close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

64

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
И ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
Сборник расчетных заданий
Под общей редакцией кандидата физико-математических наук
Т. А. Вальковой
Красноярск
СФУ
2012
УДК 534.1(07)
ББК 22.336я73
А641
Рецензенты:
А. Р. Коловский, д-р физ.-мат. наук, проф., ведущий науч. сотр. лаборатории «Теории нелинейных процессов» Института физики
им. Л. В. Киренского СО РАН;
С. С. Аплеснин, д-р физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой «Физика»
Сибирского государственного аэрокосмического университета
А641
Аналитическая динамика и теория колебаний : сб. расчет.
заданий / Т. А. Валькова, А. А. Головня, Д. М. Дзебисашвили,
А. В. Мезенцев ; под общ. ред. Т. А. Вальковой. – Красноярск :
Сиб. федер. ун-т, 2012. – 104 с.
ISBN 978-5-7638-2677-7
Приведены восемь расчетных заданий по первому разделу дисциплины
«Аналитическая динамика и теория колебаний». Каждое задание включает
20 вариантов, краткие теоретические сведения и пример выполнения задания, сопровождаемый подробными пояснениями.
Предназначено для студентов направления подготовки бакалавров 51600.62
«Прикладная механика».
УДК 534.1(07)
ББК 22.336я73
ISBN 978-5-7638-2677-7
© Сибирский федеральный университет, 2012
3
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ...........................................................................................................
4
Введение ..................................................................................................................
6
Часть I. Аналитическая статика .......................................................................
7
Задание 1. Применение принципа виртуальных перемещений
к исследованию равновесия механической системы ...............................
7
1.1. Краткие теоретические сведения .................................................. 10
1.2. Пример выполнения задания 1...................................................... 12
Задание 2. Применение принципа виртуальных перемещений
к определению реакций составной конструкции...................................... 16
2.1. Краткие теоретические сведения .................................................. 19
2.2. Пример выполнения задания 2...................................................... 21
Задание 3. Исследование устойчивости положения равновесия консервативной системы ................................................................................... 28
3.1. Краткие теоретические сведения .................................................. 31
3.2. Пример выполнения задания 3...................................................... 35
Часть II. Аналитическая динамика .................................................................. 38
Задание 4. Применение общего уравнения динамики к исследованию
движения механической системы .............................................................. 38
4.1. Краткие теоретические сведения .................................................. 41
4.2. Пример выполнения задания 4...................................................... 43
Задание 5. Применение уравнения Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы.... 49
5.1. Краткие теоретические сведения ................................................. 52
5.2. Пример выполнения задания 5 ...................................................... 53
Задание 6. Исследование движения системы с двумя степенями свободы с помощью уравнений Лагранжа второго рода............................... 57
6.1. Краткие теоретические сведения .................................................. 60
6.2. Пример выполнения задания 6 ...................................................... 60
Задание 7. Исследование движения консервативной системы с одной
степенью свободы ........................................................................................ 69
7.1. Краткие теоретические сведения .................................................. 72
7.2. Пример выполнения задания 7 ...................................................... 74
Задание 8. Применение принципа Гамильтона – Остроградского
к исследованию движения механической системы .................................. 80
8.1. Краткие теоретические сведения .................................................. 83
8.2. Пример выполнения задания 8 ...................................................... 87
Заключение ............................................................................................................ 94
Библиографический список ................................................................................ 95
Приложения ........................................................................................................... 96
Приложение 1. Программа дисциплины «Аналитическая динамика
и теория колебаний» .................................................................................... 96
Приложение 2. Принятые обозначения ..................................................... 101
4
ПРЕДИСЛОВИЕ Современное производство выдвигает задачи, для решения которых
недостаточно знания основ курса «Теоретическая механика», излагаемых
в его традиционных разделах «Статика», «Кинематика» и «Динамика».
Бакалавры направления «Прикладная механика», работающие в разных
областях техники, должны владеть методами аналитической динамики
и теории колебаний, которые дают универсальный аналитический аппарат
для исследования сложных задач, относящихся не только к чисто механическим, но и к электрическим и электромеханическим явлениям.
Изучение курса «Аналитическая динамика и теория колебаний» дает
необходимый минимум фундаментальных знаний, на базе которых будущий
бакалавр сможет самостоятельно осваивать всё новое, с чем ему придется
столкнуться в ходе его дальнейшей профессиональной деятельности. Изучение этого курса способствует расширению научного кругозора и повышению общей культуры человека, развитию его мышления и выработке
у него материалистического мировоззрения.
Для успешного освоения дисциплины «Аналитическая динамика
и теория колебаний» необходимо изучить теорию и приобрести навыки
в исследовании движения и равновесия механических систем. Поэтому
в рабочей программе этой дисциплины (прил. 1) самостоятельная работа
студентов включает изучение теоретического материала, решение задач
и выполнение индивидуальных расчетных заданий.
Авторы настоящего пособия рекомендуют самостоятельно изучать
теоретический материал по учебникам [1, 2, 5–9], которые приведены
в библиографическом списке в конце пособия. Сначала следует прочитать
весь материал по изучаемой теме и понять ход всех доказательств, которые
обычно не сложны, а затем разобраться в их деталях. Необходимо составить
краткий конспект самостоятельно изученного материала и воспроизвести
все доказательства самостоятельно, что нетрудно сделать, поняв их идею.
При изучении дисциплины «Аналитическая динамика и теория колебаний» особое внимание следует уделить приобретению навыков решения
задач. Для этого, повторив материал лекции, сначала нужно понять решение
соответствующих задач, рассмотренных преподавателем на практическом
занятии, обратив внимание на методические указания по их решению, а затем приступить к самостоятельному решению домашних задач (одинаковых
для всех студентов группы) по сборнику [4].
Учебная программа дисциплины «Аналитическая динамика и теория
колебаний» кроме решения этих общих задач предполагает выполнение
студентами индивидуальных расчетных заданий. Настоящее учебное посо-
5
бие содержит восемь расчетных заданий по первой части курса – «Аналитической механике», которые включают исследования равновесия и движения механических систем с использованием методов аналитической
механики. Каждое задание состоит из 20 вариантов, причем номер к заданию. Номер варианта задания для выполнения этих расчетных работ выдает студенту преподаватель, ведущий практические занятия.
Расчетные задания выполняются на листах писчей бумаги формата
А4, которые затем брошюруются в пояснительную записку.
Оформление каждого задания начинается с краткого перечня данных
варианта и указания величин, подлежащих определению. Решение задания
должно сопровождаться рисунком, который должен быть аккуратным
и наглядным. На нем следует показать все заданные и используемые при
′
решении величины
(размеры, оси, углы, векторы сил, виртуальных перемещений и т. п.).
Подробно излагая ход расчетов, решение заданий необходимо сопровождать краткими пояснениями (какие формулы или принципы применяются). На каждой странице следует оставлять поля для замечаний преподавателя.
После проверки заданий преподавателем студент должен исправить
все имеющиеся ошибки и защитить каждую расчетную работу на этапе
контрольного тестирования.
Защита расчетных заданий проводится в форме беседы или тестирования, предусматривает решение практических задач или тестовых заданий
с целью выявить уровень знаний студента по теме защищаемого материала. Студенты, не выполнившие расчетные задания, к их защите не допускаются. Защита заданий без пояснительной записки невозможна. Расчетные задания, оформленные небрежно или не в соответствии с предъявляемыми требованиями, к защите не допускаются.
Курс «Аналитическая динамика и теория колебаний» входит в цикл
дисциплин, призванных обеспечить общетехническую подготовку будущих бакалавров. В результате его изучения создается база для успешного
усвоения дисциплин специализации.
6
ВВЕДЕНИЕ Сложнейшие проблемы, постоянно возникающие в связи с гигантским ростом техники, организацией всё новых и новых видов производства
и развитием новых технических средств, требуют научного предвидения
и строгого предварительного расчета, основанных на глубоком знании
теории о равновесии и движении материальных систем.
Обычно построение любой научной теории начинается с выбора основополагающих принципов. Принципами называют основные начала
и законы, на которых может быть построена данная теория. Принципы механики можно разделить на невариационные и вариационные. К невариационным принципам механики относятся, например, аксиомы динамики, а также законы механики, такие как закон сохранения энергии, закон
всемирного тяготения и т. п.
В аналитической механике – первом разделе курса «Аналитическая
динамика и теория колебаний» – при исследовании движения (равновесия) материальных систем используются вариационные принципы. Они
пред-ставляют собой математически сформулированные условия, которые отличают истинное движение (равновесие) системы от других кинематически (статически) возможных движений (равновесий), допускаемых
нало-женными на систему связями. Изложение общих принципов механики, вывод из них основных уравнений равновесия или дифференциальных уравнений движения, исследование этих уравнений и методов их интегрирования – всё это составляет основное содержание дисциплины
«Аналитическая динамика и теория колебаний».
В аналитической механике различают дифференциальные и интегральные вариационные принципы. Дифференциальные вариационные
принципы дают критерий истинного движения (равновесия) системы для
данного фиксированного момента времени, а интегральные принципы рассматривают движение на конечном интервале времени.
К дифференциальным принципам аналитической механики, рассмотренным в данном учебном пособии, относятся принцип виртуальных перемещений, принцип Д’Aламбера – Лагранжа, уравнения Лагранжа второго рода, а к интегральным – принцип Гамильтона – Остроградского. С их
помощью решают следующие задачи: установление соотношения между
силами и вычисление реакций связей механической системы, находящейся в положении равновесия; определение положения равновесия механизма и исследование его на устойчивость; составление дифференциальных уравнений движения и нахождение скоростей, ускорений
и законов движения отдельных тел механической системы.
7
ЧАСТЬ I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА Задание 1. Применение принципа виртуальных перемещений к исследованию равновесия механической системы Механическая система, состоящая из тел 1, 2, 3 массой m1, m2, m3 соответственно, связанных друг с другом невесомыми и нерастяжимыми нитями, находится в состоянии равновесия в вертикальной плоскости
(рис. 1.1). К одному из тел (1 или 3) прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с. На тело 2 действует пара сил с моментом М.
Воспользовавшись принципом виртуальных перемещений, определить величину деформации λ пружины в положении равновесия и установить, растянута пружина или сжата. Необходимые для решения данные
приведены в табл. 1.1; для ступенчатых тел радиусы ступеней R = 0,2 м,
r = 0,5R.
Таблица 1.1
Номер варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
m1,
кг
40
20
10
40
20
80
10
20
20
20
30
20
20
30
60
40
20
20
80
10
m2,
кг
40
60
40
40
80
20
30
20
80
40
30
40
50
20
20
10
80
40
30
10
m3,
кг
30
80
40
10
80
10
20
50
40
20
10
20
40
30
40
80
20
40
40
40
с,
Н/см
600
800
900
200
100
200
100
800
400
300
300
400
200
800
600
400
200
800
400
200
М,
Н⋅м
30
20
50
24
80
40
38
24
40
20
32
30
60
24
40
100
200
10
20
10
Дополнительные
данные
R2 = R
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R3 = R, r3 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = r, R3 = 2r3 = 2r
R2 = R, r2 = r
R2 = R3 = R, r3 = r
8
Рис. 1.1
9
Рис. 1.1. Продолжение
10
Рис. 1.1. Окончание
1.1. Краткие теоретические сведения Объектом исследования в аналитической механике является система
материальных точек или тел. Система материальных точек называется свободной, если положения отдельных ее точек и их скорости могут принимать произвольные значения.
Материальная система называется несвободной, если вследствие
каких-либо ограничений (связей) точки системы не могут занять произвольного положения в пространстве и иметь произвольные скорости.
Аналитически связи выражаются уравнениями или неравенствами,
т. е. соотношениями между радиусами-векторами точек системы, их скоростями и временем.
Связи, выраженные уравнениями, называются удерживающими,
а выраженные неравенствами − неудерживающими.
Если уравнения связей содержат явно время t, то связь называется
нестационарной. Если уравнение связи не содержит явно время t, то связь
называется стационарной.
11
Связь называется неголономной или кинематической, если уравнения
связи содержат неинтегрируемым образом производные от координат по
времени или дифференциалы координат.
Связь, накладывающая ограничение только на координаты точек
системы, называется геометрической или голономной. В этом случае для
материальной системы, состоящей из n точек, уравнения связей имеют вид
fj(xν, yν, zν, t) = 0,
(j = 1, 2, …, k),
(ν = 1, 2, …, n).
(1.1)
Материальная система, на которую наложены голономные связи, называется голономной, а материальная система с неголономными связями −
неголономной.
G
Действительными перемещениями drν (ν = 1, 2, …, n) точек системы
называется совокупность их бесконечно малых перемещений под действием
активных сил и реакций связей. Действительные перемещения происходят
за время dt в соответствии с дифференциальными уравнениями движения
системы и уравнениями связей (1.1).
Виртуальным перемещением системы называется совокупность
G
воображаемых бесконечно малых перемещений δrν (ν = 1, 2, …, n) ее точек или тел, которые допускаются в фиксированный момент времени связями, наложенными на систему. Виртуальные перемещения не обла-дают
длительностью и не происходят под действием сил.
При стационарных связях в фиксированный момент времени дейстG
вительное перемещение drν ν-й точки совпадает с одним из виртуальных
G
G G
перемещений δrν . Поскольку действительное перемещение d rν = Vν d t наG
правлено как скорость Vν ν-й точки, то при стационарных связях вектор ее
G
виртуального перемещения δrν направляется так же, как вектор скорости
точки в данный момент времени или противоположно скорости.
Пусть в фиксированный моментG времени на каждую ν-ю материальную точку системы действует сила Fν (ν = 1, 2, …, n). Сообщим точкам
G G
G
системы виртуальные перемещения δ r1, δ r2 , ..., δ rn соответственно.
работой называется элементарная работа сил
G G Виртуальной
G
G G
G
F1, F2 , ..., Fn на виртуальных перемещениях δ r1, δ r2 , ..., δ rn точек системы:
G G G G
G G n G G
δ А = F1 ⋅ δ r1 + F2 ⋅ δ r2 + ... + Fn ⋅ δ rn = ∑ Fν ⋅ δ rν .
ν =1
(1.2)
G
Связи, для которых виртуальная работа реакций N ν связей на любом
виртуальном перемещении системы равна нулю, называются идеальными:
12
G G
N
∑ ν ⋅ δ rν = 0.
n
ν =1
(1.3)
Для одной материальной точки, движущейся
G G по поверхности связи
f(x, y, z, t) = 0, условие (1.3) принимает вид N ⋅ δ r = 0. Следовательно, при
G
идеальной связи реакция N перпендикулярна любому виртуальному переG
мещению δr , т. е. направлена по нормали к поверхности связи. Поэтому
в случае идеальной связи точка движется по поверхности связи без трения.
Условие (1.3) является обобщением для случая системы, состоящей из n
точек. Отметим, что примерами идеальной связи являются гладкая поверхность, шарнир без трения, связь при качении без скольжения.
Числом степеней свободы голономной материальной системы называется число S независимых параметров (координат), полностью определяющих ее положение, совместимое с наложенными на нее связями.
Необходимые и достаточные условия равновесия материальной системы устанавливает принцип виртуальных перемещений: необходимым
и достаточным условием равновесия голономной материальной системы,
подчиненной идеальным стационарным связям, является равенство нулю
элементарной работы всех активных сил на любом виртуальном перемещении системы.
Принцип виртуальных перемещений выражается формулой
n G
G
δ А = ∑ Fν ⋅ δ rν = 0,
ν =1
(1.4)
G G
G
где δА − виртуальная работа сил F1, F2 , ..., Fn , приложенных к системе.
1.2. Пример выполнения задания 1 Механическая система (рис. 1.2) состоит из груза 1, блока 2 и двухступенчатого катка 3 соответственно массой m1, m2 и m3, связанных друг
с другом нерастяжимыми нитями. Каток 3 (радиусы ступеней – R3 и r3)
связан с основанием пружиной с коэффициентом жесткости с. На блок 2
радиусом R2 действует пара сил с моментом М.
Воспользовавшись принципом виртуальных перемещений, определить величину деформации λ пружины в положении равновесия и установить, растянута пружина или сжата.
Решить задание при следующих данных: m1 = 30 кг, m2 = 14 кг,
m3 = 10 кг, R2 = 0,2 м, R3 = 0,2 м, r3 = 0,1 м, с = 300 Н/см, М = 20 Н ⋅ м,
β = 30°.
13
Решение
1. Для нахождения деформации λ пружины следует определить веG
личину реакции F пружины в положении равновесия механической системы. Для этого применим принцип виртуальных перемещений (1.4).
Механизм находится в состоянии равновесия под действием сил
G
G
G
тяжести m1 g , m2 g , m3 g и пары сил с моментом М (рис. 1.2). Изобразим сиG
лу упругости F пружины, предполагая, что в положении равновесия механической системы пружина растянута.
2. Сообщим телам механизма виртуальные перемещения, опустив
G
груз 1 вниз по вертикали на δ s 1. Тогда блок 2 повернется на угол δϕ2
вокруг оси О; каток 3 повернется на угол δϕ 3 вокруг мгновенного центра
G
скоростей − точки K, при этом центр А катка переместится на δ sA вверх
по наклонной плоскости.
3. На основании принципа виртуальных перемещений составим
уравнение (1.4). Для этого вычислим сумму элементарных работ
сил тяжеG
сти тел системы, пары сил с моментом М и силы упругости F пружины на
виртуальных перемещениях тел системы и приравняем ее нулю. Получим
m1g δs1 − M δϕ2 −m3 g sin βδsA − F δsA = 0.
(1.5)
Элементарная работа пары сил с моментом М отрицательна, так как
направление момента М и элементарного угла поворота δϕ 2 блока 2 проG
тивоположны. Элементарная работа силы тяжести m2 g равна нулю, поскольку сила приложена в неподвижную точку О.
Рис. 1.2
14
4. Рассматриваемая система имеет одну степень свободы (S = 1), поскольку перемещение груза 1 приводит к однозначному перемещению всех
других тел системы. Поэтому выразим все виртуальные перемещения,
входящие в уравнение (1.5), через одно, например через виртуальное переG
мещение δ s 1 груза 1.
При этом учтем, что зависимость между виртуальными перемещениями тел и точек системы будет такой же, как и между соответствующими скоростями точек и угловыми скоростями тел системы при ее движении.
Поскольку груз 1 связан нерастяжимым тросом с блоком 2, то при
движении системы величина скорости V1 груза 1 равна скорости любой
точки на ободе радиусом R2, т. е. V1 = ω2 R2. Отсюда
ω2 =
V1
,
R2
δϕ 2 =
δs 1
.
R2
следовательно,
(1.6)
При плоскопараллельном движении катка 3 из пропорции для мгновенного центра скоростей точки K
ω3 =
V
VL
= A ,
LK AK
при условии равенства скоростей VL =V1 следует соотношение для виртуальных перемещений
δϕ3 =
Тогда
δ sA =
δs1 δsA
=
.
LK AK
δ s1 AK
δ s1r3
=
.
LK
R3 + r3
(1.7)
5. Подставив в уравнение (1.5) вместо δϕ2 и δ sA соответственно выражения (1.6) и (1.7), получим
m1 g δs1 − M
δs 1
δs r
δs r
− m3 g sin β 1 3 − F 1 3 = 0
R2
R3 + r3
R3 + r3
15
или
⎛
δs1⎜m1 g −
⎝
F r3 ⎞
M m3 g sin β r3
−
−
⎟ = 0.
R2
R3 + r3
R3 + r3 ⎠
(1.8)
Так как δs1 ≠ 0, то, приравняв нулю выражение, стоящее в скобках
G
(1.8), определим величину силы упругости пружины F в положении равновесия системы:
F=
R 3 + r3 ⎛
M
m 3 g sin β r 3 ⎞
m
g
−
−
⎜ 1
⎟,
r3
R
R
+
r
3
3
2
⎝
⎠
и с учетом исходных числовых данных (g = 9,8 м/c) находим
F=
0, 2 + 0,1 ⎛
20 10 ⋅ 9,8 ⋅ 0,5 ⋅ 0,1 ⎞
−
⎜ 30 ⋅ 9,8 −
⎟ ≈ 533 H.
0,1 ⎝
0, 2
0, 2 + 0,1
⎠
(1.9)
6. Величина силы F упругости пружины связана с ее деформацией λ
согласно закону Гука: F = cλ, где с − жесткость пружины. Отсюда найдем
деформацию пружины в положении равновесия системы по формуле
λ=
F 533
=
= 1,78 см.
c 300
Поскольку λ > 0, то пружина в положении равновесия растянута, как
мы первоначально предполагали. Если бы в ответе получили λ < 0, то это
означало бы, что наше предположение неверно, и в положении равновесия
пружина сжата.
Ответ: λ = 1,78 см; пружина растянута.
16
Задание 2. Применение принципа виртуальных перемещений к определению реакций составной конструкции
Применяя принцип виртуальных перемещений, определить реакции
внешних связей составной конструкции, находящейся в состоянии равновесия и состоящей из двух балок, соединенных шарниром С.
Схемы конструкций изображены на рис. 2.1, а необходимые для
решения задания данные приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
F1,
кH
10
10
20
8
30
10
20
10
20
8
10
20
10
20
20
30
20
10
20
20
F 2,
кH
20
30
20
4
20
10
20
20
10
12
10
20
10
8
20
20
10
10
20
10
q,
кH/м
2
2
3
1
4
1,5
2
4
2
4
2
4
2
1
4
2
3
4
3
2
М,
кН · м
8
2
10
16
12
12
10
8
20
30
30
10
20
12
10
8
10
12
10
20
АС,
м
4
4
3
4
6
4
6
4
4
5
6
4
2
6
4
6
4
2
6
4
Рис. 2.1
CD,
м
3
1
1,5
2
3
2
3
2
3
2
3
2
4
3
2
3
2
6
4
2
СВ,
м
2
4
4
5
6
2
6
4
3
2
4
6
3
8
4
6
4
4
6
6
BЕ,
м
1
2
2
2,5
3
1
3
2
1,5
1
2
3
2
4
2
3
2
2
3
4
α,
град
45
30
30
45
30
45
45
60
30
30
45
60
45
60
45
45
45
30
30
45
β,
град
45
60
–
–
60
–
–
–
45
45
–
35
60
–
30
–
30
–
45
30
17
Рис. 2.1. Продолжение
18
Рис. 2.1. Продолжение
19
Рис. 2.1. Окончание
2.1. Краткие теоретические сведения Все приведенные в задании конструкции, имеющие идеальные связи,
находятся в положении равновесия. Для определения опорных реакций
внешних связей следует применить принцип виртуальных перемещений
(1.4)
G G
F
∑ ν ⋅ δrν = 0.
n
ν =1
G
G
Здесь Fν − активная сила, действующая на ν-ю точку системы; δ rν − вектор виртуального перемещения точки ее приложения.
Для нахождения опорных реакций связей применим принцип освобождаемости от связей: отбросим связь, заменив ее искомой реакцией,
и тем самым сообщим конструкции одну степень свободы. Затем при составлении
G уравнения равновесия (1.4) добавим эту реакцию к активным
силам Fν . Такой метод решения задач о равновесии системы твердых тел
является весьма эффективным по сравнению с обычными приемами статики, поскольку искомая реакция непосредственно определяется из уравнения равновесия (1.4).
Следует отметить, что если после отбрасывания связи конструкция
получает более одной степени свободы (жесткая заделка, шарнирнонеподвижная связь и т. п.), то в этом случае рассматриваемую связь необходимо заменить такой связью, которая сообщила бы конструкции одну
степень свободы − подвижность в направлении искомой составляющей
реакции.
Ниже приведены некоторые примеры использования принципа освобождаемости от связей для различных видов связей при применении принципа виртуальных перемещений для определения реакций связей.
20
а
б
в
г
Рис. 2.2
A
YA
а
б
в
Рис. 2.3
а
б
Рис. 2.4
а
б
Рис. 2.5
1. Жесткая
заделка (рис. 2.2, а) заменяется двумя составляющими
G G
G
G
реакции X A, YA и реактивным моментом МА. Для определения X A и YA
жесткую заделку заменяют соответственно жестким горизонтальным
(рис. 2.2, б) и жестким вертикальным (рис. 2.2, в) ползунами, тем самым
сообщая подвижность точке А в направлении искомой составляющей. Для
определения реактивного момента МА заделку следует заменить шарнирнонеподвижной связью (рис. 2.2, г).
опора (подшипник) имеет две состав2. Шарнирно-неподвижная
G G
ляющие силы реакции X A, YA (рис. 2.3, а). Для их определения шарнирнонеподвижную опору заменяют соответственно горизонтальным (рис. 2.3, б)
и вертикальным (рис. 2.3, в) ползунами с шарнирами, тем самым сообщая
подвижность точке А в направлении искомой составляющей.
опора (рис. 2.4, а) при отбрасывании заменя3. Шарнирно-подвижная
G
ется реакцией RA , направленной перпендикулярно опорной плоскости
(рис. 2.4, б).
21
4. Невесомый стержень CC′ с шарнирами (рис. 2.5,G а) при отбрасывании заменяется реакцией RC , направленной в точке С по
стержню (рис. 2.5, б).
5. Гладкая плоскость (поверхность) или
опора (рис. 2.6, Gа) при отбрасывании заменяется реакцией N , направленной по нормали
к плоскости в точке касания (рис. 2.6, б).
а
б
Рис. 2.6
2.2. Пример выполнения задания 2 Конструкция состоит из двух стержней АС и ВС, соединенных
G друг
G
с другом шарниром С (рис. 2.7). На стержни действуют две силы F1 и F2 ,
пара сил с моментом М и равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q.
Применяя принцип виртуальных перемещений, определить реакции
внешних связей составной конструкции.
Решить задание при следующих данных: F1 = 20 Н, F2 = 10 Н,
М = 12 Н ⋅ м, q = 2 H/м, α = 45°, β = 30°, АЕ = ЕС = 2 м, BD = DC = 3 м.
Решение
Для определения опорных реакций внешних
связей конструкции (рис. 2.7) воспользуемся принципом виртуальных перемещений (1.4). Равномерно
распределенную нагрузку заменим сосредоточенной
силой Q = q · CD = 2 · 3 = 6 Н, приложенной в середине участка CD (рис. 2.8). Реакцию жесткой
заделG
ки В определим по горизонтальной X B , вертикальG
ной YB составляющим и реактивному моменту МВ.
G
1. Для определения составляющей X B мысленно отбросим заделку В и заменим ее жестким горизонтальным ползуном (рис. 2.2, б), приложив при
этом кG конструкции искомую горизонтальную реакцию X B (рис. 2.8, а).
Сообщим точкам и телам конструкции виртуРис. 2.7
альные перемещения: стержню ВС – мгновеннопоступательное перемещение в горизонтальных направляющих, причем виртуальные перемещения всех точек стержня ВС
G
G
G
будут геометрически равны ( δs B = δsC = δs D ); стержню СА – поворот на
угол δϕ против хода часовой стрелки вокруг точки Р – мгновенного центра
22
скоростей (МЦС), лежащего на пересечении перпендикуляров, восстановG
G
ленных в точках С и А к векторам их виртуальных перемещений δsC и δs A
(рис. 2.8, а).
Отметим, что при стационарных связях векторы виртуальных
G G G
перемещений точек конструкции δsB , δsC , δsA изображаются как векторы их
G G G
мгновенных скоростей VB , VC , VA при движении конструкции из данного положения (они могут иметь и противоположные направления).
Вычислим виртуальную работу всех активных сил и искомой реакции
G
X B на виртуальных перемещениях тел конструкции и составим уравнение
(1.4):
X B δsB − F2 sin βδsB + Q δsB + F1 KP δϕ − M δϕ = 0.
(2.1)
Поскольку система имеет одну степень свободы, выразим в (2.1)
виртуальное перемещение δϕ через δsB . Так как при движении конструкции
VB = VC = ω CP,
то при стационарных связях для виртуальных перемещений запишем аналогичные соотношения для соответствующих виртуальных перемещений:
δsB = δsC = δϕ CP.
Отсюда находим
δsB δsB δsB sin 45o δsB 2
δϕ =
=
=
=
.
CP CA
4
8
sin α
(2.2)
Подставим соотношение (2.2) в уравнение (2.1):
X B δsB − F2 sin 30o δsB + Q δsB + F1 KP
δsB 2
δs 2
−M B
=0
8
8
или
⎛
F
δsB ⎜ X B − 2 + Q +
2
⎝
2 F1 KP
2M ⎞
−
⎟ = 0.
8
8 ⎠
(2.3)
Так как δsB ≠ 0, то из (2.3) находим
XB =
F2
−Q−
2
2 F1 KP
2M
+
.
8
8
(2.4)
A
A
s
23
F1
sC
C
M
A
E
K
Q
D
sB
P
F2
B
YB
а
б
в
Рис. 2.8
G
Определив KP (плечо силы F1 относительно точки P (рис. 2.8, а)) как
KP = CP − CK =
4
CA
− CE sin α =
− 2sin 45o = 3 2 м
o
sinα
sin 45
(2.5)
и подставив исходные числовые данные в (2.4), найдем
XB =
10
20 ⋅ 3 2 ⋅ 2 12 ⋅ 2
−6−
+
= −13,88 H.
2
8
8
Здесь знак «минус»
G показывает, что в действительности горизонтальная составляющая X B заделки направлена в сторону противоположG
ную вектору X B , изображенному на рис. 2.8, а.
G
2. Для определения вертикальной составляющей YB мысленно отбросим заделку В и заменим ее жестким вертикальным ползуном
(рис. 2.2, в),
G
приложив при этом к конструкции искомую реакцию YB (рис. 2.8, б).
Сообщим телам конструкции виртуальные перемещения: стержню
ВС − мгновенно-поступательное перемещение в вертикальных направляющих, причем виртуальные перемещения всех точек стержня ВС будут
G
G
G
геометрически равны ( δsB = δsC = δsD ); стержню СА − поворот на угол δϕ
24
по ходу часовой стрелки вокруг мгновенного центра скоростей P , лежащего на пересечении перпендикуляров, восстановленных в точках С и А
G
G
к векторам их виртуальных перемещений δsC и δs A (рис. 2.8, б).
GВычислим виртуальную работу всех активных сил и искомой реакции YB на виртуальных перемещениях тел конструкции и составим уравнение (1.4):
YB δS B − F2 cos β δS B + F1 EK δϕ + M δϕ = 0.
(2.6)
Поскольку система имеет одну степень свободы, то выразим в (2.6)
виртуальное перемещение δϕ через δsB . Так как VB = VC = ωCP , то для виртуальных перемещений имеем
δsB = δsC = δϕ CP .
Отсюда находим
δsB δsB δsBsin 45o δsB 2
δϕ =
=
=
=
.
CP CA
4
8
sin α
(2.7)
Подставим соотношение (2.7) в уравнение (2.6):
YB δsB − F2 cos βδsB + F1 EK
δsB 2
δs 2
+M B
=0
8
8
или
⎛
2
2⎞
+M
δsB ⎜ YB − F2 cos β + F1 EK
⎟ =0.
8
8
⎝
⎠
(2.8)
Так как δsB ≠ 0, то из (2.8) находим
YB = F2 cos 30o − F1 EK
2
2
−M
.
8
8
(2.9)
G
Определив EK (плечо силы F1 относительно МЦС P (рис. 2.8, б))
как
EK = CE sin α = 2 sin 45o = 2 м
и подставив исходные числовые данные в (2.9), находим
YB = 10 ⋅ 0,866 − 20 ⋅ 2 ⋅
2
2
− 12 ⋅
= 1,54 Н.
8
8
(2.10)
25
3. Для определения реактивного момента MB мысленно отбросим
заделку В и заменим ее шарнирно-неподвижной опорой (рис. 2.2, г), приложив при этом к конструкции искомый момент MB (рис. 2.8, в).
Сообщим телам конструкции виртуальные перемещения: стержню
ВС − поворот на угол δϕ1 по ходу часовой стрелки вокруг оси В; стержню
СА − поворот на угол δϕ 2 против хода часовой стрелки вокруг мгновенного центра скоростей P , лежащего на пересечении перпендикуляров, восG
становленных в точках С и А к векторам их виртуальных перемещений δsC
G
и δs A (рис. 2.8, в).
Вычислим виртуальную работу всех активных сил и реактивного
момента МВ на виртуальных перемещениях δϕ1 и δϕ 2 тел конструкции
и составим уравнение (1.4):
DC ⎞
⎛
−M B δϕ1 − F2 sin β BD δϕ1 + Q ⎜ BD +
⎟ δϕ1 + F1 KP δϕ2 − M δϕ2 = 0. (2.11)
2 ⎠
⎝
Поскольку система имеет одну степень свободы, выразим в (2.11)
виртуальное перемещение δϕ 2 через δϕ1. Соотношение между ними устаG
навливается с помощью виртуального перемещения δsC соединительного
шарнира С, принадлежащего одновременно стержням ВС и СА. Так как
VC = ω 1 BC , то для виртуального перемещения точки С стержня ВС имеем
δsC = δϕ1 BC .
(2.12)
С другой стороны, для стержня СА скорость шарнира С
VC = ω2 CP ,
поэтому
δsC = δϕ2 CP .
(2.13)
Приравнивая правые части (2.12) и (2.13), получаем
δϕ1 BC = δϕ2 CP .
Отсюда находим
δϕ1 BC δϕ1 BC δϕ1 6 sin 45o δϕ1 3 2
δϕ2 =
=
=
=
.
CA
CP
4
4
sin α
(2.14)
26
Подставим соотношение (2.14) в уравнение (2.11):
DC ⎞
δϕ1 3 2
δϕ1 3 2
⎛
−M B δϕ1 − F2 sin β BD δϕ1 + Q ⎜ BD +
ϕ
+
−
= 0.
δ
F
KP
M
⎟ 1 1
2 ⎠
4
4
⎝
или
⎡
DC ⎞
3 2
3 2⎤
⎛
+
−
δϕ1 ⎢−M B − F2 sin β BD + Q ⎜ BD +
F
KP
M
⎥ = 0. (2.15)
⎟ 1
2
4
4
⎝
⎠
⎣
⎦
Так как δϕ1 ≠ 0 , то из (2.15) находим
DC ⎞
3 2
3 2
⎛
M B = −F2 sin β BD + Q ⎜ BD +
−M
.
(2.16)
⎟ + F1 KP
2 ⎠
4
4
⎝
G
Подставив значение плеча KР силы F1 относительно МЦС Р, найденное в (2.5), и исходные числовые данные в (2.16), найдем
3 2
3 2
⎛ 3⎞
M B = −10 ⋅ 0,5 ⋅ 3 + 6 ⋅ ⎜ 3 + ⎟ + 20 ⋅ 3 2 ⋅
− 12 ⋅
= 89,27 Н ⋅ м.
4
4
⎝ 2⎠
4. Для определения реакции шарнирно-подвижной опоры А, согласно
рис. 2.4, мысленно
отбросим эту связь и приложим в точке А конструкции
G
реакцию RA , направленную перпендикулярно опорной плоскости (рис. 2.9).
Сообщим точкам конструкции виртуальные перемещения, сохраняя
заделку в точке В: стержень ВС останется неподвижным, а стержень СА
повернется на угол δϕ против хода часовой стрелки
в шарнире С (рис. 2.9).
Вычислим виртуальную работу всех активных
G
сил, приложенных к стержню СА, и реакции RA при
повороте на угол δϕ и составим уравнение (1.4):
RA CA δϕ − F1 EK δϕ − M δϕ = 0
или
δϕ ( RA CA − F1 EK − M ) = 0.
(2.17)
Так как δϕ ≠ 0, то из (2.17) находим
Рис. 2.9
RA =
F1 EK + M
.
CA
(2.18)
27
Подставив в (2.18) значение плеча EK из
(2.10) и исходные числовые данные, вычислим
величину искомой реакции:
RA =
20 ⋅
2 + 12
= 10,07 H.
4
5. С целью проверки правильности найденных значений реакций связей конструкции
(рис. 2.7) воспользуемся уравнениями равновесия статики. Для этого отбросим все внешние
G G
связи, заменив их действие реакциями X B , YB ,
G
M B и RA (рис. 2.10).
Поскольку конструкция находится в равновесии под действием плоской произвольной
Рис. 2.10
системы сил, то сумма проекций сил на любую
ось и сумма моментов сил относительно любой
точки плоскости должны равняться нулю. Вычислим сумму алгебраических моментов сил относительно точки С и сумму проекций сил на ось ВY,
подставив в полученные выражения значение найденных реакций:
CD
− F1 CE sinα − M + RA AC =
2
(2.19)
2
+10,07 ⋅ 4 −12 = 0.
= −13,88 ⋅ 6 + 89,27 −10 ⋅ 0,5 ⋅ 3 + 6 ⋅1,5 − 20 ⋅ 2 ⋅
2
∑MC = X B CB + MB − F2 sin β CD + Q
∑FνY = YB − F2 cos β + RA cos α = 1,54 −10 ⋅
3
2
+ 10,07 ⋅
= 0.
2
2
(2.20)
Следовательно, равенство нулю выражений (2.19) и (2.20) говорит
о правильности найденных значений реакций X B , YB , M B и RA .
Ответ: X B = −13,88 H ; YB = 1,54 Н ; M B = 89,27 Н ⋅ м ; RA = 10,07 Н.
28
Задание 3. Исследование устойчивости положения равновесия консервативной системы Для консервативной механической системы с одной степенью свободы [3], изображенной на рис. 3.1, пренебрегая массами пружин, требуется:
1. Определить положения равновесия системы;
2. Провести исследование устойчивости найденных положений равновесия.
В качестве обобщенной координаты выбрать угол ϕ. На рис. 3.1 механические системы изображены при ϕ > 0; трение в сочленениях отсутствует; все стержни и диски являются однородными. Необходимые соотношения приведены в табл. 3.1, где Р1, Р2 – вес тел; с – жесткость пружины;
λ0 – деформация пружины при ϕ = 0; l0 – длина недеформированной пружины; R – радиус диска; b, l – конструктивные размеры.
Таблица 3.1
Номер
варианта
1
Соотношения
между параметрами
P2 = 1,5P1; l0 = 2l; 7cl = 12 P1
2
P2 = 1,5P1; l0 = 2l; cl = 4 P1
−
3
P2 = 3P1; l0 = 2l; cl = 8 P1
−
4
5P1 = 16cl; l0 = 2 R
−
5
P2 = 2,5P1; l0 = 1,5l; cl = 12 P1
−
6
P2 = P1; l0 = b; 4cl = 5P1
−
7
P1 + 2 P2 = 2cR; λ 0 = 0
−
8
P2 = P1 = cl; l0 = l
−
9
P1 = 2 P2 ; cR = 6 P1; λ 0 = 2 R
−
10
P1 = cλ 0 ; R = 2 2 λ 0
Примечания
−
−
11
P1 = cl; l0 = 0,5l
−
12
P1 = P2 = cl; l0 = 0,5l
−
13
3P1 = P2 = cl; l0 = 0,5l
−
14
P1 − 2 P2 = cl; l0 = l
−
15
P1 = 2 P2 = 4cR; l0 = R; l = 2 R
−
16
P1 = 3P2 = 3cl; b = l0 + 2l
17
P1 = P2 = cl; b = 3l; l0 = 4l
18
P2 = 1,5γl; 4cl0 − 18γl − 5cl = 0
19
P1 = 0,5γl
20
15P1 = 4 P2
Весом стержней пренебречь
γ − вес единицы длины стержня
Весом стержней пренебречь
29
Рис. 3.1
30
Рис. 3.1. Продолжение
31
Рис. 3.1. Окончание
3.1. Краткие теоретические сведения Для описания равновесия и движения материальной системы в независимых переменных введем понятие «обобщенные координаты»: S независимых параметров q1, q2, ..., qS, однозначно определяющих положение
точек материальной системы, совместимое с наложенными на нее связями,
называются обобщенными координатами.
Производные от обобщенных координат по времени q 1 , q 2 , ..., q S
называются обобщенными скоростями (здесь qm ≡ dqm / dt ). Размерность
обобщенной скорости зависит от размерности обобщенной координаты:
если qm – линейная величина, то q m – линейная скорость; если qm – угол, то
qm – угловая скорость; если qm – площадь, то q m – секторная скорость
и т. д. Следовательно, понятие «обобщенная скорость» охватывает все
известные нам понятия о скоростях.
Для введения понятия «обобщенные силы» рассмотрим голономную
систему, состоящую из n материальных точек, на которые действуют соотG G
G
ветственно силы F1 , F2 , ..., Fn .
32
Пусть система имеет S степеней свободы и ее положение определяется обобщенными координатами q1, q2, ..., qS. Если сообщить системе
в фиксированный момент времени такое виртуальное перемещение, при
котором обобщенная координата qm приобретает приращение δqm > 0,
а остальные обобщенные координаты не изменяются, то тогда ей будет
соответствовать величина
Qm =
δАm
,
δqm
(3.1)
называемая
G G
G обобщенной силой. Здесь δАm – виртуальная работа сил
F1 , F2 , ..., Fn на виртуальных перемещениях точек системы при δqm > 0.
Отметим, что размерность обобщенной силы равна размерности работы,
деленной на размерность обобщенной координаты.
Если всем S обобщенным координатам в данный момент времени сообщить приращения (вариации) δq1 > 0, δq2 > 0, ..., δqS > 0, то в обобщенных координатах полная виртуальная работа всех активных сил
δA =
S
S
m =1
m =1
∑ δ Am = ∑ Q m δ q m
= Q 1 δ q1 + Q 2 δ q 2 + ... + Q S δ q S . (3.2)
Из выражения (3.2) следует, что обобщенные силы представляют
собой коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении
для виртуальной работы.
G
Если все действующие силы Fν (ν = 1, 2, …, n) являются потенциальными, то обобщенные силы могут быть выражены через потенциальную
энергию П системы:
Qm = −
∂П
.
∂qm
(3.3)
Для механической системы, находящейся в потенциальном силовом
поле, обобщенная сила Qm определяется взятой с обратным знаком
частной производной от потенциальной энергии П по соответствующей
обобщенной координате.
Согласно принципу виртуальных перемещений (1.4) необходимым
и достаточным условием равновесия голономной материальной системы,
подчиненной идеальным связям, является равенство нулю виртуальной
работы действующих активных сил: δA = 0. В обобщенных координатах
для системы с S степенями свободы это условие с учетом (3.2) принимает
вид
Q1 = 0, Q2 = 0, …, QS = 0.
(3.4)
33
Уравнения (3.4) выражают принцип виртуальных перемещений
в обобщенных координатах: для равновесия материальной системы
необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным для системы обобщенным координатам, были равны
нулю.
Если обобщенные силы зависят не только от обобщенных координат,
но и от обобщенных скоростей q 1 , q 2 , ..., q S , то в (3.4) все обобщенные
скорости нужно приравнять нулю. Из (3.4) следует, что для механической
системы количество уравнений равновесия равно числу обобщенных
координат, т. е. числу S ее степеней свободы.
Для консервативной системы с учетом (3.3) условия равновесия (3.4)
имеют вид
∂П
=0
∂qm
(m = 1, 2, ..., S ).
(3.5)
Полный дифференциал потенциальной энергии П(q1, q2, …, qS)
системы определяется выражением
∂П(q1, q2 , ..., qS )
dqm .
∂
q
m=1
m
S
dП ( q1, q2 , ..., qS ) = ∑
Следовательно, с учетом (3.5)
dП(q1, q2, …, qS) = 0.
(3.6)
Условие (3.6) означает, что в положении равновесия потенциальная
энергия консервативной системы принимает экстремальное значение.
Следовательно, решения уравнений (3.4) или (3.5) определяют обобщенные координаты q10 , q20 , ..., qS0 , соответствующие положению равновесия механической системы.
Положение равновесия системы может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным. Устойчивость или неустойчивость положения равновесия определяется поведением системы при воздействии на нее малых
возмущений.
Если при достаточно малых отклонениях от положения равновесия
или достаточно малых начальных скоростях система в течение всего
времени движения не выходит за пределы сколь угодно малой заданной
окрестности положения равновесия, имея при этом сколь угодно малые
скорости, то это положение равновесия является устойчивым.
34
а
б
в
Рис. 3.2
Существенным признаком устойчивости равновесия является то,
что при уменьшении начальных отклонений системы и их начальных
скоростей в последующем движении отклонения и скорости точек системы также уменьшаются, стремясь к нулю. Например, устойчивым будет
положение равновесия тяжелого цилиндра А в цилиндрической впадине
(рис. 3.2, а).
При неустойчивом положении равновесия система при дальнейшем
движении всё больше отклоняется от него. Такое положение равновесия
имеет тяжелый цилиндр В на рис. 3.2, б.
Если система при малых отклонениях остается в равновесии и в этом
отклоненном положении, то такое равновесие называется безразличным.
Примером безразличного равновесия является равновесие тяжелого
цилиндра D на горизонтальной плоскости (рис. 3.2, в).
Достаточные условия устойчивости положения равновесия для консервативной системы устанавливает теорема Лагранжа – Дирихле: если
в положении изолированного равновесия консервативной системы с идеальными стационарными связями потенциальная энергия имеет минимум,
то это положение равновесия устойчиво.
По теореме Лагранжа – Дирихле для доказательства устойчивости
равновесия консервативной системы следует убедиться в том, что потенциальная энергия в рассматриваемом положении минимальна. Для системы с одной степенью свободы минимум определяется просто: достаточно
убедиться, что вторая производная от потенциальной энергии по обобщенной координате q, вычисленная в положении равновесия q = q0, положительна, т. е.
⎛ d2 П ⎞
⎜ 2 ⎟ q=q0 > 0.
⎝ dq ⎠
(3.7)
35
3.2. Пример выполнения задания 3 Для консервативной механической системы с одной степенью свободы, изображенной на рис. 3.3, а, пренебрегая массой всех ее звеньев, кроме
стержня 1 и диска 2, требуется:
1. Определить положения равновесия системы;
2. Провести исследование устойчивости найденных положений равновесия.
Решить задание при следующих данных: P2 = 3,5P1; cl = 12P1; λ0 = 0.
Решение
1. Рассмотрим равновесие консервативной системы, изображенной
на рис. 3.3, б и находящейся в однородном поле сил тяжести и в поле силы
упругости пружины жесткости с. Поскольку система имеет одну степень
свободы, то за обобщенную координату примем угол ϕ, образованный
стержнем 1 с вертикалью. Из неподвижной точки O проведем ось ОY
по вертикали вниз. Нулевые точки отсчета потенциальных энергий
Пν (ν = 1, 2) тел в однородном поле сил тяжести поместим в точку О, полагая, что Пν(y = 0) = 0.
G
G
На систему действуют силы тяжести Ρ1 стержня 1, Ρ2 диска 2, приложенные в центрах тяжести тел 1 и 2 – в точках C1 и C2 соответственно,
и поле силы упругости пружины.
а
б
Рис. 3.3
36
Поэтому потенциальная энергия системы при произвольном угле ϕ
Здесь
П = П1 + П2 + Пупр.
с
П1 = − P1 y1 , П 2 = − P2 y2 , П упр = λ 2 ,
2
(3.8)
(3.9)
где у1 и у2 – соответствующие координаты точек C1 и C2 ; λ – деформация
пружины при произвольном угле ϕ.
Выразим у1, у2 и λ через обобщенную координату ϕ:
l
y1 = cos ϕ, y2 = l cos ϕ + AC2 ,
2
λ = λ 0 − AK = −l sin ϕ,
(3.10)
где расстояние АС2 постоянно.
Тогда с учетом (3.9) и (3.10) выражение потенциальной энергии
системы (3.8) принимает вид
l
с
П = − P1 cos ϕ − P2 ( l cos ϕ + AC2 ) + l 2 sin 2 ϕ.
2
2
(3.11)
Подставляя исходные данные P2 = 3,5P1 и cl = 12P1 в (3.11), получаем
П = −4 P1 l cos ϕ − 3,5 P1 AC2 + 6 P1 l sin 2 ϕ.
(3.12)
В положении равновесия обобщенная сила Q, соответствующая
обобщенной координате ϕ, равна нулю. Согласно (3.5) для определения
положений равновесия вычисляем производную от потенциальной энергии П по обобщенной координате ϕ и приравниваем ее нулю:
dП
= 4 Pl
1 sin ϕ (1 + 3cos ϕ ) = 0.
dϕ
Из уравнения (3.13) следует, что равновесие возможно, если:
1) sin ϕ = 0, при углах ϕ1 = 0, ϕ2 = π;
2) cos ϕ = –1/3, при углах ϕ3, 4 = ± arccos (–1/3).
(3.13)
37
2. Для определения устойчивости каждого из этих положений вычислим вторую производную от потенциальной энергии по обобщенной
координате ϕ:
d 2П
2
2
⎡
⎤
⎡
⎤
= 4 Pl
1 ⎣ cos ϕ (1 + 3cos ϕ ) − 3sin ϕ ⎦ = 4 Pl
1 ⎣ cos ϕ + 6cos ϕ − 3⎦ .
2
dϕ
Определим величину и знак этой производной для четырех найденных значений угла ϕ в положении равновесия системы:
d 2П
2
⎡
⎤
= 4 Pl
1 ⎣ cos 0° + 6cos 0° − 3⎦ = 16 Pl
1 > 0;
2
dϕ ϕ=ϕ =0
1
d 2П
2
⎡
⎤
= 4 Pl
1 ⎣ cos π + 6cos π − 3⎦ = 8 Pl
1 > 0;
2
dϕ ϕ=ϕ =π
2
d 2П
dϕ2 ϕ=ϕ
= 4 Pl
1 [ −1 3 + 6 9 − 3] = −
( −1 3)
3,4 =± arccos
32
Pl
1 > 0.
2
Следовательно, согласно (3.7) положение равновесия рассматриваемой консервативной системы устойчиво при углах ϕ1 = 0 и ϕ2 = π и неустойчиво при углах ϕ3, 4 = ± arcos (–1/3).
Ответ: при углах ϕ1 = 0 и ϕ2 = π равновесие системы устойчивое,
при ϕ3, 4 = ± arcos (–1/3) – неустойчивое.
38
ЧАСТЬ II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА Задание 4. Применение общего уравнения динамики к исследованию движения механической системы Механическая система состоит из однородных тел 1, 2, 3 массой m1,
m2, m3 соответственно, связанных друг с другом нерастяжимыми нитями
(рис. 4.1). Система движется из состояния покоя в вертикальной плоскости, являющейся плоскостью материальной симметрии для всех движущихся тел, под действием сил тяжести и пары сил с моментом М, приложенной к шкиву. Пренебрегая трением, определить ускорение груза 1 и натяжения нитей Т1–2 между телами 1 и 2 и Т2–3 между телами 2 и 3.
Необходимые для решения данные приведены в табл. 4.1; для ступенчатых тел радиусы ступеней R = 0,2 м, r = 0,5R. При вычислении
моментов инерции все катки и шкивы считать однородными сплошными
цилиндрами радиусом R.
Рис. 4.1
39
Рис. 4.1. Продолжение
40
Рис. 4.1. Окончание
Таблица 4.1
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
m1,
кг
4
2
2
3
2
6
4
3
4
1
2
6
4
2
3
2
3
4
4
2
m2,
кг
4
4
6
4
8
2
4
6
4
6
8
4
4
6
8
6
6
8
6
8
m3,
кг
4
2
3
2
4
2
2
4
3
2
2
2
4
2
6
8
8
3
4
3
М,
Н·м
1,0
1,2
1,6
1,8
2,0
0,6
0,8
1,2
1,8
0,4
1,4
0,6
1,6
1,8
1,2
1,4
0,8
0,6
0,4
1,6
Дополнительные
данные
R2 = R, R3 = 0,5R
R2 = R, r2 = r, R3 = 0,5r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R3 = R, r3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = r, R3 = 2r3 = 2r
R2 = R, r2 = r, R3 = 0,5r
R2 = R3 = R, r3 = r
41
4.1. Краткие теоретические сведения Общее уравнение динамики относится к дифференциальным вариационным принципам аналитической механики.
Рассмотрим голономную систему n материальных точек, подчиненную идеальным стационарным связям. Каждая точка движется согласно
основному уравнению динамики
G G
G
mν aν = Fν + N ν (ν = 1, 2, ..., n),
(4.1)
G
где mν − масса ν-й точки; a ν − ускорение ν-й точки относительно инерциG
G
альной системы отсчета; Fν и N ν − соответственно равнодействующие
активных сил и реакций связей, приложенных к ν-й
G точке. G
Если ввести силы инерции точек системы Ф ν = − mν a ν (ν = 1, 2, …,
n), то уравнение (4.1) можно записать в форме равновесия сил
G
G
G
Fν + N ν + Ф ν = 0 (ν = 1, 2, ..., n).
(4.2)
Уравнение (4.2) выражает принцип Д’Аламбера: в любой момент
движения геометрическая сумма всех приложенных к точке активных
сил, реакций связей и силы инерции равна нулю.
Мысленно зафиксируем время t и сообщим точкам системы виртуG G
G
альные перемещения δr1 , δr2 , ..., δrn соответственно. Умножим скалярно
каждое уравнение (4.2) на соответствующий вектор виртуального перемеG
щения δrν и, сложив их, получим
G G
G
n
G
∑ Fν + Фν + N ν ⋅ δrν = 0
ν =1
или
(
)
G G
n
n G
G
G
∑ Fν + Фν ⋅ δrν + ∑ N ν ⋅ δrν = 0.
ν=1
(
)
ν=1
(4.3)
По свойству идеальных связей (1.3)
n G
G
∑ N ν ⋅ δrν = 0.
ν=1
(4.4)
Следовательно, с учетом (4.4) уравнение (4.3) принимает вид
G G
n
G
∑ Fν + Фν ⋅ δrν = 0.
ν=1
(
)
(4.5)
42
Равенство (4.5) называется общим уравнением динамики: в каждый
момент движения материальной системы, подчиненной идеальным голономным связям, элементарная работа активных сил и сил инерции на
виртуальных перемещениях точек системы равна нулю.
В декартовых координатах уравнение (4.5) можно записать в виде
n
xν ) δ xν + ( FνY − mν yν ) δ yν + ( FνZ − mν zν ) δ zν ⎤⎦ = 0.
∑ ⎡⎣( FνX − mν ν =1
(4.6)
Общее уравнение динамики (4.5) впервые было получено французским математиком и механиком Жозефом Луи Лагранжем в 1788 году. Оно
содержит в себе всю информацию о движении механической системы под
действием заданных активных сил. Соотношение (4.5) на самом деле
не является одним уравнением, а содержит в себе количество уравнений,
равное числу S степеней свободы системы, которое определяется числом
независимых виртуальных перемещений.
Общее уравнение динамики является также принципом Д’Аламбера –
Лагранжа, который заключается в том, что соотношение (4.5) устанавливает необходимые и достаточные условия действительного движения механической системы: истинное движение из всех кинематически
возможных выделяется тем, что для него и только для него в данный
момент времени сумма элементарных работ активных сил и сил инерции
на любых виртуальных перемещениях равна нулю.
Следует подчеркнуть, что этот принцип можно использовать в качестве основной аксиомы механики, поскольку из него можно вывести как
уравнения равновесия, приравняв модули сил инерции точек системы нулю, так и дифференциальные уравнения движения механической системы.
Важным свойством общего уравнения динамики (4.5) является то,
что оно не содержит реакций идеальных связей. Это позволяет решить
задачу о движении механической системы, не определяя этих реакций.
Отметим, что общее уравнение динамики может быть применено
и для неидеальных связей. В этом случае, с учетом разложения сил реакций на нормальные составляющие и силы трения, можно воспользоваться
уравнением (4.5), отнеся силы трения к активным силам, действующим
в системе. Это, в свою очередь, приводит к необходимости введения экспериментального закона трения, с помощью которого устраняется несоответствие числа уравнений и числа неизвестных в них при неидеальных
связях.
43
4.2. Пример выполнения задания 4 Механическая система (рис. 4.2) состоит из груза 1, блока 2 и двухступенчатого катка 3 массой m1, m2 и m3 соответственно, связанных друг
с другом нерастяжимыми нитями. Система движется в вертикальной плоскости, являющейся плоскостью материальной симметрии для движущихся
тел, под действием сил тяжести и пары сил с постоянным моментом М,
приложенной к блоку 2.
Пренебрегая трением, определить ускорение груза 1 и натяжения
нитей T1− 2 между грузом 1 и блоком 2 и T2−3 между блоком 2 и двухступенчатым катком 3. При вычислении моментов инерции блок 2 и каток 3
считать однородными сплошными цилиндрами радиусом R. Двухступенчатый каток 3 катится без скольжения по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол β.
Решить задание при следующих данных: m1 = 3 кг, m2 = 2 кг, m3 = 4 кг,
R2 = 0,2 м, R3 = 0,2 м, r3 = 0,1 м, М = 2 Н ⋅ м, β = 30°.
Решение
Для решения задания применим общее уравнение динамики (4.5).
Рассматриваемая система имеет одну степень свободы, поскольку перемещение одного из тел приводит к однозначному перемещению всех других
тел системы. Будем считать, что направления ускорений тел соответствует
направлениям их скоростей, т. е. предполагаем, что тела системы движутся
ускоренно.
Рис. 4.2
44
G
1. Изобразим активные силы: силы тяжести груза 1 − m 1 g , блока 2 −
G
G
m 2 g , катка 3 − m 3 g , и момент М пары сил, действующей на блок 2
(рис. 4.2).
Приложим силы инерции. Силы инерции точек груза 1, движущегося
G
поступательно с ускорением а 1 приводятся к равнодействующей, проходящей через центр масс тела и равной главному вектору сил инерции
G
G
Ф 1 = − m 1 a 1.
(4.7)
Силы инерции точек блока 2, вращающегося с угловым ускорением
G
ε 2 вокруг неподвижной оси Ох, проходящей через центр масс тела 2 перпендикулярно плоскости его материальной симметрии, приводятся к паре
сил, лежащей в плоскости симметрии, момент которой
G
G
М 2и = − I Ox ε2 .
(4.8)
Здесь I Ox − осевой момент инерции блока 2 относительно оси вращения;
I Ox =
m2 R22
.
2
Силы инерции точек катка 3, совершающего плоскопараллельное
движение, приводятся к главному вектору
G
G
Ф 3 = −m 3 a3 ,
(4.9)
G
приложенному в центре масс С катка 3 ( а3 − ускорение центра масс С),
и к паре сил, лежащей в плоскости его симметрии, с моментом
G
G
М 3и = − I Сx′ ε3 .
(4.10)
Здесь ICx′ − момент инерции катка относительно оси Cx ′ , проходящей через центр масс С катка перпендикулярно плоскости его движения;
I Сx′ =
G
ε3 − угловое ускорение катка 3.
m3R32
;
2
45
G
Знак «минус» в (4.7)−(4.10) указывает на то, что силы инерции Ф 1
G
G
G
и Ф3 , моменты сил инерции М 2и и М 3и направляются противоположно
G
G G G
соответствующим ускорениям a1 , a3 , ε2 и ε3 .
2. Сообщим телам рассматриваемой механической системы виртуальные перемещения в направлении их движения (рис. 4.2):
G
грузу 1 – вертикальное перемещение δs1;
неподвижному блоку 2 – поворот на угол δϕ2 вокруг оси вращения Ох;
двухступенчатому катку 3 – поворот на угол δϕ3 вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей K и перпендикулярной плоскости его движения.
3. Вычислив элементарную работу активных сил и сил инерции на
этих виртуальных перемещениях, запишем общее уравнение динамики
(4.5) для рассматриваемой механической системы
m1g δs1 − Ф1 δs1 + M δϕ2 − M 2и δϕ2 −
−m3g
sin β r3 δϕ3 − Ф3 r3 δϕ3 − M 3и
δϕ3 = 0.
(4.11)
Поскольку система обладает одной степенью свободы, то из всех
виртуальных перемещений, входящих в (4.11), независимым будет лишь
одно из них. Выберем в качестве независимого виртуального перемещения
δs1 и выразим в уравнении (4.11) величины виртуальных перемещений δϕ2
и δϕ3 через независимое виртуальное перемещение δs1, учитывая, что виртуальные перемещения связаны так же, как скорости соответствующих тел
при движении системы. Поскольку тела системы связаны друг с другом
нерастяжимыми нитями, то из соотношений для их скоростей (V3 ≡ VC)
ω2 =
V1
,
R2
ω3 =
V1
V
= 3
R3 + r3 r3
(4.12)
δs1
.
R3 + r3
(4.13)
находим
δϕ2 =
δs1
,
R2
δϕ3 =
Подставляя (4.13) в (4.11) и вынося за скобку независимое виртуальное перемещение δs1 как общий множитель, получаем
⎛
M 3и ⎞
M M 2и m3 g sin β r3 Ф3 r3
δs1 ⎜ m1g − Ф1 +
−
−
−
−
⎟ = 0. (4.14)
R
R
R
+
r
R
+
r
R
+
r
2
2
3
3
3
3
3
3
⎝
⎠
46
Поскольку δs1 ≠ 0, то из (4.14) имеем
M M 2и m3 g sin β r3 Ф3 r3
M 3и
m1g − Ф1 +
−
−
−
−
= 0.
R2 R2
R3 + r3
R3 + r3 R3 + r3
(4.15)
4. Определим модули сил и моментов сил инерций (4.7)–(4.10) тел
системы через искомое ускорение a1 груза 1. Для этого выразим величины
G G G
ускорений а3 , ε2 , ε3 через это ускорение a1. Вычислив от обеих частей
равенств (4.12) производные по времени, найдем
ε2 =
a
a1
a1
, ε3 =
= 3.
R2
R3 + r3 r3
(4.16)
a1 r3
.
R3 + r3
4.17)
Отсюда получим
a3 =
С учетом (4.16) и (4.17) определим модули сил и моментов сил
инерций (4.7)–(4.10) тел системы:
Ф1 = m1a1;
m2 R22
mRa
ε2 = 2 2 1 ;
= I Ox ε 2 =
2
2
m ra
Ф 3 = m3a3 = 3 3 1 ;
R3 + r3
М 2и
М 3и = I Cx′ε 3 =
(4.18)
m3 R32
m3 R32 a1
ε3 =
.
2
2 ( R3 + r3 )
5. Подставив в уравнение (4.15) найденные значения модулей сил
и моментов сил инерции (4.18), получим
M m2 a1 m3 g sin β r3
m3 r32 a1
m3 R32 a1
m1 g − m1a1 +
−
−
−
−
= 0. (4.19)
R2
2
R3 + r3
( R3 + r3 )2 2( R3 + r3 )2
Из уравнения (4.19) находим искомое ускорение a1 груза 1:
⎛
M
m sin β r3 ⎞
− 3
2 g ⎜ m1 +
⎟
g R2
R3 + r3 ⎠
⎝
.
a1 =
2
2 ⎤
⎡
m3 2r3 + R3
⎢ 2m1 + m2 +
⎥
2
⎢
( R3 + r3 ) ⎥⎦
⎣
(
)
(4.20)
47
Подставив в (4.20) исходные числовые данные, определим величину
ускорения груза 1. Получим a1 = 6,16 м/c2. G
6. Для нахождения силы натяжения Т1− 2 в ветви нити между грузом 1
и блоком 2 следует эту внутреннюю силу системы сделать внешней. Для
этого рассмотрим движение только груза 1 и применим к нему общее
уравнение динамики (4.5).
G
Отбросим нить, заменив ее действие силой натяжения Т1− 2 , и добаG
G
вим эту силу к активной силе m 1 g и силе инерции Ф1и груза (рис. 4.3).
Сообщим грузу виртуальное перемещение δs1 и запишем для него
общее уравнение динамики (4.5):
m1 g δs1 − Ф1δs1 − T1− 2 δs1 = 0
или
δs1 ( m1 g − m1a1 − T1− 2 ) = 0.
(4.21)
Так как в (4.21) δs1 ≠ 0, то
m1 g − m1a1 − T1− 2 = 0.
(4.22)
Тогда из (4.22) находим величину натяжения нити между грузом 1
и блоком 2:
T1− 2 = m1 ( g − a1 ) = 3 ⋅ ( 9,81 − 6,16 ) = 10,9 H.
G
7. Для определения натяжения нити Т 2−3 между блоком 2 и двухступенчатым катком 3 рассмотрим движение катка 3 и применим к нему
общее уравнение динамики (4.5). Отбросим нить и заменим ее действие
G
G
G
реакцией Т 2−3 , добавив эту силу к активной силе m3 g , силе инерции Ф3и
и моменту сил инерции M 3и (рис. 4.4).
Рис. 4.3
Рис. 4.4
48
Сообщим катку 3 виртуальное перемещение − поворот на угол δϕ3
вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей K и перпендикулярной плоскости его движения, и запишем общее уравнение динамики
(4.5):
T2−3 ( R3 + r3 ) δϕ3 − m3 g sin β r3δϕ3 − Ф3r3δϕ3 − M 3и δϕ3 = 0
или
δϕ3 ⎡⎣T2−3 ( R3 + r3 ) − m3 g sin β r3 − Ф3 r3 − M 3и ⎤⎦ = 0.
(4.23)
Поскольку виртуальное перемещение катка 3 составляет δϕ3 ≠ 0, то
из уравнения (4.23) получаем
T2−3 ( R3 + r3 ) − m3 g sin β r3 − Ф 3 r3 − M 3и = 0.
(4.24)
С учетом (4.18) из уравнения (4.24) определяем силу натяжения Т2–3:
T2−3 =
(
)
1
m3 g sin β r3 + Ф3 r3 + M 3и =
R3 + r3
(
a1 2 r32 + R32
m3 ⎡
⎢ g r3 sin β +
=
R3 + r3 ⎢
2 ( R3 + r3 )
⎣
) ⎤⎥ .
⎥
⎦
Подставив исходные числовые данные и найденное значение
ускорения а1 груза 1, вычисляем величину силы натяжения нити между
блоком 2 и двухступенчатым катком 3. Получаем Т2–3 = 14,7 Н.
Ответ: а1 = 6,16 м/с2; Т1–2 = 10,9 Н; Т2–3 = 14,7 Н.
49
Задание 5. Применение уравнения Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы
Механическая система состоит из однородных тел 1, 2, 3 массой m1,
m2, m3 соответственно, связанных друг с другом нерастяжимыми нитями
(рис. 5.1). Система движется из состояния покоя в вертикальной плоскости,
являющейся плоскостью материальной симметрии для всех движущихся
тел, под действием сил тяжести и пары сил с моментом М, приложенной
к шкиву 2.
Пренебрегая трением, определить ускорение груза 1. Необходимые
для решения данные приведены в табл. 5.1; для ступенчатых тел радиусы
ступеней – R = 0,2 м, r = 0,5R. При вычислении моментов инерции все катки и шкивы считать однородными сплошными цилиндрами радиусом R.
Рис. 5.1
50
Рис. 5.1. Продолжение
51
Рис. 5.1. Окончание
Таблица 5.1
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
m1,
кг
4
2
2
3
2
6
4
3
4
1
2
6
4
2
3
2
3
4
4
2
m2,
кг
4
4
6
4
8
2
4
6
4
6
8
4
4
6
8
6
6
8
6
8
m3,
кг
4
2
3
2
4
2
2
4
3
2
2
2
4
2
6
8
8
3
4
3
М,
Н·м
1
1,2
1,6
1,8
2
0,6
0,8
1,2
1,8
0,4
1,4
0,6
1,6
1,8
1,2
1,4
0,8
0,6
0,4
1,6
Дополнительные
данные
R2 = R, R3 = 0,5R
R2 = R, r2 = r, R3 = 0,5r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R3 = R, r3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = r
R2 = r, R3 = 2r3 = 2r
R2 = R, r2 = r, R3 = 0,5r
R2 = R3 = R, r3 = r
52
5.1. Краткие теоретические сведения Для голономной системы с S степенями свободы, подчиненной
идеальным стационарным связям, дифференциальные уравнения ее движения
в обобщенных координатах q1, q2, ..., qS имеют вид
d ⎛ ∂T ⎞ ∂T
= Qm
⎟−
⎜
dt ⎝ ∂qm ⎠ ∂qm
(m = 1, 2, ..., S ) .
(5.1)
Уравнения (5.1) называются уравнениями Лагранжа второго рода. Они
содержат (S + 1) функций, которыми являются кинетическая энергия T
системы и обобщенные силы Q1, Q2, ..., QS. Чтобы воспользоваться уравнениями Лагранжа (5.1), следует выразить эти функции через обобщенные
координаты q1, q2, ..., qS и обобщенные скорости q1, q2 , ..., qS .
В математическом отношении уравнения (5.1) представляют собой
систему S дифференциальных уравнений второго порядка. Не трудно
показать, что эта система может быть представлена в форме Коши, т. е.
разрешена относительно старших производных. Для таких систем имеет
место теорема о существовании и единственности решения, из которой
следует детерминированность движения материальной системы, как только
заданы начальные условия движения, т. е. в начальный момент зафиксированы значения обобщенных координат и обобщенных скоростей:
t = 0,
q1 (0) = q01 , q2 (0) = q02 , ..., qS (0) = q0 S ,
q1 (0) = q01 , q2 (0) = q02 , ..., q S (0) = q0 S .
(5.2)
Решение основной задачи динамики голономной системы заключается в интегрировании уравнений Лагранжа (5.1), т. е. в нахождении обобщенных координат q1, q2, ..., qS как функций времени t:
q1 = q1 ( t , C1 , C 2 , ..., C 2 S ) ,
q2 = q2 ( t , C1 , C 2 , ..., C 2 S ) ,
.....................
(5.3)
q S = qS ( t , C1 , C 2 , ..., C 2 S ) .
В формуле (5.3) С1, С2, ..., С2S – постоянные интегрирования, значения которых определяются по начальным условиям движения (5.2). Отметим, что рациональный выбор обобщенных координат q1, q2, ..., qS может
существенно упростить конкретный вид уравнений Лагранжа (5.1) и тем
самым облегчить процедуру интегрирования этой системы дифференциальных уравнений.
53
Основные преимущества уравнений Лагранжа второго рода:
• уравнения (5.1) по форме записывают одинаково в любой системе
координат, и различие в выборе координат сказывается лишь на виде
(S + 1) функций, входящих в эти уравнения;
• число уравнений (5.1) не зависит ни от количества материальных
точек, входящих в систему, ни от характера их движения, а определяется
только числом S ее степеней свободы;
• для системы с идеальными связями правые части уравнений (5.1)
содержат только обобщенные активные силы, и из рассмотрения исключаются реакции связей, которые, как правило, неизвестны.
Для составления уравнений Лагранжа второго рода (5.1) необходимо:
1) выбрать обобщенные координаты, количество которых должно
равняться числу S степеней свободы голономной системы;
2) выразить кинетическую энергию системы через обобщенные
координаты и обобщенные скорости;
3) вычислить все производные от кинетической энергии, входящие
в левую часть уравнений (5.1);
4) по формуле (3.1) найти обобщенные силы;
5) записать уравнения Лагранжа (5.1) в явном виде.
5.2. Пример выполнения задания 5 Механическая система (рис. 5.2) состоит из груза 1, блока 2 и двухступенчатого катка 3 массой m1, m2 и m3 соответственно, связанных друг
с другом нерастяжимыми нитями. Система движется в вертикальной плоскости, являющейся плоскостью материальной симметрии для движущихся
тел, под действием сил тяжести и пары сил, приложенной к блоку 2
с постоянным моментом М.
Определить ускорение груза 1, полагая, что блок 2 и каток 3 являются однородными сплошными цилиндрами радиусом Ri (i = 2, 3). Двухступенчатый каток 3 катится без скольжения по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол β.
Решить задание при следующих данных: m1 = 3 кг, m2 = 2 кг,
m3 = 4 кг, R2 = 0,2 м, R3 = 0,2 м, r3 = 0,1 м, М = 2 Н ⋅ м, β = 30°.
Решение
1. Поскольку в данном примере требуется определить ускорение
груза 1, то за обобщенную координату примем расстояние х, пройденное
этим грузом в направлении его движения (вниз). Тогда обобщенная
скорость равна скорости груза 1, т. е. x = V1 .
54
Рис. 5.2
Уравнение Лагранжа второго рода (5.1) для рассматриваемой механической системы имеет вид
d ⎛ ∂T ⎞ ∂T
= Q1.
⎜
⎟−
dt ⎝ ∂x ⎠ ∂x
(5.4)
2. Для нахождения явного вида уравнения (5.4) необходимо определить кинетическую энергию Т рассматриваемой системы как функцию
обобщенной координаты х и обобщенной скорости x .
В произвольный момент движения системы величина Т равна сумме
кинетических энергий тел системы:
T = T1 + T2 + T3.
(5.5)
Учитывая, что груз 1 совершает поступательное движение, блок 2
вращается вокруг неподвижной оси О, а двухступенчатый каток 3 движется плоскопараллельно, получим
Т1 =
1
1
1
1
m1V12 ; Т 2 = I O ω 22 ; Т 3 = m3VC2 + I C ω 32 .
2
2
2
2
(5.6)
Выразим все входящие в (5.6) скорости через обобщенную скорость x :
ω2 =
V1
x
= ;
R2 R2
V
x
ω3 = L =
;
LK R3 + r3
VL = V1 = x;
x ⋅ r3
.
VC = ω3 ⋅ CK =
R3 + r3
(5.7)
55
Поскольку блок 2 и каток 3 являются однородными сплошными
цилиндрами радиусом Ri (i = 2, 3), находим входящие в (5.6) моменты
инерции:
m R2
m R2
IO = 2 2 ; IC = 3 3 ;
(5.8)
2
2
С учетом (5.6)–(5.8) запишем окончательно выражение для кинетической энергии системы (5.5) как функции обобщенной скорости x :
(
2
2
x 2 ⎡
m2 m3 2r3 + R3
⎢m +
Т=
+
2
2 ⎢ 1 2
+
2
R
r
(
)
3
3
⎣
) ⎤⎥ .
(5.9)
⎥
⎦
3. Вычислим все производные от кинетической энергии, входящие
в уравнение (5.4):
(
2
2
⎡
m2 m3 2r3 + R3
∂T
= x ⎢ m1 +
+
2
2
∂x
⎢
2 ( R3 + r3 )
⎣
(
) ⎤⎥ ;
⎥
⎦
2
2
⎡
m2 m3 2r3 + R3
d ⎛ ∂T ⎞
+
x ⎢ m1 +
⎜
⎟ = 2
dt ⎝ ∂x ⎠
2
⎢
R
r
2
+
(
)
3
3
⎣
∂T
= 0.
∂x
) ⎤⎥ ;
⎥
⎦
(5.10)
4. Используя формулу (3.1), найдем обобщенную силу Q1:
Q1 =
δ А1
.
δx
(5.11)
Для этого изобразим на рис. 5.2 все действующие на систему активG
G
G
ные силы тяжести m1 g , m2 g , m3 g , момент М пары сил, а также силу трения
G
F3тр , так как шероховатая наклонная плоскость не является идеальной
связью.
Мысленно остановим движение системы и сообщим ей виртуальное
перемещение, при котором обобщенная координата х получит положительное приращение δх > 0 в направлении ее отсчета. Покажем на рис. 5.2
виртуальные перемещения тел системы:
для груза 1 − вертикальное перемещение δх;
для шкива 2 − поворот на угол δϕ2 вокруг оси О;
для катка 3 − поворот на угол δϕ3 вокруг МЦС точки K.
56
Вычислим элементарную работу сил на этих виртуальных перемещениях системы. Получим
δА1 = m1g δx + M δϕ2 − m3g r3 sin βδϕ3.
(5.12)
Все входящие в (5.12) виртуальные перемещения следует выразить
через независимое перемещение δх. Отметим, что зависимость между виртуальными перемещениями будет такой же, какая существует между соответствующими скоростями точек и угловыми скоростями тел при движении склярономной механической системы. Из (5.7) следует, что
δϕ 2 =
δx
δx
, δϕ3 =
.
R2
R3 + r3
(5.13)
Подставляя (5.13) в (5.12) и вынося δх как общий множитель за скобки, находим
⎛
M
m g r sin β ⎞
δА1 = δx ⎜ m1g +
− 3 3
⎟.
+
R
R
r
2
3
3
⎝
⎠
По формуле (5.11) вычислим обобщенную силу:
Q1 = m1g +
M m3 g r3 sin β
.
−
R2
R3 + r3
(5.14)
5. Подставив (5.10) и (5.14) в (5.4), найдем явный вид уравнения
Лагранжа второго рода для рассматриваемой системы:
(
2
2
⎡
m2 m3 2r3 + R3
x ⎢m1 + +
2
2
⎢
+
2
R
r
(
)
3
3
⎣
) ⎤⎥ = m g + M
⎥
⎦
1
R2
−
m3 g r3 sin β
.
R3 + r3
(5.15)
x, то из (5.15) определяем искомое ускорение
Поскольку a1 = ⎛
M
m r sin β ⎞
2 g ⎜ m1 +
− 33
⎟
R2 g
R3 + r3 ⎠
⎝
a1 = x=
.
2
2
m3 2r3 + R3
2m1 + m2 +
2
( R3 + r3 )
(
)
(5.16)
Подставив в (5.16) исходные данные, определим величину ускорения
груза 1. Получим а1 = 6,16 м/с2.
Ответ: а1 = 6,16 м/с2.
57
Задание 6. Исследование движения системы с двумя степенями свободы с помощью уравнений Лагранжа второго рода Механическая система состоит из однородных тел 1, 2, 3 весом Р1,
Р2, Р3 соответственно, связанных друг с другом нерастяжимыми нитями
G
(рис. 6.1). На систему кроме сил тяжести действует сила F , приложенная
к телу 1 или 3, и пара сил с моментом М, приложенная к неподвижному
блоку 2. На одном из участков нити включена пружина с коэффициентом
жесткости с; в начальный момент времени пружина не деформирована.
Для механической системы составить уравнения Лагранжа второго
рода и найти законы изменения обобщенных координат х = х(t), ϕ = ϕ(t),
предполагая, что движение начинается из состояния покоя; определить
также частоту k и период τ колебаний, совершаемых телами системы при
ее движении.
За обобщенные координаты принять х – удлинение пружины, отсчитываемое в сторону его увеличения, и ϕ – угол поворота неподвижного
блока 2, отсчитывая его от начального положения.
Необходимые для решения данные приведены в табл. 6.1; для ступенчатых тел радиусы ступеней – R2 = R, r2 = 0,5R. При вычислении
моментов инерции все катки и блоки считать однородными сплошными
цилиндрами радиусом R.
Рис. 6.1
58
Рис. 6.1. Продолжение
59
13
14
М
2
М
3
c
2
3
1
c
45
о
1
15
16
2
2
c
3
c
45
1
17
1
F
3
о
F
18
М
3
2
F
c
c
1
2
3
1
19
20
c
2
F
c
2
1
3
3
1
F
Рис. 6.1. Окончание
30 о
60
Таблица 6.1
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Р1
Р2
Р3
F
М
2Р
Р
2Р
3Р
2Р
2Р
Р
2Р
Р
4Р
2Р
Р
2Р
2Р
Р
4Р
Р
2Р
4Р
2Р
4Р
Р
2Р
2Р
2Р
Р
4Р
2Р
2Р
Р
2Р
2Р
2Р
Р
2Р
2Р
Р
Р
2Р
Р
2Р
4Р
4Р
Р
2Р
Р
2Р
3Р
4Р
2Р
Р
2Р
Р
2Р
2Р
4Р
2Р
2Р
2Р
Р
–
Р
–
2Р
–
–
–
–
2Р
–
Р
2Р
–
–
2Р
Р
–
2Р
Р
–
2PR
–
2PR
–
–
PR
2PR
PR
–
2PR
–
–
2PR
2PR
–
–
PR
–
–
PR
6.1. Краткие теоретические сведения Теоретические сведения, необходимые для выполнения задания 6,
приведены в параграфе 5.1.
6.2. Пример выполнения задания 6 Механическая система состоит из неподвижного двухступенчатого
блока 2 радиусами ступеней R и r = 0,5R, к которому приложена пара сил
с моментом М; тележки 1 и катка 3 (рис. 6.2). Веса тел равны соответственно Р1, Р2 и Р3; весом колес тележки пренебречь.
Тележка 1 соединена с катком нерастяжимой нитью, а с блоком 2 –
пружиной, коэффициент жесткости которой равен с. Система начинает
движение из состояния покоя, пружина в этот момент не деформирована.
Определить законы изменения обобщенных координат х = х (t),
ϕ = ϕ(t), частоту k и период τ колебаний.
При вычислении моментов инерции блок 2 и каток 3 считать однородными сплошными цилиндрами радиусом R, каток 3 катится без
скольжения по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол β.
61
Рис. 6.2
Решить задание при следующих данных: Р1 = Р, Р2 = 2Р, Р3 = Р,
М = 2РR, β = 30°.
Решение
1. Механическая система имеет две степени свободы, поэтому ее
положение определяется двумя обобщенными координатами q1 и q2.
За обобщенную координату q1 примем удлинение пружины х,
отсчитываемое в сторону тела 3 (l0 – недеформированная длина пружины),
а за обобщенную координату q2 – угол поворота ϕ блока 2, отсчитывая ϕ от
его начального положения в направлении действия момента М (рис. 6.2);
x и ϕ − обобщенные скорости. Тогда уравнения Лагранжа второго рода
(5.1) имеют вид
d ⎛ ∂T
⎜
d t ⎝ ∂x
⎞ ∂T
= Q1 ;
⎟−
⎠ ∂x
d ⎛ ∂T ⎞ ∂T
−
= Q2 .
d t ⎜⎝ ∂ϕ ⎟⎠ ∂ϕ
(6.1)
Здесь Q1 и Q1 – обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам х и ϕ.
Для определения законов изменения обобщенных координат х = х(t)
и ϕ = ϕ(t) следует составить и решить систему дифференциальных уравнений (6.1) при начальных условиях задачи:
t = 0, x ( 0 ) = 0,
x ( 0 ) = 0;
ϕ ( 0 ) = 0,
ϕ ( 0 ) = 0.
(6.2)
62
2. Определим кинетическую энергию T системы как функцию обобщенных координат x, ϕ и обобщенных скоростей x , ϕ :
T = T1 + T2 + T3,
(6.3)
где T1, T2, T3 – кинетические энергии соответственно тел 1, 2 и 3.
Так как блок 2 вращается вокруг оси О, тележка 1 движется поступательно, а каток 3 совершает плоскопараллельное движение, то
1
m1V12 ,
2
1
T2 = I O ω 22 ,
2
1
1
T3 = m 3VC2 + I C ω 32 ,
2
2
T1 =
(6.4)
где осевые моменты инерции для сплошных однородных цилиндров
с учетом исходных данных вычисляются по формулам
m2 R22 P2 R 2 PR 2
IO =
,
=
=
g
2
2g
m3 R32 P3 R32 PR32
.
IC =
=
=
2
2g
2g
(6.5)
Выразим входящие в (6.4) величины скоростей через обобщенные
скорости x и ϕ :
ω2 = ϕ ,
V1 = VA − x = ω2 r − x =
ϕ R
− x ,
2
ϕ R
− x ,
2
V
⎛ ϕ R ⎞
ω3 = C = ⎜
− x ⎟ / R3 .
R3 ⎝ 2
⎠
VC = V1 =
(6.6)
С учетом (6.4)–(6.6) и исходных данных получим окончательное
выражение для кинетической энергии системы (6.3)
2
5 P ⎛ ϕ R
PR 2 2
⎞
T =
− x ⎟ +
ϕ .
⎜
4g ⎝ 2
2g
⎠
(6.7)
63
3. Вычислим все частные производные от кинетической энергии
(6.7), входящие в уравнения (6.1):
∂T 5P ⎛
ϕ R ⎞
x −
=
⎜
⎟;
2 ⎠
∂x 2 g ⎝
d ⎛ ∂T ⎞ 5P
5PR
;
x−
ϕ
⎜ ⎟=
dt ⎝ ∂x ⎠ 2 g
4g
∂T
= 0;
∂x
(6.8)
2
2
∂T 5P ⎛ ϕ R
⎞ R PR 13PR 5PR =
−
ϕ=
ϕ−
x
x;
⎜
⎟ +
g
∂ϕ 2 g ⎝ 2
8g
4g
⎠2
d ⎛ ∂T ⎞ 13PR 2
5PR
−
x;
=
ϕ
⎟
⎜
dt ⎝ ∂ϕ ⎠
8g
4g
∂T
= 0.
∂ϕ
4. Найдем обобщенные силы Q1 и Q2. Для этого на рис.G 6.2G изобраG
зим активные силы, действующие на систему: силы тяжести P1 , P2 , P3 , сиG
G
лы упругости F и F ′ пружины (согласно закону Гука F = F ′ = cx )
и пару сил с моментом М.
Для определения силы Q1 сообщим обобщенной координате х
положительное приращение δx > 0 при фиксированной обобщенной координате ϕ ( ϕ = const , т. е. блок 2 не вращается). Тогда тела системы испытают виртуальные перемещения (см. рис. 6.2):
тележка 1 – перемещение δx вниз по наклонной плоскости;
центр масс С катка 3 – виртуальное перемещение δs3 = δx .
Вычислим виртуальную работу δA1 активных сил на этих виртуальных перемещениях с учетом исходных данных:
δA1 = P1 sin 30 o δx − F δx + P3 sin 30o δs3 = ( P − cx ) δx.
(6.9)
Тогда обобщенную силу Q1 найдем по формуле (3.1)
Q1 =
δA1
= P − cx.
δx
(6.10)
64
Рис. 6.3
Для определения обобщенной силы Q2 сообщим обобщенной координате ϕ положительное приращение δϕ > 0 при фиксированной обобщенной координате х (х = const, т. е. при таком перемещении пружина
не изменяет свою длину). Тогда тела системы испытают виртуальные
перемещения (см. рис. 6.3):
неподвижный блок 2 – поворот на угол δϕ вокруг оси вращения О;
тележка 1 и центр масс С катка 3 получат одинаковые виртуальные
перемещения вверх по наклонной плоскости δsC = δs1 = δs A = r δϕ .
С учетом исходных данных вычислим виртуальную работу δA2
активных сил на этих виртуальных перемещениях:
δA2 = M δϕ − F ′ δs A + F δs1 − P1 sin 30 o δs1 − P3 sin 30 o δsC =
= ⎡⎣ M − ( P1 + P3 ) sin 30 o r ⎤⎦ δϕ =
3PR
δϕ.
2
По аналогии с (6.10) находим
Q2 =
δA2
3PR
=
.
δϕ
2
(6.11)
5. С учетом (6.8), (6.10) и (6.11) запишем уравнения Лагранжа (6.1)
для рассматриваемой системы в явном виде:
65
⎧ 5P 5PR ⎪ 2 g x − 4 g ϕ = P − cx,
⎪
⎨
2
5PR
3PR
⎪ 13PR ϕ
−
.
x=
⎪⎩ 8 g
4g
2
(6.12)
(6.13)
Для определения законов изменения обобщенных координат
х = х (t), ϕ = ϕ(t) проинтегрируем найденную систему дифференциальных
уравнений (6.12) и (6.13) при начальных условиях (6.2).
. Для этого
Методом подстановки из уравнения (6.12) исключим ϕ
из (6.13) и подставим в уравнение (6.12). В результате получим
выразим ϕ
дифференциальное уравнение для обобщенной координаты х:
x+
13cg
7g
x =
.
20 P
5
(6.14)
Согласно теории дифференциальных уравнений запишем решение
неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (6.14) в виде
x = x1 + x2 ,
(6.15)
где х1 – общее решение однородного уравнения
x + k 2 x = 0,
k2 ≡
13cg
;
20 P
(6.16)
x2 – частное решение уравнения (6.14).
Найдем x2. Поскольку в правой части уравнения (6.14) стоит постоянная величина, то частное решение x2 будем искать в виде
x2 = B = const.
(6.17)
Определим константу В. Подставив решение (6.17) и x2 = 0 в исходное уравнение (6.14), получим
13cg
7g
B=
.
20 P
5
Отсюда B =
28 P
, cледовательно,
13c
x2 =
28 P
.
13c
(6.18)
66
По структуре уравнение (6.16) соответствует дифференциальному
уравнению свободных колебаний системы при отсутствии сопротивления.
Будем искать решение этого линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в виде
x1 = λ 2 e λt в (6.16), получим характериx1 = e λt . Подставив это решение и стическое уравнение
λ2 + k 2 = 0 ,
которое имеет мнимые корни λ1,2 = ± ki . Тогда общее решение уравнения
(6.16) имеет вид
x1 = C1*e λ1t + C2*e λ 2t = C1 cos ( kt ) + C2 sin ( kt ) ,
(6.19)
где
k=
13cg
(6.20)
20 P
есть искомая собственная (круговая) частота колебаний, совершаемых
телами системы при ее движении; C1 , C2 − постоянные интегрирования.
Период колебаний системы
τ=
2π
20 P
= 2π
.
k
13cg
Итак, согласно (6.15), с учетом (6.18) и (6.19), получим решение
дифференциального уравнения (6.14)
x = C1 cos ( kt ) + C2 sin ( kt ) +
28 P
.
13c
(6.21)
Определим постоянные интегрирования C1 и C2 . Подставим начальные условия t = 0, x ( 0 ) = 0 в (6.21):
0 = C1 cos0o + C2 sin 0o +
Отсюда
C1 = −
28 P
.
13c
28 P
.
13c
(6.22)
67
Для определения C2 вычислим обобщенную скорость x , продифференцировав (6.21) по времени:
x = −C1k sin ( kt ) + C2 k cos ( kt ).
(6.23)
Подставив в (6.23) начальные условия t = 0, x ( 0 ) = 0, получим
0 = −C1k sin 0o + C2 cos0o ,
откуда
C2 = 0.
(6.24)
С учетом (6.20), (6.22) и (6.24) получим закон изменения обобщенной координаты х:
x=
⎛ 13cg ⎞ ⎤
28 P ⎡
t ⎟⎥ .
⎢1 − cos ⎜
13c ⎢⎣
⎝ 20 P ⎠ ⎥⎦
6.25)
6. Для определения закона изменения обобщенной координаты ϕ
воспользуемся уравнением (6.13). Для этого подставим в него вторую производную по времени от (6.25)
x=
⎛ 13cg ⎞
7g
cos ⎜
t ⎟.
5
20
P
⎝
⎠
Получим
=
ϕ
или, полагая ϕ = ω 2 ,
⎛ 13cg
14 g
cos ⎜
13R
⎝ 20 P
⎞ 12 g
t⎟+
⎠ 13R
⎛ 13cg
dω 2 14 g
=
cos ⎜
dt
13R
⎝ 20 P
⎞ 12 g
t⎟+
.
13
R
⎠
(6.26)
Уравнение (6.26) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными ω2 и t. Умножим
(6.26) на dt и вычислим от обеих частей полученного равенства определенные интегралы. Нижние пределы интегралов соответствуют начальным условиям движения системы (6.2): t = 0, ϕ (0) = ω2 (0) = 0, верхние
пределы − произвольному моменту времени t и значению угловой скорости ω2:
68
ω2
t
t
⎛ 13cg ⎞
14 g
12 g
∫ dω2 = 13R ∫ cos ⎜⎝ 20 P t ⎟ dt + 13R ∫ dt.
⎠
0
0
0
Отсюда находим
ω2 =
⎛ 13cg ⎞ 12 g
14 g 20 P
sin ⎜
t⎟+
t.
13R 13cg
20
13
P
R
⎝
⎠
Подставив в (6.27) ω 2 =
(6.27)
dϕ
и умножив на dt , проинтегрируем полуdt
ченное уравнение:
ϕ
14 g 20 P
ϕ
=
d
∫ 13R 13cg
0
t
⎛ 13cg ⎞
12 g
∫ sin ⎜ 20 P t ⎟ dt + 13R ∫ t dt.
⎝
⎠
0
0
t
(6.28)
В выражении (6.28) верхние пределы интегралов переменные, а нижние
соответствуют начальным условиям (6.2) t = 0, ϕ(0) = 0. Отсюда находим
t
⎛ 13cg ⎞
280 P
6g 2
ϕ=−
cos ⎜
t⎟ +
t
169cR
20
P
13
R
⎝
⎠0
или
ϕ=
⎛ 13cg
280 P ⎡
⎢1 − cos ⎜
169cR ⎢⎣
⎝ 20 P
⎞⎤ 6 g 2
t ⎟⎥ +
t .
R
13
⎠ ⎥⎦
(6.29)
Зависимость (6.29) представляет собой искомый закон изменения
обобщенной координаты ϕ от времени.
Ответ: x =
ϕ=
k=
⎛ 13cg
28 P ⎡
−
1
cos
⎢
⎜
13c ⎣⎢
⎝ 20 P
⎞⎤
t ⎟⎥ ,
⎠ ⎦⎥
⎛ 13cg ⎞ ⎤ 6 g 2
280 P ⎡
t ⎟⎥ +
t ,
⎢1 − cos ⎜
169cR ⎢⎣
20
P
13
R
⎥
⎝
⎠⎦
13cg
20 P
,
τ = 2π
20 P
.
13cg
69
Задание 7. Исследование движения консервативной системы с одной степенью свободы Механизм расположен в вертикальной плоскости (рис. 7.1). Для
вариантов 2, 4, 6, …, 20 на рис. 7.1 он состоит из ступенчатых колес 1 и 2
(радиусы ступеней: R1 = 0,4 м, r1 = 0,2 м, R2 = 0,3 м, r2 = 0,1 м), имеющих
неподвижные оси вращения, и груза 4, подвешенного на нити, намотанной
на колесо. Для вариантов 1, 3, 5, …, 19 на рис. 7.1 телами механизма являются ступенчатое колесо 1, однородный стержень 3 длиной l = 1,2 м,
закрепленный шарниром на одном из его концов, и груз 4, подвешенный
на нити.
На стержне 3 расстояние АВ = 2l/3. Звенья механизма или находятся
в зацеплении, или соединены невесомым стержнем 5. К стержню 3 или одному из колес прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с. В положении, изображенном на рис. 7.1, механизмы находятся в равновесии.
Определить частоту k и период τ малых колебаний системы около
положения равновесия; найти величину статической деформации λ ст пружины. Массы mi (i = 1, 2, 3, 4) тел и коэффициент жесткости с пружины
заданы в табл. 7.1. При вычислении моментов инерции все катки и блоки
считать однородными сплошными цилиндрами радиусом Ri (i = 1, 2) .
Таблица 7.1
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
m1, кг
m2, кг
m3, кг
m4, кг
c, Н/м
16
10
16
20
18
12
20
16
12
16
16
20
20
20
10
12
12
16
10
10
–
8
–
16
–
10
–
12
–
12
–
10
–
16
–
10
–
12
–
8
9
–
3
–
3
–
6
–
3
–
8
–
4
–
6
–
3
–
6
–
4
2
4
5
4
4
2
4
4
4
2
5
8
6
6
4
4
4
5
2
1200
600
1200
1500
1500
1200
600
1200
1000
1200
1200
1500
1200
1500
1500
1200
1000
1200
1500
600
70
А
1
3
c
5
В
4
Рис. 7.1
71
1
c
3
В 5
4
А
Рис. 7.1. Продолжение
72
Рис. 7.1. Окончание
7.1. Краткие теоретические сведения Голономная материальная система со стационарными идеальными
связями, находящаяся под действием только потенциальных сил, является
консервативной системой.
Сила, работа которой не зависит от траектории движения точки ее
приложения, а определяется только начальным и конечным ее положением,
называется потенциальной силой (например, сила тяжести, сила упругости).
Полная энергия Е консервативной системы, определяемая суммой
кинетической энергии Т и потенциальной энергии П, является интегралом
движения E = Т + П = const , т. е. функцией, сохраняющей постоянное значение для любого положения материальной системы.
Потенциальной энергией П называется часть механической энергии
системы, зависящая от взаимного расположения частиц (тел) системы и их
положения во внешнем потенциальном силовом поле.
Для механической системы, состоящей из n точек (тел) и движущейся в потенциальном стационарном силовом поле, потенциальная энергия
73
системы в произвольном ее положении равна работе, которую произведут
силы поля при перемещении точек (тел) системы из данного положения
в нулевое (в этом положении условно считается П = 0):
n
П = ∑ АBνOν .
ν =1
(7.1)
Если на систему действует несколько потенциальных силовых полей,
то для каждого поля можно выбрать свою «нулевую точку» отсчета Oν .
Запишем выражения потенциальной энергии:
1) для однородного поля сил тяжести (ось ОZ направлена вертикально вверх, П( z = 0) = 0 )
n
П = ∑ Pν z ν ;
ν=1
(7.2)
где Pν − сила тяжести ν-го тела; z ν − декартова координата центра тяжести
ν-го тела;
2) для поля силы упругости (ось ОX проведена из конца ненапряженной пружины, П( х = 0) = 0 )
сх 2
П=
,
2
(7.3)
где с − жесткость пружины.
Для консервативной системы с S степенями свободы согласно (3.3)
обобщенная потенциальная сила Qm равна взятой с противоположным знаком частной производной от потенциальной энергии по соответствующей
обобщенной координате qm:
Qm = −
∂П
.
∂qm
Поэтому уравнения Лагранжа второго рода (5.1) принимают вид
d ⎛ ∂T ⎞ ∂T ∂П
+
=0
⎟−
⎜
dt ⎝ ∂qm ⎠ ∂q ∂qm
(m = 1, 2, ..., S ) .
74
Поскольку потенциальная энергия системы не зависит от обобщенных
скоростей qm (m = 1, 2, ..., S ) , то ∂П/∂qm = 0 . Тогда уравнения Лагранжа
второго рода можно записать следующим образом:
d ⎛ ∂L ⎞ ∂L
=0
⎟−
⎜
dt ⎝ ∂qm ⎠ ∂qm
(m = 1, 2, ..., S ).
(7.4)
Уравнения (7.4) называются уравнениями Лагранжа второго рода
для материальной системы при действии на нее потенциальных сил.
В выражении (7.4)
L =T − П.
(7.5)
Функция L = L ( qm , qm , t ) , равная разности кинетической и потенциальной энергий системы, называется функцией Лагранжа или кинетическим
потенциалом системы. Следовательно, в случае консервативной системы
уравнения Лагранжа второго рода имеют более простой вид (7.4) и содержат только одну функцию L. Этими уравнениями удобно пользоваться при
исследовании малых колебаний консервативной системы около положения
устойчивого равновесия.
7.2. Пример выполнения задания 7 Находящийся в равновесии механизм (рис. 7.2, а), расположенный
в вертикальной плоскости, состоит из ступенчатого колеса 1 массой m1
и радиусами ступеней R1, r1, имеющего неподвижную ось вращения O1;
груза 2 массой m2, подвешенного на нити, намотанной на колесо 1; однородного стержня 3 массой m3 длиной l, закрепленного на конце шарниром О.
Стержень 3 соединен с колесом 1 невесомым стержнем AK (в точках А
и K − шарниры), а в его середине (в точке В) прикреплена вертикальная
пружина жесткости с.
Определить частоту k и период τ малых колебаний системы около
положения равновесия. Найти величину статической деформации λ ст
пружины. При вычислении осевого момента колесо 1 считать однородным
цилиндром радиусом R.
Решить задание при следующих данных: m1 = 18 кг, m2 = 4 кг, m3 = 6 кг,
с = 1000 Н/м, l = 1 м, R1 = R, r1= 0,5R.
75
Решение
1. Рассмотрим произвольное состояние системы, когда она выведена
из положения равновесия (рис. 7.2, б) и совершает малые колебания.
Поскольку рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы, примем за обобщенную координату угол ϕ отклонения
стержня 3 от горизонтали в направлении растяжения пружины. Тогда угловая скорость стержня 3 (ω3 = ϕ ) – обобщенная скорость. Связи, наложенные на систему, являются идеальными и стационарными (пружина,
не являющаяся идеальной связью, заменена силой упругости), а все действующие на нее силы – потенциальные (сила упругости, силы тяжести).
Следовательно, рассматриваемая система является консервативной и для
нее уравнение Лагранжа второго рода (7.4) имеет вид
d ⎛ ∂L ⎞ ∂L
−
= 0.
dt ⎜⎝ ∂ϕ ⎟⎠ ∂ϕ
(7.6)
Здесь функция Лагранжа L = T − П является функцией обобщенной координаты ϕ и обобщенной скорости ϕ .
Для рассматриваемого механизма вычислим функцию Лагранжа
L = L ( ϕ, ϕ ) , считая угол ϕ и обобщенную скорость ϕ малыми. Исходя из
этого в выражении для L ограничимся только слагаемыми не выше второго
порядка малости (второй степени) по обобщенной координате ϕ и обобщенной скорости ϕ , так как в уравнении (7.6) функция Лагранжа L стоит
под знаками первых производных по ϕ и ϕ , а при дифференцировании степенного многочлена его степень понижается на единицу.
а
б
Рис. 7.2
76
2. Определим кинетическую энергию T = T ( ϕ, ϕ ) системы как сумму
кинетических энергий, входящих в нее тел:
T = T1 + T2 + T3 ,
(7.7)
где T1 , T2 , T3 − кинетические энергии тел 1, 2, 3 соответственно.
Поскольку колесо 1 вращается вокруг оси O1, груз 2 движется поступательно, а стержень 3 вращается вокруг оси О, то
T1 =
1
I O ω12 ,
2 1
T2 =
1
m 2V 22 ,
2
T3 =
1
I O ω 32 .
2
(7.8)
Здесь моменты инерции для сплошных однородных тел 1 и 3 относительно
осей вращения вычисляются по формулам
IO =
1
m1 R 2
,
2
IO =
m3 l 2
.
3
(7.9)
Выразим все скорости, входящие в (7.8), через обобщенную скорость ϕ :
ω3 = ϕ ,
VK = VA = ϕ l ,
(7.10)
V
ϕ l
ϕ l r1 ϕ l
V2 = ω1 r1 =
ω1 = K =
= .
,
R1
R
R
2
С учетом (7.8)–(7.10) и исходных данных получим окончательное
выражение для кинетической энергии системы (7.7)
l 2 ϕ 2
T =
( 6 m1 + 3m 2 + 4 m3 ) .
24
(7.11)
3. Определим потенциальную энергию П = П(ϕ) системы (рис. 7.2, б)
как функцию обобщенной координаты ϕ, полагая, что в положении равновесия (рис. 7.2, а) при ϕ = 0 потенциальная энергия П(0) = 0.
К рассматриваемой механической системе приложены потенциальG
G
ные силы: сила упругости пружины и силы тяжести. P1 = m1g ,
G
G G
G
P2 = m2 g , P3 = m3 g . Поэтому, согласно (7.2) и (7.3),
cλ2
П=
+ m1g z1 + m2 g z2 + m3 g z3 ,
2
(7.12)
77
где λ − полная деформация пружины (в положении равновесия (рис. 7.2, а)
считаем пружину растянутой на величину λ ст ); z1 , z2 , z3 − координаты
центров тяжести тел 1, 2, 3 системы (оси Zi (i = 1, 2, 3) направлены по
вертикали вверх из центров тяжести соответствующих тел в положении
равновесия механизма).
Выразим λ, z1, z2 , z3 через обобщенную координату ϕ, учитывая, что
при отклонении однородного стержня 3 от горизонтали на угол ϕ, его
центр тяжести (точка В) опустится на расстояние sB , груз 2 поднимется на
расстояние s2 , а центр тяжести колеса 1 останется неподвижным. Отметим,
что перемещения точек (тел) системы будут связаны с углом ϕ теми же
коэффициентами, что и скорости этих точек (тел) с обобщенной скоростью ϕ .
Тогда, учитывая (7.10) и полагая для малых углов sin ϕ ≈ ϕ , cos ϕ ≈ 1 − ϕ2 / 2 ,
находим
λ = λ ст + sB = λ ст +
l sin ϕ
lϕ
≈ λ ст + ,
2
2
z1 = 0,
z 2 = s2 =
l ϕ r1 l ϕ
= ,
2 R1
2
z3 = − sB = −
(7.13)
l sin ϕ
lϕ
≈− .
2
2
Подставив (7.13) в (7.12), получим
2
c⎛
lϕ⎞
lϕ
lϕ
− m3 g
П = ⎜ λ ст + ⎟ + m2 g
2⎝
2⎠
2
2
или
2
c⎛
lϕ⎞ lgϕ
П = ⎜ λ ст + ⎟ +
( m2 − m3 ) .
2⎝
2⎠
2
(7.14)
Найдем величину статической деформации λ ст пружины. Согласно
(3.4) в положении равновесия механизма при ϕ = 0 обобщенная потенциальная сила Q1 = −∂ П/∂ϕ = 0, или с учетом (7.14) получаем уравнение
cl ⎛
lϕ⎞
lg
⎜ λ ст + ⎟ + ( m2 − m3 ) = 0
2⎝
2 ⎠ ϕ=0 2
78
или
c λ ст + g ( m2 − m3 ) = 0.
Отсюда находим
λ ст =
g ( m3 − m2 )
c
.
(7.15)
С учетом исходных данных λ ст = 0,0196 м = 1,96 см.
По теореме Лагранжа – Дирихле для доказательства устойчивости
равновесия консервативной системы следует убедиться в том, что потенциальная энергия П в рассматриваемом положении равновесия минимальна. Для
системы с одной степенью свободы достаточно убедиться, что вторая
производная от потенциальной энергии по обобщенной координате ϕ
в положении равновесия при ϕ = 0 положительна. Действительно, вычисляя
вторую производную от (7.14) по обобщенной координате ϕ, получаем
d2П с l2
=
> 0.
4
dϕ 2
Следовательно, положение равновесия механизма при ϕ = 0 является
устойчивым и колебания рассматриваемой системы около этого положения равновесия могут быть малыми.
С учетом (7.15) запишем окончательное выражение для потенциальной энергии системы:
c ⎛ g ( m3 − m2 ) l ϕ ⎞ l g ϕ
П= ⎜
+ ⎟ +
( m2 − m3 ) .
2⎝
c
2⎠
2
2
(7.16)
4. Подставим (7.11) и (7.16) в (7.5) и получим функцию Лагранжа L
системы как функцию обобщенной координаты ϕ и обобщенной скорости ϕ :
l 2 ϕ 2
L=
( 6 m1 + 3m 2 + 4 m3 ) −
24
c ⎛ g ( m3 − m 2 ) l ϕ ⎞
lgϕ
− ⎜
+
( m 2 − m3 ) .
⎟ −
2⎝
2 ⎠
2
c
2
(7.17)
Для составления уравнений Лагранжа второго рода вычислим все
частные производные от функции Лагранжа (7.17), входящие в уравнения (7.6):
79
∂L l 2ϕ
=
( 6m1 + 3m2 + 4m3 ) ;
∂ϕ 12
d ⎛ ∂L ⎞ l 2ϕ
=
( 6m1 + 3m2 + 4m3 ) ;
dt ⎜⎝ ∂ϕ ⎟⎠ 12
(7.18)
⎡ g ( m3 − m2 ) l ϕ ⎤ l l g
cl 2ϕ
∂L
.
= −c ⎢
+ ⎥ − ( m2 − m3 ) = −
c
2
2
2
4
∂ϕ
⎣
⎦
С учетом (7.18) дифференциальное уравнение (7.6) для малых колебаний системы около положения равновесия принимает вид
l 2ϕ
cl 2 ϕ
6
m
+
3
m
+
4
m
+
=0
( 1
2
3)
12
4
или
+ k 2 ϕ = 0,
ϕ
где
k=
3c
6m1 + 3m2 + 4m3
(7.19)
есть искомая круговая частота малых колебаний.
Подставив исходные числовые данные в (7.19), получим k = 4,56 c−1 .
Период свободных малых колебаний механизма около положения
устойчивого равновесия вычислим по формуле
τ=
2π 2 ⋅ 3,14
=
= 1,38 c.
k
4,56
Ответ: k = 4,56 c−1 , τ = 1,38 c.
80
Задание 8. Применение принципа Гамильтона – Остроградского к исследованию движения механической системы
Механическая система состоит из тел 1, 2, 3 массой m1, m2, m3 соответственно, связанных друг с другом нерастяжимыми нитями (рис. 8.1).
К одному из тел (1 или 3) прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с; в момент начала движения пружина не деформирована. При движении на шкив 2 действует момент сил сопротивления, пропорциональный
угловой скорости вращения шкива М =− μω2 , где μ − постоянная ( μ > 0).
Воспользовавшись интегральным принципом Гамильтона – Остроградского, составить дифференциальное уравнение движения, приняв за
обобщенную координату перемещение х груза 1. Найти закон её изменения
х = х(t) и построить график этой зависимости; движение механической
системы начинается из состояния покоя.
Необходимые для решения данные приведены в табл. 8.1; для ступенчатых тел радиусы ступеней R = 0,2 м, r = 0,5R. При вычислении моментов инерции все катки и шкивы считать однородными сплошными цилиндрами радиусом R.
Таблица 8.1
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
m1,
кг
0,4
0,2
0,1
0,4
0,1
0,8
0,1
0,2
0,1
0,2
0,3
0,5
0,2
0,3
0,1
0,4
0,2
0,4
0,5
0,1
m2,
кг
14
16
4
4
8
2
3
2
8
4
3
4
5
2
12
16
8
4
3
14
m3,
кг
0,3
0,8
0,1
0,1
0,9
0,1
0,2
0,5
0,4
0,2
0,1
0,2
0,4
0,3
0,6
0,8
0,2
0,2
0,2
0,3
C,
Н/м
60
80
90
200
100
120
100
80
40
130
30
90
120
80
60
160
200
150
120
100
μ
Н ⋅ с/м
0,03
0,02
0,05
0,05
0,08
0,04
0,03
0,02
0,05
0,04
0,02
0,03
0,06
0,02
0,04
0,08
0,04
0,02
0,03
0,08
Дополнительные
данные
R2 = R
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R3 = R, r3 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r
R2 = r, R3 = 2r3 = 2r
R2 = R, r2 = r
R2 = R3 = R, r3 = r
81
Рис. 8.1
82
Рис. 8.1. Продолжение
83
Рис. 8.1. Окончание
8.1. Краткие теоретические сведения Часто в курсе аналитической механики изучение движения материальной системы сводится к составлению и исследованию дифференциальных
уравнений движения. Уравнения, к которым относятся уравнения Лагранжа
второго рода, можно получить из принципов, рассматривающих движение
системы за конечный промежуток времени и небольшие виртуальные
изменения движения в этом промежутке. Принципы такого рода известны
как интегральные принципы. К ним, в частности, относится принцип
Гамильтона – Остроградского.
Рассмотрим движение голономной материальной системы с S степенями свободы, положение которой определяется обобщенными координатами q1, q2, ..., qS.
Пространством конфигураций называется S-мерное пространство,
каждая точка которого определяется заданием S чисел – обобщенных
координат q1, q2, ..., qS.
84
Любому положению системы соответствует точка конфигурационного
пространства, называемая изображающей точкой. При движении системы
изображающая точка описывает в пространстве конфигураций кривую –
траекторию движения.
Прямым путем изображающей точки называется геометрическое
место ее действительных положений в S-мерном конфигурационном
пространстве.
В соответствии с этим определением прямой путь изображающей
точки параметрически представляется уравнениями
qm = qm (t )
(m = 1, 2, ..., S ) .
(8.1)
Окольным путем называется геометрическое место воображаемых
смещений положений прямого пути, причем смещения в начальный
и
конечный моменты времени должны равняться нулю. Окольные пути получаются из прямого пути с помощью виртуальных перемещений δqm и
задаются уравнениями:
qm (t ) = qm (t ) + δqm
( m = 1, 2, ..., S ) ,
(8.2)
где изохронные вариации δqm обобщенных координат qm представляют
собой любые бесконечно малые дифференцируемые функции, не нарушающие связей и подчиненные условиям
δqm t=t = 0,
0
δqm t=t = 0
1
(m = 1, 2, ..., S) .
(8.3)
Здесь t0 и t1 – фиксированные, но произвольные начальный и конечный
моменты времени, в промежутке между которыми рассматривается движение системы. Условия (8.3) называются условиями закрепленности концов
окольных путей.
Действием по Гамильтону за промежуток времени [t0, t1] называется
величина J, определяемая выражением
t1
J = ∫ L dt ,
(8.4)
t0
где L = T − П – функция Лагранжа.
Значение J определяется выбором S функций времени q1, q2, ..., qS,
так как функция Лагранжа L системы является в общем случае функцией
обобщенных координат qm, обобщенных скоростей q m и времени t.
85
Одним из наиболее широко используемых интегральных вариационных принципов является вариационный принцип Гамильтона – Остроградского: в истинном движении действие по Гамильтону достигает
стационарного значения сравнительно со значениями на всех близких
движениях.
Таким образом, из всех возможных движений изображающей точки
в конфигурационном пространстве от ее положения в момент t0 до ее положения в момент t1 истинным будет то движение, при котором интеграл
t1
J = ∫ L dt имеет экстремум (максимум или минимум). Этот принцип
t0
применяется для изучения движения голономных материальных систем,
подчиненных удерживающим стационарным идеальным связям и находящихся под действием только потенциальных сил.
Согласно принципу Гамильтона – Остроградского истинное движение
материальной системы таково, что вариация действия по Гамильтону при
фиксированных значениях t0 и t1 равна нулю:
t1
δJ = δ ∫ L ( q1 , ..., qS , q1 ,
S ,
..., q
t ) dt = 0.
(8.5)
t0
При этом сравниваются движения изображающей точки, для которых выполняются условия закрепленности концов окольных путей (8.3).
Отметим, что механику консервативных систем можно построить
исходя из принципа Гамильтона – Остроградского как основного постулата,
заменяющего законы Ньютона. Формулировка законов механики в виде
принципа Гамильтона – Остроградского имеет определенные преимущества:
этот принцип не зависит от координат, применяемых при составлении
функции Лагранжа. Важным является также то, что этот принцип указывает
путь, которому нужно следовать при описании с математической строгостью классической механики явно немеханических систем (например,
в теории поля).
При изучении движения материальной системы, находящейся под
действием как потенциальных, так и непотенциальных сил, следует
пользоваться интегральным принципом Гамильтона – Остроградского
для неконсервативной системы: при движении изображающей точки
вдоль траектории действительного перемещения интеграл
t1
S
⎞
⎛
δ
T
+
Q
δ
q
m m ⎟ dt = 0.
∫ ⎜⎝ ∑
m=1
⎠
t0
(8.6)
86
Отметим, что это уже невариационная формулировка. Действительно,
выделим в обобщенных силах потенциальные и непотенциальные силы:
Qm = −
∂П
+ Qmнп
∂qm
(m = 1, 2, ..., S ) ,
где Qmнп – непотенциальная обобщенная сила.
Учтем, что потенциальная энергия системы является функцией, зави∂П
= 0 , и изохронная
сящей только от обобщенных координат, т. е.
∂qm
вариация функции П определяется по формуле
∂П
δqm .
m=1 ∂qm
S
δП = ∑
Тогда принцип Гамильтона – Остроградского (8.6) для неконсервативной
системы можно записать в виде
t1
(
)
нп
∫ δT − δП + δA dt = 0,
t0
где δAнп – виртуальная работа непотенциальных сил;
S
δAнп = ∑ Qmнп δqm .
m=1
Так как δL = δT – δП, то из (8.6) получим
t1
t1
t0
t0
нп
∫ δL dt + ∫ δA dt = 0.
Введя величину δJ* и учитывая определение (8.4), можно записать
t1
δJ * = δJ + ∫ δAнп dt = 0.
(8.7)
t0
Выражение (8.7) утверждает только то, что величина δJ* на прямом
пути равна нулю. Самого же функционала J* не существует. Поэтому принцип Гамильтона – Остроградского для неконсервативной системы (8.6) называют интегральным принципом Гамильтона – Остроградского.
87
Вариационным (8.5) и интегральным (8.6) принципами Гамильтона –
Остроградского можно пользоваться при составлении дифференциальных
уравнений движения материальных систем с распределенными параметрами,
при выводе различных форм уравнений динамики (уравнений Лагранжа
второго рода, уравнений Гамильтона, а также при решении задач динамики
приближенными методами).
8.2. Пример выполнения задания 8 Механическая система (рис. 8.2) состоит из груза 1, блока 2 и двухступенчатого катка 3 массой m1, m2 и m3 соответственно. Тела связаны
друг с другом нерастяжимыми нитями.
При движении на блок 2 радиусом R2 действует момент сопротивления М, модуль которого пропорционален угловой скорости вращения
блока: М = μω2 , где μ − постоянная. Каток 3 (радиусы ступеней – R3 и r3) связан с основанием пружиной с коэффициентом жесткости с; в момент начала движения деформация пружины равна нулю.
Приняв за обобщенную координату перемещение х груза 1, составить
дифференциальное уравнение движения системы, воспользовавшись интегральным принципом Гамильтона – Остроградского. Найти закон изменения обобщенной координаты и построить график зависимости х = х(t),
предполагая, что система начинает движение из состояния покоя под
действием силы тяжести груза 1.
При вычислении моментов инерции блок 2 и каток 3 считать однородными сплошными цилиндрами радиусами R2 и R3 соответственно.
Двухступенчатый каток 3 катится по наклонной плоскости, составляющей
с горизонтом угол β без скольжения.
Решить задание при следующих данных: m1 = 0,3 кг, m2 = 14 кг,
m3 = 0,6 кг, R2 = 0,2 м, R3 = 0,2 м, r3 = 0,1 м, с = 160 Н/м, μ = 0,02 Н⋅с/м,
β = 30°.
Решение
1. Для составления дифференциального уравнения движения системы
воспользуемся интегральным принципом Гамильтона – Остроградского
для неконсервативной системы (8.6):
t1
S
⎞
⎛
+
δ
T
Qmδqm ⎟ dt = 0.
∑
⎜
∫t ⎝
m=1
⎠
0
88
Рис. 8.2
S
Здесь Т – кинетическая энергия системы;
∑ Qmδqm = δA −
полная
m=1
виртуальная работа; t0 и t1 – произвольные, но фиксированные начальный и
конечный моменты движения системы соответственно.
Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы
(S = 1), поэтому ее положение определяется заданием одной обобщенной
координаты.
Примем за обобщенную координату перемещение x груза 1, отсчитываемое от начального положения груза (состояния покоя) в направлении
его движения (рис. 8.2); x − обобщенная скорость. Тогда начальные условия
движения имеют вид
t = 0, x (0) = 0, x (0) = 0.
(8.8)
2. Вычислим кинетическую энергию системы как функцию обобщенной координаты х и обобщенной скорости x :
T = T1 + T2 + T3 ,
(8.9)
где Т1, Т2, Т3 – кинетические энергии соответственно тел 1, 2 и 3.
Так как груз 1 движется поступательно, блок 2 вращается вокруг оси О,
а каток 3 совершает плоскопараллельное движение, то
где
1
T1 = m1V12 ,
2
Т2 =
1
I O ω 22 ,
2
m2 R22
,
IO =
2
1
1
T3 = m3VA2 + I Aω32 ,
2
2
m3R32
.
IA =
2
(8.10)
(8.11)
89
Выразим входящие в (8.10) скорости через обобщенную скорость x :
V1 = x ,
ω2 =
x
,
R2
ω3 =
x
,
R3 + r3
VA = ω3 r3 =
x r3
.
R3 + r3
(8.12)
С учетом (8.10)–(8.12) и исходных данных получим окончательное
выражение для кинетической энергии системы (8.9):
T = 3,75 x 2 .
(8.13)
Вычислив изохронную вариацию функции (8.13), найдем
δT = 7,5 x δx .
(8.14)
Воспользуемся тождеством
d
d
( x δ x ) = x δ x + x ( δ x ) = x δ x + x δ x.
dt
dt
(8.15)
Тогда в (8.14)
x δ x =
d
( x δ x ) − x δ x.
dt
(8.16)
Подставив (8.16) в формулу (8.14), получим
δT =
d
x δ x.
(7,5 x δ x ) − 7,5
dt
(8.17)
3. Для определения полной виртуальной работы δА изобразим
на рис. 8.2 все активные силы, действующие
на систему: силы тяжести
G
G
G
G
m1 g , m2 g , m3 g , силу упругости F пружины и момент М сопротивления
вращению блока 2.
Сообщим обобщенной координате х положительное приращение
δ x > 0 . Тогда тела системы испытают виртуальные перемещения: груз 1
опустится на высоту δ x ; неподвижный блок 2 повернется на угол δϕ2
вокруг оси вращения О; каток 3 повернется на угол δϕ3 вокруг мгновенного
центра скоростей, т. е. вокруг точки касания K катка 3 с неподвижной
плоскостью, при этом его центр масс (точка А) переместится вверх по наG
клонной плоскости на δ s A (см. рис. 8.2).
90
Вычислим виртуальную работу всех активных сил системы на виртуальных перемещениях точек их приложения:
δ A= m1g δ x − M δϕ2 − m3 g δ s A sin β − F δ s A .
(8.18)
Выразим величины виртуальных перемещений δϕ2 и δsA через
независимое перемещение δ x груза 1. С учетом выражений (8.12) имеем
δϕ2 =
δx
,
R2
δs A =
δ x r3
.
R3 + r3
(8.19)
G
В выражении (8.18) момент сопротивления М и силу упругости F
пружины с учетом (8.12) определяем соответственно по формулам
M = μω 2 =
μ x
,
R2
F = c sA =
c x r3
.
R3 + r3
(8.20)
Подставив (8.19), (8.20) и исходные данные в (8.18), получим
δA = [0, 2 g − 0,5 x − 17,78 x ] δ x
или, полагая g = 9,8 м/с2, находим
δ A = [1,96 − 0,5x − 17,78x ] δ x.
(8.21)
4. Для применения интегрального принципа Гамильтона – Остроградского внесем результаты (8.17) и (8.21) в уравнение (8.6):
t1
⎧d
⎫
x δx + [1,96 − 0,5x − 17,78 x ] δx ⎬ dt = 0
∫ ⎨ ( 7,5x δx ) − 7,5
⎭
t0 ⎩ dt
или
t1
t1
t0
t0
x ] δ x dt = 0.
∫ d ( 7,5x δ x ) + ∫ [1,96 − 0,5x − 17,78x − 7,5
(8.22)
Не трудно заметить, что первый интеграл в (8.22) обращается в нуль.
Действительно,
t1
∫ d ( 7,5 x δ x ) = 7,5 x δ x t =t1 − 7,5 x δ x t =t0 = 0
t0
91
в силу закрепленности концов окольных путей (8.3): δx t =t = 0 , δx t =t = 0 .
0
1
Поэтому уравнение (8.22) принимает вид
t1
x ] δ x d t = 0.
∫ [1,96 − 0,5x − 17,78x − 7,5
(8.23)
t0
Учитывая произвольность пределов интегрирования t0 и t1, равенство
нулю определенного интеграла (8.23) при произвольных пределах интегрирования возможно только тогда, когда подынтегральная функция равна нулю,
т. е.
[1,96 − 0,5x − 17,78x − 7,5x ] δ x = 0.
(8.24)
Поскольку δ x ≠ 0 , то из (8.24) следует искомое дифференциальное
уравнение движения рассматриваемой механической системы:
−7,5
x − 0,5x − 17,78x + 1,96 = 0
или
x + 0,067 x + 2,37 x = 0,26.
(8.25)
5. Решим дифференциальное уравнение (8.25) и найдем закон движения груза 1. Из теории дифференциальных уравнений известно, что
решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами следует искать в виде
x = x1 + x2 .
(8.26)
Здесь x1 – общее решение однородного дифференциального уравнения
x + 2bx + k 2 x = 0;
x2 – частное решение уравнения (8.25).
Вычислим значения b и k для уравнения (8.25): 2b = 0,067 ; k 2 = 2,37 .
Следовательно, b = 0,033; k =1,54.
Поскольку k > b , то решение х1 имеет вид
(
)
(
)
x1 = e− bt ⎡C1 cos k 2 − b2 t + C2 sin k 2 − b2 t ⎤
⎣⎢
⎦⎥
или, подставив найденные значения b и k, получим
92
x1 = e−0,033t ⎡⎣C1 cos (1,54t ) + C2 sin (1,54t ) ⎤⎦ ,
(8.27)
где С1 и С2 – постоянные интегрирования.
Так как правая часть уравнения (8.25) является постоянной величиной,
то частное решение этого уравнения ищем в виде
x2 = C3 = const .
(8.28)
x2 = 0 в исходное дифференциальное уравПодставив (8.28) и x2 = нение (8.25), найдем значение С3:
2,37C3 = 0,26.
Отсюда
C3 = 0,11.
(8.29)
С учетом (8.27) и (8.29) запишем решение (8.26) дифференциального уравнения (8.25):
x = e −0,033t ⎡⎣C1 cos (1,54t ) + C2 sin (1,54t ) ⎤⎦ + 0,11.
(8.30)
Вычислим скорость груза 1:
x = − 0,033e −0,033t ⎡⎣C1 cos (1,54t ) + C2 sin (1,54t ) ⎤⎦ +
+e
−0,033t
⎡⎣ −1,54C1 sin (1,54t ) + 1,54C2 cos (1,54t ) ⎤⎦ .
(8.31)
Постоянные интегрирования С1 и С2 определим, подставив начальные условия (8.8) в полученные выражения (8.30) и (8.31):
0 = C1 + 0,11,
0 = −0,033C1 + 1,54C2 .
Отсюда находим
C1 = −0,11,
C2 = −0,002.
(8.32)
С учетом (8.32) запишем закон изменения обобщенной координаты х:
x = 0,11 − e−0,033t ⎡⎣0,11cos (1,54t ) + 0,002sin (1,54t ) ⎤⎦ .
(8.33)
93
Определим положение статического равновесия груза 1. Из условия
(3.4) в этом положении обобщенная
сила, соответствующая обобщенной
координате х, должна равняться нулю:
Q=
δA
δx
x =0
= 0.
Рис. 8.3
Отсюда с учетом (8.21) получаем
Q = [1,96 − 0,5x − 17,78 xст ] x =0 = 0
или
1,96 − 17,78xст = 0.
Тогда значение обобщенной координаты в положении статического равновесия xст = 0,11 м. На рис. 8.3 представлен график зависимости обобщенной координаты x от времени t.
Согласно (8.33) из рис. 8.3 следует, что движение груза 1 (и всех тел
механической системы) представляет собой затухающие колебания с частотой k = 1,54 рад/с около положения статического равновесия xст = 0,11 м.
Ответ: x = 0,11 − e−0,033t ⎡⎣0,11cos (1,54t ) + 0,002sin (1,54t ) ⎤⎦ м.
94
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Современный этап развития техники ставит проблемы, решение
которых требует научного прогнозирования и строгого предварительного
расчета, основанных на фундаментальных знаниях, и в первую очередь
на знании дисциплины «Аналитическая динамика и теория колебаний».
Бакалавры, работающие в разных областях техники, должны владеть
общими методами аналитической механики, которые дают универсальный
математический аппарат для исследования и проектирования сложных
механизмов и машин.
Курс «Аналитическая динамика и теория колебаний» является,
с одной стороны, фундаментальным, а с другой – обобщающим знания,
приобретенные студентами при изучении отдельных разделов таких
дисциплин, как «Высшая математика», «Физика» и «Теоретическая
механика».
В результате изучения этой дисциплины студенты должны знать:
способы описания движения голономных систем в обобщенных координатах;
условия устойчивости равновесия и движения голономных систем;
основные дифференциальные и интегральные принципы механики;
методы исследования колебаний линейных систем;
методы исследования колебаний нелинейных систем;
методы исследования колебаний систем с распределенными параметрами.
На основе полученных знаний студенты должны уметь:
правильно оценить и уяснить физический смысл явлений при механическом движении и равновесии голономных систем;
находить положения равновесия механической системы и исследовать их на устойчивость;
составлять дифференциальные уравнения движения механической
системы и определять законы ее движения;
проводить расчет колебаний линейной системы;
проводить расчет колебаний нелинейной системы.
Таким образом, изучение дисциплины «Аналитическая динамика
и теория колебаний» способствует формированию у студентов диалектико-материалистического мировоззрения, развитию их логического мышления.
Овладение методами моделирования при решении задач механики
и умение самостоятельно и математически корректно их решать потребуется студентам не только для дальнейшего обучения в вузе, но и в будущей
профессиональной деятельности − при проектировании и экс-плуатации
различных машин и сооружений.
95
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Бутенин, Н. В. Введение в аналитическую механику / Н. В. Бутенин,
Н. А. Фуфаев. – М. : Наука, 1991. – 249 с.
2. Маркеев, А. П. Теоретическая механика / А. П. Маркеев. – М. :
Наука, 1990. – 416 с.
3. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике /
под ред. А. А. Яблонского. – М. : Высшая школа, 1985. – 367 с.
4. Мещерский, И. В. Сборник задач по теоретической механике /
И. В. Мещерский. – СПб. : Изд-во «Лань», 1998. – 448 с.
5. Бать, М. И. Теоретическая механика в примерах и задачах : учеб.
пособие : в 3 т. Т. II. Динамика / М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. – М. : Наука, 1985. – 560 с.
6. Бать, М. И. Теоретическая механика в примерах и задачах : учеб.
пособие : в 3 т. Т. III. Специальные главы механики / М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. – М. : Наука, 1973. – 488 с.
7. Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики : в 2 т. / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. – СПб. : Изд-во «Лань», 1998. – 736 с.
8. Добронравов, В. В. Основы аналитической механики : учеб. пособие для вузов / В. В. Добронравов. – М. : Высшая школа, 1976. – 264 с.
9. Валькова, Т. А. Основы аналитической механики : учеб. пособие /
Т. А. Валькова. – Красноярск : ИПЦ КГТУ, 1999. – 160 с.
96
ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1 Программа дисциплины «Аналитическая динамика и теория колебаний» Основные понятия аналитической механики. Введение. Предмет
аналитической механики и ее место среди естественных и технических
наук. Аналитическая механика как теоретическая база ряда областей
современной техники.
Материальная система. Свободные и несвободные материальные
системы. Связи и их классификация (голономные, неголономные, склерономные, реономные, удерживающие и неудерживающие). Уравнения голономных связей. Число степеней свободы. Действительное и виртуальное
перемещение точки. Геометрическая интерпретация виртуального перемещения точки. Виртуальные перемещения голономной системы.
Принцип виртуальных перемещений. Виртуальная работа. Признак идеальности связей. Выражение реакций идеальных связей через
неопределенные множители Лагранжа. Принцип виртуальных перемещений.
Обобщенные координаты, обобщенные силы. Обобщенные координаты, обобщенные скорости, обобщенные силы. Вычисление обобщенных сил. Случай потенциальных сил. Понятие пространства конфигураций
и фазового пространства материальной системы.
Устойчивость состояния равновесия системы. Принцип виртуальных перемещений в обобщенных координатах. Случай потенциальных сил.
Понятие об устойчивом, неустойчивом и безразличном состояниях равновесия системы. Теорема Лагранжа – Дирихле. Критерий Сильвестра.
Уравнения движения голономных систем. Уравнения Лагранжа
первого рода. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа второго
рода.
Структура кинетической энергии материальной системы в обобщенных координатах. Теорема об изменении полной энергии механической
системы. Гироскопические и диссипативные силы, диссипативная функция
Рэлея.
Уравнения движения в потенциальном силовом поле. Функция
Лагранжа. Уравнения Лагранжа второго рода в случае действия потенциальных и непотенциальных сил. Первые интегралы движения уравнений
Лагранжа второго рода. Общая теорема о сохранении. Циклические координаты и циклические интегралы. Структура циклических интегралов.
Обобщенный интеграл энергии и его структура.
97
Канонические уравнения. Канонические переменные. Преобразование Лежандра. Функция Гамильтона и ее структура. Канонические
уравнения Гамильтона для консервативной и неконсервативной систем.
Канонические уравнения при наличии циклических координат.
Первые интегралы канонических уравнений Гамильтона. Скобки
Пуассона. Свойства скобок Пуассона. Теорема Якоби – Пуассона.
Метод Якоби. Канонические преобразования. Производящая функция.
Уравнение Гамильтона – Якоби. Уравнение Гамильтона – Якоби для
систем с циклическими координатами. Метод разделения переменных.
Принципы Гамильтона – Остроградского. Прямой и окольный
путь. Условие закрепленности концов окольных путей. Действие
по Гамильтону. Краевая задача. Вариационный принцип Гамильтона –
Остроградского для систем в потенциальном силовом поле. Интегральный
принцип Гамильтона – Остроградского.
Устойчивость движения. Невозмущенное и возмущенное движение.
Уравнения возмущенного движения. Устойчивость и неустойчивость движения по Ляпунову, асимптотическая устойчивость. Функции Ляпунова
(знакопостоянные, знакопеременные функции). Прямой метод Ляпунова.
Теорема Ляпунова об устойчивости движения.
Устойчивость по первому приближению. Теоремы Ляпунова об
устойчивости и неустойчивости по первому приближению. Критерий
Рауса – Гурвица.
Малые колебания линейных систем. Структура кинетической
и потенциальной энергии голономной системы в обобщенных координатах. Вычисление обобщенных сил вязкого трения и гармонической возмущающей силы. Линелизация уравнений Лагранжа второго рода для случая малых колебаний.
Свободные колебания линейной системы с одной степенью
свободы без трения. Кинетическая и потенциальная энергия. Дифференциальное уравнение движения. Общее решение. Амплитуда, фаза, частота
и период колебаний. Фазовые траектории. Начальные условия движения.
Вынужденные колебания линейной системы с одной степенью
свободы без трения. Вынужденные колебания линейной системы без
трения, возбуждаемые непериодической силой. Импульсивная нагрузка.
Возмущающая сила, изменяющаяся по произвольному закону. Интеграл
Дюамеля.
Вынужденные колебания линейной системы без трения, возбуждаемые
периодической силой. Гармоническое возбуждение. Резонанс. Колебания
при резонансе. Негармоническое периодическое возбуждение. Метод
рядов Фурье.
98
Свободные колебания линейной системы с одной степенью
свободы при трении. Свободные колебания при вязком трении. Закон
вязкого трения. Уравнение колебаний с учетом вязкого трения. Общее
решение. Определение решения по начальным данным. Зависимость амплитуды колебаний от времени. Логарифмический декремент затухания.
Фазовый портрет при вязком трении.
Свободные колебания при сухом трении. Закон сухого трения.
Уравнение колебаний при сухом трении. Фазовые траектории. Зона застоя.
Коэффициент поглощения.
Вынужденные колебания линейной системы с одной степенью
свободы при трении. Вынужденные колебания при вязком трении в случае
непериодической возмущающей силы. Уравнение колебаний. Импульсивная нагрузка. Решение в случае непериодической возмущающей силы.
Интеграл Дюамеля для систем с вязким трением. Случай экспоненциальной
зависимости от времени возмущающей силы.
Вынужденные колебания при вязком трении в случае периодической
возмущающей силы. Гармоническая возмущающая сила. Установившиеся
колебания. Амплитудно-частотная характеристика. Резонанс. Амплитуда
и фаза установившихся колебаний. Вынужденные колебания систем
с трением, отличным от вязкого. Гармоническое возбуждение. Метод гармонического баланса. Амплитуда и фаза колебаний. Коэффициент поглощения. Случай сухого трения.
Параметрическое возбуждение колебаний. Сущность явления.
Уравнение Хилла. Уравнение Матье. Диаграмма Айнса – Стретта. Приближенное определение границ зон устойчивости.
Свободные колебания систем с конечным числом степеней
свободы. Свободные колебания систем без трения. Кинетическая и потенциальная энергия. Уравнения Лагранжа в случае малых колебаний. Коэффициенты жесткости и податливости. Цепные системы. Системы тел, закрепленных на упругих стержнях. Система уравнений на амплитуды смещений. Частотное уравнение. Формы свободных колебаний. Начальные
условия. Построение решения по начальным данным. Векторы перемещений, скоростей и ускорений. Матрицы масс и жесткостей. Связь обобщенных и главных координат. Ортогональность форм собственных колебаний.
Разложение по формам собственных колебаний. Обобщенная масса.
Свободные колебания систем с вязким трением. Внешнее и внутреннее вязкое трение. Диссипативная функция Рэлея. Система уравнений
малых колебаний с учетом сил вязкого трения. Метод комплексных
амплитуд. Частотное уравнение. Затухание колебаний.
99
Вынужденные колебания систем с конечным числом степеней
свободы. Вынужденные колебания систем с вязким трением в случае
непериодической возмущающей силы. Уравнение колебаний. Метод главных
координат. Расщепление многомерной задачи на одномерные. Построение
решения с использованием интеграла Дюамеля.
Вынужденные колебания в случае периодической возмущающей силы.
Гармоническая возмущающая сила. Определение амплитуд установившихся
колебаний. Амплитудно-частотные характеристики. Резонанс и антирезонанс. Динамическая податливость. Кинематическое возбуждение колебаний.
Вынужденные колебания систем с трением в случае гармонической
возмущающей силы. Матричная запись уравнения колебаний. Векторы
амплитуд смещений и возмущающих сил. Комплексная частотная характеристика. Амплитуды и фазы установившихся колебаний. Пропорциональное
трение. Условия резонанса.
Особые случаи расчета собственных колебаний. Учет симметрии.
Случаи кратных собственных частот. Особенности расчета механических
систем с нулевыми собственными частотами. Примеры виброгасителей
с двумя степенями свободы. Амплитудно-частотная характеристика виброгасителя. Оптимальная настройка демпфера.
Колебания консервативных систем. Уравнение движения. Точки
покоя. Фазовый портрет. Сепаратриса. Системы с кусочно-линейной
характеристикой. Период колебаний.
Колебания автономных систем. Классификация особых точек.
Фазовые траектории. Устойчивость. Автоколебания. Предельные циклы.
Примеры.
Приближенные методы расчета нелинейных систем. Метод
гармонического баланса. Метод осреднения. Метод малого параметра.
Численные методы.
Вынужденные колебания нелинейных систем. Применение метода
осреднения при гармоническом возбуждении. Амплитудно-частотная
характеристика. Жёсткая и мягкая системы. Заброс и срыв колебаний.
Устойчивость установившихся вынужденных колебаний. Субгармонические
колебания.
Колебания струн. Продольные и крутильные колебания стержней.
Уравнение колебаний. Скорость распространения волны. Граничные условия. Собственные колебания. Собственные частоты и формы колебаний.
Вынужденные колебания.
Свободные изгибные колебания балки. Уравнение колебаний.
Изгибная жесткость. Функции Крылова. Граничные условия. Определение
собственных частот и форм колебаний. Ортогональность форм колебаний.
100
Влияние продольной силы на изгибные колебания балки. Влияние
вязкого трения на изгибные колебания балки.
Вынужденные изгибные колебания балки. Разложение по собственным формам колебаний. Метод главных координат. Резонансы. Расчет
установившихся колебаний в случае гармонической возмущающей силы,
приложенной к одной точке.
Приближенные методы расчета колебаний. Формулы Рэлея
и Донкерлая. Метод Граммеля. Метод Рэлея – Рица. Пример расчета
колебаний балки переменного сечения.
Колебания пластин и оболочек. Уравнение движения пластины
постоянной толщины. Граничные условия. Собственные колебания
прямоугольной пластины постоянной толщины. Колебания оболочек.
Потенциальная энергия деформации оболочки. Уравнения движения
оболочек. Собственные колебания оболочек вращения.
101
Приложение 2 Принятые обозначения α, β, γ, θ, ϕ, ψ – углы
γ – вес единицы длины стержня
μ – постоянный коэффициент, характеризующий сопротивление среды
δϕν – бесконечно малый угол поворота ν-го тела в фиксированный момент
времени
δА – полная виртуальная работа
G
δАν – виртуальная работа активной силы Fν
δАm − виртуальная работа сил при δqm > 0
δAнп – виртуальная работа непотенциальных сил
δJ – изохронная вариация действия по Гамильтону
δf – изохронная вариация функции f
δqm – изохронная вариация обобщенной координаты qm
G
δrν – вектор виртуального перемещения ν-й точки
G
( δrν )m – вектор виртуального перемещения ν-й точки при δqm > 0
G
δs A – вектор виртуального перемещения точки А тела
G
δsν – вектор виртуального перемещения ν-го тела
δT – изохронная вариация кинетической энергии Т системы
δх – изохронная вариация обобщенной координаты х
G
δхν, δуν, δzν – проекции вектора виртуального перемещения δrν ν-й точки
на декартовы оси
δП – изохронная вариация потенциальной энергии П системы
εν – угловое ускорение ν-го тела
λ – деформация пружины
λ 0 − деформация пружины при ϕ = 0
λст – деформация пружины в положении статического равновесия
ν – индекс суммирования точек (тел) системы
τ – период колебаний
ϕ – угол поворота тела
ϕ – обобщенная координата
ω – угловая скорость тела
ω ν – угловая скорость ν-го твердого тела
A, B, C, D, Е, K, L – точки твердого тела
а – модуль ускорения точки
a, b, d, l – линейные размеры
G
а ν – вектор ускорения ν-й точки (тела) системы
G
аС – вектор ускорения центра масс С тела
b – коэффициент, характеризующий вязкое сопротивление среды
102
Сν – центр масс (тяжести) ν-го твердого тела
С1, С2, ..., Сn – постоянные интегрирования
с – коэффициент жесткости пружины
dA – элементарная работа силы
G
drν – вектор элементарного перемещения ν-й точки за время dt
dt – бесконечно малый промежуток времени
dП – дифференциал потенциальной энергии системы
F – модуль силы
G
FG – вектор силы
Fν – вектор ν-й силы
G
FνX, FνY, FνZ – проекции силы Fν на оси X, Y, Z соответственно
G
Fν – равнодействующая активных сил, действующих на ν-ю точку
Fтр – величина силы трения скольжения
G
Fνтр – сила трения ν-го тела
f j – j-я функция
f – коэффициент трения скольжения
g – ускорение свободного падения
h – плечо силы
h – вертикальное перемещение
IО, IА – осевые моменты инерции твердого тела
J – действие по Гамильтону
K – мгновенный центр скоростей
k – номер уравнения связей, наложенных на систему
k – собственная частота колебаний системы
G G G
i , j , k – орты декартовой системы координат
L – функция Лагранжа
l0 − длина недеформированной пружины
М – момент пары сил
M – момент сил сопротивления
M A – реактивный момент заделки в точке А
G
М νи – главный момент сил инерции ν-го тела
mν – масса ν-й материальной точки (ν-го тела)
G
mνg – сила тяжести ν-го тела
G
NG – нормальная реакция поверхности
N ν – равнодействующая реакций связей, действующих на v-ю точку
n – число точек материальной системы
OXYZ
– неподвижная декартова система координат
G
Рν – сила тяжести ν-го тела
G
Q – равнодействующая системы распределенных сил
Q – величина равнодействующей системы распределенных сил
103
Qm – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате qm
Qmнп – непотенциальная обобщенная сила, соответствующая обобщенной
координате qm
q – интенсивность равномерно распределенной нагрузки
qm – обобщенная координата
qm – обобщенная скорость, соответствующая обобщенной координате qm
q01, q02 , ..., q0S – значения обобщенных координат в момент времени t = 0
q01, q02 , ..., q0 S – значения обобщенных скоростей в момент времени t = 0
q10 , q20 , ..., qS0 – значения обобщенных координат в положении равновесия системы
Rν – радиус ν-го тела
RG – радиус ступенчатого тела
RA – реакция связи в точке А тела
G
RС – реакция невесомого стержня СС ′
r – радиус ступенчатого тела
rν – радиус ν-го тела
G
rν – радиус-вектор ν-й точки системы
G
rC – радиус-вектор центра масс С (центра тяжести тела) системы
S – число степеней свободы системы
Т – кинетическая энергия системы
Тν – кинетическая энергия ν-го тела системы
Т1–2 – сила натяжения нити между телами 1 и 2
G
Т – вектор силы натяжения нити, троса
t – время
t0G, t1 – начальный и конечный моменты времени соответственно
Vν – вектор скорости v-й точки
G
VA – вектор скорости точки А
VA – величина скорости точки А
G
G
G G
Х А , YА , Z А – составляющие реакции RA , направленные по осям X, Y, Z
соответственно
хν, уν, zν – декартовы координаты v-й точки системы
xст − значение обобщенной координаты х в положении статического равновесия системы
X, Y, Z – оси декартовой системы координат ОXYZ
П – потенциальная энергия механической системы
Пν – потенциальная энергия ν-го тела
ПGупр – потенциальная энергия силы упругости пружины
Фν – сила инерции ν-й материальной точки
G
Фν – главный вектор сил инерции ν-го твердого тела
Учебное издание
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
И ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
Сборник расчетных заданий
Валькова Татьяна Александровна
Головня Александр Александрович
Дзебисашвили Дмитрий Михайлович
Мезенцев Александр Владимирович
Редактор А. А. Гетьман
Компьютерная верстка: О. А. Кравченко
Подписано в печать 28.12.2012. Печать плоская. Формат 60×84/16.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 6,0. Тираж 100 экз. Заказ № 10028
Издательский центр
Библиотечно-издательского комплекса
Сибирского федерального университета
660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79
Тел./факс (391) 206-21-49, e-mail: rio@lan.krasu.ru
Отпечатано Полиграфическим центром
Библиотечно-издательского комплекса
Сибирского федерального университета
660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а
Тел./факс (391) 206-26-67, 206-26-49
E-mail: print_sfu@mail.ru; http://lib.sfu-kras.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
1 992 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа