close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

5382.Основы устойчивости и динамики стержневых систем учебно-методическое пособие.

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
В.Ф. Трошин
ОСНОВЫ УСТОЙЧИВОСТИ И ДИНАМИКИ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
для самостоятельной работы и выполнения
расчѐтно-графических работ по строительной механике
для бакалавров по направлению 08.03.01«Строительство»
«Рекомендовано УМО РАЕ по классическому университетскому и
техническому образованию в качестве учебно-методического пособия
для студентов высших учебных заведений, обучающихся по
направлению подготовки: 08.03.01 – «Строительство»
Орѐл – 2015
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 624.04
ББК 38.112
Рецензенты:
Коробко А.В. – д.т.н., профессор ФГБОУ ВПО Госуниверситет – УНПК;
Блажнов А.А. – к.т.н., доцент кафедры АПГС ФГБОУ ВО
Орловский ГАУ.
Трошин В.Ф.
Основы устойчивости и динамики стержневых систем: учебнометодическое пособие / Трошин В.Ф. – Орѐл: Изд-во ФГБОУ ВО Орловский ГАУ, 2015. – 36 с. – ISBN 978-5-93382-269-1.
Учебно-методическое пособие предназначено для проведения занятий и самостоятельной работы студентов очной и заочной форм обучения
при выполнении расчѐтно-графических работ по третьей части курса
«Строительная механика» – устойчивость и динамика стержневых систем.
В процессе практических занятий и самостоятельной работы над РГР
студенты закрепляют теоретические знания, полученные при изучении
дисциплины, приобретают навыки расчета стержневых систем (балок и
рам) на устойчивость и динамическое воздействие вибрационных нагрузок
с использованием метода сил и метода перемещений.
УДК 624.04
ББК 38.112
©Оформление «Издательство ФГБОУ ВО Орловский ГАУ», 2015
ISBN 978-5-93382-269-1
©ФГБОУ ВО Орловский ГАУ, 2015
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Введение …………………………………………………………….. 4
Раздел I. Устойчивость стержневых систем
1. Основные понятия и задачи расчета ..……………………………. 5
2. Порядок расчета статически неопределимых рам на устойчивость ……..…………………………………………................… 6
3. Пример расчета плоской рамы на устойчивость .........……….…. 8
4. Пример расчета неразрезной балки (стойки) ……………………….14
Раздел II. Динамика стержневых систем
1. Основные понятия и задачи расчета ................………………….. 16
2. Системы с одной степенью свободы ...................................……… 17
3. Системы со многими степенями свободы .......................…………. 18
4. Порядок расчета рам с конечным числом степеней свободы.… 20
5. Примеры расчета ………………………………………………….. 21
Приложения ............................................................……….……….. 33
Литература .....................................................……………………... 36
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Строительной механикой называют науку о методах расчета сооружений на прочность, жесткость и устойчивость.
Цель строительной механики стержневых систем, которая обычно
и называется строительной механикой, дать будущему бакалавру по
направлению «Строительство» знания, позволяющие понимать правильную работу сооружений под нагрузкой и уметь оценить его
надежность.
Целью расчетно-графических работ является закрепление теоретических знаний и приобретение навыков их применения при решении
практических инженерных задач. Решению конкретных задач должна
предшествовать проработка теории по конспектам и учебникам.
Расчетно-графическая работа оформляется в виде пояснительной
записки и чертежей на стандартных листах писчей бумаги (размером
210297 мм) с одной стороны.
Исходные данные для решения задач выбираются студентом в соответствии с его личным шифром или по заданию преподавателя. Перед решением каждой задачи необходимо вычертить заданную схему с
указанием всех размеров и нагрузок.
Схемы и эпюры необходимо вычерчивать в масштабе предпочтительнее на миллиметровой бумаге. На схемах проставляются буквенные и цифровые значения размеров и нагрузок, значения характерных
ординат эпюр, размерности.
Решение задачи должно сопровождаться краткими пояснениями.
В данном пособии раздел 1 посвящен расчету на устойчивость, а
раздел 2 расчету на динамические воздействия.
Практическим расчетам предшествует краткое изложение основных понятий и задач устойчивости и динамики сооружений.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Раздел I. Устойчивость стержневых систем
1. Основные понятия и задачи расчета.
Устойчивость - это свойство сооружения оказывать сопротивление посторонним случайным воздействиям и самостоятельно восстанавливать своѐ первоначальное положение и форму равновесия в
деформированном состоянии.
Переход сооружения из устойчивого состояния в неустойчивое
называется потерей устойчивости. Границу этого перехода называют
критическим состоянием сооружения, а соответствующие этому состоянию нагрузки - критическими.
Потеря устойчивости может быть двух видов:
- потеря устойчивости положения;
- потеря устойчивости форм равновесия в деформированном состоянии.
Величина критической силы для центрально сжатого упругого
стержня определяется по формуле, предложенной Эйлером (1744 г.):
Pкр 
 2 EI
l 2
,
(1)
где ЕI - жесткость стержня;
l - истинная длина стержня;
- коэффициент приведенной (свободной) длины стержня.
Значение коэффициента  зависит от способа закрепления концов
стержня и для четырех основных случаев приведены на рис.1.
Рис.1
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При расчете рам критическую силу выражают через параметр 
(который необходимо определить):
Pкр 
 2 EI
l2
.
(2)
При этом между  и  существует зависимость:


 .
(3)
Для исследования устойчивости рам принимаются следующие
основные допущения:
- рассматривается только узловая нагрузка, не вызывающая поперечного изгиба стержней;
- стержни считаются нерастяжимыми и несжимаемыми;
- сближением концов стержней, в результате изгиба, пренебрегают.
Здесь рассматривается только задача о потере устойчивости первого рода (потеря устойчивости по Эйлеру). Вопросы, относящиеся к
потере устойчивости второго рода (потеря несущей способности сжато-изогнутой рамы) в данном пособии не рассматриваются.
Цель расчета заключается в обеспечении состояния устойчивого
равновесия системам, применяемым в качестве строительных конструкций, под действием нагрузки.
2. Порядок расчета статически неопределимых рам
на устойчивость.
Для расчета статически неопределимых рам на устойчивость
применяется метод сил или метод перемещений. Однако более простым чаще всего является метод перемещений, расчет которым производится в следующей последовательности:
1) Нумеруют все стержни рамы (в произвольном порядке).
2) Определяют погонные жесткости для всех стержней по формуле:
i
EI k
lk
.
(4)
3) Определяют параметры устойчивости для всех сжатых
стержней рамы по формуле:
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 k  lk
Pk
EI k
,
(5)
где k - номер стержня;
lk - длина рассматриваемого стержня;
(EI)k - жесткость рассматриваемого стержня;
Pk - сжимающая сила, действующая на рассматриваемый стержень.
4) Определяют число неизвестных и выбирают основную систему метода перемещений.
5) Составляют систему канонических уравнений метода перемещений (без свободных членов):
r11z1  r12 z 2  ..... r1n z n  0 

r21z1  r22 z 2  ..... r2 n z n  0
.
............................................ 
rn1 z1  rn 2 z 2  ..... rnn z n  0
(6)
6) Строят единичные эпюры изгибающих моментов. При этом
надо учесть их криволинейность на сжатых элементах рамы.
7) Определяют коэффициенты при неизвестных в канонических
уравнениях.
8) Составляют уравнение устойчивости (определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных в канонических уравнениях):
r11 r12 .... r1n
D  
r21 r22 .... r2 n
..........................
0.
(7)
rn1 rn 2 .... rnn
9) Решают уравнение устойчивости, в результате чего находят
значение критического параметра устойчивости кр.
Уравнение устойчивости, в общем случае, имеет несколько решений, но обычно при решении конкретных задач принимают минимальные значения критического параметра устойчивости, соответствующие
минимальным критическим силам.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10) Определяют величины критических сил для сжатых стержней рам по формуле (2).
11) Определяют величины расчетных длин для соответствующих сжатых стержней.
3.Пример расчета плоской рамы на устойчивость.
Задание: Для статически неопределимой рамы с размерами и
нагрузкой показанной на рис.2, требуется определить значения критических сил и приведенных длин, используя метод перемещений.
=I
=2I
Рис.2.
Решение: Расчет рамы проводим в соответствии с описанным
выше порядком.
1. Нумеруем все стержни в произвольном порядке. Номера
стержней обведены кружками.
2. Определяем погонные жесткости для всех стержней рам по
формуле (4).
Предварительно задано I1=J, a I2=2J.
Тогда:
i1 
2 EI
2 EI
EI
 0,2 EI , i2 
 0,4 EI , i3 
 0,167 EI .
10
5
6
Наименьшую погонную жесткость принимаем в качестве некоторой жесткости i. Погонные жесткости остальных стержней выразим
через i:
i3=i , i1=1,198i , i2=2,395i.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Определяем параметры устойчивости для всех сжатых стержней (в нашем случае стержни 1 и 2), по формуле (5), предварительно
приняв Р1=Р, а Р2=2Р:
P
P
2P
P
.
 7.071
, 2  5
5
2 EI
EI
2 EI
EI
Наименьшее значение к принимаем в качестве некоторого параметра . Остальные величины выражаем через .
В нашем случае 2 = , 1 = 1,414 .
4. Определяем число неизвестных. Заданная рама два раза кинематически неопределима, т. е. имеет два неизвестных по методу перемещений - одно угловое (z1) и одно линейное (z2).
Основную систему получаем, введя в жесткий узел " плавающую заделку ", а по направлению возможного линейного смещения опорный стержень (рис.3).
1  10
Р1=Р
Р2=2Р
Р2=2Р
Рис.3.
5. Составляем систему канонических уравнений метода перемещений(7):
r11z1  r12 z 2  0 
.
r21z1  r22 z 2  0 
6. Строим единичные эпюры изгибающих моментов (рис.4,5).
Построение этих эпюр производится так же, как и при расчете методом перемещений на прочность. Отличие имеют эпюры моментов
сжатых стоек. Они криволинейны, т.к. строятся с учетом дополнительных моментов, возникающих от продольных сил при сжатии стоек.
Эпюры и реакции для сжато-изогнутых стержней с различными опорными закреплениями приведены в приложении 1. Для незагруженных
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стержней эпюры моментов строятся по обычной таблице метода перемещений.
Рис.4.
Рис.5.
7. Вычисляем коэффициенты канонических уравнений статическим способом, посредством вырезания узлов и рассмотрения их равновесия.
Вырезаем узел 1из эпюры
.
r11
r11=3i3+4i12(1)= 3i+4,792i2(1,414)
1
3i3
4i1φ2(ν1)
Вырезаем узел 1 из эпюры M  .
r12
1
r12=r21=-(6i1/h1) 4(1)=-0,7194(1,414)
(6i1/h1)φ4(ν1)
Для определения r22 вырезаем ригель и прикладываем поперечные силы, действующие реакции на стержни 1 и 2
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r22
1
2
(12i1/h12)η2(ν1)
(3i2/h22)η1(ν2)
r22 = (12i1 / h12)2(1)+(3i2 / h22) 1(2 ) = 0,144i2(1)+0,287i 1(2) =
=0,144i2(1,414)+0,287i1().
8. Составляем уравнение устойчивости:
r
r
3i  4,792i 2 1,414 
 0,719i 4 1,414 
D( )  11 12 

r21 r22
 0,719i 4 1,414  0,144i 2 1,414   0,287i1  
= [3i+4,792i2(1,414)][0,144i2(1,414)+0,287i1()]-[0,719i4(1,414)][0,719i4(1,414)]=0,432i22(1,414)+0,861i21()+
+0,69i22(1,414)2(1,414)+1,375i22(1,414)1()-0,517i2[4(1,414)]2 = 0.
9. Решение уравнений устойчивости. Уравнение устойчивости в
общем случае решают, как правило, приближенно - подбором. При
небольшом количестве неизвестных это можно произвести “вручную”,
для более сложных задач - на ЭВМ.
9.1. Решение уравнения устойчивости подбором.
Для облегчения процедуры удовлетворения этому уравнению целесообразно установить пределы, в которых находится искомое численное значение параметра .
Из анализа расчетной схемы можно предположить, что максимальное значение этого параметра будет находиться в предположении,
что узлы 1 и 2 шарнирно оперты на неподвижные опоры. Тогда для
отдельной сжатой стойки с нижним защемленным, а верхним шарнирно опертым концом будем иметь:
Pкр 
2019 ΕΙ 
 ΕΙ 
 4492  2  .
l2
l 
Сравнив с формулой (2) видим, что max = 4,49.
Минимальное значение  для такого случая закрепления концов
стержня найдем из соотношения, что 1=1,414 , т.е.:
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4,49
 3,175 .
1,414
Нижнюю границу параметра  установим в предположении, что
верхние концы стоек свободны. Для такой стойки:
 2 EI
 EI 
Pкр 
 1,57 2  2  , т.е. max=1,57 ,
2
4l
l 
а минимальное значение для такого случая min=1,57 / 1,414=1,11.
Таким образом, искомое значение параметра  находится в пределах 1,11<<3,175. С помощью таблицы приложения 2 подбором находим крmin=1,59, удовлетворяющее уравнению устойчивости.
νmin 
9.2. Графический способ.
Решение уравнений устойчивости можно произвести приближенно также графическим способом. При этом способе, задаваясь рядом
последовательных значений , строят зависимость D от . Точки пересечения графика с осью абсцисс дают значения критического параметра устойчивости.
В нашем случае, давая значения , равным 0;1;2;3 и 4, получим,
соответственно, значение D равным 2,841; 1,6226; -1,3733; -3,793;
16,5025. По этим данным строим график (рис.6). На этом графике кривая пересекает ось абсцисс при значениях , равных приблизительно
1,6 и 3,6. Минимальное из этих значений согласуется с ранее вычисленным путем подбора значением крmin=1,59.
9.3. Решение уравнений устойчивости на ЭВМ.
Решение или проверка правильности решения уравнения устойчивости может быть произведено путем разработки специальной компьютерной программы.
При этом предварительно должны быть построены все единичные
эпюры изгибающих моментов и определены коэффициенты системы
канонических уравнений метода перемещений.
Найденные коэффициенты заносятся в качестве исходной информации, а в качестве результата на печать выводится значение минимального критического параметра .
Для нашего случая результат расчета на ЭВМ составил, с точностью до четвертого знака, крmin = 1,5933 (рис.6).
При необходимости могут быть найдены все остальные значения
, а также построен соответствующий график.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ν
Рис.6
10. Определяем величины минимальных критических сил:
 EI 
2  2 EI 
P1кр   12  2   1,414 1,593  2   0,1015EI ,
 10 
 h1 
 EI 
 2 EI 
P2 кр   22  2   1,5932  2   0,203EI .
 5 
 h2 
В результате получим Р2кр=2Р1кр, что соответствует отношению
нагрузок по условию задачи.
11. Определение расчетных длин сжатых стоек.
Сначала определяются коэффициенты приведенной длины по
формуле (3):

3,14

3,14
1  
 1,39;  2 

 1,97 ,
 1 1,414 1,593
 2 1,593
т.е. левая стойка работает в условиях опирания верхнего конца на
упругую опору, правая - в условиях отсутствия всякого закрепления.
Расчетную длину l0 определяем умножением истинной длины
стержня на коэффициент приведенной длины:
l01=1h1=1,39·10=13,9;
l02=2h2=1,97·5=9,85.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Расчетная длина сжатого элемента является исходной величиной
для нахождения коэффициента продольного изгиба в зависимости от
расчетной гибкости и материала стержня.
4. Пример расчета неразрезной балки (стойки)
на устойчивость.
Определить критическое значение осевой силы. Действующей на
неразрезную балку (рис. 7а)
а)
I
I
l
2l
2
1
Z1
P
P
3
б)
3
 ( )

в)
М1
3
 ( )

Рис.7.
Решение. Определим число неизвестных метода перемещений
n= ny+nn=1+0=1.
Основная система представлена на рис. 7б. На рис.7в показана
эпюра моментов, построенная в соответствии с данными приложения
1.
Определяем параметры устойчивости.
Для левой части
√ ;
√ . Принимаем
, тогда
.
Каноническое уравнение
Коэффициент
равновесие (рис.8).
определим вырезая узел 1 и рассматривая его
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r11
1
Рис.8.
3
( )
3
( )
Уравнение устойчивости запишется
3
3
( )
( )
После соответствующих сокращений будем иметь
( )
( )
.
С помощью таблицы (приложение 2) находим корень этого уравнения, соответствующий минимальной критической силе, =1,93, откуда
3
Найденное значение больше, чем критическая сила для стержня
длинной 2l, и меньше, чем критическая сила для стержня длинной l.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Раздел II. Динамика стержневых систем.
1. Основные понятия и задачи расчета.
Динамика сооружений занимается разработкой принципов и методов расчета сооружений на действие динамических нагрузок, т.е.
таких нагрузок, величина, направление или положение которых изменяется во времени.
Все динамические нагрузки вызывают колебания конструкций, на
которые они действуют.
Одной из самых распространенных динамических нагрузок является вибрационная, которая создается стационарными машинами и
механизмами от неуравновешенных масс их вращающихся частей
(электромоторами, турбогенераторами и мн. др.). Эта нагрузки изменяется во времени по гармоническому закону:
P(t) = Psint ,
(8)
где Р - амплитудное значение возмущающей силы;
t - время;
 - круговая частота возмущающей силы.
Круговая частота (число вращений в 2  секунд) связана с технической частотой (число оборотов в минуту, n) зависимостью:
n
=
.
(9)
30
В задачу динамического расчета входит определение внутренних
усилий и перемещений от действия динамических нагрузок, а также
проверка системы на резонанс (совпадение частот собственных и вынужденных колебаний), с целью его исключения.
При динамических расчетах сооружения классифицируют по числу степеней свободы.
Степенью свободы называется количество независимых геометрических параметров, определяющих положение всех масс при возможных перемещениях системы. При ее установлении следует руководствоваться правилом, что степень свободы равна числу связей, которые необходимо ввести дополнительно, чтобы смещение масс стали
невозможными.
Реальные сооружения обладают бесконечным числом степеней
свободы, поскольку имеют распределенную массу, однако во многих
случаях расчет сводят к расчету систем с конечным числом или даже с
одной степенью свободы.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Одной из важнейших динамических характеристик систем является частота свободных (собственных) колебаний (свободные колебания сооружение будет совершать, если его вывести из состояния покоя
и устранить причину создавшую начальные перемещения).
Свободные колебания являются затухающими за счет внешних
сил сопротивления движению, а также внутреннего сопротивления в
материале конструкции.
2. Системы с одной степенью свободы.
Для определения круговой частоты собственных колебаний  систем с одной степенью свободы можно пользоваться приближенной
формулой, не учитывающей затухание колебаний:

g
,
уст
(10)
где уст - статическое перемещение от груза Q=mg;
m - масса;
g - ускорение силы тяжести.
Частота  и период колебаний Т (продолжительность одного
цикла) связаны зависимостью:
2
Т=
.

Эффект динамического действия вибрационной нагрузки на систему с одной степенью свободы оценивается с помощью динамического коэффициента , который показывает во сколько раз динамическое действие нагрузки превышает статическое действие ее амплитуды.
Без учета затухания динамический коэффициент определяется по
формуле:
1

.
(11)
2
 
1  
 
Формула (11) применима в случаях, когда частота вынужденных
колебаний  на 15...20 % ниже частоты собственных колебаний . При
равенстве частот  =  (что в принципе недопустимо) формула приводит к значениям  =   , которые в действительности не могут быть
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
достигнуты. В этом случае надо учитывать затухание колебаний, введением в расчет коэффициента неупругого сопротивления материалов.
3. Системы с многими степенями свободы
В системах, со многими степенями свободы число возможных
форм свободных колебаний упругой системы равно числу степеней
свободы. Каждой форме колебаний соответствует своя частота. Совокупность частот данной системы составляет ее спектр частот.
Из рассмотрения уравнения перемещений масс под действием сил
инерции и определяя перемещение каждой массы в направлении ее
движения по аналогии метода сил, получена система однородных
уравнений:
11m1   a1  12m2 a2  ... 1n mn an  0 
 21m1a1   22m2   a2  ...   2n mn an  0
(12)

................................................................... 
 n1m1a1   n 2 m2 a2  ...   nnmn   an  0
2
где  =1/ ;
аi - амплитуда колебаний соответствующей массы.
Ненулевое решение системы уравнения (12) возможно только в
том случае, когда определитель составленный из коэффициентов при
амплитудах приравнять к нулю:
Д
11m1   12m2 ... 1n mn
 21m1
 22m2   ...  2 n mn
....................................................
 n1m1
 n 2 m2
...  nnmn  
 0.
(13)
Раскрыв этот определитель получим алгебраическое уравнение nй степени относительно , называемое уравнением частот или вековым
уравнением. Решение этого уравнения дает значения  1,  2, ...,  n, а
затем все частоты собственных колебаний:
i 
18
1
.
i
(14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При n=2 или 3 уравнение (13) решается строго аналитически. При
n>3 решение векового уравнения может быть затруднено или невозможно. В таких случаях целесообразно применение ЭВМ.
Для симметричных систем с симметрично расположенными массами возможны упрощения решений, по аналогии с расчетом симметричных систем методом сил с применением групповых неизвестных.
Из найденных частот наиболее опасной, в смысле возникновения
резонанса, является наименьшая частота (частота основного тона), которая приводит к наибольшему динамическому эффекту. Поэтому динамический расчет производят при низшей частоте свободных колебаний.
При вынужденных установившихся колебаниях частота колебаний системы равна частоте возмущающей нагрузки. Инерционные силы будут иметь такую же частоту колебаний. Решением задачи методом сил получается система уравнений, позволяющая определить
наибольшие (амплитудные) значения сил инерции:
*
 11
x1 +  12х 2 + ... +  1n х n + 1р = 0 

*
 21x1 +  22
х 2 + ... +  2n х n +  2р = 0
(15)
,
.........................................................

*
 n1x1 +  n2х 2 + ... +  nn
х n +  nр  0
где хi - амплитудные значения инерционных сил, бik- перемещение массы по направлению i от силы хк=1, δ*ii = δii - (1/mi2), - частота
возмущающей нагрузки,  iр- перемещение в направлении i от амплитудного значения возмущающей нагрузки.
После решения системы (15) и определения наибольших значений
сил инерции х1, х2, .... ,хn эпюра динамических изгибающих моментов
строится путем сложения единичных эпюр, предварительно умноженных на найденные значения соответствующих инерционных сил, с
эпюрой Мр, т.е. в соответствии с выражением:
M  M1x1  M 2 x2  ... M n xn  M p .
19
(16)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Порядок расчета рам с конечным числом степеней свободы
на действие вибрационной нагрузки
1. Определяют число степеней свободы заданной рамы.
2. Записывают в общем виде систему уравнений (15).
3. Строят эпюры M xi (i  1,2,....,n) от единичных значений хi =1,
приложенных к соответствующим массам и Мр от амплитудных значений возмущающей нагрузки.
Если рама статически неопределима, то эпюры M xi представляют
собой окончательные эпюры изгибающих моментов, полученные после раскрытия статической неопределимости (любым методом).
4. Определяют коэффициенты канонических уравнений и свободные члены по формулам:
- в статически определимых рамах
L
 ik 

0
M xi M xk
dx;
EI
L
 ip 

0
M xi M p
EI
dx;
- в статически неопределимых рамах
L
M ok M 1
 ik    xi xk dx;
EI
0
L
 ip   
0
M xiok M 1p
EI
dx,
где M 1xk и M 1p - эпюры изгибающих моментов в основной системе
метода сил, соответственно, от хк=1 и от амплитудных значений вибрационной нагрузки.
5. Подставляют найденные значения iк и  iр в систему уравнений (15) и решая ее находят амплитудные значения инерционных сил.
6. Строится эпюра динамических изгибающих моментов:
- для статически определимых рам
M дин  M x1x1  M x 2 x2  .... M p ;
- для статически неопределимых рам
M дин  M xok1 x1  M xok2 x2  .... M ok
p .
По эпюре Мдин строят эпюру Qдин и Nдин в обычном порядке.
При необходимости проверки системы на резонанс, после нахождения коэффициентов iк , определяют частоты собственных колебаний по формуле (13) и сравнивают с частотой возмущающей силы.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подробно этот порядок расчета рассмотрен в примере 5.
5.Примеры расчета
Пример 1. Требуется определить круговую частоту свободных
колебаний массы m=Q/g , сосредоточенной посередине пролета ригеля
рамы (см. рис. 1.1), если L=h=4м, I1=2I, I2=I. Собственной массой рамы, горизонтальным и угловым перемещениями рамы пренебречь.
Рис. 1.1
Решение. Заданная система имеет одну степень свободы, т.к. сосредоточенная масса может перемещаться только по вертикали, за счет
прогиба ригеля. Круговую частоту такой системы определяем по формуле (10). Для определения уст построим эпюру M от единичной силы,
приложенной в месте расположения сосредоточенной массы по
направлению ее возможного перемещения и эпюру М р от груза Q=mg
(рис. 1.2 и 1.3).
Рис.1.2.
Рис.1.3.
Величину уст определяем перемножением эпюр по правилу Верещагина:
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
1 1 L
2  20 Q
 1  1
.
yст     h  2Q   2     2Q   2  
3
2 2 2
3  3 EI
 EI  2
Круговая частота по формуле(10):

g

yст
g  3EI

20Q
g  3EI
EI .
 0,387
20mg
m
Пример 2. Двигатель массой m=Q/g, установленный на балке
пролетом L=6м (рис.2.1а) вращается с частотой 400 мин -1 и дает вертикальную составляющую центробежной силы Р(t)=Рsint. При этом
Р=8кн, Q=30кн, I=8,95х10-5м4, W=5,97х10-4 м3, Е=2,1х105МПа. Определить круговую частоту свободных колебаний, амплитуду вынужденных колебаний и наибольшие нормальные напряжения в балке с учетом динамического действия силы Р. Собственный вес балки не учитывать.
Решение.
(
)
(
)
)
Рис. 2.1.
Система обладает одной степенью свободы. Круговую частоту
свободных колебаний найдем по формуле (10). Статический прогиб
балки под грузом Q от действия этого же груза определим путем перемножения эпюр (рис.2.1. б, в) по правилу Верещагина.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1  1 3QL L L 1 3QL 3L L 
   
  
 
EI  2 16 4 8 2 16 4 8 
3QL3
3  3 10 4  63


 0,404 10  2 м .
256 EI 256  2,11011  8,95 10 5
yст 
Круговая частота:

9,81
0,404 10 2
 49,2 c 1 .
Круговую частоту вынужденных колебаний, равную частоте возмущающей силы определяем по формуле (9):

400  3,14
 41,8 c 1 .
30
Динамический коэффициент по формуле (4):
1
.

 3,6
2

1   41,8
49,2 

Статический прогиб от силы Р=8 кН найдем используя результат
для силы Q=30кН:
уст  0,404 10  2
P
8
 0,404 10  2
 0,107 10  2 м .
Q
30
Амплитуда вынужденных колебаний будет равна динамическому
прогибу:
удин    уст  3,6  0,107 10 2  0,38110 2 м .
Полный прогиб балки под силой будет равен статическому прогибу от Q плюс динамический прогиб от силы Р:
уп  0,404  0,38110 2  0,785 10 2 м .
Максимальный прогиб, находящийся вблизи середины пролета,
будет несколько больше.
Наибольший изгибающий момент с учетом динамического действия силы Р:
ab
1,5  4,5
М макс  Q  P   30  3,6  8
 66,2kH  м .
L
6
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Наибольшие нормальные напряжения в опасном поперечном сечении балки:
М
0,066
 макс  макс 
 111 МПа .
W
5,97 104
Для сравнения, если двигатель не работает:
Qab 30 1,5  4,5
М макс 

 33,7kH  м  0,0337 МН  м ,
L
6
а  макс  М макс  0,0337  56,5 МПа .
W
5,97 10  4
Таким образом, наличие динамической нагрузки, даже при отсутствии резонанса, может привести к резкому увеличению напряжений в
сооружении по сравнению со статической нагрузкой.
Пример 3. Определить частоты собственных колебаний невесомой консольной балки с двумя равными сосредоточенными массами
Q=mg=5кН, если ЕI=20МН·м2, L=4м (рис 3.1а).
Решение.
рис. 3.1
Система обладает двумя степенями свободы, т.к. имеется две сосредоточенные массы, которые могут перемещаться только по вертикали.
Частоты собственных колебаний (их две по числу степеней свободы) определяем составив соответствующий определитель (13):
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11m 
1
12m
2
 21m
 22m 
1
0.
2
Вычисляем перемещения от единичных сил, приложенных в местах расположения сосредоточенных масс, путем перемножения построенных от них эпюр изгибающих моментов (рис. 3.1 б, в)
11 
1  L L2 L
L  L  2  L  L3
;



EI  2  2  2  3  2 2  2  3  2  8EI
12   21  
 22 
LLL
L3
;

4  2  4  EI
32EI
2 L L2 L
L3
.

4  2  2  3  4 48EI
Подставляем найденные значения перемещений в определитель:
L3m 1

8EI  2
L3m

32 EI
L3m
32 EI  0 .
L3m
1

48EI  2

Раскрывая определитель, получаем уравнение частот, квадратное
относительно величины 1/2, которое после преобразования имеет
вид:
1
2

7 L3m 1
5L6m2
 
0.
48EI  3072 E 2 I 2
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Применяя формулу решения квадратного уравнения, находим:
1
1, 2
1
12
2


2
 7 L3 m  15  7 L3 m 
7 L3 m
7 L3 m
  
 
1  0,835 .
 


96 EI
96 EI
 96 EI  49  96 EI 
L3 m
;
7,48EI
EI
20 10 6
 2,74 3
 67,8 c 1 .
3
Lm
4  510
1
L3 m

;
 22 83,2 EI
1  2,74
 2  9,12
EI
20 10 6
 9,12 3
 225,8 c 1 .
3
Lm
4  510
Пример 4. Для статически определимой рамы требуется:
1) Определить круговую частоту свободных вертикальных и горизонтальных колебаний приняв раму как систему с двумя степенями
свободы.
2) Определить динамическое воздействие вертикальной вибрационной силы Рsint:
а) принять частоту возмущающей силы =0,7;
б) определить динамический коэффициент;
в) построить эпюру изгибающих моментов с учетом динамического воздействия силы Р.
ЕI=23500кНм2; Q=mg=22кН; Р=3кН.
рис. 4.1
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Составляем вековое уравнение для системы с двумя
степенями свободы в общем виде по формуле (13):
1
11m  2
12m

0.
1
 21m
 22m  2

Раскрывая определитель, получаем уравнение частот, квадратное
относительно величины 1/2:
2
1 
1 
1

 1 
2
 11m  2   22m  2   12m    2   2 11m   22m  
 
 

  
2
2
 m 11 22  12  0.
Применяя формулу решения квадратного уравнения получим выражение для определения частот:
1
m
2 
.
 11   22   11   22 2  4 11 22  12
2

1, 2 2 




Вычисляем перемещения от единичных сил путем перемножения
построенных от них эпюр изгибающих моментов (рис. 4.2) по правилу
Верещагина:
рис. 4.2
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1  1
2
 18 ;
 2   3 1,5  1,5  6 1,5 1,5  
EI  2
3
 EI
1  1
2  36
;
 22 
 4   3  3   3 
EI  2
3  EI
12   21  0 .
Подставляя найденные значения перемещений в формулу решения квадратного уравнения с учетом, что m= Q/g, получим:
1
22
18  36  18  362  4 18  36  


12, 2 2  9,81  23500 
11 
 4,8 105 54  18 .
1
12
 4,8  105  72  0,003456; 1  17,01c 1;
1
 4,8  105  36  0,001728; 2  24,06c 1.
22
Низшей частоте соответствует вертикальная форма колебаний,
т.к. б22> б11.
Определяем динамический коэффициент по формуле (11):

1
 
1  
 
2

1
 11,9 
1 

 17,01 
2
 1,96.
где =0,7·17,01=11,9 с-1 - частота вертикальной возмущающей силы (по условию задачи);
=17,01 с-1 - частота собственных вертикальных колебаний.
Строим эпюру изгибающих моментов с учетом динамического
воздействия силы Рд:
Рд = Q+Р=22+1,96·3=27,88кН.
рис. 4.3
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 5. Построить расчетную эпюру изгибающих моментов
для статически неопределимой рамы (рис5.1) при воздействии горизонтальной вибрационной нагрузки Р(t)=Psint. Произвести проверку
на резонанс. Механизм массой m= Q/g имеет частоту вращения
n=120мин-1, Q=20 кН; Р=2кН; Е=2·105МПа; I1= 9800cм4;
I2=2I1=19600см4; а=3м.
рис. 5.1
Решение. Заданная система обладает двумя степенями свободы,
т.к. положение ее массы определяется двумя возможными перемещениями - в горизонтальном и вертикальном направлениях.
Записываем в общем виде систему уравнений (15):
11* х1 + 12 х2+ 1 р=0 
,
*
 21х1 +  22
х2+  2 р=0
где *11=11-(1/m2), *22=22-(1/m2).
Для вычисления перемещений, входящих в уравнение, строим
эпюры изгибающих моментов от единичных значений неизвестных
инерционных сил, приложенных по направлениям возможных перемещений массы и амплитудного значения вибрационной нагрузки.
Грузовая эпюра в данном случае, в отличии от статически определимых систем, представляет собой окончательную эпюру моментов статически неопределимой системы.
Единичная сила Р=1 может прикладываться в направлении искомого перемещения к любой основной статически определимой системе. Для определения единичных перемещений iк одно из состояний
можно рассматривать в статически определимой системе.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Строим необходимые эпюры (рис. 5.2 а-е).
рис. 5.2
Определяем все необходимые перемещения (коэффициенты
уравнений), используя формулы сокращенного умножения по правилу
Верещагина.
Для определения 11 перемножим эпюры M 1 и M11 :
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11 
1
1
a  11
3 
19a 3
.
 2  a  2  a 
a 
2 EI1
6
2  28
28  336 EI1
Для определения б22 перемножим M 2 и M 21 :
 22 
1 1
1 1
5a 3
.
  2a  a  2a 
  2a  2a  2a  a  
EI1 3
2 EI1 6
3EI1
Побочные перемещения 12, 21 и грузовое Δ1р равны нулю в связи
с симметричностью и обратной симметричностью соответствующих
эпюр.
Для определения грузового перемещения  2р перемножим эпюры
Мр и M 21 :
2 p 
1 1
1 1
5Pa 3
.
  2a  P  a  2a 
  2a  2a  2  P  a  P  a  
EI1 3
2EI1 6
3EI1
Для определения одного из главных перемещений *22 (*11 вычислять нет необходимости), предварительно вычисляем круговую
частоту возмущающей силы:
n 120


 12,56 c 1 .
30
30
Приведем выражение частоты возмущающей силы, с целью сокращения дальнейших расчетов, к виду:
 k
EI 1
ma3 .
,
где
k


ma3
EI 1
Находим значение этого переходного коэффициента:
k  12,56
20  33  103
 0,665 .
9,81  2  105  9,8  105  106
EI 1 .
ma3
1
5a 3
a3
a3 .
*
Тогда  22





0
,
57
EI 1
m 2 3EI 1 0,67 2 EI 1
Подставляя найденные значения перемещений в систему уравнеa3
ний и сокращая на величину
, получим:
EI1
Таким образом   0,67
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

,


5P
 0,57 x2 
 0

3

19
x1  0
336
откуда х1=0, х2=2,92Р.
Расчетную эпюру изгибающих моментов получаем как сумму
эпюр (рис.5.2, д, е и рис. 5.3 а, б) по формуле М=М Q+Мр+ M 2 x 2
Рис. 5.3.
Для проверки системы на резонанс, определим частоты ее собственных колебаний. Благодаря тому, что 12=21=0, нет необходимости составлять определитель (13). Частоты находим из двух независимых уравнений:
1
1
11m  2  0 и  22m  2  0 .
1
2
Частота симметричных колебаний
1 =
1
=
 11m
336 EI1
3
= 4, 205
19a m
Частота обратно симметричных колебаний
 2=
1
 22m
=
EI1
.
a 3m
3EI1
EI1
= 0,775
.
5a 3m
a 3m
Для сравнения, частота возмущающей нагрузки (см. выше)
0,67
=
EI 1
, что значительно меньше любой из частот свободных коa 3m
лебаний. Таким образом, явление резонанса невозможно.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№
схемы
Приложение 1
Эпюры моментов для сжато-изогнутых стержней
Граничные воздействия и эпюры
Реакции опор
моментов
4 EI
 2 ( )
l
2 EI
MB 
3 ( )
l
6 EI
QA  QB  2  4 ( )
l
MA 
1
6 EI 4
 ( )
l2
12 EI
QA  QB  3  2 ( )
l
MA  MB 
2
3EI
1 ( )
l
3EI
QA  QB  2 1 ( )
l
MA 
3
3EI
1 ( )
l2
3EI
QA  QB  3 1 ( )
l
MA 
4
Q A  QB 
5
33
 2 EI
l3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

1
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
Приложение 2
Значения функций метода перемещений для сжато-изогнутых
стержней
1()
2()
3()
4()
1()
2()
2
3
4
5
6
7
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
0,9973
0,9980
1,0009
0,9992
0,9840
0,9959
0,9895
0,9945
1,0026
0,9973
0,9362
0,9840
0,9856
0,9881
1,0061
0,9941
0,8557
0,9641
0,9566
0,9778
1,0111
0,9895
0,7432
0,9362
0,9313
0,9662
1,0172
0,9832
0,5980
0,8999
0,9164
0,9590
1,0209
0,9798
0,5131
0,8789
0,8998
0,9511
1,0251
0,5751
0,4198
0,8557
0,8814
0,9424
1,0298
0,9715
0,3181
0,8307
0,8613
0,9329
1,0348
0,9669
0,2080
0,8035
0,8393
0,9226
1,0403
0,9619
0,0893
0,7743
0,8153
0,9116
1,0463
0,9566
-0,0380
0,7432
0,7891
0,8998
1,0529
0,9501
-0,1742
0,7100
0,7609
0,8871
1,0600
0,9448
-0,3191
0,6747
0,7297
0,8735
1,0676
0,9382
-0,4736
0,6374
0,6961
0,8590
1,0760
0,9313
-0,6372
0,5980
0,6597
0,8437
1,0850
0,9240
-0,8103
0,5565
0,6202
0,8273
1,0946
0,9164
-0,9931
0,5131
0,5772
0,8099
1,1050
0,9083
-1,1861
0,4675
0,5304
0,7915
1,1164
0,8998
-1,3895
0,4198
0,4793
0,7720
1,1286
0,8909
-1,6040
0,3701
0,4234
0,7513
1,1417
0,8814
-1,8299
0,3181
0,3621
0,7274
1,1559
0,8716
-2,0679
0,2641
0,2944
0,7064
1,1712
0,8113
-2,3189
0,2080
0,2195
0,6819
1,1878
0,8506
-2,5838
0,1498
0,1361
0,6560
1,2057
0,8393
-2,8639
0,0893
0,0424
0,6287
1,2252
0,8275
-3,1609
0,0207
-0,0635
0,5997
1,2463
0,8153
-3,4768
-0,0380
-0,1847
0,5691
1,2691
0,8024
-3,8147
-0,1051
-0,3248
0,5366
1,2940
0,7891
-4,1781
-0,1742
-0,4894
0,5021
1,3212
0,7751
-4,5727
-0,2457
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
6,1
6,2
2
2
-0,6862
-0,9270
-1,2303
-1,6268
-2,1726
-2,9806
-4,3155
-6,9949
-15,330
227,80
14,669
7,8185
5,4020
4,1463
3,3615
2,8130
2,3986
2,0668
1,7884
1,5455
1,3265
1,1235
0,9302
0,7421
0,5551
0,3659
0,1700
0,0000
3
0,4656
0,4265
0,3850
0,3407
0,2933
0,2424
0,1877
0,1288
0,0648
-0,0048
-0,0808
-0,1646
-0,2572
-0,3612
-0,4772
-0,6100
-0,7630
-0,9423
-1,1563
-1,4181
1,7481
-2,1804
-2,7777
-3,6678
-5,1589
-8,2355
-18,591
- 
4
1,3508
1,3834
1,4191
1,4584
1,5018
1,5501
1,6036
1,6637
1,7310
1,8070
1,8933
1,9919
2,1056
2,2277
2,3924
2,5757
2,7961
3,0648
3,3989
3,8234
4,3794
5,1246
6,2140
7,8726
10,727
16,739
37,308
+ 
35
5
0,7609
0,7457
0,7297
0,7133
0,6961
0,6783
0,6597
0,5404
0,6202
0,5991
0,5772
0,5543
0,5304
0,5054
0,4793
0,4520
0,4234
0,3935
0,3621
0,3291
0,2944
0,2580
0,2195
0,1790
0,1361
0,0906
0,0424
0,0000
6
-5,0062
-5,4903
-6,0436
-6,6968
-7,5053
-8,5836
-10,196
-13,158
-27,781
221,05
7,6160
0,4553
-2,2777
-3,8570
-4,9718
-5,8570
-6,6147
-7,2965
-7,9316
-8,5379
-9,1298
-9,7056
-10,283
-10,863
-11,445
-12,039
-12,643
-13,033
7
-0,3192
-0,3951
-0,4736
-0,5542
-0,6372
-0,7225
-0,8102
-0,9004
-0,9931
-1,0884
-1,1861
-1,2865
-1,3895
-1,4954
-1,6040
-1,7155
-1,8299
-1,9473
-2,0679
-2,1917
-2,3189
-2,4495
-2,5838
-2,7218
-2,8639
-3,0102
-3,1609
-3,2898
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
1. Коробко, В.И. Строительная механика: Динамика и
устойчивость стержневых систем: учебник/ В.И. Коробко, А.В.
Коробко.-М.: ACB, 2008.-400 c.-ISBN 978-5-93093-546-2.
2. Безухов, Н.И. Устойчивость и динамика сооружений в
примерах и задачах: Учебное пособие для строит. спец. вузов
/Н.И. Безухов, О.В. Лужин, Н.В. Колкунов.- 3-е изд., перераб.- М.:
Высш. шк., 1987. 264с.:ил.
36
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
155
Размер файла
974 Кб
Теги
динамика, методические, 5382, система, основы, устойчивость, учебно, пособие, стержневых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа