close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

106.Физика Колебания и волны лабораторный практикум

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежская государственная лесотехническая академия»
ФИЗИКА
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ВОРОНЕЖ 2014
2
УДК 537
Ф 50
Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВПО «ВГЛТА»
Бородин В.Н. / Физика [Текст]: лаб. практикум. Колебания и волны / В.Н. Бородин, Н.Ю. Евсикова, Н.С. Камалова, Б.М. Кумицкий, Н.Н. Панюшкин, В.В. Постников, Н.А. Саврасова, В.В. Саушкин; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ
ВПО "ВГЛТА".– Воронеж, 2014.– 52 с.
Ответственный редактор В.В. Саушкин
Рецензенты:
зав. кафедрой физики ВГТА
д-р физ.-мат. наук, проф. Н.Н. Безрядин;
кафедра прикладной физики, астрономии и технологий ВГПУ
Приводятся необходимые теоретические сведения, описание и порядок
выполнения лабораторных работ по изучению механических и электромагнитных колебаний, а также волн в упругих средах.
Учебное пособие предназначено для студентов очной и заочной форм
обучения по направлениям и специальностям, в учебных планах которых предусмотрен лабораторный практикум по физике.
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Рекомендации по охране труда .............................................................................. 4
Лабораторная работа № 6.1 (62)
Исследование собственных колебаний механических систем ........................... 6
Лабораторная работа № 6.2 (30)
Исследование собственных колебаний в электрическом колебательном
контуре ...................................................................................................................... 14
Лабораторная работа № 6.3 (31)
Изучение сложения колебаний с помощью электронного осциллографа ......... 25
Лабораторная работа № 6.4 (63)
Исследование вынужденных механических колебаний ...................................... 30
Лабораторная работа № 6.5 (32)
Исследование вынужденных колебаний и резонанса в электрическом
колебательном контуре ........................................................................................... 35
Лабораторная работа № 6.6 (33)
Определение скорости звука в воздухе методом акустического резонанса ...... 40
Лабораторная работа № 6.7 (34)
Исследование собственных колебаний струны методом резонанса .................. 47
4
РЕКОМЕНДАЦИИ
по охране труда при выполнении лабораторных работ
на кафедре общей и прикладной физики
Общие положения
Перед началом каждого цикла лабораторных работ все студенты на первом
занятии в лаборатории под руководством преподавателя обязаны изучить инструкцию по охране труда и усвоить особенности работы в данной лаборатории.
После инструктажа каждый студент расписывается в журнале регистрации, тем
самым подтверждая знание требований инструкции и свое обязательство строго
их соблюдать.
На занятия в лаборатории студенты являются без верхней одежды. Передвижения студентов по лаборатории во время занятий должны быть спокойными, без лишней суеты и шума. Необходимо бережно обращаться с оборудованием, не применять чрезмерных усилий при вращении различных ручек и маховиков, постоянно поддерживать чистоту и порядок в лаборатории.
При подготовке к выполнению очередной лабораторной работы студент
должен изучить устройство лабораторной установки и правила безопасной работы. Непосредственно перед началом работы студент должен осмотреть рабочее
место, убедиться в исправности оборудования, надежности защитного заземления, в исправности инструмента и приспособлений. По окончании работы студент обязан выключить лабораторную установку и привести в порядок рабочее
место.
Каждый студент несет персональную ответственность за выполнение требований по безопасному выполнению лабораторных работ. В случае сознательного нарушения требований инструкции по охране труда студент немедленно отстраняется от работы в лаборатории с последующим объявлением ему дисциплинарного взыскания, которое предусмотрено Уставом ВГЛТА.
–
–
–
–
–
–
–
Основные источники возможного травматизма
и правила безопасной работы в лабораториях кафедры
Большинство установок лабораторного практикума находятся под высоким
напряжением 220 В, которое опасно для жизни и здоровья человека.
Все потребители электрического тока должны быть исправны и надежно заземлены. Первым признаком нарушения заземления является легкое пощипывание, если прикоснуться, например, тыльной стороной руки к неокрашенным
металлическим деталям установки. Работать на неисправной установке или на
установке с неисправным заземлением запрещается.
Во всех случаях, когда обнаружено неисправное состояние оборудования, измерительных приборов, проводов, установку необходимо отключить.
Запрещается прикасаться к неизолированным проводам и токонесущим частям включенной в сеть установки.
Запрещается вставлять посторонние предметы в розетки и клеммы.
Вставлять и вынимать вилки из розеток следует, держась только за вилку, но
не за провод.
Общий рубильник в лаборатории включает только преподаватель.
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
5
Во время сборки электрической схемы или при ее изменениях по ходу работы
установку необходимо выключить.
Запрещается оставлять без присмотра включенную лабораторную установку.
На время перерыва в работе и по окончании работы установка обязательно
отключается от сети.
Вероятность поражения электрическим током увеличивается, если руки работающего влажные, на них имеются царапины, раны, ожоги, грязь.
Неисправная электропроводка может стать причиной возгорания.
Для предотвращения пожара запрещается применять открытый огонь, а также
легковоспламеняющиеся, горючие и взрывоопасные вещества.
При выполнении лабораторных работ нельзя разливать воду или масла.
Многие установки имеют стеклянные части: термометры, манометры, баллоны, колбы, мензурки и т.п. Чтобы избежать порезов рук, необходимо аккуратно и бережно обращаться с этими предметами без применения больших усилий.
Тяжелые принадлежности (гири, грузы, металлические образцы) могут стать
причиной ушибов и травм. Перемещать такие предметы безопаснее всего,
держа их обеими руками и по возможности над столом.
В некоторых лабораторных работах по оптике используются источники света
высокой интенсивности – лазеры. Попадание в глаза прямого лазерного излучения опасно для зрения. При работе с лазером его свет можно наблюдать
только после отражения от рассеивающих поверхностей.
При поражении электрическим током сначала необходимо как можно
быстрее освободить пострадавшего от высокого напряжения, отключив ближайший рубильник или отделив пострадавшего от токонесущих частей установки.
После этого ему необходимо обеспечить полный покой, дать понюхать нашатырный спирт и согреть тело. Одновременно надо вызвать врача. Если пострадавший потерял сознание, то до прибытия врача надо сделать ему искусственное
дыхание.
–
–
–
–
В случае травмирования надо оказать пострадавшему первую помощь:
к ушибам приложить холодный предмет;
ссадины, царапины и набольшие раны обработать спиртовым раствором йода
и наложить стерильную салфетку или бактерицидный пластырь;
при кровотечении наложить давящую повязку, пальцем пережать артерию или
наложить жгут выше раны как можно ближе к ней; жгут следует затягивать
только до остановки кровотечения, но не более.
При необходимости следует вызвать скорую медицинскую помощь (тел. 03)
или врача из здравпункта ВГЛТА, расположенного в студенческом общежитии № 3 (тел. 537-539).
При возникновении пожара следует срочно эвакуировать людей и по телефону 01 немедленно вызвать пожарную охрану. Действуя по обстановке, приступить к тушению пожара.
6
Лабораторная работа № 6.1 (62)
ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Цель работы:
изучение собственных механических колебаний;
изучение закономерностей колебаний физического и математического маятников; определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ
Колебания и их основные характеристики
Колебаниями называются процессы (движение или изменение состояния), в той или иной степени повторяющиеся с течением времени.
Собственные (или свободные) колебания совершает система, выведенная
из состояния равновесия и предоставленная самой себе. Вынужденные колебания вызываются внешним периодическим воздействием, изменяющимся во
времени по определенному закону.
Если все состояния системы последовательно повторяются через определенные равные промежутки времени, то колебания носят периодический характер. Наименьшее время Т повторения одинаковых состояний называется периодом. За период Т система совершает одно полное колебание. Если за время t
система совершает N полных колебаний, то период Т = t / N. Число полных колебаний системы, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний
ν = N t =1 T .
(1)
Число полных колебаний, совершаемых за 2π секунд, называется круговой или циклической частотой
ω = 2πν = 2π T .
(2)
Колебания, совершающиеся по закону синуса (или косинуса), называются
гармоническими. Система, совершающая гармонические колебания, является
гармоническим осциллятором.
Уравнение гармонических колебаний
x (t ) = x m sin(ω t + ϕo ) ,
где
(3)
x (t ) - значение колеблющейся величины x в момент времени t ;
xm - амплитуда колебаний, т.е. максимальное значение колеблющейся
величины (амплитуду часто обозначают символом А);
ϕ ( t ) = ωt + ϕ o - фаза колебаний, которая определяет значение величины х
в любой момент времени t;
ϕ o - начальная фаза, т.е. значение ϕ ( t ) в момент времени t = 0.
7
На рис. 1 показан график гармонических колебаний (3), где по оси абсцисс отложено и время t, и фаза ϕ колебаний. Различие между началом отсчета
времени (t = 0) и началом отсчета фазы ( ϕ = 0) характеризуется начальной фазой ϕ o .
Физический маятник
Физическим маятником является любое абсолютно твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной оси О, не проходящей через
центр инерции С тела (рис. 2). В состоянии равновесия точки О и С расположены на одной вертикальной прямой.
Если маятник отклонить от положения равновесия на угол α , то на него
будет действовать момент силы тяжести
M = −g l sin α ,
(4)
где l sin α - плечо силы тяжести; l – расстояние от оси вращения О до центра
инерции С. Угол α может принимать как положительные, так и отрицательные
значения, причем знак угла α всегда противоположен знаку момента силы М.
Этим объясняется наличие знака минус в формуле (4).
Под действием момента силы тяжести маятник совершает вращательное движение вокруг оси О. Поэтому
дифференциальное уравнение движения маятника можно
записать, используя основной закон динамики вращательного движения M = Jε , где J – момент инерции маятника
d 2α
относительно оси О; ε = 2 - угловое ускорение маятниdt
ка. Полученное дифференциальное уравнение
d 2α
− mgl sin α = J
dt 2
является нелинейным относительно угла α . Если величина α выражена в радианах, то при достаточно малых углах отклонения маятника sin α ≈ α . (Это
соотношение выполняется с погрешностью менее 1 %, если α ≤ 0,24 рад.) Заме-
8
няя sin α на α , для малых углов отклонения маятника получаем линейное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника
d 2α
dt 2
+
mgl
α = 0,
J
(5)
решением которого является гармоническая функция, аналогичная (3)
α = α т sin(ω 0t + ϕ 0 ) ,
(6)
где ω 0 - циклическая частота собственных колебаний физического маятника
ω0 =
mgl
.
J
(7)
Математический маятник
Частным видом физического маятника является математический маятник – идеализированная колебательная система, состоящая из материальной
точки, подвешенной на тонкой невесомой нерастяжимой нити. (Достаточно хорошей моделью математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой нити.) В этом случае момент инерции маятника
J = ml 2 , где l – длина нити маятника, и тогда циклическая частота собственных
колебаний математического маятника
g
.
(8)
ω0 =
l
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
В работе используется оборотный маятник, то есть физический маятник,
который может поочередно подвешиваться в одной из двух точек O1 или O2
(рис. 3). Периоды колебаний в этих двух случаях
T1 = 2π
J1
J2
, T 2 = 2π
,
mgl 1
mgl 2
(9)
где J 1 и J 2 - моменты инерции маятника относительно оси O1 и O2 соответственно; l 1 и l 2 - расстояние от центра инерции C маятника до осей O1 и O2 соответственно; m - масса маятника. По теореме Штейнера
J 1 = J c + ml 12 , J 2 = J c + ml 22 ,
(10)
9
где J c - момент инерции маятника относительно оси С, проходящей через
центр инерции маятника и параллельной оси О, вокруг которой колеблется маятник.
При определенных условиях периоды колебаний T1 и T2 будут одинаковыми. Чтобы найти это
условие, приравняем T1 и T2 и учтем соотношения
(10):
J c + ml12 J c + ml 22
J
J
или c + l1 = c + l 2 , или
=
ml1
ml 2
ml1
ml 2
J c (l 2 − l1 )
= l 2 − l1 . Это уравнение имеет два корня:
ml1l 2
J
l 2 = l1 и l 2 = c . Обозначив l = l1 + l 2 , получим,
ml1
что T1 = T2 при двух значениях l = 2l1 и
J
l = l1 + c = lпр . Последнее выражение представляml1
ет так называемую приведенную длину физического маятника. Это и есть искомое условие равенства
периодов T1 и T2 , а формула для расчета этих периодов
T = 2π
l np
.
(11)
g
Это выражение совпадает по форме с выражением для периода колебаний математического маятника. То есть физический маятник колеблется так же, как и
математический маятник длиной l np .
Уравнение (11) может быть использовано для определения ускорения
свободного падения g . Преимущество применения в этих целях физического
маятника по сравнению с математическим заключаются в следующем. Математический маятник, как следует из самого названия, идеализированная колебательная система. Практически нить не может быть нерастяжимой, а подвешенная к ней частица не может быть материальной точкой. Но если нить жесткая, а
размер частицы значительно меньше длины нити, то ошибка в определении g
вследствие не идеальности маятника невелика. Более сложной является проблема достаточно точного измерения длины математического маятника. Физический маятник – это тоже идеализированная система, так как тело должно быть
абсолютно твердым, недеформируемым. Но применение оборотного маятника
значительно упрощает определение приведенной длины.
Конструктивно оборотный маятник выполнен в виде стального стержня 1
(рис. 4), на котором могут перемещаться и закрепляться в различных положениях две опорные призмы П1 и П 2 и тяжелые диски A 1 и A2 . Ребро опорной
10
призмы, на которой подвешен маятник, установлено на опорной площадке 2
кронштейна 3. Кронштейн расположен в верхней части стойки 4 установки.
На нижнем подвижном кронштейне 5 находится фотоэлектрический датчик 6. Когда колеблющийся
маятник своим нижним концом пересекает световой луч, падающий на фоторезистор, в цепи фоторезистора генерируются электрические импульсы.
Специальная электронная схема считает число импульсов и выдает на световой индикатор информацию о числе
полных колебаний. Одновременно
электронный секундомер ведет отсчет
времени, и результат фиксируется на
световом индикаторе. Схема управления осуществляет синхронное включение и выключение счетчика числа колебаний и секундомера. Измерив некоторое число колебаний и время, за которое они совершаются, можно определить период колебаний.
Определение приведенной длины маятника можно осуществить следующим образом. Положение одной из
опорных призм, например, П1 , остается неизменным. Пусть колебаниям маятника, подвешенного на этой призме, соответствует определенный период колебаний T1 . Расположение другой призмы
П 2 изменяется, и при каждом ее положении определяется период колебаний T2
маятника, подвешенного на этой призме. Когда периоды T1 и T2 совпадают,
расстояние между ребрами опорных призм равно приведенной длине l np маятника. Измерить это расстояние можно с достаточно высокой точностью.
Используемый в работе маятник позволяет перемещать опорную призму
только скачками через 10 мм. На таком расстоянии друг от друга на стержне нанесены кольцевые канавки. С их помощью положение дисков и опорных призм
надежно фиксируется на стержне винтами. Так как расстояние между призмами
изменяется скачками, то добиться точного совпадения периодов колебаний T1 и
T2 невозможно.
Чтобы определить из таких измерений приведенную длину, можно использовать один из методов интерполяции. (Интерполяция – это нахождение
промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям.)
Если известны значения периода T2 при нескольких расстояниях l между
призмами, то путем интерполяции можно определить расстояние l np , соответст-
11
вующее промежуточному значению T2 = T1 . Интерполяцию можно провести
графически, построив график зависимости T2 от расстояния l , и затем по нему
определить величину l np . Существуют также аналитические методы интерполяции.
На верхнем кронштейне установки, кроме физического маятника, подвешен также математический маятник 7 (рис. 4). Освободив винт 9, верхний
кронштейн можно повернуть вокруг стойки на 180° и расположить перед фотоэлектрическим датчиком математический маятник. Применение бифилярного
подвеса (две нити) обеспечивает колебание маятника в одной плоскости. Длину
математического маятника можно регулировать при помощи воротка 8, а ее величину можно определить по шкале на стойке 4. С помощью математического
маятника можно проверить результаты, полученные с физическим маятником.
Приборы и принадлежности:
установка с физическим и математическим маятниками; подставка для физического маятника; блок управления с
электронным секундомером (допускается использование электрического или
механического секундомера).
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Положения на стержне физического маятника дисков и одной из опорных призм П1 задаются преподавателем или индивидуальным заданием.
2. Крепление всех деталей на стержне производите очень тщательно, добиваясь, чтобы зажимные винты входили в канавки на стержне. При изменении
положения любой детали (дисков, или опорных призм) маятник снимайте с
кронштейна и кладите на специальную подставку, находящуюся на столе.
3. Подвесьте маятник за опорную призму П1 . Нижний кронштейн вместе с
фотоэлектрическим датчиком переместите на стойке таким образом, чтобы
нижний конец стержня маятника пересекал световой луч датчика. Сообщите
маятнику колебания с небольшой амплитудой (~ 5°) и измерьте период колебаний T1 . Для этого на пульте управления нажмите клавишу СБРОС, а после того,
как маятник совершит, например, девять колебаний, нажмите клавишу СТОП. С
индикаторов считайте число N 1 и время t1 колебаний; рассчитайте период колебаний T1 = t 1 N 1 . Результаты занесите в табл. 1.
Таблица 1
N1
t1 , с
T1 , с
l , см
N2
t2 , с
T2 , с
Измерения величины T1 повторите еще два раза. Используя три найденные значения T1 , рассчитайте среднее значение Т 1 и запишите его в отчет.
4. Снимите маятник с кронштейна, переверните его на 180° и установите на
опорную призму П 2 . Выполнив действия, указанные в пунктах 3 и 4, определи-
12
те величины N 2 , t 2 и T2 (удобнее проводить измерения при N 1 = N 2 ). Результаты измерений занесите в табл. 1. Измерьте и занесите в таблицу расстояние l
между опорными призмами маятника.
5. Переместите призму П 2 на соседнее деление стержня. Определите и занесите в таблицу новые значения l , N 2 , t 2 и T2 .
6. Измерения, описанные в пункте 6, повторите столько раз, чтобы среди измеренных
значений T2 были бы значения как больше, так
и меньше значения T1 , а полученная зависимость T 2 (l ) приобрела бы вид, показанный на
рис. 5.
7. По полученным результатам постройте
график зависимости T2 от l. Используя величину Т 1 , определите расстояния l A и l B , при
которых периоды T1 = T 2 (рис. 5).
8. Выясните, какое из двух полученных значений l A или l B является приведенной длиной данного физического маятника. Для этого верхний кронштейн
поверните на 180°, чтобы можно было работать с математическим маятником.
Установите длину математического маятника, равную расстоянию l A . Нижний
кронштейн с фотоэлектрическим датчиком установите в такое положение, чтобы черта на шарике совпадала с чертой на корпусе датчика. Положение верхней
грани этого кронштейна относительно шкалы определяет длину маятника. В соответствии с пунктом 4 измерьте период колебаний TM математического маятника. Если периоды колебаний физического и математического маятников совпадают, т.е. T1 = T 2 = T M , то приведенная длина физического маятника
l np = l A , если не совпадают, то l np = l B .
9. По найденному значению TM с применением формулы (11) рассчитайте
ускорение свободного падения g .
10. Рассчитайте погрешность определения ускорения свободного падения
Δg на основании относительных частных погрешностей
Δl
2Δt
εl = , εT =
.
l
t
Δt
Согласно паспортным данным Δl = 0,5 мм;
= 2 ⋅ 10 −4 .
t
11. Исследуйте зависимость периода колебаний T физического маятника от
расстояния l между центром инерции и точкой подвеса. Для этого измерьте период колебаний при различных положениях одной из опорных призм. Так как
координата центра инерции неизвестна, то определите расстояние S от призмы
до конца стержня. Зависимость T (S ) позволяет найти минимальное значение
периода колебаний T min , используя метод графической интерполяции. С другой
13
стороны, выражение для периода Tmin можно найти теоретически на основании
соотношений (9) и (10). Это позволяет, зная массу маятника ( m = 2,6 кг), определить момент инерции J c маятника и положение его центра инерции.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Привести примеры (желательно из Вашей специальности) собственных механических колебаний и их практического значения (полезного и вредного).
2. Привести примеры физического маятника.
3. Вывести формулу (9) для периода колебаний физического маятника и, исходя из нее, получить формулу для периода колебаний математического маятника. При каких допущениях они справедливы?
4. Какие превращения энергии происходят при колебаниях?
5. Чему равен период колебаний физического маятника, подвешенного в центре инерции? Как изменяется период колебаний при удалении точки подвеса
от центра инерции?
6. Рассчитать, при каком расстоянии точки подвеса физического маятника от
его центра инерции период колебаний будет минимальным.
7. В чем преимущество использования физического маятника для определения
ускорения свободного падения по сравнению с математическим маятником?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Трофимова Т.И. Курс физики. 2000. §§ 140-142, 146.
14
Лабораторная работа № 6.2 (30)
ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ
Цель работы:
изучение электромагнитных колебаний;
измерение характеристик затухающих колебаний
в электрическом колебательном контуре.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ
Колебания и их основные характеристики (смотрите с. 6)
Собственные колебания в электрическом колебательном контуре
Электрический колебательный контур состоит из последовательно соединенных емкости C и индуктивности L (рис. 1). Если зарядить конденсатор,
а затем замкнуть ключ K , то конденсатор начинает разряжаться и в контуре
появляется нарастающий ток, а в катушке пропорциональное ему магнитное
поле. Изменение магнитного поля приводит к появлению ЭДС самоиндукции,
которая замедляет скорость разрядки конденсатора. После того, как конденсатор разрядится, и ток в контуре начнет уменьшаться, ЭДС самоиндукции будет поддерживать
ток в прежнем направлении до тех пор, пока конденсатор не перезарядится. Затем следует процесс
разрядки конденсатора, но в противоположном
направлении. Эти процессы повторяются снова и
снова, т.е. в контуре возникают собственные
(свободные) колебания заряда в конденсаторе и
силы тока в катушке.
Уравнение колебаний заряда q в электрическом колебательном контуре
можно получить, используя закон Ома для замкнутой цепи: сумма напряжений
равна действующей в цепи ЭДС. Для данного случая напряжение на конденсаq
dI
и
торе равно ЭДС самоиндукции U C = EiS . Так как U C = , EiS = −L
C
dt
dq
q
d 2q
I =
, то
= −L 2 . Отсюда получаем дифференциальное уравнение
C
dt
dt
15
d 2q
1
q = 0,
2
LC
dt
решением которого является гармоническая функция
q = qm cos(ω o t + ϕ o ) ,
+
(1)
(2)
где собственная частота колебаний ωo определяется выражением
ωo =
1
.
LC
(3)
Таким образом, заряд q конденсатора с течением времени изменяется по гармоническому закону (2). График зависимости q (t ) показан на рис. 2, где по
оси абсцисс отложено и время t , и фаза ϕ колебаний. Различие между началом
отсчета времени ( t = 0 ) и началом отсчета фазы ( ϕ = 0 ) определяется начальной фазой ϕ o .
Затухающие колебания и их характеристики
Любой реальный колебательный контур имеет некоторое активное сопротивление R (рис. 3).
Поэтому часть энергии электромагнитных колебаний превращается в тепло, вследствие чего амплитуда колебаний в контуре постепенно уменьшается,
колебания затухают.
Закон Ома для рассматриваемого случая
имеет вид U C + U R = Еis . Как и для незатухающих
16
колебаний U C =
q
dI
dq
, EiS = − L
и I=
, а напряжение на активном сопротивC
dt
dt
q
dq
d 2q
= IR . Тогда + R
= −L
. Отсюда получаем дифференциальC
dt
dt 2
лении U R
ное уравнение затухающих колебаний
d 2q
1
R dq
+
+
q =0
L dt LC
или
dt 2
Решением этого уравнения является функция
d 2q
dt 2
+ 2β
dq
+ ω 2q = 0 .
dt
q = q m 0e − β t cos(ω t ) ,
где
(4)
q m 0 - начальная амплитуда колебаний (в момент времени t = 0 );
β=
R
- коэффициент затухания;
2L
ω = ω o2 − β 2 - циклическая частота затухающих колебаний;
1
- как и выше, частота собственных незатухающих колебаний.
LC
График затухающих колебаний показан на рис. 4,а. С увеличением активного сопротивления R затухание колебаний происходит быстрее. При достаточно большом сопротивлении R колебания вообще не возникают – наблюдается апериодический разряд конденсатора (рис. 4,б). Активное сопротивление,
ωo =
17
при котором периодические колебания переходят в апериодический процесс,
называется критическим сопротивлением R K . Пока ω o > β , частота ω имеет
действительное значение, что соответствует периодическому процессу (рис.
4,а). При ω o = β периодический процесс переходит в апериодический (рис.
4,б). Приравнивая правые части уравнений для β и ω о , получаем выражение
для критического сопротивления
RK = 2 L C .
(5)
Огибающая колебаний, показанная на рис.4,а пунктирной линией, отражает изменение амплитуды с течением времени, происходящее по закону
q m = q mo e − β t .
(6)
Отсюда следует физический смысл коэффициента затухания β : за время
t = 1 β амплитуда уменьшается в е раз (е– основание натурального логарифма).
Уменьшение амплитуды за время одного полного колебания, то есть за
период, характеризует логарифмический декремент
q m (t )
(7)
θ = ln
= βT ,
q m (t + T )
где q m (t ) и q m (t + T ) - амплитуды, соответствующие моментам времени t и
(t+T), то есть отличающимся на период (рис. 4,а).
Так как напряжение на конденсаторе пропорционально его заряду, то колебания напряжения и заряда конденсатора происходят в одинаковой фазе. Закон колебаний напряжения и заряда аналогичны
U С = U m 0e − β t cos(ω t ) .
(8)
Колебания силы тока в контуре
I = I mo e − β t cos(ω t − ψ )
(9)
сдвинуты по фазе на величину ψ по сравнению с колебаниями напряжения U С
на конденсаторе, но совпадают по фазе с колебаниями напряжения на активном
сопротивлении R
U R = R I = R I mo e − β t cos(ω t − ψ ) .
(10)
Значение ψ лежит в пределах π 2 < ψ < π , зависит от параметров контура и
определяется выражением
R
tgψ =
.
(11)
1
ωL −
ωC
18
Устройство и принцип действия электронного осциллографа
Электронный осциллограф предназначен для наблюдения электрических
сигналов и измерения их параметров. Современные методы позволяют преобразовать самые разнообразные физические величины (смещение, давление,
температуру, силу тока, световой поток и т.д.) в электрическое напряжение.
Благодаря этому осциллограф может применяться для изучения зависимостей
между многими физическими величинами. Чаще всего осциллограф применяют
для изучения зависимостей различных величин от времени.
Электронный осциллограф состоит из следующих основных частей:
- электронно-лучевой трубки;
- усилителей исследуемых напряжений;
- генератора развертки;
- источников питания трубки, усилителей и генератора развертки.
Более сложные осциллографы могут иметь и другие устройства.
На рис. 5 показано устройство простейшей электронно-лучевой трубки.
Она представляет собой колбу, откачанную до высокого вакуума, внутри которой смонтированы электронная пушка и управляющие электроды. Дно колбы,
покрытое флюоресцирующим веществом, является экраном трубки.
Электронная
пушка
является источником узкого
пучка электронов. Устройство простейшей электронной
пушки показано на рис. 6.
Спираль 1 при пропускании
по ней электрического тока
нагревает катод 2. Благодаря
явлению термоэлектронной
эмиссии из катода испускаются электроны. Система
диафрагм формирует узкий
пучок электронов. Управляющий электрод 3 (модулятор) регулирует интенсивность (яркость) пучка. Два
анода – 4 и 5 – разгоняют
электроны до скорости приблизительно 10 7 м/с и фокусируют электронный пучок.
Тонкими линиями на рисунке показаны траектории
электронов. Формирование
пучка в электронной пушке осуществляется часто не только электрическим, но
и магнитным полем. После электронной пушки электроны пролетают между
19
двумя парами управляющих пластин, на которые подаются исследуемые напряжения. При наличии напряжения одна пара пластин вызывает отклонение
электронного пучка в горизонтальном направлении (Х-пластины), вторая пара
пластин – в вертикальном направлении (Y-пластины).
При попадании на экран
электронный пучок вызывает
свечение люминофора. Если напряжение на управляющих пластинах равно нулю, то светящаяся точка будет находиться в центре экрана. При подаче на Yпластины переменного напряжения на экране будет наблюдаться
вертикальная линия. Для исследования зависимости этого сигнала от времени на Х-пластины
подается напряжение, линейно
изменяющееся с течением времени – так называемое напряжение развертки
(рис. 7). В течение периода T разв развертки напряжение на Х-пластинах и, соответственно, смещение электронного пучка по горизонтали (слева направо) увеличиваются пропорционально времени. Затем, в результате быстрой смены полярности напряжения развертки, электронный луч быстро возвращается в крайнее левое положение и развертка повторяется. Если период развертки T разв равен или в целое число раз превышает период Т исследуемого сигнала, то есть
(n = 1, 2, 3, K)
T разв = n T ,
(12)
то на экране наблюдается устойчивое, неподвижное изображение. При этом
электронный луч в каждый период развертки высвечивает на экране одну и ту
же фигуру, которая соответствует n периодам исследуемого сигнала.
Частота развертки осциллографа регулируется в широких пределах. Но
невозможно установить период развертки, точно кратный периоду исследуемого сигнала. Поэтому для получения устойчивого изображения используют принудительное согласование периодов развертки и исследуемого сигнала – синхронизацию. При этом изучаемое напряжение “навязывает” свой период генератору развертки.
Обычно осциллограф имеет клеммы (или разъемы) подключения к Х- и Yпластинам, а также ручки управления электронным лучом, усилителями и генератором развертки. В зависимости от типа осциллографа ручки управления могут быть расположены на передней, боковой или верхней панели. Рассмотрим
действие важнейших из них.
Ручки ЯРКОСТЬ и ФОКУС позволяют регулировать яркость и четкость изображения. Ручки СМЕЩЕНИЕ Х и СМЕЩЕНИЕ Y (или ↔ и b )
позволяют перемещать изображение по горизонтали и вертикали. С помощью
20
этих ручек изображение можно вывести на средину экрана. Переключатель
ДИАПАЗОН ЧАСТОТ (или РАЗВЕРТКА) позволяет установить требуемую
частоту развертки. Если этот переключатель поставить в положение 0 (или
ВЫКЛ), то генератор развертки будет выключен. Ручками УСИЛЕНИЕ Х и
УСИЛЕНИЕ Y регулируется размер изображения (амплитуда сигнала) на экране по горизонтали и вертикали. Ручками СИНХРОНИЗАЦИЯ можно добиться
устойчивости изображения на экране. Исследуемые сигналы могут подаваться
на клеммы ВХОД Y или ВХОД Х, или на оба входа одновременно; клемма
ЗЕМЛЯ ( или ⊥ ) является вторым общим входом исследуемых сигналов.
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Исследование свободных затухающих колебаний проводится с помощью
установки, электрическая схема которой показана на рис. 8. Электронное реле
P управляет процессом зарядки конденсатора C от источника постоянного напряжения U . Само реле подключено к переменному напряжению ~ U .
В один полупериод напряжения ~ U реле замыкает контакты 0-1 и конденсатор заряжается до некоторого напряжения U . В следующий полупериод
переменного напряжения ~ U реле замыкает контакты 0-2 и конденсатор
включается в колебательный контур, в котором сразу же возникают затухающие колебания. Частота переключения контактов равна 50 Гц.
Колебания напряжения на конденсаторе C можно наблюдать с помощью
электронного осциллографа ЭО, на вертикально отклоняющие пластины (вход
Y ) которого подается напряжение U C конденсатора. Если на горизонтально
отклоняющие пластины осциллографа подано напряжение развертки (то есть
включен генератор развертки), то на экране наблюдаются картины, подобные
изображенным на рис. 4. Если выключить генератор развертки осциллографа и
на горизонтальные пластины (вход Х) подать напряжение от активного сопро-
21
тивления R , то будет происходить сложение двух взаимно перпендикулярных
колебаний: колебаний напряжения U C на конденсаторе и колебаний напряжения U R на активном сопротивлении, которые описываются формулами (1) и
(8). Результатом сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты является эллипс, ориентация которого зависит от
разности фаз (ϕ oX − ϕ oY ) складываемых колебаний. При наличии затухания на
экране осциллографа наблюдается скручивающаяся спираль (рис. 9). Отрезки
A 1 и A 2 соответствуют значениям амплитуды напряжения U C в два момента
времени, отличающиеся на период:
A 1 = U Cm (t ) и A 2 = U Cm (t + T ) .
Установка позволяет изучать затухающие колебания и измерять их характеристики при различных значениях R , L и C . Изменение С и L осуществляется переключением соответствующих штекеров. Величина активного сопротивления контура R задается магазином сопротивления RM и сопротивлением R L обмотки катушки индуктивности, так что
R = RM + RL .
(13)
Величина R L для каждой катушки указана на установке.
Приборы и принадлежности: лабораторный стенд; электронный осциллограф; магазин сопротивлений.
22
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Объем работы и условия проведения эксперимента задаются преподавателем или вариантом индивидуального задания.
2. Соберите цепь согласно рис. 5. Отдельные элементы соедините между собой с помощью клемм и штекеров по схеме, приведенной на установке.
Включите конденсатор и емкость с наибольшими значениями С и L , на магазине сопротивлений установите R M = 0 .
3. После проверки схемы преподавателем включите стенд и осциллограф. Включите генератор развертки осциллографа и, изменяя его частоту, добейтесь устойчивой картины на экране, подобной изображению на рис. 4,а.
4. Пронаблюдайте, как изменяются колебания при изменении емкости
C конденсатора. Для этого при постоянных значениях R M и L поочередно
включайте в схему конденсаторы различной емкости, зарисовывая в отчет (в
одинаковом масштабе) осциллограммы, соответствующие каждому значению
C . Под каждым рисунком укажите соответствующие ему значения C , L и R .
5. Для полученных осциллограмм, полагая, что затухание невелико,
для каждого случая по формуле (3) рассчитайте циклическую частоту и период
Т = 2π / ω 0 собственных колебаний и запишите полученные значения под соответствующими рисунками.
6. Включите конденсатор и катушку с наибольшими значениями C и
L . Постепенно увеличивая сопротивление R M магазина, проследите за характером изменения колебаний. Величину R M изменяйте в широких пределах так,
чтобы в итоге получить осциллограмму апериодического процесса, подобную
рис. 4,б. Определите критическое сопротивление RK данного колебательного
контура, как наименьшее сопротивление R , при котором наблюдается переход
от периодического процесса к апериодическому.
7. Для нескольких значений сопротивления R контура (по заданию
преподавателя или, например, R L ; 0,1R K ; 0,5R K ; R K ) зарисуйте в отчет в
одинаковом масштабе полученные осциллограммы, указывая под каждой знаR
чения C , L , R M , R L и R . Для каждой осциллограммы по формуле β =
2L
рассчитайте коэффициент затухания β и запишите его значение под соответствующим рисунком.
23
8. Для заданного колебательного контура на магазине установите сопротивление R M = 10 K 50 Ом и выключите генератор развертки осциллографа. На экране появится картина, аналогичная рис. 9. Зарисуйте в отчет полученную осциллограмму.
9. С помощью шкалы на экране осциллографа измерьте амплитуды
A 1 = U Cm (t ) и A 2 = U Cm (t + T ) , соответствующие моментам времени, отличающимся на период. Результаты запишите в табл. 1.
Таблица 1
L , мГн C , мкФ R L , Ом R M, Ом
R , Ом
A 1 , мм
A 2 , мм
θ эксп
θ теор
10. При выключенном генераторе развертки проведите измерения, указанные в пунктах 8 и 9, еще два раза при значениях сопротивления магазина
R M = 0,1R K и R M = 0,5R K . Для всех измерений рассчитайте и запишите в
табл. 1 экспериментальное и теоретическое значения логарифмического декремента, рассчитанные по формулам
A
θ эксп = ln 1 ; θ теор = β T .
A2
11. Увеличивая сопротивление магазина, добейтесь появления на экране осциллограммы, соответствующей критическому сопротивлению RK (как на
рис. 10). Параметры колебательного контура C , L , R L , R M и полученное значение RK запишите в табл. 2.
Таблица 2
L , мГн
C , мкФ
R L , Ом
RM , Ом
RK , Ом
RKтеор , Ом
12. Проведите измерения, указанные в пункте 11, при двух других значениях емкости C конденсатора.
13. Для измерений, сделанных в пунктах 11 и 12, по формуле (5) рассчитайте и запишите в табл. 2 теоретические значения R Kтеор .
24
14. В выводах по работе проанализируйте следующие вопросы:
– имеется ли качественное согласие между характером наблюдаемых колебаний и параметрами контура (емкостью, сопротивлением) и в чем оно проявляется;
– согласуются ли между собой экспериментальные и теоретические значения
логарифмического декремента при разных сопротивлениях R контура;
– согласуются ли между собой экспериментальные и теоретические значения
критического сопротивления контура.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется: а) периодом колебаний; б) амплитудой колебаний?
2. При каком условии колебания в контуре будут: а) незатухающими; б) затухающими?
3. Как с увеличением сопротивления контура изменяется: а) частота колебаний; б) период колебаний?
4. В каких единицах измеряется коэффициент затухания?
5. За какое время амплитуда колебаний уменьшается в «е» раз (согласно формуле (6))?
6. Что такое критическое сопротивление?
7. Что такое логарифмический декремент затухания? В каких единицах он измеряется?
8. Чем определяется активное сопротивление контура при выключенном магазине сопротивления?
9. Какой сигнал подается на вход Y осциллографа?
10. Какой сигнал подается на вход Х осциллографа при выключенном генераторе развертки?
11. Какую роль играет электронное реле в схеме данной работы?
12. Какие превращения энергии происходят в колебательном контуре: а) при
незатухающих колебаниях; б) при затухающих колебаниях?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Трофимова Т.И. Курс физики. 2000. §§ 140, 143, 146.
25
Лабораторная работа № 6.3 (31)
ИЗУЧЕНИЕ СЛОЖЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ
С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОННОГО ОСЦИЛЛОГРАФА
Цель работы:
знакомство с устройством и принципом действия электронного осциллографа; изучение сложения колебаний одного направления и взаимно перпендикулярных колебаний; измерение частоты колебаний.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ
Колебания и их основные характеристики (смотрите с. 6)
Собственные колебания в электрическом колебательном контуре
(смотрите с. 14)
Устройство и принцип действия электронного осциллографа
(смотрите с. 18)
Сложение гармонических колебаний
Биения
Результатом сложения двух гармонических колебаний одинакового направления, мало отличающихся по частоте, являются биения. Так называются
негармонические колебания с периодически изменяющейся амплитудой.
В простейшем случае, когда амплитуды обоих колебаний одинаковы
Ym1 = Ym 2 = Ym , результат сложения колебаний можно представить в виде
{
Y = Y1 + Y 2 = Y m1 cos ω 1t + Y m 2 cos ω 2 t = 2Y m cos
(
ω 2 −ω1
2
t
) } cos(
ω1 +ω 2
2
)
t ,
где ω1 и ω 2 - циклические частоты двух накладывающихся колебаний
(ω1 < ω 2 ) . Если частоты ω1 и ω 2 мало различаются, то величину, заключенную
в фигурные скобки, можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду. Величина Ω = ω 2 − ω1 называется циклической частотой биений, а период
изменения амплитуды называется периодом биений
TБ =
2π
1
=
.
ω 2 − ω1 ν 2 − ν 1
(1)
На рис. 1 показаны графики двух гармонических колебаний и результат их
сложения. На рисунке видно, что амплитуда суммарного колебания Y достигает
максимального значения, равного 2Ym , в моменты времени, в которых фазы
колебаний Y1 и Y2 совпадают, и амплитуда обращается в ноль, когда колебания
Y1 и Y2 противоположны по фазе.
26
Фигуры Лиссажу
Результатом сложения двух гармонических взаимно перпендикулярных
колебаний x = x m cos(ω x t + ϕ ox ) и y = y m cos ω y t + ϕ oy является фигура, вид
которой зависит от соотношения между частотами, фазами и амплитудами колебаний. В наиболее простых случаях, когда частоты накладывающихся колебаний равны или их отношение равно отношению целых чисел, получаются
замкнутые фигуры, называемые фигурами Лиссажу. На рис. 2 показаны некоторые случаи для различных отношений ν x ν y и разности фаз ϕ ox − ϕ oy . Наблюдать фигуры Лиссажу можно, например, на экране осциллографа.
(
)
27
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Схема установки изображена на рис. 3. Она состоит из электронного осциллографа ЭО, блока коммутации БК и двух генераторов гармонических электрических колебаний ИГ и ЭГ.
Частота на выходе исследуемого генератора ИГ считается неизвестной и
подлежит определению. Частота колебаний выходного напряжения эталонного
генератора ЭГ считается известной. Она
определяется непосредственно по шкале
генератора и равна произведению показаний лимба 1 и переключателя диапазонов
2. Ручкой РЕГУЛИРОВКА ВЫХОДНОГО НАПРЯЖЕНИЯ можно регулировать
амплитуду сигнала на выходе генератора.
Блок коммутации БК обеспечивает переключение схемы для исследования сложения колебаний одного направления или
взаимно перпендикулярных колебаний. Если тумблер блока коммутации находится в положении БИЕНИЯ, то выходные напряжения от обоих генераторов
ИГ и ЭГ поступают на вход Y осциллографа. В этом случае для определения
неизвестной частоты ν исследуемого генератора ИГ следует использовать следующий прием. Включить генератор развертки осциллографа и при неизменной частоте развертки подобрать такую частоту ν 1 генератора ЭГ, при которой
на экране устанавливается неподвижная картина, содержащая n периодов биений
n
T разв = nTб =
.
ν −ν1
При данных значениях T разв и n это равенство выполняется и при другой частоте ν 2 , которая больше частоты ν на столько, на сколько частота ν 1 меньше
частоты ν , то есть ν − ν 1 = ν 2 − ν . Отсюда искомая частота
ν +ν 2
ν= 1
.
(2)
2
Для исследования сложения взаимно перпендикулярных колебаний следует выключить генератор развертки осциллографа и тумблер БК переключить
в положение ЛИССАЖУ. При этом выходное напряжение генератора ЭГ подается на вход Y, а генератора ИГ – на вход Х осциллографа. Неизвестная частота
ν исследуемого генератора в этом случае определяется по формуле
kY
ν ЭГ ,
(3)
kX
k
где ν ЭГ - частота эталонного генератора; Y - отношение числа касаний фигуkX
ры Лиссажу сторон Y и X сторон прямоугольника, в который она вписана.
ν=
28
Приборы и принадлежности: электронный осциллограф, эталонный генератор, исследуемый генератор, блок коммутации.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Объем работы и условия проведения опыта устанавливаются преподавателем или вариантом индивидуального задания.
1. После проверки схемы преподавателем включите приборы в сеть.
Регулировку исследуемого генератора производит только преподаватель
или лаборант.
2. Ручками регулировки осциллографа получите достаточно яркое и резкое
изображение картины колебаний, расположив ее в середине экрана.
3. Исследуйте сложение колебаний одного направления. Для этого включите генератор развертки осциллографа и тумблер блока коммутации поставьте в
положение БИЕНИЯ. Вращая лимб генератора ЭГ, подберите такую частоту ν 1
его колебаний, при которой на экране будет неподвижная картина, содержащая
n = 1 период биений. Затем подберите другую частоту ν 2 , при которой на экране по-прежнему будет наблюдать один период биений. Значения ν 1 и ν 2 запишите в табл. 1.
Таблица 1
n
ν 1 , Гц
ν 2 ,Гц
ν , Гц
1
2
3
4
4. Измерения частот ν 1 и ν 2 повторите для других значений n (например,
n = 2 , n = 3, … ). Для каждого использованного значения n по формуле (2)
рассчитайте частоту ν колебаний исследуемого генератора и вычислите среднее значение ν .
5. Исследуйте сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний. Для
этого выключите генератор развертки и тумблер блока коммутации поставьте в
положение ЛИССАЖУ. Вращая лимб генератора ЭГ, подберите такое значение
частоты ν его колебаний, при которой на экране наблюдается неподвижный
эллипс. Зарисуйте в отчет полученную фигуру и укажите под ней отношение
kX
. Аналогичные измерения проведите для трех – четырех других видов фиkY
гур Лиссажу.
6. Для каждого вида фигур Лиссажу по формуле (3) рассчитаайте частоту
ν колебаний исследуемого генератора и вычислите среднее значение ν .
7. Сравните значения частот ν исследуемого генератора, определенные
двумя методами.
29
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Каково назначение электронной пушки?
2. Какую роль играют Х-пластины и Y-пластины в электроннолучевой трубке?
3. Как в осциллографе осуществляется регулировка яркости и фокусировка
электронного луча?
4. Каково назначение генератора развертки? Как осуществляется развертка во
времени?
5. Что наблюдается на экране осциллографа при отсутствии сигнала на входе
Y, если: а) развертка выключена; б) развертка включена?
6. Что наблюдается на экране осциллографа при подаче переменного напряжения на вход Y, если: а) развертка выключена; б) развертка включена?
7. При каком условии на экране наблюдается неподвижная картина? Для чего
служит синхронизация?
8. При каком условии возникают биения? От чего зависит частота и период
биений?
9. При каком условии амплитуда биений достигает максимального и минимального значений?
10. При каком условии на экране наблюдается неподвижная картина, содержащая три периода биений?
11. При каком условии возникают фигуры Лиссажу? От чего зависит их вид?
12. Почему для наблюдения фигур Лиссажу необходимо выключить генератор
развертки?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Трофимова Т.И. Курс физики. 2000. §§ 140, 143, 144, 145.
30
Лабораторная работа № 6.4 (63)
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы:
изучение механических вынужденных колебаний; экспериментальное определение, расчет и построение резонансных
кривых для механической колебательной системы.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ
Колебания и их основные характеристики (смотрите с. 6)
Пружинный маятник
Пружинный маятник представляет собой груз, подвешенный на пружине. Если деформировать пружину и затем предоставить маятник самому себе, то возникнут гармонические колебания за счет силы упругости, возникающей в пружине при ее растяжении или сжатии Fупр = −k x . Эта сила называется возвращающей, поскольку стремится выведенный из состояния равновесия
груз вернуть в исходное состояние.
Уравнение движения пружинного маятника (без учета сил трения) согласно второму закону Ньютона можно записать в виде
d 2x k
ma = −k x
или
(1)
+ x = 0.
dt 2 m
k
= ω 02 , то уравнение (1) примет вид
Если обозначить
m
d 2x
+ ω 02 x = 0 .
(2)
2
dt
Решением этого уравнения является гармоническая функция
x (t ) = А sin(ω t + ϕ o ) .
(3)
Таким образом, пружинный маятник является примером гармонического осциллятора. Дважды дифференцируя (3) по t, получим
d 2x
2
2
(4)
a=
=
−
ω
⋅
A
sin(
ω
t
+
α
)
=
−
ω
x.
dt 2
На любую реальную колеблющуюся систему наряду с возвращающей
всегда действует сила, препятствующая движению (чаще всего, это сила трения). Поэтому выведенный из положения равновесия и предоставленный самому себе пружинный маятник совершает затухающие колебания, амплитуда
которых уменьшается со временем по закону
A (t ) = A 0e −δt .
(5)
Здесь δ – коэффициент затухания. За время τ = 1 δ (называемое временем релаксации) амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз. Уменьшение
31
амплитуды за время, равное периоду Т, характеризуется логарифмическим
декрементом затухания
θ = ln
A (t )
T
= = δT .
A (t + T ) τ
(6)
Вынужденные колебания
Вынужденные колебания система совершает под действием внешней периодически изменяющейся силы. Эта сила компенсирует потери энергии колебательной системы, делая колебания незатухающими. При этом внешнее воздействие “навязывает” системе свой закон колебаний. Вынужденные колебания
совершаются с частотой внешнего воздействия.
Вначале, сразу после включения внешней периодической силы, система
совершает собственные затухающие колебания и колебания, вызванные внешним воздействием. При таком «наложении» колебаний вначале наблюдается
неустановившийся, переходный процесс. Он прекратится, когда собственные
колебания затухнут (обычно это происходит достаточно быстро), и с этого момента в системе устанавливается режим вынужденных колебаний.
Наиболее простым (и в то же время важным) является случай, когда
внешнее воздействие изменяется по гармоническому закону Fвн = Fm sin ω t ,
где ω - частота внешнего воздействия. В этом случае уравнение движения маятника (без учета сил трения) будет иметь вид
ma = −k x + Fвн .
С учетом выражения (4) можно записать
mω 2 x = −mω 02 x + Fвн ,
откуда
F /m
x = 2m
sin ω t = Aвын sin ω t .
(7)
ω0 − ω 2
Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний
F /m
Aвын = 2m
sin ω t
(8)
ω0 − ω 2
зависит от соотношения между собственной ω 0 и вынуждающей ω частотами.
Из выражения (8) следует, что при совпадении частот ω и ω 0 амплитуда
вынужденных колебаний становится бесконечно большой. На самом деле, если
учесть всегда действующие силы сопротивления движению, совпадение ω и
ω 0 приводит к возрастанию Авын до максимального значения. Такое возрастание называется резонансом. Учет сил сопротивления приводит к более точному
выражению для Авын :
Fm
Aвын =
.
(9)
m (ω o2 − ω 2 ) 2 + 4δ 2ω 2
Здесь δ – коэффициент затухания.
32
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний Авын от частоты ω
внешнего воздействия называется резонансной кривой. На рис. 1 показаны резонансные кривые для различных значений коэффициента затухания δ, из которого видно, что с увеличением δ высота
максимума снижается, он становится более пологим и смещается в сторону более
низких частот. Это означает, что в системе с затуханием резонанс наблюдается
при более низкой, чем ω0, частоте. Она
называется резонансной ωрез и зависит от
коэффициента затухания δ:
ω рез = ω o2 − 2δ 2 .
(10)
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Схема установки для исследования вынужденных механических колебаний показана на рис. 2. На стойке 1 закреплена втулка 2 со стержнем 3, на котором с помощью шарикоподшипников 4 подвешены два
маятника и стержень, возбуждающий колебания маятников. Маятник состоит из стержня 3 и перемещаемого
груза 5. Оба маятника соединены прутком 6 и образуют
единую колебательную систему
Возбуждение колебаний осуществляется с помощью приводного диска, закрепленного на вале электродвигателя. Диск приводит в колебание стержень, который при помощи двух пружин 7 связан со стержнем
маятника. В результате на маятник со стороны пружин
действует сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Частота этой силы определяется частотой вращения вала электродвигателя. Пружины закреплены в Побразной обойме, которую можно перемещать вдоль
стержня маятника.
На маятник, кроме силы тяжести (как в случае обычного физического маятника), действуют упругие силы со стороны двух пружин. Момент этих сил
M упр = −2k xL = −2kαL 2 ,
где k - коэффициент упругости каждой пружины; L - расстояние от точки
крепления обоймы с пружинами до оси вращения маятника (рис. 3).
33
К кронштейну 1 (рис. 2) прикреплена шкала 8,
по которой можно определить амплитуду колебаний
маятника. На кронштейне закреплен также фотоэлектрический датчик 9, световой луч которого пересекает
при колебаниях стержень маятника.
На лицевой панели блока управления 10 находится тумблер ВКЛЮЧЕНИЕ ДВИГАТЕЛЯ, ручка
ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЙ потенциометра, регулирующего число оборотов вала электродвигателя. Здесь
же расположены индикаторы секундомера и счетчика
Рис. 3
числа колебаний. Для создания затухания колебаний
маятника на пруток 6 навешиваются легкие диски 11.
Возникающая при колебаниях сила сопротивления диска пропорциональна
скорости его движения. Затухание маятника без дисков незначительно, так как
сила сопротивления в подшипниках мала.
Приборы и принадлежности: установка для изучения вынужденных механических колебаний; набор дисков.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Определите частоту ω o собственных незатухающих колебаний. Для этого проведите опыт без тормозящих пластин. Сообщите маятнику колебания с
небольшой амплитудой (~5°) и нажмите клавишу СБРОС. После совершения
маятником девяти колебаний нажмите клавишу СТОП, после чего с индикаторов считайте число N и время t колебаний. По этим данным рассчитайте период
Т и циклическую частоту ω o . Результаты занесите в табл.1.
Таблица 1
N
t, c
T, c
ω o , рад/с
2. Определите коэффициент затухания δ маятника с установленными тормозящими дисками. Для этого измерьте время, за которое амплитуда уменьшается на определенную величину, например в два раза: от 10° до 5°. Используя
теоретическую формулу изменения амплитуды затухающих колебаний А (t ) и
измеренное отношение α 0 / α , рассчитайте коэффициент затухания δ и логарифмический декремент θ . Результаты занесите в табл.2.
3. Сравните частоту ω затухающих колебаний, полученную на основании
измерений N и t, и рассчитанную по теоретической формуле с использованием
известных значений ωo и δ .
Таблица 2
t, c
δ , 1/c
N
α o , град α , град
θ
ωo , рад/с
измер.
расчет
34
4. Для получения амплитудной резонансной кривой включите питание
электродвигателя. Наблюдения начните с небольшой частоты вращения. Вначале колебания маятника носят неустановившийся характер, возникают биения
как результат сложения двух колебаний с разными частотами: частотой внешнего воздействия и собственной частотой системы. Через несколько минут, когда колебания с собственной частотой затухнут и процесс установится, маятник
начинает совершать вынужденные колебания с частотой внешнего воздействия.
Для установившегося процесса измерьте частоту ω и амплитуду α вынужденных колебаний. Результаты занесите в табл. 3.
δ, 1/c
α , град
N
t, c
ω , рад/с
Таблица 3
ω рез , рад/с
Такие измерения проведите при 8-10 значениях частоты, до максимально возможной частоты вращения электродвигателя. По результатам измерений постройте резонансную кривую и определите резонансную частоту ω рез . Резонансные кривые желательно определить при различных коэффициентах затухания δ .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Приведите примеры (желательно из Вашей специальности) возникновения
вынужденных колебаний (полезных и вредных) и их практического использования.
2. Приведите примеры возникновения и практического использования резонанса.
3. Почему на начальной стадии вынужденных колебаний возникают биения и
почему с течением времени они исчезают?
4. Какие превращения энергии происходят при колебаниях маятника?
5. Как Вы считаете, возможно ли наблюдение резонанса в системе, на которую
действует сила, изменяющаяся по периодическому, но не гармоническому
закону?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Трофимова Т.И. Курс физики. 2000. §§ 140, 142, 146, 147, 148.
35
Лабораторная работа № 6.5 (32)
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ И РЕЗОНАНСА
В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ
Цель работы:
изучение закономерностей вынужденных колебаний; определение резонансных кривых и измерение параметров контура.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ
Колебания и их основные характеристики (смотрите с. 6)
Собственные колебания в электрическом колебательном контуре
(смотрите с. 14)
Вынужденные колебания в электрическом колебательном контуре
Для возбуждения вынужденных колебаний в электрическом колебательном контуре необходимо его подключение к источнику тока, ЭДС E
которого периодически изменяется с течением времени. (рис.1).
Рассмотрим случай гармонического изменения ЭДС: E = Em sin ω t . По
закону Ома сумма напряжений на элементах R и C равна суммарной ЭДС, действующей в контуре
dI
q
IR + = Em sin ω t − L
,
(1)
C
dt
где I – сила тока в контуре; q – заряд конденсаdq
тора. По определению I =
. С учетом этого,
dt
после дифференцирования уравнения (1) по
времени, получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний силы тока в колебательном контуре
Em ω
d 2I
dI
2
+
2
β
+
ω
I
=
cos ω t , (2)
o
dt
L
dt 2
1
R
коэффициент затухания, а ω o =
- собственная частота колегде β =
LC
2L
баний, зависящие от параметров контура. Решение дифференциального уравнения (2), соответствующее установившимся колебаниям, называется уравнением
вынужденных колебаний в колебательном контуре и имеет вид:
I = I m sin(ωt − ψ ) .
(3)
Как видим, ток в контуре изменяется по гармоническому закону с той же частотой ω , как и внешняя ЭДС, а амплитуда I m силы тока зависит от частоты ω
внешней ЭДС и параметров контура:
36
Im =
Em
2
(
R + ωL − ω1C
)
2
.
(4)
Зависимость амплитуды I m колебаний от частоты ω внешней ЭДС называется резонансной кривой. На рис. 2 показаны резонансные кривые для силы
тока в контуре при различных значениях коэффициента затухания, который
прямо пропорционален сопротивлению R контура
β = R 2L .
Видим, чем меньше R, тем больше амплитуда тока при резонансе
и тем острее резонансная кривая.
Важнейшим свойством резонансной кривой является существование максимума амплитуды колебаний при некоторой частоте, называемой резонансной.
В колебательном контуре
амплитуда силы тока (4) достигает максимального значения при
условии ωL − ω1C = 0 , следовательно, резонансная частота для
силы тока
1
(5)
ω рез =
= ωo .
LC
Таким образом, резонансная частота колебаний электрического тока в
контуре совпадает по величине с собственной частотой колебаний в колебательном контуре и не зависит от значения активного сопротивления R
контура.
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Конденсатор, катушка индуктивности, активное сопротивление и источник переменной ЭДС, соединенные последовательно, образуют колебательный
контур, в котором происходят вынужденные колебания.
Схема установки изображена на рис. 3. Конденсаторы с известной C и
неизвестной C x емкостью, катушки с известной L и неизвестной Lx индуктивностью и миллиамперметр для измерения силы тока в контуре смонтированы в
лабораторном стенде и их выводы расположены на лицевой панели.
Активное сопротивление R контура задается магазином сопротивлений.
Источником переменной ЭДС служит генератор ГЗ-1, создающий гармонические колебания напряжения в звуковом диапазоне частот. Частота колебаний ν
генератора в герцах равна произведению показания лимба и переключателя
ДИАПАЗОН ЧАСТОТ. Амплитуда напряжения на выходе генератора регулируется ручкой АМПЛИТУДА ВЫХОДА.
37
Амплитуда колебаний силы тока в контуре измеряется миллиамперметром тА . Стенд позволяет измерить амплитуду силы тока в контуре также с
помощью электронного осциллографа ЭО. Для этого на вход Y осциллографа
подается пропорциональное току напряжение, снимаемое с части активного сопротивления R (участок r магазина сопротивления).
Если в контуре один из параметров (L или С) неизвестен, то определяют
резонансную частоту ν рез и, используя (5), из соотношения
ν рез =
ω рез
1
=
2π
2π LC
(6)
вычисляют неизвестную величину. Таким образом, предлагаемая установка
может быть использована для определения неизвестной емкости C x или неизвестной индуктивности L x .
Приборы и принадлежности:
лабораторный стенд; генератор;
магазин сопротивлений; осциллограф.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Объем работы и условия проведения опыта устанавливаются преподавателем или вариантом индивидуального задания.
2. Составьте таблицу характеристик электроизмерительного прибора для
микроамперметра.
3. По формуле (6) рассчитайте значение ν рез . Значения L и С указаны на
установке. Переключателем и лимбом генератора установить частоту, равную
полученному значению ν рез .
4. После проверки схемы преподавателем, если требуется в задании,
включите осциллограф. Переключатель ДИАПАЗОН ЧАСТОТ поставьте в положение «150» (при этом частота развертки осциллографа будет приблизитель-
38
но 150 Гц). Ручками ЯРКОСТЬ, ФОКУС, СМЕЩЕНИЕ Y и СМЕЩЕНИЕ Х получите достаточно яркую и резкую светящуюся линию и совместите ее со средней линией шкалы на экране осциллографа.
5. Включите звуковой генератор. Ручку АМПЛИТУДА ВЫХОДА установить примерно на деление «50» и в дальнейшем при снятии резонансной кривой
не изменяйте амплитуду сигнала на выходе генератора.
6. Если в задании требуется, с помощью ручки УСИЛЕНИЕ Y осциллографа добейтесь, чтобы картина колебаний занимала по вертикали около половины экрана. При этом обеспечивается линейность характеристики осциллографа по оси Y. В дальнейшем при снятии резонансных кривых положение этих
ручек должно оставаться неизменным.
7. Изменяя с помощью лимба частоту генератора в одну и другую сторону
от частоты ν рез , проследите качественно на экране осциллографа или на шкале микроамперметра за изменением частоты и амплитуды колебаний в контуре.
Результаты наблюдений запишите в отчет.
8. При двух заданных значениях сопротивления магазина R1 и R 2 измерьте резонансные кривые контура. Каждая кривая должна содержать не менее 8-10 значений частоты от минимального до максимального показаний лимба звукового генератора. Особенно тщательно следует определить значение
ν рез . При определении резонансных кривых либо используйте показания миллиамперметра I m , либо измерьте амплитуду А колебаний на экране осциллографа, пропорциональную амплитуде силы тока в контуре. Во втором случае
переключатель ДИАПАЗОН ЧАСТОТ осциллографа поставьте в положение
«16 к»; изображение на экране примет вид сплошной полосы, ширина которой
равна удвоенной амплитуде. При большом сопротивлении контура амплитуда
колебаний становится малой. Для увеличения изображения на экране в таком
случае надо увеличить сопротивление r. При снятии резонансной кривой величина r не изменяется. Результаты измерений занесите в табл. 1 или в табл. 2 в
соответствии с заданием.
Таблица 1
№
R1 =
R2 =
ν , кГц
Im, мкА
ν , кГц
Im, мкА
Таблица 2
№
ν , кГц
R1=
r=
A1, см
ν , кГц
R2 =
r=
A2, см
Постройте на одном графике обе резонансные кривые, откладывая по
9.
оси абсцисс частоту ν , а по оси ординат – силу тока I m (или амплитуду А).
Если зависимости A (ν ) получены при разных значениях сопротивления r
(например, амплитуда A1 измерена при сопротивлении r1 , амплитуда A 2 при
39
сопротивлении r2 ), то надо пересчитать значения амплитуды к одинаковым условиям, умножив для этого значения A 2 на r1 r2 .
На каждой кривой укажите активное сопротивление контура, которое складывается из сопротивления магазина R и сопротивления катушки R L , значение
которого указано на установке. Обсудите зависимость ν рез и формы резонансной кривой от сопротивления контура.
Включите в контур неизвестную индуктивность L x вместо извест10.
ной. По максимуму тока в контуре определите ν рез и по формуле (6) вычислите величину L x .
Измерьте неизвестную емкость C x . Для этого включите в контур
11.
известную индуктивность L и неизвестную емкость C x . По максимуму тока в
контуре определите ν рез и по формуле (6) вычислите неизвестную C x .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Нарисуйте принципиальную схему колебательного контура, в котором происходят вынужденные колебания. Назовите параметры контура. Как зависят от параметров контура коэффициент затухания и частота собственных
колебаний?
2. Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний силы тока в контуре в случае гармонического изменения ЭДС. Согласно какому
закону это уравнение записано?
3. Найдите решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний
силы тока в контуре в случае гармонического изменения ЭДС, соответствующее колебаниям, устанавливающимся в контуре. С какой частотой происходят колебания силы тока в контуре?
4. Что такое резонансная кривая? От чего зависит острота максимума?
5. В чем заключается явление резонанса? При каком условии он происходит?
6. Как зависит резонансная частота от параметров контура R, L ,С?
7. Как в работе находится неизвестная емкость или неизвестная индуктивность? Зависит ли результат от величины сопротивления?
8. Из чего складывается активное сопротивление контура?
9. Как и в каких пределах изменяется частота генератора?
10. Что называется полным сопротивлением цепи? Чему оно равно при резонансе?
11. Зависимость силы тока в контуре от времени имеет вид I = I m sin(ωt − ϕ o ) .
Какими параметрами контура определяется частота ω и амплитуда I m ?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Трофимова Т.И. Курс физики. 2002. §§ 143, 147, 148.
40
Лабораторная работа № 6.6 (33)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ
МЕТОДОМ АКУСТИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА
Цель работы:
изучение явления акустического резонанса;
измерение скорости звуковых волн в воздухе.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ
Волны в упругой среде
Возмущение среды – это отклонение каких-либо характеристик среды
(давления, плотности, температуры, координат частиц среды и т.п.) от своих
равновесных значений.
Возмущение, возникшее в некотором месте среды, вследствие взаимодействия между ее частицами распространяется с некоторой скоростью. Процесс распространения возмущения в среде называется волной. Основное свойство всех волн, независимо от их природы, состоит в том, что волны осуществляют перенос энергии без переноса вещества.
При прохождении волны частицы среды совершают движение около
своих средних равновесных положений. По направлению этого движения различают продольные и поперечные волны. В продольной волне смещение частиц среды происходит вдоль направления распространения волны (например,
звуковые волны в газах и жидкостях). В поперечной волне частицы среды смещаются перпендикулярно направлению распространения волны (например,
волны на поверхности жидкости, волны в колеблющейся струне).
Волна называется гармонической, если возмущение в любой точке среды при распространении волны изменяется с течением времени по гармоническому закону
(1)
ξ = ξm sin(ωt + ϕo ) ,
где ξ – смещение частиц среды от равновесного положения1; ξm - амплитудное
значение величины ξ ; ω = 2πν - циклическая частота колебаний; ν - частота
колебаний; ϕ o - начальная фаза колебаний; T = 1 / ν - период колебаний.
Расстояние λ , на которое распространяется волна за время одного периода Т колебаний, называется длиной волны. Скорость v распространения
фазы колебаний называется фазовой скоростью волны, при этом в изотропной
среде
v = λν .
(2)
В простейших случаях скорость распространения возмущения зависит
только от свойств самой среды и не зависит от частоты. Это имеет место при
распространении волн в упругой среде (например, в натянутой струне). Если
Вообще говоря, в формуле (1) под символом ξ можно понимать отклонение от равновесного значения любой физической величины, характеризующей колебания в волновом процессе.
1
41
наблюдается зависимость фазовой скорости волны от частоты колебаний, то
говорят о наличии дисперсии. Дисперсия присуща, например, волнам на поверхности воды.
Пусть в какой-либо точке M среды, в которой распространяется волна,
возмущение ξ изменяется по гармоническому закону (1). Тогда изменение возмущения в другой точке среды, отстоящей от точки M на расстоянии x вдоль
направления распространения волны, происходит по такому же закону, но с заx
позданием на время t = , необходимое на прохождение волной расстояния x .
v
Уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси OX , в точке с координатой x в связи с этим имеет
вид
⎡ ⎛
⎣ ⎝
ξ = ξm sin ⎢ω ⎜ t −
(3)
2π ν 2π
=
называется волновым числом, которое показываv
v
λ
ет, сколько длин волн укладывается на отрезке длиной 2π . Тогда уравнение (3)
принимает вид
Величина k =
ω
ωx
x⎞
⎤
⎛
⎞
+ ϕo ⎟ .
⎟ + ϕ o ⎥ = ξm sin ⎜ ω t −
v⎠
v
⎝
⎠
⎦
=
ξ = ξm sin (ω t − k x + ϕ o ) .
(4)
Если волна распространяется в отрицательном направлении оси OX , то
ξ = ξm sin (ω t + k x + ϕ o ) .
(5)
Таким образом, в плоской гармонической (монохроматической) волне возмущения во всех точках среды совершают гармонические колебания одинаковой
частоты и амплитуды, но различные по фазе.
Звуковые волны
Частным случаем упругих волн являются звуковые волны – волны, воспринимаемые ухом человека. Частота их колебаний лежит в интервале от 16 Гц
до 20 кГц. Наибольшая чувствительность уха человека соответствует частоте
около 3,5 кГц.
Минимальная амплитуда изменения давления, которое способно воспринимать ухо человека, около 3 ⋅ 10 −5 Па, а порог болевого ощущения – около
30 Па. Ощущение высоты (тона) звука связано с частотой колебаний, а громкости – с их амплитудой. Тембр звука определяется наличием в его спектре колебаний (гармоник) с частотами, кратными частоте основного тона. Колебания с
частотой ниже 16 Гц называются инфразвуком, а выше 20 кГц – ультразвуком.
Звуковая волна в газе представляет собой последовательность чередующихся областей сжатия и разрежения газа, поэтому плотность и давление газа в
каждой точке пространства, в котором распространяется звуковая волна, периодически отклоняется на некоторую величину от равновесного значения. Эти
колебания плотности и давления газа происходят настолько быстро, а тепло-
42
проводность газа настолько мала, что смежные участки среды не успевают обмениваться теплом, поэтому процесс распространения звуковой волны в газе
можно считать адиабатическим.
Смещение ξ элементарного объема газа вдоль направления распространения волны и отклонение давления Δp в случае плоской волны связаны соотношением
dξ
Δp = −γ p
,
(6)
dt
где γ - постоянная адиабаты газа, равная отношению теплоемкости при постоянном давлении c p к теплоемкости при постоянном объеме cV .
Скорость v распространения звука в идеальном газе зависит от его температуры T
RT
v= γ
,
(7)
M
где R – универсальная газовая постоянная; M – молярная масса газа.
Интерференция. Стоячие волны
При одновременном распространении нескольких волн каждая из них
распространяется так же, как и в отсутствии других волн. Результирующее возмущение в каждой точке среды равно сумме возмущений, создаваемых каждой
волной. В этом заключается принцип суперпозиции. При наложении двух (или
более) волн наблюдается интерференция: пространственное распределение
амплитуды результирующего колебания, при котором в одних точках колебание частиц среды происходит с максимальной, а в других точках с минимальной амплитудой. Интерференционная картина устойчива во времени, если волны когерентны, то есть если их разность фаз не изменяется за время наблюдения.
Простейший случай интерференции – это сложение двух монохроматических волн одинаковой частоты с одинаковым направлением (поляризацией) колебаний. Если для некоторой точки разность хода двух волн равна целому числу длин полуволн, то в эту точку волны приходят в одинаковой фазе и здесь наблюдаются колебания с удвоенной амплитудой. Если разность хода равна нечетному числу длин полуволн, то волны приходят в точку в противофазе и при
сложении волны “гасят” друг друга. Уменьшение амплитуды колебаний в одних местах и ее увеличение в других местах при интерференции свидетельствует о перераспределении в пространстве потока энергии от источников волны.
При интерференции распространяющихся навстречу друг другу монохроматических волн одинаковой частоты, амплитуды и поляризации (например,
падающей и отраженной от преграды волн) образуется стоячая волна. Те места пространства, где наблюдаются колебания с максимальной амплитудой, называются пучностями, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю,
называются узлами стоячей волны. Расстояние между соседними узлами или
соседними пучностями равно λ / 2 .
43
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
В данной работе скорость звука в воздухе определяется методом стоячих
волн, образующихся в столбе воздуха внутри закрытой трубы. Схема установки
изображена на рис. 1.
В трубе 1 может перемещаться поршень 2, ограничивающий столб воздуха в трубе. Другой торец трубы закрыт крышкой 3. На стержне 4, связанном с
поршнем, имеется шкала, позволяющая определять расстояние l между поршнем и крышкой, то есть длину столба воздуха в трубе. Колебания воздуха в
трубе возбуждаются мембраной телефона T , который подключен к генератору
ГЗ электрических колебаний звуковой частоты. Приемником звуковых колебаний служит микрофон М , преобразующий механические колебания в электрические, которые подаются на вход Y электронного осциллографа ЭО .
Выведем условие возникновения стоячей звуковой волны в столбе газа,
ограниченного закрытой по торцам трубой длиной l . Пусть звуковая волна
распространяется в трубе вдоль ее оси. Тогда для падающей на торец трубы
волны смещения можно записать
ξ1 = ξm cos(ω t − k x + ϕ 01 ) ,
где ξm - амплитуда смещения частиц газа. Навстречу падающей волне распространяется отраженная от торца волна. Если коэффициент отражения равен
единице, то отраженная волна
ξ 2 = ξm cos(ω t + k x + ϕ 02 ) .
Результирующая волна смещения
ξ = ξ1 + ξ 2 = ξ1 = ξm cos(ω t − k x + ϕ 01 ) + ξm cos(ω t + k x + ϕ 02 ) .
Применив правило сложения косинусов, получим
(
) (
)
ξ (x , t ) = 2ξm cos k x + ϕ01−2ϕ02 cos ω t + ϕ01+2ϕ02 .
(8)
(
ϕ −ϕ
44
)
Величина 2ξm cos k x + 01 2 02 = Aξ (x ) является амплитудой стоячей волны
смещения, значение которой зависит только от координаты х и не зависит от
(
ϕ 01−ϕ 02
времени. В точках, для которых cos k x +
2
) = 0 , наблюдаются узлы стоя-
чей волны смещения; здесь амплитуда колебаний Aξ (x ) = 0 .
Непосредственно у твердой преграды частицы среды при отражении продольной волны не смещаются, амплитуда их колебаний Aξ (x ) = 0 . Поэтому
при возникновении стоячей волны в закрытой с обеих сторон трубе на торцах
могут располагаться только узлы стоячей волны смещения. Если координата
одного торца x = 0 , а другого x = l , то эти граничные условия запишутся так:
Aξ (0) = 0 и Aξ (l ) = 0 ,
где l – расстояние между торцевыми стенками трубы. Запишем первое граничное условие в явном виде
ϕ −ϕ
Aξ (0) = 2ξm cos 01 2 02 = 0 .
Это выражение справедливо, если cos
(
(
ϕ 01−ϕ 02
2
)
) = 0 , то есть если
ϕ 01 −ϕ 02
ϕ 01 − ϕ 02 = π . Используя это, применим второе граничное условие
Aξ (l ) = 2ξm cos(k l + π2 ) = 0 .
(
2
= π2 или
)
Это равенство выполняется, если cos k l + π2 = 0 , а это имеет место, если
kl +
π
2
= (2n + 1)
π
2
. Отсюда l =
nπ
2π
. Так как k =
, то окончательно получаем
k
λ
l =n
λ
2
,
(9)
где n = 1, 2, 3, K .
Длины волн λ , удовлетворяющие условию (9), соответствуют собственным колебаниям столба газа в трубе. Если частота внешнего источника колебаний совпадает с частотой собственных колебаний, то в трубе наблюдается явление акустического резонанса, в результате которого колебания газа в трубе
происходят с максимальной амплитудой. Поэтому по наступлению акустического резонанса можно определить длину l трубы, при которой выполняется
соотношение (9). Это обстоятельство используется при определении длины
волны в газе.
При отражении продольной волны от твердой преграды амплитуда колебаний давления р газа на стенку максимальна. При возникновении стоячей
волны здесь наблюдается пучность стоячей волны давления. На открытом торце трубы наблюдается пучность стоячей волны смещения и узел стоячей волны
давления, так как на открытом торце давление газа не отличается от атмосферного, следовательно, нет изменения давления. Если координата открытого торца трубы x = l , то граничное условие стоячей волны давления для открытого
торца трубы запишется так: A p (l ) = 0 , где A p (l ) - амплитуда стоячей волны
давления.
45
Амплитуда колебаний в узле стоячей волны будет равна нулю только в
том случае, если падающая и отраженная волны имеют одинаковые амплитуды,
что имеет место при коэффициенте отражения R = 1. Если R < 1 (или есть поглощение в среде), то в узлах стоячей волны не будет полного гашения колебаний, а будет наблюдаться лишь минимум амплитуды колебаний, что и происходит в реальных условиях.
Амплитуда колебаний, наблюдаемых на экране осциллографа, пропорциональна амплитуде давления в звуковой волне. Если подобрано такое положение поршня, что в трубе устанавливается стоячая волна, то есть длина l
столба воздуха соответствует условию акустического резонанса (9), то амплитуда колебаний на экране достигает наибольшего значения. Разность отсчетов
по шкале двух соседних резонансных положений поршня ln и ln −1 дает, согласно формуле (9), значение половины длины звуковой волны
Δln = ln − ln −1 =
λ
.
(10)
2
Зная, кроме того, частоту ν звуковых колебаний генератора, можно по
формуле (2) определить скорость звука v .
Приборы и принадлежности: акустическая труба с подвижным поршнем,
телефоном и микрофоном; звуковой генератор;
электронный осциллограф.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Объем работы и условия проведения опыта устанавливаются преподавателем или вариантом индивидуального задания.
1. После проверки схемы подключения согласно рис. 1 включить осциллограф и генератор в сеть. На генераторе установить необходимую частоту колебаний (в диапазоне от 700 до 1500 Гц).
2. Регулировочными ручками осциллографа получить достаточно яркую и
четкую картину колебаний, расположенную в центре экрана, с размером по
вертикали примерно 1 – 2 см.
3. Постепенно вдвигая (или выдвигая) поршень, определить по шкале все
возможные резонансные положения ln . Результаты записать в табл.1.
Таблица 1
ν , Гц
ln , см
Δln , см
4. Измерения, указанные в пункте 3, провести при трех других значениях
частоты звукового генератора. Результаты оформить в виде таких же таблиц.
5. Для каждой частоты вычислить разность Δln всех соседних положений
поршня и найти среднее значение Δl , используя которое, по формуле (10) определить длину λ звуковой волны. По формуле (2) рассчитать скорость звука
46
v . Результаты расчетов оформить в виде табл. 2. Определить среднее значение
скорости звука v .
Таблица 2
ν , Гц
λ, м
v,м
Δl , м
6. По формуле (7) рассчитать теоретическое значение скорости звука v теор
в воздухе. Молярные теплоемкости cV = 2i R и c p = cV + R , где число степеней свободы молекулы i = 5 . Молярная масса воздуха М = 0,029 кг/моль.
В выводах обсудить:
– наблюдается ли в проведенных опытах дисперсия звуковых волн;
– согласуются ли между собой значения v и v теор .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое упругая, поперечная, продольная волна?
2. Что такое звуковая, ультразвуковая, инфразвуковая волна?
3. Поперечной или продольной является звуковая волна в воздухе?
4. Почему процесс распространения звуковой волны является адиабатическим?
5. Что такое стоячая волна? Как она образуется? Чем она отличается от бегущей волны?
6. В чем заключается акустический резонанс? При каком условии он возникает в закрытой трубе?
7. Что такое узлы и пучности стоячей волны? Какое расстояние между ними?
8. Что такое длина волны? Как в работе определяется длина волны?
9. Какую роль в работе играют микрофон и телефон?
10. Какой сигнал подается на вход осциллографа?
11. Для чего необходимо перемещать поршень? Почему измерения делаются при нескольких положениях поршня?
12. Пояснить, почему в данной работе не удается добиться полного отсутствия звука, а при определенных положениях поршня наблюдается лишь его
ослабление?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Трофимова Т.И. Курс физики. 2000. §§ 153, 154, 156 -158.
47
Лабораторная работа № 5.12 (34)
ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА
Цель работы:
изучение собственных колебаний струны;
измерение зависимости скорости распространения
поперечных волн в струне от силы ее натяжения.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ
Волны в упругой среде (смотрите с. 40)
Интерференция. Стоячие волны (смотрите с. 42)
Стоячие волны в струне, закрепленной с обеих сторон
Рассмотрим условие возникновения стоячей волны в струне. Пусть струна длиной l закреплена так, что один из ее концов находится в точке x = 0 , а
другой – в точке x = l (рис. 1). Натяжение струны обеспечивает груз mg .
Пусть по струне одновременно распространяются в противоположных направлениях две волны одной и той же частоты:
одна бегущая справа налево ξ1 (x , t ) = ξm cos(ω t + kx ) ,
другая бегущая слева направо ξ 2 (x , t ) = −ξm cos(ω t − kx ) .
Волны ξ1 и ξ 2 находятся в противофазе. Согласно принципу суперпозиции результирующая волна
ξ = ξ1 + ξ 2 = (−2ξm sin ω t ) sin k x .
(1)
Это и есть стоячая волна.
В стоячей волне существуют неподвижные точки, которые называются
узлами. Посередине между узлами находятся точки, которые колеблются с
максимальной амплитудой. Эти точки называются пучностями. Оба непод-
48
вижных конца струны должны быть узлами. Приведенная выше формула удовлетворяет этому условию на левом конце ( х = 0 ). Для выполнения этого условия и на правом конце ( x = l ) необходимо, чтобы kl = nπ , где n – любое целое
число. Это означает, что стоячая волна в струне возникает не всегда, а только в
том случае, если на длине l струны укладывается целое число полуволн:
λ
2l
l =n n
или λn =
(n = 1, 2, K) .
n
2
Набору значений λп длин волн соответствует набор возможных частот
ν п . Используя связь скорости волны с ее частотой и длиной волны (v = λν ),
получим
v
v
νn =
(2)
=n ,
λn
2l
где v – скорость распространения поперечных волн по струне. Каждая из частот ν n и связанный с ней тип колебаний струны называется нормальной модой. Наименьшая частота ν 1 называется собственной частотой, все остальные
(ν 2 , ν 3 , K ) называются гармониками. На рис. 1 изображена нормальная мода
для n = 2 .
В стоячей волне нет потока энергии. Колебательная энергия, заключенная
в отрезке струны между двумя соседними узлами, не транспортируется в другие части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды
за период) превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, как
в обычной колебательной системе. Но в отличие от груза на пружине или маятника, у которых имеется единственная собственная частота ν 0 =
ω0
, струна об2π
49
ладает бесчисленным количеством собственных (резонансных) частот ν n . На
рис. 2 изображено несколько типов стоячих волн в струне, закрепленной на
обоих концах. В соответствии с принципом суперпозиции стоячие волны различных типов (т. е. с разными значениями n) могут одновременно присутствовать в колебаниях струны.
Измерив частоту ν n собственных колебаний струны, можно на основании
формулы (2) определить скорость волны
2l ν n
v=
.
(3)
n
Согласно теории скорость распространения поперечных волн вдоль струны зависит от силы натяжения F струны
2 F
v=
,
(4)
d πρ
где d - диаметр струны; ρ - плотность материала струны.
Сила Ампера
Закон Ампера утверждает, что на элемент проводника dl с током I , находящийся в магнитном поле с индукцией B , действует сила
[
]
dF = I d l ⋅ B .
Направление вектора dF определяется правилом векторного произведения: векторы dl , B и d F образуют правую
тройку векторов (рис. 3). Вектор dF перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы dl и B .
Направление вектора d F можно определить по правилу
левой руки: если вектор магнитной индукции входит в ладонь,
а четыре пальца расположены по направлению тока в проводнике, то отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы Ампера, действующей на этот элемент проводника.
(5)
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Для исследования собственных колебаний струны в данной работе используется установка, схема которой показана на рис. 4. Между стойками подставки 1 натянута струна 2, причем один из ее концов закреплен, а к другому,
перекинутому через блок, прикреплена чашка 3 с грузами для создания натяжения струны. Струна расположена между полюсами постоянного магнита 4, который может перемещаться вдоль струны. С помощью звукового генератора ГЗ
в струне создается переменный электрический ток. Как известно, на проводник
с током в магнитном поле действует сила Ампера. Так как ток переменный, то
на участок струны, находящийся между полюсами магнита, действует переменная сила с частотой колебаний, равной частоте генератора ГЗ. В струне возни-
50
кают вынужденные колебания. Если при этом частота ГЗ совпадает с одной из
собственных частот струны, определяемых равенством (2), а магнит находится
в пучности стоячей волны, то наблюдается явление резонанса, т.е. колебания
струны с максимальной амплитудой.
Частота колебаний ГЗ устанавливается переключателем диапазонов 5
(ступенчатая регулировка) и поворотом лимба 6 с помощью ручки 7 (плавная
регулировка). Для определения частоты ν в герцах надо отсчет по шкале лимба
умножить на показатель переключателя диапазонов. Создаваемое генератором
переменное электрическое напряжение регулируется ручкой РЕГ.ВЫХОДА 8 и
подается на клеммы ВЫХОД. Напряжение с выхода ГЗ подается на клеммы 9, к
которым подсоединены концы струны.
Приборы и принадлежности: лабораторный стенд, звуковой генератор,
набор разновесок.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Условия проведения эксперимента задаются преподавателем или индивидуальным занятием.
2. Запишите в отчет исходные параметры эксперимента: массу чаши,
плотность материала проволоки, диаметр проволоки, длину проволоки (указаны на установке).
3. Перед началом работы убедитесь, что переключатель диапазонов 5 (рис.
4) находится в положении « × 1 »; переключатель сопротивления нагрузки 10 – в
крайнем левом положении, соответствующем минимальному сопротивлению;
51
переключатель ВНУТР – в положении ВЫКЛ; ручка 8 повернута влево до упора, что соответствует минимальному напряжению на выходе ГЗ. После проверки схемы преподавателем включите генератор в сеть 220 В.
4. Установите магнит посредине струны. В первом опыте натяжение струны создается только весом чашки. Плавно изменяя частоту ГЗ вращением ручки
7, добейтесь устойчивых колебаний собственной частоты ν 1 ( n = 1 ) с максимальной амплитудой. Полученное значение собственной частоты запишите в
табл. 1.
Таблица 1
m,г
F,H
n
ν n , Гц
v , м/с
v , м/с
v теор , м/с
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
5. Передвиньте магнит в пучность первой гармоники ( n = 2 ) (это соответствует примерно ¼ длины струны) и подберите на ГЗ такую частоту ν 2 , при которой возникают устойчивые колебания струны с максимальной амплитудой.
Таким же путем получите колебания, соответствующие второй гармонике
( n = 3 ). Найденные значения ν n запишите в таблицу. Рассчитайте силу натяжения струны F = mg и полученное значение запишите в табл.1.
6. Измерения, указанные в пунктах 4 и 5, проведите еще при четырех различных силах натяжения струны, устанавливая на чашку разновески различной
массы согласно индивидуальному заданию (или, например, 5, 10, 20, 40 г). Результаты всех опытов запишите в табл. 1. При расчете силы F натяжения учтите и массу чашки.
7. На основании экспериментальных данных рассчитайте по формуле (3)
скорости v распространения волн. Для каждого натяжения струны определите
среднее значение скорости v волны.
8. Для каждого натяжения струны по формуле (4) рассчитайте теоретическое значение скорости v теор волны, используя значения диаметра d и плотности материала ρ струны.
52
9. Рассчитайте погрешность скорости Δv по формуле Δv = ε v , где
Δd
Δm
Δl
Δρ
ε = εl2 + ε d2 + εm2 + ε ρ2 , εl = , ε d =
, εm =
, ερ =
.
l
ρ
d
m
Погрешности находятся как погрешности величин, заданных численно.
10. Окончательный результат определения скорости волны запишите в виде
доверительного интервала:
v = ( v + Δv ) м/с.
11. Сделайте вывод о совпадении теоретического и экспериментального
значений скорости волны.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Как направлен вектор индукции магнитного поля вблизи струны?
Чему равна и как направлена сила Ампера?
Что такое вынужденные колебания? С какой частотой они происходят?
В чем заключается резонанс? При каком условии он происходит?
Как и почему изменяется действующая на струну сила Ампера?
Что такое стоячая волна? Как она образуется?
Как колеблются частицы струны в узлах и пучностях стоячей волны?
При каких условиях образуются узлы и пучности в стоячей волне?
Что представляют собой собственные колебания струны с закрепленными
концами?
Что такое основной тон и обертоны? Как связаны частоты основного тона и
второго обертона?
Как выглядит стоячая волна на струне с закрепленными концами, если на
ней установились колебания четвертой гармоники?
Вблизи каких точек струны должен находиться магнит для получения различных собственных колебаний?
Какие собственные колебания струны можно возбудить, если магнит находится посредине струны?
Зависит ли скорость распространения колебаний в струне от частоты?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Трофимова Т.И. Курс физики. 2000. §§ 156, 157.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
239
Размер файла
683 Кб
Теги
физики, практикум, волна, колебания, 106, лабораторная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа