close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

49

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Сибирский федеральный университет
ТЕРМОДИНАМИКА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Учебно-методическое пособие для студентов специальности 010704.65
«Физика конденсированного состояния вещества»
Электронное издание
Красноярск
СФУ
2012
УДК 530.1(07)
ББК 22.31я73
Т352
Составители: Ю.Н. Тогушова, М.М. Коршунов
Т352 Термодинамика и статистическая физика: учеб.-метод. пособие
[Электронный ресурс] / сост. Ю.Н. Тогушова, М.М. Коршунов. –
Электрон. дан. – Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2012. – Систем.
требования: PC не ниже класса Pentium I; 128 Mb RAM; Windows 98/XP/7;
Adobe Reader V8.0 и выше. – Загл. с экрана.
Учебно-методическое пособие включает цели, задачи и компетенции,
реализуемые в ходе проведения практических занятий и выполнения
самостоятельной работы, трудоемкость и задания для практических занятий
и самостоятельной работы по каждому разделу.
Предназначено для студентов специальности 010704.65 «Физика
конденсированного состояния вещества».
УДК 530.1(07)
ББК 22.31я73
© Сибирский
федеральный
университет, 2012
Учебное издание
Подготовлено к публикации редакционно-издательским
отделом БИК СФУ
Подписано в свет 15.08.2012 г. Заказ 8669.
Тиражируется на машиночитаемых носителях.
Редакционно-издательский отдел
Библиотечно-издательского комплекса
Сибирского федерального университета
660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79
Тел/факс (391)206-21-49. E-mail rio@sfu-kras.ru
http://rio.sfu-kras.ru
Оглавление
1.Цели и задачи изучения дисциплины ....................................................................4
1.1.Цель преподавания дисциплины ......................................................................... 4
1.2.Задачи изучения дисциплины .............................................................................. 4
1.3.Межпредметная связь ........................................................................................... 5
2.Объем дисциплины и виды учебной работы........................................................5
3.Содержание дисциплины ..........................................................................................6
3.1.Модули дисциплины и виды занятий в часах (тематический план занятий) . 6
3.2.Содержание модулей дисциплины ...................................................................... 7
3.3.Содержание разделов и тем лекционного курса ................................................ 8
3.4.Практические занятия ......................................................................................... 13
3.4.1.Перечень практических занятий и их объем ................................................. 13
3.4.2.Методические рекомендации .......................................................................... 15
3.4.3.Задания к практическим занятиям .................................................................. 15
3.5.Самостоятельная работа ..................................................................................... 32
3.5.1.Темы для самостоятельного изучения ........................................................... 33
3.5.2.Задачи на самостоятельное решение .............................................................. 35
4.Контрольно-измерительные материалы.............................................................36
4.1.Примерный вариант контрольных заданий ...................................................... 36
4.2.Вопросы к зачету ................................................................................................. 37
4.3.Вопросы к экзамену ............................................................................................ 39
Библиографический список ......................................................................................41
3
1.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
1.1. ЦЕЛЬ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Изучение курса «Термодинамика и статистическая физика» ставит своей
целью сформировать у студентов знания об основных законах термодинамики
равновесных процессов, термодинамических свойствах макроскопических
систем. В рамках курса предполагается изучить основные экспериментальные
закономерности, лежащие в основе законов термодинамики, статистический
метод описания классических и квантовых макроскопических систем,
взаимосвязь законов термодинамики и статистической физики. Курс призван
выработать навыки использования знаний и умений для моделирования
термодинамических
явлений
и
проведения
численных
расчетов
соответствующих физических величин.
1.2. ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Раскрыть роль статистических закономерностей в природе, познакомить
студентов с основными моделями макроскопических систем, используемых в
рамках термодинамики и статистической физики, и продемонстрировать
действие
физических
законов,
а
также
эффективность
методов
термодинамического
и
статистического
описания
равновесных
и
неравновесных процессов в макроскопических системах на примере данных
моделей.
Рассмотреть
основные
экспериментальные
закономерности
термодинамических явлений, статистические методы описания свойств
вещества, структуру и математическую форму основных уравнений
статистической физики и термодинамики, особенности их использования при
описании различных явлений;
Рассмотреть основные методы экспериментального и теоретического
исследования термодинамических явлений, использование термодинамических
явлений в современных технологиях;
Проанализировать
основные
принципы
моделирования
термодинамических явлений, установить область применимости этих моделей,
рассмотреть способы вычисления физических величин, характеризующих
явления.
Реализуемые компетенции:
•
общекультурные компетенции(ОК):
Способность использовать в познавательной деятельности базовые
знания в области математики и естественных наук.
•
профессиональные компетенции (ПК):
−
Готовность использовать базовые теоретические знания для
решения профессиональных задач;
4
−
Способность использовать специализированные знания в области
физики для освоения профильных физических дисциплин (в соответствии с
профилем подготовки);
−
Способность
применять
на
практике
базовые
общепрофессиональные знания теории и методов физических исследований (в
соответствии с профилем подготовки).
1.3. МЕЖПРЕДМЕТНАЯ СВЯЗЬ
Курс базируется на курсах общей и теоретической физики
университетской программы для физических факультетов, а также на
дисциплинах математического цикла (математический анализ, высшая алгебра,
дифференциальные уравнения, методы математической физики). Особое
внимание при изложении курса и проведении практических занятий следует
уделить строгому микроскопическому описанию тех явлений, которые
рассматривались ранее в курсах общей физики на качественном уровне.
Программа составлена с учетом того, что многие приложения статистической
физики будут в дальнейшем рассматриваться в курсе «Теория
конденсированного состояния».
2.
ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ
Семестр
Вид учебной работы
7
Всего часов
8
Общая трудоемкость
дисциплины
Аудиторные занятия:
310 час.
155 час.
155 ч.
144 час.
72 час.
72 ч.
Лекции
72 час.
36 час.
36 ч.
Практические занятия (ПЗ)
72 час.
36 час.
36 ч.
Самостоятельная работа:
166 час.
83 час.
83 ч.
Изучение теоретического курса
(ТО)
Задания
80 час.
40 час.
40 ч.
86 час.
43час.
43 час.
зачет
экзамен
Вид промежуточного контроля
(зачет, экзамен)
5
3.
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
3.1. МОДУЛИ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ ЗАНЯТИЙ В ЧАСАХ
(ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ЗАНЯТИЙ)
№
Модули дисциплины
п/п
Лекции,
зачетных
единиц
(часов)
Практические
занятия,
зачетных
единиц
(часов)
Самостоятельная
работа,
зачетных единиц
(часов)
1
Термодинамическое
описание макросистем
0,333 з.е.
(12 час.)
0,5 з.е.
(18 час.)
2
Основные
положения 0,389 з.е.
статистической физики (14 час.)
0,278 з.е.
(10 час.)
25 ч.
3
Статистические
распределения
квантовых газов
0,278 з.е.
для (10 час.)
0,222 з.е.
(8 час.)
25 ч.
4
Физика
конденсированного
состояния
0,444 з.е.
(16 час.)
0,389 з.е.
(14 час.)
25 ч.
5
Неидеальные системы 0,278 з.е.
(системы
частиц
с (10 час.)
взаимодействием)
0,222 з.е.
(8 час.)
25 ч.
6
Случайные процессы и 0,278 з.е.
физическая кинетика
(10 час.)
0,389 з.е.
(14 час.)
41 ч.
6
25 ч.
3.2. СОДЕРЖАНИЕ МОДУЛЕЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Перечень
Перечень
тем
практических
лекционного
занятий,
курса,
входящих в
Наименование
входящих в
№
модуль
модуля, срок его
модуль
п/п
(Перечень
реализации
(Перечень
тем в
тем в
соответствии
соответствии
с п. 3.4)
с п. 3.3)
7 семестр
1 Модуль 1
Темы: 1, 2, 3, Практические
Термодинамическое 4, 5, 6.
занятия: 1, 2,
описание
3, 4, 5, 6, 7, 8,
макросистем
9.
1-ая неделя –
6-ая неделя
Темы: 7, 8, 9, Практические
2 Модуль 2
10, 11, 12,
занятия: 10,
Основные
13.
11, 12, 13, 14.
положения
статистической
физики
7-ая неделя –
13-ая неделя
3 Модуль 3
Темы: 14, 15, Практические
Статистические
16, 17, 18.
занятия: 15,
распределения для
16, 17, 18.
квантовых газов
14-ая неделя –
18-ая неделя
8 семестр
Темы: 1, 2, 3, Практические
4 Модуль 4
4, 5, 6, 7, 8. занятия: 1, 2,
Физика
3, 4, 5, 6, 7.
конденсированного
состояния
1-ая неделя –
8-ая неделя
7
Перечень
самостоятельных видов
работ, входящих в
модуль, их конкретное
наполнение
(Перечень видов
работ и их содержания в
соответствии с п.3.5)
Решение задач модуля 1.
Самостоятельное
изучение теоретического
курса модуля 1.
Решение задач модуля 2.
Самостоятельное
изучение теоретического
курса модуля 2.
Решение задач модуля 3.
Самостоятельное
изучение теоретического
курса модуля 3.
Решение задач модуля 4.
Самостоятельное
изучение теоретического
курса модуля 4.
5
6
Модуль 5
Неидеальные
системы (системы
частиц с
взаимодействием)
9-ая неделя –
13-ая неделя
Модуль 6
Случайные
процессы и
физическая
кинетика.
14-ая неделя –
18-ая неделя
Темы: 9, 10, Практические Решение задач модуля 5.
11, 12, 13.
занятия: 8, 9, Самостоятельное
10,11.
изучение теоретического
курса модуля 5.
Темы: 14, 15, Практические Решение задач модуля 6.
16, 17, 18.
занятия: 12, Самостоятельное
13, 14, 15, 16, изучение теоретического
17, 18.
курса модуля 6.
3.3. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ И ТЕМ ЛЕКЦИОННОГО
КУРСА
7 семестр
Модуль 1. Термодинамическое описание макросистем
Лекция 1.
Основные положения термодинамики. Термодинамические системы.
Макроскопические параметры. Равновесное состояние. Время релаксации.
Первый
постулат
термодинамики.
Температура.
Нулевое
начало
термодинамики.
Второй постулат
термодинамики. Равновесные и
неравновесные процессы. Внутренняя энергия. Работа и теплота. Термические
и калорические уравнения состояния.
Лекция 2.
Основные законы и уравнения термодинамики. Первое начало
термодинамики. Теплоемкость и скрытая теплота. Связь между
теплоемкостями. Основные термодинамические процессы и их уравнения.
Связь между термическими коэффициентами. Второе начало термодинамики.
Обратимые и необратимые процессы. Энтропия и абсолютная температура.
Основное уравнение термодинамики.
Лекция 3.
Связь между термическим и калорическим уравнениями состояния.
Парадокс Гиббса. Второе начало термодинамики для неравновесных процессов.
8
Третье начало термодинамики. Термодинамические системы
абсолютного нуля. Следствия третьего начала термодинамики.
Лекция 4.
Методы термодинамики.
термодинамических потенциалов.
Метод
круговых
процессов.
вблизи
Метод
Лекция 5.
Условия равновесия и устойчивости термодинамических систем. Общие
условия
равновесия
и
устойчивости.
Равновесие
в
двухфазной
однокомпонентной системе. Условия устойчивости равновесия в однородной
системе. Принцип Ле Шателье-Брауна.
Лекция 6.
Фазовые переходы. Классификация фазовых переходов. Уравнения
Клапейрона - Клаузиуса и Эренфеста. Правило фаз Гиббса.
Модуль 2. Основные положения статистической физики
Лекция 7.
Основные положения классической статистической механики. Фазовое
пространство. Скобка Пуассона. Уравнение Лиувилля. Фазовый ансамбль и
фазовая плотность вероятности. Теорема Лиувилля.
Лекция 8.
Микроканоническое распределение. Эргодическая гипотеза. Явный вид
фазовой плотности вероятности для микроканонического распределения в
адиабатическиизолированной системе.
Лекция 9.
Каноническое распределение Гиббса. Явный вид фазовой плотности
вероятности для изотермической равновесной системы.
Лекция 10.
Связь канонического распределения Гиббса и термодинамических
параметров. Вероятностный смысл энтропии. Связь энтропии и температуры с
параметрами канонического распределения.
Лекция 11.
Приложения канонического распределения Гиббса к классическим
системам. Вычисление свободной энергии и других термодинамических
параметров идеального газа. Числа заполнения для идеального газа.
9
Лекция 12.
Теорема о равномерном распределении кинетической энергии по
степеням свободы и среднем вириале. Приложения теоремы о равномерном
распределении кинетической энергии по степеням свободы: теплоемкость
идеального газа и твердых тел.
Лекция 13.
Распределение Гиббса для систем с переменным числом частиц.
Модуль 3. Статистические распределения для квантовых газов
Лекция 14.
Основные положения квантовой статистической физики. Основные
законы квантовой механики. Квантовый статистический ансамбль. Матрица
плотности квантового статистического ансамбля.
Лекция 15.
Квантовое каноническое
сумма. Свободная энергия.
распределение.
Квантовая
статистическая
Лекция 16.
Квантовая статистика систем тождественных частиц. Квантовое
распределение Больцмана. Статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна.
Термическое и калорическое уравнения состояния квантовых газов.
Лекция 17.
Фотонный газ и статистика Бозе-Эйнштейна. Классическая теория
равновесного излучения. Вывод формулы Рэлея-Джинса Формула Планка для
спектральной плотности излучения абсолютно черного тела. Законы Вина и
Стефана-Больцмана.
Лекция 18.
Вырожденный Бозе-газ. Бозе-эйнштейновская конденсация.
8 семестр
Модуль 4. Физика конденсированного состояния
Лекция 1.
Основные
Адиабатический
положения
физики
конденсированного
состояния.
принцип Борна-Эренфеста. Состояния электронов в
10
кристаллической решетке. Зоны Бриллюэна, энергетические зоны. Примеси и
примесные уровни. Дефекты.
Лекция 2.
Статистика носителей заряда. Неравновесные электроны и дырки.
Рассеяния носителей заряда, проводимость, и кинетические свойства
диэлектриков, металлов и полупроводников.
Лекция 3.
Квазичастицы. Акустические и оптические фононы, плазмоны, экситоны
Френкеля и Ванье.
Лекция 4.
Конденсация
взаимодействия.
бозонов.
Сверхтекучесть.
Электрон-фононные
Лекция 5.
Полярон Фрелиха. Взаимодействие света с кристаллической решеткой,
поляритоны. Оптические свойства диэлектриков, металлов и полупроводников.
Лекция 6.
Теория Эйнштейна и Дебая теплоемкости твердых тел.
Лекция 7.
Приложение статистики Ферми-Дирака к электронному газу в металле.
Сильно вырожденный электронный газ.
Лекция 8.
Электронный газ в магнитном поле. Парамагнетизм Паули и
диамагнетизм Ландау.
Модуль 5. Неидеальные системы
(системы частиц с взаимодействием)
Лекция 9.
Теория возмущений в статистической физике. Конфигурационный
интеграл. Парные взаимодействия.
Лекция 10.
Системы частиц с кулоновским взаимодействием.
11
Лекция 11.
Одномерная модель Изинга. Точное решение.
Лекция 12.
Основные понятия теории корреляционных функций.
корреляционная функция для одномерной модели Изинга.
Спиновая
Лекция 13.
Метод корреляционных функций в статистической физике. Цепочка
уравнений для равновесных корреляционных функций. Двухвременные
корреляционные функции квантовых систем.
Модуль 6. Случайные процессы и физическая кинетика
Лекция 14.
Флуктуации
флуктуаций.
физических
величин.
Термодинамическая
теория
Лекция 15.
Флуктуации и броуновское движение. Формула Найквиста. Формула
Эйнштейна.
Лекция 16.
Случайные процессы. Марковский процесс. Уравнение Смолуховского.
Уравнение Фоккера-Планка. Уравнение Ланжевена.
Лекция 17.
Кинетическое уравнение Больцмана. Интеграл столкновений. Принцип
детального равновесия. Расчет проводимости и электропроводности
электронного газа в τ-приближении. Закон Видемана-Франца.
Лекция 18.
Кинетическое уравнение Власова.H-теорема Больцмана. Связь Нфункции Больцмана с энтропией. Макроскопическая необратимость и
микроскопическая
обратимость.
Теория линейного отклика
Кубо.
Флуктуационно-диссипационная теорема.
12
3.4. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
3.4.1. ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ И ИХ ОБЪЕМ
№ №
Наименование практических занятий
п/п модуля
Объем
в часах
7 семестр
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1
2
1
Введение.
1
Основные положения термодинамики.
1
Основные законы и уравнения
1
Термодинамические потенциалы.
1
Методы термодинамики.
1 Соотношения между производными
термодинамических величин.
1 Условия равновесия и устойчивости
термодинамических систем.
1 Формулы Клапейрона-Клаузиуса. Закон
соответственных состояний.
1 Фазовые переходы.
2 Основные положения классической статистической
механики.
2 Микроканоническое распределение.
2 Каноническое распределение Гиббса.
2 Приложения канонического распределения Гиббса
к классическим системам.
2 Вычисление термодинамических потенциалов
системы.
3 Основные положения квантовой статистической
физики.
3 Квантовое каноническое распределение.
3 Приложения канонического распределения Гиббса
к квантовым системам.
3 Квантовая статистика систем тождественных
частиц.
8 семестр
4 Кристаллическая структура твердых тел и их
форма. Типы межатомных связей.
4 Уравнение Шредингера. Адиабатическое
приближение. Валентная аппроксимация.
Приближение самосогласованного поля.
13
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4 Одноэлектронное приближение. Оператор
трансляции. Функции Блоха. Область определения
волнового вектора и его дискретность.
2
4
4 Металлы, диэлектрики, полупроводники.
Статистика электронов в металлах. Собственные и
примесные полупроводники.
4 Статистика электронов и дырок в полупроводниках.
Плотность состояний.
2
5
2
6
4 Теплоемкость твердых тел. Фононы. Классическая
теория теплоемкости. Модель Эйнштейна. Функция
и температура Эйнштейна.
2
7
4 Теплоемкость твердых тел. Модель Дебая. Функция
и температура Дебая.
5 Конфигурационный интеграл. Модельные
потенциалы межмолекулярных взаимодействий
(твердые сферы, прямоугольная потенциальная яма,
потенциал Леннарда-Джонса и пр.).
2
5 Теория среднего поля для корреляционных
функций.
5 Равновесные корреляционные функции в
представлении вторичного квантования.
Вычисление термодинамических потенциалов.
5 Теория линейной реакции на внешнее возмущение,
связь с двухвременными термодинамическими
функциями Грина.
6 Флуктуации и предел чувствительности
измерительных приборов.
6 Характер движения броуновской частицы.
2
6 Кинетическое уравнение Больцмана. Н-теорема,
интегралы столкновений.
6 Цепочка уравнений Боголюбова. Приближение
самосогласованного поля, столкновения в плазме,
уравнение Власова.
6 Уравнение баланса для переносимой физической
величины.
6 Явления диффузии и теплопроводности.
Термодиффузия.
6 Молекулярно-кинетическая теория диффузии и
теплопроводности.
2
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
14
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3.4.2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
На семинарских занятиях необходимо иметь чистовую тетрадь для
выполнения текущих заданий и тетрадь для черновика. В процессе решения
задач
рекомендуется
использовать
справочную
литературу
по
соответствующим разделам математики. Для выполнения числовых расчетов
при себе необходимо иметь калькулятор.
Перед решением задач необходимо произвести актуализацию
теоретических знаний по данной теме. Для этого рекомендуется перед началом
занятия самостоятельно прочитать соответствующие разделы лекций.
При решении задачи необходимо придерживаться следующего
оформления: записать исходные данные задачи, определить искомые величины,
при необходимости, построить схему, начертить график или рисунок. Все
математические выкладки сопровождать подробными комментариями.
Указывать размерности физических величин, если того требует логика
изложения. Обязательно обсудить физический смысл полученного результата.
3.4.3. ЗАДАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ
Ниже дается перечень задач, часть из которых подлежит разбору на
практических занятиях, а часть выносится на самостоятельное решение (номера
задач, выносимых на самостоятельное решение, смотри в п. 4.5.2.).
7 семестр
Модуль 1.Термодинамическое описание макросистем
1.
Доказать, что если каждая из трех переменных A, B, C является
дифференцируемой функцией двух других, рассматриваемых как независимые,
то:
а)
1,
.
б)
2.
Доказать,
1 ,
что
якобианов.
3.
Проинтегрировать дифференциальные формы
,
по следующим двум траекториям на плоскости:
,
,
;
(I) прямые линии ,
,
,
.
(II) прямые линии ,
15
используя
свойства
,
,
,
Показать, что
– две точки и
,
.
, где
;
и
обсудить результат.
(Мы будем обозначать дифференциальные формы с такими свойствами
через
вместо
и называть их неполными дифференциалами, в то время как
–
полный
дифференциал.В
соотношениях
типа
, ,…
, ,…
, ,…
функция
, ,…
называется
интегрирующим множителем.)
4.
Показать, что если форма
,
,
является полным дифференциалом, то
.
5.
Пфаффова форма имеет общий вид:
,
или
,…,
(то есть
может быть полным или неполным дифференциалом).
– однозначные, непрерывные и
Показать, что при n=2, если
дифференцируемые функции,
всегда имеет интегрирующий множитель при
0 в рассматриваемой области изменения
условии, что функция
переменных.
6.
Убедиться, что пфаффова форма при n=3 не всегда имеет
интегрирующий множитель; для этого рассмотреть выражение
,
где – не равная нулю константа.
7.
Элементарная работа в механике при одномерном движении
определяется выражением, которое можно представить как убыль некоторой
функции
, называемой потенциалом силы или потенциальной энергией:
, откуда
. В термодинамике роль силы играет
давление
и роль координаты объем
. По аналогии с механическим
потенциалом вводятся термодинамические потенциалы, которые при таком
определении зависят от того, при каких дополнительных условиях ведется
сжатие или расширение газа. При этом, однако, должно выполняться
требование, чтобы каждый введенный потенциал был бы однозначной
функцией состояния газа.
Рассматривая частные случаи адиабатического и изотермического
процессов, получить выражения для адиабатического и изотермического
потенциалов. Определить их естественные переменные. Найти связь между
полученными термодинамическими потенциалами.
16
8.
Для газов и других простых веществ возможными переменными
являются давление , объем и эмпирическая температура . Они связаны
уравнением состояния, так что только две из этих трех переменных являются
независимыми.
Элементарное
количество
тепла,
полученное
при
квазистатическом процессе (то есть процессе, состоящем из множества
равновесных состояний), может быть выражено следующими эквивалентными
способами:
,
где коэффициенты, которые сами могут зависеть от , и , являются
величинами, характерными для данного газа или жидкости. Термин
эмпирическая температура относится к произвольной шкале и применяется
для отличия от абсолютной температуры, обозначаемой .
Доказать, что выполняются следующие соотношения:
а)
,
,
1;
б)
,
.
в) Пояснить физический смысл коэффициентов в выражении для .
9.
Работа
, совершаемая при расширении или сжатии газа, и
количество теплоты , подведенное или отведенное при термодинамическом
процессе, не определяются начальным и конечным состояниями газа, но
зависят от всего хода процесса. Поэтому криволинейные интегралы
и
зависят от пути интегрирования, и подынтегральные
выражения
и
не являются полными дифференциалами
какой-либо функции состояния газа. Таким образом, работа и количество
теплоты являются функциями происходящего в газе процесса и приобретают
смысл только при указании условий его протекания.
Учитывая, что для идеального газа
,
,
– газовая постоянная,
и
,
,
ln
(где
– параметры некоторого
произвольного состояния), вычислить работу и количество теплоты при
различных изоэнергетических процессах.
10. Согласно первому закону термодинамики, существует такая
функция , называемая внутренней энергией, что для газов или подобных
веществ в дополнение к уравнению
справедливо соотношение
, где – давление и
механическая работа, производимая системой.
Показать, что дифференциальное выражение для работы
является полным дифференциалом.
11. Используя условие предыдущей задачи, показать, что
17
–
не
а)
,
,
б)
1,
,
в)
.
12. Согласно второму закону термодинамики, обратная абсолютная
температура является интегрирующим множителем для . Получающаяся в
результате функция состояния называется энтропией
, так что для
квазистатических процессов
. Это дополняет соотношения
и
.
Используя эти соотношения, где в качестве эмпирической температуры
следует выбрать абсолютную температуру, установить следующие результаты.
а) Рассматривая соотношения
,
,
и
,
получить соотношения Максвелла
,
,
,
.
Здесь – свободная энергия, – энтальпия (тепловая функция) и
термодинамический потенциал Гиббса.
б)
,
,
,
,
,
в)
13.
–
.
,
,
.
Пользуясь первым и вторым законами термодинамики, показать,
что
а)
б)
,
.
14. Установите связь между изотермическим
модулями упругости:
; ад
.
ад
и адиабатическим
ад
теплоемкостей при постоянном
15. Выразить разность
давлении и при постоянном объеме для системы с неизменным числом частиц
через величины, определяемые уравнением состояния, не заданным в явном
виде.
18
16. Выяснить, у каких систем теплоемкость при постоянном объеме
не зависит от объема системы.
17. Выяснить, у каких систем теплоемкость при постоянном давлении
не зависит от давления.
18. Используя факт существования уравнения состояния, определите
от давления и теплоемкости
от объема
зависимость теплоемкости
системы.
19. Будем считать, что энтропия остается конечной и непрерывной при
0 . (Это предположение эквивалентно теореме Нернста.) Показать, что
, , , , ,
стремится к нулю в этом пределе.
каждая из величин
20.
Возьмем следствие тепловой теоремы Нернста:
0 при
0 , где ,
– две независимые переменные (отличные от ). [Это
соотношение иногда называют тепловой теоремой Нернста в сильной форме.]
Показать, что результат предыдущей задачи может быть теперь усилен: при
0 стремится к нулю отношение
.
21. Исходя из третьего закона термодинамики, показать, что
теплоемкость стремится к нулю при стремлении температуры к абсолютному
нулю.
22. Показать, что в соответствии с третьим законом термодинамики
и коэффициент
стремятся к
коэффициент теплового расширения
нулю при
0.
23. Путем измерения натяжения
резиновой ленты, растянутой до
фиксированной длины , найдено, что
, где
0 – постоянная,
зависящая только от длины , а – абсолютная температура.
Показать, что внутренняя энергия
такой резиновой ленты является
функцией только температуры, а энтропия ее уменьшается с увеличением
длины.
24. Показать, что при адиабатическом растяжении описанной в
предыдущей задаче резиновой ленты ее температура повышается. Показать
также, что лента будет сжиматься, если повышать температуру, оставляя
натяжение постоянным.
25. Показать, что внутреннюю энергию и энтропию единичного
объема парамагнитного вещества, подчиняющегося закону Кюри-Вейсса
, где
и
– константы,
– абсолютная температура и
–
восприимчивость, можно представить в виде
,
где
,
– теплоемкость при постоянной намагниченности.
19
26. Показать, что изотермическая восприимчивость
удовлетворяет
0 при
0.
условию
27. Получите условие равновесия двух фаз однокомпонентной
системы, находящейся в термостате под постоянным внешним давлением
(
,
).
28. Для двух фаз однокомпонентной системы известны свободные
,
и
,
как функции характеристических переменных.
энергии
Покажите, что равновесные объемы фаз при заданной температуре можно
и
.
определить, проведя общую касательную к кривым
29. Три фазы однокомпонентной системы 1, 2, 3 находятся в
равновесии друг с другом в тройной точке. Их удельные объемы равны
,
,
–
,
,
. Пусть
соответственно
уравнения кривых равновесия соответственно между газообразной и жидкой,
жидкой и твердой, газообразной и твердой фазами. Покажите, что в тройной
точке имеет место соотношение:
0.
30. Определите молярную теплоемкость насыщенного пара вдоль
кривой равновесия этого пара и его жидкости. Пар можно считать идеальным
газом.
31. Пользуясь правилом фаз, определите число термодинамических
степеней свободы системы, состоящей:
а) из раствора
и
в воде в присутствии кристаллов обеих солей и
паров;
б) из растворов этих солей в присутствии льда и паров;
в) из растворов этих солей в присутствии кристаллов обеих солей, льда и
паров.
32. В соляных озерах находится водный раствор сульфата натрия и
хлористого натрия. Считая эту систему равновесной, определите число фаз ,
число компонент и число термодинамических степеней свободы системы.
33. Пользуясь правилом фаз Гиббса, покажите, что система, состоящая
из кристаллов
, находящихся в водном растворе той же соли, при наличии
льда и пара над раствором может находиться в равновесии. Как изменится
число фаз в равновесии при изменении температуры?
Модуль 2. Основные положения статистической физики
1.
Вероятность того, что система находится в состоянии со значением
, где
– постоянная
дискретно-изменяющегося параметра , равна
положительная величина,
0,1,2,3, … Пронормировать вероятность и
вычислить среднее значение квадрата и среднеквадратичную относительную
флуктуацию величины
( – постоянная величина).
20
2.
Рассмотрим модельную систему из элементарных магнитов,
расположенных в фиксированных точках вдоль одной прямой, с магнитными
моментами, равными
и – . Между магнитами нет взаимодействия, и
внешнее поле отсутствует. Каждый магнитный момент может быть
ориентирован в двух направлениях – вверх или вниз. Определите среднее
значение полного магнитного момента
такой системы и среднее значение
квадрата полного магнитного момента
.
3.
Для распределения Максвелла по скоростям получить следующие
величины:
а) Среднее значение -й степени скорости
⁄
√
Γ
,
где – вещественное число,
б) Среднюю скорость
1 и Γ – гамма-функция.
⁄
.
в) Дисперсию скорости
3
.
г) Дисперсию, или среднеквадратичную флуктуацию, кинетической
энергии
.
д) Наиболее вероятную скорость
⁄
.
, скорость
4.
Подсчитать число частиц идеального газа
которых заключена в интервале 0
, где
– наиболее вероятная
скорость.
5.
Какая часть молекул газа имеет кинетическую энергию
поступательного движения выше средней
?
6.
Найти среднюю потенциальную энергию молекулы идеального
газа, находящегося в центрифуге радиусом
, вращающейся с угловой
скоростью
.
7.
Вычислить магнитную восприимчивость
парамагнитного газа,
атомы которого обладают постоянным по величине магнитным моментом .
1, получить закон Кюри, согласно которому магнитная
Учитывая условие
восприимчивость парамагнетика обратно пропорциональна температуре.
8.
Найти среднее значение потенциальной энергии молекулы газа,
находящегося в сосуде высотой в однородном поле силы тяжести.
9.
магнитных моментов электронов во внешнем магнитном поле
образуют подсистему. Взаимодействием магнитных моментов между собой
пренебречь. Каждый такой магнитный момент в магнитном поле может иметь
21
лишь две ориентации и соответственно два значения энергии и . Найти для
такой подсистемы:
0,
;
а) распределение Гиббса. Для простоты принять, что
б) статистическую сумму;
⁄ , где – постоянная
в) свободную энергию , энтропию (
Больцмана) и среднюю энергию
;
г) выразить энтропию
через среднюю энергию
и, принимая во
, убедиться в том, что
внимание определение температуры
температура
подсистемы может принимать как положительные, так и
отрицательные значения. Изобразить графически зависимость от ;
д) зная зависимость средней энергии
от температуры , найти
и выяснить величину этой теплоемкости для
0и
∞.
теплоемкость
10. В системе, находящейся в диффузионном контакте с резервуаром,
число частиц не постоянно, наблюдаются флуктуации концентрации. Показать,
что среднеквадратичное отклонение ∆
числа частиц
от
можно
.
записать в виде ∆
11. Доказать, что средняя тепловая энергия любой системы
возрастает с увеличением температуры. Для этого рассмотреть систему,
находящуюся в тепловом, но не в диффузионном контакте с резервуаром, и
со среднеквадратичной флуктуацией энергии:
найти следующую связь
.
12. Двумерный гармонический осциллятор обладает
1 -кратно
1 . Вычислить
вырожденными энергетическими уровнями
среднюю энергию и теплоемкость системы, состоящей из таких независимых
осцилляторов.
13. Получить термодинамические функции для подсистемы –
трехмерного квантового гармонического осциллятора, энергия которого
имеет кратность вырождения
. Квантовое число
может принимать значения 0,1,2 … .
14. Имеется столб одноатомного идеального газа в поле тяжести.
Определить статистический интеграл этого газа. Вычислить свободную,
внутреннюю энергию и теплоемкость.
15. Имеется столб одноатомного идеального газа в поле тяжести. Найти
внутреннюю энергию и теплоемкость в предельных случаях высокого и
низкого столба газа.
Модуль 3. Статистические распределения для квантовых газов
1.
Найти полное число фотонов в одном кубическом сантиметре
равновесного излучения при температуре 2000 К.
22
2.
Показать, что для фотонного газа давление равновесного излучения
равно одной трети объемной плотности энергии излучения.
3.
Показать, что химический потенциал равновесного бозе-газа с
фиксированным числом частиц уменьшается с возрастанием температуры, то
0.
есть
4.
Найти температуру конденсации газа, состоящего из бозе-частиц,
используя формулу для определения числа частиц.
5.
Полное число частиц в бозе-газе равно . Найти число частиц в
.
состоянии с энергией, равной нулю, при
бозе-газа при
6.
Определить полную энергию
и теплоемкость
температуре, меньшей его температуры конденсации .
7.
Определить температурную зависимость энтропии , давления ,
свободной энергии и термодинамического потенциала бозе-газа при
.
8.
Найти зависимость химического потенциала бозе-газа от
температуры.
9.
Вывести формулу для спектральной плотности равновесного
излучения в трехмерном, двумерном и одномерном случаях.
10. Показать, что свободная энергия бозе-жидкости выражается
формулой
ln 1
.
11. Найти свободную энергию, энтропию и теплоёмкость неподвижной
квантовой бозе-жидкости при низких температурах, когда практически все
имеющиеся в жидкости элементарные возбуждения являются фононами.
12. Показать, что при достаточно низких температурах удельная
теплоемкость идеального ферми-газа равна
.
13. Вычислить энергию Ферми идеального ферми-газа, состоящего из
в случае достаточно
частиц со спином 1⁄2, с точностью до членов порядка
сильного вырождения.
14. Найти термодинамический потенциал Ω для нерелятивистского
электронного газа в квантующем магнитном поле при произвольной
температуре.
15. С помощью термодинамического равенства
Ω
получить выражение для энтропии , магнитного момента и среднего
числа частиц
для нерелятивистского электронного газа в квантующем
магнитном поле при произвольной температуре. Убедиться в справедливости
равенства
Ω
0.
23
8 семестр
Модуль 4. Физика конденсированного состояния
1.
Доказать, что кристаллическая решетка может обладать
поворотными осями симметрии 2,3,4 и 6 порядков.
2.
Показать, что основные вектора
,
,
обратной решетки
определяются следующими выражениями:
,
,
, где
·
– объем
элементарной ячейки прямой решетки.
3.
Показать, что решетка, обратная к обратной, совпадает с прямой
решеткой.
⁄ , где
– объем элементарной
4.
Доказать соотношение
2
ячейки обратной решетки, – объем элементарной ячейки кристаллической
решетки, – число измерений. Рассмотреть случаи
2и
3.
5.
Построить ячейку Вигнера-Зейтца для двумерной решетки Бравэ
вида
6.
Запишем вектора основных трансляций для некоторых типов
кристаллических решеток (простой кубической, объемноцентрированной
кубической и гранецентрированной кубической решеток соответственно) в
следующем виде:
,
,
;
,
,
;
,
,
; где – постоянная кристаллической решетки. Для указанных
типов решетки найти вектора обратной решетки.
7.
Построить обратную решетку и первые три зоны Бриллюэна для
квадратной и прямоугольной (с соотношением сторон 1: 2) двумерных решеток.
8.
Предположим, что мы поместили в пространстве идентичные
твердые сферы таким образом, что чтобы центры сфер лежали в точках,
соответствующих простой кубической решетке (п.к.), гранецентрированной
решетке (г.ц.к.), объемноцентрированной решетке (о.ц.к.) и структуре типа
алмаза. Пусть сферы с центрами в соседних точках касаются друг друга, не
перекрываясь (такое расположение сфер называют плотноупакованным). Для
каждой структуры вычислите плотность упаковки (отношение объема, занятого
сферами, к полному объему, занимаемому решеткой).
9.
Запишите индексы Миллера для некоторых атомных плоскостей
простой кубической решетки:
,
,
,
,
.
24
10. Покажите, что для каждого семейства атомных плоскостей,
отстоящих друг от друга на расстояние , существуют такие вектора обратной
решетки, которые перпендикулярны к этим плоскостям, причем наименьший
из них имеет длину 2 / .
11. Покажите, что для простой кубической решетки с постоянной
решетки
расстояние между атомными плоскостями, характеризуемые
.
индексами Миллера , , равно
√
12. Пусть
на
кристаллическую
структуру
падает
плоская
exp
.
монохроматическая электромагнитная волна вида
Будем считать, что каждый атом кристалла порождает расходящуюся
′ ′ / ′, где – амплитуда поля в точке
сферическую волну вида
расположения атома, ′ – волновой вектор рассеяния волны, ′ – расстояние от
атома. Суммируя вклады от отдельных атомов, получите, что на больших
расстояниях от кристалла условие резонансного рассеяния может быть
′
, где – вектор обратной решетки. Это условие
записано в виде
известно как условие дифракции Лауэ.
13. Докажите эквивалентность условия дифракции рентгеновских
лучей Лауэ и условие Брегга-Вульфа: 2
, где
– наименьшее
расстояние между атомными плоскостями, – угол падения, – длина волны
падающего излучения.
14. Найти положение уровня Ферми и температурную зависимость
концентраций в собственном полупроводнике в неврожденном случае. Как
изменится концентрация электронов при изменении температуры от 200 до
0,715
,
3,4 · 10 .
300 , если
15. Определить положение уровня Ферми, если концентрации
электронов и дырок известны.
16. Определить положение уровня Ферми, если эффективная масса
0.26 , эффективная масса дырок
0.49 , температура
электрона
300 , середина ширины запрещенной зоны 1,12 эВ.
17. Определить положение уровня Ферми при температуре 300 в
кристаллах германия, содержащего 2 · 10 м атомов мышьяка и 10 м
атомов галлия.
25
18. Концентрация электронов в собственном полупроводнике при
температуре 300 оказалась равной 1,38 · 10 см . Определить величину
произведения эффективных масс электронов и дырок, если ширина
запрещенной зоны равна 0,785 4 · 10 · Т эВ.
19. Определить положение середины запрещенной зоны в собственном
,
полупроводнике, если масса электронов равна массе дырок и равна
300 .
20. Определить концентрацию электронов и дырок в собственном
полупроводнике, если концентрация неосновных носителей зарядов в области
концентрация собственных электронов 5 · 10 , эффективная
3,5 · 10 см
масса электронов равна 0.26 , эффективная масса дырок – 0.49 , энергия
ионизации донорной и акцепторной примесей равна 0,01 эВ.
21. Известно, что поверхность кремния в качестве легирующей
примеси содержит 10 % атомов мышьяка. Затем он легируется фосфором до
3 · 10 атомов/см и после этого равномерно легируется бором до
10 атомов/см . Полученная структура проходит термический отжиг, который
полностью активирует все примеси. Определить тип проводимости.
и
0 функция Ферми-Дирака равна 1, а
22. Доказать, что при
и
0 функция Ферми-Дирака равна нулю. В каком случае
при
рассматривается полупроводник -типа, в каком -типа?
,
23. Определить плотность квантовых состояний, если
300 .
24. Определить температуру вырождения, если справедливо равенство
выр .
25. Определить температуру истощения примеси, если эффективная
масса электронов равна 0,26 , энергия ионизации атомных примесей равна
0,026 эВ, концентрация доноров 1,8 · 10 см .
26. Имеется германиевый
переход с концентрацией примесей
10
, причем, на каждые 10 атомов германия приходится один атом
акцепторной примеси. Определить контактную разность потенциалов при
300 , концентрация атомов германия равна 4,4 · 10 см , а собственных
носителей заряда 2,5 · 10 см .
27. Имеется германиевый
переход с концентрацией примесей
10
, причем, на каждые 10 атомов германия приходится один атом
акцепторной примеси. Определить контактную разность потенциалов при
300 , концентрация атомов германия равна 4,4 · 10 см .
28. Определить контактную разность потенциалов при температуре
300 , если концентрация электронов в
области равна 5 · 10 см , а
концентрация собственных электронов равна 2 · 10 см .
29. Определить потенциальный барьер
перехода при
300 ,
0,26m , эффективная масса дырок
если эффективная масса электрона m
26
m
0,49m , ширина запрещенной зоны 1,18 эВ , концентрация акцепторов
6,2 · 10 см , концентрация электронов 1,65 · 10 см .
30. Вычислить для
300 контактную разность потенциалов
перехода, если равновесные концентрации основных носителей зарядов в и
областях одинаковы и равны 10 см , а концентрация собственных
электронов 10 см .
31. Определить контактную разность потенциалов при
300 , если
, концентрация акцепторов 4,4 ·
концентрация доноров 4,4 · 10 см
10 см ,а концентрация собственных электронов 3 · 1014 см 3 .
32. Определить коэффициент диффузии электронов и дырок в
невырожденном полупроводнике при
300 , если в германии подвижность
2
2
электронов
3800 см В · с , дырок μр 1800 см В · с , а в кремнии
2
1450 см В · с, μр
2
500 см В · с.
33. Определить скорость электронов в образце при
300 , если его
удельное сопротивление 0,2 Ом · м , длина образца 3см, приложенное
напряжение 70В, а концентрация собственных электронов 6,2 · 1015 см 3 .
34. Удельное сопротивление области германиевого
перехода 2
Ом·м, удельное сопротивление р области 3 Ом·м. Определить высоту
потенциального барьера
перехода при
300 , подвижности
2
электронов 3800 см /В · с , подвижности дырок 1800 см2 /В · с , концентрации
электронов в области 4,5 · 1016 см 3 .
35. Определить дрейфовую скорость неравновесных электронов
кремния при температуре 400 в электрическом поле 100 В/см , если
диффузионная длина составляет 3 · 10 1 см, а время диффузии одна минута.
36. Вычислить коэффициент диффузии электронов в кремнии при
температуре 300 , если электроны осуществляют одновременно дрейф в поле с
напряженностью 30 В/см на расстоянии 0,5 мкм в течение 30 минут.
37. Определить подвижность электронов в кремнии, если концентрация
неосновных носителей зарядов равна 1,5 · 1012 см 3 , концентрация собственных
электронов равна 5 · 1012 см 3 , а удельное сопротивление 20 0м · м.
38. Вычислить контактную разность потенциалов
перехода при
температуре 300 , если коэффициент диффузии электронов равен 40 см2 /с ,
удельное сопротивление 50 Ом · м , концентрация собственных носителей
зарядов 6 · 1015 см 3 .
39. Рассмотреть энергетические уровни в одномерной решетке с
периодом , где потенциальная энергия имеет вид
0,
0 , если
;
.
0, если 0
27
Рассмотреть случай, когда 0 ∞ ,
0 , но 0
(модель
Кронига-Пенни).
40. Используя разложение волновой функции электрона в ряд по
плоским волнам, найти вид детерминантного уравнения для определения
собственных значений энергии
в случае одномерного кристалла. Найти
собственные значения энергии в трех- и пятиволновом приближении, если в
таком кристалле потенциал имеет вид
3 2 cos 2 . Исследовать
профиль волновых функций при различных значениях квазиимпульса для двух
нижних разрешенных энергетических зон. Указание: для решения задачи
необходимо использовать компьютер.
41. Пользуясь приближением слабой связи, найти зонный спектр и
волновые функции для электрона в одномерной решетке с потенциалом
3 2 cos 2 (включая состояния вблизи границы зоны Бриллюэна).
42. Пользуясь приближением сильной связи, найти зависимость
для нижней разрешенной зоны для случая одномерной решетки с потенциалом
3 2 cos 2 . Предположить, что атомные волновые функции такие же,
2
. Параметр
как и у простого гармонического осциллятора, Ψ
exp
должен быть определен из условия минимума энергии при соответствующем
значении квазиимпульса
. Указание: для решения задачи необходимо
использовать компьютер.
43. Используя приближение сильной связи для описания электронов в
простой, гранецентрированной и объемноцентрированной кубических
решетках и предполагая при этом, что -функции могут быть взяты в качестве
для нижней
электронных атомных волновых функций, найти зависимость
разрешенной зоны. Показать, что энергетические поверхности в таких системах
при
0 имеют сферическую симметрию. Определить эффективную массу
электронов при
0.
– функция Блоха, – квазиимпульс, –
44. Пусть Ψ
, exp
номер зоны. Введем функцию Ваннье
3
.
,
,
Ω
Показать, что функции Ваннье для атомов различных узлов решетки
ортогональны.
45. Рассмотрим одномерную периодическую структуру. Пусть вблизи
границы зоны Бриллюэна энергия частицы может быть записана в виде
Δ2
2
2 2,
где – квазиимпульс, – вектор обратной решетки. Какой вид имеют
волновые функции электрона при | | Δ , когда его энергия выбрана в
запрещенной зоне?
46. Построить схематически поверхность Ферми в -пространстве для
простой квадратной решетки для одно-, двух-, трехвалентных металлов.
28
47. Получите закон дисперсии фононов в одномерной цепочке атомов
1
∑ ∑ 0
со взаимодействием между
ближайшими соседями.
2
, где
– смещение -го атома в решетке.
48. Вычислить фононную теплоемкость кристалла.
49. Вычислить теплопроводность изолятора (фононную часть
теплопроводности кристалла).
50. Для фононов в металлах вывести соотношение Бома-Ставера,
связывающее скорость Ферми
и скорость звука в металле :
2
2
,
3
где – заряд иона, – масса иона, – масса электрона.
Модуль 5. Неидеальные системы
(системы частиц с взаимодействием)
1.
Запишем
электронов в виде
2
∑
1
гамильтониан
1
2
2
2
∑
системы
2
|
∑
2
1∑
взаимодействующих
,
,
|
–
где
– заряд ионов,
– координаты неподвижных ионов,
координаты электронов. Будем искать решение стационарного уравнения
Шредингера Ψ
Ψ в виде:
∞
∏ 1
| |2
,
1.
Ψ 1, … ,
∞
Используя вариационный принцип и условие нормировки волновых
функций, получите систему уравнений Хартри
2
2
2
2
′
2∑
′
′
.
2.
Используя гамильтониан из предыдущей задачи и предполагая,
что волновая функция системы является антисимметричной комбинацией
, (детерминант Слетера), где – спиновая
одноэлектронных функций
переменная. Используя вариационный принцип и условие нормировки
одноэлектронных волновых функций , получить систему уравнений ХартриФока
2
2
∞
∞
∑
2
,
∑
где
1
∞
|
∞
′,
|2
′
′
,
– символ Кронекера.
29
′
2
′
′
′
3.
Покажите, что линейная комбинация плоских волн вида
является решением уравнений Хартри-Фока (см. предыдущую
exp
задачу), при этом энергия электрона
определяется следующим выражением
2 2
2
2
1
2
1
1
ln
,
/ .
2
1
2
4
4.
Используя решение предыдущей задачи, вычислите энергию
системы свободных взаимодействующих электронов:
3
3
2
,
2 ∑| |
5
4
0 – энергия Ферми.
где – число электронов,
5.
Используя формулу первого порядка теории возмущений
0
∑
0
0
′,
′
0
′
,
и учитывая, что
∑ | |2 ,
– функция распределения Ферми-Дирака, покажите, что в
где
0
первом приближении по возмущающему потенциалу
фурье образ
индуцированного заряда есть
2
3
4
0
.
0
6.
Используя решение предыдущей задачи, покажите, что статическая
продольная диэлектрическая проницаемость свободного электронного газа
описывается следующим выражением
2
4
1
2
4
3
0
0
(экранировка Линдхарда).
7.
Пусть приложенное переменное гармоническое поле (частоты )
вызывает возмущение плотности газа свободных электронов. Ограничиваясь
членами первого порядка по возмущению, показать, что реакция электронного
газа на такое возмущение описывается диэлектрической проницаемостью,
равной
,
1
2
4
2
4
3
0
0
.
8.
Пользуясь результатами предыдущей задачи, показать, что в
статическая диэлектрическая проницаемость
пределе
0 и | |
описывается следующим выражением
,0
1
2
0
2
,
, а
– плотность состояний на поверхности
где 0 4 2
Ферми. Этот результат известен как приближение Томаса-Ферми.
) исследовать
9.
В приближении Томаса-Ферми ( | |
пространственное распределение электрического поля, создаваемого точечным
зарядом в газе свободных электронов.
30
10. В приближении Томаса-Ферми ( | |
) исследовать
пространственное распределение электрического поля, создаваемого
равномерно заряженной нитью в газе свободных электронов.
11. Пользуясь результатами задачи 6, показать, что при
0и
0
статическая диэлектрическая проницаемость описывается выражением
,0
2
4
1
2
1
2 2
2
2
1
4
ln
1
1
,
⁄2 .
где
12. Пользуясь результатом предыдущей задачи, показать, что вдали от
точечного заряда электрический потенциал спадает по следующему закону
cos 2
.
3
Этот результат известен как осцилляции Фриделя.
0
0
13. Пользуясь результатами задачи 7, показать, что при
диэлектрическая проницаемость описывается следующим выражением
,
где
2
4
2
1
⁄
2
2
,
– плазменная частота.
Модуль 6. Случайные процессы и физическая кинетика
Вычислить флуктуации термодинамических величин
∆ 2 ,
, ∆ ∆
, ∆ ∆
, ∆ ∆
, ∆ ∆
, считая
∆ 2 , ∆ ∆
независимыми переменными параметры и .
2.
Используя результаты предыдущей задачи, вычислить флуктуации
термодинамических величин ∆ 2 , ∆ 2 , ∆ ∆ , считая независимыми
переменными параметры и .
3.
Вычислить средний квадрат флуктуации энергии в рамках
гауссовой теории флуктуации.
4.
Получить соотношение
1.
2
Δ
2
2
для флуктуации энергии, используя изотермо-изобарический ансамбль.
5.
Найти среднее значение квадрата флуктуаций для числа
вылетающих при термоэлектронной эмиссии электронов, если в единицу
времени в среднем вылетает 0 электронов.
6.
Покажите, что для системы, описываемой большим каноническим
ансамблем, средний квадрат флуктуаций числа частиц определяется
.
соотношением Δ 2
31
7.
Используя соотношение, приведенное в условии предыдущей
задачи, получите выражение для среднего квадрата флуктуаций числа частиц
для квантовых ферми- и бозе-газов.
есть
8.
Показать с помощью уравнения Ланжевена, что 1
время, в течение которого средняя скорость частиц
уменьшается в раз по
сравнению с начальной скоростью 0 .
и доказать
9.
Используя результаты предыдущей задачи, найти 2
2
при выполнении условий
0и
справедливость формулы
.
10. Вычислить
удельную
проводимость
металла
,
его
диэлектрическую проницаемость
и электронную теплопроводность
в
модели Друде.
11. Пусть металл, находящийся при постоянной температуре, помещен
в однородное постоянное электрическое поле . Покажите, что в модели Друде
средняя энергия, передаваемая движущимся электроном кристаллической
2
/ , где – среднее время между
решетке за одно столкновение, равна
столкновениями. Покажите, что средняя потеря энергии всеми электронами в
2
( – удельная проводимость, см.
проводнике в 1 см3 за 1 сек равна
предыдущую задачу).
(
) для
12. Вычислить компоненты тензора проводимости
кристалла в магнитном поле с учетом рассеяния (эффект Холла).
13. Вычислить теплопроводность металла в модели Зоммерфельда,
используя кинетическое уравнение Больцмана.
14. Вычислить
удельную
проводимость
металла,
используя
кинетическое уравнение Больцмана.
15. Вычислить удельную проводимость металла в слабом магнитном
поле, используя кинетическое уравнение Больцмана (эффект Холла).
3.5. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Некоторые темы разделов нет возможности подробно рассмотреть во
время лекционных занятий в силу громоздких математических выкладок.
Данные темы и темы, не вошедшие в лекционные занятия, но необходимые для
лучшего понимания материала, предлагается рассмотреть студентам
самостоятельно.
Домашние задания и контрольно-самостоятельные задания выдаются
индивидуально и проверяются преподавателем, ведущим семинарские занятия
по дисциплине. Срок самостоятельного выполнения указанных заданий
составляет от 1,5 до 2 месяцев. При выполнении заданий используется текущий
лекционный материал, а также основная и дополнительная учебная литература.
32
3.5.1. ТЕМЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
7 семестр
Модуль 1. Термодинамическое описание макросистем
1.
2.
3.
4.
5.
эффект.
6.
7.
8.
Политропические процессы.
Термодинамика газа Ван-дер-Ваальса.
Термодинамика стержней, магнетиков и диэлектриков.
Термодинамика излучения.
Поливариантные процессы. Магнитострикция и пьезомагнитный
Рост энтропии в процессах выравнивания, парадокс Гиббса.
Экстремальные свойства термодинамических функций.
Теория Ландау для фазовых переходов 2-го рода.
Модуль 2. Основные положения статистической физики
1.
Модель невзаимодействующих спинов – простейшая модель,
допускающая точное решение.
2.
Состояния модельной системы, их подсчет, степень вырождения.
3.
Энергия магнитной модельной системы.
4.
Кинетическое обоснование закона идеального газа.
5.
Распределение Максвелла по скоростям.
6.
Многоатомные газы.
7.
Максвелл-Больцмановский газ с двумя энергетическими уровнями.
8.
Двухатомный газ, вращательные степени свободы.
9.
Колебательные степени свободы.
10. Тепловая ионизация атомов.
Модуль 3. Статистические распределения для квантовых газов
1.
Свободная энергия и статистическая сумма, минимум свободной
энергии при равновесии.
2.
Большой термодинамический потенциал, его связь с большой
статсуммой.
3.
Вывод распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака с помощью
большого канонического ансамбля.
4.
Плазма. Дебаевское экранирование.
5.
Предельные и отрицательные температуры.
6.
Вторичное квантование.
33
8 семестр
Модуль 4. Физика конденсированного состояния
1.
2.
3.
4.
Сверхтекучесть, теория Боголюбова.
Сверхпроводимость, теория БКШ.
Теория фазовых переходов Ли и Янга.
Критические показатели и феноменологические неравенства для
них.
5.
Фазовые переход в ферромагнетике. Метод молекулярного поля и
приближение Брэгга-Вильямса.
6.
Флуктуации и фазовые переходы. Теория Орнштейна-Цернике.
Модуль 5. Неидеальные системы
(системы частиц с взаимодействием)
1.
Функции Грина, их связь с энергией и спектральным весом
квазичастиц.
2.
Уравнения движения для функции Грина.
3.
Существование поверхности Ферми при сколь угодно большом
взаимодействии.
4.
Теория Ферми-жидкости Ландау.
Модуль 6. Случайные процессы и физическая кинетика
1.
Флуктуации чисел заполнения в идеальных газах.
2.
Законы сохранения и возрастания энтропии, локальное равновесие.
3.
Уравнение Боголюбова.
4.
Стадии эволюции неравновесной системы, вывод уравнения
Больцмана по Боголюбову.
5.
Безразмерная форма уравнений Боголюбова. Факторизация и
корреляционные функции.
6.
Уравнения самосогласованного поля. Бесстолкновительная плазма.
7.
Колебания электронной плазмы, кинетическое уравнение для
плазмы.
8.
Методы решения уравнения Больцмана.
9.
Уравнения газовой динамики.
10. Уравнения баланса массы, импульса, энергии, энтропии.
11. Малые отклонения от равновесия, принцип Онсагера.
12. Следствия соотношений Онсагера. Теорема о минимуме
производства энтропии для стационарных состояний.
34
3.5.2. ЗАДАЧИ НА САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ
№
модуля
1
2
3
4
5
6
Название модуля
7 семестр
Термодинамическое описание
макросистем.
Основные положения статистической
физики.
Статистические распределения для
квантовых газов.
8 семестр
Физика конденсированного состояния.
Неидеальные системы (системы частиц
с взаимодействием).
Случайные процессы и физическая
кинетика.
35
Номера задач (согласно п.
3.4.3)
4,8,12,13,17,18,21,22,26,29,3
3
4,5,8,11,13,15
3,7,9,11,14
4,9,10,11,15,16,20,26,29,33,3
6,40,45,50
5,6,10,12
2,3,5,10,11,15
4.
КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
В течение всего периода обучения запланировано проведение четырех
контрольных работ (по две в каждом семестре). На контрольном занятии
каждый студент получает соответствующий вариант задания и самостоятельно
решает его в течение 2 часов. По результатам этих работ и процента
посещаемости семинарских занятий в конце семестра студенты получают
допуск к зачету или экзамену. В случае отсутствия допуска существует
дополнительная возможность его получить, путем самостоятельного решения
дополнительных контрольных заданий.
4.1. ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
1.
Показать, что при
0 изохорическое изменение температуры не
изменяет давление.
2.
Доказать, что увеличение длины
стержня при возрастании
напряжения
в изотермическом случае будет в
раз больше, чем в
адиабатическом. Здесь
и
– соответственно теплоемкости при постоянном
напряжении и постоянном удлинении.
3.
Получить соотношения Максвелла для магнетика, помещенного во
внешнее магнитное поле и имеющего намагниченность .
4.
Показать, что если уравнение состояния вещества имеет вид
, то энтальпия изотермически не зависит от давления . Здесь –
объем,
– абсолютная температура,
– функция только давления.
Указание:
и
– полные дифференциалы.
5.
Используя распределение Больцмана, найти среднее квадратичное
расстояние молекул массой от оси во вращающейся с постоянной угловой
скоростью центрифуге радиусом . Температура газа в центрифуге .
6.
Пользуясь распределением Максвелла, найти теплоемкость
идеальных одноатомных газов при постоянном объеме.
7.
Задана система независимых линейных квантовых осцилляторов.
Найти свободную энергию и энтропию системы, если энергия одного
1
,
0,1,2, …
осциллятора
2
8.
Показать, что энтальпия выражается через интеграл состояния
системы следующим образом:
.
9.
Показать, что термодинамический потенциал
интеграл состояния системы следующим образом:
.
36
выражается через
10. Показать, что теплоемкость
состояния системы следующим образом:
2
2
1 2
выражается
через
интеграл
.
11. Покажите, что при температуре, меньшей температуры 0 бозеэйнштейновской конденсации, давление в газе не зависит от его объема.
12. Определите термодинамический потенциал Гиббса , свободную
энергию и энтальпию вырожденного газа Ферми-Дирака при
0.
13. Вычислите среднее значение ∆ ∆ , пользуясь переменными и
.
14. Вычислите
флуктуации
∆ ∆
,
считая
независимыми
переменными параметры и .
4.2. ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ
Модуль 1. Термодинамическое описание макросистем
1. Основные положения термодинамики.
2. Первое начало термодинамики.
3. Теплоемкость. Связь между теплоемкостями различных процессов.
4. Уравнение адиабатического процесса.
5. Уравнение политропического процесса.
6. Второе начало термодинамики.
7. Свойства абсолютной температуры.
8. Связь между термическим и калоричеcким уравнениями состояния.
9. Второе начало термодинамики для неравновесных процессов.
10.Свойства цикла Карно.
11.Третье начало термодинамики.
12.Следствия третьего начала термодинамики.
13.Метод термодинамических потенциалов.
14.Метод круговых процессов в термодинамике.
15.Общие условия равновесия и устойчивости термодинамических
систем.
16.Условия устойчивости Равновесия в однородной системе.
17.Равновесие в двухфазной однокомпонентной системе.
18.Классификация Фазовых переходов.
19.Уравнения Клапейрона-Клаузиуса и Эренфеста.
20.Правило Фаз Гиббса.
21.Роль поверхностного натяжения при образовании новой фазы.
37
Модуль 2. Основные положения статистической физики
22.Фазовая плотность вероятности для микроканонического
распределения в адиабатическиизолированной системе.
23.Термодинамический смысл фазового объема.
24.Фазовая плотность вероятности для изотермической равновесной
системы.
25.Связь канонического распределения Гиббса и термодинамических
параметров.
26. Вероятностный смысл энтропии.
27.Распределение Гиббса для систем с переменным числом частиц.
28.Вычисление свободной энергии и других термодинамических
параметров идеального газа.
29. Числа заполнения для идеального газа.
30.Реальный газ и вириальное разложение. Вывод уравнения Ван-ДерВаальса для реального газа с учетом парного взаимодействия молекул.
31.Теорема о равномерном распределении кинетической энергии по
степеням свободы и среднем вириале.
32. Приложения теоремы о равномерном распределении кинетической
энергии по степеням свободы: гармонический осциллятор. Теплоемкость
идеального газа и твердых тел.
33.Приложения теоремы о равномерном распределении кинетической
энергии по степеням свободы: теплоемкость идеального газа и твердых тел.
34. Классическая теория равновесного излучения. Вывод формулы РэлеяДжинса.
35.Термодинамика классической плазмы.
Модуль 3. Статистические распределения для квантовых газов
36.Квантовый статистический ансамбль.
37.Квантовая статистическая сумма. Свободная энергия.
38. Система квантовых гармонических осцилляторов.
39. Формула Планка для спектральной плотности излучения абсолютно
черного тела. Законы Вина и Стефана-Больцмана.
40. Теплоемкость твердых тел в модели Дебая.
41.Квантовое распределение Больцмана.
42.Статистика Ферми-Дирака.
43.Статистика Бозе-Эйнштейна.
44.Фотонный газ и статистика Бозе-Эйнштейна.
45. Бозе-конденсация в системе бозонов.
38
4.3. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
Модуль 4. Физика конденсированного состояния
1.
Особенности структуры основных видов конденсированных сред:
кристаллических твердых тел, полимеров, жидких кристаллов, аморфных
твердых тел, стекол, жидкостей.
2.
Акустические фононы.
3.
Оптические фононы.
4.
Взаимодействие фононов.
5.
Электрон в периодическом поле: одномерная задача, модель
Кронига-Пенни; трехмерная задача, решение уравнения Шредингера,
6.
Зоны дозволенной энергии, ее периодичность, функции Блоха,
пакет блоховских функций, его групповая скорость.
7.
Эффективная масса, тензор обратной эффективной массы, его связь
с изоэнергетической поверхностью, эффективный гамильтониан, квантовые
уравнения движения.
8.
Классификация твердых тел на основе энергетического спектра их
одноэлектронных состояний: металл, диэлектрик, полупроводник, примесные
полупроводники, полуметаллы.
9.
Статистика электронов в твердом теле: функция распределения
Ферми.
10. Собственные значения и собственные функции гамильтониана
частицы в магнитном поле (теория Ландау).
11. Кинетические свойства диэлектриков, металлов и
полупроводников.
12. Поверхностные состояния электронов.
13. Диамагнетизм и парамагнетизм твердых тел.
14. Теплоемкость твердых тел. Фононы. Классическая модель
теплоемкости.
15. Модель
теплоемкости
Эйнштейна.
Функция
Эйнштейна.
Температура Эйнштейна.
16. Модель теплоемкости Дебая. Функция Дебая. Температура Дебая.
Модуль 5. Неидеальные системы
(системы частиц с взаимодействием)
17. Принципы статистической термодинамики неидеальных систем.
Конфигурационный интеграл.
Численные методы в статистической термодинамике (метод статистического
моделирования Монте-Карло, метод молекулярной динамики).
39
18. Модель разреженного газа частиц с короткодействующим
потенциалом взаимодействия.
19. Цепочка уравнений Боголюбова.
20. Равновесные корреляционные функции в представлении
вторичного квантования.
21. Вычисление термодинамических потенциалов.
Модуль 6. Случайные процессы и физическая кинетика
22. Флуктуации и их макроскопические проявления.
23. Принцип полного ослабления начальных корреляций.
24. Квазитермодинамическая теория флуктуаций ЭйнштейнаСмолуховского для изолированных и открытых систем.
25. Статистико-механическое описание флуктуаций в ансамблях
Гиббса. Флуктуации основных термодинамических величин.
26. Границы применимости квазитермодинамической теории
флуктуаций.
27. Распределение Гаусса для флуктуаций.
28. Флуктуации основных термодинамических величин.
29. Флуктуации в идеальном газе.
30. Основные задачи физической кинетики.
31. Кинетические уравнения.
32. Интеграл столкновений Больцмана и его свойства.
33. H-теорема Больцмана.
34. Симметрия кинетических коэффициентов неравновесной
термодинамики. Флуктуационно-диссипационная теорема.
40
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Основная
1.
Квасников И.А. Теория равновесных систем.Т.1.: Термодинамика.
– М.: Едиториал УРСС, 2002.
2.
Квасников И.А. Теория равновесных систем.Т.2.: Статистическая
физика. – М.: Едиториал УРСС, 2002.
3.
Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика.
Т.3.:Теория неравновесных систем. – М.: Едиториал УРСС, 2003.
4.
Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т.4:
Квантовая статистика: Учебное пособие.– М.: КомКнига, 2010.
5.
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. Часть 1:
Учебное пособие для вузов. – М.: Физматлит, 2010.
6.
Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Статистическая физика. Часть 2.
Теория конденсированного состояния. – М.: Физматлит, 2004.
7.
Абрикосов А.А. Основы теории металлов. – М.: Физматлит, 2010.
8.
Кондратьев А.С., Райгородский П.А. Задачи по термодинамике,
статистической физике и кинетической теории. – М.: Физматлит, 2007.
Дополнительная
1.
Румер Ю.Б., Рывкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика
и кинетика. – Новосибирск, Изд-во НГУ, 2000.
2.
Киттель Ч. Статистическая термодинамика. – М.: Наука, 1977.
3.
Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. – М.: Физматлит,
1978.
4.
Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. – М.: Физматлит, 1967.
5.
Кубо Р. Термодинамика. – М., 1970.
6.
Кубо Р. Статистическая механика. – М.: Мир, 1967.
7.
Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела, в 2-х томах. – М.:
Мир, 1979.
8.
Исихара А., Статистическая физика. – М.: Мир, 1973.
9.
Шилинг Г. Статистическая физика в примерах. – М.: Мир, 1976.
10. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. –
М.: Мир, 1978.
11. Фейнман Р. Статистическая механика. – М.: Мир, 1975.
12. Базаров И.П. и др. Термодинамика и статистическая физика. Теория
равновесных систем /И.П. Базаров, Э.В. Геворкян, П.Н. Николаев. – М.:Изд-во
МГУ, 1986.
13. Иванов Ю.Б., Фетисов Е.П., Фивейский Ю.Д. Практикум по
статистической физике: Учебное пособие. Ч. 1. – М.: МИФИ. 1999.
41
14. Серова Ф.Г., Янкина А.А., Задачник-практикум по теоретической
физике. Статистическая физика. – М.: Просвещение. 1975.
15. Задачи по термодинамике и статистической физике / Под ред. П.
Лансберга. – М.: Мир. 1974.
16. Задачи по физике твердого тела / Под ред. Г. Дж. Голдсмита. – М.:
Наука. 1976.
42
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
32
Размер файла
419 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа