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Методы анализа данных
А. И. Рубан
Учебное пособие
Красноярск
СФУ
2012
??? 519.2(07)
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0321204169.
ISBN 978-5-7638-2699-9
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ISBN 978-5-7638-2699-9
© ????? ?. ?., 2012
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1.2. ???????? ???????? ? ?????????????? ???????? ........................... 9
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6.3. ????? ?????????? ????????? ??? ???????? ??????????????
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???????? ??????? ????????? ??????? ?????? ???? ????? c (???. 1.1.5).
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?????? 2. ?????????? ??????, ????? ????????? ???????? X ????????2
???? ?? ??????????? ?????? N (m, ? ) ? ???????? ??? ?????????????? ????????? m ? ???????? ??? ?????????? ? . ?????????? ?? ??????????? ??????? x1 , ?, xn ????????? ???????? X ??????? ??????? ? ???, ??? ?????
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?????? 1.2.3. ???????? ?????????? ???????? ???? ?????????? ???????? A ? B ??? ?????????? ?? ?? 10 ???????. ?????????? ???? ??? ???
????????? ???? ???????? ????????? ?? ?????????? 1.2.1
??? ? ??????? ???????? ????. 1.2.1.
? ????????? ??????? ????????? ?????B? A
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A
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+1.3
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+3.4 +4.4
+1.0
??? ??????? x1 , ..., xn ?????????? ? ??????7
+3.7 +5.5
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10 +2.0 +3.4
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2
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?????? ( F -?????????????) ? [(?1 = n1 ? 1) , ? 2 =(n2 ? 1)] ????????? ???????.
2
???? ????? ?? ???????????, ??? ?? ??? ????? ? .
? ????? ??????, ???? z < c , ?? ??????????? ???????? H (???. 1.3.2).
????? c ?????????? ?? ????. ?4 ??????????. ????????? ??????? ???????
????????: ??????? ?????????? ? , ????? ???????? ??????? ?????????
?1 = n1 ? 1 ? ????? ???????? ??????? ??????????? ? 2 = n2 ? 1.
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
14
????? 1. ?????????????? ???????? ???????
1.3. ???????? ???????? ? ??????????
?????? 1.3.2. ?? ???? ??????????? ????????
???????? n1 = 11, n2 = 14 ????????? ??????????????
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?2
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0
2
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2
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2
2
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1.4. ???????? ???????? ? ????????? ?????????????? ????????
?????? 5. ????????? ???????? X ? Y ???????????? ?? ??????????
2
2
??????? N (m1 , ?1 ) ? N (m2 , ? 2 ) ? ???????????? ??????????????? ?????2
2
????? m1 , m2 ? ?????????? ??????????? ?1 , ? 2 . ??????? ??? ????????:
???? H ? ???, ??? m1 = m2 , ? ????????????? ???????? ( H 2 = H ) ? ???, ???
m1 ? m2 . ??? ???????? ??????????? ?? ??????????? ???????? x1, ?, xn1 ;
y1, ?, yn2 ?? ??????????
?
?
m1 ? m2
z=
2
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2
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,
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1
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n2 i =1 i
??? ?????????? H ????????? ???????? z ???????????? ?? ??????????? ?????? N (0; 1) . ????? c ????????? ?? ????. ?1 (??. ?????? 1):
c = c(? / 2) .
??????? ???????? ??????? H , H ??????:
???? ? c < z < c , ?? ????????? H ;
???? z < ?c ??? c < z , ?? ????????? H .
??? m
?1 =
n1 i =1
?????? 1.4.1. ??? ???? ????????? ?????????????? ????????? ??????? ???????? ??????????? ??????? ???????? n1 = 40, n2 = 50 , ? ?? ???
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
15
????? 1. ?????????????? ???????? ???????
1.4. ???????? ???????? ? ????????? ?????????????? ????????
????????? ?????? ?????????????? ???????? m
? 1 = 130, m
? 2 = 140 . ??????
2
2
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???????? ???????? ? ????????? ?????????????? ???????? ( H : m1 = m2 ) ???
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? ?
2
2
12
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? ?????? ?? ????. ?1 ?????
c = c(? / 2) = c(0.005) =2.58,
????????, ??? ???????? ??????????, ?????? ???????? ?5, ????????? ????? ??
?????? ?????? ? c = ?2.58 , ?. ?. ???????? H ???????????.
?????? 6. ????? ???????? X ? Y, ?????????????? ?? ??????????
2
2
??????? N (m1 , ?1 ) ? N (m2 , ? 2 ) ??????????????. ?????????? ????????, ??2
2
??? m1 ? m2 ??????????, ? ????????? ????????? ( ?1 = ? 2 = ? ) ? ??????????. ????????? ???????? H ? ????????? ?????????????? ???????? m1 = m2
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?????? ??????????
?
?
m ? m2
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,
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???
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1
n1 + n2 ? 2
n
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j =1
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???????, ??? ? ?????? 2 (??. ???????? 1.2).
?????? 1.4.2. ??????? ??????, ?????????? ?? ?????????? ???? ?????????? (??????????????) ?????? ????? ??? t = 15 °C ? P = 760 ?? ??. ??.
??????? ?????????? ????, ?????????????? ?? ????????? ?????????? (?????????? ??????? ? ??????? I ????. 1.4.1), ????? ? ????, ?????????????? ??
??????? (?????????? ??????? ? ??????? II ????. 1.4.1). ?? ???? ????????????????? ?????? ????????? ?????? ?????????????? ????????
?
?
?
?
m1 = 2.29947 ?, m2 = 2.31016 ? ? ?? ????????: m2 ? m1 = 0.01069 ?, ?. ?.
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
16
????? 1. ?????????????? ???????? ???????
1.4. ???????? ???????? ? ????????? ?????????????? ????????
???? ??????? ?? 1/200 ??????? ?????, ?????????????? ?? ????????? ??????????. ??? ????????? ?????????? ???? ??????? ?????????? ??????????
?????????.
????????? ???????? ??????????:
??????? 1.4.1
i
I
1 2.30143
2 2.29890
3 2.29816
4 2.30182
5 2.29869
6 2.29940
7 2.29849
8 2.29889
9
?
10
?
II
2.31017
2.30986
2.31010
2.31010
2.31024
2.31010
2.31028
2.31035
2.31035
2.31024
??? ?????? ?????.
12
0.01069 ? 8 ? 10 ?
t ? z=
0.00092 ?? 8 + 10 ??
= 24 ,
? ?? ?????? ???????? ????? (??? ???????????? ???????? ????????? ??? ? = 0.001) t16;0.0005 = 4.02 . ???
??? 4.02 < 24, ?? ???????? ? ????????? ??????????????
???????? ?? ????????, ?. ?. ??????? ???? ???????? ??
?????????. ?????????????, ?????? ???? ????????, ???
????????????? ? ?????? ???????? ????? ????????????
???????????? ? ?????, ?????????? ?? ???????, ?????????? ?????????? ????, ????? ????????, ??? ????. ???
?????? 1.4.3. ?? ???? ??????????? ???????? ???????? n1 = 12 ,
n2 = 18 ????????? ?????????????? ????????? ??????? ??????? ?????? ??-
?
?2
?
???????????? ???????? m1 = 31.2 , m2 = 29.2 ? ????????? ?1 = 0.84 ,
?2
?2 = 0.40 . ?????????? ??? ?????? ?????????? ? = 0.05 ????????? ????????
H: m1 = m2 ??? ????????????? ???????? H: m1 ? m2 .
?????? ?????? ? ??? ?????. ?? ?????? ?? ?????????????? ????????
?????? ????????? ???????? ? ????????? ?????????:
F = 0.84 0.40 = 2.1, F11;17;0.05 = 2.7 ,
2.1 < 2.7 .
???????? ? ????????? ????????? ???????????. ?????? ??? ????? ???????????? ?????????? ?????????
?
?
m1 ? m2
z?t= ?
.
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?2
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j =1
? i =1
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17
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1.4. ???????? ???????? ? ????????? ?????????????? ????????
= ( n1 + n2 ? 2)
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((n ? 1)??
1
2
1
)
?2
+ ( n2 ? 1)? 2 .
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t = 3.7, t28;0.025 = 2.05 .
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1.5. ????????? ?????????? ?????????
?????? 7. ???????, ??? ????????? ???????? X ???????????? ?? ???2
???????? ?????? N (m, ? ) , ??? m ? ??????????, ? ????????? ? ? ?????????
????????. ??????? ??????? x1 , ?, xn ? x ? ????? ????????? ????????? ???????? X . ?????????? ?? ??????????? ??????? x1 , ?, xn , x ?????????
?????????? ???????? H : ??????????? ?? ????????? x ????????? ????????
X , ?. ?. x ? X , ??? x ? ?????????? ?????????.
?????? ??????????:
z=
2
?
x? m
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.
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2
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?
x? m
? . ??? ?????????? ???????? H ????????? ????????
?
z ?????????????? ?? ?????? ?????????. ?????? ???????, ??? ? ????????? 1.2
??? ?????? 2. ???????? ??????? ????????????.
1.6. ???????? ?? ???????????? ???? ?????????
?????? 8. ????? ????????? ????????? ??????? X1, X2 , ?, Xk , ???2
2
??????????? ?? ??????????? ?????? N (m1 , ?1 ) , ... , N (mk , ? k ) . ??? ????????? mi , ?i , i = 1, k ??????????. ??? ?????? ????????? ???????? ???????????? ??????????? ????????? ??????????? ?????? n ? ??????????? ????2
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
18
????? 1. ?????????????? ???????? ???????
1.6. ???????? ?? ???????????? ???? ?????????
2
2
2
???? ? ????????? ?????????: ?1 = ? 2 = ? = ? k . ?????? ?????????? ?? ??????
??????? (W. G. Cochran), ??? ??? ??? ???? ????????? ??????? ????? ?????????? ????? ????????? ?????? n .
?????????? ????? ???:
?2
k
?2
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j =1
?2
?2
?2
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?????????? ??????? ? ??? ????????? ???????????? ?? ?????? ????????? ? ????? ???? ?????? ?????????. ???????? ?? ???????????? ???? ????????? ???????????, ???? ????????????????? ???????? ?????????? ??????? Gmax
?? ????????? ?????????? ????????, ??????????? ?? ????. ?5 ??????????.
?????? 1.6.1. ?? ??????? ????????? ?????????????-???????? ?????? ?? ???? ???? ?? ?????? ???????? ???? ????, ?? ????? ????? ? ????? ???????????? ? 17 ?????????. ?? ?????? ?????? ?? ???? ?????????? ??????
????????? (?? 2 ): 0.067; 0.136; 0.168; 0.068; 0.066; 0.102; 0.137. ?????????
2
2
2
????????? ???????? ?? ???????????? ???? ????????? ( H : ?1 = ? 2 = ... = ?k
), ?. ?. ???????? ?? ?????????? ???????? ??????.
????????? ???????? ?????????? ???????:
Gmax =
0.168
= 0.2258
0.067 + ? + 0.137
? ?? ??????? ?5 (??? ? = n ? 1 = 17 ? 1 = 16, k = 7, ? = 0.05 ) ??????? ????????? ???????? G7;16;0.05 = 0.2756 . ??? ??? ???????? ?????????? ?????? ??????, ?? ??????????? ???????? ???????????? ???? ?????????. ?? 7 ???? ???????? ???????? ?????? ?? ?????????.
1.7. ???????? ???????? ? ??????????????
?????? 9. ??????? ??? ????????????, ??? ??????????????? ???????????
????????? ???????? X . ?? ??????????? ??????? x1 , x2 , ?, xn ?????? ???????????. ??? ????? ???? ???????? ????????? ???????? ????????? ????????
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?????????? ????????, ?????????? ? j -? ????????, ????????? ????? n j ,
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
19
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1.7. ???????? ???????? ? ??????????????
k
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??????
j =1
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?
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????????????? ????????????), ???????? ? ????????? ?? ????????
?
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x j +1
?
?
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(1.7.1)
xj
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???????? ???? ? ????? ??????????????? ???????? p j ?????? ? ???????
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2
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pj
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2
k
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2
2
n
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j =1 np j
k
(1.7.2)
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2
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2
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2
2
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?
?
f ( x | ?1, ?, ?l ) .
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20
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1.7. ???????? ???????? ? ??????????????
?????? 1.7.1. ??????????? ????????? 200 ???????. ?????????? ????
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? ????. 1.7.1 ????????? ??????? ????????? ?????????? ( x j , x j +1 ) , ???????
n j ? ??????????? p j (??. (1.7.1), ???????????? ??? ?????????? ?????? ???-
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?
?
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??????? 1.7.1
????????, j
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
??????
?20, ?15
?15, ?10
?10, ?5
?5, 0
0, 5
5, 10
10, 15
15, 20
20, 30
k=9
nj
pj
7
11
15
24
49
41
26
17
10
n =200
0.0239
0.0469
0.0977
0.1615
0.1979
0.1945
0.1419
0.0831
0.0526
? pj =1
2
????????? ?????????? (1.7.2) ? = 7.09 ? ????????? ????????
?6;0.05 = 12.6 ??? ????? ???????? ??????? ? = k ? l ? 1 = = 9 ? 2 ? 1 = 6 ?
2
2
2
?????? ?????????? ? = 0.05 . ??? ??? ? < ? 6;0.05 , ?? ??????????? ????????
? ?2
? ???, ??? ?????????? ????? ????????????? N (m, ? ) ?????????? ???????
??????? ?? ???????????? ???????? ?? ???????????? ???????????.
? ?????????? ???? ???????? ???????? ??????????, ????????, ?????????? ? ???????? ??????? ??? ???? ????????????? ? ?????????? 1.2?1.7 ????? ???????????? ? ????. 1.7.2.
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
21
????? 1. ?????????????? ???????? ???????
1.7. ???????? ???????? ? ??????????????
??????? 1.7.2
?
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1 x1 , ..., x n
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m ? ??????????
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H : m = m0
H : m ? m0
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?
m ? m0
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n
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z
c
0
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2
1
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c = c(? / 2)
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m > m0
f ( z| H ) ?
N ( 0;1)
f ( z| H )
?
?
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?? ??, ???
x1 , ..., x n
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? n
X ? N ( m, ? 2 )
?
? = (( n ? 1) ?1
m ? ??????????
n
? 2 ? ??????????
? ( xi ? m? )2 )1 2
z
c
0
2
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F (c ) = 1 ? ? ,
? = ?(?) ?? ????. ?1
c = c( ?,? / 2)
?? ????. ?4
?? ??, ???
? ?????? 1
i =1
c = c( ?,? )
?? ????. ?4
?? ??, ??? f ( z| H )
???- ?? ??, ???
? ?????? 1 ??????????
? ?????? 1
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? = n ? 1 ????????? ???????
3 ?? ??, ??? ? ??- H : ? 2 = ? 02 z = ? 2 =
f ( z| H )
???? 2
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H : ? 2 ? ? 02 = ( n ? 1)?
?
? 02
2
0
H : ? 2 = ? 02
????? H :
? 2 > ? 02
c1
???f ( z| H )
?????????? ??- f ( z| H )
???????
?
? = n ? 1 ????????? ?????- 0
??
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
c1 = c( ?,1 ? ? / 2)
?
2
c2
c2 = c( ?,? / 2)
?? ????. ?2
z
c = c( ?,? )
?? ????. ?2
?
c
z
22
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1.7. ???????? ???????? ? ??????????????
??????????? ????. 1.7.2
?
?? ?????
?/?
4 x1 , ..., x n
1
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Y ? N ( m2 , ? 22 )
??? ?????????
??????????
????????
H : ?12 = ? 22
????? H :
?12 > ? 22
??????????
????????
???????
? ?
z ? F = ?12 / ? 22
?
?
f ( z| H )
??? ?12 > ? 22
???f ( z| H )
??????????
0
??????
?
?1 = n1 ? 1,
c
?
?? ????????
??????
c = c( ?1 ,?2 ,? )
?? ????. ?4
z
? 2 = n2 ? 1
5 ?? ??, ??? ? ??- H : m1 = m2
???? 4, ?? ?12 , ? 22 H : m ? m
1
2
????????
H : m1 = m2
????? H :
m1 > m2
?????????
???????
?
?
m1 ? m2
z=
?12 ? 22
+
n1 n2
?? ??, ???
? ?????? 1
?? ??, ???
? ?????? 1
f ( z| H ) ?
N ( 0;1)
?? ??, ???
? ?????? 1
?? ??, ???
? ?????? 1
?
?? ??, ???
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?? ??, ???
? ?????? 2
?? ??, ???
? ?????? 2
?? ??, ???
? ?????? 2
?
m ?m
6 ?? ??, ??? ? ??- ?? ??, ???
z = 12 2 2
????
4,
?? ? ?????? 5
?1 ? 2
+
?12 = ? 22 = ? 2
n1 n2
?2 ??????????
?? ??, ??? f ( z| H )
???? ?????? 5 ??????????
????????? ?
? = n1 + n2 ? 2
?????????
???????
?
x?m
7 x1 , ..., x n , x
H: x ? X
z=
?
H: x ? X
X ? N ( m, ? 2 )
f ( z| H ) ?
m ? ??????????
N ( 0;1)
?2 ? ????????
?
x?m
H: x ? X
x1 , ..., xn , x
z= ?
?
H: x ? X
X ? N ( m, ? 2 )
???f ( z| H )
m ? ??????????
2
??????????
? ? ??????????
????????? ?
? = n ? 1 ????????? ???????
?? ??, ??? ? ??- ?? ??, ???
???? 1 (???????- ? ?????? 1
????? ????????
???????)
?? ??, ??? ? ??- ?? ??, ???
???? 2 (???????- ? ?????? 2
????? ????????
???????)
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
23
????? 1. ?????????????? ???????? ???????
1.7. ???????? ???????? ? ??????????????
????????? ????. 1.7.2
?
?? ?????
?/?
8 x11 , ..., x1n
...
x k 1 , ..., x kn
????????
??????????
H : ?12 = ...
= ? 2k
?
? 2max
= k
?
? ? 2j
????? H :
X 1 ? N ( m1 , ? ) ? 2max > ?i2 ,
...
????
??
2
???
??????
X k ? N ( mk , ? k )
i = 1, ..., k .
??? ?????????
??????????
? 2max = max
{?i2 , i = 1, k }
9 ?? ??????????? H: ????????????
?????? ?????
???x1 , x 2 , ..., x N
??????????
???????? ??????
??????.
f ( x | ?) ?
( x j , x j +1 ) ? ???- ??????????????????; n j ? ???;
????? ???????- H 2 : ?? ?????? ????????, ????????
?????????? ?
j -? ???????????; n j > 5 ; r j ?
2
1
z ? Gmax
????????
???????
???-
c = c( k ,?,? )
f ( z| H )
?? ????. ?5
j =1
f ( z| H )
?? ????????
??????
?
0
c
z
??????????
???????
?
???? = n ? 1, k
?????? ???????
?? ??, ??? ??? c = c( ?,? )
z ? ?2 =
?????????????? ?? ????. ?2
2
?
k (p ? p )
j
j
= ?????????
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pj
j =1
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2
3
k n
j
?n
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j =1 np j
????? j -?? ????????????;
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pj = nj / n ?
??????
?????
=
x j +1
?
??????pj =
??
f ( x | ?)dx ;
xj
f ( x | ?1 , ? , ? l ) ?
??????????????
?????????,
???????? ? ????????? ?? ??????
??????;
?
?
?????? ??????????, ??????????
?? ???????? ???????
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
24
????? 1. ?????????????? ???????? ???????
?????????? ?
??????? ???????????? ?? ????????? [1.1] ? ???????? ??????? [1.3].
?
1.2.1. ??? ????????? ?????????????? ????????? ???????? ? ?????????
??????? ???????????? ??????????? ? = 5.2 ???????? ??????????? ???????
?????? n = 100 ? ?? ??? ??????? ?????? ??????????????? ????????
?
m = 27.56 . ?????????? ??? ?????? ?????????? ? = 0.05 ????????? ????????
H: m = 26 ??? ????????????? ???????? H: m ? 26 .
1.2.2. ??? ????????? ?????????????? ????????? ???????? ? ?????????
?????????? ? 2 = 1600 ???????? ??????????? ??????? ?????? n = 64 ? ??
?
??? ??????? ?????? ??????????????? ???????? m = 136.5 . ????????? ???
?????? ?????????? ? = 0.01 ????????? ???????? H : m = 130 ??? ????????????? ???????? H : m ? 130 .
1.2.3. ?????? ?????????? ?????? ??? ????????????? ???????? "?????
H ": m > 130 .
1.2.4. ???????????, ??? ??????? ??? (?????????????? ????????) ???????? ????????? ???????? ???????? ?????? ???? ????? m0 = 0.50 ??. ?????????? ???????? 121 ???????? ?????????? ?????? ????????? ????????, ???
?
??????? ??? ???????? ???? ?????? m = 0.53 ??. ????????? ??? ?????? ?????????? ? = 0.01 ????????? ???????? H : m = m0 = 0.50 ??? ?????????????
???????? "????? H ": 0.50 < m . ????????????? ???????????????? ???????
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1.3.11. ????? ???????? ????????? ????????? ????? ? ??? ?? ?????????? ????????. ???????? ????????? ??????????: ?) 9.6; 10.0; 9.8; 10.2; 10.6;
?) 10.4; 9.7; 10.0; 10.3. ????? ?? ???????, ??? ??? ?????? ???????????? ?????????? ???????? ?????????, ???? ??????? ??????? ?????????? 0.05? ??????????????, ??? ????????? ???????????? ?? ??????????? ?????? ? ??????? ??????????.
1.3.12. ??? ????????? ???????? ???? ???????-????????? ????? ????? ???????? n1 = 10, n2 = 8 . ?????????? ????????? ??????????????? ????????? ??????? ?????????: ?) 1.08; 1.10; 1.12; 1.14; 1.15; 1.25; 1.36; 1.38; 1.40; 1.42; ?) 1.11;
1.12; 1.18; 1.22; 1.33; 1.35; 1.36; 1.38. ????? ?? ???????, ??? ?????? ??????????
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1.3.13. ??????????? ???????? ?????? ???? ?????????????? ???????????: ? ??????????????????? ? ??? ????, ? ????????????? ?????????????? ??????????? ????????? ???????? ??? ?????????? ??????????. ??? ??????????
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28
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????????????? ???????? H : m1 ? m2 .
1.4.5. ?? ???? ?????? ???????, ????????????? ?? ???? ????????? ??????????? ???????, ????????? ???????, ?????? ??????? n1 = 10, n2 = 12 .
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3 4 1;
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????????? ??? ?????? ?????????? 0.02 ????????? ???????? H: m1 = m2
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1.4.6. ?? ?????? ?????????? 0.05 ????????? ????????? ????????
H: m1 = m2 ? ????????? ?????????????? ???????? ???? ????????? ?????????????? ????????? ??????? X ? Y ??? ????????????? ???????? "????? H ":
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y j 12.2 12.3 13.0;
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29
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1.6.1. ?? ??????? ??????????? ???????? ??????????? ?????? n = 17
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1.6.2. ?? ????? ???????? ??????????? ?? ???? ?????????, ??????? ????
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1.6.3. ?? ????? ??????????? ???????? ??????????? ?????? n = 37
(??? ????????? ?????????????? ????????? ???????) ??????? ?????? ?????????: 2.34; 2.66; 2.95; 3.65; 3.86; 4.54. ????????? ????????? ???????? ??
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1.6.4. ????????, ??? ???????? ?????????? ??????? ?? ?????????, ????
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1.6.5. ?? ???? ??????????? ???????? ??????????? ?????? n = 37 (???
????????? ?????????????? ????????? ???????) ??????? ?????? ?????????:
0.00021; 0.00035; 0.00038; 0.00062; 0.00084. ????????? ??? ?????? ?????????? 0.05 ????????? ???????? ?? ???????????? ?????????.
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30
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??????? ????????????? ??????? ??????? ?? ?????????? ?????????: ??????? ???????? ?????????? ?? ???????, ????????????? ????????????? ?????????, ????????????? (???. 2.1.1). ??????? ???????????? ???????? ?????????? ?? ??????? ? ??????????? ?? ? ????, ???????? ??? ???????????
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???. 2.1.1
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????????????? ?? ????????? ? ????????????? ????????????? ?????????. ??
???????? ?????????? ??????? ????????, ????? ????????? ????????? ?????
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31
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2.1. ????? ??????? ?????????????
( x1 , x2 ) ? ??? ??????. ?? ???.
2.1.2 ????????? ????????? ??x2
?( x1 , x2 ) = 0
????? (??????, ????? ????????
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G1 ?( x , x ) > 0
1
2
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x1
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???. 2.1.2
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??????; ???? ???????? ??????? ?????? ???? ( ?( x1 , x2 ) < 0 ), ?? ??????????? ??????? ?? ??????????
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?( x1, x2 ) . ???????? ?????????? ??????? ?? ??? ?????????? ??????????? ??
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????????????? ???? ??????????. ?? ???? ????? ????? ????? ????????? ??????????????? ? ????????????????? ???????. ??? ??????????????? ??????? ????????? ???????? ??????? ???????? ??????? ? ????????? ?? ??????????? ??????????. ????????????????? ?????? ???????????? ??????????
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????????????? ??? ???????? ??????? ???????? ?? ????????? ???????, ? ????????? ????????? ???? ??????? (? ??? ????????????????? ???????
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???????????? ??????? ?? ??????? ????????? ?????????????. ??? ??? ?????
????? ??????????? ?? ????? ????????? ??????? ??????? "??????????? ????????". ?? ???? ?????? ???????, ?? ??????????? ?????, ???????? ???????? ???????, ? ? ???? ????? (??????? ?? ??????????? ? ?????????? ???????? ???????) ?????????????? ???????? ???????? ?????????????. ????? ??????? ?????? ????? ? ? ??? ????? ?????????? ???????? ???????? ?????????????, ??????????????? ? ?????? ???? ?????, ????? ??????. ????? ????????
?????????? ???????? ???????? ????????????? ?? ???? ?????? ?????????
???????. ?????????? ????????? ?????????? ???????? ????????????? ?????????????? ?? ?????????? ???????? ???????.
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
32
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2.2. ??????????? ?????? ???????? ??????? ??? ?????????? ?????????
1. ????????? ? ???????
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?
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?
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?????? ?? m ????????? ??????? ? ???. 2.2.1.
X = xi
1
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???????? ?????????? ??????? ???????
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?
m
???. 2.2.1
???. 2.2.1
?? ??????? ?????? ????????? ????????????? ??????????? ??? ???? ??????????????? ???????:
P ( j | X = xi ) =
m
pxi | j P ( j )
, pxi = ? pxi |l P (l ) j = 1, m .
pxi
l =1
(2.2.1)
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????????????? ??????????? ????????????:
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
33
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.2. ??????????? ?????? ???????? ??????? ??? ?????????? ?????????
{
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P ( ? | X = xi ) = max P ( j | X = xi ) , j = 1, m .
(2.2.2)
??????????? ???????? ??????? ?????????? ???????????, ? ??? ???????????? ??????????? ???????? ??????????? ????????? ?????????? ???????
? ???????????? ???????????? ???????? ??????????? ????????? ???????????
???????. ????? ???? ???????????? ????? ???????.
?????? 2.2.1. ??????? ??? ??????. ?????? ??? ???? ????????????? ???????????? (??? ???????? ?????? ? ?????? ???????) ? ????????? ???????????
??????? (????. 2.2.2).
??????? 2.2.2
xi
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0
1
P ( j)
p xi |1
0.05
0.8
0.15
0.5
p xi |2
0.1
0.2
0.7
0.5
???????, ??? ????????? ???????? ???? ????????? ?????????: X = 0 .
????????? ????????????? ??????????? ???????:
P (1 | X = 0) =
p0|1P (1)
0.4
0.8 ? 0.5
= 0 .8 ,
=
=
p0|1P (1) + p0|2 P (2) 0.8 ? 0.5 + 0.2 ? 0.5 0.5
P ( 2 | X = 0) =
p0|2 P (2)
0 .1
0.2 ? 0.5
=
=
= 0.2 .
p0|1P (1) + p0|2 P (2) 0.8 ? 0.5 + 0.2 ? 0.5 0.5
?????????? ????? ??? ???????? P (1 | X = 0) = 0.8 . ???????? ??????????
????????? ??????? ?? ?????????? ??????? ??????.
????????????, ??? ????????? ??????????? ???????? ???? ???????? X = 1 .
??????
p1|1P (1)
0.15 ? 0.5
0.075
=
=
= 0.176 ,
p1|1P (1) + p1|2 P (2) 0.15 ? 0.5 + 0.7 ? 0.5 0.425
p1|2 P (2)
0.35
0.7 ? 0.5
=
=
= 0.824 .
P (2 | X = 1) =
p1|1P (1) + p1|2 P (2) 0.15 ? 0.5 + 0.7 ? 0.5 0.425
P (1 | X = 1) =
???????? ?????????? ????????? ??????? ?? ?????????? ??????? ??????.
???? ? ?????????? ????????? ????????????? ??????? ?????? ????????
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
34
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.2. ??????????? ?????? ???????? ??????? ??? ?????????? ?????????
X = ?1 (??????????? ????? ??????? ?????????? ???? ? ????? 0.1), ?? ??????-
??????? ??????????? ????????? ????????:
P (1 | X = ?1) =
p?1|1P (1)
0.05 ? 0.5
0.025
=
=
= 0.333 ,
p?1|1P (1) + p?1|2 P (2) 0.05 ? 0.5 + 0.1 ? 0.5 0.075
P (2 | X = ?1) =
p?1|2 P (2)
0.05
0. 1 ? 0. 5
= 0.667 ,
=
=
p?1|1P (1) + p?1|2 P (2) 0.05 ? 0.5 + 0.1 ? 0.5 0.075
? ???????? ?????????? ??????? ??????? ?? ?????????? ??????? ??????.
???????? ??????? (2.2.2) ????? ???????????????. ???????????? ????????????? ??????????? ????? ?????????? ? ?????? ?? ??????? ???????????, ??????? ??? ????????? ??????? ?????????? ?????????? ?????? ?????????. ??????? ????????? ?? ?????????? ???? ?????? (? ??????? ? ), ??? ???????? ??????????? ????????? ????????????? ???????????? (??????????
???????? ??????????? pxi | j P ( j ) ):
p xi |? P (?) = max {p xi | j P ( j ) , j = 1, m}.
(2.2.3)
??? ???????? ?????? ??????????? ??????? ?????????? ???????? ??????????? ????????? ? ????. 2.2.3. ????????? ??????? (??? X = xi ) ?? ?????????? ??????? ??? ??????? ?????? ????????,
??????? 2.2.3
???????????, ??? ?????????.
???? ??????? ?????? ???????? X = ?1 , ??
xi
0
1
?1
??????????? ??????? ?? ?????????? ???????
p xi |1 P (1) 0.025 0.4 0.075
??????. ??????????? ?????? ??? ???? ????? ???????? 0.025, ? ??????????? ??????????? ????p xi |2 P (2) 0.05 0.1
0.35
??? ????? 0.05.
???? ??????? ?????? ???????? X = 0 , ??
??????????? ??????? ?? ?????????? ??????? ?????? ? ??????????? ??????
????? 0.1, ??????????? ??????????? ??????? ????? 0.4.
???? ??????? ?????? ???????? X = 1 , ?? ??????????? ??????? ?? ?????????? ??????? ??????, ??????????? ?????? ????? 0.075, ??????????? ??????????? ??????? ????? 0.35.
?????????? ?????? ????????? ??????????? ?????? ?????????????: P
(??.) = 0.025 + 0.1 + 0.075 = 0.2, ? ????????? ??????????? ??????????? ???????: P (????. ???.) = 0.05 + 0.4 + 0.35 = 0.8. ????? ???? ???????????? ????? ???????.
?????????, ??? ????????? ????????? ??????? (?? ????????? ? ???????????) ???? ??? ????? ????????? ???????? ?????????????? ???????? ???????? ? ?????????? ??????????? ????????? ?????????? ??????? ? ????? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
35
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.2. ??????????? ?????? ???????? ??????? ??? ?????????? ?????????
???????? ? ?????????? ??????????? ????????? ??????????? ???????.
2. ?????????? ? ???????
?
??????? ????????? ?????????? ????????????? ????????? X . ??? ???????? ???????, ??? ??????? ??? ????????????? ???????? X , Y .
X ????????? ????????? ???????? x1 , x2 , ..., xn1 , Y ? ???????? y1 , y2 ,
..., yn2 . ?????? ????????????? ??????????????? ??????? ?????????? ????????????? ????????? X , Y ???????? ??????? ???????? ????????????
P (( X = xi )(Y = y j ) ) ? pxi , y j , i = 1, n1, j = 1, n2 .
???????, ??? ????? ??????? ???????????? ???????? ??? ??????? ?????????? ???? ???????:
P (( X = xi )(Y = y j ) | l ) ? pxi , y j |l ,
(2.2.4)
i = 1, n1, j = 1, n2 ; l = 1, m .
???????? ????? ????????? ??????????? ??????? P (l ), l = 1, m .
??????????? ?????????? ???????? ?????? ??? ????????????? ?????????????. ?????? ????????????? ??????? ? ???????? ????????? ???????, ??????? ????????? ?? ??????????? ????????? ????????? ( X = xi , Y = y j ) ???????? ??????? ?? ?????????? ?????? ?? m ??????? (???. 2.2.2).
?? ??????? ?????? (??. ??? ??????????? ?????? ??????? (2.2.1) ????????? ????????????? ??????????? ??? ???? ??????????????? ???????:
P (k | [( X = xi )(Y = y j )]) ? P (k | xi , y j ) =
pxi , y j |k P (k)
m
? pxi , y j |l P (l )
, k = 1, m .
(2.2.5)
l =1
X = xi
Y = yj
1
????????
??????????
?
m
???????? ?????? ???? ???????
(? ???????????? ? ????????? ????????)
??????? ?? ?????????? ??????
?? m ???????
???. 2.2.2
??????? ??????? ?? ?????????? ???? ?????? ( ? -?? ??????), ??? ????????
????????????? ??????????? ????????????:
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
36
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.2. ??????????? ?????? ???????? ??????? ??? ?????????? ?????????
P (? | xi , y j ) = max {P (k | xi , y j ) , k = 1, m}.
(2.2.6)
? ???? ???????? ??????? (2.2.6) ????? ?????????? ?? ?????????????
???????????, ? ?????? ?? ?????????, ??? ??????????? ? ??? ?????????????
? ??????????. ??????? ????????? ?? ?????????? ???? ?????? (? ??????? ? ),
??? ???????? ??????????? ????????? ????????????? ???????????? (?????????? ???????? ??????????? pxi , y j |k P (k ) ):
pxi , y j |? P (?) = max{ pxi , y j |k P (k) , k = 1, m} .
(2.2.7)
?????? 2.2.2. ??????? ??? ??????. ?????? ??? ????????????? ???????????? ?????????? ????????? (????. 2.2.4). ? ??????? ????? ?????? ?????? ??????? ????? ??????????????? ??????????? p xi , y j |1 ??? ???????? ??????
??????, ? ?????? ????? ? p xi , y j | 2 ??? ???????? ?????? ??????. ????? ? ???????? ??????? ????????? ??????????? ???????.
??????? 2.2.4
xi
2
3
yj
-1
0
1
0.1
0.2
0.1
???????? ?????? ?????
0.2
0.35
0.1
0.05
0.3
0.2
???????? ?????? ?????
???????? ?????? ?????
0.2
0.1
0.1
???????? ?????? ?????
P (1) = 0.4
P (2) = 0.6
????????? ?????????? ??????????? p xi , y j |1 P (1) , p xi , y j | 2 P (2) . ??? ????????? ? ????. 2.2.5, ????? ? ??????? ? ?????? ????? ?????? ??????.
??????? 2.2.5
xi
2
3
yj
-1
0
1
0.04
0.08
0.04
0.12
0.14
0.06
0.02
0.18
0.08
0.12
0.06
0.06
????????? ??????? ??
?????????? ??????? ??????
????????? ??????? ??
?????????? ??????? ??????
?? ???? ?????????? ????????? ??????? ?? ?????????? ???? ??? ?????
??????. ????????, ???? ????????????? ???????? ??????? ????????: X = 3 ,
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
37
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.2. ??????????? ?????? ???????? ??????? ??? ?????????? ?????????
Y = 1, ?? ????????? ??????? ?? ?????????? ??????? ??????, ??? ??????
?????????? ??????????? 0.08 ?????? ?????? 0.06 (??? ????? ???????? ??????????? ?????? ????? 0.06, ? ??????????? ??????????? ??????? ????? 0.08).
???? ?? ????????????? ???????? ??????? ???????? X = 2 , Y = ?1 , ?? ???????? ?????????? ????????? ??????? ?? ?????????? ??????? ?????? (???
????? ???????? ??????????? ?????? ????? 0.04, ? ??????????? ???????????
??????? ????? 0.12).
????????? ??????????? ?????? ????????????? ????? ????????
P (??.) = 0.04 + 0.06 + 0.04 + 0.12 + 0.02 + 0.06 = 0.34.
????????? ??????????? ????????? ??????????? ??????? ????? ???????? P (????. ???.) = 0.12 + 0.08 + 0.18 + 0.14 + 0.06 + 0.08 = 0.66.
????? ???? ???????????? ????? ???????.
????????, ??? ?????????? ?? ???????????? ????????? ??????? (????
??? ????? ????????? ????????? ????????????? ?????????) ???????? ?
?????????? ??????????? ????????? ?????????? ??????? ? ???????????? ?
?????????? ??????????? ????????? ??????????? ???????.
2.3. ??????????? ?????? ???????? ?????????? ???????????
?????????
???????, ??? ??????? ??? ?????? ? ???? ??? ????????? ????????? X .
???? ???????? (?? ????, ????????, ?????? ?? ?????????) ? ?? ????? ? ???????? ???????? ???????????????. ????? ????????????? ????????????? ?????
????????????????, ? ??????? ??????????? ?????? ?? ????????? ????. ??
???? ???????? ????? ?????? ? ?????????? ? ????????????? ?????? ?????????? ?. ?. ??????????: "???? ?????????, ?????????, ????????? ???", "??
???? ??????".
????????? ????? f ( x | i ), i = 1, 2, ???????? ????????? ????????????? ??????????? ??? ????????? (???? ???????? ???????? i -? ?????), ? ?????
P (i ), i = 1, 2 , ? ????????? ??????????? ??? ???????. ?????? ?? ???????
?????? ????????????? ??????????? ??????? ??? ??????? ????????? ????????? x :
P (i | x) =
f ( x | i ) P (i )
, i = 1, 2 .
f ( x)
??? ????????????? ??????? ??????? ? ??? ??????, ??? ???????? ????????????? ??????????? ?????? (???. 2.3.1):
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
38
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.3. ??????????? ?????? ???????? ?????????? ??????????? ?????????
???? P (1| x) > P (2| x) , ?? ??????????? ??????? ? 1-? ??????,
???? P (2| x) > P (1| x) , ?? ??????????? ??????? ? 2-? ??????.
?????? ? ?????? ??????? ?????? (?????
?????????? ?? f ( x) > 0 ; ? ??????? ????????
??????? f ( x) ? 0 ) ???????? ???????? ???????:
P ( j | x)
1
P (1| x)
P ( 2| x)
x
0
G1
c
G2
???? f ( x|1) P (1) > f ( x|2) P (2) , ?? ??????????? 1-? ?????;
???? f ( x|2) P ( 2) > f ( x|1) P (1) , ?? ??????????? 2-? ?????.
???. 2.3.1
????????? ??????? ????????? ????????????? ??????????? ?? ?????? m
??????? ???????? ????????? ???????: ??????????? ??????? ?? j -? ??????,
????
P ( j | x ) = max{P (i | x ), i = 1, ?, m} .
??? ? ??? ???? ???????, ??????????? ??????? ? ?????????????? ????.
??????????? ??????? ?? j -? ??????, ????
f ( x | j ) P ( j ) = max{ f ( x | i ) P (i ), i = 1, ?, m}.
(2.3.1)
?????? ????????????? (?????????????) ???????????? ???. 2.3.2, 2.3.3.
f ( x|1) P (1)
f ( x|3) P (3)
f ( x|2) P (2)
f ( x|2) P (2)
f ( x|1) P (1)
x
x
G1
c
G2
G1
???. 2.3.2
G2
G3
G2
???. 2.3.3
???. 2.3.2 ????????????? ???? ??????? ? ?????? ?????????????? ????????. ?? ???. 2.3.3 ??? ?????? ???? ??????? ????????, ??? ??????? ??????? ????? ???????? ?? ?????????? ???????????.
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
39
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.3. ??????????? ?????? ???????? ?????????? ??????????? ?????????
?????? 2.3.1. ??? ??????? ???? ??????? ???????? ????????? ??????????? ????????? ???? ?
???????????? ?? ???. 2.3.4 ? 2.3.5.
1 ? | x |, | x | ? 1,
1 ? | x |;
? 0,
f ( x | 1) = ??
1 ? | x ? 1 |, | x ? 1 | ? 1,
f ( x | 2) = ??
1 ? | x ?1| .
? 0,
1
-1
f ( x | 1)
1
0
???. 2.3.4
x
f ( x | 2)
1
0
1
2
???. 2.3.5
x
????????? ??????????? ??????? ????? ?????????: P (1) = 0.25 , P (2) = 0.75 .
?? ???. 2.3.6 ????????? ?????????? ???????? ????????? ???????????:
f ( x | 1) P (1) , f ( x | 2) P (2) . ??????????? ????????? ????????????? ?????????????? ???????? f ( x) = f ( x | 1) P (1) + f ( x | 2) P (2) ????? ????????? ?? ????????? (?1; 2) . ??? ????? ????????? ????????????? ??????? ?? ??????????, ?, ?????????????, ????????? ????????
?????????? ?????? ?? ???? ????????.
f ( x | 1) P (1) f ( x | 2) P (2)
????? c = 0.25 . ??? ? 1 < x < 0.25 ?????0.75
?????? ??????? ?? ?????????? ???????
0.5
??????, ? ??? 0.25 < x < 2 ? ?? ??????????
0.25
??????? ??????.
x
2
?????????? ?????? ??????????? ??????
-1
0c 1
????????????? ??? ???? ???????. ?? ????
???. 2.3.6
?????????? ?????????? ?????????? ????????????? f ( x|1) P (1) ? f ( x|2) P (2) ????????? ??? ??????. ???? ??????? ?
???, ??? ??????????? ????? 2 (????? x ? G2 ), ?? ???????? ???????? ????? 1.
???????? ??????????? ???? ?????? ????? ??????? ??? ?????? f ( x|1) P (1)
??? x ? G2 :
P??.1 =
? f ( x | 1) P (1)dx .
G2
??????????? ?????? ?????? ??????????? ??????????:
P??.2 =
? f ( x | 2) P (2)dx .
G1
??? ???????????? ????? ??????????? ???????? ?????? 1, ? ?? ????? ???
???????? ???????? ????? 2.
????? ???? ???????????? ???? ?????? ???? ? ?????? ?????????????
(???. 2.3.7):
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
40
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.3. ??????????? ?????? ???????? ?????????? ??????????? ?????????
P??. = P ( x ? G2 , 1) + P ( x ? G1 , 2) =
= P ( x ? G2 |1) P (1) + P ( x ? G1 |2) P (2) =
=
(2.3.2)
? f ( x|1)dx P (1) + ? f ( x|2)dx P (2) ,
G2
G1
??????? ????? ??????????? ????????? ????????????? ??????? ??? ?????????????.
f ( x|1) P (1)
f ( x|1) P (1)
f ( x|2) P (2)
f ( x|2) P (2)
? P ??.
P ??.2
G1
P ??.2
P ??.1
c
x
G2
???. 2.3.7
c
P ??.1
c + ?c
x
???. 2.3.8
???????????, ??? ??????????????? ??????? ????????????? (2.3.1) ???????????? ??????? ??????????? ?????? ????????????? ? ??? ???????????
?????? ????? ????????, ?????????? ? ??????? (2.3.2). ??? ??????????????
????? ??????????? ??????? ???????? c ??????? ?????? (???? ?????) ?? ????????????? ???????? (???????? ???????) ?c . ?? ???. 2.3.8 ?????, ??? ??????????? ?????????? ??????? ?????????? ?? ????????????? ???????? ?
P??.( ?c ). ????? ??????? c ????? ???? ????? ?? ?????????.
?? ?? ????? ??????? ????????????? ????????????? ? ???????? ????????? ??????????? ??????????? ???????:
P????. = P ( X ? G1 , 1) + P ( X ? G2 , 2) =
= P ( X ? G1 |1) P (1) + P ( X ? G2 |2) P (2) =
=
(2.3.3)
? f ( x|1)dx P (1) + ? f ( x|2)dx P (2) = max .
G1
G2
??? ???? ????? ????????? ? ????, ????????? ? ???. 2.3.9. ??? ?????????
?????????? ??????? ?????????? P????.1, P????.2, ???????? ????????? ?????????? ? ???????????? ????? ??????? ??? ??????? ?????????? ??????????
??????????? f ( x|1) P (1) ? f ( x|2) P (2) . ????? ??????? ???????? G1 , G2 ??
????? c ? ????? c + ?c ???? ?????????? ??????????? ??????????? ???????
(??. ???. 2.3.10) ?? ???????? ? P????.( ?c ). ??????????? ???? ????????.
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
41
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.3. ??????????? ?????? ???????? ?????????? ??????????? ?????????
f ( x|1) P (1) f ( x|2) P (2)
c
f ( x|2) P (2)
? P ????.
P ????.1
P ????.2
P ????.1
G1
f ( x|1) P (1)
x
G2
???. 2.3.9
P ????.2
c c + ?c
x
???. 2.3.10
???????? (2.3.3) ???????? ?????????, ???? ??????, ??? ????? ???????????? ?????????? ? ??????????? ??????? ????? ???????:
P??. + P????. = P ( x ? G2 , 1) + P ( x ? G1 , 2) + P ( X ? G1 , 1) + P ( X ? G2 , 2) =
= P (?, 1) + P (?, 2) = P (? | 1) P (1) + P (? | 2) P (2) = P (1) + P (2) = 1.
????? ? ? ??????????? ????????? ???????.
? ????? ??????, ????? ? ???????????? ????????? m ???????, ????????
??????? (2.3.1) ????????????? ???????? ????????? ??????????? ???????????
???????:
m
P????. = ?
? f ( x | i)dxP (i) = max .
i =1 Gi
????, ??? ?? ?? ????? ? ?????? ??????? ????????????? (2.3.1) ?????
???? ???????? ?? ???? ?????????: 1) ?? ??????? ????????? ?????????????
??????????? ???????; 2) ?? ??????? ???????? ??????????? ????????????
?????????????; 3) ?? ??????? ????????? ??????????? ????????? ??????????? ???????.
??????????? ???? ????????? ???????? ??, ??? ? ??? ?? ???????????? ?????????? ? ????????????? ????? ??????? ????? ???????. ??????? ?????????
??? ????????? ???????? ? ???????? ?????????? ???????? ? ?? ???? ????????? ??? ?????????????.
?????????? ?????? ????????????? ??????? ???????? ???? ??????? (????
? ?????????) ?? ??????????? ????????????????? ???????????? ?????????.
?????? ????? ?????????? ?????, ?????? ? ????????. ???????, ??? ?????? ??
?????????? ????????, ??? ????. ??????????? ?????? ??????? ???? P??.2 (??????????? ??????? ??? ????????????? ???????? ?? ????) ???? ?????????, ??
??????????? ?????? ??????? ???? P??.1 ??? ???? ?????? ????? ??????????. ??
???????? ???????? (???. 2.3.11) ??????? ???? ??????? ?????. ???? ??????
??????????? ?? ???? ???????? ? ?????????????? ???????? ???????????
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
42
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.3. ??????????? ?????? ???????? ?????????? ??????????? ?????????
?????? ????????????? P??. ???????????? ? > 1 ????? ?????? ?????????
(????? ??????? ??????? ????) ?????? ????? ??????? (2.3.2). ?????????? ???????? ?????????? ??????????? ?????? ????????????? ????? ??? (??? ?????? ???? ???????)
R = ? f ( x | 1)dxP (1) +? ? f ( x | 2)dxP (2)
G2
G1
? ?????????? ??????? ??????. ??? ??? ?? ?????? ??????? ?????? ???????? ?????. ?? ??????? ???????? ??? ????????, ??? ? ??????? ??????? ????????????? ???????? f ( x|2) P (2) ???? ???????? ?? ? .
?? ???. 2.3.11 ??????????? ???????? ????????? ??????? ?????????????.
??????? ????? ????????? G1 ? G2 ?? ????????? ? ??????? ??????? (???
? = 1) ????????? ?????. ??? ???? ??????????? ?????? ??????? ???? P??.2
??????????? (????? ?? ? ??????), ? ??????????? ?????? ??????? ???? P??.1
?????????????. ??? ?????????? ????? ?? ????????? ????????????.
?? ???? ????? ?? ??????? ?????f ( x|1) P (1) ? f ( x | 2) P (2)
???????? ???????? ???? ??????? ??????? ??????????? ?????????? ??????
f ( x|2) P (2)
???????? ???????? ?????. ???????
????????????? (2.3.1) ????????????
P ??.2
P ??.1
????????????? ????????? (????????
x
??????????? ???????????? ?????????????
????????
????? (2.3.2) ? ????????? ???????????. 2.3.11
??? ??????????? ???????? ???????
(2.3.3):
P??. = min, P????. = max.
?????? ???????? ??????? ? ????????????? ???? ????? ???????? "???????", ??? ???? ?????????? ? ?????????????? ???????? ???????? ???? ??
???????????????. ????? ????????, ???
P??. = min, ?P????. = min.
?????????? ??? ???????? ? ????:
P??. ? P????. = min.
(2.3.4)
???????, ??? ?? ??????? ????? ?????????????? ?????????, ????? ???????
????????????? (2.3.1) ?????????? ????????????? ?????????? ????????. ?
????? ????? (2.3.4) ????? ??? ?????????? "??????? ????", ?????? ? ???????-
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
43
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.3. ??????????? ?????? ???????? ?????????? ??????????? ?????????
??? ???? ? ?????????? ?????? ??? ??? ?????????. ??????????? ???????????? ??????? (?????? ??????? ? ??????? ????) ????? ? ?????????????? ?????? ( + 1 ), ? ??????????? ?????????? ??????? ?????? ? ?????????????? ?????? ( ? 1), ?. ?. ?????????? ??????? ???????? ?? ??????, ? ???????. ????
?????? ?? ????????? ???? ??????? ?????????????, ?? ??????? ?????
????? ?????? ???????? ?????, ? ???????? ??????? ????? ?????????? ?? ???????? ??? ????????:
R = V11 ? f ( x | 1)P (1)dx +V12 ? f ( x | 1) P (1)dx +
G1
G2
+ V21 ? f ( x | 2)P (2)dx + V22 ? f ( x | 2) P (2)dx = min .
G1
(2.3.5)
G2
??????? ???????
?V11 V12 ?
?
?V21 V22 ?
V=?
???????? ? ???? ??????, ????????? ? ???????? ??????? (V12 ) ? ???????
(V21 ) ???? ? ? ??????????? ????????? V11, V22 . ??? ??? ?????????? ??????? ???? ??????? (? ?? ??????), ?? ???? V11, V22 ????????????. ? ????????
(2.3.4) ???? ????????? ????????: V12 = V21 = 1, V11 = V22 = ?1.
?? ???????? ???????? ????? ???????? ????????? ??????? ?????????????:
????
(V12 ? V11 ) f ( x | 1) P (1) > (V21 ? V22 ) f ( x | 2) P (2) ,
??????????? ?????? ?????;
????
(V12 ? V11 ) f ( x|1) P (1) < (V21 ? V22 ) f ( x|2) P (2) ,
??????????? ?????? ?????.
??
(2.3.6)
??
????????
??????? V ?????? ????????????? ????????????: V12 ? V11 > 0, V21 ? V22 > 0
.
??? ??????? m ??????? ?? ???????? ???????? ???????? ?????
m m
R = ? ? Vji ? f ( x| j ) P ( j )dx = min
i =1 j =1
Gi
???????? ??????? ?????????????:
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
44
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.3. ??????????? ?????? ???????? ?????????? ??????????? ?????????
??????????? ??????? ?? j -? ??????, ???? ??????????? (m ? 1) ??????????:
(Vji ? Vjj ) f ( x| j ) P ( j ) > (Vij ? Vii ) f ( x| i ) P (i ) , i = 1, ?, j ? 1, j + 1, ?, m .
????, ????????? ??????????? ??????????????? ?? ?????????. ???? ? ???
???????? ????????? ????????????? ???????????? f ( x| j ) ? ????????? ??????????? ??????? P ( j ) ??????????, ?? ?? ????? ???????? ???????? (???????????????? ??? ??????????????????), ???????????? ?? ????????? ???????.
? ???????? ???????? ?????????? ??????????? ??????? (???????????)
??? ?????????? ?????? ????????????? ????????????? ????????? [2.2]:
f ( x) =
? 1 ? ? T ?1 ? ? ?
exp
?? ( x ? m) K ( x ? m)? .
q/2
1/ 2
? 2
?
(2?) | K |
1
(2.3.7)
?
????? x ? q -?????? ??????-??????? ???????? ????????????? ?????????,
?
?
? ?????? ?????????????? ???????? ????????? X ,
m
?
?
?
??
??
?
? ?
M { X} = m = ? ? ? xf
( x)dx1 ? dxq ;
K ? ?????????????? ???????,
? k11 ? k1q ?
?
?
2
K = M {( x ? m)( X ? m) } = ? ? ? ? ?, kii = ?i ,
? kq1 ? kqq ?
?
?
?
?
?
?
T
kij = M {( Xi ? mi )( X j ? mj )} ;
T ? ???????? ???????????????? ??????? (??? ???????); | K| ? ????????????,
??????????? ?? ????????? ??????? K ; K ?1 ? ???????, ???????? K .
f (x )
x2
x2
m2
m2
?
m
?
m1
m
x1
m1
???. 2.3.12
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
x1
???. 2.3.13
45
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.3. ??????????? ?????? ???????? ?????????? ??????????? ?????????
?? (2.3.7) ???????, ??? ????? ??????????? ???????? ????????? ????????
?????????????????:
? ? T ?1 ? ?
( x ? m) K ( x ? m) = const.
?? ???. 2.3.12 ? ???. 2.3.13 ?????????: ???????????????? ??? ?????????
????????????? f ( x) ? ????? ?????? ???????? ?????????.
?????? 2.3.2. ??? ????? ????????????? ???????? ??????????? ??????????? ??????????? ? ???? ??? ????????? ?????. ??? ????????? ???????
????????? ???????? (?????????? ???) ?? ??????????, ??????????????? ????????? ???????.
???????, ??? ??????? ??? ??????. ??????????? ????? c ????????? ?? ???????
f ( x|1) P (1) = f ( x|2) P (2) ,
(2.3.8)
???
?? 1 ? x ? m ?2 ??
1
i?
exp?? ??
f ( x | i) =
? ?, i = 1, 2 .
2
?
2 ? ?i
i ? ?
?? ?
?
2
2
(2.3.9)
2
??????? 1. ????????? ?????????: ?1 = ? 2 = ? , ?????????????? ???????? ????????: m1 ? m2 .
??????????? (2.3.9) ? (2.3.8) ? ???????? ???????? (? ???? ????????? ?????????) ????????? ???????????? ??????. ?? ???? ???????
c=
m1 + m2
2
P (1)
?
.
ln
+
m2 ? m1 P (2)
2
(2.3.10)
????? ????????? ???????? G1 , G2 (???? m1 < m2 ): G1 = ( x: x < c) ,
G2 = ( x: ? < x) ? ????????????? ???????? ?? ?????????? ?????????. ????
?????????? ???????? x ???????? X ??????????? G1 (????, ???? x < c ), ??
??????????? ????? 1, ???? ?? x ??????????? G2 (?. ?. ???? c < x ), ?? ??????????? ????? 2.
?????????? ??????????? ?????? ?????????????:
?
P??. = P (1) ? f ( x | 1)dx + P (2)
c
c
? f ( x | 2)dx =
??
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
46
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.3. ??????????? ?????? ???????? ?????????? ??????????? ?????????
?
? c ? m1 ? ?
? c ? m2 ?
= P (1)?1 ? F ?
? ? + P (2) F ?
?=
?
?
?
??
?
?
?
?
? m ? m1
?
P (1) ? ??
?? ? +
+
= P (1)??1 ? F ?? 2
ln
?
?
)
2
(
2
P
m
m
??
?
1
2
?
?
? m ? m1
P (1) ? ??
?
?? ? .
ln
+ P (2)??1 ? F ?? 2
?
m
m
P
2
(
2
)
?
?
?
??
2
1
?
?????
1 z
2
F ( z) =
exp(?t / 2)dt
?
2? ? ?
? ????????? ??????? ????????????? ????????? ?????????????? ????????? ???????? ? ??????? ?????????????? ????????? ? ????????? ??????????. ??? ?????????????? ????????? P (1) = P (2) = 1 / 2 ? ??? m2 = m1 + 2? ,
m2 = m1 + 4? , m2 = m1 + 6? ???????? ??????????????:
1) P??. = 1 ? F (1) =1 ? 0.84 = 0.16;
2) P??. = 1 ? F (2) =1 ? 0.98 = 0.02;
3) P??. = 1 ? 0.999 = 0.001.
??????? 2. ????????? ????????. ??????????? ????????? ?????????????
(2.3.9) ??? ?????????????? ???????? ? ????????? ??????? (2.3.8) ????? ????????? G1 , G2
?? 1 ? x ? m ?2 ??
?? 1 ? x ? m ?2 ??
(
2
)
P
1
2
?? ?
?? ? =
exp?? ??
exp?? ??
2
2
?
?
2? ?1
2
?
?
2 ? ?
?? ?
?? ? 1 ? ??
2
?
P (1)
? ???????? ???????????? x ???????????? ?????????:
?? 1 ? x ? m ? 2 1 ? x ? m ? 2 ?? ? P (2)
1
2
?? + ??
?? ? = 1
;
exp?? ??
?
?
2
2
?
P
(
1
)
?
? ??
2
2
?? ? 1 ?
2
?
2
x ? 2 xm1 + m1
2
?1
2
+
2
x ? 2 xm2 + m2
2
?2
+ 2 ln
? 2 P (1)
= 0;
?1 P (2)
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
(2.3.11)
47
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.3. ??????????? ?????? ???????? ?????????? ??????????? ?????????
? 1
? 2 ? 2m1 2m2 ? ? m22 m12
? 2 P (1) ??
1
?
?x + ?
?x + ?
?
?
?
+
2
ln
= 0.
2 ?
2
2
? ?2 ?2 ?
? ?2
?
?
P
?
(
2
)
? 2 ? ? ? 2 ?1
1
? 2
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1 ?
f ( x|1) P (1)
2
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2
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2
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G1
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??? ?1 = ? 2 = ? ) ??? ??? (????????, ???
m1 = m2 = m ) ?????. ?????? ?????? ??????????? ?? ???. 2.3.14. ??????? G2 ???????
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?????? 2.3.3. ??????? ??? ????????????? ????????, ?????????????? ?? ??????????? ?????? (??? ??????? ?? ???????):
f ( x1, x2 | j ) =
, j = 1, 2 ;
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?
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j
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1/ 2
2
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1
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x = ? ?, m( j ) = ?
?, K ( j ) = ??
2
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x
m
j
(
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j = 1, 2 .
(2.3.12)
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??? k12 = k21 . ??????? ? ?????????????? ??????????? ????????? ?????????
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??????? G1 , G2 , ???????????? ??????????
f ( x1 , x2 |1) P (1) = f ( x1 , x2 |2) P (2) .
(2.3.13)
??????????? ????? ??????????? ?????????? ??????? ???????. ? ?????????? ??????? ??? ??????????? ? ?????? ?????. ???? ?? ????? ???????
?????????? ????.
??????? 3. ?????????????? ??????? K (1), K (2) ????????? ? ????????
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? ?12 0 ?
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K (1) = K (2) = ??
2?
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48
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2.3. ??????????? ?????? ???????? ?????????? ??????????? ?????????
|K|=
2 2
?1 ?2 ,
1/ 2
|K|
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?
2 ?
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1
2
1
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f ( x1, x2 | j ) =
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2??1?2
2
2
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2
1
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2
2
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?
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1
2
2
2
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?
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?
m1 (1) ? m1 (2)
2
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2
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2
m1 (1) ? m1 (2)
2
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2
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2
+
x2 =
2
m2 (1) ? m2 (2)
2
2?2
+ ln
P (2)
.
P (1)
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?????? ??????.
x2
G1
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?( x1 , x2 ) = 0
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???????? ??? ???????? ?????????? ?
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?
?
?
?
m1 ?
?????????? ?? x ?? m1 ? m2 . ? ??????m2
x1
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?
???. 2.3.15
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??? ?????????? ????? ???????, ??
??? ?????????? ??????? ????????? ????????? ?1 = ? 2 = ? = ? q ? ?????????
???????????? P (1) = P (2) = ? = P (q ) , ????????????? ????? ????? ????????
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
49
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2.3. ??????????? ?????? ???????? ?????????? ??????????? ?????????
?? ???????? ?????????? (???. 2.7.2).
??????? 4. ?????????????? ??????? ?????????: K(1) = K(2) = K , ?
???????? ??????????????. ??????????? ?????
1 ? ? T ?1 ? ?
? ( x ? m(1)) K ( x ? m(1)) + ln P (1) =
2
1 ? ?
?
T ?1 ?
= ? ( x ? m(2)) K ( x ? m(2)) + ln P (2)
2
????? ????????? ? ?????? ?????
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???
?
?
?
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?
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?
m(1) + m(2)
2
?
?
(m(1) ? m(2)) ln( P (1) / P (2))
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.
?
?
?
(m(1) ? m(2)) T K ?1 (m(1) ? m(2))
?
x2
?
?
??? ??? ??????????? w = K ?1 (m(1) ? m(2)) ?? ????????? ? ????????????
?
?
(m(1) ? m(2)) , ?? ??????????? ????? (?????????????? ??? q = 3, 4, ... )
?
?
?? ???????????? ???????, ???????????? m(1) ? m(2) . ? ?? ?? ????? ? ?????? ?????? ????????? ???????????? ( P (1) = P (2) = 0.5) ??? ?????????? ????
??????? ? ?????
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G1
G2
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m1
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m2
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?
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?
x0 = (m(1) + m(2)) / 2 ,
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?
????? m(1) ? m(2) (???. 2.3.16). ??? ????????
????????? ???????????? ??????????? ?????
?????????, ???????? ?? ?????? (??????????????? ????????) ????? ?????????? ??????.
??????? 5. ?????????????? ??????? ????????. ??????????? ??????????? ???????????-
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q
1
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2
2
2
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
50
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.3. ??????????? ?????? ???????? ?????????? ??????????? ?????????
q
1 ? ?
1
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T ?1
= ? ( x ? m(2)) K (2)( x ? m(2)) ? ln 2? ? ln | K (2) | + ln P (2) .
2
2
2
(2.3.14)
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G1
G1
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1
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1
G2
G2
1
2
2
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G1
2
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G1
1
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G1
G2
1
G2
G2
2
2
G1
?
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?????? ?????? ??? ??????? ???????? ????????? ?????????. ???????????
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????? ???????????? ? ??????. ???. 2.3.17, ? ???????????? ??????, ????? ???
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2
???????????? ????? ????????. ? ?????? ????????? ? 2 (1) ??????? ???????? ?
?
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? ?????? ?????? ????????? ??????????? ????? (2.3.14) ???????????????
??????? ??????????? ? ???? ?????? ? ???. 2.3.17, ?.
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
51
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.4. ???? ?????????????
?????? ?????? ????????????? ????? ???? ????????????? ???????? X .
??? ??? ???? ???????? ?????????, ???? ???????? ????????, ???? ?????? ?????????? ????????? ????????????? ???????????? f ( x| i ) . ????? i ? ????? ????????? ??????. ? ??????????? ?? ???????? ?????????? ???????? ????????? ?????? ?????????????.
f ( x|i )
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f ( x|1)
??? ????????? f ( x | 1), ? , f ( x | m) . ???
f ( x|2)
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? ?
??????. ??? ??? ????????? ???????????
x
P (1), ?, P (m) ??????????, ?? ?????????c
G1
G2
???? ?? ????????? ?????? (???????????????
????????????
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???. 2.4.1
P (1) = ? = P ( m ) = 1 / m .
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???? 0.5 f ( x | 1) > 0.5 f ( x | 2) , ?? ??????????? ????? 1;
???? 0.5 f ( x | 1) < 0.5 f ( x | 2) , ?? ??????????? ????? 2.
??? ????????? ? ???????? ????????, ????????????? ? ????? 1 (??.
???. 2.4.1):
???? f ( x|1) > f ( x|2) , ?? ??????????? ????? 1;
???? f ( x|1) < f ( x|2) , ?? ??????????? ????? 2.
????????? ???????
f ( x|1) = f ( x|2)
? ???? ??????? ????????????? ????????? ???????? ??? ???????? ?????????
???????? c , ??????? ????????? ??????? ????????? ???????? ?? ??? ?????????? G1 ? G2 . ????? ???????? ??????? ????? ???????? ? ????:
???? x ? G1 , ?? ??????????? ????? 1,
???? x ? G2 , ?? ??????????? ????? 2.
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
52
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.4. ???? ?????????????
??????????????? ??????? ????????????? ???????????? ???????????
???????? ??????????? ? + ? ? ??????????? ?????? 0.5(? + ?) .
x2
?( x1 , x2 ) = 0
?( x1 , x2 ) > 0
?( x1 , x2 ) < 0
x1
???. 2.4.2
??? ??????? ???? ????????? x = ( x1 , x2 ) ???????? ???????
?( x1 , x2 ) = f ( x1 , x2 |1) ? f ( x1 , x2 |2)
????????? ???????? ????????? ???????? ??????? (???. 2.4.2):
???? ?( x1 , x2 ) > 0 , ?? ??????????? ????? 1,
???? ?( x1 , x2 ) < 0 , ?? ??????????? ????? 2 .
??? ????????, ??? ????? ????????? ????????? ??????????? ??????? ?
??? ??????, ??? ???????? ????????? ????????????? f ( x1 , x2 | i ) ??????.
?????? 2. ???????? ????????? ????????????? ???????????? ??? ???????
?
??? x ???????? ?? ?????????, ? ? ????????? ?? ?????????? ? :
? ?
? ?1
? ?2
f ( x, ? | 1), f ( x, ? | 2) . ??????????? ????????? ?1 , ? 2 ?????????????? ?
??????? ?????? ?? ??????? ?????????????? ??????????, ???????? ? ??????? ?????? ????????????? ?????????????, ?? ?????? ????????? ???????:
? ?
?
x11 , x21 ,? , xn11 , ????? ???????? ???????? ????? 1;
? ?
?
x12 , x22 ,? , xn22 , ????? ???????? ???????? ????? 2.
(2.4.1)
?????????? ????????????? ??????????, ??? ? ? ?????? 1.
?? ????????? ??????? ?????????????? ? ????????? ???????????:
?
P (1) =
n1
n1 + n2
?
, P (2) =
n2
n1 + n2
.
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
53
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.4. ???? ?????????????
?????? 3. ???????? ????????? ????????????? ??????????? ??????????,
?? ???????? ????????? ???????. ????? ???????? ??? ????????.
?
??????? 1. ????????????????? ???????? ??????? ?( x) . ???? ??????
?????????? ? ????????? 2.5.
??????? 2. ?? ????????? ??????? ????????????????? ???????? ???????
??? f ( x | i ), i = 1, m . ?????? ??????? ???? ?????? ?????????? ? ????? 4.
?????? 4. ????? ??????? ?????????? ? ??? ????????? ???????. ??????,
??? ???????, ??????? ??? ?? ????????? ????????? ??????? ?? ??????, ??????????????? ????? ???????. ??? ????? ??????? ? ???????????????? ?? ???????? ????????. ?????????? ??????? ??????????????? ??????? ?????????????. ??????? ???????????? ????? ??????????? ? ????????? ??????????. ??
??????????? ???? ?? ????? ??????? ? ????????? ?????????? ???????.
?? ?????????? ????????? ????????????????? ??????????? ????????? ????
?????????? f ( x) . ????? ????? ???????????? ?????? ????? 4, ??????? ???
??????? ?? ?????????? ?????????? ? ????????? ????????? f ( x) .
?
????????? ????????????? f ( x) ????????????? ???????????
?
m
?
f ( x) = ? f ( x| j ) P ( j ) .
(2.4.2)
j =1
?????? 2.4.1. ???????, ??? ??????? ??? ?????? ( m = 2), ???? ????????????? ??????? ? ???????? ????????? f ( x | j ), j = 1, 2 , ? ??? ??????????
?????? ?????????????:
f ( x | 1) =
1
e
2?
?
x
2
2
, f ( x | 2) =
1
e
2?
?
( x? 4 )
2
2
, ?? < x< ?.
?????? ????? ?????????? ????????? ????????? ? ?????????? ??????????????? ??????????: m1 = 0, m2 = 4.
???????? ????????? ????????????? (2.4.6) f ( x) ?????????????? ???????? X ??? ????????? ????????? ????????? ???????????? ??????? P (1) ?
P (2) ????????? ?? ???. 2.4.3.
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
54
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.4. ???? ?????????????
f ( x) P (1)=0.2, P (2)=0.8
f ( x) P (1)=0.5, P (2)=0.5
f ( x) P (1)=0.9, P (2)=0.1
x
x
x
???. 2.4.3
?? ???. 2.4.4 ??? ???? ??????? ? ?????? ???????? ??? ?????????? ??????
????? ???????? ??????????? ???????. ???? ?? ???? ?????????? ?? ????
???????????, ?? ? ???????????? ? ??????????? ??????? ????????????? (??. ???????? 2.2) ?? ????????? ?? ????????? ??????? ????????????? (??? ???? ???????):
???? f ( x|1) P (1) > f ( x|2) P (2) , ?? ???????? ???????? ????? 1;
???? f ( x|1) P (1) < f ( x|2) P (2) , ?? ???????? ???????? ????? 2.
?? ??????? ????????? ???? ??????????
??????????
f ( x | 1) P (1) , f ( x)
f ( x | 2) P (2) ?? ?? ???????? ????? c ,
??????? ????????? ??????? ?????????
???????? x ?? ??? ?????. ???? ?????????? ???????? x ???????? ???????????
f ( x|2) P (2)
????? ?? c , ?? ??????????? ??????? ?
f ( x|1) P (1)
x
?????? ??????, ? ????????. ????? ?? c
c
????? ???????? ??? f ( x|1) P (1) , ? ???????. 2.4.4
?? ? ???????? ??? f ( x|2) P (2) . ??????
? ??????? ????????? ???? ??????? ??? ?????? ? ??????????? ?????????
f ( x) , ?. ?. ????????? ??????? f ( x) ????? ? ??????? ???????? ??????? ??
?????????? ???? ???????, ? ?????????? ?????????? ??? f ( x) ???? ??? ?????????? ???????. ??? ???????? ????? ???????????? ??? ????????? ??????????
???????.
????? ???????? ????????? ????????????????? (?????????????) ???????
?????? (? ??????????? ?????? ? ??????????? ???????????) c . ????????,
???????? ??????? ??????????? ?????? c 0 . ??? ????????? ???????? ???????
(?? ??????? ??????????? ??????????? ????????? f ( x) ?? ??? ?????. ???????
?????????? ?????????. ?? ??? (??? ???? ??????????? ????) ???????????
???????? ?????????? ????????? f ( x|1) P (1) ? f ( x|2) P (2) , ? ?????????????,
???????? ??????? ? ????? ??????????? ?????? c1 (??????????? ???????????) ? ?. ?.
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
55
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.4. ???? ?????????????
???????? ? ?????? ???? ????????????.
2.5. ?????? ?????? ?????????????? ???????? ???????
??????? ????????? ??????? (2.4.1):
? ?
?
?
?
x11 , x21 ,? , xn11 , ????? ???????? ???????? ????? 1;
?
x12 , x22 ,? , xn22 , ????? ???????? ???????? ????? 2;
(2.5.1)
?????? ?????? n1 + n2 = n .
???????? ????????? ?????????? y , ??????????? ?? ?????????????? ?
???? ??? ????? ?????? ??????? ??????????? ???????? ????????? ???????.
????????, ??? ???? ???????
1, ???? ???????? ???????? ????? 1,
?? 1, ???? ???????? ???????? ????? 2.
yi = ??
(2.5.2)
?? ??? x ???. 2.5.1 ???????? ????? (??????? ? ?????? ???????) ???y
?????? ??????? (??? ???? ???????).
1
????? ?? ???? ?? ??????? ????????
????? ????? (???????? ??????????),
?( x)
??????????????? ?????? ?????????
???????, ? ??????????? x, y . ?? ????
x
?????? ?????????? ????? ?( x) (? ?????????????? ???????? ??????????
???????????), ??????? ????????????
-1
????? ???????? ???????. ?? ?????
?????????? ???????? ??????? ?( x)
???. 2.5.1
????????? ???? ???????????????? ?
?????????????????? ????????.
??? ??????????????? ??????? ???????? ????????? ???????? ??????? ?
?
????????? ?? ?????????? a :
M
? ?
?
?( x, a ) = ? a j ? j ( x) ,
(2.5.3)
j =1
??? {? j (?)} ? ????????? ???????? ???????, ? ?? ?????????? ????????,
???????? ?? ???????? ?????????? ?????????
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
56
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2.5. ?????? ?????? ?????????????? ???????? ???????
?
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I1 (a ) = ? ( yi ? ?( xi , a )) = min
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2
a
i =1
(2.5.4)
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(???????) ??????? {? j (?)} . ??? ?????? ?????? ???????? ????????????? ?
????????? ??????? ?????????? ???? ?????? ???????? ???????. ?? ??? ????? ????????????? ? ????? ???? ????: ???????? ??????? ?????? ????? ????? ?? ???, ??? ? ?( x) (??. ???. 2.5.1). ?? ??? ????? ????????? ????????
? ???????????????, ??????????? ? ????????. ???? ?????? ????? ??????????
? ????????? 2.6.
????? ???????? ?????????? ????????? (2.5.3) ???????????? ?????? ????????, ???????? ???????? ????????:
? 1 n
? ?
I 2 ( a ) = ? (1 ? sgn[ yi ?( xi , a )]) = min
? .
a
2 i =1
(2.5.5)
????? sgn[?] ? ???????? ???????. ??? ????? 1 ??? ????????????? ???????? ????????? (??? ???? ?????????????? ?????????? ????????????? ? ??????? ???????? ??????? ?(?) : ????? ? y ? ? ?????????) ? ????? ?1 ??? ????????????? ???????? ????????? (??? ???? ?????????? ???????????? ????????????? ?? ?????? ???????? ??????? ?(?) . ??? ?????????? ????????????? ?? ???? ?????? ????????? ??????? (2.5.1) ?????????? I 2 ????? ????.
??? ?? ??????? ????? ????? ?????????????? ???????????? ?????????????,
??? ??????? ???????? ????????? I 2 . ????????????? ??????? ? ???????????
?
?? ?????????? a ???????? ???????-??????????. ??-?? ????? ??? ?????? ??
???????? ??????????? ????????? ???????????????? ???????????. ? ????? ?????????? ????? ?????????? ???????? ????? ??????? ?????????? ????????
?????????????, ????????,
| z |, z < 0,
? 0, z > 0.
I 3 = ? ? ( yi ?( xi , a )) , ? ( z) = ??
n
i =1
? ?
(2.5.6)
??? ????????????????? ??????? (??. ???????? 4.13) ???????? ???????
???????? ??? ??????????? ?????????? ? ?? ?????????.
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
57
????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.6. ???????????
? ??????? ????????????? ????????? ??????????? ?????? ? ????????
????????????? ????? ??????????? [2.3] ???????? ?????? ?????. ??????????
??? ????????? ???????????? ?????? ?. ???????????? ? 1957 ????. ?????
????? ?????? ????????? ?? ????? ???? ?? ????????? ???? ? ?????????????.
????? ????????????? ????? ??? ??????: ?????????????? ???????? ?????
???????????; ??????????? ???????? ????????????? ?????????? ????????,
??????????? ?????? ??????????? ??????????; ????????????? ??????????
??????? ??????? ????????? ????? (??? ??????? ?????? ?????? ??????????????? ????????) ? ???? ??, ??? ????????? ? ??????????? ???????? "??????????" ????? ???????????? ?? ???????? ??????-?????????? ??????????.
??-????????, ? ????????????? ???? ?? ????? ????? ?????? ???????????,
???????????? ???????? ???? ?? ??????? ???????????? ???????????? ? ??
??????????? ????????? (????????, ???????????? ?????? ?????????) ??
????? ?? ?????????????? ?????????. ?????? ?????????? ???????? ? ???????? ??????????? ?? ????? ???????? ?????? ??? ???????????? ? ?????????????? ?????????? ????????? ??????.
? ???????? ??????? ???? ??????????? ??????????? ????? ?????? (?????
?????????????? ?????? ?????????? ?????????????? ?????????????? ??????????? ? ???), ??? ??????? ??? ????????????? ? ?????????? ??????? ??????????? ???? ????? ????????????. ???? ?????? ????????, ??? ??????????????
????? ??????????? ?? ???????? ?????? ???????????? ? ?????????????, ?. ?. ?
????????????? ????????, ?? ????????????? ? ???????? ????????. ???????
?????????????????? ???????????, ???????????? ? ?????? ????? ??????????
???????????? ???? ?????, ????? ?? ??????? ? ???????? ?????????????
???????????. ??????? ????????????? ???????? ??????????? ?????? ???????????? ?????????????? ?????????, ???????? ???????????, ??????, ??????????? ????????? ?????????? ????? ? ??????????? ?????????????? ???????????? ??? ??? ???? ?????. ?????? ???????? ???????? ????? ?????? ????? ??????? ?????????? ?. ???????? ? ?. ???????? [2.3].
? ?????? ??????? ??????. ??????? ???????
58
?1 ( x)
a1 a1?1 ( x)
??
??
??
??
?? ???
?? ???
?
??
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????? 2. ????????????? ? ????????????? ???????
2.6. ???????????
? j ( x)
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aj
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?( x, a ) ?????????
aM
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?????????
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???????
1
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sgn ?
????
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???. 2.6.1
????? ????????????? ??????????????? ?????????? ?????????????? ????
????????? ?? ???. 2.6.1. ????? ???????????? ??????????? ??????????? ?????????. ???? ???????? ????? ????????????? ???????? ??????? ????? ?? ????????????? ?????, ????????????? ? ????????? 2.5.
2.7. ??????? ????????? ????????????? ? ?????????????? ??????
???????? ????????? ???????????? ?? ?????? ????????????? ? ??????????, ?????????? ???????? ??????????? f ( x| i ) ? ??????? ? ??? ????? ??????????, ??? ?????????????? ???????? ? ????????? ?? ????????, ???????????? ?? ????????? ??????? (2.5.1). ????????? ??????????? ??? ????????? ????? ?????????????, ????? ??????????? ?????????? ? ??????????
??????????. ????????? ??????????, ??? ???????, ????? ??????? (??? ? ?????????? ???????? ??? ?????????-??????????????, ??? ? ??????????????????), ? ?? ???? ???????? ?? ????? ????????? ?? ??????? ??????????
??????? ???????? ????? ????????????? (??., ????????, ??. 12 ? [2.3]).
???????, ??? ??????? ???? ????????????? ??????? X ? ??? ??????. ???? ???????? ????????? f ( x|1) , f ( x|2) ????? ?????????? ?????? ????????????? ? ??????????? ??????????? ? ????????? ??????????? ?????????, ??
??????????? ???????? ???????
???? f ( x|1) > f ( x|2) , ?? ???????? ???????
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