close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

2947.653.Задачи по электродинамике. Ч. 2 Переменные электромагнитные поля

код для вставкиСкачать
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
???????????? ??????????? ? ????? ??
??????????? ??????????????? ?????????
??????????????? ??????????
??????? ????????????????? ???????????
«??????????? ??????????????? ???????????»
?.?. ???????????, ?.?. ??????????
?????? ?? ???????????????.
????? 2.
?????????? ???????????????? ????
???????
???????????? ??? ???
2015
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Утверждено научно-методическим советом изического
акультета 17 апреля 2015 г., протокол ќ4.
ецензент - доктор изико-математических наук, проессор
А.М. Бобрешов
Подготовлено на каедре теоретической изики изического акульте
та Воронежского государственного университета.
екомендовано студентам 3 курса дневного отделения изического а
культета
Для направлений:
03.03.03 адиоизика,
11.03.04 Электроника и наноэлектроника.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Настоящее пособие предназначается для практических занятий по
электродинамике для студентов 3 курса изического акультета в 6-м
учебном семестре. Оно представляет собой продолжение пособия ѕЗа
дачи по электродинамике. Часть 1. Стационарные электромагнитные по
ляї [1?, используемого для практических занятий в 5-м семестре, и предо
ставляет студентам дополнительный к лекционному курсу учебно-мето
дический материал для изучения теории переменных электромагнитных
полей и специальной теории относительности.
Основное содержание настоящего пособия составляют задачи по элек
тродинамике нестационарных полей, начиная от квазистационарных по
лей медленно движущихся зарядов (раздел 1), теории излучения (разде
лы 2 5) и заканчивая теорией рассеяния плоских электромагнитных
волн свободными и связанными зарядами (разделы 6 7). Заключитель
ная часть пособия (раздел 8) посвящена вопросам специальной теории
относительности, включая задачи по релятивистской механике и реляти
вистской электродинамике.
Материал данного пособия представлен в последовательности, соот
ветствующей схеме изложения курса ѕЭлектродинамикаї студентам днев
ного отделения изического акультета специальностей ѕадиоизи
каї, ѕЭлектроникаї и ѕФизика инормационных системї. Каждый раз
дел содержит основной теоретический материал и рабочие ормулы,
требующиеся для решения соответствующих практических заданий. По
дробное изложение теории и изической сути рассматриваемых вопро
сов можно найти в курсе лекций, а также в учебниках и монограиях
по электродинамике, часть которых дана в списке литературы [2 5?.
Помимо лекционного курса, успешное усвоение предлагаемого мате
риала основывается на знании элементов векторного и тензорного ана
лиза, теории обобщенных ункций, ункции комплексного переменно
го, обыкновенных диеренциальных уравнений и уравнений в частных
производных [6?.
Дополнительный к представленному в данном пособии набор задач
можно найти сборниках [7 9?.
Введение
Основу электродинамики переменных полей составляют уравнения
Максвелла для векторов напряженности E, H и индукции D, B элек
3
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
трического и магнитного полей:
?
1 ?B ?
rotE = ?
,
c ?t
?
divB = 0
?
1 ?D ?
4?
j+
rotH =
.
c
c ?t
?
divD = 4??
(1)
Между векторами индукции и напряженности полей существует взаи
мосвязь, выражающаяся материальными уравнениями. Для однородных
изотропных сред без дисперсии эти уравнения имеют вид:
D = E + 4?P = ?E, B = H + 4?I = µH,
где P = ?E вектор электрической, I = ?H магнитной поляризации
(электрический и магнитный дипольные моменты единицы объема) ве
щества с электрической поляризуемостью ? и магнитной восприимчи
востью ? , ? = 1 + 4?? диэлектрическая, µ = 1 + 4?? магнитная
проницаемости среды. Плотности свободных зарядов ? и токов j связаны
между собой уравнением непрерывности:
??
+ divj = 0.
?t
На заряженных с плотностью ? и токонесущих поверхностях с плотно
стью тока j векторы поля испытывают разрыв, определяющийся поверх
ностными уравнениями, следующими из объемных уравнений (1):
[n Ч (E2 ? E1 )] = 0
(n · (B2 ? B1)) = 0
4? )
i
[n Ч (H2 ? H1 )] =
,
c
(n · (D2 ? D1 )) = 4??
,
(2)
здесь n единичный вектор-нормаль к поверхности раздела, проведен
ный из области 1 в область 2 (этим областям соответствуют индексы
у векторов поля). Поверхностное уравнение непрерывности заряда при
этом имеет вид:
??
= (n · (j1 ? j2 )).
?t
Наряду со свободными токами и зарядами в веществе имеются связан
ные токи и заряды, макроскопические плотности которых определяются
соотношениями:
? св. = ?divP, j св. = с · rot I.
Соответствующие поверхностные уравнения имеют вид:
?
св
.
= (n · (P1 ? P2 )), i
4
.
св
= с [n Ч (I2 ? I1 )].
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
В вакууме P = 0, I = 0, ? = µ = 1, и D = E, B = H. Поэтому в даль
нейшем поле в отсутствие вещества будем определять только векторами
напряженности E и H.
1.
Квазистационарное электромагнитное
поле
В квазистационарных (медленно меняющихся во времени) полях вы
полняется соотношение:
?f 1 ?f ,
? c ?t ?xi где f одна из компонент векторов напряженности электрического или
магнитного поля. Изменение распределения свободных зарядов здесь
??
? 0, так что уравнение непре
также считается несущественным, т.е.
?t
рывности заряда принимает вид:
divj = 0.
Кроме того, током смещения можно пренебречь по сравнению с током
проводимости:
1 ?E ? |j| .
4? ?t Таким образом, уравнения Максвелла для квазистационарного поля
примут вид:
4?
1 ?H
rotH =
j,
rotE = ?
,
(3)
c
c ?t
divE = 4??.
divH = 0,
В отличие от стационарного электрическое поле здесь имеет вихре
вую компоненту с э.д.с., определяющейся законом Фарадея:
Z
1 ??
,
? = (H · dS),
E =?
c ?t
S
? поток вектора H через поверхность S , охватываемую контуром, в
котором наводится э.д.с. E .
5
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
1.1.
Магнитное поле медленно движущихся зарядов
Показать, что закон Био-Савара, который для линейного
тока можно представить в виде
Z
I
[dl Ч R]
H(r) =
,
c
R3
Задача 1.1.
L
где R = r?r? радиус вектор, проведенный из элемента тока dl с коор
динатой r? в точку наблюдения с координатой r, является следствием
системы уравнений Максвелла для квазистационарного поля.
Векторный потенциал A вводится соотношением:
H = rot A.
(4)
Подчиняя A условию калибровки потенциала divA = 0, получим после
подстановки (4) в (3) уравнение Пуассона:
?2 A = ?
4?
j.
c
Z
j(r?, t) ?
1
dr . Теперь
ешение этого уравнения имеет вид A(r, t) =
c
|r ? r? |
вернемся к H:
Z
1
j(r?, t) ?
H = rot A = [? Ч A] =
dr .
?Ч
c
|r ? r? |
?
Так как A зависит только от r и t, то ? =
и его можно внести
?r
под знак интеграла:
Z Z 1
j(r? , t) ?
1
1
?
dr =
Ч j(r , t) dr? =
?Ч
?
H=
?
?
c
|r ? r |
c
|r ? r |
Z
Z
?
r
?
r
1
1
1
1
·
Ч j(r?, t) dr? =
Ч j dr?.
grad
?
=
?
?
2
?
c
|r ? r |
c
|r ? r | |r ? r |
Обозначим r ? r? ? R, тогда
Z
1
[j(r? , t) Ч R] ?
(5)
H(r, t) =
dr .
c
R3
Перейдем от объемного тока к линейному с использованием ормаль
ной замены в подинтегральном выражении: j dr? ? I · dl? . В результате
получим:
Z
[dl Ч R]
I
.
H(r) =
c
R3
L
6
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Определить квазистационарное поле точечного заряда e,
движущегося с постоянной скоростью V.
Для решения задачи нам нужно задать плотности распределения за
ряда и тока. Это удобно сделать, используя дельта-ункцию, так как
такая запись не противоречит условию задачи: в точке, где находится
заряд, плотность будет равна e, в остальных точках пространства она
будет равна 0:
Задача 1.2.
?(r, t) = e ?(r ? R (t)),
j(r, t) = eV?(r ? R (t)),
где R (t) = R0 + V t координата заряда в момент времени t (R0 координата в начальный момент времени t = 0). Пренебрегая вихревой
1 ?H
= 0 (условие квазистационарно
компонентой электрического поля
c ?t
сти поля), можно ввести потенциал ?:
E = ?grad ?.
Подставляя это соотношение в (3), получим уравнение Пуассона для ?,
решение которого имеет вид:
?(r, t) =
e
.
|r ? R (t)|
Для напряженности поля отсюда получаем:
E=
e
(r ? R (t)).
|r ? R (t)|3
Таким образом, электрическое поле медленно движущегося заряда в
каждый момент времени t совпадает с полем неподвижного заряда, на
ходящегося в точке R (t), и перемещается в пространстве вместе с заря
дом-источником со скоростью V. Подставляя j в соотношение (5) для
магнитного поля, получим:
e
r ? R (t)
1
H(r, t) =
VЧ
= [V Ч E(r, t)] .
3
c
|r ? R (t)|
c
убедитесь, что полученные выражения для E и H удовлетво
ряют уравнениям Максвелла (1) с учетом тока смещения:
Замечание:
j
.
см
=
1 ?E
.
4? ?t
7
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
1.2.
Магнитный момент замкнутого тока
Найти напряженность магнитного поля, создаваемого
тонким кольцом радиуса a с током J на больших расстояниях от коль
ца r ? a.
Напряженность магнитного поля замкнутого тока на больших рас
стояниях определяется выражением
Задача 1.3.
3n(M · n) ? M
,
H(r) =
r3
Z
r
1
[r? Ч j(r?)]dr? магнитный момент тока. Для
где n = ,
M =
r
2c
vI
J
J
линейного тока M =
[r? Ч dl] = S , где S векторная площадь
2c
c
L
поверхности, ограниченной контуром с током L. Для кольца S = ?a2 ? ,
где ? единичный векторнормаль к плоскости кольца, образующий с
направлением тока J правовинтовую систему. Таким образом,
?a2 J
{3n(? · n) ? ?}.
H(r) =
cr3
Шар радиуса a с полным зарядом q равномерно вращается
с угловой скоростью ? . Определить магнитный момент шара, если
заряд распределен равномерно: а) по объему шара, б) по поверхности
шара.
Задача 1.4.
а) Исходя из общей ормулы для определения магнитного мо
мента:
Z
1
[r ? Ч j (r ?)] d r ?
M=
2c
z
w
a
V
с учетом того, что плотность тока можно записать через угло
вую скорость вращения шара j = ?v = ? [? Ч r ?], раскрывая
двойное векторное произведение имеем:
Z
Z
1
1
?2
?
M=
??r d V ?
??z ? r ? d V ? .
2c
2c
V
ис. 1
V
Дальнейшие вычисления проводим в серической системе координат
{r, ?, ?}, определяющей декартовы координаты радиус-вектора r = x i +
y j + z k соотношениями
x = r sin ? cos ?,
y = r sin ? sin ?,
8
z = r cos ?;
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
dV = sin ? d? d? r2 dr ? ? [0, ?], ? ? [0, 2?];
Z
Аналогично
Z
Za
xz dV =
r4 dr
0
Z?
cos ? sin2 ?d?
0
Z2?
cos ? d? = 0.
0
yz dV = 0,
Z
Z
?
?2
?
M = (? r dV ? ?k z ?2 dV ? ) =
2c
V
? aV
?
?
Z
Z
Z2?
Za
Z?
Z2?
?? ?
4
=
r ? dr? sin ?d? d? ? r ?4 dr ? cos2 ? sin ?d ? d ?? =
2c
0
0
0
0
0
0
5
5
4?a
qa2
?? 4?a
?
?.
=
=
2c
5
15
5c
qa2
Ответ: M =
?.
5c
б) Магнитный момент равномерно заряженного по поверхности шара,
вращающегося вокруг оси z :
Z
Z
1
1
?
?
[r Ч i]dS =
[r? Ч i]r?2 sin ?? d?? d?? ,
M=
2c
2c
S
S
где i = ?v = ?[? Ч r? ],
r? = a;
[r? Ч i ] = ?[r? [? Ч r? ]] = ??r?2 ? ?r? (r? · ?);
1
M=
2c
Ответ:
Z
1
??a sin ? d? d? ?
2c
4
qa2
M=
?.
3c
?
?
?
Z
??ka4 cos2 ?? sin ?? d?? d?? =
.
q . qa2
4??a4
?= ?=
?.
=
=
3c
4?a2
3c
Заряд q равномерно распределен по поверхности тонкого
диска радиуса a. Определить магнитный момент, если диск вращается
с угловой скоростью ? :
а) вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через
Задача 1.5.
9
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
его центр,
б) вокруг своего неподвижного диаметра.
qa2
qa2
?,
?.
Ответ:
а)
M=
б)
M=
4c
8c
авномерно заряженная с линейной плотностью ? квад
ратная рамка со стороной a вращается с угловой скоростью ? вокруг
одной из своих сторон. Определить магнитный момент M.
5qa2
5?a3
Ответ:
?=
? , где q = 4?a полный заряд рамки.
M=
6c
24c
Задача 1.6.
Однородно заряженный цилиндр произвольной высоты h
и радиуса R вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоро
стью ? . Определить магнитный момент цилиндра.
Магнитный момент вычислим в цилиндрической системе координат:
Z
Z
1
1
?
?
?
M=
[r Ч j (r )] d r =
? [r ? Ч v ] d V ? =
2c
2c
Задача 1.7.
V
V
z
?
=
2c
w
R
Z
[r ? Ч [? Ч r ? ]] d V ? =
V
?
=
2c
h
Z
? 2
?
?|r | dV ?
Z
?
?
r (r · ?)dV
?
=
Z
Z
?
2
2
ис. 2
? (r ? + z ? )dV ? ? ? (r ? er + z ? ez )z ? dV ? =
=
2c
?
?
ZR
Z
Zh
Z2?
?
?
?
?2 ?
? ?
?
?2
?
?
?
=
? r r dr dz d? ? ? r dr
z dz (cos ?i + sin ?j)d? =
?
2c ?
0
0
0
QR2
?? R4
h · 2? =
?.
=
2c 4
4c
Ответ:
QR2
?.
M=
4c
Какому условию должен удовлетворять полный импульс
p системы конечного числа одинаковых частиц, чтобы суммарный маг
нитный момент всех частиц не зависел от выбора начала координат?
p = 0.
Ответ:
Задача 1.8.
10
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
В центре диэлектрического шара радиуса a с проницаемо
стью ?, вращающегося с угловой скоростью ? , находится точечный
заряд q . Определить магнитный момент шара.
Магнитный момент определяется макроскопическими молекулярны
ми токами, соответствующими движению связанных зарядов, индуциро
ванных внутри и на поверхности шара полем точечного заряда:
Z
I
1
1
[rЧ j .(r)]dV +
[rЧ j . (r)]dS.
M=
2c
2c
Задача 1.9.
св
св
V
S
Плотность объемного тока jсв. = ?св. v(r), где
4??
??1
?
?св. = ?divP = ?div D = ?
?(r) = ?
q?(r).
?
?
?
??1
[?Ч r · ?(r)]q = 0 (r · ?(r) = 0
Так как v(r) = [?Ч r], имеем: jсв. = ?
?
из свойств ? ункции). Плотность поверхностного тока iсв. = ?св.v(r),
?q
где ?св. = Pn =
. Эта плотность соответствует полному заряду
?a2
??1
q? =
q , равномерно распределенному по поверхности шара. Теперь
?
достаточно воспользоваться решением задачи 1.4.б), чтобы получить зна
чение магнитного момента:
M=
1.3.
? ? 1 qa2
·
?.
?
3c
Вихревое электрическое поле
Найти дополнительный импульс ?p, сообщаемый вих
1 ?A
ревым электрическим полем E = ?
точечному заряду e массы m
c ?t
при включении однородного магнитного поля с напряженностью H.
Векторный потенциал однородного магнитного поля с вектором на
пряженности H можно представить в виде
Задача 1.10.
1
A = [H Ч r].
2
В момент включения магнитного поля на заряженную частицу действует
сила F = eE со стороны вихревого электрического поля напряженности
1 ?A
E = ?
. Под действием этой силы частица приобретает дополни
c ?t
Zt
e
тельный импульс ?p =
eE(t? )dt? = ? [A(t) ? A(0)].
c
0
11
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Считая, что в начальный момент времени поле отсутствует, A(0) = 0,
e
e
а в конечный момент A(t) = A, получим ?p = ? A = ? [H Ч r]. Обо
c
2c
eH
, ?v = [? H Ч r], окончательно получим p = m?v.
значая ? H = ?
2mc
Таким образом, дополнительный импульс приводит к вращению вокруг
вектора H с угловой скоростью ? H .
Компоненты вектора напряженности магнитного по
ля в свободном пространстве имеют вид (цилиндрические координаты
r, ?, z ): Hr = H? = 0, Hz = H(r, t). Определить напряженность E вих
ревого электрического поля, индуцированного данным магнитным.
Как следует из симметрии магнитного поля, для электрического поля
имеем Er = Ez = 0, E? = E(r, t). Величина E(r, t) может быть найдена
из закона электромагнитной индукции Фарадея
I
Z
1?
(E · dl) = ?
(H · dS).
c ?t
Задача 1.11.
L
S
Вычисляя здесь интегралы с учетом симметрии (контур L окружность
радиуса r), получим:
1
E(r, t) = ?
cr
Zr
?H(x, t)
x dx.
?t
0
Заряд q и масса m однородно заполняют объем шара. В
начальный момент времени t = 0 включается внешнее магнитное по
ле с напряженностью H = H(t), которое постоянно по направлению
и удовлетворяет начальному условию H(0) = 0. Зависимостью H от
координат в пределах шара можно пренебречь. Под влиянием магнит
ного поля шар приходит во вращение. Пренебрегая обратным влиянием
вращающегося шара на внешнее магнитное поле, определить угловую
скорость вращения ? .
Напряженность вихревого электрического поля, удовлетворяющего
1 ?H
можно представить в виде
уравнению rotE = ?
c ?t
1
?H
E=
rЧ
.
2c
?t
Задача 1.12.
Под действием этого поля на каждый элемент объема шара dV дей
ствует момент силы относительно оси, проходящей через центр шара и
12
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
параллельной вектору H: dN = [r Ч dF] = [r Ч E]?dV . Полный момент,
действующий на шар, получается интегрированием этого выражения по
всему объему шара (вычисления проводим в серической системе коор
динат):
Z
Z ?
?H
N = [r Ч E]?dV =
rЧ rЧ
dV =
2c
?t
?
=
2c
V
Za
0
V
Z? Z2?
0
0
Za Z? Z2?
?H 2
?H 4
?
r r·
r dr sin ?d?d? =
r dr sin ?d?d? ?
?t
2c
?t
0 0 0
a5
qa2 ?H
? ?H 4? a5
? 4?
. (6)
=?
=
2c ?t 3 5
5
5c ?t
Угловую скорость вращения ? определим из уравнения движения
I
d?
= N,
dt
2
где I = ma2 момент инерции. Интегрируя уравнение движения, полу
5
чим:
qH(t)
?=?
.
2mc
2.
Запаздывающие потенциалы
Для описания быстропеременных полей удобно использовать потен
циалы ? и A:
H = rotA,
В случае лоренцевой калибровки
E = ?grad? ?
1 ?A
.
c ?t
1 ??
=0
c ?t
они удовлетворяют уравнениям Даламбера:
(7)
(8)
divA +
1 ? 2?
1 ? 2A
4?
?? ? 2 2 = ?4??(r, t),
(9)
?A ? 2 2 = ? j(r, t).
c ?t
c ?t
c
ешениями этих уравнений, удовлетворяющими изическому прин
ципу причинности, являются запаздывающие потенциалы:
?
Z
Z
|
|r?r? |
?
?(r? , t ? |r?r
j(r
,
t
?
)
1
?
c
c )
dr
,
A(r,
t)
=
dr?.
?(r, t) =
?
?
|r ? r |
c
|r ? r |
V
V
13
(10)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Задача 2.1.
Определить потенциалы поля, создаваемого точечным за
рядом, совершающим движение по заданной траектории r = r0 (t) (по
тенциалы Лиенара Вихерта).
Подставляя выражения для плотности заряда ?(r, t) = e?(r ? r0 (t))
и тока j(r, t) = ev(t)?(r ? r0(t)), где v(t) = r?0 (t) скорость заряда, в
решения уравнений Даламбера (9) для потенциалов, выраженные через
запаздывающую ункцию рина
|r?r? | ?
?
t
?
t
+
c
,
G(r, t, r?, t?) = ?
?
4?|r ? r |
и выполняя интегрирование по координатам с помощью соответствую
щей ? -ункции, получим
Z
?(r? , t? )G(r, t, r?, t? )dr?dt? =
? Z
Z
|
|r?r0 (t? )| ? ?
?
e?(r? ? r0 (t?))? t? ? t + |r?r
dr
dt
e?
t
?
t
+
c
c
=
=
dt? .
?
?
|r ? r |
|r ? r0(t )|
?(r, t) =
Интеграл по времени вычисляется с учетом свойства ? -ункции:
?(F (t?)) =
?(t? ? ? )
,
F ? (? )
где ? корень уравнения
|r ? r0 (t? )|
F =t ?t+
= 0.
c
?
Итак,
?(r, t) =
Z
e?(t? ? ? )dt?
e
=
.
1
1
?
?
|r ? r0 (t )| 1 ? r?0 (t )n
|r ? r0(? )| 1 ? v(? )n
c
c
Аналогично получаем для A:
A(r, t) =
Задача 2.2.
ev(? )
.
1
c|r ? r0 (? )| 1 ? v(? )n
c
Доказать, что запаздывающие потенциалы (10) удовле
творяют условию Лоренца (8).
14
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Доказательство проводится непосредственной подстановкой выраже
ний (10) в (8). При этом диеренцирование по координатам точки на
блюдения r можно заменить диеренцированием по координатам точ
ки интегрирования r? , поскольку они входят в один и тот же аргумент
сложной ункции. При этом используются тождества:
divr
j
j
divr j + divr? j
?
=
?div
+
,
r
|r ? r? |
|r ? r? |
|r ? r? |
divr? j = ?divr j ? ?? .
Таким образом, имеем:
1
divA = ?
c
Z
V
?
|
??(r?, t ? |r?r
1
c )
dr? ?
?
|r ? r |
c
I
S
(j · dS)
.
|r ? r? |
Поскольку интегрирование проводится по всему пространству, на грани
це которого (на поверхности S) j = 0, получаем
divA = ?
Задача 2.3.
1 ??
.
c ?t
Записать уравнения для скалярного и векторного потен
циалов в кулоновской калибровке divA = 0.
Ответ:
?? = ?4??(r, t),
?A ?
3.
4?
1
??
1 ? 2A
=
?
j
+
grad
.
c2 ?t2
c
c
?t
Дипольное излучение
Потенциалы дипольного излучателя на больших расстояниях r ? l
(l линейный размер излучателя) имеют вид :
A(r, t) =
r
где n = ,
r
d?(t0)
,
rc
r
t0 = t ? ,
c
?(r, t) = (n · A(r, t)),
d(t) =
Z
V
r? ?(r?, t)dr? дипольный момент
системы. Напряженности электрического и магнитного полей:
15
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
E = [H Ч n],
H=
1
[d? Ч n].
c2 r
Поток излучаемой энергии:
c
d?2 sin2 ?
E2 + H2
?=
n.
[E Ч H] = c
n=
4?
8?
4?c3 r2
Интенсивность излучения (мощность, излучаемая в единичный телесный
угол):
dI
d?2 sin2 ?
2
,
(11)
=?·r =
d?
4?c3
Ё
здесь ? угол между векторами d~ и направлением излучения , определяе
мым единичным вектором n . Полная интенсивность определяется путем
интегрирования выражения (11) по всем направлениям в пространстве:
2d?2
I = 3 . Эта величина связана с изменением энергии излучателя в еди
3c
?E
ницу времени: I = ? .
?t
Задача 3.1.
Через конденсатор пролетела частица с массой m и за
рядом e. асстояние между обкладками конденсатора l, а напряжјн
ность электрического поля E в нјм постоянна. Угол между вектором
E и направлением скорости v0 частицы при влјте равнялся ? (рис. 3).
Найти энергию ?E , теряемую частицей на дипольное излучение во
время пролјта через конденсатор.
y
асположим начало координат в точке влјта частицы
l
в конденсатор. Ось y направим вдоль, а ось x пер
пендикулярно пластинам конденсатора (рис. 3). На ос
v0
a
x
новании закона Ньютона mr? = eE. Так как дипольный
момент частицы d = er, находим d? = er? = e2 E/m. Та
E
ис. 3
ким образом, для интенсивности дипольного излучения
I получим выражение:
2e4 E 2
2e2 r?2
=
.
I=
3c3
3m2c3
16
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
eE
,
m
а по оси y с постоянной скоростью v0 sin ?. Поэтому из закона движения
По оси x частица движется с постоянным ускорением, равным ax =
для координат x(t) и y(t) заряда имеем:
x = tv0 cos ? +
Ee 2
t,
2m
y = tv0 sin ? .
(12)
Подставляя в (12) x = l и решая квадратное уравнение относительно t,
найдем время, в течение которого частица находится в конденсаторе:
!
r
m
2Eel
?v0 cos ? + v02 cos2 ? +
.
?t =
eE
m
Таким образом, энергия, излученная частицей за время пролета через
конденсатор, будет иметь вид:
3
2e Ev0
?E = ?I?t = ?
3mc3
s
!
2eEl
+ cos2 ? ? cos ? .
mv02
Пусть заряд частицы равен заряду электрона, масса массе электрона,
скорость частицы при влете v0 = 0, 01с, ? = 0? , напряженность поля E =
105 В/см, расстояние между обкладками конденсатора равно l = 1 см. В
этом случае отношение энергии, потерянной электроном на излучение, к
его начальной кинетической энергии ?E/E0 ? 10?10 (при E0 & 105эВ).
Задача 3.2.
Частица с массой m и зарядом e пролетает по диамет
ру шара радиуса R, внутри которого равномерно распределјн заряд Q.
Заряды частицы и шара противоположного знака. Перед влјтом в шар
частица имела кинетическую энергию E0 . Определить энергию ?E , те
ряемую частицей на дипольное излучение во время пролјта через шар.
Выберем начало координат в центре шара (рис. 4). Пусть движение
происходит вдоль оси x. Напряженность поля и потенциал внутри шара
(r 6 R) равны, соответственно:
Q
E = 3 r,
R
3Q Qr2
?=
.
?
2R 2R3
17
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
eQx
и
R3
определение дипольного момента частицы d =
ex (dЁ = ex?), найдем интенсивность излучения
y
Используя уравнение движения mx? =
m
движущейся частицы:
I=
e
2dЁ2
2e4 Q2x2
=
.
3c3
3m2c3 R6
R
x
Q
ис. 4
Полная энергия, теряемая частицей за время
пролета через шар, равна:
?E = ?
Zt0
0
I dt = ?
ZR
I
dx
.
x?
(13)
?R
Для вычисления интеграла (13) удобно воспользоваться законом сохра
нения энергии:
mx?2
+ e?(x) = E0 + e?(R),
2
или
mx?2
Qe 2
= E0 +
(x ? R2 ).
3
2
2R
Выражая отсюда x? и подставляя скорость движения x? в (13), получаем:
2 4
s
ZR
x2 dx
p
=
(U + 1) R2 ? x2
?R
r
? i
|Qe| |Qe| h
2e2
?1/2
(U + 1) arcsin (U + 1)
? U .
·
=?
3mc2 R R
mc2 R
2Q e
?E = ? 3 2 6
3c m R
Здесь U =
mR3
|Qe|
2E0 R
.
|Qe|
Задача 3.3.
Напряженность H магнитного поля в полупространстве
однородна, постоянна и направлена параллельно граничной плоскости.
В это полупространство влетает протон с массой M и зарядом e.
Скорость v протона при влјте перпендикулярна граничной плоскости.
Определить потерю энергии протоном ?E на дипольное излучение за
время движения в магнитном поле.
18
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
y
Н
v
x
R
ис. 5
e
Уравнение движения протона имеет вид: Mr? = [v ЧH].
c
e 2
e
2 2
2
[v Ч H], r? =
v H . Энергия ча
Отсюда r? =
Mc
Mc
стицы в магнитном поле не меняется с течением времени,
dE
= (F · v) = 0 (потери на излучение малы).
поскольку
dt
Поэтому v 2 = const и r?2 = const. Так как d = er, d? = er?,
для интенсивности дипольного излучения имеем:
2 2 2e4v 2 H 2
I = 3 d? =
.
3c
3M 2 c5
Выясним, как будет двигаться протон в магнитном поле. Из уравнения
e
[v Ч H]. Направив ось z вдоль вектора H,
движения получаем v? =
Mc
находим:
v?x = ?vy ,
v?y = ??vx ,
v?z = 0,
где ? =
eH
.
Mc
(14)
Умножим второе из уравнений в (14) на мнимую единицу i и сложим с
первым уравнением из (14). В результате:
d
(vx + ivy ) = ?i?(vx + ivy ).
dt
(15)
Интегрируя (15), получим vx + ivy = v exp[?i(?t + ?)]. Отделив действи
тельную и мнимую части, находим:
vx = v cos(?t + ?),
vy = ?v sin(?t + ?),
(16)
где ? угол, который составляет вектор v с осью x в момент времени
t = 0. Согласно начальным условиям: vx (0) = v, vy (0) = 0, имеем ? = 0.
Интегрируя (16), получаем:
x = x0 + r sin ?t,
y = y0 + r cos ?t,
r = v/?.
Интегрируя дважды третье уравнение в (14), находим z = z0 . Выби
рая систему координат так, что x0 = y0 = z0 = 0, можно показать,
что протон движется по окружности радиуса r с периодом обращения
T = 2?/? . Совершив пол-оборота, протон вылетает из области с полем
19
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
в направлении, противоположном начальному (магнитное зеркало). Та
ким образом, энергия излучения протона за время движения в поле есть:
T
2?e3 v 2 H
?E = ?I = ?
.
2
3Mc4
Задача 3.4.
Протон с массой M и зарядом e движется в скрещенных
электрическом и магнитном полях с напряженностями E и H, соот
ветственно, которые удовлетворяют условию (E · H) = 0. Внешние
поля однородны и постоянны, а протон в начальный момент времени
t0 = 0 имел скорость v0 . Определить энергию дипольного излучения,
теряемую частицей за время t.
z
Выберем систему координат, как указано на рис. 6.
Уравнение движения в этом случае есть:
H
v0
y
x
e
e
e
Mr? = eE + [v Ч H] = eEi + vy Hi ? vx Hj,
c
c
c
E
i
ис. 6
j
k
так как [v Ч H] = vx vy vz .
0
0 H
Таким образом, квадрат ускорения r?2 равен:
#
"
2
2
2
2
e
e
e
E
1
vy + c + vx2 .
r?2 = 2 eE + vy H + 2 vx2 H 2 = 2 2 H 2
M
c
c
M c
H
В скрещенных полях квадрат ускорения является интегралом движения,
что можно проверить прямым диеренцированием. Используя уравне
e
e
ния движения: M x? = eE + y?H , M y? = ? H x?, получаем:
c
c
e
eH h
e i
e e
d M 2 r?2
=
eE + y?H ? H x? + H x? eE + y?H = 0.
dt 2
cM
c
c
c
c
Поэтому интенсивность излучения постоянная величина. Следователь
но, энергия дипольного излучения, теряемая частицей за время t, есть:
#
"
2
2
2
4 2
2d?
2e
2e H
Ec
2
?E = ? 3 t = ? 3 r?2 t = ?
t.
+ v0x
v
+
0y
2
5
3c
3c
3M c
H
20
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
на частицу, имевшую в начальный момент времени ско
E
рость, компоненты которой v0x = 0, v0y = ?c , не действует сила
H
со стороны данного злектромагнитного поля, поэтому она не ускоря
Замечание:
ется и не излучает. Такие частицы будут двигаться прямолинейно и
равномерно (не отклоняясь полем и не теряя энергию на излучение).
Таким образом, в полях E?H возможна селекция заряженных частиц
по скоростям.
Задача 3.5.
В классической модели атома езерорда электрон с мас
сой m и зарядом e вращается по круговой орбите вокруг неподвижного
ядра с зарядом Z|e|. Найти закон убывания полной энергии E электро
на, обусловленный дипольным излучением. Вычислить время t , по ис
п
течении которого электрон упадјт на ядро вследствие потери энергии
на дипольное излучение. В начальный момент времени t0 = 0 электрон
находится на расстоянии R от ядра.
Отклонение от кругового движения, вызванное потерей энергии элек
трона на излучение, за один оборот вокруг ядра весьма мало. Поэтому
в каждый момент времени кинетическая и потенциальная энергии элек
трона выражаются через его полную энергию E . Это обстоятельство дает
возможность выразить интенсивность дипольного излучения через пол
ную энергию электрона.
Для этого воспользуемся известной из механики теоре
e
-
мой вириала. Суть этой теоремы состоит в том, что
если частица движется в потенциальном поле с энер
+
R
гией U (x) = Axk , где x координата, то кинетиче
ская энергия T связана с потенциальной U выражени
ис. 7
k
ем: T = U . Так как в данном случае потенциальная
2
энергия электрона в поле ядра U = ?Ze2 /r (т.е. k = ?1), полная энер
1
1
Ze2
гия E = T + U = ? U + U = U = ?
.
2
2
2r
Соответственно уравнение движения электрона в поля ядра имеет вид
mr? = ?Ze2r/r3 . В результате интенсивность дипольного излучения рав
21
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
на:
2d?2
2e2r?2
2e2
I= 3 =
= 3
3c
3c3
3c
Ze2
mr2
2
32E 4
.
= 3
3c (mZe)2
Так как интенсивность излучения это энергия электромагнитного по
ля, излучаемая в единицу времени, а из закона сохранения энергии E +
dE
Eполя = const, то I = ? . В результате получаем уравнение для измене
dt
32
dE
ния энергии частицы со временем ? 4 = 3
dt. Отсюда можно
E
3c (mZe)2
найти закон убывания полной энергии электрона с течением времени:
1
1
32t
=
+
,
E3
E03 c3 (mZe)2
Ze2
где E0 энергия частицы в начальный момент времени E0 = ?
. При
2R
Ze2
падении частицы на центр E ? ??, так как E = ?
. В результате
2r
m2 c3 R3
.
время падения электрона на ядро равно t =
4Ze4
Известно, что в атоме водорода электрон с наибольшей вероятностью
п
находится на расстоянии R = a0 = ~2 /me2 ? 0, 5 · 10?8 см. Отсюда время
падения электрона на ядро составляет tп ? 10?15 сек. Как видно, полу
ченный результат противоречит наблюдаемому времени ѕжизниї атома
водорода, который находится в основном состоянии бесконечно долго.
Этот пример демонстрирует неприменимость результатов классиче
ской теории (и механики, и электродинамики) для описания объектов
микромира (атомы, молекулы).
4.
адиационное трение
Потерю энергии при излучении можно описать как результат обрат
ного воздействия излучаемого поля на частицу, если ввести понятие си
лы радиационного трения fr . Эта величина может быть выражена через
вектор дипольного момента излучения d(t):
fr =
2e ...
d.
3c3
22
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Для отдельной частицы заряда e, движущейся со скоростью v(t)
Задача 4.1.
2e2
fr = 3 v?.
3c
Частица массы m и заряда e совершает одномерное гар
моническое колебание с частотой ? . В начальный момент времени
t = 0 ее полная энергия равна E0 . Определить усредненный по периоду
колебаний закон убывания полной энергии E(t) частицы, обусловленный
дипольным излучением.
Средняя по периоду скорость убывания энергии есть средняя интен
сивность излучения:
2e2
2e2x20? 4 2
e2 x20? 4
?E
cos
?t
=
?
= ?I = ? 3 x?2 = ?
,
?t
3c
3c3
3c3
где x(t) = x0 cos ?t, x? = ?x0 ? 2 cos ?t. Амплитуда колебаний x0 и полная
1
энергия E связаны соотношением E = m? 2 x20 . Тогда
2
2e2 ? 2
?E
=?
E.
?t
3mc3
Отсюда
4?r0 i
?t ,
E(t) = E0 exp ?
3?
где r0 = e2 /mc2 , ? = 2?c/? длина излучаемой волны. Данный расчет
h
применим при 4?r0 /? ? 1, т. е. при ? ? 10?14м.
Задача 4.2.
Модель атома водорода Дж. Дж. Томсона представляет
собой неподвижный однородно заряженный шар радиуса R с полным за
рядом |e|. Внутри шара движется точечный электрон с массой m и
зарядом e. Какова частота электромагнитной волны, излучаемой та
кой системой? Полагая, что в начальный момент электрон находится
на расстоянии R от центра шара, определить усредненный по периоду
закон убывания полной энергии электрона, обусловленный силой радиа
ционного трения.
Напряженность электрического поля равномерно заряженного шара
определяется ормулой:
E=
|e|
r,
R3
23
r 6 R.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Первоначально покоящийся электрон под действием силы fe = ?|e|E
совершает одномерные колебания вдоль диаметра шара. Введя ось 0x
вдоль движения электрона, уравнение Ньютона с учетом силы радиаци
2e2 ...
онного трения fr = 3 x можно записать в виде:
3c
e2
2e2 ...
mx? = ? 3 x + 3 x .
R
3c
(17)
ешение уравнения (17) будем искать методом последовательных при
ближений, считая силу радиационного трения малой. В нулевом прибли
жении (fr = 0) имеем:
x? = ?? 2 x,
где ? =
r
уравнение
или
...
x = ?? 2x?,
e2
...
. Подставляя выражение для x в уравнение (17), получим
3
mR
2? 2 r0
,
x? + ?x? + ? x = 0, ? =
3c
решение которого есть x = x0 cos(?t + ?), x0 = C1 exp(??t/2) медлен
2
но меняющаяся амплитуда. Усредненная по периоду колебаний полная
m? 2 x20
энергия частицы E =
. Тогда
2
2? 2 r 0
E = C2 exp ?
t .
3c
Константа C2 определяется из начального условия x(0) = R: C2 = E0 =
e2
. Окончательно получим:
2R
4?r
e2
0
E=
exp ?
?t ,
2R
3?
r
e2
2?c
где ? =
длина, ? =
частота электромагнитной волны,
?
mR3
излучаемой атомом Томсона.
Задача 4.3.
Частица массы m и заряда e движется по круговой ор
бите в постоянном однородном магнитном поле напряженности H,
теряя энергию на излучение. Найти закон изменения энергии E(t) и
24
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
радиуса орбиты R(t) со временем. В начальный момент времени энер
гия частицы E0 .
Уравнение движения заряженной частицы в магнитном поле имеет
вид:
e
mr? = [v Ч H].
c
Движение по круговой орбите осуществляется при v ? H. Средняя по
периоду скорость убывания энергии есть средняя интенсивность излуче
ния:
?E
2e2 2
2e4 v 2H 2
.
= ?I = ? 3 r? = ?
?t
3c
3m2 c5
mv 2
m? 2 R2
Используя значение для энергии частицы E =
, получим
=
2
2
закон изменения энергии
4r02 H E = E0 exp ?
?t
3e
и радиуса орбиты
R(t) =
где R0 =
5.
r
r
2r H 2E(t)
0
= R0 exp ?
?t ,
2
m?
3e
eH
e2
2E0
, ?=
.
, r0 =
m? 2
mc
mc2
Магнито-дипольное (M1-) и электроквад
рупольное (E2-) излучения
Если длина излучаемой волны ? значительно превосходит размер из
лучателя l, удобно разложить потенциалы поля по степеням малого па
раметра l/??1. С точностью до величин порядка (l/?)2 имеем
M?(t0 ) Ч n
Q?(t0)
d?(t0)
+
+
,
A(r, t) =
cr
cr
6c2r
где
1
M(t0) =
2c
Z
?
r Ч j(r? , t0) dr?
25
(18)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
магнитный момент излучателя,
Q? = n? Q?? (t0),
t0 = t ? r/c,
Q?? (t0) =
Z
2
?(r?, t0 ) 3x?? x?? ? r? ??? dr?
вектор и тензор квадрупольного момента излучателя. Скалярный по
тенциал имеет вид:
d?(t ) Q?(t ) 0
0
?(r, t) = n ·
+
.
cr
6c2 r
Второе слагаемое в (18) соответствует магнито-дипольному (M1) из
лучению и является величиной порядка v/c по отношению к основному,
электродипольному (E1), определяющемуся вектором d?, третье слага
емое соответствует электрическому квадрупольному (E2) излучению и
имеет порядок l/? по сравнению с E1-членом.
Векторы напряженности электрического и магнитного полей опреде
ляются выражениями
E= HЧn ,
H=
Интенсивность излучения
1
A? Ч n .
c
(19)
...2
Q??
2d?2 2M?2
I= 3 +
+
.
3c
3c3
180c5
(20)
При d? 6= 0 для учета членов порядка (l/?)2 в последнее выражение
необходимо добавить еще одно слагаемое дипольно-октупольное
2 ...
Id.o. =
d? · L ,
15c5
где
Z
Z
d
2
?r x? dr ?
L? =
dt
октуполный момент системы.
Задача 5.1.
3x?x? ? r2 ??? j? dr
Электрон массы m и заряда e движется во внешнем по
стоянном однородном электрическом поле с напряженностью
E.
Опре
делить интенсивности электродипольного и магнитодипольного излу
чения.
26
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Интенсивность электродипольного излучения
IE1
2d?2
= 3 , где для электрона d? = er?.
3c
Ускорение находим из второго закона Ньютона:
r? =
F
eE
=
.
m
m
Подставляя r? в выражение для IE1 , получаем:
IE1
2 2 2
e2
= r0 cE , где r0 =
классический радиус электрона.
3
mc2
Интенсивность магнитодипольного излучения
2M?2
e
r
Ч
v
,
,
IM 1 =
где
для
электрона
M
=
3c3
2c
e
e
e2 M? =
r Ч r? , M? =
vЧE .
r? Ч r? =
2c
2c
2mc
Подставляя M? в выражение для IM 1 , получаем:
IM 1
Задача 5.2.
2 1 v 2 2
r02 vЧE =
sin ? · IE1 .
=
6c
4 c
Протон массы M и заряда e движется в произвольном
направлении со скоростью v во внешнем постоянном однородном элек
трическом поле с напряженностью
E.
Представить интенсивность
квадрупольного излучения как ункцию от электрического квадруполь
ного момента излучателя.
IE2 =
...2
Q??
.
180c5
Тензор электрического квадрупольного момента протона
Q?? = e(3x? x? ? r2 ??? ),
Q??? = e(3x?? x? + 3x? x?? ? 2(r · r?)??? ),
Q??? = e(3x??x? + 6x?? x?? + 3x? x?? ? 2(r? · r?)??? ? 2(r · r?)??? ),
27
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
...
Q?? = e(9x?? x?? + 9x?? x?? ? 6(r? · r?)??? ).
...2
Находим Q?? , проведя суммирование по повторяющимся индексам:
X
...2
2
2
Q?? = 9e
9x?2?x?2? + 9x?2?x?2? + 4(r? · r?)2???
+ 18x??x?? x?? x?? ?
?,?
...2
Q??
?12x??x?? (r? · r?)??? ? 12x??x?? (r? · r?)??? ,
?
3
3
X
X
X
X
2?
x?? x?? +
x?? x??
= 9e 9
x?? x?? + 9
x?? x??
?=1
+4(r? · r?)
+18
X
x?? x??
?
X
?
?
?=1
XX
?
??? ??? +
?
x?? x?? ? 12(r? · r?)
?12(r? · r?)
?
X
x??
?
X
?
X
x??
?
X
?
?
x?? ??? ?
x?? ??? ? ,
...2
Q?? = 9e2 18r?2r?2 + 12(r? · r?)2 + 18(r? · r?)2 ? 12(r? · r?)2 ? 12(r? · r?)2 =
= 54e2 3r?2r?2 + (r? · r?)2 .
...2
Подставляя Q?? в выражение для IE2 (r? находим из уравнения дви
жения), получаем:
IE2
Задача 5.3.
3e4 2 2
2
.
3v
E
+
(v
·
E)
=
10M 2 c5
Определить изменение частоты излучения серически сим
метричного осциллятора под действием постоянного однородного маг
нитного поля с напряженностью
H
(эект Зеемана).
Уравнение движения осциллятора в поле имеет вид:
mr? = ?kr +
e
vЧH .
c
Направим ось Z вдоль вектора H и перепишем это уравнение для отдель
ных проекций радиуса-вектора
r
(k = ?02 m коэициент упругости,
28
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
?0 собственная частота, ?L = eH/2mc ларморовская частота):
?
x? + ?02 x = 2?Ly?,
?
?
?
y? + ?02 y = ?2?Lx?,
?
?
?
z? + ?02 z = 0.
Из этих уравнений видно, что колебания вдоль оси Z остаются гармо
ническими с невозмущенной частотой ?0 . Чтобы решить уравнения коле
баний в плоскости x0y , вводим комплексную ункцию ?(t) = x(t)+iy(t),
для которой из двух уравнений системы получаем:
?? + 2i?L?? + ?02? = 0.
Это уравнение имеет два линейно независимых решения вида
?1 (t) = ?10ei?1 t и ?2 (t) = ?20e?i?2t ,
q
q
2
2
где ?1 = ?0 + ?L ? ?L , ?2 = ?02 + ?L2 + ?L .
Таким образом, колебания вдоль вектора
H
остаются невозмущен
ными с частотой ?0 . В поперечном направлении осциллятор совершает
колебания со смещенными частотами ?1 и ?2 , причем первые соответству
ют правовинтовому вращению радиуса-вектора
r
относительно вектора
H,
x1(t) = ?10 cos ?1t, y1 (t) = ?10 sin ?1t,
вторые левовинтовому,
x2(t) = ?20 cos ?2 t, y2 (t) = ??20 sin ?2 t.
Следовательно, в направлении вектора
H
осциллятор излучает две
циркулярно поляризованные волны правополяризованную с частотой
?1 и левополяризованную с частотой ?2. В направлении, перпендику
лярном вектору
H,
излучаются три линейно поляризованные волны с
частотой ?0 (вектор поляризации параллелен вектору
H)
?1 и ?2 (вектор поляризации перпендикулярен вектору
29
и с частотами
H).
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Задача 5.4.
Тело, имеющее магнитный момент M, равномерно вра
щается с частотой ? вокруг оси, составляющей угол ? с вектором
M. Найти угловое распределение и полную интенсивность излучения,
усредненные по периоду вращения тела (магнитный ротатор).
Подставляя в выражение для диеренциаль
ной интенсивности (11)
cr2 2
dI
2
= ?r =
E
d?
4?
значение напряженности поля из (19) и (18)
(d? = 0, Q? = 0), получим:
i2
dI
1 h
=
n Ч M? .
d? 4?c3
M? определим из уравнения движения M? = ? Ч M :
h
i
M? = ? Ч ? Ч M .
ис. 8
(21)
Здесь вектор ? задает направление оси и частоту вращения вектора M.
азложив M на составляющие M = M? + Mk , где Mk k ?, M? ?? ,
получим:
M? = ?? 2 M?.
Это уравнение соответствует вращению вектора M? вокруг оси с часто
той ? . Таким образом, углы серической системы координат, связанной
с осью вращения, определяющие направление вектора M, равны ? и ?t.
Углы, характеризующие направление вектора n, обозначим ? и ? (см.
рис. 8). Тогда
h
i2
n Ч M? = ? 4 M2? ? (M? · n)2 ,
(M? · n) = M? sin ? cos(?t ? ?),
M? = M sin ?.
Подставляя эти выражения в (21) и усредняя по периоду вращения со
1
гласно соотношению cos2 (?t ? ?) = , получим:
2
dI
M 2 ? 4 sin2?
(1 + cos2 ?).
=
3
d?
8?c
30
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Проинтегрировав это выражение по направлениям вектора n, получим
п??лную интенсивность излучения:
2M 2 ? 4 sin2 ?
Ї
I=
.
3c3
Задача 5.5.
Нейтрон, имеющий внутренний момент µ, влетает в
однородное постоянное магнитное поле H. Внутренний механический
момент s нейтрона связан с магнитным соотношением µ=??s, угол
между векторами µ и H при влете равнялся ?0 . Найти интенсив
ность излучения I .
При попадании в магнитное поле вектор µ начинает прецессировать
вокруг вектора H с угловой скоростью ? = ?H, превращаясь в магнит
ный ротатор. Подставив это значение ? в решение предыдущей задачи,
получим
I=
Задача 5.6.
2µ2 ? 4H 4 sin2 ?0
.
3c3
Однородный шар радиуса a вращается около своего диа
метра с угловой скоростью ? . Ось вращения наклонена под углом ?
к направлению внешнего постоянного однородного магнитного поля с
напряженностью H. Полные заряд и масса шара ?q и m. Определить
интенсивность излучения I .
Магнитный момент шара (см. решение задачи 1.4a)
M=
qa2
q
?=
L,
5c
2mc
2ma2
? момент импульса. В поле H он начинает прецессиро
где L =
5
вать с частотой ? = ?qH/2mc, и система превращается в магнитный
ротатор. Таким образом,
q2?2
I=
·
600c
Задача 5.7.
qHa
mc2
4
sin2?.
амочная антенна представляет собой прямоугольную рам
ку со сторонами a и b, по которой течет линейный ток J(t)=J0 cos ?t.
31
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Определить интенсивность I длинноволнового излучения антенны, усред
ненную по периоду колебания тока.
Так как рамка представляет собой замкнутый контур, распределение
зарядов в ней в квазистационарном (длинноволновом) случае постоянно
во времени, ?(t) = const, так что d? = Q? = 0. Следовательно, рамка
является магнитодипольным излучателем с переменным моментом
M(t) =
J(t)
S,
c
где S = ab? векторная площадь рамки (? векторнормаль к плос
кости рамки). Таким образом,
J02a2 b2 ? 4
2M?2
Ї
I=
=
.
3c3
3c5
Задача 5.8.
Шар радиуса R совершает малые крутильные колебания
около своей оси симметрии с частотой ?0 . Максимальный угол поворо
та ?0 . Заряд Q и масса распределены по объему шара равномерно. Опре
делить среднюю за период колебания интенсивность излучения шара.
Электрический дипольный и квадрупольный моменты шара равны
нулю. Магнитный момент (см. решение задачи 1.4a)
QR2 ?(t)
,
M=
5c
где ? = ??(t) угловая скорость. Подставляя сюда ?(t) = ?0 cos ?0 t, а
полученный результат в (20), получим
Q2R4 ?20 ?06
Ї
I=
.
75c5
6.
Плоские электромагнитные волны
Серическую волну на больших расстояниях от излучателя r ? ?
2?c
(? =
длина волны) можно считать плоской, с напряженностью
?
электрического поля
E(r, t) = E0 (r)ei(kr??t),
32
k=
?
n,
c
r
n= ,
r
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
?2 nЧ[d
Чn]
амплитуда, медленно меняющаяся на рас
0
c2 r
стояниях ?r ? ? по сравнению с азовым множителем экспонентой,
где E0 (r) =
имеющей быстро осциллирующий характер, d(t) = d0 ei?t дипольный
момент излучателя. Если направить ось OX вдоль r, то E(r, t) будет
зависеть от единственной переменной декартовой системы координат:
E(x, t) = E0 ei(kx??t),
где E0 постоянная амплитуда. Аналогичное выражение можно запи
сать и для вектора напряженности магнитного поля:
H(x, t) = H0 ei(kx??t),
где H0 постоянная амплитуда.
Поляризация плоской волны
Плоская волна поперечна E0 ? OX , H0 ? OX , E0 ? H0 , и в общем
случае E0 комплексный вектор, который удобно представить в виде
E0 = b1 + ib2 ,
где b1 , b2 действительные ортогональные векторы (b1 ? b2 ) в плоско
сти, перпендикулярной оси OX . При b1 6= 0, b2 6= 0 волна имеет эллип
тическую (если b1 = b2 круговую) поляризацию, правую или левую, в
зависимости от того, правую или левую тройку образуют векторы b1 и b2
с осью OX . Для линейно-поляризованного излучения один из векторов
b1 или b2 обращается в нуль.
Энергия и импульс электромагнитной волны
Закон сохранения энергии в электромагнитном поле имеет вид (тео
рема Пойнтинга):
dW
=P ?Q?
dt
где
33
I
(? · dS),
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
P =
Q=
среде,
Z
V
Z
(j · E( ) )dV мощность сторонних Э.Д.С.,
ст
j2
dV джоулева теплота, выделяемая под действием поля в
?
V
c
[E Ч H] плотность потока энергии электромагнитной вол
4?
ны (вектор
Z Пойнтинга),
E2 + H2
W = wdV полная энергия, w =
плотность энергии
8?
?=
V
электромагнитного поля. Сила, с которой электромагнитное излучение
давит на поглощающую поверхность площади S
Z
F = c (g · dS)n.
S
В случае отражающей поверхности это выражение следует удвоить.
?
1
[E Ч H] = 2 объемная плотность импульса, n нор
Здесь g =
4?c
c
маль к поверхности.
Задача 6.1.
Определить потенциалы электромагнитного поля A, ?
плоской электромагнитной волны и выразить через них векторы E
и H.
Излучение имеет вид плоской волны вдали от излучателя, т. е. в той
области пространства, где нет токов и зарядов: ? = 0 и j = 0. Здесь потен
циалы электромагнитного поля удовлетворяют волновым уравнениям:
1 ? 2?
1 ? 2A
2
=
0,
?
?
?
=0
c2 ?t2
c2 ?t2
при условии лоренцевой калибровки:
?2 A ?
(22)
1 ??
(23)
= 0.
c ?t
Для плоской волны все характеристики поля имеют одно и тоже зна
divA +
чение в любой плоскости, перпендикулярной направлению распростране
ния. Если это направление задать осью OX , то A = A(x, t), ? = ?(x, t).
Тогда уравнения (22) и (23) принимают вид:
? 2A
1 ? 2A
?
= 0,
?x2
c2 ?t2
? 2?
1 ? 2?
?
= 0;
?x2 c2 ?t2
34
(24)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
?Ax 1 ??
(25)
+
= 0.
?x
c ?t
Как известно из теории уравнений математической изики, уравне
ния (24) могут быть решены методом Даламбера. ешения представля
ются в виде суперпозиции бегущих волн (для безграничной среды):
1
1
A(x, t) = A0(x ? ct) + A0(x + ct) +
2
2c
x+ct
Z
A1(?)d?,
x?ct
где A0 (x) = A(x, 0), A1 (x) = A?(x, 0) начальные условия.
В случае монохроматической зависимости от времени это решение
приобретает вид:
A(x, t) = C1 e?i(?t?kx) + C2 e?i(?t+kx) ,
?
; C1 , C2 постоянные комплексные векторы. Для скалярного
c
потенциала также имеем:
где k =
?(x, t) = ?1e?i(?t?kx) + ?2e?i(?t+kx) .
ассмотрим волну, распространяющуюся вдоль оси OX в положитель
ном направлении (C2 = 0, ?2 = 0). Из (25) получим ?1 = A1x или
? = (ex · A).
Для напряженностей E и H:
H = rotA = ?
E = ?grad? ?
i?
[ex Ч A],
c
1 dA i? ex Ч [ex Ч A] = [H Ч ex ].
=
c dt
c
Здесь ex единичный вектор в направлении оси OX .
Таким образом, плоская электромагнитная волна полностью опреде
ляется поперечной составляющей векторного потенциала
A?(x, t) = A(x, t) ? ex (A · ex ).
Поэтому для плоской волны можно полагать, что Ak (x, t) = 0 и пользо
ваться калибровкой вида:
? = 0,
divA = 0.
35
(26)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Задача 6.2.
Векторный потенциал плоской линейно-поляризованной
электромагнитной волны имеет вид:
A(r, t) = lf (?t ? (k · r)),
где ? = kc, l постоянный вектор, f (z) диеренцируемая ункция
своего аргумента. Определить плотность энергии w и вектор Пойн
тинга такой волны.
Полагая, что потенциалы поля калиброваны соотношением (26), по
лучим
divA = ?(k · l)f (z)
?
z=?t?(k·r)
= 0,
т. е. k ? l.
Для векторов напряженности поля имеем следующие соотношения:
?
H = rotA = ?[k Ч l]f (z)
,
z=?t?(k·r)
? ? 1 ?A
= ? lf (z)
.
E=?
c ?t
c
z=?t?(k·r)
Используя их для плотности энергии и вектора Пойнтинга, получаем:
?2 ?
E2 + H2
2
,
[f (z)] =
w=
z=?t?(k·r)
8?
4?c2
c
k
?=
[E Ч H] = wc?, где? = .
4?
k
Задача 6.3.
Состояние поляризации плоской электромагнитной вол
ны можно определить единичным вектором поляризации e. При этом
два независимых состояния линейной поляризации определяются век
(l)
торами e? (? = 1, 2) со свойствами
(l)
(l) = 0,
(c) = 1,
e1 · e2
(l) 2
e?
= 1,
(l)
(l)?
(27)
e? = e? .
(c)
Состояния циркулярной поляризации описываются векторами e? :
(c)
e1 · e2
(c) 2
e?
Доказать правила суммирования:
= 0,
(c)
(c)?
e1 = e2 .
2
X
1
(A · e? )(B · e? )? = (A · B?) ? 2 (A · k)(B? · k),
k
?=1
36
(28)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
где k волновой вектор, A и B произвольные комплексные векторы.
Если направить ось OZ вдоль волнового вектора k плоской волны,
то векторы, удовлетворяющие условиям (27), (28), можно задать в виде:
(l)
e1 = ex ,
1
(c)
e1 = ? (ex + iey ),
2
(l)
e2 = ey ;
1
(c)
e2 = ? (ex ? iey ).
2
Подставляя эти векторы в правую часть правил суммирования, доказы
ваем их справедливость.
Задача 6.4.
Две монохроматические волны E1 = E01 cos(??t+(k · r)+
?1 ) и E2 = E02 cos(??t + (k · r) + ?2 ) поляризованы во взаимно перпен
дикулярных направлениях (E01 ? E02 ). Найти поляризацию результи
рующей волны, если E01 = E02 .
Так как волны имеют одинаковые частоты, результирующая волна
тоже будет монохроматической с той же частотой ? :
E(r, t) = E1 + E2 = Re[(E01 + E02 ei?)ei(k·r??t+?1) ],
здесь ? = ?2 ? ?1 . лавные оси эллипса поляризации b1 и b2 находим
из равенства:
E01 + E02 ei? = (b1 + ib2)e?i? ,
(29)
где ? некоторая действительная величина, определяемая из условия:
(b1 · b2 ) = 0.
Подставляя сюда b1 и b2 , полученные из (29), будем иметь:
b1 = E01 cos ? + E02 cos(? + ?),
b2 = E01 sin ? + E02 sin(? + ?).
(30)
С учетом E01 = E02 , находим ? = ??/2. Подставляя это значение в (30),
получим:
?
b1 = (E01 + E02) cos ,
2
?
b2 = (?E01 + E02) sin .
2
37
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Задача 6.5.
Две монохроматические волны поляризованы по кругу в
противоположные стороны и распространяются в одном направлении.
Амплитуды и частоты волн одинаковы. Фазы отличаются на посто
янную величину. Определить поляризацию суммарной волны.
Выражения для напряженностей электрического поля отдельных волн
можно представить в виде:
E1 = E0Re{(ex + iey ) exp[i(kz ? ?t + ?1 )]},
E2 = E0Re{(ex ? iey ) exp[i(kz ? ?t + ?2 )]},
где E0 амплитуда. Для результирующей волны имеем:
E = E1 + E2 = E0 Re{[(ex + iey ) + (ex ? iey )ei? ] exp[i(kz ? ?t + ?1 )]},
где ? разность аз (? = ?2 ? ?1 ). Представим это выражение в стан
дартном виде:
E = E0 Re{(b1 + ib2)e?i? exp[i(kz ? ?t + ?1 )]},
где b1 , b2 действительные ортогональные векторы, которые находим
из соотношения
(b1 + ib2)e?i? = ex + iey + (ex ? iey )ei?,
где ? произвольная аза, определяемая из условия (b1 · b2 ) = 0. От
сюда имеем: ? = ??/2. езультирующая волна является линейно-поля
ризованной с вектором поляризации
?
?
b1 = 2 ex cos + ey sin
,
2
2
Задача 6.6.
b2 = 0.
Две плоские монохроматические волны поляризованы по
кругу в противоположные стороны и распространяются в одном на
правлении. Частоты и азы волн одинаковы. Определить поляризацию
суммарной волны.
Запишем напряженности электрического поля волн в виде:
E+ = E1 [ex cos(?t ? kz + ?) + ey sin(?t ? kz + ?)],
E? = E2 [ex cos(?t ? kz + ?) ? ey sin(?t ? kz + ?)],
38
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
где E1 , E2 действительные амплитуды. Складывая эти выражения,
получим выражение для напряженности поля эллиптически поляризо
ванной волны с главными полуосями эллипса поляризации
b1 = ex (E1 + E2),
Задача 6.7.
b2 = ey (E1 ? E2).
Плоскости поляризации двух монохроматических волн
E1 = E01 cos((k · r) ? ?t + ?1 ) и E2 = E02 cos((k · r) ? ?t + ?2 )
образуют угол ? . Определить поляризацию результирующей волны, ес
ли E01 = E02 и ? = ?1 ? ?2 = ?/2.
Сложив напряженности полей и представив суммарную напряжен
ность в стандартном виде, получим следующее выражение для полуосей
эллипса поляризации:
b1 = E01 cos ? + E02 cos(? ? ?),
b2 = E01 sin ? + E02 sin(? ? ?),
где ? аза, определяемая из условия (b1 · b2 ) = 0. При E01 = E02 это
условие имеет вид
sin 2? + sin 2(? ? ?) + 2 cos ? sin(2? ? ?) = 0.
При ? = ?/2 отсюда получим: ? = ?/4,
b1 =
E01 + E02
?
,
2
b2 =
E01 ? E02
?
.
2
Длины векторов b1 и b2 зависят от угла ? между E01 и E02 :
b1 =
7.
?
?
2E01 cos ,
2
b2 =
?
?
2E01 sin .
2
ассеяние электромагнитных волн
Заряженная частица под действием электромагнитной волны движет
e
ся с ускорением a = Flor /m, где Flor = eE + [v Ч H] сила Лоренца.
c
39
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Так как для плоской волны E = H , а скорость частицы v много меньше
скорости света, магнитным полем здесь можно пренебречь.
Ускоренно движущаяся частица излучает электромагнитную волну,
которая называется рассеянной. Ее можно охарактеризовать диерен
циальной интенсивностью энергией, излучаемой в единичный телес
ный угол:
dI
= r2?
d?
расс.
(31)
,
c 2
c 2
плотность потока энергии (абсолют
E
=
H
4?
4?
ная величина вектора Пойнтинга) рассеянного излучения, усредненная
где ?расс. =
расс.
расс.
по периоду колебания поля, в точке, отстоящей от рассеивающей части
цы на расстояние r.
Характеристикой, не зависящей от интенсивности падающей волны,
является сечение рассеяния
d?
E2
1 dI
=
=
d? ?
d?
E2
расс.
пад.
r2 ,
(32)
пад.
c c 2
c 2
[E
усредненная по
Ч H ] =
E
=
H
4?
4?
4?
периоду плотность потока энергии падающей волны.
где ?пад. =
пад.
пад.
пад.
пад.
Полные (интегральные) интенсивность и сечение могут быть получе
ны интегрированием диеренциальных характеристик (31) и (32) по
всем направлениям рассеяния (по телесному углу ?).
Задача 7.1.
Линейно-поляризованная плоская волна падает на свобод
ный электрон массы m заряда e. Определить диеренциальное и ин
тегральное сечение рассеяния.
Напряженности электрического и магнитного полей рассеянного из
лучения в дипольном приближении имеют вид:
E
расс.
= [H
расс.
Ч n],
H
расс.
где d? = ea = eFlor /m = e2 E/m. Отсюда
E2
расс.
= H2
расс.
=
e2
mc2 r
2
40
=
1 d?
Ч
n
,
c2 r
[E Ч n]2 =
e4 sin2 ? 2
E
m2 c4 r2
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Подставляя это выражение в (32), получим
d?
= r02 sin2 ?,
d?
(33)
e2
классический радиус электрона, ? угол между векто
mc2
ром напряженности поля E падающей волны и направлением испуска
где r0 =
ния рассеянного излучения. Интегрируя полученный результат по всем
8? 2
r (ормула
направлениям рассеяния, найдем полное сечение ? =
3 0
Томсона).
Задача 7.2.
Циркулярно-поляризованная плоская волна падает на сво
бодный электрон массы m, заряда e. Определить диеренциальное и
полное сечение рассеяния.
Напряженность поля падающей волны с круговой поляризацией име
ет вид:
E(r, t) = E0 ex cos ?t + ey sin ?t ,
здесь, как и в предыдущей задаче, мы пренебрегаем неоднородностью
поля волны (зависимостью от координат) в области движения рассеива
ющей частицы. Тогда напряженность магнитного поля рассеянной волны
имеет вид:
H
расс.
(r, t) = E0
r0 [ex Ч n] cos ?t + [ey Ч n] sin ?t .
r
Это выражение подставляем в (32), используя следующие соотношения:
1
sin2 ?t = cos2 ?t = , sin 2?t = sin ?t = 0,
2
2
2
[ex Ч n] = 1 ? nx , [ey Ч n]2 = 1 ? n2y ,
n2x + n2y + n2z = 1,
(34)
nz = cos ?.
Диеренциальное сечение рассеяния отсюда получается в виде:
d?
r0 2
=
(1 + cos2 ?),
d?
2
(35)
где ? угол между направлениями распространения падающей и рассе
янной волн. Полное сечение, как и в предыдущем случае, определяется
8? 2
r .
ормулой Томсона ? =
3 0
41
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Задача 7.3.
Неполяризованная плоская волна рассеивается на свобод
ном электроне. Определить диеренциальное и полное рассеяния.
Напряженность электрического поля неполяризованной плоской вол
ны можно представить в виде:
E(r, t) = E0l cos ?t,
где l единичный вектор поляризации, имеющий случайное направле
ние в плоскости XOY (волна распространяется вдоль оси OZ ). Напря
женность магнитного поля рассеянной волны имеет вид:
H
расс.
=
r0
E0[l Ч n] cos ?t.
r
Возводя это выражение в квадрат и усредняя по периоду в соответствии
с соотношениями (34), а также проводя усреднение по направлениям слу
чайного вектора l в соответствии с соотношениями
1
lx2 = ly2 = ,
2
lx = ly = 0,
[l Ч n]2 =
1 + n2z
,
2
получим выражение для диеренциального сечения в виде:
d?
r0 2
=
(1 + cos2 ?).
d?
2
Для полного сечения имеем ормулу Томсона ? =
Задача 7.4.
8? 2
r .
3 0
Определить диеренциальное и полное сечения рассея
ния эллиптически поляризованной волны свободным электроном.
Напряженность электрического поля эллиптически поляризованной
волны имеет вид:
E(r, t) = b1 cos ?t + b2 sin ?t,
где b1 , b2 векторы, задающие главные оси эллипса поляризации. На
пряженность магнитного поля рассеянной волны:
H
расс.
=
r0 [b1 Ч n] cos ?t + [b2 Ч n] sin ?t .
r
42
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Подставляем это выражение в (32), производя усреднение согласно (34).
В результате получим
d?
(b1 · n)2 + (b2 · n)2
2
= r0 1 ?
.
d?
b21 + b22
Нетрудно убедиться, что в частных случаях линейно- (b2 = 0) и цир
кулярно-поляризованного излучения (b1 = b2 ) эта ормула переходит в
соответствующие выражения задач 1 и 2. Полное сечение здесь также
дается ормулой Томсона.
8.
елятивистская электродинамика
Ковариантность законов природы (независимость их ормулировки
от системы отсчета) влечет за собой зависимость свойств пространства
и времени от системы отсчета. Эта зависимость представляет собой ос
новную сущность специальной теории относительности и выражается ма
тематически преобразованиями Лоренца для координат и времени при
переходе между движущимися относительно друг друга инерциальны
ми системами отсчета. Аналогичные преобразования имеют место и для
целого ряда других величин (энергия и импульс, потенциалы электро
магнитного поля и т. д.). Удобно представить преобразования Лоренца,
используя ормализм четырехмерных векторов (4-векторов) [2,3?, в виде
A0 = ? A?0 + ?A?1 ,
A1 = ? A?1 + ?A?0 ,
A2 = A?2 ,
A3 = A?3, (36)
где ? = [1?? 2]?1/2, ? = V /c, V скорость движения системы отсчета K ?
относительно системы K (изические величины в системе K ? отмечены
штрихами). Движение системы K ? происходит вдоль оси x системы K .
Наряду с контравариантными компонентами векторов Ai = {A0 , A}
используются ковариантные Ai = {A0 , ?A}, связанные с ними соотно
шениями A0 = A0 , A? = ?A? (? = 1, 2, 3).
В частности,
1) координаты и время некоторого события образуют совокупность
координат 4-радиус-вектора xi = {ct, r},
43
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
2) энергия и импульс
являются компонентами 4-вектора
частицы
E
,p ,
импульса pi =
c
3) скалярный ? и векторный A потенциалы электромагнитного
поля компоненты 4-потенциала Ai = {?, A},
4) скорость света и вектор скорости частицы компоненты
4-скорости
ui =
(
v
c
p
,p
1 ? v 2 /c2
1 ? v 2/c2
)
и т. д.
(37)
Произведения компонент 4-векторов образуют компоненты 4-тензора,
которые тоже могут быть контра- и ковариантными:
Cik = AiBk ,
C ik = AiB k ,
C i k = A i Bk .
Ci k = Ai B k ,
В частности, матрица преобразований Лоренца ai k , с помощью которой
преобразования (36) представляются в виде Ak = ai k A?i , есть тензор 2-го
ранга, для которого можно записать
?
? ??
?
? ?? ?
ai k = ?
? 0 0
?
0 0
0 0
?
?
0 0?
?.
1 0?
?
0 1
Важное значение имеет метрический тензор
?
1 0 0 0
?
? 0 ?1 0 0
gik = g ik = ?
? 0 0 ?1 0
?
0 0 0 ?1
(38)
?
?
?
?,
?
?
с помощью которого операция поднятия или опускания индексов у ком
понент 4-векторов и тензоров представляется в виде:
Ai = g ik Ak ,
Ak = gik Ai.
44
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Если некоторая совокупность изических величин представляет собой
совокупность компонент 4-тензора, то правила преобразования этих ве
личин при переходе между инерциальными системами отсчета опреде
ляются правилами преобразования компонент тензора, которые в свою
очередь могут быть получены как правила преобразования произведений
компонент векторов, исходя из преобразований Лоренца (36).
Важнейшее значение для электродинамики имеет тензор электромаг
нитного поля:
Fik =
?
0
Ex
Ey
Ez
?
? ?Ex 0 ?Hz Hy
Fik = ?
? ?E
Hz
0 ?Hx
y
?
?Ez ?Hy Hx
0
?Ak ?Ai
? k,
?xi
?x
?
?
?
0 ?Ex ?Ey ?Ez
?
?
?
?
?
E
0
?H
H
z
y ?
? , F ik = ? x
?.
?
?E
0 ?Hx ?
?
? y Hz
?
Ez ?Hy Hx
0
(39)
Это антисимметричный тензор второго ранга, компоненты которого яв
ляются декартовыми компонентами векторов напряженностей электри
ческого и магнитного полей E и H.
Задача 8.1.
Получить преобразования Лоренца для скорости движе
ния частицы.
Вектор скорости частицы v вместе со скоростью света c определяют
компоненты 4-скорости:
ui = c
где
i
dx
=
ds
(
c
p
1 ? v 2/c2
,p
v
1 ? v 2 /c2
p
ds = c dt 1 ? v 2/c2 .
)
,
Воспользуемся преобразованиями Лоренца (36) для компонент 4-ско
45
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
рости:
?
c
c + ?vx?
?
?
p
= ?p
?
?
2 /c2
?
1
?
v
1 ? v ?2/c2
?
?
?
vx
vx? + V
?
?
?
= ?p
?p
1 ? v 2 /c2
1 ? v ?2/c2
?
v
v
?
y
y
?
?
p
= p
?
?
2 /c2
?
1
?
v
1 ? v ?2 /c2
?
?
?
vz
vz?
?
?
= p
.
?p
1 ? v 2 /c2
1 ? v ?2 /c2
Первое из этих соотношений дает:
p
1 ? v ?2/c2
c + ?vx?
?vx?
V vx?
p
=?
=? 1+
=? 1+ 2 .
c
c
c
1 ? v 2 /c2
Подставляя его в остальные, получим искомые преобразования:
vx? + V
vx =
,
1 + V vx? /c2
p
vy?
1 ? V 2/c2
?
= vy
,
vy =
?(1 + V vx? /c2 )
1 + V vx? /c2
p
1 ? V 2 /c2
vz?
?
=
v
.
vz =
z
?(1 + V vx? /c2 )
1 + V vx? /c2
Запишем преобразования скорости движения частицы в векторном виде,
учитывая, что
v = vx i + vy j + vz k,
i=
V
,
V
vx? =
(v? V)
.
V
В итоге получим:
1
(v?V)
(v?V)
(v? V)
?
+
v ?V
1+
.
v = V 1+
V2
?
V2
c2
Задача 8.2.
Две одинаковые линейки с собственным размером l0 ори
ентированы и движутся относительно неподвижного наблюдателя вдоль
оси x в противоположных направлениях с одинаковой скоростью vA =
vB = c/2. Определить размер одной из линеек в системе отсчета, свя
занной с другой линейкой.
46
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
y
?
K
O
Свяжем с линейкой B подвижную систему
A
?
?
?
B (K )
?
отсчета K ?. Эта система отсчета движется
x
относительно системы K вдоль оси Ox со
скоростью c/2. Для нахождения скорости дви
жения линейки A в системе K ? относительно
линейки B воспользуемся ормулой преобразования скорости:
vx? =
vx ? V
.
1 ? vx V /c2
4
Учитывая, что vx = ?c/2, V = c/2, имеем vx? = ? c. Подставляя эту
5
величину в ормулу сокращения линейных размеров, получим:
r
3
vx? 2
?
l = l0 1 ? 2 = l0 .
c
5
Задача 8.3.
То же, что и в задаче 8..2, но при взаимно перпендику
лярном расположении и направлении движения линеек в лабораторной
системе отсчета.
y ?
A
?
K
O
B
?
Перейдем в подвижную систему отсчета K ?,
(K ?)
?
связанную с линейкой B . Для нахождения ско
рости движения линейки A в системе отсчета
K ? воспользуемся преобразованиями Лоренца:
p
p
2
2
1 ? V /c
1 ? V 2/c2
vx ? V
?
?
,
v
=
v
,
v
=
v
,
vx? =
y
z
y
z
1 ? V vx /c2
1 ? V vx /c2
1 ? V vx /c2
учитывая, что в нашем случае:
x
V = c/2,
vx = 0,
vy = c/2.
Подставляя значения V , vx , vy в преобразования, получим:
?
3
c
vx? = ?V = ? , vy? = c , vz? = 0.
2
4
Сокращение линейного размера происходит в направлении движения ис
следуемого материального тела (линейки A), т. е. вдоль направления Oy ? .
Поэтому:
l ? = l0
s
?
vy? 2
13
.
1 ? 2 = l0
c
4
47
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Задача 8.4.
Определить компоненты 4-мерного вектора ускорения ча
стицы.
Четырехмерным ускорением является вектор
2 i
dui
i
2 d x
=c
,
w =c
ds2
ds
r
где ds = c dt
v2
1 ? 2,
c
4-скорость ui определена через обычную трехмерную скорость v в (37),
и ее компоненты удовлетворяют условию:
ui ui = c2 .
(40)
Используя то, что компоненты обычного трехмерного ускорения a?
(? = 1, 2, 3) связаны с компонентами трехмерной скорости v ? посред
ством
a? =
v?
d
1 dp?
= p
,
m dt
dt 1 ? v 2 /c2
для пространственных компонент 4-ускорения получим:
a?
.
w =p
1 ? v 2/c2
?
Определим теперь временную компоненту w 0 . Продиеренцировав
соотношение (40), имеем ui w i = 0 (4-векторы скорости и ускорения вза
имно ортогональны). Отсюда
Окончательно,
u0 w 0 = u? w ? ,
u? w ?
(a · v)/c
p
w0 =
=
.
u0
1 ? v 2 /c2
wi =
Задача 8.5.
(
a
(a · v)/c
p
,p
1 ? v 2/c2
1 ? v 2/c2
)
.
(41)
Определить зависимость от времени скорости реляти
вистского равноускоренного движения, т. е. прямолинейного движе
ния, при котором остается постоянной величина ускорения в собствен
ной (в каждый данный момент) системе отсчета.
48
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
В собственной системе отсчета частицы (v = 0) 4-мерный вектор
ускорения имеет вид: w i = {0, a, 0, 0} (a = const обычное трехмерное
ускорение). В лабораторной системе отсчета этот вектор представляет
ся выражением (41), данным в ответе предыдущей задачи. Как нетруд
но убедиться, wi w i = ?a2 есть релятивистски инвариантная величина
(следствие инвариантного условия равноускоренности). Из второго зако
на Ньютона:
a=
1 dp
v
d
= p
.
m dt
dt 1 ? v 2/c2
Векторы a и v здесь коллинеарны, поэтому решение этого уравнения
имеет вид:
v
= at.
1 ? v 2/c2
Константа интегрирования здесь выбрана так, что v(0) = 0. азрешая
at
. Интегрируя
это уравнение относительно v , получим v = p
1 + a2 t2 /c2
это выражение по времени, имеем:
r
2
c
a2 t2
x(t) =
1+ 2 ?1 .
a
c
p
Из полученных выражений, в частности, следует:
а) при at ? c: v = at,
б) при at ? c: v = c,
x(t) = at2 /2;
x(t) = ct.
Собственное время:
r
Zt r
2
v
a2 t2
c
at
?
t =
1 ? 2 dt = ln
+ 1+ 2
,
c
a
c
c
0
при
Задача 8.6.
at ? c :
t? = t,
при
at ? c :
t? =
c 2at
ln
.
a
c
Получить закон преобразования компонент 4-тензора 2-го
ранга при переходе между инерциальными системами отсчета.
Преобразование 4-тензора Aik при переходе между ИСО осуществля
ется с помощью матрицы преобразования (38):
? ?
Aik = ai? iak? k A?i k .
Компоненты тензора Aik можно разбить на три группы:
49
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
1) i = 2, 3; k = 2, 3; в этом случае компоненты тензора не
изменяются, т. е. Aik = A?ik .
2) i = 0, 1; k = 0, 1, тогда
Aik = ? 2 A? ik + ?(A?i k + A? i k ) + ? 2 A? i k ,
где i = 1 ? i, k = 1 ? k.
Aik = ? A? ik + ?A? i k ;
3) i = 0, 1; k = 2, 3:
Aik = ? A? ik + ?A? i k .
i = 2, 3; k = 0, 1:
Например,
A01 = ? 2 A? 01 + ?(A?00 + A? 11) + ? 2A? 10 .
В частности, для антисимметричного тензора 2-го ранга Aik = ?Aki
(Aii = 0) имеем:
A01 = A? 01,
A0k = ?(A? 0k + ?A? 1k ),
Задача 8.7.
A10 = A? 10,
A1k = ?(A? 1k + ?A? 0k ),
k = 2, 3.
Получить преобразования Лоренца для электрического E
и магнитного H полей.
Применяя правила преобразования, полученные в предыдущей зада
че, к компонентам тензора электромагнитного поля F ik (39), получим:
Ex = Ex? ,
Ey = ?[Ey? + ?Hz? ],
Hx = Hx? ,
Hy = ?[Hy? ? ?Ez? ],
Ez = ?[Ez? ? ?Hy? ],
Hz = ?[Hz? + ?Ey? ].
(42)
(43)
азложив векторы E и H на продольные и поперечные составляю
щие, запишем эти выражения в виде:
Ek = E?k ,
Hk = H?k ,
E? = ?(E?? + [H? Ч ?]),
H? = ?(H?? ? [E? Ч ?]),
где ? = V/c = (V /c, 0, 0).
50
(42a)
(43a)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Задача 8.8.
Показать, что величины E 2 ? H 2 и (E · H) являются
релятивистскими инвариантами.
Инвариантность доказывается путем использования ормул (42), (43)
и соотношения ? 2 (1 ? ? 2 ) = 1:
1) E 2 ? H 2 = [Ex? 2 + ? 2 (Ey? + ?Hz? )2 + ? 2 (Ez? ? ?Hy? )2 ] ? [Hx? 2 + ? 2 (Hy? ?
?Ez? )2 + ? 2(Hz? + ?Ey? )2] = E ?2 ? H ?2 = inv,
2) (E·H) = Ex? Hx? +? 2 (Ey? +?Hz? )(Hy? ??Ez? )+? 2(Ez? ??Hy? )(Hz? +?Ey? ) =
Ex? Hx? + Ey? Hy? ? 2(1 ? ? 2) + Ez? Hz? ? 2(1 ? ? 2) = (E? · H? ) = inv.
Задача 8.9.
В лабораторной системе отсчета E ? H. Определить
скорость системы отсчета, в которой E? = 0 (E < H) или H? = 0
(H < E).
1) Переход в систему отсчета, в которой E? = 0, возможен только
при условии V ? E, что следует из преобразований Лоренца для элек
трического и магнитного полей, полученных в задаче 8.7. Также счита
ем V ? H? , так как параллельная вектору H? составляющая вектора
? = V/c не влияет на произведение [H? Ч ?] и, следовательно, не меняет
уравнений (42a), (43a). Тогда согласно условию E? = 0 из результатов
задачи 8.7 имеем:
?H? = H,
E = [H Ч ?]
(причем ? ? H). Домножая последнее соотношение на H (векторно),
получим:
Отсюда:
[E Ч H] = [H Ч ?] Ч H = ?H 2 .
[E Ч H]
[E Ч H]
т
.
е
.
V
=
c
,
.
H2
H2
2) Аналогично, в случае H? = 0 получаем
?=
?=
Задача 8.10.
[E Ч H]
[E Ч H]
т
.
е
.
V
=
c
,
.
E2
E2
Определить скорость системы отсчета, в которой век
торы E? и H? параллельны друг другу.
51
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Задача имеет бесчисленное множество решений, так как если найдена
система K ?, в которой E? k H? , то в любой системе отсчета, движущейся
относительно K ? вдоль этого общего направления, векторы E? и H? будут
параллельны (см. (42) и (43)). В связи с этим будем искать только ту
систему отсчета, которая движется перпендикулярно плоскости векторов
E? и H? (E?k = H?k = 0). Воспользовавшись ормулами преобразования
Лоренца для векторов E? и H? (42) и (43) и условием [E? Ч H? ] = 0,
получим:
[E Ч H] = ? 2 (E? + [H? Ч ?]) Ч (H? ? [E? Ч ?]) = ?? 2 E ?2 + H ?2 ,
E 2 + H 2 = ? 2(1 + ? 2 ) E ?2 + H ?2 .
Отсюда
1 + ?2
? = [E Ч H] 2
E + H2
или в скалярном виде
1 + ?2 = ?
E2 + H2
.
|[E Ч H]|
азрешая это уравнение относительно ? , имеем:
s
!
2
2
E +H
4[E Ч H]2
1? 1? 2
.
?=
2|[E Ч H]|
(E + H 2 )2
Окончательно,
2
?=
2
[E Ч H]
(E + H )[E Ч H]
?=
|[E Ч H]|
2|[E Ч H]|2
Задача 8.11.
1?
s
1?
H]2
4[E Ч
(E 2 + H 2 )2
!
.
Вдоль бесконечного однородного цилиндра течет посто
янный ток с объемной плотностью j. Объемная и поверхностная плот
ности зарядов равны нулю. Найти скорость V инерциальной системы
отсчета, где в каждой точке пространства E ? = H ? /N , N > 1.
В неподвижной системе отсчета, ось x которой направлена вдоль оси
цилиндра, E = 0, Hx = 0. В движущейся системе отсчета
E? = ?[? Ч H],
52
H? = ?H.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Отсюда следует:
?=
Задача 8.12.
1 j
.
Nj
Заряд е движется равномерно. Показать, что электри
ческое поле этого заряда ѕсплющиваетсяї в направлении движения.
Объяснить, как согласуется эект ослабления поля на линии движе
ния с ормулой преобразования Ek = E?k .
Указание. Учесть, что условие Ek = E?k относится к одним и тем же
точкам 4-пространства, поэтому если некоторая точка A находится
на оси x на расстоянии L от заряда, то в лабораторной системе та
p
же точка будет находиться от него на расстоянии L 1 ? ? 2 , поэто
p
му должно быть Ek (L 1 ? ? 2 ) = E?k (L).
53
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Список литературы
[1? Крыловецкая Т.А. Задачи по электродинамике : пособие к практиче
ским занятиям для студентов 3 курса из. ак. : в 2 ч. / Т.А. Кры
ловецкая, В.Д. Овсянников. Воронеж, 2004. Ч. 1 : Стационарные
электромагнитные поля. 39 с.
[2? Бредов М.М. Классическая электродинамика / М.М. Бредов,
В.В. умянцев, И.Н. Топтыгин. СПб. : Лань, 2003. 400 с.
[3? Ландау Л.Д. Теоретическая изика : в 10 т. / Л.Д. Ландау,
Е.М. Лишиц. М. : Физматлит, 2003. Т. 2 : Теория поля. 530 с.
[4? Терлецкий Я.П. Электродинамика / Я.П. Терлецкий, Ю.П. ыба
ков. М. : Высш. шк., 1990. 351 с.
[5? Тамм И.Е. Основы теории электричества / И.Е. Тамм. М. : Физ
матлит, 2003. 615 с.
[6? Смирнов В.И. Курс высшей математики : в 5 т. М. : Наука, 1974.
Т. 1-5.
[7? Батыгин В.В. Сборник задач по электродинамике / В.В. Батыгин,
И.Н. Топтыгин. М. : Наука, 2002. 639 с.
[8? Алексеев А.И. Сборник задач по классической электродинамике /
А.И. Алексеев. М. : Наука, 1977. 319 с.
[9? Сборник задач по теоретической изике / Л.. речко [и др.?. М. : Высш. шк., 1984. 336 с.
54
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Учебное издание
Крыловецкая Татьяна Алексеевна
Овсянников Виталий Дмитриевич
ЗАДАЧИ ПО ЭЛЕКТОДИНАМИКЕ. ЧАСТЬ 2.
ПЕЕМЕННЫЕ ЭЛЕКТОМАНИТНЫЕ ПОЛЯ
Учебное пособие для вузов
В авторской редакции
Подп. в печать 08.05.2015. Формат 60Ч84/16.
Уч.-изд. л. 3,3. Усл. печ. л. 3,14. Зак. 323. Тир. 100 экз.
Издательский дом ВУ
394000, г. Воронеж, пл. Ленина, 10.
Отпечатано в типограии Издательского дома ВУ
394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3
?ерно заряженного шара
определяется ормулой:
E=
|e|
r,
R3
23
r 6 R.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Первоначально покоящийся электрон под действием силы fe = ?|e|E
совершает одномерные колебания вдоль диаметра шара. Введя ось 0x
вдоль движения электрона, уравнение Ньютона с учетом силы радиаци
2e2 ...
онного трения fr = 3 x можно записать в виде:
3c
e2
2e2 ...
mx? = ? 3 x + 3 x .
R
3c
(17)
ешение уравнения (17) будем искать методом последовательных при
ближений, считая силу радиационного трения малой. В нулевом прибли
жении (fr = 0) имеем:
x? = ?? 2 x,
где ? =
r
уравнение
или
...
x = ?? 2x?,
e2
...
. Подставляя выражение для x в уравнение (17), получим
3
mR
2? 2 r0
,
x? + ?x? + ? x = 0, ? =
3c
решение которого есть x = x0 cos(?t + ?), x0 = C1 exp(??t/2) медлен
2
но меняющаяся амплитуда. Усредненная по периоду колебаний полная
m? 2 x20
энергия частицы E =
. Тогда
2
2? 2 r 0
E = C2 exp ?
t .
3c
Константа C2 определяется из начального условия x(0) = R: C2 = E0 =
e2
. Окончательно получим:
2R
4?r
e2
0
E=
exp ?
?t ,
2R
3?
r
e2
2?c
где ? =
длина, ? =
частота электромагнитной волны,
?
mR3
излучаемой атомом Томсона.
Задача 4.3.
Частица массы m и заряда e движется по круговой ор
бите в постоянном однородном магнитном поле напряженности H,
теряя энергию на излучение. Найти закон изменения энергии E(t) и
24
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
радиуса орбиты R(t) со временем. В начальный момент времени энер
гия частицы E0 .
Уравнение движения заряженной частицы в магнитном поле имеет
вид:
e
mr? = [v Ч H].
c
Движение по круговой орбите осуществляется при v ? H. Средняя по
периоду скорость убывания энергии есть средняя интенсивность излуче
ния:
?E
2e2 2
2e4 v 2H 2
.
= ?I = ? 3 r? = ?
?t
3c
3m2 c5
mv 2
m? 2 R2
Используя значение для энергии частицы E =
, получим
=
2
2
закон изменения энергии
4r02 H E = E0 exp ?
?t
3e
и радиуса орбиты
R(t) =
где R0 =
5.
r
r
2r H 2E(t)
0
= R0 exp ?
?t ,
2
m?
3e
eH
e2
2E0
, ?=
.
, r0 =
m? 2
mc
mc2
Магнито-дипольное (M1-) и электроквад
рупольное (E2-) излучения
Если длина излучаемой волны ? значительно превосходит размер из
лучателя l, удобно разложить потенциалы поля по степеням малого па
раметра l/??1. С точностью до величин порядка (l/?)2 имеем
M?(t0 ) Ч n
Q?(t0)
d?(t0)
+
+
,
A(r, t) =
cr
cr
6c2r
где
1
M(t0) =
2c
Z
?
r Ч j(r? , t0) dr?
25
(18)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
магнитный момент излучателя,
Q? = n? Q?? (t0),
t0 = t ? r/c,
Q?? (t0) =
Z
2
?(r?, t0 ) 3x?? x?? ? r? ??? dr?
вектор и тензор квадрупольного момента излучателя. Скалярный по
тенциал имеет вид:
d?(t ) Q?(t ) 0
0
?(r, t) = n ·
+
.
cr
6c2 r
Второе слагаемое в (18) соответствует магнито-дипольному (M1) из
лучению и является величиной порядка v/c по отношению к основному,
электродипольному (E1), определяющемуся вектором d?, третье слага
емое соответствует электрическому квадрупольному (E2) излучению и
имеет порядок l/? по сравнению с E1-членом.
Векторы напряженности электрического и магнитного полей опреде
ляются выражениями
E= HЧn ,
H=
Интенсивность излучения
1
A? Ч n .
c
(19)
...2
Q??
2d?2 2M?2
I= 3 +
+
.
3c
3c3
180c5
(20)
При d? 6= 0 для учета членов порядка (l/?)2 в последнее выражение
необходимо добавить еще одно слагаемое дипольно-октупольное
2 ...
Id.o. =
d? · L ,
15c5
где
Z
Z
d
2
?r x? dr ?
L? =
dt
октуполный момент системы.
Задача 5.1.
3x?x? ? r2 ??? j? dr
Электрон массы m и заряда e движется во внешнем по
стоянном однородном электрическом поле с напряженностью
E.
Опре
делить интенсивности электродипольного и магнитодипольного излу
чения.
26
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Интенсивность электродипольного излучения
IE1
2d?2
= 3 , где для электрона d? = er?.
3c
Ускорение находим из второго закона Ньютона:
r? =
F
eE
=
.
m
m
Подставляя r? в выражение для IE1 , получаем:
IE1
2 2 2
e2
= r0 cE , где r0 =
классический радиус электрона.
3
mc2
Интенсивность магнитодипольного излучения
2M?2
e
r
Ч
v
,
,
IM 1 =
где
для
электрона
M
=
3c3
2c
e
e
e2 M? =
r Ч r? , M? =
vЧE .
r? Ч r? =
2c
2c
2mc
Подставляя M? в выражение для IM 1 , получаем:
IM 1
Задача 5.2.
2 1 v 2 2
r02 vЧE =
sin ? · IE1 .
=
6c
4 c
Протон массы M и заряда e движется в произвольном
направлении со скоростью v во внешнем постоянном однородном элек
трическом поле с напряженностью
E.
Представить интенсивность
квадрупольного излучения как ункцию от электрического квадруполь
ного момента излучателя.
IE2 =
...2
Q??
.
180c5
Тензор электрического квадрупольного момента протона
Q?? = e(3x? x? ? r2 ??? ),
Q??? = e(3x?? x? + 3x? x?? ? 2(r · r?)??? ),
Q??? = e(3x??x? + 6x?? x?? + 3x? x?? ? 2(r? · r?)??? ? 2(r · r?)??? ),
27
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
...
Q?? = e(9x?? x?? + 9x?? x?? ? 6(r? · r?)??? ).
...2
Находим Q?? , проведя суммирование по повторяющимся индексам:
X
...2
2
2
Q?? = 9e
9x?2?x?2? + 9x?2?x?2? + 4(r? · r?)2???
+ 18x??x?? x?? x?? ?
?,?
...2
Q??
?12x??x?? (r? · r?)??? ? 12x??x?? (r? · r?)??? ,
?
3
3
X
X
X
X
2?
x?? x?? +
x?? x??
= 9e 9
x?? x?? + 9
x?? x??
?=1
+4(r? · r?)
+18
X
x?? x??
?
X
?
?
?=1
XX
?
??? ??? +
?
x?? x?? ? 12(r? · r?)
?12(r? · r?)
?
X
x??
?
X
?
X
x??
?
X
?
?
x?? ??? ?
x?? ??? ? ,
...2
Q?? = 9e2 18r?2r?2 + 12(r? · r?)2 + 18(r? · r?)2 ? 12(r? · r?)2 ? 12(r? · r?)2 =
= 54e2 3r?2r?2 + (r? · r?)2 .
...2
Подставляя Q?? в выражение для IE2 (r? находим из уравнения дви
жения), получаем:
IE2
Задача 5.3.
3e4 2 2
2
.
3v
E
+
(v
·
E)
=
10M 2 c5
Определить изменение частоты излучения серически сим
метричного осциллятора под действием постоянного однородного маг
нитного поля с напряженностью
H
(эект Зеемана).
Уравнение движения осциллятора в поле имеет вид:
mr? = ?kr +
e
vЧH .
c
Направим ось Z вдоль вектора H и перепишем это уравнение для отдель
ных проекций радиуса-вектора
r
(k = ?02 m коэициент упругости,
28
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
?0 собственная частота, ?L = eH/2mc ларморовская частота):
?
x? + ?02 x = 2?Ly?,
?
?
?
y? + ?02 y = ?2?Lx?,
?
?
?
z? + ?02 z = 0.
Из этих уравнений видно, что колебания вдоль оси Z остаются гармо
ническими с невозмущенной частотой ?0 . Чтобы решить уравнения коле
баний в плоскости x0y , вводим комплексную ункцию ?(t) = x(t)+iy(t),
для которой из двух уравнений системы получаем:
?? + 2i?L?? + ?02? = 0.
Это уравнение имеет два линейно независимых решения вида
?1 (t) = ?10ei?1 t и ?2 (t) = ?20e?i?2t ,
q
q
2
2
где ?1 = ?0 + ?L ? ?L , ?2 = ?02 + ?L2 + ?L .
Таким образом, колебания вдоль вектора
H
остаются невозмущен
ными с частотой ?0 . В поперечном направлении осциллятор совершает
колебания со смещенными частотами ?1 и ?2 , причем первые соответству
ют правовинтовому вращению радиуса-вектора
r
относительно вектора
H,
x1(t) = ?10 cos ?1t, y1 (t) = ?10 sin ?1t,
вторые левовинтовому,
x2(t) = ?20 cos ?2 t, y2 (t) = ??20 sin ?2 t.
Следовательно, в направлении вектора
H
осциллятор излучает две
циркулярно поляризованные волны правополяризованную с частотой
?1 и левополяризованную с частотой ?2. В направлении, перпендику
лярном вектору
H,
излучаются три линейно поляризованные волны с
частотой ?0 (вектор поляризации параллелен вектору
H)
?1 и ?2 (вектор поляризации перпендикулярен вектору
29
и с частотами
H).
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Задача 5.4.
Тело, имеющее магнитный момент M, равномерно вра
щается с частотой ? вокруг оси, составляющей угол ? с вектором
M. Найти угловое распределение и полную интенсивность излучения,
усредненные по периоду вращения тела (магнитный ротатор).
Подставляя в выражение для диеренциаль
ной интенсивности (11)
cr2 2
dI
2
= ?r =
E
d?
4?
значение напряженности поля из (19) и (18)
(d? = 0, Q? = 0), получим:
i2
dI
1 h
=
n Ч M? .
d? 4?c3
M? определим из уравнения движения M? = ? Ч M :
h
i
M? = ? Ч ? Ч M .
ис. 8
(21)
Здесь вектор ? задает направление оси и частоту вращения вектора M.
азложив M на составляющие M = M? + Mk , где Mk k ?, M? ?? ,
получим:
M? = ?? 2 M?.
Это уравнение соответствует вращению вектора M? вокруг оси с часто
той ? . Таким образом, углы серической системы координат, связанной
с осью вращения, определяющие направление вектора M, равны ? и ?t.
Углы, характеризующие направление вектора n, обозначим ? и ? (см.
рис. 8). Тогда
h
i2
n Ч M? = ? 4 M2? ? (M? · n)2 ,
(M? · n) = M? sin ? cos(?t ? ?),
M? = M sin ?.
Подставляя эти выражения в (21) и усредняя по периоду вращения со
1
гласно соотношению cos2 (?t ? ?) = , получим:
2
dI
M 2 ? 4 sin2?
(1 + cos2 ?).
=
3
d?
8?c
30
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Проинтегрировав это выражение по направлениям вектора n, получим
п?
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
47
Размер файла
523 Кб
Теги
рїрѕ, рѕс, скр, 2947, сђрѕрјр, электродинамика, рірѕрёс, рџрµсђрµрјрµрѕрѕс, задачи, 653, рµрєс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа