close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

3503.744.Некоторые методы решения интегральных уравнений

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра математического анализа
А. Н. Павленко, О.А. Пихтилькова, Е.В. Мещерина
НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом
федерального государственного бюджетного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
в качестве методических указаний для студентов,
обучающихся по программам высшего образования
для направления подготовки 03.03.03 Радиофизика
Оренбург
2015
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.968.21
ББК 22.161.6я73
П 12
Рецензент – доцент, кандидат физико-математических наук С. А. Герасименко
Павленко, А.Н.
Некоторые методы решения интегральных уравнений: методические
указания к выполнению домашних заданий и подготовке к контрольным
работам / А.Н. Павленко, О.А. Пихтилькова, Е.В. Мещерина; Оренбургский
гос. ун-т. – Оренбург: ОГУ, 2015. – 44 с.
П 12
Методические указания предназначены для выполнения домашних заданий
и подготовке к контрольным работам по дисциплине «Интегральные уравнения
и вариационное исчисление» для студентов направления подготовки 03.03.03
Радиофизика. Данное издание может быть использовано студентами
естественнонаучных и технических направлений и при изучении дисциплин,
имеющих раздел «Интегральные уравнения».
УДК 517.968.21
ББК 22.161.6я73
© Павленко А.Н., 2015
© Пихтилькова О.А., 2015
© Мещерина Е.В., 2015
© ОГУ, 2015
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Введение..................................................................................................................... 4
1 Интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром......................... 5
2 Сведение интегрального уравнения Вольтерра второго рода к задаче Коши
для обыкновенного дифференциального уравнения ....................................................... 9
3 Применение интегральных преобразований для решения некоторых
интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма ...................................................... 14
3.1 Применение преобразования Лапласа ............................................................ 14
3.2 Обзор применения различных интегральных преобразований для решения
некоторых интегральных уравнений ............................................................................... 17
4
Применение
метода
последовательных
приближений
для
решения
интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма ...................................................... 18
4.1 Применение метода последовательных приближений для решения
интегральных уравнения Вольтерра второго рода ........................................................ 18
4.2 Применение метода последовательных приближений для решения
интегральных уравнения Фредгольма второго рода ..................................................... 21
4.3 Применение метода последовательных приближений для решения
интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма первого рода ............................... 25
4.3.1 Интегральные уравнения Вольтерра первого рода .................................... 25
4.3.2 Интегральные уравнения Фредгольма первого рода ................................. 27
5 Решение интегральных уравнений с помощью резольвенты .......................... 30
5.1 Решение интегральных уравнений Вольтерра второго рода с помощью
резольвенты ........................................................................................................................ 30
5.2 Решение интегральных уравнений Фредгольма второго рода с помощью
резольвенты ........................................................................................................................ 32
6 Представление решений уравнений Фредгольма в виде рядов по
собственным функциям .................................................................................................... 36
6.1 Уравнение Фредгольма второго рода ............................................................. 36
6.2 Уравнение Фредгольма первого рода ............................................................. 39
Список использованных источников .................................................................... 43
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Методические указания предназначены для выполнения домашних заданий и
подготовке к контрольным работам по дисциплине «Интегральные уравнения и
вариационное исчисление» для студентов направления подготовки 03.03.03 Радиофизика.
Данное
издание
может
быть
использовано
студентами
естественнонаучных и технических направлений и при изучении дисциплин,
имеющих раздел «Интегральные уравнения».
В методических указаниях рассматривается ряд наиболее простых методов
для решения интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра. Кроме описания
самих методов приводятся подробные решения типовых задач.
Несмотря на то, что для физико-математических направлений по этому
разделу высшей математики имеется ряд отлично зарекомендовавших себя
учебников и задачников (например [1-7]), написание данных методических указаний
представляется актуальным для выполнения следующих требований:
1) максимально точное соответствие перечня рассматриваемых методов
решения интегральных уравнений рабочей программе дисциплины «Интегральные
уравнения и вариационное исчисление»;
2) написание методических указаний как составной части комплекса по
данной дисциплине, включающего в себя: курс лекций, тесты для контроля
усвоения материала, методические указания для выполнения домашних заданий и
подготовке к контрольным работам;
3) широкое применение в учебном процессе компьютерных математических
пакетов.
Следует
отметить,
что
данные
методические
указания
могут
быть
использованы студентами и других физико-математических и инженерных
направлений всех форм обучения.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 Интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром
Определение. Вырожденным ядром интегрального уравнения называется
n
ядро вида K  x, t    ak  x bk t  . Здесь функции ak  x  (и bk t  ) предполагаются
k 1
линейно независимыми. Если функции ak  x  (и bk t  ) линейно зависимы, то ядро
можно упростить и уменьшить n .
Метод решения интегральных уравнений Фредгольма с вырожденными
ядрами рассмотрим на конкретном примере.
Задача. Решить интегральное уравнение
2


yx   x  0.3 x 2t  xt 2 yt dt .
3
1
Решение.
Данное
интегральное
уравнение
является
интегральным
уравнением
Фредгольма второго рода с вырожденным ядром
Раскроем в подынтегральном выражении скобки
2


yx   x  0.3 x 2tyt   xt 2 yt  dt .
3
1
Используем, что определенный интеграл суммы равен сумме интегралов.
2
2 2


yx   x  0.3  x tyt dt   xt 2 y t dt  .


1
1

3
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Интегрирование в обоих интегралах происходит по переменной t , поэтому
выражения x 2 и x в данном случае будут являться константами, и их можно будет
вынести за знаки интегралов.
Получим
2
 22

yx   x  0.3 x  tyt dt  x  t 2 yt dt  .


1
 1

3
(1)
Введем обозначения
2
2
C1   tyt dt , C2   t 2 yt dt .
(2)
1
1
Подставив обозначения (2) в уравнение (1), будем иметь


yx   x3  0.3 C1 x 2  C2 x ,
yx   x3  0.3C1x 2  0.3C2 x .
(3)
Заменив в уравнении (3) переменную x на t , и подставив результат в
равенства (2), получим
  t t
2
C1
3
 0.3C1t
2
 0.3C t dt ,
2
1
2


C2   t 2 t 3  0.3C1t 2  0.3C2t dt .
1
Найдем определенные интегралы с помощью методов интегрального
исчисления для функций одной переменной или при помощи компьютерных
математических пакетов (например, пакета MathCAD [8]).
9
7
31
C1  C1  C 2  ,
8
10
5
6
C2 
93
9
21
C1  C 2  .
50
8
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Объединим уравнения в систему линейных уравнений:
9
7
31

C

C

C

,
1
1
2

8
10
5

93
9
21
C2  C1  C2  ;
58
8
2

7
31
1
C

C


,
1
2
8
10
5
 93
1
21
 C1  C2   .
8
2
 50
Решим полученную систему линейных уравнений методом Крамера.
Найдем определитель системы
1 7
1 1 7 93
10291
.
  8 10      
93 1 8 8 10 50
8000
50 8
Найдем определители неизвестных:
31 7
31 1 7  21  263
;
1  5 10         
21 1
5
8
10
2
40



2 8

1
31

5  1    21     31   93  20439 .
2  8
93
21 8  2   5  50 2000

50
2
Найдем значения коэффициентов C1 и C 2 :
263

52600
C1  1  40  
;
  10291
10291
8000
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20439

81756
.
C2  2  2000  
  10291
10291
8000
Подставив найденные значения коэффициентов C1 и C 2 в (3), получим
решение данного интегрального уравнения
 52600  2
 81756 
yx   x 3  0.3 
 x  0.3 
x ,
 10291 
 10291 
yx   x 3 
15780 2 122634
x 
x.
10291
51455
Замечание. Полученную систему линейных уравнений удобно решить
(рисунок 1) в среде математического пакета MathCAD [8].
Рисунок 1
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 Сведение интегрального уравнения Вольтерра второго рода к
задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
Как известно из теории обыкновенных дифференциальных уравнений [9-10]
интегральное уравнение Вольтерра второго рода вида
y  x   y0 
x
 f t , yt dt
x0
эквивалентно задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
 y  f x, y ,

 yx0   y0 .
Задача. Решить интегральное уравнение
yt  

yx   1    4t 2 
dt
t


1
x
Решение.
Данное интегральное уравнение эквивалентно задаче Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения
y
 
y  4x2  ,

x
 y 1  1.
Обыкновенное дифференциальное уравнение
y  4 x 2 
y
x
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Для
его решения используем подстановку Бернулли y  uv , y   u v  uv :
u v  uv  4 x 2 
uv
uv
 4x 2 ,
, u v  uv 
x
x
v

u v  u v    4x 2 .
x

(4)
Найдем любое ненулевое частное решение уравнения
v 
Разделим
переменные
и
v
0.
x
проинтегрируем
полученное
разделенными переменными:
dv v
dv
v dv
dx
  0,
 ,
 ,
dx x
dx
x v
x
ln v   ln x , ln v  ln x
1
dv
dx


v x,
, vx
1
, v  x 1 .
При v  x 1 уравнение (4) примет вид
u x 1  4x 2 , u   4x 3 .
Тогда
u   4 x 3dx  x 4  C .
Общее решение данного дифференциального уравнения


y  uv  x 4  C x 1  x 3 
10
C
.
x
уравнение
с
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Найдем значение C , используя начальное условие y 1  1 .
y 1  13 
C
 1.
1
Отсюда C  0 , а решение данного интегрального уравнения имеет вид
y  x3 .
Некоторые другие частные виды интегральных уравнений Вольтерра первого
и второго рода можно свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям с
помощью дифференцирования обеих частей уравнения.
Задача. Решить интегральное уравнение
x
yx   x  3 xty(t )dt
4
1
Решение.
Найдем производную от обеих частей данного уравнения
x
yx   x  3x  ty(t )dt .
4
(5)
1
Получим

x

y x   4 x  3 ty(t )dt  3x  ty(t )dt  .


1
1

x
3
Используем
формулу
для
производной
определенного
интеграла
с
переменным верхним пределом
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

x

 f t dt   f x  .


a

Тогда будем иметь
x
yx   4 x 3  3 ty(t )dt  3x  xyx  ,
1
x
yx   4 x  3 ty(t )dt  3x 2 yx  .
3
1
Выразив из (5) интеграл, получим
x 4  yx 
 ty(t )dt  3x .
1
x
Подставим полученное выражение в (6):
yx   4 x 3  3
x 4  yx 
x 4  yx 
 3x 2 yx  , yx   4 x 3 
 3x 2 y  x  ,
3x
x
y  x   4 x 3  x 3 
yx 
yx 
 3 x 2 y  x  , y  x   3 x 3 
 3x 2 yx ,
x
x
1

yx    3x 2   yx   3x 3 .
x

Таким образом, мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение
12
(6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1

y    3x 2   y  3x 3 .
x

Оно является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Для его
решения используем подстановку Бернулли y  uv , y   u v  uv :
1

u v  uv   3x 2  uv  3x 3 ,
x

1 


u v  u v   3x 2  v   3x 3 .
x 


(7)
Найдем любое ненулевое частное решение уравнения
1

v    3 x 2  v  0 .
x

Разделим
переменные
и
проинтегрируем
полученное
уравнение
с
разделенными переменными:
dv  2 1 
dv  1
dv
 dv  1

1

  3 x  v  0 ,
   3x 2 v ,
   3x 2 dx ,      3x 2 dx ,
dx 
x
dx  x
v x
v


x

ln v  ln x  x 3 , ln v  ln x  ln e  x , ln v  ln x e  x , v  x e  x , v  xe x .
3
3
3
3
При v  xe x уравнение (7) примет вид
3
uxe x  3x 3 , u  3x 2e x .
3
3
Тогда
3
3
u   3x 2e x dx  e x  C .
Общее решение данного дифференциального уравнения
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3
3
3
y  uv   e x  C  xe x  x  Cxe x .


Найдем значение C , используя начальное условие y 1  1 .
1  1  C  1  e 1 .
3
Отсюда C  0 , а решение данного интегрального уравнения имеет вид
y  x.
3 Применение интегральных преобразований для решения
некоторых интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма
3.1 Применение преобразования Лапласа
Определение. Интегральное уравнение Вольтерра первого рода вида
x
 K x  t yt dt  f x 
0
будем называть интегральным уравнением типа свертки первого рода.
Определение. Интегральное уравнение Вольтерра второго рода вида
x
yx   f x    K x  t  yt dt
0
будем называть интегральным уравнением типа свертки второго рода.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как для решения интегральных уравнений типа свертки будем
использовать преобразование Лапласа [11-12], поэтому в дальнейшем будем
предполагать, что для функций K  x  и f  x  существуют их изображения.
Применение преобразования Лапласа базируется на так называемой теореме
умножения.
F1  p   f1 t  ,
Теорема умножения[11-12]. Пусть
F2  p   f 2 t  . Тогда
выполняется
F1  p F2  p   f1 t  * f 2 t .
Здесь * - обозначение для свертки двух функций f1 t  и f 2 t  :
t
t
0
0
f1 t  * f 2 t    f1 t    f 2  d   f1   f 2 t   d .
Замечание. Для нахождения прямого и обратного преобразований Лапласа
целесообразно использовать компьютерные математические пакеты (например,
MathCAD [8]).
Задача [6, с. 112]. Решить интегральное уравнение
x
yx   sin x  2 cosx  t  yt dt .
0
Решение.
Данное интегральное уравнение является интегральным уравнением типа
свертки второго рода.
Используя формулу из определения свертки (преобразование Лапласа)
t
 f1 t    f 2  d  f1 t  * f 2 t  ,
0
получим
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y  x   sin x  2cos x  * y  x  .
Пусть Y  p  - обозначение изображение неизвестной функции y  x  .
Получим
изображение
уравнения,
используя
следующие
преобразования Лапласа[11-12]:
1) f1 t   f 2 t   F1  p   F2  p  ;
2) Cf t   CF  p ;
3) f1 t  * f 2 t    F1  p F2  p ;
4) sin at  
a
;
p2  a2
5) cos at  
p
.
p2  a2
Тогда получим:
Y  p 
1
p
2p
1
 2 2
 Y  p , Y  p  2
Y  p  2
,
p 1
p 1
p 1
p 1
2

2p 
1
p2  2 p  1
1


, Y  p 
,
Y  p 1  2
 2
 2
2

p

1
p

1
p

1
p

1


Y  p 
16
1
1


Y
p

,
.
p2  2 p  1
 p  12
свойства
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Найдем искомое решение интегрального уравнения, применив обратное
преобразование Лапласа.
yx   xex .
Замечание. Для нахождения обратного преобразования Лапласа более
сложных выражений целесообразно использовать компьютерные математические
пакеты (например, MathCAD [8]).
3.2 Обзор применения различных интегральных преобразований
для решения некоторых интегральных уравнений
Как и преобразование Лапласа другие интегральные преобразования могут
быть аналогично применены для решения некоторых интегральных уравнений
(таблица 1) [6, 11].
Таблица 1.
Интегральное уравнение
Интегральное преобразование
1
2
x
 K x  t yt dt  f x  ,
0
x
Преобразование Лапласа
yx   f x    K x  t  yt dt
0

 K x  t yt dt  f x ,

yx   f x  

 K x  t yt dt
Экспоненциальное преобразование
Фурье


 yt sin xtdt  f x 
Синус-преобразование Фурье
0

 yt cos xtdt  f x
Косинус-преобразование Фурье
0
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для решения некоторых других типов интегральных уравнений возможно
применение других интегральных преобразований [6].
4 Применение метода последовательных приближений для
решения интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма
4.1 Применение метода последовательных приближений для
решения интегральных уравнения Вольтерра второго рода
Пусть дано интегральное уравнение Вольтерра второго рода
x
yx   f x    K x, t  yt dt .
0
Будем считать, что выполняются следующие требования:
1) функция f  x  является непрерывной на отрезке 0, a  ;
2) ядро K  x, t  является непрерывной функцией при x, t  0, a  .
Тогда
данное
уравнение
можно
решить
методом
последовательных
приближений.
В качестве начального приближения y0  x  можно взять произвольную
функцию, непрерывную на отрезке 0, a  . Например, можно положить
y0  x   f  x  .
Последовательные приближения
yn x 
n  1, 2, 3,...
будем находить с
помощью рекуррентной формулы
x
yn x   f x    K x, t  yn1 t dt
0
18
n  1, 2, 3,... .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В случае выполнения указанных выше требований к функциям f  x  и K  x, t  ,
последовательные приближения y  y n  x  n  1, 2, 3,... будут представлять собой
функциональную
последовательность,
сходящуюся
к
решению
данного
интегрального уравнения.
Так как скорость сходимости последовательных приближений к решению
интегрального уравнения зависит от начального приближения, то это следует
учитывать при его выборе.
Задача. Методом последовательных приближений решить интегральное
уравнение Вольтерра второго рода
x
yx   1   2tyt dt .
0
Решение.
Функции f  x   1 и K x, t   2t являются непрерывными, поэтому возможно
применение метода последовательных приближений.
В качестве начального приближения возьмем
y 0  x   1,
а последующие приближения будем находить с помощью рекуррентной формулы
x
yn x   1   2tyn1 t dt
n  1, 2, 3,... .
0
Тогда получим:
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x
x
0
0
x
x
0
0
1) y1 x   1   2ty0 t dt  1   2tdt  1  x 2 ;


2) y2 x   1   2ty1 t dt  1   2t 1  t 2 dt  1  x 2 
x4
;
2

t 4 
x4 x6
2
2

3) y3 x   1   2ty2 t dt  1   2t 1  t  dt  1  x 
;

2
2
2

3

0 
0
x
x
4
6 
4
6
8

t
t
x
x
x
2
2
dt  1  x 
4) y4 x   1   2ty3 t dt  1   2t 1  t  
;



2
2

3
2
2

3
2

3

4

0 
0
x
x
...
x 4 x 6 x8
x 2n


 ... 
n) yn x   1  x 
;
2! 3! 4!
n!
2
...
Таким образом, последовательные приближения
y  yn x 
n  1, 2, 3,...
представляют собой частичные суммы степенного ряда
e
Отсюда следует, что функция
x2

x 2n

.
n  0 n!
yx   e x
2
является решением данного
интегрального уравнения.
Замечание 1. Если в ходе получения последовательных приближений не
очевидна закономерность, которой они подчиняются, то в этом случае в качестве
решения интегрального уравнения будем брать последовательное приближение
y  y n  x  при условии, что в пределах промежутка 0, a  выполняется с нужной нам
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
точностью приближенное равенство y n  x   y n 1  x  или пользоваться нахождением
значения n специальными оценками [1-7].
Замечание 2. Метод последовательных приближений может быть применен и
для решения нелинейных уравнений Вольтерра второго рода вида
x
yx   f x    F x, t , yt dt .
0
Для
f  x  и F  x, t , y t  , принадлежащим к довольно широким классам
функций [6, с. 156-157].
Замечание 3. Для нахождения определенных интегралов целесообразно
использовать компьютерные математические пакеты (например, MathCAD [8]).
4.2 Применение метода последовательных приближений для
решения интегральных уравнения Фредгольма второго рода
Пусть дано интегральное уравнение Фредгольма второго рода
b
yx   f x     K  x, t  yt dt .
a
Будем считать, что выполняются следующие требования:
1) функция f  x  является непрерывной на отрезке a, b ;
2) ядро K  x, t  является непрерывной функцией при x, t  a, b;
3) выполняется неравенство

1
bb
.
2
  K x, t dxdt
aa
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда
данное
уравнение
можно
решить
методом
последовательных
приближений.
В качестве начального приближения целесообразно положить
y0  x   f  x  .
Последовательные приближения
yn x 
n  1, 2, 3,...
будем находить с
помощью рекуррентной формулы
b
yn x   f x     K x, t  yn1 t dt
n  1, 2, 3,... .
a
В случае выполнения указанных выше требований к функциям f  x  , K  x, t  и
к параметру
yn x 
 , последовательные приближения
n  1, 2, 3,...
будут
представлять собой функциональную последовательность, сходящуюся к решению
данного интегрального уравнения.
Задача. Методом последовательных приближений решить интегральное
уравнение Фредгольма второго рода
1
1
yx   1   xtyt dt .
20
Решение.
Функции f  x   1 и K x, t   xt являются непрерывными.
Проверим выполнимость неравенства

1
bb
2
  K x, t dxdt
aa
22
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Найдем
1
bb
Таким
1

11
  K x, t dxdt
  xt
aa
00
2
Так как

2
dxdt
1
1
x
1
2
1
 3.
1 1

3 3

dx  t 2 dt
0
0
1
 3 - верное неравенство, то проверяемое неравенство верно.
2
образом,
возможно
применение
метода
последовательных
приближений.
В качестве начального приближения возьмем
y 0  x   f  x  , y 0  x   1.
Последующие приближения будем находить с помощью рекуррентной
формулы
1
1
yn x   1   xtyn1 t dt
20
n  1, 2, 3,... .
Тогда получим:
1
1
1
1
1
1
1
1) y1 x   1   xty0 t dt  1   xtdt  1  x ;
20
20
4
1
1
1 
 1 
1
2) y2 x   1   xty1 t dt  1   xt1  t dt  1   
x ;
20
20  4 
 4 4 23
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
1
1
1
1
1
1 
1
 1
1
3) y3 x   1   xty2 t dt  1   xt1   

t  dt  1   
2 0   4 4 23 
20
 4 423

1

x;
2
2
42 3 
1
1
1
1
 1

1
4) y4 x   1   xty3 t dt  1   xt1   

t
dt

1


 
2 0   4 4  2  3 4  2 2  32  
20
4

1
1
1



x ;
2
2
3
3
423 42 3
42 3 
...
1
1
1
1



...

n) yn x   1   
x ;
2
2
n

1
n

1
42 3 
 4 423 42 3
...
Нетрудно видеть, что решение данного интегрального уравнения имеет вид
1
1
1
1

yx   1   


...

 ... x .
2
2
n

1
n

1
42 3
 4 423 42 3

Выражение в скобках представляет собой сумму убывающей геометрической
прогрессии с первым членом b1 
1
1
и знаменателем q  . Тогда, используя
4
6
формулу суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии
S
получим решение данного уравнения
24
b1
1 q
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
y  x   1  4 x  1  0,3x .
1
1
6
Замечание 1. Если в ходе получения последовательных приближений не
очевидна закономерность, которой они подчиняются, то в этом случае в качестве
решения интегрального уравнения будем брать последовательное приближение
y  y n  x  при условии, что в пределах отрезка a, b  выполняется с нужной нам
точностью приближенное равенство y n  x   y n 1  x  или пользоваться нахождением
значения n специальными оценками [1-7].
Замечание 2. Метод последовательных приближений может быть применен и
для решения нелинейных уравнений Вольтерра второго рода вида
x
yx   f x    F x, t , yt dt .
0
Замечание 3. Для нахождения определенных интегралов целесообразно
использовать компьютерные математические пакеты (например, MathCAD [8]).
4.3 Применение метода последовательных приближений для
решения интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма первого
рода
4.3.1 Интегральные уравнения Вольтерра первого рода
Пусть дано интегральное уравнение Вольтерра первого рода
x
 K x, t yt dt  f x  ,
0
в котором функции K  x, t  и f  x  удовлетворяют требованиям:
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) f 0  0 ;
2) K  x, t  и K x  x, t  непрерывны при x, t  0, a ;
3) f  x  и f  x  непрерывны при x  0, a  ;
4) K  x, x   0 при x  0, a  .
Тогда исходное интегральное уравнение Вольтерра первого рода можно
свести [6, с. 129] к интегральному уравнению Вольтерра второго рода
K   x, t 
f x 
yx  
 x
yt dt .
K  x, x  0 K  x , x 
x
К полученному уравнению уже можно применить метод последовательных
приближение (пункт 4.1.)
Задача. Свести данное уравнение Вольтерра первого рода к интегральному
уравнению Вольтерра второго рода
 /2
 2  x cos t yt dt  sin x .
0
Решение.
В данном случае функции K  x, t   2  x cos t и f  x   sin x удовлетворяют
требованиям:
1) f 0  sin 0  0 ;
 
2) K  x, t   2  x cos t и K x  x, t   cos t непрерывны при x, t  0,  ;
 2
 
3) f  x   sin x и f x   cos x непрерывны при x  0,  ;
 2
 
4) K x, x   2  x cos x  0 при x  0,  .
 2
Тогда исходное интегральное уравнение можно свести к интегральному
уравнению Вольтерра второго рода
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
K   x, t 
f x 
yx  
 x
yt dt .
K  x, x  0 K  x , x 
x
Тогда будем иметь
x
cos x
cos t
yx  

yt dt
2  x cos x 0 2  x cos x
4.3.2 Интегральные уравнения Фредгольма первого рода
Пусть интегральное уравнение Фредгольма первого рода
b
 K x, t y(t )dt  f ( x)
(8)
a
удовлетворяет требованиям [6, с. 161-162]:
1) функция f  x  является непрерывной на отрезке a, b ;
2) ядро K  x, t  является симметричным;
2) ядро K  x, t  является непрерывной функцией при x, t  a, b;
3) все характеристические числа ядра K  x, t  является положительными
числами;
4) уравнение (8) однозначно разрешимо.
Тогда
данное
уравнение
можно
решить
методом
последовательных
приближений:
b


yn  x   yn 1 x     f ( x)   K  x, t  yn 1 (t )dt 


a
n  1, 2, 3,... .
В качестве начального приближения y0  x  можно взять любую функцию,
непрерывную на отрезке a, b , например y0  x   0 .
Значение  должно удовлетворять неравенству
0    21 ,
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где 1 - наименьшее характеристическое число ядра K  x, t  .
Задача. Решить методом последовательных приближений интегральное
уравнение Фредгольма первого рода
1
 K x, t yt dt  x  x
2
,
0
где
1  x t , 0  t  x,
K  x, t   
 x1  t , x  t  1.
Зная, что:
1) симметричное ядро K  x, t  имеет характеристические числа
1   2 , 2  2 2 , 3  3 2 , ..., n  n 2 , ...
и отвечающие им собственные функции
y1 x   2 sin x , y2 x   2 sin 2x , y3 x   2 sin 3x , ..., yn x   2 sin nx , ...
2) данное уравнение однозначно разрешимо.
В качестве ответа дать второе последовательное приближение.
Решение.
Так как все требования для применимости метода последовательных
приближений в данном случае выполняются, то применим данный метод.
В качестве начального приближения y0  x  можно взять любую функцию,
непрерывную на отрезке 0, 1. Положим y 0  x   1.
Последовательные приближения будем находить по формуле
b


yn  x   yn 1 x     f ( x)   K  x, t  yn 1 (t )dt 


a
28
n  1, 2, 3,... .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Найдем (рисунок 2) последовательные приближения y  y1  x  и y  y 2  x  ,
используя математический пакет MathCAD [8].
Рисунок 2
Замечание. Вычисляя последовательные приближения y  y n  x  n  1, 2, 3,... ,
можно отметить, что они стремятся (рисунок 3) к функции y  x   2 - точному ре-
Рисунок 3
шению данного интегрального уравнения.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5 Решение интегральных уравнений с помощью резольвенты
5.1 Решение интегральных уравнений Вольтерра второго рода с
помощью резольвенты
Пусть дано интегральное уравнение Вольтерра второго рода
x
yx   f x    K x, t  yt dt .
0
Будем считать, что выполняются следующие требования:
1) функция f  x  является непрерывной на отрезке 0, a  ;
2) ядро K  x, t  является непрерывной функцией при x, t  0, a  .
Тогда данное уравнение можно решить с помощью резольвенты.
Итерированными ядрами интегрального уравнения Вольтерра второго рода
будем называть функции:
1) K1  x, t   K  x, t  ;
x
2) K n x, t    K x, K n 1  , t d ( n  2, 3, ... ).
t
Резольвенту уравнения можно найти с помощью ряда

R x, t ,     n 1 K n  x, t  .
n 1
Решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода будет иметь вид
x
yx   f x     Rx, t ,   f t dt .
0
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача. Решите данное интегральное уравнение Вольтерра второго рода с
помощью резольвенты
x
x2  1
yt dt .
2
t

1
0
y  x   x  1  2
2
Решение.
Так как
f  x   1 и K  x, t  
x2  1
являются непрерывными, то данное
t2 1
уравнение можно решить с помощью понятия резольвенты.
Найдем итерированные ядра:
1) K1  x, t   K  x, t  
x2  1
.
t2 1
Ядра K n  x, t  ( n  2, 3, ... ) будем последовательно находить по формуле
x
K n x, t    K x, K n 1  , t d ( n  2, 3, ... ),
t
x
x2  1
K n x, t    2
K n1  , t d ( n  2, 3, ... ).


1
t
Тогда получим:
x2  1  2  1
x2  1
x2  1
2) K 2 x, t    2
 2
d  2
 d  t 2  1  x  t  ;


1
t

1
t

1
t
t
x
x
x2  1  2  1
x2  1
x 2  1 x  t 2
3) K 3 x, t    2
 2
   t d  2
   t d  t 2  1  2 ;


1
t

1
t

1
t
t
x
x
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x 2  1  2  1   t 2
x 2  1   t 2
x 2  1 x  t 3
4) K 4 x, t    2
 2

d  2
 2 d  t 2  1  2  3 ;
2


1
t

1
t

1
t
t
x
x
...
n) K n  x, t  
x 2  1  x  t n 1

.
t 2  1 n  1!
Найдем резольвенту уравнения

R  x, t ,     
n 1
n 1

K n  x, t    2
n 1
n 1
x 2  1 x  t n1 x 2  1  n1 x  t n1

 2
 2  n  1! 
t 2  1 n  1!
t  1 n1
x 2  1  2x  t n1 x 2  1  2x  t n x 2  1 2 x t 
 2
 2

 n!  t 2  1 e .
t  1 n1 n  1!
t  1 n0
Найдем решение данного интегрального уравнения

x
x

x 2  1 2  x t  2
yx   f x     Rx, t ,   f t dt  x  1  2 2
e
t  1 dt 
t

1
0
0
2


x


 

 1 1

 x  1  2 x  1  e 2 x t dt  x 2  1  2 x 2  1    e 2 x  
 2 2

0
2
2


 x 2  1  x 2  1 e2 x  1  x 2  1 e2 x .
5.2 Решение интегральных уравнений Фредгольма второго рода
с помощью резольвенты
Пусть для интегрального уравнения Фредгольма второго рода
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
b
yx   f x     K x, t  yt dt
a
выполняются условия:
1) функция f  x  является непрерывной на отрезке a, b ;
2) ядро K  x, t  является непрерывной функцией при x, t  a, b;
3) выполняется неравенство

1
bb
.
2
  K x, t dxdt
aa
Тогда данное уравнение можно решить с помощью резольвенты.
Итерированными ядрами интегрального уравнения Фредгольма второго рода
будем называть функции:
1) K1  x, t   K  x, t  ;
b
2) K n x, t    K x, K n1  , t d ( n  2, 3, ... ).
a
Резольвенту уравнения можно найти с помощью ряда

R x, t ,     n 1 K n  x, t  .
n 1
Решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода будет иметь вид
b
yx   f x     Rx, t ,   f t dt .
a
Задача. Решите данное интегральное уравнение Фредгольма второго рода с
помощью резольвенты
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
1
yx   1   xtyt dt .
20
Решение.
Функции f  x   1 и K x, t   xt являются непрерывными.
Проверим выполнимость неравенства
1

.
bb
2
  K x, t dxdt
aa
Найдем
1

bb

11
  K x, t dxdt
  xt
aa
00
2
Так как
1
2
dxdt
1
1
x
0
1
2
dx  t 2 dt

1
 3.
1 1

3 3
0
1
 3 - верное неравенство, то проверяемое неравенство верно.
2
Таким образом, данное уравнение можно решить с помощью понятия
резольвенты.
Найдем итерированные ядра:
1) K1  x, t   K  x, t   xt ;
b
2) K n x, t    K x, K n1  , t d ( n  2, 3, ... ):
a
1
1
0
0
K 2 x, t    x  td  xt  2 d 
34
xt
;
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
t
1
1
xt
xt
K 3 x, t    x  d    2 d  2 ;
3
30
3
0
...
t
1
K n x, t    x 
0
3n  2
xt
d 
3
1
 2 d 
n2 
0
xt
.
3n1
Резольвента уравнения

R  x, t ,     
n 1
n 1
Используя
формулу

1
K n  x, t     
n 1 2 
суммы
n 1
бесконечной

xt
1

xt
 

3n1
n 1 6 
убывающей
n 1
.
геометрической
прогрессии
S
b1
,
1 q
получим резольвенту
R x,t ,    xt
1
1
1
6

6
xt .
5
Найдем решение данного интегрального уравнения
b
1
1
3 1
1 6
3
yx   f x     Rx, t ,   f t dt  1   xtdt  1  x  tdt  1  x  1  0,3 x .
5 2
205
5 0
a
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6 Представление решений уравнений Фредгольма в виде рядов
по собственным функциям
6.1 Уравнение Фредгольма второго рода
Пусть для интегрального уравнения Фредгольма второго рода
b
yx   f x     K x, t  yt dt
a
выполняются условия:
1) K  x, t  - действительное симметричное ядро, непрерывное при t , x  a, b ,
функция f  x  непрерывна на отрезке a, b ;
2) собственные функции y  y k  x  ( i  1, 2, ... ) ядра K  x, t  образуют полную
ортонормированную систему функций на отрезке a, b  , а k - отвечающие им
характеристические числа;
3) значение параметра  не совпадает с характеристическими числами k
( k  1, 2, ... ).
Тогда данное интегральное уравнение имеет единственное в классе функций
C a, b решение, которое имеет вид

fk
yk x ,



k
k 1
yx   f x    
где f k - коэффициенты разложения функции y  f  x  в ряд Фурье по собственным
функциям y  y k  x  ( k  1, 2, ... )

b
k 1
a
f  x    f k yk  x  , f k   f x  yk x dx .
Пусть
теперь
значение
параметра

совпадает,
например,
с
характеристическим числом m с кратностью p (   m  m1  m2  ...  m p1 ),
и
этому
36
характеристическому
числу
m
кратности
p
(совпадающим
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
характеристическим числам m  m1  m2  ...  m p1 ) отвечают собственные
функции y m  x , y m 1  x  , y m  2  x  ,..., ym p 1 x  .
Если не выполняется условие
b
 f x yk x dx  0 ( i  m, m  1, m  2, ..., m  p  1 ),
a
то интегральное уравнение Фредгольма второго рода не будет иметь решений, а
если выполняется, то решений будет бесконечно много
m  p 1
fk
yx   f x    
yk x    Ck yk x  .



k
k
k m
Здесь в первой сумме индекс k принимает значения
k  1, 2, ..., m  1, m  p, ...,
а C k ( k  m, m  1, m  2, ..., m  p  1 ) – произвольные постоянные.
Задача. Решить интегральное уравнение Фредгольма первого рода
1
y ( x)  sin x  2 K x, t  yt dt ,
3
0
где
1  x t , 0  t  x,
K  x, t   
 x1  t , x  t  1.
Зная,
что
действительное
симметричное
ядро
K  x, t 
имеет
характеристические числа
1   2 , 2  2 2 , 3  3 2 , ..., n  n 2 , ...
и отвечающие им собственные функции
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y1 x   2 sin x , y2 x   2 sin 2x , y3 x   2 sin 3x , ..., yn x   2 sin nx , ...
Решение.
В данном случае значение параметра   2 не совпадает ни с одним из
характеристических чисел ядра данного интегрального уравнения, тогда найдем
решение по формуле

fk
yk x .



k 1 k
yx   f x    
Найдем коэффициенты разложения в ряд Фурье функции f x   sin 3 x :

sin 3 x   f k 2 sin kx .
i 1
В данном случае для нахождения коэффициентов f k ( k  1, 2, ... ) удобнее не
использовать формулу
b
f k   f x  yk x dx ,
a
а воспользоваться формулой понижения степени
sin 3  
3 sin   sin 3
.
4
Тогда получим

3
1
sin x  sin 3x   f k 2 sin kx .
4
4
k 1
Так как коэффициенты разложения в ряд Фурье определяются однозначно, то
тогда получим
3
1
 2 f1 ,   2 f 3 ,
4
4
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а все остальные коэффициенты равны нулю.
Отсюда имеем
f1 
3
4 2

3 2
1
2
, f3  
.

8
8
4 2
Таким образом, решение данной задачи имеет вид

fk
yk x  
k 1 k  
yx   f x    
 3 2

2



3
8
8

 sin x  2 2
2 sin x 
2 sin 3x  
2
  2

3   2




1 3
1

 sin 3 x   2
sin x  2
sin 3x  .
2  2
9  2

6.2 Уравнение Фредгольма первого рода
Теорема Пикара [6, с. 137]. Пусть для интегрального уравнения Фредгольма
первого рода
b
 K x, t  yt dt  f x 
a
выполняются условия:
1) K  x, t  - действительное симметричное ядро, непрерывное при t , x  a, b ,
функция f  x  непрерывна на отрезке a, b ;
2) собственные функции y  y k  x  ( k  1, 2, ... ) ядра K  x, t  образуют полную
ортонормированную систему функций на отрезке a, b  , а k - отвечающие им
характеристические числа;
3) сходится числовой ряд
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

 2k f k2 ,
k 1
где f k - коэффициенты разложения функции y  f  x  в ряд Фурье по собственным
функциям y  y k  x  ( k  1, 2, ... )

b
k 1
a
f  x    f k yk  x  , f k   f x  yk x dx .
Тогда данное интегральное уравнение имеет решение

y  x    k f k y k  x  .
k 1
Это решение является единственным в довольно широком классе функций [6,
с. 137], содержащем в себе множество всех непрерывных функций на отрезке a, b  .
Задача. Решить интегральное уравнение Фредгольма первого рода
1
 K x, t yt dt  x  x
2
,
0
где
1  x t , 0  t  x,
K  x, t   
 x1  t , x  t  1.
Зная,
что
действительное
симметричное
ядро
K  x, t 
имеет
характеристические числа
1   2 , 2  2 2 , 3  3 2 , ..., n  n 2 , ...
и отвечающие им собственные функции
y1 x   2 sin x , y2 x   2 sin 2x , y3 x   2 sin 3x , ..., yn x   2 sin nx , ...
Решение.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f x   x  x 2
Найдем для функции
ее коэффициенты разложения
fk
( k  1, 2, ... ) в ряд Фурье по собственным функциям, используя формулу
b
f k   f x  yk x dx ( k  1, 2, ... ).
a
Получим
1

fk   x  x
2
0

4 2

2 sin kxdx   3 k 3 , k - нечетное;
0, k - четное.
Проверим, сходится ли числовой ряд

 2k f k2 .
k 1
В данном случае будем иметь ряды, где суммирование происходит по
нечетному k .
4
2
2
4 2
4 2
32
 k    3k 3    k 4   3k 3     2 k 2 .




k
k
k
Полученный
ряд
имеет
неотрицательные
члены,
которые
меньше
соответствующих членов сходящегося обобщенного гармонического ряда
32

2

1
 k2 .
k 1
Отсюда согласно признаку сравнения числовых рядов следует сходимость
исходного числового ряда.
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как все условия теоремы Пикара выполнены, то решение данного
интегрального уравнения имеет вид (в двух последних рядах суммирование
происходит по нечетному k )

y  x    k f k y k  x    k 2
k 1
k
4 2
8 1
2 sin kx   sin kx .
3 3
 k k
 k
Окончательно получим
yx  

sin  2n  1x .

 2n  1
8
1
n 1
Можно показать, что полученный ряд представляет собой разложение
функции y  x   2 в ряд Фурье по синусам на отрезке 0,1 .
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список использованных источников
1
Васильева,
А.
Б.
Интегральные
уравнения:
учеб.
для
вузов
/
А. Б. Васильева, Н. А. Тихонов.- 2-е изд. - М. : Физматлит, 2004. - 160 с. - (Курс
высшей математики и математической физики / под ред. А. Н. Тихонова,
В. А. Ильина, А. Г. Свешникова; Вып. 7). - Библиогр.: с. 156-157. - ISBN 5-92210275-3.
2 Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление /
А. Б. Васильева [и др.]. - М.: Физматлит, 2003. - 432 с. - (Курс высшей математики и
математической физики / под ред. А. Н. Тихонова, В. А. Ильина, А. Г. Свешникова;
вып. 10). - Библиогр.: с. 430-431. - ISBN 5-9221-0276-1.
3 Петровский, И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений /
И. Г. Петровский; [под ред. О. А. Олейник]. - М.: Физматлит, 2009. - 136 с. (Классика и современность. Математика) - ISBN 978-5-9221-1081-5.
4 Цлаф, Л. Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения: справ.
руководство / Л. Я. Цлаф. - М.: Наука, 1966. - 176 с.
5 Эльсгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление:
учебник / Л. Э. Эльсгольц.- 4-е изд. - М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 320 с. Библиогр.: с. 316. - Предм. указ.: с. 317. - ISBN 5-8360-0098-0.
6 Краснов, М. Л. Интегральные уравнения: задачи и примеры с подробными
решениями: учеб. пособие / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко. - 4-е
изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с. - (Вся высшая математика в задачах) ISBN 987-5-484-00984-8.
7 Краснов, М. Л. Интегральные уравнения (Введение в теорию): учеб. пособие
/ М. Л. Краснов. - М.: Наука, 1975. - 301 с.
8 Дьяконов, В. П. MathCAD 11/12/13 в математике: справочник / В. П.
Дьяконов. - М.: Горячая линия-Телеком, 2007. - 958 с.: ил. + 1 электрон. опт. диск
(CD-ROM). - Прил.: с. 905-931. - Библиогр.: с. 932-935. - ISBN 5-93517-332-8.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9 Эльсгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения: учебник / Л. Э. Эльсгольц .7-е изд. - М.: ЛКИ, 2008. - 309 с. - (Классический учебник МГУ). - Библиогр.: с. 306.
- Предм. указ.: с. 307-309. - ISBN 978-5-382-00638-3.
10 Краснов, М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: задачи и
упражнения с подробными решениями: учеб. пособие / М. Л. Краснов, А. И.
Киселев, Г. И. Макаренко.- 7-е изд. - М.: Либроком, 2009. - 253 с. - (Вся высшая
математика в задачах). - Прил.: с. 248-250. - ISBN 978-5-397-00206-6.
11 Волков, И. К. Интегральные преобразования и операционное исчисление:
учеб. для вузов / И. К. Волков, А. Н. Канатников. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э.
Баумана, 2002. - (Математика в техническом университете; вып. 11) - ISBN 5-70381273-9. - ISBN 5-7038-1270-4.
12 Краснов, М. Л. Операционное исчисление. Теория устойчивости: задачи и
примеры с подробными решениями: учеб. пособие / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г.
И. Макаренко.- 3-е изд., испр. и доп. - М.: УРСС, 2003. - 176 с. - (Вся высшая
математика в задачах) - ISBN 5-354-00383-0.
44
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
23
Размер файла
609 Кб
Теги
решение, уравнения, метод, интегральная, 744, некоторые, 3503
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа