close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

190.Математика и индивидуальные контрольные задания факультета технологий животноводства и товароведения по Товароведение и экспертиза товаров учебное издание Н. Дементьев Н. А. Кораблина А. М. СлиденкоО. Стрыгина.

код для вставкиСкачать
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный аграрный университет
имени К.Д.Глинки»
Агроинженерный факультет
Кафедра высшей математики и теоретической механики
МАТЕМАТИКА
Методические указания и индивидуальные контрольные
задания для студентов заочной формы обучения факультета
технологии животноводства и товароведения по
специальности 080401- «Товароведение и экспертиза товаров»
Воронеж
2010
Составители: доценты кафедры высшей математики и теоретической механики ВГАУ Дементьев С.Н., Кораблина Н.А.,
Слиденко А.М., Стрыгина С.О.
Рецензент: Зав. кафедрой физики, профессор Воищев В.С.
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к
изданию на заседании кафедры высшей математики и теоретической механики ВГАУ (протокол № 4 от 22.12.2009 г. ).
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к
изданию на заседании методической комиссии агроинженерного
факультета ВГАУ (протокол № 5 от 28.01.2010 г.).
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к
изданию на заседании методической комиссии факультета технологии
животноводства
и
товароведения
ВГАУ
(протокол № 4 от 21.01.2010 г.).
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Студент выполняет тот вариант контрольных работ, номер
которого (0, 1, 2,...,9) совпадает с последней цифрой его учебного
шифра. Задания, обязательные для решения, должны иметь номера, последняя цифра которых – номер варианта.
Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной ученической тетради. На внешней обложке тетради следует указать название учебной дисциплины, по которой выполнена контрольная работа, номер контрольной работы, фамилию
и инициалы студента, факультет, специальность, полный учебный шифр.
Перед выполнением контрольной работы студент должен
изучить требуемые разделы рекомендуемой учебной литературы,
конспектов лекций и практических занятий, а также разобраться
в принципах решения соответствующих типовых примеров из
«Методических указаний».
Перед решениями заданий необходимо записывать их условия. Пояснения к решениям должны быть достаточно подробными и аккуратно выполненными. Для замечаний преподавателя
нужно на каждой странице тетради оставлять поля.
На экзамен (зачет) студент должен явиться с зачтенной контрольной работой по соответствующим разделам учебной программы.
Если после проверки преподавателем Ваша контрольная работа помечена грифом «зачтено условно», то Вы не высылаете ее
на повторную проверку, а выполняете в той же тетради работу
над ошибками и являетесь на экзамен (зачет).
Если Ваша контрольная работа не зачтена, то Вы после выполнения работы над ошибками высылаете тетрадь на повторную
проверку.
3
Библиографический список
1. Кудрявцев В. А. Краткий курс высшей математики / В.А.
Кудрявцев, Б.П. Демидович. – М.: Наука, 2001.
2. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах:
в 2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Издательский дом «Оникс 21 Век»: Мир и образование, 2003.
3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман.– М.: Высшая школа, 1999.
4. Зайцев И.А. Высшая математика / И.А. Зайцев.– М.: Высшая школа, 2001.
5. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов /Н.Ш. Кремер [и др.]; под ред. проф. Н.Ш. Кремера.
– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ, 2000.
ПРОГРАММА КУРСА
«МАТЕМАТИКА»
·
·
·
·
·
Раздел I. Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии
Метод координат на прямой, на плоскости, в пространстве.
Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Координаты вектора. Длина вектора (расстояние между двумя
точками). Скалярное произведение двух векторов.
Линии и их уравнения. Прямая на плоскости. Уравнение
прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение
прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой, его частные случаи. Уравнение плоскости в пространстве.
Матрицы, действия над матрицами.
Системы линейных алгебраических уравнений, способы их
решения: формулы Крамера, метод Гаусса.
Линии второго порядка. Окружность, эллипс, гипербола,
парабола. Примеры применения линий второго порядка в
технике и сельскохозяйственном производстве.
4
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Раздел II. Математический анализ
Функция, ее область определения, способы задания. Понятие о производственных функциях в сельском хозяйстве.
Предел числовой последовательности и предел функции в
точке. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и
их свойства. Основные теоремы о пределах.
Замечательные пределы.
Непрерывность функции в точке и на интервале. Свойства
непрерывных функций, иллюстрация их свойств на примерах из сельскохозяйственного производства.
Производная функции. Задачи, приводящие к понятию производной. Механический и геометрический смысл производной. Дифференцируемость функций. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций.
Производные высших порядков.
Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала в приближенных
вычислениях.
Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Исследование производственных функций с помощью производной.
Функции нескольких переменных. Геометрическая интерпретация функции двух переменных. Частные производные, полный дифференциал. Частные производные высших
порядков.
Экстремум функции двух независимых переменных. Необходимые условия существования экстремума. Формулировка достаточных условий существования экстремума
функции двух переменных.
Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Простейшие приемы интегрирования.
5
· Определенный интеграл. Основные свойства, вычисление.
Формула Ньютона–Лейбница. Простейшие приложения определенного интеграла.
· Дифференциальные уравнения. Основные понятия и определения. Биологические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения
первого порядка. Теорема существования и единственности
решения (без доказательства).
· Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах:
с разделяющимися переменными, однородные, линейные.
Приближенное решение уравнений первого порядка (метод
Эйлера).
· Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
· Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида.
· Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое
условие сходимость. Действия с рядами.
· Методы исследования сходимости числовых рядов. Функциональные ряды. Область сходимости, методы ее определения.
· Степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд.
Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.
Раздел III. Основы теории вероятностей
и математической статистики
· Элементы комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания. Бином Ньютона, биномиальные коэффициенты.
· Основные понятия теории вероятностей. События и их
классификация. Относительная частота события и ее свойства. Вероятность события и ее свойства.
· Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Зависимые и независимые события.
6
· Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
Примеры из сельскохозяйственной практики. Локальная
теорема Муавра–Лапласа, интегральная теорема Лапласа.
Формула Пуассона.
· Понятие случайной величины. Примеры случайных величин в сельскохозяйственном производстве. Дискретная
случайная величина. Закон распределения, числовые характеристики дискретной случайной величины и их свойства.
Вероятностный смысл математического ожидания. Биномиальное распределение, распределение Пуассона.
· Непрерывная случайная величина. Функция распределения
и ее свойства. Плотность вероятностей. Числовые характеристики: математическое ожидание и дисперсия.
· Нормальный закон распределения и его параметры. Вероятность попадания нормально распределенной случайной
величины в заданный интервал. Правило трех сигм.
· Задачи математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Способы отбора статистического материала и его группировки. Статистическое распределение,
его геометрическое изображение. Выборочные характеристики: средняя арифметическая, медиана, мода, дисперсия,
среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Ошибка средней арифметической.
· Точность оценки, доверительная вероятность (надежность).
Доверительный интервал. Доверительные интервалы для
оценки математического ожидания нормального распределения при известном и неизвестном s .
· Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Условные средние. Выборочное уравнение регрессии. Отыскание параметров выборочного уравнения
прямой линии регрессии по не сгруппированным данным
(по методу наименьших квадратов). Выборочный коэффициент корреляции, его свойства и оценка значимости.
7
Тема I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Вопросы для самопроверки
Что называется матрицей размера m ´ n ?
Какие действия можно выполнять с матрицами?
Как умножить матрицу на вектор-столбец? Как должны
быть согласованы порядок матрицы и размерность столбца?
Как умножить матрицу на матрицу? Как должны быть согласованы порядки матриц?
Что понимают под определителем квадратной матрицы второго порядка? Третьего порядка?
Как определяется обратная матрица? Сформулируйте условие существования обратной матрицы.
Как записать систему линейных уравнений в матричной
форме?
Напишите формулы Крамера для решения системы трех
уравнений с тремя неизвестными.
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №№ 1-10
В ЗАДАЧАХ №№ 1–10 требуется:
1. Для заданных матриц A, B проверить, справедливо ли
равенство AB = BA .
2. Для заданных матриц A, B, C показать непосредственным вычислением, что A( BC ) = ( AB)C .
3.
Для заданных матриц A, B, C показать непосредственным вычислением, что A( B + C ) = AB + AC .
4.
Заданное матричное равенство записать как систему трех
уравнений с тремя неизвестными x, y, z и решить ее а) с
помощью формул Крамера; б) методом Гаусса (последовательного исключения неизвестных).
8
Задача № 1.
æ3 2ö
æ2 1ö
1. A = ç
,
B
=
÷
ç 3 4÷.
0
5
è
ø
è
ø
æ 1 3ö
æ1 3 0ö
2. A = ( 3 -1) , B = ç
,
C
=
÷
ç 2 1 4 ÷.
2
5
è
ø
è
ø
æ 2 3ö
æ3 2ö
3. A = (1 3) , B = ç
,
C
=
÷
ç 5 1 ÷.
5
0
è
ø
è
ø
æ 2 -1 1 ö æ x ö æ 3 ö
4. ç 3 2 -1 ÷ × ç y ÷ = ç 1 ÷ .
ç
÷ ç ÷ ç ÷
ç 1 -2 -2 ÷ ç z ÷ ç 3 ÷
è
ø è ø è ø
Задача № 2.
æ1 3ö
æ 2 4ö
,
B
=
1. A = ç
÷
ç -1 2 ÷ .
0
5
è
ø
è
ø
æ 3 4ö
æ3
2. A = (1 2 ) , B = ç
,
C
=
÷
ç5
è2 1ø
è
æ3 4ö
æ4
3. A = (1 2 ) , B = ç
,
C
=
÷
ç1
è0 5ø
è
æ 3 1 -1 ö æ x ö æ -2 ö
4. ç -1 2 3 ÷ × ç y ÷ = ç 3 ÷ .
ç
÷ ç ÷ ç ÷
ç 1 -1 4 ÷ ç z ÷ ç -2 ÷
è
ø è ø è ø
Задача № 3.
æ -1 2 ö
æ3
1. A = ç
,
B
=
÷
ç2
è 6 1ø
è
æ4
2. A = ( -3 2 ) , B = ç
è0
æ1
3. A = ( -1 5) , B = ç
è0
0ö
.
1 ÷ø
1ö
æ2
,
C
=
ç3
5 ÷ø
è
2ö
æ3
,
C
=
ç6
4 ÷ø
è
9
0 2ö
.
1 0 ÷ø
2ö
.
7 ÷ø
0 -1ö
.
1 0 ÷ø
0ö
.
1 ÷ø
æ 4 -1 2 ö æ x ö æ 7 ö
4. ç 2 5 -1÷ × ç y ÷ = ç -4 ÷ .
ç
÷ ç ÷ ç ÷
ç 3 7 -1÷ ç z ÷ ç -5 ÷
è
ø è ø è ø
Задача № 4.
æ5 1ö
æ -1
1. A = ç
,
B
=
÷
ç0
è1 2ø
è
æ1
2. A = (1 -2 ) , B = ç
è3
3. A = ( 3
æ3 3
4. ç -1 2
ç
ç1 3
è
3ö
.
2 ÷ø
0ö
æ1 2 3ö
,
C
=
ç 0 -1 4 ÷ .
4 ÷ø
è
ø
æ4 0ö
æ2 4ö
-2 ) , B = ç
,
C
=
÷
ç 0 5 ÷.
3
1
è
ø
è
ø
-1 ö æ x ö æ 0 ö
-4 ÷ × ç y ÷ = ç 3 ÷ .
÷ ç ÷ ç ÷
2 ÷ø çè z ÷ø çè 2 ÷ø
Задача № 5.
æ 1 4ö
æ3 2ö
1. A = ç
,
B
=
÷
ç1 0÷ .
3
1
è
ø
è
ø
æ 3 4ö
æ2 1 0ö
2. A = ( 2 -1) , B = ç
,
C
=
÷
ç 3 -1 1 ÷ .
2
1
è
ø
è
ø
æ1 4ö
æ3 0ö
3. A = ( -1 3) , B = ç
,
C
=
÷
ç 1 7 ÷.
0
5
è
ø
è
ø
æ -1 3 -1 ö æ x ö æ -2 ö
4. ç 2 -1 5 ÷ × ç y ÷ = ç 7 ÷ .
ç
÷ ç ÷ ç ÷
ç 3 4 1 ÷ çz÷ ç 4 ÷
è
ø è ø è ø
Задача № 6.
æ 1 -2 ö
æ3 1ö
1. A = ç
,
B
=
.
÷
ç
÷
è4 5 ø
è0 6ø
10
æ 1 2ö
æ -1 0 5 ö
2. A = ( -3 2 ) , B = ç
,
C
=
÷
ç 1 2 3÷.
3
0
è
ø
è
ø
æ 4 0ö
æ 3 1ö
3. A = ( 3 -1) , B = ç
,
C
=
÷
ç -1 2 ÷ .
1
5
è
ø
è
ø
æ 4 6 0 ö æ x ö æ -2 ö
4. ç 2 -1 1 ÷ × ç y ÷ = ç 5 ÷ .
ç
÷ ç ÷ ç ÷
ç -2 1 2 ÷ ç z ÷ ç 1 ÷
è
ø è ø è ø
Задача № 7.
æ1 2ö
æ2
1. A = ç
,
B
=
÷
ç3
è3 1ø
è
æ3
2. A = ( 2 1) , B = ç
è1
3. A = ( -1
æ 5 -2
4. ç -2 1
ç
ç -4 -2
è
0ö
.
5 ÷ø
5ö
æ3 1 0ö
,
C
=
ç 2 0 4 ÷.
2 ÷ø
è
ø
æ 0 3ö
æ1 5ö
2) , B = ç
,
C
=
÷
ç 3 2 ÷.
4
5
è
ø
è
ø
1 ö æ x ö æ 13 ö
1÷ × ç y ÷ = ç 2 ÷.
÷ ç ÷ ç ÷
3 ÷ø çè z ÷ø çè 5 ÷ø
Задача № 8.
æ 4 -1ö
æ3 5ö
1. A = ç
,
B
=
.
÷
ç
÷
è1 2 ø
è0 4ø
æ 1 -2 ö
æ1
,
C
=
2. A = ( -1 4 ) , B = ç
÷
ç0
è3 2 ø
è
æ3 0ö
æ1
3. A = ( 3 -1) , B = ç
,
C
=
÷
ç2
è5 2ø
è
æ -3 4 -7 ö æ x ö æ -10 ö
4. ç 2 5 -1 ÷ × ç y ÷ = ç 3 ÷ .
ç
÷ ç ÷ ç
÷
ç 6 1 4 ÷ çz÷ ç 9 ÷
è
ø è ø è
ø
11
2 0ö
.
÷
3 2ø
3ö
.
÷
5ø
Задача № 9.
æ 3 2ö
æ1 6ö
1. A = ç
,
B
=
÷
ç 5 2÷.
1
4
è
ø
è
ø
æ 3 4ö
æ0
2. A = ( 2 -1) , B = ç
,
C
=
÷
ç3
è 2 5ø
è
æ 1 0ö
æ2
3. A = ( 5 1) , B = ç
,
C
=
÷
ç1
è -2 3 ø
è
æ 2 -2 1 ö æ x ö æ 0 ö
4. ç 3 4 -1 ÷ × ç y ÷ = ç 9 ÷ .
ç
÷ ç ÷ ç ÷
ç 1 2 -2 ÷ ç z ÷ ç 1 ÷
è
ø è ø è ø
Задача № 10.
æ 7 3ö
æ1 3 ö
,
B
=
1. A = ç
÷
ç 2 -1÷ .
0
5
è
ø
è
ø
æ 1 3ö
æ1
2. A = ( 7 1) , B = ç
,
C
=
÷
ç2
è 2 5ø
è
æ3 6ö
æ1
3. A = (1 2 ) , B = ç
,
C
=
÷
ç7
è5 0ø
è
æ 2 -2 1 ö æ x ö æ -7 ö
4. ç 2 5 -2 ÷ × ç y ÷ = ç 3 ÷ .
ç
÷ ç ÷ ç ÷
ç 3 -1 2 ÷ ç z ÷ ç -9 ÷
è
ø è ø è ø
1 2ö
.
0 4 ÷ø
4ö
.
3 ÷ø
0 3ö
.
4 0 ÷ø
5ö
.
3 ÷ø
Решение типовой задачи
1. Проверить, справедливо ли равенство AB = BA , если
æ 3 -1ö
æ0 5ö
A=ç
,
B
=
÷
ç3 2÷.
2
1
è
ø
è
ø
Решение.
æ 3 -1ö æ 0 5 ö æ 3 × 0 + ( -1) × 3 3 × 5 + ( -1) × 2 ö æ -3 13 ö
AB = ç
÷ × ç 3 2 ÷ = ç 2 × 0 +1× 3
÷ = ç 3 12 ÷ .
2
1
2
×
5
+
1
×
2
è
ø è
ø è
ø è
ø
12
æ 0 5 ö æ 3 -1ö æ 0 × 3 + 5 × 2 0 × ( -1) + 5 × 1ö æ10 5 ö
BA = ç
÷ × ç 2 1 ÷ = ç 3 × 3 + 2 × 2 3 × ( -1) + 2 × 1÷ = ç 13 -1 ÷ .
3
2
è
ø è
ø è
ø è
ø
Вывод: AB ¹ BA.
æ1 2 ö
æ1 0 3ö
2. Даны матрицы A = ( 2 -3 ) , B = ç
,
C
=
÷
ç0 4 2÷.
0
1
è
ø
è
ø
Показать непосредственным вычислением, что A( BC ) = ( AB)C .
Решение.
æ 1 2 ö æ1 0 3ö
BC = ç
÷ ×ç0 4 2÷ =
0
1
è
ø è
ø
7ö
1× 0 + 2 × 4
1× 3 + 2 × 2 ö æ 1 8
æ 1 ×1 + 2 × 0
=ç
=
÷ ç 0 -4 -2 ÷ ;
0
×
1
+
(
1)
×
0
0
×
0
+
(
1)
×
4
0
×
3
+
(
1)
×
2
è
ø è
ø
æ1 8 7 ö
A( BC ) = ( 2 -3 ) × ç
÷=
0
4
2
è
ø
= ( 2 × 1 + ( -3) × 0 2 × 8 + ( -3) × ( -4) 2 × 7 + ( -3) × ( -2) ) = ( 2 28 20 ) .
æ1 2 ö
AB = ( 2 -3 ) × ç
= ( 2 × 1 + ( -3) × 0 2 × 2 + ( -3) × ( -1) ) = ( 2 7 ) ;
÷
è 0 -1ø
æ1 0 3ö
( AB)C = ( 2 7 ) × ç
=
÷
è0 4 2ø
= ( 2 × 1 + 7 × 0 2 × 0 + 7 × 4 2 × 3 + 7 × 2 ) = ( 2 28 20 ) .
Итак, A( BC ) = ( AB)C = ( 2 28 20 ) .
æ1 0ö
æ3 2ö
3. Даны матрицы A = (1 4 ) , B = ç
,
C
=
÷
ç 1 4 ÷ . Пока3
4
è
ø
è
ø
зать непосредственным вычислением, что A( B + C ) = AB + AC .
Решение.
æ 1 0 ö æ 3 2 ö æ1 + 3 0 + 2 ö æ 4 2 ö
B+C =ç
÷ + ç1 4÷ = ç3 +1 4 + 4÷ = ç 4 8÷ Þ
3
4
è
ø è
ø è
ø è
ø
13
æ 4 2ö
A( B + C ) = (1 4 ) × ç
÷ = (1 × 4 + 4 × 4 1 × 2 + 4 × 8 ) = ( 20 34 ) .
4
8
è
ø
æ1 0 ö
AB = (1 4 ) × ç
÷ = (1 × 1 + 4 × 3 1 × 0 + 4 × 4 ) = (13 16 ) ;
3
4
è
ø
æ3 2ö
AC = (1 4 ) × ç
÷ = (1 × 3 + 4 × 1 1 × 2 + 4 × 4 ) = ( 7 18 ) Þ
1
4
è
ø
AB + AC = (13 16 ) + ( 7 18 ) = ( 20 34 ) .
Итак, A( B + C ) = AB + AC = ( 20 34 ) .
4. Требуется записать матричное равенство
æ 1 -2 1 ö æ x ö æ 4 ö
ç 2 1 3÷ × ç y ÷ = ç 5 ÷
ç
÷ ç ÷ ç ÷
ç 3 4 1 ÷ ç z ÷ ç -2 ÷
è
ø è ø è ø
как систему уравнений с неизвестными x, y, z и решить ее а) с
помощью формул Крамера; б) методом Гаусса последовательного
исключения неизвестных.
Решение. Перемножая матрицы левой части равенства и
учитывая матрицу из его правой части, получаем:
ì x - 2 y + z = 4,
ï
(*)
í2 x + y + 3 z = 5,
ï
î3 x + 4 y + z = -2.
Это система трех линейных алгебраических уравнений с
тремя неизвестными x, y, z , которая может быть решена различными способами.
а) Решим систему (*) по формулам Крамера. Для этого подсчитаем сначала главный определитель системы D , воспользовавшись следующим правилом вычисления определителей
третьего порядка (разложение определителя по элементам его
первой строки):
14
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11 ×
a31 a32 a33
a22 a23
a32 a33
- a12 ×
a21 a23
a31 a33
+ a13 ×
a21 a22
a31 a32
.
В нашем случае
1 -2 1
D= 2
1 3 = 1 × (1 - 12 ) - ( -2 ) × ( 2 - 9 ) + 1 × (8 - 3 ) = -20.
3
4 1
Так как D ¹ 0 , делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Для его отыскания вычислим вспомогательные определители D x , D y , D z :
4 -2 1
1 3 = 4 × (1 - 12 ) - ( -2 ) × (5 + 6 ) + 1 × (20 + 2 ) = 0;
Dx = 5
4 1
-2
1
4
5
Dy = 2
3 -2
1
3 = 1 × (5 + 6 ) - 4 × (2 - 9) + 1 × ( -4 - 15 ) = 20;
1
1 -2
4
1
5 = 1 × ( -2 - 20 ) - ( -2 ) × ( -4 - 15 ) + 4 × (8 - 3 ) = -40.
Dz = 2
3
4 -2
Далее, воспользовавшись формулами Крамера, окончательно получим
Dy
D
D
x = x = 0, y =
= -1, z = z = 2.
D
D
D
б) Решим систему (*) методом Гаусса последовательного
исключения неизвестных. Для этого умножим первое уравнение
системы сначала на -2 и прибавим полученный результат ко
второму уравнению, а затем на -3 и сложим полученный результат с третьим уравнением системы. Тогда система (*) примет вид
15
ì x - 2 y + z = 4,
ï
5y + z = -3,
í
ï 10 y - 2 z = -14.
î
Теперь умножим второе уравнение новой системы на -2 и
результат сложим с ее третьим уравнением:
ì x - 2 y + z = 4,
ï
5y + z = -3,
í
ï
- 4 z = -8.
î
Отсюда, поднимаясь снизу вверх, получаем
z = 2, 5 y + 2 = -3 Þ y = -1, x - 2 × (-1) + 2 = 4 Þ x = 0 .
Осуществим проверку правильности полученного результата, подставив его в левую часть каждого уравнения заданной системы:
0 - 2 × ( -1) + 2 = 4,
2 × 0 + ( -1) + 3 × 2 = 5,
3 × 0 + 4 × ( -1) + 2 = -2.
Все три равенства верные, поэтому делаем вывод о том, что решение системы единственное и имеет вид x = 0, y = -1, z = 2.
Тема II. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
НА ПЛОСКОСТИ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вопросы для самопроверки
Напишите формулу для определения расстояния между
двумя точками плоскости.
Что называется уравнением линии на плоскости xOy ?
Какой вид имеет уравнение прямой с угловым коэффициентом?
Что такое угловой коэффициент прямой?
Напишите уравнение прямой общего вида.
Как расположены на плоскости прямые, уравнения которых Ax + By = 0; Ax + C = 0; By + C = 0 (коэффициенты
A, B ,С отличны от нуля)?
16
7. Как найти точку пересечения двух прямых?
8. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом?
9. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.
10. Как найти угол между двумя прямыми?
11. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через две
заданные точки?
12. Дайте определение окружности с центром в точке
A( x0 ; y0 ) радиуса R .
13. Дайте определения эллипса, гиперболы, параболы.
14. Чему равен угол между асимптотами равносторонней гиперболы?
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №№ 11-20
В ЗАДАЧАХ №№ 11–20 даны координаты вершин треугольника АВС .
Требуется построить треугольник в системе координат и:
1) найти длину стороны АВ;
2) составить уравнения сторон АВ и ВС;
3) вычислить внутренний угол треугольника при вершине А;
4) составить уравнение высоты СD;
5) найти длину высоты СD и площадь треугольника АВС .
11. А (– 2; 5), В (7; 2), С (5; – 4).
12. А (– 6; 5), В (3; 2), С (1; – 4).
13. А (– 4; 7), В (5; 4), С (3; – 2).
14. А (– 4; 3), В (5; 0), С (3; – 6).
15. А (– 1; 5), В (8; 2), С (6; – 4).
16. А (– 7; 5), В (2; 2), С (0; – 4).
17. А (– 4; 8), В (5; 5), С (3; – 1).
17
18. А (0; 5), В (9; 2), С (7; – 4).
19. А (– 8; 5), В (1; 2), С (– 1; – 4).
20. А (– 2; 7), В (7; 4), С (5; – 2).
Решение типовой задачи
Задача. Точки А (– 1; 6), В (11; – 3), С (9; 11) являются вершинами треугольника.
1. Найти длину стороны АВ.
2. Составить уравнения сторон АВ, АС и найти их угловые
коэффициенты.
3. Вычислить угол при вершине А.
4. Составить уравнение высоты СD и найти ее длину.
5. Вычислить площадь треугольника АВС.
Решение. 1. Расстояние между точками
B( x2 ; y2 ) вычисляется по формуле
A( x1; y1 )
d = ( x2 - x1 )2 + ( y2 - y1 ) 2 .
Используя эту формулу, находим длину стороны АВ:
и
(2.1)
d = (11 + 1) 2 + ( -3 - 6) 2 = 15 ,Þ AB = 15.
2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
A( x1 ; y1 ) и B( x 2 ; y 2 ) , имеет вид
y - y1
x - x1
=
.
(2.2)
y2 - y1 x2 - x1
Подставляя в уравнение (2.2) координаты точек A и B, находим уравнение стороны AB:
y-6
x +1
y - 6 x +1
y - 6 x +1
=
,Þ
=
,Þ
=
.
-3 - 6 11 + 1
-9
12
-3
4
Преобразуем полученное уравнение к уравнению прямой
общего вида
Ax + By + C = 0 .
18
Получаем:
y - 6 x +1
=
, Þ 4( y - 6) = -3( x + 1) , Þ
-3
4
3x + 4 y - 21 = 0.
Для нахождения углового коэффициента k AB прямой АВ
приводим уравнение этой прямой к виду
y = kx + b ,
который называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k. Получаем:
3
21
3x + 4 y - 21 = 0 Þ y = - x + .
4
4
3
Отсюда k AB = - .
4
Аналогично получаем уравнение стороны АС
2 y - x - 13 = 0
1
и ее угловой коэффициент k AC = .
2
3. Если даны две прямые, угловые коэффициенты которых
k1 и k 2 , то тангенс угла j между ними вычисляется по формуле
tgj =
k 2 - k1
.
1 + k 2 × k1
(2.3)
Для определения внутреннего угла треугольника при вершине А используем угловые коэффициенты прямых АВ и AC:
3
1
k1 = k AB = - ; k2 = k AC = . Отсюда по формуле (2.3)
4
2
1 æ 3ö
- ç- ÷
2 è 4ø
tg ÐA =
= 2.
1 æ 3ö
1+ ×ç- ÷
2 è 4ø
Теперь, например, с помощью инженерного микрокалькулятора или математических таблиц В.М. Брадиса найдем сам угол:
19
ÐA = arctg 2 = 630 26¢ .
4. Высота СD перпендикулярна стороне АВ. Известно, что
если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты k1 и k 2 удовлетворяют условию: k1 × k 2 = -1 . Поэтому
kCD × k AB = -1 , откуда
1
1
4
== .
kCD = k AB
æ 3ö 3
ç- ÷
è 4ø
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку
С ( x0 ; y0 ) с заданным угловым коэффициентом k, имеет вид
y - y 0 = k × ( x - x0 ).
(2.4)
Подставляя в уравнение (2.4) координаты точки С и значе4
ние углового коэффициента k = kCD = , получаем уравнение
3
высоты СD:
4
4
y - 11 = ( x - 9), Þ y - 11 = x - 12,
3
3
4
y = x - 1 , Þ 4 x - 3 y - 3 = 0.
3
Для определения длины высоты СD найдем координаты
точки D - точки пересечения высоты СD и стороны АВ. С этой
целью решим систему уравнений, составленную из уравнений
прямых СD и АВ:
ì4 x - 3 y - 3 = 0,
(2.5)
í
3
x
4
y
21
0
.
+
=
î
Умножая первое уравнение системы (2.5) на 4, а второе – на
3 и складывая результаты, получим 25 x - 75 = 0 , то есть х = 3.
Теперь нетрудно найти у из любого уравнения системы (2.5):
у = 3. Таким образом, координаты точки D найдены: D (3; 3). Отсюда по формуле (2.1) вычисляем длину высоты СD:
20
d = CD = (3 - 9) 2 + (3 - 11)2 = 10.
1
AB × CD , поэтому в нашем случае
2
1
= × 15 ×10 = 75 .
2
5. Как известно, S DABC =
S DABC
Треугольник АВС и высота СD построены в системе координат xOy на рис. 2.1:
Рис. 2.1
21
Тема III. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Вопросы для самопроверки
Что называется функцией одной независимой переменной?
Какая функция называется возрастающей? убывающей?
четной? нечетной?
Дайте определение и начертите графики следующих функций: линейной, квадратичной, дробно-линейной, показательной, логарифмической, тригонометрических.
Дайте определение предела функции в точке.
Сформулируйте основные теоремы о пределах функции.
Какая функция называется непрерывной в точке x0 ?
Дайте определение производной заданной функции. Каков
геометрический смысл производной функции в заданной
точке?
Сформулируйте правила дифференцирования суммы, произведения, частного двух функций, правило дифференцирования сложной функции.
Сформулируйте признаки возрастания и убывания функции.
Сформулируйте определения максимума и минимума
функции.
В чем заключается необходимое условие существования
экстремума функции?
Каковы достаточные признаки существования экстремума
функции?
Дайте определения выпуклости и вогнутости кривой.
Изложите общую схему исследования функции для построения ее графика.
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №№ 21-30
В ЗАДАЧАХ №№ 21 – 30 требуется найти производные заданных функций.
22
21
а) y = ( x 5 + 8) × sin 3x
4x
3
22
а) y = e
× (4 x + x )
23
а) y = ( x + 3)5 × tg 9 x
24
а) y =
25
а) y =
26
3x 5 + 2
а) y =
tg 7 x
27
а) y =
sin 4 x
б) y =
3x - 1
tgx
x2 + 5
б) y =
cos3 x
cos 7x
б) y =
x
б) y = x 2 × arccos5 x
2 x3 + 1
ln 7 x
б) y = x5 × ctg 8 x
x -8
б) y = x × ln(5 x + 2)
arcsin 3 x
б) y = 5 x × ( e8 x - 5)
7x2 + 3
3
e5 x - 7
28
а) y = (2 x - 8) × tg 7 x
29
4
а) y = (3x + 5) × ln 6 x
2 - 3x2
б) y =
tg 6 x
30
2x 4 - 7
а) y =
ctg 5 x
б) y = (4 x + 3) × e7 x
б) y =
x +3
При решении этих задач используйте формулы и правила
дифференцирования, которые мы для справки приводим в следующей таблице:
Номер
формулы
1
2
Функция
Производная
y=C
y=x
y¢ = 0
y¢ = 1
23
3
4
y=u+v-w
y = u×v
Продолжение
y¢ = u¢ + v¢ - w¢
y¢ = u¢ × v + u × v¢
u
v
y¢ =
u ¢ × v - u × v¢
5
y=
6
y = xn
y¢ = n × x n -1
7
y = ex
8
y = ln x
9
10
y = sin x
y = cos x
11
y = tgx
12
y = ctgx
13
y = arcsin x
14
y = arccos x
15
y = arctgx
16
y = arcctgx
y¢ = e x
1
y¢ =
x
y¢ = cos x
y¢ = - sin x
1
y¢ =
cos 2 x
1
y¢ = sin 2 x
1
y¢ =
1- x2
1
y¢ = 1- x2
1
y¢ =
1 + x2
1
y¢ = 1 + x2
v2
Решение типовых задач
Задача. Найти производные заданных функций:
1) y = ( x 5 + x + 8) × ctg 3 x ; 2) y =
24
ln 10 x
3
x -1
.
Решение. 1) Воспользуемся правилом 4 из приведенной
таблицы (правилом дифференцирования произведения):
y¢ = ( x5 + x + 8)¢ × ctgx + ( x 5 + x + 8) × (ctg 3 x)¢ .
Далее используем правило дифференцирования суммы
(правило 3) и формулы 1, 2, 6:
( x 5 + x + 8)¢ = ( x 5 )¢ + ( x )¢ + (8)¢ = 5 x 4 + 1 .
Для вычисления производной функции ctg3x воспользуемся
правилом дифференцирования
сложной
функции: если
y = f (u) , где u = j (x) , то y¢ = f ¢(u) × u¢ .
В данном случае ctg 3 x = ctgu , где u = 3x , поэтому
1
3
( ctg 3 x )¢ = - 2 × (3x )¢ = - 2 .
sin 3x
sin 3 x
Таким образом,
3
y ¢ = (5 x 4 + 1) × ctg 3 x - ( x 5 + x + 8) ×
.
2
sin 3 x
2) Используем правило дифференцирования дроби (см. правило 5 в таблице) и правило дифференцирования сложной функции:
(ln 10 x )¢ × ( x3 - 1) - (ln 10 x ) × ( x 3 - 1)¢
y¢ =
.
3
2
( x - 1)
При этом по формуле 6 ( x 3 - 1)¢ = 3 x 2 , а по формуле 8
1
1
1
(ln 10 x )¢ =
× (10 x )¢ =
× 10 = .
10 x
10 x
x
Отсюда
1
× ( x 3 - 1) - (ln 10 x) × 3x 2
1
3 x 2 × ln 10 x
x
y¢ =
=
.
3
2
3
3
2
( x - 1)
x × ( x - 1) ( x - 1)
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №№ 31-40
В ЗАДАЧАХ №№ 31 – 40 требуется построить график заданной функции на основе ее исследования с помощью произ25
водной (определить область определения функции, интервалы ее
возрастания и убывания, исследовать функцию на экстремум, определить интервалы выпуклости и вогнутости графика, найти координаты точек перегиба).
1 3 15 2
x + x + 9 x + 8.
2
4
2
y = x 3 + x 2 - 12 x - 7.
3
1
3
y = x 3 - x 2 - 9 x + 5.
2
4
1
9
y = x 3 - x 2 - 3 x + 7.
4
8
2
y = x 3 + 3 x 2 - 8 x - 17.
3
1
y = x3 - 3 x 2 + 8 x - 6 .
3
15
y = x 3 + x 2 + 12 x - 1.
2
1
3
y = x 3 - x 2 - 12 x + 13.
2
2
1
y = x 3 + x 2 - 8 x - 7.
3
2
y = x3 - 5 x 2 + 8 x + 1 .
3
31. y =
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
Решение типовой задачи
1 3 3 2
1
x - x - 2 x + . Требуется
15
10
5
провести ее исследование с помощью производной и построить
график.
Задача. Дана функция y =
26
Решение. Областью определения заданной функции является множество действительных чисел (-¥; +¥) .
В соответствии с необходимым условием экстремума находим первую производную функции, приравниваем ее к нулю и
решаем полученное уравнение:
1 2 3
x - x - 2 = 0, Þ x 2 - 3x - 10 = 0, Þ x1 = -2, x2 = 5 .
5
5
Эти точки разбивают область определения функции на три
интервала (-¥; - 2), (-2; 5) и (5; + ¥) , в которых производная не
меняет знак. Поэтому, выбирая в каждом из полученных интервалов произвольную точку, определяем знак производной в них.
В первом и третьем интервалах производная оказывается положительной (в этих интервалах функция возрастает), а во втором
интервале производная отрицательна (здесь функция убывает).
Так как при переходе через точку x1 = -2 производная изменяет
знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум;
при переходе через точку x2 = 5 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, функция имеет в этой точке минимум. Вычислим значения функции в этих двух точках:
y¢ =
8 3
1 37
7
- ×4+ 4+ =
=2 ;
15 10
5 15
15
1
3
1
269
29
ymin = y (5) = × 125 - × 25 - 10 + = = -8 .
15
10
5
30
30
7
Таким образом, A( -2; 2 ) - точка максимума функции, а
15
29
B(5; - 8 ) - точка ее минимума.
30
Находим теперь вторую производную функции и приравниваем ее нулю:
3
y¢¢ = 2 x - 3; 2 x - 3 = 0, Þ x = .
2
ymax = y ( -2) = -
27
3
разбивает область определения функции на ин2
3
3
тервалы (-¥; ) и ( ; + ¥ ) . В первом интервале вторая произ2
2
водная отрицательна, а во втором - положительна. Следовательно, в первом интервале график функции является выпуклым, а во
втором - вогнутым. При этом вторая производная при переходе
3
3
через точку x = меняет знак. Это означает, что значение x =
2
2
является абсциссой точки перегиба графика. Вычислим ординату
этой точки:
Точка x =
3
2
3 æ 3ö
3 1
1
æ 3ö 1 æ3ö
yç ÷ = × ç ÷ - × ç ÷ - 2 × + = - 3 .
2 5
4
è 2 ø 15 è 2 ø 10 è 2 ø
3
1
Таким образом, P( ; - 3 ) является точкой перегиба гра2
4
фика заданной функции, который представлен на рис. 3.1 (перед
построением графика положили в функции x = 0 и получили
y = 1 / 5 , т.е. нашли точку его пересечения с осью Oy ).
Рис. 3.1
28
Тема IV. ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Приводим таблицу основных неопределенных интегралов.
4.
x a +1
ò x dx = a + 1 + C , a ¹ -1
dx
ò x = ln x + C
ax
x
ò a dx = ln a + C
ò sin x dx = - cos x + C
5.
ò cos x dx = sin x + C
1.
2.
3.
6.
dx
òe
x
x
= 2 x +C
dx = e x + C
dx
ò cos2 x = tgx + C
dx
7.
ò sin 2 x = -ctgx + C
8.
ò tgxdx = - ln cos x + C
9.
ò ctgxdx = ln sin x + C
10.
ò
a
ò
dx
ò
= arcsin x + C.
1 - x2
dx
11. ò
= arctgx + C.
2
1+ x
dx
1
a+ x
12. ò
=
ln
+ C.
2
2 2a a - x
a -x
dx
= arcsin
x
+ C.
a
a2 - x 2
dx
1
x
ò 2 2 = a arctg a + C.
a +x
Отметим, что если данный интеграл не является табличным
и не сводится к табличному простейшими тождественными
преобразованиями, то во многих случаях его вычисление упрощает введение новой переменной интегрирования.
29
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Вопросы для самопроверки
Что называется первообразной функции и неопределенным
интегралом?
Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.
В чем сущность метода подстановки при вычислении неопределенного интеграла?
Укажите задачи, приводящие к понятию определенного
интеграла.
Дайте определение интегральной суммы для данной функции на данном отрезке.
Что называется определенным интегралом от данной функции на данном отрезке?
Каков геометрический смысл определенного интеграла?
Напишите формулу Ньютона–Лейбница.
Как с помощью определенного интеграла вычисляются
площади плоских фигур и объемы тел вращения?
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №№ 41-50
В ЗАДАЧАХ №№ 41 – 50 требуется найти указанные неопределенные интегралы.
3 2
41
а) ò (4 x + 3 × x - 5) dx б)
42
а) ò (7 x 4 -
43
а) ò ( x 3 +
44
а) ò (3x 6 -
45
а) ò ( x 7 - 5 × 4 x + 7) dx
3
x
2
5
x
+ 6) dx
+ 7) dx
2
+ 5) dx
x
7 x3 - 2
б) ò 5 sin 6 x × cos xdx
б)
б)
30
ò
x 2 dx
б)
5x
ò 2 x 2 + 1 dx
dx
ò 3 5x + 1
ò
x3 dx
2 x4 + 3
5
46
а) ò ( x 3 -
47
а) ò (2 x - 4 × x + 3) dx б)
48
а) ò (5 x 4 -
49
а) ò (5 x3 -
50
+ 9) dx
x
2
б)
5
2
4
x
+ 4) dx
2
б)
ò
sin 2 x
ò 1 + (1 + 3x)2
а) ò (3x 6 - 2 × 4 x + 5) dx б)
ò
x
dx
dx
ò
5 2
ctgx ×
3x 2 + 5
x
×
e
dx
ò
б)
- 3) dx
4
dx
1 - (4 x - 1) 2
1
dx
×
tgx cos 2 x
Решение типовых задач
5
1. Найти интеграл ò (5 x4 - 7 x2 + 8)dx .
Решение. Воспользуемся следующими свойствами неопределенного интеграла:
1) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
ò A × f ( x)dx = A × ò f ( x)dx ;
2) неопределенный интеграл от суммы (разности) функций
равен сумме (разности) интегралов от каждой функции в отдельности, т.е.
ò ( f ( x ) + j ( x ) - g ( x ))dx = ò f ( x )dx + ò j ( x )dx - ò g ( x )dx .
Преобразуем подынтегральную функцию в заданном интеграле и воспользуемся формулой 1 из таблицы основных неопределенных интегралов:
2
4
4
ò (5 x - 7 x + 8)dx = ò (5 x - 7 x 5 + 8)dx =
5 2
31
2
= 5ò x 4 dx - 7 ò x 5 dx + 8 ò dx =
7
x5
x5
5
=5 -7
+ 8 x + C = x 5 - 5 x 7 + 8 x + C.
7
5
5
7 x3
dx.
2. Найти интеграл ò
4
x +8
Решение. Воспользуемся подстановкой t = x 4 + 8 . Тогда
1
dt = 4 x 3dx , откуда x 3dx = dt . Таким образом,
4
1
dt
3
7x
7 dt 7
4
dx
=
=
7
ò 4
ò t 4 ò t = 4 ln t + C =
x +8
7
= ln( x 4 + 8) + C.
4
3. Найти интеграл ò cos 5 x × sin xdx .
Решение. Воспользуемся подстановкой t = cos x . Тогда
dt = - sin xdx , а sin xdx = -dt . Таким образом,
5
5
5
ò cos x × sin xdx = ò t (- dt ) = -ò t dt =
1
1
= - t 6 + C = - cos 6 x + C .
6
6
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №№ 51-60
В ЗАДАЧАХ №№ 51–60 вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой. Сделать чертеж и заштриховать
искомую площадь.
32
1
51. y = ( x - 1) 2 ; 2 x - 2 y + 1 = 0.
2
1
52. y = ( x - 2) 2 ; x - y + 2 = 0.
2
1
53. y = ( x + 2) 2 ; x + y - 2 = 0.
2
1
54. y = ( x + 3) 2 ; x - y + 3 = 0.
3
1
55. y = ( x + 1) 2 ;
2
1
56. y = ( x - 3) 2 ;
3
1
57. y = ( x - 5) 2 ;
4
1
58. y = ( x + 4) 2 ;
3
1
59. y = ( x + 5) 2 ;
4
1
60. y = ( x - 4) 2 ;
3
4x + 2 y - 1 = 0.
x + y - 3 = 0.
4x + 4 y - 25 = 0.
3x - 3 y + 16 = 0.
8x - 4 y + 25 = 0.
3x + 3 y - 16 = 0.
Решение типовой задачи
Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной пара1
болой y = ( x + 6) 2 и прямой 2 x - y + 12 = 0 .
3
Решение. Площадь фигуры, ограниченной сверху непрерывной кривой y = f (x) , снизу – непрерывной кривой y = j (x) ,
слева – прямой x = a , справа – прямой x = b , вычисляется по
формуле
b
S = ò [ f ( x) - j ( x )]dx .
a
33
(4.1)
Если кривые y = f (x) и y = j (x) образуют замкнутую линию, то точки а и b совпадают с абсциссами точек пересечения
этих кривых. Найдем точки пересечения заданных параболы и
прямой. Для этого решим систему их уравнений:
1
ì
2
ï y = ( x + 6) ,
3
í
ïî2 x - y + 12 = 0.
Приравняем значения y из обоих уравнений:
1
( x + 6) 2 = 2 x + 12, Þ ( x + 6) 2 = 6 x + 36, Þ
3
x 2 + 12 x + 36 = 6 x + 36, Þ x 2 + 6 x = 0.
Отсюда x1 = -6; x2 = 0 . Подставляя полученные значения в
любое из двух рассматриваемых уравнений, делаем вывод, что
парабола пересекается с прямой в точках A (-6; 0) и B (0; 12) .
Из формулы (4.1) получаем:
S=
=
0
1
+
[(
2
x
12
)
( x + 6) 2 ]dx =
ò
3
-6
0
1 2
+
(
2
x
12
x - 4 x - 12) dx =
ò
3
-6
=
2
3 0
x
1 x
= (- 2 ×
- × )
2 3 3
-6
0
1 2
(
2
x
x ) dx =
ò
3
-6
0
1
1
= ( - x - x 3 ) = -( -36 + × 216) = 12.
9
9
-6
2
Следовательно, искомая площадь равна 12 кв. ед. Рассмотренная фигура изображена на рис. 4.1:
34
Рис. 4.1
Тема V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение дифференциального уравнения первого
порядка.
2. Что называется решением дифференциального уравнения?
Общим решением? Частным решением?
3. Какова роль начальных условий при решении дифференциального уравнения?
4. Какие уравнения называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными?
5. Приведите примеры задач химического, биологического
или технического содержания, сводящиеся к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.
6. Какова методика отыскания решения дифференциального
уравнения с разделяющимися переменными?
7. Какие уравнения называются линейными дифференциальными уравнениями первого порядка? Какова методика их
решения?
8. При каком значении С функция у = 2Сх + 4 является решением дифференциального уравнения y ¢ = 2?
35
9. Найдите общие интегралы дифференциальных уравнений:
а) sin ydy = x 2 dx ; б) y¢ = y + 3 .
10. Какие уравнения называются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами?
11. Какова методика решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами?
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №№ 61-70
В ЗАДАЧАХ №№ 61–70 требуется составить дифференциальное уравнение динамики развития некоторого биологического
вида и найти решение этого уравнения.
Состояние популяции (в простейшем понимании - стада)
можно охарактеризовать массой m популяции (т.е. весом всего
стада). При этом масса m является функцией времени: m = m(t).
Считая, что скорость прироста биомассы пропорциональна биомассе популяции с коэффициентом k = k (t ) и что известна начальная биомасса m0 (при t = 0 ), найти величину биомассы в момент времени t = T .
61
m0 = 12;
T = 2;
62
m0 = 18;
T = 18;
63
m0 = 9;
T = 8;
64
m0 = 12;
T = 2;
65
m0 = 14;
T = 3;
66
m0 = 10;
T = 2;
3
.
4 + 6t
2
k (t ) =
.
9 + 4t
1
k (t ) =
.
9 + 2t
42
k (t ) =
.
1 + 21t
3
k (t ) =
.
2+t
4
k (t ) =
.
3 + 2t
k (t ) =
36
67
m0 = 1;
T = 12;
68
m0 = 5;
T = 4;
69
m0 = 18;
T = 2;
70
m0 = 8;
T = 2;
1
.
25 + 2t
12
k (t ) =
.
1 + 6t
8
k (t ) =
.
1 + 2t
6
k (t ) =
.
1 + 3t
k (t ) =
Решение типовой задачи
Задача. Найти значение биомассы в момент T = 12 , если в
начальный момент (при t = 0 ) значение биомассы m0 = 10 и
1
k (t ) =
.
1 + 2t
Решение. Составим дифференциальное уравнение, описывающее динамику развития популяции.
Так как скорость изменения биомассы характеризуется производной m¢(t ) (при m¢ > 0 - это скорость развития, при m¢ < 0 скорость вымирания), то по условию задачи имеем
m¢ = km
или
1
(5.1)
m¢ =
×m.
1 + 2t
Уравнение (5.1) является дифференциальным уравнением с
разделяющимися переменными m и t . Разделим их:
т.е.
dm
1
dm
dt
=
× m, Þ
=
.
dt 1 + 2t
m 1 + 2t
Отсюда после почленного интегрирования получаем
dm
dt
ò m = ò 1 + 2t ,
1
ln m = ln(1 + 2t ) + ln C.
2
37
(В данном случае произвольную постоянную удобно взять в виде
ln C . Кроме того, аргументы всех логарифмов здесь положительны, что объясняет отсутствие в полученном результате знаков абсолютной величины.)
Из последнего равенства следует формула для общего решения дифференциального уравнения:
1
m = C × (1 + 2t ) 2 .
(5.2)
Для определения значения произвольной постоянной C полагаем в равенстве (5.2) t = 0, m = m0 = 10 . В результате получаем
1
10 = C × (1 + 2 × 0) 2 , Þ C = 10.
Таким образом, из общего решения дифференциального
уравнения приходим к выражению
(5.3)
m(t ) = 10 × 1 + 2t .
Положим теперь в равенстве (5.3) t = T = 12 . Тогда
m (12) = 10 × 1 + 2 ×12 = 50.
Итак, в момент T = 12 (ед.) значение биомассы будет составлять 50 (ед.).
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №№ 71-80
В ЗАДАЧАХ №№ 71–80 найти частное решение линейного
однородного дифференциального уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
y''+8y'+16y = 0;
y''+5y'+6y = 0;
y'' – 2y' = 0;
y'' – 5y'+6y = 0;
y''+2y'+y = 0;
y''+5y' = 0;
y'' – 2y'+y = 0;
y(0) = 3,
y(0) = –1,
y(0)=0,
y(0) = 1,
y(0) = 1,
y(0) = 1,
y(2) = 1,
38
y'(0) = –2.
y'(0) = 3.
y'(0)=1.
y'(0) = 2.
y'(0) = 1.
y'(0) = –5.
y'(2) = –2.
78.
79.
y'' – 7y'+12y = 0;
y''+3 y¢ = 0;
y(0) = 2,
y(0) = 1,
y'(0) = –2.
y'(0) = –3.
80.
y'' – 4y'+4y = 0;
y(0) = 1,
y'(0) = 3.
Решение типовой задачи
Задача. Найти частные решения следующих дифференциальных уравнений второго порядка при заданных начальных условиях:
1)
2)
y ¢¢ - 6y ¢ + 8y = 0 ;
y ¢¢ - 8y ¢ + 16y = 0;
y(0) = 1;
y(0) = 2 ;
y ¢ (0) = 2;
y ¢ (0) = 5.
Решение. 1) Характеристическое уравнение k 2 - 6k + 8 = 0
имеет два различных вещественных корня k1 = 2 , k 2 = 4 , поэтому общее решение этого дифференциального уравнения записывается в виде
y = C1e 2x + C2 e 4 x ,
где C1 , C2 - произвольные постоянные. Отсюда
y ¢ ( x ) = 2C1 e 2x + 4 C2 e 2x ,
поэтому, основываясь на начальных условиях, получаем
C1e 2×0 + C2 e 4×0 = 1 , т.е. C1 + C2 = 1
и
2C1 e2×0 + 4 C2 e 4×0 = 2 , т.е. 2C1 + 4C2 = 2 .
Решая систему уравнений
ìC1 + C2 = 1,
í
îC1 + 2C2 = 1,
получаем C1 = 1, C2 = 0 . Частное решение исходного уравнения,
удовлетворяющее заданным начальным условиям, приобретает
вид
y = e2 x .
2) Характеристическое уравнение
k 2 - 8k + 16 = 0
39
имеет два равных корня k1 = k 2 = 4 , поэтому общее решение соответствующего дифференциального уравнения записывается в
виде
y = C1e 4 x + C2 xe 4 x ,
откуда
y ¢ ( x ) = 4 C1 e4 x + C2 e4 x + 4 C2 xe 4 x .
Учитывая начальные условия, получаем систему уравнений
для определения C1 , C2 :
ìC1 + C2 = 2,
í
î4C1 + C2 = 5.
Отсюда C1 = 1; C2 = 1 , поэтому искомое частное решение имеет
вид
y = e4 x + xe 4 x = e 4 x ( x + 1) .
Тема VI. РЯДЫ
При изучении этой темы обратите особое внимание на приложение степенных рядов к приближенному вычислению определенных интегралов, где потребуются следующие разложения
элементарных функций в степенные ряды:
1
1
1
x + x 2 + ... + x n + ..., x Î ( -¥, +¥).
1!
2!
n!
1
1
x 2n -1 + ..., x Î ( -¥, +¥).
2. sin x = x - x3 + ... + ( -1) n -1
3!
(2n - 1)!
1. e x = 1 +
3. cos x = 1 -
1 2
1
x + ... + ( -1) n -1
x 2n + ..., x Î ( -¥, +¥ ).
2!
(2n)!
1 2 1 3
1
x + x + ... + ( -1) n +1 x n + ..., x Î ( -1, 1).
2
3
n
Приближенное вычисление определенного интеграла нередко приводит к представлению его в виде суммы сходящегося чи4. ln(1 + x ) = x -
40
слового знакочередующегося ряда. При вычислении такого интеграла с требуемой точностью нужно просуммировать столько
членов соответствующего числового ряда, чтобы абсолютная величина первого отброшенного члена не превосходила заданной
точности.
Вопросы для самопроверки
1. Какой ряд называется сходящимся (расходящимся)?
2. Сформулируйте необходимое условие сходимости ряда.
3. В чем состоит признак Даламбера?
4. Для каких рядов применяется признак Лейбница? В чем
его сущность?
5. Как найти радиус сходимости степенного ряда?
6. Как вычисляются коэффициенты ряда Маклорена для заданной функции?
7. Напишите разложение в ряд Маклорена функций e x , sin x,
cos x, (1 + x ) m , arcsin x, arctg x .
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №№ 81– 90
В ЗАДАЧАХ №№ 81– 90 вычислить определенный интеграл
с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
0,4
81.
ò
2
0,8
-x
x × e dx.
82.
0
ò
3
x ×e
- x2
0,9
dx.
84.
0
ò
0,8
x × cos 2 x × dx.
86.
0
0,75
87.
ò
0
0,25
85.
x 2 × sin(2 x 2 ) × dx.
0
0,8
83.
ò
ò
ò
(
x3 × cos 4 x × dx.
0
0,6
x 2 × sin 3 x × dx.
88.
0
ò
0
41
)
x 3 × ln 1 + x 2 dx.
3
x × e - x dx.
0,9
x2
89. ò x × sin dx.
2
0
0,7
2
90.
ò
x
3
1
- x2
× e 2 dx.
0
Решение типовой задачи
Задача. Вычислить с точностью до 0,001 заданный интеграл
1
2
ò
2
x 2e - x dx путем предварительного разложения подынтеграль-
0
ной функции в степенной ряд и почленного интегрирования этого
ряда.
Решение. В разложении функции e x в степенной ряд
1
1
1
e x = 1 + x + x 2 + ... + x n + ..., x Î ( -¥, + ¥)
1!
2!
n!
2
заменим x на - x . Тогда получим
2
1
1
1
e - x = 1 + ( - x 2 ) + ( - x 2 ) 2 - ( - x 2 )3 + ...
1!
2!
3!
Умножая этот ряд почленно на x 2 , будем иметь
1
2 - x2
x e
= x 2 - x 4 + x 6 - ...
2
Следовательно,
1
2
ò
0
1
2 - x2
x e
dx =
2
ò
( x 2 - x4 +
0
1 6
x - ...) dx =
2
1
1
1
æ1 3 1 5 1 7
ö 2 1
= ç x - x + x - ... ÷
=
+
- ...
3
5
14
24
160
1792
è
ø0
Полученный числовой знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Третий член этого ряда по абсолютной величине меньше 0,001, поэтому для обеспечения требуемой точности нужно просуммировать первые два члена ряда и
результат округлить до 0,001. Итак,
42
1
2
ò
0
2
x 2e - x dx »
1
1
» 0,036.
24 160
Тема VII. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ВЕРОЯТНОСТИ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ.
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Вопросы для самопроверки
Что называется событием? Приведите примеры событий,
достоверных событий, невозможных событий.
Какие события называются несовместимыми, совместимыми, противоположными?
Что называется полной группой событий?
Какие события называют элементарными исходами опыта?
Сформулируйте классическое определение вероятности
события.
Сформулируйте теоремы сложения вероятностей.
Что называется условной вероятностью события?
Сформулируйте теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №№ 91-120
В ЗАДАЧАХ №№ 91-110 найти вероятности указанных
событий, пользуясь классическим определением вероятности,
а также правилами сложения и умножения вероятностей.
ЗАДАЧИ №№ 91–100. Одновременно подброшены две игральные кости. В результате на их верхних гранях выпала некоторая сумма очков. Требуется перечислить все возможные элементарные исходы этого опыта и найти вероятности следующих
событий.
91. Сумма очков меньше восьми.
92. Сумма очков не менее девяти.
43
93. Сумма очков от трех до десяти.
94. Сумма очков больше шести.
95. Сумма очков не более пяти.
96. Сумма очков кратна трем.
97. Сумма очков меньше пяти.
98. Сумма очков от четырех до девяти.
99. Сумма очков кратна четырем.
100. Сумма очков больше семи.
ЗАДАЧИ №№ 101–110. Дана вероятность p того, что семя
злака прорастет. Найти вероятность того, что из n семян прорастет k штук.
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
= 3;
= 2;
= 3;
= 4;
= 2;
= 3;
= 4;
= 4;
= 3;
= 4;
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
= 0,91;
= 0,83;
= 0,75;
= 0,84;
= 0,81;
= 0,92;
= 0,84;
= 0,76;
= 0,64;
= 0,81;
k = 2.
k ³ 1.
k = 1.
k = 3.
k=1.
k ³ 1.
k = 2.
k ³ 1.
k ³ 2.
k >2.
ЗАДАЧИ №№ 111–120. В стаде 90 коров. Оно состоит из
животных четырех пород: 20 коров породы I, 35 коров породы II,
25 коров породы III и остальные - породы IV. Случайным образом отобраны две коровы. Найти вероятности следующих событий:
111. Обе коровы породы I.
112. Хотя бы одна корова породы I.
113. Обе коровы не являются животными породы I.
44
114. Обе коровы породы II.
115. Хотя бы одна корова породы II.
116. Обе коровы не являются животными породы II.
117. Обе коровы породы III.
118. Хотя бы одна корова породы III.
119. Обе коровы не являются животными породы III.
120. Обе коровы породы IV.
Решение типовых задач
Задача 1. Одновременно подброшены две игральные кости.
В результате на их верхних гранях выпала некоторая сумма очков. Требуется перечислить все возможные элементарные исходы
этого опыта и найти вероятность того, что выпавшая сумма очков
окажется кратной пяти.
Решение. 1. Перечислим все возможные элементарные исходы рассматриваемого опыта в приведенной ниже таблице 7.1.
2. Обозначим событие, вероятность которого по условию
задачи предлагается найти, через А ( A = {выпавшая сумма очков
окажется кратной пяти}). Благоприятствующие этому событию
исходы опыта подчеркнуты в приведенной таблице. Их число - 7.
Согласно классическому определению вероятности события
для нахождения искомой вероятности мы должны разделить это
число на общее число элементарных исходов опыта, т.е. на 36:
7
P( A) = .
36
Таблица 7.1
1; 1 1; 2
1; 3
1; 4
1; 5
1; 6
2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6
3; 1 3; 2 3; 3 3; 4 3; 5 3; 6
4; 1 4; 2 4; 3 4; 4 4; 5 4; 6
5; 1 5; 2 5; 3 5; 4 5; 5 5; 6
6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6
45
Задача 2. Дана вероятность p = 0, 7 того, что семя злака
прорастет. Найти вероятность того, что из n = 3 семян прорастет
k < 2 штук.
Решение. Рассмотрим следующие события:
A1 = {первое семя прорастет};
A2 = {второе семя прорастет};
A3 = {третье семя прорастет};
A1 = {первое семя не прорастет};
A2 = {второе семя не прорастет};
A3 = {третье семя не прорастет}.
По условию
P ( A1 ) = P ( A2 ) = P ( A3 ) = 0, 7;
( )
( )
( )
P A1 = P A2 = P A3 = 1 - 0, 7 = 0,3.
Пусть A = {прорастут менее двух семян (т.е. прорастет либо
только одно семя, либо не прорастет ни одно из семян)}. Тогда
A = A1 × A2 × A3 + A1 × A2 × A3 + A1 × A2 × A3 + A1 × A2 × A3.
Отсюда в силу несовмеcтности событий-слагаемых и независимости событий-сомножителей имеем
( ) ( ) ( )
( )
+ P ( A1 ) × P ( A2 ) × P ( A3 ) + P ( A1 ) × P ( A2 ) × P ( A3 ) =
P ( A ) = P ( A1 ) × P A2 × P A3 + P A1 × P ( A2 ) × P A3 +
= 3 × 0, 7 × (0, 3) 2 + (0, 3)3 = 0, 216 .
Задача 3. В стаде 90 коров. Оно состоит из животных двух
пород: 46 коров первой породы, а остальные - второй породы.
Случайным образом отобраны две коровы. Найти вероятности
следующих событий:
а) обе коровы второй породы;
б) только одна корова второй породы;
в) хотя бы одна корова второй породы.
Решение. а) Пусть А = {обе коровы второй породы}.
46
Вместе с событием А вводим дополнительно события:
A1 = {первая корова второй породы};
A2 = {вторая корова второй породы}.
Тогда
A1 = {первая корова первой породы};
A2 = {вторая корова первой породы}.
Используя действия над событиями, имеем
A = A1 × A2 .
Здесь события-сомножители являются зависимыми, поэтому
для нахождения вероятности события А используем теорему умножения вероятностей зависимых событий:
P( A) = P ( A1 × A2 ) = P( A1) × P( A2 / A1) .
Поскольку по условию задачи в стаде имеется 44 коровы
второй породы из 90, то по классическому определению вероятности имеем
44 22
43
P( A1 ) =
= ; P( A2 / A1 ) = .
90 45
89
Таким образом,
22 43 946
P( A) =
×
=
» 0, 24 .
45 89 4005
б) Пусть В = {только одна корова второй породы}.
Используя дополнительные события из предыдущего пункта, получаем
B = A1 × A2 + A1 × A2 ,
т.е. либо первая корова второй породы, а вторая - первой, либо
первая корова первой породы, а вторая - второй.
Здесь события-слагаемые являются несовместными, а события-сомножители - зависимыми, поэтому
P( B) = P ( A1 × A2 + A1 × A2 ) = P( A1 ) × P( A2 / A1) + P( A1 ) × P( A2 / A1) =
=
44 46 46 44 4048
×
+ ×
=
» 0,50 .
90 89 90 89 8010
47
в) Пусть С = {хотя бы одна корова второй породы}.
Перейдем от события С к противоположному:
C = {обе коровы первой породы}.
Тогда, очевидно,
C = A1 × A2 .
Здесь события-сомножители зависимые, поэтому
P(C ) = P( A1 × A2 ) = P ( A1 ) × P( A2 / A1 ) =
Но
P (C ) = 1 - P (C ) = 1 т.е. окончательно
46 45 207
×
=
.
90 89 801
207 594
=
» 0, 74 ,
801 801
P(C ) » 0, 74 .
Тема VIII. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Вопросы для самопроверки
1. Какие случайные величины называются дискретными? непрерывными? Приведите примеры.
2. Что называется законом распределения случайной величины? Как задается закон распределения дискретной случайной величины?
3. Что называется математическим ожиданием дискретной
случайной величины? ее дисперсией? средним квадратичным отклонением? Перечислите их свойства.
4. Дайте определения интегральной и дифференциальной
функций распределения. Перечислите свойства этих функций.
5. Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия
непрерывной случайной величины?
48
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №№ 121-130
В ЗАДАЧАХ №№ 121–130 задан закон распределения дискретной случайной величины X (в первой строке указаны возможные значения величины X , во второй строке даны вероятности P этих значений).
Найти:
1) математическое ожидание M ( X ) ;
2) дисперсию D ( X ) ;
3) среднее квадратическое отклонение s ( X ) .
121. X
p
7
0,1
4
0,3
6
0,2
5
0,4
122. X
p
23
0,2
24
0,1
28
0,3
29
0,4
123. X
p
10
0,4
5
0,1
6
0,3
8
0,2
124. X
p
32
0,1
37
0,3
39
0,4
35
0.2
125. X
p
42
0,3
38
0,3
43
0,2
45
0,2
126. X
p
15
0,2
11
0,5
10
0,2
12
0,1
127. X
p
52
0,1
55
0,4
56
0,3
51
0,2
128. X
p
21
0,5
23
0,2
22
0,2
25
0,1
49
129. X
p
33
0,2
30
0,4
32
0,3
34
0,1
130. X
p
50
0,3
48
0,2
52
0,2
53
0,3
Решение типовой задачи
Задача. Задан закон распределения дискретной случайной
величины:
40
42
41
X
0,1
0,3
0,2
P
Найти следующие характеристики:
44
0,4
.
1. Математическое ожидание M (X ) .
2. Дисперсию D(X ) .
3. Среднее квадратичное отклонение s ( X ) .
Решение. 1) Если закон распределения дискретной случайной величины X задан таблицей:
X
P
x1
p1
x2
p2
...
...
xn
pn
,
где в первой строке записаны значения случайной величины X , а
во второй – вероятности этих значений, то математическое
ожидание M (X ) вычисляется по формуле
M ( X ) = x1 × p1 + x2 × p2 + K + xn × pn =
n
å xi × pi .
i =1
У нас
M ( X ) = 40 × 0,1 + 42 × 0,3 + 41 × 0,2 + 44 × 0,4 = 42,4 .
2. Дисперсией дискретной случайной величины D(X ) называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т. е.
50
D ( X ) = M [ X - M ( X )]2 =
n
å [x i
i =1
- M ( X )]2 × p i .
Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение
квадрата отклонения X от M (X ) . Из последней формулы имеем
D ( X ) = ( 40 - 42,4) 2 × 0,1 + ( 42 - 42,4) 2 × 0,3 + ( 41 - 42,4) 2 × 0,2 +
+ ( 44 - 42,4) 2 × 0,4 =
= ( 2,4) 2 × 0,1 + ( 0,4) 2 × 0,3 + (1,4) 2 × 0,2 + (1,6) 2 × 0,4 = 2,04 .
Дисперсию D(X ) можно найти другим способом (универсальная формула для вычисления дисперсии), исходя из следующего ее свойства: дисперсия D(X ) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания M (X ) , т.е.:
D ( X ) = M ( X 2 ) - [ M ( X )]2 .
Для вычисления D(X ) указанным способом составим закон
распределения случайной величины X 2 :
X2
P
402
0,1
422
0,3
412
0,2
442
0,4
.
Тогда
M ( X 2 ) = 40 2 × 0,1 + 42 2 × 0,3 + 412 × 0,2 + 44 2 × 0,4 = 1799,8 ;
D ( X ) = 1799,8 - (42,4) 2 = 2,04.
3. Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее
квадратическое отклонение s ( X ) случайной величины X , равное
квадратному корню из дисперсии D(X ) , т.е.
s ( X ) = D(X) .
Из этой формулы имеем
s ( X ) = 2,04 » 1,43.
51
Тема IX. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Нормальное распределение играет важную роль в биологической статистике. Приведем несколько примеров случайных величин, подчиняющихся нормальному закону распределения:
1) масса животного в определенном возрасте;
2) длина початка кукурузы;
3) жирность молока;
4) масса клубня картофеля.
Нормально распределенной можно считать случайную величину, на формирование которой оказывают влияние множества
не зависящих друг от друга факторов, причем отдельное влияние
каждого из них мало.
Нормально распределенные величины относятся к классу
непрерывных. Поэтому закон распределения такой случайной величины задается с помощью функции плотности распределения
вероятностей. Общим для различных нормально распределенных
случайных величин является вид этой функции:
-
( x - a)2
2
1
e 2s ,
s 2p
а отличаются они различными значениями величин а и s, называемых параметрами нормального распределения.
В выражении для f (x) участвуют два иррациональных числа, которые известны из средней школы: число p » 3,14 (отношение длины окружности к ее диаметру) и число e » 2,72 (основание натуральных логарифмов).
Если случайная величина Х является нормальной с параметрами а и s, то принята запись Х ~ N(а; s).
Отметим вероятностный смысл параметров нормального
распределения: а = М (Х), s = s (X), т.е. параметр а является математическим ожиданием, а параметр s - средним квадратическим отклонением нормальной случайной величины.
f ( x) =
52
Для вычисления вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины Х с параметрами а и s в
заданный интервал (a ; b ) используется формула
æa - a ö
æ b -aö
P(a < X < b ) = Fç
÷,
÷ - Fç
è s ø
è s ø
где
2
F ( x) =
z
1 x -2
ò e dz 2p 0
функция Лапласа, для которой имеются специальные таблицы
значений (см. приложение 1). При использовании этих таблиц
необходимо учитывать, что функция Лапласа обладает свойством
нечетности ( F (- x) = -F ( x) ), а также тот факт, что F ( x) » 0,5 для
любого x > 5 .
Если в формуле для P(a < X < b ) положить a = a - 3s и
b = а + 3s , то получится так называемое правило «трех сигм»:
P(a - 3s < X < a + 3s ) = F (3) - F (-3) = 2F (3) = 0,9973.
Это означает, что вероятность попадания нормальной случайной величины в трёхсигмовый интервал (a - 3s ; a + 3s ) составляет 99,73%, т.е. практически 100%. В связи с этим интервал
(a - 3s ; a + 3s ) называют диапазоном изменения значений нормально распределенной случайной величины.
Вопросы для самопроверки
1. Запишите вид функции плотности вероятностей нормального распределения. Какими параметрами определяется
нормальное распределение? Каков их вероятностный
смысл?
2. Начертите нормальную кривую. Каков геометрический
смысл параметров нормального распределения? Как влияют на форму нормальной кривой параметры нормального
распределения?
53
3. Как вычислить вероятность попадания в заданный интервал значений нормальной случайной величины? Каков
геометрический смысл этой вероятности?
4. В чем суть правила «трех сигм»? Как найти диапазон изменения значений нормально распределенной случайной величины?
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №№ 131 – 140
131. Вес отдельного батона хлеба данной партии является случайной величиной, описываемой нормальным законом
распределения с математическим ожиданием a = 500 г и
средним квадратическим отклонением s = 8 г. Определить вероятность того, что вес взятого наугад из этой партии батона хлеба лежит в пределах от 496 до 508 г.
132. Срок эксплуатации отдельной электролампы есть нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием a = 1000 ч и средним квадратическим отклонением s = 40 ч. Определить вероятность того, что
срок эксплуатации взятой наугад электролампы из данной
партии находится в пределах от 980 до 1024 ч.
133. Коробки с шоколадными конфетами упаковываются автоматически. Вес конфет в этих коробках можно считать
нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием a = 240 г и средним квадратическим отклонением s = 8 г. Какова вероятность, что вес
конфет в случайно выбранной коробке данной партии
окажется в пределах от 242 до 256 г?
134. Машина упаковывает печенье в пачки с надписью «вес
480 г». Предполагается, что масса пачки печенья распределена по нормальному закону со средним квадратическим
отклонением 12 г. Если покупатель выбирает пачку печенья случайным образом, то какова вероятность, что она
окажется а) легче, чем 480 г; б) тяжелее, чем 495 г?
54
135. Высота деревьев на большом участке леса распределена
по нормальному закону. Средняя высота дерева составляет
9 м, а среднее квадратическое отклонение 0,5 м. Какова на
этом участке доля деревьев высотой от 8 до 10 м?
136. Средняя длина промысловой рыбы в некотором водоеме
составляет 30 см, а среднее квадратическое отклонение
этой длины равно 5 см. Какой процент рыб в этом водоеме
имеют длину от 26 до 30 см, если считать длину рыбы нормально распределенной случайной величиной?
137. Контролируемый размер куриных яиц есть нормально
распределенная случайная величина со средним значением
50 мм и средним квадратическим отклонением 2 мм. Найти вероятность того, что этот контролируемый размер отклоняется от среднего в ту или иную сторону не более чем
на 3 мм.
138. Контролируемый размер плода является случайной величиной, распределенной нормально с математическим ожиданием 7,5 см и средним квадратическим отклонением
1,2 см. Определить процент плодов, имеющих размер
свыше 6 см.
139. Средний контролируемый диаметр стволов деревьев на
некоторой делянке равен 25 см, а среднее квадратическое
отклонение диаметров составляет 5 см. Считая, что диаметр ствола дерева является случайной величиной с нормальным распределением, определить процент стволов,
имеющих диаметр свыше 20 см.
140. В результате наблюдений было установлено, что применение удобрения нового типа приводит к средней урожайности многолетней травы исследуемого вида 40 ц/га сухой
массы при среднем квадратическом отклонении урожайности 8 ц/га. Считая урожайность травы нормально распределенной случайной величиной, определить, какой
процент площадей, засеянных данной культурой, при ис55
пользовании того же удобрения будет давать урожай более
35 ц/га.
Решение типовой задачи
Задача. Для коров некоторой породы удой за лактацию является случайной величиной Х, распределенной по нормальному
закону с математическим ожиданием 3200 кг и средним квадратическим отклонением 300 кг. Каков процент животных, удои которых за лактацию заключены в пределах от 3000 до 3500 кг? Каков диапазон изменения удоев?
Решение. 1. Воспользуемся формулой
æb -aö
æa -a ö
P(a < X < b ) = F ç
÷ - Fç
÷
è s ø
è s ø
при a = 3000, b = 3500, a = 3200, s = 300 :
æ 3000 - 3200 ö
æ 3500 - 3200 ö
P(3000 < X < 3500) = Fç
÷=
÷ - Fç
300
300
è
ø
è
ø
= F (1) - F (-0,66) = F (1) + F(0,66) = 0,3413 + 0,2454 » 0,59.
Полученный результат означает, что примерно 59% коров
будут иметь за период лактации удои в пределах от 3000 до
3500 кг.
2. Чтобы определить диапазон значений случайной величины Х, воспользуемся правилом «трех сигм» и вычислим:
a - 3s = 3200 - 900 = 2300, a + 3s = 3200 + 900 = 4100.
Таким образом, 2300 < X < 4100 . Иначе говоря, практически
достоверно, что для коров данной породы удои за лактацию колеблются в пределах от 2300 до 4100 кг.
56
Тема X. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ОБРАБОТКИ
ВЫБОРОЧНЫХ ДАННЫХ И ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Первичная статистическая информация представляет собой
ряд значений, записанных в той последовательности, в которой
они были получены. Чтобы придать этой информации обозримую
и удобную для изучения форму, используют ряды распределения
и их графические изображения - полигон и гистограмму.
Важнейшей числовой характеристикой распределения является среднее значение.
Свойство животных, растений или технологических изделий
отличаться друг от друга даже в однородной совокупности (на
одной ферме, на одном поле или изготовленных по единой технологии) принято называть изменчивостью (варьированием). Изменчивость признака характеризуют дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Коэффициент вариации позволяет сравнивать изменчивость
признаков, выражаемых в разных единицах измерения (например, высоты и массы). Обычно его выражают в процентах. Изменчивость считается значительной, если коэффициент вариации
больше 20%, средней, если коэффициент вариации больше 10%,
но меньше 20%. Выборочные характеристики позволяют делать
оценки генеральных параметров по данным обследования выборки.
В этой теме необходимо усвоить: 1) методику группировки
выборочных данных и представление их в виде ряда распределения; 2) графическое представление ряда распределения; 3) методику вычисления основных выборочных характеристик и методику оценивания генеральной средней с помощью доверительного интервала.
Вопросы для самопроверки
1. Поясните на примерах понятия генеральной совокупности
и выборки.
57
2. Приведите примеры варьирующих признаков (случайных
величин) и вариант выборки.
3. Что такое вариационный ряд распределения? Как определяется относительная частота варианты?
4. Как строится гистограмма относительных частот распределения? Чему равна ее площадь?
5. Перечислите основные выборочные характеристики. Как
они вычисляются?
6. Что характеризуют дисперсия и среднее квадратическое
отклонение?
7. Для каких целей используют коэффициент вариации?
8. Что характеризует ошибка средней S x ?
9. Что понимают под доверительным интервалом для оценки
генеральной средней x Г ? Как найти доверительный интервал при заданной надежности (доверительной вероятности)
g?
10. Как изменится величина доверительного интервала, если
увеличить надежность g ?
11. Что понимают под представительностью (репрезентативностью) выборки? Как достигается представительность выборки при отборе ее вариант?
12. Как вычислить выборочную среднюю и дисперсию в случае сгруппированных данных?
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №№ 141-150
В ЗАДАЧАХ №№ 141–150 заданы результаты обследования.
Требуется:
1) получить вариационный ряд и построить гистограмму относительных частот;
58
2) вычислить выборочную среднюю x , дисперсию S 2 , среднее
квадратическое отклонение S , коэффициент вариации V ,
ошибку средней S x ;
3) с надежностью 95% указать доверительный интервал для
оценки генеральной средней x Г .
В ЗАДАЧАХ №№ 141–145 представлены результаты обследования по весу (кг) 20 кроликов.
В ЗАДАЧАХ №№ 146–150 представлены результаты обследования 20 телят холмогорских помесей по их живой массе при
рождении (кг).
№ наблюдения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
141
3,1
4,2
5,0
4,6
6,4
5,3
3,8
5,1
4,9
5,4
5,9
6,5
5,5
5,7
4,7
5,6
5,8
7,3
4,7
5,5
142
5,5
5,9
7,5
5,4
3,4
5,2
4,3
4,7
5,8
6,8
4,0
5,7
4,5
5,3
6,3
5,2
4,1
5,1
5,0
6,2
№ задачи
143
3,2
3,8
4,1
4,3
4,3
5,6
6,0
5,7
4,5
5,0
6,7
5,3
5,4
4,7
4,3
5,9
6,5
7,1
3,4
4,6
59
144
6,0
4,5
4,7
5,7
5,2
3,8
4,3
4,3
5,1
5,7
6,3
4,8
5,6
6,4
7,2
5,0
5,3
5,1
4,2
3,7
145
4,8
5,4
4,9
3,8
5,5
5,2
6,4
6,7
5,8
5,4
4,7
3,3
5,1
4,6
5,8
6,0
7,1
5,2
5,5
4,7
№ наблюдения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
146
27
32
31
32
28
37
35
26
28
32
39
34
30
37
26
27
40
35
37
28
147
43
26
35
45
26
35
32
32
35
35
28
32
36
32
36
37
33
28
31
32
№ задачи
148
39
30
30
36
38
24
32
30
31
28
36
36
26
27
35
37
28
31
27
37
149
36
36
28
31
30
32
24
38
36
30
30
39
32
27
36
32
34
26
23
28
150
26
35
45
26
35
32
32
35
35
28
32
36
32
36
37
33
28
31
36
33
Решение типовой задачи
Задача. Из крупной партии хлебных батонов, изготовленных по единой технологии на стандартном оборудовании, произведена случайная выборка. Получено 20 вариант массы (г) хлебного батона: 746,4; 754,4; 749,3; 740,3; 743,4; 754,5; 746,0; 741,2;
761,4; 745,7; 748,5; 763,1; 744,8; 754,2; 750,4; 751,7; 753,1; 748,3;
762,7; 745,4.
1. Получить вариационный ряд и построить гистограмму
относительных частот.
60
2. Найти
основные
выборочные
характеристики:
x , S 2, S, V , Sx .
3. С надежностью 95% указать доверительный интервал для
оценки генеральной средней x Г .
Решение. Ранжируем исходные данные, т.е. запишем вариационный ряд: 740,3; 741,2; 743,4; 744,8; 745,4; 745,7; 746,0;
746,4; 748,4; 748,5; 749,3; 750,4; 751,7; 753,1; 754,2; 754,4; 754,5;
761,4; 762,7; 763,1.
Максимальное значение признака равно 763,1 г, а минимальное - 740,3 г. Разница между ними составляет 22,8 г. Этот
интервал надо разбить на определенное количество классов. При
малом объеме выборки (20-40) вариант намечают 5-6 классов.
Возьмем длину классового интервала D = 5 . Получаем пять интервалов: первый 739 -744, второй 744 - 749, третий 749 - 754,
четвертый 754 - 759, пятый 759 - 764 (начало первого класса не
обязательно должно совпадать со значением наименьшей варианты, а конец последнего класса - со значением наибольшей варианты).
С помощью вариационного ряда определим частоту попадания вариант выборки в каждый интервал. В первый интервал попадает три значения: 740,3; 741,2; 743,4, поэтому m1 = 3 . Во второй интервал попадают семь значений: 744,8; 745,4; 745,7; 746,0;
746,4; 748,4; 748,5, поэтому m2 = 7 . Аналогично получаем
m3 = 4; m4 = 3; m5 = 3.
Теперь найдем относительные частоты попадания вариант
выборки в каждый интервал:
m1 3
=
= 0,15
n 20
m
7
w2 = 2 =
= 0, 35
n
20
w1 =
(для первого интервала);
(для второго интервала);
61
4
m3
=
= 0, 20
n 20
m
3
w4 = 4 =
= 0,15
n
20
3
m
w5 = 5 =
= 0,15
n
20
w3 =
(для третьего интервала);
(для четвертого интервала);
(для пятого интервала).
Для проверки вычисляем сумму относительных частот:
w1 + w2 + w3 + w4 + w5 = 0,15 + 0, 35 + 0, 20 + 0,15 + 0,15 = 1.
Тот факт, что в сумме получили единицу, подтверждает
правильность вычислений.
w
По формуле pi¢ = i вычислим плотности pi¢ относительD
ных частот вариант. Получаем:
w1 0,15
=
= 0, 03
(для первого интервала);
D
5
w
0,35
p2¢ = 2 =
= 0, 07
(для второго интервала);
D
5
w
0, 20
p3¢ = 3 =
= 0, 04
(для третьего интервала);
D
5
w
0,15
p4¢ = 4 =
= 0, 03
(для четвертого интервала);
D
5
w
0,15
p5¢ = 5 =
= 0, 03
(для пятого интервала).
D
5
Полученные результаты сведем в таблицу 10.1.
p1¢ =
Строим гистограмму относительных частот - ступенчатую
фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых
являются классовые интервалы, а высотами - соответствующие
значения плотностей относительных частот pi¢ . Классовые интервалы изображают на оси абсцисс, а значения pi¢ откладывают на
оси ординат.
62
Таблица 10.1
Интервалы
значений мас- 739-744 744-749 749-754 754-759 559-764
сы батона
3
7
4
3
3
Частоты вариант, mi
Относительные
0,15
0,35
0,20
0,15
0,15
частоты, wi
Плотности относительных
0,03
0,07
0,04
0,03
0,03
частот, p ¢
i
Для нашего примера гистограмма относительных частот
изображена на следующем рисунке:
2. Основные выборочные характеристики вычисляются по
формулам:
1 n
x = å xi
n i =1
выборочная средняя;
1 n
S =
( xi - x )2
å
n - 1 i =1
исправленная выборочная дисперсия;
2
63
исправленное среднее
квадратическое отклонение;
S = S2
Sx =
V=
S
n
ошибка средней;
выборочный коэффициент вариации.
S
×100%
x
Расчеты x и S 2 удобно проводить с помощью таблицы:
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
å
Результаты
обследования, xi
746,4
754,4
749,3
740,3
743,4
754,5
746,0
741,2
761,4
745,7
748,5
763,1
744,8
754,2
750,4
751,7
753,1
748,4
762,7
745,4
15004,9
xi - x
-3,845
4,155
-0,945
-9,945
-6,845
4,255
-4,245
-9,045
11,155
-4,545
-1,745
12,855
-5,445
3,955
0,155
1,455
2,855
-1,845
12,455
-4,845
0
64
( xi - x ) 2
14,784
17,264
0,910
98,903
46,854
18,105
18,020
81,812
124,434
20,657
3,045
165,251
29,648
15,642
0,0240
2,117
8,151
3,404
155,127
23,474
847,626
Просуммировав варианты xi , занесем сумму
20
å xi в нижнюю
i =1
строку таблицы в соответствующий столбец. Разделив эту сумму
на 20, получим
15004,9
x=
= 750,245 .
20
Теперь заполняем следующий столбец таблицы, в котором
записываем разности xi - x . Для контроля можно вычислить
сумму всех таких разностей. Если разности вычислены правильно, то их сумма равна нулю. Затем возводим эти разности в квадрат и заполняем последний столбец таблицы. Вычислив сумму
20
å ( xi - x )
2
= 847, 626 и разделив ее на n - 1 = 20 - 1 = 19, полу-
i =1
чим значение исправленной выборочной дисперсии:
847,626
= 44,612 .
19
Далее находим исправленное выборочное среднее квадратиS2 =
ческое отклонение: S = S 2 = 44,612 = 6,679 .
Затем вычисляем ошибку средней:
6,679
= 1,494 .
20
Теперь можно найти коэффициент вариации:
Sx =
V=
6,679
×100% = 0,89% .
750,245
Поскольку V = 0,89% , изменчивость массы батона хлеба
достаточно мала, следовательно, точность работы оборудования
при выработке штучных изделий можно считать приемлемой.
3. Доверительный интервал для оценки генеральной средней
определяется системой неравенств x - tg S x < x Г < x + tg S x , где
величина tg при заданной надежности g = 0,95 определяется по
65
таблицам приложения 2 с учетом уровня значимости a = 1 - g
и числа степеней свободы n = n - 1 . В нашем примере:
tg = t (a ; n ) = t (0, 05; 19) = 2, 09.
Теперь вычисляем радиус доверительного интервала:
tg × S x = 2, 09 ×1, 494 » 3,122 .
Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что
во всей партии хлебных батонов среднее значение массы батона
(генеральная средняя) заключено в пределах от x - tg S x = 748,123
(гарантированный минимум) до x + tg S x = 753,367 г (возможный
максимум).
Тема XI. КОРРЕЛЯЦИЯ И РЕГРЕССИЯ
В живой природе связь между признаками проявляется таким образом, что каждому значению одного признака соответствует не одно значение другого, а целое распределение этих значений. Такая связь называется корреляционной. Например, корреляционными являются связи между ростом человека и его массой, между длиной туши свиньи и толщиной шпика, между урожайностью пшеницы и количеством осадков, выпавших в апреле,
между содержанием нитратов в почве в наземной части растения
и т.д.
Для корреляционной зависимости характерна разная степень тесноты (силы) связи. Числовой характеристикой тесноты
линейной корреляционной связи между признаками X и Y служит
выборочный коэффициент корреляции r , который ищется по
формуле
å ( xi - x ) × ( yi - y )
r=
.
2
2
å ( xi - x ) × å ( yi - y )
Отметим ниже наиболее важные свойства выборочного коэффициента корреляции.
1. - 1 £ r £ 1 .
66
2. Чем ближе величина r к –1 или к 1, тем более тесной является линейная корреляционная связь между признаками. С
приближением r к нулю эта связь ослабевает. Если r = 0 , то говорят, что признаки не коррелируют, т.е. можно считать, что между ними нет линейной корреляционной связи (это не исключает
существования какой-то нелинейной корреляционной зависимости).
Как и всякий выборочный показатель, коэффициент корреляции r имеет свою ошибку репрезентативности:
1- r2
Sr =
.
n-2
Поскольку величина r рассчитывается по вариантам выборки, то естествен вопрос о том, насколько правомерно переносить
вывод о существовании линейной корреляционной зависимости
между признаками с выборочной совокупности на генеральную.
Иными словами, возникает вопрос о достоверности коэффициента корреляции. Этот вопрос решается с помощью критерия
достоверности:
r
tr =
.
Sr
По заданному уровню значимости a (иначе говоря, по заданной надежности g = 1 - a ) с учетом числа степеней свободы
n = n - 2 по таблицам критических точек распределения Стьюдента определяют стандартное значение критерия tst = t (a , n ) и
сравнивают его с эмпирическим значением критерия tr , делая
итоговые выводы:
если tr > tst , то коэффициент корреляции признают достоверным (статистически значимым);
если tr < t st , то коэффициент корреляции признается недостоверным.
Анализ формул для tr и S r показывает, что при большом
объеме выборки даже малый коэффициент корреляции может
быть достоверным. В случае выборки небольшого объема досто67
верным может оказаться лишь такой коэффициент корреляции,
абсолютная величина которого близка к 1.
В корреляционно-регрессионном анализе выделяют две основные задачи: о тесноте связи и о форме связи.
Под формой корреляционной связи понимают уравнение
(формулу), связывающее значение одного признака (независимой
переменной) с условными средними другого признака.
Количественные выводы о том, как изменяется один признак (зависимая переменная) при изменении другого признака
(независимой переменной) позволяет сделать уравнение регрессии. Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид:
y x - y = b y x ( x - x ),
где b y x - выборочный коэффициент регрессии:
( x - x ) × ( yi - y )
by x = å i
.
2
å ( xi - x )
Выборочное уравнение прямой регрессии определяет на
плоскости прямую линию, проходящую через точку M 0 ( x , y ) с
угловым коэффициентом k = b y x . Величина b y x показывает,
насколько в среднем изменится признак Y (точнее, насколько изменится y x ), если значение признака X увеличить на 1.
Вопросы для самопроверки
1. Что понимают под корреляционной зависимостью? Приведите примеры.
2. Что такое корреляционное поле?
3. Что характеризует выборочный коэффициент корреляции?
Напишите формулу для его вычисления. Какие значения он
может принимать?
4. Что можно сказать о связи между двумя признаками, если
коэффициент корреляции равен нулю? Равен единице?
68
5. Какая разница между положительной (r > 0) и отрицательной (r < 0) корреляцией?
6. Как вычисляется ошибка репрезентативности коэффициента
корреляции?
7. В чем состоит вопрос о достоверности коэффициента корреляции? Как проводится исследование коэффициента корреляции на достоверность?
8. Что влияет на достоверность коэффициента корреляции?
9. Напишите формулу для вычисления коэффициента регрессии. Что характеризует этот коэффициент?
10. Напишите выборочное уравнение прямой линии регрессии.
Как можно построить эту прямую?
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №№ 151-160
В ЗАДАЧАХ №№ 151–160 требуется:
1) найти выборочный коэффициент корреляции и сделать
вывод о тесноте и направлении линейной корреляционной связи между признаками;
2) составить выборочное уравнение прямой регрессии Y на
X;
3) нанести на чертеж исходные данные и полученную прямую регрессии;
4) оценить достоверность коэффициента корреляции.
В ЗАДАЧАХ №№ 151–155 представлены данные о длине
туши X (см) и толщине шпика Y (мм) для свиней различных пород.
В ЗАДАЧАХ №№ 156–160 представлены результаты измерений у 10 телят по глубине груди X (см) и живой массе Y (кг).
69
№ наблюдения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
№ наблюдения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
151
Х
97
104
103
98
101
102
100
99
96
98
Y
51
59
78
63
73
68
65
62
70
62
№ задачи
158
159
160
Х
Y
Х
Y
Х
Y
103 79 85 56 97 61
96 61 94 63 89 48
93 59 92 60 95 59
100 68 104 70 106 75
89 55 101 64 98 62
97 70 98 59 92 67
98 66 93 61 85 60
87 54 87 49 94 72
106 75 99 58 103 78
97 61 95 65 97 58
152
Y
Х
35 93
31 101
32 95
34 97
30 102
33 94
31 96
34 100
35 95
32 92
156
Х
91
86
94
95
104
92
98
84
96
99
Y
36
31
34
35
30
35
36
31
36
37
№ задачи
153
Х
Y
104 31
98 35
100 32
102 31
99 32
97 33
95 36
101 32
103 30
98 35
157
Y
62
43
60
73
87
65
79
52
65
68
Х
82
101
105
96
98
112
106
93
110
91
154
Х
95
90
103
104
89
97
101
96
99
102
155
Y
Х
36 102
37 95
32 97
31 98
37 94
35 90
34 100
34 101
33 93
32 96
Y
32
37
35
34
37
38
30
31
36
35
Решение типовой задачи
Задача. Для 10 петушков леггорнов 15-дневного возраста
были получены следующие данные о весе их тел (Х, г) и весе
гребней (Y, мг):
70
X
Y
83
56
72
42
69
18
90
84
90
56
95
107
95
90
91
68
75
31
70
48
1. Найти выборочный коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте и направлении линейной корреляционной связи между признаками.
2. Составить выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.
3. Нанести на чертеж исходные данные и полученную прямую
регрессии.
4. Оценить достоверность коэффициента корреляции.
Решение. 1. Для расчета выборочных коэффициентов корреляции и регрессии промежуточные вычисления удобно располагать в следующей таблице (ее столбцы, начиная с третьего,
требуют предварительного вычисления x , y , которые найдены
ниже):
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
S
xi
yi
xi - x ( xi - x ) 2
yi - y ( yi - y ) 2 ( xi - x ) × ( yi - y )
83
56
0
0
-4
16
72
42
-11
121
-18
324
69
18
-14
196
-42
1764
90
84
7
49
24
576
90
56
7
49
-4
16
95 107
12
144
47
2209
95
90
12
144
30
900
91
68
8
64
8
64
75
31
-8
64
-29
841
70
48
-13
169
-12
144
830 600
0
1000
0
6854
Вычисляем выборочные средние:
830
600
x=
= 83; y =
= 60.
10
10
71
0
198
588
168
-28
564
360
64
232
156
2302
Отметим, что равенство нулю полученных сумм в четвертом
и шестом столбцах таблицы говорит о правильности вычислений
в этих столбцах и найденных значений выборочных средних.
Ищем выборочный коэффициент корреляции:
r=
å ( xi - x ) × ( yi - y )
å ( xi - x )2 × å ( yi - y )2
=
2302
1000 × 6854
» 0,88 .
Вывод: по данным наблюдений можно предположить, что
между признаком Х - весом тел и признаком Y - весом гребней у
15-дневных петушков существует тесная положительная линейная корреляционная связь.
2. Используя данные таблицы, найдем коэффициент регрессии:
by
x
=
å ( xi - x ) × ( yi - y ) = 2302 = 2, 3.
1000
å ( xi - x )2
Теперь найденные значения x , y и b y x подставляем в выборочное уравнение прямой регрессии Y на X :
y x - y = by x ( x - x ) .
В результате, так как в нашем случае y x = y , получаем
y - 60 = 2,3( x - 83)
или после простейших преобразований
y = 2, 3x - 130, 9 .
3. Нанесем исходные данные на координатную плоскость и
получим соответствующее этим данным корреляционное поле
(рис. 11.1); здесь 1 – (83; 56), 2 – (72; 42), 3 – (69; 18), 4 – (90; 84),
5 – (90; 56), 6 – (95; 107), 7 – (95; 90), 8 – (91; 68), 9 – (75; 31), 10 –
(70; 48)).
Чтобы построить прямую регрессии по найденному уравнению, достаточно двух точек. Для определения этих точек поступают следующим образом:
72
1) берут наименьшее (или близкое к нему) и наибольшее (или
близкое к нему) из наблюдавшихся значений признака Х (возьмем
x1 = 69, x2 = 95 );
2) вычисляют соответствующие теоретические (предсказанные) значения Y по уравнению регрессии (в нашей задаче
y = 2, 3x - 130, 9 ):
По полученным в результате двум точкам и строят прямую
регрессии. Тогда тот факт, что точка M (x , y ) лежит на построенной прямой (проверьте в нашем случае), можно использовать
для проверки правильности проведенного построения.
Рис.11.1. Корреляционное поле и прямая регрессии
4. Для оценки достоверности коэффициента корреляции
ищем его ошибку
1- r2
1 - 0,882
Sr =
=
= 0, 0282 » 0, 77
n-2
8
и критерий достоверности
r
0,88
tr =
=
» 5,18 .
S r 0, 77
73
По таблицам критических точек распределения Стьюдента
(приложение 2) с учетом числа степеней свободы n = 8 найдем
стандартные значения критерия для уровней значимости 0,05;
0,01; 0,001:
tst = {2,31; 3,36; 5,04}.
Так как эмпирическое значение критерия tr = 5,18 больше
любого из полученных значений tst , то можно утверждать (даже
на уровне значимости 0,001), что коэффициент корреляции r
достоверен. Это значит, что заключение о существовании между
признаками Х и Y линейной положительной корреляционной связи можно перенести с выборочной совокупности на генеральную.
З а м е ч а н и е. Если бы оказалось, что tr < tst , то это не позволило бы заключить, что коэффициент корреляции достоверен,
т.е. вывод о существовании между признаками Х и Y линейной
корреляционной связи был бы справедлив только для выборочной, но не для генеральной совокупности.
74
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
x
-z
1
e
Таблица значений функции F( x ) =
2p ò
x
F( x)
x
F( x)
x
F( x)
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
75
2
0
2 dz
x
F( x)
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
x
F( x)
x
F( x)
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
Продолжение приложения 1
F( x)
F( x)
x
x
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
76
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,4986
0,4993
0,4997
0,4998
0,4999
0,5000
0,5000
5,00
0,5000
Приложение 2
Критические точки t - распределения Стьюдента
Число степеней
свободы n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
24
26
28
30
40
60
120
¥
0,05
12,7
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,36
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,14
2,13
2,12
2,11
2,10
2,09
2,09
2,08
2,07
2,06
2,06
2,05
2,04
2,02
2,00
1,98
1,96
Уровень значимости a
0,01
63,7
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,05
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
2,86
2,85
2,83
2,82
2,80
2,78
2,76
2,75
2,70
2,66
2,62
2,58
77
0,001
637,0
31,6
12,9
8,61
6,86
5,96
5,40
5,04
4,78
4,59
4,44
4,32
4,22
4,14
4,07
4,01
3,96
3,92
3,88
3,85
3,82
3,79
3,74
3,71
3,66
3,65
3,55
3,46
3,37
3,29
ОГЛАВЛЕНИЕ
Общие методические указания ……………………………...
Библиографический список …………………………………
Программа курса «Математика»……………………………..
Тема I. Элементы линейной алгебры ……………………….
Задачи контрольной работы №№ 1-10 ……………………..
Тема II. Элементы аналитической геометрии на плоскости
Задачи контрольной работы №№ 11-20 ……………………
Тема III. Элементы дифференциального исчисления ……..
Задачи контрольной работы №№ 21-30 ……………………
Задачи контрольной работы №№ 31-40 ……………………
Тема IV. Элементы интегрального исчисления ……………
Задачи контрольной работы №№ 41-50 ……………………
Задачи контрольной работы №№ 51-60 ……………………
Тема V. Дифференциальные уравнения ……………………
Задачи контрольной работы №№ 61-70 ……………………
Задачи контрольной работы №№ 71-80 ……………………
Тема VI. Ряды ………………………………………………...
Задачи контрольной работы №№ 81-90 ……………………
Тема VII. Классическое определение вероятности
случайного события, Теоремы сложения и умножения
вероятностей ………………………………………………….
Задачи контрольной работы №№ 91-120 ………………….
Тема VIII. Случайные величины и их числовые характеристики …………………………………………………………..
Задачи контрольной работы №№ 121-130 ..………………..
Тема IX. Нормальное распределение ……………………….
Задачи контрольной работы №№ 131-140 …………………
Тема X. Простейшие приемы обработки выборочных данных и оценка параметров распределения …………………..
Задачи контрольной работы №№ 141-150 ………………..
Тема XI. Корреляция и регрессия …………………………..
Задачи контрольной работы №№ 151-160…………………
Приложения …………………………………………………..
78
3
4
4
8
8
16
17
22
22
25
29
30
32
35
36
38
40
41
43
43
48
49
52
54
57
58
66
69
75
Учебное издание
Дементьев Сергей Николаевич
Кораблина Надежда Алексеевна
Слиденко Александр Михайлович
Стрыгина София Олеговна
МАТЕМАТИКА
Методические указания
и индивидуальные контрольные задания
для студентов заочной формы обучения
по специальности 080401 «Товароведение и экспертиза товаров»
факультета технологии животноводства и товароведения
Издается в авторской редакции
Подписано в печать 24.02.2010 г. Формат 60х841/16
Бумага кн.-журн. Усл. п.л. 4,6. Гарнитура Таймс.
Тираж 100 экз. Заказ №4317
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный аграрный университет имени К.Д. Глинки»
Типография ФГОУ ВПО ВГАУ 394087, Воронеж, ул. Мичурина, 1
Информационная поддержка: http://tipograf.vsau.ru
Отпечатано с оригинал-макета заказчика. Ответственность за содержание
предоставленного оригинал-макета типография не несет.
Требования и пожелания излагайте авторам данного издания.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа