close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1048.Методические указания по отдельным главам математики

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ОТДЕЛЬНЫМ ГЛАВАМ МАТЕМАТИКИ
Составители:
Т. Э. Кукарникова,
Л. Б. Краснова
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Утверждено научно-методическим советом юридического факультета
15 ноября 2010 г., протокол № 3
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. Э.К. Алгазинов
Методические указания подготовлены на кафедре криминалистики юридического факультета Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 1 курса дневного отделения, 2 курса вечернего и заочного отделений юридического факультета.
Для специальности 030501 – Юриспруденция
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Введение................................................................................................................. 4
Раздел 1. Комбинаторика ..................................................................................... 5
1.1. Общие правила комбинаторики ............................................................... 5
1.2. Выборки элементов.................................................................................... 6
1.3. Выборки элементов с повторениями ....................................................... 8
Раздел 2. Элементы теории вероятностей ........................................................ 10
2.1. Случайные события и операции над ними ............................................ 10
2.2. Вероятность события ............................................................................... 14
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Изучение юристами курса математики обусловлено необходимостью
ориентирования их в разнообразных математических методах, которые все
чаще и активнее применяются в самых разнообразных областях и сферах
экономической, хозяйственной и т.п. жизни общества, составляющих правовое поле юридической деятельности.
Основной целью преподавания данного курса для юристов является
овладение теоретическими основами науки, приобретение навыков решения
прикладных задач и их применения в юридической практике.
Вероятностно-статистические методы применяются практически во
всех областях науки, в экономике, военном деле, технике, медицине, юридической практике, криминалистике и т.д. Эти методы базируются на понятиях
случайного события и вероятности, а также на правилах комбинаторики.
Данные методические указания содержат краткий перечень основных
понятий комбинаторики и теории вероятностей, примеров, задач и дополнительных заданий. В конце каждой темы предложены решения типовых
задач. Дополнительные задания предназначены для самостоятельной работы студентов.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Раздел 1. Комбинаторика
Комбинаторика – это область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным
условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству.
1.1. Общие правила комбинаторики
1. Правило суммы
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а объект В – k
способами (не такими, как объект А), то выбор одного из этих объектов (т.е.
объект «либо А, либо В») можно осуществить m + k способами.
Иными словами, если в комбинаторной задаче имеется (возможно, на
каком-то внутреннем этапе) несколько взаимоисключающих случаев/вариантов выбора, то общее число способов равно сумме количеств способов в каждом из этих случаев.
2. Правило произведения
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а после каждого
такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от выбора объекта А) k способами, то пары объектов А и В можно выбрать mk способами.
Иными словами, если способ (количество которых надо посчитать)
полностью определяется несколькими независимыми друг от друга этапами
выбора (на каждом этапе выбор вариантов – взаимоисключающий!), то общее число способов равно произведению количеств вариантов выбора на
каждом этапе.
Примеры.
Задача 1. Из города А в город Б ведет 6 дорог, из города Б в город В –
4 дороги, и больше никаких дорог из этих городов не выходит. Сколькими
путями можно проехать из города А в город В?
Решение: На первом этапе нам надо выбрать дорогу, по которой мы
поедем из А в Б, и здесь у нас есть 6 вариантов. На втором этапе надо выбрать дорогу, по которой мы поедем из Б в В, и там у нас 4 варианта. Эти два
этапа полностью определяют путь проезда. Выбор независим, т.к. по какой
бы дороге мы не поехали в Б, мы сможем потом поехать в В по любой из дорог. Таким образом, мы имеем дело с независимыми этапами выбора, и
должны перемножать варианты. Всего получаем 6 × 4 = 24 различных пути.
Задача 2. В букинистическом магазине имеются 6 экземпляров романа
И.С. Тургенева «Рудин», 3 экземпляра его же романа «Дворянское гнездо» и
4 экземпляра романа «Отцы и дети». Кроме того, есть 5 томов, содержащих
романы «Рудин» и «Дворянское гнездо», и 7 томов, содержащих романы
«Дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Сколькими способами можно сделать
покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из этих романов?
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение: Можно купить либо по экземпляру каждого романа, либо
том, содержащий два романа и экземпляр третьего романа. По правилам
суммы и произведения получаем: 6 × 3 × 4 + 5 × 4 + 7 × 6 = 134 способа.
Задания.
1. На вершину горы ведут 5 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее? То же самое при условии, что
спуск и подъем происходят по разным путям.
2. Сколькими способами можно указать на шахматной доске два
квадрата – черный и белый? А если нет ограничений на цвет выбранных
квадратов?
3. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и
черный квадраты, не лежащие на одной и той же горизонтали и вертикали?
4. Из 3 экземпляров учебника по криминалистике, 7 экземпляров
учебника по уголовному праву и 5 экземпляров учебника по гражданскому
процессу надо выбрать по одному экземпляру каждого учебника. Сколькими способами это можно сделать?
1.2. Выборки элементов
1. Размещениями из n элементов по m называются такие выборки,
которые, имея по m элементов, выбранных из числа данных n элементов,
отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их
расположения ( Anm ) .
Anm = n * (n − 1) * (n − 2) *...* (n − m + 1)
или
n!
Anm =
(n − m)!
Замечание! Обозначение n! (читается «n-факториал») обозначает произведение
всех натуральных чисел от 1 до n, т.е. n! = 1 * 2 *...* (n – 1) * n.
1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120.
Считается, что 0!=1. Данное равенство обеспечивает верность формул, содержащих факториалы, для крайних случаев, когда одно из чисел под факториалом равно 0.
2. Размещения, которые отличаются только порядком расположения
элементов, но не самими элементами, называются перестановками (Pn).
Pn = Ann = n!
3. Выборки из n элементов по m, которые отличаются одна от другой
лишь составом элементов, называются сочетаниями (Cnm ) .
n!
Cnm =
(n − m)!* m!
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Примеры.
Задача 3. По Конституции, флаг страны состоит из трех одинаковых
горизонтальных полос трех различных цветов, причем на флаге могут быть
только белый, красный, желтый, зеленый, голубой и черный цвета. Сколько
разных флагов разрешает такая Конституция?
Решение: Мы имеем дело с выбором 3 из 6. Выбор происходит без
повторений (цвета должны быть различны) и с учетом порядка (важно, какой цвет вверху, какой внизу и какой в середине). Согласно формуле числа
размещений ответом будет число A63 = 6 * 5 * 4 = 120 .
Задача 4. Один профессор юридического факультета написал 6 книг,
другой – 8. Каждый из хочет подарить другому 3 свои книги с автографом.
Сколькими способами они могут обменяться подарками?
Решение: Первый профессор может выбрать для подарка 3 книги из
своих 6, а это можно сделать C63 = 20 способами. Второй профессор может
выбрать для подарка 3 книги из своих 8, уже C83 = 56 способами. Оба выбора
происходят независимо и однозначно определяют способ обмена, поэтому
варианты нужно перемножать. Ответ: C63 × C83 = 56 × 20 = 1120 способов.
Задача 5. Сколькими способами можно выставить по кругу красный,
коричневый, зеленый, голубой и звездно-полосатый флаги? (расстановки,
отличающиеся поворотом круга, считаются одинаковыми).
Решение: Возьмем еще 5 флагов тех же цветов и будем выставлять в
ряд: первый в ряду всегда будет звездно-полосатый, а следующие 4 идут в том
же порядке, в каком 4 флага в круге следуют по часовой стрелке после звездно-полосатого. Например, расстановке (Кр)–(Зел)–(Гол)–(Зв-пол)–(Кор)–(Кр)
(изображен порядок флагов по кругу по часовой стрелке) будет соответствовать ряд (Зв-пол)–(Кор)–(Кр)–(Зел)–(Гол). Понятно, что любой расстановке по
кругу соответствует какой-то ряд, и любому ряду, начинающемуся со звезднополосатого флага, соответствует какая-то расстановка по кругу (просто надо
поставить звездно-полосатый флаг и вслед за ним по кругу, по часовой стрелке, выставить остальные 4 флага в том же порядке, в каком они были в ряду).
Значит, расстановок флагов по кругу ровно столько же, сколько расстановок в
ряд, начинающихся со звездно-полосатого флага. Этих расстановок будет
ровно 4! = 24, так как реально мы расставляем только 4 флага (а звезднополосатый всегда будет на первом месте). Ответ: 24 способа.
Это рассуждение можно сильно упростить: всего есть 5! расстановок
флагов (или вдоль ряда, или вдоль круга), но они объединяются в группы по
5 штук, переходящих друг в друга при повороте круга (проверьте, что поворотов, переводящих расстановку в расстановку, ровно пять!). Поэтому в ответе будет 5!/5 = 4! = 24 способа.
Замечание! n предметов по кругу можно выставить ровно (n – 1)! способами. Но это
верно только если расстановки, отличающиеся поворотом круга, считаются одинаковыми.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задания.
1. Студенты одной группы должны сдать 5 экзаменов в течение восемнадцати дней. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов, если в один день разрешается сдавать не более одного экзамена?
2. Сколько разных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2,
3, 4, 5, при условии, что ни одна цифра не повторяется?
3. Одна из воюющих сторон захватила в плен 12 солдат, а вторая –
14. Сколькими способами можно обменять 5 военнопленных?
4. На состязании по стрельбе каждый из пяти стрелков старается поразить каждую из девяти мишеней. Сколько возможно различных исходов
такого состязания?
5. В компьютерный класс свободного доступа куплены 3 новых системных блока. В классе также есть свободные 4 клавиатуры, 5 «мышек» и 6
мониторов (все клавиатуры, «мышки» и мониторы отличаются друг от друга). Сколькими способами можно укомплектовать все три компьютера (к
каждому подключают одну клавиатуру, одну «мышку» и один монитор)?
6. Пин-код моей телефонной карточки состоит из пяти букв (всего в
алфавите используется 24 буквы) и шести цифр (используются все 10
цифр). Интересно, сколько таких карточек можно закодировать подобным
образом, чтобы никакие две карточки не имели одинаковой кодировки?
7. В переговорах участвуют представители n стран по 8 представителей от каждой страны. Сколькими способами можно их разместить для фотографирования в один ряд так, чтобы рядом с каждым был представитель
той же страны?
1.3. Выборки элементов с повторениями
1. Размещения с повторениями: Anm = n m
n!
n1 !* n2 !*⋅ ⋅⋅ nk !
(m + n − 1)!
3. Сочетания с повторениями: Cnm =
(n − 1)!* m!
Примеры.
Задача 6. Сколько шестизначных номеров можно составить из десяти
цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Решение. Так как играет роль порядок расположения элементов, но
каждый из них может встретиться несколько раз, то число номеров равно
размещению с повторениями из десяти цифр по шесть. Ответ: A106 = 106.
2. Перестановки с повторениями: Pn1n2 ⋅⋅⋅nk =
Задача 7. Сколькими способами можно разложить 28 различных
предметов по четырем различным ящикам, так, чтобы в каждом ящике оказалось по 7 предметов?
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Пометим все ящики цифрами 1, 2, 3, 4. Тогда число различных раскладок равно Р(7, 7, 7, 7). Т.е. число способов является перестанов28!
28!
.
ками с повторениями. Ответ: P(7, 7, 7, 7) =
=
7!7!7!7! (7!) 4
Задача 8. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной
работы. Сколькими способами их можно посадить в два ряда, чтобы рядом
не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот
же вариант?
Решение. Исходя из условия задачи имеем, что ученики сидят в два
ряда, по шесть человек в каждом, и у каждого ряда свой вариант. Значит,
число способов будет складываться из числа перестановок в каждом ряде
(т.е. 6!). Но при каждом раскладе этих перестановок два любых ученика могут поменяться рядами, а это число размещений с повторениями из 6 по 2
(т.е. 62). Значит, число способов уже стало (6!)2. Также необходимо учесть,
что эти два ряда можно поменять местами, следовательно, число способов
удвоится – 2*(6!)2. Это и будет необходимое нам число способов.
Задача 9. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов.
Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток?
21!
21!
Решение. Искомое число равно C1012 =
=
= 352716 .
12!(21 − 10)! 12!11!
Задания.
1. Сколько разных слов можно образовать при перестановке букв
слова «криминалистика»?
2. Сколько разных слов можно образовать при перестановке букв
слова «криминалистика», в которых 4 буквы «и» не стоят рядом?
3. Во многих дверных замках установлено 4 металлических шипа,
каждый из которых может находиться в одном из 10 положений. Если ключ
соответствует конфигурации замка, запор открывается. Сколько различных
ключей надо перебрать взломщику, чтобы проникнуть в квартиру (т.е.
сколько различных комбинаций предусматривает конструкция каждого однотипного замка)?
4. Сколько номеров, состоящих из двух букв, за которыми идут пять
цифр, можно составить, использовав 32 буквы и 10 цифр?
5. Сколькими способами можно построить в одну шеренгу игроков
двух футбольных команд так, чтобы при этом два футболиста одной команды не стояли рядом?
6. Сколько четырехзначных чисел можно образовать из цифр
0, 1, 2, 3, при условии, что цифры могут повторяться?
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Раздел 2. Элементы теории вероятностей
Вероятностно-статистические методы применяются практически во
всех областях науки: экономике, военном деле, технике, медицине, юридической практике, криминалистике и т.д. Эти методы базируются на понятиях случайного события и вероятности.
2.1. Случайные события и операции над ними
1. Испытанием (опытом) называется реализация данного комплекса условий, в результате которой непременно произойдет какое-нибудь
событие.
2. Случайным событием называется такой исход испытания или эксперимента, который при реализации данного комплекса условий может
произойти, а может и не произойти. (События обозначаются большими латинскими буквами – А, В, С и т.п.)
3. Достоверным событием называется такое событие, которое при
реализации данного комплекса условий непременно произойдет. (Обозначается буквой U).
4. Невозможным событием называется такое событие, которое заведомо не может произойти при реализации данного комплекса условий.
(Обозначается буквой V).
5. События А1, А2, А3, …, Аn считаются несовместимыми, если осуществление одного из них исключает осуществление других.
6. События А1, А2, А3, …, Аn считаются равновозможными, если условия испытания обеспечивают возможность осуществления каждого из них.
7. События А1, А2, А3, …, Аn образуют полную группу событий, если в
результате данного испытания непременно произойдет хотя бы одно из них.
8. События А1, А2, А3, …, Аn образуют полную группу несовместимых событий, если в результате данного испытания произойдет одно и
только одно событие данной группы.
9. Два события называются противоположными, если одно из них
происходит в том и только в том случае, когда не происходит другое. Событие, противоположное событию А обозначается А .
10. Противоположные события образуют полную группу событий.
11. Пространством элементарных исходов Е называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого
множества называют элементарными исходами (или элементарными событиями) и обозначают – еi.
Примеры.
Пример 1. Один раз подбрасывается кубик — игральная кость. Рассмотрим пространство элементарных исходов Е = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Примеры событий: А = {1, 2} – выпало одно или два очка; В = {1, 3, 5} –
выпало нечётное число очков.
Пример 2. Два раза подбрасывается игральная кость. Или, что то же
самое, один раз подбрасываются две игральные кости. Будем считать пространством элементарных исходов множество пар чисел (i, j), где i (сответственно, j) есть число очков, выпавших при первом (втором) подбрасывании:
E = {(i,j), где 1 ≤ i, j ≤ 6 }.
Примеры событий:
А = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)} – при первом подбрасывании выпало одно очко;
В = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)} – при втором подбрасывании
выпало одно очко;
С = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} – на костях выпало одинаковое число очков;
D = {(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)} – на обеих
костях выпало нечётное число очков.
12. Говорят, что событие А влечет за собой событие В, и пишут А ⊂ В ,
если всегда, как только происходит событие А, происходит и событие В. На
языке теории множеств это означает, что любое элементарное событие, входящее в множество А, принадлежит подмножеству элементарных событий,
представляющих событие В. В этом случае считают, что событие А является
частью события В.
Замечание! Часть события можно обозначить и по другому: В ⊃ А . Данное обозначение следует читать «В является следствием события А».
13. Если событие А является частью события В, а событие В, в свою
очередь, является частью события А, то А = В и говорят, что события А и В
равносильны.
14. Объединением (суммой) А ∪ В событий А и В называется событие С, состоящее в том, что произошло либо А, либо В, либо оба события
одновременно. На языке теории множеств А ∪ В есть множество, содержащее как элементарные исходы из множества А, так и элементарные исходы
из множества В.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. Пересечением (произведением) А ∩ В событий А и В называется
событие С, состоящее в том, что произошли оба события А и В одновременно. На языке теории множеств А ∩ В есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие в пересечение множеств А и В.
16. Дополнением А\В события В до А (или разностью событий А и В)
называется событие С, состоящее в том, что произошло событие А, но не
произошло В. Т.е. множество А\В содержит элементарные исходы, входящие в множество А, но не входящие в В.
Примеры.
Пример 3. Событие А – «лотерейный выигрыш 1000 руб.»
Событие В – «лотерейный выигрыш 2000 руб.»
Событие С – «лотерейный выигрыш 3000 руб.»
В чем состоит событие А + В + С?
Ответ: событие А + В + С – «лотерейный выигрыш не более 3000 руб.».
Пример 4. Событие А – «получение на экзамене положительной, достаточной для сдачи экзамена, оценки», событие В – «получение двойки».
В чем состоят события: А–В; В–А; А –В; А– В ?
Ответ: Событие А состоит из трех элементарных исходов: получение
тройки, четверки или пятерки. Событие В включает одно элементарное событие – получение двойки. События А и В принадлежат пространству элементарных событий Е, включающих 4 элементарных события – получение
двойки, тройки, четверки или пятерки. Таким образом события А и В являются не только несовместимыми, но и противоположными.
А–В=А
В–А=В
А – В = А – В = ∅.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 5. Событие А – «выпадение четного числа очков при подбрасывании игральной кости», событие В – «выпадение 3 очков при подбрасывании игральной кости», событие С – «выпадение не более 5 очков при подбрасывании игральной кости».
В чем состоят события: АВ, ВС, АС?
Ответ: АВ = V (данные события не могут произойти одновременно)
ВС – «выпадение трех очков»
АС – «выпадение двух или четырех очков».
Задания.
1. Придумайте три невозможных и три достоверных события.
2. Придумайте три события, которые образовывали бы полную группу несовместимых событий.
3. Какие из событий являются частью другого события:
а) А – «попадание в мишень первым выстрелом»
В – «попадание в мишень по меньшей мере одним из четырех выстрелов»
С – «попадание точно в мишень одним из двух выстрелов»
D – «попадание в мишень не более чем пятью выстрелами».
б) А – «появление 3 очков при бросании игральной кости»
В – «появление не более 3 очков при бросании игральной кости»
С – «появление не более 4 очков при бросании игральной кости».
4. Событие А – «попадание в мишень первым выстрелом», событие
В – «попадание в мишень вторым выстрелом». В чем состоит событие А + В?
5. Событие А – «появление 6 очков при бросании игральной кости»,
событие В – «появление 5 очков при бросании игральной кости», событие
С – «появление не более 4 очков при бросании игральной кости». В чем состоит событие А + В + С?
6. Выясните смысл событий: U + U, V + V, U + V.
7. Событие А – «попадание в мишень первым выстрелом», событие
В – «попадание в мишень вторым выстрелом». В чем состоит событие АВ?
8. Событие А – «выпадение нечетного числа очков при подбрасывании игральной кости», событие В – «не выпадение 3 очков при подбрасывании игральной кости», событие С – «не выпадение 5 очков при подбрасывании игральной кости». В чем состоят события: АВС, АВ, ВС, АС?
9. Рассмотрев конкретные события, определите справедливость равенств:
а) А + В = А + В ;
б) АВ = А + В ;
в) А + В = А ∗ В ;
г) А + В + С = А ∗ В ∗ С ;
д) А + В + С = АВС .
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. Событие А – «попадание в мишень первым выстрелом», событие В –
«попадание в мишень вторым выстрелом». В чем состоит событие А – В?
11. Событие А – «получение на экзамене достаточной для сдачи экзамена оценки», событие В – «получение пятерки». В чем состоят события:
А − В ; А − В; А − В ; А − В ; А − В ?
12. Событие А – «появление 3 очков при бросании игральной кости»,
событие В – «появление нечетного числа очков», событие С – «появление
не более 5 очков». В чем состоит событие АВ–С?
2.2. Вероятность события
1. Вероятностью события А называется отношение числа исходов,
благоприятных событию А, к числу всех исходов испытания.
m
P( A) = ,
n
m – число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих
событию А;
n – число элементарных событий, образующих полную группу равновозможных и попарно несовместимых событий.
I.
Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.
II. Вероятность достоверного события равна единице.
III. Вероятность невозможного события равна нулю.
2. Вероятность суммы попарно несовместимых событий равна
сумме вероятностей этих событий.
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
3. Вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления.
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)
4. Если вероятность появления события В зависит от того, произошло
или не произошло событие А, говорят, что вероятность появления события
В условная.
Р(В/A) – вероятность события В при условии, что А произошло.
5. Вероятность произведения двух совместимых событий равна
произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, при условии, что первое произошло.
Р(АВ) = Р(А)*Р(В/А) = Р(В)*Р(А/В)
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Замечание! Методом математической индукции данную формулу можно распространить на любое количество событий. Например, для трех событий она выглядит следующим образом:
Р(АВС) = Р(А)Р(В/А)Р(С/АВ),
а для четырех событий она имеет вид:
Р(АВСD) = P(A)P(B/A)P(C/AB)P(D/ABC).
6. Событие В называется независимым от А, если его вероятность не
зависит от того, произошло или не произошло событие А.
Р(В/А) = Р(В)
7. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Р(АВ) = Р(А) ∗ Р(В)
Р(А1 ∗ А2 ∗ … ∗ Аn) = Р(А1) ∗ Р(А2) ∗ … ∗ Р(Аn)
8. Формула полной вероятности:
Р(А) = Р(А/В1) ∗ Р(В1) + Р(А/В2) ∗ Р(В2) +…+ Р(А/Вn) ∗ Р(Вn)
используется, если выполняются следующие условия:
а) событие А происходит вместе с одним из событий В1,В2…Вn;
б) события В1,В2…Вn попарно несовместимы;
в) события В1,В2…Вn образуют полную группу несовместимых событий.
9. Формула Байеса:
Р ( Bi / A) =
P ( Bi ) ∗ P ( A / Bi )
, I = 1…n.
P ( A / B1 ) ∗ P ( B1 ) + P ( A / B2 ) ∗ P ( B2 ) + ... + P ( A / Bn ) ∗ P( Bn )
Примеры.
Задача 1. Инвестор формирует портфель ценных бумаг. Он может
вложить свои деньги в акции 5 различных фирм. Сколькими способами инвестор может образовать набор из 7 акций и какова вероятность того, что в
набор попадут 4 акции, принадлежащие различным фирмам?
Решение. По условию из акций, количество типов которых n = 5, инвестор составляет комбинации из 7 акций (m = 7). В число таких комбинаций может в том числе входить и такая, в которой все 7 акций принадлежат
какой-то одной фирме. Очевидно, что для инвестора важен только состав
комбинации (выборки): акции каких фирм и в каком количестве выбраны, и
совсем не важен порядок следования отобранных акций. Поэтому количество таких комбинаций равно числу сочетаний с повторениями из элементов
n = 5 типов по m = 7 элементов:
(5 + 7 − 1! 11!
7
=
C 5 7!(5 − 1)! = 7! 4! = 330 .
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Среди этих комбинаций количество таких, в которых 4 акции принадлежат различным фирмам, равно числу сочетаний без повторений из 5 элементов (5 различных фирм) по 4:
5!
4
=
С 5 4!⋅1! = 5 .
По классической формуле вероятности имеем:
m
P= =
n
C
C
4
5
7
=
5
1
=
.
330 66
5
Задача 2. В урне 8 белых, 5 синих и 2 красных шара. Какова вероятность того, что вынутый шар будет синего или красного цвета?
Решение. Пусть событие А состоит в том, что вынут синий шар, а событие В – в том, что вынут красный шар. Тогда
2
5
Р ( А) = ; Р ( В ) =
.
15
15
Событие А + В означает, что вынут шар синего или красного цвета.
Так как события А и В несовместимы, то вероятность события А + В вычисляется по формуле:
5
2
7
Р( А + В) =
+
=
.
15 15 15
Задача 3. Два стрелка независимо один от другого делают по одному
выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком – 0,5, вторым – 0,6. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?
Решение. Пусть событие А состоит в том, мишень поразил первый
стрелок, а событие В – в том, что мишень поражена вторым стрелком. По
условию Р(А) = 0,5 и Р(В) = 0,6. Нас интересует вероятность события С –
«мишень поражена первым или вторым стрелком» (С = А + В). События А
и В совместимы, поэтому воспользуемся формулой вероятности суммы совместимых событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,5 + 0,6 – 0,3 = 0,8.
Задача 4. Из колоды карт выбирают две. Какова вероятность того, что
будут вынуты два туза?
Решение. Пусть событие В состоит в том, что первая карта туз, а событие А – вторая карта туз. Нужно найти вероятность произведения АВ.
Так как события А и В совместимы, имеем:
4 3 1 3
1
P ( AB) = P( B) P ( A / B) = × = × =
.
36 35 9 35 105
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 5. Из 13 карточек составлено слово РАССЛЕДОВАНИЕ. Из
них выбирают поочередно 4 карточки и приставляют одну к другой. Какова
вероятность того, что получится слово «село»?
Решение. Определим события С, Е, Л, О, состоящие в том, что первая
выбранная буква – С, вторая – Е, третья – Л и четвертая – О. Нам нужно
найти вероятность произведения этих событий (т.к. они должны произойти
одновременно). Данные события совместимы, поэтому:
2 2 1 1
4
1
=
.
Р(СЕЛО) = P(С)P(Е/С)P(Л/СЕ)P(О/СЕЛ) = × × × =
13 11 9 8 10296 2574
Задача 6. Подбрасывают три монеты. Найти вероятность выпадения
гербов на всех трех монетах.
Решение. Пусть событие А – «появление герба при бросании первой
монеты», В – «появление герба при бросании второй монеты», С – «появление герба при бросании третьей монеты». Поскольку события А, В и С независимы, получим:
3
⎛1⎞ 1
Р(АВС) = Р(А) × Р(В) × Р(С) = ⎜ ⎟ = .
⎝ 2⎠ 8
Задача 7. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 с оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; для винтовки без оптического
прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразит мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок будет стрелять из винтовки с оптическим прицелом или без него?
Решение: Пусть событие А – «стрелок поразит мишень из наудачу
взятой винтовки», В1 – «наудачу взятая стрелком винтовка – с оптическим
прицелом», В2 – «наудачу взятая стрелком винтовка – без оптического прицела». По условию задачи имеем:
Р(В1) = 0,4; Р(В2) = 0,6; Р(A/B1) = 0,95; P(A/B2) = 0,8.
Событие А происходит с одним из событий В1 или B2. События В1 и
B2 образуют полную группу попарно несовместимых событий. Исходя из
этого, в данной задаче применимы формулы полной вероятности и Байеса.
Р(А) = Р(А/В1) ∗ Р(В1) + Р(А/В2) ∗ Р(В2) = 0,4 ∗ 0,95 + 0,6 ∗ 0,8 = 0,86
P( B1 ) * P( A / B1 ) 0,4 * 0,95 19
P( B1 / A) =
=
= ,
P( A)
0,86
43
P( B2 ) * P( A / B2 ) 0,6 * 0,8 24
P( B2 / A) =
=
= .
P( A)
0,86
43
Так как Р(В2/А) > Р(В1/А), то более вероятно, что стрелок будет стрелять из винтовки без оптического прицела.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задания.
1. Студент при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех
25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность
того, что студенту на экзамене достанется выученный билет?
2. Чемодан можно открыть, если правильно набрать шифр 22075 (при
наборе шифра цифра каждого разряда может быть любой от 0 до 9). Какова
вероятность того, что человек, набрав произвольно номер из пяти цифр,
сможет открыть чемодан?
3. Четырем игрокам раздается поровну колода из 36 карт. Определить
вероятность того, что каждый игрок получил карты только одной масти.
4. Номер телефона состоит из 6 цифр. Какова вероятность того, что
все цифры наугад набранного номера разные?
5. В урне 10 белых и 8 красных шаров. Одновременно наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что они разных цветов?
6. Какова вероятность получить слово «юрист», переставляя в случайном порядке буквы этого слова? Какова вероятность получить слово
«математика», переставляя в случайном порядке буквы этого слова?
7. В фирме работают 8 человек одинаковой квалификации, среди них
Иванов, Петров, Сидоров. Случайно выбранным трем из них (из восьми)
поручают три различных вида работ (первому выбранному – работу первого
вида, второму выбранному – второго вида, третьему – третьего вида). Какова вероятность того, что работа первого вида будет поручена Иванову, второго вида – Петрову, третьего – Сидорову?
8. Ведутся поиски четырех преступников. Каждый из них независимо
от других может быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5. Какова
вероятность того, что в течение суток обнаружат всех четырех преступников?
9. В партии из 23 деталей находятся 10 бракованных. Вынимают из
партии наудачу две детали. Используя классическое определение теории
вероятности определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся
бракованными.
10. В вопросах к зачету имеются 75 % вопросов, на которые студент
знает ответы. Преподаватель выбирает два вопроса и задает их студенту.
Определить вероятность того, что среди полученных студентом вопросов
есть хотя бы один, на который он знает ответ.
11. На складе находятся 26 деталей из которых 13 стандартные. Рабочий берет наугад одну за другой две детали. Какова вероятность того, что
обе детали окажутся стандартными?
12. Из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров, вынимают два
шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список рекомендуемых источников
Основная литература
Воронов М.В. Математика для студентов гуманитарных факультетов /
М.В. Воронов, Г.П. Мещерякова. – Ростов н/Д, 2002. – 384 с.
Информатика и математика для юристов : учебник для студентов вузов, обучающихся по юридическим специальностям / под ред.
С.Я. Казанцева, Н.М. Дубининой. – М., 2009. – 560 с.
Дополнительная литература
Андриашин Х.А. Информатика и математика для юристов : учебное
пособие / Х.А. Андриашин. – М., 2003. – 463 с.
Богатов Д.Ф. Математика для юристов в вопросах и ответах: учебное
пособие для образовательных учреждений юридического профиля /
Д.Ф. Богатов. – М., 2001. – 272 с.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей : учебник для вузов / Е.С. Вентцель. – М., 2001. – 576 с.
Виленкин Н.Я. Комбинаторика / Н.Я. Виленкин. – М., 1969. – 101 с.
Гнеденко Б.В. Элементарное введение в теорию вероятностей /
Б.В. Гнеденко, А.Я. Хинчин. – М., 1982. – 56 с.
Крахин А.В. Математика для юристов / А.В. Крахин. – М., 2005. – 200 с.
Просветов Г.И. Математика для юристов: задачи и решения /
Г.И. Просветов. – М., 2005. – 207 с.
Элькин В.Д. Основы информатики и математики для юристов : учебное пособие для вузов / В.Д. Элькин, Т.М. Беляева. – М., 2004. – 331 с.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ОТДЕЛЬНЫМ ГЛАВАМ МАТЕМАТИКИ
Составители:
Кукарникова Татьяна Эдуардовна,
Краснова Людмила Борисовна
Редактор И.Г. Валынкина
Подписано в печать 23.12.2010. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 1,2.
Тираж 200 экз. Заказ 1516.
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. (факс) +7 (4732) 598-026
http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@ppc.vsu.ru
Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра
Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
47
Размер файла
366 Кб
Теги
глава, указания, методические, математика, отдельных, 1048
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа