close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

144.Контрольные задания по математическому анализу методические указания для самостоятельной работы студентов -го курса дневной формы обучения факультета экономики и менеджмента по профилям подготовки Экономика труда Экономика.

код для вставкиСкачать
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный аграрный
университет имени императора Петра I»
Факультет бухгалтерского учета и финансов
Кафедра прикладной математики и математических
методов в экономике
А.Г. Буховец, Н.А. Кораблина, Ю.В. Некрасов,
Т.Я. Бирючинская
Контрольные задания по
математическому анализу
Методические указания для самостоятельной работы студентов
1-го курса дневной формы обучения факультета экономики и
менеджмента по профилям подготовки «Экономика труда»,
«Экономика предприятий и организаций АПК».
Воронеж
2013
Составители: профессор А.Г. Буховец, доценты: Н.А. Кораблина, Ю.В. Некрасов, ст. преподаватель Т.Я. Бирючинская
Рецензент: заведующий кафедрой физики ВГАУ, д-р физ.- мат.
наук, профессор В.С. Воищев
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию
на заседании кафедры прикладной математики и математических
методов в экономике ВГАУ (протокол № 7 от 25.02.2013 г.).
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию на заседании методической комиссии факультета экономики
и менеджмента ВГАУ (протокол № 7 от 16.04.2013 г.).
2
ТЕМА 1. НАЧАЛА АНАЛИЗА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА
Вопросы к теме.
1. Дайте определение переменной величины, бесконечно малой и бесконечно большой переменной величины, перечислите их простейшие свойства. Дайте определение функции,
ее область определения.
2. Перечислите основные элементарные функции, их простейшие свойства и графики.
3. Что такое предел переменной величины, какие его свойства?
Дайте определение предела функции.
4. Сформулируйте понятия приращения аргумента и функции,
дайте их геометрическую интерпретацию. Дайте определение непрерывности функции в точке.
5. Укажите свойства функций, непрерывных в точке.
6. Дайте определение односторонних пределов функции, классификации точек разрыва функции, вертикальных и горизонтальных асимптот графика.
7. Сформулируйте первый замечательный предел.
8. Сформулируйте второй замечательный предел.
9. Сформулируйте задачу о вычислении мгновенной скорости
тела и о нахождении углового коэффициента касательной к
плоской кривой. Дайте определение, укажите геометрический, физический и экономический смыслы производной
функции.
10. Перечислите теоремы, связывающие дифференцируемость и
непрерывность функции.
11. Укажите простейшие правила дифференцирования функций.
12. Укажите формулы для вычисления производной сложной
функции, производной обратной функции.
13. Что такое дифференциал функции?
14. Сформулируйте теорему Лагранжа. Укажите признаки монотонности функции.
3
15. Укажите необходимое условие экстремума функции одного
аргумента.
16. Укажите достаточные условия экстремума функции одного
аргумента.
17. Как проводится анализ графика функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба?
18. Как находятся наклонные асимптоты графика функции?
Типовой расчет 1
В задачах №№ 1 - 30 заданы функции. Требуется вычислить
указанные пределы.
Вариант 1
Вариант 2
2
2
2x  7x  3
6x  5x  1
1. lim 2
1. lim
x x0 x  2 x  15
x x0 2 x 2  x  1
1
a ) x0  3; b) x0   .
a ) x0   ; b) x0   .
2
x2
x 1
2. lim
.
2. lim
.
x2
x

1
5  2x  1
7  3x  2
4tg 5 x  sin 2 x
3sin 3x
3. lim
.
3.
lim
.
x0 tg 4 x  cos 2 x
x0
3x2
 2x  1 
4. lim 

x 2 x  4


3 x 1
2
 4x  1 
4. lim  2
.

x 4 x  4


Вариант 4
3 x 2  13x  12
1. lim 2
x x0
x  2x  3
a ) x0  3; b) x0   .
.
Вариант 3
2 x2  x  6
1. lim 2
x x0 x  3 x  2
a ) x0  2; b) x0   .
2. lim
x 0
3. lim
x0
3 x 2 1
1 6x 1
.
8x
2. lim
x1
x2  8  3
2
.
x 32
5 x 2
3. lim
.
x0 1  cos 2 x
4 x 1
 7x  5 
4. lim 
.

x 3  7 x


x  sin 4 x
.
tg 2 2 x
3x
 5x 
4. lim 
 .
x 5 x  2


4
Вариант 5
x  2x  8
1. lim 2
x x0 6 x  11x  2
a ) x0  2; b) x0   .
Вариант 6
6x  x 1
1. lim 2
x x0 2 x  3 x  1
1
a ) x0   ; b) x0   .
2
2x  7 1
2. lim
.
x4
x4
5 x 2  cos x
3. lim
.
x0
tg 2 4 x
2
2. lim
x3
2x  2  2
sin 2 3 x
3. lim
.
x0 5 x  tgx
x 3
2
.
5x
3x
 5x  2 
4. lim 
 .
x 3  5 x


Вариант 8
2
3x  7 x  2
1. lim 2
x x0 x  x  6
a ) x0  2; b) x0   .
1 

4. lim 1 
 .
x
 2x  4 
Вариант 7
2
2 x  5x  2
1. lim 2
x x0 x  x  2
a ) x0  2; b) x0   .
4 x  12  2
2. lim
.
x2
x2
2. lim
x 0
cos5 x  sin 6 x
.
x 0
tg 2 x
4x
32 x
 2x  3 
4. lim 
 .
x
2
x


Вариант 9
x2  5x  6
1. lim 2
x x0 3 x  10 x  3
a ) x0  3; b) x0   .
x1
x 1
7  3x  2
2
.
x 5  5
1  cos 2 x
3. lim
.
x0
4 x2
3. lim
2. lim
3x 2  2  2
4.
1.
.
2.
5 x2
3. lim
.
x0 4tg 3 x  sin 4 x
3.
5
 8x  2 
lim 
.

x 5  8 x


Вариант 10
3x 2  4 x  1
lim 2
x x0 3 x  5 x  2
1
a ) x0   ; b) x0   .
3
x2  5  2
lim
.
x3 8  2 x 
2
3sin 7 x  cos3x
lim
.
x 0
tg 4 x
 5x  6 
4. lim 

x 5 x  4


4 x 1
2
 3 x  5 
4. lim 
.

x 3 x 2  4


Вариант 12
x 2  2 x  15
1. lim 2
x x0 5 x  14 x  3
a ) x0  3; b) x0   .
.
Вариант 11
2 x2  7 x  6
1. lim 2
x x0 x  x  2
a ) x0  2; b) x0   .
x  13  4
.
x 3
x 2  3x
5sin 8 x
3. lim
.
x0 3tg 2 x
2. lim
3.
4x
2. lim
x3
3.
4.
1.
2.
3.
3  5x  3
.
x0
1  2x  1
1  cos 2 4 x
.
lim
x0
3x2
5 x2
 7 x  2 
lim 
.

x
 9  7x 
Вариант 14
2
3x  7 x  2
lim 2
x x0 3 x  2 x  1
1
a ) x0   ; b) x0   .
3
2
x  16
lim
.
x4
12  x  4
3tg 3 x
lim
.
x0 sin 7 x  cos 4 x
7 x
 4x  1 
lim 
 .
x 3  4 x


Вариант 16
2 x2  9x  4
lim 2
x x0 x  6 x  8
a ) x0  4; b) x0   .
2. lim
 7x 
4. lim 
 .
x 7 x  8


Вариант 13
2
4 x  17 x  4
1. lim 2
x x0 x  x  12
a ) x0  4; b) x0   .
x2  9
2 x 2 1
4.
1.
.
2.
5x  1  4
sin 2 2 x
.
lim 2
x0 2 x  cos 2 x
8x
2 

lim 1 
 .
x
 4  3x 
Вариант 15
2 x 2  x  10
lim 2
x x0 x  4 x  12
a ) x0  2; b) x0   .
x5
lim
.
x 5
3x  1  4
sin 2 6 x
lim
.
x0 4 x  tg 2 x
3.
4.
1.
9x2  1  1
2. lim
.
x0
2x2
 x2
3. lim
.
x0 1  cos3 x
6
3 x
48 x
 6x  4 
4. lim 
 .
x
 6x 
Вариант 17
2
x  3x  4
1. lim 2
x x0 2 x  5 x  7
a ) x0  1; b) x0   .
4.
1.
5  20  5 x
.
x1
x2  1
4x2
3. lim
.
x0 5sin 4 x  tg 2 x
2.
2. lim
 9x  7 
4. lim 

x 9 x  4


3.
6 x 5
2
Вариант 19
x  4x  5
1. lim 2
x x0 2 x  11x  5
a ) x0  5; b) x0   .
1 x  2
.
x 3
3x  9
tg 2 8 x
3. lim
.
x0 3 x  sin 5 x
7x
 6x 
4. lim 
 .
x 6 x  8


Вариант 21
2
x  4x  3
1. lim 2
x x0 5 x  2 x  3
a ) x0  1; b) x0   .
2. lim
2. lim
x1
x8 3
8 x 2 1
 5x  3 
4. lim  2
.

x 5 x  8


Вариант 20
2
2 x  3x  5
1. lim 2
x x0 3 x  x  4
a ) x0  1; b) x0   .
.
2
x2  x
 10 x  2 
lim 
.

x 8  10 x


Вариант 18
2
2x  x 1
lim 2
x x0 6 x  x  1
1
a ) x0  ; b) x0   .
2
x2  5x
lim
.
x5
13  2 x  3
 cos3 x  tg 4 x
lim
.
x0
6sin 2 x
2x  7  7
.
x 0
8x
5 x2
.
lim
x0 1  cos x
9 x2
 11x  5 
lim 
.

x 11x  7


Вариант 22
2
3x  7 x  2
lim 2
x x0 3 x  11x  4
1
a ) x0  ; b) x0   .
3
x2  2
lim
.
x4
3x  8  2
2. lim
3.
4.
1.
.
2.
7
sin 2 3x
3. lim
.
x0 4 x  tg 4 x
x 2  cos 2 x
3. lim
.
x0 2sin 2 x
7x
2 x
 5 x  1 
4. lim 
 .
x
8

5
x


Вариант 24
2
5x  2x  7
1. lim 2
x x0 3 x  2 x  1
a ) x0  1; b) x0   .
2 

4. lim 1 
 .
x
6
x

4


Вариант 23
2
2x  7x  6
1. lim 2
x x0 x  3 x  10
a ) x0  2; b) x0   .
9  3x  3
2. lim
.
x2
x2  4
2. lim
4x
 10 x 
4. lim 
 .
x 10 x  1


Вариант 25
2
x  6x  7
1. lim 2
x x0 2 x  x  3
a ) x0  1; b) x0   .
x1
.
8x  1  1
4tg 2 x
3. lim
.
x0
7 x2
28 x
 12 x  5 
4. lim 
.

x 4  12 x


Вариант 26
2
6x  5x  1
1. lim 2
x x0 2 x  3 x  1
1
a ) x0  ; b) x0   .
2
x2  4 x
2. lim
.
x4
2x 1  3
5sin 7 x
3. lim
.
x0 tg 2 x  cos x
sin 8 x  cos5 x
.
x0
tgx
2. lim
2
x 0
3. lim
x2  x  2
7 x2  9  3
.
3  2x 1
tg 9 x  sin 5 x
3. lim
.
x0
3 x 2
8x
 4 x  7 
4. lim 
 .
x 4 x  4


2
5 x2
 x 8
4. lim  2
 .
x x  4


Вариант 28
3x 2  3 x  6
1. lim 2
x x0 3 x  4 x  7
a ) x0  1; b) x0   .
Вариант 27
2x2  x  1
1. lim 2
x x0 5 x  6 x  1
a ) x0  1; b) x0   .
x  4 1
2. lim 2
.
x3 x  3 x
2. lim
x5
8
x 2  25
2x  1  3
.
sin 2 6 x
3. lim 2
.
x0 x  cos 4 x
9x
 7x 
4. lim 
 .
x 7 x  8


Вариант 29
2
x  2x  8
1. lim 2
x x0 3 x  11x  4
a ) x0  4; b) x0   .
4.
1.
4x  5  3
.
x1
x 1
4tg 4 x
3. lim
.
x0 sin 2 x  cos 4 x
2.
2. lim
5 

4. lim 1 

x
 2x  4 
x  tgx
.
x0 sin 2 9 x
3x
 14 x  10 
lim 
 .
x
2

14
x


Вариант 30
2 x2  x  1
lim 2
x x0 3 x  7 x  10
a ) x0  1; b) x0   .
x4
lim
.
x4
4  3x  4
6 x2
lim 2 .
x0 tg 4 x
3. lim
3.
4 x 1
19 x
 4x  1 
4. lim 

x 6  4 x


.
.
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА.
ПРИМЕР 1. Вычислить пределы указанных функций:
lim
x x0
x2  x  2
2
4x  7x  2
; a) x0  2; b) x0  .
Решение.
x2  x  2
(2)2  2  2
0 
а) lim 2


 .
2
x2
4 x  7 x  2 4  (2)  7  (2)  2  0 
Подстановка предельного значения аргумента приводит к
0
неопределенности   . Для освобождения от имеющейся неоп0 
ределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители.
x 2  x  2  0  x1  2; x2  1.  x 2  x  2  ( x  2)  ( x  1);
9
1
1
4 x 2  7 x  2  0  x1  2; x2  .  x 2  x  2  4  ( x  2)  ( x  );
4
4
Тогда предел исходной функции будет равен
lim
x2
x2  x  2
2
4x  7x  2
( x  2)  ( x  1)
x  1 3 1
 lim

 .
x 2 ( x  2)  (4 x  1)
x2 4 x  1
9 3
 lim
x2  x  2
 

 .
2
x
4x  7x  2   
b) lim
При подстановке предельного значения аргумента числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают, что приво
дит к неопределенности вида   . Так как под знаком предела
 
стоит отношение двух многочленов, то для освобождения от неопределенности такого вида разделим числитель и знаменатель
дроби на старшую степень переменной x , в нашем случае на x 2 .
Тогда получим
1 2
1  2
2
x  x2
x x  1,
lim 2
 lim
x
4 x  7 x  2 x 4  7  2 4
x x2
при x   каждая из дробей
1 2 7
, , стремится к нулю.
x x2 x
ПРИМЕР 2. Вычислить указанный предел
1  x  3x2  1
lim
.
x0
2x
Решение.
В данном случае при x  0 числитель и знаменатель дроби
0
стремятся к нулю, т.е. имеем неопределенность вида   .
0 
10
Для устранения возникшей неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное к числителю, применим формулу разности квадратов, после некоторых
преобразований получим
1  x  3x 2  1
( 1  x  3x 2  1)  ( 1  x  3x 2  1)
lim
 lim

2
x0
x 0
2x
2 x  ( 1  x  3x  1)
lim
x0
1  x  3x 2  1
2
x 0
2 x  ( 1  x  3 x  1)
lim
x0
x (1  3x)
 lim
2

2 x  ( 1  x  3 x  1)
1  3x
2  ( 1  x  3x 2  1)

1
1
 .
22 4
ПРИМЕР 3. Вычислить указанный предел
sin 2 3 x  cos5 x
lim
.
x0
x  tg 2 x
Решение. При подстановке предельного значения перемен0
ной x получаем неопределенность вида   . В данном случае
0 
для освобождения от неопределенности воспользуемся первым
замечательным пределом и его следствием
sin 
tg
lim
 1,  lim
 1.
 0 
 0 
Для того, чтобы воспользоваться вышеуказанными пределами, разложим исходную дробь на ряд сомножителей, получим
sin 2 3x  cos5 x
sin 3 x  sin 3 x  cos5 x
lim
 lim

x0
x0
x  tg 2 x
x  tg 2 x
sin 3x
sin 3 x
sin 3x
sin 3x
 3x 
 3 x  cos5 x
3
 3  cos5 x
3
x
3
x
3
x
3
x
 lim
 lim

x0
x0
tg 2 x
tg 2 x
x
 2x
2
2x
2x
1  3 1  3 1 9
=
  4,5 .
1 2
2
11
ПРИМЕР 4. Вычислить указанный предел
 x2
lim 

x x  7


2 x 1
.
Решение.
Выделим целую часть дроби, находящейся в основании показательно-степенной функции.
2 x 1
2 x 1
2 x 1
9 
 x2
 x772

lim 
 lim 
 lim 1 


 .
x x  7
x
x
x

7
x

7






При x   получаем неопределенность вида 1  . Для освобождения от неопределенности такого вида воспользуемся вторым замечательным пределом
x
 1
lim 1    e .
x
 x
Прежде, чем применить второй замечательный предел, выполним некоторые преобразования: введем замену переменной
t
x7
 x  9t  7; x    t   .
9
После некоторых преобразований найдем искомый предел
 x2
lim 

x x  7


2 x 1
9 

 lim  1 

x
x7

t

 1 
  lim  1   
 t   t  


18
2 x 1
 1
 lim  1  
t 
 t
13
18t 13
e18
1
 1
lim 1    13  18 .
t 
1
e
 t
12

Типовой расчет 2
В ЗАДАЧАХ №№ 1 - 30 заданы функции. Требуется вычислить производные этих функций.
Вариант 1.
1. y 
7
x4

2 5 2
 x  6x
x
3
6. y  sin 2 x 2  1
2.
7. y  ectg ( 4 x  3 x
y  2 x 4  5  ln x  3 x 7  ctg 4 x
6 x 3  sin 2 x
3. y 
2  arctgx
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
)
8. y  ln arccos2 x 4
4. y  (6 x  2 x 4 )6
5.
6
9. y 
7
24 x  5 x
 4x  5 
y  ln(2 x 3  1)
10. y  ln 

 1  x2 
Вариант 2.
8 2
3
1
y   6  5 x2  7 x
6. y  arcctg
x
x
x
y  x 5  3 x  2 x  7  ctgx
7. y  tg 7 e x
ln 2 x  6 x
8. y  log 2 cos 9 x
y
2  7 x3
10
y  4arcsin 2 x
9. y 
arccos x  e 7 x
y  tg (6  7 x)5
1  e2x
10. y 
ex  4
Вариант 3.
2
4 7
6. y  ln(6 x 2  3 x)
y  4   6 x 4  3x5
x
3x
7. y  arctg 5 x
y  x  6  cos x  e3 x  x 2
cos 2 4 x
arcsin 8 x  5
8.
y

8
y
x5  3x
13
4. y  (4 x  9 x 3 )10
9
2 x  2 sin 10 x
 6  5x 
5. y  tge8 x 1
10. y  arcsin

 4x  3 
Вариант 4.
2
5
3
6. y  ln sin( x 5  6 x )
1. y 
 3  7 x7  9
x 4x
2. y  2 x 7  4 x  ln 2 x  (6  5 x 2 ) 7. y  arccos e 2 x  x 2
3. y 
9. y 
6 x  e4 x
8. y  7 arctg (2 x 2  6)
1  4 x3
4. y  (2 x 4  9 x  7)9
9.
2
y
11x 2  cos(2 x  5)
2 x 
5. y  tg (75 x  3 x 4 )

10. y  ln
3

x


Вариант 5.
7
2
6. y  tg ( x 2  3 sin x)
1. y   2  63 x  2 x
x 5x
2. y  ( x 2  2)  e 4 x  cos 2 x  x 7 7. y  3 ln(9 x  7)  3x 4
3. y 
8. y  arccos(9 4 x 1  7 x 4 )
sin 2 x  6 x
1  6x2
4. y  (8 x 4  7 x)10
5. y
10 x  5
 6 sin x
1. y 
4
x3
5
9. y 
2
7 x  4arcctg 2 x
 1 ex 

10. y  
x 
1 e 
Вариант 6.
8
 3x  6 x
x
7
5
6. y  arctg x 2  7x
2.
y  (ctgx  3 x)  e 2 x  x 4  ln 5 x
7. y  cos 82tg 3 x  4
14
3
3. y 
8. y  ln(arcsin 2 x)
x  sin 3 x
x6  8x
4. y  (6 x  4 x 3 )7
5. y  5tg 2 x  6 x
1.
2.
3.
4.
5.
1.
9. y 
7
e5 x  10 x 2
10 x 1
71 cos 2 x
4
10.
Вариант 7.
2
4
6. y  sin(ln 3x  5 )
y  2 x 6  x3  5  6 x
x
y  (2 x  1)  cos 2 x  x 2  ln 5 x 7. y  arctg 7 ( 5 x )
4
arcsin(7 x  1)
8. y  ln e x
y
3  4 x5
8
y  (5 x 3  6 x ) 4
9. y  7 x
2  3x2
2
 4  ln x 
y  84tg 5 x  6 x
10. y  cos

 5  6 ln x 
Вариант 8.
7 6 5 4
2

y
 x  4  6x
6. y  5 tg  5 x  
3x
x
x

2. y  (tg 2 x  1)  e x  x 4  ln 3x
7. y  2 sin(8 x 6  3 x)
2 x8  5 x
3. y 
cos 4 x  5
4. y  (7 x 3  4 x  2)6
8. y  ln 4 arctg 7 x
9. y 
4
52 x 1  5 x 2
 7  2 x3 

10. y  tg 

 8  2x 
5. y  arccos x  2
Вариант 9.
1
9
6
4
6. y  arctg 4
1. y  2 x 2  6 x 3  7 
x
7 x
x
1 3
3
2
2. y  ( x 5  7 x )  sin 2 x  x  e 7 x
7. y  sin x  ln x
3
5
15
3. y 
8. y  5 ln ctg (4 x  5)
2tg 3 x  1
1  4 x3
4. y  (2 x 4  3x 5 )10
5. y  3cos(7 x  2 x
4
2
9. y 
56 x  log 2 4 x
2 x3
)
10. y  arcsin
1  x2
Вариант 10.
8
2
1. y  7 x  2 x  
x
x3
2. y  (2  4 x)  7 x  x 3  ctg 8 x
6
6. y  8cos(3 x  2 x
5
4
)
7. y  ln sin 5 6 x
arctgx 2
4
8. y  arcsin 2  3x
3. y  2 x
x e
4. y  (2 x 3  7 x)12
9. y 
5. y  3 arctg (7 x  5)
1
e 2 x  3ctg 3 x
10. y 
3  6e 2 x
4  e2 x
Вариант 11.
2
3
4
6.
y

tg
(8 x  4)
 2x 
1. y  4 x 
3 5
x
x
x
2. y  (2 x 2  1)  5 x  4 x 3  2 x
7. y  ln cos
3
2
arccos 4 x
8. y  53 x  4 x
3. y 
1  16 x 2
2
4. y  (2 x 3  7 x 5 )7
9. y 
4 x  ctg 2 x
5. y  arcctg 4 x
10. y 
Вариант 12.
7 4
1. y  3 x 2   x 5  4
x
2. y  sin 2 x  x 3  e 4 x  (3x  1)
1 2 x
e 2 x4
3
6. y  ln 4 x  5
7. y  ctg 4 ( 2 x  1)
16
3. y 
ln 4 x  1
8. y  arcsin e 7 x
2  4x
4. y  (4 x  3x 3  x 4 )6
5. y  24 cos 5 x  2 x
2
10 x 2  8 sin 3x
 2x 
10. y  arctg

 4x  3 
Вариант 13
6. y  arctg (e 7 x )
1
9
x
2. y  tg 2 x  (3x  5)  x 3  e 7 x
4 3
3
1. y  x  8 x 
3. y 
arcsin 3x
1 4x2
4. y  (2 x 5  3x  1)9
5.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
4
9. y 
7. y  ln(32 x  x 2 )
8. y  cos 2 (3 x 2  6 x)9
9. y 
3
sin 4 x  9 x
 1 2x2 
y  5ctg (6 x  2 )

10. y  ln
2
 3  2x 
Вариант 14.
9
6
3
6. y  cos 7 x  5
y  8 x4  2x  2  4
x
x
2
y  ln 7 x  (2  x )  x  cos 7 x 7. y  arcsin 7 1
3x
8. y  ln(tg 9 x)
arcctgx6
y
x  e 2x
1
y  (7 x 2  3x  1)5
9. y 
cos 5 x  e 4 x
 3x  1 
y  7 tg 5 x
10. y  sin 

 2  3x 
Вариант 15.
2
4
5
6. y  ctg (2 x 3  8)7
y  x7  6 x3   4
5x
x
2x
3
y  (2 x  1)  7  x  sin 5 x 7. y  elog 3 ( 4 x  5)
17
8. y  3 arcsin cos 2 x
tg 6 x  2 x
3. y 
1  ln 4 x
4. y  (4  3x  2 x 5 )10
9. y 
arctg 2 x
5. y  8
2
6 x  7 sin 4 x
10. y 
1  e3 x
1  e3 x
Вариант 16.
4 7 2
 x  7x
5
x
x
2. y  3x  5  ln 2 x  x 7  tg 3 x
6. y  sin x 2  5 x
3x 4  cos 2 x
3. y 
5  arcctgx
8. y  ln arcsin3 x 2
1. y 
7
4

7. y  ectg (3 x  2 x
4. y  (1  5 x  7 x 6 )8
5.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
9. y 
7
)
8
32 x  6 x
 4x  5 
y  ln(3x 2  7 x )
10. y  cos

 1 x2 
Вариант 17.
3 2
7
1
y   4  2 x 2  6 x3
6. y  arctg
x
x
x
y  x 4  2 x  3x  7  tgx
7. y  tg 8e x
ln 4 x  2 x
8. y  log 3 sin 7 x
y
3  5x4
1
y  3arccos 4 x
9. y 
arcsin x  e3 x
y  ctg (4  2 x3 )4
2  e4 x
10. y  4 x
e 3
Вариант 18.
3
2 6
6. y  ln(4 x 4  7 x  2)
y  5   4 x5  2 x 4
x
5x
7. y  arcctg 6 x  3
y  x  3  sin 2 x  e 4 x  x 5
18
3. y 
arccos 9 x  4
8. y  7 cos
3x 6  2 x
4. y  (8 x  2 x 5 )11
3
8x
6
3 x  3 sin 6 x
 3  2x 
5. y  ctge7 x 1
10. y  arcsin

 5x  3 
Вариант 19.
2
3
3
6. y  ln cos( x 6  7 x)
 2  4 x8  7 x
1. y 
x3 4 x
9. y 
2. y  x 4  43 x  ln 5 x  (3  4 x )
3. y 
7. y  arcsin e 4 x  7 x 3
9x2  e2x
8. y  5 arcctg (4 x 5  2 x )
1  3x 4
4. y  (3 x 3  6 x  4)8
9.
3
y
x 3  sin(3 x  5)
1  2 x 
5. y  ctg (43 x  3 x 5 )

10. y  ln
1

2
x


Вариант 20.
8
3
6. y  ctg (2 x 3  4 sin x )
1. y   3  54 x  9 x
x 7x
2. y  ( x 3  4)  e3 x  sin 4 x  x 6
7. y  4 ln(3x  7)  2 x 5
3. y 
8. y  arcsin 3 23 x
cos 5 x  7 x
2  3x 4
4. y  (6 x 5  4 x  2) 7
5. y 
3x 5
4 cos x
1
4 x  2arctg 3x
 1  3x2 

10. y  
2
 2  3x 
Вариант 21.
5
 5x  7 x3
4
x
x
2. y  (tgx  4 x)  e 4 x  x 2  ln 7 x
1. y 
3
9. y 
6
19
4
4
6. y  arcctg 2 x  7 x 2
7. y  sin e ctg 4 x 1
4
3. y 
8. y  ln(arccos 5 x)
x  cos 4 x
x5  6 x
4. y  (3 x  5 x 7 )9
5. y  7 ctg 4 x  2 x
1.
2.
3.
4.
5.
1.
9. y 
3
e4 x  2 x3
10 x 1
5 1 2 x
3
10.
Вариант 22.
3
5
6. y  cos(ln 2 x  1)
y  3x 7  x 4  7  9
x
y  (3 x  1)  sin 4 x  x 3  ln 8 x 7. y  arcctg 5 ( 3x )
7
arccos(9 x  7)
8. y  ln e x
y
4  2 x3
3
y  (2 x 2  3x 3 )6
9. y  8 x
4  7 x2
4
 1  ln x 
y  6ctg 4 x  6 x
10. y  sin 

 3  2 ln x 
Вариант 23.
2 5 6 3
1

y
 x  3  2x
6. y  4 tg  x  
5x
x
x

2. y  (сtg 4 x  1)  e x  x 4  ln 2 x
7. y  3 cos(6 x 5  2 x )
3x7  4 x
3. y 
sin 4 x  2
4. y  (3 x 5  4 x  7)9
8. y  ln 3 arcctg 4 x
9. y 
3
63 x 1  2 x 4
3x2 2
5. y  arcsin 2 x  1
2
10. y  e 13 x
Вариант 24.
5
6
1
3
1. y  3 x 4  7 x 4  6 
6. y  arcctg 7
x
7 x
x
x
2. y  ( x 3  4 x )  cos 4 x  x  e8 x
7. y  cos e 3
20
3. y 
8. y  8 ln tg (3x  1)
4ctg 2 x  2
3  4x2
4. y  (3 x 5  2 x 2 )12
5. y  5sin( 6 x  x
6
)
65 x  log 4 2 x
 2x 
10. y  arcsin

 x7
Вариант 25.
4
5
7
1. y  2 x 4  3x  
x
x5
2. y  (3  6 x)  4 x  x 4  tg 7 x
3. y 
6. y  104 cos(2 x  3 x
3
)
7. y  ln sin 3 4 x
sin x 3
8. y  arccos(3 x  5)3
4x  e x
4. y  (4 x 5  8 x )15
5. y  4 arcctg (5 x  4)
4
9. y 
9. y 
10. y 
11
e 4 x  2ctgx
1  3e 4 x
2  2e 4 x
Вариант 26.
5
2
4
3
6.
y

ctg
(9 x  1)
 7x 
1. y  3 x 
3 7
x
x
3x
2. y  (3 x 4  2)  3x  5 x 2  4 x
7. y  ln sin
5
5
arcsin 8 x
8. y  7 4 x  2 x
3. y 
2  4x2
4
4. y  (3  4 x 2  6 x 4 )8
9. y 
5 x  2tg 3x
2 3 x
5. y  arctg 6 x
10. y  e 3 x 1
Вариант 27.
3
3 3
6. y  ln 4 x  9 x 2
1. y   x 2   2 x 4  3
x
2. y  cos 4 x  x 2  e3 x  (5 x  2) 7. y  tg 5 ( 3x  2 )
21
3. y 
8. y  earccos 7 x
ln 3x  4
1  6x
4. y  (3  2 x 3  x 5 )8
5. y  35 sin 4 x  2 x
18 x 3  4 cos 5 x
 x 
10. y  arctg

 2x  4 
Вариант 28
6. y  arcctg (e5x )
3
1 4
1. y  4 x  25 x   7
x x
2. y  ctg 4 x  (2 x  1)  x 2  e8 x
3. y 
2x  7x2
4. y  (3 x 3  2 x 2  x)3
4
x
x3
2. y  ln 4 x  (3  x 4 )  x  sin 9 x
3. y 
9. y 
5
cos 7 x  2 x
 2  5x 
10. y  ln

 3  5x 
Вариант 29.
5. y  7tg (3 x  4 )
3
7. y  ln(46 x  2 x 3 )
8. y  sin 4 (5 x  6 x 2 )7
arccos 6 x
1. y  6 x 5  3x 
1
9. y 
6
arctgx2
4 x  2x
4. y  (4 x 2  3x  7) 4
6
6. y  sin 4 6 x  4
5
4x
8. y  ln(tg 6 x )
7. y  arccos4
9. y 
7
cos 8 x  2e3 x
 4x  3 
5. y  9ctg 3 x
10. y  sin 

 2  4x 
Вариант 30.
3
2
4
6. y  tg (3 x 4  2 x )5
1. y  4 x 3  2 x 5   3
2x
x
2. y  (4 x  2)  6 4 x  x 2  cos 7 x 7. y  elog 7 ( 2 x  3)
22
ctg 3x  8 x
3. y 
4  ln 5 x
4. y  (2 x 3  4 x 5 )12
arcctg
5. y  9
x
4
8. y  4 arccos sin 4 x
9. y 
10. y 
5
4 x  2 cos 3 x
2  e4x
1  e4x
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ.
Найти производные функций:
a) y  ( x5  x  8)  ctg 3x ;
Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования
произведения: y  ( x5  x  8)  ctg 3x  ( x5  x  8)  (ctg 3x) .
Далее используем правило дифференцирования суммы:
( x5  x  8)  ( x5 )  ( x)  (8)  5 x 4  1 .
Для вычисления производной функции ctg 3x воспользуемся
правилом дифференцирования
сложной
функции: если
y  f (u ) , где u  ( x) , то y  f (u )  u . В данном случае
ctg 3x  ctgu , где u  3x , поэтому
1
3
(ctg 3x)  
 (3x)  
.
2
2
sin 3x
sin 3x
Таким образом,
3
y  (5 x 4  1)  ctg 3x  ( x5  x  8) 
.
2
sin 3x
ln10 x
б) y  3
x 1
Решение. Используем правило дифференцирования дроби и
правило дифференцирования сложной функции:
(ln10 x)  ( x3  1)  (ln10 x)  ( x3  1)

.
y 
( x3  1)2
23
При этом ( x3  1)  3x 2 , а (ln10 x) 
1
1
1
 (10 x) 
10  .
10 x
10 x
x
Отсюда
1 3
 ( x  1)  (ln10 x)  3x 2
1
3x 2  ln10 x
y  x


.
3
2
3
3
2
( x  1)
x  ( x  1) ( x  1)
x 2e3 x
в) y 
.
x 1
Решение.


x 2e3 x  x  1  x 2e3 x  x  1
2 xe3 x  x 2 3e3 x  x  1  x 2e3 x
y 


2
2
 x  1
 x  1







e3 x 2 x 2  3x3  2 x  3x 2  x 2
 x  1

2

  xe3x 3x2  2 x  2  .
 x  1
2

г) y  sin 2 e x1 .
Решение.

y  2  sin e
x1
cos e  e 
x1
x1



x  1  sin 2e
x 1

e x1
.
2 x 1
x
д) y   sin x  .
Решение. Данная функция имеет вид y = u(x)v(x), производную которой можно вычислить после логарифмирования
ln y  ln(sin x) x  x lnsin x .
Дифференцируя левую и правую части этого равенства, получаем:
y 
1
 x lnsin x  x
cos x  lnsin x  xctg x.
y
sin x
Отсюда y  y  lnsin x  xctg x   (sin x) x  lnsin x  xctg x .
Типовой расчет 3
В ЗАДАЧАХ №№ 1 – 30 исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.
24
Исследование функции и построение графика рекомендуется
проводить по следующей схеме:
1) найти область определения функции D ( y ) ;
2) исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы;
3) найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности;
4) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика;
5) найти асимптоты графика функции;
6) построить график, используя результаты предыдущих исследований.
x 1
1
y  2 x3  9 x 2  12 x  9
x2  3
y
y
x 1
x
3
2
2
x6
2
x
y  x  6x  9x  2
y
y

x 1
x3
x9
3
y  x3  3x 2  9 x  10
x2  8
y
y

x6
x4
2x  7
4
y  x3  3 x 2  9 x  8
x2  3
y
y
x2
x7
2x  3
5
y  x3  6 x 2  9 x  6
x2  5
y
y
x3
x4
x3
6
y  2 x3  3x 2  12 x  5
x2  6
y
y
2x  8
x
3
2
2
x4
7
y  2 x  3x  12 x  7
x 3
y
y

x 3
x 1
3
2
x3
8
y  2 x  9 x  12 x  7
x2  6
y
y

x4
x2
9
y  2 x3  15 x 2  36 x  2 y  x  5
x2  5
y
x4
x2
x4
10 y  2 x3  3x 2  36 x  6
x2  5
y
y
x3
x4
x2
11 y  2 x3  9 x 2  12 x  5
x2  1
y
y
x3
x
25
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
x 1
x3
x 8
y  x3  3x 2  9 x  10
y
x3
x 7
y  x3  3x 2  9 x  10
y
x2
x5
y  x3  6 x 2  9 x  2
y
x3
x4
y  2 x3  3x 2  12 x  5
y
x2
2x  5
y  2 x3  3x 2  12 x  7
y
x 3
3x  5
y  2 x3  9 x 2  12 x  7
y
x 3
y  2 x3  15 x 2  36 x  32 y  x  6
x2
y  2 x3  3x2  36 x  20 y  x  1
x2
x2
y  2 x3  9 x 2  12 x  5
y
x2
x2
y  x3  6 x2  9 x  1
y
x6
x4
y  x3  3x 2  9 x  10
y
x5
3x  5
y  x3  3x 2  9 x  10
y
x 3
x 8
y  x3  6 x 2  9 x  2
y
x2
x6
y  2 x3  3x 2  12 x  5
y
x 1
x 8
y  2 x3  3x 2  12 x  7
y
x 1
x2
y  2 x3  9 x 2  12 x  7
y
x 1
y  x3  6 x2  9 x  1
y
26
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
x2
x2
x2  8
x4
x2  3
x3
x2  8
x4
x2  5
x
2
x 3
x2
x2  5
x 1
x2  5
x2
x 2  15
x 3
x2  3
x
x2
x5
x2  5
x4
x2  2
x3
x2  7
x4
x2  3
x
x2  4
x2
x2  6
x 1
29
30
y  2 x3  15 x 2  36 x  32 y  x  6
x7
y  2 x3  3x 2  36 x  2 0 y  x  3
x6
x2  2
y
x2
x 2  14
y
x3
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ.
1. Исследовать заданную функцию методами дифференциального исчисления, начертить ее график:
y  x3  9 x 2  24 x  18 .
Решение.
1) Областью определения данной функции являются все
действительные значения аргумента x , то есть D( y)  (, ) .
2) Поскольку
lim y  lim( x 3  9 x 2  24 x  18)  lim( x03  9 x0 2  24 x0  18) , то
x x0
x x0
x x0
функция непрерывна в каждой точке области определения, т.е. на
всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.
3) Исследуем функцию на экстремум и интервалы монотонности. С этой целью найдем производную функции и приравняем ее к нулю:
y  3 x 2  18 x  24;
x2  6 x  8  0 .
Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том,
что функция имеет две критические точки 1-го рода
x1  2, x2  4 . Разбиваем область определения этими точками на
части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:
x
f ( x)
f ( x)
(;2)
+
2
0
max
(2;4)
–
4 (4; )
0
+
min
ymax  y (2)  (2)3  9(2) 2  24(2)  18  2 ;
ymin  y (4)  (4)3  9(4)2  24(4)  18  2 .
27
4) Определим точки перегиба графика функции и интервалы
его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную и приравняем ее к нулю:
y  6 x  18;
x  3  0; x  3 .
Итак, функция имеет одну критическую точку 2-го рода
x  3 . Разобьем область определения полученной точкой на интервалы, в каждом из которых установим знак второй производной:
x
( ; 3)
3
(3;  )
f ( x)
–
0
+
f ( x)
точка
перегиба
Значение x  3 является абсциссой точки перегиба графика
функции, а ордината этой точки
y (3)  (3)3  9(3) 2  24(3)  18  0 .
5) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты y  kx  b воспользуемся формулами
k  lim f ( x) ;
b  lim ( f ( x)  kx) .
x x
x
Имеем
x 3  9 x 2  24 x  19
18
k  lim
= lim( x 2  9 x  24  )   .
x
x 
x
x
Таким образом, у графика заданной функции наклонных
асимптот нет.
6) Для построения графика в выбранной системе координат
изобразим точки максимума A(2; 2) , минимума B (4; 2) , перегиба C (3; 0) и точку D (0;  18) пересечения графика с осью Oy . С
учетом результатов предыдущих исследований построим кривую
(см. рис. 1).
2. Исследовать заданную функцию методами дифференци8x
ального исчисления, начертить ее график: y 
.
x4
28
Решение.
1) Областью определения данной функции является
D(y) = (-;4) (4;+).
6
4
y max
2
2
0
2
y min
2
4
6
1
0
1
2
3
4
5
6
Рис. 1. График функции y  x3  9 x 2  24 x  18 .
2) Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 4.
Вычисляем односторонние пределы функции в точке:
8x
lim f ( x)  lim
 ,
x40
x40 x  4
8x
lim f ( x)  lim
 .
x40
x40 x  4
Таким образом, точка х = 4 является для заданной функции
точкой разрыва второго рода, а прямая х = 4 – вертикальной
асимптотой ее графика.
3) Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Вычислим производную
(8x)( x  4)  8 x( x  4) 8( x  4)  8 x
32
y 


.
( x  4)2
( x  4)2
( x  4)2
и приравняем её к нулю. Видим, что корней нет, и, поскольку,
у < 0, то, следовательно, функция убывает на всей области определения. Производная у не существует при х=4. Разбиваем область определения этой точкой на части и по знаку производной
выявляем промежутки убывания:
29
x
f ( x)
( ;4)
_
4 (4; )
не
_
сущ
f ( x)
4) Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Для этого находим вторую производную. Имеем
32  2( x  4)
64
y 

.
4
( x  4)
( x  4)3
Т.к. y ≠0 во всей области определения, то точек перегиба нет.
Вторая производная y не существует в точке х = 4.
Разобьем область определения полученной точкой на интервалы,
в каждом из которых установим знак второй производной:
x
f ( x)
f ( x)
(; 4)
4
не сущ
–
(4;  )
+
5) Найдем наклонные асимптоты y = kx + b. Для этого необходимо и достаточно, чтобы существовали коэффициенты
k и b:
f ( x)
8x
8/ x
8
k  lim
 lim
 lim
 0, так как  0 и
x x
x x( x  4) x 1  4/ x
х
4
 0 при х  , и
х
8x
8
b  lim ( f ( x)  kx)  lim 
 0   lim
 8.
x
x  x  4  x 1  4/ x
Получаем горизонтальную асимптоту у = 0х + 8 = 8.
6) Строим график. Сначала проводим асимптоты: вертикальную x = 4 и наклонную y = 8. Затем, используя результаты
исследования, рисуем график. Для более точного построения
графика находим его точки пересечения с осями координат. При
x = 0 получаем у = 0, следовательно, график проходит через начало координат.
30
у
8
О
х
4
Рис. 2. График функции y 
8x
.
x4
3. Исследовать заданную функцию методами дифференциx2  9
ального исчисления, начертить ее график: y 
.
x4
Решение.
1) Областью определения данной функции является
D(y) = (-;4) (4;+).
2) Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 4.
Вычисляем односторонние пределы функции в точке:
x2  9
lim f ( x)  lim
 ,
x40
x40 x  4
x2  9
lim f ( x)  lim
 .
x40
x40 x  4
Таким образом, точка х = 4 является для заданной функции
точкой разрыва второго рода, а прямая х = 4 – вертикальной
асимптотой ее графика.
3) Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Вычислим производную:
2 x( x  4)  x 2  9 x 2  8 x  9
y 

;
( x  4)2
( x  4)2
x2  8x  9
2

0;
x
 8 x  9  0; x  1; x  9.
1
2
( x  4)2


31
x
( ; 1)
f ( x)
+
f ( x)
(4;9)
-1 (1;4)
4
0
– не сущ. –
max
9
0
(9; )
+
min
y
 y(1)  2 ; y
 y(9)  18 .
max
min
4) Определим точки перегиба графика функции и интервалы
его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную и приравняем ее к нулю:
 2 x  8 ( x  4)2  2  x  4  x 2  8 x  9
50
y 

.
( x  4)4
( x  4)3
Так как y  0 , то график функции не имеет точек перегиба.
Выясним вопрос об интервалах выпуклости и вогнутости. Функция имеет одну критическую точку 2-го рода x  4 . Разобьем область определения полученной точкой на интервалы, в каждом из
которых установим знак второй производной:
x
(; 4)
(4;  )
4

f ( x)
–

не сущ.
+
f ( x)
5) Исследуем функцию на наличие наклонных асимптот.
9 
2
f ( x)
x 9
x

 =1;
k  lim
= lim 2
= lim
x x
x x  4 x x 2  4 
x 1  
x

 x 2  20

b  lim ( f ( x)  kx)  lim 
 x   4.
x
x x  4



x 2 1 
2
Прямая у = х + 4 – наклонная асимптота графика.
6) Построение графика.
32
9
График заданной функции пересекает ось Оу в точке (0; - )
4
y
 y(1)  2 , y
 y(9)  18 .
max
min
На основе обобщения результатов всех предыдущих исследований график имеет следующий вид (рис.3).
25
ymax
18
20
15
x
4
10
y
x4
5
0
5
ymax
2
10
10
5
0
5
10
15
20
x2  9
Рис. 3. График функции y 
.
x4
ТЕМА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Вопросы к теме.
1. Дайте определение первообразной. Сформулируйте теорему
о структуре первообразных.
2. Что называется неопределенным интегралом от данной
функции? Перечислите основные свойства неопределенного
интеграла.
3. Перечислите таблицу основных неопределенных интегралов.
33
4. Перечислите основные методы интегрирования.
5. Что называется определенным интегралом от данной функции на отрезке [a,b].
6. Каков геометрический смысл определенного интеграла?
7. Перечислите основные свойства определенного интеграла.
8. Сформулируйте формулу Ньютона-Лейбница.
9. Укажите формулы для вычисления площади, объемов, пути,
работы.
10. Сформулируйте определение несобственного интеграла.
Типовой расчет 4
1.
2.
3.
4.
5.
В ЗАДАЧАХ №№ 1 – 30:
Найти неопределенные интегралы.
Вычислить определенные интегралы.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми.
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг
оси Ох фигуры, ограниченной заданными кривыми.
Вычислить несобственный интеграл или указать, что он
расходится.
Вариант 1
1
1.
2.
3.
4.
5.
 4 x5 2 4 5 
  3  x  x dx .


2
 x  3x  7 
  4 x dx .


2dx
 sin 2 (3x  7) .
3x  2
 x 2  5 dx .
xdx
 4 3  4x2 .
3
6.  7 3 x  2  x 2 dx .
Вариант 2
1
 3x 2 3

1.  
 4  83 x  dx .
x
 2



2.  1  3 x 2  2  3 x dx .
3.  4 x  57 dx .
4.
2x  3

2
3
5.

dx .
8 x
5  3 ln 3x
dx .
x
6.  x 2  4 1  4 x 3 dx .
34
cos x  dx
 2  sin x .
2x  1
8.  2
dx .
x  4x  2
7.
e arctg 2 x
7. 
dx .
1  4x2
x 1
8.

2
dx .
9.  x  ln 2 xdx .
x  2x  6
9.  ( x  1)  sin( 2 x  1) dx .
10.  (3x  1)  e 2 x dx .
10.  (5 x  2)  ln xdx .
3
x2
11.
 ( x  1)  (2 x  1) dx .
12.  sin 2 x  cos 3xdx .
2
3x
11.
 ( x 2  1)  ( x  3) dx .
12.  sin 4 x  cos 3 xdx .
2
0
5
1
1. 
dx .
3
(
6
x

5
)
1
1.  x  x 2  16dx .
4
2

2
2.  ( x  2)  sin xdx .
2.
 (3x  1)  sin 3xdx .
0
0
3
3
y  x 2  6 x  2; y  3x  8 .
y  x 2  8 x  2; y  3 x  2 .
4
x 2  y  0, x  1, y  0.
4
x 2  y  2  0, x  1, y  0.
5
5
3
3
5

1
dx.
x3
 xe
x2
dx.
0
Вариант 3
1
1.
2.
3.
4.
 2x3

2
4

dx .


x
 7
3
x


4
 2 x  3x 
  4 x 3 dx .


4dx
 8  5x .
4x  3
 x 2  6 dx .
Вариант 4
1
5
1.   23 x 2  3x  2 dx .
3x 

2.
 2 x 
5

x  x dx .
3.  sin 3  4 x dx .
4.
35

3x  2
2
x 9
dx .
5.
x 3 dx
5
.
2  2x4
1
6. 
dx .
(ln x  4) 2  x
(arcsin 4 x  5)  dx
7.

8.

tg 5 x  2
5. 
dx .
cos 2 x
1  x2
3x  1
x2  6x  8
9.  x 4  ln 4 xdx .
6.  x  5 (2  3x 2 ) 2 dx .
.
dx .
8.
5x  2
 x 2  8 x  2 dx .
9.  ( 2 x  5)  cos( 4 x  1) dx .
10.  2 x  53 x dx .
11.
7.  83 cos x1 sin xdx .
10.  arctg 2 xdx .
4x
 ( x  2)2 dx .
sin 3 x
12. 
dx .
cos 2 x
4x  5
11.
 ( x  1)  ( x  3) dx .
12.
2
 2  cos x dx .
2
3
1.

2
1
3x
2
2
2
2x3  3
dx .
1.
5
x
 7  2 x 6 dx .
1

2
2.  2 x  e 7 x1dx .
2.  ( x  3)  sin xdx .
3
0
3
3
2
2
y  x  2 x  9; y  4 x  1.
y  x  2 x  9; y  4 x  1 .
4
4
x  y  0, x  1, y  0.
x  y 2  0, x  0, y  1.
5
5
5

2
1
 ( x  4) 2 dx.
4
1
 x  ln 2 x dx.
e
Вариант 5
1
 23 x 7 4

1.  
  5 x 8 dx .
 3

x


 3x 2  7 x 
 dx .
2.  
3
x

x


Вариант 6
1
7
2
1.    4
2.
36
 2 x
3

5
dx .

2
x
3
x

3


 x  3 x   2 x 2 dx .
dx
.
3x  5
8  2x
4.  2
dx .
x 8
xdx
5. 
.
(1  x 2 ) 5
(arcsin x  2) 3
3.
6.

1  x2
7.  e cos x 2 sin xdx .
8.
3.

4.
dx
 (3  2 x ) 4 .

4  3x
2
dx .
9x
dx
5. 
.
x  ln 5 x
dx .
2x  1
 x 2  6 x  3 dx .
6.  x 6  ( 2  x 7 ) 4 dx .
5arctgx
7. 
dx .
1  x2
x 1
8.

2
dx .
9.  x  ln 3xdx .
x  4x  2
9.  ( 2 x  1)  sin( 4 x  1)dx .
10.  (4 x  1)  e 3 x dx .
10.  (3x 3  1)  ln 2 xdx .
4
2x  2
11.
 ( x  2)  (2 x  1) dx .
12.  sin 5 x  cos 7 xdx .
2
ln 8
1.

ln 3
2
2.
ex
ex 1
11.
4x
 ( x 2  2)  ( x  3) dx .
12.  cos 4 x  sin 3 xdx .
2
2
2
1.  x  3 x dx .
dx .
 (5 x  5)  sin 3 xdx .
0
0

2
2.  ( x  3)  sin xdx .
0
3
3
y   x 2  3 x  1; y  2 x  5 .
y  x 2  10 x  4; y  4 x  12 .
4
4
x  y 2  0, x  0, y  1.
y  4 x 3 , x  0, y  4.
5
5
2
0
x
 x  1 dx.
1
tgxdx.

37
2
Вариант 7
1
Вариант 8
1
1.  
5
1.   25 x  4  4 x dx .
3.  cos( 4  7 x) dx .
x4  2x2  x
2. 
dx .
4
x
3.  86 x 4 dx .
 2

4
dx .

3

5
x
3
 x

2.  (5 x  2)  (5 x  2)dx .
4.
9x
 x 2  4 dx .
4.
4
5.
6.
7.
8.
9.
3
x dx
5
.
2 x
1
 4  3 ln x  x dx .
arccos 2 x  3
 1  x 2 dx .
3x  1
 x 2  2 x  9 dx .
5
 x  ln 6 xdx .
10.  (2 x  3)  54 x dx .
11.
3x
 ( x  2)2  ( x 1) dx .
cos 3 x
12.  2 dx .
sin x
2x


2  6x
2
dx .
x  16
(ctgx  4) 3
5. 
dx .
sin 2 x
6.  x 7  3 1  x 8 dx .
3
7.  84 x 5 x 2 dx .
8.
5x  2
 x 2  2 x  5 dx .
9.  (3 x  1)  cos( 6 x  4)dx .
10.  (5 x 2  x )  ln 4 xdx .
11.
2x  1
 ( x  1)  (2 x  3) dx .
12.  sin 9 x  cos 2 xdx .
2
2
1
1.

4
1
 (7  3x) 2 dx .
0
1.

0

2
2.  x  e 3 x 2 dx .
1
dx .
2x  1
2.  5 x  cos 2 xdx .
0
0
3
3
2
2
y  x  2 x  5; y  2 x  2 .
y  x  6 x  3; y   x  9 .
4
4
3
3
y  4 x , x  0, y  4.
y  1  8 x , x  0, y  9.
38
5
3
5

1
 ( x  2) 4 dx.
e
2
2 x
dx.
0
Вариант 9
1
1.
2.
3.
4.
5.
9
4 
2
7

dx .

3
x

  3x
3 
x


 x7 
  x  4 x 3 dx .


dx
 cos 2 (5 x  2) .
2x  3
 x 2  10 dx .
x 5 dx
 3 3  4x6 .
4tgx 2
6. 
dx .
cos 2 x
sin x  dx
7.

5
.
cos x
4x 1
8.  2
dx .
x  4x  8
9.  x 7  ln 5 xdx .
Вариант 10
1
 9x2
3 
1.  
 54 x  4  dx .
2x 
 4
2.
 2  3
3


x 5  4  3x 2 dx .
3.  e 7 4 x dx .
4.
3x  2

2
dx .
4x
ln 7 x  2
5. 
dx .
x
6.  x 4  (1  3x 5 )dx .
3  arcctgx
dx .
1  x2
x2
8.  2
dx .
x  2x  7
9.  ( 4 x  5)  sin(1  x) dx .
7.

10.  (4 x  1)  e 2 x3 dx .
10.  (5 x 2  3)  ln 4 xdx .
2  3x
11. 
dx .
( x  1)  (3x  1)
x2  1
11.  2
dx .
( x  3)  ( x  3)
12.  sin 7 x  sin 3xdx .
2
12.  cos 5 x  cos 4 xdx .
2
0
1.  2 x  e
3 x 2 2
1
dx .
1.
1
e
2.  4 x  ln xdx .
x
2
 1  x 3 dx .
2
0
2.
1
3x  sin 3xdx .

39
3
3
3
y  x 2  5 x  11; y  x  6 .
y   x 2  2 x  3; y  x  1.
4
4
3
3
y  4 x , x  1, y  0.
y  4 x , x  1, y  0.
5
5
0

4
1

cos x
 sin 2 x dx.
0
( x  2)
2
Вариант 11
1

1.   7 4 x 

2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

 dx .

3
x
33 x 4

5
5
(
4

)  xdx .

x3
dx
 ( 2  3 x) 7 .
3x  4
 x 2  3 dx .
x 3 dx
 (1  2 x 4 )5 .
sin x
 (cos x  5) 2 dx .
(arcsin 4 x  5)  dx


1 x
x3
2
x 2  8x  2
9.  ln( x  1)dx .
dx .
10.  (2 x  3)  63 x dx .
11.
1  4x
 ( x  1) 2  x dx .
sin 3 x
12. 
dx .
cos 4 x
dx.
5
Вариант 12
1
5
1.   3 x 6  x 7  2 dx .
3x 

2.
 4 x  x  dx .
2
4
3
2 
3.  sin 2  x dx .
4.
5.



2x  5
2
dx .
x  25
ctgx  1
dx .
sin 2 x
6.  x  7 2  9 x 2 dx .
.
31ln 2 x
7. 
dx .
x
4x  3
8.  2
dx .
x  10 x  5
9.  (4 x  7)  cos( 2 x  4)dx .
10.  arcsin 2 xdx .
4x
11.
 ( x  1)  ( x  3) dx .
12.
 1  sin x dx .
40
2
2
1
1.
x
2
3
5
 2 x 4  1 dx .
1.
0
2
x
dx .
1  3x

1

2
2.  5 x  e 5 x dx .
2.  2 x  cos 2 xdx .
0
0
3
3
y  x 2  5 x  9; y  4 x  3 .
y  x 2  11x  9; y  4 x  3 .
4
4
2
2
y  x , y   x  6, x  0, y  0.
y  2 x , y   x  1, x  0, y  0.
5
5

0
1
 x 2  2 x  4 dx.
0

1
1
( x  1)
3
dx.
Вариант 13
1
Вариант 14
1
 2x2 2 5 3 
1.  
  x dx .
3
x


1
2.   3  x   3x 2 dx .
 x

dx
3.  2
.
sin ( 4 x  1)
3
1.   6  4  83 x dx .
7  2x
2.
3.
4.
 x 2  3 dx .
4.
5.

sin x dx
.
x
5.
6.  e x
2
5
 xdx .
4x


(3  x ) 2
 x 4 dx .
7
x

  6  3  dx .
9  4x
 4  x 2 dx .
7
ln x  8
 x dx .
3
6.  21 x x 2 dx .
9.  x 6  ln 7 xdx .
(3  4tgx) 5
7. 
dx .
cos 2 x
x 1
8.  2
dx .
x  2 x  12
9.  (3x  4)  sin 8 xdx .
10.  (2  x)  e 4 x 2 dx .
10.  ln(2 x  4)dx .
cos x  dx
 9  sin 2 x .
6x  3
8.  2
dx .
x  10 x  16
7.
41
11.
x2
 ( x  1)  (4 x  3) dx .
12.  cos
3x
5x
 sin dx .
2
2
11.
3
 ( x 2  1)  ( x  4) dx .
12.  sin
7x
5x
 sin dx .
3
3
2
2
5

4
1.
tgx  1
1. 
dx .
2
cos
x
0
1
2.  2 x  e
x 2 2
4
 3 3x  1 dx .
0

4
dx .
2.  4 x  sin 4 xdx .
0
0
3
3
y  x 2  5 x  17; y  2 x  5 .
y  x 2  x  17; y  2 x  5 .
4
4
y  x , y  4 x  12, x  0, y  0.
1
4
y  x 2 , y   x  , x  0, y  0.
3
3
2
5
5

e
10 x

2
dx.
 сtgxdx.
0
0
Вариант 15
1


6
dx .

3
x

3
5
5 x

 x4  4x  5 
dx .
2.  
3
x


4 7 x
3.  e dx .
1.  
4.
2
2  5x
 x 2  7 dx .
1
ln dx
5.  x2 .
x
cos x
6.  3
dx .
2 sin x  6
Вариант 16
1
8
1.   9 x 2  3x 7  dx .
7x 

2.
3.
4.
 3x 
5
dx
 9  8x .
4  6x

2

x  x 3 dx .
dx .
x 2
tg 5 x  2
5. 
dx .
cos 2 x
6.  x 4  4 2  3x 5 dx .
42
4
7.

8.

arctgx
dx .
1  x2
x4
7.
dx .
2
x  12 x  20
9.  x  ln 10 xdx .
2
4 x
x
4
dx .
x
3x  2
8.  2
dx .
x  4 x  10

10.  arctg4 xdx .
 ( x  2)  x 2 dx .
12.  cos  cos
x 1
9.  (5 x  2)  cos(5 x  1) dx .
10.  ( x  3)  53 x dx .
11.
e2
11.
3x
dx .
4
2x  3
 (3x  1)  ( x  3) dx .
12.  cos
5x
x
 sin dx .
2
2
2
3
1.

0

3
2
1
x
x2  1
1.
dx .
x
 x 2  3 dx .
3
e
2.  6 x  ln 6 xdx .
2.  3 x  sin 3xdx .
1
0
3
3
2
2
y  x  3x  3; y  x  5 .
y  x  7 x  3; y  x  5 .
4
y
1 2
1
x , y   x  1, x  0, y  0.
2
2
1
3
y  x 2 , y   x  , x  0, y  0.
2
2
5
1

0
5

1
1 x
2
dx.
1
 9 x 2  1 dx.
0
Вариант 17
1
Вариант 18
1
 6x2 3 5 4 
1.  
  x dx .
7
x


3
 x  2x  8 
 dx .
2.  
3
x


dx
3.  2
.
sin (5 x  3)
 2x2 4

1.  
 3  84 x dx .
x
 9



2.  1  3 x 4  1  x dx .
3.  7 x  27 dx .
43
4.
4x  5
 x 2  7 dx .
4.
2
5.
2x  1

2
5
x dx
 4 3  4 x3 .
5.
3

dx .
10  x
6  2 ln 3x
dx .
x
6.  9 2 x 6  x 2 dx .
6.  x 2  5 1  5 x 3 dx .
sin x  dx
 4  cos x .
x3
8.  2
dx .
x  4x  8
e arctgx4
7. 
dx .
1  x2
x3
7.
8.

2
dx .
9.  x  ln 4 xdx .
x  2x  1
9.  ( 4 x  1)  sin( 4 x  3) dx .
10.  ( 2 x  7)  e 3 x dx .
10.  ( 4 x  6)  ln xdx .
3
3x  2
 ( x  1)  (4 x  1) dx .
11.
11.
12.  sin 3 x  cos 4 xdx .
2
12.  sin 5 x  cos 6 xdx .
2
4
3
xdx
1. 
.
2
2

x
2
1.
x
3
3xdx
 x2  2 .
0
1
e
2.
5x
 ( x 2  1)  ( x  4) dx .
2.   x  7 e 9 x dx .
ln xdx .
1
0
3
3
y  x 2  2 x  3; y  x  1 .
y  x 2  3x  3; y  x  1 .
4
4
2
2
x  y  0, x  0, y  1.
x  y  0, x  0, y  1.
5
5
8

3x  2
 3 x dx.
0
e
5 x
dx.
0
Вариант 19
1
Вариант 20
1
 4 x8

2
3
 dx .
1.  


x
7
5
x


7
 6x  4x 
2.   4 5 dx .
x


6
1.   45 x 2  7 x  4 dx .

x 
2.  (4 5 x  2 x)  x  dx .
44
3.
4.
5.
3.  sin 8  7 x dx .
dx
 7  3x .
2x  5
 x 2  3 dx .
x 5 dx
4.
2x  7

2
dx .
x 9
tg 8 x  4
5. 
dx .
cos 2 x
 3 1  2x6 .
1
 (4 ln x  1)3  x dx .
arcsin 2 x  11
7. 
dx .
1  x2
x4
8.  2
dx .
x  10 x  2
9.  x 8  ln 6 xdx .
6.  x  6 2  5 x 2 dx .
10.  ( x  3)  53 x dx .
10.  arctg6 xdx .
6.
7.  84 sin x3 cos xdx .
8.
9.  (4 x  1)  cos(8 x  2) dx .
7
11.
x2
 x 2  2 x  6 dx .
 ( x  2) 2  x dx .
cos 3 x
12.  2 dx .
sin x
4  3x
11.
 ( x  1)  ( x  3) dx .
12.
3
 1  cos x dx .
2
2
2
1
dx
1. 
.
1 3x  2
0
e
 /2
2.
2
1.  xe  x dx .
 x  2 sin 2 xdx .
2.
0
 x ln 2 xdx .
1/ 2
3
3
2
2
y  x  x  1; y  x  2 .
y  x  3x  5; y  x  2 .
4
4
2
2
x  y  0, x  1, y  0.
x  y  0, x  1, y  0.
5
5
e
2

0
0
1
dx.
x  ln 3 x
2
x
 e xdx.

45
Вариант 21
1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Вариант 22
1
4
5
 33 x 8 6

4



5
x
dx .
 7 x



4
 6x  8 x 
  x  4 x dx .


dx
 2x  8 .
4  7x
 x 2  12 dx .
x 2 dx
 (1  x 3 ) 4 .
(3 arcsin x  6) 3
dx .

2
1 x
3 cos x 8
sin xdx .
e
1.    4

5
 dx .

8
x
7
x

3
2.
 4 x
3.
 (6  2 x) 4 .
4.
3


 x  5 x   x 2 dx .
dx

1  4x
2
dx .
4x
dx
5. 
.
x  ln 9 x
6.  x 3  (2  x 4 ) 2 dx .
5arctgx4
7. 
dx .
1  x2
x6
3x  1
 x 2  6 x  5 dx .
8.

2
dx .
9.  x  ln 8 xdx .
x  4x  3
9.  (7 x  1)  sin(7 x  5)dx .
10.  (1  4 x)  e 2 x dx .
10.  ( 2 x 2  3x)  ln xdx .
6
4x
 ( x  2)  (3x  1) dx .
11.
3
 ( x 2  2)  ( x  4) dx .
5x
9x
12.  cos  sin dx .
2
2
11.
12.  sin 8 x  cos 10 xdx .
2
2
5
1.

2
3
5 x  2dx .
1.
2
 /4
2.
x
4  x 2 dx .
3
 /6
 x  1 cos xdx .
2.
 x cos 3xdx .
 /3
0
3
3
2
2
y  x  6 x  4; y  2 x  1.
y   x  x  1; y  2 x  1 .
46
4
4
x  y 2  0, x  0, y  1.
y  4 x 3 , x  1, y  0.
5
3
3
5
5
7
1
dx.
x5
1
 ( x  6) 2 dx.
6
Вариант 23
1
Вариант 24
1
1.  
5
1.   36 x  3  x dx .
3.  cos(8  5 x)dx .
x 3  3x  x
2. 
dx .
4
x
3.  105 x4 dx .
 7

 7  34 x 5 dx .
4
 x

2.  ( 4 x  3)  ( 4 x  3)dx .
4.
5.
6.
7.
8.
9.
3 x
 x 2  7 dx .
x 7 dx
4.
.
3
2  x8
1
 3  5 ln x  x dx .
arccos 4 x  7
 1  x 2 dx .
2x  3
 x 2  2 x  6 dx .
2
 x  ln 7 xdx .
10.  ( 4 x  1)  43 x dx .
11.
4
 ( x  2) 2  x dx .
12.  cos 7 x  cos 5 xdx .
2x

3  2x
dx .
x 2  25
( 2ctgx  3) 4
5. 
dx .
sin 2 x

6.  x 8  3 2  x 9 dx .
3
7.  82 x 3 x 2 dx .
8.
1  3x
 x 2  2 x  9 dx .
9.  ( 4 x  3)  cos( 2 x  5)dx .
10.  ( 2 x  4)  ln 2 xdx .
1  3x
 ( x  1)  (4 x  1) dx .
x
7x
12.  sin  cos dx .
2
2
11.
2
1
2 1 x3
1.  x e
2
1
dx .

1.
0

0
47
2x2
dx .
x3  1
 /6
2.
1
2.  2 x  1e 4 x dx .
 x sin 3xdx .
0
0
3
3
2
2
y  x  3x  1; y  2 x  3 .
y  x  5 x  1; y  2 x  3 .
4
4
y  4 x 3 , x  1, y  0.
y  4 x 3 , x  0, y  4.
5
0
1

( x  1) 3
1
5

dx.
0
Вариант 25
1
1.
2.
3.
4.
5.
 4
5 
3
7
  9 x  2 x  x 4 dx .


 x2 
  x  3 x 4 dx .


dx
 cos 2 (3  2 x) .
4x  1
 x 2  12 dx .
x 5 dx
 4 2  5x 6 .
43tgx2
6. 
dx .
cos 2 x
sin x  dx
1
 4 x 2  1 dx.
Вариант 26
1
 3x 2
7 
1.  
 24 x  5  dx .
2x 
 2


2.  1  23 x 4  2  x dx .
3.  e 94 x dx .
4.
x6
dx .
4  x2
ln 8 x  4
5. 
dx .
x

6.  x 4  ( 4  6 x 5 )dx .
9.  x 9  ln 3xdx .
1  3arcctgx
 1  x 2 dx .
3x  2
8.  2
dx .
x  2 x  16
9.  (3 x  1)  sin(1  2 x )dx .
10.  (6 x  4)  e 4 x 3 dx .
10.  ( 2 x 2  1)  ln 8 xdx .
7.

.
cos 7 x
2x  7
8.  2
dx .
x  4 x  14
11.
1  4x
 ( x  1)  (5 x  1) dx .
12.  sin 8 x  sin 6 xdx .
7.
2x2  1
11.  2
dx .
( x  3)  ( x  1)
12.  cos 9 x  cos 3xdx .
48
2
2
6
1.
2
3x  2dx .

1.
1
 /2
2.
xdx

.
2
x 2
0
e
 x  1 sin 2 xdx .
2.
0
x
4
ln xdx .
1
3
3
2
2
y  x  4 x  9; y  x  3 .
y  x  x  13; y  2 x  7 .
4
4
3
5
y  x 2 , y   x  , x  0, y  0.
2
2
y  2 x 2 , y   x  10, x  0, y  0.
5
5
4
1
 3 ( x  5) 4
4
dx.
3
5
3
Вариант 27
1
4
1.   63 x 2  3  7 x dx .

3 x

1
dx.
x3
Вариант 28
1
7
1.   2 x 4  x 5  2 dx .
6x 

 2 x 

6
)  xdx .
x4
dx
3. 
.
( 4  9 x)8
2 x  10
4.  2
dx .
x 3
x 3 dx
5. 
.
(1  3x 4 ) 2
sin x
6. 
dx .
(3 cos x  4) 3
1  2 arcsin 4 x
7. 
dx .
1  x2
2x
8.  2
dx .
x  8x  7
9.  ln(2 x  1)dx .
2.
10.  (4 x  1)  34 x dx .
10.  arcsin 8 xdx .
2.  (2 
3
2
x dx .
5
3 
3.  sin1  x dx .
4.
5.



2x  1
2
dx .
x 4
2ctgx  3
dx .
sin 2 x
6.  x  5 4  7 x 2 dx .
34ln 3 x
7. 
dx .
x
3x  3
8.  2
dx .
x  10 x  2
9.  (3x  5)  cos(6 x  2)dx .
49
2
11.
 ( x  3) 2  x dx .
12.  sin
7x
x
 sin dx .
2
2
3x  2
11.
 ( x  2)  ( x  3) dx .
12.
2
 2  sin x dx .
2
2
1.
2
2
dx
 1  2 x 2 .
1.
0
e/3
2.
x
2
x
2
 x 3  3 dx .
0
 /3
ln 3xdx .
2.
1
 x cos 2 xdx .
0
3
3
y  x 2  4 x  5; y  3x  1 .
y  x 2  8 x  5; y  3x  1 .
4
4
2
2
y  x , y  2 x  8, x  0, y  0.
y  x , y  2 x  24, x  0, y  0.
5

4
14
5

1
dx.
x2
1
 x 2  4 dx.
0
Вариант 29
1
Вариант 30
1
 4x3 7 7 3 
1.  
  x  dx .
3
x


1
2.   4  3 x   x 2 dx .
 x

dx
3.  2
.
sin ( 2  6 x)
2
1.   7  4  65 x dx .
4  6x
2.
3.
4.
 x 2  8 dx .
4.
5.

cos x dx
.
x
5.
3
7x


(2  x)2
 x3 dx .
4
x

  6  4  dx .
2  7x
 4  x 2 dx .
6
3 ln x  7
dx .

x
4
6.  e 2 x 4  x 2 dx .
6.  23 x x 3 dx .
cos x  dx
7. 
.
1  sin 2 x
3x  1
8.  2
dx .
x  10 x  6
(1  6tgx) 4
7. 
dx .
cos 2 x
x2
8.  2
dx .
x  2x  8
50
9.  x 7  ln 5 xdx .
9.  (5 x  1)  sin 10 xdx .
10.  (1  2 x)  e 6 x 4 dx .
10.  ln(4 x  2) dx .
3x  1
 ( x  1)  (4 x  1) dx .
11x
2x
12.  cos
 sin
dx .
2
2
11.
2
 ( x 2  1)  ( x  5) dx .
8x
5x
12.  sin  sin dx .
3
3
11.
2
2
1
2
1 
1.  
 dx .
3

2
x


1
5
1.  x 4  e 4 x dx .
1
2
0
2.   x  2e 3 x dx .
2.   x  2 ln 5 xdx .
2
0
3
3
2
2
y  x  4 x  83; y  x  4 .
y  x  2 x  8; y  x  4 .
4
4
y  4 x 3 , x  0, y  4.
1
y  1  8 x 3 , x   , y  1.
2
5
5
3
4
2
2
1
dx.
x2
1
 ( x  1)3 dx.
1
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ
При решении всех последующих примеров, где требуется
найти неопределенные интегралы от заданных функций, кроме
таблицы неопределенных интегралов (см. приложение 3), будут
использованы известные правила интегрирования:
1) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
 C  f ( x)dx  C   f ( x)dx ; где С =const;
2) неопределенный интеграл от суммы (разности) функций
равен сумме (разности) интегралов от каждой функции в отдельности, т.е.
 ( f ( x)   ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx    ( x)dx   g ( x)dx .
51
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа