close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

7616.Физика для 9-11 классов университетской физико-математической школы.

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
Университетская физико-математическая школа
А.А. Чакак, Н.А. Манаков, В.Л. Бердинский
ФИЗИКА ДЛЯ 9-11 КЛАССОВ
УНИВЕРСИТЕТСКОЙ ФИЗИКОМАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ
Рекомендовано
к
изданию
Ученым
советом
федерального
государственного бюджетного образовательного учреждения высшего
профессионального
образования
«Оренбургский
государственный
университет» в качестве учебного пособия для поступающих в высшие учебные
заведения
Оренбург
2013
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 53 (075.8)
ББК 22.3я 73
Ч 16
Рецензенты
кандидат педагогических наук, доцент М.А. Кучеренко
кандидат физико-математических наук, доцент А.Г. Четверикова
Ч 16
Чакак А. А.
Физика для 9-11 классов университетской физико-математической
школы: учебное пособие / А.А. Чакак, Н.А. Манаков, В.Л. Бердинский; Оренбургский гос. ун-т − Оренбург: ОГУ, 2013. - 365 с.
Учебное пособие по физике предназначено учащимся 9-11 классов заочной университетской физической школы, старших классов, абитуриентам, а также учителям профильных классов. В пособие включены: задания по физике различной категории сложности по всем разделам курса в соответствии с программой для общеобразовательных учреждений; типовая программа по физике для поступающих в ВУЗы; рекомендации по выполнению экзаменационных заданий. Пособие содержит справочные материалы как по математике в объёме, необходимом
для решения физических задач, так и по физике.
Рекомендуется как учебное пособие для подготовительных отделений и курсов, а также для самостоятельной подготовки к ЕГЭ. Может
быть использовано на занятиях в школе и в физических кружках. Пособие может оказаться полезным для студентов вузов при выполнении
практических заданий.
Учебное пособие рекомендовано к изданию кафедрой общей физики ОГУ. Составители Чакак А.А., Манаков Н.А., Бердинский В.Л.
УДК 53 (075.8)
ББК 22.3я 73
 Чакак А.А.
Манаков Н.А.,
Бердинский В.Л., 2013
 ОГУ, 2013
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Рекомендации по выполнению заданий. Характерные ошибки . . . . . .
2 Типовая программа по физике для поступающих в ВУЗы . . . . . . . . . .
2.1 Стандарт среднего (полного) общего образования по физике (утвержден приказом Минобразования РФ от 05.03.2004 № 1089 «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных
стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного)
общего образования») . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Обязательный минимум содержания основной образовательной
программы по физике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Требования к уровню подготовки выпускников . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Задания для 9 класса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 1-3-9. Кинематика материальной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 2-3-9. Динамика материальной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 3-3-9. Кинематика и динамика движения материальной точки
по окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 4-3-9. Законы сохранения в механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Задания для 10 класса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 1-3-10. Механическое движение (повторение) . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 2-3-10. МКТ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 3-3-10. Термодинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 4-3-10. Электростатика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Задания для 11 класса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 1-3-11. Постоянный электрический ток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 2-3-11. Магнитное поле и электромагнитная индукция . . . . . . . .
Задание 3-3-11. Механические и электрические колебания . . . . . . . . . . . .
Задание 4-3-11. Оптика волновая и геометрическая . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 5-3-11. Атомная и ядерная физика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 6-3-11. Итоговое . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Литература, рекомендуемая для изучения физики . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение А. Основные физические константы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение Б. Соотношения между единицами некоторых физических
величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение В. Некоторые сведения из математики. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение Г. Основные формулы по физике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение Д . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
6
10
10
11
13
15
15
32
46
60
75
75
111
130
154
176
176
193
210
231
255
277
282
284
285
286
302
352
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Уважаемые учащиеся УФМШ ОГУ!
Вам предстоит выполнить задания по физике, и мы надеемся, что Вы успешно справитесь с этой нелёгкой задачей. Перед началом работы Вам следует
внимательно изучить изложенные ниже правила и руководствоваться ими при
выполнении заданий.
Программа по физике для 9-11 классов состоит из 4-6 заданий (на учебный
год), посвященных отдельным темам школьного курса физики. Каждое задание
состоит из 20 задач, номера которых выделены ярко-зеленым цветом. Каждое
задание содержит задачи, близкие по своей тематике, но имеющие различный
уровень сложности. Все задачи любого уровня сложности для решения не требуют знаний, выходящих за рамки школьного курса физики.
При выполнении задания Вы должны самостоятельно выбрать ровно 10
задач, решения которых будут Вами высланы в УФМШ.
Если не удастся решить выделенные задачи, замените их другими задачами Задания. В каждое задание дополнительно включены условия задач трёх категорий сложности А, В, и С, которые Вы можете решать при самоподготовке.
При выборе задач для решения мы советуем руководствоваться Вашим
уровнем подготовки и целями, которые Вы ставите перед собой: научиться решать задачи, подготовиться к выпускным экзаменам в школе и к ЕГЭ, к олимпиадам и т.п. Одним из условий успешного образования является непрерывное,
но постепенное овладение новыми знаниями и методами решения задач. Поэтому не стоит выбирать для решения задачи, которые кажутся Вам либо очень
легкими, либо очень сложными. По мере углубления Вашего понимания физики старайтесь увеличивать уровень сложности задач.
Внимание! Оценка Вашей работы не зависит от уровня сложности задач.
Обязательные требования:
1) число высылаемых на проверку задач в задании не должно быть меньше
10. В противном случае нам будет трудно оценить Вашу работу, и в любом
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
случае оценка будет снижена. Не бойтесь высылать решения, в которых Вы не
уверены. Один из наилучших методов обучения – анализ собственных ошибок;
2) число высылаемых на проверку задач в задании не должно быть больше
10. В Вашей работе будут проверены и оценены только 10 задач, которые в
этом случае преподаватель выберет сам;
3) при оформлении решений не забывайте:
а) нумеровать задачи и страницы листов с решениями;
б) записывать полный ответ;
в) условия задач приводить в краткой общепринятой форме;
г) подробно пояснять введенные Вами обозначения физических величин в тексте решения и на рисунках.
Будем благодарны читателям за любые отзывы и замечания.
Желаем успехов!
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 Рекомендации по выполнению заданий. Характерные
ошибки
Методы и приемы решения задач весьма разнообразны, однако при решении задач целесообразно руководствоваться следующими основными правилами:
− разобраться в условии задачи;
− если позволяет характер задачи, обязательно сделать чертеж или схематический рисунок;
− представить физическое явление или процесс, о котором говорится в
условии. Выяснить, какие теоретические положения связаны с рассматриваемой задачей в целом и с ее отдельными элементами; какие физические законы и
их следствия можно применять для решения; какие физические модели и идеализации использованы в условии, а какие могут быть применены при решении;
− отобрать законы, их следствия, соотношения, с помощью которых можно описать физическую ситуацию задачи. Выявить причинно-следственные
связи между заданными и неизвестными величинами, установить математическую связь между ними;
− на основании отобранных законов и их следствий записать уравнение
(систему уравнений), выражающее условие задачи. Векторные уравнения записать в проекциях на оси координат;
− преобразовать (решить) составленные уравнения так, чтобы искомая величина была выражена через заданные и табличные данные в аналитическом
виде, т.е. получить расчетную формулу в общем виде (в буквенных обозначениях). Проводить промежуточные численные расчеты нецелесообразно. Эти
расчеты, как правило, являются излишними, так как часто окончательное выражение для искомой физической величины имеет простой вид. Следует также
иметь ввиду, что при промежуточных расчетах увеличивается вероятность допустить ошибку;
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
− получив ответ в аналитическом виде, проверить полученное решение с
помощью анализа размерностей. Неверная размерность однозначно указывает
на допущенную при решении ошибку;
− подставить числовые значения в определенной системе единиц (предпочтительнее использовать Международную систему единиц - СИ) и провести
вычисления. Получив численное значение искомой величины, обязательно указывайте ее размерность;
− оценить правдоподобность ответа, продумать, разумным ли получилось
численное значение искомой величины (так, скорость тела не может быть
больше скорости света в вакууме, дальность полета камня, брошенного человеком, не может быть порядка 1 км и т.д.).
Наш опыт работы с учащимися показывает, что наибольшие затруднения
при решении задач вызывают следующие разделы школьного курса физики:
− графики зависимости кинематических величин от времени при равномерном и равнопеременном движении;
− нахождение всех сил, действующих на тело в конкретных условиях.
Принцип суперпозиции сил;
− рациональный выбор системы координат, обеспечивающей наиболее
простой вид системы уравнений, приводящей к решению задачи;
− насыщенные и ненасыщенные пары. Влажность воздуха;
− закон электромагнитной индукции Фарадея. Правило Ленца;
− вынужденные электрические колебания. Активное, емкостное и индуктивное сопротивления. Резонанс в электрической цепи;
− закон радиоактивного распада.
Часто допускаемые ошибки:
− не учитывают влияние начальных условий на характер движения тел;
− при анализе движения в произвольном направлении не пользуются
принципом независимого сложения движений, т.е. не рассматривают движение
проекций исследуемого тела на взаимно ортогональные направления;
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
− при решении динамических задач не учитывают разное воздействие сил
трения покоя и сил трения скольжения на характер движения тел;
− не учитывают векторный характер законов Ньютона;
− бывают затруднения при определении веса, состояния невесомости, потенциальной энергии;
− встречаются ошибки в определении направления полного ускорения и
равнодействующей силы при равнопеременном движении тела по окружности;
− не учитывают, что применение законов сохранения в некоторых задачах
по динамике упрощает ход решения;
− забывают основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа;
− встречаются затруднения при применении первого закона термодинамики к изопроцессам;
− при расчете цепей, содержащих электродвигатель, не учитывают ЭДС
индукции, возникающую при вращении якоря электромотора;
− совершают ошибки при определении хода лучей в призмах и тонких
линзах из-за неумелого применения, соответственно, законов преломления и
формулы тонкой линзы;
− неспособность решать задачи, требующие комбинированного использования знаний по нескольким разделам;
− некоторые учащиеся путают формулы для нахождения сопротивления
участка цепи постоянного тока при последовательном и параллельном соединении резисторов с формулами для определения емкости батареи конденсаторов при их параллельном и последовательном соединении.
В любом деле самое трудное – начало. Многие неудачи объясняются тем,
что начинают решать наугад, на ″авось″. Следует потратить несколько минут на
тщательный анализ особенностей условия задачи и ее цели. Это поможет выбрать правильное направление поиска решения. Приняв же бездумно шаблон-
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ный путь, можно рисковать увеличить объем ненужной работы и шансы появления ошибок.
Хороший чертеж часто помогает в формировании идеи решения. Чертеж
должен быть достаточно крупным, чтобы не было риска запутаться в наслоении
линий. Нужно избегать частных случаев, например, прямоугольный или равнобедренный треугольник и т.п., так как они могут направить мысль по ошибочному пути.
Изучив условие, не следует заострять внимание на искомой величине и
пытаться сразу ее найти. Только план решения позволяет записать условие с
помощью уравнений и свести, таким образом, задачу от физической к математической.
Довольно часто даже знание физических законов учащимися не позволяет
им завершить решение заданий из-за незнания, например, следующих понятий
элементарной математики:
-
решение квадратных уравнений;
-
площади (объёмы) простейших фигур (тел);
-
таблица умножения;
-
теорема синусов и косинусов;
-
преобразование алгебраических выражений, в том числе арифметиче-
ские операции с дробями и степенными функциями;
-
операции с векторами;
-
логарифмирование и потенцирование простейших арифметических
выражений;
-
десятичные приставки к названиям единиц;
-
беспомощность при работе с электронными калькуляторами.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 Типовая программа по физике для поступающих в ВУЗы
2.1 Стандарт среднего (полного) общего образования по физике (утвержден приказом Минобразования РФ от 05.03.2004 № 1089 «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных
стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»)
Изучение физики на базовом уровне среднего (полного) общего образования направлено на достижение следующих целей:
- освоение знаний о фундаментальных физических законах и принципах,
лежащих в основе современной физической картины мира; наиболее важных
открытиях в области физики, оказавших определяющее влияние на развитие
техники и технологии; методах научного познания природы;
- овладение умениями проводить наблюдения, планировать и выполнять
эксперименты, выдвигать гипотезы и строить модели; применять полученные
знания по физике для объяснения разнообразных физических явлений и
свойств веществ; практического использования физических знаний; оценивать
достоверность естественнонаучной информации;
- развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих
способностей в процессе приобретения знаний по физике с использованием
различных источников информации и современных информационных технологий;
- воспитание убежденности в возможности познания законов природы и
использования достижений физики на благо развития человеческой цивилизации; необходимости сотрудничества в процессе совместного выполнения задач,
уважительного отношения к мнению оппонента при обсуждении проблем естественнонаучного содержания; готовности к морально-этической оценке использования научных достижений, чувства ответственности за защиту окружающей среды;
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- использование приобретенных знаний и умений для решения практических задач повседневной жизни, обеспечения безопасности собственной жизни,
рационального природопользования и охраны окружающей среды.
2.2 Обязательный минимум содержания основной образовательной
программы по физике
Физика и методы научного познания
Физика как наука. Научные методы познания окружающего мира и их отличия от других методов познания. Роль эксперимента и теории в процессе познания природы. Моделирование физических явлений и процессов. Научные
гипотезы. Физические законы. Физические теории. Границы применимости физических законов и теорий. Принцип соответствия. Основные элементы физической картины мира.
Механика
Механическое движение и его виды. Прямолинейное равноускоренное
движение. Принцип относительности Галилея. Законы динамики. Всемирное
тяготение. Законы сохранения в механике. Предсказательная сила законов
классической механики. Использование законов механики для объяснения движения небесных тел и для развития космических исследований. Границы применимости классической механики.
Проведение опытов, иллюстрирующих проявление принципа относительности, законов классической механики, сохранения импульса и механической
энергии.
Практическое применение физических знаний в повседневной жизни для
использования простых механизмов, инструментов, транспортных средств.
Молекулярная физика
Возникновение атомистической гипотезы строения вещества и ее экспериментальные доказательства. Абсолютная температура как мера средней кинетической энергии теплового движения частиц вещества. Модель идеального
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
газа. Давление газа. Уравнение состояния идеального газа. Строение и свойства
жидкостей и твердых тел.
Законы термодинамики. Порядок и хаос. Необратимость тепловых процессов. Тепловые двигатели и охрана окружающей среды.
Проведение опытов по изучению свойств газов, жидкостей и твердых тел,
тепловых процессов и агрегатных превращений вещества.
Практическое применение в повседневной жизни физических знаний о
свойствах газов, жидкостей и твердых тел; об охране окружающей среды.
Электродинамика
Элементарный электрический заряд. Закон сохранения электрического
заряда. Электрическое поле. Электрический ток. Магнитное поле тока. Явление
электромагнитной индукции. Взаимосвязь электрического и магнитного полей.
Электромагнитное поле.
Электромагнитные волны. Волновые свойства света. Различные виды
электромагнитных излучений и их практическое применение.
Проведение опытов по исследованию явления электромагнитной индукции, электромагнитных волн, волновых свойств света.
Объяснение устройства и принципа действия технических объектов,
практическое применение физических знаний в повседневной жизни:
- при использовании микрофона, динамика, трансформатора, телефона,
магнитофона;
- для безопасного обращения с домашней электропроводкой, бытовой
электро- и радиоаппаратурой.
Квантовая физика и элементы астрофизики
Гипотеза Планка о квантах. Фотоэффект. Фотон. Гипотеза де Бройля о
волновых свойствах частиц. Корпускулярно-волновой дуализм. Соотношение
неопределенностей Гейзенберга.
Планетарная модель атома. Квантовые постулаты Бора. Лазеры.
Модели строения атомного ядра. Ядерные силы. Дефект массы и энергия
связи ядра. Ядерная энергетика. Влияние ионизирующей радиации на живые
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
организмы. Доза излучения. Закон радиоактивного распада и его статистический характер. Элементарные частицы. Фундаментальные взаимодействия.
Солнечная система. Звезды и источники их энергии. Современные представления о происхождении и эволюции Солнца и звезд. Галактика. Пространственные масштабы наблюдаемой Вселенной. Применимость законов физики
для объяснения природы космических объектов.
Наблюдение и описание движения небесных тел.
Проведение исследований процессов излучения и поглощения света, явления фотоэффекта и устройств, работающих на его основе, радиоактивного
распада, работы лазера, дозиметров.
2.3 Требования к уровню подготовки выпускников
В результате изучения физики на базовом уровне ученик должен
знать/понимать:
- смысл понятий: физическое явление, гипотеза, закон, теория, вещество,
взаимодействие, электромагнитное поле, волна, фотон, атом, атомное ядро, ионизирующие излучения, планета, звезда, Солнечная система, галактика, Вселенная;
- смысл физических величин: скорость, ускорение, масса, сила, импульс,
работа, механическая энергия, внутренняя энергия, абсолютная температура,
средняя кинетическая энергия частиц вещества, количество теплоты, элементарный электрический заряд;
- смысл физических законов классической механики, всемирного тяготения, сохранения энергии, импульса и электрического заряда, термодинамики,
электромагнитной индукции, фотоэффекта;
- вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние
на развитие физики;
уметь:
- описывать и объяснять физические явления и свойства тел: движение
небесных тел и искусственных спутников Земли; свойства газов, жидкостей и
твердых тел; электромагнитную индукцию, распространение электромагнитных
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
волн; волновые свойства света; излучение и поглощение света атомом; фотоэффект;
- отличать гипотезы от научных теорий; делать выводы на основе экспериментальных данных; приводить примеры, показывающие, что: наблюдения и
эксперимент являются основой для выдвижения гипотез и теорий, позволяют
проверить истинность теоретических выводов; что физическая теория дает возможность объяснять известные явления природы и научные факты, предсказывать еще неизвестные явления;
- приводить примеры практического использования физических знаний:
законов механики, термодинамики и электродинамики в энергетике; различных
видов электромагнитных излучений для развития радио- и телекоммуникаций,
квантовой физики в создании ядерной энергетики, лазеров;
- воспринимать и на основе полученных знаний самостоятельно оценивать информацию, содержащуюся в сообщениях СМИ, Интернете, научнопопулярных статьях;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
- обеспечения безопасности жизнедеятельности в процессе использования
транспортных средств, бытовых электроприборов, средств радио- и телекоммуникационной связи;
- оценки влияния на организм человека и другие организмы загрязнения
окружающей среды;
- рационального природопользования и охраны окружающей среды.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.1 Задания для 9 класса
Задание 1-3-9. Кинематика материальной точки
Основная задача механики. Система отсчета. Радиус-вектор, координаты
тела, перемещение, проекция перемещения. Уравнение движения. Равномерное
движение. Скорость и координата тела при равномерном движении. Средняя
скорость. Мгновенная скорость. Равноускоренное движение. Ускорение, мгновенная скорость и координата тела при равноускоренном движении. Графическое изображение движения. Относительность движения. Кинематические связи. Свободное падение. Баллистическое движение.
01. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением а = 5 м/с2.
Определить, на сколько путь, пройденный точкой в n-ю секунду, будет больше
пути, пройденного в предыдущую секунду. Принять v0 = 0.
02. Колонна пехотинцев, движущаяся со скоростью 5 км/час, растянулась
по дороге на 2 км. Командир, находящийся в хвосте колонны, посылает в голову колонны мотоциклиста. Мотоциклист, двигаясь со скоростью 15 км/час, достигает головы колонны и, передав приказ, сразу поворачивает назад. Через какое время он вернулся?
03. Аэростат поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью v =
5 м/с. К нему на веревке привязано тело, на высоте 10 м веревку отрезают. Через какое время тело упадет на землю?
04. Камень брошен с башни с горизонтальной скоростью v0 = 8 м/с. Через
какое время его скорость станет равной 10 м/с?
05. Определить начальную скорость тела, брошенного вертикально вверх,
если отметку (высоту) 60 м оно проходило 2 раза с промежутком времени 4,0 с.
Сопротивление воздуха не учитывать.
06. Поезд длиной L = 180 м движется по мосту с постоянной скоростью,
равной v = 36 км/ч. Определите время движения поезда по мосту, если длина
моста S = 450 м.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
07. Лодка движется под углом α = 600 к берегу со скоростью v1 = 2,0 м/с.
Скорость течения реки v2 = 0,5 м/с. Определите скорость движения лодки относительно воды.
08. Самолет движется вдоль отвесной стены. Под каким углом к направлению движения самолета пилот слышит эхо, отраженное от этой стены? Этот
угол образован векторами скорости самолета и отраженной звуковой волны.
Скорость звука v = 340 м/с, скорость самолета u = 720 км/ч.
09. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми ℓ = 120 км, движется со скоростью v1 = 40 км/ч товарный поезд. Одновременно с ним из пункта В в пункт А по параллельному пути движется со скоростью v2 = 60 км/ч пассажирский поезд. Запишите уравнения движения поездов x1(t) и x2(t) в системе
координат 0х, начало которой совпадает с пунктом А, а направление − с направлением движения товарного поезда. Определите через сколько времени t0 и
на каком расстоянии S0 от пункта А поезда встретятся.
10. При равноускоренном движении из состояния покоя тело проходит за
пятую секунду 90 см. Определить перемещение тела за седьмую секунду.
11. Материальная точка движется равномерно и прямолинейно параллельно относительно оси 0х. Направления скорости и оси 0х противоположны. Величина скорости равна v = 2 м/с. В момент времени t = 1 с проекция радиусвектора на ось 0y равна 2 м, в момент времени t = 2 с проекция радиус-вектора
на ось 0х равна 1 м. Составьте уравнения движения для проекций на оси 0х
и 0у.
12. Первую треть пути поезд прошел со скоростью 60 км/час. Средняя скорость на всем пути оказалась равной 40 км/час. С какой скоростью поезд прошел оставшуюся часть пути?
13. Два велосипедиста едут навстречу друг другу со скоростями v1 =
18 км/ч и v2 = 27 км/ч. В начальный момент времени расстояние между велосипедистами L = 500 м. Выберем ось 0х так, чтобы ее направление совпадало с
направлением вектора v1, а начало отсчета совпадало с положением второго велосипедиста при t = 0. Составьте уравнение движения велосипедистов.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14. Сколько времени потребуется вертолету, чтобы облететь квадрат со
стороной а = 100 км при ветре, дующем со скоростью u = 10 м/с? Направление
ветра совпадает с одной из сторон квадрата. Скорость вертолета при отсутствии
ветра v = 144 км/ч.
15. Кабина лифта поднимается в течение первых 4 с равноускоренно, достигая скорости 4 м/с. С этой скоростью кабина движется в течение 8 с, а последние 3 с она движется равнозамедленно. Определить перемещение кабины
лифта. Построить графики скорости, перемещения и ускорения.
16. Самолет летит горизонтально со скоростью v = 470 м/с. Человек услышал звук от самолета через t = 21 с после того, как самолет пролетел над ним.
На какой высоте летит самолет? Скорость звука с = 330 м/с.
17. Тело бросают вертикально вверх со скоростью v0 = 9,8 м/с. Одновременно с предельной высоты, которой оно может достичь, бросают вертикально
вниз другое тело с той же начальной скоростью. Определите время, по истечении которого тела встретятся.
18. Два пешехода движутся по взаимно перпендикулярным дорогам навстречу друг другу со скоростями v1 = 3 км/ч и v2 = 7 км/ч. Определить минимальное расстояние между ними, если в начальный момент пешеходы находились в 5 км от перекрестка.
19. Тело брошено с обрыва с горизонтальной скоростью vх = 10 м/с с высоты 20 м. Определить перемещение тела за время полета.
20. Мяч ударяется о вертикальную стенку, движущуюся со скоростью u =
2 м/с. Скорость мяча перед ударом равна v = 5 м/с и направлена перпендикулярно стенке. Определите скорости мяча сразу после упругого удара для двух
случаев движения стенки − навстречу и от мяча. Ответ должен быть получен
для исходной системы отсчета, в которой заданы начальные скорости мяча и
стенки.
А01. Тело переместилось из точки с координатами x1 = 100 см, y1 = 1 см в
точку с координатами x2 = 98 см, y2 = 49 см. Определите величину вектора перемещения и угол, который составляет этот вектор с осью 0x.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А02. Радиус-векторы r1 и r2 составляют с осью 0x соответственно углы α =
300 и β =1350 (рисунок 1). Величина первого вектора равна r1= 2 м, второго −
r2= 1 м. Определите проекции на оси 0x и 0у вектора суммы R = r1 + r2.
y
r2
r1
β
α
0
Рисунок 1
x
А03. Самолёт пролетел на север 400 км, затем повернул на восток и пролетел ещё 300 км. Найдите путь и перемещение самолёта за всё время полёта. Нарисуйте траекторию движения самолёта, считая, что его движение происходило
в одной плоскости.
А04. Два катера с различными скоростями (v1 > v2) плыли по течению реки. Когда они поравнялись, с одного из них бросили в воду спасательный круг.
Через некоторое время после этого оба катера одновременно повернули обратно. Определите, какой из катеров встретит круг раньше. Величины скоростей
катеров относительно воды оставались постоянными все время движения.
А05. Два велосипедиста движутся навстречу друг другу. Величина скорости первого велосипедиста увеличивается, а второго – уменьшается. Различаются ли направления ускорений велосипедистов относительно дороги?
А06. Зависимость скорости материальной точки от времени описывается
формулой:
vx = 5 - 2t,
где vx выражено в м/с; t – в секундах.
Найдите уравнение движения материальной точки, если в начальный момент времени (t = 0) она имела координату х0 = 2 м.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А07. Ленту фильма пустили в обратном направлении – с конца к началу.
Определите, как изменятся на экране скорости и ускорения движущихся объектов.
А08. Материальная точка движется вдоль оси 0х по закону:
х = 6 + 5t - 4,5t2.
Определить величину ускорения.
А09. Вычислить ускорение свободного падения на расстоянии от центра
Земли, равном удвоенному радиусу Земли.
А10. Камень брошен со скоростью v под углом α из башни высотой H. На
каком расстоянии от башни он упадет?
А11. Катер проходит расстояние 150 км между двумя пунктами по течению за 2 часа, а против течения за 3 часа. Определите скорость катера в стоячей
воде и скорость течения реки.
А12. Катер проходит расстояние между двумя пунктами по реке вниз по
течению за время 10 часов, а обратно за 15 часов. За какое время катер прошел
бы это расстояние в стоячей воде?
А13. Из одной точки пространства одновременно вылетают две частицы с горизонтальными, противоположно направленными скоростями v1 = -v2.
Величины скоростей v1 = v2= v = 15 м/с. Ускорение свободного падения
равно g = 10 м/с2. Через какой промежуток времени угол между направлениями
скоростей этих частиц станет равным α = 900?
В01. Человек, идущий с постоянной по величине и направлению скоростью v = 4 км/ч, проходит под фонарем, висящим на высоте H = 5 м над дорогой. Определите скорость перемещения по дороге края тени от головы человека, если его рост h = 1,8 м.
В02. Автомобиль выехал из города А в город В, расстояние между которыми S = 100 км. Автомобиль начал движение со скоростью v1 = 80 км/ч, однако на середине пути заглох мотор. Ремонт занял время t = 15 мин, после чего
автомобиль продолжил движение со скоростью v2 = 100 км/ч. Определите
среднюю скорость автомобиля на всем пути.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В03. Поезд проехал первую половину пути со скоростью v = 80 км/ч, а вторую – в n = 2 раза медленнее. Определите среднюю скорость поезда на всем
участке.
В04. Поезд первую половину пути шел со скоростью в n = 2 раза большей,
чем вторую половину. Средняя скорость движения на всем пути равна v. Определите скорости поезда на каждой половине пути.
В05. У окна поезда, идущего со скоростью v = 90 км/ч, сидит пассажир. В
течение времени t = 10 с он видит встречный поезд, длина которого L = 500 м.
Определите скорость встречного поезда.
В06. При горизонтальном ветре, имеющем скорость v1 = 10 м/с, капли дождя падают под углом α = 300 к вертикали. Определите величину горизонтальной скорости v2 ветра, при которой капли будут падать под углом β = 450 к вертикали.
В07. Поселки А и В расположены на одном берегу по течению реки. Катер
затрачивает на путь из А в В время t1 = 1 ч, а плот − t = 5 ч. Определите время
t2, которое затратит катер на обратный путь из поселка В в поселок А.
В08. Движение двух материальных точек вдоль оси 0х описывается следующими уравнениями:
х1 = 4 - 3t + 2t2,
х2 = 2 + 5t - t2,
где х выражено в метрах; t – в секундах.
Определите скорость (v2х - v1x) и ускорение (a2х - a1x) относительного движения.
В09. Тело, брошенное вертикально вверх с поверхности земли, упало через
время t = 5 с. Определите начальную скорость тела.
В10. Свободно падая с некоторой высоты, тяжелый шарик на половине пути пробил стеклянную пластинку и потерял половину своей скорости. Во
сколько раз уменьшится скорость падения?
В11. Автомобиль начал движение с места, разгоняясь равноускоренно, и
через некоторое время достиг скорости v = 72 км/ч. После этого мотор был вы-
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ключен и автомобиль двигался равнозамедленно до полной остановки. Определите среднюю скорость автомобиля на всем пройденном пути.
В12. С башни высотой h = 10 м бросают горизонтально мяч со скоростью
v = 10 м/с. Определите величину вектора перемещения мяча в момент падения
на землю.
В13. Тело брошено под углом α = 600 к горизонту с начальной скоростью
v0 = 20 м/с. На какой высоте вертикальная проекция скорости равна горизонтальной?
В14. Тело брошено под углом α = 450 к горизонту со скоростью v =
14,1 м/с. Определите угол, который образует вектор скорости с горизонтом, через время t = 1,58 с после начала движения. Значение ускорения свободного падения равно g = 10 м/с2.
В15. Пловец переплывает реку шириной h. Под каким углом α к направлению течения он должен плыть, чтобы переправиться на противоположный берег в кратчайшее время? На каком расстоянии S от точки старта он окажется,
если скорость реки равна u, а скорость пловца относительно воды равна v?
В16. Автомобиль проехал по маршруту из пункта А в пункт В и обратно.
При движении из А в В первую половину пути автомобиль имел скорость v1 =
60 км/ч, а вторую – v2 = 80 км/ч. При возвращении скорость автомобиля была
постоянной v3 = 70 км/ч, но на маршруте была остановка в течение t = 30 мин.
Найдите среднюю скорость автомобиля на 1-м (АВ) и 2-м (BA) этапах, а также
на всем маршруте, если расстояние между пунктами А и В равно S = 100 км.
В17. Корабль движется на восток со скоростью v. Ветер дует с юго-востока
(угол между скоростями 1350). Скорость ветра, измеренная на палубе корабля
равна u. Определите скорость ветра, относительно Земли.
В18. С катера, двигавшегося вверх по реке, спустили спасательный круг в
тот момент времени, когда он проплывал под мостом. Через время τ = 1 час после этого мотор катера заглох. Ремонт мотора продолжался t = 15 мин., во время которого катер дрейфовал по течению. После ремонта катер повернул обратно и двигался с прежней относительно воды скоростью. Катер встретил спа21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сательный круг на расстоянии ℓ = 6 км от моста. Определите скорость течения
реки.
В19. Два тела движутся с постоянными скоростями по взаимно перпендикулярным прямым. Скорость первого тела v1 = 3 м/с, второго тела – v2 = 4 м/с. В
момент времени, когда расстояние между телами наименьшее, первое тело находится на расстоянии S1 = 60 м от точки пересечения прямых. На каком расстоянии S2 от точки пересечения прямых находится в этот момент второе тело?
В20. Тело, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, прошло некоторый путь. Чему равно отношение средней скорости движения тела на второй
половине пути к средней скорости на первой половине?
В21. Свободно падающее тело в последнюю секунду своего движения
проходит половину всего пути. Определите время падения и высоту, с которой
тело падало без начальной скорости.
В22. Одинаковое ли время потребуется для проезда расстояния в 1 км на
катере туда и обратно по реке (скорость течения v1 = 2 км/час) и по озеру (в
стоячей воде), если скорость катера относительно воды v2 = 8 км/час. Решить
задачу аналитически и графически.
В23. Тело движется вдоль оси 0х по закону х = 6 − 3t + 2t2. Найти среднюю
скорость тела и ускорение за промежуток времени 1−4 с. Построить графики
перемещения, скорости и ускорения.
В24. Поезд отошел от станции с ускорением 20 см/с2. Достигнув скорости
37 км/час, он двигался равномерно в течение 2 мин, затем, затормозив, прошел
до остановки 100 м. Найти среднюю скорость поезда. Построить график скорости.
В25. Автомобиль, двигаясь равноускоренно, прошел два смежных участка
пути по 100 м каждый за 5 с и 3,5 с. Определить ускорение и среднюю скорость
автомобиля на каждом участке пути и на двух участках вместе.
В26. Свободно падая с некоторой высоты, тяжелый шарик на половине пути пробил стеклянную пластинку и потерял половину своей скорости. Во
сколько раз уменьшится скорость падения?
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В27. Камень, брошенный под углом к горизонту, упал на землю со скоростью 9,8 м/с. Чему равна дальность и высота полета камня, если известно, что
во время движения его максимальная скорость была вдвое больше минимальной?
В28. Тело А бросают вертикально вверх со скоростью v0A = 20 м/с. На какой высоте h находилось тело В, которое будучи брошено с горизонтальной
скоростью v0B = 4 м/с одновременно с телом А, столкнулось с ним в полете?
Расстояние по горизонтали между исходными положениями тел равно ℓ = 4 м.
Найти также время τ движения тел до столкновения и скорость vA, vВ каждого
тела в момент столкновения.
В29. Шарик бросают под углом α = 300 к горизонту с начальной скоростью
v0 = 14 м/с. На расстоянии ℓ = 11 м от точки бросания шарик упруго ударяется о
вертикальную стенку. На каком расстоянии S от стенки шарик упадет на землю?
В30. Тело бросили под углом 300 к горизонту со скоростью 10 м/с. Каково
будет кратчайшее расстояние между местом бросания и телом через 4 с после
броска? Чему равен радиус кривизны траектории в этот момент?
В31. Два тела брошены вертикально вверх с одинаковой начальной скоростью v0 и с интервалом времени τ. Определить скорость движения второго тела
относительно первого. По какому закону изменяется расстояние между телами?
В32. С какой минимальной скоростью под углом к горизонту надо бросить
камень, чтобы он упал на расстоянии 40 м от точки бросания?
В33. Мяч свободно падает с высоты h = 120 м на горизонтальную поверхность. При каждом ударе он теряет половину скорости (n = 2). Построить график зависимости v от t, и найти пройденный путь за m − количество ударов.
В34. Поезд отошел от станции с ускорением 20 см/с2. Достигнув скорости
36 км/ч он двигался равномерно в течении 2 мин, затем затормозил и прошел
до остановки 100 м. Найти среднюю скорость vср и построить график v(t).
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В35. Две машины начинают движение из точки пересечения двух перпендикулярных дорог с постоянными ускорениями a1 = 3 м/с2 и a2 = 4 м/с2. Найти
скорость их удаления друг от друга через 10 секунд.
В36. Над колодцем глубиной 10 м бросают вертикально вверх камень со
скоростью v0 = 14 м/с. Через какое время камень упадет на дно колодца?
В37. Спортсмен прыгает с высоты 10 м и погружается в воду на расстоянии 3 м от края вышки через 2 с. Определить скорость спортсмена в момент
прыжка.
В38. Поезд прошел путь 250 км. В течение времени 1 час он двигался со
скоростью 100 км/ч, затем сделал остановку на время 1 час. Оставшуюся часть
пути он шел со скоростью 75 км/ч. Какова средняя скорость движения поезда?
С01. Вектор скорости v имеет следующие проекции на координатные оси
vх= 3 м/с и vу= -4 м/с. Величина вектора v1 в n = 2 раза больше величины v.
Определите проекции вектора v1 на координатные оси для случая, когда величина вектора разности u = v1 − v принимает минимально возможное значение.
С02. Пловец переплывает реку шириной L = 50 м по прямой, перпендикулярной берегу, за время t = 2 мин. Определите скорость течения реки, если величина скорости пловца относительно воды в n = 2 раза больше скорости течения.
С03. Жонглёр бросил вертикально вверх шарик. Когда шарик достиг верхней точки своего пути, был брошен второй шарик с той же начальной скоростью. На какой высоте встретятся шарики, если высота бросания их 4,9 м.
C04. Автомобиль, двигаясь равноускоренно, прошел два смежных участка
пути по 100 м каждый за 5 с и 3,5 с. Определить ускорение и среднюю скорость
автомобиля на каждом участке пути и на двух участках вместе.
С05. Звезда горнолыжного спорта идет по трассе скоростного спуска со
скоростью v = 120 км/ч. Скорость начинающего горнолыжника на этой же
трассе в n = 5 раз меньше. От подножия горы спортсмены добираются до места
старта с помощью подъемника, движущегося со скоростью u = 2 м/с. Определите отношение средних скоростей спортсменов между двумя последователь24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ными стартами, если пути подъема и спуска равны, а временем на остановки
можно пренебречь.
С06. Утка летела параллельно поверхности земли с постоянной скоростью
u. В нее бросил камень неопытный охотник, причем бросок был сделан без упреждения, т.е. в момент броска скорость камня v была направлена как раз на
утку под углом α к горизонту (рисунок 2). На
u
какой высоте h летела утка, если камень все
же попал в нее? Сопротивлением воздуха,
h
v
размерами утки и ростом охотника пренеб-
g
α
речь. Траектории утки и камня лежат в одной
Рисунок 2
плоскости.
С07. С балкона, находящегося на высоте h = 4 м над поверхностью земли,
бросили вертикально вверх мяч со скоростью v0 = 8 м/с. Определите средние
скорости мяча: 1) за время подъема до наивысшей точки траектории; 2) за время падения из этой точки на землю; 3) в течение всего времени полета.
С08. Два автомобиля одновременно выходят из пункта А и движутся по
дорогам, образующим треугольник с углом при вершине А, равным α = 600 (рисунок 3). Скорости, автомобилей v1 = 60 км/ч и
В
D
v2 = 80 км/ч. Автомобили одновременно достигают пунктов В и С в момент времени t = 1 час.
Определите время встречи автомобилей в точке
v1
А
D с начала движения из точки А.
v2
С
Рисунок 3
С09. Свободно падающее тело в последнюю секунду своего движения
проходит n = 2/3 часть всего пути. Определите время падения и высоту, с которой тело падало без начальной скорости.
С10. Под каким углом к горизонту нужно бросить тело, чтобы максимальная высота его подъема была в n = 2 раза больше его дальности полета?
С11. На вершину идеально упругой наклонной плоскости падает упругий
шарик с высоты 0,5 м. Сколько раз шарик ударится о наклонную плоскость, если длина ее равна 32 м. А угол наклона к горизонту 300?
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С12. Тело падает с высоты Н без начальной скорости. На высоте h оно упруго соударяется о закрепленную площадку, расположенную под углом α = 300
к горизонту. Найти время τ падения тела и дальность ℓ полета.
С13. Мальчик ростом h = 1,5 м, стоя на расстоянии ℓ = 15 м от забора высотой Н = 5 м, бросает камень под углом α = 450 к горизонту. С какой минимальной скоростью v0 надо бросать камень, чтобы он перелетел через забор?
С14. Тело, падающее с вершины башни, пролетело расстояние h = 4 м, когда второе тело начало падать из точки, расположенной на расстоянии ℓ = 12 м
ниже вершины башни. Определите высоту башни, если известно, что оба тела
достигают поверхности Земли одновременно.
С15. Шарик свободно падает с высоты 5 м на наклонную плоскость с углом наклона 450 и упруго отскакивает от нее без потери скорости. На каком
расстоянии от места падения шарик снова ударится о наклонную плоскость?
С16. Путь, проходимый вагонеткой от места погрузки до места выгрузки,
равен 200 м. Ускорение постоянно − при движении туда и обратно, и равно a =
0,5 м/с2. Определить максимальную скорость vmax, если время движения – минимально.
С17. Тело бросили с высоты Н = 19,6 м горизонтально со скоростью v0 =
10 м/с. Тело упруго ударилось о землю, а затем о вертикальную стенку, расположенную на расстоянии ℓ = 40 м по горизонтали от места бросания. Определите максимальную высоту h, на которую поднимается тело после удара о
стенку. На каком расстоянии S от стенки тело упадет на землю?
Примеры решения задач
1. Свободно падающее тело спустя некоторый промежуток времени после
начала падения находилось на высоте 1 100 м, а еще через 10 с на высоте 120 м
над поверхностью Земли. С какой высоты падало тело? Сколько времени оно
было в движении? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дано: y(t1) = 1 100 м; y(t1 + 10) = 120 м; g = 10 м/с2; v0 = 0.
Н −? T −?
Решение. Так как движение тела происходит по вертикали, то для описания движения возьмем вертикальную ось
у, м
v0=0
H
0у с началом на поверхности земли. Раз
0
тело падает свободно, то начальная ско-
t1
1 100
рость v0 = 0. Обозначим Н – искомая высота, t – время падения (см. рисунок).
g
Направим ось 0у вертикально вверх,
120
0
t1+10
ось времени 0t направим вертикально
t
вниз с началом отсчета времени t = 0 на
t, с
высоте Н (т.к. тело начинает движение с
высоты Н). Каждой высоте будем сопоставлять моменты времени:
- в начальный момент времени t = 0 тело находится на высоте Н;
- спустя некоторый промежуток времени t1 – на высоте 1 100 м;
- ещё через 10 с, т.е. через t1 + 10 после начала движения – на высоте 120 м;
- через время t после начала движения у =0 (тело достигает поверхности
Земли).
В уравнение движения тела по оси 0у в общем виде y(t) = y0 + v0t +
1 2
at
2
подставляем значения y0 = Н (тело начинает движение в момент t = 0 с этой координаты), v0 = 0 (тело свободно падает), а = −g (т.к. проекция gy = −g). Итак,
уравнение движения имеет вид:
y(t) = y = Н −
1 2
gt .
2
Применяя последнее уравнение для моментов времени t1, t1 + 10 и t, получим 3 уравнения:
1 100 = Н −
1 2
gt1 ;
2
120 = Н −
27
1
g(t1+10)2;
2
0=Н−
1 2
gt .
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решая систему из трёх уравнений, найдем искомые величины Н и t.
Вычтем почленно из первого уравнения второе, затем найдем t1:
1 100 − 120 = Н −
1 2
1
gt1 − Н + g(t1+10)2 ,
2
2
откуда
t1=
980 − 50g 980 − 50 ⋅ 10
=
= 4,8 c.
10g
10 ⋅ 10
Подставляя полученное значение t1 в первое уравнение, найдем Н:
1 100 = Н −
1 2
gt1
2
и Н = 1 100 +
Из третьего уравнения 0 = Н −
1 2
1
gt1 = 1 100 + ⋅10⋅4,82 = 1 215м.
2
2
1 2
gt , найдем t:
2
t=
2H
2 ⋅ 1215
=
= 15,6 с.
g
10
2. За 2 с прямолинейного равноускоренного движения тело прошло 20 м,
увеличив свою скорость в 3 раза. Определите конечную скорость тела.
Дано: t = 2 c; S = 20 м; v = 3v0.
v=?
1
v0 = v;
3
Решение: v = v0 + at;
v2 − v0
S=
;
2a
2
Решив систему из написанных 3 уравнений, имеем:
v=
3 S 3 20
⋅ = ⋅
= 15 м/с.
2 2
2 t
3. Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности
земли под углом к горизонту, упал обратно на землю в 20 м от места броска.
Чему была равна скорость камня через 1 с после броска, если в этот момент она
была направлена горизонтально?
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дано: t = 1 c; S = 20 м; vy= 0.
v(1) = ?
Решение: На рисунке изображена траектория движения камня, брошенного под углом α к горизонту. Начальная скорость − v0, ускорение свободного падения g, дальность полета − S, v0x и v0y − проекции v0 на оси координат 0х и 0у,
v(1) = vx – скорость камня через 1 с после броска (в верхней точке траектории).
При отсутствии сопротивления воздуха движению камня время полета tпол равно удвоенному времени движе-
y
ния камня до верхней точки тра-
v0
v0y
ектории, т.е. tпол = 2t = 2 c. Как
vx
видно из рисунка проекции на- g
чальной скорости и ускорения
α
свободного падения на оси ко-
0
v0x
ординат равны:
v0x = v0⋅cosα, v0y = v0⋅sinα;
S
x
gx = 0, gy = -g.
Из равенства gx = 0 заключаем, что по оси 0х имеет место равномерное
движение со скоростью vx = v0x. За время tпол = 2t камень пролетит расстояние S:
S = v0x⋅tпол = v0x⋅2t = vx⋅2t,
откуда находим
vx =
S
20
=
= 10 м/с.
2 ⋅1
2t
Из последнего выражения заключаем, что
v(1) = vx = 10 м/с.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. С башни высоты Н бросили вертикально вниз камень с начальной скоростью v0 = 0. Найти среднюю скорость на нижней половине пути. Ускорение
свободного падения равно g.
Дано: v0 = 0; g; S = H/2.
vср = ?
Решение: По определению средняя скорость равна
vср =
S
,
t
где S – перемещение тела;
t – время, за которое это перемещение совершено.
По условию S = H/2. Найдем время движения тела на нижней половине пути t = t2 – t1. Время падения тела до уровня Земли t2 и время падения до середины башни t1 находим из уравнений:
2
gt
Н= 2 ,
2
2
gt
H
= 1 ,
2
2
откуда
t2 =
2H
,
g
t1 =
H
g
и
vср =
gH
S
S
=
=
.
t
t 2 − t1
2 2 −1
(
30
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Половину пути из одного пункта в другой велосипедист ехал по шоссе
со скоростью v1 = 30 км/ч, а вторую половину по грунтовой дороге со скоростью v2 = 15 км/ч. Найти среднюю скорость велосипедиста.
Дано: v1 = 30 км/ч; v2 = 15 км/ч; S1 = S2 = S/2.
vср = ?
Решение: По определению средняя скорость равна отношению суммарного пути к затраченному времени:
vср =
где t1 = S1/v1 = S/2v1 и
S1 + S2
,
t1 + t 2
t2 = S2/v2 = S/2v2 − промежутки времени, затра-
ченные велосипедистом для прохождения первой и второй половинок пути.
Подстановка этих формул в уравнение для средней скорости приводит к окончательному выражению для средней скорости
vср =
2 v1 ⋅ v 2
2 ⋅ 30 ⋅ 15
=
= 20 км/ч.
v1 + v 2
30 + 15
Средняя путевая скорость является скалярной величиной. В окончательное
выражение для vср входят только значения скорости тела на отдельных участках
движения. Средняя скорость равна полусумме скорости тела в начале и в конце
движения vср = (v1 + v2)/2 в случае равнопеременного движения, а также в случае, когда тело половину времени движется со скоростью v1, а другую половину времени со скоростью v2. Можно сказать, что средняя скорость – это скорость такого равномерного движения, при котором за то же самое время тело
пройдет такой же путь, как и при рассматриваемом движении.
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задание 2-3-9. Динамика материальной точки
Законы динамики Ньютона. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести,
ускорение свободного падения. Сила упругости, закон Гука. Силы трения. Вес
тела. Движение тела под действием нескольких сил. Динамические связи. Движение связанных тел.
01. Два тела массами m1 = 1,5 кг и m2 = 2,5 кг висят на невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый блок. Определите величину силы
натяжения нити при движении грузов. Трение в блоке отсутствует.
02. Лифт разгоняется с постоянным ускорением до скорости v = 10 м/с в
течение t = 10 с. Столько же времени занимает и остановка лифта. Определите
отношение весов человека в поднимающемся лифте в начале и конце движения.
03. Самолет совершает мертвую петлю. Радиус петли R = 250 м, масса летчика m = 80 кг, скорость самолета v = 360 км/ч. Определите вес летчика в верхней и нижней точках петли.
04. Определите первую космическую скорость для планеты, масса которой
в k = 2 раза больше массы Земли. Радиус планеты в n = 1,5 раза больше земного. Первая космическая скорость для Земли равна v = 7,91 км/с.
05. Определить мощность автомобиля массой 2 000 кг, который движется
по горизонтальной поверхности со скоростью 54 км/ч. Коэффициент трения
µ = 0,1.
06. Определите период обращения искусственного спутника Земли по круговой орбите, если он удален от поверхности Земли на расстояние, равное земному радиусу (Rз = 6 370 км).
07. Для подъема груза массой m = 10 кг используются неподвижный блок
и нерастяжимый трос (рисунок 4). Потянув за трос с некоторой силой можно
поднять груз на высоту H1 = 3 м за время t = 5 с. На какую величину ∆F необходимо увеличить приложенную силу, чтобы за то же время поднять груз на высоту Н2 = 5 м? Массами блока и троса можно пренебречь.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
08. На гладкой горизонтальной поверхности находятся два тела, соединенные невесомой нерастяжимой нитью. Масса левого тела m = 1 кг, правого –
М = 2 кг. К системе прикладывают силу F = 3 H, направленную вдоль нити. В
первом случае сила приложена к правому шару и тянет систему
вправо, а во втором − к левому шару и тянет систему влево. Определите силы натяжения нити в обоих случаях.
09. Для растяжения каждой из двух пружин на х = 1 см не-
F
обходимо приложить соответственно силы F1 = 1 Н и F2 = 2 Н.
Какую силу необходимо приложить к последовательно соединенным пружинам, чтобы их суммарное удлинение было таким
m
Рисунок 4
же?
10. Определите во сколько раз вес человека в лифте, движущемся с ускорением вверх, больше веса в лифте, движущемся с ускорением вниз. В обоих
случаях величина ускорения а = 3 м/с2.
11. Медный стержень длиной ℓ = 1 м равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец. При какой минимальной угловой
скорости вращения стержень разорвется?
12. Определите отношение веса тела на экваторе и полюсе планеты радиусом R, массой М и с продолжительностью суток Т. Гравитационная постоянная
равна G.
13. На тележке массой m1 = 20 кг лежит груз массой m2 = 5,0 кг. К грузу
приложена сила F, сообщающая тележке с грузом ускорение а. Сила действует
под углом 300 к горизонту. Каково максимальное значение этой силы, при котором груз не будет скользить по тележке? Коэффициент трения между грузом
и тележкой µ = 0,2. Трением между тележкой и дорогой пренебречь. С каким
ускорением будет двигаться тележка под действием силы F?
14. Определите минимально возможный период обращения спутника вокруг планеты, плотность которой ρ = 2,8 г/см3.
15. На горизонтальной поверхности выстроены в ряд слева направо N =
100 одинаковых брусков с массами m = 0,1 кг, связанные между собой невесо33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мыми нерастяжимыми нитями. К крайнему правому бруску прикладывают силу
величиной F = 200 Н, направленную направо. Определите возникающую при
движении силу натяжения нити между двумя крайними левыми брусками, если
коэффициент трения между всеми брусками и поверхностью одинаков.
16. Чему равно ускорение свободного падения на поверхности Солнца, если радиус Солнца в 108 раз больше радиуса Земли и плотность Солнца 4 раза
меньше плотности Земли.
17. Две гири с массами m1 ≠ m2 висят на концах нити, перекинутой через
неподвижный блок, меньшая гиря на 20 см ниже более тяжелой. Если им предоставить свободно двигаться, то через 2 с они будут находиться на одной высоте. Найти отношение масс.
18. Ледяная горка составляет с горизонтом угол α = 100. По ней пускают
вверх камень, который, поднявшись на некоторую высоту, соскальзывает по
тому же пути вниз. Каков коэффициент трения µ, если время спуска в n = 2 раза
больше времени подъема?
19. С наклонной плоскости, угол наклона которой равен α, соскальзывают
два груза массы m1 и m2, связанные невесомой нерастяжимой нитью. Коэффициенты трения между грузами и плоскостью равны, соответственно, µ1 и µ2,
причем µ1 < µ2. Найти силу натяжения нити.
20. Из отверстия в боковой стенке бака с водой бьет струя со скоростью
v = 30 м/с. Найти максимальную силу трения бака о горизонтальную плоскость, при которой бак еще будет двигаться, расход воды 30 кг/мин.
А01. На тело массой m = 0,4 кг действуют только две силы, равные соответственно F1 = 3 Н и F2 = 4 Н. Силы направлены под углом α = 900 друг к другу. Определите величину ускорения тела.
А02. Определите, может ли равнодействующая трех равных по величине
сил, приложенных в одной точке, быть равной нулю. Если это, возможно, приведите пример.
А03. К одному концу веревки, перекинутой через неподвижный блок, подвешен груз массой m = 2 кг. К другому концу в одном случае приложена на34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
правленная вниз сила F = 25 Н, а в другом – подвешен второй груз. Определите
массу второго груза, при которой ускорение первого груза будет в обоих случаях одинаковым. Массой и растяжением веревки можно пренебречь.
А04. Из n = 5 проволок одинаковой длины L = 3,5 м и жесткостью k =
1,2⋅105 Н/м сплели канат. От каната отрезали кусок ℓ = 0,5 м. Определите жесткость оставшейся части каната. Предположите, что свойства отдельных проволочек при сплетении не изменились.
А05. Длинный стержень массой М ви-
k
сит на пружине с коэффициентом жесткости
k. По стержню скользит вниз шайба массой
•
m
F0
а
m (рисунок 5). Величина ускорения шайбы
М
М
равна а. Определите величину растяжения
пружины, если ее массой можно пренебречь. Рисунок 5
Рисунок 6
А06. Через неподвижное горизонтально закрепленное бревно переброшена
веревка. Минимальная сила, позволяющая удерживать груз массой М = 5 кг,
подвешенный на этой веревке (рисунок 6), равна F0 = 40 H. Определите величину минимальной силы F, с которой необходимо тянуть веревку, чтобы груз
начал подниматься. Масса веревки пренебрежимо мала по сравнению с массой
груза.
А07. Два груза с массами m1 = m2 =
0,5 кг связаны
между собой невесомой
нерастяжимой нитью, перекинутой через
блок. Грузы лежат на гладких плоскостях,
расположенных под углами α = 600 и β =
m1
α
m2
β
Рисунок 7
300 к горизонту (рисунок 7). Определите величины ускорений, с которыми
движутся грузы.
А08. Тело массы m = 2 кг движется по горизонтальной поверхности под
действием силы F = 6 Н. Если эта сила приложена под углом α = 600 к горизонту, то тело движется равномерно. Определите ускорение, с которым будет двигаться тело, если сила будет приложена под углом β = 300 к горизонту.
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А09. Может ли спутник двигаться по орбите, плоскость которой не проходит через центр Земли? Влияние на движение спутника других космических
объектов (Солнце, Луна и т.д.) пренебрежимо мало. Ответ обоснуйте, используя закон Всемирного тяготения.
А10. Определите плотность вещества шарообразной планеты, если тела,
находящиеся на ее экваторе, не имеют веса. Сутки на этой планете длятся Т =
1 ч 30 мин.
А11. Один конец пружины прикреплен к потолку лифта, а на другом висит
груз на пружине жесткостью 100 Н/м. Определить ускорение, с которым движется лифт, если удлинение пружины ∆ℓ = 1,2 см, а масса груза 100 г.
А12. Два тела с разными массами (m1 > m2) одновременно отпустили без
начальной скорости с некоторой высоты. Сила сопротивления воздуха для обоих тел одинакова и постоянна. Определите, какое из тел упадет на землю первым. Ответ должен быть обоснован законами механики.
*
А13. Через блок радиуса R = 50 мм, вращающийся без
трения вокруг закрепленной горизонтальной оси, перекинута нерастяжимая нить, к которой привязаны два груза (рису- v2
1
2
v1
нок 8). Грузы движутся с постоянной скоростью v = 20 см/с
Рисунок 8
относительно друг друга. Определить угловую скорость вращения блока.
А14. Один конец пружины прикреплен к потолку лифта, а на другом висит
груз на пружине жесткостью 100 Н/м. Определить удлинение пружины ∆ℓ, если ускорение, с которым движется лифт, а = 2 м/с2, а масса груза 100 г.
А15. На тело действуют две взаимно перпендикулярные силы, равные 3 Н
и 4 Н. Найти величину изменения импульса тела за 2 с.
А16. Мяч массой 200 г падает с высоты 70 м, а затем упруго отскакивает
от горизонтальной поверхности на 40 см. Найти величину изменения импульса
за время удара.
А17. Определить работу растяжения двух соединенных последовательно
пружин жесткостями k1 = 400 Н/м и k2 = 250 Н/м, если первая пружина при этом
растянулась на ∆ℓ1 = 2 см.
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А18. С какой силой давит на пол лифта человек, вес которого на земле
600 Н, если ускорение 1 м/с2 направлено вниз.
А19. Если к недеформированной пружине приложить силу 10 Н, то ее длина увеличится на 2 см. Найти величину силы, с помощью которой можно упруго деформировать эту пружину на 1,5 см из нерастянутого состояния.
А20. Определите во сколько раз сила давления тела на горизонтальную
плоскость больше силы давления тела на наклонную плоскость, составляющую
угол α = 600 с горизонтом.
А21. В некоторой системе, движущейся горизонтально с ускорением
10 м/с2 относительно земли, на нити висит гиря массой 100 г. Найти силу натяжения нити.
А22. Ленточный подъемник образует угол α с горизонтом. Определите
максимальное ускорение, с которым подъемник может поднимать ящик, если
коэффициент трения между ящиком и поверхностью ленты равен µ. Предположите, что лента под тяжестью ящика не прогибается.
А23. Величины трех сил, приложенных к одной точке и лежащих в одной
плоскости, равны соответственно F1 = 2 Н, F2 = 3 Н, F3 = 7 Н. Определите минимальное значение, которое может принимать равнодействующая этих трех
сил. Как в этом случае направлены векторы F1, F2, F3 относительно друг друга.
А24. Груз массой m = 800 кг поднимают вертикально с помощью троса,
прочность которого на разрыв равна T = 20 кН. Определите максимальное ускорение, с которым можно поднимать этот груз.
В01. Тело массой m = 5 кг привязано за веревку
к гвоздю, вбитому в стену (рисунок 9а). К середине
F
веревки приложили горизонтально направленную
силу F, что привело к отклонению тела от стенки
(рисунок 9б). Определите величину силы, при которой натяжение нижней половины веревки вдвое
m
а)
m
б)
Рисунок 9
меньше натяжения верхней. Массой и растяжением веревки можно пренебречь.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В02. Вертикально расположенная пружина соединяет два груза. Масса
верхнего груза 200 г, а нижнего 300 г. Когда система подвешена за верхний
груз, то длина пружины равна 5 см. Если же систему поставить нижним грузом
на подставку, то длина пружины станет 2 см. Найти длину недеформированной
пружины.
В03. К тяжелому канату длиной ℓ, лежащему на горизонтальной плоскости, приложили силу F, направленную вдоль каната (рисунок 10). Определите
натяжение каната на расстоянии х от того конца, к которому приложена сила.
Трение между канатом и плоскостью отсутствует.
х
F
m1
k
m2
ℓ
Рисунок 11
Рисунок 10
В04. На горизонтальной поверхности лежат два тела массами m1 = 2 кг и
m2 = 3 кг, прикрепленные к концам пружины (рисунок 11). Коэффициент жёсткости пружины k = 75 Н/м. В недеформированном состоянии длина пружины
равна ℓ = 0,3 м. Определите максимальное расстояние между телами, при котором они будут оставаться в покое. Коэффициент трения между телами и поверхностью равен µ = 0,2. Размерами тел по сравнению с длиной пружины
можно пренебречь.
В05. Доска массой М лежит на горизонтальной
плоскости (рисунок 12). На доске находится брусок
массой m. Коэффициент трения между доской и
m
M
F
Рисунок 12
плоскостью равен µ1, между доской и бруском µ2.
Определите, при какой минимальной величине силы F, приложенной к доске в
горизонтальном направлении, брусок начинает скользить по доске.
В06. Вертикально расположенная пружина соединяет два тела. Масса
верхнего тела m1 = 1 кг, нижнего – m2 = 2 кг. Когда система подвешена за верхнее тело, длина пружины равна ℓ1 = 10 см. Если систему поставить на горизон38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тальную поверхность, длина пружины равна ℓ2 = 5 см. Определите длину недеформированной пружины.
В07. Ледяная горка представляет собой наклонную плоскость с углом α.
Средняя треть длины горки посыпана песком. С вершины без начальной скорости съезжают санки. При движении санок по чистому льду трение отсутствует.
Определите, при каких значениях коэффициента трения между средней частью
горки и санками они смогут доехать до подножия горки.
В08. Два бруска с массами m1 = 1,5 кг и m2 = 2,5 кг, соединенные пружиной, тянут за нить, привязанную к бруску массой m1, натягивая ее параллельно
гладкой горизонтальной поверхности, по которой бруски скользят без трения.
Когда нить оказалась натянутой с силой F = 57 Н, а бруски двигались с одинаковым ускорением, нить разорвалась. Найти ускорение а1 бруска массой m1
сразу после разрыва нити.
В09. На горизонтальной поверхности лежит тело массой m = 0,2 кг, прикрепленное невесомой пружиной к вертикальной плоскости (рисунок 13). В начальный момент времени пружина не деформирована. На тело начинает действовать постоянная сила величиной F = 2 H. Определите максимальное смещение тела от начального положения, если коэффициент упругости пружины k = 50 Н/м, а коэффициент трения между
телом и поверхностью µ = 0,4.
k
m
F
Рисунок 13
В10. Двум одинаковым телам сообщают одинаковые начальные скорости,
направленные под углом α = 450 к горизонту. Одно тело движется свободно,
другое по гладкой наклонной плоскости (трение отсутствует, угол наклона
плоскости α = 450). Определите отношение высот максимального подъема этих
тел.
В11. Наклонная плоскость составляет угол α = 300 с горизонтом. Некоторое тело, помещенное на плоскость, равномерно скользит вниз. Определите
путь, который пройдет это тело до остановки, если ему сообщить начальную
скорость v = 8 м/с, направленную вверх вдоль плоскости.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В12. Тело начинает двигаться по наклонной плоскости снизу вверх со скоростью v = 4 м/с. Поднявшись на некоторую высоту, тело соскальзывает вниз.
Определите скорость тела, когда оно вернется в исходную точку. Угол наклона
плоскости к горизонтали равен α = 300. Коэффициент трения между телом и
плоскостью µ = 0,3.
В13. К концам динамометра прикреплены 2 груза массами 10 кг и 0,2 кг,
лежащие на горизонтальной поверхности. К первому грузу приложена сила
10 Н, а ко второму 50 Н, обе силы направлены вдоль поверхности в противоположных направлениях. Определить показания динамометра и ускорение системы. Трением пренебречь.
В14. С каким ускорением будут двигаться по горизонтали санки массой
100 кг, если коэффициент трения µ = 0,2, и на сани действует сила 600 Н под
углом 300 к горизонту. Рассмотреть два случая – санки тянут и толкают.
В15. Два одинаковых тела, связанные невесомой нитью, двигаются равномерно по горизонтальной поверхности. Сила, действующая на первое тело,
равна
5000 Н и приложена под углом 600 к горизонту. Определить силу на-
тяжения нити Т, если коэффициент трения тел с поверхностью равна µ = 1.
В16. На столе лежит брусок массой 5 кг. К нему прикреплен на шнуре, перекинутом через блок, другой брусок массой 2 кг. Найти ускорение системы,
если коэффициент трения первого бруска со столом µ = 0,2.
В17. Шайба массой m соскальзывает по гладкой наклонной поверхности
клина массой 2m, неподвижно лежащего на шероховатом горизонтальном столе. Угол при основании клина равен 600. При каком минимальном коэффициенте трения между столом и клином последний будет оставаться в покое?
В18. Тело, которому сообщена начальная скорость, параллельная наклонной плоскости, поднимается по наклонной плоскости и затем опускается. В каком случае при подъеме или при спуске и во сколько раз время движения тела
больше, оно вернулось в первоначальное положение? Будет ли конечная ско-
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рость при спуске равна начальной скорости при подъеме? Коэффициент трения
между телом и наклонной плоскостью µ = 0,2. Угол наклона плоскости α = 450.
В19. Легкая тележка может скатываться без трения с наклонной плоскости.
На тележке укреплен отвес (шарик массы m на нитке). Какое направление будет иметь нить отвеса при свободном скатывании тележки? До начала скатывания нить удерживалась в направлении, перпендикулярном к наклонной плоскости.
С01. Балка массы m = 100 кг висит на трех вертикальных проволоках равной длины, расположенных симметрично (рисунок 14). Средняя проволока стальная, две
ℓ
ℓ
Рисунок 14
крайние − медные. Площади поперечного сечения всех проволок одинаковы.
Модуль упругости стали Ec в два раза больше модуля упругости меди Ем. Во
сколько раз увеличится относительное удлинение ε проволок, если, убрав среднюю стальную проволоку, подвесить балку на двух симметрично расположенных медных проволоках? При какой площади поперечного сечения медных
проволок их относительное удлинение не превысит значения ε = 0,001, если
модуль упругости меди Ем = 1011 Па?
С02. Стоя на льду и стараясь остаться неподвижным, человек пытается
сдвинуть с места тяжелые сани за привязанную к ним веревку. Масса саней М =
200 кг, человека m = 80 кг. Коэффициент трения саней о лед µ1 = 0,15, а человека − µ2 = 0,3. Определите минимальный угол наклона веревки к горизонту, при
котором человек сможет решить свою задачу.
С03. Цепочка из n тел одинаковой массы m, соединенных пружинами,
движется вдоль горизонтальной плоскости под действием силы F. Найти силу
натяжения каждой пружины и ускорение, с которым движется цепочка тел, если коэффициент трения тел о плоскость равен µ..
С04. К концам легкой нити, перекинутой через блок, укрепленный на динамометре, подвешены два груза массой 0,1 и 0,2 кг. Определите ускорение
грузов, натяжение нити и показание динамометра при условии, что блок вместе
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
с грузами поднимается на динамометре вертикально с ускорением 1,2 м/с2.
Массой блока и динамометра пренебречь.
С05. Через невесомый неподвижный блок перекинута веревка, на одном
конце ее груз массой m = 25 кг, а на другом карабкается обезьяна. С каким ускорением она поднимаются вверх, если груз висит на одной высоте? Масса
обезьяны 20 кг. Через какое время она доберется до блока, если расстояние до
него 20 м?
Примеры решения задач
1. Наклонная плоскость, образующая угол α = 250 с плоскостью горизонта,
имеет длину ℓ = 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t = 2 с. Определить коэффициент трения.
у
Дано: α = 250; ℓ = 2 м; t = 2 с; g = 10 м/с2.
µ=?
Fтр
Решение: На тело, скользящее по наклонной
N
mg
плоскости, действуют силы тяжести, трения, ре-
α
х
акции опоры. Составим уравнение движения в векторной форме:
mg + N + Fтр = ma.
Выберем направления координатных осей и запишем уравнение движения
тела в проекциях на оси 0х и 0у:
mgsinα - Fтр = ma;
N - mgcosα = 0.
42
(*)
(**)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известно, что сила трения определяется по формуле
Fтр = µN.
Найдем силу реакции опоры N из уравнения (**)
N = mgcosα,
т.е. Fтр = µmgcosα.
Подставляя это выражение в уравнение (*), получим
mgsinα - µmgcosα = ma.
Отсюда находим
µ=
g sin α − a
a
= tgα .
g cos α
g cos α
Значение ускорения а можно найти из кинематических условий:
at 2
ℓ=
2
или а =
2l
.
t2
Окончательное выражение для коэффициента трения:
µ = tgα -
2l
2⋅2
0
=
tg25
= 0,35.
gt 2 cos α
10 ⋅ 2 2 ⋅ cos 250
2. На автомобиль массой 1 т во время движения действует сила трения,
равная 0,1 силы тяжести. Чему должна быть равна сила тяги, развиваемая мотором, чтобы автомобиль двигался: 1) равномерно; 2) с ускорением 2 м/с2?
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дано: M = 1 000 кг; Fтр = 0,1 mg; а = 2 м/с2; g = 10 м/с2.
F1 = ? F2 = ?
Решение: На автомобиль действуют сила тяжести mg, Fтр
сила реакции опоры N, сила тяги F и сила трения Fтр. Запишем уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:
N
F
mg
х
F + Fтр + mg + N = ma.
За положительное направление оси 0х примем направление движения автомобиля.
Рассмотрим проекцию уравнения на ось 0х.
В первом случае (при равномерном движении) ускорение равно нулю, поэтому
F1 - Fтр = 0.
Следовательно,
F1 = Fтр = 0,1 mg = 0,1⋅1 000⋅10 = 1 000 Н = 1 кН.
Во втором случае (при движении с ускорением) уравнение запишется так
F2 - Fтр = ma.
Отсюда
F2 = Fтр + ma = 0,1mg + ma = m(0,1g + a) = 1 000(0,1⋅10 + 2) = 3 000 Н = 3 кН.
3. Дирижабль опускается вертикально с постоянной скоростью. Какое количество балласта необходимо выбросить, чтобы он стал подниматься с той же
скоростью, если его масса М и подъёмная сила F известны?
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дано: М; F; g.
m=?
Решение: при спуске с постоянной скоростью ускорение равно нулю и,
следовательно, сумма всех сил, действующих на дирижабль, равна нулю (второй закон Ньютона):
Mg – F – Fсопр = 0,
где Fсопр – сила сопротивления воздуха, направленная вверх (против скорости).
При движении вверх сила сопротивления имеет ту же величину (так как
скорость по модулю имеет то же значение), но направлена вниз. Сумма всех
сил, с учетом выброшенного балласта, по-прежнему равна нулю:
(M – m)g – F + Fсопр = 0.
Решая систему из двух уравнений, находим:
F

m = 2  M −  .
g

4. При растягивании пружины некоторой силой, ее длина равна ℓ1 = 22 см.
При увеличении величины силы в n = 2 раза, длина пружины увеличивается до
ℓ2 = 24 см. Определите длину недеформированной пружины.
Дано: ℓ1 = 0,22 м; ℓ2 = 0,24 м; F2/F1 = n = 2.
ℓ0 = ?
Решение: Согласно закону Гука
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
F1 = k(ℓ1 - ℓ0)
и
F2 = k(ℓ2 - ℓ0),
где k – жёсткость пружины.
Поделив почленно уравнения, имеем
F2
l − l0
,
=n= 2
F1
l1 − l 0
откуда находим
ℓ0 =
nl 1 − l 2
2 ⋅ 0,22 − 0,24
= 0,2 м = 20 см.
=
n −1
2 −1
Задание 3-3-9. Кинематика и динамика движения материальной точки
по окружности
Линейная и угловая скорости. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения. Угловое ускорение. Искусственные спутники Земли, первая космическая
скорость. Движение материальной точки по окружности под действием нескольких сил. Движение тел на поворотах.
01. Два бумажных диска насажены на одну ось так, что их плоскости параллельны и находятся на расстоянии 30 см, диски вращаются с частотой
2 000 об/мин. Пуля пробила оба диска так на расстоянии 12 см от оси и отверстия отстоят друг от друга на 6 см считая по дуге. Найти скорость пули.
02. Найти отношение ускорений материальных точек, находящихся на поверхности Земли, на экваторе и на широте 600. Радиус Земли Rз = 6 400 км.
03. Тело брошено под углом α = 300 к горизонту со скоростью v0 = 10 м/с.
Определите радиус кривизны траектории в наивысшей точке подъема.
04. На какой высоте h сила тяжести в n = 2 раза меньше, чем на поверхности Земли? Радиус Земли R = 6 400 км.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
05. Автомобиль при торможении начинает скользить по дороге так, что
колеса при этом продолжают вращаться. Верхняя точка одного из колес имеет
скорость относительно земли v1 = 110 км/ч, нижняя точка – скорость v2 =
10 км/ч (направлена вперед по движению). Какова скорость v автомобиля?
06. Груз, висящий на невесомой нерастяжимой нити длиной ℓ = 0,5 м, движется по окружности в горизонтальной ℓ
плоскости (рисунок 15). Шнур образует с вертикалью угол α =
450. Определите период вращения тела.
α
Рисунок 15
07. Во сколько раз средняя плотность земного вещества отличается от
средней плотности лунного? Принять, что радиус Rз Земли в 390 раз больше
радиуса Rл Луны и вес тела на Луне в 6 раз меньше веса тела на Земле.
08. Две материальные точки равномерно движутся по окружностям, отношение радиусов которых равно n = 3. Определите отношение периодов обращения этих точек, если их ускорения равны по величине.
09. Два тела одновременно начинают движение по окружности из одной
точки в противоположных направлениях. Период обращения 1-го равен 2 с, а
второго – 6 с. Через какой промежуток времени тела столкнутся?
10. Материальная точка равномерно вращается по окружности со скоростью v = 20 м/с. Определите величину изменения скорости материальной точки
за три четверти периода вращения.
11. Какими должны быть радиус обращения искусственного спутника Земли по круговой орбите и его линейная скорость, чтобы период обращения спутника был равен земному? Как будет восприниматься движение такого спутника
неподвижным наблюдателем, находящимся на Земле? Масса Земли М, ее радиус R, период обращения Земли вокруг своей оси Т, гравитационная постоянная
равна G.
12. Поезд выезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью
v0 = 54 км/ч и проходит путь S = 600 м за время t = 30 с. Радиус закругления R =
1 км. Определите угол α между скоростью движения и ускорением в конце пути, считая движение равноускоренным.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. Горизонтально закрепленный цилиндр, радиус которого R = 0,25 м,
приводится во вращение грузом, подвешенным на нерастяжимой
нити, постепенно сматывающейся с цилиндра (рисунок 16). В
ω
начальный момент времени груз был неподвижен, а затем стал
R
опускаться с ускорением а = 2 м/с2. Определите угловую скорость цилиндра в момент времени, когда груз пройдет путь S =
а
1,2 м. Проскальзывание нити относительно поверхности цилин- Рисунок 16
дра отсутствует.
14. Тело массой 10 кг движется равномерно по окружности по законам:
S = 2t; ϕ = 5t. Найдите равнодействующую сил, действующих на тело.
15. Катушка с намотанной на нее нерастяжимой нитью может катиться по
горизонтальной поверхности без скольжения (рисунок 17). Нить начали тянуть
в горизонтальном направлении со скоростью v. Определите скорость, с которой
будет перемещаться ось катушки (точка 0). Внешний радиус катушки – R, внутренний – r. Толщиной нити можно пренебречь.
В
vB
R
r
0
нить
v
0
С
А
Рисунок 17
D
vA
Рисунок 18
16. Плоский диск движется по горизонтальной поверхности (рисунок 18).
Скорости верхней (В) и нижней (А) точек диска равны, соответственно, vВ и vА.
Определите величины скоростей точек С и D, лежащих на диаметре СD, перпендикулярном диаметру ВА.
17. На нити длиной ℓ = 0,5 м подвешен груз. Определите минимальную горизонтальную скорость, которую необходимо сообщить грузу, чтобы он сделал
полный оборот по окружности.
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18. Вычислить плотность ρ шарообразной планеты, если спутник движется
вокруг нее по круговой орбите периодом Т = 4 часа на расстоянии от поверхности планеты, равном половине ее радиуса.
19. По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом
Т = 90 мин. Определить высоту спутника. Ускорение свободного падения g у
поверхности Земли и ее радиус R считать известными.
20. В цирковом аттракционе мотоциклист едет по внутренней поверхности
вертикального цилиндра радиуса R = 13 м. Определите минимальную скорость,
при которой мотоциклист не упадет вниз, если коэффициент трения между колесами мотоцикла и поверхностью цилиндра µ = 0,5. При решении рассматривайте систему ″человек + мотоцикл″, как материальную точку.
А01. С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью
v = 5 км/с. На какую высоту она поднимется?
А02. Диск катится по дороге без проскальзывания, со скоростью v =
10 м/с. Чему равна величина скорости внешней точки диска относительно дороги, если она находится на расстоянии R от дороги?
А03. При равномерном движении по окружности тело проходит 5 м за
время t = 2 с. Определить величину нормального ускорения an, если период
вращения T = 5 с.
А04. Автомобиль движется со скоростью v = 108 км/ч. Определите нормальное (центростремительное) ускорение верхних точек колес, если их диаметр d = 0,8 м. Скольжения автомобиля по дороге не происходит.
А05. Линейная скорость точек обода вращающегося диска v1 = 10 м/с, а
точек, находящихся на ℓ = 20 см ближе к оси вращения, v2 = 6 м/с. Определите
угловую скорость вращения и радиус диска.
А06. Диаметр задних колес старинного автомобиля в n = 1,5 раза больше
диаметра передних. Определите отношение угловых скоростей вращения колес
при равномерном движении автомобиля.
А07. Шарик массы m подвешен на нити, длина которой ℓ. Шарик равномерно вращается по кругу в горизонтальной плоскости (конический маятник).
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нить при этом отклонена от вертикали на угол α. Найти время полного оборота
шарика. Ускорение свободного падения g.
А08. Стержень длиной ℓ = 0,8 м вращается с угловой скоростью ω =
8 рад/с вокруг оси, проходящей через стержень и перпендикулярной к нему.
Один из концов стержня движется с линейной скоростью v = 2 м/с. Определите
линейную скорость другого конца стержня.
В01. Поезд движется по закругленному участку пути со скоростью v =
108 км/ч. Путь представляет собой дугу окружности радиусом R = 0,2 км. У
пассажира, находящегося в одном из вагонов, выпал из рук бутерброд. Определите ускорение бутерброда относительно вагона. Сопротивлением воздуха и
отчаянием пассажира пренебречь.
В02. Автомобиль, двигаясь со скоростью v0 = 100 км/ч, выехал на участок
трассы, представляющий собой окружность радиуса R = 1 км. На этом участке
скорость автомобиля равномерно уменьшалась до тех пор, пока он не остановился. Определите величину ускорения автомобиля на середине пути по окружности, если он сделал ровно один оборот по трассе.
В03. Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте h =
520 км. Определить период обращения спутника. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.
В04. Длина круговой дорожки велотрека 360 метров. Два велосипедиста
ездят по треку во встречных направлениях со скоростями 9 м/с и 15 м/с. Через
какой наименьший промежуток времени после встречи в некотором месте трека
они снова встретятся в этом месте?
В05. Искусственный спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите
на высоте h = 3 200 км над поверхностью Земли. Определить линейную скорость спутника.
В06. Для устранения бокового давления колес поезда на рельсы при движении по закругленным участкам пути наружный рельс укладывают несколько
выше внутреннего. Определите высоту h возвышения внешнего рельса над
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
внутренним, если радиус закругления R =300 м, скорость поезда v =36 км/час и
ширина колеи ℓ =1,5 м.
В07. Наибольшее значение силы трения покоя между горизонтальным
диском и расположенным на нем грузом массой m = 1,0 кг равно Fmax = 3,14 Н.
Диск начинает вращаться с частотой ν = 0,5 об/с. Построить график зависимости силы трения груза о диск от расстояния до оси вращения Fтр(R). На каком
максимальном расстоянии Rmax от оси вращения груз удерживается на диске?
В08. Часы отстают в течение суток на 5 минут. Определите отношение линейных скоростей концов стрелок, если длина минутной стрелки (от оси вращения) в n = 2 раза больше длины часовой стрелки.
В09. Тело массой m, прикрепленное к пружине, может без трения скользить по стержню, вращающемуся с ω
постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной
оси (рисунок 19). Угол наклона стержня α = 450. Длина
недеформированной пружины ℓ0, жесткость k. Определи-
m
α
k
Рисунок 19
те величину удлинения пружины при вращении системы.
В10. Груз, подвешенный на нити, отклоняют на угол α и отпускают без
начальной скорости. В момент времени, когда нить расположена строго вертикально, ее натяжение в n = 2 раза больше силы тяжести, действующей на груз.
Определите значение угла α.
В11. Вы ведёте автомобиль, когда внезапно видите впереди на расстоянии
ℓ препятствие, которое невозможно объехать. Что в этой ситуации выгоднее:
затормозить или повернуть, не меняя величины скорости. Силу трения в обоих
случаях считайте одинаковой. При обосновании ответа пренебрегайте размерами автомобиля.
В12. Материальная точка равномерно вращается по окружности. Период
вращения равен Т = 4 с. Определите значение отношения величин двух векторов а12/а1, где а12 = а1 – а2; а1 − ускорение точки при t1 = 0 с; а2 − ускорение
точки при t2 = 5 с.
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В13. В некоторый момент времени скорость тела, брошенного под некоторым углом к горизонту, образует угол α = -600 с горизонтом. Определите величины тангенциального и нормального ускорения в этот момент.
В14. Первый спутник вращается на расстоянии R от центра планеты, а
второй на расстоянии в 7 раз большем. Во сколько раз скорость первого спутника больше скорости второго?
В15. На диске, который вращается вокруг вертикальной оси, лежит маленькая шайба массой m = 100 г. Шайба соединена с помощью горизонтальной
пружины с осью диска. Если угловая скорость диска не превышает величины
ω1 = 10 рад/с, пружина находится в недеформированном состоянии. При медленном увеличении угловой скорости до величины ω2 = 30 рад/с пружина удлиняется в n = 1,5 раза. Определите коэффициент жёсткости (k) пружины.
В16. На полюсе некоторой планеты тело весит в n = 1,5 раза больше, чем
на экваторе. Период обращения планеты вокруг собственной оси равен Т =
2 часа. Определите плотность планеты, предполагая, что она имеет форму идеального шара.
В17. Два диска, расположенные на одной оси, вращаются с частотой
100 об/с. Пуля, летящая параллельно оси вращения, пробивает оба диска, причём пробоина на втором диске сдвинута относительно пробоины на втором
диске на 240. Расстояние между дисками 45 см. Определите скорость пули.
В18. Определить линейную и угловую скорости спутника Земли, обращающегося по круговой орбите на высоте h = 1 000 км. Ускорение свободного
падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.
С01. С увеличением высоты полёта спутника его линейная скорость
уменьшилась с 7,79 км/с до 7,36 км/с. Определите, насколько изменились время
обращения спутника и удалённость его от земной поверхности.
С02. Тело массой m = 0,1 кг вращается в вертикальной плоскости на нити
длиной ℓ = 0,5 м. Ось вращения расположена над поверхностью земли на высоте h = 2 м. При прохождении нижней точки траектории нить обрывается, и тело
падает на землю. Расстояние между местом падения и точкой пересечения с по52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
верхностью земли перпендикуляра, опущенного из оси вращения, равно S =
10 м. Определите силу натяжения нити при обрыве.
С03. В известном аттракционе ″мотоцикл на вертикальной стене″ мотоцикл движется по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиуса
10 м по горизонтальному кругу. Какова при этом должна быть минимальная
скорость движения мотоцикла, если известно, что коэффициент трения скольжения между шинами и поверхностью цилиндра равен 0,24? Как будет двигаться мотоцикл, если скорость станет меньше (больше) найденной?
С04. Спутник движется по круговой орбите в плоскости экватора на высоте, равной радиусу Земли. С какой скоростью v должен перемещаться наземный наблюдатель, чтобы спутник появлялся над ним каждые 5 ч? Разобрать
случаи, когда направления движения спутника и вращения Земли совпадают и
когда – противоположны. Радиус Земли R = 6 400 км. Ускорение свободного
падения у поверхности Земли g = 10 м/с2.
С05. Точка движется по окружности со скоростью, величина которой меняется со временем t по закону v = b⋅t, где b = 2 м/с2. Определите величину полного ускорения и угол между векторами скорости и полного ускорения в момент времени, когда точка совершит первый оборот после начала движения.
С06. Тело, находящееся на вершине полусферы радиуса R = 1 м, начинает
соскальзывать по ней без трения. Начальная скорость тела равна нулю. Определите, на какой высоте тангенциальное ускорение скольжения совпадает по величине с нормальным ускорением.
Примеры решения задач
1. Гирька массой 50 г, привязанная к нити длиной ℓ = 25 см, описывает в
горизонтальной плоскости окружность. Скорость вращения гирьки соответствует частоте ν = 2 об/с. Найти натяжение нити и угол, образуемый нитью и вертикалью.
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дано: g = 10 м/с2; ν = 2 об/с; ℓ = 0,25 м; m = 0,05 кг.
Т=? α=?
Решение: На гирьку, движущуюся по окружности, действуют две силы –
тяжести и натяжения. Составим уравнение движения, согласно второму закону
Ньютона:
mg + Т = ma.
При движении по окружности тело облада-
у
ет центростремительным ускорением, которое
α
T
определяется следующим выражением:
х
v2
= ω2R.
ац =
R
R
mg
Оси 0х и 0у для составления уравнения движения в проекциях выберем
так, чтобы ось 0х совпадала с направлением ускорения ац.
Центростремительной силой, действующей на гирьку, является проекция
силы натяжения нити на ось 0х, т.е. Т⋅sinα.
Уравнение движения в проекциях запишется так:
Tsinα = mω2R
Tcosα - mg = 0
Выразим радиус окружности через длину нити:
R = ℓsinα.
Тогда
Tsinα = mω2ℓsinα
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
или
T = mω2ℓ.
Угловую скорость ω выразим через частоту вращения: ω = 2πν. Следовательно,
T = mω2ℓ = m(2πν)2ℓ = 0,05(2⋅3,14⋅2)2⋅0,25 = 1,96 Н.
Найдём угол α:
cosα =
mg
g
10
=
=
= 0,25
T
(2πν )2 l (2 ⋅ 3,14 ⋅ 2 )2 ⋅ 0,25
и
α = arccos0,25.
2. Спутник равномерно вращается вокруг Земли по круговой орбите. Определить время одного полного оборота спутника вокруг Земли Т (период обращения), если высота орбиты (расстояние от поверхности Земли): h1 = 1000 км
и h2 = 100 км. Ускорение свободного падения на поверхности Земли g = 10 м/с2.
Радиус Земли R = 6 400 км.
Дано: h1 = 1 000 км; h2 = 100 км; g = 10 м/с2; R = 6 400 км.
Т1 = ? Т2 = ?
Решение: Обозначим через m – массу спутника, М – массу Земли, R − радиус Земли, r – радиус орбиты (расстояние от центра Земли до спутника), r =
R + h, где h – высота орбиты.
По определению период обращения спутника
T=
где v – скорость спутника.
55
2πr
,
v
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Взаимодействием спутника с другими планетами и влиянием остатков атмосферы пренебрегаем. Тогда на спутник действует только одна сила притяжения к Земле
F=G
mM
,
r2
которая согласно второму закону Ньютона F = ma сообщает спутнику ускорение, равное
a=G
M
.
r2
В данном случае ускорение направлено всё время перпендикулярно траектории
движения (вектору скорости), т.е. является нормальным или центростремительным ускорением (изменяет только направление вектора скорости). Центростремительное ускорение связано с величиной скорости v и радиусом r орбиты соотношением
v2
a=
.
r
Сравнивая два последних выражения и проведя преобразования, получим
v=
G
M
.
r
Подстановка полученного соотношения в выражение для периода обращения
приводит к результату
Т=
2πr r
.
GM
56
(*)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Прежде чем переходить к вычислениям, удобно перейти от величин G и M к
величинам g и R, численные значения которых хорошо известны. Это можно
легко сделать, вспоминая, что вблизи поверхности Земли
G
mM
= mg.
R2
Откуда GM = gR2. Тогда вместо (*) имеем
Т=
2πr r
.
R g
(**)
Подставляя численные значения в первом случае, получим
Т1 =
2πr1 r1
R g
=
2 ⋅ 3,14 ⋅ 7400 ⋅ 103 7400 ⋅ 103
6400 ⋅ 103 10
= 6 300 с = 1,75 ч.
Во втором случае можно положить r = R, так как h << R. В результате получим
R
6400 ⋅ 103
= 5 000 с = 1,4 ч.
Т2 = 2π
= 2⋅3,14
10
g
3. Часовая стрелка карманных часов имеет длину 10 мм, а минутная −
20 мм. Найдите их угловые скорости, периоды обращения стрелок, линейные
скорости их концов. Найдите угол поворота минутной стрелки и путь, пройденный концом минутной стрелки и перемещение конца минутной стрелки за
15 минут.
Дано: RЧ = 0,01 м; RМ = 0,02 м; t = 900 с.
ωЧ, ωМ, ТЧ, ТМ, vЧ, vМ, α, S, ∆r − ?
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение: Период обращения часовой стрелки и минутной стрелки
ТЧ = 12 ч = 43 200 с = 4,32⋅104 с;
ТМ = 1 ч = 3 600 с = 3,6⋅103 с.
Угловая скорость часовой стрелки и минутной стрелки
ωЧ =
2π
2π
2 ⋅ 3,14
2 ⋅ 3,14
=
= 1,45⋅10-4 рад/с; ωМ =
=
= 1,74⋅10-3 рад/с.
4
3
ТЧ
ТМ
4,32 ⋅ 10
3,6 ⋅ 10
Линейная скорость конца часовой стрелки и конца минутной стрелки
vЧ = ωЧ⋅RЧ = 1,45⋅10-4⋅0,01 = 1,45⋅10-6 м/с.
vМ = ωМ⋅RМ = 1,74⋅10-3⋅0,02 = 3,48⋅10-5 м/с.
Угол поворота минутной стрелки за 15 минут
α = ωМ⋅t = 1,74⋅10-3⋅900 = 1,57 рад.
Путь, пройденный концом минутной стрелки за 15 минут
S = R⋅α = 0,02⋅1,57 = 3,14⋅10-2 м.
Перемещение в пространстве конца минутной стрелки за 15 минут
∆r =
R M 2 + R M 2 = RM⋅ 2 = 0,02⋅1.41 = 0,0282 м.
4. Масса Марса составляет 0,1 от массы Земли, диаметр Марса вдвое
меньше, чем диаметр Земли. Каково отношение периодов обращения искусст58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
венных спутников Марса и Земли
TМ
, движущихся по круговым орбитам на
ТЗ
небольшой высоте?
Дано: МЗ = ММ ⋅10; dМ = dЗ ⋅0,5.
ТМ/ТЗ = ?
Решение: Так как высота полёта спутника мала, то радиус орбиты совпадает с радиусом планеты R = 0,5 d. Согласно второму закону Ньютона сила тяготения равна произведению массы спутника на центростремительное ускорение:
G
mM
R2
v2
=m ,
R
где G – гравитационная постоянная;
m – масса спутника;
М – масса планеты;
v – скорость орбитального движения спутника.
Из этого соотношения выразим скорость
v=
G
M
.
R
Период обращения спутника равен времени совершения одного оборота
вокруг планеты со скоростью v:
2πR
R
R3
Т=
= 2πR
= 2π
.
v
GM
GM
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поскольку записанные соотношения для периодов справедливы для любой
планеты, найдём искомое отношение периодов обращения спутников Марса и
Земли:
R З3
R М3
ТМ/ТЗ = 2π
: 2π
=
GM М
GM З
3
 RМ  МЗ


=
R
 З  ММ
3
 dМ  МЗ


=
d
 З  ММ
= 0,53 ⋅ 10 = 1,1.
Задание 4-3-9. Законы сохранения в механике
Импульс тела. Закон сохранения импульса. Реактивное движение.
Механическая энергия. Кинетическая и потенциальная энергии. Закон сохранения механической энергии. Механическая работа. Работа силы трения.
Мощность. КПД.
01. На неподвижное тело массой 500 г начинает действовать постоянная
сила 2 Н. Найти кинетическую энергию, которой будет обладать тело через 3 с
после начала действия силы.
02. На горизонтальной поверхности лежит цепь длиной ℓ =1 м и массой
m = 4 кг. Взяв цепь за один из концов, поднимают этот конец на высоту h = 2 м
над поверхностью. Определите работу, которую необходимо совершить при
подъеме.
03. Тело движется вниз по наклонной плоскости с углом 450 градусов с начальной скоростью 6 м/c. На сколько метров уменьшится высота тела к моменту, когда оно остановится? Коэффициент трения равен 1,5.
04. Шар массой m1 = 3 кг движется со скоростью v1 = 2 м/с и сталкивается
с покоящимся шаром массой m2 = 5 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным.
05. Определить полезную мощность водяной турбины с КПД 90 %, если
вода поступает в нее со скоростью 6 м/с, а выходит из нее со скоростью 1 м/с на
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
уровне, находящемся на 4 м ниже уровня входа. Объемный расход воды
20 м3/ч.
06. Какую работу необходимо затратить, чтобы перевернуть куб массой
5 кг и ребром 10 см с одной грани на другую?
07. Санки скатываются с горы высотой 8 м по склону длиной 100 м. Масса
санок 90 кг. Какова сила сопротивления движению, если скорость санок в конце спуска 11 м/с?
08. Цирковой артист массой 60 кг падает в натянутую сетку с высоты 4 м.
С какой силой действует на артиста сетка, если её прогиб равен 1м.
09. На невесомом стержне закреплены две равные массы: первая на расстоянии 0,5 м, а вторая – на расстоянии 1 м от точки подвеса. Стержень отклонили от вертикали на 600 и отпустили. Определить скорость первого тела в момент прохождения вертикального положения.
10. Пружина жёсткостью k = 500 Н/м сжата силой F = 100 H. Определить
работу А внешней силы, дополнительно сжимающей пружину еще на ∆ℓ = 2 см.
11. Сваю массой М1 = 100 кг забивают в грунт бабой копра, масса которой
М2 = 300 кг. Баба копра свободно падает с высоты Н = 4 м и при каждом ударе
свая опускается на h = 10 см. Определите силу сопротивления F грунта, считая
ее постоянной для двух случаев: 1) удар о сваю абсолютно упругий; 2) удар неупругий.
12. Определите работу подъёма груза по наклонной плоскости, среднюю
мощность и КПД подъёмного устройства, если масса груза 100 кг, длина наклонной плоскости 2 м, угол наклона к горизонту 300, коэффициент трения 0,1,
ускорение при подъёме 1 м/с2. У основания наклонной плоскости груз находился в покое. Ускорение свободного падения 9,8 м/с2.
13. Мяч, падая свободно с высоты 2 м, при каждом ударе теряет 0,2 своей
кинетической энергии. Сколько раз поднимается мяч на высоту более 1 м? Силу сопротивления движению мяча не учитывать.
14. Шар, двигавшийся горизонтально, столкнулся с неподвижным шаром и
передал ему 64 % своей кинетической энергии. Шары абсолютно упругие, удар
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
прямой, центральный. Во сколько раз масса второго шара больше массы первого?
15. Плоская льдина толщиной h = 0,2 м и площадью поперечного сечения
S = 2,0 м2 плавает в воде. Определите работу, которую необходимо совершить,
чтобы полностью погрузить льдину в воду.
16. Горизонтально летящая пуля попадает в деревянный брус, лежащий на
гладкой горизонтальной плоскости и пробивает его. Определите, какая часть
кинетической энергии пули перешла в тепло. Масса пули m = 10 г, масса бруса
М = 2 кг. Начальная скорость пули v0 = 600 м/с, скорость пули после прохождения бруска v = 400 м/с.
17.Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое
расстояние переместится лодка длиной 3 м, если масса человека 60 кг, масса
лодки 120 кг? Сопротивление воды не учитывать.
18. Тело массой m = 0,5 кг брошено с башни в горизонтальном направлении со скоростью v0 = 10 м/с. Определите кинетическую энергию тела в момент
падения на землю, если время полёта оказалось равным t = 4 с.
19. Верёвка длиной ℓ = 5 м переброшена через гвоздь, вбитый в вертикальную стену на высоте h = 6 м над уровнем пола. В начальный момент времени
верёвка висит симметрично и покоится. Затем в результате незначительного
толчка верёвка начинает скользить по гвоздю. Определите скорость верёвки,
когда после соскальзывания с гвоздя, нижний конец верёвки коснётся пола. Силами сопротивления и растяжением верёвки можно пренебречь.
20. Один раз камень бросают со скоростью v1 по горизонтальной поверхности льда, а второй раз со скоростью v2 в воздух под углом α = 450 к горизонту. В каком случае камню сообщена большая начальная скорость и во сколько
раз, если в обоих случаях перемещение камня одинаково? Коэффициент трения
камня о лёд принять равным µ = 0,02. Сопротивление воздуха не учитывать.
А01. Подъёмный кран поднимает груз массой 5 т на высоту 15 м. За какое
время поднимется этот груз, если мощность двигателя крана 10 кВт и КПД равен 80 %?
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А02. Невесомый стержень, на одном конце которого закреплена точечная
масса 0,5 кг, отклонили относительно горизонтальной оси, проходящей через
другой конец, в вертикальное положение. Найти величину силы взаимодействия оси и стержня, когда, двигаясь под действием силы тяжести стержень, повернётся на 1200.
А03. Тело массой 0,1 кг подвесили к вертикально расположенной невесомой нерастяжимой пружине с коэффициентом жёсткости 200 Н/м и отпустили.
Определить величину максимальной деформации пружины.
А04. Тело массой 1 кг, двигаясь ускоренно, увеличило свою скорость с
2 м/с до 5 м/с. Определить изменение кинетической энергии тела.
А05. На платформе массой M = 16 000 кг, движущейся по железной дороге
со скоростью v = 16 км/ч, укреплена пушка массой m = 1 000 кг. Ствол пушки
горизонтален и направлен в сторону движения платформы. С какой скоростью
покатится платформа в первый момент после выстрела? Снаряд массы mснаряда =
500 кг выстреливается со скоростью 600 м/с относительно рельсов.
А06. Координаты тела, движущегося вдоль оси х, зависят от времени
х = 4 − 3t + t2,
где t – время в секундах.
Определить, как изменится кинетическая энергия тела за 2-3 с движения. Масса
тела m = 1 кг.
А07. Из пружинного пистолета выстрелили пулькой, масса которой m =
5 г. Жёсткость пружины k = 1,25 кН/м. Пружина была сжата на ∆ℓ = 8 см. Определить скорость пульки при вылете ее из пистолета.
А08. Снаряд, летевший со скоростью v = 400 м/с, в верхней точке траектории разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет
40 % от массы снаряда, полетел в противоположном направлении со скоростью
u1 = 150 м/с. Определить скорость u2 большего осколка.
А09. С тележки, свободно движущейся по горизонтальному пути со скоростью v1 = 3 м/c, в сторону, противоположную движению тележки, прыгает человек, после чего скорость тележки изменилась и стала равной u1 = 4 м/с. Опре63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
делить горизонтальную составляющую скорости u2 человека при прыжке относительно тележки. Масса тележки m1 = 210 кг, масса человека m2 = 70 кг.
А10. Пружина жёсткостью 100 Н/м, предварительно сжатая на 1 см, под
действием внешней силы сжимается ещё на 1 см. Определить работу силы упругости при сжатии.
А11. Определить мощность силы тяги, с помощью которой груз массой 2 т
тянут по горизонтальной плоскости с постоянной скоростью 5,4 км/ч. Коэффициент трения груза о плоскость равен 0,1.
А12. Вагонетку массы 3 т поднимают по рельсам в гору, наклон которой к
горизонту составляет 300. Какую работу совершила тяга на пути в 50 м, если
известно, что вагонетка двигалась с ускорением 0,2 м/с2? Коэффициент трения
принять равным 0,1. Ускорение свободного падения 10 м/с2.
А13. Пружинное ружьё выстреливает шарик вертикально вверх на высоту
h1 = 30 см, если пружина сжата на ∆ℓ1 = 1 см. На какую высоту поднимется шарик, если пружину сжать на ∆ℓ2 = 3 см?
А14. Масса лифта с пассажирами равна 800 кг. Определите ускорение, с
которым движется лифт, если натяжение троса, поддерживающего лифт, равно
6 кН.
А15. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 20 м/с. На какой высоте его потенциальная энергия будет равна кинетической энергии?
А16. Сколько воды можно поднять из колодца глубиной 20 м в течении
2 часов, если мощность двигателя насоса 3 кВт, а КПД равен 70 %?
А17. Под каким углом к горизонту надо бросить камень, чтобы его кинетическая энергия в точке максимального подъёма была в n = 4 раза меньше кинетической энергии в точке бросания.
А18. Пушка, стоящая на очень гладкой, горизонтальной поверхности,
стреляет под углом 300 к горизонту. Масса снаряда 20 кг, начальная скорость
300 м/с. Какую скорость приобретает пушка при выстреле, если её масса
500 кг?
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А19. Небольшой груз массой m = 2 кг, падающий с высоты h = 7 м, проникает в мягкий грунт на глубину ℓ = 10 см. Определите среднюю силу сопротивления грунта. Сопротивлением воздуха и линейными размерами груза можно
пренебречь.
А20. С хорошо укатанной горы высотой h = 2 м и длиной основания b =
5 м съезжают санки, которые останавливаются, пройдя горизонтально путь ℓ =
35 м от основания горы. Найти коэффициент трения.
А21. Девочка, вес которой Р = 300 Н, скатывается на санках без начальной
скорости с вершины горки высотой h = 5 м. После остановки на горизонтальном участке она решила прокатиться еще раз. Определите работу, которую девочка должна совершить для подъёма санок на вершину по пути их скатывания.
Масса санок m = 8 кг.
А22. Тело массой m = 1 кг брошено с поверхности земли с начальной скоростью v0 = 10 м/с. Максимальная высота подъёма тела оказалась равной h =
3 м. Определите кинетическую энергию тела в этой точке траектории. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.
В01. Два тела, связанные между собой нитью, расположены на горизонтальной поверхности (рисунок 20). Между телами вставляют сжатую пружину.
Нить пережигают, и тела начинают двигаться в противоположные стороны.
Коэффициент трения между телами и поверхностью одинаков. Определите отношение путей,
пройденных телами до остановки, если отноше-
m1
m2
нить
Рисунок 20
ние масс тел равно n = m2/m1 = 2,5.
В02. По гладкой горизонтальной поверхности движется со скоростью v0 =
10 м/c тело массой m = 1 кг. Начиная с некоторого момента времени, на тело
начинает действовать сила F. Величина силы F = 10 H, а направление противоположно вектору v0. Определите работу, которую совершит эта сила за время
t = 2 с после ее включения.
В03. Мальчик, стоящий на льду на коньках, бросает в горизонтальном направлении камень массой m = 1 кг со скоростью v = 20 м/с. Определите рас65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стояние, на которое откатится мальчик, если коэффициент трения полозьев о
лёд µ = 0,02. Масса мальчика М = 40 кг.
В04. Наклонная плоскость составляет угол α = 300 с горизонтом и имеет
высоту h = 0,5 м (рисунок 21). С вершины наклонной плоскости соскальзывает
небольшое тело без начальной скорости. В нижней точке плоскости тело абсолютно упруго сталкивается со стенкой, расположенной перпендикулярно скорости тела.
Определите высоту максимального подъёма h
α
тела по плоскости, если коэффициент трения
между телом и плоскостью равен µ = 0,3.
Рисунок 21
В05. Груз массой m = 0,5 кг подвешен на вертикально расположенной невысокой пружине и растягивает ее на х = 1 см. Определите работу, которую необходимо совершить, чтобы поднять груз из начального положения на высоту
h = 2,5 см.
В06. Сила F, направленная вертикально вверх, поднимает тело массой m =
2 кг с ускорением а = 4 м/с2. Определите работу, которую совершает сила за
время t = 10 с подъёма.
В07. Два тела одинаковой массы находятся на
концах невесомого стержня, согнутого под прямым углом в точке 0 (рисунок 22). Расстояния от грузов до
точки 0 равны соответственно ℓ1 = 30 см и ℓ2 = 20 см.
ℓ1
m
0
А
Рисунок 22
ℓ2
m
В
Точка 0 закреплена и является осью вращения. Груз А поднимают до тех пор,
пока отрезок А0 не будет расположен горизонтально, а затем стержень отпускают без начальной скорости. Определите угловую скорость системы в момент
времени, когда отрезок 0В будет расположен горизонтально.
В08. Маленькая шайба массы m продета сквозь проволочное кольцо радиуса R в его верхней точке. Ничтожно малой силой шайбу выводят из положения равновесия, и она начинает скользить по кольцу. По какому закону будет
изменяться сила давления шайбы на кольцо в зависимости от высоты шайбы?
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Чему равны силы минимального и максимального давления? Трение не учитывать.
В09. Брусок массой m = 5 кг медленно перемещают на расстояние S =
0,15 м по горизонтальной плоскости с помощью резинового шнура, натянутого
вдоль плоскости (рисунок 23). Коэффициент трения между бруском и плоскостью µ = 0,4, коэффициент упругости резинового шнура k = 200 Н/м. Определить совершаемую при этом работу А.
m
F
k
М
m
Рисунок 23
F
Рисунок 24
В10. На горизонтальной плоскости лежат два бруска массы m и М, соединенные ненапряженной пружиной с жесткостью k. Коэффициент трения брусков о плоскость равен µ. Какую минимальную работу А нужно совершить,
чтобы систему сдвинуть с места, прикладывая к бруску массой М направленную вдоль плоскости силу (рисунок 24)?
В11. Груз массы 0,5 кг падает с некоторой высоты на плиту массой 1 кг,
укрепленную на пружине с коэффициентом жёсткости 10 Н/см. Определите величину наибольшего сжатия пружины, если в момент удара груз обладал скоростью 5 м/с. Удар считать неупругим, время удара – ничтожно малым.
В12. По идеальной гладкой горизонтальной поверхности пущены навстречу друг другу два абсолютно упругих шарика с массами 10 г и 20 г. Каковы будут скорости шаров после удара, если вначале они равнялись соответственно
20 м/с и 10 м/с?
В13. Снаряд, вылетевший из орудия под некоторым углом к горизонту,
разрывается в верхней точке своей траектории на высоте h = 100 м на две части
m1 = 1 кг и m2 = 1,5 кг. Скорость снаряда в этой точке v0 = 100 м/с, скорость
большего осколка v2 = 250 м/с и направлена так же, как и скорость снаряда перед разрывом, т.е. совпадает по направлению со скоростью v0. Определить расстояние S между точками падения обоих осколков.
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В14. Ракета, запущенная вертикально вверх, взрывается в высшей точке
своего подъема на высоте Н = 100 м. При взрыве образуются 4 осколка, два из
которых имеют начальные скорости, направленные вертикально, а два других
имеют начальные скорости, направленные горизонтально
1
(рисунок 25). Величины всех скоростей одинаковы v1 = v2 = 3
v3 = v4 = 25 м/с. Массы осколков 1 и 2 равны m1 = m2 = 2 кг, а
массы осколков 3 и 4 равны m3 = m4 = 3 кг. Определите скорости всех осколков при падении на Землю. Сопротивлением
4
2
Н
Рисунок 25
воздуха следует пренебречь.
В15. Мальчик, опираясь о барьер, бросил камень с горизонтальной скоростью v0 = 14 м/с. Какую скорость v относительно поверхности земли он сообщит камню, если будет бросать с прежней силой, стоя на коньках на гладком
льду? Какое расстояние ℓ при этом проедет мальчик до остановки, если коэффициент трения о лёд µ = 0,02? Масса камня m = 1 кг, масса мальчика М =36 кг.
В16. Шар массой m1 = 2 кг сталкивается с покоящимся шаром большей
массы и при этом теряет 40 % кинетической энергии. Определить массу m2
большего шара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.
В17. Шар массой m1 = 1 кг движется со скоростью v1 = 4 м/с и сталкивается с шаром массой m2 =2 кг, движущимся навстречу ему со скоростью v2 =3 м/с.
Каковы скорости u1 и u2 шаров после удара? Удар считать абсолютно упругим,
прямым, центральным.
В18. Невесомая пружина жёсткостью 1 000 Н/м, сжатая на 0,04 м, толкает
в горизонтальном направлении тело массой 0,01 кг. Какое количество механической энергии переходит в теплоту за время действия пружины на тело, если
скорость тела возрастает от 0 до 12 м/с?
В19. При ударе мяча о горизонтальную поверхность теряется половина его
механической энергии. Какую минимальную скорость в вертикальном направлении нужно сообщить мячу, находящемуся на высоте 5 м, чтобы после удара
он снова мог подняться на эту высоту?
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В20. Лифт массой 104 кг поднимается с ускорением а = 1,5 м/с2 в течение
первых 10 с, а затем движется равномерно в течение 15 с. Определить работу
по подъёму лифта и среднюю мощность за время подъёма.
В21. Пуля массой 10 г попадает в ящик с песком, подвешенный на нити, и
застревает в нем. Определить скорость пули, если ящик при ударе отклонился
на угол 300. Длина подвеса 90 см. Масса ящика с песком 5 кг.
В22. Под действием горизонтальной силы, равной 12 Н, тело движется по
закону x = x0 +1,01t2. Найти массу тела, если коэффициент трения равен 0,1.
Ускорение свободного падения равно 9,8 м/с2.
В23. Пружина жесткостью 100 Н/м, предварительно сжатая на 1,4 см, под
действием внешней силы сжимается еще на 1,2 см. Определить величину работы силы упругости при сжатии.
С01. Доска массой m = 3 кг и длиной ℓ = 1 м лежит
у границы двух соприкасающихся полуплоскостей из
ℓ
m
разных материалов (рисунок 26). Какую работу надо
совершить, чтобы медленно передвинуть доску с одной
Рисунок 26
полуплоскости на вторую? Коэффициенты трения полуплоскостей с доской соответственно равны µ1 = 0,3 и µ2 = 0,5.
С02. В клин массы М попадает горизонтально летящая пуля массы m и после абсолютно упругого удара о поверхность клина отскакивает вертикально
вверх. На какую высоту поднимется пуля, если скорость клина после удара
равна v? Трением пренебречь.
С03. Тягач с грузом (общей массой 15 т), обладающий мощностью
375 кВт, поднимается в гору с уклоном 300. Какую максимальную скорость
может развивать тягач на подъёме, если при спуске с горы с выключенным мотором он движется с той же скоростью?
С04. Уклон участка шоссе равен ϕ = 0,05 (уклон − отношение высоты
подъёма h к длине пути ℓ, т.е. ϕ = h/ℓ = sinα, где α − угол наклона пути к горизонту). Спускаясь под уклон при выключенном двигателе, автомобиль массой
m = 2 т движется со скоростью v = 54 км/ч. Какова должна быть мощность N
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
двигателя автомобиля, чтобы он мог подниматься на такой же подъём с той же
скоростью?
Примеры решения задач
1. Космонавт массой m1 = 80 кг находится на поверхности астероида,
имеющего форму шара радиуса R = 1 км, и держит в руках камень массой
m2 = 4 кг. С какой скоростью v2 относительно астероида (в горизонтальном направлении) космонавт может бросить камень, не рискуя, что сам станет спутником астероида? Плотность астероида ρ = 5 г/см3. Гравитационная постоянная
равна G = 6,67⋅10−11 Н⋅м2/кг2.
Дано: m1=80 кг; R=1 000 м; m2=4 кг; ρ=5 000 кг/м3; G=6,67⋅10−11 Н⋅м2/кг2.
v2−?
Решение. Первая космическая скорость для астероида равна: v1= G
M
,
R
4
где М=ρ⋅V=ρ⋅ πR3 – масса астероида.
3
Итак,
v1=
G
G
4
πGρ
⋅M =
⋅ ρ ⋅ πR 3 = 2R
.
R
R
3
3
Допустим, что космонавт после броска камня приобретает скорость v1. В этом
случае, если космонавт массой m1 бросит камень массой m2 со скоростью v2 относительно астероида, то по закону сохранения импульса системы «космонавт
– камень» имеем: m1v1=m2v2, откуда находим
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
m1
m1
πGρ 80
π ⋅ 6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5000
v2=
= ⋅ 2 ⋅ 1000
=23,6 м/с.
v1=
⋅ 2R
3
4
3
m2
m2
2. Лодка массой М стоит в неподвижной воде. Насколько сместится лодка, если рыбак массой m переместится с кормы на нос лодки. Длина лодки ℓ.
Сопротивлением воды пренебрегайте.
Дано: M; m; ℓ.
L−?
Решение. В системе отсчета, связанной с неподвижной водой или берегом
сохраняется проекция импульса системы рыбак – лодка на горизонтальное направление:
0=Mux+mvx,
где ux ,vx – проекции скоростей лодки и рыбака на горизонтально расположенную ось 0х.
Но vx=ux+vx′, где vx′ − проекция скорости рыбака относительно лодки, поэтому
0=Mux+m(ux+vx′)
или
0=(M+m) ux+ mvx′.
Умножим обе части последнего уравнения на ∆t – время перемещения
рыбака с кормы на нос, тогда с учетом того, что ux∆t=L – перемещение лодки
относительно берега, vx′∆t=ℓ – перемещение рыбака относительно лодки равно
длине лодки, имеем:
0=(M+m)L+ mℓ,
откуда находим
L= −
m
⋅ℓ.
M+m
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Знак “−” указывает на то, что лодка перемещается в направлении, противоположном перемещению рыбака.
3. Тележка массой 0,8 кг движется по инерции со скоростью 2,5 м/с. На
тележку с высоты 50 см падает кусок пластилина массой 0,2 кг и прилипает к
ней. Рассчитайте энергию, которая перешла во внутреннюю при этом ударе.
Дано: M = 0,8 кг; v = 2,5 м/с; h = 0,5 м; m = 0,2 кг; g = 10 м/с2.
Q=?
Решение: Так как кинетическая энергия куска пластилина в момент удара
о тележку равна его потенциальной энергии на высоте h, то полная энергия системы ″пластилин + тележка″ в момент удара куска пластилина равна
Е1 = mgh +
1
Mv2.
2
Поскольку пластилин после удара о тележку прилипает к ней, то удар неупругий. В момент удара куска пластилина его скорость направлена вертикально, т.е. перпендикулярно направлению движения тележки, и поэтому «сила
удара» куска пластилина направлена также вертикально. Применяя закон сохранения импульса системы ″пластилин + тележка″ в горизонтальном направлении, имеем:
Mv = (M+m)u,
где u – скорость системы ″пластилин + тележка″ после прилипания пластилина.
Из последнего выражения находим
u=
72
M
v.
M+m
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теперь можем записать выражение для энергии системы ″пластилин + тележка″
после прилипания пластилина:
Е2 =
1
(M+m)u2.
2
Подставляя в последнее уравнение выражение для u, имеем:
Е2 =
1 M2 2
v.
2 M+m
Искомую величину Q найдем, применяя закон полной энергии для системы
″пластилин + тележка″:
Q = Е1 – Е2 = mgh +
= mgh +
1
1 M2 2
Mv2 −
v =
2
2 M+m
1
m
1
0,2
Mv2
= 1,5 Дж.
= 0,2⋅10⋅0,5 + 0,8⋅2,52⋅
2
M+m
2
0,8 + 0,2
4. Кусок пластилина сталкивается со скользящим навстречу по
горизонтальной поверхности стола бруском и прилипает к нему. Скорости
пластилина и бруска перед ударом направлены противоположно и равны
vпл =15 м/с и vбр = 5 м/с. Масса бруска в 4 раза больше массы пластилина. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом µ = 0,17. На какое расстояние переместятся слипшиеся брусок с пластилином к моменту, когда их
скорость уменьшится на 30 %?
Дано: vпл =15 м/с; vбр = 5 м/с; М/m = 4; µ = 0,17; u = 0,7 u0; g = 10 м/с2.
S=?
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение: Обозначим: m – масса куска пластилина, М – масса бруска, vпл и
vбр – скорости куска пластилина и бруска перед ударом, u0 – начальная скорость бруска с прилипшим к нему пластилином, на рисунке а) – до столкновения бруска и куска пластилина, б) – после столкновения. Направления скоростей указаны стрелками.
m
vпл
vбр
M
u0
а)
M+m
х
б)
х
Согласно закону сохранения импульса:
Mvбр + mvпл = (M+m)u0.
При выбранных направлениях скоростей данное векторное уравнение в
проекции на ось 0х примет вид
− Mvбр + mvпл = − (M+m)u0,
Откуда выражаем u0 и находим его значение
u0 =
Mv бр − mv пл
M+m
M
v бр − v пл
4 ⋅ 5 − 15
m
=
=
= 1 м/с.
M
4
+
1
+1
m
Знак «+» значения u0 указывает на то, что после столкновения система кусок
пластилина + брусок движутся в указанном на рисунке направлении, т.е. в направлении отрицательной полуоси 0х.
В момент, когда скорость системы кусок пластилина + брусок уменьшится на 30 %, ее скорость u будет составлять 0,7 от первоначального значения u0,
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
т.е. u = 0,7 u0. Согласно закону полной энергии изменение механической энергии системы равно работе сил трения:
( M + m) u 02
( M + m) u 2
= µ(M+m)gS,
−
2
2
откуда выражаем искомую величину S и вычисляем ее значение
u 02 − u 2
0,51u 02
u 02 − (0,7u 0 )2
0,51 ⋅ 12
S=
=
=
=
= 0,15 м.
2µg
2µg
2µg
2 ⋅ 0,17 ⋅ 10
3.2 Задания для 10 класса
Задание 1-3-10. Механическое движение (повторение)
Кинематика и динамика материальной точки. Законы сохранения в механике.
Условие равновесия тела при отсутствии вращения. Момент силы. Центр
тяжести. Центр масс. Условие равновесия тела с неподвижной осью вращения.
Рычаг.
Давление жидкости. Принцип действия гидравлического пресса. Закон
Архимеда. Условие плавания тел. Уравнение непрерывности. Уравнение Бернулли.
01. К правому концу стержня длиной 30 см прикреплен шар радиусом
6 см, масса которого вдвое больше массы стержня. На каком расстоянии от левого конца стержня находится центр тяжести системы?
02. Два человека несут однородную балку массой 80 кг и длиной 5 м. Один
человек поддерживает балку на расстоянии 1 м от ее конца, а второй держит
противоположный конец балки. Определить величину сил, с которой балка
действует на первого человека.
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
03. Сплошной однородный цилиндр высотой 20 см и диаметром основания
0,4 м плавает на поверхности воды. Какую наименьшую работу надо совершить
для полного погружения его в воду? Плотность материала цилиндра вдвое
меньше плотности воды. Трением о воду пренебречь.
04. С какой скоростью должна двигаться вода в трубе сечением 10 см2,
чтобы в течение часа через поперечное сечение протекало 1,8 м3 жидкости?
05. Малый поршень гидравлического пресса за один ход опускается на
0,2 м, а большой поднимается на 0,01 м. С какой силой действует на пресс зажатое в нем тело, если на малый поршень действует сила 50 Н?
06. Рычаг имеет массу 500 г. Длина рычага 1 м. Короткое плечо имеет длину 40 см. Какой минимальный вес нужно подвесить к короткому плечу, чтобы
рычаг был в равновесии?
07. Из орудия, не имеющего противооткатного устройства, производилась
стрельба в горизонтальном направлении. Когда орудие было неподвижно закреплено, снаряд вылетел со скоростью v1 = 600 м/с, а когда орудию дали возможность свободно откатываться назад, снаряд вылетел со скоростью v2 =
580 м/с. С какой скоростью откатилось при этом орудие?
08. Мяч ударяется о вертикальную стенку, движущуюся со скоростью u =
1 м/с. Скорость мяча перед ударом равна v = 5 м/с. Направления скоростей мяча
и стенки совпадают. Определите, какую часть кинетической энергии η = ∆Е/Е
потеряет мяч, если столкновение является упругим.
09. Самолет массой m = 1 000 кг летит горизонтально на высоте h =
1 200 м со скоростью 50 м/с. При выключенном моторе он планирует и достигает земли со скоростью 25 м/с. Определить силу сопротивления воздуха, если
длина спуска 8 км.
10. Два стержня пересекаются под углом 2α и движутся с равными скоростями v перпендикулярно самим себе. Какова скорость u точки пересечения
стержней?
11. По горизонтальной поверхности мальчик катит две связанные веревкой
тележки, каждая весом Р = 500 Н, с ускорением а = 0,9 м/с2. Каково натяжение
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
верёвки, связывающей тележки? Угол между горизонтом и веревкой α = 450.
Коэффициент трения µ = 0,3.
12. При ударе шарика о идеально гладкую поверхность теряется 1/3 его
кинетической энергии W. Зная, что угол падения 450, определить угол отражения.
13. Биллиардный шар налетает на точно такой же похожий шар. Определите, под каким углом могут разлетаться шары в результате абсолютно упругого соударения.
14. Медный шар с внутренней полостью весит в воздухе 2,59 Н, а в воде
2,17 Н. Определите объем внутренней полости шара.
15. Уклон участка шоссе равен 1 м на каждые 20 м пути. Спускаясь под
уклон при выключенном двигателе, автомобиль движется равномерно со скоростью 60 км/ч. Определите мощность двигателя автомобиля, поднимающегося
по этому уклону с той же скоростью. Масса автомобиля 1,5 т. Ускорение свободного падения 10 м/с2.
16. Пуля, обладающая некоторой начальной скоростью, направленной горизонтально, пробивает доску толщиной d = 3 см и продолжает полет со скоростью в n = 0,75 раз меньше начальной. Определите максимальную толщину
доски, которую может пробить пуля, если сила сопротивления доски не зависит
от скорости пули.
17. Железнодорожная платформа с жестко закрепленным на нем орудием
движется со скоростью 18 км/час. Орудие развернуто под углом 450 к линии
движения, а его ствол возвышается над горизонтом под углом 450. Из орудия
выстреливается снаряд массой 100 кг с начальной скоростью 500 м/с. Найдите
скорость платформы после выстрела, если масса платформы с орудием равна
15⋅103 кг.
18. Сила F = 12 H, действовавшая на покоящееся в начальный момент тело
в течение t = 2⋅10-2 с, сообщила ему кинетическую энергию Е1 = 4 Дж. Определите кинетическую энергию второго такого же тела по прошествии того же
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
времени, если начальная скорость тела v0 = 10 м/с, а сила действует в направлении этой скорости.
19. По наклонной доске снизу вверх пустили катиться шарик. На расстоянии ℓ = 30 см от начала пути шарик побывал дважды: через время t1 = 1 с и через время t2 = 2 с после начала движения. Определите начальную скорость v0 и
ускорение движения шарика a, считая его постоянным.
20. Автомобиль начинает движение из состояния покоя и, двигаясь по
прямой, проходит первый километр с ускорением а1, а второй – с ускорением
а2. При этом на первом километре его скорость увеличивается на 10 м/с, а на
втором километре – на 5 м/с. Найдите значения ускорений а1 и а2.
А01. Тело брошено под углом α = 600 к горизонту с начальной скоростью
v0 = 20 м/с. На какой высоте вертикальная проекция скорости равна горизонтальной?
А02. Граната, летящая со скоростью 10 м/с, разорвалась на два осколка.
Большой осколок, масса которого составляла 60 % массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью, равной
25 м/с. Найдите скорость меньшего осколка.
А03. Акробат прыгает на сетку с высоты h1 = 2 м. При этом сетка прогибается на величину х1 = 1 м. Считая силу упругого сопротивления сетки прямо
пропорциональной ее прогибу и пренебрегая массой сетки, найдите максимальную величину прогиба сетки, если акробат будет прыгать на нее с высоты
h2 = 4 м.
А04. Поезд начинает движение из состояния покоя и равномерно увеличивает свою скорость. На первом километре она возросла на 10 м/с. На сколько
возрастёт она на втором километре?
А05. Два одинаковых тела, движущиеся с одинаковыми по величине скоростями, сталкиваются абсолютно неупруго. Какой угол был между скоростями
тел до удара, если в результате столкновения кинетическая энергия уменьшилась на η = 25 %?
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А06. Вдоль оси 0х движутся две точки: первая − по закону х1 = (4 + 2t), м,
вторая − по закону х2 = (24 − 3t), м. В какой момент времени они встретятся?
Укажите место встречи на координатной оси, считая, что движение начато одновременно. Найдите, с какой скоростью приближаются точки друг к другу.
А07. Теплоход идет от Н.Новгорода до Астрахани 5 суток, а обратно 7 суток. Как долго будет плыть плот от Н.Новгорода до Астрахани? Рассмотрите
идеальный случай, когда стоянки и задержки в движении исключены.
А08. Из начала координат начинают двигаться одновременно две точки.
Первая движется по оси 0х со скоростью 3 м/с, вторая по оси 0у со скоростью
4 м/с. С какой скоростью они удаляются друг от друга?
А09. Под действием взаимно перпендикулярных сил 3 Н и 4 Н тело перемещается в направлении равнодействующей этих сил на расстояние 15 м. Чему
равна работа равнодействующей?
А10. На какой высоте вес тела будет в 2 раза меньше, чем на поверхности
Земли?
А11. На экваторе некоторой планеты тело весит вдвое меньше, чем на полюсе. Плотность вещества этой планеты 3 г/см3. Определить период вращения
планеты вокруг своей оси.
А12. Определите плотность вещества планеты, сутки на которой равны
24 ч, если на ее экваторе тела невесомы.
А13. Две материальные точки движутся согласно уравнениям
х1 = А1t + В1t2 + С1t3
и
х2 = А2t + В2t2 + С2t3 ,
где А1 = 4 м/с, В1 = 8 м/с2, С1 = -16 м/с3, А2 = 2 м/с, В2 = -4 м/с2, С2 = 1 м/с3.
В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v1 и v2 точек в этот момент.
А14. Горизонтальную платформу перемещают с помощью круглых катков.
На какое расстояние переместится каждый каток, если платформа передвинется
на 1 м?
А15. Баба копра массой 400 кг падает на сваю массой 100 кг, вбитую в
грунт. Определите среднюю силу сопротивления грунта, если известно, что при
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
каждом ударе свая погружается в грунт на 5 см, а высота поднятия копра 1,5 м.
Удар неупругий.
А16. Две автомашины движутся по дорогам, угол между которыми α = 600.
Скорость автомашин v1 = 54 км/ч и v2 = 72 км/ч. С какой скоростью v удаляются
машины одна от другой?
А17. Определить КПД η неупругого удара бойка массой m1 = 0,5 т, падающего на сваю массой m2 = 120 кг. Полезной считать энергию, затраченную
на вбивание сваи.
А18. Пуля массой 10 г попадает в дерево толщиной 10 см, имея скорость
400 м/с. Пробив дерево, пуля вылетает со скоростью 200 м/с. Определите среднюю силу сопротивления, которую испытывает пуля, пробивая дерево.
А19. Тело массой 100 г скользит по плоскости с углом наклона 600 к горизонту. Определить мощность силы трения спустя 1 с после начала скольжения.
Коэффициент трения равен 0,5.
А20. Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально со скоростью 103 м/с,
пробивает покоящийся ящик с песком массой 5 000 кг, теряя при этом 75 %
своей энергии. Определить скорость ящика. Трением пренебречь.
А21. Два шара массами m1 = 1 кг, m2 = 3 кг движутся навстречу друг другу
со скоростью v1 = 4 м/с, v2 = 8 м/с. Определить, сколько тепла выделится в результате абсолютно неупругого удара.
А22. Неподвижный конькобежец массой m = 88 кг поймал баскетбольный
мяч массой m2 = 2 кг, брошенный ему со скоростью 27 м/с. Коэффициент трения коньков о лед µ = 0,01. Определить расстояние, которое он проедет на
коньках.
А23. На некотором отрезке пути скорость тела увеличилась с 12 см/с до
13 см/с. Зная, что движение равноускоренное, определите, на сколько возрастёт
скорость тела после того, как будет пройден следующий участок такой же длины?
А24. Камень брошен вертикально вверх с поверхности земли со скоростью
v = 10 м/с и при падении на землю углубился в песок на 10 см вертикально
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вниз. Определить количество выделенного при этом тепла, если масса камня
равна 100 г.
А25. На какую максимальную высоту можно поднять с помощью лебёдки
тело массой 50 кг, если средняя мощность лебёдки равна 1 кВт, время подъёма
2 с? Скорость подъёма постоянна.
А26. Автомобиль, имея некоторую начальную скорость v0, движется равноускоренно по прямолинейному участку дороги, преодолев за время t = 10 с
расстояние S = 200 м. Найти ускорение а автомобиля, если его скорость за это
время увеличилась в n = 3 раза.
А27. На дорогу от Петербурга до Рощино (расстояние 63 км) пассажир
электрички тратит 1 час 10 минут. Средняя скорость движения электрички между станциями 70 км/ч. Какое время занимают остановки?
А28. Груз массой 16 кг, висящий на проволоке, отводится в новое положение силой 120 Н, действующей в горизонтальном направлении. Определить силу натяжения проволоки.
А29. Бусинка массой 3,6 г находится на конце секундной стрелки длиной
5 см. Найти в величину центростремительной силы, действующей на бусинку.
А30. Груз массой 100 кг поднимают с постоянной скоростью рычагом,
длина короткого плеча которого равна 0,2 м. Найти длину другого плеча, если
на него действуют силой 200 Н, направленной к перпендикулярному рычагу.
А31. Тело массой 0,1 кг подвесили к вертикально расположенной невесомой нерастяжимой пружине с коэффициентом жёсткости 1 000 Н/м и отпустили. Определить величину максимальной скорости тела.
А32. Тело начало двигаться равноускоренно из состояния покоя. Пройдя
некоторый путь, тело приобрело скорость v = 10 м/с. Определите скорость тела,
когда оно пройдет вдвое больший путь (с начала движения).
А33. Среднее расстояние между центрами Земли и Луны равно 60⋅Rз, где
Rз−радиус Земли. Масса Земли Мз в 81 раз больше массы Луны Мл. На каком
расстоянии от центра Земли находятся точки, в которых любое тело будет притягиваться этими планетами с одинаковой по модулю силой?
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А34. При равномерном движении по окружности радиуса R = 2 м с линейной скоростью 2 м/с изменение импульса ∆p происходит со скоростью 10 Н/с.
Найти массу тела.
А35. Вес тела в воде в 5 раз меньше, чем в воздухе. Какова плотность вещества тела?
А36. Груз массой 20 кг, подвешенный на верёвке, полностью опущен в воду. Определить силу натяжения верёвки. Плотность воды 1 г/см3, а плотность
груза 20 г/см3.
А37. Мяч массой 0,1 кг объёмом 1 литр, свободно падая с высоты 100 м от
уровня воды плотностью 1 г/см3, достиг максимальной глубины 2 м. Найти количество механической энергии, перешедшее при этом в теплоту.
А38. Тело объёмом 4 л и плотностью 5 г/см3 полностью погружено в воду.
Определить силу, с которой тело давит на дно сосуда.
А39. В стакан высотой 10 см до краёв налита вода. Определить величину
силы давления воды на дно стакана, если площадь дна равна 15 см2.
А40. В два одинаковых сообщающихся сосуда, поперечное сечение которых 10 см2, налита ртуть. Какую массу воды необходимо долить в один из сосудов, чтобы уровень ртути в другом поднялся на 1 см?
А41. В очень узкую мензурку налита вода до уровня 10 см. Когда мензурку
отклонили на некоторый угол от вертикали, давление воды на дно мензурки
уменьшилось в два раза. Определить в градусах величину угла, на который отклонили мензурку от вертикали.
В01. С вершины башни бросают одновременно два тела: первое – вертикально вверх со скоростью v0 =10 м/с, второе – горизонтально со скоростью u0 =
7,5 м/с. Определите расстояние между телами через время τ = 1,2 с после броска.
В02. На озере находится лодка, обращенная кормой к ближайшему берегу.
Человек в лодке переходит с кормы на нос. Как изменится при этом расстояние
между человеком и берегом? Масса человека m = 75 кг, масса лодки М =
150 кг, ее длина ℓ = 2,4 м.
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В03. Два спортсмена бегут одинаковое время. Один бежит первую половину времени с ускорением а, вторую – с ускорением вдвое большим – 2а. Другой
спортсмен первую половину времени бежит с ускорением 2а, вторую – с ускорением а. Определить отношение расстояний пройденных спортсменами. Кто
из них пробежит большее расстояние?
В04. С крыши дома высотой h = 20 м через одинаковые промежутки времени падают капли воды. Первая капля ударяется о землю в тот момент, когда
от края крыши отделяется шестая капля. Определите расстояние между третьей
и четвёртой каплями в момент удара первой капли о землю. Сопротивлением
воздуха можно пренебречь.
В05. Тело, брошенное с поверхности Земли под углом α = 450, побывало
на высоте h = 10 м дважды с промежутком времени τ = 2 с. Определите величину начальной скорости тела.
В06. С вершины башни высотой h = 24 м брошено горизонтально тело со
скоростью v0 = 12 м/с. Одновременно второе тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью u0 = 10 м/с. Определите при каком расстоянии на поверхности Земли между местом броска второго тела и основанием
башни, тела могут столкнуться.
В07. Два одинаковых шара массы m =
m
200 г лежат неподвижно на горизонтальной
поверхности, касаясь друг друга. Третий
шар, двигаясь со скоростью u = 5 м/с по
прямой, касающейся одновременно обоих
R М
R
u
Рисунок 27
m
R
шаров (рисунок 27), налетает на них. Найти массу М налетающего шара, если
после удара он останавливается. С какой скоростью разлетаются после столкновения покоившиеся шары? Радиусы всех шаров одинаковы. Считать удар упругим. Трение отсутствует.
В08. К вертикально расположенной стальной плите прилип магнит. Для
равномерного перемещения магнита вверх необходимо приложить силу F1 =
2,4 H, для такого же перемещения вниз – силу F2 = 1,2 Н. Если плиту распо83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ложить горизонтально и положить сверху тот же магнит, то для равномерного
перемещения необходимо приложить силу F = 2,0 Н. Определите коэффициент
трения скольжения магнита о плиту.
В09.Между двумя лодками, находящимися на поверхности озера, протянута длинная невесомая нерастяжимая верёвка. Человек, находящийся на первой
лодке, тянет верёвку с постоянной силой F = 50 Н. Определить скорости, с которыми будет двигаться первая лодка относительно берега и относительно второй лодки через t = 5 с после того, как человек на первой лодке начал тянуть
верёвку. Вес первой лодки с человеком Р1=2 500 Н, вес второй лодки с грузом
Р2 = 2 500 Н. Сопротивлением воды пренебречь. Указать несколько путей решения.
В10. Тело массой М = 0,2 кг свободно падает без начальной скорости с высоты Н = 5 м (рисунок 28). На высоте h = 2 м в него попадает другое тело массой m = 0,1 кг, которое в момент столкновения имеет только горизонтальную составляющую скорости. В результате столкновения тела слипаются − абсо-
М
m
v
Н
h
лютно неупругий удар. Определите время, прошедшее с
Рисунок 28
момента столкновения до падения тел на землю. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2. Сопротивление воздуха не учитывается.
В11. Спутник движется по круговой орбите, расположенной в плоскости
экватора на высоте h = 1 600 км над Землей. Радиус Земли R = 6 400 км, ускорение свободного падения у ее поверхности g = 9,8 м/с2. Определить скорость
движения v и период Т обращения спутника вокруг Земли.
В12. Три груза массой m = 0,5 кг каждый соединены невесомыми пружинками и подвешены на нити (рисунок 29). Найдите ускорение каждого груза сразу после пережигания нити.
В13. Два груза с массами m1 = m2 = 1 кг связаны между собой нитью, перекинутой через блок. Грузы лежат на плоскостях, расположенных под углами
α = 300 и β = 600 к горизонту (рисунок 30). Правый груз находится выше левого
на h = 0,5 м. Определите через какой промежуток времени после начала движе84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ния грузы окажутся на одной высоте. Трение между грузами и плоскостями отсутствует. Нить нерастяжима.
В14. Определите величины и направления ускорений грузов в системе,
изображенной на рисунок 31. Массы грузов m1 = 1 кг и m2 = 1,5 кг. Массой
блоков и нитей можно пренебречь, растяжение нитей и трение в блоках отсутствует.
1
2
m
m
m
3
Рисунок 29
m2
m1
h
α
β
Рисунок 30
m1
m2
Рисунок 31
В15. Из пункта А в пункт В через каждые 10 мин выезжает по одной автомашине. Расстояние между пунктами А и В равно 60 км. Скорость автомашин
60 км/час. Построить графики зависимости пути от времени для машин. Определите по этим графикам, сколько автомобилей встретит в пути пассажир, который выедет на автомашине из пункта В в пункт А через один час после начала движения машин. Машина пассажира движется со скоростью 60 км/час.
В16. Шар массой М висит на нити длиной ℓ. В шар попадает горизонтально летящая пуля массой m и застревает в нем. С какой минимальной скоростью
v должна лететь пуля, чтобы в результате попадания пули шар мог сделать на
нити полный оборот в вертикальной плоскости?
В17. Тело начало двигаться равноускоренно и в течение пятой секунды от
начала движения прошло 45 м. С каким ускорением оно двигалось? Какова его
скорость в конце пятой секунды? Какой путь прошло тело в первую секунду
своего движения?
В18. Тело трогается с места и с ускорением 1 м/с2 проходит расстояние
12,5 м, затем оно движется равномерно в течение 15 с и до полной остановки
равнозамедленно проходит 20 м. Найдите скорость и путь равномерного дви-
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жения, время и ускорение равнозамедленного движения. Постройте график изменения скорости тела.
S
В19. По графику перемещения (рисунок 32)
построить график скорости и ускорения и объяснить характер движения на каждом участке.
0
t2 t
3
t1
t4
t
Рисунок 32
В20. Снаряд разрывается в верхней точке траектории на высоте h = 19,6 м
на две одинаковые части. Через время τ = 1 с после взрыва одна часть падает на
землю под тем же местом, где произошёл взрыв. На каком расстоянии S2 от
места выстрела упадет вторая часть снаряда, если первая часть упала на расстоянии S1 = 1 км? Силу сопротивления воздуха не учитывать.
В21. Из духового ружья стреляют в спичечную коробку, лежащую на расстоянии ℓ = 30 см от края стола. Пуля массы m = 1 г, летящая горизонтально со
скоростью v0 = 150 м/с, пробивает коробку и вылетает из нее со скоростью v0/2.
Масса коробки М = 50 г. При каком максимальном коэффициенте трения µ между коробкой и столом коробка упадёт со стола?
В22. С какой скоростью должен в момент старта ракеты вылететь снаряд
из пушки, чтобы поразить ракету, стартующую вертикально с ускорением а?
Расстояние от пушки до места старта ракеты равно ℓ, пушка стреляет под углом
α = 450 к горизонту.
В23. Маленький шарик, брошенный с начальной скоростью v0 под углом α
к горизонту, ударился о вертикальную стенку, движущуюся ему навстречу с
горизонтальной скоростью v, и отскочил в точку, из которой был брошен. Определите, через какое время после броска произошло столкновение шарика со
стенкой? Потерями на трение пренебречь.
В24. Два тела бросают из одной точки с одинаковыми скоростями v0 =
60 м/с под одним углом к горизонту α = 300 с интервалом ∆t = 2 с. Через какое
время с момента броска первого тела оба тела в полете будут находиться на
минимальном расстоянии друг от друга? Сопротивлением воздуха пренебречь.
В25. Шарик начал падать с нулевой начальной скоростью на гладкую наклонную плоскость, составляющую угол α с горизонтом. Пролетев расстояние
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
h, он упруго отразился от плоскости. На каком расстоянии от места падения
шарик отразится второй раз?
В26. Артиллерийское орудие расположено на горе высотой h. Снаряд вылетает из ствола со скоростью v0, направленной под углом α к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите: а) дальность полёта снаряда по
горизонтальному направлению; б) скорость снаряда в момент падения; в) угол
падения; г) уравнение траектории; д) начальный угол стрельбы, при котором
дальность полёта наибольшая.
В27. Тело падает с высоты 4 м. На высоте 2 м оно упруго ударяется о закрепленную площадку, расположенную под углом 300 к горизонту. Найти полное время движения тела и дальность его полёта.
В28. Грузы одинаковой массы М связаны между собой нерастяжимой нитью, перекинутой через неподвижный блок, подвешенный к динамометру. На
один из грузов кладут перегрузок массы m. Определите: а) ускорение движения
грузов; б) силу f давления перегрузка m на груз М; в) силу fn натяжения нити;
г) показания динамометра F. Массой блока и нитей пренебречь.
В29. Если пережечь нить, связывающую грузы, висящие на
резиновом шнуре, то верхний груз (1) придёт в движение с уско-
1
g
2
2
рением а1 = 4,9 м/с (см. рисунок 33). Если грузы поменять мес- Рисунок 33
тами и пережечь нить, то с каким ускорением а2 будет двигаться груз (2)?
В30. Тело массой m лежит на теле массой М; максимальное значение силы
трения покоя между ними характеризуется коэффициентом трения µ; между
телом М и поверхностью Земли трения нет. Найдите минимальную силу F, при
действии которой на тело М происходит сдвиг верхнего тела относительно
нижнего.
В31. Два груза различной массы подвешены на одной высоте на невесомой
нерастяжимой нити, перекинутой через блок. Масса одного груза в n = 2 раза
больше массы другого. Через какое время τ один из грузов будет на Н = 1 м
выше другого, если в начальный момент грузы покоились. Трением в блоке
пренебречь.
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В32. Спортсмены бегут колонной длины ℓ со скоростью v. Навстречу бежит тренер со скоростью u < v. Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером,
разворачивается и начинает бежать назад с той же по модулю скоростью v. Какова будет длина ℓ1 колонны, когда все спортсмены развернутся?
В33. Теплоход, имеющий длину ℓ = 300 м, движется по прямому курсу в
неподвижной воде со скоростью v1. Катер, имеющий скорость v2 = 90 км/час,
проходит расстояние от кормы движущегося теплохода до его носа и обратно
за время t = 37,5 с. Найдите скорость теплохода v1.
В34. Шарик массы m подвешен на нити длины ℓ. Его отклонили от положения равновесия до высоты точки подвеса и отпустили. При каком значении
угла α между нитью и вертикалью нить оборвется, если известно, что нить выдерживает удвоенный вес шарика? Какова будет траектория движения шарика
после обрыва нити?
В35. Шарик скользит без трения по наклонному желобу с высоты h и затем
движется по ″мертвой петле″ радиуса R. Какое давление производит шарик на
желоб в некоторой точке ″петли″, если радиус, проведённый из центра ″петли″
в точку, составляет с вертикалью угол α. Шарик принять за материальную точку, высота h = 2,5 R.
В36. Мощность гидростанции 73,5 кВт. Чему равен расход воды в 1 с, если
КПД станции 75 % и плотина поднимает уровень воды на высоту 10 м?
В37. Автомобиль массой 2 т трогается с места и движется в гору, уклон которой равен 0,02. Пройдя расстояние 100 м, он развивает скорость 32,4 км/ч.
Коэффициент трения 0,05. Определите среднюю мощность, развиваемую мотором автомобиля при этом движении.
В38. Брусок А массой m = 1 кг находится на подставке В и
прикреплён к потолку с помощью пружины, жёсткость которой
k = 72,6 Н/м (см. рисунок 34). Подставку В начинают опускать
2
вниз с ускорением а = 5,8 м/с . Найти мощность упругой силы,
А m
k
В
a
Рисунок 34
действующей на брусок в момент отрыва его от подставки. В начальный момент пружина не деформирована.
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В39. Человек, стоящий в лодке, сделал шесть шагов вдоль нее и остановился. На сколько шагов передвинулась лодка, если масса лодки в два раза
больше (меньше) массы человека?
В40. Небольшое тело соскальзывает без трения по наклонному жёлобу, переходящему в ″мёртвую петлю″ радиусом R. С какой минимальной высоты h
должно начать движение тело, чтобы не оторваться в верхней точке петли?
В41. В деревянный шар массой m1 = 8 кг, подвешенный на нити длиной ℓ =
1,8 м, попадает горизонтально летящая пуля массой m2 = 4 г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нём пулей отклонилась от
вертикали на угол α = 30? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, центральным.
В42. Шарик соскальзывает без трения по наклонному
жёлобу, образующему ″мёртвую петлю″радиуса R (см. ри-
h
R
сунок 35). На какой высоте шарик оторвётся от жёлоба, и до Рисунок 35
какой наибольшей высоты после этого поднимется, если он начинал спускаться
с высоты h = 2R? Шарик принять за материальную точку.
В43. Какая работа А должна быть совершена при поднятии с земли материалов для постройки цилиндрической дымоходной трубы высотой h = 40 м,
наружным диаметром D = 3,0 м и внутренним диаметром d = 2,0 м? Плотность
материала принять равной ρ = 2,8⋅103 кг/м3.
В44. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть на 0,01 м упругую
пружину, состоящую из двух одинаковых пружин с жёсткостью k = 3 000 Н/м,
которые соединены 1) параллельно, 2) последовательно?
В45. В открытом сосуде с теплоизолированными стенками находится некоторое количество воды при температуре t = 90 0С. В воду бросают раскалённые вольфрамовые опилки, масса которых равна массе воды. Найти начальную
температуру опилок t0, если известно, что после прекращения кипения уровень
воды в сосуде остался равным первоначальному. Изменением плотности воды
при нагреве, теплоёмкостью сосуда и потерями тепла пренебречь. Температура
кипения воды tкип = 100 0С.
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В46. Ящик массой 200 кг имеющий форму куба необходимо переместить
по горизонтальной поверхности на 10 м. В каком случае и во сколько раз будет
затрачена меньшая работа: при перемещении ящика волоком (μ = 0,4), или кантованием (трением пренебречь)?
В47. Шарик подвешен на невесомой нерастяжимой нити. Нить с шариком
отклонили от вертикали на угол 600 и отпустили. Определить во сколько раз
максимальное значение силы натяжения нити при движении шарика будет
больше минимального.
на краю горизонтальной поверх-
ℓ/2
ℓ
В48. Канат длиной ℓ лежит
а)
ℓ/2
б)
ности (рисунок 36а). Через некоРисунок 36
торое время канат стянули с по-
верхности на половину его длины (рисунок 36б). Определите величину смещения центра масс каната. Толщиной каната можно пренебречь.
В49. Определите положение центра тяжести однородно-
R/3
R
го диска радиуса R, в котором вырезано круглое отверстие
(рисунок 37). Круг касается граничной окружности и имеет
радиус R/3.
Рисунок 37
В50. Определить величину ускорения свободного падения на поверхности
планеты радиусом 5 000 км, если скорость спутника, движущегося по круговой
орбите на высоте 5 000 км, равно 5 км/с.
В51. Тело массой 1 кг соскальзывает по гладкой поверхности клина той же
массы. Угол при основании клина составляет 450, а коэффициент трения между
клином и горизонтальным столом равен 0,15. Какую наименьшую горизонтальную силу надо приложить к клину, чтобы удерживать его неподвижным?
у
В52. Стержень АВ длины ℓ опирается концами о пол и
В
стенку (рисунок 38). Найти зависимость координаты yB конца
ℓ
v
стержня В от времени t при движении конца стержня А с посто-
0
х янной скоростью v в направлении горизонтальной оси 0х, если
А
Рисунок 38 первоначально конец А имеет координату х0.
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В53. В двух вершинах равностороннего треугольника помещены шарики
массой m каждый. В третьей вершине находится шарик массой 2m. Определите
положение центра масс этой системы.
В54. Аэростат поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью
v0 = 5 м/с. К гондоле аэростата привязан на верёвке груз. На высоте h = 30 м верёвку перерезают. Напишите формулу зависимости вертикальной координаты
груза от времени y(t). Координатная ось 0y направлена вверх, а ее начало находится на поверхности Земли. Определите скорость груза в момент падения на
Землю и время его движения до Земли. Ускорение свободного падения принять
равным g = 10 м/с2.
В55. Тело, брошенное вертикально вверх, проходит в первую секунду половину высоты подъёма. Чему равна средняя скорость тела за все время его
движения? Считать, что ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
В56. Когда гонщик массой 60 кг проходит вираж, его велосипед перпендикулярен к полотну трека и наклонён под углом 600 к горизонту. Найти величину центростремительной силы, действующей на гонщика. Силой трения пренебречь.
v
В57. Тело начинает скользить по гладкой
поверхности со скоростью v0 = 10 м/с. На пути
тела встречается трамплин, верхняя часть которого горизонтальна (рисунок 39). Трение
v0
h
ℓ
Рисунок 39
между телом и поверхностью трамплина отсутствует. Определите высоту
трамплина h, при которой дальность полёта тела ℓ будет максимальной.
В58. Шарик подвешен на невесомой нерастяжимой нити. Нить с шариком
отклонили на угол 600 и отпустили. Определить во сколько раз максимальное
значение силы натяжения нити при движении шарика будет больше минимального.
В59. Тело массой m = 1 кг тянут по горизонтальной поверхности с силой
F = 4 Н. Тело движется равномерно, если сила приложена к нему под углом α =
300 к горизонту. С каким ускорением а будет соскальзывать тело вниз по на91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
клонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 300, если коэффициенты трения тела о горизонтальную поверхность и наклонную плоскость
равны? Считать, что ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
В60. Центр шара массой 1 г соединен с центром равновеликого шара массой 3 г невесомым cтepжнeм длиной 10 см. Найти величину момента внешней
силы, удерживающей стержень горизонтально, если вся конструкция погружена в жидкость и ее центр масс неподвижен.
В61. В однородном горизонтальном диске радиусом 1 м и массой 6 кг сделан круговой вырез радиуса 0,5 м с центром на расстоянии 0,5 м от центра диска. Определить модуль максимального момента силы тяжести оставшейся фигуры относительно оси, проходящей через центр диска.
В62. Пробка весом 11,76 мН привязана к куску железа весом 114,7 мН.
При погружении в воду их вес стал равен 62,72 мН. Определите плотность
пробки.
В63. Кусок железа массой 11,7 г, связанный с пробкой, масса которой
1,2 г, вместе с ней полностью погружен на нити в воду. Определите плотность
и объём пробки, если сила натяжения нити 62,72 мН. Выталкивающей силой
воздуха пренебречь.
В64. Определите минимальный объём шара, наполненного водородом, который может поднять человека массой 70 кг на высоту 100 м за время 30 с.
Масса оболочки и корзины 20 кг, плотности воздуха и водорода, соответственно, 1,3 и 0,1 кг/м3. Сопротивлением воздуха пренебречь.
В65. Стальной кубик плавает в ртути. Поверх ртути наливают воду так, что
она покрывает кубик тонким слоем. Какова высота h слоя воды, если длина
ребра кубика а = 10 см. Определите давление Р на нижнюю грань кубика.
В66. На малый поршень гидравлического пресса давление передаётся с
помощью рычага, плечи которого равны 1,35 м и 0,15 м. К концу длинного плеча рычага приложена сила 200 Н. Площади поршней пресса равны 4 см2 и
400 см2. КПД пресса 80 %. Определите силу давления второго поршня.
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В67. В колено U-образной трубки площадью поперечного сечения 1 см2,
содержащей ртуть, налили 7,2 г воды и 20 г бензина. На сколько уровень жидкости в одном колене выше, чем в другом?
С01. Невесомый стержень, опирающийся на неподвижную призму, находится в равновесии, если к его левому концу прикреплён груз массой М = 3 кг,
а к правому - два груза с массами m1 = 2 кг и m2 = 1 кг соответственно. На какое
расстояние, и в каком направлении необходимо сместить точку опоры, если
грузы m1 и m2 будут подвешены на нерастяжимой нити к невесомому блоку,
прикреплённому к правому концу (рисунок 40), и начнут двигаться? Длина
стержня ℓ = 0,5 м.
С02. Определите положение центра тяжести однородного диска радиуса R
с двумя вырезанными кругами (рисунок 41). Круги, лежащие на одном диаметре, касаются граничной окружности диска и имеют радиусы R/2 и R/4.
R
R/2
R/4
m2
М
0
α
m1
Рисунок 40
Рисунок 41
Рисунок 42
С03. Тонкая доска прислонена к брусу, масса которого в n раз больше массы доски (рисунок 42). Коэффициенты трения между доской и поверхностью
µ1, между брусом и поверхностью µ2. Трение между доской и брусом отсутствует. Определите, при каких значениях угла α система находится в равновесии.
При решении предположите, что брус не может опрокинуться.
С04. Пустой цилиндрический стакан с толстыми стенками и тонким дном
плавает в цилиндрическом сосуде с водой, погрузившись на половину своей
высоты, равной 16 см. В стакан наливают некоторое количество масла, плотность которого составляет 4/5 от плотности воды. В результате уровень воды в
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сосуде повысился на 4 см. Найти разницу между уровнем воды в сосуде и
уровнем масла в стакане. Толщина стенок стакана в 5 раз меньше его внутреннего радиуса, а внешнее сечение стакана в 2 раза меньше сечения сосуда.
С05. Тонкий однородный цилиндрический стержень верхним концом крепится к шарниру. Снизу под стержень подводится ванна с жидкостью плотностью ρ (см. рисунок 43). ОпределиРисунок 43 те плотность материала стержня, если в жидкости находится n-1
часть его длины ℓ.
С06. В цилиндрический сосуд с площадью основания S = 400 см2, частично
заполненный водой, пустили плавать шар объемом V = 1 л с полостью внутри,
так, что шар погрузился до половины. На сколько сантиметров повысился уровень воды в сосуде? Какая часть шара будет выступать из воды, если полость
заполнить водой из этого же сосуда? Объём полости составляет 0,4 V.
С07. Грузик, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити, отводят в
сторону так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают (рисунок 44).При движении грузика вертикальная составляющая его скорости vв сперва возрастает,
•
α
затем убывает. Какой угол α с вертикалью образует нить в
тот момент, когда вертикальная составляющая скорости
Рисунок 44
грузика наибольшая?
С08. Небольшое тело массой m соскальзывает с гладкой полусферы радиусом R. На какой высоте оно оторвётся от поверхности полусферы?
С09. На гладкую неподвижную плоскость с углом наклона α налетает
стальной шарик под углом β к плоскости (рисунок 45). При каком значении β
шарик сможет вернуться в точку его первого удара о плоскость, если между первым и последним ударом шарик еще
n раз столкнется с плоскостью? Все соударения шарика с
плоскостью считать упругими.
β
α
Рисунок 45
С10. Первый вагон, тронувшегося с места поезда, прошел мимо неподвижного наблюдателя, стоявшего у начала этого вагона, за время t1, а последний ва94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
гон за время t2. Движение поезда можно считать равноускоренным, а длины вагонов одинаковыми. Найдите время движения мимо наблюдателя всего поезда
и количество вагонов в поезде.
С11. Полиспаст (рисунок 46) состоит из неподвижного
А
блока А и из n подвижных блоков. Определите в случае равновесия отношение веса поднимаемого груза Q к усилию Р,
Р
прилагаемому к концу каната, сходящего с неподвижного
блока А.
Q
С12. Тело начинает прямолинейно двигаться из состоя-
Рисунок 46
ния покоя с постоянным ускорением. Спустя время t0 после
начала движения направление ускорения меняется на противоположное, оставаясь неизменным по величине. Определите, через какое время после начала
движения тело вернётся в исходное положение.
С13.Чтобы выложить карниз здания, каменщик кладёт четыре кирпича
один на другой так, что часть каждого кирпича выступает над нижележащим.
Определите наибольшие длины выступающих частей кирпичей, при которых
кирпичи в карнизе еще будут находиться в равновесии без цементного раствора. Длина каждого кирпича равна ℓ.
С14. Лягушка массы m сидит на конце доски массы М и длины ℓ. Доска
плавает на поверхности пруда. Лягушка прыгает под углом α к горизонту вдоль
доски. Какой должна быть при этом начальная скорость лягушки v0, чтобы после прыжка лягушка оказалась на другом конце доски?
С15. С отвесной скалы падает камень и через 6 с доносится его стук о Землю. Определите высоту скалы, приняв скорость звука равной 340 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
С16. Брусок массой М = 1 кг и длиной ℓ0 =
1 м находится на гладкой горизонтальной поверхности, по которой он может скользить без
m
ℓ0
F
М
Рисунок 47
трения. На бруске у левого его конца лежит небольшой кубик массой m = 0,2 кг
(рисунок 47). К кубику в горизонтальном направлении приложена некоторая
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сила F, под действием которой кубик, двигаясь равноускоренно, соскользнул с
противоположного конца бруска в тот момент, когда брусок переместился на
расстояние ℓ, равное его учетверенной длине (ℓ = 4ℓ0).Определить коэффициент
трения между кубиком и бруском, если в момент падения кубика скорость бруска v = 2 м/с.
С17. Тело, падающее с вершины башни, пролетело расстояние h = 4 м,
когда второе тело начало падать из точки, расположенной на расстоянии ℓ =
12 м ниже вершины башни. Определите высоту башни, если известно, что оба
тела достигают поверхности земли одновременно.
С18. Тело брошено под углом α = 450 к горизонту. Найдите отношение радиусов кривизны траектории в момент броска и в момент достижения телом
максимальной высоты подъема.
С19. На горизонтально расположенный стержень действуют две параллельные силы, равные по величине F 1 =2 H и F2 = 6 Н (рисунок 48). Первая сила
приложена к левому концу стержня и направлена вертикально вверх, вторая − к середине и направлена верти-
F
кально вниз. Определите величину и направление силы,
уравновешивающей силы F1 и F2 а также точку прило-
L
L/2
F2
Рисунок 48
жения этой силы.
С20. Из миномёта ведут обстрел объекта, расположенного на склоне горы.
На каком расстоянии ℓ будут падать мины, если начальная скорость их v0, угол
наклона горы α, угол стрельбы β по отношению к горизонту?
С21. Под каким наименьшим углом к горизонту следует бросать мяч, чтобы он пролетел сквозь баскетбольное кольцо сверху, не ударившись об него?
Радиус мяча равен r, радиус кольца R = 2r, высота его над полом H = 3 м. Баскетболист бросает мяч с высоты h = 2 м, находясь на расстоянии ℓ = 5 м от
кольца, считая по горизонтали. Изменением скорости мяча за время полета через кольцо пренебречь.
С22. Ширина реки 100 м. На что потребуется больше времени: проплыть
вниз по течению 100 м и вернуться обратно или переплыть реку туда и обратно
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
перпендикулярно к берегам? Скорость пловца в неподвижной воде 50 м/мин, а
скорость течения реки 30 м/мин.
С23. Тело массой 1 кг, висящее на нити длиной
3 м, отвели в горизон-
тальное положение и отпустили. Определить кинетическую энергию тела в тот
момент, когда вертикальная составляющая скорости тела максимальна.
С24. Через два блока А и В, находящихся на одной горизонтали на расстоянии АВ = 2ℓ друг от друга, перекинута нить, к
концам которой подвешены два равных груза М
весом по Р. К нити в середине С между блоками
С
М1
А
В
h
подвешен груз М1 весом Р1 и предоставляют ему
падать без начальной скорости (см. рисунок 49).
М
М
Рисунок 49
Определить наибольшее расстояние h, на которое
опустится груз М1, предполагая, что длина нити достаточно велика и Р1 < 2Р.
Размерами блоков пренебречь.
С25. Пассажир первого вагона поезда длины ℓ прогуливался по перрону.
Когда он был рядом с последним вагоном, поезд начал двигаться с ускорением
а. Пассажир сразу же побежал со скоростью v. Через какое время t он догонит
свой вагон?
С26.
На
горизонтальной
доске
стоят
два
одинаковых кубика массой М каждый. Между кубиками
вставляют идеально гладкий клин массы m с углом при
2α
M
m
M
Рисунок 50
вершине 2α (см. рисунок 50). С каким ускорением будут двигаться кубики,
если коэффициент трения между кубиками и доской равен µ?
С27. Небольшое тело массы m соскальзывает без трения с вершины полусферы радиуса R, лежащей на горизонтальной плоскости. На какой высоте h
тело оторвётся от поверхности сферы?
С28. Когда опоздавший пассажир вбежал на платформу, мимо него за время t1 прошел предпоследний вагон. Последний вагон прошел мимо пассажира
за время t2. Определите время, на которое опоздал пассажир к отходу поезда,
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
если он вбежал на платформу в месте стоянки начала поезда. Поезд движется
равноускоренно, длина вагонов одинакова.
v
С29. Брусок массой m = 0,1 кг находится на ле-
m
М
Рисунок 51
вом конце доски, масса которой М = 1 кг, а длина ℓ =
0,5 м (рисунок 51). Коэффициент трения между бру-
ℓ
ском и доской µ = 0,5. Доска находится на гладкой
горизонтальной поверхности и может перемещаться по ней без трения. Летевшая горизонтально пуля попадает в брусок и застревает в ней. Масса пули m1 =
5 г. Определите минимальную скорость пули, при которой брусок сможет соскользнуть с доски. Размерами бруска можно пренебречь.
Примеры решения задач
1. Шарик, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити, отводят в сторону так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают. Какой
угол с вертикалью образует нить в тот момент, когда проекция скорости шарика на вертикальное направление наибольшая?
Дано: α0 = 90 ; vy = vy max .
α−?
Решение. В начальный момент
y
L
0
g
α
α
T
h
α
L
3
(положение 1 на рисунке) скорость
α
шарика равна нулю. Значит, равна
нулю и проекция скорости на верти-
1
v2
2
vy
v
mg
кальную ось 0у. В положении 2 вертикальная составляющая скорости снова
равна нулю, так как вектор скорости v2 направлен горизонтально. Следователь-
но, по мере движения шарика из положения 1 в положение 2 вертикальная проекция скорости vy сначала увеличивается, достигая максимального значения, а
затем начинает уменьшаться. Возрастание вертикальной проекции скорости
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
будет продолжаться до тех пор, пока не станет равной нулю вертикальная проекция равнодействующей приложенных к шарику силы тяжести mg и силы натяжения нити Т. В этот момент (положение 3 на рисунке) вертикальная проекция ускорения обратится в нуль, и второй закон Ньютона в проекциях на ось 0у
запишется в виде:
T⋅cosα − mg = 0,
где α − угол между нитью и вертикалью. Натяжение нити Т найдем, воспользовавшись тем, что шарик движется по дуге окружности радиуса L, где L – длина
нити. Уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекции на ось, совпадающей с нитью, выглядит так:
v2
.
T − mg⋅cosα = m⋅
L
Квадрат линейной скорости v2 шарика найдём из закона сохранения энергии:
v2
=mgh, где h=L⋅cosα (см. рис.), откуда v2=2gLcosα.
m⋅
2
Учитывая все записанные соотношения, получаем
3mgcos2α − mg = 0,
и
3cos2α − 1 = 0,
откуда находим
cosα =
1
1
, и α = arccos
= 550.
3
3
Эту задачу можно решить, используя математический приём. Как известно, в точках экстремума функции ее производная равна нулю. В произвольном
положении шарика вертикальная проекция скорости равна:
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
vy = v⋅sinα =
2gL ⋅ cos α ⋅ sin α .
Приравняем нулю производную от этого выражения:
vy′=
(
)
(
)
gL
gL
− sin 2 α + 2 cos 2 α =
3 cos 2 α − 1 = 0.
2 cos α
2 cos α
Отсюда вытекает условие: 3cos2α − 1 = 0, совпадающее с найденным ранее.
2. Точка движется по окружности со скоростью, которая меняется по закону v = bt, где b = 0,5 м/с2. Найдите модуль полного ускорения, когда точка
совершит первый оборот после начала движения.
Дано: v = bt ; b = 0,5 м/с2.
а−?
Решение. Из уравнения v = bt следует, что в начальный момент времени
t = 0 начальная скорость v0 = b⋅0 = 0, и в этот момент угловая скорость ω0 =
v0/R = 0/R = 0, где R – радиус окружности.
Один оборот соответствует повороту на угол 2π рад. Уравнение вращательного движения точки ϕ = 2π =
1 2
εt , откуда находим t2 = 4π/ε, где ε − угло2
вое ускорение.
Поскольку тангенциальное ускорение по определению:
аτ =
dv d
= (bt ) = b , то из аτ = εR, находим ε = аτ/R = b/R.
dt dt
Нормальное ускорение равно:
v 2 (bt )2 b 2 2 b 2 4π b 2 4π
аn=
=
=
⋅t =
⋅
=
⋅
= 4πb.
R
R
R
R ε
R b/ R
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полное ускорение равно:
a = an 2 + a τ 2 =
(4πb)2 + b 2
= b (4π )2 + 1 = 0,5 (4π)2 + 1 =6,3 м/с2.
3. Квадратная рамка из однородной проволоки, у которой отрезана одна
сторона, подвешена на гвоздь. Найдите тангенс угла между средней стороной и
вертикалью.
Дано: L1 = L2 = L3 = L.
N
tgα−?
0
Решение. На рамку действуют сила реакции N и силы тяжести m1g, m2g, m3g, приложенные к серединам сторон рамки (см. ри-
α
m2g
m1g
сунок). Так как проволока однородная, то
массы сторон рамки равны между собой m1 =
α
m2 = m3 = m. Сторону рамки обозначим через
m3g
а. Приравнивая нулю сумму моментов сил
(условие равновесия) относительно оси, проходящей через точку подвеса (гвоздь) 0, получим уравнение:
z
х
y
a
a
m1g⋅ cos α − m2g⋅ sin α − m3g⋅x = 0.
2
2
С учётом того, что x = y – z = a⋅sinα −
a
cos α и массы сторон рамки равны,
2
уравнение моментов примет вид:
a
a
a
mg⋅ cos α −mg⋅ sin α −mg⋅(a⋅sinα− cos α )=0,
2
2
2
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
откуда получим искомый тангенс угла α:
tgα =
2
.
3
4. Какая сила давления может быть получена на гидравлическом прессе,
если к длинному плечу рычага, передающего давление на малый поршень, приложена сила F0 = 100 Н, соотношение плеч рычага равно L0/L1 = 9, а площади
поршней пресса соответственно равны S1 = 5 см2 и S2 = 500 см2. КПД пресса η =
0,8.
Дано: F0 = 100 Н; L0/L1 = 9; S1=5⋅10−4 м2; S2=500⋅10−4 м2; η=0,8 (80 %).
F2 −?
L1
L0
F0
Решение. Сделаем схематический
рисунок гидравлического пресса. Обозна-
F1
чения на рисунке: L0/L1 = 9 – отношение
F2
S1
S2
плеч рычага; F1 и F2 – силы, действующие
на малый и большой поршни, соответственно; S1 и S2 – площади поршней.
Напишем уравнение для гидравли-
ческого пресса:
F1 S1 l 2
=
=
,
F2 S 2 l 1
где ℓ1 и ℓ2 – перемещения поршней.
Из этого уравнения следует, что F1ℓ1 = F2ℓ2, т.е. А1 = F1ℓ1 – работа, совершаемая силой F1, действующей на малый поршень, и А2 = F2ℓ2 − работа, совершаемая силой F2, действующей на большой поршень, равны. Так как гидравлический пресс используется для получения выигрыша в силе, то А2 = Апол – представляет собой полезную работу, а А1 = Азатр представляет собой затраченную
работу. Апол = Азатр − полезная и затраченная работы равны только в том случае,
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
когда не учитываются силы сопротивления, действующие в механизмах пресса.
В общем случае, как в нашей задаче, КПД пресса равен:
η=
А пол
Fl
F l
= 1 1 = 1⋅ 1 .
А затр F2 l 2 F2 l 2
Так как из уравнения гидравлического пресса следует, что
l 1 S2
F S
=
, тогда η = 1 ⋅ 2 ,
F2 S1
l 2 S1
откуда находим
F2 = ηF1
S2
.
S1
Значение F1 находим из уравнения для рычага: F1L1 = F0L0, т.е. F1 = F0
L0
.
L1
Подставляя выражение для F1 в уравнение для F2, получаем:
F2 = ηF1
L S
S2
500
= η ⋅ F0 ⋅ 0 ⋅ 2 = 0,8⋅100⋅9⋅
= 72⋅103 Н = 72 кН.
S1
L1 S1
5
5. По трубе радиусом R = 1,5 см течёт углекислый газ (с плотностью ρ =
7,5 кг/м3). Определите скорость его течения, если за время t = 20 мин через поперечное сечение трубы протекает m = 950 г газа.
Дано: R=1,5⋅10−2 м; ρ=7,5 кг/м3; t=20⋅60 с; m=0,95 кг.
v −?
Решение. Пишем формулу для массового расхода газа, т.е. для массы газа,
протекающего в единицу времени через поперечное сечение трубы:
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Q=
m
= ρSv ,
t
где v – скорость течения газа;
S = πR2 – площадь поперечного сечения трубы, т.е.
m
= ρπR 2 v ,
t
откуда находим:
v=
m
ρπR t
2
=
0,95
7,5 ⋅ π ⋅ (1,5 ⋅ 10 − 2 ) 2 ⋅ 20 ⋅ 60
= 0,15 м/с = 15 см/с.
6. Воду, текущую по водопроводной трубе со скоростью v = 2 м/с, быстро
перекрывают жесткой заслонкой. Определите силу, действующую на заслонку
при внезапной остановке воды, если скорость звука в воде с = 1 400 м/с. Сечение трубы S = 5 см2. Плотность воды ρ = 1 г/см3. Найдите давление на заслонку.
Дано: v = 2 м/с; с = 1 400 м/с; ρ = 103 кг/м3; S = 5⋅10−4 м2.
F− ? Р − ?
Решение. Столкнувшись с заслонкой, часть воды, прилегающая к ней, останавливается, сжимается и возбуждает волну давления, распространяющуюся
навстречу потоку со скоростью звука в воде с. Если бы вода была несжимаема,
то скорость всего потока уменьшилась бы мгновенно до нуля. Однако, благодаря сжимаемости вода продолжает движение, и до нуля падает скорость только
той части столба, которая может быть достигнута волной давления. Выбирая
положительное направление оси в направлении скорости потока v, запишем закон изменения импульса за время ∆t:
0 − mv = 0 − ρ⋅∆v⋅v = 0 − ρ⋅(c∆tS)⋅v = F⋅∆t.
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сила, действующая на заслонку:
Fc = − F = ρcvS.
Следовательно, давление на заслонку равно:
Р=
Fc
= ρcv.
S
Подставляя числовые значения, найдем:
Fc = ρcvS = 103⋅1.4⋅103⋅2⋅5⋅10−4 = 1 400 Н = 1,4 кН.
Р = ρcv = 103⋅1.4⋅103⋅2 = 28⋅105 Па = 28 атм.
Рассмотренное явление внезапного контакта воды с преградой называют
гидравлическим ударом. Разрушительное действие капель также объясняется
этим явлением.
7. Тонкостенный стакан плавает в воде, погрузившись наполовину. Насколько изменится глубина погружения, если стакан поставить в воду вверх
дном. Температура воздуха в стакане постоянна. Высота стакана Н. Атмосферное давление Р0. Плотность воды ρ. Ускорение силы тяжести g.
Дано: Н; Р0; ρ; g.
∆h −?
Решение. Сделаем рисунок, на котором изобразим положение стакана в
обоих случаях. В позиции (а) стакан плавает, погрузившись на
Н
Н
, и на
край
2
2
стакана выступает над уровнем воды. В позиции (в) для перевёрнутого стакана:
на h1 дно стакана выступает над уровнем воды, h2 − разница уровней воды в
стакане и вне стакана.
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
h1
Н
2
h2
Н
2
(в)
(а)
1) Для изотермического процесса для воздуха в стакане применяем закон
Бойля – Мариотта:
или
P1V1 = P2V2,
P0HS = (P0 +ρgh2)(h1 + h2)S,
где S – площадь поперечного сечения стакана.
2) Если записывать условия плавания стакана, то в обоих случаях сила
тяжести стакана mg (m – масса стакана) уравновешивается выталкивающими
силами (Архимеда). Поэтому в качестве второго уравнения записываем:
т.е.
mg = FАрх1 = FАрх2,
FАрх1 = FАрх2,
или
ρg
Н
S = ρgh2S,
2
откуда находим
h2 =
Н
.
2
Подставляем это значение h2 =
Н
в первое уравнение
2
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
P0HS = (P0 +ρg
Н
Н
)⋅(h1 + )S,
2
2
откуда находим
h1 =
Н 2P0 − ρgH
⋅
.
2 2P0 + ρgH
А приращение глубины погружения стакана равно (см. рисунок):
−1

2P 
Н
Н Н 2P0 − ρgH
∆h =
− h1 =
− ⋅
= H 1 + 0  .
2
2
2 2P0 + ρgH
 ρgH 
8. Если пережечь нить, связывающую грузы, висящие на резиновом шнуре, то верхний груз 1 придет в движение с ускорением а1 = 5 м/с2
(см. рисунок). Если грузы поменять местами и пережечь нить, то с
каким ускорением а2 придет в движение груз 2? Ускорение силы
тяжести g = 10 м/с2.
1
g
2
Дано: а1 = 5 м/с2; g = 10 м/с2.
а2 − ?
Решение. Упругая резина под действием силы тяжести двух грузов растягивается на величину ∆х, определяемую законом Гука F= k⋅∆x = (m1+m2)g.
Когда нить, связывающую грузы 1 и 2 пережигают, то на
Fупр
1
х
верхний груз 1 действуют Fупр и сила тяжести m1g, и по втоа1 рому закону Ньютона (см. рисунок):
m1g
m1а1 = Fупр + m1g.
Это уравнение в проекции на вертикальную ось 0х имеет вид:
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
-m1a1 = -k⋅∆x+m1g.
С учётом, что k⋅∆x = (m1+m2)g, имеем
-m1a1 = -(m1+m2)g + m1g = - m2g, т.е. m1a1 = m2g
и
a1 =
m2
g.
m1
Если поменять грузы 1 и 2 местами, то при тех же рассуждениях можно
получить выражение для а2:
а2 =
m1
g.
m2
Перемножая почленно полученные выражения для a1 и а2, имеем:
a1⋅а2 =
m 2 m1
g⋅
g = g2,
m1 m 2
откуда находим
а2 =
g2
102
=
= 20 м/с2.
a1
5
9. Шар массой М = 1 кг, подвешенный на нити длиной ℓ = 90 см, отводят
от положения равновесия на угол α = 600 и
отпускают. В момент прохождения шаром
положения равновесия в него попадает пуля
массой m = 10 г, летящая навстречу шару
ℓ
жает двигаться горизонтально. Определите
дания в шар, если он, продолжая движение в
108
ℓ
ℓ
(см. рисунок). Она пробивает его и продолизменение скорости пули в результате попа-
α
β
v1
m
v2
M
m
M
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
прежнем направлении, отклоняется на угол β = 390. (Массу шара считать неизменной, диаметр шара – пренебрежимо малым по сравнению с длиной нити).
Дано: ℓ = 0,9 м; М = 1 кг; m = 10−2 кг; α = 600; β = 390; g = 10 м/с2.
∆v = v1 – v2 = ?
Решение. Шар массой М совершает колебания с максимальным углом отклонения α от вертикали (см. рисунок). При этом от
положения равновесия шар поднимается на высоту h,
ℓ-h
α
ℓ
определяемую из условия:
h
cosα =
l−h
l
⇒ h = ℓ⋅(1 − сosα).
При этом шар положение равновесия проходит со скоростью vα, определяемой из закона сохранения энергии:
Mv α 2
= Mgh
2
⇒ vα =
2gh =
2gl(1 − cos α ) .
После того как шар будет пробит пулей, он отклоняется на угол β. Это означает, что шар в этом случае положение равновесия проходит со скоростью vβ:
vβ =
2gl(1 − cos β) .
Так как β < α, то из этого мы заключаем, что шар в момент попадания пули
проходил положение равновесия со скоростью vα, направленной навстречу скорости пули v1. После пробивания шара пуля массой m продолжает движения со
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
скоростью v2, в том же направлении. Закон сохранения импульса для системы
«пуля – шар» в проекции на направление движения пули имеет следующий вид:
Mvα − mv1 = Mvβ − mv2,
откуда находим искомую величину
M
M
(
v α − vβ ) =
( 2gl(1 − cos α ) −
m
m
∆v = v1 – v2 =
=
=
(
)
M
2gl 1 − cos α − 1 − cos β =
m
1
10
−2
2gl(1 − cos β) ) =
(
)
2 ⋅ 10 ⋅ 0,9 1 − cos 60 0 − 1 − cos 39 0 = 100 м/с.
10. Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности
земли под углом к горизонту, упал обратно на землю через 2 с в 20 м от места
броска. Чему равна минимальная скорость камня за время полёта?
Дано: t = 2 c; S = 20 м.
vmin = ?
y
v0y
ризонту, находится под действием
α
0
g
vx
Решение: Тело, брошенное
со скоростью v0 под углом α к го-
vmin
v0
vy
v0x
v
S
x
силы тяготения к Земле, и движется вертикально вниз (т.е. в сторону отрицательной полуоси 0у) с ускорением g (см. рисунок). Значения проекций начальной скорости v0 на горизонтальную ось 0х и вертикальную ось 0у равны:
v0x = v0⋅cosα;
v0y = v0⋅sinα.
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Значения проекций скоростей по осям 0х и 0у изменяются со временем по законам
vy = v0y + gyt = v0y − gt,
vx = v0x + gxt = v0x;
так как проекции вектора ускорения свободного падения g на оси координат
равны
gy = − g.
gx = 0;
Поскольку в любой момент времени полная скорость равна v = vx + vy, а
ее модуль равен v = v x + v y , то с учетом выражений для vx и vy заключаем,
2
2
что минимальное значение скорости vmin за время полёта равна vx = v0x, т.е.
vmin = vx = v0x. За время полёта t камень пролетит по горизонтали (т.е. вдоль оси
0х) на расстояние S:
S = v0xt +
1 2
gxt = v0xt = vmin t,
2
откуда находим
vmin =
S 20
=
= 10 м/с.
2
t
Задание 2-3-10. МКТ
Основные положения молекулярно-кинетической теории (МКТ). Идеальный газ. Основное уравнение МКТ. Температура в термодинамике и МКТ. Газовые законы, уравнение состояния идеального газа. Закон Дальтона.
Изотерма реального газа. Насыщенный и ненасыщенный пар. Влажность
воздуха.
Поверхностное натяжение жидкостей. Смачивание, несмачивание. Давление кривой поверхности. Капиллярные явления.
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
01. Два одинаковых сосуда наполнены идеальным газом при температуре
Т1, и соединены между собой трубкой, объемом которой можно пренебречь. Во
сколько раз изменится давление газа в сосудах, если один из них нагреть до
температуры Т2, а во втором поддерживать температуру Т1? Изменением объема нагретого сосуда пренебречь.
02. Как, зная плотность ρ и молярную массу μ, найти число n молекул вещества в единице объема?
03. Через трубку переменного сечения продувают воздух. Входное отверстие имеет площадь поперечного сечения S1, выходное отверстие − S2 (рисунок 52). На входе скорость воз-
v1 S1
S2
v2
Р2,Т2
Р1,Т1
Рисунок 52
духа постоянна и равна v1, температура Т1, давление Р1. На выходе из трубки
температура воздуха Т2, давление Р2. Найти скорость воздуха v2 в выходном сечении трубки.
04. Определить отношение объёмов кусков алюминия и меди, содержащих
одинаковое число атомов. Молярные массы алюминия µAl = 27 г/моль и меди
µCu = 64 г/моль.
05. Открытую стеклянную трубку длиной ℓ = 1 м, наполовину погружают в
ртуть. Затем верхний конец трубки плотно закрывают и трубку вынимают из
ртути. Какой длины столбик ртути останется в трубке? Атмосферное давление
равно 750 мм рт. ст.
06. При уменьшении объёма газа в 2 раза давление увеличилось на
120 кПа и абсолютная температура возросла на 10 %. Каким было первоначальное давление?
07. Когда объём, занимаемый газом, уменьшили на η1 = 10 %, а температуру увеличили на ∆Т = 16 К, его давление возросло на η2 = 20 %. Какова была
начальная температура газа Т0?
08. Резиновый шар содержит 2 л воздуха при температуре 20 0С и атмосферном давлении 1,03⋅105 Па. Какой объём займёт воздух, если шар будет опущен в воду на глубину 10 м при 4 0С?
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
09. В цилиндрический стакан радиусом 5 см налили воду с коэффициентом
поверхностного натяжения 7⋅10-2 Дж⋅м2. Определить величину силы поверхностного натяжения, действующей на стенку сосуда при полном смачивании.
10. Во сколько раз возрастёт плотность газа при его изобарическом охлаждении от 600 К до 300 К и увеличении массы газа в 3 раза?
11. Сосуд объёмом V = 20 л содержит смесь из водорода (µ1 =2 г/моль) и
гелия (µ2 = 4 г/моль) при температуре t = 27 0С и давлении Р = 2⋅105 Па. Определить массу смеси m, если отношение массы водорода в сосуде к массе гелия
равно n = 0,4.
12. В запертом поршнем цилиндрическом сосуде объёма V = 1 м3 находится водяной пар при температуре Т = 323 К и давлении Р1 = 7,75⋅103 Па. Определите массу m сконденсировавшейся в сосуде воды, если объём, занимаемый паром, изотермически уменьшить вдвое. Молярная масса воды µ = 0,018 кг/моль.
13. При какой температуре средняя энергия теплового движения атома неона будет достаточна для того, чтобы атом преодолел земное тяготение и покинул атмосферу?
14. Два шара соединены горизонтальной трубкой сечением 0,2 см2. Газ общим объемом 88 см3 при температуре 300 К разделен каплей ртути в трубке на
равные части. Найти смещение капли при нагревании одной половины конструкции на 60 К.
15. Во сколько раз коэффициент поверхностного натяжения у этанола
меньше, чем у толуола, если по капиллярам одинакового радиуса толуол при
t = 40 0С поднимется на высоту 77 мм, а этанол на 68 мм? Плотности этанола и
толуола при указанной температуре равны 0,77 г/см3 и 0,85 г/см3, соответственно.
16. Узкая вертикальная цилиндрическая трубка длиной ℓ, закрытая с одного конца, содержит воздух, отделённый от наружного воздуха столбиком ртути
длиной h. Плотность ртути равна ρ. Трубка расположена открытым концом
вверх. Какова была длина ℓ столбика воздуха в трубке, если при перевёртыва113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нии трубки открытым концом вниз из трубки вылилась половина ртути? Атмосферное давление равно Р0.
17. Капля воды массой 0,2 г находится между двумя стеклянными пластинами, расстояние между которыми 0,1 мм. Найти силу притяжения пластин
друг к другу. Размеры пластин 3×3 см2.
18. Капиллярная длинная открытая с обоих концов трубка радиусом 1 мм
наполнена водой и поставлена вертикально. Определите высоту столба оставшейся в капилляре воды. Толщиной стенки капилляра пренебречь.
19. Смешали 1 м3 воздуха влажностью 20 % и 2 м3 воздуха влажностью
30 %, имеющих одинаковую температуру. Определить ее относительную влажность.
20. Относительная влажность воздуха при температуре 10 0С была 96 %.
Какова относительная влажность воздуха при 25 0С, если количество водяного
пара в воздухе увеличилось вдвое?
А01. В открытом цилиндре находится 90 г газа, температуру которого увеличивают в 3 раза. Сколько газа остаётся в цилиндре? Атмосферное давление
считать постоянным.
А02. Во сколько раз следует увеличить температуру газа, чтобы его давление возросло с 500 кПа до 800 кПа? Объём и масса газа постоянны.
А03. Во сколько раз изменится средняя квадратичная скорость молекул
азота, если температура газа увеличилась в 4 раза?
А04. Горизонтально расположенный цилиндр разделён скользящей без
трения перегородкой на две части. Слева от перегородки находится 3 моля водорода, а справа − 2 моля гелия. Определить отношение объёма, занимаемого
водородом, к объёму, занимаемому гелием. Температура газов одинакова.
А05. При какой температуре находился газ в закрытом сосуде, если при
нагревании его на 140 К давление возросло в 1,5 раза?
А06. Сколько молекул воздуха находится в комнате объёмом 240 м3 при
температуре 30 0С и давлении 750 мм. рт. ст.?
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А07. В сосуде объёмом V = 100 л находится под давлением Р = 105 Па аргон в количестве m = 160 г. Чему равна средняя кинетическая энергия Ек молекулы аргона? Молярная масса аргона µ = 40 г/моль.
А08. Два разных идеальных газа в количестве ν1 = 2 моль и ν2 = 8 моль содержатся в одинаковых сосудах. Считая средние кинетические энергии их молекул одинаковыми, определить отношение давлений газов Р1/Р2 в сосудах.
А09. На дне вертикального герметически закрытого и откачанного цилиндра лежит тяжёлый скользящий без трения поршень. Под поршень вводится такое количество идеального газа, имеющего температуру Т = 300 К, что поршень поднимается вверх и нижнее его основание оказывается на высоте h =
30 см от дна цилиндра. Определить перемещение ∆h поршня, если содержащийся под ним газ нагреть на ∆Т = 10 К.
А10. В открытую с двух сторон горизонтальную
трубку сечения S = 10 см2 вставлены два невесомых Р0,Т0
поршня. В исходном состоянии поршни соединены нерастяжимой нитью и находятся на максимально возможном расстоянии друг от друга (рисунок 53). Дав-
Р0,Т0
Р0,Т0
Рисунок 53
ления и температуры газа между поршнями и снаружи одинаковы и равны Р0 =
105 Па и Т0 = 300 К. До какой температуры Т нужно нагреть газ между поршнями, чтобы нить, соединяющая поршни, порвалась? Нить выдерживает силу
натяжения F = 30 Н. Трением поршней о стенки трубки пренебречь.
А11. Кусок алюминия и кусок железа содержат одинаковое количество
вещества. Какова масса куска алюминия mAl, если масса куска железа mFe =
2 кг? Молярные массы алюминия µAl = 27 г/моль, железа µFe = 56 г/моль.
А12. Определите массу молекулы серной кислоты (H2SO4). Сколько атомов кислорода содержится в 196 г серной кислоты?
А13. Определите давление, которое создаёт один миллиард молекул идеального газа в объёме V = 1 см3 при температуре Т = 300 К.
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А14. Идеальный газ массой m = 80 г представляет собой некоторое соединение водорода и углерода. Газ находится в объеме V = 135 л при давлении Р =
105 Па и температуре Т = 325 К. Определите химическую формулу соединения.
А15. В закрытом сосуде объёмом V = 0,1 м3 находится вода объёмом Vв =
10-3 м3 при температуре t = 30 0С. Каким стало бы давление в сосуде, если бы
силы притяжения между молекулами внезапно исчезли?
А16. Сколько молекул содержится в стакане воды объёмом 200 мл?
А17. Воспользовавшись постоянной Авогадро, определить массу: а) атома
водорода, б) молекулы кислорода (О2), в) атома урана.
А18. Определить относительную молекулярную массу Mr: 1) воды; 2) углекислого газа; 3) поваренной соли.
А19. Определить количество вещества ν и число N молекул азота массой
m = 0,2 кг.
А20. Определить количество вещества ν и число N молекул кислорода
массой m = 0,5 кг.
А21. Сколько атомов содержится в ртути: 1) количеством вещества ν =
0,2 моль; 2) массой m = 1 г?
А22. Найти молярную массу µ и массу m0 одной молекулы поваренной соли.
А23. Определить массу m0 одной молекулы углекислого газа.
А24. Вычислить массу m атома азота.
А25. Определить для серной кислоты: 1) относительную молекулярную
массу Mr; 2) молярную массу µ.
А26. Во сколько раз изменится средняя квадратичная скорость молекул
азот, если температура газа увеличилась в 4 раза?
А27. На какую глубину в воду надо опустить надутый воздухом резиновый
шар, чтобы его объём уменьшился в 10 раз? Температура воздуха и воды соответственно равны 300 К и 282 К, атмосферное давление 105 Па.
А28. При какой температуре находился газ в закрытом сосуде, если при
нагревании его на 140 К давление возросло в 1,5 раза?
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А29. При изотермическом расширении газа его объём увеличился в 7 раз.
Чему равно начальное давление, если после расширения оно стало равным
210 кПа.
А30. Во сколько раз увеличится объём пузырька воздуха, поднявшегося при
постоянной температуре с глубины 8 000 м? Плотность воды 1 г/см3, атмосферное давление 100 кПа?
А31. На сколько градусов можно нагреть баллон, рассчитанный на 150 атм,
если при 300 К его предварительно накачали до 125 атм?
А32. Сколько молей газа вышло из баллона объемом 8,3 л, если давление
упало с 1 500 Па до 1 000 Па, а температура осталась равной 250 К?
А33. Баллон, рассчитанный на максимальное давление 150 атм, содержит
2 кг кислорода. Какую массу водорода можно хранить в баллоне при этом давлении? Молярная масса кислорода 32 г/моль.
А34. Сколько баллонов газа объёмом 5 л и давлением 600 кПа необходимо
подсоединить к оболочке аэрозонда V = 0,5 м3, чтобы наполнить ее до давления
100 кПа?
А35. Сколько граммов воздуха в пузырьке объёмом 0,83 см3 на глубине
8000 м? Молярная масса воздуха 0,029 кг/моль, температура 290 К, атмосферное давление 100 кПа.
В01. Вычислить концентрацию молекул идеального одноатомного газа при
давлении Р = 1,01⋅105 Па, если наиболее вероятная энергия молекулы этого газа
Е = 3,8⋅10−21 Дж.
В02. В закрытом колене U-образной трубки, содержащей ртуть плотностью 13,6 г/см3, давление воздуха на 63 кПа меньше атмосферного. Найти высоту столба воды плотностью 1 г/см3 в открытом колене, если уровни жидкостей одинаковы.
В03. В комнате объёма V = 60 м3 при температуре t = 20 0С относительная
влажность ϕ1 = 20 %. Какую массу воды следует в комнате испарить для увеличения относительной влажности воздуха до ϕ2 = 50 %?
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В04. Влажный воздух объёмом V = 1 м3 при относительной влажности ϕ =
60 %, температуре Т = 293 К и давлении Р = 1,013⋅105 Па имеет массу m =
1,2004 кг. Определите давление насыщенного водяного пара Рн при этой температуре. Молярная масса сухого воздуха µв = 29 г/моль, молярная масса паров
воды µп = 18 г/моль.
В05. При постоянном давлении газ нагрели от 20 0С до 313 0С. Причём часть
массы газа вышла из сосуда. Во сколько раз уменьшилось число молекул в единице объёма?
В06. Какое количество энергии Е освобождается при слиянии мелких одинаковых капель радиусом r = 2⋅10-3 мм в одну каплю радиуса R = 2 мм? Изменением потенциальной энергии капель, связанной с силой тяжести, пренебречь.
В07. Глицерин поднялся в капиллярной трубке на высоту h1 = 20 мм. На
какую высоту в этой трубке поднялась бы вода? Считать, что глицерин и вода
полностью смачивают стенки капиллярной трубки.
В08. Начиная с некоторого момента времени поверхность, ограничивающая объём газа, поглощает η = 20 % молекул, ударяющихся об нее. Определите, во сколько раз изменится давление газа. Уменьшением числа молекул в объеме газа можно пренебречь.
P
В09. На рисунке 54 дан график изменения состояния идеального газа в координатах P-V. Представьте
этот круговой процесс в координатах P-T и V-T. Обозначьте соответствующие точки.
0
1
2
4
3
Рисунок 54
V
В10. В баллоне объёмом V = 10 л находится ν1 = 1 моль водорода и ν2 =
1 моль кислорода при температуре t1 = 0 0С. В результате взрыва весь водород,
соединяясь с кислородом, образует молекулы воды. Установившаяся в баллоне
температура t2 = 100 0С. Определите, во сколько раз изменится давление в баллоне. Давление насыщенного пара при этой температуре Рн = 1,013⋅105 Па.
В11. Влажный воздух массой m = 1,16 кг занимает объём V = 1 м3 при
температуре Т = 298 К и давлении Р = 105 Па. Определите относительную
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
влажность воздуха. Молярная масса сухого воздуха µ = 29 г/моль, молярная
масса паров воды µ1 = 18 г/моль.
В12. В узкой стеклянной трубке, запаянной с одного конца и расположенной горизонтально, находится столбик воздуха длиной 30,7 см, запертый столбиком ртути длиной 21,6 см. Как изменится длина воздушного столбика, если
трубку поставить отверстием вверх? Давление атмосферы 99,6 кПа.
В13. В вертикально расположенном цилиндре находится газ массой m. Газ
отделён от атмосферы поршнем, соединённым с дном цилиндра пружиной жёсткости k (см. рисунок 55). При температуре Т1 поршень расположен на расстоянии h от дна цилиндра. До какой температуры
Т2 надо нагреть газ, чтобы поршень поднялся до высоты Н? Молярная масса газа равна µ.
k
Рисунок 55
В14. Сосуд, заполненный смесью водорода и гелия, отделён от равного
ему по объёму пустого сосуда полупроницаемой перегородкой, свободно пропускающей молекулы гелия и не пропускающей молекулы водорода. После установления равновесия давление в первом сосуде упало на 10 %. Определить
отношение масс гелия и водорода. Все процессы считать изотермическими.
В15. Одинаковые по массе количества водорода и гелия находятся в сосуде
объёмом V1, который отделён от пустого сосуда объёмом V2 полупроницаемой
перегородкой, свободно пропускающей молекулы водорода и не пропускающей
гелий. После установления равновесия давление в первом сосуде упало в 2
раза. Определите отношение V2/V1. Температура постоянна.
В16. Найти объём воды плотностью 1 г/см3, в котором столько же молекул,
что и в 200 м3 водорода при давлении 166 кПа и температуре 360 К.
В17. Вода при температуре t = 4 0C занимает объём V = 1 см3. Определить
количество вещества ν и число N молекул воды.
В18. Баллон массой m = 1 кг объёмом V = 1 л заполнен азотом так, что при
температуре t = 20 0С давление в баллоне Р = 1 атм. С какой скоростью стал бы
двигаться баллон, если бы удалось упорядочить хаотическое тепловое движение так, чтобы все молекулы двигались в одну сторону?
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В19. В баллоне ёмкостью 20 л находится аргон под давлением 8 атм и температуре 50 0С. Когда из баллона было выпущено некоторое количество аргона,
давление в баллоне понизилось до 6 атм, а температура установилась 30 0С. Определите массу аргона, выпущенного из баллона. Молярная масса аргона
40⋅10-3 кг/моль.
В20. В баллоне находится газ под давлением 2⋅105 Па. Чему равна средняя
кинетическая энергия поступательного движения молекул? Концентрация молекул газа равна 2⋅1025 м-3.
В21. Когда делают бесполезную работу, то говорят, что это всё равно, что
воду в решете носить. При каких условиях можно всё-таки действительно переносить воду в решете, не проливая ее по дороге? Какой максимальной высоты слой воды можно нести в решете, если диаметр отверстий сетки решета d =
1 мм? Можно ли будет воду, налитую в решето, вылить через край решета?
В22. Тонкостенный резиновый шар массой 500 г наполнили азотом и погрузили в воду на глубину 100 м. Найти массу азота, если шар находится в положении равновесия. Давление воздуха считать равным 1 атм, температура на
глубине 4 0С. Натяжением резины пренебречь.
В23. Найти плотность смеси 0,5 кг водорода и 2 кг гелия (молярная масса
4 г/моль) и 8 кг кислорода (молярная масса 32 г/моль) при температуре 42 0С и
давлении 240 кПа.
В24. Какую массу водорода следует выпустить из аэростата, чтобы его ускорение изменилось от 5 м/с2 до -5 м/с2. Масса оболочки 9,1 кг, молярная масса
воздуха 29⋅10-3 кг/моль. Сопротивление движению аэростата не учитывать. Атмосферное давление – нормальное.
В25. Когда объём, занимаемый газом, уменьшили на η1 = 10 %, а температуру увеличили на ∆Т = 16 К, его давление возросло на η2 = 20 %. Какова начальная температура газа Т0?
В26. Относительная влажность воздуха в сосуде при температуре 10 0С
равна 60 %. Какова относительная влажность воздуха при 100 0С, если уменьшить его объём в 3 раза?
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В27. Какую массу пара в секунду надо подавать в цилиндр, чтобы поршень
массой 200 кг, площадью 200 см2 двигался вверх со скоростью 16,6 м/c? Величина силы трения поршня о цилиндр 3 000 Н, атмосферное давление 105 Па. Температура пара 420 К. Молярная масса воды 18 г/моль.
В28. Капля ртути массой 1,36 г введена между параллельными стеклянными пластинками. Какую силу следует приложить для того, чтобы расплющить
каплю до толщины 0,1 мм? Считать, что ртуть абсолютно не смачивает стекло.
Коэффициент поверхностного натяжения ртути 0,5 Н/м.
С01. Сосуд с газом разделён подвижной перегородкой на две части, объёмы которых равны V1 и V2, соответственно (V1 < V2). Температура газа в меньшем объёме t1 = −73 0C, в большем объёме t2 = 527 0C. После выравнивания температур перегородка переместилась так, что меньший объём стал равным
2
V,
3
где V – объём сосуда. Найдите отношение объёмов V1 / V2.
С02. В начальный момент времени сжатый газ в закрытом цилиндре сечением 100 см2 удерживается на расстоянии 10 см от дна цилиндра подвижным
поршнем, на который действует внешняя сила 103 Н и атмосферное давление
105 Па. Затем внешняя сила убирается, и газ начинает изотермически расширяться. На каком расстоянии по отношению к первоначальному положению
поршень будет иметь наибольшую скорость?
С03. Вертикальный цилиндрический сосуд высотой 50 см разделён на две
равные части тонким массивным поршнем, который может скользить без трения по стенкам сосуда. В частях сосуда находятся равные количества одноатомного газа при температурах, отличающихся в два раза. Стенки сосуда теплоизолированы, поршень проводит тепло. На сколько сантиметров сдвинется
поршень после выравнивания температур в сосуде? Теплоёмкостью поршня и
стенок сосуда пренебречь.
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Примеры решения задач
1. В стакан налито V = 200 мл воды. Найдите число молей воды, количество и концентрацию молекул, массу молекулы. Молярная масса воды равна
µ = 18 г/моль.
Дано: V=200⋅10−6 м3; µ=18⋅10−3 кг/моль; ρ=103 кг/м3; NA=6,02⋅1023 моль−1.
ν −?
N −?
n −?
m1 −?
Решение. Число молей ν (количество вещества) равно отношению массы
воды m к ее молярной массе µ. Учитывая, что масса равна m = ρV, имеем:
ν=
m ρV 103 ⋅ 200 ⋅ 10 −6
=
=
= 11,1 моль.
µ
µ
18 ⋅ 10 − 3
Число молекул воды N найдем, исходя из того, что в одном моле содержится число молекул, равное числу Авогадро NA, согласно выражению:
m
ρV
103 ⋅ 200 ⋅ 10 −6 ⋅ 6,02 ⋅ 10 23
N = νNA = NA =
NA =
= 6,7⋅1024.
−
3
µ
µ
18 ⋅ 10
Концентрация молекул n равна числу молекул, содержащихся в единице
объема:
n=
νN A
mN A
ρN A 103 ⋅ 6,02 ⋅ 10 23
N
=
=
=
=
= 3,3⋅1028 м−3.
−
3
µV
µ
V
V
18 ⋅ 10
Массу молекулы воды m1 можно определить, разделив массу воды на число содержащихся в ней молекул, используя одно из приведённых ниже соотношений:
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
µ
m ρ
m1 =
= =
.
N n NA
µ
18 ⋅ 10 −3
= 3,0⋅10−26 кг.
m1 =
=
23
NA
6,02 ⋅ 10
2. Со дна водоёма поднимается пузырёк воздуха. У поверхности его диаметр оказывается в 1,3 раза большим, чем у дна. Найдите глубину водоёма, если атмосферное давление равно 750 мм рт. ст., а температура воды на поверхности водоёма на 5 градусов выше температуры на дне, равной t1 = 4 0C. Плотности воды ρв = 1 г/см3, ρр = 13,6 г/см3. Ускорение силы тяжести g = 9,8 м/с2.
Дано: d2=1,3 d1; ρв=103 кг/м3; ρр=13,6⋅103 кг/м3; Т1=277 К; Т2=282 К;
g=9,8 м/с2; Р0=0,75 м рт. ст.
Н −?
Решение. Давление Р воздуха в пузырьке на дне водоёма равно давлению,
оказываемому на пузырёк со стороны окружающей среды и определяемому как
сумма атмосферного Р0 и гидростатического Рг давлений:
Р = Р0 + Рг .
Гидростатическое давление (давление столба жидкости) зависит от глубины погружения Н и рассчитывается по формуле Рг = ρвgH. Следовательно,
давление воздуха в пузырьке на дне водоёма
Р1 = Р0 + ρвgH,
где Н – глубина водоёма.
А давление воздуха в пузырьке на поверхности равно Р2 = Р0, так как на поверхности водоема Н = 0. Атмосферное давление равно
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Р0 = ρрgh,
где h – высота столбика ртути.
При подъёме пузырька со дна водоёма термодинамические параметры
воздуха в нём удовлетворяют объединённому газовому закону:
P1V1 P2 V2
=
.
T1
T2
Учитывая, что
V1 =
1
πd13
6
и
V2 =
1
πd23,
6
где d1 и d2 − диаметры пузырька воздуха на дне и у поверхности, получаем:
(P0 + ρ в gH )πd13
6T1
P0 π(1,3d1 )3
=
.
6T2
Решая это уравнение относительно Н, находим:

Р

 ρ p gh 
 ρp h
Т
Т
Т
Н =  (1,3)3 1 − 1 0 =  (1,3)3 1 − 1
=  (1,3)3 1 − 1
=
Т2
Т2
Т2

 ρвg 
 ρв g

 ρв
3

 13,6 ⋅ 10 ⋅ 0,75
3 277
=  (1,3)
− 1
= 11,8 м.
282
103


3. В сосуд с ртутью опустили стеклянную капиллярную трубку. Разность
уровней ртути в сосуде и капилляре равна h = 7,5 мм. Считая несмачивание
полным (краевой угол ϕ = 1800), определите радиус R кривизны ртутного мениска в капилляре. Плотность ртути ρ = 13,6 г/см3, ее коэффициент поверхностного натяжения σ = 0,5 Н/м. Ускорение силы тяжести g = 9,8 м/с2.
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дано: h = 7,5⋅10−3 м; ρ = 13,6⋅103 кг/м3; σ = 0,5 Н/м; g = 9,8 м/с2.
R −?
Решение. Давление Лапласа, вызванное кривизной мениска ртути, равно:
Р=
2σ
,
R
где R – радиус кривизны мениска в капилляре.
Так как ртуть не смачивает стекло, то она в трубке опускается на такую
высоту h, когда гидростатическое давление, равное ρgh, будет уравновешено
давлением Лапласа:
2σ
= ρgh,
R
откуда находим
R=
2σ
2 ⋅ 0,5
=
= 10−3 м = 1 мм.
3
−
3
ρgh 13,6 ⋅ 10 ⋅ 9,8 ⋅ 7,5 ⋅ 10
При полном несмачивании радиус R кривизны мениска совпадает с радиусом капиллярной трубки. Значит, радиус капилляра 1 мм.
Примечание. Используя приём решения этой задачи, можно выяснить условия, при которых можно носить воду в решете. Допустим, решето имеет систему отверстий диаметром (размером) d = 1 мм. Если вода (σ = 0,07 Н/м) не
смачивает материал решета, то вода в решете будет удерживаться на уровне h,
определяемом условием:
2σ 4σ
=
= ρgh,
R
d
откуда
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
h=
4 ⋅ 0,07
4σ
= 3
= 0,03 м = 3 см.
ρgd 10 ⋅ 9,8 ⋅ 10 − 3
Таким образом, если в такое решето налить воду, то вода может удерживаться
на максимальном уровне h = 3 см от дна. Причём эту воду из решета не удастся
вылить через край решета, так как при наклоне решета уровень превысит
h = 3 см, и вода будет выливаться сквозь отверстия.
4. Найдите значение избыточного давления внутри мыльного пузыря
радиусом R = 0,5 см. Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора σ = 0,04 Н/м.
Дано: R = 0,5⋅10−2 м; σ = 0,04 Н/м.
Ризбыт −?
Решение. Давление Р внутри мыльного пузыря равно:
Р = Р0 + Ризбыт,
где Р0 – атмосферное давление;
Ризбыт – избыточное давление, создаваемое искривленным поверхностным слоем мыльной воды.
Избыточное давление Ризбыт равно удвоенному давлению Лапласа:
Ризбыт = 2⋅
2σ
,
R
множитель 2 перед дробью (давлением Лапласа) поставлен потому, что мыльный пузырь имеет две поверхности – внешнюю и внутреннюю.
Итак,
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ризбыт = 2⋅
2σ
2 ⋅ 0,04
= 2⋅
= 32 Па.
R
0,5 ⋅ 10 − 2
Значение Ризбыт обратно пропорционально радиусу R пузырька. При закипании воды при малых R, например, в пузырьках воздуха в воде давление Ризбыт
может быть сравнимо с атмосферным давлением. Правда в этом случае поверхность пузырька одинарная, и Ризбыт =
2σ
.
R
5. С азотом произошел процесс, изображенный на рисунке в координатах
P-V. Определите температуру газа Т в этом процессе, P
когда его объем равен V = 1,1 л, если масса азота рав- P1
на m = 0,56 г; Р1 = 100 кПа; V1 = 0,5 л; Р2 = 40 кПа; V2 =
1,5 л. Молярная масса азота равна µ = 28 г/моль. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К).
P2
0
V1
V2 V
Дано: Р1 = 100⋅103 Па; V1 = 0,5⋅10−3 м3; Р2 = 40⋅103 Па; V2 = 1,5⋅10−3 м3;
µ = 28⋅10−3 кг/моль; V = 1,1⋅10−3 м3; R = 8,31 Дж/(моль⋅К).
Т −?
Решение. Процесс, происходящий с газом (см. рисунок), можно выразить
уравнением:
P = P0 − αV,
где Р0 – значение давления при нулевом объёме;
α − угловой коэффициент в зависимости P(V).
Запишем это уравнение процесса для состояний 1 и 2:
P1 = P0 − αV1,
P2 = P0 − αV2.
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из этих уравнений выразим постоянные α и Р0:
α=
Р1 − Р 2
;
V2 − V1
Р0 = Р1 +
Р1 − Р 2
⋅V1.
V2 − V1
Для промежуточного состояния запишем уравнение процесса и уравнение
Клапейрона-Менделеева:
P = P0 − αV,
PV =
m
RT.
µ
Из этих уравнений с учетом выражений для α и Р0 найдём искомую температуру Т:
Т=
=
Р − Р2
PVµ
Vµ
Vµ
Vµ
=
⋅Р =
⋅(P0 − αV) =
⋅(Р1 + 1
⋅V1 − αV) =
mR
mR
mR
mR
V2 − V1
Р − Р2
Р − Р2
Р − Р2
Vµ
Vµ
⋅(Р1 + 1
⋅V1 − 1
⋅V) =
⋅(Р1 + 1
⋅(V1 − V) =
mR
mR
V2 − V1
V2 − V1
V2 − V1
1,1 ⋅ 10 − 3 ⋅ 28 ⋅ 10 − 3
=
0,56 ⋅ 10 − 3 ⋅ 8,31
(

100 ⋅ 103 − 40 ⋅ 103
3

⋅ 100 ⋅ 10 +
⋅ 0,5 ⋅ 10 − 3 − 1,1 ⋅ 10 − 3
−3
−3
1,5 ⋅ 10 − 0,5 ⋅ 10

) =

= 424 К.
6. Воздушный шар с газонепроницаемой оболочкой массой 400 кг заполнен гелием. Он может удерживать в воздухе на высоте, где температура воздуха 17 0С, а давление 105 Па, груз массой 225 кг. Какова масса гелия в оболочке
шара? Считать, что оболочка шара не оказывает сопротивления изменению
объёма шара.
Дано: Т = 290 К; Р = 105 Па; µВ = 29 г/моль; µНе = 4 г/моль;
М = 225 кг; Моб = 400 кг.
mНе = ?
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение: Обозначим силы, действующие на воздушный шар: Мобg - сила
тяжести оболочки, Мg − сила тяжести груза, mНеg - сила
FA
тяжести гелия, заполняющего воздушный шар, FA - сила х
Архимеда (см. рисунок). В условиях равновесия воздушного шара векторная сумма перечисленных сил равна ну-
Mg
Mобg
лю:
mHeg
FA + Мg + Мобg + mНеg = 0.
Так как все силы направлены по вертикали, то запишем данное векторное
уравнение в проекции на вертикальную ось 0х с учетом того, что сила Архимеда равна весу вытесненного воздушным шаром воздуха (FA = mВg, где mВ −
масса вытесненного воздушным шаром воздуха):
mВg - Mg - Мобg - mНеg = 0.
(*)
Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для гелия, заполняющего
воздушный шар, и для воздуха, вытесненного воздушным шаром:
PV =
m He
RT;
µ He
PV =
mB
RT.
µB
(**)
В уравнениях (**) учтено, что для воздуха и гелия в указанных в задаче
условиях давление Р, температура Т и объёмы V – одинаковы. Из уравнений
(**) выразим массу воздуха mВ = mНе
mНе
µВ
и подставим в уравнение (*):
µ He
µВ
g - Mg - Мобg - mНеg = 0,
µ He
откуда и выразим искомую величину mНе:
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
mНе =
М + М об
225 + 400
=
= 100 кг.
29
µВ
−1
−1
4
µ Не
7. В баллоне находятся 20 кг азота при температуре 300 К и давлении
105 Па. Каков объём баллона?
Дано: m=20 кг; μ=28⋅10−3 кг/моль; R=8,31 Дж/(моль⋅К); Т=300 К; Р=105 Па.
V=?
Решение: Из уравнения состояния идеального газа
PV =
m
RT,
µ
где m – масса азота;
μ – его молярная масса;
R – газовая постоянная;
Т − абсолютная температура газа;
V – объём газа, находящегося при давлении Р,
выражаем искомый объём V и вычисляем его значение:
V=
m RT
20
8,31⋅ 300
⋅
=
⋅
= 17,81 м3 ≈ 18 м3.
−
3
5
µ P
28 ⋅ 10
10
Задание 3-3-10. Термодинамика
Внутренняя энергия, способы ее изменения. Работа газа, количество теплоты. Первый закон термодинамики, его применение к процессам в газах. Теплоемкости газа.
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тепловые машины: двигатели и холодильные машины. КПД тепловых
двигателей. Цикл Карно.
01. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Т1 нагревателя в
четыре раза (n = 4) больше температуры холодильника. Какую долю η количества теплоты, полученного за один цикл от нагревателя, газ отдаст холодильнику?
02. Свинцовая гиря падает на Землю и ударяется о препятствие. Определить минимальную скорость гири в момент удара, если гиря полностью расплавилась. Считать, что вся теплота, выделяемая при ударе, поглощается гирей. Температура гири перед ударом t0 = 27 0С.
03. Латунный шар при 18 0С имеет диаметр 4 см. На сколько градусов надо
его нагреть, чтобы он не смог проходить через кольцо радиусом 20,1 мм?
04. Одинакова ли внутренняя энергия одной и той же массы вещества в
жидком и твёрдом состоянии при температуре плавления? Почему?
05. Найти приращение внутренней энергии воздуха в комнате, если после
включения нагревателя температура воздуха возросла от значения Т1 до Т2
(Т2 > Т1).
06. Внешние силы, действуя на газ, совершили работу, равную 380 Дж.
Одновременно к газу было подведено 400 Дж теплоты. На сколько увеличилась
внутренняя энергия газа?
07. Определите число степеней свободы молекул идеального газа, если молярная теплоёмкость этого газа в изобарном процессе СР = 9R/2.
08. При сообщении идеальному газу 800 Дж теплоты газ совершает работу
100 Дж. Какой была его начальная внутренняя энергия, если его температура
выросла в 4,5 раза?
09. В герметично закрытом теплоизолированном сосуде содержится ν =
2 моль идеального двухатомного газа. Какое количество теплоты Q следует
подвести к газу для того, чтобы увеличить его температуру на ∆Т = 1 К? Потерями тепла на нагрев стенок сосуда пренебречь.
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. В вертикальном открытом сверху цилиндре под тяжёлым поршнем находится газ при температуре Т1 = 300 К. Найти работу расширения газа при нагревании его на ∆Т = 100 К, если первоначально газ занимал объем V1 =
180 см3. Масса поршня М = 100 кг, его площадь сечения S = 50 см2. Атмосферное давление P0 = 105 Па.
11. Для определения температуры печи нагретый в ней стальной болт массой 0,3 кг бросили в медный сосуд массой 0,2 кг, содержащий 1,25 кг воды при
температуре 15 0С. Температура воды повысилась до 32 0С. Вычислите температуру печи.
12. В латунный калориметр массой 128 г, содержащий 240 г воды при температуре 8,4 0С, опущено металлическое тело массой 192 г, нагретое до 100 0С.
Окончательная температура, установившаяся в калориметре, 21,5 0С. Определите удельную теплоемкость испытуемого тела.
13. С какой минимальной скоростью должен влететь ледяной метеорит в
атмосферу Земли, чтобы нагреться, расплавиться и обратиться в пар? начальную температуру метеорита считать близкой к абсолютному нулю.
14. Определить количество теплоты Q, которое надо сообщить кислороду
объёмом V = 50 л при его изохорическом нагревании, чтобы давление газа повысилось на ∆Р = 0,5 МПа.
15. Воздух объёмом V = 1 л при температуре Т = 270 К находится в цилиндре под давлением Р = 1,96⋅105 Па. Какая будет совершена работа при его изобарном нагревании на ∆t = 10 0C?
16. Определить внутреннюю энергию смеси газов гелия и аргона массой
15 г при 727 0С, если известно, что в этой смеси одну четверть от общего количества молекул составляют молекулы аргона.
17. В ходе некоторого процесса давление и объём газа изменяются таким
образом, что pV3 = сonst. Во сколько раз уменьшится внутренняя энергия идеального газа при увеличении объёма вдвое? Масса газа постоянна.
18. На нагревание железного бруска размером 60⋅20⋅5 см3 израсходовано
1,675 МДж тепла. Как изменился его объём?
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
19. Газ, совершающий цикл Карно, отдал холодильнику теплоту Q2 =
14 кДж. Определить температуру T1 нагревателя, если при температуре холодильника Т2 = 280 К работа цикла А = 6 кДж.
20. Сколько керосина сгорает за 1 мин в примусе с КПД 40 %, если 2 л воды нагреваются на нём от 15 0С до 100 0С за 10 мин?
А01. Во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия η цикла
Карно при повышении температуры нагревателя от Т1 = 380 К до Т1′ = 560 К?
Температура холодильника Т2 = 280 К.
А02. Внутренняя энергия идеального одноатомного газа, находящегося в
баллоне объёмом 0,02 м3, равна 600 Дж. Определить давление газа.
А03. В процессе изобарического нагревания гелия к нему было подведено
300 Дж теплоты. Определить работу, совершённую этим газом.
А04. Некоторую массу одноатомного идеального газа нагрели на 1 К, первый раз изохорически, второй − изобарно. Найти отношение Q1/Q2 количества
теплоты, полученной газом в первом процессе, к количеству теплоты, полученной во втором процессе.
А05. При изобарическом нагревании идеальный одноатомный газ совершил работу 60 Дж. Какое количество теплоты подведено к газу?
А06. Тело с удельной теплоёмкостью 25 Дж/(кг·К) на высоте 10 м имеет
скорость 10 м/с. На сколько градусов изменится температура тела, если при
ударе о землю половина механической энергии пойдёт на нагревание?
А07. 3 моля одноатомного идеального газа изобарически нагрели на 20 К.
Определить работу, совершённую газом.
А08. В ходе изотермического расширения к 3 молям идеального одноатомного газа подведено 145 Дж теплоты. Определить работу, совершённую газом.
А09. Медный лист размером 0,6⋅0,5 м2 при 20 0С нагревается до 600 0С.
Как изменится его площадь?
А10. Спирт массой 7,9 кг находится в некотором сосуде при 10 0С. Какова
будет масса спирта, взятого в том же объёме при 30 0С?
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А11. В ходе изотермического расширения к трём молям идеального одноатомного газа подведено 145 Дж теплоты. Определить работу, совершённую газом.
А12. КПД идеальной тепловой машины равен 20 %. На сколько процентов
возрастёт КПД, если на 20 % уменьшить температуру холодильника, не меняя
температуру нагревателя?
А13. Смешали 24 л воды при 12 0С и 36 л воды при 80 0С. Определите температуру смеси, если потери составляют 420 кДж.
А14. На сколько градусов температура воды у основания водопада будет
большей, чем у его вершины, если вся энергия падающей воды во время удара
идёт на нагревание воды?
А15. В сосуд, содержащий 2,35 л воды при 20 0С, опускают кусок олова,
нагретого до 507 К, и температура воды в сосуде при этом повышается на 15 К.
Вычислите массу олова.
А16. Азот (химическая формула N2) занимает объём V0 = 2,5 л при давлении Р0 = 105 Па. На сколько изменится внутренняя энергия газа при его сжатии
до объёма V = 0,25 л, если давление газа повысилось при этом в n = 20 раз?
А17. Шарик для игры в пинг-понг массой 1 г и диаметром 4 см был погружен в воду на 20 см. После того, как его отпустили, он выпрыгнул из воды на
высоту 10 см. Определить энергию, перешедшую в тепло в результате трения
шарика о воду.
В01. Свинцовая пуля, летящая со скоростью 430 м/с, пробивает стену и летит дальше со скоростью 200 м/с. Какая часть массы пули расплавится? Начальная температура пули 80 0С, на нагревание пули затрачивается 50 % ее кинетической энергии.
В02. Был предложен следующий проект вечного двигателя. Берётся капилляр такого радиуса r, чтобы в нём вода могла подниматься на высоту h. На высоте h1, меньшей, чем h, капилляр изгибается и верхний его конец развертывается в широкую воронку. Действия сил поверхностного натяжения вполне достаточно, чтобы поднять жидкость на высоту h1 и ввести ее в воронку. В широ134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кой части воронки жидкость отрывается от верхнего края воронки и, ничем уже
не удерживаемая, скатывается вниз. На пути капель, падающих обратно в сосуд, можно поставить водяное колесо и осуществить его вечное движение. Будет ли действовать такой двигатель? В чём ошибка приведённого в условии
рассуждения?
В03. Газ, являясь рабочим веществом в цикле Карно, получил от нагревателя теплоту Q1 = 4,38 кДж и совершил работу А = 2,4 кДж. Определить температуру нагревателя Т1, если температура холодильника Т2 = 273 К.
В04. Какая доля η1 количества теплоты Q, подводимого к идеальному газу
при изобарическом процессе, расходуется на увеличение ∆U внутренней энергии газа и какая доля η2 − на работу А расширения? Рассмотреть три случая,
если газ: 1) одноатомный; 2) двухатомный.
В05. Определить работу А, которую совершит азот, если ему при постоянном давлении сообщить количество теплоты Q = 21 кДж. Найти также изменение ∆U внутренней энергии газа.
В06. Идеальный газ совершает цикл Карно при температурах холодильника Т2 = 290 К и нагревателя Т1 = 400 К. Во сколько раз увеличится коэффициент
полезного действия η цикла, если температура нагревателя возрастет до Т1′ =
600 К?
В07. На рисунке 56 изображены три процес-
Р
1
2
са 0→1, 0→2 и 0→3, в каждом из которых температура идеального атомарного газа изменяется на
Т=const
3
0
одну и ту же величину. Определите, в каких из
этих процессов газ получает наибольшее и наи-
Рисунок 56
V
меньшее количество теплоты, и найдите отношение этих величин.
В08. Медный шар массой 17,6 кг, взятый при 0 0С, при нагревании увеличил свой объём на 10,2 см3. Сколько тепла затрачено на его нагревание?
В09. При сообщении идеальному газу 800 Дж теплоты газ совершает работу 100 Дж. Какой была его начальная внутренняя энергия, если его температура
выросла в 4,5 раза?
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В10. Азот массой m = 0,1 кг был изобарически нагрет от температуры T1 =
200 К до температуры T2 = 400 К. Определить работу А, совершённую газом,
полученную им теплоту Q и изменение ∆U внутренней энергии азота.
В11. Газ, совершающий цикл Карно, отдал холодильнику 67 % теплоты,
полученной от нагревателя. Определить температуру Т2 холодильника, если
температура нагревателя T1 = 430 К.
В12. Газ, совершающий цикл Карно, получает теплоту Q1 = 84 кДж. Определить работу А газа, если температура T1 нагревателя в три раза выше температуры T2 холодильника.
В13. В цикле Карно газ получил от нагревателя теплоту Q1 = 500 Дж и совершил работу А = 100 Дж. Температура нагревателя T1 = 400 К. Определить
температуру Т2 холодильника.
В14. Определить КПД примуса, если известно, что, сжигая 300 г керосина,
можно довести до кипения при нормальном атмосферном давлении 15 кг воды,
взятой при температуре 281 К.
В15. 2 грамма гелия, расширяясь адиабатически, совершили работу, равную 300 Дж. Найти изменение температуры гелия в этом процессе.
В16. В цилиндрическом сосуде поршень массой 100 кг и площадью поперечного сечения 0,01 м2 начинает двигаться вверх. Давление газа под поршнем
постоянно и равно 600 кПа. Определить скорость поршня, когда он проходит
1,8 м. Трение не учитывать.
В17. На диаграмме Т-V график процесса представляет собой прямую, соединяющую точки (300 К, 1 л) и (600 К, 2 л). Определить работу идеального газа при расширении 1 моля.
В18. Идеальная тепловая машина, работающая от нагревателя с температурой 750 К, за некоторое время совершила 360 Дж работы. Сколько теплоты
передано за это время холодильнику, если его температура Т = 300 К?
В19. Какую силу F надо приложить к стальному стержню сечением S =
1 см2, чтобы растянуть его на столько же, на сколько он удлиняется при нагревании на ∆t = 1 0С?
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В20. Тепловая машина работает по циклу Карно и ее КПД равен 60 %. Во
сколько раз теплота, полученная при изотермическом расширении рабочего
вещества, больше теплоты, отданной при изотермическом сжатии?
В21. В цилиндре объёмом V1 = 190 см3 под поршнем весом Р = 1 200 Н и
площадью S = 50 см2 находится газ при температуре t1 = 50 0C. Найти работу
расширения при нагревании газа на ∆t = 100 0С. Атмосферное давление равно
Р0 = 105 Па.
В22. Баллон ёмкостью 50 л содержит аргон под давлением 200 кПа. Каким
будет давление газа, если ему сообщить 3 кДж теплоты? Объём баллона остаётся неизменным.
В23. Идеальный одноатомный газ находится в сосуде под давлением
80 кПа и имеет плотность 4 кг/м3. Определить энергию теплового движения
молекул газа, если масса газа равна 1 кг.
С01. Один моль идеального атомарного газа сначала изобарно расширяется, а затем изохорно нагревается, при этом количество теплоты, сообщённое газу на этих участках, одинаково Q1 = Q2 = Q = 400 Дж. Начальная температура
газа Т = 300 К. Определите конечную температуру газа и молярную теплоёмкость этого процесса.
С02. Свинцовый шар массой m = 0,2 кг, движущийся со скоростью v =
2 м/с, ударил такой же неподвижный шар, после чего они стали двигаться с одной скоростью. Найти изменение их внутренней энергии при ударе.
С03. Нагретое до температуры t0 = 100 0С тело опустили в воду. Температура воды повысилась от t1 = 20 0С до t2 = 30 0С. Какой станет температура воды, если в неё опустить еще одно такое же тело, нагретое до 100 0С?
С04. В калориметр, содержащий 200 г воды при температуре 8 0С, погружают 100 г льда, температура которого −20 0С. Какая температура установится
в калориметре? Каково будет содержание калориметра после установления в
нём теплового равновесия?
С05. При температуре t0 = 0 0С длины алюминиевого и железного стержней ℓа0 = 50 см и ℓж0 = 50,05 см. Сечения стержней одинаковы. При какой тем137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пературе t1 длины стержней одинаковы? При какой температуре t2 будут одинаковы их объёмы?
С06. При температуре воздуха −5 0С каждый квадратный метр поверхности водоёма отдаёт за час 168 кДж теплоты. Найти толщину льда, образовавшегося за сутки, при температуре воды на поверхности 0 0С.
С07. В теплоизолированном цилиндре под лёгким подвижным поршнем
находится идеальный газ, температуру которого повысили на одну и ту же величину ∆Т один раз при постоянном давлении, затратив количество теплоты
QР = 2,1⋅104 Дж, а второй раз - при постоянном объёме, сообщив газу количество теплоты QV = 1,5⋅104 Дж. Определить отношение изменений температур
(∆Т)V/(∆Т)Р этого газа, если во время очередного цикла нагревания при постоянном объёме и постоянном давлении ему сообщают одинаковое количество
теплоты. Трением поршня о стенки цилиндра и изменением объёма цилиндра
пренебречь.
Примеры решения задач
1. Гелий из состояния с температурой Т1 = 200 К расширяется в процессе
PV2 = const (P – давление, V – объём газа) с постоянной теплоемкостью С. От
газа отвели количество теплоты Q = 400 Дж, и конечный объём газа стал вдвое
больше начального. Определите теплоёмкость С.
Дано: Т1 = 200 К; PV2 = const; Q = 400 Дж; V2/V1 = 2.
С −?
Решение. Запишем уравнение процесса и уравнение Клапейрона для гелия:
PV
= const.
T
PV2 = const,
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поделив почленно первое уравнение на второе, имеем:
VT = const.
Последнее уравнение для перехода гелия из состояния 1 в состояние 2 записывается так:
V1T1 = V2T2,
из которого находим температуру гелия в конечном состоянии
Т2 =
V1
1
⋅Т1 = ⋅200 = 100 К.
2
V2
Теплоёмкость С по определению равна количеству теплоты, необходимому для
изменения температуры системы (газа) на 1 К:
С=
Q
400
Дж
=
=4
.
К
T2 − T1
200 − 100
2. Для измерения температуры воды, имеющей массу mв = 7,3 г в неё погрузили термометр, который показал t0 = 32,4 0С. Какова действительная температура t2 воды, если теплоёмкость термометра С = 1,9 Дж/К и перед погружением в воду он показывал t1 = 17,8 0С? Удельная теплоёмкость воды св =
4,2⋅103 Дж/(кг⋅К). Потерями тепла во время измерения пренебрегайте.
Дано: mв=7,3⋅10−3 кг; t0=32,4 0С; t1=17,8 0С; С=1,9 Дж/К; св=4,2⋅103 Дж/(кг⋅К).
t2 −?
Решение. При составлении уравнения теплового баланса часто бывает полезным рисунок, на котором изображена температурная ось t с обозначениями
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
точек (температур) согласно условию задачи. Для данной задачи на температурной оси всего три точки t1, t0, t2. Согласно уравнению теплового баланса (закону сохранению энергии при тепловых процессах) количество теплоты Q1, теряемое водой при остывании от
t2 до t0 равно количеству тепло-
Q1
Q2
ты, необходимому для нагрева
t1
термометра от t1 до t0:
Q1 = Q2,
t0
t2
t, 0C
С(t0 −t1) = cвmв(t2 − t0).
т.е.
Из этого уравнения находим искомую исходную температуру воды до погружения в нее термометра:
t2 = t0 +
C(t 0 − t1 )
1,9(32,4 − 17,8)
0
= 32,4 +
=
33,3
С.
cв mв
4,2 ⋅ 103 ⋅ 7,3 ⋅ 10 − 3
Примечание. Если в процессе теплообмена участвуют более двух тел и
процесс идет с фазовыми превращениями – плавлением или парообразованием,
то число точек на температурной оси будет более трех, а число слагаемых в
уравнении теплового баланса будет более двух.
3. Какое количество бензина потребуется автомобилю, чтобы проехать со
скоростью v = 72 км/ч в течение t = 2 часов, если масса машины ma = 10 т, КПД
двигателя η = 28 %, а сопротивление движению составляет µ = 0,04 силы тяжести автомобиля? Найдите силу тяги, мощность двигателя и расход горючего на
1 кВт⋅ч работы. Ускорение силы тяжести g = 9,8 м/с2. Удельная теплота сгорания бензина q = 4,6⋅107 Дж/кг, а его плотность ρ = 0,7 г/см3.
Дано: v=20 м/с; t=7 200 с; ma=104 кг; η=0,28; µ=0,04;
q=4,6⋅107 Дж/кг; ρ=0,7⋅103 кг/м3; 1 кВт⋅ч=3,6⋅106 Дж.
mб −? Vб−? Fт−? Рпол−? α−?
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. При равномерном движении (v = const, ускорение а = 0) по горизонтальной дороге сила тяги Fт, развиваемая двигателем, равна силе сопротивления движению Fс, равной согласно условию задачи µ = 0,04 от силы тяжести mag автомобиля:
Fт = Fс = µmag = 0,04⋅104⋅9,8 = 3,92⋅103 Н = 3,92 кН.
Работа силы тяги двигателя Апол (полезная работа), выполняемая при движении автомобиля, равна произведению силы тяги Fт на путь S = vt, проходимый автомобилем:
Апол = Fт⋅S = Fс⋅ vt = µmag⋅vt = 0,04⋅104⋅9,8⋅20⋅7 200 =
8
5,64⋅10 Дж =
5,64 ⋅ 108
3,6 ⋅ 10 6
кВт⋅ч = 157 кВт⋅ч.
Мощность Рпол, развиваемая двигателем, рассчитывается как отношение
выполненной работы Апол ко времени t, в течение которого она выполнялась:
Рпол =
А пол Fт ⋅ S
7,84 ⋅ 10 4
=
=Fт⋅v =3,92⋅103⋅20 =7,84⋅104 Вт =
л.с.=106,7 л.с.
t
t
735
(здесь учтено, что 1 л.с. = 1 лошадиная сила = 735 Вт)
Коэффициент полезного действия равен отношению полезной работы
Апол, выполненной для перемещения автомобиля, к количеству теплоты Qзат,
выделенной при сгорании бензина в двигателе автомобиля:
η=
А пол
А
= пол ,
mб ⋅ q
Q зат
где mб – масса бензина.
Из последнего уравнения находим:
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А пол
5,64 ⋅ 108
= 43,8 кг.
mб =
=
η⋅q
0,28 ⋅ 4,6 ⋅ 10 7
Объём израсходованного бензина Vб найдём как отношение массы mб к
плотности ρ бензина:
Vб =
mб
43,8
= 62,6⋅10−3 м3 = 62,6 л.
=
3
ρ
0,7 ⋅ 10
Расход горючего (бензина) на 1 Квт⋅ч работы равен отношению массы mб
израсходованного бензина к совершённой полезной работе Апол, выраженной в
киловатт-часах:
α=
mб
43,8
кг
г
=
= 0,28
= 280
.
кВт ⋅ ч
кВт ⋅ ч
А пол
157
4. Коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по
циклу (см. рисунок), состоящему из изотермы 1-2, изохоры 2-3 Р
1
и адиабаты 3-1, равен η. Разность максимальной и минималь-
2
ной температур газа в цикле равна ∆Т. Найдите работу, со-
3
вершенную ν молями одноатомного идеального газа в изотер-
V
мическом процессе.
Дано: η; Т1 − Т3 = ∆Т; Т1 = Т2; i = 3; ν; R.
А12 −?
Решение. К каждому из трех процессов на участках 1-2, 2-3, 3-1 рассматриваемого цикла будем применять первый закон термодинамики – количество
теплоты ∆Q, переданное системе, идет на изменение внутренней энергии ∆U
системы и на совершение системой работы ∆A против внешних сил:
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∆Q = ∆U + ∆A =
i
νR∆T + P∆V,
2
где i – число степеней свободы молекул газа;
ν − количество вещества;
R – газовая постоянная;
Р – давление;
∆T и ∆V – изменения температуры и объёма в рассматриваемом элементарном процессе.
Участок 1-2 – изотерма, температуры в состояниях 1 и 2 одинаковы, т.е.
Т1=Т2. Поэтому на этом участке внутренняя энергия не меняется, т.е. ∆U12 = 0.
И работа А12 совершается за счет теплоты Q12 = Q1, получаемой тепловой машиной от нагревателя:
А12 = Q1.
Участок 2-3 – изохора, объемы в состояниях 2 и 3 одинаковы, т.е. V2 = V3.
Поэтому на этом участке работа не совершается, т.е. А23 = 0. На участке 2-3
температура понижается, и убыль внутренней энергии ∆U23 =
i
νR∆T произво2
дится за счет передачи теплоты Q23 = Q2 холодильнику:
Q2 =
3
i
νR∆T = νR∆T.
2
2
Участок 3-1 − адиабата, на этом участке процесс происходит без теплообмена с окружающей средой:
Q3 = 0.
Коэффициент полезного действия η тепловой машины по определению равен:
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
η=
Q1 − Q 2
Q
=1− 2.
Q1
Q1
В полученное уравнение для η вместо Q1 и Q2 подставим их выражения,
записанные выше:
3
νR∆T
Q2
2
,
=1−
η =1 −
A12
Q1
откуда найдем искомую работу:
А12 =
3νR∆T
.
2(1 − η)
5. Один моль идеального газа совер- Р
Изотерма
шает замкнутый процесс, состоящий из
2
двух изохор и двух изобар (см. рисунок).
Температура в точке 1 равна Т1, а в точке 3
равна Т3. Точки 2 и 4 лежат на одной изо-
1
3
4
0
терме. Чему равна работа газа за цикл?
V
Универсальная газовая постоянная равна R.
Дано: R; Т1; Т3; Т4 = Т2; Р3 = Р2; Р4 = Р1; V2 = V1; V3 = V4; ν = 1 моль.
A −?
Решение. В каждой точке параметры состояния будем обозначать с соответствующими индексами. Например, в точке 4 с учетом условия задачи будем
использовать следующие параметры для давления, объёма, температуры:
4(Р4, V4, T4) = 4(Р1, V4, T2).
Используя уравнение Клапейрона
PV
= const,
T
144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
запишем уравнения изопроцессов 1-2, 2-3, 3-4, 4-1.
Из уравнений изохор 1-2 и 3-4
P1
P
= 2,
T1 T2
P2
P
= 1
T3
T2
получаем выражение:
Р1 = Р2 ⋅
Т1
.
Т3
(*)
Из уравнений изобар 2-3 и 4-1
V1
V
= 4,
T2
T3
V4
V
= 1
T2
T1
получаем соотношения:
V4 = V1⋅
Т3
,
Т2
T2 =
Т1 ⋅ Т 3 .
(**)
Работа газа за цикл равна площади фигуры (в данном случае площади
прямоугольника) на диаграмме в координатах P-V:
А = (P2 −P1)⋅(V4 − V1).
Преобразуем записанное выражение для работы с учетом соотношений (*)
и (**):
А = (P2 −P1)⋅(V4 − V1) = Р2⋅(1 −
= Р2V2⋅(1 −
Т
Т1
)⋅V1⋅( 3 − 1) =
Т3
Т2
Т3
Т1
)⋅(
− 1).
Т3
Т1Т 3
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Преобразуем полученное выражение для работы с учётом уравнения состояния
в точке 2:
Р2V2 = νRT2,
(ν = 1 моль).
Итак, имеем:
А = Р2V2⋅(1 −
Т3
Т1
− 1) = RT2 ⋅(1 −
)⋅(
Т3
Т1Т 3
= R Т1 ⋅ Т 3 ⋅(1 −
Т3
Т1
)⋅(
− 1) = R⋅
Т3
Т1
6. На рисунке показан процесс изменения состояния идеального газа. Внешние
(
Т3
Т1
)⋅(
− 1) =
Т3
Т1
)2
Т 3 − Т1 .
Р, 104 Па
5·104 Дж. Какое количество теплоты отдаёт
4
3
2
1
газ в этом процессе?
0
силы совершили над газом работу, равную
1
2
3
4
V, м3
Дано: А′ = 50⋅103 Дж = 50 кДж.
Q=?
Решение: Из графика видно, что P1V1 = P2V2 (для начального и конечного
состояния), т.е. процесс изотермический – при постоянной температуре (Т =
const). При изотермическом процессе внутренняя энергия не меняется: ∆U = 0.
Из первого начала термодинамики следует, что
Q = ∆U + A = 0 + A = A = − A′ = − 50 кДж.
Знак ″−″ указывает на то, что система не получает а отдаёт такое количество
теплоты.
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. 10 моль идеального одноатомного газа охла-
V
дили, уменьшив давление в 3 раза. Затем газ нагрели
3
до первоначальной температуры 300 К (см. рисунок).
Какое количество теплоты сообщено газу на участке
2
0
2−3?
1
p
Дано: ν = 10 моль; R = 8,31 Дж/(моль⋅К); Т1 = Т3 = 300 К; i = 3; P1/P2 = 3.
Q23 = ?
Решение: Будем полагать, что каждому состоянию (1, 2, 3) соответствует
значение параметра состояния (P, V, T) с соответствующим индексом.
Так как процесс 1-2 изохорический (V = const), то
Р1 Р 2
=
⇒ Т2 = Т1 Р 2 = 300/3 = 100 К.
Т1 Т 2
Р1
На участке 2-3 согласно первому началу термодинамики
Q23 = ∆U23 + A23 =
=
i
νR(T3 − T2) + P2(V3 − V2) =
2
i
i+2
νR(T3 − T2) + νR(T3 − T2) =
νR(T3 − T2),
2
2
где i – число степеней свободы молекул;
R – газовая постоянная.
После подстановки данных получаем следующий результат:
Q23 =
i+2
3+ 2
νR(T3 − T2) =
⋅10⋅8,31⋅(300 – 100) =
2
2
= 41,55⋅103 Дж = 41,55 кДж.
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. Какое количество теплоты выделится, если охладить 80 г гелия с
200 0С до 100 0С, а процесс проводить при постоянном давлении?
Дано: T1 = 473 К; T2 = 373 К; R = 8,31 Дж/(моль⋅К); i = 3;
µ = 0,004 кг/моль; m = 0,08 кг.
Q=?
Решение: Число степеней свободы молекул гелия i = 3, а молярная масса
равна µ. Искомое количество теплоты
Q=
m
СР(T1 − T2) , где
µ
молярная теплоёмкость гелия (идеального газа) при постоянном давлении СР
равна
СР =
i+2
R.
2
Итак, имеем
Q=
m i+2
0,08 3 + 2
R (T1 − T2) =
8,31(473 − 373) = 41,55⋅103 Дж =
µ 2
0,004 2
= 41,55 кДж = 42 кДж.
9. Некоторое количество гелия расширяется: сначала адиабатно, а затем −
изобарно. Конечная температура газа равна начальной. При адиабатном расширении газ совершил работу, равную 4,5 кДж. Чему равна работа газа за весь
процесс?
Дано: А12 = 4,5 кДж; i = 3; Т1 = Т2.
А123 = ?
148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение: На рисунке 1-2 − адиабатический процесс, 2-3 − изобарический про-
P
1
цесс, 1-3 − изотерма (Т1 = Т3). Согласно ус- P1
T=const
ловию задачи работа адиабатического расширения равна А12. Как известно, работа
адиабатического расширения равна:
P2
А12 = νCV(T1−T2),
где CV =
3
2
0
V1
V2
V3
V
i
R − молярная теплоёмкость при постоянном объёме;
2
ν − количество вещества;
Т1 и Т2 – температуры в точках 1 и 2;
i − число степеней свободы молекул;
R − газовая постоянная.
Итак,
А12 =
i
νR(T1−T2),
2
откуда выражаем
νR(T1−T2) =
2
А12.
i
Работа изобарического расширения на участке 2-3 равна
А23 = Р2(V3 – V2) = Р2V3 – Р2V2 = νRT1 − νRT2 = νR(T1−T2) =
2
А12.
i
Так как работа аддитивная величина, то работа газа за весь процесс равна
алгебраической сумме работ на отдельных участках:
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А123 = А12 + А23 = А12 +
2

А12 = А12 1 + 2  = 4,5 1 +
i

i

2
 = 7,5 кДж.
3
10. Для определения удельной теплоты плавления льда в сосуд с водой
стали бросать кусочки тающего льда при непрерывном помешивании. Первоначально в сосуде находилось 300 г воды при температуре 20 °С. К моменту
времени, когда лёд перестал таять, масса воды увеличилась на 84 г. Определите
по данным опыта удельную теплоту плавления льда. Теплоёмкостью сосуда
пренебречь.
Дано: m = 0,3 кг; t1 = 20 °С; t2 = 0 °С; с = 4 200 Дж/(кг⋅К); ∆m = 0,084 кг.
λ=?
Решение: Масса воды увеличилась за счет растаявшего льда. Поэтому
масса растаявшего льда равна ∆m. Лед перестаёт плавиться, когда температура
воды сравняется с его температурой плавления t2. Это означает, что температура воды изменяется от t1 до t2.
По закону сохранения энергии количество теплоты, выделяющееся при
остывании воды, равно количеству теплоты, необходимому для плавления льда.
Поэтому уравнение теплового баланса записывается так:
cm(t1 − t2) = ∆mλ,
где с – удельная теплоемкость воды;
λ − удельная теплота плавления льда.
Из написанного соотношения находим:
λ=
cm(t1 − t 2 ) 4200 ⋅ 0,3 ⋅ (20 − 0)
=
= 300⋅103 Дж/кг = 300 кДж/кг.
∆m
0,084
150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При расчёте λ учтено, что изменения температуры по шкале Цельсия (∆t) и по
шкале Кельвина (∆Т) численно совпадают, т.е. ∆t = ∆Т.
11. 1 моль идеального одноатомного газа сначала Р
1
охладили, а затем нагрели до первоначальной температуры 300 К, увеличив объём газа в 3 раза (см. рисунок).
Какое количество теплоты отдал газ на участке 1-2?
2
3
0
T
Дано: ν = 1 моль; R = 8,31 Дж/(моль⋅К); Т1 = Т3 = 300 К; i = 3; V3/V2 = 3.
Q12 = ?
Решение: Будем полагать, что каждому состоянию (1, 2, 3) соответствует
значение параметра состояния (P, V, T) с соответствующим индексом.
Так как процесс 2-3 изобарический (Р = const), то
V3 V2
1
=
⇒ Т2 = Т3⋅ V2 = 300⋅ = 100 К.
Т3 Т 2
3
V3
На участке 1-2 согласно первому началу термодинамики
Q12 = ∆U12 + A12 = ∆U12,
так как на этом участке процесс изохорный, и поэтому А12 = 0. Запишем известное соотношение для изменения внутренней энергии
∆U12 =
i
νR(T2 − T1),
2
где i – число степеней свободы молекул;
R – газовая постоянная.
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
После подстановки данных получаем следующий результат:
Q12 = ∆U12 =
i
3
νR(T2 − T1) = ⋅1⋅8,31⋅(100 – 300) = − 2,5⋅103 Дж = − 2,5 кДж.
2
2
Знак ″−″ указывает на то, что на участке 1-2 газ отдает такое количество теплоты (что требуется найти согласно условию задачи).
12. 1 моль инертного газа сжали, совершив работу 600 Дж. В результате
сжатия температура газа повысилась на 40 0С. Какое количество теплоты отдал
газ?
Дано: ν = 1 моль; А′ = 600 Дж ; i = 3; R = 8,31 Дж/(моль⋅К); ∆Т = 40 К.
Q=?
Решение: Из первого начала термодинамики следует, что
Q = ∆U − A′ =
i
3
⋅ν⋅R⋅∆T - A′ = ⋅1⋅8,31⋅40 - 600 = − 101,4 Дж.
2
2
Знак ″−″ указывает на то, что система отдаёт такое количество теплоты.
13. 10 моль одноатомного идеального газа сначала охладили, уменьшив давление в 3 раза, а затем на- V
3
грели до первоначальной температуры 300 К (см. ри2
сунок). Какое количество теплоты получил газ на участке 2−3?
0
Дано: i = 3; Т1= Т3 = 300 К; ν = 10 моль; R = 8,31 Дж/(моль⋅К);
Р1/Р2 = 3; Р2 = Р3; V1 = V2.
Q23 = ?
152
1
300 К Т
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение: По условию задачи для изохорического процесса 1-2: V1 = V2,
для изобарического процесса 2-3: Р2 = Р3, для одноатомного газа число степеней свободы молекул i = 3.
Запишем первое начало термодинамики для процесса 2-3:
Q23 = ∆U23 + A23,
где Q23 – количество теплоты, полученное газом;
∆U23 =
i
νR(T3−T2) – изменение внутренней энергии в этом процессе;
2
А23 = Р(V3 – V2) = νR(T3−T2) – работа, совершаемая газом в этом процессе.
С учётом, что Т1 = Т3, выражение для количества теплоты, полученного
газом, примет вид:
Q23 =
i
i+2
νR(T1−T2).
νR(T3−T2) + νR(T3−T2) =
2
2
Запишем закон Шарля для изохорического процесса 1-2:
Р1 Р 2
=
Т1 Т 2
⇒ Т2 = Т1
Р2
.
Р1
Полученное выражение для Т2 подставим в выражение для искомого количества теплоты Q23 и, подставляя известные числовые значения, рассчитаем
его величину:
Q23 =
=
i+2
i+2


νR(T1−T2) =
νRT1 1 − Р 2  =

2
2
Р1 

3+ 2
 1
⋅10⋅8,31⋅300⋅ 1 −  = 41,55⋅103 Дж = 41,55 кДж.
2
 3
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задание 4-3-10. Электростатика
Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона.
Электрическое поле. Напряжённость и потенциал электрического поля.
Принцип суперпозиции полей. Расчёт сложных электрических полей.
Движение заряда в электрическом поле.
Проводники и диэлектрики в электростатическом поле. Диэлектрическая
проницаемость среды.
Электроёмкость уединённого проводника и конденсатора. Соединение
конденсаторов. Энергия электрического поля.
01. Шарик массой m = 1 г, имеющий заряд q1 = 10-8 Кл, подвешен на нити и
движется по окружности радиусом R = 2 см с угловой скоростью ω = 10 c-1. В
центре окружности поместили шарик с зарядом q2 = −q1. Определите угловую
скорость вращения шарика, при которой радиус окружности не изменится.
02. Шарик массой m = 1 г и зарядом q = 10 нКл перемещается из точки с
потенциалом ϕ1 = 600 В в точку с потенциалом ϕ2 = 0. Определите скорость
шарика в первой точке, если во второй его скорость v2 = 0,2 м/с.
03. Шарик массой 10 г подвешен на невесомой и непроводящей нити в однородном поле напряжённостью 1 000 В/м. Определить максимальное натяжение нити, если величина заряда шарика 1 мКл.
04. Пучок электронов, движущихся со скоростью v = 5⋅106 м/с, падает на
первоначально незаряженный изолированный металлический шарик радиусом
r = 1 см. Какое максимальное количество электронов N может накопиться на
шаре?
05. На проводящей сфере радиусом 60 см равномерно распределён заряд
12 мкКл. Определить работу по переносу заряда 2 мкКл из точки, находящейся
на 10 см от центра сферы до точки на 40 см от центра сферы.
06. Вследствие стекания заряда напряжённость электрического поля, создаваемого маленьким заряженным шариком на расстоянии 30 см от него
уменьшилась на 100 В/м. На сколько уменьшился заряд шарика?
154
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
07. Одноимённые точечные заряды 0,3 мкКл и 7 мкКл связаны нерастяжимой нитью длиной 0,3 м. Определить величину силы натяжения нити.
08. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора ёмкостью С =
100 пФ каждый соединены в батарею последовательно. Определить, на сколько
изменится ёмкость С батареи, если пространство между пластинами одного из
конденсаторов заполнить парафином (ε = 2).
09. Два конденсатора ёмкостями C1 = 2 мкФ и С2 = 5 мкФ заряжены до напряжений U1 = 100 В и U2 = 150 В, соответственно. Определить напряжение на
обкладках конденсаторов после их соединения обкладками, имеющими разноимённые заряды.
10. 125 капель шаровой формы, заряженных до потенциала 70 В сливаются
в одну каплю той же формы. На сколько потенциал большой капли больше потенциала маленькой?
11. Четыре одинаковых точечных заряда q1 = q2 = q3 = q4 = q = 10-6 Кл расположены на расстоянии а = 10 см друг от друга вдоль прямой. Какую работу А
нужно совершить, чтобы медленно переместить заряды в вершины квадрата
стороной а?
12. На пластинах плоского конденсатора находится заряд Q = 10 нКл.
Площадь каждой пластины конденсатора равна S = 100 см2, диэлектрик – воздух. Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.
13. Три точечных заряда Q1 = Q2 = Q3 = 1 нКл расположены в вершинах
равностороннего треугольника. Какой заряд Q4 нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?
14. В точке А напряжённость электрического поля, создаваемого точечным
зарядом равна 36 В/м, а в точке В 9 В/м. Найти напряженность в точке, расположенной посередине между точками А и В.
15. В плоский воздушный конденсатор с расстоянием между обкладками
d = 5 мм, заряженный до разности потенциалов 300 В и отключенный от источника питания, вводят параллельно пластинам конденсатора металлическую
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пластинку толщиной 2 мм. Определить разность потенциалов на обкладках
конденсатора после введения пластинки.
16. Расстояние между зарядами Q1 = 100 нКл и Q2 = -50 нКл равно d =
10 см. Определить силу F, действующую на заряд Q3 = 1 мкКл, отстоящую на
r1 = 12 см от заряда Q1 и на r2 = 10 см от заряда Q2.
17. Два шарика массой m = 1 г каждый подвешены на нитях, верхние концы которых соединены вместе. Длина каждой нити ℓ = 10 см. Какие одинаковые заряды надо сообщить шарикам, чтобы нити разошлись на угол α = 600?
18. Конденсаторы ёмкостями C1 = 2 мкФ, С2 = 5 мкФ и С3 = 10 мкФ соединены последовательно и находятся под напряжением U = 850 В. Определить напряжение и заряд на каждом из конденсаторов.
19. Плоский конденсатор, пластины которого расположены горизонтально,
наполовину залит жидким диэлектриком. Какую часть такого же конденсатора
надо залить жидкостью при вертикальном расположении пластин, чтобы ёмкость в обоих случаях была одинаковой? Диэлектрическая проницаемость жидкости равна 9.
20. Пучок электронов, пройдя ускоренно разность потенциалов 10 кВ, влетел в середину между пластинами плоского конденсатора параллельно им. Какое напряжение необходимо подать на пластины конденсатора, чтобы пучок
электронов отклонился от своего начального направления на максимальный
угол? Длина пластин 10 см, а расстояние между ними 3 cм.
А01. К бесконечной плоскости, расположенной вертикально и имеющей
поверхностную плотность заряда σ, прикреплён на непроводящей и нерастяжимой нити одноимённо заряженный шарик массы m и с зарядом q. Найти силу
натяжения нити и угол отклонения нити от вертикали. Напряжённость поля,
создаваемого заряженной плоскостью, не зависит от расстояния до плоскости и
равна Е = σ/2ε0 (ε0 − электрическая постоянная), вектор напряжённости Е перпендикулярен плоскости.
А02. Два одинаковых конденсатора соединены последовательно и подключены к источнику постоянного напряжения. Во сколько раз изменится на156
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пряжение на одном из конденсаторов, если другой погрузить в жидкий парафин
с диэлектрической проницаемостью ε = 2?
А03. Конденсаторы ёмкостью С1 = 5 мкФ и С2 = 10 мкФ заряжены до напряжений U1 = 60 В и U2 = 100 В соответственно. Определить напряжение на
обкладках конденсаторов после их соединения обкладками, имеющими одноимённые заряды.
А04. Конденсатор ёмкостью C1 = 10 мкФ заряжен до напряжения U = 10 В.
Определить заряд на обкладках этого конденсатора после того, как параллельно
ему был подключен другой незаряженный конденсатор ёмкостью С2 = 20 мкФ.
А05. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен
пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью v1 = 106 м/с,
чтобы скорость его возросла в n = 2 раза.
А06. Конденсатор ёмкостью C1 = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U1 = 40 B. После отключения от источника тока конденсатор соединили
параллельно с другим незаряженным конденсатором ёмкостью C2 = 5 мкФ. Какая энергия W израсходуется на образование искры в момент присоединения
второго конденсатора?
А07. Конденсатор заряжен до напряжения U = 300 В и отключён от источника тока. Определить работу внешних сил по перемещению пластин при увеличении расстояния вдвое. Заряд обкладки 1·10-4 Кл.
А08. Определить потенциальную энергию точечного заряда −5 мкКл, помещённого в электрическое поле, где потенциал был равен +8 000 В.
А09. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы получить скорость v = 8 Мм/с?
А10. Первоначально заряд 3·10-6 Кл находится в точке с потенциалом φ0 =
8 В. Определить потенциал φ1 точки, при переносе в которую этого заряда,
электрическое поле совершило работу −6·10-6 Дж.
А11. Пылинка массой 17 мкг покоится в однородном электрическом поле.
Величина напряжённости поля 2,5 мВ/см. Силовые линии поля перпендикулярны поверхности земли. Вычислить величину заряда пылинки.
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А12. Два точечных заряда, находясь в воздухе на расстоянии r1 = 5 см,
взаимодействуют друг с другом с силой F1 = 1,2⋅10-4 Н, а находясь в некоторой
непроводящей жидкости на расстоянии r2 = 10 см, − с силой F2 = 1,5⋅10-5 Н. Какова диэлектрическая проницаемость жидкости?
А13. Между зарядами q1 = +q и q2 = +9q расстояние равно ℓ = 8 см. На каком расстоянии от первого заряда находится точка, в которой напряжённость
поля равна нулю?
А14. Металлическая сфера диаметром 0,6 м имеет заряд 0,3 мкКл. Определить максимальное значение напряжённости электрического поля, созданного
зарядом такой сферы.
А15. Заряды +3 мкКл и −1,5 мкКл находятся в вакууме на расстоянии 2 м.
Определить величину напряжённости поля в точке, находящейся в середине отрезка, соединяющей заряды.
А16. При полном погружении плоского воздушного конденсатора в керосин его ёмкость увеличилась вдвое. Определить диэлектрическую проницаемость ε керосина.
А17. Считая ион шариком диаметром 8⋅10-9 м, определить величину напряжённости поля на его поверхности. Заряд иона равен 1,6⋅10-19 Кл.
А18. Напряжённость поля в плоском конденсаторе 6 кВ/м. Расстояние между пластинами 2 см. Определить разность потенциалов между этими пластинами.
А19. Во сколько раз увеличится ёмкость плоского конденсатора, если
площадь пластин увеличить в 3 раза, а расстояние между ними увеличить в 2
раза?
А20. В однородном постоянном электрическом поле силовые линии идут
вертикально, а напряжённость равна 400 В/м. В поле внесли заряд 0,3 мкКл.
Определить величину вектора Е в точке, лежащей на 3 м справа от заряда.
А21. Два заряда, величиной 1 мкКл каждый, находятся на расстоянии
50 см друг от друга. Какую работу нужно совершить, чтобы сблизить их до расстояния 5 см?
158
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А22. Два одинаковых плоских конденсатора ёмкостью 100 мкФ каждый,
заряжены до разности потенциалов 100 В и 300 В, соответственно. Какая энергия выделится при перераспределении заряда, если одноимённые пластины
конденсаторов соединить проводником?
В01. Два маленьких шарика массой по m = 6,3 мг
каждый подвешены в точке 0 на непроводящих нитях
0
длиной ℓ = 0,2 м каждая. После того, как шарикам сооб-
α
щили одинаковые заряды, они разошлись на угол α = 600
m
(рисунок 57). Определить напряжённость электрического
m
Рисунок 57
поля, создаваемого зарядами в точке подвеса.
В02. Внутри тонкой металлической сферы радиуса R, заряд которой равен
q, находится заземлённая проводящая сфера радиуса r < R. Центры сфер совпадают. Найти напряжённость электрического поля вне большей сферы на расстоянии ℓ от ее центра.
В03. В точках А и В, находящихся на рас- А
стоянии ℓ = 10 см друг от друга, закреплены заря- 9q
ды qА = 9q и qВ = −q (см. рисунок 58). Вдоль пря-
ℓ
В
-q
Рисунок 58
v m
q
мой АВ со стороны заряда qВ к ним движется частица массы m = 0,2 г и зарядом q = 10-7 Кл. Какую наименьшую скорость v должна иметь эта частица на
очень большом расстоянии от заряда qВ, чтобы достигнуть точки В?
В04. Конденсатор ёмкостью С1 = 4 мкФ, заряженный до напряжения U1 =
80 В, соединяют параллельно с конденсатором ёмкостью С2 = 10 мкФ, заряженным до напряжения U2 = 16 В, первый раз обкладками, имеющими одинаковые заряды, а второй раз − обкладками с разноимёнными зарядами. В каком
случае и во сколько раз напряжение на конденсаторах после их соединения будет больше?
r
В05. Одну пластину плоского
С
незаряженного конденсатора ёмкости
Рисунок 59
С = 5⋅10-12 Ф заземляют, а другую
присоединяют тонким длинным проводом к удалённому от плоского конденса159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тора и других окружающих предметов проводящему шару радиуса r = 2 см,
имеющему заряд q0 = 6⋅10-10 Кл (рисунок 59). Какой заряд останется на шаре?
В06. Двум соединённым проводником металлическим шарам с радиусами
R1 = 2 см и R2 = 8 см сообщили заряд Q = 10-8 Кл. Определить заряды шаров,
если расстояние между ними велико по сравнению с их радиусами.
В07. Металлический шарик радиусом r = 2 см зарядили до потенциала ϕ0 =
30 В и соединили длинным проводом с изолированным незаряженным проводником неизвестной ёмкости Сх. Чему равна ёмкость Сх проводника, если после
соединения с ним потенциал шара оказался равным ϕ = 10 В? Ёмкостью соединительного провода и влиянием зарядов проводников друг на друга пренебречь.
В08. Два заряда q1 = 2⋅10-8 Кл и q2 = 3⋅10-8 Кл находятся на расстоянии ℓ =
20 см друг от друга. Определите потенциал электрического поля в точке, где
напряжённость поля равна нулю.
В09. Плоский конденсатор с обкладками площадью S =
ε
10 см2 каждая и расстоянием d = 0,2 см между ними подключили к источнику питания напряжением U = 10 В. В конденсатор вдвигают пластинку из стекла, плотно прилегающую
+ U −
к его обкладкам так, что она заполняет ровно половину зазора Рисунок 60
между обкладками конденсатора (рисунок 60). Определить заряд q, прошедший
при этом через источник питания. Диэлектрическая проницаемость стекла ε = 7.
В10. Две металлические параллельные пластинки расположены на небольшом по сравнению с их линейными размерами расстоянии друг от друга.
Первой пластинке сообщили заряд Q1 = 2⋅10-3 Кл, а второй − заряд Q2 =
4⋅10-3 Кл. Какие заряды находятся на правой и на левой стороне второй пластинки?
В11. Три конденсатора ёмкостью 2, 4 и 6 нФ соединены последовательно.
Можно ли подавать на эту батарею напряжение в 11 кВ? Какое напряжение будет приходиться на каждый из конденсаторов? Пробивное напряжение каждого
из конденсаторов равно 4 кВ.
160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В12. Рассчитать потенциал ртутной капли, образовавшейся от слияния 8
одинаковых капель с потенциалом ϕ = 1 В каждый.
В13. Вблизи отрицательно заряженной пластины плоского конденсатора
образовался электрон вследствие столкновения молекулы воздуха с космической частицей. С какой скоростью электрон подлетит к положительно заряженной пластине, если заряд пластины 1 нКл, ее площадь 60 см2, расстояние между
пластинами 5 мм?
В14. Два последовательно соединенных конденсатора, емкости которых C1
= 10-6 Ф и C2 = 2⋅10-6 Ф, зарядили от источника с ЭДС Е = 10 В (рисунок 61а).
Затем оба конденсатора отсоединили от источника и соединили между собой
так, как показано на рисунке 61б. Определите энергию, которая выделилась в
этом процессе.
а)
С1
К
б) К С1
Е
С2
L М
М
С2
N
Рисунок 61
Е,r
L
К
R
N
С
Рисунок 62
В15. Определите количество теплоты, которое выделится на резисторе сопротивлением R = 5 Ом после замыкания ключа К в схеме, приведенной на рисунке 62. Ёмкость конденсатора С = 10-5 Ф, ЭДС источника Е = 10 В, внутреннее сопротивление источника r = 1 Ом.
В16. Поле создано бесконечной вертикальной плоскостью с поверхностной
плотностью заряда 4 нКл/см2. В нём подвешен на нити шарик массой 1 г и зарядом 1 нКл. Определите угол, образованный нитью с плоскостью.
В17. Плоский воздушный конденсатор заряжен до напряжения U =
1 800 В, напряжённость поля в нем Е = 3 кВ/м, площадь пластин S = 21 см2. В
конденсатор параллельно его пластинам вводят металлическую незаряженную
пластину толщиной d0 = 3 см. Определите ёмкость конденсатора С0 с введённой
пластиной.
161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В18. Два точечных заряда q1 = 25 нКл и q2 = -9 нКл находятся на расстоянии а = 10 см. В какой точке пространства напряжённость электрического поля
равна нулю? Рассчитать напряжённость электрического поля Е в той точке, где
потенциал ϕ = 0.
∅
В19. Найти ёмкость С0 батареи одинаковых конденсаторов ёмкостью С каждый (см. рисунок 63).
В20. Определить напряжённость электрического ∅
Рисунок 63
поля, созданного диполем, в точке на перпендикуляре к плечу диполя на расстоянии 50 см от его центра, если заряды диполя 10 нКл и -10 нКл, а плечо диполя 5 см.
В21. Два одинаковых положительных заряда находятся на расстоянии
20 см друг от друга. Найти на прямой, соединяющей заряды и проходящей через середину этой линии, точку, в которой напряжённость поля максимальна.
В22. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено
двумя слоями диэлектриков: стекла толщиной d1 = 1 см и парафина толщиной
d2 = 2 см. Разность потенциалов между обкладками U = 3 кВ. Определите напряжённости Е1 и Е2 и падения потенциала U1 и U2 в каждом из слоев, если диэлектрическая проницаемость стекла ε1 = 7, парафина ε2 = 2.
В23. Плоский конденсатор с расстоянием между обкладками d = 2 см заряжен до напряжения U = 3 000 B. Какова будет напряжённость поля внутри
конденсатора и как изменится заряд на пластинах, если, не отключая от источника напряжения, пластины раздвинуть на 5 см?
В24. На концах отрезка расположены заряды по 12 мкКл. Определить силу, действующую на заряд 1,5 мкКл в точке, удалённой на 2,5 см от отрезка и
на 5 см от его концов.
В25. Два точечных заряда 9Q и −Q закреплены на расстоянии ℓ = 50 см
друг от друга. Третий заряд Q1 может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда Q1, при котором он будет
находиться в равновесии. При каком знаке заряда Q1 равновесие будет устойчивым?
162
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В26. Два точечных электрических заряда Q1 = 1 нКл и Q2 = −2 нКл находятся в воздухе на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить напряжённость Е и потенциал ϕ поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удалённой от заряда Q1 на расстояние r1 = 9 см и от заряда Q2 на r2 = 7 см.
В27. Электрическое поле создается двумя за-
2
рядами Q1 = 4 мкКл и Q2 = −2 мкКл, находящимися на
расстоянии а = 0,1 м друг от друга. Определить работу
А12 сил поля по перемещению заряда Q = 50 нКл из
точки 1 в точку 2 (рисунок 64).
В28. На двух проводящих концентрических сферах с радиусами 10 см и 50 см находятся одинаковые
а
а/2
Q1
1
а
Q2
Рисунок 64
заряды по 0,02 мкКл. Определить величину напряжённости электрического поля на расстоянии: а) 30 см, б) 7 см от центра сфер.
В29. Напряжённость поля в плоском конденсаторе 400 В/м. Он внесён в
однородное электрическое поле, вектор напряжённости которого параллелен
пластинам и равен 300 В/м. Определить величину вектора напряжённости в
пространстве между пластинами.
В30. Незаряженный металлический шар емкостью С1 = 2 мкФ соединили
тонкой проволокой с шаром емкостью С2 = 3 мкФ, на котором находится заряд
5 мкКл. Определить заряды на шарах после их перераспределения.
В31. Конденсаторы ёмкостью 4,5 мкФ и 1,5 мкФ подключены последовательно к источнику тока напряжением 120 В. Определить разность потенциалов
между обкладками конденсатора емкостью 1,5 мкФ.
В32. Два проводящих шарика радиусами 2 см и 3 см имеют одинаковые
заряды q = 10-¹² Кл. Шарики соединяют проволокой. Какой будет потенциалы и
заряды шариков после соединения, если они расположены достаточно далеко
друг от друга?
В33. Шарик массой 10 г, имеющий заряд 0,01 мкКл, брошен вертикально
вверх с некоторой начальной скоростью. Чему должна быть равна напряжённость горизонтально направленного электрического поля, чтобы в верхней точ163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ке траектории кинетическая энергия шарика была равна начальной? Сопротивления нет.
В34. На двух проводящих концентрических сферах с радиусами 20 см и
40 см находятся заряды -0,2 мкКл и 0,3 мкКл. Определить величину напряжённости электрического поля на расстоянии 60 см от поверхности внешней сферы.
В35. Частица с зарядом 1 мкКл влетает в плоский конденсатор ёмкостью
2 мкФ вблизи первой пластины, отклоняется электрическим полем и долетает
до второй пластины. Определить изменение кинетической энергии частицы за
время движения между пластинами. Заряд конденсатора 14 мКл.
В36. Определить расстояние между вертикально расположенными пластинами конденсатора, заряженного до потенциала 600 В, если шарик массой
0,1 мг с зарядом 0,001 мКл, подвешенный между обкладками на нити, отклонился на угол 600.
ℓ
С01. Электрон, имеющий кинетическую энергию
v
А
В
Т = 10 кэВ, влетает в плоский заряженный конденсатор.
Рисунок 65
В начальный момент времени скорость электрона на-
правлена вдоль средней плоскости конденсатора АВ (рисунок 65). Длина конденсатора ℓ = 20 см. Определите через какое время нужно изменить направление электрического поля в конденсаторе на противоположное, не изменяя его
абсолютной величины, чтобы на вылете из конденсатора электрон пересёк
плоскость АВ. Силу тяжести не учитывать.
С02. Батарея конденсаторов подключена к источнику напряжением U = 1 000 В. Определите разность
потенциалов между точками АВ, АС, СВ, АД, ДВ и
СД, если емкости равны С1 = 3 пФ, С2 = 7 пФ, С3 = 6
А
С1
С
С3
Д
С2
С4
В
∅ ∅
Рисунок 66
пФ, С4 = 4 пФ (см. рисунок 66).
С03. Имеются две металлические концентрические сферы, радиусы которых 5 см и 10 см и заряды 20 нКл и −10 нКл. Определите напряжённость поля,
созданного этими сферами в точках, отстоящих от центров сфер на расстояния
164
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3 см, 8 см и 14 см. Построить график зависимости напряжённости поля от расстояния точки от центра сфер.
С04. В изображённой на рисунке 67 схеме С1 = С2 = 10 мкФ, R = 4,5 Ом. В
момент замыкания ключа через источник протекает ток
I0 = 10 А. Установившийся ток I = 1 А. Определить E r
ЭДС Е и внутреннее сопротивление источника r источС1
ника, а также заряды, накопившиеся на обкладках кон-
R
R
С2
Рисунок 67
денсаторов С1 и С2 после замыкания ключа.
С05. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 60 В, влетает в плоский конденсатор параллельно обкладкам на равном расстоянии от них. Расстояние между обкладками d = 4 см, напряжение на конденсаторе U = 12 В. Через какое время после влёта электрон упадёт на одну из пластин? На каком расстоянии от начала конденсатора электрон упадёт на пластину? Определить во
сколько раз отличаются максимальная и минимальная скорости электрона
vmax/vmin. Определите нормальное аn и тангенциальное аτ ускорения и радиус
кривизны R траектории электрона в момент падения электрона на обкладку.
С06. Две металлические концентрические сферы имеют радиусы а и в. На
внутренней сфере находится заряд q, на внешней сфере находится заряд Q.
Найти выражение для напряжённости и потенциала поля вне сфер, внутри первой и внутри второй сфер.
В
0
С07. Два одинаковых равномерно заряжен-
R
ных тонких кольца радиусом R расположены
так, что их оси пересекаются под прямым углом 2R
R
в точке 0, которая находится на расстоянии 2R
от центров обоих колец (рисунок 68). Определите, во сколько раз изменится величина напря-
А
2R
Рисунок 68
жённости электрического поля в точке 0, если кольцо В полностью совместить
с кольцом А. Положение кольца А не изменилось.
С08. Стороны правильного треугольника образованы одинаковыми равномерно заряженными стержнями. Определите потенциал и величину напряжён165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ности электрического поля в центре треугольника, если при удалении одного из
стержней потенциал и напряжённость в этой точке становятся равными ϕ =
40 В и Е= 100 В/м.
С09. На какое минимальное расстояние rmin может приблизиться позитрон
к ядру атома бора, если позитрон летит в направлении на ядро и на бесконечности имеет скорость 1 200 км/ч?
Q
С10. Один из двух одинаковых металлических шариков, радиусы которых
равны r, находится в центре полой тонкостенной металлической сферы радиусом
R
R = 3r. Второй шарик переносится на
r
r
Рисунок 69
большое расстояние от первого, после чего их соединяют длинным проводником в изоляции, проходящим через небольшое отверстие в поверхности сферы
(рисунок 69). Какие заряды индуцируются на шариках, если сфере сообщить
заряд Q = 1,8⋅10-8 Кл?
Примеры решения задач
1. Газообразный водород бомбардируется потоком протонов. Масса протона m, скорость протона v много меньше скорости света с. На какое минимальное расстояние может приблизиться протон к ядру атома водорода? Электрическая постоянная ε0. Элементарный заряд е.
Дано: v; v << c; m; e; ε0.
R −?
Решение. Так как ядро атома водорода представляет собой протон, то будем рассматривать взаимодействие двух протонов. На достаточно большом
расстоянии от ядра атома водорода протон имеет скорость v и кинетическую
энергию mv2/2. Когда протон и ядро приблизятся на минимальное расстояние
166
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
R, то их центр масс будет двигаться со скоростью u, которую найдем из закона
сохранения импульса:
mv = 2mu ⇒
u=
v
.
2
Далее воспользуемся законом сохранения энергии – кинетическая энергия
протона на «бесконечности» равна сумме кинетической энергии системы протон-ядро и потенциальной энергии взаимодействия двух протонов, находящихся на минимально возможном расстоянии R между ними:
2
 v
 
1 e2
mv 2
u2
1 e2
2
= 2m
+
= 2m   +
2
4πε 0 R
2
2 4πε 0 R
⇒
mv 2
1 e2
=
,
4
4πε 0 R
откуда находим
R=
e2
πε 0 mv 2
.
2. На шёлковых нитях длиной ℓ = 50 см подвешены в одной точке в воздухе два одинаково заряженных шарика массами m = 0,8 г каждый. Сколько
избыточных электронов надо сообщить каждому шарику, чтобы нити подвеса
шариков разошлись на угол α = 600? Диэлектрическая проницаемость воздуха
ε = 1.
Дано: ℓ = 0,5 м; m = 0,8⋅10−3 кг; е = 1,6⋅10−19 Кл;
g = 9,8 м/с2; ε = 1; ε0 = 8,85⋅10−12 Ф/м; α = 600.
N−?
Решение. На каждый шарик действуют силы: mg − сила тяжести, Т − сила
натяжения нити, FЭ − сила электрического (кулоновского) отталкивания шари167
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ков. Так как шарики находятся в равновесии, то условие равновесия любого из
шариков записывается в виде:
mg + T + FЭ = 0,
т.е. векторная сумма сил, действующих на шарик, равна нулю. Распишем это
векторное уравнение в проекциях по осям координат 0х, 0y:
FЭ − Т sin
α
= 0;
2
T cos
α
− mg = 0,
2
или
Т sin
α
= FЭ;
2
T cos
α
= mg.
2
Поделив почленно уравнения в последней
системе, друг на друга, имеем:
ℓ
FЭ
α
= tg ,
mg
2
или
у
α
FЭ = mg tg
Т
α
.
2
0
х
α
2
Fэ
r
В последнее уравнение подставим выраmg
F
жение для FЭ, следующее из закона Кулона:
1 q2
,
FЭ =
4πεε 0 r 2
где
r = 2ℓ sin
т.е.
Fэ =
q2
α
16πεε 0 l sin
2
2
Итак,
168
2
.
α
,
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
q2
Fэ =
16πεε 0 l 2 sin 2
α
2
= mg tg
α
.
2
Заряд каждого шарика q складывается из зарядов избыточных электронов,
так как создается их совокупностью, т.е. q = Ne, где N – число избыточных
электронов. Подстановка выражения для q в предыдущее уравнение дает:
N 2e 2
16πεε 0 l 2 sin 2
α
2
= mg tg
α
,
2
откуда находим
N=
=
4l
α
sin
2
e
4 ⋅ 0,5
1,6 ⋅ 10 -19
πεε 0 mgtg
α
=
2
sin 30 0 π ⋅ 1 ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 0,8 ⋅ 10 − 3 ⋅ 9,8 ⋅ tg30 0 = 2,21⋅1012.
3. Четыре конденсатора С1 = 3 пФ, С2 = 7 пФ, С3 = 6 пФ и С4 = 4 пФ соединены по схеме, приведённой на рисунке и подключены к источнику напряжения с ЭДС Е = 1 000 В. Определите показания вольтметра, подключенного
между точками А и В схемы.
Дано: С1 = 3 пФ; С2 = 7 пФ; С3 = 6 пФ; С4 = 4 пФ; Е = 1 000 В.
UV −?
Решение. Напряжение U, поданное на схему (между точками 1 и 2), равно
ЭДС источника, т.е.
U = U12 = E = 1 000 В.
169
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим участок цепи, состоящий из последовательно соединенных
конденсаторов С1 и С2, к которой приложено напряжение U12 = U. При последовательном соединении конденсаторов заряды их одинаковы и равны заряду
системы из С1 и С2:
С1
А
С2
q1 = q2 = q12.
1
Электроёмкость С12 цепи из
2
V
С3
двух последовательно соединённых
С4
В
конденсаторов С1 и С2 найдём из из-
Е
вестного соотношения для ёмкости
+
батареи конденсаторов при последо-
−
вательном соединении:
1
1
1
=
+
,
С12 С1 С 2
⇒
С12 = С1С 2 .
С1 + С 2
Теперь найдём заряд, ушедший из источника в систему из конденсаторов
С1 и С2:
q12 = C12U12 = C12U = С1С 2 U.
С1 + С 2
Определим напряжение U1 на конденсаторе С1:
U1 =
q1
q
1 С1С 2
U = С 2 U.
= 12 =
C1
C1
C1 С1 + С 2
С1 + С 2
Повторяя приведённые выше рассуждения для цепи, состоящей из последовательно соединённых конденсаторов С3 и С4, можно найти напряжение на
конденсаторе С3:
170
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
U3 =
С 4 U.
С3 + С 4
Напряжение U3 есть разность потенциалов ϕ1 − ϕВ (см. рисунок):
U3 = ϕ1 − ϕВ,
и, соответственно,
U1 = ϕ1 − ϕА.
Вычитая почленно два последних уравнения, имеем:
U3 − U1 = ϕА − ϕВ.
Но (ϕА − ϕВ) – есть разность потенциалов (напряжение) между точками А и В и
будет равно показанию вольтметра, подключённого между этими точками:
UV = UAB = ϕА − ϕВ = U3 − U1 =
С4 U −
С2 U =
С3 + С 4
С1 + С 2
 С4
С2 
4
7 
 = 1 000 
−
=U 
−
 = − 300 В.
6
+
4
3
+
7
С
+
С
С
+
С


 3
4
1
2
Знак ″−″ указывает на то, что ϕА − ϕВ < 0, т.е. ϕА < ϕВ.
Теперь исследуем случай, когда показание вольтметра будет нулевое, т.е.
когда
 С4
С2 
 = 0.
UV = ϕА − ϕВ = U 
−
С
+
С
С
+
С
 3
4
1
2
Поскольку U ≠ 0, то должно быть:
171
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
1
С4
С2
С4
−
= 0, или
= С 2 , или
=
.
С3
С1
С3 + С 4
С1 + С 2
С3 + С 4
С1 + С 2
+1
+1
С2
С4
Последнее равенство выполняется при выполнении условия:
С3 С1
=
.
С4 С2
Эту пропорцию можно привести к виду
С1 С 2
=
.
С3 С 4
Таким образом, при выполнении соотношений между емкостями приведенной схемы:
С1 С 2
=
,
С3 С 4
или
С3 С1
=
,
С4 С2
будет ϕА − ϕВ = 0, т.е. ϕА = ϕВ.
В этом случае:
- показания вольтметра, подключённого между точками А и В будут нулевыми, т.е. UV = ϕА − ϕВ = 0;
- подключение между точками А и В приведённой схемы конденсатора
любой ёмкости (также любого резистора) или наличие между этими точками
разрыва или перемычки (шунта) никак не повлияет на распределение зарядов и
напряжений на конденсаторах С1, С2, С3 и С4;
- полученные результаты можно использовать при расчёте подобных
схем.
172
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Маленький заряженный шарик массой 50 г, имеющий заряд 1 мкКл,
движется с высоты 0,5 м по наклонной плоскости с углом наклона 300. В вершине прямого угла, образованного высотой и горизонталью, находится неподвижный заряд 7,4 мкКл. Чему равна скорость шарика у основания наклонной
плоскости, если его начальная скорость равна нулю? Трением пренебречь.
Дано: k = 9⋅109 Н⋅м2/Кл2; m = 0,05 кг; Q = 7,4⋅10−6 Кл; q = 1⋅10−6 Кл; v1 = 0.
v2 = ?
Решение: На рисунке обозначено а – осно-
1
q
v
вание треугольника, причём, а = h/tgα. Заряжен- h
ный шарик перемещается из точки 1 в точку 2, в
α
которых он имеет скорости v1 и v2, соответст- Q
a
2
венно. Полная энергия шарика в каждой точке складывается из потенциальной
энергии взаимодействия зарядов, механической (потенциальной и кинетической) энергии. Так как на шарик не действуют диссипативные силы (силы трения), то выполняется закон сохранения энергии в течение всего времени движения шарика. Применительно к точкам 1 и 2 закон сохранения энергии записывается следующим образом:
qQ mv12
qQ mv 2 2
+
+ mgh = k
+
,
k
h
2
a
2
откуда с учётом, что v1 = 0, находим
v2 =
=
2kqQ  1 1 
 −  + 2gh =
m h a
2kqQ  1 tgα 
 −
 + 2gh =
m h
h 
(
)
2kqQ
(1 − tgα ) + 2gh =
mh
2 ⋅ 9 ⋅ 109 ⋅ 1 ⋅ 10 − 6 ⋅ 7,4 ⋅ 10 − 6
1 − tg30 0 + 2 ⋅ 10 ⋅ 0,5 = 3,5 м/с.
0,05 ⋅ 0,5
173
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. При лечении электростатическим душем к электродам прикладывается
разность потенциалов 105 В. Какой заряд проходит между электродами за время
процедуры, если известно, что электрическое поле совершает при этом работу,
равную 1 800 Дж?
Дано: U = 105 В; А = 1 800 Дж.
q=?
Решение: Работа А электрического поля равна произведению заряда q на
разность потенциалов U между точками перемещения заряда:
А = qU,
откуда находим
q=
A 1800
=
= 18⋅10−3 Кл = 18 мКл.
5
U
10
6. В электрическом поле, вектор напряжённости которого направлен горизонтально и равен по модулю 1 000 В/м, нить с подвешенным на ней маленьким заряженным шариком отклонилась на угол 45° от вертикали. Масса шарика
1,4 г. Чему равен заряд шарика?
Дано: E = 1 000 В/м; α = 450; g = 10 м/с2; m = 1,4⋅10−3 кг.
q=?
Решение: В горизонтальном электрическом поле с напряжённостью Е на
заряженный шарик, подвешенный на нити, действуют силы: mg − сила тяжести,
Т − сила натяжения нити, FЭ = qE − сила, действующая на заряд q со стороны
электрического поля (см. рисунок). В условиях равновесия шарика, векторная
сумма перечисленных сил равна нулю:
mg + qE + Т = 0.
174
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Это векторное уравнение в проекциях на координатные оси 0х и 0у имеет
вид:
y
0х: - T⋅sinα + qE = 0;
0y:
T⋅cosα - mg = 0.
E
α
T
0
Решая систему из двух скалярных уравmg
нений, находим:
q=
x
FЭ
1
1
⋅mg⋅tgα =
⋅1,4⋅10−3⋅10 = 14⋅10−6 Кл = 14 мкКл.
Е
1000
7. Две параллельные неподвижные диэлектрические пластины расположены вертикально и заряжены разноименно. Пластины находятся на расстоянии d = 2 см друг от друга. Напряженность поля в пространстве внутри пластин
равна Е = 4⋅105 В/м. Между пластинами на равном расстоянии от них помещен
шарик с зарядом q = 10–10 Кл и массой m = 20 мг. После того как шарик отпустили, он начинает падать и ударяется об одну из пластин. Насколько уменьшится высота местонахождения шарика Δh к моменту его удара об одну из пластин?
Дано: d = 2⋅10−2 м; Е = 4⋅105 В/м; q = 10–10 Кл; m = 20⋅10−6 кг; g = 10 м/с2.
Δh = ?
Решение: В начальный момент времени шарик покоился, т.е. его скорость
в этот момент равнялась нулю (v0 = 0). На рисунке положение шарика в начальный момент отмечено точкой ″0″ - начало координат осей 0х и 0у, направленных, соответственно, по горизонтали и вертикали. Из состояния покоя шарик движется:
− по горизонтали с ускорением a под действием силы электрического поля, действующей на заряд
175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а=
F эл
qE
;
=
m
m
время движения шарика, находящегося на расстоянии d/2 от диэлектрических
пластин, находим из уравнения движения по оси 0х
2
d at
=
2
2
⇒ t2 =
d
2
d
1
m
md
= d⋅ = d⋅
=
;
qE
qE
a
a
d
2
g
− по вертикали под действием силы
0
тяжести с ускорением свободного падения g
х
∆h
шарик пролетает расстояние Δh за время
движения шарика расстояния d/2, и уравне-
у
A
ние движения шарика по оси 0у принимает
+
вид
1
md
1
.
Δh = ⋅ g ⋅ t 2 = ⋅ g ⋅
2
2
qE
E
+
−
−
Подстановка данных даёт результат:
20 ⋅ 10 −6 ⋅ 2 ⋅ 10 −2
1
md 1
Δh = ⋅ g ⋅
= 0,05 м = 5 см.
= ⋅ 10 ⋅
2
qE
2
10 −10 ⋅ 4 ⋅ 105
3.3 Задания для 11 класса
Задание 1-3-11. Постоянный электрический ток
Сила тока, напряжение, сопротивление. Закон Ома для однородного участка цепи. Законы последовательного и параллельного соединений проводников.
Измерение силы тока и напряжения, шунты и дополнительные сопротивления.
Закон Джоуля - Ленца. Мощность тока.
176
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Закон Ома для неоднородного участка цепи и для полной цепи.
Ток в электролитах. Законы Фарадея.
01. В проводнике площадью поперечного сечения 0,5 см2 сила тока равна
3 А. Определить среднюю скорость направленного движения электронов, считая, что в каждом 1 см3 данного металла содержится 4⋅1022 свободных электронов.
02. Аккумулятор с ЭДС 12,6 В питает цепь током силой 5 А. Найти выделяющуюся во внешней цепи мощность, если КПД аккумулятора равен 80 %.
03. Амперметр сопротивлением 0,09 Ом необходимо применить для измерения токов, сила которых в 10 раз превышает предел измерения амперметра.
Определить сопротивление шунта, который следует подключить к амперметру.
04. Нагреватель в электрическом чайнике, предназначенном для включения в сеть с напряжением U = 120 В, имеет n = 3 секции одинакового сопротивления R = 40 Ом. Если все три секции соединены последовательно, то вода в
чайнике закипит через время t0 = 90 мин. Вычислите количество теплоты Q, необходимое для нагревания воды до кипения. Считать, что КПД чайника близок
к 100 %. Сопротивлением подводящих проводов пренебречь.
05. На концах медного провода длиной ℓ = 5 м поддерживается напряжение U = 1 В. Определить плотность тока j в проводе.
06. За час на 1 м2 железного листа при электролизе осаждается 576 г двухвалентного цинка. Плотность тока в электролитической ванне равна 500 А/м2.
Найти по этим данным число Фарадея.
07. К аккумулятору с ЭДС 12,6 В подключено сопротивление, в котором
протекает ток силой 5 А. Определить работу сторонних сил по разделению заряда в аккумуляторе за 1 минуту.
08. В однородном проводнике скорость направленного движения электронов равна 0,5 м/с. Определить величину силы тока в проводнике при условии,
что в 2 м длины проводника сумма зарядов движущихся электронов равна по
абсолютной величине 6 Кл.
177
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
09. Электродвигатель трамвая работает при силе тока 108 А и напряжении
500 В. Какова скорость трамвая, если двигатель создает силу тяги 3,6 кН, а его
КПД равен 70 %?
10. Найти массу выделившейся меди, если для ее получения электролитическим способом затрачено W = 5 кВт⋅ч электроэнергии. Электролиз проводится при напряжении U = 10 В, КПД установки η = 75 %, электрохимический эквивалент меди k = 3,3⋅10-7 кг/Кл.
11. Гирлянда из 10 одинаковых лампочек, соединенных параллельно,
включена в сеть напряжением 220 В и потребляет ток силой 2,5 А. Определить
сопротивление одной лампочки.
12. В двигателе трамвайного вагона, работающего под напряжением 600 В,
течёт ток 11 А. Найдите скорость трамвая на горизонтальном участке пути, если сила тяги 300 Н, а КПД двигателя 60 %.
13. Угольный и медный стержни одинаковой длины соединены последовательно. Каким должно быть соотношение их поперечных сечений, чтобы общее
сопротивление не зависело от температуры?
14. Гальванический элемент даёт на внешнее сопротивление R1 = 4 Ом ток
I1 = 0,2 А. Если же внешнее сопротивление R2 = 7 Ом, то элемент даёт ток I2 =
0,14 А. Какой ток Iкз он даст, если его замкнуть накоротко?
15. От источника с напряжением U = 800 В необходимо передать потребителю мощность Р = 10 кВт на некоторое расстояние. Какое наибольшее сопротивление может иметь линия передачи, чтобы потери энергии в ней не превышали 10 % от передаваемой мощности?
16.
Найти
отношение
сопротивлений
медного
и
алюминиевого
проводников одинаковой длины и массы.
17. На аноде электронной лампы за счет кинетической энергии электронов
выделилось 16 Дж тепла за 20 минут. Определить среднюю скорость движения
электронов в лампе, если анодный ток равен 6 мА.
18. Два одинаковых вольтметра, соединённых последовательно, при
подключении к источнику тока показывают по 5 В каждый. Один вольтметр,
178
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
подключённый к тому же источнику, показывает 9 В. Чему равна ЭДС
источника?
19. Велосипедист включил генератор, питающий фару напряжением 6 В
при токе 1,5 А. Считая КПД генератора равным 100 %, найти, насколько
возрастает величина силы сопротивления движению. Скорость постоянна и
равна 18 км/ч.
20. Сколько киловатт электроэнергии расходуется на нагревание проводов
линии электропередач, если полная потребляемая мощность 3 000 МВт при
напряжении 400 кВ, а падение напряжения на проводах 100 В?
А01. На сколько градусов надо повысить температуру медного проводника, взятого при 0 0С, чтобы его сопротивление увеличилось в 3 раза?
А02. При коротком замыкании источника, ЭДС которого Е = 10 В, сила тока равна I0 = 10 А. Определите величину максимальной мощности, которая может быть отдана во внешнюю цепь.
А03. ЭДС батареи Е = 12 В. При силе тока I = 4 А КПД батареи η= 0,6. Определить внутреннее сопротивление r батареи.
А04. Две одинаковые лампы соединены последовательно и подключены к
источнику постоянного тока напряжением 168 В. Сила тока в цепи 7 А. Определить сопротивление лампы.
А05. В сеть напряжением 120 В включено десять лампочек, соединённых
параллельно, и последовательно с ними − реостат сопротивлением 4 Ом. Сопротивление каждой лампочки 100 Ом. Определить мощность, поглощаемую
реостатом.
А06. ЭДС источника тока 2,17 В, внутреннее сопротивление 1 Ом. К источнику подключено сопротивление 2 Ом. Какую силу тока в этой цепи покажет амперметр сопротивлением 0,1 Ом ?
А07. В цепь напряжением 220 В включено десять лампочек, соединенных
параллельно, и последовательно с ними − реостат сопротивлением 12 Ом. Сопротивление каждой лампочки 100 Ом. Определить силу тока, текущего через
реостат.
179
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А08. Определить на сколько упадёт напряжение на конденсаторе, если он
разряжается в течение 0,01 с рентгеновским излучением при постоянном токе
2 мкА.
А09. Рассеянный гражданин, уехав на 30 суток в отпуск, забыл выключить
лампочку, через которую течёт ток 0,25 А. Сколько киловатт-часов электроэнергии будет потеряно? Напряжение в сети 220 В.
А10. Конденсатор ёмкостью 100 мкФ заряжается до напряжения 500 В за
0,5 с. Найти среднее значение зарядного тока.
А11. Каково внутреннее сопротивление элемента, если его ЭДС равна
1,2 В, и при внешнем сопротивлении 5 Ом сила тока составляет 0,2 А?
А12. Какова напряжённость электрического поля в алюминиевом
проводнике сечением 1,4 мм2 при силе тока 1 А?
В01. Конденсаторы ёмкости С1 и
R3
С1
С2 и проводники, сопротивления которых равны R1, R2, R3 включены в электрическую цепь так, как показано на
рисунке 70. На точку А подан постоянный потенциал U0, точка В схемы за-
R2
землена. Найти заряды конденсаторов.
С2
R1
U0
А
В
Рисунок 70
В02. В сеть с напряжением U = 100 В подключили катушку с сопротивлением R1 = 2 кОм и вольтметр, соединённые последовательно. Показание вольтметра U1 = 80 В. Когда катушку заменили другой, вольтметр показал U2 = 60 В.
Определить сопротивление R2 другой катушки.
С
С
В03. Определить напряжения U1 и U2 на конденсаторах С1 и С2 в схеме, изображенной на рисунке 71,
если ЭДС источника Е = 2 В, его внутреннее сопротивление r = 2 Ом, ёмкости С = 5 мкФ, С1 = 2 мкФ, С2 = 8
мкФ, внешнее сопротивление R = 9 Ом.
В04. При замыкании на внешнее сопротивление
5 Ом батарея даёт ток в цепи 1 А, а при коротком за180
R
С1
С2
2R
E,r
Рисунок 71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мыкании ток равен 6 А. Какую наибольшую мощность во внешней цепи можно
получить от этой батареи?
В05. Сопротивление алюминиевого проводника при 273 К равно 10 Ом.
Определить падение напряжения на этом проводнике при температуре 373 К,
если известно, что за время 5 мин через него прошел заряд 120 Кл.
В06. Какой заряд нужно пропустить через электролитическую ванну с
подкисленной водой, чтобы получить V = 1 дм3 гремучего газа при температуре
t = 27 0C и давлении Р = 105 Па?
Е, r
В07. В электрической цепи, изображенной
делите показание амперметра.
R
В08. Одна из свинцовых проволочек плавится при протекании через нее тока I1 = 2 А, а
R
R
на рисунке 72: Е = 4 В, r = 1 Ом, R = 2 Ом. Опре-
A
R
R
Рисунок 72
более толстая при I2 = 5 А. При каком минимальном токе будет разорвана цепь,
образованная при параллельном соединении этих проволочек, если отношение
их сопротивлений n = R1/R2 = 4?
В09. Имеются лампочки 25 Вт и 100 Вт, соединённые последовательно и
включённые в сеть с напряжением, на которое рассчитана каждая лампочка в
отдельности. В какой из них выделяется больше тепла? Во сколько раз?
В10. Три лампочки мощностью Р1 = 50 Вт, Р2 = 25 Вт и Р3 = 50 Вт, рассчитанные на напряжение 110 В каждая, включены последовательно в сеть с напряжением U = 220 В. Определите мощность, выделяемую в каждой лампочке.
Какая из них будет гореть ярче?
В11. Во сколько раз увеличится верхний предел шкалы вольтметра, сопротивление которого 1 кОм, если последовательно с ним соединить добавочное
сопротивление 9 кОм?
В12. Три одинаковых элемента, соединённые последовательно и замкнутые проводником сопротивлением 1,5 Ом, дали ток 2 А. При параллельном соединении элементов в том же проводнике возникает ток 0,9 А. Найдите ЭДС и
внутреннее сопротивление каждого элемента.
181
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В13. Амперметр с внутренним сопротивлением 2 Ом, подключённый к зажимам батареи элементов, показывает ток 5 А. Вольтметр с внутренним сопротивлением 15 Ом, подключённый к зажимам этой же батареи, показывает 12 В.
Чему равен ток короткого замыкания?
Е, r
В14. В электрической цепи, изображённой на рисунке 73: Е = 6 В, r =
2
Ом, R = 2 Ом.
3
Определите показание вольтметра.
R
R
R
R
R
V
R
В15. В растворе медного купороса анодом
служит пластина из меди, содержащая 12 %
Рисунок 73
примесей. При электролизе медь растворяется и в чистом виде выделяется на
катоде. Сколько стоит очистка 1 кг такой меди, если напряжение на ванне поддерживается равным 6 В, а стоимость 1 кВт⋅ч энергии 2 рубля?
В16. В цепь, состоящую из источника питания и сопротивления 20 Ом,
включают вольтметр − сначала последовательно с элементами схемы, а затем
параллельно им. Внутреннее сопротивление источника равно 0,4 Ом. Определить сопротивление вольтметра, если его показания в обоих случаях одинаковы.
В17. Резистор сопротивлением R1 = 5 Ом, вольтметр и источник тока соединены параллельно. Вольтметр показывает напряжение U1 = 10 B. Если заменить резистор другим с сопротивлением R2 = 12 Ом, то вольтметр покажет напряжение U2 = 12 В. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление источника
тока. Током через вольтметр пренебречь.
В18. Проволока имеет сопротивление 36 Ом. Когда ее разрезали на несколько равных частей и соединили эти части параллельно, то получилось сопротивление 1 Ом. На сколько частей разрезали проволоку?
В19. Участок цепи состоит из резистора 2 Ом, включённого последовательно резисторам 5 Ом и 20 Ом, которые соединены параллельно. Найти падение напряжения на 2-хомном резисторе, когда через резистор 5 Ом течёт ток
силой 1 А.
182
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В20. Через два медных проводника, соединённых последовательно, проходит ток. Найти отношение скорости упорядоченного движения электронов в
первом проводнике к скорости во втором, если диаметр второго проводника в
два раза меньше, чем первого.
V
В21. Потенциометр сопротивлением R = 100 Ом под-
А
В
ключён к батарее с ЭДС Е = 150 В и внутренним сопротивлением r = 50 Ом (рисунок 74). Определить: 1) показание
вольтметра сопротивлением Rv = 500 Ом, соединённого с од-
Е,r
Рисунок 74
ной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра; 2) разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра.
В22. ЭДС источника равна 2 В, его внутреннее сопротивление 1 Ом. Каков
ток в цепи, если внешняя часть ее потребляет мощность 0,75 Вт?
В23. В однородном проводнике скорость направленного движения
электронов равна 0,5 м/с. Определить величину силы тока через проводник при
условии, что в 1 м длины проводника сумма зарядов движущихся электронов
равна по абсолютной величине 3 Кл.
В24. Электрокамин имеет две обмотки. При включении одной из них
температура воздуха в комнате повышается на 1 0С через 10 мин, при
включении другой – через 6 мин. На сколько минут надо включить камин,
чтобы повысить температуру на 1 0С при параллельном соединении этих
обмоток?
В25. Чему равна масса медного провода диаметром 2 мм, из которого
сделана обмотка электромагнита, если по катушке идёт ток 1 А при
напряжении в ней 2 В?
В26. Цепь сопротивлением 100 Ом питается от источника постоянного
напряжения. Амперметр сопротивлением 1 Ом, включённый в цепь, показал
ток 5 А. Каков был ток в цепи до включения амперметра?
В27. Вольтметр сопротивлением 1 200 Ом, включённый в электрическую
цепь, показал 125 В. При включении вольтметра вместе с последовательно с
183
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ним включённым резистором его показания уменьшились до 120 В. Определить
величину сопротивления резистора.
В28. К аккумулятору с ЭДС 12,6 В подключено сопротивление, в котором
протекает ток силой 5 А. Определить работу сторонних сил по разделению
заряда в аккумуляторе за 1 мин.
В29. Замкнутая цепь состоит из источника и реостата. В цепи течёт ток
0,5 А. Если сопротивление реостата уменьшить в 4 раза, то ток возрастёт в 2
раза. Какой ток будет течь в цепи, если сопротивление реостата уменьшить до
нуля?
В30. Нагреватель номинальной мощностью 4,4 кВт при 220 В включён в
сеть 220 В проводом, сопротивление которого 9 Ом. Какой окажется мощность
нагревателя при таком включении?
В31. Нагреватель сопротивлением 90 Ом за 1 ч вскипятил 4,2 кг воды,
взятой при 20 0С. Определить падение напряжения на спирали нагревателя,
если его КПД равен 80 %.
В32. При электролизе раствора серной кислоты за 50 мин выделилось 0,5 г
водорода. Определить энергию, расходуемую на нагревание электролита, если
его сопротивление 0,6 Ом.
С01. При электролизе раствора азотнокислого серебра в течение часа выделилось 9,4 г серебра. Определите ЭДС поляризации, если напряжение на зажимах ванны 4,2 В, а сопротивление раствора 1,5 Ом.
С02. Аккумулятор с внутренним сопротивлением r = 0,08 Ом при токе I1 =
4 А отдает во внешнюю цепь мощность Р1 = 8 Вт. Какую мощность Р2 отдаст он
во внешнюю цепь при токе I2 = 6 А?
Е1
С03. Определите разность потенциалов между
точками В и А (ϕВ − ϕА) в схеме, изображенной на рисунке 75, если Е1 = 12 В, Е2 = 4 В, R = 5 Ом. Внутренние
Е2
A
R
R
R
B
Рисунок 75
сопротивления источников одинаковы r = 1 Ом.
С04. Источник тока с ЭДС Е = 100 В с внутренним сопротивлением r =
10 Ом подключён к электрическому чайнику. Определить с какой скоростью
184
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вырывается из носика чайника пар, когда кипит вода. Мощность, выделяемая в
чайнике, максимальна. Площадь носика чайника 4 см2.
С05. Электробритва потребляет мощность 15 Вт и рассчитана на напряжение 210 В. При напряжении в сети 220 В последовательно с электробритвой
включается лампа накаливания на 110 В. Какова должна быть мощность лампы
накаливания, чтобы электробритва работала нормально?
С06. Во сколько раз следует повысить напряжение источника тока, чтобы
снизить потери мощности в ЛЭП в k = 100 раз при передаче на нагрузку одной
и той же мощности? Падение напряжения в линии составляет η = 0,03 от напряжения на нагрузке.
С07. Электровоз массой 300 т спускается вниз с горы со скоростью
72 км/ч. Уклон горы равен 0,01. Коэффициент сопротивления движению 0,02,
напряжение в линии 3 кВ, КПД электровоза 80 %. Определить сопротивление
обмотки электродвигателя.
а)
С08. Два источника тока с ЭДС Е = 10 В
и внутренним сопротивлением r = 1 Ом соединены так, как показано на рисунке 76.
б)
А
В
А
В
Рисунок 76
Определите разность потенциалов между точками А и В для обоих соединений.
Сопротивлением соединительных проводов следует пренебречь.
С09. Работа по разделению зарядов, совершаемая в батарее за 2 мин, равна
2,4 кДж. Найти внутреннее сопротивление батареи, если она поддерживает
напряжение 12 В на лампе мощностью 15 Вт.
Примеры решения задач
1. К источнику тока с ЭДС Е = 9 В и внутренним сопротивлением r =
1 Ом подключили параллельно соединенные резистор с сопротивлением R =
8 Ом и плоский конденсатор, расстояние между пластинами которого d =
0,002 м. Какова напряжённость электрического поля между пластинами конденсатора?
185
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дано: Е = 9 В; r = 1 Ом ; R = 8 Ом ; d = 0,002 м.
Е=?
E, r
R
C
Решение: В установившемся режиме ток через конденсатор С не протекает, т.е. ток будет протекать по замкнутой цепи источник тока с ЭДС Е и резистор с сопротивлением R. Применяя к этому контуру закон Ома для замкнутой
цепи, имеем:
I=
E
.
R+r
Напряжения на параллельно соединённых конденсаторе С и резисторе R
одинаковы и равны:
U = I⋅R =
E
⋅R.
R+r
Напряжённость электрического поля между пластинами плоского конденсатора определяется выражением:
Е=
U 1 E
= ⋅
⋅R.
d
d R+r
Подстановка числовых значений приводит следующему результату:
Е=
1
В
9
⋅
⋅8 = 4⋅103
= 4 кВ/м.
0,002 8 + 1
м
2. При замыкании батарейки на внешнее сопротивление ток в цепи оказывается равным I1 = 0,5 А, а напряжение на клеммах батарейки U1 = 3,2 В. При
замыкании этой же батарейки на другое внешнее сопротивление I2 = 1 А, а U2 =
2,6 В. Определите КПД батарейки в первом случае.
186
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дано: U1 = 3,2 В; I1 = 0,5 A; U2 = 2,6 В; I2 = 1 A.
η1 = ?
Решение: Показания приборов (амперметра и вольтметра) для обеих схем
записаны выше. Запишем закон Ома для двух случаев включения батарейки:
Е = I1(R1 + r) = I1R1 + I1r = U1 + I1r,
Е = I2(R2 + r) = I2R2 + I2r = U2 + I2r.
Почленно вычитаем одно уравнение из другого и находим
r=
U1 − U 2 3,2 − 2,6
=
= 1,2 Ом.
I 2 − I1
1 − 0,5
ЭДС батарейки найдем подстановкой значения внутреннего сопротивления r,
скажем, в первое уравнение:
Е = U1 + I1r = 3,2 + 0,5⋅1,2 = 3,8 В.
Теперь найдем КПД источника тока в первом опыте:
η1 =
3,2
U1I1
U
100 % = 1 100 % =
⋅ 100% ≈ 84%.
E
EI1
3,8
3. Вакуумный диод, у которого анод (положительный электрод) и катод
(отрицательный электрод) − параллельные пластины, работает в режиме, когда
между током и напряжением выполняется соотношение I = сU3/2 (где с − постоянная величина). Во сколько раз увеличится сила, действующая на анод из-за
187
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
удара электронов, если напряжение на диоде увеличить в два раза? Начальную
скорость вылетающих электронов считать равной нулю.
Дано: I = cU3/2; U2= 2U1.
F2/F1 = ?
Решение: Если обозначить массу электрона m, его заряд е, скорость удара
электрона об анод v, число электронов достигающих анода за время t через N,
то можно записать следующие соотношения с учётом того, что начальная скорость вылетающих электронов равна нулю:
- электрон, проходя ускоряющую разность потенциалов U, приобретает
кинетическую энергию, равную
eU =
mv 2
⇒v=
2
2eU
.
m
- сила тока I с одной стороны равна отношению заряда q всех N электронов, достигающих анода, ко времени t, с другой – согласно условию задачи
пропорциональна напряжению U3/2, т.е.
I=
q Ne
N
c
=
= cU 3 / 2 ⇒
= U3/2.
t
t
t
e
- N электронов, достигающих анод со скоростью v за время t, создают силу давления F на анод (второй закона Ньютона)
F=N
mv
.
t
- подставляя в последнее уравнение выражения для скорости v и отношение N/t, имеем
188
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
F=
N
c
2eU
mv = U3/2⋅m⋅
=
t
e
m
2m 2
cU .
e
- получили, что искомая сила, действующая на анод из-за удара электронов, пропорциональна квадрату напряжения U, т.е.
F1 ∼ U12 и F2 ∼ U22 ,
2
F
U 2 U 
откуда находим 2 = 22 =  2  = 22 = 4.
F1 U1
 U1 
4. К однородному медному цилиндрическому проводнику длиной 10 м
приложили разность потенциалов 1 В. Определите промежуток времени, в течение которого температура проводника повысится на 10 К. Изменением сопротивления проводника и рассеянием тепла при его нагревании пренебречь.
Дано: c=380 Дж/(кг⋅К); ρ=1,7⋅10−8 Ом⋅м; d=8,9⋅103 кг/м3; U=1 В; ∆T=10 K.
t=?
Решение: Объём V цилиндрического проводника равен произведению
длины ℓ на площадь его поперечного сечения S, т.е. V = ℓ⋅S. А масса m проводника равна произведению удельной плотности d на его объем:
m = d⋅V = d⋅ℓ⋅S.
l
Электрическое сопротивление проводника равно R = ρ , где ρ − удельS
ное электрическое сопротивление.
189
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как согласно условию задачи потерями энергии можно пренебречь, то
согласно закону сохранения энергии Джоулево тепло, выделяемое при пропускании тока
U2
Q=
t,
R
идёт на нагревание проводника, т.е.,
U2
t = с⋅m⋅∆T,
R
где с – удельная теплоёмкость материала проводника.
В последнее уравнение подставим выражения для массы m и сопротивления R проводника, а затем найдём искомое время t, необходимое для изменения
температуры проводника на ∆T:
U2 ⋅S
c ⋅ d ⋅ ρ ⋅ l 2 ⋅ ∆T
=
t = с⋅ d⋅ℓ⋅S ⋅∆T ⇒ t =
ρ⋅l
U2
=
380 ⋅ 8,9 ⋅ 103 ⋅ 1,7 ⋅ 10 −8 ⋅10 2 ⋅ 10
12
= 57,5 c.
5. При замыкании батарейки на внешнее сопротивление ток в цепи оказывается равным I1 = 0,5 А, а напряжение на клеммах батарейки U1 = 3,2 В. При
замыкании этой же батарейки на другое внешнее сопротивление I2 = 1 А, а U2 =
2,6 В. Определите ЭДС и внутреннее сопротивление батарейки.
Дано: U1 = 3,2 В; I1 = 0,5 A; U2 = 2,6 В; I2 = 1 A.
E=?r=?
Решение: Показания приборов (амперметра и вольтметра) для обеих схем
записаны выше. Запишем закон Ома для двух случаев включения батарейки:
190
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е = I1(R1 + r) = I1R1 + I1r = U1 + I1r,
Е = I2(R2 + r) = I2R2 + I2r = U2 + I2r.
Почленно вычитаем одно уравнение из другого и находим
r=
U1 − U 2 3,2 − 2,6
=
= 1,2 Ом.
I 2 − I1
1 − 0,5
ЭДС батарейки найдем Подстановкой значения внутреннего сопротивления r,
скажем в первое уравнение:
Е = U1 + I1r = 3,2 + 0,5⋅1,2 = 3,8 В.
В частности, зная Е и r можно найти ток короткого замыкания данной батарейки:
IКЗ = Е /r = 3,8/1,2 = 3,17 А.
6. Аккумулятор с внутренним сопротивлением r = 0,08 Ом при силе тока
I1 = 4 А отдает во внешнюю цепь мощность Р1 = 8 Вт. Какую мощность Р2 он
отдает во внешнюю цепь при силе тока I2 = 6 А?
Дано: r = 0,08 Ом; I1 = 4 А; Р1 = 8 Вт; I2 = 6 А.
Р2 −?
Решение: Обозначим через Е – ЭДС источника тока (аккумулятора); R1 и
R2 – сопротивление нагрузки в первом и во втором случаях, соответственно; I1
и I2 − сила тока в цепи в первом и во втором случаях, соответственно.
191
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В первом случае мощность, отдаваемая аккумулятором во внешнюю цепь,
равна
Р1 = I12 R1,
где
I1 =
E
.
R1 + r
Во втором случае сила тока изменилась из-за того, что сопротивление нагрузки изменилось и стало равным, например, R2. Тогда мощность, отдаваемая
во внешнюю цепь во втором случае, равна:
Р2 = I22 R2,
где
I2 =
E
.
R2 + r
Решая систему из написанных четырех последних уравнений, находим:
P

8

Р2 = I 2  1 + (I1 − I 2 )r  = 6 + (4 − 6)0,08 = 11,04 Вт.
4

 I1

7. Два гальванических элемента с ЭДС Е1 = 2 В и Е2 = 1,5 В и внутренними сопротивлениями r1 = 0,6 Ом и r2 = 0,4 Ом, соответственно, соединены параллельно. Определите силу тока I в контуре и разность потенциалов ϕ1 − ϕ2
между точками 1 и 2.
Дано: Е1 = 2 В; Е2 = 1,5 В; r1 = 0,6 Ом; r2 = 0,4 Ом.
ϕ1 − ϕ2 −?
E1,r1
I
Решение: Согласно второму правилу Кирх- 1
+
−
2
гофа
E2,r2
Е1 − Е2 = I(r1 + r2),
+
Откуда находим
192
−
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
I=
E1 − E2
2 − 1,5
= 0,5 A.
=
r1 + r2 0,6 + 0,4
Согласно закону Ома для неоднородного участка цепи
ϕ1 − ϕ2 = Е1 − Ir1 = 2 − 0,5⋅0,6 = 1,7 В,
или
ϕ1 − ϕ2 = Е2 + Ir2 = 1,5 + 0,5⋅0,4 = 1,7 В.
Задание 2-3-11. Магнитное поле и электромагнитная индукция
Магнитное поле. Магнитная индукция. Действие магнитного поля на проводник с током. Рамка с током в однородном магнитном поле.
Сила Лоренца. Движение заряда в однородном магнитном поле.
Магнитный поток. Электромагнитная индукция. Закон Фарадея. Правило
Ленца. ЭДС индукции в движущемся проводнике.
Самоиндукция. Индуктивность. Энергия магнитного поля.
01. По кольцу из медной проволоки с площадью сечения 1 мм2 протекает
ток 10 А. К концам кольца приложена разность потенциалов 0,15 В. Найдите
индукцию магнитного поля в центре кольца.
02. Повышающий трансформатор имеет коэффициент трансформации 10.
Полное сопротивление первичной обмотки 100 Ом. Чему равно сопротивление
вторичной обмотки?
03. Два замкнутых круговых проводника лежат в одной плоскости. При
одинаковой скорости изменения индукции однородного магнитного поля в
первом ЭДС индукции − 0,6 В, а во втором − 2,4 В. Во сколько раз длина второго проводника больше первого?
04. По катушке протекает ток, создающий магнитное поле, энергия которого 0,5 Дж, а магнитный поток через катушку 0,1 Вб. Определить индуктивность катушки.
193
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
05. Какой магнитный поток пронизывает плоскую поверхность площадью
2,4 м2, помещённую в однородное магнитное поле с индукцией 15 мТл? Плоская поверхность находится в воздухе и составляет с направлением линий индукции угол 300.
06. Замкнутый проводник в виде правильного шестиугольника со стороной
10 см расположен в однородном магнитном поле с индукцией 30 мТл и составляет угол 600 с линиями индукции. Какая средняя ЭДС возникает в проводнике
при удалении его из поля за 0,027 с?
07. Катушку с ничтожно малым сопротивлением и индуктивностью 3 Гн
присоединяют к источнику тока с ЭДС 15 В и ничтожно малым внутренним сопротивлением. Через какой промежуток времени сила тока в катушке достигнет
50 А?
08. Два иона, имеющие одинаковый заряд и одинаковую кинетическую
энергию, но различные массы, влетели в однородное магнитное поле. Первый
ион движется по окружности радиусом 3 см, а второй – 1,5 см. Вычислить отношение массы первого иона к массе второго.
09. Найти энергию магнитного поля соленоида, в котором при силе тока
I = 10 А возникает магнитный поток Ф = 0,5 Вб.
10. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В,
влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться
по окружности. Вычислить радиус R окружности.
11. Прямой проводник подвешен горизонтально на нескольких невесомых
нитях в однородном вертикальном магнитном поле. При прохождении через
проводник тока нити отклонились от вертикали на угол α = 300. Определите, на
какой угол отклонятся нити при прохождении через проводник тока, сила которого в n = 3 раза больше начальной.
12. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течёт
ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл).
Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура
относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон,
194
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
на угол: 1) ϕ1 = 900; 2) ϕ2 = 30. При повороте контура сила тока в нём поддерживается неизменной.
13. Трансформатор, содержащий в первичной обмотке 300 витков, включён в сеть с напряжением 220 В. Во вторичную цепь трансформатора, имеющего 165 витков, включён безындукционный потребитель сопротивлением 50 Ом.
Какой ток течёт по вторичной обмотке, если напряжение на ней 50 В?
14. Проводник с током силой 500 А в форме равностороннего треугольника с периметром 60 см расположен в плоскости, параллельной силовым линиям
однородного магнитного поля с индукцией 2 Тл. Найти величину момента сил,
действующих на проводник.
15. На прямолинейный проводник с площадью сечения 0,2 см2 в однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл действует максимально возможная для
данного поля сила Ампера, численно равная силе тяжести. Найти плотность материала проводника, если сила тока 5 А.
16. Однозарядный ион (е = 1,6⋅10-19 Кл) натрия прошел ускоряющую разность потенциалов U = 1 кВ и влетел перпендикулярно линиям магнитной индукции в однородное поле (В = 0,5 Тл). Определить относительную атомную
массу А иона, если он описал окружность радиусом R = 4,37 см.
17. По стержню массой 150 г, лежащему поперек двух горизонтальных
рельсов, расстояние между которыми 30 см, течет ток 50 А. Коэффициент трения скольжения между стержнем и рельсами 0,6. Найти индукцию магнитного
поля, при которой проводник начнет скользить по рельсам. Силовые линии поля направлены вертикально.
18. Насколько изменится кинетическая энергия электрона после прохождения пути 2 м в однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл? Электрон
влетает в магнитное поле перпендикулярно силовым линиям со скоростью
10 км/с.
19. Частица массой 8⋅10-12 кг и зарядом 31,4 нКл движется в однородном
магнитном поле с индукцией 10 Тл. Кинетическая энергия частицы 1 мкДж.
Какой путь пройдёт частица за время, в течение которого ее скорость изменит
195
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
направление на угол 1800? Магнитное поле перпендикулярно скорости частицы.
20. В однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией 0,01 Тл
находится линейный проводник, масса единицы длины которого равна
0,01 кг/м. Какой по величине минимальный ток должен протекать по проводнику, чтобы он висел не падая?
А01. Из двух одинаковых проводников равной длины, изготовлены два
контура − квадратный и круглый. Оба контура помещены в одной плоскости в
однородном, изменяющемся во времени магнитном поле. В квадратном контуре возникает постоянный ток I = 2 А. Определите силу тока в круглом контуре.
А02. Вдоль бесконечной прямолинейной тонкостенной трубы течет ток
силы I. Чему равна индукция магнитного поля внутри трубы? Ток распределяется равномерно по всему сечению трубы.
А03. Ток силы I течет вверх по внутреннему проводу коаксиального кабеля и возвращается назад по внешней оболочке
кабеля (см. рисунок 77). Чему будет равна индукция магнитного поля в точках, лежащих внутри кабеля?
I
Рисунок 77
А04. Протон влетел в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции
и описал дугу радиусом R = 10 см. Определить скорость v протона, если магнитная индукция В = 1 Тл.
А05. Кольцо радиусом R = 10 см находится в однородном магнитном поле
(B = 0,318 Тл). Плоскость кольца составляет с линиями индукции угол ϕ = 300.
Вычислить магнитный поток Ф, пронизывающий кольцо.
А06. Проводник длиной ℓ = 1 м движется со скоростью v = 5 м/с перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля. Определить магнитную индукцию В, если на концах проводника возникает разность потенциалов U = 0,02 В.
А07. Алюминиевое кольцо расположено в однородном магнитном поле
так, что его плоскость перпендикулярна вектору магнитной индукции поля.
Диаметр кольца 25 см, диаметр проволоки 2 мм. Определите скорость измене196
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ния магнитной индукции поля со временем, если при этом в кольце возникает
индукционный ток 12 А.
А08. По обмотке соленоида индуктивностью L = 0,2 Гн течет ток I = 10 А.
Определить энергию W магнитного поля соленоида.
А09. Ион, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 645 В, влетел в
скрещенные под прямым углом однородные магнитное (В = 1,5 мТл) и электрическое (Е = 200 В/м) поля. Определить отношение заряда иона к его массе,
если ион в этих полях движется прямолинейно.
А10. Самолёт летит горизонтально со скоростью 1 200 км/ч. Найти разность потенциалов, возникающую между концами крыльев самолёта, если размах крыльев равен 50 м, а значение вертикальной составляющей индукции магнитного поля Земли равно 3,6⋅10-5 Тл.
А11. Пылинка массой 10-13 кг и зарядом 10-10 Кл влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0,5 Тл перпендикулярно силовым линиям. Определить ускорение пылинки. Скорость пылинки равна 10 м/с.
А12. Шарик массой 0,5 г и зарядом 2 мкКл движется прямолинейно в однородном магнитном поле перпендикулярно силовым линиям со скоростью
10 км/с вдоль поверхности земли. Найти величину вектора магнитной индукции.
А13. В однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл, направленном
вертикально, находится горизонтально расположенный проводник длиной
40 см. Проводник подвешен на тонких вертикальных нитях. Масса проводника
20 г. На какой угол от своего первоначального положения отклонится нить
подвеса, если по проводнику пропустить ток силой в 1 А?
А14. Электрон движется по окружности в однородном магнитном поле с
индукцией 0,02 Тл, имея импульс 6,4⋅10-23 кг⋅м/с. Найти радиус этой окружности.
А15. По двум параллельным прямым проводам длиной ℓ = 2,5 м каждый,
находящимся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I =
1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.
197
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А16. Два параллельных проводника с токами силой 10 А притягиваются с
силой 0,2 Н на каждый метр длины проводника. Найти величину вектора магнитной индукции поля, создаваемого одним из проводников в месте расположения другого.
А17. Определить период обращения пылинки массой 1 мг и зарядом
5 мкКл, движущейся в однородном магнитном поле по окружности, если величина индукции магнитного поля 0,2 Тл.
А18. Кольцо из проволоки сопротивлением R = 1 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 0,4 Тл). Плоскость кольца составляет с линиями
индукции угол ϕ = 900. Определить заряд Q, который протечёт по кольцу, если
его выдернуть из поля. Площадь кольца S = 10 см2.
А19. Квадратная проволочная рамка стороной а = 5 см и сопротивлением
R = 10 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Нормаль к
плоскости рамки составляет угол α = 300 с линиями магнитной индукции. Определить заряд Q, который пройдёт по рамке, если магнитное поле выключить.
А20. По двум параллельным проводам длиной ℓ = 3 м каждый текут одинаковые токи I = 500 А. Расстояние между проводами равно d = 10 см. Определить силу F взаимодействия проводов.
А21. Силовые линии однородного магнитного поля пересекают плоскую
площадку под прямым углом. Во сколько раз уменьшится поток магнитной индукции через площадку при ее повороте на 600 относительно оси, лежащей в
плоскости площадки?
В01. Электрон влетает в область однородного магнитного поля индукции
В = 0,02 Тл со скоростью v = 5⋅106 м/с так, что направление скорости перпендикулярно вектору магнитной индукции В и перпендикулярно границе области,
занимаемой полем. На каком расстоянии ℓ от места входа в область поля находится точка выхода электрона из поля обратно?
В02. В однородном магнитном поле расположен виток сопротивлением
R = 9,5 Ом и площадью S = 100 см2. Плоскость витка составляет угол α = 600 с
вектором В. За время τ = 0,5 с индукция поля увеличивается с постоянной ско198
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ростью от В1 = 0,1 Тл до B2 = 0,6 Тл. Найти количество тепла, которое выделилось в витке за это время.
В03. В полосе толщиной d = 2 см создано однородное маг-
v
d
нитное поле с индукцией В = 1 мТл (рисунок 78). Линии вектора магнитной индукции направлены по нормали к поверхности
+ +
В
+ +
Рисунок 78
рисунка. На полосу падает пучок электронов, скорость которых перпендикулярна полосе и линиям магнитной индукции. Определите минимальную энергию электронов, при которой они не будут "отражаться" от магнитной полосы.
В04. По двум длинным прямым проводникам, находящимся на расстоянии
5 см друг от друга, протекают токи по 10 А в одном направлении. Определите
индукцию магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии 3 см от каждого проводника.
В05. Требуется изготовить соленоид длиной 20 см и диаметром 5 см, создающий на своей оси магнитную индукцию 1,26 мТл. Найдите разность потенциалов, которую надо приложить к концам обмотки соленоида. Для обмотки
применяют медную проволоку диаметром 0,5 мм.
В06. В однородном магнитном поле, индукция которого равна 2 Тл и направлена под углом 300 к вертикали, вертикально вверх движется прямой проводник массой 2 кг, по которому течет ток 4 А. Через 3 с после начала движения проводник имеет скорость 10 м/с. Определите длину проводника.
В07. Электрон движется в магнитном поле, индукция которого 2 мТл, по
винтовой линии радиусом 2 см и шагом винта 5 см. Определите скорость электрона.
В08. Соленоид диаметром 10 см и длиной 60 см имеет 1 000 витков. Сила
тока в нём равномерно возрастает на 0,2 А за 1 с. На соленоид надето кольцо из
медной проволоки, имеющей площадь поперечного сечения 2 мм2. Найдите силу индукционного тока, возникающего в кольце.
В09. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в
одном направлении электрические токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию В поля, соз199
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
даваемого проводниками с током в точке А, отстоящей от оси одного проводника на расстоянии r1 = 5 см, от другого – r2 = 12 см.
В10. Соленоид длиной ℓ и диаметром D имеет N витков медного провода
сечением S и находится под постоянным напряжением. Определите время, в
течение которого в обмотке соленоида выделится количество теплоты, равное
энергии магнитного поля в соленоиде.
В11. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N =
1 200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 А
магнитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля соленоида.
В12. Рамка площадью S = 50 см2, содержащая N = 100 витков, равномерно
вращается в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Определить максимальную ЭДС индукции Еmax, если ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции, а рамка вращается с частотой ν = 960 об/мин.
В13. Обмотка соленоида содержит два слоя плотно прилегающих друг к
другу витков провода диаметром d = 0,2 мм. Определить магнитную индукцию
В на оси соленоида, если по проводу течёт ток I = 0,5 А.
В14. В однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции
расположен плоский контур площадью S = 100 см2. Поддерживая в контуре постоянную силу тока I = 50 А, его переместили из поля в область пространства,
где поле отсутствует. Определить магнитную индукцию В поля, если при перемещении контура была совершена работа А = 0,4 Дж.
В15. На катушке сопротивлением 5 Ом и индуктивностью 25 мГн поддерживается постоянное напряжение. Определить величину этого напряжения, если при размыкании цепи катушки выделилась энергия, равная 1,25 Дж.
В16. Проводник с плотностью тока 1 А/см2 может скользить в вертикальных направляющих так, что сила трения пренебрежимо мала. Вся система находится в однородном магнитном поле, направленном перпендикулярно проводнику. Плотность материала проводника 4 г/см3. Найти минимальную величину индукции магнитного поля, при которой проводник не будет падать.
200
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В17. Частица с зарядом +0,001 Кл движется со скоростью 1 000 м/с на восток в магнитном поле. Вектор магнитной индукции направлен на юг и равен
0,1 Тл. Найти проекцию силы Лоренца на ось 0z, направленную вертикально
вверх относительно поверхности Земли.
В18. Две частицы с равными зарядами ускоряются одинаковой разностью
потенциалов и, попадая в однородное магнитное поле, движутся по окружностям. Во сколько раз радиус окружности для первой частицы больше радиуса
для второй, если масса первой частицы в четыре раза больше?
В19. В однородном магнитном поле, индукция которого равна 0,5 Тл, равномерно движется проводник длиной 10 см. Сила тока в проводнике равна 2 А.
Скорость движения проводника равна 20 см/с и направлена перпендикулярно
направлению магнитного поля. Найти работу по перемещению проводника за
10 с движения.
В20. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией
0,03 Тл по окружности радиусом 1 см. Найдите кинетическую энергию этого
электрона.
В21. Контур состоит из индуктивности 0,2 Гн и емкости 10 мкФ. Конденсатор зарядили до напряжения 200 В. Каким будет ток в контуре в момент, когда энергия контура окажется поровну распределенной между электрическим и
магнитным полем?
В22. Замкнутый проводник в виде правильного треугольника со стороной
10 см расположен в магнитном поле с индукцией 0,4 Тл перпендикулярно силовым линиям. Какая средняя ЭДС возникает в проводнике при его удалении
из поля за 17,3 мс?
В23. Замкнутая катушка с сопротивлением 20 Ом и индуктивностью
0,01 Гн находится в переменном магнитном поле. Когда создаваемый этим полем магнитный поток увеличился на 0,001 Вб, ток в катушке возрос на 0,05 А.
Какой заряд прошёл за это время по катушке?
В24. Если конденсатор с расстоянием между пластинами 1 см определенным образом расположить в однородном магнитном поле с индукцией 0,05 Тл,
201
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
то ионы, летящие со скоростью 100 км/с, не испытывают отклонения. Найти
напряжение на его обкладках. Вектор скорости перпендикулярен вектору магнитной индукции.
В25. Определить энергию магнитного поля катушки, в которой при токе
7,5 А магнитный поток равен 2,3 мВб. Число витков в катушке 120.
С01. Протон влетел в область пространства шириной 10 см, где создано
однородное магнитное поле с индукцией 50 мТл, силовые линии которого перпендикулярны первоначальному вектору скорости протона. Найти скорость
протона, если он вылетел из магнитного поля под углом 300 к первоначальному
направлению.
С02. По горизонтальным рельсам, расположенным в вертикальном магнитном поле с индукцией 0,01 Тл, скользит проводник длиной 2 м с постоянной
скоростью 10 м/с. Концы рельсов замкнуты на резистор сопротивлением 2 Ом.
Найти количество теплоты, которое выделится в резисторе за 4 с. Сопротивлением рельсов и проводника пренебречь. Расстояние между рельсами 1 м.
С03. Катушка длиной 50 см и площадью поперечного сечения 2 см2 имеет
индуктивность 0,2 мкГн. При какой силе тока объемная плотность энергии
магнитного поля внутри катушки равна 0,001 Дж/м3?
С04. Электрон влетает в однородное магнитное поле. В точке А он имеет
скорость v, угол α с направлением индукции поля B (см. рисунок 79). При какой индукции магнитного поля В электрон окажется в
точке С? Элементарный заряд е, масса электрона m, расстояние АС = ℓ.
A
α
v
C
B
Рисунок 79
С05. Медный проводник сечением 2 мм2 согнут в виде трёх сторон квадрата и подвешен за концы к горизонтальной оси в вертикальном магнитном поле.
Когда по проводу пропускают ток 10 А, он отклоняется от вертикали на угол
150. Определите величину и направление магнитной индукции.
С06. Электрон движется в однородных и постоянных электрическом и
магнитном полях, силовые (магнитные) линии которых направлены одинаково.
В начальный момент времени скорость электрона перпендикулярна силовым
202
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
линиям. Определите минимальное расстояние между начальным положением
электрона и точкой, в которой ускорение электрона совпадает с начальным.
Напряженность электрического поля − Е, индукция магнитного поля − В, масса
электрона – m, а заряд равен е.
С07. По двум горизонтальным рейкам, замкнутым на сопротивление R = 2,5 Ом, движется с посто- R
янной скоростью v = 1 м/с жёсткая рамка KLMN
(рисунок 80). Сопротивления участков LK и NM
M
N
+
R
+
v
+
R
+
+B
ℓ
K L
Рисунок 80
равны соответственно R1 = 2 Ом и R2 = 3 Ом. Расстояние между рейками ℓ =
0,5 м. Система находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 10 Тл.
Вектор В перпендикулярен плоскости рисунка. Определите мощность, выделяющуюся в рамке KLMN.
Примеры решения задач
1. Замкнутый проводник сопротивлением R = 3 Ом находится в магнитном поле. В результате изменения этого поля магнитный поток, пронизывающий контур, возрос с Ф1 = 0,002 Вб до Ф2 = 0,005 Вб. Какой заряд прошёл через
поперечное сечение проводника?
Дано: R = 3 Ом; Ф1 = 0,002 Вб; Ф2 = 0,005 Вб.
q=?
Решение. q =
∆Ф Ф 2 − Ф1 0,005 − 0,002
=
=
= 1⋅10−3 Кл = 1 мКл.
R
R
3
2. Из однородной проволоки, обладающей заметным сопротивлением,
сделан прямоугольный контур размером а⋅в. Перпендикулярно плоскости контура создаётся магнитное поле, индукция которого растёт со временем по закону В = αt. На расстоянии с от одной из сторон а подключен вольтметр, сопро203
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тивление которого очень велико (см. рисунок). Какое напряжение покажет
вольтметр?
с
⊕
Дано: а, в, с; В = αt.
а
U −?
⊕
⊕
В
⊕
⊕
V
⊕
Решение: По основному закону электро-
в
магнитной индукции из-за изменения магнитного потока через весь контур
возникает ЭДС индукции:
|Е| = Е = Ф′ = (ВS)′ = (αtав) = αав.
По закону Ома определяем силу тока в контуре:
E
 2(а + в ) 
= αав  ρ
I=

R
S 

−1
= αав
S
,
2ρ(а + в )
где R – сопротивление контура;
ρ − удельное сопротивление проволоки;
S – площадь ее поперечного сечения.
В контуре, образованном вольтметром и участком провода длиной с и
имеющим сопротивление
R1 = ρ
2с + а
,
S
создаётся ЭДС
Е1 = αас.
Согласно закону Ома
Е1 = U +IR1,
откуда находим
204
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S
2с + а αа 2 (2с − в )
U = Е1 − IR1 = αас − αав
=
ρ
.
2ρ(а + в )
2(а + в )
S
3. Квадратная рамка со стороной b = 5 см изготовлена из медной проволоки сопротивлением R = 0,1 Ом. Рамку перемещают по гладкой горизонтальной поверхности с постоянной скоростью v вдоль оси Ох. Начальное положение рамки изображено на рисунке. За время движения рамка проходит между
полюсами магнита и вновь оказывается в области, где магнитное поле
отсутствует.
Индукционные
у
токи,
возникающие в рамке, оказывают
N
v
тормозящее действие, поэтому для
х
0
поддержания постоянной скорости
движения
к
ней
S
прикладывают
d
внешнюю силу F, направленную
вдоль оси 0х. С какой скоростью движется рамка, если суммарная работа внешней силы за время движения равна А = 2,5⋅10−3 Дж? Ширина полюсов магнита
d = 20 см, магнитное поле имеет резкую границу, однородно между полюсами,
а его индукция В = 1 Тл.
Дано: v=const; b=5⋅10−2 м; R=0,1 Ом; А=2,5⋅10−3 Дж; d=0,2 м; В=1 Тл.
v− ?
Решение: Площадь квадратной рамки со стороной b равна S = b2. Так как
b < d, то магнитный поток Ф через рамку будет меняться в случае, когда рамка
будет заходить в область между полюсами магнита и когда будет выходить из
этой области. При движении рамки с постоянной скоростью v быстрота изменения модуля магнитного потока ∆Ф/∆t в обоих случаях одинакова.
Рассмотрим случай, когда рамка входит в пространство между полюсами
магнита. Магнитный поток через рамку в этом случае будет изменяться в тече205
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ние промежутка времени ∆t, когда передняя сторона вступает в магнитное поле,
а затем задняя сторона попадает в эту область. И указанный промежуток времени ∆t = b/v. За этот промежуток времени в рамке согласно закону Фарадея
электромагнитной индукции создается ЭДС индукции:
|Е | =
∆Ф B ⋅ S B ⋅ b 2
=
=
= B⋅b⋅v.
∆t
∆t
b/v
В течение этого промежутка времени ∆t в рамке протекает ток силой
I=
E
B⋅b⋅ v
=
.
R
R
При этом на переднюю сторону рамки, которая уже вступила в область
магнитного поля, действует сила Ампера FA (в соответствии с правилом Ленца
эта сила тормозит движение рамки):
B⋅b⋅ v
(B ⋅ b ) ⋅ v .
⋅b⋅B =
FA = I⋅b⋅B =
R
R
2
При движении рамки с постоянной скоростью сила Ампера FA равна по
модулю внешней силе F, т.е. F = FA.
За время ∆t внешняя сила совершает работу А1 = F⋅b. Такая же работа будет совершаться, когда рамка будет выходить из области пространства между
полюсами магнита. Поэтому суммарная работа внешней силы за время движения рамки равна:
А = 2⋅А1
2
(
B ⋅ b) ⋅ v
= 2⋅F⋅b = 2⋅
⋅ b,
R
откуда находим
v=
A⋅R
2 ⋅ B2 ⋅ b 3
=
2,5 ⋅ 10 −3 ⋅ 0,1
(
2 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ 10
2
206
)
−2 3
= 1 м/с.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Провод из материала плотностью ρ и сечением S согнут в виде трех
сторон квадрата и прикреплен своими концами к горизонтальной оси, вокруг
которой он может вращаться в однородном вертикальном магнитном поле с
индукцией В (см. рисунок). На какой угол α от вертикали отклонится плоскость
этого контура при прохождении по проводу тока I. Ускорение свободного падения равно g.
Дано: ρ; S; g; B; I.
α −?
Решение: Обозначим силы, действующие на согнутый проводник:
- одинаковые силы тяжести mg, приложенные к участкам ОА, АС, СО1
одинаковой длины, т.е. ОА=АС=СО1=ℓ;
- силу Ампера FA, действующую на горизонтальный участок АС;
- силы Ампера FA1 и FA2, действующие на участки ОА и СО1.
Направления сил FA, FA1 и FA2 определяем по правилу правого винта (правилу левой руки).
I
О1
I
О
FA2
mg α
α
FA1
α
α
С
I
mg
B
О(О1)
I
2mg
А(С)
FA
FA
А
B
mg
mg
Т
Так как контур находится в равновесии, то сумма моментов всех приложенных
к нему сил относительно оси вращения ОО1 равна нулю. Силы FA1 и FA2 параллельны оси ОО1 и их моменты относительно ОО1 равны нулю. Моменты сил
207
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
реакции шарниров (на рисунке эти силы не показаны) относительно оси ОО1
также равны нулю. Для остальных сил уравнение моментов сил относительно
оси ОО1 запишется так:
l
mgℓsinα + 2mg sinα − FAℓcosα = 0.
2
Подставляя в это уравнение
m = ρ⋅S⋅ℓ
и
FA = I⋅ℓ⋅B,
получаем
2ρ⋅S⋅ℓ⋅g⋅ℓ⋅sinα = I⋅ℓ⋅B⋅ℓ⋅cosα,
откуда находим
tgα =
IB
.
2ρSg
5. Прямолинейный проводник длиной ℓ = 0,2 м, по которому течет ток I =
2 А, находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,6 Тл и расположен перпендикулярно вектору В. Каков модуль силы, действующей на проводник со стороны магнитного поля?
Дано: ℓ = 0,2 м; I = 2 А; В = 0,6 Тл; α = 900.
F=?
Решение: Из того, что прямолинейный проводник с током перпендикулярен вектору магнитной индукции В следует, что угол α между направлением
тока в проводнике и индукцией В равен 900. Запишем выражение для магнитной составляющей силы Лоренца и рассчитаем искомую силу F:
F = I⋅ℓ⋅B⋅sinα = 2⋅0,2⋅0,6⋅sin900 = 0,24 Н.
208
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Электрон влетает в область однородного магнитного поля индукцией
В = 0,01 Тл со скоростью v = 1 000 км/с перпендикулярно линиям магнитной
индукции. Какой путь он пройдет к тому моменту, когда вектор его скорости
повернется на 10?
Дано: е =1,6⋅10−19 Кл; m = 9,1⋅10−31 кг; В = 0,01 Тл;
v = 106 м /c; ∆ϕ = 10 = 10⋅π/ 1800 рад.
∆S = ?
Решение: Под действием магнитной составляющей силы Лоренца электрон движется по дуге окружности радиуса R, который определяем из уравнения движения электрона:
mv 2
FЛ =
R
или
mv 2
qvB =
,
R
откуда определяем радиус окружности
R=
mv
.
eB
Положения двух точек траектории движения электрона, в которых угол
между двумя векторами скорости составляет 10, видны под тем же углом (10) из
центра окружности. Длина дуги ∆S между этими двумя точками как раз равна
пути, пройденному электроном:
mv
9,1 ⋅ 10 −31 ⋅ 10 6 10 ⋅ π
⋅∆ϕ =
⋅
= 10−5 м = 10 мкм.
∆S = R⋅∆ϕ =
−
19
0
eB
1,6 ⋅ 10 ⋅ 0,01 180
209
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задание 3-3-11. Механические и электрические колебания
Свободные гармонические колебания. Пружинный и математический маятники. Преобразование энергии в процессе свободных механических колебаний.
Затухающие и вынужденные механические колебания. Резонанс.
Колебательный контур. Вынужденные электрические колебания; переменный ток.
Трансформатор.
01. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени смещение точки х = 5 см, скорость ее v = 20 см/с и ускорение а =
−80 см/с2. Найти циклическую частоту и период колебаний, фазу колебаний в
рассматриваемый момент времени и амплитуду колебаний.
02. Максимальный ток в колебательном контуре I0 = 1 мА, а максимальный
заряд на обкладках конденсатора в этом контуре q0 = 10 мкКл. Каков период Т
свободных электрических колебаний, происходящих в контуре?
03. Начальные фазы колебаний двух математических маятников с периодами колебаний Т1 = 5 с и Т2 = 7 с одинаковы. Определите минимальный промежуток времени, через который фазы колебаний маятников снова будут одинаковы.
04. Найти длину волны, на которую настроен колебательный контур, если
максимальный заряд конденсатора 1 мкКл, а максимальная сила тока 4 А.
05. Период гармонических колебаний тела возрастает с 1 с до 2 с. Во
сколько раз при этом уменьшается полная энергия колебаний, если амплитуда
колебаний не меняется ?
06. В колебательном контуре заряд конденсатора ёмкостью 0,5 мкФ меняется по закону q = 0,002cos(12560t) Кл, где t − время в секундах. Найти величину максимальной ЭДС самоиндукции в катушке индуктивности.
07. 3а какую часть периода тело, совершающее гармонические колебания,
проходит первую половину пути от среднего положения до крайнего?
210
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
08. Математический маятник совершает гармонические колебания. На
сколько процентов следует уменьшить его длину, чтобы период колебаний
уменьшился в 1,25 раза?
09. При какой скорости ходьбы человека, несущего ведро с водой, вода
начнёт особенно сильно выплескиваться? Длина шага 50 см, а период свободных колебаний воды в ведре 0,8 с.
10. Определить модуль разности фаз колебаний двух точек, удалённых от
источника колебаний на расстояния 3,5 м и 2 м, если период колебаний равен
0,25 с, а скорость распространения колебаний 6 м/с.
11. На сколько секунд отстанут часы за 1 час, если период колебаний маятника возрастёт на 0,1 %?
12. Расстояние между гребнями волн в море 5 м. При встречном движении
катера частота ударов волн о корпус катера 4 Гц, а при попутном 2 Гц. Найти
скорость катера.
13. Подставка совершает в горизонтальном направлении гармонические
колебания с периодом 5 с. Находящееся на подставке тело начинает скользить,
когда амплитуда колебаний достигает 0,5 м. Определить коэффициент трения
между телом и подставкой.
14. Контур состоит из катушки с индуктивностью 0,2 Гн и конденсатора
ёмкостью 10 мкФ. Конденсатор зарядили до напряжения 200 В. Каким будет
ток в контуре в момент, когда энергия контура окажется поровну распределённой между электрическим и магнитным полями?
15. Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэффициентом
трансформации k = 8 включена в сеть с напряжением U1 = 220 В. Сопротивление вторичной обмотки R2 = 2 Ом, сила тока в ней I2 = 3 А. Определите напряжение на зажимах вторичной обмотки. Потерями в первичной обмотке и рассеянием магнитного потока пренебречь.
16. Первичная обмотка трансформатора, включённого в сеть напряжением
U1 = 380 В, имеет N1 = 2 400 витков. Какое число витков должна иметь вторичная обмотка этого трансформатора, чтобы при напряжении U2 = 11 В на ее за211
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жимах передавать во внешнюю цепь мощность Р = 22 Вт? Сопротивление вторичной обмотки R2 = 0,2 Ом. Рассеяние магнитного потока в сердечнике трансформатора и потери энергии в его первичной обмотке пренебрежимо малы.
17. Заряженный конденсатор ёмкостью С = 0,5⋅10-6 Ф подключили к катушке с индуктивностью L = 0,01 Гн. Определите минимальное время, через
которое энергия электрического поля конденсатора станет в n = 2 раза меньше
энергии магнитного поля катушки.
18. Длина нити одного из математических маятников на 15 см больше другого. В то время как один из маятников делает 7 колебаний, другой делает на
одно колебание больше. Чему равны периоды колебаний маятников? Чему равны длины маятников?
19. Во сколько раз изменится частота собственных колебаний контура, если между пластинами воздушного конденсатора, входящего в контур, внести
пластину из диэлектрика (ε = 4), толщина которой вдвое меньше расстояния
между пластинами конденсатора?
20. Радиус некоторой планеты в 2 раза меньше радиуса Земли, а плотность
такая же, как у Земли. Определить отношение периода колебаний математического маятника на этой планете к периоду колебаний того же маятника на Земле.
А01. Груз массой 0,5 кг зажат на горизонтальной поверхности между двумя пружинами с коэффициентом жёсткости 2 500 Н/м. Какой будет амплитуда
колебаний груза, если ему сообщить скорость 3 м/с вдоль оси пружин?
А02. Шарик, прикреплённый к пружине, совершает гармонические колебания на гладкой горизонтальной плоскости с амплитудой 10 см. На сколько
сместится шарик от положения равновесия за время, в течение которого его кинетическая энергия уменьшится вдвое?
А03. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью v = 15 м/с. Период колебаний точек шнура Т = 1,2 с. Определить разность
фаз ∆ϕ колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн
на расстояниях x1 = 20 м и х2 = 30 м.
212
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А04. Как, зная амплитуду скорости v0 и амплитуду ускорения w0, найти
амплитуду А и частоту ω гармонического колебания?
А05. а) При какой длине ℓ период колебаний математического маятника
будет равен 1 с? б) Чему равен период колебаний Т математического маятника
длины ℓ = 1 м?
А06. Тело совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости на пружине жёсткостью 300 Н/м. Амплитуда колебаний равна 4 см. Найти
полную энергию колебательного процесса.
А07. Звуковая волна распространяется со скоростью 346 м/с и частотой
1 кГц. Определить, на каком минимальном расстоянии находятся ближайшие
точки, совершающие колебания в одинаковых фазах.
А08. Определить длину математического маятника, если явление резонанса вблизи поверхности Земли наблюдается при частоте внешнего воздействия
1 Гц.
А09. Полная энергия колебаний в контуре равна 5 Дж. Найти максимальную силу тока в контуре, если индуктивность катушки равна 0,1 Гн.
А10. Один математический маятник имеет период 3 с, а другой 4 с. Каков
период колебаний математического маятника, длина которого равна сумме
длин данных маятников?
А11. В процессе гармонических колебаний с частотой 3 Гц с амплитудой
2 см тело достигло максимальной скорости. Чему равно в этот момент смещение тела из положения равновесия?
А12. Как изменится период свободных колебаний в колебательном контуре, если конденсатор в нём заменить батареей из двух последовательно соединённых таких же конденсаторов?
А13. Груз массой 0,1 кг, подвешенный к пружине, совершает 300 колебаний в минуту. Определить жёсткость пружины.
А14. Определить первоначальную длину математического маятника, если
при увеличении его длины на 3 м период колебаний маятника увеличился в 2
раза.
213
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А15. Как, зная амплитуду смещения А и амплитуду скорости v0, найти частоту ω гармонического колебания?
А16. Звуковая волна распространяется со скоростью 346 м с и частотой
1 кГц. Определить на каком расстоянии находятся ближайшие точки, совершающие колебания в противоположных фазах.
А17. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 0,01 мкФ и
катушки, индуктивность которой составляет 1/90 мГн. На какую длину волны
настроен контур? Сопротивлением контура пренебречь.
А18. Точка совершает гармонические колебания с периодом 6 с. За какое
время скорость точки меняется от максимального значения до половины максимального значения?
А19. Груз массой 0,1 кг, подвешенный к пружине, совершает 300 колебаний в минуту. Определить жёсткость пружины.
А20. Тело совершает гармонические колебания. Во сколько раз его кинетическая энергия больше потенциальной для момента времени, когда смещение
тела из положения равновесия составляет половину амплитуды?
А21. Тело совершает гармонические колебания. Определить циклическую
частоту колебаний, если максимальная сила, действующая на тело в процессе
колебаний, равна 5 Н, а максимальный импульс равен 8 Н⋅с.
А22. Во сколько раз скорость распространения первой волны больше скорости распространения второй, если ее длина в 5,4 раза, а период в 2 раза
больше?
А23. Человек, стоящий на берегу моря, определил, что расстояние между
следующими друг за другом гребнями волн 8 м и за минуту мимо него проходят 45 волновых гребней. Определить скорость распространения волн.
А24. К конденсатору, заряд которого 2,5 нКл, подключили катушку индуктивности. Определить максимальный ток, протекающий через катушку, если
частота свободных колебаний образовавшегося контура 40 МГц.
А25. В колебательном контуре параллельно конденсатору присоединили
другой конденсатор, ёмкость второго в 3 раза больше. В результате частота
214
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
электромагнитных колебаний изменилась на 300 Гц. Найти первоначальную
частоту колебаний.
А26. За какое время звуковая волна с длиной волны 2 м и частотой 165 Гц
пройдет расстояние 660 м?
А27. Ток в первичной обмотке равномерно увеличивают. По какому закону меняется напряжение во вторичной обмотке?
А28. Почему опасно замыкание хотя бы одного витка вторичной обмотки?
А29. Почему при разомкнутой вторичной цепи энергия, потребляемая
трансформатором, мала? На что тратится эта энергия? Является ли энергия, потребляемая трансформатором на холостом ходу, полезной? Как уменьшают потери?
А30. Радиопередатчик работает на частоте 6 МГц. Сколько длин волн
уложится на расстоянии 10 км по направлению распространения радиосигнала?
В01. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет
вид x = Asinωt, где А = 5 см, ω = 2 с-1. Найти момент времени (ближайший к
началу отсчёта), в который потенциальная энергия точки U = 10-4 Дж, а возвращающая сила F = +5⋅10-3 H. Определить также фазу колебаний в этот момент
времени.
В02. Шарик, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности и прикреплённый к невесомой горизонтальной пружине, совершает гармонические
колебания с периодом Т = 2 с. Определите период колебаний шарика, если на
расстоянии а/2 (а − амплитуда колебаний) от положе-
а
а/2
ния равновесия (х0) установить вертикальную стенку
(рисунок 81), от которой шарик абсолютно упруго отРисунок 81
скакивает.
х0
В03. На какую высоту над Землей надо поднять математический маятник,
чтобы период его колебаний возрос на 1 %?
В04. Шарик прикреплён пружиной к вертикальной стенке и может перемещаться без трения по горизонтальной поверхности. Шарик отвели из положения равновесия на х0 = 3 см и сообщили ему начальную скорость, равную
215
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
v0 = 0,2 м/с. После этого шарик стал совершать гармонические колебания с циклической частотой ω = 5 рад/с. Определите амплитуду этих колебаний.
В05. Определить массу тела, совершающего гармонические колебания с
амплитудой 10 см, частотой 2 Гц и начальной фазой 300, если полная энергия
колебаний 7,7 мДж. Через сколько секунд от начала отсчёта времени кинетическая энергия будет равна потенциальной?
В06. Две идеально гладкие наклонные плоскости составляют двугранный
угол. Левая плоскость наклонена к горизонту под углом α, правая под углом β.
Определите период колебаний шарика, скользящего вниз и вверх по этим плоскостям, если вначале он находился на левой плоскости, на высоте Н.
В07. Шарик совершает гармонические колебания. Найти отношение скоростей v1/v2 шарика в точках, удалённых от положения равновесия соответственно на половину и на одну треть амплитуды.
В08. Секундный маятник в вертикально движущемся лифте совершает за
время t = 1 мин N = 100 колебаний. С каким ускорением а движется лифт? Как
направлено это ускорение?
В09. Шарик подвешен на длинной нити. Первый раз его поднимают по
вертикали до точки подвеса, второй раз отклоняют на небольшой угол. В каком
из этих случаев шарик быстрее возвратится к начальному положению, если его
отпустить?
В10. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т = 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы Е = 0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы Fmax, действующей
на частицу.
В11. Математический маятник совершает гармонические колебания. На
сколько процентов следует уменьшить его длину, чтобы период колебаний
уменьшился в 1,25 раза?
В12. Точка совершает гармонические колебания с частотой ν = 10 Гц. В
момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение: хmax =
1 мм. Написать уравнение колебаний точки и начертить их график.
216
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В13. Математический маятник с периодом колебаний 1 с и состоящий из
непроводящей нити и металлического заряженного шара массой 0,01 кг, помещён в однородное электрическое поле, где совершает колебания с периодом
0,8 с. Определить заряд шарика, если напряжённость поля 130 В/м. Шарик заряжен отрицательно, а поле направлено вверх.
В14. Определить величину деформации пружинки под действием висящего на ней груза, если период малых колебаний груза равен 0,6 с.
В15. Колебательный контур радиоприёмника настроен на частоту 9 МГц.
Во сколько раз нужно изменить ёмкость переменного конденсатора, чтобы контур был настроен на длину волны 50 м?
В16. Замкнутый контур в виде рамки с площадью S = 60 см2 равномерно
вращается с частотой ν = 20 с-1 в однородном магнитном поле с индукцией В =
20 мТл. Ось вращения и направление поля взаимно перпендикулярны. Определить амплитудное Еm и действующее Е значения ЭДС в контуре.
В17. Точка совершает гармонические колебания с периодом 6 с. За какое
время скорость точки меняется от максимального значения до половины максимального значения?
В18. На горизонтальной подставке, совершающей гармонические колебания по вертикали, лежит груз. При какой минимальной амплитуде колебаний
груз оторвется от подставки, если период колебаний равен 1,57 с?
В19. Два математических маятника с периодом колебаний 6 с и 5 с одновременно начинают колебания в одинаковых фазах. Через какое наименьшее
время фазы их колебаний снова будут одинаковыми?
В20. Маленький шарик подвешен на нити длиной 1,024 м к потолку вагона. При какой скорости вагона шарик будет особенно сильно раскачиваться под
действием ударов колес о стык рельсов? Длина рельсов 12,56 м.
В21. К пружине подвешена чашка весов с гирями. При этом период вертикальных колебаний чашки равен 0,4 с. После добавления еще одной гири период колебаний возрос до 0,6 с. Насколько удлинилась пружина после добавления
гири?
217
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В22. Груз, подвешенный к вертикально закреплённой пружине, колеблется
с частотой 5 Гц. Насколько окажется растянутой пружина после прекращения
колебаний груза?
В23. Сила тока в колебательном контуре меняется по закону
I = 0,2sin(6 280t), A,
где t – время в секундах.
Найти полную энергию колебаний, если индуктивность контура равна 0,5 Гн.
В24. От вторичной обмотки трансформатора сопротивлением R = 0,1 Ом
питаются 1 000 параллельно включённых ламп мощности Р = 100 Вт каждая,
рассчитанных на напряжение U = 220 В. Определите КПД трансформатора,
пренебрегая рассеянием магнитного потока в сердечнике трансформатора и потерями энергии в первичной обмотке.
С01. Шарик массой m = 60 г колеблется с периодом Т = 2 с. В начальный
момент времени смещение шарика x0 = 4,0 см и он обладает энергией Е =
0,02 Дж. Записать уравнение простых гармонических колебаний шарика и закон изменения возвращающей силы с течением времени.
С02. В сеть напряжением 220 В включены последовательно катушка индуктивностью 0,16 Гн и проводник сопротивлением 2 Ом, а также конденсатор
ёмкостью 64 мкФ. Определить силу тока в цепи, если частота его 200 Гц. При
какой частоте наступает резонанс напряжений, и каковы будут при этом сила
тока и напряжение на зажимах катушки и конденсатора?
С03. Маятниковые часы, выверенные при комнатной температуре, уходят
за сутки на 2 мин вследствие изменения длины маятника, вызванного понижением температуры. Как нужно изменить длину маятника, чтобы часы шли верно?
С04. Цилиндр массой 0,1 кг с площадью основания 10 см2 плавает в вертикальном положении в жидкости с плотностью 1 г/см3. Его погрузили и отпустили. Определить циклическую частоту колебаний цилиндра.
С05. Математический маятник имеет массу 1 г и заряд 100 нКл. Найти отношение периода колебаний математического маятника к периоду колебаний
218
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
этого же маятника, внесенного в электрическое поле напряжённостью 300 кВ/м,
силовые линии которого направлены вертикально вниз.
С06. Два одинаковых шарика, имеющих одинаковые одноимённые заряды,
соединены пружиной, жёсткость которой k = 20 Н/м, а длина ℓ0 = 4 см. Шарики
колеблются так, что расстояние между ними меняется от 3 см до 6 см. Найти
заряды шариков.
С07. Маятниковые часы, выверенные при комнатной температуре, уходят
за сутки на 2 мин вследствие изменения длины маятника, вызванного понижением температуры. Как нужно изменить длину маятника, чтобы часы шли верно?
С08. Самое высокое место, обжитое человеком на земном шаре, находится
на высоте 5 200 м над уровнем моря (Ронбургский монастырь в Гималаях). На
сколько будут уходить за сутки маятниковые часы, выверенные на этой высоте,
если их перенести на уровень моря?
С09. На абсолютно гладкой горизонтальной поверхности находится брусок
массой m, связанный двумя пружинами, имеющими одинаковую жёсткость k.
На брусок положили груз массой m1. Максимальная величина коэффициента
трения покоя между бруском и грузом равна µ. На какую максимальную величину от положения равновесия можно сместить брусок, чтобы при последующих колебаниях груз m1 не соскользнул с бруска?
С10. Из пункта А в пункт В был послан звуковой сигнал частоты ν = 50 Гц,
распространяющийся со скоростью v1 = 330 м/с. При этом на расстоянии от А
до В укладывалось целое число длин волн. Этот опыт повторили, когда температура была на величину ∆Т = 20 К выше, чем в первом случае. Число длин
волн, укладывающихся на расстоянии от А до В, уменьшилось во втором случае на 2. Найдите расстояние ℓ между пунктами А и В, если известно, что при
повышении температуры на 1 К скорость звука увеличивается на 0,5 м/с.
С11. На гладкой горизонтальной поверхности находятся два тела массой m
и 3m, связанные пружиной жёсткости k. Определите период колебаний системы
тел после небольшой деформации пружины.
219
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С12. Коробка массой М лежит на горизонтальном столе. Коэффициент
трения между столом и коробкой равен µ. Внутри коробки лежит груз массой
m, который может без трения двигаться по дну коробки. Он прикреплен к стенке коробки пружиной с жёсткостью k. При какой амплитуде колебаний груза
коробка начнет двигаться по столу?
Примеры решения задач
1. Материальная точка массой m = 5 г совершает горизонтальные колебания с частотой ν = 0,5 Гц и амплитудой А = 3 см. Определите: 1) скорость v
точки в момент времени, когда смещение х = 1,5 см; 2) максимальную силу Fm,
действующую на точку; 3) полную энергию W колеблющейся точки.
Дано: m = 5 г = 5⋅10−3 кг; А = 3 см = 3⋅10−2 м; ν = 0,5 Гц; х(t).
v(t) −? Fm −? W −?
Решение. Кинематическое уравнение гармонических колебаний запишем
в виде
х = А⋅sin(ωt+ϕ),
где х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия;
А - амплитуда; (ωt+ϕ) – фаза колебания;
ϕ - начальная фаза;
ω - циклическая частота (ω = 2πν);
t – время.
1) Формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от
смещения, v = x′ = Aω⋅cos(ωt+ϕ). Исходя из условия задачи, скорость надо выразить через смещение. Для этого исключим время из двух записанных уравне-
220
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ний. Возведя оба уравнения в квадрат, затем, разделив первое уравнение на А2,
второе – на А2ω2 и, сложив их, получим:
x2
A
2
+
v2
A ω
2
2
=1
или
x2
A
2
+
v2
A (2πν )
2
2
= 1.
Решив это уравнение относительно v, найдем
v = ±2πν А 2 − х 2 = ±2π⋅0,5 32 − 1,5 2 = ± 8,16 см/с.
Знак ″плюс″ соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с
положительным направлением оси абсцисс, знак ″минус″ - в противном случае.
2) Силу F, действующую на точку, найдем из второго закона Ньютона:
F = ma,
где а – ускорение точки, которое определим, взяв производную по времени от скорости:
а = v′ = -Aω2sin(ωt+ϕ)
или
а = -A4π2ν2sin(ωt+ϕ),
откуда найдём максимальное значение силы
Fm = mam = m⋅A⋅4π2ν2 = 5⋅10−3⋅4⋅π2⋅0,52⋅3⋅10−2 = 1,49⋅10−3 Н = 1,49 мН.
3) Полная энергия колеблющейся точки представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени. В данной задаче проще всего найти полную энергию в момент, когда кинетическая энергия достигает максимального значения, так как в этот момент по221
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия W колеблющейся
точки равна максимальной кинетической энергии
Wк =
1
mv 2m .
2
Максимальное значение скорости vm определим, положив в формуле скорости
cos(ωt+ϕ) = 1, тогда vm = 2πνA. Итак, полная энергия
W = Wк =
1
1
1
mv 2m = m(2πνA)2 = 5⋅10−3⋅(2π⋅0,5⋅3⋅10−2)2 = 22,2⋅10−6 Дж.
2
2
2
2. К пружине подвешена чашка весов с гирями. Период ее вертикальных
колебаний Т1. После того, как на чашку положили добавочные гири, период
вертикальных колебаний стал равен Т2. Насколько удлинилась пружина после
увеличения груза? Ускорение свободного падения равно g.
Дано: Т1; Т2; g.
∆х − ?
Решение. Период вертикальных колебаний чашки с гирями до того, как
был добавлен груз,
Т1 = 2π
m
,
k
где m – масса чашки с гирями;
k – коэффициент жёсткости пружины.
Пусть масса добавленных гирь ∆m, тогда период колебаний
Т2 = 2π
m + ∆m
.
k
222
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вызывающая удлинение пружины ∆х сила равна
F = k∆х,
отсюда
F
∆m ⋅ g
=
,
∆x
∆x
k=
где g – ускорение свободного падения.
Возводя выражения для периодов колебаний в квадрат и вычитая одно выражение из другого, получим:
4π 2 ⋅ ∆m
Т2 − Т1 =
.
k
2
2
Подставим в последнее равенство выражение для k и получим
4π 2 ⋅ ∆х
,
Т2 − Т1 =
g
2
откуда находим:
∆х =
2
(
g T22 − T12
4π
2
).
3. Найдите относительное изменение длины математического маятника,
необходимое для того, чтобы его период колебаний на высоте h был равен периоду колебаний на уровне моря.
Дано: h; R0.
ε−?
Решение. При перенесении маятника на более высокий уровень над Землей его период колебаний увеличится, так как ускорение свободного падения
223
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
уменьшается по мере увеличения высоты. Следовательно, для того, чтобы период колебаний не изменился, длину маятника следует уменьшить.
Пусть математический маятник длиной L0 на уровне моря колеблется с
периодом
Т0 = 2π
где g0 = G
M
R 02
L0
,
g0
− ускорение свободного падения на уровне моря;
М и R0 – масса и радиус Земли;
G – гравитационная постоянная.
На высоте h маятник длиной L будет иметь период колебаний
Т = 2π
L
,
g
где
g=G
M
(R 0 + h )2
.
Согласно условию задачи Т = Т0, поэтому
L0
L
=
g
g0
L 0 R 02
L(R 0 + h )2
=
,
GM
GM
или
откуда
R 02
L
=
.
L0
(R 0 + h )2
Относительное уменьшение длины маятника
R 02
∆L L 0 − L
L
1
ε=
=
=1 −
=1 −
=1
−
=1 −
2
L0
L0
L0
(R 0 + h )2

h 
1 +

R
0

224
2

h 
1 +
 .
R
0

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Далее воспользуемся с известным из математики условием (1+х)n ≈ 1 + nx, при
х << 1. Для случая, когда h << R0:
∆L
ε=
=1−
L0
2

h 
1 +
 ≈ 1 −
 R0 

h 
h
1 + (−2)
 = 2
.
R0 
R0

4. Шарик совершает гармонические колебания. Найдите отношение скоростей v1/v2 шарика в точках, удалённых от положения равновесия, соответственно, на половину и на одну треть амплитуды.
Дано: x = A⋅sinωt; x1 = A/2; x2 = A/3.
v1/v2 − ?
Решение. Предположим, что шарик совершает гармонические колебания
по закону синуса:
x = A⋅sinωt.
Тогда уравнение колебаний скорости будет иметь вид:
v = x′ = Aω⋅cosωt.
Согласно условию задачи в момент времени t1:
x1 =
А
= A⋅sinωt1
2
и
v1 = Aω⋅cosωt1,
А
= A⋅sinωt2
3
и
v2 = Aω⋅cosωt2.
а в момент времени t2:
x2 =
225
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из первой пары уравнений выражаем sinωt1 и cosωt1, возводим в квадрат
и складываем:
2
1  v 
sin ωt1 + сos ωt1 = 1 = +  1  .
4  Aω 
2
2
А из второй пары уравнений выражаем sinωt2 и cosωt2, возводим в квадрат
и складываем:
2
1 v 
sin ωt2 + сos ωt2 = 1 = +  2  .
9  Aω 
2
2
Из последних двух уравнений выражаем
2
2
1
3
 v1 

 =1− = ,
4 4
 Aω 
и
1 8
 v2 
= ,

 =1−
9 9
 Aω 
затем эти уравнения почленно делим и извлекаем квадратный корень:
2
 v1 
3 9
  = ⋅ ;
4 8
 v2 
и
 v1 
3 9 3 6
  =
⋅ =
.
4 8
8
 v2 
5. В колебательном контуре к конденсатору параллельно присоединили
другой конденсатор вдвое большей емкости, после чего частота колебаний в
контуре уменьшилась на ∆ν = 300 Гц. Определите первоначальную частоту колебаний в контуре.
Дано: ∆ν = 300 Гц; С = 2С1.
ν1 −?
Решение. Напишем выражения для частот ν колебаний в контуре в двух
случаях:
226
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ν1 =
1
,
2π LC1
ν2 =
1
,
2π LC 2
где емкость С2 контура во втором случае равна
С2 = С + С1 = 2С1 + С1 = 3С1,
так как во втором случае к конденсатору ёмкости С1 присоединяют параллельно конденсатор вдвое большей емкости, т.е. ёмкости 2С1.
Согласно условию задачи
∆ν = ν1 − ν2 =
1
1
1
1
−
=
−
=
2π LC1
2π LC 2
2π LC1
2π L3C1
=
1
1 
1 


1 −
 = ν1  1 −
,
2π LC1 
3
3

откуда находим
1 

ν1 = ∆ν 1 −

3

−1
1 

= 300 1 −

3

−1
= 710 Гц.
6. Лампочку для карманного фонаря, рассчитанную на напряжение
U0 = 3,5 В и силу тока I0 = 0,28 А, соединили последовательно с конденсатором
и включили в сеть с эффективным напряжением UЭ = 220 В и частотой ν =
50 Гц. Какой должна быть ёмкость С конденсатора, чтобы лампочка горела
нормальным накалом?
Дано: U0 = 3,5 В; I0 = 0,28 А; UЭ = 220 В; ν = 50 Гц.
С −?
227
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Электрическое сопротивление R лампочки находим из закона
Ома для участка цепи:
U0
.
I0
R=
Амплитудное значение напряжения UA в сети равно
UA = U 2 .
Нормальный накал лампочки будет в случае, когда сила тока через нее
будет равна I0. Тогда согласно закону Ома для цепи переменного тока
I0 =
UA
 1 
R2 + 

 2πνC 
U 2
=
2
2
,
 U0 
1

 +
(2πνC)2
 I0 
откуда находим
С=
1
2 − 2
U0 
1  2U
−
2πν  I 0 2
I 0 2 
2
1  2 ⋅ 220
3,5 
−
2π ⋅ 50  0,282
0,28 2 
2
=
2
−
1
2
=2,86⋅10−6 Ф=2,86 мкФ.
7. Катушка длиной ℓ = 0,5 м и площадью поперечного сечения S = 10−3 м2
включена в цепь переменного тока частотой ν = 50 Гц. Число витков катушки
N = 3 000. Найдите сопротивление R катушки, если сдвиг фаз между напряжением и током ϕ = 600. Магнитная постоянная µ0 = 4π⋅10−7 Гн/м.
Дано: ℓ = 0,5 м; S = 10−3 м2; ν = 50 Гц; N = 3 000; ϕ = 600; µ0 = 4π⋅10−7 Гн/м.
R −?
228
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение: Сдвиг фаз ϕ между напряжением и током в данной задаче определяется выражением:
tgϕ =
ωL 2πν L
=
,
R
R
где
N2
S − индуктивность катушки индуктивности.
L = µ0
l
Подстановка соотношения для L в выражение для tgϕ дает:
2πνL 2πνµ 0 N 2S
tgϕ =
=
,
R
Rl
откуда находим
2πνµ 0 N 2S 2π ⋅ 50 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 3000 2 ⋅ 10 −3
=
R=
= 4,1 Ом.
ltgϕ
0,5 ⋅ tg 60 0
8. Шарик, прикрепленный к пружине, совершает гармонические колебания на гладкой горизонтальной плоскости с амплитудой 10 см. На сколько сместится шарик от положения равновесия за время, в течение которого его кинетическая энергия уменьшится вдвое?
Дано: A = 10 cм; Wк = 0,5⋅Wк макс.
x=?
Решение: Запишем уравнение колебаний шарика x(t) и, взяв первую производную по времени от этого уравнения, найдем зависимость скорости от времени v(t):
x = Asinωt;
v = Aωcosωt,
где
ω2 =
k
или k = mω2;
m
Кинетическая энергия шарика в момент времени t равна:
229
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
mv 2
mA 2 ω2
Wк =
=
cos2ωt;
2
2
mA 2 ω2
Wк макс =
.
2
Так как по условию в этот момент времени Wк = 0,5⋅Wк макс, то из выражений для кинетических энергий следует, что в момент времени t:
cos2ωt = 0,5
и
sinωt = 1 − cos 2 ωt = 1 − 0,5 2 = 0,707.
Теперь найдем смещение шарика от положения равновесия в момент
времени t:
x = Asinωt = 10 cм ⋅ 0,707 = 7,07 см = 7 см.
9. Груз массой 2 кг, закреплённый на пружине жёсткостью 200 Н/м, совершает гармонические колебания. Максимальное ускорение груза при этом
равно 10 м/с2. Какова максимальная скорость груза?
Дано: m = 2 кг; k = 200 Н/м; а0 = 10 м/с2.
v0 = ?
Решение: Подставим выражение для циклической частоты ω колебаний
пружинного маятника: ω =
k
в уравнение, связывающее амплитуду ускореm
ния а0 и амплитуду скорости v0 при колебательном движении:
а0 = ωv0 =
k
⋅v0.
m
Затем из полученного уравнения выразим искомую величину – амплитуду
скорости v0 при колебательном движении пружинного маятника и, подставляя
известные параметры, рассчитаем ее значение:
230
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
v0 = а0⋅
m
2
= 10⋅
= 1 м/с.
k
200
Задание 4-3-11. Оптика волновая и геометрическая
Интерференция света. Дифракция света, дифракционная решетка.
Геометрическая оптика как предельный случай волновой оптики. Основной закон геометрической оптики. Законы отражения и преломления света.
Плоское зеркало. Линзы. Оптические системы.
01. Луч света падает на плоскопараллельную стеклянную пластину толщиной d = 6 см. Угол падения α = 600. Найти величину х бокового смещения луча,
прошедшего через эту пластину. Показатель преломления стекла n = 1,5.
02. Расстояние между предметом и его действительным изображением,
линейные размеры которого увеличены в 1,5 раза, равно 50 см. Определить
фокусное расстояние линзы.
03. Из центра плота в воду на глубину Н = 10 м опущена электрическая
лампочка. Чему должен быть равен минимальный радиус плота, чтобы ни один
луч от лампочки не мог выйти на поверхность?
04. Стеклянная пластинка толщиной 3,2 мм имеет на передней и задней
сторонах риски. Чему равен показатель преломления стекла, если при наведении микроскопа с верхней риски на нижнюю риску его тубус пришлось опустить на 2 мм? Углы, которые получаются между падающим лучом и осью микроскопа, можно считать малыми.
05. На стеклянную пластину нанесён тонкий слой прозрачного вещества с
показателем преломления n = 1,3. Пластинка освещена параллельным пучком
монохроматического света с длиной волны λ = 640 нм, падающим на пластинку
нормально. Какую минимально толщину dmin должен иметь слой, чтобы отражённый пучок имел наименьшую яркость?
06. Предмет находится на расстоянии а = 10 см от переднего фокуса собирающей линзы, а экран, на котором получается чёткое изображение предмета,
231
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
расположен на расстоянии в = 40 см от заднего фокуса линзы. Найдите фокусное расстояние линзы.
07. Определите графически, в каких точках про-
В *
странства наблюдатель может видеть в плоском зеркале конечных размеров (З) одновременно изображения точек А и В, расположенных относительно зеркала
так, как показано на рисунке 82.
З
А
*
Рисунок 82
08. На мыльную плёнку с показателем преломления n = 1,33 падает по
нормали монохроматический свет с длиной волны λ = 0,6 мкм. Отражённый
свет в результате интерференции имеет наибольшую яркость. Какова наименьшая возможная толщина dmin пленки?
09. При нормальном падении на дифракционную решётку плоской волны
длиной 600 нм максимум второго порядка наблюдается под углом 300.
Определить угол дифракции для максимума третьего порядка, если длина
волны света 400 нм.
10. Постоянная дифракционной решетки в 3 раза больше длины световой
волны монохроматического света, нормально падающего на ее поверхность.
Определить угол между двумя вторыми симметричными дифракционными
максимумами.
11. Две собирающие линзы с фокусными расстояниями 8 см и 4 см расположены на расстоянии 10 см одна от другой так, что их главные оптические оси
совпадают. На первую линзу падают лучи, параллельные главной оптической
оси. Где получится изображение?
12. На дифракционную решётку, содержащую n = 600 штрихов на миллиметр, падает нормально белый свет. Спектр проецируется помещённой вблизи
решётки линзой на экран. Определить длину ℓ спектра первого порядка на экране, если расстояние от линзы до экрана L = l,2 м. Границы видимого спектра:
λкр = 780 нм, λф = 400 нм.
13. На дифракционную решётку падает нормально монохроматический
свет (λ = 410 нм). Угол между направлениями на максимумы первого и второго
232
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
порядков равен Δϕ = 2021′. Определить число n штрихов на 1 мм дифракционной решетки.
14. На тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием 50 см падает
сходящийся пучок лучей так, что продолжения лучей пересекаются в заднем
фокусе линзы. На каком расстоянии от линзы сходятся преломлённые лучи?
15. Предмет фотографируют 2 раза с расстояний 90 см и 165 см. Высота
изображений на снимках получилась равной 4 см и 2 см, соответственно. Найти
фокусное расстояние объектива фотоаппарата.
16. При переходе из первой среды во вторую угол преломления равен 450,
а из первой в третью – 300 (при том же угле падения). Найти предельный угол
полного внутреннего отражения луча, идущего из третьей среды во вторую.
17. Луч света падает на систему двух взаимно перпендикулярных зеркал.
Угол падения луча на первое зеркало равен 200. Отразившись от первого
зеркала, луч света падает на второе. Найти угол отражения луча от второго
зеркала.
18. У призмы с преломляющим углом 300 одна из рабочих граней
посеребрена. Луч света, падающий на другую грань под углом 600 к нормали,
после преломления и отражения от посеребренной грани вернулся назад по
прежнему направлению. Чему равен показатель преломления материала
призмы?
19. Точка движется по окружности с центром на оси собирающей линзы в
плоскости, перпендикулярной к оси и отстоящей от линзы на расстоянии,
большем фокусного расстояния линзы в 1,1 раза. Определить линейную
скорость точки, если линейная скорость движения ее изображения 5 м/с.
20. На плоскопараллельную стеклянную пластинку падает луч света под
углом 600. Показатель преломления стекла 1,73. Часть света отражается, а
часть, преломляясь, проходит в стекло, отражается от нижней поверхности пластинки и, преломляясь вторично, выходит обратно в воздух параллельно первому отражённому лучу. Расстояние между этими лучами 5,8 мм. Определите
толщину пластинки.
233
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А01. Проекционный аппарат даёт на экране увеличенное в Г = 20 раз изображение диапозитива. Найдите расстояние между объективом проекционного
фонаря и изображением, если фокусное расстояние объектива F = 20 см.
А02. На дне сосуда, наполненного водой до высоты h, находится точечный
источник света. На поверхности воды плавает круглый диск так, что его центр
находится над источником. При каком минимальном радиусе диска лучи от источника не будут выходить из воды?
А03. Линейный размер действительного изображения предмета в 2 раза
меньше предмета. На каком расстоянии от линзы расположен предмет, если
изображение находится на расстоянии 0,3 м от линзы?
А04. Предмет удалён от рассеивающей линзы на расстояние, равное фокусному. Найти коэффициент увеличения линзы.
А05. Предмет и его действительное изображение находятся на расстоянии
40 см от плоскости линзы. Определить фокусное расстояние линзы.
А06. Пучок лучей, параллельных главной оптической оси, после преломления в линзе расходится. Продолжения лучей пересекаются на расстоянии
16 см от линзы. Найти оптическую силу линзы.
А07. Расстояние между штрихами дифракционной решётки d = 4 мкм. На
решётку падает нормально свет с длиной волны λ = 0,58 мкм. Максимум какого
наибольшего порядка дает эта решётка?
А08. Световой луч попадает из воздуха в жидкость с показателем преломления 1,2 и распространяется в жидкости под углом 600 к ее поверхности. Найти синус угла падения.
А09. Объяснить причины появления радужных полос на тонких пленках
нефти на поверхности воды.
А10. В некоторой среде распространяется поток фотонов с длиной волны
λ = 2,8⋅10-7 м и энергией W = 5⋅10-19 Дж. Определите показатель преломления
среды.
А11. На дифракционную решётку в направлении нормали к ее поверхности
падает монохроматический свет. Период решётки d = 2 мкм. Определить наи234
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
больший порядок дифракционного максимума, который дает эта решётка в
случае красного (λ1 = 0,7 мкм) и в случае фиолетового (λ2 = 0,41 мкм) света.
А12. Дифракционная решётка, освещённая нормально падающим монохроматическим светом, отклоняет спектр третьего порядка на угол ϕ1 = 300. На
какой угол ϕ2 отклоняет она спектр четвертого порядка?
А13. На тонкую плёнку в направлении нормали к ее поверхности падает
монохроматический свет с длиной волны λ = 500 нм. Отражённый от нее свет
максимально усилен вследствие интерференции. Определить минимальную
толщину dmin плёнки, если показатель преломления материала плёнки n = 1,4.
А14. На тонкую глицериновую плёнку толщиной d = 1,5 мкм нормально к
ее поверхности падает белый свет. Определить длины волн λ лучей видимого
участка спектра (0,4 мкм ≤ λ ≤ 0,8 мкм), которые будут ослаблены в результате
интерференции.
А15. На поверхность дифракционной решётки нормально к ее поверхности
падает монохроматический свет. Постоянная дифракционной решетки в n = 4,6
раза больше длины световой волны. Найти общее число N дифракционных максимумов, которые теоретически можно наблюдать в данном случае.
А16. Собирающая линза с фокусным расстоянием 40 см дает равное, действительное изображение предмета. На каком расстоянии от плоскости линзы
находится предмет ?
А17. Расстояние между предметом и его равным действительным
изображением составляет 2 м. Определить оптическую силу линзы.
А18. Фокусное расстояние собирающей линзы 10 см, расстояние от
предмета до переднего фокуса 5 см, а линейный размер предмета 2 см.
Определить размер действительного изображения.
А19. Лампа висит на высоте 2,5 м над полом. Определить оптическую силу
очков, если, поместив их на расстояние 50 см над полом, можно получить на
полу действительное изображение лампы.
А20. На дифракционную решётку в направлении нормали к ее поверхности
падает монохроматический свет. Период решётки d = 2 мкм. Определить наи235
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
больший порядок дифракционного максимума, который даёт эта решетка в
случае красного (λ1 = 0,7 мкм) и в случае фиолетового (λ2 = 0,41 мкм) света.
А21. Луч света проходит в вакууме путь, равный 0,12 м за время t. Какое
расстояние за то же время пройдет луч света в стекле с показателем преломления 1,5?
А22. Луч света падает из воздуха на плоскую границу некоторой среды
под углом 600. Найти показатель преломления этой среды, если отражённый и
преломлённый лучи перпендикулярны друг другу.
А23. Световой луч попадает из воздуха в жидкость с показателем преломления 1,2 и распространяется в жидкости под углом 600 к ее поверхности. Найти синус угла падения.
А24. Дифракционная решётка, освещённая нормально падающим монохроматическим светом, отклоняет спектр третьего порядка на угол ϕ1 = 300. На
какой угол ϕ2 отклоняет она спектр четвёртого порядка?
А25. Угол падения луча света на поверхность стекла равен 360. Найти угол
преломления,
если
отражённый
и
преломлённый
лучи
взаимно
перпендикулярны.
А26. Сколько времени требуется световой волне, чтобы пройти расстояние, равное: а) среднему расстоянию от Солнца до Земли (RСЗ = 1,496⋅1011 м),
б) среднему расстоянию от Луны до Земли (RЛЗ = 3,844⋅108 м), в) диаметру
Солнца (RС = 6,96⋅108 м), г) диаметру Земли (RЗ = 6,37⋅106 м)?
А27. На тонкую плёнку в направлении нормали к ее поверхности падает
монохроматический свет с длиной волны λ = 500 нм. Отражённый от неё свет
максимально усилен вследствие интерференции. Определить минимальную
толщину dmin плёнки, если показатель преломления материала плёнки n = 1,4.
А28. Свет, имеющий в воздухе длину волны 665 нм, в воде имеет длину
волны 500 нм. Означает ли это, что цветовое восприятие глазом этого света в
воздухе и в воде будет разным?
А29. На нижнюю грань плоскопараллельной стеклянной пластинки нанесена царапина. Наблюдатель, глядя сверху, видит царапину на расстоянии 4 см
236
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
от верхней грани пластинки. Какова толщина пластинки, если показатель преломления пластинки n = 1,5?
В01. Между плоским экраном и плоским круглым зеркалом площадью S =
10 см2 находится точечный источник света. Плоскости экрана и зеркала параллельны между собой. Источник находится напротив центра зеркала. Определите площадь светлого пятна, образованного на экране отражёнными от зеркала
лучами, если расстояние от экрана до источника в k = 5/3 раз больше расстояния от источника до зеркала.
В
В02. По положению предмета АВ и его действительному изображению А'В' (рисунок 83) восстановите
А
А'
положение линзы и ее главных фокусов.
В'
Рисунок 83
В03. Определите минимальное расстояние между предметом и его дейст-
вительным изображением, которое может быть получено с помощью собирающей линзы с фокусным расстоянием F.
В04. Параллельный пучок лучей света падает на рассеивающую линзу с
фокусным расстоянием F1 = −5 см. На каком расстоянии от нее надо поставить
собирающую линзу с фокусным расстоянием F2 = 12 см, чтобы после прохождения этой системы линз лучи снова шли параллельным пучком?
В05. На высоте h над поверхностью воды расположен точечный источник
света. Где будет находиться изображение этого источника, даваемое плоским
зеркальным дном сосуда, если глубина сосуда с водой d?
В06. Два плоских зеркала образуют двугранный угол. На одно из зеркал
под некоторым углом падает световой луч, лежащий в плоскости, перпендикулярной к ребру двугранного угла. После однократного отражения от каждого из
зеркал этот луч пересекает падающий луч под углом α. Определите величину
двугранного угла.
В07. Вычислите смещение луча, прошедшего сквозь стеклянную пластинку толщиной d с показателем преломления n, если угол падения луча в воздухе
равен углу полного внутреннего отражения для стекла, из которого изготовлена
пластинка.
237
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В08. Для измерения длины волны применена дифракционная решётка,
имеющая 100 штрихов на 1 мм. Первое дифракционное изображение на экране
получено на расстоянии 12 см от центрального максимума. Расстояние от дифракционной решётки до экрана 2 м. Определить длину световой волны. Определить угол между двумя спектрами первого порядка.
В09. На дифракционную решётку, содержащую n = 100 штрихов на 1 мм,
нормально падает монохроматический свет. Зрительная труба спектрометра наведена на максимум второго порядка. Чтобы навести трубу на другой максимум того же порядка, ее нужно повернуть на угол Δϕ = 160. Определить длину
волны λ света, падающего на решётку.
В10. Узкий параллельный пучок падает на линзу под углом 300 к главной
оптической оси. Найти фокусное расстояние линзы, если лучи фокусируются на
расстоянии 20 см от главной оптической оси.
В11. Постоянная дифракционной решётки в n = 4 раза больше длины световой волны монохроматического света, нормально падающего на ее поверхность. Определить угол α между двумя первыми симметричными дифракционными максимумами.
В12. Объектив фотоаппарата имеет фокусное расстояние 5 см, а размер
кадра 24×35 мм. С какого расстояния надо фотографировать чертёж размером
480×600 мм, чтобы получить максимальный размер изображения?
В13. На дне сосуда, заполненного водой, лежит плоское зеркало. Человек,
наклонившийся над сосудом, видит изображение своего лица в зеркале на расстоянии 25 см, если расстояние от лица до поверхности воды равно 5 см. Найти
глубину сосуда. Показатель преломления воды 4/3.
В14. Тонкий непрозрачный диск размером 0,1 м находится между
светящейся точкой и экраном. Расстояние от диска до светящейся точки равно
1 м, а от светящейся точки до экрана 3 м. Тень от диска имеет форму круга.
Определить радиус тени.
В15. Посередине между точечным источником света и экраном поместили
непрозрачный лист бумаги, плоскость которого параллельна экрану. Затем
238
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
увеличили расстояние между источником и экраном в 2 раза, передвигая
источник. Найти отношение первоначальной площади тени к конечной.
В16. Луч света переходит из среды с показателем преломления 1,3 в среду
с показателем 1,95. Угол между отражённым и преломлённым лучами равен
900. Определить тангенс угла падения луча на границу раздела.
В17. Луч, распространяясь в воздухе, падает под углом 600 на
плоскопараллельную пластинку толщиной 3,46 см и показателем преломления
3 . Отражаясь от нижней плоскости, луч снова попадает в воздух. Определить
расстояние между точками входа и выхода луча.
В18. Предмет длиной 10 см расположен вдоль главной оптической оси
собирающей линзы с фокусным расстоянием 50 см. Во сколько раз величина
изображения больше величины предмета, если ближайшая к линзе точка
предмета расположена на расстоянии 60 см от плоскости линзы?
В19. Предмет расположен на расстоянии 50 см от линзы, оптическая сила
которой 2,5 дптр. Во сколько раз увеличится размер изображения, если предмет
приблизить к линзе на 5 см?
С01. Луч света из воздуха попадает на однородный прозрачный шар,
проникает в него и достигает поверхности раздела шар-воздух. Какой угол
составляет вышедший луч с падающим лучом на шар, если угол падения луча
260, а угол преломления 170?
С02. Определить длину волны монохроматического света, падающего
нормально на дифракционную решётку с периодом 2,2 мкм, если угол между
направлениями на первый и второй максимумы равен 150.
С03. На стеклянный клин с преломляющим углом α = 20 перпендикулярно
к грани клина падает луч белого света. На какой угол β разойдутся после выхода из клина красный и фиолетовый лучи вследствие дисперсии? Показатель
преломления стекла для красных лучей равен nкр = 1,74, а для фиолетовых лучей nф = 1,80. Считайте для малых углов sinγ = γ.
С04. На плоскопараллельную стеклянную пластинку под углом α падает
пучок света ширины а, содержащий 2 спектральные компоненты (с длинами
239
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
волн λ1 и λ2). Показатели преломления стекла для этих длин волн различны: n1
(для λ1) и n2 (для λ2). Определите минимальную толщину d пластинки, при которой свет, пройдя через пластинку, будет распространяться в виде двух отдельных пучков, каждый из которых содержит только одну спектральную компоненту.
С05. Две собирающие линзы с фокусными расстояниями F1 и F2 установлены на расстоянии ℓ друг от друга. На каком удалении от первой линзы нужно
поставить предмет высотой Н0, чтобы получить прямое изображение высотой
Н?
С06. Пучок сходящихся лучей собирается в точке А. Если на их пути
поместить собирающую линзу на расстоянии 40 см от точки А, то лучи
пересекутся в точке В на расстоянии 30 см от линзы. Определить фокусное
расстояние линзы.
С07. Система состоит из двух линз с фокусными расстояниями F1 = 20 см и
F2 = −20 см. Пучок лучей, параллельных главной оптической оси, падает на
первую линзу, и, пройдя через систему, собирается в точке А. На сколько сместится эта точка, если поменять линзы местами?
Примеры решения задач
1. Дифракционная решётка с периодом 10–5 м расположена параллельно
экрану на расстоянии 1,8 м от него. Какого порядка максимум в спектре будет
наблюдаться на экране на расстоянии 21 см от центра дифракционной картины
при освещении решётки нормально падающим параллельным пучком света с
длиной волны 580 нм? Считать sinϕ ≈ tgϕ.
Дано: d = 10−5 м; L = 1,8 м; х = 0,21 м; λ = 580 нм.
m=?
Решение. Определяем углы отклонения световых лучей для m-го порядка
по формуле:
240
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ϕ ≈ sin ϕ ≈ tgϕ =
x
,
L
т.к. углы дифракции ϕ − малы.
Из условия главных дифракционных максимумов
d⋅sinϕ = m⋅λ
рассчитаем порядок дифракционного максимума m:
m=
d ⋅ sin ϕ d
d x
10 −5
0,21
= sin ϕ = ⋅ =
⋅
= 2.
λ L 580 ⋅ 10 − 9 1,8
λ
λ
2. Выполняя экспериментальное задание, ученик должен был определить
период дифракционной решётки. С этой целью ученик направил световой пучок на дифракционную решётку через красный светофильтр. Красный светофильтр пропускает свет длиной волны 0,76 мкм. Дифракционная решётка находилась от экрана на расстоянии 1 м. На экране между спектрами первого порядка получилось расстояние, равным 15,2 см. Какое значение периода дифракционной решетки было получено учеником (при малых углах sin φ ≈ tg φ)?
Дано: L = 1 м; m = 1; λ = 0,76⋅10−6 м; 2х = 0,152 м.
d=?
L
ϕ
Решение. Расстояние между спектрами первого порядка (m = −1 и m = 1) равно 2х. Тогда расстояние между m=0
х
m=1
центральным максимумом (m = 0) и первым максимумом (m = 1) равно х. Из
рисунка видно, что
tgϕ = x/L.
241
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из условия главных дифракционных максимумов dsinϕ = mλ выражаем
sinϕ = mλ/d.
Так как согласно условию задачи sinϕ ≈ tgϕ, то отсюда следует, что
x/L = mλ/d,
откуда находим
mλL 1 ⋅ 0,76 ⋅ 10 −6 ⋅ 1
=
= 10⋅10−6 м = 10 мкм.
d=
x
0,5 ⋅ 0,152
3. На поверхность пластинки из стекла нанесена плёнка толщиной d =
110 нм, с показателем преломления n2 = 1,55. Для какой длины волны видимого
света плёнка будет «просветляющей»? Ответ выразите в нанометрах (нм).
Дано: d = 110 нм; n2 = 1,55; m = 1.
λ0 =?
Решение. Длина волны света в среде λ отличается от длины волны света
λ0 в вакууме в n2 раза, т.е.
λ0 = n2 λ.
Условие просветления оптики: на толщине пленки d должно укладываться нечетное число λ/4, т.е.
d=
λ
⋅m, где m = 1, 3, 5, 7, ...
4
Итак, имеем:
d=
242
λ0
⋅m,
4n 2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
откуда находим: λ0 =
1
4n2d.
m
Расчеты при различных значениях m:
m = 1, λ0 = 4n2d = 4⋅1,55⋅110 = 682 нм;
m = 3, λ03 =
λ
1
4n2d = 0 = 682/3 = 227 нм;
m
3
m = 5, λ05 = 682/5 = 136 нм.
Так как видимый свет занимает диапазон 400 – 700 нм, то условию задачи удовлетворяет только одно значение λ0 = 682 нм.
4. Изображение предмета находится на расстоянии b от заднего фокуса, а
предмет – на расстоянии а от переднего фокуса собирающей линзы. Определите увеличение Г линзы.
Дано: f = F + b; d = F + a.
Г −?
Решение. Согласно условию задачи расстояние от линзы до изображения
равно
f = F + b,
расстояние от линзы до предмета равно
d = F + a,
где F − фокусное расстояние линзы.
Запишем формулу тонкой линзы:
1 1 1
1
1
= + =
+
,
F f d F+b F+a
243
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
из которой находим фокусное расстояние
F=
ab .
Увеличение Г линзы равно отношению расстояния от линзы до изображения f к
расстоянию от предмета до линзы:
Г=
f F+b
ab + b
b
=
=
=
d F+a
ab + a
a
(
(
)
)
a+ b
b
=
.
a
b+ a
5. Два взаимно перпендикулярных
900−ϕ
луча падают из воздуха на поверхность
ϕ
жидкости. При этом один луч преломляется под углом α =360, а другой преломляется под углом β = 200 (см. рисунок). Определите показатель преломления жидкости.
α
β
Дано: α = 360; β = 200.
n −?
Решение. Если нет специальных указаний, полагают, что абсолютный показатель преломления воздуха, как и у вакуума, равен 1.
Из того, что лучи, падающие на поверхность жидкости, взаимно перпендикулярны, следует, что если угол падения первого луча равен ϕ, то угол падения второго луча будет равен (900 − ϕ). Запишем законы преломления первого и
второго лучей на границе воздух-жидкость:
sin ϕ
= n,
sin α
(
)
sin 90 0 − ϕ
cos ϕ
=
= n.
sin β
sin β
244
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поделив почленно первое уравнение на второе, имеем:
sin α
tgϕ =
sin β
 sin 36 0 
 sin α 
 = 600.
ϕ = arctg 
 = arctg 
0

 sin β 
 sin 20 
и
Из закона преломления первого луча находим:
sin ϕ sin 60 0
n=
=
= 1,5.
sin α
sin 36 0
6. Плосковыпуклая линза с показателем преломления n = 1,6 выпуклой
стороной лежит на стеклянной пластинке. Радиус третьего светлого кольца в
отражённом свете (λ = 0,6 мкм) равен r3 = 0,9 мм. Определите фокусное расстояние F линзы.
Дано: n = 1,6; λ = 0,6⋅10−6 м; r3 = 0,9⋅10−3 м; m = 3.
F −?
Решение. Радиус m - го светлого кольца Ньютона rm в отраженном свете
определяется соотношением:
rm =
1

 m − λ R ,
2

где λ - длина волны монохроматического света, падающего на линзу;
m – номер кольца;
R – радиус кривизны выпуклой стороны линзы (плоская сторона имеет
радиус кривизны Rпл → ∞).
Из этого соотношения выражаем R:
245
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
rm2
.
R=
1

 m − λ
2

Запишем формулу тонкой линзы:
1
1
1 
1
 = (n − 1) ,
= (n − 1) +
R
F
 R R пл 
откуда находим фокусное расстояние линзы:
R
F=
=
n −1
(
)
2
rm2
0,9 ⋅ 10 − 3
=
= 0,9 м.
1
1


−6
(n − 1) m − λ (1,6 − 1) ⋅  3 −  ⋅ 0,6 ⋅ 10
2
2


7. На рисунке представлена схема
получения интерференции света с по-
S
мощью плоского зеркала. Центральный h
интерференционный максимум наблю-
1
2
L
А
h
0
дается в точке 0 экрана. Расстояние от
источника S до зеркала равно h, длина волны источника λ = 600 нм. Луч 1 идет
параллельно зеркалу и попадает в точку А экрана, где наблюдается второй интерференционный минимум. Чему равно расстояние h в этом опыте, если расстояние от источника до экрана L = 20 м?
Дано: L = SA = 20 м; m = 2; λ = 600⋅10−9м.
h −?
Решение. Интерференционный минимум наблюдается, если на разности
хода ∆L лучей 1 и 2 укладывается нечётное число полуволн:
λ
∆L = (2m – 1)⋅ ,
2
246
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где m – порядок интерференционного минимума.
Из приведённого рисунка найдем разность хода лучей 1 и 2:
2
2


 1  2h  2  2h 2
 2h 
L
2


∆L= 2⋅   + h −L= L⋅ 1 +   − 1 ≈ L⋅ 1 + ⋅   − 1 =
.


 2  L

L
 L
2




В этих преобразованиях воспользовались следующим математическим приемом:
(1+х)n ≈ 1 + nx, при х << 1.
В нашем случае 2h << L, и этот приём уместен.
Далее приравняем правые части записанных выражений для разности хода ∆L и найдем искомую величину h:
λ 2h 2
⇒ h=
(2m–1)⋅ =
2 L
(2m − 1)λL
2
=
(2 ⋅ 2 − 1) ⋅ 600 ⋅ 10 − 9 ⋅ 20
2
=0,003 м=3 мм.
8. На дифракционную решётку, имеющую период 2·10–5 м, падает нормально параллельный пучок белого света. Спектр наблюдается на экране на
расстоянии 2 м от решетки. Каково расстояние между красным и фиолетовым
участками спектра первого порядка (первой цветной полоски на экране), если
длины волн красного и фиолетового света соответственно равны 8·10–7 м и
4·10–7 м? Считать sinϕ = tgϕ.
Дано: d = 2⋅10−5 м; L = 1 м; λф = 4⋅10−7 м; λк = 8⋅10−7 м; m = 1.
∆х = хк - хф =?
Решение. Вдоль экрана Э направим ось 0х (см. рисунок). Расстояние от
дифракционной решётки до экрана обозначим через L, расстояние от централь247
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ного максимума 0 до фиолетового и красного участков спектра m-го порядка
обозначим через хф и хк, соответственно. Из
ϕк
условия главных дифракционных максимумов m-го порядка для длины волны λ: d⋅sinϕ
= m⋅λ выразим
sinϕ =
mλ
.
d
ϕф
L
Э
0
хф
хк
х
x
. Так как согласно условию sinϕ = tgϕ, то
L
Из рисунка видно, что tgϕ =
из последнего равенства заключаем, что
mλ
x
= , откуда выражаем
L
d
х=
mλL
.
d
Последнее соотношение запишем для красного и фиолетового участков
спектра
хк =
mλ ф L
mλ к L
; хф =
,
d
d
откуда находим искомую величину
∆х = хк - хф =
=
mλ к L mλ ф L mL
=
(λ к − λ ф ) =
d
d
d
(
)
1⋅2 8 ⋅ 10 −7 − 4 ⋅ 10 −7 = 4⋅10−2 м = 4 см.
2⋅10− 5
248
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. На экране с помощью тонкой линзы получено изображение предмета с
пятикратным увеличением. Экран передвинули на 30 см вдоль главной оптической оси линзы. Затем при неизменном положении линзы передвинули предмет, чтобы изображение снова стало резким. В этом случае получилось изображение с трёхкратным увеличением. На каком расстоянии от линзы находилось изображение предмета в первом случае?
Дано: ∆f = 0,3 м; Г1 = 5; Г2 = 3.
f1 = ?
Решение. Запишем формулу тонкой линзы и выражение для коэффициента увеличения изображения Г:
1 1 1
= + ,
F d f
Г=
f
.
d
Из этих двух соотношений находим:
F=
f
.
1+ Г
Последнее уравнение запишем для двух случаев, приведенных в задаче:
F=
f1
;
1 + Г1
F=
f2
,
1 + Г2
откуда получаем
f1
f2
=
.
1 + Г1 1 + Г 2
Так как в полученном соотношении Г1 > Г2, то отсюда следует, что f2 < f1, т.е.
f2 = f1 − ∆f (это означает, что экран передвинули к линзе). Итак, получили
249
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f1
f − ∆f
,
= 1
1 + Г1
1 + Г1
откуда находим искомую величину
f1 = ∆f
1 + Г1
1+ 5
= 0,3⋅
= 0,9 м.
5−3
Г1 − Г 2
10. Объектив проекционного аппарата имеет оптическую силу 5,4 дптр.
Экран расположен на расстоянии 4 м от объектива. Определите размеры экрана, на котором должно уместиться изображение диапозитива размером 6×9 см.
Дано: a⋅b = 6 × 9 см2 = 0,06 × 0,09 м2; D = 5,4 дптр; f = 4 м.
х×у = ?
Решение. Обозначим размеры экрана х⋅у. Диапозитив имеет ширину а и
высоту b, т.е. два линейных размера. Размеры изображений предметов с линейными размерами а и b определяют размеры экрана.
Вначале положим, что предмет имеет линейный размер а и рассчитаем
размер его изображения х. Напишем формулу тонкой линзы и выражение для
коэффициента увеличения Г такой линзы, полагая, что объектив проекционного
аппарата можно принять за такую линзу:
D=
1 1
+ ,
d f
Г=
f x
= ,
d a
где d – расстояние от диапозитива до объектива. Решая систему из написанных
двух уравнений, находим:
х = а(Df − 1) = 0,06 ⋅ (5,4⋅4 − 1) = 1,236 м = 123,6 см.
250
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Повторяя приведённые рассуждения, найдем второй параметр:
у = b(Df − 1) = 0,09 ⋅ (5,4⋅4 − 1) = 1,854 м = 185,4 см.
Таким образом получили, что для получения изображения диапозитива
экран должен иметь минимальные размеры х × у = 123,6 × 185,4 м2.
11. В дно водоёма глубиной 3 м вертикально вбита свая, скрытая под водой. Высота сваи 2 м. Свая отбрасывает на дне водоёма тень длиной 0,75 м.
Определите угол падения солнечных лучей на поверхность воды. Показатель
преломления воды n = 4/3.
α
Дано: Н = 3 м; h = 2 м; n = 4/3; L = 0,75 м.
α=?
β
Решение. На рисунке обозначим α −
угол падения и β − угол преломления на гра- H
нице воздух-вода, Н – глубина водоёма, h –
h
высота сваи, L – длина тени сваи на дне водоема. Из прямоугольного треугольника, образованного сваей и ее тенью, выражаем:
sinβ =
Из закона преломления
L
L
h 2 + L2
.
sinα
= n находим искомый угол падения угол падения
sinβ
световых лучей на поверхность воды:
251
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
α = arcsin(n⋅sinβ) = arcsin(n⋅
L
4
0,75
) = arcsin( ⋅
) = 27,90.
2
2
2
2
3 2 + 0,75
h +L
12. Определите длину волны λ монохроматического света, если в установке Юнга расстояние между щелями равно d = 0,6 мм, расстояние от щелей
до экрана L = 4,6 м и расстояние от главного до первого максимума ∆х =
3,8 мм. Экран и плоскость, в которой лежат щели, параллельны друг другу.
Дано: ∆х = 3,8⋅10−3 м; d = 0,6⋅10−3 м; L = 4,6 м.
λ −?
Решение. Воспользуемся известным выражением для ширины интерференционной полосы ∆х в схеме Юнга:
∆х =
λ⋅L
,
d
где ∆х – ширина интерференционной полосы (расстояние между соседними интерференционными максимумами или минимумами на экране);
d − расстояние между источниками или щелями, как в нашем случае.
Из приведённого соотношения выразим искомую длину волны λ:
∆х ⋅ d 3,8 ⋅ 10 −3 ⋅ 0,6 ⋅ 10 −3
λ=
=
= 0,5⋅10−6 м = 0,5 мкм.
L
4,6
13. На дифракционную решётку нормально падает монохроматический
свет. Определите угол дифракции ϕ2 для линии λ2=0,55 мкм в m2=4 порядке,
если угол дифракции для линии λ1=0,6 мкм в m1=3 порядке составляет ϕ1=300.
252
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дано: λ2 = 0,55 мкм; m2 = 4; λ1 = 0,6 мкм; ϕ1 = 300.
ϕ2 −?
Решение. Запишем условия главных дифракционных максимумов для
обоих случаев:
d⋅sinϕ1 = m1⋅λ1,
d⋅sinϕ2 = m2⋅λ2.
Поделим оба уравнения почленно друг на друга и выразим искомый угол ϕ2:
sinϕ2 =
m 2λ 2
m λ
4 ⋅ 0,55
⋅sinϕ1 ⇒ ϕ2 = arcsin( 2 2 ⋅sinϕ1) = arcsin(
⋅sin300) = 380.
3 ⋅ 0,6
m1λ1
m1λ1
14. На поверхности воды плавает надувной плот шириной 4 м и
длиной 6 м. Небо затянуто сплошным облачным покровом, полностью рассеивающим солнечный свет. Определите глубину тени под плотом. Глубиной
погружения плота и рассеиванием света водой пренебречь. Показатель преломления воды относительно воздуха принять равным
4
.
3
Дано: 2а = 4 м; 2b = 6 м; n = 4/3.
h=?
Решение: При расчётах будем пренебрегать толщиной плота и его глубиной погружения в воду. На рисунке полуширина плота обозначена через а. Луч
света 1, падающий из воздуха под углом α на край плота, преломляется под углом β в воду (затенённая область). Из закона преломления света для луча 1
sin α
= n,
sin β
253
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где n – относительный показатель преломления воды относительно воздуха.
α
а
2
1
β
h
δ
δ
На поверхность воды падает рассеянный от облаков свет под всевозможными углами α, изменяющимися в пределах 00 ≤ α ≤ 900. Из закона преломления следует, что угол преломления β будет максимальным при предельном угле
падения α = 900 (βmax = δ, на рисунке луч 2 падает под углом α = 900 в воду на
краю плота и преломляется под углом δ). Из симметрии задачи следует, что лучи света, преломлённые под углом δ в воду на краю плота, сойдутся в вершине
заштрихованного равнобедренного треугольника (область тени под плотом как
раз и представляет собой этот треугольник). Из рисунка видно, что длина перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на его основание, равна
искомой глубине h тени под плотом.
Согласно рисунку глубина h тени под плотом определяется соотношением
h=
а
.
tgδ
Комбинируя это уравнение с законом преломления света для предельного случая
sin 90 0
= n,
sin δ
254
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
получаем следующее выражение для глубины тени
а
a 1 − sin 2 δ
a 1 − n −2
=
.
h=
=
tgδ
sin δ
n −1
Область тени плота шириной 2а = 4 м и длиной 2b = 6 м в воде под
плотом представляет собой четырехгранный параллелепипед, причём глубина тени h под плотом определяется его шириной. Поэтому для расчёта глубины тени в расчётную формулу необходимо подставлять полуширину а, а не
половину длины плота b. Итак, расчёт дает следующее значение h:
h=
a 1 − n −2
n −1
 3
2 1−  
4
=
3
4
2
= 1,76 м.
Задание 5-3-11. Атомная и ядерная физика
Световые кванты. Внешний фотоэффект. Давление света.
Постулаты Бора, атом водорода по Бору.
Атомное ядро. Энергия связи ядра. Радиоактивность. Закон радиоактивного распада.
Ядерные реакции.
01. На цинковую пластину направлен монохроматический пучок света.
Фототок прекращается при задерживающей разности потенциалов U = 1,5 В.
Определить длину волны λ света, падающего на пластину.
02. Найти период полураспада T радиоактивного изотопа, если его активность за время t = 10 сут уменьшилась на 24 % по сравнению с первоначальной.
03. Найдите энергию связи ядра изотопа 3Li7 с массой М = 7,01601 а.е.м.
Масса изотопа водорода 1H1: МН = 1,00733 а.е.м., нейтрона: mn = 1,00867 а.е.м.
255
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
04. Определить красную границу фотоэффекта λmax для цезия, если при облучении его поверхности светом с длиной волны λ = 400 нм, максимальная скорость фотоэлектронов равно 6,5⋅105 м/с.
05. Найти энергию кванта света, если известно, что длина волны света в
среде с показателем преломления 1,5 равна 3⋅10-5 см.
06. При захвате нейтрона ядром лития происходит реакция
Li6 + n = Н3 + He4,
в которой выделяется энергия Q = 4,8 МэВ. Найдите распределение энергии
между продуктами реакции. Считайте кинетическую энергию исходных частиц
пренебрежимо малой.
07. Какова должна быть длина волны γ-излучения, падающего на платиновую пластину, чтобы максимальная скорость фотоэлектронов была vmax =
3 Мм/с?
08. Пользуясь таблицей Менделеева и правилами смещения, определить в
какой элемент превращается
233
92U
после шести α- и трёх β-распадов.
09. Написать недостающие обозначения в ядерных реакциях:
27
13Al
27
13Al
(n, α) X;
(α, p) X;
19
9F
(p, x) 8O16 ;
55
25Mn
(x, n) 26Fe55 ;
14
7N
(n, x) 6C14 ;
X (p, α) 11Na22.
10. Чтобы определить возраст t древней ткани, найденной в одной из египетских пирамид, была определена концентрация в ней атомов радиоактивного
углерода С14. Она оказалась соответствующей 9,2 распадам в минуту на один
грамм углерода. Концентрация С14 в живых растениях соответствует 14,0 распадам в минуту на один грамм углерода. Период полураспада С14 равен 5 730
лет. Исходя из этих данных, оценить t.
11. Определить, какая доля радиоактивного изотопа
225
89Ac
распадается в
течение времени t = 6 сут, если его период полураспада Т = 10 сут.
12. Фотон с энергией ε = 10 эВ падает на серебряную пластину и вызывает
фотоэффект. Определить импульс р, полученный пластиной, если принять, что
направления движения фотона и фотоэлектрона лежат на одной прямой, перпендикулярной поверхности пластин.
256
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. Пучок ультрафиолетовых лучей с длиной волны 0,3 мкм и мощностью
10 мкВт падает на фотокатод. Определить силу фототока, если фотоэффект вызывает 3 % падающих фотонов.
14. Цепочка радиоактивных превращений урана (А1 = 235, Z1 = 92) в свинец (А2 = 207, Z2 = 82) содержит несколько α- и β-распадов. Сколько всего распадов в этой цепочке? A и Z – массовые и зарядовые числа ядер соответственно.
15. При делении ядра урана U235 под действием замедленного нейтрона образовались осколки с массовыми числами М1 = 90 и М2 = 143. Определить число нейтронов, вылетевших из ядра в данном акте деления. Определить энергию
и скорость каждого из осколков, если они разлетаются в противоположные стороны и их суммарная кинетическая энергия равна Т = 160 МэВ.
16. Изолированный металлический шар ёмкостью 1 мкФ освещается монохроматическим светом. Энергия фотона 4 эВ. Работа выхода электронов 2 эВ.
Определить величину заряда шара при длительном освещении.
17. Отношение скоростей электронов, вылетающих из вещества при освещении светом с длинами волн λ1 и λ2, равно k = 2/3. Определите λ2, если λ1 =
4⋅10−7 м, а работа выхода А = 2,5 эВ.
18. На поверхность металла падает монохроматический свет с длиной волны λ = 0,1 мкм. Красная граница фотоэффекта λmax = 0,3 мкм. Какая доля энергии фотона расходуется на сообщение электрону кинетической энергии?
19. Мощность двигателя атомного судна составляет Р = 15 МВт, его КПД
равен 30 %. Определить месячный расход ядерного горючего (U235) при работе
этого двигателя. В одном акте деления ядра урана U235 освобождается энергия
200 МэВ.
20. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра 3Li7.
А01. На металлическую пластину направлен монохроматический пучок
света с частотой ν = 7,3∙1014 Гц. Красная граница фотоэффекта для данного материала равна λmax = 560 нм. Определить максимальную скорость vmax фотоэлектронов.
257
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А02. Определить зарядовое число Z и массовое число А частицы, обозначенной буквой Х, в записи ядерной реакции:
14
7N
+ 2He4 → 8O17 + X;
4Be
9
+ 2He4 → 6C12 + X;
A03. Радиоактивный марганец
56
25Mn
6
3Li
+ X → 1H3 + 2He4.
получают двумя путями. Первый
путь состоит в облучении изотопа железа 26Fe56 дейтронами, второй − в облучении изотопа железа 26Fe54 нейтронами. Написать ядерные реакции.
А04. Ядра изотопа
83Bi
208
претерпевают последовательно три α-распада и
два β--распада. Определить конечный продукт деления.
А05. Ядра изотопа
84Po
209
испытывают последовательно два α-распада и
три β--распада. Определить конечный продукт деления.
А06. Во сколько раз уменьшится активность изотопа 15P32 через время t =
20 сут, если его период полураспада Т = 14,3 сут?
А07. На сколько процентов уменьшится активность изотопа иридия
192
77Ir
за время t = 15 сут, если его период полураспада Т = 75 сут?
А08. Определить число ΔN ядер, распадающихся в течение времени: 1) t1 =
1 мин; 2) t2 = 5 сут − в радиоактивном изотопе фосфора 15Р32 массой m = 1 мг,
если его период полураспада Т = 14,3 сут.
А09. Из каждого миллиона атомов радиоактивного изотопа каждую секунду распадается 200 атомов. Определить период полураспада T изотопа.
А10. Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых
с поверхности серебра ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ =
0,155 мкм.
А11. На сколько единиц уменьшается зарядовое число ядра в процессе
α-распада?
А12. Кремний и ртуть занимают 14 и 80 клетки в периодической системе
химических элементов. Во сколько раз заряд всех ядер в 7 молях ртути больше
заряда всех ядер в 10 молях кремния?
А13. На металл падает рентгеновское излучение с длиной волны λ = 1 нм.
Пренебрегая работой выхода, определить максимальную скорость vmax фотоэлектронов.
258
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А14. На поверхность калия падает свет с длиной волны λ = 150 нм. Определить максимальную кинетическую энергию Тmax фотоэлектронов.
А15. На фотоэлемент с катодом из лития падает свет с длиной волны λ =
200 нм. Найти наименьшее значение задерживающей разности потенциалов
Umin, которую нужно приложить к фотоэлементу, чтобы прекратить фототек.
А16. Красная граница фотоэффекта для цинка λmax = 310 нм. Определить
максимальную кинетическую энергию Тmax фотоэлектронов, если на цинк падает свет с длиной волны λ = 200 нм.
А17. На металлическую пластину направлен пучок ультрафиолетового излучения (λ = 0,25 мкм). Фототок прекращается при минимальной задерживающей разности потенциалов Umin = 0,96 В. Определить работу выхода А электронов из металла.
А18. На электрон, движущийся по орбите радиусом 2,4⋅10-11 м, действует
со стороны ядра сила 0,8 мкН. Найти зарядовое число ядра.
А19. Тренированный глаз, длительно находящийся в темноте, воспринимает свет с длиной волны 0,48 мкм при мощности не менее 13,2⋅10-17 Вт.
Сколько фотонов в секунду попадает в этом случае на сетчатку глаза?
А20. При бомбардировке изотопа бора 5В10 нейтронами из образовавшегося ядра выбрасывается α-частица. Написать реакцию.
А21. Дополнить недостающие обозначения в реакциях:
253
99Es
+ 2He4 → ? + 0n1 ;
14
7N
+ 0n1 → ? + 1p1 ;
А22. Какой изотоп образуется из
239
92U
242
94Pu
+ 10Ne22 → ? + 4 0n1 .
после трех β--распадов и двух α-
распадов?
А23. Определить максимальную скорость vmax фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны
λ1 = 0,155 мкм; 2) γ-излучением с длиной волны λ2 = 1 пм.
А24. На пластину падает монохроматический свет (λ = 0,42 мкм). Фототок
прекращается при задерживающей разности потенциалов U = 0,95 В. Определить работу выхода А электронов с поверхности пластины.
259
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А25. Какая часть η атомов радиоактивного вещества распадается за время
t, равное трём периодам полураспада Т?
А26. Определить пределы (в эВ), в которых находится энергия фотонов,
соответствующих видимой части спектра.
А27. На сколько электрон-вольт изменится работа выхода электронов с
поверхности металлической пластинки, если энергия падающего на пластинку
фотона увеличится с 4 эВ до 6 эВ?
А28. Определить максимальную скорость vmax фотоэлектрона, вырванного
с поверхности металла γ-квантом с энергией ε = 1,53 МэВ.
А29. Красная граница фотоэффекта для цинка λmax = 310 нм. Определить
максимальную кинетическую энергию Тmax фотоэлектронов, если на цинк падает свет с длиной волны λ = 200 нм.
А30. На поверхность калия падает свет с длиной волны λ = 150 нм. Определить максимальную кинетическую энергию Тmax фотоэлектронов.
В01. Пользуясь теорией Бора, определите для атома водорода радиус первой орбиты электрона и его скорость на ней.
В02. Определите КПД двигателей атомного ледокола, если их мощность
Р = 32 МВт, а атомный реактор расходует U235 в сутки m = 200 г. При делении
одного ядра урана выделяется энергия Е = 200 МэВ.
В03. В реакторе атомной электростанции за время t = 1,5 часа делится m =
1,5 г урана
238
.
92U
Найти электрическую мощность станции, если ее КПД η =
10 %, а при единичном акте деления ядра урана выделяется ∆W = 200 МэВ
энергии.
В04. Активность А некоторого изотопа за время t = 10 сут уменьшилась на
20 %. Определить период полураспада T этого изотопа.
В05. Вычислить энергию связи Есв ядра дейтерия 1Н2 и трития 1Н3.
В06. Считая, что в одном акте деления ядра урана U235 освобождается
энергия 200 МэВ, определить массу m этого изотопа, подвергшегося делению
при взрыве атомной бомбы с тротиловым эквивалентом 30∙106 кг, если тепловой эквивалент тротила равен q = 4,19 МДж/кг.
260
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В07. На цинковую пластину падает пучок ультрафиолетового излучения
(λ = 0,2 мкм). Определить максимальную кинетическую энергию Tmax и максимально скорость vmax фотоэлектронов.
В08. Найти количество радия
88Ra
226
(период полураспада Т = 1 590 лет),
активность которого равна 2,9⋅1010 с-1.
В09. Счетчик α-частиц, установленный вблизи радиоактивного изотопа,
при первом измерении регистрировал N1 = 1 400 частиц в минуту, а через время
t = 4 ч − только N2 = 400. Определить период полураспада T изотопа.
В10. Капля воды объёмом 0,2 см3 нагревается светом длиной волны
0,7 мкм, поглощая ежесекундно 1018 фотонов. Определить на сколько градусов
нагреется капля за 1 с.
В11. Радиус второй круговой орбиты в ионе гелия равен 9·10-11 м. Найти
скорость электрона на этой орбите.
В12. Поверхность металла освещается светом с длиной волны 350 нм. При
некоторой задерживающей разности потенциалов фототок становится равным
нулю. При изменении длины волны на 50 нм задерживающую разность потенциалов пришлось увеличить на 0,59 В. Определить заряд электрона.
В13. Активность радиоактивного элемента уменьшается в 4 раза за сутки.
Найти период полураспада.
В14. При освещении металлической пластинки монохроматическим светом задерживающая разность потенциалов равна 1,6 В. Если увеличить частоту
света в 2 раза, задерживающая разность потенциалов равна 5,1 В. Определить
работу выхода электрона.
В15. На две металлические пластинки, работа выхода электронов с поверхности которых равна 3 эВ и 4 эВ, соответственно, падают фотоны с энергией 5 эВ. Во сколько раз максимальная скорость электронов, вылетающих из
первой пластинки, больше чем из второй?
В16. Определить зарядовое число изотопа, который получится из тория
после испускания трех α- и двух β-частиц. Массовое число тория 232, зарядовое – 90.
261
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С01. Найти энергию, выделяющуюся в результате следующей реакции:
7
3Li
+ 1H1 → 22He4
при образовании m = 0,25 г гелия. Масса покоя ядра гелия m1 = 4,00387 а.е.м.,
ядра лития m2 = 7,01824 а.е.м., протона m3 = 1,00759 а.е.м. Учесть, что с2 =
931 МэВ/а.е.м.
С02. Найти энергию связи ядра и удельную энергию связи для:
2
6
7
1H , 3Li , 3Li .
С03. Найдите наименьшую энергию α-частицы, при которой она может
приблизиться к ядру 4Be9 на расстояние r = 10-14 м.
С04. Найдите энергию, выделяющуюся при ядерных реакциях:
2
1H
+ 1H2 → 1р1 + 1H3;
6
3Li
+ 1H2 → 22He4;
4Be
9
+ 1H2 → 5B10 + 0n1.
С05. Найти модуль отношения потенциальной энергии электрона в атоме
водорода к его кинетической энергии.
С06. Определить тепловые эффекты следующих реакций:
Li7(р, n)Ве7
и
О16(d, α)N14.
С07. Вычислить энергетический эффект Q реакции:
4Ве
9
+ 2Не4 → 6С12 + 0n1.
С08. Вычислить энергетический эффект Q реакции:
6
3Li
+ 1Н1 → 2Не3 + 2Не4.
С09. При соударении α-частицы с ядром бора 5В10 произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер
было ядро атома водорода 1Н1. Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее
энергетический эффект.
C10. Какая энергия выделяется при термоядерной реакции
2
1Н
+ 1Н3 → 2Не4 + 0n1 ?
С11. Вычислить по теории Бора период Т вращения электрона в атоме водорода, находящегося в возбужденном состоянии, определяемом главным
квантовым числом n = 2.
262
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С12. Определить скорости продуктов реакции В10(n, α)Li7, протекающей
в результате взаимодействия тепловых нейтронов с покоящимися ядрами бора.
С13. Какая минимальная энергия необходима для расщепления ядра азота
14
7N
на протоны и нейтроны?
Примеры решения задач
1. Определите релятивистский импульс р и кинетическую энергию Т
электрона, движущегося со скоростью v=0,9 c, где с – скорость света в вакууме.
Дано: m0=9,1⋅10-31 кг; с=3⋅108 м/с; v=0,9 c.
р−? Т−?
Решение. Релятивистский импульс по определению равен:
р=mv=
m0
1−
2
v,
v
c2
где m0 – масса покоя и m – релятивистская масса электрона.
Подставив значения, произведём вычисление релятивистского импульса:
р=
m0
1−
v2
c2
0,9 ⋅ 9,1 ⋅ 10 −31 ⋅ 3 ⋅ 10 8
v=
=
=
= 5,6⋅10−22 кг⋅м/с.
2
1 − 0,81
0,19
 0,9c 
1− 

 c 
m 0 ⋅ 0,9c
0,9m 0 c
В релятивистской механике кинетическая энергия Т равна разности между полной энергией Е и энергией покоя:
263
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т=Е – Е0= mc2 – m0c2=






m0
1
c2 – m0c2= m0c2 
− 1 =
v2
v2


1− 2
 1− 2

c
c




1
=9,1⋅10−31⋅(3⋅108)2⋅ 
− 1 =1,06⋅10−13 Дж.
 1 − 0,81 
2. Отрицательно заряженная цинковая пластинка освещается монохроматическим светом длиной волны λ = 300 нм. Красная граница фотоэффекта для
цинка составляет λкр = 332 нм. Какой максимальный потенциал приобретет цинковая пластинка? Постоянная Планка h = 6,62⋅10−34 Дж⋅с. Скорость света в вакууме с = 3⋅108 м/с. Элементарный заряд е = 1,6⋅10−19 Кл.
Дано: h=6,62⋅10−34 Дж⋅с; с=3⋅108 м/с; λкр=332⋅10−9 м; λ=3⋅10−7 м; е=1,6⋅10−19 Кл.
U −?
Решение. Так как λ < λкр, то внешний фотоэффект с цинковой пластинки
возможен. Поскольку при фотоэффекте цинковую пластинку покидают отрицательно заряженные фотоэлектроны, то пластинка приобретёт положительный
потенциал. Таким образом, первоначально отрицательно заряженная цинковая
пластинка перезарядится.
Согласно закону Эйнштейна для фотоэффекта максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов εк равна разности энергии фотона (hc/λ) и работы
выхода (hc/λкр):
εк =
hc(λ кр − λ )
m ⋅ v 2max
с
с
= h⋅ − h⋅
=
.
2
λ кр
λλ кр
λ
Потенциал точек, находящихся на бесконечности, полагают равным нулю.
Поэтому разность потенциалов U между точками на пластинке и удалёнными
264
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
точками равна потенциалу пластинки. В стационарном режиме освещения пластинки, когда пластинка приобретёт максимальный положительный потенциал,
на отрицательные фотоэлектроны действует тормозящее электрическое поле.
При этом электроны, вылетая из пластинки с максимальной скоростью vmax, на
бесконечности имеют нулевую скорость. Вследствие этого в стационарном режиме максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов εк равна произведению элементарного заряда на тормозящую разность потенциалов U:
εк = еU,
откуда находим
hc(λ кр − λ )
или
λλ кр
= еU,
hc(λ кр − λ ) 6,62 ⋅ 10 −34 ⋅ 3 ⋅ 108 ⋅ (332 − 300) ⋅ 10 −9
=
=0,4 В.
U=
еλλ кр
1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 300 ⋅ 10 − 9 ⋅ 332 ⋅ 10 − 9
3. Фотокатод, покрытый кальцием (работа выхода А = 4,42⋅10−19 Дж), освещается светом, у которого длина волны λ = 300 нм. Вылетевшие из катода
электроны попадают в однородное магнитное поле индукцией В = 8,3⋅10−4 Тл
перпендикулярно линиям индукции этого поля. Чему равен максимальный радиус окружности R, по которой движутся электроны?
Дано: е=1,6⋅10−19 Кл; m=9,1⋅10−31 кг; h=6,62⋅10−34 Дж⋅с; с=3⋅108 м/с;
В=8,3⋅10−4 Тл; λ=300⋅10−9 м; А=4,42⋅10−19 Дж.
R −?
Решение. Фотоэлектроны, влетевшие со скоростью v в однородное магнитное поле с индукцией В перпендикулярно линиям индукции, движутся по
окружности. Радиус окружности находим из уравнения движения электрона,
приравняв магнитную составляющую силы Лоренца центростремительной силе
(произведению массы электрона на центростремительное ускорение):
265
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
v2
evB = m ,
R
откуда находим радиус окружности
R=
m
⋅v.
eB
Получили, что радиус окружности пропорционален скорости, т.е. фотоэлектроны с максимальной скоростью будут двигаться по окружности максимального
радиуса. Эту скорость найдём из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:
mv 2
hc
,
=А+
2
λ
где v – максимальная скорость фотоэлектронов.
Выразим эту скорость v и подставим в выражение для радиуса окружности:
R=
=
m
m
2  hc
1

⋅v =
⋅
 − A =
eB
eB m  λ
 eB
1
1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 8,3 ⋅ 10 − 4
 hc

2m − A  =
λ

 6,62 ⋅ 10 − 34 ⋅ 3 ⋅ 108
−19 
 =
⋅ 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10 − 31 
−
4
,
42
⋅
10
−9

300
⋅
10


= 4,8⋅10−3 м = 4,8 мм.
4. Пучок ультрафиолетовых лучей с длиной волны λ = 10−7 м передаёт металлической поверхности мощность Р = 10−6 Вт. Определите силу возникающего фототока, если фотоэффект вызывает η = 1 % падающих фотонов. Постоянная Планка h = 6,62⋅10−34 Дж⋅с. Скорость света в вакууме с = 3⋅108 м/с. Элементарный заряд е = 1,6⋅10−19 Кл.
266
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дано: λ = 10−7 м; Р = 10−6 Вт; η = 0,01; h = 6,62⋅10−34 Дж⋅с;
с = 3⋅108 м/с; е = 1,6⋅10−19 Кл.
I=?
Решение. Энергия, передаваемая металлической поверхности за время t,
равна произведению мощности на время, т.е. равна Pt. С другой стороны эта
энергия равна произведению числа фотонов N на энергию одного фотона, т.е.
равна N⋅hc/λ. Приравняем выражения для этих энергий
Pt = N⋅
hc
,
λ
откуда найдем число фотонов, падающих на металлическую поверхность за
время t:
N=
Ptλ
.
hc
Определим число n фотонов, вызывающих фотоэффект, как долю η от общего
их числа N:
n = η⋅N = η⋅
Ptλ
.
hc
Число фотоэлектронов равно n, переносимый ими заряд Q равен произведению числа фотоэлектронов n на элементарный заряд е:
Q = ne = η⋅
Ptλ
⋅е.
hc
Сила тока по определению равна заряду, уносимому с поверхности металлической поверхности в единицу времени:
267
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Q
Pλ
10 −6 ⋅ 10 −7
−10
−19
⋅е = 0,01⋅
I=
= η⋅
⋅
1
,
6
⋅
10
=
8⋅10
А.
t
hc
6,62 ⋅ 10 − 34 ⋅ 3 ⋅ 108
5. Во сколько раз отличаются напряжённости Е электрического поля на
второй и третьей боровских орбитах атома водорода?
Дано: n2 = 2; n3 = 3.
E2/E3 −?
Решение. Если обозначить радиус первой (n = 1) боровской орбиты через
R1, то радиус n-й орбиты выражается так:
Rn = R1⋅n2.
Поэтому радиусы второй и третьей орбит можем записать следующим образом:
R2 = R1⋅n22
R3 = R1⋅n32.
и
Поделив почленно второе выражение на первое, имеем:
2
n 
n 32
R3
= 2 =  3  .
R2
n2
 n2 
Заряд ядра атома водорода равен элементарному заряду е. Напряжённость
электрического поля на боровских орбитах находим как напряжённость поля
точечного заряда:
2
2
4
4
 R1 ⋅ n 32 
 R3 


n
Е2
e
e
 3
3


 =
= k 2 : k 2 = 
=   =   = 5.
2

R
Е3
R2
R3
 2
R
⋅
n
 2
 n2 
 1 2 
268
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Рентгеновское (тормозное) излучение возникает при бомбардировке
быстрыми электронами металлического антикатода рентгеновской трубки. Определите длину волны коротковолновой границы спектра тормозного излучения, если скорость электронов составляет η = 40 % от скорости света в вакууме.
Скорость света в вакууме с = 3⋅108 м/с. Масса покоя электрона m0 = 9,1⋅10−31 кг.
Постоянная Планка h = 6,62⋅10−34 Дж⋅с.
Дано: η = 0,4; с = 3⋅108 м/с; m0 = 9,1⋅10−31 кг; h = 6,62⋅10−34 Дж⋅с.
λ −?
Решение. При внешнем фотоэффекте энергия фотона преобразуется в
энергию фотоэлектрона, причём часть энергии фотона идёт на совершение работы выхода из металла. В рентгеновской трубке ускоренные сильным электрическим полем электроны попадают на металлический анод, и энергия электрона преобразуется в энергию фотона (в этом случае если бы нужно было вести речь о работе выхода, то из-за малости работы выхода по сравнению с энергией быстрых электронов ею можно было пренебречь). При этом энергию (кинетическую энергию) электрона приравнивают максимальной энергии фотона.
Такой фотон имеет максимально возможную частоту и минимально возможную
(короткую) длину волны. Для нахождения длины волны рентгеновского излучения кинетическую энергию электрона приравняем энергии фотона.
Скорость электронов v сравнима со скоростью света с в вакууме (v = ηc),
поэтому воспользуемся релятивистским выражением для кинетической энергии
εк электрона:
εк= mc − m0c =
2
2
m 0c 2
 v
1−  
c
− m0c =
2
2
m0c2
 ηc 
1−  
 c 
 1


− m0c = m0c ⋅
− 1 .
 1 − η2



2
2
2
Теперь приравняем энергию фотона кинетической энергии электрона εк:
269
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 1

с
2 
− 1 ,
h = εк = m0c ⋅
2


λ
 1− η

откуда находим искомую длину волны рентгеновского излучения
λ=
6,62 ⋅ 10 −34
= 2,7⋅10−11 м.
=



1
1
− 1
− 1 9,1 ⋅ 10 − 31 ⋅ 3 ⋅ 108 
 1 − 0,4 2


1 − η2



h

m 0 c


7. Активность некоторого препарата уменьшается в 2,5 раза за t = 7 суток.
Найдите период полураспада Т.
Дано: t = 7 суток; А/А0 = 1/2,5.
Т −?
Решение. Так как активность А (число распадов в единицу времени) пропорциональна числу ядер N, то закон изменения активности подобен основному закону радиоактивного распада:
А = А0⋅ 2
−
t
T
t
−
А
1
⇒
=
= 0,4 = 2 T ,
2,5
А0
Прологарифмируем это выражение и найдем период полураспада Т:
lg0,4 = −
t
lg 2
lg 2
lg2 ⇒ T = − t⋅
= − 7⋅
= 5,3 суток.
T
lg 0,4
lg 0,4
8. Фотоны, имеющие энергию 5 эВ, выбивают электроны с поверхности
металла. Работа выхода электронов из металла равна 4,7 эВ. Какой максимальный импульс приобретает электрон при вылете с поверхности металла?
270
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дано: E = 5 эВ = 5⋅1,6⋅10−19 Дж; A = 4,7⋅1,6⋅10−19 Дж; m = 9,1⋅10−31 кг.
р=?
Решение: Максимальная кинетическая энергия Ек фотоэлектрона равна
mv 2 m 2 v 2 p 2
=
=
,
Ек =
2
2m
2m
где m – масса электрона;
v – его скорость.
Далее запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта с учётом полученного выражения для Ек, откуда найдем искомую величину импульса:
p2
Е = А + Ек = А +
2m
⇒ р=
2m(E − A ) =
⇒
2 ⋅ 9,1 ⋅ 10 − 31 (5 − 4,7 )1,6 ⋅ 10 −19 = 3⋅10−25 кг⋅м/с.
9. Определите энергию, выделившуюся при протекании следующей реакции: 73 Li + 11 H → 42 He + 42 He .
(Масса 73 Li - 7,016004 а.е.м.; 11 H - 1,007825 а.е.м;
4
2 He -
4,002603 а.е.м.).
Дано: mLi=7,016004 а.е.м.; mH=1,007825 а.е.м;
mHe=4,002603 а.е.м; 1 а.е.м.=931,5 МэВ.
Е=?
Решение: Так как 1 эВ = 1,6⋅10−19 Дж, то 1 а.е.м. соответствует энергия,
равная
1 а.е.м. = 931,5⋅1,6⋅10−13 Дж = 149,04⋅10−12 Дж = 149,04 пДж.
271
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Найдём дефект массы реакции
∆m = mLi + mH - 2⋅mHe = 7,016004 + 1,007825 - 2⋅4,002603 = 0,018623 а.е.м.
Так как ∆m > 0, отсюда следует, что при данной реакции выделяется
энергия, равная
Е = ∆m⋅с2 = 0,018623 а.е.м. ⋅ 149,04 пДж/(а.е.м.) = 2,78 пДж.
10. При облучении металла светом с длиной волны 245 нм наблюдается
фотоэффект. Работа выхода металла равна 2,4 эВ. Рассчитайте величину задерживающего напряжения, которое нужно приложить к металлу, чтобы уменьшить максимальную скорость вылетающих фотоэлектронов в 2 раза.
Дано: h =6,6⋅10−34 Дж⋅с; v2 =v1/2; c=3⋅108 м/с;
А=2,4 эВ=2,4⋅1,6⋅10−19 Дж; e=1⋅10−6 Кл.
UЗ = ?
Решение: Запишем уравнения Эйнштейна для фотоэффекта для обоих
случаев:
mv12
c
;
h =A+
λ
2
mv 2 2
c
h =A+
+ eU З .
2
λ
Во втором уравнении воспользуемся тем, что по условию v2 = v1/2, а заmv12
его выражением из первого уравтем в полученном уравнении заменим
2
нения.
mv12
mv12
c
c
h =A+
⇒
= h −A.
2
λ
2
λ
272
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
mv12 1
mv 2 2
1 c
c

h =A+
+ eU З = А +
+ eU З = А +  h − A  + eU З .
4 λ
2 4
λ
2

Из последнего уравнения находим:
8

3 c
3

− 34 3 ⋅ 10
−19 

 = 2 В.
6
,
6
⋅
10
−
2
,
4
⋅
1
,
6
⋅
10
UЗ =
h − A =
−19 
−9

4е  λ
245 ⋅ 10
 4 ⋅ 1,6 ⋅ 10 

11. Какова максимальная скорость электронов, выбиваемых из металлической пластины светом с длиной волны λ = 3⋅10–7 м, если красная граница фотоэффекта λкр = 540 нм?
Дано: λ = 3⋅10–7 м; λкр= 540⋅10−9 м; h = 6,6⋅10−34 Дж⋅с;
m = 9,1⋅10−31 кг; с = 3⋅108 м/с.
v=?
Решение: Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:
mv 2
mv 2
с
с
=h
+
,
h =А+
λ
λ кр
2
2
где А – работа выхода;
с – скорость света в вакууме;
h – постоянная Планка;
m – масса электрона;
v – максимальная скорость фотоэлектронов.
Из написанного уравнения выразим искомую скорость:
v=
2hc  1
1 
 −
 =
m  λ λкр 
2 ⋅ 6,6 ⋅ 10 − 34 ⋅ 3 ⋅ 108  1
1

−

 =
9,1 ⋅ 10 − 31
 3 ⋅ 10 − 7 540 ⋅ 10 − 9 
= 807⋅103 м/с = 807 км/с.
273
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. Фотокатод, покрытый кальцием (работа выхода 4,42⋅10–19 Дж), освещается светом с длиной волны 300 нм. Вылетевшие из катода электроны попадают в однородное магнитное поле с индукцией 8,3⋅10–4 Тл перпендикулярно
линиям индукции этого поля. Каков максимальный радиус окружности, по которой движутся электроны?
Дано: λ = 300⋅10−9 м; B = 8,3⋅10−4 Тл; A = 4,42⋅10−19 Дж; m = 9,1⋅10−31 кг;
е = 1,6⋅10−19 Кл; α = 900; с = 3⋅108 м/с; h = 6,6⋅10−34 Дж⋅с.
Rmax = ?
Решение: Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:
mv max 2
с
h =А+
,
2
λ
где vmax – максимальная скорость фотоэлектронов, вылетающих из фотокатода.
Из этого уравнения выразим vmax:
vmax =
2 c

h − A .
m λ

(*)
Вылетевшие из фотокатода электроны попадают в магнитное поле. Уравнение движения фотоэлектрона в магнитном поле имеет вид:
Fм = m⋅a,
где Fм = е⋅ vmax ⋅В⋅sinα - магнитная составляющая силы Лоренца;
α − угол между векторами скорости и магнитной индукции;
274
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
v max 2
а=
− центростремительное ускорение фотоэлектрона.
R
Подстановка в уравнение движения выражений для силы Fм и ускорения а
приводит к следующему выражению
v max 2
,
е⋅ vmax ⋅В⋅sinα = m⋅
R
откуда находим радиус окружности, по которой движется электрон:
R=
m ⋅ v max
.
e ⋅ B ⋅ sinα
Так как радиус R пропорционален скорости v, то, если скорость максимальна
(vmax), то и радиус окружности максимален, т.е.
Rmax =
m ⋅ v max
.
e ⋅ B ⋅ sinα
Подстановка в выражение для Rmax равенства (*) для vmax приводит к
окончательному соотношению для Rmax:
Rmax =
1
 c

2 ⋅ m h − A  =
e ⋅ B ⋅ sin α
 λ

8
1
− 31 
− 34 3 ⋅ 10
−19 

 =
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
2
9
,
1
10
6
,
6
10
4
,
42
10
−19
−4
0
−9


1,6 ⋅ 10 ⋅ 8,3 ⋅ 10 ⋅ sin 90
300 ⋅ 10


= 4,7⋅10−3 м = 4,7 мм.
275
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. Предположим, что схема энергетических уровней атомов некоего
вещества имеет вид, показанный на рисунке, и атомы находятся в состоянии
с энергией Е(1). Электрон, столкнувшись с одним из таких атомов, отскочил,
приобретя некоторую дополнительную энергию. Импульс элекпокоящимся атомом оказался Е, эВ
трона после столкновения с
равным 1,2⋅10−24 кг⋅м/с. Определите кинетическую энергию
0
электрона до столкновения. Возможностью испускания света
−2
Е(2)
атомом при столкновении с электроном пренебречь.
−5
Е(1)
−8,5
Е(0)
Дано: ∆Е = Е(1) − Е(0) = 3,5 эВ = 3,5⋅1,6⋅10−19 Дж;
р = 1,2⋅10−24 кг⋅м/с; m = 9,1⋅10−31 кг.
Е0 = ?;
Решение: Так как масса атома существенно больше массы покоя электрона, то можно пренебречь кинетической энергией поступательного движения
атома после его столкновения с электроном. Поэтому можно считать, что после
столкновения с атомом кинетическая энергия электрона изменилась на величину, равную разности энергий атома в состояниях до и после столкновения, т.е.
на величину ∆Е = Е(1) − Е(0) = 3,5 эВ. Поскольку энергия электрона изменилась
на величину, значительно меньшую энергии покоя электрона, равной 0,51 МэВ,
то предполагая, что до столкновения энергия электрона Е0 также была значительно меньше энергии покоя, оценим кинетическую энергию электрона Е после столкновения по классической формуле:
(
)
2
p2
1,2 ⋅ 10 −24
= 7,9⋅10−19 Дж = 4,9 эВ.
=
Е=
−
31
2m
2 ⋅ 9,1 ⋅ 10
Так как рассчитанное значение энергии электрона оказалось значительно
меньше энергии покоя электрона, то расчёт энергии кинетической электрона по
классической формуле справедлив.
276
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из закона сохранения энергии устанавливаем, что электрон в результате
столкновения увеличивает свою энергию Е0 на ∆Е, и его энергия становится
равной Е = Е0 + ∆Е. Отсюда определяем, что энергия электрона Е0 до столкновения равна разности энергий после столкновения Е и изменению энергии атома ∆Е в результате столкновения:
Е0 = Е – ∆Е = 4,9 эВ – 3,5 эВ = 1,4 эВ = 1,4⋅1,6⋅10−19 Дж = 2,24 ⋅10−19 Дж.
Задание 6-3-11. Итоговое
01. Камень бросили вертикально вверх на высоту 10 м. С какой скоростью
был брошен камень? Сколько времени он находился в движении? На какую высоту поднимется камень, если его начальную скорость увеличить вдвое?
02. Масса лифта с пассажирами равна 800 кг. Определите ускорение, с которым движется лифт, если натяжение троса, поддерживающего лифт, равно
6 кН.
03. Какую работу надо совершить, чтобы поднять груз массой 30 кг на высоту 10 м с ускорением 0,5 м/с2?
04. Определите наименьшую площадь льдины толщиной 40 см, способной
удержать на воде человека массой 75 кг. Плотность льда 0,9 г/см3.
05. Определите частоту звуковых колебаний в стали, если для двух точек,
отстоящих друг от друга на расстоянии 1,54 м, разность фаз колебаний Δϕ =
π/2. Скорость звуковых волн в стали равна 5 км/с.
06. Баллон ёмкостью 50 л содержит 2,2 кг углекислого газа. Баллон выдерживает давление не выше 4 МПа. При какой температуре баллон может разорваться?
07. Люстра массой 100 кг подвешена к потолку на металлической цепи,
длина которой 5 м. Определите максимальную высоту h, на которую можно отклонить люстру, чтобы при последующих качаниях цепь не оборвалась? Известно, что разрыв цепи наступает при силе натяжения Т больше 1 960 Н.
277
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
08. Груз массой 200 г, подвешенный к пружине, совершает 30 колебаний в
минуту с амплитудой 10 см. Определите жёсткость пружины и полную энергию
колебаний.
09. Сплошной кусок некоторого металла весит в воде 17,95 Н, а в бензине
18,24 Н. Определите плотность и объём куска металла.
10. За какое время тело соскользнёт с наклонной плоскости высотой h, наклонённой под углом α к горизонту, если по наклонной плоскости с углом наклона β оно движется равномерно? Учитывайте, что коэффициент трения тела
о плоскость в обоих случаях одинаков и что α > β.
11. Два одинаковых заряда по 5 нКл находятся на расстоянии 1 м друг от
друга в вакууме. Найдите потенциал поля в точке, напряжённость поля в которой равна нулю.
12. Напряжение на участке цепи U1 = 5 В, сила тока I1 = 3 А. После изменения сопротивления этого участка напряжение стало U2 = 8 В, а сила тока I2 =
2 А. Каковы ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока?
13. Два проводника сопротивлением 10 Ом и 23 Ом включены в сеть с напряжением 100 В. Какое количество теплоты выделится за секунду в каждом
проводнике, если их соединить: 1)последовательно; 2)параллельно?
14. К сети напряжением 120 В присоединяются два сопротивления. При их
последовательном соединении ток равен 3 А, а при параллельном – суммарный
ток равен 16 А. Определите величины этих сопротивлений.
15. Два когерентных источника света с длиной волны 600 нм находятся на
расстоянии 0,3 мм друг от друга и 2,4 м от экрана. Определите расстояние между двумя соседними максимумами освещённости, полученными на экране.
16. Под каким углом должен упасть луч на стекло, чтобы преломлённый
луч оказался перпендикулярным к отражённому, если коэффициент преломления стекла 1,6?
17. Радиоактивный натрий
24
11Na
распадается, выбрасывая β-частицы. Пе-
риод полураспада натрия 14,8 часа. Вычислите количество атомов, распавшихся в 1 мг данного радиоактивного препарата за 10 часов.
278
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18. Определите длину электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, если максимальный заряд конденсатора qm =
2·10-8 Кл, максимальный ток в контуре Im = 1 А, индуктивность контура L =
2·10-7 Гн. Найдите ёмкость конденсатора этого контура.
19. Проекционный аппарат даёт на экране увеличенное в 20 раз изображение диапозитива. Найдите расстояние между объективом проекционного фонаря и изображением, если фокусное расстояние объектива 20 см.
20. За 8 часов начальная масса радиоактивного изотопа уменьшилась в 3
раза. Во сколько раз она уменьшится за сутки, считая от начального момента
времени? Ответ обосновать расчётами.
А01. Самолёт для взлёта должен приобрести скорость 300 км/час. Сколько
времени длится разгон, если эта скорость достигается в конце взлётной полосы
длиной 1 км? Каково ускорение самолёта? Какова средняя скорость на этом
участке? Движение самолета считайте равноускоренным.
А02. Электрическое поле образовано точечным зарядом 1,5 нКл. На каком
расстоянии друг от друга расположены в вакууме две эквипотенциальные поверхности с потенциалами 45 В и 30 В?
А03. Плоская прямоугольная катушка из 200 витков со сторонами 10 см и
5 см находится целиком в однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл. Какой максимальный вращающий момент может действовать на катушку в этом
поле, если по проводам катушки течёт ток силой 2 А?
А04. Найдите ЭДС индукции на концах крыльев самолёта (размах крыльев
36,5 м), летящего горизонтально со скоростью 900 км/час, если вертикальная
составляющая вектора индукции магнитного поля Земли 50 мкТл.
А05. Электромагнитная волна излучается открытым контуром с электроёмкостью 0,5 мкФ и индуктивностью 80 мГн. Какова длина волны? Как изменится длина волны, если электроёмкость контура увеличить в 8 раз, а индуктивность уменьшить в 2 раза?
В01. Протон разгоняется в электрическом поле разностью потенциалов
1,5 кВ и попадает в однородное магнитное поле перпендикулярно к силовым
279
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
линиям. В магнитном поле он движется по дуге радиусом 50 см. Определите
напряжённость магнитного поля, если движение происходит в вакууме.
В02. Сколько воды можно поднять из колодца глубиной 20 м в течение
2 часов, если мощность двигателя насоса 3 кВт, а коэффициент полезного действия η = 70 %.
В03. Постоянная дифракционной решетки в 3 раза больше длины световой
волны монохроматического света, нормально падающего на её поверхность.
Определите угол между двумя вторыми симметричными дифракционными
максимумами.
С01. Тело бросают вертикально вверх. Наблюдатель замечает промежуток
времени t0 между двумя моментами, когда тело проходит точку В, находящуюся на высоте h. Найдите начальную скорость бросания v0 и время t всего движения тела.
С02. Диаметр одного из астероидов 5 км. Плотность 5,5 г/см3. Найдите ускорение силы тяжести на его поверхности. Вычислите, на какую высоту поднялся бы человек, подпрыгнувший с астероида, если на Земле с тем же усилием
он подпрыгнул бы на 0,5 м.
С03. Лыжник спускается с горы высотой 12 м, длиной 36 м, а затем движется по горизонтальному пути до полной остановки. Определите длину горизонтального участка, если коэффициент трения равен 0,05.
С04. Стальной кубик плотностью 7,8 г/см3 плавает в ртути плотностью
13,6 г/см3. Поверх ртути наливается вода так, что она покрывает кубик тонким
слоем. Какова высота h слоя воды плотностью 1 г/см3? Длина ребра кубика а =
10 см. Определите давление Р на нижнюю грань кубика.
С05. Тонкий дубовый стержень длиной ℓ = 1 м подвешен за один из концов. Другой конец погружён в воду. Определите угол между направлением
стержня и вертикалью, если верхний конец стержня находится над уровнем воды на высоте H = 0,3 м. Плотность дуба ρ = 900 кг/м3.
С06. К пружине подвешена чашка весов с гирями. Период её вертикальных
колебаний Т1. После того, как на чашку весов положили добавочные гири, пе280
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
риод вертикальных колебаний стал равен Т2. Насколько удлинилась пружина
после увеличения груза?
С07. Электрон влетает в плоский конденсатор параллельно пластинам со
скоростью 2⋅107 м/с. Расстояние между пластинами конденсатора 10 мм, длина
пластин 5 см. На пластины подано постоянное напряжение 50 В. На какое расстояние сместится электрон от первоначального направления к положительно
заряженной пластине? Какова будет скорость электрона в момент его вылета из
конденсатора?
С08. Определите ток короткого замыкания аккумуляторной батареи, если
при токе I1 = 5 А она отдает во внешнюю цепь мощность Р1 = 9,5 Вт, а при токе
I2 = 8 А − мощность Р2 = 14,4 Вт.
С09. В конце зарядки аккумулятора током I1 = 4 А вольтметр, подключенный к его зажимам, показал напряжение U1 = 2,16 В. В начале разрядки аккумулятора током I2 = 5 А показание вольтметра U1 = 1,8 В. Найдите ЭДС и внутреннее сопротивление аккумулятора.
С10. Найдите кинетическую энергию и центростремительное ускорение
протона, движущегося по дуге окружности радиусом r = 60 см в однородном
магнитном поле с индукцией B = 1 Тл. Определите также период обращения
протона по окружности.
С11. К концам свинцовой проволоки длиной 1 м приложена разность потенциалов U = 10 В. Сколько времени пройдёт от начала пропускания тока до
момента, когда свинец начнёт плавиться? Начальная температура свинца 27 0С.
С12. Неоновую лампочку на время t0 = 60 с подключили к сети синусоидального переменного тока промышленной частоты. Сколько времени она будет гореть? Действующее значение напряжения в сети Uд = 120 В. Напряжение
зажигания и гашения неоновой лампочки Uг = 84 В.
С13. На дифракционную решётку, имеющую период 1,2⋅10-3 см, нормально
падает монохроматический свет. Оцените длину волны, если угол между максимумами второго и третьего порядка 2011′.
281
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С14. Вольтметр, включенный последовательно с сопротивлением 7 кОм,
показывает 50 В при напряжении в цепи 120 В. Какое показание даёт при этом
же напряжении в цепи вольтметр, если его включить последовательно с сопротивлением 35 кОм?
С15. Определите порядок периода полураспада радона, если за 1 сутки из 1
млн. атомов распадается 175 000 атомов.
4 Литература, рекомендуемая для изучения физики
1. Бабаев, В.С. Физика. Весь курс для выпускников и абитуриентов / В.С.
Бабаев, А.В. Тарабанов,−М.: Эксмо, 2008.− 400 с.
2. Бальва, О.П. Физика: универсальный справочник / О.П. Бальва, А.А.
Фадеева. − М.: Эксмо, 2010. − 352 с.
3. Бендриков, Г.А. Физика. Сборник задач / Г.А. Бендриков, Б.Б. Буховцев, В.В. Керженцев, Г.Я. Мякишев.− М.: Альянс – В, 2003.− 416 с.
4. Власова, И.Г. Физика. Для поступающих в вузы и подготовки к ЕГЭ /
И.Г. Власова.− М.: АСТ: СЛОВО, 2010.− 544 с.
5. Гельфгат, И.М. 1001 задача по физике / И.М. Гельфгат, Л.Э. Генденштейн, Л.А. Кирик.− М.: Илекса, 2001.− 352 с.
6. Гомонова, А.И. Физика / А.И. Гомонова.− М.: Экзамен, 2002.− 384 с.
7. Демидова, М.Ю. Физика: экзаменационные задания / М.Ю. Демидова,
И.И. Нурминский. − М.: Эксмо, 2010. − 304 с.
8. Игропуло, В.С. Физика. Алгоритмы, задачи, решения / В.С. Игропуло,
Н.В. Вязников.−М.: Илекса, 2002.− 592 с.
9. Кабардин, О.Ф. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 370 дополнительных заданий части 3 (С) / О.Ф. Кабардин, С.И. Кабардина. В.А. Орлов,
С.Б. Бобошина, О.И. Громцева. − М.: Экзамен, 2013. − 310 с.
10. Кабардин, О.Ф. Физика. Справочник школьника / О.Ф. Кабардин.− М.:
Астрель, 2008.− 573 с.
282
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. Козел, С.М. Физика. 10-11 классы: пособие для учащихся и абитуриентов. В 2 ч. Ч. 1. / С.М. Козел. − М.: Мнемозина, 2010.−287 с.
Ч. 2. / С.М. Козел. − М.: Мнемозина, 2010.−400 с.
12. Орир Дж. Физика. Полный курс. Примеры, задачи, решения / Джей
Орир. М.: КДУ, 2011. 752 с.
13. Павленко, Ю.Г. Физика 10-11. учебное пособие для школьников, абитуриентов и студентов / Ю.Г. Павленко. -3-е изд., перераб. и доп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 848 с. /
14. Павлов, С.В. Сборник конкурсных заданий по физике для поступающих в вузы / С.В. Павлов, И.В. Платонова.− М.: Интеллект-Центр, 2001.− 672 с.
15. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ:
2009: Физика / авт.-сост. А. В. Берков, В. А. Грибов.− М.: АСТ: Астрель, 2009. −
153 с.
16. Сподарец, В.К. ЕГЭ 2008. Физика. Типовые тестовые задания / В.К.
Сподарец.− М.: Экзамен, 2008.− 158 с.
17. Трофимова, Т.И. Физика: 10-11 классы. Основные понятия. Законы.
Формулы / Т.И. Трофимова.−М.: Оникс, 2006.− 128 с.
18. Турчина, Н.В. Физика: 3 800 задач для школьников и поступающих в
вузы / Н.В. Турчина, Л.И. Рудакова, О.И. Суров, Г.Г. Спирин, Т.А. Ющенко.−
М.: Дрофа, 2000.− 672 с.
19. Чакак, А.А. Реальные тесты по физике и ответы / А.А. Чакак.− Оренбург: ОГУ, 2007.−732 с.
20. Чакак, А.А. Физика. Краткий курс / А.А. Чакак, С.Н. Летута.− Оренбург: ИПК ГОУ ОГУ, 2010.−541 с.
21. Чакак, А.А. ЕГЭ 2012. Физика. Рекомендации. Тесты. Справочные материалы: учебное пособие для поступающих в вуз / А.А. Чакак, Н.А. Манаков.−
Оренбург: ОГУ, 2012.−362 с.
22. Черноуцан, А.И. Физика / А.И. Черноуцан.− М.: Университет, 2001.−
336 с.
283
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение А
(справочное)
Основные физические константы
Скорость света в вакууме
с = 2,99792458⋅108 м/с
Гравитационная постоянная
G = 6,6720⋅10-11 Н⋅м2/кг2
Стандартное
ускорение
свободного
падения
Молярный объём идеального газа при
нормальных условиях
Нормальные условия
g = 9,80665 м/с2
Vµ = 22,41383 л/моль
Р = 760 мм рт. ст. = 101 325 Па
t = 0 0C
Газовая постоянная
R = 8,31441 Дж/(моль⋅К)
Постоянная Фарадея
F = 96 484,56 Кл/моль
Число Авогадро
NA = 6,0220943 . 1023 моль-1
Постоянная Больцмана
Элементарный заряд
Электрическая постоянная
Магнитная постоянная
Постоянная Планка
k = 1,380662 . 10-23 Дж/К =
= 8,625 . 10-5 эВ/К
е = 1,6021892 . 10-19 Кл
ε0 = 8,85 . 10-12 Ф/м
k = (4 . π . ε0)-1 = 9 . 109 м/Ф
µ0 = 4 . π . 10-7 Гн/м = 12,56. 10-7 Гн/м
h=6,626176 . 10-34 Дж . с =
= 4,136 . 10-15 эВ . с
Масса покоя электрона
me = 9,109534 . 10-31 кг
Масса покоя протона
mp = 1,6726485 . 10-27 кг
Масса покоя нейтрона
mn = 1,6749543 . 10-27 кг
Атомная единица массы
1 а.е.м. = 1,6605655 . 10-27 кг
Первый Боровский радиус
r1 = 0,52917706 . 10-10 м
Масса изотопа 1 H 1
mн = 1,6736 . 10-27 кг
284
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение Б
(справочное)
Соотношения между единицами некоторых физических величин
Длина
1 Å (Ангстрем) = 1.10-10 м
1 дюйм = 2,54 см
1 миля морская=1852 м=10 кабельтов
Масса
1 тонна = 103 кг
1 а.е.м. = 1,6605655.10-27 кг = 931 МэВ
1 кар (карат) = 0,2 г
Время
1 сутки = 86 400 с
1 мин = 60 с
1 час = 60 мин
1 сутки = 24 часа
1 год ≈ 3,1557.107 с
Возраст Вселенной ∼1017 с
Объём
1 л = 1.10-3 м3
Сила
1 кГ = 1 кгс (килограмм-сила) = 9,81 Н
Давление
1 бар = 1.105 Па
1 атм = 760 мм рт. ст. =1,01325.105 Па
1 ат = 1 кгс/см2 = 0,98.105 Па
1 торр = 1 мм рт. ст. = 133,3 Па
1 пз (пьеза) = 1 кПа
Энергия
1 эВ = 1,6021892.10-19 Дж
1 кВт⋅ч = 3,6.106 Дж
1 кал = 4,1868 Дж
Масса электрона
0,5110034 МэВ
Масса протона
938,2796 МэВ
Масса нейтрона
939,5731 МэВ
Мощность
1 л.с. (лошадиная сила) = 735,5 Вт
285
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение В
(справочное)
Некоторые сведения из математики
1 Алгебра
a
a:b = ;
b
a m a ⋅n ± b⋅m
± =
;
b n
b⋅n
m
n
m
a
=
⇔ a ⋅n = b⋅m ⇔
;
=
b
n
b
a
a ⋅a
n
m
n+m
=a
;
a m
a⋅n
: =
;
b n
b⋅m
b a ⋅c
a: =
;
c
b
a
a
:c =
;
b
b⋅c
an
= a n−m ;
m
a
(a )
n m
= a n ⋅m ;
a+b
≥
2
(a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2 ;
a2 - b2 = (a - b)(a + b);
(а ± b)3 = а3 ± 3а2b + 3аb2 ± b3;
a ⋅ b при a > 0, b > 0.
a+b
= a ⋅ b при a = b.
2
а3 ± b3 = (а ± b)(а2 m аb + b2);
− b ± b 2 − 4ac
;
ax + bx + c = 0; x1,2 =
2a
2
(a ≠ 0); x1 + x2 = - b ; x1 ⋅x2 = c ;
a
a
sinx ≈ x, cosx ≈ 1 − 1 x2, (x << 1);
2
(1 ± x)n ≈ 1 ± nx, ( x << 1; n ≠ 0; );
2 Тригонометрия
В
с
a
b
c
=
=
;
sinA sinB sinC
а
А
А
С
b
а
с
sinα = ; cosα= b ; tgα=
с
а
c2 = a2 + b2 – 2abcosC;
α
c
a2 + b2 = c2;
b
286
1 b
sinα a
= ; ctgα=
= ;
tgα a
cosα b
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
tgα =
x
±α
π
±α
2
sinx
±sinα
cosα
m sinα
-cosα
cosx
cosα
m sinα
-cosα
±sinα
tgx
±tgα
m ctgα
±tgα
m ctgα
0
π 

6
0
π 

4
0
3
π ±α
2
π ±α
π 

3
0
π 

2
0
1800 (π )
α
0 (0)
sinα
0
1
2
2
2
3
2
1
0
cosα
1
3
2
2
2
1
2
0
−1
tgα
0
3
3
1
3
∞
0
30
45
60
90
sin α
cos α
; ctgα =
; tgα⋅ctgα = 1; sin2α + cos2α = 1; sin2α = 2sinα⋅cosα;
cos α
sin α
tg2α + 1=
1
cos 2 α
; ctg2α + 1=
1
sin 2 α
sin(α ± β) = sinα⋅cosβ ± cosα⋅sinβ;
sin2α =
cos(α ± β) = cosα⋅cosβ m sinα⋅sinβ;
1
1
(1 - cos2α); cos2α = (1+cos2α);
2
2
cosα - cosβ = 2sin
sinα⋅sinβ =
cosα⋅cosβ =
α+β β−α
sin
;
2
2
sinα⋅cosβ =
1
[cos(α + β) + cos(α - β)];
2
x0 ⋅ π
180
sinα ± sinβ = 2sin
cosα + cosβ = 2cos
1
[cos(α - β) - cos(α + β)];
2
sinx ≈ tgx ≈ x, (x << 1); x =
1
sin 2 α = cos 2 α = .
2
; cos2α = cos2α - sin2α;
0
α+β
α −β
cos
;
2
2
1
[sin(α + β) + sin(α - β)];
2
tg(α ± β) =
tgα ± tgβ
1 m tgα ⋅ tgβ
, [x] = рад, [x0] = град;
287
α±β
αmβ
cos
;
2
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3 Геометрия
Lокружн = 2πr = πd;
Vшар =
Sкруг = πr2 =
4 3 1 3
πr = πd ; (d = 2r );
3
6
1 2
πd ;
4
Sсфер= 4πr2 = πd2;
(d = 2r );
Sэллипс= π⋅а⋅b, а,b − полуоси эллипса;
4 Логарифмы
x
lgx
lnx
;
lg (xn) = n⋅lgx; lg (xy) = lgx + lgy; lg   = lgx - lgy; lnx =
; lgx =
lge
ln10
 y
( x > 0 , y > 0 ).
n
1

e = lim n→ ∞ 1 +  = 2,718…;
n

ax = exlna;
ax = 10 xlga ;
5 Векторы
Скаляром называется физическая величина, характеризуемая только числовым значением. Векторы − это направленные отрезки прямых. Физические
величины, которые характеризуются направлением в пространстве, могут быть представлены
некими направленными отрезками, т.е. векторами. Такая их интерпретация очень наглядна и ею
широко пользуются.
В
а
А
Рисунок В.1
Вектор обозначают символом AB , где точки A и B обозначают начало и
r
конец данного направленного отрезка, либо одной латинской буквой а или а
(рисунок В.1). Начало вектора называют точкой его приложения. Для обозначения длины вектора используют символ модуля (абсолютной величины) или
символ вектора без стрелки над ним. Так  AB  = AB и а= а обозначают длины векторов AB и а. Векторы можно проектировать на любые прямые (в частности и на направленные), при этом, аℓ = acosα (рисунок В.2а). Часто приходится проектировать векторы на оси координат х, у, z. Для вектора а, расположенного на плоскости х0у, проекции вектора а на оси 0х и 0у прямоугольной системы координат равны ах = а⋅cosϕ, ay = a⋅sinϕ, где ϕ − угол между вектором а и
288
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
осью 0х (см. рисунок В.2б). Для пространственно – ориентированного вектора
проекции на оси координат можно выразить следующим образом (рисунок
В.3): ах = a⋅sinϑ⋅cosϕ; ау = a⋅sinϑ⋅sinϕ; аz = a⋅cosϑ. Очевидно, что тройка чисел ax,
ay, az полностью определяют вектор а, так как по ним можно однозначно построить вектор а, причём а= а = а 2х + а 2у + a 2z . Краткое обозначение вектора а
= a(ax, ay, az) = {ax, ay, az}. Если заданы координаты двух точек A(x1, y1, z1) и
B(x2, y2, z2), то вектор АВ может быть записан в виде АВ = {x2 - x1, y2 - y1, z2 а)
а
ℓℓ
х
у
аz
у
ау
ϕ
ау
α
аℓ
ах
0
б)
ϑ
а
а
ϕ
0
ах
х
z
Рисунок В.2
Рисунок В.3
z1}.
Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой
вектор не имеет определённого направления и имеет длину, равную нулю. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной, или на параллельных прямых.
Операции с векторами.
1) Умножение вектора а на скаляр (вещественное число) λ даёт вектор с,
имеющий длину, равную λ⋅а, и имеющий направление, совпадающее с
направлением вектора а (с ↑↑ а) при λ > 0, и противоположное направление
вектору а (с ↑↓ а) при λ < 0. Если a(ax, ay, az), то с = λa = {λax, λay, λaz}.
289
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2) Сложение, вычитание векторов. Векторы складываются по правилу
треугольника или по правилу параллелограмма, вычитаются по правилу треугольника (см. рисунок В.4). Чтобы из вектора а вычесть вектор b, можно к
вектору а прибавить вектор −b. Например, при сложении (вычитании) двух
векторов имеем:
с = а ± b = с(cx, cy, cz) = a(ax, ay, az) + b(bx, by, bz) = {ax ± bx, ay ± by, az ± bz}.
а
b
b
b
с=а+b
с=а−b
с=а+b
а
а
Рисунок В.4
Если число векторов больше двух, то их сумма может быть найдена по
правилу замыкания ломаной до многоугольника: если приложить вектор а2 к
концу вектора а1, вектор а3 к концу вектора а2,..., вектор аn к концу вектора аn−1,
то сумма
а1 + а2 + а3 +...+ аn−1 + аn = с
будет представлять вектор с, идущий из начала вектора а1 к концу вектора аn
(см. рисунок В.5).
а3
Зная проекции вектора а на оси 0х и
аn−1
0у прямоугольной системы координат (см. а2
рисунок В.2б), можно найти вектор а, его модуль и угол между вектором и осью 0х:
а = ax + ay;
а = а 2х + а 2у ;
а1
Рисунок В.5
ϕ = arctg(ay/ax).
3) Скалярным произведением двух векторов а и b называют число (скаляр), равное произведению длин этих векторов
на косинус угла α между ними (см. рисунок В.6):
290
аn
с
а
α
b
Рисунок В.6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
аb = (а,b) = а⋅b = b⋅a = (b,a) = а⋅bcosα = аb⋅cosα.
Если два вектора а и b определены своими проекциями на оси координат,
т.е. а = {ах, ау, аz}; b = {bx, by, bz}, то скалярное произведение этих векторов
равно сумме произведений соответствующих проекций на соответствующие
оси координат:
а⋅b = ах bx+ ау by+ аz bz.
4) Векторным произведением векторов а и b называется вектор с, обозначаемый символом
с = [а,b] = а×b,
с модулем, равным произведению длин векторов а и b на синус угла α между
ними:
с = с = аb⋅sinα.
Вектор с перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а и b,
причём его направление связано с направлением векторов а и b правилом правого винта, т.е. если правый
винт вращать от а к b в направлении кратчайшего по-
с
S
b
α
ворота, то поступательное движение винта определяет направление вектора с (см. рисунок В.7). Поэтому
Рисунок В.7
а
с = - b×a = - [b,a]
Длина (или модуль) векторного произведения [а,b] равна площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах а и b.
Если с = [а,b] = {сx, сy, сz}, то составляющие (проекции) вектора с выражаются
через составляющие (проекции) векторов а ={ах , ау , аz} и b = {b x , b y, b z} по
правилу:
291
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
cx = ау b z − аz b y;
cy = аz b x − ах b z;
cz = ах b y − ау b x.
Смешанные векторные произведения записываются так:
a⋅[b,c] = b⋅[c,a] = c⋅[a,b];
[a,[b,c]] = b(a,c) − c(a,b).
6 Производная
Если некоторая непрерывная функция y = f(x) определена на некотором
интервале, то всякое изменение х на ∆х приводит к тому, что f изменится на ∆f.
D этом случае выражение
∆f
f (х + ∆х ) − f (x )
=
∆x
∆x
называется средней скоростью изменения функции на интервале значений аргументов от х до х + ∆х. Данное отношение показывает, какое изменение ∆f
функции приходится на единичное изменение аргумента (т.е. как бы ∆х = 1).
На интервале ∆х функция f(x) может существенно менять свой ход (отличаться от хода линейной функции). Это значит, что на этом интервале скорость
изменения функции будет меняться от места к месту. Но совершенно ясно, что
всегда можно выбрать интервал ∆х столь малым, что на нём ход функции f(x)
практически будет неотличим от хода линейной функции. Такие интервалы
значений аргументов будем называть элементарными (или малыми) и обозначать dx. Соответствующие изменения функции обозначают df и называют элементарными (или малыми). Такого рода малые величины dx, df. … называют
ещё дифференциалами от величин x, f и т.д.
Величина f ′ =
df
называется первой производной функции y = f(x) по
dx
аргументу x, а ее смысл − ″мгновенная″ скорость изменения функции, т.е. по
292
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
существу всё та же средняя скорость ее изменения, но на столь малом интервале dx, на котором f(x) не отличается существенно от хода линейной функции.
Из сказанного ясно, что данную производную можно определить как предел
отношения:
lim ∆x→0
f (х + ∆х ) − f (x )
∆f
df
= lim ∆x→0
=
= f ′.
∆x
∆x
dx
В приведённом примере для производной кроме y ′ можно использовать и другие обозначения:
y′ =
dy
df
=
= y ′x = f ′x.
dx dx
Физический смысл производной. Производная
f ′(x) = lim ∆x→0
∆f
∆x
характеризует быстроту (скорость) изменения функции f(x) при изменении аргумента x. В частности, если y = f(x) представляет зависимость пути у от времени х, то в этом случае производная y′ определяет мгновенную скорость в момент времени х. Если же, скажем, y = f(x) определяет величину заряда у, протекающего через поперечное сечение проводника в зависимости от времени х, то
в этом случае производная у′ = f ′(x) определяет силу тока в момент времени х.
Геометрический (графический) смысл производной. Из рисунка В.8 видно, что
∆f
= tgα.
∆x
Отношение
lim ∆x→0
∆f
dy
df
= tgα0 =
=
dx dx
∆x
293
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
называют угловым коэффициентом (см. рисунок В.9). Таким образом, по геометрическому смыслу
∆f
df
и
суть тангенсы угла наклона секущей и ″каса∆x
dx
тельной″ к графику f(x) соответственно. Таким образом, производная от f(x) по
х геометрически характеризует крутизну графика f(x) в каждой точке х, которая
нас заинтересует. Ясно, что из f ′ =
df
следует df = f ′dx.
dx
у
y=f(x)
f(x+∆x)
∆f
dу
α
dх
f(x)
α
0
х
Рисунок В.8
х+∆х
х
0
х
х
Рисунок В.9
Для сложной функции f(x) = f (z( x ) ) производная по аргументу х равна
f ′х =
df
df dz
=
⋅ .
dx
dz dx
Так, например, для f(x) = sinz, при z = kx, f(x) = sinkx, и
df
df dz
d
=
⋅
=
(sin z ) ⋅ d (kx ) = cosz⋅k = coskx⋅k = k⋅coskx.
dx dz dx dz
dx
Производную от первой производной называют второй производной и
обозначают
dy ′ d 2 y
d 2f
y′′ =
=
=
= y′′xx = f ′′xx.
dx
dx 2
dx 2
294
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В частности, если y = f(x) представляет зависимость пути у от времени х, то в
этом случае вторая производная y′′= f ′′(х) представляет собой ускорение точки
в момент времени х.
Производные некоторых функций (С, А, k = const):
(x )′ = nx
С′ = 0
n
(Се )′ = Се
х
n−1
(Сx ) =Сnx
х
n
(cos x )′ = −sinx
(tgx)´= 1/cos2x
′
n−1
(sin x )′ = cosx
(ctgx)´=
2
1/sin x
(A sin kx )′ = Akcoskx
(U ± V )′ = U′ ± V′
(A cos kx )′ = -Aksinkx
(U ⋅ V )′ =U′V+UV′
(x )′ = −nx
′
 U  U ′V − UV′
  =
V2
V
−n
−(n+1)
Cx
Cx
- (a )´ = C⋅a ⋅lna
y′x= [f( z(х) )]′x= f′z⋅z′x
(lnx)′ =
1
х
Пусть имеется некоторая функция f(x, y, z, t), где x, y, z, t − независимые
переменные. Если менять какую-либо одну из переменных x, y, z или t при зафиксированных остальных переменных, то величины
f (x + ∆x , y , z , t ) − f (x .y , z , t )
f (x , y , z , t + ∆t ) − f (x .y , z , t )
,...,
∆t
∆x
(∗)
показывают, какова средняя скорость изменения f(x, y, z, t) на интервалах Δx,
Δy, Δz, Δt, соответственно, т.е. показывают, насколько изменится f(x, y, z, t) при
единичном изменении только одного из переменных x, y, z, t при зафиксированных остальных переменных. Если интервалы Δx, Δy, Δz, Δt столь малы, что
на них ход функции f(x, y, z, t) не отличается существенно от хода линейной
функции, то написанные соотношения (∗) называются частными производными
от f(x, y, z, t) по x, y, z, t, соответственно:
lim ∆x → 0
∆f
∂f
f (x + ∆x , y , z , t ) − f (x .y , z , t )
= lim ∆x→0
=
…
∆x
∆x
∂x
295
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Они обозначаются символами
∂f ∂f ∂f ∂f
,
,
,
. Смысл частных производных
∂x ∂y ∂z ∂t
тот же, что и у отношений (∗), т.е. они характеризуют быстроту изменения
функции при изменении какого-либо одного из аргументов при постоянных
значениях остальных аргументов. Для частных производных справедливы все
свойства обычных производных. Конечно, вместо переменных x, y, z, t можно
взять и другой набор переменных и в любом их количестве.
Если x, y, z являются функциями от t, то при изменении t от t до t + dt
другие переменные x, y, z получат вполне определённые приращения dx, dy, dz.
Величина
∂f ∂y ∂f ∂z
df
∂f
∂f ∂x
=
+
+
+
dt
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
(∗∗)
называется полной производной от f по ее основному аргументу t и показывает,
как быстро меняется f(x, y, z, t) с изменением ее основного аргумента t (при изменении которого меняются и остальные аргументы x, y, z). Возможен такой
случай, когда какая-либо из переменных x, y, z или даже все они вместе не меняются при изменении t. Тогда соответствующие величины
∂f ∂f
∂f
,
или
бу∂x ∂y
∂z
дут равны нулю, и равенство (∗∗) становится «короче». При
∂x
∂y ∂z
=
=
=0
∂t
∂t
∂t
оно принимает вид
df
∂f
=
.
dt
∂t
Возможен и такой случай, когда f не зависит от какой-либо из переменных x, y,
z, t. Тогда соответствующая частная производная будет равна нулю и (∗∗) опять
«укоротится».
296
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим, что
∂f
характеризует быстроту изменения f при x = const, y =
∂t
const, z = const, т.е. при зафиксированной точке. Величина же
df
характеризует
dt
быстроту изменения f с учётом изменения x, y, z, т.е. действительно полную
быстроту, в отличие от
∂f
∂f
,
и т.д., где часть переменных зафиксирована,
∂t ∂x
т.е. не меняется.
Отметим ещё один момент. Если имеется некоторая функция f(x, y, z, t),
то величина
df =
∂f ∂y
df
∂f
∂f ∂x
∂f ∂z
⋅dt =
⋅dt +
dt +
dt +
dt =
∂t
∂x ∂t
∂z ∂t
dt
∂y ∂t
=
∂f
∂f
∂f
∂f
⋅dt +
⋅dx +
⋅dy +
⋅dz
∂t
∂x
∂y
∂z
называется полным дифференциалом от функции f. Слагаемые в правой части
уравнения называются частными дифференциалами от f.
То, что сказано про производную и дифференциал скалярной функции
f(x), вполне применимо и к векторной функции u = u(ϕ), где ϕ − некоторый
скаляр (см. п.1, п.2, п.3 данного пособия, например, u – радиус-вектор, ϕ − время). Это следует из того, что вместо функции u = u(ϕ) мы можем всегда рассматривать uх(ϕ), uу(ϕ), uz(ϕ), а тогда при зафиксированных ортах i, j, k имеем:
du
d
=
(uх⋅i + uу⋅j + uz⋅k).
dϕ dϕ
7 Интеграл
Интегрированием называют математическую операцию, ″обратную″
дифференцированию (взятию производной). При интегрировании находят первообразную функцию – такую функцию, производная которой равна данной
297
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
функции. Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x), если функция F(x) дифференцируема и F′(x) = f(x). Данная функция
f(x) может иметь различные первообразные функции, отличающиеся друг от
друга на постоянные слагаемые. Поэтому совокупность всех первообразных
функций для данной функции f(x) содержится в выражении F(x) + C, которое
называют неопределённым интегралом от этой функции f(x) и обозначается
символом:
∫ f (x )dx ,
где ∫ − называется знаком интеграла;
f(x) – подынтегральной функцией;
f(x)dx – подынтегральным выражением.
Таким образом,
∫ f (x )dx
= F(x) + C,
где С = const.
Неопределённые интегралы некоторых функций (A, C, k, a = const):
∫ 0 ⋅ dx = C
dx
∫ x = ln |x| + C
∫ sin xdx = − cos x + C
∫ аdx =
∫ AU(х )dx = A ∫ U(х )dx + C
∫ cos xdx = sin x + C
∫ (U + V )dx = ∫ Udx + ∫ Vdx
1
sin
kxdx
=
−
cos kx + C
∫
k
1 ax
ax
∫ e dx = e + C
a
∫ cos kxdx = k sin kx + C
аx + C
n
∫ x dx =
1 n +1
x
+ C,
n +1
где n ≠ −1
1
Пусть в интервале (а, в) изменения аргумента х определена непрерывная
функция f(x). Разобьём интервал (а, в) на элементарные отрезки ∆х1, ∆х2, ... ∆хn.
Составим сумму:
298
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n
∑ f ( x i ) ⋅ ∆x i ,
i =1
где каждое слагаемое f(xi)⋅∆xi представляет собой площадь прямоугольника со сторонами f(xi) и ∆xi (см. рисунок В.10).
Выражение
lim ∆x i → 0
n →∞
n
в
i =1
а
∑ f ( x i ) ⋅ ∆x i = ∫ f ( x )dx
называется определённым интегралом от этой функции f(x).
в
Геометрический смысл определённого интеграла (рисунок В.11): ∫ f ( x )dx
а
− определённый интеграл равен площади S криволинейной трапеции (площади
фигуры под графиком функции f(x) при изменении аргумента х в интервале (а,
в)).
f(x)
f(x)
z
S
f(xi)
f(а)
0 а
хi
хi+∆xi
в
х
0 а
в х
Рисунок В.11
Рисунок В.10
Нужно отметить, что
в
∫ f ( x )dx = F(в) − F(а),
а
299
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
т.е. значение определённого интеграла от подынтегральной функции f(x) равно
разности значений первообразной функции F(x) при значениях х = в и х = а, соответственно.
Например,
в
в
∫ cos xdx = sin x а
= sinв − sinа.
а
Для определённых интегралов справедливы правила интегрирования,
аналогичные соответствующим правилам для неопределённых интегралов.
Можно говорить и об интеграле от функции многих переменных, т.е. от
функции f(x, y, z, t). При этом в интересующих нас случаях это интегралы типа
r2
∫ f (r )dr
x 2y2z2
=
r1
∫
[f (x , y ,z )dx + f (x , y ,z )dy + f (x , y ,z )dz].
x
y
z
x 1 y1 z 1
Можно показать, что если величина
fxdx + fydy + fzdz
есть полный дифференциал от некоторой функции F(x, y, z), т.е. если
fxdx + fydy + fzdz = dF,
то значение интеграла
∫ (f dx + f dy + f dz ) = ∫ dF
r2
r2
x
y
z
r1
r1
может быть выражено как разность функции F(x, y, z) на границах интегрирования, т.е.
300
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r2
r2
r1
r1
∫ f (r )dr = ∫ dF = F(r2) − F(r1).
Принято говорить, что в данном случае результат интегрирования не зависит от
пути интегрирования между точками 1 и 2.
Если же f такова, что
fxdx + fydy + fzdz ≠ dF,
то результат интегрирования зависит от пути интегрирования. Это обычно (но
не всегда!) означает, что f есть функция не только от x, y, z, но и от каких-то
других переменных (например, от vx, vy, vz, t и т.д).
Именно поэтому элементарная работа F(r, v, t)dr не является полным
дифференциалом, т.е. F(r, v, t)dr ≠ dA. Это значит, величина работы зависит от
формы траектории (от «формы пути»). Исключение составляет случай, когда F
= F(r) или, что то же самое F = F(x, y, z), а тогда F(r)dr = dФ и тогда
r2
∫ F(r )dr
r1
r2
= ∫ dФ = Ф(r2) − Ф(r1).
r1
Вместо функции Ф(r) удобно использовать функцию U(r) = −Ф(r), где U(r) −
потенциальная энергия.
К вычислению определённых интегралов сводятся задачи об измерении
площадей, объёмов тел, длин дуг кривых, задачи определения координат центров тяжести, моментов инерции, пути тела по известной скорости движения,
работы производимой силой и т.п.
301
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение Г
(справочное)
Основные формулы по физике
v=
при равномерном движении скорость v равна отношению пути S ко
S
t
времени t.
vср. − средняя скорость равна отношению пути ∆S к промежутку
ΔS
vср.=
Δt
vср =
v=
времени ∆t, в течение которого этот путь был пройден.
∆r
∆t
vср − вектор средней скорости перемещения за время ∆t, ∆r − вектор
перемещения.
dr
= r′t
dt
dS
v = = S′t
dt
v − вектор мгновенной скорости равен производной от перемещения по времени.
v − модуль мгновенной скорости равен производной от пути по
времени.
аср − вектор среднего ускорения равен отношению изменения ско-
аср =
a=
∆v
∆t
dv
=v′t
dt
рости ∆v к промежутку времени ∆t, за которое это изменение произошло.
мгновенное ускорение равно производной от скорости по времени
тангенциальное (касательное) ускорение характеризует быстроту
aτ=
dv
=v′t
dt
изменения скорости по модулю и направлено по касательной к
траектории в данной точке.
нормальное (центростремительное) ускорение аn характеризует быстроту изменения скорости по направлению и направлено к центру
v2
аn=
R
кривизны траектории. R − радиус кривизны траектории, v − скорость.
(при равномерном вращении по окружности аn − центростремительное ускорение, R − радиус окружности).
302
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
R = lim ∆ϕ→0
a=
между касательными к кривой в точках, отстоящих
друг от друга на элементе участка траектории ∆S.
а − полное ускорение при криволинейном движении;
а = an + аτ
a n2
∆S dS
=
∆ϕ dϕ
R − радиус кривизны в данной точке кривой, ∆ϕ − угол
an, aτ − нормальное (центростремительное) и тангенциальное
+ a τ2
(касательное) ускорения, соответственно.
α - угол между векторами полного ускорения и скорости.
tgα = an/aτ
кинематическое уравнение равномерного движения со скоро.
х(t)=x0 + v0 t
стью v0 вдоль оси х, x0 - начальная координата, t - время.
кинематическое уравнение равнопеременного движения
(а=const) вдоль оси х, v0 - начальная скорость. Значения v0
1
х(t)=x0 + v0 . t + at2
2
и а − положительны, если векторы v0 и а направлены в
сторону положительной полуоси х, и отрицательны в противном случае.
1
S − путь и v − мгновенная скорость при равнопеременном двиS=v0 . t + at2
2
жении, v0 − начальная скорость, а − ускорение, t − время.
.
v=v0 + a t
кинематическое уравнение, связывающее путь S, пройденный
v −
2a
2
S=
v 02
телом за некоторое время, с начальной − v0 и конечной − v скоростями на этом отрезке пути, с ускорением а.
2H
gt 2
;
;t=
2
g
gt 2
h(t)=H −
;
2
v = gt = 2gH
H=
свободное падение (v0 = 0) тела с высоты Н: t − время
падения; g − ускорение свободного падения; v − скорость
тела в момент достижения поверхности (Земли), h(t) –
высота в момент времени t.
303
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y(t) = H −
движение тела, брошенного горизонтально со скоро-
gt 2
;
2
стью v0 с высоты Н: х0 = 0 и у0 = Н − начальное поло-
х(t) = v0⋅t;
жение тела (в момент броска); х(t) и у(t) − уравнения
2H
; L = v0t0;
g
t0 =
движения по осям; t0 − время полета; L − дальность полета; vx и vy − составляющие скорости v тела по осям
vx = v0; vy = gt;
v 2x
v=
+
координат для любого момента времени t во время по-
v 2y
лета (до удара о поверхность).
vox = v0⋅cosα; v0у = v0⋅sinα;
x(t)=vox⋅t;
углом α к горизонту: х0 = 0 и у0 = 0 − начальное
1
y(t)=voy⋅t− gt2;
2
положение тела (в момент броска); vox и voy − про-
vx(t)=vox; vy(t) = voy − gt;
v0y
H=
2
2g
v0
L=
2
движение тела, брошенного со скоростью v0 под
; t0 =
⋅ sin 2α
g
2v 0 y
g
;
екции скорости v0 по осям; х(t) и у(t) − уравнения
движения по осям; vx(t) и vy(t) − зависимость составляющих скорости по осям от времени t; Н −
высота подъема, t0 − время полета; L − дальность
полета.
t
N
при равномерном вращательном движении: ν − частота враще; T= ;
t
N
ния, Т − период вращения, N − число оборотов за время t.
−1
−1
ν=T ; T=ν
ν=
ω=
ϕ
ϕ
; N= ;
t
2π
ω = 2πν =
2π
Т
ω − угловая скорость при равномерном вращении: ϕ − угол
поворота, N − число оборотов за время t; ν − частота вращения, Т − период вращения.
ω=
dϕ
ω − угловая скорость равна производной угла поворота по време= ϕ t′
dt
ни.
ε=
dω
ε − угловое ускорение равно производной угловой скорости по
= ω t′
dt
времени.
304
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S − путь, пройденный материальной точкой при повороте на угол
S=R . ϕ
ϕ по дуге окружности радиуса R.
связь между линейной и угловой скоростями при равно-
2πR
=2πRν
v=ω R=
T
мерном вращательном движении
at = ε⋅R;
an и at − нормальное (центростремительное) и тангенци-
.
2
an=ω2 . R=
v
=v . ω
R
ϕ(t)=ϕ0 + ω0 t
.
кинематическое уравнение равномерного вращения, ϕ0 − начальное угловое положение.
ε ⋅ t2
ϕ(t)=ϕ0 + ω0 t +
2
.
альное (касательное) ускорения, соответственно.
кинематическое уравнение равнопеременного вращения (ε=const), ω0 − начальная угловая скорость.
ω(t)= ω0 + ε . t
ω − мгновенная угловая скорость при равнопеременном враще-
ω − ω0
t
нии в момент времени t, ω0 − начальная угловая скорость, ε −
ε=
угловое ускорение.
кинематическое уравнение, связывающее угол поворота ϕ с на-
ω 2 − ω0
ϕ=
2ε
ρ=
m
V
р = m⋅v
2
чальной ω0 и конечной ω угловыми скоростями и с угловым
ускорением ε.
ρ − плотность тела, m − масса, V − объем тела.
р − импульс тела − векторная величина, равная произведению массы
m тела на его скорость v.
второй закон Ньютона: m − масса тела, F − равноdv
dp
F = ma = m ; F =
= p′t действующая всех приложенных к телу сил, a −
dt
dt
ускорение, p − импульс тела.
305
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
принцип суперпозиции для силы − если на рассматриваемое тело
F = ∑ Fi.
действует несколько сил, то его движение будет таким же, как если
бы на тело действовала результирующая сила, равная векторной
сумме отдельных сил.
F21= −F12
третий закон Ньютона: силы, с которыми действуют друг на друга
два тела, всегда равны по модулю и противоположно направлены.
Fупр = - k∆ℓ;
закон Гука: сила упругости Fупр пропорциональна удлинению те-
σ = ε . Е;
ла (пружины) ∆ℓ и направлена в сторону, противоположную на-
∆l
ε=
;
l0
правлению перемещений частиц тела при деформации; k − коэф-
σ=
фициент пропорциональности (жёсткость пружины); σ − механическое напряжение; S − площадь поперечного сечения образца, к
F
;
S
которому приложена сила F; Е − модуль Юнга (упругости); ε −
∆ℓ = ℓ− ℓ0
относительное удлинение; ℓ0 − начальная длина.
закон всемирного тяготения: два тела притягиваются друг к
другу с силой, пропорциональной их массам и обратно про-
m ⋅m
F = G⋅ 1 2 2
R
порциональной квадрату расстояния R между их центрами
масс; G − гравитационная постоянная. В такой форме записи
закон справедлив для взаимодействия материальных точек и
однородных тел сферической формы.
g(h) − ускорение свободного падения на высоте h над
M
(R + h) 2
−2
h

g(h) = g1 + 
R

g(h) = G ⋅
поверхностью планеты, M и R − масса и радиус планеты;
g − ускорение свободного падения у поверхности планеты
(без учета вращения планеты), т.е. g = G
M
R
2
.
сила трения скольжения равна максимальной силе трения покоя
.
Fтр.=µ N
Fтр., пропорциональной силе нормального давления N (реакции опо306
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ры); µ − коэффициент трения.
Fтр.− сила трения качения: N − сила нормального давления (реак-
N
.
Fтр.=µ r
ция опоры); µ − коэффициент трения качения; r – радиус катящегося тела.
P = mg
v1 =
P − сила тяжести: m − масса тела, g − ускорение свободного падения.
v1 − первая космическая скорость: M и R − масса и радиус
M
G
=
R
gR
планеты, G − гравитационная постоянная, g − ускорение
свободного падения на поверхности планеты.
местная первая космическая скорость движения по окруж-
v = v1 R
r
r
T = 2π  
R
ности радиусом r. Так как r > R, то v < v1.
3/ 2
1/ 2
R
 
g
период обращения спутника по орбите радиусом r;
R − радиус планеты; r > R.
частная форма третьего закона Кеплера −
 Т1 
 r1 
Т2
(
2π)2
  =   или 3 =
GM
r
 Т2 
 r2 
2
3
отношение квадратов периодов вращения
двух спутников равно кубу отношения радиусов круговых орбит.
полная энергия Е спутника на круговой
mv 2
mM
mv 2
mgR 2
Е=
-G
==.
2
r
2
2r
v2 = v1 2 = 2gR = 2G
M
.
R
орбите радиусом r равна сумме кинетической и потенциальной энергий.
v2 – вторая космическая (или параболическая)
скорость, v1 − первая космическая скорость.
уравнение Мещерского (уравнение движения тела с переm
dv
dm
=F−u
dt
dt
менной массой). F – геометрическая сумма всех внешних
сил, действующих на ракету, u – скорость истечения газов
307
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
относительно ракеты, dm/dt − масса сгоревшего топлива, которое выбрасывается из ракеты за единицу времени.
Fр = − u
Fр − реактивная сила
dm
dt
формула Циолковского. m0 − начальная масса ракеты, m −
v = v0 − u⋅ln
m
m0
масса в конце ускорения, скорость газовой струи u. Скорость
ракеты в начале и в конце ускорения − v0 и v, соответственно.
∆А = F⋅∆r =
∆А − элементарная работа равна скалярному произведению си-
= F⋅∆r⋅cosα
лы F на перемещение ∆r, α − угол между F и ∆r.
∆А
Рср.=
∆t
мощность равна работе, совершаемой в единицу времени: Pср средняя мощность за время ∆t.
мгновенная мощность P равна скалярному произведению
P = F ⋅ v = F⋅v⋅cosα
силы F на скорость v, с которой движется точка приложения силы, α − угол между F и v.
EК =
mv 2
p2
=
2
2m
А=ЕК2 − ЕК1
А = −∆ЕП
EК - кинетическая энергия тела массой m, движущегося со
скоростью v, р - импульс тела.
работа равнодействующей силы равна изменению кинетической
энергии тела (при условии постоянства потенциальной энергии).
работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии (при условии постоянства кинетической энергии).
потенциальная энергия тела в однородном поле тяготения: h - вы-
ЕП=m g . h
сота над поверхностью Земли (высота от нулевого уровня), g - ускорение свободного падения, m - масса тела.
308
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЕП −потенциальная энергия упруго деформированного тела (пруЕП=
k ⋅ ( ∆l ) 2
2
жины): ∆ℓ − удлинениe тела (пружины); k − коэффициент пропорциональности (жёсткость пружины).
ЕП − потенциальная энергия упруго растянутого
ЕП =
Eε 2
1 ES
(∆ℓ)2 =
V (сжатого) стержня: V – объём тела; Е − модуль Юнга
2 l
2
(упругости); ε − относительное удлинение.
потенциальная энергия взаимодействия двух тел массами
ЕП= − G ⋅
m1 ⋅ m 2
R
m1 и m2, находящихся на расстоянии R друг от друга; G –
гравитационная постоянная.
закон сохранения импульса: суммарный импульс
N
N
i =1
i =1
∑ pi = ∑ m i ⋅ v i = const
замкнутой системы остается постоянным (по величине и направлению) при любых взаимодействиях тел
этой системы между собой.
mv – mv0 = F⋅∆t;
изменение импульса тела ∆р за время ∆t равно импульсу
∆р = р − р0 = F⋅∆t равнодействующей силы F⋅∆t.
полная механическая энергия материальной точки (тела) равна
Е=EK + EП
сумме кинетической и потенциальной энергий.
закон сохранения полной механической энергии: полная механическая энергия замкнутой системы тел остается посто-
Е=EK + EП=сonst
янной при любых движениях тел системы, если в системе не
действуют диссипативные силы.
законы сохранения импульса и энергии
m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2;
при центральном абсолютно упругом
1
1
1
1
m1v12 + m2v22 = m1u12 + m2u22
2
2
2
2
ударе двух тел (шаров).
309
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)u
закон сохранения импульса при центральном абсолютно неупругом ударе двух тел.
изменение кинетической энергии при
абсолютно неупругом ударе (часть ее
1
1
1
2
2
2
∆ЕК=Q=( m1v1 + m2v2 ) − (m1+m2)u
переходит в «тепловую» форму энер2
2
2
гии).
η=
А пол
Р
= пол ;
А затр Р затр
коэффициент полезного действия механизмов
η=
А пол
Р
⋅ 100 % = пол ⋅ 100%
А затр
Р затр
ной мощности Рпол) к затраченной Aзатр (затра-
равен отношению полезной работы Aпол (полезченной − Рзатр).
условие равновесия - экстремальное значение потенциальdE n
= (E n ) x ′ = 0
dx
d 2E n
dx
2
″
= (E n ) xx > 0
ной энергии (для случая одномерной задачи, когда Еп зависит только от координаты х, т.е. когда Еп = Еп(х) ).
условие устойчивого равновесия
момент силы М относительно неподвижной точки − физическая веМ = r×F
личина, равная векторному произведению радиус-вектора r, проведенного из этой точки в точку приложения силы, на эту силу F.
М – модуль момента силы, α − угол между r и F,
M = r⋅F⋅sinα=F⋅d
d=R. sinα − плечо силы равно кратчайшему расстоянию от
оси вращения до линии действия силы.
∑Fi = 0
∑Mi = 0
(первое) условие равновесия тела при отсутствии вращения:
векторная сумма всех сил, приложенных к телу, равна нулю.
(второе) условие равновесия твердого тела с неподвижной
осью вращения: алгебраическая сумма моментов сил относи310
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тельно любой оси равна нулю, причем моменты сил, вращающих в одну сторону, считают положительными, а в другую отрицательными.
∑[ri,mig] = 0
центр тяжести тела: сумма моментов сил тяжести всех частиц
тела по отношению к оси, проходящей через центр тяжести,
равна нулю.
∑ mi gri ;
∑ mi g
∑ mi gx i ;
xc=
∑ mi g
∑ mi gyi ;
yc=
∑ mi g
∑ mi gz i
zc=
∑ mi g
rc=
центр тяжести тела: rс(хс, ус, zс) − радиус-вектор, проведенный
из начала координат в центр тяжести тела; xc, yc, zc − координаты центра тяжести; xi, yi, zi − координаты частиц тела, причем ri(xi, yi, zi); суммирование производится по всем частицам
тела.
rцм(хцм, уцм, zцм) - радиус-вектор центра масс системы матери-
∑ miri ;
rцм=
∑ mi
альных точек; mi и ri - масса и радиус-вектор i-ой материальной точки (если твердое тело, то суммирование производится
по всем частицам тела).
координаты центра масс и центра тяжести тела совпадают в
rc=rцм
случае, если размерами тела можно пренебречь в сравнении с
размерами Земли (планеты).
теорема о движении центра масс: центр масс любой системы
m
dv цм
dt
= Fвнеш
частиц, в том числе твердого тела, движется так, как двигалась
бы материальная точка с массой равной массе системы, под
действием всех приложенных к системе внешних сил.
М = F⋅d
момент пары сил: d − плечо пары сил (F1=F2=F) – кратчайшее
расстояние между линиями действия сил.
311
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
l
F
= 1
mg l 2
правило рычага: во сколько раз плечо ℓ2 силы F больше плеча ℓ1
груза весом mg, тем меньше усилие F требуется, чтобы сдвинуть
груз.
L−момент импульса материальной точки относительно не-
L= [r,p]=[r,mv]
L=r⋅p⋅sinα=p⋅d
подвижной точки 0: r − радиус-вектор от точки 0 до материальной точки; p=mv − импульс материальной точки; α −
угол между r и p; d − плечо вектора p относительно неподвижной точки 0.
производная по времени от момента импульса системы частиц
dL
= Мвнеш
dt
(материальных точек) относительно произвольной точки выбранной системы отсчета равна векторной сумме моментов всех
внешних сил относительно той же точки (полюса).
L = ∑ Li =
= const, если
Мвнеш = 0
закон сохранения момента импульса: если момент внешних сил
относительно неподвижной точки равен нулю, то момент импульса системы относительно той же точки остается постоянным
во времени.
момент инерции J системы (тела) относительно оси вращения ра-
n
J=
∑ mi ri2
i =1
J = mR2;
1
J = mR2
2
1
J = mR2
4
вен сумме произведений масс материальных точек (частиц) системы (тела) на квадраты их расстояний до оси вращения.
моменты
инерции
полого
тонкостенного
цилиндра
и
сплошного цилиндра (или диска) радиуса R относительно оси
симметрии.
момент инерции бесконечно тонкого диска радиуса R относительно оси, проходящей через диаметр.
момент инерции однородного эллипса с полуосями a и b отно1
2
2
J = m(a +b )
сительно оси, перпендикулярной к плоскости эллипса.
4
312
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
момент инерции шара относительно оси, проходящей через
2
J = mR2
5
центр шара.
момент инерции прямого тонкого стержня относительно оси,
1
mL2
J=
12
перпендикулярной стержню и проходящей через его середину.
момент инерции прямого тонкого стержня относительно оси,
1
J = mL2
3
перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.
момент
J=
1
m(a2+b2)
12
инерции
тонкой
прямоугольной
пластинки
со
сторонами a и b относительно оси, перпендикулярной к
плоскости пластинки и проходящей через его середину.
момент инерции полого шара с тонкими стенками относитель-
2
J = mR2
3
но оси, проходящей через центр шара.
теорема Штейнера: момент инерции J относительно произволь2
J = J0 + ma
ной оси равен моменту инерции J0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы m тела на квадрат расстояния а между осями.
кинетическая энергия твердого тела равна
Т = Тпост + Твр =
1
1
mvцм2 + Jω2
2
2
сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движения.
ωпр − угловая скорость прецессии волчка вокруг вертиM
mgl
ωпр=
=
L ⋅ sin α
Jω
кальной оси, ℓ – расстояние от центра масс волчка до
точки опоры, ω − угловая скорость вращения волчка,
m и J – масса и момент инерции волчка.
основное уравнение динамики вращательного движения,
d
(Jω ) = M внеш
dt
Jε = Мвнеш,
Мвнеш − результирующий момент внешних сил относительно
оси вращения.
при вращении симметричного твердого тела вокруг неподвижной
313
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ε=
оси симметрии момент инерции J = const, ε − угловое ускорение.
dω
dt
центробежная сила инерции, вектор R направлен от оси
2
Fцб = mω R
вращения до места расположения тела.
сила Кориолиса или кориолисова сила инерции: v′ − скорость
FK = 2m[v′,ω]
частицы относительно вращающейся системы отсчета, ω −
угловая скорость вращающейся системы.
давление равно отношению силы, перпендикулярной к поверхности те-
F
P=
S
ла, к величине площади поверхности S, на которую действует эта сила.
P − гидростатическое давление: ρ − плотность жидкости, h − высота
.
.
P=ρ g h
столба жидкости, g − ускорение свободного падения.
гидравлический пресс дает выигрыш в силе во столько раз, во
сколько раз площадь ее большого поршня превосходит площадь
F1 S1 l 2
=
=
F2 S 2 l 1 маленького поршня, S1 и S2 − площади поперечного сечения
поршней, ℓ1 и ℓ2 − перемещения поршней, F1 и F2 − силы, приложенные к поршням.
закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость или газ, действует
выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости или
FA=ρgVп
газа: ρ − плотность жидкости (газа), Vп − объем погруженной в жидкость (газ) части тела, g − ускорение свободного падения.
закон постоянства потока массы: ρ − плотность жидкости.
ρvS= const уравнение неразрывности (непрерывности) для несжимаемой (ρ =
S . v=const const) жидкости: произведение скорости течения v на поперечное
сечение S трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока.
314
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
объем жидкости (газа) V, проходящий через сечение S струи (трубы)
V=S⋅v⋅t
за время t.
h1 ρ2
=
h 2 ρ1
в сообщающихся сосудах высота столбиков жидкостей над уровнем
раздела обратно пропорциональна плотностям жидкостей.
уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной
P+
1 2
1 2
ρv + ρgh = несжимаемой жидкости: Р − статическое давление, ρv −
2
2
= const
динамическое давление, ρgh − гидростатическое давление, v
− скорость течения жидкости в данном сечении.
формула Торричелли: v − скорость истечения жидкости из малого
v= 2 ⋅ g ⋅ h
отверстия в открытом широком сосуде, h − глубина, на которой
находится отверстие относительно уровня жидкости.
m N
ν= =
µ NA
m0=
m
µ
=
N NA
ν − количество вещества: µ − молярная масса, NA − число Авогадро, N − число молекул в веществе (газе) массой m.
m0 − масса одной молекулы.
T − температура по абсолютной шкале температур (шкале КельT=t+273
t=
5
(TF − 32)
9
вина), t − температура по шкале Цельсия.
t − температура по шкале Цельсия, ТF − температура по шкале
Фаренгейта.
закон Бойля-Мариотта: для данной массы газа (m=const)
.
P V=const
при неизменности состава газа (молярная масса µ=const)
при постоянной температуре (T=const) произведение давления газа P на его объем V есть величина постоянная.
315
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
закон Гей-Люссака: объем данной массы газа (m=const) при
V=V0. (1+αt)
неизменности состава газа (молярная масса µ=const) при по-
V= V0 α T
.
.
стоянном давлении (Р=const) изменяется линейно с темпера-
V1 V2
=
T1 T2
турой, α=273-1 K-1 − термический коэффициент расширения,
V0 − объем при 0 0С.
P=P0.(1+βt)
закон Шарля: давление данной массы газа (m=const) при неиз-
P=P0.β . Т
менности состава газа (молярная масса µ=const) при постоянном
P1 P2
=
T1 T2
объеме (V=const) изменяется линейно с температурой, β=273-1 K-1
− термический коэффициент давления, P0 − давление при 0 0С.
закон Авогадро: моли любых идеальных газов при
л
V
Vµ = = 22,4
мо ль
ν
одинаковых условиях (одинаковых температуре и давлении) занимают одинаковые объемы, в частности, при
нормальных условиях, − 22,4 л.
P=760 мм рт. ст.
значения давления и температуры при нормальных условиях.
T = 0 0C
закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений ее компонентов; Pi − парциальное давление i-ой комP=ΣPi поненты равно давлению, которое создавала бы i-ая компонента смеси
газов, если бы она одна занимала объем, равный объему смеси при той
же температуре.
уравнение Клапейрона справедливо при неизменности состава и
P⋅V
=const
T
m
P V= ⋅ R ⋅ T
µ
.
массы газа: Р − давление, V − объем, Т − абсолютная температура.
уравнение Клапейрона-Менделеева (уравнение состояния
идеального газа): m − масса газа, R − универсальная газовая
316
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
постоянная, µ − молярная масса газа.
R − универсальная газовая постоянная, k − постоянная Больцмана,
.
R=k NA
n=
N
;
V
NA − число Авогадро.
ρ=
ρ = m0⋅n
m n − концентрация молекул − число молекул в единице объема.
;
V
ρ − плотность газа, m0 − масса одной молекулы
зависимость давления Р от концентрации молекул n и абсолютной
.
.
Р=n k T
температуры T; k − постоянная Больцмана.
основное уравнение кинетической теории идеальных газов: давле-
2
P= n⋅E0;
3
ние P идеального газа равно
2
среднеквадратической кинетиче3
1
Е0 = m0v2 ской энергии молекул, содержащихся в единице объема, m0 − мас2
са одной молекулы, n − концентрация молекул.
E0 − среднеквадратическая кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа, m0 − масса
1
3
Е0 = m0v2= kT
молекулы, k − постоянная Больцмана, Т − абсолютная тем2
2
пература, v – среднеквадратическая скорость.
N
v = vкв = v 2 =
∑ vi
2
i =1
N
v (vкв) − среднеквадратическая скорость молекул идеального газа.
R − универсальная газовая постоянная, µ − молярная
v=
3kT
3RT
3P
=
=
µ
ρ
m0
масса, T − абсолютная температура, P − давление, ρ −
плотность газа, k − постоянная Больцмана, m0 − масса
молекулы, v − среднеквадратическая скорость.
317
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n
∑ vi
v=
n
v = vср =
vн=
v − средняя (среднеарифметическая) скорость.
i =1
8RT
8P
8kT
=
=
πm 0
πµ
πρ
2RT
2P
2kT
=
=
µ
ρ
m0
ν = 2 2 πr v n
2
2
v − средняя арифметическая скорость моле-
кул газа.
vн − наиболее вероятная скорость молекул газа.
ν − число столкновений, происходящих за секунду в единице
объёма газа, r – радиус молекулы.
λ − средняя длина свободного пробега молекул газа равна
среднему расстоянию между двумя последовательными
λ=
v ср
Z
=
1
2πd 2 n
столкновениями молекулы, Z − среднее число соударений
молекулы за 1 с, d − эффективный диаметр молекулы, n −
концентрация молекул, vср − относительная средняя арифметическая скорость молекул.
i
Еср= kT
2
i
U= νRT
2
Еср − средняя энергия молекулы, i − число степеней свободы молекул газа, k − постоянная Больцмана, T − абсолютная температура.
U − внутренняя энергия идеального газа, ν − количество вещества,
R − универсальная газовая постоянная, T − температура.
первое начало термодинамики: количество теплоты Q, переданное
Q= ∆U + A системе, идет на изменение внутренней энергии ∆U системы и на
совершение работы А против внешних сил.
i
i
∆U= νR∆T= P∆V
2
2
∆U − изменение внутренней энергии при изменении абсолютной температуры на ∆T; ∆V − изменение объёма
при давлении Р.
318
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С=
∆Q
∆T
С − теплоёмкость численно равна количеству теплоты, необходимому
для изменения температуры тела на 1 К.
с − удельная теплоёмкость равна теплоёмкости единицы массы
С
∆Q
с= =
m m ⋅ ∆T
тела, m − масса тела.
СV − молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме, i − число
i
СV= R
2
СP=
степеней свободы молекул газа, R − универсальная газовая постоянная.
i+2
R
2
СP − молярная теплоёмкость газа при постоянном давлении.
уравнение Майера: универсальная газовая постоянная численно
R= СP − СV
равна работе, которую 1 моль идеального газа совершает, изобарически расширяясь при нагревании на 1 К.
γ=
CP
R
=1+
CV
CV
γ − постоянная (показатель) адиабаты.
А − работа, совершаемая газом при изменении его объёма, Р − давлеА=P∆V
ние газа, ∆V − изменение его объёма.
I = U + PV
I − тепловая функция или энтальпия (теплосодержание).
m
А = P(V2 – V1) = R(T2 − T1)
µ
А=
V
Р
m
m
RT⋅ln 2 = RT⋅ln 1
µ
µ
V1
Р2
m R
m
А=
(T1−T2) = CV(T1−T2)
µ γ −1
µ
PVγ = const;
A − работа газа при изобарическом процессе.
A − работа газа при изотермическом процессе.
A − работа газа при адиабатическом процессе, γ − показатель адиабаты.
уравнения адиабатического процесса (уравнение Пуассона),
319
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
TVγ−1 = const;
TγP1−γ = const
γ=
CP i + 2
=
i
CV
vзв =
γ
P
ρ
γ − показатель адиабаты.
γ − показатель адиабаты, СP и СV − молярные теплоёмкости при
постоянных давлении и объёме, соответственно; i − число степеней свободы молекул газа.
vзв − скорость звука в газе.
L=L0(1+αt)
линейное расширение твёрдых тел: L0 − длина при температуре
1 ∆L
α= ⋅
L ∆t
0 0С, L − длина при температуре t 0С, α − линейный коэффициент
∆L = L − L0
ве на 1 0С (1 К).
расширения равен относительному изменению длины при нагре-
V=V0(1+βt)
объёмное расширение твёрдых тел и жидкостей: V0 − объём
1 ∆V
β= ⋅
V ∆t
при 0 0С, V − объём при температуре t 0С, β − объёмный коэффициент расширения равен относительному изменению объёма
∆V = V − V0
при нагреве на 1 0С (1 К).
β=3α
q=
Q
m
соотношение между коэффициентами линейного (α) и объёмного (β)
расширения твёрдых тел.
удельная теплота сгорания равна количеству теплоты, выделяющемуся при сгорании единицы массы топлива.
количество теплоты, необходимое для превращения единицы массы из
твердого (жидкого) состояния в жидкое (твёрдое) при температуре
Q
λ=
m
плавления (кристаллизации), называют удельной теплотой плавления
(кристаллизации) λ. Удельная теплота плавления равна удельной теплоте кристаллизации. Температура плавления равна температуре кристаллизации.
320
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
количество теплоты, которое необходимо сообщить жидкости для испарения единицы ее массы при постоянной температуре (в частности,
r=
Q
m
при температуре кипения), называют удельной теплотой парообразования r. С ростом температуры величина удельной теплоты парообразования уменьшается.
η − коэффициент полезного действия теплового двигателя:
η=
А Q1 − Q 2
=
Q1
Q1
A − работа, совершенная за цикл, Q1 − количество теплоты,
полученное системой (от нагревателя), Q2 − количество теплоты, отданное системой (холодильнику; окружающей среде).
η − коэффициент полезного действия идеального теплового двиQ1 − Q 2
Q1
гателя (цикла Карно): Т1 и Т2 − температуры нагревателя и холо-
Т − Т2
η= 1
Т1
газом от нагревателя при изотермическом расширении; Q2 − коли-
η=
дильника, соответственно; Q1 − количество теплоты, полученное
чество теплоты, отданное газом холодильнику при изотермическом сжатии.
уравнение Ван-дер-Ваальса: М – масса газа,

М 2 a 
М  М
P +
 V − b  = RT

µ  µ
µ 2 V 2 

µ − его молярная масса, V − объём, занимаемый газом, а и b − постоянные Ван-дерВаальса.
m
ρ=
V
ϕ=
ρ
ρΗ
абсолютной влажностью ρ называют количество водяного пара в граммах, содержащегося в 1 м3 воздуха при данной температуре.
относительной влажностью ϕ называют отношение абсолютной влажности к тому количеству водяного пара, которое необходимо для насыщения 1 м3 воздуха при той же температуре.
321
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
относительной влажностью ϕ называют отношение парциального давϕ=
Р
РН
ления Р водяного пара, содержащегося в воздухе при данной температуре, к давлению РН насыщенного пара при той же температуре.
σ − коэффициент поверхностного натяжения равен силе поверхностно-
σ=
F
L
го натяжения, приходящейся на единицу длины границы свободной поверхности жидкости.
σ − коэффициент поверхностного натяжения равен работе, необходи-
σ=
A
∆S
мой для увеличения свободной поверхности жидкости при постоянной
температуре на единицу.
уравнение (формула) Лапласа: ∆Р − избыточное давление,
обусловленное кривизной поверхности жидкости; r1 и r2 − ра-
 1 1  диусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормаль∆P = σ  + 
 r1 r2  ных сечений поверхности жидкости для данного элемента по-
верхности; σ − коэффициент поверхностного натяжения жидкости.
2σ
∆P =
r
избыточное давление в случае сферы: r − радиус сферы, σ − коэффициент поверхностного натяжения.
h − высота подъёма жидкости в капиллярной трубке: ϑ − краевой
h=
2σ cos ϑ
ρgr0
угол, r0 − радиус капилляра, ρ − плотность жидкости, g − ускорение свободного падения, σ − коэффициент поверхностного натяжения.
Р − давление насыщенного пара над выпуклой (знак «+») (вогнутой, «−») поверхностью: ρ0 − плотность насыщенного пара,
Р = Р0 ±
2σ ρ 0
r ρ
σ и ρ − коэффициент поверхностного натяжения и плотность
жидкости, r − радиус кривизны вогнутого мениска в капилляре, Р0 − давление у поверхности жидкости в сосуде.
322
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
закон сохранения электрического заряда: алгебраическая сумма зарядов в замкнутой системе (т.е. в системе, не обменивающейся за-
Σqi= const
рядами с внешними телами) остаётся неизменной при любых процессах внутри этой системы.
закон Кулона: сила взаимодействия F между двумя неподвиж-
F=
q1 ⋅ q 2
ными точечными зарядами прямо пропорциональна абсолют-
4πε 0 εr 2
ным значениям зарядов и обратно пропорциональна квадрату
расстояния между ними, ε0 − электрическая постоянная, ε − ди-
F=k
Е=
F
q
Е=
q1 ⋅ q 2
εr 2
электрическая проницаемость изотропной непрерывной среды
2
1
9 H⋅м
.
нахождения зарядов, k =
= 9⋅10
4πε 0
Кл 2
Е − напряжённость электростатического поля равна силе, действующей
на единичный положительный заряд, помещённый в данную точку поля.
Е − напряжённость электростатического поля точечного заряда q
q
4πε 0 εr 2
на расстоянии r от него: ε0 − электрическая постоянная, ε − диэлектрическая проницаемость среды.
принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей: наЕ = ∑ Еi пряжённость Е результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых в
данной точке каждым из зарядов в отдельности.
p = ql
р − электрический момент диполя так же, как и плечо диполя l, направлен от отрицательного заряда к положительному.
М = рЕ⋅sinα
М = р×Е.
W= -р⋅Е =
момент пары сил, действующей на диполь, α − угол между р и Е.
Потенциальная энергия диполя в электрическом поле (без учета
323
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
энергии взаимодействия зарядов, образующих диполь), α − угол
= -рЕ⋅cosα
между р и Е.
Q
σ=
S
Q
ρ=
V
σ − поверхностная плотность заряда равна заряду, приходящемуся на
единицу площади поверхности несущего заряд тела.
ρ − объёмная плотность заряда равна заряду, приходящемуся на единицу объёма заряженного по объёму тела.
dФ=Еn⋅dS=E⋅dS⋅cosα dФ − поток вектора напряжённости через площадку dS.
Еn − проекция вектора Е на направление нормали n, α −
угол между Е и n.
Ф = ∫ EdS = ∫ E n dS
S
S
Ф – поток вектора напряжённости электростатического
поля сквозь замкнутую поверхность S.
теорема Остроградского-Гаусса: поток вектора напряжённости электрического поля в вакууме сквозь произвольную
1
∫ E n ⋅ dS = ε 0 ∑ qi .
S
замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, делённой на
электрическую постоянную ε0.
Е − напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженной бесЕ=
σ
2ε 0 ε
конечной плоскостью: σ − поверхностная плотность заряда, ε0 −
электрическая постоянная, ε − диэлектрическая проницаемость среды
нахождения плоскости.
Е − напряжённость поля, создаваемого двумя бесконечными парал-
Е=
σ
ε 0ε
лельными разноимённо заряженными плоскостями, в пространстве
между этими плоскостями.
324
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∫ E l ⋅ dl = ∫ Е ⋅ dl =0
L
L
поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.
WП − потенциальная энергия взаимодействия двух точечных за-
q ⋅q
WП= 1 2
4πε 0 εr
ϕ=
циркуляция вектора Е напряжённости электростатического
рядов, находящихся на расстоянии r друг от друга.
ϕ − потенциал электростатического поля равен потенциаль-
Wп
q0
ной энергии единичного положительного заряда, помещённого в данную точку.
А12=WП1−WП2=
А12 − работа, совершаемая силами электростатического поля
= q(ϕ1 − ϕ2) .
при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2
ϕ − потенциал поля равен работе перемещения единичного положи-
А
ϕ= ∞
q0
ϕ=
тельного заряда из данной точки в бесконечность.
q
4πε 0 εr
ϕ − потенциал поля точечного заряда на расстоянии r от него.
принцип суперпозиции для потенциала: потенциал поля, создаваемого системой неподвижных точечных зарядов, равен алгебраиче-
ϕ= ∑ ϕ i
ской сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности в данной точке.
ϕ1 − ϕ2 =
А 12
q0
U = ϕ1 − ϕ2
El = −
dϕ
dl
Е= -gradϕ
ϕ1 − ϕ2 − разность потенциалов между двумя точками равна
работе поля по перемещению единичного положительного
заряда из начальной точки в конечную; U − напряжение.
связь между напряжённостью электростатического поля (являющейся его силовой характеристикой) и потенциалом − энергетической характеристикой поля.
325
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
диэлектрическая проницаемость ε показывает во сколько раз электриε=
Е0
Е
ческое поле ослабляется диэлектриком; Е0 − напряжённость поля в вакууме, Е − напряжённость поля в диэлектрике.
связь между векторами электрического смещения D и напряжённостью электростатического поля Е для электрически изотропной
D = εε0E
среды.
tgα1 ε1
=
tgα 2 ε 2
закон преломления линий вектора электрического смещения D на
границе раздела двух диэлектриков.
теорема Остроградского − Гаусса для электростатическо-
∫ D ⋅ dS = ∫ D n ⋅ dS =
S
=
∑ qi
S
го поля в диэлектрике: поток вектора электрического
смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность
равен алгебраической сумме заключённых внутри этой
поверхности свободных электрических зарядов.
связь между напряжённостью Е и разностью потенциалов ϕ1 −
Е= −
ϕ1 − ϕ 2
d
ϕ − ϕ1
Е= 2
d
ϕ2 для однородного электростатического поля: d − расстояние
между точками поля, отсчитанное вдоль силовой линии (знак
минус ″−″ в первом уравнении указывает на то, что вектор напряжённости поля направлен в сторону убывания потенциала).
Е – напряжённость однородного электрического поля в пространстве
Е=
С=
U
d
между обкладками плоского конденсатора; U − напряжение и d – рас-
q
ϕ
С − электроёмкость уединенного проводника равна заряду, сообщение
стояние между обкладками.
которого проводнику изменяет его потенциал на единицу.
326
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С − электроёмкость конденсатора равна отношению заряда q,
С=
q
q
=
ϕ1 − ϕ2 U
накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов (напряжению) между его обкладками.
С − электроёмкость плоского конденсатора: S − площадь каждой из
С=
обкладок, d − расстояние между обкладками, ε − диэлектрическая
εε0S
d
проницаемость вещества, заполняющего зазор между пластинами
конденсатора.
С − электроёмкость шара радиуса R.
С=4πεε0R
С − электроёмкость сферического конденсатора, R и r радиу-
С = 4πεε0 Rr
R−r
С=
С=
2πεε 0 L
ln(R r )
πεε 0 L
ln (d r )
С=ΣC i
сы внешней и внутренней обкладок.
С − электроёмкость цилиндрического конденсатора: радиусы
двух коаксиальных цилиндров − R (внешнего) и r (внутреннего),
L − длина цилиндров.
С − электроёмкость двухпроводной линии (двух параллельных
цилиндрических проводов с радиусами r и расстоянием между
осями проводов d (d>>r)), L – длина двухпроводной линии.
С − электроёмкость батареи конденсаторов при их параллельном соединении, C i – электроёмкость отдельного конденсатора.
напряжения на конденсаторах при их параллельном соединении оди-
U=Ui
наковы.
q – общий заряд на батарее конденсаторов при их параллельном со-
q=Σqi
1
1
=Σ
С
Сi
U=ΣUi
единении, qi – заряд на отдельном конденсаторе.
С − электроёмкость батареи конденсаторов при их последовательном соединении, C i – электроёмкость отдельного конденсатора.
U – общее напряжение на батарее конденсаторов при их последова327
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тельном соединении, Ui – напряжение на отдельном конденсаторе.
заряды на конденсаторах при их последовательном соединении
q=qi
одинаковы.
W − энергия заряженного конденсатора: q − заряд, U − на-
qU
=
2
CU 2
q2
=
=
2
2C
W=
пряжение (разность потенциалов), С − электроёмкость
конденсатора.
εε 0 E 2
w=
=
2
ED
=
2
w − объёмная плотность энергии электростатического поля
(энергия единицы объёма).
q2
=
F=
2ε 0 εS
=
ε εE 2S
σ 2S
= 0
2
2ε 0 ε
mv12
+ qϕ1 =
2
mv 22
=
+ qϕ 2
2
q
I= ;
t
I=
F − сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками плоского конденсатора.
закон сохранения энергии при движении заряженной частицы с
зарядом q и массой m: v1 и v2 − скорости частицы в точках 1 и 2,
ϕ1 и ϕ2 − потенциалы в точках 1 и 2, соответственно.
сила тока I равна заряду, протекающему через поперечное сечение
проводника в единицу времени.
dq
= q′t
dt
плотность тока j равна силе тока, протекающего через единицу площади
j=
I
S
поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока.
направление вектора плотности тока j совпадает с направлением упо-
j =envср
рядоченного движения положительных зарядов, n − концентрация но328
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сителей тока, vср − скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике (скорость дрейфа), е − заряд носителей тока.
закон Ома для (однородного) участка цепи: I − сила тока, U − напряжеI=
U
R
ние на участке цепи равно разности потенциалов, т.е. U = ϕ1 − ϕ2, R −
сопротивление участка цепи.
R − сопротивление однородного линейного проводника длиной l с по-
R=
ρl
S
1
σ=
ρ
стоянной площадью поперечного сечения S, ρ − удельное электрическое сопротивление проводника.
σ − удельная электрическая проводимость вещества, ρ − удельное электрическое сопротивление.
ρ=ρ0(1+αt)
α=
1 ∆R
⋅
R ∆t
R=ΣRi
зависимость удельного сопротивления ρ от температуры: ρ0 −
удельное сопротивление при 0 0С, α − температурный коэффициент сопротивления равен относительному изменению сопротивления при нагреве на 1 0С (1 К).
R − общее сопротивление цепи при последовательном соединении
проводников, Ri − сопротивление i-го проводника.
U – общее напряжение в цепи последовательно соединенных провод-
U=ΣUi
ников; Ui – напряжение на сопротивлении Ri.
сила тока в цепи последовательно соединённых сопротивлений одина-
I=Ii
кова на всех проводниках.
1
1
=∑
R
Ri
R − общее сопротивление цепи при параллельном соединении проводников, Ri − сопротивление i-го проводника.
напряжение при параллельном соединении проводников одинаково
U=Ui
I=ΣIi
на всех сопротивлениях
I – общая сила тока при параллельном соединении проводников;
329
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ii – сила тока на сопротивлении Ri.
напряжение U равно работе электрического поля по перемещению
A
U=
q
единичного электрического заряда на данном участке цепи.
Е − электродвижущая сила (ЭДС), действующая в цепи, равна рабо-
Е=
A стор
те сторонних сил по перемещению единичного положительного за-
q
ряда.
закон Ома для замкнутой (полной) цепи: сила тока I в замкнутой це-
I=
I=
Е
R+r
пи прямо пропорциональна ЭДС источника и обратно пропорциональна сумме внешнего R и внутреннего r сопротивлений.
ϕ1 − ϕ 2 + Е12
R
закон Ома для неоднородного участка цепи (участка цепи с
источником тока): (ϕ1 − ϕ2) − разность потенциалов на концах
участка цепи, Е 12 − ЭДС источника (источников) тока, входящего в участок с сопротивлением R.
U = IR =
=ϕ1−ϕ2 + Е 12
U − напряжение на неоднородном участке цепи не равно разности потенциалов, т.е. U ≠ (ϕ1 − ϕ2).
закон Ома в дифференциальной форме: j − плотность тока, σ −
j = σЕ =
ΣIK=0
Е
ρ
удельная электропроводность, ρ − удельное сопротивление, Е −
напряжённость электростатического поля.
первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю.
второе правило Кирхгофа: для любого замкнутого контура раз-
∑IkRk = ∑Еi
ветвленной электрической цепи алгебраическая сумма произведений сил токов Ik на сопротивления Rk соответствующих участков
этого контура равна алгебраической сумме ЭДС Еi в этом конту-
330
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ре.
закон Ома для замкнутой цепи при последовательном соединении n
одинаковых источников тока: n − число источников тока, r − внут-
nЕ
I=
nr + R
реннее сопротивление каждого из источников, Е − ЭДС отдельного
источника, R − внешнее сопротивление цепи.
I=
закон Ома для замкнутой цепи при параллельном соединении n оди-
Е
r
+R
n
наковых источников тока.
расчёт сопротивления шунта RШ для расширения верхнего предела
RШ=
RA
I
измерения
амперметра
в
n=
раз, RА − сопротивление амперметра.
n−1
I
0
расчёт добавочного сопротивления Rдоб для расширения верх.
Rдоб= RV (n−1)
него предела измерения вольтметра в n=
U
раз, RV − сопроU0
тивление вольтметра.
U2
t
А = IUt = I Rt =
R
2
U2
A
2
P= = IU = I R =
R
t
А − работа постоянного тока: I − сила тока и U − напряжение на участке цепи с сопротивлением R, t − время.
P − мощность тока.
закон Джоуля-Ленца: Q − количество теплоты, выделяюU2
Q= IUt = I Rt =
t
щейся на участке цепи с сопротивлением R за время t.
R
2
закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: w − удельная тепловая мощность тока (количество теплоты, выделяющейся в еди2
w=jE=σE
ницу времени в единице объема), σ − удельная электропроводность,
j − плотность тока, E − напряжённость электростатического поля.
331
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
первый закон Фарадея для электролиза: масса вещества m, выделивm = kq; шаяся на электроде, пропорциональна заряду q, прошедшему через
m = kIt
электролит, I − сила постоянного тока, протекавшего за время t,
k − электрохимический эквивалент вещества.
второй закон Фарадея: электрохимический эквивалент k пропорцио-
1A
k=
F n
нален химическому эквиваленту
A
, A − атомная (молярная) масса
n
данного химического элемента, n − его валентность, F − постоянная
Фарадея.
v – скорость установившегося направленного движения ионов (ско-
v = b±E
рость дрейфа), Е – напряжённость поля, b± − подвижность ионов.
jH − плотность тока насыщения в газе: N − число пар ионов, возникающих в единице объёма в единицу времени, d − расстояние между
jH=Nqd
электродами, q − заряд ионов (в частном случае q = e = элементарному
заряду).
η − коэффициент полезного действия (КПД) источника тока: R −
η=
U
R
=
Е R+r
внешнее сопротивление, r − внутреннее сопротивление, Е − ЭДС
источника, U − напряжение на R.
Рmax − максимальная полезная мощность источника тока: Е − ЭДС
Рmax=
Е2
4r
источника, r − внутреннее сопротивление источника. При этом
внешнее сопротивление R = r.
соотношение между внутренним сопротивлением r источника и
r2=R1 . R2
внешними сопротивлениями R1 и R2, когда мощности, выделяемые
на R1 и R2, одинаковы (R1 и R2 подключаются поочередно).
332
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
η=1 −
η − КПД линии электропередачи: P − мощность, развиваемая ис-
P⋅R
U
точником при напряжении U на зажимах источника, R – сопро-
2
тивление линии передачи (сопротивление проводов).
dB =
µ 0 ⋅ I ⋅ [dl, r ]
закон Био-Савара-Лапласа: dB − магнитная индукция по-
4 ⋅ π ⋅ r3
ля, создаваемая элементом длины dl проводника с током I
dB =
μ 0 ⋅ I ⋅ dl ⋅ sin α
4 ⋅ π ⋅ r2
в вакууме, r − радиус-вектор от dl в точку наблюдения, α
− угол между dl и r, µ0 − магнитная постоянная.
B=
µ 0 q[v, r ]
B − индукция магнитного поля свободно движущегося в
4πr 3
вакууме заряда q с нерелятивистской скоростью v: r − ра-
B=
µ 0 qv ⋅ sin α
4πr
µ I
B= 0
2R
2
диус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения;
α − угол между векторами v и r.
B − индукция магнитного поля в центре кругового проводника, находящегося в вакууме: R − радиус витка, I − сила тока в проводнике.
B − индукция магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным
B=µ0
I
2πb
N
B=µ0 I
l
прямым проводником с током I в вакууме, b − расстояние от оси
проводника до точки наблюдения.
B − индукция магнитного поля внутри (длинного) соленоида, находящегося в вакууме: l − длина соленоида, N − число витков.
B − индукция магнитного поля внутри тороида, находящегося в ва-
B=
μ 0 NI
2πr
кууме, N − число витков, r − расстояние от оси до средней линии тороида, I − сила тока, µ0 − магнитная постоянная.
принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей: B − магнитная
B = ∑Bi индукция результирующего поля; Bi − магнитные индукции складываемых полей.
333
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
закон Ампера: FA − сила Ампера, действующая на участок
проводника длины ∆l с током I, помещенный в магнитное по-
FA = I[∆l,В]
FA = I⋅∆l⋅В⋅sinα ле с индукцией B, α − угол между направлением отрезка ∆l
проводника с током и В, направление ∆l совпадает с направлением тока.
сила взаимодействия двух прямых прямолинейных бесконечных параллельных проводников с токами I1 и I2: R − расF=
µµ 0 2I1I 2
⋅
⋅ℓ стояние между проводниками; ℓ − длина одного из проводR
4π
ников, на которую действует сила F; µ − магнитная проницаемость окружающей среды; µ0 − магнитная постоянная.
Pm = NISn
Pm − магнитный момент плоского контура с током I и площадью S:
Pm = NIS
n − единичный вектор нормали к поверхности рамки, N − число
витков рамки.
M − механический момент сил, действующий на плоский кон-
M = [Pm,В]
тур с током, помещенный в однородное магнитное поле с ин-
M = Pm⋅В⋅sinα
дукцией B: Pm − магнитный момент рамки с током, α − угол
между нормалью n к плоскости контура и вектором В.
Fл = q[v,B]
Fл = qvB⋅sinα
сила Лоренца (ее магнитная составляющая): Fл − сила, действующая на электрический заряд q, движущийся в магнитном
поле с индукцией B со скоростью v, α − угол между v и B.
общее выражение для силы Лоренца Fл при наличии в про-
Fл =qE + q[v,B];
странстве электрического (с напряженностью E) и магнитно-
Fл = Fэл + Fмагн
го (с индукцией B) полей. Fл − складывается из электрической Fэл и магнитной Fмагн составляющих (слагаемых).
R= mv ;
qB
R – радиус окружности и Т – период обращения заряженной
частицы с зарядом q и массой m, влетевшей со скоростью v в
334
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
T=
2πR 2πm однородное магнитное поле с индукцией В нормально к лини=
qB ям индукции.
v
R – радиус окружности, Т – период обращения и h –
R= mv sin α
qB
T=
шаг спирали, по которой движется заряженная частица
2πR 2πm
=
v sin α qB
h=vTcosα=
Ф=Bn.S
нитное поле с индукцией В со скоростью v, состав-
2πm
vcosα ляющей угол α с линиями индукции, т.е. с вектором В.
qB
qB
 h 
v=
R2 +  
m
 2π 
Ф=BS⋅cosα
с зарядом q и массой m, влетевшая в однородное маг-
2
v=v(R,h) − выражение скорости v заряженной частицы
через радиус окружности R и шаг спирали h.
Ф − магнитный поток (поток магнитной индукции) через площадку S: α − угол между вектором В и нормалью n к площадке,
Bn=В . cosα − проекция вектора В на направление n.
А = I⋅∆Ф
работа по перемещению проводника с током в магнитном поле
∫ B ⋅ dS = 0
теорема Гаусса для магнитного поля: поток вектора магнитной
S
индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.
А12 − работа по перемещению проводника с током
2
А12 = I ∫ dФ = I(Ф2 − Ф1)
1
(при I = const) в магнитном поле; Ф1 и Ф2 – магнитные потоки в начальном и конечном положениях
сквозь контур, прочерченный проводником.
∆Ф
Е=−
∆t
Е=−
dФ
= −Ф′t
dt
Е = −N
закон Фарадея (основной закон электромагнитной индукции): ЭДС индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока
сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.
dФ
Е − ЭДС индукции в рамке с числом витков N.
= −NФ′t
dt
335
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
разность потенциалов (ЭДС индукции), возникающая на
концах прямолинейного отрезка проводника длиной ℓ при
Е = Bℓv = ϕ1 − ϕ2
его движении в однородном магнитном поле в плоскости,
перпендикулярной линиям индукции В, со скоростью v,
перпендикулярной проводнику.
q − величина заряда, протекающего в замкнутом контуре с сопротивлеq=
∆Ф нием R при изменении магнитного потока через поверхность, ограниR
ченную этим контуром, на ∆Ф .
.
Ф=L I
Е c= −L
Е c= −L
Ф − магнитный поток, создаваемый током I в контуре с индуктивностью (коэффициентом самоиндукции) L.
∆I
∆t
Еc − ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения силы тока в контуре, L − индуктивность контура.
dI
= −LI′t
dt
µ − магнитная проницаемость вещества показывает, во сколько раз ин-
µ=
В
В0
дукция результирующего поля в магнетике больше индукции внешнего
поля B0 (поля, создаваемого намагничивающим током в вакууме).
В − магнитная индукция в случае однородной изотропной среды,
В = µµ0Н Н − напряженность магнитного поля, µ0 − магнитная постоянная,
µ − магнитная проницаемость среды; для вакуума µ=1.
L − индуктивность длинного соленоида, µ0 – магнитная постоянL = µµ0N2
L = µ0n2V
S
ная, µ − магнитная проницаемость, N − число витков и l − длина
l
соленоида, S − его площадь поперечного сечения, n=N/l – число
витков на единицу длины, V=S⋅L – объем соленоида.
336
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
W − энергия магнитного поля, создаваемого током I в замкнутом
W= LI2
2
контуре с индуктивностью L.
ω=
µµ H
B
BH
= 0
=
2µµ 0
2
2
2
2
ω − объёмная плотность энергии однородного магнитного поля (энергия магнитного поля в единице
объема).
k − коэффициент трансформации трансформатора, N2 и N1 − чисk=
N 1 U1
=
N 2 U2
ло витков во вторичной и первичной обмотках, U2 и U1 − напряжения на обмотках в режиме холостого хода.
кинематическое уравнение гармонических колебаний: х −
смещение колеблющейся точки из положения равновесия, A
х(t)=Acos(ω0t+α)
− амплитуда, ω0 − круговая (циклическая) частота, α − начальная фаза, t − время, (ω0t + α) − фаза колебаний.
d2x
dt 2
+ ω02x = 0;
дифференциальное уравнение гармонических колебаний; ω0 −
циклическая частота.
x′′tt + ω02x = 0
Т – период колебаний равен времени совершения одного коT=
t
N
=ν−1; ν=
N
t
ω
2π
;ν= 0
T=
ω0
2π
лебания; ν − частота колебаний; N – число полных колебаний за время t.
Т и ν − период и частота гармонических колебаний, ω0 − циклическая частота.
v(t) =
dx
π v − скорость колеб= x′t = −Aω0sin(ω0t + α) = Aω0cos(ω0t + α + )
2 лющейся точки.
dt
а(t) =
dv
π
а − ускорение ко= v′t = −Aω02sin(ω0t + α + ) =Aω02cos(ω0t + α +π)
2
dt
леблющейся точки.
337
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
F − упругая (квазиупругая) сила, действующая на колеблющуюся
материальную точку массой m, х − смещение колеблющейся
F = − mω02x
точки из положения равновесия.
l
Т = 2π
g
m
Т = 2π
k
Т − период колебаний математического маятника, l − длина маятника, g − ускорение силы тяжести.
Т − период колебаний пружинного маятника: m − масса груза,
подвешенного на пружине жесткостью k.
период колебаний физического маятника: m и J – масса и мо-
Т = 2π
Т = 2ℓ
J
mgLф
m
F
мент инерции маятника, Lф – расстояние от точки подвеса до
центра масс.
Т – период колебаний однородной струны: ℓ − длина струны. F −
сила натяжения струны, m – масса единицы длины струны.
F = ma = mx′′, F = −kx;
mx′′ = −kx; x′′ +
k
x = 0;
m
x′′ + ω02x = 0; ω0 =
k
m
второй закон Ньютона для гармонических колебаний пружинного маятника: m − масса груза, подвешенного на пружине с жесткостью k; F = −k⋅х - сила упругости; ω0 − циклическая частота.
кинетическая энергия материальной точки,
WК =
1
1
mv2 = mA2ω02sin2(ω0t + α) совершающей прямолинейные гармониче2
2
ские колебания.
потенциальная энергия матери-
1
1
1
альной точки, совершающей гарWП= kx2= mω02x2= mA2ω02cos2(ω0t + α)
2
2
2
монические колебания под действием упругой силы F.
338
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
1
W=WК + WП = mω02А2= kA2
2
2
v=λ⋅ν=
λ
T
E
ρ
v=
полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания.
связь между скоростью волны v, длиной волны λ, частотой ν, периодом T;
v – скорость распространения звуковых (акустических) волн в упругой среде, Е – модуль Юнга среды и ρ - ее плотность.
v − скорость распространения звуковых волн в газах: R − газовая
v=
γRT
µ
постоянная; µ − молярная масса; Т − термодинамическая температура; γ = CP/CV − отношение молярных теплоёмкостей при постоянных давлении и объёме.
эффект Доплера: ν′ − частота, воспринимаемая наблюдателем, с –
скорость распространения звука, v – скорость источника звука, ν
ν′ =
c±v
ν
cmv
− частота звука, посылаемого источником. Верхние знаки берутся
при сближении источника и наблюдателя, нижние – при удалении.
r

x(r,t)=Acosω0  t −  = Acos(ω0t−kr);
V

k=
2π ω 0
=
λ
v
q′′ +
1
q = 0;
LC
q′′ + ω02q = 0
уравнение плоской прямой (бегущей)
волны, распространяющейся в среде без
поглощения в сторону положительной
полуоси r, k – волновое число.
дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда q в контуре; L − индуктивность
и С − емкость контура.
339
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
;
LC
уравнения колебаний заряда q(t) и тока I(t) в
dq
= q′t = − q0ω0sin(ω0t+α);
dt
q0, I0, U0 − амплитудные значения заряда, си-
q = q0cos(ω0t+α);
I=
ω0 =
π
I = I0cos(ω0t+α+ ); I0 = q0ω0;
2
1
1
CU02 = LI02;
2
2
q0 = CU0;
=
связь между амплитудными значениями силы
тока и напряжения в контуре.
ла Томсона).
1
1
CU2 + LI2 =
2
2
1
1
CU02 = LI02
2
2
лы тока и напряжения.
Т − период колебаний электрического контура (форму-
2π
= 2π LС
Т=
ω0
W=
LC − контуре; ω0 − циклическая частота;
полная электромагнитная энергия LC − контура равна
сумме энергий электрического и магнитного полей.
она также равна максимальной энергии электрического
или магнитного полей.
связь между скоростью распространения электромагλ0 = сТ =
ω
с
; ν0 = 0 ; нитной волны в вакууме с (скоростью света в вакууме),
ν0
2π
длиной волны λ0, частотой ν0, периодом Т.
Ф − магнитный поток через контур площадью S и числом
Ф = NBScosα =
витков N: ω − циклическая частота вращения рамки; α − угол
= NBScosωt
поворота рамки (угол между индукцией В и нормалью n) в
момент времени t; N − число витков.
Еi − ЭДС индукции, возникающая при вращении
dФ
Еi = −Ф′t = −
= NBSωsinωt
рамки.
dt
значение максимальной (амплитудной) ЭДС во вращающейся
Emax= NBSω
рамке (при sinωt = 1).
340
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ХL − (реактивное) индуктивное сопротивление.
ХL=ωL
ХC=
ХC − (реактивное) емкостное сопротивление.
1
ωC
Z − полное сопротивление (импеданс) цепи переменно-
Z= R 2 + (X L − X C ) 2
го тока, содержащей последовательно включенные резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L,
1 

Z= R 2 +  ωL −

ωC 

I0 =
U0
=
Z
2
конденсатор емкостью С. На концы цепи подается переменное напряжение U=U0cosωt.
закон Ома для цепи переменного тока: I0 и U0 −
U0
1 

R +  ωL −

ωC 

2
2
амплитудные значения силы тока и напряжения в
цепи переменного тока, Z − импеданс.
U0R=I0R
U0R ,U0L, U0C – амплитудные значения напряжений на активном со-
U0L=I0XL
противлении, катушке индуктивности и конденсаторе, соответст-
U0C=I0XC
венно, в цепи переменного тока.
UR=I0R ⋅sinωt
UC=I0XC⋅sin(ωt − π/2)
UL=I0XL⋅sin(ωt + π/2)
фазовые соотношения между напряжениями на активном сопротивлении UR, катушке индуктивности UL и
конденсаторе UC, соответственно, в цепи переменного
тока.
1
ωL −
X − XC
ωC
tgϕ = L
=
R
R
ϕ − сдвиг фаз между напряжением и силой тока
в цепи, содержащей последовательно включенные R, L ,C.
1
P= U0⋅I0⋅cosϕ =Uэ⋅Iэ⋅cosϕ;
2
Р − средняя мощность, выделяемая в цепи пере-
U0
I
R
; Iэ= 0 ; cosϕ = ;
Z
2
2
сдвиг фаз между U и I), U0 и I0 − амплитудные зна-
Uэ=
менного тока: сosϕ − коэффициент мощности, (ϕ −
341
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чения, UЭ и IЭ − действующие (эффективные) значения напряжения и силы переменного тока.
с − скорость света в вакууме (электродинамическая постоянная),
1
ε0 ⋅ µ0
с=
ε0 − электрическая постоянная, µ0 − магнитная постоянная.
v − скорость распространения света (электромаг-
v=
1
1
с
⋅
=
ε0 ⋅ μ0
ε ⋅μ
ε ⋅μ
α = α′
нитной волны) в среде: ε и µ − диэлектрическая и
магнитная проницаемости среды.
закон отражения света: угол падения α равен углу отражения α′.
закон преломления света (закон Снеллиуса-Декарта): отношение си-
sin α
=n21 нуса угла падения α к синусу угла преломления βесть величина поsin β
стоянная для данных сред.
n21 − относительный показатель преломления второй среды относиn21 =
n2
n1
.
L=n ℓ
v
n2
= 1
n1
v2
тельно первой равен отношению их абсолютных показателей преломления.
L − оптическая длина пути: ℓ − геометрическая длина пути световой
волны в однородной среде с показателем преломления n.
показатели преломления двух сред обратно пропорциональны скоростям распространения в них света.
λ0
с
=n; n=
λ
v
соотношение между длинами волн света (электромагнитной волны) в вакууме − λ0 и в среде − λ; n − абсолютный показатель преломления среды (n > 1); с и v − скорости света в вакууме и среде.
формула, связывающая показатель преломления n с диэлектрической
n= ε
проницаемостью ε.
342
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n
sinαпр= n21= 2
n1
αпр − предельный угол полного внутреннего отражения, угол
преломления β=900 (sin β = 1), n2<n1.
формула сферического зеркала: d и f − расстояния от (полюса)
1 2 1 1
= = +
F R d f
зеркала до предмета и изображения, соответственно; F − фокусное расстояние зеркала; R − радиус кривизны зеркала.
Г − линейное увеличение, даваемое сферическим зеркалом; у′ и у
у′ f
Г= =
у d
− линейные размеры изображения и предмета
формула двояковыпуклой линзы: n21 − относительный показатель преломления линзы по отношению
 1
1
1  к окружающей среде, R и R − радиусы кривизны

1
2
D= =(n21 − 1) 
+
F
R
R
 1
2
поверхностей линзы, D − оптическая сила и F − фокусное расстояние линзы.
1 1 1
D= = +
F d f
у′ f
Г= =
у d
d
Г= 0
F
формула тонкой линзы: d и f − расстояния от линзы до предмета
и изображения, соответственно.
Г − увеличение, даваемое линзой: y ′ и у − размеры изображения и
предмета, d и f − расстояния от линзы до предмета и изображения.
Г − увеличение лупы: d0=25 см − расстояние наилучшего зрения для
нормального глаза, F − фокусное расстояние лупы.
условие интерференционных максимумов: (ℓ2 − ℓ1) − разность
k(ℓ2 − ℓ1) =2πm; хода двух когерентных волн, возбуждающих колебания в дан2π
ной точке; λ −длина волны; k −волновое число; m=0, ±1, ±2,...
;
k=
λ
Максимум амплитуды наблюдается в точках, для которых разℓ2 − ℓ1= mλ
ность хода лучей равна нулю или целому числу длин волн.
343
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
условие интерференционных минимумов: k - волновое
1

k(ℓ2 − ℓ1) = 2π  m +  ;
2

1 λ

ℓ2 − ℓ1=  m + 
2 2

число; m=0, ±1, ±2, ... Минимум амплитуды результирующего колебания наблюдается в точках, для которых разность хода лучей равна нечётному числу полуволн.
опыт (метод) Юнга: ∆х − ширина интерференционной полосы − расстояние между соседними светлыми или соседними тёмными полоλ
∆х = L; сами; d − расстояние между двумя когерентными источниками, наd
λ ходящимися на расстоянии L от экрана, параллельного линии, со∆α =
d единяющей источники; L>>d. ∆α − угловое расстояние между соседними светлыми (или тёмными) полосами.
rm − радиусы тёмных колец Ньютона в отражённом свете (или
светлых − в проходящем свете); m=1,2,3... − номера колец, R − ра-
rm= mλR
диус кривизны линзы, λ − длина волны света.
1

rm=  m − λR
2

rm − радиусы светлых колец Ньютона в отражённом свете
(или тёмных − в проходящем свете), m = 1,2,3....
просветление оптики (условия гашения интерферирующих луn.d=
λ
4
чей в отраженном свете): d − толщина плёнки, при которой в результате интерференции наблюдается гашение отражённых лу-
1

n.d=  m + λ
4

чей; n − показатель преломления пленки; λ − длина волны света,
для которой выполняется условие гашения; nс − показатель преломления стекла (материала линзы); m=0, 1, 2,...
условие дифракционных минимумов от одной щели: m = 0, ±1,
bsinϕ=mλ
±2,... − порядок минимума; b − ширина щели; λ − длина волны света; ϕ − угол дифракции.
344
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
условие главных максимумов дифракционной решётки: m = 0, ±1,
dsinϕ=mλ
±2,... − порядок максимума; d − период решетки; λ − длина волны
света; ϕ − угол дифракции.
1
d=
N
d − период дифракционной решетки: N − число щелей (штрихов), приходящихся на единицу длины решетки (длиной l).
mmax − максимальный порядок дифракционных максимумов ди-
m max =
d
λ
фракционной решетки (берется целая часть от полученного значения).
nmax=2mmax+1
nmax − общее число максимумов, даваемых дифракционной решеткой.
закон Малюса: I0 − интенсивность поляризованного света, падающего на второй поляризатор (анализатор) и I −интенсивность света,
I=I0cos2α
вышедшего из второго поляризатора; α − угол между главными
плоскостями двух скрещенных поляризаторов (поляризатора и анализатора).
I − интенсивность естественного света, прошедшего через два
1
2
I = Iест⋅ cos α
поляризатора. I = ½⋅Iест при α = 0.
2
закон Брюстера: тангенс угла (Брюстера) падения равен относительному показателю преломления n21 второй среды относительно
первой; при этом отражённый луч является плоскополяризованным
tgϑБр=n21
(линейнополяризованным), а отражённый и преломлённый лучи будут взаимно перпендикулярными. ϑБр − угол Брюстера или угол
полной поляризации.
ϕ = αℓ
ϕ − угол поворота плоскости поляризации оптически активными веществами: ℓ − толщина оптически активного слоя; α − постоянная вра345
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
щения.
ϕ − угол поворота плоскости поляризации в растворах: ℓ − толщина
ϕ = αсℓ оптически активного слоя; α − удельная постоянная вращения; с –
концентрация раствора.
ϕ − угол поворота плоскости поляризации в продольном магнитном
поле (эффект Фарадея): V – постоянная Верде (или магнитная вра-
ϕ = VℓB
щательная способность); ℓ − длина пути света в веществе; В – магнитная индукция.
v = ω/k
u=
dω
dk
v − фазовая скорость: ω − частота волны; k − волновое число.
u − групповая скорость.
1
I∼ω ∼ 4
λ
4
ε=hν=h
р=
кууме, h − постоянная Планка, с − скорость света в вакууме.
р − импульс фотона.
ε
hν
= 2
2
с
с
ε = р⋅c
частоты ω или длины волны λ.
ε − энергия фотона: ν − частота и λ0 − длина световой волны в ва-
c
λ0
hν h
=
c λ0
m=
закон Рэлея: зависимость интенсивности I рассеянного света от
m − масса фотона, с − скорость света в вакууме.
соотношение между энергией ε и импульсом р фотона.
346
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
hν=A+ mvmax2
2
уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта: hν − энергия падающего фотона расходуется на совершение электроном работы выхода А из металла и на сообщение ему кинети-
eUЗ=h (ν − ν0)
A= hν0 = h
λ0 =
с
ν0
с
λ0
ческой энергии
1
1
mvmax2, m − масса электрона, mvmax2 = eUЗ,
2
2
UЗ − задерживающее напряжение, e − элементарный заряд,
λ0 − граничная длина волны (красная граница фотоэффекта),
h − постоянная Планка.
Р − давление, производимое светом при нормальном падении на поверхность: I = Nhν интенсивность излучения
I
Р= (1+ρ)=ω(1+ρ)
c
(энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени); ρ − коэффициент отражения; ω −
объемная плотность энергии излучения.
x=x′ + vt;
преобразования координат и времени Галилея для случая, когда
y=y′;
система координат К′ движется со скоростью v вдоль положитель-
z=z′;
ного направления оси x инерциальной системы К (в начальный мо-
t=t′
мент времени начала координат совпадают).
правило сложения скоростей в классической механике: v и v′ скоро-
v = v′ + u
сти материальной точки относительно систем координат К и К′, u −
скорость системы К′ относительно К.
а = а′
ускорения точки в системах координат К и К ′ , движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, одинаковы.
347
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x′=
x − vt
, y′= y,
v2
1−
преобразования Лоренца для случая, когда система отсчета К′ движется относительно системы К со скоро-
c2
стью v вдоль оси 0х.
vx
t−
z′= z, t′=
1−
c2
v2
c2
релятивистский закон сложения скоростей: v − скорость
u=
u′ + v
u−v
, u′=
vu ′
vu
1+ 2
1− 2
c
c
системы координат К′ относительно К; u и u′ − скорость
точки относительно систем К и К′, соответственно; c −
скорость света в вакууме.
длина тела в различных системах отсчета: ℓ0 − длина тела, покоящегося относительно системы К, ℓ − длина тела, движуще2
v
c2
ℓ= ℓ0 1 −
гося относительно К′, v − скорость движения тела относительно К′. Линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной
системе отсчета, относительно которой тело покоится.
длительность событий в различных системах отсчета: τ0 < τ, т. е.
длительность события, происходящего в некоторой точке, наи-
τ=
меньшая в той инерциальной системе отсчета, относительно ко-
τ0
1−
v2
торой эта точка неподвижна. Событие длительностью τ0 происхо-
c2
дит в некоторой точке, покоящейся относительно системы К, а К′
движется со скоростью v относительно К; τ − длительность события в К′; с − скорость света в вакууме.
m=
m − релятивистская масса, m0 − масса покоя частицы, v − ско-
m0
1−
v2
c
рость частицы, c − скорость света в вакууме.
2
348
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
m0 v
р =mv =
1−
v
=
2
E⋅v
c2
р − релятивистский импульс: m − релятивистская
масса, m0 − масса покоя частицы, v − скорость частицы, Е − полная энергия частицы.
c2
Е0 − энергия покоя частицы.
Е0 = m0c2
Е − полная энергия частицы.
m0c 2
2
Е = mc =
1−
v2
c2
Екин =Е − Е0=c2 .(m − m0) Екин − кинетическая энергия релятивистской частицы.
E2 = m2c4 =
релятивистское соотношение между полной энергией Е и
= E02 + p2c2 =
импульсом р частицы.
= m02c4 + p2c2
∆Е = ∆mc
λ=
h
р
закон взаимосвязи массы и энергии: ∆Е − изменение полной энер2
гии тела, ∆m − изменение массы, c − скорость света в вакууме.
соотношение де-Бройля: λ − дебройлевская длина волны частицы импульсом р, h − постоянная Планка.
соотношение де-Бройля для нерелятивистской частицы
λ=
h
h
или λ=
mv
2mT
Ln=me.vn.rn=
=n
h
=n·ħ
2π
hνmn=En − Em
(v<<c): m – масса частицы; v – скорость частицы; T –
кинетическая энергия частицы.
первый постулат Бора: в стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, имеет дискретные значения
момента импульса Ln; me − масса электрона; vn − его скорость на
n-ой орбите радиуса rn; h − постоянная Планка; n=1,2,3,...
второй постулат Бора: при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) фотон с
349
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
энергией hνmn, равной разности энергий соответствующих стационарных состояний En и Em.
1 e2
v2
=m
r
4πε 0 r 2
En= −13,6
1
n2
уравнение движения электрона в атоме водорода (классическая теория атома водорода по Бору).
(эВ)
энергия электрона на n-ой стационарной орбите в атоме
водорода (n = 0,1,2,3,...).
радиус орбиты атома водорода на n - ой стационарной орбите; первый
rn=r1⋅n
2
Боровский радиус r1=0,528⋅10−10 м.
1/3
R = R0A
R − радиус ядра атома: R0 = 1,4⋅10-15 м; А − массовое число (число
нуклонов в ядре).
∆m = [Z.mр + (A − Z).mn] − mя
∆m = [Z mн + (A − Z) mn] − m
.
A=Z+N
Есв = ∆m⋅c2
.
∆m − дефект массы ядра: mР, mn, mя − соответственно массы протона, нейтрона и ядра; mн =
mp + me − масса атома водорода 1Н1; mе − масса
электрона; m − масса атома; A − массовое число (число нуклонов) равно сумме числа протонов Z и числа нейтронов N.
Есв − энергия связи нуклонов в ядре, ∆m − дефект массы, c − скорость света в вакууме.
εсв=
Е св
А
εсв − удельная энергия связи − энергия связи, приходящаяся на один нуклон.
изменение энергии при ядерной реакции; ∑mi − сумма масс
Q=c (∑mi − ∑mj)
2
частиц до реакции; ∑mj − сумма масс частиц после реакции; при ∑mi > ∑mj − реакция идет с выделением энергии,
а при∑mi < ∑mj − реакция идет с поглощением энергии, c −
350
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
скорость света в вакууме.
dN = −λ. N . dt
(∆N= −λ⋅Ν⋅∆t)
T=
ln 2 0,693
=
λ
λ
dN − число ядер, распавшихся за промежуток времени от t до
t + dt, N − число нераспавшихся ядер к моменту времени t, λ −
постоянная радиоактивного распада.
T − период полураспада − время, за которое исходное число
радиоактивных ядер уменьшается в 2 раза.
закон радиоактивного распада: N0 − начальное число нерас-
Ν = Ν 0 ⋅ е − λ⋅t
Ν = Ν0 ⋅ 2
−
t
Τ
павшихся ядер (в момент времени t = 0); N − число нераспавшихся ядер к моменту времени t; Т − период полураспада; λ −
постоянная распада − равна доле ядер, распадающихся в единицу времени, и имеет смысл вероятности распада ядра за 1 с.
∆N=N0 − N
∆N − число ядер, распавшихся за время t.
τ=
1
T
T
=
=
λ ln2 0,693
A=
dN
= N ′t = λ ⋅ N
dt
τ − среднее время жизни радиоактивного ядра: λ − постоянная распада, Т − период полураспада.
A − активность ядра (нуклида) равна числу распадов,
происходящих за единицу времени.
A
Хz → A−4Yz−2 + 4He2
правило смещения для α − распада.
A
Хz → AYz+1+ 0e−1
правило смещения для β− − распада.
A
Хz → AYz−1 + 0e+1
правило смещения для β+ − распада.
A
Хz + 0e+1 → AYz−1
схема электронного захвата.
Х+а→Y+в
Х(а,в)Y
символическая запись ядерной реакции.
351
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение Д
(справочное)
Таблицы физических величин
Таблица Д.1 - Астрономические величины
Физические параметры
Масса, кг
Радиус, м
Средняя плотность, кг/м3
Среднее расстояние от Земли, км
Период обращения вокруг оси, сутки
Планета Солнечной системы
Меркурий
Венера
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Солнце
1,97⋅1030
6,95⋅108
1 410
1,496⋅108
25,4
Среднее расстояние от Солнца,
106 км
57,87
108,14
149,50
227,79
777,8
1426,1
2867,7
4494
Земля
5,98⋅1024
6,37⋅106
5 518
1,00
Период обращения вокруг Солнца, в годах
0,241
0,615
1,000
1,881
11,862
29,458
84,013
164,79
Луна
7,35⋅1022
1,74⋅106
3 350
384 440
27,3
Масса в единицах
массы Земли
0,056
0,817
1,000
0,108
318,35
95,22
14,58
17,26
Таблица Д.2 - Упругие постоянные. Предел прочности
Материал
Алюминий
Медь
Свинец
Сталь (железо)
Стекло
Вода
Модуль
Юнга
Е, ГПа
70
130
16
200
60
-
Модуль
сдвига
G, ГПа
26
40
5,6
81
30
-
Коэффициент Пуассона µ
0,34
0,34
0,44
0,29
0,25
-
352
Предел прочности на разрыв σпч, ГПа
0,10
0,30
0,015
0,60
0,05
-
Сжимаемость
β, ГПа-1
0,014
0,007
0,022
0,006
0,025
0,49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Д.3 - Плотность вещества (кг/м3)
Алмаз
Алюминий
Барий
Бериллий
Бор
Бром
Бронза
Ванадий
Висмут
Вольфрам
Гранит
Графит
Золото
Исландский шпат
Кадмий
Калий
Кварц
Кобальт
Каменная соль
Каменный уголь
Константан
Латунь
Лёд
Литий
Магний
Ацетон
Бензол
Бензин
Вода (+4 0С)
Глицерин
Керосин
Касторовое масло
Нефть
Ртуть
Азот
Аммиак
Водород
Воздух
Гелий
Твёрдое вещество
3 500
Манганин
2 700
Марганец
3500
Медь
1 840
Мрамор
2 400
Молибден
3 120
Натрий
8 700
Нейзильбер
6 020
Никель
9 800
Олово
19 100
Парафин
2 600
Платина
2 100
Пробка
19 300
Сахар
2 710
Свинец
8 650
Серебро
870
Слюда
2 650
Соль поваренная
8 900
Сталь (железо)
2 200
Стекло
1 350
Титан
8 800
Уран
8 500
Фарфор
900
Цезий
530
Цинк
1 740
Эбонит
Жидкости
Сероуглерод
792
Скипидар
880
Спирт этиловый
700
Солёная вода
1 000
Толуол
1 260
800
Тяжёлая вода
Уксусная кислота
900
Хлороформ
900
Эфир
13 600
Газы (при нормальных условиях)
1,25
Кислород
0,77
Метан
0,09
Неон
1,293
Углекислый газ
0,18
Хлор
353
8 400
7 800
8 900
2 700
10 200
970
8 600
8 900
7 400
900
21 500
240
1 590
11 300
10 500
2 900
2 100
7 800
2 400
4 500
19 000
2 300
1 900
7 000
1 800
1 260
858
789
1 030
870
1 100
1 049
1 483
720
1,43
0,72
0,9
1,98
3,21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Д.4 - Тепловые свойства веществ
Вещество
Алюминий
Висмут
Вольфрам
Золото
Латунь
Лёд
Медь
Никель
Олово
Ртуть
Свинец
Серебро
Сталь (железо)
Цинк
Вещество
Бензин (50 0С)
Вода (20 0С)
Глицерин
Масло трансформаторное (20 0С)
Ртуть
Спирт
Толуол
Эфир
Вещество
Азот
Водород
Воздух
Гелий
Кислород
1
2
Твёрдые тела
Удельная теплоТемпература
ёмкость,
плавления,
0
С
Дж/(кг⋅К)
896
660
130
271
195
3 420
134
1 063
386
900
2 100
0
395
1 083
460
1 453
280
232
-38,9
131
327
230
960
460
1 535
385
420
Жидкости
Удельная теплоТемпература киёмкость,
пения,
0
С
Дж/(кг⋅К)
2 095
100
4 190
290
2 420
1 800
138
2 510
1 730
2 340
357
78
111
35
Газы
Удельная теплоёмкость1,
кДж/(кг⋅К)
1,05
14,3
1,01
5,29
0,913
При постоянном давлении
При нормальном давлении
354
Удельная теплота
плавления,
кДж/кг
387
54
192
67
330
334
174
300
60
11,7
25
80
272
118
Удельная теплота
парообразования,
МДж/кг
2,25
0,284
0,853
0,364
0,846
Температура конденсации2,
0
С
-196
-253
-269
-183
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Д.5 - Плотность воды при различных температурах
Температура, 0С
Плотность, кг/м3
20
998
30
996
40
992
50
988
60
983
70
978
80
972
Таблица Д.6 - Коэффициенты теплового расширения (10-5 К-1)
Алмаз
Алюминий
Бронза
Дерево
Золото
Инвар
Кварц плавленый
Латунь
Лёд
Магний
Манганин
Вода (5 0С – 10 0С)
Вода (10 0С – 20 0С)
Вода (20 0С – 40 0С)
Вода (40 0С – 60 0С)
Вода (60 0С – 80 0С)
Ацетон
Бензол
Глицерин
Линейное расширение
0,118
Медь
2,4
Олово
2,0
Парафин
0,5
Платина
1,45
Свинец
0,09
Серебро
0,057
Сталь (железо)
1,9
Стекло
5,1
Фарфор
2,61
Цинк
1,81
Эбонит
Объёмное расширение
Керосин (бензин)
5,3
Масло
15
Нефть
30,2
Ртуть
45,8
Сероуглерод
58,7
Спирт этиловый
337
Толуол
673
50
Эфир
1,67
2,3
30
0,91
2,93
1,97
1,1
0,9
0,4
2,9
8,4
100
72
100
19
382
122
613
240
Таблица Д.7 - Критические значения температуры и давления
Вещество
Азот
Аммиак
Аргон
Бензол
Водород
Водяной
пар
Ткр, К
126
402
151
562
33
Ркр, МПа
3,4
3,39
4,87
4,8
1,3
647
21,77
Вещество
Воздух
Гелий
Кислород
Спирт
Углекислый газ
Хлор
Эфир
355
Ткр, К
133
5,2
154
517
304
417
467
Ркр, МПа
3,77
0,23
5,07
6,38
7,4
7,7
3,6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Д.8 - Коэффициенты поверхностного натяжения жидкостей при
20 0С, мН/м
Вещество
Анилин
Бензол
Вода
Вода (0 0С)
Вода (70 0С)
Глицерин
Золото (распл.
1 070 0С)
Коэффициент
43
30
73
75,5
64,2
64
610
Вещество
Касторовое масло
Керосин
Молоко
Мыльный раствор
Ртуть
Серебро (распл.
960 0С)
Спирт
Коэффициент
33
30
46
45
500
780
22
Таблица Д.9 - Скорость звука (м/с)
Алюминий
Вода
Водород
5 100
1 450
1 286
Воздух
Сталь (железо)
Кирпич
332
5 300
3 650
Таблица Д.10 - Диаметры молекул и атомов (нм)
Азот (N2)
Аргон (Ar)
Водород (Н2)
Водяной пар (Н2О)
Воздух
0,31
0,29
0,23
0,26
0,55
Гелий (Не)
Кислород (О2)
Оксид углерода (СО)
Углекислый газ (СО2)
Хлор (Cl2)
0,19
0,29
0,32
0,33
0,37
Таблица Д.11 - Удельная теплота сгорания топлива, МДж/кг
Авиационный бензин
Бензин
Водород
Дерево
Дизельное топливо
Каменный уголь
Керосин
48
46
120
10
42
30
46
Метан
Нефть
Порох
Природный газ
Спирт
Торф
Условное топливо
356
55
46
3,8
34
29
14
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Д.12 - Давление Р и плотность ρ насыщенного водяного пара
t, 0C
-28
-27
-26
-25
-24
-23
-22
-21
-20
-19
-18
-17
-16
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Р, Па
46,7
50,7
57,3
62,7
69,3
77,3
85,3
93,3
102,6
113,3
125,3
137,3
150,6
165,3
181,3
198,6
217,3
237,3
259,9
283,9
337,2
351,9
367,9
401,2
437,2
475,9
517,2
562,5
610,5
656,1
758,4
797,3
812,1
871,1
934,4
1 001,1
1 073,1
1 147,7
1 227,7
1 300,7
ρ, г/м3
0,41
0,46
0,51
0,55
0,66
0,68
0,73
0,80
0,85
0,96
1,05
1,15
1,27
1,38
1,51
1,65
1,80
1,96
2,14
2,33
2,54
2,76
2,99
3,24
3,51
3,81
4,13
4,47
4,84
5,22
5,60
5,98
6,40
6,84
7,3
7,8
8,3
8,8
9,4
10,0
t, 0C
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
38
39
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
357
Р, Па
1 402,3
1 519,6
1 598,3
1 704,9
1 816,9
1 936,8
2 063,5
2 196,8
2 338,1
2 486,0
2 643,3
2 808,6
2 983,3
3 167,2
3 360,5
3 567,1
3 779,1
4 004,3
4 241,6
4 603,2
4 753,6
5 029,4
5 316,7
5 622,6
5 939,8
6 623,6
6 990,3
7 374,2
9 581,6
12 330,3
15 729,4
19 915,0
24 993,8
31 152,2
38 577,0
47 334,8
57 798,9
70 089,1
84 498,9
101 303,0
ρ, г/м3
10,7
11,4
12,1
12,8
13,6
14,5
15,4
16,3
17,3
18,3
19,4
20,6
21,8
23,0
24,4
25,8
27,2
28,7
30,3
31,9
33,9
35,7
37,6
39,6
41,8
46,3
48,7
51,2
65,4
83,0
104,3
130
161
198
242
293
354
424
505
598
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Д.13 - Психрометрическая таблица
Показания
сухого
термометра
в 0С
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Относительная влажность в %
при разности показаний сухого и влажного термометров
в 0С
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
100 81 63 45 28 11
100 83 65 48 32 16
100 84 68 51 35 20
100 84 69 54 39 24 10
100 85 70 56 42 28 14
100 86 72 58 45 32 19
6
100 86 73 60 47 35 23 10
100 87 74 61 49 37 26 14
100 87 75 63 51 40 29 18
7
100 88 76 64 53 42 31 21 11
100 88 76 65 54 44 34 24 14
5
100 88 77 66 56 46 36 26 17
8
100 89 78 68 57 48 38 29 20 11
100 89 79 69 59 49 40 31 23 14
6
100 89 79 70 60 51 42 34 25 17
9
100 90 80 71 61 52 44 36 27 20 12
5
100 90 81 71 62 54 46 37 30 22 15
8
100 90 81 72 64 55 47 39 32 24 17 10
100 91 82 73 65 56 49 41 34 27 20 13
100 91 82 74 65 58 50 43 35 29 22 15
100 91 83 74 66 59 51 44 37 30 24 18
100 91 83 75 67 60 52 45 39 32 26 20
100 92 83 76 68 61 54 47 40 34 28 22
100 92 84 76 69 61 55 48 42 36 30 24
100 92 84 77 69 62 56 49 43 37 31 26
100 92 84 77 70 63 57 50 44 38 33 27
100 92 85 78 71 64 58 51 46 40 34 29
100 92 85 78 71 65 59 52 47 41 36 30
100 93 85 78 72 65 59 53 48 42 37 32
100 93 86 79 72 66 60 54 49 43 38 33
100 93 86 79 73 67 61 55 50 44 39 34
358
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Д.14 - Энергия ионизации
Вещество
Водород
Гелий
Литий
Ртуть
Еi, Дж
2,18⋅10-18
3,94⋅10-18
1,21⋅10-17
1,66⋅10-18
Еi, эВ
13,6
24,6
75,6
10,4
Таблица Д.15 - Диэлектрическая проницаемость ε веществ
ε
21
2,3
2,3
1,00058
81
7,8
4,4
6
4,67
2,6
3,7
2
2,2
8,3
36
2
Вещество
Ацетон
Бензол
Бумага
Воздух
Вода
Воск
Гуттаперча
Дерево (сухое)
Касторовое масло
Каучук
Кварц плавленный
Керосин
Масло трансформаторное
Мрамор
Нитробензол
Парафин
Вещество
Парафинированная бумага
Плексиглас
Полиэтилен
Рутил
Спирт метиловый
Спирт этиловый
Слюда
Соль каменная
Стекло
Титанат бария
Текстолит
Фарфор
Целлулоид
Шеллак
Эбонит
Янтарь
Таблица Д.16 - Удельное сопротивление ρ изоляторов (Ом⋅м)
Изолятор
Бумага
Парафин
Слюда
ρ
1010
1015
1013
Изолятор
Фарфор
Шеллак
Эбонит
Янтарь
359
ρ
1013
1014
1014
1017
ε
3,7
3,5
2,3
170
33
26
6
5,6
6
1200
7
6
3,9
3,4
3
2,8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Д.17 - Удельное сопротивление ρ и температурный коэффициент сопротивления α проводников
Проводник
Алюминий
Вольфрам
Графит
Железо
Золото
Константан
Латунь
Манганин
Медь
Никелин
ρ, нОм⋅м
28
55
8 000
98
20
480
71
450
17
420
α, К-1
0,0038
0,0051
0,0062
0,0040
0,00002
0,001
0,00003
0,0043
0,000017
Проводник
Никель
Нихром
Олово
Платина
Ртуть
Свинец
Серебро
Уголь
Фехраль
Цинк
ρ, нОм⋅м
73
1100
120
107
958
190
15
40
1200
60
α, К-1
0,0065
0,00026
0,0044
0,0039
0,0009
0,0042
0,004
-0,0008
0,0002
0,004
Таблица Д.18 - Электрохимические эквиваленты (мг/Кл)
Алюминий (Al3+)
Висмут (Bi3+)
Водород (Н+)
Железо (Fe2+)
Железо (Fe3+)
Золото (Au+)
Золото (Au2+)
Кислород (О2+)
Медь (Cu+)
0,093
0,719
0,0104
0,29
0,193
2,043
0,681
0,083
0,660
Медь (Cu2+)
Натрий (Na+)
Никель (Ni2+)
Никель (Ni3+)
Свинец (Pb2+)
Серебро (Ag+)
Хром (Cr3+)
Хлор (Cl+)
Цинк (Zn2+)
0,329
0,238
0,304
0,203
1,074
1,118
0,180
0,367
0,338
Таблица Д.19 - Показатели преломления (средние для видимых лучей)
Азот
Алмаз
Бензол
Вода (20 0С)
Воздух
Глицерин
Каменная соль
Кварц
Кислород
1,00030
2,42
1,50
1,33
1,00029
1,47
1,54
1,54
1,00027
Лёд (− 4 0С)
Масло кедровое
Плексиглас
Скипидар
Стекло
Сероуглерод
Скипидар (20 0С)
Спирт этиловый
360
1,31
1,52
1,50
1,47
1,5
1,630
1,47
1,36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Д.20 - Работа выхода электрона из металлов (эВ)
Алюминий
Барий
Висмут
Вольфрам
Германий
Железо
Золото
Калий
Кальций
Кобальт
Литий
Магний
Медь
3,74
2,29
4,62
4,5
4,8
4,74
4,68
2,0
2,8
4,25
2,4
3,46
4,47
Молибден
Натрий
Никель
Оксид бария
Платина
Ртуть
Рубидий
Серебро
Тантал
Титан
Торий
Цезий
Цинк
4,2
2,3
4,84
0,99
5,29
4,52
2,13
4,74
4,07
3,92
3,4
1,97
4,0
Таблица Д.21 - Интервалы длин волн, соответствующие различным цветам
спектра
Цвет спектра
Фиолетовый
Синий
Сине-зелёный
Зелёный
Интервал длин
волн, нм
400 – 430
430 – 450
450 – 500
500 – 570
Цвет спектра
Жёлтый
Оранжевый
Красный
Интервал длин
волн, нм
570 – 600
600 – 630
630 – 760
Таблица Д.22 - Периоды полураспада некоторых радиоактивных изотопов
Актиний 89Ас225
Висмут 83Bi210
Иридий 77Ir192
Йод 53I131
Кальций 20Са45
Кобальт 27Со60
Магний 12Mg27
Натрий 11Na24
Полоний 84Po210
10 сут
5,02 сут
75 сут
8 сут
164 сут
5,3 года
10 мин
15,3 час
138 сут
Радий 88Ra226
Радон 86Rn222
Стронций 38Sr90
Торий 90Th232
Углерод 6C14
Уран 92U235
Уран 92U238
Фосфор 15P32
Церий 58Ce144
361
1 620 лет
3,82 сут
28 лет
1,39⋅1011 лет
5 730 лет
7,1⋅108 лет
4,5⋅109 лет
14,3 сут
285 сут
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Д.23 - Масса и энергия покоя некоторых частиц
Частица
Электрон
Протон
Нейтрон
Дейтрон
α-частица
Нейтральный
π-мезон
кг
9,11⋅10-31
1,672⋅10-27
1,675⋅10-27
3,35⋅10-27
6,64⋅10-27
m0
2,41⋅10-28
а.е.м.
0,0005485
1,0072765
1,0086650
2,01355
4,00149
Дж
8,16⋅10-14
1,50⋅10-10
1,51⋅10-10
3,00⋅10-10
5,96⋅10-10
0,14498
2,16⋅10-11
Е0
МэВ
0,511
938
939
1 876
3 733
135
Таблица Д.24 - Массы некоторых изотопов (а.е.м.)
Изотоп
1
1H
2
1D
3
1T
3
2He
4
2He
6
3Li
7
3Li
7
4Be
8
4Be
9
4Be
10
5B
11
5B
11
6C
12
6C
13
6C
14
6C
13
7N
14
7N
15
7N
15
8O
16
8O
17
8O
19
9F
20
10Ne
Масса
1,007825
2,014102
3,016049
3,016029
4,002603
6,015123
7,016004
7,016931
8,005308
9,012182
10,012938
11,009305
11,011431
12,000000
13,003355
14,003242
13,005739
14,003074
15,000109
15,003072
15,994915
16,999131
18,998403
19,99244
Изотоп
23
11Na
24
11Na
23
12Mg
24
12Mg
27
13Al
28
13Al
28
14Si
30
14Si
31
14Si
30
15P
31
15P
40
19K
41
19K
40
20Ca
56
26Fe
59
27Co
60
29Ni
94
40Zr
131
54Xe
140
58Ce
206
82Pb
210
84Po
235
92U
238
92U
362
Масса
22,989770
23,990967
22,994135
23,985045
26,981541
27,9769
27,9769
29,97377
30,975349
29,978320
30,97376
39,962382
40,961825
39,962591
55,934939
58,93320
59,9308
93,906320
130,9051
139,90544
205,97445
209,98286
235,04393
238,05353
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Д.25 – Названия, символы и атомные массы химических элементов
1
Водород
Н
1,0079
9
Фтор
F
18,998403
2
Гелий
He
4,00260
10
Неон
Ne
20,179
3
Литий
Li
6,941
11
Натрий
Na
22,98977
4
Бериллий
Be
9,01218
12
Магний
Mg 24,305
5
Бор
B
10,81
13
Алюминий
Al
26,98154
6
Углерод
C
12,011
14
Кремний
Si
28,0855
7
Азот
N
14,0067
15
Фосфор
P
30,97376
8
Кислород
O
15,9994
16
Сера
S
32,06
17
Хлор
Cl
35,453
47
Серебро
Ag
107,868
18
Аргон
Ar
39,948
48
Кадмий
Cd
112,41
19
Калий
K
39,0983
49
Индий
In
114,82
20
Кальций
Ca
40,08
50
Олово
Sn
118,69
21
Скандий
Sc
44,9559
51
Сурьма
Sb
121,75
22
Титан
Ti
47,90
52
Теллур
Te
127,60
23
Ванадий
V
50,9415
53
Йод
I
126,9045
24
Хром
Cr
51,996
54
Ксенон
Xe
131,30
25
Марганец
Mn 54,9380
55
Цезий
Cs
132,9054
26
Железо
Fe
55,847
56
Барий
Ba
137,33
27
Кобальт
Co
58,9332
57
Лантан
La
138,9055
28
Никель
Ni
58,71
58
Церий
Ce
140,12
29
Медь
Cu
63,546
59
Празеодим
Pr
140,9077
30
Цинк
Zn
65,38
60
Неодим
Nd
144,24
31
Галлий
Ga
69,735
61
Прометий
Pm 145
32
Германий
Ge
72,59
62
Самарий
Sm 150,4
33
Мышьяк
As
74,9216
63
Европий
Eu
151,96
34
Селен
Se
78,96
64
Гадолиний
Gd
157,25
35
Бром
Br
79,904
65
Тербий
Tb
158,9254
36
Криптон
Kr
83,80
66
Диспрозий
Dy
162,50
363
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
37
Рубидий
Rb
85,467
67
Гольмий
Ho
164,9304
38
Стронций
Sr
87,62
68
Эрбий
Er
167,26
39
Иттрий
Y
88,9059
69
Тулий
Tm 168,9342
40
Цирконий
Zr
91,22
70
Иттербий
Yb
173,04
41
Ниобий
Nb 92,9064
71
Лютеций
Lu
174,967
42
Молибден
Mo 95,94
72
Гафний
Hf
178,49
43
Технеций
Tc
98,9062
73
Тантал
Ta
180,947
44
Рутений
Ru
101,07
74
Вольфрам
W
183,85
45
Родий
Rh
102,9055
75
Рений
Re
186,207
46
Палладий
Pd
106,4
76
Осмий
Os
190,2
77
Иридий
Ir
192,22
91
Протактиний Pa
231,0359
78
Платина
Pt
195,09
92
Уран
U
238,029
79
Золото
Au 196,9665
93
Нептуний
Np
237,0482
80
Ртуть
Hg 200,59
94
Плутоний
Pu
244
81
Таллий
Tl
204,37
95
Америций
Am 243
82
Свинец
Pb
207,2
96
Кюрий
Cm 247
83
Висмут
Bi
208,9804
97
Берклий
Bk
247
84
Полоний
Po
209
98
Калифорний
Cf
251
85
Астат
At
210
99
Эйнштейний
Es
254
86
Радон
Rn
222
100 Фермий
Fm 257
87
Франций
Fr
223
101 Менделевий
Md 258
88
Радий
Ra
226
102 Нобелий
No
259
89
Актиний
Ac
227
103 Лоуренсий
Lr
260
90
Торий
Th
231,0381
104 Курчатовий
Ku
260
364
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Д.26 - Греческий алфавит
Α, α - альфа
Ι, ι - йота
Ρ, ρ - ро
Β, β - бета
Κ, κ, æ - каппа
Σ, σ - сигма
Γ, γ - гамма
Λ, λ - лямбда
Τ, τ - тау
∆, δ - дельта
Μ, µ - мю
Υ, υ - ипсилон
Ε, ε - эпсилон
Ν, ν - ню
Φ, ϕ - фи
Ζ, ς - дзета
Ξ, ξ - кси
Χ, χ - хи
Η, η - эта
Ο, ο - омикрон
Ψ, ψ - пси
Θ, θ, ϑ - тэта
Π, π - пи
Ω, ω - омега
365
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1 145
Размер файла
1 880 Кб
Теги
классов, университетские, физики, школа, 7616, математические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа