close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

728.Терновская О.В. Начертательная геометрия

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ
для студентов бакалавриата очной формы обучения
направления «СТРОИТЕЛЬСТВО», профили:
«Теплогазоснабжение и вентиляция», «Водоснабжение и водоотведение»,
«Производство строительных материалов, изделий и конструкций»
Воронеж 2015
УДК 744 (07)
ББК 30.11 я 73
Т353
Рецензенты:
кафедра прикладной математики и инженерной графики
Воронежского института ГПС МЧС России;
А.В. Кузовкин, д. т. н., проф., заведующий кафедрой графики, конструирования
и информационных технологий в промышленном дизайне
Воронежского государственного технического университета
Т353
Терновская, О.В.
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ : тексты лекций / О.В. Терновская;
Воронежский ГАСУ. – Воронеж, 2015. – 128 с.
ISBN 978-5-89040-565-4
Изложены основы теоретического курса начертательной геометрии, даны основные понятия, определения. Пособие содержит материал по темам: методы
проецирования, точка, прямая, плоскость, способы преобразований, кривые линии и поверхности, сечение тела плоскостью и прямой, пересечение поверхностей и аксонометрические проекции.
Предназначены для студентов бакалавриата очной формы обучения направления «Строительство», профили: «Теплогазоснабжение и вентиляция», «Водоснабжение и водоотведение», «Производство строительных материалов, изд елий и конструкций».
Ил. 122. Табл. 2. Библиогр.: 6 назв.
УДК 744 (07)
ББК 30.11 я 73
Печатается по решению учебно-методического совета
Воронежского ГАСУ
© Терновская О.В., 2015
© Воронежский ГАСУ, 2015
ISBN 978-5-89040-565-4
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………….......
ЛЕКЦИЯ №1. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ………………………………….
1.1. Центральное проецирование………………………………………...
1.2. Параллельное проецирование………………………………………..
1.3. Ортогональное проецирование на одну плоскость проекций……..
1.4. Ортогональное проецирование на две плоскости проекций………
1.5. Ортогональное проецирование на три плоскости проекций………
1.6. Частные положения точки…………………………………………...
Вопросы для самоконтроля……………………………………………….
ЛЕКЦИЯ №2. ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ ЛИНИИ……………………………...
2.1. Проецирование прямой линии……………………………………….
2.2. Прямые общего и частного положения……………………………..
2.2.1. Прямые параллельные плоскостям проекций…………………….
2.2.2. Прямые перпендикулярные плоскостям проекций………………
2.3. Определение натуральной величины прямой………………………
2.4. Следы прямой…………………………………………………………
2.5. Прямая и точка………………………………………………………..
2.6. Взаимное положение прямых………………………………………..
Вопросы для самоконтроля……………………………………………….
ЛЕКЦИЯ №3. ПЛОСКОСТЬ…………………………………………………..
3.1. Способы задания плоскостей………………………………………...
3.2. Плоскости общего и частного положения…………………………..
3.3. Позиционные задачи………………………………………………….
3.3.1. Задачи на принадлежность…………………………………………
3.3.2. Задачи на пересечение……………………………………………...
3.3.3. Задачи на взаимное положение……………………………………
Вопросы для самоконтроля……………………………………………….
ЛЕКЦИЯ №4. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ……………..
4.1. Метод замены плоскостей проекций………………………………..
4.2. Метод вращения вокруг проецирующих осей……………………...
4.3. Метод плоскопараллельного перемещения………………………...
Вопросы для самоконтроля……………………………………………….
ЛЕКЦИЯ №5. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ……………………..
5.1. Общие понятия об аксонометрических проекциях……….………..
5.2. Виды аксонометрических проекций………………………………...
5.3. Прямоугольная изометрия…………………………………………...
5.4. Прямоугольная диметрия…………………………………………….
5.5. Косоугольная диметрия………………………………………………
5.6. Примеры построения аксонометрических проекций………………
5.7. Нанесение размеров и условности в аксонометрии………………..
Вопросы для самоконтроля……………………………………………….
3
6
6
7
7
8
9
12
14
14
14
14
16
17
18
19
20
20
23
24
24
25
27
28
33
38
38
39
39
44
46
48
49
49
51
54
57
62
63
66
67
ЛЕКЦИЯ №6. КРИВЫЕ ЛИНИИ. ПОВЕРХНОСТИ И ТЕЛА………………
6.1. Кривые линии…………………………………………………………
6.2. Геометрические тела и поверхности………………………………...
6.2.1. Многогранники……………………………………………………..
6.2.2. Кривые поверхности………………………………………………..
Вопросы для самоконтроля……………………………………………….
ЛЕКЦИЯ №7. СЕЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ ПЛОСКОСТЯМИ….
7.1. Понятия о сечениях геометрических тел……………………………
7.2. Сечение призмы проецирующей плоскостью………………………
7.3. Сечение цилиндра проецирующей плоскостью……………………
7.4. Сечение пирамиды проецирующей плоскостью…………………...
7.5. Сечение конуса проецирующей плоскостью……………………….
7.6. Сечение сферы проецирующей плоскостью………………………..
7.7. Сечение геометрических тел плоскостью общего положения…….
7.8. Пересечение поверхности прямой линией………………………….
7.9. Касательные плоскости к поверхности…………………………......
Вопросы для самоконтроля……………………………………………….
ЛЕКЦИЯ №8. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ…………..
8.1. Основные методики построения линий пересечения………………
8.2. Пересечение поверхностей многогранников……………………….
8.3. Пересечение криволинейных поверхностей………………………..
8.4. Пересечение многогранника с кривой поверхностью……………...
8.5. Пересечение криволинейных поверхностей оси, которых
пересекаются………………………………………………………….
Вопросы для самоконтроля……………………………………………….
ЛЕКЦИЯ №9. РАЗВЕРТКИ БОКОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ…………………………….………
9.1. Понятие о развертках геометрических тел………………………….
9.2. Развертки многогранников…………………………………………..
9.3. Развертки кривых поверхностей…………………………………….
9.4. Развертки неразвертываемых поверхностей………………………..
Вопросы для самоконтроля……………………………………………….
ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………………………………
4
68
68
72
72
74
84
85
85
86
87
88
89
93
94
96
99
101
102
102
106
110
114
114
117
118
118
118
122
123
126
126
127
ВВЕДЕНИЕ
Предметом начертательной геометрии является теоретическое обоснование и изложение методов построения пространственных форм на плоскости и
способов решения задач геометрического характера по заданным изображениям
этих форм. Правила построения изображений основаны на методе проекций.
Поэтому проекционный метод построения изображений является основным методом начертательной геометрии. Изучение курса начертательной геометрии
всегда связано с определенными трудностями, обусловленными своеобразием
предмета, сложностью геометрических преобразований, а также отсутствием у
многих студентов опыта пространственного представления и воображения.
Последнее обстоятельство предопределяет оторванность проекционного
чертежа от реального пространства и геометрического объекта в этом пространстве, что затрудняет восприятие предмета. Поэтому изучение начертательной геометрии ставит целью:
- знать методы изображения пространственных форм на плоскости, т.е.
научить выполнять технический чертёж;
- развить способность по представленным проекциям мысленного воспроизведения объекта в пространстве, т.е. научить читать чертёж;
- освоить методы графического решения задач, связанных с пространственными формами.
В настоящих лекциях в сокращенном объеме представлен курс начертательной геометрии.
Учебное издание содержит большое количество пространственных чертежей, что позволяет использовать его для самостоятельной работы студентов
при изучении дисциплины «Инженерная графика» раздел «Начертательная
геометрия» и выполнении графических работ.
5
ЛЕКЦИЯ № 1
ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ
Образование проекций. Методы и виды проецирования.
Виды проекций и их свойства.
Комплексный чертеж. Понятие об эпюре Монжа.
Проецирование точки.
Расположение проекций точки на комплексных чертежах.
Понятие о координатах точки.
Для отображения геометрической фигуры на чертеже применяют опер ацию проецирования. Она заключается в том, что через точку пространства проводят проецирующую прямую до пересечения с плоскостью проекций. Точку
пересечения проецирующей прямой с плоскостью проекций называют проекцией данной точки на данную плоскость проекций.
Различают следующие методы проецирования: центральное, параллельное (косоугольное и ортогональное), перспективное, аксонометрическое и др.
Центральное и перспективное проецирование нашло широкое применение в архитектуре и строительстве, ортогональное (прямоугольное) и аксонометрич еское – в машино- и приборостроении. Чертежи, построенные по методу проецирования, называются проекционными.
1.1. Центральное проецирование
Механизм отображения объектов на плоскости по методу центрального
проецирования показан на рис. 1.1. В качестве аппарата центрального проецирования используются: П1 – плоскость проекций; A,B,C – геометрические объекты; SA, SB, SC – проецирующие прямые; S – центр проекций; A1, B1, C1 - центральные проекции точек A, B, C на плоскость проекций П1.
Центральное проецирование заключается в проведении через объекты
проецирующих прямых, исходящих из одного центра проекций S, до пересечения с плоскостью проекций. Основными свойствами центрального проецирования являются:
1. Каждой точке пространства соответствует одна единственная проекция.
2. Каждой проекции соответствует множество точек пространства, располагаемых на проецирующей прямой.
3. Проекцией прямой, совпадающей с проецирующей прямой, является
точка.
Следствием второго свойства является то, что по одной проекции точки
невозможно однозначно указать положение точки в пространстве. Для этого
требуется иметь две проекции точки, полученные двумя проецирующими прямыми, проведенными из разных центров проекций.
6
Рис. 1.1. Центральное проецирование
1.2. Параллельное проецирование
Параллельное проецирование осуществляется не из центра проекций, а
параллельно направлению проецирования S (рис. 1.2). В этом случае проекции
точек называют параллельными проекциями. Параллельное проецирование
подразделяется на косоугольное (угол между проецирующей прямой и плоскостью проекций не равен 900) и прямоугольное или ортогональное (угол равен
900). Свойства параллельного проецирования аналогичны свойствам центрального проецирования.
а)
б)
Рис. 1.2. Параллельное проецирование
1.3. Ортогональное проецирование на одну плоскость проекций
Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного
проецирования. Оно заключается в проведении проецирующей прямой через
объект перпендикулярно плоскости проекций П1 (рис. 1.2, б).
7
Кроме вышеуказанных свойств центрального проецирования можно привести дополнительно следующие свойства ортогонального проецирования:
1. Прямая и плоскость, параллельные плоскости проекций, проецируются
на неё в натуральную величину (НВ).
2. Проекции прямой и плоскости, не параллельных плоскости проекций,
всегда меньше самих прямой и плоскости.
3. Проекции прямой и плоскости, перпендикулярных плоскости проекций, отображаются соответственно в точку и прямую.
1.4. Ортогональное проецирование на две плоскости проекций
В связи с тем, что одна проекция точки однозначно не определяет положение точки в пространстве, применяется проецирование на две плоскости
проекций (рис. 1.3, а).
а)
б)
в)
Рис. 1.3. Проецирование точки на две плоскости
При проецировании на две плоскости проекций в аппарат проецирования
вводятся дополнительно линии связи A1Aх и AхA2. Плоскости проекций располагаются под углом 900 друг к другу. Плоскость проекций П1 назовем горизонтальной плоскостью проекций, а плоскость П2 – фронтальной плоскостью проекций. В системе двух плоскостей проекций П1 и П2 выделяют оси проекций:
ОX – ось абсцисс, ОY – ось ординат, ОZ – ось аппликат. Направление оси ОX
влево, оси ОY к наблюдателю, оси ОZ вверх приняты за положительные. Обратные направления приняты за отрицательные.
Проекция точки на горизонтальную плоскость проекций называется горизонтальной проекцией, а проекция на фронтальную плоскость – фронтальной
8
проекцией. Две проекции точки однозначно определяют положение точки в
пространстве. Преобразуем пространственный макет, представленный на
рис.1.3, а, в плоскостной. Для этого удалим саму точку, оставим лишь её проекции и линии связи. Плоскость проекций П1 повернем вокруг оси ОX так, как
показано на рис. 1.3, а, до совмещения с плоскостью П2 (рис. 1.3, б). Далее удалим плоскости проекций и будем их только подразумевать. В результате прео бразований получится плоскостной чертеж (рис. 1.3, в), который называют комплексным чертежом точки или эпюром Монжа. На эпюре указаны координаты
точки, по которым можно определить положение точки в пространстве.
1.5. Ортогональное проецирование на три плоскости проекций
В некоторых случаях требуется проецирование на три плоскости проекций, если, например, геометрический объект имеет сложную конструкцию.
Введем в систему двух плоскостей проекций третью плоскость проекций –
профильную плоскость П3 (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Проецирование на три плоскости проекций
Геометрический объект в системе трех плоскостей проекций проецируют
на плоскости П1, П2 и П3 и получают три проекции одной точки – горизонтальную, фронтальную и профильную. Если все три плоскости проекций продо лжить в геометрическом пространстве во все стороны, то оно разделится тремя
плоскостями на восемь частей, называемых октантами (рис. 1.5).
Октанты характеризуются различными знаками координат по осям ОX, ОY
и ОZ. Знаки координат точки в различных октантах представлены в табл. 1.1.
9
Таблица 1.1
Знаки координат точки в октантах
Знаки по
осям
координат
OX
OY
OZ
Номер октанта
I
+
+
+
II
+
+
III
+
-
IV
+
+
-
V
+
+
VI
+
VII
-
VIII
+
-
Рис. 1.5. Образование октантов
На рис. 1.6 представлена трансформация пространственной модели первого октанта вместе с проекциями точки в эпюр:
а) убирают геометрический объект, но сохраняют его проекции вместе с
линиями связи (рис. 1.6, б);
б) мысленно "разрезают" октант вдоль оси ОY и разворачивают плоскости П2 и П3 так, как показано на рис. 1.6, б;
10
в) получают плоскостную систему трех плоскостей проекций с осями,
линиями связи и проекциями точки (рис. 1.6, в);
г) удаляют плоскости проекций и сохраняют лишь оси. В результате преобразований получают комплексный чертеж точки или эпюр Монжа на три
плоскости проекций (рис. 1.6, г). Следует заметить, что на эпюре образовалось
две оси ОY: одна ось относится к плоскости П1, другая, помеченная звездочкой*, относится к плоскости П3.
а)
б)
в)
г)
Рис. 1.6. Образование эпюра Монжа на три плоскости проекций
11
Эпюр точки в трех проекциях положен в основу начертательной геометрии и технического черчения.
Рассмотрим свойства эпюра Монжа, которые вытекают из пространственного чертежа ортогонального проецирования на три плоскости проекций и
эпюра:
1) горизонтальная проекция точки A определяется координатами X и Y,
причем для её построения координата Y откладывается вдоль вертикальной оси ОY;
2) фронтальная проекция точки A определяется координатами X и Z;
3) профильная проекция точки A определяется координатами Z и Y, причем координата Y откладывается вдоль горизонтальной оси ОY*;
4) горизонтальная и фронтальная проекции точки находятся на одной линии связи, перпендикулярной оси ОX;
5) фронтальная и профильная проекции точки находятся на одной линии
связи, перпендикулярной оси ОZ;
6) отрезки на линиях связи Ах A1 = Az A3 равны как одна и та же координата Y. Такой же вывод следует из рассмотрения пространственного
макета;
7) из предыдущего свойства следует фундаментальное свойство эпюра
Монжа - по двум проекциям точки можно построить третью.
Вышерассмотренное относилось к точке, расположенной в октанте в общем положении. Однако точка может принадлежать плоскостям проекций или
осям. Такое положение точки называется частным положением.
1.6. Частные положения точки
Рассмотрим некоторые частные случаи положения точки, а именно когда
точка лежит на какой-нибудь плоскости проекций или какой-нибудь оси проекций (рис. 1.7).
Если точка принадлежит какой-либо плоскости проекций, то две её проекции будут находиться на осях. Эпюр точки, лежащей на плоскости П1, показан на рис. 1.7, а, б. Горизонтальная проекция А1 совпадает с самой точкой.
Фронтальная проекция А2 лежит на оси Х, а профильная – на оси Y. Точки могут
лежать также на фронтальной и профильной плоскости проекции.
Если точка принадлежит какой-либо оси проекций, то две её проекции
будут находиться на осях, а третья проекция - в точке начала отсчета, точке О.
Рассмотрим положение точки В, лежащей на оси Х. В этом случае фронтальная
и горизонтальная проекции точки лежат на оси Х в одной точке, а профильная
проекция – в пересечении осей (рис. 1.7, в, г).
На рис. 1.8 представлена связь эпюра Монжа с проекционным черчением
и методом проецирования, принятым в курсе технического черчения в соответствии с Единой системой конструкторской документации (ЕСКД)
12
а)
б)
в)
г)
Рис. 1.7. Проекции точек частного положения
Рис. 1.8. Проекционный чертеж детали
13
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. В чем суть центрального проецирования?
2. Перечислите основные свойства центрального проецирования.
3. В чем суть операции, называемой параллельным проецированием точек
пространства на плоскость?
4. В чем суть ортогонального проецирования?
5. Перечислите основные свойства ортогонального проецирования.
6. Сформулируйте принципы построения чертежа, предложенные Г. Монжем.
7. Как строятся проекции точки в системе двух плоскостей проекций?
8. Как строятся проекции точки в системе трех плоскостей проекций?
9. Перечислите характеристики точек расположенных в разных октантах.
10. Какие бывают случаи частного положения точки?
ЛЕКЦИЯ №2
ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
Проецирование отрезка прямой.
Расположение отрезка относительно плоскостей проекций.
Взаимное положение точки и прямой в пространстве.
Взаимное положение прямых в пространстве.
2.1. Проецирование прямой линии
Отрезок прямой линии определяется двумя точками. Следовательно, проекции двух точек определяют проекции отрезка прямой (рис. 2.1). Проекции
отрезка прямой в общем случае всегда будут меньше самого отрезка прямой. В
общем случае по проекциям отрезка прямой нельзя определить углы наклона
отрезка прямой к плоскостям проекций.
2.2. Прямые общего и частного положения
Прямые подразделяются на прямые общего и частного положения. Пр ямая, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций,
называется прямой общего положения (рис. 2.1, а).
Прямые, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций,
называются прямыми частного положения (рис. 2.1, б, в). Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются по имени плоскости, которой они параллельны: горизонталь h, фронталь f и профильная прямая w.
14
а) EF – прямая общего положения
h (АВ)║П1
f (СD)║П2
w (ЕК)║П3
б) прямые, параллельные плоскостям проекций
АВ П1
СD П2
ЕF П3
в) прямые, перпендикулярные плоскостям проекций (проецирующие прямые)
Рис. 2.1. Прямые общего и частного положений
15
Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими: горизонтально-проецирующая, фронтально-проецирующая и профильно-проецирующая, в зависимости от плоскости, к которой они перпендикулярны.
Прямая может лежать на плоскости проекций. На рис. 2.2, а изображена
прямая, лежащая на горизонтальной плоскости проекций П1. Прямая может лежать также на плоскостях П2 и П3.
Прямая может лежать на осях проекций. На рис. 2.2, б изображена прямая, лежащая на положительном направлении оси Y. Прямая может лежать и на
осях Х и Z.
а)
Рис. 2.2. Эпюры прямых
б)
2.2.1. Прямые, параллельные плоскостям проекций
Особенностью эпюра прямых, параллельных плоскостям проекций, является то, что две проекции прямой параллельны осям, а третья проекция наклонена к осям и является натуральной величиной прямой. Кроме того, по этой
проекции прямой можно определить угол наклона прямой к той или иной пло скости проекций. Среди упомянутых прямых особое место занимают горизо нталь h и фронталь f (см. рис. 2.3), которые обладают свойствами, позволяющими применять эти прямые при решении различных задач.
Важнейшими свойствами горизонтали являются: фронтальная проекция
горизонтали h2 всегда параллельна оси ОX; горизонтальная проекция горизонтали h1 является натуральной величиной (НВ) горизонтали; угол между h1 и
осью ОX является углом между горизонталью h и плоскостью проекций П2
(угол β); угол между h1 и осью ОY является углом между горизонталью h и
плоскостью проекций П3 (угол γ).
Важнейшие свойства фронтали: горизонтальная проекция фронтали f1
всегда параллельна оси ОX; фронтальная проекция фронтали f2 является НВ
фронтали; угол между фронтальной проекцией фронтали и осью ОX является
углом между фронталью и плоскостью проекций П1 (угол α); угол между фрон16
тальной проекцией фронтали и осью ОZ является углом между фронталью и
плоскостью проекций П3 (угол γ).
Рис. 2.3. Эпюры горизонтали и фронтали
2.2.2. Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций
Особенностью эпюра прямых, перпендикулярных плоскостям проекций,
является то, что две проекции этих прямых параллельны осям, а третья проекция "вырождается" в точку на той плоскости проекций, которой эта прямая
перпендикулярна. Первые две проекции проецирующих прямых являются их
натуральной величиной. На рис. 2.4 представлены эпюры горизонтально- (а),
фронтально- (б) и профильно-проецирующих прямых (в).
17
а)
б)
Рис. 2.4. Эпюры проецирующих прямых
в)
2.3. Определение натуральной величины прямой
Так как прямая общего положения проецируется на плоскости проекций с
искажением, то задача определения натуральной величины (НВ) прямой по её
проекциям является важной. С целью определения НВ прямой разработан метод прямоугольного треугольника, сущность которого понятна из пространственного чертежа (рис. 2.5, а).
Для того чтобы определить натуральную величину прямой по её проекциям, необходимо на одной из её проекций (на любой) построить прямо угольный треугольник, одним катетом которого является сама проекция, а другим
катетом - разность расстояний концов отрезка до данной плоскости проекций,
т.е. разность недостающих координат концов отрезка прямой. Тогда гипотенуза
треугольника будет являться НВ прямой (рис. 2.5, б).
а)
б)
Рис. 2.5. Метод прямоугольного треугольника
18
Недостающей координатой здесь названа та координата, которая не
участвует в построении той или иной проекции прямой. Так, например, горизонтальная проекция прямой строится по координатам X и Y её концов. Координата Z в построениях не участвует и называется недостающей координатой.
Таким образом, при построении прямоугольного треугольника на горизонтальной проекции прямой на катете откладывают разность аппликат, а при построении на фронтальной проекции - разность ординат.
При определении НВ прямой методом прямоугольного треугольника о дновременно можно определить углы наклона прямой к плоскостям проекций
(углы α и β). Они определятся как углы между гипотенузой и соответствующей
проекцией прямой.
2.4. Следы прямой
Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами
прямой. В точках следов прямая переходит из одного октанта в другой. Различают горизонтальный, фронтальный и профильный следы прямой и их соответствующие проекции.
На рис. 2.6, а показан пространственный чертеж прямой общего положения и образование её горизонтального (М) и фронтального (N) следов. Из пространственного чертежа следует методика построения проекций следов прямой
на эпюре (рис. 2.6, б).
Прямые, параллельные плоскостям проекций, имеют только два следа, а
прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, - один след, совпадающий с
той проекцией прямой, на которой она проецируется в точку.
а)
б)
Рис. 2.6. Следы прямой
19
2.5. Прямая и точка
Если точка лежит на прямой, то её проекции лежат на соответствующих
проекциях прямой, т.е. горизонтальная проекция точки лежит на горизонтальной проекции прямой и т.д. (рис. 2.7).
Рис. 2.7. Прямая и точка
2.6. Взаимное положение прямых
Прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися,
скрещивающимися и перпендикулярными. Пространственные чертежи и эпюры
параллельных и пересекающихся прямых представлены на рис. 2.8, а, б.
Признаком параллельных прямых на эпюре является параллельность их
одноименных проекций. Пересекающимися прямыми называются прямые, которые имеют общую точку – точку пересечения. Признаком пересекающихся
прямых на эпюре является то, что проекции точки пересечения находятся на
одной линии связи.
Если прямые пересекаются и расположены друг относительно друга под
прямым углом, то прямой угол проецируется в натуральную величину только
на ту плоскость, которой параллельна одна из пересекающихся прямых образующих его. Если одна сторона угла является горизонтальной прямой, то прямой угол будет проецироваться в виде прямого угла на горизонтальную пло скость проекций, если фронтальной прямой – на фронтальную плоскость проекций (рис. 2.9, а, б).
Скрещивающимися прямыми называются непараллельные прямые, не
имеющие общей точки. Скрещивающиеся прямые в пространстве не пересекаются, но на эпюре их одноименные проекции накладываются друг на друга, что
20
создает впечатление пересечения. Признаком скрещивающихся прямых на проекциях является то, что проекции их мнимых точек пересечения не находятся
на одной линии связи (рис. 2.10). В мнимых точках пересечения конкурируют
две точки, принадлежащие разным прямым, или, другими словами, в мнимых
точках конкурируют две прямые. Назовем эту область конкурирующим местом.
АВ║CD
а)
АВ∩CD
б)
Рис. 2.8. Параллельные и пересекающиеся прямые
При рассмотрении скрещивающихся прямых возникает вопрос о видимости проекций прямых в конкурирующих местах. Этот вопрос может быть р ешен методом конкурирующих точек (конкурирующих прямых).
21
а)
б)
Рис. 2.9. Проецирование прямого угла
Сущность метода заключается в следующем:
1) отметить конкурирующее место на рассматриваемой проекции;
2) обозначить конкурирующие точки или записать, какие прямые конкурируют;
3) провести через конкурирующее место линию связи;
4) вдоль линии связи сравнить недостающие координаты конкурирующих
точек или конкурирующих прямых;
5) на рассматриваемой проекции будет видна та точка или прямая, которая имеет наибольшую недостающую координату.
Так, на рис. 2.10 на горизонтальной проекции будет видна точка 3, принадлежащая прямой AB, или, проще говоря, прямая AB, так как аппликата прямой AB вдоль линии связи наибольшая. На фронтальной проекции также будет
видна прямая AB, так как у неё в конкурирующем месте наибольшая ордината.
Рис. 2.10. Скрещивающиеся прямые
22
Метод конкурирующих точек
(прямых) используется и при определении видимости проекций прямой
и плоскости, двух плоскостей, прямой и поверхности, ребер многогранников и т.д. При этом считается,
что плоскости и поверхности геометрически непрозрачны, а видимость прямой в точке встречи с
плоскостью или в точках встречи с
поверхностью меняется.
В случае прямых частного положения две проекции скрещивающихся прямых могут быть параллельны (рис. 2.11).
Рис. 2.11. Параллельные прямые
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Перечислите названия прямых в зависимости от их положения по отношению к плоскостям проекций.
2. Какая прямая называется прямой общего положения?
3. Что такое горизонталь?
4. Что такое фронталь?
5. Какие прямые называются профильными?
6. Какие прямые называются проецирующими?
7. Сформулируйте теорему о проецировании прямого угла?
8. Что такое след прямой линии?
9. Какие бывают следы у прямой линии?
10. Сформулируйте правила построения следов прямой линии.
11. Охарактеризуйте варианты взаимного положения точки и прямой.
12. Какие прямые называются параллельными?
13. Какие прямые называются пересекающимися?
14. Какие прямые называются скрещивающимися?
15. Что такое конкурирующие точки?
23
ЛЕКЦИЯ №3
ПЛОСКОСТЬ
Изображение плоскости на комплексном чертеже.
Плоскости общего и частного положения.
Проекции точек и прямых, принадлежащих плоскости.
Взаимное расположение плоскостей.
Прямые, параллельные и перпендикулярные плоскости.
Пересечение прямой с плоскостью.
Пересечение плоскостей.
3.1. Способы задания плоскостей
Плоскость на эпюре может быть задана шестью способами: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой, не лежащей на прямой;
двумя параллельными прямыми; двумя пересекающимися прямыми; любой
плоской фигурой и следами (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Способы задания плоскостей
Линии пересечения плоскости с плоскостями проекций называются следами плоскости (горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости). Следы различных плоскостей в пространственной и эпюрной форме представлены на рис. 3.2. Точки пересечения следов плоскости, лежащие на соответствующих осях (рис. 3.2), называются точками схода следов (αх, αy, αz).
24
Рис. 3.2. Следы плоскости
3.2. Плоскости общего и частного положения
Плоскости аналогично прямым делятся на плоскости общего и частного
положения. Плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из
плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения. На рис. 3.3
представлен пространственный чертеж плоскости общего положения заданной
треугольником.
Рис. 3.3. Плоскость общего положения
25
Плоскости, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций,
называются плоскостями частного положения (рис. 3.4, а, б). Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются: горизонтальная, фронтальная и
профильная плоскость (рис. 3.4, а). У таких плоскостей один след отсутствует,
а два других следа являются продолжением друг друга и параллельны соответствующим осям проекций.
Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими: горизонтально-проецирующая, фронтально-проецирующая и
профильно-проецирующая, в зависимости от плоскости, к которой они перпендикулярны (рис. 3.4, б). У проецирующих плоскостей два следа всегда перпендикулярны осям. Третий след наклонен к соответствующей оси и называется
собирательным следом. Он называется так потому, что если в плоскости находится какой-либо геометрический объект (точка, прямая или кривая линия, треугольник и т.д.), то он проецируется на этот след в линию, совпадающую со
следом (след "собирает" на себя проекцию объекта) (рис. 3.5).
α║П1
β║П2
γ║П3
а)
α П1
β П2
б)
Рис. 3.4. Плоскости частного положения
26
γ П3
Рис. 3.5. Горизонтально-проецирующая плоскость
3.3. Позиционные задачи
Позиционными задачами называются задачи на построение элементов,
общих для взаимодействующих объектов, и задачи на взаимное положение
геометрических объектов. Классификация позиционных задач, относящихся к
элементарным геометрическим объектам (точка, прямая, плоскость), представлена на рис. 3.6.
27
Прямая параллельна плоскости
Прямая параллельна плоскости
Рис. 3.6. Классификация позиционных задач
Прямая параллельна плоскости
Задачи на взаимное
положение
Плоскость пересекается с
плоскостью
Задачи на пересечение
Прямая пересекается с
плоскостью
Прямая принадлежит плоскости
Точка принадлежит плоскости
Точка принадлежит прямой
Задачи на
принадлежность
Прямая пересекается с прямой
ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
Первая группа задач включает задачи на принадлежность и задачи на пересечение. Ко второй группе относятся задачи на параллельность геометрич еских объектов.
Задачи на перпендикулярность объектов относят к метрическим задачам.
Метрические задачи – это задачи на определение линейных или угловых размеров геометрических объектов, а также расстояний и углов между ними. Позиционные задачи, в которых участвуют поверхности, будут рассмотрены в лекции "Поверхности".
3.3.1. Задачи на принадлежность
Эта группа задач содержит три типовые задачи – точка принадлежит прямой, точка принадлежит плоскости, прямая принадлежит плоскости, суть р ешения которых основана на свойствах проецирования.
Если точка принадлежит прямой, то проекции этой точки принадлежат
одноименным проекциям прямой.
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, находящейся в этой плоскости (рис. 3.7, а).
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости. Поэтому для того, чтобы указать в плоскости какуюлибо точку, необходимо сначала указать в плоскости прямую, а затем на этой
прямой указать положение точки (рис. 3.7, б).
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, заведомо
принадлежащую данной плоскости, и параллельно другой прямой, лежащей в
данной плоскости (рис. 3.7, в).
Аϵ α, если Аϵ lϵ α
lϵ α, если А,Вϵ α
lϵ α, если lϵ С и l║(АВ),
(АВ)ϵ α
а)
б)
Рис. 3.7. Точка и прямая в плоскости
в)
На рис. 3.8 показано построение прямой в плоскостях, заданных треугольником (рис. 3.8, а) и следами (рис. 3.8, б). Если плоскость задана треугольником, то целесообразно упомянутые точки взять на сторонах треугольника. Если плоскость задана следами, то в качестве двух точек целесообразно
взять следы прямой. Это основано на следующем свойстве: если плоскость задана следами и в ней находится прямая, то следы прямой лежат на одноименных
следах плоскости.
28
а)
б)
Рис. 3.8. Построение прямой в плоскости
На рис. 3.9 показано построение точки, лежащей в плоскости, заданной
следами (рис. 3.9, а) и треугольником (рис. 3.9, б). Условие принадлежности
точки плоскости определяется следующим образом: точка лежит в плоскости,
если она лежит на прямой, принадлежащей данной плоскости. На рис. 3.9, б
точка К построена с помощью прямой 1-2.
а)
б)
Рис. 3.9. Построение точки в плоскости
29
С рассматриваемым вопросом тесно связан вопрос о проведении плоскости частного положения (например, проецирующих плоскостей) через пр ямую.
Если прямая принадлежит плоскости частного положения и плоскость задается следами, то одна из проекций прямой будет совпадать с собирательным
следом плоскости в соответствии с рис. 3.10.
α П1
β П2
Рис. 3.10. Построение проецирующей плоскости
На рис. 3.11 в эпюрной форме показано проведение через прямую горизонтально проецирующей плоскости α и фронтально проецирующей плоскости β.
Рис. 3.11. Эпюр проецирующей плоскости
В плоскости можно провести главные линии, которые делятся на линии
уровня и линии наибольшего наклона.
30
К линиям уровня относятся горизонталь, фронталь и профильная прямая
плоскости. Они принадлежат плоскости и проводятся в ней по тем же правилам, что и обычные прямые. В каждой плоскости можно провести бесчисленное
множество линий уровня. На рис. 3.12 показано проведение горизонтали и
фронтали в плоскостях, заданных плоской фигурой и следами.
Рис. 3.12. Главные линии плоскости
При проведении горизонтали и фронтали в плоскости, заданной тр еугольником, целесообразно взять одну из вершин треугольника за точку, пр инадлежащую плоскости, и строить проекции h и f из этой вершины, что упрощает построения.
В плоскости, заданной следами, горизонталь проводится параллельно горизонтальному следу, а фронталь – фронтальному следу.
В обоих случаях построение горизонтали начинают с фронтальной пр оекции, а построение фронтали – с горизонтальной проекции, так как они параллельны оси ОX.
31
Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций (ЛНН)
называются линии, проведенные в плоскости и определяющие наибольший
угол между плоскостью и плоскостью проекций, т.е. величину образованного
двугранного угла. Различают линию наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций П1 – ЛНН(П1), к плоскости проекций П2 – ЛНН(П2) и к плоскости
проекций П3 – ЛНН(П3). Рассмотрим подробнее первые две линии.
Линия наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций П1 проводится перпендикулярно к горизонтальному следу плоскости или к горизонтали
плоскости (рис. 3.13, а). Линия наибольшего наклона плоскости к плоскости
проекций П2 проводится перпендикулярно к фронтальному следу плоскости
или к фронтали (рис. 3.13, б).
а)
б)
Рис. 3.13. Линия наибольшего наклона плоскости
32
Принцип методики построения проекций ЛНН основывается на теореме
прямого угла: если один из катетов прямого угла параллелен какой-либо плоскости, то на эту плоскость прямой угол проецируется в натуральную величину
(см. рис. 2.9).
Исходя из пространственных моделей в соответствии с рис. 3.13 и на основании теоремы о проецировании прямого угла, можно сформулировать методику построения проекций ЛНН(П1) и ЛНН(П2): горизонтальная проекция
ЛНН(П1) проводится перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали
или горизонтальному следу, а фронтальная проекция ЛНН(П2) – перпендикулярно фронтальной проекции фронтали или фронтальному следу. Алгоритмически это может записано в следующем виде:
ЛНН(П1)1⊥ h1, αП1; ЛНН(П2)2⊥ f2, β П2.
Проекции ЛНН(П1)2 и ЛНН(П2)1 образуются по ходу построений.
Угол наклона плоскости к плоскости проекций П1 (угол α) определится
как угол между натуральной величиной ЛНН(П1) и её горизонтальной проекцией, а угол наклона плоскости к плоскости проекций П2 (угол β) - как угол между
натуральной величиной ЛНН(П2) и её фронтальной проекцией.
3.3.2. Задачи на пересечение
Задача на пересечение двух прямых рассмотрена ранее в разделе "Пер есекающиеся прямые".
Наиболее важной позиционной задачей является задача о пересечении
прямой с плоскостью. При решении задачи могут встретиться следующие случаи пересечения:
1. Прямая общего положения пересекается с плоскостью частного положения.
2. Прямая частного положения (например, проецирующая) пересекается с
плоскостью общего положения.
3. Прямая общего положения пересекается с плоскостью общего положения.
Решение первых двух задач не представляет особых трудностей
(рис. 3.14). На рис. 3.14, а дано построение точки встречи прямой общего положения с горизонтально-проецирующей плоскостью, а на рис. 3.14, б – горизонтально-проецирующей прямой с плоскостью общего положения. Последняя
задача решена с помощью вспомогательной прямой M-N.
Для решения задачи о пересечении прямой с плоскостью в общем положении разработана следующая методика (рис. 3.15):
1) через прямую проводят вспомогательную плоскость частного положения β (чаще всего проецирующую плоскость, заданную следами);
2) находят линию пересечения заданной α и вспомогательной β плоскостей (линия M-N);
3) находят точку пересечения заданной прямой и найденной линии пер есечения плоскостей. Полученная точка K искомая.
33
а)
б)
Рис. 3.14. Пересечение прямой с плоскостью
На рис. 3.15, а дана пространственная схема решения задачи, в которой
прямая пересекается с плоскостью, заданной следами. В качестве вспомогательной плоскости взята горизонтально-проецирующая плоскость β. На
рис. 3.15, б в эпюрной форме показано решение этой задачи.
а)
б)
Рис. 3.15. Пересечение прямой общего положения
с плоскостью общего положения
34
На рис. 3.16 дано решение задачи на пересечение прямой общего положения DF с плоскостью общего положения, заданной треугольником АВС. В качестве вспомогательной плоскости использована горизонтально-проецирующая
плоскость α, проходящая через прямую DF. Эта плоскость пересекает плоскость треугольника по прямой МN. Фронтальная проекция М2N2 в пересечении
с фронтальной проекцией прямой D2F2 определяет точку К2. Точка К2 является
фронтальной проекцией точки пересечения прямой DF с плоскостью треугольника АВС. По фронтальной проекции точки К2 определяем горизонтальную
проекцию точки К1. Точка К1 лежит на линии связи, перпендикулярной оси Х в
пересечении с D1F1. Видимость проекций определена методом конкурирующих
точек (прямых).
Рис. 3.16. Задача на пересечение прямой с плоскостью
Частный случай пересечения прямой с плоскостью – прямая перпендикулярна плоскости. Из элементарной геометрии известно, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости (рис. 3.17, а). В качестве этих пересекающихся прямых наиболее целесообразно использовать горизонталь и фронталь
плоскости. Это объясняется тем, что только в этом случае прямой угол будет
проецироваться в натуральную величину на соответствующие плоскости проекций. Прямая будет перпендикулярна плоскости, заданной следами, если её
проекции перпендикулярны соответствующим следам (рис. 3.17, б).
Если плоскость задана не следами, а каким-нибудь другим способом
(двумя пересекающимися или двумя параллельными прямыми, треугольником
и т.п.), то для построения прямой, перпендикулярной этой плоскости, следует
построить в плоскости горизонталь и фронталь. В этом случае горизо нтальная
35
проекция перпендикуляра будет перпендикулярна горизонтальной проекции
горизонтали, а фронтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна
фронтальной проекции фронтали, согласно правилу проецирования прямого
угла (рис. 3.18). Точку пересечения перпендикуляра с плоскостью находим по
ранее рассмотренной методике.
а)
б)
Рис. 3.17. Перпендикуляр к плоскости
Рис. 3.18. Прямая перпендикулярная плоскости
Наиболее трудоемкой задачей является задача на пересечение двух пло скостей общего положения, заданных плоскими фигурами, например треугольниками, многоугольниками и т.д. При пересечении плоских фигур возможны два
36
случая пересечения: полное пересечение и неполное пересечение.
В обоих случаях линия пересечения треугольников определяется двумя
точками M и N (рис. 3.19), каждая из которых определяется как точка пересечения стороны одного треугольника с плоскостью другого. Отсюда следует вывод: для того чтобы построить линию пересечения треугольников, необходимо
дважды решить задачу о пересечении стороны одного треуго льника с плоскостью другого треугольника (типовая задача о пересечении прямой с плоскостью). При этом пару пересекающихся объектов можно подбирать произвольно. В любом случае линия пересечения будет построена.
Заключаем сторону ЕD во фронтально проецирующую плоскость β.
Определяем линию пересечения 1-2 (1222 и 1121) заданной плоскости ΔАСВ со
вспомогательной плоскостью β, и далее точку М. Затем, чтобы определить точку N, заключаем сторону ЕF треугольника DEF в горизонтально проецирующую плоскость α. Находим линию пересечения 3-4 этих двух плоскостей и далее точку N пересечения стороны EF с линией пересечения 3-4. Соединив эти
точки, получаем линию пересечения этих двух треугольников.
С помощью конкурирующих точек 5, 6 определяем видимость одного
треугольника относительно другого на плоскости П2, а с помощью точек 3, 7 на
плоскости П1.
Рис. 3.19. Задача на пересечение плоскостей
37
3.3.3. Задачи на взаимное положение
Задача на параллельность двух прямых была рассмотрена ранее в разделе
"Взаимное положение прямых".
Задачи на параллельность плоскостей основываются на положениях элементарной геометрии. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся
прямые одной плоскости взаимно параллельны двум пересекающимся прямым
другой плоскости (рис. 3.20, а).
Если две параллельные плоскости заданы следами, то одноименные следы таких плоскостей параллельны друг другу (рис. 3.20, б). Прямая будет параллельна плоскости в том случае, если она параллельна любой прямой, находящейся в этой плоскости (рис. 3.20, в).
а)
б)
в)
Рис. 3.20. Параллельность геометрических объектов
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Какие способы задания плоскости вам известны?
2. Что такое след плоскости?
3. Как называется плоскость, если она:
– параллельна какой-либо плоскости проекций;
– перпендикулярна какой-либо плоскости проекций.
4. Какое условие определяет принадлежность линии плоскости?
5. Назовите главные линии плоскости.
6. Каково условие принадлежности точки плоскости.
7. Определите сходство и различия в проекциях горизонтали, фронтали и пр офильной прямой.
8. Как определяется видимость при пересечении двух плоскостей, прямой и
плоскости?
9. Какова последовательность построения точки пересечения прямой и плоскости?
10. Какова последовательность построения точек пересечения двух плоскостей
общего положения?
38
ЛЕКЦИЯ №4
СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ
Метод перемены плоскостей проекций.
Нахождение натуральной величины отрезка прямой и плоскости методом перемены плоскостей проекций.
Метод вращения прямой и плоской фигуры вокруг оси, перпендикулярной
одной из плоскостей проекций.
Нахождение натуральной величины отрезка прямой и плоскости методом вращения.
Метод плоскопараллельного перемещения.
Нахождение натуральной величины отрезка прямой и плоскости методом плоскопараллельного перемещения.
Как видно из предыдущего материала, все геометрические задачи решаются проще, если объекты (или хотя бы один объект) заданы в частном положении. Для перевода объектов из общего положения в частное с целью упрощения решения задач разработаны методы преобразования эпюра Монжа. Они
делятся на два вида:
1. Геометрический объект при преобразовании остается неподвижным, а
плоскости проекций меняют свое положение так, чтобы объект находился о тносительно них в частном положении (метод перемены или замены плоскостей
проекций).
2. Плоскости проекций при преобразовании остаются неподвижными, а
объект меняет свое положение так, чтобы относительно плоскостей проекций
он занял частное положение (метод вращения вокруг проецирующей оси, метод
совмещения, метод вращения вокруг линий уровня, метод плоскопараллельного перемещения).
4.1. Метод замены плоскостей проекций
Смысл метода заключается в том, что в систему плоскостей проекций
вводятся дополнительные плоскости проекций, по отношению к которым объект занимает частное положение (другими словами, плоскости проекций заменяются другими плоскостями). Ортогональность новых систем плоскостей проекций при этом сохраняется. Замена плоскостей проекций осуществляется в последовательности:
Х (П1/П2) → Х1 (П1/П4) → Х2 (П4/П5) и т.д. или
Х (П1/П2) → Х1 (П2/П4) → Х2 (П4/П5) и т.д.
Обычно производят одну или две замены плоскостей проекций. На рис. 4.1
в наглядной форме показана методика проведения замены плоскостей проекций.
На рис. 4.1, а представлена замена одной фронтальной плоскости проекций
(П2→П4), а на рис. 4.1, б – замена двух плоскостей проекций (П2→П4; П1→П5).
39
а)
б)
Рис. 4.1. Метод замены плоскостей проекций
Из представленных наглядных изображений и эпюров вытекают следующие правила построения новых фронтальных и горизонтальных проекций то чки на дополнительные плоскости проекций:
1. ПРИ ЗАМЕНЕ ПЛОСКОСТИ П2 на П4. Для того чтобы построить новую фронтальную проекцию точки на новой плоскости проекций П4, необходимо от новой оси по новой линии связи отложить аппликату точки из предыдущей системы плоскостей проекций.
2. ПРИ ЗАМЕНЕ ПЛОСКОСТИ П1 на П5. Для того чтобы построить новую горизонтальную проекцию точки на новой плоскости проекций П5, необходимо от новой оси по новой линии связи отложить ординату точки из предыдущей системы плоскостей проекций.
40
В методе замены плоскостей проекций выделяют две основные задачи:
1. Перевод прямой общего положения в проецирующую.
2. Перевод плоскости общего положения в проецирующую.
На рис. 4.2, а показано преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую, которое выполнено двумя заменами плоскостей проекций
(П2→П4; П1→П5). Первая замена осуществляется параллельно прямой AB, а
вторая – перпендикулярно прямой AB. Причём расстояние от новой оси Х1 до
горизонтальной проекции отрезка А1В1, а также расстояние от новой оси Х2 до
проекции прямой А4В4 берётся произвольно.
Следует заметить, что при решении задачи определяется натуральная величина прямой (новая фронтальная проекция А4В4) и угол наклона прямой к
плоскости проекций П1 (угол α).
На рис. 4.2, б показано преобразование плоскости общего положения, заданной треугольником ABC, в проецирующую плоскость, которое выполнено
одной заменой плоскостей проекций (П2→П4). Замена осуществляется перпендикулярно горизонтали (h1 – горизонтальной проекции горизонтали), проведенной в плоскости треугольника ABC для обеспечения перпендикулярности двух
плоскостей (плоскости треугольника и новой плоскости проекций П4).
а)
б)
Рис. 4.2. Основные задачи метода замены плоскостей проекций
На рис. 4.3 показано определение натуральной величина плоскости общего положения, заданной треугольником АВС, задача решается двойной заменой
плоскостей проекций (П2→П4 и П1→П5). Первая замена плоскости П2 на П4
преобразует плоскость треугольника в проецирующую плоскость. При второй
замене плоскости переходим к системе П4/П5. Новая плоскость устанавливается
параллельно треугольнику. В этом случае новая ось Х2 на эпюре проводится па41
раллельно проекции треугольника А4В4С4. Линии связи от проекций точек А4,
В4, С4 проводим перпендикулярно к новой оси и откладываем на них от Х2 отрезки lА, lB, lC. Построенная проекция А5В5С5 представляет истинную величину
треугольника.
Рис. 4.3. Нахождение натуральной величины плоскости общего положения
Если плоскость занимает частное положение, то для определения ее натуральной величины потребуется замена только одной плоскости. Определим
натуральную величину фронтально проецирующей плоскости (рис. 4.4).
Задача решается заменой плоскости П1 на П4. В этом случае плоскость П4,
параллельная проекции треугольника В2С2D2 образует с П2 новую систему
П2/П4. Новая проекция В4С4D4 на плоскость П4 определит натуральную величину треугольника.
На рис. 4.5 дано решение задачи по определению расстояния между двумя параллельными прямыми. Для определения этого расстояния используем
замену двух плоскостей проекции. Сначала расположим новую плоскость так,
чтобы прямые стали параллельны новой плоскости проекции П 4. Затем плоскость П5 поставим так, чтобы прямые стали перпендикулярны этой плоскости.
Для этого ось Х2 расположим перпендикулярно проекциям параллельных прямых. Проекции прямых на этой плоскости спроецируются в точки. Соединив
42
эти точки прямой FK, получим истинное расстояние между параллельными
прямыми. Так как прямая FK параллельна П5, то проекция прямой F4K4 будет
параллельна оси Х2.
Рис. 4.4. Нахождение натуральной величины проецирующей плоскости
Рис. 4.5. Определению расстояния между двумя параллельными прямыми
43
4.2. Метод вращения вокруг проецирующих осей
Метод заключается в том, что геометрический объект (прямую или плоскость) вращают вокруг проецирующей оси i до положения параллельности какойлибо плоскости проекций. В результате вращения геометрический объект проецируется на плоскость проекций в натуральную величину. На рис. 4.6 в наглядной
форме представлено вращение точки А вокруг горизонтально-проецирующей оси
(рис. 4.6, а) и вокруг фронтально-проецирующей оси (рис. 4.6, б).
Из приведенных схем видно, что если точка вращается вокруг горизо нтально-проецирующей оси, то её горизонтальная проекция перемещается по дуге
окружности, а фронтальная - по прямой линии, параллельной оси ОX. При вращении вокруг фронтально-проецирующей оси наблюдается обратная картина.
а)
б)
Рис. 4.6. Вращение вокруг проецирующей прямой
Чтобы определить натуральную величину прямой необходимо повернуть
ее в пространстве вокруг проецирующей оси (рис. 4.7). Если ось проходит на
некотором расстоянии от прямой, то следует повернуть две точки прямой
(рис. 4.7, а). Вращение выполнено вокруг фронтально-проецирующей оси. Если
ось проходит через одну из точек принадлежащих прямой, то точка, лежащая
на оси вращения, своего положения в пространстве не меняет, перемещаться
будет только одна точка (рис. 4.7, б). Вращение выполнено вокруг горизонтально-проецирующей оси.
На рис. 4.8 дано решение задачи по определению натуральной величины
плоскости заданной треугольником АВС. Треугольник расположен перпендикулярно к плоскости проекций П1, т.е. является горизонтально проецирующей
плоскостью. Проводим ось вращения через вершину треугольника С перпендикулярно П1.
44
а)
б)
Рис. 4.7. Определение натуральной величины прямой
Рис. 4.8. Определение натуральной величины плоскости
45
Горизонтальная проекция треугольника, повёрнутого до положения параллельного оси ОХ, расположит плоскость треугольника параллельно плоскости
П2. Определим в новом положении этой проекции положение точек А1' и В1'. Так
как точка С лежит на оси вращения, она своего положения в пространстве не изменит. Так как горизонтальные проекции точек А и В перемещаются по окружности, то траектория фронтальных проекций точек А и В будет представлять собой прямую, параллельную оси Х. Проведя из точек А1', В1' линии связи перпендикулярно к оси Х и продолжив их до пересечения с траекторией соответствующих точек, получим новое положение фронтальной проекции треугольника. Она
будет представлять собой истинную величину треугольника АВС.
Метод совмещения представляет собой частный случай вращения вокруг
линии уровня. За ось вращения в этом случае принимают один из следов пло скости. Сущность метода заключается в том, что плоскость вместе с объектом,
находящимся в ней, вращают до совмещения с плоскостью проекций.
4.3. Метод плоскопараллельного перемещения
Плоскопараллельное перемещение – это вид механического движения
объекта, когда каждая его точка перемещается в плоскости, параллельной какой-либо плоскости проекций, в результате чего объект перемещается на новое
место и ему придаётся новое положение.
Различают плоскопараллельное перемещение относительно плоскости П1
– ППП(П1) и относительно плоскости П2 – ППП(П2).
При плоскопараллельном перемещении объекта относительно плоскости
П1 горизонтальная проекция объекта изменяет свое положение, не изменяя своей формы и размеров (рис. 4.9, а). Фронтальная проекция объекта при этом изменяется по форме и размерам, а каждая точка объекта перемещается по пр ямым линиям, параллельным оси ОX. Обратная картина наблюдается при
ППП(П2) (рис. 4.9, б).
Для решения задачи по определению натуральной величины отрезка прямой общего положения необходимо сделать одно перемещение и разместить
одну из проекций так, чтобы она стала параллельна оси ОХ (рис. 4.9, а). Расположим отрезок параллельно фронтальной плоскости проекции. При таком его
положении горизонтальная проекция отрезка А1В1 расположится параллельно
оси ОХ. Эта проекция может быть вычерчена в любом месте чертежа.
Следует учесть, что расстояние между точками А1 и В1 не изменится, т.е.
А1'В1'=А1В1. Затем через концы фронтальной проекции отрезка проводим линии
(траектории движения) параллельно оси ОХ. Пересечение этих прямых с линиями проекционной связи определяют концы новой проекции отрезка и его
натуральную величину (рис. 4.9, а).
На рис. 4.9, б решена задача по определению натуральной величины треугольника АВС, расположенного перпендикулярно фронтальной плоскости
проекций.
46
В любом месте чертежа вычерчиваем параллельно оси ОХ фронтальную
проекцию А2'В2'С2'=А2В2С2. Новая горизонтальная проекция А1'В1'С1', построенная по исходной горизонтальной проекции и новой фронтальной проекции
определит истинную величину треугольника АВС.
а)
б)
Рис. 4.9. Два вида плоскопараллельного перемещения
Для решения задачи на определение натуральной величины плоскости
общего положения, заданной треугольником АВС, совершают два плоскопараллельных перемещения: сначала относительно плоскости проекций П1, а затем
относительно П2 (рис. 4.10).
Целью первого перемещения является перевод плоскости из общего положения в проецирующее. Плоскость станет проецирующей, если будет содержать прямую, перпендикулярную плоскости проекций. В качестве такой пр ямой используют горизонталь. При первом перемещении проекция натуральной
величины горизонтали плоскости А111 занимает положение, перпендикулярное
оси ОХ. В новом положении А1'В1'С1'=А1В1С1.
Для построения А1'В1'С1' опустим из точки В1 перпендикуляр на горизонтальную проекцию горизонтали и отметим точку К1. Далее проведём горизонталь перпендикулярно оси ОХ. На этой проекции горизонтали отметим точку
А1', 11' и точку К1'. Из точки К1' восстановим перпендикуляр К1'В1'=К1В1. Соединяем точку А1' с точкой В1'. Получим А1'В1'=А1В1. Затем точку В1' и точку 11'
проведём В1'С1', равную В1С1 (рис. 4.10). Соединив точку С1' с точкой А1', получим А1'С1'=А1С1. Таким образом, получим ΔА1'В1'С1'=ΔА1В1С1. Новая фронтальная проекция А2'В2'С2' построена по исходной фронтальной проекции и новой горизонтальной проекции. Она представляет собой фронтальную проекцию
плоскости, перпендикулярной плоскости П2.
Целью второго перемещения является перевод плоскости из проецирующего положения в положение, параллельное плоскости проекции П1. Расположив проекцию В2'А2'С2' параллельно оси ОХ, построим горизонтальную проек47
цию по проекциям В2'А2'С2' и В1'А1'С1'. Горизонтальная проекция В1''А1''С1'' будет представлять собой истинную величину треугольника (рис. 4.10).
Рис. 4.10. Двойное плоскопараллельное перемещение
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Какие бывают пути перехода от общего положения геометрического объекта к частному?
2. Сущность метода замены плоскостей проекций.
3. Опишите решение задачи нахождения натуральной величины отрезка прямой методом замены плоскостей проекций.
4. Опишите решение задачи нахождения натуральной величины проецирующей плоскости методом замены плоскостей проекций.
5. Какая последовательность решения задачи по нахождению натуральной величины плоскости общего положения методом замены плоскостей проекций?
6. Сущность метода вращения вокруг оси, перпендикулярной одной из плоскостей проекций.
7. Ход решения задач по нахождению натуральной величины отрезка прямой
и проецирующей плоскости методом вращения.
8. Опишите метода плоскопараллельного перемещения.
9. Опишите решение задачи нахождения натуральной величины отрезка прямой методом плоскопараллельного перемещения.
10.Ход решения задачи по нахождению натуральной величины плоскости общего положения методом плоскопараллельного перемещения.
48
ЛЕКЦИЯ №5
АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
Общие понятия об аксонометрических проекциях.
Виды аксонометрических проекций.
Аксонометрические оси. Показатели искажения.
Изображение окружности в аксонометрии.
5.1. Общие понятия об аксонометрических проекциях
При выполнении технических чертежей в ряде случаев оказывается необходимо наряду с изображением предметов в прямоугольных проекциях иметь и
наглядные их изображения. Это необходимо для обеспечения возможности б олее полно выявить конструктивные решения, заложенные в изображении предмета, правильно представить положение его в пространстве, оценить пропорции его частей и размеры.
Наглядные изображения на некоторых чертежах могут применяться и
независимо от прямоугольных изображений, например, при изображении схем
электроснабжения и теплоснабжения зданий и сооружений.
Существуют различные способы построения наглядных изображений.
Сюда относятся аксонометрические, афинные и векторные проекции, а также
линейная перспектива. Рассмотрим аксонометрические проекции, т.к. они являются наиболее используемыми в техническом черчении.
Построение аксонометрических проекций заключается в том, что геометрическую фигуру вместе с осями прямоугольных координат, к которым эта фигура отнесена в пространстве, параллельным (прямоугольным или косоугольным) способом проецируют на выбранную плоскость проекций. Таким образом, аксонометрическая проекция - это проекция на одну плоскость. При этом
направление проецирования выбирают так, чтобы оно не совпадало ни с одной
из координатных осей.
При построении аксонометрических проекций изображаемый предмет
жестко связывают с натуральной системой координат OXYZ. В целом аксонометрический чертеж получается состоящим из параллельной проекции предмета, дополненной изображением координатных осей с натуральными масштабными отрезками по этим осям. Название «аксонометрия» и произошло от слов аксон - ось и метрео - измеряю.
Образование аксонометрической проекции рассмотрим на примере построения аксонометрической проекции точки А, отнесенной к натуральной системе координат OXYZ (рис. 5.1). Натуральные координаты точки А получаются
измерением отрезков координатной ломаной А A1 аХ О в натуральном масштабе
е. При параллельном проецировании по направлению S на плоскости аксонометрических проекций Р получим аксонометрическую проекцию А′ данной точки,
аксонометрическую проекцию А′А1′ а′Х О′ координатной ломаной и аксономет49
рическую проекцию О′Х′У′Z′ натуральной системы координат, на осях которой
будут находиться единичные аксонометрические масштабные отрезки exeyez.
Первичная проекция точки А
Вторичная проекция точки А
Рис. 5.1. Образование аксонометрических проекций
Аксонометрическая проекция А1′ горизонтальной проекции точки А (первичной) называется вторичной проекцией точки А. Совокупность всех этих
проекций и составляет аксонометрию точки А.
На аксонометрическом чертеже вторичная и аксонометрическая проекции
предмета обеспечивают метрическую определенность и обратимость однокартинного изображения. В аксонометрических проекциях сохраняются все свойства параллельных проекций.
На практике измерения вдоль аксонометрических осей выполняют в одинаковых единицах - миллиметрах, поэтому единичные натуральные масштабные отрезки и их аксонометрию на чертежах не указывают.
Коэффициенты искажения по осям в аксонометрии определяют отношением аксонометрических координатных отрезков к их натуральной величине
при одинаковых единицах измерения.
Натуральные коэффициенты искажения обозначают:
по оси х U =О′ а′х /O аx; по оси у V = а′у A′ / ау A; по оси z W = А′ A1′ /A A1.
Как правило, коэффициенты искажения для удобства построений принимаются округлёнными. Такие коэффициенты называются приведёнными коэффициентами искажения.
50
5.2. Виды аксонометрических проекций
Аксонометрические проекции в зависимости от направления проецирования разделяют:
1) на косоугольные, когда направление проецирования не перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций;
2) прямоугольные, когда направление проецирования перпендикулярно
плоскости аксонометрических проекций.
В зависимости от соотношения коэффициентов искажения по осям различают три вида аксонометрии:
1) изометрия - все три коэффициента искажения равны между собой
(U = V = W);
2) диметрия - два коэффициента искажения равны между собой и отличаются от третьего (U не равно V = W или U= V не равно W);
3) триметрия - все три коэффициента искажения не равны между собой
(U ≠ V ≠ W).
Стандартом (ГОСТ 2.317-69) предусмотрены пять аксонометрических
проекций (рис. 5.2):
1) Прямоугольная изометрия (рис. 5.2, а);
2) Прямоугольная диметрия (рис. 5.2, б);
3) Косоугольная фронтальная изометрия (рис. 5.2, в);
4) Косоугольная горизонтальная изометрия (рис. 5.2, г);
5) Косоугольная фронтальная диметрия (рис. 5.2, д).
Самое широкое распространение в конструкторской практике получили
прямоугольная изометрия, прямоугольная диметрия и косоугольная фронтальная диметрия.
На чертежах деталей, выполненных в аксонометрической проекции, на
разрезах наносится штриховка. Чаще всего на аксонометрической проекции
выполняют вырез части детали, например, одной четверти. На чертежах, выполненных в ортогональных проекциях, штриховка, как правило, выполняется
под углом 45° к осям проекций. В аксонометрии направление штрихов в той
или иной плоскости определяется с учётом коэффициентов искажения по соо тветствующим осям. Так, для получения направления штриховки в горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостях в изометрии по осям Х', Y' и Z' откладываются равные отрезки. В этом виде аксонометрии коэффициенты искажения по всем осям равны единице (рис. 5.3, а). Линии штриховки сечений
наносят параллельно одной из диагоналей проекций квадратов, лежащих в с оответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны аксонометрическим осям.
В прямоугольной диметрии (рис. 5.3, б) коэффициенты искажения равны
по осям Х' и Z'. По оси Y' коэффициент искажения равен 0,5. Такие же коэффициенты имеет косоугольная диметрия (рис. 5.3, в). Следовательно, и штриховка
выполняется с учётом этих коэффициентов.
51
а)
б)
в)
г)
Рис. 5.2. Виды аксонометрических проекций
52
д)
а)
б)
в)
Рис. 5.3. Штриховка в аксонометрических проекциях
Следует отметить, что условность, которая касается тонких рёбер, круглых непустотелых валов и т.п., на аксонометрические изображения не распространяется. Эти элементы в аксонометрии показываются рассечёнными, т.е.
заштриховываются (рис. 5.4). На рис. 5.4, а показана деталь с ребром жёсткости
на ортогональном чертеже, а на рис. 5.4, б – та же деталь в аксонометрии.
Ребро
Ребро
а)
б)
Рис. 5.4. Штриховка ребра жесткости в аксонометрии
53
5.3. Прямоугольная изометрия
При построении прямоугольных аксонометрических проекций за пло скость проекций принимается плоскость общего положения. В этом случае проецирующий луч будет составлять с плоскостью аксонометрических проекций
угол 90°. Следует помнить, что предпочтительными являются прямоугольные
аксонометрические проекции. Этот вид аксонометрических проекций даёт
наименьшее искажение изображаемых предметов.
Прямоугольная изометрия характеризуется тем, что коэффициенты искажения составляют U = V = W = 0,82 ≈ 1. Аксонометрические оси в прямоугольной изометрии располагаются под углом 120° друг к другу (рис. 5.5).
Рис. 5.5. Расположение осей в прямоугольной изометрии
Окружность в аксонометрии проецируется в эллипс, если плоскость
окружности расположена под углом к плоскости проекции. Для построения прямоугольной аксонометрии окружностей, лежащих в координатных или им параллельных плоскостях, руководствуются правилом: большая ось эллипса перпендикулярна той координатной оси, которая отсутствует в плоскости окружности.
В прямоугольной изометрии равные окружности, расположенные в координатных плоскостях, проецируются в равные эллипсы, но по-разному ориентированные в зависимости от плоскости расположения окружности (рис. 5.6).
Размеры осей эллипсов при использовании приведенных коэффициентов
искажения равны: большая ось БО = 1,22d, малая ось МО = 0,71d, где d — диаметр изображаемой окружности.
В учебных чертежах вместо эллипсов рекомендуется применять овалы,
очерченные дугами окружностей. Упрощенный способ построения овалов пр иведен на рис. 5.7.
54
Рис. 5.6. Изображение окружности в прямоугольной изометрии
Из точки пересечения осей О проводят вспомогательную окружность диаметром d, равным действительной величине диаметра изображаемой окружности, и находят точки п1 , п2 , п3 , п4 пересечения этой окружности с аксонометрическими осями X и Y. Из точек т1 и т2 пересечения вспомогательной окружности с осью Z, как из центров радиусом R = т1п3 проводят две дуги 23 и 14, принадлежащие овалу. Пересечения этих дуг с осью Z дают точки С и D.
Из центра О радиусом ОС, равным половине малой оси овала, засекают на
большой оси овала АВ точки О1, и О2. Точки 1, 2, 3 и 4 сопряжений дуг радиусов R и R1 находят, соединяя точки т1 и т2 с точками О1 и О2 и продолжая прямые до пересечения с дугами 23 и 14. Из точек О1 и О2 радиусом R 1= O11 проводят две дуги. Так же строят овалы, расположенные в плоскостях, параллельных плоскостям П2 и П3 (рис. 5.7, б и в).
На рис. 5.8 показан пример построения прямоугольной изометрии детали
с вырезом 1/4.
На рис. 5.9 представлено построение прямоугольной изометрической проекции усечённой шестиугольной призмы со сквозным прямоугольным отверстием.
Сначала на ортогональном чертеже наносится система осей координат.
Рекомендуется проводить их через центр основания призмы. Чтобы получить
аксонометрическое изображение призмы, через вторичные проекции точек 11',
21', 31', 41', 51', 61' (на рисунке они не показаны) проводим вертикальные прямые
и на них откладываем отрезки Z1, Z2, Z3 и т.д. Полученные точки (верхние концы вертикальных отрезков) соединяем прямыми линиями. Все остальные построения понятны из чертежа.
55
б)
в)
а)
Рис. 5.7. Построение овала в прямоугольной изометрии
Рис. 5.8. Пример построения прямоугольной изометрии детали
56
Рис. 5.9. Построение изометрической проекции усеченной призмы
5.4. Прямоугольная диметрия
Прямоугольная диметрия характеризуется тем, что коэффициенты искажения U = W = 0,94, a V = 0,47. В соответствии с ГОСТ 2.317-69 практические
построения в прямоугольной диметрии следует выполнять, пользуясь приведенными коэффициентами искажения: U = W = 1 и V = 0,5.
Расположение осей в прямоугольной диметрии показано на рис. 5.10.
В прямоугольной диметрии равные окружности диаметра d, лежащие в
горизонтальной и фронтальной плоскостях проекций, проецируются в равные
эллипсы. Большая ось которых БО = 1,06d, а малая - МО = 0,35d, если пользуемся приведенными коэффициентами искажения. Окружность, расположенная
во фронтальной плоскости проекций, проецируется в эллипс с осями: большая
ось БО = 1,06d, малая ось - МО = 0,95d (рис. 5.11).
Эллипсы в прямоугольной аксонометрии можно построить по сопряжённым диаметрам. Однако чаще всего эллипсы заменяются овалами. Упрощенное
построение диметрической проекции окружности, расположенной параллельно
фронтальной плоскости проекций П2 приведено на рис. 5.12, а.
57
Рис. 5.10. Расположение осей в прямоугольной диметрии
Рис. 5.11. Изображение окружностей в прямоугольной диметрии
Через точку О проводим оси, параллельные осям X и Z. Из центра О радиусом, равным радиусу данной окружности, проводим вспомогательную
окружность, которая пересечется с осями X и Z в точках 1, 2, 3, 4.
58
Из точек 1 и 3 (по направлению стрелок) проводим горизонтальные линии до пересечения с осями АВ и CD овала и получаем точки О1, О2, О3 и О4.
Приняв за центры точки О1 и О4 радиусом R = О41, проводим дуги 12 и 34.
Приняв за центры точки О2 и О3, проводим радиусом R1 = О22 замыкающие
овал дуги 23 и 14. Большая ось АВ овала примерно будет равняться 1,06d, а малая CD = 0,95d.
Построение диметрической проекции окружности, лежащей в плоскости,
параллельной профильной плоскости проекций П3, приведено на рис. 5.12, б.
Из центра О проводим прямые, параллельные осям X и Z, а также большую
ось овала АВ, перпендикулярную малой оси CD. CD параллельна оси X. Из точки
О радиусом, равным радиусу данной окружности, проводим вспомогательную
окружность и на пересечениях с прямой, параллельной оси Z, получаем точки n и
n 1.
На прямой параллельной оси X, вправо и влево от центра О откладываем
отрезки, равные диаметру вспомогательной окружности, и получаем точки О1 и
О2. Приняв эти точки за центры, проводим (по направлению стрелок) радиусом
R = O1n = O2n1 дуги овалов. Пересечения полученных дуг с вспомогательной
окружностью дают точки n2 и n3. Соединяя точки О2 и n1, О2 и n2 прямыми на
линии большой оси АВ овала, получим точки О3 и О4. Приняв их за центры,
проводим радиусом R1 замыкающие овал дуги.
На рис. 5.12, в показано аналогичное упрощенное построение диметрической проекции окружности, расположенной в плоскости, параллельной горизонтальной плоскости проекций.
Рассмотрим построение прямоугольной диметрической проекции цилиндра, имеющего сквозное отверстие в виде треугольной призмы (рис. 5.13).
Начало координат совмещаем с центром нижнего основания, ось Z - с осью цилиндра. Вторичную проекцию можно построить на координатной плоскости
Х'О'Z' или Х'О'Y'. Для придания чертежу большей наглядности, цилиндр изображён с вырезом четвёртой части. Построение овалов – контуров верхнего и
нижнего основания было рассмотрено ранее.
Разберём построение точки N' – эллиптической дуги (рис. 5.13, а, б). Аксонометрическую проекцию N' точки N можно найти при помощи ортогонального чертежа. Для этого на ортогональном чертеже определяем две прямоугольные координаты ХN и YN этой точки. Далее с помощью координаты ХN на
прямой Е2''G2'' определяем вторичную проекцию N2''. Из точки N2'' проводим
прямую, параллельную оси Y'. На этой прямой откладываем от точки N2'' отрезок, равный 0,5YN. Таким образом, точку N' находим способом координат.
Все построения, для нахождения положения точки N', можно выполнить
и на нижнем основании. Определив по координатам положение точки L', проведём из неё вертикальную прямую. На этой прямой отложим отрезок L2N2,
взятый с ортогонального чертежа (рис. 5.13, а). Существуют и другие способы
определения положения точки N', мы рассмотрели только самые часто используемые способы.
59
На рис. 5.14 показан пример построения прямоугольной диметрии детали.
а)
б)
в)
Рис. 5.12. Построение диметрической проекции окружности
60
б)
а)
Рис. 5.13. Построение диметрической проекции цилиндра с вырезом.
61
Рис. 5.14. Пример построения прямоугольной диметрии детали
5.5. Косоугольная диметрия
При построении косоугольных аксонометрических проекций за плоскость
проекций принимается плоскость частного положения, чаще всего фронтальная
или горизонтальная. В этом случае проецирующий луч будет составлять с
плоскостью угол, не равный 90°.
Косоугольная аксонометрическая проекция часто применяется в санитарно-технических чертежах.
В конструкторской практике самой используемой из косоугольных пр оекций является косоугольная фронтальная диметрия.
Расположение осей в стандартной косоугольной фронтальной диметрии
показано на рис. 5.15, а. Угол наклона оси Y = 45 . Коэффициент искажения
по оси Y V = 0,5.
Окружности, расположенные в горизонтальной и профильной плоскостях
проекций или параллельно им, проецируются в эллипсы с осями: большая ось
эллипса БО = 1,07d, малая ось МО = 0,33d, где d - диаметр изображаемой
окружности. Угол отклонения от осей Х и Z составляет 7 14'. Окружность, расположенная во фронтальной плоскости проекций или параллельно ей изобр ажается без искажения (рис. 5.15, б).
Пример построения косоугольной диметрии детали показан на рис. 5.16.
а)
б)
Рис. 5.15. Расположение осей и изображение окружностей
62
в косоугольной диметрии
Рис. 5.16. Пример построения косоугольной диметрии детали
5.6. Примеры построения аксонометрических проекций
При построении в аксонометрической проекции детали с вырезом четвёртой части можно пользоваться двумя способами.
Первый способ заключается в том, что сначала строится вся деталь, а затем вырезается четвёртая часть, причём секущие плоскости располагаются, как
правило, параллельно фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций.
Построение ведётся с использованием ортогонального чертежа (рис. 5.17).
63
Рис. 5.17. Ортогональный чертеж детали
На рис. 5.18, а, б, в, г, д показана последовательность выполнения аксонометрии детали, на рис. 5.18, е - прямоугольная изометрическая проекция детали.
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Рис. 5.18. Этапы выполнения аксонометрии (первый способ)
64
Второй способ построения в аксонометрической проекции детали с вырезом четвёртой части начинается с построения сечения. В этом случае также используем ортогональную проекцию детали (рис. 5.19, а). Так как деталь имеет
много окружностей, применяем для построения прямоугольную изометрич ескую проекцию (рис. 5.19, б). Сначала вычерчиваем оси отверстий и расположение их на чертеже (рис. 5.19, в). Затем строим аксонометрические проекции
сечений выреза и штрихуем их согласно правилам (рис. 5.19, г). Далее вычерчиваем контуры цилиндрической части детали и отверстий, оформляем чертёж
(рис. 5.19, д).
а)
б)
в)
г)
д)
Рис. 5.19. Этапы выполнения аксонометрии (второй способ)
65
5.7. Нанесение размеров и условности в аксонометрии
При нанесении размеров выносные линии проводят параллельно аксонометрическим осям, размерные линии - параллельно измеряемому отрезку (рис. 5.20).
Рис. 5.20. Нанесение размеров на аксонометрических проекциях
В аксонометрических проекциях резьбу изображают по ГОСТ 2.311-68.
Допускается изображать профиль резьбы полностью или частично, как показ ано на рис. 5.21.
Рис. 5.21. Изображение резьбы в аксонометрии
66
В разрезах на аксонометрических проекциях спицы маховиков и шкивов,
ребра жесткости и подобные элементы штрихуют (рис. 5.22). При выполнении в
аксонометрических проекциях зубчатых колес, реек, червяков и подобных элементов допускается применять условности по ГОСТ 2.402-68 и ГОСТ 2.311-68.
Рис. 5.22. Аксонометрическая проекция узла
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Какая плоскость называется аксонометрической плоскостью проекций и как
она обозначается?
2. Какие виды аксонометрических проекций вы знаете?
3. Охарактеризуйте прямоугольную изометрическую проекцию.
4. Охарактеризуйте прямоугольную диметрическую проекцию.
5. Охарактеризуйте косоугольную фронтальную и горизонтальную изометрические проекции.
6. Охарактеризуйте косоугольную фронтальную диметрическую проекцию.
7. Как штрихуются разрезы в аксонометрии?
8. Как проставляются размеры в аксонометрии?
9. Как изображаются в разрезах на аксонометрических проекциях спицы маховиков и шкивов, ребра жесткости и другие подобные элементы?
10. Как изображается резьба в аксонометрии?
67
ЛЕКЦИЯ №6
КРИВЫЕ ЛИНИИ.
ПОВЕРХНОСТИ И ТЕЛА
Плоские и пространственные кривые.
Определение поверхностей тел.
Проецирование геометрических тел (призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара, тора) на три плоскости проекций.
Подробный анализ проекций элементов геометрических тел (вершин, ребер, граней, осей и образующих).
Построение проекций точек, принадлежащих поверхностям.
Особые линии на поверхностях вращения: параллели, меридианы, экватор.
Образование наиболее часто встречающихся поверхностей.
6.1. Кривые линии
Кривой линией называется траектория точки, перемещающейся в пространстве по какому-либо закону. Однако, имеются кривые линии, не описываемые какой-либо закономерностью (незакономерные кривые линии). Кривая линия может быть также определена как однопараметрическое множество точек.
Плоской кривой линией называется линия, каждая точка которой принадлежит одной плоскости. В противном случае кривая линия называется пр остранственной (винтовая линия, линии пересечения двух поверхностей, из которых хотя бы одна является кривой поверхностью).
Если кривая образуется согласно какому-то закону и её образование может быть выражено математически, то такая кривая называется закономерной
кривой. Закономерные линии описываются уравнениями и делятся на алгебраические второго и высшего порядков и трансцендентные, описываемые тр игонометрическими функциями. Порядок кривой линии – это степень её уравнения
или количество точек пересечения кривой линии с прямой линией (для плоских
кривых) или количество точек пересечения с плоскостью (для пространственных линий).
Если образование кривой не может быть выражено математическим
уравнением, то такая кривая называется незакономерной.
Циркульными линиями называются линии, построение которых можно
осуществить циркулем (овал, овоид, завиток и др.).
Лекальными кривыми называются плоские закономерные линии, при вычерчивании которых используются лекала (эллипс, парабола, гипербола и др.).
Циклические кривые линии – это линии, повторяющиеся в процессе образования (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида и др.).
Аппроксимированные линии – это линии, приближенно замененные другими более удобными для вычерчивания линиями (например, эллипс иногда
заменяют овалом).
68
Наиболее часто в технике применяются лекальные кривые линии, которые могут быть плоскими и пространственными. К ним относятся эллипс, парабола, гипербола, эвольвента, циклоида, винтовая линия и др.
Для построения проекций кривой линии следует найти проекции нескольких её точек и соединить их плавной кривой линией.
На рис. 6.1 представлены особые точки кривых линий. Особыми точками
называются точки, в которых можно провести не одну, а две и более касательных или в которых изменяется направление движения точки или вращения касательной.
Точка перегиба – это точка, в которой кривая плавно переходит на другую
сторону касательной (точка А) (рис. 6.1, а).
Узловая точка – это точка, в которой кривая линия сама себя пересекает
(рис. 6.1, б) (точка В).
Точка возврата – это точка, в которой кривая имеет острие и в которой
касательная является общей для обеих ветвей кривой (рис. 6.1, в) (точка С).
Точка повторения – это точка, в которой кривая касается самой себя
(рис. 6.1, г) (точка D).
а)
б)
в)
г)
Рис. 6.1. Особые точки кривых линий
Проекции кривой линии имеют следующие свойства:
1) В общем случае проекция кривой линии есть кривая линия;
2) Если точка принадлежит кривой линии, то её проекции принадлежат
одноименным проекциям кривой;
3) Касательная к кривой линии проецируется в касательную к проекциям
кривой линии.
Кривая линия называется пространственной, если она всеми своими точками не лежит в одной плоскости. К пространственным кривым линиям относятся цилиндрическая и коническая винтовые линии.
69
Цилиндрической винтовой линией называется траектория точки, движущейся по образующей прямого кругового цилиндра, которая, в свою очередь,
вращается вокруг оси цилиндра. Расстояние, на которое перемещается точка по
образующей за один полный её оборот, называется шагом винтовой линии. Ось
цилиндра называется осью винтовой линии. Радиус основания цилиндра называется радиусом винтовой линии.
Рассмотрим построение цилиндрической винтовой линии, перпендикулярной к плоскости П1 с шагом h и радиусом R. Такая винтовая линия на плоскости П1 изобразится в виде окружности радиуса R.
Чтобы построить фронтальную проекцию винтовой линии, следует разделить её горизонтальную проекцию на несколько равных частей. В данном
случае разделим окружность на 8 частей. На такое же количество частей делим
фронтальную проекцию. В данном случае высота фронтальной проекции является шагом винтовой линии. Построение винтовой линии на рис. 6.2, а начато с
точки 1 (11,12).
При повороте точки на одну восьмую (1/8) часть дуги окружности она
соответственно переместится по высоте вдоль оси винтовой линии на 1/8 часть
шага (точки 21 и 22). При повороте точки на две восьмых дуги окружности точка переместится на две восьмых (2/8) высоты шага (точки 3 1 и 32) и т.д.
Соединив фронтальные проекции точек 12, 22, 32 и т.д. плавной кривой,
получим фронтальную проекцию цилиндрической винтовой линии. Цилиндрическая поверхность при построении винтовой линии считается непрозрачной
(рис. 6.2, а).
Различают правую и левую винтовую линии. Правой называют винтовую
линию, когда точки при подъёме вращаются против часовой стрелки, а её уч асток на передней части цилиндра имеют подъём слева направо. У левой винтовой линии точка вращается по часовой стрелке, а подъём кривой линии на передней части цилиндра справа налево (рис. 5.6, б, в).
Конической винтовой линией называют траекторию точки, которая движется равномерно по образующей конуса вращения, а образующая совершает
вращательное движение вокруг оси конуса с постоянной угловой скор остью.
Чтобы построить проекции конической винтовой линии, делим основание
конуса на восемь равных частей. Отметим точки 1010', 2020' и т.д. Проводим через эти точки проекции образующих. На фронтальной проекции заданный шаг
Н делим на то же количество частей. Через точки деления проводим горизо нтальные прямые (рис. 6.3, а). Точки 12, 22, 32 и т.д. фронтальной проекции винтовой линии определяются в пересечении фронтальных проекций образующих
конуса с соответствующими горизонтальными прямыми. Горизонтальная пр оекция конической винтовой линии строится по её фронтальной проекции. Последовательность построения показана на рис. 6.3, б. Горизонтальная проекция
конической винтовой линии представляет собой спираль Архимеда.
70
а)
б)
в)
Рис. 6.2. Цилиндрическая винтовая линия
а)
б)
Рис. 6.3. Коническая винтовая линия
71
6.2. Геометрические тела и поверхности
Геометрическое тело рассматривают как множество всех принадлежащих
ему точек, связанных между собой и ограниченных в пространстве соответствующим образом. Оно может перемещаться в пространстве без изменения
взаимного положения его элементов.
В инженерной графике рассматриваются одномерные тела (отрезок линии), двухмерные (плоская фигура, сечение поверхности), трехмерные (любая
объемная фигура). Основными предметами изображения на плоских чертежах
являются трехмерные геометрические тела, окружающие нас в реальном трехмерном пространстве.
Сложные геометрические тела можно рассматривать и как состоящие из
более простых трехмерных фигур, которые определяются основными формоо бразующими элементами пространства - точками, линиями, поверхностями.
Геометрические тела на чертежах получают методом отображения. Отображение геометрического тела - это понятие, в соответствии с которым каждой
точке трехмерного пространства соответствует конкретная точка двухмерного
пространства на чертеже. Отображение геометрических тел может быть выполнено на плоскость или какую-либо другую поверхность. В курсе инженерной
графики рассматривается отображение геометрических тел на плоскость. Изображение геометрического тела на плоскости можно получить путем проецир ования ее точек на эту плоскость.
Геометрическая связь между геометрическим телом, расположенным в
пространстве, и его отображением на чертеже на плоскости устанавливаются по
законам проецирования, которые базируются на принципе взаимнооднозначного соответствия.
Геометрическое тело - это замкнутая часть пространства, ограниченная
плоскими или кривыми поверхностями.
Все геометрические тела можно разделить на две группы:
1. Многогранники - геометрические тела с многогранными поверхностями (куб, призма, параллелепипед, пирамида).
2. Тела вращения - геометрические тела с кривыми поверхностями (цилиндр, конус, шар).
Форма каждого тела имеет свои характерные признаки.
6.2.1. Многогранники
Многогранники относятся к поверхностям, точнее - к гранным поверхностям, грани которых являются плоскостями.
Многогранниками
называются
тела,
ограниченные
плоскими
n-угольниками, которые называются гранями. Линии пересечения граней называются ребрами, точки пересечения каждых трёх или более плоскостей называется вершиной многогранника (рис. 6.4).
72
Рис. 6.4. Основные элементы многогранников
Если многогранная поверхность ограничивает со всех сторон некоторую
часть пространства, то она образует геометрическое тело, называемое многогранником.
Наиболее распространёнными видами многогранников являются призмы
и пирамиды.
Призма, у которой боковые грани перпендикулярны плоскости основания,
называется прямой (рис. 6.5, а). Если боковые грани призмы не перпендикулярны плоскости основания, то такая призма называется наклонной (рис. 6.5, б).
а)
б)
Рис. 6.5. Виды призматических поверхностей
Многогранник, у которого основание представляет собой многоугольник,
а боковые грани – треугольники, сходящиеся в одной точке – вершине, называется пирамидой.
Если высота пирамиды проходит через центр тяжести основания, то такая
пирамида называется прямой. При всех других случаях пирамида будет наклонной.
На ортогональных чертежах каждый многогранник должен быть изобр ажён двумя проекциями всех рёбер и вершин.
Если точка лежит на поверхности многогранника, то она располагается
либо на ребре, либо на грани этого многогранника (рис. 6.6).
73
Построение точки на ребре многогранника выполняется так же, как построение точки на прямой. Проекции точки на поверхности грани многогранника находятся так же, как проекции точки на плоскости. Сначала через проекцию точки проводится прямая, заведомо лежащая в плоскости грани. Затем эта
проекция прямой строится на другой проекции грани. Далее на этой проекции
прямой строится проекция точки (рис.6.6).
Рис. 6.6. Точки на поверхности многогранников
Построение любых проекций точек на поверхности многогранника также
можно осуществить при помощи образующих и направляющих.
6.2.2. Кривые поверхности
Кривые поверхности широко применяются в различных областях техники, архитектуры, строительства и т.д. Под поверхностью подразумевают непрерывное множество точек. Порядок поверхности равняется степени её уравнения. Иногда поверхность трактуют как непрерывное двухпараметрическое
множество точек.
В начертательной геометрии поверхность рассматривается как совокупность последовательных положений перемещающейся в пространстве линии.
Линия, которая перемещается, называется образующей. Линия, по которой перемещается образующая, называется направляющей. При своем перемещении
образующая может оставаться параллельной какому-либо направлению, какой74
либо плоскости или перемещаться по двум, трем направляющим. На рис. 6.7
дан пример образования конической (рис. 6.7, а) и цилиндрической (рис. 6.7, б)
поверхности.
а)
б)
Рис. 6.7. Образование линейчатых поверхностей
Чертёж поверхности представляет собой проекцию очерка поверхности.
Очерком поверхности называется проекция видимого контура поверхности относительно данной плоскости проекции. Контуром видимости поверхности является линия касания проецирующих лучей, огибающих (обёртывающих) данную поверхность при изображении её на плоскости проекций. На рис. 6.8 дано
образование очерковой образующей шара.
Рис. 6.8. Построение очерка шара
На рис. 6.9 дано построение очерковых образующих цилиндра на фронтальную и горизонтальную плоскость проекций.
75
Линия пересечения поверхности с плоскостью проекции называется следом поверхности на этой плоскости.
горизонтальная проекция
следа цилиндрической
поверхности
очерковые образующие
фронтальной проекции
цилиндра
очерковые образующие
горизонтальной
проекции цилиндра
Рис. 6.9. Построение очерка цилиндра
В зависимости от вида образующих все кривые поверхности можно разделить на два класса:
1. Поверхности с прямолинейными образующими – это линейчатые поверхности (рис. 6.7, а, б).
2. Поверхности с криволинейными образующими.
Линейчатые поверхности, в свою очередь, делятся на развёртываемые и
неразвёртываемые.
Развёртываемой называется поверхность, если её без складок и разрывов
можно совместить с плоскостью. У развёртываемых поверхностей смежные образующие параллельны друг другу или пересекаются друг с другом.
У поверхностей неразвёртываемых смежные прямолинейные образующие не параллельны друг другу и не пересекаются.
76
Все поверхности с криволинейными образующими неразвертываемые.
Из общей массы поверхностей выделяется особый класс поверхностей,
которые называются поверхностями вращения.
Поверхности вращения образуются вращением какой-нибудь образующей
прямой или кривой вокруг неподвижной прямой, которая является осью вращения.
При вращении кривой 6, 2, 1, 3 вокруг оси О-О (рис. 6.10, а) образуется
поверхность вращения. На рис. 6.10, б она представлена ортогональным чертежом, а на рис. 6.10, в дано её наглядное изображение.
Сечение поверхности вращения плоскостью, перпендикулярной оси вращения, представляет собой окружность. Все такие окружности называются параллелями поверхности.
Параллель наибольшего диаметра называется экватором, наименьшего
диаметра – горлом поверхности. На рис. 6.10, в окружность 1-1' – экватор,
окружность 2-2' – горло поверхности. Следы секущих плоскостей α2, β2 перпендикулярны оси вращения поверхности.
а)
б)
Рис. 6.10. Образование поверхности вращения
77
в)
Плоскость, проходящая через ось поверхности вращения, называется меридиональной плоскостью, а контур сечения поверхности такой плоскостью –
меридианом. Все меридианы представляют собой кривые, равные друг другу.
Рассмотрим образование некоторых наиболее часто встречающихся в
инженерной практике поверхностей.
Цилиндрическая поверхность представляет собой поверхность, образованную движением прямой линии по некоторой кривой линии. Причём прямая
во всех своих положениях остаётся параллельной некоторому постоянному
направлению (рис. 6.7, б). Если точка лежит на цилиндрической поверхности,
то она должна лежать на образующей этой поверхности. Замкнутая цилиндр ическая поверхность, заключённая между двумя параллельными плоскостями
образуют геометрическое тело – цилиндр. На рис. 6.11, а изображён прямой
цилиндр, на рис. 6.11, б – наклонный, а также показано положение точек на поверхности цилиндра.
а)
б)
Рис. 6.11. Цилиндрические поверхности
Коническая поверхность представляет собой поверхность, образованную движением прямой линии по некоторой направляющей. В данном случае
направляющей является окружность. Причём прямая во всех положениях про78
ходит через одну и ту же точку, называемую вершиной (рис. 6.12). Часть замкнутой конической поверхности, заключённой между её вершиной и плоскостью любого направления, образует геометрическое тело – конус. На рис 6.12,
а, б дано изображение прямого и наклонного конуса и определение положения
точки на их поверхностях.
а)
б)
Рис. 6.12. Конические поверхности
Цилиндроид – поверхность, образованная движением прямой линии по
двум не лежащим в одной плоскости направляющим – кривым линиям. При этом
прямая во всех положениях остаётся параллельной некоторой плоскости – плоскости параллелизма. На рис. 6.13 дано наглядное изображение цилиндроида.
Коноид – линейчатая поверхность, у которой одна направляющая является кривой линией, а вторая – прямой. Образующая во всех положениях параллельна некоторой плоскости параллелизма (рис. 6.14).
Косая плоскость (гиперболический параболоид) – частный случай цилиндроида и представляет собой поверхность, образованную движением пр ямолинейной образующей параллельно плоскости параллелизма по двум скрещивающимся направляющим прямым. Это АВ и СD. За плоскость параллелизма принята горизонтальная плоскость П1, образующая АС║П1 (рис. 6.15, а, б).
79
Косая плоскость относится к линейчатым поверхностям. Она образуется
движением прямой линии. Однако для этой поверхности образующей может
быть и кривая линия, например, парабола. Если эту поверхность пересечь плоскостью, параллельной плоскости П1, то в сечении получится гипербола. Поэтому косую плоскость также называют гиперболическим параболоидом.
Различные
положения
образующей
Направляющие
кривые
Рис. 6.13. Цилиндроид
Рис. 6.14. Коноид
80
Плоскость
параллелизма
Направляющие
кривые
Различные
положения
образующей
Плоскость
параллелизма
а)
б)
Рис. 6.15. Косая плоскость (гиперболический параболоид)
Гиперболоид вращения. Существуют два вида гиперболоида: однополостный и двуполостный (рис. 6.16, а, б). Однополостный гиперболоид получается при вращении гиперболы вокруг её мнимой оси.
а)
б)
Рис. 6.16. Гиперболоид вращения
Поверхность однополостного гиперболоида может быть образована и
вращением прямой линии (рис. 6.17). Это поверхность дважды линейчатая, т.е.
через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две и только две
его прямолинейные образующие. Проекции однополостного гиперболоида
строятся следующим образом.
81
Пусть ось i расположена перпендикулярно плоскости П1 (рис. 6.17). Когда
образующая АВ вращается вокруг оси i, каждая точка прямой перемещается в
пространстве по окружности (параллели), плоскость которой перпендикулярна
оси i. Таким образом, на плоскости П1 эта окружность проецируется без искажения, а на плоскость П2 – в виде горизонтальной прямой. Ближайшая к оси
вращения точка С образующей опишет окружность минимального радиуса. Это
будет окружность горла. Горизонтальные проекции всех образующих должны
касаться проекции окружности горла. Таким образом, каждое последующее положение прямолинейной образующей можно получать проведением касательных к проекции окружности горла.
На рис. 6.17 эта окружность разделена на двенадцать частей. К проекции этой
окружности в точке Е1 проведена касательная А1'В1', а горизонтальная проекция образующей повёрнута на 30°. Фронтальная проекция этой касательной определяется
точками А2'В2', каждая из которых расположена в плоскости своей параллели.
Остальные образующие строятся аналогично. Форма поверхности гиперболоида зависит от следующих параметров D1, D и Н, а также и от диаметра горла поверхности.
Рис. 6.17. Гиперболоид, образованный прямой линией
82
Тор – поверхность вращения, образованная вращением окружности (дуги
окружности) вокруг компланарной с ней прямой (оси тора). Ось вращения тора
не совпадает с центром окружности. Торы характеризуются большим многообразием форм. На рис. 6.18, а показан тор открытый, на рис. 6.18, б – тор самоприкасающийся, на рис. 6.18, в – тор закрытый. Если центр окружности принадлежит оси вращения, то образуется сферическая поверхность (рис. 6.18, г).
Глобоид является частным случаем тора (рис. 6.18, д).
При вращении эллипса и параболы вокруг осей образуются соответственно эллипсоид (рис. 6.18, е), параболоид (рис. 6.18, ж).
а)
б)
г)
в)
д)
е)
ж)
Рис. 6.18. Поверхности вращения
Винтовые поверхности – это поверхности, которые образуются винтовым перемещением образующей в соответствии с рис. 6.19. Винтовые поверхности могут быть образованы как криволинейной, так и прямолинейной обр азующей. Непременным условием образования винтовой поверхности является
условие перемещения образующей по винтовой линии.
83
На рис. 6.19, а показан винтовой коноид (прямой геликоид), на рис. 6.19, б
– косой геликоид. На рис. 6.19, в – эвольвентный геликоид, на рис. 6.18, г – конволютный геликоид.
а)
б)
в)
г)
Рис. 6.19. Винтовые поверхности
Прямой геликоид получается в результате движения прямой образующей,
которая, пересекая ось под прямым углом, вращается вокруг оси по винтовой
линии. Косой геликоид (Архимедов геликоид) получается в результате движения образующей, которая пересекает ось под углом, не равным 90 градусов.
Эвольвентный геликоид образуется, когда образующая во всех своих положениях остается касательной к цилиндрической винтовой линии. Угол
наклона образующей к плоскости П1 равен углу подъема винтовой линии.
Конволютный геликоид образуется, когда образующая скользит по винтовой линии, оставаясь касательной к цилиндру. Угол наклона образующей к
плоскости П1 не равен углу подъема винтовой линии.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
Какие плоские и пространственные кривые вы знаете?
Какие две группы геометрических тел вы знаете?
Какие геометрические признаки характеризуют многогранники?
Какие поверхности относятся к криволинейным?
На какие классы делятся криволинейные поверхности?
Что такое очерк поверхности?
Какие поверхности являются развёртываемыми, а какие неразвёртываемыми?
8. Какие геометрические тела относятся к телам вращения?
9. Дайте определения особым линиям на поверхности вращения.
10. Что нужно помнить при построении проекций точек расположенных на
поверхности геометрических тел?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
84
ЛЕКЦИЯ №7
СЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ ПЛОСКОСТЯМИ
Понятие о сечении.
Пересечение тел проецирующими плоскостями.
Пересечение тел плоскостью общего положения.
Построение натуральной величины фигуры сечения.
Пересечение тел прямой линией.
Касательные плоскости к поверхности.
7.1. Понятие о сечениях геометрических тел
Построение пересечения тел плоскостями часто встречается при изобр ажении внешних очертаний деталей машин и приборов, при выявлении внутренних очертаний деталей и во вспомогательных построениях (нахождение точек встречи прямой с поверхностью, отыскание линий пересечения двух поверхностей и др.).
Детали машин и приборов очень часто имеют формы, представляющие
собой различные геометрические поверхности. Пылесборник машины для
очистки литых деталей (рис. 7.1, а) представляет собой усеченный цилиндр.
Форма крышки трубы пылесборника является фигурой сечения прямого кругового цилиндра и представляет собой эллипс. Пример сечения прямого кругового конуса приведен на рис. 7.1, б. Колпак сепаратора представляет собой сварную конструкцию из тонкой листовой стали и состоит из двух конусов.
а)
б)
Рис. 7.1. Варианты сечений в реальных конструкциях
Кроме того, иногда необходимо выполнить развёртки поверхности полых
деталей, усечённых плоскостью. Это применяется в раскрое листового материала, из которого изготовляются полые детали. Такие детали обычно представляют собой части всевозможных трубопроводов, вентиляционных ус тройств,
кожухов для закрытия механизмов, ограждения станков и т.п. (рис. 7.2).
85
Рис. 7.2. Развертка трубы
При изучении темы «Сечение поверхностей геометрических тел плоскостями» нужно обратить особое внимание на построение опорных точек при выполнении сечений.
«Сечение – изображение фигуры, получающеёся при мысленном рассечении
предмета одной или несколькими плоскостями. На сечении показывается только
то, что получается непосредственно в секущей плоскости» (ГОСТ 2.305-68).
Построения прямоугольных и аксонометрических проекций усечённых
тел, а также определение истинного вида сечений и развёрток поверхностей
геометрических тел часто используются на практике.
Рассекая геометрическое тело плоскостью, получают сечение – ограниченную замкнутую линию, все точки которой принадлежат как секущей плоскости, так и поверхности тела.
Нужно обратить внимание на то, что при пересечении многогранника с
плоскостью в сечении получается многоугольник с вершинами, расположенными на ребрах многогранника, а при пересечении тел вращения фигура сеч ения ограничена плавной кривой линией. Точки этой кривой находят с помощью
вспомогательных линий, взятых на поверхности тела (например, образующих
конуса и цилиндра). Точки пересечения образующих с секущей плоскостью будут принадлежать кривой линии сечения.
Для того чтобы определить действительную величину сечений, необходимо знать способы преобразования плоскостей проекций: способ вращения и
способ перемены плоскостей проекций.
В качестве вспомогательных к комплексным чертежам применяют аксонометрические проекции. Это делают в тех случаях, когда нужно дать наглядное изображение предмета.
7.2. Сечение призмы проецирующей плоскостью
Из комплексного чертежа на рис. 7.3 видно, что плоскость Р П2 пересекает
не только боковую поверхность, но и верхнее основание призмы. Поэтому фигура сечения представляет собой плоский шестиугольник 1-2-3-4-5-6. Для по86
строения проекций фигуры сечения находят проекции точек пересечения пло скости РП2 с ребрами призмы и соединяют их прямыми линиями. Фронтальные
проекции этих точек получаются при пересечении фронтальных проекций ребер призмы со следом РП2, секущей плоскости Р (точки 12 – 62).
Горизонтальные проекции точек пересечения 1-6 совпадают с горизонтальными проекциями ребер.
Имея фронтальные и горизонтальные проекции этих точек, с помощью
линий связи находят профильные проекции 13 – 63 Полученные точки соединяют прямыми линиями и получают профильную проекцию фигуры сечения.
Действительный вид фигуры сечения можно определить любым из известных способов преобразования чертежа: вращения, совмещения или замены
(перемены) плоскостей проекций.
В данном примере (рис. 7.3) применён способ замены (перемены) плоскостей проекций. Горизонтальная плоскость проекций заменена новой плоскостью, причём ось Х1, для упрощения построений, параллельна фронтальному
следу плоскости Р и проходит по РП2.
Для нахождения новой горизонтальной проекции какой-либо точки фигуры сечения (например, точки 1) необходимо выполнить следующие построения.
Из проекции 12 , на фронтальном следе плоскости Р, восстанавливают перпендикуляр к новой оси Х1, и откладывают на нем расстояние от прежней оси Х до
прежней горизонтальной проекции точки 11, т.е. отрезок n1. В результате получают точку 14. Таким же способом построения находят и остальные горизо нтальные проекции точек 24-64. Соединив прямыми линиями новые горизонтальные проекции 14-64, получают натуральную величину фигуры сечения (рис. 7.3).
7.3. Сечение цилиндра проецирующей плоскостью
Построение плоского сечения прямого кругового цилиндра аналогично
построению плоского сечения призмы, так как прямой круговой цилиндр можно рассматривать как прямую призму с бесчисленным количеством ребер - образующих цилиндра. Наклонное сечение цилиндра является эллипсом, сечение
плоскостью, параллельной оси, представляет собой прямоугольник. В сечении
цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси, образуется окружность.
На рис. 7.4 даны три проекции прямого кругового цилиндра, пересеченного фронтально-проецирующей плоскостью Р. Из комплексного чертежа видно, что фронтально-проецирующая плоскость Р пересекает не только боковую
поверхность, но и верхнее основание цилиндра. Как известно, плоскость, расположенная под углом к оси цилиндра, пересекает его по эллипсу. Следовательно, фигура сечения в данном случае представляет собой часть эллипса.
Натуральная величина фигуры сечения получена способом замены (перемены) плоскостей проекций. Горизонтальная плоскость проекций заменена новой. Новая ось проекций проходит по фронтальному следу плоскостью РП2 (построение аналогично рис. 7.3).
87
Рис. 7.3. Сечение призмы проецирующей плоскостью
7.4. Сечение пирамиды проецирующей плоскостью
Правильная пятигранная пирамида, пересеченная фронтальнопроецирующей плоскостью Р, показана на рис. 7.5.
Как и в предыдущих примерах, фронтальная проекция сечения совпадает
с фронтальным следом PП2 плоскости. Горизонтальную и профильную проекции фигуры сечения строят по точкам, которые являются точками пересечения
плоскости Р с ребрами пирамиды. Натуральная величина фигуры сечения получена способом замены (перемены) плоскостей проекций.
88
Рис. 7.4. Сечение цилиндра проецирующей плоскостью
7.5. Сечение конуса проецирующей плоскостью
При различном расположении секущей плоскости Р по отношению к оси
прямого кругового конуса получают различные фигуры сечения, ограниченные
большей частью кривыми линиями.
Сечение прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Р рассматривается на рис. 7.6. Основание конуса расположено на горизонтальной плоскости П1. Фигура сечения в данном случае будет ограничена
эллипсом.
89
Рис. 7.5. Сечение пирамиды проецирующей плоскостью
Для построения горизонтальной проекции контура фигуры сечения – горизонтальную проекцию основания конуса (окружность) делят, например, на 12
равных частей. Через точки деления на горизонтальной и фронтальной проекции
проводят вспомогательные образующие. Сначала находят фронтальные проекции точек сечения 12 – 122, лежащих на фронтальном следе плоскости РП2. Затем
с помощью линий связи находят их горизонтальные проекции. Например, горизонтальная проекция точки 2, расположенной на образующей S2-22, проецируется на горизонтальную проекцию этой же образующей S1-21 в точку 21.
Найденные горизонтальные проекции точек контура сечения соединяют по
лекалу. Действительный вид фигуры сечения в данном примере найден способом
замены (перемены) плоскости проекций. Плоскость П1 заменяется новой плоскостью проекции П4. Чтобы получить новую горизонтальную проекцию какой-либо
90
точки проекции эллипса, например точки 14, из точки 12 восстанавливают перпендикуляр и откладывают на нем отрезок равный расстоянию n (рис. 7.6).
Рис. 7.6. Сечение конуса проецирующей плоскостью
В табл. 7.1 приведены варианты сечений прямого кругового конуса проецирующими плоскостями, занимающими различные положения в пространстве.
Если секущая плоскость проходит параллельно основанию, то в сечении
получается окружность, радиус которой равен расстоянию от оси конуса до о бразующей вдоль следа секущей плоскости.
Если секущая плоскость не параллельна основанию и пересекает обе
очерковые образующие, то в сечении получается эллипс.
91
Если секущая плоскость пересекает одну из образующих и угол её наклона равен углу наклона образующей, то в сечении образуется парабола. Плоскость, параллельная оси конуса, в сечении образует гиперболу.
Плоскость, проходящая через вершину конуса, в сечении образует треугольник.
Таблица 7.1
Положение секущей
плоскости
Фронтальная проекция
Фигура сечения
Плоскость
перпендикулярна
оси конуса
Плоскость
пересекает
все
образующие
конуса
Плоскость
параллельна
образующей
конуса
Плоскость
параллельна
двум
образующим
конуса
а)
б)
а)
Плоскость
проходит
через
вершину
конуса
92
б)
На рис. 7.7 показан еще один способ построения контура сечения при помощи вспомогательных секущих плоскостей α, β, γ. Секущие плоскости проходят параллельно основанию конуса, в сечении получаются окружности, радиусы которых равны расстоянию от оси конуса до образующей вдоль следа секущей плоскости. Так от секущей плоскости β получается сечение радиусом R.
Рис. 7.7. Метод вспомогательных секущих плоскостей
7.6. Сечение сферы проецирующей плоскостью
Всякое сечение сферы есть окружность, если проецирование происходит
в направлении, перпендикулярном плоскости сечения, и эллипс, если это не с облюдается. Диаметр окружности определяется отрезком d, совпадающим с вырожденной проекцией секущей плоскости внутри очерка сферы (рис. 7.8). Две
93
другие проекции окружности сечения имеют форму эллипсов, для построения
которых следует определить размеры их осей.
Рис. 7.8. Сечение сферы проецирующей плоскостью
Большая ось эллипсов равна диаметру d окружности сечения, а величина
малой оси зависит от угла наклона секущей плоскости к плоскости проекций.
Плоскость Σ (Σ2) – фронтально проецирующая. Она пересекает сферу по окружности с центром в точке О (О2) диаметром d=А2В2, где А – наивысшая, а В – наинизшая точка линии сечения. Эти точки лежат на главном меридиане f сферы.
Горизонтальные А1 и В1 и профильные А3 и В3 проекции точек сечения
строим по линиям связи на горизонтальной f1 и профильной f3 проекциях главного меридиана сферы. Окружность сечения на П1 и П3 изображаем эллипсом,
размер малых осей которого определяем проекциями А1В1 и А3В3 диаметра АВ.
Диаметр СD, перпендикулярный диаметру АВ, проецируется в точку на
П2 (C2≡D2) и без искажения на П1 и П3 (C1D1=d и C3D3=d), т.к. является фронтально проецирующим отрезком (CD⊥П2) и определяет большую ось эллипсов.
Окружность сечения частично не видима на П1 и на П3. Точки видимости на П1
94
определяем в пересечении экватора h с плоскостью Σ (точки Е и F); Е1 и F1 h1;
Е3 и F3 h3.
Точки Е3 и F3 строим по их глубинам, измеренным на П1. Точки видимости на П3 определяем в пересечении профильного меридиана с секущей плоскостью (точки К и L). Сначала строим профильные проекции К3 и L3 этих точек, а затем по их глубинам, измененным на П3, строим горизонтальные К1 и L1
проекции.
Опорные точки строим все. На рис. 7.8 построена пара промежуточных
точек M и N, уточняющих форму горизонтальной и профильной проекций
окружности сечения. Недостающие проекции точек строим с помощью вспомогательной параллели – окружности радиуса R из условия принадлежности этих
точек секущей плоскости (М2≡N2) и поверхности сферы. Проекции М1 и N1
строим по вертикальной линии связи на дуге окружности радиуса R, а М3 и N3 –
по горизонтальной линии связи с помощью глубин точек, измеренных на П1.
Истинный размер сечения получаем на поле П4, расположенном параллельно секущей плоскости Σ, как окружность диаметра d с центром в
точке О4. Затем в проекционной связи на этой окружности отмечаем проекции всех точек, с помощью которых строили горизонтальную и профильную
проекции сечения.
7.7. Сечение геометрических тел плоскостью общего положения
Если секущая плоскость задана не следами, то для построения сечения
любого геометрического тела плоскостью общего положения необходимо секущую плоскость преобразовать в плоскость частного положения. Задачу можно решить методом замены плоскостей проекций.
Рассмотрим решение задачи на примере сечения правильной пятигранной
пирамиды плоскостью общего положения заданной треугольником (рис. 7.9).
Чтобы преобразовать плоскость общего положения в плоскость частного
положения, проведём в этой плоскости горизонталь, но в нашем случае построения делать не надо, т.к. сторона треугольника АС уже является горизонтальной прямой (горизонталью h). Затем расположим новую плоскость П4 перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали (А1С1 – h1).
На эпюре в этом случае горизонтальная проекция горизонтали А1С1 будет
перпендикулярна оси Х1. Далее строим в новой плоскости проекций П4 проекции пирамиды и секущей плоскости. На плоскости П4 секущая плоскость спроецируется в виде прямой линии. Соответственно и контур сечения изобр азится
в одну линию 1424344454. Спроецировав точки 1, 2, 3, 4, 5 на горизонтальную и
фронтальную проекцию пирамиды, получим соответствующие проекции контура сечения (рис. 7.9).
Чтобы определить натуральную величину сечения также используем метод замены плоскостей проекций, а для компактности построений - способ пло95
скопараллельного перемещения.
Новую плоскость П5 и ось Х2 введем параллельно полученному в П4 контуру сечения, ось Х2 проведем непосредственно по проекции сечения. Введенная плоскость параллельна сечению, поэтому в плоскости П5 оно отобразится в
натуральную величину (рис. 7.9).
Рис. 7.9. Сечение пирамиды плоскостью общего положения
7.8. Пересечение поверхности прямой линией
Решение задачи о пересечении прямой с поверхностью геометрического
тела осуществляется по методике, аналогичной методике решения задачи о пе96
ресечении прямой с плоскостью. Через прямую проводят вспомогательную
плоскость частного положения, строят сечение геометрического тела вспомогательной плоскостью и находят общие точки прямой и построенного сечения.
Полученные точки являются точками встречи прямой с поверхностью геометрического тела (точки входа и выхода). Таким образом, задача сводится к решению задачи о построении сечения геометрического тела плоскостью частного положения.
Если заданная прямая не пересекает полученный контур сечения, это
означает, что прямая с поверхностью фигуры не пересекается.
На рис. 7.10 для определения точек пересечения прямой с поверхностью
пирамиды используется фронтально-проецирующая плоскость α. Все остальные построения понятны из чертежа.
Рис. 7.10. Пересечение пирамиды прямой линией
Если прямая занимает частное положение, то задача значительно упрощается (рис. 7.11, а), т.к. заключив прямую во вспомогательную плоскость, сра97
зу получают в сечении простую геометрическую фигуру, в данном случае окружность радиуса R.
В случае пересечения прямой общего положения с конусом в качестве
вспомогательной плоскости используют плоскость общего положения, проходящую через вершину конуса S. Вспомогательную плоскость задают двумя пересекающимися прямыми EF и S3 (рис. 7.11, б). В сечении конуса такой вспомогательной плоскостью образуется треугольник. Определим следы прямых,
для прямой EF – это будет точка М', а для прямой S3 – точка М. Через найденные проекции следов М1 и М'1 проведём горизонтальный след вспомогательной
плоскости α1. Отметив точки 1 и 2, соединим их с вершиной конуса S. Таким
образом, контур сечения представляет собой треугольник 1,2,S.
Там, где контур сечения пересекает заданная прямая EF, там и будут точки пересечения К и N прямой с поверхностью конуса.
При решении данной задачи использование в качестве вспомогательных
горизонтально- или фронтально-проецирующих плоскостей нерационально, так
как они в сечениях образуют эллипс и гиперболу, построение которых связано
с большой трудоемкостью и неточностью.
а)
б)
Рис. 7.11. Пересечение конуса прямой линией
В некоторых случаях для упрощения решения применяют методы преобразования для того чтобы получить в сечении более удобные для построения
кривые линии, например, окружность известного диаметра (рис. 7.12).
98
Для определения точек пересечения через прямую АВ проведена вспомогательная плоскость Σ, перпендикулярная плоскости П2, т.е. фронтальнопроецирующая плоскость. Эта плоскость пересечёт сферу по окружности диаметром d. Затем заменяем плоскость П1 на плоскость П4. Плоскость П4 параллельна вспомогательной плоскости Σ, в которой лежит прямая АВ и окружность, по которой вспомогательная плоскость пересекает сферу. Окружность
проецируется на плоскость П4 без искажения. Точки пересечения N4 и M4 прямой АВ c окружностью и являются искомыми (рис. 7.12).
Рис. 7.12. Пересечение сферы прямой линией
7.9. Касательные плоскости к поверхности
При изображении кривых поверхностей иногда требуется проведение касательных плоскостей. Касательные плоскости широко используются в теории
и практике зубчатого зацепления.
99
Плоскостью, касательной к поверхности в некоторой её точке, называют
плоскость, образованную касательными, проведенными к всевозможным кр ивым, принадлежащим поверхности и проходящим через ту же точку.
Касательная плоскость может иметь с поверхностью одну или множество
общих точек. Элементами касания в соответствии с рис. 7.13 могут быть точка,
прямая линия, кривая линия общего вида, окружность.
Если касательная плоскость имеет с поверхностью только одну общую
точку, то все линии поверхности, проходящие через эту точку, будут расположены по одну сторону от касательной плоскости. Такие точки касания называются эллиптическими (рис. 7.13, а).
Если плоскость касается поверхности по прямой образующей, то точки
касания называются параболическими (рис. 7.13, б).
В случае если имеются точки поверхности, касательная к которым пересекает поверхность, то такие точки называются гиперболическими (рис. 7.13, в).
Частный случай касания по окружности показан на рис. 7.13, г.
а)
б)
в)
г)
Рис. 7.13. Касательные плоскости
100
На рис. 7.14 приведен пример проведения касательной плоскости к сфере
в точке A. Касательная плоскость проведена с помощью вспомогательных
плоскостей α и β, проведенных через точку A.
В сечениях сферы вспомогательными плоскостями (горизонтальная α и
фронтальная β плоскости) образуются окружности, проходящие через точку A.
Проводим в точках A1 и A2 две касательные прямые к окружностям и получаем касательную плоскость, заданную двумя пересекающимися прямыми.
Рис. 7.14. Касательная плоскость к сфере
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Что называется сечением?
2. Особенности построения сечений многогранников проецирующей плоскостью.
3. Особенности построения сечений кривых поверхностей проецирующей
плоскостью.
4. Каким методом можно найти натуральную величину сечения?
5. Какие варианты сечений прямого кругового конуса проецирующими плоскостями вы знаете?
6. Алгоритм построения сечения поверхности плоскостью общего положения.
7. Как найти точки пересечения прямой с поверхностью?
8. В чем особенность нахождения точек пересечения прямой линии с конусом?
9. Как найти точки пересечения прямой линии со сферой?
10. Как можно построить касательную плоскость к поверхности?
101
ЛЕКЦИЯ №8
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Построение линий пересечения поверхностей тел при помощи вспомогательных секущих плоскостей.
Взаимное пересечение поверхностей вращения, имеющих общую ось.
Построение линий пересечения поверхностей тел при помощи концентрических сфер.
Пересечение двух проецирующих поверхностей, одной проецирующей другой не проецирующей, двух не проецирующих поверхностей.
8.1. Основные методики построения линий пересечения
Задачи на построение линии пересечения поверхностей являются наиболее значимыми в курсе начертательной геометрии, как с теоретической, так и с
практической точки зрения. Основные методики решения упомянутых задач
широко используются в различных отраслях промышленности.
Линия, общая для обеих пересекающихся поверхностей, называется линией пересечения. Построение линий пересечения и их разметка на различных
металлоконструкциях является одной из главных и сложных инженерных задач.
Существуют различные частные случаи пересечения поверхностей, обусловленные геометрическими и математическими закономерностями (рис. 8.1).
Две цилиндрические поверхности с параллельными осями пересекаются
по прямым линиям, соединяющим точки пересечения оснований цилиндров
(рис. 8.1, а). Две конические поверхности с общей вершиной пересекаются по
прямым линиям, соединяющим вершину и точки пересечения оснований
(рис. 8.1, б). Соосные поверхности вращения второго порядка пересекаются по
окружностям, фронтальная проекция которых является прямыми линиями
(рис. 8.1, в).
Соосные со сферой тела вращения пересекаются по окружностям, фро нтальная или горизонтальная проекции которых являются прямыми линиями
(рис. 8.1, г).
Если две поверхности второго порядка описаны вокруг одной и той же
сферы, то линия их пересечения распадается на две кривые линии второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пер есечения линий касания (теорема Монжа). Сказанное означает, что на одной из
проекций линии пересечения являются прямыми линиями, соединяющими противоположные характерные точки. Характерными точками являются точки пересечения образующих линий поверхностей.
В начертательной геометрии разработано множество методов построения
линии пересечения поверхностей. Самыми распространенными методами являются метод секущих вспомогательных плоскостей и метод концентрических сфер.
102
а)
б)
в)
Параболоид
Гиперболоид
Конус
Эллипсоид
Сфера
Цилиндр
Тор
г)
Рис. 8.1. Частные случаи пересечения поверхностей
103
Сущность метода вспомогательных секущих плоскостей заключается в
том, что при помощи секущих плоскостей находятся общие точки, принадлежащие пересекающимся поверхностям. Наглядно суть метода представлена на
рис. 8.2. Он содержит общий порядок решения:
1. Поиск характерных точек и построение их проекций (точки K и L). Характерные (опорные) точки – это точки, расположенные на контурах поверхностей – так называемые точки смены видимости, крайние левые или крайние
правые;
2. Ввод секущей вспомогательной плоскости. В качестве вспомогательных плоскостей берут плоскости частного положения, которые образуют в с ечениях поверхностей простые фигуры (принцип простых сечений);
3. Строят сечения поверхностей вспомогательной плоскостью (сечение 1
и сечение 2);
4. Находят общие точки обоих сечений (точки 1 и 2). Эти точки называют
промежуточными, или случайными;
5. Пункты 2, 3, 4 повторяют несколько раз (в учебных чертежах 5-7 раз) c
новыми вспомогательными плоскостями;
6. Полученные точки соединяют плавной линией с учетом видимости
проекций.
Сечение 1
Сечение 2
Рис. 8.2. Построение линии пересечения
методом вспомогательных секущих плоскостей
104
Следует помнить, что проекция линии пересечения всегда лежит в площади наложения. Площадь наложения – это площадь, общая для двух пересекающихся поверхностей.
При построении линии пересечения двух поверхностей могут встретиться
два случая. В первом случае все рёбра или образующие одной поверхности участвуют в пересечении. В этом случае линии пересечения образуют две замкнутые
кривые или ломаные линии. Такое пересечение называется полным (рис. 8.3, а).
Во втором случае в пересечении участвуют не все рёбра или образующие
одной из поверхностей. Такое пересечение называется частичным. Линия пересечения в этом случае представляет собой одну замкнутую ломаную или кривую
линию (рис. 8.3, б).
а)
б)
Рис. 8.3. Два случая пересечения поверхностей
Метод концентрических сфер основан на частном случае пересечения поверхностей (пересечение тел вращения со сферой, когда ось тел проходит через
центр сферы) (рис. 8.1, в). Сущность метода сфер заключается в том, что поверхности пересекают не плоскостями, а сферами. Это объясняется тем, что
всякая сфера с центром на оси поверхности вращения пересекает любую поверхность вращения по окружности, т.е. по линии, построение которой не вызывает затруднений. Далее находят линии пересечения поверхностей с проведенной сферой, после чего находят общие точки линий пересечения. Полученные точки являются точками линии пересечения поверхностей (рис. 8.4).
Центр сфер, как правило, выбирают в точке пересечения осей поверхностей. Максимальный радиус сфер равен расстоянию от центра сфер до наиболее
удаленной характерной точки. Минимальный радиус сфер равен максимальной
нормали, проведенной из центра сфер на боковую поверхность пересекающихся объектов.
105
Рис. 8.4. Метод концентрических сфер
8.2. Пересечение поверхностей многогранников
При пересечении двух многогранников линия пересечения поверхностей
представляет собой ломаную линию.
Если ребра двух многогранников, в рассматриваемом примере пересекаются две призмы, взаимно перпендикулярны (рис. 8.5), то линия пересечения
строится следующим образом.
Горизонтальная и профильная проекции линии пересечения совпадают
соответственно с горизонтальной проекцией пятиугольника (основание одной
призмы) и с профильной проекцией четырехугольника (основание другой
призмы). Фронтальная проекция ломаной линии пересечения строят по точкам
пересечения ребер одной призмы с гранями другой.
Например, взяв горизонтальную 11 и профильную 13 проекции точки 1
пересечения ребер пятиугольной призмы с гранью четырехугольной и польз уясь известным приемом построения, с помощью линии связи можно легко
найти фронтальную проекцию 12 точки 1, принадлежащей линии пересечения
призм (рис. 8.5, а).
Изометрическая проекция двух пересекающихся призм (рис. 8.5, б) может
быть построена по координатам соответствующих точек.
106
а)
б)
Рис. 8.5. Пересечение двух призматических поверхностей
107
Например, изометрическую проекцию двух точек 5 и 51, симметрично
расположенных на левой грани пятиугольной призмы, строят так. Принимая
для удобства построений за начало координат точку О, лежащую на верхнем
основании пятиугольной призмы, откладываем влево от О по оси X отрезок ОЕ,
величину которого берут с комплексного чертежа на фронтальной или горизонтальной проекции. Далее из точки Е вниз параллельно оси Z откладываем отрезок ЕЕ, равный а, и, наконец, от точки F влево и вправо параллельно оси Y откладываем отрезки F5 и F51, равные с/2.
Далее от точки F параллельно оси X откладываем отрезок п, взятый с
комплексного чертежа. Через его конец проводим прямую, параллельную оси Y,
и откладываем на ней отрезок, равный c. Вниз параллельно оси Z откладываем
отрезок, равный b, и параллельно Y - отрезок, равный k. В результате получаем
изометрию основания четырехугольной призмы.
Точки 1 и 4 на ребрах пятиугольной призмы можно построить, используя
только одну координату Z.
Линию пересечения поверхностей четырехугольной призмы с четырехугольной пирамидой (рис. 8.6, а) строят по точкам пересечения ребер одного
многогранника с гранями другого многогранника.
Например, проекции точек 1 и 3 искомой линии пересечения находят следующим образом. Фронтальные проекции 12 и 32 очевидны. Профильные проекции 13 и 33 и горизонтальные 1 и 3 находят с помощью линий связи. Аналогично находят точки 2 и 4.
На рис. 8.6, б и в показана последовательность построения диметрической
проекции. Сначала строят пирамиду. Для построения призмы от точки О откладывают отрезок ОО' взятый с фронтальной проекции комплексного чертежа
(О2О2'), и получают точку О' (рис. 8.6, б). Через точку О' проводят параллельно
оси X ось симметрии призмы и по ней от точки О' откладывают вправо и влево
половины высоты призмы. Через точки О1 и О2 проводят прямые, параллельные
осям Y и Z, на которых откладывают соответственно половину и целую длину
диагоналей четырехугольника основания призмы. Соединив концы диагоналей
прямыми, получают диметрическую проекцию основания призмы.
Диметрические проекции точек пересечения 2, 4, 6, 8 ребер призмы и пирамиды получаются без дополнительных построений (рис. 8.6, в).
Диметрические проекции точек пересечения 1, 3, 5, 7 ребер пирамиды с
гранями призмы находят по координатам.
В этом примере диметрические проекции точек 1, 3, 5 и 7 можно построить иначе. От середины левого основания призмы - точки О1 - откладываем
вверх и вниз по оси Z соответственно отрезки m и n, взятые с комплексного
чертежа. Через концы отрезков m и n проводят прямые, параллельные оси Y, до
пересечения с контуром основания призмы в точках А, В, С и D. Через эти точки проводят прямые, параллельные оси X, до пересечения с ребрами пирамиды.
В результате получают искомые точки 1, 3, 5 и 7.
108
а)
б)
в)
Рис. 8.6. Пересечение призмы с пирамидой
109
8.3. Пересечение криволинейных поверхностей
На рис. 8.7. показан пример пересечения поверхностей прямого кругового
усеченного конуса, имеющего вертикальную ось, с цилиндром, расположенным
горизонтально. Оси цилиндра и конуса пересекаются в точке О и лежат в одной
плоскости. Линия пересечения представляет собой ломаную линию.
Как и ранее, сначала определяют проекции очевидных 1, 7 и характерных
4, 10 точек линии пересечения. Для определения промежуточных точек проводят вспомогательные горизонтальные секущие плоскости Pw1, ..., Pw5
(рис. 8.7, а). Они будут рассекать конус по окружностям, а цилиндр по образующим (рис. 8.7, б). Искомые точки линии пересечения находятся на пересечении образующих с окружностями.
Для определения горизонтальных проекций точек пересечения из центра
О проводят горизонтальные проекции дуг окружностей (рис. 8.7, а), по которым вспомогательные плоскости Pw1, ..., Pw5 пересекают конус. Размеры радиусов этих дуг окружностей взяты с профильной проекции.
Так как профильные проекции точек 13, ..., 123 известны, то, проводя линии связи до пересечения с соответствующими дугами окружностей, находят
горизонтальные проекции точек 1, ..., 12. Используя линии связи, по двум имеющимся проекциям, профильной и горизонтальной, находим фронтальные проекции точек 12, ..., 122. Полученные на фронтальной и горизонтальной проекциях точки, принадлежащие к линии пересечения, обводим по лекалу.
На горизонтальной проекции часть линий пересечения будет видимой, а
часть – невидимой. Границу этих частей линии пересечения определяют с помощью вспомогательной секущей плоскости Pw3, проведенной через ось цилиндра на профильной проекции. Точки, расположенные над плоскостью Pw3,
будут на горизонтальной плоскости видимыми, а точки, расположенные под
плоскостью Pw3, - невидимыми.
Изометрическую проекцию пересекающихся поверхностей цилиндра и
конуса начинают вычерчивать с изометрической проекции конуса (рис. 8.7, б).
Затем от центра ОК нижнего основания конуса по его оси вверх откладывают
координату ОКО = h и получают точку О, через которую проводят ось цилиндра параллельно изометрической оси X. От точки О по этой оси откладывают
координату X = ОО' точки О' - центра окружности основания цилиндра.
Для построения линии пересечения находят изометрические проекции
точек этой линии с помощью их координат, взятых с комплексного чертежа. За
начало координат принимается точка О' (центр основания цилиндра). Параллельно оси Y проводят до пересечения с овалом следы плоскостей сечения с координатами по оси Z, взятых с профильной проекции. Из полученных точек А,
В, ... параллельно оси X проводят прямые - образующие цилиндра, на них откладывают координаты A1, В2, ..., взятые с фронтальной проекции комплексного чертежа, и получают точки 1, 2, ..., принадлежащие искомой линии пересечения. Через найденные точки проводят кривую линию по лекалу.
110
а)
б)
Рис. 8.7. Пересечение поверхностей цилиндра и конуса
111
При выполнении машиностроительных чертежей наиболее часто встречается случай пересечения двух цилиндрических поверхностей, оси которых расположены под углом 90°.
Разберем пример построения линии пересечения поверхностей двух прямых круговых цилиндров, оси которых перпендикулярны к плоскостям проекций (рис. 8.8).
В начале построения, как известно, находим проекции очевидных точек 1,
7 и 4. Построение проекций промежуточных точек с помощью вспомогательных секущих плоскостей нецелесообразно, так как горизонтальная проекция
искомой линии пересечения поверхностей совпадает с основанием большого
цилиндра, а профильная проекция - с основанием малого цилиндра. Таким образом, фронтальную проекцию искомой линии пересечения легко найти по о бщему правилу построения кривой линии по точкам, когда две проекции точек
известны. Например, по горизонтальной проекции точки 31 (рис. 8.8, а) находят
профильную проекцию 33. По двум проекциям 31 и 33 определяют фронтальную
проекцию 32 точки 3, принадлежащей линии пересечения цилиндров.
Построение изометрической проекции пересекающихся цилиндров начинают с построения проекции вертикального цилиндра (рис. 8.8, б). Далее через
точку О´ параллельно оси X проводят ось горизонтального цилиндра. Положение точки О´ определяется величиной h, взятой с комплексного чертежа
(рис. 8.8, а). Отрезок, равный h, откладываем от точки О вверх по оси Z
(рис. 8.8, б). Откладывая от точки O по оси горизонтального цилиндра отрезок
l, получим точку О´ - центр основания горизонтального цилиндра.
Изометрическую проекцию линии пересечения поверхностей можно построить по точкам с помощью трех координат. В данном примере искомые точки построены иначе.
Так, например, точки 3 и 2 строят следующим образом. От центра О´
(рис. 8.8, б) вверх, параллельно оси Z, откладывают отрезки т и п, взятые с
комплексного чертежа. Через концы этих отрезков проводят прямые, параллельные оси Y, до пересечения с основанием горизонтального цилиндра в точках 3´ и 2´. Затем из точек 1…3 проводят прямые, параллельные оси X, и на них
откладывают отрезки, равные расстоянию от основания горизонтального цилиндра до линии пересечения, взятые с фронтальной или горизонтальной пр оекции комплексного чертежа. Конечные точки этих отрезков будут принадлежать линии пересечения. Через полученные точки проводят по лекалу кривую,
выделяя ее видимые и невидимые части.
Пример взаимного пересечения цилиндрических поверхностей с осями,
перпендикулярными друг к другу, приведен на рис. 8.9. Одна цилиндрическая
поверхность корпуса имеет вертикальную ось, а другая (половина цилиндра) горизонтальную. Линия пересечения этих поверхностей – кривая линия.
Диаметры двух других пересекающихся цилиндрических поверхностей
одинаковы, в этом случае профильная проекция линии пересечения представляет собой две пересекающиеся прямые (рис. 8.9).
112
а)
б)
Рис. 8.8. Пересечение двух цилиндрических поверхностей
113
Рис. 8.9. Варианты пересечения двух цилиндрических поверхностей
8.4. Пересечение многогранника с криволинейной поверхностью
На рис. 8.10 показано построение проекции линий пересечения поверхности треугольной призмы с поверхностью прямого кругового цилиндра. Боковые
грани призмы перпендикулярны плоскости П2, поэтому фронтальная проекция
линий пересечения поверхностей этих тел совпадает с фронтальной проекцией
основания призмы. Горизонтальные проекции линий пересечения поверхностей
совпадают с горизонтальной проекцией цилиндра и являются окружностью.
Профильные проекции точек 1 и 5 находят по горизонтальным и фронтальным
проекциям с помощью линий связи. Для построения проекций промежуточных
точек 2, 3, 4 используем вспомогательные секущие плоскости Pv, Pv1 и Рv2, с
помощью которых находим фронтальные проекции 22, 32, 42 точек 2, 3, 4.
В данном примере можно обойтись без вспомогательных секущих плоскостей, намечая произвольно на фронтальной проекции точки 22, 32, 42. Опуская
линии связи на горизонтальную проекцию, находим горизонтальные проекции
21, 31, 41 точек 2, 3, 4. На профильной проекции с помощью линий связи находим проекции 23, 33, 43.
8.5. Пересечение криволинейных поверхностей, оси которых пересекаются
Для
построения
линии
пересечения
поверхностей
вместо
вспомогательных секущих плоскостей при определенных условиях удобно
применять вспомогательные сферические поверхности.
В отличие от метода вспомогательных секущих плоскостей метод
вспомогательных сфер имеет преимущество, так как при построении
фронтальной проекции линии пересечения поверхностей не используются две
другие проекции пересекающихся поверхностей (рис. 8.11).
114
Рис. 8.10. Пересечение поверхностей цилиндра и призмы
Вспомогательные сферические поверхности для построения линий
пересечения поверхностей тел можно применять лишь при следующих
условиях:
а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;
б) оси поверхностей вращения должны пересекаться, точка пересечения
осей является центром вспомогательных сфер;
в) оси поверхностей вращения должны быть параллельны какой-либо
плоскости проекций.
Примеры применения вспомогательных сферических поверхностей
показаны далее. На рис. 8.11 дано построение фронтальных проекций линии
пересечения поверхностей двух цилиндров, оси которых пересекаются под острым углом. Вспомогательные сферические поверхности проводят из точки О2
пересечения осей цилиндров.
Построим, например, фронтальную проекцию некоторой промежуточной
точки 2 линии пересечения. Для этого из точки пересечения осей симметрии
115
цилиндров О2 проводят сферическую поверхность радиуса R, которая на
данной проекции изобразится в виде окружности этого же радиуса. Окружность
радиуса R пересечет горизонтальный цилиндр по окружностям диаметра СD, а
наклонно расположенный цилиндр - по окружностям диаметра АВ.
В пересечении полученных проекций окружностей - отрезков А2В2 и C2D2
- находят проекцию 22 промежуточной точки линии пересечения. Вводя еще
целый ряд вспомогательных сферических поверхностей, можно построить
необходимое число точек линии пересечения.
Рис. 8.11. Пересечение двух цилиндров оси, которых пересекаются
На рис. 8.12 дано построение фронтальных проекций линии пересечения
цилиндра и усеченного конуса, оси которых пересекаются под прямым углом.
Вспомогательные сферические поверхности проводят из точки пересечения
осей симметрии поверхностей О2. Далее построения выполняем аналогично
предыдущему примеру.
Пределы радиусов сферических поверхностей находят следующим образом (рис. 8.11, 8.12): наибольшая окружность сферической поверхности должна
116
пересекаться с контурными образующими цилиндров и наименьшая должна
быть касательной к одной из данных пересекающихся поверхностей и пересекаться с образующими другой поверхности.
Рис. 8.12. Пересечение цилиндра и усеченного конуса,
оси которых пересекаются
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
Что называется линией пересечения поверхностей?
Какие случаи пересечения поверхностей вы знаете?
Какие встречаются частные случаи пересечения поверхностей?
Что такое соосные поверхности?
В чем сущность метода вспомогательных секущих плоскостей?
В чем сущность метода концентрических сфер?
Для использования метода концентрических сфер, какие условия должны
быть выполнены?
8. Алгоритм построения линии пересечения двух проецирующих поверхностей.
9. Алгоритм построения линии пересечения одной проецирующей другой не
проецирующей поверхностей.
10. Алгоритм построения линии пересечения двух не проецирующих поверхностей.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
117
ЛЕКЦИЯ №9
РАЗВЕРТКИ БОКОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ
Основные способы построения разверток боковых поверхностей геометрических тел.
Построение разверток многогранников.
Построение разверток кривых поверхностей.
Развертки неразвертываемых поверхностей
9.1. Понятие о развертках геометрических тел
Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней
или иных элементов поверхности друг на друга).
Развёртки находят широкое применение в инженерной практике. Они выполняются во всех тех случаях, когда требуется произвести раскрой плоского
листового материала для последовательного изготовления объёмных тел.
Все поверхности по условиям построения развёртки делятся на развёртываемые и неразвёртываемые.
Развёртываемой называется такая поверхность, которая может быть с овмещена с плоскостью всеми своими точками без разрывов и складок.
Все размеры на развёртке имеют натуральную величину.
Наиболее распространенными способами построения разверток повер хностей являются метод нормального сечения и метод раскатки.
9.2. Развертки многогранников
Прежде чем воспользоваться методом нормального сечения или методом
раскатки, необходимо определить натуральную величину ребер и оснований
многогранника.
Нахождение натуральной величины бокового ребра пирамиды рассмотрено на рис. 9.1. Как видно из рисунка, боковые рёбра пирамиды являются
прямыми общего положения, для нахождения их натуральной величины воспользуемся методом вращения. Мысленно проведем ось вращения через вершину пирамиды S перпендикулярно к её основанию и все ребра будем вращать
вокруг этой оси до тех пор, пока проекции ребер не станут, параллельными
фронтальной плоскости проекций П2.
На комплексном чертеже (рис. 9.1) показано вращение ребра S2. После
поворота, новая горизонтальная проекция ребра S121' должна быть параллельна
оси х. Фронтальную проекцию точки 22' после поворота находят, проводя вертикальную линию связи вверх до оси х из точки 21'. Соединив точки 22' и S2, получим на фронтальной плоскости проекций П2 натуральную величину ребра S2
пирамиды.
118
Рис. 9.1. Нахождение натуральной величины бокового ребра пирамиды
Метод нормального сечения (рис. 9.2) заключается в том, что поверхность многогранника (например, призмы) рассекают плоскостью, перпендикулярной ребрам, определяют натуральную величину сечения, совмещают стороны сечения в одну линию и к ней перпендикулярно пристраивают ребра по обе
стороны линии сечения.
Рис. 9.2. Метод нормального сечения
119
Метод раскатки заключается в том, что к одной произвольной грани пр исоединяют поочередно соседние грани и основания, предварительно определяя
натуральную величину ребер и оснований (рис. 9.3). В примере приведено построение развертки пирамиды методом раскатки.
Рис. 9.3. Метод раскатки
На рис. 9.4, а изображена правильная шестиугольная пирамида, пересеченная фронтально-проецирующей плоскостью Р. Фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальным следом секущей плоскости РП2. Горизонтальную
и профильную проекции фигуры сечения строят по точкам, которые являются
точками пересечения плоскости Р с ребрами пирамиды.
Натуральный размер фигуры сечения в этом примере определяется способом совмещения.
Развертка боковой поверхности усеченной пирамиды с фигурой сечения и
фигурой основания приведена на рис. 9.4, б.
Сначала строят развертку неусеченной пирамиды, все грани которой,
имеющие форму треугольника, одинаковы. На плоскости намечают точку S
(вершину пирамиды) и из нее, как из центра, проводят дугу окружности радиусом R, равным действительной длине бокового ребра пирамиды. Действительную длину ребра можно определить по профильной проекции пирамиды,
например отрезки S3E3 или S3B3, так как эти ребра параллельны фронтальной
плоскости проекций П3 и отображаются на ней в натуральную величину. Далее
по дуге окружности от любой точки, например от точки А, откладывают шесть
одинаковых отрезков, равных действительной длине стороны шестиугольника основания пирамиды.
120
а)
б)
Рис. 9.4. Выполнение развертки боковой поверхности пирамиды
121
Действительную длину стороны основания пирамиды получаем на горизонтальной проекции (отрезок А1В1). Точки А, ..., F соединяют прямыми с вершиной S. Затем от точки S на этих прямых откладывают действительные длины
отрезков ребер до секущей плоскости.
На профильной проекции усеченной пирамиды в натуральную величину
отобразятся только два отрезка – S353 и S323. Натуральную величину остальных
отрезков определяют способом вращения их вокруг оси, перпендикулярной к
плоскости П1 и проходящей через вершину S3. Например, повернув отрезок S363
вокруг оси до положения, параллельного плоскости П3, получим на этой плоскости его действительную длину. Для этого достаточно через точку 63 провести
горизонтальную прямую до пересечения с действительной длиной ребра SE или
SB (отрезок S36'3).
Полученные точки 1, 2, 3 и т.д. соединяют прямыми линиями и пристраивают фигуры основания и сечения. Линии сгиба на развертке проводят
штрихпунктирной линией с двумя точками.
9.3. Развертки кривых поверхностей
Развертки развертываемых кривых поверхностей можно построить методом нормального сечения и методом раскатки.
Разверткой прямого кругового конуса является сектор окружности с р адиусом, равным длине образующей конуса и углом при вершине конуса.
Разверткой прямого кругового цилиндра является прямоугольник шир иной, равной высоте цилиндра и длиной, равной длине окружности основания.
Сечение прямого кругового конуса, основание которого расположено в
горизонтальной плоскости П1, фронтально-проецирующей плоскостью Р рассмотрено на рис. 9.5. В зависимости от расположения секций плоскости Р относительно оси прямого кругового конуса получаются различные фигуры сеч ения, ограниченные кривыми линиями. Фигура сечения в данном случае будет
ограничена эллипсом.
Фронтальная проекция фигуры сечения расположена на фронтальном
следе плоскости РП2 (рис. 9.5, а). Горизонтальную проекцию контура фигуры
сечения - окружность делят, например, на 12 равных частей. Через точки деления на горизонтальной и фронтальной проекциях проводят вспомогательные
образующие. Находят фронтальные проекции точек 12, …, 122, лежащих на
плоскости PП2. Затем с помощью линии связи находят их профильные проекции. Найденные проекции точек контура сечения соединяют по лекалу.
Натуральная величина фигуры сечения в данном примере найдена способом замены плоскости проекций. Горизонтальная плоскость проекций П1 заменяется новой плоскостью проекции П4.
На фронтальной плоскости проекции П2 фигура сечения - эллипс изображается в виде отрезка 1272, совпадающего с фронтальной проекцией секущей
плоскости Р. Отрезок 1272 является большой осью эллипса. Малая ось эллипса
122
перпендикулярна большой оси 1272. Чтобы найти малую ось сечения, через середину большой оси 1272 эллипса проводят горизонтальную плоскость N (на
рисунке видим фронтальный след плоскости NП2) которая рассечет конус по
окружности, диаметр которой будет равняться малой оси эллипса АВ.
Построение развертки поверхности конуса (рис. 9.5, б) начинают с проведения дуги окружности радиусом, равным длине образующей конуса, из то чки
S. Длина дуги определяется углом α:
α = 1800 *(d/l),
где d - диаметр окружности основания конуса;
l - длина образующей конуса.
Дугу делят на 12 частей, и полученные точки соединяют с вершиной S. От
вершины откладывают натуральные длины образующих от вершины конуса до
секущей плоскости Р.
Натуральные размеры этих отрезков находят, как и в примере с пирамидой, способом вращении около вертикальной оси, проходящей через вершину
конуса. Так, например, чтобы получить действительную длину отрезка S2
(рис. 9.5, а), надо из 22 провести горизонтальную прямую до пересечения с контурной образующей конуса, являющейся действительной ее длиной.
К развертке конической поверхности пристраивают фигуры сечения и основания конуса.
9.4. Развертки неразвертываемых поверхностей
По возможности развертываться кривые поверхности делятся на развертываемые и неразвертываемые (условно-развертываемые). Развертки условно
развертываемых поверхностей могут быть выполнены только приближенно путем аппроксимации отсеков поверхностей.
Аппроксимация – это приближенная замена отсеков неразвертываемой
поверхности отсеками развертываемой поверхности. В качестве аппроксимирующих поверхностей используют плоскости, конические и цилиндрические
поверхности.
К неразвертываемым поверхностям относится поверхность сферы. Для
построения развертки сферы её горизонтальную проекцию делим горизонтально-проецирующими плоскостями на несколько равных частей (клиньев),
например на 12 (рис. 9.6, а). Фронтальную проекцию сферической поверхности
тоже делят на несколько равных частей (желательно на 12).
Через полученные точки деления II, ..., VI проводят фронтальнопроецирующие плоскости РV1, ..., PV5 (рис. 9.6, а).
Для построения развертки сферической поверхности на горизонтальной
прямой откладывают длину окружности диаметра D, равную πD (рис. 9.6, б).
Полученный отрезок делят на 12 равных частей.
123
а)
б)
Рис. 9.5. Выполнение развертки боковой поверхности конуса
124
а)
б)
Рис. 9.6. Выполнение развертки боковой поверхности сферы
125
Через середину каждого деления проводят перпендикуляр и откладывают
на нем отрезок I -VII, равный 0,5 длине окружности диаметра D. Отрезок делят на
6 равных частей, через полученные точки деления проводят горизонтальные прямые, на которых откладывают отрезки, равные 1/12 части окружности соответствующего радиуса, например, отрезок CC' соответствует 1/12 длины окружности
радиуса I-II, взятого с горизонтальной проекции. Полученные точки соединяют
по лекалу. Развертки остальных одиннадцати клиньев строят аналогично.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
Что называется разверткой поверхности?
Для чего нужны развертки?
Какими линиями на чертеже изображаются линии сгиба разверток?
Каким методом можно найти натуральной величины бокового ребра пирамиды для построения её развертки?
5. В чем суть метода нормального сечения?
6. В чем суть метода раскатки?
7. Порядок построения развертки многогранника.
8. Порядок построения развертки кривой поверхности.
9. Что такое аппроксимация?
10. В чем особенности выполнения разверток неразворачиваемых поверхностей?
1.
2.
3.
4.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В предложенных текстах лекций в кратком доступном изложении рассмотрены основные темы курса начертательной геометрии в объеме, предусмотренном федеральным государственным стандартом, представлены примеры, в которых реализованы основные методики решения геометрических задач.
Изложение курса начертательной геометрии подкреплено большим количеством пространственных чертежей, что позволяет лучше освоить излагаемый
материал и решать геометрические задачи с полным осознанием хода и смысла
проводимых построений.
Учебное издание будет особенно полезно при самостоятельной подготовке студентов к экзамену, зачету, а также для подготовки к промежуточному и
рубежному контролю знаний. Для обеспечения самостоятельной работы по
изучению курса после каждой лекции приведены вопросы для самоконтроля.
При возникновении затруднений по освоению некоторых тем начертательной геометрии по данному учебному изданию необходимо обратиться к
учебной литературе, где более полно рассмотрен материал дисциплины.
126
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Боголюбов, С.К. Инженерная графика: учебник для средних специальных
учебных заведений. – 3-е изд., испр. и доп. – Москва: Машиностроение, 2006.
– 392 с.
2. Каминский, В.П. Начертательная геометрия : краткий курс. Часть I; Воронеж.
гос. арх.-строит. ун-т. - Воронеж, 2006 – 162 с.
3. Кирин, Е.М. Теоретические основы решения задач по начертательной геометрии: учеб. пособие / Е.М. Кирин, М.Н. Краснов. – Пенза: Изд-во Пенз. гос. унта, 2007. – 148 с.
4. Миронова, Р.С. Инженерная графика: учебник / Р.С. Миронова, Б.Г. Миронов.
– 2-е изд. испр. и доп. – Москва: Высш. шк.; Издательский центр «Академия»,
2001. – 288 с.
5. Начертательная геометрия: учеб. для вузов / Н.Н. Крылов, Г.С. Иконникова,
В.Л. Николаев, В.Е. Васильев; под ред. Н.Н. Крылова. – 8-е изд., испр. –
Москва: Высш. шк., 2002. – 224 с.
6. Чекмарев, А.А. Инженерная графика / А.А. Чекмарев – Москва: Высшая школа. – 2004. – 365 с.
127
Учебное издание
Терновская Ольга Владимировна
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Тексты лекций
для студентов бакалавриата очной формы обучения
направления подготовки «Строительство», профили: ТВ, ВВ, ПСК
Редактор Аграновская Н.Н.
Подписано в печать 03.09. 2015. Формат 60х84 1/16. Уч.-изд. л. 8,0.
Усл.-печ. л. 8,1. Бумага писчая. Тираж 150 экз. Заказ № 370.
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства учебной литературы
и учебно-методических пособий Воронежского ГАСУ
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
128
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
26
Размер файла
10 603 Кб
Теги
728, терновская, геометрия, начертательной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа