................................................
3.3. Примеры решения научно-технических задач...............................
Контрольные вопросы для самопроверки............................................
Заключительные замечания........................................................................
Библиографический список....................................................................
Приложение. Сведения из алгебры матриц..........................................
121
3
5
5
12
14
28
40
40
45
48
50
50
54
54
55
57
64
73
73
74
77
78
79
80
84
85
86
86
98
103
113
114
116
118
Учебное издание
Давид Моисеевич Шапиро
НЕЛИНЕЙНАЯ МЕХАНИКА ГРУНТОВ
Учебное пособие
Редактор Акритова Е.В.
Подписано в печать 20.01.2016 г. Формат 60х84 1/16. Уч.-изд. л. 7,6.
Усл.-печ. л. 7,7. Бумага писчая. Тираж 100 экз. Заказ № 22.
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства учебной литературы
и учебно-методических пособий Воронежского ГАСУ
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
122
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
325
Размер файла
5 083 Кб
Теги
нелинейные, механика, шапиро, грунтов, 667
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа