close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

227.Учебно-методическое пособие и контрольные задания по физике и биофизике для самостоятельной работы студентов заочного отделения факультета ветеринарной медицины Электронный ресурс Воронеж. гос. аграр. ун-т сост. А.Н

код для вставкиСкачать
ФГОУ ВПО «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени К.Д. ГЛИНКИ»
КАФЕДРА ФИЗИКИ
Учебно-методическое пособие и
контрольные задания по физике и
биофизике для самостоятельной работы
студентов заочного отделения
факультета ветеринарной медицины
Воронеж – 2010
Cоставители:
доцент А.Н. Ларионов, профессор В.С. Воищев,
доцент О.В. Воищева.
Под общей редакцией доктора физико-математических наук, заслуженного деятеля науки и техники РФ, заведующего кафедрой
физики, профессора В.С. Воищева.
Рецензент: заведующий кафедрой общей физики ВГУ, доктор
физико-математических наук, профессор Чернышёв В.В.
Печатается по решению: кафедры физики (протокол № 14 от
21 июня. 2010 г.), методической комиссии факультета ветеринарной медицины (протокол № 9 от 29.06.2010 г.), методической комиссии агроинженерного факультета (протокол № 10 от 29.
06.2010 г.).
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Методические указания для выполнения контрольных работ и
решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Математический минимум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Кинематика и динамика материальной точки твёрдого тела . .
Механика жидкости и газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Механические колебания и волны.
Упругие свойства твёрдых тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Молекулярная физика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Термодинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Электростатика и постоянный ток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Переменный ток. Электромагнетизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Оптика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Таблицы вариантов контрольных работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
6
12
22
27
35
41
47
59
66
71
71
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ
КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Учебная работа студентов заочного отделения при изучении
курса физики складывается из очных занятий и самостоятельной
работы, включающей выполнение контрольных работ в соответствии с учебным планом. Решение физических задач следует выполнять в определённой последовательности, используя примеры
решения задач, приведённые в начале каждого раздела и соблюдая указанные ниже рекомендации.
1. Контрольные работы нужно выполнить шариковой ручкой в тонкой тетради в клетку, на обложке которой приводятся
фамилия, имя и отчество, факультет, специальность, шифр, номер
контрольной работы и адрес студента.
2. Номера задач, которые студенты заочного отделения
должны включить в свои контрольные работы, определяются по
таблицам вариантов. Номер варианта для каждого студента совпадает с последней цифрой его шифра.
3. Задачи контрольных работ должны иметь те же номера,
под которыми они приведены в методических указаниях. Условия задач необходимо переписывать полностью и каждую задачу
начинать с новой страницы. Для замечаний рецензента следует
оставлять поля шириной 4…5 см.
4. Решения задач следует сопровождать исчерпывающими
пояснениями. В тех случаях, когда это необходимо, решение следует пояснить рисунком.
5. Решение большинства задач сводится к составлению и
решению алгебраических уравнений, отражающих заданный физический процесс. Поэтому решение задач следует выполнять в
общем виде, то есть выразить неизвестную величину в буквенных
обозначениях величин, заданных в условии. Ответ, полученный в
общем виде, позволяет проанализировать решение, тогда как числовой ответ такой возможности не даёт.
6. После получения расчётной формулы для проверки её
правильности следует подставить в правую часть формулы вместо символов величины, обозначения единиц этих величин, произвести с ними необходимые действия и убедиться в том, что по4
лученная при этом единица соответствует единице измерения искомой величины.
7. Числовые значения величин при подстановке их в расчётную формулу следует выражать только в единицах СИ. При подстановке в расчётную формулу, а также при записи ответа, числовые значения величин следует записывать как произведение
десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на соответствующую степень десяти.
8. При арифметических расчётах следует использовать приведённые ниже правила приближённых вычислений, ограничиваясь количеством значащих цифр, определённых условиями задачи.
9. При решении задач следует пользоваться таблицами основных формул, приведённых в каждом разделе пособия, а также
материалами математического минимума, представленного во
вводной части.
5
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ,
НЕОБХОДИМЫЙ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ФИЗИКИ
1. АРИФМЕТИКА
Правила сложения и вычитания простых дробей:
а с а ×d ± в×с
± =
.
в d
в ×d
Правило умножения простых дробей: “Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби”:
а с а ×с
× =
в d в×d .
Правило деления простых дробей: “чтобы разделить
дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить
на знаменатель второй дроби, а знаменатель первой дроби
умножить на числитель второй дроби”:
а с а×d
: =
в d в ×c .
2. АЛГЕБРА
Неприведенное квадратное уравнение:
а × х + в × х + с = 0 и его решение:
2
- в ± в2 - 4× а × с
х=
.
2×а
Преобразования алгебраических выражений:
( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 ;
a 2 - b 2 = ( a + b) × ( a - b) ;
a 3 ± b 3 = (a ± b) × (a 2 m ab + b 2 ) ;
(a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 .
6
1000=10 3 ;
0,1=10 -1;
100=10 2;
(10 –a) b =10 –
a·b
;
a
b
a+b
10 ·10 =10 ;
0,01=10 -2;
1
3
-3
10=10 ;
0,001=10 ;
Действия со степенями
n
n
аn
æаö
ç ÷ = n
в
èвø
a
=a
m
( а)
m
n
а n × а m = а ( n+ m)
n
аm
= а ( m - n)
n
а
m n
1
2 3
)
=a
Действия с корнями
(а × в × с...) n = а n × в n × c n × ...
(а )
a = (a
2
а
=
в
n
m
n
= n am
n
а
n
в
а × в × с... = n а × n в × n с .
= а ( m× n )
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Скалярное произведение векторов: c = (а × в) = а × в × cosa .
Векторное произведение векторов: c = [ а в ]; с = а × в × sin a .
(Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю).
Проекция вектора на ось
а
о
с
с х = -с
ах = а
а х - проекция вектора а . а - модуль вектора а.
7
х
2
3
Сложение двух векторов
с =а + в
в
a
с = а 2 + в 2 + 2 × а × в × cos a
а
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
Логарифмом числа
N по основанию а называют пока-
Х, в которую нужно возвести число а, чтоlog а N = Х - эта запись совершенбы получить число N:
аХ = N .
но равнозначна записи
затель степени
- Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:
log( N1 × N 2 ) = log N1 + log N 2 .
- Логарифм частного равен разности между логарифмом
числителя и логарифмом знаменателя:
log
N1
= log N1 - log N 2 .
N2
- Логарифм степени равен произведению показателя сте-
пени на логарифм ее основания: log N
m
= m × log N .
- Логарифм корня равен частному от деления логарифма
подкоренного числа на показатель корня:
log m N =
log N
m .
Натуральными логарифмами называют логарифмы по основанию е:
вают:
ln X
log e Х . Натуральные логарифмы обычно записы. (Основание натурального логарифма е » 2,718 ).
8
Десятичными логарифмами называют логарифмы по ос-
log10 Х . Десятичные логарифмы обычно записы-
нованию 10:
вают:
lg X
.
Связь между десятичным и натуральным логарифмами:
lg N » 0,43 × ln N .
3. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Тригонометрическими функциями острого угла прямоугольного треугольника называют отношения различных пар
сторон треугольника:
с
a
в
а
p
2
в
а
cos
a
=
sin a = ;
с;
c
в
а
tga = ; ctga = .
в
а
Теорема
с2 = а2 + в2 .
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
cos(a +
p
) = - sin a ;
2
sin(a + p ) = - sin a ;
cos a = sin( a +
Пифагора:
p
);
2
sin(a ± b ) = sin a × cos b ± cos a × sin b ;
cos(a ± b ) = cos a × cos b m sin a × sin b ;
sin 2 a + cos 2 a = 1 ;
9
tg a =
sin a
cos a ;
ctg =
Радианное измерение
cos a
sin a
.
180 о
» 57 о17 ' 45'' .
углов: 1 радиан =
p
4. ПРОИЗВОДНЫЕ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Элементарные Производные эле- Неопределенные интегралы
функэлементарных функций:
функции: f (t ) ментарных
df (t )
ò f (t ) dt
ций:
dt
tn
n × t n -1
аt
а t × ln а
еt
еt
1
t
-
1
t2
sin t
cos t
cos t
- sin t
tg t
ctg t
a = const
a ×t
1
cos2 t
1
- 2
sin t
0
a
t n +1
ò t × dt = n + 1 + C
at
t
ò a × dt = ln a + C
t
t
ò e × dt = e + C
n
1
ò t × dt = ln t + C
ò sin t × dt = - cos t + C
ò cos t × dt = sin t + C
ò tg t × dt = - ln cos t + C
ò ctg t × dt = ln sin t + C
ò a × dt = a × ò dt =at + C
t2
ò (a × t ) × dt = a × ò t × dt = a × 2 + C
10
Правила округления
При выполнении вычислений с приближёнными числами
необходимо учитывать следующие правила.
1. При сложении и вычитании все слагаемые округляют до
сомнительной цифры, стоящей в самом высшем разряде, а затем
выполняют сложение. Например,
x = 3,14 + 0,847 + 0,936 + 0,0646 + 0,0483 »
» 3,14 + 0,85 + 0,94 + 0,06 + 0,05 = 5,04.
Если округления не делать, то сумма будет равна 5,0359, где
последние цифры сомнительны, поскольку в первом слагаемом
верных цифр две, третья – сомнительная, а далее могут быть неизвестные цифры. Округление существенно упростило получение
результата без потери точности.
2. При умножении и делении в полученном результате будет
столько значащих цифр, сколько их содержится в исходном данном с наименьшим количеством значащих цифр. Предварительно
следует округлить все числа, оставляя одну запасную цифру. Например,
x = 0,035835 × 62,5 » 0,058 × 62,5 » 2,23.
3. При возведении в степень и извлечении корня у приближённого числа следует оставить количество значащих цифр, равное их числу в основании. Например,
x = 2,843 » 22,9.
Число, полученное в результате извлечения корня любой
степени, должно содержать столько же значащих цифр, сколько
их содержалось в числе под корнем. Например,
x = 8,4700 » 2,9103.
4. При логарифмировании в мантиссе приближённого числа
должно быть столько же значащих цифр, сколько их содержится
в логарифмируемом числе. Например,
ln 25,0 » 3,22.
Округления необходимы, поскольку излишне большое число приводимых десятичных знаков создаёт ложное представление
о большой точности результата.
11
I.
КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ
ТОЧКИ И ТВЁРДОГО ТЕЛА
1.1. Основные законы и формулы
Кинематика поступательного движения
материальной точки
Радиус-вектор материальной точки
r r r
r
r
r r
(x, y, z – координаты точки, i , j , k r = i ×x+ j × y +k ×z
единичные векторы, направленные
вдоль осей x, y и z)
r
r dr
u=
Мгновенная скорость
dt
r
r
r du d 2 r
Мгновенное ускорение
a=
=
dt dt 2
Нормальное (центростремительное)
u2
ац =
ускорение
R
du
Тангенциальное (касательное) ускоаt =
рение
dt
а = а n2 + at2
Полное ускорение
r
an
r
at
·
R
r
a
О
12
r
u
Кинематика вращательного движения
материальной точки
dj
Мгновенная угловая скоw=
рость
dt
dw d 2j
Мгновенное угловое усe=
= 2
корение
dt
dt
Угловая скорость точки
2p
w = 2p × n =
при вращении
T
по окружности
Связь между линейной и
угловой скоростями
υ = ω× R
Связь между линейным
и угловым ускорениями
аτ = ε × R
Динамика поступательного движения
ur
r
r
ur внешн.
d 2r
dP
Второй закон Ньютона F
, F =m 2
=
dt
dt
F 1.2 = - F 2.1
F = -kx
Третий закон Ньютона
Закон Гука
p = m ×u = m ×
Импульс тела
n
dr
dt
P = å mi ×u i = const
Закон сохранения импульса
i =1
13
Динамика вращательного движения
Момент силы относительно полюса
М = r×F
Момент силы относительно неподM АВ = F × l
вижной оси
Момент
импульса
материальной
L= r×p
точки относительно полюса
Момент
импульса
материальной
точки относительно неподвижной
LАВ = p × l
оси АВ
Связь между моментом импульса и
моментом инерции материальной
LАВ = I АВ × w
точки относительно неподвижной
оси АВ
[ ]
[ ]
Основной закон динамики вращательного движения твердого тела
M АВ = I АВ × ε ;
Уравнение моментов
M =
Закон сохранения момента импульса
для изолированной механической системы
Кинетическая энергия вращающегося
тела
n
åI
I ×w2
Ек =
2
F
МАВ
a
r ·N
a
O
В
l
14
× wi = const
i =1
А
М
i
dL
dt
C
Механическая энергия и работа
Потенциальная энергия упруго деформированного тела
(пружины)
Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести Земли
k ×x2
Еп =
2
Eп = m × g × h
m ×u 2
p2
=
Ек =
2
2m
Кинетическая энергия тела
в поступательном движении
Закон сохранения энергии в
механике
Механическая работа постоянной силы
Е = Е k + E п = const
A = F × S × cos a = ( F × S )
Механическая работа переменной силы на участке 1→2
2
2
1
1
А = ò F × cosa × dS = ò ( F × d S )
N=
Мгновенная мощность
15
dA
dt
Единицы измерения
физических величин в механике
Основные единицы
Наименование
Обозначение
Обозначение
Масса
Длина
Время
Угол
m
s
t
кг
м
c
рад
j
Производные единицы
Название
Обозначение
Линейная скорость
u
Угловая скорость
w
Линейное ускорение
а
Угловое ускорение
e
Сила
Момент силы
Импульс
F
М
р
Момент импульса
L
Момент инерции
Работа
Энергия
Мощность
Частота
I
А
Е
N
n
16
Единица измерения
м
с
рад
с
м
с2
рад
с2
Н
Н×м
кг × м
с
кг × м 2
с
кг × м2
Дж
Дж
Вт
с -1 ,
Гц
1.2. Примеры решения задач
Пример № 1.2.1. Координата материальной точки при её движении вдоль оси х изменяется со временем по закону:
x(t)=A+B·t+C·t2, где А=2 м, В=-1 м/с, С=0,4 м/с2. Найти координату х, скорость υ и ускорение а точки в момент времени t=5 c
после начала движения.
Дано:
|
Решение
2
x(t)=A+B·t+C·t ,| 1. Координата материальной точки через t=5 c
А=2 м,
| после начала движения равна: x(t)=A+B·t+C·t2 =
В=-1 м/с,
| =2-5+0,4·52=2-5+10=7 м.
С=0,4 м/с2 ,
| 2. Скорость материальной точки равна первой
t=5 c
| производной координаты по времени:
х - ? υ - ? а- ? |
dx
u=
= B + 2 × C × t . Подстановка числовых знаdt
чений даёт: u = -1 + 2 × 0,4 × 5 = 3 м / с .
3. Ускорение материальной точки равно первой производной
du
= 2 × C. Подстановка числовых знаскорости по времени: a =
dt
чений даёт: a = 2 × 0, 4 = 0,8 м / с 2 .
Ответ: х=7 м; υ=3 м/с; а=0,8 м/с2 .
Пример № 1.2.2. Зависимость угла поворота барабана косилки
КС-1 от времени имеет вид: φ=А+В·t+C·t2, где В=0,8 рад/с,
С=0,25 рад/с2. Найти угловую скорость вращения барабана и линейную скорость точек его поверхности через t=10 с после начала движения. Диаметр барабана d=50 см.
| CИ |
Дано:
Решение
2
φ=А+В·t+C·t ,|
|
1. Угловая скорость есть первая проВ=0,8 рад/с, |
| изводная углового перемещения по вре2
С=0,25 рад/с ,|
|
dj
мени:
w
=
= B + 2×C ×t .
(1)
t=10 с,
|
|
dt
d=50 см
| 0,5 м|
2. Линейная скорость υ связана с угω- ?, υ - ?
|
| ловой скоростью ω соотношением:
d
u =w×R =w× .
(2)
2
3. Подстановка численных значений в формулы (1) и (2) даёт:
17
w = 0,8 + 2 × 0, 25 ×10 = 5,8
u = 5,8 ×
0,5
м
= 1, 45 .
2
с
рад
;
с
Ответ: w = B + 2 × C × t ; w = 5,8
рад
d
м
; u = w × ; u = 1, 45 .
с
2
с
Пример № 1.2.3. Горизонтальная платформа массой т1=200 кг
вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр
платформы с частотой ν1=3 об/мин. Человек массой т2=50 кг
стоит на краю платформы. С какой частотой ν2 будет вращаться
платформа, если человек перейдёт от края платформы к её центру? Платформу считать круглым однородным диском, а человека точечной массой.
|
Дано:
Решение
т1=200 кг,
|
На основании закона сохранения момента
ν1=3 об/мин, | импульса можно записать: J1 × w1 = J 2 × w2 , где
т2=50 кг,
| J - момент импульса платформы с человеком,
1
| стоящем на её краю, а J - момент инерции
2
ν2-?
|
платформы с человеком в её центре.
Считая платформу однородным диском, а человека точечm1 × R 2
ной массой, можно записать: J1 =
+ m2 × R 2 .
2
Поскольку момент инерции точечной массы, находящейся в
m1 × R 2
центре вращения платформы, равен нулю, то J 2 =
.
2
Используя выражение угловой скорости w = 2 × p ×n и формулы момента инерции, закон сохранения импульса можно запиæ m1 × R 2
m1 × R 2
2ö
сать в виде: ç
+ m2 × R ÷ × 2 × p ×n 1 =
× 2 × p ×n 2 .
2
2
è
ø
æm
ö
m1 + 2 × m2
= n1 × ç 1 + 2 ÷ .
m2
è m2
ø
Подстановка числовых значений даёт: n 2 = 0,3 c -1 .
Следовательно: n 2 = n 1 ×
Ответ: n 2 = 0,3 c -1 .
18
1.3. Контрольные задачи
Задача № 1. Вал зерномолотилки МСА-1100, вращаясь равноускоренно, через N=12 оборотов после начала вращения достиг
скорости, соответствующей частоте вращения ν=1150 об/мин.
Найти угловое ускорение вращения вала.
Задача № 2. Рабочее колесо гидротурбины Братской ГЭС вращается с частотой ν=125 об/мин. Определить угловую скорость
вращения колеса и линейную скорость точек на его поверхности,
если диаметр колеса R=5,5 м.
Задача № 3. Колёсный трактор движется со скоростью υ=5,4
км/ч. Определить диаметр колеса трактора, если угловая скорость
вращения колёс ω=2,5 рад/с.
Задача № 4. Коленчатый вал двигателя трактора У-2, вращаясь
равнозамедленно, изменил за t=40 с частоту его вращения от
ν1=1200 об/мин до ν2=720 об/мин. Определить угловое ускорение
вала ε и число оборотов N, сделанных им за это время.
Задача № 5. Барабан молотилки диаметром d=60 см вращается
так, что зависимость угла φ поворота радиуса барабана от времени t задаётся уравнением: j = 2 × B + C × t + D × t 3 , где С=5 рад/с;
D=1 рад/с3; В=const. Найти угловую и линейную скорость точек,
расположенных на поверхности барабана через t=2 с после начала движения.
Задача № 6. Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило скорость своего движения от ν1=300 об/мин до ν2 =180 об/мин в течение t=1 мин. С каким угловым ускорением ε вращалось колесо и
сколько оборотов N оно сделало за это время?
Задача № 7. Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид: x1 = A1 + B1 × t + C1 × t 2 и x2 = A2 + B2 × t +
+C2 × t 2 , где В1=В2 , С1=-2 м/с2, С2 =1 м/с2. Определите: 1) момент
времени, когда скорости этих точек будут равны; 2) ускорения а1
и а2 в этот момент времени.
19
Задача № 8. Якорь электродвигателя, вращающийся с частотой
ν=3000 об/мин, после отключения источника тока остановился,
сделав N=628 оборотов. Определите угловое ускорение ε якоря.
Задача № 9. Точка движется по окружности радиусом R=15 см с
постоянным тангенциальным ускорением аτ. К концу четвёртого
оборота после начала движения линейная скорость точки υ1=
=15 см/с. Определите нормальное ускорение аn2 точки через
t2=16 с после начала движения.
Задача № 10. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что
зависимость угла поворота радиуса диска от времени задаётся
уравнением j = A × t 2 , где А=0,5 рад/с2. Определите к концу второй секунды после начала движения: 1) угловую скорость диска;
2) угловое ускорение диска; 3) для точки, находящейся на расстоянии R=80 см от оси вращения, тангенциальное аτ, нормальное аn и полное а ускорение.
Задача № 11. Шар радиусом R=10 см и массой т=5 кг вращается
вокруг оси симметрии согласно уравнению j = A + B × t 2 + C × t 3 ,
где В=2 рад/с2; С=-0,5 рад/с3. Определить момент сил М через
t=3 с после начала вращения.
Задача № 12. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной
вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в три раза меньше массы платформы. Определите, как и
во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы,
если человек перейдёт ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы?
Задача № 13. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определите, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии цилиндра.
Задача № 14. Человек, расставив руки, стоит на скамье Жуковского, вращающейся относительно вертикальной оси с частотой
ν=60 об/мин. С какой частотой будет вращаться платформа, если
человек прижмёт руки к туловищу? Момент инерции туловища
20
без рук J0=0,85 кг·м2 , момент инерции руки в горизонтальном положении J1=0,79 кг·м2, а в вертикальном положении J2=0,3 кг·м2.
Момент инерции скамьи Жуковского JЖ=0,15 кг·м2.
Задача № 15. К ободу однородного сплошного диска массой
т1=10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная
сила F=30 Н. Определить кинетическую энергию через t=4 с после начала действия силы.
Задача № 16. Человек стоит на горизонтальной платформе, вращающейся с частотой ν1=1,1 об/с. Определить частоту ν2 вращения после того, как человек ляжет на платформу так, что ось
вращения проходит через его центр масс. Моменты инерции человека в вертикальном и в горизонтальном положении равны соответственно JВ=1,2 кг·м2 и JГ=17 кг·м2 . Масса платформы тПЛ=
=40 кг, её диаметр d=2 м.
Задача № 17. Вентилятор вращается с частотой ν=600 об/мин.
После выключения вентилятор начал вращаться равнозамедленно
и, сделав N=50 оборотов, остановился. Работа А сил торможения
равна АТОРМ.=31,4 Дж. Определите: 1) момент сил М торможения, момент инерции J вентилятора.
Задача № 18. Колесо вентилятора начинает вращаться с угловым
ускорением ε=0,33 рад/с2 и через 17 с после начала вращения
имеет момент импульса 40 кг/с. Вычислить кинетическую энергию колеса через 25 с после начала вращения.
Задача № 19. Горизонтальная платформа массой т=25 кг и радиусом R=0,8 м вращается с частотой ν1=18 об/мин. В центре
стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая
платформу диском, определите частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от
J1=3,5 кг·м2 и J2=1 кг·м2 .
Задача № 20. Туловище вертикально стоящего человека (без учёта рук) имеет относительно оси вращения, проходящей через его
центр масс, момент инерции J0=0,86 кг·м2. Вычислить момент
инерции тела человека относительно этой же оси, считая, что
плечевой сустав находится от неё на расстоянии R=20 см и масса
каждой руки т=4,2 кг.
21
II.
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
2.1. Основные законы и формулы
Объёмный расход Q жидкости (газа) в потоке: S – площадь сечения потока, υ – скорость
жидкости (газа)
Уравнение неразрывности потока: υ1 и υ2 скорость жидкости (газа) в сечении площадью соответственно S1 и S2
Уравнение Бернулли для элементарной
струйки идеальной жидкости: р1 и р2 – давление, υ1 и υ2 - скорость жидкости (газа) в сечении соответственно 1 и 2, h1 и h2 – геометрическая высота сечений соответственно 1 и 2,
ρ – плотность жидкости (газа)
Закон Стокса: FC – сила трения, η - коэффициент динамической вязкости, r – радиус
трубки, υ – скорость потока
Формула Гагена – Пуазейля: Q – объёмный
расход жидкости с вязкостью η в трубке длиной L и радиусом R, Δр – разность давлений в
концах трубки
Число Рейнольдса: υ – скорость жидкости
(газа), d – диаметр потока, ν – коэффициент
кинематической вязкости
Формула, связывающая коэффициенты динамической η и кинематической ν вязкости
Q = S ×u
S1 ×u1 = S 2 × u 2
p1
u12
h1 +
+
=
r × g 2× g
p2
u22
= h2 +
+
r × g 2×g
FC = 6 × p ×h × r ×u
p × R 4 Dp
Q=
×
8 ×h L
u ×d
n
h
n =
r
Re =
Единицы измерения
физических величин в гидромеханике
Наименование
Обозначение Единица измерения
Давление
Объёмный расход
Динамическая вязкость
Кинематическая вязкость
22
р
Q
η
ν
Па
м3/с
Па·c
м2/с
2.2. Примеры решения задач
Пример № 2.2.1. Шарик всплывает с постоянной скоростью в
жидкости, плотность которой в три раза больше плотности материала шарика. Определите отношение силы, действующей на
всплывающий шарик, к его весу.
Дано: |
Решение
υ=const, |
На всплывающий шарик объёмом V действует
ρ’=3·ρ, | сила тяжести m·g=ρ·V·g=Р и сила трения Fтр, направленные противоположно силе Архимеда FA=
Fтр
- ? | ρ’·V·g=3 ρ·V·g.
P
Поскольку шарик движется равномерно, второй закон Ньютона запишется в виде: FA-P-Fтр=0, следовательно Fтр = FA-P.
Тогда отношение силы трения к весу шарика равно:
Fтр FA - m × g 3 × r × g × V - r × g ×V 2 × r × g × V
=
=
=
= 2.
r × g ×V
r × g ×V
P
m×g
Fтр
Ответ:
= 2.
P
Пример № 2.2.2. По горизонтальной трубе переменного сечения
течёт вода. Площади поперечных сечений трубы на разных её
участках равны S1=10 см2 и S2=20 см2. Разность уровней Δh воды
в вертикальных трубках одинакового сечения составляет 20 см.
Определите объёмный расход Q воды.
Дано:
|
CИ |
Решение
2
-3 2
S1=10 см
| 10 м |
Уравнение Бернулли для сечений S1
2
-3 2
S2=20 см
| 2·10 м | и S2 потока воды:
Δh=20 см
| 0,2 м
| p1
u12
p2
u22
Q-?
|
| r × g + 2× g = r × g + 2× g ,
где υ1 и υ2 – скорости,
р1 и р2 – давления
жидкости в сечениях S1
и S2.
Используя основное
уравнение гидростатики, можно выразить Δh:
p2 - p1 = r × g × Dh ,
23
p2 - p1 u12 - u 22
можно преобразовать уравнение Бернулли:
=
, или
r×g
2× g
u12 - u22
Dh =
.
(1)
2× g
Выражая из уравнения неразрывности потока S1 ×u1 = S 2 × u 2
S
скорость жидкости в одном из сечений: u 2 = u1 × 1 , уравнение (1)
S2
2
u12 é æ S1 ö ù
можно преобразовать к виду: Dh =
× ê1 - ç ÷ ú . Следова2 × g ê è S2 ø ú
ë
û
тельно, скорость жидкости в сечении S1 выражается соотношени2 × g × Dh
. С учётом полученной формулы выразим объем: u1 =
2
æS ö
1- ç 1 ÷
è S2 ø
ёмный расход жидкости: Q = u1 × S1 = S1 ×
2 × g × Dh
2
.
æS ö
1- ç 1 ÷
è S2 ø
Подстановка числовых значений в СИ даёт: Q=2,29·10-3 м3/с.
Ответ: Q=2,29·10-3 м3/с=2,29 л/с.
Пример № 2.2.3. Определить время протекания крови через капилляр вискозиметра, если вода протекает через него за t1=10 c.
Объёмы воды и крови одинаковы. Плотности воды и крови равны
соответственно ρ1 =103 кг/м3 и ρ2 =1,06·103 кг/м3, коэффициенты
динамической вязкости воды и крови равны соответственно η1=
=10-3 Па·с и η2 =4·10-3 Па·с.
Дано:
Решение
t1=10 c,
|
Согласно закону Гагена – Пуазейля при
3
3
ρ1=10 кг/м ,
| ламинарном течении в трубе радиусом R
3
3
ρ2=1,06·10 кг/м , | длиной L жидкости с динамической вязкоη1=10-3 Па·с,
| стью η при перепаде давлений на концах
-3
η2=4·10 Па·с,
|
p × R 4 Dp
t2-?
| трубы Δр расход жидкости Q = 8 ×h × L .
24
Следовательно, объём жидкости, протекающий через сечение трубы за время t (с учётом Δр=ρ·g·h, где ρ – плотность жидp × R4 r × g × h × t
кости): V = Q × t =
×
.
8 ×h
L
Поскольку через капилляр протекает одинаковый объём воды и крови, то есть V1 =V2, то приравнивая правые части формулы
Гагена – Пуазейля для воды и крови, получим:
p × R 4 r1 × g × h × t1 p × R 4 r 2 × g × h × t2
×
=
×
.
L
L
8 ×h1
8 ×h 2
r ×h
Отсюда время протекания крови: t2 = t1 × 1 2 . Подстановr2 ×h1
ка числовых значений в СИ даёт: t2 =755 с=12 мин. 35 с.
Ответ: t2=755 с=12 мин. 35 с.
2.3. Контрольные задачи
Задача № 21. Диаметр поршня ветеринарного шприца d1=20 мм.
Внутренний диаметр иглы d1=1 мм. Какое давление ветеринарный врач должен оказывать на поршень, чтобы время инъекции
составило t=10 с? Длина хода поршня L=8 см. Плотность вводимого лекарственного раствора равна плотности воды ρ=103 кг/м3.
Задача № 22. Какой максимальный объём крови может протекать
через артерию с внутренним диаметром d=4 мм, чтобы течение
было ламинарным? Для гладких цилиндрических труб критическое значение числа Рейнольдса Rek=2300. Коэффициент динамической вязкости крови η1 =5·10-3 Па·с, плотность крови ρк=
=1,05·103 кг/м3. При какой минимальной скорости течение крови
стало бы турбулентным? Достижима ли такая скорость?
Задача № 23. В восходящей части аорты диаметром d=32 мм
максимальная скорость крови достигает значения υm=60 см/с.
Учитывая, что критическое значение числа Рейнольдса для гладких цилиндрических труб Rek=2300, определить режим движения
крови в аорте. Коэффициент динамической вязкости крови
η1=5·10-3 Па·с, плотность крови ρк=1,05·103 кг/м3 .
25
Задача № 24. Площадь поршня горизонтально расположенного
шприца с лекарственным раствором S1=1,5 см2 . Площадь отверстия в игле шприца S2=0,8 мм2. Ход поршня в шприце L=5 см.
Пренебрегая трением поршня о стенки шприца и трением раствора, определить время t введения раствора, если на поршень действуют с постоянной силой F=5 Н. Плотность раствора ρ=1 г/см3 .
Задача № 25. Определите, на какую высоту h поднимется жидкость в вертикальной трубке, впаянной в узкую часть горизонтальной трубы диаметром d2=3 см, если в широкой части трубы
диаметром d1=9 см скорость потока υ1=25 см/с.
Задача № 26. Из опрыскивателя плодовых деревьев выбрасывается струя жидкости со скоростью υ2=20 м/с. Плотность жидкости ρ=1 г/см3. Какое давление создаёт компрессор в баке распрыскивателя?
Задача № 27. Средний диаметр жировых шариков в свежем молоке d2 =3 мкм. С какой скоростью всплывают эти шарики при
образовании сливок, если плотность жира ρ1=900 кг/м3 , плотность обрата ρ2=1030 кг/м3. Коэффициент динамической вязкости
обрата η=1,1·10-3 Па·с.
Задача № 28. Скорость оседания эритроцитов (СОЭ) в плазме
крови с добавлением антикоагулянта для крупного рогатого скота
в норме υ=0,7 мм/ч. Считая эритроциты сферическими (в действительности они имеют более сложную форму) и полагая, что для
описания их движения применим закон Стокса, определите диаметр d эритроцитов. Плотность эритроцитов ρ1 =1250 кг/м3, плотность жидкости ρ2=1030 кг/м3. Коэффициент динамической вязкости плазмы с антикоагулянтом η=8,5·10-3 Па·с.
Задача № 29. Определите разность давлений на участке артерии
длиной L=10 см с внутренним диаметром d=3 мм, если объёмный расход крови (η=5·10-3 Па·с) через артерию Q=20 мл/с.
Задача № 30. Давление воды, текущей по горизонтальной трубе,
при изменении скорости её течения увеличилось на Δр=350 Па.
На сколько изменилась скорость течения воды, если начальная
скорость составляла υ1 =1,5 м/с.
26
III.
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ.
УПРУГИЕ СВОЙСТВА ТВЁРДЫХ ТЕЛ
3.1. Основные законы и формулы
Относительная деформация ε тела длиной ℓ0 (Δℓ=ℓ0-ℓ - абсолютная
деформация)
Упругое механическое напряжение
σ (F – деформирующая сила, S –
площадь поперечного сечения)
e=
F
S
Dl
s =E×
l0
e2 ×E
w=
2
s=
Закон Гука (Е – модуль Юнга)
Объёмная плотность энергии w
при упругой деформации
Соотношение между периодом Т и
собственной частотой ν0 периодических колебаний
Собственная частота периодических колебаний: т – масса, k – коэффициент упругости
Собственная циклическая частота ω0 периодических колебаний
Соотношение между собственной
циклической частотой ω0 и собственной частотой ν0 периодических
колебаний
Уравнение гармонического колебания (х – смещение от положения
равновесия, А – амплитуда, φ0 - начальная фаза колебаний)
Скорость материальной точки при
гармонических колебаниях
Ускорение материальной точки
при гармонических колебаниях
Период колебаний пружинного маятника
27
Dl
l0
Tо =
nо =
w
о
1
nо
1
k
×
2 ×p
m
=
k
m
w о = 2 × p ×n о
x = A × sin(wо × t + j 0 )
υ=
a=
dx
= A×ωо × cos(wо ×t +j0 )
dt
du
= -A×wо2 × sin(wо × t +j0)
dt
m
Tо = 2 × π ×
k
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного
маятника
Решение дифференциального уравнения гармонических колебаний
пружинного маятника
Потенциальная энергия Wп тела с
упругостью k при абсолютной деформации х
Полная энергия W колеблющейся
материальной точки
Соотношение между длиной волны
λ, скоростью υ и частотой ν звука
Соотношение между интенсивностью J звука, акустическим давлением ра, плотностью ρ вещества и
скоростью υ звука
Удельное акустическое сопротивление z вещества
Уровень интенсивности звука L в
децибелах (дБ), J0 – интенсивность
звука на пороге слышимости
Коэффициент отражения ξ звука на
границе раздела двух сред (формула
Рэлея)
Скорость звука υ в твёрдом теле с
модулем Юнга Е и плотностью ρ
Скорость звука υ в газах при давлении р, молярной массе μ, отношении
теплоёмкостей γ=ср /сv, R – универсальная газовая постоянная
Эффект Доплера: ν’ – частота звука, воспринимаемая наблюдателем,
υ – скорость звука в среде, ин – скорость движения наблюдателя, и и ν
– скорость и частота источника
28
d 2x
2
+
w
×x =0
0
2
dt
x = A × sin(wо × t + j0 )
k × x2
Wп =
2
m × A2 × wо2
W=
2
u
l=
n
pa2
J=
2 × r ×u
z = r ×u
æ J ö
L = 10 × lg ç ÷
è J0 ø
æ r ×u - r 2 × u 2 ö
x =ç 1 1
÷
è r1 × u1 + r 2 × u 2 ø
u=
u= g×
2
E
r
R ×T
p
= g×
m
r
n ' =n ×
u + uн
u -u
Единицы измерения
физических величин
Наименование
Обозначение
Механическое напряжение
Модуль Юнга
Энергия
Объёмная плотность энергии
Частота
Циклическая частота
Скорость звука
Интенсивность звука
Уровень интенсивности
σ
Единица измерения
Е
W
w
ν
ω
Па
Па
Дж
Дж/м3
с-1 Гц
рад/с
υ
J
L
м/с
Вт/м2
дБ
3.2. Примеры решения задач
Пример № 3.2.1. Какая работа совершается при сжатии бедренной кости собаки на Δℓ=0,75 мм, если модуль упругости кости
Е=2·1010 Па. Площадь поперечного сечения кости S=4 см2 , длина
недеформированной кости ℓ=30 см.
Дано:
|
CИ |
Решение
-3
Δℓ=0,75 мм | 7,5·10 м|
При деформации сжатия кости со10
Е=2·10 Па |
| вершается работа, равная увеличению
-2
S=4 см
| 4·10 м | потенциальной энергии кости А=
ℓ=30 см
| 0,3 м
| = w × V , где V=S·ℓ - объём кости;
А-?
|
|
e2 ×E
Dl
w=
- объёмная плотность энергии кости. Здесь e =
2
l
относительная деформация кости.
Таким образом, работа, совершаемая при сжатии кости:
e2 ×E
Dl 2 × E × S × l Dl 2 × E × S
A=
×S ×l =
=
.
2
l2
l
Подстановка числовых значений даёт:
7,52 × 10 -6 × 2 ×1010 × 4 ×10-2
A=
= 15 Дж
0,3
Ответ: А=15 Дж.
29
Пример № 3.2.2. Тело массой т=10 г совершает гармонические
колебания по закону: x(t ) = 0,1 × cos(4 × p × t + p / 4) м. Определите
максимальное значение: 1) возвращающей силы, 2) кинетической
энергии тела.
Дано:
Решение
т=10 г=0,01 кг
|
Скорость тела равна первой
x(t ) = 0,1× cos(4 × p × t + p / 4) м | производной перемещения по
F -? W -?
| времени:
m
k
u=
dx
= -0,1 × 4 × p × sin ( 4 × p × t + p / 4 ) .
dt
Скорость максимальна, если sin ( 4 × p × t + p / 4 ) = 1, то есть
um = 0,1 × 4 × p . Следовательно, максимальная кинетическая энергия тела:
2
m ×u m2 0,01 × ( 0,1 × 4 × p )
Wm =
=
= 0,00789 Дж = 7,89 мДж .
2
2
Ускорение тела равно первой производной скорости по вреdu
2
мени: a =
= -0,1 × ( 4 × p ) × cos ( 4 × p × t + p / 4 ) . Ускорение максиdt
мально при cos ( 4 × p × t + p / 4 ) = 1.
Следовательно, am = 0,1 × ( 4 × p ) . Поэтому максимальная си2
ла: Fm = m × am = 0,01 × 0,1 × ( 4 × p ) = 0,158 H .
Ответ: Wm=7,89 мДж; Fm=0,158 Н.
2
Пример 3.2.3. В лаборатории, находящейся в здании птичника,
уровень интенсивности шума достигает L1 =80 дБ. Для уменьшения шума стены лаборатории были обиты звукопоглощающим
материалом, уменьшающим интенсивность звука в 1500 раз. Определите уровень шума в лаборатории после установки материала, поглощающего звук?
Дано:
Решение
Уровень интенсивности звука в децибелах опJ1
= 1500 |
J
J2
ределяется соотношением: L = 10 × lg , где J0 –
J0
L1=80 дБ |
L2 - ?
| условный нулевой уровень интенсивности звука
(J0=10-12 Вт/м2).
30
При изменении интенсивности звука изменение уровня интенсивности звука равно:
æ J
J
J
J ö
DL = L2 - L1 = 10 × lg 2 - 10 × lg 1 = 10 × ç lg 2 - lg 1 ÷ =
J0
J0
J0 ø
è J0
= 10 × ( lg J 2 - lg J 0 - lg J1 + lg J 0 ) = 10 × lg
Следовательно, L2 = L1 + 10 × lg
J2
.
J1
J2
.
J1
1
=
1500
= 80 - 10 × lg1500 = 80 - 10 × ( lg1,5 + lg1000 ) = 80 - 10 × ( lg1,5 + 3) =
= 80 - 10 × 3,176 = 58, 24 дБ .
Ответ: L2=48,24 дБ.
Подстановка числовых значений даёт: L2 = 80 + 10 × lg
Пример № 3.2.4. Источник звука частотой ν=18 кГц приближается к неподвижно установленному резонатору, настроенному на
длину волны λ=1,75 см. С какой скоростью следует перемещать
источник звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны вызвали колебания резонатора? Температура воздуха t=+17°С.
|
CИ |
Дано:
Решение
3
ν=18 кГц
| 18·10 Гц |
Частота звука, воспринимаемого
-2
λ=1,75 см
| 1,75·10 м |
u + uн
наблюдателем: n ' = n ×
,
t=+17°С
| Т=290 К |
u -u
и-?
|
n ×u
где ин=0, поскольку резонатор неподвижен. Поэтому n ' =
.
u -u
æ n ö
Следовательно, u = u × ç1 - ÷ .
(1)
è n 'ø
Здесь скорость звука в газе определяется соотношением:
R ×T
u= g×
.
(2)
m
Колебания резонатора возникнут, если ν’ частота поступающих на резонатор волн совпадает с собственной частотой ν0
резонатора, то есть ν’=ν0=υ/λ.
(3)
31
Подстановка формул (2) и (3) в равенство (1) позволяет выразить скорость источника:
g × R ×T
æ n ×l ö
u = u × ç1 -n × l .
÷ = u -n × l =
u ø
m
è
Здесь молярная масса воздуха μ=29·10-3 кг/моль. Подстановка числовых значений в полученную формулу даёт: и=36 м/с.
Ответ: и=36 м/с.
3.3. Контрольные задачи
Задача № 31. К сухожилию длиной ℓ=15 см и диаметром d=
=1,6 мм подвесили груз массой т=14 кг. В результате сухожилие
удлинилось на Δℓ=3 мм. Определите модуль Юнга Е сухожилия.
Задача № 32. Сухожилие длиной ℓ=9 см с площадью поперечного сечения S=80 мм2 при нагрузке F=10 Н удлиняется на Δℓ=
=12 мм. Определите модуль Юнга Е сухожилия и его объёмную
плотность энергии w.
Задача № 33. При подвешивании груза массой т=15 г к портняжной мышце лягушки с площадью поперечного сечения S=
=2,5 мм2 длина мышцы изменилась от ℓ1=25 мм до ℓ2=35 мм.
Определите величину упругого напряжения мышцы и работу, которую необходимо совершить для такого растяжения. Модуль
упругости мышцы Е=9,5·105 Па.
Задача № 34. Нормальная длина портняжной мышцы лягушки
ℓ1=25 мм. При растяжении до ℓ2=33 мм модуль упругости мышцы Е1=2,2·105 Па, а при растяжении до ℓ2’=37 мм модуль упругости увеличился до значения Е2=16·105 Па. Во сколько раз объёмная плотность энергии растяжения мышцы во втором случае
больше, чем в первом?
Задача № 35. Определить толщину стенки локтевой кости, если
её разрыв происходит при осевой нагрузке F=1295 Н. Внешний
диаметр кости в месте разрыва d=15 мм, предел прочности на
разрыв σпр =16,2 МПа.
32
Задача № 36. У лежащей собаки длина большеберцовой кости
ℓ=35 см, а средняя площадь поперечного сечения S=88 мм2. Модуль Юнга кости Е2=4,5·1010 Па. Определите, на сколько уменьшится длина кости, когда собака встанет. Масса собаки т=32 кг.
Задача № 37. Объёмная плотность энергии растянутой мышцы
w=1250 Дж/м3 при относительном удлинении ε=4%. Определите
величину упругого напряжения мышцы и модуль Юнга мышцы
при этих условиях.
Задача № 38. Ареометр, используемый для определения плотности молока, а, следовательно, и его жирности, называют лактометром. Если опустить лактометр в молоко, то в течение некоторого времени он будет совершать колебания. Определите плотность молока, если при погружении в молоко лактометр совершает колебания с периодом Т=3,4 с. Масса лактометра т=200 г,
диаметр его цилиндрической части d=1 см. Колебания считать
гармоническими незатухающими.
Задача № 39. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А=4 см и периодом Т=2 с. Запишите уравнение движения точки, если её колебания начинаются из положения с координатой х0=2 см.
Задача № 40. Материальная точка совершает гармонические колебания с периодом Т=5 с и амплитудой А=10 см. Определите
максимальную скорость υm и максимальное ускорение am материальной точки.
Задача № 41. Материальная точка массой т=20 г совершает гармонические колебания по закону x (t ) = 0,1 × cos ( 4 × p × t + p / 4 ) м .
Определить полную энергию материальной точки.
Задача № 42. Определите полную энергию материальной точки
массой т=25 г, совершающей гармонические колебания с амплитудой А=10 см с частотой ω=8·π рад/с.
Задача № 43. При увеличении массы груза, подвешенного к пружине и совершающего гармонические колебания на Δт=400 г,
период колебаний увеличился в два раза. Определите массу т0
первоначально подвешенного к пружине груза.
33
Задача № 44. При стойловом содержании коров уровень интенсивности шума у входа в помещение производственного комплекса вблизи электродойки L1 =100 дБ, а в дальнем ряду – L2=
=75 дБ. Во сколько раз отличаются интенсивности шума в этих
местах коровника?
Задача № 45. Плотности мозга и кости черепа равны соответственно ρ1=1050 кг/м3 и ρ2=1700 кг/м3. Определите коэффициент
отражения ультразвука на границе между костью черепа и мозгом, если скорость ультразвука в этих тканях равна соответственно υ2=3660 м/с и υ1 =1520 м/с.
Задача № 46. При ультразвуковой терапии синовита сустава
ультразвук частотой ν=1 Мгц доходит до костной ткани, проходя
через кожу толщиной d1=1 мм и мышечную ткань толщиной d2=5
мм. Коэффициент поглощения ультразвука в коже и в мышечной
ткани равен соответственно α1 =0,4 см-1 и α2=0,15 см-1. Определите, во сколько раз интенсивность ультразвука, дошедшего до сустава, меньше его интенсивности на поверхности на поверхности
кожи?
Задача № 47. Летучая мышь летит перпендикулярно стене со
скоростью и=6 м/с, испуская ультразвук частотой ν=450 кГц.
Скорость ультразвука υ=340 м/с. После отражения от стены звук
какой частоты ν’ воспринимает летучая мышь?
Задача № 48. Кудахтанье одной курицы создаёт шум интенсивностью J1=85 дБ. Определите уровень интенсивности L2 шума,
создаваемого одновременным кудахтаньем п=40 кур в птичнике.
Задача № 49. Хор состоит из п=24 исполнителей, которые поют с
одинаковой интенсивностью. Определите разность уровней интенсивности ΔL звука хора и одного исполнителя.
Задача № 50. Самолёт летит со скоростью и=900 км/ч, а на его
борту находится источник, испускающий звук частотой ν=1 кГц.
Скорость звука в воздухе υ=340 м/с. Какой частоты ν’ звук услышит человек, над которым пролетает самолёт?
34
IV. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА.
4.1. Основные законы и формулы
Молекулярная физика
Число ν молей вещества, m – масса, μ
– молярная масса
Уравнение Менделеева – Клапейрона,
р – давление, V – объём, R – универсальная газовая постоянная, Т - температура
Масса т0 одной молекулы газа, NA –
число Авогадро
n =
p ×V =
m
m
m
× R ×T
m
m
NA
m× NA
N=
m
m0 =
Число молекул N в некоторой массе т
газа
Средняя кинетическая энергия wk
i
теплового движения молекулы газа; i –
wk = × k × T
2
число степеней свободы, k – постоянная Больцмана
Уравнение состояния идеального гаp = n0 × k × T
за, выраженное через постоянную
Больцмана; п0 – концентрация молекул
Основное уравнение молекулярно2
p = × n0 × wk
кинетической теории
3
Средняя квадратичная скорость мо3× k ×T
3× R ×T
uкв =
=
лекулы
m0
m
Средняя арифметическая скорость
молекулы
u =
8 × k ×T
8 × R ×T
=
m0
m
Явления переноса
Уравнение теплопроводности (закон
Фурье); ΔQ – количество теплоты, передаваемое через слой вещества толdT
D
Q
=
c
×
× DS × Dt
щиной dx и площадью ΔS за время Δt;
dx
dT – изменение температуры на расстоянии dx; χ – коэффициент теплопроводности
35
Уравнение внутреннего трения (закон
Ньютона); F – сила внутреннего трения; dυ – приращение скорости на расстоянии dx; ΔS – площадь соприкосновения слоёв; η – коэффициент вязкости
Уравнение диффузии (закон Фика); ΔМ
– масса вещества, переносимая благодаря диффузии через поверхность площадью ΔS за промежуток времени Δt;
dρ/dx – градиент плотности; D – коэффициент диффузии
Коэффициент диффузии D; l средняя длина свободного пробега
Средняя длина свободного пробега
l ; d – диаметр молекулы
Коэффициент внутреннего трения
Закон Вант Гоффа для осмоса; π0 –
осмотическое давление; i0 – изотонический коэффициент
Изотонический коэффициент i0; α –
степень диссоциации
Интенсивность осмотического потока
Зависимость осмотического потока
от разности давлений по разные стороны от мембраны; А – постоянный
коэффициент
F = -h ×
DM = - D ×
du
× DS
dx
dr
× DS × Dt
dx
1
D= × l × u
3
1
l =
2 × p × d 2 × n0
1
h = × l × u ×r
3
p 0 ×V = i0 ×
m
× R ×T
m
i0=1+α
J oc =
Dm
S × Dt
J oc = A × (p1 - p 2 )
Физические постоянные
Универсальная газовая постоДж
R=8,31
янная
моль × К
Постоянная Больцмана
Дж
k=1,38·10-23
К
23
Число Авогадро
NA=6,02·10 моль-1
36
4.2. Примеры решения задач
Пример № 4.2.1. При какой температуре средняя квадратичная
скорость молекул кислорода меньше их средней арифметической
скорости на 400 м/с?
Дано:
u - uкв =400 м/с
μ=32·10-3 кг/моль
Т-?
Решение
По определению средняя арифметиче|
| ская скорость молекул u = 8 × R × T ,
|
m
3× R ×T
.
m
Подстановка этих формул в условие задачи позволяет получить уравнение с одной неизвестной величиной – температурой:
8 × R ×T
3× R ×T
= u - u кв ,
m
m
Средняя квадратичная скорость u кв =
следовательно
R ×T
×
m
(
)
8 - 3 = u - u кв .
2
m æu - u ö
Окончательно Т = × ç кв
÷ .
R è 8- 3ø
Подстановка числовых значений даёт:
2
32 ×10-3 æ 100 ö
Т=
×ç
= 3,85 ×10-3 × 91, 22 = 512,4 К.
÷
8,31 è 8 - 3 ø
Ответ: Т=512,4 К.
Пример № 4.2.2. Определите коэффициент теплопроводности тазовой кости лошади, если через участок этой кости площадью
S=3·3 см2 и толщиной Δx=5 мм за время t=1 час проходит теплота Q=60 Дж. Разность температур между внешней и внутренней
поверхностями этой кости лошади ΔТ=1 К.
37
Дано:
|
CИ |
Решение
2
-4 2
S=3·3 см
| 3·3·10 м |
Рассматривая участок кости как
-3
Δx=5 мм
| 5·10 м
| однородную плоскую стенку, запиQ=60 Дж |
| шем закон Фурье:
ΔТ=1 К
|
|
DT
D
Q
=
c
×
× DS × Dt , из которого
t=1 час
| 3600 с
|
Dx
χ-?
|
выразим коэффициент теплопроводности:
Q × Dx
c=
.
DS × DT × t
Подстановка числовых значений даёт:
60 × 5 ×10 -3
Дж × м
Вт
c=
=
0,093
=
0,093
3 × 3 ×10 -4 ×1 × 3600
м2 × К × с
м×К
Ответ: χ=0,093 Вт/(м·К).
Пример № 4.2.3. Вычислить концентрацию белков в плазме крови, если осмотическое давление плазмы крови π=0,73 МПа, создаваемое белками онкотическое давление в п=220 раз меньше
осмотического давления растворённых в плазме солей. Температура крови Т=310 К, степень диссоциации солей α=0,75.
|
CИ
|
Дано:
Решение
p
| Согласно закону Вант-Гоффа
п= oc =220
|
p онк
| p 0 ×V = i0 × m × R × T
m
|
Т=310 К
|
α=0,75
|
| осмотическое давление
6
m 1
π=0,73 МПа
| 0,73·10 Па |
p 0 = i0 × × R × T .
[C] б - ?
|
V m
m 1
m 1
Здесь величина × есть концентрация солей × = [C ]oc ,
V m
V m
определяющая осмотическое давление в молях на 1 м3. Следовательно, p oc = i0 × [C ]oc × R × T . Аналогичным образом можно вычислить и онкотическое давление: p oнк = i0 × [C ]онк × R × T . Поскольку
онкотическое давление создаётся находящимися в плазме белкаp онк
ми, то [C ]онк = [C ]б , то есть [C ]б =
.
i0 × R × T
38
Подстановка числовых значений в данную формулу даёт:
0,73 ×106
моль
[C ]б =
= 0,736 3 .
м
1,75 × 8,31 × 310 × 220
3
Ответ: [С] б=0,736 моль/м .
4.3. Контрольные задачи
Задача № 51. Теплота из внутренних органов свиньи проходит
сначала через мышечную ткань толщиной Δх1=45 мм, а затем через жировую ткань толщиной Δх2=22 мм. Температура внешней
поверхности жировой ткани t1=37°C, а на границе между мышечной и жировой тканями температура t2 =37,5°C. Пренебрегая теплотой, выделяемой в мышце, определить температуру t3 внутренней поверхности мышцы. Коэффициенты теплопроводности
мышцы и жировой ткани равны соответственно χ1=5,70·10-2
Вт/(м·К) и χ2=5,78·10-2 Вт/(м·К).
Задача № 52. За время t=2 часа проходит теплота Q=12,6 Дж через сухожилие площадью S=3 см2 и толщиной Δх=5 мм. Коэффициент теплопроводности сухожилия χ=4,6·10-2 Вт/(м·К). Определить разность температур между внутренней и внешней частями
сухожилия.
Задача № 53. Определить среднюю кинетическую энергию wk
поступательного движения молекул газа, находящегося под давлением р=0,1 Па. Концентрация молекул газа п=1013 см-3.
Задача № 54. За какое время через мышцу животного толщиной
Δх=10 мм площадью S=1 дм2 пройдёт количество теплоты Q=
=1,5 кДж? Выделением теплоты в мышце пренебречь. Температура мышцы t1=38°C, а температура окружающей среды t2 =15°C.
Коэффициент теплопроводности мышцы χ=5,7·10-2 Вт/(м·К).
Задача № 55. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа при нормальных условиях υкв =480 м/с. Сколько молекул N
содержит т=1 г этого газа?
39
Задача № 56. Определите коэффициент теплопроводности χ азота, если коэффициент динамической вязкости при тех же условиях для него η=10-6 Па·с.
Задача № 57. При каком давлении р средняя длина свободного
пробега молекул водорода λ=2,5 см, если температура газа
t=67°C? Диаметр молекулы водорода d=0,28 нм.
Задача № 58. Какое количество углекислого газа продиффундирует из почвы в атмосферу за t=1 час с поверхности грядки шириной h=50 см и длиной ℓ=16 м, если видимая поверхность грядки в п=1,5 раза меньше площади поверхности почвы, полученной
при её рыхлении? Коэффициент диффузии газа принять в среднем D=0,05 см2/с. Градиент плотности газа dρ/dx=4·10-5 г/см4.
Задача № 59. Определите коэффициент диффузии D кислорода
при нормальных условиях (Т=273 К; р=1,01·105 Па). Эффективный диаметр молекулы кислорода d=0,36 нм.
Задача № 60. За сутки с поверхности дерново-подзолистой почвы
площадью S=100 м2 продиффундировало т=14,5 кг углекислого
газа. Вычислить коэффициент диффузии углекислого газа, если
градиент его плотности в почве dρ/dx=1,42 кг/м4.
40
V.
ТЕРМОДИНАМИКА.
5.1. Основные законы и формулы
Термодинамика
Внутренняя энергия U газа массой т;
i – число степеней свободы; μ – молярная масса газа; R - универсальная газовая постоянная; Т - температура
Изменение внутренней энергии dU
идеального газа при изменении температуры на величину dT
Количество теплоты Q, необходимой для нагревания тела массой т; c
– удельная теплоёмкость
Удельная теплоёмкость с; dQ - количество теплоты, необходимое для изменения температуры газа массой т
на dT
Молярная теплоёмкость С; ν - количество молей газа
Молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме
Молярная теплоёмкость газа при постоянном давлении
Формула Майера
Уравнение адиабатного
(уравнение Пуассона)
процесса
U=
i m
× × R ×T
2 m
dU =
i m
× × R × dT
2 m
Q = c × m × (T2 - T1 )
c=
1 dQ
×
m dT
1 dQ
×
n dT
i
CV = × R
2
i+2
Cp =
×R
2
C p = CV + R
C=
p × V g = const
Cp
i+2
CV
i
d Q = dU + d A
Первый закон термодинамики
m
V2
Работа газа при изотермическом A = Q = × R × T × ln
m
V1
расширении
g=
Коэффициент Пуассона
41
=
Работа газа при изобарном расширении
Коэффициент полезного действия η
тепловой машины; Q1 – теплота, передаваемая рабочему телу нагревателем; Q2 – теплота, передаваемая рабочим телом холодильнику
Коэффициент полезного действия ηк
идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно; Т1 - температура нагревателя, и Т2 - температура холодильника
A = p × (V2 - V1 ) =
=
m
× R × (T2 - T1 )
m
h=
Q1 - Q2
Q1
hk =
T1 - T2
T1
Удельная теплопродукция
q=
Теплота парообразования Qr; r –
удельная теплота парообразования
Qr
M ×t
Qr = m × r
Работа переноса вещества при дифm
[C1 ]
A
R
T
=
×
×
×
ln
фузии между поверхностями с кон- дифф m
[C2 ]
центрациями вещества [C1] и [C2]
Осмотическая работа; π1 и π2 - осмотические давления
Aoc =
m
p
× R × T × ln 1
m
p2
5.2. Примеры решения задач
Пример № 5.2.1. К азоту массой т=280 г подводится теплота
Q=7 кДж, вследствие чего он расширяется. Определить: 1) работу А расширения; 2) конечный объём V2 газа, если расширение
происходит при постоянном давлении р=1 МПа, начальная температура азота Т1 =290 К.
42
Дано:
Т1=290 К
т=280 г
Q=7 кДж
р=1 МПа
А - ? V2 - ?
|
CИ
|
| 0,28 кг
| 7·103 Дж
| 106 Па
|
|
Решение
|
По определению при изобар| ном процессе работа равна:
| A = p × (V2 - V1 ) .
|
Используя уравнение Менделеева - Клапейрона
m
× R × (T2 - T1 ) , формулу работы можно преобразоm
m
вать к виду: A = × R × (T2 - T1 ) . Подстановка формулы работы и
m
i m
приращения внутренней энергии DU = × × R × (T2 - T1 ) в урав2 m
нение первого начала термодинамики Q = DU + A позволяет определить работу процесса:
m
i m
iö m
æ
Q = × R × (T2 - T1 ) + × × R × (T2 - T1 ) = ç 1 + ÷ × × R × (T2 - T1 ) ,
m
2 m
è 2ø m
iö
Q
2×Q
æ
=
.
следовательно Q = ç1 + ÷ A . Окончательно, A =
i ö (2 + i)
æ
è 2ø
ç1 + ÷
è 2ø
Для двухатомного газа ( N 2 ) число степеней свободы i = 5 .
Подстановка числовых значений в полученную формулу по2 × 7 ×103
зволяет рассчитать работу процесса: A =
= 2 ×103 Дж .
( 2 + 5)
Конечный объём можно выразить из формулы работы:
A = p × (V2 - V1 ) ,
p × (V2 - V1 ) =
A
A m R × T1 1 æ
m
ö
+ V1 = + ×
= × ç А + × R × T1 ÷ .
p
p m
p
p è
m
ø
Подстановка числовых значений даёт:
1 æ
0, 28
ö
-3
3
×
×
V2 = 6 × ç 2 ×103 +
8,31
290
÷ = 26 ×10 м .
-3
10 è
28 ×10
ø
следовательно V2 =
Ответ: А=2·103 Дж, V2=26·10-3 м3.
43
Пример № 5.2.2. При нагревании двух молей (ν=2) двухатомного
идеального газа его температура увеличилась в п=2 раза. Определить изменение энтропии ΔS, если нагревание газа происходит
изохорно.
Дано:
Решение
ν=2
| При изохорном нагревании (ΔV=0) газ не совершап=2
| ет работы: A=p·ΔV=0. Поэтому первое начало терΔS - ?
|
i m
модинамики запишется в виде: dQ=dU= × × R × dT .
2 m
Тогда приращение энтропии можно выразить соотношением:
T2
T2
dQ i m
dT i
T
i
DS = ò
= × ×R× ò
= ×n × R × ln 2 = ×n × R × ln n .
T
2 m
T 2
T1 2
T1
T1
Молекулы двухатомного газа имеют пять степеней свободы
(i=5). Подстановка числовых значений в полученное уравнение
позволяет вычислить приращение энтропии:
5
Дж
DS = × 2 × 8,31 × ln 2 = 41,05 × 0,693 = 28,8
.
2
К
Ответ: ΔS=28,8 Дж/К.
Пример № 5.2.3. Потенциал действия в гигантском аксоне кальмара обусловлен переносом т=10-13 кг натрия из внеклеточной
среды в аксоплазму. Считая, что этот процесс происходит вследствие диффузии, вычислить работу диффузионных сил. Концентрация ионов натрия во внеклеточной среде и в аксоплазме равна
соответственно [C1]=440 мМ/л и [C2]=50 мМ/л. Температура тела
кальмара Т=283 К.
Решение
Дано:
-13
т=10 кг
|
Работа диффузионных сил определяется по
[C1]=440 мМ/л |
m
[C1 ]
формуле:
A
=
×
R
×
T
×
ln
. Здесь молярдифф
[C2]=50 мМ/л |
m
[C2 ]
Т=283 К
| ная масса натрия μ=23·10-3 кг/моль.
Адифф - ?
|
Подстановка числовых значений даёт:
-13
10
[440]
Aдифф =
×
8,31
×
283
×
ln
= 222 ×10-10 Дж = 2,22 нДж
-3
23 × 10
[50]
Ответ: Адифф=2,22 нДж.
44
5.3. Контрольные задачи
Задача № 61. При нагревании двух молей (ν=2) двухатомного
идеального газа его температура увеличилась в п=2 раза. Определить изменение энтропии ΔS, если нагревание газа происходит
изобарно.
Задача № 62. Определить число степеней свободы молекулы газа, при адиабатическом сжатии которого объём уменьшился в
п=10 раз, а давление увеличилось в к=21,4 раза.
Задача № 63. В хирургии для местного обезболивания небольших
участков тела применяют этиловый эфир. Какое количество тепла расходует тело на испарение т=20 г эфира при температуре
tЭ=20°C? Температура тела tЭ=36,6°C. Удельная теплоёмкость
эфира сЭ=2,34 кДж/(кг·К), удельная теплота парообразования
эфира rЭ=355 кДж/кг, температура кипения эфира tК=34,8°C.
Задача № 64. Какое количество теплоты необходимо сообщить
кислороду объёмом V=20 л для его изохорного нагревания, чтобы
давление газа при этом увеличилось на Δр=0,1 МПа?
Задача № 65. Для лечения мастита на вымя накладывают парафиновую аппликацию при температуре tП=70°C. Для проведения
процедуры необходимо передать вымени Q=185 кДж теплоты.
Какая масса т парафина необходима для проведения этой процедуры, если удельная теплоёмкость парафина сП=3,23 кДж/(кг·К),
температура вымени t=38°C.
Задача № 66. Лечение хронического синовита у одной коровы
проводили путём наложения озокеритовой аппликации массой
т1=5 кг при температуре t1=68°C, а у другой – наложением аппликации из горячей глины массой т1=6,5 кг при температуре
t2=60°C. Удельные теплоёмкости озокерита и глины равны соответственно с1=3,35 кДж/(кг·К) и с2=2,09 кДж/(кг·К). Температура тела каждой коровы t=38°C. Во сколько раз количество теплоты, переданной корове озокеритом, больше, чем глиной?
Задача № 67. Какое количество теплоты затрачивает человек на
парообразование, если за сутки он выделяет т=0,4 кг пота? Оп45
ределите полное количество теплоты, выделяемой человеком за
одни сутки, если масса человека тч=70 кг, а удельная теплопродукция взрослого человека q=1,6 Дж/(кг·с). Удельная теплота
парообразования пота r=2,45 МДж/кг.
Задача № 68. Азот при температуре Т1 =400 К адиабатически
расширили в результате чего его объём увеличился в п=5 раз, а
внутренняя энергия уменьшилась на ΔU=4 кДж. Определить
массу т азота.
Задача № 69. Осмотическое давление крови человека равно
π1=28 мм рт. ст., а лимфы π2=9,5 мм рт. ст. Под действием разности давлений вода поступает из лимфы в кровь. Определить
работу перемещения т=36 г воды при температуре t=37°C.
Задача № 70. Определить изменение энтропии ΔS при изохорном
нагревании т=8 кг кислорода от t1 =25°C до t2 =225°C.
46
VI. ЭЛЕКТРОСТАТИКА И ПОСТОЯННЫЙ ТОК
6.1. Основные законы и формулы
Электростатика
q ×q
1
× 1 22
4×p ×e0 e × r
r
r FK
E=
q0
FK =
Закон Кулона
Напряжённость электростатического поля
Связь между векторами электрической индукции и напряжённости электрического поля
Напряжённость электрического
поля точечного заряда
Принцип суперпозиции напряжённостей электрических полей
Напряжённость поля, созданного
бесконечной равномерно заряженной плоскостью
Поверхностная плотность заряда
Потенциал электростатического поля
Потенциал поля точечного заряда
Связь между напряжённостью и
потенциалом неоднородного и
однородного полей
Электроёмкость
уединённого
проводника
Электроёмкость сферы
Электроёмкость плоского конденсатора
47
r
r
D = e0 × e × E
E=
1
q
×
4 ×p × e0 e × r2
r n r
E = å Ei
i =1
E=
s
2 × e0 × e
q
S
W
j= П
q0
1
q
j=
×
4 ×p × e 0 e × r
dj r
E=; E = - gradj
dr
s=
q
j
C = 4 ×p ×e0 ×e × R
e ×e × S
C= 0
d
C=
Электроёмкость последовательно соединённых конденсаторов
1 1
1
1
=
+
+ ... +
C C1 C2
Cn
Электроёмкость параллельно соC = C1 + C2 + ... + Cn
единённых конденсаторов
Энергия заряженного конденса1
WE = × C × U 2
тора
2
Объёмная плотность энергии
1
wE = × e 0 × e × E 2
электрического поля
2
Постоянный электрический ток
Сила постоянного электрическоq
I=
го тока
t
Сила изменяющегося электричеdq
I=
ского тока
dt
I
Плотность электрического тока
j=
S
Закон Ома для однородного учаj - j2
I= 1
стка электрической цепи
R
Закон Ома для неоднородной
j - j2 ± e
I= 1
электрической цепи
R+r
e
Закон Ома для замкнутой цепи
I=
R+r
r
r
Закон Ома в дифференциальной
j
=
g
×
E
форме
Мощность электрического тока
N = I ×U
Q = I ×U × t
Закон Джоуля - Ленца
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Наименование
Обозначение Единица
измерения
q
Электрический заряд
Кл
Кл
Линейная плотность заряда
t
м
Кл
Поверхностная плотность заряда
s
м2
48
Напряжённость
поля
электрического
В
м
Кл
м2
E
Электрическая индукция
D
Потенциал (разность потенциалов) электрического поля
j
В
gradj
В
м
Ф
Дж
м3
Градиент потенциала
С
Электрическая ёмкость
Объёмная плотность энергии
wE
электрического поля
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Сила тока
I
j
Плотность тока
Электродвижущая сила
Электрическое сопротивление
Удельное электрическое сопротивление
Удельная электрическая проводимость
e
R
r
g
А
А
м2
В
Ом
Ом·м
(Ом·м)-1
6.2. Примеры решения задач
Пример 6.2.1. Два заряда q1 =9 нКл и q2 =-7 нКл расположены в
вершинах равностороннего треугольника со стороной а=20 см.
Определить напряжённость и потенциал электрического поля в
третьей вершине треугольника.
|
СИ |
Решение
Дано:
-9
q1 =9 нКл |
9·10 Кл| 1). Напряжённость электрического поля
-9
q2 =-7 нКл| -7·10 Кл| в точке А (рис.1) является геометриче0,2 м
| ской r(векторной)
суммой напряжённоа=20 см |
r
стей E1 и E2 полей, создаваемых заряE - ? φ - ?|
B/м; В | дами q1 и q2 соответственно:
r r r
E = E1 + E2 .
49
Рис.1
Модуль результирующей напряжённости может быть найден по теореме косинусов как диагональ
r
r параллелограмма, сторонами которого являются векторы E1 и E2 :
E = E12 + E22 + 2 × E1 × E2 × cos a .
(1)
Напряжённость поля точечного заряда выражается формулой:
q
E=
,
(2)
4 ×p × e0 ×e × r2
где q - заряд, создающий поле, e 0 - электрическая постоянная, e
- диэлектрическая проницаемость среды, r - расстояние между
расчётной точкой поля и зарядом, создающим поле. Поскольку
r1 = r2 = r = a , то напряжённости полей, создаваемых зарядами q1
и q2 , равны соответственно:
q1
q2
E1 =
;
E
=
.
(3)
2
4 ×p × e0 × e × a2
4 ×p ×e 0 × e × a2
Поскольку a =120°, то b = 180o - a , следовательно
(
)
cos b = cos 180o - a = - cos a . Таким образом, уравнение (1)
можно преобразовать к виду:
E = E12 + E22 - 2 × E1 × E2 × cos b ,
(4)
где b =60°.
Подстановка соотношений (3) в уравнение (4) позволяет выразить напряжённость электрического поля в точке А:
50
E=
1
× q12 + q22 - 2 × q1 × q2 × cos b .
2
4 ×p × e0 ×e × a
Проверим размерность:
(5)
Кл 2
Кл
Кл × В В
=
=
= .
[E ] =
2
(Ф / м ) × м Ф × м м × Кл м
Подстановка численных значений в формулу (5) позволяет
вычислить искомую напряжённость электрического поля:
1
E=
×
4 × 3,14 × 8,85 ×10-12 ×1 × 0, 22
2
2
В
× 9 ×10-9 + 7 × 10-9 - 2 × 9 ×10-9 × 7 ×10-9 × cos 60o = 1,78 × 103
.
м
2). Потенциал электрического поля в точке А равен алгебраической сумме потенциалов j1 и j 2 полей, создаваемых зарядами q1
(6)
и q2 , соответственно: j = j1 + j 2 .
Потенциал поля точечного заряда выражается формулой:
q
j=
.
(7)
4 ×p × e0 × e × r
В формуле (7) обозначения те же, что и в формуле (2). Подстановка формулы (7) в уравнение (6) позволяет выразить потенциал
поля в точке А:
q1 + q2
j=
.
(8)
4 ×p ×e0 ×e × a
Подстановка численных значений в формулу (8) даёт:
9 - 7 ) ×10 -9
(
j=
= 90 B .
4 × 3,14 × 8,85 ×10-12 ×1 × 0, 2
1
× q12 + q22 - 2 × q1 × q2 × cos b ;
Ответ: E =
2
4 ×p × e0 ×e × a
В
q1 + q2
E = 1, 78 ×103 ; j =
; j =90 В.
м
4 ×p ×e0 ×e × a
(
) (
)
51
Пример 6.2.2. Электростатическое поле создаётся положительно
заряженной с постоянной плотностью s =10 нКл/м2 бесконечной
плоскостью. Какую работу надо совершить для того, чтобы перенести электрон вдоль линии напряжённости с расстояния r1 =2 см
до r2 =1 см?
Дано:
|
СИ
|
Решение
-2
r1 =2 см
| 2·10 м | Работа по перемещению электрона
-2
r2 =1 см
| 10 м || из точки 1 в точку 2 (рис.2):
(1)
s =10 нКл/м2? | 10-8Кл/м2| A = F × Dr = F × ( r2 - r1 ) .
|
A-?
| Дж
Электростатическое поле, создаваемое
бесконечной
плоскостью,
является
однородным, причём напряжённость поля:
s
E=
.
(2)
2 ×e0
Поэтому сила, действующая на электрон со
стороны электрического поля, создаваемого
положительно заряженной бесконечной
(3)
Рис. 2
плоскостью: F = -e × E ,
где е – заряд электрона.
Решая совместно уравнения (1)-(3), получим расчётную
формулу:
e × s × ( r1 - r2 )
A=
.
2 × e0
Подстановка численных значений даёт:
1,6 ×10-19 ×10-8 × 10 -2 × ( 2 - 1)
A=
= 9 × 10 -19 Дж.
-12
2 × 8,85 ×10
e × s × ( r1 - r2 )
Ответ: A =
; A = 9 ×10-19 Дж.
2 × e0
Пример 6.2.3. Сила тока в проводнике с сопротивлением R =20
Ом возрастает в течение времени Dt =2 с по линейному закону от
I 0 = 0 до I =6 А. Определить количество теплоты, выделившееся
52
в этом проводнике: 1) за первую секунду ( Q1 ); 2) за вторую секунду ( Q2 ); 3) за две секунды (Q3 ) .
Дано:
|
Решение
R =20 Ом |
(1)
Закон Джоуля – Ленца в виде Q = I 2 × R × t
Dt =2 с
| можно применять только в том случае, если сила
I 0 =0
| тока со временем не изменяется ( I = const ) .
I =6 А
|
В данной задаче сила возрастает линейно (рис.3).
Q1, Q2, Q3 -?|
Поэтому сила тока I является линейной
(2)
функцией времени: I = k × t ,
где k - коэффициент пропорциональности,
характеризующий скорость изменения сиDI I - I 0
A
лы тока: k =
=
=3
.
(3)
Dt
Dt
c
За бесконечно малый промежуток
времени dt сила тока не изменяется и
выделяемое за это время количество
Рис. 3
теплоты (dQ) можно определить по закону
(4)
Джоуля – Ленца: dQ = I 2 × R × dt .
Подстановка формулы (2) в уравнение (4) даёт:
dQ = k 2 × R × t 2 × dt .
Интегрируя данное выражение в пределах от t1 до t2 , получим формулу для расчёта количества теплоты, выделяющейся в
проводнике:
t2
1
2
Q = k × R × ò t 2 × dt = × k 2 × R × t23 - t13 .
3
t1
1). При вычислении количества теплоты, выделившейся за первую секунду, следует принять t1 = 0 , t2 = 1 c :
1
Q1 = × 32 × 20 × 13 - 0 = 60 Дж .
3
2). При вычислении количества теплоты, выделившейся за вторую секунду, следует принять t1 = 1 c , t2 = 2 c :
1
Q2 = × 32 × 20 × 23 - 1 = 420 Дж .
3
(
(
)
(
)
)
53
2). При вычислении количества теплоты, выделившейся за две
секунды, следует принять t1 = 0 , t2 = 2 c :
1
Q3 = × 32 × 20 × 23 - 0 = 480 Дж .
3
Ответ: Q1 = 60 Дж ; Q2 = 420 Дж ; Q3 = 480 Дж .
(
)
Пример 6.2.4. Плоский конденсатор, расстояние между пластинами которого d1 =10 см, заряжен до разности потенциалов
U1 = 250 В и отключён от источника. Площадь пластин конденсатора S = 100 см2. Определить заряд конденсатора. Во сколько раз
изменятся ёмкость, разность потенциалов и энергия конденсатора, если в пространство между его пластинами вставить фарфоровую пластину толщиной d 2 =2 см и прижать к одной из пластин?
|
СИ |
Решение
Дано:
| 1). Ёмкостью плоского конd1 =10 см
| 0,1 м
U1 = 250 В
|
| денсатора называют величиравную отношению заряd 2 =2 см
| 0,02 м
| ну,
да конденсатора к разности
S =100 см2
| 10-2 м2
| потенциалов между пластиC2
U
W
| нами: C1 = q .
-? 2 -? 2 -? q-?
(1)
U1
C1
U1
W1
Зависимость ёмкости конденсатора от его размеров выражаe ×e × S
ется формулой C1 = 0 1 .
(2)
d1
Выразив из формулы (1) искомый заряд и подставив в уравнение (2) получим формулу для расчёта искомого заряда:
e × e × S × U1
q= 0 1
.
(3)
d1
Проверим размерность формулы (3):
Ф × м 2 × В Кл × В
[q ] =
=
= Кл.
м× м
В
|
54
Подстановка численных значений в формулу (3) позволяет
рассчитать заряд:
8,85 × 10 -12 ×1 × 10 -2 × 250
q=
= 222 ×10-12 Кл = 222 пКл .
0,1
2). Из формулы (2) следует, что изменение диэлектрической проницаемости ε диэлектрика и расстояния между пластинами приe ×e × S
водит к изменению ёмкости конденсатора: C2 = 0 2 .
(4)
d2
C
e ×d
Разделив формулу (4) на (2), получим: 2 = 2 1 .
(5)
C1 e1 × d 2
Подставив численные значения в формулу (5), получим:
C2
5 × 0,1
=
= 25 . Следовательно, ёмкость конденсатора увели-2
C1 1 × 2 × 10
чилась в 25 раз.
3). Из формулы (1) получим разности потенциалов конденсатора
q
q
, следовав начальном и в конечном состоянии: U1 = ; U 2 =
C1
C2
U
C
тельно: 2 = 1 .
U1 C2
U
e ×d
Используя формулу (5) находим: 2 = 1 2 .
(6)
U1 e 2 × d1
Подставив численные значения в формулу (6), получим:
U 2 1 × 2 × 10 -2
1
=
=
= 0,04 . Следовательно, напряжение конденсаU1
5 × 0,1
25
тора уменьшится в 25 раз.
4). Энергия электрического поля конденсатора в его начальном и
конечном состоянии выражается формулами:
C1 × U12
C2 × U 22
W1 =
; W2 =
. Отсюда получим отношение энергий:
2
2
W2 C2 × U 22
=
.
(7)
W1 C1 ×U 12
Подстановка формул (5) и (6) в соотношение (7) даёт:
55
W2 e1 × d 2 U 1
=
=
= 25 . Следовательно, энергия конденсатора
W1 e 2 × d1 U 2
уменьшается в 25 раз.
C
U
W
Ответ: q = 222 нКл ; 2 = 25 ; 2 = 0,04 ; 2 = 25 .
C1
U1
W1
Пример 6.2.5. Три одинаковых источника тока с ЭДС e =1,5 В
каждый соединены параллельно и создают в цепи ток I =1 А. Определить коэффициент полезного действия батареи, если внутреннее сопротивление каждого источника тока r =0,3 Ом.
Дано:
|
Решение
e =1,5 В |
При параллельном подключении одинаковых исI =1 А
| точников тока их общая электродвижущая сила равr =0,3 Ом | на ЭДС одного источника. Батарея параллельно соеη-?
| динённых источников представляет собой разветвлённый участок цепи, общее сопротивление которого может быть
найдено из формулы проводимости группы параллельно соединённых элементов:
1
1 1 1
= + + + ... .
(1)
rобщ r1 r2 r3
Поскольку в данном примере группа параллельно соединённых элементов образована батареей из трёх источников тока с
общим сопротивлением rб, причём r1 = r2 = r3 = r , формулу (1)
r
можно преобразовать к следующему виду: rб = .
(2)
3
Батарея источников замыкается потребителем электроэнергии, сопротивление которого RП . Тогда на основании закона Ома
e
для замкнутой цепи можно записать: I =
. Отсюда:
RП + rб
e = I × RП + I × rб = U + I × rб ,
(3)
где U - напряжение на зажимах батареи источников энергии.
U
Коэффициент полезного действия батареи: h = .
(4)
e
Выражая из формулы (3) напряжение U = e - I × rб
(5)
56
и подставляя выражение (2) сопротивления батареи в полученr
ную формулу и затем в (4), получим: h = 1 - I ×
.
(6)
3× e
Подстановка численных значений в формулу (6) позволяет
0,3 ö
æ
рассчитать КПД батареи: h = ç1 - 1 ×
÷ ×100% = 93% .
3
×
1,5
è
ø
Ответ: h = 93% .
6.3. Контрольные задачи
Задача № 71. Два точечных заряда q1 =10 нКл и q2 =-8 нКл расположены на расстоянии r =20 см друг от друга. Найти силу, действующую на заряд q =2 нКл, расположенный посередине между
зарядами q1 и q2 .
Задача № 72. Сила тока в проводнике изменяется со временем по
закону: I = 4 + 2 × t . Какое количество электричества пройдёт через поперечное сечение проводника в интервале времени между
моментами t1 =2 с и t2 =6 с.
Задача № 73. Аппарат для гальванизации обеспечивает плотность
тока j=0,15 мА/см2 . Какой заряд q проходит через тело коровы за
t=20 мин, если площадь электродов на коже коровы S=1,2 дм2?
Определите сопротивление R участка тела коровы, если к электродам приложено напряжение U=45 В.
Задача № 74. Батарея с ЭДС e =240 В и внутренним сопротивлением r =1 Ом замкнута на внешнее сопротивление R =23 Ом.
Найти полную мощность, полезную мощность и КПД батареи.
Задача № 75. Расстояние между двумя точечными зарядами q1 =1
нКл и q2 =-30 нКл равно r =20 см. Найти напряжённость и потенциал электрического поля в точке, находящейся посередине между этими зарядами.
Задача № 76. Разность потенциалов между внутренней и внешней поверхностями мембраны митохондрии внутри клетки печени крысы U=200 мВ. Толщина мембраны d=8 нм. Определите
57
напряжённость электрического поля в мембране и электроёмкость внешней мембраны митохондрии, если площадь её поверхности S=15 мкм2, относительная диэлектрическая проницаемость
мембраны ε=5.
Задача № 77. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами: q1 =50 нКл и q2 =100 нКл. Расстояние между зарядами
r =10 см. Где и на каком расстоянии от первого заряда находится
точка, в которой напряжённость электрического поля равна нулю?
Задача № 78. Величина мембранного потенциала покоя клетки
икроножной мышцы лягушки U=65 мВ. Определите напряжённость электрического поля в мембране толщиной d=10 нм. Определите относительную диэлектрическую проницаемость ε мембраны, если электроёмкость мембраны в расчёте на S=1 см2 её
поверхности С=0,48 мкФ.
Задача № 79. Сила тока в проводнике с сопротивлением R =50
Ом равномерно возрастает от I1 =0 до I 2 =3 А за время t =6 с. Определить количество теплоты Q , выделившейся в проводнике за
это время.
Задача № 80. Плоский конденсатор, расстояние между пластинами которого d =2 мм, заряжен до напряжения U =200 В. Диэлектрик - фарфор (ε=5). Найти напряжённость Е и объёмную плотность энергии w поля конденсатора.
58
VII. ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
7.1. Основные законы и формулы
Переменный ток
Ёмкостное сопротивление хс цепи
1
переменного тока; ω – частота; С –
xC =
w ×C
электрическая ёмкость
Индуктивное сопротивление xL цепи
xL = w × L
с индуктивностью L
Полное сопротивление Z электриче2
ской цепи, содержащей соединённые
1 ö
æ
2
последовательно активное сопротив- Z = R + ç w × L ÷
w ×C ø
è
ление R, катушку L и конденсатор С
Количество теплоты qд, выделяющейся в единице объёма ткани в едиqд = j 2 × r
ницу времени при диатермии; ρ –
удельное сопротивление; j – плотность тока
Количество теплоты qу, выделяющейся в единице объёма ткани в едиE2
qy =
ницу времени при УВЧ терапии; Е –
r
напряжённость электрического поля
Количество теплоты qВ, выделяющейся в единице объёма ткани в едиw 2 × BМ 2
qB = k ×
ницу времени при индуктотермии; ВМ
r
– амплитуда индукции магнитного
поля; k – постоянный множитель
Магнитное поле
Связь между индукцией В и напряжённостью
r магнитного поля
Индукция B магнитного поля в
центре кругового витка радиусом
r с током I , содержащего N
витков
59
B = m × m0 × H
B = m × m0 ×
I×N
2×r
r
Индукция B магнитного поля
I
B = m × m0 ×
вблизи бесконечно длинного про2 × p × r0
водника с током I на расстоянии
r0 от него
r
Индукция B магнитного поля
I ×N
внутри соленоида длиной l , со- B = m × m0 × I × n = m × m0 ×
l
держащего N витков с током I
Закон Ампера
F = I × B × l × sin a
Сила взаимодействия двух прямых
параллельных проводников длиной
I ×I ×l
F = m × m0 × 1 2
l с токами I1 и I 2 , находящихся
2 ×p × d
на расстоянии d друг от друга
Магнитный момент pm контура
pm = I × S
площадью S с током I
Магнитный момент рамки (коpm = I × S × N
роткой катушки) с током
Механический момент M , дейстM = pm × B × sin a
вующий на рамку с током в магнитном поле индукцией B
Сила Лоренца
FЛ = q × B × u × sin a
Магнитный поток Ф сквозь поФm = B × S × cos a
верхность площадью S
Магнитный поток, создаваемый
Фm = L × I
контуром с током
2
L
×
I
Энергия магнитного поля
Wm =
2
Электромагнитная индукция
Основной закон
электромагнитной индукции
(Закон Фарадея - Максвелла)
ЭДС переменного тока при
вращении рамки в магнитном
поле
e =-
dФ
dt
e = N × B × S × w × sin(wt )
eC = -L ×
ЭДС самоиндукции
60
dI
dt
L = m 0 × m × n 2 × V = m0 × m × N 2 ×
Индуктивность соленоида
Период колебаний в контуре
(формула Томсона)
Связь длины волны l и периода Т колебаний
S
l
T = 2 ×p × L × C
l = c ×T
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Магнетизм
Напряженность
магнитного
поля
Магнитная индукция
Магнитный поток
Н
А
м
В
Фm
Тл
Коэффициент самоиндукции,
L ,( М
(Индуктивность)
Магнитный момент контура с
рm
током
Вб
)
Гн
А× м 2
7.2. Примеры решения задач
Пример 7.2.1. К витку проволоки с сопротивлением R =0,5 Ом
приложено напряжение U =10 В. Определить: 1) индукцию В
магнитного поля в центре витка; 2) магнитный момент рm витка,
если его диаметр d =20 см; 3) максимальный вращающий момент
M, если виток поместить в магнитное поле с индукцией В0=5 Тл.
Дано:
|
Решение
U =10 В
|
1). Индукция магнитного поля в центре
R =0,5 Ом;
|
I
витка
с
током:
B
=
m
×
m
×
,
(1)
0
d =0,2 м;
|
2×r
В0=5 Тл
| где I - сила тока; μ0 - магнитная постоянная;
B-? рm-? M-?
| r = d / 2 - радиус витка; μ – относительная
магнитная проницаемость среды.
U
Из закона Ома находим силу тока: I = .
(2)
R
61
Подстановка формулы (2) в формулу (1) позволяет ответить
U
на первый вопрос задачи: B = m × m0 ×
.
(3)
2× r × R
Подставляя в формулу (3) численные значения, рассчитаем
индукцию магнитного поля в центре витка:
10
B = 1 × 4 × 3,14 ×10-7 ×
= 1, 26 ×10-6 Тл.
2 × 0,1 × 0,5
2). Магнитный момент рm замкнутого плоского контура с
током I определим по формуле: pm = I × S ,
(4)
p ×d2
где S =
- площадь контура. Окончательно:
4
p × d 2 U ×p × d 2
pm = I ×
=
.
(5)
4
4×R
Подставляя в формулу (5) численные значения, вычислим
10 × 3,14 × 0, 22
магнитный момент: pm =
= 0, 63 А·м2.
4 × 0,5
3). Вращающий механический момент М, действующий на
виток с током, определим по формуле: M = pm × B0 × sin a ,
(6)
где рm – магнитный момент; В0 – магнитная индукция; α – угол
между направлениями тока и индукции поля.
Механический момент максимален при α=90°.
Подстановка численных значений в формулу (6) с учётом
α=90° даёт: M = 0, 63 × 5 × 1 = 3,15 Н·м.
Ответ: B = 1, 26 × 10 -6 Тл; pm = 0,63 А·м2; M = 3,15 Н·м.
Пример 7.2.2. Катушка длиной ℓ=10 см с площадью сечения S =
=30 см2 имеет n =12 витков на l 0 =1 см длины. Индукция магнитного поля в катушке В=8·10-3 Тл. Определить: 1) силу тока I в
катушке; 2) энергию Wm магнитного поля.
Дано:
| СИ
|
Решение
ℓ=10 см
| 0,1 м
|
1). Индукция магнитного поля на
2
-3 2
S =30 см
| 3·10 м | оси соленоида: B = m × m 0 × I × n ,
(1)
-3
В=8·10 Тл |
| где n – число витков на единице дли-1
-1
n=12 см
| 1200 м | ны катушки, I сила тока в катушке.
| Из формулы (1) выразим силу тока:
I -? Wm -?
|
62
B
.
(2)
m × m0 × n
Подставляя численные значения в формулу (2), рассчитаем
8 × 10 -3
= 5,3 А.
силу тока в соленоиде: I =
1 × 4 × p ×10-7 ×1200
2). Энергию Wm магнитного поля определим по формуле:
I=
L×I2
Wm =
,
(3)
2
где L - индуктивность катушки; I - сила тока.
Индуктивность соленоида определяем по формуле:
L = m0 × m × n 2 × V ,
(4)
где n – число витков на единице длины катушки, V - объём катушки; μ0 - магнитная постоянная; μ – относительная магнитная
проницаемость среды.
(5)
Объём катушки: V = S × l ,
где S и l соответственно площадь поперечного сечения и длина
катушки. Подстановка в формулу (3) соотношений (4) и(5) позволяет выразить энергию магнитного поля соленоида:
1
1
Wm = × m 0 × m × n 2 × V × I 2 = × m 0 × m × n 2 × S × l × I 2 .
(6)
2
2
Подстановка численных значений в формулу (6) даёт:
1
Wm = × 4 × 3,14 ×10-7 ×1 × 12002 × 3 ×10-3 × 0,1 × 5,32 = 7,6 × 10 4 Дж.
2
Ответ: I =5,3 А; Wm = 7, 6 × 10 4 Дж.
Пример 7.2.3. Проволока длиной l =20 см с площадью поперечного сечения S =10 см2, намотанная на длинный картонный цилиндр, и содержащая N =500 витков, подключена параллельно
конденсатору ёмкостью С=889 пФ. На какую длину волны λ будет резонировать контур?
Дано:
| СИ
|
Решение
l =20 см
| 0,2 м
|
1). Длину волны можно опреде2
-3 2
S =10 см | 10 м
| лить по формуле: l = c × T ,
(1)
N =500
|
| где с – скорость распространения
-10
С=889 пФ | 8,89·10 Ф | электромагнитной волны, Т – периλ -?
|
| од колебаний.
63
Период колебаний связан с индуктивностью L и ёмкостью
С контура формулой Томсона: T = 2 × p × L × C .
(2)
S
Индуктивность соленоида: L = m 0 × m × N 2 × ,
(3)
l
где μ – магнитная проницаемость; μ0 – магнитная постоянная.
2). Подстановка выражений (2) и(3) в формулу (1) даёт:
m0 × m × N 2 × S × C
l = 2 ×p × c ×
.
(4)
l
Подставив численные значения в формулу (4), получим:
4 × 3,14 ×10-7 ×1 × 5002 ×10-3 × 8,89 × 10 -10
8
l = 2 × 3,14 × 3 ×10 ×
= 2200 м.
0, 2
Ответ: l =2200 м.
7.3. Контрольные задачи
Задача № 81. Индукция В магнитного поля в центре проволочного кольца радиусом r =20 см, по которому течёт ток, равна В=4
мкТл. Найти разность потенциалов на концах кольца, если его
электрическое сопротивление R =3,14 Ом.
Задача № 82. Сопротивление образца мышечной ткани животного измеряется при пропускании через него сначала постоянного, а
затем переменного тока. При какой частоте переменного тока
полное сопротивление ткани в п=3 раза больше величины её активного сопротивления R=1128 Ом? Ёмкость мышечной ткани
С=0,01 мкФ.
Задача № 83. Из медной проволоки длиной L=6,28 м с площадью
поперечного сечения S=0,5 мм2 сделано кольцо. Чему равна индукция магнитного поля в центре кольца, если к концам проволоки приложено напряжение U =3,4 В?
Задача № 84. Какое количество теплоты qу выделится за t=15 мин
в V=0,8 дм3 вымени при УВЧ – терапии мастита, если напряжён64
ность электрического поля между электродами Е=350 В/м?
Удельное сопротивление ткани ρ=8 Ом·м.
Задача № 85. При диатермии печени крупного рогатого скота
один электрод размером S=20·16 см2 накладывают спереди на
область печени, а второй напротив первого электрода. Сила тока
между электродами I=1,2 А. Процедура продолжается t=15 мин.
Удельное сопротивление печени ρ=10 Ом·м. Какое количество
теплоты qд выделится при этом в объёме печени толщиной d=
=5 см?
Задача № 86. Определить вращающий момент М, действующий
на виток с током I=5 А, помещённый в однородное магнитное
поле с индукцией В=3 мТл, если плоскость витка составляет с направлением линий индукции поля угол α=60°. Площадь витка
S=10 см2.
Задача № 87. Аппарат для индуктотермии генерирует переменное напряжение частотой ν=1625 кГц. Во сколько раз возрастёт
тепловой эффект, если индуктотермическую катушку подсоединить к генератору частотой ν=13,56 МГц?
Задача № 88. Протон (mp=1,67·10-27 кг, q=1,6·10-19 Кл) влетает в
однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции
со скоростью υ=2·106 м/с. Индукция магнитного поля В=2 мТл.
Вычислить ускорение протона в магнитном поле.
Задача № 89. Электрон (mе=9,11·10-31 кг, q=-1,6·10-19 Кл) движется по окружности со скоростью υ=2·106 м/с в однородном магнитном поле с индукцией В=2 мТл. Вычислить радиус окружности.
Задача № 90. Отношение индуктивного сопротивления тела животного к его ёмкостному сопротивлению xL/xC=0,75.При какой
частоте переменного тока проводились измерения, если индуктивность животного L=8 мГн, а его электроёмкость С=45 мкФ?
65
VIII. ОПТИКА
8.1. Основные законы и формулы
Угловое увеличение микроскопа Г; а=25 см –
расстояние наилучшего зрения; L – расстояние
a×L
Г=
между фокусами объектива и окуляра; F1 и F2 –
F1 × F2
фокусные расстояния объектива и окуляра
Предел разрешения z микроскопа; λ – длина световой волны; θ – апертурный угол; п - относи0,61 × l
z
=
тельный показатель преломления среды между
n × sin q
предметным стеклом и объективом
Закон Малюса ( I 0 - интенсивность света, падающего на анализатор, I -интенсивность све2
та, прошедшего через анализатор, a - угол ме- I = I 0 × cos a
жду главными оптическими осями поляризатора
и анализатора)
Закон Брюстера (a Б -угол падения, называемый
углом полной поляризации (углом Брюстера), при
котором отражённый свет полностью, а преtga Б = n2,1
n
ломленный частично поляризован; n2,1 = 2 , n1 и
n1
n2 -абсолютные показатели преломления двух
сред соответственно)
Угол θ поворота плоскости поляризации монохроматического света при прохождении через
q = a ×l
оптически активные твёрдые вещества (α –
удельное вращение; ℓ - толщина слоя вращающего вещества, сквозь который проходит свет)
Угол θ поворота плоскости поляризации монохроматического света при прохождении через
q = a ×c ×l
оптически активные растворы (с - концентрация раствора)
Энергия кванта W; с – скорость света; h - поh ×c
W = h ×n =
стоянная Планка
l
Соотношение между массой т и энергией W DW = Dm × c 2
(формула Эйнштейна)
66
Закон поглощения света; J0 и J – интенсивности света до и после прохождения светом вещества толщиной ℓ с показателем поглощения χ
J = J 0 × e- c ×l
8.2. Примеры решения задач
Пример 8.2.1. Угол между главными плоскостями поляризатора и
анализатора составляет α1=30°. Во сколько раз изменится интенсивность прошедшего через них света, если угол между главными плоскостями станет равным α2=45°?
Дано: |
Решение
α1=30° |
Используя закон Малюса для первого и второα2=45° | го случая соответственно, можно записать:
I1
I1 = I 0 × cos 2 a 1 и I 2 = I 0 × cos 2 a 2 .
-?
I2
При увеличении угла α интенсивность света
I1 cos 2 a1
=
.
уменьшается:
I 2 cos 2 a 2
I1 cos 2 30o
Подстановка численных значений даёт:
=
= 1,5 .
I 2 cos 2 45o
I
Ответ: 1 = 1,5 .
I2
|
Пример 8.2.2. Пучок естественного света падает на поверхность
стеклянной (п2=1,5) пластины, погружённой в жидкость. Отражённый от пластины пучок света образует угол φ=97° с падающим пучком. Определить показатель преломления жидкости п1,
если отражённый свет максимально поляризован.
Дано: |
Решение
φ=97° |
Согласно закону Брюстера, пучок света, отрап2=1,5 | жённый от диэлектрика, максимально поляризован в
том случае, если тангенс угла падения равен относип1 - ?
тельному показателю преломления: tga Б = n2,1 , где
п21 – показатель преломления второй среды (стекла) относительно первой (жидкости).
Относительный показатель преломления равен отношению
абсолютных показателей преломления. Следовательно,
|
67
tga Б =
n2
.
n1
Поскольку угол отражения равен углу падения, то a Б =
j
и,
2
æj ö n
следовательно tg ç ÷ = 2 . Из полученного выражения следует:
è 2 ø n1
n2
1,5
n1 =
. Подставим численные значения: n1 =
=
æj ö
æ 97o ö
tg ç ÷
tg ç
÷
è2ø
è 2 ø
1,5
=
= 1,33 .
1,13
Ответ: п1=1,33.
Пример 8.2.3. Раствор глюкозы с концентрацией с=0,28 г/см3, налитый в стеклянную трубку длиной ℓ=15 см, поворачивает плоскость поляризации света на угол θ=32°. Определить удельное
вращение α глюкозы.
Дано: |
СИ
Решение
3
2
3
с=0,28 г/см | 2,8·10 кг/м |
Угол поворота плоскости поляℓ=15 см
| 0,15 м
| ризации в оптически активных расθ=32°
|
| творах: q = a × c × l . Следовательно:
α-?
|
|
q
a=
.
c ×l
Подстановка численных значений даёт:
32
град × м2
a=
= 0,76
.
2,8 ×102 × 0,15
кг
град × м 2
Ответ: a = 0,76
.
кг
Пример 8.2.4. При прохождении через кювету с окрашенным
раствором лекарственного вещества интенсивность света уменьшилась на 18%. Определить показатель поглощения раствора. Во
сколько раз уменьшится интенсивность света по сравнению с
первым раствором, если концентрацию раствора увеличить в п=5
раз? Толщина слоя раствора в кювете ℓ=0,08 м.
68
Дано:
J 0 - J1
= 0,18
J0
C2
=5
C1
ℓ=0,08 м
J2
- ? χ- ?
J1
|
Решение
В соответствии с законом Бугера интен| сивность света, прошедшего через слой вещества толщиной ℓ, уменьшается экспоненци|
J0
ально: J1 = J 0 × e - c ×l . Следовательно
= e c ×l .
J1
|
Логарифмируя это выражение, получим:
J
lg 0 = c × l × lg e = 0,43 × c × l .
J1
J
lg 0
J1
Таким образом, показатель поглощения c =
.
0, 43 × l
J - J1
J
= 0,18 , следовательно 1 - 1 = 0,18 ,
По условию задачи 0
J0
J0
J1
J
1
= 1 - 0,18 = 0,82 , или 0 =
= 1, 22 .
J0
J1 0,82
lg1, 22
Окончательно c =
= 2,51 м -1 .
0, 43 × 0,08
Поглощение света прямо пропорционально концентрации С
вещества в растворе: J1 = J 0 × e -a ×C1×l ; J 2 = J 0 × e -a ×C2 ×l , где α - показатель поглощения раствора единичной концентрации. Деление
этих выражений друг на друга и последующее логарифмирование
J
1
даёт: 2 =
= 0,452 .
J1 2,698 × 0,82
J
Ответ: χ=2,51 м-1; 2 =0,452.
J1
|
8.3. Контрольные задачи
Задача № 91. Предельный угол полного внутреннего отражения
для роговицы глаза αП=46°. Вычислить для роговицы глаза угол
полной поляризации (угол Брюстера αБ).
69
Задача № 92. Угол полной поляризации (угол Брюстера αБ) для
сыворотки крови здорового человека αБ=53,3°. Вычислить для
сыворотки предельный угол αП полного внутреннего отражения.
Задача № 93. Определить оптическую силу D окуляра микроскопа, если фокусное расстояние объектива F1=1,5 мм. Расстояние
между объективом и окуляром 21 см. Микроскоп обладает 64кратным увеличением.
Задача № 94. Угол полной поляризации для здорового человека
αБ=53,3°. Вычислить для сыворотки предельный угол полного
внутреннего отражения.
Задача № 95. Фотоактивирование семян производят излучением
гелий-неонового лазера мощностью 25 мВт. Какое количество
фотонов попадает на поверхность семени в минуту? Длина волны
излучения λ=630 нм.
Задача № 96. Фокусное расстояние объектива микроскопа F1=
=5 мм, а окуляра – F2=28 мм. Расстояние между объективом и
окуляром 18 см. Определить оптические силы линз микроскопа и
увеличение микроскопа.
Задача № 97. Интенсивность естественного света, проходящего
через два николя, уменьшилась в 8 раз. Пренебрегая поглощением света, определить угол между главными плоскостями николя.
Задача № 98. Определить концентрацию сахара в моче человека,
больного диабетом, если в трубке сахариметра длиной 20 см плоскость поляризации повернулась на угол 40°. Удельное вращение
плоскости поляризации сахара 66,5 град·см3/(г·дм).
Задача № 99. Определить скорость света в алмазе, если угол полной поляризации при отражении света от поверхности алмаза
αБ=67°30’.
Задача № 100. Лазерное излучение мощностью 2 мВт может вызвать ожог сетчатки глаза за время t=2 c при площади пятна
S=1,2 мм2. Какое количество фотонов попадает за это время на
сетчатку, если длина волны излучения λ=632,8 нм?
70
Таблицы
вариантов контрольных работ по физике и биофизике
для студентов факультета ветеринарной медицины
Номер
Номера задач
варианта
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
20
11
12
13
14
15
16
17
18
19
30
21
22
23
24
25
26
27
28
29
40
31
32
33
34
35
36
37
38
39
50
41
42
43
44
45
46
47
48
49
60
51
52
53
54
55
56
57
58
59
70
61
62
63
64
65
66
67
68
69
80
71
72
73
74
75
76
77
78
79
90
81
82
83
84
85
86
87
88
89
100
91
92
93
94
95
96
97
98
99
Список литературы
1. Грабовский Р.И. Курс физики /Р.И. Грабовский.- М.: Лань,
2005. – 608 с.
2. Волькенштейн М.В. Биофизика /М.В. Волькенштейн.-СПб.:
Лань, 2008. – 596 с.
3. Трофимова Т.И. Курс физики / Т.И. Трофимова. – М.: Академия, 2008. – 560 с.
71
Подписано в печать 6.10.2010 г. Формат 60х841/16
Бумага кн.-журн. Усл. п.л. 4,5. Гарнитура Таймс.
Тираж 170 экз. Заказ №4564
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный аграрный университет имени К.Д. Глинки»
Типография ФГОУ ВПО Воронежский ГАУ. 394087, Воронеж, ул. Мичурина, 1
Информационная поддержка: http://tipograf.vsau.ru
Отпечатано с оригинал-макета заказчика. Ответственность за содержание
предоставленного оригинал-макета типография не несет.
Требования и пожелания направлять авторам данного издания.
72
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа