close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

703.Баркалов С.А. Математические методы и модели в управлении

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»
С.А. Баркалов, С.И. Моисеев, В.Л. Порядина
Математические методы
и модели в управлении
и их реализация в MS EXCEL
Учебное пособие
для студентов специальностей:
080200 «Менеджмент»,
081100 «Государственное и муниципальное управление»,
220100 «Системный анализ и управление»
Воронеж 2015
УДК 30.4(075.8)
ББК 60.823.238
Б 25
Рецензенты:
кафедра автома тизированных и вычислитель ных систем
Воронежского государственного технического университета ;
В.В. Провоторов, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры уравнений
в частных производных Воронежского государственного университета
Б 25
Баркалов, С.А.
Математические методы и модели в управлении и их реализация
в MS Excel : учеб. пособие / С.А. Баркалов, С. И. Моисеев, В.Л. Порядина /
Воронежский ГАСУ. — Воронеж, 2015. — 264 с.
ISBN 978-5-89040-540-1
Рассмотрены экономико-математические методы и модели по основным направлениям исследования операций: методы оптимизации, статистические, эконометрические методы, экономико-финансовые расчеты, методы принятия управленческих решений, элементы теории массового обслуживания, управления запасами, сетевого планирования и другие. Содержит краткий теоретический материал по каждой теме и большое
число подробно разобранных примеров решения типовых задач, в том числе с применением табличного процессора MS Excel.
Издание соответствует требованиям государственных образовательных стандартов по экономическим и управленческим направлениям подготовки бакалавров,
специалистов и магистров и может быть рекомендовано студентам всех форм обучения.
Ил. 103. Табл. 114. Библиогр.: 72 назв.
УДК 330.4(075.8)
ББК 60.823.238
Печатается по решению учебно-методического совета
Воронежского ГАСУ
ISBN 978-5-89040-540-1
© Баркалов С.А., Моисеев С.И.
Порядина В.Л., 2015
© Воронежский ГАСУ, 2015
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ .......................................................................................................................4
ВВЕДЕНИЕ ...............................................................................................................................5
ГЛАВА 1. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЕГО
ЭТАПЫ ...................................................................................................................7
ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ..............................................................................14
2.1. Методы оптимального программирования .................................................................14
2.2. Анализ задачи определения оптимального ассортимента.........................................22
с помощью теории двойственности ....................................................................................22
2.3. Задача о назначениях.....................................................................................................25
2.4. Решение задач многокритериальной оптимизации ...................................................30
2.5. Задания для самостоятельного решения .....................................................................33
ГЛАВА 3. СТАТИСТИКА И ЭКОНОМЕТРИКА ...............................................................40
3.1. Предварительная обработка опытных данных ...........................................................40
3.2. Точечное и интервальное оценивание .........................................................................42
3.3. Проверка статистических гипотез................................................................................46
3.4. Парная регрессия и корреляция ...................................................................................54
3.5. Множественная регрессия и корреляция ....................................................................66
3.6. Временные ряды ............................................................................................................75
3.7. Элементы дисперсионного анализа .............................................................................88
3.8. Задания для самостоятельного решения .....................................................................92
ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ .........................104
4.1. Основные понятия теории принятия решений .........................................................104
4.2. Принятие решений в условиях полной определенности ........................................106
4.3. Экспертное оценивание методом аналитической иерархии...................................112
4.4. Принятие решений в условиях риска ........................................................................119
4.5. Принятие решений в условиях неопределенности..................................................124
4.6. Принятие решений в условиях конфликта ................................................................133
4.7. Задания для самостоятельного решения ...................................................................138
ГЛАВА 5. ЭКОНОМИКО-ФИНАНСОВЫЕ РАСЧЕТЫ ..................................................147
5.1. Простые проценты .......................................................................................................147
5.2. Сложные проценты......................................................................................................155
5.3. Потоки платежей и ренты ...........................................................................................164
5.4. Кредитные расчеты......................................................................................................185
5.5. Оценка эффективности финансовых операций ........................................................193
5.6. Задания для самостоятельного решения ...................................................................210
ГЛАВА 6. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ТЕОРИЯ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ............................................................................................218
6.1. Основы теории случайных процессов .......................................................................218
6.2. Элементы теории массового обслуживания .............................................................231
6.3. Задания для самостоятельного решения ...................................................................250
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .....................................................................................................................254
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .................................................................................255
ПРИЛОЖЕНИЕ .....................................................................................................................260
3
Предисловие
В соответствии с требованиями федеральных государственных образовательных стандартов, студент, обучающийся по направлениям управленческого
профиля, должен обладать знаниями и навыками применения математических
методов и моделей при решении управленческих и экономических задач. Использование математических методов вызывает определенные трудности, особенно при аналитической реализации моделей. Однако в последнее время интенсивно развиваются информационные технологии, позволяющие значительно
облегчить решение и анализ многих математических моделей, в том числе и в
управлении. В реальной практической деятельности, с которой студенты столкнуться после окончания вуза, реализация математических методов и моделей,
как правило, проводится с использованием вычислительной техники с помощью различных программных продуктов. Наиболее популярной и доступной
программой, в которой возможна реализация большинства экономикоматематических методов и моделей, на сегодняшний день, несомненно, является табличный процессор MS Excel. Авторами была поставлена задача - рассмотреть теоретические аспекты основных математических методов и моделей
в управлении и подробно на примерах показать возможности их реализации в
MS Excel.
При подборе материала мы руководствовались следующими принципами:
Давать как можно меньше математической теории (Вы же не математиками выпускаетесь) и как можно больше разъясненных наглядных методов применения математики к решениям экономических и управленческих задач.
Привести как можно больше примеров с пояснениями и выводами.
Если задачу можно решить в EXCEL и это решение проще, чем аналитическое на бумаге, то приводятся примеры решения таких задач именно с
использованием вычислительных средств.
Желаем успехов в освоении материала!
С уважением, коллектив авторов.
4
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие предназначено для изучения дисциплин экономико математического цикла студентами специальностей 080200 «Менеджмент»,
081100 «Государственное и муниципальное управление», 220100 «Системный
анализ и управление».
В работе рассмотрены экономико-математические методы и модели по основным направлениям исследования операций в управлении: методы оптимизации, статистические, эконометрические методы, экономико-финансовые расчеты,
методы принятия управленческих решений, элементы теории массового обслуживания, управления запасами, сетевого планирования и другие. По каждой теме
имеется краткий теоретический материал с примерами решения типовых задач, в
том числе с использованием ЭВМ. В пособии также представлены типовые з адачи по основным темам (30 вариантов), которые можно рекомендовать для
проведения контрольных работ, самостоятельной работы студентов и организ ации промежуточной аттестации.
Целью учебного пособия является:
научить студентов разрабатывать и реализовывать экономикоматематические методы и модели;
дать навыки использования современных информационных технологий
и программных средств при решении задач;
овладение студентами методологией, методами и методиками
применения
экономико-математического
моделирования
и
теории
исследования операций при решении практических задач экономики;
развитие заложенного в студентах научно-исследовательского
компонента в управлении социально-экономическими системами на основе
изучения экономико-математических методов и моделей.
В результате изучения дисциплин на базе данного учебного пособия
студент должен:
знать:
методы оптимизации применительно к задачам различных отраслей
экономики;
статистические и эконометрические модели и методы;
модели и механизмы принятия управленческих решений;
вычислительные методы ведения финансовых операций;
методы моделирования экономических систем с помощью математического аппарата теории случайных процессов;
методы теории массового обслуживания;
уметь:
решать задачи построения календарного плана с минимальной пр одолжительностью проекта, используя алгоритм построения;
5
применять метод дихотомического программирования к построению
календарного плана с минимальными затратами, при определении оптимального объема субподрядных работ;
решать задачу оптимального размещения единиц проектирования во
времени;
применять задачу о камнях к оптимальному размещению работ между
подразделениями проектной организации;
определять оптимальную очередность выполнения работ с учетом времени перемещения бригад для симметричной и несимметричной транспортных
схем;
применять метод ветвей и границ для решения задачи определения о птимальной очередности выполнения работ с учетом времени перемещения бр игад для линейной транспортной схемы.
владеть:
навыками организации и проведения научных исследований в области
экономико-математического моделирования и исследования операций;
навыками решения задач с помощью современного информационнотехнического обеспечения и информационных технологий;
навыками применения статистических и эконометрических методов к
практическим задачам микро- и макроэкономики;
алгоритмами финансовых расчетов.
Учебное пособие можно рекомендовать также как руководство по написанию курсовых и дипломных работ в области применения экономикоматематических методов и моделей.
6
ГЛАВА 1. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЕГО ЭТАПЫ
Экономико-математическое моделирование является неотъемлемой
частью любого исследования в области управления. Бурное развитие
математического анализа, исследования операций, теории вероятностей и
математической статистики способствовало формированию различного рода
моделей управления.
Математические модели экономических процессов и явлений более кратко
можно назвать экономико-математическими моделями. Для классификации этих
моделей используются разные основания.
По целевому назначению экономико-математические модели делятся на
теоретико-аналитические, используемые в исследованиях общих свойств и
закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в
решении конкретных экономических задач (модели экономического анализа,
прогнозирования, управления).
Экономико-математические модели могут предназначаться для исследования разных сторон народного хозяйства (в частности, его производственнотехнологической, социальной, территориальной структур) и его отдельных ч астей. При классификации моделей по исследуемым экономическим процессам
и содержательной проблематике можно выделить модели народного хозяйства
в целом и его подсистем — отраслей, регионов и т. д., комплексы моделей производства, потребления, формирования и распределения доходов, трудовых р есурсов, ценообразования, финансовых связей и т. п.
Остановимся более подробно на характеристике таких классов экономико-математических моделей, с которыми связаны наибольшие особенности методологии и техники моделирования.
В соответствии с общей классификацией математических моделей они
подразделяются на функциональные и структурные, а также включают промежуточные формы (структурно-функциональные). В исследованиях на народнохозяйственном уровне чаще применяются структурные модели, поскольку для
планирования и управления большое значение имеют взаимосвязи подсистем.
Типичными структурными моделями являются модели межотраслевых
связей. Функциональные модели широко применяются в экономическом регулировании, когда на поведение объекта («выход») воздействуют путем изменения «входа». Примером может служить модель поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений.
Один и тот же объект может описываться одновременно и структурой, и
функциональной моделью. Так, например, для планирования отдельной отраслевой системы используется структурная модель, а на народнохозяйственном
уровне каждая отрасль может быть представлена функциональной моделью.
7
Существуют модели дескриптивные и нормативные. Дескриптивные модели отвечают на вопрос: как это происходит или как это вероятнее всего может
дальше развиваться? То есть они только объясняют наблюдаемые факты или дают вероятный прогноз. Нормативные модели отвечают на вопрос: как это должно быть? То есть они предполагают целенаправленную деятельность. Типичным
примером нормативных моделей являются модели оптимального планирования,
формализующие тем или иным способом цели экономического развития, возможности и средства их достижения.
Применение дескриптивного подхода в моделировании экономики объясняется необходимостью эмпирического выявления различных зависимостей в
экономике, установления статистических закономерностей экономического поведения социальных групп, изучения вероятных путей развития каких-либо
процессов при неизменяющихся условиях или протекающих без внешних воздействий.
Примерами дескриптивных моделей являются производственные функции и функции покупательского спроса, построенные на основе обработки статистических данных.
Является ли экономико-математическая модель дескриптивной или нормативной зависит не только от ее математической структуры, но от характера
использования этой модели. Например, модель межотраслевого баланса дескриптивна, если она используется для анализа пропорций прошлого периода.
Но эта же математическая модель становится нормативной, когда она применяется для расчетов сбалансированных вариантов развития народного хозяйства,
удовлетворяющих конечные потребности общества при плановых нормативах
производственных затрат.
Многие экономико-математические модели сочетают признаки дескриптивных и нормативных моделей. Типична ситуация, когда нормативная модель
сложной структуры объединяет отдельные блоки, которые являются частными
дескриптивными моделями. Например, межотраслевая модель может включать
функции покупательского спроса, описывающие поведение потребителей при
изменении доходов. Подобные примеры характеризуют тенденцию эффективного сочетания дескриптивного и нормативного подходов к моделированию
экономических процессов. Дескриптивный подход широко применяется в имитационном моделировании.
По характеру отражения причинно-следственных связей различают модели
жестко детерминистские и модели, учитывающие случайность и неопределенность. Необходимо различать неопределенность, описываемую вероятностными
законами, и неопределенность, для описания которой законы теории вероятностей
неприменимы. Второй тип неопределенности гораздо более сложен для моделирования.
По способам отражения фактора времени экономико-математические модели делятся на статические и динамические. В статических моделях все зависимо8
сти относятся к одному моменту или периоду времени. Динамические модели характеризуют изменения экономических процессов во времени. По длительности
рассматриваемого периода времени различаются модели краткосрочного (до года), среднесрочного (до 5 лет), долгосрочного (10–15 и более лет) прогнозирования и планирования. Само время в экономико-математических моделях может изменяться либо непрерывно, либо дискретно.
Модели экономических процессов чрезвычайно разнообразны по форме
математических зависимостей. Особенно важно выделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений и получивших вследствие
этого большое распространение.
Различия между линейными и нелинейными моделями существенны не
только с математической точки зрения, но и в теоретико-экономическом отношении, поскольку многие зависимости в экономике носят принципиально нелинейный характер: эффективность использования ресурсов при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при росте доходов и т. п.
Теория линейной экономики существенно отличается от теории нелинейной
экономики. От того, предполагаются ли множества производственных возможностей подсистем (отраслей, предприятий) выпуклыми или же невыпуклыми,
существенно зависят выводы о возможности сочетания централизованного планирования и хозяйственной самостоятельности экономических подсистем.
По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в
модель, они могут разделяться на открытые и закрытые. Полностью открытых
моделей не существует; модель должна содержать хотя бы одну эндогенную
переменную. Полностью закрытые экономико-математические модели, т. е. не
включающие экзогенных переменных, исключительно редки; их построение
требует полного абстрагирования от «среды», т. е. серьезного огрубления реальных экономических систем, всегда имеющих внешние связи. Подавляющее
большинство экономико-математических моделей занимает промежуточное
положение и различается по степени открытости (закрытости).
Для моделей народнохозяйственного уровня важно деление на агрегир ованные и детализированные.
В зависимости от того, включают ли народнохозяйственные модели пространственные факторы и условия или не включают, различают модели пространственные и точечные.
Таким образом, общая классификация экономико-математических моделей включает более десяти основных признаков. С развитием экономикоматематических исследований проблема классификации применяемых моделей
усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей (особенно смешанных
типов) и новых признаков их классификации осуществляется процесс интегр ации моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.
9
В различных отраслях знаний, в том числе и в экономике, основные этапы процесса моделирования приобретают свои специфические черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла экономикоматематического моделирования.
1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. Главное здесь — четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включ ает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез (хотя бы предвар ительных), объясняющих поведение и развитие объекта.
2. Построение математической модели. Это — этап формализации экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т. д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем
уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Таким образом, построение модели подразделяется в
свою очередь на несколько стадий.
Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она
лучше «работает» и дает лучшие результаты. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических
зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопр еделенности и т. д.
Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного
и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с
получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта).
Одна из важных особенностей математических моделей — возможность
их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже
сталкиваясь с новой экономической задачей, не нужно стремиться «изобретать»
модель; вначале необходимо попытаться применить для решения этой задачи
уже известные модели.
В процессе построения модели осуществляется взаимосопоставление
двух систем научных знаний — экономических и математических. Естественно
стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается сделать путем некоторого
упрощения исходных предпосылок модели, не искажающих существенных черт
моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранее математической
структуре. Потребности экономической науки и практики в середине ХХ в.
способствовали развитию математического программирования, теории игр,
10
функционального анализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что
в будущем развитие экономической науки станет важным стимулом для создания новых разделов математики.
3. Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы
исследования. Наиболее важный момент — доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает и следует
скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственно ли решение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между
ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т. д. Аналитическое исследование
модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество,
что получаемые выводы сохраняют свою силу при конкретных различных значениях внешних и внутренних параметров модели.
Знание общих свойств модели столь важно, что часто ради доказательства
подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все же модели сложных экономических объектов с большим
трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения
модели приводят к недопустимым результатам, переходят к численным методам исследования.
4. Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности
получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для
практического использования. При этом принимаются во внимание не только
принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки),
но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов.
Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.
В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном
экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.
5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для
численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непоср едственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены, прежде всего,
большой размерностью экономических задач, необходимостью обработки
значительных массивов информации.
11
Обычно расчеты по экономико-математической модели носят многовариантный характер. Благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ
удается проводить многочисленные «модельные» эксперименты и изучить «поведение» модели при различных изменениях некоторых условий. Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач, которые можно решать
численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.
6. Анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних.
Математические методы проверки могут выявлять некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей.
Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки
экономической задачи, сконструированной математической модели, ее инфо рмационного и математического обеспечения.
Уже на этапе построения модели может выясниться, что постановка з адачи противоречива или приводит к слишком сложной математической модели. В соответствии с этим исходная постановка задачи корректируется. Далее
математический анализ модели (этап 3) может показать, что небольшая модификация постановки задачи или ее формализации дает интересный аналитич еский результат.
Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает при подготовке исходной информации (этап 4). Может
обнаружиться, что необходимая информация отсутствует или же затраты на ее
подготовку слишком велики. Тогда приходится возвращаться к постановке задачи и ее формализации, изменяя их так, чтобы приспособиться к имеющейся
информации.
Поскольку экономико-математические задачи могут быть сложны по своей структуре, иметь большую размерность, то часто случается, что известные
алгоритмы и программы для ЭВМ не позволяют решить задачу в первоначальном виде. Если невозможно в короткий срок разработать новые алгоритмы и
программы, исходную постановку задачи и модель упрощают: снимают и объединяют условия, уменьшают число факторов, нелинейные соотношения заменяют линейными, усиливают детерминизм модели и т. д.
Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Но результаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с построения простой модели, можно быстро получить полезные результаты, а затем пе12
рейти к созданию более совершенной модели, дополняемой новыми условиями,
включающей уточненные математические зависимости.
По мере развития и усложнения экономико-математического моделирования его отдельные этапы обособляются в специализированные области исследований, усиливаются различия между теоретико-аналитическими и прикладными моделями, происходит дифференциация моделей по уровням абстракции и идеализации.
Теория математического анализа моделей экономики развилась в особую
ветвь современной математики — математическую экономику. Модели, изучаемые в рамках математической экономики, теряют непосредственную связь с
экономической реальностью; они имеют дело с исключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями. При построении таких моделей главным принципом является не столько приближение к реальности, сколько получение возможно большего числа аналитических результатов посредством математических доказательств. Ценность этих моделей для экономической теории и практики состоит в том, что они служат теоретической базой для
моделей прикладного типа.
Довольно самостоятельными областями исследований становятся подготовка и обработка экономической информации и разработка математического
обеспечения экономических задач (создание баз данных и банков информации,
программ автоматизированного построения моделей и программного сервиса
для экономистов-пользователей). На этапе практического использования моделей ведущую роль должны играть специалисты в соответствующей области
экономического анализа, планирования, управления. Главным участком работы
экономистов-математиков остается постановка и формализация экономических
задач и синтез процесса экономико-математического моделирования.
13
ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
В чем заключается работа управленца? Если очень кратко, то создать
такие условия, чтобы организация, в которой трудится управленец, получила
максимум прибыли, рентабельности, производительности труда, минимум
издержек, себестоимости, затрат и т. д. То есть имеется некоторый итоговый
показатель, для которого нужно добиться максимального или минимального
(оптимального) значения. Математические методы решения подобных задач
называются методами оптимизации. Рассмотрим некоторые из них.
2.1. Методы оптимального программирования
Оптимальное
программирование
—
область
математики,
разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных
экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции
многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.
Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях
экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности
или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются
в виде системы ограничений. Все это составляет математическую модель. Математическая модель задачи — это отражение оригинала в виде функций,
уравнений, неравенств, цифр и т. д. Модель задачи математического программирования включает:
1) совокупность неизвестных величин, действуя на которые, систему
можно совершенствовать. Их называют планом задачи (вектором управления,
решением, управлением, стратегией, поведением и др.);
2) целевую функцию (функцию цели, показатель эффективности, критерий оптимальности, функционал задачи и др.). Целевая функция позволяет
выбрать наилучший из множества возможных вариантов. Наилучший вариант
доставляет целевой функции экстремальное значение. Это могут быть: прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень обслуживания или дефицитности, число комплектов, отходы
и т. д.
Эти условия следуют из ограниченности ресурсов, которыми располагает
общество в любой момент времени, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов.
Ограниченными являются не только материальные, финансовые и трудовые ресурсы. Таковыми могут быть возможности технического, технологического и
вообще научного потенциала. Нередко потребности превышают возможности
их удовлетворения. Математически ограничения выражаются в виде уравнений
и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений (область экономических возможностей). План, удовлетворяющий системе огра14
ничений задачи, называется допустимым. Допустимый план, доставляющий
функции цели экстремальное значение, называется оптимальным. Оптимальное решение, вообще говоря, не обязательно единственно, возможны случаи,
когда оно не существует, имеется конечное или бесчисленное множество оптимальных решений. Линейное программирование — раздел оптимального программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума
линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных
ограничениях, налагаемых на переменные.
Задачи оптимального и в том числе линейного программирования решаются в EXCEL с помощью специальной надстройки «Поиск решения» («Solver
Add – in1»). Рассмотрим решение таких задач на примерах. Сначала рассмотрим
общую методику решения оптимизационных задач на ЭВМ, а затем перейдем к
конкретным экономическим задачам.
ПРИМЕР 2.1.1. Решить на ЭВМ задачу линейного программирования,
которая имеет вид
2 x1 3 x 2 x 3
max;
3 x1
x2
x3
2 x1
4x2
x3
3x2
4x3
5;
17 ;
15 ;
x 1, 2, 3 0; x 1 целое .
РЕШЕНИЕ. Предварительно необходимо в электронной таблице подготовить исходные данные. Для этого, запустив MS Excel, выделим первую
строчку под переменные. В ячейке А1 введем подпись «Переменные» и назначим под переменные x 1 , x 2 , x 3 ячейки В1, С1 и D1. Введем в эти ячейки любые
произвольные числа, например единицы. Во второй строке определим целевую
функцию. В ячейке А2 введем подпись «Целевая» и в соседней В2 введем формулу, зависящую от переменных «=2*В1+3*С1–D1» (для ввода ссылок на
ячейку достаточно щелкнуть мышью по ней, кавычки не вводить). Нажав Enter,
получим результат 4. В третью строку вводим левые части основной системы
ограничений. В А3 вводим подпись «Ограничения» и в В3 ставим курсор и
вводим в виде формулы левую часть ограничения 3 x 1 x 2 x 3 17 :
«=3*В1+С1–D1». Аналогично в ячейки С3 и D3 вводим левые части других
ограничений соответственно: «=2*В1+4*С1+D1» и «=3*С1–4*D1». Подготовительный этап закончен.
Вызываем надстройку ПОИСК РЕШЕНИЯ (Solver Add – in). При работе в
«EXCEL 2003» или ранней версии заходим в меню СЕРВИС, выбираем
НАДСТРОЙКИ и проверяем наличие флажка напротив «Поиск решения»,
1
Здесь и далее названия элементов программы приведены и на английском языке.
15
«ОК», заходим вновь в меню СЕРВИС, выбираем ПОИСК РЕШЕНИЯ. При работе в «EXCEL 2007» или более поздней версии нажимаем левой кнопкой мыши по круглой кнопке “Office” в верхнем левом углу экрана или заходим в меню «Файл» (для версии 2010 и выше), внизу выбираем «Параметры Excel», слева выбираем НАДСТРОЙКИ, нажимаем кнопку «Перейти» внизу окна и в открывшемся окне проверяем наличие флажка напротив «Поиск решения», «ОК».
В меню ДАННЫЕ выбираем ПОИСК РЕШЕНИЯ.
Откроется окно поиска решения. В нем ставим окно в поле «Установить
целевую»
(Set
Target
Cell)
и
далее
щелкаем
мышью по ячейке В2 с целевой функцией. В окне появится $B$2. Далее проверяем, что флажок ниже поля стоит напротив надписи «Равной максимальному
значению» (Equal to … Max … Value of: ). После ставим курсор в поле «Изменяя ячейки» (By Changing Cell) и обводим ячейки с переменными В1, С1 и D1.
В поле появится $B$1:$D$1. В нижней части окна находится поле «Ограничения» (Subject to the Constraints). Для того чтобы ввести ограничения, нажимаем
кнопку «Добавить» (Add), откроется окно «Добавление ограничения» (Add
Constraints). В левом поле «Ссылка на ячейку» (Cell Reference) вводим ссылку
на левую часть первого ограничения — ячейку В3, в центральном окне определяем знак и в правом «Ограничения» (Constraints) набираем правую часть
ограничения — число 17. Нажимаем «ОК», видим, что ограничение появилось
в окне. Нажимаем вновь «Добавить» (Add), вводим «С3» « « и «15». Вновь
нажимаем «Добавить» (Add), вводим «D3» « « и «5». Для ввода дополнительных ограничений x1, 2,3 0; x1 целое. Вновь нажимаем «Добавить» (Add), ставим курсор в левое поле и обводим ячейки В1, С1 и D1 (результат $B$1:$D$1),
в среднем окне ставим « » и в правом число 0. Снова «Добавить» (Add), в левое
поле вводим В1, а в центральном выбираем «цел.» (int.). В правом окне появится «целое» (integer). Все ограничения введены. Для запуска вычислений нажимаем кнопку «Выполнить» (Solve). Появляется надпись, что решение найдено
(Solver Found a Solution). Выбираем «Сохранить найденное решение» (Keep
Solver Solution) и «ОК», получаем результат: в ячейках В1, С1 и D1 видны значения переменных x 1 , x 2 , x 3 , соответствующие оптимальному решению: 4; 1,75
и 0.
В ячейке В2 — значение целевой функции: 13,25.
ПРИМЕР 2.1.2. Найти максимум функции Z 3 x12 4 x 2 3 x 33 при ограничениях:
4 x 1 3 x 2 2 x 3 8;
x 1, 2, 3 0; x 1, 2, 3 целые .
РЕШЕНИЕ. Вводим на отдельном листе в ячейки от А1 до С1 произвольные значения, например единицы. В ячейку А2 вводим целевую функцию
16
«=3*A1*A1–4*B1+3*C1*C1*C1» (кавычки не вводить), в ячейку А3 вводим
левую часть основного ограничения «=4*A1+3*B1+2*C1». Вызываем, как в
предыдущем примере, «Поиск решения (Solver…)». Ссылка на целевую ячейку
(Set Target Cell) — А2, стремится к максимуму. Изменяемые ячейки (By Changing Cell) — А1–С1. Ограничения (Subject to the Constraints): $А$3 8;
$A$1:$C$1 0; $A$1:$C$1 — целое (int). Запуская надстройку, получаем оптимальное решение: x 1* 0; x 2* 0; x 3* 4 . Целевая функция при этом равна
Z * 192 .
ПРИМЕР 2.1.3. Рассмотрим решение ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО АССОРТИМЕНТА ПРОДУКЦИИ.
Фирма производит и продает два типа товаров. Фирма получает прибыль
в размере 12 тыс. р. от производства и продажи каждой единицы товара 1 и в
размере 4 тыс. р. от производства и продажи каждой единицы товара 2. Фирма
состоит из трех подразделений. Затраты труда (чел.-дни) на производство этих
товаров в каждом из подразделений указаны в табл. 2.1.1.
Таблица 2.1.1
Трудозатраты, чел.-дней на 1 шт.
товар 1
товар 2
1
2
1
3
2
3
Подразделение
1
2
3
Руководство рассчитало, что в следующем месяце фирма будет располагать следующими возможностями обеспечения производства трудозатратами:
800 чел.-дней в подразделении 1; 600 — в подразделении 2 и 2000 — в подразделении 3. Сколько единиц товара 1 и товара 2 нужно выпустить, чтобы суммарная полученная прибыль была максимальна?
РЕШЕНИЕ. Для решения задачи составляем математическую модель.
Пусть x1 — количество товара 1, x 2 — количество товара 2. Целевая функция и
ограничения имеют вид
12 x 1
4x 2
max;
x1
2x 2
800 ;
x1
3x 2
600 ;
2x 1
x 1, 2
3x 2
0 ; x 1, 2
17
2000 ;
целое .
Вводим на новом листе в А1 слово «Переменные», в В1 и С1 вводим единицы, в А2 слово «Целевая», в В2 «=12*B1+4*C1», в А3 слово «Ограничения»,
в В3 «=B1+2*C1», в С3 «=B1+3*C1», в D3 «=2*B1+3*C1». Вызываем «Поиск
решения (Solver…)». В поле «Установить целевую» (Set Target Cell) делаем
ссылку на В2. Далее нужно проверить, что флажок ниже поля стоит напротив
надписи «Равной максимальному значению» (Equal to … Max … Value of:). После ставим курсор в поле «Изменяя ячейки» (By Changing Cell) и обводим ячейки с переменными В1 и С1. В нижней части окна находится поле «Ограничения» (Subject to the Constraints). Для того чтобы ввести ограничения, нажимаем
кнопку «Добавить» (Add), откроется окно «Добавление ограничения» (Add
Constraints). В левом поле «Ссылка на ячейку» (Cell Reference) вводим ссылку
на левую часть первого ограничения — ячейку В3, в центральном окне определяем знак и в правом «Ограничения» (Constraints) набираем правую часть
ограничения — число 800. Нажимаем «ОК», видим, что ограничение появилось
в окне. Нажимаем вновь «Добавить» (Add), вводим «С3» « « и «600». Вновь
нажимаем «Добавить» (Add), вводим «D3» « « и «2000». Для ввода дополнительных ограничений x1, 2 0; x1, 2 целое вновь нажимаем «Добавить» (Add),
ставим курсор в левое поле и обводим ячейки В1 и С1, в среднем окне ставим
« « и в правом число 0. Снова «Добавить» (Add), в левом поле обводим В1 и
С1, а в центральном выбираем «цел.» (int.). В правом окне появится «целое»
(integer). Все ограничения введены. Для запуска вычислений нажимаем кнопку
«Выполнить» (Solve). Появляется надпись, что решение найдено (Solver Found
a Solution). Выбираем «Сохранить найденное решение» (Keep Solver Solution) и
«ОК», видим результат: в ячейках В1, С1 приведены значения переменных
x1 , x2 , соответствующие оптимальному решению: 600 и 0. В ячейки В2 — значение целевой функции: 7200. Следовательно, оптимально выпускать товар 1 в
количестве 600 единиц, а товар 2 не выпускать. Ожидается прибыль 7200
тыс. р.
ПРИМЕР 2.1.4. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА.
Приведем решение транспортной задачи. Компания «Стройгранит» производит добычу строительной щебенки и имеет на территории региона три карьера. Запасы щебенки на карьерах соответственно равны 800, 900 и 600 тыс.
тонн. Четыре строительные организации, проводящие строительные работы на
разных объектах этого же региона, дали заказ на поставку соответственно 300,
600, 650 и 500 тыс. тонн щебенки. Стоимость перевозки 1 тыс. тонн щебенки с
каждого карьера на каждый объект приведены в табл. 2.1.2.
Необходимо составить такой план перевозки (количество щебенки, перевозимой с каждого карьера на каждый строительный объект), чтобы суммарные
затраты на перевозку были минимальными.
18
Таблица 2.1.2
Карьер
1
2
3
1
8
3
13
Строительный объект
2
3
4
1
2
7
5
11
4
7
3
8
РЕШЕНИЕ. Данная транспортная задача является открытой, так как запасы поставщиков 800 + 900 + 600 = 2300 больше спроса потребителей
300 + 600 + 650 + 500 = 2050. Математическая модель ЗЛП в данном случае
имеет вид
x ij ; i 1,2,3; j 1,2,3, 4 — количество щебенки, перевозимой с i-го карьера
на j-й объект. Тогда целевая функция равна
8 x 11 4 x 12 x 13 7 x 14 3 x 21 2 x 22 7 x 23 3 x 24
13 x 31 5 x 32 11 x 33 8 x 34
min .
Ограничения имеют вид
x 11 x 12 x 13 x 14 800 ;
x 21 x 22 x 23 x 24 900 ;
x 31 x 32 x 33 x 34 600 ;
x 11 x 21 x 31 300 ;
x 12 x 22 x 32 600 ;
x 13 x 23 x 33 650 ;
x 14 x 24 x 34 500 ;
x ij 0 .
Решение проводится по аналогии с предыдущими примерами. Следует
отметить, что в задаче число переменных, для которых проводится решение,
равно 3 × 4 = 12, поэтому для исключения ошибок ввода данных стоит ввести
переменные xil не в строку, а в прямоугольную таблицу из 3-х строк и 4-х
столбцов, а затем при вводе ограничений использовать строки и столбцы этой
таблицы.
Рассмотрим задачу оптимального распределения денежных средств между инвестиционными проектами.
Пусть некоторый инвестор имеет n пакетов денежных средств, которые
он хочет вложить в том или ином количестве в один или несколько из k проектов. Пусть все денежные пакеты равны, причем инвестировать пакеты в проекты можно кратно одному. Также допустим, что в один проект можно инвестировать не более m пакетов. В результате инвестирования каждый проект, полу19
чивший средства, через определенный период времени принесет инвестору
прибыль, которая зависит от числа вложенных в проект финансовых пакетов.
Пусть aij — прибыль, полученная инвестором от j-го проекта при условии, что в него было вложено i финансовых пакетов (i = 0, 1, …, m;
j = 1, 2, … , k). Назовем А = aij матрицей прибылей, причем ее элементы не обязательно должны быть целыми. Очевидно, что a0j = 0. Необходимо так распределить финансовые пакеты по проектам, чтобы суммарная прибыль (равная
сумме прибылей от каждого проекта) была максимальна.
Введем переменные:
1, если в j - й проект вложено не менее i финансовых пакетов;
xij
0, если в j - й проект вложено менее i финансовых пакетов,
i = 1,2, …, m; j = 1, 2, …, k.
Для построения целевой функции введем матрицу эффективности
A
aij aij ai 1, j , которая имеет смысл дополнительной прибыли, полученной от вложения в j-й проект одного дополнительного инвестиционного пакета. Для решения введем еще одну матрицу x ij x ij x i 1, j , i = 2, 3, …, m;
j = 1, 2, …, k. Модель задачи будет иметь вид
m
k
a ij x ij
max;
1; x ij
0; x ij
i 1j 1
m
k
x ij
n;
i 1j 1
x ij
0; x ij
целое .
*
При нахождении переменных xij при оптимальном решении инвестиции
*
j
I , дающие наибольшую прибыль, будут равны I
*
j
m
x ij* .
i 1
ПРИМЕР 2.1.5. Инвестору предложили вложить имеющиеся средства в
количестве 12 д. е. в один или несколько из 5 имеющихся проектов, кратно одной д. е., но не более 7 д. е. в один проект. Матрица прибылей А приведена в
табл. 2.1.3.
Таблица 2.1.3
j
i
7
6
5
1
Проекты
2
3
4
5
23
20
19
23
22
19
22
21
20
22
21
20
20
24
22
21
4
3
2
1
18
13
9
6
17
14
10
5
16
15
11
4
17
14
10
5
18
13
9
7
0
0
0
0
0
0
Как оптимально распределить денежные средства по проектам так, чтобы
суммарная прибыль была максимальной (решить на ЭВМ)?
РЕШЕНИЕ. Открываем лист электронной таблицы EXCEL и вводим исходные данные согласно рис. 2.1.1.
Рис. 2.1.1
Исходные данные содержат матрицу А, взятую из условия, матрицу переменных х, значения которых могут быть любыми числами, на рис. 2.1.1 это
единицы, остальные матрицы рассчитываем. Ставим курсор в ячейку I5 и вводим в нее формулу «=B5–B6». Автозаполнением распространяем эту формулу
на всю таблицу, то есть на ячейки I5–M11. Ставим курсор в I15 и вводим формулу «=B15–B16». Автозаполнением распространяем эту формулу на всю таблицу, то есть на ячейки I15–M20. Вводим целевую функцию и сумму переменных. Ставим курсор в В23 и вводим функцию «=СУММПРОИЗВ»
(I5:M11;B15:F21), а затем ставим курсор в D23 и вводим «=СУММ(B15:F21)»,
где функции «суммпроизв» и «сумм» можно вызвать с помощью мастера функций в категории «Математические».
21
Вызываем надстройку ПОИСК РЕШЕНИЯ (Solver Add – in). При работаете в «EXCEL 2003» или ранней версии заходим в меню СЕРВИС, выбираем
НАДСТРОЙКИ и проверяем наличие флажка напротив «Поиск решения»,
«ОК», заходим вновь в меню СЕРВИС, выбираем ПОИСК РЕШЕНИЯ. Если Вы
работаете в «EXCEL 2007» или более поздней версии, то нажимаем левой
кнопкой мыши по круглой кнопке “Office” в верхнем левом углу экрана, внизу
выбираем «Параметры Excel», слева выбираем НАДСТРОЙКИ, нажимаем
кнопку «Перейти» внизу окна и в открывшемся окне проверяем наличие флажка напротив «Поиск решения», «ОК». В меню ДАННЫЕ выбираем ПОИСК
РЕШЕНИЯ.
В открывшемся окне ставим курсор в поле «Установить целевую» (Set
Target Cell), щелкаем мышью по ячейке В23 с целевой функцией. Далее проверяем, что флажок ниже поля стоит напротив надписи «Равной максимальному
значению» (Equal to … Max … Value of:). После ставим курсор в поле «Изменяя
ячейки» (By Changing Cell) и обводим ячейки с переменными В15–F21.
Для того чтобы ввести ограничения, нажимаем кнопку «Добавить» (Add),
открывается окно «Добавление ограничения» (Add Constraints). В левом поле
«Ссылка на ячейку» (Cell Reference) вводим ссылку на левую часть первого
ограничения — обводим ячейки I15-M20, в центральном окне определяем знак
и в правом «Ограничения» (Constraints): 0. Нажимаем вновь «Добавить» (Add),
обводим диапазон «В15:F21», « « и «1». Нажимаем «Добавить» (Add), вводим
«В15:F21», «≥» и «0». Вновь «Добавить» (Add), «В15:F21», в среднем поле выбираем «цел.» (в правом появится «целое»). Выбираем «Добавить» (Add), вводим «D23», « « и «E1».
Для запуска вычислений нажимаем кнопку «Выполнить» (Solve). Через
некоторое время появляется надпись, что решение найдено (Solver Found a Solution). Выбираем «Сохранить найденное решение» (Keep Solver Solution) и
«ОК». На последнем этапе ставим курсор в I23 и вводим функцию
«=СУММ(B15:B21) », автозаполняем результат на I23–М23. Видим результат в
ячейках I23–M23. Он говорит о том, что оптимальное вложение средств — 4 в
первый проект, по 2 во второй и третий, 3 в четвертый и 1 д. е. в пятый. Целевая
функция, равная суммарной прибыли при оптимальном решении, равна 60 д. е.
2.2. Анализ задачи определения оптимального ассортимента
с помощью теории двойственности
Теория двойственности — раздел линейного программирования, изучающий методы влияния коэффициентов целевой функции и ограничений на р ешение. Они позволяют более глубоко анализировать задачи линейного пр ограммирования различных видов. Суть теории двойственности можно найти в
любом учебнике по линейному программированию, а здесь рассмотрим один из
22
наиболее важных примеров — анализ задачи определения оптимального ассортимента выпускаемой продукции на предприятии.
ПРИМЕР 2.2.1. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, затрачивая на это три вида ресурсов: Труд, Сырье и Оборудование. Прочие условия
приведены в табл. 2.2.1.
Составить прямую и двойственную задачу, провести анализ решения.
Таблица 2.2.1
Ресурсы
Труд
Сырье
Оборудование
Прибыль на ед.
продукции
Затраты ресурсов на ед.
продукции
продукция А
продукция В
2
4
4
1
2
1
40
Наличие
ресурсов
2000
1400
800
60
РЕШЕНИЕ. Пусть x 1 — количество продукции А, x 2 — количество
продукции В. Математическая модель прямой ЗЛП имеет вид
40 x 1
60 x 2
max;
2x 1
4x 2
2000 ;
4x 1
x2
1400 ;
2x 1
x2
800 ;
x 1 0; x 2 0 .
После решения задачи (решите ее самостоятельно на ЭВМ) получаем оптимальные значения переменных x 1* 200 , x 2* 400 , целевая функция при
этом равна 32000. Таким образом, рационально выпускать 200 единиц продукции А и 400 единиц продукции В, при этом суммарная прибыль составит 32000.
Составляем двойственную задачу. Введем переменные y 1 , y 2 , y 3 , которые назовем двойственными оценками ресурсов Труд, Сырье и Оборудование
соответственно. Они имеют смысл предельных стоимостей единицы каждого
вида сырья в случае, если предприятие решит реализовать его вместо готовой
продукции. Тогда математическая модель двойственной задачи есть
2000 y1 1400 y2
2 y1
4 y2
4 y1
y2
y1, 2,3
0.
2 y3
y3
23
800 y3
40;
60;
min;
Решив ЗЛП на ЭВМ (проделать это самостоятельно, перейдя на новый
лист
электронной
таблицы
Excel),
получаем
результаты:
y 1* 40 3 ; y 2* 0; y 3* 20 3 . Целевая функция, как и должно быть, совпадает с оптимальным значением прямой ЗЛП и составляет 32000. Оптимальные
значения переменных также позволяют определить оценки ценности ресурсов.
Дефицитный ресурс, полностью используемый в оптимальном плане, имеет положительную ценность (оптимальное значение соответствующей переменной
положительное). Недефицитный ресурс имеет нулевую ценность, в нашем примере это Сырье, т. к. y 2* 0 . В результате производства недефицитные ресурсы
остаются, а дефицитные вырабатываются полностью. Среди дефицитных р есурсов более ценным является тот, у которого двойственная оценка выше. В
нашем примере Труд дефицитнее, чем Оборудование, т. к. 40 3 20 3 . Двойственные оценки также позволяют определять целесообразность включения в
ассортимент новых видов продукции. Для решения задачи нужно рассчитать
сумму произведений затрат производственных ресурсов a i на их двойственные
оценки S
a i y i* . Эта сумма имеет смысл общих затрат на производство, ее
i
сравнивают с прибылью С, полученной от реализации единицы этой продукции. Если S C , то данную продукцию производить не выгодно. Например,
предприятие планирует выпускать еще два изделия С и D. Затраты ресурсов и
прибыль приведены в табл. 2.2.2.
Таблица 2.2.2
Ресурс
Труд
Сырье
Оборудование
Прибыль на одно изделие, С
Оценки ценности
ресурсов
40/3
0
20/3
Затраты ресурсов, a i
изделие С
изделие D
6
4
2
1
3
1
80
70
Для изделия С:
40
20
6 0 2
3 100 , C 80 , S
3
3
С выпускать не выгодно. Для изделия D:
S
S
40
20
180
4 0 1
1
3
3
3
C , следовательно, продукцию
60 , C 70 , S
следовательно, продукцию D выпускать выгодно.
24
C,
2.3. Задача о назначениях
Задача о назначениях является типичным примером оптимального принятия управленческих решений. Эта задача позволяет распределить объекты из
некоторого множества по группе субъектов из другого множества, и это распределение должно соответствовать оптимальности одного или нескольких
итоговых показателей.
Рассмотрим несколько примеров задач.
Организуется рекламная акция, в которой участвуют некоторое количество промоутеров. Мероприятия нужно провести в нескольких районах города.
Как распределить промоутеров по районам, чтобы эффективность акции была
максимальной?
На предприятии в цехе работают несколько рабочих, которым необходимо изготовить какое-то количество деталей разного вида. Каждый рабочий изготавливает разного вида детали с разным процентом брака. Как распределить
заказ деталей по рабочим, чтобы суммарный процент брака был минимален?
Через отдел подготовки крупного издательства проходит множество р укописей книг. Эти рукописи необходимо распределять между сотрудниками.
Каждая рукопись может быть охарактеризована оценками по таким критериям,
как важность, срочность выполнения, тематика. В свою очередь, сотрудники
могут быть охарактеризованы оценками по таким критериям, как качество р аботы, индивидуальная «пропускная способность», предпочитаемая тематика и
т. д. Необходимо так распределить рукописи среди сотрудников, чтобы получить приемлемое качество выполнения всех работ при минимальных ресурсных
затратах.
Большая фирма переезжает в новое здание. Возникает необходимость
распределить сотрудников по помещениям. С одной стороны, каждый сотрудник выдвигает определенные требования к своим соседям (например, предпочитает некурящих) и к расположению комнаты (например, вблизи от коллег по
совместному проекту). С другой стороны, каждое помещение имеет определенные характеристики. Необходимо найти такой вариант распределения, при котором, по меньшей мере, не ухудшился бы психологический климат в коллективе.
Помимо описанных выше примеров задач, такая же задача имеет место
при назначении людей на должности или работы, автомашин на маршруты, водителей на машины, при распределении студенческих групп по аудиториям,
научных тем по научно-исследовательским лабораториям и т. п. Следовательно, задача о назначениях является частным случаем общих классов оптимиз ационных задач, и поэтому существует много разнообразных методов ее решения. Рассмотрим примеры решений задачи на ЭВМ.
25
ПРИМЕР 2.3.1. Цеху металлообработки нужно выполнить срочный заказ
на
производство
деталей.
Каждая
деталь
обрабатывается
на
4-х станках С1, С2, С3 и С4. На каждом станке может работать любой из четырех рабочих Р1, Р2, Р3, Р4, однако, каждый из них имеет на каждом станке различный процент брака. По документации ОТК есть данные о проценте брака
каждого рабочего на каждом станке (табл. 2.3.1).
Таблица 2.3.1
Станки
Рабочие
С1
2,3
1,8
2,5
2,0
Р1
Р2
Р3
Р4
С2
1,9
2,2
2,0
2,4
С3
2,2
2,0
2,2
2,4
С4
2,7
1,8
3,0
2,8
Необходимо так распределить рабочих по станкам, чтобы суммарный
процент брака (который равен сумме процентов брака всех 4-х рабочих) был
минимален. Чему равен этот процент?
РЕШЕНИЕ. Обозначим за x ij ; i 1, 2, 3, 4; j 1, 2, 3, 4 — переменные,
которые принимают значения 1, если i-й рабочий работает на j-м станке. Если
данное условие не выполняется, то x ij 0 . Целевая функция есть
2,3 x 11
2,5 x 31
1, 9 x 12
2 x 32
2,2 x 13
2,2 x 33
2,7 x 14
3 x 34
1, 8 x 21
2 x 41
2,2 x 22
2, 4 x 42
2 x 23
2, 4 x 43
1, 8 x 24
2, 8 x 44
min .
Вводим ограничения. Каждый рабочий может работать только на одном
станке, то есть
x 11
x 12
x 13
x 14
1;
x 21
x 22
x 23
x 24
1;
x 31
x 32
x 33
x 34
1;
x 41
x 42
x 43
x 44
1.
Кроме этого, каждый станок обслуживает только один рабочий:
x 11
x 21
x 31
x 41
1;
x 12
x 22
x 32
x 42
1;
x 13
x 23
x 33
x 43
1;
x 14
x 24
x 34
x 44
1.
26
Кроме того, все переменные должны быть целыми и неотрицательными:
xij 0, xij целые .
Открываем электронную таблицу EXCEL. Вводим в диапазон В3–Е6 проценты по браку, ячейки G3–J6 выделяем под переменные и вводим в них произвольные числа, например единицы, задаем подписи, как показано на рис. 2.3.1.
Рис. 2.3.1
Целевая функция равна сумме произведений данных из диапазона В3–Е6,
умноженных на переменные из диапазона G3–J6, и все делить на 4. Для ее вычисления ставим курсор в ячейку В7, вызываем мастер функций кнопкой fx и
выбираем функцию СУММПРОИЗВ из категории «Статистические». В полях
«Массив 1» обводим ячейки В3–Е6, делая на них ссылку, а в «Массив 2» обводим G3–J6, нажимаем «ОК».
Вводим левые части ограничений. Ставим курсор в В8 и вводим туда
функцию «=G3+G4+G5+G6». Автозаполняем на В8, С8, D8 и Е8. Ставим курсор на F8 и вводим формулу «=G3+H3+I3+J3» и автозаполняем ее на F9, F10,
F11.
Вызываем надстройку ПОИСК РЕШЕНИЯ. При работе в «EXCEL 2003»
или ранней версии заходим в меню СЕРВИС, выбираем НАДСТРОЙКИ и проверяем наличие флажка напротив «Поиск решения», «ОК», заходим вновь в меню СЕРВИС, выбираем ПОИСК РЕШЕНИЯ. При работаете в «EXCEL 2007»
или более поздней версии нажимаем левой кнопкой мыши по круглой кнопке
“Office” в верхнем левом углу экрана, внизу выбираем «Параметры Excel», слева выбираем НАДСТРОЙКИ, нажимаем кнопку «Перейти» внизу окна, и в открывшемся окне проверяем наличие флажка напротив «Поиск решения», «ОК».
В меню ДАННЫЕ выбираем ПОИСК РЕШЕНИЯ.
В окне ПОИСК РЕШЕНИЯ в поле «Установить целевую ячейку» даем
ссылку на В7. Ставим точку на переключателе «Минимальному значению». В
поле «Изменяя ячейки» даем ссылку на G3–J6. Нажимаем «Добавить» и вызываем окно «Ограничения». Вводим 4 ограничения как показано на рис. 2.3.2.
Нажимаем «Выполнить». Получаем результат, таблица переменных состоит из единиц и нулей, по единицам определяем, что 1-й рабочий должен работать на втором станке, 2-й на 4-м, 3-й на 3-м, 4-й на 1-м. Суммарный процент
брака (целевая функция) будет равен 7,9.
27
Рис. 2.3.2
ПРИМЕР 2.3.2. На предприятии имеется 6 автомобилей разных моделей.
Необходимо в разные районы области перевести 5 грузов. Затраты по перевозке
каждого груза каждым автомобилем различны и приведены в табл. 2.3.2.
Таблица 2.3.2
Авто\Груз
Г1
Г2
Г3
Г4
Г5
А1
А2
А3
А4
А5
А6
37
11
12
49
40
77
17
39
21
35
31
14
52
70
25
36
78
59
73
20
11
35
66
67
72
27
30
74
79
78
Выбрать автомобиль для каждого вида груза так, чтобы затраты на пер евозку были минимальными. Определить эти затраты.
Указания. Задача решается аналогично предыдущей. Обратите внимание,
что автомобилей больше, чем грузов, то есть один автомобиль окажется невостребованным. По этой причине во второй группе ограничений будет не равенство их нулю, а знак « «, то есть ограничения будут иметь вид
x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 1;
x 11 x 21 x 31 x 41 x 51 x 61 1;
x 21 x 22 x 23 x 24 x 25 1;
x 12 x 22 x 32 x 42 x 52 x 62 1;
x 31 x 32 x 33 x 34 x 35 1;
x 13 x 23 x 33 x 43 x 53 x 63 1;
x 41 x 42 x 43 x 44 x 45 1;
x 14 x 24 x 34 x 44 x 54 x 64 1;
x 51 x 52 x 53 x 54 x 55 1;
x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 1 .
x 61 x 62 x 63 x 64 x 65 1 .
ПРИМЕР 2.3.3. Три учебные группы экономического факультета вуза собираются посетить во время практики 6 предприятий и НИИ. Каждая учебная группа может посетить две организации. Путем опроса студентов выявлены предпочтения каждой группы для 10 организаций (1 означает «наиболее предпочтительна», а
28
10 — «наименее предпочтительна»). Предпочтения каждой из пяти учебных групп
показаны в табл.2.3.3, где П-1, П-2, П-3 — промышленные предприятия; НИИ-1,
НИИ-2, НИИ-3 — научно-исследовательские институты.
Необходимо:
1. Определите, какие две организации должна посетить каждая группа, чтобы в максимальной степени были учтены предпочтения всех студентов.
2. Указать такой вариант распределения, при котором каждой группе досталось по одному промышленному предприятия и одному НИИ согласно предложению деканата. Чему равна сумма оценочных баллов в этом случае?
Таблица 2.3.3
Группа
2
2
5
1
4
8
6
Организация
П-1
П-2
П-3
НИИ-1
НИИ-2
НИИ-3
1
3
2
1
7
10
5
3
1
3
2
8
6
7
Указания. Задача решается аналогично предыдущим. В табл. 2.3.4 задачи
о назначениях указаны предпочтения каждой группы, при этом каждая группа
представлена дважды, так как может посетить две организации.
Таблица 2.3.4
Организация
Группа
1
3
2
1
7
10
5
П-1
П-2
П-3
НИИ-1
НИИ-2
НИИ-3
2
2
5
1
4
8
6
3
1
3
2
8
6
7
1
3
2
1
7
10
5
2
2
5
1
4
8
6
3
1
3
2
8
6
7
Если учесть предложение деканата, то надо решить две задачи о назнач ениях: сначала распределить группы по предприятиям, затем — по НИИ. Эти
две задачи можно представить в виде одной оптимизационной задачи, табл.
2.3.5 (М — большое число, например 11).
29
Таблица 2.3.5
Группа
Организация
П-1
П-2
П-3
НИИ-1
НИИ-2
НИИ-3
1
2
3
1
2
3
3
2
1
М
М
М
2
5
1
М
М
М
1
3
2
М
М
М
М
М
М
1
10
5
М
М
М
4
8
6
М
М
М
8
6
7
2.4. Решение задач
многокритериальной оптимизации
Во многих реальных экономических задачах может быть несколько
критериев, которые оптимизируются. Например, при производстве продукции
максимизируется качество и минимизируется себестоимость, при взятии ссуды
в банке максимизируется кредитный срок и минимизируется процентная
ставка, при выборе места для строительства дома отдыха максимизируются
экологические условия и минимизируется расстояние от населенного пункта.
Существует несколько методов решения многокритериальных задач. Одним из наиболее эффективных является метод последовательных уступок, использование которого рассмотрим на примере.
ПРИМЕР 2.4.1. Математическая модель трехкритериальной задачи имеет
вид
Z1
2x1
x2
3x 3
max;
Z2
x1
3x 2
2x 3
min;
Z3
x1
2x 2
4x 3
x1
3x 2
2x 3
1;
2x1
x2
x3
16 ;
x1
2x 2
24 ;
max;
x 1 0; x 2 0; x 3 0 .
Решить задачу методом последовательных уступок, выбрав уступку по
первому критерию 1 = 4, а по второму 2 = 5.
РЕШЕНИЕ. Открываем электронную книгу Excel и, как и для решения
однокритериальной задачи, определяем ячейки под переменные x 1 , x 2 , x 3 . Для
30
этого в ячейку А1 вводим подпись «Переменные», а в соседние три ячейки В1,
С1 и D1 вводим значения переменных. Это могут быть произвольные числа,
например единицы, далее они будут оптимизироваться. Во второй строке зад аем целевые функции. В А2 вводим подпись «Целевые», а в В2 формулой
«=2*B1+C1–3*D1» задаем первую целевую функцию 2 x 1 x 2 3 x 3 . Аналогично в С2 и D2 вводим вторую и третью целевую функцию: в С2 «=B1+3*C1–
2*D1», а в D2 «=–B1+2*C1+4*D1». В третью строку вводим левые части ограничений. Для этого вводим в А3 подпись «Ограничения», в В3 – формулу
«=B1+3*C1+2*D1», в С3 – формулу «=2*B1–C1+D1» и в D3 – формулу
«=B1+2*C1».
Предварительные действия завершены. Вызываем надстройку «Поиск
решения» (Solver Add – in) в меню «Сервис». Если этого пункта меню нет, то
вызываем меню «Сервис/Надстройки» и ставим флажок напротив раздела «Поиск решения» (Solver Add – in), появится пункт «Сервис/Поиск решения» (Сервис/Solver…), который следует запустить.
На первом этапе оптимизируем первую целевую функцию. После открытия окна «Поиск решения» (Solver Add – in) в поле «Установить целевую» (Set
Target Cell) ставим курсор и делаем ссылку на ячейку В2, щелкая по ней мышью. В окне появится $B$2. В связи с тем, что целевая функция максимизируется, далее нужно проверить, что флажок ниже поля стоит напротив надписи
«Равной максимальному значению» (Equal to … Max … Value of: ). После ставим курсор в поле «Изменяя ячейки» (By Changing Cell) и обводим ячейки с переменными В1, С1 и D1, выделяя ячейки с переменными. В поле появится
$B$1:$D$1. В нижней части окна находится поле «Ограничения» (Subject to the
Constraints). Для того чтобы ввести ограничения, нажимают кнопку «Добавить»
(Add), откроется окно «Добавление ограничения» (Add Constraints). В левом
поле «Ссылка на ячейку» (Cell Reference) вводят ссылку на левую часть первого
ограничения — ячейку В3, в центральном окне определяем знак ≥ и в правом
«Ограничения» (Constraints) набираем правую часть ограничения — число 1.
Нажимаем «ОК», видим, что ограничение появилось в окне. Нажимаем вновь
«Добавить» (Add), вводим «С3» « « и «16». Вновь нажимаем «Добавить», вводим «D3» «≤» и «24». Для ввода дополнительных ограничений x1, 2,3 0 вновь
нажимаем «Добавить», ставим курсор в левое поле и обводим ячейки В1, С1 и
D1 (результат $B$1:$D$1), в среднем окне ставим « « и в правом число 0. Для
запуска вычислений нажимаем кнопку «Выполнить» (Solve). Появляется
надпись, что решение найдено (Solver Found a Solution). Выбираем «Сохранить
найденное решение» (Keep Solver Solution) и «ОК», получаем результат: в
ячейках В1, С1 и D1 видны значения переменных x 1 , x 2 , x 3 , соответствующие
оптимальному решению: 11,2; 6,4 и 0. В ячейки В2 — значение целевой функции 28,8.
31
На втором этапе оптимизируется вторая целевая функция. Однако,
первую, в соответствии с методом последовательных уступок, может ухудшить
первый критерий на величину не более чем 1 = 4. По этой причине на втором
шаге значения в ячейке В2 (где хранится первая целевая функция, которая максимизируется) может быть значение, не меньшее чем 28,8 – 4 = 24,8. Вызываем
надстройку «Сервис/Поиск решения» (Сервис/Solver…), видим, что все прежние данные остались введенными. Меняем ссылку на целевую функцию. Ставим курсор в поле «Установить целевую» (Set Target Cell) и щелкаем по ячейке
С2, в которой находится ссылка на вторую целевую функцию. Так как вторая
целевая минимизируется, то ставим флажок в поле напротив надписи «Равной
минимальному значению» (Equal to … Max … Value of: ). Вводим дополнительное ограничение, связанное с уступкой по первому критерию. Переводим
курсор в поле «Ограничения» (Subject to the Constraints) и нажимаем кнопку
«Добавить» (Add) правее поля. В появившемся окне «Добавление ограничения»
(Add Constraints) в трех окнах (слева направо) вводим данные «В2», «≥»,
«24,8». Результат — переменные x 1 , x 2 , x 3 равны 10,2; 4,4; 0. Вторая целевая
функция равна 23,4 (ячейка В2). Первая равна своему минимальному значению
24,8 (ячейка С2).
На третьем этапе делаем уступку по второму критерию. Величина уступки равна 2 = 5. Так как вторая функция минимизируется, то ее значение не
должно превышать 23,4 + 5 = 28,4. Вызываем надстройку «Сервис/Поиск решения» (Сервис/Solver…). Меняем ссылку на целевую функцию. Ставим курсор в
поле «Установить целевую» (Set Target Cell) и щелкаем по ячейке D2, в которой
находится ссылка на третью целевую функцию. Так как третья целевая максимизируется, то ставим флажок в поле напротив надписи «Равной максимальному значению» (Equal to … Max … Value of: ). Вводим дополнительное ограничение, связанное с уступкой по второму критерию. Переводим курсор в поле
«Ограничения» (Subject to the Constraints) и нажимаем кнопку «Добавить»
(Add). В появившемся окне «Добавление ограничения» (Add Constraints) вводим данные «С2», «≤», «28,4». Результат — переменные x 1 , x 2 , x 3 равны 10,76;
6,62; 1,11. Целевые функции равны соответственно 24,8; 28,4 и 6,93. Это
окончательный ответ. Все дополнительные условия соблюдены.
ПРИМЕР 2.4.5. Администрации сталелитейной компании необходимо
установить программу производства фасонных отливок. Основными затратами
на разработку являются затраты на модернизацию оборудования х и затраты на
научные исследования y. При исследовании установлено, что себестоимость
единицы продукции при этом будет зависеть от затрат как
F1 (x , y ) 12 ax by , а качество продукции как F2 6 cx dy . Ставится задача минимизировать себестоимость (цену) и максимизировать качество выпускаемой продукции. Из двух целевых функций основной считается цена (с е32
бестоимость продукции). По фактору «цена» можно сделать уступку 3 денежные единицы. Также на факторы накладываются дополнительные ограничения:
5 x 4 y 40 ;
2 x y 8;
0 x 6; y 0 .
Указание. Задача решается методом последовательных уступок аналогично предыдущей.
2.5. Задания для самостоятельного решения
Задание № 1. Дана задача линейного программирования (табл. 2.5.1).
Необходимо:
а) решить ее геометрическим методом;
б) решить задачу симплекс-методом;
б) составить двойственную задачу и найти ее решение.
Таблица 2.5.1
Вариант 1
F ( x, y )
2x
y
Вариант 2
max
x y 3;
x y 1;
x 2;
x, y 0.
F (x , y ) x
x y 1;
x y 2;
x 3 / 2;
x , y 0.
Варианты 3, 13
F ( x , y ) 3x
y x 1;
2x y 1;
y 2;
x , y 0.
2y
max
min
max
Варианты 4, 11
F ( x , y ) 2x y
x y 2;
3x 2y 6;
y 2;
x , y 0.
Варианты 5, 14
F (x , y ) x 2y
2x 3y 6;
x y 1;
x 1;
x , y 0.
2y
max
Варианты 6, 15
F (x , y ) x 2y
3x y 3;
x y 1;
y 2;
x , y 0.
33
max
Варианты 7, 16
F (x , y ) x 2y
3x y 3;
x y 1;
y 2;
x , y 0.
max
Варианты 8, 18
F (x , y ) x 2y
x y 10;
x 2y 40;
x 20;
x , y 0.
Варианты 9, 17
F (x , y ) x 4y
3x y 9;
x y 1;
y 7;
x , y 0.
max
Варианты 19, 20
F (x , y ) x y
x y 9;
x 2y 1;
x 1;
x , y 0.
Варианты 21, 22
F ( x , y ) 2x
x y 9;
x y 4;
x 2;
x , y 0.
5y
max
5y
max
F ( x , y ) 2x
x y 1;
x y 3;
x 2;
x , y 0.
2y
max
4y
max
Варианты 27, 28
F ( x , y ) 2x y
x y 2;
3x 2y 6;
y 4;
x , y 0.
Варианты 10, 29
F ( x , y ) 3x
3x y 9;
x y 1;
y 1;
x , y 0.
min
Варианты 23, 24
Варианты 25, 26
F ( x , y ) 3x
y x 2;
2x y 2;
y 3;
x , y 0.
min
min
Варианты 12, 30
F (x , y ) x 2y
x y 10;
x 2y 2;
x 1;
x , y 0.
34
min
Задание № 2. Фирма производит и продает два типа товаров. Фирма получает прибыль в размере c1тыс.р. от производства и продажи каждой единицы товара 1 и в размере c2 тыс. р. от производства и продажи каждой единицы товара
2. Фирма состоит из трех подразделений. Затраты труда (чел.-дни) на производство этих товаров в каждом из подразделений указаны в табл. 2.5.2.
Таблица 2.5.2
Подразделение
Трудозатраты, чел.-дней на
1 шт.
Товар 1
Товар 2
1
a1
b1
2
a2
b2
3
a3
b3
Руководство рассчитало, что в следующем месяце фирма будет располагать следующими возможностями обеспечения производства трудозатратами:
D1 чел.-дней в подразделении 1, D2 — в подразделении 2 и D3 — в подразделении 3. Составить задачу линейного программирования и найти ее решение.
Числовые значения взять из табл. 2.5.3 для каждого номера задачи.
Таблица 2.5.3
Вариант a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2
D1
D2
D3
1, 16
3
5
5
3
2
1 12 3
800
500 2000
2, 17
3
6
3
5
3
1 11 4
900
700 2100
3, 18
5
2
5
3
2
4 10 5 1000
600 1900
4, 19
4
5
3
3
3
5
9
6 1100
800 1800
5, 20
1
2
2
3
4
3
8
4 1000
900 1700
6, 21
1
2
2
3
3
2
9
5
900
1000 1600
7, 22
5
1
2
1
3
2 10 3
800
900 1700
8, 23
4
3
3
5
1
3 11 4
700
800 1800
9, 24
3
4
1
2
5
1 12 6 1200
700 1900
35
10, 25
3
4
2
5
2
2 13 3 1300
600 2000
11, 26
5
3
6
2
2
6 14 4 1000
500 2100
12, 27
5
2
5
5
6
5 14 5
900
600 2200
13, 28
1
3
2
4
2
5 13 4
800
700 2000
14, 29
6
3
3
6
3
4 12 3 1100
800 2100
15, 30
2
3
5
5
1
4 11 2 1200
900 1900
Задание № 3. Решить транспортную задачу. На трех элеваторах хранится
зерно, часть которого нужно развезти по четырем хлебозаводам. aij , i=1, 2, 3; j=1,
2, 3, 4 — затраты на перевозку 1 тонны зерна с i-го элеватора на j-й хлебозавод.
Хранение неразвезенного зерна обходится элеваторам соответственно в 3, 4 и 2
денежные единицы. Составить план перевозки зерна, чтобы суммарные затраты
на перевоз и хранение были минимальными (табл. 2.5.4). Значения коэффициентов затрат взять в соответствии со своим вариантом (табл. 2.5.5).
Таблица 2.5.4
Кол-во зерна
Номер на элеваторе
элеватора
(тыс. т)
1
2
3
4
150
300
200
250
1
250
а11
а12
а13
а14
2
350
а21
а22
а23
а24
3
300
а31
а32
а33
а34
Матрица
Номер
Номер
вариан- коэффици- варианентов затрат
та
та
1, 2
Хлебозаводы и их потребность в зерне (тыс. т)
2 8
10 6
6 7
8
7
Номер
варианта
5, 6
8 9 6
7
5 2
9
4
6 10
9 1
6
9
7 9 1
7
5
5 3
2
1
5 9 7
9
6
3, 4
Матрица
коэффициентов затрат
Таблица 2.5.5
Матрица
коэффициентов затрат
36
7, 8
13, 14
19, 20
25, 26
6 9
6
2
8 6
9
2 6
8
2
3 7 5
4
6
6 6
6
5
2 6 6
8
6 8 10
2
2 7
9
3
1 3 6
7
4 5
4
3
8 8
10
9
5 5 4
10
8 3
8
6
2 9
4
3
4 8 2
3
7 2
3
7
6 3
4
8
3 8 7
8
6 4
4
4
6 2
9
4
3 8 7
8
8 10
5
4
5 6
3
4
10 7 6
8
1 3
1
9
9 5
3
9
6 6 7
5
10 1
3
1
5 6 3
4
10 6
6 10
9, 10
15, 16
21, 22
27, 28
11, 12
17, 18
23, 24
29, 30
6 7
5
6
3 5
6
7
9 5 3
9
4 5
4
3
2 8
8
10
9 8 9
6
Задание 4. Администрации сталелитейной компании необходимо установить программу производства фасонных отливок. При этом, необходимо разработать план организации производства для выпуска данной продукции. Основными затратами на разработку являются затраты на модернизацию оборудование х и затраты на научные исследования у. При исследовании установлено, что себестоимость единицы продукции при этом будет зависеть от затрат
как F1 ( x, y) 12 ax by , а качество продукции как F2 6 cx dy . Ставится задача
минимизировать себестоимость (цену) и максимизировать качество выпускаемой продукции. Из двух целевых функций основной считается цена (себесто имость продукции). По фактору «цена» можно сделать уступку 3 денежные единицы. Решить задачу методом последовательных уступок и найти оптимальные
значения факторов х и у, а также значения целевых функций, если на факторы
наложены ограничения:
5 x 4 y 40;
2 x y 8;
0 x 6; y 0.
Исходные данные взять в зависимости от варианта из табл. (2.5.6).
37
Таблица 2.5.6
Вар. a b c d Вар. a b c d
1
1 2 4 4
16
2 4 2 1
2
3 2 1 2
17
3 4 2 2
3
2 4 1 1
18
2 1 4 2
4
2 2 1 2
19
2 2 2 1
5
3 4 2 2
20
3 1 4 2
6
3 4 3 3
21
3 3 2 2
7
3 1 4 3
22
4 2 2 1
8
3 2 1 3
23
3 1 2 3
9
1 4 2 1
24
3 1 2 2
10
3 2 4 2
25
2 4 2 1
11
1 4 2 3
26
3 1 4 3
12
3 4 3 2
27
3 4 1 2
13
2 3 4 4
28
2 4 3 1
14
3 2 1 4
29
1 4 2 2
15
2 1 3 1
30
3 1 4 2
Задание № 5. Сетевой график представлен на рис. 2.5.1.
c
2
b
5
d
1
7
a
3
5
4
7
e
4
g
9
f
2
9
6
Рис. 2.5.1
38
h
8
Необходимо:
а) определить ранний, поздний срок наступления событий, резерв времени, найти критический путь;
б) найти характеристики работ: ранний срок начала, ранний срок
окончания, поздний срок начала, поздний срок окончания, полный резерв
времени, независимый резерв времени.
Значения продолжительностей работ (a, b, c, d, e, f, g, h) из сетевого графика взять в зависимости от варианта из табл. 2.5.7.
Таблица 2.5.7
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
a
4
2
6
8
8
9
1
4
8
2
3
1
1
1 2
b
3
4
5
4
4
4
8
5
4
3
9
7
9
1 3
c
7
8
9
5
3
7
4
7
2
3
2
4
5
9 5
d
1
3
1
8
2
3
7
6
7
7
2
2
7
4 6
e
5
7
5
2
9
6
5
7
7
3
2
8
2
7 1
f
9
8
8
5
5
6
5
2
1
7
6
7
6
4 2
g
3
3
4
4
3
7
7
3
8
1
7
5
5
7 3
h
7
6
7
9
6
7
9
4
8
5
8
5
3
7 8
Вари16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
ант
a
7
4
4
2
9
3
5
4
9
8
7
8
6
2 7
b
8
4
2
7
7
6
6
3
7
7
8
1
6
5 8
c
8
9
6
5
9
5
3
8
5
8
6
8
5
1 2
d
5
6
5
6
6
8
5
2
2
6
8
2
3
4 7
e
4
4
3
7
5
8
6
5
6
6
5
2
6
3 5
f
7
6
5
7
9
2
2
7
8
3
1
2
6
3 6
g
6
5
3
5
2
2
8
9
3
4
5
9
7
9 9
h
3
2
8
8
1
8
4
2
1
3
6
8
5
4 5
39
ГЛАВА 3. СТАТИСТИКА И ЭКОНОМЕТРИКА
Рассмотрим математические методы, основанные на анализе эмпирических данных, то есть данных, полученных из опыта, в результате наблюдения за
некоторыми экономическими показателями и параметрами.
3.1. Предварительная обработка опытных данных
Рассмотрим некоторый показатель Х, за которым ведется наблюдение. В
результате измерения этого показателя n раз получена некоторая совокупность
данных, которая называется выборочной совокупностью или выборкой. Выбо рка является основным объектом исследования в математической статистике.
По-другому говоря, выборкой объема n называются числа x1 , x2 , …, xn, получаемые на практике при n-кратном повторении эксперимента в неизменных условиях. На практике выборку чаще всего представляют статистическим рядом.
Для этого вся числовая ось, на которой лежат значения выборки, разбивается на
k интервалов (это число выбирается произвольно от 5 до 10), которые обычно
равны, вычисляются середины интервалов zi и считается число элементов выборки, попадающих в каждый интервал ni. Статистическим рядом называется
последовательность пар (zi , ni). Рассмотрим решение задачи на ЭВМ в программе EXCEL на следующем примере.
ПРИМЕР 3.1.1. Дана выборка числа проданных автомобилей торговой
фирмой за 25 недель:
14, 18, 16, 21, 12, 19, 27, 19, 15, 20, 27, 29, 22, 28, 19, 17, 18, 24, 23, 22, 19,
20, 23, 21, 19.
Если такие цифры без их обработки представить руководителю или использовать в дипломной работе, то это будет не информативно, то есть неясно,
хорошо это или плохо, много продали автомобилей или нет, как ведут себя
продажи. Поэтому опытные данные нужно «причесать», привести к более информативному виду, выдать таблицами или графиками.
Для этого построим статистический ряд, полигон, гистограмму и кумулятивную кривую.
РЕШЕНИЕ. Откроем книгу программы EXCEL. Введем в первый столбец (ячейки А1–А25) исходные данные. Определим область чисел, на какой
лежат данные. Для этого найдем максимальный и минимальный элементы выборки. Введем в В1 подпись «Максимум», а в В2 — подпись «Минимум». В соседних ячейках С1 и С2 определим функции «МАХ» и «MIN». Для этого ставим курсор в С1 и вызываем мастер функций, нажав на кнопку fx , в открывшемся окне в поле «Категория» выбираем «Статистические», ниже ищем
функцию МАКС и вызываем ее двойным щелчком мыши по названию. В качестве аргумента функции (в графе «Число 1») обведем область данных (ячейки
40
А1–А25). Поле «Число 2» оставляем пустым. Нажимаем «ОК». Результатом будет число 29. Ставим курсор в ячейку С2 и аналогично вводим функцию МИН.
Результат — число 12. Видно, что все данные укладываются на отрезке [12; 30].
Разделим его на девять (выбирается произвольно от 5 до 10) интервалов по 2
единицы каждый:
12–14, 14–16, 16–18, 18–20, 20–22, 22–24, 24–26, 26–28, 28–30.
В ячейки D1–D9 вводим верхние границы интервалов группировки —
числа 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30. Для вычисления частот ni используют
функцию ЧАСТОТА, находящуюся в категории «Статистические». Введем ее в
ячейку Е1. В строке «Массив данных» введем диапазон выборки (ячейки А1–
А25). В строке «Массив интервалов» введем диапазон верхних границ интервалов группировки (ячейки D1–D9). Результат функции является массивом и выводится в ячейках Е1–Е9. Для полного вывода (не только первого числа в Е1)
нужно выделить ячейки Е1–Е9, обведя их мышью, и нажать F2, а далее одновременно CTRL+SHIFT+ENTER. Результат — частоты интервалов (число попавших в них элементов) – 2, 2, 3, 7, 4, 3, 0, 3, 1.
Для построения гистограммы нужно выбрать ВСТАВКА/ДИАГРАММА
или нажать на соответствующий значок на основной панели (при этом курсор
должен стоять в свободной ячейке). Далее выбрать тип: ГИСТОГРАММА, вид
по выбору, нажать «ДАЛЕЕ», в строке «ДИАПАЗОН» обвести частоты Е1–Е9,
перейти на вкладку «РЯД», в строке « ПОДПИСИ ОСИ Х» ввести интервалы в
ячейках D1–D9, нажать «ДАЛЕЕ» ввести название «ГИСТОГРАММА», подписи осей: ось Х — «ИНТЕРВАЛЫ» и ось Y — «ЧАСТОТА», нажать «ГОТОВО».
Для создания полигона перейти на пустую ячейку и сделать то же самое, только
вместо типа диаграммы «ГИСТОГРАММА» выбрать «ГРАФИК» (Рис. 3.1.1).
Как видно из графиков, максимум дней, когда продавали по 18–20 автомобилей, 26 авто за этот период не продали ни разу. Этот показатель (20) называется модой.
Рис. 3.1.1
41
Для построения кумулятивной кривой (рис. 3.1.2) нужно посчитать
накопленные частоты. Для этого в ячейку F1 вводим «=Е1», в F2 — вводим
«=F1+Е2» и автозаполнением перетаскиваем эту ячейку до F9. Далее строим
график как и в случае полигона, но в строке «ДИАПАЗОН» вводим накопленные частоты, ссылаясь на F1–F9, а на вкладке «РЯД» в строке « ПОДПИСИ
ОСИ Х» вводим интервалы в ячейках D1–D9.
Рис. 3.1.2
3.2. Точечное и интервальное оценивание
Для исследования основных свойств явления или объекта, представленного выборкой, вычисляют точечные и интервальные оценки.
Точечные оценки параметров распределения — это некоторые числа, являющиеся приближенными значениями числовых характеристик показателя Х,
которые получены по выборочной совокупности. Основными точечными оценками являются:
объем выборки n — количество элементов в выборке;
выборочное среднее x — оценка математического ожидания, среднеарифметическое элементов выборки;
выборочная дисперсия S 2 — среднее квадратов отклонения элементов
выборки от выборочного среднего, является оценкой дисперсии, характеризует
разброс выборочных значений;
стандартное отклонение S — корень из дисперсии;
медиана h — средний элемент вариационного ряда (вариационным рядом
называется запись элементов выборки, когда они расположены в порядке во зрастания или убывания элементов) или полусумма двух средних элементов, если объем выборки четный;
мода d — наиболее часто повторяющийся элемент. Мод может быть несколько или не быть совсем;
коэффициент эксцесса — характеризует «островерхость» гистограммы
или полигона по сравнению с кривой Гаусса нормального распределения. Экс42
цесс положителен, если полигон более острый по отношению к кривой Гаусса,
и отрицательный, если более тупой;
коэффициент асимметрии — характеризует степень симметричности
гистограммы или полигона. Если полигон скривлен влево — асимметрия положительна, если полигон скривлен вправо — то отрицательна (рис. 3.2.1);
<0
=0
>0
Рис. 3.2.1
перцентиль на уровне р — значение t p , меньше которого p 100 % элементов
выборки.
ПРИМЕР 3.2.1. По выборке числа автомобилей, проданных автосалоном
за 25 недель из примера 3.1.1, найти основные числовые характеристики выборки.
РЕШЕНИЕ. Запускаем программу EXCEL, первый лист. Вводим исходные данные в ячейки А1–А25. Находим числовые характеристики. Для ввода
функций выделяем два столбца, например В и С, в первом вводим название характеристики, во втором — функцию. В ячейки В1–В11 вводим подписи числовых характеристик, то есть вписываем в эти ячейки первый столбец табл. 3.2.1,
приведенной ниже. В С1 вводим текст «Функция» и ниже определяем функции,
соответствующие названию (из второй колонки таблицы). Все функции вызываются нажатием на кнопку fx , находятся в категории «Статистические» и в качестве массива данных (поле «ЧИСЛО 1») указывается ссылка на А1–А25.
Например, для ввода первой из них ставим курсор в С2, нажимаем fx , выбираем
категорию «Статистические» и функцию «Счет», в открывшемся окне ставим
курсор в поле «Число 1» и обводим курсором ячейки А1–А25, нажимаем «ОК».
Также поступаем и с другими функциями.
Таблица 3.2.1
Характеристика
Функция
Объем выборки
Выборочное среднее
Дисперсия
Стандартное отклонение
Медиана
Мода
Коэффициент эксцесса
Коэффициент асимметрии
Перцентиль 40 %
Перцентиль 80 %
СЧЁТ(массив данных)
СРЗНАЧ(массив данных)
ДИСП(массив данных)
СТАНДОТКЛОН(массив данных)
МЕДИАНА(массив данных)
МОДА(массив данных)
ЭКСЦЕСС(массив данных)
СКОС(массив данных)
ПЕРСЕНТИЛЬ(массив данных; 0,4)
ПЕРСЕНТИЛЬ(массив данных; 0,8)
43
В результате выполненных действий у Вас появится табл. 3.2.2 из двух
столбцов, к которой мы добавим третий для комментариев.
Таблица 3.2.2
Характеристика
Функция
Объем выборки
Выборочное среднее
Дисперсия
Стандартное отклонение
Медиана
25
20,48
Мода
Коэффициент эксцесса
Коэффициент
асимметрии
Перцентиль 40 %
Перцентиль 80 %
Комментарии
Число данных 25
В среднем за период продано 20,48
автомобилей
18,51
Квадрат разброса значений
4,302324953 Средний разброс значений вокруг
среднего
20
Вероятность продать больше 20 авто
равна вероятности продать меньше
20 и равна 0,5.
19
Чаще всего продается по 19 авто.
–0,163762777 Максимум на графиках имеется, но
не резко выраженный
0,2590645
Распределение немного смещено относительно среднего значения в область меньших продаж
19
С вероятностью не более 0,4 будет
продано не более 19 авто
23,2
С вероятностью не более 0,8 будет
продано не более 23,2 авто
Существует другой способ вычисления числовых характеристик выборки.
Для этого ставим курсор в свободную ячейку (например, D1). Затем, если у Вас
версия Excel 2003 и ниже, вызываем в меню «Сервис» подменю «Анализ данных» (Data Analysis). Если в меню «Сервис» отсутствует этот пункт, то в меню
«Сервис» выбраем пункт «Надстройки» и в нем ставим флажок напротив пункта «Пакет анализа» (Analysis ToolPak). После этого в меню «Сервис» появится
«Анализ данных» (Data Analysis). При работаете в «EXCEL 2007» или более
поздней версии нажимаем левой кнопкой мыши по круглой кнопке “Office” в
верхнем левом углу экрана, внизу выбираем «Параметры EXCEL», слева выбираем НАДСТРОЙКИ, нажимаем кнопку «Перейти» внизу окна и в открывшемся окне проверяем наличие флажка напротив пункта «Пакет анализа» (Analysis
ToolPak), «ОК». В меню ДАННЫЕ выбираем «Пакет анализа» (Analysis ToolPak), открывается окно надстройки.
В окне «Анализ данных» нужно выбрать пункт «Описательная статистика» (Descriptive Statistics). В появившемся окне в поле «Входной интервал» (Input Range) делаем ссылку на выборку А1–А25, помещая курсор в поле и обводя
44
эти ячейки. Оставляем группирование «По столбцам» (Columns). В разделе
«Параметры вывода» (Output Options) ставим флажок на «Выходной интервал»
(Output Range) и в соседнем поле задаем ссылку на верхнюю левую ячейку области вывода (например, D1), ставим флажок напротив «Описательная статистика» (Summary Statistics), нажимаем «ОК». Результат — основные характеристики выборки (сделайте шире столбец D, переместив его границу в заголовке).
Рассмотрим теперь методы интервального оценивания. Доверительным
интервалом называется интервал (a; b) , в который с заданной вероятностью р
попадает оцениваемый параметр. Вероятность р называется доверительной.
1 p , называемую уровнем значимости.
Вместо нее часто задают величину
Если выборка объема n представляет случайную величину, распределенную
нормально, то доверительные интервалы для математического ожидания (среднего значения) и дисперсии равны
S t 1 (n 1)
S t 1 (n 1)
2
2
m
x
;x
,
n
n
2
S 2 (n 1) S 2 (n 1)
; 2
,
2
(
n
1
)
(
n
1
)
1
2
2
где t p (n ) и
— квантили распределения Стьюдента и хи-квадрат,
1 p.
Находясь на листе с данными примера, вычислим доверительные интервалы при р = 0,05. Вводим подписи согласно рис. 3.2.2.
2
p (n )
Рис. 3.2.2
Для вычисления величины
S t1
(n 1)
служит функция «ДОВЕРИТ»
n
категории «Статистические» с тремя параметрами «Альфа» — уровень значимости
1 p , «Станд_откл» — среднеквадратическое отклонение S, «Размер» — объем выборки п. Таким образом, вводим в Н3 функцию
«=СРЗНАЧ(А1:А25)–ДОВЕРИТ(I1;СТАНДОТКЛОН(А1:А25);25) »,
а в ячейку I3 функцию
«=СРЗНАЧ(А1:А25)+ДОВЕРИТ(I1;СТАНДОТКЛОН(А1:А25);25)».
2
45
Получили доверительный интервал от 18,79 до 21,17. Это означает, что
при тех же условиях в случайно выбранный день с вероятностью 0,95 число
проданных автомобилей будет не менее 18,79 и не более 21,17.
Для вычисления доверительного интервала для дисперсии следует отметить, что функция вычисления квантилей распределения хи-квадрат (обратного
распределения хи-квадрат) называется «ХИ2ОБР» (категория «Статистические») и имеет два параметра: первый «Вероятность» содержит доверительную
вероятность р, второй — степень свободы (п – 1). Вводим в соответствии с данными условиями и формулой для доверительного интервала в ячейку Н4 запись: «=ДИСП(A1:A25)*24/ХИ2ОБР(0,025;24) »,
а в ячейку I4 запись: «=ДИСП(A1:A25)*24/ХИ2ОБР(0,975;24) ».
Получаем значения границ доверительных интервалов: от 11,29 до 35,82,
то есть в случайно выбранный день квадрат отклонения от среднего с вероятностью 0,95 попадает в этот интервал.
3.3. Проверка статистических гипотез
Методы проверки статистических гипотез занимают центральное место в
исследованиях математической статистики. Статистической гипотезой называется некоторое предположение, которое принимается или отвергается на основании эмпирических данных.
Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н0.
Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н1, которая противоречит нулевой гипотезе. Если в итоге проверки основная гипотеза отвергается, то принимается конкурирующая. В итоге проверки гипотезы могут быть с овершены ошибки двух родов.
Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают через . Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или
0,01. Если, например, принят уровень значимости, равный 0,05, то это означает,
что в среднем в пяти случаях из ста мы рискуем допустить ошибку первого рода
(отвергнуть правильную гипотезу). Часто вместо уровня значимости задают доверительную вероятность р = 1 – , которая имеет смысл несовершения ошибки.
Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают через . Величина 1 –
называется мощностью критерия.
Статистическим критерием (или просто критерием) называют метод
проверки гипотезы. Как правило, все критерии имеют следующий алгоритм:
на основании выборочных данных рассчитывают некоторую величину Z,
называемую статистикой критерия;
46
по специальным статистическим таблицам или на ЭВМ находят критическое значение статистики критерия Zкр — на основании объема выборки и
уровня значимости;
из сравнения Z и Zкр делают вывод о принятии Н0 или Н1.
Критерии согласия. Одной из важнейших групп критериев проверки статистических гипотез являются критерии проверки гипотез о виде распределений
(критерии согласия). Они по выборочным данным проверяют предположение о
принадлежности генеральной совокупности к тому или иному виду распределений. Одним из наиболее мощных критериев согласия является критерий Пирс она, называемый еще критерием хи-квадрат. Его суть заключается в сравнении
теоретических частот элементов выборки ni (для дискретных распределений) с
теоретическими частотами n i np i , где p i — вероятность принять это значение,
рассчитанное по исследуемому закону распределения. Если распределение непрерывное, то строится группированный статистический ряд из k интервалов и
pi F (bi ) F (a i ) является вероятностью попасть в i-й интервал группировки
(здесь F (x ) — функция распределения проверяемого закона). Статистикой криk n
n 2
2
терия является величина
. Критическое значение критерия равn
i 1
но обратному распределению хи-квадрат со степенями свободы (k – r – 1):
2
2
kr
1 (k r 1) , где r — число оцениваемых параметров закона распределения. Распределение можно считать соответствующим теоретическому, если
2
выполняется условие 2
kr . Рассмотрим решение данной задачи на примере.
ПРИМЕР 3.3.1. Имеется выборка прибыли (тыс. р.) коммерческой фирмы
за 40 дней. Необходимо проверить статистическую гипотезу о том, что прибыль
данной фирмы распределена по нормальному закону распределения. Взять уро0, 05 (табл. 3.3.1).
вень значимости
Таблица 3.3.1
Выборка прибыли коммерческой фирмы за 40 дней (тыс. р.)
64 56 69 78 78 83 47 65 77 57 61 52 50 58 60 48 62 63 68 64
64 64 79 66 65 62 85 75 88 61 82 52 72 75 84 66 62 73 64 74
РЕШЕНИЕ. Для проверки гипотезы о принадлежности генеральной совокупности нормальному виду распределений необходимо строить группир ованный статистический ряд, т. к. нормальное распределение является непрерывным. Для этого нужно знать размах выборки, который равен разнице между
максимальным и минимальным элементами выборки. Кроме того, нужно рассчитать точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического
отклонения (СКО). Открываем электронную таблицу и вводим данные выборки
47
в ячейки А2–А41, делаем подписи для расчетных параметров в соответствии с
рис. 3.3.1.
Рис. 3.3.1
Вычисляем параметры по выборке. Для этого вводим в ячейку В3
«=СЧЁТ(A2:A41)» (здесь и далее кавычки вводить не надо, функции можно
вводить с помощью мастера функций из категории «Статистические», ссылки
на ячейки можно ввести, щелкнув мышью по ячейке). В В5 вводим
«=МАКС(A2:A41)», в В7 «=МИН(A2:A41)», в В9 «=СРЗНАЧ(A2:A41)», в В11
«=СТАНДОТКЛОН(A2:A41)».
Видно, что весь диапазон значений элементов лежит на интервале от 47
до 88. Разобьем этот интервал на интервалы группировки: [0; 50], (50; 55],
(55; 60], (60; 65], (65; 70], (70; 75], (75; 80], (80; 85], (85; 90]. Для этого вводим в
ячейки С2–С11 границы интервалов (табл. 3.3.2).
Таблица 3.3.2
Ячейка
Число
С2
0
С3
50
С4
55
С5
60
С6
65
С7
70
С8
75
С9
80
С10
85
С11
90
Для вычисления частот п используем функцию ЧАСТОТА. Для этого в
D3 вводим формулу «=ЧАСТОТА(A2:A41;C3:C11)». Затем обводим курсором
ячейки D3–D11, выделяя их, и нажимаем F2, а затем одновременно
Ctrl+Shift+Enter. В результате в ячейках D3–D11 окажутся значения частот.
Для расчета теоретической вероятности pi F (bi ) F (a i ) вводим в ячейку Е3 разницу между функциями нормального распределения (функция
НОРМРАСП категории «Статистические») с параметрами: «Х» — значение
границы интервала, «Среднее» — ссылка на ячейку В9, «Стандартное_откл» —
ссылка на В11, «Интегральная» — 1. В результате в Е3 будет формула
«=НОРМРАСП(C3;$B$9;$B$11;1)–НОРМРАСП(C2;$B$9;$B$11;1)».
Автозаполняем эту формулу на Е3–Е10, перемещая нижний правый угол
Е3 до ячейки Е10. В последней ячейке столбца Е11 для соблюдения условия
48
нормировки вводим дополнение предыдущих вероятностей до единицы. Для
этого вводим в Е11
«=1–СУММ(E3:E10)».
Для расчета теоретической частоты n i np i вводим в F3 формулу
«=E3*$B$3», автозаполняем ее на F3–F11.
n n 2
Для вычисления элементов суммы
критерия Пирсона вводим в
n
G3 значение «=(D3–F3)*(D3–F3)/F3» и автозаполняем его на диапазон G3–G11.
2
Находим значение критерия 2 и критическое значение kr
. Для этого
вводим в F12 подпись «Сумма», а в F13 подпись «Критич.». Вводим в соседние
ячейки формулы — в G12: «=СУММ(G3:G11)», а в G13 «=ХИ2ОБР(0,05;6)»,
0, 05 взят из условия, а степень свободы (k – r – 1) = (9 – 2 –
здесь параметр
1) = 6, так как k = 9 — число интервалов группировки, а r = 2, т. к. были оценены
два параметра нормального распределения: математическое ожидание и СКО.
2
Получили два числа: 2 = 0,942, а критическое значение kr
= 12,59. Видно,
2
что 2
kr , то есть можно считать, что прибыль данной фирмы распределена
по нормальному закону распределения (рис. 3.3.2).
Проверим это, построив графики плотностей эмпирического и теоретического распределений. Ставим курсор в любую свободную ячейку и вызываем
мастер диаграмм (Вставка/Диаграмма). Выбираем тип диаграммы «График» и
вид «График с маркерами» самый левый во второй строке, нажимаем «Далее».
Ставим курсор в поле «Диапазон» и, удерживая кнопку CTRL, обводим мышью
область ячеек D3–D11, а затем F3–F11. Переходим на закладку «Ряд» и в поле
«Подписи оси Х» обводим область С3–С11. Нажимаем «Готово». Видно, что
графики достаточно хорошо совпадают, что говорит о соответствии данных
нормальному закону.
Тот факт, что число продаж можно считать распределенным нормально,
очень важен. Это позволяет делать различные вероятностные оценки, напр имер, находить вероятности того, что за день будет продано более m автомобилей. Это позволит применять методы регрессионного анализа, о снованные на
методе наименьших квадратов и многое другое.
Критерий Пирсона также можно использовать для проверки предположения о том, что полученные в результате наблюдений данные соответствуют
нормам. Пусть имеются некоторые показатели, которые должны соответствовать стандартным нормам. Для проверки из генеральной совокупности получ ается выборка значений данных показателей. Рассматривается гипотеза о том,
что отклонения от норм невелики, и ими можно пренебречь.
49
Рис. 3.3.2
Рассмотрим проверку гипотезы на примере.
ПРИМЕР 3.3.2. На консервном заводе принимаемое зерно горошка считается высшего сорта, если в нем не менее 60 % зерна размером более 7 мм в
диаметре, не менее 20 % зерна размером 5–7 мм, 10 % зерна 4–5 мм и 10 % зерна менее 4 мм в диаметре. На завод привезли партию зерна, из которой отобр али одну тонну для проверки. В результате оказалось, что зерна размером более
7 мм в диаметре — 550 кг, зерна размером 5–7 мм — 220 кг, зерна 4–5 мм —
120 кг и зерна размером менее 4 мм — 110 кг. Можно ли с вероятностью 0,95
0, 05 ) говорить о том, что привезенное зерно высшего сорта?
(
РЕШЕНИЕ. Если бы зерно точно соответствовало норме, то его количество из одной тонны распределялось бы по размерам как 600, 200, 100 и 100 кг.
Введем в А1 заголовок «НОРМА» и ниже в А2-А5 показатели — числа 600,
200, 100, 100. В ячейку В1 введем заголовок «НАБЛЮДЕНИЯ» и ниже в В2–В5
наблюдаемые показатели 550, 220, 120, 110. В третьем столбце вводим формулы для критерия: в С1 заголовок «КРИТЕРИЙ», в С2 формулу «=(А2–В2)*(А2–
В2)/А2». Автозаполнением размножим эту формулу на С3–С5. В ячейку С6 запишем общее значение критерия — сумму столбца С2–С5. Для этого поставим
курсор в С6 и, вызвав функции в категории «Математические», найдем СУММ
и в аргументе «Число 1» укажем ссылку на С2–С5. Получится результат критерия Z = 11,16667. Для ответа на вопрос, соответствуют ли опытные показатели
нормам, Z сравнивают с критическим значением Zкр. Вводим в D1 текст «критическое значение», в Е1 вводим функцию ХИ2ОБР (категория «Статистиче50
ские»), у которой два аргумента: «Вероятность» — вводится уровень значимо1 p (в нашем случае 1 – 0,95 = 0,05) и «Степени_свободы» — вводят
сти
число (n – 1), где n — число норм (в нашем случае 4 – 1 = 3). Результат
7,814725. Видно, что критическое значение меньше критерия, следовательно,
опытные данные не соответствуют стандартам и зерно с заданной вероятностью нельзя отнести к высшему сорту.
Критерий Фишера сравнения дисперсий. Используется в случае, если
нужно проверить, различается ли разброс данных (дисперсии) у двух выборок.
Дисперсия характеризует однородность, стабильность распределения. Представим два магазина. Средние объемы продаж в них примерно равны. Но в первом
каждый день продажи примерно одинаковы, стабильны, а во втором: то очень
много — то очень мало, но в среднем так же, как и в первом, то есть дисперсия во втором магазине намного больше, чем в первом.
Для проверки статистической гипотезы о равенстве дисперсий служит Fкритерий Фишера. Основной характеристикой критерия является уровень значимости , который имеет смысл вероятности совершить статистическую
ошибку, предполагая, что дисперсии и, следовательно, точность, различаются.
Вместо в задачах также иногда задают доверительную вероятность p 1
,
имеющую смысл вероятности того, что дисперсии и в самом деле равны.
Обычно выбирают критическое значение уровня значимости, например 0,05
или 0,1, и если больше критического значения, то дисперсии считаются равными, в противном случае — различны. При этом критерий может быть односторонним, когда нужно проверить, что дисперсия конкретной выделенной выборки больше, чем у другой, и двусторонним, когда просто нужно показать, ч то
дисперсии не равны. Существуют два способа проверки таких гипотез. Рассмотрим их на примерах.
ПРИМЕР 3.3.3. Фирма имеет два магазина в городах Воронеж и Липецк.
Необходимо проверить, одинаково стабильно происходят продажи в разных городах или нет, то есть сравнить дисперсии с доверительной вероятностью 0,95.
Для проверки гипотезы взяли данные о продажах товара за 12 недель в обоих
городах (табл. 3.3.3).
Таблица 3.3.3
Воронеж 47,5 52,9 51,3
Липецк 52,5 50,5 48,4
48,1
48,6
52,6 49,4
50,6 50,0
48,0 52,3 45,9 52,6 46,8 49,0
50,1 49,5 49,7 51,1 49,2 49,7
РЕШЕНИЕ. По условию задачи критерий двусторонний, так как требуется проверить различие дисперсий (точностей). Доверительная вероятность
задана p = 0,95, следовательно, уровень значимости
1 p 1 0, 95 0, 05 .
Вводим данные выборок (без подписей) в две строчки в ячейки А1–L1 и А2–L2
51
соответственно. Для вычисления уровня значимости двустороннего критерия
служит функция ФТЕСТ(массив1; массив2). Вводим в А4 подпись «Уровень
значимости», а в В4 функцию ФТЕСТ, аргументами которой должны быть
ссылки на ячейки А1–L1 и А2–L2 соответственно. Результат 0,011591293 говорит о том, что вероятность ошибиться, приняв гипотезу о различии дисперсий,
около 0,01, что меньше критического значения, заданного в условии задачи
0,05. Следовательно, можно говорить, что опытные данные с большой вероятностью подтверждают предположение о том, что дисперсии разные и одноро дность (стабильность) продаж в городах различная.
Другой способ решения задачи — использование надстройки «Анализ
данных» (Data Analysis). Для ее подключения нужно в меню «СЕРВИС» выбрать «НАДСТРОЙКИ» и поставить флажок напротив «Пакет анализа» (Analysis ToolPak). После этого в меню «СЕРВИС» появится пункт «АНАЛИЗ ДАННЫХ» (Data Analysis). При работе в «EXCEL 2007» или более поздней версии
нажимаем левой кнопкой мыши по круглой кнопке «Office» в верхнем левом
углу экрана, внизу выбираем «Параметры EXCEL», слева выбираем
НАДСТРОЙКИ, нажимаем кнопку «Перейти» внизу окна и в открывшемся
окне проверяем наличие флажка напротив пункта «Пакет анализа» (Analysis
ToolPak), «ОК». В меню ДАННЫЕ выбираем «Пакет анализа» (Analysis ToolPak), открывается окно надстройки, в котором выбираем «Двухвыборочный Fтест для дисперсий» (F-test Two-Sample for Variances). В открывшемся окне в
полях «Интервал переменной 1» (Variable 1 Range) и «Интервал переменной 2»
(Variable 1 Range) вводим ссылки на данные (А1–L1 и А2–L2 соответственно),
если имеются подписи данных, то ставим флажок у надписи «Метки» (Label) (у
нас их нет, поэтому флажок не ставится). Далее вводим уровень значимости в
поле «Альфа» (Alpha) (по условию это 0,05, и данное значение уже указано по
умолчанию). В разделе «Параметры вывода» (Output Options) ставим метку
около «Выходной интервал» (Output Range) помещаем курсор в появившееся
поле напротив надписи, щелкаем левой кнопкой в ячейке В7. Вывод результата
будет осуществляться начиная с этой ячейки. При нажатии на «ОК» появляется
таблица результата. Сдвигаем границу между столбцами В и С, С и D, D и Е,
увеличив ширину столбцов В, С и D так, чтобы умещались все надписи. В таблице указаны средние и дисперсии каждой выборки, значение F-критерия, односторонний критический уровень значимости в строке «P(F<=f) одностороннее» («Р(F<=f) one-tail») и критическое значение F-критерия (F critical one tail).
Если значение F-критерия ближе к единице, чем F-критическое, то с заданной
вероятностью можно считать, что дисперсии равны. Об этом же говорит и то,
что критический уровень значимости «P(F<=f) одностороннее» больше заданного значения . В нашем случае F-критерий равен 5,128, а F-критическое
2,818, то есть F-критерий дальше от единицы, чем критическое значение. Это
говорит о том, что дисперсии разные и однородность (стабильность) продаж в
городах различная.
52
Критерий Стьюдента сравнения средних.
Используется для проверки предположения о том, что средние значения
двух показателей, представленных выборками, значимо различаются. Существуют три разновидности критерия: один для связанных выборок и два для несвязанных выборок (с одинаковыми и разными дисперсиями). Выборки наз ываются связанными, если каждому значению с любым номером первой выборке
будет соответствовать некоторое значение с тем же номером, характеризующее
тот же объект, но в других условиях. Например, один и тот же кусок мяса взвешивается на одних весах (элемент первой выборки) и на других (элемент второй). Если выборки не связаны и измерения проводятся по разным объектам, то
предварительно нужно проверить гипотезу о равенстве дисперсий, чтобы опр еделить, какой из критериев использовать. Так же, как и в случае сравнения дисперсий имеются 2 способа решения задачи, которые рассмотрим на примере.
ПРИМЕР 3.3.4. Имеются данные о средненедельных количествах продаж товара (тыс. шт.) до и после смены производителем оформления упако вки
(табл. 3.3.4).
Таблица 3.3.4
До смены
16
19
14
15 17
16 19
16
19
14
15
19
После смены
18
19
21
15 19
18 15
20
17
16
21
15
Можно ли с вероятностью 0,99 считать, что смена упаковки привела к
среднему увеличению количества продаж?
РЕШЕНИЕ. По условию р = 0,99, = 0,01, выборки не связаны, критерий односторонний, т. к. нужно доказать, что средние показателя, представленного второй выборкой, больше, чем у первой. Вводим в ячейки А1–М1 и А2–
М2 исходные данные с подписями. Так как выборки не связаны, то предварительно сравниваем дисперсии. В свободную ячейку вводим функцию
«=ФТЕСТ(B1:M1;B2:M2)». Результат 0,67, что намного больше, чем уровень
значимости α. В результате проверки дисперсии оказываются равными.
Первый способ решения задачи, как и в случае дисперсий, - использование стандартной функции. Ею является ТТЕСТ(массив1; массив2; хвосты; тип),
решающий задачу по t-критерию Стьюдента. В ячейку В4 вводим подпись «tкритерий», а в соседнюю С4 функцию ТТЕСТ (категория «Статистические»)
Аргументы функции:
- массив1, массив2 — исходные данные (ссылки на А1–М1 и А2-L2);
- хвосты — вид критерия: если 1 — односторонний критерий, если 2 —
двусторонний (в нашем случае ставится единица);
- тип — тип критерия: если выборки связаны, то 1, для несвязанных выборок с равными дисперсиями — ставим 2, для несвязанных выборок с нерав53
ными дисперсиями ставим 3. В нашем случае дисперсии равны, поэтому выбираем 2.
Функция возвращает критическое значение уровня значимости, имеющего смысл ошибиться, приняв гипотезу о различии средних. Если критическое
значение больше заданного, то средние нужно считать равными. Вводим в свободную ячейку «=ТТЕСТ(B1:M1;B2:M2;1;2)». Результат в нашем случае 0,081
больше заданного
0,01. Следовательно, смена производителем упаковки не
привела к среднему увеличению продаж и изменения в количествах продаж,
вероятнее всего, связано с какими-то случайными факторами.
Второй способ — использование пакета «Анализ данных» (Data Analysis).
Способ вызова и подключения его был описан ранее. В зависимости от типа
критерия выбирается один из трех: «Парный двухвыборочный t-тест для средних» (t-Teat: Paired Two Sample for Means) — для связанных выборок и «Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями» (t-Teat: Two Sample Assuming
Equal Variances) или «Двухвыборочный t-тест с разными дисперсиями» (t-Teat:
Two Sample Assuming Unequal Variances) — для несвязанных выборок. Вызовите тест с одинаковыми дисперсиями, в открывшемся окне в полях «Интервал
переменной 1» (Variable 1 Range) и «Интервал переменной 2» (Variable 2 Range)
введите ссылки на данные (А1–М1 и А2–L2 соответственно). Если имеются
подписи данных, то поставьте флажок у надписи «Метки» (Label) (у нас их нет,
поэтому флажок не ставится). Далее введите уровень значимости в поле «Альфа» (Alpha) — 0,01. Поле «Гипотетическая средняя разность» (Hypothesized
Mean Difference) оставляют пустым. В разделе «Параметры вывода» (Output
Options) поставьте метку около «Выходной интервал» (Output Range), поместите курсор в появившемся поле напротив надписи, щелкните левой кнопкой в
ячейке В7. Вывод результата будет осуществляться, начиная с этой ячейки. При
нажатии на «ОК», появляется таблица результата. Сдвиньте границу между
столбцами В и С, С и D, D и Е, увеличьте ширину столбцов В, С и D так, чтобы
умещались все надписи. Процедура выводит основные характеристики выборок, t-статистику (t-stat), критические значения этих статистик и критические
уровни значимости «P(T<=t) одностороннее» (P(T<=t) one-tail) и «P(T<=t) двухстороннее» (P(T<=t) two-tail). Если по модулю t-статистика меньше критического, то средние показатели с заданной вероятностью равны. В нашем случае
|–1,739215668| < 2,499873517, следовательно, среднее число продаж значимо не
увеличилось.
3.4. Парная регрессия и корреляция
Обычно эконометрические модели строятся на основе двух типов исходных данных:
- данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени;
54
- данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени.
Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Они были рассмотрены выше. Модели, построенные на
основе второго типа данных, называются моделями временных рядов.
Далее будут изучаться вопросы взаимосвязи двух или нескольких показателей.
Рассмотрим два показателя Х и Y. Предположим, что они зависимы, то
есть изменение одного из них влечет за собой изменение другого. Если при
этом, зная точно значение одного показателя, можно точно определить значение другого, то связь между показателями называется функциональной. Однако
на практике в подавляющем большинстве встречаются зависимости иного вида,
когда изменение одного показателя лишь в среднем приводит к изменению другого. Такие зависимости называются статистическими или корреляционными.
При них, зная значение Х, нельзя точно определить Y, так как на Y кроме Х влияет еще множество неучтенных факторов. Поэтому, зная Х, можно лишь в
среднем оценить значение Y. Примеры таких зависимостей в экономике: зависимости между ценой и спросом, затратами на производство и объемом пр одукции и т. д. Характер статистической зависимости изучается в регрессионном
анализе, а сила статистической связи — в корреляционном анализе.
В регрессивном анализе изучается связь между зависимой переменной Y
и одной или несколькими независимыми переменными. Уравнение, описывающее такую связь, называется уравнением регрессии. Пусть переменная Y зависит от одной переменной Х. Переменная Y называется результирующей функцией или результатом, а Х — независимой переменной. Уравнение регрессии,
где на результат влияет только один фактор Х, называется парным.
Парная линейная регрессия. Простейшим случаем парной регрессии
называется линейная регрессия, когда опытные данные приближаются прямой
линией. Уравнение в этом случае имеет вид y~ ax b
, где — случайная
ошибка наблюдений. Исходными данными для построения уравнения регрессии служат пары значений факторов (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ), ..., (x n ; y n ) .
Рассмотрим теперь вопрос оценки качества статистической связи. Мерой
оценки силы статистической зависимости между показателями Х и Y служит
коэффициент корреляции Пирсона r .
Коэффициент корреляции Пирсона r обладает следующими свойствами:
1. Коэффициент корреляции изменяется в пределах 1 r 1 .
2. Модуль коэффициента корреляции характеризует силу статистической
1 , то связь
связи, чем больше | r | , тем сильнее связь, в частности, если r
функциональная, если r близок к нулю, то связь слабая или отсутствует.
55
3. Знак коэффициента корреляции характеризует направление статистической связи, если r 0 , то с ростом Х показатель Y также растет, если r 0 ,
то с ростом Х показатель Y убывает.
2
4. Величина R r называется коэффициентом детерминации, его можно интерпретировать как среднюю долю влияния показателя Х на Y.
Для ответа на вопрос: можно ли считать связь между показателями достаточно сильной, чтобы полагать, что Х и Y зависимы и уравнение их регрессии
имело смысл, используется методика проверки значимости коэффициента
n 2
корреляции. Вычисляется статистика t = r
, и по статистическим таб1 r2
лицам или на ЭВМ на основании уровня значимости и степени свободы (n –
2) определяется критическое значение t kr . Если t t kr , то можно считать, что
коэффициент корреляции значим, показатели Х и Y зависимы, уравнение регрессии можно использовать для прогнозов и оценок. Если t t kr , то коэффициент корреляции незначим, показатели Х и Y независимы, уравнение регрессии теряет смысл.
Теперь перейдем к практической части и рассмотрим несколько примеров.
ПРИМЕР 3.4.1. Торговая организация желает выяснить, как влияет количество вложенных в рекламную акцию денег — X (тыс. р.) на количество проданного товара — Y (тыс. шт.). Для этого проводились наблюдения в разных
городах региона и были получены следующие данные (табл. 3.4.1).
Таблица 3.4.1
X
Y
12
34
15
42
17
45
19
49
20
53
22
55
25
61
27
68
28
67
30
71
33
75
33
74
Ставится задача: проверить, влияют ли затраты на рекламу на объемы
продаж, и если влияют, то каково это влияние? Для этого необходимо построить аналитическое уравнение регрессии.
РЕШЕНИЕ. Введем таблицу с исходными данными в ячейки А1–M2
электронной книги Excel. Просмотрим предварительно, как лежат точки на
графике и какое уравнение регрессии лучше выбрать. Для этого строим график
(рис. 3.4.1).
Вызвав мастер диаграмм и выбрав тип диаграммы «Точечная», нажимаем
«Далее» и, поместив курсор в поле «Диапазон», обводим курсором данные Y
(ячейки В2–М2). Переходим на закладку «Ряд» и в поле «Значения Х» делаем
ссылку на ячейки В1–М1, обводя их курсором. Нажимаем «Готово».
Как видно из графика, точки хорошо укладываются на прямую линию,
поэтому будем находить уравнение линейной регрессии вида y ax b .
56
Рис. 3.4.1
Для нахождения коэффициентов а и b уравнения регрессии служат функции НАКЛОН и ОТРЕЗОК категории «Статистические». Вводим в А5 подпись
«а=», а в соседнюю ячейку В5 вводим функцию НАКЛОН, ставим курсор в поле «Изв_знач_у», задаем ссылку на ячейки В2–М2, обводя их мышью. Аналогично в поле «Изв_знач_х» даем ссылку на В1–М1. Результат 1,923921.
Найдем теперь коэффициент b. Вводим в А6 подпись «b=», а в В6 функцию
ОТРЕЗОК с теми же параметрами, что и у функции НАКЛОН. Результат
12,78151.
Следовательно,
уравнение
линейной
регрессии
есть
y 1, 92 x 12,78 . Это уравнение можно использовать для прогнозирования.
Например, если мы вложим в рекламу 40 тыс р., то ожидаемое среднее количество проданного товара составит 1,92 × 40 + 12,78 = 89,58 тыс. шт. (очевидно,
что ровно столько продано не будет, это средняя математически обоснованная
цифра).
Построим график уравнения регрессии. Для этого в третью строчку таблицы введем значения функции регрессии в заданных точках Х (первая строка)
— y (x i ) . Для получения этих значений используется функция ТЕНДЕНЦИЯ
категории «Статистические». Вводим в А3 подпись «Y(X)» и, поместив курсор
в В3, вызываем функцию ТЕНДЕНЦИЯ. В полях «Изв_знач_у» и «Изв_знач_х»
даем ссылку на В2–М2 и В1–М1. В поле «Нов_знач_х» вводим также ссылку на
В1–М1. В поле «Константа» вводят 1, если уравнение регрессии имеет вид
y ax b , и 0, если y ax . В нашем случае вводим единицу. Функция ТЕНДЕНЦИЯ является массивом, поэтому для вывода всех ее значений выделяем
область В3–М3 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат — значения уравнения регрессии в заданных точках. Строим график. Ставим курсор в любую
свободную клетку, вызываем мастер диаграмм, выбираем категорию «Точечная», вид графика — линия без точек (в нижнем правом углу), нажимаем «Далее», в поле «Диапазон» вводим ссылку на В3–М3. Переходим на закладку
«Ряд» и в поле «Значения Х» вводим ссылку на В1–М1, нажимаем «Готово».
Результат — прямая линия регрессии. Посмотрим, как различаются графики
опытных данных и уравнения регрессии. Для этого ставим курсор в любую
57
свободную ячейку, вызываем мастер диаграмм, категория «График», вид графика — ломаная линия с точками (вторая сверху левая), нажимаем «Далее», в
поле «Диапазон» вводим ссылку на вторую и третью строки В2–М3. Переходим
на закладку «Ряд» и в поле «Подписи оси Х» вводим ссылку на В1–М1, нажимаем «Готово». Результат — точки и линия. Видно, что линия хорошо приближает собой точки.
Для вычисления коэффициента корреляции rxy служит функция ПИРСОН. Размещаем графики так, чтобы они располагались выше 25 строки, и в
А25 делаем подпись «Корреляция», в В25 вызываем функцию ПИРСОН, в полях которой «Массив 1» и «Массив 2» вводим ссылки на исходные данные В1–
М1 и В2–М2. Результат 0,993821. Коэффициент детерминации Rxy — это квадрат коэффициента корреляции r xy . В А26 делаем подпись «Детерминация», а в
В26 — формулу «=В25*В25». Результат 0,987681.
Однако в Excel существует одна функция, которая рассчитывает все основные характеристики линейной регрессии. Это функция ЛИНЕЙН. Ставим
курсор в В28 и вызываем функцию ЛИНЕЙН, категории «Статистические». В
полях «Изв_знач_у» и «Изв_знач_х» даем ссылку на В2–М2 и В1–М1. Поле
«Константа» имеет тот же смысл, что и в функции ТЕНДЕНЦИЯ, у нас она
равна 1. Поле «Стат» должно содержать 1, если нужно вывести полную статистику о регрессии. В нашем случае ставим туда единицу. Функция возвр ащает
массив размером 2 столбца и 5 строк. После ввода выделяем мышью ячейки
В28–С32 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат — табл. 3.4.2.
Таблица 3.4.2
Коэффициент а
Коэффициент b
Стандартная ошибка m a
Коэффициент детерминации Rxy
F-статистика
Стандартная ошибка mb
Среднеквадратическое отклонение у
2
Регрессионная сумма квадратов S в
Степени свободы п – 2
Остаточная сумма квадратов S a2
Анализ результата: в первой строчке — коэффициенты уравнения регрессии, сравните их с рассчитанными функциями НАКЛОН и ОТРЕЗОК. Вторая
строчка — стандартные ошибки коэффициентов. Если одна из них по модулю
больше чем сам коэффициент, то коэффициент считается нулевым. Коэффициент детерминации характеризует качество связи между факторами. Полученное
значение 0,988 говорит об очень хорошей связи факторов. F-статистика проверяет гипотезу об адекватности регрессионной модели. Данное число нужно
сравнить с критическим значением. Для его получения вводим в Е33 подпись
«F-критическое», а в F33 функцию FРАСПОБР, аргументами которой вводим
58
соответственно «0,05» (уровень значимости), «1» (число факторов Х) и «10»
(степени свободы). Видно, что F-статистика больше, чем F-критическое, значит
регрессионная модель адекватна. В последней строке приведены регрессионная
2
сумма квадратов S в
n
(y~(x i ) y ) 2
и остаточные суммы квадратов
i 1
S в2
n
( ~y ( xi ) yi ) 2 . Важно, чтобы регрессионная сумма (объясненная регрес-
i 1
сией) была намного больше остаточной (не объясненная регрессией, вызванная
случайными факторами). В нашем случае это условие выполняется, что говорит
о хорошей регрессии.
Парная нелинейная регрессия. Рассмотрим теперь случаи построения
нелинейных регрессионных парных моделей, когда опытные данные приближаются некоторой кривой линией.
Если линейная модель оказывается неадекватной, необходимо использ овать другие нелинейные формы регрессионных уравнений вида y~ f (x )
.В
ряде случаев с помощью преобразования переменных нелинейную модель
можно свести к линейной. Такие нелинейные модели называются внутренне
линейными. Наиболее популярными в эконометрических исследованиях являются следующие нелинейные функции:
y Ax B ; (степенная);
y Ae Bx ; (показательная);
y A x B . (гиперболическая).
Для
функции
ln( y ) ln( A ) B ln( x ) .
(2.1)
необходимо
ее
(3.4.1)
(3.4.2)
(3.4.3)
прологарифмировать:
~
~
Введя обозначения y~ ln( y ); x~ ln( x ); A B ; B ln( A ) , приведем ее к линейному виду y~ A~ x~ B~ . Проделаем описанные в предыдущем
~ ~
пункте вычисления для полученной линейной функции, найдем A ; B , из ко~
~
торых в результате получаем искомые коэффициенты A e B ; B A .
~
~
Аналогично для функции (2.2): ~
y ln( y); ~
x x; A e B ; B A и для
~
~
y y; ~
x 1 / x; A A; B B .
функции (2.3): ~
Характеристики качества такой нелинейной регрессии вычисляются так
же, как и для линейной, но с преобразованными данными.
ПРИМЕР 3.4.2. Некоторая организация желает исследовать зависимость
полученной прибыли Y (млн р.) от вложения средств в научные разработки вы59
пускаемой продукции Х (тыс. р.). Для этого рассматриваются 4 регрессионных
уравнения: линейное y ax b , гиперболическое y a / x b , экспоненциальное y a e bx и степенное y a x b . Необходимо построить уравнения регрессии каждого вида и методами корреляционного анализа выбрать из них
наилучшее. В результате наблюдений получены данные (табл. 3.4.3).
Таблица 3.4.3
Прибыль Y 5
Вложения Х 2
6
4
8
7
11
9
16
10
22
12
29
15
35
16
44
20
57
22
83
25
РЕШЕНИЕ. Ввести данные в таблицу вместе с подписями (ячейки А1–
L2). Оставить свободными три строчки ниже таблицы для ввода преобразованных данных, выделить первые пять строк, проведя по левой серой границе по
числам от 1 до 5, выбрать какой-либо цвет (светлый, желтый или розовый) и
раскрасить фон ячеек. Начинаем с линейной регрессии. Начиная с A6, выводим
параметры линейной регрессии. Для этого в ячейку А6 делаем подпись «Линейная» и в соседнюю ячейку В6 вводим функцию ЛИНЕЙН (категория «Статистические». В полях «Изв_знач_у» и «Изв_знач_х» даем ссылку на В1–L1 и
В2–L2, следующие два поля принимают значения по единице. Далее обводим
область ниже в 5 строчек и левее в 2 строки (ячейки В6–С10) и нажимаем F2 и
Ctrl+Shift+Enter. Результат — таблица с параметрами регрессии, из которых
наибольший интерес представляет коэффициент детерминации в первом столбце третий сверху. В нашем случае он равен R1 = 0,906. Значение F-критерия,
позволяющего проверить адекватность модели, F1 = 87,022 (четвертая строка,
первый столбец). Уравнение регрессии равно y 3,154x 11,992 (коэффициенты а и b приведены в ячейках В6 и С6).
Определим аналогичные характеристики для других регрессий и в р езультате сравнения коэффициентов детерминации найдем лучшую регрессионную модель. Рассмотрим теперь гиперболическую регрессию. Для ее получения
преобразуем данные. В третьей строке в ячейку А3 введем подпись «1/х», а в
ячейку В3 введем формулу «=1/В2». Растянем автозаполнением данную ячейку
на область В3-L3. Получим характеристики регрессионной модели. В ячейку
А12 введем подпись «Гипербола», а в соседнюю – функцию ЛИНЕЙН. В полях
«Изв_знач_у» и «Изв_знач_х» даем ссылку на В1–L1 и преобразованные данные аргумента х: В3–L3, следующие два поля принимают значения по единице. Далее обводим область ниже в 5 строчек и левее в 2 строки и нажимаем F2 и
Ctrl+Shift+Enter. Получаем таблицу параметров регрессии. Коэффициент детерминации в данном случае равен R2 = 0,346, что намного хуже, чем в случае
линейной регрессии. F-статистика равна F2 = 4,761. Уравнение регрессии равно
y
106 ,34 / x 42,76 . Это уравнение позволяет также делать прогнозы, ко-
60
нечно, только в случае, если оно будет адекватно (проверку адекватности всех
моделей приведем ниже).
График опытных данных с линией гиперболической регрессии можно видеть на рис. 3.4.2. Очевидно, что уравнение регрессии очень плохо (неадекватно) описывает данные.
Рис. 3.4.2
Рассмотрим экспоненциальную регрессию. Для ее линеаризации получаем
~
~
y ln y , a~ b , b ln a . Видно, что надо сделать
уравнение ~y a~x b , где ~
преобразование данных — у заменить на ln y. Ставим курсор в ячейку А4 и делаем заголовок «ln y». Ставим курсор в В4 и вводим формулу LN (категория
«Математические»). В качестве аргумента делаем ссылку на В1. Автозаполнением распространяем формулу на четвертую строку на ячейки В4–L4. Далее в
ячейке F6 задаем подпись «Экспонента» и в соседнюю ячейку G6 вводим
функцию ЛИНЕЙН, аргументами которой будут преобразованные данные В4–
L4 (в поле «Изв_знач_у»), а остальные поля такие же, как и для случая линейной регрессии (В2–L2, 1, 1). Далее обводим ячейки G6–H10 и нажимаем F2 и
Ctrl+Shift+Enter. Результат R3 = 0,979, F3 = 425,2748, что говорит об очень хорошей регрессии. Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии
~
b a~; a eb ставим курсор в J6 и делаем заголовок «а=», а в соседней К6 –
формулу «=EXP(H6)», в J7 даем заголовок «b=», а в К7 – формулу «=G6».
Уравнение регрессии есть y
3, 956 e 0 ,125 x . Строим графики (рис. 3.4.3).
61
Рис. 3.4.3
Видно, что уравнение очень хорошо описывает данные и скорее всего
адекватно. По нему можно делать прогнозы. Например, при расходах на научную разработку 11 тыс. р., прибыль в среднем составит 3,965 е0,125 11 = 15,682.
Рассмотрим степенную регрессию. Для ее линеаризации получаем урав~
~
нение y~ a~x~ b , где y~ ln y , x~ ln x , a~ b , b ln a . Видно, что надо сделать преобразование данных — у заменить на ln y и х заменить на ln x. Строчка
с ln y у нас уже есть. Преобразуем переменные х. В ячейку А5 даем подпись «ln
x», а в В5 вводим формулу LN (категория «Математические»). В качестве аргумента делаем ссылку на В2. Автозаполнением распространяем формулу на пятую строку на ячейки В5–L5. Далее в ячейке F12 задаем подпись «Степенная» и
в соседней G12 вводим функцию ЛИНЕЙН, аргументами которой будут преобразованные данные В4–L4 (в поле «Изв_знач_у») и В5–L5 (в поле
«Изв_знач_х»), остальные поля — единицы. Далее обводим ячейки G12–H16 и
нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат R4 = 0,896, F4 = 77,361, что говорит о
хорошей регрессии. Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии
~
b
~
b a ; a e ставим курсор в J12 и делаем заголовок «а=«, а в соседней К12
вводим формулу «=EXP(H12)», в J13 даем заголовок «b=», а в К13 формулу
1,157
«=G12». Уравнение регрессии есть y 1,133 x
.
Строим график. Видно, что данные, в принципе, неплохо описаны линией
регрессией, но для показательной регрессии прогноз будет точнее (рис. 3.4.4).
62
Рис. 3.4.4
Проверим теперь аналитически, все ли уравнения адекватно описывают
данные. Для этого нужно сравнить F-статистики каждого критерия с критическим значением. Для его получения вводим в А21 подпись «F-критическое», а в
В21 функцию FРАСПОБР, аргументами которой вводим соответственно «0,05»
(уровень значимости), «1» (число факторов Х в строке «Уровень значимости
1») и «9» (степень свободы 2 = n – 2). Результат 5,117. Видно, что F-статистика
для первой, третьей и четвертой регрессионной модели больше, чем Fкритическое, значит, эти модели адекватны. А гиперболическая регрессия неадекватна, т. к. F2 Fkp . Для того чтобы определить, какая модель наилучшим
образом описывает данные, сравним индексы детерминации для каждой модели
R1 , R2 , R3 , R4 . Наибольшим является R3 = 0,979. Значит опытные данные лучше описывать моделью y
3,956 e 0,125 x .
Параболическая регрессия.
Если для нелинейной модели не удается никакими преобразованиями
привести уравнение регрессии к линейному виду, то часто используют полиномиальною регрессию, когда данные приближаются многочленом степени k,
2
... a k x k . Частным виуравнение которого имеет вид y~(x ) a 0 a1 x a 2 x
дом полиномиальной регрессии является параболическая регрессия, уравнение
bx c .
которой есть y~(x ) ax
Для нахождения неизвестных параметров уравнения нужно решить систему уравнений:
2
63
a
xi4 b
xi3 c
xi2
xi2 yi ;
a
xi3 b
xi2 c
xi
xi yi ;
a
xi2 b
xi
c n
(3.4.4)
yi .
Коэффициент нелинейной корреляции для такой модели вычисляется по
формуле r
(y~(x i ) y i ) 2
.
(y y i ) 2
1
ПРИМЕР 3.4.3. Исследуется зависимость полученной киоском прибыли
(тыс. р. в день) от зарплаты продавца Х (тыс. р. в месяц). Предполагается, что
зависимость носит параболический характер. Построить эту зависимость. Данные приведены в табл. 3.4.4
Таблица 3.4.4
Х
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Y
9
12
14
15
16
16
15
14
14
13
12
12
РЕШЕНИЕ. Вводим эти данные в электронную таблицу вместе с подписями в ячейки А1–М2. Строим график. Для этого обводим данные Y (ячейки
В2–М2), вызываем мастер диаграмм, выбираем тип диаграммы «График», вид
диаграммы — график с точками (второй сверху левый), нажимаем «Далее», переходим на закладку «Ряд» и в поле «Подписи оси Х» делаем ссылку на В2–М2,
нажимаем «Готово».
Видно, что график имеет экстремум, и хорошо будет описываться параболой, ветви которой направлены вниз (рис. 3.4.5).
Рис. 3.4.5
64
Рассчитаем суммы. Для этого в ячейку А3 вводим подпись «X^2», а в В3
вводим формулу «=В1*В1» и автозаполнением переносим ее на всю строку В3–
М3. В ячейку А4 вводим подпись «X^3», а в В4 формулу «=В1*В3» и автозаполнением переносим ее на всю строку В4–М4. В ячейку А5 вводим «X^4», а в
В5 формулу «=В4*В1» , автозаполняем строку. В ячейку А6 вводим «X*Y», а в
В8 формулу «=В2*В1» , автозаполняем строку. В ячейку А7 вводим «X^2*Y»,
а в В9 формулу «=В3*В2» , автозаполняем строку. Теперь считаем суммы. Выделяем другим цветом столбец N, щелкнув по заголовку и выбрав цвет. В ячейку N1 помещаем курсор и щелкнув по кнопке автосуммы со значком , вычисляем сумму первой строки. Автозаполнением переносим формулу на ячейки
N1–N7.
Решаем теперь систему уравнений. Для этого введем основную матрицу
системы. В ячейку А9 введем подпись «А=«, а в ячейки матрицы В13–Е16 введем суммы, стоящие в левой части системы уравнений (1), то есть ссылки, согласно табл. 3.4.5
Таблица 3.4.5
Ячейка
В9
Ссылка =N5
В10
В11
С9
С10
С11
D9
D10
D11
=N4
=N3
=N4
=N3
=N1
=N3
=N1
12
Число 12 в последней ячейке — это число точек, взятых из наблюдений.
Вводим теперь матрицу-столбец с коэффициентами правых частей системы (3.4.4). Для этого в ячейку Е9 вводим подпись «В=«, а в ячейки F9, F10 и
F11 вводим ссылки на ячейки «=N7», «=N6» и «=N2». Решаем систему матричным методом. Из высшей математики известно, что решение равно A 1 B .
Находим обратную матрицу А–1. Для этого в ячейку G9 вводим подпись «А
обр.» и, поставив курсор в H9, задаем формулу МОБР (категория «Математические»). В качестве аргумента «Массив» даем ссылку на ячейки B9:D11. Результатом также должна быть матрица размером 3 х 3. Для ее получения обводим
ячейки H9–J11 мышью, выделяя их, и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат — матрица A 1 . Найдем теперь произведение этой матрицы на столбец В
(ячейки F9–F11). Вводим в ячейку А12 подпись «Коэффициенты» и в В13 задаем функцию МУМНОЖ (категория — «Математические»). Аргументами функции «Массив 1» служит ссылка на матрицу A 1 (ячейки H9–J11), а в поле
«Массив 2» даем ссылку на столбец В (ячейки F9–F11). Далее выделяем В13–
В15 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Получившийся массив — коэффициенты
уравнения регрессии a, b, c . В результате получаем уравнение регрессии вида
y
0,166 x 2
65
4,207 x 11,119 .
Построим графики исходных данных и полученных на основании уравнения регрессии. Для этого в ячейку А8 вводим подпись «Регрессия» и в В8 вводим формулу «=$B$13*B3+$B$14*B1+$B$15». Автозаполнением переносим
формулу в ячейки В8–М8. Для построения графика выделяем ячейки В11–М11
и, удерживая клавишу Ctrl, выделяем также ячейки В2–М2. Вызываем мастер
диаграмм, выбираем тип диаграммы «График», вид диаграммы — график с
точками (второй сверху левый), нажимаем «Далее», переходим на закладку
«Ряд» и в поле «Подписи оси Х» делаем ссылку на В2–М2, нажимаем «Готово».
Видно, что кривые почти совпадают (рис. 3.4.6).
Рис. 3.4.6
Из проведенного анализа видно, что оптимальная зарплата продавца
должна составлять около 12—13 тыс. р. (максимум уравнения регрессии).
Уравнение также можно использовать в прогнозах.
3.5. Множественная регрессия и корреляция
В рассмотренных ранее задачах на фактор Y влиял только один фактор X,
а влияние всех остальных было мало и приводило к случайному разбросу значений Y. Однако часто на результирующий фактор Y достаточно сильно может
влиять сразу несколько других факторов. Если на переменную Y в равной степени влияют несколько независимых переменных, то такая зависимость опис ывается множественной регрессией. Переменная Y при этом называется результирующим признаком или результатом, а остальные, влияющие на него показатели, — независимыми факторами.
66
Множественная линейная регрессия.
Рассмотрим случай, когда независимые переменные входят в уравнение
регрессии линейно. Такая множественная регрессия называется линейной. Рассмотрим простейший случай линейной множественной регрессии — двухфакторную регрессию. В этом случае на результат Y влияют два фактора: Х1 и Х2.
Ее уравнение имеет вид y a 1 x 1 a 2 x 2 b .
Например, предположим, что зависимость расходов на продукты питания
по совокупности семей характеризуется следующим уравнением:
y~x 0,35 x 1 0,73 x 2 0,5 ,
где y — расходы семьи за месяц на продукты питания, тыс. р.;
x1 — месячный доход на одного члена семьи, тыс. р.;
x2 — размер семьи, человек.
Анализ данного уравнения позволяет сделать выводы — с ростом дохода
на одного члена семьи на 1 тыс. р. расходы на питание возрастут в среднем на
350 р. при том же среднем размере семьи. Иными словами, 35 % дополнительных семейных расходов тратится на питание. Увеличение размера семьи при
тех же ее доходах предполагает дополнительный рост расходов на питание на
730 р. Третий параметр не подлежит экономической интерпретации.
Для оценки качества уравнения регрессии используются парные коэффициенты корреляции, которые вычисляются по формулам:
x1y x1 y
x2y x2 y
rx 1 y
; rx 2 y
;
2
2
2
2
2
2
2
2
x 1 (x 1 )
y
(y )
x 2 (x 2 )
y
(y )
rx 1 x 2
x1x2
x 12
x1 x2
2
x 22
.
2
(x 1 )
(x 2 )
Коэффициенты rx 1 y , rx 2 y характеризуют влияние каждого фактора Х1 и
Х2 на результат Y. Коэффициент r x 1 x 2 характеризует влияние факторов друг на
друга. Если это влияние высоко, то это негативный признак, т. к. факторы Х1 и
Х2 должны быть независимыми.
Для оценки совокупного влияния факторов Х1 и Х2 на результат рассчитывается множественный коэффициент корреляции, который для двухфакторной модели равен
rxy
1
1 2 rx 1 x 2 rx 1 y rx 2 y
rx21 x 2
1 rx21 x 2
rx21 y
rx22 y
.
В общем виде уравнение линейной множественной регрессии имеет вид:
~
y a b1 x 1 b2 x 2  b p x p .
Для нахождения неизвестных параметров этого уравнения нужно решить
систему уравнений, которая имеет вид
67
a
a
a n b1
x 1 b2 x 2 b p
xp
y;
x 1 b1
x 12 b2 x 1 x 2 b p
x1 x p
y x 1;
.......... .......... ....
x p b1
x p x 1 b2 x p x 2 b p
x 2p
y x p.
Для определения степени влияния факторов на результат и для оценки
степени их влияния друг на друга вычисляют величины r yx i и rx i x j , которые
называются парными коэффициентами корреляции.
ПРИМЕР 3.5.1. Некоторая организация занимается торговлей компьютерами. Она определила, что на количество продаж Y основное влияние оказывают следующие факторы: цена товара X 1 , затраты на рекламу X 2 и число конкурирующих организаций в регионе X 3 . Результаты наблюдений приведены в табл. 3.5.1.
Таблица 3.5.1
Х1 20
20
18
17
17
19
18
16
16
16
15
15
14
14
Х2 37 38 36 42 47 55 53 54 49 50 52 52 51 54
Х3 3
4
3
5
4
3
2
3
2
2
1
2
1
3
Y 112 132 129 134 132 137 139 139 138 143 141 146 148 150
Построим линейное уравнение множественной регрессии.
РЕШЕНИЕ. Для этого предварительно исследуем матрицу парных коэффициентов корреляции. Вводим исходные данные вместе с подписями в
ячейки А1–О4. Для построения матрицы парной корреляции вызываем меню
«Сервис/Анализ данных» (если пункт меню отсутствует, то вызываем «Сервис/Надстройки» и ставим галочку напротив строки «Пакет анализа»). Выбираем пункт «Корреляция». В появившемся окне в поле «Входной интервал» задаем ссылку на таблицу — А1–О4. Указываем группирование «По строкам». Ставим флажок в «Метки в первом столбце» (так как в ссылках на таблицу указаны
подписи строк). В области «Параметры вывода» ставим флажок напротив «Выходной интервал» и напротив в поле даем ссылку на какую-либо ячейку, откуда
будет осуществляться вывод данных, например А7. Нажимая «ОК», получаем
нижнюю половину матрицы парной корреляции. Для общей оценки мультиколлинеарности факторов и адекватности регрессионной модели рассчитаем опр еделители матриц R и R11 . Сформируем полную матрицу парных коэффициентов корреляции. В С8 задаем формулу «=В9», в D8 — ссылку «=B10», в D9 —
«=С10», в Е8 — «=В11», в Е9 — «=С11», в Е10 — «D11». Далее, для вычисления определителей в ячейку А13 вводим заголовок « R =» и в В13 ставим курсор и задаем функцию «МОПРЕД» (категория «Математические»), в которой
аргумент «Массив» является ссылкой на ячейки B8:E11. В ячейку А14 вводим
68
заголовок « R11 =» и в В14 ставим курсор и задаем функцию «МОПРЕД» с аргументом «Массив» — ссылкой на B8:D10. Результат — 0,427104 (ближе к 0,
чем к 1), что говорит о достаточно высокой общей мультиколлинеарности.
Найдем теперь коэффициент множественной корреляции. В А15 вводим «Rх=»,
а в В15 — формулу «=КОРЕНЬ(1–В13/В14)». Результат 0,883788 говорит о достаточно высокой связи между фактором и функцией отклика.
Проведем теперь отбор факторов. Рассмотрим матрицу коэффициентов
парной корреляции. Видно, что
rx 1, x 2
0, 615 , rx 1, x 3 0,5097 , rx 2, x 3
0, 496 .
Факторы можно считать коллинеарными (интеркоррелированными), если
их парный коэффициент по модулю больше 0,7. В нашем случае таких пар факторов нет. Все факторы можно считать независимыми друг от друга и использ овать в регрессионном уравнении. Определим теперь влияние каждого фактора
X i на функцию отклика Y. Для этого рассмотрим коэффициенты парной корреляции x x1, y
0,815; rx 2, y 0,768; rx3, y
0,45 . Видно, что третий коэффициент
–0,45 намного меньше по модулю, чем примерная граница 0,7, поэтому влияние
третьего фактора Х3 на результат мало и его можно отбросить из рассмотрения.
Копируем теперь на А18–О20 функцию отклика и значимые факторы (1,
2 и 4 строки соответственно А1–О2 копируем в А18–О19, а А4–О4 — в А20–
О20). В ячейку А22 вводим заголовок «Линейная» и в соседнюю В22 вводим
функцию, определяющую параметры линейной регрессии «=ЛИНЕЙН» (категория «Статистические»). Аргументы функции: «Изв_знач_у» — B20:O20 (значения функции), «Изв_знач_х» — B18:O19 (значения двух значимых аргументов), «Константа» — 1 (расчет свободного члена), «Стат» — 1 (вывод дополнительных характеристик регрессии). Результат вычислений функции ЛИНЕЙН в
случае функции нескольких переменных y a 1 x 1 a 2 x 2 ... a k x k a 0 имеет
вид (табл. 3.5.2).
Таблица 3.5.2
Коэффициент аk
Коэффициент ak–1
Коэффициент
a1
Стандартная
Стандартная ошибка … Стандартная
mak 1
ошибка mak
ошибка ma1
Коэффициент де- Среднеквадратиче… нет данных
ское отклонение у
терминации R xy
F-статистика
Степень свободы п … нет данных
–k–1
Регрессионная
Остаточная
сумма … нет данных
сумма квадратов квадратов S 2
a
S в2
69
Коэффициент a0
Стандартная
ошибка ma 0
нет данных
нет данных
нет данных
В нашем случае имеем два фактора X 1 и X 2 , поэтому обводим пять строк
и три столбца В22–D26 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter.
Первая строка результата — значения параметров регрессионного уравнения y a1 x 1 a 2 x 2 a 0 — числа a 2 , a 1 , a 0 . Следовательно, уравнение регрессии есть y 2, 619 x 1 0, 603 x 2 152 ,231 . Вторая строка — стандартные
ошибки коэффициентов. Все они меньше самих коэффициентов, это значит, что
коэффициенты значимы. В ячейках D24–D26 стоят значения «#Н/Д» (нет данных), как и должно быть в соответствии с табл.3.5.2.
Коэффициент детерминации равен 0,7783. Видно, что F-критерий регрессионной модели равен 19,3097. Проверим модель на адекватность. Вычислим
критическое значение статистики. Вводим в ячейку Н22 подпись «Fкритическое» а в I22 вводим функцию FРАСПОБР, имеющую аргументы: «Вероятность» — уровень значимости, если он не задан в условии (как в нашем
случае), то обычно его принимаем 0,05. Аргумент «Степени_свободы_1» —
число независимых переменных (у нас их две — X 1 и X 2 ). Аргументом «Степени_свободы_2» служит число, показанное в ячейке С25 (в данном примере
11). Видно, что F-статистика больше ее критического значения, поэтому модель
адекватна.
Что дают полученное уравнение и коэффициенты корреляции? Вопервых, парные коэффициенты показывают, какие факторы сильнее влияют на
результат, а какие слабее, что позволяет эффективно управлять политикой о рганизации. В примере самый сильный фактор — цена товара, его коэффициент
xx1, y
0,815 максимален по величине и отрицателен, что говорит о том, что с
ростом цены прибыль растет. Во-вторых, уравнение позволяет делать прогнозы. Так, если цена товара х1 = 21, затраты на рекламу х2 = 48, а число конкурентов х3 = 3, то количество продаж Y можно ожидать порядка
y 2,619 21 0,603 48 152 ,231 178 ,286 .
Множественная нелинейная регрессия.
Множественная нелинейная регрессия отличается от линейной только тем,
что в ней нужно делать замену переменных.
ПРИМЕР 3.5.2.Предприятие выпускает продукцию, количество которой
за месяц Y (тыс. шт.) зависит от затрат материальных ресурсов X 1 (т.), трудозатрат X 2 (тыс. ч.) и энергозатрат X 3 (млн кВт). При расширении производства наблюдалась следующая эмпирическая зависимость между выпуском Y и
затратами ресурсов X 1 , X 2 , X 3 (табл. 3.5.3).
70
Таблица 3.5.3
Х1 16 20
18
22
21
24
27
26
28
31
35
34
33
34
Х2 50 55
58
50
57
59
62
64
59
64
59
62
65
70
Х3 7 6
7
8
10
8
9
7
11
10
12
11
9
13
Y 45 50,3 54,1 55,1 60,8 65,6 68,8 66,6 73,2 81,9 91,8 86,1 83,1 93,1
Из теории производственных функций известно, что зависимость результирующего признака (функции откликов) от факторов имеет вид
y a 0 x 1 a1 x 2a2 x 3a3 . Вводим исходные данные вместе с подписями в ячейки
А1–О4. Построить регрессионную модель.
РЕШЕНИЕ. Чтобы привести уравнение к линейному виду, нужно прологарифмировать уравнение ln y ln y 0 a 1 ln x 1 a 2 ln x 2 a 3 ln x 3 . Вводим вместо исходных данных их логарифмы. Для этого в ячейки А5–А8 вводим подписи «Ln X1», «Ln X2», «LnX3», «LnY». Ставим курсор в ячейку В5 и вводим
функцию LN (категория «Математические») с аргументом «Число» В1, которое
отобразится в строке формул в виде «=LN(В1)», затем переносим формулу на
все данные, автозаполняя ячейки В5–О8. После этого исследуем матрицу парных коэффициентов корреляции. Для построения матрицы вызываем меню
«Сервис/Анализ данных» и выбираем пункт «Корреляция». В появившемся
окне в поле «Входной интервал» задаем ссылку на преобразованные данные —
А5–О8. Указываем группирование «По строкам». Ставим флажок в «Метки в
первом столбце» (так как в ссылках на таблицу указаны подписи строк). В области «Параметры вывода» ставим флажок напротив «Выходной интервал» и
напротив в поле даем ссылку на какую-либо ячейку, откуда будет осуществляться вывод данных, например А10, и нажимаем «ОК». Для общей оценки
мультиколлинеарности факторов и адекватности регрессионной модели рассчитаем определители матриц R и R11 . Сформируем полную матрицу парных коэффициентов корреляции. В С11 задаем формулу «=В12», в D11 — ссылку
«=B13», в D12 — «=С13», в Е11 — «=В14», в Е12 — «=С14», в Е13 — «=D14».
Далее для вычисления определителей в ячейку А16 вводим заголовок « R =« и
в В16 ставим курсор и задаем функцию «МОПРЕД» (категория «Математические»), в которой аргумент «Массив» является ссылкой на ячейки B11:E114. В
ячейку А17 вводим заголовок « R11 =« и в В17 ставим курсор и задаем функцию «МОПРЕД» с аргументом «Массив» — ссылкой на B11:D13. Результат —
0,163303, он близок к нулю, что говорит о достаточно сильной общей мультикорреляции факторов между собой. Найдем теперь коэффициент множественной корреляции. В А18 вводим «Rх=», а в В18 формулу «=КОРЕНЬ(1–
В16/В17)». Результат 0,993187 говорит о достаточно высокой связи между фактором и функцией отклика.
71
Проведем теперь отбор факторов. Видно, что первый фактор сильно связан и со вторым и с третьим, поэтому его выводим из регрессионной модели.
Одновременно видно, что влияние второго и третьего фактора на функцию Y
достаточно сильно, поэтому принимаем к рассмотрению регрессионную модель
y F ( x2 , x3 ) . В строках с номерами 20—22 копируем значимые факторы. Для
этого в А20–А22 вводим подписи «Ln X2, LnX3, LnY», а в В20 вводим функцию «=LN(B2)» и автозаполняем ее В20–О22. В ячейку А24 вводим заголовок
«Линейная» и в соседнюю В24 вводим функцию, определяющую параметры
линейной регрессии «=ЛИНЕЙН». Аргументы функции: «Изв_знач_у» —
B22:O22, «Изв_знач_х» — B20:O21, «Константа» = 1, «Стат» = 1. Далее обводим 5 строк и три столбца В24–D28 (т. к. находим параметры функции Y и двух
факторов X 2 и X 3 ), и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Первая строка результата — значения параметров преобразованного регрессионного уравнения.
Чтобы получить данные исходного уравнения, вводим в G10, G11 и G12 подписи « a1 , a 2 , a 0 «, а в соседние ячейки Н10, Н11 и Н12 формулы «=C24»,
«=B24» и
«=EXP(D24)». В результате уравнение регрессии есть
1, 210
y 0,132 x 2
x 30,577 . Вторая строка — стандартные ошибки коэффициентов.
Все они меньше самих коэффициентов, это значит, что коэффициенты знач имы. Коэффициент детерминации равен 0,892. Видно, что F-критерий регрессионной модели равен 45,359. Проверим модель на адекватность. Вычислим кр итическое значение статистики. Вводим в ячейку Н24 подпись «F-критическое»
а в I24 вводим функцию FРАСПОБР, имеющую аргументы: «Вероятность» —
0,05 (т. к.
1 p 1 0, 95 0, 05 ), «Степени_свободы_1» — 2 (число независимых переменных равно двум — X 2 и X 3 ). Аргументом «Степени_свободы_2» служит число, показанное в ячейке С27 (в данном примере: 11).
Видно, что F-статистика больше ее критического значения, поэтому модель
адекватна, следовательно, по ней можно делать те же выводы, что и в пред ыдущем примере.
Множественная регрессия с фиктивными переменными.
Рассмотрим еще один пример множественной регрессии и корреляции —
с введением фиктивных переменных.
Фиктивные переменные вводятся в случае, если показатель, влияющий на
функцию отклика, нельзя измерить количественно. Рассмотрим их применение
на следующем примере.
ПРИМЕР 3.5.3. Строительная организация продает облицовочную плитку в трех городах: Воронеже, Липецке и Курске. Маркетинговая служба хочет
определить влияние отчислений на рекламу Y (тыс. р.) на количество проданной продукции Х (млн шт.). При этом предполагается, что зависимость фактора
72
Х на функцию Y линейная и степень влияния факторов друг на друга (коэффициент а уравнения регрессии) во всех городах примерно одинаков, но различный спрос на продукцию (свободный член уравнения). Организация желает
включить в регрессионную модель такой фактор, как «город». Имеются следующие статистические данные (табл. 3.5.4-3.5.6).
г. Воронеж
Таблица 3.5.4
X
25
14
19
27
33
31
12
16
28
Y
37
24
25
39
42
43
22
27
27
г. Липецк
Таблица 3.5.5
X
13
18
19
24
21
17
31
29
16
27
22
21
Y
30
33
33
41
35
31
45
45
30
40
33
32
г. Курск
Таблица 3.5.6
X
16
15
11
19
27
31
29
22
19
26
Y
22
20
18
25
28
35
32
27
26
31
РЕШЕНИЕ. Введем фиктивные переменные
1, г. Воронеж ;
z1
1, г. Липецк ;
z2
0, не г. Воронеж ,
0, не г. Липецк .
В результате получаем регрессионную функцию трех переменных
y ax b1 z 1 b2 z 2 b , а результаты наблюдений можно записать в виде
табл. 3.5.7.
Таблица 3.5.7
Y
37
24
25
39
42
43
22
27
27
30
33
33
41
35
31
45
X
Z1
Z2
Y
X
Z1
Z2
25
1
0
45
29
0
1
14
1
0
30
16
0
1
19
1
0
40
27
0
1
27
1
0
33
22
0
1
33
1
0
32
21
0
1
31
1
0
22
16
0
0
12
1
0
20
15
0
0
16
1
0
18
11
0
0
28
1
0
25
19
0
0
13
0
1
28
27
0
0
18
0
1
35
31
0
0
19
0
1
32
29
0
0
24
0
1
27
22
0
0
21
0
1
26
19
0
0
17
0
1
31
26
0
0
31
0
1
Y
X
Z1
Z2
73
Вводим эти данные в электронную таблицу. В А1–А4 вводим подписи
“Y”, “X”, “Z1”, “Z2”. В ячейки В1–AF4 вводим данные из табл. 3.5.7. Данные
вводятся в 4 строки и 31 столбец, не считая заголовки. Посмотрим, имеются ли
мультиколлинеарные факторы. Для этого находим матрицу коэффициентов интеркорреляции. Вызываем меню «Сервис (Данные)/Анализ данных» и выбираем пункт «Корреляция». В появившемся окне в поле «Входной интервал» задаем ссылку на данные — факторы: А2–AF4. Указываем группирование «По
строкам». Ставим флажок в «Метки в первом столбце» (так как в ссылках на
таблицу указаны подписи строк). В области «Параметры вывода» ставим флажок напротив «Выходной интервал» и напротив в поле даем ссылку на какуюлибо ячейку, откуда будет осуществляться вывод данных, например А7 и
нажимаем «ОК». Ставим курсор в С8 и делаем ссылку «=В9», в D8 — ссылку
«=В10», в D9 — ссылку «=С10». Ставим курсор в ячейку G7, вводим заголовок
« R11 =« и в H7 ставим курсор и задаем функцию «МОПРЕД» с аргументом
«Массив» — ссылкой на B8:D10. Результат — 0,7352005, близок к единице, что
говорит о достаточно слабой зависимости факторов между собой. Все факторы
оставляем в регрессионной модели, вычисляем параметры регрессии. Ставим
курсор в А12 и даем заголовок «Параметры регрессии», а затем переводим курсор в А13 и вызываем функцию «ЛИНЕЙН», аргументы которой: «Изв_знач_у»
— B1:AF1, «Изв_знач_х» — B2:AF4, «Константа» = 1, «Стат» = 1. Далее обводим 5 строк и 4 столбца А13–D17 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. В первой
строке — коэффициенты регрессионного уравнения, следовательно, уравнение
регрессии есть y 0,897x 4,231z 1 9,267z 2 7,108 . Вторая строка —
стандартные ошибки коэффициентов. Все они меньше самих коэффициентов,
это значит, что коэффициенты значимы.
Проверим модель на адекватность. Видно, что F-критерий регрессионной
модели равен 63,703. Вычислим критическое значение статистики. Вводим в
ячейку G13 подпись «F-критическое», а в Н13 вводим функцию FРАСПОБР,
имеющую аргументы: «Вероятность» — 0,05 (произвольно примем по умолчанию), «Степени_свободы_1» — 3 (число независимых переменных равно трем
— X , Z 1 и Z 3 ). Аргументом «Степени_свободы_2» служит число, показанное в ячейке В16 (в данном примере — 27). Видно, что F-статистика больше ее
критического значения, поэтому модель адекватна. Построим уравнение р егрессии для каждого города в отдельности. Вводим в G15 подпись «Воронеж»,
в Н15 — подпись «а=«, в I15 — формулу «=C13» , в Н16 — «b=«, в I16 —
«=D13+B13». Уравнение для Воронежа есть y 0,897x 11,339. Аналогично рассчитываем для Липецка. Вводим в G17 подпись «Липецк», в Н17 подпись «а=«,
в I17 — формулу «=C13» , в Н18 — «b=«, в I18 — «=D13+А13». Результат
y 0,897x 16,374 . Для Курска вводим в G19 подпись «Курск», в Н19 —
подпись «а=«, в I19 — формулу «=C13» , в Н20 — «b=«, в I20 — «=D13». Ре-
74
зультат y 0,897x 7,108. Теперь при прогнозировании и анализе можно учитывать, в каком городе мы продаем плитку.
3.6. Временные ряды
Временной ряд — совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Примеры временных рядов: динамика курса валюты за некоторый период, ежемесячная прибыль
предприятия за год, статистика по ежедневным продажам какого-либо товара за
месяц и т. д.
Моделирование временного ряда.
Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:
1) факторы, формирующие тенденцию ряда (например, инфляция влияет
на увеличение размера средней заработной платы);
2) факторы, формирующие циклические колебания ряда (например, уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с
летним);
3) случайные факторы.
Очевидно, что реальные данные чаще всего содержат все три компоненты. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных
компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Если же временной ряд представлен как их произведение, то такая модель называется мультипликативной.
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний
значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корр еляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда
называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно эту зависимость можно представить с помощью коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутого на несколько шагов
во времени. Этот показатель называется коэффициентом автокорреляции rk .
Число периодов k, по которым происходит смещение временного ряда для вычисления коэффициента автокорреляции, называется лагом. Функция, характеризующая зависимость коэффициента автокорреляции от лага rk r (k ) , называется автокорреляционной функцией, а ее график — коррелограммой. Коррелограмма позволяет исследовать структуру временного ряда, выявить наличие
его компонент. Методы построения коррелограммы и аддитивной модели вр еменного ряда рассмотрим на примере.
75
ПРИМЕР 3.6.1. Имеются данные об объемах потребления газированных
напитков (тыс. тонн) в развивающемся городе за восемь сезонов. Сезоном будет
являться один год, то есть 4 квартала. Всего кварталов 32 (табл. 3.6.1).
Таблица 3.6.1
Квартал 1
Цена
Квартал
Цена
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
13 14 15 16
15 5 10 35 26 19 23 46 38 31 34 58 51 41 46 70
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 28 30 31 32
63 53 58 82 75 67 70 94 86 77 84 105 98 89 94 117
Построить модель временного ряда. Главный итог при построении временных рядов — это возможность делать прогноз на будущее на основании поведения показателя в прошлом.
РЕШЕНИЕ. Выявление структуры ряда. Построим график зависимости
цены на жилье от квартала. Для этого вводим в А1 подпись «Квартал», в ячейки
А2 и А3 числа «1» и «2», затем обводим мышкой А2 и А3, выделяя их, и, зацепив мышкой за маркер автозаполнения, опускаем его до А33. В В1 вводим подпись «Цена», а в столбец В2–В33 вводим значения строки «Цена» из табл. 3.6.1.
Переходим на «Лист 2», нажимаем на кнопку
«Мастер диаграмм» и выбираем категорию «График» и тип «График с маркерами…», второй сверху левый. Нажимаем «Далее», в поле «Диапазон» обводим на листе 1 ячейки «B2–
B33», переходим на закладку «Ряд», обводим в поле «Подписи оси Х» ячейки
листа 1 «А2–А33». Нажимаем «Готово» (рис. 3.6.1).
Рис. 3.6.1
Видно, что график имеет явно выраженную линейную трендовую составляющую и циклическую компоненту. Однако для более полного анализа ряда
построим коррелограмму. Для этого в А1 (Лист 2) вводим подпись «Лаг», а в
А2 и в А3 вводим «1» и «2». Обводим, выделяя, А2–А3, и автозаполнением переводим данные на А2–А9. Результат — последовательность чисел от 1 до 8.
Далее ставим курсор в В1, вводим «Корреляция», переносим курсор в В2, вы76
зываем формулу ПИРСОН (вычисляет парный коэффициент корреляции, категория «Статистические»). Аргументом «Массив 1» будет служить ссылка на
данные «Цена», кроме последнего значения (ссылка на В2–В32, лист 1). Аргумент «Массив 2» — эти же данные, но без первого аргумента (ссылка на В3–В33).
Далее аналогично находим коэффициенты автокорреляции, но со сдвижкой (лагом) на 2, 3, …, 8 значений. Заполняем ячейки В3–В9 в соответствии с табл. 3.6.2.
Таблица 3.6.2
Ячейка Функция
В3
В4
В5
В6
ПИРСОН
ПИРСОН
ПИРСОН
ПИРСОН
Массив Массив ЯчейФункция
1
2
ка
Массив Массив
1
2
В2–В31
В2–В30
В2–В29
В2–В28
В2–В27
В2–В26
В2–В25
В4–В33
В5–В33
В6–В33
В7–В33
В7
В8
В9
ПИРСОН
ПИРСОН
ПИРСОН
В8–В33
В9–В33
В10–В33
Далее обводим ячейки В2–В9 мышью и вызываем мастер диаграмм, выбираем категорию «График» верхний левый график, нажимаем «Готово».
Получили коррелограмму (рис. 3.6.2). Знание автокорреляционной функции r (k ) может оказать помощь при подборе и идентификации модели анализируемого временного ряда и статистической оценки его параметров.
Рис. 3.6.2
По коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной или
близкой к линейной тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих
сильную нелинейную тенденцию, например параболу второго порядка или экспоненту, коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции
первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка k, исследуемый
ряд содержит циклические (сезонные) колебания с периодичностью в k момен77
тов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать предположение относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит
сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.
Если при анализе временного ряда установлено, что ряд содержит сезо нные или циклические колебания, то при моделировании сезонных колебаний
применяют простейший подход — рассчитывают значения сезонной компоненты методом скользящей средней и строят аддитивную или мультипликативную
модель временного ряда.
Видно, что график (рис. 3.6.2) имеет всплески при четвертом и восьмом
лаге (коэффициент автокорреляции близок к единице), что говорит о наличии
циклической составляющей с периодом 4. Проведем теперь моделирование
временного ряда, выделив в нем тренд, циклическую и случайные компоненты:
Y = T + S + E.
Процесс построения модели включает в себя следующие пункты:
выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;
расчет значений сезонной компоненты S;
устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и
получение выровненных данных (T + S) ;
аналитическое выравнивание уровней (T + S) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда;
расчет полученных по модели значений (T + S);
расчет абсолютных или относительных ошибок.
Модель тенденции и циклической компоненты ряда.
Перейдем на лист 1. Все дальнейшие вычисления будут проводиться на
этом листе. Проводим в третьем столбце сглаживание данных скользящей
средней. Для этого в ячейку С1 вводим подпись «Сглаживание», а в С2 вводим
формулу «=(B2+B3+B4+B5)/4» и автозаполняем ячейку на С2–С30. Посчитаем
теперь в 4 столбце центрированное скользящее среднее, вводим в D1 подпись
«Центрированное», а в D4 вводим формулу «=(C2+C3)/2». Автозаполняем область D4–D31. Вычисляем теперь оценку сезонной компоненты S. Для этого в
пятый столбец вводим разность между показателем (столбец 2) и сглаженным
значением (столбец 4). Вводим в Е1 подпись «Оценка S», а в Е4 вводим формулу «=B4–D4» и автозаполняем ее на Е4-Е31. Строим модель циклической компоненты S . Для этого выводим оценку сезонной компоненты по кварталам года. Вводим в А35 подпись «Квартал», в ячейки В35–Е35 – числа 1, 2, 3 и 4, а в
ячейки В36–Е43 – ссылки в соответствии с табл. 3.6.3.
78
Таблица 3.6.3
Ячейка
D36
E36
B36
C36
D37
E37
B37
Ссылка
Ячейка
Ссылка
Ячейка
Ссылка
Ячейка
Ссылка
=E4
C37
=Е11
В39
=Е18
E41
=Е25
=E5
D38
=Е12
C39
=Е19
B41
=Е26
=Е6
E38
=Е13
D40
=Е20
C41
=Е27
=Е7
B38
=Е14
E40
=Е21
D42
=Е28
=Е8
C38
=Е15
B40
=Е22
E42
=Е29
=Е9
D39
=Е16
C40
=Е23
B42
=Е30
=Е10
E39
=Е17
D41
=Е24
C42
=Е31
Вводим в А43 подпись «Среднее» и в В43 функцию «СРЗНАЧ», в поле
аргумента «Число 1» дать ссылку на В36–В42. Автозаполняем данные на В43–
Е43. Вводим в F42 подпись «Сумма», а в F43 – формулу «=СУММ(B43:E43)».
Видно, что сумма среднего сезонного воздействия отличается от нуля (равна
0,0179), однако суммарное воздействие циклической компоненты должно быть
нулевым. Для расчета циклической компоненты рассчитаем ее поправку, которую отнимем от полученных средних данных. Для этого в G42 вводим подпись
«Поправка» и в G43 формулу «=F43/4», в А44 вводим «S=«, а в В44 вводим
«=B43–$G$43», автозаполняем на В44–E44. Получили циклическую компоненту за 4 квартала: 2,746; –8,790; –7,273; 13,320. Вводим эти числа в ячейки F2–
F5, введя ссылки: в F2 ссылка на «=В44» после ввода ссылки нажимаем F4, получаем «=$B$44», аналогично в F3 дается ссылка на «=$С$44», в F4 – ссылка
на «=$D$44», в F5 – ссылка на «=$E$44». Обведем четыре введенные ячейки
F2–F5 курсором и автозаполнением скопируем эти четыре ячейки на F2–F33.
При этом в ячейку F1 вводим подпись «Циклическое S». Исключим теперь
Циклическую компоненту из временного ряда. Для этого вводим в G1 подпись
«Т+Е=у–S», а в G2 – формулу «=B2–F2» и автозаполняем ячейку на G2–G33.
Вычисляем теперь трендовую компоненту (тенденцию временного ряда). Введем в столбец Н трендовую компоненту Т в виде линейной функции y at b ,
где t — номер квартала. Для этого в Н1 вводим подпись «Тренд Т», а в Н2 вводим функцию «ТЕНДЕНЦИЯ» категория «Статистические», аргументы которой «Изв_знач_у» — ссылка на В2–В33, «Изв_знач_х» — ссылка на А2–А33,
«Нов_знач_х» — вновь ссылка на А2–А33, «Константа» — единица. Далее выделяем, обводя курсором, ячейки Н2–Н33 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter.
Для получения аналитического выражения для тенденции вводим в Н36 функцию ЛИНЕЙН, четырьмя аргументами которой будут В2:В33, А2:А33, 1, 1. Затем выделяем область Н36-I40 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Числа в первой строке таблицы — коэффициенты уравнения линейного тренда: 3,027 и
8,171. Следовательно, уравнение линейного тренда y 3,027t 8,171 .
79
В следующем столбце I будет находиться модель временного ряда, состоящая из суммы циклической компоненты S и тренда Т. Вводим в I1 заголовок
«Модель ряда», а в I2 вводим формулу «=H2+F2». Автозаполняем результат на
I2–I33. Получим график значений временного ряда, тренда и его модели. Для
этого ставим курсор в любую свободную ячейку, вызываем мастер диаграмм и
выбираем тип «График» и первый верхний график слева, нажимаем «Далее». В
поле «Диапазон» вводим ссылку на В2–В33, обводя их, затем, удерживая Ctrl,
обводим еще области G2–G33 и I2–I33 (рис. 3.6.3).
Рис. 3.6.3
Видно, что уровни ряда (точки) практически лежат на модели ряда. Пунктирная линия — трендовая составляющая ряда. Получим теперь случайную составляющую временного ряда — остатки Е. Для этого в J1 вводим подпись
«Остатки Е», а в J2 формулу «=B2–I2». Автозаполняем на J3–J33. По полученным данным можно построить график остатков. Обводим, выделяя, ячейки J2–
J33, вызываем мастер диаграмм, выбираем тип «Точечная», верхний график,
нажимаем «Готово». График остатков говорит о случайном их расположении.
Для проверки качества модели рассчитаем остаточную сумму квадратов остатков E 2 и остаточную дисперсию (дисперсию адекватности). Для этого в К1
вводим подпись «Е^2», а в К2 вводим формулу «=J2*J2». Автозаполнением переносим формулу на К2–К33. Вычисляем оценку дисперсии адекватности. Вводим в J35 подпись «Dа=«, а в К35 — формулу «=СУММ(K2:K33)/32». Результат 0,679. Вычисляем теперь полную оценку дисперсии показателя. Вводим в
J36 подпись «Dy», а в К36 вводим функцию ДИСПР (категория «Статистические»), аргументом которой «Число 1» является ссылка на значения признака
B2:B33. Видно, что оценка дисперсия адекватности S a2 намного меньше оценки
80
полной дисперсии S y2 , которая равна 860,7937, что говорит о хорошем качестве
модели. Оценка парного коэффициента корреляции вычисляется по формуле
S a2
. Для его получения вводим в J37 подпись «Корреляция», а в
S y2
К37 — формулу «=КОРЕНЬ(1–K35/K36)». Результат близок к единице, что
еще раз подтверждает хорошее качество модели.
Таким образом, мы построили временной ряд, доказали высокое качество
его модели, и что его можно использовать для прогнозирования. Составим прогноз продаж на будущий год, то есть на 33, 34, 35 и 36 кварталы. Расчеты покажем в табл. 3.6.4.
ryt
1
Таблица 3.6.4
Квар
-тал
33
34
35
36
Прогноз тенденции
3,027 33+8,171=108,062
3,027 34+8,171=111,089
3,027 35+8,171=114,116
3,027 36+8,171=117,143
Прогноз
циклической
составляющей
2,746
–8,790
–7,272
13,317
Общий прогноз ряда
108,062+2,746=110,808
111,089–8,790=102,299
114,116–7,272=106,844
117,143+13,317=130,460
Взаимосвязи временных рядов.
Если имеются данные о нескольких временных рядах, то часто возникает
вопрос: а есть ли зависимость между показателями, представленными временными рядами. Простыми корреляционными методами здесь не обойтись, т. к.
наличие тенденций обоих рядов может привести к ложной корреляции. Напр имер, в период с 1975 по 1985 гг. число студентов в вузах монотонно росло, но и
росло число отдыхающих в санаториях в этот период. Посчитав парный коэффициент корреляции, окажется, что он близок к единице и можно сделать ложный вывод, что прирост отдыхающих связан с увеличившимся числом желающих получить высшее образование. На самом деле просто оба временного ряда
имели однонаправленные тенденции. Чтобы получить объективную картину,
нужно исключить тенденцию из каждого ряда. Это можно сделать двумя способами, которые рассмотрим на примерах.
ПРИМЕР 3.6.2. Имеются данные об уровне дохода y у жителей региона,
клиентов некоторой торговой организации и числа конкурентов у за 16 месяцев.
(табл. 3.6.5).
81
Таблица 3.6.5
Месяц 1
х
у
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
6 8 8 9 11 10 13 14 15 17 17 19 18 21 21 22
23 26 25 26 29 29 32 32 33 36 37 39 38 43 43 44
Необходимо определить, существует ли линейная связь между факторами
х и у (взять уровень значимости = 0,05) и оценить величину этой связи. Если
связь имеется, то нужно построить уравнение линейной регрессии с включенным в него фактором времени.
РЕШЕНИЕ. Вводим исходные данные вместе с подписями в первые три
столбца электронной таблицы в ячейки A1–С17. Построим графики рядов. Выделяем уровни рядов (ячейки В2–С17) и вызываем мастер диаграмм. Выбираем
тип «График» и вид «График с маркерами» (второй сверху левый), нажимаем
«Готово». Видно, что оба ряда имеют ярко выраженную тенденцию. Вычисляем
коэффициент парной корреляции между данными. Для этого в ячейку В19 вводим подпись «Rxy=«, а в соседнюю С19 функцию «ПИРСОН» (категория «Статистические»), аргументы которой «Массив 1» и «Массив 2» есть ссылки на
значения факторов в ячейках В2–В17 и С2–С17 соответственно. Видно, что результат 0,994 очень высок, но это не значит, что между показателями имеется
столь сильная связь, т. к. коэффициент линейной корреляции может быть завышен из-за наличия тенденции в каждом ряду (ложная корреляция). Для исключения воздействия фактора времени на формирование уровней ряда используют два способа исключения тенденции.
1. Метод отклонений от тренда. Для его реализации строится трендовая
составляющая каждого ряда Т и вычисляется разность между уровнями ряда и
трендом. Вводим в D1 подпись «Тх», а в D2 вводим функцию ТЕНДЕНЦИЯ, категория «Статистические», которая вычисляет линейную трендовую составляющую. Аргументы функции «Изв_знач_у» — ссылка на В2–В17, «Изв_знач_х» —
ссылка на А2–А17, «Нов_знач_у» — вновь ссылка на А2–А17, «Константа» –
единица. Обводим курсором, выделяя ячейки D2–D17, нажимаем F2 и
Ctrl+Shift+Enter. Для нахождения тенденции фактора х вводим в Е1 подпись
«Ту», а в Е2 вводим функцию ТЕНДЕНЦИЯ с аргументами «Изв_знач_у» —
ссылка на С2–С17, «Изв_знач_х» — ссылка на А2–А17, «Нов_знач_у» — ссылка
на А2–А17, «Константа» — единица. Выделяем ячейки Е2–Е17, нажимаем F2 и
Ctrl+Shift+Enter. В следующих двух столбцах вычисляем разницу между уровнями ряда и трендом. Вводим в F1 и G1 подписи «х-Тх» и «у-Ту» соответственно, а в «F2» вводим формулу «=B2–D2». Автозаполняем ячейку на F2–G17. Вычислим теперь коэффициент линейной корреляции между полученными данными, лишенными тренда r1 . Вводим в F19 подпись «r1», а в G19 — функцию
ПИРСОН, аргументы которой — ссылки на столбцы F2–F17 и G2–G17. Результат 0,711 меньше, чем между данными с трендовой составляющей, но он объек82
тивно показывает степень связи между факторами х и у. Проверим, можно ли
принять статистическую гипотезу о значимости коэффициента корреляции r1 (и
соответственно о наличии связи между факторами). Вводим в F20 подпись «tn 2
критерий»,
а
в
G20
—
формулу
в
виде
t | r1 |
1 r1 2
«=ABS(G19)*КОРЕНЬ(14/(1–G19*G19))». Вычисляем критическое значение
критерия, с которым сравнивается t-статистика z kp t1 (n 2) . Ниже в F21 вводим «t-критическое», а в G21 — функцию СТЬЮДРАСПОБР (категория «Статистические»). Аргументы: «Вероятность» — уровень значимости 0,05, «Степени
свободы» — n – 2 = 14. Видно, что t-статистика больше критического значения,
значит, коэффициент линейной корреляции значим и между факторами имеется
статистическая связь.
2. Метод последовательных разностей. Для его реализации вычисляются
разности между последовательными уровнями рядов, которые при линейной
тенденции не зависят от тренда. Вводим в Н1 подпись «dx», а в I1 — «dy». В Н3
вводим формулу «=B3–B2» и автозаполнением переносим ее на Н3–I17. Вычисляем коэффициент линейной корреляции между рассчитанными разностями
r2 . Для этого в Н19 подпись «r2», а в I19 функцию ПИРСОН с аргументами H3–
H17 и I3–I17. Результат 0,894 также меньше, чем между данными с трендовой
составляющей. Проверим, можно ли принять статистическую гипотезу о значимости коэффициента корреляции r2 . Вводим в Н20 подпись «t-критерий», а в
I20 — формулу «=ABS(I19)*КОРЕНЬ(14/(1–I19*I19))». Вычисляем критическое значение критерия, с которым сравнивается t-статистика z kp t1 (n 2) .
Ниже в Н21 вводим «t-критическое», а в G21 функцию СТЬЮДРАСПОБР с аргументами: «Вероятность» — 0,05, «Степени свободы»: 13 (одна степень теряется при вычислении разности). Видно, что t-статистика больше критического
значения, что еще раз подтверждает предположение о наличии связи между
факторами.
Построим теперь уравнение множественной регрессии y~ a 1 x a 2 t b с
включением в него фактора времени. Для этого переводим курсор в ячейку А23
и вводим в нее функцию ЛИНЕЙН, аргументы которой «Изв_знач_у» — ссылка на С2–С17, «Изв_знач_х» — ссылка на два столбца х и «Месяц» — А2–В17,
«Константа» — единица, «Стат» — единица. Обводим курсором, выделяя массив в 3 столбца и 5 строк в ячейках А23–С27, нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter.
Проанализировав первую строку полученной матрицы, найдем из ячеек С23–
А23
коэффициенты
уравнения
регрессии,
а
именно
y 16 ,39 0,36 x 0, 98 t . Итак, выводы:
1) доказано, что между уровнем дохода и количеством конкурентов имеется
связь, то есть если благосостояние потребителей растет, то растет и число
организаций, предоставляющих блага;
83
2) получено уравнение регрессии, которое можно в любом году t по одному
фактору делать прогноз другого.
Моделирование тенденции временного ряда при наличии структурных
изменений.
Тенденция ряда показывает, как монотонно изменяется показатель с течением времени. Однако в реальной экономической жизни ситуация нестабильная, и тенденция может менять свое поведение (рис. 3.6.4).
Рис. 3.6.4
Для моделирования ситуаций с изменением поведения тенденции (а это
изменение связано, как правило, с какими-либо нововведениями, сменой политики, кризисными явлениями, сменой экономической ситуации в исследуемой
области и т. д.), существуют специальные математические приемы. Рассмотрим
их на примере.
ПРИМЕР 3.6.3. Развивающееся предприятие «Альфа» в течение
13 месяцев своего существования постоянно увеличивало свою прибыль, которая за это время выросла почти вдвое. Однако на 14 месяце существования удалось получить дополнительное инвестирование и закупить современное оборудование, после чего темпы роста прибыли заметно увеличились. Имеется вр еменной ряд прибыли предприятия за 25 месяцев. С помощью теста Чоу проверить на уровне значимости
0,05 предположение о том, какая модель тенденции лучше описывает временной ряд: общая линейная модель тенденции,
построенная по всем 25 месяцам ряда, или кусочно-линейная, состоящая из
двух линейных моделей, построенных по первым 14 и последующим 11 периодам времени. Методами регрессионного анализа построить эти модели. Определить, какая из моделей лучше, и сделать прогноз на 26 и 27 месяцев
(табл. 3.6.6).
Таблица 3.6.6
Месяц
Прибыль
Месяц
Прибыль
1
38
14
65
2
40
15
66
3
41
16
68
4
43
17
79
5
48
18
82
6
49
19
88
84
7
50
20
89
8
53
21
94
9
55
22
96
10
57
23
99
11
58
24
101
12
61
25
105
13
61
РЕШЕНИЕ. Открываем новую книгу EXCEL, вводим в А1 подпись «t=«,
а в ячейку В2 подпись «Y=«, затем в ячейки А2–А26 вводим номера месяцев 1,
2, 3, …, 25, а в ячейки В2–В26 — значения прибыли из приведенной выше таблицы. Для удобства построения кусочно-линейной модели выделим ячейки А2–
D15 в какой-нибудь цвет, например в желтый, а ячейки А16–D26 – в другой
цвет, например в розовый. Проверим по критерию Чоу целесообразность построения кусочно-линейной модели. Для этого с помощью функции
ЛИНЕЙН рассчитаем параметры моделей.
Сначала рассчитаем параметры общей линейной модели. Для этого вводим в F1 подпись «Общая линейная» и ниже, в F2, вводим функцию
«=ЛИНЕЙН(B2:B26;A2:A26;1;1)». Выделяем мышью ячейки от F2 до G6 и
нажимаем сначала F2, а затем Ctrl+Shift+Enter. Получаем таблицу из 2 столбцов
и 5 строк параметров модели. Нас интересуют значения коэффициентов общего
линейного уравнения тенденции y at b , которые записаны в первой строке.
В результате общее уравнение линейной тенденции имеет вид
y 2, 85 t 30 , 42 . Кроме того, для критерия Чоу нужно знать суммы квадратов остатков регрессионной модели. Эти значения записаны в нижнем правом
углу матрицы, выдаваемой функцией ЛИНЕЙН. Для общей модели остаточная
сумма равна E 0 336 , 0 .
Находим параметры первой и второй части кусочно-линейной модели.
Вводим в ячейку F8 подпись «Кусочно-линейная 1» и в ячейку F9 вводим формулу «=ЛИНЕЙН(B2:B15;A2:A15;1;1)». Выделяем мышью ячейки от F9 до
G13 и нажимаем сначала F2, а затем Ctrl+Shift+Enter. Видно, что уравнение регрессии есть y 2, 05 t 35, 98 , а остаточная сумма E1 10,6 . Затем вводим в
ячейку F15 подпись «Кусочно-линейная 2» и в ячейку F16 вводим формулу
«=ЛИНЕЙН(B16:B26;A16:A26;1;1)». Выделяем мышью ячейки от F16 до G20
и нажимаем сначала F2, а затем Ctrl+Shift+Enter. Видно, что уравнение регрессии второй части кусочно-линейной модели есть y 3, 83 t 11,36 , а остаточная сумма E2 69,6 . Статистика критерия Чоу для парной регрессионной моE 0 E1 E 2 n 4
дели вычисляется по формуле F
, где п — число уровней
E1 E 2
2
ряда (в данном случае — число месяцев равно 25). Вводим в ячейку I1 подпись
«Статистика», а в G1 — формулу «=(G6–G13–G20)/(G13+G20)*21/2». Критическое значение равно значению обратного распределения Фишера, полученно0,05 — уровень значимости, указан в условии задачи; k =
го по параметрам:
2 — степени свободы 1, равные числу параметров модели (у нас из 2: a и b,
т. к. уравнение регрессии y at b ); n k 2 = 21 — степени свободы 2, равные 21. Вводим в I2 подпись «Критическое», а в G2 формулу
«=FРАСПОБР(0,05;2;21)». Видно, что статистика больше критического значе85
ния, что говорит о том, что кусочно-линейная функция лучше описывает временной ряд, чем общая модель.
Строим кусочно-линейную модель. Вводим в С1 подпись «Линейная», а в
С2 вводим функцию «=ТЕНДЕНЦИЯ(B2:B26; A2:A26; A2:A26; 1)», выделяем
диапазон С2–С26 и нажимаем F2, а затем Ctrl+Shift+Enter. Вводим в ячейку D1
подпись «Кусочно-линейная», а в ячейку D2 вводим формулу
«=ТЕНДЕНЦИЯ(B2:B15; A2:A15; A2:A15; 1)», выделяем диапазон D2–D15 и
нажимаем F2, а затем Ctrl+Shift+Enter. Затем для построения второй ветви линейного уравнения вводим в ячейку D16 формулу «=ТЕНДЕНЦИЯ(B16:B26;
A16:A26; A16:A26; 1)», выделяем диапазон D16–D26 и нажимаем F2, а затем
Ctrl+Shift+Enter. Построим график по полученным данным. Ставим курсор в
свободную ячейку, вызываем мастер функций, выбираем тип «График», вид
графика без точек в верхнем левом углу, нажимаем «Далее», переводим курсор
в поле «Диапазон» и обводим ячейки В2–D26. Переходим на закладку «Ряд»,
щелкаем мышкой по надписи «Ряд 1» в поле «Ряд» и переводим курсор в поле
«Имя» и вводим в нем текст «Данные», затем щелкаем мышкой по надписи
«Ряд 2» в поле «Ряд» и переводим курсор в поле «Имя» и вводим в нем текст
«Линейная», после чего щелкаем мышкой по надписи «Ряд 3» и в поле «Имя» и
вводим текст «Кусочно-линейная», нажимаем «Готово» (рис. 3.6.5).
Рис. 3.6.5
Рассмотрим другой метод построения модели с переменной структурой.
Для этого воспользуемся фиктивной переменной. Пусть Z — фиктивная переменная, которая принимает значения:
86
Z
0, если число месяцев не больше 14 ;
1, если число месяцев больше 14 .
Тогда
общая
регрессионная
модель
примет
вид
y a t b (Z t ) c Z d . Для определения параметров модели a, b, c, d
сформируем исходные данные в следующем виде. Переходим на Лист 2. В
ячейки A1, B1, C1, D1 вводим подписи «Y», «t», «Z», «Zt» (кавычки не вводить).
В первый столбец копируем значения уровней временного ряда. Для этого переходим на Лист 1, выделяем ячейки В2–В26, выполняем ПРАВКА/КОПИРОВАТЬ. Затем переходим обратно на Лист 2, ставим курсор в А2 и
даем команду ПРАВКА/ВСТАВИТЬ.
Во второй столбец Листа 2 (ячейки В2–В26) копируем ячейки А2–А26
из Листа 1. В столбец С Листа 2 вводим значения переменной Z. В ячейки С2–
С15 вводим число 0. В ячейки С16–С26 вводим число 1. В столбец D вводим
произведение переменных Z t . Ставим курсор в D2 и вводим формулу
«=B2*C2». Автозаполняем формулу на D2–D26. Строим линейную регрессионную модель. Для этого в Е2 вводим формулу (категория «Статистические»):
«=ТЕНДЕНЦИЯ (A2:A26; B2:D26; B2:D26; 1)» и обводим диапазон Е2–Е26,
нажимаем клавишу F2, затем одновременно Ctrl+Shift+Enter. В результате получаем модель линейной регрессии. Вычислим ее числовые характеристики.
Для этого в G2 вводим функцию «=ЛИНЕЙН(A2:A26; B2:D26; 1; 1)», выделяя, обводим ячейки G2–J6, нажимаем F2, затем Ctrl+Shift+Enter. Проверяем
адекватность полученной модели. Видно, что коэффициент детерминации равен 0,99 (ячейка G4), что говорит об очень высоком качестве регрессии.
Строим график регрессионной модели. Ставим курсор в свободную ячейку, вызываем мастер функций, выбираем тип «График», вид график без точек в
верхнем левом углу, нажимаем «Далее», переводим курсор в поле «Диапазон» и
обводим ячейки A2–A26, затем, удерживая Ctrl, обводим еще и диапазон Е2–
Е26. Переходим на закладку «Ряд», щелкаем мышкой по надписи «Ряд 1» в поле «Ряд» и переводим курсор в поле «Имя» и вводим в нем текст «Данные», затем щелкаем мышкой по надписи «Ряд 2» в поле «Ряд» и переводим курсор в
поле «Имя» и вводим в нем текст «Модель», нажимаем «Готово».
Таким образом, получена модель тенденции ряда со структурными изменениями, по которой можно делать анализ показателей и прогнозы. Так как ранее было показано, что модель с наличием структурных изменений лучше описывает данные, то в качестве прогноза нужно использовать уравнение регрессии второй части кусочно-линейной модели: y 3, 83 t 11,36 . Откуда, прогноз на 26 месяц: 3,83 26 + 11,36 = 110,94, а на 27 месяц: 3,83 27 + 11,36 =
114,77.
87
3.7. Элементы дисперсионного анализа
Дисперсионный анализ – статистический метод, позволяющий анализировать влияние различных факторов на исследуемую переменную.
Однофакторный дисперсионный анализ выявляет влияние некоторого
фактора, под действием которого общая выборка делится на m частных выборок.
Пусть имеется m выборок. Объем каждой выборки соответственно n1, n2,
…, nm . Выборочные значения будем обозначать xij, где i – номер выборки, а j –
номер элемента в этой выборке. Общий объем всех выборок в совокупности равен
m
ni . Ставиться задача: определить, различаются
n
ли математические ожи-
i 1
дания (средние) в совокупности у всех выборок или нет, то есть проверяется гипотеза H 0 : 1 2 ... m , где μi – математическое ожидание i-й выборки, при
альтернативной гипотезе Н1, в которой хотя бы два математических ожидания не
равны. Дисперсии у выборок предполагаются равными.
В основе дисперсионного анализа лежит тождество, связывающее суммы
квадратов отклонений (имеющие обозначение SS): Q = Q1 + Q2, где
m
x ij
ni
m
2
ni
x ij2
Q
m n
i 1 j 1
2
m
ni
i 1
j 1
- общая, или полная, сумма квадратов о тклонений;
i 1 j 1
xij
Q1
2
ni
m
xij
- сумма квадратов отклонений групповых сред-
i 1 j 1
n
m n
них от общей средней, или межгрупповая (факторная) сумма квадратов отклонений; Q2
m
m
ni
i 1
j 1
2
x ij
ni
x ij2
i 1 j 1
n
– сумма квадратов отклонений наблюде-
ний от групповых средних, или внутригрупповая (остаточная) сумма квадратов отклонений.
Для применения критерия нужно по критерию Фишера сравнить дисперсии между группами с внутригрупповыми. Для вычисления дисперсий, имеющих обозначение MS, нужно поделить суммы квадратов отклонений на степени
свободы. Степени свободы, обозначающиеся df, характеризуют объемы выборок и их число. Для межгрупповой суммы степень свободы равна m-1, а для
внутригрупповой степень свободы n-m. Согласно MS=SS/df, рассчитав дисперсии
F
Q1
;
m 1
2
1
2
1
2
2
2
2
Q2
n m
и разделив первую на вторую, получаем F-статистику:
. Сравниваем ее с критическим значением Fкр, взятым из обратного
88
распределения Фишера с уровнем значимости α и степенями свободы k1=m-1 и
k2=n-m. Если F>Fкр, то принимается H1, средние в выборках не равны и фактор
оказывает значимое влияние на показатель.
ПРИМЕР 3.7.1. Торговая сеть имеет магазины в 6 городах. Ставиться задача, на уровне значимости α=0,05 определить, различаются или нет объемы
продаж в магазинах разных городов, то есть влияет ли фактор «Город» на об ъемы продаж. Для этой цели были взяты данные по объемам проданного товара
(млн руб.) в магазинах всех городов в одном месяце, результаты приведены в
табл. 3.7.1.
Таблица 3.7.1
Город 1
Город 2
Город 3
Город 4
Город 5
Город 6
43
63
99
78
37
80
81
82
50
57
74
58
75
61
54
52
33
70
94
78
92
31
66
93
64
94
33
69
33
56
51
58
90
51
79
82
34
84
56
48
81
35
84
79
46
36
75
53
39
43
75
94
33
99
69
96
55
75
87
59
59 83
89
35 85
83 92
48
Вводим эту таблице вместе с подписями в Excel в ячейки от А1 до шестой
строки и столбца М. Затем вызываем надстройку «Анализ данных».
Для ее подключения в версии EXCEL 2003 и ранее в меню «СЕРВИС»
выбираем «НАДСТРОЙКИ» и ставим флажок напротив «Пакет анализа» (Analysis ToolPak). После этого в меню «СЕРВИС» появляется пункт «АНАЛИЗ
ДАННЫХ» (Data Analysis), ставим курсор в любую свободную ячейку и вызываем этот пункт меню.
При работе в «EXCEL 2007» или более поздней версии нажимаем левой
кнопкой мыши по круглой кнопке “Office” в верхнем левом углу экрана, внизу
выбираем «Параметры Excel», слева выбираем НАДСТРОЙКИ, нажимаем
кнопку «Перейти» внизу окна и в открывшемся окне проверяем наличие флажка напротив «АНАЛИЗ ДАННЫХ», «ОК». Ставим курсор в свободной ячейке и
в меню ДАННЫЕ выбираем АНАЛИЗ ДАННЫХ.
В окне «Анализ данных» выбираем пункт «Однофакторный дисперсионный анализ». В открывшемся окне в поле «Входной интервал» делаем ссылку
на диапазон А1-М6, группирование – «по строкам», ставим галочку напротив
«Метки в первом столбце», альфа – 0,05, в разделе «Параметры вывода» ставим
точку рядом с «Выходной интервал» и в поле рядом делаем ссылку на ячейку, с
которой начинается вывод данных, например с А9, нажимаем «ОК».
На рабочем листе появляется таблица с результатами однофакторного
дисперсионного анализа. Она состоит из двух частей. В первой «Итоги» приведены основные статистические показатели по выборкам: их объем, сумма эле89
ментов, среднее и дисперсия. Во второй «Дисперсионный анализ» –
непосредственно расчет критерия. В строках «Между группами» и «Внутри
групп» приведены остаточные суммы (SS), степени свободы (df) и дисперсии
(MS). Далее приведена F-статистика (большая дисперсия на меньшую), критическое значение уровня значимости (Р-значение) и F-критическое. Если Fстатистика больше F-критического, или критическое значение уровня значимости меньше заданного α, то средние в выборках (группах) различаются и фактор влияет на показатель. Этого не наблюдается, следовательно, уровень продаж во всех городах можно считать одинаковым.
Рассмотрим теперь пример двухфакторного дисперсионного анализа. В
этом случае методика расчета та же, но общая выборка распадается на группы
под влиянием двух факторов, влияние одного из них сгруппируем в строках, а
второго – в столбцах. Рассмотрим решение на примере.
ПРИМЕР 3.7.2. Предположим теперь, что на объемы продаж в магазинах
торговой сети могут влиять не только на город (которых шесть), но и тип магазина (которых три: торговый ряд, универсам и минимаркет). Тогда в каждом городе
в каждом типе магазина были взяты по 5 дней недели и фиксировались объемы
продаж в эти дни. Выборки результатов (млн р.) приведены в табл. 3.7.2.
Таблица 3.7.2
Тип магазина
Город 1 Город 2 Город 3 Город 4 Город 5 Город 6
Торговый ряд
54
56
50
48
89
85
33
97
98
82
34
72
78
84
54
34
46
78
93
65
67
44
50
40
85
86
72
31
91
49
Универсам
81
89
82
67
77
35
44
39
85
35
70
73
91
39
55
38
56
47
72
43
69
69
49
82
89
97
49
78
67
68
Минимаркет
92
74
56
86
57
71
91
83
88
85
73
89
84
97
89
65
80
85
65
55
69
54
60
75
40
89
95
88
83
49
90
Нужно проверить следующие гипотезы (на уровне значимости α=0,05):
1. Влияет ли город на объемы продаж.
2. Влияет ли тип магазина на объемы продаж.
3. Влияют ли друг на друга (коррелируют) город и тип магазина.
Переходим на новый рабочий лист. Вводим данные из табл. 3.7.2 вместе с
подписями в ячейки А1-G16. В первом столбце группировать ячейки не нужно,
просто введите подписи «Торговый ряд» в А2, «Универсам» – в А7 и «Минимаркет» – в А12. Вызывает надстройку «Анализ данных» и в ней – «Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями». В открывшемся окне в поле
«Входной интервал» делаем ссылку на диапазон А1-G16, в поле «Число строк
для выборки» вводим 5, альфа – 0,05, в разделе «Параметры вывода» ставим
точку рядом с «Выходной интервал» и в поле рядом делаем ссылку на ячейку, с
которой начнется вывод данных, например с А18, нажимаем ОК.
На рабочем листе появиться область с результатами двухфакторного дисперсионного анализа. Она состоит из нескольких таблиц, в которых приведены
основные статистические показатели для городов и типов магазина. В последней таблице «Дисперсионный анализ» приведены результаты расчета критерия.
Первая строка «Выборка» отображает результаты по типам магазина. Видно,
что F-статистика больше, чем F-критическое, и критический уровень значимости Р-значение меньше заданного 0,05. Следовательно, средние результаты теста для разных типов магазина значимо различаются и фактор «Тип магазина»
влияет на объемы продаж.
Во второй строке «Столбцы» отображаются результаты по городам. Видно, что F-статистика меньше, чем F-критическое, и критический уровень значимости Р-значение больше заданного 0,05. Следовательно, средние объемы
продаж для городов не различаются и фактор «Город» не влияет на объемы
продаж.
В третьей строке «Взаимодействие» отображаются результаты выявления
зависимости факторов «Тип магазина» и «Город» друг на друга. Видно, что
F-статистика меньше, чем F-критическое, и критический уровень значимости
Р-значение больше заданного 0,05. Следовательно, факторы «Тип магазина» и
«Город» не влияют друг на друга.
91
3.8. Задания для самостоятельного решения
Задание № 1. Дана выборка выручки магазина за 30 дней (тыс. р.)
(табл. 3.8.1).
1) Составить группированный статистический ряд c числом интервалов k
выбранных произвольно от 5 до 8.
2) Построить по статистическому ряду гистограмму, полигон, кумулятивную кривую.
3) Найти точечные оценки для математического ожидания, дисперсии и
среднеквадратического отклонения.
Таблица 3.8.1
Вариант
1.
Выборка
18 19 21 18 16 19 18 16 17 18 15 22 18 17 22
14 19 16 14 14 22 14 21 18 16 12 19 18 18 15
2.
22 23 23 22 21 20 21 18 16 22 18 25 13 23 17
24 21 17 19 27 26 25 21 26 19 24 20 18 23 18
3.
37 32 29 32 28 32 33 35 30 36 32 28 34 32 32
27 32 38 38 32 29 30 39 39 31 30 31 39 29 33
4.
46 43 36 44 39 47 41 47 41 50 50 49 41 40 50
45 46 47 44 48 46 48 46 51 41 47 51 52 40 47
5.
72 74 69 71 73 68 73 77 76 77 76 76 76 64 65
75 70 75 71 69 72 69 78 72 67 72 81 75 72 69
6.
52 51 46 43 50 50 53 57 48 55 56 45 55 51 55
41 54 60 52 52 59 49 51 50 47 49 57 54 54 42
7.
44 44 46 45 49 44 47 47 36 37 35 40 35 39 41
34 38 42 44 42 35 43 45 39 33 39 45 47 41 45
8.
59 60 65 50 55 64 66 63 55 62 60 58 67 58 65
63 59 57 65 56 66 59 59 60 61 65 59 50 64 63
92
9.
55 71 66 74 71 70 68 76 75 73 65 75 73 70 67
59 63 68 65 65 81 69 64 57 58 68 70 71 71 71
10.
65 72 69 68 62 71 74 74 70 67 76 73 79 77 70
65 70 66 75 66 74 75 84 87 71 69 67 67 75 60
11.
68 63 72 62 58 77 67 67 71 72 75 73 70 66 73
70 69 78 73 64 71 69 73 71 71 68 65 66 69 74
12.
5 21 16 24 21 20 18 26 25 23 15 25 23 20 17
9 13 18 15 15 31 19 14 7 8 18 20 21 21 21
13.
15 22 19 18 12 21 24 24 20 17 26 23 29 27 20
15 20 16 25 16 24 25 34 37 21 19 17 17 25 10
14.
18 13 22 12 8 27 17 17 21 22 25 23 20 16 23
20 19 28 23 14 21 19 23 21 21 18 15 16 19 24
15.
35 51 46 54 51 50 48 56 55 53 45 55 53 50 47
39 43 48 45 45 61 49 44 37 38 48 50 51 51 51
16.
48 43 52 42 38 57 47 47 51 52 55 53 50 46 53
50 49 58 53 44 51 49 53 51 51 48 45 46 49 54
17.
65 81 76 84 81 80 78 86 85 83 75 85 83 80 77
69 73 78 75 75 91 79 74 67 68 78 80 81 81 81
18.
75 82 79 78 72 81 84 84 80 77 86 83 89 87 80
75 80 76 85 76 84 85 94 97 81 79 77 77 85 70
19.
78 73 82 72 68 87 77 77 81 82 85 83 80 76 83
80 79 88 83 74 81 79 83 81 81 78 75 76 79 84
20.
70 59 57 62 49 63 59 60 57 66 64 57 59 58 59
56 62 56 57 63 59 55 58 62 61 60 59 59 61 63
21.
18 19 21 18 16 19 18 16 17 18 15 22 18 17 22
93
14 19 16 14 14 22 14 21 18 16 12 19 18 18 15
22.
22 23 23 22 21 20 21 18 16 22 18 25 13 23 17
24 21 17 19 27 26 25 21 26 19 24 20 18 23 18
23.
37 32 29 32 28 32 33 35 30 36 32 28 34 32 32
27 32 38 38 32 29 30 39 39 31 30 31 39 29 33
24.
46 43 36 44 39 47 41 47 41 50 50 49 41 40 50
45 46 47 44 48 46 48 46 51 41 47 51 52 40 47
25.
72 74 69 71 73 68 73 77 76 77 76 76 76 64 65
75 70 75 71 69 72 69 78 72 67 72 81 75 72 69
26.
52 51 46 43 50 50 53 57 48 55 56 45 55 51 55
41 54 60 52 52 59 49 51 50 47 49 57 54 54 42
27.
44 44 46 45 49 44 47 47 36 37 35 40 35 39 41
34 38 42 44 42 35 43 45 39 33 39 45 47 41 45
28.
59 60 65 50 55 64 66 63 55 62 60 58 67 58 65
63 59 57 65 56 66 59 59 60 61 65 59 50 64 63
29.
55 71 66 74 71 70 68 76 75 73 65 75 73 70 67
59 63 68 65 65 81 69 64 57 58 68 70 71 71 71
30.
65 72 69 68 62 71 74 74 70 67 76 73 79 77 70
65 70 66 75 66 74 75 84 87 71 69 67 67 75 60
Задание № 2. Имеется выборка прибыли коммерческой фирмы за 14 месяцев до ( xi ) и после ( yi ) проведения новой экономической политики (3.8.2). На
0,05 проверить гипотезу о том, что введение новой экоуровне значимости
номической политики в среднем привело к увеличению производительности.
94
Таблица 3.8.2
Вариант
Выборка
1.
x 21 32 26 34 25 33 31 32 28 33 28 34 27 26
y 27 26 35 32 34 33 32 19 25 31 25 30 30 28
2.
x 28 28 29 27 28 27 29 29 30 30 29 28 29 29
y 31 32 32 29 30 31 30 30 29 29 30 30 30 31
3.
x 26 34 28 33 33 26 21 23 31 23 27 24 24 29
y 35 31 40 29 40 31 29 31 36 33 35 37 36 36
4.
x 42 32 46 39 39 37 35 38 35 42 39 40 38 47
y 50 39 52 49 52 49 45 37 49 40 45 39 44 24
5.
x 42 32 46 39 39 37 35 38 35 42 39 40 38 47
y 35 36 39 39 41 48 33 41 35 38 43 36 36 39
6.
x 59 63 54 61 57 52 54 61 63 61 56 55 55 55
y 52 71 54 53 45 59 48 58 71 61 59 65 74 63
7.
x 46 51 48 45 53 51 46 53 48 53 49 58 56 49
y 47 54 45 46 55 51 46 56 53 51 49 50 56 56
8.
x 52 51 48 52 54 50 51 51 52 52 53 56 51 50
y 44 47 57 54 39 65 46 51 58 46 62 52 65 47
9.
x 73 76 77 76 76 75 74 72 75 79 76 78 71 75
y 70 71 83 76 79 71 74 66 80 81 78 69 73 85
10.
x 21 20 20 17 21 22 23 19 25 21 20 17 21 22
y 29 21 21 25 16 23 22 27 31 27 22 32 27 22
11.
x 34 36 33 38 37 36 40 34 34 37 35 36 38 35
y 38 35 28 29 41 41 46 36 29 35 43 33 37 40
12.
x 43 46 44 45 43 46 47 41 48 45 49 44 47 48
y 49 58 37 47 40 36 39 32 48 46 55 45 37 49
95
13.
x 65 59 60 57 61 66 64 66 62 62 67 63 66 59
y 66 61 67 63 71 66 67 70 62 57 67 67 61 60
14.
x 25 23 20 20 23 17 20 22 22 19 23 19 19 26
y 16 23 23 29 25 21 24 24 17 18 16 20 23 20
15.
x 67 69 62 64 70 59 66 64 67 64 69 66 69 67
y 67 65 71 61 55 67 67 66 61 67 66 65 72 64
16.
x 31 19 31 23 27 24 20 22 31 28 25 28 26 27
y 30 28 36 22 27 28 22 29 32 29 29 27 31 25
17.
x 54 52 55 58 57 58 51 55 57 53 54 52 51 53
y 60 59 56 63 50 66 69 69 61 62 64 60 58 63
18.
x 22 20 17 23 19 16 19 24 23 19 22 22 21 20
y 23 25 27 27 26 32 24 27 27 30 33 18 31 30
19.
x 46 40 47 42 45 48 46 39 49 45 43 43 48 46
y 43 61 48 37 42 39 46 61 45 44 50 63 55 64
20.
x 71 73 73 73 70 70 77 73 75 70 72 78 74 66
y 83 78 83 72 69 67 89 86 83 67 69 84 72 70
21.
x 55 45 48 56 39 37 50 33 37 56 34 45 39 39
y 65 53 49 49 61 53 53 44 42 44 51 42 44 61
22.
x 71 67 74 75 80 81 73 68 66 70 68 67 64 73
y 74 87 85 73 79 66 75 85 90 79 79 84 59 64
23.
x 39 43 46 42 44 44 43 38 45 47 49 44 40 41
y 64 48 55 47 42 44 51 44 44 45 50 44 29 58
24.
x 14 18 14 16 21 22 17 25 20 19 22 24 24 20
y 23 29 26 27 31 28 21 30 25 21 31 25 24 27
25.
x 53 51 54 54 55 54 54 54 58 55 55 54 59 57
y 60 65 57 57 58 67 52 61 58 47 55 60 56 53
96
26.
x 56 46 51 38 55 37 48 62 55 40 53 65 56 46
y 66 55 52 65 48 67 59 46 55 55 52 53 60 58
27.
x 77 89 94 87 85 83 81 86 76 84 89 96 86 85
y 92 97 86 99 99 90 93 92 86 99 92 86 88 93
28.
x 73 43 46 68 56 41 57 72 42 47 60 43 49 47
y 64 53 61 40 59 37 54 32 41 69 42 66 43 60
29.
x 93 75 77 86 86 87 69 88 91 90 79 98 90 91
y 90 95 92 89 84 91 91 93 88 85 95 86 83 98
30.
x 44 39 57 58 58 49 47 45 47 57 62 54 47 59
y 60 52 56 58 54 45 55 54 62 44 53 62 52 55
Задание № 3. Некоторая фирма, производящая товар, хочет проверить,
эффективность рекламы этого товара. Для этого в 10 регионах, до этого имеющих одинаковые средние количества продаж, стала проводиться разная р екламная политика и на рекламу начало выделяться xi денежных средств. При
этом фиксировалось число продаж yi. (табл. 3.8.3). Предполагая, что для данного случая количество продаж Х пропорциональны расходам на рекламу Y,
необходимо:
1) вычислить точечные оценки для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения показателей Х и Y;
2) в соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии ~y ax b ;
3) найти парный коэффициент линейной корреляции и с доверительной
вероятности p 0,95 проверить его значимость;
4) сделать точечный и интервальный прогноз для случая расходов на рекламу, равных 5 млн. р.;
5) построить график линии регрессии с нанесением на него опытных данных.
97
Таблица 3.8.3
Вариант Расходы на рекламу хi , млн. р.(одинаковое для всех вариантов)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
Количества продаж yi , тыс. ед. (по вариантам)
1.
12,3
16,3
16,4
16,0
18,5
17,3
20,0
19,5
19,0
19,7
2.
39,5
40,3
40,7
40,8
43,1
42,7
45,3
46,2
47,4
49,5
3.
32,4
32,4
34,8
37,1
38,0
38,7
38,6
39,9
43,8
43,5
4.
21,0
23,0
23,7
23,8
25,8
27,6
28,4
29,7
31,7
31,6
5.
27,6
28,8
29,6
31,1
30,9
31,3
33,1
34,6
35,1
37,2
6.
30,6
32,8
32,1
33,7
35,1
39,2
37,4
39,7
42,3
43,4
7.
18,5
19,5
20,1
23,7
23,6
24,0
26,2
26,5
28,3
28,1
8.
13,3
12,2
13,1
11,5
15,7
13,7
16,8
13,9
16,9
16,8
9.
14,1
16,2
16,5
18,9
19,5
20,3
23,4
24,3
27,2
27,5
10.
34,4
34,8
36,1
37,7
37,3
37,5
37,5
39,6
40,9
43,6
11.
20,6
20,2
19,6
21,3
23,2
23,9
23,2
23,0
24,1
25,2
12.
17,4
18,6
18,0
21,3
21,3
24,4
24,1
27,2
27,0
28,7
13.
38,3
39,3
40,1
43,9
42,9
42,1
45,2
44,3
47,9
47,8
14.
38,0
40,9
39,1
39,7
39,3
38,4
41,4
42,9
41,3
42,7
15.
36,7
36,5
37,2
38,0
38,3
39,5
41,7
39,9
42,0
41,8
16.
38,1
38,6
40,9
38,6
41,3
43,1
44,3
43,0
45,8
46,2
17.
30,8
31,1
30,4
31,7
30,5
33,5
31,0
34,5
36,0
32,9
18.
10,7
11,0
13,2
12,4
13,2
13,3
14,4
15,3
14,8
14,8
19.
23,7
24,8
25,8
27,6
26,9
25,2
26,6
26,3
29,0
30,4
98
20.
22,8
26,3
28,0
26,1
26,0
29,9
30,9
32,9
33,9
33,5
21.
26,5
26,4
28,2
26,7
29,1
29,7
29,7
31,2
32,1
32,4
22.
25,3
28,8
30,1
30,0
32,5
31,4
32,0
36,4
35,6
36,9
23.
10,0
9,7
11,6
12,2
13,3
13,9
15,6
16,7
15,1
16,8
24.
20,9
20,7
20,8
20,9
22,8
22,4
24,5
22,9
22,7
24,6
25.
24,8
26,5
28,3
29,1
27,0
28,4
30,0
32,4
32,0
32,3
26.
29,4
30,0
32,0
33,1
32,6
33,9
33,6
35,0
34,7
35,9
27.
20,3
20,4
22,1
24,3
25,1
25,1
26,9
25,4
27,8
26,9
28.
20,8
20,2
21,5
21,8
24,4
23,7
25,7
24,7
27,2
24,8
29.
28,6
28,6
28,8
29,2
31,7
32,7
32,1
33,3
33,8
35,0
30.
16,1
17,0
20,5
17,1
18,8
21,0
22,7
24,2
23,4
26,7
Задание № 4. Имеются данные о доли расходов на товары длительного
пользования уi от среднемесячного дохода семьи xi (табл. 3.8.4).
Предполагается, что эта зависимость носит нелинейный характер ~y a / x b .
Необходимо:
1) найти уравнение нелинейной гиперболической регрессии ~y a / x b ;
2) найти парный коэффициент корреляции и с доверительной вероятностью p 0,95 проверить его значимость.
Таблица 3.8.4
Вариант
Доход семьи xi , тыс.р. на 1 чел.
(для всех вариантов)
3
3,5
4
4,5
5
5,5
2
2,5
1.
29,3
Процент расходов на товары длительного
пользования уi (по вариантам)
25,4 25,0 23,4 23,1 22,6 21,7 21,7 22,2
22,4
2.
31,2
27,0
26,1
26,1
23,1
23,8
22,3
21,4
21,8
22,5
3.
29,7
26,3
24,8
23,5
22,3
21,7
21,5
19,0
20,5
22,8
4.
20,4
19,7
16,6
17,3
15,1
15,2
14,3
14,1
14,3
14,1
99
6
6,5
5.
30,7
27,0
25,1
24,1
21,3
6.
29,7
28,2
24,6
24,6
7.
31,4
28,4
27,3
8.
27,9
25,4
9.
27,1
10.
23,7
20,8
19,8
21,9
22,8 22,2
22,0
21,8
23,3
21,5
24,9
23,5
23,6
23,2
21,8
23,3
22,1
20,7
23,6
21,6
20,1
21,3
21,2
20,8
18,5
23,3
22,2
20,6
19,2
18,8
17,3
16,8
17,6
16,2
30,0
27,9
25,7
23,7
21,8
21,7
22,0
19,3
22,2
19,5
11.
29,5
27,2
23,4
21,9
21,3
22,2
21,0
20,0
20,2
19,6
12.
29,8
26,9
24,3
23,7
23,0
23,2
20,7
21,9
21,0
20,7
13.
26,7
24,5
19,5
21,5
21,0
18,0
16,5
16,2
17,2
17,8
14.
24,7
21,5
22,1
21,9
20,3
19,1
20,6
20,2
18,7
20,3
15.
27,1
23,9
25,1
20,9
21,6
20,6
20,5
19,1
21,8
20,6
16.
27,9
24,3
22,1
21,8
20,7
17,9
17,8
19,5
15,8
20,1
17.
23,2
19,7
19,2
16,5
16,7
17,8
16,2
16,8
14,5
15,6
18.
23,1
22,4
19,1
18,3
16,7
15,3
17,3
16,2
14,7
15,8
19.
27,8
25,3
25,2
24,9
24,7
24,8
23,4
22,9
21,4
22,0
20.
19,9
19,4
17,5
17,2
16,5
16,1
13,5
13,8
15,1
13,2
21.
25,1
21,9
21,9
19,7
17,9
18,0
18,7
17,5
16,5
16,2
22.
27,7
27,6
26,4
24,7
24,5
23,9
23,9
22,6
23,7
21,7
23.
23,0
21,7
20,6
20,3
19,6
16,9
19,1
18,9
16,0
16,4
24.
25,5
23,4
21,6
19,7
18,3
17,6
18,3
16,9
18,0
18,2
25.
20,4
16,9
16,7
16,8
15,6
14,9
12,7
12,0
14,2
13,5
26.
32,6
31,1
25,8
24,7
25,6
24,7
22,9
24,5
22,7
22,5
27.
20,8
19,9
19,0
18,6
17,7
16,9
18,3
15,8
14,2
14,3
28.
19,3
17,8
15,4
16,0
15,5
14,5
15,2
15,3
13,1
14,1
29.
26,1
20,5
20,9
18,7
18,4
18,5
17,4
18,5
13,7
15,8
30.
27,1
24,4
22,2
20,9
20,4
18,3
19,0
19,4
20,0
19,6
100
22,7
Задание № 5. Исследуется зависимость месячного расхода семьи на
продукты питания zi. , тыс.р. от месячного дохода на одного члена семьи
xi тыс.р. и от размера семью yi , чел. (табл. 3.8.5). Необходимо:
1) в соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии ~z ax by c ;
2) найти парные коэффициенты корреляции rxy , rxz , ryz ;
3) с доверительной вероятностью р=0,95 проверить коэффициенты корреляции на значимость;
4) вычислить индекс множественной корреляции и проверить с доверительной вероятностью p 0,95 его статистическую значимость.
Таблица 3.8.5
Значения факторов хi и уi (одинаковое для всех вариантов)
хi
2
3
4
2
3
4
3
4
5
3
4
5
2
3
4
уi
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
Вар.
Значения фактора zi (по вариантам)
1.
2,1 2,6 2,5 2,9 3,1 3,3 3,9 4,5 4,9 4,6 5,1 5,7 5,0 5,4 5,6
2.
2,3 2,1 2,9 2,7 3,2 3,4 3,8 4,2 4,2 4,5 5,2 5,8 4,7 5,5 5,1
3.
2,4 3,1 3,4 3,7 4,0 4,2 4,5 4,7 6,0 5,9 6,3 6,4 6,3 6,5 7,2
4.
1,2 1,5 2,0 2,2 2,5 2,5 2,6 3,0 3,3 3,0 3,7 3,6 3,5 4,2 4,6
5.
2,6 2,8 3,3 3,4 3,6 4,2 4,7 4,8 5,6 5,3 5,8 5,7 5,8 6,2 6,5
6.
1,6 2,2 2,3 2,3 2,6 3,0 3,1 3,2 3,4 3,4 3,6 3,8 3,8 4,1 4,3
7.
1,9 2,7 2,7 3,1 3,2 3,3 3,6 3,7 4,7 4,2 4,6 4,8 4,4 4,8 5,2
8.
3,0 3,5 3,6 3,7 4,4 4,7 5,3 5,6 6,1 6,3 6,5 6,9 6,4 6,8 7,0
9.
3,6 4,1 4,7 4,5 4,9 5,2 6,0 6,5 7,1 6,8 7,2 7,9 7,4 7,8 8,5
10. 2,9 3,2 3,4 3,8 4,1 5,0 4,8 5,3 6,3 6,3 6,6 7,1 6,4 7,1 7,5
11. 3,3 3,7 4,0 3,9 4,6 5,2 5,4 6,2 6,6 6,3 7,1 7,5 7,4 7,7 7,8
12. 3,3 3,5 3,9 3,8 4,0 4,6 5,1 5,6 5,6 6,0 6,1 6,6 6,7 7,1 7,4
13. 3,1 3,6 3,9 3,7 4,3 4,9 5,0 5,4 5,9 5,7 6,7 6,6 6,2 6,2 7,2
14. 1,4 2,0 2,4 2,5 2,7 2,7 3,3 3,5 3,5 3,9 4,1 4,4 4,3 4,6 4,8
101
15. 2,9 3,3 3,3 3,4 4,1 4,3 4,3 5,5 5,8 5,7 6,1 6,9 6,2 6,3 6,9
16. 2,3 2,8 3,1 2,8 3,4 3,7 4,0 4,7 4,9 4,9 5,2 5,7 4,2 5,0 5,7
17. 1,6 2,4 2,7 2,4 2,6 3,4 3,3 3,8 4,1 4,0 4,1 4,7 4,4 4,5 4,8
18. 2,2 2,6 2,8 3,4 3,3 3,7 3,8 4,4 4,3 4,5 4,8 5,1 5,4 5,6 5,6
19. 2,3 2,1 2,4 2,6 2,7 2,7 3,5 3,9 3,9 4,0 4,3 4,2 4,9 5,0 4,9
20. 3,0 2,7 3,7 3,4 4,0 4,0 4,7 5,0 5,1 5,6 5,4 6,1 5,1 5,5 6,4
21. 2,5 3,6 3,4 3,6 3,8 4,4 4,9 4,9 5,5 5,5 6,0 6,5 6,9 6,4 6,7
22. 2,2 2,4 2,4 3,2 3,3 3,5 4,7 4,4 4,8 5,1 5,5 5,7 5,9 6,4 6,3
23. 2,5 2,6 3,2 3,7 3,9 4,1 4,9 5,4 5,3 5,9 6,4 6,9 6,1 6,4 7,1
24. 2,6 2,8 2,6 3,1 3,8 3,4 4,1 4,6 4,0 5,6 5,1 5,8 5,7 6,2 6,3
25. 2,9 3,4 3,7 3,3 4,4 4,0 4,5 4,8 5,8 5,3 6,0 6,2 5,4 5,8 6,2
26. 2,1 1,8 2,8 2,3 2,4 2,9 3,3 3,3 3,6 3,7 4,0 4,3 4,3 4,4 4,7
27. 2,7 3,0 3,4 3,4 4,2 4,5 5,0 5,5 5,9 5,7 6,3 7,0 5,5 6,6 6,7
28. 2,5 2,9 3,0 3,6 4,0 4,5 5,0 5,0 5,4 5,7 6,1 6,6 6,6 7,0 6,9
29. 3,1 3,3 3,5 4,1 4,6 4,7 5,0 5,4 6,0 6,1 7,0 7,2 6,6 6,8 7,5
30. 2,0 2,3 2,4 2,5 2,7 3,0 3,1 3,0 3,3 3,3 3,8 4,2 3,7 4,0 4,2
Задание № 6. Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого
предприятия за 12 месяцев (табл. 3.8.6).
1) Найти коэффициенты автокорреляции со смещением на 1, 2, 3 и 4 месяца.
2) Проверить найденные коэффициенты автокорреляции на значимость с
доверительной вероятностью p 0,95 .
3) Построить коррелограмму.
4) Построить аддитивную (или мультипликативную) модель временного
ряда.
102
Таблица 3.8.6
Вариант
Стоимость акции по месяцам (руб.)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
52,752,1 53,457,356,1 56,261,360,9 60,565,465,6 65,6
79 78,2 78,683,5 81 82,387,186,3 85,591,490,6 90,7
74,473,2 74,379,978,7 79,784,184,3 85,489,389,6 91
107 105 106 111 112 113 117 116 117 122 121 122
84,182,6 83,887,587,3 88,1 93 92,3 93,698,497,2 97,1
112 111 112 117 117 117 122 121 123 126 127 127
32,830,3 30,835,734,1 34,237,535,8 35,739,138,8 37,3
46,746,1 45,749,747,4 47,8 52 50,1 49,854,651,9 52,3
13,312,5 12,717,215,9 16,120,519,2 19,923,922,8 23,5
35,1 33 33,938,636,3 38 41,9 40 40,344,843,8 45,2
19,2 18 18,924,423,2 23,127,928,8 28,234,833,2 33,3
48,248,4 50,153,852,8 54,459,458,1 58,564,563,4 64,3
27 25,4 25,6 31 28,9 28,2 34 32,2 32,336,934,3 33,6
44,841,9 42,846,844,7 44,748,447,7 48,352,749,7 50,8
22 20,4 21,625,622,9 24,327,326,7 26,730,928,9 28,9
37,435,9 35,440,438,3 38,642,640,3 40,345,143,2 42,2
53,452,8 52 57,354,9 54,960,459,9 60,463,663,2 63,3
73,973,2 72,8 78 77,4 77,681,480,8 80,885,283,4 85,5
73,272,8 73,479,677,9 78,484,182,5 84 89,988,6 88
104 103 104 108 108 110 114 115 114 119 119 120
82,182,2 82 85,983,1 83,288,787,4 87,390,589,7 90
98,197,1 96,8 103 101 101 104 103 102 108 105 105
33,731,6 32,637,437,3 37,542,942,1 41,347,745,8 46,1
61,3 59 60,464,763,2 65,369,268,8 69,373,972,1 73,4
53,552,7 53,658,858,7 60,565,563,8 66 70,8 70 70,9
88,386,8 89,2 94 93,7 93,499,599,4 99,1 105 105 105
23,221,6 23,326,8 27 25,531,830,4 29,634,133,1 33,8
46,145,5 46,449,949,2 50,753,852,8 52,957,957,8 57,3
74,374,1 75,480,878,7 81,485,486,2 85,9 92 90,9 93,1
110 109 111 116 115 116 121 121 123 129 127 128
103
ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ
УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
Принятие решений — это основная функция человеческой деятельности.
Постоянно, ежесекундно, сознательно или подсознательно человек принимает
решения. Отсюда несомненна важность изучения и практического использования в экономической деятельности теории и методов принятия решений.
4.1. Основные понятия теории принятия решений
Под принятием решений будем понимать особый процесс человеческой
деятельности, направленный на выбор наилучшего варианта действий. Будем
называть человека (или группу лиц), фактически осуществляющего выбор
наилучшего варианта действий, лицом, принимающим решения (ЛПР).
Процесс принятия решений сложен, но во многих случаях имеет некоторые общие закономерности, что позволяет строить математическую модель
разрешения некоторых проблемных ситуаций и рассчитать оптимальное из р ешений, добиваясь наилучшего результата.
При построении математической модели принятия решения определим
два основных понятия.
Альтернативой или стратегией называется вариант, конкретные правила
действий, которые возможны для ЛПР при принятии решений. Сам процесс
принятия решений состоит в выборе ЛПР оптимальной альтернативы наиболее
выгодной для него. Например, при взятии кредита директором предприятия его
альтернативами служат банки, готовые предоставить кредит или условия кр едитования в выбранном банке. Альтернатив обычно несколько, но все их мо жно перечислить и четко определить.
Критериями оценки альтернатив (или просто критериями) будем называть показатели привлекательности (или непривлекательности) альтернатив для
участников процесса выбора решения, в частности, для ЛПР. Именно оценка
критериев служит базой для выбора наилучшей альтернативы. Например, при
выборе банка руководитель предприятия использует такие критерии, как процентная ставка, надежность банка, условия предоставления кредита и прочие
критерии.
Критерии могут быть количественные и качественные. Если показатель
привлекательности можно точно оценить численным значением пропорциональным показателю, то он является количественным. Например, количественными являются критерии, связанные с показателями цены, прибыли или затрат
(рубли), времени (часы, дни и т. д.), размеры (метры), площади (м 2) и подобные
им. Однако часто показатели критериев нельзя точно связать с каким-либо чис104
лом. В этом случае он является качественным. Его в этом случае можно лишь
охарактеризовать терминами сравнения: «лучше — хуже», «дальше — ближе»,
«больше — меньше». Для применения математических методов анализа качественных критериев необходимо задать им количественные характеристики.
Для этого применяются экспертные оценки критериев, при которых специалисты в данной области либо оценивают по n-мерной шкале показатель привлекательности критериев для каждой альтернативы, либо сравнивают попарно все
показатели критериев для каждой альтернативы и рассчитывают вес альтернатив по каждому критерию.
В профессиональной деятельности выбор критериев часто определяется
многолетней практикой, опытом. В подавляющем большинстве задач имеется
достаточно много критериев оценок вариантов решений. Эти критерии могут
быть однонаправленными, противоречивыми и/или независимыми. Если улучшение одного критерия приводит к улучшению другого, то критерии однонаправленные, например объемы продаж и прибыль. Если же нельзя одновременно улучшить оба критерия (улучшая один, второй ухудшается), то критерии
противоречивые, например цена и качество. Часто бывает, что критерии никак
не влияют друг на друга и для одной группы альтернатив одновременно улучшаются, а для другой — изменяются в разных направлениях.
Если для альтернативы А все критерии имеют лучшие показатели, чем
эти же критерии для альтернативы В, то альтернатива А называется доминирующей, а В — доминируемой. В такой ситуации доминируемую альтернативу В
можно исключить из рассмотрения и вывести из задачи.
Например, некто желает приобрести автомобиль и у него есть три вар ианта покупки: автомобили А, В и С. В качестве критериев покупатель определяет два: цена и качество. Предположим, что оценки критериев для альтернатив
следующие (табл. 4.1.1).
Таблица 4.1.1
Автомобиль
(альтернатива)
Цена (тыс. р.)
А
В
С
85
110
95
Критерий
Качество
(оценка по 10-балльной шкале)
5
7
4
Видно, что автомобиль А лучше, чем С по обоим критериям: и по цене
(дешевле) и по качеству (лучше). Следовательно, альтернатива автомобиля А
доминирует над С и вопрос покупки автомобиля С можно отбросить, выведя
эту альтернативу из задачи. Далее можно определять выбор лишь среди автомобилей А и В.
105
Однако очень часто, особенно при большом количестве альтернатив и
критериев, нельзя определить альтернативы, доминирующие или доминируемые над остальными, и абсолютно оптимального решения выбрать нельзя.
Здесь нужно идти на компромисс, жертвуя показателями привлекательности
одних критериев за счет увеличения привлекательности других. Множество
альтернатив, среди которых нельзя выбрать одну, доминирующую или доминируемую над всеми остальными по всем критериям, называется множеством
Парето или областью Парето.
Выбор оптимальной альтернативы из множества Парето представляет собой непростую задачу. Для ее решения разработано множество математических
методов, некоторые из которых будут рассмотрены ниже.
4.2. Принятие решений
в условиях полной определенности
Рассмотрим ситуацию, когда имеется полная информация о всех альтернативах по всем критериям. Данное условие в математической модели предполагает, что каждый критерий измеряется количественно, и его показатель привлекательности для каждой альтернативы пропорционален его количественной
оценке.
Рассмотрим вначале простейший случай, когда оценки привлекательности альтернатив по каждому критерию качественные и имеются экспертные
оценки критериев по одной и той же (например, десятибалльной) шкале. Пусть
имеется n альтернатив и k критериев. Обозначим U ij — оценку i-й альтернативы по j-му критерию. Очевидно, что критерии имеют различную важность. Одни оказывают большее влияние на принятое в результате решение, другие
меньшее. Назовем степень важности каждого критерия его весом. Пусть вес j-го
критерия равен W j . Вес критерия измеряется по любой пропорциональной
шкале (например, от 0 до 1 или по десятибалльной или любой другой шкале).
Веса критериев определяют либо эксперты, либо непосредственно ЛПР. Методы определения экспертных оценок альтернатив по критериям и весов критериев будут рассмотрены далее.
Итак, если известны оценки альтернатив, веса критериев и если решается
задача на максимизацию, то есть чем выше оценка альтернативы, тем она более
привлекательна, то для принятия оптимального решения нужно вычислить
функции полезности каждой альтернативы Fi по формуле:
k
Fi
U ijW j ,
i 1,2,...,n,
(4.2.1)
j 1
и принять ту альтернативу, для которой функция полезности максимальна. Если решается задача минимизации (чем меньше оценка альтернатив по критери106
ям, тем привлекательнее альтернатива), то выбирается альтернатива с меньшей
функцией полезности. Рассмотрим пример.
ПРИМЕР 4.2.1. Директор предприятия желает заключить договор с одной из ремонтно-сервисных компаний на обслуживание автоматизированной
сборочной линии. Ему предлагают свои услуги четыре компании, которые
условно обозначим А, В, С и D. Для выбора стороны по договору директор выделяет несколько критериев. В первую очередь важна стоимость обслуживания,
гарантийные обязательства и прочие накладные расходы, которые в совокупности назовем «Финансовые условия», директор считает их вес наибольшим и по
единичной шкале оценивает в W1 = 0,8. Также немаловажна экспертная оценка
надежности компании, ее репутация. Данный критерий имеет оценку веса W2 =
0,5. Кроме того, нельзя не учесть такой критерий, как быстрота реагирования,
то как поставлена система обслуживания линии, как быстро устраняются неполадки и осуществляется наладка. Вес этого критерия W3 = 0,3. Оценки альтернатив по каждому критерию (чем выше, тем привлекательнее альтернатива)
приведены в табл. 4.2.1.
Таблица 4.2.1
Альтернативы
Компания А
Компания В
Компания С
Компания D
Оценки критериев (10-балльная шкала)
Финансовые
Быстрота реагиРепутация
условия
рования
4
7
9
8
3
8
6
8
4
7
2
9
РЕШЕНИЕ. Рассчитываем функции полезности для каждой альтернативы:
FA
4 0, 8 7 0, 5 9 0 , 3 9, 4;
FB
8 0, 8 3 0,5 8 0,3 10 ,3;
FC
6 0, 8
8 0,5 4 0,3 10 , 0;
FD 7 0, 8 2 0,5 9 0,3 9,3 .
Видно, что для второй альтернативы функция полезности максимальна,
поэтому рациональнее всего ее принять и заключить договор с компанией В.
Как видно из примера, все показатели привлекательности критериев качественные, и поэтому для количественной оценки использованы их экспертные
оценки по десятибалльной шкале, то есть оценки имеют одинаковую размерность (они безразмерны). Другая ситуация возникает, когда оценки разных кр итериев имеют разную размерность, одни из них являются натуральными
107
(например, один критерий оценивается в рублях, другие — в минутах, третьи
— в экспертных баллах и т. д.). Для их сравнения и включения в функции полезности на равных (точнее пропорциональных весам) условиях существует ряд
методов, которые имеют общее название методов нормализации. Под нормализацией критериев понимается такая последовательность процедур, с помощью
которой все критерии приводятся к единому, безразмерному масштабу измер ений. Рассмотрим один из наиболее часто применяемых на практике методов
нормализации.
Предположим, что имеется n альтернатив и k критериев. Обозначим U ij
— оценку i-й альтернативы по j-му критерию. Пусть оценки альтернатив по

критериям имеют различные размерности. Введем обозначение U j max (U ij )
i
— максимальное значение j-го критерия по каждой альтернативе, а

U j min (U ij ) — минимальное значение j-го критерия по альтернативам. Тогда
i
введем нормализованные оценки альтернатив по критериям.
В случае максимизации критериев (чем больше показатель, тем лучше) из
каждого элемента столбца матрицы U ij вычитают минимальный элемент данного столбца и результат делится на разницу между максимальным и минималь
U ij U j
ным элементами этого столбца: u ij

 . В случае минимизации критериев
Uj Uj
(чем меньше показатель, тем лучше) нормализованные оценки равны

U ij U ij
u ij

 , то есть из максимального элемента каждого столбца матрицы U ij
Uj Uj
вычитают каждый элемент этого столбца, и результат делится на разницу между
максимальным и минимальным элементами столбца.
В результате нормализации, вне зависимости, ведется максимизация или
минимизация критерия, альтернатива, имеющая наилучший для ЛПР показатель привлекательности по любому критерию, получает оценку 1, наименее
привлекательная имеет оценку 0, а остальные альтернативы имеют промежуточные оценки от 0 до 1 пропорционально их привлекательности между показателями наилучшей и наихудшей альтернатив. Функции полезности каждой
альтернативы Fi вычисляются по формуле (3.1), но с нормализованными показателями привлекательности: Fi
k
u ij W j , i 1, 2, ..., n , где W j — веса кри-
j 1
териев. Принимается та альтернатива, для которой функция полезности макс имальна. Рассмотрим пример.
ПРИМЕР 4.2.2. Сотовая компания, открывая свое представительство в
городе Н, выбирает помещение, которое собирается снять в аренду для своего
108
офиса. Имеется несколько альтернатив: центр города А, парковая зона В, индустриальный район С, район рынка D. Рассматриваются следующие критерии:
арендная плата (тыс. р./год), площади помещения (кв. м), доступность для клиентов (балл из 10), состояние помещения (балл из 10). Оценки альтернатив по критериям, а также веса критериев (по 10-балльной системе) приведены в табл. 4.2.2.
Таблица 4.2.2
Альтернатива
А
В
С
D
Вес
Аренда
130
65
80
100
8
Критерии (матрица U ij )
Площади
Доступность
95
9
110
5
90
6
100
8
6
9
Состояние
7
4
6
5
5
РЕШЕНИЕ. Проводим нормализацию показателей альтернатив по критериям. Для первого критерия (аренда), который минимизируется, максимальный элемент равен 130, минимальный 65. Данный критерий минимизируется,
поэтому от максимального элемента первого столбца матрицы U ij (который ра
вен U i1 130 ) отнимаем каждый элемент этого столбца и делим на разность
130 – 65 = 65. Для второго элемента (площадь), который максимизируется, от
каждого элемента второго столбца отнимаем минимальный элемент этого
столбца, равный 90, и делим на разность максимального и минимального элементов 110 – 90 = 20. Аналогично, рассчитывая нормализованные показатели
третьего и четвертого критериев, получаем матрицу нормализованных показателей (табл. 4.2.3).
Таблица 4.2.3
Альтернатива
А
В
С
D
Нормализованные критерии (матрица uij )
Аренда
Площади
Доступность Состояние
0
0,25
1
1
1
1
0
0
0,77
0
0,25
0,67
0,46
0,5
0,75
0,33
В результате рассчитанные с учетом весов функции полезности равны
FA
0 8 0,25 6 1 9 1 5 15 ,5;
FB
1 8 1 6 0 9 0 5 14 ;
FC
0,77 8 0 6 0,25 9 0, 67 5 11,76 ;
FD
0, 46 8 0,5 6 0,75 9 0,33 5 15 , 44 .
109
Видно, что альтернатива A (центр города) наилучшая, т. к. ее функция
полезности максимальна.
Рассмотрим методы решения задач принятия решений в условиях определенности с использованием ЭВМ.
ПРИМЕР 4.2.3. Частный предприниматель открыл новый продовольственный магазин. При этом необходимо заключить долгосрочный договор с
одной из оптовых баз по поставке продукции. В городе имеются пять оптовых
баз: А, В, С, D и Е. В качестве альтернатив, определяющих выбор базы, выступают: широта ассортимента (К1); кредитные и финансовые условия (К2); сервисные и транспортные условия (К3); репутация и надежность (К4). По всем
критериям были получены экспертные оценки в баллах по 10-балльной системе. Также имеются оценки весов критериев (табл. 4.2.4).
Таблица 4.2.4
Критерий
Альтернатива
А
B
C
D
E
Вес
К1
9
7
3
4
6
7
К2
4
6
8
9
5
8
К3
5
5
6
4
7
6
К4
6
4
5
7
2
3
С какой базой лучше всего заключить договор (решить на ЭВМ)?
РЕШЕНИЕ. Откроем электронную книгу EXCEL. Введем данные и подписи для дальнейших расчетов (рис. 4.2.1).
Рис. 4.2.1
Ставим курсор в ячейку F2, вводим формулу «=B2*B$7» и автозаполняем
ячейки от F2 до I 6, растягивая сначала ячейку F2 за нижней правый угол на
диапазон F2–F6, а затем этот выделенный диапазон – вправо на 4 столбца до I6.
Ставим курсор в К2 и вводим «=СУММ(F2:I2)». Автозаполняем данные этой
110
ячейки на К2–К6. Видно, что максимальная функция полезности, равная 145, у
альтернативы D, следовательно, с этой базой лучше всего заключить договор.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда по каждой шкале оценки критериев
шкала измерений разная и направления показателей привлекательности разные.
В этом случае нужно проводить нормализацию показателей по критериям. Это
решение рассмотрено в следующем примере.
ПРИМЕР 4.2.4. Негосударственное образовательное учреждение в связи
с расширением желает приобрести здание под учебный корпус. Имеются вар ианты покупки четырех зданий: в центре города — А; в жилом секторе — В; в
промышленной зоне С; на окраине города D. В качестве критериев выступают:
цена покупки (К1, млн руб.), площадь строения (К2, кв. м.), место расположения
(К3, минуты от метро), качество строения (К4, балл по 10-балльной шкале). Результаты оценок альтернатив по критериям и веса критериев приведены в табл. 4.2.5.
Таблица 4.2.5
Критерий
Альтернатива
А
B
C
D
Вес
К1
12
11
9
7
8
К2
10500
12000
7500
6000
7
К3
25
20
15
10
9
К4
4
9
8
6
6
РЕШЕНИЕ. Вводим исходные данные в соответствии со схемой на рис. 4.2.2.
Рис. 4.2.2
Исходя из того, что данные имеют разные размерности, необходимо пр оводить нормализацию. Для этого в ячейки G1–J1 нужно ввести подписи таблицы, соответственно названия критериев К1, К2, К3, К4. В область G2–J5 вводим
нормализованную таблицу.
Первый критерий (цена) минимизируется. Поэтому от максимального элемента каждого столбца матрицы выигрышей отнимаем каждый элемент этого
111
столбца и делим данное число на разность между максимальным и минимальным элементами столбца. Вводим в G2 формулу (ссылки на ячейки вводятся латинскими буквами):
«=(МАКС(B$2:B$5)–B2)/(МАКС(B$2:B$5)–МИН(B$2:B$5))».
За нижний правый угол этой ячейки мышью с помощью автозаполнения
формулу нужно растянуть на G2–G5. Второй критерий (площадь) максимизируется. Поэтому от каждого показателя привлекательности критерия К2 отнимаем минимальный элемент столбца С2:С5 и делим на разницу максимального
и минимального элемента этого столбца. Для этого вводим в Н2 формулу
«=(C2–МИН(C$2:C$5))/(МАКС(C$2:C$5)–МИН(C$2:C$5))».
Аналогично автозаполнением переносим формулу на ячейки Н2–Н5. Третий критерий минимизируется. Вводим в I2 формулу
«=(МАКС(D$2:D$5)–D2)/(МАКС(D$2:D$5)–МИН(D$2:D$5))»,
автозаполняя ее на I2–I5. Четвертый критерий максимизируется. Вводим в J2:
«=(E2–МИН(E$2:E$5))/(МАКС(E$2:E$5)–МИН(E$2:E$5))»,
автозаполняя ячейки J2–J5.
В результате получаем матрицу рисков. Теперь можно вычислить функции полезности по каждой альтернативе. Для этого в F8 вводим подпись
«Функция полезности», в ячейки F9–F12 вводим подписи «F1»…»F4», в G9
вводим формулу
«=G2*$B$6+H2*$C$6+I2*$D$6+J2*$E$6»,
которую автозаполнением переносим на G9–G12. Видно, что максимальная
функция полезности – 17,6 для второй альтернативы.
4.3. Экспертное оценивание
методом аналитической иерархии
Несомненно, при изучении методов принятия решений в условиях определенности возникает вопрос, а как на практике получить оценки привлекательности критериев при качественных альтернативах, как выбрать веса важности критериев. Как ранее было сказано, эти оценки осуществляет либо эксперт
(специалист по исследуемому вопросу), либо ЛПР. Практических методов, с огласно которым расставляются экспертные оценки, достаточно много. Пр остейшим (и достаточно популярным) является метод жюри, согласно которому
эксперт всего лишь, в соответствии со своими знаниями, опытом и интуицией,
расставляет баллы для каждой альтернативы по имеющемуся критерию по з аданной шкале.
Однако на практике не всегда можно точно и пропорционально оценить
показатели привлекательности альтернатив, особенно при большом их числе.
Гораздо проще бывает попарно сравнить все имеющиеся альтернативы по каждому критерию и оценить, насколько одна конкретная альтернатива привлекательнее другой. Такой метод экспертной оценки получил название метода ана112
литической иерархии. Рассмотрим его для случая n альтернатив, которые обозначим A 1 , A 2 ,..., A n , и m критериев, обозначенные K 1 , K 2 ,..., K m . Возьмем
первый критерий K1 и попарно сравним все альтернативы друг с другом по
этому критерию. В результате получим матрицу сравнений V ij(1 ) , каждый элемент которой, в случае, если альтернатива A i не менее предпочтительна, чем
альтернатива A j , равен h. Если же альтернатива Ai не более предпочтительна,
чем альтернатива A j , то соответствующий элемент матрицы V ij(1 ) равен 1/h. Так
же вычисляются матрицы сравнения V ij(k ) , k 1,2,..., m для других критериев.
Введем, например, такую шкалу сравнений (табл. 4.3.1).
Шкала относительной важности парного сравнения альтернатив
Таблица 4.3.1
Уровень важности
Равная важность
Умеренное превосходство
Существенное превосходство
Значительное, большое превосходство
Очень большое превосходство
Степень
предпочтительности h
1
3
5
7
9
При желании можно использовать четные целые числа, выражающие
промежуточные уровни предпочтительности. Следует отметить, что эксперт
или ЛПР может использовать другие шкалы важности парных сравнений.
Аналогично, попарно сравнивая важности критериев, составляется матрица сравнения критериев, по которой можно определять их веса.
На следующем этапе вычисляются собственные векторы альтернатив по
всем критериям. Для каждой i-й альтернативы по k-му критерию вычисляем
элемент вектора U i(k ) , который равен среднегеометрическому показателю матрицы сравнения для этой альтернативы (строки матрицы):
U i(k )
n
n
V ij(k )
n
Vi1(k ) Vi (2k ) ... Vin(k ) .
j 1
Такой же собственный вектор вычисляется и для матрицы сравнения критериев.
Далее в результате нормализации собственных векторов вычисляют веса
альтернатив по каждому критерию и веса самих критериев. Вес i-й альтернативы по k-му критерию W i (k ) равен отношению соответствующего элемента собственного вектора к сумме всех элементов собственного вектора данного критерия:
113
Wi
(k )
U i(k )
n
U i(k )
U i(k )
U 1(k )
U 2(k )
...
U n(k )
.
i 1
Так же вычисляются и веса критериев, которые обозначим
, k 1,2,..., m .
Теперь, имея оценки полезностей альтернатив по всем критериям и веса
критериев, можно вычислить функции полезности по каждой альтернативе и из
их сравнения выбрать наилучшую альтернативу с максимальной функцией.
Функция полезности i-й альтернативы вычисляется по формуле
(k )
W крит
m
Fi
(k )
W i (k ) W крит
(1 )
W i (1 ) W крит
(2 )
W i (2 ) W крит
...
(m )
W i (m ) W крит
.
k 1
Рассмотрим применение метода аналитической иерархии на примере.
ПРИМЕР 4.3.1. Предприниматель, занимающийся продажей профессионального оборудования для парикмахерских и косметических салонов, р ешил
открыть новую торговую точку и построить магазин в одном из районов гор ода. Городские власти предлагают ему под строительство четыре земельных
участка: А, В, С и D. В качестве критериев при выборе места строительства
предприниматель выделяет три:
— доступность магазина для клиентов (место расположения) — K1;
— стоимость строительства, доступность коммуникаций — K2;
— возможность дальнейшего расширения (планируется со временем
пристроить помещения для дополнительных отделов) — K3.
Предприниматель, выступая экспертом по первому критерию о доступности и месторасположении магазина, сравнил альтернативы и решил, что А по
сравнению с В имеет умеренное преимущество (балл 3), А по сравнению с С
имеет значительное превосходство (балл 7) и А по сравнению с D — существенное превосходство (балл 5). Эти баллы записываем в первую строку табл.
4.3.2. Сравнивая альтернативы В и С, эксперт решил, что В имеет превосходство большее, чем умеренное, и менее, чем существенное, поэтому в табл. 4.3.2
на соответствующую позицию было решено занести балл 4. Альтернатива В по
сравнению с D имеет умеренное превосходство, а С и D имеют равную важность. В результате табл. 4.3.2 примет вид:
Альтернативы
A
B
C
D
Критерий «Доступность магазина для клиентов»
Таблица 4.3.2
A
B
C
D
1
3
7
5
1/3
1
4
3
1/7
1/4
1
1
1/5
1/3
1
1
114
По аналогии, эксперты по двум другим критериям сравнили попарно все
альтернативы и получили следующие результаты (табл. 4.3.3).
Критерий «Стоимость строительства»
Таблица 4.3.3
Альтернативы
A
B
C
D
A
1
1/5
7
3
B
5
1
3
7
C
1/7
1/3
1
1/3
D
1/3
1/7
3
1
Критерий «Возможность расширения»
Таблица 4.3.4
Альтернативы
A
B
C
D
A
1
1/3
3
7
B
3
1
3
5
C
1/3
1/3
1
2
D
1/7
1/5
1/2
1
Следующий этап состоит в сравнении важностей самих критериев. Предприниматель считает самым важным первый критерий, он имеет умеренное превосходство над вторым и существенное над третьим. Второй критерий имеет умеренное превосходство над третьим. В результате получаем матрицу (табл. 4.3.5).
Таблица 4.3.5
Критерий
K1
K2
K3
K1
K2
K3
1
1/3
1/5
3
1
1/3
5
3
1
Третий этап состоит в расчете собственных векторов и весов альтернатив
по каждому критерию. Для первого критерия «Доступность магазина для клиентов» собственный вектор альтернативы А равен 4 1 3 7 5 3,201 . Для второй, третьей и четвертой альтернативы собственные векторы равны
1
1
4 1
4 1
4 1
3 1 4 3 1, 414 ,
7 4 1 1 0, 435 и
5 3 1 1 0,508 соответственно.
115
Рассчитаем теперь веса альтернатив. Просуммируем элементы собственного вектора: 3,202 1, 414 0, 435 0,508 5,559 . Разделим каждый элемент
собственного вектора на эту сумму, получим нормализованные веса каждой
альтернативы, а именно, для альтернативы А: 3,202/5,559 = 0,576, для других
альтернатив аналогично 0,254, 0,078, 0,092. Следует отметить, что в сумме веса
должны давать единицу. Запишем результат в табл. 4.3.6.
Критерий «Доступность магазина для клиентов»
Таблица 4.3.6
Альтернативы
A
B
C
D
Собственный вектор
Вес
A
B
C
D
1
1/3
1/7
1/5
3
1
¼
1/3
7
4
1
1
5
3
1
1
3,201
1,414
0,435
0,508
0,576
0,254
0,078
0,092
сумма
5,559
Аналогичные таблицы (табл. 4.3.7-4.3.8) составляем и для случая парного
сравнения альтернатив по другим критериям.
Критерий «Стоимость строительства»
Таблица 4.3.7
Альтернативы
A
B
C
D
A
B
C
D
1
1/5
7
3
5
1
3
7
1/7
1/3
1
1/3
1/3
1/7
3
1
Собственный вектор
0,699
0,312
2,817
1,627
сумма 5,452
Вес
0,128
0,057
0,517
0,298
Критерий «Возможность расширения»
Таблица 4.3.8
Альтернативы
A
B
C
D
A
1
1/3
3
7
B
3
1
3
5
C
1/3
1/3
1
2
D
1/7
1/5
1/2
1
Собственный вектор
0,615
0,386
1,656
2,893
сумма 5,550
Вес
0,111
0,070
0,298
0,521
Таким же способом вычисляем собственные векторы и веса критериев.
Единственное отличие при вычислении собственных векторов состоит в том,
что число критериев равно трем (а число альтернатив — четыре), поэтому из
116
произведения парных оценок сравнений нужно брать корень третьей степени.
Например, для критерия K1: 3 1 3 5 2, 466 . Результаты — в табл. 4.3.9.
Критерий
K1
K2
K3
K1
K2
K3
1
1/3
1/5
3
1
1/3
5
3
1
Таблица 4.3.9
Собственный вектор
Вес
2,466
1
0,405
сумма 3,871
0,637
0,258
0,105
Рассчитываем функции полезности для каждой альтернативы:
F1 0,576 0, 637 0,128 0,258 0,111 0,105 0, 423 ;
F2 0,254 0, 637 0, 057 0,258 0, 07 0,105 0,184 ;
F3 0, 078 0, 637 0,517 0,258 0,298 0,105 0,211 ;
F4 0, 092 0, 637 0,298 0,258 0,521 0,105 0,182 .
Видно, что максимальная функция полезности соответствует первой альтернативе А, следовательно, данный участок и следует выбрать для строительства.
Пример решения задачи принятия решений методом аналитической
иерархии с использованием ЭВМ приведен ниже.
ПРИМЕР 4.3.2. Директор завода собирается открыть дочернее предприятие в одном из районных центров области. Имеется возможность выбрать один
из городов: А, В, C и D (альтернативы). В качестве критериев выбора выступают:
Стоимость (К1), Дальность от областного центра (К2), Месторасположение в
райцентре (К3) и наличие в райцентре квалифицированных сотрудников (К4). В
результате экспертных исследований матрицы парных сравнений альтернатив по
каждому критерию и критериев между собой имеют вид (табл. 4.3.10-4.3.11).
Альтернативы
Таблица 4.3.10
K1
A
B
C
D
K3
A
B
C
D
A
1
1/3
7
1/5
A
1
1/5
1
2
B
3
1
3
1/2
B
5
1
5
1/3
C
1/7
1/3
1
5
C
1
1/5
1
1/2
D
5
2
1/5
1
D
1/2
3
2
1
K2
A
B
C
D
K4
A
B
C
D
117
A
1
5
1/3
3
A
1
1/7
5
3
B
1/5
1
1/3
3
B
7
1
1/4
2
C
3
3
1
1/4
C
0,2
4
1
1/3
D
1/3
1/3
4
1
D
1/3
1/2
3
1
Критерии
Таблица 4.3.11
К1
К2
К3
К4
К1
1
1/2
1/3
5
К2
2
1
3
1/3
К3
3
1/3
1
1/5
К4
0,2
3
5
1
РЕШЕНИЕ. Откроем программу MS EXCEL. Введем исходные данные,
учитывая, что 1/2 = 0,5; 1/3 = 0,333; 1/4 = 0,25; 1/5 = 0,2; 1/7 = 0,143. Подготовим также поля для собственных векторов и весов, а также поля для вычисления функции полезности альтернатив. Полученная картина в листе электронной
таблицы должна быть такая же, как на рис. 4.3.1.
Рис. 4.3.1
Для вычисления собственных векторов (столбец F) необходимо перемножить данные столбцов В, С, D и Е для каждой альтернативы — строки, и из полученных чисел извлечь корень четвертой степени. Для этого ставим курсор в
ячейку F3 и вводим функцию «=СТЕПЕНЬ(ПРОИЗВЕД(B3:E3);0,25)» (ссылка на ячейки B3:E3 вводится английскими буквами или путем обведения данных ячеек курсором мышки). Автозаполнением (за нижний правый угол) переносим формулу на диапазон F3–F24. Лишние данные из ячеек F7, F13 и F19
118
удаляем, поставив курсор в эти ячейки и нажав клавишу DELETE. В этих ячейках будут храниться суммы векторов.
Также вычисляем векторы критериев. Ставим курсор в М3 и вводим формулу «=СТЕПЕНЬ(ПРОИЗВЕД(I3:L3);0,25)». Автозаполнением за нижний
правый угол ячейки переносим данную формулу на М3–М6.
Далее вычисляем сумму элементов векторов. Ставим курсор в F7 и нажимаем кнопку ∑ , вызывая мастер автосумм, обводим мышкой ячейки F3–F6,
указав, какие ячейки просуммировать. Результат должен выглядеть так:
«=СУММ(F3:F6)». Аналогично в ячейке F13 выводим сумму F9–F12
«=СУММ(F8:F12)»,
в
ячейке
F19
выводим
сумму
F15–F18
«=СУММ(F15:F18),
в
ячейке
F25
выводим
сумму
F21–F24
«=СУММ(F21:F24)»,
в
ячейке
М7
выводим
сумму
М3–М6
«=СУММ(М3:М6)».
Находим теперь веса альтернатив и критериев. Для этого вводим в G3
формулу «=F3/$F$7» и автозаполняем ее на G3–G6. Аналогично вводим в G9
формулу «=F9/$F$13» и автозаполняем ее на G9–G12, вводим в G15 формулу
«=F15/$F$19» и автозаполняем ее на G15–G18, вводим в G21 формулу
«=F21/$F$25» и автозаполняем ее на G21–G24, вводим в N3 формулу
«=M3/$M$7» и автозаполняем ее на N3–N6.
На последнем этапе вычисляем функции полезности альтернатив. Вводим
в I10 формулу
«=G3*$N$3+G9*$N$4+G15*$N$5+G21*$N$6»
и автозаполняем данные на ячейки I10–I13. Видно, что максимальная функция
полезности 0,334 у альтернативы С, следовательно, ее нужно выбрать.
4.4. Принятие решений в условиях риска
В ранее рассмотренных моделях в большинстве случаев предполагалось,
что ЛПР обладает полной информацией (своими оценками или экспертизами)
при принятии решений о рассматриваемой проблеме. Однако так бывает далеко
не всегда. Очень часто возникает ситуация, когда степень привлекательности
альтернативы по тому или иному критерию не детерминирована, а является переменной и зависит от случайных факторов.
Например, некоторое лицо имеет на руках денежную сумму и желает получить с них прибыль. Он может положить деньги в Сбербанк РФ, где процент
дохода минимален, но надежность возврата вклада фактически 100 %. Другой
альтернативой является вложение денег в акции какой-нибудь компании и получить по ним большие дивиденды, но есть риск потерять деньги в случае падения курса акций. Как видно, критерий прибыли для второй альтернативы
имеет переменный показатель. Если ЛПР не знает, как развернется ситуация по
той или иной альтернативе при принятии решения, но имеются объективные
вероятности развития возможных ситуаций, то такую математическую модель
119
будем называть моделью принятия решений в условиях риска. При анализе такой модели удобно пользоваться графическим представлением, называемым
деревом решений.
Дерево решений представляет собой ориентированный граф (рис. 4.4.1),
ребра которого, изображенные стрелками, соответствуют возможным вариантам развития ситуации, и вершины, изображаемые окружностями или квадратами, соответствуют «развилке», когда развитие ситуации может принять тот
или иной сценарий. Дерево строится слева направо, начиная с корневой ветки,
которая соответствует началу принятия решения. Если при развитии какойлибо ситуации возможны несколько вариантов ее реализации, при этом выбор
варианта осознанно осуществляет ЛПР, то на дереве событий эту «развилку»
будем обозначать квадратом. Если же выбор варианта развития ситуации ос уществляется благодаря случаю и ЛПР на него не влияет, то такую «развилку»
будем обозначать окружностью. Под каждой линией указывается вероятность
реализации соответствующему этой линии сценарию развития ситуации. Таким
образом, все возможные сценарии развития событий будут отображены на д ереве решений в виде ветвей этого дерева.
Последние правые ветви дерева решений соответствуют конкретным исходам, результатам принятого решения. В большинстве случаев этот результат
можно измерить количественно, например, если он имеет смысл прибыли, вероятности успеха, степени риска. Если показатель привлекательности результата качественный, то его можно измерить путем экспертной оценки. Проставим
в конце правых крайних ветвей дерева показатели их привлекательности, которые назовем весами этих ветвей.
На следующем этапе нужно проставить веса остальных ветвей. Процесс
взвешивания производится справа налево, от крайних ветвей дерева к их ко рню. При этом нужно соблюдать следующие правила:
1. Если взвешиваемая ветка расходится в результате принятого ЛПР решения (развилка — квадрат), то вес ветки равен максимальному весу веток, исходящих из нее, при этом ветки с меньшими весами обрубаются.
2. Если взвешиваемая ветка расходится из-за случайных обстоятельств
(развилка — круг), то ее вес равен сумме произведений весов всех исходящих из
нее веток, умноженных на вероятности этих веток.
3. Если какая-либо ветка имеет дополнительный вес (например из-за
промежуточных дополнительных затрат), то этот вес добавляется к рассчитанному.
Взвешивание веток производится до тех пор, пока не будет взвешена последняя левая корневая ветка. Ее вес и есть средний выигрыш ЛПР, если он будет действовать оптимально, принимая решения по «неотрубленным» веткам
дерева решений.
Рассмотрим несколько примеров.
120
ПРИМЕР 4.4.1. Предприниматель должен выбрать один из двух вариантов инвестиции денежных средств. В первом предложении предполагается пакет акций, которые, по прогнозам экспертов, в 5 случаях из 8 дадут за год 100
рублей прибыли на 1 акцию, и в 3 случаях из 8 акция упадет в цене, что пр иведет к убытку в 200 рублей на одну акцию. Второе предложение заключается в
пакете акций, которые с вероятностью 0,3 дают ожидаемую прибыль в 500 рублей на акцию и с вероятностью 0,7 — убыток 200 рублей из-за падения акций.
Как лучше поступить и какой средний выигрыш на одну акцию?
РЕШЕНИЕ. Дерево решений начинаем строить от корневой ветки (номер 1, для удобства ветки пронумерованы), которая соответствует началу пр инятия решения. Далее ЛПР должен выбрать вариант инвестиций. Этот выбор
осознанный, поэтому развилка обозначена квадратом (рис. 4.4.1).
4
2
1
3
р=5/8
100
Выигрыш
5
Проигрыш
1-е предложение
р=3/8
р=3/10
2-е предложение
6
7
–200
500
Выигрыш
Проигрыш
р=7/10
–200
Рис. 4.4.1
Перемещаясь по ветке 2, соответствующей первому предложению, подходим к ситуации, когда ЛПР либо получит прибыль, либо убыток. Этот выбор
случаен, поэтому развилка обозначается окружностью. У линии указываем вероятности исходов — это 5/8 и 3/8 соответственно. В конце линий указываем
их веса — выигрыши ЛПР при том или ином исходе: 100 и –200 (р. на акцию).
Аналогично размечаем ветви 3,6 и 7 (Рис 4.4.2).
Рассчитываем веса других ветвей дерева решений. Из ветви 2 выходят две
ветки со случайным выбором, поэтому в соответствии с правилом 2 ее вес 5/8
100 + 3/8 (–200) = –12,5. По аналогии вес ветки 3 равен 10. Из корневой ветки
1 выходят две ветки с неслучайным выбором, поэтому ее вес равен максимальному из их весов, то есть 10. Ветка 2 с меньшим весом обрубается.
Задача решена. ЛПР должен выбирать второе предложение, и его средний
выигрыш составит 10 рублей на одну акцию.
121
р=5/8
5/8 ·100+3/8
(–200) = –12,5
1-е предложение
10
2-е предложение
3/10
500+7/10
(–200) = 10
100
Выигрыш
Проигрыш
р=3/8 –200
р=3/10 500
Выигрыш
Проигрыш
р=7/10
–200
Рис. 4.4.2
ПРИМЕР 4.4.2. Коммерческая организация располагает суммой в
400 тыс. руб., которую она желает сохранить в течение года. У нее есть возможность положить ее в Сбербанк России под 10 % годовых. Риск при этом
сведен к нулю. Однако, положив денежные средства в паевой инвестиционный
фонд, предприниматель по оценкам экспертов с 95 % вероятностью получит
19% годовых, но имеется риск 5 % того, что вклад в результате неблагоприятных обстоятельств не будет возвращен. Имеется вариант вложить средства в
рискованное предприятие, связанное с покупкой на реализацию товара, которое
с 60 % вероятностью позволит увеличить вклад на 40 % за год. Однако есть
риск в 20 % потерять все средства. Но есть вариант за 50 тыс. руб. застраховать
свои средства в случае рискованного предприятия. Как лучше всего поступить
и какой средний выигрыш от финансовой операции при оптимальном решении?
РЕШЕНИЕ. Строим дерево решений, учитывая дополнительные затраты
(на страхование средств), суммы которых указываем под соответствующей ветвью (рис. 4.4.3). Эти затраты вычитаются из рассчитанного веса ветви.
По дереву решения видно, что выгоднее всего вложить деньги в ПИФ и
средний выигрыш при этом составит 452,2 тыс. руб.
122
440
476
440
452,2
0
452,2
560
446
336
0
446
-50
560
400
Рис. 4.4.3
ПРИМЕР 4.4.3. Предприниматель имеет несколько торговых точек по
продаже газет и журналов. Большую прибыль приносят ему спортивные газеты,
в частности «Спорт—Экспресс». Однако спрос на него не стабилен и во многом
зависит от успеха российских и местных (городских) спортсменов за предыдущий день. Если спортивную газету не удается продать в день выпуска, то спрос
на нее и соответственно прибыль предпринимателя значительно падают. Оптовую закупку газет выгодно осуществлять партиями, кратными 1000 экземпляров. Как показывает практика, в самые удачные дни выгодно покупать для реализации не более 3-х партий газет. По статистике вероятность не продать ни
одной партии равна 0,1, вероятность продать только одну партию газеты с оставляет 0,3, вероятность продать две партии — 0,4 и все три — 0,2. При продаже каждой партии предприниматель получает прибыль 4000 руб. В случае,
если партия была закуплена, но не была продана, убытки составляют 3000 руб.
Определить, какое количество партий оптимальнее всего закупать и какая при
этом средняя прибыль?
РЕШЕНИЕ. У предпринимателя 4 альтернативы: не закупать на текущий
день партию газет вообще, закупить одну, две или три партии. Если партия реализуется, то это дает прибыль 4000 руб. на каждую партию. Убытки могут быть
двух видов: если партия закуплена, но не реализована, то убытки 3000 руб., если партия не закуплена, но спрос на нее был, то имеется упущенная прибыль,
что также не выгодно предпринимателю. В итоге, дерево решений можно представить на рис. 4.4.4.
123
0
0
–3000
3300
4000
450
0
–6000
4500
1000
8000
–9000
2900
–2000
5000
Рис. 4.4.4
12000
Видно, что для получения максимальной средней прибыли в 4500 р. нужно закупать 2 партии газет.
4.5. Принятие решений
в условиях неопределенности
В рассмотренных ранее задачах принятия решения в условиях риска известны оценки вероятностей, с которыми можно ожидать тот или иной исход
при их случайном выборе. Однако во многих практических задачах очень часто
совершенно неизвестно, с какой вероятностью можно ожидать возможные сценарии развития ситуации. Математическую модель принятия решений при таких условиях назовем методом принятия решений в условиях неопределенности.
Предположим, что ЛПР имеет п альтернатив решения ситуации, которые
обозначим A 1 , A 2 , ... , A n . Результат выбора (выигрыш ЛПР) зависит от того,
как будет развиваться ситуация, на которую ЛПР повлиять никак не может.
Предположим, что ЛПР выделяет m вариантов развития ситуации, которые обо124
значим S 1 , S 2 , ... , S m . Данные варианты в теории принятия решений называют
«Состояние природы», т. к. в большинстве реальные задачи этого типа связаны
с погодными, климатическими, социальными и другими неопределенностями.
Допустим, что известен результат для ЛПР (выраженный количественно)
при каждой альтернативе Ai и развитии ситуации Bj. Обозначим его a ij . Получаем матрицу A (a ij ) , которую называют матрицей выигрышей или матрицей
потерь в зависимости от того, максимизируется или минимизируется результат
для ЛПР.
В соответствии с реальными условиями существует несколько критериев
принятия решений в условиях неопределенности. Для более наглядного опис ания этих методов, рассмотрим их на примерах. Изучим сначала критерии максимизации результата, когда показатели привлекательности a ij чем больше,
тем лучше для ЛПР.
ПРИМЕР 4.5.1. Директор торговой фирмы, продающей телевизоры
марки «Zarya», решил открыть представительство в областном центре. У
него имеются альтернативы либо создавать собственный магазин в отдельном помещении, либо организовывать сотрудничество с местными торговыми центрами. Всего можно выделить 5 альтернатив решения:
A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 . Успех торговой фирмы зависит от того, как сложится
ситуация на рынке предоставляемых услуг. Эксперты выделяют 4 возмо жных варианта развития ситуации: S 1 , S 2 , S 3 , S 4 . Прибыль фирмы для каждой альтернативы при каждой ситуации представлена матрицей выигрышей
a ij (млн руб./год) (табл. 4.5.1).
Таблица 4.5.1
А1
А2
А3
А4
А5
S1
S2
S3
S4
8
9
2
12
15
12
10
4
14
6
14
11
9
10
7
5
10
22
1
14
Рассмотрим основные критерии, позволяющие выбирать оптимальную
альтернативу для принятия решения.
1. Критерий Лапласа. Он основан на предположении, что каждый вариант развития ситуации (состояния «природы») равновероятен. Поэтому для
принятия решения необходимо рассчитать функцию полезности Fi для каждой
125
альтернативы, равную среднеарифметическому показателю привлекательности
1 m
по каждому «состоянию природы»: Fi
a ij .
m j1
Выбирается та альтернатива, для которой функция полезности макс имальна. Для примера:
F1 1 4 8 12 14 5 9,75 ;
F2
1
F3
4 9 10 11 10 10 ;
1 2 4 9 22 9, 25 ;
4
F4
1
F5
4 12
1 15
4
14
10
6 7 14
1
9,25 ;
10 ,5 .
Видно, что функция полезности максимальна для альтернативы А 5, следовательно, ее рациональнее всего принять.
2. Критерий Вальда. Данный критерий основывается на принципе максимального пессимизма, то есть на предположении, что скорее всего пр оизойдет
наиболее худший вариант развития ситуации и риск наихудшего варианта нужно свести к минимуму. Для применения критерия нужно для каждой альтернативы выбрать наихудший показатель привлекательности i (наименьшее число
в каждой строке матрицы выигрышей) и выбрать ту альтернативу, для которой
этот
показатель
максимальный.
Для
нашего
примера:
5; 2 9; 3 2; 4 1; 5 6 . Видно, что наилучшим из наихудших
1
показателей обладает альтернатива А2, для нее 2 9 наибольшее.
3. Критерий максимального оптимизма. Наиболее простой критерий, основывающийся на идее, что ЛПР, имея возможность в некоторой степени
управлять ситуацией, рассчитывает, что произойдет такое развитие ситуации,
которое для него является наиболее выгодным. В соответствии с критерием
принимается альтернатива, соответствующая максимальному элементу матрицы выигрышей. Для приведенного примера эта величина a 34 22 , поэтому выбираем альтернативу A3 .
4. Критерий Сэвиджа. Он основан на принципе минимизации потерь,
связанных с тем, что ЛПР принял не оптимальное решение. Для решения задачи составляется матрица потерь, которая называется матрицей рисков rij , которая получается из матрицы выигрышей a ij путем вычитания из максимального
элемента каждого столбца a max
j
max (a ij ) всех остальных элементов. В расi
сматриваемом примере эта матрица представлена в табл. 4.5.2.
126
Таблица 4.5.2
А1
А2
А3
А4
А5
S1
S2
S3
S4
7
6
13
3
0
2
4
10
0
8
0
3
5
4
7
17
12
0
21
8
Далее для каждой альтернативы определяем величины i , равные максимальному риску (наибольшее число в каждой строке матрицы рисков) и выбирают ту альтернативу, для которой максимальный риск минимален. В нашем
примере: 1 17 ; 2 12 ; 3 13 ; 4 21; 5 18 , минимально 2 12 .
Принимаем альтернативу А2 .
5. Критерий Гурвица. Это самый универсальный критерий, который позволяет управлять степенью «оптимизма — пессимизма» ЛПР. Введем некоторый коэффициент , который назовем коэффициентом доверия или коэффициентом оптимизма. Этот коэффициент можно интерпретировать как вероятность,
с которой произойдет наилучший для ЛПР исход. Исходя из этого, наихудший
вариант можно ожидать с вероятностью (1 – ). Коэффициент доверия показывает, насколько ЛПР может управлять ситуацией и в той или иной степени
рассчитывает на благоприятный для него исход. Если вероятности благоприятной и неблагоприятной ситуации для ЛПР равны, то следует принять = 0,5.
Для реализации критерия определяются наилучшие a i и наихудшие a i
значения каждой альтернативе по формулам a i max a ij , a i min a ij . Даj
j
a i (1
).
лее вычисляются функции полезности по формуле Fi a i
Выбирается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна.
Предположим, что для нашего примера ЛПР достаточно уверен в положительном результате и оценивает вероятность максимального успеха в = 0,7.
Тогда
F1
14 0,7 5 (1 0,7 ) 11, 3;
F2
11 0,7 9 0, 3 10 , 4;
F3
22 0,7 2 0,3 16 , 0;
F4
14 0,7 1 0, 3 10 ,1;
F5
15 0,7 6 0,3 12 , 3 .
127
В соответствии с расчетами ЛПР следует выбрать альтернативу А3. Если
же, например, ЛПР не очень уверен в положительном исходе и расценивает его
вероятность порядка = 0,2, то функции полезности равны:
F1 14 0,2 5 (1 0,2 ) 6, 8;
F2 11 0,2 9 0, 8 9, 4;
F3 22 0, 2 2 0, 8 6;
F4 14 0, 2 1 0, 8 3, 6;
F5 15 0, 2 6 0, 8 7, 8 .
Видно, что в этом случае следует принять А2, для которого функция полезности максимальна.
Следует отметить, что при = 0 критерий Гурвица переходит в пессимистический критерий Вальда, а при = 1 — в критерий максимального оптимизма.
В случае, если показатель привлекательности по критерию a ij минимизируется (чем меньше, тем лучше для ЛПР, например затраты, риск и др.), то
критерии принятия оптимального решения несколько меняются. Рассмотрим
эти отличия.
Критерий Лапласа определяет оптимальное решение по минимальной
функции полезности. Применяя критерий Вальда, необходимо вычислять максимальный показатель каждой альтернативы (строки) i и принимать альтернативу, где этот показатель минимален. Критерий максимального оптимизма
позволяет определить оптимальное решение, соответствующее минимальному
элементу матрицы выигрышей (которую в случае минимизации часто называют
матрицей потерь). Матрица рисков в критерии Сэвиджа получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы потерь a ij минимального элемента
каждого столбца a min
j
min (a ij ) . Для реализации критерия Гурвица вычисляi
ются максимальные и минимальные показатели для каждой альтернативы
a i max a ij , a i min a ij и функции полезности рассчитываются по форj
j
a i (1
) . Выбирается альтернатива с наименьшей функцимуле Fi a i
ей полезности. Рассмотрим пример.
ПРИМЕР 4.5.2. Нефтяная компания собирается построить в районе
Крайнего Севера нефтяную вышку. Имеется 4 проекта A, B, C и D. Затраты на
строительство (млн руб.) зависят от того, какие погодные условия будут в период строительства. Возможны 5 вариантов погоды S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 . Выбрать оптимальный проект для строительства, используя критерии Лапласа,
128
Вальда, максимального оптимизма, Сэвиджа и Гурвица при
затрат представлена в табл. 4.5.3.
0, 6 . Матрица
Таблица 4.5.3
S1
S2
S3
S4
S5
7
9
6
9
12
10
8
10
8
7
15
8
10
8
9
11
5
9
7
7
A1
A2
A3
A4
Критерий Лапласа:
F1 (7 12 8 10 5 ) / 5 8, 4;
F2 (9 10 7 8 9 ) / 5 8, 6;
F3
(6
8 15
9 7 ) / 5 9;
F4 (9 10 8 11 7 ) / 5 9 .
Следует выбрать альтернативу А1.
Критерий Вальда: среди наихудших вариантов 1 = 12, 2 = 10, 3 = 15, 4 =
11, наилучший соответствует 2 = 10, следовательно, принимаем альтернативу А2.
Критерий максимального оптимизма. Соответствует альтернативе, для
которой a 15 5 минимальное.
Критерий Сэвиджа имеет матрицу рисков (табл. 4.5.4).
Таблица 4.5.4
S1
S2
S3
S4
S5
A1
1
4
1
2
0
A2
3
2
0
0
4
A3
0
0
8
1
2
A4
3
2
1
3
2
Максимальные элементы для каждого критерия матрицы рисков равны:
1 = 4; 2 = 4; 3 = 8; 4 = 3. Принимаем альтернативу, соответствующую минимальному значению 4 = 3, то есть А4.
В соответствии с критерием Гурвица на уровне
0,6 , функции полезности равны:
F1 5 0, 6 12 0, 4 7, 8; F2 7 0, 6 10 0, 4 8,2;
F3 6 0, 6 15 0, 4 9, 6; F4 7 0, 6 11 0, 4 8, 6 .
Принимаем альтернативу А2 с наименьшей функцией полезности
F1 7, 8 .
Рассмотрим примеры решения задач на ЭВМ.
129
ПРИМЕР 4.5.3. Директор финансовой компании проводит рискованную
финансовую операцию. Страховая компания предлагает застраховать сделку и
предлагает 4 варианта страховки: A 1 , A 2 , A 3 , A 4 . Компенсация ущерба
для каждого варианта зависит от того, какой из возможных страховых случаев
произошел. Выделяют 5 видов страховых случаев: S1 , S 2 , S3 , S 4 , S5 . Компенсации (тыс. у. е.) для каждого вида страховки при каждом страховом случае с оставляют матрицу выигрышей (табл. 4.5.5).
Таблица 4.5.5
A1
A2
A3
A4
S1
S2
S3
S4
S5
43
41
39
37
22
37
48
29
42
40
37
32
49
38
42
58
45
42
36
41
Выбрать наилучшую альтернативу, используя критерии Лапласа, Вальда,
максимального оптимизма, Сэвиджа и Гурвица при коэффициенте доверия
0,4 . (Решить на ЭВМ).
РЕШЕНИЕ. Вводим данные в электронную таблицу и готовим подписи в
ячейках для дальнейшего расчета согласно рис. 4.5.1.
Рис. 4.5.1
Вычисляем функции полезности для критерия Лапласа. Для этого ставим
курсор в ячейку G2 и вводим формулу, усредняющую значения показателей
привлекательности по первой альтернативе. Для этого вызываем мастер функций, нажимая на кнопку fx , и выбираем в категории «Статистические» функцию «СРЗНАЧ», в качестве аргумента функции указываем ячейки B2:F2, обводя их курсором. Нажимаем ОК, видим результат 40,2. Автозаполняем ячейки
G2–G5, перетаскивая нижний правый уголок ячейки G2. Видно, что наибольшая функция полезности 40,4 для альтернативы А3. Вводим в G6: «А3».
130
Для критерия Вальда вычисляем наименьшие показатели привлекательности для каждой альтернативы. Для этого вводим в Н2 функцию МИН с аргументами B2:F2: «=МИН(B2:F2)» (кавычки не вводить). Автозаполняем на Н2–
Н5. Выбираем альтернативу, где результат наибольший. Это значение 37 для
альтернативы А2, вводим в Н6: «А2».
Для критерия максимального оптимизма находим максимальные выигрыши для каждой альтернативы. Вводим в I2 формулу «=МАКС(B2:F2)», автозаполняем на I2–I5. Выбираем альтернативу с наибольшим показателем, это А4,
вводим в I6: «А4».
Для критерия Сэвиджа необходимо построить матрицу рисков. Для этого
ставим курсор в ячейку В8 и вводим формулу «=МАКС(B$2:B$5)–B2», автозаполняем результат на ячейки В8–F11. Далее находим максимальный риск для
каждой альтернативы. Для этого ставим курсор в ячейку J2 и вводим
«=МАКС(B8:F8)», автозаполняем результат на J2–J5. Выбираем альтернативу
с минимальным риском, это А3. Вводим в J6: «А3».
Для критерия Гурвица нужно наибольшее значение каждой альтернативы
умножить на (по условию
0,4 ), наименьшее на (1 - ) и результаты сложить. Вводим в К2 формулу
«=МАКС(B2:F2)*0,4+МИН(B2:F2)*0,6»
и автозаполняем результат на К2–К5. Выбираем альтернативу с наибольшей
функцией полезности. Это А3, вводим К6: «А3». Задача решена.
Рассмотрим теперь метод решения задачи в случае минимизации критерия — «чем меньше, тем лучше».
ПРИМЕР 4.5.4. Фермер, имея в аренде большие площади под посев кукурузы, заметил, что влажности почвы в сезон созревания кукурузы недостаточно, чтобы получить максимальный урожай. Эксперты советовали фермеру
провести дренажные каналы в период конца весны — начала лета, что должно
значительно повысить урожай. Были предложены 5 проектов дренажных каналов: A1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , затраты на которые зависят от погодных условий в
период весна — лето. Возможны варианты: S1 — дождливая весна и дождливое
лето; S2 — дождливая весна и сухое лето; S3 — сухая весна и дождливое лето;
S4 — сухая весна и сухое лето. Матрица затрат имеет вид (табл. 4.5.6).
Таблица 4.5.6
A1
A2
A3
A4
A5
S1
21
20
16
23
15
S2
12
21
33
16
16
131
S3
22
18
14
19
24
S4
25
19
17
24
26
Выбрать наилучшую альтернативу, используя критерии Лапласа, Вальда,
максимального оптимизма, Сэвиджа и Гурвица при коэффициенте доверия
0,7 .
РЕШЕНИЕ. Вводим данные в электронную таблицу и готовим подписи в
ячейках для дальнейшего расчета согласно рис. 4.5.2:
Рис. 4.5.2
Вычисляем функции полезности для критерия Лапласа. Для этого ставим
курсор в ячейку F2 и вводим формулу: «=СРЗНАЧ(В2:Е2)», автозаполняем на
В2–Е6. Наилучшей в данном случае считается альтернатива с минимальной
функцией полезности, это А2. Вводим в F7 – «А2».
Для критерия Вальда вычисляем наибольшие показатели привлекательности для каждой альтернативы. Для этого вводим в G2 функцию
«=МАКС(B2:E2)», автозаполняем на G2–G6. Выбираем альтернативу, где результат наименьший, вводим в G7 – «А2».
Для критерия максимального оптимизма находим минимальные затраты
для каждой альтернативы. Вводим в Н2 формулу «=МИН(B2:Е2)», автозаполняем на Н2–Н6. Выбираем альтернативу с наименьшим показателем, вводим в
Н7 – «А1».
Для критерия Сэвиджа необходимо построить матрицу рисков. Для этого
ставим курсор в ячейку В9 и вводим формулу «=B2–МИН(B$2:B$6)», автозаполняем результат на ячейки В9–Е13. Далее находим максимальный риск для
каждой альтернативы. Для этого ставим курсор в ячейку I2 и вводим
«=МАКС(B9:E9)», автозаполняем результат на I2–I6. Выбираем альтернативу с
минимальным риском, таких альтернатив две, это А2 и А4. Вводим в I7 – «А2,
А4».
Для критерия Гурвица нужно наименьшее значение каждой альтернативы
умножить на (по условию
0,7 ), наибольшее на (1– ) и результаты сложить. Вводим в J2 формулу
«= МИН(B2:E2) *0,7+МАКС(B2:E2)*0,3»
132
и автозаполняем результат на J2–J6. Выбираем альтернативу с наименьшей
функцией полезности. Это А1, вводим J7 – «А1». Задача решена.
4.6. Принятие решений в условиях конфликта
В рассмотренных ранее моделях «соперник» ЛПР, которого называли
«состоянием природы», никак не реагировал на возможные решения ЛПР, то
есть последний был ему совершенно безразличен. Однако часто таким соперником является мыслящий субъект или их группа, который осознанно выбирает
вариант реализации ситуации.
Рассмотрим следующую модель. ЛПР А желает принять решение, на результат которого влияет другое ЛПР В, цели которого противоположны А. ЛПР
В анализирует все возможные варианты А и принимает такое решение, которое
приводит к наименьшему выигрышу А (соответственно максимальному своему
выигрышу). Примерами таких ситуаций служат отношения между продавцом и
покупателем, адвокатом и прокурором, кредитором и дебитором, истцом и о тветчиком и т. д. Подобные ситуации называются конфликтными. Математические методы анализа конфликтных ситуаций объединяются под названием
теории игр, сама конфликтная ситуация носит название игры, а стороны, участвующие в конфликте, называются игроками. Исход игры называется выигрышем (или проигрышем) игроков. Если выигрыш одного игрока равен проигрышу другого, то игра называется антагонистической. Допустим, что игрок А
может выбрать в качестве действий одну из п альтернатив: А1, А2,…, Аn. Эти
альтернативы в теории игр принято называть стратегиями. Аналогично игрок
В может принять одну из m стратегий В1, В2,…, Вm. Предположим, что известны
выигрыши (проигрыши) игрока А при любой выбранной им стратегии Аi и любом ответе ему игроком В — стратегии Вj. Пусть этот результат выражен числом аij (которое может быть и отрицательным в случае проигрыша А). Величины аij образуют матрицу, представленную в табл. 4.6.1.
Таблица 4.6.1
А1
А2
…
Аn
В1
В2
…
Вm
a11
a21
a12
a21
a1m
a2m
an1
an2
…
…
…
…
anm
Эта матрица называется платежной или матрицей игры.
Решением конфликтной ситуации является выбор оптимальных стратегий
каждого игрока. В большинстве случаев решением являются смешанные стратегии, которые предполагают, что каждый игрок будет выбирать случайно из
133
возможно допустимых чистых стратегий (но выбирать их с вероятностями) либо частично реализовывать чистые стратегии в заданных пропорциях. Нахо ждение этих вероятностей (или пропорций) и является решением игры. Таким
образом, в общем виде, решением игры являются смешанные стратегии
B 1 B 2 ... B m
A 1 A 2 ... A n
и
,
q 1 q 2 ... q m
p1 p 2 ... p n
где p i и q j — вероятности чистых стратегий Ai u B j в смешанной.
Пусть платежная матрица имеет вид:
a 11 a 12
...
a 1m
a 21 a 22
...
a 2m
.
. . .
a n 1 a n 2 ...
a nm
Тогда для нахождения вероятностей pi и q j смешанных стратегий
A 1 A 2 ... A n
B 1 B 2 ... B m
и
p1 p 2 ... p n
q 1 q 2 ... q m
необходимо решать прямую и двойственную задачи линейного программирования вида
y 1 y 2 ... y m
max;
x 1 x 2 ... x n
min;
a 11 x 1
a 21 x 2 ...
a n1 x n
1;
a 11 y 1
a 12 y 2
...
a 1m y m
1;
a 12 x 1
a 22 x 2 ...
an2 x n
1;
a 21 y 1
a 22 y 2
...
a 2m y m
1;
a 1m x 1
a 2 m x 2 ...
a n1 y 1
an2 y 2
...
a nm y m
1
a nm x n
1;
x i 0; i 1, 2,..., n .
y j 0; j 1,2,..., m .
Из решения задач линейного программирования находятся средние выигрыши (проигрыши) игроков, которые называются ценой игры:
1
1
,
и
вероятности
состояний
x 1 x 2 ... x n y 1 y 2 ... y m
pi x i , q j y j .
Решения задач линейного программирования лучше всего осуществлять
на ЭВМ с помощью надстройки «Поиск решения» пакета прикладных программ MS EXCEL, которая входит в MS OFFICE. Как это делать, покажем на
примере.
ПРИМЕР 4.6.1. В регионе две конкурирующие фирмы по производству
обуви: фирма А и фирма В. Фирма А может производить в будущем году 4 но134
вых модели обуви: А1, А2, А3 и А4. Конкурент В также может производить 4 новые модели: B1 , B2 , B3 , B4 . Так как обувь аналогичная, то спрос и соответственно прибыль каждой фирмы от производства каждой модели зависит от того, что производит конкурент. Оценки прибыли фирмы А (которые, ввиду ко нкуренции, пропорциональны убыткам фирмы В) приведены в таблице 4.6.2
(тыс. р.).
Таблица 4.6.2
A1
A2
A3
A4
B1
B2
B3
B4
70
60
20
50
30
50
60
70
20
40
80
30
50
80
60
50
Как рациональнее всего поступить каждой фирме, чтобы получить
наибольшую прибыль? Решить данную задачу методами теории игр с использованием ЭВМ.
РЕШЕНИЕ. Построим задачу линейного программирования. Рассмотрим
задачу со стороны фирмы А. Введем параметры, пропорциональные вероятностям чистых стратегий, которые равны x 1 , x 2 , x 3 , x 4 . Тогда нужно составить задачу линейного программирования (ЗЛП), то есть необходимо найти
минимум функции при ограничениях:
x1 x2 x3 x 4
min;
70 x 1
50 x 4
1;
30 x 1 50 x 2
60 x 3 70 x 4
1;
20 x 1
40 x 2
80 x 3
30 x 4
1;
50 x 1
80 x 2
60 x 3
50 x 4
1;
0; x 4
0.
x1
60 x 2
0; x 2
20 x 3
0; x 3
Для решения полученной задачи линейного программирования необходимо подготовить предварительно в электронной таблице данные. Запускаем
программу MS EXCEL. Вводим в открывшуюся электронную таблицу в ячейку
А1 (левая верхняя) надпись «Переменные» (здесь и далее кавычки вводить не
надо), а в следующие ячейки — произвольные значения переменных
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 . Это вначале могут быть произвольные числа, например единицы. Вводим в каждую ячейку В1–Е1 в каждую цифры 1.
Далее, в ячейку А2 вводим подпись «Целевая» (целевая функция одинаковая для всех задач, зависит только от числа альтернатив для игрока А). Вводим в соседнюю ячейку В2 значение целевой функции (переключившись в английский режим набора текста) «=B1+С1+D1+Е1», что означает формулу
135
x1
x2
x3
x 4 , так как значение x 1 хранится в ячейке В1, значение x2
хранится в ячейке С1 и т. д. В третьей строке вводятся левые части системы
ограничений. Для этого переводим курсор в ячейку А3 и вводим в ней текст
«Ограничения». Переключившись в английский режим клавиатуры, вводим в
ячейку В3 формулу «=70*В1+60*C1+20*D1+50*E1», которая соответствует левой части первого ограничения системы 70x1 60x2 20x3 50x4 1 (здесь
переменная х1 —данные в ячейке В1, переменная х2 — данные в С1 и т. д.). Три
остальных ограничения вводим в ячейки С3–В3, а именно:
в ячейку С3 - «=30*В1+50*C1+60*D1+70*E1»,
в ячейку D3 - «=20*В1+40*C1+80*D1+30*E1»,
в ячейку Е3 - «=50*В1+80*C1+60*D1+50*E1».
После этого вызываем специальную надстройку, которая позволяет р ешать подобные задачи.
Вызываем надстройку ПОИСК РЕШЕНИЯ. При работе в «EXCEL 2003»
или ранней версии заходим в меню СЕРВИС, выбираем НАДСТРОЙКИ и проверяем наличие флажка напротив «Поиск решения», «ОК», заходим вновь в меню СЕРВИС, выбираем ПОИСК РЕШЕНИЯ. При работе в «EXCEL 2007» или
более поздней версии нажимаем левой кнопкой мышки по круглой кнопке “Office” в верхнем левом углу экрана, внизу выбираем «Параметры EXCEL», слева
выбираем НАДСТРОЙКИ, нажимаем кнопку «Перейти» внизу окна и в открывшемся окне проверяем наличие флажка напротив «Поиск решения», «ОК».
В меню ДАННЫЕ выбираем ПОИСК РЕШЕНИЯ, открывается окно надстройки. В поле «Установить целевую ячейку» даем ссылку на В2 (ставим в поле
курсор и щелкаем мышью по В2). Ниже, в области «Равной», ставим переключатель на минимальное значение. Ставим курсор в поле «Изменяя ячейки» и
даем ссылки на переменные, обводя мышкой ячейки В1–Е1. Далее, переводим
курсор в поле «Ограничения» и вводим ограничения. Для этого нажимаем на
кнопку «Добавить» слева от поля и в появившемся окне в поле «Ссылка на
ячейку» даем ссылку на ячейку, содержащую левую часть первого ограничения
70x1 60x2 20x3 50x4 1, которая хранится в ячейке В3 (то есть переводим
курсор в поле «Ссылка на ячейку» и щелкаем мышью по ячейке В3). В центральном поле выбираем знак неравенства — ограничения: «≥», в поле «Ограничение» вводим единицу. Нажимаем «ОК». Вводим второе ограничение,
нажимая «Добавить», вводим в поля: ссылку на «С3», «≥», «1», нажимаем
«ОК», далее «Добавить», ссылку на «D3», «≥», «1», «ОК», «Добавить», ссылку
на «Е3», «≥», «1», «ОК». Для ввода дополнительных ограничений
x 1 0; x 2 0; x 3 0; x 4 0 нажимаем «Добавить», в поле «Ссылка на
ячейку» ставим курсор и обводим ячейки В1–Е1, выводим в центральное поле
«≥», ограничение «0», нажимаем «ОК». Далее запускаем программу, нажимая
«Выполнить». Результат: x 1 0, x 2 0, 015 , x 3 0, 05, x 4 0 , что видно из
ячеек В1–Е1. Вводим в А5 подпись «Цена игры», а в соседнюю В5 - формулу
136
(переключаясь на английский язык) «=1/(В1+С1+D1+Е1)». Результат - 50. Это
ожидаемая прибыль для фирмы А. Находим вероятности чистых стратегий в
смешанной стратегии р. Для этого вводим в А6 подпись «Р1=«, а в соседнюю
В6 - формулу «=В5*В1», вводим в А7 - «Р2=«, а в В7 - формулу «=В5*С1», в
А8 - «Р3=«, а в В8 - «=В5*D1», в А9 - «Р4=«, в В9 - «=В5*Е1». Данные показатели (0; 0,75; 0,25; 0) и есть решение задачи. То есть фирме А модели А 1 и А4
выпускать не надо совсем, модель А2 должна составлять 75 % всего ассортимента, а А3 — 25 %.
Рассмотрим теперь решение относительно фирмы В.
Для него вводим переменные, пропорциональные вероятностям чистых
стратегий y 1 , y 2 , y 3 , y 4 . ЗЛП для игрока В имеет вид
y1 y 2 y 3 y 4
max;
70 y 1
30 y 2
20 y 3
50 y 4
1;
60 y 1
50 y 2
40 y 3
80 y 4
1;
20 y 1
60 y 2
80 y 3
60 y 4
1;
50 y 1
70 y 2
30 y 3
50 y 4
1;
y 1 0; y 2 0; y 3 0; y 4 0 .
Переходим на «Лист 2» электронной таблицы, щелкнув на соответствующей закладке внизу таблицы. Вводим в ячейки открывшейся чистой электронной таблицы в ячейку А1 надпись «Переменные», а в следующие ячейки,
произвольные значения переменных, например вводим в ячейки В1–Е1 в каждую цифры 1. В ячейку А2 вводим подпись «Целевая». Вводим в ячейку В2
значение целевой функции (переключившись в английский режим набора текста): «=B1+С1+D1+Е1», что означает формулу y 1 y 2 y 3 y 4 . В третьей
строке вводятся левые части системы ограничений. Для этого переводим курсор в ячейку А3 и вводим в ней текст «Ограничения». Переключившись в английский
режим
клавиатуры,
вводим
в
ячейку В3 формулу
«=70*В1+30*C1+20*D1+50*E1», которая соответствует левой части первого
ограничения системы 70 y 1 30 x 2 20 x 3 50 x 4 1 . Вводим
в ячейку С3 – «=60*В1+50*C1+40*D1+80*E1»,
в ячейку D3 – «=20*В1+60*C1+80*D1+60*E1»,
в ячейку Е3 – «=50*В1+70*C1+30*D1+50*E1».
После этого вызываем надстройку в меню «сервис» и подменю «Поиск
решений», открывается окно надстройки. В поле «Установить целевую ячейку»
даем ссылку на В2. Ниже, в области «Равной», поставить переключатель на
максимальное значение. Ставим курсор в поле «Изменяя ячейки» и даем ссылки на переменные, обводя мышью ячейки В1–Е1. Далее переводим курсор в
поле «Ограничения» и вводим ограничения. Для этого нажимаем на кнопку
«Добавить» и далее в поле «Ссылка на ячейку» даем ссылку на ячейку В3, в
137
центральном поле выбираем знак неравенства — ограничения: «≤», в поле
«Ограничение» вводим единицу. Нажимаем «ОК». Вводим второе ограничение,
нажимая «Добавить», вводим в поля «С3», «≤», «1», нажимаем «ОК», далее
«Добавить», ссылку на «D3», «≤», «1», «ОК», «Добавить», ссылку на «Е3»,
«≤»,
«1»,
«ОК».
Для
ввода
дополнительных
ограничений
y 1 0; y 2 0; y 3 0; y 4 0 нажимаем «Добавить», в поле «Ссылка на ячейку» ставим курсор и обводим ячейки В1–Е1, выводим в центральное поле «≥»,
ограничение «0», нажимаем «ОК». Далее запускаем программу, нажимая «Выполнить». Результат решения ЗЛП в ячейках В1–Е1. Вводим в А5 подпись «Цена игры», а в соседнюю В5 формулу (переключаясь на английский язык)
«=1/(В1+С1+D1+Е1)». Находим вероятности чистых стратегий q в смешанной
стратегии игрока В. Для этого вводим в А6 подпись «q1=«, а в соседнюю В6
формулу «=В5*В1», вводим в А7 – «q2=«, а в В7 формулу «=В5*С1», в А8 –
«q3=«, а в В8: «=В5*D1», в А9 – «q4=«, в В9:»=В5*Е1». Данные показатели и
есть решение задачи для фирмы В. Из решения видно, что лучше всего 50 %
выпускать В1 и 50 % В3 , модели В2 и В4 выпускать не следует.
4.7. Задания для самостоятельного решения
Задание №1. Таблица содержит данные, иллюстрирующие задачу выбора
места для первой государственной клиники лечения СПИД в Москве. Имеются
4 альтернативы строительства. Эксперты выделили ряд определяющих
факторов, которые имеют разные важности (веса). К этим факторам относятся:
доступность клиники для пациентов, экология места расположения,
перспектива возможности расширения клиники в случае необходимости
(наличие площадей для пристройки), размер арендной платы (наиболее
предпочтителен выбор нового Городского центра, так как помещение для
клиники выделяется здесь бесплатно), необходимость обеспечить
конфиденциальность
пациентов,
а
следовательно,
определенную
конспиративность клиники. Также, немаловажна реакция населения района на
открытие клиники, вокруг которой будут прогуливаться больные СПИДом
(хотя эта болезнь не передается воздушно-капельным путем). Наконец,
достаточно важное требование - обеспечение удобства персонала с точки
зрения оборудования остановками городского транспорта, парковкой для
автомобилей и т.д. (табл. 4.7.1).
Где лучше всего расположить центр?
Веса факторов (по вариантам) представлены в табл. 4.7.2.
138
Таблица 4.7.1
Факторы
Веса Парковая Городской Район
Район
факторов зона центр
гребного автоканала станции
Доступность для пациентов
Арендная плата
Конспиративность
Удобство персонала
Экология
Перспектива расширения
Реакция населения
W1
9
7
5
7
W2
6
10
7
3
W3
5
2
6
7
W4
3
6
4
2
W5
9
4
8
3
W6
5
4
7
6
W7
2
4
7
6
Таблица 4.7.2
Вар. W1
W2 W3 W4 W5 W6 W7 Вар. W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7
1.
6
6
3
4
6
5
7
16.
3
2
7
9
9
8
5
2.
5
5
5
2
6
4
9
17.
3
8
9
4
4
5
2
3.
3
8
3
6
9
3
5
18.
5
2
2
5
4
3
9
4.
5
4
3
8
3
5
6
19.
3
4
7
5
8
8
8
5.
8
6
3
5
8
3
6
20.
4
7
5
5
4
7
6
6.
3
9
8
6
4
8
4
21.
8
7
4
6
6
8
2
7.
8
7
4
8
7
9
5
22.
5
8
7
5
6
3
5
8.
5
6
8
6
9
5
5
23.
7
3
6
6
5
4
3
9.
8
7
9
9
7
5
9
24.
3
5
6
7
4
4
3
10.
6
3
5
4
4
2
5
25.
2
5
6
4
4
5
4
11.
5
8
6
3
6
8
3
26.
7
7
9
2
8
3
6
12.
3
7
6
5
7
8
5
27.
4
7
7
2
9
3
5
139
13.
2
9
3
6
8
3
8
28.
4
9
3
6
4
4
5
14.
8
5
4
8
4
5
7
29.
6
3
7
4
4
4
3
15.
3
5
7
4
5
5
8
30.
7
6
3
8
7
5
7
Задание №2. Гражданин А. собирается выполнить определенную работу,
срок выполнения которой устанавливается в две, в крайнем случае - в три
недели. При этом существуют следующие варианты оплаты труда:
1) если работа выполняется в срок 2 недели, ему выплачивают 5 тыс. р.,
если не выполняется, то не выплачивается ничего;
2) если работа выполняется в срок 2 недели, выплачивается 4 тыс. р., если
в три недели, то 1,5 тыс. р., если за три недели работа не выполнена, то не выплачивается ничего;
3) если работа выполняется в срок 2 недели, выплачивается 3 тыс. р., если
в три недели, то 1,5 тыс. р., если за три недели работа не выполнена, то организация ждет окончания выполнения, но выплачивает лишь 500 р.
Гражданин А. твердо намерен выполнить работу, но реально осознает,
что выполнить ее за 2 недели он может с вероятностью Р1 % (см. свой вариант
в табл. 4.7.3), а выполнить ее за 3 недели– с вероятностью Р2 %. Какое решение
ему следует принять? Какая средняя сумма оплаты его при этом ожидает? Построить дерево решений.
Таблица 4.7.3
Вариант Р1 Р2 Вариант Р1 Р2 Вариант Р1 Р2
1.
40 50
11.
40 51
21.
42 45
2.
38 52
12.
38 51
22.
41 46
3.
39 51
13.
39 50
23.
40 47
4.
35 56
14.
40 49
24.
39 48
5.
36 55
15.
41 48
25.
38 49
6.
38 53
16.
42 47
26.
37 50
7.
41 50
17.
43 46
27.
36 52
8.
42 49
18.
44 45
28.
35 53
9.
37 50
19.
45 44
29.
43 50
10.
39 50
20.
44 43
30.
40 49
140
Задание №3. «Фотоколор» — небольшой магазин, торгующий химическими
реактивами, которые используются некоторыми фотостудиями при обработке
пленки. Один из продуктов, который; предлагает «Фотоколор», — фиксаж ВС-6.
Главный менеджер магазина продает в течение месяца 11, 12 или 13 ящиков ВС6 (в зависимости от спроса). От продажи каждого ящика фирма получает 25 тыс.
р. прибыли. Фиксаж ВС-6, как и многие фотореактивы, имеет малый срок
годности. Поэтому, если ящик не продан к концу месяца, магазин должен его
уничтожить. Так как каждый ящик обходится магазину в 55 тыс. р., он теряет их
в случае, если ящик не продан к концу месяца. Вероятность продать 11, 12 или
13 ящиков в течение месяца равна соответственно Р1; Р2 и Р3 (табл. 4.7.4).
Сколько ящиков для реализации оптимально купить? Построить дерево
решений.
Таблица 4.7.4
Вариант Р1 Р2 Р3 Вариант Р1 Р2 Р3 Вариант Р1 Р2 Р3
1.
61 26 13
11.
27 23 50
21.
36 46 18
2.
58 15 28
12.
28 50 22
22.
55 15 31
3.
24 46 31
13.
42 48 10
23.
41 41 18
4.
38 34 28
14.
57 24 18
24.
38 39 24
5.
52 11 37
15.
42 41 17
25.
62 10 28
6.
32 28 41
16.
31 15 54
26.
54 43
7.
29 27 44
17.
31 39 30
27.
58 19 23
8.
18 45 36
18.
57 14 29
28.
27 29 44
9.
32 41 27
19.
23 19 58
29.
56 15 28
10.
28 33 39
20.
45 22 32
30.
38 43 19
3
Задание №4. Директор предприятия должен выбрать одну из четырех
стратегий долгосрочного развития предприятия (стратегии А1, А2, А3, А4). По
расчетам экспертов успех будет зависеть от развития экономической ситуации
в стране, при этом выделено четыре варианта ее развития: В1, В2, В3, В4 (какой
именно произойдет, предсказать нельзя). Экспертные оценки прибыли a ij (млн.
р.) для каждой стратегии Аi и экономической ситуации Вj представлены в табл.
4.7.5 (варианты в табл. 4.7.6).
141
Таблица 4.7.5
Аi \ Вj
В1
В2
В3
В4
А1
a11
a12
a13
a14
А2
a21
a22
a23
a24
А3
a31
a32
a33
a34
А4
a41
a42
a43
a44
Выберете оптимальную стратегию, используя критерии Лапласа, Вальда,
Сэвиджа и Гурвица (при =0,5 и =0,9).
Вариант Матрица aij
1, 16
2, 17
3, 18
4, 19
5
2
4
5
4
1
8
2
6
4
Таблица 4.7.6
Вариант Матрица aij Вариант Матрица aij
6, 21
9
4
6
8
4
7
7
2
6
6
1
7
5
4
2
5
7
2
3
1
6
7
5
3
7
6
6
5
8
8
3
5
4
7
3
4
5
3
6
7
6
8
8
5
8
9
4
7
1
6
4
6
2
8
3
8
4
2
8
3
5
3
8
7
6
5
2
6
3
4
1
2
5
2
6
4
7
5
1
8
4
8
3
8
9
9
2
4
5
3
1
2
3
4
7
6
8
2
8
2
4
3
2
3
2
5
3
2
3
3
5
2
1
3
8
8
2
9
4
1
4
2
1
4
2
8
7
5
5
3
7
2
8
9
5
9
6
6
5
6
7
3
5
5
5
5
5
1
8
4
5
4
7
6
4
2
5
4
8
8
3
4
9
5
4
7
6
6
3
6
5
8
2
3
5
4
2
1
2
7
2
4
7, 22
8, 23
9, 24
142
11, 26
12, 27
13, 28
14, 29
5, 20
5
9
5
2
2
9
5
5
3
4
9
10, 25
8
3
1
8
4
3
7
4
2
1
3
3
3
7
3
8
15, 30
4
3
1
7
2
4
4
9
5
2
8
7
2
4
9
5
5
8
5
4
4
Задание №5. Предприниматель собирается вложить сумму в количестве
100 тыс. р. в совместное предприятие. У него есть четыре альтернативы выбора
формы заключения договора с партнером (стратегии А1, А2, А3, А4). С другой
стороны, прибыль предпринимателя зависит от того, какую стратегию поведения выберет его партнер и совет директоров (у партнера – контрольный пакет
акций). Имеются оценки выигрышей предпринимателя для каждой пары альтернатив ( Ai , B j ) (прибыль приводится в процентах годовых от вложения) которые приведены в платежной матрице aij. Определить оптимальную стратегия
вложения денег для предпринимателя, если:
а) варианта развития ситуации ни предприниматель ни его партнер не
знают и оба стремятся к максимальной прибыли (использовать критерии
Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица при =0,5);
б) партнер получает тем большую прибыль, чем меньше получит предприниматель, поэтому в его задачу входит минимизировать прибыль предпр инимателя.
Матрица aij представлена в табл. 4.7.7 (варианты в табл. 4.7.8).
Таблица 4.7.7
Аi \ Вj В1
В2
В3
В4
А1
a11
a12
a13
a14
А2
a21
a22
a23
a24
А3
a31
a32
a33
a34
А4
a41
a42
a43
a44
143
Таблица 4.7.8
Вариант
1, 16
2, 17
3, 18
4, 19
5, 20
Платежная
матрица aij
Вариант
Платежная мат- Вариант
рица aij
Платежная
матрица aij
30 60 30 70 6, 21
20
10
20 50 11, 26
10 30 10 50
60 50 40 70
50
40
50 60
80 60 30 50
50 60 30 50
30
20
30 70
40 30 20 60
40 70 40 90
40
10
20 60
20 50 20 70
70
20
60 50 12, 27
90 70 50 80
80 70 40 50
90
40
80 50
60 30 40 50
30 40 20 60
80
50
70 90
30 70 20 90
70 50 30 50
40
10
20 60
20 50 20 70
45 30 50 80 8, 23
60
50
40 30 13, 28
40 30 50 60
75 70 90 80
70
60
70 90
80 70 60 70
60 40 50 70
60
50
80 80
70 60 50 55
10 20 30 40
40
30
60 70
60 50 40 40
40 50 50 60 9, 24
10
70
30 80 14, 29
50 60 90 80
20 30 30 40
30
40
50 30
30 80 50 30
10 20 20 30
40
60
70 90
40 50 90 80
5 15 15 20
20
30
60 70
60 50 40 40
60 70 90 80 10, 25
70
40
20 30 15, 30
50 70 40 30
40 50 70 30
80
50
40 70
30 80 70 10
20 30 20 10
50
70
30 80
40 50 60 20
5 15 15 20
20
30
20 60
30 50 20 10
100 90 30 70 7, 22
Задание №6. Две конкурирующие фирмы А и В собираются открыть
представительства в одном из райцентров области. Если обе фирмы о ткроют
представительства в этом городе, то фирма А не окупит затраченные на откр ытие представительства средства и она понесет убытки в размере a млн. р. Если
144
фирма А откроет представительство, а фирма В не откроет, то прибыль А с оставит b млн. р. Если А не откроет представительство, а В откроет, то фирма А
получит прибыль c млн. р. в связи с тем, что фирма В уменьшит конкуренцию
А по другим территориям области. Если ни одна фирма не откроет представительство, то прибыль А будет нулевая. Оценить вероятность открытия представительства фирмой А и среднюю прибыль этой фирмы. Значения а, b и с взять
из табл. 4.7.9.
Таблица 4.7.9
Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
а
1 2 3 9 2 9 5 9 5 4 1 6 2 3 4
b
11 17 18 15 11 17 11 16 16 14 10 12 12 17 10
c
5 3 4 3 2 8 8 7 9 7 8 1 2 8 3
Вариант 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
а
3 9 4 4 2 8 7 8 1 5 4 8 9 4 4
b
19 13 15 18 14 13 14 17 13 18 14 17 11 12 12
c
6 8 5 3 3 3 7 5 8 7 7 2 7 5 9
Задание №7. В городе имеется 2 конкурирующие кондитерские фабрики.
Фабрика А собирается выпускать новую продукцию, при этом имеется возможность выпустить один или несколько видов конфет из 3-х возможных вариантов: А1, А2 и А3. Ее прибыль от реализации продукции зависит от ассортимента
фабрики В, которая может выпускать 4 вида продукции: В1, В2, В3, В4. Платежная матрица для фабрика А при каждом варианте выпуска конкурентной продукции фабрики В представлена в табл. 4.7.10 (варианты в табл. 4.7.11).
Таблица 4.7.10
Аi \ Вj
В1
В2
В3
В4
А1
a11
a12
a13
a14
А2
a21
a22
a23
a24
А3
a31
a32
a33
a34
Найти оптимальные стратегии для обоих фабрик и прибыль фабрики А.
145
Таблица 4.7.11
Вариант
1, 16
4, 19
7, 22
10, 25
13, 28
Платежная
матрица aij
Вариант
6
5 3
4
7
4 7
3
2, 17
Платежная
матрица aij
7
5
3
1
4
8
6
9
6
3
2
5
3 2
4
5
7
8
9
5
7
6
4
10
9 6
7
7
2
6
5
3
5
2
-4
8
7 8
5
9
4
8
9
-1
0
-2
3
5
4 2
6
8
5
3
5
1
6
-4
-6
8
9 4
2
9
4
5
6
2
0
-1
3
9
7 6
9
8
7
3
7
2
2
2
-1
5
8 7
3
7
6
9
9
1
3
1
-3
8
7 8
8 11, 26
5
4
6
8 12, 27
6
2
3
4
5
4 5
7
9
8
5
6
4
5
6
7
7
6 7
9
6
5
9
9
7
3
4
5
3 15, 30
3
2 1
2
8, 23
7
3, 18
Платежная
матрица aij
4
5, 20
6
Вариант
10 11
6, 21
9, 24
7 6 5
3 14, 29
5 2
4
8 5 4
7
3 8
9 10
8
6 4
5
5 7 3
2
4 1
2
4
3 5
7
146
3
ГЛАВА 5. ЭКОНОМИКО-ФИНАНСОВЫЕ РАСЧЕТЫ
При заключении внутренних и внешних финансово-экономических сделок договаривающиеся стороны оговаривают определенные условия, изменения которых сопряжены с выгодой для одной стороны и убытками для другой
стороны. Учитывая данное обстоятельство, обе стороны заинтересованы в об ъективной и грамотной количественной оценке условий сделки, которая производится на основе финансовых вычислений.
В финансовом или кредитном соглашении обе стороны — кредитор и заемщик — оговаривают ряд условий:
- размер займа или кредита;
- размер процентной ставки — отношение суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени, к величине ссуды;
- период начисления (срок займа) — интервал времени, к которому относится процентная ставка, он может разбиваться на интервалы начисления;
- интервал начисления — минимальный период, по прошествии которого
происходит начисление процентов.
Учет фактора времени обусловлен неравноценностью денег, относящихся
к различным моментам времени. Равные по абсолютной величине денежные
суммы «сегодня» и «завтра» оцениваются по-разному — сегодняшние деньги
ценнее будущих.
Зависимость ценности денег от времени объясняется тремя причинами:
во-первых, деньги могут эффективно использоваться как финансовый актив, приносящий доход, то есть их можно инвестировать, и тогда они будут
приносить доход. Но все равно стоимость рубля сегодня больше, чем рубль,
полученный завтра в виде процентного дохода, приобретенного на сберегательном счете или от инвестиционной операции;
во-вторых, инфляционные процессы обесценивают деньги во времени, то
есть сегодня на рубль можно купить товара больше чем завтра, поскольку цены
на товар повысятся;
в-третьих, неопределенность будущего и связанный с этим риск повышают ценность имеющихся денег. Имея рубль, его уже можно израсходовать на
потребление, а будет ли он завтра — еще вопрос.
В дальнейшем операции наращения и дисконтирования будут рассмотрены подробнее.
5.1. Простые проценты
Рассмотрим основные понятия, используемые в финансовых операциях.
Проценты (процентные деньги) I — абсолютная величина дохода от
предоставления денег в долг в виде:
выдачи денежной ссуды;
147
продажи в кредит;
помещения денег на сберегательный счет;
учета векселя и т. д.
Различают два способа начисления процентов:
путем выплаты процентов кредитору по мере их начисления;
путем присоединения процентов к сумме долга.
Наращение первоначальной суммы S — процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга.
В зависимости от условий контрактов по отношению к первоначальной
сумме существуют два способа начисления процентных ставок:
- простые ставки процентов применяются к одной и той же начальной
сумме на протяжении всего срока ссуды;
- сложные ставки процентов применяются к сумме с начисленными в
предыдущем периоде процентами.
Процентные ставки, указываемые в контрактах, могут быть двух видов:
постоянные — не изменяются с течением времени;
переменные («плавающие») — значение ставки может быть равно сумме
некоторой изменяющейся во времени базовой величины и надбавки к ней
(маржи).
Наращение по простым процентам.
Наращенная сумма ссуды (долга, депозита, др. видов средств) — первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.
Введем обозначения:
Р — первоначальная сумма денег, ден. ед.,
i — ставка простых процентов, % или доли. В расчетных формулах обычно используются доли.
С учетом введенных обозначений проценты, начисленные за один пер иод, будут равны P i, а за n периодов соответственно Р n i, тогда можно записать:
I = P n i,
(5.1.1)
Изменение суммы долга в течение n периодов с начисленными простыми
процентами описывается формулой
S = P (1+ ni ),
(5.1.2)
которую называют формулой наращения по простым процентам, или формулой простых процентов.
Наращенную сумму S можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы Р и суммы процентов I:
S=P+I.
(5.1.3)
148
ПРИМЕР 5.1.1. Ссуда в размере 100 000 р. выдана на срок 1,5 года при
ставке простых процентов равной 15 % годовых. Определить проценты и сумму
накопленного долга при единовременном погашении ссуды по истечении ср ока.
Известны: Р = 100 000 р., n = 1,5 года, i = 0,15 или 15 % .
Найти I, S.
РЕШЕНИЕ
1-й вариант . Для расчета процентов воспользуемся формулой (5.1.1):
I = Р n i = 100 000 ·1,5 0,15 = 22 500 р. — проценты за пользование ссудой в
течение 1,5 лет.
По формуле (4.2) находим сумму накопленного долга:
S = P (1+ ni )= 100 000 (1+1,5 · 0,15) = 122 500 р.
Другой способ расчета наращенной суммы, — по формуле (5.1.3):
S = P + I = 100 000 + 22 500 =122 500 р. — сумма накопленного долга по истечении 1,5 лет.
2-й вариант . Расчетные формулы и результаты вычисления в среде
Ecel представлены на рис. 5.1.1.
а)
Рис. 5.1.1
б)
Ставка процентов обычно устанавливается в расчете за год. При продолжительности ссуды менее года, когда необходимо выяснить, какая часть процента
уплачивается кредитору, срок ссуды п выражается в виде дроби:
n=t/K,
(5.1.4)
где п — срок ссуды (измеренный в долях года); К — число дней в году
(временная база); t — срок операции (срок пользования ссудой) в днях.
В зависимости от того, какое количество дней в году берется за базу, различают два вида процентов:
- обыкновенный процент (коммерческий), когда в году принимается 360
дней, т. е. 12 месяцев по 30 дней;
- точный процент получают, когда за базу берут действительное число
дней в году: 365 или 366.
149
В зависимости от числа дней пользования ссудой различают два способа
начисления процентов:
- точный способ — вычисляется фактическое число дней между двумя
датами;
- приближенный способ — продолжительность ссуды определяется числом месяцев и дней ссуды, когда все месяцы содержат по 30 дней.
Следует помнить, что в обоих случаях дата выдачи и дата погашения
долга считается за один день.
С учетом этого на практике могут применяться три варианта расчета процентов:
а) точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика);
б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (французская
практика);
в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика).
ПРИМЕР 5.1.2. Ссуда размером 100 000 руб. выдана на срок с 21 января
2011 г. до 3 марта 2011 г. при ставке простых процентов, равной 15 % годовых.
Найти:
1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Известны: Р = 100 000 руб., Tнач = 21 января 2011 года, Tкон = 03 марта
2011 года, i = 0,15 или 15 %. Найти I1 , I2, I3.
РЕШЕНИЕ
1-й вариант . Для вычисления процентов воспользуемся формулой
(5.1.1) с учетом формулы (5.1.4):
I = P n i = P ( t / K ) i.
Предварительно по табл. 1 (прил. 1) либо по календарю рассчитаем точное число дней между двумя датами: t = 62 – 21 = 41 день, тогда получим
1) К= 365, t = 41,
2) К= 360, t = 41,
I1 = 100 000 (41 / 365) 0,15 = 1 684,93 руб.;
I2 = 100 000 (41 / 360) 0,15 = 1 708,33 руб.
Приближенное число дней составит 42 дня (январь 9 дней + февраль 30
дней + март 3 дня), тогда начисленные проценты будут равны
3) К= 360, t = 42, I3 = 100 000 (42 / 360) 0,15 = 1 750,00 руб.
Следует обратить внимание на то, что для каждого случая получили свой
результат.
150
2-й вариант . Для выполнения расчетов по формулам воспользуемся
функцией ДОЛЯГОДА (находится в категории Дата и время). Данная функция
возвращает долю года, которую составляет количество дней между двумя датами (начальной и конечной).
Если функция недоступна или возвращает ошибку #ИМЯ?, то необходимо подключить надстройку «Пакет анализа» (для Excel 97—2003: меню Сервис
=> команда Надстройки => Пакет анализа => выбор подтвердить нажатием
кнопки OK; для Excel 2007, 2010: меню Главная (правая клавиша мышки) =>
Настройка панели быстрого доступа…=>Параметры Excel => Надстройки =>
Перейти => Пакет анализа).
Синтаксис функции ДОЛЯГОДА(нач_дата; кон_дата; базис) и ее аргументы:
нач_дата — начальная дата,
кон_дата — конечная дата,
базис — используемый способ вычисления дня. Возможные значения базиса при различных способах вычисления приведены в табл. 5.1.1.
Таблица 5.1.1
Значения базиса для функции ДОЛЯГОДА
Базис
Способ вычисления дня
0 или опущен
Американский (NASD) 30/360
1
Фактический/фактический
2
Фактический/360
3
Фактический/365
4
Европейский 30/360
Если базис < 0 или базис > 4, то функция ДОЛЯГОДА возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.
Результаты вычисления по формулам в среде Excel (расчетные формулы)
приведены на рис. 5.1.2.
151
Рис. 5.1.2
Числовой формат ячеек B4 и B5 задается с учетом выбора одного из возможных типов представления дат, приведенных в диалоговом окне Формат
ячеек, на рис. 5.1.3.
Рис. 5.1.3
В кредитных соглашениях могут предусматриваться процентные ставки,
дискретно изменяющиеся во времени. В этом случае формула расчета нар ащенной суммы принимает следующий вид:
S = Р (1+ n 1 i 1 + n 2 i 2 +... ) = Р (1+ ∑n t i t ) ,
(5.1.5)
где Р — первоначальная сумма (ссуда), it — ставка простых процентов в периоде с номером t; nt — продолжительность периода начисления t по ставке it.
ПРИМЕР 5.1.3. В договоре, рассчитанном на год, принята ставка простых процентов на первый квартал в размере 16 % годовых, причем в каждом
последующем квартале она на 1 % меньше, чем в предыдущем. Определить
множитель наращения за весь срок договора.
152
Известны: n1 = 0,25; i1 = 0,16 ; n2 = 0,25; i2 = 0,15 ;
n3 = 0,25; i3 = 0,14 ; n4 = 0,25; i4 = 0,13.
Найти (1+∑n t i t )
РЕШЕНИЕ
1-й вариант . Вычисление множителя наращения производим по формуле (5.1.5):
(1+∑n t i t ) = 1+0,25 0,16+0, 25 0, 15+0, 25 0, 14+ 0, 25 0, 13=1,145.
2-й вариант . Вычисления в Excel, выполненные по формуле (4.5) с использованием математической функции СУММПРОИЗВ, приведены на
рис.5.1.4.
Рис. 5.1.4
В ячейку Н5 введена формула «=1+СУММПРОИЗВ(B3:B6;D3:D6) »
В практике часто приходится решать задачу, обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S, соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную сумму Р.
Расчет Р по S называется дисконтированием суммы S. Величину Р,
найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей
стоимостью) суммы S .
Дисконт (скидка) D — проценты, полученные в виде разности
D = S – P.
(5.1.6)
В финансовых вычислениях используют два вида дисконтирования:
- математическое дисконтирование;
- банковский (коммерческий) учет.
Математическое дисконтирование представляет собой решение задачи,
обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче рассчитывается наращенная сумма S=P(1+ni), то в обратной — находится:
P = S / (1 + ni ) .
153
(5.1.7)
Здесь дробь в правой части равенства при величине S называется дисконтным множителем. Он показывает, какую долю составляет первоначальная
сумма ссуды в окончательной величине долга.
ПРИМЕР 5.1.4. Через 90 дней после подписания договора должник уплатит 1 000 000 р. Кредит выдан под 20 % годовых (проценты обыкновенные).
Рассчитать первоначальную сумму и дисконт.
Известно: S = 1 000 000 р., n = t/K = 90/360 , i = 0,20 или 20 %.
Найти P.
РЕШЕНИЕ
1-й вариант . Вычисления по формулам с помощью подручных вычислительных средств. Последовательно воспользуемся формулами (5.1.7) и
(5.1.6):
Р=S / (1 + ni ) = 1 000 000 / (1+0,20 90/360) = 952 380,95 р.,
D=S – Р = 1 000 000 – 952 380,95 =47 619,05 р.
2-й вариант . Вычисления в Excel (рис. 5.1.5) выполнены по формулам
(5.1.6) и (5.1.7).
Рис. 5.1.5
Банковский или коммерческий учет (учет векселей) заключается в том,
что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному
обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т. е.
приобретает (учитывает) его с дисконтом.
Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка,
которая обозначается символом d. По определению, простая годовая учетная
ставка находится по формуле
d
S P
Sn
.
(5.1.8)
Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен
D = Snd,
154
(5.1.9)
тогда векселедержатель получит сумму, равную
P = S – D = S – Snd = S(1 – nd) = S(1 – (t/K) d ) .
(5.1.10)
Множитель (1 – nd) называется дисконтным множителем. Срок п измеряет период времени от момента учета векселя до даты его погашения в годах.
Дисконтирование по учетной ставке производится чаще всего при условии, что
год равен 360 дням.
ПРИМЕР 5.1.5. Через 90 дней предприятие должно получить по векселю
1 000 000 рублей. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель
по учетной ставке 20 % годовых (год равен 360 дням). Определить дисконт D и
полученную предприятием сумму P.
Известно: S = 1 000 000 руб., n = 90 дней , d = 0,20 или 20 % .
Найти D, P.
РЕШЕНИЕ
1-й вариант. Для вычисления дисконта воспользуемся формулой (5.1.9)
D = Snd = 1 000 000 (90/360) 0,2 = 50 000 руб.
По формуле (5.1.10) рассчитаем сумму, которую предприятие получит в результате учета векселя:
P = S – D = 1 000 000 – 50 000 = 950 000 руб.
2-й вариант. Вычисления в Excel выполнены по формулам (5.1.9) и (5.1.10)
(рис. 5.1.6).
Рис. 5.1.6
5.2. Сложные проценты
Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных
операциях (сроком более 1 года), если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, называют капитализацией процентов.
155
Пусть первоначальная сумма долга равна Р, тогда через один год сумма
долга с присоединенными процентами составит Р(1+i), через 2 года —
P (1+i) (1+i) = P (1+i) 2 , через п лет — P (1+i) n . Таким образом, получаем
формулу наращения для сложных процентов:
S = Р (1+i)n,
(5.2.1)
где S — наращенная сумма, i — годовая ставка сложных процентов, п — срок
ссуды, (1+ i)n — множитель наращения.
На практике обычно используют дискретные проценты (проценты,
начисляемые за одинаковые интервалы времени: год, полугодие, квартал).
ПРИМЕР 5.2.1. В кредитном договоре на сумму 1 000 000 р. и сроком на
4 года зафиксирована ставка сложных процентов, равная 20 % годовых. Определить наращенную сумму.
Известно: Р = 1 000 000 р., n = 4 года , i = 0,20 или 20 % .
Найти S.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . Используем формулу (4.11):
S = Р (1+ i ) n = 1 000 000*(1+0,2)4 = 2 073 600 р.
2 -й ва р и а н т . Для выполнения расчетов по формулам воспользуемся
функцией СТЕПЕНЬ (находится в категории «Математические»). Данная
функция возвращает результат возведения в степень (рис. 5.2.1).
Рис. 5.2.1
В ячейку H3 введена формула «=B2*СТЕПЕНЬ((1+B4);B3)».
3 -й ва р и а н т . Для выполнения расчетов по формулам воспользуемся
функцией БС (находится в категории «Финансовые»). Данная функция возвращает результат возведения в степень. Синтаксис функции БС (ставка; кпер; плт;
пс; тип). Ее аргументами являются:
ставка — процентная ставка за период;
кпер — общее число периодов платежей по аннуитету;
плт — выплата, производимая в каждый период, ее значение неизменно в
течение всего периода выплат. Обычно плт состоит из основного платежа и
156
платежа по процентам, но не включает других налогов и сборов. Если аргумент
опущен, должно быть указано значение аргумента пс;
пс — приведенная к текущему моменту стоимость или общая сумма, которая на текущий момент равноценна ряду будущих платежей. Если аргумент
пс опущен, то он полагается равным 0. В этом случае должно быть указано значение аргумента плт;
тип — число 0 или 1, обозначающее, когда должна производиться выплата (0 — в конце периода, 1 — в начале периода). Если аргумент «тип» опущен,
то он полагается равным 0 (рис. 5.2.2).
Рис. 5.2.2
В ячейку H12 введена формула «=БС(B13;B12;0;–B11;1)».
Если ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид:
m
S
P(1 i1 )n1 (1 i2 )n2 ...(1 im )n m
(1 ik )nk ,
P
(5.2.2)
k 1
где i1, i2,..., ik — значения ставок процентов, действующих в соответствующие
периоды n1, п2,..., nk времени.
ПРИМЕР 5.2.2. В финансовом договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20 % годовых плюс маржа 10 % в
первые два года, 8 % — в третий год, 5 % — в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года.
Известно: i1 = 0,20 или 20 % , Δi1 = 0,10 или 10 % ,
n1 = 2 года , Δi2 = 0,08 или 8 % ,
n2 = 1 год , Δi3 = 0,05 или 5 % , n3 = 1 год .
Найти П(1+ ik )nk .
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . Вычисления по формуле (5.2.2):
П(1+ik )n k = (1+0,3)2 (1+0,28) (1+0,25) = 2,704.
2 -й ва р и а н т . Для выполнения расчетов по формулам воспользуемся
функцией ПРОИЗВЕД (находится в категории «Математические»). Символ «^»
обозначает возведение в степень (рис. 5.2.3).
157
Рис. 5.2.3
В ячейку J4 введена формула
«=ПРОИЗВЕД((1+B3+D3)^F3;(1+B4+D4)^F4;(1+B5+D5)^F5)».
3 -й ва р и а н т . Предварительно следует подготовить исходные данные
(рис. 5.2.4). Для выполнения расчетов следует воспользоваться функцией
БЗРАСПИС (находится в категории «Финансовые»). Данная функция возвращает будущее значение основного капитала после начисления сложных пр оцентов с переменной ставкой. Поскольку здесь рассчитывается множитель
наращения, то в качестве первоначальной суммы вводится 1.
Рис. 5.2.4
В ячейку J13 введена формула «=БЗРАСПИС(1; G12:G15)».
Синтаксис функции БЗРАСПИС (первичное; план). Аргументы функции:
первичное — действительное число, задающее первоначальную стоимость инвестиции;
план — массив значений, содержащих процентные ставки.
Напомним, что для вычисления будущей стоимости с постоянной ставкой
используется функция БС.
Номинальная и эффективная ставки процентов.
Номинальная ставка. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а
число периодов начисления в году т. При каждом начислении проценты капитализируются, то есть добавляются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка j
158
называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле
S=P(1+j / m) N ,
(5.2.3)
где N — число периодов начисления (N = mn, может быть и дробным
числом).
ПРИМЕР 5.2.3. Ссуда 20 000 000 руб. предоставлена на 28 месяцев. Проценты сложные, ставка 18 % годовых.
Проценты начисляются ежеквартально. Вычислить наращенную сумму
по истечении срока.
Известно: P = 20 000 000 руб., j = 0,18 или 18 % , n = 28 месяцев = 28/12
лет, m = 4. Найти S.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . Вычисления по формуле (5.2.3). Всего за n лет имеем
N = mn = 4*(28/12) = 28/3 периодов начислений при ежеквартальном (m = 4)
начислении процентов в году. По формуле (5.2.3) будет
S = 20000000 (1 + 0,18/4) (28/3) = 30 161 206,25 руб.
2 -й ва р и а н т . Для выполнения расчетов воспользуемся функцией
СТЕПЕНЬ (из категории «Математические»). Данная функция возвращает результат возведения в степень (рис. 5.2.5).
Рис. 5.2.5
В ячейку H3 введена формула «=B2*СТЕПЕНЬ(1+B4/4;C3)».
3 -й ва р и а нт . Вычисления с помощью встроенных функций Excel (рис.
5.2.6). Для выполнения расчетов воспользуемся функцией БС (см. категорию
«Финансовые»).
Рис. 5.2.6
159
В ячейку H4 введена формула «=БС(B4/4;C3;;–B2)».
При финансовом анализе широко используется понятие эффективной
ставки. Чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем при прочих
равных условиях она выгоднее кредитору.
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по
ставке j/m.
Если проценты капитализируются т раз в год, каждый раз со ставкой j/m,
то, по определению, можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:
(1+ i э ) n = (1+j/m) m n ,
(5.2.4)
где iэ, j — эффективная и номинальная ставки.
Связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением
i э = (1 + j / m) m –1.
(5.2.5)
ПРИМЕР 5.2.4. Вычислить эффективную ставку процента, если банк
начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки в 16 % годовых.
Известно: j = 0,16 или 16 % . Найти i э .
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . Вычисления по формуле (5.2.5):
i э = (1 + j / m) m –1= (1+ 0,16 /4)4 – 1 = 0,170, или 17,0 %.
2 -й ва ри а н т. Расчет эффективной ставки выполним в Excel по формуле (5.2.5) (рис. 5.2.7).
Рис. 5.2.7
В ячейку H3 введена формула «=(1+B3/B2) ^ B2–1».
3 -й ва р и а н т . Расчет эффективной ставки выполним в среде Excel с
использованием функции ЭФФЕКТ (из категории «Финансовые») (рис.5.2.8).
Данная функция возвращает эффективную (фактическую) процентную ставку, при заданной номинальной процентной ставке и количестве периодов, за
которые начисляются сложные проценты.
160
Рис. 5.2.8
В ячейку H3 введена формула «=ЭФФЕКТ(B3;B2)».
Синтаксис функции ЭФФЕКТ (номинальная_ставка; кол_периодов). Аргументы функции: номинальная_ставка — значение номинальной процентной
ставки, кол_периодов — количество периодов начисления.
Обратная зависимость между номинальной и эффективной ставкой выражена следующей формулой:
j = m [(1+ i э ) 1/m –1].
(5.2.6)
ПРИМЕР 5.2.5. Определить, какой должна быть номинальная ставка при
ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку
в 12 % годовых.
Известно: iэ = 0,12 или 12 % . Найти j .
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . Вычисления по формуле (4.16):
j = m [(1+ i э ) 1/m –1] = 4 [(1+0,12)(1/4) – 1] = 0,11495, или 11,495 %.
2 -й ва р и а нт . Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel
воспользуемся математической функцией СТЕПЕНЬ (рис. 5.2.9).
Рис. 5.2.9
В ячейку H3 введена формула «=B2*(СТЕПЕНЬ(1+B3;1/B2)–1)».
3 -й ва р и а нт . Для выполнения расчетов номинальной ставки воспользуемся функцией НОМИНАЛ (из категории «Финансовые») (рис. 5.2.10). Данная функция возвращает номинальную годичную ставку при заданной эффективной ставке и числе периодов, за которые начисляются проценты.
161
Рис. 5.2.10
В ячейку H3 введена формула «=НОМИНАЛ(B3;B2)».
Синтаксис функции НОМИНАЛ (эффект_ставка;кол_пер). Аргументы
функции: эффект_ставка — значение эффективной процентной ставки, кол_пер
— количество периодов начисления.
Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов.
Математический учет. В этом случае решается задача обратная наращению
по
сложным
процентам.
Запишем
формулу
n
S = P(1 + i ) для наращения по сложной ставке с начислением процентов
один раз в год и перепишем ее относительно Р:
P = S/(1 + i ) n = S ν n ,
νn = 1/(1 + i ) n.
(5.2.7)
(5.2.8)
ПРИМЕР 5.2.6. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма
1 000 000 руб. Определить его современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов в 14 % годовых.
Известно: n = 5 лет, S = 1 000 000 руб., i = 0,14 или 14 % . Найти P.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . Вычисления по формуле (4.17):
P = S/(1 + i ) n =1 000 000/(1+0,14) 5 = 519 368,66 руб.
2 -й ва р и а нт . Для выполнения расчетов в Excel (рис. 5.2.11) по формулам воспользуемся математической функцией СТЕПЕНЬ.
Рис. 5.2.11
В ячейку H3 введена формула «=B3/СТЕПЕНЬ(1+B4;B2)».
162
3 -й ва р и а нт . Для выполнения расчетов по встроенным в Excel
(рис.
5.2.12) функциям воспользуемся финансовой функцией ПС. Данная функция
возвращает приведенную стоимость инвестиции при условии периодических
равных по величине платежей и постоянной процентной ставки.
Рис. 5.2.12
В ячейку H3 введена формула «=ПС(B4; B2; 0; –B3; 1)».
Синтаксис функции ПС(ставка; кпер; плт; бс; тип). Аргументы функции:
ставка — значение процентной ставки за один период;
кпер — количество периодов начисления;
плт — величина платежа (можно опускать, когда аргумент принимает нулевое значение);
бс — необязательный аргумент, задает будущую стоимость или остаток
средств после последней выплаты;
тип — необязательный аргумент (принимает значения 0, когда выплаты
производятся в конце периода, 1— в начале периода).
При начислении процентов т раз в году используется формула
P = S / ( 1 + j / m)nm = S νnm .
(5.2.9)
Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной,
или текущей стоимостью, или приведенной величиной S.
Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через п
лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент. Здесь разность D
= S – P называется дисконтом.
Банковский учет.
В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки.
Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле
Р = S(1– d сл ) n,
(5.2.10)
где dcл1 — сложная годовая учетная ставка.
Дисконт в этом случае будет равен
D = S – P = S – S(1– d сл ) n = S[1– (1 – d сл ) n ].
163
(5.2.11)
При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования
происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый
раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину
дисконта.
ПРИМЕР 5.2.7. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма
1 000 000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке в 10 % годовых.
Определить сумму, которую получит векселедержатель и дисконт, который получит банк по истечении срока векселя.
Известно: n = 5 лет, S = 1 000 000 руб., i = 0,14 или 14 % .
Найти P, D.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . Вычисления по формулам (4.20) и (4.21):
Р = S(1– d сл ) n = 1 000 000 (1 – 0,10)5 = 590 490,00 р.
Расчет дисконта, который получит банк, произведем по формуле (4.21):
D = S – Р = 1 000 000 – 590 490 = 409 510 р.
2 -й ва р и а нт . Расчеты в Excel по формулам (5.2.10) и (5.2.11) с использованием математической функции СТЕПЕНЬ (рис. 5.2.13).
Рис. 5.2.13
В ячейку H3 введена формула «=B3*СТЕПЕНЬ(1–B4; B2)».
5.3. Потоки платежей и ренты
Финансовые контракты могут предусматривать не отдельные разовые
платежи, а серию платежей, распределенных во времени (регулярные выплаты).
Например, погашение долгосрочного кредита вместе с начисленными на него
процентами; периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный,
страховой, резервный, накопительный и т. д.); дивиденды, выплачиваемые по
ценным бумагам; выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр.
164
Поток платежей представляет собой ряд последовательных выплат и
поступлений, причем выплаты выражаются отрицательными величинами, а поступления — положительными.
Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная
сумма и современная величина.
Наращенная сумма потока платежей (S) — это сумма всех членов последовательности платежей R с начисленными на них процентами к концу срока ренты.
Современная величина потока платежей (А) — сумма всех его членов R,
дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающих с началом потока платежей или предшествующих ему.
Финансовой рентой (или аннуитетом) называют поток платежей, все
члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны.
Финансовая рента имеет следующие параметры:
- член ренты (R) — величина каждого отдельного платежа;
- период ренты (t) — временной интервал между двумя соседними платежами;
- срок ренты (n) — время, измеренное от начала финансовой ренты до
конца ее последнего периода;
- процентная ставка (i) — ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.
Классификация рент может быть произведена по различным признакам. В
зависимости от продолжительности периода ренты делят на два вида:
- годовые — ренты выплачиваются ежегодно, один раз в год (p = 1), при
этом период ренты t = 1 году,
- р-срочные — выплата рент производится р раз в году (p > 1) равными
платежами R, тогда период ренты t может быть как более, так и менее года.
По числу начислений процентов m различают следующие виды рент:
- с начислением один раз в год (m = 1);
- с начислением т раз в год (m > 1);
- с непрерывным начислением.
Моменты начисления процентов могут совпадать (m = p) и не совпадать с
моментами рентных платежей, тогда (m ≠ p).
По величине членов различают два вида рент:
- постоянные ренты, имеют равные члены, когда величина каждого платежа остается неизменной во времени (R = const);
- переменные ренты — размер платежей может быть произвольным или
изменяться по какому-либо математическому закону.
По вероятности выплаты членов различают два вида рент:
- верные ренты — подлежат безусловной выплате, они не зависят ни от
каких условий, например погашение кредита;
165
- условные ренты — выплата зависит от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число
выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.
По числу членов различают ренты:
- ограниченные — с заранее известным конечным числом членов;
- бесконечные (вечные ренты) — число членов ренты заранее неизвестно.
В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным
займам с неограниченными или нефиксированными сроками.
В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к
началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на два типа:
- немедленные — начало действия контракта начинается сразу после его
подписания;
- отложенные (отсроченные) — начало действия контракта сдвигается
на более поздние сроки.
По моменту выплаты платежей выделяются два вида рент:
- обычные (постнумерандо) — платежи осуществляются в конце каждого
периода (наиболее часто встречаются);
- авансовые (пренумерандо) — выплаты производятся в начале каждого
периода.
По совпадению периода ренты с периодом начисления процентов различают ренты:
- простые — период ренты совпадает с периодом начисления процентов,
- общие — период ренты и период начисления процентов могут быть
произвольными.
В финансовых соглашениях может оговариваться возможность поступления платежей и в середине каждого периода.
Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет
наращенной суммы S или современной величины ренты A.
Обычная годовая рента.
Пусть в конце каждого года в течение п лет на расчетный счет вносится
по R рублей, сложные проценты начисляются один раз в год по ставке i. В этом
случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины R(1+i) n–1, так
как на сумму R проценты начислялись в течение (n – 1) года. Второй взнос увеличится до R(1+i) n–2 и т. д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна
(1 i )
(1 i ) n 1
S=R
=R
i
(1 i ) 1
166
n
1
= R sn;i ,
(5.3.1)
где S n ;i
(1 i ) n 1
— коэффициент наращения ренты. Он зависит только от
i
срока ренты п и уровня процентной ставки i.
ПРИМЕР 5.3.1. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн р., на которые 1 раз в год начисляются проценты по
сложной годовой ставке в 10 %. Определить сумму на расчетном счете к концу
указанного срока.
Известно: n = 3 года, R = 10 000 000 р., i = 0,10 . Найти S.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . Вычисления по формуле (5.3.1):
S = 10 000 000 [(1+ 0,1)3 – 1] / 0,1 = 33 100 000,00 р.
2 -й ва р и а н т . Для выполнения расчетов в Excel (рис. 5.3.1), дополнительно воспользуемся математической функцией СТЕПЕНЬ.
Рис. 5.3.1
В ячейку H3 введена формула «=B3*(СТЕПЕНЬ(1+B4;B2)–1)/B4))».
3 -й ва р и а нт . Для расчетов наращенной суммы S воспользуемся функцией БС (из категории «Финансовые») (рис. 5.3.2). Данная функция возвращает
будущую стоимость инвестиции на основе периодических равных по величине
платежей и постоянной процентной ставке.
Рис. 5.3.2
В ячейку H4 введена формула «=БС(B4;B2;–B3)).
167
Годовая рента c начислением процентов т раз в году.
Если платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют т раз в
году, то каждый раз применяется ставка j/m, где j — номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид:
R(1 + j/m)m(n – 1), R(1 + j/m)m (n–2), ..., R.
Сумма членов этой прогрессии представляет собой наращенную сумму ренты
S = R [(1 + j/m) m n –1] / [(1 + j/m) m –1].
(5.3.2)
ПРИМЕР 5.3.2. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн р., на которые ежеквартально (m = 4) начисляются проценты по сложной годовой ставке в 10 %. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Известно: n = 3 года, m = 4, R = 10 000 000 р., j = 0,10 .
Найти S.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . Вычисления по формуле (5.3.2):
S = 10 000 000 [(1+0,1/4)(4 3) – 1] / [(1+0,1/4)4 – 1] = 33 222 157,88 р.
2 -й ва р и а нт . Для выполнения расчетов по формулам в Excel дополнительно используем математическую функцию СТЕПЕНЬ (рис. 5.3.3).
Рис. 5.3.3
В ячейку H3 введена формула
«=B4*(СТЕПЕНЬ(1+B5/B3;B3*B2)–1)/(СТЕПЕНЬ(1+B5/B3;B3)–1))».
Рента р-срочная, с начислением процентов один раз в год.
Когда рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты
начисляются один раз в конце года и известна R — годовая сумма платежей, то
размер отдельного платежа будет равен R/p. Тогда наращенная сумма такой
ренты будет равна
R (1 i ) (1 / p ) n p 1 R (1 i ) n 1
S=
=
= Rs(p)n;i ,
1/ p
1/ p
p (1 i )
p [(1 i )
1
1]
168
(5.3.3)
(1 i ) n
где s n;i =
p [(1 i ) 1 /
= 1.
1
(p)
p
1]
— коэффициент наращения p-срочной ренты при m
ПРИМЕР 5.3.3. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого
квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн р. в год (т. е. по
10/4 млн р. в квартал), на которые в конце каждого года начисляются проценты
по сложной ставке в 10 % годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Известно: n = 3 года, m = 1, R = 10 000 000 р., p = 4, i = 0,10 .
Найти S.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . Вычисления по формуле (5.3.3):
S = (10 000 000/4) [(1+0,1)3 – 1] / [(1+0,1)1/4 – 1] =
=34 316 607,35 р.
2 -й ва р и а нт . Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel используем математическую функцию СТЕПЕНЬ (рис. 5.3.4).
Рис. 5.3.4
В ячейку H3 введена формула
«=(B4/B5)*(СТЕПЕНЬ(1+B6;B2)–1)/(СТЕПЕНЬ(1+B6;1/B5)–1))».
Рента р-срочная, когда число платежей совпадает с начислением
процентов (р = т).
В контрактах часто начисление процентов т и поступление платежа совпадают во времени, тогда р = т. Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и однораз о(1 i ) n 1
.
вым начислением процентов в конце года, для которой S R
i
Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют
ставку и платеж за период, а не за год, тогда получаем
169
R (1 j / m ) m n 1
(1 j / m ) m n 1
S=
=R
.
m
j/ m
j
(5.3.4)
ПРИМЕР 5.3.4. В течение 3-x лет на расчетный счет в конце каждого
квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн р. в год (т. е.
по 10/4 млн р. в квартал), на которые ежеквартально начисляются проценты по
сложной ставке в 10 % годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу
указанного срока.
Известно: n = 3 года, p = m = 4, R = 10 000 000 р., j = 0,10 .
Найти S.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . Вычисления по формуле (5.3.4):
S = 10 000 000 [(1+0,1/4)(4 3) – 1] / 0,1 = 34 488 882,42 р.
2 -й ва р и а нт . Для выполнения расчетов по формулам в Excel воспользуемся функцией СТЕПЕНЬ (рис. 5.3.5).
Рис. 5.3.5
В ячейку H3 введена формула
«=B4*(СТЕПЕНЬ(1+B5/B3;B3*B2)–1)/B5))».
3 -й ва р и а н т . Вычисления с помощью встроенных функций
Excel (рис. 5.3.6). Для расчета наращенной суммы S воспользуемся функцией
БС (из категории «Финансовые»). Данная функция возвращает будущую стоимость инвестиции на основе периодических равных по величине платежей и
постоянной процентной ставке.
Рис. 5.3.6
170
В ячейку H5 введена формула «=БС(B5/B3;B2*B3;–B4/B3))».
Рента р-срочная, с произвольным поступлением платежей p ≥ 1 и
произвольным начислением процентов m ≥ 1 (общий случай).
Это самый общий случай р-срочной ренты с начислением процентов т
раз в году, причем, возможно, р ≠ т.
Для данного случая наращенная сумма рассчитывается по формуле
R 1 j / m (m / p ) np
R 1 j / m mn 1
S=
=
.
(5.3.5)
p (1 j / m ) m / p 1
p (1 j / m ) m / p 1
Из последней формулы легко получить все рассмотренные выше частные
случаи, задавая соответствующие значения р и т.
ПРИМЕР 5.3.5. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого
квартала поступают платежи (р = 4) равными долями из расчета 10 млн р. в год
(т. е. по 10/4 млн р. в квартал), на которые ежемесячно (m = 12) начисляются
проценты по сложной ставке в 10 % годовых. Определить сумму на расчетном
счете к концу указанного срока.
Известно: n = 3 года, m = 12, R = 10 000 000 р., p = 4, j = 0,10 .
Найти S.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . По формуле (5.3.5) находим
S = (10 000 000/4) [(1+0,10/4)(3 12) –1] / [(1+0,10/4)(12/4) –1] =
= 34 529 637,96 р.
2 -й ва р и а н т . Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel в
строку формул вводим формулу, соответствующую (5.3.5), и для вычисления
степени используем функцию СТЕПЕНЬ (рис. 5.3.7).
Рис. 5.3.7
В ячейку H3 введена формула
«=(B4/B5)*(СТЕПЕНЬ(1+B6/B3;B3*B2)–1)/(СТЕПЕНЬ(1+B6/B3;B3/B5)–1))».
171
Определение величины отдельного платежа простой ренты.
При определении величины отдельного платежа R возможны два случая:
1) известна наращенная сумма S, 2) известна современная стоимость A.
1-й случай. Определение величины отдельного платежа при известной
наращенной сумме S.
Когда известна наращенная сумма S, то платежи могут производиться по
двум схемам:
- по схеме постнумерандо;
- по схеме пренумерандо.
Определение величины отдельного платежа по схеме постнумерандо.
Если известны процентная ставка i, количество выплат п и наращенная сумма S
простой ренты, то из формулы (5.3.5) можно определить величину отдельного
платежа R:
Si
.
(5.3.6)
R
(1 i ) n 1
ПРИМЕР 5.3.6. Через 3 года на расчетном счете необходимо иметь
10млн р. Определить размер ежегодных платежей в конце года по сложной
процентной ставке 12 % годовых.
Известно: n = 3 года, S = 10 000 000 р., i = 0,12 . Найти R.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . По формуле (5.3.6) находим
R = (10 000 000 0,12)/[(1+0,12)3 –1] = 2 963 489,81 р.
2 -й ва р и а н т . Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel в
строку формул вводим формулу (5.3.6) и для вычисления степени используем
функцию СТЕПЕНЬ (рис. 5.3.8).
Рис. 5.3.8
В ячейку H4 введена формула «=(B3*B4)/(СТЕПЕНЬ(1+B4;B2)–1))».
3 -й ва р и а нт . Выполним расчеты с использованием функции ПЛТ (категория «Финансовые») (Рис. 5.3.9). Данная функция возвращает сумму периодического платежа для аннуитета на основе постоянства сумм платежей и постоянства процентной ставки.
172
Рис. 5.3.9
В ячейку Н5 введена формула «=ПЛТ(B4;B2;;–B3))».
Синтаксис функции ПЛТ (ставка; кпер; пс; бс; тип).
Аргументы функции:
ставка — процентная ставка по ссуде;
кпер — общее число выплат по ссуде;
пс — приведенная к текущему моменту стоимость, или общая сумма, которая на текущий момент равноценна ряду будущих платежей, называемая
также основной суммой;
бс — требуемое значение будущей стоимости, или остатка средств после
последней выплаты. Если аргумент бс опущен, то он полагается равным 0 (нулю), т. е. для займа, например, значение бс равно 0;
тип — число 0 (нуль) или 1, обозначающее, когда должна производиться
выплата (0 или аргумент опущен — в конце периода, 1 — в начале периода).
Определение величины отдельного платежа по схеме пренумерандо.
Для простой ренты пренумерандо величина отдельного платежа R рассчитывается по формуле
Si
R
.
(5.3.7)
(1 i )((1 i ) n 1)
ПРИМЕР 5.3.7. По данным примера 5.3.6 рассчитать величину отдельного платежа для условия, когда платежи осуществляются в начале года.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . По формуле (5.3.7) находим
R = (10 000 000 0,12)/[(1+0,12)((1+0,12)3 –1)] = 2 645 973,04 р.
2 -й ва ри а н т. Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel в
строку формул вводим формулу (5.3.7) и для вычисления степени используем
функцию СТЕПЕНЬ (рис. 5.3.10).
173
Рис. 5.3.10
В ячейку H3 введена формула
«=(B3*B4)/((1+B4)*СТЕПЕНЬ(1+B4;B2)–1)))».
3 -й ва р и а н т . Вычисления с помощью встроенных функций Excel
(рис.5.3.11). Расчеты выполним с использованием функции ПЛТ (категория
«Финансовые»).
Рис. 5.3.11
В ячейке Н5 записана формула «=ПЛТ(B4;B2;;–B3;1))».
Определение величины отдельного платежа простой ренты при известной современной стоимости A.
Если известна современная стоимость A, то может быть реализован один
из вариантов платежей:
- по схеме постнумерандо;
- по схеме пренумерандо.
Определение величины отдельного платежа R по схеме постнумерандо.
Когда известны процентная ставка i , количество выплат п и современная стоимость А (постнумерандо), то величину отдельного платежа R можно вычислить
по формуле
Ai
R
.
(5.3.8)
1 1 /( 1 i ) n
ПРИМЕР 5.3.8. Предприниматель взял кредит в размере 10 млн. р. сроком на 3 года под 14 % годовых. Рассчитать размер ежегодных погасительных
платежей, если они будут выплачиваться в конце года.
Известно: n = 3 года, A = 10 000 000 р., i = 0,14 . Найти R.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . По формуле (5.3.8) находим
174
R = (10 000 000 0,14)/[1–1/(1+0, 14) 3 ] = 4 307 314,80 р.
2 -й ва р и а н т . Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel в
строку формул вводим формулу (5.3.8). Для вычисления степени используем
математическую функцию СТЕПЕНЬ (рис. 5.3.12).
Рис. 5.3.12
В ячейку H5 введена формула
«=(B3*B4)/(1–1/СТЕПЕНЬ(1+B4;B2)))».
3 -й ва р и а н т . Вычисления с помощью встроенных функций Excel
(рис.5.3.13). Выполним расчеты с использованием функции ПЛТ (категория
«Финансовые»).
Рис. 5.3.13
В ячейке Н5 записана формула «=ПЛТ(B4;B2;–B3; ))» .
Определение величины отдельного платежа R по схеме пренумерандо.
В этом случае для расчета отдельного платежа используется следующая
формула:
Ai
R
.
(5.3.9)
(1 i )(1 1 /( 1 i ) n )
ПРИМЕР 5.3.9. Для условий примера 8 рассчитать размер ежегодных погасительных платежей, если они будут выплачиваться в начале года.
Известно: n = 3 года, A = 10 000 000 р., i = 0,14 .
Найти R.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . По формуле (5.3.9) находим
175
R = (10 000 000 0,14)/[(1+0,14)(1–1/(1+0,14)3)] = 3 778 346,32 р.
2 -й ва р и а н т . Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel в
строку формул вводим формулу (5.3.9) и для вычисления степени используем
функцию СТЕПЕНЬ (рис. 5.3.14).
Рис. 5.3.14
В ячейку H4 введена формула
«=(B3*B4)/((1+B4)(1–1/СТЕПЕНЬ(1+B4;B2))))».
3 -й ва р и а н т . Вычисления с помощью встроенных функций Excel
(рис. 5.3.15). Выполним расчеты с использованием функции ПЛТ (категория
«Финансовые»).
Рис. 5.3.15
В ячейке Н5 – «=ПЛТ(B4;B2;–B3; ;1)».
Определение срока простой ренты.
В коммерческом контракте обычно указываются порядок погашения обязательств рентными платежами с указанием срока ренты (времени от начала реализации ренты до момента начисления последнего платежа).
Срок ренты n может рассчитываться либо по известной наращенной сумме S, либо по известной современной стоимости A.
1-й случай. Определение срока простой ренты n при известной наращенной сумме S.
Для определения срока простой ренты при платежах по схеме постнумерандо используется следующая формула:
ln( 1 Si / R )
n
.
(5.3.10)
ln( 1 i )
176
ПРИМЕР 5.3.10. На момент окончания финансового соглашения заемщик должен выплатить 30 000 000 р. Платежи размером 5 000 000 р. поступают
ежегодно в конце года, с начислением по сложной процентной ставке 15 % годовых. Определить срок простой ренты постнумерандо.
Известно: R = 5 000 000 р., S = 30 000 000 р., i = 0,15 .
Найти n.
РЕШЕНИЕ
1-й в ар иант. По формуле (5.3.10) находим:
n = ln (1+30 000 000 0,15/5 000 000) / ln(1+0,15) = 4,59 года.
2 -й ва р и а н т . Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel в
строку формул вводим формулу (5.3.10), и для вычисления степени используем
функцию LN (рис. 5.3.16).
Рис. 5.3.16
В ячейке H4 введена формула «=LN(1+B3*B4/B2)/LN (1+B4))».
3 -й ва р и а н т . Вычисления с помощью встроенных функций Excel
(рис. 5.3.17). Выполним расчеты с использованием функции КПЕР (категория
«Финансовые»).
Рис. 5.3.17
В ячейку Н4 введена функция «=КПЕР(B4;–B2; ;B3))».
Если рентные платежи осуществляются по схеме пренумерандо, то определение срока n простой ренты производится по формуле
Si
n ln( 1
) / ln( 1 i ) .
(5.3.11)
R (1 i )
177
Пример 5.3.11. Для условий примера 5.3.10 определить срок простых
рент пренумерандо.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . По формуле (5.3.11) находим
n = ln(1+30 000 000 0,15/(5 000 000 (1+0,15)) / ln(1+0,15)=4,14 г.
2 -й ва р и а н т . Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel в
строку формул вводим формулу (5.3.11) и для вычисления степени используем
логарифмическую функцию LN (рис. 5.3.18).
Рис. 5.3.18
В ячейку H4 введена формула «=LN(1+B3*B4/(B2*(1+B4)))/LN(1+B4))».
3 -й ва р и а н т . Вычисления с помощью встроенных функций
Excel (рис. 5.3.19). Выполним расчеты с использованием функции КПЕР (категория «Финансовые»).
Рис. 5.3.19
В ячейку Н4 введена функция «=КПЕР(B4;–B2; ;B3;1))».
Определение срока простой ренты n при известной современной стоимости ренты A.
Срок простой ренты при платежах по схеме постнумерандо определяется
по следующей формуле:
ln( 1 Ai / R )
n
.
(5.3.12)
ln( 1 i )
ПРИМЕР 5.3.12. Организация взяла кредит в размере 30 000 000 р. с
условием погашения ежегодными платежами по 6 000 000 р. в конце года
(постнумерандо) и начислением по сложной процентной ставке 15 % годовых.
Определить срок простой ренты.
178
Известно: A = 30 000 000 р., R = 6 000 000 р., i = 0,15 .
Найти n.
РЕШЕНИЕ.
1 -й ва р и а н т . По формуле (5.3.12) находим
n = – ln (1–30 000 000 0,15/6 000 000) / ln(1+0,15) = 9,92 г.
2 -й ва р и а н т . Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel в
строку формул вводим формулу (5.3.12) и для вычисления степени используем
функцию LN (категория «Математические») (рис. 5.3.20).
Рис. 5.3.20
В ячейку H4 введена формула «=–LN(1–B2*B4/B3)/LN((1+B4)) ».
3 -й ва р и а н т . Вычисления с помощью встроенных функций
Excel (рис. 5.3.21). Выполним расчеты с использованием функции КПЕР (категория «Финансовые»).
Рис. 5.3.21
В ячейке – Н4 «=КПЕР(B4;B3;–B2))».
В случае, когда реализуется рента пренумерандо, то срок ренты рассчитывается по выражению
Ai
ln 1
R (1 i )
n
.
(5.3.13)
ln( 1 i )
179
ПРИМЕР 5.3.13. Для условий задачи 12 определить сроки простых рент
пренумерандо.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . По формуле (5.3.13) находим
n = – ln(1–30 000 000 0,15/(6 000 000 (1+0,15))/ln(1+0,15) = 7,56 г.
2 -й ва р и а н т . Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel в
строку формул вводим формулу (5.3.13) и для вычисления степени используем
функцию логарифмирования LN (категория «Математические») (рис. 5.3.22).
Рис. 5.3.22
В ячейку H4 введена формула
«=–LN(1–B2*B4/(B3(1+B4)))/LN(1+B4))».
3 -й ва р и а н т . Вычисления с помощью встроенных функций
Excel (рис. 5.3.23). Выполним расчеты с использованием функции КПЕР (категория «Финансовые»).
Рис. 5.3.23
В ячейке Н4 «=КПЕР(B4;B3;–B2;;1))».
Определение величины процентной ставки простой ренты.
При заключении финансовых сделок важно знать их доходность, которая
определяется процентной ставкой ренты за один период начисления. При этом
считается, что известны следующие значения: отдельный платеж R, срок займа
п и наращенная сумма S (или современной стоимости А). Процентная ставка
ренты находится в результате решения нелинейного уравнения.
180
В Excel данная задача решается с помощью финансовой функции СТАВКА. Синтаксис функции:
СТАВКА(кпер; плт; пс; бс; тип; предположение).
Аргументами данной функции являются:
-
кпер — общее число периодов платежей по аннуитету;
плт — регулярный платеж (один раз в период), величина которого
остается постоянной в течение всего срока аннуитета. Обычно плт состоит из
платежа основной суммы и платежа процентов, но не включает других сборов или
налогов. Если аргумент опущен, должно быть указано значение аргумента бс;
пс — приведенная к текущему моменту стоимость или общая сумма, которая на текущий момент равноценна ряду будущих платежей;
бс — требуемое значение будущей стоимости или остатка средств
после последней выплаты. Если аргумент бс опущен, то он полагается равным 0
(например, бс для займа равно 0);
тип — число 0 или 1, обозначающее, когда должна производиться
выплата (0 или опущен — в конце периода, 1— в начале периода);
предположение — указывается предполагаемая величина ставки (от
0 до 1). По умолчанию аргумент принимает значение равное 0,1 (или 10 %).
Если последовательные результаты функции СТАВКА не сходятся с точностью 0,0000001 после 20 итераций, то появляется сообщение об ошибке
#число!
ПРИМЕР 5.3.14. Для того чтобы по истечении двух лет получить
5 000 000 р., предприятие первоначально может вложить 500 000 р. с фиксированным ежемесячным платежом 100 000 р. Определить годовые процентные
ставки простых рент постнумерандо и пренумерандо.
Известно: S = 5 000 000 р., R = 100 000 р., P = 500 000 р., n = 2 года .
Найти i.
РЕШЕНИЕ
Вычисления с помощью встроенных функций Excel. Выполним расчеты с
использованием функции СТАВКА (категория «Финансовые») (рис. 5.3.24).
181
Рис. 5.3.24
Результаты расчета приведены на рис. 5.3.25.
Рис. 5.3.25
В ячейке Н4 используется функция «=СТАВКА(B5*12;–B3;–B4;B2)*12,
а в ячейке Н8 «=СТАВКА(B5*12;–B3;–B4; B2;1)*12)».
Особенностью использования функции СТАВКА является то, что она вычисляет процентную ставку не для года, а для периода (в данном случае для месяца), поэтому полученный результат умножается на 12 — количество месяцев
в году.
Современная (приведенная) величина финансовой ренты.
Если член годовой ренты равен R, процентная ставка i, срок ренты п и
проценты начисляются один раз в конце года, тогда современная величина A
обычной годовой финансовой ренты равна
1 (1 i ) n
vn 1
A = Rv
=R
= Ran;i ,
(5.3.14)
i
v 1
182
(1 i ) n
— коэффициент приведения ренты. Он зависит только от
i
двух параметров: срока ренты п и процентной ставки i.
где an;i =
1
ПРИМЕР 5.3.15. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого
года (p = 1) поступает по 10 млн р. Ежегодное дисконтирование производится
по сложной процентной ставке в 10 % годовых. Определить современную стоимость ренты.
Известны: n = 3 года, m = 1, R = 10 000 000 р., p = 1, i = 0,10 .
Найти A.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . Вычисления по формуле (5.3.14):
А = 10 000 000 [1 – (1+0,1)(–3)]/0,1 = 24 868 519,91 р.
2 -й ва р и а н т . Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel в
строку формул вводится формула (5.3.14) с использованием математической
функции СТЕПЕНЬ (рис. 5.3.26).
Рис. 5.3.26
В ячейку H5 введена формула
«=B4*(1–СТЕПЕНЬ(1+B6;–B2))/B6)».
3 -й ва р и а н т . Для выполнения расчетов воспользуемся функцией ПС
(из категории «Финансовые») (рис. 5.3.27). Данная функция возвращает приведенную стоимость инвестиции.
183
Рис. 5.3.27
В ячейку H5 введена формула «=ПС(B6;B2;–B4))».
Современная величина р-срочной финансовой ренты с произвольными
значениями p ≥ 1 и m ≥ 1 (р
m).
Данный вариант является общим для нахождения современной величины
ренты, когда р и т могут принимать произвольные значения. Здесь используется формула
1 1 j/ m m n
A=R
,
(5.3.15)
p [(1 j / m ) m / p 1]
которая включает все возможные частные случаи.
Пример 5.3.16. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого
квартала поступают платежи (р = 4) равными долями из расчета 10 млн р. в год
(т. е. по 10/4 млн р. в квартал). Ежемесячное дисконтирование (m = 12) производится по сложной ставке 10 % годовых. Определить современную стоимость
ренты.
Известно: n = 3 года, m = 12, R = 10 000 000 р., p = 4, j = 0,10 .
Найти A.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . Вычисления по формуле (5.3.15):
А = (10 000 000/4) [1 – (1+0,1/12) (–12 3)]/[(1+0,1/12)](12/4) –1] =
= 25 612 003,42 р.
2 -й ва р и а н т . Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel в
строку формул вводится формула (5.3.15) с использованием математической
функции СТЕПЕНЬ (рис. 5.3.28).
184
Рис. 5.3.28
В ячейку H4 введена формула «=(B4/B5)*((1–СТЕПЕНЬ(1+ B6/B3;–
B2*B3))/(СТЕПЕНЬ(1+B6/B3;B3/B5)–1)))».
5.4. Кредитные расчеты
С рентами тесно связаны различные методы кредитных расчетов, осно вные из которых рассмотрим ниже.
Расчеты по погашению кредитных займов.
Кредит — денежная ссуда, предоставляемая кредитором (физическим
или юридическим лицом) заемщику (другому физическому или юридическому
лицу) на условиях возвратности и возмездности (уплаты заемщиком кредитору
процента за пользование кредитом).
Денежный кредит является самой простой формой кредита, ему присущи
принципы: возвратность, срочность и платность.
По характеру обеспечения кредит делится на два вида:
- доверительный — кредитор ограничивается юридическим обеспечением (письменным обязательством, гарантией или поручительством);
- залоговый — в качестве обеспечения по кредиту выступает определенное имущество или имущественное право. Стоимость залога должна компенсировать основную сумму долга, проценты за кредит и издержки по реализации залогового права. Размер залога зависит от ликвидности предметов залога, риска и кредитоспособности заемщика.
Основными формами кредита являются следующие:
 коммерческий — предоставляется коммерческими организациями;
 банковский — предоставляется банками и кредитными организациями
юридическим и физическим лицам;
 потребительский — предоставляется населению;
 ипотечный — предоставляется для приобретения недвижимости;
 государственный — в кредитных отношениях участвует государство;
185
 ростовщический — предшественник банковского кредита.
При кредитовании используют следующие методы начисления:
- простых процентов;
- дисконтированной ссуды;
- аннуитета;
- процентов по уменьшающемуся остатку.
При определении процентных ставок обычно используется следующее
правило: чем длиннее срок погашения кредита, тем выше процентная ставка
по нему. Это объясняется увеличением риска невозврата кредита с увеличением
времени займа.
Планирование погашения долга сводится к определению периодических
расходов, связанных с займом, которые называют обслуживанием долга.
Разовая сумма обслуживания долга (срочная уплата) включает: текущие
платежи и средства для погашения основной суммы долга.
Размеры срочных уплат зависят от условий займа:
- срока;
- наличия и продолжительности льготного периода;
- уровня процентной ставки;
- способа погашения основной суммы долга;
- способа выплаты процентов.
Для кредитной схемы в качестве исходных параметров выступают: величина займа D, срок его погашения n, процент по кредиту i, под который выдаются деньги, и поток платежей по выплате долга Yt.
Стоимость кредита (сумма выплачиваемых процентов) зависит от способа погашения задолженности:
а) погашение (возврат суммы) долга единовременным платежом в оговоренный срок;
б) погашение долга в рассрочку.
Погашение займа в конце заемного периода.
Если заем D выдан на n лет под i сложных годовых процентов, то к концу
п-го года размер единовременного платежа S рассчитывается по формуле сложных процентов или в Excel по финансовой функции БС.
Погашение основной суммы долга равными частями.
Для этих условий величина погашения долга определяется следующим
образом.
1. Вначале определяется dt — величина погашения основной суммы долга:
dt = D / n = const,
(5.4.1)
186
где D — первоначальная сумма долга; n — срок долга в годах; t — номер года,
t = 1, 2, …, n.
2. Рассчитываются проценты It на уменьшаемую сумму основного долга:
It = Dt ⋅ i ,
(5.4.2)
где Dt — остаток долга на начало очередного года;
i — ставка процентов, начисляемых на сумму долга.
3. Определяется размер срочной уплаты Yt на конец текущего года, который определяется как сумма процентов и сумма погашения долга:
Yt = It + dt .
(5.4.3)
ПРИМЕР 5.4.1. Сумма 10 000 000 р. выдана под 10 % годовых на 3 года.
Определить величину срочной уплаты при погашении основной суммы долга
равными ежегодными частями.
Известно: n = 3 года, P = 10 000 000 р., i = 0,10 . Найти Yt .
РЕШЕНИЕ
1-й вариант. Расчеты с помощью подручных вычислительных средств.
1. По формуле (5.4.1) определяется dt — величина погашения основной
суммы долга:
dt = 10 000 000 / 3 = 3 333 333,33 р.
2. Для первого года рассчитываются проценты It на уменьшаемую сумму
основного долга по формуле (5.4.2):
I1 = 10 000 000 ⋅ 0,1 = 1 000 000 р.
3. Определяется размер срочной уплаты Y1 на конец первого года по
формуле (5.4.3): Y1 = 1 000 000 + 3 333 333,33 = 4 333 333,33 р.
4. Аналогичные расчеты выполняются по остальным годам. Поскольку
величина срочной уплаты при таком способе погашения долга меняется из года
в год, то удобнее план погашения долга оформлять в виде табл. 5.4.1.
План погашения долга равными частями
Таблица 5.4.1
Год,
t
Остаток долга, Dt
Сумма
погашения
долга, dt
Выплата
процентов, It
Величина
срочной уплаты, Y t
1
10 000 000,00
3 333 333,33
1 000 000,00
4 333 333,33
2
6 666 666,67
3 333 333,33
666 666,67
4 000 000,00
3
3 333 333,33
3 333 333,33
333 333,33
3 666 666,67
10 000 000,00
2 000 000,00
12 000 000,00
187
2 -й ва р и а н т . Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel
формируется макет таблицы (рис. 5.4.1), в ячейки которой вводятся формулы
(5.4.1), (5.4.2) и (5.4.3).
Рис. 5.4.1
Рзультаты расчета плана погашения долга приведены на рис. 5.4.2.
Рис. 5.4.2
Общие расходы по обслуживанию долга составили 12 000 000 р., из которых 2 000 000 р. пошли на оплату процентов, а 10 000 000 р. — на погашение
основной суммы долга.
Погашение долга и процентов по нему равными суммами в течение
срока ссуды.
В данном случае долг погашается в рассрочку равными срочными уплатами, которые включают в себя погашение основной суммы долга и величину
процентов по нему
Yt = It + dt = const.
188
В этом случае реализуется прогрессивное погашение, поскольку величина
долга систематически убывает, что приводит к уменьшению процентов и увеличению сумм, идущих на погашение долга.
Поскольку срочные уплаты равны, то они представляют собой финанс овую ренту, современное значение которой должно быть равно сумме долга.
Размер срочной уплаты Yt рассчитывается по формуле для определения платежа
постоянной годовой финансовой ренты с выплатами в конце периода:
D
D i
(5.4.4)
Yt
,
n
1 (1 i )
1 (1 i ) n
i
где D — первоначальная сумма долга; i — процентная ставка на сумму долга;
n — срок долга в годах; t — номер года, t = 1, 2, …, n.
ПРИМЕР 5.4.2. По условию примера 5.4.1 составить план погашения
долга равными срочными выплатами.
Известно: n = 3 года, P = 10 000 000 р., i = 0,10. Найти Yt.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . Решение с помощью подручных вычислительных
средств.
1. По формуле (5.4.4) определяется срочная уплата Yt :
Yt = (10 000 000 0,10)/(1– (1+ 0,10)–3) = 4 021 148, 04 р.,
которая включает погашение суммы долга и выплату процентов по долгу.
2. Рассчитываются общие расходы по погашению долга
∑Yt = Yt ·n = 40 211 480,36 ⋅ 3 = 120 634 441,09 р.
Расчеты погашения долга по годам оформляются в виде табл. 5.4.2.
План погашения долга равными срочными уплатами
Таблица 5.4.2
Год,
t
Остаток долга, Dt
1
2
3
10 000 000,00
6 978 851,96
3 655 589,12
Величина
срочной
уплаты, Y t
Выплата
процентов, It
4 021 148,04
4 021 148,04
4 021 148,04
12 063 444,12
1 000 000,00
697 885,20
365 558,91
2 063 444,11
189
Сумма
погашения
долга,
dt = Y t – It
3 021 148,04
3 323 262,84
3 655 589,12
10 000 000,00
Ежегодные расходы по погашению долга составят 4 021 148,04 р., а за
весь срок финансовой операции — 12 063 444,12 р.
2-й в ар иант. При этом варианте расчета с помощью формул в среде
Excel строим макет таблицы с необходимыми формулами (рис. 5.4.3).
Рис. 5.4.3
Результаты
расчета
плана
равными срочными уплатами (рис. 5.4.4).
погашения
долга
Рис. 5.4.4
Таким образом, общие расходы по обслуживанию долга составляют
12 063 444, 11 р., из которых 10 млн р. идут на погашение долга, а 2063444,11 р.
— проценты. В табл. 5.4.2 наглядно представлено распределение суммы срочной уплаты на выплату процентов и непосредственное погашение долга.
Расчеты по погашению ипотечных ссуд.
Одним из источников долгосрочного финансирования являются ссуды
под залог недвижимости. В таких сделках владельцы имущества получают ссуду у залогодержателя. Но в качестве гарантии возврата долга они передают по190
следнему право на преимущественное удовлетворение своего требования из
стоимости заложенного имущества в случае отказа от погашения или неполного погашения задолженности. Ипотечные ссуды имеют длительный срок погашения (25 — 30 и более лет) и выдаются коммерческими банками и специальными ипотечными банками.
Поскольку платежи по обслуживанию долга являются регулярными, то
расчет ипотеки сводится к расчету параметров ренты и разработке планов погашения и остатка задолженности на любой момент времени.
Наиболее распространена стандартная ипотечная ссуда, когда заемщик
получает от залогодержателя (кредитора) некоторую сумму под залог недвижимости, и этот кредит он погашает вместе с процентами равными, обычно
ежемесячными, взносами.
Если ссуда номинальным размером D выдана на срок n лет под годовую
ставку сложных процентов i, то равные ежемесячные выплаты размером Y образуют ренту с частотой платежей и начислением процентов 12 раз в году. Тогда ее наращенная величина к концу k-го года составит Y s(12k, i/12) и для
12n
определения Y используется уравнение Y⋅s(12n, i/12) = D(1+i/12) .
Остаток rk на конец любого k-го года, который предстоит выплатить,
определяется по выражению
12k
rk = D(1+i/12) – Y⋅s(12k, i/12),
12k
где D(1+i/12) — наращенная величина выданной ссуды к концу k-го го12k
да, (1+i/12) — мультиплицирующий множитель M (12·n; i/12), Y⋅s(12k, i/12) —
наращенная величина ренты выплат, s(12k, i/12) — коэффициент наращения.
ПРИМЕР 5.4.3. Пусть ссуда в 1500 000 выдана на 20 лет под 6 % годовых.
Необходимо определить ее основные характеристики на конец десятого года.
Известно: n = 20 лет, k = 10 лет, P = 1 500 000 р., i = 0,06.
Найти r10.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . Решение с помощью подручных вычислительных
средств.
1. Рассчитывается мультиплицирующий множитель M на весь период:
М(12*20; 0,06/12) = М(240; 0,005) = (1 + 0,005)240 = 3,3102.
S (12
2. Рассчитывается коэффициент наращения s по формуле
(1 0, 005 ) 240 1 2,3102
S (240 ; 0; 0, 005 )
462 , 040 .
20 ; 0 , 6 / 12 )
0, 005
0, 005
3. Определяется ежемесячная выплата:
Y = 1 500 000·3,3102/462,040 = 10746,47 р.
191
4. Определяется наращенная величина ссуды к десятому году:
1500000⋅М(120;
5.
0,005)
= 1500 000⋅(1 + 0,005)120 = 2 729 095,10 р.
Рассчитывается наращенная величина произведенных выплат:
(1 0,005)120 1
10746,47 S120; 0; 0,05)⋅ = 10746,47 ⋅
=
0,005
=10746,47 ·163,879= 1 761 123,81 р.
6. Определяется остаток выплат на конец десятого года как разность:
r10 = 100000⋅М(120; 0,005) – 554,60⋅S(120; 0,005) =
= 2 729 095,10 – 1 761 123,81 = 967 971,29 р.
Таким образом, на конец десятого года остаток выплат, который должен
будет погашен за оставшийся период, составит 967 971,29 р.
2 -й ва р и а нт . При расчете в Excel с помощью формул усложним задачу, тем, что при тех же условиях дополнительно составим план погашения ссуды
по годам. Общий вид листа с расчетными формулами представлен на рис. 5.4.5.
Рис. 5.4.5
В ячейку L2 введена формула «=СТЕПЕНЬ(1+$B$5/12;12*$B$2)»,
в ячейку L3 — «=(СТЕПЕНЬ(1+B5/12;B2*12)–1)/(B5/12)) »
и в K4 — «=B4*L2/L3».
192
Результаты расчета — на рис. 5.4.6.
Рис. 5.4.6
5.5. Оценка эффективности финансовых операций
Финансовой называется операция, начало и конец которой имеют денежную оценку — ICн и ICk соответственно, а цель проведения заключается в максимизации разности (ICk – ICн) или другого подобного показателя.
Под денежной оценкой начала операции понимают размер вложенных
инвестиций, затраты или просто наличный капитал, под денежной оценкой
конца операции — наращенный капитал, полученный доход.
Доходность d операции (номинальная или расчетная) определяется из
уравнения ICk = ICн (1+d):
IC k
IC н
IC k
1.
IC н
IC н
Здесь ICк/ICн называется коэффициентом, или множителем наращения.
d
Реальная доходность операции с учетом инфляции определяется по следующему выражению:
193
IC k
IC k
IC н
1 a 1,
dr 1 a
IC н
IC н
где a — величина инфляции за время проведения операции. Инфляция обесценивает конечную оценку операции в (1 + а) раз.
Эффективная доходность операции учитывает ставку безрискового вложения
IC k
IC k
IC н
1 b 1,
d эф 1 b
IC н
IC н
где b — ставка безрискового вложения (безрисковая ставка) за время
проведения операции.
Точная доходность с учетом инфляции и возможности размещения по безрисковой ставке определяется по следующему соотношению:
IC k
IC k
IC н
(1 а )(1 b)
(1 а )(1 b)
dТ
1.
IC н
IC н
Все определения доходности, данные выше, практически не учитывали
продолжительность операции, поэтому их называют абсолютными доходностями.
Относительная доходность (эффективность операции) — скорость роста
вложенных в операцию средств по отношению к размеру средств в начале операции. Она определяется в процентах годовых или в годовой доле и ее обозначают i.
При известной длительности операции T, начальной ICн и конечной
ICk оценке операции для определения i используется уравнение
ICн (1+i)Т =ICk .
Если операция продолжалась время t и имела (абсолютную) доходность d,
то доходность в процентах годовых удовлетворяет уравнению
i (IC k / IC н
1
)t
1.
Текущая и полная доходность. Финансовые операции, которые продолжаются некоторое время и состоят из нескольких более мелких операций, характеризуются текущей доходностью. В случае с акцией — это дивиденды, в
случае с облигацией — купонные выплаты.
Полная доходность относится ко всему вложенному капиталу и рассчитывается с позиции владельца этого капитала по формуле
194
r
R
(IC k
IC н )
IC н
R
IC н
(IC k
IC н )
IC н
rC rI ,
(5.5.1)
где R — поток текущих доходов, полученных владельцем от вложенного капитала за период;
ICн — первоначальная сумма вложенного капитала (инвестиции на начало
периода);
ICk — конечная (наращенная) сумма вложенного капитала (инвестиции на
конец периода);
rC — текущая доходность;
rI — доходность прироста капитала (капитализированная) текущая доходность;
r — полная доходность.
ПРИМЕР 5.5.1. Владелец недвижимости стоимостью 1 550 000 р. в начале года сдал ее в аренду и получил за это годовую плату в сумме 60 000 р. К
концу года стоимость недвижимости возросла и составила 1 750 000 р. Рассчитать текущую доходность, доходность прироста капитала и полную доходность.
Известно: R = 60 000 р., ICн= 1 550 000 р., ICk = 1 750 000 р. Найти rC , rI , r.
РЕШЕНИЕ
Полная доходность капитала за год, вложенного в недвижимость, рассчитывается по формуле (5.5.1):
r
R
ICн
( ICk ICн ) 60000 1750000 1550000
0,1677 или 16,77 %,
ICн
1550000
1550000
в том числе текущая доходность составляет
rC = R / ICн= 60000/1550000 = 0,0387 или 3,87 %,
а капитализированная доходность
rI = (ICk – ICн )/ ICн = (1750000 –1550000)/1550000 = 0,1290
или 12,90 %.
Доходность используется для обеспечения сопоставимости и сравнительной оценки различных вложений капитала.
Оценка инвестиционных проект ов.
Инвестиции — это долгосрочные финансовые вложения с целью создания
и получения выгоды в будущем.
Предварительный анализ инвестиционных проектов позволяет определить показатели эффективности инвестиций, т. е. их отдачи.
195
Финансирование деятельности предприятия может осуществляться из
различных источников, в том числе и инвестиционных. За пользование аванс ированными ресурсами оно уплачивает проценты, дивиденды, вознаграждения, и
за счет этого складываются расходы на поддержание своего экономического
потенциала. Показатель, характеризующий относительный уровень этих расходов, называется «ценой» авансированного капитала — он рассчитывается по
формуле средней арифметической взвешенной. Он отражает минимум возврата
на вложенный в деятельность предприятия капитал и его рентабельность.
Экономический смысл данного показателя заключается в том, что предприятие может принимать любые решения инвестиционного характера, уровень
рентабельности которых не ниже текущего значения показателя CC — ставки
сравнения или коэффициента дисконтирования, который включает три составляющих:
СС = И + ПР + Р,
(5.5.2)
где И — темп инфляции; ПР — минимальная реальная норма прибыли;
Р — коэффициент, учитывающий степень риска.
Под минимальной нормой прибыли, на которую может согласиться предприниматель (ставка отказа, отсечения), понимается наименьший гарантир ованный уровень доходности, сложившийся на рынке капиталов, т. е. нижняя
граница стоимости капитала.
При более точном расчете ставки сравнения учитывается не только текущий темп инфляции, но и его возможное изменение в рассматриваемом периоде (срока жизни проекта). Для этого в формулу (5.5.2) вводится поправочный
коэффициент Ип, который при ожидаемом росте темпа инфляции имеет положительное значение и при снижении — отрицательное, что ведет к изменению
общей величины ставки сравнения.
Критерий NPV — метод оценки эффективности финансовых операций и
инвестиционных проектов. Он рекомендован к применению ООН и Всемирным
банком.
Данный метод основан на сопоставлении величины исходной инвестиции IC с общей суммой дисконтированных чистых денежных поступлений,
создаваемых ею в течение прогнозируемого срока. Поскольку приток денежных средств распределен во времени, он дисконтируется с помощью коэффициента i, устанавливаемого аналитиком (инвестором) самостоятельно, по ежегодному приросту возврата, который он хочет или может иметь на инвестируемый капитал.
Если известны прогнозируемые значения годовых денежных поступлений: R1, R2, ..., Rn в течение n лет, которые будет создавать инвестиция IC, то
накопленная величина дисконтированных доходов R будет рассчитываться по
следующей формуле:
196
R
k
Rk
,
(1 i ) k
(5.5.3)
а чистый приведенный эффект NPV будет равен разности
n
NPV
k
Rk
k
1 (1 i )
IC .
(5.5.4)
Если проект предполагает не разовую инвестицию, а последовательное
инвестирование финансовых ресурсов в течение m лет, то формула для расчета
NPV принимает следующий вид:
n
NPV
k
m
Rk
k
1 (1 i )
t
IC
.
t
(
1
i
)
1
(5.5.5)
Об эффективности инвестиционного проекта судят по NPV:

если NPV > 0, то проект эффективен, он будет ежегодно приносить
больше чем i процентов прибыли от вложенных средств;

если NPV = 0 — такой проект нейтрален, он ежегодно будет приносить ровно i процентов прибыли;

если NPV < 0 — проект неэффективен, он будет приносить меньше i
процентов прибыли ежегодно.
В общем случае при переменной ставке дисконтирования расчетная формула для определения эффективности проекта будет иметь следующий вид:
R1
R2
Rn
NPV
...
IC , (5.5.6)
(1 i1 ) (1 i1 )(1 i 2 )
(1 i1 )(1 i 2 )...( 1 i n )
где im — ставка дисконтирования прогнозного периода m = 1, 2, … , n.
Если поток доходов представляет постоянную или переменную ренту, то
расчет NPV упрощается. В этом случае доходы поступают в виде постоянной
годовой ренты и равномерно распределены в пределах года, тогда расчет NPV
производится по следующей формуле:
n1
NPV
R a n 2; i v
n 1 0,5
IC t v t ,
t 1
где R — годовая сумма дохода;
n
1 (1 i ) 2
— коэффициент приведения ренты;
a n 2;i
i
1 n 1 0,5
n 1 0,5
v
— дисконтный множитель для середины года;
1 i
ICt — инвестиционные расходы в году t , t = 1, 2, …, n1;
v t (1 i ) t — дисконтный множитель для конца t года;
n1— продолжительность инвестиционного периода;
n2— продолжительность периода поступлений дохода.
197
(5.5.7)
Если капиталовложения мгновенны, а доходы регулярно поступают сразу
после инвестирования, то прогнозная оценка чистой приведенной стоимости
будет равна разности
NPV = R·a n; i – IC,
(5.5.8)
1 (1 i ) n
где a n ; i
.
i
Поскольку расчет с помощью приведенных формул вручную достаточно
трудоемок, то для оценки NPV целесообразно использовать встроенные функции Excel.
Поскольку показатель NPV аддитивен во времени, то он может суммироваться для различных проектов. Кроме того, данный критерий используется при
анализе оптимальности инвестиционного портфеля.
ПРИМЕР 5.5.2. Инвестиционный проект на четыре года имеет следующие характеристики (млн р.): –150, 30, 70, 70, 45. Требуется из двух проектов
выбрать наиболее эффективный:
- проект а - цена капитала неизменна на протяжении всего периода и составляет 12 %;
- проект б - ожидаемая цена капитала будет меняться по годам следующим образом: 12, 13, 14, 14 %.
Известно:
n = 4 года, IC = 150 млн р., R1 = 30 млн р., R2 = 70 млн р.,
R3 = 70 млн р., R4 = 45 млн р.,
i = 0,12, i1 = 0,12; i2 = 0,13; i3 = 0,14; i4 = 0,14.
Найти NPVа); NPVб).
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т . Решение с помощью подручных вычислительных
средств.
Оценка эффективности проекта а по NPV производится по формуле
(5.5.4):
30
70
70
45
NPVa
150 11,0122 млн р.
(1 0,12)1 (1 0,12) 2 (1 0,12) 3 (1 0,12) 4
Поскольку NPV = 11,012 млн р. (больше нуля), то данный проект является
приемлемым.
Оценка эффективности проекта б выполняется прямым подсчетом по
формуле (5.5.6):
198
70
70
(1 0,12 )(1 0,13 ) (1 0,12 )(1 0,13 )(1 0,14 )
45
150 7, 9721 млн р.
(1 0,12 )(1 0,13 )(1 0,14 )(1 0,14 )
Данный проект тоже имеет положительное значение NPV = 7,9721 млн р.
поэтому он, как и первый, является приемлемым, но менее эффективен чем
проект а.
2 -й ва р и а н т . Общий вид листа Excel для расчета NPV по формулам
(5.5.4) и (5.5.6) для двух случаев приведен на рис. 5.5.1.
NPV
30
(1 0,12 )
Рис. 5.5.1
В ячейку Н4 введена формула
«=B4/СТЕПЕНЬ((1+B8);1)+B5/(СТПЕНЬ((1+B8);2))+B6/(СТЕПЕНЬ((1+B8);
3)) +B7/(СТЕПЕНЬ((1+B8);4))–B3»,
в ячейку М8:
«=B4/(1+B9)+B5/((1+B9)*(1+B10))+B6/((1+B9)*(1+B10)*(1+B11))+B7/
((1+B9)*(1+B10)*(1+B11)*(1+B12))–B3)».
3 -й ва р и а н т . Для выполнения расчетов чистой приведенной стоимости инвестиции по проекту а используется встроенная финансовая функция
ЧПС (категория «Финансовые») (рис. 5.5.2).
Расчет с использованием функции ЧПС для случая б) невозможен, поскольку данная функция может использоваться только при постоянной ставке i
в инвестиционном периоде.
199
Рис. 5.5.2
Расчет рентабельности капиталовложений.
Индекс рентабельности — это отношение приведенных доходов, ожидаемых от инвестиции, к сумме инвестированного капитала.
В отличие от NPV индекс рентабельности является относительным показателем, поэтому им удобно пользоваться при выборе одного проекта из альтернативных, имеющих примерно одинаковые значения NPV, либо при комплектовании портфеля инвестиций с максимальным суммарным значением
NPV. С помощью этого индекса можно упорядочивать независимые проекты
для создания оптимального портфеля при ограниченности сверху общего объема инвестиций.
Рентабельность капиталовложений характеризует уровень доходности на
единицу капитальных вложений.
Индекс рассчитывается по формуле
Rk
Rk vk
k
k (1 i )
k
r
.
(5.5.9)
IC
IC
Если капитальные затраты распределены во времени, т. е. представляют
собой некоторый поток, то для расчета индекса используется следующее выр ажение:
Rk v
r
k n1
k
IC t v t
t
200
,
(5.5.10)
где t — срок получения дохода.
Если поток доходов представляет собой постоянную ренту постнумерандо, а капиталовложения мгновенны, то применяется формула
R 1 (1 i ) n
R
(5.5.11)
r
a n;i .
IC
i
IC
Рассчитанное значение индекса сравнивают с единицей:
 если r > 1, то проект принимается;
 если r < 1, то проект отвергается;
 если r = 1, то проект считается ни прибыльным, ни убыточным.
Индекс рентабельности является мерой устойчивости самого инвестиционного проекта и предприятия, которое его реализует.
ПРИМЕР 5.5.3. К началу срока отдачи инвестиции составили 18,5 млн р.,
причем доход в течение 10 лет ожидается на уровне 3,1 млн р. Дисконтирование осуществляют по ставке 10 % . Определить коэффициенты рентабельности
двух проектов:
а) поступления происходят равномерно в течение года и приурочены к
серединам соответствующих периодов;
б) однократное поступление в конце года.
Известно: n = 10 лет, IC = 18,5 млн р., R = 3,1 млн р., i = 0,10.
Найти r.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а н т .
а) Поскольку поступления равномерно распределены в течение года, то
будем считать, что они происходят в середине соответствующих периодов. В
этом случае индекс рентабельности рассчитывается по формуле (5.5.10):
Rk v
r
k n1
k
IC t v t
3,1 1 (1 0,1)
18 ,5 0,1 (1 0,1)
10
0,5
1, 0799 .
t
б) При однократном поступлении в конце года рентабельность рассчитывается по формуле (5.5.11):
R 1 (1 i ) n
3,1 1 (1 0,1) 10
r
1, 0296 .
IC
i
18 ,5
0,1
2 -й ва р и а н т . Общий вид листа Excel для расчета индекса рентабельности по формулам (5.5.10) и (5.5.11) для двух случаев приведен на рис. 5.5.3.
201
Рис. 5.5.3
3 -й ва р и а нт . Для расчета индекса рентабельности специальной функции в Excel не существует, но можно воспользоваться встроенной финансовой
функцией ЧПС для расчета чистой приведенной стоимости инвестиции
(рис. 5.5.4).
Рис. 5.5.4
В обоих случаях коэффициент рентабельности ренты оказался больше 1,
поэтому такой проект следует принять независимо от варианта поступлений.
Но при этом вариант с равномерно распределенными поступлениями в течение
года (случай а) имеет более высокий показатель рентабельности.
Оценка срока окупаемости инвестиций.
Срок окупаемости — продолжительность периода, в течение которого
сумма чистых доходов, дисконтированных на момент завершения инвестиций,
202
равна сумме инвестиций, т. е. сколько лет требуется для возмещения стартовых
n
m
Rk
инвестиций:
IC t ,
i) k t 1
k 1 (1
m
где Rk — годовые доходы,
ICt — сумма всех инвестиций.
t 1
В этом случае NPV = 0.
Если доход представляется в виде равных сумм, получаемых в разное
время, т. е. фактор времени не учитывается, то для расчета срока окупаемости
инвестиции можно использовать упрощенную формулу
nок = IC / Rk .
(5.5.12)
ПРИМЕР 5.5.4. Разовые инвестиции составляют 19 млн р., годовой приток доходов считается равномерным и составляет 5,35 млн р. Определить период окупаемости проекта.
Известно: IC = 19 млн р., Rk = 5,35 млн р. Найти nок .
РЕШЕНИЕ. Используя формулу (5.5.12), рассчитаем период окупаемости проекта:
nок = 19 / 5,35 = 3,55 года или 3 года 198 дней.
Если поступления неравномерны, то период окупаемости можно определить по другой упрощенной формуле:
nок = Число лет до года окупаемости +
(Невозмещенная стоимость на начало года окупаемости /
Приток наличности в течение года окупаемости). (5.5.13)
ПРИМЕР 5.5.5. Первоначальные инвестиции составили 19 млн р., ожидаемый годовой приток доходов неравномерно распределен по годам (табл.5.5.1).
Таблица 5.5.1
Показатель
1-й
4
Денежные поступления, млн р.
2-й
6
Год
3-й
6
4-й
4
5-й
4
Необходимо определить срок окупаемости проекта.
РЕШЕНИЕ. Используя формулу (5.5.13) рассчитаем период окупаемости
проекта. Предварительно к исходной табл. 5.5.1 добавим строку суммарных поступлений, которая рассчитывается накоплением.
Таблица 5.5.2
Показатель
Год
203
Денежные поступления, млн р.
Накопленная сумма поступлений, млн р.
1-й
4
4
2-й
6
10
3-й
6
16
4-й
4
20
5-й
4
24
Сравнивая величину вложенных инвестиций IC = 19 млн р. с накопленной
суммой по годам (последняя строка таблицы), видим, что равенство между ними наступит в промежутке между третьим и четвертым годом, т. е. число лет до
года окупаемости будет равно трем.
Невозмещенная стоимость на начало года окупаемости будет равна 19 –
16 = 3 млн р., а приток наличности в течение года окупаемости равен 4 млн р.
Все найденные значения подставим в формулу (5.5.13) и подсчитаем срок
окупаемости проекта
nок = 3 + 3/4 = 3,75 года, или 3 года 270 дней.
Если рассчитанный период окупаемости nок меньше максимально приемлемого n, то проект принимается, если нет — отвергается. Допустим, что в последнем примере необходимый период окупаемости n = 4 года, тогда данный
проект будет принят.
Срок окупаемости характеризует период, в течение которого инвестиции
будут «заморожены», поскольку реальный доход от проекта начнет поступать
только по истечении периода окупаемости.
Если доходы можно представить в виде аннуитета, то срок окупаемости
рассчитывается по следующей формуле:
ln 1
n oк
IC
i
Rk
ln( 1 i )
.
(5.5.14)
ПРИМЕР 5.5.6. Инвестиции к началу срока отдачи составили 4 млн р.
Доход ожидается на уровне 0,7 млн р. в год, поступления планируются в течение 10 лет, ставка дисконтирования 10 %. Определить дисконтный срок окупаемости при условии: а) поступления происходят в пределах года равномерно; б)
поступления происходят раз в конце года.
Известно: IC = 4 млн р., Rk = 0,7 млн р., n = 10 лет, i = 0,1.
Найти nок .
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а нт . а) при равномерном поступлении платежей в течение года (когда платежи происходят в середине года) оценка срока окупаемости проекта производится по уточненной формуле (5.5.14):
204
ln 1
n oк
IC
i
R k (1 i ) 0 , 5
ln 1
ln( 1 i )
4
0,1
0,7 (1 0,1) 0 , 5
ln( 1 0,1)
8,26 года ;
б) при поступлениях в конце года срок окупаемости, рассчитанный по
формуле (5.5.14) составит
IC
i
Rk
ln(1 i)
ln 1
noк
4
0,1
0,7
ln(1 0,1)
ln 1
8,89 года .
2 -й ва р и а н т . Общий вид листа Excel с расчетом срока окупаемости
инвестиционного проекта для двух случаев приведен на рис. 5.5.5.
Срок окупаемости затрат рассчитывается в тех случаях, когда руководство интересуют проблемы ликвидности, а не прибыльности проекта, либо когда инвестиции сопряжены с высокой степенью риска, поэтому чем короче срок
окупаемости, тем менее рискованным является проект.
Рис. 5.5.5
Расчет внутренней нормы доходности инвестиций (IRR).
Внутренняя норма доходности — это ставка дисконтирования, при которой сумма приведенных доходов от инвестиционного проекта равна величине
инвестиций, т. е. ставка, при которой вложения окупаются, но не приносят прибыль.
205
Величина этой ставки определяется «внутренними» условиями, характеризующими инвестиционный проект. Она рассчитывается итерационным методом, дисконтирующий множитель определяется из условий равенства NPV = 0.
Итерационная процедура предполагает предварительный выбор двух значений
коэффициента дисконтирования i1 и i2, при которых функция NPV меняет свой
знак, и последующее применение формулы
IRR
i1
NPV (i 1 )
NPV (i 1 ) NPV (i 2 )
(i 2
i1),
(5.5.15)
где i1 — значение процентной ставки в дисконтном множителе, при котором
NPV(i1) < 0 или NPV(i1) > 0; i2 — значение процентной ставки в дисконтном
множителе, при котором NPV(i2) > 0 или NPV(i2) < 0.
Точность вычислений по формуле (5.5.15) обратна длине интервала (i1,
i2). Наилучшая точность достигается при минимальной длине интервала (равной 1 %), когда изменяется знак NPV с «+» на «–». Путем взаимной замены коэффициентов i1 и i2 аналогичные условия формулируются для ситуации, когда
функция меняет знак с «–» на «+».
Внутренняя норма доходности показывает максимально допустимый уровень расходов, которые могут быть произведены при реализации данного пр оекта.
Например, если для реализации проекта используется банковская ссуда,
то значение IRR показывает верхнюю границу допустимого уровня банковской
процентной ставки СС, превышение которой делает проект убыточным.
Если IRR > CC, то проект следует принять; если IRR < СС — проект отвергается; если IRR = СС — проект имеет нулевую прибыль.
ПРИМЕР 5.5.7. Инвестиционный проект, требующий 20 млн р., рассчитан на три года, имеет предполагаемые денежные поступления в размере 3, 8 и
14 млн р. Необходимо определить внутреннюю норму доходности.
Известно: n = 3 года, IC = 20 млн р., R1 = 3 млн р., R2 = 8 млн р.,
R3 = 14 млн р. Найти IRR.
РЕШЕНИЕ
1 -й ва р и а нт . Решение с помощью калькулятора. Возьмем произвольно два значения ставки дисконтирования: i1 = 15 и i2 = 20 %, и для них выполним вспомогательные расчеты в табл. 5.5.3.
206
Таблица 5.5.3
Год, Поt ток,
млн
р.
vt
Для i = 15 %
NPV
1
Rk
(1 0,15) t
(1 i ) t
Для i = 20 %
NPV
1
Rk
(1 0,2) t
(1 i ) t
vt
IC
0-й
–20
1,0
–20
1,0
–20
1-й
6,0
0,8696
5,2174
0,8333
5,0000
2-й
8,0
0,7561
6,0491
0,6944
5,5556
3-й
14,0
0,6575
9,2052
0,4718
0,5787
8,1019
–1,3426
IC
По формуле (5.5.15) рассчитаем показатель IRR:
IRR i 1
15
NPV (i 1 )
NPV (i 1 ) NPV (i 2 )
0,4718
0,4718 ( 1,3426)
(i2 i 1 )
( 20 15) 16,3 %.
Для уточнения величины IRR, выполним еще одну итерацию с новыми
значениями процентных ставок i1 = 16 и i2 = 17 % (табл. 5.5.4).
Таблица 5.5.4
ПоГод, ток,
t
млн
р.
0-й
1-й
2-й
3-й
–20
6,0
8,0
14,0
vt
Для i = 16 %
NPV
1
Rk
(1 0,16) t
(1 i ) t
1,0
0,8621
0,7432
0,6407
–20
5,1724
5,9453
8,9692
0,0869
207
vt
IC
Для i = 17 %
NPV
1
Rk
(1 0,17) t
(1 i ) t
1,0
0,8547
0,7305
0,6244
–20
5,1282
5,8441
8,7412
–0,2865
IC
IRR
16
0, 0869
0, 0869 ( 0, 2865 )
(17 16 ) 16 , 23 % .
2 -й ва р и а н т . Общий вид листа Excel с формулами для расчета внутренней нормы доходности приведен на рис. 5.5.6.
Рис. 5.5.6
Результаты расчета внутренней нормы доходности приведены на
рис. 5.5.7.
208
Рис. 5.5.7
3 -й ва р и а н т . Для расчета внутренней нормы доходности IRR можно
воспользоваться встроенной финансовой функцией ВСД (рис. 5.5.8).
Рис. 5.5.8
209
Таким образом, для получения прибыли компания может взять кредит в
банке по ставке не более 16,23 %, поскольку эта ставка является верхним пр еделом для окупаемости данного проекта.
Поскольку IRR показывает не абсолютную эффективность проекта, а относительную — по сравнению с операциями на финансовом рынке, то он может использоваться для выбора альтернативного вложения финансовых
средств.
Кроме того, этот показатель может применяться для сравнения эффективности различных инвестиционных проектов между собой, но при этом пр остое сопоставление IRR сравниваемых проектов может оказаться недостаточным, поскольку результаты, полученные при сравнении эффективности инвестиционных проектов при помощи NPV и IRR-методов, могут привести к принципиально различным результатам.
Сравнительный анализ инвестиционных проектов обычно проводится путем сопоставления значений внутренних норм рентабельности. Но все равно
NPV имеет более высокий приоритет перед IRR.
В зарубежной практике IRR применяют в качестве первого шага количественной оценки эффективности капиталовложений. Для дальнейшего анализа
отбирают те инвестиционные проекты, у которых этот показатель не ниже 15–
20 %.
5.6. Задания для самостоятельного решения
Задание № 1. В банке взяли ссуду 100 000 р. в момент времени t1
(дд.мм.гг). Какая сумма долга будет на момент t2, если проценты простые по
ставке i (t1, t2, i см. в табл. 5.6.1) и расчеты ведутся по схеме:
а) 365 365 - точные проценты с точным числом дней ссуды;
б) 365 360 - обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
в) 360 360 - обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Таблица 5.6.1
Вариант
1
2
3
4
5
t1
13.11.06 21.12.07 22.06.07 28.09.07 07.10.07
t2
07.08.07 15.06.08 09.05.08 12.04.08 08.08.08
i
0,12
0,13
0,09
210
0,14
0,15
Вариант
6
7
8
9
10
t1
06.06.06 03.02.08 07.07.07 09.08.07 16.09.07
t2
11.03.07 12.11.08 08.04.08 13.03.08 11.02.08
i
0,16
0,14
0,15
0,16
0,17
Вариант
11
12
13
14
15
t1
18.10.09 25.11.08 12.06.07 08.09.09 04.10.07
t2
17.08.10 19.06.09 19.03.08 12.05.10 10.09.08
i
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
Вариант
16
17
18
19
20
t1
16.06.08 13.02.08 07.06.07 09.09.07 16.09.09
t2
11.05.09 10.11.08 08.05.08 13.08.08 11.02.10
i
0,16
0,07
0,08
0,09
0,1
Вариант
21
22
23
24
25
t1
13.11.06 21.12.07 22.06.07 28.09.07 07.10.07
t2
11.03.07 12.11.08 08.04.08 13.03.08 11.02.08
i
0,15
0,14
0,13
0,12
0,09
Вариант
26
27
28
29
30
t1
16.06.08 13.02.08 07.06.07 09.09.07 16.09.09
t2
11.05.09 10.11.08 08.05.08 13.08.08 11.02.10
i
0,1
0,17
0,18
0,08
0,11
Задание № 2. Предприниматель взял в долг P тыс. р. (табл. 5.6.2) на 3 года под i (табл. 5.6.2) простых процентов годовых. Через 6 месяцев он отдал
50 000 р., через еще 9 месяцев он отдал 100 000 р. и еще через 12 месяцев отдал
еще 50 000 р. Какой остаток долга на конец срока, если выплаченные деньги
идут на погашение долга с процентами, а на остаток вновь начисляется простой
процент по ставке i.
211
Таблица 5.6.2
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
200 220 240 210 250 300 260 200 190 180
i
0,11 0,1 0,08 0,12 0,13 0,09 0,14 0,15 0,16 0,17
Вариант 11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
P
300 320 260 250 280 320 270 280 170 190
i
0,12 0,13 0,09 0,14 0,15 0,08 0,1 0,11 0,13 0,15
Вариант 21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
P
300 260 200 190 180 300 320 260 250 280
i
0,08 0,1 0,11 0,13 0,15 0,08 0,12 0,12 0,09 0,14
Задание № 3. На депозит положили P тыс. р. под сложный процент.
Определить:
а) накопленную сумму через n лет, если ставка процента i и процент
начисляется m раз в году;
б) срок депозита, если накопленная сумма составляет 200 000 руб.
(начисление процента ежегодное);
в) процентную ставку, если за 5 лет наращенная сумма составит 220 000р.
P, n, i, m см. в табл. 5.6.3.
Таблица 5.6.3
Вариант 1
P
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
150 140 130 120 110 100 125 145 115 95
2
3
4
5
6
5
4
3
5
7
i
0,1 0,12 0,13 0,11 0,09 0,08 0,13 0,12 0,11 0,1
m
12
6
4
3
2
4
3
12
Вариант 11 12
13
14
15
16
17
18
P
6
2
19 20
130 120 110 100 125 150 140 95 125 145
212
n
i
m
5
4
3
5
7
2
3
4
4
2
3
4
3
12
Вариант 21 22
23
24
25
26
27
28
n
i
m
6
0,1 0,12 0,13 0,11 0,09 0,08 0,13 0,12 0,11 0,1
12
P
5
6
6
2
29 30
120 110 100 125 90 130 125 145 150 140
2
3
4
5
6
5
4
3
5
7
0,1 0,12 0,13 0,11 0,09 0,08 0,13 0,12 0,11 0,1
2
3
4
6
12
4
2
3
4
3
Задание № 4. В банке существовал срочный вклад А с ежегодным начислением сложного процента по ставке i (табл. 5.6.4). Было решено заменить его
вкладом В, с начислением процента ежемесячно. Какую номинальную ставку
нужно назначить для вклада В, чтобы наращенная сумма совпала с той, которая
получалась бы по вкладу А?
Таблица 5.6.4
Вариант
i
1
4
5
6
7
8
9
10
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,14 0,13 0,12 0,11 0,15 0,07 0,16 0,13 0,18 0,19
Вариант 21
i
3
0,12 0,11 0,1 0,09 0,07 0,08 0,13 0,12 0,11 0,1
Вариант 11
i
2
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0,07 0,16 0,13 0,18 0,19 0,14 0,13 0,12 0,11 0,15
Задание № 5. Определить денежную сумму, которую нужно положить в
банк на депозит сроком на n лет (табл. 5.6.5), если в конце срока нужно, чтобы
накопленная сумма равнялась 300 000 р. и ставка наращения равна i
(табл. 5.6.5), если:
а) процент простой;
б) процент сложный с ежегодным начислением процента;
в) процент сложный с ежеквартальным начислением процента;
г) процент сложный с непрерывным начислением процента.
213
Таблица 5.6.5
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
5
4
3
5
7
2
3
4
5
6
i
0,08 0,13 0,12 0,11 0,1 0,1 0,12 0,13 0,11 0,09
Вариант 11
n
i
6
i
13
14
15
16
17
18
19
20
2
4
3
5
7
3
4
5
2
0,09 0,14 0,13 0,11 0,12 0,1 0,16 0,15 0,11 0,08
Вариант 21
n
12
2
22
23
24
25
26
27
28
29
30
3
4
5
6
5
4
3
5
7
0,1 0,12 0,13 0,11 0,09 0,08 0,13 0,12 0,11 0,1
Задание № 6. Вексель будет учтен через n лет (табл. 5.6.6) за 50 000 р.
Определить его современную стоимость при учетной ставке d (табл. 5.6.6), если:
а) процент простой;
б) процент сложный с ежегодным удержанием процента;
в) процент сложный с ежеквартальным удержанием процента.
Таблица 5.6.6
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
4
5
2
3
4
6
4
3
2
7
d
0,07 0,06 0,1 0,09 0,08 0,05 0,07 0,08 0,09 0,06
Вариант 11
n
d
4
d
13
14
15
16
17
18
19
20
3
6
5
2
3
5
8
6
4
0,09 0,08 0,1 0,07 0,06 0,05 0,09 0,11 0,09 0,08
Вариант 21
n
12
4
22
23
24
25
26
27
28
29
30
5
2
3
4
6
4
3
2
7
0,05 0,07 0,08 0,09 0,06 0,07 0,06 0,1 0,09 0,08
214
Задание № 7. Определить номинальную ставку банка (брутто-ставку),
обеспечивающую реальную доходность i, если ожидаемая инфляция составляет
. Какая реальная доходность по вкладу, если номинальная составляет 11% при
ожидаемой инфляции (i, см. в табл. 5.6.7).
Таблица 5.6.7
Вариант
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,06 0,07 0,08 0,09 0,07 0,1 0,11 0,12 0,05 0,08
0,08 0,09 0,07 0,06 0,07 0,08 0,09 0,07 0,03 0,05
Вариант 11
i
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,09 0,11 0,1 0,08 0,12 0,13 0,1 0,6 0,07 0,09
0,09 0,08 0,11 0,07 0,1 0,09 0,06 0,07 0,06 0,05
Вариант 21
i
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0,1 0,11 0,12 0,05 0,08 0,06 0,07 0,08 0,09 0,07
0,09 0,06 0,07 0,06 0,05 0,08 0,09 0,07 0,03 0,05
Задание № 8. Платежи 30 000 р., 70 000 р. и 20 000 р. должны быть выплачены через 2, 3 и 5 лет соответственно с процентом (сложным) по ставке i.
Определить сумму единичного платежа, заменяющего эти три, если он будет
выплачен через 4 года при ставке j (i, j см. в табл. 5.6.8).
Таблица 5.6.8
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
i
0,13 0,13 0,15 0,07 0,1 0,09 0,1 0,1 0,11 0,12
j
0,08 0,09 0,07 0,06 0,07 0,08 0,09 0,07 0,03 0,05
Вариант 11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
i
0,1 0,11 0,12 0,05 0,08 0,06 0,07 0,08 0,09 0,07
j
0,09 0,06 0,07 0,06 0,05 0,08 0,09 0,07 0,03 0,05
215
Вариант 21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
i
0,09 0,11 0,1 0,08 0,12 0,13 0,1 0,6 0,07 0,09
j
0,08 0,08 0,11 0,07 0,1 0,09 0,06 0,07 0,06 0,05
Задание № 9. Заемщик обязан выплатить сумму
тыс.р. через год и
сумму еще через 2 года. Но он решил сегодня досрочно погасить весь долг.
Сколько должен заплатить заемщик при ставке процента i ( , , i, см. в
табл. 5.6.9).
Таблица 5.6.9
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
500 700 1500 100 900 600 400 500 1200 400
300 500 900 300 800 100 400 700 300 100
i
0,1 0,11 0,12 0,13 0,13 0,1 0,11 0,12 0,05 0,08
Вариант 11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1500 900 1200 1100 700 400 600 800 1400 300
600 400 500 1200 400 500 700 1500 100 900
i
0,15 0,14 0,13 0,12 0,11 0,1 0,09 0,13 0,16 0,08
Вариант 21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
500 700 1500 100 900 600 400 500 1200 400
400 600 800 1400 300 300 500 900 300 800
i
0,18 0,09 0,13 0,16 0,08 0,15 0,14 0,13 0,12 0,11
Задание № 10. Семья может ежемесячно класть в банк по R р. под 11 %
годовых. Какая сумма накопится за n лет, если процент начисляется:
а) ежегодно;
б) ежеквартально;
в) ежемесячно.
R, n см. в табл. 5.6.10.
Таблица 5.6.10
216
Вариант
R
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2000 4000 3500 1500 3000 5500 4500 5000 2000 2500
n
5
4
3
6
5
7
5
4
3
4
Вариант 11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
R
3000 4500 2500 5500 4000 1500 6500 7000 8000 7500
n
3
4
2
6
5
7
3
6
2
8
Вариант 21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
R
1500 6500 7000 8000 7500 2000 4000 3500 1500 3000
n
7
3
6
2
8
5
4
3
6
5
Задание № 11. Семья хочет накопить 300000 р. на автомобиль,
вкладывая в банк 30000 р. ежегодно. Годовая ставка процента в банке (процент
сложный) составляет i (табл. 5.6.11). Какое время придется копить?
Таблица 5.6.11
Вариант
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,1 0,11 0,12 0,13 0,13 0,1 0,11 0,12 0,05 0,08
Вариант 11
i
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,15 0,14 0,13 0,12 0,11 0,1 0,09 0,13 0,16 0,08
Вариант 21
i
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0,1 0,11 0,12 0,05 0,08 0,15 0,14 0,13 0,12 0,11
Задание № 12. Предпринимателю предлагают либо взять в безвременную
аренду земельный участок за 300 тыс. р. в год, либо выкупить этот участок за
2000000 р. Что выгоднее при годовой ставке N% (табл. 5.6.12)?
Таблица 5.6.12
Вариант
1
2
3
4
5
217
6
7
8
9
10
N, %
Вариант
N, %
Вариант
N, %
12
13
15
14
11
12
13
14
15
16
13
15
16
24
25
26
27
28
29
30
12
13
15
14
14,5
12,5 13,5 11,7
21
22
23
14,5 13,5 16,5 15,7 14,7 15,1
13,5 16,5 15,7 14,7 15,1
17
18
19
20
16,5 15,1 14,9 15,9
ГЛАВА 6. Случайные процессы
и теория массового обслуживания
Экономические системы, как правило, являются вероятностными или
стохастическими, так как выходные параметры системы случайным образом
зависят от входных параметров.
Можно выделить следующие причины, по которым экономические системы являются стохастическими:
1) система сложная, многокритериальная, описывается многоуровневой
иерархической структурой;
2) система подвержена влиянию большого числа неуправляемых внешних
факторов (погодные условия, внешняя политика, социальные факторы и т. д.);
3) преднамеренное искажение информации, сокрытие информации и целенаправленная экономическая диверсия.
Исходя из этого для моделирования многих экономических систем используют математические методы, основанные на применении законов теории
вероятностей, которые получили название стохастических методов. Рассмотрим одну из центральных основных стохастических моделей — математическую модель, основанную на случайных процессах, и как следствие ее —
экономико-математическую модель, называемую теорией массового обслуживания.
6.1. Основы теории случайных процессов
Случайный процесс (СП) это некоторый процесс или явление, поведение
которого в течение времени и результат заранее предсказывать невозможно.
Примеры случайных процессов: динамика изменения курса валют или акций,
выручка или прибыль организации с течением времени, объемы продаж товара
и т. д.
218
Если случайный процесс может изменить своё состояние только в строго
определённый момент времени, то он называется процессом с дискретным вр еменем.
Если же смена состояния возможна в произвольный момент времени, то
это СП с непрерывным временем.
Если в любой момент времени СП представляет собой дискретную случайную величину (ее значение можно перечислить и выделить два соседних
значения), то это процесс с дискретным состоянием.
Если же в любой момент времени состояние может меняться непрерывно,
плавно и нельзя выделить два соседних состояния, то это СП с непр ерывным
состоянием.
Таким образом, возможно 4 вида СП:
1) СП с непрерывным временем и непрерывным состоянием (пример:
температура воздуха в некоторый момент времени, изменяется плавно в любой
момент времени);
2) СП с непрерывным временем и дискретным состоянием (пример: число
посетителей в магазине, изменяется кратно одному в любой момент времени);
3) СП с дискретным временем и непрерывным состоянием (пример: динамика курса валюты, изменяется плавно в момент валютных торгов);
4) СП с дискретным временем и дискретным состоянием (пример: число
пассажиров в транспорте изменяется кратно одному и только в определенные
моменты времени, на остановках).
Рассмотрим некоторую систему S, в которой в данный момент времени tо
протекает СП. Этот процесс называется марковским, если для любого момента
времени t > tо поведение системы в будущем зависит только от того, в каком
состоянии система находилась в данный момент времени при t = tо, и никак не
зависит от того, как, когда и в каких состояниях она пребывала в прошлом при t
< tо. Другими словами, «прошлое» марковского процесса никак не влияет на
«будущее» (только через «настоящее»).
Потоки событий.
Простейшим видом СП являются потоки событий. Потоком событий
называется некоторая последовательность однотипных событий, которые пр оисходят в случайные моменты времени (например, звонки по телефону, посетители магазина, автомобили, проезжающие перекресток, и т. д.). Они относятся к
СП с дискретным состоянием и непрерывным временем. Математически поток
событий можно изобразить в виде случайных точек на оси времени (рис. 6.1.1).
Рис. 6.1.1
219
Если события в потоке происходят поодиночке, а не группами из нескольких событий, то такой поток называется ординарным. Поток событий
называется потоком без последствий, если для любых непересекающихся интервалов времени число событий в одном интервале никак не влияет на то,
сколько их и каким образом события будут происходить в другом интервале.
Ординарный поток без последствия называется потоком Пуассона. Важнейшей
характеристикой любого потока событий является его интенсивность — среднее число событий, произошедших в потоке за одну единицу времени .
С интенсивностью тесно связана величина T 1 / , которая имеет смысл
среднего интервала времени между двумя событиями. Если интервалы между
соседними событиями есть случайные величины, которые независимы друг от
друга, то такой поток событий называется потоком Пальма.
Если интенсивность потока событий не зависит от времени (t )
, то
такой поток называется стационарным. Если в потоке события происходят через равные интервалы времени, то он называется регулярным.
Стационарный поток Пуассона называется простейшим потоком. В экономическом моделировании в основном используют потоки Пуассона, в том
числе простейшие. Для них справедливы следующие теоремы:
1. Число событий, произошедших в потоке Пуассона, есть случайная величина, распределённая по закону Пуассона. Вероятность того, что в потоке
Пуассона с интенсивностью (t ) за интервал времени (t1; t2) произойдёт ровно k
событий, равна
ak
(6.1.1)
Pk
e a,
k!
t2
где a
(t )dt .
t1
Если поток простейший
Pk
, то
(t )
( (t 2 - t 1 )) k
k!
( t 2 t1 )
e
.
(6.1.2)
2. Интервал между событиями или время ожидания очередного события T
в потоке Пуассона есть случайная величина, распределенная по показательному
закону, т. е вероятность того, что следующее событие произойдет не ранее t,
равна
t
(t ) dt
P (T
t) e
0
P(T
t)
, t
0.
(6.1.3)
Если поток простейший, то
220
e
t
.
(6.1.4)
ПРИМЕР 6.1.1. Магазин посещают в среднем 20 покупателей за час.
Определить вероятность того, что: а) за 5 минут будет 2 покупателя; б) за 10
минут будет не менее 3 покупателей; в) за 3 минуты не будет ни одного покупателя.
РЕШЕНИЕ. Выбрав за единицу времени 1 минуту, интенсивность пуассоновского потока покупателей магазина
покупателя за минуту):
а) k = 2, t1 = 0, t2 = 5,
P (2 )
1
5
3
2!
1
(20 покупателей в час или 1/3
3
2
e
1
5
3
25
e
18
5
3
0, 26 ;
__
б) k 3, t1 = 0, t2 = 10, найдем вероятность события обратного события A ,
что будет менее 3 покупателей:
10 0 10
10 1 10
10 2 10
__
3 e 3
3 e 3
3 e 3 0,35 ;
P ( A ) P0 P1 P2
0!
1!
2!
__
0, 65 ;
P ( A ) 1 P ( A ) 1 0,35
в) по второй теореме t = 3, P (T
3) e
1
3
3
e
1
0,37 .
Случайный процесс с дискретным состоянием.
В моделировании вероятностных (стохастических) экономических систем
очень часто используют марковский СП. Рассмотрим СП с дискретным состоянием и непрерывным временем. Тогда все его состояния можно перечислить:
S1, S2, …, Sn.
Описать все возможные переходы между состояниями можно с помощью
графа состояний.
Граф состояний представляет собой графическое изображение, состоящее
из прямоугольников, называемых вершинами графа, и каждой вершине соответствует некоторое состояние СП Si. Вершины-состояния могут быть соединены между собой стрелками, которые называются ребрами графа. Стрелка с оединяет две вершины, если возможен непосредственный переход между данными состояниями.
Например, магазин может пребывать в следующих состояниях:
S1 — имеются клиенты, которые обслуживаются;
S2 — клиентов нет;
S3 — осуществляется прием товара;
S4 — учет товара, который происходит иногда после его приема.
Тогда работу магазина можно описать графом состояний (рис. 6.1.2).
221
Рис. 6.1.2
Для расчета основных характеристик системы необходимо знать вероятностные показатели при переходе между состояниями.
Рассмотрим два состояния Si и Sj. Интенсивностью переходного потока
ij называется среднее число переходов из состояния S i в состояние S j за единицу времени, которое система проводит в состояние Si. Если известно среднее
время Tij, которое система проводит в Si до того, как перейдет в Sj, то можно
записать ij 1 / Tij .
Интенсивности переходных потоков ij указываются на графе состояний
рядом с соответствующими стрелками. Главная задача в таких моделях состоит
в определении вероятностей состояний Pi , которые имеют смысл средней доли
времени, которое система проводит в этом состоянии.
Для нахождения вероятностей состояний составляется система уравнений:
n
n
Pi
Pj
ij
i 1
ij ,
(j
1,2,..., n ) .
(6.1.5)
i 1
Данную систему можно составлять по следующим правилам:
1. Число уравнений в системе равно числу состояний.
2. Каждое состояние Sj соответствует уравнению с номером j.
3. В левой части каждого уравнения находится сумма интенсивностей
ij (стоят над стрелками) для всех стрелок, входящих в состояние S j, умноженных на вероятности состояний, из которых выходят стрелки.
4. В правой части уравнений находится сумма интенсивностей, выходящих из Sj стрелок, эта сумма умножается на вероятность Pj.
Однако система уравнений (6.1.5) является вырожденной, и для нахождения единственного решения в этой системе одно любое уравнение нужно заменить на условие нормировки:
P1
P2
...
Pn
1.
ПРИМЕР 6.1.2. Автоматизированная сборочная линия предприятия в
среднем 1 раз в месяц выходит из строя и ремонтируется в среднем 3 дня. Кр оме того, в среднем 2 раза в месяц она проходит техническое обслуживание, которое длится в среднем 1 день. В среднем в одном случае из трех при техническом обслуживании обнаруживается неполадка и линия ремонтируется. Опр е222
делить, какую среднюю прибыль приносит линия за месяц, если за один день
безотказной работы прибыль равна 15 тыс. р. Один день технической обработки обходится в 20 тыс. р., а один день ремонта — 30 тыс. р.
РЕШЕНИЕ. Найдем вероятности состояний, равные долям времени работы, ремонта и технического обслуживания. Пусть:
S1 — линия работает,
S2 — техническое обслуживание,
S3 — ремонт.
Граф состояний приведен на рис. 6.1.3.
Рис. 6.1.3
Составляем систему уравнений (6.1.5). В состояние S1 входят 2 стрелки:
из S2 с интенсивностью 20 и из S3 с интенсивностью 10, поэтому левая часть
первого уравнения имеет вид: 20P2 10P3 . Из состояния S1 выходят две стрелки с интенсивностями 2 и 1, поэтому правая часть первого уравнения системы
примет вид: (2 1) P1 . Аналогично на основании состояний S2 и S3 составляем
второе и третье уравнения. В результате система будет иметь вид
20 P2
10 P3
2 P1
(20
P1
10 P2
(2 1) P1 ;
10 ) P2 ;
10 P3 .
Однако данная система является вырожденной, и для ее решения нужно
заменить одно любое (например, первое) уравнение условием нормировки:
P1 P2 P3 1. В результате получаем систему
2 P1
30 P2 ;
P1 10 P2
Выражаем
из
1-го
и
10 P3 ;
P1 P2 P3 1 .
2-го уравнений
Р1
и
Р3
через
Р2:
5
P2 , и, подставляя результат в 3-е уравнение, находим
2
30
2
5
P1
, P2
, P3
. Умножаем вероятности на 30 дней месяца и нахо37
37
37
дим, что в среднем в месяц линия работает 24,3 дня, техническое обслуживание
P1
15 P2 ; P3
223
— 1,6 дней, ремонт — 4,1 дня. Отсюда следует, что средняя прибыль будет
24,3 15–1,6 20–4,1 30=209,5 тыс. р.
ПРИМЕР 6.1.3. В туристическом агентстве работают продавец и менеджер. В среднем в агентство приходят 2 клиента за час. Если продавец свободен, он обслуживает клиента, если он занят, то клиента обслуживает менеджер,
если оба заняты — клиент уходит. Среднее время обслуживания продавцом 20
минут, менеджером — 30 минут. Каждый клиент приносит среднюю прибыль
100 рублей.
Определить среднюю прибыль агентства за 1 час и среднее число упущенных клиентов за час.
РЕШЕНИЕ. Определяем состояния системы:
S1 — продавец и менеджер свободны,
S2 — продавец занят, менеджер свободен,
S3 — продавец свободен, менеджер занят,
S4 — оба заняты.
Строим граф состояний (рис. 6.1.4).
Рис. 6.1.4
Составляем систему уравнений, заменяя 4-е уравнение условием нормировки:
2 P3
3 P2
2 P1 ;
2 P1
2 P4
5 P2 ;
3 P4
4 P3 ;
P1
P2
P3
P4
1.
Решая систему уравнений, находим
P1
0, 49 ; P2
0,25; P3
0,11; P4
0,15 .
Следовательно, продавец занимается обслуживанием P2 + P4 = 0,25 + 0,15
= 0,4, то есть 40 % времени. Если бы он обслуживал 100 % времени, то за час
обслужил бы 3-х клиентов, а реально – 3 0,4 = 1,2 – и приносит прибыль за 1
час 120 рублей. Менеджер работает P3 + P4 = 0,11 + 0,15 = 0,26, т. е. 26 % време224
ни и поэтому за час обслужит 2 0,26=0,52 клиента и приносит прибыль 52 рубля в час. Средняя прибыль за 1 час составит 172 рубля. Клиенты теряются в с остоянии S4. Так как P4 = 0,15, то в час теряется 15 % клиентов из 2-х возможных
или 0,3 клиента. Убытки составляют 30 рублей в час из-за потерянных клиентов.
Процессы гибели и размножения.
Во многих экономических системах, в которых функционирует СП, возникают ситуации, когда из любого (кроме первого и последнего) состояния Si
возможен переход только в соседние состояния Si+1 и Si–1. Такие процессы
называются процессами гибели и размножения, и они описываются графом состояний (рис. 6.1.5).
Рис. 6.1.5
Интенсивности
называются интенсивностями размножения,
i
а i — интенсивностями гибели. Для нахождения вероятности каждого состояния используются формулы:
1
P0
1
P1
0
1
0
0 1
0 1 2
1
1
1
2
P0 , P2
1
2
...
3
P1 , … , Pi
0 1 2 ...
1
2
i 1
3 ...
,
(6.1.6)
n 1
n
Pi 1 .
(6.1.7)
i
2
ПРИМЕР 6.1.4. В автохозяйстве 5 автомобилей. Каждый из них в среднем 4 раза в год ломается, и ремонт длится в среднем 1 месяц. Определить, какую долю времени все автомобили исправны и среднее число исправных автомобилей в произвольный момент времени.
РЕШЕНИЕ. Вводим состояния системы:
S0 — все автомобили сломаны;
S1 — 1 автомобиль исправен;
S2 — 2 автомобиля исправны;
S3 — 3 автомобиля исправны;
S4 — 4 автомобиля исправны;
S5 — 5 автомобилей исправны.
225
Построим граф состояний (рис. 6.1.6) и расставим переходные интенсивности.
Например, для перехода из S1 в S0 имеем ситуацию: исправен
1 автомобиль и он ломается. Это в среднем происходит 4 раза в год, т. е. интенсивность равна 4. Для перехода из S2 в S1: исправны 2 автомобиля, и каждый из
них ломается 4 раза в год, т. е. интенсивность равна 8. Остальные интенсивности гибели расставляются по аналогии.
Для перехода из S4 в S5 имеем ситуацию: неисправен 1 автомобиль и он
ремонтируется, это длится 1 месяц или 12 раз в год, т. е. интенсивность равна
12. Для перехода из S3 в S4 имеем ситуацию: неисправны 2 автомобиля и каждый из них может быть отремонтирован с интенсивностью 12, т. е. общая интенсивность равна 24. Остальные интенсивности размножения расставляются
по аналогии.
Рис. 6.1.6
Вычисляем по (6.1.6) и (6.1.7) вероятности состояний, равные средней
доли времени нахождения системы в этих состояниях:
P0
1
P1
60
4
60 48
4 8
60
P0
4
1
60 48 36 24
4 8 12 16
60 48 36
4 8 12
0, 015 ; P2
48
P1
8
0, 088
;
60 48 36 24 12
4 8 12 16 20
P3
36
P2
12
1 1024 ;
0, 26 ;
24
12
P3 0, 4 ; P5
P4 0,24 .
16
20
Все автомобили исправны в состоянии S5, средняя доля времени, когда
автомобили исправны, — 0,24. Среднее число исправных автомобилей находится как математическое ожидание:
P4
N
0 P0
1 P1
2 P2
3 P3
4 P4
5 P5
3,77 .
ПРИМЕР 6.1.5. Организация принимает заявки от населения на проведение ремонтных работ. Заявки принимаются по телефону, по двум линиям, и их
обслуживают два диспетчера. Если одна линия занята, заявка автоматически
переключается на вторую. Если обе линии заняты — заявка теряется. Среднее
число обслуживания одной заявки — 6 минут. В среднем одна заявка приносит
прибыль в 30 рублей. Какова прибыль за час? Целесообразно ли организовы-
226
вать третий канал с третьим диспетчером, если его обслуживание обойдётся в
150 рублей в час?
РЕШЕНИЕ. Рассмотрим сначала систему с двумя каналами.
Введем возможные состояния:
S0 — нет заявок (оба телефона свободны);
S1 — одна заявка обслуживается (один телефон занят);
S2 — две заявки обслуживаются (оба телефона заняты).
Граф состояний представлен на рис. 6.1.7.
Рис. 6.1.7
Применяя формулы (6.1.6) и (6.1.7) для расчета вероятностей состояний,
имеем
1
P0
0,12 ;
30 30 30
1
10 10 20
30
P1
0,12 0,36 ;
10
30
P2
0,36 0,54 .
20
В среднем, за час теряется 54 % заявок или 0,54 30 = 16,2 заявки. Обслуживается 13,8 заявок в час и средняя прибыль 13,8 30 = 414 р.
Рассмотрим ситуацию с тремя линиями. Граф состояний при этом представлен на рис. 6.1.8.
Рис. 6.1.8
Находим вероятности состояний:
P0
P1
30
0, 077
10
1
0, 077 ;
30 30 30 30 30 30
1
10 10 20 10 20 30
30
30
0,23 ; P2
0,23 0,35 ; P3
0,35
20
30
227
0,35 .
В среднем теряется 35 % заявок или 10,4 заявки в час. Обслуживается
19,6 заявок. Средняя прибыль — 588 рублей в час. Прибыль выросла на 174.
При затратах 150 рублей третий канал обслуживания вводить целесообразно.
Рассмотрим теперь решение подобных задач на ЭВМ.
ПРИМЕР 6.1.6. Центральный пульт управления лаборатории обрабатывает поступающие запросы с помощью супер-ЭВМ. Периодически, в среднем 5
раз в месяц, ЭВМ проходит тестирование, которое продолжается в среднем 1
день. В результате такого тестирования в среднем в 2-х случаях из пяти обнаруживаются проблемы, которые требуют перенастройки ЭВМ, которая длится в
среднем 1 день. Кроме того, в среднем 2 раза в месяц ЭВМ производит сбой и
требуется перенастройка. После перенастройки в 50 % случаев требуется р емонт, который длится в среднем 3 дня. Необходимо определить, сколько в
среднем дней в месяц ЭВМ работает, тестируется, перенастраивается и ремонтируется. Сколько нужно времени в среднем тратить на ремонт, чтобы ЭВМ в
рабочем состоянии в среднем находилась 70 % времени?
РЕШЕНИЕ. Введем состояния: S1 — ЭВМ работает; S2 — ЭВМ тестируется; S3 — ЭВМ перенастраивается; S4 — ЭВМ в ремонте. Построим граф состояний (рис. 6.1.9).
5
S1
12
2
15
S3
S2
18
15
10
S4
Рис. 6.1.9
Для этого находим интенсивности переходных вероятностей. Возьмем за
единицу времени один месяц. Тогда тестирование проводится по условию задачи 5 раз в месяц, поэтому указываем над стрелкой между 1-м и 2-м состоянием
интенсивность 5. Тестирование длится 1 день, то есть 30 раз в месяц. При этом
в 2-х случаях из 5-ти, то есть в 12-ти случаях из 30-ти обнаруживается неисправность и требуется перенастройка, а в 18-ти случаях соответственно производится возврат в рабочее состояние. По этой причине ставим над стрелкой
2 3 интенсивность 12, а над стрелкой 2 1 интенсивность 18. Перенастройка
длится также 1 день, то есть 30 раз в месяц, в половине случаев происходит выход в рабочее состояние, в половине – в ремонт. Поэтому над 3 1 и 3 4 ставим по 15. Ремонт длится 3 дня, это 10 раз в месяц, над 4 1 ставим 10.
Построим теперь матрицу переходных интенсивностей, которая полностью описывает граф состояний. Если из состояния с номером i в состояние с
номером j идет стрелка с интенсивностью ij , то в i-й строке и j-м столбце бу-
228
дет стоять эта интенсивность ij . Если между состояниями перехода нет, то в
соответствующей позиции матрицы стоит ноль. Для данной задачи матрица переходных интенсивностей имеет вид
0
18
15
10
5 2 0
0 12 0
0 0 15
0 0 0
Открываем электронную таблицу EXCEL. В ячейках А1 и Е1 делаем подписи «Матрица транспонированная» и «Столбец». В диапазон А2–D5 вводим
транспонированную матрицу переходных вероятностей, то есть первый столбец
вводится первой строкой, второй столбец – это вторая строка и т. д. В столбец
Е2–Е5, число ячеек которого равно размеру матрицы, всегда вводятся нули.
Также подготовим подписи для обратной матрицы и вывода результата
(рис. 6.1.10).
Рис. 6.1.10
На втором этапе необходимо в транспонированную матрицу на место
диагональных элементов ввести сумму всех остальных элементов данного
столбца со знаком «минус». Для этого в А2 вводим «= –СУММ(A3:A5)» (здесь
и далее кавычки не надо). В ячейку В3 вводим «=–B2–B4–B5», в С4 вводим «=–
C2–C3–C5», в D5 вводим «=–СУММ(D2:D4)». Полученная матрица будет
вырожденной и для получения единственного решения системы уравнений
нужно
одно любое уравнение заменить условием нормировки
P1 P2 ... Pn 1, которому будет соответствовать строка из единиц в расширенной матрице. Вводим во все ячейки диапазона А6–Е6 числа 1.
На третьем этапе находим обратную матрицу. Ставим курсор в ячейку F3
и вызываем мастер функций кнопкой fx , в категории «Математические» выбираем функцию МОБР. Ставим курсор в поле «Массив» и задаем ссылку на
расширенную матрицу, исключая первую строку и последний столбец, обводя
мышкой ячейки от A3 до D6, нажимаем «ОК». Обводим мышкой 4 строки и 4
столбца, то есть ячейки от F3 до I6, нажимаем F2, а затем одновременно
Ctrl+Shift+Enter. Находим результат решения задачи — вероятности состояний,
матрица которых есть результат перемножения обратной матрицы и столбца
229
свободных членов системы уравнений. Ставим курсор в K3, вызываем мастер
функций и в категории «Математические» выбираем функцию МУМНОЖ. В
поле «Массив 1» даем ссылку на диапазон ячеек от F3 до I6, обводя эти ячейки.
В
поле
«Массив 2» даем ссылку на диапазон ячеек от E3 до E6. Видим, что функция
выдает только одно значение: 0,66667. Для вывода всего массива обводим данную ячейку и три ниже – К3–К6, выделяя их, нажимаем F2 а затем одновременно Ctrl+Shift+Enter. В результате получаем вероятности состояний:
P1
0, 667 ; P2
0,111 ; P3
0, 089 ; P4
0,133 .
Умножив эти вероятности на 30 дней, можно рассчитать, сколько дней в
среднем в месяц система находится в каждом состоянии: ЭВМ работает
0,667 30 = 20 дней, ЭВМ тестируется 0,111 30 = 3,33 дня, ЭВМ перенастраивается 0,089 30 = 2,67 дней, ЭВМ в ремонте 0,133 30 = 4 дня.
Ответим теперь на второй вопрос: сколько нужно времени в среднем тратить на ремонт, чтобы ЭВМ в рабочем состоянии в среднем находилась 70 %
времени? Ставим курсор в любой свободной ячейке и выбираем пункт меню
«Сервис», а в нем подменю «Подбор параметра». В открывшемся окне в поле
«Установить в ячейке» даем ссылку на ячейку К3, соответствующую доли времени нахождения ЭВМ в рабочем состоянии. Затем вводим в поле «Значение»
число «0,7», а в поле «Изменяя значение ячейки» даем ссылку на D2 (ставим
курсор в данное поле и щелкаем мышкой по D2). Нажимаем «ОК» и видим в D2
результат 15,46, что означает, что ремонт должен продолжаться 30/15,46 = 1,94
дня.
ПРИМЕР 6.1.7. (Процессы гибели и размножения). В автохозяйстве 5 автомобилей. Каждый из них в среднем 4 раза в год ломается и ремонт длится в
среднем 1 месяц. Определить, какую долю времени i автомобили исправны
( i 0, 1, 2, 3, 4, 5 ) и среднее число исправных автомобилей в произвольный
момент времени.
РЕШЕНИЕ. Введем следующие состояния: S0 — все автомобили сломаны; S1 — один исправен; S2 — 2 исправны; S3 — 3 исправны; S4 — 4 исправны;
S5 — все автомобили исправны. Граф состояний будет иметь вид:
S0
60
4
S1
48
S2
8
36
12
S3
24
16
S4
12
S5
20
Переходим на новый лист Excel и вводим исходные данные в соответствии с рис. 6.1.11.
230
Рис. 6.1.11
Для расчета суммы в знаменателе формулы (6.1.6) выделим строку для
промежуточных вычислений. Вводим в А7 цифру 1, а в соседнюю В7 вводим
формулу «=A7*B2/B3». Автозаполняем результат на ячейки В7–F7. Для расчета
вероятности P0 по формуле (6.1.7) вводим в ячейку В5 формулу
«=1/СУММ(A7:F7)». Для расчета других вероятностей по формулам (6.1.6)
вводим в С5 формулу «=B5*B2/B3» и автозаполняем результат на ячейки С5–
G5. Полученные в ячейках В5–G5 числа и есть доли времени того, что i автомобилей исправны.
Для расчета среднего числа исправных автомобилей в произвольный момент времени ставим курсор в любую свободную ячейку и вводим формулу
«=0*B5+1*C5+2*D5+3*E5+4*F5+5*G5». Результат — 3,75. Задача решена.
6.2. Элементы теории массового обслуживания
Многие экономические организации и системы, получающие прибыль за
счет обслуживания клиентов, можно достаточно точно описать с помощью
совокупности математических методов и моделей, которые получили название
теории массового обслуживания (ТМО). Методы ТМО основаны на расчетах,
основанных на случайных процессах, в частности на процессах гибели и
размножения. Рассмотрим основные аспекты ТМО.
Классификация моделей массового обслуживания.
Системы массового обслуживания (СМО) — это такие системы, в
которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание,
при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в
распоряжении системы каналов обслуживания.
С позиции моделирования процесса массового обслуживания
ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание,
возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему,
требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших)
требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в
очереди с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения
процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания
приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в
блоке ожидания.
231
Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного
рода повторяется многократно в течение всего периода работы
обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на
обслуживание очередного требования после завершения обслуживания
предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты
времени.
Примерами систем массового обслуживания могут служить:
• магазины;
• банки;
• ремонтные мастерские;
• почтовые отделения;
• посты технического обслуживания автомобилей, посты ремонта автомобилей;
• персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или
требования на решение тех или иных задач;
• аудиторские фирмы;
• отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой
текущей отчетности предприятий;
• телефонные станции и т. д.
Основными компонентами системы массового обслуживания любого
вида являются:
входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
дисциплина очереди;
механизм обслуживания.
Раскроем содержание каждого из указанных выше компонентов.
Входной поток требований. Для описания входного потока требуется
задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов
поступления требований на обслуживание и указать количество таких
требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило,
оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления
требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые
требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае
обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.
Дисциплина очереди — это важный компонент системы массового
обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым
поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются
из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины
очереди, определяемые следующими правилами:
первым пришел — первый обслуживаешься;
пришел последним — обслуживаешься первым;
случайный отбор заявок;
232
отбор заявок по критерию приоритетности;
ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания
(имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что
ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).
Механизм обслуживания определяется характеристиками самой
процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К
характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность
процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в
результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического
описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием
«вероятностное распределение времени обслуживания требований».
Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера
самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей
обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать
вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого
ограниченного интервала времени.
Структура обслуживающей системы определяется количеством и
взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и
т. п.). Прежде всего, следует подчеркнуть, что система обслуживания может
иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода
способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае
все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги и, следовательно,
можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.
Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных
каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое
требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания
требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет
характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.
Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно
констатировать, что функциональные возможности любой системы массового
обслуживания определяются следующими основными факторами:
вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
количеством и производительностью обслуживающих каналов;
дисциплиной очереди;
мощностью источника требований.
233
В качестве основных критериев эффективности функционирования
систем массового обслуживания, в зависимости от характера решаемой
задачи, могут выступать:
вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;
вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;
относительная и абсолютная пропускная способность системы;
средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;
среднее время ожидания в очереди;
средняя длина очереди;
средний доход от функционирования системы в единицу времени и т.п.
Предметом теории массового обслуживания является установление
зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности
системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В
большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового
обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому
эти системы относятся к стохастическим системам.
Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового
обслуживания, различают два основных вида СМО:
системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь;
системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в
момент, когда все каналы обслуживания заняты, стано вится в очередь и
ждет, пока не освободится один из каналов.
Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на системы с
ограниченным ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.
В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться:
• длина очереди;
• время пребывания в очереди.
В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди, ждет
обслуживание неограниченно долго, т. е. пока не подойдет очередь.
Все системы массового обслуживания различают по числу каналов обслуживания:
• одноканальные системы;
• многоканальные системы.
Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще
всего системы массового обслуживания выступают в качестве смешанных
систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного
момента, после чего система начинает работать как система с отказами.
Определим характеристики основных систем массового обслуживания.
Одноканальная СМО с отказами. Простейшей одноканальной моделью с
вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является
234
модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей
интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между
поступлениями требований имеет вид
f1 (t )
e
t
,
где λ — интенсивность поступления заявок в систему (среднее число заявок,
поступающих в систему за единицу времени).
Плотность распределения длительностей обслуживания
f2 (t )
где
e
t
,
1
t об — интенсивность обслуживания, tоб — среднее время обслуживания одного клиента.
Пусть система работает с отказами. Можно определить абсолютную и
относительную пропускную способность системы.
Относительная пропускная способность равна доле обслуженных заявок
относительно всех поступающих и вычисляется по формуле q
. Эта
величина равна вероятности Р0 того, что канал обслуживания свободен.
Абсолютная пропускная способность (А) — среднее число заявок,
которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:
A
q
.
Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности
состояния «канал обслуживания занят»:
Р отк
1
.
Данная величина Ротк может быть интерпретирована как средняя доля
необслуженных заявок среди поданных.
ПРИМЕР 6.2.1. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет
собой один пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка —
автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, — получает отказ в
обслуживании. Интенсивность потока автомобилей λ = 1,0 (автомобиль в час).
Средняя продолжительность обслуживания — tоб = 1,8 часа.
Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:
- относительной пропускной способности q;
- абсолютной пропускной способности А;
- вероятности отказа Ротк.
235
Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной,
которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и
автомобили следовали один за другим без перерыва.
РЕШЕНИЕ. Определим интенсивность потока обслуживания:
1
1
0,555 .
t об 1, 8
Вычислим относительную пропускную способность:
0,555
q=
0,356 .
1 0,555
Величина q означает, что в установившемся режиме система будет
обслуживать примерно 35 % прибывающих на пост автомобилей.
Абсолютную пропускную способность определим по формуле
А = λ · q = 1 0,356 = 0,356.
Это означает, что система способна осуществить в среднем 0,356
обслуживания автомобилей в час.
Вероятность отказа: Ротк = 1 – q = 1 – 0,356 = 0,644.
Это означает, что около 65 % прибывших автомобилей на пост ЕО
получат отказ в обслуживании.
Определим номинальную пропускную способность системы:
1
1
0,555 (автомобилей в час).
Аном =
t об 1, 8
0,555
1,5 раза больше, чем фактическая
Оказывается, что Аном в
0,356
пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока
заявок и времени обслуживания.
Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью.
Рассмотрим теперь одноканальную СМО с ожиданием.
Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток
заявок на обслуживание имеет интенсивность λ. Интенсивность потока
обслуживания равна μ (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет
выдавать μ обслуженных заявок). Длительность обслуживания — случайная
величина, подчиненная показательному закону распределения. Заявка,
поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает
обслуживания.
Рассмотрим систему с ограниченной очередью. Предположим, что
независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей
системы, данная система (очередь плюс обслуживаемые клиенты) не может
вместить более N требований (заявок), из которых одна обслуживается, а (N –
1) ожидают. Клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в
другом месте, и такие заявки теряются. Наконец, источник, порождающий
236
заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую)
емкость.
Обозначим Pn — вероятность того, что в системе находится n заявок. Эта
величина вычисляется по формуле
1
n
,
1, n 0,1, 2,..., N ;
N 1
1
Pn
1
,
1.
N 1
Здесь
— приведенная интенсивность потока. Тогда вероятность
того, что канал обслуживания свободен и в системе нет ни одного клиента, рав1
на P0
.
N 1
1
С учетом этого можно обозначить
P0 n ,
1, n 0,1, 2,..., N ;
Pn
1
,
1.
N 1
Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N – 1):
вероятность отказа в обслуживании заявки
1
N
,
1;
N 1
1
Pотк = РN=
1
,
1;
( N 1)
относительная пропускная способность системы:
1
N
1
,
1;
N 1
1
q 1 Pотк
1
1
,
1;
( N 1)
абсолютная пропускная способность
А=q·λ;
среднее число находящихся в системе заявок:
N
1 N 1
N
N
N 1
1
1
Ls
n Pn
n 0
N ,
1;
2
среднее время пребывания заявки в системе
237
N 1
,
1;
Ls
;
1 PN
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:
Wq = Ws – 1/μ;
WS
среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди)
Lq = λ(1 – PN)Wq.
Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.
ПРИМЕР 6.2.2. Специализированный пост диагностики представляет
собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих
проведения диагностики, ограничено и равно 3, то есть (N — 1) = 3. Если все
стоянки заняты, т. е. в очереди уже находятся три автомобиля, то очередной
автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не
становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, имеет
интенсивность = 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля
распределено по показательному закону и в среднем равно t об = 1,05 ч.
Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики,
работающего в стационарном режиме.
РЕШЕНИЕ. Интенсивность потока обслуживаний автомобилей
1
1
0, 952 .
t об 1, 05
Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей λ и μ, т. е.
0, 85
0, 893 .
0, 952
Вычислим вероятности нахождения п заявок в системе:
1
1 0, 893
P0
0, 248 ;
N 1
1
1 0, 893 5
P1 = ·P0 = 0,893·0,248 = 0,221;
P2 = 2·P0 = 0,893 2·0,248 = 0,198;
P3 = 3·P0 = 0,893 3·0,248 = 0,177;
P4 = 4·P0 = 0,893 4·0,248 = 0,158.
Вероятность отказа в обслуживании автомобиля
Pотк = Р4 = 4·P0 ≈ 0,158.
Относительная пропускная способность поста диагностики
q = 1 – Pотк = 1 – 0,158 = 0,842.
Абсолютная пропускная способность поста диагностики
А = λ·q = 0,85·0,842 = 0,716 (автомобиля в час).
238
Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди
(т. е. в системе массового обслуживания)
LS
p 1
N 1 pN N pN
1 p 1 pN 1
0, 893 1 4 1 0, 893 4 4 0, 893 5
1 0, 893 1 0, 893 5
1
1,77 .
Среднее время пребывания автомобиля в системе
LS
1,77
2, 473 ч.
1 PN
0, 85 1 0,158
Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание
WS
Wq = Ws – 1/μ = 2,473 – 1/0,952 = 1,423 ч.
Среднее число заявок в очереди (длина очереди)
Lq = λ·(1–PN)·Wq = 0,85·(1–0,158)·1,423 = 1,02.
Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15,8
% случаев (Ротк = 0,158).
Одноканальная СМО с ожиданием и неограниченной очередью.
Перейдем теперь к рассмотрению одноканальной СМО с ожиданием без
ограничения на вместимость блока ожидания (т. е. Ν → ∞ ). Остальные
условия функционирования СМО остаются без изменений.
Устойчивое решение в такой системе существует только тогда, когда
λ < μ, то есть заявки должны обслуживаться с большей скоростью, чем поступают, в противном случае очередь может разрастись до бесконечности.
Вероятность того, что в системе находится п заявок, вычисляется по формуле
Pn = (1– ) n, n = 0, 1, 2, …, где = λ/μ < 1.
Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на
длину очереди, следующие:
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание
LS
n Pn
;
1
средняя продолжительность пребывания клиента в системе
LS
1
WS
;
1
среднее число клиентов в очереди на обслуживание
n 0
239
2
Lq = LS –
;
1
средняя продолжительность пребывания клиента в очереди
Lq
Wq =
.
1
ПРИМЕР 6.2.3. Вспомнив о ситуации, рассмотренной в примере 6.2.2,
где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый
пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена.
Требуется определить финальные значения следующих вероятностных
характеристик:
• вероятности состояний системы (поста диагностики);
• среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и
в очереди);
• среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе
(на обслуживании и в очереди);
• среднее число автомобилей в очереди на обслуживание;
• среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.
РЕШЕНИЕ. Параметр потока обслуживания
и приведенная
интенсивность потока автомобилей
определены в предыдущем примере:
μ = 0,952; = 0,893.
Вычислим предельные вероятности системы по формулам:
P0 = 1 – = 1 – 0,893 = 0,107;
P1 = (1– )· = (1 – 0,893)·0,893 = 0,096;
P2 = (1– )· 2 = (1 – 0,893)·0,8932 = 0,085;
P3 = (1 – )· 3 = (1 – 0,893)·0,8933 = 0,076;
P4 = (1 – )· 4 = (1 – 0,893)·0,8934 = 0,068;
P5 = (1 – )· 5 = (1 – 0,893)·0,8935 = 0,061 и т. д.
Следует отметить, что Р0 определяет долю времени, в течение которого
пост диагностики вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере
она составляет 10, 7 %, так как Р0 = 0,107.
Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и
0, 893
8,346 ед.
в очереди) L S
1
1 0, 893
Средняя продолжительность пребывания клиента в системе
LS
1
1
WS
9, 817 ч.
1
0, 952 1 0, 893
Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание
240
2
0, 893 2
7, 453 .
1
1 0, 893
Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди
0, 893
Wq
8,766 ч.
1
0, 952 1 0, 893
Относительная пропускаемая способность системы равна единице, так
как все поступившие заявки рано или поздно будут обслужены: q = 1.
Абсолютная пропускная способность A = λ·q = 0,85·1 = 0,85.
Следует отметить, что предприятие, осуществляющее диагностику
автомобилей, прежде всего интересует количество клиентов, которое посетит
пост диагностики при снятии ограничения на длину очереди.
Допустим, в первоначальном варианте количество мест для стоянки
прибывших автомобилей, как в предыдущем примере, было равно трем.
Частота m возникновения ситуаций, когда прибывающий на пост диагностики
автомобиль не имеет возможности присоединиться к очереди: m = λ·PN .
В нашем примере при N = 3 + 1 = 4 и = 0,893,
m = λ·P0· 4 = 0,85·0,248·0,8934 = 0,134 автомобиля в час.
При 12-часовом режиме работы поста диагностики это эквивалентно
тому, что пост диагностики в среднем за смену (день) будет терять 12·0,134 =
1,6 автомобиля.
Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить количество
обслуживающих клиентов в нашем примере в среднем на 1,6 автомобиля за
смену (12 ч. работы) поста диагностики. Ясно, что решение относительно
расширения площади для стоянки автомобилей, прибывающих на пост
диагностики, должно основываться на оценке экономического ущерба, который
обусловлен потерей клиентов при наличии всего трех мест для стоянки этих
автомобилей.
Lq
LS
Многоканальная СМО с отказами.
В подавляющем большинстве случаев на практике система массового
обслуживания является многоканальной, то есть параллельно могут
обслуживаться несколько заявок, и, следовательно, модели с обслуживающими
каналами (где число каналов обслуживания n > 1) представляют несомненный
интерес.
Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью,
характеризуется интенсивностью входного потока λ, при этом параллельно
может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя
продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/μ. Режим
функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим
функционирования других обслуживающих каналов системы, причем
длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной
241
величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная
цель использования параллельно включенных обслуживающих каналов
заключается в повышении (по сравнению с одноканальной системой) скорости
обслуживания требований за счет обслуживания одновременно n клиентов.
Стационарное решение системы имеет вид
k
Pk
P0
1
n
k
, k
k
n
k 0
где
k
k!
k!
0,1,..., n ;
P0 , k
k!
0,1,..., n ,
.
k!
Формулы для вычисления вероятностей называются формулами Эрланга.
Определим
вероятностные
характеристики
функционирования
многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме:
вероятность отказа
k 0
n
P0 ,
n!
так как заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все
каналы
заняты. Величина Ротк характеризует полноту обслуживания входящего потока;
вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же
— относительная пропускная способность системы), дополняет Ротк до
единицы:
Pотк
q
Pn
1 Pотк
1
n
n!
P0 ;
абсолютная пропускная способность
A
q
1 Pотк ;
среднее число каналов, занятых обслуживанием ( k ), следующее:
n
k
k Pk
1 Pотк .
k 1
Величина k характеризует степень загрузки СМО.
ПРИМЕР 6.2.4. Пусть n-канальная СМО представляет собой
вычислительный центр (ВЦ) с тремя (n = 3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для
решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет
интенсивность λ = 1 задача в час. Средняя продолжительность обслуживания tоб
= 1,8 ч.
Требуется вычислить значения:
вероятности числа занятых каналов ВЦ;
242
вероятности отказа в обслуживании заявки;
относительной пропускной способности ВЦ;
абсолютной пропускной способности ВЦ;
среднего числа занятых ПЭВМ на ВЦ.
Определите, сколько дополнительно надо приобрести ПЭВМ, чтобы
увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.
РЕШЕНИЕ. Определим параметр μ потока обслуживаний:
1
1
0,555 .
t об 1, 8
Приведенная интенсивность потока заявок
/
1 / 0,555 1,8 .
Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эрланга:
P1
P0
1!
1, 8 P0 ;
2
P2
2!
P0
1, 62 P0 ;
P0
0, 97 P0 ;
3
P3
P0
3!
1
3
k
1
1 1, 8 1, 62 0, 97
P1
k!
1, 8 0,186
P2
1, 62 0,186
0,186 ;
k 0
0,334 ;
0,301 ;
P3 0, 97 0,186 0,180 .
Вероятность отказа в обслуживании заявки Pотк P3 0,180 .
Относительная пропускная способность ВЦ:
q 1 Pотк 1 0,180 0, 820 .
Абсолютная пропускная способность ВЦ: A
q 1 0,820 0,820 .
Среднее число занятых каналов — ПЭВМ:
k
1 Pотк
1, 8 1 0,180 1, 476 .
Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем
будет занято 1,5 компьютера из трех — остальные полтора будут простаивать.
Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно считать удовлетворительной, так как
центр не обслуживает заявки в среднем в 18 % случаев (Р 3 = 0,180). Очевидно,
что пропускную способность ВЦ при данных λ и μ можно увеличить только за
счет увеличения числа ПЭВМ.
Определим, сколько нужно использовать ПЭВМ, чтобы сократить число
необслуженных заявок, поступающих на ВЦ, в 10 раз, т. е. чтобы вероятность
243
отказа в решении задач не превосходила 0,0180. Для этого используем формулу
n
вероятности отказа: Pотк
P0 .
n!
Составим следующую табл. 6.2.1.
Таблица 6.2.1
n
1
2
3
4
5
6
P0
Pотк
0,357
0,673
0,226
0,367
0,186
0,18
0,172
0,075
0,167
0,026
0,166
0,0078
Анализируя данные таблицы, следует отметить, что расширение числа
каналов ВЦ при данных значениях λ и μ до 6 единиц ПЭВМ позволит
обеспечить удовлетворение заявок на решение задач на 99,22 %, так как при n =
6 вероятность отказа в обслуживании (Ротк) составляет 0,0078.
Многоканальная СМО с ожиданием.
Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с
ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется
следующим: входной и выходной потоки имеют интенсивности λ и μ
соответственно, параллельно обслуживаться могут не более С клиентов, то есть
система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность
обслуживания одного клиента равна 1 .
Вероятности того, что в системе находятся п заявок (С обслуживаются,
остальные ожидают в очереди) равна
n
Pn
n!
P0 , 0 n
C;
n
Pn
C! C n
c
P0 , n
C,
1
где P0
C 1
n
n 0
n!
C
.
C! 1
C
Решение будет действительным, если выполняется следующее условие:
1.
C
Остальные вероятностные характеристики функционирования в
стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной
очередью определяется по следующим формулам:
244
среднее число клиентов в очереди на обслуживание
C
Lq
PC ;
2
C
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание
и в очереди)
LS = Lq + ;
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на
обслуживание) в очереди
Lq
;
Wq
средняя продолжительность пребывания клиента в системе
1
W S Wq
.
Рассмотрим примеры многоканальной системы массового обслуживания
с ожиданием.
ПРИМЕР 6.2.5. Механическая мастерская завода с тремя постами
(каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных
механизмов, прибывающих в мастерскую, — пуассоновский и имеет
интенсивность λ = 2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного
механизма распределено по показательному закону и равно tоб = 0,5 сут.
Предположим, что другой мастерской на заводе нет и, значит, очередь
механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.
Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных
характеристик системы:
вероятность состояний системы;
среднее число заявок в очереди на обслуживание;
среднее число находящихся в системе заявок;
среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;
среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.
РЕШЕНИЕ. Определим параметр потока обслуживаний:
1
1 / 0,5 2 .
t об
Приведенная интенсивность потока заявок ρ = λ/μ = 2,5/2,0 =1,25,
при этом λ/μ ·с = 2,5/2· 3 = 0,41 < 1.
Поскольку λ/μ·с < 1, то очередь не растет безгранично и в системе наступает
предельный стационарный режим работы.
Вычислим вероятности состояний системы:
245
1
C 1
n
n 0
n!
P0
C
C! 1
1
C
1
1
2
1!
2!
1
1
2
1
2
3! 1
3
1 1,25
6
1
1,25 2
2
3
3
0,279 ;
1,25 3
1,25
6 1
3
1
P1
1!
P0
1,25 0,279
0,349 ;
2
1,25 2
P2
P0
0,279 0,218 ;
2!
2!
3
1,25 3
P3
P0
0,279 0, 091 ;
3!
3!
4
1,25 4
P4
P0
0,279 0, 028 .
4!
4!
Вероятность отсутствия очереди у мастерской
Ротк ≈ Р0+Р1+Р2+Р3 ≈ 0,279+0,394+0,218+0,091 = 0,937.
Среднее число заявок в очереди на обслуживание
C
3 1,25
Lq
P
0, 091 0,111 .
C
2
3 1,25 2
C
Среднее число находящихся в системе заявок
Ls = Lq + = 0,111 + 1,25 = 1,361.
Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на
обслуживание
Wq
Lq
0,111
2,5
0, 444 суток.
Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в
системе)
1
1
WS Wq
0, 044
0,544 суток.
2
Рассмотрим примеры решения подобных задач на ЭВМ.
246
Одноканальная СМО с ограниченной очередью.
Предположим, что система массового обслуживания имеет один канал
обслуживания. Входящий поток заявок на обслуживание имеет интенсивность
λ. Интенсивность потока обслуживания равна μ (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать μ обслуженных заявок). Заявка, поступившая в
момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Рассмотрим систему с ограниченной очередью. Предположим, что независимо от
того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная
система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N требований (заявок), из которых одна обслуживается, а (N–1) ожидают, Клиенты, не
попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте, и такие заявки теряются. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет
неограниченную (бесконечно большую) емкость.
Обозначим Pk — вероятность того, что в системе находится k заявок. Эта
величина вычисляется по формуле
1
k
(6.2.1)
Pk
,
1, k 0,1, 2,..., N ,
N 1
1
где
.
ПРИМЕР 6.2.6. На станции техобслуживания в ГИБДД имеется одна
компьютерная станция диагностики, проверяющая в рамках технического
осмотра автомобилей их ходовые характеристики. В среднем за час на станцию
прибывает = 20 автомобилей. Среднее время обслуживания автомобиля 2 минуты. В случае если станция диагностики занята, имеется стоянка для ожидания, рассчитанная на 19 мест (плюс одно для обслуживания). Если все места
заняты, то вновь прибывающие автомобили не обслуживаются и заявки тер яются.
1. Определить вероятности Pk того, что в системе будут находиться k автомобилей (k = 0, 1, …, 20).
2. Проанализировать зависимость вероятности нахождения в системе k
автомобилей Pk от времени обслуживания автомобиля.
РЕШЕНИЕ. Открываем электронную книгу EXCEL. Ставим курсор в
ячейку А1 и вводим подпись: «Одноканальная СМО с ограниченной очередью». Входящий поток имеет интенсивность = 20. В ячейку А2 вводим подпись «лямбда=», а в соседнюю ячейку В2 вводим число 20. Так, как автомобили
обслуживаются 2 минуты, то за час в среднем будет обслужено = 30 автомобилей. Вводим в А3 подпись «Мю=», а в В3 число 30. Далее рассчитываем параметр
. Вводим в А4 подпись «Ро=», а в В4 формулу =B2/B3. Так как
система может содержать в себе максимум 20 автомобилей, то N = 20. Вводим в
А5 подпись «N=», а в В5 – число 20.
247
Рассчитаем теперь по формуле (6.2.1) зависимости вероятностей Pk того,
что в системе будет находиться k автомобилей от числа автомобилей k, которое
может принимать значения от 0 до 20. Для этого вводим в D2 подпись «k=», а в
Е2 подпись «Pk=». В ячейки D3–D23 вводим целые числа от 0, 1, 2 и так до 20.
В Е3 вводим формулу (6.2.1) в виде
«=(1–$B$4)/(1–СТЕПЕНЬ($B$4;$B$5+1))*СТЕПЕНЬ($B$4;D3) ».
Автозаполнением переносим формулу на ячейки Е3–Е23. Построим по
полученным данным график зависимости вероятности того, что в системе будет
k автомобилей. Для этого ставим курсор в любую свободную ячейку и вызываем мастер диаграмм, выбирая в меню «ВСТАВКА» пункт «ДИАГРАММА».
Выбираем тип диаграммы «График», нажимаем «Далее». Ставим курсор в поле
«Диапазон» и обводим мышкой ячейки от Е3 до Е23. Переходим на закладку
«Ряд», ставим курсор в поле «Подписи оси Х» и обводим ячейки от D3 до D23,
нажимаем «Далее». В поле «Ось Х (категорий)» вводим текст «Число автомобилей», в поле «Ось Y (значений)» вводим текст «Вероятность», нажимаем
«Готово». График построен.
Исследуем теперь зависимость вероятности нахождения в системе k автомобилей от времени обслуживания автомобиля, то есть от параметра .
Возьмем для определенности k = 5. Вводим в А6 подпись «К=», а в соседнюю
ячейку В6 вводим 5. Зададим разные значения параметра . Вводим в F2 подпись «Мю=», а в ячейки F3–F22 значения 21, 22, …, 40. Рассчитаем теперь параметр
. Вводим в G2 подпись «Ро=», а в ячейку G3 формулу =$B$2/F3.
Автозаполняем этой формулой ячейки от G3 до G22. Находим далее вероятность Pk по формуле (6.2.1). Вводим в ячейку Н2 подпись «Вероятность», а в
Н3 формулу
«=(1–G3)/(1–СТЕПЕНЬ(G3;$B$5+1))*СТЕПЕНЬ(G3;$B$6)».
Автозаполняем формулу на ячейки Н3–Н22. Построим по полученным
данным график. Для этого ставим курсор в любую свободную ячейку и вызываем мастер диаграмм, выбирая в меню «ВСТАВКА» пункт «ДИАГРАММА».
Выбираем тип диаграммы «График», нажимаем «Далее». Ставим курсор в поле
«Диапазон» и обводим мышкой ячейки от Н3 до Н22. Переходим на закладку
«Ряд», ставим курсор в поле «Подписи оси Х» и обводим ячейки от F3 до F22,
нажимаем «Далее». В поле «Ось Х (категорий)» вводим текст «Скорость обслуживания», в поле «Ось Y (значений)» вводим текст «Вероятность», нажимаем «Готово». График построен.
ПРИМЕР 6.2.7. Одноканальная СМО с неограниченной очередью.
Перейдем теперь к рассмотрению одноканальной СМО с ожиданием без
ограничения на вместимость блока ожидания (т. е. Ν → ∞ ). Остальные условия
функционирования СМО остаются без изменений.
248
Устойчивое решение в такой системе существует только тогда, когда λ<μ,
то есть заявки должны обслуживаться с большей скоростью, чем поступают, в
противном случае очередь может разрастись до бесконечности.
Вероятность того, что в системе находится k заявок, вычисляется по формуле
k
Pk = (1 – )
, k = 0, 1, 2, …
(6.2.2)
Предположим теперь, что в условиях примера 6.2.6 длина очереди на обслуживание автомобилей не ограничена. Определить вероятности Pk того, что в
системе будут находиться k автомобилей (k = 0, 1, …, 20).
Проанализировать зависимость вероятности нахождения в системе k автомобилей Pk от времени обслуживания автомобиля.
Перейдем на новый лист Excel, в ячейку А1 вводим подпись:
«Одноканальная СМО с неограниченной очередью», ячейки А2, А3, А4, А6, В2,
В3, В4, В6, D2–D23, E2, F2–F22, G2–G22, H2 заполнить так же, как и в примере
6.2.6. Для ввода формулы (5.5) в Е3 вводим формулу
«=(1–$B$4)*СТЕПЕНЬ($B$4;D3)», а в Н3 вводим формулу
«=(1–G3)*СТЕПЕНЬ(G3;$B$6)», автозаполняем результаты, строим по
полученным данным графики. Меняем параметр k и делаем вывод о его влиянии на вид графика.
ПРИМЕР 6.2.8. Многоканальная СМО с неограниченной очередью.
Рассмотрим ситуацию, когда в условиях примера 6.2.6 на станции техобслуживания открыли вторую компьютерную станцию диагностики. Такая ситуация будет описываться многоканальной (двухканальной) моделью СМО. Вероятности того, что в системе находятся k заявок (2 обслуживаются, остальные
ожидают в очереди), для случая наличия очереди равны
k
Pk
2
2
k 1
1
, k
2, 3,... .
(6.2.3)
2
Вводим в ячейку А1 «Ро=», а в соседнюю какое-либо значение этого параметра, который равен отношению скорости поступления заявок к скорости их
обслуживания, например введем = 0,8 (за время поступивших в среднем 8 заявок успевают обслужиться 10). В ячейку А2 введем «k», а в соседнюю В2 –
«Р(k)». В ячейки с В3 по В11 введем значения k: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Ставим
курсор в В3 и программируем в нее записанную выше формулу
«=СТЕПЕНЬ($B$1;A3)/СТЕПЕНЬ(2;A3–1)/(1+$B$1+$B$1*$B$1/(2–
$B$1))».
249
По полученным в ячейках А3–А11, В3–В11 строим график. Меняя значения параметра (ячейка В1), можно проанализировать эффективность работы
станции техобслуживания.
6.3. Задания для самостоятельного решения
Задание № 1. В среднем за минуту магазин посещает п посетителей.
Найти вероятности того, что за две минуты магазин посетят на менее k посетителей и вероятность того, что в течение как минимум T минут в магазине не будет ни одного посетителя, если поток посетителей считать пуассоновским (n, k,
T представлены в табл. 6.3.1).
Таблица 6.3.1
Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
2
3
4
5
4
3
2
3
4
5
k
3
4
5
6
7
6
5
4
3
4
T
1
2
1
2
3
2
1
3
2
1
Вариант 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n
4
5
4
3
2
3
4
2
5
3
k
3
6
5
4
5
6
5
7
5
6
T
4
3
1
2
3
1
4
2
3
2
Вариант 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
n
2
3
5
4
6
3
4
3
5
2
k
3
4
6
6
7
6
5
4
3
4
T
3
4
2
3
1
2
3
4
3
2
Задание № 2. Марковский случайный процесс представлен графом состояний (рис. 6.3.1).
а
S1
d
S2
b
S3
с
Рис. 6.3.1
250
Найти вероятности каждого состояния в стационарном режиме. Интенсивности пуассоновских потоков событий (a, b, c, d), переводящих систему из
одного состояния в другое, взять из табл. 6.3.2 в зависимости от варианта.
Таблица 6.3.2
Вариант 1
2
3
4
5 6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
a
5
5
6 3
4 1
5
3
8
5
7
5
3
2
8
b
4
9
1 6
2 1
3
2
7
3
2
8
2
6
7
c
3
4
8 7
5 1
5
7
6
6
8
3
8
4
9
d
6
6
7 3
3 8
7
6
8
7
2
6
6
6
2
Вариант 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
a
4
3
7 4
7 8
9
6
6
8
2
3
4
3
7
b
1
2
1 3
9 7
8
3
2
6
6
9
1
2
1
c
5
2
5 7
7 2
8
1
4
3
8
2
5
2
5
d
3
8
3 9
8 3
3
3
1
9
4
5
3
8
3
Задание № 3. Автозаправка имеет три заправочных колонки. Среднее
время заправки автомобиля — t минут. Среднее число автомобилей, желающих
заправиться — N в час. Если заправочные места заняты, автомобиль подъезжает к следующей заправке. Определить среднее число обслуженных автомобилей за час (t, N представлены в табл. 6.3.3).
Таблица 6.3.3
Вариант 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
6
5
4
3
2
4
t
4
N
10 15 20 15 10 25 30 20 30 15
Вариант 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
t
5
N
20 30 40 30 15 20 10 20 30 25
4
6
3
251
7
2
4
3
5
6
Вариант 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
t
4
N
60 60 30 45 20 30 40 15 20 30
3
5
4
6
5
3
4
5
6
Задание № 4. Найти финальные вероятности состояний для процесса гибели и размножения с непрерывным временем, если число его состояний
n(начиная с S0, заканчивая Sn-1), интенсивности потоков гибели и размножения
постоянны и равны соответственно и (см. табл 6.3.4).
Таблица 6.3.4
Вариант 1
n
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
7
8
9
6
9
8
7
6
5
4
8
7
6
7
4
6
5
3
4
7
8
9
5
4
3
6
5
4
3
6
5
3
4
7
8
4
5
6
7
8
4
6
5
5
7
Вариант 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
n
7
8
9
5
9
6
4
7
5
6
8
7
6
7
6
6
3
4
7
6
7
8
9
3
4
2
5
8
5
9
7
5
7
3
4
5
6
7
8
9
5
8
5
6
7
Задание № 5. В автохозяйстве имеются четыре автомобиля. Каждый автомобиль в среднем выходит из строя N раз в три месяца. Среднее время починки автомобиля — K дней (N, К даны в табл. 6.3.5). Прибыль автохозяйства
пропорциональна числу эксплуатируемых автомобилей и составляет 15 тыс. р.
в месяц на 1 автомобиль. Починка 1 автомобиля обходится в 10 тыс. р. в месяц.
Найти среднемесячный доход автохозяйства.
Таблица 6.3.5
Вариант 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
3
2
1
3
2
1
1
2
N
1
K
10 15 20 15 10 30 10 20 15 20
252
Вариант 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
N
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
K
20 30 10 30 15 20 10 20 30 15
Вариант 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
N
4
3
2
1
4
3
2
1
3
2
K
20 10 30 15 20 30 10 15 20 30
Задание № 6. В киоске одно торговое место. Средний поток покупателей
— человек в час. Среднее время обслуживания покупателя — Т минут ( , Т
даны в табл. 6.3.6). Если очередной подошедший покупатель обнаруживает, что
кто-то уже обслуживается, то он переходит к соседнему киоску. Время работы
киоска – 12 часов в день. Каждый покупатель в среднем приносит прибыль киоску 10 р. Определить среднюю ежедневную прибыль киоска. На сколько возрастет прибыль, если в киоске открыть второе торговое место?
Таблица 6.3.6
Вариант 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
50 40 30 20 60 10 20 30 40 60
Т
2
3
2
5
2
10 10
5
4
3
Вариант 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
50 90 30 40 50 45 30 20 40 35
Т
5
1
4
3
2
1
4
5
4
5
Вариант 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
50 60 30 40 45 50 20 10 30 40
Т
2
3
4
5
253
4
3
8
15
3
5
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В пособии изложены основные методические положения по построению
экономико-математических моделей в задачах оптимизации, принятия решений
и управления социально-экономическими системами.
Рассмотрены следующие темы и разделы:
1. Методы оптимизации, в том числе методы оптимального программирования, решение задач многокритериальной оптимизации, элементы теории
управления запасами, методы сетевой оптимизации и сетевое планирование и
управление.
2. Статистика и эконометрика, в том числе методы предварительной
обработки опытных данных, точечное и интервальное оценивание, проверка
статистических гипотез, парный и множественный регрессионный и корреляционный анализ, теория временных рядов.
3. Методы принятия управленческих решений, в том числе методы
принятия решений в условиях определенности, неопределенности, конфликта,
риска, а также методы экспертного оценивания.
4. Экономико-финансовые расчеты, в том числе операции с простыми и
сложными процентами, потоки платежей и ренты, кредитные расчеты и оценка
эффективности финансовых операций.
5. Случайные процессы и теория массового обслуживания.
Рассмотрено большое количество практических примеров и методик
решения задач с использованием современных информационных технологий.
Данный материал будет полезен при изучении курсов: "Математическое
программирование в менеджменте", "Теория статистики", "Исследование
операций при моделировании социально-экономических систем", "Экономикоматематические методы и модели".
Авторы понимают, что отбор тем для подобного учебного пособия еще
нельзя считать окончательно установившимся, поскольку не все методы и модели применительно к экономическим задачам рассмотрены в данном пособии.
Это дает основание для дальнейшего совершенствования учебнометодического материала в области экономико-математического моделирования и теории исследования операций в экономике.
254
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Глава 2
Основной
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Алферов, В.И. Основы научных исследований по управлению строительным производством: лабораторный практикум / В.И. Алферов, С.А. Баркалов, П.Н. Курочка, Т.В. Мещерякова, В.Л Порядина. — Воронеж: изд-во «Научная книга», 2011.
Баранников, Н.И. Управление проектами: учеб. пособие / Н.И. Баранников, С.А. Баркалов. В.Л. Порядина. П.И. Семенов, Б.А. Шиянов. — Воронеж: изд-во «Научная книга»,
2011.
Бережная, Е. В. Математические методы моделирования экономических систем : учеб.
пособие / Е. В. Бережная, В. И. Бережной. — М. : Финансы и статистика, 2009.
Исследование операций в экономике / под ред. Н. Ш. Кремера. — М. : ЮНИТИ-ДАНА,
2008.
Моисеев, С. И. Математические методы и модели в дипломных работах экономического
и управленческого профиля : учеб. пособие / С. И. Моисеев, И. П. Кондратьева,
Е. В. Родионов, В. Н. Уродовских. — Воронеж : АОНО ВПО «Институт менеджмента,
маркетинга и финансов», 2011.
Моисеев, С. И. Математические методы и модели в экономике / С. И. Моисеев,
А. В. Обуховский. — Воронеж: АОНО ВПО «ИММиФ», 2009.
Шелобаев, С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе /
С. И. Шелобаев. — М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2001.
Дополнительный
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Глухов, В. В. Математические методы и модели для менеджмента / В. В. Глухов. — СПб.:
Лань, 2005.
Красс, М. С. Математические методы и модели для магистрантов экономики /
М. С. Красс. — СПб. : Питер, 2006.
Кузнецов, Б. Т. Математические методы и модели исследования операций /
Б. Т. Кузнецов. — М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2005.
Лихачева, Т.Г. Компьютерный практикум: учебно-методическое пособие / Т.Г. Лихачева.
— Воронеж: ВИЭСУ, 2013.
Малыхин В. И. Математика в экономике / В. И. Малыхин. — М. : ИНФРА-М, 1999.
Орехов, Н. А. Математические методы и модели в экономике / Н. А. Орехов. — М. :
ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
Шикин, Е. В. Математические методы и модели в управлении / Е. В. Шикин. — М. : Дело
и Сервис, 2007.
Глава 3
Основной
1.
2.
3.
Баркалов, С.А. Статистика: Учебно-методический комплекс / Воронеж. гос. арх.-строит.
ун-т.; сост.: С.А. Баркалов, П.Н. Курочка, В.Б. Курносов — Воронеж: изд-во «Научная
книга», 2010.
Баркалов, С.А. Квалиметрия: учебник / С.А. Баркалов, В.Е. Белоусов. Н.В. Санина; Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т. — Воронеж: изд-во «Научная книга», 2013.
Баркалов, С.А. Теория и практика управления качеством в социально-экономических системах: Монография / С.А. Баркалов, В.Е. Белоусов, Л.Р. Маилян; под ред. В.Н. Буркова.
— Воронеж: изд-во «Научная книга», 2013.
255
Джонстон, Д. Эконометрические методы / Д. Джонстон. — М. : Статистика, 1980.
Доугерт, К. Введение в эконометрику / К. Доугерти. — М. : ИНФРА-М, 1997.
Елисеева, И. И. Общая теория статистики / И. И. Елисеева, М. М. Юзбашев .— 4-е изд.,
перераб. и доп. — М. : Финансы и статистика, 2001.
7. Кремер, Н. Ш. Эконометрика / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко. — М. : ЮНИТИ, 2008.
8. Моисеев, С. И. Математические методы и модели в дипломных работах экономического
и управленческого профиля : учеб. пособие / С. И. Моисеев, И. П. Кондратьева,
Е. В. Родионов, В. Н. Уродовских. — Воронеж : АОНО ВПО «Институт менеджмента,
маркетинга и финансов», 2011.
9. Практикум по эконометрике : учеб. пособие / И. И. Елисеева, С. В. Курышева [и др.]; под
ред. И. И. Елисеевой. — М. : Финансы и статистика, 2011.
10. Эконометрика : учебник / под ред. И. И. Елисеевой. — М. : Финансы и статистика, 2011.
4.
5.
6.
Дополнительный
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Андерсон, Т. Cтатистический анализ временных рядов / Т. Андерсон. — М. : Мир, 1976.
Бард, Й. Нелинейное оценивание параметров / Й. Бард. — М. : Статистика, 1979.
Бородич, С. А. Эконометрика / С. А. Бородич. — Серия : Экономическое образование,
2001.
Вапник, В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным / В. Н. Вапник. —
М. : Наука, 1979.
Демиденко, Е. З. Линейная и нелинейная регрессия / Е. З. Демиденко. — М. : Финансы и
статистика, 1981.
Джонстон, Дж. Эконометрические методы / Дж. Джонстон. — М. : Статистика, 1980.
Кейн, Э. Экономическая статистика и эконометрия. Введение в количественный экономический анализ / Э. Кейн. — М. : Статистика, 1977.
Кулинич, Е. И. Эконометрия / Е. И. Кулинич. — М. : Финансы и статистика, 1999.
Ланге, О. Введение в эконометрику / О. Ланге. — М. : Прогресс, 1964.
Лизер, С. Эконометрические методы и задачи / С. Лизер. — М. : Статистика, 1971.
Маленво, Э. Cтатистические методы эконометрии / Э. Маленво. — М. : Статистика, 1976.
Многомерный статистический анализ в экономике / под ред. В. Н. Тамашевича. — М. :
Юнити-Дана, 1999.
Себер, Дж. Линейный регрессионный анализ / Дж. Себер. — М. : Мир, 1980.
Четыркин, Е. М. Статистические методы прогнозирования / Е. М. Четыркин. — М. :
Статистика, 1997.
Глава 4
Основной
1.
2.
3.
4.
Алферов, В.И. Основы научных исследований по управлению строительным производством: лабораторный практикум / В.И. Алферов, С.А. Баркалов, П.Н. Курочка, Т.В. Мещерякова, В.Л Порядина. — Воронеж: изд-во «Научная книга», 2011.
Баранников, Н.И. Управление проектами: учеб. пособие / Н.И. Баранников, С.А. Баркалов. В.Л. Порядина. П.И. Семенов, Б.А. Шиянов. — Воронеж: изд-во «Научная книга»,
2011.
Баркалов, С.А. Квалиметрия: учебник / С.А. Баркалов, В.Е. Белоусов. Н.В. Санина; Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т. — Воронеж: изд-во «Научная книга», 2013.
Баркалов, С.А. Математические основы управления проектами: Учебн. пособие / С.А.
Баркалов, В.И. Воропаев, Г.И. Секлетова [и др.], под. ред. В.Н. Буркова. — М.: Высш.
шк., 2005.
256
Баркалов, С.А. Теория и практика управления качеством в социально-экономических системах: монография / С.А. Баркалов, В.Е. Белоусов, Л.Р. Маилян; под ред. В.Н. Буркова.
— Воронеж: изд-во «Научная книга», 2013.
6. Баркалов, С.А. Статистика: учебно-методический комплекс / сост.: С.А. Баркалов, П.Н.
Курочка, В.Б. Курносов; Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т. — Воронеж: изд-во «Научная
книга», 2010.
7. Бережная, Е. В. Математические методы моделирования экономических систем : учеб.
пособие / Е. В. Бережная, В. И. Бережной. — М. : Финансы и статистика, 2001.
8. Вентцель, Е. С. Исследование операций / Е. С. Вентцель. — М. : Сов. радио, 1972.
9. Исследование операций в экономике / под ред. Н. Ш. Кремера. — M. : ЮНИТИ, 2008.
10. Ларичев, О. И. Теория и методы принятия решений / О. И. Ларичев. — М.: Логос, 2002.
11. Малыхин, В. И. Математические методы принятия решений : учеб. пособие /
В. И. Малыхин, С. И. Моисеев. — Воронеж : ВФ МГЭИ, 2009.
12. Моисеев, С. И. Математические методы и модели в дипломных работах экономического
и управленческого профиля : учеб. пособие / С. И. Моисеев, И. П. Кондратьева,
Е. В. Родионов, В. Н. Уродовских. — Воронеж : АОНО ВПО «Институт менеджмента,
маркетинга и финансов», 2011.
5.
Дополнительный
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Андрейчиков, А. В. Анализ, синтез, планирование решений в экономике и бизнесе /
А. В. Андрейчиков, О. Н. Андрейчикова. — М. : Финансы и статистика, 2001.
Дубров, А. М. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе / А. М. Дубров,
Б. А. Лагоша, Е. Ю. Хрусталев. — М. : Финансы и статистика, 2001.
Ларичев,
О. И.
Качественные
методы
принятия
решений
/ О. И. Ларичев, Е. М. Мошкович. — М. : Физматлит, 1996.
Ларичев, О. И. Объективные модели и субъективные решения / О. И. Ларичев. — М. :
Наука, 1987.
Лихачева, Т.Г. Компьютерный практикум: учебно-методическое пособие / Т.Г. Лихачева.
— Воронеж: ВИЭСУ, 2013.
Математический инструментарий оказания эффективной поддержки хозяйствующим
субъектам региона / Ю.В. Бондаренко, В.Л. Порядина, А.Н. Чекомазов.
Системы управления и информационные технологии. 2015. Т. 59. № 1.
Модель управления устойчивостью предприятия / П.Н. Курочка, О.Н. Бекирова.
В сборнике: XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014 Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. 2014.
Оптимизация объемов работ в управлении проектами / С.А. Баркалов, В.Л. Порядина,
Д.Н. Золоторев. Экономика и менеджмент систем управления. 2014. Т. 12. № 2.
Райфа, Г. Анализ решений / Г. Райфа. — М. : Наука, 1977.
Саати, Т. Аналитическое планирование. Организация систем / Т. Саати, К. Керис. —
М. : Радио и связь, 1991.
Система управления и методы интегрированного менеджмента стабильного функционирования строительной организации / С.А. Баркалов, В.П. Морозов, А.И. Сырин, А.В. Никитенко. Экономика и менеджмент систем управления. 2012. Т. 6. № 4.
Терехина, А. Ю. Анализ данных методами многомерного шкалирования /
А. Ю. Терехина. — М. : Наука, 1986.
Управление риском / В. Л. Владимиров, Ю. Л. Воробьев, С. С. Салов и др. — М. :
Наука, 2000.
Шикин, Е. В. Математические методы и модели в управлении / Е. В. Шикин,
А. Г. Чхартишвилли. — М. : ДЕЛО, 2002.
257
Глава 5
Основной
Анализ модели расчета производственной программы по различным экономическим
критериям / В.Л. Порядина. Научный вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Управление строительством. 2015. № 2 (7).
2. Баркалов, С.А. Квалиметрия: учебник / С.А. Баркалов, В.Е. Белоусов. Н.В. Санина; Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т. — Воронеж: изд-во «Научная книга», 2013.
3. Баркалов, С.А. Математические основы управления проектами: Учебн. пособие / С.А.
Баркалов, В.И. Воропаев, Г.И. Секлетова [и др.]; под. ред. В.Н. Буркова. — М.: Высш.
шк., 2005.
4. Баркалов, С.А. Теория и практика управления качеством в социально-экономических системах: Монография / С.А. Баркалов, В.Е. Белоусов, Л.Р. Маилян; под ред. В.Н. Буркова.
— Воронеж: Издательство «Научная книга», 2013.
5. Лукасевич, И. Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений /
Я. И. Лукасевич. — М. : ЮНИТИ, 1998.
6. Лукасевич, И. Я. Инвестиции / И. Я. Лукасевич. — М. : Финансы, ЮНИТИ, 2007.
7. Малыхин, В. И. Финансовая математика и модели налогообложения в упражнениях и
задачах : учеб. пособие для вузов / В. И. Малыхин, С. И. Моисеев, В. А. Родин. — Воронеж : АОНО ВПО «ИММиФ», 2008.
8. Моисеев, С. И. Математические методы и модели в дипломных работах экономического
и управленческого профиля : учеб. пособие / С. И. Моисеев, И. П. Кондратьева,
Е. В. Родионов, В. Н. Уродовских. — Воронеж : АОНО ВПО «Институт менеджмента,
маркетинга и финансов», 2011.
9. Уотшем, Т. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах : пер. с англ. /
Т. Дж. Уотшем, К. Паррамоу; под ред. М. Р. Ефимовой. — М. : ЮНИТИ, 1999.
10. Финансовая математика: Математическое моделирование финансовых оп ераций : учеб.
пособие / под ред. В. А. Половникова и А. И. Пилипенко. — М. : Вузовский учебник,
2004.
11. Шарп У. Ф. Инвестиции / У. Ф. Шарп, Г. Д. Александер, Д. В. Бейли. — М. : Инфра,
2006.
1.
Дополнительный
1. Алферов, В.И. Основы научных исследований по управлению строительным производством: лабораторный практикум / В.И. Алферов, С.А. Баркалов, П.Н. Курочка, Т.В. Мещерякова, В.Л Порядина. — Воронеж: изд-во «Научная книга», 2011.
2. Бригхэм, Ю. Ф. Финансовый менеджмент. / Ю. Ф. Бригхем, М. С. Эрхардт. — 10-е изд. —
СПб. : Питер, 2007.
3. Гобарева, Я. Л. Технология экономических расчетов средствами MS Excel : учеб. пособие
/ Я. Л. Гобарева, О. Ю. Городецкая, А. В. Золотарюк. — М. : КНОРУС, 2006.
4. Лихачева, Т.Г. Компьютерный практикум: учебно-методическое пособие / Т.Г. Лихачева.
— Воронеж: ВИЭСУ, 2013.
5. Малыхин, В. И. Финансовая математика : учеб. пособие для вузов / В. И. Малыхин. — М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2000.
6. Четыркин, Е. М. Финансовая математика : учебник / Е. М. Четыркин. — М. : Дело, 2001.
7. Лукашин, Ю. П. Финансовая математика / Ю. П. Лукашин. — М. : МЭСИ, 2000.
8. Мелкумов, Я. С. Финансовые вычисления. Теория и практика : учеб.-справ. пособие /
Я. С. Мелкумов. — М. : ИНФРА-М, 2007.
258
Глава 6
Основной
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Алферов, В.И. Основы научных исследований по управлению строительным производством: лабораторный практикум / В.И. Алферов, С.А. Баркалов, П.Н. Курочка, Т.В. Мещерякова, В.Л Порядина. — Воронеж: изд-во «Научная книга», 2011.
Баркалов, С.А. Математические основы управления проектами: Учебн. пособие / С.А.
Баркалов, В.И. Воропаев, Г.И. Секлетова; под. ред. В.Н. Буркова. — М.: Высш. шк.,
2005.
Баркалов, С.А. Теория и практика управления качеством в социально-экономических системах: Монография / С.А. Баркалов, В.Е. Белоусов, Л.Р. Маилян; под ред. В.Н. Буркова.
— Воронеж: изд-во «Научная книга», 2013.
Бережная, Е. В. Математические методы моделирования экономических систем : учеб.
пособие / Е. В. Бережная, В. И. Бережной. — М. : Финансы и статистика, 2001.
Вентцель, Е. С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения /
Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. — М. : Наука, 1998.
Моисеев, С. И., Математические методы и модели в экономике / С. И. Моисеев,
А. В. Обуховский.
—
Воронеж
:
АОНО
ВПО
«ИММиФ», 2009.
Моисеев, С. И. Математические методы и модели в дипломных работах экономического
и управленческого профиля : учеб. пособие / С. И. Моисеев, И. П. Кондратьева,
Е. В. Родионов, В. Н. Уродовских. — Воронеж : АОНО ВПО «Институт менеджмента,
маркетинга и финансов», 2011.
Дополнительный
1.
2.
3.
4.
Афанасьев, М. Ю. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения : учеб.
пособие / М. Ю. Афанасьев, Б. П. Суворов. — М. : ИНФРА-М, 2003.
Вентцель, Е. С. Теория вероятностей / Е. С. Вентцель. — М. : ACADEMIA, 2003.
Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Е. Гмурман. —
М.: Высш. шк., 2008.
Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н. Ш. Кремер. — М. :
Юнити-Дана, 2010.
259
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица П.1
Порядковые номера дней в невисокосном году
Месяц
День
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Янв.
Февр.
Март
Апр.
Май
Июнь
Июль
Август
Сент.
Окт.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
217
219
220
221
222
223
224
213
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
260
Ноябрь Дек.
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
Таблица П.2
Форматы и назначение финансовых функций EXCEL,
используемых для решения следующих задач:
- определение наращенной суммы (будущей стоимости);
- определение начального значения (текущей стоимости);
- определение срока платежа и процентной ставки;
- расчет периодических платежей, связанных с погашением займов.
Формат
Назначение
БЗРАСПИС (первичное;
план)
Рассчитывает будущее значение инвестиции после
начисления сложных процентов при переменной процентной ставке
БС(ставка; кпер; плт; пс;
Вычисляет будущую стоимость инвестиции (вклада) на
тип*)
основе периодических, равных по величине сумм платежей и постоянной процентной ставки
ВСД(значения; предполоВычисляет внутреннюю ставку доходности для потоков
жение)
денежных средств, представленных их численными, не
обязательно равными по величине значениями (доходы —
с плюсом, расходы — с минусом), осуществляемые в последовательные и одинаковые по продолжительности периоды
КПЕР(ставка; плт; пс; бс;
Вычисляет общее количество периодов выплаты для
тип)
инвестиции на основе периодических постоянных выплат
и постоянной процентной ставки
МВСД(значения; ставВозвращает модифицированную внутреннюю ставку
ка_финанс; ставка_реинвест) доходности для ряда периодических денежных потоков (с
учетом затрат на привлечение инвестиции и процентов,
получаемых от реинвестирования денежных средств)
НОМИНАЛ (эффективная_ставка; кол_пер)
Вычисляет номинальную годовую процентную ставку по
эффективной ставке и количеству периодов в году, за которые начисляются сложные проценты
ОБЩДОХОД(ставка;
кол_пер; нз; нач_период;
кон_период; тип)
ОБЩПЛАТ(ставка;
кол_пер; нз; начпериод;
кон_период; тип)
ОСПЛТ(ставка; период;
кпер; пс; бс; тип)
Возвращает кумулятивную (нарастающим итогом) сумму основных выплат по займу между двумя периодами
ПЛТ(ставка; кпер; пс; бс;
тип)
Вычисляет сумму периодического платежа для аннуитета на основе постоянства сумм платежей и постоянства
процентной ставки
Возвращает кумулятивную (нарастающим итогом) величину процентов в промежутке между двумя периодами
выплат
Возвращает величину платежа в погашение основной
суммы по инвестиции за данный период на основе постоянства периодических платежей и постоянства процентной ставки
261
Формат
ПРОЦПЛАТ(ставка; период; кпер; пс)
ПРПЛТ(ставка; период;
кпер; пс; бс; тип)
Назначение
Вычисляет проценты, выплачиваемые за определенный
инвестиционный период
Возвращает сумму платежей процентов по инвестиции
за данный период на основе постоянства сумм периодических платежей и постоянства процентной ставки
ПС(ставка; кпер; плт; бс;
тип)
Рассчитывает приведенную к текущему моменту стоимость инвестиции, которая на настоящий момент равноценна ряду будущих выплат
СТАВКА(кпер; плт; пс; бс;
тип; предположение)
ЧИСТВНДОХ (значения;
даты; предположение)
ЧИСТНЗ(ставка; значения;
даты)
ЧПС(ставка; значения)
Определяет процентную ставку по аннуитету за один
период, используя итерационный метод
Вычисляет внутреннюю ставку доходности для графика
нерегулярных денежных потоков переменной величины
Возвращает чистую приведенную стоимость нерегулярных переменных денежных потоков
Возвращает величину чистой приведенной стоимости
инвестиции, используя ставку дисконтирования, а также
стоимости будущих периодических выплат (отрицательные значения) и поступлений (положительные значения)
в конце периода
ЭФФЕКТ (номинальВычисляет эффективную (фактическую) годовую проная_ставка; кол_пер)
центную ставку по номинальной ставке и количеству периодов в году, за которые начисляются сложные проценты
* Курсивом выделены необязательные параметры функций.
Таблица П.3
Аргументы финансовых функций Excel
анализа инвестиций
Аргумент
Даты(дата1 ,...датаN)
Значения(сумма1
,...суммаN)
Назначение аргумента
Расписание дат платежей, соответствующее ряду денежных потоков
Ряд денежных потоков — выплат и поступлений (соответственно — отрицательные значения и положительные
значения), соответствующий графику платежей
Кол_пер
Кон_период
Общее количество периодов выплат
Номер последнего периода, включенного в вычисления
Кпер
Общее число периодов платежей по аннуитету
(функция КПЕР)
Нач_период
Номинальная_ставка
Номер первого периода, включенного в вычисления
Номинальная годовая процентная ставка
(функция Номинал)
262
Аргумент
Первичное(нз, инвестиция)
Аргумент
Первый_период
Период
План
Плт
Предположение
Пс
Ставка
Ставка_реинвест
Ставка_финанс
Тип
Эффективная_ставка
Назначение аргумента
Стоимость инвестиции на текущий момент
Назначение аргумента
Дата окончания первого периода
Период, для которого определяется прибыль (выплата);
находится в интервале от 1 до Кпер
Массив применяемых процентных ставок
Фиксированная выплата, производимая в каждый период
(функция ПЛТ)
Прогнозная величина процентной ставки
(по умолчанию — 0,1%)
Приведенная к настоящему моменту стоимость инвестиции, начальное значение вклада (функция ПС)
Процентная ставка за период (функция Ставка)
Ставка процента, получаемого на денежные потоки при
их реинвестировании
Ставка процента, выплачиваемого за деньги, используемые в денежных потоках
Коэффициент, определяющий время выплаты:
0 — в конце периода (по умолчанию),
1 — в начале периода
Фактическая годовая процентная ставка
(функция Эффект)
263
Учебное издание
Баркалов Сергей Алексеевич
Моисеев Сергей Игоревич
Порядина Вера Леонидовна
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
В УПРАВЛЕНИИ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В MS EXCEL
Учебное пособие
для студентов специальностей:
080200 «Менеджмент»,
081100 «Государственное и муниципальное управление»,
220100 «Системный анализ и управление»
Отпечатано в авторской редакции
Подписано в печать 31.03. 2015. Формат 60х84 1/16. Уч.-изд. л. 16,5. Усл.-печ. л. 16,6.
Бумага писчая. Тираж 100 экз. Заказ № 158.
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства учебной литературы
и учебно-методических пособий Воронежского ГАСУ
394006 Воронеж ул. 20-летия Октября, 84
264
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
284
Размер файла
5 415 Кб
Теги
баркалова, метод, математические, 703, управления, модель
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа