close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

452.Прикладная математика в АПК учебно-методическое пособие для студентов заочной формы обучения агроинженерного факультета по всем направлениям подготовки С.Н. Дементьев И.В. Гриднева Л.И. Федулова . 2013 . 93 табл. 86

код для вставкиСкачать
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Воронежский государственный аграрный университет имени
императора Петра I»
ПРИКЛАДНАЯ
МАТЕМАТИКА
В АПК
Учебно-методическое пособие для студентов заочной формы
обучения агроинженерного факультета по всем направлениям
подготовки
ВОРОНЕЖ
2013
УДК 51:631.145(075)
Составители: доценты кафедры высшей математики и теоретической механики ВГАУ С.Н. Дементьев, Гриднева И.В., Л.И. Федулова
Рецензенты:
Зав. кафедрой информационного обеспечения и моделирования
агроэкономических систем ВГАУ, д.э.н., профессор Улезько А.В.
Доцент каф. общей и прикладной физики ВГЛТА Камалова Н.С.
Учебно-методическое пособие рассмотрено и рекомендовано к
изданию на заседании кафедры высшей математики и теоретической механики ВГАУ (протокол № 5 от 11.12. 2012 г.).
Учебно - методическое пособие рекомендовано к изданию на заседании методической комиссии агроинженерного факультета
ВГАУ (протокол № 4 от 8.12. 2012 г.).
2
Оглавление
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ………………………....4
ЧАСТЬ I. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Тема 1. Описательные статистики....................................................5
Тема 2. Проверка статистических гипотез ....................................14
Тема 3. Однофакторный дисперсионный анализ………………....24
Тема 4. Корреляция и регрессия.....................................................28
ЧАСТЬ II. ЛИНЕЙНОЕ И ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Тема 5. Общая задача линейного программирования и методы ее
решения .............................................................................................39
Тема 6. Транспортная задача ..........................................................48
Тема 7. Динамическое программирование……………………....56
ЧАСТЬ III. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Контрольные задания по теме 1.......................................................60
Контрольные задания по теме 2…………………………...............67
Контрольные задания по теме 3 ……………………………….….68
Контрольные задания по теме 4 …………………………………..70
Контрольные задания по теме 5…………………………………...72
Контрольные задания по теме 6…………………………………...76
Контрольные задания по теме 7………………………………...…79
ТЕСТОВЫЕ ВОПРОСЫ………………………………..……...…..80
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................86
Приложение 1. Таблица значений функции Лапласа…………....87
Приложение 2. Критические точки распределения  2 ………....89
Приложение 3. Критические точки распределения Стьюдента...90
Приложение 4. Критические точки распределения Фишера .......91
3
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Вариант контрольной работы определяется по номеру зачетной книжки студента. Для этого надо число, состоящее из
двух последних цифр учебного шифра, разделить на 20 и взять
остаток от деления. Например, номер шифра 07165 соответствует
варианту 5, так как 65:20=3 целых и 5 в остатке. Если остаток равен нулю, то решается вариант №20. Задания, обязательные для
решения, также должны иметь номера, последние цифры которых
равны номеру варианта.
Контрольная работа должна быть выполнена в отдельной
ученической тетради. На внешней обложке тетради следует указать фамилию и инициалы студента, полный учебный шифр.
Перед выполнением контрольной работы нужно изучить
требуемые теоретические разделы и разобраться в принципах
решения соответствующих типовых примеров из настоящего
учебно-методического пособия.
Решения всех заданий нужно начинать с условия задач, а
пояснения к решениям должны быть достаточно подробными.
Для замечаний преподавателя нужно на каждой странице тетради
оставлять поля.
4
ЧАСТЬ I. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Математическая статистика – раздел математики, занимающийся обработкой статистических данных с целью установления закономерностей, присущих массовым случайным явлениям. Статистические данные представляют собой сведения о том,
какие значения принял в результате наблюдений интересующий
признак (случайная величина). Методы математической статистики разработаны на основе методов теории вероятностей. Основной метод математической статистики – выборочный метод.
Суть метода такова: по сравнительно небольшому количеству
статистических данных делаются выводы о рассматриваемом явлении, процессе. Эти выводы – приблизительные оценки вероятностных характеристик изучаемого явления или процесса. Разработка методов регистрации, описания и анализа статистических
данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений, составляет предмет математической статистики.
ТЕМА 1. ОПИСАТЕЛЬНЫЕ СТАТИСТИКИ
Методика первичной обработки
экспериментальных данных
Пример 1. Пусть дана случайная выборка в виде таблицы 1,
состоящая из 100 значений признака Х.
Таблица 1
63,2 67,0 54,0 55,0 71,2 72,3 97,8 55,0 89,5 71,3
23,0 34,0 58,0 34,5 59,0 57,0 55,5 68,0 62,0 61,7
88,0 76,0 28,3 68,0 75,8 91,5 80,0 59,5 66,0 47,5
62,9 61,8 62,7 82,0 43,0 45,0 35,4 65,0 83,4 70,2
36,8 63,0 84,2 36,0 60,8 60,4 63,8 91,3 40,0 69,6
64,3 71,6 41,4 55,4 67,4 64,7 61,8 62,4 70,5 60,4
46,5 63,0 40,0 52,7 70,5 60,8 31,4 48,6 41,4 50,6
62,5 39,7 67,0 81,6 42,3 75,7 44,2 56,8 57,0 82,1
59,3 89,7 50,1 82,2 52,3 43,0 56,0 59,1 99,0 76,0
43,0 56,8 77,8 35,0 52,1 55,3 77,8 54,0 30,8 43,0
5
Такая совокупность называется простым статистическим
рядом или выборкой объема “n” случайной величины Х, взятой из
генеральной совокупности. Случайная величина Х может быть
дискретной или непрерывной. Значения случайной величины называются вариантами. Если элементы выборки записаны в порядке возрастания, то такая запись называется вариационным рядом. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант вариационного ряда и соответствующих им частот:
xi x1 x2 x3 … xk
ni n1 n2 n3 … nk
k
Сумма всех частот равна объему выборки n:
 ni  n . Стаi 1
тистическое распределение выборки может задаваться в виде знаn
чений xi и относительных частот wi, где wi  i :
n
xi x1 x2 x3 … xk
wi w1 w2 w3 … wk
k
Сумма всех относительных частот равна 1:
 wi  1 .
i 1
Если случайная величина Х является непрерывной, то статистическое распределение выборки задают в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. В качестве частоты интервала принимают сумму частот вариант, попавших в
этот интервал. Встает вопрос об определении количества интервалов разбиения экспериментальных данных. Рекомендуется,
чтобы число таких интервалов было не менее 6, но не более 20.
Это число можно определить по формуле Стерджеса, связывающей количество интервалов разбиения m и объем выборки n:
m  1 3,3 lg n .
Построим интервальный вариационный ряд для нашего примера. Найдем минимальное и максимальное значения признака:
xmin = 23, xmax = 99. Размах выборки: R = xmax – xmin =99 – 23 =76.
Определим длину каждого частичного интервала h, воспользо6
вавшись формулой Стерджеса: m  1  3,3lg100  7 , тогда
h  R m  76 7  11. При определении длины интервала округляем в большую сторону, даже если значение меньше 0,5, иначе
может оказаться, что интервалы «не захватят» все данные или
получится другое количество интервалов группирования. Нижнюю границу первого интервала можно брать равной минимальному значению: x0 = xmin, а можно отступить на половину интервала: x0 = xmin – h 2 . Примем за нижнюю границу первого интервала x0 = xmin=23, остальные границы равны: xi=xi-1 +h, i =1,2,…m.
Тогда первый интервал будет: (23; 34), второй – (34; 45) и т.д.
Нужно проверить, чтобы xmax = 99 оказалось в последнем интервале. Крайние интервалы не должны быть пустыми, в середине
могут быть пустые интервалы, если в них не окажется никаких
значений признака.
На следующем этапе определяется, сколько вариант попало
в каждый из интервалов. Если окажется, что какое-то выборочное
значение оказалось на границе интервала, то относим его к левому интервалу; если таких значений несколько, то по очереди определяем это выборочное значение то в левый, то в правый интервалы по мере нахождения. После подсчета частот попадания в
каждый из интервалов, рекомендуется составить интервальное
распределение признака в виде следующей таблицы:
Таблица 2
( xi 1 ; xi )
ni
wi
ni h
(23; 34)
4
4/100
4/11
(34; 45)
17
17/100
17/11
(45; 56)
16
16/100
16/11
(56; 67)
30
30/100
30/11
(67; 78)
19
19/100
19/11
(78; 89)
8
8/100
8/11
(89; 100)
6
6/100
6/11

100
1
7
В первом столбце таблицы – интервалы группирования, во
втором столбце – частоты ni, в третьем столбце – относительные
частоты wi, в четвертом – плотности распределения частот:
ni h .
Распределение непрерывной случайной величины принято
графически представлять кривой распределения, которая является графиком ее плотности вероятности, т.е. дифференциальной
функцией распределения. Одной из оценок кривой распределения
является гистограмма. Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями
которых служат интервалы длины h, а высотами являются плотности частот ni h . Площадь i-го прямоугольника равна ni –
сумме относительных частот, попавших в i-й интервал. Площадь
гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки n.
При построении гистограммы частот в примере используем
первый и последний столбцы таблицы 2.
Рис.1. Гистограмма частот
8
Нередко от интервального распределения выборки бывает
удобно перейти к точечному или дискретному распределению,
взяв за новые выборочные значения признака середины частичных интервалов. В рассматриваемом примере такое распределение имеет вид таблицы 3.
Таблица 3
xi
28,5
39,5
50,5
61,5
72,5
83,5
94,5
ni
4
17
16
30
19
8
6
Построим по данным таблицы 3 полигон частот, который
является, как и гистограмма частот, статистической оценкой кривой распределения признака. Это ломаная линия, вершины которой находятся в точках (xi.; ni). В рассматриваемом случае в соответствии с таблицей 3 полигон частот имеет вид:
Рис.2. Полигон частот
Статистической оценкой функции распределения вероятностей для точечного распределения признака Х является эмпирическая функция распределения F  (x) , которая определяется по
формуле:
9
nx
,
n
где n – объем выборки, nx – сумма частот выборочных значений
признака, которые меньше х.
F  ( x) 
В нашем случае
0 при x  28,5;
0,04 при 28,5  x  39,5;

0,21 при 39,5  x  50,5;

0,37 при 50,5  x  61,5;
F  ( x)  
0,67 при 61,5  x  72,5;
0,86 при 72,5  x  83,5;

0,94 при 83,5  x  94,5;
1 при x  94,5.
Эмпирическая функция распределения характеризует процесс накопления относительных частот в рассматриваемой выборке.
В нашем примере эмпирическая функция распределения
изображена на рисунке 3.
Рис. 3. Эмпирическая функция распределения
10
Нахождение точечных и интервальных статистических
оценок неизвестных числовых характеристик теоретических
распределений
Важнейшими числовыми характеристиками признака Х являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение (с.к.о.). Точечными статистическими оценками этих параметров служат соответственно выборочное среднее
x , выборочная дисперсия  n2 и исправленная выборочная дисперсия  n21  s 2 , выборочное с.к.о.  n , исправленное выборочное
с.к.о.  n 1  s , которые вычисляются по формулам:
1 k
x   xi
n i 1
1 k
или x   xi ni
n i 1
(в дальнейшем будем записывать формулы для вычисления выборочных характеристик без частот и с частотами). Пользователь
выбирает формулы для вычисления в зависимости от вида экспериментальных данных. Если данные представлены просто в виде
набора чисел, то применяют формулы без частот, если данные
сгруппированы и подсчитаны частоты, то – с частотами.
1 k
1 k
2
2
   ( xi  x ) или  n   ( xi  x ) 2 ni ,
n i 1
n i 1
2
n
 n2  x 2  (x ) 2 ,
 n21  s 2 
n
 n2 ,
n 1
 n   n2 ,
 n 1  s  s 2 ,
где xi – выборочные значения (варианты) признака Х, ni – частоты
этих значений, n – объем выборки.
11
Воспользовавшись перечисленными выше формулами, вычислим точечные статистические оценки генеральных параметров распределения признака Х, используя при этом данные из
таблицы 3.
x
1
(28,5  4  39,5  17  50,5  16  61,5  30  72,5  19 
100
 83,5  8  94,5  6)  60,51.
Первый способ вычисления выборочной дисперсии:
 n2 
1
((28,5  60,51) 2  4  (39,5  60,51) 2  17  (50,5  60,51) 2  16 
100
 (61,5  60,51) 2  30  (72,5  60,51) 2  19  (83,5  60,51) 2  8 
 (94,5  60,51) 2  6)  271,27.
Второй способ вычисления выборочной дисперсии:
x2 
1
(28,52  4  39,52  17  50,52 16  61,52  30  72,52  19 
100
 83,52  8  94,52  6)  3932,73 ;
 n2  x 2  ( x ) 2  3932,73  (60,51) 2  271,27 ;
s2 
n
100
 n2 
271,27  274,01;
n 1
99
 n   n2  271,27  16,47 , s  s 2  274,01  16,55.
Числовые характеристики признака Х принято оценивать с
помощью доверительных интервалов, покрывающих с заданной
надежностью  (доверительной вероятностью) исследуемый параметр.
Для нормально распределенного признака Х, представленного выборкой объема n, доверительный интервал, покрывающий с надежностью  его неизвестное математическое ожидание, имеет вид:
x  t
s
s
 a  x  t
.
n
n
12
Значения t являются критическими точками распределения
Стьюдента, ищутся по таблицам приложения 3 в зависимости от
заданного уровня значимости   1   и числа степеней свободы
k = n – 1.
Для нормально распределенного признака Х, представленного выборкой объема n, доверительный интервал, покрывающий с надежностью  неизвестную дисперсию, имеет вид:
s2 
n 1
2
2 n 1



s
 2 ,
 22
1
где 12 и  22 являются критическими точками распределения  2 .
Их находят по таблицам приложения 2 в зависимости от числа
степеней свободы k = n – 1 и уровней значимости:  1  0,5(1   )
и  2  0,5(1   ) .
Воспользовавшись перечисленными выше формулами, построим доверительные интервалы, покрывающие с надежностью
  0,95 математическое ожидание а и дисперсию  2 :

x  60,51, s 2  274,01, s  16,55,
t  t ( ; k )  t (0,05; 99)  1,984,
12  12 (1; k )  12 (0,975; 99)  73,343,
 22   22 ( 2 ; k )   22 (0,025; 99)  128,46.
Подставим полученные значения в формулы для доверительных интервалов:
16,55
16,55
 a  60,51  1,984
,
100
100
57,226  a  63,794,
60,51  1,984
274,01 
99
99
  2  274,01 
,
128,46
73,343
211,171   2  369,865.
13
Полученные интервалы с заданной надежностью   0,95
покрывают математическое ожидание а и дисперсию  2 нормального закона распределения.
Контрольные вопросы к теме «Описательные статистики»
1. Как назначить величину нижней границы первого частичного интервала при интервальном распределении выборки?
2. Что такое полигон и гистограмма частот, относительных
частот, эмпирическая функция распределения? Оценками каких
генеральных характеристик они являются?
3. Приведите формулы для вычисления всех точечных выборочных оценок числовых характеристик признака.
4. Что такое доверительный интервал, доверительная вероятность? Приведите формулу для вычисления доверительного
интервала, покрывающего с заданной надежностью неизвестные
математическое ожидание и дисперсию нормально распределенного признака.
ТЕМА 2. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Статистические гипотезы и схема их проверки
Статистической гипотезой называется предположение о
виде неизвестного распределения наблюдаемых в эксперименте
случайных величин или о параметрах известных распределений.
Подлежащая проверке гипотеза называется нулевой и обозначается H0. Одновременно выдвигается конкурирующая гипотеза H1. Выдвигаемая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки.
При проверке гипотез могут быть допущены ошибки первого и второго рода. Ошибка первого рода состоит в том, что будет
отвергнута правильная нулевая гипотеза H0, ошибка второго рода – будет принята неправильная нулевая гипотеза H0. Вероятность совершить ошибку первого рода называется уровнем значимости и обозначается  .
14
Критерием называется случайная величина K, которая служит для проверки нулевой гипотезы H0. Совокупность значений
критерия, при которых гипотезу H0 принимают, называют областью принятия гипотезы. Совокупность значений критерия, при
которых нулевую гипотезу отвергают, называют критической областью. Точки, отделяющие критическую область от области
принятия гипотезы, называются критическими.
Исходя из выборочных данных, находят наблюдаемое значение критерия K набл , по таблицам (в зависимости от уровня значимости) находят критическое значение критерия K кр . Если
K набл  K кр , то нет оснований отвергнуть гипотезу H0 (для правосторонней критической области), в противном случае – гипотеза
H0 отвергается.
Проверка гипотезы о нормальном распределении
случайной величины с помощью критерия Пирсона
Одной из важнейших задач математической статистики является установление теоретического закона распределения случайной величины, характеризующей изучаемый признак. Если
имеются основания предполагать, что случайная величина Х имеет нормальное распределение, то необходимо выяснить является
ли существенным расхождение между эмпирическими и теоретическим распределениями. В наиболее часто используемом на
практике критерии Пирсона в качестве меры расхождения берется величина  2 , равная сумме квадратов отклонений эмпирических частот ni от теоретических частот niT .
Схема применения критерия Пирсона для проверки гипотезы H0 о нормальном распределении признака Х сводится к следующему:
1) Зададим уровень значимости  .
2) Вычислим наблюдаемое значение критерия  2 :
(ni  niТ )2

.
niТ
i 1
m

2
набл.
15
3) Найдем критическое значение  кр2 . ( ; k ) критерия  2 по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы
k  m  3.
2
2
2
2
4) Сравним  набл
. и  кр . ( , k ) . Если  набл. >  кр . ( ; k ) , то ги-
потеза H0 отвергается, если
2
набл.
<
2 ( ,k ) ,
 кр
.
то при заданном
уровне значимости  нет оснований отвергнуть гипотезу H0 о
нормальном распределении рассматриваемого признака Х.
Замечания.
1. Так как  2 -распределение имеет смысл лишь при n   , то
необходимо, чтобы в каждом интервале было, по крайней мере, 5
наблюдений. Если в каком-нибудь интервале число наблюдений
(эмпирическая частота) ni меньше, чем 5, то данный интервал
следует объединить с соседним, поставив ему в соответствие
сумму эмпирических частот объединенных интервалов. Так как
нормальное распределение определено для всех действительных
значений х, то левую границу первого частичного интервала расширяем до   , а правую границу последнего – до   .
2. Поскольку предполагается, что случайная величина Х нормально распределена с параметрами õ и s , то вычисляем вероятности pi попадания ее значений в каждый из m частичных интервалов по формуле:
 x  x
 x  x
   i
 ,
pi  P ( xi  X  xi 1 )   i 1
s
s




где хi , xi 1 – концы частичных интервалов, причем x0 , x m заменены на   и   соответственно;  (x) – значения функции Лапласа находятся в приложении 3. Для проверки должно выполняться условие: p1  ...  pm  1.
3. Теоретические частоты вычисляем по формуле niT  np i , где
m
n – объем выборки:
 niT
 n.
i 1
16
Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально
распределенных генеральных совокупностей
На практике задача сравнения дисперсий возникает, если
требуется сравнить точность приборов, инструментов, самих методов измерений.
Пусть имеются две нормально распределенные генеральные
совокупности X1 и X2 с неизвестными дисперсиями. Требуется
при уровне значимости  проверить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий, т.е. H0: D( X 1 )  D( X 2 ) относительно конкурирующей H1: D( X 1 )  D( X 2 ) .
Для проверки гипотезы H0 из этих совокупностей возьмем
две независимые выборки объемом n1 и n2 с исправленными выборочными дисперсиями s12 и s22 . Следовательно, задача проверки гипотезы H0 сводится к сравнению дисперсий s12 и s22 . Пусть,
например, s12  s 22 .
Вычислим наблюдаемое значение критерия Фишера:
s12
Fнабл 
s22
.
С помощью таблиц приложения 4 найдем критическую точку Fкр ( ; k1; k2 ) распределения Фишера по заданному уровню значимости  и степеням свободы k1  n1  1, k 2  n2  1 .
Сравним Fнабл и Fкр . Если Fнабл < Fкр , то нет оснований отвергнуть гипотезу H0, если
F
набл
>
F ,
кр
то нулевую гипотезу от-
вергают.
Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормально
распределенных совокупностей, дисперсии которых известны
На практике задачи сравнения средних часто возникают при
выборочном контроле качества изделий, изготовленных на разных установках или различных технологических режимах.
Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу H0: M ( X 1 )  M ( X 2 ) о равенстве средних
17
двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе H1: M ( X 1 )  M ( X 2 ) , надо
вычислить наблюдаемое значение критерия
x1  x2
D ( X 1 ) n1  D ( X 2 ) n2
Z набл 
и по таблице значений функции Лапласа (приложение 1) найти
критическую точку из равенства  ( Z êð )  (1   ) 2 .
Если
Z
набл
Z
кр
, то нет оснований отвергнуть гипотезу
H0: M ( X 1 )  M ( X 2 ) , если
Z
набл
Z
кр.
, то нулевую гипотезу от-
вергают.
Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормально
распределенных совокупностей, дисперсии которых
неизвестны и одинаковы
Пусть имеются две нормально распределенные генеральные
совокупности X1 и X2. Из этих совокупностей взяты две независимые выборки объемом n1 и n2 , вычислены выборочные средние x1 , x2 и исправленные выборочные дисперсии s12 , s22 . Генеральные дисперсии неизвестны, но проверка по критерию Фишера не отвергает гипотезу: D( X 1 )  D( X 2 ) . Проверим нулевую гипотезу о равенстве средних, т.е. H0: M ( X 1 )  M ( X 2 ) относительно конкурирующей H1: M ( X 1 )  M ( X 2 ) .
Выберем уровень значимости  .
Вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента:
Tнабл 
x1  x2
(n1  1) s12  (n2  1) s22
n1n2 (n1  n2  2)
n1  n2
В
.
случае, когда объемы выборок совпадают, т.е.
n1  n2  n , наблюдаемое значение критерия Стьюдента упрощается:
T

набл
18
x x
1 2
s2  s2
1
2
n.
В таблице приложения 3 найдем критическую точку
T
( ; k ) распределения Стьюдента (двусторонняя критичекр.двуст.
ская область) по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы k  n1  n2  2 .
Если Т набл  Т кр.двуст. ( ; k ) , то нет оснований отвергнуть гипотезу H0: M ( X 1 )  M ( X 2 ) , если
Т
набл
Т
кр.двуст.
( ; k ) ,
то нулевую
гипотезу отвергают.
Пример 2. В таблице приведены результаты исследования
возраста у 100 случайно выбранных работников государственных
предприятий N-й области.
Возраст,
xi  xi 1
лет
Число раб.,
ni
чел
15 – 25
25 – 35
35 – 45
45 – 55
55 – 65
6
24
37
22
11
При уровне значимости   0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении возраста работников государственных
предприятий N-й области.
Решение. Определим средний возраст работников и выборочную дисперсию, взяв середину интервала в качестве xi :
1 n
1
x   xi  ni 
(20  6  30  24  40  37  50  22  60  11)  40,8 ;
n i 1
100
1 n 2
1
x   xi  ni 
(202  6  302  24  40 2  37  502  22 
n i 1
100
2
 60 2  11)  1778;
 n2  x 2  ( x ) 2  1778  (40,8) 2  113,36 .
Тогда исправленная выборочная дисперсия и исправленное
среднее квадратическое отклонение равны соответственно:
19
n
100
 n2 
113,36  114,51; s  114,51  10,7.
n 1
99
Выдвинем гипотезу Н0: возраст работников предприятий
подчиняется нормальному распределению с параметрами
a  x  40,8 и   s  10,7 и конкурирующую гипотезу Н1: возраст
работников предприятий не подчиняется нормальному распределению. Для проверки гипотезы воспользуемся критерием Пирсона.
Так как для всех интервалов частоты ni  5 , то нет необходимости в объединении интервалов. Расширим первый и последний интервалы так, чтобы закрыть все множество действительных чисел, т.е. левую границу первого интервала положим равной   , а правую границу последнего интервала   . Полученные интервалы запишем в таблицу, в которой также рассчитаны
вероятности pi (вычисления приводятся под таблицей) и теоретические частоты niТ .
s2 
Таблица 4
i
1
2
3
4
5
( xi ; xi 1 )
(; 25)
(25; 35)
(35; 45)
(45; 55)
(55;  )

ni
6
24
37
22
11
100
pi
0,0694
0,2252
0,3571
0,2565
0,0918
1
niТ  npi
(ni  niТ ) 2
niТ
6,94
22,52
35,71
25,65
9,18
100
0,13
0,10
0,05
0,52
0,36
1,16
Здесь вероятности pi вычислены с использованием функции
Лапласа по формуле
x  x
 x  x .
    i 1

p i  P ( xi 1  X  xi )    i

 s 
s




20
Значения функции  (x) выбираются из таблицы приложения 1.
 25  40,8 
    40,8 
p1  P (   X  25)   
  
   (1,48)   ( ) 
10
,
7
10
,
7




 0,4306  0,5  0,0694;
 35  40,8 
 25  40,8 
p 2  P (25  X  35)  
  
   (0,54)   (1,48) 
10
,
7
10
,
7




 0,2054  0,4306  0,2252;
 45  40,8 
 35  40,8 
p3  P (35  X  45)   
  
   (0,39)   (0,54) 
 10,7 
 10,7 
 0,1517  0,2054  0,3571;
 55  40,8 
 45  40,8 
p 4  P ( 45  X  55)   
  
   (1,33)   (0,39) 
 10,7 
 10,7 
 0,4082  0,1517  0,2565;
    40,8 
 55  40,8 
p5  P (55  X   )   
  
   ( )   (1,33) 
 10,7 
 10,7 
 0,5  0,4082  0,0918.
Таким образом, наблюдаемое значение критерия:
Т 2
m (n  n )
2
i
i

 
 1,16
набл.
.
nТ
i 1
i
Для определения значения
 2 ( ; k )
кр.
вычислим число степе-
ней свободы k  m  3  5  3  2 . По таблице приложения 2 нахо2 ( , k )   2 (0, 05; 2)  6, 0 .
дим критическую точку  кр
.
кр.
Так как
2
набл.
<
2 ,
кр.
то гипотеза о нормальном распределе-
нии возраста работников государственных предприятий принимается.
Пример 3. Используются два вида удобрений: I и II. Для
сравнения их эффективности были попарно выбраны 20 участков
21
равной площади так, что пару составили участки, однородные по
плодородию. Десять участков были обработаны удобрением I, а
десять, парных им, – удобрением II. На соответствующих парах
участков получили следующий урожай:
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
I 8,0 8,4 8,0 6,4 8,6 7,7 7,7 5,6 5,6 6,2
II 5,6 7,4 7,3 6,4 7,5 6,1 6,6 6,0 5,5 5,0
При уровне значимости   0,05 проверить гипотезу о различном влиянии использования удобрения I или II.
Решение. Предположим, что урожай подчиняется нормальному закону распределения. Проверим нулевую гипотезу
Н0: D( X 1 )  D( X 2 ) , т.е. дисперсии урожая, полученного при обработке удобрениями I и II равны. Возьмем в качестве конкурирующей гипотезы Н1: D( X 1 )  D( X 2 ) (существенное влияние на
урожай I удобрения).
Сначала вычислим оценки основных числовых характеристик:
1 n1
1
x1   x1i  (8,0  8,4  8,0  ...  6,2)  7,22;
n1 i 1
10
1
x2 
n2
n2
 x2 j 
j 1
1
(5,6  7,4  7,3  ...  5,0)  6,34;
10
1 n1
1
s 
( x1i  x1 ) 2  ((8,0  7,22) 2  (8,4  7,22) 2  ...

n1  1 i 1
9
 (6,2  7,22) 2 )  1,19;
2
1
1 n2
1
s 
( x2 j  x2 ) 2  ((5,6  6,34) 2  (7,4  6,34) 2  ....

n2  1 j 1
9
 (5,0  6,34) 2 )  0,67.
2
2
Так как s12  s 22 , то наблюдаемое значение критерия Фишера
равно
22
s 2 1,19
F
 1 
 1, 78 .
набл
2
0,
67
s
2
По заданному уровню значимости   0,05 и степеням свободы k1  n1  1  9 , k 2  n2  1  9 найдем критическую точку распределения
Фишера
по
таблице
приложения
4:
< Fкр , то гипотезу
F ( ; k ; k )  F (0, 05;9;9)  3,18 . Поскольку F
кр
1 2
кр
набл
Н0 о равенстве дисперсий урожая при удобрениях I и II принимаем.
Выдвинем гипотезу Н0: M ( X 1 )  M ( X 2 ) , т.е. средние значения урожая, полученного при обработке удобрениями I и II
равны. В качестве конкурирующей гипотезы возьмем Н1:
M ( X1)  M ( X 2 ) .
В нашем примере n1  n2  n , следовательно, наблюдаемое
значение критерия Стьюдента найдем по формуле:
T

набл
x x
1 2
s2  s2
1
2
n
7, 22  6,34
10  2, 04.
1,19  0, 67
По заданному уровню значимости   0,05 и числу степеней
свободы k  n1  n2  2  18 найдем критическую точку распределения
Стьюдента
по
таблице
приложения
3:
T
( ; k )  T
(0, 05; 18)  2,1.
кр.двуст.
кр.двуст.
Так как
Т
набл
Т
кр.двуст.
( ; k ) ,
то при уровне значимости
  0,05 нет оснований отвергнуть гипотезу Н0: M ( X 1 )  M ( X 2 ) ,
т.е. статистические данные не подтверждают преимущества какого-либо удобрения.
Контрольные вопросы к теме
«Проверка статистических гипотез»
1. Что называется статистической гипотезой, статистическим критерием?
2. Что такое уровень значимости при проверке гипотез? Как
уровень значимости связан с доверительной вероятностью?
23
3. Сформулируйте ошибки первого и второго рода, возникающие при проверке гипотез.
4. Опишите критерий Пирсона  2 .
5. Как проверить значимость расхождений двух дисперсий
нормальных генеральных совокупностей?
6. Как проверить значимость расхождений двух средних
значений нормальных генеральных совокупностей?
ТЕМА 3. ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Основной задачей дисперсионного анализа является установление статистической значимости влияния отдельных факторов на результат эксперимента. Наиболее простым является случай, когда рассматривается один фактор, влияющий на конечный
результат.
Будем считать, что на нормально распределенную случайную величину (признак) Х воздействует некоторый качественный
фактор A, имеющий k уровней: a1 , a 2 , …, ak . Наблюдаемые данные обозначим xij , где i – индекс уровня, j – индекс наблюдения
на i -м уровне. Запишем результаты наблюдений в виде таблицы:
Номер
испытания
1
2
…
ni
Уровни фактора А
a1
a2
…
ak
x11
x12
…
x1n1
x21
x22
…
x2n2
…
…
…
…
xk1
xk2
…
xkn k
На каждом уровне может быть свое число наблюдений ni .
k
Общее число наблюдений N   ni . По данным xij определяются
i 1
следующие характеристики:
24
средние значения переменной X на i уровне (групповые
средние):
1 ni
xi   xij ;
ni j 1
общее выборочное среднее переменной X по всем значениям:
1 k
x   xi  ni .
N i 1
В дисперсионном анализе проверяется гипотеза Н0 о равенстве групповых средних ( H 0 : x1  x2  ...  xk ). Если гипотеза
будет принята, то говорят о незначимости влияния фактора A на
признак X.
Для проверки нулевой гипотезы вычислим факторную и остаточную суммы квадратов отклонений от среднего:
SS
k
  ( x  x )2  n
факт
i
i
i 1
– факторная сумма квадратов откло-
нений групповых средних от общей средней, характеризующая
рассеяние между группами;
k ni
SS
   ( x  x )2
ост
ij i
i 1 j 1
– остаточная сумма квадратов от-
клонений наблюдаемых значений группы от своего группового
среднего, характеризующая рассеяние внутри групп.
Разделив суммы квадратов на соответствующее число степеней свободы, получим факторную и остаточную дисперсии:
s2

факт
SS
SS
факт
, s2  ост
ост N  k
k 1
.
Проверка нулевой гипотезы сводится к сравнению факторной и остаточной дисперсий по критерию Фишера.
Вычислим наблюдаемое значение критерия:
s2
факт
F

набл
s2
ост
25
.
По таблице распределения Фишера (приложение 4) для заданного уровня значимости  и чисел степеней свободы
k1  k  1, k 2  N  k найдем критическую точку Fкр ( ; k1; k2 ) .
Сравним наблюдаемое значение с критическим. Если
F
 F , то гипотезу Н0 о равенстве групповых средних отвернабл
кр
гаем, т.е. считаем, что фактор A оказывает существенное влияние
на результативный признак X.
Пример 4. В таблице приведены данные по объемам работ,
выполненных на стройке за смену для трех бригад.
Объем выполненной работы,
xij
1
140
144
142
145
Номер бригады
2
150
149
152
152
3
150
155
154
152
Методом дисперсионного анализа определить, зависит ли
ежедневный объем выработки от номера работающей бригады.
Принять уровень значимости   0,05 .
Решение. В данном примере фактор A – работающая бригада, число уровней фактора k = 3; количество наблюдений на каждом уровне фактора одинаково: n1  n2  n3  4 , следовательно,
общее число наблюдений N  12 ; признак X – объем выполненной работы.
Проверим гипотезу Н0 о равенстве объемов выполненной
работы у каждой бригады (влияние фактора A на признак X незначимо).
Вычислим групповые средние xi по бригадам:
1
х1  (140  144  142  145)  142,75 ;
4
1
х2  (150  149  152  152)  150,25 ;
4
26
1
(150  155  154  152)  152,75 .
4
Общее выборочное среднее объема выполненной работы
равно
1
1
x   x1  n1  x2  n2  x3  n3   (142,75  4  150,25  4 
N
12
 152,75  4)  148,58.
х3 
Найдем факторную и остаточную суммы квадратов:
k
SS
  ( x  x ) 2  n  (142,75  148,58)2  4 
факт
i
i
i 1
 (150, 25  148,58)2  4  (152,75  148,58)2  4  216,67;
k ni
SS
   ( x  x )2  (140  142,75)2  ...  (145  142,75)2 
ост
ij i
i 1 j 1
 (150  150,25)2  ...  (152  150,25)2 
 (150  152,75)2  ...  (152  152,75)2  37,25.
Вычислим факторную и остаточную дисперсии:
s2

факт
SS
факт 216, 67

 108,34 ;
k 1
3 1
SS
37, 25
s 2  ост 
 4,14 .
ост
N  k 12  3
Наблюдаемое значение критерия Фишера равно
s2
факт 108,34
F


 26,17.
набл
4,14
s2
ост
По таблице распределения Фишера (приложение 4) для
уровня
значимости
  0,05
и
степеней
свободы
k1  k  1  3  1  2, k 2  N  k  12  3  9 найдем критическую
точку Fкр (0,05; 2; 9)  4,26 .
27
Так как
F
F ,
набл
кр
то гипотезу H0 отклоняем, т.е. объем
ежедневной выработки зависит от работающей бригады (влияние
фактора А на признак Х статистически значимо).
Контрольные вопросы к теме
«Однофакторный дисперсионный анализ»
1. Сформулируйте основную задачу дисперсионного анализа.
2. Какая статистика используется для проверки гипотезы о
равенстве групповых средних в дисперсионном анализе?
3. Что такое факторная сумма квадратов, остаточная сумма
квадратов?
4. Как вычисляются факторная и остаточная дисперсии?
5. Как сравниваются наблюдаемое и критическое значения
Фишера?
ТЕМА 4. КОРРЕЛЯЦИЯ И РЕГРЕССИЯ
Парная линейная корреляционная зависимость.
Коэффициент корреляции, проверка его значимости
Признаки Х и Y находятся в корреляционной зависимости,
если каждому значению одного признака xi соответствует определенная условная средняя y x другого признака. Условным средi
ним y x называют среднее арифметическое наблюдавшихся знаi
чений случайной величины Y, соответствующих значению xi
случайной величины X.
Парная корреляционная зависимость будет линейной, если
она приближенно выражается линейной функцией. Вид зависимости можно определить графически. С этой целью строятся точки
с координатами ( xi ; yi ). По расположению построенных точек
подбирается линия. Если это будет прямая, то связь линейная.
Целью корреляционного анализа является оценка тесноты
связи между признаками. Для этого находится выборочный линейный коэффициент корреляции по формуле
28
rв 
xy  x  y
,
 x  y
где x , y – выборочные средние;  x ,  y – выборочные средние
1 n
квадратические отклонения признаков Х и Y; xy   xi  yi .
n i1
С помощью rв анализируем тесноту взаимосвязи между признаками X и Y. Коэффициент корреляции изменяется от -1 до 1.
Чем ближе rв к единице, тем теснее связь между признаками,
чем ближе rв к нулю, тем связь слабее. Отметим, что при rв > 0
корреляционная связь между признаками называется прямой (положительной), а при rв < 0 – обратной (отрицательной).
Так как коэффициент корреляции rв рассчитывается по выборочным данным и является оценкой генерального коэффициента корреляции rген , то необходимо проверить значимость rв . С
этой целью выдвигаются нулевая и конкурирующая гипотезы:
Н0: rген = 0,
Н1: rген  0.
Нулевая гипотеза проверяется при заданном уровне значимости  с помощью случайной величины T, имеющей распределение Стьюдента с k  n  2 степенями свободы. По выборочным данным рассчитывают:
r  n2
T
 в
.
набл
2
1 r
в
По таблице критических точек распределения Стьюдента
(приложение 3) находим tкрит.дв(; k) с учетом двусторонней критической области. Сравниваем Тнабл и
tкрит.дв(; k). ЕслиТнабл  tкрит.дв(; k), то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, по данным наблюдения rген = 0, т.е. rв незначим, признаки
Х и Y некоррелированны. А если Тнабл попало в критическую область, то есть Тнабл  tкрит.дв(; k), то нулевую гипотезу отвергаем, справедлива конкурирующая: rген  0, rв значим, признаки Х и
Y коррелированны.
29
Далее находим коэффициент детерминации: D =  100 %,
который показывает, на сколько процентов в среднем вариация
результативного признака Y объясняется за счет вариации факторного признака X.
Линейное уравнение регрессии
Следующим этапом является регрессионный анализ, с помощью которого корреляционную зависимость между признаками приближенно выражаем в виде линейного уравнения регрессии
вида ŷ  b0 + b1x. Неизвестные параметры b0 и b1 находятся методом наименьших квадратов. Применяя этот метод, получаем
следующую систему нормальных уравнений:
b0  b1 x  y ;

b0 x  b1 x 2  xy .
Решая систему, находим оценки параметров b0 и b1. Уравнение регрессии можно записать в виде:
ŷ – y = b1(x – x ), где b1 
xy  x  y
.
 x2
Параметр b1 – коэффициент регрессии – показывает, как
изменится в среднем результативный признак, если факторный
признак увеличится на единицу своего измерения.
Уравнение регрессии можно использовать для прогнозирования (предсказания).
Проверка значимости уравнения регрессии.
Интервальная оценка параметров парной модели
Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая
зависимость между переменными, фактическим данным. Для
проверки значимости модели регрессии используют основное
уравнение дисперсионного анализа:
SS
 SS
 SS
,
общ
факт
ост
30
где
SS
n
  ( y  y )2 –
общ
i
i 1
общая сумма квадратов отклонений Y от
средней;
SS
n
  ( yˆ  y )2
факт
i
i 1
– факторная сумма квадратов, обуслов-
ленная регрессией;
SS
n
  ( y  yˆ )2
ост
i i
i 1
– остаточная сумма квадратов, обу-
словленная случайными причинами.
Проверка значимости уравнения регрессии производится на
основе дисперсионного анализа, представленного в таблице 5.
Здесь k – число оцениваемых параметров уравнения регрессии (для линейной модели k =2).
Таблица 5
Компонен- Сумма
Число
ты диспер- квадратов степеней
сии
свободы
SS
Регрессия

( yˆ  y )2
i
SS
Остаточная
ост
общ
k 1
s2

факт

( y  yˆ )2
i
i
SS
Общая
факт
Дисперсия
Фактическое
значение
F-критерия
SS
факт
k 1
nk
SS
s 2  ост
ост
nk
n 1
–
s2
факт
F

набл
s2
ост

( y  y ) 2
i
По таблице приложения 4 найдем критическую точку распределения Фишера Fкр ( ; k ; n  k ) .
Если
F
F ,
набл
кр
то уравнение регрессии является значимым,
т.е. соответствующим экспериментальным данным на уровне
значимости  , в противном случае – незначимым.
31
Поскольку коэффициенты b0 и b1 определены по результатам изучения выборки, то они являются лишь точечными оценками истинных коэффициентов уравнения регрессии в генеральной совокупности b0ген и b1ген .
Доверительными интервалами коэффициентов
b
0 ген
и
b
.с
1ген
доверительной вероятностью  называются интервалы с границами
(b0  t  s (b0 ) ; b0  t  s (b0 ) ) ;
(b1  t  s (b1 ) ; b1  t  s (b1 ) ),
где s(b0 ) и s (b1 ) – средние квадратические отклонения коэффициентов b0 и b1 вычисляются по формулам:
s (b ) 
0
s
ост
n  2
x
x 2 ; s (b ) 
1
s
ост
n  2
x
.
Критическая точка распределения Стьюдента t  t ( ; n  2)
определяется по таблице приложения 3.
Параметр b j значим, если нуль не попадает в соответствующий доверительный интервал.
Замечание. Для парной регрессионной модели оценка значимости уравнения регрессии равносильна оценке значимости
коэффициента регрессии b1 .
Прогноз по регрессии
Знание функциональной зависимости между двумя переменными имеет существенное практическое значение, так как дает возможность составить прогноз зависимого результативного
признака в предположении, что независимый признак примет определенное значение.
Доверительным интервалом прогноза называют интервал, в
который с заданным уровнем значимости   1  
(где  – надежность прогноза) попадают значения результативного признака Y , при конкретном значении независимого
признака X  x  :
32
( yˆ
x
 t  s ( yˆ ); yˆ  t  s ( yˆ )),

x
x 
x
где x  – значение признака X, для которого осуществляется прогноз;
yˆ x  b0  b1 x  – точечное значение прогноза;
s ( yˆ
1 ( x  x )2
)s
1 
ост
n
x
n  2
x
– ошибка признака Y при X  x  ;
t  t ( ; n  2) – критическая точка распределения Стьюдента
(приложение 3).
Пример 5. Изучается зависимость себестоимости одного
изделия (Y, р.) от величины выпуска продукции (Х, тыс. шт.) по
группе предприятий за отчетный период. Получены следующие
данные:
Х
Y
2
1,9
3
1,7
4
1,8
5
1,6
6
1,4
Провести корреляционно-регрессионный анализ зависимости себестоимости одного изделия от выпуска продукции и статистический анализ полученного уравнения регрессии.
Решение. Признак Х – объем выпускаемой продукции,
тыс. шт. (факторный признак). Признак Y – себестоимость одного
изделия, р. (результативный признак). Предполагаем, что признаки имеют нормальный закон распределения. Признаки находятся
в статистической зависимости, так как себестоимость одного изделия зависит не только от объема выпускаемой продукции, но и
от многих других факторов, которые в данном случае не учитываются. Построим точки с координатами ( xi ; yi ) и по их расположению определим форму связи (рис. 4).
33
2
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
y
Наблюдаемые
значения
Линия регрессии
1
2
3
4
5
6
7
x
Рис. 4.
Итак, форма связи линейная.
Проведем корреляционный анализ. Рассчитаем выборочный
линейный коэффициент корреляции:
rв 
xy  x  y
.
 x  y
Вспомогательные расчеты представим в таблице:
Таблица 6
N
хi
yi
1
2
3
4
5

2
3
4
5
6
20
1,9
1,7
1,8
1,6
1,4
8,4
хi  yi
3,8
5,1
7,2
8,0
8,4
32,5
xi2
4
9
16
25
36
90
3,61
2,89
3,24
2,56
1,96
14,26
Следовательно, выборочные характеристики переменных x
и y будут равны соответственно:
1 n
20
1 n 2 90
2
x   xi 
 4; x   xi 
 18;
n i 1
5
n i 1
5
 x2  x 2  ( x ) 2  18  16  2;
34
y
1 n
8,4
 yi   1,68;
n i 1
5
y2 
1 n 2 14,26
 2,852;
 yi 
n i 1
5
 y2  y 2  ( y ) 2  2,852  (1,68)2  0,0296;
xy 
1 n
32,5
 6,5 .
 xi y i 
n i 1
5
Подставим найденные значения в формулу выборочного коэффициента корреляции:
r 
в
6, 5  4 1, 68
  0, 90.
2  0,0296
Так как rв близок к единице, следовательно, себестоимость одного изделия и объем выпускаемой продукции находятся
в тесной (обратной) корреляционной зависимости.
Проверим значимость выборочного коэффициента корреляции. Для этого выдвигаем гипотезы:
Н0: rген = 0,
Н1: rген  0.
Примем уровень значимости   0,05 . По выборочным данным вычислим наблюдаемое значение критерия
Тнабл 
rв  n  2
1  rв2

 0,90  3
 – 3,58.
1  0,81
По таблице критических точек распределения Стьюдента
(приложение 3) найдем tкрит.дв(0,05; 3) = 3,18. Так как
Тнабл  tкрит.дв(0,05; 3), то нулевая гипотеза отвергается, справедлива конкурирующая гипотеза: rген  0, т.е. rв значим. Признаки Х и Y коррелированны.
Найдем коэффициент детерминации:
D= rв2  100 % = 0,81 % ,
т.е. вариация себестоимости единицы продукции в среднем на
81 % объясняется вариацией объема выпускаемой продукции.
35
Выразим эту связь аналитически приблизительно в виде линейного уравнения регрессии:
yˆ  y  b1 ( x  x ) ,
где
b1 
xy  x  y  0,22

  0,11.
2
 x2
ŷ – 1,68 = – 0,11 (x – 4) или ŷ  – 0,11x + 2,12.
Из уравнения следует, что с увеличением выпуска продукции на 1 тыс. шт. себестоимость одного изделия снизится в среднем на 0,11 р.
Проверим значимость полученного уравнения регрессии
при уровне значимости   0,05 . Составим расчетную таблицу.
Таблица 7
i
xi
yi
ŷ i
1
2
3
4
5

2
3
4
5
6
20
1,9
1,7
1,8
1,6
1,4
8,4
1,9
1,79
1,68
1,57
1,46
( yi  yˆ i ) 2 ( yˆ i  y ) 2
0
0,0484
0,0081
0,0121
0,0144
0
0,0009
0,0121
0,0036
0,0484
0,027
0,121
Следовательно, факторная и остаточная суммы квадратов
будут равны
SS
n
  ( yˆ  y )2  0,121;
факт
i
i 1
SS
n
  ( y  yˆ )2  0, 027.
ост
i i
i 1
Вычислим дисперсии и наблюдаемое значение F-критерия:
s2

факт
SS
факт 0,121

 0,121;
k 1
2 1
SS
0, 027
s 2  ост 
 0, 009;
ост
nk
52
s2
факт 0,121
F


 13, 44.
набл
0, 009
s2
ост
36
По таблице критических точек распределения Фишера (приложение 4) найдем Fкр ( ; k ; n  k )  Fкр (0, 05; 2; 3)  9,55 .
Так как
F
F ,
набл
кр
то уравнение регрессии является значи-
мым, т.е. соответствующим экспериментальным данным на уровне значимости  =0,05.
Проверим значимость коэффициентов b0  2,12 и b1  0,11
уравнения регрессии ŷ  – 0,11x + 2,12.
Вычислим средние квадратические отклонения коэффициентов b0 и b1 :
s (b0 ) 
sост
n   x2
s (b1 ) 
0,009
x2 
sост
n   x2
52

0,009
5 2
18  0,127 ;
 0,03.
По таблице критических точек распределения Стьюдента
(приложение 1) найдем t  t ( ; n  2)  t (0,05; 3)  3,18.
Доверительные интервалы, покрывающие генеральные параметры уравнения регрессии с надежностью   1    0,95 ,
имеют вид:
(2,12  3,18  0,127 ; 2,12  3,18  0,127 )  (1,72; 2,52);
(0,11  3,18  0,03;  0,11  3,18  0,03 )  (0,21;  0,01).
Так как нуль не входит ни в один доверительный интервал,
то оба коэффициента регрессии b0 и b1 значимы.
Тот факт, что доверительный интервал для генерального коэффициента регрессии b
не содержит нулевое значение, еще
1ген
раз подтверждает гипотезу о значимости уравнения регрессии.
Вычислим прогнозное значение себестоимости одного изделия, если выпуск продукции составит 5,2 тыс. шт.
Определим доверительный интервал прогноза для индивидуального значения x  =5,2:
37
( yˆ x  t  s ( yˆ x ) ; yˆ x  t  s ( yˆ x )) .
По уравнению регрессии находим
ŷ
x
 – 0,11  5,2 + 2,12 = 1,55 (р.).
Вычислим ошибку признака Y при X  x  =5,2:
1 ( x  x )2
1 (5, 2  4)2
s ( yˆ )  s
1 
 0, 09 1  
 0,11 .
ост
n
5
52
x
n  2
x
По таблице критических точек распределения Стьюдента
(приложение 3) найдем t  t ( ; n  2)  t (0,05; 3)  3,18.
Искомый доверительный интервал прогноза имеет окончательный вид:
(1,55  3,18  0,11; 1,55  3,18  0,11)  (1,2; 1,9).
Контрольные вопросы к теме «Корреляция и регрессия»
1. Что является основной задачей корреляционного анализа?
2. Из каких точек состоит поле корреляции?
3. В чем смысл коэффициента корреляции, каковы границы
его значений?
4. Как оценить значимость линейного коэффициента корреляции?
5. Что называется коэффициентом детерминации? Что он
показывает?
6. Запишите линейное уравнение регрессии. Каким методом
определяются неизвестные параметры уравнения регрессии?
7. Что такое выборочный коэффициент регрессии? Что он
показывает?
8. Как проверяется значимость уравнения регрессии?
9. Запишите доверительные интервалы для оценки параметров регрессии.
10. Как используют уравнение регрессии для прогноза?
38
ЧАСТЬ II. ЛИНЕЙНОЕ И ДИНАМИЧЕСКОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Математическое программирование – область прикладной
математики, объединяющая различные математические методы и
дисциплины: линейное программирование, динамическое программирование и др.
ТЕМА 5. ОБЩАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ И МЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ
Линейное программирование – это раздел математики, в котором изучаются методы исследования и отыскания наибольших
и наименьших значений некоторой линейной функции, на аргументы которой наложены линейные ограничения.
Общая задача линейного программирования
Стандартная форма записи основной задачи линейного программирования (сокращенно ЗЛП) имеет вид
F  c1x1  c2 x 2   cn x n  max (min)
(1)
при ограничениях
 a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1 ,
 a x  a x  a x  b ,
 21 1 22 2
2n n
2

 
am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm ,
(2)
x j  0, 1  j  n,
где x j – неизвестные; aij , bi , c j – заданные постоянные величины.
Решение задачи линейного программирования заключается
в нахождении среди неотрицательных решений системы ограничений (2) такой совокупности значений переменных x1 , x2 ,  xn ,
при которой линейная (целевая) функция (1) достигает своего
наибольшего (наименьшего) значения.
39
Данная совокупность переменных x1 , x2 ,  xn называется
оптимальным планом, всякая другая совокупность значений переменных x1 , x2 ,  xn , удовлетворяющая системе ограничений
(2), называется допустимым планом.
Задача линейного программирования называется канонической, если ограничения имеют вид равенств, при условии, что все
переменные x1, x2 , xn неотрицательны.
Для составления математической модели ЗЛП необходимо
выполнить следующие этапы:
 обозначить переменные;
 составить целевую функцию в соответствии с целью задачи;
 записать систему ограничений с учетом имеющихся в
условии задачи показателей.
Графический метод решения ЗЛП
Графический метод используется для решения задач с двумя
переменными: требуется найти максимальное значение целевой
функции
F  c1x1  c2 x 2  max
(3)
 a11 x1  a12 x2  b1 ,
 a x a x b ,
 21 1 22 2
2

 
am1 x1  am 2 x2  bm ,
(4)
при ограничениях
x1  0, x2  0 .
Данный метод основан на возможности графического изображения области допустимых решений (сокращенно ОДР) задачи и нахождении среди них оптимального решения.
Предположим, что система ограничений (4) совместна, а область допустимых решений ограничена.
40
Решения каждого неравенства (4) образуют полуплоскость с
границей ai1x1  ai 2 x2  bi , и пересечение этих полуплоскостей
образует многоугольник решений системы (4).
Известно, что каждому допустимому базисному решению
ЗЛП соответствует угловая точка многоугольника решений. Решая совместно уравнения прямых, ограничивающих область допустимых решений, найдем все допустимые решения. Вычисляя в
них значения целевой функции, выберем оптимальное решение.
Симплексный метод решения ЗЛП
Решение основной задачи линейного программирования
графическим методом применимо только для случая двух или
трех переменных. В случае большего числа переменных геометрическое решение задачи невозможно, поэтому применяют аналитические методы, основным из которых является симплексный
метод.
Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многоугольника решений (называемой первоначальной) к соседней, в которой линейная функция принимает лучшее значение до тех пор, пока не
будет найдено оптимальное решение (вершина, где достигается
оптимальное значение целевой функции).
Идея метода: используя систему ограничений, приведенную к каноническому виду, находят любое базисное решение и
проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то переходят к другому базисному решению. Процесс заканчивается за
конечное число шагов, причем на последнем шаге либо выявляется неразрешимость задачи, либо получается оптимальный план
и соответствующее ему оптимальное значение целевой функции.
При решении ЗЛП симплексным методом применяют следующие правила.
Правило 1. Количество базисных переменных равно числу
ограничений задачи, количество небазисных переменных равно
общей сумме переменных минус базисные переменные.
41
Правило 2 (критерий оптимальности). Решение не является
оптимальным, если при поиске максимума в целевой функции
есть хотя бы одна переменная с положительным коэффициентом.
Правило 3 (перевода небазисной переменной в базисные).
Среди небазисных переменных переводится в базисные та переменная, у которой самый большой положительный коэффициент
в целевой функции.
Правило 4 (перевода базисной переменной в небазисные).
Среди базисных переменных переводится в небазисные та переменная, для которой отношение соответствующего свободного
члена в ограничении к значению коэффициента при переменной,
вводимой в базис, наименьшее по модулю. При этом учитываются только отрицательные коэффициенты при переменных.
Пример 1. Предприятие производит изделия двух типов A и
B из трех видов сырья I, II, III. Расход сырья на одно изделие каждого типа задан в условных единицах следующей таблицей:
Сырье
Изделия
I
II
III
A
3
1
1
B
2
2
1
Запасов сырья имеется: вида I – 27 ед., вида II – 18 ед., вида
III – 10 ед. Изделие типа A приносит прибыль 2 ден. ед., типа B –
3 ден. ед. Составить план выпуска изделий, при котором предприятие будет имеет наибольшую прибыль. Решить задачу графически и симплексным методом.
Решение. 1. Составим математическую модель задачи. Обозначим: x1 – количество выпускаемых изделий типа A , x2  количество выпускаемых изделий типа B . Тогда с учетом расходов
сырья на изготовление изделия каждого типа получим следующие ограничения на x1 и x2 , учитывающие запасы сырья каждого
вида:
42
3х1  2 х2  27,

 х1  2 х2  18,
 х  х  10.
 1 2
(1)
x1  0, x2  0.
(2)
По смыслу задачи
Прибыль F предприятия при плане x1 , x2 равна
F  2 x1  3 x2 .
(3)
Итак, математическая модель задачи получена: необходимо
найти значения x1 , x2 , удовлетворяющие неравенствам (1), (2),
для которых функция (3) достигает max. Полученная задача –
стандартная задача линейного программирования.
2. Решим полученную задачу графически. Для этого введем
систему координат x1Ox2 и изобразим в ней множество решений
систем неравенств (1), (2) (область допустимых решений  ОДР)
в виде множества точек плоскости.
Условию (2) удовлетворяют точки первой четверти. Для получения полуплоскостей, соответствующих неравенствам системы (1), построим их границы, т.е. прямые линии:
Имя
Уравнение
Таблица для
прямой
прямой
построения прямой
(а)
3 x1  2 x2  27
(б)
(в)
x1  2 x2  18
x1  x2  10
x1
0
9
x2
13,5
0
x1
0
18
x2
9
0
x1
0
10
x2
10
0
Пересечение построенных полуплоскостей с первой четвертью – искомая ОДР (многоугольник OABCD).
43
Рис. 5
Ищем координаты вершин ОДР и значения целевой функции F в этих вершинах:
O (0; 0)  F (O )  2  0  3  0  0 ;
A(0; 9)  F ( A)  2  0  3  9  27 ;
(б ),  x1  2 x2  18,  x1  2,
B:


 B(2; 8) 
(
в
)
x

x

10
x

8

1 2
 2
F ( B )  3  2  3  8  28 ;
(a), 3x1  2 x2  27,  x1  7,
C :


 C (7; 3) 
(
в
)
x

x

10
x

3

1 2
 2
F (C )  2  7  3  3  23 ;
D (9; 0)  F ( B )  2  9  3  0  18 .
Отсюда
Fmax  F ( B )  F (2; 8)  28 .
Вывод: предприятию выгодно выпустить 2 изделия типа
A ( x1  2 ) и 8 изделий типа B ( x2  8 ). При этом его прибыль будет наибольшая и составит 28 ден. ед.
44
3. Решим задачу симплексным методом. Для этого приведем
стандартную задачу к каноническому виду, добавив в левые части неравенств (1) дополнительные неотрицательные переменные
x3 , x4 , x5 , равные разностям правых и левых частей этих неравенств и представляющие собой остатки сырья каждого вида после реализации намеченного плана выпуска изделий. Получим
задачу:
F  2 x1  3 x 2  max ;
(4)
3x1  2 x2  x3  27,

 x1  2 x2  x4  18,
 x  x  x  10;
 1 2 5
(5)
x1 ,..., x5  0.
(6)
1 шаг. В качестве базисных переменных выберем добавленные переменные x3 , x4 , x5 . Тогда переменные x1 , x2 будут свободными. Выразим базисные переменные через свободные:
 x3  27  3 x1  2 x 2 ,

 x4  18  x1  2 x 2 ,
 x  10  x  x .
 5
1
2
(7)
Положим небазисные переменные равными нулю:
x1  0 ,
x2  0
и
получим первое базисное решение
X Б(1)  (0; 0; 27; 18; 10) . При этом F (1)  2  0  3  0  0 .
АНАЛИЗ 1. Решение X Б(1) не является оптимальным, так как
в целевой функции F  2 x1  3 x 2 переменные x1 и x2 содержатся
с положительными коэффициентами (правило 2) и, следовательно, ее можно увеличить за счет увеличения либо x1 , либо x2 .
Перейдем к новому базисному решению. Переведем свободную переменную x2 в базисные, так как ей соответствует
больший коэффициент в целевой функции, равный 3 (правило 3).
Подставляя x1  0 в систему (7) и учитывая, что все переменные
должны быть неотрицательными, получим систему неравенств
45
 x  27  2 x  0 ,
 x2  27 ,
3
2
2


 x4  18  2 x 2  0 ,   x2 18 2 ,
 x  10  x  0 .

2
 x2  101 .
 5
Наибольшее возможное значение переменной x2 найдем из
условия: x2  min 27 , 18 , 10  9 . При x2  9 переменная
2
2
1
x4  0 и переходит в свободные (правило 4).


Уравнение, где достигается наибольшее значение переменной, переводимой в базисные, называют разрешающим. В данном
случае второе уравнение является разрешающим.
2 шаг. Базисные переменные: x2 , x3 , x5 ; свободные переменные: x1, x4 .
Выразим в системе (7) новые базисные переменные через
новые свободные, начиная с разрешающего второго уравнения.

x2  9  x1  x4 ,

2
2

x
x 

 x3  27  3 x1  2 9  1 2  4 2  , 



 x5  10  x1   9  x1  x 4  .

2
2

X Б(2)
 x  9  x1  x 4 ,
2
2
 2
 x3  9  2 x1  x4 ,

x1
x4
 x5  1  2  2 .
(8)
Если x1  x4  0 , то получим второе базисное решение
 (0; 9; 9; 0;1) .
Выразим целевую функцию F через свободные переменные
x x 
x 3x

F  2 x1  3 x 2  2 x1  3 9  1  2   27  1  4 .
2 2 
2
2

АНАЛИЗ 2. Значение целевой функции F ( 2)  27 не является наибольшим, так как его можно увеличить за счет переменной
x1 , имеющей положительный коэффициент в целевой функции.
Переведем переменную x1 в базисные. Полагая в системе (8)
x4  0 , получим
46
 x  9  x1  0 ,
 x1  18 ,
2
 2

 x3  9  2 x1  0 ,   x1  9 2 ,

 x  2.
x1
 1
 x5  1  2  0 .


x1  min 18 , 9 , 2  2 .
2
При x1  2 переменная x5  0 и переходит в свободные (третье
уравнение является разрешающим).
Наибольшее возможное значение
3 шаг. Базисные переменные: x1, x2 , x3 ; свободные переменные: x4 , x5 .
Выразим в системе (8) новые базисные переменные через
новые свободные, начиная с разрешающего третьего уравнения.
x1  2  x4  2 x5 ,

 x1  2  x4  2 x5 ,

1
x4

 x2  9  2  x4  2 x5   ,   x2  8  x4  x5 ,
2
2

x  5  x  4x .
 3
4
5
 x3  9  22  x4  2 x5   x4 .
Полагая свободные переменные x4  x5  0 , получим третье
базисное решение X Б(3)  (2; 8; 5; 0;0) . Выразим целевую функцию
через свободные переменные
F  2 x1  3 x 2  2(2  x4  2 x5 )  38  x4  x5   28  x4  x5 .
АНАЛИЗ 3. Выражение целевой функции не содержит положительных коэффициентов при свободных переменных, поэтому значение функции F (3)  28 является наибольшим, а найденное базисное решение X Б(3)  (2; 8; 5; 0;0) – оптимальным.
Ответ. Для получения максимальной прибыли в количестве
28 ден. ед. предприятие должно выпустить 2 изделия типа А и 8
изделий типа В. При этом сырье видов II и III будет израсходовано полностью, а сырье вида I останется в количестве 5 усл. ед.
47
Контрольные вопросы к теме «Общая задача
линейного программирования и методы ее решения»
1. Что такое линейное программирование?
2. Какой вид имеет общая задача линейного программирования?
3. В чем заключается решение задачи линейного программирования?
4. Что называется оптимальным планом? допустимым планом?
5. Какая задача линейного программирования называется
канонической?
6. Когда ЗЛП можно решить графическим методом?
7. В чем заключается суть симплексного метода? Для какого вида задач ЛП он применим?
ТЕМА 6. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
Одной из часто встречающихся задач хозяйственного управления является задача по разработке рационального плана транспортных перевозок. Основная цель организации перевозок – минимизация затрат на их выполнение. Такая задача получила название транспортной задачи.
Формулировка транспортной задачи в общем виде осуществляется следующим образом: требуется перевезти определенное
количество однородного груза (кирпич, картофель, зерно, горючее и т.д.) из m пунктов отправления в n пунктов назначения.
Для записи задачи в математической форме введем обозначения:
n – число пунктов отправления;
m – число пунктов назначения;
ai – запас груза в i-м пункте отправления;
b j – потребность в грузе в j-м пункте назначения;
cij – стоимость перевозки единицы груза из i-го пункта
отправления в j-й пункт назначения;
48
xij – исходно неизвестное количество груза, которое перевозится из пункта i в пункт j;
F – совокупные затраты на транспортировку всего груза.
Из условий задачи получаем следующую модель:
Целевая функция, минимизирующая совокупные затраты на
транспортировку всех партий грузов из всех пунктов отправления
во все пункты назначения:
n m
F    cij xij  min .
(1)
i 1 j 1
Система ограничений: весь груз из пунктов отправления
должен быть вывезен:
m
 xij  ai , i  1, 2, ..., n.
(2)
j 1
Система ограничений: потребность в грузе в каждом пункте
назначения должна быть удовлетворена:
n
 xij  b j , j  1, 2, ..., m.
(3)
i 1
Система ограничений: количество груза, перевозимого из
i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения:
xij  0, i  1, ..., n; j  1, ..., m.
(4)
Транспортная задача, у которой суммарное наличие груза
совпадает с суммарной потребностью, то есть выполняется условие
n
m
 ai   b j ,
i 1
(5)
j 1
называется закрытой транспортной задачей. В случае если условие (5) не выполняется, то транспортная задача называется открытой. Решение задач с открытой моделью сводится к решению
задач с закрытой моделью. Следовательно, рассмотрим методы
решения закрытой транспортной задачи.
Замечание: доказано, что если выполняется условие (5), то
любая транспортная задача имеет оптимальное допустимое ре-
49
шение (план), в котором отличными от нуля перевозками xij могут быть лишь (m  n  1) значений.
Алгоритм решения транспортной задачи разбивается на
два этапа:
1. Построение исходного базисного решения.
При построении первого исходного плана применяют метод
наименьших затрат. В этом случае начинают с клетки с наименьшими затратами cij и на каждом шаге в дальнейшем выбирают такого типа клетку. В выбранную клетку заносят
xij  min{ai , b j }. При этом, если ai  b j , то xij  b j и j-й столбец
«закрыт», т.е. потребность j–го потребителя удовлетворена полностью, если ai  b j , то xij  ai и «закрыта» i-я строка. Таким образом, на каждом шаге исчерпывается потребность какого-либо
потребителя, или возможность какого-либо поставщика. Если при
этом одновременно исчерпывается и потребность и возможность, то вычеркивается что-то одно (столбец или строка).
Этот процесс продолжается до тех пор, пока не исчерпаются все
ресурсы ai и потребности b j .
2. Построение последовательности итераций, приводящих
к оптимальному решению.
Имея исходное опорное решение (первый план перевозок),
перейдем к построению новых опорных решений, улучшающих
друг друга.
После построения исходного опорного решения все переменные разбиваются на две группы: базисные переменные (отличные от нуля перевозки xij , их число равно (m  n  1) ) и свободные переменные (остальные значения, которые заведомо равны нулю). Клетки, в которых содержатся не нулевые xij , называют занятыми клетками, а остальные свободными клетками.
Для проверки оптимальности полученного плана воспользуемся методом потенциалов. Введём строку потенциалов u j и
столбец потенциалов vi . Свяжем эти величины таким образом,
чтобы для базисных переменных выполнялись равенства
cij  vi  u j  0 .
50
Доказано, что совокупность уравнений cij  vi  u j  0 , составленных для всех базисных переменных, будет составлять совместную систему линейных уравнений, причем значение одной
из переменных можно задавать произвольно, и тогда значения
остальных находятся из системы однозначно.
Вычислим оценки для свободных клеток  ij по формулам
 ij  cij  vi  u j .
Оценка свободной клетки показывает, насколько изменится
величина суммарных затрат на перевозку всего груза, если перебросить единицу груза на маршрут, соответствующий свободной
клетке, при этом не нарушив баланса по спросу и предложению.
Для оптимального плана должно выполняться условие  ij  0 .
Если же среди оценок имеются отрицательные, то переходим к
следующему плану путем увеличения члена с отрицательной
оценкой, оставляя другие переменные равными нулю.
Переход к рациональному плану осуществляется следующим образом. Введем понятие цикла свободной клетки – это последовательность клеток (i, j), которая начинается с пустой клетки и ей же заканчивается, причем в каждой строке и в каждом
столбце при построении цикла должны быть использованы две и
только две клетки, т.е. строится замкнутая ломаная линия (цикл),
в котором одна вершина свободна, а все другие заняты и поворот
осуществляется только в занятых клетках. Последовательно входящие клетки цикла обозначают знаками (+), (–), (+) и т.д., начиная с пустой клетки. В цикле свободной клетки с минимальной
отрицательной оценкой выбирается минимальное значение груза
в клетках со знаком (–) и помещается в свободную клетку. После
этого производится перераспределение груза по циклу: найденное минимальное количество груза добавляется к грузу в клетках
со знаком (+) и вычитается из груза со знаком (–). В итоге получается новое распределение груза – новый план.
51
Вновь проверяется оптимальность нового плана через подсчет оценок свободных клеток. Указанные операции повторяются
до тех пор, пока не получим оптимальный базисный план, т.е. неотрицательные оценки для свободных переменных.
Пример 2.
В трех пунктах отправления (на складах)
A1, A2 , A3 находится соответственно 100,120,180 т. горючего. В
пункты B1, B2 , B3 , B4 требуется доставить соответственно 50, 120,
100, 130 т. горючего. Стоимость перевозки тонны горючего из
пункта A1 в пункты B1, B2 , B3 , B4 составляют соответственно
4,5,5,6 ден.ед., из пункта A 2 – 3,4,6,5 ден.ед., а из пункта A 3 –
3,5,3,6 ден.ед.
Требуется составить оптимальный план перевозок горючего
так, чтобы суммарные затраты на перевозки были минимальны.
Решение. Эта задача является закрытой транспортной за3
дачей, так как
4
 ai   b j  400. Для ее решения воспользуемся
i 1
j 1
таблицей, в которой будем составлять последовательно планы
перевозок.
Составим первый план перевозок. В этом плане, как уже известно, отличными от нуля перевозками xij могут быть лишь
(m  n  1) значений (базисные переменные), где m  число по-
ставщиков, n  число потребителей. Остальные значения заведомо равны нулю (свободные переменные). Будем их в таблице
помечать прочерком.
Для составления плана будем последовательно заполнять
клетки таблицы так, чтобы на каждом шаге исчерпывалась или
потребность какого-либо потребителя, или возможность какоголибо поставщика. В соответствующем столбце или строке ставить в остальных пустых клетках прочерки.
52
Таблица 8
bj
50
120
100
vi
130
ai
4
100
0 5
-
0 5
2 6
-
50
120
+
0 4
50
3
180
0 6
-1 5
-
4 5
0 3
-
0
0 6
100
+
uj
0
-
70
+

-4
50

3
0
-3
0
80
-4

-1
1
-2
При построении первого плана применяем метод наименьших затрат. Начнем с клетки с наименьшими затратами cij и на
каждом шаге будем выбирать такого типа клетку Значения cij
будем записывать в левом верхнем углу клетки. В ее центре будем проставлять значения xij .
Заполняем клетку (21), так как c21  3  наименьшее (таблица 2). В эту клетку заносим x21  min{ a2 ,b1 }  min{ 120,50 }  50 .
При этом вычеркивается первый столбец.
На втором шаге заполняем клетку (33), т.к. c33  3  наименьшее, значением x33  min{ 180,100 }  100 . При этом вычеркивается третий столбец.
В оставшихся клетках наименьшее c22  4 , поэтому заполняем клетку (22) значением x22  min{ 120  50,120 }  70 . При
этом вычеркивается вторая строка.
53
Теперь
остаётся
наименьшее
c12  5 .
x12  min{ 100,120  70 }  50 , вычеркивая второй столбец.
Берём
Остаётся клетка (14) с x14  min{ 100  50,130 }  50 (исчерпалась первая строка) и клетка (34) с x34  80 . Число заполненных клеток при этом составляет (m  n  1)  3  4  1  6 . Стоимость перевозок F при данном плане перевозок составила
F = 5·50 + 6·50 + 3·50 + 4·70 + 3·100 + 6·80 = 1760 (ден.ед.)
Для проверки оптимальности полученного плана воспользуемся методом потенциалов. Введём строку потенциалов u j и
столбец потенциалов vi . Полагаем u1  0 , а остальные u j и vi
найдём так, чтобы для заполненных клеток выполнялись равенства
cij  vi  u j  0 .
Вычисляем оценки свободных клеток (свободных переменных)  ij по формулам
 ij  cij  vi  u j .
Оценки клеток будем записывать в правых верхних углах
клеток. Для оптимального плана должно выполняться условие
 ij  0 для всех клеток. У нас  31  1  0 , следовательно, план не
оптимален. Уменьшить стоимость перевозок можно, заполнив
клетку (31) (на каждой единице, проставленной в клетку (31),
стоимость перевозок уменьшится на 1 ден. ед.). Для заполнения
клетки (31) составим цикл пересчёта (в таблице 1 обозначен
пунктиром), по которому переместим в клетку (31) 50 единиц.
При этом клетки (12) и (21) опустошаются. В одну из них поставим 0, в другую  прочерк, так как количество прочерков и заполненных клеток должно остаться прежним. При пересчете в
клетках с (+) добавляется 50 ед., в клетках с () вычитается 50 ед.
Имеем новый план (таблица 2). Найдём для него потенциалы и вычислим  ij . Так как  24  1  0 , то составим цикл для
клетки (24). В этом цикле перемещается 0 единиц (фактически из
клетки (21) в клетку (24)); клетка (21) станет прочёркнутой.
54
Таблица 9
bj
50
120
100
vi
130
ai
4
1 5
100
-
1 5
-
3
-
0 4
120
2 6
3 5
-1
-
120
-
0 5
180
1 3
0 6
-
50
0
100
0
-3
30
+
uj
-3
+

3
-3
100
0 6
0
0

-1
0
-3
Перейдем к следующему плану (таблица 3).
Вычислим потенциалы, а затем оценки  ij . Получили все
 ij  0 , следовательно, полученный план оптимален. Стоимость
перевозок при этом плане
Fmin = 6·100 + 4·120 + 5·0 + 3·50 + 3·100 + 6·30 = 1710 (ден. ед.).
Таблица 10
bj
vi
50
120
100
130
ai
100
4
uj
0 5
3
120
180
1 5
1
4
3
2 6
-
0
6
100
4
5
-
120
0 5
0
0 3
-
100
0
-2
0
-2
0
0 6
50
55
0
0
30
-3
-3
-3
По этому плану поставщик A1 перевозит 100 т горючего потребителю B4 , поставщик A2  120 т горючего потребителю B2 ,
поставщик А3  50 т горючего потребителю B1 , 100 т потребителю B3 и 30 т потребителю B4 . Так как среди оценок  ij в прочеркнутых клетках есть нули, это говорит о том, что оптимальный план не единственный.
Контрольные вопросы к теме «транспортная задача»
1.
Сформулируйте транспортную задачу в общем виде.
2.
Запишите математическую модель транспортной задачи.
3.
Когда транспортная задача называется закрытой?
4. Как составить первый опорный план закрытой транспортной задачи?
5. В чем заключается определение оптимального решения
методом потенциалов?
6.
Как перейти к другому плану?
ТЕМА 7. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Динамическое программирование − метод оптимизации решения динамических задач, в которых процесс принятия решения
может быть разбит на этапы (шаги).
Предположим, что имеет место некоторый управляемый
процесс. В результате управления система переводится из начального состояния x0 в конечное ~
x.
Пусть управление можно разбить на п шагов и при этом решение принимается последовательно на каждом шаге. Обозначим
управление на к-м шаге yk , а состояние системы после к-го шага
управления xk . Тогда y  ( y1, y2 ,  , yn ) − управление, переводящее систему из состояния x0 в состояние ~
x.
56
Целевая функция зависит от начального состояния системы
и управления F ( x0 , y ) и является показателем эффективности
управления.
При решении задач методом динамического программирования делают два предположения.
1. Состояние xk системы в конце к-го шага зависит только
от предыдущего состояния xk 1 и управления на к-м шаге yk , т.е.
xk   k ( xk 1 , yk ), k  1, 2, , n.
2. Целевая функция F является суммой показателей эффективности Fk на каждом шаге, т.е.
n
F   Fk ( xk 1 , yk ).
k 1
Задача динамического программирования состоит в том,
чтобы определить такое управление y   ( y1 , y2 ,  , yn ) , переводящее систему из состояния x0 в состояние ~
x , при котором целевая функция F принимает экстремальное значение.
Решение задач методами динамического программирования
проводится на основе сформулированного Беллманом принципа
оптимальности: каково бы ни было состояние х системы в результате некоторого числа шагов управления, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с
оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному результату на всех оставшихся шагах,
включая данный.
Алгоритм решения динамической задачи рассмотрим на
следующем примере.
Пример 3. Двум предприятиям выделено a  2000 единиц
средств на 4 года. Как распределить эти средства между ними для
получения максимального дохода, если в первый год средства
распределяются между предприятиями в полном объеме, во второй распределяется неосвоенная за первый год часть средств (остаток) и т.д., а также известно, что
57
- доход от x единиц средств, вложенных на год в первое предприятие, равен f1 ( x)  6 x ;
- доход от y единиц средств, вложенных на год во второе предприятие, равен f 2 ( y )  4 y ;
- остаток средств к концу года на первом предприятии составляет g1 ( x )  0,3x ;
- остаток средств к концу года на втором предприятии составляет g 2 ( y )  0, 6 y .
Решение. Решим эту задачу методом динамического программирования.
Пусть в начале года (произвольного) мы должны распределить x единиц средств. Обозначим через y (0  y  x) средства,
выделяемые второму предприятию. Тогда первое получит ( x  y )
ед. средств. Обозначим суммарный доход за этот год при таком
распределении через f ( x; y ) . Очевидно,
f ( x; y )  f1 ( x  y )  f 2 ( y )  6( x  y )  4 y  6 x  2 y .
Остаток средств через год обозначим через g ( x; y ) . Очевидно,
g ( x; y )  0,3( x  y )  0, 6 y  0,3( x  y ) .
Здесь состояние системы в начале года определяется имеющимися средствами, т.е. числом x , а управление  способом распределения средств, т.е. числом y . Для состояния x при управлении y система к концу года перейдет в состояние, определяемое остатком средств, т.е. значением g ( x; y )  0,3( x  y ) .
Обозначим характеристику состояния x в начале года k
через  k ( x) , а условное оптимальное управление для этого состояния через yk ( x) . Тогда для k  4
4 ( x )  max f ( x; y )  max (6 x  2 y ) .
0 y  x
0 y  x
Так как функция f ( x; y )  6 x  2 y убывает по переменной y
на отрезке [0; x ] , то ее наибольшее значение достигается при
y  0 , т.е.
58
4 ( x )  6 x, y4 ( x)  0 ,
где y4  условное оптимальное управление на четвертом этапе.
Для k  1, 2, 3 справедливо рекуррентное соотношение
k ( x )  max { f ( x; y )  k 1 ( g ( x; y ))} ,
0 y  x
поэтому для k  3 имеем
3 ( x )  max {6 x  2 y  4 (0,3( x  y ))} 
0 y  x
 max {6 x  2 y  6  0,3( x  y )} 
0 y  x
 max {7,8 x  0, 2 y} .
0 y  x
Функция (7,8 x  0, 2 y ) убывает по y на отрезке [0; x ] , поэтому
3 ( x)  7,8 x, y3 ( x )  0 .
Для k  2
2 ( x)  max {6 x  2 y  3 (0,3( x  y ))} 
0 y  x
= max {6 x  2 y  7,8  0,3( x  y )} 
0 y  x
 max {8,34 x  0,34 y} .
0 y  x
Функция (8,34 x  0,34 y ) возрастает по y поэтому ее максимальное значение на отрезке [0; x ] достигается при y  x , т.е.
2 ( x )  8,34 x  0,34 x  8, 68 x, y2 ( x)  x .
Для k  1
1 ( x)  max {6 x  2 y  2 (0,3( x  y ))} 
0 y  x
 max {6 x  2 y  8, 68  0,3( x  y )} 
0 y  x
 max {8, 604 x  0, 604 y}.
0 y  x
Функция (8, 604 x  0, 604 y ) возрастает по y , поэтому
1 ( x )  9, 208 x, y1 ( x)  x .
Теперь вычисляем
1 (a )  1 (2000)  9, 208  2000  18416 (ед.).
Получили наибольший суммарный доход, который может
быть получен при заданных условиях за 4 года. При этом средст59
ва следует распределять следующим образом: в первые два года
все отдавать второму предприятию ( y1 ( x)  x; y2 ( x)  x) , а в последующие
два
года

первому
предприятию
( y3 ( x)  0; y4 ( x )  0) .
Контрольные вопросы к теме
«Динамическое программирование»
1. Что такое метод динамического программирования?
2. Какие предположения должны выполняться при решении задач методом динамического программирования.
3. Сформулируйте принцип оптимальности Беллмана.
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Контрольные задания по теме
«Описательная статистика»
В задачах 1.1– 1.20 признак Х представлен таблицей, которая является выборкой его значений, полученных в результате
100 независимых наблюдений. Требуется:
1) составить интервальное распределение выборки;
2) построить гистограмму относительных частот;
3) перейти от составленного интервального к точечному выборочному распределению, взяв при этом за значения признака
середины частичных интервалов;
4) построить полигон относительных частот;
5) найти эмпирическую функцию распределения и построить
ее график;
6) вычислить все точечные статистические оценки числовых
характеристик признака: выборочное среднее; выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию; выборочное и
исправленное выборочное средние квадратичные отклонения;
7) построить доверительные интервалы, покрывающие неизвестные математическое ожидание и дисперсию признака Х с надежностью 0,95.
60
1.1
51.5
11.3
76.3
51.2
25.1
52.6
34.8
50.8
47.6
31.3
55.3
22.3
64.3
50.1
51.3
59.9
51.3
28.0
78.0
45.1
42.3
46.3
16.6
51.0
72.5
29.7
28.3
35.3
38.4
66.1
43.3
22.8
56.3
70.8
24.3
43.7
41.0
69.9
70.5
23.3
59.5
47.3
47.8
31.3
49.1
55.7
58.8
30.6
40.6
40.1
60.6
45.3
54.3
33.3
48.7
53.0
49.1
64.0
31.3
43.6
86.1
43.8
64.1
23.7
52.1
50.1
19.7
32.5
44.3
66.1
43.3
56.3
79.8
53.3
79.6
50.7
36.9
45.1
47.4
42.3
77.8
50.3
68.3
71.7
28.3
58.8
29.7
45.3
91.3
19.1
59.6
50.0
35.8
58.5
57.9
46.7
38.9
70.4
64.3
31.3
1.2
66.7
19.9
91.5
66.4
40.3
67.8
50.0
66.0
62.8
46.5
70.5
37.5
79.5
65.3
66.5
75.1
66.5
43.2
93.2
60.3
57.5
61.5
31.8
66.2
87.7
44.9
43.5
70.5
53.6
81.3
58.5
38.0
71.5
85.5
39.5
58.9
56.2
85.1
85.7
38.5
74.7
62.5
63.0
46.5
64.3
70.9
74.0
45.8
55.8
55.3
75.8
60.5
69.5
48.5
63.9
68.2
64.3
79.2
46.5
58.8
89.9
59.0
79.3
36.9
67.3
65.3
34.9
47.7
59.5
81.3
58.5
71.5
95.0
68.5
94.8
65.9
52.1
60.3
62.6
57.5
83.0
65.5
83.5
86.9
43.5
74.0
44.9
60.5
92.8
34.3
74.8
65.2
51.0
73.7
73.1
63.9
54.1
85.6
79.5
46.5
1.3
64.5
19.2
89.3
24.3
38.1
65.6
47.8
63.8
60.6
44.3
68.3
35.3
77.3
63.1
64.3
72.9
64.3
41.0
91.0
58.1
55.3
59.3
29.6
64.0
85.5
42.7
41.3
68.3
51.4
79.1
72.5
60.2
69.3
83.3
37.3
56.7
54.0
82.9
83.5
36.3
73.6
58.3
60.8
44.3
62.1
68.7
71.8
43.6
53.6
53.1
99.1
56.8
67.3
46.3
61.7
66.0
62.1
77.0
44.3
56.6
56.3
69.3
77.1
36.7
65.1
63.1
32.7
45.5
57.3
79.1
90.8
63.3
92.8
66.3
92.6
63.7
49.9
58.1
60.4
55.3
72.6
63.0
81.3
84.7
41.3
71.8
42.7
58.3
99.2
32.1
56.3
36.8
48.8
71.5
70.9
61.7
51.9
83.4
77.3
44.3
61
1.4
54.2
14.0
79.0
53.9
27.8
55.3
37.5
53.5
50.3
34.0
58.0
25.0
67.0
52.8
54.0
62.6
54.0
30.7
80.7
47.8
45.0
49.0
19.3
53.7
75.2
32.4
31.0
58.0
41.1
68.8
46.0
25.5
59.0
73.0
27.0
46.4
43.7
72.6
73.2
26.0
62.2
50.0
50.5
34.0
51.8
58.4
61.5
33.3
43.3
42.8
63.3
48.0
57.0
36.0
51.4
55.7
51.8
66.7
34.0
46.3
88.8
46.5
66.8
26.4
54.8
52.8
22.4
35.2
47.0
68.8
46.0
59.0
82.5
56.0
82.3
53.4
39.6
47.8
50.1
45.0
80.5
53.0
71.0
74.4
31.0
61.5
32.4
48.0
94.0
21.8
62.3
52.7
38.5
61.2
60.6
51.4
41.6
73.1
67.0
34.7
1.5
54.3
14.1
79.1
54.0
27.9
55.4
37.6
53.6
50.4
34.2
58.1
25.1
67.1
52.9
54.1
62.7
54.1
30.8
80.8
47.9
45.1
49.1
19.4
53.8
75.3
32.5
31.1
58.1
41.2
68.9
46.1
25.6
59.1
73.1
27.1
46.5
43.8
72.7
73.3
26.1
62.3
50.1
50.6
34.1
51.9
58.5
61.6
33.4
43.4
42.9
63.4
48.1
57.1
36.1
51.5
55.8
51.9
66.8
34.1
46.4
88.9
46.6
66.9
26.5
54.9
52.9
22.5
35.3
47.1
68.9
46.1
59.1
82.6
56.1
82.4
53.5
39.7
47.9
50.2
45.1
60.6
53.1
71.1
74.5
31.1
61.6
32.5
48.1
94.1
21.9
62.4
52.8
38.6
63.1
60.7
51.7
41.7
73.2
67.1
34.1
1.6
51.4
11.2
76.2
51.1
25.0
52.5
34.7
50.7
47.5
31.3
55.2
22.2
64.2
50.0
51.2
59.8
51.2
27.9
77.9
45.0
42.2
46.2
16.5
50.9
72.4
29.6
28.2
55.2
38.3
66.0
43.2
47.2
56.2
7.2
24.2
43.6
40.9
69.8
70.4
23.2
59.4
45.2
47.7
31.2
49.0
55.6
58.7
30.5
40.5
40.0
60.5
43.7
54.2
33.2
56.6
52.9
49.0
63.9
31.2
43.5
86.0
56.2
64.0
23.6
52.0
50.0
19.6
32.4
44.2
66.0
43.2
50.2
79.7
53.2
79.5
50.6
36.8
45.0
47.3
42.2
77.7
49.9
68.2
71.6
28.2
58.7
29.6
45.2
91.2
19.0
59.5
22.7
35.7
58.4
57.8
48.6
38.8
70.3
64.2
31.2
62
1.7
54.5
14.3
79.3
54.2
28.1
55.6
37.8
53.8
50.6
34.3
58.3
25.3
67.3
53.1
54.3
62.9
54.3
31.0
81.0
48.1
45.3
49.3
19.6
54.0
75.5
32.7
31.3
58.3
41.4
69.1
46.3
25.8
59.3
73.8
27.3
46.7
44.0
72.9
73.5
26.3
62.5
61.8
50.3
50.8
34.3
52.1
58.7
33.6
43.6
43.1
63.6
48.3
57.3
36.3
51.7
56.0
52.1
67.0
34.3
46.6
89.1
46.8
61.7
25.7
55.1
53.1
22.7
35.5
47.3
69.1
46.4
59.3
82.8
56.3
82.6
53.7
39.9
48.1
50.4
45.3
80.8
53.3
71.3
74.7
31.3
61.8
32.7
48.3
94.3
22.1
62.6
53.0
38.8
61.5
60.9
51.7
41.9
73.4
67.3
34.3
1.8
42.8
2.6
67.6
42.5
16.4
43.9
26.1
42.1
38.9
22.6
46.6
13.6
55.6
41.4
42.6
51.2
42.6
19.3
69.3
36.4
33.6
37.6
7.9
42.3
63.8
21.0
19.6
46.6
29.7
57.4
34.6
14.1
47.6
61.6
15.6
35.0
32.3
61.2
61.8
14.6
50.8
38.6
39.1
22.6
40.4
47.0
50.1
21.9
81.9
31.4
51.9
36.6
45.6
24.6
40.0
44.3
40.4
55.3
22.6
34.9
77.4
35.1
55.4
15.0
43.4
41.4
11.0
23.8
35.6
57.4
34.6
47.6
71.1
44.6
70.9
42.0
28.2
36.4
38.7
33.6
69.1
41.6
59.6
63.0
19.6
50.1
21.0
36.6
82.6
10.4
50.9
41.3
27.1
49.8
49.2
40.2
30.2
61.7
55.6
22.6
1.9
56.7
16.5
81.5
56.4
30.3
57.8
40.0
56.0
52.8
36.5
60.5
27.5
69.5
55.3
56.5
65.1
56.5
33.2
83.2
50.3
47.5
51.5
21.8
56.2
77.7
34.9
33.5
60.5
43.6
71.3
48.5
28.0
61.5
75.5
29.5
60.9
46.2
75.1
75.7
28.5
64.7
52.5
53.0
36.5
54.3
58.2
64.0
35.8
45.8
45.3
65.8
50.5
59.5
38.5
53.9
55.3
54.3
69.2
36.5
48.8
91.3
49.0
69.3
26.9
57.3
55.9
24.9
37.7
49.5
71.3
48.5
61.5
85.0
58.5
84.8
64.0
42.1
50.3
52.6
47.5
83.0
55.5
73.5
76.9
33.5
53.9
44.9
50.5
96.5
24.3
64.8
55.2
41.0
63.7
63.1
48.9
44.1
75.6
69.5
36.5
63
1.10 54.1 57.9 44.9 45.9 62.1 62.2 88.7 45.8 80.4 63.2
13.9
78.9
53.8
27.7
55.2
37.4
53.4
50.2
33.9
24.9
65.9
52.7
53.9
62.5
53.9
30.6
80.6
47.7
48.9
19.2
53.6
75.1
32.3
30.9
57.9
41.0
68.7
47.9
58.9
72.6
26.9
46.3
43.6
75.2
73.1
25.9
46.4
50.4
33.9
51.8
58.3
61.4
33.2
43.2
42.7
58.9
56.9
35.9
51.3
55.6
51.7
66.6
33.9
46.2
52.9
66.7
26.3
54.7
52.7
22.3
35.1
46.9
68.7
52.6
82.4
55.9
82.2
53.1
39.5
47.7
50.0
44.9
25.4
70.9
74.3
30.9
61.4
32.3
47.9
93.9
21.7
49.9
38.4
61.1
60.5
51.3
41.5
73.0
66.9
33.9
1.11 48.1 51.9 38.9 39.9 56.1 57.2 82.7 39.9 74.4 56.2
7.9
72.9
47.8
21.7
49.2
31.4
47.4
44.2
27.2
16.9
60.9
46.7
47.9
56.5
47.9
24.6
74.6
41.7
42.9
13.2
66.9
69.1
26.3
24.6
51.9
35.0
62.7
19.4
52.9
27.9
20.9
40.3
37.6
66.5
67.1
19.9
43.9
44.4
29.8
45.7
52.3
55.4
27.2
37.2
36.7
14.9
50.9
20.3
45.3
49.6
45.7
60.6
27.9
40.2
40.4
60.7
49.9
48.7
46.7
16.3
29.2
40.9
62.7
52.6
76.4
68.3
76.2
47.3
33.5
41.7
44.0
38.9
46.9
64.9
55.1
24.9
55.4
26.3
41.9
87.9
15.7
46.6
32.4
47.6
54.5
45.3
35.5
67.0
60.9
27.9
1.12 61.0 64.8 51.8 52.8 68.9 70.2 95.6 52.8 87.3 68.1
19.8
85.8
60.7
34.6
62.1
44.3
60.3
57.1
40.8
31.8
73.8
59.6
60.8
69.4
60.8
37.5
87.5
54.6
55.8
26.1
60.5
82.0
39.2
37.8
64.8
47.9
75.6
32.3
65.8
79.8
33.7
53.2
50.5
79.4
80.0
31.8
56.8
57.7
40.8
58.6
65.2
68.3
40.1
50.1
49.6
64
54.8
63.7
42.8
58.3
62.5
58.6
73.5
40.8
53.1
53.3
73.6
33.2
61.5
59.6
29.2
42.0
53.8
75.6
65.8
89.3
62.8
89.1
68.3
64.4
54.6
56.9
51.6
59.8
71.8
81.2
37.8
60.2
39.2
54.8
99.8
28.6
59.5
45.3
67.8
67.5
58.2
48.4
79.9
73.8
40.8
1.13 41.3 45.1 32.2 33.1 49.3 50.4 75.9 33.1 67.6 49.4
1.1
66.1
41.0
14.9
42.4
24.6
40.6
37.4
21.2
12.1
54.1
39.9
41.1
49.7
41.1
17.8
67.8
34.9
36.1
6.4
40.8
62.3
19.5
18.1
45.1
28.2
55.9
12.6
46.1
60.1
14.1
33.5
30.8
59.7
60.3
13.1
37.1
37.6
21.1
38.9
45.5
48.6
20.4
30.4
29.9
35.1
44.1
23.1
38.5
42.8
38.9
53.8
21.2
33.4
33.6
53.9
13.5
41.9
39.9
9.5
22.3
34.1
55.9
46.1
69.6
43.1
69.4
40.5
26.7
34.9
37.2
32.1
8.9
40.1
58.1
61.5
19.1
48.6
19.5
81.1
35.1
39.8
25.6
48.3
47.7
38.5
28.7
60.2
21.1
54.1
1.14 65.3 69.1 56.1 57.1 73.1 74.4 99.9 57.2 97.6 73.4
19.9
90.1
64.9
38.9
66.4
48.6
64.6
61.4
45.1
36.1
78.1
63.8
65.1
73.7
65.1
41.8
91.8
58.9
60.1
30.4
64.8
86.3
43.5
42.1
69.1
52.2
79.9
36.6
70.1
84.1
38.1
57.5
54.8
83.7
84.3
37.1
61.1
61.6
45.1
62.9
69.5
72.6
44.4
54.4
54.2
59.1
68.1
47.1
62.5
66.8
62.9
77.8
45.1
57.4
57.6
77.9
37.5
65.9
63.9
33.5
46.4
58.1
79.8
70.1
93.6
67.1
93.4
64.5
50.7
58.9
61.2
56.1
64.1
82.1
85.5
42.1
72.6
43.5
59.1
99.6
32.9
63.8
49.6
72.3
71.7
62.5
52.7
84.2
78.1
45.1
1.15 43.9 47.7 34.7 35.7 51.9 53.0 78.5 29.3 70.2 52.0
3.7
68.7
43.6
17.5
45.0
27.2
43.2
40.0
23.7
14.7
56.7
42.5
43.7
52.3
43.7
20.4
70.4
37.5
38.7
9.0
43.4
64.9
22.1
20.7
47.7
30.8
58.5
15.2
48.7
62.7
16.7
36.1
33.4
62.3
62.9
15.7
39.7
40.2
23.7
41.5
48.1
51.2
23.0
33.0
32.5
65
37.7
46.7
25.7
41.1
45.4
41.5
56.4
23.7
36.0
36.2
56.5
16.1
44.5
42.5
12.1
24.9
36.7
58.5
35.7
48.7
72.2
45.7
72.0
43.1
37.5
39.8
34.7
42.7
60.7
64.1
20.7
51.2
22.1
37.7
83.7
11.5
42.2
28.3
50.9
50.3
41.1
31.3
62.8
56.7
23.7
1.16 44.5 48.3 35.3 36.3 52.5 53.6 79.1 36.3 70.8 52.6
4.3
69.3
44.2
18.1
45.6
27.8
43.8
40.6
24.3
15.3
57.3
43.1
44.3
52.9
44.3
21.0
71.0
38.1
39.3
9.6
44.0
65.5
22.7
21.3
48.3
31.4
59.1
15.8
49.3
63.3
17.3
36.7
34.0
62.9
63.5
16.3
40.3
40.8
24.3
42.1
48.7
51.8
23.6
33.6
33.1
38.3
47.3
26.3
41.7
46.0
42.1
57.0
24.3
36.6
36.8
57.1
16.7
45.1
43.1
12.7
25.5
37.3
59.1
49.3
72.8
46.3
72.6
43.7
29.9
38.1
40.4
35.3
43.3
61.3
64.7
21.3
51.8
22.7
63.4
84.3
12.1
43.0
28.8
51.5
50.9
41.7
31.9
38.3
57.3
24.3
1.17 44.3 57.9 61.7 48.7 49.7 65.9 67.0 92.5 49.7 92.6
66.0
56.4
42.2
64.9
64.3
55.1
45.3
76.8
70.7
17.7
82.7
57.6
31.5
59.0
41.2
57.2
54.0
37.8
28.7
70.7
56.5
57.7
66.3
57.7
34.4
84.4
72.5
52.7
24.0
57.4
78.9
46.1
34.7
61.7
44.8
29.7
29.2
62.7
76.7
30.7
50.1
47.4
76.3
76.9
46.5
53.7
54.1
37.7
55.5
62.1
65.2
37.0
47.0
50.0
51.7
60.7
39.7
55.1
59.4
54.5
70.4
37.7
72.5
50.2
70.5
30.1
58.5
56.5
26.1
38.9
50.7
48.7
62.7
86.2
59.7
86.0
57.1
41.4
51.5
53.8
25.5
56.7
74.7
78.1
34.7
65.2
36.1
51.7
97.7
37.5
1.18 47.0 50.8 37.8 38.8 55.0 56.1 81.6 38.8 73.3 55.1
6.8
71.8
46.7
20.6
48.1
30.3
46.3
43.1
26.8
17.8
59.8
45.6
46.8
55.4
46.8
23.5
73.5
40.6
41.8
12.1
46.5
68.0
25.2
23.8
50.8
33.9
61.6
18.3
51.8
65.8
19.8
39.2
36.5
65.4
66.0
18.8
42.8
43.3
26.8
44.6
51.2
44.6
26.1
36.1
35.6
66
40.8
49.8
28.8
44.2
48.5
54.3
59.5
26.8
39.1
39.3
59.6
19.2
47.6
45.6
15.2
28.0
39.8
61.6
51.8
75.3
48.8
75.1
46.2
32.4
40.6
42.9
37.8
45.8
63.8
67.2
23.8
54.3
25.2
40.8
86.8
14.6
45.5
31.3
54.0
53.4
44.2
34.4
65.9
59.8
26.8
1.19 49.3 55.5 59.3 46.3 47.3 63.5 64.6 90.1 47.3 81.8
63.6
54.0
39.8
62.5
61.9
52.7
42.9
51.6
35.3
15.3
80.3
55.2
29.1
56.6
38.8
54.8
82.0
49.1
26.3
68.3
54.1
55.2
63.9
55.3
32.0
42.4
70.1
50.3
20.6
55.0
76.5
33.7
32.3
59.3
74.5
27.3
26.8
60.3
74.3
28.3
47.7
45.0
73.9
44.6
44.1
51.3
20.6
35.3
53.1
59.7
62.8
34.6
35.3
47.6
49.3
51.8
37.3
52.7
56.0
53.1
68.0
48.3
70.2
47.8
59.3
72.3
56.1
54.1
23.7
36.5
51.4
46.3
60.3
68.1
57.3
83.6
54.7
40.9
49.1
95.3
23.1
54.3
83.8
75.6
32.3
62.8
33.7
74.4
68.3
35.3
1.20 57.4 49.3 53.1 40.1 41.1 57.3 58.4 83.9 41.2 75.6
47.8
33.6
56.3
54.7
16.9
46.5
36.7
68.2
62.1
9.1
74.1
49.0
22.9
50.4
32.6
48.6
45.4
28.1
20.1
62.1
47.9
49.1
58.7
49.1
25.8
75.8
29.1
44.1
14.4
48.8
70.3
27.5
26.1
53.1
36.2
43.9
20.6
34.1
68.1
22.1
41.5
38.8
76.7
68.3
63.9
45.1
45.6
29.1
46.9
53.5
56.6
28.4
38.4
21.1
43.1
52.1
31.1
46.5
50.8
46.9
61.8
29.1
37.9
41.6
61.9
21.5
49.9
47.9
17.5
31.3
42.1
41.4
54.1
77.6
51.1
77.4
48.5
34.7
42.9
45.2
63.9
46.1
66.1
69.5
26.1
56.6
27.5
42.1
89.1
40.1
Контрольные задания по теме №2
«Проверка статистических гипотез»
В задачах 2.1– 2.20 требуется:
1. По выборкам из контрольных заданий №1 проверить при
уровне значимости   0,05 с помощью критерия Пирсона гипотезу о нормальном распределении случайной величины X.
2. Для первых двух столбцов выборок из контрольных заданий №1 проверить при уровне значимости   0,05 гипотезу
H 0 : D( X 1 )  D( X 2 ) о равенстве генеральных дисперсий.
3. Если в задании предыдущего пункта нулевая гипотеза о
равенстве дисперсий D( X 1 ) и D( X 2 ) не была отвергнута, то на
тех же выборках при уровне значимости   0,05 проверить гипотезу H 0 : M ( X 1 )  M ( X 2 ) о равенстве генеральных средних.
67
Контрольные задания по теме №3
«Однофакторный дисперсионный анализ»
В задачах 3.1 – 3.20 при уровне значимости   0,05 методом дисперсионного анализа оценить степень влияния фактора A
на нормально распределенный признак X, используя данные из
таблиц.
№
Номер
вар. измерения
1
2
3.1
3
4
5
№
Номер
вар. измерения
1
2
3.2
3
4
5
№
Номер
вар. измерения
1
2
3.3
3
4
5
№
Номер
вар. измерения
1
2
3.4
3
4
5
№
Номер
вар. измерения
1
2
3.11
3
4
5
a1 a2 a3
24 18 22
16 14 15
12 10 16
4 12
16
№
Номер
вар. измерения
1
2
3.12
3
4
5
a1 a2 a3
10 14 12
8 5 9
7 14 10
18
7
8
№
Номер
вар. измерения
1
2
3.13
3
4
5
a1 a2 a3
16
10
20
25
24
9
8
9
7
14
16
12
16
14
№
Номер
вар. измерения
1
2
3.14
3
4
5
a1 a2 a3
34
36
26
25
38
30
34
36
28
24
22
20
23
68
a1 a2 a3
8
12
11
10
14
18
23
22
20
34
36
32
30
a1 a2 a3
21
45
18
16
40
35 69
30 54
38 40
18
a1 a2 a3
12 34 18
10 32 21
11 30 22
33 20
31 28
a1 a2 a3
8 15 24
16 24 34
40 42 18
12
9
32
№
Номер
вар. измерения
1
2
3.5
3
4
5
№
Номер
вар. измерения
1
2
3.6
3
4
5
№
Номер
вар. измерения
1
2
3.7
3
4
5
№
Номер
вар. измерения
1
2
3.8
3
4
5
№
Номер
вар. измерения
1
2
3.9
3
4
5
a1 a2 a3
48
38
30
40
36
40 34
42 38
37 44
33
a1 a2 a3
12 10 20
16 8 26
15 7 28
5 24
9
a1 a2 a3
44 40 38
45 36 28
48 32 30
45
32
40
a1 a2 a3
16
12
10
11
18
20
22
25
26
15
28
30
26
a1 a2 a3
9
11
10
12
9
4 12
6 18
5 24
6
5
№
Номер
вар. измерения
1
2
3.15
3
4
5
№
Номер
вар. измерения
1
2
3.16
3
4
5
№
Номер
вар. измерения
1
2
3.17
3
4
5
№
Номер
вар. измерения
1
2
3.18
3
4
5
№
Номер
вар. измерения
1
2
3.19
3
4
5
69
a1
124
136
120
133
125
a1
a 2 a3
64
54
44
56
34
30
28
33
31
a 2 a3
17 26 45
40 16 12
16 17 40
36
17
44
a1
a 2 a3
45
44
40
41
36
30
31
38
35
a1
a 2 a3
44
28
15
40
12 24 20
16 20 18
14 34 14
26 20
28
a1
a 2 a3
24
28
40
56
32
42
30
18
30
16
9
16
10
№
вар.
3.10
Номер
измерения
1
2
3
4
5
a1
a2
a3
54 32 16
50 46 36
43 28 30
47
25
17
1
2
3.20 3
4
5
108
124
110
126
114
244
234
254
245
326
304
298
Контрольные задания по теме №4
«Корреляция и регрессия»
В задачах 4.1 – 4.20 для изучения зависимости между переменными x и y проведены опыты, результаты которых записаны в
таблицы. Требуется:
1) найти выборочный коэффициент корреляции и оценить тесноту и направление линейной зависимости между x и y;
2) при уровне значимости   0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции;
3) найти выборочное уравнение регрессии yˆ  b0  b1 x . В системе координат построить наблюдаемые точки и прямую
регрессии и оценить визуально степень приближения опытных данных уравнением регрессии;
4) вычислить коэффициент детерминации и оценить качество
модели регрессии;
5) при уровне значимости   0,05 оценить значимость полученного уравнения регрессии;
6) при уровне значимости   0,05 оценить значимость коэффициентов уравнения регрессии;
7) рассчитать прогнозные значения для величин на 10% превышающих максимальное значение независимой переменной. Построить соответствующий доверительный интервал
прогноза.
4.1
x
y
1.1
2.5
2.1
1.4
70
3.1
2.6
4.1
5.2
5.1
9.1
4.2
x
y
1.3
1.7
2.3
0.6
3.3
1.8
4.3
4.4
5.3
8.3
4.3
x
y
1.5
1.9
2.5
0.8
3.5
2.0
4.5
4.6
5.5
8.5
4.4
x
y
1.2
1.6
2.2
0.5
3.2
1.7
4.2
4.3
5.2
8.2
4.5
x
y
1.4
1.8
2.4
0.7
3.4
1.9
4.4
4.5
5.4
8.4
4.6
x
y
1.6
2.0
2.6
0.9
3.6
2.1
4.6
4.7
5.6
8.6
4.7
x
y
1.8
2.2
2.8
1.1
3.8
2.3
4.8
4.9
5.8
8.8
4.8
x
y
2.1
2.4
3.1
1.3
4.1
2.5
5.1
5.1
6.1
9.0
4.9
x
y
1.7
2.1
2.7
1.0
3.7
2.2
4.7
4.8
5.7
8.7
4.10
x
y
2.2
2.5
3.2
1.4
4.2
2.6
5.2
5.2
6.2
9.1
4.11
x
y
1.9
2.3
2.9
1.2
3.9
2.4
4.9
5.0
5.9
8.9
4.12
x
y
2.3
2.6
3.3
1.5
4.3
2.7
5.3
5.3
6.3
9.2
4.13
x
y
2.5
2.8
3.5
1.7
4.5
2.9
5.5
5.5
6.5
9.3
4.14
x
y
2.7
3.0
3.7
1.9
4.7
3.1
5.7
5.7
6.7
9.6
4.15
x
y
2.4
2.7
3.4
1.6
4.4
2.8
5.4
5.4
6.4
9.3
71
4.16
x
y
3.5
3.7
4.5
2.6
5.5
3.8
6.5
6.4
7.5
10.3
4.17
x
y
2.8
3.1
3.8
2.0
4.8
3.2
5.8
5.8
6.8
9.7
4.18
x
y
3.4
3.6
4.4
2.5
5.4
3.7
6.4
6.3
7.4
10.2
4.19
x
y
2.9
3.2
3.9
2.1
4.9
3.3
5.9
5.9
6.9
9.8
4.20
x
y
2.6
2.9
3.6
1.8
4.6
3.0
5.6
5.6
6.6
9.5
Контрольные задания по теме 5 «Общая задача
линейного программирования и методы ее решения»
Задачи 5.1 – 5.20.
На предприятии имеется сырье видов I, II, III. Из него можно изготавливать изделия типов А и В. Пусть запасы видов сырья
на предприятии составляют b1 , b2 , b3 ед. соответственно, изделие
типа А дает прибыль c1 ден. ед., а изделие типа В – c2 ден. ед.
Расход сырья на изготовление одного изделия задан в условных
единицах таблицей.
Составить план выпуска изделий, при котором предприятие
имеет наибольшую прибыль. Решить задачу графически и симплексным методом.
5.1 Изделие
Сырье
I
II
III
А
3
4
3
В
1
3
4
72
b1
b2
b3
c1
c2
150
260
300
6
3
5.2
Изделие
Сырье
I
II
III
А
6
3
2
В
3
4
5
5.3 Изделие
5.4
Сырье
I
II
III
А
1
1
3
В
3
2
1
Изделие
Сырье
I
II
III
А
2
1
3
В
2
2
1
5.5 Изделие
Сырье
I
II
III
А
3
4
3
В
1
3
4
5.6 Изделие
5.7
Сырье
I
II
III
А
6
3
2
В
3
4
5
Изделие
Сырье
I
II
III
А
3
1
3
В
3
2
1
73
b1
b2
b3
c1
c2
102
91
105
5
9
b1
b2
b3
c1
c2
20
36
40
2
5
b1
b2
b3
c1
c2
40
34
46
1
2
b1
b2
b3
c1
c2
300
520
600
6
3
b1
b2
b3
c1
c2
204
182
210
5
9
b1
b2
b3
c1
c2
60
32
50
1
3
5.8
5.9
Изделие
Сырье
I
II
III
А
5
4
3
В
2
3
6
Изделие
Сырье
I
II
III
А
1
1
3
В
1
2
1
5.10 Изделие
Сырье
I
II
III
А
2
1
3
В
2
2
1
5.11 Изделие
Сырье
I
II
III
А
3
4
2
В
1
3
2
5.12 Изделие
Сырье
I
II
III
А
6
3
1
В
3
4
5
5.13 Изделие
Сырье
I
II
III
А
1
1
3
В
1
2
1
74
b1
b2
b3
c1
c2
98
84
91
9
5
b1
b2
b3
c1
c2
24
40
52
2
4
b1
b2
b3
c1
c2
48
38
56
2
6
b1
b2
b3
c1
c2
150
240
150
5
2
b1
b2
b3
c1
c2
102
96
100
5
8
b1
b2
b3
c1
c2
20
36
42
2
4
5.14 Изделие
Сырье
I
II
III
А
2
1
3
В
2
2
1
5.15 Изделие
Сырье
I
II
III
А
3
4
1
В
1
3
2
5.16 Изделие
Сырье
I
II
III
А
6
3
2
В
3
4
5
5.17 Изделие
Сырье
I
II
III
А
3
1
4
В
3
2
1
5.18 Изделие
Сырье
I
II
III
А
5
2
1
В
2
3
4
5.19 Изделие
Сырье
I
II
III
А
1
1
3
В
1
2
1
75
b1
b2
b3
c1
c2
40
34
48
1
3
b1
b2
b3
c1
c2
300
540
300
4
2
b1
b2
b3
c1
c2
204
186
210
5
8
b1
b2
b3
c1
c2
60
32
60
2
3
b1
b2
b3
c1
c2
100
84
90
8
4
b1
b2
b3
c1
c2
25
40
54
2
5
5.20 Изделие
Сырье
I
II
III
А
2
1
3
В
2
2
1
b1
b2
b3
c1
c2
48
38
60
2
4
Контрольные задания по теме 6
«Транспортная задача»
Задачи 6.1 – 6.20. Методом потенциалов решить следующую транспортную задачу.
На трех базах A1, A2 , A3 имеется сортовое зерно в количествах a1 , a2 , a3 тонн соответственно. Этот груз требуется перевезти
в четыре пункта потребления B1, B2 , B3 , B4 в количествах
b1, b2 , b3 , b4 тонн соответственно. Стоимости доставки одной
тонны зерна от поставщиков потребителям указаны в матрице
стоимостей С.
Спланировать перевозки так, чтобы общая стоимость перевозки сортового зерна была минимальной.
6.1
а1 = 90, а2 = 40, а3 = 70;
b1 = 50, b2 = 50, b3 = 68,
b4 = 32.
6.2
а1 = 180, а2 = 80, а3 = 140;
b1 = 100, b2 = 100, b3 = 135,
b4 = 65.
6.3
а1 = 80, а2 = 70, а3 = 50;
b1 = 45, b2 = 37, b3 = 78,
b4 = 40.
76
3 4 2 1
С   5 0 1 7 
8 3 5 2


6 3 1 0
С   2 4 1 1 
1 3 5 2


6 4 3 2
С   1 5 0 2 
3 1 5 8


6.4
а1 = 90, а2 = 40, а3 = 70;
b1 = 85, b2 = 37, b3 = 40,
b4 = 38.
6.5
а1 = 140, а2 = 120, а3 = 140;
b1 = 98, b2 = 122, b3 = 100,
b4 = 80.
6.6
а1 = 160, а2 = 140, а3 = 100;
b1 = 90, b2 = 54, b3 = 176,
b4 = 80.
6.7
а1 = 270, а2 = 120, а3 = 210;
b1 = 255, b2 = 115, b3 = 120,
b4 = 110.
6.8
а1 = 112, а2 = 238, а3 = 250;
b1 = 120, b2 = 130, b3 = 200,
b4 = 150.
6.9
а1 = 300, а2 = 100, а3 = 190;
b1 = 213, b2 = 157, b3 = 130,
b4 = 90.
6.10
а1 = 160, а2 = 155, а3 = 85;
b1 = 115, b2 = 85, b3 = 130,
b4 = 70.
6.11
а1 = 80, а2 = 45, а3 = 75;
b1 = 60, b2 = 40, b3 = 65,
b4 = 35.
77
5 2 1 0
С   2 4 3 6 
1 3 4 2


 4 2 3 1
С   5 3 2 0 
1 2 3 6


7 2 3 1
С   2 5 3 4 
 2 1 2 6


5 2 1 0
С   2 4 3 6 
1 3 4 2


6 2 4 1
С   1 5 3 0 
 2 2 4 3


5 3 2 1
С   3 4 1 1 
1 2 1 4


6 2 3 2
С   1 7 3 1 
 2 3 4 2


3 4 2 1
С   5 0 1 7 
8 3 5 2


6.12
а1 = 170, а2 = 85, а3 = 145;
b1 = 90, b2 = 100, b3 = 140,
b4 = 70.
6.13
а1 = 70, а2 = 75, а3 = 55;
b1 = 45, b2 = 35, b3 = 75,
b4 = 45.
6.14
а1 = 75, а2 = 45, а3 = 80;
b1 = 87, b2 = 35, b3 = 43,
b4 = 35.
6.15
а1 = 130, а2 = 125, а3 = 145;
b1 = 95, b2 = 125, b3 = 100,
b4 = 80.
6.16
а1 = 150, а2 = 145, а3 = 105;
b1 = 80, b2 = 55, b3 = 175,
b4 = 90.
6.17
а1 = 260, а2 = 125, а3 = 215;
b1 = 250, b2 = 110, b3 = 120,
b4 = 120.
6.18
а1 = 115, а2 = 230, а3 = 255;
b1 = 125, b2 = 130, b3 = 200,
b4 = 145.
6.19
а1 = 290, а2 = 110, а3 = 190;
b1 = 215, b2 = 150, b3 = 135,
b4 = 90.
78
6 3 1 0
С   2 4 1 1 
1 3 5 2


6 4 3 2
С   1 5 0 2 
3 1 5 8


5 2 1 0
С   2 4 3 6 
1 3 4 2


 4 2 3 1
С   5 3 2 0 
1 2 3 6


7 2 3 1
С   2 5 3 4 
 2 1 2 6


5 2 1 0
С   2 4 3 6 
1 3 4 2


6 2 4 1
С   1 5 3 0 
 2 2 4 3


5 3 2 1
С   3 4 1 1 
1 2 1 4


6.20
а1 = 165, а2 = 155, а3 = 80;
6 2 3 2
С   1 7 3 1 
 2 3 4 2


b1 = 110, b2 = 85, b3 = 140,
b4 = 65.
Контрольные задания по теме 7
«Динамическое программирование»
Задачи 7.1 – 7.20. Двум предприятиям выделено a единиц
средств на 4 года. Как распределить эти средства между ними для
получения максимального дохода, если в первый год средства
распределяются между предприятиями в полном объеме, во второй год распределяется неосвоенная за первый год часть средств
(остаток) и т.д., а также известно, что
- доход от x единиц средств, вложенных на год в первое предприятие, равен f1 ( x) ;
- доход от y единиц средств, вложенных на год во второе
предприятие, равен f 2 ( y ) ;
- остаток средств к концу года на первом предприятии составляет g1 ( x ) ;
- остаток средств к концу года на втором предприятии составляет g 2 ( y ) .
№
a
f1
g1
f2
g2
7.1
600
5x
0,2x
3y
0,6y
7.2
800
4x
0,2x
3y
0,5y
7.3
700
4x
0,3x
3y
0,5y
7.4
1000
3x
0,1x
2y
0,5y
7.5
900
2x
0,1x
y
0,3y
7.6
1800
x
0,3x
2y
0,1y
7.7
2000
2x
0,5x
3y
0,1y
7.8
1400
3x
0,5x
4y
0,3y
7.9
1600
3x
0,5x
4y
0,2y
79
7.10
1200
3x
0,6x
5y
0,2y
7.11
1500
6x
0,4x
4y
0,7y
7.12
1000
x
0,4x
2y
0,5y
7.13
1200
5x
0,2x
4y
0,5y
7.14
500
2x
0,2x
y
0,7y
7.15
1600
5x
0,2x
2y
0,6y
7.16
1400
2x
0,5x
3y
0,2y
7.17
2000
3x
0,1x
2y
0,6y
7.18
2500
4x
0,4x
5y
0,2y
7.19
800
2x
0,6x
4y
0,3y
7.20
1000
4x
0,1x
3y
0,5y
ТЕСТЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
1. Из генеральной совокупности извлечена
1)
24
выборка объема n=63:
2)
63
xi 1 2 3 4
3)
36
ni 10 9 8 n4
4)
6
Тогда n4 равен…
2. По выборке объема n=100 построена гистограмма частот:
1)
2)
3)
4)
8
22
3
12
Тогда значение а равно…
3. Из генеральной совокупности извлечена 1)
выборка n = 50, полигон частот которой 2)
имеет вид
3)
4
14
15
16
50
80
Тогда число вариант xi  4 в выборке равно…
4. Проведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 4; 5; 8; 9; 11. Тогда несмещенная
оценка математического ожидания равна…
5. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 11, 13, 15. Тогда несмещенная оценка дисперсии измерений
равна…
6. Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 11.
Тогда его интервальная оценка может иметь
вид…
7. Из генеральной совокупности извлечена
выборка и получен статистический ряд распределения исследуемого признака
xi -5 -1 2 10
ni 12 8 13 7
Тогда несмещенная оценка генеральной
средней равна…
1)
2)
3)
4)
9,25
8
7,6
7,4
1)
2)
3)
4)
3
4
13
8
1)
3)
2)
4)
1)
2)
3)
4)
8. Мода вариационного ряда 1, 4, 5, 5, 6, 8, 9 1)
равна…
2)
3)
4)
81
(10; 10,9)
(9,4; 11)
(9,6; 10,6)
(9,5; 12,5)
1,28
1,44
1,96
2,56
5
9
1
4
9.
Если основная гипотеза имеет вид 1)
H 0 : a  20 , то конкурирующей может быть 3)
гипотеза…
2)
4)
10. Выборочное уравнение парной регрес- 1)
сии имеет вид y  2 x  3 . Тогда выборочный 2)
коэффициент корреляции может быть ра- 3)
вен…
4)
11. Из генеральной совокупности извлечена
выборка и получен статистический ряд распределения исследуемого признака
1)
2)
xi 2 4 10 12
3)
7
15
9
9
ni
4)
Тогда несмещенная оценка генеральной
средней равна…
H1 : a  10
H1 : a  20
H1 : a  20
H1 : a  20
0,6
-3
-0,6
2
5,8
6,2
6,8
7
12. Проведено 4 измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 2; 3; 6; 9. Тогда несмещенная
оценка математического ожидания равна…
1)
2)
3)
4)
5
5,5
5,25
6
13. Из генеральной совокупности извлечена
выборка и получен статистический ряд распределения исследуемого признака
xi 2 5 6 10
ni 5 8 5 2
Тогда выборочная дисперсия равна…
1)
2)
3)
4)
3,5
4
4,5
5
14. Для выборки объема n =12 вычислена 1)
выборочная дисперсия D в =132. Тогда ис- 2)
правленная выборочная дисперсия S2 для 3)
этой выборки равна…
4)
120
121
150
144
15. Точечная оценка математического ожи- 1)
дания нормального распределения равна 16. 3)
82
(16; 17,1)
(14,9; 16)
Тогда его интервальная оценка может иметь 2)
вид…
4)
16. Мода вариационного ряда 1, 2, 4, 5, 6, 6,
8 равна…
17. Статистическое распределение выборки
имеет вид
xi -2 2 3 4
ni 6 4 3 7
Тогда относительная частота варианты x 2 =2
равна…
18. Вероятность ошибки первого рода при
проверке статистических гипотез называется…
(14,9; 17,1)
(14,9; 15,2)
1)
2)
3)
4)
8
5
6
1
1)
2)
3)
4)
4
0,2
0,65
0,5
1) мощность
критерия
2) степень свободы
3) уровень значимости
4) статистика
критерия
19. Если основная гипотеза имеет вид 1) H :  2  1
1
2
H 0 :   1, то конкурирующей может быть 3) H :  2  1
1
гипотеза…
2) H1 : 2  3
4) H1 :  2  1
20. Выборочное уравнение парной регрессии имеет вид y  0,8x  2,8 , среднеквадратические отклонения равны  x  2,  y  3,2 .
Тогда выборочный коэффициент корреляции может быть равен…
83
1)
2)
3)
4)
0,5
3,36
5,12
-0,5
ТЕСТЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
ПРОГРАММИРОВАНИЮ
1. Как называется форма ЗЛП, в которой
все ограничения кроме ограничений,
связанных с неотрицательностью переменных, записаны в виде уравнений?
1)
2)
3)
4)
Классическая
Каноническая
Гауссовская
Стандартная
2. Входят ли планы x  (1, 1) и x  (4, 7)
в множество допустимых планов ЗЛП с
системой ограничений:
  2 x1  x2  2 ;

 x1  3 x2   9 ;
4 x  3 x  24.
 1
2
x1  0, x2  0 ?
1)
2)
3)
4)
Только x  (1, 1)
Только x  (4, 7)
И тот и другой
Ни тот ни другой
3. Сколько дополнительных переменных
вводится при решении симплексным методом ЗЛП с системой ограничений
5 x1  2 x2  2 x3  3 ;

 x1  3 x2  x3  4 ;
 3x  x  x  12.
 1 2
3
x1  0, x2  0, x3  0 ?
1)
2)
3)
4)
4. Общее решение системы ограничений
при оптимальном плане ЗЛП, полученное симплексным методом, имеет вид
x2  5  x1  2 x4 ;
x3  1  3x1  x4 ;
x5  2  x1  x4 . Каков оптимальный план
ЗЛП?
1)
2)
3)
4)
5. Симплексным методом найден оптимальный план x   (2; 0; 5; 4; 0) для ЗЛП с
целевой функцией
F  x1  2 x2  3x3  max .
Чему равно наибольшее значение целевой функции в этой ЗЛП?
1)
2)
3)
4)
84
4
3
2
1
(5; 1; 2; 0; 0)
(0; 5; 1; 0; 2)
(5; 0; 1; 0; 2)
(5; 1; 0; 0; 0)
7
11
13
17
6. Максимальное значение целевой
функции z  x1  x2 при ограничениях
1)
2)
 x1  x 2  6 ,

3)
равно…
 x1  4 ,
4)

 x1  0 , x 2  0 ,
7. Транспортная задача будет закрытой,
если …
50 60+b 200
100+a 7 2
4
200
3 5
6
8. Входят ли планы x  (2, 3) и x  (3, 5)
в множество допустимых планов ЗЛП с
системой ограничений:
 2x1  3x 2  0 ;

 5x1  9x 2  45 ;
 x  2 x  4.
 1
2
x1  5, x1  0, x 2  0 ?
9. Каков градиент целевой функции для
ЗЛП:
Q  3x1  x 2  max
  2 x1  x2  2 ;

 x1  3 x2   9 ;
4 x  3 x  24.
 1
2
x1  0, x2  0 ?
10. Максимальное значение целевой
функции z  2 x1  x 2 при ограничениях
 x 1  x 2  3,

 x1  0,
 x  0,
 2
8
13
12
6
1)
2)
3)
4)
a =40, b=40
a=40, b=20
a=40, b=30
a=40, b=10
1)
2)
3)
4)
Только x  (2, 3)
Только x  (3, 5)
И тот и другой
Ни тот ни другой
1)
2)
3)
4)
(1,-3)
(-2,1)
(4,3)
(3,-1)
1)
2)
3)
4)
0
-1
-2
-3
равно…
11. Общее решение системы ограниче- 1) (7; 5; 2; 0; 0)
ний при оптимальном плане ЗЛП, полу- 2) (7; 0; 0; 5; 2)
85
ченное симплексным методом, имеет 3) (7; 0; 0; 0; 2)
вид x1  7  x 2  4x 3 ; x 4  5x 2  2x 3 ; 4) (7; 2; 0; 0; 0)
x 5  2  x 2  x 3 . Каков оптимальный
план ЗЛП?
12. Симплексным методом найден оптимальный план x   (1; 0; 6; 0; 2) для ЗЛП с
целевой функцией
F  2x1  3x 2  x 3  min .
Чему равно наименьшее значение целевой функции в этой ЗЛП?
1)
2)
3)
4)
8
15
10
0
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2003.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2003.
3. Калинина В.Н. Математическая статистика / В.Н. Калинина,
В.Ф. Панкин. – М: Высшая школа, 2001.
4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей
статистика. – М: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
и
математическая
5. Попов А.М. Теория вероятностей и математическая статистика
/ А.М. Попов, В.Н. Сотников. – М: Издательство Юрайт, 2011.
6. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике / Н.Ш.
Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, Ф.М. Фридман. – М:
ЮНИТИ, 2004.
7. Попов А.М. Экономико-математические методы и модели /
А.М. Попов, В.Н. Сотников. – М: Издательство Юрайт, 2012.
8. Хуснутдинов Р.Ш. Экономико-математические методы и
модели . – М: ИНФРА-М, 2013.
86
Приложение 1
x
Таблица значений функции Лапласа Ф(х) =
1
e

2 0

z2
2
dz
x
Ф(х)
x
Ф(х)
x
Ф(х)
x
Ф(х)
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2516
0,2549
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3228
0,3264
0,3289
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
87
Продолжение приложения 1
x
Ф(х)
x
Ф(х)
x
Ф(х)
x
Ф(х)
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
0,4938
0,4941
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
0,499997
88
Приложение 2
Критические точки распределения 2
Число степ.
Уровень значимости 
свободы k
0,01
0,025
0,05
0,95
0,975
0,99
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
6,6
9,2
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
24,7
26,2
27,7
29,1
30,6
32,0
33,4
34,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
44,3
45,6
47,0
48,3
49,6
50,9
5,0
7,4
9,4
11,1
12,8
14,4
16,0
17,5
19,0
20,5
21,9
23,3
24,7
26,1
27,5
28,8
30,2
31,5
32,9
34,2
35,5
36,8
38,1
39,4
40,6
41,9
43,2
44,5
45,7
47,0
3,8
6,0
7,8
9,5
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
19,7
21,0
22,4
23,7
25,0
26,3
27,6
28,9
30,1
31,4
32,7
33,9
35,2
36,4
37,7
38,9
40,1
41,3
42,6
43,8
0,0039
0,103
0,352
0,711
1,15
1,64
2,17
2,73
3,33
3,94
4,57
5,23
5,89
6,57
7,26
7,96
8,67
9,39
10,1
10,9
11,6
12,3
13,1
13,8
14,6
15,4
16,2
16,9
17,7
18,5
0,00098
0,051
0,216
0,484
0,831
1,24
1,69
2,18
2,70
3,25
3,82
4,40
5,01
5,63
6,26
6,91
7,56
8,23
8,91
9,59
10,3
11,0
11,7
12,4
13,1
13,8
14,6
15,3
16,0
16,8
0,00016
0,020
0,115
0,297
0,554
0,872
1,24
1,65
2,09
2,56
3,05
3,57
4,11
4,66
5,23
5,81
6,41
7,01
7,63
8,26
8,90
9,54
10,2
10,9
11,5
12,2
12,9
13,6
14,3
15,0
89
Приложение 3
Критические точки распределения Стьюдента
k
Уровень значимости  (двусторонняя критическая область)

0,1
0,05
0,02
0,01
0,002
0,001
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120

6,31
2,92
2,35
2,13
2,01
1,94
1,89
1,86
1,83
1,81
1,80
1,78
1,77
1,76
1,75
1,75
1,74
1,73
1,73
1,73
1,72
1,72
1,71
1,71
1,71
1,71
1,71
1,70
1,70
1,70
1,68
1,67
1,66
1,64
12,7
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,36
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,14
2,13
2,12
2,11
2,10
2,09
2,09
2,08
2,07
2,07
2,06
2,06
2,06
2,05
2,05
2,05
2,04
2,02
2,00
1,98
1,96
31,82
6,97
4,54
3,75
3,37
3,14
3,00
2,90
2,82
2,76
2,72
2,68
2,65
2,62
2,60
2,58
2,57
2,55
2,54
2,53
2,52
2,51
2,50
2,49
2,49
2,48
2,47
2,46
2,46
2,46
2,42
2,39
2,36
2,33
63,7
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,05
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
2,86
2,85
2,83
2,82
2,81
2,80
2,79
2,78
2,77
2,76
2,76
2,75
2,70
2,66
2,62
2,58
318,3
22,33
10,22
7,17
5,89
5,21
4,79
4,50
4,30
4,14
4,03
3,93
3,85
3,79
3,73
3,69
3,65
3,61
3,58
3,55
3,53
3,51
3,49
3,47
3,45
3,44
3,42
3,40
3,40
3,39
3,31
3,23
3,17
3,09
637,0
31,6
12,9
8,61
6,86
5,96
5,40
5,04
4,78
4,59
4,44
4,32
4,22
4,14
4,07
4,01
3,96
3,92
3,88
3,85
3,82
3,79
3,77
3,74
3,72
3,71
3,69
3,66
3,66
3,65
3,55
3,46
3,37
3,37
0,05
0,025
0,01
0,005
0,001
0,0005
Уровень значимости  (односторонняя критическая область)
90
Приложение 4
Критические точки распределения Фишера
(уровень значимости   0,05 ;
k1 – число степеней свободы большей дисперсии,
k 2 – число степеней свободы меньшей дисперсии)
k2

k1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
24

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
30
40

161
18,5
10,1
7,71
6,61
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
4,84
4,75
4,67
4,60
4,54
4,49
4,45
4,41
4,38
4,35
4,32
4,30
4,28
4,26
4,24
4,17
4,08
3,84
200
19,0
9,55
6,94
5,79
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
3,98
3,88
3,80
3,74
3,68
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,47
3,44
3,42
3,40
3,39
3,32
3,23
3,00
216
19,2
9,28
6,59
5,41
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
3,07
3,05
3,03
3,01
2,99
2,92
2,84
3,60
225
19,2
9,12
6,39
5,19
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
2,82
2,80
2,78
2,76
2,69
2,61
2,37
230
19,3
9,01
6,26
5,05
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
3,20
3,11
3,02
2,96
2,90
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,68
2,66
2,64
2,62
2,60
2,53
2,45
2,21
234
19,3
8,94
6,16
4,95
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,57
2,55
2,53
2,51
2,49
2,42
2,34
2,10
237
19,4
8,88
6,09
4,88
4,21
3,79
3,50
3,29
3,14
3,01
2,92
2,84
2,77
2,70
2,66
2,62
2,58
2,54
2,51
2,49
2,46
2,44
2,42
2,40
2,33
2,25
2,01
239
19,4
8,84
6,04
4,82
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
2,42
2,40
2,37
2,36
2,34
2,27
2,18
1,94
241
19,4
8,81
6,00
4,78
4,10
3,68
3,39
3,18
3,02
2,90
2,80
2,72
2,65
2,59
2,54
2,50
2,46
2,42
2,39
2,37
2,34
2,32
2,30
2,28
2,21
2,12
1,83
242
19,4
8,78
5,96
4,74
4,06
3,63
3,34
3,13
2,97
2,86
2,76
2,67
2,60
2,55
2,49
2,45
2,41
2,38
2,35
2,32
2,30
2,27
2,25
2,24
2,16
2,08
1,83
244
19,4
8,74
5,91
4,68
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
2,25
2,23
2,20
2,18
2,16
2,09
2,00
1,75
249
19,4
8,64
5,77
4,53
3,84
3,41
3,12
2,90
2,74
2,61
2,51
2,42
2,35
2,29
2,24
2,19
2,15
2,11
2,08
2,05
2,03
2,01
1,98
1,96
1,89
1,79
1,52
254
19,5
8,53
5,63
4,36
3,67
3,23
2,93
2,71
2,54
2,40
2,30
2,21
2,13
2,07
2,01
1,96
1,92
1,88
1,84
1,81
1,78
1,76
1,73
1,71
1,62
1,51
1,00
91
Продолжение приложения 4
Критические точки распределения Фишера
(уровень значимости   0,01;
k1 – число степеней свободы большей дисперсии,
k 2 – число степеней свободы меньшей дисперсии)
k2

k1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
30
40

4052
98,50
34,12
21,20
16,26
13,75
12,25
11,26
10,56
10,04
9,65
9,33
9,07
8,86
8,68
8,53
8,40
8,29
8,18
8,10
8,02
7,95
7,88
7,82
7,77
7,56
7,31
6,63
4999
99,00
30,82
18,00
13,27
10,92
9,55
8,65
8,02
7,56
7,21
6,93
6,70
6,51
6,36
6,23
6,11
6,01
5,93
5,85
5,78
5,72
5,66
5,61
5,57
5,39
5,18
4,61
5403
99,17
29,46
16,69
12,06
9,78
8,45
7,59
6,99
6,55
6,22
5,95
5,74
5,56
5,42
5,29
5,18
5,09
5,01
4,94
4,87
4,82
4,76
4,72
4,68
4,51
4,31
3,78
5625
99,25
28,71
15,98
11,39
9,15
7,85
7,01
6,42
5,99
5,67
5,41
5,21
5,04
4,89
4,77
4,67
4,58
4,50
4,43
4,37
4,31
4,26
4,22
4,18
4,02
3,83
3,32
5764
99,30
28,24
15,52
10,97
8,75
7,46
6,63
6,06
5,64
5,32
5,06
4,86
4,69
4,56
4,44
4,34
4,25
4,17
4,10
4,04
3,99
3,94
3,90
3,85
3,70
3,51
3,02
5859
99,33
27,91
15,21
10,67
8,47
7,19
6,37
5,80
5,39
5,07
4,82
4,62
4,46
4,32
4,20
4,10
4,01
3,94
3,87
3,81
3,76
3,71
3,67
3,63
3,47
3,29
2,80
5928
99,36
27,67
14,98
10,46
8,26
6,99
6,18
5,61
5,20
4,89
4,64
4,44
4,28
4,14
4,03
3,93
3,84
3,77
3,70
3,64
3,59
3,54
3,50
3,46
3,30
3,12
2,64
5982
99,37
27,49
14,80
10,29
8,10
6,84
6,03
5,47
5,06
4,74
4,50
4,30
4,14
4,00
3,89
3,79
3,71
3,63
3,56
3,51
3,45
3,41
3,36
3,32
3,17
2,99
2,51
6022
99,39
27,35
14,66
10,16
7,98
6,72
5,91
5,35
4,94
4,63
4,39
4,19
4,03
3,89
3,78
3,68
3,60
3,52
3,46
3,40
3,35
3,30
3,26
3,22
2,98
2,89
2,41
6056
99,40
27,23
14,55
10,05
7,87
6,62
5,81
5,26
4,85
4,54
4,30
4,10
3,94
3,80
3,69
3,59
3,51
3,43
3,37
3,31
3,26
3,21
3,17
3,13
2,84
2,80
2,32
6366
99,50
26,13
13,46
9,02
6,88
5,65
4,86
4,31
3,91
3,60
3,36
3,17
3,00
2,87
2,75
2,65
2,57
2,49
2,42
2,36
2,31
2,26
2,21
2,17
2,01
1,80
1,00
92
Учебное издание
Составители: Дементьев Сергей Николаевич,
Гриднева Ирина Владимировна,
Федулова Людмила Ивановна
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА В АПК
Учебно-методическое пособие для студентов
заочной формы обучения агроинженерного факультета
по всем направлениям подготовки
Издается в авторской редакции
Подписано в печать 24. 01 2013 г. Формат 60х841/16
Бумага кн.-журн. П.л.5.87 Гарнитура Таймс.
Тираж 120 экз. Заказ № 7196
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный аграрный университет имени императора Петра I»
Типография ФГБОУ ВПО Воронежский ГАУ. 394087, Воронеж, ул. Мичурина, 1
Информационная поддержка: http://tipograf.vsau.ru
Отпечатано с оригинал-макета заказчика. Ответственность за содержание
предоставленного оригинал-макета типография не несет.
Требования и пожелания направлять авторам данного издани
93
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа