close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

5012.Методика обучения школьников работать с математической задачей.

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Соликамский государственный педагогический институт»
Л. Г. Шестакова
Методика обучения школьников
работать с математической задачей
Учебное пособие для студентов
«Рекомендовано УМО по математике
педвузов Волго-Вятского региона
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений
педагогического направления подготовки»
Протокол № 17а заседания Совета УМО
от 25 декабря 2012 г.
Соликамск
СГПИ
2013
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 372.8
ББК 74.262.21 я73
Ш 51
Рецензенты: зав. кафедрой высшей математики ФГБОУ ВПО «Пермский
государственный гуманитарно-педагогический университет», доктор физико-математических наук, профессор А. Е. Малых; профессор кафедры социальной работы и социального права филиала РГСУ в г. Анапе, доктор педагогических наук
Л. П. Ильченко; доцент кафедры математики и физики ФГБОУ ВПО «Соликамский государственный педагогический институт», кандидат педагогических
наук, доцент Т. А. Безусова.
Ш 51
Шестакова, Л. Г.
Методика обучения школьников работать с математической задачей [Текст] : учебное пособие для студентов / Л. Г. Шестакова; ФГБОУ
ВПО «Соликамский государственный педагогический институт». – Соликамск: СГПИ, 2013. – 106 с. – ISBN 978-5-89469-087-2.
В пособии рассматриваются вопросы методики работы с математической задачей: дается характеристика основных этапов, более подробно разобраны приемы поиска решения. Дано описание организации работы с текстовой задачей
(решаемой арифметическим и алгебраическим способами, а также с использованием графиков и геометрии), с двумя видами геометрических задач (задачи на
вычисление и построение в планиметрии) и логическими. Рассмотрены возможности задач для формирования у школьников универсальных учебных действий
в соответствии с ФГОС нового поколения.
Пособие рассчитано на студентов, обучающихся по направлению «Педагогическое образование» (профиль «Математика»), а также может представлять
интерес для учителя математики.
Ключевые слова: обучение математике; методика работы с математической
задачей; виды математических задач; анализ текста; поиск способа решения задачи; изучение полученного решения.
Рекомендовано к изданию РИСо СГПИ.
Протокол № 47 от 14.02.2013 г.
ISBN 978-5-89469-087-2
УДК 372.8
ББК 74.262.21 я73
© Л. Г. Шестакова, 2013.
© ФГБОУ ВПО «Cоликамский государственный
педагогический институт», 2013.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
Введение............................................................................................ 4
1. Методика работы с задачей........................................................ 6
1.1. Общая характеристика.........................................................
6
1.2. Основные этапы работы с математической задачей.........
8
2. Поиск способа решения задачи.................................................. 13
2.1. Движение от условия к заключению.................................. 14
2.2. Движение от заключения к условию.................................. 17
2.3. Движение с двух сторон......................................................
19
2.4. Поиск косвенного доказательства....................................... 23
2.5. Несовершенный анализ........................................................ 27
3. Методика работы с текстовыми задачами................................
31
3.1. Арифметический способ...................................................... 31
3.2. Алгебраический способ........................................................ 44
3.3. Использование геометрии при решении текстовых задач... 50
4. Методика работы с геометрическими задачами........................ 53
4.1. Методика работы с геометрическими задачами
на вычисление........................................................................ 54
4.2. Методика работы с задачей на построение
в школьном курсе планиметрии.......................................... 64
5. Логические задачи........................................................................ 70
6. Работа с задачами как средство формирования
универсальных учебных действий.............................................. 83
7. Самостоятельная работа студента............................................... 91
7.1. Примерное содержание семинарских занятий.................... 91
7.2. Примерный список индивидуальных заданий.................... 93
7.3. Примерные темы рефератов................................................. 94
Список литературы........................................................................... 97
Приложение 1. Необходимое и достаточное условие................... 100
Приложение 2. Свойства и признаки понятий................................ 103
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
введение
_________________________
____________________________________
Значение математической задачи для развития мышления школьника трудно переоценить. Работа с ней способствует формированию абстрактного мышления, повышает логическую грамотность. В процессе решения ученик
овладевает приемами анализа и синтеза, выдвижения и
проверки гипотез, правилами рассуждений, приобретает
навыки умственного труда, приучается к самоконтролю.
Поэтому работа с задачей должна занимать важнейшее
место в школьном курсе математики.
С введением Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) роль и место задач не
уменьшается. В публикации авторского коллектива под
руководством А. Г. Асмолова «Разработка модели Программы развития универсальных учебных действий» [1]
отмечается, что общий прием решения задач может быть
рассмотрен в качестве сложного составного логического
действия. Он включает: знания этапов решения (процесса), методов (способов) решения, типов задач, а также
владение предметными знаниями (понятиями, определениями, правилами, формулами, логическими приемами
и операциями). Аналогичное можно сказать и о способах
доказательства (используемых при решении), которым
отводится отдельное место и в названной публикации и
в Примерной основной образовательной программе [20].
При работе с задачей, как правило, большая часть
школьников испытывает затруднения. У многих учеников
приемы работы с задачей так и не формируются вообще.
Основная причина заключается в том, что они не зависят
от числа решенных задач. Мы можем вместе с учеником
разобрать двадцать, а двадцать первую он самостоятельно
не решит. Очевидно, что этим приемам нужно специально
обучать.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предлагаемое пособие посвящено работе с математической задачей. В начале рассмотрены общие вопросы
методики, которые включают в себя характеристику основных этапов работы. Более подробно описаны приемы
поиска способа решения (доказательства), раскрыто их
значение и приведены некоторые рекомендации по обучению учащихся. Затем освещена работа с несколькими
типами задач, встречающимися в школе: текстовыми, геометрическими, логическими. При этом акцент делается на
их разборе на всех четырех этапах. Там, где это возможно,
даны схемы рассуждений, приводящие к разным способам решения.
В связи с усилением тенденции и развития у школьников познавательных универсальных учебных действий
(далее УУД), в состав которых входит блок логических, в
пособие включен параграф по логическим задачам. Рассмотрены возможности математических задач для формирования УУД.
С целью организации самостоятельной работы студентов и отработки у них профессиональных компетенций в
пособие включено: примерное содержание семинарских
занятий с теоретической частью и практикумом; списки
тем для индивидуальных заданий, рефератов и докладов;
литература.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Методика работы с задачей
1.1. Общая характеристика
__________________________________________
______________________
С термином «задача» люди постоянно сталкиваются как на
бытовом, так и на профессиональном уровне, решая те или иные
проблемы. Т. Е. Демидова, А. П. Тонких отмечают, что проблема
решения всех задач, в том числе и возникающих перед человеком
в процессе его производственной или бытовой деятельности, изучается издавна, однако до настоящего времени нет общепринятой
трактовки самого понятия [9]. В общем значении задача трактуется как поставленная цель, которую необходимо достигнуть; как
вопрос, требующий решения на основании определенных знаний
и логических умозаключений. В педагогике она характеризуется
наличием у учащихся определенной цели, стремлением получить
ответ, желаемый результат с учетом имеющихся условий и требований, необходимых для решения. В современной школе решение задач служит одним из средств овладения системой знаний,
формирования компетенций, а с переходом школы на ФГОС нового поколения и универсальных учебных действий.
Достаточно широкое распространение получил системный
подход к задаче (Г. А. Балл, Ю. М. Колягин, JI. М. Фридман,
А. Ф. Эсаулов и др.). Г. А. Балл предлагает следующее определение: «Задача в самом общем виде – это система, обязательными компонентами которой являются: а) предмет задачи, находящийся в исходном состоянии; б) модель требуемого состояния
предмета задачи (эту модель мы отождествляем с требованием
задачи)» [3, с. 32]. Ю. М. Колягин [13] понимает под задачей особую систему «человек – задачная ситуация», где вторым компонентом является множество взаимосвязанных элементов. Если
человеку (вступившему в контакт с ситуацией) неизвестен хотя
бы один элемент и появляется потребность установить его, то последняя становится для него задачей. Л. М. Фридман связывает
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
понятие задачи с проблемной ситуацией и отмечает, что «генезис
задачи можно рассматривать как моделирование проблемной ситуации, в какую попадает субъект в процессе своей деятельности,
а саму задачу – как модель проблемной ситуации, выраженной с
помощью знаков некоторого естественного или искусственного
языка» [26, с. 15].
Задача на уроке математики может выполнять различные
функции и использоваться для достижения различных целей. Работа над ней способствует не только закреплению знаний учащихся, но и обобщению и систематизации, повышает уровень
осмысленности знаний, делает их гибкими. Хорошо продуманные задачи стимулируют познавательную деятельность учащихся, помогают их активизировать, повышают интерес к предмету,
мотивацию.
В Федеральном государственном образовательном стандарте
школы отмечается, что в процессе изучения математики «обучающиеся развивают логическое и математическое мышление,
получают представление о математических моделях; овладевают
рассуждениями; учатся применять математические знания при
решении различных задач и оценивать полученные результаты;
овладевают умениями решения учебных задач; развивают математическую интуицию» [25, с. 13].
Переход школы на ФГОС нового поколения не отодвинет задачу на второй или третий план по одной простой причине: она
с позиции формирования ключевых компетенций и универсальных учебных действий берет на себя сразу несколько функций.
Во-первых, решение задачи (с разным конкретным содержательным наполнением) предполагает формирование у школьников
умений использовать приобретенные знания в изменяющихся
ситуациях (т.е. идет реализация компетентностного подхода).
Во-вторых, общеизвестно, что задача направлена на формирование общеучебных умений (анализ текста, составление модели, плана решения, его реализация, проверка результата и др.),
которые лежат в основе или являются составными частями универсальных учебных действий. ФГОС ООО перед математикой
ставит задачу развития «умений применять изученные понятия,
результаты, методы для решения задач практического характера
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, компьютера, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчётах» [25, с. 14–15].
Как легко заметить, возможности задачи большие, необходимо сделать так, чтобы они как можно полнее были реализованы на практике. Именно поэтому вопросам методики обучения
школьников решать различные виды задач уделяется значительное место в публикациях разного уровня. Различные аспекты
данной проблемы рассматриваются в работах О. Б. Епишевой,
Ю. М. Колягина, Г. И. Саранцева, Н. Л. Стефановой, А. А. Темербековой, Л. М. Фридмана и других авторов.
1.2. Основные этапы работы с математической задачей
__________________________________________________
_________________________
Рассматривая этапы работы с задачей, необходимо отметить,
что в методике математики нет единой точки зрения на их количество. В одном случае может быть четыре, в другом – восемь
и т.д. Мы будем придерживаться точки зрения тех методистов,
которые выделяют четыре основных этапа, охватывающих всю
работу с задачей:
– ознакомление с условием задачи, его изучение;
– поиск способа решения задачи;
– оформление решения;
– изучение полученного решения и работа с ним («взгляд назад», как назвал этот этап Д. Пойа).
На первом этапе нужно, чтобы ученик понял, о чем идет речь
в задаче. Здесь отвечают на три основных вопроса. Что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие? Составляется краткая запись по тексту, делается рисунок, схема, таблица. Для выяснения
того, как ученик понял задачу, учитель может предложить пересказать ее своими словами.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На втором этапе идет поиск способа решения. Результатом
работы здесь является план решения. Подробно этап рассмотрен
в следующем параграфе.
Третий этап – осуществление составленного плана решения.
По ходу его реализации контролируется обоснованность и доказанность каждого шага. Нужно приучать учеников к тому, что
если в найденном «решении» есть хотя бы один необоснованный
момент, то задача считается нерешенной.
На четвертом этапе отвечаем на вопросы, можно ли:
– проверить результат;
– проверить ход решения;
– получить результат другим способом;
– в какой-либо другой задаче использовать полученный результат или метод решения?
В школе редко проводится работа с задачей на четвертом этапе. Однако изучение полученного решения и результата дает возможность углубить знания школьников, выявить и закрепить как
общие приемы решения, так и частные, характерные для определенного типа задач, а также формирует универсальные учебные
действия и ключевые компетенции.
Рассмотрим некоторые варианты работы с задачей на четвертом этапе, взяв за основу пособие Д. Пойа [19].
Способы проверки результата
Способы проверки результата могут быть следующие.
1. Введение полученного результата в текст задачи и проверка
выполнимости всех условий, о которых идет речь. Этот способ
эффективно использовать в задачах на движение, совместную работу, проценты, пропорции и др. В данном случае удобно включить результат в краткую запись, схему или таблицу и посмотреть – не получается ли противоречие.
2. Решение задачи другим способом и сопоставление результатов. Если в обоих случаях они получились одинаковыми, то вероятность правильности решения повышается.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим пример.
С
В
Дано: ABCD – параллелограмм,
А (-2;1), В (1;3), С (3;4).
Найти координаты вершины D.
О
А
Рис. 1
D
Решение
Первый способ
О – точка пересечения диагоналей, следовательно
О – середина АС,
тогда О (0,5; 2,5).
О – середина ВD, тогда D
(0;2).
Второй способ
ABCD – параллелограмм,
тогда АВ = DC .
АВ (3;2), следовательно
DС (3;2).
Т.к. DС (3;2) и С (3;4), тогда
D (0;2).
Результаты совпали.
3. Проверка размерности. Наиболее эффективным является
этот способ при проверке формул. Его часто используют на уроках физики, поэтому данный способ не будет новым для школьников. Например, ученики вывели формулу для нахождения площади треугольника через радиус вписанной в него окружности:
S = 0,5rP = 0,5r(a+b+c).
Проверяем размерность: см·см = см2.
Размерность совпала, так как см2 ­– единица площади.
Способ проверки размерности можно использовать в отношении как конечного результата, так и промежуточных действий,
когда, например, нужно проверить формулу, которую вспомнили, но есть некоторые сомнения в ее истинности. Однако ученики
должны отдавать себе отчет в том, что проверка размерности не
дает полной уверенности в правильности решения задачи. Например, для выражений S=rP и S=0,5ra этот способ не укажет на
наличие ошибок.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проверка хода решения
В трудных и важных случаях оказывается необходимым проверить весь ход решения. Обычно для этого достаточно выбрать
несколько «узловых» пунктов. Нужно стараться избегать простого повторения, так как, во-первых, это рассеивает внимание,
во-вторых, ошибку можно просто не заметить потому, что выстраиваются уже проведенные рассуждения. В случае, когда стоит задача проверить все с начала до конца, желательно изменить
последовательность шагов. При осуществлении этого обращают
внимание на то, все ли данные использованы. Если нет, то выясняют причину: являются ли они лишними или, что чаще всего бывает, в решении ошибка. При обнаружении избыточных данных
обязательно исследуется условие задачи на непротиворечивость,
только после этого можно делать вывод о том, что она решена.
Отыскание другого решения
Проверкой результата значимость работы по отысканию другого решения не ограничивается. Она приучает учеников отказываться от уже найденных схем и стереотипов, рассматривать
объекты с разных сторон, что помогает развитию творческих
способностей. Процесс формирования этого умения длительный,
его скорость индивидуальна. Вначале школьники смогут вносить
лишь очень небольшие крупицы нового. Нужно чаще разбирать
различные способы решения одной и той же задачи, даже в том
случае, когда другие способы предложены не учениками, а учителем, сравнивать эти способы между собой, выбирать наиболее
рациональный в данных условиях или оптимальный.
Видоизменение, составление новой задачи,
в которой используется решенная
Задача вместе с полученным результатом представляют собой
чаще всего систему условий, характеризующих объект, о котором идет в ней речь. Поэтому результат можно взять в качестве
данного, а одно из первоначальных условий считать неизвест11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ным. Тогда получится новая задача, которая в принципе должна
иметь решение. Исключения бывают, но редко. Конечно, может
оказаться, что составленная задача будет или простой, или очень
трудной, не решаемой имеющимися у ученика средствами.
Такого рода работу можно провести с большим числом задач.
Осторожность нужно проявлять с задачами на доказательство.
Определение места решенной задачи
Идет работа по выделению приема решения задачи. Ученики
отвлекаются от конкретного содержания и рассматривают математическую и логическую стороны решения. Если с подобным
способом уже встречались, то нужно вспомнить задачи, в которых он использовался. Если же он совершенно новый, то следует постараться выделить основную идею и элементы; придумать
несколько задач (хотя бы в виде приближенной схемы), которые
решаются аналогично.
Вообще работа по выявлению способа решения может пройти и раньше, на этапе составления плана. Отметим, что часто
представляет сложность четкое выделение этапов. Они плавно
переходят один в другой. Работу с задачей трудно поместить в
определенную схему, так как решение – это творческий процесс,
в котором определенное место занимают математическая интуиция, имеющийся у школьника опыт, готовность к продуктивной
мыслительной деятельности.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. поиск способа решения задачи
______________________________________________
______________________________________________
Учащиеся испытывают значительные затруднения, допускают ошибки при решении математических задач. Многие так и не
приобретают приемов и способов деятельности, помогающих решать задачи. Как показывает практика, их ставит в тупик любая
задача среднего уровня сложности. Основная причина, скорее
всего, заключается в том, что школьники не умеют осуществлять
поиск способа решения. Именно к этому этапу работы часто относятся наводящие вопросы и подсказки учителя. В связи с этим
далее рассмотрим основные пути поиска решения задачи, овладение которыми является метапредметным результатом школьного
математического образования. Параллельно будем останавливаться и на вопросах организации работы, направленной на обучение учащихся использовать их в учебной деятельности.
Для того чтобы сформировать какое-либо умение (или прием),
в первую очередь необходимо раскрыть его сущность и объяснить, что оно из себя представляет, как осуществляется на практике. Нужно постараться разъяснить ученикам, что «делает» человек, умеющий работать с задачей, при поиске ее решения.
Рассмотрим три основных пути, которыми можно следовать
при осуществлении поиска способа решения (табл. 1), и дадим
им характеристику:
– движение от условия к заключению;
– движение от заключения к условию;
– движение с двух сторон.
При этом не будем останавливаться на чисто эвристических
методах решения задач (характеристику которых можно найти в
книгах Д. Пойа, Ю. М. Колягина, Л. М. Фридмана, Л. В. Виноградовой и др.); ключевых задачах (А. Е. Малых, Т. В. Рихтер, И. Ф.
Шарыгин и др.). Сразу отметим, что в реальном процессе работы
с математической задачей названные пути часто используются
совместно. Однако для удобства характеристики особенностей и
для организации деятельности школьников их лучше разделить.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 1
Пути осуществления поиска способа решения
1. Движение
от условия
к заключению
О
ф
о
р
м
л
е
н
и
е
р
е
ш
е
н
и
я
* условие
* заключение
2. Движение от
заключения
к условию
О
ф
о
р
м
л
е
н
и
е
р
е
ш
е
н
и
я
* условие
* заключение
3. Движение
с двух сторон
О
ф
о
р
м
л
е
н
и
е
р
е
ш
е
н
и
я
* условие
* точка
встречи
* заключение
2.1. Движение от условия к заключению
__________________________________________
______________________
При движении от условия к заключению новое знание (зависимость, значение величины и др.) получается путем разворачивания условия задачи. Человек, осуществляющий поиск способа
решения первым путем, задает себе следующие вопросы. Что
дано? Что из этого следует? Что можно найти из условия?
Руководствуясь этим, обычно получают какой-то результат (величину, зависимость). Затем обращаются к вопросу задачи. Проверяют, является ли найденный результат искомым. В случае положительного ответа (способ найден) остается оформить решение. В
противном случае полученный результат вводят в условие задачи
и снова задают себе вопросы. Что дано? Что из этого следует? Что
можно найти? Так продолжается до тех пор, пока не будет получен
ответ на вопрос задачи. Схема поиска способа решения путем движения от условия к заключению представлена на рисунке 2.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Что дано?
Что можно найти?
Что следует?
Да
Является ли
«найденный»
результат
искомым?
Способ решения
найден
Нет
Включаем
«найденный»
результат в
условие задачи
Оформляем
решение
Рис. 2
Путь от условия к заключению редко является прямой линией.
Часто он выглядит так, как показано на рисунке 3.
О
ф
о
р
м
л
е
н
и
е
р
е
ш
е
н
и
я
Сам «путь» может быть извилистым. Дополнительно появляются
ответвления, тупики и веточки, осуществление которых даст другой
способ решения (пунктирная линия).
Поэтому после того, как найден способ решения (доказательства), нужно
отбросить все лишнее, выпрямить сам
«путь». Решение будет оформляться
в том же порядке, в каком осуществлялся поиск (рис. 3). Этот путь (как и
* заключение другие) имеет свои сильные и слабые
стороны.
Рис. 3
* условие
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Остановимся на них. Одним из преимуществ этого пути является то, что оформление решения производится в прямом порядке. Ученику легче уловить логику, избежать ошибок. Другой
положительный момент – все «найденные» величины, зависимости включаются в условие задачи и могут быть использованы в
качестве данных.
Слабая сторона заключается в том, что учитель часто «ведет»
за собой. Он ставит вопросы, которые постепенно приближают к
цели (вопросу задачи). Поэтому ученикам может быть непонятно, чем они мотивированы. Следовательно, приемы осуществления поиска не формируются и не осознаются.
Для устранения названного недостатка нужно целенаправленно учить школьников задавать вопросы самостоятельно, предварительно объяснив им сущность приема. Для достижения этой
цели можно использовать сочетание следующих форм организации учебной деятельности:
– поиск способа решения со всем классом;
– поиск способа решения одним учеником (класс проверяет) с
последующим высказыванием замечаний и исправлением ошибок;
– самостоятельный поиск способа решения с обязательной
проверкой правильности поставленных вопросов.
Одним из сложных моментов для учеников является то, что
при проведении поиска может появляться много тупиковых веточек. Это относится (как будет показано далее) и к другим путям.
Здесь можно ученикам порекомендовать «тянуть» веточку до тех
пор, пока не окажешься в тупике. После чего есть смысл вернуться снова в исходное положение (к условию) и поискать другую
идею. Постепенно школьники будут ориентироваться быстрее,
они научатся охватывать задачу полностью, составлять о ней целостное представление.
Отметим, что приемы, лежащие в основе поиска способа решения, не относятся к быстро формирующимся. Для их отработки
требуется время. Разные ученики их будут осваивать с различной
скоростью. Конкретные примеры поиска способа решения путем
движения от условия к заключению будут разобраны далее.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.2. Движение от заключения к условию
_______________________________________
_____________________
Движение от заключения к условию при осуществлении поиска способа решения задачи является наиболее сильным по сравнению с рассмотренным выше. Сущность его состоит в том, что
поиск начинается с разворачивания заключения. Человек задает
себе следующие вопросы. Что требуется найти? Что достаточно
для этого знать? Известно ли это? Рассуждая аналогичным образом, постепенно поднимаются к условию задачи. Очевидно, способ решения будет найден тогда, когда на третий вопрос ответят
утвердительно.
Схематически движение от заключения к условию представлено на рисунке 4.
Что требуется найти?
Что достаточно для этого
знать?
Как можно это сделать?
Да
Известны ли
нам все требуемые
элементы?
Способ решения
найден
Нет
Какой из
элементов нам не
известен?
Оформляем
решение
Рис. 4
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
У этого пути есть ряд трудных моментов. Во-первых, оформление решения (доказательства) приходится проводить в порядке, обратном осуществленному поиску (рис. 5). Поэтому используются достаточные условия (признаки). Особенно важен этот
момент при работе с геометрическими задачами и теоремами. В
ходе объяснения ученикам сущности данного пути для профилактики ошибок необходимо обратить их внимание на слово «достаточно» в самом вопросе. (Что достаточно знать?) Во-вторых,
школьники часто найденные достаточные условия ошибочно используют в качестве данных (известных). Этот вид ошибок наиболее характерен для геометрических задач.
О
ф
о
р
м
л
е
н
и
е
р
е
ш
е
н
и
я
* условие
* заключение
Рис. 5
Например, ученику требуется доказать, что два отрезка в точке пересечения делятся пополам. Для
этого достаточно доказать, что фигура, вершинами которой являются концы данных отрезков, является параллелограммом. После этого
ученик ошибочно может сделать
следующий вывод: «Если фигура
параллелограмм, то по свойству
его диагоналей отрезки делятся в
точке пересечения пополам».
Рассмотренный путь поиска обладает рядом несомненных
достоинств. Если ученик на уроке уследил за мыслью учителя,
то мотивация поставленных вопросов будет ему полностью понятна; он ясно представит себе план рассуждения; выкладки и
дополнительные построения не покажутся искусственными, а
переходы между различными этапами решения – мало обоснованными.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3. Движение с двух сторон
_____________________________________
______________________
Движение с двух сторон является объединением рассмотренных выше путей. Именно с помощью него чаще всего осуществляется поиск. Однако движение с двух сторон является наиболее сложным для учащихся. Сущность данного приема состоит в
том, что, с одной стороны, разворачивается условие. Отвечая на
вопрос, что следует из условия, мы получаем одно или несколько
следствий (или находим некоторые величины). Принцип описан
в пункте 2.1. С другой стороны, разворачиваем заключение, отвечая на вопрос: «Что достаточно знать для этого?» (п. 2.2.). Повторяя рассуждения несколько раз, находим точку встречи (цепочки
рассуждений от условия и заключения сталкиваются). Это говорит о том, что способ решения найден, остается его оформить.
При оформлении решения, найденного с помощью этого пути,
нужно быть предельно внимательным. Рассуждения от условия
до точки встречи идут в прямом порядке, а от точки встречи до
заключения – в обратном. Другим трудным моментом является
наличие большого числа дополнительных веточек, причем они
появляются как сверху, так и снизу. Ученики могут в них легко
запутаться. Особенности рассмотренного пути требуют, чтобы
дети на каждом этапе рассуждений четко представляли, какими
величинами, зависимостями можно пользоваться как данными
(что получается из условия), а какие нужно доказывать и обосновывать (из заключения). Этот момент требует дополнительных
подробных объяснений учителя. Приведем пример использования поиска способа решения движением с двух сторон.
Задача. Доказать, что отрезки, соединяющие середины сторон выпуклого четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А
Е
В
Q
О
F
D
P
Рис. 6
Дано: ABCD – выпуклый четырехугольник; E, F, P, Q – середины соответствующих сторон.
Доказать: EP и FQ пересекаются в
точке О; EO=OP; QO=OF.
Поиск доказательства
C
Чертеж (рис. 6) построен точно по тексту задачи. Все дополнительные построения будут производиться по мере необходимости.
1. Разворачиваем условие. Нужно записать все, что следует из
него. В нашем случае из условия почти ничего пока не следует.
Единственное, что можно записать:
AE=BE; BF=CF; DP=CP; AQ=DQ. (*)
2. Разворачиваем заключение. Для этого ставим перед собой
вопрос: «Что достаточно знать (доказать), чтобы выяснить, что
точка О делит отрезки EP и FQ пополам?» Вспоминаем, что это
одно из свойств параллелограмма. Поэтому достаточно доказать,
что EFPQ – параллелограмм. (**)
Достроим чертеж (рис. 7).
А
Q
D
Так как нам еще не удалось найти точку встречи, делаем второй
шаг, но уже учитывая (*) и (**).
В 2.1. Пробуем развернуть (*). Ставим вопрос: Что следует из (*)?
Скорее всего, у учеников пока
F
ничего не получится. Поэтому
оставляем (*) без преобразований.
Е
О
P
C
Рис. 7
2.2. Разворачиваем (**). Что достаточно доказать для того,
чтобы можно было утверждать, что EFPQ – параллелограмм?
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вспоминаем определение и признаки параллелограмма. Тогда появляется несколько вариантов, т.е. происходит ветвление
пути поиска. Есть смысл записать их все, так как ученики еще
не знают, какой будет осуществлен. При этом необходимо обратить внимание, что для осуществления поиска будет достаточно
одного из них. Скорее всего, нужно будет доказать одно из трех
условий (а, б, в). Обозначим их (***).
а) EF||PQ и EQ||PF,
тогда по определению получим, что
EFPQ – параллелограмм.
б) EF||PQ и EQ=PF,
следовательно, по
признаку получим,
что EFPQ – параллелограмм.
в) EF=PQ и EQ=PF,
тогда по признаку
получим, что EFPQ
– параллелограмм.
3. Как легко заметить, точку встречи мы снова не получили.
Значит, нужно делать еще один шаг.
3.1. Шаг сверху снова сделать не удастся, (*) не развернется.
3.2. Шаг снизу будет представлять собой разворачивание одного из трех условий в (***). Можно, конечно, проделать это и
для всех трех, но ученикам будет пока трудно охватить все случаи, поэтому лучше ограничиться одним из них. Попробуем развернуть условие (б). Начнем с параллельности.
Что достаточно доказать, чтобы утверждать, что EF||PQ?
Снова мы можем опереться либо на определение, либо на признаки параллельности прямых.
– В первом случае достаточно показать, что EF и PQ не пересекаются. Как-то проблематично продолжать их до бесконечности. Оставим этот случай.
– Чтобы использовать признак равенства внутренних накрест
лежащих (или внутренних односторонних) углов, нужно доказать
либо их равенство, либо то, что в сумме они составляют 1800. Поскольку четырехугольник произвольный, то не видно, как можно
это сделать. Оставим и этот случай.
– Есть еще один признак (параллельности двух прямых третьей). Две прямые у нас есть, а вот третьей пока нет. Но так как
появилась цель найти эту прямую, то ученики, скорее всего, обнаружат ее самостоятельно (пока на уровне догадки). Это прямая
AC. Чертеж преобразуется еще раз (рис. 8).
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А
Q
D
Значит, чтобы утверждать, что EF||PQ,
достаточно доказать, что EF||AC и
(****)
В PQ||AC.
Осознание этого помогает наконец
развернуть (*), что нам никак не удаF
валось сделать. Мы получаем из (*)
два следствия:
Е
О
P
C
Рис. 8
– так как AE=BE и BF=CF, то EF – средняя линия треугольника ABC, следовательно, EF||AC;
– так как AQ=DQ и CP=DP, то PQ – средняя линия треугольника ADC, следовательно, PQ||AC.
Следовательно, по признаку параллельности прямых EF||PQ.
Из свойства средней линии треугольника получим, что
EF= 0,5·AC= PQ.
Веточки рассуждения снизу и сверху встретились. Способ доказательства найден. Можно оформлять доказательство.
Так как мы обучаем учеников данному приему, то очень важно, чтобы каждый смог отчетливо представить весь путь и лишь
после этого приступить к оформлению решения. Поэтому можно
составить схему поиска. Она позволит не только охватить рассуждения целиком, но и проследить логичность, а также облегчит оформление самого доказательства. Обращаем внимание на
его оформление. Так как при разворачивании заключения мы получали достаточные условия, то от точки встречи до заключения
доказательство оформляется в обратном порядке.
Рассмотренная задача имеет несколько вариантов решения.
Проведя аналогичные рассуждения для условий (а) и (в) из (***),
можно получить еще два решения. После того как осуществлена
описанная выше работа, можно предложить ученикам организовать поиск доказательства для условий (а) и (в) самостоятельно.
Рассуждения кажутся на первый взгляд простыми, но, скорее всего, в доказательстве появятся лишние шаги. На это необходимо
обратить внимание школьников.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Описанная работа помогает формировать у детей универсальные учебные действия:
– осуществлять поиск способа решения (доказательства);
– обнаруживать новое решение задачи;
– проводить анализ найденного решения, результата.
2.4. Поиск косвенного доказательства
_____________________________________
______________________
Виды косвенного доказательства (способом от противного и
методом исключения) выделены в примерной основной образовательной программе школы [1, 20] и включены в состав УУД.
Основная роль по их формированию у школьников, конечно, отводится математике. Рассмотрим оба эти способа.
2.4.1. Способ доказательства от противного
Сущность этого способа хорошо известна. Однако доказательство от противного школьники часто связывают с теоремами
школьного курса геометрии. Это ограничение, естественно, совершенно не оправдано.
Для устранения названного недостатка необходимо на конкретных примерах продемонстрировать перед учащимися возможности способа доказательства от противного. Наиболее часто он может применяться при решении геометрических задач
на доказательство, при доказательстве неравенств, а также при
доказательстве единственности проведенного в стереометрии построения.
Вторым моментом, на котором следует остановиться, является то, что достаточно часто школьники усваивают способ чисто
формально, не понимая до конца его сущность. Скорее всего, причина заключается в недостатке логических знаний. Ученики не
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
видят, что лежит в основе способа доказательства от противного.
Поэтому, если нет возможности познакомить их с соответствующим логическим содержанием (правилами отрицания суждения,
основными логическими законами и структурой аргументации),
то нужно подробнее остановиться на самом способе, его этапах и
последовательности организации рассуждений. Для облегчения
восприятия материала можно предложить схему поиска доказательства от противного (рис. 9).
A⇒B – структура задачи
Пусть В − не верно,
Тогда не-В − верно
Включаем не-B
в условие
(т.е. дано А и не-В)
Что из этого следует?
Да
Нет
Получено ли
противоречие?
Способ
доказательства
найден
Вводим полученный
результат в условие
Оформляем доказательство методом
от противного
Рис. 9
Рассмотрим пример.
Задача. Доказать, что для произвольного треугольника выполняется равенство:
1
1
1 1
+
+
= .
hа hв hс r
24
(*)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Предполагаем, что (*) неверна, тогда существует треугольник, для которого выполняется
1 1 1 1
+ + ≠ .
hа hв hс r
(**)
Сразу необходимо обратить внимание на то, что школьники
часто формулируют отрицание неправильно. Они сразу записывают (**), проходя мимо требования «существует треугольник».
Причина – не знают (и не понимают) правила отрицания общеутвердительного суждения (квантор общности «все», подразумеваемый для (*), заменяется при отрицании на квантор существования «некоторые»).
2. Преобразуем (**). Сделать это можно по-разному. Заметим,
что S=r·p, где p – полупериметр.
p
1 1 1
+ + ≠ .
Из (**) получим:
(***)
hа hв hс s
Умножив обе части (***) на S, получим
S S S
a в с
а+в+с
+ + ≠ p⇒ + + ≠ p⇒
≠ p.
hа hв hс
2 2 2
2
(!)
3. В ходе преобразований получили неравенство (!), противоречащее определению полупериметра. Следовательно, наше
предположение (*) верно для любого треугольника. Значит, задача доказана.
Этап работы, требующий сделать вывод о противоречии (или
обнаружить его), часто вызывает затруднения у учеников. Они
не могут до конца осознать, с чем нужно «искать противоречие».
А учитель не может ограничить область поиска. Действительно,
противоречие может быть с аксиомой или ранее изученной теоремой или с определением. Это с одной стороны.
А с другой – настроившись на противоречие, школьники готовы его «увидеть» где угодно. Особенно это касается геометрических задач. Чертеж построить не могут – противоречие.
Получили какое-то утверждение, которое не увязывается с их
представлениями, – тоже противоречие. В этом случае учителю
приходится постоянно спрашивать: «А мы это доказывали? Тогда почему вы решили, что такого быть не может?»
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Наконец, последний часто встречающийся недостаток – учащиеся не делают грамотного вывода. Снова срабатывает установка на то, что необходимо получить противоречие. Поэтому
часто приходится слышать: «Получили противоречие. Все». Ученик уже практически забыл, что требовалось доказать. Поэтому
нужно просить не только сделать устный вывод, но и оформить
соответствующие записи в тетради.
2.4.2. Доказательство методом исключения
Доказательство методом исключения также является видом
косвенного доказательства. В школьном курсе математики данный метод раскрывается редко. (С переходом основной школы на
ФГОС делать это будет необходимо.) Часто ученики о нем практически ничего не знают. Однако значение доказательства методом исключения достаточно велико. Он эффективно используется в тех случаях, когда тезис (заключение задачи) может быть
включен в качестве одного из членов в разделительное суждение
(с союзом или). Построенное разделительное суждение должно
исчерпывать все возможные варианты ситуации, описываемой
в задаче. Далее показываем, что тезис удовлетворяет условию
задачи, а остальные члены разделительного суждения – нет. На
основании этого делаем вывод, что тезис доказан, так как других
вариантов, устраивающих задачу, нет. Рассмотрим на конкретном примере.
Задача. Сумма цифр трехзначного числа равна 7, число делится на 7. Доказать, что цифры десятков и единиц в этом числе
равны.
Дано: хуz делится на 7, х+у+z=7. (*)
Доказать y=z.
Доказательство. Преобразуем хуz с учётом (*) и разложения
многозначного числа по степеням 10 (для школы привычно выражение: по разрядам):
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
хуz = 100х + 10у + z = 100 (7 – y – x) + 10y + z = 700 – 90y – 99z =
= (700 – 91y – 98z) + (y – z) = 7 (100 – 13y – 4z) + (y – z),
так как 7 – простое число, хуz делится на 7 и 7(100–13у–14z) делится на 7, следовательно, (у – z) делится на 7. Тогда у – z =7k, где
k – целое число.
Так как у и z – цифры, то k может быть равно 0; 1; –1.
[Обращаем внимание, что получили разделительное суждение: k = 0 или k = 1 или k = –1. Легко заметить, что тезис (z = у)
соответствует случаю k = 0].
Рассмотрим все три варианта:
1) у – z = 0 ⇒ у = z – заключение теоремы;
2) у – z = 7 ⇒ у = 7 + z (подставим в (*)) ⇒ х + 7 + z + z = 7 ⇒
х + 2z = 0, – что невозможно, т. к. х≠0 (первая цифра числа). Значит, случай k = 1 не имеет места;
3) k = –1 также не имеет места (рассуждения аналогичные).
Таким образом, остался единственный вариант, удовлетворяющий условию задачи, k = 0, то есть х=у. Задача доказана.
2.5. Несовершенный анализ
_____________________________________
______________________
Несовершенный анализ является одним из приемов поиска
способа решения задачи. К сожалению, с сущностью этого приема школьников знакомят крайне редко. Но ученики могут его
осваивать и самостоятельно. Усвоение приема чаще всего идет на
интуитивном уровне, и суть его остается скрытой, что, естественно, приводит к ошибкам. Поэтому рассмотрим несовершенный
анализ подробнее.
Сущность несовершенного анализа. Предполагаем, что задача решена. Выясняем, что из этого можно получить. Пытаемся прийти от заключения (вопроса) к данным путем выведения
следствий. Обращаем внимание на то, что находим для заключения необходимые условия (отличие от движения от условия к
заключению). В ходе описанной работы получаем цепочку рассуждений:
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
заключение ⇒1⇒2⇒3⇒4⇒ условие.
Следующим этапом работы является проверка обратимости
каждого шага цепочки, т.е. выясняем, можно ли получить цепочку, записанную в обратном порядке:
условие ⇒4⇒3⇒2⇒1⇒ заключение.
Если хотя бы на одном этапе обратимость нарушается, то от
«найденного» способа придется отказаться.
Как видим, несовершенный анализ не всегда может привести
к успеху. Именно этот момент и проверка обратимости шагов
лежат в основе ошибок учеников. Данный прием может использоваться в качестве вспомогательного на этапе поиска решения.
Он часто способствует выявлению нужной идеи и используется в
основном при работе с задачами на доказательство и построение.
Блок-схема несовершенного анализа представлена на рисунке 10.
Рассмотрим задачу.
C
A Дано: АВ – касательная;
АС – секущая.
Доказать: АВ2=АС·AD (рис. 11). (*)
В
D
Рис. 11
Поиск доказательства с помощью несовершенного анализа.
АВ АD
.
(**)
=
АС АВ
2. Пропорция (**) наводит на мысль о подобии ΔАВС и ΔАDВ.
Достраиваем необходимые треугольники (рис. 12).
1. Пусть (*) выполняется, преобразуем её:
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 10
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А
C
В
Идея доказательства найдена, оба
шага обратимы. Остается доказать
подобие ΔАВС и ΔАDВ. Как видим, несовершенный анализ можно до конца и не проводить. Так
чаще всего и бывает.
D
Рис. 12
Для отработки данного приема нужно организовать его использование в работе с конкретными задачами, недостатка в которых не будет. Их можно найти в школьных учебниках геометрии. Думается, есть необходимость специально остановиться и
на отличии этого способа от рассмотренных ранее.
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. МЕТОДИКА
РАБОТЫ С ТекстовЫМИ задачаМИ
___________________________________________
___________________________________________
Текстовая задача – это описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать характеристику какого-либо
компонента этой ситуации или отношения между компонентами.
С текстовыми задачами ученик сталкивается буквально с первых уроков математики. Основными способами решения их являются арифметический и алгебраический. Могут быть также использованы диаграммы, графики, знания, получаемые на уроках
геометрии. Методика работы с текстовой задачей будет рассматриваться на 4 этапах, перечисленных в первом параграфе (с. 8).
3.1. Арифметический способ
_________________________________
____________________
Арифметический способ состоит в нахождении значений неизвестной величины с помощью составления числового выражения (или выражений) и подсчета результата, он является основным в начальной школе и в 5 – 6 классах, хотя параллельно уже
идет отработка умения использовать алгебраический способ (с
помощью уравнения).
Арифметический способ менее алгоритмичен по сравнению с
алгебраическим. Практика показывает, что человек, владеющий
аппаратом алгебры, при работе с задачей, которая может быть
решена обоими способами, решает ее с помощью уравнения (или
системы). Однако арифметический способ имеет большое значение для развития мышления школьника, в том числе и его эвристической составляющей. Поэтому отодвигать его на второй план
нельзя. В тех случаях, когда решить задачу можно и арифметическим способом, и алгебраическим, есть смысл рассмотреть оба
варианта. Вообще, нужно иметь в виду, что практически любая
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
задача, сводящаяся к уравнению первой степени, может быть решена и арифметическим способом.
Основное затруднение при работе с задачей касается перевода
ее с естественного языка на математический, которое для арифметического способа выражается в следующем. Во-первых, ученики не понимают значения сочетаний «меньше на...», «больше
на...», «меньше в...», «раньше» и т.д. Причем ошибки касаются
именно момента перехода от естественного языка (от слова) к
математическому действию. Пока ученик остается на позициях
естественного языка, он правильно отвечает на вопросы, а как
только начинает записывать условия с помощью математических
действий, появляются ошибки. Во-вторых, школьники не могут
вычленить из текста задачи величины и зависимости между ними,
не видят за выполняемыми действиями смысла того, что делают.
Например, складывают скорость и время, делят людей на дни работы и т.д. Причина (как в первом, так и во втором случаях) заключается в том, что у учеников не устанавливается взаимосвязь
между естественным и математическим языками. Дополнительно к этому необходимо отметить низкий уровень осмысления как
текста задачи, так и своих действий.
Является ли второй недостаток (низкий уровень осмысления)
следствием первого или наоборот, ответить трудно. Бесспорно
лишь то, что умение осуществлять перевод с естественного языка
на математический (т.е. получать математическую модель) нужно целенаправленно формировать. Сущность этого процесса, скорее всего, мало чем отличается от обучения иностранному языку.
Необходимо четко знать значение математических терминов. А
умение «перевода» формируется с помощью выполнения двух
типов заданий, первый из которых требует записать различными
способами предложение естественного языка в виде математических выражений. Например, предложение «число х больше числа
у на 5» на математическом языке может быть записано так:
х – у = 5, или х = у + 5, или х – 5 = у. После того как ученики освоятся с подобными заданиями, нужно перейти к переводу предложений, содержащих информацию о реальных объектах.
Второй тип заданий направлен на перевод с математического
языка на естественный, когда дети учатся за математическими
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
выкладками видеть суть того, что делают. Аналогично сначала
школьник выполняет простые действия, оперируя с буквенными
объектами. Например, требуется прочитать выражение а+в=с+3
(сумма чисел а и в больше числа с на 3). В последующем можно предложить более сложные задания. Например, по уравнению
(или выражениям) составить текстовую задачу. Параллельно с
умением работать с задачей формируются такие универсальные
действия, заложенные во ФГОС, как моделирование и оперирование различными видами моделей; анализ и синтез; интуиция и
развитие речи.
Перейдем к рассмотрению организации работы с текстовой
задачей, решаемой арифметическим способом. Разберем на конкретном примере.
Задача 1. По дороге в одном и том же направлении идут два
мальчика. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как
скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5
км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения до того момента, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает
собака со скоростью 8 км/ч. От идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, затем сразу же разворачивается и бежит
назад и т.д. Какое расстояние пробежит собака?
Первый этап – ознакомление с содержанием задачи. Приведем примерный список вопросов (и ответов к ним), задаваемых
на этом этапе (табл. 2).
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 2
Список вопросов и ответов по тексту задачи 1
Вопросы
1. О чем задача?
Ответы
О движении двух мальчиков и
собаки.
2. Что требуется в ней найти? Расстояние, которое пробежит
собака.
3. Известна ли скорость
Да.
собаки?
8 км/ч.
4. Какова скорость собаки?
5. Известно ли время движе- Нет.
ния собаки?
6. Что известно о времени
Оно равно времени, за которое
2-й мальчик догонит первого.
движения собаки?
7. Что известно о мальчиках? Скорость первого – 4 км/ч, второго – 5 км/ч. Второй догоняет
первого.
Нет.
8. Известно ли расстояние,
которое проходят мальчики?
9. Что известно о расстоянии, Второй мальчик на 2 км пройдет
которое проходят мальчики, больше первого, так как пердо того момента, как второй воначально расстояние между
ними было 2 км.
догонит первого? Почему?
По тексту задачи можно составить схему (рис. 13) или таблицу
(табл. 3), которые могут быть представлены следующим образом.
2 мальчик
υ2=5 км/ч
2 км
собака υсоб.=8 км/ч
1 мальчик
υ1=4 км/ч
Рис. 13
34
встреча
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 3
Таблица по тексту задачи 1
Скорость
1 мальчик
4 км/ч ?
Расстояние
Время
?
2 мальчик
5 км/ч
? одинаковое ? на 2 км больше, чем
собака
8 км/ч
?
? (найти)
Для формирования у учащихся приемов постановки вопросов
необходимо организовать целенаправленную работу. В начале
объясняем, по какому принципу задаются вопросы. После этого
одну задачу разбираем вместе. Причем совершенно не обязательно ее решать (наша цель – отработать умение задавать вопросы).
Ко второй задаче вопросы ставит ученик, мотивируя их и, конечно, отвечает. Класс вместе с учителем его проверяют. К третьей
задаче школьники пытаются поставить вопросы самостоятельно.
Обязательно записывают их. После окончания работы вопросы
должны быть проверены, уточнены и исправлены. Конечно, это
требует значительных временных затрат, но иначе большая часть
детей не научится формулировать вопросы на первом этапе работы с задачей.
Второй этап – поиск способа решения задачи. Вначале осуществим поиск, двигаясь от условия к заключению. Для задач,
решаемых арифметическим способом, этот прием поиска несколько модифицируется за счет изменения вопросов. Перечислим его основные моменты.
• В условии задачи выделяем два взаимосвязанных данных.
• Выясняем, какой новый элемент (величину) можно найти, с
помощью какого действия.
• Если полученный результат не является искомым, то его считают известным и вводят в условие задачи. Рассуждение повторяется с первого пункта.
• Если полученный результат является искомым, то делаем
вывод, что способ решения найден. Остается его оформить.
Прием поиска от условия к заключению для задач, решаемых
арифметическим способом, часто оказывается продуктивнее
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и экономичнее других. Причина в том, что задача обычно сама
«подсказывает», какие два данных брать. Здесь важно, чтобы
ученик видел смысл производимых действий. Рассмотрим, как
может выглядеть поиск решения нашей задачи.
1. Какие два данных можно взять, чтобы с их помощью найти что-либо третье? Скорее всего, ученики сразу предложат
взять скорости мальчиков и найти их скорость сближения
(υсб.): υсб.= υ2 – υ1. (*)
2. Считаем υсб. найденной, но эта величина не является искомой. Вводим υсб. в условие и снова выбираем два данных. Чаще
всего на этом этапе необходимо использовать «найденную величину». В нашем случае это υсб. Попробуем из условия найти еще
одно данное, связанное с υсб., и с помощью этих двух величин
найти что-то третье.
Ясно, что со скоростью сближения непосредственно связано
первоначальное расстояние между мальчиками (2 км). С помощью υсб. и расстояния (2км) можно найти время, которое потребовалось второму мальчику, чтобы догнать первого
tм=2 : υсб. (**)
3. tм не является искомой величиной, следовательно, продолжаем поиск. Считаем «найденным» время движения мальчиков.
Так как на первом этапе работы с задачей выяснили, что время
движения мальчиков и время движения собаки одинаковы, то
ученики легко сделают переход tм= tсоб.
4. Время движения и скорость собаки известны, следовательно, можно найти расстояние, которое пробежит собака
S=υсoб.· tсоб.
5. Расстояние S является искомым, следовательно, поиск решения окончен. План составлен. Можно переходить к третьему
этапу (оформлению решения) работы с задачей.
Замечание. Конечно, вполне возможно, что школьники предложат сравнить скорости собаки и мальчиков. Например, заметят,
что скорость собаки в 2 раза больше скорости первого мальчика.
Возможно, сделают вывод, что собака пробежит расстояние в 2
раза больше того, которое пройдет первый мальчик. Здесь либо
ученики основательно застрянут (толчок к тому, что выбранный
путь нужно «бросить»), либо повторят рассуждение, приведен36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ное выше, и найдут расстояние, которое пройдет первый мальчик: (*), (**) и S1=υ1·t1. При оформлении решения (или на последнем этапе) необходимо заметить, что в проведенном поиске
первые шаги и S1 практически не нужны.
Основную трудность при работе с этой задачей будет представлять то, что собака бегает между мальчиками. Поэтому выясняют вопрос, принципиально ли важен такой способ движения
собаки. Дети должны осознать, что данная задача ничем не отличается от той, в которой собака просто бежит вперед все время,
пока второй мальчик не догонит первого. Схематично это показано на рисунке 14.
2 мальчик
1 мальчик
встреча
!
собака
Рис. 14
Поиск решения задачи 1 от заключения к условию представлен в таблице 4.
Таблица 4
Поиск способа решения задачи 1 от заключения к условию
Вопрос
Что нужно найти?
Что достаточно знать, чтобы
найти расстояние в задаче на
движение?
Известны ли нам все необходимые величины?
Как найти время собаки?
Ответ
Расстояние, которое пробежит
собака (Sсоб.)
υсoб. и tсоб.
(Sсоб.= υсoб.·tсоб.)
υсoб. = 8 км/ч
tсоб. – нет
tсоб. = tм
Требуется найти время движе- Здесь, скорее всего, возникнут
ния мальчиков. Что для этого трудности. Ученики по анадостаточно знать?
логии захотят найти расстояние, пройденное каким-либо
мальчиком.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
продолжение таблицы 4
Можно спросить учеников
о том, каким еще способом
можно найти время движения
мальчиков. Можно спросить,
какое данное мы еще не использовали?
Как найти υсб.?
Постепенно приходим к тому,
что tм= 2 : υсб.
υсб. – нет
υсб.= υ2 – υ1, υ2 и υ1 – известны
Поиск завершен, остается оформить решение, проводя рассуждение в обратном порядке. Для отработки приемов поиска
способа решения задачи надо, во-первых, раскрыть их суть (рис.
2 и 4), сопоставить между собой, во-вторых, организовать целенаправленную их отработку. Для этого ученики должны пытаться провести поиск самостоятельно с обязательной последующей
проверкой.
Третий этап ­­– оформление решения задачи арифметическим
способом – может быть проведен по-разному. В школьном курсе
математики используют три разновидности. Остановимся на них.
Способ 1. Решение оформляется с помощью числового выражения. В нашем случае выражение будет иметь следующий вид:
8 · (2 : (5 – 4)) = 16.
Ответ: 16 км пробежит собака.
Ответ к задаче может быть записан полностью, а может и
кратко (16 км).
Способ 2. Решение оформляется по действиям, в каждом действии вычисляется результат и записывается пояснение.
1) 5 – 4 = 1 (км/ч) – скорость, с которой сокращается расстояние между мальчиками (или скорость сближения мальчиков).
2) 2 : 1 = 2 (ч) – время, через которое второй мальчик догонит
первого.
3) 8 · 2 = 16 (км) – расстояние, которое пробежит собака.
Способ 3. Запись вопросов и соответствующих действий.
1) С какой скоростью второй мальчик догоняет первого? (Какова скорость сближения мальчиков?)
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5 – 4 = 1 (км/ч)
2) Сколько времени потребуется второму мальчику для того,
чтобы догнать первого?
2 : 1 = 2 (ч)
3) Какое расстояние пробежит собака?
8 · 2 = 16 (км)
Ответ: 16 км.
Четвертый этап
Практически во всех задачах, решаемых арифметическим способом, проверку результата можно провести путем его подстановки в текст задачи. Легче всего это сделать с помощью краткой
записи (таблицы), составленной на первом этапе. Предположим,
в нашей задаче ответ получился не 16 км, а например, 24 км. Введем его в текст задачи и проверим, что получится. Используем для
этого таблицу, заполнив которую получим следующее (табл. 5).
Таблица 5
Проверка результата в задаче 1
Скорость Время
Расстояние
противоречие
4 км/ч
3 ч 12 км
2 мальчик 5 км/ч
3 ч 15 км на 2 >, чем
собака
8 км/ч
3 ч 24 км
1 мальчик
Таким образом, мы получили, что первый мальчик прошел 12
км, а второй – 15 км. Появилось противоречие с условием, так
как 15 км больше 12 на 3 км. Делаем вывод, что задача решена
неверно. Легко заметить, что, подставив в таблицу 16 км, все получится правильно. Отметим, что удачно составленная на первом
этапе схема (или сделанный рисунок) часто помогают ученикам
найти способ решения задачи. Продемонстрируем на конкретных
задачах, которые могут быть предложены в 5 – 6 классах.
Задача 2. Первый кусок проволоки на 54 м длиннее второго. От каждого куска отрезали по 12 метров. При этом второй
оказался в 4 раза короче первого. Какова первоначальная длина
каждого куска проволоки?
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Делаем рисунок
(рис. 15).
Замечаем: раз EF в 4
раза короче AB, следовательно, на AB укладывается ровно 4 отрезка
длиной EF.
А
12 м
Е
12 м
С
F
В
54 см
EF в 4 раза короче AB
Рис. 15
Так как АС=EF, следовательно, на СВ укладывается ровно три
отрезка длиной EF. Значит, длина EF равна 54:3=18 (м). Задача
решена.
Задача 3. Чашка дороже блюдца на 25 %. На сколько процентов блюдце дешевле чашки?
Ученики панически боятся таких задач. Они просто не знают,
с какой стороны к ним подойти. Процесс поиска решения упростится после того, как сделаем рисунок 16.
25 %
– стоимость блюдца
20 %
– стоимость чашки
Рис. 16
Из рисунка видно, что блюдце дешевле чашки на 1 часть ее
5
стоимости, то есть на 20 %.
Аналогичные задачи могут быть составлены на другом содержании. Причем желательно начать с такой, которая бы натолкнула детей на рисунок. Для этого можно составить условие о длине
двух лент или высоте деревьев. Приведенная выше задача будет
своего рода обобщением способа решения – изобразить сравниваемые величины с помощью отрезков.
Задача 4. Два туриста двигаются из одного пункта по одному
маршруту, но разными способами. Один весь путь идет пешком с
постоянной скоростью. Другой половину пути проехал на поезде
со скоростью, в 10 раз превышающей скорость первого туриста,
а вторую половину пути двигался со скоростью, в 2 раза меньшей
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
скорости первого. Кто из туристов окажется в конечном пункте
своего маршрута раньше?
Сделаем схематичный рисунок 17. Рисунок сделан точно по
условию задачи (хотя там и не сказано, что второй турист сначала едет на поезде). Он маскирует самый красивый способ решения, уводит в сторону.
С
1 турист
А
В
2 турист В 10 раз > В 2 раза<
>
Рис. 17
Рассуждения здесь удобнее начать с отрезка СВ. Так как на
СВ (который составляет ровно половину пути АВ) второй турист
двигался в 2 раза медленнее первого, то ему потребовалось времени в 2 раза больше. Следовательно, за то время, когда второй
пройдет СВ, первый преодолеет весь путь АВ. Значит, первый
турист попадет в В раньше второго, так как последнему потребуется еще какое-то время для того, чтобы проехать АС на поезде.
При работе с этой задачей можно спросить (после того, как
ученики над ней уже подумают), изменится ли она, если сначала
второй турист будет идти, а потом ехать. В этом случае детям
будет легче обнаружить способ решения.
В 5 классе ученикам часто приходится решать задачи на цену
покупки, например, рубашка дороже галстука в 4 раза (или на 30
рублей). Вместе они стоят 100 рублей. Найти стоимость рубашки и стоимость галстука. Кажется, задача очень простая, но, как
показывает практика, школьники часто допускают ошибки. Одна
из причин – не могут уловить ее суть. В жизни им не приходится
выполнять подобные действия. Дети со слабо развитой способностью к абстрактному мышлению (а в 5 классе их еще большинство) нуждаются в наглядной опоре, то есть рисунке. Краткая запись им помогает мало. «Нарисовать» стоимость проблематично,
поэтому начать нужно с задач, составленных на другом содержании (мешки, коробки с мукой, сахаром, крупой и т.д.).
Задача 5. В двух мешках сахара 40 кг. Известно, что в одном
их них в 4 раза больше, чем в другом. Найти массу сахара в каждом мешке.
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
40 кг сахара
В 4 раза >,
чем
Рис. 18
Предлагаем детям сделать рисунок. Пусть каждый выполнит его самостоятельно. Причем чем
подробнее рисунок, тем
легче будет слабому ученику решить задачу. После
этого проверяем, как получилось.
Рисунок без четкой разбивки на части не может помочь слабому школьнику. Поэтому в том случае, когда при проверке на
доске появляется именно такой, то можно сказать ребенку, что
на нем текст задачи отражен не полностью. Затем спросить, как
показать, что во втором мешке сахара в 4 раза больше, чем в первом. На предложенном рисунке 18 слабый ученик отчетливо видит пять частей, на которые распределяются 40 кг сахара.
Чтобы прием решения задачи не прошел незамеченным, нужно его обобщить, акцентировать внимание. Для этого можно
(после того, как задача решена) спросить учеников, почему они
40 делили на 5, а не на 4. Попросить сформулировать самостоятельно задачу, при решении которой пришлось бы, например, 60
делить на 3 (или 40 на 8).
Только после этого можно дать задачу о рубашке и галстуке.
Нужно быть готовым к тому, что ученики захотят сделать рисунок. Можно предложить изобразить стоимость отрезками (как в
случае с чашкой и блюдцем).
Рассмотрим еще один пример.
Задача 6. В двух пачках 70 тетрадей. В одной из них на 10 тетрадей больше, чем в другой. Сколько тетрадей в каждой пачке?
Подводим учеников к идее:
1 п.
уравнять количество тетрадей в
пачках. Могут быть предложены
10 тер.
2 п.
разные приемы:
– убрать 10 тетрадей из первой
пачки;
– добавить 10 тетрадей ко вто70 тетрадей
рой пачке;
Рис. 19
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
– взять из первой 5 тетрадей и положить во вторую.
Все три варианта достойны внимания, поэтому можно решить
задачу тремя способами и сопоставить их между собой. После
этого, например, можно предложить самостоятельно решить несколькими способами задачу, в которой будет больше не на 10, а
на 11. Ученикам придется отказаться от третьего способа уравнивания. На основе проведенной работы обобщаем основную идею
решения. В заключение хорошо попросить школьников самостоятельно составить подобную задачу.
Остановимся еще на одном типе задач, который вызывает у
школьников много затруднений. В них требуется найти число по
его дроби. Данный тип задач начинают решать в 5 классе, он имеет три разновидности. Рассмотрим их на конкретных примерах.
5
Задача 7. Найти от числа 21.
7
Задача 8. Найти число, если
3
от него равно 12.
5
Задача 9. Найти несократимую дробь, которую составляет
число 15 от числа 65.
Дети часто путают между собой эти задачи, особенно первую
и вторую. А это значит, они не понимают смысла. Ученикам нужна зрительная опора, поэтому по тексту выполняем рисунок. Посмотрим, как это можно сделать на примере первой задачи.
5
Вспоминаем сущность дроби: означает, что целое делится на
7
7 равных частей и берется 5 из них. С опорой на рисунок 20 (выделяем 5 другим цветом) выясняем, что задача сводится к вычис7
1
лению, чему равна
часть.
7
?
3
3
Аналогичный вид будет иметь
рисунок для второй задачи.
5/7
3
3
3
3
3
21
Рис. 20
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.2. Алгебраический способ
_________________________________
____________________
При решении задачи алгебраическим способом ответ на вопрос находится в результате составления и решения уравнения.
Причем на его вид будет оказывать влияние выбор величин, обозначаемых переменными, и ход рассуждений при установлении
зависимостей между ними. Поэтому, как правило, текстовая задача имеет несколько разновидностей решения алгебраическим
способом. Обязательной является проверка полученных корней
уравнения (системы) по смыслу задачи. Этот вид работы не относится к 4-му этапу, им заканчивается третий. Ученики должны
осознать, что не всегда корень уравнения будет решением задачи.
Школьники испытывают много затруднений. Наиболее распространенным является то, что они не могут ввести буквенное
обозначение (переменную) или делают это неудачно. После введения буквенного обозначения не могут включить его в текст
задачи и перевести условие на математический язык (т.е. составить уравнение или систему). Как легко заметить, причина перечисленных затруднений та же самая, что и для арифметического способа (низкий уровень осмысления текста задачи и своих
действий, несформированная взаимосвязь между естественным
языком и математическим).
Одним из эффективных средств устранения затруднений считают отработку у учащихся умения сводить условие задачи в
таблицу. Нужно отметить, что это умение, конечно, оказало бы
значительное влияние на обучение решению текстовых задач, но
проблема заключается в том, как его формировать. Прежде чем
составить таблицу по задаче, нужно понять ее, выделить элементы и установить связи между ними. А именно в этом и состоит
затруднение. Круг замкнулся.
Рассмотрим на конкретном примере организацию работы с задачей, решаемой алгебраическим способом. В ней также могут
быть выделены четыре этапа, охарактеризованные ранее.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Первый этап (ознакомление с содержанием задачи) осуществляется теми же приемами, что и для арифметического способа.
Особенностью является лишь то, что в краткую запись, таблицу,
схему часто вводят переменную.
Задача. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45 %
меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы
полученный сплав содержал 60 % меди?
Составим по тексту задачи таблицу. Для этого необходимо
получить ответы на вопросы, сформулированные примерно следующим образом. Представим вопросы, ответы на них и выводы,
которые должны сделать учащиеся. В процессе работы заполняем таблицу 6.
Таблица 6
Анализ текста задачи
Вопрос
Ответ
Вывод
1. О чем гово- О двух сплавах, состоя- В таблице должны
рится в задаче? щих из меди и цинка.
быть две основные
строки (для первого
и второго сплавов).
2. Что извест- Его масса 36 кг. Первый Значит, в таблице
но о первом
сплав содержит 45 %
должны быть столбсплаве?
меди.
цы для массы сплава
и процента меди.
3. Если извест- Массу меди в сплаве.
Поэтому необходина масса сплава Она будет равна
мо ввести еще один
и процент состолбец для массы
36
⋅ 45 .
держания в нем 100
меди в сплаве.
меди, то что
можно найти?
4. Что извест- Его масса неизвестна.
но о втором
Известен процент меди
сплаве?
во втором сплаве.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если ученики правильно ответили на поставленные вопросы
и сделали выводы, то они, скорее всего, поместят задачу в таблицу 7. Последний столбец делается шире, т.к. в нем записываются
выражения, которые будут получаться на этапе поиска решения
задачи.
Таблица 7
Таблица по тексту задачи
I сплав
II сплав
Масса сплава Процент меди
36 кг
45 %
?
Масса меди
36 ⋅ 45
100
60 %
Переходим ко второму этапу (поиску решения). Поиск можно осуществить по-разному. Рассмотрим два его варианта (табл.
8, 10).
Таблица 8
Первый вариант поиска способа решения задачи
Вопросы
Как получился второй сплав?
Сколько?
Предположим, что х нам
известно. Что мы можем тогда
найти? Как?
Нам известна масса второго
сплава (см. табл.). Что тогда
можно найти?
Как по-другому можно найти
массу меди во втором сплаве?
Ответы
Добавили к первому сплаву
медь.
Неизвестно, пусть будет х кг.
Массу второго сплава,
(36+х) кг.
Массу меди в нем. Она будет
равна 36 + х ⋅ 60 кг.
100
 36 ⋅ 45

+ х кг.


 100
На последний вопрос обычно трудно получить ответ. Ученикам сложно переключиться на другую веточку рассуждения,
так как они уже ответили, что масса меди во втором сплаве рав46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
36 + х
⋅ 60 . Можно задать дополнительные вопросы. В каком
100
сплаве меди больше? Почему? На сколько кг во втором сплаве
меди больше, чем в первом?
После того как мы получили от учеников все необходимые ответы, таблица 7 будет окончательно заполнена (табл. 9).
Таблица 9
Конечный вариант таблицы по тексту задачи
на
I сплав
Масса
сплава
36 кг
II сплав (36+х) кг
Процент
меди
45 %
Масса меди
60 %
(36 + x ) ⋅ 60 или 36 ⋅ 45 + х
36 ⋅ 45
100
100
100
Остается составить по последней строчке уравнение и решить
его. Однако у учеников может остаться не до конца осознанной
причина того, зачем учитель хотел получить ответ на последний
вопрос. В связи с чем учителю самому было бы хорошо задать
этот вопрос школьникам: «Почему мы стремились найти массу
меди во втором сплаве двумя способами? Зачем нам нужны два
выражения?» Ответив на него, ученики вскроют суть алгебраического способа: выразить двумя способами одну и ту же величину и приравнять полученные выражения.
Приведем пример второго варианта поиска способа решения
задачи (табл. 10) с использованием движения от заключения к
условию.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 10
Второй вариант поиска способа решения задачи
Вопрос
1. Что нужно найти?
2. Как это можно
сделать?
3. Проведем рассуждения по первому пути.
Известна ли нам масса
меди в первом и втором
сплавах?
4. Что достаточно знать
для того, чтобы найти
массу меди во 2 сплаве?
5. Выяснили, что масса
второго сплава нам неизвестна. Задаем вопрос:
как можно ее найти?
Ответ
Массу меди, которую необходимо
добавить к первому сплаву.
Возможны два варианта действий.
Во-первых, от массы меди, содержащейся во втором сплаве, отнять
массу меди в первом сплаве. Во-вторых, можно из массы второго сплава
отнять массу первого сплава.
В первом сплаве масса меди равна
36·0,45. Масса меди во втором сплаве неизвестна.
Достаточно знать массу второго
сплава. Тогда мы ее умножим на 0,6
и найдем массу меди.
Нужно к массе первого сплава (36
кг) прибавить массу добавленной к
нему меди.
Круг замкнулся, так как мы начали анализ именно с нахождения массы добавленной меди. Это сигнал к тому, что нужно вводить переменную. Обозначим через х кг массу меди, добавленную к первому сплаву. Сейчас по цепочке поднимаемся вверх и
составляем выражения. На пятом шаге получаем (36+х) кг – масса второго сплава. На четвертом – 0,6·(36+х) кг – масса меди во
втором сплаве. На втором – [0,6·(36+х)–0,45·36] кг – масса добавленной меди. На первом шаге – х кг – масса добавленной меди.
Составляем и решаем уравнение: 0,6·(36+х)–0,45·36=х.
Принцип составления уравнения тот же самый: выразили массу меди, добавленную к первому сплаву, двумя способами и приравняли выражения.
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На третьем этапе решаем уравнение. В нашем случае получилось уравнение первой степени (как говорили ранее, наша задача может быть решена арифметическим способом). Вычислим,
что х=13,5. Значит, масса меди, добавленная к первому сплаву,
равна 13,5 кг. Оцениваем полученное значение по смыслу задачи.
Оно удовлетворяет ему.
Переходим к четвертому этапу работы. Проверку результата
можно осуществить также с помощью введения его в текст задачи (как и для арифметического способа). Выделим главную идею
решения. Она уже называлась: записать одну из величин двумя
способами и приравнять выражения. Обращаем внимание учеников на то, что в задачах на сплавы и смеси бывает полезно выделить ту величину, которая не изменяется, и для нее составить
уравнение. В нашем случае – это цинк. Можно найти его массу в
первом сплаве (0,55·36 кг), во втором – (0,4·(36+х) кг) и оба выражения приравнять. Получим уравнение 0,4(36+х)=0,55·36.
Как было сказано, данная задача может быть решена арифметическим способом. Найдем его. Во втором варианте поиска у
нас остался неосуществленным путь (табл. 10, вопрос 2), который наводит на мысль, чтобы вычислить массу второго сплава.
Попробуем это сделать. Мы уже вычислили массу цинка в первом сплаве (0,55·36=19,8 кг). Тогда во втором сплаве цинка также
19,8 кг, и на него приходится 40 % всего сплава. Можно найти
19,8 ⋅ 100
массу второго сплава:
= 49,5 (кг). Следовательно, полу40
чено решение задачи арифметическим способом. Остается сравнить между собой разные варианты.
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.3. Использование геометрии при решении текстовых задач
_________________________________
____________________
При решении текстовых задач могут быть успешно использованы алгебраические и геометрические знания. Часто такой синтез упрощает решение. Но, к сожалению, такой подход встречается редко. В школьных учебниках он специально не выделяется.
Рассмотрим конкретные примеры.
Задача 1. Два пешехода идут навстречу друг другу из пунктов
А и В. Первый выходит из А на 6 часов позже, чем второй из В, и
при встрече оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи дальнейший путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 часов, а второй в А – через 9
часов. Найти скорости каждого пешехода.
При работе с задачами на движение бывает полезно построить
графики движения тел
в системе координат S
(путь; горизонтальная
ось) и t (время; вертикальная ось). Начало
координат совмещаем
либо с пунктом А, либо
с пунктом В. Находим
координаты точки пересечения
графиков
пути на рисунке 21:
КВ1 – график двиРис. 21
жения первого пешехода;
ВА1 – график движения второго пешехода;
С – точка встречи;
АК=6 ч.; ЕА1=9 ч.; FB1=8 ч.;
КЕ – время движения первого пешехода до встречи (t1);
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
BF – время движения второго пешехода до встречи (t2=t1+6).
Если найдем координаты точки С, то сможем ответить на вопрос задачи.
Решение
1. Из подобия ΔKEC и ΔB1FC составим пропорцию
8:t1=CF:CE.
(*)
2. Из подобия ΔА1СЕ и ΔВСF получаем пропорцию
(t1+6):9=CF:СЕ.
3. Тогда, учитывая (*), получаем 8:t1=(t1+6):9. Решив уравнение,
найдем время движения первого пешехода до встречи: t1=6 (ч).
Заменив в (*) CF и СЕ соответственно через S1+12 и S1 и решив
полученную пропорцию, получим расстояние, которое прошел
первый пешеход до встречи: S1=36 км. Тогда скорость первого пешехода – S1:t1=6 км/ч. Скорость второго пешехода – S2:t2=4 км/ч.
Рассмотрим еще одну задачу на движение трех тел.
Задача 2. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним
через 2 часа из А выехал велосипедист, а еще через 30 мин – мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист через некоторое
время преодолели одинаковую часть пути от А к В, т.е. оказались
все трое одновременно в одной точке. На сколько минут раньше
пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл
в В на час позже мотоциклиста?
По тексту задачи
выстраиваем графики (рис. 22) движения, вводим буквенные обозначения и
получаем:
АВ1 – путь пешехода; А1В2 – путь велосипедиста; А2В3 –
путь мотоциклиста;
С – точка встречи
всех троих;
Рис. 22
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
АА1=2; А1А2=0,5; В1В3=1.
Требуется найти В1В2 (время, на которое велосипедист прибыл
в В раньше пешехода). Из подобия ΔAA1C и ΔB1B2C и подобия
ΔAA2C и ΔB1B3C получаем пропорцию:
АА1:В1В2=АА2:В1В3
4
2:В1В2=2,5:1; В1В2= (ч).
5
Ответ: 48 мин.
Чаще всего разобранными способами решаются задачи на
движение. Сильной стороной графического способа является его
наглядность. Так как аналогичные задачи в школьные учебники
обычно не включаются, то приведем несколько для самостоятельного решения и методической проработки.
Задача 3. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 24 км, выехали навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость первого, который выехал на 20 мин раньше второго, на 6
км/ч меньше скорости второго. Встретились велосипедисты на
середине пути. Найти скорость каждого.
Задача 4. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 30 км, выехали навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Мотоциклист выехал на 40 мин позже велосипедиста.
Встретились они на середине пути. Скорость мотоциклиста на 30
км/ч больше скорости велосипедиста. Найти скорости велосипедиста и мотоциклиста.
Задача 5. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист и встретил пешехода
через 50 мин после своего выезда. Сколько времени потребуется
пешеходу на путь из А в В, если велосипедист потратил на путь
из В в А на 4 часа меньше?
Задача 6. Из двух городов, расстояние между которыми 250
км, навстречу друг другу выехали два туриста. Их скорости движения 20 км/ч и 30 км/ч. Через сколько часов туристы встретятся?
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Методика работы
с геометрическими задачами
___________________________________________
___________________________________________
Геометрические задачи (к ним в общем случае можно отнести
и теоремы, вопросы методики работы с которыми рассмотрены
в публикациях М. Б. Воловича, Я. И. Груденова, О. Б. Епишевой, Ю. М. Колягина, Г. И. Саранцева и др.) помогают освоить
приемы рассуждений (дедуктивного и индуктивного), являются
средством формирования следующих умений:
– на основе наблюдения или обобщения частных (или знакомых) задач выдвигать гипотезу о способе решения;
– анализировать ее текст, выделять условие и заключение;
– осуществлять поиск способа доказательства, решения;
– выстраивать прямое и косвенное доказательство;
– отбирать аргументы и на их основе делать выводы;
– грамотно использовать признаки, свойства, необходимые и
достаточные условия (приложения 1 и 2).
Перечисленные умения лежат в основе ключевых компетенций и универсальных учебных действий (направленность на формирование которых заложена во ФГОС общеобразовательной
школы). Работа с геометрической задачей содействует усвоению
логики умозаключений и на этой основе способствует формированию грамотной речи, умению точно и лаконично выражать
свои мысли, а также должна вносить вклад в освоение учащимися раздела «Элементы логики». В него включено следующее
содержание: «Определение. Аксиомы и теоремы. Доказательство. Доказательство от противного. Теорема, обратная данной.
Пример и контрпример. Понятие о равносильности, следовании,
употребление логических связок если... то, в том и только в том
случае, логические связки и, или» [20, с. 283].
Общеизвестно, что школьники при работе с геометрическими
задачами испытывают больше затруднений, чем с алгебраическими. Они не только не умеют самостоятельно решать задачи,
но часто оказываются не в состоянии воспроизвести доказатель53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ство, разобранное в учебнике, если несколько видоизменить чертеж или ввести другие буквенные обозначения. В обосновании
шагов решения ссылаются не на ту теорему. Это чаще всего касается использования прямой и обратной теорем, свойств и признаков, необходимых и достаточных условий, что требует целенаправленного разбора (приложения 1, 2). Например, нужно найти
величину угла М в треугольнике КLМ, если КМ=6; LМ=8; КL=10.
Ученик в решении ошибочно указывает, что по теореме Пифагора ∠М=900. В действительности он применил обратную теорему.
Рассмотрим некоторые сквозные линии задач школьного курса геометрии. Работу с ними будем проводить по использованной
ранее схеме.
4.1. Методика работы с геометрическими задачами
на вычисление
_________________________________
____________________
Задачи на вычисление представляют собой большой блок геометрического содержания. Им отводится значительное место как
в планиметрии, так и в стереометрии. Задачи на вычисление можно разделить на три большие группы:
– задачи, сформулированные с конкретными числовыми величинами;
– задачи, сформулированные в общем виде (числовые величины обозначены буквами);
– задачи на вычисление отношения каких-либо двух величин,
при этом условие сформулировано в общем виде.
Особенностью задач на вычисление (да и вообще геометрических) является то, что они обычно имеют несколько вариантов
решения, доступных ученику. Поэтому вполне вероятно, что способ, продуманный учителем при подготовке к уроку, может ока54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
заться невостребованным. Ученики предложат другое (вполне
равноценное) решение. К этому повороту нужно быть внутренне
готовым, выслушивая предложения класса, и не отметать сразу
идеи, не укладывающиеся в запланированный вариант. В противном случае мы просто губим инициативу школьников, приучаем
их выжидать идеи (подсказки).
Конечно, трудно бывает с ходу перестроиться, особенно если
задача сложная. Поэтому различные варианты решения следует продумывать при подготовке к уроку. На самом уроке есть
смысл останавливаться на предложениях учеников и давать им
возможность развить свою точку зрения. Такой подход может
значительно затянуть процесс решения задачи, но зато включает
в деятельность большее количество участников.
Далее рассмотрим возможные варианты организации работы с
задачами перечисленных выше групп.
Первая группа – задачи сформулированы с конкретными числовыми величинами (наиболее часто встречаются в 7 – 8 классах).
Требуется, как правило, найти конкретное значение какого-либо
элемента. Методика работы с задачами первого типа мало чем
отличается от методики работы с текстовыми задачами. Поэтому
ее характеристику на этапах будем давать кратко.
Задача 1. В прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до одного из катетов равно 5 см, а расстояние
от середины этого катета до гипотенузы равно 4 см. Вычислить
площадь треугольника.
При изучении текста задачи на первом этапе схема вопросов
та же самая. Отличительным моментом для геометрической задачи является обязательное построение чертежа, запись условия и
заключения.
Необходимо сразу отметить, что в методической литературе можно встретить разные мнения по поводу записей «дано» и
«найти». Одни считают, что если в тексте сказано АВ – высота,
то именно так и записываем в условие, т.е. не допустима запись,
например, АВ ⊥ ЕС. Аналогично поступают и с записью медиан,
биссектрис и т.д. Сторонники этой точки зрения мотивируют
свою позицию тем, что АВ ⊥ ЕС нам не дано, а получается в ходе
анализа определения высоты. В условии («дано») записываем
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
только то, что действительно дано в тексте задачи. Аналогичное
происходит и с заключением. Конечно, каждая точка зрения имеет право на существование, но если развить ее до логического
завершения, то тогда и при построении чертежа мы не должны
задумываться над тем, как он выглядит, исходя из анализа условия. В таком случае в ходе анализа задачи его потребуется часто
перестраивать.
Есть еще одна точка зрения, которая не требует обязательности записей «дано» и «найти». Можно просто переписать текст
задачи.
Автор предлагаемого пособия разделяет мнение о том, что записи «дано» и «найти» обязательны. Они должны быть полными,
по тексту задачи, хотя для краткости одно условие (например,
высота) может быть заменено эквивалентным (с использованием
знака перпендикулярности). Причина состоит в том, что записи
«дано» и «найти» чисто с методической точки зрения помогают
осмыслению текста задачи, экономят время (так как оно не тратится на переписывание). При построении чертежа вполне допустимо (хотя и не обязательно) уже на начальном этапе вводить
построения, вытекающие из условия (даже если они не являются
очевидными). Однако в данном случае в начале решения нужно
обязательно дать пояснение чертежа, т.е. обосновать все дополнительно полученные построения. Отметим, что учеников буквально с решения первых геометрических задач нужно приучать
делать письменно пояснения чертежа. В противном случае позднее начнутся проблемы при работе со стереометрическими задачами, которые практически все требуют этого.
Вернемся к предъявленной задаче. В конце первого этапа решения должны получиться следующие записи и рисунок 23.
Легко заметить, что чертеж и «дано» сделаны не только по
тексту задачи, но и в результате проведенного анализа, когда ученики замечают (и доказывают), что перпендикуляр DE (расстояние от середины гипотенузы до катета) опускается в середину
катета АС. Этот момент (уже отраженный на чертеже) должен
быть обязательно обоснован в самом начале решения.
Необходимо отметить, что вопрос о положении точки Е у учеников появляется достаточно часто. Приходят они к нему бла56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дано: ΔABC; ∠C=900; АD=DB;
DE ⊥ AC; DE=5см; EK ⊥ AB;
EK=4 см.
Найти SABC.
А
К
Е
С
D
Рис. 23
В
годаря желанию сделать точный чертеж. Середину гипотенузы
школьники обычно находят с помощью линейки, опускают перпендикуляр на катет АС. Затем с помощью линейки пытаются
найти середину АС и с недоумением замечают, что она совпадает
с точкой Е. Вот здесь и нужен вопрос учителя: случайно ли это?
Как видим, чтобы заметить описанный момент, никакой математической интуиции не требуется. Наблюдается даже обратный
эффект.
А
К
Е
F
С
D
Рис. 24
В
Ученики, хорошо занимающиеся по
математике, могут не получить изображенный на рисунке 23 чертеж. Так
обычно поступают дети с высокой
способностью к абстрагированию, для
них точность чертежа особой роли не
играет. Они чаще всего делают чертеж
от руки, схематично, который является
лишь зрительной опорой.
Такие школьники могут на «неправильном» чертеже грамотно
решить задачу. У них можно увидеть рисунок, в котором построенные отрезки не будут иметь общего конца (рис. 24). Ученики
могут решить задачу до конца, не заметив, что рисунок не соответствует действительности. Возникает вопрос об оценке такого
решения (вернее, рисунка). Он является спорным, но нужно помнить, что решается задача не на построение, а поэтому чертеж
играет вспомогательную роль. Ребенок логически грамотно нашел ответ на вопрос, значит, задача решена. Но указать школьнику на неточность его чертежа необходимо. Нужно рекомендовать
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
внимательнее вчитываться в задачу и возвращаться к чертежу на
заключительном этапе работы с ней.
На втором этапе осуществляем поиск способа решения. Для
наглядности обычно на рисунке отмечают данные задачи. Нужно
стараться не загромождать чертеж. Поиск может быть осуществлен по-разному. Кратко опишем поиск способа решения с помощью движения с двух сторон (табл. 11).
Таблица 11
Что следует
из условия?
1.1. Так как ΔEKD –
прямоугольный, то
KD=3 см.
Так как ED – средняя
линия, то CB=10 см
Что достаточно знать
для заключения?
2.1. Для того чтобы найти SABC ,
достаточно знать:
а) АС и ВС или
б) АВ и высоту, опущенную на гипотенузу
Далее представлены варианты решения.
Рис. 25
Вариант 1
Проводим высоту СМ (рис. 25). Замечаем,
что ЕК – средняя линия ΔACM, и находим
СМ, а из прямоугольного треугольника
СМВ вычислим МВ. Затем либо через подобие треугольников, либо сразу используем свойство высоты прямоугольного
треугольника (СМ2=АМ·BM).
Вариант 2
Определив длину СМ таким же образом, что и в варианте 1,
из ΔBCM вычисляем sin∠B. Затем через cos∠B находим АВ. Этот
тип решения встречается у учеников чаще всего.
Вариант 3
Коэффициент подобия ΔABC и ΔADE равен 2. В ΔADE (используя свойство высоты, опущенной из прямого угла) находим
АК. Далее можно применить свойство площадей подобных фигур.
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вариант 4
Этот вариант короче предыдущих, но ученики его редко используют, а правильно доводят до конца лишь некоторые. Речь
идет об обнаружении и правильном применении подобия ΔABC
и ΔEDK. Этот вариант обычно находят учащиеся, которых заинтересовал тот факт, что мы знаем длины всех сторон ΔEDK.
Подобие ΔABC и ΔEDK таит в себе еще один коварный момент:
чертеж так и подталкивает в качестве коэффициента подобия
ошибочно взять отношение BC:DE.
Третий этап – оформление решения задачи. Приведем решение для четвертого варианта.
Решение
1. Пояснение чертежа (рис. 23).
Так как прямые DЕ и ВС перпендикулярны прямой АС, то по
признаку параллельности прямых они параллельны между собой.
Точка D является серединой отрезка АВ, следовательно (по теореме Фалеса), точка Е – середина отрезка АС.
2. ED – средняя линия ΔABC, значит, BC=10 см.
3. ΔKDE – прямоугольный, тогда по теореме Пифагора получим, что DК=3 см.
4. Рассмотрим ΔABC и ΔEDK. В них ∠С=∠К – прямые,
∠B=∠D (как соответственные при параллельных прямых ВС и
DЕ и секущей АВ). Значит, по двум углам ΔABC и ΔEDK подобны, следовательно, их площади относятся как квадраты соответствующих сторон, т.е. SABC : SEDK=(BC:DK)2. Подставив числовые
значения, получим SABC=200/3 см2.
Ответ: 200/3 см2.
Необходимо отметить, что при работе с геометрическими задачами первой группы (с конкретными числовыми данными) ученики часто проводят промежуточные вычисления с округлением
результата. Понятно, что в окончательном решении погрешность
может получиться значительной. Поэтому необходимо объяснить,
что в геометрических задачах обычно не принято округлять числовые значения. Исключения бывают, но очень редко (например,
отработка умения оперировать теоремами синусов и косинусов).
В объемных задачах часто вообще не целесообразно проводить
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
промежуточные вычисления потому, что по ходу решения могут
происходить упрощения. Подобная установка будет также помогать формированию у школьников умения работать со второй
группой задач.
На заключительном этапе могут быть организованы описанные ранее виды работы, поэтому остановимся лишь на одном
(специфическом) приеме проверки результата – построении чертежа в натуральную величину.
Чертим прямоугольный ΔEDK. Через точку Е проводим прямую АС, перпендикулярную DЕ. Через точку К проводим прямую
АВ, перпендикулярную ЕК. Находим точку А. Используя то, что
точки Е и D ­– середины соответствующих отрезков, находим точки С и В. Измеряем длину катетов АС и СВ, вычисляем площадь
треугольника и сравниваем полученное значение с результатом задачи. Конечно, будет погрешность, и не всегда подобного рода работу можно осуществить (в этом нет и необходимости). Описанная
форма «проверки» поможет разнообразить деятельность ученика.
Вторая группа ­– задачи, сформулированные в общем виде.
Их удачнее было бы назвать как «задачи на нахождение». Они
занимают в школьной геометрии значительное место и сначала
предлагаются для обобщения задачи, решенной для нескольких
конкретных случаев, а в 10 – 11 классах уже выступают самостоятельно.
При решении задач второй группы учащиеся, как правило, испытывают больше затруднений по сравнению с первой. Причина
заключается именно в невозможности выполнения промежуточных действий и приближенных вычислений. Слабые учащиеся
просто «тонут» в буквенных обозначениях, для них высок уровень абстракции. Умение работать с ними формируется постепенно. Сначала отрабатывается умение обобщать на основе
решения нескольких задач первой группы, таких как, например,
найти высоту ВD равнобедренного треугольника с боковыми сторонами АВ и ВС, если:
а) AB=3 см, ∠B=1000;
б) BC=6 см, ∠B=700;
в) AB=d, ∠B=ß.
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Затем формируется умение видеть за буквенными обозначениями конкретные числа. Например, задача сформулирована в
общем виде. Можно попросить ученика объяснить, как бы он ее
решал в случае числовых данных.
При работе с задачами второй группы нужно иметь в виду, что
фактически это задачи с параметрами. На этом обычно в школьном курсе внимание не акцентируется, но нужно помнить, что
при разных интервалах значений параметра ответ на вопрос может быть различным. Есть задачи, решение которых явно требует
определения границ изменения искомой величины.
Третья группа – задачи на вычисление отношения каких-либо
двух (или нескольких) величин, при этом условие сформулировано в общем виде.
Задача 2. Трапеция делится диагоналями на четыре треугольника. Найти отношение площадей треугольников, прилегающих
к ее боковым сторонам.
Задачи третьей группы представляют еще большую трудность.
Здесь ученики, как правило, вообще не знают, с чего начать решение. Поэтому следует показать возможность использования
трех приемов, охарактеризованных ниже.
Во-первых, часто помогает введение буквенных обозначений.
Их выбирают таким образом, чтобы можно было выразить оба
искомых элемента. В процессе работы все введенные нами буквенные обозначения должны, например, сократиться или взаимно уничтожиться. Особо требуется обратить внимание учащихся
на то, что в ответе может быть либо число, либо буквенное выражение, не содержащее введенных нами обозначений. Рассмотрим
сформулированную выше задачу.
B
C
O
A
D
Рис. 26
Дано: ABCD – трапеция,
О – точка пересечения диагоналей (рис. 26).
Найти: SAOB : SCOD.
Поиск решения.
Что нужно найти? – SAOB : SCOD.
Как можно найти площадь треугольника? – Возможны два ответа на вопрос, приведенные ниже (табл. 12).
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 12
Вариант 1
S=0,5ah
Для этого нужно в
каждом треугольнике построить высоту. Высоты не связаны между собой,
так как трапеция
произвольная. Итак,
скорее всего, тупик!
Вариант 2
S=0,5absinφ
Начинаем анализировать эту формулу.
Самое простое с углом φ. Что делать с a
и b? Видим, что это куски диагоналей (ВО
и АО; СО и DО). Если обозначить ВО=b,
AO=a, то нужно обозначать и два других
отрезка. Обозначим СO=c, DO=d. Отметим все это на чертеже. Тогда получим:
S AOB 0,5ab sin ϕ ab
=
=
(*).
S COD 0,5cd sin ϕ cd
Так как a, b, c, d – введенные нами обозначения, то они должны сократиться. Для
этого нужно установить между ними взаимосвязь. Выясним, в какие еще фигуры
входят обозначенные отрезки. Ученики
обнаруживают, что это ΔBOC и ΔDOA. Из
подобия этих треугольников получат, что
ab=cd. Решение найдено.
Конечно, совершенно не обязательно вводить обозначения.
Они просто помогают сконцентрировать внимание учеников на
необходимых элементах. С этой же целью используются цветные
мелки для выделения нужных элементов на чертеже.
Во-вторых, при решении задач третьей группы бывает полезно рассмотреть, из чего состоят фигуры или куда входят в качестве частей. В нашей задаче получим (рис. 26):
SAOB=SABD - SAOD; SCOD=SACD – SAOD.
Замечаем, что SADB=SAСD (основание у треугольников общее,
высоты равны). Тогда SAOB=SСОD.
В-третьих, при решении задач на отыскание отношений площадей (или объемов) часто бывает действенным прием их выражения через первоначальную (особенно, если первоначальная
фигура разбита на две части).
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 3. АВСD – параллелограмм. Точка Е делит сторону АВ
в отношении m:n. Найти отношение площадей полученных фигур.
Дано: АВСD – параллелограмм,
АЕ:ВЕ=m:n (рис. 27).
Найти: SADE : SBCDE.
Рис. 27
Сложность этой задачи заключается в том, что ученики должны опустить высоту из точки D на сторону АВ. К этому их нужно
подвести, а не просто сказать, как делать. Мотивом для проведения высоты из точки D является то, что именно этот отрезок одновременно является высотой параллелограмма и треугольника.
Второй сложный момент – выразить в общем виде длину отрезка АЕ через длину АВ. Если ученики затрудняются в этом, то
сначала есть смысл заменить m:n конкретными числами, например 5:2 (табл. 13). Акцентировать внимание учеников на том, что
умение выражать часть через целое является очень важным. Необходимо явно вскрыть суть процесса, вспомнить, что это стандартная задача на части.
Таблица 13
m:n
5:2
Длина одной части – АВ:7,
АВ
5
тогда АЕ =
⋅ 5 = АВ
7
7
Длина одной части – АВ:(m+n),
m
АВ
тогда АЕ =
АВ
⋅m =
m+n
m+n
Еще один сложный момент для понимания – способ вычисления SBCDE. Так как эта фигура – трапеция, то ученики захотят
найти ее по общей формуле S =
BE + DC
h . Конечно, так сделать
2
можно, но тогда мы не покажем суть нашего приема. Следовательно, в другом случае (когда вторая фигура будет произвольной) ученики задачу не решат. Поэтому нужно подчеркнуть, что
SBCDE = SABCD – SADE.
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.2. Методика работы с задачей на построение
в школьном курсе планиметрии
_________________________________
____________________
Задачи на построение встречаются на протяжении всего курса планиметрии. Знакомятся с приемами их решения учащиеся в
конце 7 класса. Особенность заключается в том, что они доступны и понятны по постановке вопроса, но одновременно с этим
сложны в содержательном и логическом планах. Каждая задача
при правильной организации работы с ней может стать небольшим исследованием.
Значение задач на построение для развития учащихся велико. В ходе их решения школьники учатся применять полученные
теоретические знания на практике, благодаря чему они углубляются и закрепляются, становятся более гибкими. У учеников развивается способность отчетливо представлять себе ту или иную
геометрическую фигуру и формируется умение оперировать
свойствами и признаками понятий. Задачи на построение повышают уровень осмысленности математического содержания,
развивают логическое мышление и геометрическую интуицию.
Они помогают отработке поисковых умений, приобщают школьников к посильным самостоятельным исследованиям, развивают
творческие способности. Все это входит в состав познавательных
универсальных учебных действий и учебно-познавательных компетенций.
4.2.1. Этапы решения задачи на построение
Задача на построение предполагает выполнение и описание
четырех общеизвестных этапов работы: анализа, построения, доказательства и исследования. Только при наличии их всех задача считается решенной. Дадим краткую характеристику каждому
из названных этапов, принятых в геометрии.
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Анализ представляет собой не просто изучение текста задачи,
здесь устанавливаются взаимосвязи между элементами искомой
фигуры. Заключением этого этапа является выделение способа
ее построения. При проведении анализа предполагают, что искомая фигура построена, и рассматривают ее различные свойства,
выделяя те, которые могли бы помочь при построении (рис. 10).
В задачах на построение все рассуждения, приводящие к способу
решения, оформляются письменно.
Этап построения предполагает осуществление найденного в
ходе анализа плана и получение искомой фигуры. При этом используются только те инструменты, которые указаны в задаче,
чаще всего это циркуль и линейка. Параллельно принято проводить описание каждого шага. Причем после того, как разобраны
простейшие построения, на них можно ссылаться.
На третьем этапе проводится доказательство того, что
построенная фигура является искомой. В школе этот этап часто опускается, а в тех случаях, когда выполняется, ученики не
всегда понимают его необходимость. Для устранения названного
недоразумения их нужно познакомить с сущностью несовершенного анализа, который использовали на первом этапе.
Исследование – это заключительный этап работы с задачей на
построение. Здесь решающий выясняет, во-первых, единственность
построения и, во-вторых, условия, при которых оно невозможно.
Необходимо отметить, что в настоящее время в школе при работе с задачами на построение часто проводят только первый и
второй этапы. Такой подход ограничивает возможности этих задач. Отсутствие третьего этапа оказывает отрицательное влияние
на формирование логической строгости рассуждений. Ученик не
учится распознавать малообоснованные места. Отказ от исследования оставляет задачу незавершенной. Школьники привыкают
рассматривать один из возможных случаев, наиболее удобный
им. Остаются невостребованными возможности исследования
для систематизации знаний, их обобщения и переосмысления.
Несколько иная точка зрения представлена в учебнике А. В.
Погорелова «Геометрия 7–11». Автор отмечает, что задача на
построение считается решенной, если указан способ построения
фигуры и доказано, что результат удовлетворяет всем требовани65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ям условия. Из этого можно сделать вывод о том, что сам процесс
построения фигуры, его подробное описание и исследование
играют второстепенную роль. Конечно, нет смысла решать все
задачи (и со всеми учащимися) по четырем этапам. Но показать
все их, объяснить суть и назначение каждого, а для сильных учеников организовать отработку умений необходимо.
4.2.2. Первые задачи на построение
Первые задачи на построение на плоскости обычно разбираются подробно. Перед тем как их решать, нужно четко определить, что можно построить при помощи циркуля и линейки.
Иначе суть задач на построение, скорее всего, не будет понятна
ученикам.
С помощью линейки можно провести прямую: произвольно;
произвольно через данную точку; через две данные точки. Особо
обращаем внимание школьников на то, что нельзя откладывать
отрезок данной длины или измерять его. Ограничения можно пояснить тем, что в задачах на построение имеется в виду линейка
без шкалы. На самом деле причина лежит глубже – в погрешности шкалы линейки и измерений, невозможности откладывать с
помощью линейки отрезок, длина которого равна иррациональному числу единиц.
С помощью циркуля можно начертить окружность с центром
в данной точке данного или произвольного радиуса. Учащиеся
легко заметят, что отрезок, равный данному, строится с помощью циркуля и линейки. Можно предложить им самостоятельно
назвать шаги построения. Сначала по линейке проводим прямую,
отмечаем на ней точку. Затем проводим окружность данного
радиуса с центром в отмеченной точке.
В школьных учебниках обычно разбирается шесть задач:
1) построить треугольник со сторонами, равными данным отрезкам;
2) построить угол, равный данному;
3) построить биссектрису данного угла;
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4) разделить отрезок пополам;
5) через данную точку провести перпендикуляр к данной прямой (или из произвольной точки данной прямой восстановить
перпендикуляр);
6) через данную точку провести прямую, параллельную данной.
Перечисленные задачи являются основными (ключевыми),
они используются при решении других более сложных. Эти шесть
задач нужно подробно разобрать с учащимися и оформить. Рассмотрим один из возможных вариантов работы с первой задачей.
а
b
Дано: отрезки а, b, с (рис. 28).
Построить: ΔАВС.
c
Рис. 28
Анализ. Показать, как проводится анализ, на примере первых
задач очень трудно, так как все связи лежат на поверхности.
Рис. 29
Пусть ΔАВС построен. Ученики замечают, что задача сводится к построению
третьей вершины, например точки С,
так как отрезок, равный данному (АВ=с),
можно легко отложить с помощью циркуля и линейки. Замечаем, что точка С удалена от точки А на расстояние b, значит,
она лежит на окружности (А,r=b). Аналогично получаем, что
точка С лежит на окружности (В, r=а). Значит, точка С принадлежит пересечению этих двух окружностей.
Построение, его описание и доказательство того, что полученный треугольник удовлетворяет условию, трудности не представляют, поэтому перейдем сразу к исследованию.
Первый вопрос исследования – всегда ли треугольник может
быть построен. Желательно, чтобы ученики сами заметили, что
вопрос о существовании треугольника сводится к построению
третьей вершины ΔАВС. (Пусть для определенности она – С.)
Для этого необходимо, чтобы окружности с центрами в точках А
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и В пересекались и точка пересечения не лежала на прямой АВ.
Таким образом, необходимо исключить четыре случая.
Рис. 31
Рис. 30
Обобщая случаи на рисунках 30 и 31, получим необходимость
требования а+b>c.
Рис. 32
Рис. 33
Обобщая случаи на рисунках 32 и 33, получим необходимость
требования |а–b|<c.
Делаем вывод, что треугольник может быть построен лишь в
том случае, когда выполняются два условия: а+b>с и |а–b|<c. Конечно, их можно заменить другими (более распространенными):
а + с > в ,

а + в > c ,
в + с > а.

68
(*)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Второй вопрос исследования – имеет ли задача единственное
решение. При выполнении построения ученики, скорее всего, уже
заметили, что если выполняется (*), то окружности пересекаются
в двух точках. Желательно акцентировать внимание, что какую
бы точку пересечения мы ни взяли, получатся равные треугольники. Обоснование этого вывода у школьников не вызывает затруднений (признак равенства треугольников по трем сторонам).
Отметим, что в пособии рассмотрен один из возможных вариантов работы с задачей на построение. Цель учителя – найти
такой вариант, который был бы доступен учащимся его класса и
принципиально не противоречил бы общепринятому в математике уровню строгости.
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Логические задачи
___________________________________________
___________________________________________
Овладение логической культурой предполагает ознакомление
учащихся с основами формальной логики, которая в течение длительного развития накопила теоретически обоснованные и оправдавшие себя методы и приемы рационального рассуждения. Элементы логики введены в школьный курс математики. Конечно, в
рамках математики (без выделения дополнительных часов) изложить весь курс формальной логики вряд ли удастся. Но использовать ее возможности для формирования логического мышления
и универсальных учебных действий (особенно познавательных, в
состав которых входят логические) просто необходимо. В качестве одного из средств можно использовать логические задачи,
которые способствуют формированию умений аргументировать,
рассуждать, доказывать, опровергать и т.д. Кроме того, они помогают создать на занятии положительный эмоциональный фон,
повысить интерес. Рассмотрим ряд логических задач. При работе
с ними тщательно анализируется текст. Ни условие, ни вопрос
задачи не дополняются никакой информацией.
Достаточно распространенными являются задачи, решаемые с
помощью таблицы (возможно, потребуется составить несколько
таблиц). Рассмотрим ряд примеров, при этом постараемся раскрыть саму «кухню» рассуждений. Использование приведенных
заданий в работе с учеником, думается, поможет последнему овладеть логическими универсальными действиями.
Задача 1. В музыкальном кружке занимаются три школьника
(Борис, Семен и Вадим), умеющих играть на скрипке, флейте, баяне, кларнете, гитаре и трубе. Известно следующее:
1) Семен самый высокий;
2) мальчик, играющий на скрипке, меньше ростом играющего
на флейте;
3) школьники, играющие на скрипке и флейте, и Борис любят
сладкое;
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4) когда между баянистом и трубачом возникает ссора, то Семен мирит их;
5) Борис не умеет играть ни на трубе, ни на гитаре.
На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если
каждый владеет двумя инструментами?
Задача не является сложной, так как нужно установить лишь
соответствие «имя – музыкальный инструмент». Причем практически сразу выясняем, что каждым музыкальным инструментом владеет только один школьник. В таких задачах достаточно
составить таблицу. Клетки таблицы на основании условия задачи помечаются определенными знаками: плюс, минус или 1, 0.
Представим хор рассуждения.
Решение. Составим таблицу и отразим в ней текст задачи. Будем заполнять соответствующие клетки знаками «–» и «+», исходя из имеющихся условий.
Так как музыкантов трое, а инструментов шесть и каждый
владеет только двумя из них, получается, что школьник играет
на инструментах, которыми остальные не владеют.
Из условия 4 следует, что Семен не играет ни на баяне, ни на
трубе, а из условий 3 и 5, что Борис не умеет играть на скрипке,
флейте, трубе и гитаре. Из условий 1 и 2 следует, что Семен не
скрипач. Ставим в этих клетках знаки минус. Следовательно, инструменты Бориса – баян и кларнет. Значит, остальные клетки в
столбцах с инструментами «баян» и «кларнет» отмечаем знаком
минус. На основе этих рассуждений можно частично заполнить
таблицу 14.
Таблица 14
Борис
Семен
Вадим
Скрипка Флейта
–
–
–
Баян
+
–
–
Кларнет Гитара
+
–
–
–
Труба
–
–
Из таблицы видно, что на скрипке и трубе может играть только
Вадим, ставим в соответствующие клетки плюс. В строке с именем «Вадим» получили два «+», тогда оставшиеся клетки этой
строки можно отметить знаками минус. Таблица примет следующий вид (табл. 15).
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 15
Борис
Семен
Вадим
Скрипка Флейта
–
–
–
+
–
Баян
+
–
–
Кларнет Гитара
+
–
–
–
–
Труба
–
–
+
Из таблицы видим, что Семен может играть только на флейте и гитаре. Таблица, иллюстрирующая ответ, приведена ниже
(табл. 16).
Таблица 16
Борис
Семен
Вадим
Скрипка Флейта
–
–
–
+
+
–
Баян
+
–
–
Кларнет Гитара
+
–
–
+
–
–
Труба
–
–
+
Ответ: Борис играет на баяне и кларнете, Семен – на флейте
и гитаре, Вадим – на скрипке и трубе.
Задача 2. На конгрессе встретились четверо ученых: физик,
биолог, историк и математик. Каждый ученый владел двумя языками из четырех (русским, английским, французским, итальянским). Но не было такого языка, на котором могли бы говорить
все четверо. Есть только один язык, на котором могли вести беседу сразу трое. Никто из ученых не владеет и французским, и
русским языками одновременно. Хотя физик не говорит по-английски, он может служить переводчиком, если историк и биолог
захотят побеседовать. Историк говорит по-русски и может говорить с математиком, хотя тот не знает ни одного русского слова.
Физик, биолог и математик не могут разговаривать на одном языке. Какими языками владеет каждый ученый?
Задача немного сложнее, так как в ней приводится больше условий. Однако они хорошо укладываются в таблицу 17.
Далеко не столь простыми являются задачи, в которых необходимо установить соответствие одному компоненту двух, трех
и более элементов. От их количества будет зависеть сложность
задачи.
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 17
Русский Английский Французский Итальянский
Математик
–
+
–
+
Биолог
–
+
+
–
Физик
–
–
+
+
Историк
+
–
–
+
Задача 3. Три подруги вышли в белом, зеленом и синем платьях. Известно следующее:
1) только у Ани туфли и платье одного цвета;
2) ни платье, ни туфли Вали не были белыми;
3) Наташа была в зеленых туфлях.
Определить цвет платья и туфель на каждой из подруг, если
туфли были синими, зелеными и белыми.
Решение. Обращаем внимание на то, что в этой задаче необходимо установить соответствие между тремя элементами: имя,
цвет туфель, цвет платья. Запишем все возможные цвета, а затем
будем вычеркивать те, которые не подходят по условию (табл. 18).
Таблица 18
Имя
Цвет туфель
Цвет платья
Пояснения
Аня
Б, З, С
Б, З, С
Валя
Б, З, С
Б, З, С
2 условие
Наташа
Б, З, С
Б, З, С
3 и 1 условия
Из того, что на Наташе были зеленые туфли, делаем вывод,
что у Ани и Вали они не могли быть зелеными. Вычеркнув у
Вали зеленые туфли, получим, что у нее туфли были синие, тогда
на основе условия 1 ее платье зеленого цвета. Значит, эти цвета
можно вычеркивать у Ани и Наташи (табл. 19).
Таблица 19
Имя
Цвет туфель
Цвет платья
Аня
Б, З, С
Б, З, С
Валя
Б, З, С
Б, З, С
73
Наташа
Б, З, С
Б, З, С
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По условию 1 для Ани остался один возможный вариант: туфли и платье белого цвета. Тогда таблица примет следующий вид
(табл. 20).
Таблица 20
Имя
Цвет туфель
Цвет платья
Аня
Б, З, С
Б, З, С
Валя
Б, З, С
Б, З, С
Наташа
Б, З, С
Б, З, С
Ответ. У Ани платье и туфли белые; у Вали платье зеленое,
туфли синие; у Наташи платье синее, туфли зеленые.
Приведем пример задачи, в которой одному элементу соответствуют пять.
Задача 4. (Задача Эйнштейна). Есть 5 домов, каждый разного
цвета. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг
от друга национальности. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит
определенное животное. Никто из 5 человек не пьет одинаковые
с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит
одинаковое животное.
Условия задачи
1. Англичанин живет в красном доме.
2. Швед держит собаку.
3. Датчанин пьет чай.
4. Зеленый дом стоит слева от белого.
5. Жилец зеленого дома пьет кофе.
6. Человек, который курит Pall Mall, держит птицу.
7. Жилец среднего дома пьет молоко.
8. Жилец из желтого дома курит Dunhill.
9. Норвежец живет в первом доме.
10. Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку.
11. Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто
курит Dunhill.
12. Курильщик сигарет Winfield пьет пиво.
13. Норвежец живет около синего дома.
14. Немец курит Rothmans.
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду.
Вопрос: Кому принадлежит рыба?
Решение. Для решения задачи удобно составить таблицу,
ставящую в соответствие номеру дома цвет, национальность,
напиток, сигареты и животное. Проведем последовательное заполнение таблицы, отмечая в последней строке номер шага рассуждения и номер условия задачи, по которому делается вывод
(табл. 21).
Таблица 21
Дом № 1 Дом № 2 Дом № 3 Дом № 4 Дом № 5
Цвет
дома
Нация
Не
красный
Норвежец
Синий
Напиток
Не
Зеленый
зеленый
Молоко
Белый
Кофе
Сигареты
Животное
1. Усло- 2. Усло- 3. УслоПояснение
и последова- вие 9
вие 13
вие 7
тельность 8. Усло4. Условие 1
шагов
вие 5
5. Условие 4
7. Условие 5
6. Условие 4
Подведем итог проведенным рассуждениям. На основе данных, записанных во второй строке таблицы, и того, что осталось
два цвета (желтый и красный), делаем следующие выводы:
– дом № 3 красного цвета, в нем живет англичанин (условие 1);
– дом № 1 желтого цвета, в нем курят Dunhill (условие 8);
– по условию 11 лошадь содержат в доме № 2;
– по условию 3 в доме № 4 датчанин не живет, тогда датчанин
может жить либо в пятом, либо во втором доме.
Дальше однозначно рассуждать не удается, поэтому можно
рассмотреть оба варианта, обычно при решении логических задач один из вариантов дает противоречие, а другой приводит к
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
решению (если оно единственное). Рассмотрим сначала первый
вариант: датчанин живет в пятом доме. Сведем все записанные рассуждения в таблицу 22. Последующие шаги рассуждения
будем снова комментировать в последней строке таблицы.
Таблица 22
Вариант 1
Цвет дома
Нация
Дом № 1 Дом № 2
Желтый Синий
Норвежец
Напиток
Пиво
Сигареты
Dunhill Winfield
Животное
Лошадь
2. УслоПояснение и
вие 12
последовательность
шагов
Дом № 3 Дом № 4 Дом № 5
Красный Зеленый Белый
Англи- Не дат- Датчанин
чанин
чанин
Молоко Кофе
Чай
1. Условие 3
Обращаем внимание на 4 строку таблицы 22. В ней осталась
одна пустая ячейка, куда должна быть помещена «вода», а это
будет противоречить условию 15, так как в доме № 2 не может
жить курильщик Marlboro. Значит, наше предположение, что датчанин живет в доме № 5, было неверным. Остается только один
вариант: датчанин живет в доме № 2. Внесем соответствующие изменения в таблицу 23.
Таблица 23
Вариант 2
Цвет дома
Нация
Дом № 1 Дом № 2
Желтый Синий
Норве- Датчанин
жец
Напиток
Вода
Чай
Сигареты
Dunhill Marlboro
Животное
Лошадь
Пояснение и 3. Описан 1. Условие 3
выше.
последова4. Услотельность
вие 15
шагов
76
Дом № 3 Дом № 4 Дом № 5
Красный Зеленый Белый
Англи- Немец
чанин
Молоко
Кофе
Пиво
Rothmans Winfield
5. Усло- 2. Условие 14
вие 12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Осталась одна пустая ячейка в третьей строке, тогда в доме
№5 живет швед. Осталась одна пустая ячейка в четвертой строке,
следовательно, в доме № 3 курят сигареты Pall Mall. Остается
расставить животных. Это делаем на основании условий 2, 6 и
10. Получаем, что рыба принадлежит немцу. Ответ представлен
в таблице 24.
Таблица 24
Дом № 1 Дом № 2
Дом № 3
Дом № 4 Дом №
5
Зеленый Белый
Цвет
Желтый Синий
Красный
дома
Норвежец Датчанин Англичанин Немец
Швед
Нация
Напиток
Вода
Чай
Молоко
Кофе
Пиво
Сигареты Dunhill Marlboro Pall Mall Rothmans Winfield
Животное Кошка Лошадь
Птица
Рыба
Собака
Ученикам может быть предложено и обратное задание: по
имеющемуся решению (таблице, вспомогательной схеме) составить текст.
Задача 5. Составьте текст задачи по таблице 25.
Таблица 25
Рита
Татьяна
Вера
Анна
Роза
Тюльпан
+
+
Василек
+
Астра
+
С позиции формирования умения аргументировать интересны
задачи на раскрытие логических софизмов, на анализ данных, на
установление закономерностей. Рассмотрим некоторые из них.
Задача 6. Логический софизм.
Вход в парк некоего могущественного князя был запрещен.
Если нарушитель попадался, его ожидала смерть, но ему предоставлялось право выбирать между виселицей и обезглавливанием. Он должен был что-то заявить, и если его утверждение было
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
истинным, его обезглавливали, а если ложным, то его вешали.
Что нужно было заявить нарушителю, чтобы избежать установленного правила и остаться живым?
Ответ: нарушителю нужно сказать, что его повесят.
Задача 7. Виктор, Роман, Юрий и Сергей заняли на математической олимпиаде первые четыре места. Когда их спросили о
распределении мест, они дали три таких ответа:
1) Роман – второй, Сергей – первый;
2) Виктор – третий, Сергей – второй;
3) Виктор – четвертый, Юрий – второй.
Как распределились места, если в каждом ответе только одно
утверждение истинно?
Пояснение по задаче. Решая подобные задачи (где вариантов
для перебора немного), обычно выдвигают предположение и проверяют, соответствует ли оно (и полученные из него выводы) условию. Начать можно с любого из трех условий. Например, предположим, что на первом месте оказался Сергей. Тогда из второго
получим, что Виктор – третий. Из третьего: Юрий – второй, а
Роман – четвертый. Все условия выполняются. Далее нужно рассмотреть другие предположения (например, Роман – второй, из
чего получим противоречие из 2-го и 3-го условий, и т.д.), чтобы
можно было сказать, что решение единственное.
Задача 8. Проведите рассуждение и дайте обоснованный ответ на поставленный вопрос.
На острове в Тихом океане живут два племени: молодцы, которые всегда говорят только правду, и лжецы – всегда лгут. Турист
встретил туземца и спросил его: «Кто ты?» Когда услышал, что он
из племени молодцов, нанял его на работу слугой. Они увидели
вдали другого местного жителя. Турист послал своего слугу спросить, к какому племени принадлежит этот туземец. Слуга вернулся и сказал, что тот утверждает, что он из племени молодцов. Вопрос: был ли слуга из племени молодцов или же лжецов?
Ответ. Слуга был молодцом, т.к. он сказал правду. Любой
местный житель на поставленный вопрос (к какому племени он
относится?) может дать один ответ, что он – молодец.
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 9. У рассеянной хозяйки есть три ящика для рассады с
надписями «Огурцы», «Цветы» и «Ромашки». Она посадила семена ромашек, огурцов и колокольчиков в эти ящики так, что все
надписи оказались неверными. Что вырастет в ящике с надписью
«Ромашки»?
Варианты: (A) огурцы; (B) колокольчики; (C) ромашки;
(D) нельзя определить; (E) арбузы.
Верный ответ: (B).
Задача 10. У Насти дома живут разные животные. Известно
следующее:
– все, кроме двух, – попугаи;
– все, кроме двух, – котята;
– все, кроме двух, – кролики.
Сколько домашних животных у Насти?
Ответ: три.
Задание 11. Перед Вами четыре карты. У каждой с одной стороны буква, а с другой – цифра. Вы видите только одну сторону.
Сколько карт достаточно перевернуть, чтобы проверить утверждение, что у гласных букв на обороте всегда четное число?
А
Г
6
7
Ответ: две (первую и третью, т.к. по поводу согласных ничего не сказано).
В действующих школьных учебниках логических задач обычно мало. При необходимости их всегда можно подобрать из дополнительной литературы. Тем не менее ниже приведем комплекс таких задач.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Пришли как-то к Великому Султану три мудреца. И
попросили рассудить – кто из них самый мудрый. Султан устроил им состязание. Он показал 2 белых колпака и 3 черных. Потом
посадил их в кружок и надел каждому один из этих пяти колпа79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ков. Каждый видит других двоих, но своего колпака увидеть не
может. Сидят молча, думают. Кто первый поймет, какой у него
колпак – тот, значит, и самый мудрый. Если султан всем троим
надел по черному колпаку, как один из мудрецов через некоторое
время смог об этом догадаться?
Задача 2. По обвинению в краже перед судом предстали Сидоров, Петров, Иванов. Следствием установлено следующее:
1) если Петров виновен или Иванов невиновен, то виновен Сидоров;
2) если Иванов невиновен, то Сидоров невиновен.
Выясните, виновен ли Иванов.
Задача 3. Приведите рассуждения и представьте обоснованный ответ на поставленный вопрос.
Узнику предложены на выбор три помещения, в одном из которых находится принцесса, а в двух других – тигры. На дверях
комнат вывешены таблицы со следующим текстом.
I
В этом помещении
сидит тигр
II
В данной комнате
находится
принцесса
III
В комнате II
сидит тигр
Король сказал узнику, что только одно из данных утверждений
является истинным. В каком помещении находится принцесса?
Задача 4. Перед началом забегов зрители обсуждали скаковые
возможности трех лучших лошадей с кличками Огонь, Туман,
Стрелок.
– Победит или Огонь, или Стрелок, – сказал один болельщик.
– Если Огонь будет вторым, то победу принесет Туман, – сказал другой болельщик.
– Много вы понимаете в лошадях, – возмутился третий болельщик. – Вторым придет или Туман, или Огонь.
– А я вам скажу, – вмешался четвертый болельщик, – что если
Огонь придет третьим, то Стрелок не победит.
После забега выяснилось, что три лошади – Огонь, Туман и
Стрелок – заняли три первых места, не деля между собой ни од80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ного из мест, и что все четыре предсказания болельщиков были
правильны. Как кончился забег?
Задача 5. Семья, состоящая из отца, матери и трех дочерей
(Ани, Веры и Светы), купила телевизор. Каждому, конечно, хотелось посмотреть передачу в первый вечер.
– Нам нужно распределить обязанности, чтобы не остаться без
ужина,– сказал папа.
– Правильно, – поддержала мама. – Но только когда ты будешь смотреть передачу, я тоже сяду у телевизора.
– Хорошо, – согласился папа. – Кому из нас повезло, так это
Свете и Вере, – улыбнулся папа.
– По крайней мере, одна из них получит удовольствие.
– А нам с тобой, Анечка, придется смотреть передачу только
по очереди, – сказала мама.
– Я согласна, – ответила Аня. – Только ты нам разреши с Верой вместе работать на кухне или вместе быть у телевизора.
– Пожалуй, Свету одну нельзя оставлять, – сказал папа. – Если
она пожелает смотреть передачу, то придется и мне с Верой посидеть с ней.
Все предложения были приняты. Кто смотрел передачу в первый вечер?
Задача 6. Из числа 12345678…5657585960 вычеркнуть 100
цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим.
Задача 7. Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней, а
вместе с женой выпивает тот же бочонок кваса за 10 дней. Нужно
узнать, за какое количество дней жена одна выпивает такой бочонок кваса.
Задача 8. Одна кувшинка затягивает пруд за 30 дней. Известно, что за сутки площадь, занятая кувшинкой, увеличивается в 2
раза. За какое количество дней затянут пруд две кувшинки?
Задача 9. Охотник с собакой возвращается домой. Когда они
оказываются на расстоянии 1,5 км от ворот дома, собака начинает вести себя следующим образом: она бежит к воротам, затем
разворачивается снова к хозяину. Так она бегает между охотником и воротами до тех пор, пока охотник не входит в ворота. Скорость собаки в 2 раза больше скорости охотника. Сколько всего
километров пробежит собака, двигаясь таким образом?
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 10. Братьев и сестер у меня поровну. У моей сестры
вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько всего сестер и братьев?
Задача 11. Имеются три сосуда вместимостью 11, 7 и 5 л.
Одиннадцатилитровый сосуд полон вина, а остальные пусты. Как
в результате нескольких переливаний, пользуясь только имеющимися сосудами, отмерить 8 л вина?
Задача 12. Иван-царевич собрался на бой со Змеем Горынычем, имеющим 3 головы и 3 хвоста. У него есть меч, которым
он может срубить либо одну голову, либо две головы, либо один
хвост, либо два хвоста. Если у Змея Горыныча срубить один
хвост, то вырастают два хвоста; если срубить два хвоста, то вырастает голова; если срубить голову, то вырастет голова; если
срубить две головы, то ничего не вырастет. За сколько ударов
Иван-царевич может срубить Змею все головы и хвосты?
Задача 13. Одного старика спросили, в скольких войнах он
участвовал. Старик ответил: «В стольких войнах, сколько будет,
если взять
1
от моих лет, или 1 от возраста моего внука, или
27
7
столько, сколько лет его сыну. А мой возраст ближе к 90, чем к
100». В скольких войнах участвовал старик?
Задача 14. Имеется 7 пустых бочек, 4 полных и 10 полупустых бочек с медом. Требуется разместить их на трех машинах
так, чтобы на каждой из них оказалось одинаковое количество
меда и одинаковое число бочек.
Задача 15. Бутылка и стакан уравновешиваются кувшином;
бутылка сама по себе уравновешивается стаканом и блюдцем;
два кувшина уравновешиваются тремя блюдцами. Сколько надо
поставить стаканов, чтобы уравновесить бутылку?
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Работа с задачами как средство формирования
универсальных учебных действий
___________________________________________
___________________________________________
За последние годы в обществе произошли кардинальные изменения в представлении о целях образования и путях их реализации.
На первое место выходит задача подготовки учащихся к реальной
жизни, к тому, чтобы занять активную жизненную и гражданскую
позицию, уметь работать в группе, иметь возможности быстро
переучиваться в соответствии с требованиями рынка труда и социального заказа. Изменения приоритетных установок в системе
образования обусловили переход к новой парадигме «выпускника
школы, подготовленного к жизнедеятельности», которая положена в основу концепции ФГОС школы второго поколения, нацеленного в первую очередь на реализацию развивающего потенциала.
Во главу угла становится формирование ключевых компетенций
и универсальных учебных действий (УУД). К знаниям, умениям
и навыкам в этом случае подходят как к результату соответствующих видов целенаправленных действий, которые осваиваются в
процессе активной деятельности самих учащихся.
Рассмотрим ряд понятий, характерных для ФГОС школы. Не
вдаваясь в анализ сущности компетентностного подхода, который
представлен в работах А. В. Хуторского, И. А. Зимней, О. Е. Лебедева, И. М. Осмоловской и других авторов, кратко остановимся на
основных понятиях. Опираясь на работы А. В. Хуторского [28],
под компетенцией будем понимать совокупность взаимосвязанных качеств личности (знаний, умений, навыков, способов деятельности), задаваемых по отношению к определенному кругу
предметов и процессов и необходимых, чтобы качественно и продуктивно действовать по отношению к ним. Компетентность –
владение, обладание человеком соответствующей компетенцией,
включающей его личностное отношение к ней и предмету деятельности. Перечень ключевых образовательных компетенций
выберем следующий:
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
– ценностно-смысловая;
– общекультурная;
– учебно-познавательная;
– информационная;
– коммуникативная;
– социально-трудовая;
– компетенция личностного самосовершенствования.
Отметим, что теория УУД в педагогической литературе в
настоящее время не разработана до конца. На основе текстов
ФГОС, примерных программ и публикаций А. Г. Асмолова, Г. В.
Бурменской, И. А. Володарской, О. А. Карабановой, Н. Г. Салминой можно отметить, что устоявшегося определения УУД нет.
Рассмотрим некоторые из них.
УУД – это способность субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения
нового социального опыта; совокупность действий учащегося,
обеспечивающих его культурную идентичность, социальную
компетентность, толерантность, способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая организацию этого процесса [24].
А. Г. Асмолов [2] трактует УУД как обобщенные действия,
порождающие широкую ориентацию учащихся в различных
предметных областях познания и мотивацию к обучению, и предлагает рассматривать данное понятие с двух позиций. Он делит
приведенное выше определение на две части. В широком значении термин «универсальные учебные действия» – это способность к самосовершенствованию и саморазвитию путем сознательного и активного освоения нового социального опыта, т.е.
умение учиться. В более узком (собственно психологическом)
– совокупность действий учащегося, обеспечивающих его культурную идентичность, социальную компетентность, толерантность, способность к самостоятельному получению и усвоению
новых знаний и умений, включая организацию этого процесса.
Концепция УУД [2] рассматривает компетентность как «знание в действии» и использует опыт реализации компетентностного подхода, а именно его акцент на приобретение учащимися
способности использовать на практике полученные знания, уме84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ния и навыки, готовности и мотивации к результативным действиям. Поэтому при разработке программ развития УУД (как школы,
так и по отдельным предметам) с использованием положений системно-деятельностного подхода идет ориентация на интегрирование достижений педагогической науки и практики, в том числе
компетентностной и ЗУНовской парадигм образования.
Среди видов УУД называют следующие: личностные; регулятивные (включающие также действия саморегуляции); познавательные; знаково-символические; коммуникативные [20]. Дадим
им краткую характеристику с опорой на глоссарий [24].
Личностные УУД отвечают за ценностно-смысловое определение учащихся (умение соотносить поступки и события с принятыми этическими принципами, знание и соблюдение моральных
норм и умение выделить нравственный аспект поведения), ориентацию в социальных ролях и межличностных отношениях. Регулятивные действия (включающие также саморегуляцию) обеспечивают организацию своей деятельности. Познавательные
– это система способов познания окружающего мира, построения
собственного поиска, исследования и совокупность операций по
обработке, систематизации, обобщению и использованию полученной информации. К этой группе можно отнести владение
методами познания окружающего мира; выполнение учеником
логических приемов и операций; способность осуществлять поисковую и исследовательскую деятельность. Часто познавательные УУД делят на две подгруппы: общеучебные и логические
универсальные учебные действия. Знаково-символические
УУД обеспечивают конкретные способы преобразования учебного материала; представляют действия моделирования, выполняющие функции отображения учебного материала; преобразования модели; выделения существенного; абстрагирования от
конкретных ситуативных значений; формирования обобщенных
знаний. Коммуникативные действия обеспечивают социальную компетентность и сознательную ориентацию учащихся на
позиции других людей, умение слушать собеседника и вступать в
диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество в группе, со
сверстниками и взрослыми.
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим возможности работы с задачей для формирования
УУД, а через них и ключевых компетенций. При этом будем исходить, во-первых, из специфики учебного предмета «Математика» (учитывать его главную функцию и ведущие компоненты).
Во-вторых, как известно, на результат обучения (задача формирования УУД не является исключением) оказывают решающее
влияние отбор и структурирование содержания образования, выбор методов, средств, приемов, форм обучения.
В рекомендациях для школ и педагогов, представленных в
публикации «Разработка модели Программы развития универсальных учебных действий» [2], указывается на необходимость
полноценного освоения учеником всех компонентов учебной деятельности, которые включают:
1) познавательные и учебные мотивы;
2) цель;
3) учебную задачу;
4) действия и операции (ориентировка, преобразование материала, контроль и оценка).
Отсюда можно сделать вывод о том, что работа с задачами
на этапах (которые были охарактеризованы ранее) направлена на
формирование названных составляющих учебной деятельности.
Школьное математическое образование вообще и в частности
работа с задачами призваны внести значительный вклад в формирование познавательных УУД. При этом происходит формирование у учащихся действий двух видов: специфических для
математики (вычислять, составлять и решать уравнения, переводить на язык математики условия задач и т.д.) и общелогических
(анализировать, сравнивать, выявлять закономерности и др.).
Рассмотрим возможности этой работы, которые для удобства
представим в виде таблицы 26.
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 26
Соотнесение познавательных УУД с этапами работы
с задачей и теоремой
Характеристики
познавательных УУД
Номер этапа
работы
с задачей*
Общеучебные универсальные действия
Самостоятельное выделение и формулирование
2, 4
познавательной цели
Поиск и выделение необходимой информации,
2, 4
применение методов поиска
Структурирование знаний
все
Выбор наиболее эффективных способов реше2–4
ния задач в зависимости от конкретных условий
Рефлексия способов и условий действия, контроль
4
и оценка процесса и результатов деятельности
Умение адекватно, осознанно и произвольно
все
строить речевое высказывание в устной и письменной речи, передавая содержание текста в
соответствии с целью и соблюдая нормы построения текста. Адаптируется к математике
и математическому языку
все
Постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности
при решении проблем творческого и поискового
характера
Действие со знаково-символическими средствавсе
ми (замещение, кодирование, декодирование,
моделирование)
Универсальные логические действия
Сравнение и опознание конкретно-чувственных
все
и иных данных, объектов, явлений
Анализ и синтез
все
Упорядочение объектов по выделенному осно1, 2
ванию
Классификация
1, 2
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
продолжение таблицы 26
Обобщение
Доказательство, установление причинно-следственных связей, построение логической цепи
рассуждений, опровержение
Подведение под понятие (распознавание объектов, выделение существенных признаков и их
синтез)
Вывод следствий
Установление аналогий
4
все
1, 2
все
Задачи, где
она используется
Примечание *: номера этапов работы с задачей даны в соответствии с 1.2. данного пособия.
Характеристики познавательных УУД представлены в соответствии с публикацией «Разработка модели Программы развития универсальных учебных действий» [2]. При этом те составляющие, которые в большей мере формируются на других учебных
предметах (например, на русском языке, литературе), в таблицу
26 не включены. Отметим, что логические задачи также будут работать на формирование выделенных универсальных действий.
Следующая группа УУД, на освоение которой решение математических задач оказывает большое (если не сказать решающее)
влияние, – это знаково-символические УУД. В обобщенном виде
эта группа характеризуется двумя видами работы и действиями:
– моделирование – преобразование реального объекта (процесса, явления) в модель (графическую, знаково-символическую,
математическую и др.);
– преобразование модели – изменение модели (переход от одного вида к другому, с одного языка на другой) с целью выявления общих свойств, принципов, закономерностей, определяющих данную предметную область.
Как легко заметить, именно эти действия формируются при
переводе текста задачи на язык моделей на этапе составления
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
краткой записи, схемы, графика, таблицы, символического рисунка, формулы, числового выражения, уравнения, неравенства
и наоборот (переход от модели к конкретному содержанию). На
отработку действия по преобразованию модели работает решение геометрических задач координатным, векторным методами
и др. Кроме того, различные виды математических моделей используются и на других учебных предметах.
Формирование регулятивных УУД (включающих целеполагание, планирование, прогнозирование, контроль, оценку,
коррекцию, саморегуляцию) средствами математических задач
обеспечивается за счет проведения работы на всех этапах, логического развертывания и структурирования решения, доказательства, реализации деятельностного подхода к организации процесса обучения. Решение любой задачи требует самоорганизации:
осознания цели, составления плана и его воплощения, проверки
результата, коррекции или применения в других условиях.
В личностных УУД выделяется два вида действий:
– смыслообразования;
– нравственно-этического оценивания усваиваемого содержания, исходя из социальных и личностных ценностей, обеспечивающих моральный выбор.
Работа в первую очередь связана с мотивацией учебной деятельности и значимостью для школьника изучаемого содержания, а также осваиваемого им опыта. Поэтому здесь играет роль
то, как учитель преподнесет материал, сможет ли раскрыть его
практическую и личностную значимость. В связи с этим можно
использовать задачи с межпредметным, практическим, занимательным содержанием, старинные задачи, привлекать материал
из истории математики и т.д.
Остановимся на коммуникативных УУД, куда входят действия:
– планирование учебного сотрудничества с учителем и учениками;
– постановка вопросов на этапе поиска и сбора информации;
– разрешение конфликтов, принятие решения, выработка плана совместных действий и его реализация;
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
– умение выражать свои мысли в соответствии с целями и условиями коммуникации; владение монологической и диалогической речью.
С позиции математики необходимо добавить владение математической речью и аналитическими языками, а также умение
и готовность взаимодействовать с учителем и одноклассниками
на материале математики. Работа с задачей (как и весь курс математики) непосредственно направлены на это. Эффективными
видами деятельности являются: пояснения и комментарии учеников к решению, письменные выкладки, устное доказательство,
постановка вопросов, формулирование корректных ответов, объяснение обнаруженных ошибок и т.д. Кроме того, на уроках и
внеклассных мероприятиях применяются приемы работы в парах
и группах, подготовка и защита проектов, что также будет способствовать формированию коммуникативных УУД.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что задачи могут
выступать эффективным средством для формирования УУД. Они
должны занимать значительное место в разрабатываемых школами в соответствии с требованиями ФГОС основных образовательных программах.
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Самостоятельная работа студента
7.1.
Примерное содержание семинарских занятий
__________________________________________
______________________
Теоретические вопросы
1. Характеристика работы с задачей на основных этапах. Затруднения учащихся, приемы их устранения.
2. Возможности использования информационных технологий
для организации работы с учащимися по формированию умения
решать задачи.
3. Особенности сюжетных задач, затруднения школьников
при работе с ними.
4. Методика организации работы по формированию у учеников умений:
а) читать задачу;
б) выделять условия и вопрос задачи;
в) оформлять краткую запись условия, рисунок, схему, таблицу.
5. Методика формирования умений:
а) отвлекаться от конкретного содержания задачи и переводить ее на математический язык;
б) осуществлять поиск способа решения задачи.
6. Методика обучения учащихся приемам правильного оформления решения. Основные ошибки и затруднения школьников на
данном этапе.
7. Приемы работы на четвертом (заключительном) этапе, его
значение.
8. Роль задач на построение, этапы работы с ней. Основные
ошибки школьников.
9. Проектирование плана урока для отработки умения решать
задачи на построение.
10. Методика работы с задачей на доказательство. Виды доказательства.
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Практикум по проектированию методики работы
с задачей
1. Предложите вариант методики работы с задачами,
определив предварительно класс, когда они могут решаться.
Задача 1. Из пунктов А и В, расстояние между которыми
2720 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда.
Встретились поезда через 20 часов. Один из них за каждые 4 часа
проходил 304 км. Найдите скорость второго поезда.
Задача 2. Найдите площадь трапеции, если известно, что сумма оснований равна 15, а диагонали 13 и 14 см.
Задача 3. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.
Задача 4. Сад имеет форму прямоугольника, длина которого
на 10 м больше ширины. Его площадь решили увеличить на 400
м2. Для этого длину увеличили на 10 м, а ширину на 2 м. Найдите
площадь нового участка.
Задача 5. Если в четырехугольнике все стороны равны, то он
является ромбом.
Задача 6. Медианы треугольника пересекаются в одной точке
и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
Задача 7. Сумма двух чисел равна 400. Если первое число
уменьшить на 20 %, а второе – на 15 %, то сумма полученных
чисел уменьшится на 68. Найдите значения чисел после уменьшения.
Задача 8. Лодка проплыла расстояние от одной пристани до
другой против течения реки за 4 ч. Обратный путь занял у нее 3
ч. Скорость течения реки 1 км/ч. Найдите собственную скорость
лодки и расстояние между пристанями.
Задача 9. Два рабочих, работая вместе, выполняют заказ за 6
часов. Если первый будет работать 9 часов, а потом его сменит
второй, то он завершит работу через 4 часа. За какое время может
выполнить заказ каждый из рабочих, действуя отдельно?
Задача 10. Латунь состоит из свинца, цинка и меди, причем
металлы берут в отношении 3:50:97. Сколько каждого металла
содержится в 9 кг латуни?
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 11. Из девяти монет одна фальшивая (более легкая).
Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить фальшивую?
2. Определите способ решения и уровень трудности задачи
для учеников 5; конца 6 – начала 7; 8 классов. Предложите
вариант методики работы с ней.
Задача 1. 3 гвоздя и 2 шурупа весят 40 г, а 5 гвоздей и 3 шурупа – 65 г. Сколько весит 1 гвоздь?
Задача 2. На турбазе имеются палатки и домики: всего их 25.
В каждом домике живут 4 человека, а в палатке – 2. Сколько палаток и сколько домиков, если на турбазе отдыхают 70 человек?
Задача 3. В клетке сидят фазаны и кролики. Общее количество голов – 25, а ног – 72. Сколько в клетке фазанов и сколько
кроликов?
3. Составьте текст задачи, соответствующей рисунку 34.
Рис. 34
4. Подберите или составьте математические софизмы
для решения с учащимися 5 – 11 классов. Рассмотрите методику работы с ними.
7.2.
Примерный список индивидуальных заданий
__________________________________________
______________________
1. Выделение основных затруднений учащихся на этапе анализа текста задачи и составления таблицы, краткой записи, рисунка. Планирование работы по их устранению.
2. Сравнительное сопоставление особенностей организации
поиска способа решения задачи, решаемой арифметическим и
алгебраическим способами.
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Отработка умения вводить буквенные обозначения и составлять различные виды уравнений (систем уравнений) по тексту задачи.
4. Особенности работы с задачей, решаемой с помощью уравнения, на последнем (заключительном) этапе.
5. Творческие задания по использованию ИКТ для организации работы с различными видами математических задач.
6. Проектирование фрагментов уроков работы с конкретными
видами задач.
7. Анализ вариантов ЕГЭ с позиции включения в них различных видов задач.
8. Методика обучения учащихся решать геометрические задачи, входящие в часть С ЕГЭ.
9. Подбор или составление задач, направленных на формирование различных групп УУД.
10. Проектирование урока решения задач.
11. Разработка программы курса по выбору (элективного курса) по изучению отдельных типов задач.
12. Подготовка доклада, тезисов (по отдельным вопросам методики работы с задачей) на научно-практическую конференцию.
13. Подготовка методических разработок по отдельным вопросам организации работы с задачей (на конкретной теме) и их
открытая защита.
14. Проектирование работы, направленной на формирование
умения переходить от текста задачи к математической модели и
наоборот.
7.3. Примерные темы рефератов
___________________________________
____________________
1. Работа с теоремой и задачей как средство реализации компетентностного подхода в обучении.
2. Роль задач в процессе обучения математике при переходе
школы на ФГОС нового поколения.
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Задача как средство активизации учащихся.
4. Работа с задачей на основе деятельностного подхода.
5. Математические задачи как средство формирования отдельных групп универсальных учебных действий.
6. Обучение учащихся основной школы решению задач на доказательство.
7. Роль и место задач с межпредметным и практическим содержанием в процессе обучения математики.
8. Использование проблемных методов обучения при работе
с задачами.
9. Возможности использования математических софизмов в
процессе обучения.
10. Методика обучения учащихся работе с задачами на построение в пространстве.
11. Методика использования ключевых задач в процессе обучения.
12. Методика использования карточек с пропусками в процессе обучения решению задач.
13. Использование старинных задач при изучении курса математики.
14. Логический способ решения задач.
15. Методика работы с математическими задачами прикладного характера.
16. Методика обучения учащихся решению текстовых задач
(рассмотреть для различных видов задач).
17. Методика обучения учащихся решению комбинаторных
задач.
18. Методика работы с геометрическими задачами на наибольшее и наименьшее значения.
19. Пути формирования у школьников взаимосвязи естественного и аналитического языков в процессе обучения математике.
20. Задача как средство формирования ключевых компетенций.
21. Задачи с избыточным (недостаточным) набором данных
как средство формирования познавательных УУД.
22. Методика формирования приемов выдвигать и проверять
гипотезы (в процессе решения задач).
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
23. Организация работы с задачей в рамках личностно ориентированного обучения
24. Работа с задачей для организации проблемного обучения.
25. Работа с задачей в рамках практико-ориентированного обучения.
26. Задача как средство гуманитаризации школьного математического образования.
27. Роль и место наглядности в работе с задачей.
28. Использование логических софизмов в процессе обучения.
29. Задача как средство развития интереса к математике.
30. Математическая задача как средство формирования у учащихся приемов творческой деятельности.
31. Обучение школьников векторному (координатному) методу решения геометрических задач.
32. Задачи на построение как средство развития исследовательских умений (систематизация геометрических знаний или
другой аспект рассмотрения).
33. Задача как средство формирования мотивации.
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список Литературы
_______________________________
_______________________________
1. Асмолов, А. Г. Разработка модели Программы развития
универсальных учебных действий [Электронный ресурс] / А. Г.
Асмолов, Г. В. Бурменская, И. А. Володарская, О. А. Карабанова, Н. Г. Салмина. – Режим доступа: http://standart.edu.ru/catalog.
aspx?CatalogId=243.
2. Асмолов, А. Г. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий
[Текст] / А. Г. Асмолов. – М.: Просвещение, 2010. – 160 с.
3. Балл, Г. А. Теория учебных задач [Текст] / Г. А. Балл. – М.:
Педагогика, 1990. – 247 с.
4. Волович, М. Б. Как сделать математику понятной и интересной [Текст] / М. Б. Волович // Математика в школе. – 2001. – №4.
– С.13 – 18.
5. Волович, М. Б. Наука обучать [Текст] / М. Б. Волович. – М.:
Линка-пресс, 1995. – 380 с.
6. Гетманова, А. Д. Логика: учебник, словарь, практикум
[Текст] / А. Д. Гетманова. – М. : Омега-Л, 2009. – 720 с.
7. Гетманова, А. Д. Логические основы математики [Текст]:
методическое пособие к элективному курсу А. Д. Гетмановой
«Логические основы математики» / А. Д. Гетманова. – М.: Дрофа, 2005. – 176 с.
8. Груденов, Я. И. Современные методики работы учителя математики [Текст] / Я. И. Груденов. – М.: Просвещение, 1990. – 224 с.
9. Демидова, Т. Е. Теория и практика решения текстовых задач [Текст]: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / Т. Е.
Демидова, А. П. Тонких. – М.: Академия, 2002. – 288 с.
10. Епишева, О. Б. Общая методика преподавания математики в средней школе. Курс лекций [Текст] / О. Б. Епишева. – Тобольск: ТГПИ, 1997. – 191 с.
11. Епишева, О. Б. Технология обучения математике на основе
деятельностного подхода [Текст] / О. Б. Епишева. – М.: Просвещение, 2003. – 223 с.
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. Иванова, Т. А. Гуманитаризация общего математического
образования [Текст]: монография / Т. А. Иванова. – Н. Новгород:
НГПУ, 1998. – 206 с.
13. Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математике [Текст] В
2-х ч. / Ю. М. Колягин. – М.: Просвещение, 1977. – Ч. 1. – 110 с.;
Ч. 2. – 144 с.
14. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики [Текст] / под ред. Е. И. Лященко. – М.: Просвещение, 1988. – 223 с.
15. Малых, А. Е. Избранные вопросы обучения геометрии (дистанционный курс) [Текст]: учебное пособие / А. Е. Малых, Т. В.
Рихтер. – Соликамск: СГПИ, 2011. – 176 с.
16. Методика и технология обучения математике. Курс лекций [Текст]: пособие для вузов / под науч. ред. Н. Л. Стефановой,
Н. С. Подходовой. – М.: Дрофа, 2005. – 416 с.
17. Методика обучения геометрии [Текст]: учебное пособие
для студентов высших педагогических учебных заведений / В. А.
Гусев, В. В. Орлов, В. А. Панчищина и др.; под ред. В. А. Гусева.
– М.: Академия, 2004. – 368 с.
18. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика [Текст]: учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак.
пед. ин-тов / В. А. Оганесян, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, В.
Я. Саннинский. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение,
1980. – 368 с.
19. Пойа, Д. Как решать задачу [Текст]: пособие для учителей / Д. Пойа; пер. В. Г. Звонарева, Д. Н. Белл; ред. Ю. М. Гайдук. – Издание 2-е. – Москва: ГУПИ Министерства просвещения
РСФСР, 1961. – 208 с.
20. Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Основная школа [Текст] / сост. Е. С. Савинов. – М.: Просвещение, 2011. – 342 с.
21. Саранцев, Г. И. Методика обучения математике в средней
школе [Текст] / Г. И. Саранцев. – М.: Просвещение, 2002. – 224 с.
22. Саранцев, Г. И. Упражнения в обучении математике
[Текст] / Г. И. Саранцев. – М.: Просвещение, 1995. – 240 с.
23. Темербекова, А. А. Методика преподавания математики
[Текст] / А. А. Темербекова. – М.: Владос, 2003. – 176 с.
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24. Федеральный государственный образовательный стандарт: глоссарий [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://
standart.edu.ru/catalog.aspx?CatalogId=230.
25. Федеральный государственный образовательный стандарт
основного общего образования, утвержденный приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 17 декабря 2010 г. № 1897 [Электронный ресурс]. – Режим доступа:
http://standart.edu.ru/catalog.aspx?CatalogId=2588.
26. Фридман, Л. М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач [Текст] / Л. М. Фридман. – М.: Просвещение,
1977. – 236 с.
27. Фридман, Л. М. Теоретические основы методики обучения
математике [Текст] / Л. М. Фридман. – М.: МПСИ: Флинта, 1998.
– 224 с.
28. Хуторской, А. В. Методика личностно ориентированного обучения. Как обучать всех по-разному? [Текст]: пособие для
учителя / А. В. Хуторской. – М.: ВЛАДОС-ПРЕСС, 2005. – 195 с.
29. Шестакова, Л. Г. Формальная логика. Элективный курс
[Текст] / Л. Г.Шестакова. – Соликамск: СГПИ, 2009. – 92 с.
30. Эрдниев, П. М. Обучение математике в школе [Текст] / П.
М. Эрдниев, Б. П. Эрдниев. – М.: Столетие, 1996. – 320 с.
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
Необходимое и достаточное условие
Разберемся, что понимается под необходимым (достаточным)
условием в математике, вернее в логике.
Определение 1. Условие P называется необходимым для Q,
если оно вытекает (логически следует) из Q.
Рассмотрим, например, такое утверждение: «Для того чтобы
число делилось на 15, необходимо, чтобы оно делилось на 5». (*)
Вернемся к определению. Проверим с его помощью истинность утверждения (*). Для этого выясним, выполняются ли перечисленные в определении требования (табл. 27).
Таблица 27
Вопрос
1. О каком условии P в нашем
случае идет речь?
2. Каким утверждением является Q?
3. Вытекает (логически следует) ли из (2) условие (1)?
4. Верно ли утверждение (*)?
Ответ
– Число делится на 5 – P (1)
– Число делится на 15 – Q (2)
– Да, вытекает, т. к. если число
делится на 15, то оно делится
и на 5
– Да, верно, т.е. делимость числа на 5 является необходимым
условием его делимости на 15
Обратим внимание на то, что речь идет о необходимом условии. Не следует путать его с достаточным.
В нашем случае нельзя утверждать, что если число делится на
5, то оно делится и на 15. То есть верно утверждение «Если Q,
то P» (Q=>P), а «Если P, то Q» (P=>Q) может быть и неверным.
На уроках математики встречаются случаи, когда прямая теорема
верна, а обратное к ней утверждение – нет.
И в математике, и в других дисциплинах часто приходится работать с таким понятием, как «достаточное условие». Дадим ему
определение.
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 2. Достаточным для А называется условие В, из
которого вытекает (логически следует) А, т.е. верно утверждение
«Если В, то А» (В=>А).
Примером является утверждение: для того чтобы число делилось на 3, достаточно, чтобы оно делилось на 6. Постройте самостоятельно утверждение «Если В, то А» и проверьте по определению его справедливость. Сравните первое и второе определения.
Обратите внимание на то, что если необходимое условие используется при построении прямой теоремы, то достаточное – обратной.
Как мы говорили о том, что необходимое условие может и не быть
достаточным, аналогично достаточное условие не обязательно
должно являться необходимым. Рассмотрим наш пример (табл. 28).
Таблица 28
Вопрос
1. Назовите условие А.
Назовите условие В
2. Является ли В достаточным
условием для А?
Ответ
– А – число делится на 3.
– В – число делится на 6
– Является, т. к. верно утверждение: если число делится на
6, то оно делится на 3
3. Является ли В необходимым – Нет, так как не выполняется
условием для А? Как провеутверждение: если число дерить?
лится на 3, то оно делится на 6
Значит, делимость числа на 6 является достаточным, но не является необходимым условием его делимости на 3.
Задание 1. В каждом из следующих предложений вместо многоточия поставьте: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно».
1. Для того чтобы сумма двух чисел была четным числом, …,
чтобы каждое слагаемое было четным.
2. Для того чтобы число делилось на 10, …, чтобы оно делилось на 2 и на 5.
3. Для того чтобы сумма двух натуральных чисел была больше
10, …, чтобы хотя бы одно из слагаемых было больше 5.
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Для того чтобы произведение (х – 4)(х + 7)(2х + 6) было равно нулю, …, чтобы х = –3.
5. Для того чтобы два квадрата имели одну и ту же площадь,
…, чтобы стороны их были равны.
6. Для того чтобы наступило солнечное затмение, …, чтобы
Солнце попало в тень Луны.
Задание 2. Для того чтобы в одной окружности дуги, меньшие
180º, были равны, необходимо и достаточно, чтобы стягивающие
их хорды были равны. Какими двумя высказываниями можно заменить данное утверждение?
Задание 3. Составьте несколько высказываний с сочетаниями:
«необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». Проверьте их правильность.
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
Свойства и признаки понятий
Из приложения 1 вы узнали, что такое определение и как оно
строится. В этом тексте вы познакомитесь еще с несколькими
понятиями, часто использующимися в школе. После изучения
предложенного содержания вы должны будете ответить на следующие вопросы.
1. Что такое свойство? Правила его построения.
2. Что такое признак? Правила его построения.
3. Что такое характеристическое свойство? Правила его построения.
4. Чем различаются между собой понятия «свойство», «признак», «характеристическое свойство»?
***
Прочитав вопросы, возможно, кто-то подумает, что все это
уже знает. В таком случае мы предлагаем проверить, действительно ли это так. Ответьте на вопросы (лучше письменно) и приступайте к чтению текста. В конце проверите, не изменится ли
ваша точка зрения.
Обычно под свойством понимают высказывание, которое содержит в себе необходимое условие принадлежности объекта к
данному виду. Следующее предложение, например, будет свойством: «Если треугольник – равнобедренный, то углы при его основании равны».
Другими словами, свойство – это условие, которое можно получить (или доказать), исходя из того, что объект принадлежит
к данному виду. Например, из того, что ABCD – ромб, можно
утверждать:
– диагонали у него взаимно перпендикулярны;
– ABCD – четырехугольник;
– ABCD – параллелограмм и т.д.
Все это – необходимые условия, которые могут быть использованы для построения свойств ромба. Какие же общие правила
конструирования свойств?
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свойство любого понятия выстраивается следующим образом: «Если объект является _____________, то __________». (*)
Так, если функция является линейной, то ее график – прямая.
Объект – функция,
вид – линейная,
необходимое условие – график – прямая.
Сформулируйте самостоятельно несколько свойств. Выделите
в них объект, вид и необходимое условие.
Перейдем к рассмотрению признака.
Признак – это утверждение, содержащее в себе достаточное
условие, по которому можно отнести объект к данному виду.
Так, если в четырехугольнике диагонали пересекаются в одной
точке и делятся ею пополам, то он является параллелограммом.
Объект – четырехугольник;
вид – параллелограмм;
достаточное условие – диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Задание 1. Сравнивая со структурой свойства (*), напишите
общую схему построения признака. Сформулируйте несколько
признаков, выделите объект, вид, достаточное условие.
Рассмотрим характеристическое свойство. В математике часты случаи, когда одно и то же условие является и свойством, и
признаком понятия. Приведем пример.
1. Если у четырехугольника диагонали пересекаются в одной
точке и делятся ею пополам, то четырехугольник является параллелограммом. Это признак параллелограмма.
2. Если четырехугольник является параллелограммом, то его
диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Это свойство параллелограмма.
Такое условие, которое является одновременно и признаком,
и свойством, называется характеристическим свойством понятия. Сформулировать его можно двумя способами, используя сочетания «необходимо и достаточно» или «тогда и только тогда».
СПОСОБ 1. Четырехугольник является параллелограммом
тогда и только тогда, когда его диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СПОСОБ 2. Для того чтобы четырехугольник являлся параллелограммом необходимо и достаточно, чтобы его диагонали
пересекались в одной точке и делились ею пополам.
Вспомните несколько характеристических свойств и сформулируйте их двумя способами.
Последнее, на чем остановимся, – это особенности доказательства характеристических свойств. Рассмотрим задачу.
Задача. Докажите, что четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали пересекаются
в одной точке и делятся ею пополам.
Как записать условие? Так как характеристическое свойство
является одновременно и признаком, и свойством, то нужно доказать сначала одно, а затем другое. Таким образом, задача разбивается на две части (табл. 29).
Таблица 29
Часть 1
Дано: АВСD – параллелограмм.
Доказать: Диагонали пересекаются в одной точке и
делятся ею пополам
Часть 2
Дано: АВСD – четырехугольник,
диагонали пересекаются в одной
точке и делятся ею пополам.
Доказать: АВСD – параллелограмм
Задание 2. Докажите следующее утверждение. Для того чтобы параллелограмм являлся ромбом, необходимо и достаточно,
чтобы его диагонали являлись биссектрисами углов.
Задание 3. Приведите примеры свойства, признака и характеристического свойства одного и того же понятия.
Задание 4. Найдите ошибку в тексте. Один ученик рассуждал
так. Известно, что если диагонали параллелограмма взаимно
перпендикулярны, то такой параллелограмм – ромб. Нам дан параллелограмм, диагонали которого не являются взаимно перпендикулярными. Следовательно, этот параллелограмм не является
ромбом. В чем ошибка?
Задание 5. Вернитесь к вопросам, сформулированным в начале текста, и дайте на них ответы.
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Лидия Геннадьевна Шестакова
Методика обучения школьников
работать с математической задачей
Учебное пособие для студентов
Редактор
М. В. Толстикова
Корректор
Н. Л. Кошкина
Компьютерная верстка
Е. В. Ворониной
Сдано в набор 15.02.2013 г. Подписано в печать 25.04.2013 г.
Бумага для копировальной техники. Формат 60х84/16.
Гарнитура «Times New Roman». Печать цифровая. Усл. печ. листов 6,16.
Тираж 300 экз. Заказ № 310.
Отпечатано в ИПК «Типограф»
618540, Россия, Пермский край, г. Соликамск,
ул. Соликамское шоссе, 17.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
33
Размер файла
891 Кб
Теги
задачей, методика, 5012, обучения, школьников, математические, работать
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа