close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

244.Методические указания и индивидуальные контрольные задания по математическому анализу для самостоятельной работы студентов курса дневной формы обучения. Направление подготовки Экономика. Профили подготовки Бухгалтерский учет

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный аграрный
университет имени императора Петра I»
Факультет бухгалтерского учета и финансов
Кафедра прикладной математики и математических
методов в экономике
Кафедра высшей математики и теоретической механики
А.Г. Буховец, Н.А. Кораблина, Л.И. Федулова, Т.Я. Бирючинская
Методические указания
и индивидуальные контрольные
задания по математическому анализу
Для самостоятельной работы студентов I курса дневной формы обучения.
Направление подготовки: 080100 «Экономика».
Профили подготовки: «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»
«Финансы и кредит» ,«Налоги и налогообложение»
Воронеж
2012
Составители: профессор Буховец А.Г., доценты: Кораблина Н.А.
Федулова Л.И., ст. преподаватель Бирючинская Т.Я.
Рецензент: заведующий кафедрой физики ВГАУ, д. физ.- мат. н.
профессор Воищев В.С.
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию на заседании кафедры прикладной математики и математических методов в экономике (протокол № 4 от 8.11. 2011 г.).
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию на заседании методической комиссии факультета бухгалтерского учета и финансов ВГАУ (протокол № 3 от 20.12.2011 г.).
2
ТЕМА 1. НАЧАЛА АНАЛИЗА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА
Вопросы к теме.
1. Дайте определение переменной величины, бесконечно малой и бесконечно большой переменной величины, перечислите их простейшие
свойства. Дайте определение функции, ее область определения.
2. Перечислите основные элементарные функции, их простейшие
свойства и графики.
3. Что такое предел переменной величины, какие его свойства? Дайте
определение предела функции.
4. Сформулируйте понятия приращения аргумента и функции, дайте
их геометрическую интерпретацию. Дайте определение непрерывности функции в точке.
5. Укажите свойства функций, непрерывных в точке.
6. Дайте определение односторонних пределов функции, классификации точек разрыва функции, вертикальных и горизонтальных асимптот графика.
7. Сформулируйте первый замечательный предел.
8. Сформулируйте второй замечательный предел.
9. Сформулируйте задачу о вычислении мгновенной скорости тела и о
нахождении углового коэффициента касательной к плоской кривой.
Дайте определение, укажите геометрический, физический и экономический смыслы производной функции.
10. Перечислите теоремы, связывающие дифференцируемость и непрерывность функции.
11. Укажите простейшие правила дифференцирования функций.
12. Укажите формулы для вычисления производной сложной функции, производной обратной функции.
13. Что такое дифференциал функции?
14. Сформулируйте теорему Лагранжа. Укажите признаки монотонности функции.
15. Укажите необходимое условие экстремума функции одного аргумента.
16. Укажите достаточные условия экстремума функции одного аргумента.
17. Как проводится анализ графика функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба?
18. Как находятся наклонные асимптоты графика функции?
3
Типовой расчет 1
В задачах №№ 1 - 30 заданы функции. Требуется вычислить
указанные пределы.
Вариант 1
Вариант 2
2
2
2x  7x  3
x x0 x 2  2 x  15
a ) x0  3; b) x0   .
6x  5x  1
x x0 2 x 2  x  1
1
a ) x0   ; b) x0   .
2
x 1
2. lim
.
x1 7  3 x  2
3sin 3x
3. lim
.
x0 tg 4 x  cos 2 x
1. lim
2. lim
x2
1. lim
.
5  2x  1
4tg 5 x  sin 2 x
3. lim
.
x0
3x2
x2
 2x  1 
4. lim 

x 2 x  4


3 x 1
2
 4x  1 

2
 4x  4 
.
4. lim 
x
Вариант 3
2
2x  x  6
x x0 x 2  3 x  2
a ) x0  2; b) x0   .
3 x  13x  12
x x0
x2  2 x  3
a ) x0  3; b) x0   .
1. lim
1. lim
1 6x 1
2. lim
.
x 0
8x
x0
2. lim
x1
x2  8  3
2
x  sin 4 x
.
tg 2 2 x
3x
Вариант 5
Вариант 6
2
2
x  2x  8
x x0 6 x 2  11x  2
a ) x0  2; b) x0   .
6x  x 1
x x0 2 x 2  3 x  1
1
a ) x0   ; b) x0   .
2
2x  7 1
2. lim
.
x4
x4
1. lim
x 3
x3
2x  2  2
.
x 32
5 x 2
3. lim
.
x0 1  cos 2 x
4 x 1
 7x  5 
4. lim 
.

x 3  7 x


 5x 
4. lim 
 .
x 5 x  2


2. lim
.
Вариант 4
2
3. lim
3 x 2 1
1. lim
.
4
sin 2 3 x
3. lim
.
x0 5 x  tgx
5 x 2  cos x
3. lim
.
x0
tg 2 4 x
5x
3x
 5x  2 
4. lim 
 .
x 3  5 x


1 

4. lim 1 
 .
x
 2x  4 
Вариант 7
Вариант 8
2
2
2 x  5x  2
x x0 x 2  x  2
3x  7 x  2
x x0 x 2  x  6
a ) x0  2; b) x0   .
1. lim
1. lim
a ) x0  2; b) x0   .
4 x  12  2
2. lim
.
x2
x2
2. lim
x 0
cos5 x  sin 6 x
.
x 0
tg 2 x
4x
 2x  3 
4. lim 
 .
x
 2x 
 8x  2 
4. lim 

x 5  8 x


Вариант 9
x1
7  3x  2
.
4 x 1
 3 x 2  5 
4. lim 

x 3 x 2  4


.
Вариант 11
x 3
.
2 x 2 1
.
Вариант 12
2 x2  7 x  6
1. lim
x x0 x 2  x  2
a ) x0  2; b) x0   .
2. lim
32 x
3x 2  4 x  1
1. lim 2
x x0 3 x  5 x  2
1
a ) x0   ; b) x0   .
3
x2  5  2
2. lim
.
x3 8  2 x 
2
3sin 7 x  cos3x
3. lim
.
x 0
tg 4 x
5 x2
3. lim
.
x0 4tg 3 x  sin 4 x
 5x  6 
4. lim 

x 5 x  4


.
Вариант 10
x2  5x  6
1. lim 2
x x0 3 x  10 x  3
a ) x0  3; b) x0   .
x 1
2
x 5  5
1  cos 2 x
3. lim
.
2
x0
4x
3. lim
2. lim
3x 2  2  2
x 2  2 x  15
1. lim 2
x x0 5 x  14 x  3
a ) x0  3; b) x0   .
x  13  4
.
2
x  3x
2. lim
x0
5
3  5x  3
.
1  2x  1
1  cos 2 4 x
3. lim
.
x0
3x2
5sin 8 x
3. lim
.
x0 3tg 2 x
4x
 7x 
4. lim 
 .
x 7 x  8


 7 x  2 
4. lim 

x
 9  7x 
Вариант 13
2
4 x  17 x  4
x x0 x 2  x  12
a ) x0  4; b) x0   .
3x  7 x  2
x x0 3 x 2  2 x  1
1
a ) x0   ; b) x0   .
3
2
x  16
2. lim
.
x4
12  x  4
3tg 3 x
3. lim
.
x0 sin 7 x  cos 4 x
7 x
 4x  1 
4. lim 
 .
x 3  4 x


1. lim
2. lim
1. lim
.
x3
5x  1  4
sin 2 2 x
3. lim 2
.
x0 2 x  cos 2 x
8x
2 

4. lim 1 
 .
x
 4  3x 
Вариант 15
Вариант 16
2
2
2 x  x  10
x x0 x 2  4 x  12
a ) x0  2; b) x0   .
x5
2. lim
.
x 5
3x  1  4
sin 2 6 x
3. lim
.
x0 4 x  tg 2 x
2x  9x  4
x x0 x 2  6 x  8
a ) x0  4; b) x0   .
1. lim
 6x  4 
4. lim 

x
 6x 
.
Вариант 14
2
x2  9
5 x2
1. lim
9x2  1  1
2. lim
.
x0
2x2
 x2
3. lim
.
x0 1  cos3 x
3 x
 10 x  2 
4. lim 

x 8  10 x


.
Вариант 17
48 x
.
Вариант 18
2
2
x  3x  4
x x0 2 x 2  5 x  7
a ) x0  1; b) x0   .
2x  x 1
x x0 6 x 2  x  1
1
a ) x0  ; b) x0   .
2
x2  5x
2. lim
.
x5
13  2 x  3
1. lim
1. lim
5  20  5 x
.
2
x1
x 1
2. lim
6
4x2
3. lim
.
x0 5sin 4 x  tg 2 x
 9x  7 
4. lim 

x 9 x  4


 cos3 x  tg 4 x
.
x0
6sin 2 x
3. lim
6 x 5
2
 5x  3 

2
 5x  8 
.
4. lim 
x
Вариант 19
2
x  4x  5
x x0 2 x 2  11x  5
a ) x0  5; b) x0   .
2 x  3x  5
x x0 3 x 2  x  4
a ) x0  1; b) x0   .
1. lim
1. lim
1 x  2
.
x 3
3x  9
tg 2 8 x
3. lim
.
x0 3 x  sin 5 x
7x
 6x 
4. lim 
 .
x 6 x  8


2x  7  7
.
x 0
8x
5 x2
3. lim
.
x0 1  cos x
9 x2
 11x  5 
4. lim 
.

x 11x  7


2. lim
2. lim
Вариант 21
Вариант 22
2
2
x  4x  3
x x0 5 x 2  2 x  3
a ) x0  1; b) x0   .
3x  7 x  2
x x0 3 x 2  11x  4
1
a ) x0  ; b) x0   .
3
x2  2
2. lim
.
x4
3x  8  2
sin 2 3x
3. lim
.
x0 4 x  tg 4 x
1. lim
2. lim
x1
.
Вариант 20
2
x2  x
8 x 2 1
1. lim
.
x8 3
x 2  cos 2 x
3. lim
.
x0 2sin 2 x
7x
 5 x  1 
4. lim 

x
 8  5x 
2 

4. lim 1 
 .
x
 6x  4 
Вариант 23
2 x
.
Вариант 24
2
2
2x  7x  6
x x0 x 2  3 x  10
a ) x0  2; b) x0   .
5x  2x  7
x x0 3 x 2  2 x  1
a ) x0  1; b) x0   .
1. lim
1. lim
9  3x  3
2. lim
.
x2
x2  4
2. lim
x 0
7
7 x2  9  3
2
8x  1  1
.
4tg 2 x
3. lim
.
x0
7 x2
sin 8 x  cos5 x
3. lim
.
x0
tgx
4x
 10 x 
4. lim 
 .
x 10 x  1


 12 x  5 
4. lim 

x 4  12 x


Вариант 25
2
x  6x  7
x x0 2 x 2  x  3
a ) x0  1; b) x0   .
6x  5x  1
x x0 2 x 2  3 x  1
1
a ) x0  ; b) x0   .
2
2
x  4x
2. lim
.
x4
2x 1  3
5sin 7 x
3. lim
.
x0 tg 2 x  cos x
1. lim
2. lim
x1
1. lim
.
3  2x 1
tg 9 x  sin 5 x
3. lim
.
x0
3 x 2
8x
 4 x  7 
4. lim 
 .
x 4 x  4


2
 x 8

2
 x 4
Вариант 27
.
Вариант 28
2
2x  x  1
x x0 5 x 2  6 x  1
a ) x0  1; b) x0   .
3x  3 x  6
x x0 3 x 2  4 x  7
a ) x0  1; b) x0   .
1. lim
1. lim
x  4 1
2. lim
.
x3 x 2  3 x
sin 2 6 x
3. lim 2
.
x0 x  cos 4 x
9x
 7x 
4. lim 
 .
x 7 x  8


2. lim
x 2  25
x5
.
2x  1  3
x  tgx
3. lim
.
x0 sin 2 9 x
3x
 14 x  10 
4. lim 
 .
x
2

14
x


Вариант 29
Вариант 30
2
2
x  2x  8
x x0 3 x 2  11x  4
a ) x0  4; b) x0   .
2x  x 1
x x0 3 x 2  7 x  10
a ) x0  1; b) x0   .
x4
2. lim
.
x4
4  3x  4
1. lim
x1
5 x2
4. lim 
x
2
2. lim
.
Вариант 26
2
x2  x  2
28 x
1. lim
4x  5  3
.
x 1
8
6 x2
3. lim 2
.
x0 tg 4 x
4tg 4 x
3. lim
.
x0 sin 2 x  cos 4 x
5 

4. lim 1 

x
 2x  4 
4 x 1
19 x
 4x  1 
4. lim 

x 6  4 x


.
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА.
ПРИМЕР 1. Вычислить пределы указанных функций:
x2  x  2
lim 2
; a) x0  2; b) x0  .
x x0
4x  7x  2
Решение.
x2  x  2
(2)2  2  2
0 
а) lim 2


 .
2
x2
4 x  7 x  2 4  (2)  7  (2)  2  0 
Подстановка предельного значения аргумента приводит к
0
неопределенности   . Для освобождения от имеющейся неоп0 
ределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители.
x 2  x  2  0  x1  2; x2  1.  x 2  x  2  ( x  2)  ( x  1);
1
1
4 x 2  7 x  2  0  x1  2; x2  .  x 2  x  2  4  ( x  2)  ( x  );
4
4
Тогда предел исходной функции будет равен
x2  x  2
( x  2)  ( x  1)
x  1 3 1
lim 2
 lim
 lim

 .
x2
4 x  7 x  2 x2 ( x  2)  (4 x  1) x2 4 x  1 9 3
x2  x  2
 
b) lim 2
  .
x
4x  7x  2   
При подстановке предельного значения аргумента числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают, что приво
дит к неопределенности вида   . Так как под знаком предела
 
стоит отношение двух многочленов, то для освобождения от неопределенности такого вида разделим числитель и знаменатель
дроби на старшую степень переменной x , в нашем случае на x 2 .
Тогда получим
9
1 2
 2
x  x2
x
x  1,
lim 2
 lim
x
4 x  7 x  2 x 4  7  2 4
x x2
1 2 7
при x   каждая из дробей , 2 , стремится к нулю.
x x x
ПРИМЕР 2. Вычислить указанный предел
1  x  3x2  1
lim
.
x0
2x
Решение.
В данном случае при x  0 числитель и знаменатель дроби
1
2
0
стремятся к нулю, т.е. имеем неопределенность вида   .
0 
Для устранения возникшей неопределенности умножим
числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное к
числителю, применим формулу разности квадратов, после некоторых преобразований получим
1  x  3x 2  1
( 1  x  3x 2  1)  ( 1  x  3x 2  1)
lim
 lim

2
x0
x

0
2x
2 x  ( 1  x  3x  1)
lim
x0
1  x  3x 2  1
2
 lim
x (1  3x)
2
x 0

2 x  ( 1  x  3 x  1)
2 x  ( 1  x  3 x  1)
1  3x
1
1
lim

 .
x0
2  ( 1  x  3x 2  1) 2  2 4
ПРИМЕР 3. Вычислить указанный предел
sin 2 3 x  cos5 x
lim
.
x0
x  tg 2 x
Решение. При подстановке предельного значения перемен0
ной x получаем неопределенность вида   . В данном случае
0 
для освобождения от неопределенности воспользуемся первым
замечательным пределом и его следствием
sin 
tg
lim
 1,  lim
 1.
 0 
 0 
10
Для того, чтобы воспользоваться вышеуказанными пределами, разложим исходную дробь на ряд сомножителей, получим
sin 2 3x  cos5 x
sin 3 x  sin 3 x  cos5 x
lim
 lim

x0
x0
x  tg 2 x
x  tg 2 x
sin 3x
sin 3 x
sin 3x
sin 3x
 3x 
 3 x  cos5 x
3
 3  cos5 x
3
x
3
x
3
x
3
x
 lim
 lim

x0
x0
tg 2 x
tg 2 x
x
 2x
2
2x
2x
1  3 1  3 1 9
=
  4,5 .
1 2
2
ПРИМЕР 4. Вычислить указанный предел
2 x 1
 x2
lim 
 .
x x  7


Решение.
Выделим целую часть дроби, находящейся в основании показательно-степенной функции.
2 x 1
2 x 1
2 x 1
9 
 x2
 x772

lim 
 lim 
 lim 1 


 .
x x  7
x
x
x

7
x

7







При x   получаем неопределенность вида 1  . Для освобождения от неопределенности такого вида воспользуемся вторым замечательным пределом
x
 1
lim 1    e .
x
 x
Прежде, чем применить второй замечательный предел, выполним некоторые преобразования: введем замену переменной
x7
t
 x  9t  7; x    t   .
9
После некоторых преобразований найдем искомый предел
2 x 1
2 x 1
18t 13
9 
 x2

 1
lim 
 lim  1 
 lim  1  



x x  7
x
t 
x7



 t
t

 1 
  lim  1   
 t   t  


18
13
e18
1
 1
lim 1    13  18 .
t 
1
e
 t
11
Типовой расчет 2
В ЗАДАЧАХ №№ 1 - 30 заданы функции. Требуется вычислить производные этих функций.
Вариант 1.
1. y 
7
x4

2 5 2
 x  6x
x
2.
y  2 x 4  5  ln x  3 x 7  ctg 4 x
6 x 3  sin 2 x
3. y 
2  arctgx
4. y  (6 x  2 x 4 )6
5.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
3
6. y  sin 2 x 2  1
7. y  ectg ( 4 x  3 x
6
)
8. y  ln arccos2 x 4
9. y 
7
24 x  5 x
 4x  5 
y  ln(2 x 3  1)
10. y  ln 
2 
 1 x 
Вариант 2.
8 2
3
1
y   6  5 x2  7 x
6. y  arcctg
x
x
x
y  x 5  3 x  2 x  7  ctgx
7. y  tg 7 e x
ln 2 x  6 x
8. y  log 2 cos 9 x
y
2  7 x3
10
y  4arcsin 2 x
9. y 
arccos x  e 7 x
y  tg (6  7 x)5
1  e2x
10. y 
ex  4
Вариант 3.
2
4 7
6. y  ln(6 x 2  3 x)
y  4   6 x 4  3x5
x
3x
7. y  arctg 5 x
y  x  6  cos x  e3 x  x 2
cos 2 4 x
arcsin 8 x  5
8.
y

8
y
x5  3x
9
y  (4 x  9 x 3 )10
9. y 
2 x  2 sin 10 x
12
5. y  tge8 x 1
 6  5x 
10. y  arcsin

 4x  3 
Вариант 4.
2
5
3
6. y  ln sin( x 5  6 x )
1. y 
 3  7 x7  9
x 4x
2. y  2 x 7  4 x  ln 2 x  (6  5 x 2 )
7. y  arccos e 2 x  x 2
6 x  e4 x
3. y 
8. y  7 arctg (2 x 2  6)
1  4 x3
4. y  (2 x 4  9 x  7)9
9.
2
y
11x 2  cos(2 x  5)
2 x 
5. y  tg (75 x  3 x 4 )

10. y  ln
3

x


Вариант 5.
7
2
6. y  tg ( x 2  3 sin x)
1. y   2  63 x  2 x
x 5x
2. y  ( x 2  2)  e 4 x  cos 2 x  x 7
7. y  3 ln(9 x  7)  3x 4
3. y 
8. y  arccos(9 4 x 1  7 x 4 )
sin 2 x  6 x
1  6x2
4. y  (8 x 4  7 x)10
5. y
10 x  5
 6 sin x
3
3. y 
5
x  sin 3 x
x6  8x
4. y  (6 x  4 x 3 )7
2
7 x  4arcctg 2 x
 1 ex 

10. y  
x 
1 e 
Вариант 6.
8
 3x  6 x
3
x
x
2. y  (ctgx  3 x)  e 2 x  x 4  ln 5 x
1. y 
4
9. y 
7
5
6. y  arctg x 2  7x
7. y  cos 82tg 3 x  4
8. y  ln(arcsin 2 x)
9. y 
13
7
e5 x  10 x 2
5. y  5tg 2 x  6 x
1.
2.
3.
4.
5.
1.
10 x 1
71 cos 2 x
4
10.
Вариант 7.
2
4
6. y  sin(ln 3x  5 )
y  2 x 6  x3  5  6 x
x
y  (2 x  1)  cos 2 x  x 2  ln 5 x 7. y  arctg 7 ( 5 x )
4
arcsin(7 x  1)
8. y  ln e x
y
3  4 x5
8
y  (5 x 3  6 x ) 4
9. y  7 x
2  3x2
2
 4  ln x 
y  84tg 5 x  6 x
10. y  cos

 5  6 ln x 
Вариант 8.
7 6 5 4
2

y
 x  4  6x
6. y  5 tg  5 x  
3x
x
x

2. y  (tg 2 x  1)  e x  x 4  ln 3x
7. y  2 sin(8 x 6  3 x)
2 x8  5 x
3. y 
cos 4 x  5
4. y  (7 x 3  4 x  2)6
8. y  ln 4 arctg 7 x
5. y  arccos x  2
9. y 
4
52 x 1  5 x 2
 7  2 x3 

10. y  tg 

8

2
x


Вариант 9.
9
6
1
4
1. y  2 x 2  6 x 3  7 
6. y  arctg 4
x
7 x
x
1 3
3
2. y  ( x 5  7 x )  sin 2 x  x  e 7 x
y

sin
x

ln x 2
7.
3
5
2tg 3 x  1
8. y  5 ln ctg (4 x  5)
3. y 
1  4 x3
2
4. y  (2 x 4  3x 5 )10
9. y  6 x
5  log 2 4 x
14
5. y  3cos(7 x  2 x
4
2 x3
)
10. y  arcsin
1  x2
Вариант 10.
8
2
1. y  7 x  2 x  
x
x3
2. y  (2  4 x)  7 x  x 3  ctg 8 x
6
5
arctgx 2
9. y 
5. y  3 arctg (7 x  5)
2.
3.
4.
7. y  ln sin 5 6 x
4
8. y  arcsin 2  3x
3. y  2 x
x e
4. y  (2 x 3  7 x)12
1.
6. y  8
cos(3 x  2 x 4 )
1
e 2 x  3ctg 3 x
3  6e 2 x
10. y 
4  e2 x
Вариант 11.
3
4
6. y  tg 2 (8 x  4)
y4 x
 2x 
3 5
x
x
x
y  (2 x 2  1)  5 x  4 x 3  2 x
7. y  ln cos
3
2
arccos 4 x
y
8. y  53 x  4 x
1  16 x 2
2
y  (2 x 3  7 x 5 )7
9. y 
4 x  ctg 2 x
5. y  arcctg 4 x
10. y 
Вариант 12.
7 4
1. y  3 x 2   x 5  4
x
2. y  sin 2 x  x 3  e 4 x  (3x  1)
ln 4 x  1
3. y 
2  4x
4. y  (4 x  3x 3  x 4 )6
1 2 x
e 2 x4
3
6. y  ln 4 x  5
7. y  ctg 4 ( 2 x  1)
8. y  arcsin e 7 x
9. y 
15
4
10 x 2  8 sin 3x
5. y  24 cos 5 x  2 x
2
 2x 
10. y  arctg

 4x  3 
Вариант 13
6. y  arctg (e 7 x )
1
9
x
2. y  tg 2 x  (3x  5)  x 3  e 7 x
4 3
3
1. y  x  8 x 
3. y 
arcsin 3x
1 4x2
4. y  (2 x 5  3x  1)9
7. y  ln(32 x  x 2 )
8. y  cos 2 (3 x 2  6 x)9
9. y 
3
sin 4 x  9 x
 1 2x2 
5. y  5ctg (6 x  2 )

10. y  ln
2
 3  2x 
Вариант 14.
9
6
3
6. y  cos 7 x  5
1. y  8 x 4  2 x  2  4
x
x
1
2. y  ln 7 x  (2  x 2 )  x  cos 7 x
7. y  arcsin 7
3x
8. y  ln(tg 9 x)
arcctgx6
3. y 
x  e 2x
1
4. y  (7 x 2  3x  1)5
9. y 
cos 5 x  e 4 x
 3x  1 
5. y  7 tg 5 x
10. y  sin 

 2  3x 
Вариант 15.
2
4
5
6. y  ctg (2 x 3  8)7
1. y  x 7  6 x 3   4
5x
x
2. y  (2 x  1)  7 2 x  x 3  sin 5 x 7. y  elog 3 ( 4 x  5)
tg 6 x  2 x
8. y  3 arcsin cos 2 x
3. y 
1  ln 4 x
2
4. y  (4  3x  2 x 5 )10
9. y  x
6  7 sin 4 x
16
arctg 2 x
5. y  8
10. y 
1  e3 x
1  e3 x
Вариант 16.
4 7 2
 x  7x
5
x
x
2. y  3x  5  ln 2 x  x 7  tg 3 x
6. y  sin x 2  5 x
3x 4  cos 2 x
3. y 
5  arcctgx
8. y  ln arcsin3 x 2
1. y 
7
4

7. y  ectg (3 x  2 x
4. y  (1  5 x  7 x 6 )8
9. y 
7
)
8
32 x  6 x
 4x  5 
5. y  ln(3x 2  7 x )
10. y  cos

 1 x2 
Вариант 17.
3 2
7
1
1. y   4  2 x 2  6 x 3
6. y  arctg
x
x
x
2. y  x 4  2 x  3x  7  tgx
7. y  tg 8e x
ln 4 x  2 x
8. y  log 3 sin 7 x
3. y 
3  5x4
1
4. y  3arccos 4 x
9. y 
arcsin x  e3 x
5. y  ctg (4  2 x3 )4
2  e4 x
10. y  4 x
e 3
Вариант 18.
3
2 6
6. y  ln(4 x 4  7 x  2)
1. y  5   4 x 5  2 x 4
x
5x
7. y  arcctg 6 x  3
2. y  x  3  sin 2 x  e 4 x  x 5
cos 3 8 x
arccos 9 x  4
8.
y

7
3. y 
3x 6  2 x
6
4. y  (8 x  2 x 5 )11
9. y 
3 x  3 sin 6 x
 3  2x 
5. y  ctge7 x 1
10. y  arcsin

 5x  3 
17
Вариант 19.
6
2
3
3 8
6.
y

ln
cos(
x
 7 x)
 2  4 x  7x
1. y 
x3 4 x
2. y  x 4  43 x  ln 5 x  (3  4 x )
7. y  arcsin e 4 x  7 x 3
3. y 
9x2  e2x
8. y  5 arcctg (4 x 5  2 x )
1  3x 4
4. y  (3 x 3  6 x  4)8
9.
3
y
x 3  sin(3 x  5)
1  2 x 
5. y  ctg (43 x  3 x 5 )

10. y  ln
1 2 x 
Вариант 20.
3
8
3
4
6.
y

ctg
(
2
x
 4 sin x )
1. y   3  5 x  9 x
x 7x
2. y  ( x 3  4)  e3 x  sin 4 x  x 6
7. y  4 ln(3x  7)  2 x 5
3. y 
8. y  arcsin 3 23 x
cos 5 x  7 x
2  3x 4
4. y  (6 x 5  4 x  2) 7
5. y 
3x 5
4 cos x
4
3. y 
4
4
6. y  arcctg 2 x  7 x 2
6
7. y  sin e ctg 4 x 1
8. y  ln(arccos 5 x)
x  cos 4 x
x5  6 x
4. y  (3 x  5 x 7 )9
5. y  7 ctg 4 x  2 x
1
4 x  2arctg 3x
 1  3x2 

10. y  
2
 2  3x 
Вариант 21.
5
 5x  7 x3
4
x
x
2. y  (tgx  4 x)  e 4 x  x 2  ln 7 x
1. y 
3
9. y 
9. y 
3
10.
18
3
e4 x  2 x3
10 x 1
5 1 2 x
1.
2.
3.
4.
5.
1.
Вариант 22.
3
5
6. y  cos(ln 2 x  1)
y  3x 7  x 4  7  9
x
y  (3 x  1)  sin 4 x  x 3  ln 8 x 7. y  arcctg 5 ( 3x )
7
arccos(9 x  7)
8. y  ln e x
y
4  2 x3
3
y  (2 x 2  3x 3 )6
9. y  8 x
4  7 x2
4
 1  ln x 
y  6ctg 4 x  6 x
10. y  sin 

 3  2 ln x 
Вариант 23.
2 5 6 3
1

y
 x  3  2x
6. y  4 tg  x  
5x
x
x

2. y  (сtg 4 x  1)  e x  x 4  ln 2 x
7. y  3 cos(6 x 5  2 x )
3x7  4 x
3. y 
sin 4 x  2
4. y  (3 x 5  4 x  7)9
8. y  ln 3 arcctg 4 x
9. y 
3
63 x 1  2 x 4
3x2 2
5. y  arcsin 2 x  1
2
10. y  e 13 x
Вариант 24.
1
5
6
3
6. y  arcctg 7
1. y  3 x 4  7 x 4  6 
x
7 x
x
x
2. y  ( x 3  4 x )  cos 4 x  x  e8 x
7. y  cos e 3
4ctg 2 x  2
8. y  8 ln tg (3x  1)
3. y 
3  4x2
4
4. y  (3 x 5  2 x 2 )12
9. y  5 x
6  log 4 2 x
6
 2x 
5. y  5sin( 6 x  x )
10. y  arcsin

 x7
19
Вариант 25.
4
5
1. y  2 x  3x  
x
x5
2. y  (3  6 x)  4 x  x 4  tg 7 x
7
3. y 
4
sin x 3
4x  e x
4. y  (4 x 5  8 x )15
5. y  4 arcctg (5 x  4)
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
6. y  104 cos(2 x  3 x
3
)
7. y  ln sin 3 4 x
8. y  arccos(3 x  5)3
9. y 
10. y 
11
e 4 x  2ctgx
1  3e 4 x
2  2e 4 x
Вариант 26.
5
2
4
3
6.
y

ctg
(9 x  1)
y  3 x 
 7x 
3 7
x
x
3x
y  (3 x 4  2)  3x  5 x 2  4 x
7. y  ln sin
5
5
arcsin 8 x
8. y  7 4 x  2 x
y
2  4x2
4
y  (3  4 x 2  6 x 4 )8
9. y 
5 x  2tg 3x
2 3 x
y  arctg 6 x
10. y  e 3 x 1
Вариант 27.
3
3 3
6. y  ln 4 x  9 x 2
y   x2   2 x4  3
x
y  cos 4 x  x 2  e3 x  (5 x  2) 7. y  tg 5 ( 3x  2 )
arccos 7 x
ln 3x  4
8.
y

e
y
1  6x
1
y  (3  2 x 3  x 5 )8
9. y 
18 x 3  4 cos 5 x
3
 x 
y  35 sin 4 x  2 x
10. y  arctg

 2x  4 
20
Вариант 28
6. y  arcctg (e5x )
1 4
1. y  4 x  25 x   7
x x
2. y  ctg 4 x  (2 x  1)  x 2  e8 x
3. y 
arccos 6 x
2x  7x2
4. y  (3 x 3  2 x 2  x)3
7. y  ln(46 x  2 x 3 )
8. y  sin 4 (5 x  6 x 2 )7
9. y 
5
cos 7 x  2 x
 2  5x 
5. y  7tg (3 x  4 )
10. y  ln

 3  5x 
Вариант 29.
6
4
3
6. y  sin 4 6 x  4
1. y  6 x 5  3x  3  6
x
x
2. y  ln 4 x  (3  x 4 )  x  sin 9 x 7. y  arccos4 5
4x
8. y  ln(tg 6 x )
arctgx2
3. y 
4 x  2x
7
4. y  (4 x 2  3x  7) 4
9. y 
cos 8 x  2e3 x
 4x  3 
5. y  9ctg 3 x
10. y  sin 

 2  4x 
Вариант 30.
4
5
3
2
4 5
3
6.
y

tg
(
3
x

2
x
)
1. y  4 x  2 x   3
2x
x
2. y  (4 x  2)  6 4 x  x 2  cos 7 x 7. y  elog 7 ( 2 x  3)
4
ctg 3x  8 x
8.
y

arccos sin 4 x
3. y 
4  ln 5 x
5
4. y  (2 x 3  4 x 5 )12
9. y  x
4  2 cos 3 x
arcctg
5. y  9
x
4
10. y 
21
2  e4x
1  e4x
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ.
Найти производные функций:
a) y  ( x5  x  8)  ctg 3x ;
Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования
произведения: y  ( x5  x  8)  ctg 3x  ( x5  x  8)  (ctg 3x) .
Далее используем правило дифференцирования суммы:
( x5  x  8)  ( x5 )  ( x)  (8)  5 x 4  1 .
Для вычисления производной функции ctg 3x воспользуемся
правилом дифференцирования сложной функции: если y  f (u ) ,
где u  ( x) , то y  f (u )  u . В данном случае ctg 3x  ctgu , где
u  3x , поэтому
1
3
(ctg 3x)  
 (3x)  
.
2
2
sin 3x
sin 3x
Таким образом,
3
y  (5 x 4  1)  ctg 3x  ( x5  x  8) 
.
2
sin 3x
ln10 x
б) y  3
x 1
Решение. Используем правило дифференцирования дроби и
правило дифференцирования сложной функции:
  ( x3  1)  (ln10 x)  ( x3  1)
(ln10
x
)
.
y 
3
2
( x  1)
При этом ( x3  1)  3x 2 , а (ln10 x) 
1
1
1
 (10 x) 
10  .
10 x
10 x
x
Отсюда
1 3
 ( x  1)  (ln10 x)  3x 2
1
3x 2  ln10 x
y  x


.
( x3  1)2
x  ( x3  1) ( x3  1)2
x 2e3 x
в) y 
.
x 1
22

y 
Решение.


x 2e3 x  x  1  x 2e3 x  x  1


 x  1


2
 x  1

e3 x 2 x 2  3x3  2 x  3x 2  x 2
 x  1

2 xe3 x  x 2 3e3 x   x  1  x 2e3 x



2
2
  xe3x 3x2  2 x  2  .
 x  1
2

г) y  sin 2 e x1 .
Решение.

y  2  sin e
x1
 
cos e
x1

e
x1


x  1  sin 2e


x 1

e x1
.
2 x 1
x
д) y   sin x  .
Решение. Данная функция имеет вид y = u(x)v(x), производную которой можно вычислить после логарифмирования
ln y  ln(sin x) x  x lnsin x .
Дифференцируя левую и правую части этого равенства, получаем:
y 
1
 x lnsin x  x
cos x  lnsin x  xctg x.
y
sin x
Отсюда y  y  lnsin x  xctg x   (sin x) x  lnsin x  xctg x .
Типовой расчет 3
В ЗАДАЧАХ №№ 1 – 30 исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.
Исследование функции и построение графика рекомендуется
проводить по следующей схеме:
1) найти область определения функции D ( y ) ;
2) исследовать функцию на непрерывность, найти точки
разрыва функции и ее односторонние пределы;
3) найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности;
4) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика;
5) найти асимптоты графика функции;
6) построить график, используя результаты предыдущих исследований.
23
1
y  2 x3  9 x 2  12 x  9
2
y  x3  6 x 2  9 x  2
3
y  x3  3x 2  9 x  10
4
y  x3  3 x 2  9 x  8
5
y  x3  6 x 2  9 x  6
6
y  2 x3  3x 2  12 x  5
7
y  2 x3  3x 2  12 x  7
8
y  2 x3  9 x 2  12 x  7
9
y  2 x3  15 x 2  36 x  2
10
y  2 x3  3x 2  36 x  6
11
y  2 x3  9 x 2  12 x  5
12
y  x3  6 x2  9 x  1
13
y  x3  3x 2  9 x  10
14
y  x3  3x 2  9 x  10
15
y  x3  6 x 2  9 x  2
16
y  2 x3  3x 2  12 x  5
17
y  2 x3  3x 2  12 x  7
x 1
x 1
x6
y
x 1
x9
y
x6
2x  7
y
x2
2x  3
y
x3
x3
y
2x  8
x4
y
x 3
x3
y
x4
x5
y
x4
x4
y
x3
x2
y
x3
x 1
y
x3
x 8
y
x3
x 7
y
x2
x5
y
x3
x4
y
x2
2x  5
y
x 3
y
24
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
x2  3
x
x2
x3
x2  8
x4
x2  3
x7
x2  5
x4
x2  6
x
x2  3
x 1
x2  6
x2
x2  5
x2
x2  5
x4
x2  1
x
x2
x2
x2  8
x4
x2  3
x3
x2  8
x4
x2  5
x
x2  3
x2
18
y  2 x3  9 x 2  12 x  7
19
y  2 x3  15 x 2  36 x  32
20
y  2 x3  3x2  36 x  20
21
y  2 x3  9 x 2  12 x  5
22
y  x3  6 x2  9 x  1
23
y  x3  3x 2  9 x  10
24
y  x3  3x 2  9 x  10
25
y  x3  6 x 2  9 x  2
26
y  2 x3  3x 2  12 x  5
27
y  2 x3  3x 2  12 x  7
28
y  2 x3  9 x 2  12 x  7
29
y  2 x3  15 x 2  36 x  32
30
y  2 x3  3x 2  36 x  2
3x  5
x 3
x6
y
x2
x 1
y
x2
x2
y
x2
x2
y
x6
x4
y
x5
3x  5
y
x 3
x 8
y
x2
x6
y
x 1
x 8
y
x 1
x2
y
x 1
x6
y
x7
x3
y
x6
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
x2  5
x 1
x2  5
x2
x 2  15
x 3
x2  3
x
x2
x5
x2  5
x4
x2  2
x3
x2  7
x4
x2  3
x
2
x 4
x2
x2  6
x 1
x2  2
x2
x 2  14
x3
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ.
1. Исследовать заданную функцию методами дифференциального исчисления, начертить ее график:
y  x3  9 x 2  24 x  18 .
Решение.
1) Областью определения данной функции являются все
действительные значения аргумента x , то есть D( y )  ( , ) .
25
2) Поскольку
lim y  lim( x 3  9 x 2  24 x  18)  lim( x03  9 x0 2  24 x0  18) , то
x x0
x x0
x x0
функция непрерывна в каждой точке области определения, т.е. на
всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.
3) Исследуем функцию на экстремум и интервалы монотонности. С этой целью найдем производную функции и приравняем ее к нулю:
y  3 x 2  18 x  24;
x2  6 x  8  0 .
Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том,
что функция имеет две критические точки 1-го рода
x1  2, x2  4 . Разбиваем область определения этими точками на
части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:
x
f  (x )
f (x )
(;2)
+
2
0
max
(2;4)
–
4 (4; )
0
+
min
ymax  y (2)  (2)3  9(2) 2  24(2)  18  2 ;
ymin  y (4)  (4)3  9(4)2  24(4)  18  2 .
4) Определим точки перегиба графика функции и интервалы
его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную и приравняем ее к нулю:
y  6 x  18;
x  3  0; x  3 .
Итак, функция имеет одну критическую точку 2-го рода
x  3 . Разобьем область определения полученной точкой на интервалы, в каждом из которых установим знак второй производной:
x
f  ( x )
f ( x)
( ; 3)
–
3
0
точка
перегиба
(3;  )
+
Значение x  3 является абсциссой точки перегиба графика
функции, а ордината этой точки
26
y (3)  (3)3  9(3) 2  24(3)  18  0 .
5) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты y  kx  b воспользуемся формулами
f ( x)
k  lim
;
b  lim ( f ( x )  kx ) .
x  x
x 
Имеем
x 3  9 x 2  24 x  19
18
k  lim
= lim( x 2  9 x  24  )   .
x
x 
x
x
Таким образом, у графика заданной функции наклонных
асимптот нет.
6) Для построения графика в выбранной системе координат
изобразим точки максимума A(2; 2) , минимума B (4; 2) , перегиба C (3; 0) и точку D (0;  18) пересечения графика с осью Oy . С
учетом результатов предыдущих исследований построим кривую
(см. рис. 1).
2. Исследовать заданную функцию методами дифференци8x
ального исчисления, начертить ее график: y 
.
x4
Решение.
1) Областью определения данной функции является
D(y) = (-;4) (4;+).
6
4
y max
2
2
0
2
y min
2
4
6
1
0
1
2
3
4
5
6
Рис. 1. График функции y  x3  9 x 2  24 x  18 .
27
2) Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 4.
Вычисляем односторонние пределы функции в точке:
8x
lim f ( x)  lim
 ,
x40
x40 x  4
8x
lim f ( x)  lim
 .
x40
x40 x  4
Таким образом, точка х = 4 является для заданной функции
точкой разрыва второго рода, а прямая х = 4 – вертикальной
асимптотой ее графика.
3) Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Вычислим производную
(8x)( x  4)  8 x( x  4) 8( x  4)  8 x
32
y 


.
( x  4)2
( x  4)2
( x  4)2
и приравняем её к нулю. Видим, что корней нет, и, поскольку,
у < 0, то, следовательно, функция убывает на всей области определения. Производная у не существует при х=4. Разбиваем область определения этой точкой на части и по знаку производной
выявляем промежутки убывания:
x
f  (x )
( ;4)
4
не сущ.
_
(4; )
_
f (x )
4) Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Для этого находим вторую производную. Имеем
32  2( x  4)
64
y 

.
4
( x  4)
( x  4)3
Т.к. y ≠0 во всей области определения, то точек перегиба
нет. Вторая производная y не существует в точке х = 4.
Разобьем область определения полученной точкой на интервалы, в каждом из которых установим знак второй производной:
x
f  ( x )
f ( x)
(; 4)
4
не сущ
–
28
(4;  )
+
5) Найдем наклонные асимптоты y = kx + b. Для этого необходимо и достаточно, чтобы существовали коэффициенты
k и b:
f ( x)
8x
8/ x
8
k  lim
 lim
 lim
 0, так как  0 и
x x
x x( x  4) x 1  4/ x
х
4
 0 при х  , и
х
8x
8
b  lim ( f ( x)  kx)  lim 
 0   lim
 8.
x
x  x  4  x 1  4/ x
Получаем горизонтальную асимптоту у = 0х + 8 = 8.
6) Строим график. Сначала проводим асимптоты: вертикальную x = 4 и наклонную y = 8. Затем, используя результаты
исследования, рисуем график. Для более точного построения
графика находим его точки пересечения с осями координат. При
x = 0 получаем у = 0, следовательно, график проходит через начало координат.
у
8
О
4
Рис. 2. График функции y 
х
8x
.
x4
3. Исследовать заданную функцию методами дифференциx2  9
ального исчисления, начертить ее график: y 
.
x4
Решение.
1) Областью определения данной функции является
D(y) = (-;4) (4;+).
2) Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 4.
Вычисляем односторонние пределы функции в точке:
x2  9
lim f ( x)  lim
 ,
x40
x40 x  4
29
x2  9
lim f ( x)  lim
 .
x40
x40 x  4
Таким образом, точка х = 4 является для заданной функции
точкой разрыва второго рода, а прямая х = 4 – вертикальной
асимптотой ее графика.
3) Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Вычислим производную:
2 x( x  4)  x 2  9 x 2  8 x  9
y 

;
( x  4)2
( x  4)2
x2  8x  9
2

0;
x
 8 x  9  0; x  1; x  9.
1
2
( x  4)2

( ; 1)
x
f  (x )
f (x )
+

(1;4)
-1
0
max
(4;9)
4
не сущ.
–
–
9
0
min
(9; )
+
y
 y(1)  2 ; y
 y(9)  18 .
max
min
4) Определим точки перегиба графика функции и интервалы
его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную и приравняем ее к нулю:
 2 x  8 ( x  4)2  2  x  4  x 2  8 x  9
50
y 

.
4
( x  4)
( x  4)3
Так как y  0 , то график функции не имеет точек перегиба.
Выясним вопрос об интервалах выпуклости и вогнутости. Функция имеет одну критическую точку 2-го рода x  4 . Разобьем область определения полученной точкой на интервалы, в каждом из
которых установим знак второй производной:

x
f  ( x )
f ( x)
(; 4)

4
не сущ.
–
30
(4;  )
+
5) Исследуем функцию на наличие наклонных асимптот.
9 
2
f ( x)
x 9
x

 =1;
k  lim
= lim 2
= lim
x x
x x  4 x x 2  4 
x 1  
x

 x 2  20

b  lim ( f ( x)  kx)  lim 
 x   4.
x
x x  4



x 2 1 
2
Прямая у = х + 4 – наклонная асимптота графика.
6) Построение графика.
9
График заданной функции пересекает ось Оу в точке (0; - )
4
y
 y(1)  2 , y
 y(9)  18 .
max
min
На основе обобщения результатов всех предыдущих исследований график имеет следующий вид (рис.3).
25
ymax
18
20
15
x
4
10
y
x4
5
0
5
ymax
2
10
10
5
0
5
10
15
x2  9
Рис. 3. График функции y 
.
x4
31
20
ТЕМА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Вопросы к теме.
1. Дайте определение первообразной. Сформулируйте теорему о
структуре первообразных.
2. Что называется неопределенным интегралом от данной
функции? Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
3. Перечислите таблицу основных неопределенных интегралов.
4. Перечислите основные методы интегрирования.
5. Что называется определенным интегралом от данной функции на отрезке [a,b].
6. Каков геометрический смысл определенного интеграла?
7. Перечислите основные свойства определенного интеграла.
8. Сформулируйте формулу Ньютона-Лейбница.
9. Укажите формулы для вычисления площади, объемов, пути,
работы.
10. Сформулируйте определение несобственного интеграла.
Типовой расчет 4
1.
2.
3.
4.
5.
В ЗАДАЧАХ №№ 1 – 30:
Найти неопределенные интегралы.
Вычислить определенные интегралы.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми.
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг
оси Ох фигуры, ограниченной заданными кривыми.
Вычислить несобственный интеграл или указать, что он
расходится.
Вариант 1
1
Вариант 2
1
 4 x5 2 4 5 
1.  
  x dx .
3
x


2
 x  3x  7 
 dx .
2.  
4
x


2dx
3.  2
.
sin (3x  7)
 3x 2 3

1.  
 4  83 x  dx .
x
 2

2
3
2.  1  x  2  3 x dx .


3.  4 x  57 dx .
32
4.
5.
3x  2
 x 2  5 dx .
xdx
4.
2x  3
dx .
8  x2
3
5  3 ln 3x
5. 
dx .
x
6.  x 2  4 1  4 x 3 dx .
 4 3  4x2 .
3
6.  7 3 x  2  x 2 dx .

cos x  dx
7. 
.
2  sin x
2x  1
8.  2
dx .
x  4x  2
9.  x 3  ln 2 xdx .
e arctg 2 x
7. 
dx .
1  4x2
x 1
10.  (3x  1)  e 2 x dx .
10.  (5 x  2)  ln xdx .
8.
2
dx .
x  2x  6
9.  ( x  1)  sin( 2 x  1) dx .
x2
11.

 ( x  1)  (2 x  1) dx .
3x
11.
 ( x 2  1)  ( x  3) dx .
12.  sin 4 x  cos 3 xdx .
2
12.  sin 2 x  cos 3xdx .
2
0
5
1
1. 
dx .
3
(
6
x

5
)
1
1.  x  x 2  16dx .
4
2

2
2.
2.  ( x  2)  sin xdx .
 (3x  1)  sin 3xdx .
0
0
3
3
2
2
y  x  6 x  2; y  3x  8 .
y  x  8 x  2; y  3 x  2 .
4
4
2
2
x  y  0, x  1, y  0.
x  y  2  0, x  1, y  0.
5
5
3
3
5

1
dx.
x3
2
x
 x  e dx.
0
Вариант 3
1
Вариант 4
1
 2x3

2
1.  
 3  4 x dx .
x
 7

4
 2 x  3x 
2.   4 3 dx .
x


4dx
3. 
.
8  5x
5
1.   23 x 2  3x  2 dx .
3x 

2.  2 x  5 x  x dx .


3.  sin 3  4 x dx .
33
4.
5.
4x  3
 x 2  6 dx .
x 3 dx
4.
2  2x4
1
6. 
dx .
(ln x  4) 2  x
(arcsin 4 x  5)  dx
7.
8.
dx .
x2  9
tg 5 x  2
5. 
dx .
cos 2 x
.
5

1 x
3x  1

2
x2  6x  8
9.  x 4  ln 4 xdx .
3x  2

6.  x  5 (2  3x 2 ) 2 dx .
7.  83 cos x1 sin xdx .
.
8.
dx .
5x  2
 x 2  8 x  2 dx .
9.  ( 2 x  5)  cos( 4 x  1) dx .
10.  arctg 2 xdx .
10.  2 x  53 x dx .
4x2
11. 
dx .
( x  2) 2  x
sin 3 x
12. 
dx .
cos 2 x
4x  5
11.
 ( x  1)  ( x  3) dx .
12.
 2  cos x dx .
2
2
3
1.

2
1
3x
2
2x3  3
2.  2 x  e
2
2
7 x 1
dx .
1.
5
x
 7  2 x 6 dx .
1

2
dx .
2.  ( x  3)  sin xdx .
3
0
3
3
2
2
y  x  2 x  9; y  4 x  1.
y  x  2 x  9; y  4 x  1 .
4
4
2
x  y  0, x  1, y  0.
x  y 2  0, x  0, y  1.
5
5
5

1
 ( x  4) 2 dx.
4
1
 x  ln 2 x dx.
e
Вариант 5
1
Вариант 6
1
7
2
 23 x 7 4

1.  
  5 x 8 dx .
 3

x


2
 3x  7 x 
 dx .
2.  
3
x

x



5
dx .

2
x
x3

3
2 x  x  3 x   2 x 2 dx .
1.    4
2.
34

3

dx
 3x  5 .
8  2x
4.  2
dx .
x 8
xdx
5. 
.
(1  x 2 ) 5
(arcsin x  2) 3
dx
 (3  2 x ) 4 .
4  3x
4. 
dx .
2
9x
dx
5. 
.
x  ln 5 x
6.  x 6  ( 2  x 7 ) 4 dx .
3.
6.

1  x2
7.  e cos x 2 sin xdx .
8.
3.
dx .
5arctgx
7. 
dx .
1  x2
x 1
2x  1
 x 2  6 x  3 dx .
8.
9.  x  ln 3xdx .
10.  (4 x  1)  e 3 x dx .
2x  2
 ( x  2)  (2 x  1) dx .
12.  sin 5 x  cos 7 xdx .
11.

2.
x
2
ex 1
ln 3
2
4x
 ( x 2  2)  ( x  3) dx .
12.  cos 4 x  sin 3 xdx .
2
2
1.
dx .
10.  (3x 3  1)  ln 2 xdx .
11.
e
2
x  4x  2
9.  ( 2 x  1)  sin( 4 x  1)dx .
4
ln 8

2
1.  x  3 x dx .
dx .
0

2
 (5 x  5)  sin 3 xdx .
2.  ( x  3)  sin xdx .
0
0
3
3
2
2
y   x  3 x  1; y  2 x  5 .
y  x  10 x  4; y  4 x  12 .
4
4
2
x  y  0, x  0, y  1.
y  4 x 3 , x  0, y  4.
5
5
2
0
x
 x  1 dx.
1
tgxdx.

Вариант 7
1
2
Вариант 8
1
5
1.   25 x  4  4 x dx .
 2

4
dx .

3

5
x
3
 x

1.  

35
2x

2.  (5 x  2)  (5 x  2)dx .
2.
3.  cos( 4  7 x) dx .
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9x
 x 2  4 dx .
x 4 dx
3
5
4.
5.
.
2 x
1
 4  3 ln x  x dx .
arccos 2 x  3
 1  x 2 dx .
3x  1
 x 2  2 x  9 dx .
5
 x  ln 6 xdx .
x4  2x2  x
dx .

4
x
6 x 4
 8 dx .
2  6x
 x 2  16 dx .
(ctgx  4) 3
 sin 2 x dx .
6.  x 7  3 1  x 8 dx .
3
7.  84 x 5 x 2 dx .
5x  2
 x 2  2 x  5 dx .
9.  (3 x  1)  cos( 6 x  4)dx .
8.
9.
10.  (2 x  3)  54 x dx .
10.  (5 x 2  x )  ln 4 xdx .
2x  1
 ( x  1)  (2 x  3) dx .
12.  sin 9 x  cos 2 xdx .
3x
 ( x  2) 2  x dx .
cos 3 x
12.  2 dx .
sin x
11.
11.
2
2
1
4
1
1. 
dx .
2
0 (7  3 x)
1.

0

2
2.  x  e 3 x 2 dx .
1
dx .
2x  1
2.  5 x  cos 2 xdx .
0
0
3
3
2
2
y  x  2 x  5; y  2 x  2 .
y  x  6 x  3; y   x  9 .
4
4
3
3
y  4 x , x  0, y  4.
y  1  8 x , x  0, y  9.
5
5
3

1
 ( x  2) 4 dx.
2
e
2 x
dx.
0
Вариант 9
1
Вариант 10
1
 9x2
3 
1.  
 54 x  4  dx .
2x 
 4
9
4 
1.    37 x 2  3 dx .
x 
 3x
36
 2  3


 x7 
 dx .
3 
4
 x x 
dx
3. 
.
2
cos (5 x  2)
2x  3
4.  2
dx .
x  10
x 5 dx
2.
4tgx 2
6. 
dx .
cos 2 x
sin x  dx
6.  x 4  (1  3x 5 )dx .
2.  
5.
7.
3.  e 7 4 x dx .
4.
5
3x  2

2
dx .
4x
ln 7 x  2
5. 
dx .
x
 3 3  4x6 .

x 5  4  3x 2 dx .
3
3  arcctgx
dx .
1  x2
x2
8.  2
dx .
x  2x  7
9.  ( 4 x  5)  sin(1  x) dx .
.
7.
cos x
4x 1
8.  2
dx .
x  4x  8
9.  x 7  ln 5 xdx .

10.  (4 x  1)  e 2 x3 dx .
10.  (5 x 2  3)  ln 4 xdx .
2  3x
11. 
dx .
( x  1)  (3x  1)
x2  1
11.  2
dx .
( x  3)  ( x  3)
12.  sin 7 x  sin 3xdx .
2
12.  cos 5 x  cos 4 xdx .
2
0
1.  2 x  e
3 x 2 2
1
dx .
1.
1
e
x
2
 1  x 3 dx .
2
0
2.  4 x  ln xdx .
2.
1
3x  sin 3xdx .

3
3
3
y  x 2  5 x  11; y  x  6 .
y   x 2  2 x  3; y  x  1.
4
4
3
3
y  4 x , x  1, y  0.
y  4 x , x  1, y  0.
5
5
0

4

cos x
 sin 2 x dx.
0
2
37
1
( x  2)
5
dx.
Вариант 11
1

1.   7 4 x 

Вариант 12
1
5
1.   3 x 6  x 7  2 dx .

 dx .

3
x
33 x 4

5
5
)  xdx .
x3
dx
 ( 2  3 x) 7 .
3x  4
 x 2  3 dx .
x 3 dx
 (1  2 x 4 )5 .
sin x
 (cos x  5) 2 dx .
(arcsin 4 x  5)  dx
3x 

 4 x  x  dx .
4
2
2.  (4 
2.
3.
3.  sin 2  x dx .
4.
5.
6.
7.
8.

1 x
x3

2
x 2  8x  2
9.  ln( x  1)dx .
4.
5.



2x  5
2
3
2 
dx .
x  25
ctgx  1
dx .
sin 2 x
6.  x  7 2  9 x 2 dx .
31ln 2 x
7. 
dx .
x
4x  3
8.  2
dx .
x  10 x  5
.
dx .
9.  (4 x  7)  cos( 2 x  4)dx .
10.  (2 x  3)  63 x dx .
10.  arcsin 2 xdx .
4x
 ( x  1)  ( x  3) dx .
2
12. 
dx .
1  sin x
1  4x
 ( x  1) 2  x dx .
sin 3 x
12. 
dx .
cos 4 x
11.
11.
2
1
1.
x
2
3
5
 2 x 4  1 dx .
1.
0
2

1

2
2.  5 x  e 5 x dx .
x
dx .
1  3x
2.  2 x  cos 2 xdx .
0
0
3
3
y  x 2  5 x  9; y  4 x  3 .
y  x 2  11x  9; y  4 x  3 .
4
4
2
2
y  x , y   x  6, x  0, y  0.
y  2 x , y   x  1, x  0, y  0.
38
5
5

0
1
 x 2  2 x  4 dx.
0
1.
2.
3.
4.
5.
6.

1
1
( x  1) 3
dx.
Вариант 13
1
Вариант 14
1
 2x2 2 5 3 
  3  x  x dx .


 1

2
  3 x  x   3x dx .
dx
 sin 2 (4 x  1) .
7  2x
 x 2  3 dx .
sin x dx
.

x
x 2 5
 e  xdx .
3
1.   6  4  83 x dx .
4x

2.
3.
4.
5.
6.

(3  x ) 2
 x 4 dx .
7
x

  6  3  dx .
9  4x
 4  x 2 dx .
7
ln x  8
 x dx .
1 x 3 2
 2 x dx .
cos x  dx
 9  sin 2 x .
6x  3
8.  2
dx .
x  10 x  16
9.  x 6  ln 7 xdx .
(3  4tgx) 5
7. 
dx .
cos 2 x
x 1
8.  2
dx .
x  2 x  12
9.  (3x  4)  sin 8 xdx .
10.  (2  x)  e 4 x 2 dx .
10.  ln(2 x  4)dx .
7.
11.
x2
 ( x  1)  (4 x  3) dx .
12.  cos
11.
3x
5x
 sin dx .
2
2
3
 ( x 2  1)  ( x  4) dx .
12.  sin
7x
5x
 sin dx .
3
3
2
2
5

4
1.
tgx  1
1. 
dx .
2
0 cos x
1
2.  2 x  e
x 2 2
3
0
4
dx .
3x  1

4
dx .
2.  4 x  sin 4 xdx .
0
0
3
3
2
2
y  x  5 x  17; y  2 x  5 .
y  x  x  17; y  2 x  5 .
39
4
4
y  x , y  4 x  12, x  0, y  0.
1
4
y  x 2 , y   x  , x  0, y  0.
3
3
5
5
2


2
10 x
 e dx.
 сtgxdx.
0
0
Вариант 15
1

Вариант 16
1
8
1.   9 x 2  3x 7  dx .

6
dx .

3
x

3
5
5
x


4
 x  4x  5 
dx .
2.  
3
x


4 7 x
3.  e dx .
1.  
2
2  5x
 x 2  7 dx .
1
ln dx
5.  x2 .
x
cos x
6.  3
dx .
2 sin x  6
4 arctgx
7. 
dx .
1  x2
x4
2.
3.
4.
8.

x 2  12 x  20
9.  x 2  ln 10 xdx .
7x 

4.
 3x 
5

x  x 3 dx .
dx
 9  8x .
4  6x
dx .
x2  2
tg 5 x  2
5. 
dx .
cos 2 x

6.  x 4  4 2  3x 5 dx .
7.
e2
x 1
dx .
x
3x  2
8.  2
dx .
x  4 x  10
9.  (5 x  2)  cos(5 x  1) dx .
dx .
10.  ( x  3)  53 x dx .

10.  arctg4 xdx .
2x  3
 (3x  1)  ( x  3) dx .
5x
x
12.  cos  sin dx .
2
2
4 x
 ( x  2)  x 2 dx .
x
3x
12.  cos  cos dx .
4
4
11.
11.
2
3
1.

0
x
x2  1
2
1
1.
dx .
3
40
x
 x 2  3 dx .
e

3
2.  6 x  ln 6 xdx .
2.  3 x  sin 3xdx .
0
0
3
3
2
2
y  x  3x  3; y  x  5 .
y  x  7 x  3; y  x  5 .
4
y
1 2
1
x , y   x  1, x  0, y  0.
2
2
1
3
y  x 2 , y   x  , x  0, y  0.
2
2
5
1
5

1

dx.
1  x2
0
0
Вариант 17
1
1.
2.
3.
4.
5.
1
 9 x 2  1 dx.
Вариант 18
1
 6x2 3 5 4 
  7  x  x dx .


3
 x  2x  8 
  3 x dx .


dx
 sin 2 (5 x  3) .
4x  5
 x 2  7 dx .
x 2 dx
 2x2 4

1.  
 3  84 x dx .
x
 9

2.  1  3 x 4  1  x dx .


3.  7 x  27 dx .
4.
2x  1
dx .
10  x 2
5
6  2 ln 3x
5. 
dx .
x
6.  x 2  5 1  5 x 3 dx .
 4 3  4 x3 .
3
6.  9 2 x 6  x 2 dx .

sin x  dx
 4  cos x .
x3
8.  2
dx .
x  4x  8
9.  x 3  ln 4 xdx .
e arctgx4
7. 
dx .
1  x2
x3
10.  ( 2 x  7)  e 3 x dx .
10.  ( 4 x  6)  ln xdx .
7.
8.
dx .
x2  2x  1
9.  ( 4 x  1)  sin( 4 x  3) dx .
3x  2
 ( x  1)  (4 x  1) dx .
12.  sin 5 x  cos 6 xdx .

5x
 ( x 2  1)  ( x  4) dx .
12.  sin 3 x  cos 4 xdx .
11.
11.
2
4
1.
2
3
xdx
 2  x2 .
1.
2
0
41
3xdx
 x2  2 .
e
2.
x
1
3
2.   x  7 e 9 x dx .
ln xdx .
1
0
3
3
2
2
y  x  2 x  3; y  x  1 .
y  x  3x  3; y  x  1 .
4
4
2
2
x  y  0, x  0, y  1.
x  y  0, x  0, y  1.
5
5
8

3x  2
 3 x dx.
0
e
2.
3.
4.
5.
Вариант 20
1
 4 x8

2
3

 dx .


x
 5
7
x


7
 6x  4x 
  4 x 5 dx .


dx
 7  3x .
2x  5
 x 2  3 dx .
x 5 dx
6
1.   45 x 2  7 x  4 dx .
x 

2.  ( 45 x  2 x )  xdx .
3.  sin 8  7 x dx .
4.
2x  7
dx .
x2  9
tg 8 x  4
5. 
dx .
cos 2 x
 3 1  2x6 .
1
 (4 ln x  1)3  x dx .
arcsin 2 x  11
7. 
dx .
2
1 x
x4
8.  2
dx .
x  10 x  2
8
9.  x  ln 6 xdx .

6.  x  6 2  5 x 2 dx .
6.
7.  84 sin x3 cos xdx .
8.
x2
 x 2  2 x  6 dx .
9.  (4 x  1)  cos(8 x  2) dx .
10.  arctg6 xdx .
10.  ( x  3)  53 x dx .
11.
dx.
0
Вариант 19
1
1.
5 x
7
 ( x  2) 2  x dx .
cos 3 x
12.  2 dx .
sin x
42
4  3x
11.
 ( x  1)  ( x  3) dx .
12.
 1  cos x dx .
3
2
2
2
1
dx
1. 
.
1 3x  2
0
e
 /2
2.
2
1.  xe  x dx .
 x  2 sin 2 xdx .
2.
0
 x ln 2 xdx .
1/ 2
3
3
2
2
y  x  x  1; y  x  2 .
y  x  3x  5; y  x  2 .
4
4
2
2
x  y  0, x  1, y  0.
x  y  0, x  1, y  0.
5
5
e
2

0
0
1
dx.
x  ln 3 x

Вариант 21
1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
2
x
 e xdx.
Вариант 22
1
4
5
 33 x 8 6

4



5
x
dx .
 7 x



 6x4  8 x 
  x  4 x dx .


dx
 2x  8 .
4  7x
 x 2  12 dx .
x 2 dx
 (1  x 3 ) 4 .
(3 arcsin x  6) 3
dx .

1  x2
3 cos x 8
sin xdx .
e
1.    4
2.
 4 x
3

5
 dx .

8
x
7
x

3


 x  5 x   x 2 dx .
dx
 (6  2 x) 4 .
1  4x
4. 
dx .
4  x2
dx
5. 
.
x  ln 9 x
3.
6.  x 3  (2  x 4 ) 2 dx .
5arctgx4
7. 
dx .
1  x2
x6
3x  1
 x 2  6 x  5 dx .
8.
9.  x 6  ln 8 xdx .
dx .
x2  4x  3
9.  (7 x  1)  sin(7 x  5)dx .
10.  (1  4 x)  e 2 x dx .
10.  ( 2 x 2  3x)  ln xdx .
43

4x
 ( x  2)  (3x  1) dx .
11.
3
 ( x 2  2)  ( x  4) dx .
5x
9x
12.  cos  sin dx .
2
2
11.
12.  sin 8 x  cos 10 xdx .
2
2
5
1.
2
3

5 x  2dx .
1.
2
 /4
2.
x
4  x 2 dx .
3
 /6
 x  1 cos xdx .
2.
 x cos 3xdx .
 /3
0
3
3
2
2
y  x  6 x  4; y  2 x  1.
y   x  x  1; y  2 x  1 .
4
4
x  y 2  0, x  0, y  1.
y  4 x 3 , x  1, y  0.
5
3
3
5
5
7
1
dx.
x5
1
 ( x  6) 2 dx.
6
Вариант 23
1
Вариант 24
1
1.  
5
1.   36 x  3  x dx .
3.  cos(8  5 x)dx .
x 3  3x  x
2. 
dx .
4
x
3.  105 x4 dx .
 7

 7  34 x 5 dx .
4
 x

2.  ( 4 x  3)  ( 4 x  3)dx .
4.
5.
6.
7.
8.
9.
3 x
 x 2  7 dx .
x 7 dx
3
2x

4.

3  2x
dx .
x 2  25
( 2ctgx  3) 4
5. 
dx .
sin 2 x
.
2  x8
1
 3  5 ln x  x dx .
arccos 4 x  7
 1  x 2 dx .
2x  3
 x 2  2 x  6 dx .
2
 x  ln 7 xdx .

6.  x 8  3 2  x 9 dx .
3
7.  82 x 3 x 2 dx .
8.
1  3x
 x 2  2 x  9 dx .
9.  ( 4 x  3)  cos( 2 x  5)dx .
44
10.  ( 4 x  1)  43 x dx .
10.  ( 2 x  4)  ln 2 xdx .
4
11.
 ( x  2) 2  x dx .
1  3x
11.
 ( x  1)  (4 x  1) dx .
x
2
12.  cos 7 x  cos 5 xdx .
12.  sin  cos
2
1
2
1
3
1.  x 2 e1 x dx .
1.
0
 /6
2.
2x
2
dx .
x3  1

0
1
2.  2 x  1e 4 x dx .
 x sin 3xdx .
0
0
3
3
2
2
y  x  3x  1; y  2 x  3 .
y  x  5 x  1; y  2 x  3 .
4
4
y  4 x 3 , x  1, y  0.
y  4 x 3 , x  0, y  4.
5
0
1

( x  1) 3
1
5

dx.
2.
3.
4.
5.
0
Вариант 26
1
 3x 2
7 
1.  
 24 x  5  dx .
2x 
 2
 4
5 
3
7
  9 x  2 x  x 4 dx .


 x2 
  x  3 x 4 dx .


dx
 cos 2 (3  2 x) .
4x  1
 x 2  12 dx .
x 5 dx

3.  e 94 x dx .
4.
cos 7 x
x6
dx .
4  x2
ln 8 x  4
5. 
dx .
x
 4 2  5x 6 .


2.  1  23 x 4  2  x dx .
43tgx2
6. 
dx .
cos 2 x
sin x  dx
7.
1
 4 x 2  1 dx.
Вариант 25
1
1.
7x
dx .
2

6.  x 4  ( 4  6 x 5 )dx .
.
7.
45

1  3arcctgx
dx .
1  x2
8.
2x  7
 x 2  4 x  14 dx .
8.
3x  2
9.  x 9  ln 3xdx .
dx .
x 2  2 x  16
9.  (3 x  1)  sin(1  2 x )dx .
10.  (6 x  4)  e 4 x 3 dx .
10.  ( 2 x 2  1)  ln 8 xdx .
1  4x
11. 
dx .
( x  1)  (5 x  1)
2x2  1
11.  2
dx .
( x  3)  ( x  1)
12.  sin 8 x  sin 6 xdx .
2
12.  cos 9 x  cos 3xdx .
2
6
1.
2
3x  2dx .

1.
1
 /2
2.

xdx

.
2
x 2
0
e
 x  1 sin 2 xdx .
2.
0
x
4
ln xdx .
1
3
3
2
2
y  x  4 x  9; y  x  3 .
y  x  x  13; y  2 x  7 .
4
4
3
5
y  x 2 , y   x  , x  0, y  0.
2
2
y  2 x 2 , y   x  10, x  0, y  0.
5
5
4
1
 3 ( x  5) 4
4
dx.
3
5
3
Вариант 27
1
Вариант 28
1
4
1.   63 x 2  3  7 x dx .

3 x
1
dx.
x3
7
1.   2 x 4  x 5  2 dx .

6x 

6
)  xdx .
x4
dx
 ( 4  9 x)8 .
2 x  10
 x 2  3 dx .
x 3 dx
 (1  3x 4 ) 2 .
sin x
 (3 cos x  4)3 dx .
 2 x  x  dx .
3
2
2.  (2 
2.
3.
3.  sin1  x dx .
4.
5.
6.
4.
5.



2x  1
2
5
3 
dx .
x 4
2ctgx  3
dx .
sin 2 x
6.  x  5 4  7 x 2 dx .
46
7. 
8.
1  2 arcsin 4 x
1 x
2x

2
2
34ln 3 x
7. 
dx .
x
3x  3
8.  2
dx .
x  10 x  2
dx .
dx .
x  8x  7
9.  ln(2 x  1)dx .
9.  (3x  5)  cos(6 x  2)dx .
10.  (4 x  1)  34 x dx .
10.  arcsin 8 xdx .
3x  2
 ( x  2)  ( x  3) dx .
2
12. 
dx .
2  sin x
2
 ( x  3) 2  x dx .
7x
x
12.  sin  sin dx .
2
2
11.
11.
2
2
2
1.
2
dx
 1  2 x 2 .
0
1.
x
 x 3  3 dx .
0
 /3
e/3
2.
2
x
2
ln 3xdx .
2.
1
 x cos 2 xdx .
0
3
3
2
2
y  x  4 x  5; y  3x  1 .
y  x  8 x  5; y  3x  1 .
4
4
2
2
y  x , y  2 x  8, x  0, y  0.
y  x , y  2 x  24, x  0, y  0.
5
5

4
14

1
dx.
x2
1
 x 2  4 dx.
0
Вариант 29
1
Вариант 30
1
 4x3 7 7 3 
1.  
  x  dx .
3
x


1
2.   4  3 x   x 2 dx .
 x

dx
3.  2
.
sin ( 2  6 x)
2
1.   7  4  65 x dx .
4.

7x
(2  x)2
2. 
dx .
x3
4
x

3.   6   dx .
4

2  7x
4. 
dx .
4  x2
4  6x
 x 2  8 dx .
47

5.
6
cos x dx
.

x
5.
3

3 ln x  7
dx .
x
4
6.  e 2 x 4  x 2 dx .
6.  23 x x 3 dx .
cos x  dx
7. 
.
1  sin 2 x
3x  1
8.  2
dx .
x  10 x  6
9.  x 7  ln 5 xdx .
(1  6tgx) 4
7. 
dx .
cos 2 x
x2
8.  2
dx .
x  2x  8
9.  (5 x  1)  sin 10 xdx .
10.  (1  2 x)  e 6 x 4 dx .
10.  ln(4 x  2) dx .
3x  1
 ( x  1)  (4 x  1) dx .
11x
2x
12.  cos
 sin
dx .
2
2
2
 ( x 2  1)  ( x  5) dx .
8x
5x
12.  sin  sin dx .
3
3
11.
11.
2
2
1
2
1 
1.  
 dx .
1 3  2 x 
5
1.  x 4  e 4 x dx .
1
2
0
2.   x  2e 3 x dx .
2.   x  2 ln 5 xdx .
2
0
3
3
2
2
y  x  4 x  83; y  x  4 .
y  x  2 x  8; y  x  4 .
4
4
y  4 x , x  0, y  4.
1
y  1  8 x 3 , x   , y  1.
2
3
5
3
4
2
5
2
1
dx.
x2
1
 ( x  1)3 dx.
1
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ
При решении всех последующих примеров, где требуется
найти неопределенные интегралы от заданных функций, кроме
таблицы неопределенных интегралов (см. приложение 3), будут
использованы известные правила интегрирования:
1) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
 C  f ( x)dx  C   f ( x)dx ; где С =const;
48
2) неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен
сумме (разности) интегралов от каждой функции в отдельности,
т.е.
 ( f ( x)   ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx    ( x)dx   g ( x)dx .
ПРИМЕР 1. Найти неопределенные интегралы:
5
 3x 4  53 x 2  7 
3
1  3 ln 6 x


1) 
dx ;
3)  7 3 x 1 x 2 dx ;
dx ; 2) 


x
x


2x  1
3x  1
4)  2
dx ;
5)  (3x 2  2 x)  ln 4 xdx ; 6) 
dx
x  4 x  15
( x  1)(2 x  3)
x
1
7)  sin 4 x  cos dx ;
8) 
dx ;
9)  cos 6 x  sin 3 xdx .
2
1  sin x
Решение.
1) Используя свойства неопределенного интеграла, после очевидных преобразований приходим к сумме табличных интегралов
2
4
 3x 4  53 x 2  7 
x
x3
1


=
3
dx

5
dx

7
dx
x
 x
 x dx =


x


2
1
3
1
x4
x 3
3
= 3 x dx  5 x dx  7  dx = 3  5
 7 ln x  C =
x
4
23
3
15
= x 4  3 x 2  7 ln x  C .
4
2
2) Применим метод замены переменной. Пусть 1  3 ln 6 x  t , тогда

1  3 ln 6 x  t
5

6
1  3 ln 6 x
1
1
1 1
1t 5
dx = 3 6dx  dt =  5 t  dt   t 5 dt 
C=
x
6x
3
3
36 5
1
1
dx  dt
x
3
5
5
 5 t 6  C  5 (1  ln 6 x) 6  C .
18
18
49
3) Применим подстановку вида 3x 3  1  t , получим
3x 3  1  t
7
3 x3 1
3
1
1 7t
1
x dx = 9 x dx  dt   7  dt 
C 
7 3 x 1  C.
9
9 ln 7
9 ln 7
1
x 2 dx  dt
9
2
t
2
4) Выделим полный квадрат в знаменателе дроби, стоящей под
знаком интеграла
x 2  4 x  15  x 2  4 x  4  11  ( x  2) 2  11.
Тогда, применяя подстановку x  2  t , получим
x2 t
2x  1
2x  1
2(t  2)  1
dx
=
dx

dx

dt

 x 2  4 x  15
 ( x  2) 2  11
 t 2  11 dt =
xt2
2t  3
2t
3
 t 2  11 dt   t 2  11 dt   t 2  11 dt .
Для нахождения первого интеграла воспользуемся методом
замены переменной. Пусть z  t 2  11. Тогда искомый интеграл
определится
t 2  11  z
2t
dz
2
 t 2  11 dt  2tdt  dz   z  ln z  C1  ln(t  11)  C1 .
Второй интеграл табличный
3
3
3
t
dt

dt

arctg
 C2 .
 t 2  11
 t 2  ( 11) 2
11
11
Произведя обратную замену, окончательно получим
3
t
arctg
C 
11
11
3
x2
 ln( x 2  4 x  15) 
arctg
 C.
11
11
2x  1
 x 2  4 x  15 dx = ln(t
2
 11) 
5) Для нахождения заданного интеграла применим формулу интегрирования по частям
 u  dv  u  v   v  du
Полагаем u  ln 4 x; dv  (3x 2  2 x) dx , тогда
50
u  ln 4 x; dv  (3x 2  2 x) dx
1
 4dx;  dv   (3x 2  2 x) dx
=
4x
1
du  dx; v  3 x 2 dx  2 xdx  x 3  x 2
x
1
 ln 4 x  ( x 3  x 2 )   ( x 3  x 2 )  dx  ln 4 x  ( x 3  x 2 )   x 2 dx   xdx 
x
1
1
 ln 4 x  ( x 3  x 2 )  x 3  x 2  C.
3
2
2
 (3x  2 x)  ln 4 xdx = du 
6) Представим подынтегральную функцию в виде суммы двух
простейших дробей
3x  1
A
B


.
( x  1)(2 x  3) x  1 2 x  3
Освобождаясь от знаменателей, получим
3x  1  A( 2 x  3)  B ( x  1) или
3 x  1  (2 A  B ) x  (3 A  B ).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x ,
получим систему уравнений
x1 3  2 A  B;
x 0  1  3 A  B.
Откуда A  4; B  11.
Следовательно,
3x  1
4
11


.
( x  1)(2 x  3) x  1 2 x  3
Окончательно получим
3x  1
4
11
1
11
1
 ( x  1)(2 x  3) dx   x  1 dx   2 x  3 dx  4 x  1 dx  2  x  3 2dx 
=  4 ln x  1 
11
3
ln x   C.
2
2
7) Применим формулу произведения тригонометрических функ1
2
x
1
9x
7x
1
9x
1
7x
 sin 4 x  cos 2 dx  2  (sin 2  sin 2 )dx  2  sin 2 dx  2  sin 2 dx.
ций sin mx  cos nx  (sin( m  n) x  sin( m  n) x)
51
Для вычисления полученных интегралов применим метод
подстановки
9x
t
1
9x
1
2
1
2
sin dx 
  sin t  dt   cos t  C1 

9
2
2
2
2
9
9
dx  dt , dx  dt
2
9
1
9x
 cos  C1.
9
2
Аналогично,
1
7x
1
7x
sin
dx


cos
 C2 .
2
2
7
2
Тогда, окончательно, получим
 sin
8x
x
1
9x 1
7x
 cos dx   cos  cos
 C.
2
2
9
2 7
2
8) Воспользуемся универсальной тригонометрической подстаx
2
2t
2
, dx 
dt .
2
1 t
1 t2
1
1
2
1 t2
2
2

dt  

dt  
dt 
 1  sin x dx  
2
2
2
2
2t 1  t
1

t

2
t
1

t
(
t

1
)
1
1 t2
2
2
 2  (t  1) 2 dt  
C  
 C.
x
t 1
tg  1
2
новкой t  tg , тогда sin x 
9) Преобразуем имеющийся интеграл, применив известную тригонометрическую формулу sin 2 x  1  cos 2 x :
6
3
6
2
6
2
 cos x  sin xdx   cos x  sin x  sin xdx   cos x  (1  cos x)  sin xdx .
Очевидна подстановка t  cos x , dt   sin xdx , тогда получим
 cos
6
1
1
x  sin 3 xdx   t 6  (1  t 2 )  ( dt )   t 8 dt   t 6 dt  t 9  t 7  C 
9
7
1
1
 cos 9 x  cos 7 x  C.
9
7
ПРИМЕР 2. Вычислить определенные интегралы.
2
1)

0
2x2
4  4x3
1
dx ;
2)  arctgxdx .
0
При решении всех последующих примеров, где требуется
найти определенные интегралы от заданных функций, будут использованы известные правила интегрирования:
52
1) постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.
b
b
 C  f ( x)dx  C   f ( x)dx ; где С =const;
a
a
2) определенный интеграл от суммы (разности) функций равен
сумме (разности) определенных интегралов от каждой функции
в отдельности, т.е.
b
b
b
b
a
a
a
a
 ( f ( x)  ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   ( x)dx   g ( x)dx ,
3) Формула Ньютона – Лейбница:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a) .
a
Решение.
1) Применим метод замены переменной. Пусть 4  4 x 3  t ,
1
6
менной t : при x  0 имеем t  4 , а при x  2 имеем t  36 . Переходя в исходном интеграле к новой переменной t и применяя
тогда 2 x 2 dx  dt . Определим пределы интегрирования по пере-
формулу Ньютона-Лейбница, получим
2

0
2x
2
36
4  4x3
dx 

4
1
36  1
2
36
2
1 1
1
1 t
 dt   t dt  
64
6 12
t 6
1

t
3
4
36
4
1
4
 ( 36  4 ) 
3
3
2) Применим формулу интегрирования по частям в определенном
b
b
b
интеграле  u  dv  u  v   v  du .
a
a
a
Полагаем u  arctgx, dv  dx , тогда
u  arctgx, dv  dx
1
x
1
 arctgxdx  du  1 dx, v  x  arctgx  x 0   1  x 2 dx.
0
0
1  x2
1
Для вычисления последнего интеграла применим метод замены переменной. Пусть 1  x 2  t , тогда искомый интеграл запишется в виде
53
1
2
1  x 2  t , xdx  dt 2 1 1
x
1
1
ln 2
dx



dt

ln
t

(ln
2

ln
1
)

2
 1  x2
t 2
2
2
2
1
0
1
t (0)  1, t (1)  2
1
Окончательно, получим
1
1
 arctgxdx  arctgx  x 0 
0
ln 2
ln 2  ln 2
 arctg1  1  arctg 0  0 
 
.
2
2
4
2
ПРИМЕР 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y  x 2  3 x, y  2 x  2 .
Решение. Найдем абсциссы точек пересечения графиков заданных функций. Для этого приравняем правые части и решаем
полученное уравнение:
x 2  3x  2 x  2  x 2  x  2  0  D  1  8  9  x1, 2 
1 3
.
2
x1  2; x2  1 .
Найдем ординаты точек пересечения и построим графики
заданных функций в системе координат хОу:
y1  2  ( 2)  2  2,
y 2  2  1  2  4,
A( 2;2),
B(1,4).
Площадь, ограниченная графиками функций y  f1 ( x ) и
y  f 2 ( x ) на отрезке [а ,b], вычисляется по формуле:
b
S   ( f 2 ( x)  f1 ( x ))dx , где f 2 ( x )  f1 ( x) .
a
В нашем случае f1 ( x )  x 2  3x, f 2 ( x )  2 x  2 .
Тогда, используя формулу Ньютона – Лейбница:
1
1
1
1
 1

S   ( 2 x  2  x  3x )dx   (  x  x  2)dx    x 3  x 2  2 x  
2
 3
 2
2
2
2
2
1
1
1 1
8
 1
  1

    1   1  2  1     ( 8)   4  2  ( 2)      2   2  4 
2
2
3 2
3
 3
  3

1 9
= 5    4,5 (кв.ед.).
2 2
54
5
0
4
3
2
2
x  3x
1
2x 2
0
0
1
2
3
3
2
1
0
1
2
3
4
x
Рис. 4
ПРИМЕР 4. Вычислить объем тела, образованного вращением
4
x
вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y  , x  1, x  4 .
Решение. Тело ограничено при 1  x  4 поверхностью, образованной вращением гиперболы y 
4
вокруг оси Ох (рис.5).
x
Объем полученного тела вращения найдем по формуле:
b
V    y 2 dx .
a
2
4
Тогда
4
1
4
1 
V      dx   16 
 16    1  12 (куб. ед.).
x1
4 
1 x
5
5
1
4
4
4
3
4
X
2
1
1
0
0
0
1
2
0
3
X
Рис. 5
55
4
5
5
ПРИМЕР 5. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

1) 
e
1
dx ; 2)
x  ln x

4
1
 sin 2 x dx .
0
Решение.
Рассматриваемый интеграл является несобственным интегралом с бесконечно верхним пределом интегрирования. Согласно определению, имеем
b
b
1
1
dx  lim ln ln x  e  lim ln ln b  ln ln e    0  
 x  ln x dx  lim

b x  ln x
b 
b 
e
e

Следовательно, несобственный интеграл расходится.
Замечание. Для вычисления неопределенного интеграла ис1
x
пользовали метод подстановки ln x  t , dx  dt .
1
1
 x  ln x dx   t dt  ln t  C  ln ln x  C .
2) Данный интеграл является несобственным интегралом от
неограниченной функции, f ( x) 
1
терпит бесконечный разsin 2 x
рыв в нижнем пределе при x  0 . Согласно определению, получаем

4

4

1
1
4  1  lim сtg  1  0  1 .
dx

lim
dx

lim

сtgx

 sin 2 x


 0 sin 2 x
 0
 0
0

Таким образом, несобственный интеграл сходится.
56
ТЕМА 3. ФУНКЦИИ ДВУХ АРГУМЕНТОВ
Вопросы к теме.
1. Дайте определение функции двух независимых аргументов.
2. Что называется областью определения функции двух независимых переменных?
3. Что называется частным и полным приращением функции
двух переменных?
4. Дайте определение частных производных первого порядка
функции двух переменных.
5. Как найти частные производные второго порядка функции
двух переменных?
6. Что является необходимым условием экстремума функции
двух переменных?
7. Сформулируйте достаточные признаки экстремумов функции
двух переменных.
Типовой расчет 5
В ЗАДАЧАХ №№ 1 – 30 найти частные производные первого и второго порядка функций двух переменных, проверить вы 2z
2 z
полнение равенства:

.
 x y yx
z  5x3 y  2 xy  x3  3;
z  8x3 y  6 xy  9;
z  3xy3  2  x  3 y;
z  3x2 y5  2 xy 2  x2 y  4;
1
2
3
4
а)
а)
а)
а)
5
6
а) z  3x5 y  2 x4 y3  x  2 y;
а) z  4 x5 y 2  xy  y3  36;
7
а) z  3x4 y  2 x2 y  y5  5;
8
а) z  5x  xy  2x5 y4  4;
9
а) z  8  x3 y  5 x2  2  y ;
10
а) z  y  x  6 x4 y3  x  2;
б) z  cos(2 x  3 y)
б) z  ln( x2  4 y)
б) z  ctg ( x2  5 y  6)
4
x  2
б)
y 
б) z  tg (6 x 2 y)

z 

б) z  sin(x3 3y)
б) z  arccos y
x
б) z  4x  5xy
7x 3y
3
б) z  ex 5xy
б) z  cos(3x2 y 4 )
57
11
а) z  3x  y  5x2 y  x  3xy;
12
13
а) z  2 x4 y3  3xy 2  x  4 y;
а) z  5x3 y 2  4 x  6 xy  2;
14
15
а) z  6 x3 y  2 x  2 x2 y 7  8;
а) z  9  xy  3x 2  5 y3  7;
16
17
а) z  8x5 y  2 x5 y 2  5;
20
21
22
23
24
25
а) z  6 xy 2  x3  2 y ;
а) z  2 x3 y7  2 y  2 xy;
а) z  6 x3 y2 ;
2x y
а) z  3  8x 2 y 4  xy  y;
а) z  x2 y 2  6 xy3  2 x5 y  3;
а) z  6 xy 2  5x3 y  y3  tgx;
а) z  3xy3  2 xy  y3  2 x;
а) z  6 xy  y 7  sin x;
а) z  3x5 y3  2 xy  3xy 4  8;
26
27
28
29
30
а)
а)
а)
а)
а)
18
19
б) z  3x  8 y
2x  7 y
б) z  tg (2 x3  5 y)
xy
б) z 
x  5y
б) z  tg (2 x2 y  4)
б) z  arcctg y
3x
б) z  tg (3xy  2)
б) z  e5 x2 y
б) z  sin(3xy  x )
б) z  tg (5 x  2 xy)
z  2 x4 y 2  2 xy3  8x  2 xy;
z  6 x2 y5  5x3  4 y 4  5;
z  6 xy  2 x3 y  2 y;
z  3x3 y 4  6 x3  4 y8  2;
z  5x2 y 2  9 xy3  2 x5  3;
б)
б)
б)
б)
б)
z  ln( x4  7 y 2 )
z  sin( xy  7)
z  tg (2 xy  5)
z  ctg ( x5 y3)
z  tg ( x2 y 4 1)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
z  5 x3 y  5
z  tg (2 x2 y  5)
z  cos( x  y 2 )
z  ctg ( x2  5xy)
z  sin( x2  y)
z  cos( xy  2 x)
В ЗАДАЧАХ №№ 1 – 30 исследовать на экстремум заданную функцию двух переменных.
№
1
2
3
4
5
Задания
z  xy  x2  2 y 2  x 10 y  5
z  x4  2 y 2  y  4
z  x2  3 y 2  2 xy  x  4 y  5
z  2 xy  2 x  3 y  3
z  3x2  3xy  y 2  6 x  2 y 1
58
№
16
17
18
19
20
Задания
z  4 x2  y 2  x  2 y  4
z  x 2  y 2  3x  2
z  x2  2 y 2  4 x  y  6
z  3x 2  y 2  4 x  4
z  4 x2  y 2  2 x  y  2
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
z  3xy  x 2  4 y 2  4 x  6 y
z  3x 2  5 y 2  x  2 y  7
z  3x 2  y 2  x  1
z  xy  2 x  y  2
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
z   x2  3 y 2  2 x  5
z  2 x2  y 2  4 x  8
z  2 x2  3 y 2  x  2 y  4
z  3xy  x2  3 y 2  6 x  9 y
z  4 x2  2 y 2  x  y  4
z  3x2  5 y 2  2 x  y 1
z  2 x2  y 2  2 x  4
z  3x 2  5 y 2  x  3
z  xy  x2  2 y 2  5x  9
z   x2  2 y2  x  y
z  3x2  3 y 2  5xy  4 x  7 y
z  3x2  4 y 2  x  2
z  x2  3 y 2  xy  5 x  4 y
z   x 2  2 y 2  3 x  5 y 1
z  2 x2  2 y 2  x  y  5
z  4 x  5 y  2 xy  x2  3 y 2
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ.
ПРИМЕР 1. Найти частные производные первого и второго
порядков от заданной функции: z  4 x3 y 2  2 xy  3xy 2  8 .
z
Решение. При вычислении частной производной
аргуx
мент y рассматриваем как постоянную величину. Пользуясь правилами дифференцирования сложной функции, получаем
z
 4 y 2  3x 2  2 y  3 y 2  12 x 2 y 2  2 y  3 y 2 .
x
z
Аналогично поступаем при вычислении
. Считая x поy
стоянной величиной, получаем
z
 8 x3 y  2 x  6 xy .
y
Используя те же правила, вычисляем частные производные
второго порядка:
 2z    z 
2


  24 xy ,
2
 x x
x
2
 z
  z 
2 z
2

 24 x y  2  6 y 
(проверьте!),
 x y  y   x 
yx
 2z    z 
3


  8x  6x .
2
y
 y  y 
59
ПРИМЕР 2. Исследовать на экстремум заданную функцию
двух переменных z  2 x 2  xy  3 y 2  2 x  11y  5 .
Решение. Находим частные производные функции:
z
z
 4x  y  2 ;
  x  6 y  11.
y
x
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума,
находим стационарные точки. Для этого решаем систему уравнений:
 4 x  y  2  0,

  x  6 y  11  0,
откуда x  1 ; y  2 . Таким образом, стационарной является точка M (1;2) . Находим значения частных производных второго порядка в точке M :
 2z 
  2z 
  2z 
A   2   4;
B
  1 ; C    y 2   6 .

x

x

y

M

M

M
Составляем выражение:
  A  C  B 2  4  6  (1) 2  23 .
Так как   0 и A  0 , делаем вывод о наличии минимума в
точке M (1;2) . При этом минимальное значение функции
zmin  7 .
60
ТЕМА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Вопросы к теме.
1. Дайте определение дифференциального уравнения, приведите
примеры. Как определяется порядок дифференциального уравнения?
2. Что называется общим решением дифференциального уравнения? Что такое частное решение дифференциального уравнения?
Сформулируйте задачу Коши, теорему существования и единственности ее решения.
3. Каков геометрический смысл общего и частного решений
дифференциального уравнения первого порядка?
4. Перечислите простейшие типы дифференциальных уравнений
первого порядка, приведите примеры.
5. Какое дифференциальное уравнение первого порядка относится к классу уравнений с разделяющимися переменными? Укажите способ его решения.
6. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным? Укажите способ его решения.
7. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным? Укажите способы его решения.
8. Что называется дифференциальным уравнением второго порядка?
9. Каков вид линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами? Укажите формулы его общих решений в зависимости от корней характеристического уравнения.
10. Какую структуру имеет общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?
11. Укажите вид частного решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами для различных правых частей специального вида.
Типовой расчет 6
В ЗАДАЧАХ №№ 1 – 30 для дифференциальных уравнений
без начальных условий найти их общие решения. При наличии
начальных условий найти соответствующие этим условиям частные решения.
61
Вариант 1
1.
2.
x  y  y  x  y
3.
y 
4.
5.
6.
Вариант 2
1.
2.
y   y  sin x
2
2
y sin x

; y    1
x
x
2
y   7 y   12 y  0 ; y 0   2 ; y 0   2
y   6 y   9 y  e
3 x
3.
4.
5.
6.
( 2  2 x)
y   4 y  8 y  2 sin 4 x
( x  1)  y   y
y
x  y   x  tg  y
x
y
y   2 ln x ; y 1  1
x
y   3 y   2 y  0 ; y 0   0 ; y 0   1
y   y   e  x (4  3x )
y   4 y  cos x  2 sin x
Вариант 3
1.
2.
x  y   y  2 x  ctg
3.
4.
5.
6.
Вариант 4
1.
2.
( x 2  5)  y   y  1
xy   2 y 
3.
y   2 xy  e  x sin x ; y 0   1
y   10 y  25 y  0 ; y 0   1 ; y 0   1
y   2 y   8 y  2 xe 3 x
4.
5.
6.
y   ( y  1)  tgx
y
x
1
; y3  1
x
y   9 y  0 ; y 0   1 ; y 0  3
y   4 y   5 y  3 cos x
x  y  y  y 2  x 2
2
y   2 y  3xe 2 x
y   2 y  2 y  2 sin 4 x
Вариант 5
1.
2.
Вариант 6
( x  1)  y   2 yx
x 2  y  x 2  x  y  y 2
1.
2.
3.
x 2 y   xy  1  0 ; y 1  2
3.
y   ytgx 
4.
5.
6.
y   4 y   13 y  0 ; y (0)  1; y (0)  2 ;
4.
5.
6.
y   3 y   2 y  e x (4 x  2)
2
y   ( y  1)  ctgx
y   8 y   16 y  e 2 x (3x  1)
y   6 y   7 y  cos 3x
2
x  y   y  3 x  sin 2
1
; y0  5
cos x
y   8 y   16 y  0; y (0)  2; y (0)  5
y   10 y  50 y  5 sin x  10 cos x
Вариант 7
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вариант 8
1.
2.
3.
cos x  y   y  sin x
4x  y  y  x 2  4 y 2  0
2y
1
y 
 ( x  1) 2 ; y 0 
x 1
2
y  7 y  10 y  0 ; y 0   2; y 0   1
4.
5.
6.
2x
y  5 y   6 y  e ( x  1)
y   2 y   5 y  3 cos 3 x
x  1  y   ( x  1)  e y
x  y  y  8x 2  y 2
1
1
y   y  x ; y 0 
e
2
y   6 y  9 y  0 ; y 0   1 ; y 0  0
y   3 y  e 3 x (2 x  1)
y   2 y  10 y   sin 2 x
Вариант 9
1.
2.
3.
2
y
x
Вариант 10
3
x  y   ( y  4)  (3 x  x )
2 x 3  y   y  (2 x 2  y 2 )
3y
y 
 x ; y 1  3
x
62
1.
2.
( x  1)  y   4 xy 2
3.
y 
2
x  y  x  y
y
 
 x cos x ; y    1
x
2
4.
5.
6.
y   8 y  7 y  0 ; y 0   2 ; y 0   1
4.
5.
6.
y   4 y   4 y  e 2 x (3 x  1)
y   y  cos 2 x
y   49 y  0 ; y    0 ; y    1
y  4 y  3 y  e x (2 x  2)
y   6 y   10 y  cos 3 x  sin 3 x
Вариант 11
1.
2.
3.
4.
5.
6.
3
x  y y  4  2x
Вариант 12
1.
2.
3.
2
x  y  y  y 2  x 2
2y
y 
 x 2e 3 x ; y 1  e 3
x
y   6 y   8 y  0; y (0)  1; y (0)  2
4.
5.
6.
y   3 y   2 y  e x (4 x  2)
y   6 y   18 y  3 cos 2 x
y   4e
2 x2 y
x  y  y   y 2  5x  y
y   2 xy  2 x ; y 0   2


y   4 y   20 y  0; y ( )  0; y ( )  1
2
2
2
y   7 y   2 x  4 x
y   36 y  sin 2 x
Вариант 13
1.
x 3 y  y 2  4
2.
( x  y   y )  sin
3.
4.
5.
6.
y  cos x  y sin x  1 ; y 0   2
Вариант 14
1.
y
x
x
y   y   0; y (0)  1; y (3)  4
y   8 y   16 y  2e x
y   25 y  2 cos 3 x
(1  2 x )  y   y  5
2.
x  y  y  x  e
3.
4.
5.
6.
xy  3 y  x 4 e x ; y 1  e
y   y  0; y ( )  1; y ( )  3
y   y   2 y  e  x ( x  2)
y   16 y   64 y  2 sin x
Вариант 15
1.
y   (2 y  1)  cos x
2.
x  y  y 
3.
4.
5.
6.
Вариант 16
1.
x
cos
y
x
3y
 x 3e x ; y 1  e
x


y   4 y  0; y ( )  0; y ( )  4
2
2
y   5 y  2 x  3 x  2
y 
y   12 y  36 y  3 cos x
y 2  4  y   3xy
y x3

x y3
2.
y 
3.
y  cos x  2 y sin x  2 ; y 0   3
4.
y   8 y   16 y  0; y (0)  1; y (0)  0
5.
6.
y   7 y   12 y  3 xe 3 x
y   4 y   13 y  cos 2 x
Вариант 17
1.
2.
3.
4.
5.
Вариант 18
4 y  x  y  y  3
y
y
x  y   ln  x  y  ln
x
x
 x2
y   2 xy  xe ; y 0   4
 
 
y   2 y   10 y  0 ; y    0 ; y    1
2
2
1.
y   y   6 y  xe 2 x
5.
2
y
x
2
2.
3.
4.
63
2
( y   ( y  4)  tgx
y
x  y   y  ln  0
x
y x ln x  y  3x 3 ln 2 x ; y e   0
y   5 y   6 y  0 ; y 0   5 ; y 0  0
y  9 y   3 x 2  2
6.
6.
y   2 y  2 sin 2 x
y   8 y   25 y  5 cos 2 x
Вариант 19
1.
2.
x  ln x  y   y  5
3.
4.
5.
6.
xy  2 y  x 3 cos x ; y    1
Вариант 20
1.
x  y  y  2x 2  y 2
2.
3.
4.
5.
6.
y   2 y  5 y  0 ; y 0   1 ; y 0  0
y   10 y   25 y  e 3 x ( x  1)
2 y  2 y  5 y   cos 2 x
2
( x  1)  y   4 y
y
y2
 1 2
x
x
2
(1  x ) y  2 xy  (1  x 2 ) 2 ; y  2  5
y 
y   16 y  0 ; y    1 ; y    1
y   3 y  10 y  4 xe5 x
y   8 y   15 y  4 sin x
Вариант 21
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вариант 22
cos x  y   ( y  4)  sin x
y
x  y   y  y  ln
x
x
e
y  y 
; y0  2
1  x2
1.
2.
sin x  y   2 y  5
3.
y   4 y  4 y  0 ; y 0   1 ; y 0   3
4.
5.
6.
 
y   y  sin x  e  cos x  sin 2 x ; y    3
2
y   6 y  0 ; y 0   2 ; y 0   2
y   5 y  2 x  x 2
y   9 y  3 cos 4 x
2
2x 2  y  x 2  y 2  0
y   4 y   5 y  e x (2  x)
y   8 y  32 y  8 cos x
Вариант 23
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2
Вариант 24
2
y   sin x  y  1
x  y  y  x 2  y 2  0
2y
y 
  x 2 ; y 3  1
x
1.
2.
x  y  y  1
3.
 
y   sin x  y  cos x  1 ; y    0
2
y   y   6 y  0; y (0)  2; y (0)  3
4.
5.
6.
y   2 y   y  0; y (1)  0; y (1)  2
3 y   5 y   2 y  4 xe 2 x
y   2 y  5 y  2 sin 3 x
2
y  x  y  x  y
2 y   y  6 y  e  x (4 x  3)
y   4 y  8 y   sin 2 x  2 cos 2 x
Вариант 25
1.
ctgx  y   y 2  4
2.
x  y   cos
3.
4.
5.
6.
Вариант 26
1.
y
y
 y  cos  x
x
x
2.
y 
y
 1 ; y (0)  1
x 1
y   7 y   6 y  0; y (0)  2; y (0)  1
3.
y   4 y   3x 2  5 x  1
4.
5.
6.
y   16 y   cos 3x
x  y  y  y 2  1
y
y   2
x
2
y   2 xy  x 3e  x ; y (1)  2
y   2 y   0; y (1)  2; y (1)  0
3 y   8 y   3 y  xe 3 x
y   y   2,5 y  4 cos 2 x
Вариант 27
1.
Вариант 28
1.
cos x  y   ( y  8)  sin x
64
x
(e  1)  y   y  e x
2.
3.
4.
5.
6.
y
y
 2 (ln y  ln x)
x
x
ln x
xy  y 
; y (1)  3
x
y   2 y   3 y  0; y (0)  1; y (0)  1
y 
2 y   y   y  e x (2  x)
y   6 y   10 y  3 sin x  cos x
2.
5 x  y  y  x  y  0
3.
y   y  tgx  cos x ; y (0)  1
4.
5.
6.
y   6 y   5 y  0; y (0)  1; y (0)  0
y   y   e 2 x ( x 2  2)
4 y  4 y  5 y  2 sin 2 x
Вариант 29
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вариант 30
1.
2.
3.
4.
5.
6.
y   y  sin x
x  y  y  x 2  y 2
y   2 xy  2 x ; y (1)  1
y   7 y   12 y  0; y (0)  3; y (0)  0
3 y   2 y   y  5 xe x
y   2 y  10 y  sin x  2cos x
(2 x  2)  y   y  4
x 2  y  y 2  x  y  0
y   ytgx  3 ; y (0)  3
y   4 y   20 y  0; y (0)  1; y (0)  0
y   2 y   y  e x (2 x  1)
4 y   4 y   17 y   sin x
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ.
ПРИМЕР 1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение: x  y   ( y 2  5) ln x .
Решение. Данное дифференциальное уравнение относится к
классу уравнений с разделяющимися переменными.
Учитывая, что y  
x
dy
, уравнение запишется в виде
dx
dy
 ( y 2  5) ln x .
dx
Разделяем переменные:
dy
ln x  dx

.
x
y2  5
Интегрируем обе части равенства и получаем общее решение уравнения:
dy
 y2  5  
ln x  dx
C.
x
Найдем интегралы:
dy
dy
 y2  5   y2  (
5)2

1
y
arctg
 C1 ;
5
5
ln x  t
ln x  dx
t2
1 2


t

dt


C

ln x  C2 .
dx
2
 x

2
2
dt 
x
65
Таким образом, общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид
1
y 1 2
arctg
 ln x  C ;
5
5 2
ПРИМЕР 2. Проинтегрировать дифференциальное уравнение первого порядка: x  y   y  4 x  cos 2
y
.
x
Решение. Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Разделим обе части уравнения на x, получим y  
y
y
 4 cos 2 .
x
x
Представим искомую функцию y (x) в виде произведения:
y ( x)  u ( x )  x ,
где u (x)
- некоторая функция, тогда
y ( x)  u( x)  x  u ( x) .
Исходное уравнение примет вид u  x  u  u  4 cos 2 u , или
u  x  4 cos 2 u . Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. После разделения переменных получаем:
du
dx
 4  tgu  4 ln x  C .
2
x
cos u
Окончательно, общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид:
tg
y
 4 ln x  C .
x
ПРИМЕР 3. Найти частное решение дифференциального
уравнения первого порядка, удовлетворяющее заданному начальному условию (решить задачу Коши): xy  y  x  sin x, y ( )  2 .
Решение. Данное уравнение является линейным уравнением
первого порядка. Разделим обе части уравнения на x, получим
y
 sin x . Представим искомую функцию y (x) в виде произx
ведения двух неизвестных функций: y ( x)  u ( x)  v( x) , тогда
y ( x )  u ( x)  v( x )  u ( x)  v ( x) . Исходное уравнение примет вид
u
u v
u   v  u  v 
 sin x , или (u   )  v  u  v   sin x .
x
x
Подберем функцию u (x) таким образом, чтобы выражение в
у 
скобках обращалось в нуль:
66
du u
du
dx
1
  0, 
  ,  ln u   ln x,  u  (при нахождении
dx x
u
x
x
функции u (x) постоянную величину C полагаем равной нулю).
1
Считая, что при u  выражение в скобках равно нулю, получим
x
1 dv
  sin x,  dv  x  sin x  dx,  v   x  sin x  dx .
x dx
Вычислим интеграл методом интегрирования по частям:
 x  sin x  dx 
u  x, du  dx
  x  cos x   cos x  dx 
dv  sin x  dx, v   cos x
  x  cos x  sin x  C .
Таким образом, v  x  cos x  sin x  C , а общее решение исходного
уравнения имеет вид y  u  v 
 x  cos x  sin x  C
.
x
Для нахождения частного решения уравнения воспользуемся на   cos   sin   C
чальным условием y ( )  2 . Имеем 2 
, отку
да C   .
 x  cos x  sin x  
Итак, исходное частное решение имеет вид y 
.
x
ПРИМЕР 4. Найти частные решения следующих линейных
однородных дифференциальных уравнений второго порядка с
постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях:
1) у   3 у   4 у  0; у (0)  2; у (0)  3 ;
2) у   4 у   4 у  0; у (0)  2; у (0)  1 ;
3) у   9 у  0; у ( )  0; у ( )  1 .
Решение. 1) Характеристическое уравнение имеет вид
2
k  3k  4  0 . Решая его, получаем два различных вещественных
корня k1  1, k 2  4 . Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения записывается в виде
y ( x)  C1e  x  C2 e 4 x ,
где C1 ,C 2 - произвольные постоянные.
Дифференцируя, получаем
y ( x)  C1e  x  4C 2 e 4 x .
Подставляя в уравнения значения начальных условий, получаем систему
67
C1  C2  2,

 C1  4С2  3,
откуда C1  C2  1 . Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид
y ( x)  e  x  e 4 x .
2) Характеристическое уравнение k 2  4k  4  0 имеет два
равных корня k1  k 2  2 , поэтому общее решение соответствующего дифференциального уравнения запишется в виде
y ( x)  e 2 x (C1  C2 x) ,
откуда
y ( x)  2e 2 x (C1  C 2 x)  C2 e 2 x .
Учитывая начальные условия, получаем систему уравнений
для определения С1 , C2 :
C1  2,

 2C1  С2  1,
Отсюда C1  2; C2  3 , поэтому искомое частное решение
имеет вид
y ( x)  e 2 x ( 2  3x) .
3) Характеристическое уравнение k 2  9  0 имеет два комплексно-сопряженных корня k1, 2  3i , поэтому общее решение
соответствующего дифференциального уравнения записывается в
виде
y ( x)  C1 cos 3 x  C2 sin 3 x .
Отсюда
y ( x)  3C1 sin 3 x  3C 2 cos 3 x .
Для определения значений С1 , C2 , применяя начальные условия, получаем систему уравнений
 C1  0,

 3С 2  1,
1
3
Откуда C1  0; C2   .
Таким образом, искомое частное решение имеет вид
1
y ( x)   sin 3 x .
3
68
ПРИМЕР 5. Найти общие решения следующих линейных
неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с
постоянными коэффициентами:
1) у   y  2 y  3xe 2 x ; y   2 y   2 cos 2 x  3 sin 2 x .
Решение.
1) Найдем общее решение линейного однородного уравнения
у   y  2 y  0 .
Корни характеристического уравнения k 2  k  2  0 действительны и различны k1  1, k 2  2 , тогда общее решение однородного уравнения записывается в виде
yоо  C1e x  C2 e 2 x ,
где С1 , C2 - произвольные постоянные.
Правая часть заданного неоднородного уравнения относится
к виду Pn ( x)  ex , где Pn (x) - многочлен степени n от переменной
x. В нашем случае n  1,   2 , поэтому, с учетом того, что один
из корней уравнения совпадает с параметром  , частное решение
исходного неоднородного уравнения будем отыскивать в виде
yчн  x ( Ax  B)e 2 x  ( Ax 2  Bx)e 2 x ,
где A и B – неопределенные коэффициенты. Находим
  ( 2 Ax  B )e 2 x  ( Ax 2  Bx)  (2e 2 x ) ,
yчн
  2 Ae 2 x  (2 Ax  B)  (2e 2 x )  ( 2 Ax  B)  ( 2e 2 x )  ( Ax 2  Bx)  4e 2 x
yчн
 , yчн
 в исходное уравнение, сокращая все слаПодставляя yчн , yчн
гаемые на множитель e 2 x :
2 A  4(2 Ax  B)  4( Ax 2  Bx )  (2 Ax  B)  2( Ax 2  Bx)  2( Ax 2  Bx )  3x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях, получаем:
 6 Ax  2 A  3B  3x ,
 6 A  3,

2 A  3B  0,
1
1
Откуда A   , B   .
2
3
Таким образом, общее решение заданного неоднородного
дифференциального уравнения имеет вид
1
1
y ( x)  yоо  yчн  C1e x  C2 e 2 x  ( x 2  x)e 2 x .
2
3
69
2) Характеристическое уравнение k 2  2k  0 имеет два различных действительных корня k1  0, k 2  2 , тогда общее решение однородного дифференциального уравнения записываем в
виде
yоо  C1  C2 e 2 x .
Правая часть заданного неоднородного уравнения относится
к виду A1 cos x  A2 sin x , так как в нашем случае нет совпадения
корней характеристического уравнения с выражением i  2i , то
частное решение исходного уравнения подбираем по формуле
yчн  A cos 2 x  B sin 2 x ,
где A и B – неопределенные коэффициенты. Для определения
значений A и B находим
  2 A sin 2 x  2 B cos 2 x ,
yчн
  4 A cos 2 x  4 B sin 2 x .
yчн
 , yчн
 в исходное уравнение, получаем
Подставляя yчн
 4 A cos 2 x  4 B sin 2 x  4 A sin 2 x  4 B cos 2 x  2 cos 2 x  3 sin 2 x .
Откуда получаем систему уравнений
 4 A  4 B  2,

 4 B  4 A  3,
1
8
5
8
Отсюда A  ; B  .
1
8
5
8
Следовательно, yчн  cos 2 x  sin 2 x .
Таким образом, общее решение заданного неоднородного
дифференциального уравнения имеет вид:
1
5
y ( x)  yoo  yчн  C1  C 2 e 2 x  cos 2 x  sin 2 x .
8
8
70
ТЕМА 5. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Вопросы к теме.
1. Что называется числовым рядом? Общим членом ряда?
2. Что называется n-й частичной суммой ряда? Суммой ряда?
3. Какой ряд называется сходящимся? Расходящимся?
4. В чем состоит необходимый признак сходимости ряда?
5. Какой ряд называется гармоническим? Выполняется ли для
него необходимый признак сходимости? Сходится ли гармонический ряд?
6. Сформулируйте достаточные признаки сходимости, основанные на сравнении рядов с положительными членами.
7. Сформулируйте признак Даламбера о сходимости ряда с положительными членами.
8. В чем состоит радикальный признак Коши о сходимости ряда
с положительными членами?
9. В чем состоит интегральный признак сходимости ряда?
10. Какой ряд называется знакочередующимся? Приведите признак Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда.
11. Сформулируйте правило оценки остатка знакочередующегося ряда.
12. Какой ряд называется условно сходящимся? Абсолютно
сходящимся?
13. Перечислите основные свойства абсолютно сходящихся рядов.
14. Какой ряд называется степенным рядом?
15. Что является областью сходимости степенного ряда?
16. Как можно разложить функцию в ряд Тейлора? Маклорена?
17. Приведите примеры разложения функций в степенной ряд.
18. Как можно приближенно вычислить определенный интеграл
с помощью степенного ряда?
19. Как можно приближенно решить задачу Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью степенного
ряда?
71
Типовой расчет 7
В ЗАДАЧАХ №№ 1 – 30
1. Написать пять первых членов ряда по данному общему
члену un .
2. Написать формулу общего члена ряда.
3. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости для ряда.
4. Исследовать сходимость ряда, применяя признак сравнения 1.
5. Исследовать сходимость ряда, применяя признак сравнения 2.
6. Пользуясь признаком Даламбера, исследовать сходимость
ряда.
7. Исследовать сходимость ряда, пользуясь интегральным
признаком Коши.
8. Исследовать сходимость знакочередующихся рядов по
признаку Лейбница.
9. Найти интервал сходимости (-R;R) степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала, т.е. при x = R и
при x = -R.
10. Вычислить следующие определенные интегралы с точностью до 0.001.
11. При указанных начальных условиях найти три первых
отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции
y ( x ) , являющейся решением заданного дифференциального
уравнения.
Вариант 1
1.
2.
3.
n
sin
2
2
un 
2
n 1
1 2 3 4
   ...
2 4 8 16

n
 2n  1
n1
Вариант 2
1.
2.
3.
72
un
n
1 n 2


3n  1
1  1  1  1  ...
4 7 10 13

n 1

n 1 2 n  1

4.
5.
6.
7.

8.

8

n
n 1 2  10

1

n 1 12 n  1

1

n 1 n !

1

2
n 1 1  n
 1
2
n
4.
5.
6.
7.
n

8.
1
n 1

xn

3
n 1 n
1
10.
e
6 x 2

9.
1
10.
dx
4
0
y   2 xy  x sin x
y ( 0)  1
11.
3.
4.
5.
6.
3n  1
n2
n
2   1
un 
n 1
3 5 7
1    ...
4 7 10

n

2
n 1 n  1

3

n
n 1 4  2

4

n 1 3n  24

1

n
n 1 5 n
dx
16  x 4
y   3e x  y 2 cos x
y ( 0)  1
Вариант 4
n
2.
n2
n 1
Вариант 3
1.
n
 n(n  1) x
0
11.
 1
n 1

9.
1

n
n 1 4  n

21

n 1 7 n  5

5n

5
n 1 n

1

n 1 n ( n  3)
n
1.
2.
3.
4.
5.
2   1
un 
n2
1 1 1
1     ...
5 9 13

1
n
sin

n
n 1

1

n
n 1 7  n

1

n 1 100n  2
n2

n 1 n !

6.
73

7.

8.

1

n 1 2 n  1

 1
7.
n

8.
n2
n 1
n 1
xn

n
n 1 3 ( n  2 )
1
10.
3
0
 n 1
dx
125  x
3
y   x y
y ( 0)  1, y  ( 0)  1
9.
10.
1 sin

0
11.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2
n2
1 1 1
1    ...
3 5 7
n

 2
1  

 n
n 1

1

n
n 1 2  n

1

n 1 32 n  1

n

n
n 1 2

1

n 1 2 n ( 2 n  1)
(1) n 2n

n 1 n  2
1.
2.
3.
y   xyy 
y ( 0)  1, y  ( 0)  1
9.
3n  2
n2  1
1  1  1  1  ...
5 7 9 11
un 
n2

2
n 1 2 n  3

4.
5.
6.
7.
1

n
n 1 6  n

3

n 1 7 n  983

2n

n
n 1

1

n 1 n ( n  2 )
8.
(1) n 3n

2
n 1 n  n
9.
xn

4
n 1 n  3


n5
n
x

n
n 1 7 ( n  3)
x
dx


8.
x
Вариант 6
n
un 
n
 1 n
1   x

 n
n 1
Вариант 5
1.
n

2
11.
 1
n 1

9.
1

n 1 n ln n

74
10.
0.2 1  e x

0
x
dx
10.
0.4  3 x
4
2
e
dx
0
2
11.
y  x y  y
y (0)  1, y (0)  1
11.
y   x  2x 3  y 2
y ( 0)  1
Вариант 7
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
3n
un 
n! 1
1 1 1 1
   ...
3 6 9 12
n

 n  1





n
n 1

2

n
n 1 3  n

3

n 1 2 n  1

n 1

3n
n 1

1

3n  2
n 1

8.
 1
Вариант 8
1.
2.
3.

4.
5.
6.
7.
n
 n3
8.
1
10.
2
 cos x dx
11.
 1
n
9.
10.
n
 1 n
1   x

 n
n 1
0.4 ln(1  2 x)

0
11.
75
n2
3n  1

0
y  e x  xy
y(0)  2

n 1

9.
1
n
 5n
n 1

3

n 1 50n  2

7n

7
n 1 n

1

2
n 1 n ln n
3

n 1
n 1
xn

n
n 1 3 ( n  2 )
3n
un 
n  n2
1 2 3 4
 
 ...
3 9 27 81

10n

2
n 1 100  0,2 n
x
dx
y  7e x  y sin x
y (0)  2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Вариант 9
Вариант 10
3n  2
un 
n!
1 1 1
1
   ...
3 6 12 24

1
ntg

n
n 1

n

n
n 1 3 (1  n )

5

n 1 23  75n

2n

n
n 1 3

e n

n
n 1
2   1
un  2
n 1
1 1 1 1
   ...
9 11 13 15

n2

n
n 1

5

n
n 1 2  7

2

n 1 10n  8

2n  1

2n
n 1

1

n 1 8n  1

8.
 1
n
n 1
2
n
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
n

8.
5
n 1
5n
xn

n 1 n ( n  5)

9.
0.5
10.
 sin x dx
y   3y  xy 
y ( 0)  3, y  ( 0)  1
9.
10.
11.

2.
3.
un 
 1
y   x 2  2 y cos x
y ( 0)  1
Вариант 12
n
2n  1
1 1 1 1
   ...
2 4 8 16

n
 3n  2
n 1
dx
0 4 1  x4
Вариант 11
1.
n!
2n
xn

n 1 n ( n  1)
0.5
4
n

0
11.

 1
1.
2.
2n  1
( 2 )n
1 1 1 1
   ...
2 4 6 8
un 
n2

n 1 3n  2

3.
76

4.
5.
6.
2

n 1
n 1 3

2

n 1 5n  3

1

n1 (2n  1)!

4.
5.
6.

7.
1
 (1  n)(2  n)
n 1

8.
 1
7.
n

 2n  3
8.
n 1
n
n
x

n
n 1 3 ( n  1)
2
10.
11.

03
 1
 n5

dx
2
64  x
y   xy  y  sin x
y (0)  1, y (0)  2
9.
2
2  5  8...(3n  1)
1  5  9 ... (4n  3)
1 1 1
1
   ...
5 10 15 20

n 1
ln

n
n 1

n2

n
2
n 1 5 ( n  1)

5

n 1 2 n  3

n(n  1)

3n
n 1
10.
11.
2.
2.
6.
n

x
dx
y   5x  x 2  xy
y ( 0)  2
Вариант 14
1.
5.
n
xn
0.1 1  e 2 x
0
1. un 
4.
1
n 1
Вариант 13
3.
n
n 1

9.
1

n
n 1 2  8

37

n 1 14  5n

n!

n
n 1 7

1

2
n 1 (1  2 n)
3.
4.
5.
6.
77
n 1
2 n 1
1 1
1
1
 

...
4 16 64 256

2n

n 1 3n  1

n

n
n 1 7 ( n  3)

4

n 1 6n  3

3n

n
n 1 2 ( 2n  1)
un 

7.
1

2
n  1 1  2n  n

8.
 1

7.
n

n 4

 2n  ! x n
8.
2
n 1
9.

10.
11.
 3n  5
9.
 5x 
 cos   dx
0
 2 
y   x 3 y 2
y (0)  9, y (0)  1
1
xn

n
n 1 5 ( n  1)
0.3
10.
2
2 2 x
dx
 x e
0
11.
y   xy   y
y ( 0)  1, y (0)  1
Вариант 15
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
n
3 n 1
1 2 3 4
   ...
2 3 4 5

1
sin

n
n 1

2n  1

n
n 1 5  n

16

n 1 8  7 n

n2

n
n 1 3

n2

2
n 1 n
un 

8.
 1
3
n
n 1
Вариант 16
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2
n
x

n
n 1 7 ( n  1)
3n n!

2
n 1 n

7.
1
 (2n  1)
n 1
n
1
1
(3n  2)(3n  1)
1 1 1 1
   ...
2 4 6 8

n2

3
n 1 2 n  3n  1

3

n
n 1 4  5

5

n 1 2 n  40
un 


8.
78
n
2
1
n
6
2 n 1
n
x

2
n 1 ( 4 n  3)

9.
 1
2
n 1

9.
n

2
0.4
 1
n 1
nn
n 1
1

2
n 1 9  4 n
2
10.
dx

256  x 4
0
11.
10.
y   3xy 2 y 
y ( 0)  1, y  (0)  1
11.
x

ln
1



1
 5  dx

x
0
y   3x 2  2 y 3
y ( 0)  4
Вариант 17
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
n2
un  2
2n  1
3 9 27 81
 
 ...
1 2 6 24

n2

n 1 n  2

7

n
n 1 5  2

10

n 1 n  5

5n

n 1
n 1

1

n 1 ( n  1) ln( n  1)

8.

n 1
 1
n
Вариант 18
1.
2.
3
4.
5.
6.
7.

n
8.
2n  1
n2 n
x

n
5
(
n

1
)
n 1
0.4
10.
11.
y   2 e x  y sin x
y (0)  3
n
n
1
2n
xn

2
n 1 n ( n  1)

9.
2
 5x 
 sin   dx
0
 2 
 1
5
n 1

9.
3n
3 n 1
1
9
25
 1   1  ...
2
8
32

1

n
n 1 2  3

1

n3
n 1 5

48

n 1 15n  1400

2n

2
n 1 n

1

n 1 n (1  n )
un 
0.5
10.
11.
79

dx
0 3 1  x3
y   2 xy 2 y 
y (0)  1, y  (0)  2
Вариант 19
1  cos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
un 
3n
1 1 1 1
   ...
7 11 15 19

1

n 1
n 1

1

n2
n 1 4

2

n 1 1000n  3

7 n 1

2
n 1 n

1

n 1 5n  3

8.
n
2
 1
n
Вариант 20
1.
un 
2.
1
3.
4.
5.
6.
7.
 3n  1
8.
n 1
10.
11.

0 3
9.
10.
27  x3
n2
4n  1
1
xn

n
n 1 2 ( n  3)
2
 cos(25 x )dx
0
y   e x x  y 
y ( 0)  4, y  (0)  2
11.
3   1
un 
n 2
1 1 1 1
   ...
3 8 13 18
y  y3  x2  x
y ( 0)  3
Вариант 22
n
2.
n
0.2
dx
Вариант 21
1.
 1

3n n 1
x

n
n 1
1.5

n 1

9.
1 1 1
  ...
2 6 24

n 1

3
n
n 1

3

n
n 1 6  2

9

n 1 3  2 n

n

n3
n 1 3

1

n 1 ( n  2 )( n  3)

n
2n  1
4n  1
1.
2.
80
2 n 1
un  n
n
1 1 1 1
   ...
2 4 6 8

3.
4.

n 1

n 1 3n  5

2

n 1
n 1 3
3.
4.
6.
7.
24

n 1 n  300

5n

2
n 1 (1  n )

1
 (n  3)(2n  1)
n 1

8.
 1
n
n 1
2
5.
6.
7.
n
8.

11.
n
625  x 4
y   x cos x  yx
y (0)  1
9.
3
n 1
10.

1.
2.
3.
un
3n
1 2 3 4
   ...
2 5 8 11

n 1

2
n 1 n

4.
n

1
n
n 1 n
3 
2
n
5
5
n
n
xn
2
xe 3 x dx
0
11.
y   y  e  x  xy 
y ( 0)  1, y (0)  0
Вариант 23
n
1


2

0.2
dx
0
 1
n 1
(3n  2) n
x

n 1
2
7
(
n

1
)
n 1
2.5
10.
3
1
n
8

n 1 4  3n

n 1

n
n 1 2

n8

2
n 1 n

2
n


9.

n 1

5.
n

n 1 4 n  3

2
Вариант 24
3
1.
2.
3.
4.
81
n
(n  1) n
1 4 9 16
   ...
2 5 10 17
n

 5
1  

 n
n 1

1

nn
n 1 5
un 
2

5.
6.
7.
8

n 1 10n  0.2

n3

n
n 1 3

5

n  1 (5  n ) n
8.
(1) n 2n

n 1 n  3
9.
4n n
x

2
n
n 1

5.
6.
7.

10.
11.

dx
0 4 81  x 4
y   2 y  y   e x  x 3
y (0)  1, y (0)  1
(1) n 3n

n 1 n  2

8.


1.5
56

n 1 15  48n

2n

2
n 1 ( n  2 )

2n  1

n2
n 1
9.
n2 n
x

n
6
(
n

1
)
n 1
1
10.
11.

dx
0 3 8  x3
y   7 x 2 y  y cos x
y (0)  1
Вариант 25
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
n
un  n
2 1
1 2
3
4
   ...
9 16 25 36

n2  n
ln

7  n2
n 1

1

ne
n 1 3

2

n 1 10n  3

3n

n 1 n!

3
 (n  1)5n
n 1
Вариант 26
1.
2.
3.
4.
5.
2  ( 1) n
un 
n2
1 2 6 24
   ...
2 4 8 16

n 1

2
n 1 n  6

1

n n
n 1 6

41

n 1 123n  18
2n

2
n 1 n

6.

7.
e
n 1
82
n

8.
 1
n
2
n

8.
9
n 1
n4
xn

n
n3
n 1 3
0.2
10.
9.
 sin(25 x )dx
10.
x
0.4 1  e 2

x
0
y   e x  y 3 x
y ( 0)  3
2.
3.
4.
5.
n2
un 
n
2 n   1
1 1 1 1
1     ...
4 9 16 25

n2

2
n  1 n  4n  8

n2

n
2
n 1 2 ( n  3)

8

n 1 10n  3

6.
7.
 n  3





n
n 1

n

4
n 1 1  n

8.
 1
3
n
n 1
11.
y   2 x 2  2 y  y 
y ( 0)  2, y  (0)  4
un 
2.
1 2 3 4
   ...
4 9 16 25

3.
10.
1 cos 2x

0
x
2
n 1

2
n 1 n  5
n2  1

n
2
n 1 6 ( n  4 )

6

n 1 8n  5

4.
5.
3n

2
n 1 n

6.

7.


8.
 1
5
n 1
n
n
1

9.
1
n
x

n
n 1 9 ( n  5)
0.5
dx
1
2n  3
n 1

9.
1
n
(3   1 ) n
1.
n
n2 n
x

n
n 1 7 ( n  1)
dx
Вариант 28
n
1
8
n8 n
x

n 1
n 1 n5
Вариант 27
1.
2
n

2
0
11.
n
n 1

9.
 1
10.
2
 cos(4 x )dx
0
83
11.
y   x 2 y 2  ex
y (0)  1
11.
y   yx  sin x  cos x
y (0)  4
Вариант 29
n2
1. un  2
n  3n
1 1 1 1
2.
   ...
5 8 11 14
Вариант 30
( 1) n 1
1. un 
( 2n  1)!
1 1 1 1
2.
   ...
4 5 6 7

3.
4.

n5

2
n 1 n

1

n
n 1 2 ( n  3)
3.

4.

5.
135

n 1 218n  63
6.
5n

2
n 1 ( n  3)
5.
7.
n 1

8.
 1
4
n 1
6.
n
7.
10.
8.
1
11.
n
3
n
 (n  1) x
n
n 1
1
10.
y   x 2 y 2  ex
11.
0
n

9.
 1
5
n 1
ln(1  2 x)
dx
x



1
n
x

n
n 1 2 ( 2 n  1)
0.1
1
11n  10
n 1
n

9.
n2

n
n 1 2

1
5n  6

n3

n
n 1 2 n  5

7

n 1 5  3n



n 1
2
n 1 n

2
 sinx dx
0
y   xy   y  e x
y (0)  1, y(0)  2
y (0)  1
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ.
ПРИМЕР 1. Написать пять первых членов ряда по данному
общему члену: un 
1
.
n(n  1)
84
Решение.
Подставим в формулу общего члена последовательно значения n  1, 2, 3, 4, 5 получим:
1
1
1
1
1
u1 
; u2 
; u3 
; u4 
; u5 
.
1 2
23
3 4
45
56
ПРИМЕР 2. Написать формулу общего члена ряда:
2
4
6 8


  ...
36 49 64 81
Решение.
Числители членов данного ряда - четные числа, следовательно, формула числителя 2n . Знаменатели членов данного ряда
- квадраты чисел. Квадрат первого числа равен 36, следовательно,
(1  a)2  36 . Откуда a  5 и формула знаменателя (n  5)2 .Таким
2n
.
(n  5)2
ПРИМЕР 3. Проверить, выполняется ли необходимый при n
знак сходимости для ряда: 
.
n1 4n  3
Решение. Найдем предел общего члена:
n
lim un  lim
 1/ 4 .
n
n 4n  3
Как видно, необходимое условие сходимости не выполняется. Ряд расходится.
ПРИМЕР 4. Исследовать сходимость ряда, применив признак сравнения 1:
образом, общий член un 
1
1 1 1
1
 2  3 ... n 1 ...
2 3 4
n
Решение. Сравним данный ряд с убывающей геометрической прогрессией
1 1 1
1
 2  3 ... n 1 ...
2 2 2
2
1
Знаменатель прогрессии равен , меньше единицы, следователь2
1
но, ряд сходится. Члены исследуемого ряда не превосходят соот85
1
1

. По
2n n n
признаку сравнения данный ряд также сходится (если каждый
член ряда с положительными членами, начиная с некоторого
члена, не превосходят соответствующего члена другого заведомо
сходящегося ряда, то данный ряд тоже сходится).
Исследовать сходимость ряда, применив признак сравнения 1:
ветствующих членов геометрической прогрессии
1
1
1
1


...
...
2
3
4
n
1
Решение. Общий член данного ряда un 
, больше общеn
1
го члена vn 
гармонического ряда, который, как известно,
n
1
1
, следовательно, данный ряд также расходитn n
ся (если каждый член ряда с положительными членами, начиная с
некоторого члена, не меньше соответствующего члена другого
заведомо расходящегося ряда, то данный ряд тоже расходится).
ПРИМЕР 5. Исследовать сходимость ряда с заданным об-
расходится:
1


44
.

2
n

134
n 1
44
Решение. Общий член данного ряда un 
. Общий
2n  134
1
член расходящегося гармонического ряда vn  . Применим приn
щим членом, используя признак сравнения 2:
знак сравнения 2.Так как
44
u
44n
lim n  2n  134  lim
 22 ,
n  v
n  2 n  134
1
n
n
то исследуемый ряд расходится (если при n существует конечный отличный от нуля предел отношения общих членов ря-
86
lim un
=k 0 то рассматриваемые ряды либо оба
n   vn
сходятся, либо оба расходятся).
ПРИМЕР 6. Пользуясь признаком Даламбера, исследовать
дов, то есть

сходимость ряда:
1
 n! .
n 1
Решение. Применим признак Даламбера:
1
1
u
; un  1 
; q  lim n  1 
n  u
(n  1)!
n!
n
1
1
n!
1
 lim
:  lim
 lim
0
n  ( n  1)! n !
n  ( n  1)!
n  n  1
un 
Так как q<1, то по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.
ПРИМЕР 7. Исследовать сходимость ряда, пользуясь интегральным признаком Коши:

1
.

2
(
n

1
)
ln
(
n

1
)
n 1
Решение. Применим интегральный признак сходимости
Коши.
Для данного ряда: f ( x ) 
1
.
( x  1) ln 2 ( x  1)
Вычислим несобственный интеграл:

b
dx
dx

lim
 ( x  1) ln 2 ( x  1) b  ( x  1) ln 2 ( x  1) 
1
1
 1
1

1

= lim


b  ln 2
ln(b  1)  ln 2

Так как несобственный интеграл сходится, то по интегральному признаку сходится и исследуемый ряд.
ПРИМЕР 8. Исследовать сходимость знакочередующегося
n1

1
ряда по признаку Лейбница:  (1)
.
n
n 1
Решение. Данный ряд удовлетворяет условиям признака
Лейбница. Члены ряда по абсолютной величине монотонно убы87
вают, так как 1 
1 1
1
 ... ; lim un  lim  0 . Следовательно,
n 
n  n
2 3
по признаку Лейбница этот ряд сходится. Если составить ряд из
абсолютных величин членов данного ряда, то получим гармонический ряд, который расходится. Следовательно, данный ряд
сходится условно.
ПРИМЕР 9. Найти интервал сходимости (-R;R) степенного
ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала, т.е. при

xn
x = R и при x = -R:  n .
n 1 n3
1
1
,
Решение. Здесь an  n ; an 1 
n3
(n  1)3n 1
an
(n  1)3n 1
(n  1)
R  lim
 lim

3
lim
 3  1  3.
n
n  an 1
n 
n

n
n3
Таким образом, R  3 . При x  3 получаем числовой зна1 1
1
кочередующийся ряд 1   ... ( 1) n ..., который сходит2 3
n
ся по признаку Лейбница.
При x  3 получаем гармонический ряд, который, как известно, расходится. Следовательно, область сходимости ряда есть
промежуток [-3,3).
ПРИМЕР 10. Вычислить следующие определенные интегра0.5 sin 2x
лы с точностью до 0.001: а) 
0
x
1
2
dx ,b)  e  x dx , c)
0
1
2
dx
 3 1  x2 .
0
Чтобы, выполнить задание, нужно разложить подынтегральную функцию в ряд по формуле Тейлора или воспользоваться разложениями основных элементарных функций в ряд
Тейлора:
x x2 x3
xn
x
e  1 

...
... ,
1! 2! 3!
n!
3
5
2 n 1
x
x
n x
sin x  x 
 ... ( 1)
 ...,
3! 5!
(2n  1)!
88
2n
x2 x 4
n x
cos x  1 

 ...( 1)
...,
2! 4!
(2n)!
m
m( m  1) 2
m( m  1)...( m  n  1) n
x ...
x  ...
1  x m  1  x 
1!
2!
n!
n
x x2 x3 x4
n 1 x
ln(1  x)  


... ( 1)
 ...
1 2
3
4
n
0.5 sin 2x
а) Вычислить 
dx с точностью до 0,001..
x
0
Решение. Предварительно представим подынтегральную
функцию в виде степенного ряда. Заменив x в разложении функции sin x на 2x, получим:
(2 x)3 (2 x )5 (2 x)7
sin 2 x  2 x 


 ...
3!
5!
7!
Тогда
sin 2 x
23 x 2 25 x 4 27 x 6
 2


 ...
x
3!
5!
7!
0.5 sin 2 x
0.5
23 x 2 25 x 4 27 x 6
dx   (2 


 ...)dx 

x
3!
5!
7!
0
0
0.5
23 x3 25 x5 27 x7
2x 


 ... 
3! 3 5! 5 7! 7
0
1
1
1


 ...
18 600 35280
Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Четвертый член ряда по абсолютному
значению меньше 0,001. Чтобы обеспечить требуемую точность,
достаточно найти сумму первых трех членов.
0.5 sin 2 x
1
1
Следовательно, 
dx  1  
 0.946.
x
18 600
0
1
2
b) Вычислить  e  x dx с точностью до 0,001..
1
0
2
Решение. Разложим подынтегральную функцию e  x в степенной ряд и затем проинтегрируем почленно полученный сходящийся ряд в указанных пределах. Заменив в разложении функции e x x на -x2, получим искомое разложение:
89
2
x2 x 4 x6

x
e
1


 ...
1! 2! 3!
Следовательно,
1
1
2
x2 x4 x6

x
dx   (1 


...)dx 
 e
0
1!
0
2!
3!
1
x2
x5
x7
x9
x 11
 x




... 
3 2 ! 5 3! 7 4 ! 9 5! 11
0
1 1
1
1
1




...
3 10 42 216 1320
1
Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как шестой член этого ряда по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения требуемой
точности достаточно учесть только сумму первых пяти членов.
Таким образом,
1

0
2
1 1
1
1
e x dx  1   

 0,747.
3 10 42 216
1
2
c) Вычислить
dx
 3 1  x2
с точностью до 0,001.
0
1
2
Решение.
dx
 3 1  x2
1
2
=

0
1
(1  x ) 3 dx .
2

0
Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд. Для
m
этого положим в разложении функции (1  x )
m
1
и заменим x на x2 :
3
1
1
2
14
(1  x 2 ) 3  1  x 2  x 4  x 6 ...

3
9
81
Так как отрезок интегрирования [0; 0,5] принадлежит области сходимости полученного ряда (-1,+1), то интегрирование
можно выполнять почленно в указанных пределах:
90
1
2

0
3
dx
1  x2
1
2


0
1
2
14
(1  x 2  x 4  x 6 ...)dx 
3
9
81
1
2
1
2
14 7
1 1
1
7
 x  x3  x5 
x  ...  


 ...
9
45
567
2
72
720
36288
0
В полученном знакочередующемся ряде четвертый член по
абсолютному значению меньше 0,001. Следовательно, требуемая
точность будет обеспечена, если учитывать только первые три
члена ряда.
1
2

0
3
dx
1 1
1
39
=



 0,4875
2
2
72
720
80
1 x
Так как первый из отброшенных членов имеет знак минус,
то полученное приближенное значение будет с избытком. Поэтому ответ с точностью до 0,001 равен 0,487.
ПРИМЕР 11. При указанных начальных условиях найти три
первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд
функции y ( x ) , являющейся решением заданного дифференциального уравнения.
x
а) y   xy   y  e , y (0)  1, y(0)  0 .
Решение. Положим, что искомое частное решение имеет вид
y(0)
y(0) 2 y (0) 3
y ( x)  y (0) 
x
x 
x  ...
1!
2!
3!
Из начальных условий уже известны y ( 0 ), y  ( 0 ) . Подставив
эти значения в заданное уравнение, вычислим y (0):
y(0)  0  0  1  e 0 .
Последовательно дифференцируя данное уравнение, будем
иметь: y  xy  y  y  e x  xy  e x ;
y( x)  y  xy  e x .
Теперь вычислим значения производных при x=0:
y(0)  1; y(0)  1.
91
Следовательно, y ( x)  1 
0
0
1
1
x  x 2  x3  x 4  ... , или
1!
2!
3!
4!
1 3 1 4
x  x  ... есть искомое частное решение.
3!
4!
b) y  2 y  y  x3  e x2 , y (2)  1; y (2)  3.
Решение. Будем искать частное решение y (x ) в виде степенного ряда, разложенного по степеням (x-2).
(n)
y (2)
y(2)
y (2)
2
y ( x)  y (2) 
( x  2) 
( x  2)  ... 
( x  2) n  ...
1!
2!
n!
Так как y (2), y(2) уже известны, то, подставив их в заданное уравнение, получим y(2) :
y(2)  2  1  3  23  e0 ;
y(2)  6.
Определим значение y ( 2) , y ( 2). Для этого дважды дифференцируем данное уравнение и вычисляем значения производных при x=2:
y( x )  2 y  y   3x 2  e x2 ; y (2)  11.
y ( x)  1 
y( x)  2 y   y  6 x  e x2 ; y(2)  12.
Подставив найденные значения производных в ряд, получим
3
6
11
12
y ( x)  1  ( x  2)  ( x  2)2  ( x  2)3  ( x  2) 4  ...
1!
2!
3!
4!
искомое частное решение.
92
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Таблица производных основных элементарных функций
1. c   0 ( с  const ).
n
2. ( x )  n  x
x
x
n 1
1
( x ) 
;
2 x
n ;
x
x
3. ( a )  a  ln a; ( e )  e .
1
1
; (ln x )  .
x  ln a
x
5. (sin x )  cos x .
6. (cos x )   sin x .
1
7. (tgx ) 
.
cos 2 x
1
8. ( ctgx )  
.
2
sin x
1
.
9. (arcsin x ) 
2
1 x
1
.
10. ( arcсosx )  
2
1 x
1
11. ( arctgx ) 
.
2
1 x
1
12. ( arcctgx )  
.
1 x 2
4. (log a x ) 
93

1
1
   2.
 x
x
Приложение 2
Основные правила дифференцирования функций

a )  cf(x)  cf ( x), где c = const;

b )  f(x)   (x)  f ( x)   (x);
c)

 f(x)   (x)
 f (x)   (x)  f(x)   (x);

 f(x) 
f (x)   (x)  f ( x)   (x)
d ) 

;

2

(x)

(x)


 
г ) Пусть задана сложная функция y  f (u ) , где u  ( x) , то
есть y  f    x  ; если каждая из функций y  f( u) и u  ( x)
дифференцируема по своему аргументу, то
dy dy du

 .
dx du dx
94
Приложение 3
Таблица неопределенных интегралов
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
x n 1
dx
;
x
dx


C

n


1

 x  2 x  C;
n 1
dx
 x  ln x  C .
ax
x
x
x
 a dx  ln a  C ;  e dx  e  C .
 sin x dx   cos x  C .
n
 cos x dx  sin x  C .
dx
 cos2 x  tgx  C .
dx
 sin 2 x  ctgx  C .
 tgx dx   ln cos x  C .
9.  ctgx dx  ln sin x  C .
8.
10.
11.
12.
13.
14.
15.


dx
1 x
dx
2
 arcsin x  C .
 arcsin
x
 C.
a
a2  x 2
dx
 1  x 2  arctgx  C .
dx
1
x


arctg
 C.
 a2  x 2 a
a
dx
1
a x
 a2  x 2  2a  ln a  x  C .
dx
2
2
 2 2  ln x  x  a  C .
x a
95
dx
1


C.
 2
x
x
ЛИТЕРАТУРА
1. Бобков Н. Н. Курс математического анализа для студентов экономических специальностей: учебник.- Издательский дом
ГУ- ВШЭ, «МАКС Пресс», 2007.
2. Борцова Т.В,, Денежкина И.Е., Попов В.А. Математический анализ. Ч.3. Интегральное исчисление: учебн. пособие для
подготовки бакалавров / под ред. В.Б. Гисина, Е.Н. Орла. М.: Финакадемия, 2009.
3. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах:
в 2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Издательский дом «Оникс 21 Век»: Мир и образование, 2003.
4. Зайцев И.А. Высшая математика / И.А. Зайцев.– М.:
Высшая школа, 2001.
5. Красс, М. С., Чупрынов, Б. П. Математика для экономистов: учебное пособие. – СПб.: Питер, 2010.
6. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов:
Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер [и др.]; под ред. проф. Н.Ш.
Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ, 2000.
7. Кудрявцев В. А. Краткий курс высшей математики / В.А.
Кудрявцев, Б.П. Демидович. – М.: Наука, 2001.
8. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике:
Учебное пособие для втузов.-13-е изд.- Наука, 1987.
9. Орел О.Е. Математический анализ. Ч.1. Введение в анализ: учеб. пособие для подготовки бакалавров / под ред. В.Б. Гисина, Е.Н. Орла. М.: Финакадемия, 2009.
10. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления Учебное пособие для втузов: В 2-х т.- М: ИнтегралПресс, 2000.
96
Оглавление.
Тема 1. Начала анализа. Дифференциальное исчисление
функции одного аргумента.
Типовой расчет 1.
Типовой расчет 2.
Типовой расчет 3.
Тема 2.Интегральное исчисление.
Типовой расчет 4.
Тема 3. Функции двух аргументов.
Типовой расчет 5.
Тема 4. Дифференциальные уравнения.
Типовой расчет 6.
Тема 5. Числовые и функциональные ряды.
Типовой расчет 7.
Приложения
Литература
97
3
4
12
23
32
32
57
57
61
61
71
72
93
96
Издается в авторской редакции
Компьютерная верстка Брянцев М.В.
Подписано в печать 16.01.2012 г. Формат 60х841/16
Бумага кн.-журн. Усл. п.л.6,1 Гарнитура Таймс.
Тираж 180 экз. Заказ № 5623.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный аграрный университет имени императора Петра I»
Типография ФГОУ ВПО Воронежский ГАУ. 394087, Воронеж, ул. Мичурина, 1
Информационная поддержка: http://tipograf.vsau.ru
Отпечатано с оригинал-макета заказчика. Ответственность за содержание
предоставленного оригинал-макета типография не несет.
Требования и пожелания направлять авторам данного издания
98
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа