close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

561.Теоретическая механика

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Сибирский федеральный университет
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
КИНЕМАТИКА
Методические указания
для практических занятий
и самостоятельных работ
Красноярск
ИПК СФУ
2010
1
УДК 531.1(076)
ББК 22.21я73
Р46
Р46
Теоретическая механика. Кинематика : метод. указания для
практических занятий и самостоятельных работ / сост. : С. С. Речкунова, Т. А. Свизева, Е. М. Шипко. – Красноярск : ИПК СФУ, 2010. –
44 с.
Методические указания содержат задачи на кинематику точки и твердого
тела. В них изложена методика решения задач, приведено подробное решение
четырех примеров. Для каждого типа задач дается 30 вариантов.
Для студентов, обучающихся по дисциплине «Теоретическая механика».
УДК 531.1(076)
ББК 22.21я73
Печатается по решению
редакционно-издательского совета университета
 Сибирский федеральный
университет, 2010
 Оформление, оригинал-макет.
ИПК СФУ, 2010
2
ВВЕДЕНИЕ
Кинематикой называется раздел механики, в котором изучаются
геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и
действующих на них сил.
Кинематика представляет собой, с одной стороны, введение в динамику, так как установление основных кинематических понятий и зависимостей необходимо для изучения движения тел с учетом действия сил,
с другой стороны, методы кинематики имеют и самостоятельное практическое значение, например, при изучении передач движения в механизмах.
По этой причине под влиянием запросов развивающегося машиностроения
и произошло выделение кинематики в самостоятельный раздел механики
(в первой половине XIX в.).
Под движением мы понимаем в механике изменение с течением времени положения данного тела в пространстве по отношению к другим телам.
Для определения положения движущегося тела (или точки) с тем телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему осей координат, которую мы будем называть системой отсчета. Если координаты всех точек тела в выбранной системе отсчета остаются все время постоянными, то тело по отношению к этой системе отсчета находится в покое. Если же координаты каких-нибудь точек
тела с течением времени изменяются, то тело по отношению к данной системе отсчета (а следовательно, и по отношению к телу, с которым эта система связана) находится в движении. В дальнейшем мы будем говорить о
движении тела по отношению к данной системе отсчета, подразумевая под
этим движение по отношению в тому телу, с которым эта система отсчета
связана.
Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике мы рассматриваем как трехмерное евклидово пространство. Все измерения в нем производятся на основании методов евклидовой геометрии. За единицу длины при измерении расстояний принимается один метр. Время в механике считается универсальным, т.е. протекающим одинаково во всех рассматриваемых системах отсчета. За единицу
времени принимается одна секунда.
Время является скалярной непрерывно изменяющейся величиной.
В задачах кинематики время t принимают за независимое переменное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояния, скорости и т. д.)
рассматривают как изменяющиеся с течением времени, т. е. как функцию
времени t. Отсчет времени ведется от некоторого начального момента (t = 0),
3
о выборе которого в каждом случае уславливаются. Всякий данный
момент времени t определяется числом секунд, прошедших от начального
момента до данного; разность между какими-нибудь двумя последовательными моментами времени называется промежутком времени.
Почерпнутые из опыта и подтвержденные практикой основы, на которых строится кинематика, дают аксиомы геометрии. Никаких дополнительных законов или аксиом для кинематического изучения движения не
требуется.
Для решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано).
Кинематически задать движение или закон движения тела (точки)
значит задать положение этого тела (точки) относительно данной системы
отсчета в любой момент времени. Установление математических способов
задания движения точек или тел является одной из важных задач кинематики. Поэтому изучение движения любого объекта мы будем начинать с
установления способов задания этого движения.
Основная задача кинематики состоит в том, чтобы, зная закон движения данного тела (или точки), определить все кинематические величины, характеризующие как движение тела в целом, так и движение каждой
из его точек в отдельности (траектории, скорости, ускорения и т. п.).
Для решения этой задачи необходимо, чтобы непосредственно был
задан или закон движения данного тела, или же закон движения какогонибудь другого тела, кинематически связанного с данным.
При рассмотрении плоского движения твердого тела следует рассматривать движение как поступательное перемещение плоской фигуры
вместе с произвольной точкой, называемой полюсом, и поворота вокруг
полюса. Причем поступательное движение зависит от выбора полюса, а
величина угла поворота и направление поворота от него не зависят.
Сложное (составное) движение точки может быть разложено на два
простых движения: относительное по отношению к подвижной системе
координат и переносное, связанное с движением тела относительно неподвижной системы координат.
Элемент абсолютного движения будем обозначать индексом «а», относительного – индексом «r», переносного – индексом «е»
4
ЗАДАЧИ
Задача1
Кинематика точки
Движение точки в плоскости xy задано уравнениями x = f1(t), y = f2 (t)
(табл.1). Получить и изобразить траекторию точки (линию, которую точка
описывает при своем движении, считая, что движение начинается в момент времени t = 0). Определить скорость и ускорение точки, а также ее
касательное и нормальное ускорение в указанный момент времени и радиус кривизны в соответствующей точке в этот же момент времени.
Таблица1
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Уравнение движение
точки x = f1(t), см
4cos (t/6)
4cos (t/6)
4cos (t/6)
4cos (t/6)
4cos (t/6)
2 – 4cos (t/6)
2 – 4cos (t/6)
2 – 4cos (t/6)
2 – 4cos (t/6)
2 – 4cos (t/6)
2cos (t/6) – 3
2cos (t/6) – 3
2cos (t/6) – 3
2cos (t/6) – 3
2cos (t/6) – 3
4 – 2t
4 – 2t
4 – 2t
4 – 2t
4 – 2t
4 – 2t
4 – 2t
4 – 2t
2–t
2–t
2–t
2–t
Уравнение движения точки
y = f2(t), см
12 sin (t/6)
9 sin (t/6) – 4
–10 sin (t/6)
2 sin (t/6) – 2
3 – 8 sin (t/6)
12 sin (t/6)
9 sin (t/6) – 4
- 10 sin (t/6)
2 sin (t/6) – 2
3 – 8 sin (t/6)
12 sin (t/6)
9 sin (t/6) – 4
–10 sin (t/6)
2 sin (t/6) – 2
3 – 8 sin (t/6)
2t2 + 2
8sin (t/4)
2t3
2 + 2cos (t/4)
2 – 3t2
2 – 2sin (t/4)
2 – t3
4cos (t/4)
2t2 + 2
8sin (t/4)
2t3
2 + 2cos (t/4)
5
Время,
c
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
П р о д о л ж е н и е т а б л. 1
Номер
варианта
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
Уравнение движение
точки x = f1(t), см
2–t
2–t
2–t
2–t
2t
2t
2t
2t
2t
2t
2t
2t
t–4
t–4
t–4
t–4
t–4
t–4
t–4
t–4
8sin (t/6) – 2
8sin (t/6) – 2
8sin (t/6) – 2
8sin (t/6) – 2
8sin (t/6) – 2
8sin (t/6) – 2
2sin (t/6)
2sin (t/6)
2sin (t/6)
2sin (t/6)
2sin (t/6)
2sin (t/6)
2 – 4sin (t/6)
2 – 4sin (t/6)
2 – 4sin (t/6)
2 – 4sin (t/6)
2 – 4sin (t/6)
2 – 4sin (t/6)
–2t2 + 3
4cos2(t/3) + 2
–cos (t2/3) + 3
4t + 4
Уравнение движения точки
y = f2(t), см
2 – 3t2
2 – 2sin (t/4)
2 – t3
4cos (t/4)
2t2 + 2
8sin (t/4)
2t3
2 + 2cos (t/4)
2 – 3t2
2 – 2sin (t/4)
2 – t3
4cos (t/4)
2t2 + 2
8sin (t/4)
2t3
2 + 2cos (t/4)
2 – 3t2
2 – 2sin (πt/4)
2 – t3
4cos (t/4)
4cos (t/6) – 2
14 – 16cos (t/6)
–10cos (t/6)
–4cos2 (t/6)
3cos (t/6)
9cos (t/6) – 3
4cos (t/6) – 2
14 – 16cos (t/6)
–10cos (t/6)
–4cos2 (t/6)
3cos (t/6)
9cos (t/6) – 3
4cos (t/6) – 2
14 – 16cos (t/6)
–10cos (t/6)
–4cos2 (t/6)
3cos (t/6)
9cos (t/6) – 3
–5t
4sin2 (t/3)
sin (t2/3) – 1
–4/(t + 1)
6
Время,
c
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0,5
1
1
2
О к о н ч а н и е т а б л. 1
Номер
варианта
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
Уравнение движение
точки x = f1(t), см
2sin (t/3)
3t2 + 2
3t2 – t + 1
7sin (πt2/6) + 3
–3/ (t + 2)
–4cos (t/3)
–4t2 + 1
5sin2 (t/6)
5cos (t2/3)
–2t – 2
4cos (t/3)
3t
7sin2 (t/6) – 5
1 + 3cos (t2/3)
– 5t2 – 4
2 – 3t –6t2
6sin (t2/6) – 2
7t2 – 3
3 – 3t2 + 1
–4cos (t/3) – 1
–6t
8cos2 (t/6) + 2
–3 – 9sin (t2/6)
–4t2 + 1
5t2 + 5t/3 – 3
2cos (t2/3) - 2
Уравнение движения точки
y = f2(t), см
–3cos (t/3) + 4
–4t
5t2 – 5t/3 – 2
2 – 7cos (πt2/6)
3t + 6
–2sin (t/3) – 3
–3t
2
–5cos (t/6) – 3
–5sin (t2/3)
–2/(t + 1)
–3sin(t/3)
4t2 + 1
–7cos2 (t/6)
3sin (t2/3) + 3
3t
3 – 3t/2 –3t2
6cos (t2/6) + 3
5t
4 – 5t2 + 5t/3
–4sin (t/3)
–2t2 – 4
–8sin2(t/6) – 7
–9cos (t2/6) + 5
–3t
3t2 + t +3
–2sin (t2/3) + 3
Время,
c
1
0,5
1
1
2
1
0,5
1
1
2
1
0,5
1
1
1
0
1
0,25
1
1
1
1
1
1
1
1
Пример1
Уравнениями движения точки в плоскости xy являются:
x = 4t,
y = 16t2 – 1
(x, y – в сантиметрах).
Получить уравнение траектории точки для момента времени t = 0,5 c,
найти скорость и ускорение точки, а также касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Показать векторы скорости и ускорения.
Решение
1. Для определения уравнения траектории точки выразим время t как
t = x/4,
подставим в уравнение
y = 16 x2/16 – 1.
7
Получим y = x2 – 1, т. е. траекторией точки является парабола (рис.1).
Найдём положение точки М, определив её координаты:
x = 4·0,5 = 2 см, y = 16·0,52 – 1 = 3 см.
2. Скорость точки найдём по её проекциям на оси координат:
Vх =
dx
dt
= (4˙t) = 4 см/c; Vу =
dy
dt
= (16t2 ˙– 1)= 32t, см/с.
При t = 0,5 c
VX = 4 см/c; Vу = 32·0,5 = 16 см/c.
Модуль скорости точки
V=
2
= 42  16 2 = 16,5 см/c.
2
Vх  V у
3. Аналогично найдём ускорение точки:
а x=
dV х
dt
= 0, a y =
dV у
dt
= 32 cм/c2.
Модуль ускорения точки
a=
2
2
a х  a y = 02  322 = 32 см/c2.
Касательное ускорение находим путем дифференцирования модуля
скорости:
aτ 
Знак «+»
dV
dt
dV
dt

Vх a x  V y a y
V

4  0  16  32
16,5
2
 31 см/c .
показывает, что движение точки ускоренное.
Нормальное ускорение точки в данный момент времени
2
2
а n = a  a τ = 322  312  7,94 см/c2.
Радиус кривизны траектории в той точке, где при t = 0,5 c находится
точка М,
ρ
V
2
an

16, 5
2
7, 94
8
 34, 3
см.
4. Покажем векторы скорости и ускорения для соответствующей
точки М на её траектории (рис. 1).
Рис.1
О т в е т: V = 16,5 cм/с; а = 32 см/с2; а τ = 31 см/с2; а n = 7,94 см/с2;
ρ = 34,3 см.
Задача2
Поступательное и вращательное движение
твердого тела
По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 определить скорость, а также вращательное, центростремительное и полное ускорения точки М механизма в данный момент времени.
Данные для расчета приведены в табл. 2. После табл. 2 даны рисунки по
вариантам.
Таблица2
Радиусы, см
Номер
варианта
R2
r2
R3
r3
1
2
3
4
5
6
7
8
60
80
100
58
80
100
45
35
45
–
60
45
–
60
35
10
36
60
75
60
45
30
105
10
–
45
–
–
30
–
–
–
9
Уравнения движения груза 1
x = x(t), см
10 + 100 t2
80t2
18 + 70 t2
50 t2
8 + 40 t2
5 + 60 t2
7 + 90 t2
4 + 30 t2
Время
t,c
0,5
1
2
3
2
3
1
2
О к о н ч а н и е т а б л. 2
Радиусы, см
Номер
варианта
R2
r2
R3
r3
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
15
40
20
30
15
15
20
15
20
15
25
20
40
40
30
50
32
40
40
25
30
30
–
25
15
20
10
10
15
10
15
10
15
10
20
30
15
20
16
18
20
20
15
15
40
20
10
40
15
15
15
20
10
20
10
30
35
30
40
60
32
40
40
50
20
–
35
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
10
–
15
20
–
16
18
15
25
–
10
Уравнения движения груза 1
x = x(t), см
3 + 80 t2
70 t2
5 + 40 t2
2 + 50 t2
60 t2
6 + 20 t2
8 + 40 t2
3 + 40 t2
80 t2
4 + 20 t2
5 + 80 t2
50 t2
4 + 90 t2
10 + 40 t2
7 + 40 t2
90 t2
2 + 50 t2
5 + 60 t2
6 + 30 t2
50 t2
3 + 30 t2
5 + 60 t2
Время
t,c
3
0,5
3
2
1
3
0,5
0,5
1
2
3
2
3
1
2
3
0,5
3
2
1
0,5
0,5
11
Задача3
Поступательное и вращательное движение
твердого тела
Механизм состоит из двух вращающихся на неподвижных опорах
блоков, соединенных нерастяжимым ремнем. Блоки передают движение
грузам. Задан закон изменения скорости одного из грузов. В указанный
момент времени найти скорость другого груза и ускорение точки М на
внутреннем или внешнем ободе одного из блоков.
12
1
2
RА = 20 cм, rA = 16 cм, RB = 15 см,
rB = 5 см, VC = 23t2см/с, t1 = 1,1 с.
3
RA = 40 cм, rA = 30 cм, RB = 25 см,
rB = 10 см, VC = 36t3см/с, t1 = 1,2 с.
4
RA = 30 cм, rA = 20 cм, RB = 15 см,
rB = 6 см, VD = 16t4см/с, t1 = 1,3 с.
RA = 25 cм, rA = 15 cм, RB = 10 см,
rB = 8 см, VD = 7t2см/с, t1 = 1,4 с.
6
5
RA = 20 cм, rA = 16 cм, RB = 15 см,
rB = 5 см, VC = 9t3см/с, t1 = 1,5 с.
RA = 40 cм, rA = 15 cм, RB = 25 см,
rB = 10 см, VC = 10t4см/с, t1 = 1,6 с.
13
7
8
RA = 30 cм, rA = 20 cм, RB = 15 см,
rB = 6 см, VD = 2t2см/с, t1 = 1,7 с.
RA = 25 cм, rA = 15 cм, RB = 10 см,
rB = 8 см, VD = 2t3см/с, t1 = 1,8 с.
10
9
RA = 20 cм, rA = 16 cм, RB = 15 см,
rB = 5 см, VD = t4см/с, t1 = 1,9 с.
RA = 20 cм, rA = 16 cм, RB = 15 см,
rB = 5 см, VC = 8t2см/с, t1 = 1,1 с.
12
11
RA = 30 cм, rA = 20 cм, RB = 15 см,
rB = 7 см, VC = 20t2см/с, t1 = 1,2 с.
14
RA = 25 cм, rA = 20 cм, RB = 15 см,
rB = 5 см, VD = 10t2см/с, t1 = 1 с.
Рис. 2
Рис. 3
Пример2
Исходные данные: схема механизма (рис. 2); х = 2 + 70 t2 cм; R2 = 50 см;
r2 = 30 см; R3 = 60 см; r3 = 40 см. Определить скорость, а также вращательное, центростремительное и полное ускорения точки М механизма в момент времени t = 0,76 c.
Решение
Дифференцированием по времени уравнения движения найдем скорость груза:
V1 = (x) = 140 t см/с.
’
15
Угловая скорость звена 2
2 
V1 140t  14 

    t с–1.
r2 30  3 
Угловые скорости колес 2 и 3, связанных гибкой передачей, обратно
пропорциональны радиусам этих колес, т.е.
 2 R3

 3 R2 ,
откуда

50
14
35
  ω 2           

 60   3 
 9 

t
t
R
3   2
 R3
c 1 .
Угловые ускорения
3 
3  
35 -2
с .
9
Скорость точки М
VМ = r3·ω3 = 40 ω3 = 40·  35  ·0,76 = 118 cм/с.
 9 
Ускорение направлено перпендикулярно к радиусу в сторону вращения
колеса 3:
а  а вр  а ц .
Вращательное ускорение точки М
авр = r3 · ε3 = 40·
 35 
 
 9 
= 156 cм/с2
и имеет одинаковое со скоростью направление, так как в рассматриваемом
примере вращение колес ускоренное.
Центростремительное ускорение точки М
2
ц
a  r3 
 32
 14 
2
 40  
  0 , 76  346 см/с2
 3 
и направлено по радиусу к центру колеса.
Полное ускорение
а а
вр2
а
ц2
 1562  3462  379 см / с 2 .
Скорость и ускорение точки М показаны на рис. 3.
16
Задача 4
Плоское движение твердого тела
1. Найти для заданного положения
механизма скорости точек В и С, если
ОА = 40 см, r = 15 см, АС = 8 см, ωОА = 2 с–1.
2. Найти для заданного положения
механизма скорости точек А, В и С и угловые скорости всех звеньев, если известны
угловая скорость кривошипа ωОА = 10 с–1,
АВ = ОА = АD = 40 см, АС = 20 см
3. Для заданного положения механизма найти скорости точек В и С, если
ОА = 25 см, АВ = 35 см, АС =15см, ωОА = 2 с–1.
4. Для заданного положения механизма найти скорости точек В и С, если
ОА = 20 см, АВ = 70 см, АС = 20см,
ωОА = 1 с–1.
5. Для заданного положения механизма найти скорости точек В и С, если
ОА = 55 см, r = 20 см, ωОА = 2 с–1.
17
6. Для заданного положения механизма найти скорости точек В и С, если
ОА = 35 см, АВ = 60 см, АС = 40 см,
ωОА = 4 с–1.
7. В шарнирном четырехзвеннике
АВСД ведущий кривошип АВ вращается с
постоянной угловой скоростью ω0 = 6 с–1.
Определить мгновенные угловые скорости
кривошипа СД и стержня ВС в тот момент,
когда кривошип АВ и стержень ВС образуют одну прямую, если ВС = 3АВ.
8. Определить скорость точки В и угловую скорость шатуна АВ, если ОА = 40 см,
АВ = 0 см, φ = 30°,  ОАВ =120°, ωОА = 5 с–1.
9. Найти для заданного положения
механизма скорости точек В и С, если
АВ = 20 см, АС = 10 см, VA = 40 см/с.
10. Для заданного положения механизма найти скорости точек В и С, если
ОА = 40 см, АС = 20 см, ωОА = 5 с–1.
11. Определить скорость точки В и угловую скорость шатуна АВ, если ОА = 30 см,
АВ = 60 см, φ = 150°,  ОАВ = 30°,
ωОА = 10 с–1.
12. Для заданного положения механизма найти скорости точек В и С, если
r = 15 см, АС = 5 см, VA = 60 см/с.
18
13. Для заданного положения механизма найти скорости точек В и С, если
ОА = 30 см, АВ = 60 см, АС = 15 см,
ωОА = 3 с–1.
14. Найти для заданного положения
механизма скорости точек А, В и С и угловые скорости всех звеньев, если известны
угловая скорость кривошипа ωОА = 15 с–1,
ОА = АВ = AD = 20 см, ВС = 30см.
15. Для заданного положения механизма найти скорости точек В и С, если
r = 30 см, АС = 10 см, VA = 80 см/с.
r
45°
С VA
А
В
16. Для заданного положения механизма найти скорости точек В и С, если
АВ = 45 см, АС = 30 см, VA = 20 см/с.
17. Определить для заданного положения механизма скорости точек А,В и С и
угловые скорости всех звеньев, если известны угловая скорость кривошипа
ωОА = 10 с–1, ОА = АВ = 40 см, АС = 20 см.
18. Две параллельные рейки движутся в одну сторону с постоянными скоростями V1 = 6 м/c и V2 = 3 м/с. Между рейками зажат диск радиусом r = 0,5 м, катящийся по рейкам без скольжения. Найти
угловую скорость диска и скорость его
центра.
19. Определить скорость поршня
приводного механизма насоса в положении,
указанном на чертеже, если ОА = 20 см,
О1В = О1Д. Кривошип ОА вращается равномерно с угловой скоростью 2 с-1,  ВОА = 60°,
 ОАВ = 90°.
19
V1
V2
20. Определить для заданного положения механизма скорости точек А, В и С
и угловые скорости всех звеньев, если известны угловая скорость кривошипа
ωОА = 8 с–1, ОА = 15 см, АВ = 20 см,
АС = 10 см.
21. Для заданного положения механизма найти скорости точек В и С, если
ОА = 25 см, АВ = 80 см, АС = 20 см,
ωОА = 1 с–1.
22. Поршень Д гидравлического
пресса приводится в движение посредством
шарнирно-рычажного механизма ОАВД. В
положении, указанном на чертеже, рычаг
ОL имеет угловую скорость ω = 2 с–1. Определить скорость поршня Д и угловую
скорость звена АВ, если ОА = 15 см.
А
ωОА
О
23. Определить скорость точки В и
угловую скорость кривошипа АВ, если
ОА = 20 см, АВ = 40 см,  ОАВ = 90 °,
ωОА = 2 с–1.
60°
В
24. Для заданного положения цилиндра
найти скорости точек В и С, если r = 50 см,
VA = 50 см/с.
VA
25. Для заданного положения механизма найти скорости точек В и С, если
ОА = 40 см, r = 15 см, АС = 8 см, ωОА = 1 с–1.
20
26. Найти для заданного положения
механизма скорости точек А, В и С и угловые скорости всех звеньев, если известны
угловая скорость кривошипа ωОА = 5 с–1,
АВ = АД = ОА = 20 см, ВС = 30 см.
27. Дня заданного положения механизма найти скорости точек В и С, если
ОА = 25 см, АВ = 55 см, АС = 40 см,
ωОА = 2 с–1.
28. Найти для заданного положения
механизма скорости точек В и С, если
ОА = 30 см, r = 15 cм, АС = 8см, ωОА = 3 с–1.
29. Определить для заданного положения механизма скорости точек А, В и С и
угловые скорости всех звеньев, если известны угловая скорость кривошипа
ωОА = 6 с–1, ОА =АВ = 20 см, АС = 10 см.
30. Для заданного положения механизма найти скорости точек В и С, если
ОА = 10 см, АВ = 10 см, АС = 5 см, ωОА = 2 с–1.
Задача 5
Плоское движение твердого тела
Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения
точек В и С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат. Необходимые для расчета данные приведены в
табл. 3. После таблицы 3 даны рисунки по вариантам.
21
Таблица 3
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
ОА
40
30
–
35
25
40
35
–
–
25
–
–
25
45
40
55
–
10
20
–
30
35
–
25
20
20
–
20
12
40
Размеры, см
r
АВ
15
–
15
–
50
–
–
–
–
–
15
–
–
75
–
20
–
45
–
80
–
30
–
30
–
55
15
–
15
–
20
–
30
–
–
10
15
–
–
20
–
60
–
60
–
60
–
35
–
70
15
–
15
–
–
50
–
35
–
–
АС
8
8
–
45
20
6
60
10
30
20
15
20
40
8
8
–
10
5
10
6
15
40
20
15
20
10
5
25
15
20
ωОА,
рад/с
2
3
–
4
1
1
5
–
–
1
–
–
2
3
1
2
–
2
1
–
3
4
–
2
1
2
–
1
4
5
ω 1,
рад/с
–
–
–
–
–
1
–
–
–
–
–
–
–
12
–
–
–
–
2,5
–
–
–
–
–
–
1,2
–
–
–
–
εОА,
рад/с2
2
2
–
8
1
0
10
–
–
2
–
–
4
0
1
5
–
6
0
–
8
10
–
3
2
0
–
1
6
10
υА,
см/с
–
–
50
–
–
–
–
40
20
–
10
20
–
–
–
–
80
–
–
10
–
–
5
–
–
–
60
–
–
–
аА,
см/с2
–
–
100
–
–
–
–
20
10
–
0
20
–
–
–
–
50
–
–
15
–
–
10
–
–
–
30
–
–
–
П р и м е ч а н и е. ωОА и εОА – угловая скорость и угловое ускорение
кривошипа ОА при заданном положении механизма; ω1 – угловая скорость
колеса I (постоянная); υА и аА – скорость и ускорение точки А. Качение колес происходит без скольжения.
22
23
24
Пример3
Дано: схема механизма в заданном положении (рис. 4); исходные
данные (табл. 4)
Таблица4
ОА
10
Размеры, см
АВ
60
ωОА,
рад/с
1,5
АС
20
εОА,
рад/с2
2
Решение
1. Определение скоростей точек и угловой скорости звена (рис. 5).
Вычисляем модуль скорости пальца А кривошипа ОА при заданном положении механизма:
VА = ωОА · ОА.
Скорость точки А перпендикулярна кривошипу ОА. Скорость ползуна В направлена по вертикали. Мгновенный центр скоростей РАВ шатуна
АВ находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных из точек
А и В к их скоростям.
Угловая скорость звена АВ
ωАВ = VА/АРАВ.
Модули скоростей точек В и С равны:
VВ = ωАВ · ВРАВ ,
VС = ωАВ · СРАВ.
Расстояния АРАВ, ВРАВ и СРАВ определяются из рассмотрения треугольников АВРАВ и АСРАВ:
АРАВ = 52,0 см;
ВРАВ = 30,0 см;
СРАВ = 36,1 см.
В соответствии с этим VА = 15,0 см/с; ωАВ = 0,29 рад/с; VВ = 8,7 см/с;
VС = 10,5 см/с. 
Вектор VC направлен перпендикулярно отрезку СРАВ в сторону, соответствующую направлению вращения звена АВ.
Для проверки вычислим скорость точки В другими способом. Воспользуемся теоремой о равенстве проекции скоростей точек на ось, проведенную через эти точки.
Направим ось х вдоль шатунаАВ в направлении от В к А.
Имеем V А сos V A , x  VB сos VB , x , или, как видно на рис. 5,




V А сos 60   V B сos 30  .
Отсюда
VВ = 8,7 см/с.
Полезно убедиться, что найденная ранее скорость точки С удовлетворяет этой теореме.
25
Рис. 4
Рис. 5
а
б
в
Рис. 6
26
г
2. Определение ускорений точек и углового ускорения звена (рис. 6).
Ускорение точки А складывается из вращательного и центростремительного ускорений:

 
a А  a Aτ  a Аn ,
где
a вA ОА  ОА ,
2
a цA ОА
 ОА.
Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры имеем
  в
ц
a B  a A  a AB
 a АВ
,
или


 в
ц
aB  a Aв  a Ац  a АВ
 a АВ
.
(1)
Центростремительное ускорение точки В во вращательном движении
шатуна АВ вокруг полюса А
a цАВ  ω 2АВ  АВ .
По приведенным формулам вычисляем следующие величины:
a вA  20,0 см / с 2 ;
a цA  22,5 см / с 2 ;

в
ц
a цAВ  5,0 см / с 2 .
ц
Вектор a А направлен от А к О. Вектор a А перпендикулярен вектору a А

и направлен противоположно  А (вращение кривошипа ОА – замедленное).
ц

Вектор a АВ направлен от В к А. Что касается ускорения a В точки В и
в
вращательного ускорения a АВ , то известны только линии действия этих

в
векторов: a В – по вертикали вдоль направляющих ползуна, a АВ – перпендикулярно АВ.
Зададимся произвольно их направлениями по указанным линиям
(рис. 6, а). Эти ускорения определим из уравнений проекций векторного
равенства (1) на оси координат. Знак в ответе показывает, соответствует ли
истинное направление вектора принятому при расчете.
Выбрав направление осей х и у, как показано на рис. 6, а, получим
аВ сos30   а вА сos60  а цА сos30  а цАВ
,
(2)
а В сos 60  а Ав сos 30  а Ац сos 60  а вАВ
.
(3)
Из уравнения (2) находим аВ:
аВ = 16,7 см/с2.
27
Ускорение a вА направлено, как показано на рис. 6, а. Из уравнения (3)
получаем
а вАВ   20,2 см / с 2 .

в
Направление а АВ противоположно показанному на рис. 6, а.

Ускорение а В и все его составляющие с учетом их истинных направлений и масштаба показаны на рис. 6, б.
Угловое ускорение шатуна АВ с учетом того, что здесь а вАВ – алгебраическая величина, определяется по формуле

АВ
 а вАВ
/ AB.
Вычисляя, находим, что
εАВ = 0,34 рад/с2.
в
Направление ускорения а АВ относительно полюса А определяет направление углового ускорения  АВ . Здесь под направлением углового ускорения понимается направление дуговой стрелки, которое при ускоренном вращении звена совпадает с направлением его вращения, а при замедленном – противоположно ему. В данном случае угловое ускорение противоположно направлению вращения шатуна.

в
Определить а В и а АВ
можно и графически – построением многоугольника ускорений, тогда модули аВ и а вАВ могут быть найдены измерением на чертеже.
Вычисляем ускорение точки С:



в
ц
a С  a Aв  a Ац  a АС
 a АС
..
Вращательное и центростремительное ускорения точки С во вращательном движении АВ вокруг полюса А
a вAС  ε АВ  АС , a цAС  ω2АВ  АС ,
или
a вAС  6,8 см / с 2 ,
a цAС 1,7 см / с 2 .
ц
и направлен соответственВектор а вАС перпендикулярен вектору а АС
но угловому ускорению εАВ.
Ускорение точки С находим способом проекций (рис. 6, а):
а Сх  а цАС  а цА сos 30   а вА сos 60  ,
а Су  а цА сos 60   а вА сos 30   а вАC ,
аС 
аСх 2  аСу 2
.
О т в е т: аСх = 11,2 см/с2; аСу = 21,8 см/с2; аС = 24,5 см/с2 (рис. 6, г).
28
Задача6
Сложное движение точки
1. Круглая пластина радиуса R = 20 cм
вращается вокруг оси, перпендикулярной к
плоскости пластины и проходящей через точку О1 по закону φ = 3t2, рад. Точка М движется по закону ОМ = Sr = 0,2t3, м. Определить абсолютное ускорение точки М при t = 1 c.
2. Стержень вращается вокруг неподвижной вертикальной оси по закону φ = 4t2, рад.
Точка М движется по закону: ОМ = Sr = 0,2t3 , м.
Определить абсолютное ускорение точки М
при t = 1c, если угол α = 30°.
3. Стержень вращается вокруг оси перпендикулярной к его плоскости и проходящей
через точку О, по закону φ = 3t2, рад. Точка М
движется вдоль стержня по закону ОМ = Sr =
= 0,2t3, м. Определить абсолютную скорость и
ускорение Кориолиса точки М при t = 1 c.
4. Диск радиуса R = 1 м вращается вокруг неподвижной оси, перпендикулярной
диску и проходящей через точку О, с угловой
скоростью ω = 2 с–1. По ободу диска движется
точка М по закону ОМ = Sr = 0,5πRt, м. Определить абсолютное ускорение точки М в
момент времени t = 1 c.
5. Диск радиуса R = 2 м вращается вокруг неподвижной оси ОО1 с угловой скоростью ω = 2t, с–1. По ободу диска движется
точка М по закону АМ = Sr = πt, м. Определить абсолютное ускорение точки М в момент
времени t = 1 c.
6. Прямоугольный треугольник вращается вокруг оси OO1 с постоянной угловой
скоростью ω = 3 c–1. По стороне треугольника
движется точка М по закону AM = Sr = 0,4t, м.
Определить ускорение точки М в момент
времени t = 1 c, если угол α = 30°.
29
7. Прямоугольная пластина вращается
вокруг оси, перпендикулярной к плоскости
пластины и проходящей через точку О1, по
закону φ = 2t2, рад.
Точка М движется по закону ОМ = Sr =
2
= 0,8t , м. Определить абсолютное ускорение
точки М при t = 1 c, если b = 0,6 м.
8. Диск радиуса R = 1 м вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через центр О1, по закону
φ = 2t3, рад. Точка М движется по закону
ОМ = Sr = πt2, м. Определить абсолютную
скорость и ускорение Кориолиса точки М при
t = 1 с.
9. Пластина вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости пластины и проходящей через точку О1, с угловой скоростью
ω = 2t2, c–1. Точка М движется по закону
ОМ=Sr = 0,5πt , м. Определить абсолютное
ускорение точки М при t = 1 c, если R = 1 м.
10. Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей
через его центр О1, с угловой скоростью
ω = t2, c–1. По ободу диска движется точка М
по закону ОМ = Sr = =π2t3, м. Определить абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1 c, если радиус диска R = 0,2 м.
11. Полудиск радиуса R = 2 м вращается
вокруг своего диаметра с постоянной угловой
скоростью ω = 2 с–1. По его ободу движется
точка М по закону АМ = Sr = πRt, м. Определить абсолютное ускорение точки М в момент
времени t = 1/3 с.
12. Прямоугольная пластина вращается
вокруг стороны АД по закону φ = 3t3, рад. По
стороне АВ движется точка по закону АМ =
= Sr = 3t, м. Определить абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1 c.
30
13. Пластина вращается вокруг вертикальной оси О1О2 по закону φ = 2t2, рад.
Точка М движется по закону ОМ =Sr = t2, м.
Определить абсолютное ускорение точки М
при t = 1 c.
14. Кулиса вращается с постоянной угловой скоростью ω = 2 c–1 вокруг оси, перпендикулярной к плоскости кулисы и проходящей через точку O. Ползун А движется в
направляющих кулисы по закону ОА = Sr =
t2, м. Определить абсолютное ускорение ползуна при t = 1 c.
15. Диск R = 2 м вращается вокруг оси,
перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через центр О, по закону φ = 2t2, рад.
Вдоль радиуса движется точка М по закону
ОМ = Sr = 4πt2, м. Определить абсолютную
скорость и ускорение Кориолиса точки М при
t = 1 c.
16. Круглая пластина радиуса R = 0,4 м
вращается вокруг вертикальной оси с угловой
скоростью ω = 2t, c-1. Точка М движется по
закону ОМ = Sr = 0,2πt2, м. Определить абсолютное ускорение точки М при t = 1 c.
17. Круглая пластина радиуса R = 1 м
вращается вокруг оси, перпендикулярной к
плоскости пластины и проходящей через
центр О, по закону φ = 3t2, рад. Точка М движется по закону ОМ = Sr = 0,4t2, м. Определить абсолютное ускорение точки М при t = 1 c.
18. Пластина вращается вокруг вертикальной оси О1О2 по закону φ = 2 t, рад. Точка
М движется по закону ОМ = Sr = 0,1t3, м. Определить абсолютное ускорение точки М при
t = 1 c, если угол α =30°.
31
19. Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей
через точку О1, по закону φ = 2t2, рад. По
диаметру диска движется точка М по закону
ОМ = Sr = 0,4t2, м. Определить абсолютное
ускорение точки М при t = 1 c, если радиус
диска R = 1 м.
20. Пластина вращается вокруг вертикальной оси по закону φ = 3t2, рад. Точка М
движется по закону ОМ =Sr =10t2, см. Определить абсолютную скорость и ускорение Кориолиса точки М при t = 1 c.
21. Пластина вращается вокруг горизонтальной оси O1O2 по закону φ = 2t, рад.
Точка М движется по закону ОМ = Sr = πt2/4, см.
Определить абсолютное ускорение точки М
при t =1 c, если R = 6 см.
22. Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей
через центр О с постоянной угловой скорость
ω = 2 с–1. По хорде диска АВ перемещается
точка М по закону АМ = Sr = 0,4t, м. Определить абсолютное ускорение точки М в момент
времени t = 1 c, если АМ = АВ = 0,8 м.
23. Квадрат ABCД вращается вокруг своей стороны АД с угловой скоростью ω = 2t, c–1.
Точка М движется по диагонали АС квадрата
по закону АМ = Sr =0,4t2, м. Определить абсолютное ускорение точки М в момент t = 1 c.
r
32
V
24. По ободу диска радиуса R = 0,1 м,
вращающегося вокруг горизонтального диаметра с постоянной угловой скоростью ω = 1 с–1,
движется со скоростью Vr = 0,2t м/с точка М.
Найти абсолютное ускорение точки М для заданного ее положения.
25. Башенный кран вращается равномерно с угловой скоростью ω = 2 с-1. Крановая тележка А перемещается по стреле по закону ОА = Sr = 2t2, м. Определить абсолютное
ускорение тележки в момент времени t = 1 c.
26. Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей
через центр О, по закону φ = 2t2, рад. Точка М
движется по закону АМ = Sr = 4t, м. Определить абсолютное ускорение точки М в момент
t = 1 c, если b = 3 м.
27. Круглая пластина радиуса R = 1,5 м
вращается вокруг оси О1О2 с угловой скоростью ω = 2t, c–1. Точка М движется по закону
ОМ = Sr = πRt, м. Определить абсолютное ускорение точки М при t = 1c, если b = 0,5 м.
28. Диск радиуса R = 1 м вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости диска
и проходящей через точку О, по закону φ = 2t2,
рад. По ободу диска движется точка М по закону АМ = Sr = 2πt2, м. Определить абсолютное ускорение точки М при t = 0,5 c.
29. Диск вращается вокруг горизонтального диаметра по закону φ = 4t2, рад. Точка М движется по закону ОМ = Sr = 0,6t, м. Определить абсолютное ускорение точки М в
момент времени t =1 c.
30. Прямоугольная пластина вращается
вокруг оси, перпендикулярной к плоскости
пластины и проходящей через точку O, по закону φ = 4t, рад. Точка М движется по закону
АМ = Sr = 3t2, м. Определить абсолютное ускорение точки М при t = 1 c, если в = 4 м.
33
0
А
ω
Задача 7
Сложное движение точки
Точка М движется относительно тела D. По заданным уравнениям
относительного движения точки М и движения тела D определить для момента времени t = t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.
Необходимые для расчета данные приведены в табл. 5. После таблицы 5 даны рисунки по вариантам.
Таблица5
Уравнение отноНомер
сительного двиварианжения точки М
та
ОМ = sr = sr(t), см
1
18 sin (t/4)
2
20 sin t
3
6t3
4
10 sin (t/6)
5
40 π cos (t/6)
6
–
7
20 cos 2 t
8
6(t + 0,5t2)
9
10 (1+ sin 2 t)
10
20 π cos (t/4)
11
25 sin (t/3)
12
15 πt3/8
13
120 πt2
14
3+14 sin t
15
5 2 (t2+t)
16
20 sin t
17
8t3 + 2t
18
10t +t3
19
6t + 4t3
20
30 π cos (t/6)
21
25 π (t + t2)
22
10 π sin (t/4)
2
23
6 πt
24
75π(0,1t+0,3t3)
25
15 sin (t/3)
26
27
28
8cos (t/2)
–
2,5 πt2
3
Уравнение
движения тела
t 1,
c
φе = φе(t), хе = хе(t),
рад
см
2t3 – t2
–
2/3
0,4t2 + t
–
5/3
2t + 0,5t2
–
2
2
0,6t
–
1
3t – 0,5t3
–
2
3
–
3t + 0,27t 10/3
0,5t2
–
3/8
t3 – 5t
–
2
2
4t + 1,6t
–
1/8
1,2t – t2
–
4/3
2t2 – 0,5t
–
4
2
5t – 4t
–
2
8t2 – 3t
–
1/3
4t –2 t2
–
2/3
3
0,2t + t
–
2
t – 0,5t2
–
1/3
0,5t2
–
1
2
8t – t
–
2
t + 3t2
–
2
–
3
6t + t2
2
2t – 4t
–
½
4t – 0,2t2
–
2/3
–
R,
cм
a,
α,
см град
–
20
–
–
30
15
–
–
–
20
–
30
40
–
–
–
–
–
40
60
25
30
25
–
30
–
–
–
40
–
–
20
25
30
–
–
60
20
–
–
–
–
–
–
–
–
60
–
–
60
–
–
–
–
–
–
30
45
–
–
60
–
–
–
–
4
5
–
1
18
–
–
–
1
30
–
–
2t –
0,3t2
10t–
0,1t2
– 2 πt2
–
2t3 – 5t
–
5
–
–
–
–
50t2
–
3/2
2
2
–
75
40
–
–
–
45
–
–
29
5 πt /4
–
–
2
30
–
–
30
4 πt2
–
t3 + 4t
2
48
–
–
34
Дополнительные
данные
φr = 0,15πt3
φ = πt3/6;
O1O = O2A =
=20 см
φr = 5πt3/48
φ = πt3/8;
О1О =
=О2О = 40 см
35
36
Пример4
Дано: схема механизма (рис. 7);
sr  ОМ 16  8cos3t cм; е  0,9t 2  9t 3 рад; t1  2 / 9 c.
Решение
Будем считать, что в заданный момент
времени плоскость чертежа (рис. 7) совпадает с
плоскостью треугольника D. Положение точки М
на теле D определяется расстоянием sr  ОМ .
При t = 2/9 c
2

s r  16  8 cos  3    20,0 см.
9

Абсолютную скорость точки М найдем как геометрическую сумму относительной и переносной
скоростей:
 

V  V r  Ve .
Рис. 7
По модулю относительная скорость
ds
Vr  r  24  sin 3t
dt
и направлена перпендикулярно ОМ. При t = 2/9 c
Vr = 65,2 см/с.
37

Положительный знак у скорости Vr показывает, что вектор Vr направлен в сторону возрастания sr .
Модуль переносной скорости
Ve = Rωe ,
где R – радиус окружности L, описываемой той точкой тела, с которой в
данный момент совпадает точка М, R = sr sin 30˚ = 10,0 cм; ωe – модуль угловой скорости тела,
е 
dφ e
 1,8t  27t 2 .
dt
При t = 2/9 c
ωe = – 0,93 рад/с.
Отрицательный знак у величины ωe показывает, что вращение треугольника происходит вокруг оси Оz в сторону, обратную направлению

отсчета угла φ. Поэтому вектор  e направлен по оси Оz вниз (рис. 8, а).
а
б
Рис. 8
Модуль переносной скорости
Ve = 9,3 см/с.

Вектор Ve направлен по касательной к окружности L в сторону вра

щения тела. Так как Ve и Vr взаимно перпендикулярны, то модуль абсо-
лютной скорости точки М
V  Vr2  Ve2 ,
38
или
V = 65,9 см/с.
Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
 


a  ar  ae  ac ,
или в развернутом виде



  
a  arτ  arn  aев  aец  aс .
Модуль относительного касательного ускорения
arτ 
d 2 sr
 72π 2 cos3πt.
2
dt
При t = 2/9 c
a rτ = –355 см/с2.

Отрицательный знак a rτ показывает, что вектор a r направлен в сторону отрицательных значений sr. Знаки Vr и a r одинаковы. Следовательно, относительное движение точки М ускоренное.
Относительное нормальное ускорение
а rn V r2 / ρ  0 ,
так как траектория относительного движения – прямая (ρ = ∞).
Модуль переносного вращательного ускорения
а ев  R e ,
(1)
где  e – модуль углового ускорения тела D,
e 
d 2e
dt 2
 1,8  54t.
При t = 2/9 c
 e   10,2 рад/с2.
Знаки  e и  e одинаковы. Следовательно, вращение треугольника D


ускоренное, направления векторов  e и  e совпадают (рис. 8, а, б).
Согласно формуле (1)
а ев  102 см/с2.


в
Вектор а е направлен в ту же сторону, что и Ve .
39
Модуль переносного центростремительного ускорения
а ец  R e2 , или a eц  9 см/с2.
Вектор а це направлен к центру окружности L.
Кориолисово ускорение



а с  2 е  V r .
Модуль кориолисова ускорения


 
a c  2 eV r sin  e , V r ,
 
sin  e ,V r  sin 150   0,5.


С учетом найденных выше значений ωе и Vr получаем
ас = 61 см/с2.

Вектор а с направлен согласно правилу векторного произведения
(рис. 8, б).
Модуль абсолютного ускорения точки М находим способом проекций:
ах  аев  ас , а у   аец  аrτ cos 60 ;
аz   arτ cos30 , a  ax2  a 2y  az2 .
Результаты расчета сведены в табл. 6
Таблица 6
ωe ,
Скорость, см/с
рад/ V
e
с
–0,93 9,3
e ,
Ускорение, см/с2
Vr
V
рад/с2
а ец
аев
а rn
a
rτ
а
с
а
65,2
65,9
–10,2
9
102
0
–355
61
163
40
х
а
у
а
z
а
–186 308 395
ЛИТЕРАТУРА
1. Яблонский, А. А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике : учеб. пособие для техн. вузов / А. А. Яблонский. –
9-е изд., исп. – М. : Интеграл–Пресс, 2002. – 387с.
2. Сетков, В. И. Сборник заданий по теоретической механике : учеб.
пособие для сред. проф. образ. / В. И. Сетков. – М.: Издат. центр «Академия», 2003. – 224 с.
41
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………
3
ЗАДАЧИ…………………………………………………………………..
5
Задача 1. Кинематика точки ……………………………………………
5
Задача 2. Поступательное и вращательное движение твердого тела …
9
Задача 3. Поступательное и вращательное движение твердого тела …
12
Задача 4. Плоское движение твердого тела ……………………………
17
Задача 5. Плоское движение твердого тела …………………………...
21
Задача 6. Сложное движение точки ……………………………………
29
Задача 7. Сложное движение точки……………………..………………
34
ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………...
41
42
Учебно-методическое издание
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
КИНЕМАТИКА
Методические указания
для практических занятий
и самостоятельных работ
Составители:
Речкунова Светлана Станиславовна
Свизева Татьяна Александровна
Шипко Елена Михайловна
Редактор Л. Х. Бочкарева
Компьютерная верстка: Н. Г. Дербенева
Подписано в печать 06.07.10. Печать плоская. Формат 60х84/16
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,56. Тираж 500 экз. Заказ № 1871
Издательско-полиграфический комплекс
Сибирского федерального университета
660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а
43
В Издательско-полиграфическом комплексе СФУ
вам быстро и качественно выполнят любые виды
издательских и полиграфических работ:
– компьютерный набор текстов
– редактирование
– корректура
– художественное оформление
– компьютерная верстка
– тиражирование (ч/б и полноцветное)
– жесткий переплет дипломов и диссертаций
– изготовление удостоверений
Наш адрес: 660041, г. Красноярск,
пр. Свободный, 82а, к. 0108
(отдел договоров)
44
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
232
Размер файла
1 972 Кб
Теги
теоретические, механика, 561
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа