close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

2121.Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка.

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕДЕНИЕ
К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Учебно-методическое пособие для вузов
Составитель
А. А. Куликов
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2012
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 30 апреля 2012 г., протокол № 9
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. М. А. Артемов
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического и
прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и
механики Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 3-го курса факультета прикладной математики, информатики и механики всех форм обучения.
Для специальностей: 010501 – Прикладная математика и информатика,
010901 – Механика
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предисловие
В настоящем пособии рассматривается одна из наиболее сложных тем
курса уравнений математической физики – классификация и приведение к
каноническому виду квазилинейных уравнений с частными производными
второго порядка.
Изложение материала в пособии опирается на результаты, содержащиеся в курсах математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных
дифференциальных уравнений и теории функций одной и многих комплексных переменных. В отличие от ряда общедоступных учебников по
уравнениям математической физики значительное внимание в пособии уделено понятиям вещественного, а также комплексного общего интеграла
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, используемых соответственно для приведения к каноническому виду уравнений гиперболического и эллиптического типов.
Пособие предназначено для студентов 3-го курса факультета прикладной математики, информатики и механики. Оно содержит ряд упражнений
и задач, решение которых позволит успешно освоить рассматриваемую тему.
§ 1. Дифференциальные уравнения с двумя
независимыми переменными
Рассмотрим квазилинейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными x , y :
⎛
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂ u ∂u ⎞
⎟ = 0,
⎜
a11 2 + 2 a12
B
x
,
y
,
u
,
,
+ a 22
+
⎜
∂x
∂x∂ y
∂ y2
∂ x ∂ y ⎟⎠
⎝
(1.1)
где a11 = a11 ( x , y ) , a12 = a12 ( x , y ) , a 22 = a 22 ( x , y ) и B – заданные вещественные функции, u = u ( x, y ) – неизвестная функция. Функции a11 , a12 , a 22
называются коэффициентами уравнения (1.1).
Мы будем предполагать, что: 1) коэффициенты a11 , a12 , a 22 непрерывно дифференцируемы в некоторой области Ω ⊂ R 2 и одновременно не обращаются в нуль ни в одной точке этой области; 2) функция B определена
при ( x , y ) ∈ Ω ; 3) функция u принимает вещественные значения и дважды
непрерывно дифференцируема в Ω .
Зафиксируем произвольную точку M 0 = ( x 0 , y 0 ) ∈ Ω . Без ограничения
общности можно считать, что существует окрестность Ω 0 ⊂ Ω точки M 0 ,
такая, что a11 ( x, y ) ≠ 0 для всех ( x , y ) ∈ Ω 0 . Действительно, если
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a11 ( x 0 , y0 ) ≠ 0 , то указанная окрестность существует в силу непрерывности
коэффициента a11 . Если a11 ( x 0 , y 0 ) = 0 , a 22 ( x 0 , y0 ) ≠ 0 , то, меняя местами
переменные x и y (то есть используя замену переменных x ' = y , y ' = x ),
получим уравнение того же вида, что и (1.1), в котором коэффициент, играющий роль a11 , будет отличен от нуля. Если a11 ( x 0 , y 0 ) = 0 ,
a12 ( x 0 , y0 ) ≠ 0 , a 22 ( x 0 , y0 ) = 0 , то введем новые независимые переменные
1
1
ξ = ( x + y ) , η = ( x − y ) , так что x = ξ + η , y = ξ − η . Пусть
2
2
v ( ξ ,η ) = u ( ξ + η , ξ − η ) = u ( x, y ) . Используя приведенные ниже формулы
(1.5) – (1.9) , легко показать, что функция v ( ξ ,η ) удовлетворяет уравнению
∂ 2v
отличен от
того же вида, что и (1.1), и коэффициент при производной
∂ξ 2
1
1
нуля в точке ( ξ 0 , η0 ) , где ξ 0 = ( x 0 + y0 ) , η0 = ( x 0 − y 0 ) , а следователь2
2
но (в силу непрерывности), и в некоторой окрестности точки ( ξ 0 , η0 ) .
Задание 1. Повторить теоремы о неявной функции, о разрешимости
системы функциональных уравнений и о независимости функций из курса
математического анализа [1, § 41, 42].
Пусть ϕ ( x , y ) и ψ ( x , y ) – функции, дважды непрерывно дифференцируемые в некоторой окрестности G0 точки M 0 и такие, что якобиан
∂ϕ ∂ϕ
D (ϕ , ψ) ∂ x ∂ y
J ( x, y ) =
=
D ( x , y ) ∂ ψ ∂ψ
∂x ∂ y
отличен от нуля в точке M 0 . Заметим, что функции ϕ ( x , y ) и ψ ( x , y ) являются независимыми в области G0 .
Так как функция J ( x, y ) непрерывна в точке M 0 , то она отлична от
нуля и в некоторой окрестности Q0 ⊂ G0 данной точки.
В уравнении (1.1) сделаем замену независимых переменных
ξ = ϕ ( x , y ), η = ψ ( x , y ).
(1.2)
Так как J ( x 0 , y0 ) ≠ 0 , то функции ϕ и ψ осуществляют взаимно однозначное отображение некоторой окрестности Q0* точки M 0 на некоторую
~
окрестность точки M 0 = ( ξ 0 , η0 ) , где ξ0 = ϕ ( x 0 , y0 ) , η 0 = ψ ( x 0 , y0 ) .
Пусть V0 – окрестность точки M 0 , являющаяся подмножеством множества Ω 0 ∩ Q0 ∩ Q0* . Тогда при отображении (1.2) область V0 переходит в
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
~
~
окрестность V0 точки M 0 , в которой существует единственная пара функций
x = ϕ~ ( ξ ,η ) , y = ψ~ ( ξ ,η ) ,
(1.3)
являющаяся решением системы функциональных уравнений
ϕ ( x, y ) − ξ = 0 ,
ψ ( x, y ) −η = 0.
Посмотрим, какой вид примет уравнение (1.1) в новых независимых
переменных ξ , η . Для этого выразим частные производные функции u по
переменным x , y через производные этой функции по переменным ξ , η . В
дальнейшем для краткости будем наряду с обычными обозначениями использовать следующие обозначения для частных производных:
∂2u
∂2u
∂2u
∂2 u
∂u
∂u
u
=
, uy =
, u xx =
,
,
ux =
u
=
=
yy
xy
∂ y ∂ x ∂ x∂ y
∂x
∂y
∂ x2
∂ y2
и т. п.
Пусть
~ ( ξ , η )) = u ( x, y ) .
v ( ξ , η ) = u (ϕ~ ( ξ ,η ), ψ
(1.4)
Используя правило дифференцирования сложной функции от нескольких переменных, имеем:
u xx =
u x = vξ ξ x + vηη x ,
(1.5)
u y = vξ ξ y + vηη y ,
(1.6)
∂
( vξ ξ x + vη η x ) = (vξξ ξ x + vξηη x ) ξ x +
∂x
+ vξ ξ xx + (vηξ ξ x + vηη η x )η x + vηη xx =
= vξξ ξ x2 + 2vξη ξ xη x + vηη η x2 + vξ ξ xx + vηη xx ,
u xy =
∂
( vξ ξ x + vη η x ) = (vξξ ξ y + vξηη y ) ξ x +
∂y
+ vξ ξ xy + (vηξ ξ y + vηη η y )η x + vηη x y =
5
(1.7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
= vξξ ξ xξ y + vξη ⋅ (ξ xη y + ξ yη x ) + vηη η xη y +
+ vξ ξ xy + vηη xy ,
(1.8)
u yy = vξξ ξ y2 + 2vξη ξ yη y + vηη η y2 + vξ ξ yy + vηη yy .
(1.9)
Подставив выражения (1.3) – (1.9) в уравнение (1.1), получим уравнение
~
A11 vξξ + 2 A12 vξ η + A 22 vηη + B = 0 ,
(1.10)
A11 = a11ξ x2 + 2a12 ξ xξ y + a 22ξ y2 ,
(1.11)
A12 = a11 ξ xη x + a12 ⋅ (ξ xη y + ξ yη x ) + a 22 ξ yη y ,
(1.12)
где
A 22 = a11 η x2 + 2a12 η xη y + a 22 η 2y ,
(1.13)
~
B – функция, зависящая в общем случае от ξ , η , v , vξ , vη и от частных
производных до второго порядка включительно функций ξ и η по переменным x и y .
Упражнение 1. Показать, что если уравнение (1.1) линейно, то уравнение (1.10) также будет линейным.
Упражнение 2. Непосредственной проверкой убедиться, что
2
⎛ D( ξ , η ) ⎞
⎟⎟ .
A − A11 A22 = ( a − a11a 22 ) ⎜⎜
D
(
x
,
y
)
⎝
⎠
2
12
2
12
(1.14)
Выберем функции ξ = ϕ ( x , y ) и η = ψ ( x , y ) так, чтобы коэффициенты A11 и A22 обращались в нуль в области V0 . Тогда функции ξ и η должны удовлетворять дифференциальным уравнениям
a11ξ x2 + 2a12 ξ xξ y + a 22ξ y2 = 0 ,
(1.15)
a11 η x2 + 2a12 η xη y + a 22 η 2y = 0 .
(1.16)
Уравнения (1.15) и (1.16) идентичны, поэтому в дальнейшем будем
рассматривать уравнение (1.15).
Так как a11 ( x, y ) ≠ 0 при ( x , y ) ∈V0 , то уравнение (1.15) можно записать в виде
(ξ
x
+ λ1ξ y )(ξ x + λ 2ξ y ) = 0 , ( x , y ) ∈V0 ,
где
6
(1.17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
λ1 = λ1 ( x , y ) =
a12 ( x, y ) + d ( x, y )
,
a 11 ( x, y )
λ2 = λ2 ( x, y) =
a12 ( x, y ) − d ( x, y )
,
a 11 ( x, y )
d ( x, y ) = a122 ( x, y ) − a11 ( x, y ) a 22 ( x, y ) .
Задание 2. Повторить теорему существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка [3, § 1].
Пусть G ⊂ R 2 – некоторая область. Через C ( G ) будем обозначать совокупность всех непрерывных в области G функций, а через C k ( G ) , где
k = 1, 2,… – совокупность всех функций, имеющих в этой области непрерывные частные производные до порядка k включительно.
Пусть μ ( x, y ) – функция класса C 1( G ) и g ( x, y ) – функция класса
C ( G ) , для которой существует производная g y ( x, y ) ∈ C ( G ) . Предполагается, что функции μ и g принимают вещественные значения.
Будем говорить, что соотношение μ ( x, y ) = const является общим интегралом (вещественным общим интегралом) обыкновенного дифференциального уравнения
dy
= g ( x, y )
(1.18)
dx
в области G , если для любой фиксированной точки ( x * , y * ) ∈ G найдется
постоянная δ * > 0 , такая, что: 1) для любого x , удовлетворяющего условию x − x * < δ * , существует единственное решение y = f ( x , C * ) уравнения μ ( x, y ) = C * , где C * = μ ( x * , y * ) , причем точка ( x , y ) ∈ G ; 2) функция
y = f ( x , C * ) является решением уравнения (1.18) при x − x * < δ * .
При x − x * < δ * выполняется равенство μ ( x, f ( x , C * ) ) = C * , и, в частности, μ ( x * , f ( x * , C * ) ) = C * . C другой стороны, C * = μ ( x * , y * ) и, следовательно, y * = f ( x * , C * ) .
Пусть имеется функция y = f 1 ( x ) , которая является решением уравне-
{
}
ния (1.18) на интервале I = x ∈ R : x − x * < δ * , причем y * = f 1 ( x * ) . То-
гда, в силу теоремы единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, это решение совпадает на интервале I
с решением y = f ( x , C * ) , которое получается из соотношения
μ ( x, y ) = C * . Поэтому соотношение μ ( x, y ) = const дает все решения
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
уравнения (1.18) в области G , чем и объясняется, что оно носит название
«общий интеграл уравнения (1.18) в области G ».
Заметим, что если μ y ( x, y ) ≠ 0 в области G , то, в силу теоремы о неявной функции, условие 1) в определении общего интеграла будет выполнено.
Т е о р е м а. Пусть d ( x, y ) ≥ 0 при ( x , y ) ∈V0 . Тогда для того, чтобы
функция ξ = ϕ ( x , y ) была решением уравнения (1.15) в области V0 , необходимо и достаточно, чтобы соотношение ϕ ( x, y ) = const было общим интегралом одного из обыкновенных дифференциальных уравнений
dy
= λ 1 ( x, y )
(1.19)
dx
или
dy
= λ 2 ( x, y )
(1.20)
dx
в области V0 .
Доказательство
Н е о б х о д и м о с т ь. Предварительно отметим, что в силу условия
d ( x, y ) ≥ 0 функции λ 1 ( x, y ) и λ 2 ( x, y ) принимают вещественные значения.
Пусть функция ξ = ϕ ( x , y ) является в области V0 решением уравнения
(1.15), или, что то же самое, уравнения (1.17), то есть
(ϕ
x
+ λ1ϕ y )(ϕ x + λ 2ϕ y ) = 0 , ( x , y ) ∈V0 .
(1.21)
Если предположить, что в некоторой точке ( x1 , y 1 ) ∈V0
ϕ y ( x1 , y1 ) = 0 , то из (1.21) будет следовать, что ϕ x ( x1 , y1 ) = 0 . Но тогда
D (ϕ , ψ)
обращается в нуль в точке ( x1 , y 1 ) , что противоречит
якобиан
D( x , y )
определению области V0 . Поэтому ϕ y ( x, y ) ≠ 0 для всех ( x , y ) ∈V0 .
В силу (1.21) функция ϕ ( x , y ) должна удовлетворять одному из уравнений
ϕ x + λ1ϕ y = 0 , ( x , y ) ∈V0
(1.22)
или
ϕ x + λ 2ϕ y = 0 , ( x , y ) ∈V0 .
(1.23)
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предположим, что функция ϕ ( x , y ) удовлетворяет уравнению (1.22),
и покажем, что в этом случае соотношение ϕ ( x, y ) = const является общим
интегралом уравнения (1.19) в области V0 .
Пусть ( x * , y * ) – произвольная точка области V0 . Так как ϕ y ( x, y ) ≠ 0
для ( x , y ) ∈V0 , то, как уже отмечалось выше, условие 1) в определении общего интеграла выполнено. Покажем, что функция y = f ( x , C * ) , где
C * = ϕ ( x * , y * ) , удовлетворяющая уравнению ϕ ( x , y ) = C * , является решением уравнения (1.19).
Дифференцируя тождество
ϕ ( x , f ( x ,C * ) ) = C *
по x , имеем:
ϕ x ( x, y ) + ϕ y ( x, y )
dy
dx
= 0,
*
y= f ( x, C )
поэтому
ϕ ( x, y )
dy
=− x
dx
ϕ y ( x, y )
.
(1.24)
y= f ( x, C* )
Из (1.22) и (1.24) следует, что функция y = f ( x , C * ) является решением уравнения (1.19), что и требовалось показать.
С помощью аналогичных рассуждений можно показать, что если
функция ϕ ( x , y ) удовлетворяет уравнению (1.23), то соотношение
ϕ ( x, y ) = const является общим интегралом уравнения (1.20). Таким образом, необходимость доказана.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть соотношение ϕ ( x, y ) = const является
общим интегралом одного из уравнений (1.19) или (1.20), например, уравнения (1.19) в области V0 . Тогда для каждой фиксированной точки
( x * , y * ) ∈V0 функция y = f ( x , C * ) является решением уравнения (1.19). Из
(1.19) и (1.24) следует, что
⎛ ϕ x ( x, y )
⎞
⎜
+ λ1( x, y ) ⎟
⎜ ϕ ( x, y )
⎟
⎝ y
⎠
= 0.
y= f ( x , C* )
Полагая в (1.25) x = x * и учитывая, что y * = f ( x * , C * ) , получим
ϕ x ( x * , y * ) + λ 1( x * , y* )ϕ y ( x * , y * ) = 0 .
9
(1.25)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как ( x * , y * ) – произвольная точка области V0 , то отсюда следует,
что функция ξ = ϕ ( x, y ) является решением уравнения
ξ x + λ1 ξ y = 0 ,
а следовательно, и уравнения (1.15) в области V0 .
Аналогично рассматривается и случай, когда соотношение
ϕ ( x, y ) = const является общим интегралом уравнения (1.20). Теорема доказана.
Каждая линия из семейства линий, задаваемых общими интегралами
уравнений (1.19) и (1.20), называется характеристикой уравнения (1.1).
Сами уравнения (1.19) и (1.20) называются дифференциальными уравнениями характеристик уравнения (1.1).
Будем говорить, что уравнение (1.1) является в точке M 0 = ( x 0 , y0 ) ∈ Ω
уравнением
гиперболического
типа,
если
2
d ( x 0 , y 0 ) = a12 ( x 0 , y0 ) − a11 ( x 0 , y 0 ) a 22 ( x 0 , y 0 ) > 0 ; уравнением параболического типа, если d ( x 0 , y 0 ) = 0 ; уравнением эллиптического типа, если
d ( x0 , y 0 ) < 0 .
Из (1.14) следует, что уравнение (1.10) имеет в точке
~
M 0 = ( ξ 0 , η0 ) = (ϕ ( x 0 , y 0 ) , ψ ( x 0 , y 0 ) ) тот же тип, что и уравнение (1.1) в
точке M 0 (то есть тип уравнения не меняется при преобразовании независимых переменных).
Будем говорить, что уравнение (1.1) является уравнением гиперболического (соответственно параболического или эллиптического) типа в некоторой области W ⊂ Ω , если оно является уравнением гиперболического (соответственно параболического или эллиптического) типа в каждой точке
области W .
Рассмотрим отдельно каждый из перечисленных типов уравнений.
А) Уравнения гиперболического типа
Пусть уравнение (1.1) имеет гиперболический тип в некоторой области
W ⊂ Ω . Зафиксируем точку M 0 = ( x 0 , y0 ) ∈ W . Как показано ранее, без ограничения общности можно считать, что a11 ( x, y ) ≠ 0 в некоторой окрестности Ω 0 ⊂ W точки M 0 . Так как d ( x, y ) > 0 в области Ω 0 , то
λ1 ( x, y ) ≠ λ 2 ( x, y ) для ( x, y ) ∈ Ω 0 .
Мы будем предполагать, что найдется такая окрестность W0 ⊂ Ω 0 точки M 0 , что уравнения (1.19) и (1.20) имеют в области W0 общие интегралы
ϕ ( x, y ) = const и ψ ( x, y ) = const соответственно, причем функции ϕ и ψ
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дважды непрерывно дифференцируемы в этой области и ϕ y ( x, y ) ≠ 0 ,
ψ y ( x, y ) ≠ 0 для всех ( x, y ) ∈ W0 .
Таким образом, через точку M 0 проходят две характеристики
ϕ ( x, y ) = C 1 и ψ ( x, y ) = C 2 , где C 1 = ϕ ( x 0 , y0 ) , C 2 = ψ ( x 0 , y0 ) .
Из доказательства теоремы следует, что функции ξ = ϕ ( x , y ) ,
η = ψ ( x , y ) являются соответственно решениями уравнений
ξ x + λ1ξ y = 0 ,
(1.26)
η x + λ 2η y = 0
(1.27)
в области W 0 , а следовательно, и решениями уравнений (1.15) и (1.16) в
этой области.
Используя (1.26), (1.27), находим, что якобиан системы функций
ϕ ( x , y ) и ψ ( x , y ) равен
ϕx ϕy
− λ1ϕ y ϕ y
D (ϕ , ψ)
=
=
= ( λ2 − λ1 )ϕ yψ y ,
ψx ψy
− λ2 ψ y ψ y
D( x , y )
D (ϕ , ψ)
≠ 0 в данной обD( x , y )
ласти. Поэтому функции ϕ и ψ являются независимыми в области W 0 .
и, так как λ1 ≠ λ 2 , ϕ y ≠ 0 , ψ y ≠ 0 в области W 0 , то
В дальнейшем будем предполагать, что область W0 совпадает с рассмотренной ранее окрестностью V0 точки M 0 .
В уравнении (1.1) сделаем замену независимых переменных (1.2). При
этом, как показано выше, уравнение (1.1) переходит в уравнение (1.10). Так
как, в силу теоремы, функции (1.2) являются соответственно решениями
уравнений (1.15) и (1.16), то A 11 ( x, y ) = A 22 ( x, y ) = 0 для ( x, y ) ∈V0 .
Учитывая, что
ξ x = −λ1ξ y , η x = −λ 2η y , λ1 + λ 2 =
имеем
a2 − d a
2a12
, λ1 λ 2 = 12 2 = 22 ,
a11
a11
a11
A12 = a11 ξ xη x + a12 ⋅ (ξ xη y + ξ yη x ) + a 22 ξ yη y =
= [λ1 λ 2 a11 − ( λ1 + λ 2 ) a12 + a 22 ] ξ yη y = −
Отсюда следует, что A 12 ( x, y ) ≠ 0 в области V0 .
11
2d
ξ yη y .
a11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, при замене независимых переменных (1.2) уравнение
(1.1) приводится к следующему виду, называемому каноническим видом
(канонической формой) уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными:
∂ 2v
= F , (1.28)
∂ξ ∂ η
~
B
где F = −
2 A12
x = ϕ~ ( ξ,η)
y = ψ~ ( ξ,η)
.
Произведем в уравнении (1.28) замену независимых переменных
1
2
1
2
α = (ξ + η ) , β = (ξ − η )
и положим w ( α, β ) = v ( α + β , α − β ) = v ( ξ , η ) . Тогда
vξ =
vξ η =
1
1
( w α + w β ) , vη = ( w α − w β ) ,
2
2
1 ∂
1
( w α + w β ) = ( wαα − w ββ ) ,
2 ∂η
4
и мы приходим к так называемой второй канонической форме уравнений
гиперболического типа с двумя независимыми переменными:
∂ 2w ∂ 2w
−
= F1 ,
∂α 2 ∂ β 2
где F1 = 4 F
ξ =α +β
η = α −β
.
Б) Уравнения параболического типа
Пусть уравнение (1.1) имеет параболический тип в области W ⊂ Ω .
Пусть M 0 = ( x 0 , y 0 ) – некоторая фиксированная точка области W и
Ω 0 ⊂ W – окрестность точки M 0 , в которой a11 ( x, y ) ≠ 0 . Так как
d ( x, y ) = 0 в области W , то
λ1 ( x, y ) = λ 2( x, y ) =
a12 ( x, y )
a11 ( x, y )
для ( x, y ) ∈ Ω 0 . Поэтому уравнения (1.26) и (1.27) совпадают и сводятся к
одному уравнению
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ξx +
a12
ξy = 0.
a11
(1.29)
Так же, как и в случае уравнений гиперболического типа, мы будем
предполагать, что найдется окрестность V0 ⊂ Ω 0 точки M 0 , в которой
уравнение (1.19) имеет общий интеграл ϕ ( x, y ) = const , причем функция
ϕ дважды непрерывно дифференцируема в области V0 и ϕ y ( x, y ) ≠ 0 для
( x, y ) ∈V0 . Таким образом, через каждую точку M 0 ∈ W проходит одна характеристика ϕ ( x, y ) = C 1 , где C 1 = ϕ ( x 0 , y0 ) (иногда говорят, что через
точку M 0 проходят две характеристики, которые совпадают между собой).
В уравнении (1.1) сделаем замену независимых переменных
ξ = ϕ ( x , y ), η = x ;
(1.30)
D (ξ ,η )
= − ϕ y ≠ 0 в области V0 1).
D( x, y )
В силу теоремы, функция ξ = ϕ ( x , y ) является решением уравнения
(1.15), и поэтому A11 = 0 в области V0 . Используя (1.12), (1.13), (1.29),
(1.30), находим, что
при этом
A12 = a11ξ x + a12ξ y = 0 , A 22 = a11 ≠ 0 , ( x, y ) ∈V0 .
Таким образом, при замене независимых переменных (1.30) уравнение
(1.1) приводится к следующему виду, называемому каноническим видом
(канонической формой) уравнений параболического типа с двумя независимыми переменными:
∂ 2v
=F,
∂η2
~
B
где F = −
a 11
x= η
y = ψ~ ( ξ, η )
.
В) Уравнения эллиптического типа
Предварительно напомним определения и некоторые свойства аналитических функций от одной или двух переменных.
1)
В данном случае наряду с заменой переменных (1.30) можно использовать замену
ξ = ϕ ( x, y ) , η = ψ ( x, y ) , где ψ ( x, y ) — произвольная дважды непрерывно дифференD (ϕ , ψ)
цируемая функция, удовлетворяющая условию
мер, [8, гл. II, § 3]).
13
D( x, y )
≠ 0 в области V0 (см., напри-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функция f ( x ) , определенная в некоторой окрестности точки x 0 ∈ R ,
называется аналитической в точке x 0 , если существует такое число δ > 0 ,
что на интервале ( x 0 − δ , x 0 + δ ) (то есть в δ -окрестности точки x 0 ) она
представима в виде степенного ряда
f( x)=
∞
∑c (x− x
n
0
)n ,
(1.31)
n= 0
где с n – постоянные, называемые коэффициентами данного ряда.
Если функция f ( x ) является аналитической в точке x 0 , то можно показать, что она бесконечно дифференцируема на интервале ( x 0 − δ , x 0 + δ )
и коэффициенты ряда (1.31) имеют вид
f ( n)( x0 )
cn =
, n = 0, 1,…
n!
Ряд (1.31) с указанными коэффициентами c n носит название ряда Тейлора.
Функция f ( x ) называется аналитической на интервале Δ ⊂ R , если
она является аналитической (аналитична) в каждой точке этого интервала.
Рассмотрим теперь понятие аналитической функции
h ( z ) = α ( y, s ) + i β ( y, s )
комплексной переменной z = y + i s (здесь α ( y, s ) и β ( y, s ) – вещественнозначные функции, называемые соответственно вещественной и мнимой
частями функции h ( z ) ; i – мнимая единица). В дальнейшем через C ys будем обозначать комплексную плоскость точек z = y + i s .
Функция h ( z ) называется аналитической в области Q ⊂ C ys , если она
дифференцируема во всех точках этой области. Можно показать, что функция h ( z ) является аналитической в области Q тогда и только тогда, когда в
этой области существуют непрерывные частные производные функций α и
β по переменным y и s , связанные соотношениями (условиями) Коши –
Римана
α y ( y, s ) = β s ( y, s ) , α s ( y, s ) = − β y ( y, s ) , ( y, s ) ∈ Q
(см., например, [4, гл. 1, § 4]). При этом
h′ ( z ) = α y ( y, s ) + iβ y ( y, s ) = β s ( y, s ) − iα s ( y, s ) .
В теории функций комплексной переменной доказывается также, что
аналитическая в области Q функция h ( z ) бесконечно дифференцируема в
каждой точке z 0 ∈ Q и в некоторой окрестности этой точки является суммой своего ряда Тейлора:
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∞
h( z ) =
∑
n= 0
h( n )( z 0 )
( z − z 0 )n .
n!
При этом функции α ( y, s ) и β ( y, s ) бесконечно дифференцируемы в
области Q [5, гл. VI, п. 3].
Пусть C 2 – двумерное комплексное пространство точек w = x + i σ и
z = y + i s . Функция двух комплексных переменных p ( w, z ) называется
аналитической в точке ( w0 , z 0 ) = ( x 0 + i σ 0 , y0 + i s0 ) ∈ C 2 , если существуют числа ρ 1 > 0 и ρ 2 > 0 , такие, что при w − w 0 < ρ 1 , z − z 0 < ρ 2 она
является суммой абсолютно сходящегося двойного степенного ряда [1, § 38]
∞
p ( w, z ) =
∑c
mn
( w − w 0 )m ( z − z 0 )n .
(1.32)
m , n= 0
Здесь c mn – комплексные числа, называемые коэффициентами ряда
(1.32).
Можно доказать [6, гл. I, § 4], что при w − w 0 < ρ 1 , z − z 0 < ρ 2 аналитическая функция p ( w, z ) бесконечно дифференцируема по каждой из переменных w , z и
c mn =
1 ∂ m+ n p ( w0 , z0 )
, m , n = 0, 1,…
m! n ! ∂ w m∂ z n
Таким образом, ряд (1.32) является обобщением ряда Тейлора на случай функций двух комплексных переменных.
Пусть уравнение (1.1) имеет эллиптический тип в некоторой области
W ⊂ Ω . Тогда d ( x, y ) < 0 для ( x, y ) ∈ W и функции λ 1 ( x, y ) и λ 2 ( x, y )
принимают комплексные значения:
λ1 ( x , y ) =
a12 ( x, y ) + i − d ( x, y )
,
a 11 ( x, y )
λ2 ( x, y) =
a12 ( x, y ) − i − d ( x, y )
;
a 11 ( x, y )
при этом λ 1 ( x, y ) = λ 2 ( x, y ) . В дальнейшем будем считать, что коэффициенты a11 ( w, z ) , a12 ( w, z ) , a 22 ( w, z ) являются аналитическими функциями в
каждой
точке
M 0 = ( x 0 , y 0 ) ∈ W (рассматриваемой
как
точка
( x 0 + i 0 , y0 + i 0 ) пространства C 2 ). Тогда можно доказать (см. [7, гл. I,
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 3, 4; 9, гл. I, § 2, 6]), что для любой указанной точки M 0 найдется такая
окрестность V0 ⊂ W , в которой уравнение
ω x + λ 1 ( x, y )ω y = 0
(1.33)
имеет аналитическое решение ω = ω ( x, y ) = ϕ ( x, y ) + iψ ( x, y ) , причем
ω y ( x, y ) ≠ 0 для ( x, y ) ∈V0 (так же, как и раньше, предполагается, что
a11 ( x, y ) ≠ 0 в некоторой окрестности Ω 0 ⊂ W точки M 0 и V0 ⊂ Ω 0 ).
Из условия λ 1 = λ 2 и из (1.33) следует, что комплексно сопряженная к
ω функция удовлетворяет уравнению
ω x + λ 2 ( x, y )ω y = 0 , ( x, y ) ∈V0 .
(1.34)
Заметим, что ϕ и ψ бесконечно дифференцируемы в области V0 и эти
функции можно записать в виде
ϕ ( x, y ) =
1
[ω ( x, y ) + ω ( x, y ) ],
2
(1.35)
ψ ( x, y ) =
1
[ω ( x, y ) − ω ( x, y ) ].
2i
(1.36)
Используя (1.33) – (1.36), а также тот факт, что определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц (см. [2, гл. 1, § 1, 2]), находим, что
ϕx ϕy
ϕωω x + ϕω ω x ϕωω y + ϕω ω y
D (ϕ , ψ)
=
=
=
ψx ψy
ψ ωω x + ψ ω ω x ψ ωω y + ψ ω ω y
D( x , y )
=
ϕω ϕω ω x ω y
1 ωx ωy
1
⋅
=−
= (λ1 − λ 2 )ω yω y =
ψω ψω ωx ω y
2 i ω x ω y 2i
=
2
−d
ω y ≠ 0 , ( x, y ) ∈V0 .
a11
Отсюда следует, что функции ϕ и ψ являются независимыми в области V0 .
Так как функция ω ( x, y ) является решением уравнения (1.33) в области V0 , то в этой области она удовлетворяет и уравнению
a11ω x2 + 2a12 ω xω y + a 22ω 2y = 0 .
16
(1.37)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учитывая, что ω = ϕ + iψ и используя (1.37), находим, что
a11ϕ x2 + 2a12 ϕ xϕ y + a 22ϕ 2y = a11ψ x2 + 2a12 ψ xψ y + a 22ψ 2y ,
a11 ϕ xψ x + a12 ⋅ (ϕ xψ y + ϕ yψ x ) + a 22 ϕ yψ y = 0 .
(1.38)
(1.39)
В уравнении (1.1) сделаем замену независимых переменных (1.2). Используя выражения для коэффициентов уравнения (1.10) и формулы (1.38),
(1.39), получим, что уравнение (1.1) принимает вид
⎛ ∂ 2v ∂ 2v ⎞ ~
⎟ + B = 0.
A11 ⎜⎜
+
2
2 ⎟
∂
∂
ξ
η
⎝
⎠
(1.40)
Так как d ( x, y ) = a122 ( x, y ) − a11 ( x, y ) a 22 ( x, y ) < 0 , ( x, y ) ∈V0 , то, согласно критерию Сильвестра [2, гл. 7, § 4], квадратичная форма
a11( x, y ) t 12 + 2a12 ( x, y ) t 1 t 2 + a 22 ( x, y ) t 22
является знакоопределенной (положительно определенной при a11 ( x, y ) > 0
и отрицательно определенной при a11 ( x, y ) < 0 ). Отсюда следует, что коэффициенты A11 и A22 = A11 могут обратиться в нуль только в том случае, когда
ϕ x = ϕ y =ψ x =ψ y = 0 .
Однако, в силу условия ω y ( x, y ) = ϕ y ( x, y ) + iψ y ( x, y ) ≠ 0 , ( x, y ) ∈V0 ,
равенство ϕ y = ψ y = 0 не выполняется ни в одной точке области V0 . Поэтому A11 ( x, y ) ≠ 0 , ( x, y ) ∈V0 , и уравнение (1.40) можно разделить на A11 .
Таким образом, при замене независимых переменных (1.2) уравнение
(1.1) приводится к следующему виду, называемому каноническим видом
(канонической формой) уравнений эллиптического типа с двумя независимыми переменными:
∂ 2v ∂ 2v
+
=F,
∂ ξ 2 ∂η2
~
B
где F = −
A11
x = ϕ~ ( ξ, η )
y = ψ~ ( ξ, η )
.
Заметим теперь, что решения уравнений (1.19) и (1.20) при d < 0 принимают комплексные значения, и поэтому данные уравнения следует записывать в виде
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a ( x, y ) + i − d ( x, y )
dz
= λ 1 ( x, z ) = 12
dx
a 11 ( x, y )
a ( x, y ) − i − d ( x, y )
dz
= λ 2 ( x, z ) = 12
dx
a 11 ( x, y )
,
(1.41)
,
(1.42)
y= z
y= z
где z = y + i s и функции y = y ( x ) и s = s ( x ) принимают вещественные
значения. В дальнейшем будем рассматривать уравнение (1.41); уравнение
(1.42) можно рассматривать совершенно аналогично.
Предположим, что V0 = Δ 1 × Δ 2 , где
Δ 1 = { x : x 0 − δ 1 < x < x 0 + δ 1 }, Δ 2 = { y : y0 − δ 2 < y < y0 + δ 2 },
и δ 1 и δ 2 – достаточно малые положительные постоянные, такие, что
V0 ⊂ W и
def
ε 0 = inf
( x , y ) ∈V 0
a11( x, y ) > 0 .
Пусть D – область в комплексной плоскости C ys , содержащая отрезок
Δ 2 , в которой функции a11 ( x, z ) , a12 ( x, z ) , a 22 ( x, z ) являются аналитическими по переменной z при каждом фиксированном x ∈ Δ 1 , и D1 – ограниченная подобласть области D , содержащая отрезок Δ 2 и такая, что
D1 ⊂ D . Пусть α ( x, y, s ) и β ( x, y, s ) – вещественная и мнимая части
функции a11 ( x, z ) и
a ( x, y, s ) = α 2 ( x, y, s ) + β 2 ( x, y, s ) .
Так как функция a11 ( x, y ) принимает вещественные значения, то
α ( x, y, 0 ) = a11 ( x, y ) и β ( x, y, 0 ) ≡ 0 .
Из аналитичности функции a11 ( x, z ) следует, что функция a ( x, y, s )
непрерывна по совокупности переменных в замкнутой области Δ 1 × D1 , а
следовательно, и равномерно непрерывна в этой области. Поэтому для любого числа ε > 0 можно указать число δ = δ ( ε) > 0 , такое, что для любых
точек
x ∈ Δ1 ,
y * ∈ Δ 2 и всех ( y, s ) ∈ D1 , удовлетворяющих условию
( y − y * )2 + s 2 < δ , выполняется неравенство
a ( x, y, s ) − a ( x, y * , 0 ) < ε
и, следовательно,
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a ( x, y, s ) = a11 ( x, z ) > a ( x, y * , 0 ) − ε = a11 ( x, y * ) − ε > 0 ,
если 0 < ε < ε 0 .
Таким образом, при всех x ∈ Δ 1 функция a11 ( x, z ) отлична от нуля в
окрестности каждой точки z * = ( y* ,0 ) , где y *∈ Δ 2 . Кроме того, d ( x,z ) ≠ 0
при всех x ∈ Δ 1 и z ∈ G ′ , где G ′ ⊂ C ys – некоторая область, содержащая отрезок Δ 2 (так как функция d ( x,z ) непрерывна и d ( x, y ) < 0 для x ∈ Δ 1 и
y ∈ Δ 2 ). Отсюда и из аналитичности коэффициентов a11 ( x, z ) , a12 ( x, z ) ,
a 22 ( x, z ) следует, что при всех x ∈ Δ 1 функция λ 1 ( x, z ) является аналитической по переменной z в некоторой области G ⊂ C ys , содержащей отрезок
Δ2 .
Уравнение (1.41) эквивалентно системе двух уравнений относительно
вещественных функций y и s :
dy
= p ( x, y , s ) ,
dx
ds
= q ( x, y , s ) ,
dx
(1.43)
(1.44)
где p ( x, y , s ) и q ( x, y , s ) – соответственно вещественная и мнимая части
функции λ 1 ( x, z ) .
Так как функция λ 1 ( x, z ) является аналитической по каждой из переменных x ∈ Δ 1 и z ∈ G , то функции p ( x, y , s ) и q ( x, y , s ) непрерывны и
имеют непрерывные частные производные всех порядков на множестве
Δ 1 × G . Отсюда и из теоремы существования и единственности решения
системы обыкновенных дифференциальных уравнений [3, § 3] следует, что
система (1.43), (1.44) имеет единственное решение ~y ( x ) , ~
s ( x ) , удовлетворяющее начальным условиям
~y ( x ) = y , ~
0
0 s ( x0 ) = 0
~
и определенное на интервале Δ 1 = ( x 0 − σ, x 0 + σ ) ⊂ Δ 1 . Выбирая число δ 1
~
достаточно малым, можно считать, что Δ 1 = Δ 1 .
Предположим теперь, что интегрирование уравнения (1.41) приводит к
соотношению
ω ( x, z ) = C
(1.45)
( C = C 1 + i C 2 – комплексная постоянная), выполняющемуся на множестве
~
~ ~
~
Δ × G , где Δ – окрестность точки x 0 , содержащая интервал Δ 1 , G – область в комплексной плоскости C ys , содержащая интервал Δ 2 , причем
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
функция ω ( x, z ) является дифференцируемой по переменной x на интер~
~
вале Δ при каждом фиксированном z ∈ G , аналитической по переменной z
~
~
в области G при каждом фиксированном x ∈ Δ и
ω z ( x, z ) ≠ 0 (1.46)
при x ∈ Δ 1 , z = y ∈ Δ 2 . Соотношение (1.45) будем называть комплексным
общим интегралом уравнения (1.41).
Пусть ~
z ( x ) = ~y ( x ) + i ~
s ( x ) – решение уравнения (1.41), определенное
на интервале Δ 1 . Заметим, что функция ~z ( x ) не может тождественно равняться постоянной, так как правая часть уравнения (1.41) отлична от нуля.
Пусть
γ = {( y, s ) : y = ~y ( x ), s = ~s ( x ), x ∈ Δ }
1
– интегральная кривая на плоскости C ys , проходящая через точку ( y0 , 0 ) ,
~
которая отвечает решению z = ~
z ( x ) уравнения (1.41), и пусть C – комплексная постоянная, такая, что
~
ω ( x, ~z ( x ) ) = C , x ∈ Δ 1 .
(1.47)
Дифференцируя тождество (1.47) по x и используя (1.41), имеем:
ω x ( x, z ) + ω z ( x, z )
dz
dx
z = ~z ( x )
= ω x ( x, z ) + λ1( x, z )ω z ( x, z ) z = ~z ( x ) = 0 ,
x ∈ Δ1 ,
или, что то же самое,
ω x ( x, z ) + λ1( x, z )ω z ( x, z ) = 0 , x ∈ Δ 1 , z ∈ γ .
(1.48)
~
Пусть G ′′ = G ∩ G и γ ′ – произвольный участок кривой γ , лежащий в
области G ′′ . Очевидно, что функция в левой части равенства (1.48) является
аналитической по переменной z при каждом фиксированном x ∈ Δ 1 . Так
как данная функция обращается в нуль в точках кривой γ ′ ⊂ G ′′ , то, в силу
теоремы о единственности определения аналитической функции [4, гл. 2,
§ 3],
ω x ( x, z ) + λ1( x, z )ω z ( x, z ) = 0 , x ∈ Δ 1 , z ∈ G ′′ .
(1.49)
Так как область G ′′ содержит интервал Δ 2 , то из (1.49) следует, что
ω x ( x, y ) + λ1( x, y )ω y ( x, y ) = 0 , x ∈ Δ 1 , y ∈ Δ 2 .
20
(1.50)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть θ ( x, y, s ) и ζ ( x, y, s ) – вещественная и мнимая части функции
ω ( x, z ) . Тогда
ω ( x, y ) = ϕ ( x, y ) + i ψ ( x, y ) ,
где ϕ ( x, y ) = θ ( x, y, 0 ) , ψ ( x, y ) = ζ ( x, y, 0 ) .
Таким образом, функция ω ( x, y ) = ϕ ( x, y ) + i ψ ( x, y ) является решением уравнения (1.50) (или, что то же, (1.33)) в области V0 = Δ 1 × Δ 2 и, в силу (1.46), удовлетворяет в этой области условию ω y ( x, y ) ≠ 0 . Поэтому для
приведения уравнения (1.1) к каноническому виду можно использовать замену переменных (1.2), в которой ϕ ( x , y ) – вещественная часть, а
ψ ( x , y ) – мнимая часть функции ω ( x, y ) .
Примеры
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
1. u xx − 2 sin x u xy − ( 3 + cos 2 x )u yy − yu y = 0 . (1.51)
Решение
В данном случае a11 = 1 , a12 = − sin x , a 22 = −3 − cos 2 x ,
d ( x, y ) = sin 2 x + 3 + cos 2 x = 4 , ( x, y ) ∈ R 2 .
Таким образом, уравнение (1.51) имеет гиперболический тип на всей
плоскости xOy .
Уравнения (1.19) и (1.20) принимают вид
dy
= − sin x + 2 ,
dx
(1.52)
dy
= − sin x − 2 .
dx
(1.53)
Интегрируя уравнения (1.52), (1.53), имеем
y − cos x − 2 x = C 1 ,
(1.54)
y − cos x + 2 x = C 2 ,
(1.55)
где C 1 и C 2 – произвольные постоянные. Соотношения (1.54) и (1.55) являются соответственно общими интегралами уравнений (1.52) и (1.53).
В уравнении (1.51) произведем замену независимых переменных
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ξ = y − cos x − 2 x , η = y − cos x + 2 x .
(1.56)
Используя формулы (1.4) – (1.9), находим, что
u y = vξ + vη ,
(1.57)
u xx = vξξ ⋅ ( sin 2 x − 4 sin x + 4 ) + 2vξη ⋅ ( sin 2 x − 4 ) +
+ vηη ⋅ ( sin 2 x + 4 sin x + 4 ) + ( v ξ + v η ) cos x ,
u xy = vξξ ⋅ ( sin x − 2 ) + 2vξη sin x + vηη ⋅ ( sin x + 2 ) ,
u yy = vξξ + 2vξη + vηη .
(1.58)
(1.59)
(1.60)
Подставляя выражения (1.57) – (1.60) в (1.51), получим, что функция
v = v ( ξ, η ) удовлетворяет уравнению
vξη +
1
( y − cos x ) ( v ξ + v η ) = 0 .
16
(1.61)
Из соотношений (1.56) следует, что
1
y − cos x = ( ξ + η ) .
2
(1.62)
Подставляя (1.62) в (1.61), приходим к каноническому виду уравнения
(1.51):
vξη +
1
( ξ + η )( v ξ + v η ) = 0 .
32
2. x 2 y u xx − 2 xy 2 u xy + y 3 u yy − x 2 u x = 0 .
(1.63)
Решение
В данном случае a11 = x 2 y , a12 = − xy 2 , a 22 = y 3 ,
d ( x, y ) = 0 , ( x, y ) ∈ R 2 .
Таким образом, уравнение (1.63) имеет параболический тип на всей
плоскости xOy .
При x = 0 или y = 0 уравнение (1.63) вырождается и не представляет
интереса для исследования. Поэтому в дальнейшем будем считать, что
x ≠ 0 и y ≠ 0.
Уравнение (1.19) принимает вид
dy
y
=− .
(1.64)
dx
x
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из (1.64) следует соотношение
dy
dx
=− .
y
x
(1.65)
Интегрируя уравнение (1.65), приходим к общему интегралу уравнения
(1.64):
xy = C ,
(1.66)
где C – произвольная постоянная, не равная нулю (так как x ≠ 0 и y ≠ 0 ).
В уравнении (1.63) произведем замену независимых переменных
ξ = xy, η = x.
(1.67)
Используя формулы (1.4) – (1.9), находим, что
u x = vξ y + vη ,
(1.68)
u xx = vξξ y 2 + 2vξη y + vηη ,
(1.69)
u xy = vξξ xy + vξη x + vξ ,
(1.70)
u yy = vξξ x 2 .
(1.71)
Подставляя выражения (1.68) – (1.71) в (1.63), получим уравнение
x 2 y vηη − ( 2 xy 2 + x 2 y ) v ξ − x 2 v η = 0 .
(1.72)
Из (1.67) следует, что
x =η , y =ξ η .
(1.73)
Разделив уравнение (1.72) на x 2 y и используя (1.73), приходим к каноническому виду уравнения (1.63):
vηη −
2ξ + η 2
η
2
vξ −
η
v = 0.
ξ η
3. 2 y 2 u xx − 2 xy u xy + x 2 u yy + xu x = 0 . (1.75)
Решение
В данном случае
a11 = 2 y 2 , a12 = − xy , a 22 = x 2 ,
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
d ( x, y ) = − x 2 y 2 ,
− d ( x, y ) = x y , ( x, y ) ∈ R 2 .
(1.76)
Таким образом, уравнение (1.75) имеет эллиптический тип на множестве x ≠ 0 и y ≠ 0 , то есть в каждой из областей
Ω 1 = {( x, y ) : x > 0, y > 0}, Ω 2 = {( x, y ) : x < 0, y > 0},
Ω 3 = {( x, y ) : x < 0, y < 0}, Ω 4 = {( x, y ) : x > 0, y < 0}
плоскости xOy . На осях координат y = 0 и x = 0 уравнение (1.75) вырождается и не представляет интереса для исследования.
Рассмотрим приведение уравнения (1.75) к каноническому виду в любой из областей Ω 1 , Ω 2 , Ω 3 , Ω 4 .
Предположим вначале, что ( x, y ) ∈ Ω 1 ∪ Ω 3 , и, следовательно,
− d ( x, y ) = x y .
В соответствии с изложенной выше теорией будем использовать уравнение
dz a12 ( x, y ) + i − d ( x, y )
=
dx
a11( x, y )
(1.77)
y= z
относительно комплекснозначной неизвестной функции
z( x ) = y ( x ) + i s ( x ) .
Подставляя (1.76) в (1.77), получим уравнение
dz
( − 1 + i )x
=−
.
dx
2z
(1.78)
Из (1.78) следует соотношение
2z d z = ( − 1 + i )x d x .
(1.79)
Интегрируя (1.79), приходим к комплексному общему интегралу уравнения (1.78):
x2
x2
z +
−i
=C,
2
2
2
где C – произвольная комплексная постоянная.
Таким образом, в данном случае
x2
x2
,
ω ( x, z ) = z +
−i
2
2
2
и
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x2
x2
ω ( x, y ) = ω ( x, y + i 0 ) = y +
.
−i
2
2
2
В уравнении (1.75) произведем замену независимых переменных
ξ = y2 +
x2
x2
,η=− .
2
2
(1.80)
Используя формулы (1.4) – (1.9), находим, что
u x = vξ x − vη x ,
(1.81)
u xx = vξξ x 2 − 2vξη x 2 + vηη x 2 + vξ − vη ,
(1.82)
u xy = 2vξξ xy − 2vξη xy ,
(1.83)
u yy = 4vξξ y 2 + 2vξ .
(1.84)
Подставляя выражения (1.81) – (1.84) в (1.75), получим уравнение
2 x 2 y 2 vξξ + 2 x 2 y 2 vηη + ( 3 x 2 + 2 y 2 )vξ − ( x 2 + 2 y 2 )vη = 0 .
(1.85)
Из (1.80) следует, что
x2
x = −2η , y = ξ −
=ξ +η .
2
2
2
(1.86)
Разделив уравнение (1.85) на 2 x 2 y 2 и используя (1.86), приходим к каноническому виду уравнения (1.75):
vξξ + vηη +
2η − ξ
ξ
vξ +
vη = 0 .
2η (ξ + η)
2η (ξ + η)
(1.87)
Если ( x, y ) ∈ Ω 2 ∪ Ω 4 , то − d ( x, y ) = − x y . В этом случае вместо
уравнения (1.77) будем использовать уравнение
dz a12 ( x, y ) − i − d ( x, y )
=
dx
a11( x, y )
(1.88)
y= z
(иными словами, вместо уравнения (1.41) будем использовать уравнение
(1.42)). Подставляя (1.76) в (1.88), получаем снова уравнение (1.78) и приходим к замене переменных (1.80). Поэтому при использовании указанной
замены переменных уравнение (1.75) имеет в областях Ω 2 и Ω 4 тот же канонический вид (1.87), что и в областях Ω 1 и Ω 3 .
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 2. Дифференциальные уравнения со многими
независимыми переменными
Рассмотрим квазилинейное уравнение с частными производными второго порядка
n
⎛
∂ 2u
∂u
∂u ⎞
⎟⎟ = 0 ,
(2.1)
ai j
, ,
+ B ⎜⎜ x , u ,
x
x
x
x
∂
∂
∂
∂
1
i
j
n ⎠
⎝
i , j =1
∑
где x = ( x1 ,… , x n ) – вектор независимых переменных (здесь n ≥ 2 ),
a i j = a i j ( x ) и B – заданные функции (функции a i j называются коэффициентами уравнения (2.1)). Будем предполагать, что уравнение (2.1) задано в
некоторой области Ω ⊂ R n , причем a i j ( x ) = a j i ( x ) для всех x ∈ Ω и
i , j = 1,…, n .
Предположим вначале, что коэффициенты a i j постоянны в области Ω .
В уравнении (2.1) сделаем линейную замену независимых переменных
n
yk =
∑c
km
x m , k = 1,…, n ,
(2.2)
m =1
или, в векторной форме
y = Cx ,
где y = ( y1 ,… , y n ) , C – матрица с элементами c km , k , m = 1,…, n . Мы предполагаем, что преобразование (2.2) неособенное, то есть определитель матрицы C отличен от нуля; при этом
x = C −1 y .
(2.3)
Обозначим v ( y ) = u( C −1 y ) = u ( x ) . Используя правило дифференцирования сложной функции от нескольких переменных, имеем
∂u
=
∂ xi
∂2u
=
∂ xi ∂ x j
n
∑
k =1
∂ v ∂ yk
=
∂ yk ∂ xi
∂ ⎛ ∂v
⎜⎜
ck i
∂
x
j ⎝ ∂ yk
k =1
n
∑
∂v
,
∂ yk
(2.4)
n
⎞
∂ 2v
⎟⎟ =
ck i cl j
,
∂
y
∂
y
l
k
⎠ k , l =1
(2.5)
n
∑
ck i
k =1
∑
i , j = 1,…, n .
Подставляя (2.3) – (2.5) в (2.1), получим уравнение относительно новой
неизвестной функции v ( y ) :
n
∑
k , l =1
a~k l
∂ 2v
∂v
~⎛
,
+ B ⎜⎜ y , v ,
∂ yl ∂ yk
∂ y1
⎝
26
,
∂v ⎞
⎟ = 0,
∂ y n ⎟⎠
(2.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где
a~k l =
n
∑a
ij
c k i c l j , k , l = 1,…, n .
(2.7)
i , j =1
Задание 3. Повторить темы: «Квадратичные формы», «Приведение
квадратичной формы к сумме квадратов», «Закон инерции квадратичных
форм» из курса линейной алгебры [2, гл. 7, § 2, 3, 4].
Легко видеть, что формула (2.7) преобразования коэффициентов
a i j совпадает с формулой преобразования коэффициентов квадратичной
формы
n
Q( η ) =
∑a
ij
η i η j , η = ( η1 ,… , ηn ) ,
(2.8)
i , j =1
если в ней произвести линейное преобразование независимых переменных
ηi =
n
∑c
ki
ξ k , i = 1,…, n
(2.9)
k =1
(то есть η = C T ξ , где C T – матрица, транспонированная к матрице C ,
ξ = ( ξ 1 ,… ,ξ n ) ), приводящее (2.8) к виду
~
Q( ξ ) =
n
∑ a~
kl
ξk ξl .
k , l =1
В курсе линейной алгебры доказывается, что всегда можно выбрать
матрицу C так, что a~k l = 0 при k ≠ l , a~kk = β k , k = 1,…, n , где каждое из
чисел β k равно либо 1, либо − 1 , либо 0. Тогда в результате преобразования
(2.9) квадратичная форма (2.8) принимает следующий канонический вид:
~
Q( ξ ) = β 1ξ 12 +
+ β nξ n2 .
Соответственно, уравнение (2.1) с постоянными коэффициентами a i j
при преобразовании независимых переменных y = Cx принимает канонический вид
∂ 2v ~ ⎛
∂v
β k 2 + B ⎜⎜ y , v ,
,
∂
∂
y
y
⎝
k
1
k =1
n
∑
,
∂v ⎞
⎟ = 0.
∂ y n ⎟⎠
(2.10)
Согласно закону инерции квадратичных форм число положительных,
отрицательных и нулевых коэффициентов β k зависит только от коэффици27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ентов a i j и не зависит от преобразования (2.9). Данный факт позволяет
классифицировать дифференциальные уравнения (2.1) в зависимости от
значений их коэффициентов a i j .
Уравнение (2.1) (с постоянными коэффициентами a i j ) называется
уравнением эллиптического типа, если все коэффициенты β k , k = 1,…, n в
(2.10) отличны от нуля и имеют один и тот же знак. Уравнение (2.1) называется уравнением гиперболического типа, если все коэффициенты β k отличны от нуля и все коэффициенты, кроме одного, имеют один и тот же знак, а
оставшийся коэффициент имеет противоположный знак. Уравнение (2.1)
называется уравнением ультрагиперболического типа, если все коэффициенты β k отличны от нуля и имеется больше одного положительного и
больше одного отрицательного коэффициента. Уравнение (2.1) называется
уравнением параболического типа, если один из коэффициентов β k равен
нулю, а все остальные коэффициенты имеют одинаковые знаки.
Если в уравнении (2.1) коэффициенты a i j переменные, то для любой
фиксированной точки x 0 ∈ Ω уравнение
⎛
∂ 2u
∂u
ai j ( x )
+ B ⎜⎜ x , u ,
,
∂ x i ∂x j
∂ x1
⎝
i , j =1
n
∑
0
,
∂u ⎞
⎟=0
∂ x n ⎟⎠
(2.11)
можно привести к каноническому виду (2.10) с помощью соответствующего
линейного преобразования независимых переменных. При этом матрица
данного преобразования и коэффициенты β k будут зависеть от точки x 0 .
Говорят, что уравнение (2.1) с переменными коэффициентами
a i j = a i j ( x ) является уравнением эллиптического (гиперболического, ультрагиперболического, параболического) типа в точке x 0 ∈ Ω , если соответствующий тип имеет уравнение (2.11) с постоянными коэффициентами
a i j ( x 0 ) . Уравнение (2.1) называется уравнением эллиптического (гиперболического, ультрагиперболического, параболического) типа в некоторой
подобласти Ω′ ⊂ Ω , если оно имеет данный тип в любой точке x 0 ∈ Ω′ .
В общем случае в каждой фиксированной точке x 0 ∈ Ω существует
свое преобразование независимых переменных, приводящее уравнение
(2.11) к каноническому виду, и уравнение (2.1) может принадлежать к различному типу в различных точках области Ω . Возникает вопрос о том,
можно ли найти неособенное преобразование независимых переменных (не
обязательно линейное), которое приводило бы уравнение (2.1) к каноническому виду в некоторой окрестности точки x 0 ∈ Ω , если во всех точках
этой окрестности уравнение принадлежит к одному и тому же типу. В случае n ≥ 3 ответ на этот вопрос, вообще говоря, отрицательный [10, гл. I].
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Как показано в § 1 настоящего пособия, в случае n = 2 при определенных
предположениях относительно коэффициентов a i j такое преобразование
существует в некоторой окрестности каждой точки области Ω .
Примером уравнения эллиптического типа является уравнение Пуассона
Δ u ( x ) = f ( x ),
где
n
Δ=
∑
i =1
∂2
∂ x i2
− дифференциальный оператор Лапласа, f – заданная функция; примером
уравнения гиперболического типа – волновое уравнение
∂ 2 u ( x, t )
− a 2 Δ u ( x, t ) = f ( x, t )
2
∂t
(2.10)
(здесь x = ( x1 ,… , x n ) – вектор пространственных переменных, t – время,
a > 0 – заданная постоянная); примером уравнения параболического типа –
уравнение теплопроводности
∂ u ( x, t )
− a 2 Δ u ( x, t ) = f ( x, t ) .
∂t
(2.11)
Упражнение 3. Объясните, почему уравнение (2.10) является уравнением гиперболического типа, а (2.11) – уравнением параболического типа.
Задачи
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
1. u xx + 2u xy − 8u yy + 2u x + 4u y = 0 .
2. u xx − 4u xy + 4u yy + u x + 3u y = 0 .
3. u xx − 8u xy + 17 u yy + u x + 2u y = 0 .
4. y 2 u xx + 2 xy u xy − 3 x 2 u yy + x u x + y u y = 0 .
(I)
Указание. Рассмотреть отдельно приведение данного уравнения к каноническому виду в первой и третьей четвертях, а затем во второй и чет29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вертой четвертях плоскости xOy (то есть во введенных ранее областях Ω 1 ,
Ω 3 и Ω 2 , Ω 4 ).
5. sin 2 y u xx − 2 x sin y u xy + x 2 u yy + cos y u x = 0 .
6. ( y 2 + 1 ) u xx + ( x 2 + 1 ) u yy −
x( y 2 + 1 )
y( x 2 + 1 )
u
−
uy = 0 .
x
x2 + 1
y2 + 1
Указание. При интегрировании дифференциального уравнения, являющегося следствием уравнения (1.41), использовать формулу
∫
x 2 + a 2 dx =
(
x
a2
x 2 + a 2 + ln x +
2
2
)
x 2 + a 2 + C , a = const .
Данная формула остается справедливой и при замене x на комплексную переменную z ; при этом под выражением ln w , где w – комплексная
переменная, не равная нулю, понимается главная ветвь логарифмической
функции Ln w , то есть
ln w = ln w + i arg w
(см., например, [4, гл. 1, § 5, гл. 3, § 1, 2]).
7. u xx − 2 x u xy = 0 .
8. y u xx + u yy = 0 (уравнение Трикоми).
Ответы
1. Уравнение гиперболического типа на всей плоскости xOy ;
1
2
vξη + vξ − vη = 0 , ξ = y − 4 x , η = y + 2 x .
9
9
2. Уравнение параболического типа на всей плоскости xOy ;
vηη + 5vξ + vη = 0 , ξ = y + 2 x , η = x .
3. Уравнение эллиптического типа на всей плоскости xOy ;
vξξ + vηη + 6vξ − vη = 0 , ξ = y + 4 x , η = − x .
4. Уравнение гиперболического типа при x ≠ 0 , y ≠ 0 ;
vξη +
3η − ξ
ξ +η
vξ − 2
vη = 0 ,
2
6η − 2ξ − 4ξ η
6η − 2ξ 2 − 4ξ η
2
30
(II)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
2
1
2
ξ = ( y2 − 3x2 ), η = ( x2 + y2 ).
(III)
Примечание. При рассмотрении уравнения (I) в областях Ω 1 и Ω 3 используется замена переменных (1.2), в которой ϕ ( x , y ) и ψ ( x , y ) – левые
части формул, задающих общие интегралы уравнений
d y a12 ( x, y ) + d ( x, y )
=
(IV)
dx
a 11 ( x, y )
и
d y a12 ( x, y ) − d ( x, y )
=
(V)
dx
a 11 ( x, y )
соответственно. При рассмотрении уравнения (I) в областях Ω 2 и Ω 4 используется замена переменных (1.2), в которой ϕ ( x , y ) и ψ ( x , y ) – левые
части формул, задающих общие интегралы уравнений (V) и (IV) соответственно. В результате, учитывая, что d ( x, y ) = 4 x 2 y 2 и d ( x, y ) = 2 x y , получаем во всех случаях для переменных ξ и η одни и те же выражения
(III).
Если использовать замену (III) в случае областей Ω 1 и Ω 3 , а в случае
областей Ω 2 и Ω 4 использовать замену переменных
1
2
1
2
ξ = ( x2 + y2 ) , η = ( y2 − 3x2 )
(то есть замену (1.2), в которой ϕ ( x , y ) и ψ ( x , y ) – левые части формул,
задающих общие интегралы уравнений (IV) и (V) соответственно), то в областях Ω 2 и Ω 4 уравнение (I) приводится к каноническому виду
vξη −
ξ +η
3ξ − η
v
+
vη = 0
ξ
6ξ 2 − 2η 2 − 4ξ η
6ξ 2 − 2η 2 − 4ξ η
(левая часть этого уравнения получается из левой части уравнения (II) при
замене ролями переменных ξ и η ).
5. Уравнение параболического типа при x ≠ 0 , y ≠ kπ , k = 0, ± 1, ± 2,… ;
vηη +
4 − 4ξ 2 + 2η 3 + η 4 − 4ξη
2η 2 − 4ξ
v
+
vη = 0 ,
ξ
4 − 4ξ 2 − η 4 + 4ξ η 2
4 − 4ξ 2 − η 4 + 4ξ η 2
x2
ξ=
− cos y , η = x .
2
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Уравнение эллиптического типа на всей плоскости xOy ;
vξξ + vηη = 0 ,
ξ=
y
2
η=−
y2 + 1 +
(
)
1
ln y +
2
y2 + 1 ,
(
1
x
x 2 + 1 − ln x +
2
2
)
x2 + 1 .
7. Уравнение гиперболического типа при x ≠ 0 ;
vξη +
1
vη = 0 , ξ = y , η = x 2 + y .
2 ( ξ− η)
8. Уравнение эллиптического типа при y > 0 ,
2
1
vξ = 0 , ξ = y 3 2 , η = − x ;
3
3ξ
уравнение гиперболического типа при y < 0 ,
vξξ + vηη +
vξη −
1
( vξ − vη ) = 0 ,
6( ξ − η )
2
3
2
3
ξ = x − ( − y )3 2 , η = x + ( − y )3 2 .
Литература
1. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : в 3 т. / Л. Д. Кудрявцев. – М. : Высш. шк., 1988. – Т. 2. – 576 с.
2. Ильин В. А. Линейная алгебра / В. А. Ильин. – М. : Наука, 1984. –
295 с.
3. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения /
Л. С. Понтрягин. – М. : Наука, 1982. – 332 с.
4. Свешников А. Г. Теория функций комплексной переменной /
А. Г. Свешников. – М. : Наука, 1974. – 320 с.
5. Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций /
А. И. Маркушевич. – М. : Наука, 1978. – 416 с.
6. Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных
переменных / В. С. Владимиров. – М. : Наука, 1964. – 412 с.
7. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. – М. : Наука, 1976. – 528 с.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. Кошляков Н. С. Уравнения в частных производных математической
физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. – М. : Высш. шк.,
1970. – 712 с.
9. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И. Г. Петровский. – М. : Физматгиз, 1961. – 400 с.
10. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов,
А. А. Самарский. – М. : Наука, 1977. – 736 с.
11. Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения
колебаний : учеб.-метод. пособие / сост. А. А. Куликов. – Воронеж : ИПЦ
ВГУ, 2011. – 71 с.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕДЕНИЕ
К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Учебно-методическое пособие для вузов
Составитель
Куликов Александр Александрович
Корректор В. П. Бахметьев
Компьютерная верстка Н. А. Сегида
Подписано в печ. 28.08.2012. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 1,9. Тираж 50 экз. Заказ 491.
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. (факс): +7 (473) 259-80-26
http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@ppc.vsu.ru
Отпечатано в типографии
Издательско-полиграфического центра
Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. +7 (473) 220-41-33
34
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
135
Размер файла
419 Кб
Теги
виду, частными, каноническому, уравнения, приведения, производными, классификация, 2121, порядке, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа