close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

6234.1268.Практикум по теории вероятностей и математической статистике

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Санкт-Петербургский государственный
университет
Высшая школа менеджмента
И. В. Березинец
ПРАКТИКУМ
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
Учебно-методическое пособие
9-е издание, исправленное и дополненное
Санкт-Петербург
Издательство «Высшая школа менеджмента»
2013
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ББК 22.17я.33
УДК 519.2(075)
Рецензенты:
Б. К. Кирпичников, к. ф.-м. н., доцент (С.-Петерб. гос. ун-т),
И. С. Меркурьева, к. ф.-м. н., доцент (С.-Петерб. гос. ун-т),
Печатается по решению учебно-методической комиссии
Высшей школы менеджмента СПбГУ
Б48
Березинец И. В.
Практикум по теории вероятностей и математической статистике / И. В. Березинец; Высшая школа менеджмента СПбГУ. —
9-е изд., испр. и доп. — СПб.: Изд-во «Высшая школа менеджмента», 2013 — 163 с.
ISBN 978-5-9924-0088-5
Основной целью практикума является изучение и закрепление основ теории вероятностей и математической статистики, а также привитие
навыков решения практических задач по данной дисциплине.
Пособие предназначено для студентов 1 курса программы бакалавриата по направлению 082000 «Менеджмент» ВШМ СПбГУ, изучающих курс «Статистика–1», и полностью соответствует программе курса.
© И. В. Березинец, 2013
© Высшая школа менеджмента СПбГУ, 2013
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ......................................................................................................5
Тема 1. Случайные события. Действия с событиями..............................6
1.1. Задачи для решения в аудитории ..............................................9
1.2. Задачи для самостоятельного решения...................................14
Тема 2. Формула классической вероятности ..........................................17
2.1. Задачи для решения в аудитории ............................................18
2.2. Задачи для самостоятельного решения...................................22
Тема 3. Теоремы о вероятности произведения и вероятности суммы
случайных событий .......................................................................26
3.1. Задачи для решения в аудитории ............................................27
3.2. Задачи для самостоятельного решения...................................31
Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Схема независимых испытаний Бернулли ...............................35
4.1. Задачи для решения в аудитории ............................................36
4.2. Задачи для самостоятельного решения...................................40
Тема 5. Дискретные случайные величины.
Закон распределения и числовые характеристики.................43
5.1. Задачи для решения в аудитории ............................................46
5.2. Задачи для самостоятельного решения...................................50
Тема 6. Непрерывные случайные величины.
Закон распределения и числовые характеристики.................54
6.1. Задачи для решения в аудитории ............................................56
6.2. Задачи для самостоятельного решения...................................59
Тема 7. Основные законы распределений случайных величин ..........64
7.1. Задачи для решения в аудитории ............................................71
7.2. Задачи для самостоятельного решения...................................75
Тема 8. Функция случайного аргумента ..................................................79
8.1. Задачи для решения в аудитории ............................................80
8.2. Задачи для самостоятельного решения...................................84
Тема 9. Двумерный дискретный случайный вектор .............................87
9.1. Задачи для решения в аудитории ............................................91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4
9.2. Задачи для самостоятельного решения...................................96
Тема 10. Свойства числовых характеристик случайных величин
и случайных векторов.................................................................100
10.1. Задачи для решения в аудитории ........................................101
10.2. Задачи для самостоятельного решения...............................105
Тема 11. Статистические законы распределения случайных величин
..........................................................................................................108
11.1. Задачи для решения в аудитории ........................................111
11.2. Задачи для самостоятельного решения...............................114
Тема 12. Оценки параметров. Выборочные числовые характеристики
..........................................................................................................118
12.1. Задачи для решения в аудитории ........................................120
12.2. Задачи для самостоятельного решения...............................122
Тема 13. Интервальное оценивание неизвестных математического
ожидания и дисперсии ................................................................124
13.1. Задачи для решения в аудитории ........................................126
13.2. Задачи для самостоятельного решения...............................129
Тема 14. Проверка параметрических гипотез.......................................132
14.1. Задачи для решения в аудитории ........................................137
14.2. Задачи для самостоятельного решения...............................139
Тема 15. Проверка непараметрических гипотез...................................142
15.1. Задачи для решения в аудитории ........................................145
15.2. Задачи для самостоятельного решения...............................149
Приложение 1 ................................................................................................153
Приложение 2 ................................................................................................155
Приложение 3 ................................................................................................156
Приложение 4 ................................................................................................157
Приложение 5 ................................................................................................158
Приложение 6 ................................................................................................159
Приложение 7 ................................................................................................161
Литература.....................................................................................................162
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРЕДИСЛОВИЕ
Есть много разных и интересных сборников задач по теории вероятностей и математической статистике. Перед вами не задачник в его обычном понимании, а именно практикум.
Программа курса Статистика-1, который читается студентам 1 курса
программы бакалавриата
в Высшей школе менеджмента СанктПетербургского государственного университета, содержит восемь тем,
охватывающих основы теории вероятностей и математической статистики.
Практикум построен таким образом, что его структура и содержание
полностью соответствует темам учебной программы. Это сделано с одной и очень важной целью: изучаемая дисциплина должны быть понятной и интересной для студентов.
Для достижения указанной цели каждый раздел практикума снабжен необходимым минимумом теоретического материала, достаточного,
для решения всех задач раздела. Помимо этого, каждый раздел состоит из
двух частей: задач для решения в аудитории и задач для самостоятельного решения. Причем, это не просто набор отдельно взятых задач, а фактически, готовое практическое занятие по рассматриваемой теме.
В свою очередь, структура и логика задач для самостоятельного решения выстроена так, чтобы студенты могли решать эти задачи, опираясь
на задачи, разобранные в аудитории.
Особенностью пособия является также и то, что большинство представленных в нем задач носят прикладную направленность и должны
способствовать тому, что студенты будут подготовлены к восприятию и
решению аналогичных задач, уже в рамках своих специальностей и специализаций.
Автор выражает глубочайшую признательность рецензентам пособия: канд. физ.-мат. наук Б. К. Кирпичникову, канд. экон. наук И. С. Меркурьевой, канд. экон. наук И. В. Осколкову, взявших на себя труд ознакомиться с рукописью и высказать ряд конструктивных замечаний и пожеланий.
Особая благодарность старшему преподавателю В. А. Андреевой и
старшему преподавателю Э.М. Голубиной. Их внимательное отношение к
этому пособию и помощь в редактировании сделали его намного лучше.
В сборник включен ряд задач, предложенных ассистентом Н. В. Тихоновой.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ТЕМА 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ДЕЙСТВИЯ С СОБЫТИЯМИ
 Случайным экспериментом (опытом, испытанием) называют такой эксперимент, результат которого нельзя предсказать точно до его
осуществления. В теории вероятностей изучаются только такие случайные эксперименты, которые можно повторять при одном и том же комплексе условий сколь угодно много раз (массовые). Причем всегда должна существовать возможность зарегистрировать результат опыта —
случайное событие, хотя бы зрительно.
 Для построения и изучения математической модели случайного
эксперимента вводится понятие элементарного исхода. Под элементарными исходами подразумеваются взаимоисключающие, неразложимые ни на какие другие, результаты случайного эксперимента. Обозначают элементарные исходы  . Совокупность всех элементарных исходов
 , соответствующих рассматриваемому случайному эксперименту, называют пространством элементарных исходов и обозначают . Дискретное пространство элементарных исходов может быть конечным (содержать конечное число элементарных исходов N):
  1 , 2 ,..., N 
или счетным:
  1 , 2 ,..., N ,... .
Построение пространства элементарных исходов является первым
этапом в задаче построения теоретико-множественной модели случайного
эксперимента. Элементы пространства элементарных исходов несут в себе информацию о том, что может произойти в данном случайном эксперименте. Следует иметь в виду, что одному и тому же случайному эксперименту можно сопоставить разные пространства элементарных исходов.
Исследователь строит теоретико-множественную модель в зависимости
оттого, что он наблюдает в данном опыте (иными словами, что он считает
исходами опыта) и какой информации ему будет достаточно для построения и изучения математической модели случайного эксперимента.
 Результату случайного эксперимента — случайному событию,
можно поставить в соответствие некоторое подмножество пространства
элементарных исходов A  1 , 2 ,..., M  . В этом случае, под случайными событиями понимают подмножества множества  и обозначают их
латинскими буквами А, В, С. Говорят, что в результате эксперимента
произошло событие A   , если в эксперименте произошел один из
элементарных исходов, входящий в множество А. Если случайное событие A  1 , 2 ,..., M  состоит из M элементарных исходов пространства
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 1. Случайные события. Действия с событиями
7
, то в этом случае говорят, что случайному событию А благоприятствует М элементарных исходов
 Невозможным событием называют событие, которое не может
произойти при данном комплексе условий в данном случайном эксперименте. Достоверное событие обязательно происходит в случайном эксперименте. Невозможное событие обозначают символом , а достоверное
событие — .
Невозможное событие  не содержит элементарных исходов данного случайного эксперимента, а достоверное событие содержит все
элементарные исходы случайного эксперимента.
Введем следующие операции (действия) и отношения между событиями, на примере двух событий A и В.
 Суммой двух случайных событий A и B называется случайное
событие, обозначаемое АВ (или А+В), которое происходит в случайном эксперименте, если осуществляется хотя бы одно из событий A
или В.
Случайное событие АВ состоит из всех элементарных исходов,
принадлежащих или A, или B, или им обоим:
АВ =  |   A или   В или   АиВ .
Произведением двух случайных событий A и B называют случайное событие, обозначаемое АВ (или АВ), которое осуществляется в
случайном эксперименте тогда и только тогда, когда происходят оба случайных события A и B.
Случайное событие АВ состоит из общих элементарных исходов
событий A и B:
АВ =  |   АиВ .
Два события A и B называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном и том же случайном эксперименте. Произведение таких событий есть событие невозможное, то есть
АВ=.
Разностью двух случайных событий A и B называется случайное
событие А\В, которое заключается в том, что случайное событие A происходит в случайном эксперименте, а случайное событие B – нет.
Случайное событие А\В состоит из элементарных исходов, принадлежащих A, но не принадлежащих B:
А\В =  |   A и   В  .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8
И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Противоположным событием случайному событию A называется
случайное событие A , которое состоит в том, что в данном случайном
эксперименте случайное событие А не произошло.
Случайное событие A включает в себя элементарные исходы, которые принадлежат пространству элементарных исходов , но не принадлежат случайному событию A:
A =  |    и   A
.
Отметим, что A = \А.
Говорят, что событие А влечет за собой событие В и обозначают
A  B , если всегда, как только происходит событие А, происходит и событие В.
Если A  B , то множество элементарных исходов, из которых состоит событие А, является подмножеством по отношению к множеству
элементарных исходов из которых состоит событие В.
Два случайных события А и В тождественны друг другу, если
A  B и, в свою очередь, B  A . Обозначают этот факт А=В.
При решении задач по теории вероятностей вам придется отвечать
на вопросы о том, сколько всего элементарных исходов в данном случайном эксперименте (N) и сколько исходов благоприятствует рассматриваемым в задачах случайным событиям. Есть задачи, в которых вы легко
ответите на эти вопросы, перечислив все исходы, из которых состоит ,
и из которых состоят случайные события. Однако это лишь небольшой
класс задач. В общем случае для ответа на вопрос о числе всех исходов
случайного эксперимента или о числе исходов, благоприятствующих случайному событию А, используют комбинаторику.
Правило умножения. Пусть требуется выполнить к упорядоченных, взаимоисключающих друг друга действий. Если первое из этих действий можно выполнить r1 способами, второе – r2 способами, к-ое действие – rk способами, тогда все к упорядоченных действий можно выполнить r способами, где
r = r1  r2  …  rк.
Предположим, что имеется множество E  e1 , e2 ,..., en  , состоящее
из n различных элементов.
 Сочетанием из n элементов множества Е по к называется произвольный набор из к элементов множества Е. Различными считаются
только те сочетания, которые отличаются составом элементов.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 1. Случайные события. Действия с событиями
 Число сочетаний из n по к обозначают
9
C nk и вычисляют по фор-
муле:
C nk 
n!
.
k!( n  k )!
Отметим, что по определению принимают, что
n !  1  2  3  ...  n ,
0!  1 и 1!  1 . Легко показать, что имеют место следующие равен1
n 1
0
n
ства: C n  n и C n  n , а C n  1 и C n  1 .
а
 Размещением из n элементов множества Е по к называется упорядоченный набор из к произвольных элементов множества Е. Отличаются друг от друга те размещения, которые состоят из различных элементов или, если элементы одинаковые, то различен порядок их следования.
 Число размещений из n по к обозначают
A nk и вычисляют по
формуле:
A nk 
n!
.
( n  k )!
 Перестановками из n элементов множества Е называют размещения из n элементов этого множества по n.
 Число перестановок из n элементов обозначают P n и находят
по следующей формуле:
Pn  n! .
1.1.
ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ В АУДИТОРИИ
Задача 1.1.1. Компания ОАО «Пилигрим» проводит тендер по выбору поставщика для реализации проекта по изданию корпоративного
средства массовой информации (журнала). В первом этапе конкурса приняли участие 9 компаний, среди которых были 5 российских и 4 зарубежных и из которых нужно будет отобрать 2 компании для участия во
втором этапе. Наблюдают за тем, сколько российских компаний пройдет
во второй тур.
1. Опишите пространство элементарных исходов .
2. Сколько всего элементарных исходов (N) будет в таком случайном эксперименте?
Задача 1.1.2. (Продолжение Задачи 1.1.1.) Стало известно, что для
участия во втором этапе тендера были отобраны две компании: российская и зарубежная, из которых выбрать в итоге нужно только одну.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
1. Опишите пространство элементарных исходов  для такого случайного эксперимента, в предположении, что: а) наблюдают за тем, какая
именно компания выиграет тендер; б) наблюдают за тем, сколько зарубежных компаний выиграет тендер.
2. Сколько всего элементарных исходов (N) будет в  в каждом
случае?
Задача 1.1.3. Руководство крупного супермаркета утверждает, что
объем продаж в значительной степени зависит от качества обслуживания
покупателей. Для того, чтобы выявить взаимосвязь объема продаж от качества обслуживания было принято решение провести опрос покупателей
универмага. Специфика опроса такова, что существенным показателем
являлся тот факт, постоянный или случайный покупатель универмага
принимает участие в опросе. В начале торгового дня менеджер отдела
маркетинга опрашивает двух покупателей, первыми зашедшими в универмаг. Наблюдают за тем, постоянный или случайный покупатель участвует в опросе.
1. Опишите пространство элементарных исходов этого случайного
эксперимента. Сколько всего элементарных исходов будет в этом случайном эксперименте?
2. Опишите через элементарные исходы следующие случайные события:
А= Только один покупатель был постоянным;
В=  Оба покупателя оказались постоянными;
С= Среди этих двух покупателей не оказалось постоянных ;
D= По крайней мере один покупатель был случайно зашедшим в универмаг;
3. Укажите, сколько исходов благоприятствует каждому случайному событию.
4. Для каждого случайного события найдите противоположное ему
событие.
5. Выполните следующие действия со случайными событиями:
 А \ C  \ D , В  D , А  D   А \ В .
6. Решите эту же задачу, в предположении, что наблюдателя интересует, сколько постоянных покупателей было среди двух опрошенных.
Задача 1.1.4. В Санкт-Петербургских автосалонах дилеров «Парк
М», «АВТО Гамма» и «РРТ ВЫБОРГСКОЕ» были приобретены три автомобиля марок «BMW», «SKODA» и «HYUNDAI» соответственно.
Наблюдают за тем, какой автомобиль из этих трех через 120 дней потребует гарантийного ремонта.


Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 1. Случайные события. Действия с событиями
11
1. Опишите пространство элементарных исходов  и укажите,
сколько всего элементарных исходов будет в этом случайном эксперименте.
2. Опишите через элементарные исходы следующие случайные события:
А= Только один автомобиль из этих трех потребует ремонта ;
В= Хотя бы один автомобиль из этих трех потребует ремонта ;
С= Два автомобиля из этих трех потребуют ремонта ;
D=По крайней мере два автомобиля из этих трех потребуют ремонта.
E= Все три автомобиля будут исправны в течении указанного периода;
3. Укажите, сколько исходов благоприятствует каждому случайному событию.
4. Для каждого случайного события найдите противоположное ему
событие.
5. Выполните следующие действия со случайными событиями:


E  D , В  D   А  C , а затем дайте словесное описание
полученных результатов.
А  C  \ D ,
Задача 1.1.5. Эксперимент состоит в том, что подбрасывают монету, а затем тетраэдр с пронумерованными гранями. Фиксируют, на какую
сторону упадет монета, и на какую грань упадет тетраэдр.
1. Перечислите элементарные исходы этого случайного эксперимента и запишите пространство элементарных исходов .
2. Примените правило умножения и ответьте на вопрос: сколько
исходов благоприятствует каждому случайному событию А, В, С, D?
Проверьте ваше решение непосредственным вычислением, описав через
элементарные исходы случайные события:
А= Выпал герб и грань с нечетным номером;
В= Выпал четный номер;
С= Выпал герб или нечетное число.
D= Дважды выпал герб.
3. Напишите события противоположные данным и выполните дей-
ствия
со
случайными
C  D  А  В  .
событиями:
А  В  D ,
А D ,
Задача 1.1.6. Случайный эксперимент заключается в том, что из коробки, содержащей три карточки с номерами 3, 5, 7, наудачу вынимают
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
одну за другой все карточки, прикладывают друг к другу и читают полученное трехзначное число.
1. Опишите пространство элементарных исходов  такого случайного эксперимента и следующие случайные события:
А = Получилось четное число;
В = Число делится на 7;
С = Число делится на 3.
2. Будут ли случайные события В и С совместными? Несовместными? Придумайте пример двух несовместных случайных событий для этого случайного эксперимента.
3. Придумайте сами случайное событие, которое не может произойти в данном случайном эксперименте? Как называется такое случайное
событие?
4. Приведите свой пример события, которое обязательно произойдет
в данном эксперименте. Как называется такое случайное событие?
Задача 1.1.7. Предположим, что решение о покупке акции принимают, подбрасывая монету (математическая абстракция). При этом схема
выбора следующая: если выпадает герб, то покупают акцию А, если выпадает решка, то покупают акцию В. Если монета падает на ребро, то
принимают решение не покупать ценную бумагу.
1. Ответьте на вопрос, какие элементарные исходы возможны в таком эксперименте, сколько их?
2. Верно ли следующее утверждение: «Если герб не выпадет, то будет
куплена акция В»?
3. Можно ли утверждать, что «Если акция не куплена, то решка не
выпала»?
Задача 1.1.8. Для того чтобы оценить эффективность завершившейся телевизионной рекламной кампании нового продукта отдел маркетинга крупного завода по производству продуктов детского питания проводит телефонный опрос потребителей, Для этого была разработана специальная анкета, на основе которой проводились опросы на следующий
день после просмотра передачи (day – after recall interview). При телефонном опросе номер телефона абонента выбирался случайным образом.
Очевидно, что
возможны следующие ситуации: абонент не возьмет
трубку. Тогда менеджер, проводящий опрос, звонит следующему респонденту. Если респондент берет трубку, то он может отказаться отвечать
на вопросы или вступить в диалог и ответить на вопросы анкеты. Начало
опроса пришлось на конец рабочего дня, и менеджер планировал сделать
только два звонка. Из всех вопросов анкеты в момент опроса его интересовал только один: видел ли респондент рекламу нового продукта по те-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 1. Случайные события. Действия с событиями
13
левизору, или нет. Опишите пространство элементарных исходов такого
случайного эксперимента.
Задача 1.1.9. Получив крупную сумму денег, господин X решил
положить их на один и тот же срок в банк на три различных счета. При
оформлении каждого их них, банк в договоре оговаривает в числе прочих
условий свое право в одностороннем порядке уменьшить процентную
ставку вклада. Используя обозначения Уi= На счете i ставка процентов
осталась прежней, i=1,2,3, опишите пространство элементарных исходов
 и следующие случайные события:
A =Сумма, полученная при закрытии счетов, была меньше планируемой суммы из-за уменьшения ставок по каждому вкладу;
С= Вкладчик получил суммы, которые полностью соответствуют
первоначально оговоренным условиям при открытии счета ;
D= По крайней мере на одном счете сумма денег соответствовала
договоренности;
Е= Не меньше двух вкладов принесли доход, первоначально оговоренный в договоре,
2. Выполните следующие действия со случайными событиями:
1)С  D, 2) A  Е , 3)D  A  E , 4) C  D .
Задача 1.1.10. Два шара, красный и синий, раскладывают случайным образом по двум пронумерованным ящикам. При раскладке шаров
рассматривают две ситуации: а) ни один ящик не может остаться пустым;
б) в ящике может быть любое количество шаров. Используя комбинаторику, ответьте на вопрос, сколько всего элементарных исходов будет в
каждом случае, после этого, опишите пространство элементарных исходов 1, 2 .
Задача 1.1.11. В коробке находятся один красный и один белый
шар. Наудачу вынимают один шар. Сколько элементарных исходов в таком случайном эксперименте? В эту же коробку добавляют еще два
красных и один белый шар, а затем случайным образом вынимают два
шара. Сколько элементарных исходов в таком случайном эксперименте?
Задача 1.1.12. Случайный эксперимент состоит в том, что из пяти
предметов, на ощупь неотличимых друг от друга наудачу:
1) одновременно выбирают три предмета;
2) последовательно, друг за другом, вынимают три предмета.
В каком случайном эксперименте элементарных исходов будет больше?
Обоснуйте ваш ответ.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
1.2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 1.2.1. Три студента четвертого курса участвуют со своими
бизнес-планами в ежегодном конкурсе бизнес-планов, проводимых в
ВШМ СПбГУ . Каждый из них может войти в призеры, а может, и нет
Наблюдают, какой из этих трех студентов станет призером конкурса.
1. Опишите пространство элементарных исходов этого случайного
эксперимента и три случайных события:
А= Все студенты стали призерами конкурса;
B= Хотя бы один студент стал призером конкурса;
С= Два студента из трех стали призерами конкурса;
D=  Ни один студент не стал призером конкурса.
2. Как связаны случайные события В и D?
3. Выполните следующие действия с этими событиями: BC, А\В,
ВС, C .
Задача 1.2.2. В банке, в отделе обмена валюты, работают три человека. Известно, что двое из них — это постоянные сотрудники, а один студент, работающий по свободному графику.. В любой момент в отделе
может находиться произвольное число служащих. Без предварительной
договоренности к студенту заходит друг и наблюдает за тем, сколько в
этот день работает людей в отделе и в каком составе.
1. Опишите пространство элементарных исходов данного случайного эксперимента и следующие случайные события:
A=В выбранный день в отделе работает студент;
B=В наблюдаемый момент в отделе работает по крайней мере один
постоянный сотрудник.
2. Придумайте сами, другие случайные события, действия с событиями и выполните их.
Задача 1.2.3. По баскетбольному кольцу один за другим три раза
бросают мяч и наблюдают за тем, попал или не попал мяч в корзину.
Пусть Хi это следующее случайное событие: Хi=При броске с номером i
мяч попал в кольцо, i=1,2,3.
1. Опишите все элементарные исходы такого случайного эксперимента..
2. Придумайте сами, какие случайные события могут произойти в
рассматриваемом случайном эксперименте и опишите их через элементарные исходы.
3. Сколько всего исходов будет в этом случайном эксперименте, и
сколько исходов будет благоприятствовать придуманным вами случайным событиям?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 1. Случайные события. Действия с событиями
15
Задача 1.2.4. Известно, что в обменном пункте могут находиться
как настоящие, так и фальшивые пятидесятидолларовые купюры. При покупке 150 долларов клиент получил три банкноты по 50 долларов. Наблюдают за количеством фальшивых банкнот среди трех приобретённых.
1. Опишите пространство элементарных исходов этого случайного
эксперимента, а также случайные события:
A=Хотя бы одна купюра настоящая;
B=Все купюры оказались настоящими;
С=Одна купюра оказалась фальшивой.
2. Выполните указанные действия с событиями: AC, C\В, ВА, A
и дайте словесное описание полученных результатов.
Задача 1.2.5. Три пенсионера должны получать пенсию в определенный день каждого месяца в одном почтовом отделении. В силу преклонного возраста, пенсию каждому из них приносит домой почтальон.
Однако, кроме пенсий почтальону приходится разносить письма, газеты и
другую корреспонденцию и поэтому он не всегда успевает принести пенсии в нужный день. Наблюдают, кто из трех пенсионеров получит пенсию
в назначенную дату.
1. Опишите пространство элементарных исходов данного случайного эксперимента и следующие случайные события:
A=Первый пенсионер получит пенсию вовремя;
B=Не менее двух пенсионеров получат пенсию вовремя;
С=Хотя бы один пенсионер получит пенсию в назначенную дату.
2. Найдите AB, А\В, ВС, B . Напишите, какие события получатся в результате выполненных действий.
Задача 1.2.6. Случайный эксперимент состоит в том, что в пункте
обмена валют клиент приобретает $200. В кассе обменного пункта находятся три сто долларовых купюры: одна — образца 1992 года и две – образца 1996 года. Кассир вынимает одну за другой две купюры и передает
их покупателю. Как вы думаете, какие при этом могут быть элементарные
исходы?
1. Опишите все множество элементарных исходов такого эксперимента.
2. Из каких исходов будут состоять следующие случайные события:
A=Купюру, выпущенную в 1992 году, достанут хотя бы один раз;
В=Купюру образца 1996 года всегда достают первой;
С=Купюра образца 1992 года не попадет к покупателю.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
3. Выполните указанные действия с этими событиями: AB, А\В,
ВС, B  C .
Задача 1.2.7. В фирме, которая занимается продажей товаров по каталогам, прием заказов производится по телефону. Практика показала,
что в основном бывают три сценария разговоров: или в разговоре запрашивается только информация о товаре, или, происходит заказ товара, без
предварительного обсуждения, или, заказчик сначала запрашивает информацию о товаре, и потом делает заказ. Сотрудник фирмы успел ответить на три телефонных звонка. Если в каждом разговоре возможны
только три указанные выше ситуации, то, сколько всего будет элементарных исходов в этом случайном эксперименте?
Задача 1.2.8. Сотрудники автозаправочной станции знают, что водитель автомобиля может или только заправить автомобиль, или только
выпить кофе в кафе на АЗС, или заправить автомобиль и купить чтонибудь в магазинчике при АЗС, или заправиться, а заодно выпить кофе и
произвести покупку в магазине. Наблюдают за действиями водителей четырех подъехавших друг за другом автомобилей. Сколько всего исходов
будет в таком случайном эксперименте?.
Задача 1.2.9. В банк обратились три бизнесмена с целью получения
долгосрочных кредитов для реализации конкретных проектов. После рассмотрения проектов и изучения кредитной истории каждого заемщика
кредитный отдел банка может принять или отклонить просьбу о предоставлении бизнесменам кредита. Как вы думаете, какие исходы возможны
в результате принятого кредитным отделом решения?
1. Опишите пространство элементарных исходов этого случайного
эксперимента в предположении, что наблюдают за тем, кому из заемщиков дадут кредит.
2. Какие исходы будут благоприятствовать следующим случайным
событиям:
A=Кредит выдали только одному бизнесмену;
B=Кредит выдали двум бизнесменам;
C=Кредит выдали хотя бы одному бизнесмену;
D=Кредит выдали только первому бизнесмену.
Придумайте сами действия с этими случайными событиями и выполните их.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 2. Формула классической вероятности
17
Тема 2. ФОРМУЛА КЛАССИЧЕСКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Вероятность случайного события Р (А) определяется как значение
числовой вещественной функции, заданной на множестве всех случайных
событий, наблюдаемых в данном случайном эксперименте и удовлетворяющей следующим аксиомам Колмогорова А.Н.:
 0  Р(А) 1;
 Р()=1;
 Р(АВ) = Р(А) + Р(В), если АВ=;
 Р(А1 А2… Аn…) = Р(А1) + Р(А2)+… Р(Аn) +… ,если АiАj=,
ij.
Один из способов вычисления вероятности случайного события
связан с классической вероятностной схемой, в основе которой лежат
два следующих предположения:
 пространство элементарных исходов содержит конечное число
элементарных исходов;
 все элементарные исходы равновозможны.
Пусть пространство элементарных исходов  состоит из N равновозможных элементарных исходов. Пусть случайному событию А благоприятствует M элементарных исходов. Тогда вероятность случайного события А можно вычислить по формуле, называемой формулой классической вероятности:
 Р(А) =
M
.
N
Следует иметь в виду, что большинство случайных явлений не укладывается в рамки классической вероятностной схемы. Поэтому применение формулы классической вероятности без учета сделанных при ее
выводе предположений, приводит к парадоксам и противоречиям.
При решении задач на применение формулы классической вероятности необходимо вычислять число всевозможных исходов случайного
эксперимента N и число исходов M, благоприятствующих случайному
событию А. Для этого используют правила и формулы комбинаторики.
Если случайный эксперимент состоит в выборе наудачу к предметов
из n различных предметов, то обычно оговаривается, или подразумевается, способ выбора предметов.
В том случае, если к предметов из n выбираются наудачу одновременно, без фиксации порядка, то элементарными исходами такого случайного эксперимента будут сочетания из n по к, а вероятности элемен-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
тарных исходов (в предположении что имеет место классическая вероятностная схема) будут равны:
1
P ( i ) 
i  1, 2 , ..., N .
,
C nk
Когда выбор предметов производят случайным образом, но последовательно (один за другим, с фиксацией порядка), тогда элементарными
исходами будут размещения из n по к, а их вероятности будут вычисляться по формуле:
1
,
P ( i ) 
i  1, 2 , ..., N .
A nk
Говорят, что события А1, А2,…, Аn образуют полную группу событий, если выполняются два следующих условия:
1) сумма этих событий есть событие достоверное
А1 А2 …  Аn=;
2) все события попарно несовместны
Аi Аj=, ij, i,j=1,…,n.
При решении задач по теории вероятностей используют следующие
свойства вероятности случайного события:
1. P (  )  0 ;
2. P ( A )  P ( A )  1 ;
3. Если A ⊆ B, то P ( B \ A )  P ( B )  P ( A ) и P ( A )  P ( B ) ;
4. Если события А1, А2,…, Аn образуют полную группу событий,
то
P ( A1 )  P ( A 2 )  ...  P ( A n )  1 .
2.1. ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ В АУДИТОРИИ
Задача 2.1.1. На карточках написаны буквы, из которых можно составить слово «ОСЕНЬ». Наудачу, из перевернутых карточек вынимают
одну карточку. Наблюдают, какая буква будет на карточке.
1. Опишите пространство элементарных исходов .
2. Будет ли множество , являться множеством с конечным числом элементарных исходов?
3. Как вы считаете, для элементарных исходов, множества  будет выполняться требование равно возможности (равной вероятности)?
Обоснуйте свой ответ.
4. Найдите вероятности следующих случайных событий:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 2. Формула классической вероятности
19
А=На вынутой карточке написана буква С;
В=На вынутой карточке написана буква Н;
С=На вынутой карточке написана буква Б;
D=На вынутой карточке написана или гласная или согласная буква;
Задача 2.1.2. Из перевернутых карточек, из которых можно составить слово «МЕНЕДЖМЕНТ» случайным образом вынимают одну карточку.
1. Опишите пространство элементарных исходов .
2. Будет ли множество , являться множеством с конечным числом равновозможных элементарных исходов?
3. Найдите вероятности следующих случайных событий:
А=На вынутой карточке написана буква Е;
В=На вынутой карточке написана буква М;
С=На вынутой карточке написана буква У;
Задача 2.1.3. Случайный эксперимент состоит в том, что игральный
кубик подбрасывают до тех пор, пока на верхней грани кубика не выпадет 6 и наблюдают за тем, сколько раз подбросят кубик, пока это не произойдет.
1. Опишите пространство элементарных исходов .
2. Будут ли в этой задаче выполняться предположения классической
вероятностной схемы?
3. Какие исходы будут благоприятствовать случайному событию
А=Произведено не более трех подбрасываний кубика? Будут ли они
равновозможными?
Задача 2.1.4. Из шести перевернутых карточек с буквами, из которых можно составить слово «ЛОГИКА», наудачу одну за другой вынимают все карточки и прикладывают друг к другу, а затем читают получившееся
слово.
Найдите
вероятность
случайного
события
А=Получилось слово ЛОГИКА.
Задача 2.1.5. Случайный эксперимент состоит в том, что из перевернутых карточек с буквами, из которых можно составить слово
«ЛОГИСТИКА» наудачу одну за другой вынимают все карточки. Вынутые карточки прикладывают друг к другу, переворачивают и читают
получившееся слово. Найдите вероятность того, что в результате получится слово ЛОГИСТИКА.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Задача 2.1.6. Из 14 карточек с буквами, из которых можно составить слово «МАКРОЭКОНОМИКА» случайным образом одну за другой вынимают девять карточек, прикладывают их друг к другу и читают получившееся слово. Найдите вероятность случайного события В
=Получилось слово ЭКОНОМИКА.
Задача 2.1.7. Из 14 карточек с буквами, из которых можно составить слово «МАКРОЭКОНОМИКА», наудачу одновременно вынимают девять карточек. Найдите вероятность случайного события С =Из
вынутых карточек можно составить слово ЭКОНОМИКА.
Задача 2.1.8. В коробке лежат два белых и один черный шар, из нее
случайным образом вынимают два шара. Найдите вероятность случайных событий:
А = Оба шара белых;
В =  Оба шара черных;
С = Шары разных цветов.
Задача 2.1.9. Из коробки с десятью шарами, среди которых четыре
белых и шесть красных, наудачу извлекают три. Найдите вероятности
случайных событий:
А =  Все три шара белых;
В =  Все три шара красных;
D=  Один шар белый, остальные красные;
Е= Два шара белых, один красный;
С = Шары разных цветов.
Задача 2.1.10. В кошельке лежат 14 купюр: 7 достоинством
10 рублей, 4 достоинством 50 рублей и 3 по 100 рублей, причем на ощупь
эти банкноты неразличимы. Не глядя, из кошелька достают 4 банкноты.
Найдите вероятности случайных событий:
А = Все банкноты по 10 рублей ;
В = Все банкноты по 50 рублей;
D= Одна банкнота 100 рублей и 3 по 50 рублей;
Е==Две банкноты по 10 рублей ;
С = Три банкноты по 50 рублей .
Задача 2.1.11. На шести карточках записывают цифры
1,2,3,4,5,6, потом переворачивают эти карточки и перемешивают. Затем одну за другой вынимают три карточки, прикладывают их друг к
другу и читают получившееся число. Найдите вероятность случайных
событий:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 2. Формула классической вероятности
21
А = Получилось число 256;
В = Полученное число заканчивается на 4;
С = Трехзначное число четное.
Задача 2.1.12. Из трех перевернутых карточек с номерами 1,2,3 одну за другой вынимают все карточки. Найдите вероятность того, что хотя
бы у одной карточки порядковый номер совпадет с собственным.
Задача 2.1.13. Карточки с цифрами от 1 до 7 переворачивают,
перемешивают и раскладывают в ряд. Найдите вероятность случайных событий:
А =  Карточки с цифрами 1 и 7 окажутся рядом;
В = Карточки с цифрами 1,7,3 окажутся рядом.
Задача 2.1.14. Колоду из 36 карт хорошо перемешивают и выкладывают в ряд. Чему равна вероятность случайного события «Четыре
туза расположены рядом».
Задача 2.1.15. В стопке из 8 книг лежат две книги по теории вероятностей и шесть по математическому анализу. Случайным образом, не
следя за названием книг, их делят на две равные стопки. Найдите вероятности случайных событий:
А = Книги по теории вероятностей оказались в одной стопке;
В =В каждой стопке есть книга по теории вероятностей;
С = В первой стопке есть хотя бы одна книга по теории вероятностей.
Задача 2.1.16. Колоду из 36 карт раздают шести игрокам. Какова
вероятность того, что все тузы окажутся у одного игрока? У каждого игрока будет по одному тузу?
Задача 2.1.17. Игральный кубик подбрасывают шесть раз, какова
вероятность, что на каждой грани выпадет разное число очков?
Задача 2.1.18. Подбрасывают 8 игральных кубиков и смотрят,
сколько очков выпадет на верхней грани. Найдите вероятности случайных событий:
А = Не выпало ни одной 6;
В = Выпала хотя бы одна 6.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
2.2 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 2.2.1. На маленькой фабрике по производству детских игрушек работает 23 рабочих. Девять из них трудятся в цехе по изготовлению мягкой игрушки, десять связаны с производством игрушек из пластмассы, а остальные рабочие работают в других производственных подразделениях. На общем собрании, связанном с созданием рабочей группы
по выходу из конфликтной ситуации, возникшей на фабрике, выбирается
группа из 6 рабочих. Выдвижение представителей в группу происходит
на собрании в эмоциональной обстановке и достаточно спонтанно. Найдите вероятности случайных событий А, В, С, где:
А= В рабочую группу войдет одинаковое количество рабочих из
обоих цехов и 2 представителя из других производств;
В=В рабочей группе будет больше половины представителей из
цеха мягкой игрушки;
С= В рабочей группе будет хотя бы один представитель из цеха
мягкой игрушки .
Задача 2.2.2. Подбрасывают два игральных кубика. Наблюдают за
тем, какое число очков выпадет на верхней грани каждого кубика. Найдите вероятности следующих случайных событий:
А=Сумма очков на верхних гранях будет равна 7;
В=Число очков на верхней грани одного кубика на 3 больше, чем
другого;
С= Число очков на верхней грани второго кубика на 2 больше, чем
первого.
Задача 2.2.3. Пять менеджеров, из которых 2 женщины и 3 мужчины, подали заявление на замещение одной должности в отдел маркетинга. Все претенденты имеют одинаковую квалификацию и их всех пригласили на собеседование с директором департамента. В кабинет директора
для собеседования приглашают по одному претенденту. Найдите вероятности случайных событий А и В:
А=Первым для собеседования пригласят мужчину;
В= Женщины пройдут собеседование друг за другом».
Задача 2.2.4. В весенний субботний день в магазине по продаже
садового оборудования побывали 34 покупателя. Из них 20 приходят в
этот магазин не первый раз. Вы располагаете информацией о том, что 8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 2. Формула классической вероятности
23
покупателей купили поливальные мини – машины, но не знаете, это постоянные или новые покупатели.
Чему будет равна вероятность следующих случайных событий:
А=Все покупатели поливальных машин впервые совершили покупку в этом магазине;
В=Не менее 4 покупателей поливальных машин уже покупали оборудование в этом магазине;
С= Хотя бы один покупатель, купивший поливальную машину, никогда до этого не делал покупок в этом магазине;
D=  Пять из этих покупателей делают уже не первую покупку в
этом магазине.
Задача 2.2.5. Экзамен по курсу Статистика 1 проводится в аудитории, рассчитанной на 43 места. Среди 43 студентов, которые будут сдавать экзамен в этой аудитории, 13 студентов из четвертой группы, 10 из
пятой группы, остальные из шестой группы. Преподаватель приглашает
по одному в аудиторию первых 9 человек. Какова вероятность следующих случайных событий:
А= Среди девяти первых входящих друг за другом в аудиторию
студентов будет поровну студентов из каждой группы ;
В= Из шестой группы студентов будет на 3 больше, чем из четвертой группы .
Задача 2.2.6. Из карточек с буквами, из которых можно составить
слово «ТЕЛЕВИЗОР» случайным образом одну за другой вынимают
четыре карточки, прикладывают их друг к другу и читают получившееся слово. Найдите вероятность случайного события В =Получилось
слово «ВЗОР».
Задача 2.2.7. Из карточек с буквами, из которых можно составить
слово «ТЕЛЕВИЗОР» случайным образом одновременно вынимают
четыре карточек. Найдите вероятность случайного события С=Из вынутых карточек можно составить слово «ВЗОР».
Задача 2.2.8. В одном из городских судов Санкт-Петербурга начался процесс по делу о мошенничестве в особо крупном размере. На третий
день заседания суда приглашают 7 свидетелей со стороны обвинения и 8
свидетелей со стороны защиты. Известно, что в этот день успели опросить только 6 свидетелей. Вычислите вероятности следующих случайных
событий:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
А= В этот день в заседании суда приняли участия два свидетеля со
стороны обвинения;
В= По крайней мере два свидетеля со стороны обвинения успели
дать показания в этот день;
С= В третий день суда успели дать показания не менее трех свидетелей со стороны защиты.
Задача 2.2.9. В списки рекомендованной литературы по макроэкономике был включен один обязательный учебник и шесть дополнительных. В библиотеку факультета, где в этот день работает только один библиотекарь, пришли четыре студента, чтобы взять книги по макроэкономике. Библиотека хорошо обеспечена и в ней есть достаточное число
учебников из списка дополнительных, тем не менее, каждый студент решил взять только одну книгу из этого списка. Наблюдают за тем, какие
книги из рекомендованных к дополнительному чтению возьмут студенты.
Найдите вероятности следующих случайных событий:
А=Все студенты взяли разные учебники из списка дополнительной
литературы ;
В=Все студенты взяли один и тот же учебник из списка дополнительной литературы;
С = Два конкретных студента взяли одинаковые книги из списка дополнительной литературы;
D =Только два студента взяли одинаковые книги из списка дополнительной литературы.
Задача 2.2.10. Предположим, что вы набираете семизначный телефонный номер с закрытыми глазами. Какова вероятность того, что все
цифры набранного вами номера будут: а) различными, б) одинаковыми?
Задача 2.2.11. В стопке из 9 книг лежат две книги по теории вероятностей и шесть по математическому анализу. Случайным образом, не
следя за названием книг, их делят на две стопки: в первой 4, а во второй
5 книг. Найдите вероятности случайных событий:
А = Книги по теории вероятностей оказались в одной стопке;
В =В каждой стопке есть книга по теории вероятностей;
С = В первой стопке есть хотя бы одна книга по теории вероятностей.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 2. Формула классической вероятности
25
Задача 2.2.12. Один за другим подбрасывают три игральных кубика и наблюдают, какое число очков выпадет на верхней грани каждого кубика. Найдите вероятности случайных событий:
А = На всех кубиках выпадет разное число очков ,
В = На всех кубиках выпадет одинаковое число очков ,
С =На двух кубиках одинаковое число очков, а на третьем дру
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
ТЕМА 3. ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
И ВЕРОЯТНОСТИ СУММЫ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ
 Условной вероятностью появления случайного события А, при
условии, что случайное событие В произошло, называется отношение
P( A  B)
 Р(А/В)=
, Р(В)0.
P( B)
Условная вероятность удовлетворяет аксиомам Колмогорова А.Н.:
 0  Р(А/В) 1;
 Р(/В)=1;
 Р((АС)/В)) = Р(А/В) + Р(С/В), если АС=.
Отметим, что имеет место равенство:
Р(А/В)+ Р( A /В) =1.
 Пусть Р(В)0. Если условная вероятность Р(А/В) совпадает с безусловной вероятностью Р(А), то говорят, что случайное событие А не
зависит от случайного события В:
 Р(А/В)=Р(А).
Таким образом, факт наступления случайного события В никак не
влияет на вероятность наступления случайного события А. Если случайное
событие А не зависит от случайного события В, то и случайное событие В не
зависит от случайного события А, то есть свойство независимости случайных событий является взаимным.
Понятие независимости двух случайных событий можно определить и следующим образом: два случайных события независимы (парно
независимы), если вероятность произведения этих событий Р(АВ) равна
произведению вероятностей каждого случайного события:
 Р(АВ)=Р(А)Р(В).
Если случайные события А и В независимы, то независимыми будут
и следующие пары случайный событий: А и B , A и В, A и B .
 Рассмотрим следующие случайные события: А1, А2, …,Аn . Говорят, что эти случайные события независимы в совокупности (или взаимно независимы), если для любой комбинации индексов 1 i < j <k <…
n выполняются соотношения:
Р(Аi Аj)= Р(Аi)P(Аj),
Р(Аi Аj Ak)= Р(Аi)P(Аj)P(Ak),
…………………………………………..
Р(А1А2…Аn)= Р(А1)P(А2) … P(An).
Из независимости в совокупности случайных событий А1, А2, …,Аn
следует парная независимость. То есть для всех i  j всегда будут выполняться равенства вида: Р(Аi Аj)= Р(Аi)P(Аj). В обратную сторону это ут-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 3. Теоремы о вероятности произведения и вероятности суммы случайных событий… 27
верждение неверно, то есть если имеет место парная независимость случайных событий, то из нее не будет следовать независимость в совокупности случайных событий А1, А2, …,Аn.
Имеет место теорема о вероятности произведения двух случайных
событий А и В, очевидность которой вытекает из определения условной
вероятности.
 Теорема (о вероятности произведения двух случайных событий). Если известна вероятность Р (А) > 0 и условная вероятность Р
(В/А), то вероятность произведения Р(АВ) случайных событий А и В
вычисляется по формуле
 Р(АВ)=Р(А)Р(В/А),
или по формуле
 Р(АВ)=Р(В)Р(А/В),
если известны Р(В) > 0 и Р(А/B).
Для трех случайных событий А, В, С, вероятность их произведения можно вычислить по одной из следующих формул:
Р(АВС)=Р(В)Р(А/В)Р(С/АВ),
Р(АВС)=Р(В)Р(С/В)Р(А/СВ),
Р(АВС)=Р(А)Р(В/А)Р(С/АВ),
Р(АВС) = Р(А)Р(С/А)Р(В/АС),
Р(АВС)=Р(С)Р(В/С)Р(А/СВ ),
Р(АВС)= Р(С)Р(А/С)Р(В/СА).
 Теорема (о вероятности суммы двух случайных событий). Вероятность суммы Р(АВ) двух совместных случайных событий А и В
равна сумме вероятностей каждого события без вероятности их произведения, т.е.
 Р(АВ)=Р(А) +Р(В) – Р(АВ).
Для трех случайных событий А, В, С вероятность суммы можно
вычислить по следующей формуле:
Р(АВС) = Р(А) + Р(В) +Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(СВ) +
+Р(АВС).
3.1. ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ В АУДИТОРИИ
Задача 3.1.1. Технический отдел крупного завода по выпуску автомобилей занимается усовершенствованием известной марки легкового
автомобиля. С вероятностью 0,75 можно прогнозировать возможность
увеличения мощности двигателя. Увеличение мощности двигателя вы-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
пускаемого автомобиля в свою очередь увеличит объем продаж с вероятностью 0,45. Найдите вероятность того, что произойдет увеличение мощности двигателя и возрастет спрос на эту марку автомобиля.
Задача 3.1.2. В штате Арканзас было проведено исследование, направленное на изучение взаимосвязи между успеваемостью по математике и поступлением в технические колледжи. В результате опроса 1000
выпускников штата было установлено, что 400 из них изучали математику и 150 выпускников из тех, кто изучал математику, были приняты в
технические колледжи. Найдите вероятность того, что студент, изучавший математику, не поступит в колледж.
Задача 3.1.3. Вероятность того, что акции компании «Лукойл» упадут в цене, равна 0,06. Если падение курсовой стоимости указанных акций произойдет, то это повлечет за собой падение цены акций компании
«Сибнефть» с вероятностью 0,22. Цена акций компании «Сибнефть» вырастет с вероятностью 0,29 при увеличении цены акции «Лукойл». Найдите вероятность одновременного падения цен акций обеих компаний.
Чему равна вероятность одновременного повышения стоимости этих
ценных бумаг? Будут ли случайные события, заключающиеся в падении
(росте) курсовой стоимости акций каждой компании независимыми?
Задача 3.1.4. Анализируя информацию, представленную финансовым директором Х5 Кираном Балфи, о том, что компания намерена унифицировать ассортимент во всех «Пятерочках» и расширить ассортимент
свежих овощей и фруктов, а также улучшить внешний вид и атмосферу
магазинов, аналитики прогнозируют рост выручки этой компании
в 2013 году с вероятностью равной 0,34. Одновременно с информацией
о стратегиях группы X5 в средствах массовой информации появилось сообщение о том, что владелец сети магазинов «Магнит» Сергей Галицкий
начал проект по созданию парфюмерной сети в премиальном ценовом
сегменте. Это сообщение и анализ результатов финансовой деятельности
компании «Магнит» в 2012 году, позволяет прогнозировать рост продаж
с вероятностью равной 0,52. В то же время, вероятность одновременного
увеличения выручки у обеих компаний прогнозируется аналитиками с
вероятностью 0,10. Будут ли случайные события А =  В 2013 году выручка компании Х5 вырастет и В =  В 2013 году выручка компании
«Магнит» вырастет независимыми? Чему равны следующие вероятности: Р(А/В), Р( A /В), Р(А/ B ) ?
Задача 3.1.5. В банке устанавливают новое устройство для блокировки дверей в денежное хранилище на случай несанкционированного
проникновения. Устройство состоит из двух блоков. Предварительное
испытание показало, что вероятность отказа обоих блоков равна 0,02, ве-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 3. Теоремы о вероятности произведения и вероятности суммы случайных событий… 29
роятность отказа первого блока равна 0,03, а второго — 0,05. Проверьте,
будут ли случайные события А =«Отказал первый блок» и В =«Отказал
второй блок» зависимыми? В случае положительного ответа найдите условные вероятности Р(А/В) и Р(В/А), Р( A /В), Р(А/ B ). Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, один блок будет работать безотказно?
Задача 3.1.6. Для усиления безопасности работы банка были установлены две совместно работающих камеры наблюдения. Каждая из них
характеризуется вероятностью безотказной работы в течение заданного
времени, равной соответственно 0,9 и 0,95. При отказе второй камеры вероятность безотказной работы первой становится равной 0,7. Найдите вероятность безотказной работы каждой камеры наблюдения при условии
безотказной работы другой камеры. Какова вероятность того, что хотя бы
одна камера откажет?
Задача 3.1.7. Два менеджера независимо друг от друга занимаются
решением одной и той же проблемы. Вероятности успешного разрешения
проблемы зависят от их квалификации и равны соответственно 0,9 и 0,7.
Найдите вероятности следующих случайных событий:
А =Оба менеджера успешно разрешат данную проблему;
В = Только один менеджер справится с проблемой;
С =Проблема будет разрешена хотя бы одним из менеджеров.
Задача 3.1.8. Два покупателя независимо друг от друга решают
приобрести
телевизор
марки
Samsung
UE55ES8000
и приходят за покупкой в один магазин. Вероятность того, что телевизор
купит один покупатель, равна 0,67, а вероятность покупки телевизора
первым покупателем, равна 0,9. Найдите вероятность, с которой второй
покупатель купит телевизор. Какова вероятность того, что хотя бы один
покупатель откажется от идеи купить телевизор Samsung UE55ES8000?
Задача 3.1.9. Студент пришел на экзамен, зная лишь 25 из
30 вопросов программы. Найдите вероятность того, что он ответит на три,
заданные друг за другом, вопроса преподавателя. Какова вероятность того, что он не ответит, по крайней мере, на один вопрос?
Задача 3.1.10. В партии из 30 мобильных телефонов четыре имеют
какие либо дефекты. Фирма, получившая телефоны на реализацию, проверяет 5 случайно выбранных телефонов. Вся партия будет забракована,
если будет обнаружен хотя бы один телефон с дефектом. Найдите вероятность того, что партия будет забракована.
Задача 3.1.11. Один раз подбрасывают игральный кубик. Вычислите вероятность Р (А/В), где случайное событие А=Выпало простое число
очков, а В=Выпало четное число.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Задача 3.1.12. Подбрасывают три игральных кубика. Вычислите Р
(А/В), и Р (В/А), где случайное событие А=На трех гранях выпадут разные числа, В=Хотя бы на одной грани выпала 6.
Задача 3.1.13. В магазин поступает продукция трех различных молочных заводов, принадлежащих разным фирмам. Заводы каждой фирмы
пакуют свой товар в коробки объемов 20, 16 и 18 упаковок соответственно. При транспортировке некоторое количество товара получило повреждение: в коробке первого завода были повреждены 4 упаковки, второго
– 1 упаковка, третьего – 2 упаковки. Покупатель приобретает по единице
товара каждого наименования. Ответьте на вопрос: будут ли случайные
события Аί=Товар, извлеченный продавцом из ί-ой коробки набракованный, ί=1,2,3, независимыми? Вычислите вероятности того, что весь товар, приобретенный покупателем, не поврежден.
Задача 3.1.14. Три вновь созданных банка независимо друг от друга
обращаются в другие банки для получения межбанковского кредита.
Вследствие различных факторов вероятность получения кредита каждым
из них равна: 0,5, 0,7, 0,9. Найдите вероятности следующих случайных
событий:
А = Все три банка получат кредиты;
В = Хотя бы один банк получит кредит;
Задача 3.1.15. Руководители трех отделов фирмы составляют годовой отчет по итогам работы возглавляемых ими отделов. Известно, что
из-за различной степени загруженности каждого из них, вероятности сдачи работы в срок равны соответственно: 0,6; 0,7; 0,8. Найдите вероятности следующих случайных событий:
А=  Вовремя будет сдан только один отчет;
В=  Хотя бы один отчет будет сдан вовремя.
Задача 3.1.16. При оформлении договора о предоставлении услуг,
сотрудник фирмы независимо друг от друга может с вероятностью 0,01
допустить арифметическую ошибку, с вероятностью 0,04 сделать опечатку и с вероятностью 0,02 указать неправильную дату. Какова вероятность
того, что в случайно отобранном договоре, среди тех, которые оформил
этот сотрудник: а) нет ошибок; б) будет хотя бы одна ошибка?
Задача 3.1.17. При работе с банкоматом, независимо друг от друга,
клиент может выполнить следующие операции: С1 = «Снять со счета наличные», С2 = «Внести коммунальные платежи», С3 = «Оплатить услуги
оператора мобильной связи». Вероятности использования каждой из перечисленных услуг равны: P(С1) = 0,5; P(С2) = 0,1; P(С3) = 0,4. Найдите
Р(А), Р(В), где А и В следующие случайные события:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 3. Теоремы о вероятности произведения и вероятности суммы случайных событий… 31
A = «Из трех перечисленных услуг клиент только оплатит мобильную связь»;
B = «Из трех предоставляемых услуг клиент воспользуется двумя».
Задача 3.1.18. Дважды подбрасывают игральный кубик и наблюдают, какое число выпадет на верхней грани кубика. Найдите следующие
вероятности:
а) вероятность того, что при втором подбрасывании выпадет 5, если
известно, что при первом подбрасывании выпало нечетное число очков;
б) вероятность того, что при втором подбрасывании выпадет четное
число, если известно, что при первом подбрасывании выпало нечетное
число очков;
с) вероятность того, что при втором подбрасывании выпало число,
превышающее единицу, если известно, что при первом подбрасывании
выпало число меньшее 6.
3.2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 3.2.1. Предварительный анализ показателей результативности деятельности компании позволил генеральному директору этой
компании с вероятностью 0,75 предположить, что 2013 год компания
завершит с прибылью. При наличии прибыли, акционеры компании могут рассчитывать на выплату дивидендов по обыкновенным акциям с вероятностью 0,95. Найдите вероятность успешного завершения года компании и получения дивидендов акционерами компании.
Задача 3.2.2. Старожилы небольшого поселка, расположенного на
берегу речки, утверждают, что весной речка может выйти из берегов и с
вероятностью 0,3 произойдет наводнение. Опыт прошлых лет позволяет
утверждать, что в этом случае поселок попадет в зону затопления с вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что во время наводнения поселок будет затоплен.
Задача 3.2.3. Подбрасываются два игральных кубика, и фиксируется число очков, выпавших на верхних гранях. Найдите вероятности следующих случайных событий:
А = Сумма очков на гранях равна шести;
В = Сумма очков на гранях равна четырем;
С = Разность очков на гранях равна четырем;
D = Сумма очков на гранях равна шести при условии, что сумма
очков равна четырем;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
32 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Е=Сумма очков равна шести при условии, что разность очков равна
четырем.
Будут ли случайные события А и В зависимыми? Что Вы скажите о
зависимости или независимости случайных событий А и С?
Задача 3.2.4. Вероятность того, что для аудита компания обратится
в аудиторскую компанию «PricewaterhouseCoopers» равна 0,75. Вероятность успешного прохождения аудита, после обращения в указанную
компанию, равна 0,8. С какой вероятностью компания обратится в указанную аудиторскую компанию и успешно пройдет аудит? Чему будет
равна
вероятность
того,
что
компания
обратится
в
«PricewaterhouseCoopers» и не пройдет аудит?
Задача 3.2.5. В коробке находится 3 белых и 2 черных шара. Наудачу вынимают один шар, фиксируют его цвет и возвращают обратно в коробку. Эксперимент повторяют трижды. Найдите вероятности случайных событий:
А = Во второй раз вынут белый шар;
В = В третий раз вынут белый шар;
С =Шар, вынутый в третий раз, белый, если в первый раз также
был, вынут белый шар.
Что вы скажите о зависимости или независимости случайных
событий: А и В, А и С, В и С? Ответ обоснуйте.
Задача 3.2.6. Из коробки с 4 белыми и 2 черными шарами наудачу
вынимают один шар, фиксируют его цвет и обратно в коробку не возвращают. Действия повторяют три раза подряд. Найдите вероятность
того, что в третий раз будет вынут белый шар, если известно, что в первый и второй раз уже вынули белый шар.
Задача 3.2.7. Два выпускника университета приняты на работу в
банк с испытательным сроком. Вероятность успешного прохождения испытательного срока каждого из этих выпускников не зависит от того, как
работает другой, а зависит только от приобретенных ими знаний и отношения к работе. Эта вероятность равна 0,8 для первого выпускника и
0,55 для второго выпускника. Найдите вероятность случайных событий:
A=Только один выпускник успешно выдержит испытательный срок;
В=Оба выпускника успешно выдержат испытательный срок; С=По
крайней мере один из выпускников не выдержит успешно испытательный
срок.
Задача 3.2.8. Два студента независимо друг от друга решают одну и
ту же задачу по теории вероятностей. Вероятность того, что эту задачу
решит один студент, равна 0,56, а вероятность решения этой задачи вто-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 3. Теоремы о вероятности произведения и вероятности суммы случайных событий… 33
рым студентом равна 0,8. Найдите вероятность, с которой первый студент
справится с поставленной задачей
Задача 3.2.9. В конце квартала компания может снизить цены на четыре выпускаемых ею товара. С помощью случайных событий
Сi =Понизится цена на товар i, i = 1, 2, 3, 4, опишите следующие случайные события:
A = Цены будут снижены только на три товара из четырех;
B = Цены будут снижены не более чем на три товара.
Найдите P (A), P (B), если известны следующие вероятности: P (С1) = 0,1;
P (С2) = 0,4; P (С3) = 0,2; P (С4) = 0,3, и события Сi предполагаются независимыми.
Задача 3.2.10. Две санкт-петербургские компании-конкуренты по
производству мебели: «Капитоль» и «Мебель КСК» независимо друг от
друга обратились в банк с просьбой о кредите для расширения производства. После того, как кредитный отдел банка ознакомился с проектами и
кредитной историей обеих компаний, стало ясно, что вероятность получения кредита компанией «Капитоль» равна 0,8, а компанией «Мебель
КСК» равна 0,65. Найдите вероятность того, что кредит получит: а) обе
компании; б) одна компания; в) хотя бы одна компания.
Задача 3.2.11. Три фирмы выходят со своими товарами на рынок.
На данном рынке имеет место очень серьёзная конкуренция и не все
предприятия могут её выдержать. Вероятности того, что каждая из этих
фирм сможет удержаться на рынке, соответственно равны 0,4; 0,6 и 0,8.
Найдите вероятности следующих случайных событий:
A=Две фирмы смогут удержаться на рынке.
B=Все три фирмы смогут удержаться на рынке;
С= Хотя бы одна фирма удержится на рынке;
Задача 3.2.12. На практическом занятии по теории вероятностей на
тему: «Теоремы о вероятности произведения и вероятности суммы случайных событий» преподаватель предложил студентам разделиться на
3 команды. После деления группы на команды оказалось, что вероятность
успешного решения задач командой №1 равна 0,8, вероятность успешного решения задач командой №2 равна 0,6, а командой №3 – 0,5. Найдите
вероятности следующих случайных событий:
A=Все три команды успешно решат предложенную задачу;
B=Предложенную задачу решит только одна команда;
С=Предложенная задача будет решена хотя бы одной командой.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
34 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Задача 3.2.13. Приобретается пакет акций трёх различных компаний. Вероятность получения прибыли от акций первой компании 0,40; от
второй компания — 0,55 от третьей компании — 0,75. Какова вероятность того, что акции хотя бы одной компании не принесут прибыль.
Задача 3.2.14. Дежурная медсестра трижды обращается к одному
очень пожилому и плохо слышащему пациенту клиники. Вероятности того, что будут услышаны первое, второе и третье обращение, равны 0,6;
0,7; 0,8 соответственно. Случайные события, заключающиеся в том, что
каждое обращение медсестры будет услышано больным, не зависят друг
от друга. Вычислите вероятность того, что пациент клиники услышит
обращение медсестры.
Задача 3.2.15. Первого сентября на первом курсе запланировано по
расписанию три лекции по разным предметам. Всего на первом курсе
изучается 8 предметов. Студент, не успевший ознакомиться с расписанием, пытается его угадать. Какова вероятность того, что ему это удастся,
если считать, что любое расписание из трех предметов равновозможное.
Задача 3.2.16. Руководство банка собирается рассмотреть вопрос о
замене устаревших банкоматов в трех районах города. С помощью случайных событий Сi = Будет принято решение о замене банкомата в районе i, i = 1, 2, 3, опишите следующие случайные события:
A = Замена банкоматов будет проведена по крайней мере в двух
районах;
B = Банкомат заменят только в одном районе.
Вычислите P (A), P (B), если предполагается, что события Сi независимы и известны их вероятности: P (С1) = 0,4; P (С2) = 0,2; P (С3) = 0,4.
Задача 3.2.17. В отделе кредитования физических лиц банка имеются три вакансии. Работа носит временный характер, поэтому на работу
приглашены студенты старших курсов, которые должны пройти предварительное собеседование. С помощью случайных событий Сi = «Будет
занята вакансия i» i = 1, 2, 3, опишите следующие случайные события:
A = «По итогам собеседования будет занято только одно вакантное
место»;
B = «По крайней мере одно вакантное место будет занято студентами».
Вычислите P (A), P (B), если известны P(С1) = 0,1; P(С2) = 0,6;P
(С3) = 0,3, и случайные события Сi предполагаются независимыми.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
35
ТЕМА 4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА
БАЙЕСА. СХЕМА НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ
Теорема (формула полной вероятности).
Пусть случайные события А1, А2,…,Аn образуют полную группу и
пусть, интересующее нас случайное событие В может произойти, если
произойдет какое-то из этих случайных событий. Предположим, что вероятности Р(Аi) и Р(В/Аi), i=1,…,n известны. Тогда вероятность случайного события В можно вычислить по формуле:
n
 Р(В)=  P ( A i ) P ( B / A i ) ,
i 1
называемой формулой полной вероятности.
Случайные события А1, А2,…,Аn обычно называют гипотезами, а
вероятности Р(Аi) – априорными вероятностями (вероятностями, вычисленными до опыта).
Теорема (формула Байеса).
Пусть Аm, m=1,…,n, некоторая фиксированная гипотеза, тогда в условиях теоремы о формуле полной вероятности имеет место формула
 Р(Аm/В)=
P ( Am )P (B / Am )
n

i 1
,
P ( Ai ) P ( B / Ai )
называемая формулой Байеса.
Вероятности Р(Аm/В) называются апостериорными (вероятностями, вычисленными после опыта).
Схемой испытаний Бернулли называют последовательность n
случайных экспериментов, для которых выполняются следующие условия:
1. Все эксперименты проводят независимо друг от друга;
2. В каждом испытании фиксируют факт наступления некоторого
случайного события А (успеха) или противоположного ему случайного
события А (неудачи);
3. Вероятность наступления случайного события А в каждом испытании постоянна и равна р: Р(А)=р, Р( А )=q, p+q=1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
36 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Формула для нахождения вероятности того, что в серии из n испытаний Бернулли случайное событие А произойдет ровно к раз, имеет
вид:
Pn ( k )  C nk p k q n  k ,
k  0 , 1, 2 , ..., n
.
Вероятности, которые вычисляют по этим формулам, называют биномиальными вероятностями.
4.1. ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ В АУДИТОРИИ
Задача 4.1.1. Производится реализация партии товара, изготовленного разными поставщиками, но по внешнему виду неотличимого друг от
друга. В партии 17 единиц продукции от первого поставщика и 25 — от
второго. Предыдущий опыт торговли дает основание предполагать, что
вероятность выпуска качественной продукции первым производителем
равна 0,79, а вторым — 0,68. Какова вероятность того, что приобретенная
покупателем единица товара будет качественной?
Задача 4.1.2. На трех автоматических линиях изготавливаются однотипные детали. Вследствие сбоя в работе станков возможен выпуск
бракованной продукции первой линией с вероятностью 0,03, второй- с
вероятностью 0,04, третьей — с вероятностью 0,01. С каждой линии на
склад поступает соответственно 40, 25 и 35 процентов готовой продукции. Найдите вероятность того, что произвольно взятая со склада деталь
окажется бракованной.
Задача 4.1.3. На складе находятся три партии однотипных деталей,
в которых имеется соответственно 7, 6 и 9 процентов бракованных деталей. Детали поступают в цех в трех ящиках, причем в каждом из них находятся детали только одной партии. Рабочий из наудачу выбранного
ящика берет наудачу одну деталь. Вычислите вероятность того, что она
окажется бракованной.
Задача 4.1.4. В ящик, в котором лежали 4 детали, положили одну бракованную деталь, а затем наудачу вынули одну деталь. Какова вероятность
того, что вынутая из ящика деталь не бракованная, если все предположения
о первоначальном составе деталей равновозможны.
Задача 4.1.5. Фирма, занимающаяся городскими автоперевозками,
выпускает на линию автобусы: восемь Мерседесов, три Икаруса и четыре
Газели. Вероятности поломок автобуса каждого из указанных типов равны
соответственно 0,01; 0,15; 0,3. Поступила информация, что из-за неисправ-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
37
ности какой-то автобус сошел с маршрута. Найдите вероятность того, что
сломался Мерседес.
Задача 4.1.6. Инвестор, формируя портфель ценных бумаг, руководствуется методом «наивной диверсификации», согласно которому одна
из бумаг отбирается в портфель случайным образом. В качестве такой
бумаги он выбирает одну из облигаций, которые предоставили 25 корпораций. Причем, 10 из 25 облигаций класса ААА, 13 класса ВВ и 2 класса
С. Согласно публикуемому рейтингу корпорации S&P, вероятность неплатежа по облигациям класса ААА оценивается как 0,1, для облигаций
класса ВВ она принимается равной 0,25, а для класса С как 0,4. Найдите
вероятность неплатежеспособности облигации, отобранной инвестором.
Задача 4.1.7. Специалист в области финансов определил следующее
потенциальное поведение курса акций на конец года. Акции имеют 30%
шансов подняться до $20, 60% шансов подняться до $12 и 10% шансов
упасть до $8. Если акции за наблюдаемый год поднимутся до $20, то у
них будет 50% шансов подняться в цене и во второй год. При увеличении
цены акции до $12 у нее будет 70% шансов подняться в цене и в следующем году. При падении цены акции за первый год, у нее есть 40% шансов подняться в цене в следующем году. Какова вероятность того, что во
второй год цена акции увеличится? Если известно, что во второй год цена
акции увеличилась, какова вероятность того, что в первый год курс акции
поднялся до $20?
Задача 4.1.8. Для принятия решений о покупке ценных бумаг была
разработана система анализа рынка. Из прошлых данных известно, что
5% рынка представляют собой «плохие» ценные бумаги – неподходящие
объекты для инвестирования. Предложенная система определяет 98%
«плохих» ценных бумаг как потенциально «плохие», но также определяет
15% пригодных инвестиций как потенциально «плохие». При условии,
что ценная бумага была определена как потенциально «плохая», какова
вероятность того, что ценная бумага в действительности «плохая»? Прокомментируйте пригодность системы для принятия инвестиционных решений.
Задача 4.1.9. В коробке лежали два игральных кубика, один правильный, а у второго вместо одного, трех и пяти очков нарисованы шесть
очков. При подбрасывании наудачу выбранного кубика выпала 2. Какова
вероятность того, что был подброшен правильный кубик? Ответьте на
вопрос задачи, если известно, что при подбрасывании наудачу выбранного кубика: а) выпала 6, б) выпала 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
38 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Задача 4.1.10. Перед рабочим находятся два ящика, в которых лежат по 12 однотипных деталей, причем в первом ящике имеется 3, а во
втором — 4 дефектные детали, которые по внешнему виду не отличаются
от годных. Рабочий из наудачу выбранного ящика берет 5 деталей. Найдите вероятность того, что среди выбранных деталей не окажется ни одной дефектной.
Задача 4.1.11. В двух ящиках находятся однотипные детали. В первом ящике имеется 8 годных и 2 бракованных деталей, во втором 7 годных и 3 бракованных деталей. Из каждого ящика наудачу берут по одной
детали и помещают в третий ящик, из которого наудачу берут одну деталь. Вычислите вероятность того, что будет извлечена годная деталь.
Задача 4.1.12. Компания «Туризм без границ» занимается анализом эффективности использования чартерных рейсов на российском туристическом рынке в период кризиса. Проведенный ею опрос 209 крупных и 360 малых и средних компаний дает ей основание утверждать, что
вложения в чартерные рейсы, с вероятностью 0,65 являются эффективными инвестициями для крупных компаний, а с вероятностью 0, 32- для
средних и малых компаний. Какова вероятность того, что наудачу отобранная туристическая фирма относится к крупным компаниям, если известно, что вложения в чартерные рейсы для нее оказались эффективными?
Задача 4.1.13. Фирма по производству ручек заявляет, что среди ее
продукции 2% - бракованных изделий. Из партии с продукцией этой
фирмы наудачу выбирают 10 ручек. Найдите вероятность того: а) что
среди них не будет ни одной бракованной; б) будет хотя бы 1 бракованная; в) будет, по крайней мере, 2 бракованные; г) число бракованных ручек будет не больше пяти, но не меньше двух.
Задача 4.1.14. Кондитерская фирма утверждает, что при выпуске
шоколадных батончиков процент брака составляет 1,2 % . В театральном
буфете были куплены 4 батончика. Найдите вероятность того, что среди
них: а) нет бракованных; б) число бракованных батончиков не больше 1.
Задача 4.1.15. В центральном районе Санкт-Петербурга были созданы 11 новых магазинов: 6 продуктовых и 5 хозяйственных. Результаты
прошлых наблюдений позволяют утверждать, что вероятность безубыточной торговли в первый год создания для продуктового магазина равна
0,2, а для хозяйственного магазина 0,09. Для изучения положения дел во
вновь созданных магазинах наудачу отбирают два магазина. Какова вероятность того, что: а) только один из этих магазинов не понесет убытки в
первый год работы; б) оба магазина закончат первый год работы без
убытков, в) хотя бы один магазин из этих двух закончит год без убытков.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
39
Задача 4.1.16. В первой урне имеются 5 исправных и 1 бракованная
деталь, во второй урне находятся 7 исправных деталей, в третьей урне
7 исправных и 2 бракованных детали. Из наудачу выбранной урны,
шесть раз подряд вынимают одну деталь и тут же возвращают ее в урну. Чему равна вероятность того, что бракованная деталь будет вынута
ровно 4 раза (случайное событие В). С какой вероятностью можно утверждать, что была выбрана первая урна, если известно, что событие В произошло.
Задача 4.1.17. Ответьте на вопрос, чему равна вероятность случайного события А, если известно, что вероятность того, что это событие
произойдет хотя бы один раз в серии из 3 независимых испытаний Бернулли испытаний, равна 0,999.
Задача 4.1.18. Каждый из 36 студентов второго курса ВШМ, имеющий наибольший средний балл по результатам двух лет обучения, может
с вероятностью 0,87 подать заявление на включенное обучение за рубежом в осеннем семестре третьего курса. Вероятность того, что подавший
заявление студент, отменит свое решение ехать на стажировку в пятом
семестре, равна 0,03. С какой вероятностью 30 из этих 36 студентов подадут заявление на включенное обучение за рубежом? Найдите вероятность того, что, по крайней мере, 2 студента из подавших заявление, откажутся ехать на стажировку в пятом семестре.
Задача 4.1.19. Одна крупная корпорация рассматривает вариант
вложения денег в инвестиционный проект. Проект рассчитан на один год,
а вероятность того, что проект принесет доход, зависит от состояния экономики в следующем году. Аналитики прогнозируют три возможных состояния экономики в будущем году: А1=Спад, А2=Средний уровень,
А3=Процветание c соответствующими вероятностями Р(А1)=0,3,
Р (А2)=0,45, Р (А3)=0,25.Если экономика будет на спаде, то вероятность
дохода от проекта равна 0,03. Проект принесет доход с вероятностью
0,35, если экономическое состояние будет на среднем уровне. Вероятность дохода от проекта равна 0,78, если в стране будет процветание. С
какой вероятностью можно говорить о том, что через год этот проект
принесет доход корпорации? Чему равна вероятность того, что экономика
процветала, если известно, что проект не принес доход?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
40 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
4.2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 4.2.1. Для поступления в один из американских или британских университетов студент сдаёт тест по английскому языку – TOEFL
(test of English as a foreign language), который состоит из трёх частей:
1. Грамматика, включающая 50% всех вопросов;
2. Диалоги, включающие 30% всех вопросов;
3. Чтение, включающее 20% всех вопросов.
Вероятность того, что студент сдаст тест, при условии, что сделает ошибки в первой части теста равна 0,4, во второй – 0,35, в третьей части –
0,25. Найдите вероятность того, что студент, который сдал тест, допустил ошибку в первой части теста.
Задача 4.2.2. В коробке лежат два тетраэдра с пронумерованными гранями. Один тетраэдр правильный, а у второго тетраэдра вместо двойки и
четверки написаны 1. При подбрасывании наудачу выбранного тетраэдра
выпала 1. Какова вероятность, что подбрасывали неправильный тетраэдр?
Задача 4.2.3. В крупную фирму, занимающуюся рекламной деятельностью, доставляют две партии принтеров по 15 и 20 штук в каждой.
Оказалось, что в первой партии два принтера без картриджей, во второй
— один. При перевозке один принтер из первой партии был случайно переложен во вторую. Найдите вероятность того, что в произвольно выбранном из второй партии принтере, нет картриджа.
Задача 4.2.4. К экзамену по теории вероятностей студент подготовил только 18 билетов из 25. Как вы думаете, в каком случае у этого студента больше вероятность вытянуть билет, который он знает: когда он
тянет билет первым по очереди или вторым?
Задача 4.2.5. В группе из 23 человек, которые сдают экзамен по теории вероятностей, имеется 8 потенциальных отличников, 7- хорошистов,
5 троечников и 3 — двоечника. Отличники знают все 30 билетов, хорошо
подготовленные студенты знают 24 билета, троечники — 18, а двоечники
— только 11. Наудачу вызванный студент сдал экзамен. Найдите вероятности следующих событий: С=Студент был отличником или троечником ,
D=Студент, который сдал экзамен, был хорошистом, Е=Экзамен сдал
двоечник.
Задача 4.2.6. В течение рабочего дня два сотрудника кредитного
отдела банка выполняют по 45 и 40 % от общего объема работы, а стажер
всего 15 %. Вероятности совершения ошибок при заключении договора
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
41
зависят от квалификации и опыта сотрудников и стажера, поэтому они
равны: 0,05; 0,1 и 0,4. Если известно, что один из договоров пришлось исправлять, какова вероятность того, что ошибся стажер?
Задача 4.2.7. Изучаются причины неудачного внедрения на рынке
новой продукции, о котором можно выдвинуть некоторые суждения (гипотезы) А1, А2, А3, А4. Данные о статистике продаж дают основания считать, что Р (А1)=0,2, Р (А2)=0,4, Р (А3)=0,3, Р (А4)=0,1. В результате проведенного анализа был сделан вывод о том, что низкий спрос связан с
низким качеством продукции (случайное событие В). По данным той же
статистики были рассчитаны условные вероятности: Р(В/А1)=0,9,
Р (В/А2)=0,63, Р (В/А3)=0,02, Р (В/А4)= 0,3. Вычислите апостериорные вероятности гипотез и сравните с априорными вероятностями.
Задача 4.2.8. Исследования показали, что в перспективе экономика
государства может находиться в следующих состояниях: А1=Глубокий
спад, А2=Незначительный спад, А3=Стагнация, А4=Незначительный
подъем, А5=Сильный подъем, Вероятности, соответствующие этим состояниям, следующие: Р (А1)=0,05; Р (А2)=0,2; А3)=0,5; Р (А4)=0,2;
Р (А5)=0,05. Банку предлагают или вложить деньги в инвестиционный
проект, или предоставить межбанковский кредит другому банку (величина дохода от каждой операции примерно одинаковая). Вероятность получения дохода от операции кредитования оценивается как 0,35. Оцените
вероятность получения дохода от инвестирования (случайное событие В),
если известно, что Р (В/А1)=0,00001, Р (В/А2)=0,02, Р (В/А3)=0,05, Р
(В/А4)= 0,1, Р (В/А5)=0,98. Какой из вариантов вложения денег для банка
предпочтительней?
Задача 4.2.9. Известно, что процент безработных в регионе, составляет 10%. Наудачу производят опрос двадцати респондентов. С какой вероятностью можно утверждать, что среди них будет: а) хотя бы
один безработный; б) 6 безработных, в) число безработных будет не
меньше 3, но не больше 6?
Задача 4.2.10. В первой урне имеются 2 белых и 3 красных шара, во
второй урне находятся 1 белый и 4 красных шара, в третьей урне 4 белых
и 1 красный шар. Из наудачу выбранной урны, пять раз подряд вынимают один шар и тут же возвращают его в урну. Чему равна вероятность
того, что красный шар будет вынут ровно 3 раза (случайное событие В). С
какой вероятностью можно утверждать, что была выбрана третья урна,
если известно, что событие В произошло?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
42 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Задача 4.2.11. В пятницу, последний день торгов недели, наиболее
активно торговались акции 15 компаний, причем, 7 из них из нефтегазовой отрасли, а 8 компаний из телекоммуникационной отрасли. Результаты прогнозов аналитиков позволяют предположить, что для компаний
нефтегазовой отрасли цена закрытия может вырасти за неделю с вероятностью 0,15 и с вероятностью 0,08 произойдет увеличение цены закрытия
для компаний телекоммуникационной отрасли. Найдите вероятность того, что хотя бы для одной из двух наудачу отобранных компаний, цена
закрытия через неделю вырастет.
Задача 4.2.12. Вероятность того, что покупателя супермаркета,
стоящего в очереди в кассу, заинтересует ассортимент шоколада на стеллажах возле кассы, равна 0, 3. Вероятность того, что заинтересовавшийся
покупатель купит шоколад, равна 0,45. Найдите вероятность того, что 5
из 12 стоящих в очереди покупателей заинтересуются шоколадной продукцией возле кассы. С какой вероятностью не менее двух заинтересовавшихся шоколадной продукцией покупателей ее купят?
Задача 4.2.13. Ответьте на вопрос, чему равна вероятность случайного события А, если известно, что вероятность того, что это событие не
произойдет хотя бы один раз в серии из 3 независимых испытаний Бернулли испытаний, равна 0,992.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 5. Дискретные случайные величины. Закон распределения…
43
ТЕМА 5. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Случайной величиной называют числовую функцию ξώ, заданную на множестве элементарных исходов  и принимающую вещественные значения.
Функцией распределения случайной величины ξώ называют
функцию действительного аргумента х, определяемую равенством
 Fξ(x)= Р{ξ < x}, хR.
Отметим следующие свойства функции распределения:
1. Функция распределения является ограниченной функцией:
0 Fξ(x) 1;
2. Функция распределения является неубывающей функцией, т.е.:
х2>x1 , выполняется неравенство:
Fξ(x2)  Fξ(x1);
3. lim F  ( x )  1 , lim F  ( x )  0 ;
x 
x  
4. Вероятность, попадания случайной величины ξώ в полуоткрытый интервал [а; в) равна разности значений функции распределения на
концах промежутка:
Ра ξ b= Fξ(b) – Fξ(а);
5. Если х0 точка разрыва функции распределения, то вероятность того, что случайная величина ξώ примет значение х0, равна величине
скачка функции распределения в точке х0:
Рξ= х0= lim F  ( x ) – lim F  ( x ) .
x  x0 
x  x0 
6. Функция распределения непрерывна слева, то есть, если х0 точка
разрыва функции распределения, то за значение функции в этой точке
принимают предел слева:
Fξ(x0) = lim F ( x) .
x  x0 
Случайную величину классифицируют как дискретную случайную величину (д.с.в.), в том случае, когда множество значений, которое
она принимает, конечное:
x1 , x2 ,..., xn
или счетное:.
x1 , x2 ,..., xn ,...
При изучении дискретной случайной величины, важно знать не
только какие значения она принимает, но и то, с какими вероятностями
она принимает эти значения.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
44 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Законом (рядом, таблицей) распределения дискретной случайной
величины называют таблицу, в верхней строке которой перечислены все
значения случайной величины, а в нижней строке указаны вероятности, с
которыми она принимает эти значения:
хi
рi
х1
р1
х2
р2
Р{ξ=xi}=pi,
…
…
хn
рn

p
i 1
i
…
…
 1.
В тоже время, законом распределения дискретной случайной величины служит функция распределения вероятностей Fξ(x). Характерным
поведением функции распределения дискретной случайной величины
является то, что эта функция — кусочно-постоянная. Функцию распределения случайной дискретной величины, принимающей конечное число
значений х1, х2,…, хn, находят по следующему алгоритму:
, x  x1 ,
0

, x1  x  x2 ,
 p1
 р1  р2 , х2  x  x3 ,



F x   . . . . . .
k
 pi , xk  x  xk 1 ,
 i 1
. . . . . .

1
, xn  x .
Одним из важнейших понятий теории вероятностей, связанным со
случайной величиной, является понятие математического ожидания
случайной величины ξ.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют число E[], которое вычисляют по формуле:
 E [ ] 


i 1
xi pi .
Предполагается, что имеет место абсолютная сходимость указанного ряда. Если ряд расходится, то говорят, что математическое ожидание не
существует. Математическое ожидание имеет размерность, совпадающую с размерностью случайной величины. Например, если случайная ве-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 5. Дискретные случайные величины. Закон распределения…
45
личина  измеряется в процентах, то и математическое ожидание этой величины будет измеряться в процентах, если случайная величина измеряется в штуках, то и математическое ожидание будет измеряться в штуках.
Если одна случайная величина, связана с другой случайной величиной функционально =g(), то математическое ожидание такой случайной
величины  будет равно:


 E [ ] 
i 1
g ( xi ) pi
Дисперсией называют числовую характеристику случайной величины, характеризующую разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Определяется дисперсия следующим образом:
 V[ξ] =E[(ξ – E[ξ)2] .
Отметим, что из определения дисперсии вытекает следующее равенство:
 V [  ]  E   2   ( Е  ) 2 .
Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины, то есть, если случайная величина  измеряется в процентах, то
дисперсия этой величины будет измеряться в процентах в квадрате.
В задачах, связанных с изучением доходности ценных бумаг, дисперсия выступает в качестве меры риска ценной бумаги.
Дисперсию случайной дискретной величины ξ вычисляют по формуле:
V [ ] 


i 1
( x i  E [  ])
2
pi.
Или по следующей формуле:
 V [ ] 


i 1
x 2 i p i  ( Е  ) 2 .
Среднеквадратическим отклонением  называют арифметический корень из дисперсии:
  V   .
Размерность среднеквадратического отклонения совпадает с размерностью случайной величины.
 Коэффициентом вариации KV называют отношение вида:
 KV 

E  
Этот показатель вводят только для тех случайных величин, у которых
Е[]>0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
46 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Модой хмо дискретной случайной величины называют ее наиболее
вероятное значение.
Начальным моментом к-го порядка называют следующую числовую характеристику:

k
 E [
Число 
k
называют центральным моментом к-го порядка

k
k
].
 E [ (   E  ) k ] .
Для дискретной случайной величины моменты 
k
и
 k вычисляют
по формулам:

k

k 


i 1
x ki pi ,


i 1
(x
i
 E  ) k p i .
5.1. ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ В АУДИТОРИИ
Задача 5.1.1. В коробке три белых и два черных шара. Наудачу вынимают один шар. Составьте таблицу распределения дискретной случайной величины (д.с.в.) ξ- числа белых шаров среди вынутых. Найдите Fξ(x)
и постройте ее график. Вычислите математическое ожидание Е[ξ], дисперсию V[ξ] и среднеквадратическое отклонение σξ..
Решите эту же задачу в предположении, что вынимают два шара.
Задача 5.1.2. Вероятность того, что авиакомпания «Аэрофлот» повысит топливные сборы, равна 0,5, а вероятность повышения топливных
сборов авиакомпанией «Россия» равна 0,4. Составьте таблицу распределения дискретной случайной величины (д.с.в.) ξ- числа компаний из этих
двух, повысивших топливные сборы. Найдите Fξ(x) и постройте ее график.
Задача 5.1.3. Дана таблица распределения д.с.в. ξ:
хi
рi
-1
0,1
3
0,25
7
р3
Найдите:
1. Вероятность р3;
2. Функцию распределения F ξ (x) и постройте ее график.
Вычислите:
1. Е[ξ], Е[ξ2], V[ξ], σξ.;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 5. Дискретные случайные величины. Закон распределения…
47
2. Р{0,5 <  < 7}, Р{3 ≤  < 8}.
Задача 5.1.4. Для оценки рискованного инвестиционного проекта
была использована следующая информация о возможных значениях будущего денежного потока в течение следующего года и соответствующих
им вероятностях
хί
$300
$350
$400
$450
$500
рί
0,1
0,2
0,4
р4
0,1
1. Найдите вероятность р4 и функцию распределения вероятностей
случайной величины ξ.
2. Вычислите Е[ξ] (ожидаемое значение денежного потока), Е[ξ2],
V[ξ] и σξ..
Задача 5.1.5. В таблице представлены возможные значения величины доходности (с.в.ξ) обыкновенных акций компании «Аэрофлот» и вероятности этих значений:
-1% 0% 2%
3%
5%
хί
0,1
0,2 0,4
0,2
0,1
рί
1. Найдите функцию распределения Fξ(x), постройте ее график.
2. Ответьте на вопросы:
а) Чему равна ожидаемая доходность этой ценной бумаги (Е[ξ])?
б) Чему равен риск (V[ξ])?
в) Какова вероятность того, что операция по приобретению этой
ценной бумаги будет явно убыточной ( Р{ξ<0})?
г) С какой вероятностью доходность упадет ниже ожидаемой
( Р{ξ < Е[ξ]})?
Задача 5.1.6. На рисунке 1 представлены графики некоторых функций. Какие из приведенных графиков могут являться:
1. Графиками функций распределения случайной величины ξ;
2. Графиками функций распределения дискретной случайной величины ξ?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
48 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Рис.1 Графики функций.
Задача 5.1.7. Дан график Fξ(x).
Рис. 2.График функции распределения.
Составьте таблицу распределения дискретной случайной величины
ξ, а затем вычислите Е[ξ], Е[ξ2], V[ξ],  3
Задача 5.1.8. Известно, что Е[ξ]= - 0,2, и таблица распределения
д.с.в. ξ имеет вид:
xi
pi
Найдите p2, x1, V[ξ], σξ, 
3
x1
0,3
1
p2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 5. Дискретные случайные величины. Закон распределения…
49
Задача 5.1.9. Мяч бросают по баскетбольному кольцу один раз. Вероятность попадания в кольцо равна 0,9. Составьте таблицу распределения д.с.в.ξ- числа попаданий при одном броске. Найдите ее математическое ожидание и дисперсию. Вычислите Е[ξ2].
Задача 5.1.10. Мяч бросают в баскетбольное кольцо до первого попадания, но успевают сделать не более трех бросков. Вероятность попадания при каждом броске постоянна и равна 0,85.
Составьте таблицы распределений для следующих дискретных случайных величин:
а) ξ1 – числа бросков;
б) ξ2 – числа попаданий;
в) ξ3 – числа промахов.
1. Найдите Fξ1(x), Fξ2(x), Fξ3(x).
2. Вычислите Е[ξ1], Е[ξ2], Е[ξ3], V[ξ1], V[ξ2], V[ξ3].
3. Для каждой случайной величины, укажите, чему равна мода.
Задача 5.1.11. По баскетбольному кольцу три раза независимо
друг от друга бросают мяч. Вероятность попадания в кольцо при каждом
броске постоянна и равна 0,9. Составьте таблицу распределения д.с.в. ξ –
числа попаданий в кольцо.
1. Найдите Fξ(x).
2. Вычислите Е[ξ], V[ξ],
Задача 5.1.12. Предположим, что вам предстоит выбрать одно из
двух предложений: один миллион долларов или игру с подбрасыванием
монеты. В игре можно получить два миллиона долларов, если выпадет
герб, или ничего не получить, если выпадет решка. Ответьте на следующие вопросы:
1. Каков ожидаемый выигрыш в игре с подбрасыванием монеты?
2. Вы выберете первое или второе предложение? Чем вы руководствовались, осуществляя выбор?
Задача 5.1.13. Предположим, что в задаче 5.1.12. вы выбрали первый вариант. Перед вами еще одна дилемма. Можно вложить этот миллион в казначейские долгосрочные облигации США, которые превратятся в
$1075000 в конце года, или в обыкновенные акции, которые с одинаковой вероятностью могут или обесцениться, или стоить $2300000 в конце
года.
1. Какова ожидаемая прибыль в случае инвестирования в акции?
2. Каков ожидаемый доход от вложения в облигации? Во что вы
вложите деньги?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
50 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Задача 5.1.14. В течение первой недели каждого месяца мистер М
оплачивает все свои счета и отвечает на некоторые письма. С этой целью
он обычно покупает 20 почтовых марок. Число используемых им марок
является д.с.в. ξ, принимающей с равными вероятностями значения от 10
до 24. Найдите среднее число оставшихся марок у мистера М.
Задача 5.1.15. Владелец газетного киоска каждое утро приобретает
для продажи 50 экземпляров газеты Коммерсант. Ежедневный спрос на
1
для всех k=35,36,….49;
эту газету является д.с.в. ξ, причем, Р{ ξ=k}=
45
1
1
для всех k=50, 51,….59 и Р{ ξ=k}=
для всех k=60,….70.
Р{ ξ=k}=
30
33
Найдите вероятность того, что все газеты будут проданы. Вычислите
ожидаемое число непроданных газет. Ответьте на вопрос: если владелец
киоска приобретает газеты по 50 центов, а продает за 1 доллар, чему равна ожидаемая дневная прибыль?
5.2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 5.2.1. В ящике находится 15 деталей, среди которых
3 бракованных. Бракованные детали по внешнему виду не отличаются от
стандартных. Наудачу вынимают одну деталь. Составьте таблицу распределения дискретной случайной величины ξ- числа бракованных деталей
среди вынутых. Найдите функцию распределения Fξ(х) и постройте ее
график.
Задача 5.2.2. Решите задачу 5.2.1. в предположении, что вынимают:
а) две детали;
б) три детали.
Задача 5.2.3. В кошельке лежат четыре старые и две новые купюры,
неотличимые на ощупь друг от друга. Наугад вынимают две купюры. Составьте таблицу распределения дискретной случайной величины ξ – числа
старых купюр среди вынутых.
1. Найдите Fξ(x) и постройте ее график.
2. Вычислите Е [ξ], V [ξ], Е[ξ2].
3. Найдите моду хмо.
Задача 5.2.4. Доходность акций характеризуется следующим распределением вероятностей:
хi
-4%
-1%
0%
1%
3%
4%
5%
рi
0,03
0,07
р3
0,1
0,05
0,2
0,25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 5. Дискретные случайные величины. Закон распределения…
51
Найдите:
1. Вероятность р3;
2. Функцию распределения дискретной случайной величины ξ – доходности акций и постройте ее график.
3. Ответьте на вопросы:
а) Чему равна ожидаемая доходность этой ценной бумаги (Е[ξ])?
б) Чему равен риск (V[ξ])?
в) Какова вероятность того, что операция по приобретению этой
ценной бумаги будет явно убыточной ( Р{ξ<0})?
г) С какой вероятностью доходность упадет ниже ожидаемой
( Р{ξ < Е[ξ]})?
Задача 5.2.5. Некто собирается приобрести ценную бумагу со следующим распределением вероятностей возможных значений годовой доходности (с.в.ξ):
хi
-0,1%
0%
0,1%
0,2%
0,3%
рi
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
1. Найдите функцию распределения Fξ(х), постройте ее график.
2. Каковы ожидаемая доходность и риск такой инвестиции?
3. С какой вероятностью можно утверждать, что доходность упадет
ниже ожидаемой?
Задача 5.2.6. Инвестиционная компания может вложить капитал в
один из двух взаимоисключающих проектов, каждый из которых рассчитан на два года и требует одинаковых начальных расходов. Эти два инвестиционных предложения характеризуются следующими распределениями вероятностей чистых денежных поступлений:
Первый проект (случайная величина ξ 1):
хi
$200
$400
$600
$800
рi
0,2
0,3
0,3
0,2
Второй проект (случайная величина ξ 2):
уi
$200
$400
$600
$800
qi
0,1
0,4
0,4
0,1
1. Найдите функции распределения для каждой случайной величины.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
52 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
2. Вычислите математические ожидания Е[ξ1], Е[ξ2] и дисперсии
V[ξ1], V[ξ2] и KV. Сравните числовые характеристики обеих случайных
величин.
Задача 5.2.7. Фирма Bear Tracks Schmitz определила следующее распределение вероятностей выплаты дивидендов по акциям Mauston Inc. в
будущем году:
хi
$1,9
$1,95
$2
$2,05
$2,1
$2,15
рi
0,05
0,15
0,3
0,3
0,15
0,05
1. Какой будет ожидаемая величина дивидендов этой компании, по
оценке, Bear Tracks (Е[ξ])?
2. Чему равен риск (V[ξ])?
3. Какова функция распределения случайной величины, характеризующей выплату дивидендов?
Задача 5.2.8. Дьюпи Шоу, специалист по ценным бумагам с фиксированным доходом, изучает доход по облигации, выпущенной корпорацией Wyeville. Срок погашения облигации – один год, после чего корпорация обязуется выплатить 100$. Ее текущий курс составляет 90$. Дьюпи
Шоу полагает, что Wyeville может и не выплатить полностью 100$ в конце года. По его оценке распределение вероятностей для размера выплат
по итогам года следующее:
хi
$82
$90
$95
$98
$100
рi
0,05
0,1
0,3
0,3
0,25
Каков, по оценке Дьюпи Шоу, ожидаемый доход к погашению облигации Wyeville? С какой вероятностью доход по облигации будет ниже
ожидаемого? Чему равна вероятность того, что абсолютная величина отклонения дохода от ожидаемого, будет меньше среднеквадратического
отклонения?
Задача 5.2.9. Монету подбрасывают до первого появления герба, но
успевают сделать не более трех бросков. Составьте таблицу распределения дискретных случайных величин:
а) ξ1 — числа бросков;
б) ξ2- числа выпадений герба.
1. Для каждой случайной величины найдите функцию распределения и числовые характеристики
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 5. Дискретные случайные величины. Закон распределения…
53
Задача 5.2.10. Доходности акций А и В имеют следующее распределение вероятностей:
хi
-25%
5%
15%
30%
45%
рi
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
уi
-40%
0
16%
40%
66%
qi
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
1. Рассчитайте ожидаемую доходность каждого актива.
2. Вычислите риск акции В и коэффициент вариации KV.
3. Можно ли утверждать, что большинство инвесторов сочтут акции
В менее рисковыми, чем акции А?
Задача 5.2.11. В случае роста экономики в рассматриваемый период
с вероятностью 0,25 менеджер по инвестициям ожидает получить 20%
доходность с данного актива В случае стабильной экономической ситуации, доходность актива с вероятностью 0,5 составит 10%, а в случае
спада в экономике с вероятностью 0,25 доходность по данному активу
составит (-4%).
1. Найдите функцию распределения д.с.в. ξ- доходности данного
актива.
2. Вычислите ожидаемую доходность актива ( Ε[ξ] ) и риск (V [ξ]).
Задача 5.2.12. Известно, что Е [ξ]=2,3; Е [ξ2]=5,9. Таблица распределения случайной величины ξ имеет вид:
xi
1
2
3
pi
p1
p2
p3
Найдите:
1. Вероятности рi;
2. Дисперсию и среднеквадратическое отклонение .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
54 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
ТЕМА 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
 Случайную величину относят к величинам непрерывного типа,
если значения этой величины сплошь заполняют некоторый числовой
промежуток. Функция распределения непрерывной случайной величины
всюду непрерывна.
 К закону распределения случайной непрерывной величины помимо функции распределения относят также плотность распределения вероятностей fξ(x). Функция распределения и плотность распределения
связаны друг с другом следующим образом:
x
 F ( x ) 

f  (t )dt.

В точках непрерывности функции fξ(x) имеет место следующее равенство:
 fξ(x) =F ξ (x).
Плотность распределения вероятностей всегда неотрицательна:
fξ(x)  0
и удовлетворяет свойству, которое называют свойством нормировки:



f  ( x ) dx  1 .

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток
<a,b> можно вычислить по формуле:
P {   a , b  } 
b

f  ( x ) dx .
a
Отметим, что свойство нормировки говорит о том, что площадь под
графиком функции плотности fξ(x) всегда равна 1. Последнее свойство
можно прокомментировать следующим образом: вероятность попадания
н.с.в.  в промежуток <a,b> равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности fξ(x), прямой х=а и прямой х=b.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 6. Непрерывные случайные величины
55
 Математическое ожидание непрерывной случайной величины
находят по следующей формуле


 E [ ] 
xf ( x )d x .

Предполагается, что имеет место абсолютная сходимость несобственного интеграла. Если интеграл расходится, то говорят, что математическое ожидание не существует.
Если случайная величина  связана со случайной величиной  при
помощи некоторой функции  =g(), то ее математическое ожидание вычисляют по формуле:
 
 E [ ] 

g ( x ) f

( x )d x
.
 
В частности, из последнего выражения получают формулу для вычисления Е[], где =2:
E [ ] 
E
 
2
 
 

x
2
f

( x )d x
 
 Дисперсия непрерывной случайной величины вычисляется по
следующей формуле:

V [  ] 

( x  E [ ]) 2 f  ( x )d x.

Или по следующей формуле:
 V   

x
2
f  ( x ) dx  ( E  ) 2

Здесь также предполагается абсолютная сходимость несобственного
интеграла.
Модой непрерывной случайной величины называют такое значение хмо, в котором плотность распределения достигает максимального
значения.
Медианой непрерывной случайной величины называют такое
значение хме, для которого имеет место равенство:
P{< хме}=P{≥ хме}=0,5.
Медиану ищут как решение уравнения
F( хме)=0,5,
если известна функция распределения, или, решая одно из следующих
интегральных уравнений:
õ ìå




f  ( t ) dt  0 , 5;

f  ( t ) dt  0 , 5,
x ìå
в том случае, когда известна плотность распределения.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
56 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Для непрерывной случайной величины начальные и центральные моменты к-го порядка  k и  k вычисляют по формулам:


k


x k f ( x )d x ,

k 


( x  E  ) k f  ( x ) d x .

6.1. ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ В АУДИТОРИИ
Задача 6.1.1. Дана функция распределения Fξ(x) случайной величи-
ны ξ:
Fξ(x) =
åñëè
0 ,
x  1

,
 3

1 , å ñ ë è
x  1
åñ ë è -1  x  2 ,
x  2
1. Найдите плотность распределения fξ(x) и постройте ее график.
2. Вычислите Е[ξ], V[ξ], σξ..
3. Изобразите математическое ожидание на том же графике, где вы
построили график плотности распределения.
Задача 6.1.2. Дана функция распределения случайной величины
Fξ(x).
0, если
 3
Fξ(x) = cx , если
1, если

x 0,
0  x 1,
x1.
1. Найдите константу с двумя способами: используя характерное
поведение функции распределения непрерывной случайной величины и
используя свойства плотности распределения.
2. Вычислите Е[ξ], V[ξ], σξ., Е[ξ2],  2 .
3. Найдите, чему равна мода хмо и медиана хме.
Задача 6. 1.3. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины ξ:
0, x[0,1],
cx, x[0,1]
fξ(x)= 
Найдите:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 6. Непрерывные случайные величины
57
1. Константу с;
2. Функцию распределения Fξ(x). Постройте графики плотности
распределения и функции распределения;
Вычислите Е[ξ], Е[ξ2], V[ξ], σξ, а также найдите моду хмо, медиану
хме,. Изобразите математическое ожидание на том же графике, где вы построили график плотности распределения.
Задача 6.1.4. Дана плотность распределения н.с.в.ξ:
 0, е с л и
x  0 ,2  ,
fξ(x)= 
x  0 ,2  .
 (1 + c x ), е с л и
Найдите:
1. Константу с.
2. Функцию распределения Fξ(x).
3. Не вычисляя математическое ожидание, ответьте на вопрос, может ли оно при заданном распределении принимать следующие значения:
Ε[ξ] = - 3, Ε[ξ] =4? Ответ обоснуйте.
4. Изобразите математическое ожидание на том же графике, где вы
построили график плотности распределения.
5. Вычислите Ε[ξ2] и V[ξ].
Задача 6.1.5. Задана плотность распределения н.с.в.ξ:
0, если x  1, e 

fξ(x)=  1
x  1, e 
 x  1 c, если
Найдите:
1. Константу с.
2. Функцию распределения Fξ(x).
3. Вычислите Ε[ξ ] E[ξ2] и V[ξ].
Задача 6.1.6. Плотность распределения fξ(x) задана графически
(Рис.3):
Рис.3 График плотности распределения.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
58 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
1. Напишите аналитическое выражение для этой функции.
2. Найдите функцию распределения Fξ(x).
3. Вычислите математическое ожидание и дисперсию.
4. Укажите, чему равна мода хмо и медиана хме.
Задача 6.1.7. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины ξ:
fξ(x)=







0,
0 ,5 ,
x
  1,
- 1  x  0,
0,
0  x  1,
0 ,5 ,
1  x  2,
0,
x
 2.
1. Найдите функцию распределения Fξ(x);
2. Вычислите Е[ξ], V[ξ], σξ.
3. Укажите, чему равна мода хмо, медиана хме.
Задача 6.1.8. Плотность распределения н.с.в. ξ равна:
x (0,2),
0, если
fξ(x)= 
| x 1|, если x(0,2).
1. Найдите функцию распределения Fξ(x).
2. Вычислите Е[ξ], V[ξ], σξ,  3 .
3. Найдите моду хмо, медиану хме.
Задача 6.1.9. Найдите константу с и убедитесь в том, что распределение случайной величины ξ, заданное плотностью распределения:
x  [1, 1],
0,
fξ(x)= 
4
2
3,25x  3,25x  c, x  [ -1, 1],
будет являться бимодальным (будет иметь две моды).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 6. Непрерывные случайные величины
59
6.2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 6.2.1. Дан график плотности непрерывной случайной величины (Рис.4):
Рис 4. График плотности распределения.
и ее аналитическое выражение:
x  2,
0, если

fξ(x)= с, если 2  x  4,
0,
если x  4.

1. Найдите константу с.
2. Напишите выражение для функции распределения Fξ(x).
3. Вычислите Е[ξ], V[ξ], σξ, Е[ξ2],  3 .
4. Найдите моду хмо, медиану хме и вероятность Р{1<ξ< 3}.
Задача 6.2.2. Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид
x  0,
0, если
 3
сx , если 0  x 1,
fξ(x)= 
0, если x 1.

1. Найдите константу с.
2. Напишите выражение для плотности и функции распределения.
Постройте их графики.
3. Вычислите Е[ξ], V[ξ], σξ, Е[ξ2].
4. Изобразите математическое ожидание на том же графике, где вы
построили график плотности распределения.
5. Найдите моду хмо, медиану хме .
6. Вычислите вероятность Р{0<ξ< 0,3}.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
60 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Задача 6.2.3. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана аналитически и графически (Рис. 5) :

0,


f ( х )  с cos2x,


0,
x  0,

0x ,
4

x .
4
Рис.5 График плотности распределения
1. Найдите константу с и напишите выражение для плотности распределения.
2. Напишите выражение для функции распределения и постройте ее
график.
3. Найдите моду хмо, медиану хме
4. Вычислите следующую вероятность Р{0,1<ξ< 0,4}.
Задача 6.2.4. Дан график плотности распределения (Рис.6).
Рис.6. График плотности распределения.
1. Напишите аналитическое выражение этой функции.
2. Найдите функцию распределения и постройте ее график.
3. Вычислите Е[ξ], V[ξ], σξ, Е[ξ2].
4. Найдите моду хмо, медиану хме и вероятность Р{-2<ξ< 2}.
Задача 6.2.5. Плотность распределения Коши задается функцией
fξ(x)=
1
, график которой представлен на рисунке 7:
 (1  x2 )
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 6. Непрерывные случайные величины
61
Рис.7 График плотности распределения Коши.
1. Найдите функцию распределения этой случайной величины.
2. Чему равна мода хмо, медиана хме ?
3. Докажите, что математическое ожидание этой случайной величины не существует.
Задача 6.2. 6. Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим выражением:
0, если

Fξ(x) = c ln x , если
1, если

x  1,
1  x  е,
x  e.
1. Найдите константу с двумя способами, используя свойство непрерывности функции распределения, а затем, используя свойство нормировки плотности распределения.
2. Вычислите Е[ξ], V[ξ], σξ, Е[ξ2], V[ξ].
3. Найдите моду хмо, медиану хме и вероятность Р{1<ξ< (e/2)}.
Задача 6.2.7. Дана плотность распределения н.с.в.ξ:
0, если x  0,1
fξ(x)= 
2
cx  1 , если x  0,1
1. Найдите константу с.
2. Найдите функцию распределения.
3. Вычислите математическое ожидание и дисперсию.
4. Изобразите математическое ожидание на том же графике, где вы
построили график плотности распределения.
Задача 6.2.8. Дана плотность распределения н.с.в.ξ:
0 , если x  0, с 
fξ(x)= 
 x  1 , если x  0, с 
1. Найдите константу с, запишите получившееся выражение для
плотности распределения. Найдите функцию распределения. Постройте
графики обеих функций.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
62 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
2. Вычислите математическое ожидание и дисперсию.
3. Изобразите математическое ожидание на том же графике, где вы
построили график плотности распределения.
Задача 6.2.9. Плотность распределения н.с.в. ξ равна:
 0 , если
1 / 3 , если

0 ,
если

f  ( x )  1 / 3 , если
 0,
если

1 / 3, если
 0 , если

x  0,
0  x  1,
1  x  2,
2  x  3,
3  x  4,
4  x  5,
x  5.
1. Найдите функцию распределения Fξ(x).
2. Вычислите Е[ξ], V[ξ], σξ, Е[ξ2].
3. Найдите моду хмо, медиану хме.
4. Чему равна вероятность Р{| ξ - Е[ξ] | < σξ |}?
Задача 6.2.10. Доходности двух ценных бумаг (с.в. ξ1 и ξ2) подчиняются треугольному закону распределения. Графики плотности распределения каждой случайной величины представлены на рисунке 8:
Рис 8. Графики плотности распределения с.в. ξ1 и ξ2 соответственно
1. Найдите неизвестные константы с и напишите аналитические выражения для функций fξ1(x) и fξ2(x).
2. Ответьте на вопросы: чему равны наиболее вероятные значения
этих величин? Можно ли утверждать, что значения случайных величин
группируются вокруг наиболее вероятных значений?
3. Какова вероятность потерь от вложения в каждую бумагу
(Р{ξ 0})?
4. Ожидаемая доходность какого актива больше?
5. Чему равен риск от вложения в каждую ценную бумагу?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 6. Непрерывные случайные величины
63
6. Чему равна следующая вероятность Р{ |ξί – Е[ξί] | < σξί }? i=1,2.
7. Найдите моду хмо, медиану хме для каждой случайной величины.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
64 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
ТЕМА 7. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Вырожденной случайной величиной называют дискретную случайную величину, таблица распределения которой имеет вид:
хi
c
pi
1
Число (частота) появлений случайного события А в серии n независимых испытаний Бернулли является дискретной случайной величиной, распределенной по биномиальному закону. Таблица распределения случайной величины распределенной по биномиальному закону имеет вид:
хi
pi
0
qn
1
C pq n 1
1
n
…
…
n-1
C p n 1 q
n 1
n
n
pn
Биномиальное распределение характеризуется двумя параметрами: вероятностью появления случайного события А в одном испытании
Р(А)=р (Р( A )=q, р+q=1) и числом испытаний n. Для обозначения того,
что дискретная случайная величина распределена по биномиальному закону, используют следующую символику: ξВ(р, n).
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по биномиальному закону, могут быть вычислены через
параметры этого распределения по следующим формулам:
Еξ= рn, Vξ=pnq.
В частности, если n = 1, то таблица распределения дискретной случайной величины принимает следующий вид:
хi
pi
0
q
1
p
Дискретную случайную величину с такой таблицей распределения
называют распределенной по закону Бернулли.
Если число испытаний, проводимых по схеме Бернулли, неограниченно возрастает (n→), при этом р→0, а произведение рn остается постоянным:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 7. Основные законы распределений случайных величин
65
рn=, >0, то число появлений случайного события А является дискретной случайной величиной, распределенной по закону Пуассона. Таблица распределения такой случайной величины следующая:
…
хi
0
1
2
…
к
2 
k 
e
e
…
…
pi
e   e  
2!
k!
Распределение Пуассона характеризуется одним параметром:
>0. Для обозначения того, что дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона, используют следующую символику: ξР().
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, могут быть вычислены через параметр этого распределения по следующим формулам:
Еξ= , Vξ=.
Число независимых испытаний, которые проводятся до тех пор
пока не появится случайное событие А (до первого успеха) является дискретной случайной величиной, распределенной по геометрическому закону. Такая случайная величина задается следующим рядом распределения:
хi
pi
1
p
2
qp
3
q2p
…
…
к
(k-1)
q
p
…
…
Геометрическое распределение характеризуется только одним параметром: вероятностью появления случайного события А в одном испытании Р(А)=р. Поэтому для обозначения того факта, что ξ распределена по геометрическому закону с параметром р следующее: ξG(р). Отметим, что q= Р( A ), q+р=1.
Математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по геометрическому закону, через его параметр р можно вычислить по формулам:
Еξ=
1
1 p
, Vξ= 2 .
p
р
 Говорят, что непрерывная случайная величина равномерно распределена на отрезке [a,b], если выражение для плотности распределения имеет вид:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
66 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
0, если x  a,
 1

f ( x)  
, если а  х  b,
b

a

0, если x  b.
У этого распределения два параметра: границы отрезка а и b. Символьное обозначение того, что случайная величина ξ распределена по
равномерному закону с параметрами а и b следующее: ξR(а, b). Отметим, что плотность распределения случайной величины равномерно распределенной на отрезке [a,b] всегда равна одному и тому же постоян1
ному числу с ( с=
х [a,b]).
ba
Функция распределения случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a,b], определяется выражением:
0, если х  a,
x  a

F ( x)  
, если а  х  b,
b  a
1, если х  b.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a,b], могут быть вычислены через
параметры этого распределения по формулам:
Еξ=
(b  a ) 2
( a  b)
, Vξ=
.
2
12
Плотность распределения показательно распределенной случайной величины с параметром >0 задается следующей функцией:
0, если х  0,
f  ( x )    x
х  0.
e , если
На рисунке 9 изображены графики плотности показательно распределенных с.в. с параметрами =1 и =2 соотвественно.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 7. Основные законы распределений случайных величин
67
f  ( x)
3.0
2.0
  1
1.4
1.2
1.0
0.8
 2
0.6
0.4
0.2
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
Рис.9. Графики плотности показательно распределенных с.в. с параметрами =1 и =2.
соответственно.
Выражение для функции распределения показательно распределенной случайной величины следующее:
0, если х  0,
F ( x)  
x
1  e , если х  0.
Графики функций распределения показательно распределенных с.в. с параметрами =1 и =2 соотвественно, представлены на рисунке 10:
1
F (x)
 1
2
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
Рис.10 Графики функций распределения показательно распределенных с.в. с параметрами =1 и =2 .
Формулы, связывающие математическое ожидание и дисперсию
показательно распределенной случайной величины и параметр  этого распределения, следующие:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
68 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
 Еξ=
1

, Vξ=
1
.
2
Символьное обозначение того, что случайная величина ξ распределена по показательному закону распределения с параметром  следующее: ξЕ().
Одним из важнейших непрерывных распределений является нормальное (гауссовское) распределение случайной величины, которое характеризуется двумя параметрами: mR и > 0.
Плотность нормально распределенной случайной величины имеет
вид:
1
2 
f(x) 
( x  m )2
22
e
.
Подставляя различные значения параметров m и  в это выражение
получают выражение для плотности распределения нормально распределенной с.в. с заданными параметрами. На рисунке 11 изображены три
графика плотности нормально распределенных случайных величин с параметрами: m=0, и =1; m=0 и =2; m=0 и =3, соотвественно.
f  (x)
0.4
 1
0.3
0.2
 2
0.1
 3

6

4

2
2
4
6
x
Рис. 11. Графики плотности нормально распределенных с.в. с параметрами:
m=0, и =1; m=0 и =2; m=0 и =3.
Функция плотности не интегрируема в классе элементарных функций, поэтому выражение для функции распределения имеет вид:
x
F ( x) 
1
e
2  
( t  m) 2
22 dt
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 7. Основные законы распределений случайных величин
69
Поведение графиков функции распределения нормально распределенных случайных величин с параметрами: m=0, и =1; m=0 и =2;
m=0 и =3 представлено на рисунке 12.
F  (x)
 1
1.0
0.8
  2
0.6
 3
0.4
0.2

4

2
2
4
x
Рис.12. Графики функций распределений нормально распределенных с.в. с параметрами: m=0 и =1; m=0 и =2; m=0 и =3, соотвественно.
С нормальным распределением связано понятие функции Лапласа
Ф(х), определяемой следующим образом:
x
Ф( х) 
1
е
2  0
t2
2 dt
.
Отметим, что функия Лапласа обладает следующими свойствами:
 Ф( х)

  ( x ) ,
Ф ( х )  0,5 .
lim
x  
Значения функции Лапласа затабулированы, таблица значений этой
функции приведена в приложении 2. Функция распределения F (x) и
функция Лапласа Ф(х) связаны следующим равенством:
F ( x ) 
1
хm
).
 Ф(
2

Используя это равенство и приложение 2 можно вычислять значения функции распределения нормально распределенной с.в.
Вероятность попадания нормально распределенной случайной
величины в промежуток <a,b> вычисляется по формуле:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
70 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
P{  a, b }  Ф(
bm

)  Ф(
a m

).
В частности, можно показать, что имеет место следующее равенство:
P{|  m| k}  2Ф(k), k 1,2,3,
которое можно переписать в эквивалентном виде:
P{ mk   mk } 2Ф(k), k 1,2,3.
На рисунках 13, 14, 15 приведен график плотности нормально распределенной случайной величины с параметрами m и  и заштрихованы площади
под этим графиком равные 0,68; 0,95 и 0,997, соотвественно.
Рис.13. P { m      m   }  0 . 6 8
Рис.14. P { m  2  
  m  2  }  0 .9 5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 7. Основные законы распределений случайных величин
Рис.15. P { m  3 
71
  m  3 }  0 .9 9 7
Если параметры нормального распределения m=0 и =1, то распределение называют стандартным нормальным распределением.
Математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной
случайной величины связаны с параметрами следующим образом:
Еξ=m, Vξ=2.
Обозначение того, что случайная величина ξ распределена по нормальному закону распределения с параметрами m и  следующее:
ξN(m, ).
7.1. ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ В АУДИТОРИИ
Задача 7.1.1. За наблюдаемый период акция, приобретенная за
28,5 руб., может увеличиться в цене на 10% с вероятностью 0,45 или
упасть в цене на 10% с вероятностью 0,55. Какой закон распределения у
случайной величины ξ1 – числа повышений цены акции за наблюдаемый
период? Какой будет таблица распределения случайной величины ξ2 – величины стоимости акции? Чему равна ожидаемая стоимость этой ценной
бумаги в конце наблюдаемого периода?
Задача 7.1.2. В условиях предыдущей задачи наблюдают за изменением стоимости акции в течение двух периодов. Предполагая, что изменение цены во второй период не зависит от изменения цены акций в пер-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
72 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
вый период, составьте таблицу распределения для случайной величины ξ1
– числа повышений цены акции за два периода, и для случайной величины ξ2, характеризующей изменение цены акции. Можно ли говорить, что
при сделанных предположениях, случайная величина ξ1 будет распределена по биномиальному закону? Чему равны ее числовые характеристики? Найдите ожидаемое значение цены актива и дисперсию.
Задача 7.1.3. Фирма по производству дверных ручек заявляет, что
среди ее продукции 0.5% — бракованных изделий. В магазине были приобретены 3 дверные ручки этой фирмы. Составьте таблицу распределения
д.с.в. - числа бракованных дверных ручек среди трех купленных. Какой
закон распределения этой д.с.в. ? Чему равны параметры? Чему равно
математическое ожидание и дисперсия?
Задача 7.1.4. Работа менеджера отдела маркетинга крупной фирмы,
офисы которой расположены в двух близлежащих городах, сопряжена с
частыми поездками между этими городами на автомобиле. Выполнив 10
поездок в день, оставшуюся часть дня менеджер может отдыхать, и это
служит «стимулом» для превышения им скорости. Наблюдения показывают, что вероятность получения штрафа за превышение скорости в каждой поездке туда и обратно равна 0.4. Какой закон распределения будет у
д.с.в  - числа поездок, в которых был заплачен штраф? Напишите таблицу распределения этой с.в. Какова вероятность того, что рабочий день
менеджера закончится без штрафа? Если штраф равен 150 долларам, то,
сколько в среднем составляет штраф за день?
Задача 7.1.5. Частота поступления информации о результатах торгов на фондовой бирже подчиняется распределению Пуассона с математическим ожиданием 3,5 сообщений в минуту. Составьте таблицу распределения этой с.в. Какова вероятность того, что в течение следующей минуты: а) не поступит ни одного сообщения; б) поступит одно сообщение;
в) поступит хотя бы одно сообщение; г) поступит пять сообщений.
Задача 7.1.6. Анализ наблюдений за поведением индекса FTSE 100
в течение 8 лет и 3 месяцев, показывает, что среднее число ежедневных
изменений индекса более чем на 1 пункт за каждый шестимесячный период, равно 5. Найдите вероятность того, что произойдут, по крайней мере, 3 таких дневных изменений индекса.
Задача 7.1.7. Заказы на ремонт небольших электродвигателей поступают в мастерскую случайным образом: примерно 10 заказов в день.
Какой закон распределения будет у д.с.в.  - числа двигателей, поступивших для ремонта за один день? Чему равно среднее количество электродвигателей, которые поступают ежедневно в мастерскую для ремонта?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 7. Основные законы распределений случайных величин
73
Какова вероятность того, что на протяжении одного часа не поступит ни
одного заказа, если мастерская работает восемь часов в день?
Задача 7.1.8. Дневная потребность в бензине без свинца является
равномерно распределенной случайной величиной, принимающей значения из промежутка от 750 до 1250 галлонов. Бензоцистерна емкостью
1100 галлонов наполняется ежедневно в полночь. Какова вероятность того, что цистерна будет пустой как раз перед заполнением ее бензином?
Задача 7.1.9. На рисунках представлены графики плотностей распределения двух случайных величин ξ1 и ξ2, характеризующих доходности по акциям вида А и В:
Рис.16. Графики плотностей распределений с.в ξ1 и ξ2 соответственно.
Ответьте на следующие вопросы:
1. Какой закон распределения у каждой случайной величины? Каковы параметры каждого распределения? Как связаны параметры распределения и числовые характеристики случайных величин?
2. Можно ли утверждать, что ожидаемая доходность каждой акции
одинакова? В случае положительного ответа можно ли говорить, что
вложение в каждую бумагу одинаково рискованно?
3. Чему равны вероятности Р {|ξi - Е[ξi] | < σξi},i=1,2?
Задача 7.1.10. Ежедневная доходность акции Газпром может быть
рассмотрена как непрерывная случайная величина, распределенная по
нормальному закону с параметрами m=0,05% и σ=0,012%. Напишите
выражения для плотности распределения и функции распределения этой
случайной величины. Найдите вероятность того, что доходность акции
превысит ожидаемую доходность. Напишите, чему будут равны следующие вероятности: Р{| ξ- Е[ξ] |< σ}, Р{ |ξ- E[ξ] |< 2σ}, Р{| ξ- E[ξ] |< 3σ}?
Задача 7.1.11. Предполагается, что цена акции подчинена нормальному закону распределения с параметрами m и σ. В результате
наблюдений в течение года было установлено, что с вероятностью 0,2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
74 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
цена может принимать значение ниже 20 руб., а с вероятностью 0,75 цена
может быть выше 25 руб. Найдите параметры этого распределения m и
σ. Какова вероятность того, что цена примет значение не ниже 15 руб. и
не выше 17 руб.
Задача 7.1.12. Инженерный колледж американского университета
набирает студентов из числа выпускников средней школы, которые по
стандартному тесту АСТ для поступающих в колледжи, имеют не менее
26 баллов. Набранные в результате тестирования выпускников баллы
можно считать нормально распределенной случайной величиной с
математическим ожиданием 22 балла и с.к.о. 2 балла. Определите процент выпускников средней школы, которые являются потенциальными
студентами инженерного колледжа. Найдите процент выпускников школы, которые не будут приняты в инженерный колледж, если университет
не примет никого из тех, у кого количество баллов меньше 17.
Задача 7.1.13. В Перу полеты над линиями Наска организуются на
легких самолетах, вместимость которых составляет 5 человек, а максимальная грузоподъемность равна 456 кг. Какова вероятность того, что
группа пассажиров из 5 человек сможет совершить полет на одном самолете, если известно, что средний вес одного пассажира этой группы равен
76 кг., среднеквадратическое отклонение равно 7 кг. Вес пассажира считается нормально распределенной с.в. Сможет ли взлететь самолет с пятью пассажирами, если средний вес одного пассажира составляет 89 кг., а
среднеквадртическое отклонение равно 9 кг?
Задача 7.1.14. Сотрудник банка при работе с клиентом производит
определённые операции с его счетом. Время, которое сотрудник тратит на
обслуживание пришедшего к нему клиента, является непрерывной случайной величиной, распределенной по показательному закону:
если
0,
fξ(x)=  0,6x
ce , если
x  0,
x 0
1. Найдите функцию распределения Fξ(x).
2. Вычислите Е[ξ], V[ξ], σξ, Е[ξ2 ].
3. Чему равна вероятность Р{0 < ξ < Е[ξ] }?
Задача 7.1.15. Перевод денег из одного банка в другой занимает некоторое время, которое является непрерывной случайной величиной с заданной плотностью распределения:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 7. Основные законы распределений случайных величин
0,
fξ(x)= 
если
2x
ce , если
75
x  0,
x 0
Найдите константу с и функцию распределения случайной величины Fξ(x). Какой закон распределения этой случайной величины? Чему
равны ее числовые характеристики?
7.2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 7.2.1. Случайная величина  имеет геометрическое распределение с параметром р=0,3. Запишите таблицу распределения этой случайной величины и найдите вероятность P{<2}. Укажите, чему равно
математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины.
Задача 7.2.2. Магазин по продаже одежды в среднем обслуживает
3 vip - клиента в день. Предполагается, что число таких клиентов в день,
является с.в., распределенной по закону Пуассона. Составьте таблицу
распределения этой с.в. и ответьте на следующие вопросы: а) чему равны Е[] и V[], б) чему равна вероятность того, что завтра в магазине не
будет таких покупателей, в) чему равна вероятность того, что завтра магазин посетят 5 vip- клиентов.
Задача 7.2.3. Случайная величина  распределена по закону Пуассона. Известно, что Е[]=2. Найдите вероятность P{=1}, предварительно
записав вид таблицы распределения этой случайной величины.
Задача 7.2.4. Наблюдения показывают, что в дом бытового обслуживания населения клиенты прибывают со скоростью 4 клиента в минуту. Число прибывших клиентов можно считать д.с.в., распределенной по
закону Пуассона. Найдите вероятность того, что в любой заданный 30-ти
секундный интервал времени прибудет, по крайней мере, один клиент.
Задача 7.2.5. Случайные величины 1, 2, 3 независимы и имеют
распределение Бернулли с параметром p=1/3. С какой вероятностью будут выполняться равенства: а) 1+2+3=0, б) 1+2+3=1, в) 1+2+3=2, г)
1+2+3=3?
Задача 7.2.6. Трижды подбрасывают игральный кубик и наблюдают
за выпадением 6 очков на верхней грани. Составьте таблицу распределения дискретной случайной величины  – числа выпадения 6 очков при
трех подбрасываниях и найдите все числовые характеристики этой случайной величины. Какой закон распределения будет у этой случайной величины?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
76 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Задача 7.2.7. Случайная величина  имеет равномерное распределение на отрезке [a,b]. Математическое ожидание Е[]=1,5 и дисперсия V[]
= 0,75. Найдите параметры этого распределения: а и b. Напишите выражение для плотности и функции распределения этой с.в. и постройте их
графики.
Задача 7.2.8. Случайная величина  имеет нормальное распределение, причем, математическое ожидание Е[]=1 и дисперсия V[] = 9. Напишите выражение для плотности этой случайной величины. Найдите
следующие вероятности: P {>3}, P{-1<<20}, P{<0,5}.
Задача 7.2.9. Есть основания предполагать, что запасы метала (в
тоннах) на прииске подчиняются нормальному распределению с параметрами: m=185 (тонн), =40 (тонн). Найдите вероятность того, что запасы
металла превысят 175 тонн. Чему равна вероятность того, что запасы металла не менее 100 тонн и не более 200 тонн?
Задача 7.2.10. Случайная величина  имеет стандартное нормальное
распределение. Напишите выражение для плотности распределения такой
с.в. Найдите вероятность Р{||>2}.
Задача 7.2.11. На рисунке 17 изображен график плотности нормально распределенной случайной величины:
Рис.17. График плотности нормально распределенной с.в.
Внимательно изучите информацию, представленную на графике, и
напишите выражение для плотности распределения. Вычислите следующие вероятности: P{ > 0}, P{-1<  < 5}, P{< 3}.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 7. Основные законы распределений случайных величин
77
Задача 7.2.12. Случайная величина  распределена по показательному закону распределения, с дисперсией V[]=9. Найдите вероятность
Р{>3}.
Задача 7.2.13. Дан график плотности показательно распределенной
случайной величины (Рис.18):
Рис.18. График плотности показательно распределенной с.в.
Напишите выражение для плотности и функции распределения.
Найдите математическое ожидание и дисперсию.
Задача 7.2.14. На основании результатов деятельности торговой
компании можно предположить, что время, от момента отгрузки товара
клиенту, до поступления оплаты за товар от клиента, является случайной
величиной  , распределенной по показательному закону. Было установлено, что среднее время поступления оплаты составляет 15 дней
( E[ ]  15 ). Напишите выражение для функции распределения и плотности распределения этой с.в.  . Вычислите вероятность того, что при следующей сделке оплата поступит:
1. Не позднее, чем через 10 дней.
2. Не раньше, чем через 12, но не позднее, чем через 20 дней.
Задача 7.2.15. Время восстановления зрения у больных после операции по замене хрусталика глаза является показательно распределенной
случайной величиной с математическим ожиданием 3 (дня). Какова вероятность, что у всех трех больных, находящихся в одной палате, зрение
восстановится за первые 4 дня?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
78 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Задача 7.2.16. На заправочную станцию автомобили приезжают
случайно, в среднем, каждые 2 минуты. Найдите вероятность, что интервал между последовательными прибытиями автомобилей не превысит 1
минуту.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 8. Функция случайного аргумента
79
ТЕМА 8. ФУНКЦИЯ СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА
Функцией одного случайного аргумента (величины) называют случайную величину , связанную со случайной величиной  функциональной зависимостью вида =g().
Если функция распределения случайной величины  известна, то в
случае строгой монотонности функции z=g(x) функцию распределения
F ( z ) случайной величины  можно найти исходя из соотношений:
F ( g 1( z)), если функция z  g( x) монотонно возрастает,
F ( z)  
1
1  F ( g ( z)), если функция z  g( x) монотонно убывает.
Через g 1 ( z ) обозначена функция, обратная к функции z=g(x).
При выполнении предположений о строгой монотонности и дифференцируемости функции z=g(x), а также о том, что случайная величина
 является непрерывной случайной величиной, случайная величина 
также будет являться непрерывной случайной величиной и ее плотность
можно найти следующим образом:
/

 f  ( g 1 ( z ))( g 1 ( z )) , если функция z  g ( x) монотонно возрастает,
f ( z )  
 f  ( g 1 ( z ))( g 1 ( z )) / , если функция z  g ( x) монотонно убывает.
В общем случае, когда случайная величина  является непрерывной случайной величиной, а функция z=g(x) не монотонна, всю область
определения этой функции можно разбить на промежутки строгой монотонности, а затем найти плотность распределения случайной величины 
по формуле:
 f ( z ) 
k

r 1
f
(r )
(z)
Через к обозначено число промежутков строгой монотонности
функции z=g(x).
 Как уже указывалось ранее, для нахождения математического
ожидания случайной величины  можно воспользоваться формулами:
 
 g (x i ) p i ,

Å     i 1

g (x ) f  (x )d x .
 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
80 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Первую формулу используют в том случае, когда случайная величина ξ дискретная, а вторую формулу используют для непрерывных случайных величин.
Чтобы вычислить дисперсию случайной величины  используют
формулу:
 V [ ] 

 ( g ( xi )  E[]) 2 pi ,
i 1
когда случайная величина ξ дискретная.
Или
 V [ ] 

 ( g ( x)  E[ ])
2
f  ( x)dx,

когда случайная величина ξ — непрерывная.
8.1. ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ В АУДИТОРИИ
Задача 8.1.1 Таблица распределения д.с.в.ξ имеет вид:
xi
-2
-1
0
1
2
pi
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
Составьте таблицы распределения для случайных величин τi, i=1,2,3,
если:
1. τ1= – ξ;
2. τ2 = |ξ|;
3. τ3 =ξ2.
Вычислите математические ожидания Е[τi] и дисперсии V[τi] , i=1,2,3.
Задача 8.1.2. При подбрасывании пирамидки с 4 гранями равновероятно выпадение от 1 до 4 очков. Случайная величина  равна сумме
очков, выпавших при двух независимых бросаниях. Составьте таблицу
распределения этой случайной величины .
Задача 8.1.3. Курс американского доллара по отношению к Евро
можно описать следующей функцией:    , где  некоторый пара-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 8. Функция случайного аргумента
81
метр. Изменение курса Евро в течение дня задано следующей таблицей
распределения:
xi
11,7
12
12,3
12,5
13
13,1
pi
0,1
0,1
0,2
0,15
0,2
0,25
Какой будет таблица распределения случайной величины τ? Найдите математическое ожидание и дисперсию τ.
Задача 8.1.4. Случайные величины τ и ξ связаны между собой
1
функционально: τ= . Известно, что случайная величина ξ является не-

прерывной, и имеет следующую плотность распределения:
0,

fξ(x)=  3
 x 4 ,
если
если
x  1,
x  1.
Можно ли утверждать, что случайная величина τ также будет непрерывной? Ответ обоснуйте. Найдите выражение для плотности fτ (z).
Вычислите Е[τ], V[τ] и вероятность P{0,1< τ <0,3}.
Задача 8.1.5. Известно, что непрерывная случайная величина ξ распределена по показательному закону распределения с параметром λ=0,2.
Найдите законы распределения в виде плотности и функции распределения следующих случайных величин:
1. τ1=  ;
2. τ2= ξ2;
3. τ3= 0,5ln(ξ).
Вычислите их числовые характеристики.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
82 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Задача 8.1.6. На рисунке 19 представлены графики функций, связывающих две случайные величины τ и ξ: τ= g(ξ). Известно, что ξ – непрерывная случайная величина. В каком случае можно утверждать, что
случайная величина τ также будет непрерывной? Ответ обоснуйте.
Рис.19. Графики функций.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 8. Функция случайного аргумента
83
Задача 8.1.7. Непрерывная случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке -2,2, а случайная величина τ= ξ2. Найдите fτ (z),
Е[τ] и V[τ]. Решите эту же задачу в предположении, что случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке -2,3.
Задача 8.1.8. Найдите закон распределения случайной величины
τ=[ξ], если случайная величина ξ распределена по показательному закону
распределения с параметром λ=5. Запись [ξ] означает целую часть числа.
Задача 8.1.9. Известно, что ξ это непрерывная случайная величина с
функцией распределения Fξ(x).Какой закон распределения будет у случайной величины τ= Fξ(ξ)? Чему равны Е [τ], V [τ]?
Задача 8.1.10. Пусть случайная величина ξ это сумма кредита, запрошенная клиентами банка за день. Эта сумма может с равной вероятностью изменяться в диапазоне от 0 до 1000000 (рублей). Банк сразу снимает комиссионные в размере 1%. Какая функция будет описывать величину комиссионных, получаемых банком, в зависимости от запрашиваемой
суммы кредита? (случайная величина τ)? Найдите функцию распределения случайной величины Fτ(z).
Задача 8.1.11. В течение наблюдаемого периода изменение курса
российского рубля по отношению к американскому доллару можно считать случайной величиной, с равной вероятностью принимающей значения из промежутка 28,3;30. Величина суммы оплаты за обучение в институте рассчитывается по следующему курсу, связанному с обменным
курсом следующей функцией:     1,7 . Найдите плотность и функцию
распределения случайной величины τ. Вычислите ее математическое
ожидание и дисперсию.
Задача 8.1.12. При начислении сложных процентов расчет реальной
ставки процентов в условиях инфляции производится по формуле:
τ=
1 r
1
1 
.
Через r обозначена заданная (объявленная) брутто-ставка, а через ξ – темп
прироста цен за год. Считая ξ случайной величиной, равномерно распределенной на промежутке 10%;12%, найдите функцию распределения
реальной ставки процентов.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
84 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Задача 8.1.13. Величина денежной суммы, которую получит через
три года вкладчик Сбербанка, положивший на свой счет 1000 рублей,
рассчитывается по формуле:
τ = 1000 1    .
Через ξ обозначена годовая процентная ставка, которая по условиям
договора может быть изменена банком в одностороннем порядке. Предполагая, что случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке
0,5%; 2%, найдите закон распределения в виде плотности и функции
распределения случайной величины τ. Вычислите Е[τ], V[τ].
3
8.2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 8.2.1. В хранилище банка находится сейф, в котором хранится 80 000$. За день из сейфа может быть востребована некоторая, заранее не известная, сумма денег (случайная величина ξ). Таблица распределения случайной величины ξ имеет следующий вид:
xi
10 000$
15 000$
20 000$
25 000$
30 000$
pi
0,2
0,15
0,25
0,19
0,21
1. Составьте таблицу распределения случайной величины τ – суммы
денег, оставшихся в сейфе, если   80000   .
2. Найдите функцию распределения этой случайной величины τ.
3. Вычислите Е[τ], V[τ].
Задача 8.2.2. Таблица распределения д.с.в.ξ имеет вид:
xi
pi
-/2
0,3
-/6
0,2
/2
0,1
/6
0,1

0,3
1.Составьте таблицы распределения и найдите функции распределения для случайных величин τi, i=1,2,3, если:
а) τ1= cosξ;
в) τ2= sinξ;
с) τ3= sinξ .
2. Вычислите математические ожидания Е[τi] и дисперсии V[τi] ,
i=1,2,3.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 8. Функция случайного аргумента
85
Задача 8.2.3. При подбрасывании игрального кубика на верхней
грани равновероятно выпадение от 1 до 6 очков. Случайная величина 
равна сумме очков, выпавших при двух независимых бросаниях. Составьте
таблицу распределения случайной величины .
Задача 8.2.4. Непрерывная случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке -5,1. Известно, что:
а) случайная величина τ1= 4-;
в) случайная величина τ2= .
Найдите:
1. Плотности распределения fτ (z) для каждой случайной величины
τ1 и τ2.
2. Вычислите Е[τi] и V[τi], i=1,2.
Задача 8.2.5. Случайные величины τ и ξ связаны между собой
функционально: τ=arctgξ. Известно, что случайная величина ξ является
непрерывной, со следующей плотностью распределения:
0, если

fξ(x)=  с
 x5 , если
x  2,
x  2.
1. Найдите константу с.
2. Если можно утверждать, что случайная величина τ будет непрерывной, найдите выражение для плотности fτ (z).
3. Напишите выражение для функции распределения случайной величины τ. 4. Вычислите Е[τ], V[τ] и вероятность P{2< τ <10}.
Задача 8.2.6. Известно, что непрерывная случайная величина ξ распределена по нормальному закону распределения с параметрами m = - 1 и
 =4.
1. Найдите законы распределения в виде плотности и функции распределения следующих случайных величин:
а) τ1= 3  ;
б) τ2= -ξ2;
в) τ3= 0,5ξ -1.
2. Вычислите Е[τ3], Е[τ2].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
86 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Задача 8.2.7. Вклад до востребования был открыт на сумму 20 тысяч рублей под простую годовую процентную ставку 1%. При закрытии
счета вкладчик получит сумму:
τ=20000(1+0,01ξ).
Опыт показывает, что время, через которое вкладчик может закрыть
счет на таком депозите (случайная величина ξ), может быть аппроксимировано показательным законом распределения с параметром λ=2.
1. Каково среднее время нахождения денег на таком депозите?
2. Чему равна плотность распределения случайной величины τ?
3. Какова средняя величина полученной денежной суммы?
Задача 8.2.8. Дана плотность распределения случайной величины ξ:
если
x  4,
0,
с
 x  1 , если - 4  x  0,
16
4
fξ(x)= 
 1 x  1 , если 0  x  4,
 16
4
0, если
x  4.

Случайная величина τ равна:
, если   0,
, если   0.
τ =
Найдите:
1. Константу с.
2. Плотность распределения и математическое ожидание случайной
величины τ.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 9. Двумерный дискретный случайный вектор
87
ТЕМА 9. ДВУМЕРНЫЙ ДИСКРЕТНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР
 Двумерным случайным вектором ή называют вектор-столбец,
составляющими которого являются случайные величины, заданные на
одном и том же пространстве элементарных исходов: ή=(ξ1,ξ2) т. Если
случайные величины ξ1 и ξ2 являются дискретными, то вектор классифицируют как дискретный случайный вектор.
 Функцией распределения двумерного случайного вектора называют следующую функцию двух переменных (х, у):
 F ( x , y )  P { 1  x ,  2  y } ,  (х,у)R2
Таблица распределения двумерного дискретного случайного вектора имеет вид:
yj
xi
x1
y1
y2
…
уm
p11
p12
…
p1m
x2
p21
p22
…
p2m
…
…
…
…
…
xn
pn1
pn2
…
pnm
 p ij  P

1
 xi ,  2  y j ;
n
m
 p
i 1 j 1
ij
 1.
По таблице совместного распределения, приведенной выше, можно
составить таблицы распределения для каждой случайной величины. Их
называют частными (маргинальными, одномерными) законами распределения составляющих случайного вектора.
 Маргинальный закон распределения для 1:
xi
pi
x1
p1
…
…
pi 
xn
pn
m

j 1
p ij
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
88 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
 Маргинальный закон распределения для 2:
yj
y1
q1
qj
…
…
qj 
n

i 1
ym
qm
p ij
.
 Условным рядом распределения случайной величины 1 при условии, что 2=уj , j=1,…, m, называют следующую таблицу:
xi
pi/j
x1
p1/j
…
…
xn
pn/j
 Условным рядом распределения случайной величины 2 при условии, что 1=xi, i=1,…,n, называют следующую таблицу:
yj
qj/i
y1
q1/i
…
…
ym
qm/i
Условные вероятности pi/j и qj/i вычисляются по формулам:
pij
 pi / j 
, q j  0, i  1,..., n, индекс j фиксирован.
qj
 q j/i 
pij
pi
,
pi  0,
j  1,..., m, индекс i фиксирован.
 Математическим ожиданием двумерного случайного вектора называют вектор вида:
Е[ή]=(E[ξ1], E[ξ2])т,
где E[ξ1] и E[ξ2] для дискретного вектора, вычисляют по формулам:
 E [ 1 ] 
 E[ 2 ] 
n
m
i 1
j 1
n
m
x
 y
i 1 j 1
i
p ij 
n
x
i 1
m
j
i
pi .
pij   y j q j .
j 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 9. Двумерный дискретный случайный вектор
89
Дисперсии составляющих двумерного дискретного случайного вектора вычисляют по формулам:
 V [ 1 ] 
 V [ 2 ] 
n
m
  ( x i  E [ 1 ]) 2 p ij 
i 1 j 1
n
m
  ( y j  E [  2 ]) 2 p ij 
i 1 j 1
n
 (x
i 1
m
i
(y j
j 1
 E [ 1 ]) 2 p i .
 E [  2 ]) 2 q j .
 Условным математическим ожиданием случайной величины
1 при условии 2 называют случайную величину Е[1/2], значения которой для каждого фиксированного значения дискретной случайной величины 2=уj определяются соотношением:
E [  1 /  2  y j ]  m 1 ( y j ) 
n
 xi pi/ j.
i 1
 В свою очередь, условным математическим ожиданием случайной величины 2 при условии 1 называют случайную величину
Е[2/1], значения которой для каждого фиксированного значения дискретной случайной величины 1=хi определяются соотношением:
E [ 2 / 1  x i ]  m 2 ( x i ) 
m

j 1
y jq
j /i .
 Функции m1(y) и m2(х), задающие всевозможные значения случайных величин Е[1/2] и Е[2/1], называют функциями регрессии
первого рода или модельными функциями регрессии.
Если выполняется равенство:
 F ( x , y )  F  1 ( x ) F  2 ( y ) ,
то случайные величины ξ1 и ξ2 называются независимыми случайными
величинами.
 Две дискретные случайные величины будут независимыми тогда и только тогда, когда для всех индексов i=1,…,n и j=1,…,m выполняется равенство:
р ij  р i q
j
.
Величины будут зависимыми, если хотя бы для одной пары индексов это равенство нарушается. Можно доказать, что если в таблице
совместного распределения есть хотя бы одна вероятность, равная нулю,
то случайные величины будут зависимыми.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
90 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
В то же время, необходимое и достаточное условие независимости
дискретных случайных величин можно сформулировать следующим образом: две дискретные случайные величины независимы тогда и только тогда, когда имеют место равенства:
pi/
q
j /i
 pi,
 i  1 ,..., n
 q j,
 j  1 ,..., m
j
 Количественной характеристикой, позволяющей оценить силу
стохастической связи между зависимыми случайными величинами, является момент корреляции (ковариация) и коэффициент корреляции.
Момент корреляции определяется равенством:
Vξ1ξ2  E [(  1  E [  1 ])(  2  E [  2 ])].
Из определения момента корреляции следует следующее равенство:
 V  1 2  E [ 1 2 ]  E [ 1 ] E [ 2 ] .
 Момент корреляции для дискретных случайных величин вычисляется по формуле:
Vξ1ξ2 
n
m
i 1
j 1
 
[( x i  E [  1 ])( y
 E [  2 ])] p ij .
j
Или по следующей формуле:
 V  1
2

n

i1
m

j 1
xi y
j
p ij 
E  1 E 
2
.
Причем, Vξ1ξ2 =Vξ2ξ1.
 Коэффициент корреляции определяется следующим образом:

 1 2 
V 1 2
V [1 ]V [2 ]
.
Эта числовая характеристика, в отличие от момента корреляции, является безразмерной.
Случайные величины, у которых коэффициент корреляции равен
нулю, называются некоррелированными.
Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:
 ρ ξ1ξ2 ≤1.
 Если случайные величины независимы, то они некоррелированные.
Это свойство, вообще говоря, не выполняется в обратную сторону,
то есть, из некоррелированности случайных величин не следует их неза-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 9. Двумерный дискретный случайный вектор
91
висимость. Из некоррелированности следует независимость, в частности,
для нормально распределенных случайных величин.
 ρ ξ1ξ2 =1  когда ξ2 = аξ1 + b.
Причем, ρ ξ1ξ2 =1, когда коэффициент а >0 и ρ ξ1ξ2 = - 1, когда a <0.
Таким образом, абсолютная величина коэффициента корреляции равна 1
в том и только в том случае, когда случайные величины связаны линейной функциональной зависимостью, то есть, когда ξ2 = аξ1 + b.
Отметим, что ρ ξ1ξ2 = ρ ξ2ξ1.
Ковариационной матрицей называют матрицу вида:
V=E [(-E []) (-E []) т]
Она является симметричной и неотрицательно определенной.
Так, например, ковариационная матрица трехмерного случайного
вектора имеет вид:
V 1  V1 2 V1 3 



V
V
V

V
 2   2 3  .
    21



V
V
V


3 

  31  3 2
Корреляционная матрица трехмерного случайного вектора имеет
вид:
1   1 2   1 3

 R=    2  1 1   2  3

  3 1   3  2 1





9.1. ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ В АУДИТОРИИ
Задача 9.1.1. Дана таблица распределения дискретного случайного
вектора ή=(ξ1,ξ2)т:
уj
0
1
хi
-1
0
1
0,17
0,13
0,25
0,1
0,3
?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
92 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
1.Найдите маргинальные (частные) таблицы распределения для случайных величин ξ1 и ξ2.
2.Вычислите Еξ1 , Еξ2, Vξ1 , Vξ2, а также момент корреляции
Vξ1ξ2 и коэффициент корреляции ρ ξ1ξ2 .
3.Составьте условный ряд распределения случайной величины ξ1
при условии, что случайная величина ξ2=1, а затем условный ряд распределения случайной величины ξ2 при условии, что случайная величина
ξ1=0. Будут ли случайные величины ξ1 и ξ2 зависимыми?
4. Вычислите значения условных математических ожиданий
Еξ1ξ2=1 и Еξ2ξ1=0.
Задача 9.1.2. Дискретные случайные величины ξ1 и ξ2 независимы и
имеют следующие таблицы распределения:
ξ1
ξ2
хi
рi
0
1/2
уj
qj
0
1/3
1
3/8
3
1/8
1
2/3
1. Найдите таблицу распределения случайного вектора ή=(ξ1,ξ2)т, составленного из этих величин.
2. Вычислите математическое ожидание и дисперсию каждой случайной величины.
3. Вычислите момент корреляции Vξ1ξ2, а затем найдите Еξ1ξ2. Будут ли эти величины коррелированными? Можно ли было, не вычисляя
Vξ1ξ2 сразу сделать вывод, чему он равен?
Задача 9.1.3. Мяч бросают в баскетбольное кольцо. Вероятность
попадания при одном броске равна 0,7. Пусть случайная величина ξ1 –
число попаданий, а случайная величина ξ2 – число промахов при одном
броске.
1. Составьте таблицу совместного распределения этих случайных
величин.
2. Вычислите математические ожидания этих случайных величин и
запишите математическое ожидание вектора ή=(ξ1,ξ2) т.
3. Вычислите дисперсии, момент и коэффициент корреляции этих
случайных величин. Запишите ковариационную и корреляционную матрицы.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 9. Двумерный дискретный случайный вектор
93
4. Будут ли эти случайные величины связаны между собой линейно
функционально?
Задача 9.1.4. Партия изделий содержит 4 бракованных и 6 годных
изделий. Наудачу вынимается одно изделие, тестируется на качество и
назад в партию не возвращается. Из оставшихся в партии изделий опять
выбирают одно изделие и тестируют его на качество. Пусть ξ1 – число
годных изделий при первом изъятии, а случайная величина ξ2– число годных изделий при втором изъятии.
1. Составьте таблицу совместного распределения этих случайных
величин.
2.Найдите маргинальные законы распределения случайных величин.
3. Вычислите математические ожидания этих случайных величин и
запишите математическое ожидание вектора ή=(ξ1,ξ2) т.
4. Вычислите дисперсии, момент и коэффициент корреляции этих
случайных величин. Запишите ковариационную и корреляционную матрицы.
5. Составьте условный ряд распределения случайной величины ξ1
при условии, что случайная величина ξ2=1, а затем условный ряд распределения случайной величины ξ2, при условии, что случайная величина ξ1=
0. Будут ли случайные величины ξ1 и ξ2 зависимыми?
Задача 9.1.5. Известна таблица распределения дискретного случайного вектора ή=(ξ1,ξ2) т:
уj
хi
-2
-1
0
0
1
3
0,01
0,01
0,02
0,02
0
0,5
0,03
0,01
0,4
1. Найдите маргинальные законы распределения случайных величин.
2. Составьте условный ряд распределения случайной величины ξ1
при условии, что случайная величина ξ2=1, а затем условный ряд распределения случайной величины ξ2, при условии, что случайная величина ξ1=
- 1. Будут ли случайные величины ξ1 и ξ2 зависимыми?
3. Вычислите Еξ12 – ξ2.
4. Найдите вероятность Р{ (ξ12 – ξ2) = -1}.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
94 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Задача 9.1.6. Задана таблица распределения дискретного случайного
вектора ή=(ξ1,ξ2)т:
уj
хi
-1
1
-1
0
1
1/8
5/24
1/12
1/6
7/24
1/8
1. Найдите маргинальные законы распределения случайных величин
ξ1 и ξ2.
2. Вычислите Еξ1ξ2=0 и Еξ2ξ1=1.
3. Составьте таблицы распределений случайных величин τ1=ξ1ξ2 и
τ2=ξ1 + ξ2.
Задача 9.1.7. Подбрасывают два игральных кубика. Пусть ξ1 — это
случайная величина, которая принимает значение равное 1, если сумма
очков на верхних гранях обоих кубиков является четным числом, и значение равное 0, если указанная сумма будет нечетным числом. Пусть ξ2
— это случайная величина, которая равна 1, если сумма очков на верхних
гранях обоих кубиков делится на 3, и равна 0 в противном случае.
1. Найдите таблицу распределения двумерного дискретного случайного вектора ή=(ξ1,ξ2) т, составленного из этих величин.
2. Вычислите математическое ожидание этого вектора E [η] и ковариационную матрицу Vη.
3. Будут ли эти случайные величины коррелированными?
4. Будут ли эти случайные величины зависимыми?
Задача 9.1.8. Найдите закон распределения случайной величины
τ=| ξ1 – ξ2|, если задана таблица распределения дискретного случайного
вектора ή=(ξ1,ξ2)т:
уj
-2
-1
3
хi
-2
0,1 0,15 0,2
-1
0,15 0,25 0,15
Вычислите математическое ожидание и дисперсию τ.
Задача 9.1.9. Можно ли составить таблицу распределения случайного вектора ή1=(τ1,τ2) т, где τ1=2ξ1-3ξ2+4, τ2=ξ1ξ2, если известна таблица
распределения дискретного случайного вектора ή=(ξ1,ξ2) т?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 9. Двумерный дискретный случайный вектор
уj
хi
-1
1
0
1
2
0,1
0,2
0,2
0,1
0,3
0,1
95
Найдите, если это возможно при данном комплексе условий, математическое ожидание вектора E [η1] и ковариационную матрицу Vη1.
Задача 9.1.10.Совместное распределение вероятностей изменения
доходностей двух акций вида А и В (случайных величин ξ1 и ξ2) задано
следующей таблицей:
уj
2% 6% 9% 15% 20%
хi
6%
0,1
0
0
0
0
8%
0
0,2
0
0
0
10%
0
0
0,4
0
0
12%
0
0
0
0,2
0
14%
0
0
0
0
0,1
1. Составьте частные законы распределений для каждого показателя
(для случайной величины ξ1 и ξ2).
2. Найдите ожидаемую доходность и риск доходности для каждой
ценной бумаги (вычислите математическое ожидание и дисперсию для
каждой случайной величины).
3. Коррелируют ли доходности ценных бумаг друг с другом? Какова
сила зависимости между ними (вычислите коэффициент корреляции)?
4. Найдите условный ряд распределения для доходности акции типа
А (первой случайной величины ξ1) при условии, что доходность акции
типа В равна 9% (случайная величина ξ2=9), а затем условный ряд распределения для доходности акции типа В (случайной величины ξ2) при
условии, что доходность акции типа А равна 14% (случайная величина
ξ1=14). Будут ли доходности этих ценных бумаг (случайные величины
ξ1 и ξ2) зависимыми?
Задача 9.1.11.В таблице представлены вероятности совместного изменения доходности казначейского векселя США (безрисковой ценной бумаги) и корпоративной облигации:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
96 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
уj
хi
4%
4%
4%
4%
4%
8%
8,5%
9%
10%
12%
0,05
0
0
0
0
0
0,2
0
0
0
0
0
0,5
0
0
0
0
0
0,2
0
0
0
0
0
0,05
1. Найдите ожидаемую доходность и риск каждой ценной бумаги.
2. Убедитесь в справедливости утверждения о том, что момент корреляции рискового актива (облигации) и безрискового (казначейского
векселя) равна нулю.
3. Можно ли утверждать, что доходности указанных ценных бумаг
будут независимыми?
9.2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 9.2.1. Составляющие двумерного дискретного случайного
вектора ή=(ξ1,ξ2)т являются независимыми случайными величинами. Таблицы распределений этих случайных величин следующие:
хi
рi
-2
5/6
3
1/6
уj -2
qj 1/4
-1
1/4
0
1/4
1
1/4
1. Составьте таблицу распределения случайного вектора ή=(ξ1,ξ2)т.
2. Вычислите математическое ожидание этого вектора E[η] и ковариационную матрицу Vη.
3. Можно ли сразу сказать какими будут все условные ряды распределений каждой случайной величины?
Задача 9.2.2. Задана таблица распределения двумерного дискретного случайного вектора ή=(ξ1,ξ2)т:
уj
хi
-3
3
-2
0
2
1/8
5/24
с
1/6
7/24
1/8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 9. Двумерный дискретный случайный вектор
97
1. Найдите константу с и частные законы распределений случайных
величин ξ1 и ξ2.
2. Вычислите математические ожидания Еξ1 , Еξ2 и дисперсии
Vξ1 , Vξ2, а также момент корреляции Vξ1ξ2 и коэффициент корреляции
ρ ξ1ξ2 .
3. Будут ли случайные величины независимыми?
4. Составьте таблицу распределения нового случайного вектора
ή1=(τ1,τ2)т, где
τ1=ξ1+ξ2 , τ2=ξ1ξ2 .
5. Найдите E[η1] и ковариационную матрицу Vη1.
Задача 9.2.3. Подбрасывают два тетраэдра с пронумерованными
гранями. Пусть ξ1 — это случайная величина, которая принимает значение равное 1, если сумма очков на нижних гранях обоих тетраэдров является нечетным числом, и значение равное 0, если указанная сумма будет
четным числом. Пусть ξ2 — это случайная величина, которая равна 1, если сумма очков на нижних гранях обоих тетраэдров делится на 4, и равна
0 в противном случае.
1.Найдите таблицу распределения двумерного дискретного случайного вектора, составленного из этих величин.
2.Вычислите математическое ожидание вектора E [η] и ковариационную матрицу Vη.
3. Найдите все условные ряды распределения для случайной величины ξ1 при условии, что случайная величина ξ2=уj, а затем все условные
ряды распределения случайной величины ξ2 при условии, что случайная
величина ξ1=хi. Будут ли случайные величины ξ1 и ξ2 зависимыми?
4. Вычислите все значения условных математических ожиданий
Еξ1ξ2 и Еξ2ξ1.
Задача 9.2.4. Мяч трижды бросают в баскетбольное кольцо. Вероятность попадания при одном броске равна 0,85. Пусть случайная величина ξ1 – число попаданий, а случайная величина ξ2 – число промахов при
трех бросках.
1.Составьте таблицу распределения случайного вектора ή=(ξ1,ξ2) т.
2.Вычислите математическое ожидание случайного вектора E[η] и
его ковариационную матрицу Vη.
3. Найдите все условные ряды распределения для случайной величины ξ1 при условии, что случайная величина ξ2=уj.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
98 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
4. Вычислите Еξ2ξ1= хi. Изобразите в декартовой системе координат все точки вида (хi; Еξ2ξ1= хi]). Что вы можете сказать о характере
расположения этих точек?
Задача 9.2.5. Случайная величина ξ распределена по закону Бернулли с параметром р=0,65. Составьте таблицу распределения случайного
вектора ή=(ξ1,ξ2) т, где ξ1= ξ, а ξ2= ξ3.
1.Вычислите математическое ожидание случайного вектора E [η] и
его ковариационную матрицу Vη.
2. Найдите все условные ряды распределения для случайной величины ξ1 при условии, что случайная величина ξ2=уj.
Задача 9.2.6. Найдите константу с. Вычислите коэффициент корреляции ρξ1ξ2 и вероятности следующих случайных событий
Р{(ξ1= -2)(ξ2 < 0)}, Р{ξ2 >-1}, если таблица распределения двумерного
дискретного случайного вектора, составленного из этих величин имеет
вид:
уj
хi
-2
-1
3
-2
0,1
0,15
с
-1
0,15
0,25
0,15
Задача 9.2.7. В таблице представлены данные по возможным значениям доходностей четырех инвестиционных проектов (значений случайных величин ξ1, ξ2, ξ3 и ξ4) в зависимости от указанных состояний, в которых может находиться экономика.
рi
Казначейские
векселя
ξ1
Корпоративные
облигации
ξ2
Первый
проект
ξ3
Второй
проект
ξ4
Глубокий спад
0,015
10%
12%
-3%
-2%
Незначительный
спад
0,24
10%
10%
6%
9%
Стагнация
0,5
10%
9%
11%
12%
Незначительный
подъем
0,23
10%
8,5%
14%
15%
Сильный подъем
0,015
10%
8%
19%
26%
Состояние
экономики
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 9. Двумерный дискретный случайный вектор
99
1. Составьте таблицы распределений для следующих случайных
векторов: ή1=(ξ1,ξ2)т . ή2=(ξ2,ξ3)т . ή3=(ξ2,ξ4)т . ή4=(ξ3,ξ4)т . ή5=(ξ1,ξ4)т .
2. Вычислите математические ожидания этих векторов E[ηi] и ковариационные матрицы Vηi, i=1,…,5. Найдите ρξ1ξ2, ρξ2ξ3, ρξ2ξ4, ρξ3ξ4, ρξ1ξ4.
3. Доходности каких инвестиций связаны между собой прямой зависимостью? Какие обратной зависимостью? Сила зависимости между доходностями каких инвестиций наиболее сильная?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
100 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
ТЕМА 10. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ
Математическое ожидание случайных величин обладает следующими свойствами:
 1. E[c] =c, где с некоторая константа
 2. E[c] =cE[];
 3. E[c + ] =E [] + c;
 4. E [c11+ c22+ c33] =c1E [1] +c2E [2] + c3E [3];
 5. E[ξ1ξ2]=Еξ1Еξ2+Vξ1ξ2.
В частности, если случайные величины некоррелированные или независимые, то
E[ξ1ξ2]=Еξ1Еξ2;
 6. Если Р{ξ ≥ 0}=1, то E[] ≥ 0, а если Р{ξ ≤ 0}=1, то
E[] ≤0;
 7. E[2] =(E[])2 + V [].
Дисперсия случайных величин обладает такими свойствами:
 1. V [] ≥0;
 2. V[c] =0;
 3. V[c] =c2V [];
 4. V[c + ] =V [];
5.V[c11+c22+c33]=c12V[1]+c22V[2]+
+c32V[3]+2c1c2Vξ1ξ2+2c1c3Vξ1ξ3+2c2c3Vξ2ξ3.
В частности,
 V [1+ 2] =V[1] +V[2] + 2Vξ1ξ2.
 6. V[1+ 2] =V[1] +V[2], если случайные величины некоррелированные или независимые.
 Математическое ожидание случайного вектора обладает следующими свойствами:
 1. E[b] =b, где b некоторый постоянный вектор
b= (b1, b2)т;
т
т
т
т
 2. E[b ] =b E[], E[ b] =Е[ ]b;
 3. E [b +] = b +E[];
 4. E [c11+ c2 2] =c1E[ 1] +c2E[2], где с1 и с2 некоторые
константы;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 10. Свойства числовых характеристик случайных величин и случайных векторов 101
а11 а12 
.
а
а
22 
 21
 5. E [A + b] =AE[] + b, где А матрица вида А= 
 Для ковариационной матрицы выполняются такие свойства:
 1. Ковариационная матрица Vη является симметричной матрицей, то есть
т
Vη= Vη ;
 2. Ковариационная матрица является неотрицательноопределенной матрицей;
 3. Если к случайному вектору  прибавить или отнять некоторый
постоянный вектор b, то ковариационная матрица не изменится:
 Vη= Vη+b, Vη= Vη-b.
 4. Если случайный вектор  равен  =А, то
V= АVηАт.
10.1. ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ В АУДИТОРИИ
Задача 10.1.1. Известно математическое ожидание E [ξ] = -2 и дисперсия V[ξ]= 0,25 случайной величины ξ. Найдите E [1 – 3ξ], V [1 – 3ξ].
Задача 10.1.2. Вычислите математическое ожидание E [ξ2] и дисперсию V [3+2ξ], если известно, что E [ξ]=3, V [ξ]=1.
Задача 10.1.3. Составляющие двумерного случайного вектора
ή=(ξ1,ξ2)т имеют следующие числовые характеристики: E [ξ1] =2,
1
1
E [ξ2] = -1, V [ξ1]= , V [ξ2]= , Vξ1ξ2=0,2. Вычислите математическое
2
2
ожидание E [- ξ1 + 4ξ2] и дисперсию V [ - ξ1 + 4ξ2].
Задача 10.1.4. Модель, описывающая изменение доходности портфеля ценных бумаг (случайная величина τ) в зависимости от изменения
рыночного индекса S&P500 (случайная величина ξ1) и неучтенных в модели факторов (случайная величина ξ2) имеет вид:
τ=1,5%+ 0,9ξ1+ξ2.
Предполагается, что E [ξ2]=0, а ожидаемая доходность рыночного
индекса равна E [ξ1]=12%. Найдите ожидаемую доходность портфеля
ценных бумаг, задаваемого указанной моделью.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
102 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Задача 10.1.5. Математическое ожидание E[η] и ковариационная
матрица Vη двумерного случайного вектора ή=(ξ1,ξ2) т следующие:
1
E[η] = (1, 1)T ; Vη = 
?
- 1/2
9 
Вычислите следующие числовые характеристики:
1. E[4ξ1 + 3ξ2 - 7], V[4ξ1 + 3ξ2 - 7], E[3ξ1ξ2];
2. E[3ξ1 - ξ12+ 2ξ1ξ2 + 7 ξ22 - 5];
3. ρξ1ξ2.
Задача 10.1.6. Формируется двубумажный портфель ценных бумаг
из акций компании «Газпром» и акций компании «Сибнефть». Ожидаемая
годовая доходность по акциям «Газпрома» равна 16% (E [ξ1]=16%), а по
акциям компании «Сибнефть» равна 14% (E [ξ2]=14%). Среднеквадратические отклонения доходностей равны: σξ1=14% и σξ2=12%. Коэффициент
корреляции доходностей этих акций равен ρξ1ξ2=0,4. Найдите ожидаемую
доходность и риск портфеля, если в акции вложены равные суммы (вычислите Е0,5ξ1+0,5ξ2  и V0,5ξ1+0,5ξ2 ).
Задача 10.1.7. Менеджер по инвестициям решает проблему формирования двух различных двубумажных портфелей. В первый портфель
предполагается включить акции вида А и В. Во второй — акции вида С и
Д. Доходности каждой бумаги являются случайными величинами ξ1, ξ2,
ξ3 и ξ4 соответственно. Ожидаемая доходность по акциям вида А и С равна 10%, а по акциям вида В и Д ожидаемая доходность составляет 6%. В
свою очередь, риск доходности акций А и С равен 5%, а риск доходности
акций вида В и Д равен 4%. Коэффициент корреляции между доходностями бумаг А и В равен ρξ1ξ2=0,35, а между доходностями бумаг С и Д
равен ρξ3ξ4= – 0,35. Доходности портфелей являются случайными величинами, связанными следующим образом с доходностями ценных бумаг,
входящих в портфель:
τ1= 0,6ξ1+0,4ξ2 ,
τ2= 0,6ξ3+0,4ξ4 .
Ответьте на следующие вопросы:
1. Чему равна ожидаемая доходность каждого портфеля?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 10. Свойства числовых характеристик случайных величин и случайных векторов 103
2. Чему равен риск каждого портфеля? При выборе портфеля менеджер руководствуется критерием минимального риска, какой портфель
он выберет?
3. Включение в портфель бумаг с отрицательной корреляцией приводит к уменьшению или к увеличению риска?
Задача 10.1.8. Портфель господина Бернса составлен из инвестиций
в рискованный актив, дающий двенадцати процентную ожидаемую доходность и двадцати пяти процентное стандартное отклонение, и в безрисковый актив, дающий семи процентную ожидаемую доходность. Если
доходность всего портфеля имеет стандартное отклонение равное 20%, то
чему равна его ожидаемая доходность?
Задача 10.1.9. Случайные величины ξ1 и ξ2 независимы. Будут ли
независимыми случайные величины τ1=sinξ1 и τ2=ξ22. Будут ли они некоррелированными? Ответ обоснуйте. Можно ли утверждать, что случайные
величины τ1 и τ2 будут некоррелированными, если отказаться от требования независимости случайных величин ξ1 и ξ2, а предположить только,
что Vξ1ξ2=0.
Задача 10.1.10. Предполагается, что случайные величины ξ1 и ξ2 некоррелированные, то есть Vξ1ξ2=0.Достаточно ли этой информации для
того, чтобы найти:
1. E [ξ1 — 7ξ2 + 7ξ1ξ2],
2. E [ξ12 — 7ξ2 + 7ξ12ξ2].
Прокомментируйте ваше решение.
Задача 10.1.11. Даны математическое ожидание E [η] и ковариационная матрица Vη трехмерного случайного вектора ή=(ξ1,ξ2,ξ3) т:
3
E[η] =( -1, 0, 3) ; Vη = ?
?
T
- 2/9
3
?
1 
1/4
4 
Вычислите следующие числовые характеристики:
1. E[4ξ1 + 3ξ2 - 5ξ1ξ2 + ξ12 - 2ξ22 + ξ3ξ2 - 8];
2. V[ξ2 - 7ξ1+ 4ξ3 + 9];
3. ρ ξ1ξ2, ρ ξ1ξ3, ρ ξ3ξ2;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
104 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
4. Проанализируйте значения коэффициентов корреляции и ответьте на вопрос, связаны ли какие-нибудь из трех случайных величин ξ1,
ξ2, ξ3 между собой линейно?
Задача 10.1.12. Вектор ожидаемых доходностей трех акций, из которых формируется портфель ценных бумаг, равен:
E[η] = (16,2; 24,6; 22,8)T.
Ковариационная матрица имеет вид:
187
145 
146
Vη = 187
854
104  .
145
104
289
Доходность портфеля является случайной величиной, линейно связанной с доходностями ценных бумаг, входящих в портфель. То есть:
τ= х1ξ1+х2ξ2 +х3ξ3.
Найдите ожидаемую доходность и риск портфеля, если доли вложений в ценные бумаги следующие:
1. х1=0, х2=1, х3=0;
2. х1=0, х2=0,22; х3=0,78;
3. х1=0,84; х2=0; х3=0,16;
4. х1=0,2; х2=0,3; х3=0,5.
Задача 10.1.13. Известно, что случайная величина ξ равномерно
распределена на отрезке -1,1. Найдите математическое ожидание и ковариационную матрицу двумерного случайного вектора η=(ξ1, ξ2) T, где
1. ξ1 = ξ, ξ2 = ξ2.
2. ξ1 = ξ, ξ2 = ξ3.
Задача 10.1.14. Даны две независимые нормально распределенные
случайные величины с одинаковыми параметрами: ξ1  N (m, σ), ξ2  N (m,
σ). Вычислите коэффициент корреляции ρ τ1τ2, между случайными величинами τ1 и τ2, где τ1=aξ1+b и τ2=aξ2 + b.
Задача 10.1.15. Известны математическое ожидание и ковариационная матрица двумерного случайного вектора η:
 4 - 1/2
E[η]=( 1, 1)T ; Vη = 
.
1 
 1/2
Найдите математическое ожидание E[ν] и ковариационную матрицу
Кν двумерного случайного вектора ν, если известно, что он связан со слу-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 10. Свойства числовых характеристик случайных величин и случайных векторов 105
1 1 
чайным вектором η следующим образом: ν=Аη + b, где А =   , b =
0 1 
 1
0  .
 
Задача 10.1.16. Известны математическое ожидание и ковариационная матрица трехмерного случайного вектора:
1
 3 - 2/9

T
E[η]=( -1, 0, 3) ; Vη = - 2/9 3
1/4 .
 1 1/4
4 
Найдите математическое ожидание E[ν] и ковариационную матрицу
 0 - 1 0
1 
Vν случайного вектора ν, если ν=Аη + b, где А =  1 1 1 , b = 2 .
- 1 0 0
3 
Задача 10.1.17.
Какие из данных матриц могут быть ковариационными матрицами двумерного случайного вектора η=( ξ1, ξ2 )T?
1 1 
1 1 
1 5 
9 1 
1 0 
 4 - 3
25 - 3 
1.   ;2. 
; 3.   ; 4.   ; 5.   ; 6. 
; 7. 


.
0 1 
0 -1 
5 4 
1 3 
0 1 
- 3 - 2 
- 3 6 
10.2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 10.2.1. Известно математическое ожидание E [ξ]=-4 и дисперсия V[ξ] = 0,2 случайной величины ξ. Найдите E [1 – 0,5ξ], V [1 – 0,5ξ].
Задача 10.2.2. Вычислите математическое ожидание E [ξ2] и дисперсию V [-0,3ξ+17], если известно, что E [ξ]=0, V [ξ]=0,5.
Задача 10.2.3. Составляющие двумерного случайного вектора
ή=(ξ1,ξ2,)т имеют следующие числовые характеристики: E[ξ1]=1, E[ξ2]=0,
V[ξ1]=4, V[ξ2]=6, Vξ1ξ2=0. Вычислите математическое ожидание E[0,25ξ1 0,6 ξ2] и дисперсию V[0,25ξ1 - 0,6 ξ2].
Задача 10.2.4. Математическое ожидание E[η] и ковариационная
матрица Vη двумерного случайного вектора ή=(ξ1,ξ2)т следующие:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
106 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
16
E[η]=( 0, 1)T ; Vη = 
- 0.3
?
.
1
Вычислите следующие числовые характеристики:
1. E[ξ1 + ξ2 - 15], V[ξ1 + ξ2 - 15], E[-2ξ1ξ2].
2. E[-3ξ1 -5 ξ2 + ξ12 -ξ1ξ2 + 2 ξ22 - 2].
3. ρξ1ξ2.
Задача 10.2.5. Случайные величины ξ1 и ξ2 независимы.
1.Будут ли независимыми случайные величины τ1=(ξ1-5) и τ2=ξ22.
Будут ли они некоррелированными? Ответ обоснуйте.
2.Можно ли утверждать, что случайные величины τ1 и τ2 будут некоррелированными, если отказаться от требования независимости случайных величин ξ1 и ξ2, а предположить только, что Vξ1ξ2=0.
Задача 10.2.6. Предполагается, что случайные величины ξ1 и
ξ2 некоррелированные, то есть Vξ1ξ2=0. Достаточно ли этой информации
для того, чтобы найти:
1. E [ξ1 — 7ξ2 + 7ξ1ξ2],
2. E [ξ12 — 7ξ2 + 7ξ12 sin ξ2]?
Прокомментируйте ваше решение.
Задача 10.2.7. Даны математическое ожидание E[η] и ковариационная матрица Vη трехмерного случайного вектора ή=(ξ1,ξ2,ξ3 )т:
- 1/6
3/2
1 / 4

T
1
0  .
E[η]=( 0, 1, 1) ; Vη = - 1/6
 3/2
0
9 
Вычислите следующие числовые характеристики:
1. E[-5ξ1 + ξ2 +0,2ξ1ξ2 -0,2 ξ12 + 2ξ22 - ξ3ξ2 - 1];
2. V[-ξ2 - ξ1-ξ3 - 15];
3. ρ ξ1ξ2, ρ ξ1ξ3, ρ ξ3ξ2.
4. Проанализировав значения коэффициентов корреляции, ответьте
на вопрос, связаны ли какие-нибудь из трех случайных величин между
собой линейно?
Задача 10.2.8. Известно, что случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке -5,5. Найдите математическое ожидание и корреляционную матрицу двумерного случайного вектора η=( ξ1 , ξ2 )T, где
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 10. Свойства числовых характеристик случайных величин и случайных векторов 107
1. ξ1 = ξ2, ξ2 = ξ;
2. ξ1 = ξ3, ξ2 = ξ.
Задача 10.2.9. Даны две независимые нормально распределенные
случайные величины с одинаковыми параметрами: ξ1  N(0, 1), ξ2  N(0, 1).
Вычислите коэффициент корреляции ρ τ1τ2, между случайными величинами τ1 и τ2, где τ1=2ξ1-5 и τ2=2ξ2 + 5.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
108 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
ТЕМА 11. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
 Все множество значений, которое может принять изучаемая случайная величина, называют генеральной совокупностью.
Конечный набор значений, извлеченный из генеральной совокупности, при соблюдении следующих условий:
 выбор производят случайным образом;
 независимо друг от друга;
 из одной и той же генеральной совокупности;
называют выборкой значений случайной величины или просто
выборкой и обозначают:
 х1, х2, …, хn.
Количество элементов в выборке n называют объемом выборки.
Выборку, все элементы которой расположены в порядке возрастания, называют вариационным рядом:
 х1*, х2*, … , хn*.
При статистической обработке данных, в том случае, когда есть основание считать, что изучаемая случайная величина дискретная, для неё
строят сгруппированный статистический ряд, т. е. таблицу вида:
x i*
x 1* x 2* ...
x q*
pi*
p1*
pq*
k
p  i ,
n
*
i
Здесь x
*
i
p2* ...
,
q
p
*
i
1 .
i 1
неповторяющиеся выборочные значения случайной вели-
чины , расположенные в порядке возрастания, k i это число, показы*
вающее, сколько раз значение x i встретилось в выборке (частота выборочного значения), n объём выборки. Через pi 
*
ki
обозначена относиn
*
тельная частота выборочного значения x i .
Для непрерывной случайной величины строят интервальный статистический ряд. На первом шаге находят число интервалов r, на которые разбивается отрезок x min ;x max  . Через x min и x max обозначены со-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 11. Статистические законы распределения случайных величин
109
ответственно наименьшее и наибольшее выборочное значение. В частности, число r можно вычислить по следующей формуле:
 r  1  3,2 lg n ,
то есть как целую часть числа 1+ 3,2lgn
Границы ~
x i интервалов J i , i 1, r находят по формулам:
 J 1  ~
x 1; ~
x 2  , J i  ~
x i ;~
x i 1 
, i  2, r ,
 ~
x i  x min  i  1   , x r 1  x max ,
   x max  x min  / r
.
Интервальный статистический ряд имеет вид:
Ji
~p *
i
J 1 J 2 ...
~p * ~p * ...
1
2
~p *  li ,
i
n
Jr
~p * ,
r
r
 ~p
*
i
1 .
i 1
В приведенных формулах через li обозначено число выборочных
значений, попавших в интервал Ji (частота попадания выборочных значе-
l
pi*  i обозначена относиний в интервал с номером i, i=1,…,r), а через ~
n
тельная частота.
Число интервалов r, на которые разбивается отрезок x min ;x max  ,
может выбираться произвольно, а не по указанной формуле, главное чтобы оно было не меньше пяти и не больше двадцати пяти.
Эмпирическую функцию распределения Fn x  , которая служит
*
оценкой теоретической функции распределения Fξ(x), для дискретных
случайных величин находят следующим образом:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
110 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
0
, x  x 1 ,
 

, x1  x  x  2 ,
 p1
. . . . . .
def 

 Fn  x    k 1  

 pi , x k 1  x  x k ,
 i 1
. . . . . .

1
, x  x k* .
Для непрерывных случайных величин выражение для эмпириче-
ской функции распределения Fn x  будет иметь вид:
*
0
x1 ,
, x~

~
 ~ * ( х  х1 )
, x  J1
 p1


~
* ( x  x2 )
~
~
p
p1* , x  J 2
 2

def

*
 Fn  x   . . . . . .
  (x  ~
x r 1 ) r  2 ~ *
 p r*1
  p k , x  J r 1 ,


k 1
 (x  ~
r 1
xr )
~
 ~
p r*
p k*
, x  Jr ,


k 1
1
, x~
x r 1 .

График эмпирической функции распределения Fn x  называют
*
кумулятой или кумулятивной кривой. Для дискретной случайной ве-
личины это график кусочно-постоянной функции Fn x  . Для непрерыв*
ной случайной величины графиком Fn x  является непрерывная лома*
ная:
Fn* x 
1
~p* ~p*
1
2
~p *
1
J1
J2
J3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 11. Статистические законы распределения случайных величин
111
Эмпирическую плотность f n x  , являющуюся оценкой теорети*
ческой плотности распределения fξ(x), определяют для непрерывной случайной величины как производную от эмпирической функции распределения и находят следующим образом:
0 ,
 p *
 i ,
def

f n*  x    p *
r
  , x

0 ,

x  x 1 ,
i 
x  Ii
1 , r  1
,
 Ir
x  x r 1
.
В интервальном ряде длина последнего интервала, вообще говоря,
может не совпадать с длиной δ остальных интервалов. Поэтому на последнем промежутке Jr эмпирическая плотность будет вычисляться по
p
формуле fn (x)= r , где через δr обозначена длина интервала Jr. Отметим,
r
что выражение для эмпирической плотности можно найти, продифференцировав выражение для эмпирической функции распределения непрерывной случайной величины. График эмпирической плотности называют
гистограммой (Рис.20).
Гистограмма
Рис.20. График гистограммы.
11.1. ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ В АУДИТОРИИ
Задача 11.1.1. Дан вариационный ряд:
6, 6, 8, 10, 10, 12, 12, 12, 14, 14, 14, 16, 16, 16, 16, 16, 18.
1. Составьте сгруппированный ряд;
2. Найдите Fn*(x), постройте кумуляту.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
112 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
В задачах 11.1.2–11.1.9 даны выборки значений случайных величии. Выполните следующие задания:
1. Ответьте на вопрос: случайная величина ξ является дискретной
или непрерывной?
2. Составьте вариационный ряд;
3. Составьте сгруппированный ряд;
4. Найдите эмпирическую функцию распределения Fn*(x), постройте кумуляту.
Задача 11.1.2.
8, 7, 8, 5, 9, 10, 7, 5, 12, 13, 12, 5, 10, 8, 8, 11, 12, 11.
Задача 11.1.3.
1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 0; 0; 1;
1; 0
Задача 11.1.4.
1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1;
1; 1
Задача 11.1.5.
1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0;
1; 0.
Задача 11.1.6.
3; 0; 2; 3; 3; 3; 3; 2; 2; 1; 2; 1; 3; 3; 3; 2; 3; 2; 2; 3; 3; 3; 2; 3; 2; 2; 2; 1;
3; 3.
Задача 11.1.7.
3; 3; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 2; 3; 3; 3; 3; 1; 2; 3; 2; 3; 2; 2; 2;
2; 2.
Задача 11.1.8.
3; 2; 1; 2; 3; 3; 3; 1; 1; 2; 3; 2; 2; 2; 3; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3;
3; 1.
Задача 11.1.9.
3; 3; 3; 3; 4; 3; 4; 2; 3; 2; 3; 4; 3; 3; 4; 3; 1; 4; 3; 4; 3; 4; 4; 3; 2; 3; 2; 3;
2; 4.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 11. Статистические законы распределения случайных величин
113
Задача 11.1.10. Дан интервальный ряд:
Ii
[10,12]
(12,14]
(14,16]
(16,18]
(18,20]
(20,22]
(22,24]
li
2
4
8
12
16
10
3
~
pi *
0,0364
0,0727
0,1455
0,2182
0,2909
0,1818
0,0545
1. Укажите размах выборки Δ и длину интервалов δ;
2. Найдите эмпирическую функцию распределения Fn*(x);
3. Найдите эмпирическую плотность fn*(x);
4. Постройте графики кумуляты и гистограммы.
В задачах 11.1.11–11.1.15 представлены выборки значений случайных величин. Можно ли считать, что эти выборки извлечены из генеральных совокупностей случайных величины непрерывного типа? Если да, то:
1. Постройте статистический интервальный ряд.
2. Найдите эмпирическую функцию распределения Fn*(x) и постройте ее график — кумуляту.
3. Найдите эмпирическую плотность распределения fn*(x) и постройте гистограмму.
Задача 11.1.11.
1,20; 1,24; 0,92; 1,12; 1,40; 1,42; 1,11; 1,32; 1,21; 1,28; 1,24; 0,99; 0,52;
1,05; 0,85;1,09; 0,84; 1,10; 1,30; 1,23; 1,19; 1,27; 1,13; 0,88; 1,31; 1,43; 0,90;
1,12; 0,89; 1,06.
Задача11.1.12.
2,40; 2,54; 0,51; 2,98; 1,69; -0,62; 2,32; -0,80; 0,43; 0,19; -0,57; 1,41;
0,62; 0,86; 0,38; 1,47; 0,15; 1,51; 1,60; 1,73; -0,69; 1,26; -0,26; 0,32; 1,42;
2,85; 2,13; 2,23; 0,16; 1,46.
Задача11.1.13.
-1,46; 0,51; -2,04; 0,81; -0,17; -2,42; 0,34; -0,12; -0,81; 0,18; 1,17; -0,99;
-1,94; -0,57; 2,10; -0,49; 0,69; 2,87; 0,41; 0,70; 2,77; -2,44; 1,69; -1,50; -0,56;
-1,36;-2,17; -1,64; -2,02; 0,01.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
114 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Задача11.1.14.
7,09; 5,91; 6,88; 5,43; 7,59; 5,47; 6,81; 7,24; 7,91; 6,81; 6,46; 7,65; 7,56;
5,29; 6,47; 6,92; 6,76 7,80; 7,14; 5,89; 5,35; 6,30; 5,50; 6,08; 7,26; 6,91; 6,04;
5,04; 6,53; 6,16.
Задача11.1.15.
2,41; 0,46; 1,18; 3,36; 4,33; 4,85; 2,51; 0,96; 1,43; 4,66; 2,39; 0,50; 3,98;
2,58; 4,70; 2,01; 4,14; 2,87; 1,87; 0,02; 0,42; 1,16; 1,23; 2,54; 1,49; 0,99.
11.2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 11.2.1. Дан вариационный ряд:
0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4.
1. Составьте сгруппированный ряд.
2. Найдите Fn*(x), постройте кумуляту.
В задачах 11.2.2–11.2.9 даны выборки значений случайных величии. Выполните следующие задания:
1.Ответьте на вопрос: случайная величина ξ является дискретной
или непрерывной?
2. Составьте вариационный ряд.
3. Составьте сгруппированный ряд.
4. Найдите эмпирическую функцию распределения Fn*(x), постройте кумуляту.
Задача 11.2.2.
0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 0;
1; 0.
Задача 11.2.3.
0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0;
0; 1.
Задача 11.2.4.
1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 0;
0; 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 11. Статистические законы распределения случайных величин
115
Задача 11.2.5.
0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1;
1; 1.
Задача 11.2.6.
3; 3; 3; 3; 4; 3; 4; 2; 3; 2; 3; 4; 3; 3; 4; 3; 1; 4; 3; 4; 3; 4; 4; 3; 2; 3; 2; 3;
2; 4.
Задача 11.2.7.
3; 3; 4; 3; 3; 3; 4; 2; 4; 3; 3; 3; 2; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 3; 3; 4; 4; 2; 3; 2; 3; 4;
3; 1.
Задача 11.2.8.
1; 2; 1; 2; 1; 0; 1; 2; 1; 2; 2; 1; 2; 0; 1; 1; 3; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1;
1; 0.
Задача 11.2.9.
2; 1; 1; 3; 3; 3; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 1; 0; 1; 2; 1; 1; 1; 3; 3; 2; 1; 1; 3; 1; 3; 1;
1; 1.
Задача 11.2. 10. Дан интервальный ряд:
Ii
[0,1]
(1,2]
(2,3]
(3,4]
(4,5]
(5,6]
li
8
14
22
6
7
3
~
pi *
0,13
0,23
0,37
0,11
0,11
0,05
1. Укажите размах выборки Δ и длину интервалов δ.
2. Найдите эмпирическую функцию распределения Fn*(x).
3. Найдите эмпирическую плотность fn*(x).
4. Постройте графики кумуляты и гистограммы.
В задачах 11.2.11–11.2.18. представлены выборки значений случайных величин. Можно ли считать, что эти выборки извлечены из генеральных совокупностей случайных величины непрерывного типа? Если да, то:
1. Постройте статистический интервальный ряд.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
116 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
2. Найдите эмпирическую функцию распределения Fn*(x) и постройте ее график — кумуляту.
3. Найдите эмпирическую плотность распределения fn*(x) и постройте гистограмму.
Задача 11.2.11.
2,41; 0,46; 1,18; 3,36; 4,33; 4,85; 2,51; 0,96; 1,43; 4,66; 2,39; 0,50; 3,98;
2,58; 4,70; 2,01; 4,14; 2,87; 1,87; 0,02; 0,42; 1,16; 1,23; 2,54; 1,49; 0,99; 0,85;
1,53; 0,22; 4,95.
Задача 11.2.12.
2,85; 2,06; 2,70; 2,66; 2,12; 1,72; 1,80; 1,59; 1,16; 1,53; 2,41; 1,11; 1,87;
1,56; 1,90; 1,50; 1,19; 2,59; 2,34; 2,31; 2,40; 2,19; 1,56; 1,32; 1,17; 1,07; 1,42;
2,04; 2,65; 1,91.
Задача 11.2.13.
-0,99; 0,27; -0,41; 0,51; -0,41; 0,57; 0,68; -0,75; -0,27; 0,20; 0,38; -0,23;
0,91; -0,40; 0,16; 0,55; -0,02; 0,20; 0,35; -0,46; -0,35; -0,38; 0,16; 0,10; -0,44;
0,38;43; -0,77; -0,75; -0,52.
Задача 11.2.14.
-1,21; -5,72; -7,25; -1,42; -3,28; -8,26; -3,04; -4,85; -8,41; -0,88; -0,13; 1,69; -8,52; -1,68; -3,11; -4,07; -1,98; -5,73; -6,80; -1,88; -1,54; -5,10; -2,61; 5,64;-3,65;-0,46;-6,43;-7,94;-4,97.8,01.
Задача 11.2.15.
5,713; 3,286; 5,313; 6,021; 2,215; 5,602; 3,690; 2,307; 4,424;
4,954; 1,678; 6,153; 3,857; 5,300; 3,462; 1,5433; 7,072; 1,749; 6,353;
4,576; 3,034; 8,918; 4,432; 2,245; 3,566; 4,555; 4,605; 9,124; 4,785;
2,113; 5,263; 2,226; 5,64414; 0,489; 1,653; 2,837; 4,716; 6,418; 6,050;
2,028; 8,070; 5,892; 5,394; 5,650; 4,429; 3,697.
4,981;
5,989;
4,083;
8,931;
Задача 11.2.16.
-2,901; -3,961; -2,804; -2,915; -2,510; -3,218; -3,102; -2,990; -3,042;
2,920; -2,313; -2,669; -2,805; -3,755; -2,145; -2,541; -3,228; -2,344; -3,341;
3,140; -2,759; -3,071; -3,249; -2,901; -2,585; -2,763; -3,790; -3,168; -3,947;
3,788; -3,787; -2,173; -2,821; -2,546; -4,415; -3,085; -3,309; -2,786; -3,097;
2,557; -2,832; -2,585; -3,455; -2,827; -3,431; -4,086; -2,630; -3,381; -3,629;
3,784.
-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 11. Статистические законы распределения случайных величин
117
Задача 11.2.17.
3,622; -2,605; 0,303; -3,813; -2,159; -5,819; -5,972; -3,606; -2,852;
0,563; -1,332; -3,332; 0,217; -5,483; -1,732; 1,429; -0,747; 0,502; -0,733; 2,644; -5,719; -0,307; 0,205; -0,367; 2,018; 0,189; -0,025; 0,704; -5,415; 1,990; -3,526; -6,329; 1,083;2,052; -4,647; -1,307; -3,865; -3,287; -5,519; 2,059; -1,201; 0,723; -3,431; -1,773; 1,741; 1,738; 0,652; -4,192; -4,941; 5,297.
Задача 11.2.18.
-9,099; -9,121; -11,317; -11,741; -9,948; -10,060; -8,940; -10,868; 9,704; -8,340;-8,756; -10,175; -9,704; -9,985; -10,069; -10,706; -9,417; 11,408; -9,571; -10,757;-11,020;-10,313; -9,482; -10,857; -9,928; -8,514; 10,313; -19,536; -7,922; -9,174;-9,617;-7,689;-10,269;-12,136; -9,164; -9,904;
-10,092; -9,879; -10,435; -9,959; -8,688;-9,289;-11,432;-11,155;-9,805;10,820; -9,954; -7,409; -9,172; -9,231.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
118 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
ТЕМА 12. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ.
ВЫБОРОЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Различают точечные и интервальные оценки параметров распределений. Если неизвестный параметр обозначить через , а его оценку, полученную по выборке, через ˆ , то свойства точечных оценок,
n
можно сформулировать следующим образом.
1.Оценка
ˆn
будет называться несмещенной, если:
E[ ˆn ]=.
2.Оценка ˆ n будет называться состоятельной, если:
lim P {   ˆ n  }  1.
n 
3. Оценка ˆn будет называться эффективной, если ее дисперсия
будет наименьшей по сравнению с дисперсиями любых других оценок
этого параметра:
V [ ˆ эф ]  min V [ ˆ r ], r  1,..., k .
n
n
Таким образом, если имеются к различных оценок одного и того же
неизвестного параметра, то оценку, чья дисперсия будет наименьшей по
сравнению с дисперсиями остальных оценок, называют эффективной.
Для многих распределений задача оценивания параметров распределения случайной величины связана с задачей оценивания числовых
характеристик случайной величины. В частности, математического
ожидания и дисперсии.
Оценку неизвестного математического ожидания, обозначаемую x , в случае не сгруппированной выборки, вычисляют по следующей формуле:
 x 
1
n
n
x
i 1
i
и называют выборочным средним.
Оценку дисперсии вычисляют по формуле вида:
n
1
 x i  x 2 .
 S2 

n  1 i 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 12. Оценки параметров. Выборочные числовые характеристики
119
Оценку S2 называют выборочной дисперсией.
Выборочное среднее и выборочная дисперсия, рассчитанные по указанным формулам, будут являться несмещенными и состоятельными
оценками.
В то же время, если использовать сгруппированные статистические
ряды, можно провести вычисление оценок математического ожидания
и дисперсии следующим образом.
Для дискретной случайной величины:
1
 x 
n
q
x
*
i
 ki ,
i 1

1 q *
 xi  x
S 
n  1 i 1
2

2
 ki
.
Для непрерывной случайной величины:
r
~
x
 ~
xi ,
x  1
a i  l i , a i  i 1
n i 1
2

1
S 
n 1
2
r
 a  x   l
2
i
i
i 1
Вычисление оценки дисперсии по одной из следующих формул (выбор которой осуществляется в зависимости от имеющейся статистической
информации):

~2 1 n
 S   xi  x
n i 1

2
,
или
~2 1 n 2
S   хi  ( x ) 2 ,
n i 1




2
~2 1 q *
S   xi  x  ki ,
n i1
~2 1 r
2
S   a i  x   l i
n i 1
будет приводить к смещению оценки дисперсии, которое, вообще говоря,
нивелируется, если объем выборки изучаемой случайной величины дос-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
120 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
таточно большой(n>50). Оценка дисперсии
ной.
S 2 будет являться смещен-
При вычислениях «в ручную» легче сначала вычислить оценку S , а
затем, используя следующее равенство:
2
S
2

n ~2
S
n 1
вычислить уже несмещенную оценку дисперсии S 2 .
 Величина S  S 2 называется выборочным среднеквадратическим отклонением и служит статистической оценкой (несмещенной) неизвестного среднеквадратического отклонения   V [ ] .
12.1. ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ В АУДИТОРИИ
Задача 12.1.1. Вычислите указанные выборочные числовые харак~
теристики x , S2, S 2 , если известно, что:
9
1. n = 9,
 x i = 36,
i 1
2. n = 16,
 (x i - x)2 = 228.
i 1
16
16
i 1
i 1
 x i = 64,  (x i - x)2 = 180.
25
3. n = 25,
9
 x i = 500,
i 1
25
 x i 2 = 12400.
i 1
Задача 12.1.2. Даны три выборки, извлеченные из генеральных совокупностей трех различных случайных величин:
1. 4, 10, 2, 8, 4, 14, 12, 8, 10;
2. -4, 2, -6, 0, 6, 2, 4, 0, -4;
3. 6, 15, 13, 21, 10, 17, 12.
Для каждой случайной величины найдите оценки математического
ожидания Еξ, дисперсии Vξ, среднеквадратического отклонения .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 12. Оценки параметров. Выборочные числовые характеристики
121
В задачах 12.1.3–12.1.5 постройте сгруппированные ряды и вычислите выборочное среднее, выборочную смещенную и несмещенную дисперсии.
Задача 12.1.3.
3; 3; 4; 3; 3; 3; 4; 2; 4; 3; 3; 3; 2; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 3; 3; 4; 4; 2; 3; 2; 3; 4;
3; 1.
Задача 12.1.4.
1; 2; 1; 2; 1; 0; 1; 2; 1; 2; 2; 1; 2; 0; 1; 1; 3; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1;
1; 0.
Задача 12.1.5.
2; 1; 1; 3; 3; 3; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 1; 0; 1; 2; 1; 1; 1; 3; 3; 2; 1; 1; 3; 1; 3; 1;
1; 1.
В Задачах 12.1.6–12.1.8 постройте интервальные статистические
ряды и вычислите выборочное среднее, смещенную и несмещенную
оценки дисперсии. Считая, что выборки извлекались из генеральных совокупностей нормально распределенных случайных величин и, используя
связь параметров этого распределения с числовыми характеристиками,
оцените параметры и напишите выражение для плотности распределения
каждой величины.
Задача 12.1.6.
-2,901; -3,961; -2,804; -2,915; -2,510; -3,218; -3,102; -2,990; -3,042; 2,920; -2,313; -2,669; -2,805; -3,755; -2,145; -2,541; -3,228; -2,344; -3,341; 3,140; -2,759; -3,071; -3,249; -2,901; -2,585; -2,763; -3,790; -3,168; -3,947; 3,788; -3,787; -2,173; -2,821; -2,546; -4,415; -3,085; -3,309; -2,786; -3,097; 2,557; -2,832; -2,585; -3,455; -2,827; -3,431; -4,086; -2,630; -3,381; -3,629; 3,784.
Задача 12.1.7.
3,622; -2,605; 0,303; -3,813; -2,159; -5,819; -5,972; -3,606; -2,852;
0,563;-1,332; -3,332; 0,217; -5,483; -1,732; 1,429; -0,747; 0,502; -0,733; 2,644; -5,719; -0,307; 0,205; -0,367; 2,018; 0,189; -0,025; 0,704; -5,415; 1,990; -3,526; -6,329; 1,083; 2,052; -4,647; -1,307; -3,865; -3,287; -5,519; 2,059; -1,201; 0,723; -3,431; -1,773; 1,741; 1,738; 0,652; -4,192; -4,941; 5,297.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
122 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Задача 12.1.8.
-9,099; -9,121; -11,317; -11,741; -9,948; -10,060; -8,940; -10,868;
9,704;-8,340; -8,756; -10,175; -9,704; -9,985; -10,069; -10,706; -9,417;
11,408; -9,571; -10,757; -11,020; -10,313; -9,482; -10,857; -9,928; -8,514;
10,313; -19,536; -7,922; -9,174; -9,617; -7,689; -10,269; -12,136; -9,164;
9,904; -10,092; -9,879; -10,435;-9,959; -8,688; -9,289; -11,432; -11,155;
9,805; -10,820; -9,954; -7,409; -9,172; -9,231.
-
12.2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 12.2.1. Вычислите следующие выборочные числовые ха~
рактеристики: x , S2, S 2 , если известно, что
1. n = 30,
30
 x i = -46,25329454,
i 1
2. n = 25,
3. n = 60,
25
25
i 1
i 1
30
 (x i - x)2 = 16,12050795.
i 1
 x i =169,  (x i - x)2 = 18,56.
60
60
i 1
i 1
 x i = 31,45878,  x
2
i
=21,31586.
Задача 12.2.2. Даны три выборки, извлеченные из генеральных совокупностей трех различных случайных величин:
1. 5,4,3,8,-1,5,1,-1,8,6,6.
2. 9,9,7,5,3,9,5,1,4,6,7,2,3.
3. 11,1,23,58,12,-5,-5,11,22,59,64,73.
Для каждой случайной величины найдите оценки математического
ожидания Еξ, дисперсии Vξ, среднеквадратического отклонения .
В Задачах 12.2.3–12.2.6. постройте сгруппированные ряды и вычислите выборочное среднее, выборочную смещенную и несмещенную дисперсии. Считая, что случайные величины подчинены закону распределения Бернулли, оцените параметр этого распределения, используя найденные оценки.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 12. Оценки параметров. Выборочные числовые характеристики
123
Задача 12.2.3.
0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 0;
1; 0.
Задача 12.2.4.
0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0;
0; 1.
Задача 12.2.5.
1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 0;
0; 1.
Задача 12.2.6.
0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1;
1; 1.
В Задачах 12.2.7–12.2.9. постройте интервальные статистические
ряды и вычислите выборочное среднее, смещенную и несмещенную
оценки дисперсии. Считая, что выборки извлекались из генеральных совокупностей, равномерно распределенных случайных величин и, используя связь параметров этого распределения с числовыми характеристиками, оцените параметры и напишите выражение для плотности распределения каждой величины.
Задача 12.2.7.
2,41; 0,46; 1,18; 3,36; 4,33; 4,85; 2,51; 0,96; 1,43; 4,66; 2,39; 0,50; 3,98;
2,58; 4,70; 2,01; 4,14; 2,87; 1,87; 0,02; 0,42; 1,16; 1,23; 2,54; 1,49; 0,99; 0,85;
1,53; 0,22; 4,95.
Задача 12.2.8.
2,85; 2,06; 2,70; 2,66; 2,12; 1,72; 1,80; 1,59; 1,16; 1,53; 2,41; 1,11; 1,87;
1,56; 1,90; 1,50; 1,19; 2,59; 2,34; 2,31; 2,40; 2,19; 1,56; 1,32; 1,17; 1,07; 1,42;
2,04; 2,65; 1,91.
Задача 12.2.9.
-0,99; 0,27; -0,41; 0,51; -0,41; 0,57; 0,68; -0,75; -0,27; 0,20; 0,38; -0,23;
0,91; -0,40; 0,16; 0,55; -0,02; 0,20; 0,35; -0,46; -0,35; -0,38; 0,16; 0,10; -0,44;
0,388; 0,43;-0,77; -0,75; -0,52.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
124 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
ТЕМА 13. ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ И ДИСПЕРСИИ
Интервальное оценивание параметров распределения сводится к построению доверительных интервалов. Пусть  некоторая достаточно
большая вероятность. Интервал (1; 2) со случайными границами, для
которого выполняется следующее равенство
Р{1<  <2}=,
называется доверительным интервалом для параметра  , а вероятность 
– доверительной вероятностью. Традиционно в качестве  выбирают 0,9;
0,95; 0,997.
В этом разделе рассмотрим технику вычисления границ доверительных интервалов для неизвестного математического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины с параметрами m
=Еξ и 2 =V ξ.
В том случае, когда изучаемая случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами m =Еξ и 2 =V ξ, и параметр m неизвестен, а параметр 2 известен, чтобы построить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания m следует воспользоваться следующим выражением:
  Р  x  C     m  x  C   
n
n
.
Значение симметричной квантили C  порядка α, стоящей в левой и правой части обоих неравенств, ищется по таблицам Лапласа из уравнения

 C    , где  – это заданная доверительная вероятность, в частно2
сти, если  =0,95, то C  =1,96 .
В том случае, когда неизвестно и математическое ожидание, и
дисперсия нормально распределенной случайной величины, построение
доверительных интервалов для неизвестного математического ожидания
производят по одной из следующим формулам:
   Р x 
  Р x 
t , n 1  S
n 1
t , n 1  S
n
m x
m x
t , n 1  S
n 1
t , n 1  S
n
,
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 14. Проверка параметрических гипотез
125
Через t , n 1 обозначено значение случайной величины, распределённой
по закону Стьюдента с n  1  степенью свободы (значение симметричной квантили распределения порядка α), которое находят по таблицам
Стьюдента по доверительной вероятности  и числу степеней свободы
(n-1) из условия:
  x  m  n  1

 t , n 1    .
 P
S


Построение доверительных интервалов для неизвестной дисперсии
производят по одной из следующих формул:
nS 2
  Р
 2,2 n 1
2 
n  S 2
1,2 n 1



n  1  S 2
n  1  S 2
2
.
 
   Р
2
2
 2 , n 1
1, n 1
Через  1, n 1 обозначено меньшее, а через  2 , n 1 большее значение слу2
2
чайной величины, распределённой по закону хи-квадрат с n  1  степенью свободы. Эти значения находят по таблицам критических точек распределения  по доверительной вероятности  и числу степеней сво2
боды равному n  1 , из условия:
1
 P   2   2,2 n 1 
2
,
P   2  1,2 n 1 
1
.
2
Величины  1, n 1 и  2 , n 1 - это критические точки распределения хи2
2
квадрат порядка (1-α)/2 и (1+α)/2 соответственно.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
126 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
13.1. ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ В АУДИТОРИИ
Задача 13.1.1. Компания по производству мукомольных машин, сообщила, что испытания 9 новых мукомольных машин показало, что на
перемалывание определенного количества зерна в среднем затрачивается
8,5 секунды, а выборочное среднеквадратическое отклонение времени
перемалывания равно S=0,08 секунды. С надежностью 0,9 найдите доверительный интервал для неизвестного среднего времени, необходимого
для перемалывания указанного количества зерна.
Задача 13.1.2. Ожидается, что расходы компаний, на которых работают меньше 1000 рабочих, возрастут в среднем на 20,4%. Постройте доверительный интервал для неизвестного математического ожидания расходов компании, предполагая, что выборочное среднеквадратическое отклонение расходов равно S=6,8%, объем выборки n=346, а доверительная
вероятность =0,99.
Задача 13.1.3. Экономисты департамента труда утверждают, что c
вероятностью =0,95, величина среднего заработка работников данного
производства будет заключена между 22000$ и 61000$. Прокомментируйте этот результат.
Задача 13.1.4. Агента по недвижимости интересует средняя цена на
недвижимость в Петроградском районе города Санкт-Петербурга. Для
изучения этого вопроса он выбрал случайным образом данные по продаже 29 квартир в указанном районе. Оказалось, что оцененная по полученным данным средняя цена квартиры, равна $75 000, а несмещенное
среднеквадратическое отклонение цены равно $15 000. Постройте 95%
доверительный интервал для средний цены квартиры.
Задача 13.1.5. Решите предыдущую задачу, если известно, что агент
по недвижимости изучал данные по продажам для 100 квартир.
Задача 13.1.6. В Санкт-Петербурге проводился опрос семей с низким доходом для того, чтобы выяснить, каковы в среднем затраты на
электроэнергию для семьи из 4 человек. Предполагая, что затраты на
электроэнергию подчинены нормальному закону с σ=25,75(у.е.), ответьте
на вопрос, сколько людей нужно опросить, чтобы построить 95% доверительный интервал, обеспечивающий точность оценки ε=3,95.
Задача 13.1.7. Предположим, что вы построили доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормально распределенной случайной величины, в предположении, что дисперсия этой вели-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 14. Проверка параметрических гипотез
127
чины известна. Прокомментируйте, как будет изменяться длина доверительного интервала, если будут происходить изменения со следующими
параметрами:
1. Увеличится среднеквадратичное отклонение σ.
2. Уменьшится среднеквадратичное отклонение σ.
3. Доверительная вероятность увеличится с 95% до 99%.
4. Объем выборки увеличится со 100 до 1000?
Задача 13.1.8. Предположим, что выборка извлечена из генеральной
совокупности нормально распределенной случайной величины ξ. Найдите
доверительную вероятность , если известно, что доверительный интервал для неизвестного математического ожидания был построен с использованием следующей информации: объем выборки n=16, среднеквадратическое отклонение σ = 8, а длина доверительного интервала равна 3,29.
Задача 13.1.9. Найдите объем выборки n, извлеченной из генеральной совокупности нормально распределенной случайной величины, если
известно, что дисперсия случайной величины равна 100 и с вероятностью
=0,95 выполняется следующее неравенство Р{17,2<m< <22,8}=0,95.
Задача 13.1.10. Дана выборка значений нормально распределенной
случайной величины. Оцените величину дисперсии V [ξ]=σ2, если объем
выборки равен n=100, доверительная вероятность =0,98, а длина доверительного интервала для математического ожидания равна 28,26.
Задача 13.1.11. При построении доверительного интервала, например, для неизвестного математического ожидания E [ξ]=m, находят границы интервала (с1, с2) и записывают следующее равенство
α=Р {c1<m<c2},
где  это некоторая заданная вероятность. Можно ли утверждать, что вероятность того, что неизвестное математическое ожидание находится
между с1 и с2, равна ?
Задача 13.1.12. Анализ движения денег на счетах физических лиц,
произведенный в одном из банков, показал, что сумму денежных средств,
размещенную на валютных депозитах в пятницу утром можно считать
нормально распределенной случайной величиной с σ = $150. Случайным
образом были отобраны 7 клиентов, которые в пятницу утром положили в
банк следующие суммы:
$825, $972, $311, $1212, $150, $1800,$725.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
128 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Найдите 90% и 95% интервальную оценку для средней суммы денег, размещаемой на депозитах в пятницу утром. Укажите, длина, какого
интервала больше?
Задача 13.1.13. В отделе перевозок крупной авиакомпании была
сформирована группа для изучения причин запаздывания груза, перевозимого самолетами этой компании. В отчете, предоставленном этой группой, содержалась следующая информация: общее число отправленных
грузов равно 625 единиц, число задержавшегося груза равно 159 единиц,
среднее время опоздания составило 34 минуты, выборочное среднеквадратическое отклонение времени опоздания составило 25 минут.
1. Оцените вероятность того, что груз, перевозимый авиакомпанией,
будет задержан при перевозке.
2. Постройте 90% доверительный интервал для математического
ожидания времени опоздания грузов.
3. Найдите интервальную оценку среднеквадратического отклонения σ времени запаздывания перевозимого груза, примите доверительную
вероятность =0,99.
Задача 13.1.14. Анализ наблюдений менеджера по продажам, работающего в крупном супермаркете, дает ему основание сделать вывод о
том, что количество денег, потраченное на покупки в пятницу, распределено по нормальному закону с σ = 631,4 руб. Опрос пяти наудачу отобранных покупателей, дал следующие данные о потраченных на покупку
суммах:
3475 руб., 2001,6 руб., 417 руб., 2446,4 руб., 2668,8 руб.
Постройте 90% и 95% доверительные интервалы для среднего объема денежных средств, потраченных на покупку в пятницу вечером, и
сравните их длину.
Задача 13.1.15. На производстве по выпуску безалкогольных напитков установили новый конвейер для выпуска лимонада в алюминиевых
банках объемом 0,6 литра. Через неделю работы конвейера менеджер по
производству отобрал случайным образом 120 банок и взвесил их. Как
оказалось, в среднем эти банки вмещали 0,605 литра напитка, а несмещенная оценка среднеквадратического отклонения объема лимонада равна 0,002 литра. Найдите 95% доверительный интервал для среднего количества лимонада, содержащегося в одной банке.
Задача 13.1.16. В условиях предыдущей задачи постройте 95% доверительный интервал для дисперсии объема газированной воды, находящейся в банке.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 14. Проверка параметрических гипотез
129
13.2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 13.2.1. Исследование, в котором приняли участие 90 наудачу
отобранных сотрудников одной фирмы, показало, что среднее число
дней, когда они находятся на больничном, равно 5,4 дня. Есть основания
считать, что число дней, когда сотрудник фирмы находится на больничном (с.в. ξ), подчинено нормальном закону распределения с σ=1,5. Постройте 90% доверительный интервал для E [ξ].
Задача 13.2.2. Инженер по контролю качества на заводе по выпуску
электроламп считает, что срок службы лампочки, выпускаемой на его
производстве, распределен по нормальному закону с параметрами m и σ,
причем параметр m неизвестен, а σ=100 часов. Случайным образом для
испытания на надежность были отобраны 10 лампочек, для которых получены следующие данные о сроке их службы:
1000 ч., 1200 ч., 600 ч., 400 ч., 900 ч., 500 ч., 1520 ч., 1800 ч., 300 ч.,
525 ч.
Постройте доверительный интервал для средней продолжительности срока службы лампочек при =0,9.
Задача 13.2.3. Решите предыдущую задачу в предположении, что
параметр σ неизвестен, а известно выборочное среднеквадратическое отклонение S=100 часов. Постройте доверительный интервал для дисперсии.
Задача 13.2.4. Менеджеров компании по предоставлению машин в
аренду интересует, сколько в среднем километров в день проезжает клиент на арендованной машине. Выбрав случайным образом шесть арендованных накануне автомобилей, они получили следующие данные о значениях дневного пробега:
152 км., 222 км., 300км., 84 км., 90 км., 122 км.
Прошлый опыт изучения этой же проблемы дает им основание считать, что среднеквадратичное отклонение величины дневного пробега
арендованной машины равно σ=75 км. Постройте доверительный интервал для средней величины дневного пробега, полагая =0,99.
Задача 13.2.5. Решите предыдущую задачу, считая, что известно
выборочное среднеквадратичное отклонение S=75 км. Найдите интервальную оценку неизвестной дисперсии, приняв доверительную вероятность равной: =0,95, =0,9, =0,99.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
130 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Задача 13.2.6. Для резки листа металла на пластины длиной
34 миллиметра был разработан новый станок с программным управлением. Несмотря на высокое качество нового станка, в силу неконтролируемых причин, длина металлической пластины не совпадает с номиналом.
Среднеквадратическое отклонение ошибки  составляет 0,01 миллиметра.
Для корректировки качества работы станка проектировщики собираются
каждый час отбирать по одной пластине и измерять ее длину, чтобы затем
сделать вывод о средней длине одной части и внести изменение в программу. Сколько образцов нужно отобрать, чтобы точность полученной
оценки составила 0,04, а надежность 0,99?
Задача 13.2.7. Решите предыдущую задачу, предположив, что среднеквадратическое отклонение σ неизвестно и что 0,01 миллиметра – это
выборочное среднеквадратическое отклонение S.
Задача 13.2.8. Предположим, что вы решаете задачу нахождения
доверительного 95% доверительного интервала для неизвестного математического ожидания случайной величины ξ. Всегда ли длина интервала
для случая, когда σ2 известна, будет меньше, чем в случае, когда
σ2 неизвестна?
Задача 13.2.9. Анализируется величина годовой заработной платы
выпускников Банковской школы. Для этого случайным образом отбирают
80 выпускников и находят, что их средняя заработная плата за год составляет 66720 руб. с выборочным среднеквадратичным отклонением
8340 руб. Постройте 99% доверительный интервал для средней заработной платы за год выпускника Банковской школы. Найдите интервальную
оценку неизвестной дисперсии.
Задача 13.2.10. Изучается величина денежных средств, затраченных
студентами третьего курса университета в одном семестре на приобретение учебников. Информация, полученная от 30 случайно отобранных студентов третьего курса, позволила сделать вывод, что средняя сумма денег, потраченная на покупку учебников, составила 845 руб., причем выборочное среднеквадратическое отклонение S равно 25 руб. Постройте
90% доверительный интервал для средней суммы денег, расходуемой
студентом третьего курса университета на покупку учебников в одном
семестре. Найдите доверительный интервал для дисперсии, полагая
=0,95.
Задача 13.2.11. Компания «Быстров» по производству сухих завтраков производит среди прочих и сухие завтраки с повышенным содержанием витаминов. Взвешивание 100 случайно отобранных упаковок этого
продукта показало, что средний вес одной коробки составляет 680 грамм
с
выборочным
среднеквадратическим
отклонением,
равным
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 14. Проверка параметрических гипотез
131
28,35 граммам. Найдите интервальную оценку неизвестного среднего веса одной упаковки сухих завтраков с надежностью 99%.
Задача 13.2.12. Было установлено, что при изготовлении 20 чашек
кофе, кофеварочная машина в среднем на одну чашку затрачивает
170 грамм кофейного порошка. Найдите интервальную оценку среднего
количества кофе, затрачиваемого на изготовление одной чашки, если
среднеквадратическое отклонение σ количества кофе, затрачиваемого на
1 чашку равно 14,18 грамм. Доверительную вероятность  выберите равной 0,99.
Задача 13.2.13. Решите предыдущую задачу, предположив, что
среднеквадратическое отклонение σ неизвестно, а известно выборочное
среднеквадратическое отклонение S=14,18 грамм. Постройте доверительный интервал для дисперсии при =0,9.
Задача 13.2.14. По предварительному прогнозу повышение величины взноса медицинского страхования для служащих компании значительно увеличит ее расходы. Был проведен анализ информации о величине повышения страхового взноса, на основе расчетов, проведенных для
10 случайно отобранных служащих. Опрос показал, что в среднем, увеличение затрат на одного работника составит 12345 руб. При этом, несмещенная оценка среднеквадратичного отклонения увеличения затрат будет
равна 245 руб. Предполагая, что увеличение затрат подчинено нормальному закону, постройте 90% доверительный интервал для математического ожидания увеличения затрат фирмы.
Задача 13.2.15. Владелец пекарни считает, что объем испеченной за
день продукции превышает дневной спрос, поэтому, слишком большое
количество нереализованной продукции выбрасывается. В течение
30 дней он проводил наблюдения за объемом спроса и выяснил, что в
среднем за день продается 120 единиц хлебобулочной продукции. Выборочное среднеквадратичное отклонение дневного объема продаж равно
S=10 единиц. Предполагая, что дневной объем продаж хлебобулочной
продукции подчинен нормальному закону распределения, постройте доверительный интервал для среднего объема спроса на продукцию этой
пекарни, полагая =0,95.
Задача 13.2.16. Предположим, что владелец пекарни наблюдает за
объемом продаж в течение 60 дней и устанавливает, что в среднем спрос

составляет 115 единиц ( x =115), а S=12 единиц продукции. Постройте
90% доверительный интервал для неизвестного среднего спроса на булочки в этой пекарне.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
132 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
ТЕМА 14. ПРОВЕРКА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Статистическими гипотезами называют предположения о виде закона распределения или о параметрах распределения наблюдаемой случайной величины ξ.
В обоих случаях наряду с основной гипотезой Н0 всегда формулируется альтернативная гипотеза На, конкурирующая с основной гипотезой в том смысле, что если основная гипотеза будет отвергнута, ее место
займет альтернативная.
Правило, согласно которому проводят проверку основной гипотезы,
называют статистическим критерием проверки гипотезы.
В частности, гипотезы можно формулировать:
● о виде распределения,
● о параметрах распределения,
● об однородности двух выборок,
● о независимости двух выборок,
● о случайности выборки.
При проверке статистической гипотезы могут возникнуть следующие ситуации:
1) Гипотеза верна и она принимается согласно выбранному критерию;
2) Гипотеза неверна и она отвергается согласно выбранному критерию;
3) Гипотеза верна, но она отвергается согласно выбранному критерию (происходит ошибка первого рода);
4) Гипотеза неверна, но она принимается согласно выбранному критерию (происходит ошибка второго рода).
Вероятность совершения ошибки первого рода называют уровнем
значимости и обозначают 1-α, чаще всего уровень значимости выбирают
равным 0,05; 0,01; 0,005. Если через  обозначить вероятность ошибки
второго рода, то величину 1- называют мощностью критерия.
При проверке гипотезы вся область значений изучаемой случайной
величины разбивается на две области: область принятия основной гипотезы и критическую область. Если выборочная статистика (критерий)
будет попадать в область принятия гипотезы, то принимают основную
гипотезу Н0. В случае попадания критерия в критическую область основную гипотезу Н0 отклоняют, принимают альтернативную На.
Параметрические гипотезы несут в себе суждения о параметрах
распределения. Как уже отмечалось, параметры распределения зачастую
связаны с числовыми характеристиками, поэтому для нормального закона
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 14. Проверка параметрических гипотез
133
проверка гипотез о параметрах распределения сводится к проверке гипотез о числовых характеристиках.
Предположим, что изучаемая случайная величина распределена по
нормальному закону с параметрами m=E[ξ] и 2=V[ξ]. Сначала рассмотрим случай, когда m неизвестно, а 2 известна. Располагая выборочными данными, вычисляют оценку неизвестного математического
ожидания x и выдвигают предположение о том, чему равно неизвестное математическое ожидание, то есть:
H0: m=m0,
Ha: mm0.
Для проверки основной гипотезы вычисляют выборочную статистику по формуле:
 Z   x  m0

n
Если основная гипотеза Н0 верна, то указанная случайная величина Z*
распределена по нормальному закону с параметрами E[Z]*=0 V[Z]*=1.
Критическая область при сформулированной альтернативной гипотезе
будет двусторонней, причем К2=Ф-1(/2), где Ф это функция Лапласа,
К1 = - К2. Если выполняется неравенство,
к1 < Z < к2 ,
то принимают основную гипотезу, если неравенство не выполняется, то
основную гипотезу отклоняют, принимаю альтернативную гипотезу.
В том случае, когда оба параметра распределения неизвестны,
вычисляют обе оценки: и оценку x неизвестного математического
ожидания и S2 - оценку дисперсии. Для проверки сформулированной
гипотезы вычисляют выборочную статистику по формуле:
 Z


x  m0
.
S
n
Если основная гипотеза Н0 верна, то указанная случайная величина Z*
распределена по закону Стьюдента с (n-1) степенью свободы. При указанной альтернативной гипотезе критическая область является двусторонней. Поэтому по таблицам распределения Стьюдента по заданному
уровню значимости 1-α и n-1степени свободы ищут симметричную критическую точку распределения t1-α=к2, к1=-к2 (Приложение 4). В том слу-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
134 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
чае, когда  Z < к2, принимают основную гипотезу. Если же  Z ≥ к2,
то принимают альтернативную гипотезу, основную отклоняют.
Следует иметь в виду, что когда альтернативная гипотеза На имеет вид:
Н а : m > m0
или
H a : m < m0 ,
критические области будут соответственно право и левосторонними.
Поэтому границу области ищут по таблицам распределения Стьюдента, в
которых указано «односторонняя». В первом случае принимают основную гипотезу, если Z<к2, во втором случае принимают основную гипотезу, если Z>к1.
Отметим также, что проверку основной гипотезы можно проводить, используя следующую выборочную статистику:
Z

x  m0
,
S
n 1

если для оценивания дисперсии использовалась смещенная оценка S .
Для второго параметра – дисперсии, формулируют следующие основную и альтернативную гипотезы:
2
H0: 2=20,
Ha: 220.
Проверка основной гипотезы основана на теореме о том, что если основная гипотеза верна, то следующая выборочная статистика
 Z


( n  1) S 2
 02
распределена по закону χ2 с (n-1) степенью свободы. Критическая область
будет являться двусторонней, ее границы к1 и к2 ищут из условия:
1
,
P  2  к2 
2
1

.
P  2  к1
2
по таблицам критических точек распределения χ2 (Приложение 5).
Если выборочная статистика Z* удовлетворяет неравенству:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 14. Проверка параметрических гипотез
135
к1<Z<к2,
то принимают основную гипотезу, в противном случае принимают альтернативную гипотезу.
В том случае, когда альтернативная гипотеза формулируется следующим образом:
Ha: 2>20
или так:
Ha: 2<20,
критическая область будет соответственно право и левосторонней. В первом случае границу критической области ищут по соотвествующим таблицам для критических точек χ2 по заданному уровню значимости и (n-1)
степени свободы из условия: P  
2
 к2   1  
. Во втором случае границу
критической области ищут по соотвествующим таблицам для квантилей
χ2 по заданному уровню значимости и (n-1) степени свободы из условия:
P  0   2  к1  1  
.
Отметим также, что
если для оценивания дисперсии использовалась
смещенная оценка S , то проверку гипотезы о величине неизвестной
дисперсии можно проводить, используя следующую выборочную статистику:
2

Z 
nS 2
 02
.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда изучаются две нормально распределенные случайные величины: ξ1 и ξ2. Обозначим неизвестные параметры распределения первой случайной величины m1 и 1 (m1=E[ξ1],
12=V[ξ1]), а параметры распределения второй случайной величины m2 и
2 (m2=E[ξ2], 22=V[ξ2]). Предположим, что имеются выборки значений
этих случайных величин объемов n1 и n2 соответственно. Рассмотрим
как проводят проверку гипотез о равенстве параметров этих случайных
величин.
На первом этапе для каждой случайной величины по имеющимся
выборкам объемов n1 и n2 соответственно, вычисляют выборочные средние и выборочные дисперсии: x1 , S12 и x 2 , S 22 , анализируют полученные результаты и выдвигают гипотезы:
H0: m1=m2,
Ha: m1m2,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
136 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
а затем следующие гипотезы:
H0: 12=22,
Ha: 1222.
Для проверки первой группы гипотез о равенстве математических
ожиданий вычисляют выборочную статистику вида:
Z

x1  x 2

( n 1  1 ) S  ( n 2  1 ) S 22
1
1

(
)
n1  n 2  2
n1
n2
2
1
При справедливости основной гипотезы о равенстве математических ожиданий эта случайная величина Z* будет иметь распределение
Стьюдента с (n1+n2-2) степенью свободы. Критическая область, при
сформулированной альтернативной гипотезе, будет двусторонней. Ее
границы ищут по таблицам критических точек распределения Стьюдента
(двусторонних) по заданному уровню значимости (1-α) и (n1+n2-2) числу
степеней свободы. Если выборочная статистика удовлетворяет неравенству к1<Z<к2, то принимают основную гипотезу о равенстве математических ожиданий. Если неравенство не выполняется, то принимают альтернативную гипотезу о том, что они не равны.
В том случае, если для дисперсий рассматриваемых случайных величин были вычислены смещенные оценки дисперсий S12 , S22 , то выборочную статистику для проверки гипотезы о равенстве математических
ожиданий вычисляют по следующей формуле:
 Z


x1  x 2
.
n 1 S 12  n 2 S 22
1
1

(
)
n1  n 2  2
n1
n2
Чтобы проверить гипотезу о равенстве дисперсий (H0: 12=22)
вычисляют следующую вспомогательную случайную величину:
2
S max
Z  2
S min


,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 14. Проверка параметрических гипотез
137
где через S2max обозначена большая из выборочных дисперсий S12 и S22, а
через Smin2- меньшая.
Если основная гипотеза о равенстве дисперсий справедлива, то
вспомогательная случайная величина Z распределена по закону Фишера
с (nmax - 1, nmin - 1) степенями свободы. Критическая область будет
правосторонней, ее границу ищут по таблицам распределения Фишера по
уровню значимости (1-α)/2 и (nmax - 1, nmin -1) степеням свободы. Если
выполняется неравенство: 0 <Z<к2, то принимают основную гипотезу о
равенстве дисперсий, если выполняется неравенство Z ≥ к2, то основную
гипотезу отклоняют в пользу альтернативной. В тех случаях, когда альтернативная гипотеза будет иметь вид:
Ha: 12> 22.
выборочная статистика вычисляется по такому же правилу, а границу
критической области к2 ищут уже по уровню значимости (1-) и (nмах-1 ,
nмин-1) степеням свободы.
14.1. ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ В АУДИТОРИИ

Задача 14.1.1. Известно, что x = 12; σ = 3 и n = 36. Проверьте гипотезу о том, что
Но: Е[ξ]=0,
против альтернативной
На: Е[ξ]≠0.
Уровень значимости примите равным 0,05.
Задача 14.1.2. Дисперсия случайной величины σ2 = 100, выбороч
ное среднее x = 17, а объём выборки n = 25. Будет ли отвергнута основная
гипотеза
Но: Е[ξ]=21
в пользу альтернативной гипотезы
На: Е[ξ] ≠ 21,
при уровне значимости: 1-α = 0,01; 1-α = 0,05; 1-α = 0,1?
Задача 14.1.3. Проведите проверку указанных гипотез:
1) Н0: Е[ξ] = 12,
На: Е[ξ] ≠ 12,

если известно, что n = 9; x = 10,1; σ2 = 0,81; 1-α = 0,05;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
138 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
2) Н0: Е[ξ] = 1,5,
На: Е[ξ] > 1,5,

если известно, что n = 16; x = 1,55; σ2 = 12; 1-α = 0,01.

Задача 14.1.4. Используя следующие данные: x = 170; σ = 35 и n =
25, проверьте следующую гипотезу:
Но: m = 120,
На: m ≠ 120.
Уровень значимости выберите равным 1- = 0,01.
Задача 14.1.5. Оценка дисперсии случайной величины ξ, полученная по результатам четырёх наблюдений, S2=0,25, а выборочное среднее

x = 36. Проверьте гипотезу о том, что значение математического ожидания Е [ξ]=34, против альтернативной Е [ξ] ≠ 34.Уровень значимости примите 1-α = 0,05.Решите эту же задачу, для следующих альтернативных
гипотез:
1. На: Е [ξ] < 34;
2. На: Е [ξ] > 34.
Задача 14.1.6. Проверьте гипотезу о том, будет ли средняя месячная доходность в 2,4%, полученная управляющим портфелем ценных бумаг по семи летним наблюдениям, статистически значимо отличаться от
среднего уровня в промышленности, составляющего 2,3%. Уровень значимости примите: 0,05; 0,01; 0,1.
Задача 14.1.7. По данным 60 наблюдений за ежемесячной доходностью по индексу FTSE 100 было рассчитано выборочное среднее, которое составило 1,25% и выборочное среднеквадратическое отклонение,
равное 2,5%. Необходимо проверить предположение о том, что среднемесячная доходность по данному индексу за данный период составила более
1,2%.
Задача 14.1.8. Проверьте гипотезу о том, что дисперсия доходности акции меньше 25, при условии, что выборочная дисперсия составила
23, а число наблюдений равно 40.
Задача 14.1.9. Можно ли утверждать, что дисперсия доходности
по облигации А больше 8%, если известно, что рассчитанная на основе
12 наблюдений выборочная дисперсия составила 9%.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 14. Проверка параметрических гипотез
139
Задача 14.1.10. Из двух генеральных совокупностей нормально
распределённых случайных величин ξ1 и ξ2 независимо друг от друга были извлечены две выборки объёмов n1=15 и n2=9 и рассчитаны выбороч

ные числовые характеристики x1 =22, Sx1=9, x 2 =25, Sx2 =7. Можно ли утверждать при уровне значимости 1-α = 0,05, что разница между E [ξ1] и
E [ξ2] меньше 5?
Задача 14.1.11. Расход сырья на единицу продукции по старой
технологии составил:
Расход сырья х
304
307
308
Число изделий
1
4
4
Расход сырья y
303
304
306
308
Число изделий
2
6
4
1
По новой технологии:
Проверьте гипотезу о равенстве средних, предполагая, что обе
случайные величины распределены по нормальному закону (1-α=0,1).
14.2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 14.2.1. Проверьте гипотезу о том, что Но: Е [ξ] = 18, при
следующих альтернативных:
1) На: Е[ξ]  18;
2) На: Е[ξ] < 18;
3) На: Е[ξ] > 18,

если известно, что n = 49; x = 17,1; σ2 = 1. Уровень значимости примите
равным 1-α = 0,05.
Задача 14.2.2. Проверьте следующую гипотезу: Но: Е[ξ]=1125,

против альтернативной На: Е [ξ] 1125, если известно, что x = 1150, S =
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
140 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
225, n = 20. Примите уровень значимости равным 1-α = 0,1. Проверьте эту
гипотезу при следующих альтернативных гипотезах:
1) На: Е [ξ] < 1125;
2) На: Е[ξ] > 1125.
Задача 14.2.3. Проверьте гипотезу о том, что средняя месячная доходность по индексу S&P 50 меньше, чем 1,3%, если известно, что согласно 75 проведенным наблюдениям средняя составила 1,18%, а S=2,2%.
Задача 14.2.4. Вы хотите найти такой вид инвестирования, который бы давал твердый доход, по крайней мере, 13,2%. Для этого вам необходимо проверить, является ли выборочное среднее доказательством
того, что реальный доход больше проверяемого значения средней доходности. Известно, что среднемесячная доходность, приведенная к годовому базису, по данному индексу облигации составляет 14,4%, а выборочное среднеквадратическое отклонение равно 2,915%. Их расчет производился по 40 наблюдениям.
Задача 14.2.5. Данные, приведённые ниже, показывают, через
сколько секунд песок из верхней половины песочных часов перетекает в
нижнюю половину:
190, 199, 198, 176, 180, 174, 181, 183, 208, 188, 198, 165.
Можно ли, при 10% уровне значимости, сделать вывод, что среднее время перетекания для часов такого типа не равно 3 минутам?
Задача 14.2.6. Крупная компьютерная компания проводила анализ
по затрате времени на операцию ввода данных на выпускаемых ею компьютерах и пришла к выводу, что на эту операцию затрачивается не более
6 часов. Для проверки этого утверждения один из клиентов протестировал 36 работ и выяснил, что в среднем на обработку данных уходит
6,5 часа. Выборочное среднеквадратичное отклонение этого показателя
равно 1,5 час. При уровне значимости 1-α=0,1 проверьте гипотезу о том,
что на операцию ввода данных затрачивается в среднем 6 часов.
Задача 14.2.7. Аудитора интересует величина среднего вклада на
валютных счетах компании. Он выбирает случайным образом
200 валютных вкладов и находит, что средний вклад равен $231. Из прошлых наблюдений у него есть основания считать, что среднеквадратичное отклонение этого показателя составляет $25. Проверьте гипотезу о
том, что величина среднего вклада на счетах компании больше, чем $200,
при уровне значимости 0,05.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 14. Проверка параметрических гипотез
141
Задача 14.2.8. Менеджер по инвестициям проводит анализ информации, могут ли пенсионеры стать его потенциальными клиентами. Из
2000 пенсионеров он случайным образом отбирает 100 человек и находит,
что величина их среднего достатка равна $525 000 , а выборочное среднеквадратичное отклонение равно $52 000. Проверьте гипотезу о том, что
средний достаток пенсионера равен $500 000. Уровень значимости примите равным 10%.
Задача 14.2.9. Ожидается, что добавление специальных веществ
уменьшает жесткость воды. Оценки жесткости воды до и после добавления специальных веществ по 40 и 50 пробам соответственно показали
средние значения жесткости (в градусах жесткости) равные 4 и
3,8 градуса. Выборочная дисперсия в обоих случаях оказалась равной
0,25 градус2. Подтверждают ли эти результаты ожидаемый эффект?
Задача 14.2.10. Фармацевтическая компания выпустила новый
препарат и утверждает, что он снимает болевые симптомы меньше, чем за
30 минут. Исследование, в котором приняли участие 100 человек, показало, что среднее время, которое необходимо для того, чтобы лекарство подействовало, равно 28,6 минут, а выборочное среднеквадратическое отклонение 4,2 минуты. Проверьте утверждение производителя о том, что
этот препарат начинает действовать меньше, чем за 30 минут. Уровень
значимости примите 5%.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
142 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
ТЕМА 15. ПРОВЕРКА НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Для проверки гипотезы о виде закона распределения случайной
непрерывной величины можно использовать критерии согласия: критерии Пирсона и Колмогорова. Проверку непараметрической гипотезы о
виде закона распределения следует проводить при помощи критерия
Пирсона (критерия χ2), если распределение дискретное.
Обычно гипотеза о виде закона распределения выдвигается после
визуального изучения кумуляты, гистограммы и анализа полученных
оценок числовых характеристик.
При проверке основной гипотезы H 0 с использованием критерия
Пирсона для случайной дискретной величины сначала составляют сгруппированный статистический ряд, а затем вычисляют следующую выборочную статистику:
q

2*


i 1
k i  n  pi 2 .
n  pi

В формуле для  2 — n это объем выборки, ki — это частота вы-


борочного значения xi , pi  P   xi* — это теоретические (гипотетические) вероятности, которые вычисляются исходя из предположения о виде закона распределения (гипотезы H 0 ).
Для случайной непрерывной величины сначала строят интервальный статистический ряд, а затем вычисляют выборочную статистику по
следующей формуле:
r

2*


i 1
li  n  pi 2
n  pi
.
Здесь li это частота попадания выборочного значения в интервал с
номером i. Вероятности попадания случайной непрерывной величины в
интервал с номером i : pi  P  J i , вычисляются по одной из двух
формул:
~
xi 1

p i  F  ~
x i  1   F  ~
xi
 или  pi  ~ f  x  dx.
xi
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 15. Проверка непараметрических гипотез
143
Здесь Fξ(x), fξ(x) это гипотетические функция распределения и гипотетическая плотность распределения соответственно.
При проверке гипотез по критерию Пирсона критическая область
будет правосторонней. Её границу к2 ищут по таблицам критических точек распределения  2 по заданному уровню значимости 1   и  степенями свободы из условия P  2  к 2   1   . Для случайной дискретной величины число степеней свободы будет равно:   q    1 , для
случайной непрерывной —   r    1 , где  — число параметров распределения, оцениваемых по выборке.
Например, если случайная величина распределена по нормальному закону, то у этого распределения два параметра m = E[ξ] и 2=V [ξ]. В
том случае, если оба параметра оценивались по выборке, то =2. У
случайной величины, распределенной по показательному закону, один
параметр λ=1/E[ξ], поэтому, =1, если этот параметр оценивался с использованием выборочной информации. Равномерный закон распределения на отрезке [а; b] характеризуется двумя параметрами: границами
этого отрезка, значит, если они оценивались по выборке, то =2.
Если  2 *  к 2 , то гипотеза H 0 принимается, если  2 *  к 2 , то
основная гипотеза отвергается.
При проверке гипотезы по критерию Пирсона для случайной дискретной величины следует иметь в виду, что если частота повторения выборочного значения ki  5 , а для непрерывной случайной величины частота попадания в интервал li  5 , то в первом случае, требуется объединить указанное значение с любым соседним. Во втором случае, для непрерывной случайной величины, следует объединить интервал J i с любым соседним.
При проверке гипотезы H 0 о виде закона распределения случайной непрерывной величины по критерию согласия Колмогорова вычисляют следующую выборочную статистику
*
  
n  max F  xi   Fn*  xi  .
x
i
Для этого предварительно находят эмпирическую функцию распределения и вычисляют значения гипотетической (предполагаемой)
функции распределения в концах интервалов. Затем находят абсолютную
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
144 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
величину разницы значений обеих функций на концах интервалов и выбирают наибольшую из них.
1
Критическая область является правосторонней, и её границу
ищут по таблицам распределения Колмогорова по уровню значимо-
сти 1   . Если   1 , то гипотеза H 0 принимается, если   1 ,
*
*
то основная гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза.
При проверке непараметрических гипотез рекомендуется результаты всех промежуточных вычислений оформлять в виде таблиц. Например, пусть выдвигается основная гипотеза о равномерном законе распределения случайной величины ξ на отрезке x min ; x max , то есть


Ho: R(хmin, хmax)
Ha: R(хmin, хmax)

Для вычисления выборочной статистики  2 при проверке основной гипотезы по критерию Пирсона рекомендуется составлять таблицу
вида:
pi
li
npi
li- npi
(li- npi)2
(li- npi)2/npi
….
….
….
….
….
….
Суммируя результаты вычислений в последнем столбце, получаем значе
ние  2 .
Чтобы проверить эту же основную гипотезу по критерию Колмогорова, рекомендуется составить следующую таблицу:
Fn*(xi)
F(xi)
Fn*(xi)-F(xi)
…
…
…
Результатом вычислений будет являться максимальное значение абсолютной величины разницы значений функций: max|Fn*(xi)-F(xi)|, а затем
выборочной статистики λ.
Одной из задач статистической проверки гипотез, является задача
проверки гипотез об однородности двух выборок. Предположим, что мы
изучаем две с.в. ξ1 и ξ2 и у нас есть основания предполагать, что у этих
случайных величин один и тот же закон распределения. Для проверки
этого предположения можно использовать критерий Колмогорова-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 15. Проверка непараметрических гипотез
145
Смирнова, который позволяет проверять гипотезу о том, что две выборки
однородны, то есть, извлечены из одной и той же генеральной совокупности.
Для каждой из двух выборок объема n1 и n2 соответственно, строят
интервальные статистические ряды и находят эмпирические функции
распределения Fn1 ( x) и Fn2 ( x) . Затем вычисляют значение Z по формуле:
 Z 
*
n1 n 2
 max
Fn 2 ~
xi   Fn*1 ~
xi  .
~
x
i
n1  n 2
Если изучаемые случайные величины имеют одинаковое распределение, (то есть, если основная гипотеза верна), то критерий Z будет
иметь распределение Колмогорова. Границу критической области к2, которая будет являться правосторонней, находят по таблицам распределения Колмогорова по заданному уровню значимости. Если 0 < Z<к2, то
принимают гипотезу о том, что обе случайные величины имеют одинаковый закон распределения, если указанное неравенство нарушается, то
принимают альтернативную гипотезу.
15.1. ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ В АУДИТОРИИ
В задачах 15.1.1–15.1.3 представлены интервальные ряды, построенные по выборкам равномерно распределенных случайных величин.
Найдите оценки математического ожидания и дисперсии, и оцените параметры распределения. Используя критерий Пирсона, проверьте следующие гипотезы:
1. Случайная величина распределена по равномерному закону с
параметрами aˆ  x  3S , bˆ  x  3S ;
2. Случайная величина распределена равномерно на отрезке
[xmin ; xmax].
Задача 15.1.1.
Интервалы
[-0,99;-0,59]
(-0,59;-0,19]
(-0,19;0,19]
(0,19;0,59]
(0,59;0,99]
Частота
16
15
15
17
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
146 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Задача 15.1.2.
Интервалы
Частота
[0,89;1,91]
6
(1,91;2,93]
12
(2,93;3,95]
11
(3,95;4,97]
7
(4,97;5,99]
9
Задача 15.1.3.
Интервалы
Частота
[-2,90;-1,83]
12
(-1,83;-0,75]
17
(-0,75;0,32]
19
(0,32;1,39]
14
(1,39;2,47]
18
В задачах 15.1.4–15.1.6 проверьте гипотезу о том, что случайная
величина распределена по нормальному закону распределения с параметрами: 
 N ( x; S )
Задача 15.1.4.
Интервалы
Частота
[-2,18;-1,53]
6
(-1,53;-0,88]
15
(-0,88;-0,22]
17
(-0,22;0,42]
27
(0,42;1,07]
15
(1,07;1,72]
8
(1,72;2,37]
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 15. Проверка непараметрических гипотез
147
Задача 15.1.5.
Интервалы
Частота
[-28,71;-19,29]
12
(-19,29;-9,86]
10
(-9,86;-0,44]
8
(-0,44;8,98]
16
(8,98;18,40]
6
(18,40;27,83]
5
(27,83;37,25]
13
Задача 15.1.6.
Интервалы
Частота
[-0,98;-0,67]
5
(-0,67;-0,37]
10
(-0,37;-0,06]
6
(-0,06;0,24]
15
(0,24;0,54]
9
(90,54;0,85]
6
(0,85;1,16]
7
В задачах 15.1.7–15.1.9 постройте интервальные ряды, оцените
математическое ожидание и дисперсию. Используя критерии Пирсона и
Колмогорова, проверьте гипотезу о том, что случайная величина распределена по нормальному закону   N ( x; S )
Задача 15.1.7.
0,70; 0,28; 1,24; 2,28; 2,20; 2,73; 1,18; 0,77; 2,10; 0,09; 0,31; 0,69;0,85; 0,02
; 0,23; 1,12; 0,43; 0,60; 1,13; 0,63; 0,67; 0,63; 2,34; 0,91; 0,81; 0,49;2,97;1,8
7; 3,38; 0,35; 2,66; 0,61; 1,54; 1,90; 2,92; 0,92; 0,48; 1,68; 0,62; 1,76; 0,44;
0,1; 0,52; 0,64; 0,97; 1,03; 0,68; 3,1; -0,74; 0,26.
Задача 15.1.8.
-0,52; -2,90; -3,88; -3,79; -3,81; -2,92; -2,80; -4,70; -3,46; -2,97; -3,68;
-2,95; -2,68; -0,72; -4,91; -3,03; -1,09; -2,63; -2,71; -3,91; -3,66; -2,82; -1,59; 2,40; -1,27; -3,81; -3,09; -2,59; -2,30; -3,90; -1,84; -1,23; -2,93; -1,55; -3,63; -
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
148 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
2,58; -2,57; -3,63;-2,96; -2,97; -3,83; -2,11;-3,73; -2,21; -3,05; -3,11; -3,06; 2,33; -1,26; -2,63.
Задача 15.1.9.
-3,76; -5,72; -2,02; 0,95; -0,81; 3,59; -0,96; -5,55; -6,94; -0,44; 1,61; 2,06;5,60;-3,22;-2,27; -8,91; -0,72; -2,55; -6,14; 0,78; -2,09; -2,77; 6,75; 4,49; 0,02;3,00; -5,75; -3,43; -3,14; -5,95; -3,89; -,38; 3,96; 0,84; 0,11; -1,97; 0,09; -2,36;
2,94; -8,14; 1,16; -6,13; -2,77;-0,97; -1,45; -3,63; 2,07; -2,06; -5,96; -5,05.
Задача 15.1.10. Используя критерий Пирсона, проверьте гипотезу
о том, что случайная величина распределена по биномиальному закону с
параметрами: n=3, p=0,89.
3;1;3;3;3;3;3;2;2;2;2;2;3;3;3;2;3;2;3;3;3;3;2;3;3;3;2;1;3;3;3;2;3;3;2;3;3;3;2;2;3;
3;3;3;2;1;2;3;2;3
Задача 15.1.11. Используя критерий Пирсона, проверьте гипотезу
о том, что случайная величина распределена по биномиальному закону с
параметрами: n=3, p=0,39.
1;2;1;0;2;1;0;1;0;1;2;2;3;0;0;1;2;2;1;2;1;2;0;0;2;3;1;2;1;2;1;0;2;2;1;1;2;0;2;1;3;
0;1;1;1;1;1;2;0;0.
В задаче 15.1.12. представлены выборки нормально распределенных случайных величин. Используя критерий Колмогорова-Смирнова,
проверьте, что обе эти выборки извлечены из одной и той же генеральной
совокупности.
Задача 15.1.12.
1) -0,357; 0,381; -0,676; -0,188; -1,276; -1,022; 0,198; 1,733; 1,597; 0,407; -0,477;1,695; 0,032; 0,895; -0,254; -0,599; 0,806; -0,445; -1,155; 1,229;
0,985; 1,983; -1,39; 0,414; 1,353; 1,861; 0,946; 2,381; -0,092; -0,112; -0,040;1,190; 1,819; 0,503; 0,026; -0,970; -0,185; -0,482; 1,282; 0,011; -1,354; 1,480; -0,385; 1,550; 1,061; 1,490; -0,253; -0,366; -1,022; 1,098.
2) 1,226; 2,463; 0,463; -0,005; 1,973; -0,657; -0,468; 0,491; 0,522;
1,813; 0,721; 0,676; -0,699; 1,867; 1,711; 2,674; 0,688; -0,202; 0,595; 0,806; 0,091; 2,181; 0,278; 0,086; 1,084; 1,756; -0,752; -0,304; 0,808; 0,505; 0,892;
2,024; 2,594; -0,405; 0,181; 0,419; -0,762; 0,447; -0,660; 0,924; 2,422; 1,002;
0,140; 1,283; -1,554; 2,933; 2,188; 0,824; 0,51; 1,100, -0,575; -1,833; -2,847; 0,733; -3,159; 0,599; -0,909; -0,897; 0,557; -0,298; 1,108; -0,774; -1,035; 1,030;-1,317;-0,695;0,288;-1,468;0,085; -0,787; -0,583; -1,439; -1,837; -0,423;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 15. Проверка непараметрических гипотез
149
1,588;-0,922;-0,269;-1,894;-2,476;0,540; -1,104; 0,705; -1,022; -0,480; -1,140;
-1,888;-1,602;-0,151;-2,030;0,294;0,528; -1,208; -1,282; -1,711; 0,215; -1,321;
-3,059; -2,670; -0,356; -0,055.
15.2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
В задачах 15.2.1–15.2.3 представлены интервальные ряды, построенные по выборкам равномерно распределенных случайных величин.
Найдите оценки математического ожидания и дисперсии, и оцените параметры распределения. Используя критерий Пирсона, проверьте следующие гипотезы:
1. Случайная величина распределена по равномерному закону с
параметрами aˆ  x  3S , bˆ  x  3S ;
2. Случайная величина распределена равномерно на отрезке
[xmin ; xmax].
Задача 15.2.1.
Интервалы
Частота
[0,87;0,66]
12
(0,66;2,20]
18
(2,20;3,74]
15
(3,74;5,27]
14
(5,27;6,81]
11
Задача 15.2.2.
Интервалы
Частота
[3,24;3,94]
14
(3,94;4,63]
12
(4,63;5,33]
11
(5,33;6,03]
14
(6,03;6,72]
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
150 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Задача 15.2.3.
Интервалы
Частота
[-5,90;-4,73]
7
(-4,73;-3,56]
8
(-3,56;-2,39]
5
(-2,39;-1,23]
6
(-1,23;-0,06]
9
В задачах 15.2.4.–15.2.6 используя критерий Пирсона, проверьте
гипотезу о том, что случайная величина распределена по нормальному
закону распределения с параметрами:
  N (x; S )
Задача 15.2.4.
Интервалы
Частота
[-4,30;-3,97]
7
(-3,97;-3,65]
2
(-3,65;-3,32]
8
(-3,32;-3,01]
9
(-3,01;-2,68]
8
(-2,68;-2,35]
11
(-2,35;5,97]
5
Задача 15.2.5.
Интервалы
Частота
[-4,91;-4,46]
3
(-4,46;-4,01]
4
(-4,01;-3,55]
8
(-3,55;-3,10]
7
(-3,10;-2,64]
13
(-2,64;-2,19]
9
(-2,19;-1,74]
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 15. Проверка непараметрических гипотез
151
Задача 15.2.6.
Интервалы
Частота
[-4,91;-4,46]
3
(-4,46;-4,01]
4
(-4,01;-3,55]
8
(-3,55;-3,10]
7
(-3,10;-2,64]
13
(-2,64;-2,19]
9
(-2,19;-1,74]
6
В задачах 15.2.7.–15.2.9. постройте интервальные ряды, оцените
математическое ожидание и дисперсию. Используя критерии Пирсона и
Колмогорова, проверьте гипотезу о том, что случайная величина распре-
делена по нормальному закону   N ( x; S )
Задача 15.2.7.
-4,77;-4,93;-4,76;-4,32;-5,63;-5,30;-4,47;-5,09;-4,99;-5,67;-4,74;-4,28;5,30;-5,73;-4,55;-4,82;-6,30;-4,19;-4,34;-5,06;-4,69;-5,57;-4,69;-5,01;-5,43;5,04;-6,04;-5,44;-4,44;-4,61;-5,74;-4,03;-4,18;-4,88;-4,90;-5,03;-4,52;-5,41;4,97;-4,97;-5,16;-4,79;-4,98;-4,87;-5,00;-5,02;-4,86;-5,40;-5,20;-4,42.
Задача 15.2.8.
9,80;4,98;10,52;11,15;10,03;8,30;3,68;9,34;4,66;9,38;3,81;11,56;9,38;8
,15;6,02;8,83;9,09;6,71;3,86;7,99;6,89;6,61;10,07;9,36;4,01;7,19;6,87;7,27;5,4
4;8,01;7,55;9,84;6,64;6,97;9,16;7,73;8,94;6,35;3,72;9,45;7,76;8,65;9,61;8,33;1
1,59;8,25;4,77;7,77;10,92;9,35.
Задача 15.2.9.
-2,36;-3,73;-0,89;-4,97;-0,72;-1,55;-1,04;-3,27;-5,83;-2,11;-1,12;-1,46;2,78;-0,80;-1,96;-0,52;-1,47;-2,53;-3,98;0,39;0,02;-1,96;-1,57;-1,76;-2,61;3,08;-4,92;-2,42;-4,07;-0,64;-0,79;-2,47;-3,60;-0,58;-3,55;-5,09;-0,33;-1,65;2,11;-4,84;-0,17;0,52;-2,06;-1,61;-3,47;-2,18;-0,12;-4,74;-3,98;-3,50.
Задача 15.2.10. Используя критерий Пирсона, проверьте гипотезу
о том, что случайная величина распределена по биномиальному закону с
параметрами: n=4, p=0,5.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
152 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
1;3;3;1;2;0;3;3;2;0;3;3;1;2;1;2;3;2;1;0;1;2;3;2;2;0;1;3;0;0;3;2;2;2;2;3;1;1;2;2;3;
3;2;1;1;1;1;3;2;0.
Задача 15.2.11. Используя критерий Пирсона, проверьте гипотезу
о том, что случайная величина распределена по биномиальному закону с
параметрами: n=4, p=0,9.
4;2;3;3;4;3;4;4;4;4;4;4;4;4;4;3;3;4;4;4;3;3;4;2;4;3;4;2;3;3;4;3;4;4;3;4;4;4;4;3;4;
3;3;4;4;4;3;4;4;4.
В задаче 15.2.12 представлены выборки нормально распределенных случайных величин. Используя критерий Колмогорова-Смирнова,
проверьте, что обе эти выборки извлечены из одной и той же генеральной
совокупности.
Задача 15.2.12.
1) -0,300;-1,278;0,244;1,276;1,198;1,733;-2,184;-0,234;1,095;-1,087;0,690;-1,690;-1,847;-0,978;-0,774;-2,118;-0,568;-0,404;0,135;-0,365;-0,327;0,370;1,343;0,085;0,186;0,513;1,972;0,866;2,376;0,655;1,661;1,612;0,539;0,9
02;1,919;-0,085;-0,524;0,675;-0,381;0,758;-1,444;-0,847;-1,522;-0,363;0,032;0,028;0,323;2,195;1,742;0,736;2,578;1,448;1,280;0,654;0,758;0,467;0,8
75;0,596;1,372;1,116;0,694;0,323;0,940,241;0,132;0,558;0,139;0,911;1,885;0,
487;0,072; 0,830;0,862;-0,637;-0,923.
2) -4,603;-4,146;-0,450;-3,345;-4,212;-5,401;-5,050;-2,884;-2,511;-7,337;4,926;-5,148;-5,163;-4,258;-3,749;-3,145;-1,950;-1,864;-5,409;-6,421;-6,125;4,220;-2,645;-4,864;-5,609;-6,124;-2,075;-5,448;-4,882;-3,821;-2,650;-5,752;4,650;-3,747;-3,262;-3,559;-5,218;-3,378;-7,883;-0,761;-2,499;-7,178;-2,071;4,468;-6,173;-3,648;-1,095;-2,099;-1,090;-3,767;-4,173;-4,902;-3,778;-7,746;7,685;-4,054;-3,010;-9,568;-0,785;-6,682;-4,640;-0,564;-3,257;-3,782;-3,201;4,939;-3,678;-1,300;-2,664;-2,757;-4,513;-2.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложения
153
Приложение 1
x2
Целые
и десятые доли x
1 2
(
)
f
x

e
Таблица значений функции 
2
Сотые доли x
0
1
2
3
4
5
0,0
0,3989
0,3989
0,3989
0,3988
0,3986
0,3984
0,1
3970
3965
3961
3956
3951
0,2
3910
3902
3894
3885
0,3
3814
3802
3790
0,4
3683
3668
0,5
3521
0,6
6
7
8
9
0,3982
0,3980
0,3977
0,3973
3945
3939
3932
3925
3918
3876
3867
3857
3847
3836
3825
3778
3765
3752
3739
3726
3712
3697
3653
3637
3621
3605
3589
3572
3555
3538
3503
3485
3467
3448
3429
3410
3391
3372
3352
3332
3312
3292
3271
3251
3230
3209
3187
3166
3144
0,7
3123
3101
3079
3056
3034
3011
2989
2966
2943
2920
0,8
2897
2874
2850
2827
2803
2780
2756
2732
2709
2685
0,9
2661
2637
2613
2589
2565
2541
2516
2492
2468
2444
1,0
0,242
0,2396
0,2371
0,2347
0,2323
0,2299
0,2275
0,2251
0,2227
0,2203
1,1
2179
2155
2131
2107
2083
2059
2036
2012
1989
1965
1,2
1942
1919
1895
1872
1849
1826
1804
1781
1758
1736
1,3
1714
1691
1669
1647
1626
1604
1582
1561
1539
1518
1,4
1497
1476
1456
1435
1415
1394
1374
1354
1334
1315
1,5
1295
1276
1257
1238
1219
1200
1182
1163
1145
1127
1,6
1109
1092
1074
1057
1040
1023
1006
0989
0973
0957
1,7
0940
0925
0909
0893
0878
0863
0848
0833
0818
0804
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
154 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
1,8
0790
0775
0761
0748
0734
0721
0707
0694
0681
0669
1,9
0656
0644
0632
0620
0608
0596
0584
0573
0562
0551
2,0
0,054
0,0529 0,0519
0,0508
0,0498
0,0488
0,0478
0,0468
0,0459
0,0449
2,1
0440
0431
0422
0413
0404
0396
0387
0379
0371
0363
2,2
0355
0347
0339
0332
0325
0317
0310
0303
0297
0290
2,3
0283
0277
0270
0264
0258
0252
0246
0241
0235
0229
2,4
0224
0219
0213
0208
0203
0198
0194
0189
0184
0180
2,5
0175
0171
0167
0163
0158
0154
0151
0147
0143
0139
2,6
0136
0132
0129
0126
0122
0119
0116
0113
0110
0107
2,7
0104
0101
0099
0096
0093
0091
0088
0086
0084
0081
2,8
0079
0077
0075
0073
0071
0069
0067
0065
0063
0061
2,9
0060
0058
0056
0055
0053
0051
0050
0048
0047
0046
3,0
0,0044
0,0043
0,0042
0,0041
0,0039
0,0038
0,0037
0,0036
0,0035
0,0034
3,1
0033
0032
0031
0030
0029
0028
0027
0026
0025
0025
3,2
0024
0023
0022
0022
0021
0020
0020
0019
0018
0018
3,3
0017
0017
0016
0016
0015
0015
0014
0014
0013
0013
3,4
0012
0012
0012
0011
0011
0010
0010
0010
0009
0009
3,5
0009
0008
008
0008
0008
0007
0007
0007
0007
0006
3,6
0006
0006
0006
0005
0005
0005
0005
0005
0005
0004
3,7
0004
0004
0004
0004
0004
0004
0003
0003
0003
0003
3,8
0003
0003
0003
0003
0003
0002
0002
0002
0002
0002
3,9
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0001
0001
4,0
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
4,1
0,0001338
4,5
0,0000160
5
0,0000015
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложения
155
Приложение 2
Таблица значений функции
x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
(x) 
1
2
x
e

t2
2
dt
0
Сотые доли х
0
0,00000
0,03983
0,07926
0,11791
0,15542
0,19146
0,22575
0,25804
0,28814
0,31594
0,34134
0,36433
0,38493
0,40320
0,41924
0,43319
0,44520
0,45543
0,46407
0,47128
0,47725
0,48214
0,48610
0,48928
0,49180
0,49379
0,49534
0,49653
0,49744
0,49813
0,49865
0,49903
0,49931
0,49952
0,49966
0,49977
0,49984
0,49989
0,49993
0,49995
0,01
0,00399
0,04380
0,08317
0,12172
0,15910
0,19497
0,22907
0,26115
0,29103
0,31859
0,34375
0,36650
0,38686
0,40490
0,42073
0,43448
0,44630
0,45637
0,46485
0,47193
0,47778
0,48257
0,48645
0,48956
0,49202
0,49396
0,49547
0,49664
0,49752
0,49819
0,49869
0,49906
0,49934
0,49953
0,49968
0,49978
0,49985
0,49990
0,49993
0,49995
0,02
0,00798
0,04776
0,08706
0,12552
0,16276
0,19847
0,23237
0,26424
0,29389
0,32121
0,34614
0,36864
0,38877
0,40658
0,42220
0,43574
0,44738
0,45728
0,46562
0,47257
0,47831
0,48300
0,48679
0,48983
0,49224
0,49413
0,49560
0,49674
0,49760
0,49825
0,49874
0,49910
0,49936
0,49955
0,49969
0,49978
0,49985
0,49990
0,49993
0,49996
0,03
0,01197
0,05172
0,09095
0,12930
0,16640
0,20194
0,23565
0,26730
0,29673
0,32381
0,34849
0,37076
0,39065
0,40824
0,42364
0,43699
0,44845
0,45818
0,46638
0,47320
0,47882
0,48341
0,48713
0,49010
0,49245
0,49430
0,49573
0,49683
0,49767
0,49831
0,49878
0,49913
0,49938
0,49957
0,49970
0,49979
0,49986
0,49990
0,49994
0,49996
0,04
0,01595
0,05567
0,09483
0,13307
0,17003
0,20540
0,23891
0,27035
0,29955
0,32639
0,35083
0,37286
0,39251
0,40988
0,42507
0,43822
0,44950
0,45907
0,46712
0,47381
0,47932
0,48382
0,48745
0,49036
0,49266
0,49446
0,49585
0,49693
0,49774
0,49836
0,49882
0,49916
0,49940
0,49958
0,49971
0,49980
0,49986
0,49991
0,49994
0,49996
0,05
0,01994
0,05962
0,09871
0,13683
0,17364
0,20884
0,24215
0,27337
0,30234
0,32894
0,35314
0,37493
0,39435
0,41149
0,42647
0,43943
0,45053
0,45994
0,46784
0,47441
0,47982
0,48422
0,48778
0,49061
0,49286
0,49461
0,49598
0,49702
0,49781
0,49841
0,49886
0,49918
0,49942
0,49960
0,49972
0,49981
0,49987
0,49991
0,49994
0,49996
0,06
0,02392
0,06356
0,10257
0,14058
0,17724
0,21226
0,24537
0,27637
0,30511
0,33147
0,35543
0,37698
0,39617
0,41308
0,42785
0,44062
0,45154
0,46080
0,46856
0,47500
0,48030
0,48461
0,48809
0,49086
0,49305
0,49477
0,49609
0,49711
0,49788
0,49846
0,49889
0,49921
0,49944
0,49961
0,49973
0,49981
0,49987
0,49992
0,49994
0,49996
0,07
0,02790
0,06749
0,10642
0,14431
0,18082
0,21566
0,24857
0,27935
0,30785
0,33398
0,35769
0,37900
0,39796
0,41466
0,42922
0,44179
0,45254
0,46164
0,46926
0,47558
0,48077
0,48500
0,48840
0,49111
0,49324
0,49492
0,49621
0,49720
0,49795
0,49851
0,49893
0,49924
0,49946
0,49962
0,49974
0,49982
0,49988
0,49992
0,49995
0,49996
0,08
0,03188
0,07142
0,11026
0,14803
0,18439
0,21904
0,25175
0,28230
0,31057
0,33646
0,35993
0,38100
0,39973
0,41621
0,43056
0,44295
0,45352
0,46246
0,46995
0,47615
0,48124
0,48537
0,48870
0,49134
0,49343
0,49506
0,49632
0,49728
0,49801
0,49856
0,49896
0,49926
0,49948
0,49964
0,49975
0,49983
0,49988
0,49992
0,49995
0,49997
0,09
0,03586
0,07535
0,11409
0,15173
0,18793
0,22240
0,25490
0,28524
0,31327
0,33891
0,36214
0,38298
0,40147
0,41774
0,43189
0,44408
0,45449
0,46327
0,47062
0,47670
0,48169
0,48574
0,48899
0,49158
0,49361
0,49520
0,49643
0,49736
0,49807
0,49861
0,49900
0,49929
0,49950
0,49965
0,49976
0,49983
0,49989
0,49992
0,49995
0,49997
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
156 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Приложение 3
Таблица значений вероятностей
k
P{  k} 
k!
e 
для распределения Пуассона
к
0
1
2
3
4
5
6
7
к
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0,1
0,9048
0,0905
0,0045
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
2,0
0,1353
0,2707
0,2707
0,1805
0,0902
0,0361
0,0120
0,0034
0,0009
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,2
0,8187
0,1637
0,0164
0,0011
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
3,0
0,0498
0,1494
0,2240
0,2240
0,1681
0,1008
0,0504
0,0216
0,0081
0,0027
0,0008
0,0002
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,3
0,7408
0,2223
0,0333
0,0033
0,0003
0,0000
0,0000
0,0000
0,4
0,6703
0,2681
0,0536
0,0072
0,0007
0,0001
0,0000
0,0000
4,0
0,0183
0,0733
0,1465
0,1954
0,1954
0,1563
0 1042
0,0595
0,0298
0,0132
0,0053
0,0019
0,0006
0,0002
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,5
0,6065
0,3033
0,0758
0,0126
0,0016
0,0002
0,0000
0,0000
5,0
0,0067
0,0337
0,0842
0,1404
0,1755
0,1755
0,1462
0,1045
0,0653
0,0363
0,0181
0,0082
0,0034
0,0013
0,0005
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,6
0,5488
0,3293
0,0988
0,0198
0,0030
0,0003
0,0000
0,0000
6,0
0,0025
0,0149
0,0446
0,0892
0,1339
0,1606
0,1606
0,1377
0,1033
0,0689
0,0413
0,0225
0,0113
0,0052
0,0022
0,0009
0,0003
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,7
0,4966
0,3476
0,1216
0,0284
0,0050
0,0007
0,0001
0,0000
7,0
0,0009
0,0064
0,0223
0,0521
0,0912
0,1277
0,1490
0,1490
0,1304
0,1014
0,0710
0,0452
0,0264
0,0142
0,0071
0,0033
0,0015
0,0006
0,0002
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,8
0,4493
0,3595
0,1438
0,0383
0,0077
0,0012
0,0002
0,0000
8,0
0,0003
0,0027
0,0107
0,0286
0,0572
0,0916
0,1221
0,1396
0,1396
0,1241
0,0993
0,0722
0,0481
0,0296
0,0169
0,0090
0,0045
0,0021
0,0009
0,0004
0,0002
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,9
0,4066
0,3659
0,1647
0,0494
0,0111
0,0020
0,0003
0,0000
9,0
0,0001
0 0011
0,005
0,015
0,0337
0,0607
1,0911
0,1171
0,1318
0,1318
0,1186
0,0970
0,0728
0,0504
0,0324
0,0194
0,0109
0,0058
0,0029
0,0014
0,0006
0,0003
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
1,0
0,3679
0,3679
0,1839
0,0613
0,0153
0,0031
0,0005
0,0001
10,0
0,0001
0 0005
0,0023
0,0076
0,0189
0,0378
0,0631
0,0901
0,1126
0,1251
0,1251
0,1137
0,0948
0,0729
0,0521
0,0347
0,0217
0,0128
0,0071
0,0037
0,0019
0,0009
0,0004
0,0002
0,0001
0,0000
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложения
157
Приложение 4
Таблица значений симметричных квантилей порядка 
распределения Стьюдента
Число
степеней
свободы
Вероятность
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,16
0,32
0,51
0,73
1,00
1,38
1,96
3,08
6,31
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞
14
14
13
13
0,13
13
13
13
13
0,13
13
13
13
13
0,13
13
13
13
13
0,13
13
13
13
13
0,13
13
13
13
13
0,13
13
0,13
13
29
28
27
27
0,26
26
26
26
26
0,26
26
26
26
26
0,26
26
26
26
26
0,26
26
26
26
26
0,26
26
26
26
26
0,25
25
0,25
25
44
42
41
41
0,4
40
40
40
40
0,4
39
39
39
39
0,39
39
39
39
39
0,39
39
39
39
39
0,39
39
39
39
39
0,39
39
0,39
38
62
58
57
56
0,55
55
55
54
54
0,54
54
54
54
54
0,53
53
53
53
53
0,53
53
53
53
53
0,53
53
53
53
53
0,53
53
0,53
52
0,82
76
74
73
1,72
71
70
70
70
0,7
69
69
69
69
0,69
69
69
69
69
0,69
69
68
68
68
0,68
68
68
68
68
0,68
68
0,68
67
6
0,98
94
92
1,91
90
89
88
88
0,88
87
87
87
87
0,86
86
86
86
86
0,86
86
86
86
86
0,86
85
85
85
85
0,85
85
0,84
84
34
25
19
16
1,13
12
11
10
09
1,09
08
08
08
07
1,07
07
07
07
06
0,06
06
06
06
06
1,06
06
06
05
05
1,05
05
1,04
04
1,89
64
53
48
1,44
41
40
38
37
1,36
36
35
34
34
1,34
33
33
33
32
1,32
32
32
32
32
1,31
31
31
31
31
1,3
30
1,29
28
2,92
35
13
01
1,94
89
86
83
81
1,8
78
77
76
75
1,75
74
73
73
72
1,72
72
71
71
71
1,71
70
70
70
70
1,68
67
1,66
64
0,95
0,98
12,7
1
4,3
3,18
2,78
57
2,45
36
31
26
23
2,2
18
16
14
13
2,12
11
10
09
09
2,08
07
07
06
06
2,06
05
05
04
04
2,02
00
1,98
96
31,8
2
6,96
4,54
3,75
36
3,14
00
2,90
82
76
2,72
68
65
62
60
2,58
57
55
54
53
2,52
51
50
49
48
2,48
47
47
46
46
2,42
39
2,36
33
0,99
63,66
9,92
5,84
4,6
03
3,71
50
35
25
17
3,11
05
01
2,98
95
2,92
90
88
86
84
2,83
82
81
80
79
2,78
77
76
76
75
2,7
66
2,62
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
158 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Приложение 5
Число степеней свободы
Таблица значений критических точек порядка  распределения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Вероятность
0,99
0,00
0,02
0,11
0,30
0,55
0,87
1,24
1,65
2,09
2,56
3,05
3,57
4,11
4,66
5,23
5,81
6,41
7,02
7,63
8,26
8,90
9,54
10,2
10,9
11,5
12,2
12,9
13,6
14,3
14,9
0,98
0,00
0,04
0,18
0,43
0,75
1,13
1,56
2,03
2,53
3,06
3,61
4,18
4,76
5,37
5,98
6,61
7,26
7,91
8,57
9,24
9,92
10,6
11,3
12,0
12,7
13,4
14,1
14,8
15,6
16,3
0,95
0,00
0,10
0,35
0,71
1,14
1,63
2,17
2,73
3,32
3,94
4,58
5,23
5,89
6,57
7,26
7,96
8,67
9,39
10,1
10,8
11,6
12,3
13,1
13,8
14,6
15,4
16,1
16,9
17,7
18,5
0,90
0,02
0,21
0,58
1,06
1,61
2,20
2,83
3,49
4,17
4,86
5,58
6,30
7,04
7,79
8,55
9,31
10,1
10,9
11,6
12,4
13,2
14,0
14,8
15,7
16,5
17,3
18,1
18,9
19,8
20,6
0,80
0,06
0,45
1,00
1,65
2,34
3,07
3,82
4,59
5,38
6,18
6,99
7,81
8,63
9,47
10,3
11,1
12,0
12,9
13,7
14,6
15,4
16,3
17,2
18,1
18,9
19,8
20,7
21,6
22,5
23,4
0,70
0,15
0,71
1,42
2,20
3,00
3,83
4,67
5,53
6,39
7,27
8,15
9,03
9,93
10,8
11,7
12,6
13,5
14,4
15,3
16,3
17,2
18,1
19,0
19,9
20,9
21,8
22,7
23,6
24,6
25,5
0,50
0,45
1,39
2,37
3,36
4,35
5,35
6,35
7,34
8,34
9,34
10,3
11,3
12,3
13,3
14,3
15,3
16,3
17,3
18,3
19,3
20,3
21,3
22,3
23,3
24,3
25,3
26,3
27,3
28,3
29,3
0,30
1,07
2,41
3,66
4,88
6,06
7,23
8,38
9,52
10,7
11,8
12,9
14,0
15,1
16,2
17,3
18,4
19,5
20,6
21,7
22,8
23,9
24,9
26,0
27,1
28,2
29,2
30,3
31,4
32,5
33,5
0,20
1,64
3,22
4,64
5,99
7,29
8,56
9,80
11,0
12,2
13,4
14,6
15,8
17,0
18,1
19,3
20,5
21,6
22,8
23,9
25.0
26,2
17,3
28,4
29,6
30,7
31,8
32,9
34,0
35,1
36,2
0,10
2,71
4,60
6,25
7,78
9,24
10,6
12,0
13,4
14,7
16,0
17,3
18,5
19,8
21,1
22,3
23,5
24,8
26,0
27,2
28,4
29,6
30,8
32,0
33,2
34,4
35,6
36,7
37,9
39,1
40,3
0,05
3,84
5,99
7,82
9,49
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
19,7
21,0
22,4
23,7
25,0
26,3
27,6
28,9
30,1
31,4
32,7
33,9
35,2
36,4
37,7
38,9
40,1
41,3
42,6
43,8
0,02
5,41
7,82
9,84
11,7
13,4
15,0
16,6
18,2
19,7
21,2
22,6
24,1
25,5
26,9
28,3
29,6
31,0
32,3
33,7
35,0
36,3
37,7
39,0
40,3
41,7
42,9
44,1
45,4
46,7
48,0
0,01
6,64
9,21
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
24,7
26,2
27,7
29,1
30,6
32,0
33,4
34,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
44,3
45,6
47,0
48,3
49,6
50,9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложения
159
Приложение 6
Таблица значений критических точек порядка  распределения Фишера
Для вероятности 0,05
k1
k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
24
30
40
161
18,5
10,1
7,71
6,61
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
4,84
4,75
4,67
4,60
4,54
4,49
4,45
4,41
4,38
4,35
4,32
4,30
4,28
4,26
4,24
4,23
4,21
4,20
4,18
4,17
4,08
4,00
3,92
3,84
200
19,0
9,55
6,94
5,79
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
3,98
3,89
3,81
3,74
3,68
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,47
3,44
3,42
3,4
3,39
3,37
3,35
3,34
3,33
3,32
3,23
3,15
3,07
3,00
216
19,2
9,28
6,59
5,41
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
3,07
3,05
3,03
3,01
2,99
2,98
2,96
2,95
2,93
2,92
2,84
2,76
2,68
3,60
225
19,2
9,12
6,39
5,19
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
2,82
2,80
2,78
2,76
2,74
2,73
2,71
2,70
2,69
2,61
2,53
2,45
2,37
230
19,3
9,01
6,26
5,05
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
3,20
3,11
3,03
2,96
2,90
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,68
2,66
2,64
2,62
2,60
2,59
2,57
2,56
2,55
2,53
2,45
2,37
2,29
2,21
234
19,3
8,94
6,16
4,95
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,57
2,55
2,53
2,51
4,49
2,47
2,46
2,45
2,43
2,42
2,34
2,25
2,17
2,10
237
19,3
8,89
6,09
4,88
4,21
3,79
3,50
3,29
3,14
3,01
2,91
2,83
2,76
2,71
2,66
2,61
2,58
2,54
2,51
2,49
2,46
2,44
2,42
2,40
2,39
2,37
2,36
2,35
2,33
2,25
2,17
2,09
2,01
239
19,4
8,85
6,04
4,82
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
2,42
2,40
2,37
2,36
2,34
2,32
2,31
2,29
2,28
2,27
2,18
2,10
2,02
1,94
240
19,4
8,81
6,00
4,77
4,10
3,68
3,39
3,18
3,02
2,90
2,80
2,71
2,65
2,59
2,54
2,49
2,46
2,42
2,39
2,37
2,34
2,32
2,30
2,28
2,27
2,25
2,24
2,22
2,21
2,12
2,04
1,96
1,83
242
19,4
8,79
5,96
4,74
4,06
3,64
3,35
3,14
2,98
2,85
2,75
2,67
2,60
2,54
2,49
2,45
2,41
2,38
2,35
2,32
2,30
2,27
2,25
2,24
2,22
2,20
2,19
2,18
2,16
2,08
1,99
1,91
1,83
244
19,4
8,74
5,91
4,68
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
2,25
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,1
2,09
2,00
1,92
1,83
1,75
246
19,4
8,70
5,86
4,62
3,94
3,51
3,22
3,01
2,85
2,72
2,62
2,53
2,46
2,40
2,35
2,31
2,27
2,23
2,20
2,18
2,15
2,13
2,11
2,09
2,07
2,06
2,04
2,03
2,01
1,92
1,84
1,75
1,67
248
19,4
8,66
5,80
4,56
3,87
3,44
3,15
2,94
2,77
2,65
2,54
2,46
2,39
2,33
2,28
2,23
2,19
2,16
2,12
2,10
2,07
2,05
2,03
2,01
1,99
1,97
1,96
1,94
1,93
1,84
1,75
0,66
1,57
249
19,4
8,64
5,77
4,53
3,84
3,41
3,12
2,90
2,74
2,61
2,51
2,42
2,35
2,29
2,24
2,19
2,15
2,11
2,08
2,05
2,03
2,01
1,98
1,96
1,95
1,93
1,91
1,90
1,89
1,79
1,70
1,61
1,52
250
19,5
8,62
5,75
4,50
3,81
3,38
3,08
2,86
2,70
2,57
2,47
2,38
2,31
2,25
2,19
2,15
2,11
2,07
2,04
2,01
1,98
1,96
1,94
1,92
1,90
1,88
1,87
1,85
1,84
1,74
1,65
1,55
1,46
251
19,5
8,59
5,72
4,46
3,77
3,34
3,04
2,83
2,66
2,53
2,43
2,34
2,27
2,20
2,15
2,10
2,06
2,03
1,99
1,96
1,94
1,91
1,89
1,87
1,85
1,84
1,82
1,81
1,79
1,69
1,59
1,50
1,39
60 120
252
19,5
8,57
5,69
4,43
3,74
3,30
3,01
2,79
2,62
2,49
2,38
2,30
2,22
2,16
2,11
2,06
2,02
1,98
1,95
1,92
1,89
1,86
1,84
1,82
1,80
1,79
1,77
1,75
1,74
1,64
1,53
1,43
1,32
253
19,5
8,55
5,66
4,40
3,70
3,27
2,97
2,75
2,58
2,45
2,34
2,25
2,18
2,11
2,06
2,01
1,97
1,93
1,90
1,87
1,84
1,81
1,79
1,77
1,75
1,73
1,71
1,70
1,68
1,58
1,47
1,35
1,22
∞
254
19,5
8,53
5,63
4,36
3,67
3,23
2,93
2,71
2,54
2,40
2,30
2,21
2,13
2,07
2,01
1,96
1,92
1,88
1,84
1,81
1,78
1,76
1,73
1,71
1,69
1,67
1,65
1,64
1,62
1,51
1,39
1,25
1,00
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
160 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
Для вероятности 0,01
1 4052 4999,55403 5625 5764 5859 5928 5982 6022 6056 6106 6157 6209 6235 6261 6287 6313 6339 6366
2 98,50 99,00 99,1799,2599,3099,3399,3699,3799,3999,4099,4299,4399,4599,4699,4799,4799,4899,4999,50
3 34,12 30,82 29,4628,7128,2427,9127,6727,4927,3527,2327,0526,8726,6926,6026,5026,4126,3226,2226,13
4 21,20 18,00 16,6915,9815,5215,2114,9814,8014,6614,5514,3714,2014,0213,9313,8413,7513,6513,5613,46
5 16,26 13,27 12,0611,3910,9710,6710,4610,2910,1610,05 9,89 9,72 9,55 9,47 9,38 9,29 9,20 9,11 9,02
6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,72 7,56 7,40 7,31 7,23 7,14 7,06 6,97 6,88
7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,47 6,31 6,16 6,07 5,99 5,91 5,82 5,74 5,65
8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,67 5,52 5,36 5,28 5,20 5,12 5,03 4,95 4,86
9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 5,11 4,96 4,81 4,73 4,65 4,57 4,48 4,40 4,31
10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,71 4,56 4,41 4,33 4,25 4,17 4,08 4,00 3,91
11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,40 4,25 4,10 4,02 3,94 3,86 3,78 3,69 3,60
12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,16 4,01 3,86 3,78 3,70 3,62 3,54 3,45 3,36
13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 3,96 3,82 3,66 3,59 3,51 3,43 3,34 3,25 3,17
14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,80 3,66 3,51 3,43 3,35 3,27 3,18 3,09 3,00
15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,67 3,52 3,37 3,29 3,21 3,13 3,05 2,96 2,87
16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,55 3,41 3,26 3,18 3,10 3,02 2,93 2,84 2,75
17 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,46 3,31 3,16 3,08 3,00 2,92 2,83 2,75 2,65
18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 3,37 3,23 3,08 3,00 2,92 2,84 2,75 2,66 2,57
19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,30 3,15 3,00 2,92 2,84 2,76 2,67 2,58 2,49
20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,23 3,09 2,94 2,86 2,78 2,69 2,61 2,52 2,42
21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 3,17 3,03 2,88 2,80 2,72 2,64 2,55 2,46 2,36
22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 3,12 2,98 2,83 2,75 2,67 2,58 2,50 2,40 2,31
23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 3,07 2,93 2,78 2,70 2,62 2,54 2,45 2,35 2,26
24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 3,03 2,89 2,74 2,66 2,58 2,49 2,40 2,31 2,21
25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 2,99 2,85 2,70 2,62 2,54 2,45 2,36 2,27 2,17
26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 2,96 2,81 2,66 2,58 2,50 2,42 2,33 2,23 2,13
27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06 2,93 2,78 2,63 2,55 2,47 2,38 2,29 2,20 2,10
28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 2,90 2,75 2,60 2,52 2,44 2,35 2,26 2,17 2,06
29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00 2,87 2,73 2,57 2,49 2,41 2,33 2,23 2,14 2,03
30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,84 2,70 2,55 2,47 2,39 2,30 2,21 2,11 2,01
40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,66 2,52 2,37 2,29 2,20 2,11 2,02 1,92 1,80
60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,50 2,35 2,20 2,12 2,03 1,94 1,84 1,73 1,60
120 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,56 2,47 2,34 2,19 2,03 1,95 1,86 1,76 1,66 1,53 1,38
∞ 6,63 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41 2,32 2,18 2,04 1,88 1,79 1,70 1,59 1,47 1,32 1,00
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложения
161
Приложение 7
Таблица значений критических точек порядка  распределения Стьюдента
Число
степеней 0,4
свободы
0,3
0,2
0,1
0,05 0,025 0,01 0,005 0,001
0,000
5
1
0,325
0,727
1,376
3,078
6,314
12,71
31,82
63,66
318,3
636,6
2
0,289
0,617
1,061
1,886
2,920
4,303
6,965
9,925
22,33
31,60
3
0,277
0,584
0,978
1,638
2,353
3,182
4,541
5,841
10,22
12,94
4
0,271
0,569
0,941
1,533
2,132
2,776
3,747
4,604
7,173
8,610
5
0,267
0,559
0,920
1,476
2,015
2,571
3,365
5,032
5,893
6,859
6
0,265
0,553
0,906
1,440
1,943
2,447
3,143
3,707
5,208
5,959
7
0,263
0,549
0,896
1,415
1,895
2,365
2,998
3,499
4,785
5,405
8
0,262
0,546
0,889
1,397
1,860
2,306
2,896
3,355
4,501
5,041
9
0,261
0,543
0,883
1,383
1,833
2,262
2,821
3,250
4,297
4,781
10
0,260
0,542
0,879
1,372
1,812
2,228
2,764
3,169
4,144
4,587
11
0,260
0,540
0,876
1,363
1,796
2,201
2,718
3,106
4,025
4,437
12
0,259
0,539
0,873
1,356
1,782
2,179
2,681
3,055
3,930
4,318
13
0,259
0,538
0,870
1,350
1,771
2,160
2,650
3,012
3,852
4,221
14
0,258
0,537
0,868
1,345
1,761
2,145
2,624
3,977
3,787
4,140
15
0,258
0,536
0,866
1,341
1,753
2,131
2,632
2,947
3,733
4,073
16
0,258
0,535
0,865
1,337
1,746
2,120
2,583
2,921
3,686
4,015
17
0,257
0,534
0,863
1,333
1,74
2,110
2,567
2,898
3,646
3,965
18
0,257
0,534
0,862
1,330
1,734
2,101
2,552
2,878
3,611
3,922
19
0,257
0,533
0,861
1,328
1,729
2,093
2,539
2,861
3,579
3,883
20
0,257
0,533
0,860
1,325
1,725
2,086
2,528
2,845
3,552
3,850
21
0,257
0,532
0,859
1,323
1,721
2,080
2,518
2,831
3,527
3,819
22
0,256
0,532
0,858
1,321
1,717
2,074
2,508
2,819
3,505
3,792
23
0,256
0,532
0,858
1,319
1,714
2,059
2,503
2,807
3,485
3,767
24
0,256
0,531
0,857
1,318
1,711
2,054
2,492
2,797
3,467
3,745
25
0,256
0,531
0,856
1,316
1,708
2,060
2,485
2,787
3,450
3,725
26
0,256
0,531
0,856
1,315
1,706
2,055
2,479
2,779
3,435
3,707
27
0,256
0,531
0,855
1,314
1,703
2,052
2,473
2,771
3,421
3,690
28
0,256
0,530
0,855
1,313
1,701
2,043
2,467
2,763
3,408
3,674
29
0,256
0,530
0,854
1,311
1,699
2,045
2,462
2,756
3,396
3,659
30
0,256
0,530
0,854
1,310
1,697
2,042
2,457
2,750
3,385
3,646
40
0,255
0,529
0,851
1,303
1,684
2,021
2,423
2,704
3,307
3,551
50
0,255
0,528
0,849
1,298
1,676
2,009
2,403
2,678
3,262
3,495
60
0,254
0,527
0,848
1,296
1,671
2,000
2,390
2,660
3,232
3,460
80
0,254
0,527
0,846
1,292
1,664
1,993
2,374
2,639
3,195
3,415
100
0,254
0,526
0,845
1,290
1,660
1,984
2,365
2,626
3,174
3,389
200
0,254
0,525
0,843
1,285
1,653
1,972
2,345
2,601
3,131
3,339
500
0,253
0,525
0,842
1,283
1,648
1,965
2,334
2,586
3,106
3,310
∞
0,253
0,524
0,842
1,282
1,645
1,953
2,326
2,576
3,090
3,291
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
162 И. В. Березинец. Практикум по теории вероятностей и математической статистике
ЛИТЕРАТУРА
1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы
эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998.
2. Березинец И.В. Курс лекций по теории вероятностей. – СПб.:
ВИКИ им. А.Ф. Можайского, 1997.
3. Березинец И.В., Герасименко П.В., Матвеева А.С., Хрущева И.В. Сборник задач по теории вероятностей. – СПб.: ВИКУ
им. А.Ф. Можайского, 1999.
4. Березинец И.В., Богословская Н.В. Математическая статистика
в EXCEL. – СПб.: МБИ, 2004.
5. Бочаров П.П., Печенкин А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Гардарика, 1998.
6. Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент. – СПб.:
«Экономическая школа», Т. 1. 2004.
7. Ван Хорн Дж., Вахович Д. Основы финансового менеджмента.
– М., СПб., Киев: Издательский дом «Вильямс», 2003.
8. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы. – М.: Финансы и статистика, 1998.
9. Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач
по теории вероятностей. – М.: Наука, 1989.
10. Калинина В.Н., Панкин В.Н. Математическая статистика. – М.:
Высшая школа, 1998.
11. Ковалев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ИНФРА-М, 1999.
12. Прохоров А.В. Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей. – М.: Наука, 1986.
13. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на
компьютерах./ Под ред. В.Э. Фигурнова. – М.: ИНФРА-М,
1998.
14. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефимова. – М.: Наука, 1990.
15. Уланов В.А. Сборник задач по курсу финансовых вычислений / Под ред. В.В. Ковалева. – М.: «Финансы и статистика»,
2003.
16. Уотшем Т. Дж, Паррамоу К. Количественные методы в финансах / Пер. с англ. под. ред. Ефимовой М.Р. – М.: Издательское
объединение «Юнити», 1999.
17. Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции. – М.:
ИНФРА-М, 2003.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
И. В. Березинец
ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
Учебное пособие
9-е изд., испр. и доп.
Подписано в печать 01.02.2011. Формат 70х90/16.
Уч.-изд. л. 5,32. Тираж 100 экз. Заказ №.
Издательство «Высшая школа менеджмента СПбГУ»
199004, С.-Петербург, Волховский пер., 3
тел.: (812) 323 8460, факс (812) 323 8451
publishing@ gsom.pu.ru
www.gsom.pu.ru
Отпечатано с готового оригинал-макета
в Центре оперативной полиграфии
Высшей школы менеджмента СПбГУ
199004, С.-Петербург, Волховский пер., 3
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
633
Размер файла
1 214 Кб
Теги
статистика, практикум, 6234, вероятности, 1268, математические, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа