close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

195.Управление надежностью на транспорте (ПЗ, 23.04.03)

код для вставкиСкачать
1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Воронежский государственный лесотехнический университет
им. Г.Ф. Морозова»
В.И. Посметьев, М.А. Латышева
УПРАВЛЕНИЕ НАДЕЖНОСТЬЮ НА ТРАНСПОРТЕ
методические указания к практическим занятиям для студентов
по направлению подготовки 23.04.03 – Эксплуатация транспортнотехнологических машин и комплексов
Воронеж 2016
2
Посметьев, В. И. Управление надежностью на транспорте[Текст]
:методические указания к практическим работам для студентов по направлению подготовки 23.04.03 – Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов / В. И. Посметьев, М. А. Латышева ; М-во образования и
науки РФ, ФБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016. – 56 с.
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ ОТЧЕТА…………….
4
Практическое задание № 1 Надежность нерезервированных
невосстанавливаемых систем при внезапных отказах…………………….
5
Практическое задание № 2 Комплексные показатели надежности…..
16
Практическое задание № 3 Основы математического
описания надежности технических систем………………………………… 23
Практическое задание № 4 Анализ влияния профилактики
на надежность технической системы……………………………………….. 64
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………… 75
4
ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ ОТЧЕТА
Отчет о самостоятельной работе является текстовым документом и выполняется в электронном виде в соответствии с основными требованиями государственных стандартов и соответствующих положений, разработанных в
вузе.
Текст отчета оформляется на одной стороне листов бумаги формата А4
(210  297 мм) в один столбец с полями: левое – 25, правое – 10, верхнее и
нижнее – 20 мм (рис. 1).
При электронном наборе текста необходимо использовать шрифт
"TimesNеwRoman" размером 14 pt, межстрочный интервал – полуторный, выравнивание текста – по ширине, автоматический перенос, отступ в абзаце
должен быть одинаковым во всем тексте и равным пяти знакам. Пропуски
между буквами в словах и между словами не допускаются. Стиль формул для
"MicrosoftEguation": обычный символ – 14, крупный символ – 18, мелкий
символ – 12, крупный индекс – 9, мелкий индекс – 7 pt. При оформлении рисунков и таблиц следует использовать более мелкий шрифт 12 pt и межстрочный интервал – одинарный. Рисунки и таблицы отделяются от текста
(перед и после) одной строкой. Подчеркивание, а также жирное исполнение
заголовков, отдельных слов и т.п. в тексте, таблицах и рисунках с целью их
выделения, не разрешается.
Текст контрольной работы выполняют одним из следующих способов:
рукописным – с высотой букв и цифр не менее 2,5 мм;с применением компьютера (ГОСТ 2.004-88).
При оформлении текста не допускаются: надрывы, потертости, смятие
и загрязнение листов, небрежно выполненные рисунки и таблицы, неаккуратные исправления в тексте и иллюстрационном материале, затрудняющие
или делающие невозможным полноценное восприятие представляемого студентом материала самостоятельной работы. Описки (опечатки) и графические неточности, обнаруженные в тексте, допускается исправлять аккуратной
подчисткой и нанесением исправлений теми же цветом чернил (пасты), жирностью и толщиной линий. При значительных исправлениях (несколько
строк) разрешается аккуратно заклеить ошибочный участок текста полоской
бумаги того же качества (набранным текстом) на ней исправленного текста.
Самостоятельной работа должна начинаться с титульного листа, затем
содержание, основная часть – решенные задачи и список используемых источников.
Основная часть должна включать номер задачи, ее условие, решение и
краткий анализ.
Законченная контрольная работа в обязательном порядке аккуратно
сброшюровывается в прозрачную папку-скорошиватель с целью обеспечения
надежного хранения.
5
Практическое задание № 1 Надежность нерезервированных
невосстанавливаемых систем при внезапных отказах
Теоретическая часть
Определение вероятности безотказной работы
и средней наработки до отказа
На этапе предварительного анализа надежности систем часто используют простые статические модели, в которых показатели надежности элементов или подсистем считаются постоянными, так как задается базовый
промежуток времени. Такой анализ служит основой оценки возможного состава оборудования на этапе проектирования и определения необходимых
уровней надежности подсистем и элементов.
Большинство систем спроектировано таким образом, что при выходе из
строя любого из элементов система отказывает. При анализе надежности такой системы предполагается, что отказ любого из элементов носит случайный и независимый характер и не вызывает изменения характеристик (не нарушает работоспособности) остальных элементов. Сточки зрения теории надежности в системе, где отказ любого из элементов приводит к отказу системы, элементы включены на структурной схеме надежности по основной
схеме или последовательно. В понятии отказа заложен физический аналог
электрической схемы с последовательным включением элементов, когда отказ любого из элементов связан с разрывом цепи. Ио очень часто при расчетах надежности приходится физическое параллельное включение элементов рассматривать как последовательное включение расчетных элементов.
Например, некоторый потребитель потребляет электроэнергию по двум одинаковым кабелям, причем сечение жил одного кабеля не в состоянии пропустить всю электрическую нагрузку потребителя. При выходе из строя одного
кабеля оставшийся в работе попадает под недопустимую перегрузку, и этот
6
кабель с помощью защиты отключается –система электроснабжения отказывает, т. е. отказ одного из кабелей вызывает отказ участка электропитания.
Следовательно, при расчете надежности кабели как расчетные элементы
имеют последовательную основную схему включения.
Допустим, что система состоит из п последовательно включенных элементов. Из теории вероятностей известно, что если определены вероятности
появления нескольких независимых случайных событий, то совпадение этих
событий определяется как произведение вероятностей их появлений. В нашем случае работоспособное состояние любого из п элементов системы оценивается как вероятность безотказной работы элемента. Система будет находиться в работоспособном состоянии только при условии совпадения работоспособных состояний всех элементов. Таким образом, работоспособность
системы оценивается как произведение вероятностей безотказной работы
элементов:
(1)
где
– вероятность безотказной работы i-го элемента.
Система, как и элемент, может находиться в одном из двух несовме-
стимых состояний: отказа или работоспособности. Следовательно,
где
– вероятность отказа системы, определяемая по выражению
(2)
При произвольном законе распределения времени наработки до отказа
для каждого из элементов
(3)
где I – интенсивность отказов i-ro элемента.
Вероятность безотказной работы системы соответственно определяется
7
по формуле
(4)
По выражению (5.4) можно определить вероятность безотказной работы системы до первого отказа при любом законе изменения интенсивности
отказов каждого из п элементов во времени.
Для наиболее часто встречающегося условия I =constвыражение (4)
имеет вид
(5)
где
– можно представить как интенсивность отказовсистемы, сведен-
ной к эквивалентному элементу с интенсивностью отказов
(6)
Таким образом, систему из п последовательно включенных элементов
легко заменить эквивалентным элементом, который имеет экспоненциальный
закон распределения вероятности безотказной работы. А это значит, что если
то средняя наработка до отказа системы
. В случае
средняя наработка до отказа системы определяется по формуле
(7)
где Р(t) находится по выражению (3).
Частота отказов
При выполнении практических расчетов вероятности безотказной работы высоконадежных систем (произведение много
меньше единицы, а
вероятность безотказной роботы P(t)близка к единице) можно использовать
8
приближенные формулы
При выполнении арифметических операций со значениями вероятностей, близкими к единице, можно пользоваться приближенными соотношениями:
где
– вероятность отказа i-го элемента.
Определение вероятности безотказной работы
с использованием модели слабейшего звена
Модель слабейшего звена используется при исследовании надежности
системы, состоящей из последовательного соединения звеньев, при отказе
одного из которых выходит из строя вся цепь. Примером может служить
электрическая цепь, состоящая из п одинаковых элементов и подвергающаяся тепловой нагрузке. Если принять допущение, что тепловая нагрузка является единственной причиной отказов, то элемент, имеющий наименьшую
стойкость к тепловым нагрузкам, выйдет из строя первым. Вероятность безотказной работы при этом имеет вид
где
– вероятность безотказной работы i-ro элемента, характеризующая
устойчивость элемента к отказу при действии тепловой нагрузки.
Обозначим
– плотность распределения случайной величины 
обозначающей напряжение, а
– плотность распределения случайной ве-
личины , обозначающей прочность. Тогда вероятность безотказной работы
любого одного звена равна
9
(8)
Выражение (8) можно переписать в виде
(9)
Если цепь состоит из п случайно выбранных элементов, это равносильно выбору л случайных значении прочности из совокупности с распределением
. Пусть п – случайная величина, обозначающая прочность це-
пи, состоящей из п звеньев, тогда
i — прочность i-го элемента.
Учитывая распределение экстремальных значений, имеем выражение
для функции распределения прочности цепи:
Для модели слабейшего звена вероятность безотказной работы имеет вид
Следовательно, с использованием выражения (9) получаем формулу
(10)
Выражение (10) определяет вероятность безотказной работы системы в
зависимости от числа элементов я, плотности распределения
действующей на систему, и распределения прочности
нагрузки,
отдельного эле
Примеры расчета надежности
невосстанавливаемых нерезервированных систем
Пример № 1. Система состоит из 12000 однотипных элементов, средняя
10
интенсивность отказов которых 0,32 10-6ч-1
Требуется определить вероятность безотказной работы в течение интервала времени t = 50 ч и среднюю наработку до первого отказа.
Решение. Интенсивность отказов системы в соответствии с (4) равна
Вероятность безотказной работы:
Средняя наработка до первого отказа:
Пример № 2. Система состоит из трех устройств. Интенсивность отказов электронного устройства равна  = 0,16·10
-3
ч-1. Интенсивности отказов
двух электромеханических устройств зависят от времени и определяются
следующими формулами:
Требуется определить вероятность безотказной работы изделия в течение 100 ч.
Решение. В соответствии с формулой (4) имеем
Для t =100 ч имеет P(100)
Пример № 3. На рисунке 1, а представлена схема включения конденсаторной батареи. Интенсивность отказов конденсаторов интенсивность отказов
предохранителя
. Установка
выполнена так, что при выходе из строя любого конденсатора или предохранителя батарея не выполняет своих функций, т. е. с точки зрения надежности
она отказывает. Требуется определить вероятность безотказной работы бата-
11
реи по истечении года ее эксплуатации и среднюю наработку на отказ.
Решение. На рисунке 1, б изображена расчетная схема надежности, где
все элементы включены последовательно. Интенсивность отказов конденсаторной батареи определим по формуле
На рисунке 1, в батарея представлена эквивалентным элементом
с интенсивностью отказов
По отношению к более сложной системе (схеме), в которой соа – конденсаторная батарея;
б – расчетная схема; в – эквивалентный расчетный элемент.
Рис. 1 – Схема конденсаторной батареи
ставной частью является конденсаторная батарея, эта установка будет
элементом с параметром
Вероятность безотказной работы батареи за год:
Средняя наработка до отказа:
Результат расчета показывает, что надежность неремонтируемой батареи конденсаторов за 1 год непрерывной работы мала. Для обеспечения более высокого уровня ее надежности необходимо предусмотреть более качественное техническое обслуживание.
Пример № 4. Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t равна p(t) = 0,9997. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из п = 100 таких элементов.
12
Решение.
Вероятность
безотказной
работы
системы
равна
Так как вероятность Р(t)близка к 1, то воспользуемся приближенной формулой и получим
Пример № 5. Определить вероятность безотказной работы полосового
фильтра (рис. 2, а) в течение времениt = 1000 ч. Коэффициент нагрузки
температура окружающей среды
интенсивности отказов
элементов:
Полосовой фильтр (рис. 2, а) предназначен для выделения из входного
сигнала
произвольной формы составляющих с частотами в заданном
диапазоне
Рис. 2 – Схема полосового фильтра (а) и структурная схема расчета надежности (б)
Решение. При соответствии параметров всех элементов фильтра расчетным значениям уравнение он выполняет свою функцию, т. е. остается работоспособным. При отклонении хотя бы одного параметра любого элемента
от расчетного значения свойства фильтра нарушаются, и он не выполняет
свою задачу. Это означает, что произошел отказ фильтра.
Следовательно, каждый элемент фильтра с точки зрения его надежно-
13
сти соединен в структурную схему надежности фильтра последовательно.
Следовательно, схема расчета надежности фильтра имеет вид, показанный на
рис. 2, б.
Для электронных систем в период нормальной эксплуатации справедлив экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы.
Поэтому вероятность безотказной работы полосового фильтра определяем по
формуле
где
– интенсивность отказа фильтра с учетом условий (режимов применения).
Интенсивность отказов фильтра определим по формуле
где
Поправочные коэффициенты
которые учитывают условия (режим)
применения, определяем по табличным данным в гл. 4.
В нашем случае:
для резисторов RI-R5 типа
для конденсаторов С1,С2 типа КТК;
MJIT;
для микро-
схемы.
Таким образом, для интенсивности отказов фильтра имеем
Вероятность безотказной работы фильтра в заданных условиях эксплуатации равна
14
Контрольные вопросы
1 Объясните, как формулируется понятие отказа при расчете надежности.
2 Объясните методику составления структурной схемы расчета надежности системы.
3 Как учитываются режимы работы элементов системы при расчете надежности?
УПРАЖНЕНИЯ
1 Определить вероятность безотказной работы в течение 1000 часов
непрерывного функционирования и среднее время безотказной работы дифференцирующей цепи, которая состоит из резистора MJIT и конденсатора
КТК с номинальными интенсивностями отказов
и
. Темпе-
ратура окружающей среды равна +80°С, коэффициенты нагрузки равны соответственно 0,6 и 0,8.
2 Определить вероятность безотказной работы в течение 2000 часов
беспрерывного функционирования и среднее время безотказной работы интегрирующей цепи, которая состоит из резистора MJIT и конденсатора КТК с
номинальными интенсивностями отказов
и
Температура
равна +60°С, коэффициенты нагрузки резистора и конденсатора равны соответственно 0,8 и 1,0.
3 Определить время, в течение которого нерезервированная часть схемы из 8 однотипных резисторов MJIT обеспечит вероятность безотказной работы не ниже 0,95 при температуре +60°С и коэффициенте нагрузки, который равняется 1. Чему равно среднее время безотказной работы такого устройства?
4 Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени
t равна
Требуется определить вероятность безотказной работы
системы, состоящей из 100 таких элементов.
15
5 Вероятность безотказной работы системы, состоящей из 100 одинаковых элементов, в течение заданного интервала времени равна
Определите вероятность безотказной работы элемента.
6 Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы
каждого из устройств в течение 100 ч равны
Принимая
допущение об экспоненциальном законе надежности, определите среднюю
наработку до первого отказа системы.
7 Определить время, в течение которого нерезервированная конденсаторная батарея, состоящая из 10 однотипных конденсаторов КТК, обеспечит
вероятность безотказной работы не ниже 0,98 при температуре +80 °С и коэффициенте нагрузки, который равен 0,8. Чему равно среднее время безотказной работы батареи?
8
Выполнить расчет надежности типовых электронных схем (рис. 5.3-
5.6). Требуется:
а) объяснить работу и указать назначение элементов электрической
схемы и их влияние на надежность устройства
б) составить структурную схему расчета надежности устройства;
в) с учетом условий эксплуатации (температуры) и режимов работы
16
схемы (коэффициента нагрузки
) выбрать по таблицам поправочный коэф-
фициент для вычисления интенсивности отказов элементов;
г) вычислить интенсивность отказов всех элементов схемы и определить вероятность ее безотказной работы с учетом заданного времени эксплуатации t.Варианты заданий приведены в таблице 1.
106, ч-1
Таблица 1 – Интенсивность отказов элементов схемы,
№
№
вар. рис..
R1
1
2
5.3
5.4
0,1
0,1
3
5.5
0,11
4
5.6
0,1
R2
R3
R4
0,08 0,09 0,1
0,11 0,1 0,11
од
VD1V
DA1 T,° C
D2
R5
Cl
С2
–
0,1
0,05
0.05
0,06
0,04
–
–
0,3
0,2
Rn
t,ч
60
80
0,6
0,4
3000
500
0,09
0,1
–
0,06
0,06
–
0,3
20
1,0
1000
0,08 0,09
0,1
–
0,05
–
–
–
40
0,8
2000
9 Устройство состоит из N = 5 блоков, надежность каждого из которых
характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t. При
этом
Определитевероят-
ность безотказной работы устройства.
10 Система состоит из трех модулей, средние наработки до первого
отказа которых равны соответственно:
Для моду-
лей справедлив экспоненциальный закон надежности. Определите среднюю
наработку до отказа всей системы.
Практическое задание № 2 Комплексные показатели надежности
Теоретическая часть
Коэффициент готовности. Процесс функционирования восстанавливаемого объекта можно представить как последовательность чередующихся
интервалов работоспособности и восстановления (простоя). Коэффициент
готовности – это вероятность того, что объект окажется в работоспособном
17
состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в
течение которых применение объекта по назначению не предусматривается.
Этот показатель одновременно оценивает свойства работоспособности и ремонтопригодности объекта.
Для одного ремонтируемого объекта коэффициент готовности определяется по формуле
(11)
где
– продолжительность i-го интервала работы; – продолжительность i-
го интервала восстановления.
Из выражения (11) следует, что коэффициент готовности объекта может быть повышен за счет увеличения наработки на отказ и уменьшения
среднего времени восстановления. Максимальное значение коэффициента готовности
Для экспериментального определения коэффициента го-
товности необходим достаточно длительный календарный срок функционирования объекта.
Зависимость коэффициента готовности от времени восстановления затрудняет оценку надежности объекта, так как по нему нельзя судить о времени непрерывной работы до отказа. Это объясняется тем, что одному и тому
же численному значению
могут соответствовать разные значения
Следовательно, на конкретном интервале работоспособности вероятность
безотказной работы будет больше там, где больше
хотя за этим интерва-
лом может последовать длительный интервал простоя
Коэффициент го-
товности является удобной характеристикой для объектов, которые предназначены для длительного функционирования, но решают поставленную задачу в течение короткого промежутка времени (находятся в ждущем режиме), например релейная защита, контактная сеть, сложная контрольная ап-
18
паратура и т. д.
В ряде случаев используют коэффициент простоя
Коэффициент оперативной готовности
Определяется как вероят-
ность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени (кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается) и начиная с этого
момента будет работать безотказно в течение заданного интервала времени.
Из этого определения следует, что
где
– коэффициент готовности;
объекта в течение времени
– вероятность безотказной работы
необходимого для безотказного использова-
ния по назначению.
Для часто используемого в расчетной практике простейшего потока отказов при
вероятность безотказной работы объекта определяется по
выражению
Коэффициент технического использования
Определяется как отно-
шение математического ожидания суммарного времени пребывания объекта
в работоспособном состоянии за некоторый период эксплуатации к математическому ожиданию суммарного времени пребывания объекта в работоспособном состоянии и простоев, обусловленных техническим обслуживанием и ремонтом за тот же период эксплуатации:
19
(12)
где
– продолжительность i-го интервала работы;
восстановления после i-гo отказа объекта;
– продолжительность
– продолжительность j-й профи-
лактики, требующей вывода объекта из работающего состояния; п – число
рабочих циклов за рассматриваемый период эксплуатации; т – число отказов
(восстановлений) за рассматриваемый период; k – число профилактик, требующих отключения объекта за рассматриваемый период.
Из выражения (19) следует, что коэффициент технического использования характеризует долю времени нахождения объекта в работоспособном
состоянии
относительно
общей
эксплуатации. Следо-вательно,
(календарной)
отличается от
продолжительности
тем, что при его опреде-
лении учитывается все время вынужденных простоев, тогда как при
определении
время простоя, связанное с проведением профилактических
работ, не учитывается.
Суммарное время вынужденного простоя объекта обычно включает
время на поиск и устранение отказа; на регулировку и настройку объекта
после устранения отказа; продолжительность простоя из-за отсутствия
запасных элементов; длительность профилактических работ.
В электроэнергетических объектах, к примеру в трансформаторах,
линиях электропередачи, шинах распределительных устройств и т. п.,
предусмотрены плановые отключения для проведения плановых ремонтов и
технического обслуживания. Эти интервалы времени, так же как и
интервалы, связанные с отключением по причине отказа, учитываются при
определении анализируемых коэффициентов надежности.
Коэффициент планируемого применения. Представляет собой долю
периода эксплуатации, в течение которой объект не должен находиться на
20
плановом техническом обслуживании и ремонте, и определяется по формуле
где
–
заданная
математические
продолжительность
ояшдания
суммарной
эксплуатации;
–
продолжительности
плановых
технических обслуживаний и ремонтов в течение заданного периода
эксплуатации.
Коэффициент сохранения эффективности. Определяется как отношение
показателя эффективности Э за определенный период эксплуатации к номинальному значению этого показателя
вычисленному при условии, что
отказы объекта в течение этого же периода эксплуатации не возникают, т. е.
При этом под эффективностью применения объекта по назначению
понимают его свойство создавать некоторый полезный результат в течение
периода эксплуатации в определенных условиях. Показатель эффективности
– это показатель качества, характеризующий выполнение объектом его
функций.
В
ГОСТ
27.002-89,
кроме
проанализированных
наиболее
употребляемых показателей надежности, введены и другие показатели:
средняя трудоемкость восстановления, средний срок сохраняемости, гаммапроцентный ресурс, гамма-процентное время восстановления, гаммапроцент- ный срок сохраняемости и др. При необходимости определения
указанных показателей используются специальные методики, в которых
процедура расчета основывается на тех же законах математической
статистики и теории вероятностей, по которым определяются и более широко
используемые показатели надежности.
В некоторых областях техники применяют комплексные показатели
надежности, отражающие специфику эксплуатации оборудования.
21
Контрольные вопросы
1 Объясните понятие «надежность» как комплексную характеристику
объекта.
2 Что понимают под жизненным циклом объекта?
3 Дайте характеристику основных видов технического состояния объектов.
4 Объясните понятия «безопасность» и «живучесть» объекта.
5 Что понимают под отказом объекта? Приведите классификацию отказов.
6 Какова физическая природа отказов технических систем?
7 Объясните различие отказа и повреждения объекта.
8 Объясните понятие «дефект». Приведите примеры.
9 Что называют сбоем?
10В чем состоит различие исправного и работоспособного состояний
объекта?
11 Объясните понятия «техническое обслуживание», «восстановление» и «ремонт».
12 Объясните основные временные понятия теории надежности.
13 Какие мероприятия составляют техническое обслуживание
объекта?
14 Сформулируйте определения функции и плотности распределения
вероятностей случайной величины.
15 Как определяются вероятность безотказной работы и вероятность
отказа?
16 Как определяется средняя наработка до отказа?
17 Что понимают под интенсивностью отказов? Как вычисляется статистическая оценка интенсивности отказов?
18 Как определяется для объекта средняя наработка на отказ?
19 Сформулируйте определение параметра потока отказов.
22
20 Как определяется гамма-процентная наработка до отказа?
21 Что понимается под долговечностью объекта? Объясните основные
показатели долговечности.
22 Объясните основные показатели ремонтопригодности.
23 Перечислите и объясните комплексные показатели надежности.
24 Как определить комплексные показатели надежности по результатам испытаний?
УПРАЖНЕНИЯ
1 На испытание была поставлена 1000 однотипных датчиков давления.
За 5000 ч отказало 75 устройств. Определите вероятность безотказной
работы и вероятность отказа датчиков в течение 5000 ч.
2 На испытание поставлено 6 однотипных изделий. Получены следующие
значения времени безотказной работы i-го изделия:
Требуется определить статистическую
оценку среднего времени безотказной работы изделия.
3 Электропривод проработал 3000 ч, после чего проводились
наблюдения за его работой. В течение последующих 2000 ч работы было
зарегистрировано 8 отказов. Определите среднюю наработку на отказ.
4 В течение наблюдаемого периода эксплуатации аппаратуры было
зафиксировано 5 отказов. Время восстановления составило:
Определите
среднее
время
восстанов-ления аппаратуры.
5 Коэффициент готовности технологического агрегата составляет 0,9.
Среднее время его восстановления равно 12 ч. Определите вероятность
застать агрегат в исправном состоянии в момент времени t = 20 ч.
6 Интенсивность отказов системы управления равна
Среднее время восстановления равно 10 ч. Определите вероятность застать
систему в исправном состоянии в момент времени
23
Практическое задание № 3 Основы математического
описания надежности технических систем
Теоретическая часть
Математическая модель надежности объекта
Исторически надежность как научная дисциплина развивалась по двум
основным направлениям, которые можно определить как физическое и
математическое.
Физическое направление связано с изучением физики отказов, с
разработкой методов расчета на прочность, износостойкость, теплостойкость
и др. Теоретической основой этого направления являются естественные
науки, изучающие различные аспекты разрушения, старения и изменения
свойств материалов: теории упругости, пластичности и ползучести, теория
усталостной
прочности,
механика
разрушения,
трибология,
физико-
химическая механика материалов и др.
Математическое направление связано с развитием математических
методов оценки надежности, особенно применительно к сложным системам,
с разработкой методов статистической обработки информации о надежности,
разработкой
структур
систем,
обеспечивающих
высокий
уровень
надежности. Теоретической базой этого направления являются теория
вероятностей, математическая статистика, теория случайных процессов,
теория массового обслуживания, математическое моделирование и другие
разделы математики.
В настоящее время происходит активный процесс объединения этих
направлений и формирование на этой основе единой науки о надежности.
Для анализа различных вариантов потери объектом работоспособности
при эксплуатации рассмотрим совокупность его выходных параметров
которые определяют его состояние и являются случайными
24
функциями времени (наработки объекта). Надежность объекта как общая
характеристика его состояния также изменяется во времени. Состояние
объекта в момент времени (наработки) t можно интерпретировать как точку
в n-мерном пространстве его выходных параметров с координатами
а процесс потери объектом работоспособности (изменения
технического состояния объекта) во времени может быть представлен как
однопараметрическое семейство точек (параметр – время или наработка), т.
е. как линия в n-мерном пространстве состояний. Для математического
описания состояния объекта можно также использовать случайную векторфункцию
с компонентами
Начало вектора
находится в начале координат, а конец описывает во времени случайную
кривую — траекторию. В начальный момент времени t = 0 значения
компонент вектора
равны начальным значениям выходных параметров
объекта.
В n-мерном пространстве состояний можно выделить связное
множество G – область работоспособности объекта. Границы этого
множества определяются предельными допустимыми значениями выходных
параметров
объекта
Дополнение
множества
G
до
универсального множества всех возможных значений выходных параметров
объекта U представляет собой область отказов
Принадлежность данного
состояния (точки в пространстве состояний)
области G означает, что
объект находится в работоспособном состоянии; принадлежность точки
границе области G (или переход через эту границу в область
I означает
отказ объекта.
Пример № 1. На рисунке 3 представлены две реализации процесса
потери работоспособности узла «вал-опоры» при параметрических отказах,
вызванных износом подшипников электрического двигателя. К точности
вращения вала предъявляются требования по двум основным параметрам:
25
– радиальное биение вала (эксцентриситет вращения) и
–
угол перекоса оси вала.
Начальное состояние объекта характеризуется значениями
зависит от технологии изготовления и сборки двигателя и определяется
соответствующими допусками. Отказ наступает, если любой из выходных
параметров превышает допустимые значения указанные в эксплуатационной
документации
При
этомвид
.При износе подшипников изменяются
траектории
случайного
процесса
в рассматриваемом
двумерном пространстве выходных параметров объекта (плоскость) зависит
от величины и характера внешних нагрузок (равномерность усилий,
приложенных к двум подшипникам), условий эксплуатации и других
факторов.
Реализация случайного процесса
характерна для случая, когда износ
переднего и заднего подшипника относительно равномерен, и поэтому угол
перекоса
оси
вала
меняется
незначительно, а основную роль в
потере работоспособности рассматриваемого узла играет радиальное
биение вала
Реали-зация по типу
имеет место при неравномерном износе подшипников, когда
Рис. 3 – Изменение радиального биения и
угла перекоса оси вала
( при износе его подшипников)
работоспособность
данного
узла
лимитируется выходным параметром
На траекториях отмечены точки через равные промежутки времени,
показывающие, что процесс потери работоспособности объекта при
реализации по типу
наступает в момент
момент
идет быстрее. Отказ экземпляра
а для экземпляра
объекта
объекта отказ наступает в
26
Для математического описания показателей надежности при эволюции
системы во времени в пространстве со-стояний используется понятие
функционала. Считается, что функционал F определен на процессе, если
каждой реализации х(t) (траектории) этого процесса ставится в соответствие
некоторое число
Это число характеризует роль данной траектории в
потере объектом работо-способности. Тот или иной показатель надежности 
оп-ределяется как математическое ожидание этого функционала, т. е.
Например, если функционал F равен случайной длительности
пребывания траектории процесса потери работоспособности объекта в
области
– наработка до отказа, то
– средняя
наработка до отказа.
Если же функционал F принять равным 1 при
и равным нулю при
– вероятностьбезотказной работы.
Рассмотрим
область
работоспособности
объекта
(рис.
4)
в
представлении гс-мерного пространства состояний на плоскости (п = 2).
Границы области G зависят от уровня требований к объекту. Более высокие
требования к его вы-ходным параметрам сужают область работоспособности.
Например,
область
работоспособности
прецизионного
металлорежущего станка по параметрам, непосредственно влияющим на
точность обработки, намного уже, чем область работоспособности станка
нормальной
точности.
работоспособности:
На
рисунке
4
показаны
две
области
– для нормального уровня требований к объекту и
– для повышенного уровня требований.Между этими областями в общем
случае
имеется
различие,
обусловленное
тем,
что
при
оценке
работоспособности сложного объекта во многих случаях трудно назначить
предельные значения отдельных параметров, выход из которых будет
означать неработоспособность объекта в целом. Кроме того, часто критерий
отказа устанавливается по косвенным показателям (расход смазки, уровень
27
шума и вибраций и т. п.), которые дают приближенную оценку
действительной работоспособности.
Различают
действительную
область работоспособности G, которая реально определяет требуемую
работоспособность
объекта,
и
расчетную область работоспособности
Рис. 4 – Области работоспособности и
состояний объекта
которая определяется тре-
бованиями документации к отдельным параметрам.
В зависимости от соотношения границ областей действительной и
расчетной
работоспособности
могут
существовать
область
неиспользованных возможностейА, в которой по требованиям документации
объект считается потерявшим работоспособность, хотя может еще нормально
функционировать, и область неучтенных параметров В, в которой согласно
требованиям документации можно применять по назначению объект,
перешедший в действительности в неработоспособное состояние.
Процесс
потери
объектом
траекторией случайного процесса
работоспособности
характеризуется
в пространстве состояний. Для i-
йреализации этой траектории (i-го экземпляра объекта)
считается, что в
момент t3 произошел отказ по требованиям, установленным в документации;
действительный отказ t-ro экземпляра объекта произошел в момент t4.
Вероятностными
характеристиками
случайного
процесса
потери
работоспособности объекта во времени в представлениях га-мерного
пространства являются:
– математическое ожидание случайного процесса потери работоспособности
среднем;
которое дает оценку того, как будет протекать процесс в
28
– гамма-процентная область работоспособности
– область, в
которую реализации процесса попадают с вероятностью
этой области очерчены реализациями
границами
гамма-процентной
Границы
– верхней и нижней
области
работоспособности.
Поскольку
уровень у выбирается достаточно высоким (обычно
считается, что отдельные реализации
),
проходят вне области
только в
экстремальных условиях эксплуатации или в случаях, когда объект имеет
дефекты.
Область состояний
– область в пространстве состояний, в которой
находятся все реализации случайного процесса xi(t) к моменту времени
(наработки)
Гамма-процентная область состояний
состояний, в которой находятся
– область в пространстве
всехреализаций случайного процесса
к моменту времени (наработки)
Возможны
различные
варианты
отношений
работоспособности G и областью состояний
между
об-ластью
объекта (рис. 5).
Если
(рис. 5, а), то объект
считается устойчивым к отказам, так
как вероятность отказа равна 0 (вероятность безотказной работы
В этой области характеристикой
Рис. 5 – Варианты отношений между
областью работоспособности G н областью
состояний GTобъекта
Случай, когда области
безотказности
объекта
запас надежности
соприкасаются (рис. 5, б),является
предельным по устойчивости к отказам; запас надежности
Если
является
(рис. 5, в), т. е. Области
.
пересекаются, то объект
считается неустойчивым к отказам. В этой области запас надежности объекта
29
считается исчерпанным, т. е.
и наиболее информативным показателем
безотказности является вероятность безотказной работы
Зависимость надежности элементаот нагрузок и прочности
В основу анализа надежности положено предположение о том, что
каждый элемент обладает определенной прочностью по отношению к
нагрузкам. На этапе проектирования требуется учитывать вероятностный
характерконструктивных параметров. В этом случае в явном виде задаются
все конструктивные параметры, которые, в свою очередь, определяют
распределения нагрузок и прочности (рис. 6). Если оба эти распределения
известны, то можно определить вероятность безотказной работы элемента.
На рисунке 7 показана схематически методика анализа влияния
различных факторов на надежность. Первым этапом при проектировании
Рис. 6 – Иллюстрация влияния различных фактов на распределение
напряжений s1,..., sm)(а) и распределение прочности f(r1, ..., rn) (б)
30
элемента является определение окружающих условий, так как они являются
важнейшим фактором при расчетах напряжения и прочности. При расчете
прочности необходимо учитывать свойства используемого материала и
распределение вероятностей для таких факторов, влияющих на прочность,
как, например, чистота и способ обработки поверхности.
При расчете напряжений необходимо учитывать статистические
данные о нагрузках и распределениях факторов, влияющих на напряжение,
например таких, как концентрация напряжений и температура. Путем таких
расчетов можно определить распределения напряжения и прочности и их параметры.
Рис. 7 – Схема применения вероятностных методов при проектировании
Затем эти распределения используются для вычисления вероятности
того, что прочность элемента превышает нагрузку, действующую на элемент.
Для эффективного применения этой методики необходимо располагать информацией о распределении прочности, данными об ее ухудшении и
расчетными данными о распределении нагрузок.
Вероятность безотказной работы икоэффициент безопасности
31
Введем
случайную
случайную величину
величину
прочность,
и
обозначающую напряжение, или, в общем случае,
нагрузку. Обозначим через
через
обозначающую
плотность распределения напряжения
а
– плотность распределения прочности р, изображенные нарисунке
8, а. Тогда, по определению, вероятность безотказной работы имеет вид
Рис. 8 – Распределения прочности
и напряжения
перекрытиераспределений
напряжения и прочности в увеличенном масштабе (б)
Заштрихованный участок на рисунке 8 показывает область перекрытия
распределений
напряжения
и
прочности,
которая
характеризуется
определенной вероятностью отказа (на рис. 8, б эта область показана в
увеличенном масштабе). Вероятность того, что некоторое значение напряжения находится в небольшом интервале шириной
элемента
равна площади
т. е.
Вероятность того, что прочность р превышает некоторое значение
напряжения s0, задана выражением
Вероятность того, что значение напряжения заключено в малом
32
интервале
а прочность р превышает напряжение, задаваемое этим
интервалом, при условии, что случайные величины (напряжение и
прочность) независимы, имеет вид
В данном случае вероятность безотказной работы есть вероятность
того, что прочность р превышает напряжение для всех возможных значении
напряжения и, следовательно, имеет вид
(13)
Вероятность безотказной работы можно также рассчитать исходя из
того, что напряжение остается меньше прочности. Вероятность того, что
значение прочности р находится в малом интервале dr, определяется выражением
а вероятность того, что напряжение меньше r0,
имеет вид
Полагая, что напряжение и прочность являются независимыми
случайными величинами, определим вероятность того, что значение
прочности находится в малом интервале dr, а значение напряженияне
превышает
т. е.
Следовательно, вероятность безотказной работы элемента при всех
возможных значениях прочности р имеет вид
(14)
Вероятность отказа
определяется по формуле
(15)
33
Подставляя в уравнение (15) выражение для
из формулы (13), получаем
(16)
Кроме того, используя формулу (14), имеем
(17)
Если
прочность
и
напряжение
распределением, то случайная величина
описываются
нормальным
также имеет нормальное
распределение. При этом вероятность безотказной работы
имеет вид
(18)
где
– среднее значение прочности;
– среднее значение напряжения, а
– средние квадратические отклонения прочности и напряжения
соответственно. Вероятность безотказной работы зависит от нижнего
предела интеграла в формуле (18). Ее увеличение можно получить за счет
снижения нижнего предела интегрирования в (18). Обозначим отрицательное
значение нижнего предела интеграла в формуле (18) через х0:
(19)
Соотношение между и вероятностью безотказной работы
на рисунке 8. Отношение
показано
представляет собой среднее значение
коэффициента безопасности. С его учетом формула (19) принимает вид
где
– коэффициенты вариации прочности и напряжения.
34
Рассмотрим коэффициент безопасности как случайную величину
равную отношению прочности р к напряжению
определяющим появление
отказа, т. е.
Пусть
обозначают среднюю прочность и среднеенапряжениесоотве
тственно,а
обозначает
математическое
ожидание
коэффициента безопасности
можно
записать
Тогда
неравенство
Чебышѐва
Рис. 9 – График зависимости вероятности
безотказной работы от х0
где а – произвольная положительная
постоянная, а
Для доказательства справедливости неравенства заметим, что
(20)
где * показывает, что интеграл берется только для тех значений п, для
которых
При этом
(21)
Из выражений (20) и (21) имеем
откуда непосредственно следует неравенство.
Пусть
тогда
35
Неравенство можно представить в виде
(22)
Пусть
тогда
соотношение
(3.10)
можно
представить
следующим образом:
(23)
По определению имеем
(24)
Рассматривая совместно формулы (22) и (23), получаем нижний предел
вероятности безотказной работы
(25)
Максимальное значение нижнего предела можно получить путем определения минимума относительно k величины
Дифференцируя по k и приравнивая результат к нулю, имеем
(26)
Из уравнения (26) находим критическое значение k*:
Вторая частная производная
вычисленная приэтом значении
всегда положительная, что гарантирует минимум . Подставляя значение
в
неравенство (25), получаем
или
(27)
Формулы (26) и (27) дают искомые соотношения меледу средним
36
значением
коэффициента
безопасности,
коэффициентом
вариации
коэффициента безопасности и вероятностью безотказнойработы. Формула
дает нижний предел значения
при котором гарантируется, что
вероятность нахождения  в интервале
равна
Вероятность безотказной работы при нормальном распределении
прочности и напряжения
Выражения для плотности нормального распределения напряжения  и
прочности  имеют вид соответственно
где
– математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
напряжения;
– математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение прочности.
Введем случайную величину
величина
Известно, что случайная
имеет нормальное распределение с математическим ожиданием
и средним квадратическим отклонением
1 – вероятность безотказной работы системы; 2 – вероятность отказа.
Рисунок 10 – Плотность распределения случайной величины 
37
Определим вероятность безотказной работы по формуле
(28)
Если обозначить
При
нижний предел слу-
чайной величины и равен
(29)
а приверхних
предел
Следовательно,
(30)
Вероятность безотказной работы можно найти с помощью таблиц
функции нормального распределения.
Соотношение (29), используемое для определения нижнего предела
нормированной случайной величины и, распределенной по нормальному закону, обычно называется уравнением связи.
Пример № 2. Деталь автомобиля способна выдерживать определенные
нагрузки. Из опыта известно, что вследствие изменения нагрузки напряжение
имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 30000 кПа и
средним квадратическим отклонением 3000 кПа. Вследствие колебаний характеристик материала и допусков на размеры прочность детали также является случайной величиной. Было определено, что прочность имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 40000 кПа и средним квадратическим отклонением 4000 кПа. Вычислите вероятность безотказной работы детали.
Задано:
Определим нижний предел интеграла для вычисления Р(t) по формуле
38
По таблице нормального распределения находим P(t)= 0,977.
Пример № 3. Известно, что напряжение, возникающее в элементе двигателя, имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 350,0
МПа и средним квадратическим отклонением 40,0 МПа. Вследствие воздействия температуры и некоторых других факторов прочность материала является случайной величиной с нормальным распределением с математическим
ожиданием 820,0 МПа и средним квадратическим отклонением 80,0 МПа.
Обычный коэффициент безопасности, определяемый как отношение
средних значений прочности и напряжения, имеет вид
Для вычисления вероятности безотказной работы элемента используем
уравнение связи:
Следовательно, вероятность безотказной работы элемента равна
0,9999999.
Допустим, что плохая термическая обработка и большие колебания окружающей температуры вызывают увеличение среднего квадратического отклонения прочности элемента до 150,0 МПа. В этом случае вычисленный
выше коэффициент безопасности остается без изменения, а вероятность безотказной работы изменяется. Используя уравнение связи, имеем
и находим, что вероятность безотказной работы элемента равна 0,99877.
Таким образом, надежность снижается вследствие увеличения изменчивости прочности элемента.
Пример № 4.Проектируемый элемент испытывает растягивающее напряжение. Нагрузка меняется, и растягивающее напряжение имеет нор-
39
мальное распределение с математическим ожиданием
нимквадратическим отклонением
и сред-
Производственные опера-
ции вызывают остаточное сжимающее напряжение, имеющее нормальное
распределение с математическим ожиданием
ратическим отклонением
и средним квад-
Анализ прочности элемента показал,
что среднее значение эффективной прочности составляет
Так
как определение зависимости прочности от различных факторов затруднительно, то необходимо знать максимальное значение среднего квадратического отклонения прочности, при котором гарантируется, что вероятность
безотказной работы элемента не окажется меньше 0,999.
Среднее эффективное напряжение имеет вид
а его среднее квадратическое отклонение определяется выражением
С помощью таблиц для нормального распределения находим, что значение и, соответствующее вероятности безотказной работы 0,999, составляет
-3,1. Подставляя это значение в уравнение связи, получаем
Решая это уравнение относительно
имеем
Вероятность безотказной работы при логарифмически
нормальном распределении прочности и напряжения
Для логарифмически нормального распределения случайной величины
 плотность определяется выражением:
(30)
40
где
– соответственно математическое ожидание исреднеквадратическое
отклонение случайной величины In, распределенной по нормальному закону.
Рассмотрим соотношения для логарифмически нормального распределения, которые потребуются впоследствии при анализе вероятности безотказной работы. Пусть
Тогда
С помощью формулы (30) на-
ходим
Следовательно,
Рассмотрим математическое ожидание случайной величины
Выполнив преобразование выражения показателя экспоненты:
Получим
При вычислении дисперсии случайной величины
заметим, что
(31)
Преобразуем показатель при экспоненте в выражении
41
Следовательно, М()2) = ехр[2(m + 2)].
Дисперсия случайной величины
Учитывая, что
определяется выражением
получаем
(32)
Из (32) имеем
(33)
Обозначим y0,5медиану случайной величиныи запишем уравнение:
из которого получим
Для анализа случая логарифмически нормального распределения прочности р и напряжения введем обозначение
При этомслучайная величина
ние, так как
. Это означает, что
имеет нормальное распределе-
распределены по нормальному закону.
Плотность логарифмически нормального распределения имеет положительную асимметрию, следовательно, медиана является лучшим и более
удобным средним показателем в случае логарифмически нормального распределения, чем математическое ожидание. Антилогарифм среднего значения
равен медиане распределения
равен медиане распределения
а антилогарифм среднего значения
т. е.
42
где
 и  соответственно. При этом
–
так как известно, чтослучайная величина  также имеет логарифмически нормальное распределение.
Учитывая, что
(34)
Получаем
При этому
По определению вероятности безотказной работы
(35)
Введем нормированную нормально распределенную случайную величину
и определим новые пределы интегрирования в формуле (35). При
с уче-
том (32) и (33) имеем
При
значение
Вероятность безотказной работы при этом
определяется по формуле
Пример № 5. Прочность р и напряжение  распределены по логарифмически
нормальному
закону
со
следующими
параметрами:
Требуется
вы-
43
числить вероятность безотказной работы.
Пусть
С помощью формулы (32) находим
а с помощью формулы (33) получаем
Аналогично для напряжения у имеем
и
Следовательно,
где – задается уравнением связи:
С помощью таблицы для нормального распределения при
нахо-
дим, что
Пример № 6. Прочность  и напряжение распределены по логарифмически
нормальному
закону
со
следующими
параметрами:
Требуется определить максимально допустимое среднее квадратическое отклонение прочности , при котором вероятность безотказной работы
окажется не ниже 0,999.Вначале вычислим
44
а также
После упрощения получаем
Подставляя в это выражение найденные ранее значения
и
упрощая, получаем квадратное уравнение относительно
Корни этого уравнения равны 0,01645 и 40,04475. Выбирая меньший
корень, получаем
Следовательно,
Требуемое максимально допустимое среднее квадратическое отклонение прочности составляет
Вероятность безотказной работы при
экспоненциальном распределении прочности и напряжения
В случае экспоненциального закона распределения прочности и напряжения плотности распределений имеют вид соответственно
Вероятность безотказной работы определим по формуле
Если обозначить среднее значение прочности
а среднее значе-
45
ние напряжения
то
Вычисление вероятности безотказной работы
при нормальном (экспоненциальном) распределении прочности и экспоненциальном (нормальном)распределении напряжения
Плотность нормального распределения прочности имеет вид
а плотность экспоненциального распределения напряжения имеет вид
Известно, что
Перепишем формулу (13) для вероятности безотказной работы:
При
Обозначим
получаем
и
В этом случае выражение
дляP(t)принимает вид
(36)
46
Рассмотрим случай, когда прочность имеет экспоненциальное распределение с параметром
раметрами
а напряжение имеет нормальное распределение с па-
С использованием формулы (3.1) получается следующее
выражение для вероятности безотказной работы:
После упрощения получаем
(37)
Этот результат несколько отличается от выражения (36).
Пример № 7. Прочность элемента имеет нормальное распределение с
параметрами
Возникающее в элементе направление
имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием 50
МПа. Вычислите вероятность безотказной работы элемента.
С помощью формулы (36) получаем
Критерии надежности программного обеспечения
При оценке надежности управляющих систем и комплексов, использующих программное обеспечение, принято различать программную надежность объекта, т. е. свойство объекта выполнять заданные функции, обусловленные качеством программного обеспечения, и надежность программного обеспечения – свойство программного обеспечения выполнять
предписанные ему требования.
Программная надежность изделия проявляется при совместной работе
аппаратурных и программных средств. Она характеризует способность изде-
47
лия выполнять заданные функции при выполнении управляющей программы.
Надежность программного обеспечения определяется качеством (правильностью, корректностью или надежностью) программы.
Программная надежность – это потребительское свойство объекта. При
этом необходимым условием надежной работы объекта является «корректность» программ, т. е. отсутствие в них ошибок. Программная надежность
становится особо актуальной, когда программы являются самостоятельным
изделием. В этом случае они разрабатываются, проверяются и подвергаются
приемо-сдаточным испытаниям так же, как физические объекты.
Отказы программно-управляемых технических систем могут быть вызваны отказами как аппаратурных средств, так и программ. Общими свойствами обоих видов отказов являются:
– нарушение выполнения объектом заданных функций;
– случайный характер интервалов времени работы до отказов и устранения отказов;
– одинаковое содержание статистических оценок показателей надежности аппаратурных и программных средств. При этом возможно как разделение показателей надежности в зависимости от вида отказа (программного
или аппаратного), так и использование комплексных оценок (средняя наработка объекта на программный и аппаратурный отказы, интенсивность программных и аппаратурных отказов объекта и т. д.). Вместе с тем отказы программные существенно отличаются от отказов аппаратурных:
– аппаратурный отказ зависит от времени или от объема выполненной
объектом работы, а программный отказ – от выполняемой объектом под
управлением программы функции, т. е. происходит при выходе программы
на участок, содержащий ошибку;
– обнаружение и устранение аппаратурного отказа, например замена
отказавшего элемента исправным, не исключает повторения такого же отказа
при дальнейшей работе изделия; обнаружение и устранение программного
отказа (исправление программы) означает, что такой отказ при дальнейшей
48
работе не повторится. Таким образом, интенсивность отказов программного
обеспечения в процессе эксплуатации уменьшается;
– возникновение аппаратурных отказов можно прогнозировать статистическими методами, предвидеть появление программных отказов, т. е. выход программы на участок, содержащий ошибку, во многих случаях не представляется возможным;
– аппаратурные отказы классифицируют но их физической природе,
законам распределения времени до отказа и др. Программные отказы возникают внезапно при переходе программы на участок, содержащий ошибку.
При этом они имеют другую природу по сравнению с внезапными аппаратурными отказами: вероятность их возникновения связана не с продолжительностью работы изделия, а с условной вероятностью того, что программа
содержит ошибку, и вероятностью того, что изделие будет работать под
управлением этой части программы;
– надежность программ в значительной степени зависит от используемой входной информации, так как от значения входного набора зависит траектория исполнения программы; если при этом информационное обеспечение содержит дефекты, то программа выдаст неправильный результат даже
при отсутствии программных ошибок.
Для количественной оценки и прогнозирования надежности программного обеспечения обычно используют статистические (вероятностные)
критерии классической теории надежности радиоэлектронной аппаратуры.
При этом оценка надежности программного обеспечения на основе статистической теории надежности аппаратуры возможна только в пределах ряда
ограничений, учитывающих специфику программ как определенного вида
продукта человеческого труда. Рассмотрим основные характеристики и количественные показатели надежности программного обеспечения:
1 Безотказность. Этот показатель характеризует способность программного обеспечения выполнять требуемые функции в заданных условиях
эксплуатации технической системы. Отказ программы понимается как ре-
49
зультат проявления скрытой ошибки. При этом подразумевается, что входные данные и данные, создаваемые программой, не являются элементами
программного обеспечения, поскольку их надежность связана с работой
внешних устройств и аппаратурных средств.
Для невосстанавливаемых в ходе эксплуатации программ обобщенной
характеристикой надежности (безотказности) является вероятность безотказной работы P(t), характеризующая вероятность того, что за время t отказа
не произойдет. Этот показатель определяется по формуле, а вероятность отказа на отрезке от 0 до t находится по выражению.
Средняя наработка до отказа (среднее время безотказной работы) определяется как математическое ожидание наработки программного обеспечения до первого отказа в соответствии с выражением.
Программы имеют явно выраженные циклы работы, поэтому средняя
наработка Т1 до отказа программы может быть выражена через календарное
или машинное время, либо через количество решенных задач и т. п. Простой
способ оценки Т, состоит в наблюдении за поведением программы в определенный временной период. В этом случае величину среднего времени между
отказами (сбоями) программного обеспечения можно определить по формуле
где N – общее количество часов успешной работы программы, определяемое
по формуле
– время непрерывного i-го цикла безошибочной работы программного
обеспечения; – время j-го цикла до появления ошибки; п – общее количество циклов работы программного обеспечения; r– количество циклов работы программного обеспечения без ошибок;
– количество циклов
работы с ошибками.
Если при эксплуатации возможна корректировка программного обеспечения или восстановление программы после отказа, вызванного действием
50
помех от внепрограммных источников, а время восстановления достаточно
мало по сравнению с интервалами между отказами или сбоями, в качестве
характеристики безотказности программного обеспечения используется параметр потока отказов во времени, который можно определить по формуле
где
– среднее число отказов за время t.
Для программ, время корректировки которых сравнимо со временем
между отказами, обобщающей характеристикой безотказности является
функция коэффициента готовности
в зависимости от времени. Показатель
готовности характеризует вероятность работоспособного состояния системы
в заданный момент времени.
2 Устойчивость. Устойчивость программного обеспечения определяет
способность системы выполнять заданные функции в условиях действия помех (ошибок, сбоев, отказов), возникающих во внепрограммных источниках
(техническое обеспечение, исходные данные). При оценке устойчивости программного обеспечения должны быть заданы параметры окружающей среды,
по отношению к которой определяется устойчивость программ.
Основные показатели устойчивости – это показатели безотказности, но
с учетом условных вероятностей. Условием, при котором вычисляются вероятности, является отказ (сбой) в программе или аппаратуре. Для невосстанавливаемых (некорректируемых) программ обобщенным показателем устойчивости служит условная вероятность безотказной работы:
где
– вероятность ошибки (сбоя) программы или отказа аппаратуры.
Безотказность и устойчивость представляют собой динамические ха-
рактеристики, так как характеризуют надежность программного обеспечения
в процессе функционирования.
3 Корректируемость. Этот показатель надежности программного
обеспечения средств характеризует его приспособленность к поиску и устранению ошибок и внесению в него изменений в ходе эксплуатации и аналогичен показателю ремонтопригодности аппаратурных средств. Он применяется
51
для оценки восстанавливаемых в ходе эксплуатации программ. Показатели
корректируемое: время корректировки
граммы за заданное время
вероятность корректировки про-
коэффициент готовности
параметр потока
корректировок
4 Защищенность. Показатель защищенности программного обеспечения от посторонних вмешательств в работу определяется вероятностью внесения искажений при постороннем вмешательстве.
5 Долговечность. Показатель долговечности характеризует свойства
программ избегать морального старения при длительном использовании и
определяется временем отказа программного обеспечения из-за морального
старения.
В зависимости от условий применения программного обеспечения
можно выделить три режима его работы:
Программа не корректируется, и любой отказ является полным, т. е.
после отказа программное обеспечение для этого режима работы программ –
безотказность, устойчивость и защищенность.
6 Программа не корректируется, однако после отказа программного
обеспечения система продолжает функционировать нормально. Основные
показатели надежности – безотказность, устойчивость, защищенность и долговечность.
7 После каждого отказа программное обеспечение корректируется, отлаживается и только после этого снова сдается в эксплуатацию. Основные
показатели надежности – безотказность, устойчивость, корректируемость,
защищенность, а также потери времени.
Математическое описаниенадежности комплексов программ
При оценке достоверности результатов и надежности функционирования сложных комплексов программ используются статистические методы
анализа и оценки достоверности результатов. Качество отладки определяется
интенсивностью отказов и значениями ошибок в выходных результатах, по-
52
лученными за счет невыявленных ошибок в программах и искажений исходных данных.
Приближенные вероятностные оценки количества ошибок в программе
основываются на построении математических моделей в предположении наличия корреляции между общим количеством и проявлениями ошибок в комплексе программ после его отладки в течение времени t, т. е. между следующими параметрами:
– суммарным количеством ошибок п0 в комплексе программ;
– количеством ошибок, выявляемых в единицу времени
в процессе
тестирования и отладки при постоянных усилиях на их проведение;
– интенсивностью отказов  или числом искажений результатов на выходе комплекса программ вследствие невыявленных ошибок при нормальном
функционировании системы в единицу времени.
В вероятностных моделях надежности комплексов программ используются различные гипотезы относительно законов распределения ошибок.
Преимущественное использование нашли экспоненциальная модель изменения ошибок в зависимости от времени отладки; модель, учитывающая дискретно-понижающуюся частоту появления ошибок как линейную функцию
времени тестирования и испытаний; модель, использующая распределение
Вейбулла, и модель, основанная на дискретном гипергеометрическом распределении.
Наиболее обоснованной представляется первая экспоненциальная модель изменения ошибок в процессе отладки программ. Эта модель основана
на следующих предположениях:
– ошибки в программе являются независимыми и проявляются в случайные моменты времени;
– время работы между ошибками определяется средним временем выполнения команды на данной ЭВМ и средним числом команд, исполняемых
между ошибками. Это означает, что интенсивность проявления ошибок при
53
реальном функционировании программы зависит от среднего быстродействия ЭВМ;
– выбор отладочных тестов должен быть представительным и случайным, с тем чтобы исключить концентрацию необнаруженных ошибок для некоторых реальных условий функционирования программы;
– ошибка, являющаяся причиной искажения результатов, фиксируется
и исправляется после завершения тестирования либо вообще не обнаруживается. Сформулированные предположения позволяют считать, что при нормальных условиях эксплуатации количество ошибок, проявляющихся в некотором интервале времени, распределено по закону Пуассона. В результате
длительность непрерывной работы между искажениями распределена экспоненциально.
Предположим, что в начале отладки комплекса программ при t = 0 в
нем содержалось N0 ошибок. После отладки в течение времени t осталось N0
ошибок и устранено п ошибок
При этом время t соответствует
длительности исполнения программ в вычислительном устройстве для обнаружения ошибок и не учитывает простои машины, необходимые для анализа
результатов и проведения корректировок. Интенсивность обнаружения ошибок в программе
и абсолютное количество устраненных ошибок связаны
уравнением
(38)
где k — коэффициент пропорциональности.
Если предположить, что в начале отладки при t = 0 отсутствуют обнаруженные ошибки, то решение уравнения (38) имеет вид
Количество оставшихся ошибок в комплексе программ определяется по
формуле
и пропорционально интенсивности обнаружения
.
Время безотказной работы программ до отказаТ или наработка на от-
54
каз, который рассматривается как обнаруживаемое искажение программ,
данных или вычислительного процесса, нарушающее работоспособность,
равно величине, обратной интенсивности обнаружения отказов (ошибок):
Так как до начала тестирования в комплексе программ содержалось N0
ошибок и этому соответствовала наработка на отказ Т0, то функцию наработки на отказ от длительности проверок можно представить в следующем
виде:
Если известны моменты обнаружения ошибок tiв которые обнаруживается и достоверно устраняется одна ошибка, то с помощью метода максимального правдоподобия можно получить уравнение для определения общего количества ошибок
и выражение для расчета коэффициента пропорциональности
Для повышения наработки на отказ от Т1до Т2 необходимо в процессе
отладки и испытаний программ обнаружить
устранитьошибок. Величи-
наопределяется по формуле
Затраты времени
нить
на проведение отладки, которые позволяют устра-
ошибок и соответственно повысить наработку на отказ от значения Т1
до Т2, определяются по формуле
55
При использовании гипотезы о том, что частота проявления ошибок
(интенсивность отказов) линейно зависит от времени испытания между
моментами обнаружения последовательных i-й и (i–1)-й ошибок, т. е.
для оценки наработки на отказ получается выражение, соответствующее распределению Релея:
где
Плотность распределения времени наработки на отказ определяется
выражением
С помощью функции максимального правдоподобия можно получить
оценки для общего количества ошибок N0 и коэффициента k:
Для аппроксимации изменения интенсивности от времени при обнаружении и устранении ошибок используется функция
При
интенсивность отказов снижается по мереотладки или в
процессе эксплуатации. В этом случае плотность функции распределения наработки на отказ описывается двухпараметрическим распределением Вейбулла.
Показатели надежности человеко-машинных систем
В больших технических системах во многих узлах управления находятся люди, выполняющие множество различных функций. При оптимизации
управления возникает множество вопросов, связанных как с организацией
человеко-машинного интерфейса, так и с согласованием отношений внутри
коллективов с учетом психологических характеристик отдельных лиц и эмо-
56
циональных нагрузок, вызванных спецификой решаемых задач управления.
Человеческий фактор в сложных системах может иметь множество форм
проявления и оказывать на достижение целей системы в зависимости от конкретной ситуации и конкретных людей как негативное, так и позитивное
действие.
Наделсность человека при проектировании системы должна также учитываться, как и надежность аппаратурных и программных средств. Однако
функционирования технической системы и человека принципиально различны. Человек более сложная система, чем любая машина,ему внутренне свойственна меньшая стабильность, чем машине, на его работу оказывает влияние большее число факторов.
Надежность оператора упрощенно может быть определена с использованием входных и выходных параметров. Поведение человека можно упрощенно представить комбинацией трех параметров: входного сигнала S,
внутренней реакции R и отклика на выходе О (рис. 11). Здесь S – изменение
окружающих условий, воспринимаемых оператором (например, загорание
сигнальной лампы); R – восприятие и обработка физического сигнала (запоминание, обдумывание и т. д.); О – действие, обусловленное внутренней реакцией человека на сигнал; Е – изменение в системе, вызванное действием
оператора.
Рис. 11 –Упрощенная схема поведения человека в системе управления
Поведение человека определяется действием многих цепейпереплетенных между собой. Ошибочные действия человека могут быть вызваны
различными причинами, в том числе неисправностями технических средств.
Например:
57
– физические изменения окружающих условий не воспринимаются как
сигнал S;
– сигналы неразличимы;
– сигнал принят, но неправильно понят;
– сигнал принят, понят, но правильный отклик неизвестен оператору;
– правильный отклик находится за пределами возможностей человека;
– отклик выполняется неправильно, не в требуемой последовательности.
Применительно к конструированию аппаратуры это означает следующее: для того чтобы оператор был в состоянии откликнуться соответствующим образом, сигналы должнывосприниматься оператором и требовать отклика, который оператор способен произвести. Характеристики аппаратуры
должны быть приспособлены к возможностям оператора, учитывать ограничения, связанные с ростом человека, его весом, временем реакции на сигнал.
Для четкой работы системы оператор должен получить подтверждение о последствиях отклика по каналам обратной связи. Не имея возможности видеть
результаты своей деятельности, оператор не может быть уверен в их правильности, его реакция будет характеризоваться большой изменчивостью.
Вместе с тем оператор имеет уникальные по сравнению с любой техникой качества, главным образом при неожиданных событиях в системе, так
как только человек обладает гибкостью, необходимой для принятия решения
в сложных ситуациях.
При проектировании человеко-машинных систем производится оценка
надежности человека, машины и системы «человек-машина» в целом.
Надежность человеко-машинной системы оценивается вероятностью
правильного решения задач, которая, по статистическим данным, определяется соотношением
где тош и N – соответственно число ошибочно решенных и общее число решаемых задач.
Точность работы оператора – степень отклонения некоторого пара-
58
метра, измеряемого, устанавливаемого или регулируемого оператором, от заданного или номинального значения. Количественно точность работы оператора оценивается величиной погрешности, с которой оператор измеряет,
устанавливает или регулирует данный параметр:
где lн – истинное или номинальное значение параметра; lоп – фактически измеряемое или регулируемое оператором значение этого параметра.
Следует отметить, что погрешность становится ошибкой в том случае,
если ее значение выходит за допустимые пределы.
В работе оператора различают случайную и систематическую погрешности. Случайная погрешность оператора оценивается величиной среднеквадратической погрешности, систематическая погрешность — величиной
математического ожидания отдельных погрешностей.
Своевременность решения задачи в человеко-машинной системе оценивается вероятностью того, что задача будет решена за время, не превышающее допустимое:
где
– функция плотности времени решения задачи системой «человек –
машина». Эта вероятность на основе статистических данных может быть определена по формуле
где
– число несвоевременно решенных задач.
В качестве общего показателя надежности используется вероятность
правильного Рпри своевременногоРсв решения задачи:
Безопасность труда человека в человеко-машинной системе оценивается вероятностью безопасной работы
где
– вероятность возникновения опасной или вредной для человека про-
59
изводственной ситуации i-го типа;
– вероятность неправильных действий
оператора в i-й ситуации; п – число возможных травмоопасных ситуаций.
Надежность оператора – свойство качественно выполнять трудовую
деятельность в течение определенного времени при заданных условиях.
Ошибками оператора являются: невыполнение требуемого или выполнение
лишнего (несанкционированного) действия, нарушение последовательности
выполнения действий, неправильное или несвоевременное выполнение требуемого действия. В зависимости от последствий ошибки могут быть аварийными и неаварийными.
Надежность оператора характеризуется показателями безошибочности,
готовности, восстанавливаемости и своевременности.
В качестве показателей безошибочности используются вероятность
безошибочной работы и интенсивность ошибок:
где
– вероятность безошибочного выполнения операций j-го типа;
тенсивность ошибок j-го вида;
и
– ин-
– общее число выполненных операций
j-го вида и допущенное при этом число ошибок; – среднее время выполнения операций j-го вида.
Для участка устойчивой работоспособности оператора можно найти
вероятность безошибочного выполнения операций:
где
– число выполненных операций j-го вида; r– число различных типов
операций
Коэффициент готовности оператора представляет собой вероятность
включения оператора в работу в любой произвольный момент времени:
где
– время, в течение которого оператор по тем или иным причинам от-
60
сутствует на рабочем месте; – общее время работы оператора.
Показатель восстанавливаемости характеризует возможность самоконтроля оператором своих действий и исправления допущенных ошибок и
представляет вероятность исправления оператором допущенной ошибки:
где
– вероятность формирования сигнала системой контроля;
ность обнаружения оператором сигнала контроля;
– вероят-
– вероятность исправ-
ления ошибочных действий при повторном выполнении операций.
Основным показателем своевременности является вероятность выполнения задачи в течение времени
где
– функция распределения времени решения задачи оператором.
Надежность деятельности оператора не остается величиной постоян-
ной, а меняется с течением времени. Это обусловлено как изменением условий работы, так и колебаниями состояния оператора.
Среднее значение вероятности безошибочной работы оператора:
где
– вероятность наступления i-го состояния человеко-машинной си-
стемы;
– условная вероятность безошибочной работы оператора в i-м со-
стоянии;
– число рассматриваемых состояний системы.
Для систем непрерывного типа показателем надежности является вероятность безотказного, безошибочного и своевременного протекания производственного процесса в течение времени t:
где
– вероятность безотказной работы технических средств;
– веро-
61
ятность безотказной работы оператора;
– вероятность своевременного
протекания производственного процесса.
Для человеко-машинных систем дискретного типа
где
– коэффициент готовности техники;
– вероятность восстановле-
ния отказавшей техники.
Показатель
используется в случаях, когда:
– технические средства работают исправно;
– произошел отказ технических средств, но при этом оператор безошибочно и своевременно выполнил требуемые действия по ликвидации аварийной обстановки или оператор допустил ошибочные действия, но своевременно их исправил.
Показатель надежности
используется, если:
– в требуемый момент времени техника находится в исправном состоянии, не отказала в течение времени выполнения задачи, действия оператора
были безошибочными и своевременными;
– не готовая или отказавшая техника была своевременно восстановлена, операторы при решении задачи не допускали ошибок;
– при безотказной работе техники оператор допустил ошибку, но своевременно исправил ее.
Контрольные вопросы
1 Объясните основные положения физического и математического направлений в исследовании надежности объектов.
2 Объясните применение функционала для математического описания
показателей надежности при эволюции системы.
3 Как определяются область работоспособности и область отказов объ-
62
екта в n-мерном пространстве состояний?
4 Как определяется запас надежности?
5 Как различаются действительная и расчетная области работоспособности объекта?
6 Как связаны изменения выходного параметра объекта во времени с
изменениями степени повреждения материала? Приведите примеры.
7 Объясните общую схему формирования отказа объекта, отражающую вероятностный характер процессов.
8 Необходимо спроектировать механический элемент, работающий на
изгиб и кручение. Прочность этого элемента и возникающие в нем напряжения являются случайными величинами и функциями других случайных величин. Назовите эти случайные величины, влияющие на напряжение и прочность, и покажите, как можно определить их распределения.
9 Объясните особенности анализа надежности программного обеспечения.
10 Что понимают под человеческим фактором? Какое влияние может
оказывать человеческий фактор на надежность технических систем?
11 Что понимают под человеко-машинным интерфейсом?
12 Дайте сравнительный анализ оператора и автоматики при управлении сложными системами.
13 Какими показателями характеризуется надежность оператора?
14 Объясните понятия «отказ» и «ошибка оператора».
15 Какова относительная частота ошибок оператора в сложных системах?
16 К каким последствиям могут привести ошибки операторов при
управлении сложными системами?
17 Расскажите о причинах ошибок операторов.
18 По каким признакам классифицируются ошибки операторов сложных систем?
УПРАЖНЕНИЯ
1 Выведите выражение (18) с помощью свертки случайных величин
63
(прочности и напряжения), распределенных по нормальному закону.
2 Прочность и напряжение являются коррелированными случайными
величинами с коэффициентом корреляции k. Для этого случая выведите выражение для вероятности безотказной работы.
3 Прочность р и напряжение имеют логарифмически нормальное распределение со следующими параметрами:
Определите вероятность безотказной работы элемента.
4 Требуется спроектировать элемент с надежностью 0,99990. Прочность и напряжение имеют логарифмически нормальное распределение со
следующими параметрами:
Оп-
ределите максимально допустимое среднее квадратическое отклонение напряжения элемента, при котором обеспечивается требуемая вероятность безотказной работы.
5 С помощью выражения (37) определите вероятность безотказной работы элемента, если известны следующие величины:
6 Напряжение, возникающее в элементе, имеет равномерное распределение в интервале
деление
Прочность элемента имеет нормальное распре-
Выведите формулу для вероятности безотказной работы эле-
мента.
8 Постройте расчетную номограмму, показывающую взаимосвязь между следующими четырьмя конструктивными параметрами:
а) коэффициентом безопасности ;
б) коэффициентом вариации прочности
в) коэффициентом вариации напряжения
;
;
г) вероятностью безотказной работы
9 Напряжение, возникающее в элементе силового агрегата, имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 300,0 МПа и средним
квадратическим отклонением 30,0 МПа. Вследствие воздействия внешних
64
факторов прочность материала является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 800,0 МПа и средним квадратическим отклонением 80,0 МПа. Определите коэффициент безопасности и
вероятность безотказной работы элемента.
10 Прочность элемента имеет экспоненциальное распределение со
средним значением 100 МПа. Возникающее в элементе напряжение имеет
нормальное распределение с параметрами
Вычислите
вероятность безотказной работы элемента.
11 Предложите методы повышения надежности оперативного персонала сложных систем.
Практическое задание № 4 Анализ влияния профилактики
на надежность технической системы
Теоретическая часть
Постановка задачи. Дано:
– закон распределения времени безотказной работы системы и его
параметры;
– закон распределения времени восстановления системы и его параметры;
– Т2 – среднее время между очередными профилактиками, в часах;
– Тв2 – среднее время проведения профилактик, в часах.
Определить:
– математическое ожидание Т1 и среднее квадратическое отклонение
времени безотказной работы системы без профилактики;
– математическое ожидание Тв1 и среднее квадратическое отклонение
времени восстановления системы без профилактики.
Определить показатели надежности системы без профилактики:
65
–Кr1, Т,Тв;
–функцию готовности системы Кr1(t);
–среднее суммарное число отказов системы М1(Т2);
–среднюю суммарную наработку системы м1(Т2)за время t.
Определить для системы с профилактикой:
–коэффициент готовности Кrс, наработку на отказТс и среднее время
восстановлениятТвс;
–зависимость коэффициента готовности системы от частоты профилактики для различных значений времени ее проведения в виде таблицы и
графика;
–оптимальное значение частоты профилактики Т2,опт, при которой коэффициент готовности системы Кr1 превышает коэффициент готовности Кrс
системы без профилактики и имеет при этом наибольшее значение.
Сведения из теории. Профилактика применяется с целью продления
периода эксплуатации системы. Там же приведены соотношения для расчета
стационарных показателей надежности системы с учетом проведения профилактик. Средняя наработка на отказТс, среднее время восстановленияТвс и коэффициент готовности Кrс вычисляются по формулам:
(39)
где:
– Т2 – время между профилактиками;
– Тв2 – время проведения профилактики;
– Кr1(Т2) – функция готовности системы в момент времени Т2;
– м1(Т2) – средняя суммарная наработка системы в течение времени Т2;
– М1(Т2) – среднее суммарное число отказов системы в течение времени Т2.
66
Из приведенных соотношений следует, что для системы с постоянной
интенсивностью отказов проведение профилактики оказывается лишним, более того, оно даже уменьшает коэффициент готовности системы. Поэтому
проведение профилактик в этом случае вредно. Профилактические работы
могут быть выгодны только для систем с неэкспоненциальным законом распределения времени до отказа. Критерием такой выгоды является выполнение неравенства:
Если для заданных значений Т2 и Тв2 неравенство (39) имеет место, то
проведение профилактики целесообразно. Если это неравенство оказывается
неверным, тс профилактика лишь уменьшает готовность системы. В этом
случае надо выяснить два вопроса:
– существует ли частота профилактики, для которой справедливо неравенство (39);
– при положительном ответе на первый вопрос определить оптимальное время между профилактиками Т2,опт, для которого коэффициент готовности системы достигает максимального значения.
По формулам (39) можно рассчитать показатели надежности без использования математических пакетов только для случая постоянных интенсивностей отказов и восстановлений системы. Однако как раз при этом
применять профилактику и не нужно. В общем случае для расчетов необходимо иметь соответствующее программное средство.
Исходными данными являются параметры распределений. Для применения программы требуется знание математического ожидания и среднего
квадратического отклонений этих распределений. Соответствующие формулы содержатся в таблица 2.
Пример выполнения работы. Предположим, что время работы системы до отказа подчинено распределению Вейбулла с параметрами
,
час. Время восстановления системы имеет экспоненциальное распределение
67
с параметром
ми
час-1.Среднее время между очередными профилактика-
час, среднее время проведения профилактик Тв2= 1, 3 и 5 часов
(рассмотреть три варианта).
Решение. Для проведения расчетов воспользуемся формулами связи
начальных моментов с параметрами распределений. По таблице 2 находим
математическое ожидание времени безотказной работы системы:
В таблице Ф0(t) – функция Лапласа, Г(t) —гамма-функция.
Таблица 2 – Связь параметров распределений с первыми двумя моментами
Распределение
m
Экспоненциальное
Равномерное
Гамма
Усеченное нормальное
Рэлея
Вейбулла
Нормальное
m
Среднее квадратическое отклонение времени безотказной работы:
Вычисление значений гамма-функции легко выполнить в программе
Excel. Для этого в ячейки А1 и А2 запишем выражения
Тогда в этих ячейках получим:
68
Следовательно,
Еще проще гамма-функцию вычислить в системе Derive 5. Для этого
достаточно в строке пользователя набрать выражение Г(1,3333) и, не выводя
его на экран, нажать кнопку (=) слева от строки пользователя. На экране получим ответ.
Среднее время восстановления системы равно
час. Таково же
и значение
Вычислим коэффициент готовности системы без профилактики:
Для расчетов остальных характеристик воспользуемся программой
prevention.exe. После запуска программы необходимо ввести следующие исходные данные:
– по времени безотказной работы системы:
– математическое ожидание Т1 =89,3 час;
– среднее квадратическое отклонение
=32,5 час;
– выбрать из списка распределение Вейбулла;
– по времени восстановления системы:
– математическое ожидание
= 20 час;
– среднее квадратическое отклонение Тв1= 20 час;
– выбрать из списка экспоненциальное распределение;
– время между очередными профилактиками Т2 =120 час;
– время проведения профилактик Тв2 = 1 час.
Результатами решения являются:
– показатели надежности системы без учета и с учетом профилактики;
– файл prevention.txt, содержащий требуемые по заданию характеристики надежности системы в зависимости от времени ее работы;
69
– таблицу значений и график зависимости коэффициента готовности
систем. Показатели надежности системы при различном времени проведения
профилактики приведены в таблице 3.
Из таблицы следует, что профилактика заметно повышает коэффициент готовности системы для широкого диапазона времени ее проведения. Если время профилактики равно 1 часу, то выигрыш составит:
Наработка на отказ не зависит от времени профилактики. Это ясно из
физических соображений. Поскольку после профилактики система обновляется, то время ее восстановления сокращается, а за счет этого происходит
увеличение коэффициента готовности. Уменьшение времени восстановления
системыТвс следует из формулы, если Тв2 меньше Тв1.
Таблица 3 – Стационарные показатели надежности системы
Показатели наБез профилакС профилактикой
дежности
тики
Т = 1 час
Т = 3 час
в2
в2
Тв2 = 5 час
Кr
0,8170
0,8540
0,8435
0,8332
Тс, час
89,3
64,6
64,6
64,6
Твс, час
20
11,05
11,99
12,93
Программа создает файл prevention.txt, в котором содержится информация об обобщенных показателях надежности системы, таких как параметр
потока восстановлений
, среднее суммарное число отказов М1(Т2), сред-
няя суммарная наработка м1(Т2), функция готовности Кr1(t). Все эти показатели являются функциями времени и содержатся в таблице 4. Обобщенные
показатели присутствуют в расчетных формулах (39).
На рисунках 12-14 изображены графики обобщенных показателей.
Функция готовности (рис. 12) имеет колебательный характер. За время 120
часов она еще не вошла в стационарный режим и достаточно далека от коэффициента готовности, равного Кr1= 0,8170. В момент времени 120 часов кривая находится ниже своего предельного значения.
Среднее суммарное число отказов (рис. 13) и средняя суммарная на-
70
работка (рис. 1) имеют возрастающий характер. Отношение
харак-
теризует среднюю наработку системы в течение времени t. Предельное значение Т1(t) совпадает с наработкой на отказ Т1.
Таблица 4 – Переходные характеристики надежности системы
t, час
М1(Т2)
м1(Т2)
Кr1(Т2)
0
0
0
0
1
6
0
0,0002
5,99969
0,999797
12
0
0,0017
11,99533
0,99849
18
0,0002
0,0058
17,9777
0,995255
24
0,0005
0,0138
23,93337
0,989514
30
0,0009
0,0267
29,84612
0,980908
36
0,0015
0,0458
35,6982
0,969282
42
0,0022
0,0717
41,47155
0,954687
48
0,0031
0,1051
47,14902
0,937382
54
0,0041
0,1463
52,71562
0,917827
60
0,0051
0,1953
58,15974
0,89668
66
0,0062
0,2515
63,4742
0,87476
72
0,0073
0,3141
68,65719
0,853007
78
0,0083
0,3819
73,71261
0,832417
84
0,0093
0,4535
78,65047
0,813962
90
0,01
0,5271
83,48615
0,798505
96
0,0106
0,6012
88,23987
0,786715
102
0,011
0,6742
92,93492
0,778996
108
0,0112
0,7447
97,59615
0,775441
114
0,0112
0,8117
102,2481
0,775821
120
0,011
0,8747
106,9129
0,779606
71
Рис. 12. – Функция готовности системы
Рис. 13 – Среднее суммарное число
отказов системы
Рис. 14 – Средняя суммарная наработка
системы
Определим зависимость коэффициента готовности системы от частоты профилактики. Для этого пересчитаем строки таблице 4 по формуле
(39). Получим таблице 5.
Таблица 5 – Коэффициент готовности системы при различных значениях Т2 и Тв2
Т2
Тв2 = 1 час
Тв2 = 3 час
Тв2 = 5 час
0
0
0
0
6
0,856672
0,666404
0,545294
12
0,920747
0,798369
0,704705
18
0,941785
0,852854
0,779268
24
0,949779
0,880618
0,820846
30
0,951695
0,895665
0,845867
36
0.949837
0,903248
0,861015
42
0.945539
0,906094
0.869808
72
48
0,939441
0,905612
0,874135
54
0,932039
0,90274
0.875228
60
0,923721
0,89814
0,873937
66
0,914891
0,892388
0,870965
72
0,905861
0,88592
0,866837
78
0,896932
0,879123
0,862008
84
0,88836
0,87232
0,85685
90
0,880408
0,865826
0,85172
96
0,873225
0,859836
0,846853
102
0,866947
0,854528
0,842459
108
0,861658
0.850019
0,83869
114
0,857369
0,846358
0,835625
120
0,854029
0,843523
0,833272
Графическая иллюстрация таблице 5 дана на рисунок 15.
Каждая кривая, изображенная на рисунке, имеет точку максимума.
Это значит, что существует оптимальная точка, в которой коэффициент готовности максимален. Для различного времени профилактики оптимальная
точка Т2,опт и наибольшее значение Кr1 приведены в таблица 5.
Рис. 15. – Коэффициент готовности системы в зависимости от
частоты и глубины профилактики
Таблица 6 – Оптимальный план профилактики
Время проведения профилактики
Тв2 = 1 час
Тв2 = 3 час
Тв2 = 5 час
Т2,опт
Кr1 (какс).
30
42
54
0,9517
0,9061
0,8752
73
Оптимальная частота профилактики получена здесь приближенно, поскольку таблице 15 рассчитана с шагом 6 часов. Используя файл prevention.txt, можно более точно получить Т2,опт и максимальное значение Кr1.
Проведенные расчеты и полученные результаты позволяют сделать
следующие выводы:
– система, имеющая экспоненциальное время до отказа, в профилактике не нуждается; профилактика оказывает негативное влияние на коэффициент готовности системы;
– для систем с переменной интенсивностью отказа профилактика может дать ощутимый выигрыш по среднему времени восстановления и коэффициенту готовности;
– профилактика ведет к сокращению наработки на отказ;
– на основе известных законов распределения времени до отказа и
восстановления можно определить частоту и глубину профилактики. Существенную помощь в этом вопросе может оказать компьютерная программа
prevention.exe.
УПРАЖНЕНИЯ
Требуется оценить влияние профилактики на надежность системы в
соответствии со своим вариантом.
В таблице 7 вариантов заданий приняты следующие обозначения законов распределения времени до отказа и времени восстановления:
– R – Рэлея;
– N – нормальный;
– U – равномерное;
– W – Вейбулла;
– Г – гамма;
– TN – усеченно нормальный;
– Ехр – экспоненциальный.
74
Таблица 7 – Вариантов заданий. В скобках указаны параметры закона для данного варианта задания
Закон распределения
Вариант
Времени
Времени
до отказа
восстановления
1
2
1
T2
Tв2
3
4
5
R(0,006)
Ехр(0,1)
60
1, 3, 5
2
N(300; 15)
Ехр(0,06)
200
1, 3, 5
3
U(200; 250)
Exp(0,13)
200
1, 3, 5
4
W(2; 220)
Exp(0,16)
180
1, 3, 5
5
Г(3,5; 110)
Exp(0,025)
300
1, 3, 5
6
UN(200; 12)
Exp(0,08)
190
1, 3, 5
7
Г(3; 125)
Exp(0,l)
270
1, 3, 5
8
R(0,002)
Exp(0,06)
100
1, 3, 5
9
W(l,8; 220)
Exp(0,08)
170
1, 3, 5
10
R(0,008)
Exp(0,ll)
50
1, 3, 5
11
Г(3,2; 150)
Exp(0,08)
400
1, 3, 5
12
TN(320; 30)
Exp(0,12)
320
1, 3, 5
13
U(3 00; 400)
Exp(0,04)
290
1, 3, 5
14
UN(220; 10)
Exp(0,07)
340
1, 3, 5
15
N(300; 14)
Exp(0,09)
230
1, 3, 5
16
Г(2; 270)
Exp(0,06)
400
1, 3, 5
17
TN(270; 15)
Exp(0,03)
290
1, 3, 5
18
W(2,3; 240)
Exp(0,1)
200
1, 3, 5
19
U(340; 400)
Exp(0,05)
310
1, 3, 5
20
R(0,004)
Exp(0,03)
80
1, 3, 5
21
N(190; 6)
Exp(0,08)
160
1, 3, 5
22
Г(3; 170)
Exp(0,l 1)
500
1, 3, 5
23
N(400; 20)
Exp(0,085)
350
1, 3, 5
24
W(3; 200)
Exp(0,15)
150
1, 3, 5
25
U(150; 200)
Exp(0,075)
160
1, 3, 5
26
TN(280; 12)
Exp(0,06)
210
1, 3, 5
27
N(150; 7)
Exp(0,11)
110
1, 3, 5
28
Г(2; 300)
Exp(0,075)
430
1, 3, 5
29
Г(2; 100)
Exp(0,2)
230
1, 3, 5
30
W(2,4; 250)
Exp(0,07)
220
1, 3, 5
75
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Баженов, Ю. В. Основы теории надежности машин [Текст] : доп.
УМО вузов РФ по образованию в обл. трансп. машин и трансп.-технол. комплексов в качестве учеб. пособия для студентов вузов, обучающихся по специальностям "Автомобили и автомобил. хоз-во", "Сервис трансп. и технол.
машин и оборудования (по отраслям)" направления подгот. дипломир. специалистов "Эксплуатация наземного трансп. и трансп. оборудования" и бакалавров и магистров по направлению подгот. "Эксплуатация трансп.-технол.
машин и комплексов" / Ю. В. Баженов. – М. : ФОРУМ, 2014. – 320 с.
2 Посметьев, В. И.Управление надежностью на транспорте[Текст] :
тексты лекций для студентов по направлениям подготовки 23.04.03 – Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов (уровень магистратуры / В. И. Посметьев, М. А. Латышева ; М-во образования и науки
РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» им. Г.Ф. Морозова. – Воронеж, 2016. – с.
3Кравченко, И. Н. Оценка надежности машин и оборудования: теория и
практика : Учеб. / И. Н. Кравченко, Е. А. Пучин и др. ; Под ред. проф. И. Н.
Кравченко. – М. : Альфа-М : НИЦ Инфра-М, 2012. – 336 с. – ЭБС «Знаниум».
http://znanium.com/bookread.php?book=307370.
4 Яхьяев, Н. Я. Основы теории надежности и диагностики [Текст] : доп.
УМО по образованию в обл. трансп. машин и трансп.-технол. комплексов в
качестве учеб. для студентов высш. учеб. заведений, обучающихся по специальности "Автомобили и автомобил. хоз-во" направления подгот. "Эксплуатация наземного трансп. и трансп. оборудования" / Н. Я. Яхьяев, А. В. Кораблин. – М. : Академия, 2009. – 256 с.
5Щурин, К. В. Основы теории надежности автомобильных машин
[Текст] : рек. УМО по образованию в обл. лесн. дела в качестве учеб. пособия
для студентов вузов / К. В. Щурин ; М-во образования Рос. Федерации, Гос.
образоват. учреждение высш. проф. образования, Моск. гос. ун-т леса. – М. :
МГУЛ, 2004. – 216 с.
76
6Посметьев, В. И. Основы теории надежности машин [Текст] : тексты
лекций / В. И. Посметьев, А. М. Кадырметов ; Воронеж, гос. лесотехн. акад. –
Воронеж, 2008. – 92 с.
7Посметьев, В. И. Основы теории надежности и диагностика [Текст] :
лаб. практикум : [для студентов специальности 190601 – Автомобили и автомобил. хоз- во] / В. И. Посметьев, В. Л. Мурзинов, А. В. Макаренко ; М-во
образования и науки Рос. Федерации, Фед. гос. бюджет, образоват. учреждение высш. проф. образования "Воронеж, гос. лесотехн. акад." . – Воронеж,
2011. – 79 с. : ил. ; 60x90 /16. – Библиогр. : с. 37. – электронная версия – макрообъект. – Основы теории надежности и диагностика.
8Острейковский, В. А. Теория надежности [Текст] / А. А. Острейковский. – М. :Высш. Шк., 2008. – 463 с.
9 ГОСТ Р 27.202-2012. Надежность в технике. Управление надежностью. Стоимость жизненного цикла [Электронный ресурс]. – Введ. 2013-0401. – М. : Изд-во стандартов, 2014. – 16 с.: ил.
http://www.internet-law.ru/gosts/gost/54338/.
10 ГОСТ Р 27.301-2011. Надежность в технике. Управление надежностью. Техника анализа безотказности. Основные положения [Электронный
ресурс]. – Введ. 2012-09-01. – М. : Изд-во стандартов, 2013. – 16 с.: ил.
http://www.internet-law.ru/gosts/gost/52328/.
11 ГОСТ Р 27.402-2012. Надежность в технике. Планы испытаний для
контроля средней наработки до отказа [Электронный ресурс]. – Введ. 201208-01. – М. : Изд-во стандартов, 2012. – 38 с.: ил.
http://www.internet-law.ru/gosts/gost/9301/.
12 ГОСТ Р 27.403-2009. Надежность в технике. Планы испытаний для
контроля вероятности безотказной работы [Электронный ресурс]. – Введ.
2010-09-01. – М. : Изд-во стандартов, 2012. – 12 с.: ил.
http://www.internet-law.ru/gosts/gost/49133/.
77
13 ГОСТ Р 27.404-2009. Надежность в технике. Планы испытаний для
контроля коэффициента готовности [Электронный ресурс]. – Введ. 2010-0901. – М. : Изд-во стандартов, 2012. – 14 с.: ил.
http://www.internet-law.ru/gosts/gost/49140/.
14 ГОСТ Р 51901.5-2005. Менеджмент риска. Руководство по применению методов анализа надежности [Электронный ресурс]. – Введ. 2006-02-01.
– М. : Изд-во стандартов, 2005. – 44 с.: ил.
http://www.internet-law.ru/gosts/gost/3979/.
78
ПосметьевВалерий Иванович
Латышева Маргарита Александровна
УПРАВЛЕНИЕ НАДЕЖНОСТЬЮ НА ТРАНСПОРТЕ
Методические указания к практическим занятиямдля студентов
по направлению подготовки 23.04.03 – Эксплуатация транспортнотехнологических машин и комплексов (уровень магистратуры)
Редактор А.С. Люлина
Подписано в печать __.__.2016. Формат 60×90 /16. Объем _,__ п. л.
Усл. печ. л. _,__. Уч.-изд. л. _,__. Тираж ___ экз. Заказ __
ФГБОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия»
РИО ФГБОУ ВПО «ВГЛТА». 394087, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8
Отпечатано в УОП ФГБОУ ВПО «ВГЛТА»
394087, г. Воронеж, ул. Докучаева, 10
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
32
Размер файла
2 458 Кб
Теги
195, надежности, транспорт, управления
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа