close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

2785.Рассеивающие свойства дискретных объектов в СВЧ диапазоне радиоволн методические указания по выполнению лабораторной работы

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Кафедра радиофизики
В.А. Тимофеев
Рассеивающие свойства
дискретных объектов
в СВЧ диапазоне радиоволн
Методические указания
по выполнению лабораторной работы
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов специальности Радиофизика и электроника
и направления подготовки Телекоммуникации
Ярославль 2006
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 621.38.01:53
ББК З 840я73
Т 41
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2006 года
Рецензент
кафедра радиофизики ЯрГУ
Т 41
Тимофеев, В.А. Рассеивающие свойства дискретных
объектов в СВЧ диапазоне радиоволн : методические указания по выполнению лабораторной работы / В.А. Тимофеев ;
Яросл. гос. ун-т. – Ярославль : ЯрГУ, 2006. – 52 с.
Рассматриваются вопросы, связанные с дифракцией
электромагнитных волн. Приводятся общие соотношения,
характеризующие взаимодействие электромагнитного излучения с дискретными объектами. Кратко представлены методы анализа дифракционных задач, возникающих в различных областях науки и техники для диапазона СВЧ. Рассмотрены статистические характеристики рассеивающих
свойств объектов.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 013800 Радиофизика и электроника и направлению подготовки Телекоммуникации очной и заочной форм
обучения (курс "Физика волновых процессов" и "Электромагнитные поля и волны", блоки ОПД, ДС).
Табл. 3. Рис. 14. Библиогр.: 9 назв.
УДК 621.38.01:53
ББК З 840я73
 Ярославский государственный университет, 2006
 В.А. Тимофеев, 2006
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В соответствии с Регламентом радиосвязи к радиодиапазону
относят электромагнитные волны с частотами от 3 кГц до 3 ТГц. В
этой классификации сверхвысокие частоты (СВЧ) занимают диапазон в границах от 3 ГГц до 30 ГГц, что соответствует длинам волн
от 1 до 10 сантиметров. Данный участок электромагнитного спектра начинает все более активно использоваться в различных системах связи, радиолокации, навигации и дистанционного зондирования. Это обусловлено, с одной стороны, перегруженностью соседних диапазонов метровых и дециметровых волн, а с другой стороны – известными перспективами применения СВЧ излучения.
Кроме того, развитие элементной базы, антенной техники позволило вплотную приступить к практическому внедрению и эксплуатации радиосистем различного назначения, функционирующих в
этом частотном диапазоне.
Во многих практически важных задачах приходится иметь дело с такой ситуацией, когда на пути электромагнитного излучения
встречается какой-либо объект (препятствие), электрофизические
параметры которого отличаются от свойств окружающего пространства. В этом случае волна, распространяется в пространстве,
как бы «огибает» данное препятствие. Это явление получило название дифракции (от латинского слова diffractus – изломанный). В
широком смысле дифракцией называется поведение поля в некоторой области, имеющей границу с теми или иными свойствами. Когда на пути распространения волны возникает какое-то препятствие, образуется рассеянное поле. Задача теории дифракции состоит
в определении поля вокруг препятствия, образованного в результате взаимодействия падающей и рассеянной волны.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Общая постановка задачи
С математической точки зрения теория дифракции, состоящая
в решении линейных дифференциальных уравнений в частных
производных с линейными краевыми условиями, настолько сложна, что до настоящего времени имеется строгое решение лишь для
небольшого числа задач.
С позиции электродинамики дифракционные проблемы относятся к внешним граничным задачам электродинамики [1 – 3]. Рассмотрим ее в самой общей постановке. Будем считать, что в области Vи заданы сторонние токи и заряды (рис. 1). Имеется объект V ,
ограниченный поверхностью S и заполненный материалом с комплексной диэлектрической и магнитной проницаемостями ε ка1 и
μа1 , соответственно. Электромагнитное поле на S удовлетворяет
заданным граничным условиям. Среда, заполняющая объем V0 , в
котором расположена точка наблюдения N, является линейной однородной и изотропной, ее параметры определяются комплексной
диэлектрической ε ка 0 и магнитной μ а0 проницаемостями. Область
Vи в общем случае может быть расположена на любом расстоянии
от объекта. Случай, когда область Vи расположена в непосредственной близости от поверхности S или на самой поверхности, характерен для антенной техники. Практический интерес при этом
представляет знание полного поля, являющегося наложением первичного (падающего) поля и вторичного (отраженного, или рассеянного объектом) поля. Полное поле порождает вся система, состоящая из стороннего источника и объекта. Целью решения граничной задачи в этом случае может быть, например, вычисление
амплитудной и фазовой диаграмм направленности излучающей
системы при заданных форме поверхности S объекта, граничном
условии на S и положении стороннего источника.
Область Vи может быть расположена на большом расстоянии
от объекта V . Этот случай характерен для радиолокации и связи.
Линейные размеры объекта при этом намного меньше расстояния
между антенной и объектом; можно считать, что это расстояние
стремится к бесконечности. При этом на объект падает локально
плоская волна. Целью решения граничной задачи в этом случае
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
может быть, например, вычисление амплитуды поля, рассеянного
объектом, в той точке наблюдения, где расположена приемная антенна (зонд), вычисление зависимости рассеянного поля от азимутального и угломестного углов (характеристики рассеяния – амплитудной и фазовой) при заданных форме объекта, положения
стороннего источника (передающей антенны), граничных условиях. Вектор Пойнтинга рассеянного поля в дальней зоне определяет
эффективную площадь рассеяния объекта, которая входит в основное уравнение радиолокации и используется при расчете радиолиний.
При решении задач дифракции считается, что векторы
на
пряженностей первичного (или падающего) поля Ei , H i , возбуждаемого сторонним источником в неограниченном пространстве
в отсутствие объекта V , известны. Векторы напряженностей
  вторичного (рассеянного объектом) поля обозначим через Es , H s .
Vи
V
ε кa0 , μ a 0
ε кa1, μ a1
N
Рис. 1.
Полное (дифракционное) поле определяется векторными суммами:

  


Ed = Ei + Es , H d = H i + H s .
(1)
Первичное поле известно. Поэтому при изучении дифракции
определяют амплитуды, фазы и поляризации векторов рассеянного или полного поля как функции формы и параметров ε ка1, μ а1
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
объекта. Форма и значения диэлектрических проницаемостей, интересных для практики препятствий, могут быть разнообразными,
накопление знаний об их рассеивающих свойствах возможно
следующими путями:
– получение строгих решений в замкнутой форме или численных решений для математических моделей, достаточно строго
соответствующих оригиналам,
– получение аналитических или численных решений для математических моделей, приближенно учитывающих свойства оригинала,
– экспериментальные исследования.
Результаты решений должны сопоставляться с результатами
измерений. Строгие решения в замкнутой форме могут играть
роль эталонных, с их помощью можно проверять точность приближенных решений.
В настоящее время под дифракцией понимаются задачи в более
широком смысле. К ним относятся задачи о распространении волн в
неоднородных направляющих системах, проникновение волн через
отверстие в экранах, «огибание» волнами различного рода препятствий, формирование и распространение пространственноограниченных волновых пучков, проникновение волн через различного рода решетки, явления отражения и поглощения волн препятствиями, возбуждение поверхностных волн, распространение волн в
неоднородной атмосфере земли и другие. Для обозначения объекта
V употребляются следующие термины: препятствие, переизлучатель, отражатель, рассеиватель, рассеивающая частица, экран, пассивная антенна, поглотитель, радиолокационная цель.
Основные характеристики дифракции
Рассмотрим рассеяние электромагнитной волны на произвольном объекте. Выберем в качестве оси z направление распространения падающего излучения. Для описания взаимодействия поля с
препятствием удобно ввести плоскость рассеяния, которая содержит направление падающей и рассеянной волны. Геометрия задачи
представлена на рис. 2.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В общем случае рассеянное поле носит различный характер. На
расстояниях r < D 2 λ ( D – характерный размер объекта, например
его диаметр, λ – длина волны падающего излучения) вследствие
интерференции
волн от различных точек препятствия амплитуда и

фаза поля Es меняются сложным образом. В этом случае говорят,
что точка наблюдения N находится
в ближней зоне объекта. При

2
r > 2 D λ рассеянное поле Es ведет себя как сферическая волна и
может быть представлено в виде [4]:

 
exp(ik (r − z ))
(2)
Es ( R) = f (θ, ϕ)
Ei ,
r

где функция f (θ, ϕ) называется амплитудой рассеяния и описывает амплитуду, фазу и поляризацию рассеянной волны в дальней зоне в направлении, задаваемом углами θ и ϕ . Следует отметить, что
поляризация рассеянного поля может отличаться от поляризации
падающей волны.
Рис. 2.
Рассмотрим
вектор Умова-Пойнтинга (плотность потока мощ
ности) Π s рассеянного поля на расстоянии r от объекта при падении на него
 поля с плотностью потока мощности, определяемой
вектором Π i . Для характеристики рассеивающих свойств вводится
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
понятие дифференциального сечения рассеяния следующим образом:



2
σ
(3)
σ d (θ , ϕ ) = lim r 2 Π s Π i = f (θ , ϕ ) = t φ (θ , ϕ ) ,
4
π
r →∞
 2
 2






E
E
1
1

i
s
∗
∗
Π i = Ei × H i =
где
mˆ i , Π s = Es × H s =
mˆ s ,
2
2Z В
2
2Z В
Z В = μa 0 ε ка 0 – волновое сопротивление (характеристический им 
педанс) среды, mˆ i , mˆ s – единичные векторы, определяющие на-
(
)
[
]
[
]
правление падающей и рассеянной волны, ∗ – означает комплексное сопряжение. Из формулы (3) следует, что σ d имеет размерность площади, деленной на телесный угол. Дифференциальное
сечение рассеяния имеет следующий физический смысл. Предположим, что в пределах телесного угла 1 стерадиан вблизи направ
ления m̂ s плотность потока мощности рассеянной волны постоян
на и равна значению для направления m̂i . Тогда поперечное сечение рассеяния объекта, от которого рассеивается такая мощность,

равно σ d ; отсюда ясно, что σ d меняется в зависимости от m̂ s .
Безразмерная величина φ(θ, ϕ) в (3) называется фазовой функцией
и широко используется в теории переноса излучения. Величина σt
называется полным сечением и характеризует долю мощности, которая рассеивается и поглощается объектом.
В радиолокационных приложениях часто используется бистатическое радиолокационное сечение рассеяния σbi и сечение обратного рассеяния (радиолокационное сечение рассеяния) σb . Они
связаны с σ d следующими соотношениями:
σ bi (θ , ϕ ) = 4πσ d (θ , ϕ ) , σ b (θ , ϕ ) = 4πσ d (π ,0) .
(4)
Величину σb называют также эффективной площадью (поверхностью) рассеяния (ЭПР). Физический смысл σbi можно выяснить аналогично тому, как это было сделано для σ d . Предположим, что в пределах полного телесного угла 4π плотность потока
мощности постоянна и равна значению плотности для направления

m̂ s . Тогда поперечное сечение площадки, от которой рассеивается
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

такая мощность, равно значению σ d для направления m̂ s , умноженному на 4π .
Поскольку электромагнитное поле носит векторный характер,
полную информацию о рассеивающих свойствах объекта можно
получить с учетом поляризации излучения. Т.к. любая поляризация
может быть представлена в виде суперпозиции двух линейных ортогональных поляризаций, запишем падающее и рассеянное поле в
виде разложения на параллельные и перпендикулярные компонен(см. рис. 2)
ты относительно
плоскости рассеяния


ˆ
ˆ


Ei = Ei||e|| + Ei ⊥ e⊥ , Es = Es||eˆ|| + Es ⊥ eˆ⊥ ,
(5)
 
где единичные векторы eˆ|| , eˆ⊥ – представляют собой линейный ор-
тонормированный базис
 
 
 
(6)
eˆ|| ⋅ eˆ|| = 1, eˆ⊥ ⋅ eˆ⊥ = 1, eˆ|| ⋅ eˆ⊥ = 0 .
В этом случае выражение (2) для определения рассеянного поля можно записать в матричном виде:
 Es ⊥  exp(ik ( r − z ))  f11 (θ , ϕ ) f12 (θ , ϕ )  Ei ⊥ 

 =
 ,
(7)


E
E
f
f
(
θ
,
ϕ
)
(
θ
,
ϕ
)
r
 21
 i || 
22
 s || 
(
)
(
)
(
)
где компоненты матрицы fij (θ, ϕ) характеризуют амплитуду и фазу рассеянного излучения при падении и рассеянии волны с соответствующей линейной поляризацией.
В некоторых приложениях удобнее представлять состояние
поляризации поля в виде суперпозиции волн с правой и левой круговой поляризацией (круговой базис). Связь между круговым и линейным ортонормированными базисами определяется формулами:






eˆR = eˆ|| + ieˆ⊥
2 , eˆL = eˆ|| − ieˆ⊥
2
,
(8а)
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
eR ⋅ eR = 1, eL ⋅ eL = 1, eR ⋅ eL = 0

 

 
eˆ|| = eˆR + eˆL
2 , eˆ⊥ = i eˆL − eˆR
2.
(8б)
(
(
(
)
)
(
)
)
(
(
(
)
)
)
В этом случае поле с произвольной поляризацией можно представить в виде





E = E||eˆ|| + E⊥ eˆ⊥ = ER eˆR + EL eˆL ,
(9)
а связь между компонентами разложения определяется с помощью
следующих соотношений:
(10)
ER = (E|| − iE⊥ ) 2 , E L = (E|| + iE⊥ ) 2 .
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда связь рассеянного поля с падающим определяется формулой, аналогичной формуле (7), в которой элементы матрицы
рассеяния fij (θ, ϕ) характеризуют амплитуду и фазу рассеянного
излучения для соответствующей круговой поляризации излучения.
В случае измерения энергетических характеристик (плотности
потока мощности) рассеивающие свойства объекта также могут
быть представлены в матричном виде, например бистатическое сечение рассеяния:
 f11 (θ , ϕ ) 2 f12 (θ , ϕ ) 2 
 σ bi ⊥ (θ , ϕ ) σ bi ⊥|| (θ , ϕ ) 

 = 4π 
[σ bi ] = 
2
2  .(11)

σ
(
θ
,
ϕ
)
σ
(
θ
,
ϕ
)
f 22 (θ , ϕ ) 
bi||
 bi||⊥

 f 21 (θ , ϕ )
Строго говоря, данные выше формулы, учитывающие поляризацию электромагнитной волны, справедливы для случая гармонического (когерентного, монохроматического) излучения. В ситуациях, когда это нарушается, описание поляризации ведется на основе матрицы когерентности или параметров Стокса.
Матрица когерентности поля [J ] определяется следующим
образом:
 ______* ______* 
 E|| E|| E|| E⊥ 
[J ] =  ______
(12)
______  ,
 E E* E E* 
⊥ ⊥
 ⊥ ||
где черта сверху означает усреднение по времени. Очевидно, что
диагональные элементы [J ] представляют собой средние интенсивности для соответствующей (линейной) поляризации, а другие –
взаимную корреляцию ортогональных компонент.
Параметры Стокса электромагнитного поля в принятых обозначениях имеют вид:
I = E|| E||* + E⊥ E⊥* ,
Q = E|| E||* − E⊥ E⊥* ,
*
|| ⊥
*
|| ⊥
*
⊥ ||
*
⊥ ||
U =EE +E E ,
(
)
(13)
V =i E E −E E .
Физический смысл компонент: I – полная интенсивность волны, Q – разность между интенсивностями волн с двумя линейными ортогональными поляризациями, U – разность между интенсивностями поля при повороте системы координат на 45° и 135°, V
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
– разность между интенсивностями составляющих с правой и левой поляризацией.
Очевидно, что
I + Q U + iV 
[J ] = 1 
.
(14)
2 U − iV I − Q 
Для полностью неполяризованной волны
Q2 = U 2 = V 2 = 0 ,
а для полностью поляризованной
I 2 = Q2 +U 2 +V 2.
Степень поляризации волны можно характеризовать как
Q2 + U 2 + V 2
;
(15а)
pw =
I
степень линейной поляризации:
Q2 + U 2
;
(15б)
pl =
I
степень круговой поляризации:
pc = V I .
(15в)
Тогда интенсивность поляризованной части волны можно
представить как
I п = pw I ,
(16а)
а неполяризованной
I нп = (1 − pw ) I .
(16б)
С помощью параметров Стокса или матрицы когерентности
можно определить поляризацию любой волны, в том числе и при
суперпозиции нескольких волн. Параметры Стокса результирующей волны будут определяться как сумма параметров Стокса отдельных волн. Аналогично и для матрицы когерентности.
Для случая частично монохроматического излучения рассеянное поле можно представить, например, через параметры Стокса в
следующем виде:
 Is 
 F11 F12 F13 F14  I i 
 

 
Q
F
F
F
F
1
 s
 21
22
23
24  Qi 
=
(17)
U  r 2  F
 U  ,
F
F
F
32
33
34
 s 
 31
 i 
Vs 
 F41 F42 F43 F44  Vi 
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где элементы матрицы (рассеяния) [F ] определяются через элементы матрицы f ij как
(
2
2
2
2
F11 = f11 + f12 + f 21 + f 22
(
(
) 2, F = ( f
∗
∗
)
12
2
11
(
2
2
− f 22 + f 21 − f12
∗
∗
2
) 2,
2
) 2,
)
F13 = Re f11 ⋅ f12 + f 22 ⋅ f 21 , F14 = Im f11 ⋅ f12 − f 22 ⋅ f 21 ,
2
2
2
2
F21 = f11 − f 22 − f 21 + f12
(
= Re( f
= Re( f
) 2, F = ( f
22
∗
∗
∗
∗
)
), F
), F
2
11
(
= Re( f
= Im( f
2
2
+ f 22 − f 21 − f12
∗
∗
∗
∗
∗
∗
)
),
),
F23 = Re f11 ⋅ f12 − f 22 ⋅ f 21 , F24 = Im f11 ⋅ f12 + f 22 ⋅ f 21 ,
F31
F33
(
= Im( f
11
⋅ f 21 + f 22 ⋅ f12
22
⋅ f11 + f12 ⋅ f 21
∗
∗
∗
∗
11
∗
21
)
), F
32
∗
34
(
= Re( f
11
⋅ f 21 − f 22 ⋅ f12
11
⋅ f 22 + f 21 ⋅ f12
∗
∗
∗
11
∗
21
)
).
F41 = Im f11 ⋅ f 21 + f 22 ⋅ f12 , F42 = Im f 21 ⋅ f11 − f 22 ⋅ f12 ,
F43
22
⋅f
− f12 ⋅ f
44
22
⋅f
− f12 ⋅ f
(18)
Методы решения дифракционных задач
При построении решения задачи дифракции электромагнитных
волн в строгой постановке ее обычно сводят либо к дифференциальному уравнению (уравнению Гельмгольца), либо к интегральным (в общем случае интегро-дифференциальным) уравнениям. Их
точное решение удается найти лишь в простейших случаях. Фундаментальный математический метод точного решения состоит в
разделении переменных и составлении дифференциального (интегрального) уравнения. Формальное решение путем разделения
переменных возможно лишь в нескольких особых случаях, когда
переменные в волновом уравнении удается разделить за счет использования системы координат, одна из координатных плоскостей которой совпадает с поверхностью тела. К этим случаям относятся такие геометрические формы, как цилиндр, сфера, сфероид, тор, и такие полубесконечные поверхности, как полуплоскость, коническая поверхность, параболоид и т.д. Анализ рассеивающих свойств таких объектов заслуживает большого внимания
частично потому, что исследования дифракции на телах основных геометрических форм позволяют глубже понять процесс
взаимодействия электромагнитного поля с объектами более
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сложных конфигураций, а также потому, что многие основные
геометрические формы являются довольно близкой аппроксимацией некоторых реальных препятствий. Кроме того, тела простой
формы широко используются в измерительных установках в качестве калибровочных отражателей. Располагая формулами для расчета их характеристик и сравнивая рассчитанные значения с измеренными, можно оценить суммарную погрешность измерений.
Для детального изучения рассеивающих свойств более сложных дискретных объектов используют различные приближенные
методы анализа (метод Гюйгенса-Кирхгофа, метод краевых волн,
геометрическую теорию дифракции и другие) или численные методы решения уравнений [1-3, 5]. Последние в настоящее время
становятся все более популярными в связи с развитием средств
вычислительной техники.
Рассмотрим применение точных методов. Проанализируем
задачу дифракции электромагнитной волны на бесконечном идеально проводящем круговом цилиндре. Геометрия задачи в плоскости xOy представлена на рис. 3. Ось цилиндра совпадает с ось
Oz
 , вектор напряженности электрического поля падающей волны
Ei параллелен этой оси. Случай ортогональной поляризации, ко
гда вектор напряженности Ei перпендикулярен оси, может быть
рассмотрен аналогично исходя из принципа двойственности

уравнений Максвелла заменой в решении на вектор H i , который
в этой ситуации будет параллелен оси. Радиус цилиндра – a .
y

Hi

Πi
x
Рис. 3.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В цилиндрической системе координат напряженность падающей волны
иметь только z -ю составляющую
 будет
ˆ

Ei = ez Ei 0 exp(ikx ) = eˆz Ei 0 exp(ikρCosϕ ) .
(19)
Рассматриваемая задача является двумерной (отсутствует зависимость от переменной z ), поэтому уравнение Гельмгольца
для напряженности рассеянного
  поля, которое также будет иметь
лишь z -ю составляющую ( Es = eˆz Es ( ρ , ϕ ) , принимает вид:
1 ∂  ∂Es  1 ∂ 2 Es
+ k 2 Es = 0, ρ ≥ a, 0 ≤ ϕ ≤ 2π .
(20)
+ 2
ρ
2
ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ ∂ϕ
На поверхности цилиндра касательная составляющая полного (дифракционного) поля должна обращаться в ноль, поэтому
граничное условие можно записать в следующем виде:
Es ( a, ϕ ) = − Ei 0 exp(ikaCosϕ ) .
(21)
При ρ → ∞ рассеянное поле должно иметь вид расходящейся
волны.
Решение уравнения (20) может быть получено методом разделения переменных (метод Фурье). Представим его в виде:
Es ( ρ , ϕ ) = R ( ρ )Φ (ϕ ) .
(22)
Выполнив дифференцирование в (20) и умножив его на
2
ρ RΦ , получим два уравнения:
1 ∂ 2Φ
(23а)
= −m 2 ,
2
Φ ∂ϕ
∂  ∂R 
ρ  ρ  + k 2 ρ 2 − m 2 R = 0 ,
(23б)
∂ρ  ∂ρ 
где m – произвольная константа.
Частные решения (23) имеют вид:
Φ m = AmCos( mϕ ) + Bm Sin( mϕ ) ,
(24а)
Rm = Cm H m(1) (kρ ) + Dm H m(2 ) (kρ ) ,
(24б)
(
)
где H m(1) ( x) и H m( 2) ( x) – цилиндрические функции Ганкеля первого
и второго рода.
Вследствие периодичности синуса и косинуса функции
Φ m (ϕ ) = Φ m (ϕ + 2π ) , поэтому m – целое число. Напряженность
поля (19) падающей волны – четная функция относительно угла ϕ .
Поэтому можно предположить, что поле рассеянной волны, а сле14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
довательно, и функции Φ m (ϕ ) также должны быть четными относительно ϕ . Таким образом постоянные Bm в (24а) должны быть
равны нулю. Асимптотическое поведение функций Ганкеля таково,
что при больших значениях аргумента фазовый множитель имеет
вид e ±ikρ , а амплитуда пропорциональна 2 πkρ . С учетом характера поведения рассеянного поля при ρ → ∞ решение для рассеянного поля можно представить в виде:
Es ( ρ , ϕ ) =
∞
 Dm H m( 2 ) (kρ )Cos(mϕ ) .
(25)
m=0
Неизвестные константы Dm могут быть найдены из граничного условия. Из теории бесселевых функций известно, что
∞
exp(ixCosϕ ) = J 0 ( x ) + 2  (i )m J m ( x )Cos( mϕ ) .
(26)
m =1
Подставив это выражение в правую часть выражения (21), а в
левую – полученное решение (25) при ρ = a , нетрудно получить
D0 = − Ei 0 J 0 ( ka ) H 0( 2 ) ( ka ) , Dm = −2(i ) m Ei 0 J m ( ka ) H m( 2 ) ( ka ) . (27)
Это позволяет записать решение для рассеянного поля в виде:
∞

 J 0 ( ka )

J ( ka ) ( 2 )
ˆ
( 2)
Es = − ez Ei 0  ( 2 )
H 0 ( kρ ) + 2  (i ) m (m2 )
H m ( kρ )Cos ( mϕ ) .(28)
H m ( ka )
m =1

 H 0 ( ka )
На рис. 4 представлены результаты расчетов угловой зависимости модуля рассеянного поля в дальней зоне ( ρ >> a , ρ >> λ )
при различных значениях дифракционного параметра ka .
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
90
120
60
0.8
150
30
0.6
0.4
180
0
210
330
240
300
270
ka=1
ka=2
ka=4
Рис. 4.
В зависимости от его величины рассеянное поле приобретает
различный характер. С увеличением ka возрастает вытянутость в
направлении назад ( ϕ = 180 ). В предельном случае, когда радиус
цилиндра стремится к бесконечности, приходим к задаче отражения от проводящей плоскости.
Граничная задача дифракции на шаре формулируется так же,
как и в случае цилиндра. Решение можно получить методом разделяющихся переменных. Отличие состоит в том, что необходимо использовать сферическую систему координат с центром,
совпадающим с центром шара. В общем случае для диэлектрического шара это решение называется решением Ми, по фамилии
автора, впервые получившего его. Представляя падающее, рассеянное и внутреннее поле в виде разложения на сферические
гармоники, можно путем выполнения граничных условий на поверхности шара получить выражения для коэффициентов в этом
разложении и таким образом представить явный вид для рассеянного поля. В дальней зоне, когда пропадает зависимость от радиальной координаты, эти выражения можно записать как [4]
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Esθ =
где
i exp(ikr )
i exp(ikr )
Ei 0 S1 (θ ) Sinϕ ,(29)
Ei 0 S2 (θ )Cosϕ , Esϕ = −
kr
kr
S1 (θ ) =
S2 (θ ) =
∞
2m + 1
 m(m + 1) [amν m (Cosθ ) + bmτ m (Cosθ )],
m =1
∞
2m + 1
 m(m + 1) [amτ m (Cosθ ) + bmν m (Cosθ )],
m =1
′
′
Ψm ( x ) Ψm ( ε к x ) − ε к Ψm ( x ) Ψm ( ε m x )
,
am =
′
′
Φ m ( x ) Ψm ( ε к x ) − ε к Φ m ( x ) Ψm ( ε к x )
′
Ψm′ ( x ) Ψm ( ε к x ) − ε к Ψm ( x ) Ψm ( ε к x )
,
bm =
′
′
Φ m ( x ) Ψm ( ε к x ) − ε к Φ m ( x ) Ψm ( ε к x )
Pm1 (Cosθ )
d
(Pm1 (Cosθ ) ),
ν m (Cosθ ) =
, τ m (Cosθ ) =
Sinθ
dθ
Ψm ( y ) = πy 2 J m +1 2 ( y ) и Φ m ( y ) = πy 2 H m( 2+)1 2 ( y ) – функции
Бесселя и Ганкеля комплексного аргумента, x = ka – безразмерный
параметр (дифракционный параметр), a – радиус шара,
ε к = ε ка1 ε ка 0 – относительная комплексная диэлектрическая про-
ницаемость шара, Pm1 – присоединенные функции Лежандра.
Решение (29) справедливо при любых соотношениях между
параметрами задачи. В данном случае можно получить явный вид
для элементов матрицы рассеяния
f11 = (i k )S1, f12 = f 21 = 0, f 22 = (i k )S 2 ,
(30)
а матрица сечения бистатического рассеяния принимает вид
2
0 
4π  S1 (θ )
[σ bi ] = 2 
(31)
2
k  0
S 2 (θ ) 
и в силу сферической симметрии не зависит от угла ϕ . Поскольку
из свойств присоединенных функций Лежандра следует, что
ν m ( −ϑ ) = ( −1)m −1ν m (ϑ ), τ m ( −ϑ ) = ( −1)m −1τ m (ϑ ) .
(32)
Поэтому
1 ∞


S1 (180 ) = − S2 (180 ) =  ( 2m + 1)( −1) m ( am − bm )
(33)
2 m =1
и эффективная площадь рассеяния (ЭПР)
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
π
2
∞
(34)
 (2m + 1)( −1) (am − bm ) .
k 2 m =1
На рис. 5 представлены результаты расчетов нормированных
значений σ b идеально проводящего шара в зависимости от дифракционного параметра ka = 2π a λ , которая фактически характеризует соотношение между длиной окружности шара и длиной
волны падающего излучения.
σb =
m
Рис. 5.
На этом рисунке отмечены три четко различающиеся области.
В низкочастотной (релеевской) области длина окружности меньше
λ и ЭПР меняется пропорционально четвертой степени длины
волны. Эта зависимость в релеевской области характерна для любого объекта, наибольший размер которого значительно меньше
длины волны. Такая зависимость может быть представлена в виде
σ b ~ a 6 λ4 ,
(35)
т.е. эффективная площадь рассеяния пропорциональна квадрату
объема объекта, умноженному на коэффициент, который учитывает форму тела и его ориентацию относительно поляризации падающей волны.
Увеличение нормированной длины окружности сферы 2πa λ
вносит осцилляции в кривую ЭПР, которые быстро сглаживаются
при дальнейшем увеличении 2πa λ и колеблются относительно
средней величины σ b πa 2 = 1 . Область, в которой эти колеба18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ния достаточно хорошо выражены ( 1 < 2πa λ < 10 ), называется областью Ми. Эту область называют также резонансной. Колебательный характер зависимости обусловлен интерференцией
между зеркальным отражением от облученной части сферы и
вкладом за счет волн, которые экспоненциально затухают по мере
того, как они обтекают обратную поверхность сферы, прежде чем
пойти в направлении, обратном относительно падающей волны.
В высокочастотной области ( 2πa λ > 10 ), которая называется
оптической областью, ЭПР постепенно приближается к зеркальному значению σ b = πa 2 , т.е. к площади проекции сферы.
Предельное значение для идеально проводящей сферы оказывается равным σb = πa 2 независимо от того, определяется ли оно на
основе точной теории (как это сделано выше), геометрической
теории дифракции, методов физической оптики или на основе
простой геометрической оптики. Таким образом, идеально проводящая сфера представляет собой особенно удобный объект для
исследования рассеивающих свойств.
Одним из простейших рассеивающих объектов является элементарный линейный вибратор. Для определения его эффективной площади рассеяния удобен подход, основанный на его рассмотрении в качестве приемно-передающей антенны [6]. В этом
случае можно воспользоваться результатами теории антенн. Если
угол между направлением падающей волны и нормалью к вибратору определить как θ , то для э.д.с. на его зажимах можно записать
E = Ei lдCosθ ,
(36)
где lд – действующая длина вибратора.
Под действием э.д.с. по вибратору потечет ток с амплитудой
I = E Z A = ( Ei lдCosθ ) Z A ,
(37)
Z A – входной импеданс вибратора.
Тогда напряженность поля, создаваемого вторичным излучением вибратора в дальней зоне, будет иметь вид:
Es = (60πIlдCosθ) rλ = 60πEi lд2Cos 2θ (rλZ A ).
(38)
Поэтому выражение для сечения обратного рассеяния можно
записать как
(
19
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)(
)
σb = 4π3 3600lд4Cos 4θ λ2 Z A2 .
(39)
В зависимости от соотношения между размерами вибратора l
и длиной волны ЭПР ведет себя по-разному. Так, в случае элементарного вибратора ( l λ << 1) действующая длина вибратора lд = l , а
активное сопротивление много меньше реактивной составляющей,
т.е.
(40)
Z A = RA2 + X A2 ≅ X A = Z виб λ πl ,
где Z виб = 120 ln (l a ) – волновое сопротивление вибратора радиусом
a . В результате ЭПР элементарного вибратора принимает следующий вид:
5
l6
4 π
σ b = 1,44 ⋅ 10 2 4 Cos 4θ ,
(41)
Z виб λ
что соответствует закону рассеяния Релея при l λ << 1.
В случае полуволнового вибратора ( l λ = 0.5 ) действующая
длина lд = λ π , а Z A = 73,2 Ом , поэтому выражение для ЭПР принимает вид:
σ b = 0,86λ2Cos 4θ .
(42)
Таким образом, сечение обратного рассеяния резонансного полуволнового вибратора значительно превышает его геометрическую площадь и достигает своего максимального значения, когда
вектор напряженности падающего поля параллелен его оси.
При дальнейшем увеличении электрической длины вибратора
зависимость ЭПР будет носить ярко выраженный резонансный характер для длин, кратных полуволне.
Матрица обратного рассеяния для вибратора имеет вид:
2
2 
 σ maxCos 4θ
Sin
Cos
σ
θ
θ
max
[σb ] = 
,
(43)
2
2
4

Sin
Cos
Cos
σ
θ
θ
σ
θ

 max
max
т.е. он является деполяризующим объектом.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приближенные методы анализа
Как уже отмечалось выше, решение задач дифракции электромагнитного излучения точными методами возможно только для
объектов простой конфигурации. Поэтому для решения практических задач используют, как правило, приближенные или численные
методы анализа. В случае, когда размеры тела значительно превышают длину волны, для определения поля вторичного излучения
(рассеянной волны) очень часто используют метод ГюйгенсаКирхгофа, согласно которому каждый элемент облучаемой поверхности следует рассматривать как источник элементарной сферической волны с определенной амплитудой и фазой, а результирующее
поле является суперпозицией этих элементарных волн. В направлении на точку приема налагающиеся колебания имеют всевозможные
сдвиги фаз и поэтому могут усиливать и ослаблять друг друга, так
что отражение носит резко интерференционный характер.
Метод Гюйгенса-Кирхгофа также называют методом физической оптики. Его очень часто используют при расчете полей излучения, в частности, в теории антенн. Математической основой его
является интеграл Кирхгофа, представляющий собой математическую формулировку физического принципа Гюйгенса-Френеля. Для
скалярной задачи это выражение имеет следующий вид [1, 3, 5]:
∂G 
1  ∂E
E (M ) =
G
E
(44)
−

dS ,

4π S  ∂n
∂n 
где G = e ikr r – функция точечного источника (функция Грина свободного пространства), которая описывает сферическую расходящуюся волну единичной амплитуды, а S – некоторая поверхность,
окружающая точку наблюдения N . Пользуясь данной формулой,
можно найти поле в любой точке объема по заданному распределению функции E и ее производной по поверхности S , ограничивающей этот объем. Для векторных полей обобщением (44) является интеграл Кирхгофа-Котлера [5].
Однако для конкретного применения принципа ГюйгенсаФренеля требуется знание распределения поля (или тока) на поверхности, возбуждаемой первичной волной. Точное решение этой
задачи найдено лишь в некоторых частных случаях и обычно задается приближенным распределением поля. Для случаев, когда ра21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
диус кривизны любого элемента поверхности больше длины волны, вся поверхность делится на освещенную (т.е. обращенную к
источнику S o ) и область тени (противоположная источнику S т ).
Для упрощения расчета используют граничные условия Кирхгофа,
согласно которым следует пренебречь наличием области полутени
и считать, что всюду в области тени на поверхности объекта поле
равно нулю.
Это позволяет в дальней зоне представить поле в виде:
Es =
(
2
2
ikz ik x + y
e
2z
e
iλ z
(
)
 Ei
So
2
2
 ξx + ηy 
− ik 

z

 dξdη =
(ξ, η)e
)
eikz ik x 2+zy
2πx 2πy
e
=
( 2π ) 2 A0 (
,
),
(45)
iλz
λz λz
где переменные ( x, y , z ) определяют координаты точки приема,
ξ ,η – координаты в плоскости объекта So , а величина A0 в теории
волн называется угловым спектром плоских волн [5] функции
Ei (ξ ,η ) . Как показывают эксперименты, граничные условия Кирхгофа выполняются тем точнее, чем больше соотношение между характерными размерами объекта и длиной волны падающего излучения.
Для некоторых простейших видов плоских объектов угловой
спектр может быть найден аналитически. Например, для прямоугольника с размерами a и b ( a >> λ , b >> λ ) в случае нормального
падения волны:
a2 b2
1
xξ 
yη 
 2πx 2πy 


,
exp
ik
exp
ik
−
−
Α0 


=

   z   z dξdη =
 λz λz  (2π)2 − a 2 − b 2
ab Sin(πxa λz ) Sin(πyb λz )
.
(46)
πyb λz
(2π )2 πxa λz
Поэтому ЭПР такой пластины определяется следующим выражением:
=
2
2
2
 ab   Sin(πxa λz )   Sin(πyb λz ) 
 
 .
(47)
σb = 4π  
λ
π
xa
λ
z
π
yb
λ
z
  
 

Для круглой пластины радиусом a выражение для углового
спектра можно получить, перейдя к полярным координатам
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ξ = ρCosϕ k x = qCosφ
, 
,

k
=
qSin
φ
η
=
ρ
Sin
ϕ
y


 ρ = ξ 2 + η 2
,

ϕ = arctg (η ξ )
 q = k 2 + k 2
x
y
.

φ = arctg (k y k x )
(48)
Поэтому
Α 0 (q, φ) =
2π a
1
ρe


(2π) 0 0
2
a
1
a
(
)
ρ
ρ
ρ
=
dρdϕ =
J
q
d
J1 (aq ) ,
0
2π 
2πq
− iρqCos (ϕ − φ )
0
(49)
где J 0 ( x ), J1 ( x ) – цилиндрические функции Бесселя нулевого и
первого порядка.
Тогда выражения для углового спектра и эффективной площади обратного рассеяния при дифракции на круглом отверстии принимают вид:
2
 2πa 2   J1 (2πρa λz )  2
a J1 (2πρa λz )
 
 .
, σb = 4π
(50)
Α0 =

  2πρa λz 
2π 2πρa λz
λ


Необходимо отметить, что ЭПР пластин увеличивается с ростом размеров (площади) объектов (см. формулы (48), (50)). Такая
зависимость объясняется тем, что с увеличением площади пластины растет мощность, падающая на пластину, и одновременно увеличиваются направленные свойства пластины как антенной системы. При этом ЭПР может значительно превышать геометрическую
площадь самой пластины. Кроме того, σb пластин носит многолепестковый характер. Чем больше отношение a λ , тем уже ширина
лепестков и тем более изрезана диаграмма ЭПР.
По своим поляризационным свойствам проводящая пластина
при условии, что ее размеры значительно превышают длину волны
излучения, является изотропным объектом, т.е.
0 
σ
 .
[σb ] =  b
(51)
0
σ

b
В таблице 1 приведены формулы для расчета ЭПР некоторых
дискретных объектов [7]. Представленные в этой таблице формулы
могут быть использованы для определения рассеивающих свойств
объектов в СВЧ диапазоне радиоволн (1 см ≤ λ ≤ 10 см ) с учетом
введенных ограничений на размеры рассеивателя.
2
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 1
σb
Форма объекта
Шар металлический
Шар диэлектрический
Обозначения
πa 2 , λ << a
144π5 a 6 λ4 , λ >> a
(
ε к − 1)
(
(
ε к − 1) πa 2 , λ << a
2
ε к − 1)
(
ε к − 1)
2
64π5a 6
4
Удлиненный сфероид
π b4 a2
Круглый
цилиндр
2π 2
 Sin(klCosθ)
al Sinθ
λ
 klCosθ 
Конус бесконечной
длины
Круглая
пластина
(диск)
Прямоугольная
пластина
4π
2
λ
(πa ) 
4π
2
λ
2
λ2 4
tg α
16π
2
2 2  2 J1 (2kaSinθ )
2


2kaSinθ
kaSinθCosϕ
2
 ×

2
 Sin(kbSinθSinϕ)
×
Cos 2θ

 kbSinθSinϕ 
Треугольная пластина
Трехгранник Вуда
4
4  Sin(kaSinθ 2 )
2
(
)
Cos
θ
a


θ
2
kaSin
4λ2


3π
4πa 4
3λ2
Произвольное
a
Произвольное
(1 − 2tg θ)
2 2
24
– радиус шара
εк = ε − i
σ
ωε 0
a
– большая полуось, b – малая полуось, λ << b
a , l – радиус и
длина цилиндра, θ
– угол к оси,
l >> λ
Вдоль
b
Под углом θ
α
– половинный
угол конуса
Вдоль
оси
a
– радиус диска,
Под углом θ
 Cos θ
2  Sin(kaSinθCosϕ)
(ab )
a - радиус шара
,
λ
λ >> a
Направле
ние m̂i
λ << a
a, b – стороны
пластины, λ << a ,
λ << b ,
θ, ϕ – углы, отно-
Под углом
( θ, ϕ )
сительно нормали
a
– сторона треугольника,
λ << a ,
θ – угол относительно нормали
a – длина ребра,
λ << a , θ – угол
относительно нормали
Под углом θ
Под углом θ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Основной недостаток метода Гюйгенса-Кирхгофа заключается
в том, что поле в области тени никак не зависит от характеристик
неосвещенной части поверхности: ее формы, кривизны, протяженности и др. Это следствие предположения об отсутствии поля (токов) на теневой части поверхности. Отмеченное может приводить к
существенным погрешностям и позволяет ожидать, что методом
физической оптики можно получить удовлетворительные результаты в тех случаях, когда токи на теневой части поверхности действительно малы. Очевидно, что с уменьшением кривизны и увеличением электрических размеров освещенной части поверхности
точность результатов, полученных методом физической оптики,
увеличивается. Критерием же точности этого метода может служить строгое решение задачи или эксперимент.
Метод краевых волн [2] в физической теории дифракции,
предложенный П. Я. Уфимцевым, является развитием и уточнением метода Гюйгенса-Кирхгофа применительно к выпуклым металлическим телам, поверхность которых имеет изломы (ребра). Основные положения этого метода заключаются в следующем.
Пусть плоская электромагнитная волна падает на идеально
проводящее тело, находящееся в однородной изотропной безграничной среде. Под действием этой волны на поверхности тела возникают электрические токи, которые создают вторичное поле. В
физической оптике в соответствии с граничными условиями Кирхгофа предполагается, что комплексная амплитуда плотности токов,
наведенных на поверхности тела S , равна
 
 0 2[nˆ × H i ] на So
jS = 
,
(52)
0
на
S

т

где H i – комплексная амплитуда напряженности магнитного поля

падающей волны; n̂ – единичный вектор нормали к поверхности S ,
а S o и S т – освещенная и теневая части поверхности тела.
Естественно предположить, что в действительности распределение токов jS на поверхности тела отличается от описываемого формулой (52). Представим его в виде



jS = jS0 + jS′ ,
(53)

где наличие дополнительного слагаемого jS′ можно рассматривать
как комплексную амплитуду плотности некоторого добавочного
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тока, обусловленного искривлением поверхности тела. Искривлением называют любое отклонение поверхности тела от бесконечной плоскости: плавное искривление, излом, выступ, отверстие

и т.д. Обычно составляющую jS0 принято называть равномерной

частью плотности тока, а составляющую jS′ – соответственно неравномерной.

Учет только составляющей jS0 дает решение задачи в приближении физической оптики. Для получения
более точного решения

нужно учесть также составляющую jS′ . Ее точное значение можно
найти лишь при строгом решении электродинамической задачи,
что во многих случаях сопряжено с большими математическими
трудностями. Поэтому приходится
ограничиться определением

приближенных значений jS′ . В ряде случаев это можно сделать на
основе упрощающих допущений.
Метод краевых волн позволяет находить приближенные значения составляющей неравномерной части тока, обусловленной наличием ребер на поверхности выпуклого идеально проводящего тела,
если его размеры и расстояние между ребрами велики по сравнению с длиной волны. В случае СВЧ диапазона это порядка не
скольких дециметров. Тогда можно предположить, что функция jS′
отлична от нуля только в непосредственной близости от ребра.
При этом распределение тока на малом элементе поверхности тела вблизи ее излома можно приближенно считать таким же, как на
соответствующем идеально проводящем бесконечном двухгранном угле (клине), который образован плоскостями, касательными
к поверхности тела в рассматриваемой точке ребра. Анализ распределения тока на клине при возбуждении последнего плоской
электромагнитной волной (данная задача имеет строгое решение)
показал, что ток на ребре клина имеет характер краевой волны,
распространяющейся от ребра, амплитуда тока быстро убывает с
удалением от ребра. Это позволяет получить удобные для расчетов
формулы для электромагнитного поля, создаваемого неравномерной составляющей тока. Полное поле записывается в виде суммы
поля, найденного в приближении физической оптики, и поля указанных краевых волн.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Описанная методика решения дифракционных задач позволяет
также учесть взаимное влияние соседних изломов поверхности
тела. Для этого нужно считать, что краевая волна, соответствующая неравномерной части тока, распространяясь вдоль поверхности
тела, достигает соседнего ребра и испытывает на нем дифракцию,
возбуждая вторичные краевые волны. Последние, в свою очередь,
порождают новые краевые волны и т.д.
На основе метода краевых волн были найдены решения ряда
практически важных задач. Численные расчеты показали, что полученные результаты удовлетворительно согласуются с результатами строгих решений (когда они могут быть получены) и экспериментальными данными.
Еще одним из эффективных методов решения задач дифракции на телах сложной конфигурации является геометрическая
теория дифракции (ГТД) [2, 8]. Этот метод, предложенный Б.
Келлером, является развитием и обобщением геометрической оптики. Основным ограничением его использования является условие малости длины волны по сравнению с размерами объекта. Как
и геометрическая оптика, ГТД базируется на предположении, что
электромагнитная энергия распространяется вдоль лучей, однако,
в отличие от геометрической оптики, в ней помимо падающих,
отраженных и преломленных лучей вводятся так называемые
дифракционные лучи. В случае идеально проводящих тел дифракционные лучи возникают при падении луча на ребро или
острую вершину поверхности рассматриваемого тела, а также если падающий луч совпадает с касательной к плавно изогнутой поверхности.
Если падающий луч попадает на ребро тела, то возникает система дифракционных лучей, как бы образующих поверхность кругового конуса с вершиной в точке пересечения падающего луча
ребром, называемой точкой дифракции (см. рис. 6а). При этом ось
конуса совпадает с касательной к ребру, а угол раскрыва конуса
( 2β ) равен удвоенному углу между падающим лучом и этой касательной. В тех случаях, когда падающий луч перпендикулярен
касательной к ребру тела (рис. 6б), коническая поверхность вырождается в плоскость, перпендикулярную к ребру в точке дифракции.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а)
б)
Рис. 6.
Если падающий луч попадает на острую вершину рассеивающего тела, то дифракционные лучи расходятся от нее во все стороны, как от точечного источника (рис. 7а). Если падающий луч совпадает с касательной к плавно изогнутой поверхности (рис. 7б), то
в точке касания (ее также называют точкой дифракции) оно расщепляется на два луча, один из которых является продолжением
падающего, а второй скользит по поверхности тела вдоль геодезической линии, образуя "поверхностный" луч. В каждой точке от
него отделяется прямолинейный дифракционный луч, совпадающий с касательной к поверхностному лучу в точке отрыва.
а)
б)
Рис. 7.
Таким образом, во всех случаях, когда возникают дифракционные лучи, наблюдается характерная особенность: один луч вы28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
зывает появление бесчисленного множества дифракционных лучей. Последние проникают в область геометрической тени и создают в ней некоторое поле. Кроме того, они изменяют поле в освещенной области.
Для определения поля в какой-либо точке пространства на основе ГТД нужно вначале найти все лучи, проходящие через данную точку, а затем вычислить поля, соответствующие каждому
лучу, и просуммировать их. Иными словами, комплексную амплитуду напряженности полного электрического поля в некоторой
точке N можно представить в виде:
  

E = Ei + Es + Ed ,
(54)
  
где Ei , Es , Ed – комплексные амплитуды векторов напряженности
электрических полей соответственно падающего, отраженного и
дифракционного лучей в точке N . Аналогично записывается выражение для комплексной амплитуды напряженности полного
магнитного поля
 в этой точке.
Вектор Es вычисляется в соответствии с законами геометри
ческой оптики. При определении вектора Ed , соответствующего
одному дифракционному лучу, предполагается,
что в точке ди
фракции N он пропорционален вектору Ei падающего луча. Кроме

того, предполагается, что фаза вектора Ed меняется линейно вдоль
луча, а характер изменения амплитуды устанавливается из условия
постоянства потока энергии вдоль соответствующей лучевой
(энергетической) трубки.
Эти предположения в равной мере отно
сятся и к вектору H d .
В соответствии с законами геометрической оптики для соотношения между комплексными амплитудами поля в двух
сечениях энергетической трубки, расположенных на расстоянии l друг от друга, можно записать [2, 5]


ρ1 ρ 2
E ( N 2 ) = E ( N1 )
exp(ikl ) ,
(55)
( ρ1 + l )( ρ 2 + l )
где ρ1 и ρ 2 – радиусы кривизны поверхности равных фаз.
Рассмотрим, как определяются дифракционные лучи, возникающие на ребре идеально проводящего тела. Комплексная ам29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

плитуда Ed напряженности электрического поля дифракционного
луча в точке N выражается через ее значение в некоторой точке
N 0′ в соответствии с формулой (55). Однако в рассматриваемом
случае в точке дифракции N 0 один из главных радиусов кривизны
обращается в ноль (например, ρ 2 → 0 при N 0′ → N 0 ): ребро является особой линией (каустикой) для дифракционных лучей. Поэтому,
устремляя в выражении (55) точку N 0′ к N 0 , получаем


Ed = C E ( N 0 ) ρ1 [l (ρ1 + l )] exp(ikl ),
(56)


где C E ( N 0 ) = lim Ed ( N 0′ ) ρ 2 .
N 0′ → N 0

Для вектора H d получается аналогичная формула, с той лишь

разницей, что там будет свое предельное значение C H ( N 0 ) . Отметим, что в отличие от комплексных
 амплитуд
 напряженностей дифракционных лучей, величины C E ( N 0 ) и C H ( N 0 ) являются ограниченными.
Радиус кривизны поверхности равных фаз дифракционной
волны зависит от формы ребра и направления падающего луча.
Его можно вычислить для любой конфигурации ребра по формуле
[
]
ρ1 = − ρ 0 Sin 2 β (Cosγ + ρ 0 β ′ ⋅ Sinβ ),
(57)
где γ – угол между рассматриваемым дифракционным лучом и
внутренней нормалью к ребру тела в точке N 0 ; β – угол между
падающим лучом и касательной к ребру в точке N 0 ; ρ 0 – радиус
кривизны ребра в точке N 0 ; а β ′ – производная угла β по длине
дуги вдоль ребра в точке N 0 (см. рис. 8).
Келлер предположил, что поле дифракционного луча связано с
полем падающего луча в точке дифракции в случае криволинейного ребра практически так же, как в случае прямолинейного ребра. Поэтому указанная связь в случае идеально проводящего тела
с криволинейным ребром, радиус кривизны которого ρ 0 >> λ ,
может быть установлена на основе анализа решения задачи дифракции плоскойэлектромагнитной волны на идеально проводящем клине. В точке дифракции N 0 ребро этого клина должно совпадать с касательной к ребру рассматриваемого тела, грани – с
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
плоскостями, касательными к поверхности тела, а направление
распространения плоской волны – с направлением падающего
луча, приходящего в точку N 0 . Известно, что такая задача (при
произвольном падении волны) сводится к анализу дифракции
двух

независимых плоских волн, в одной из которых вектор H i перпен
дикулярен ребру клина, а вектор Ei имеет параллельную ребру
составляющую (Е – поляризация), а во второй – составляющую,
параллельную ребру, имеет вектор H i (H – поляризация). При решении задачи можно ограничиться определением

 лишь параллельных ребру клина составляющих векторов Ed и H d , так как все
остальные составляющие векторов поля можно выразить через
Ed || и H d || . Соответственно можно ограничиться определением
связи между C E|| и Ei|| ( N 0 ) , а также между C H || и H i|| ( N 0 ) , где C E|| и


C H || – проекции векторов C E ( N 0 ) и C H ( N 0 ) на ребро клина в точке
N 0 . Келлер предположил, что эти величины пропорциональны, т.е.
C E|| = Ei|| ( N 0 ) DE ( N 0 ) и C H || = H i|| ( N 0 ) DH ( N 0 ) ,
(58)
а коэффициенты пропорциональности DE и DH назвал коэффициентами дифракции.
Рис. 8.
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В результате, после подстановки имеем
Ed || ( N ) = χ ( N 0 ) Ei|| ( N 0 ) DE ( N 0 ) exp(ikl ),
H d || ( N ) = χ ( N 0 ) H i|| ( N 0 ) DH ( N 0 ) exp(ikl ),
где
(59)
χ ( N 0 ) = l [1 − (l ρ 0 )(Cosγ + ρ 0 β ′Sinβ ) Sin 2 β ] .
Коэффициенты дифракции определяются путем сравнения
выражения (59) и аналогичного выражения для Ed || и H d || , записанных для случая прямолинейного ребра, с асимптотическими
выражениями для тех же составляющих векторов поля, вытекающими из строгого решения задачи дифракции плоской электромагнитной волны на идеально проводящем клине.
Рассмотрим дифракционные лучи, возникающие в случае, когда тело (идеально проводящее) имеет плавные изгибы. Геометрия
задачи представлена на рис. 9. В этом случае дифракционный луч
состоит из двух частей: из отрезка ( N 0 − N1 ) геодезической линии и
касательной к поверхности тела в точке N1 отрыва луча. Как
обычно, предполагается, что фазы составляющих векторов поля
изменяются линейно вдоль всего дифракционного луча, а величины векторов поля дифракционного и падающего лучей пропорциональны. Коэффициенты пропорциональности также называют
коэффициентами дифракции.
Рис. 9.


Векторы Ei и H i поля падающего луча в точке дифракции N 0
перпендикулярны к поверхностному лучу. Это поле в общем
случае можно представить в виде двух волн, одна из которых
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
имеет в точке N 0 только касательную к поверхности тела (но перпендикулярную к поверхностному лучу) составляющую комплексной амплитуды вектора напряженности электрического поля Eiτ и
нормальную к поверхности тела составляющую комплексной амплитуды вектора напряженности магнитного поля H in , а другая,
наоборот, только составляющие Ein и H iτ . Каждая из этих волн
возбуждает свою поверхностную волну, распространяющуюся
вдоль рассматриваемого поверхностного луча независимо от второй волны.
вместо коэффициента дифракции для
 Следовательно,

вектора Ed (или H d ), который в общем случае является тензором,
можно ввести скалярные коэффициенты дифракции для каждой из
составляющих Edn и Edτ (или соответственно для магнитной компоненты поля).
Рассмотрим вначале поле поверхностного луча, возникающее в
случае волны с составляющими Ein и H iτ . В качестве лучевой
трубки выберем узкую полоску поверхностных лучей (рис. 9).
Обозначим ее ширину в точке N 0 через Δσ 0 , а в точке N1 , отстоящей от N 0 на расстояние s , через Δσ ( s ) . От поверхностного луча
в каждой его точке отщепляется прямолинейный дифракционный
луч, идущий вдоль касательной к поверхностному лучу в точке
отрыва. Это эквивалентно излучению энергии с полоски поверхностных лучей. Предположим, что изменение потока энергии dP
на участке от s до s + ds вдоль выбранной лучевой трубки пропорционально потоку энергии P ( s ) и длине участка ds , т.е. справедливо равенство
dP = −2αP( s )ds ,
(60)
где 2α – коэффициент пропорциональности, а знак минус показывает, что поток энергии уменьшается вдоль луча. Величина α зависит от формы поверхности тела. Интегрируя формулу (60), находим
 s

P( s ) = P0 exp −  α ( s′)ds′  ,
(61)
 0

где P0 – средний за период поток энергии через сечение Δσ 0 .
Переходя от среднего потока энергии к комплексной амплитуде напряженности электрического поля поверхностного луча (в
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рассматриваемом случае имеется только нормальная составляющая), получаем
s


Edn ( N1 ) = Edn ( N 0 ) Δσ 0 Δσ ( s ) exp iks +  α ( s′)ds′ .
(62)


0
Здесь Δσ 0 Δσ ( s ) – отношение ширины полоски поверхностных
лучей в точке N 0 к ее ширине на расстоянии s от N 0 или, точнее,
предел этого отношения, когда ширина полоски стремится к нулю.
Вводя коэффициент дифракции D( N 0 ) , перепишем выражение (62)
в виде
s


Edn ( N1 ) = D( N 0 ) Ein ( N 0 ) Δσ 0 Δσ ( s ) exp iks +  α ( s′)ds′ .
(63)


0
Формула (63) определяет поле поверхностного луча в точке N1
через поле падающего луча в точке дифракции N 0 .
Закон изменения амплитуды рассматриваемой составляющей
вдоль прямолинейного луча N1 → N устанавливается так же, как и
в случае дифракционных лучей, возникающих на ребре. Предположим, что вектор напряженности электрического поля прямолинейного дифракционного луча в точке отрыва N1 пропорционален вектору напряженности электрического поля поверхностного
луча в этой же точке. Коэффициент пропорциональности (коэффициент дифракции) обозначим через D( N1 ) . Так как в рассматриваемом случае один из главных радиусов кривизны поверхности
равных фаз, соответствующей прямолинейным дифракционным
лучам, отщепляющимся от поверхностных лучей (например, ρ 2 ),
в точке N1 равен нулю, то значение Edn в точке N определяется
выражением
Edn ( N ) = D( N 0 ) D( N1 ) Ein ( N 0 ) Δσ 0 Δσ ( s ) ρ1 (l (l + ρ1 ) ) ×
s
, (64)


× exp ik ( s + l ) +  α ( s ′)ds ′


0
где l – расстояние между точкой отрыва прямолинейного луча от
поверхности тела ( N1 ) и точкой наблюдения ( N ), a ρ1 – отличный
от нуля радиус кривизны поверхности равных фаз дифракционной волны, соответствующей прямолинейным лучам, в точке N1 .
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Коэффициенты дифракции D( N 0 ) и D( N1 ) должны одинаковым
образом зависеть от свойств поверхности тела (и других параметров) в соответствующих точках, так как только в этом случае поле,
определяемое формулой (64), будет удовлетворять известной в
электродинамике теореме взаимности.

Направление вектора E в точке N такое же, как в точке N1 , а
в точках поверхностного луча оно совпадает с направлением нормали к поверхности тела, т.е. изменяется вдоль луча.
Аналогично анализируется случай падения волны с другой поляризацией.
Для определения коэффициента дифракции и постоянной α
Келлер предположил, что они определяются радиусом кривизны
поверхности тела в плоскости падения (в плоскости, проходящей
через нормаль к поверхности тела и падающий луч) и не зависят
от других характеристик поверхности. Это позволило определить
параметры D и α на основе анализа дифракции плоской волны на
идеально проводящем круговом цилиндре.
Составляющим En и Eτ соответствуют разные коэффициенты
дифракции и постоянные α . Более подробно вопрос о применении
ГТД для анализа дифракции электромагнитных волн на гладких
выпуклых телах, формулы для коэффициентов дифракции и постоянных, а также другие проблемы ГТД рассмотрены в [8].
Геометрическая теория дифракции успешно применяется в
диапазоне СВЧ при решении практических задач теории антенн,
радиолокации и связи. В частности, ГТД успешно используется при
моделировании взаимодействия УКВ радиоволн с городской застройкой при проектировании сотовой, транкинговой связи, цифрового телевидения и систем беспроводного доступа.
Бурное развитие вычислительной техники позволило в последние десятилетия разработать и реализовать ряд численных методов решения задач дифракции электромагнитных волн. Среди
этих методов наиболее универсальными являются методы, основанные на сведении задачи к интегральным или интегродифференциальным уравнениям. Метод интегрального уравнения
для решения граничных задач электродинамики получил широкое
распространение в связи с тем, что размерность получаемого уравнения для задачи на единицу меньше размерности соответствую35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
щего дифференциальною уравнения в частных производных той
же задачи. Кроме того, интегральное уравнение в компактной форме включает в себя все данные, относящиеся к задаче, в том числе
и граничные условия, на искомую функцию никаких дополнительных условий налагать не надо. Далее полученное интегральное
уравнение сводится к системе линейных алгебраических уравнений, которая решается тем или иным численным методом на ЭВМ.
Групповые объекты
Рассмотренные выше объекты имели относительно простую
геометрию. При решении практических задач форма рассеивателя
бывает достаточно сложной и в этом случае приходится использовать приближенные и численные методы расчета [6, 9]. Кроме того,
очень часто объектов может быть несколько. Рассмотрим для простоты рассеивающие свойства группового объекта, на примере модели, представляющей собой два точечных рассеивателя ( a << λ ),
находящихся на расстоянии L друг от друга. Такая модель очень
часто используется в радиолокации для описания сложных целей,
содержащих по крайней мере две блестящие точки. Анализ такого
распределенного объекта позволяет проследить важнейшие закономерности, имеющие место при рассеянии на сложной цели. Геометрия задачи представлена на рис. 10.
1
r1

Es
θ
L
r2
2
Рис. 10.
В точке приема поля отдельных отражателей суммируются.
Тогда комплексную амплитуду результирующего поля можно
представить в виде:
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»





exp(ikr1 )
exp(ikr2 )


Es = Es1 + Es 2 = f1 (θ, ϕ)
Ei (r1 ) + f 2 (θ, ϕ)
Ei (r2 ) .(65)
r1
r2
Будем рассматривать обратное рассеяние. В этом случае можно положить, что падающее поле для обоих рассеивателей одинаково. Тогда без учета поляризации можно получить следующее
выражение для ЭПР:
σb = σb1 + σb 2 + 2 σb1σb 2 Cosϑ12 ,
(66)
где
2π
4π
ϑ12 =
LSinθ .
2(r2 − r1 ) =
λ
λ
В частности, для идентичных рассеивателей имеем:
 2πL

(67)
σb (θ) = 4σb1Cos 2 
Sinθ  .
λ


Анализ зависимости (67) показывает, что она носит многолепестковый характер. На рис. 11 в полярных координатах представлены результаты расчетов нормированной относительно отдельного рассеивателя ЭПР σ = σb σb1 для двух значений разноса L
( L = λ – рис. 11а, L = 2λ – рис. 11б). Нули функции σb (θ) соответствуют направлениям, где вторичные колебания двух рассеивателей находятся в противофазе и гасят друг друга, а максимум – направлениям синфазного сложения, причем результирующая ЭПР
превышает в четыре раза ЭПР каждого объекта. Чем больше отношение L λ , тем сильнее проявляется интерференционный характер
зависимости σb (θ) . Ширина лепестков в области, близкой к углам
θ = 0 и θ = π , определяется согласно (55). При L >> λ
Δθ ≈ λ 2 L .
Самые широкие лепестки образуются в направлениях θ = π 2 и
θ = 3π 2 , где Δθ ≈ λ L . В случае σb1 ≠ σb 2 зависимость σb (θ)
искажается, при этом нулевые значения не достигаются, в таких
ситуациях говорят о заплывании нулей.
В случае, если групповая цель состоит из N отражателей (центров рассеяния), результирующее поле имеет вид:
N 
exp(ikr j )


Es =  f j (θ, ϕ)
Ei (r j ) .
(68)
rj
j
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С помощью преобразований, аналогичных тем, которые проделаны для случая двух рассеивателей, получим
N
σb =  σbj +
j
где
ϑ jn =
N
2
j≠n
σbj σbn Cosϑ jn ,
(69)
4π
L jn Sinθ jn .
λ
120
90
4
60
3
150
30
2
1
180
0
0
210
330
240
300
270
Рис. 11а.
120
90
4
60
3
150
30
2
1
180
0
0
210
330
240
300
270
Рис. 11б.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Получаемая при этом угловая зависимость ЭПР носит достаточно сложный и динамичный характер. Отметим, что на сантиметровых волнах изменение направления облучения на доли градуса может изменить уровень отраженного сигнала на несколько
десятков децибел.
Вероятностные характеристики рассеяния
Очень часто на практике встречаются ситуации, когда объект
не остается стационарным, а совершает какие-либо перемещения
около некоторой точки или имеет место дрожание, качание, вращение и т.п. В этом случае его рассеивающие свойства могут быть
описаны на основе вероятностных характеристик.
Наиболее распространенной вероятностной характеристикой
является математическое ожидание. Поэтому для описания статистических свойств рассеивающего объекта используется среднее
значение исследуемой величины. Например, наиболее распространенной вероятностной характеристикой дифференциального сечения рассеяния тел простой формы является ее среднее значение,
определяемое в секторе углов его поворотов ± γ 0 :
γ0
σ d =  σ d (γ )w(γ )dγ ,
(70)
−γ 0
Аналогичные выражения могут быть записаны и для других
средних характеристик, описывающих рассеивающие свойства
объекта. Плотность распределения углов поворотов (качания) w(γ )
обычно известна.
Рассмотрим на примере диска сечение обратного рассеяния
при равномерном законе плотности вероятности качания. В соответствии с формулами из таблицы 1 и (70) среднее значение ЭПР
может быть представлено в виде:
2
γ0
1  J1 (2kaSinθ)Cosθ 
(71)
 2γ 0  2kaSinθ  dθ .
−γ0
В случае если выполняется условие kaγ 0 >> 1 , среднее значение ЭПР диска можно оценить с помощью выражения
σb = 4πk 2 a 2
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
σb ≈ 8πka 3 / 5γ 0 .
(72)
Как показывают результаты расчетов, статистика качания (колебания) объекта оказывает существенное влияние на получаемые
результаты. В качестве примера в таблице 2 представлены формулы для расчета среднего значения ЭПР σ b в зависимости от вида
функции распределения w(γ ) для двух объектов [9].
Здесь использованы следующие обозначения: Si (x) – интегральный синус, Φ – интеграл вероятностей.
Приближенные выражения для средней ЭПР колеблющегося
цилиндра легко получить при klγ 0 >> 1, klD >> 1 . После очевидных
преобразований следует:
al
πal
π al
σ b равн ≈
, σ b норм ≈
, σ b гарм ≈
.
(73)
2 3D равн
2 Dнорм
2Dгарм
Из последней формулы следует, что при равенстве дисперсий
2
2
2
( D равн
= Dнорм
= Dгарм
)
σ b норм > σ b равн > σ b гарм .
(74)
Таким образом, характер качания (вращения, дрожания) влияет
на значение средней ЭПР кругового цилиндра, но не на зависимость этой величины от размеров цилиндра.
Анализ приведенных в таблице 2 формул для расчета средней
ЭПР колеблющейся пластины показывает, что характер зависимости σ b (λ ) изменяется по мере увеличения kaγ 0 и kbφ0 . Как показывают результаты расчетов, независимо от характера колебаний
пластины ее средняя ЭПР стремится по мере роста kaDγ , kbDφ к
некоторой постоянной величине
σ b ≈ A(S ( Dγ Dφ ) ),
(75)
где A – коэффициент пропорциональности, равный 1 2 , π 12 ,
1 (2π ) соответственно для нормального, равномерного и гармонического распределений углов качания, S – площадь пластины.
Оказывается, что соотношение (75) справедливо не только для
прямоугольной пластины, но и для плоскостей произвольного профиля, лишь бы их размеры в плоскостях усреднения по углам γ и
φ удовлетворяли следующим неравенствам:
kaDγ >> 1, kbDφ >> 1 .
(76)
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физический смысл приведенных неравенств объясняется достаточно просто. С этой целью перепишем их, учитывая, что ширина диаграммы направленности рассеянного в обратном направлении от пластины поля Δγ ≈ 2π (ka ) в плоскости углов γ и
Δφ ≈ 2π (kb ) в плоскости углов φ . Тогда вместо (76) получим
Dγ >> Δγ , Dφ >> Δφ .
(77)
Таблица 2
Форма
w(γ )
σb
тела
Круглый
цилиндр
a, l –
радиус
и длина
цилиндра,
l >> λ
w(γ ) =
λ << a
1
2γ 0
Нормальное
al π 
exp(− 2(klD) 2 ) − 1
Φ 2klD +

D 2 
klD 2π

Гармоническое со случайной
начальной фазой
al  Cos (2klγ 0 )
1−
γ 0 
2klγ 0 
(
exp(− γ 2 2 D 2 )
w(γ ) =
2π D
w(γ ) =
Прямоугольная
пластина,
a, b –
стороны пластины,
πlλ  1 − Cos (2klSinγ 0 ) 2 Si (2klSinγ 0 )
+
1−

2γ 0 
πklSinγ 0
π

Равномерное
1
π Sin 2γ 0 − Sin 2γ
πab  1 − Cos (2kaγ 0 ) 2 Si (2kaγ 0 )
1−
+
×
πkaγ 0
π
4γ 0φ0 

Равномерное
w(γ ) =
1
2(γ 0φ0 )
 1 − Cos (2kbφ0 ) 2 Si (2kbφ0 )
+
1 −

πkbφ0
π


exp(− 2(kaDγ ) 2 ) − 1
ab 
Φ ( 2kaDγ ) +

2 Dγ Dφ 
kaDγ 2π

Нормальное
1
×
2π Dγ Dφ
w(γ , φ ) =
,
exp(− γ 2 2 Dγ2 − φ 2 2 Dφ2 )
,
начальной фазой
λ << b Гармоническое со случайной
γ ,φ
–
углы,
относительно
нормали
w(γ , φ ) =
×
)
1

exp(− 2(kbDφ ) 2 ) − 1
× Φ 2kbDφ +

kaDφ 2π


(
ab  Cos (2kaγ 0 )
1−
×
πγ 0φ0 
2kaγ 0 
π Sin 2γ 0 − Sin 2γ 
1 −

1
π Sin 2φ0 − Sin 2φ
41
)
Cos (2kbφ0 )
2kbφ0 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В главном лепестке отраженной от пластины волны сосредоточена основная доля всей рассеянной в полусферу мощности электромагнитного поля. Сектор главного лепестка занимает область,
ограниченную угловыми интервалами 2Δγ , 2Δφ . Поэтому условие
(77) сводится к требованию, чтобы основная часть мощности рассеянного назад поля содержалась бы внутри пространственного
сектора углов усреднения.
Если условия (76) выполняются, то справедливо суммирование
средних ЭПР частей плоской фигуры. Аналогично (76) могут быть
записаны условия и для цилиндрического тела. Для диапазона СВЧ
это позволяет оценить рассеивающие свойства протяженных объектов (самолет, корабль и т.п.).
Более полно статистические свойства рассеяния нестационарных объектов могут быть описаны на основе моментных функций
распределения вероятности флуктуаций исследуемой физической
величины. Момент n -го порядка определяется с помощью следующего выражения
γ0
σ =  σ n (γ )w(γ )dγ ,
n
(78)
−γ 0
Как следует из таблицы 1, угловые зависимости ЭПР различаются в основном лишь степенью синуса угла, отсчитываемого от
нормали. Поэтому для оценок моментов ЭПР тел простой формы
обычно используют выражения вида
γ0
Sin 2 n (khγ )
n
n
σ b ≈ σ b max  w(γ )
dγ ,
(79)
2n
(khγ )
−γ 0
где параметр h определяется характерным размером объекта. Для
цилиндра длиной l = h и радиусом a значение максимальной ЭПР
равно σb max = kal 2 , для прямоугольной пластины со сторонами a
и b = h – σb max = (kab )2 π , для уголкового отражателя со стороной
2 2
l и длиной ребра a = h – σb max = (kal ) S эк .
В случае равномерного закона распределения колебания объекта формула (79) приводится к выражению следующего вида:
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 2n 
σ =  (2n − 2)!
 n 
n
b
( pγ 0 )
2 n −1
n −1
+  (− 1)
2 n−s
s =1
 2n 
 ×
s
 
(n − s )2 n−1 
t
 2 Si (2 pγ 0 (n − s ) ) n−1 (−1) (2t − 1)!! Sin(2 pγ 0 (n − s ) )
× 1 +
−
− , (80)
2 t +1
2t
2 t +1

π
2 ( n − s ) ( pγ 0 )

 t =1
(−1) j (2 j − 1)!! Sin(2 pγ 0 (n − s ) ) πσ bnmax
−

2 j +2
2 2 j +1 (n − s ) 2 j +2 ( pγ 0 )
j =1
 2 pγ 0 (2n − 1)!
n−2
 2n 
где p = kh , (2t − 1)!!= 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅  ⋅ (2t − 1) ,   – число сочетаний из
 s 
2n по s . Вывод вышеприведенной формулы основан на разложении подынтегрального выражения в равномерно сходящийся ряд с
последующим его почленным интегрированием.
Первые четыре момента, рассчитанные по формуле (80), равны:
πσ b2max
11πσ b3 max
151πσ b4max
πσ b max
2
3
4
. (81)
σb ≈
, σb ≈
, σb ≈
, σb ≈
2khγ 0
3khγ 0
40khγ 0
630khγ 0
Это позволяет определить для ЭПР коэффициенты вариаций,
асимметрии и эксцесса, соответственно как
(
κ 2 = σ b2 − (σ b )2
(
) (σ ) ,
2
(82)
b
)
κ 3 = σ b3 − 3σ b σ b2 + 2(σ b ) 2 (σ b2 − σ b2 ) 3 2 ,
(
)
κ 4 = σ b4 − 4σ b σ b3 + 6σ b2 (σ b ) 2 − 3(σ b ) 4 (σ b2 − σ b2 ) 2 .
(83)
(84)
В таблице 3 приведены результаты расчетов статистических
характеристик по формулам (80)-(84) для некоторых объектов [9].
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Форма
объекта
Цилиндр
Пластина
Уголковый отражатель
σb
σb2
σ3b
σb4
κ2
Таблица 3
κ3
κ4
πal
2γ 0
πka 2l 3 πk 2 a 3l 5 πka 4l 7
3γ 0
4γ 0
4γ 0
4klγ 0
3π
klγ 0
2
3klγ 0
4
ka 2b
2γ 0
k 3a 4b3 k 5a 6b5 k 7 a8b 7 4klγ 0
3π
3πγ 0 4π 2 γ 0 4π3γ 0
klγ 0
2
3klγ 0
4
2
ka 2lS эк
k 3a 4l 3S k 5a 6l 5 S k 7 a8l 7 S 4klγ 0
2γ 0
3πγ 0 4π 2 γ 0 4π3γ 0 3π
klγ 0
2
3klγ 0
4
Экспериментальное исследование
рассеивающих свойств объектов
Наиболее прямой способ получения информации о рассеивающих свойствах объектов – экспериментальное исследование
этих характеристик. Измерения позволяют проверить адекватность
теоретических оценок, а также корректность использования того
или иного метода расчетов. Для того, чтобы минимизировать
ошибки, которые возникают при этом, измерения проводят на специальных полигонах или в безэховых камерах. Основное предназначение последних заключается в минимизации различных переотражений, которые могут серьезно исказить результаты исследований. Кроме того, существенное влияние на измерения оказывают
фоновые сигналы, связанные с рассеянием от элементов конструкций и т.п. С этой целью стенки безэховых камер покрывают специальным радиопоглотителем.
Для точных измерений рассеивающих свойств объекта необходимо, чтобы фоновый сигнал как непосредственный, так и за счет
переотражения от цели, был очень низкого уровня. Поэтому на
практике большое распространение получили методы, основанные
на относительных измерениях с использованием различных искусственных объектов (особенно для сложных тел). Изучение рассеи44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вающих свойств таких целей позволяет более корректно исследовать экспериментально реальные электродинамические структуры.
Наиболее известными искусственными отражателями являются уголковые. Рассмотрим двугранный уголковый отражатель
(рис. 12). При достаточно большом отношении его размеров к длине волны можно воспользоваться методами геометрической оптики. При этом падающий луч отражается от одной грани в точке А,
попадает на другую грань, где после отражения в точке В распространяется, как следует на рис. 12, в обратном направлении (луч 2).
Нетрудно показать, что при произвольном угле θ отражатель действует как синфазная пластина, образованная в плоскости РР, перпендикулярной направлению облучения (эквивалентная синфазная
апертура). Действительно, так как AD = ABCos 2θ , а BC = ABSin 2θ ,
то AD + BC = AB , т. е. при любом θ отражение от границ уголка
можно заменить отражением от эквивалентной пластины, лежащей
в плоскости PP.
Рис. 12.
Заметим, что при θ < 45 крайний падающий на горизонтальную грань луч 3 дает отраженный луч 4, попадающий в точку F
вертикальной грани, и участок этой грани выше точки F остается
неиспользованным. Поэтому действующий размер эквивалентной
пластины E'F' определяется путем проектирования на плоскость
РР полной горизонтальной грани уголка ОЕ, имеющей площадь
S гр , и части вертикальной грани OF, имеющей площадь S гр tgθ . Отсюда искомая площадь при θ ≤ 45 определяется величиной
S э = S гр Sinθ + S гр tgθCosθ = 2 S гр Sinθ .
45
(85)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Максимального значения эта площадь достигает при θ = 45 .
При θ > 45 площадь уменьшается соответственно. Таким образом,
максимальная ЭПР составляет
σ b max = 4π S э2 λ2 = 8π S гр2 λ2 .
(86)
Рассмотренные представления геометрической оптики действуют до углов, близких к 0° и 90°, где необходимо учитывать дифракционные явления.
Двугранный уголковый отражатель обладает существенным
недостатком – узкой угловой диаграммой ЭПР в плоскости, проходящей через ребро уголка. Она расширяется, если использовать
уголок с ребром, изогнутым, например, по окружности (биконический отражатель). Наиболее распространены трехгранные уголковые отражатели, обеспечивающие большую ЭПР при малых размерах и относительно слабую направленность. На рис. 13 показаны
три разновидности подобных отражателей: с треугольными гранями, гранями в виде прямоугольных секторов круга, с квадратными
гранями. На первом из них показано прохождение лучей после
трех отражений. Максимум обратного отражения совпадает с осью,
проходящей через вершину и перпендикулярной плоскости раскрыва.
Рис. 13.
Формулы для расчета угловых характеристик трехгранного
треугольного уголкового отражателя (трехгранника Вуда) приведены в таблице 1. Максимальное значение ЭПР составляет
4πa 4
σ bV = 2 .
(87)
3λ
Максимальная величина ЭПР трехгранника с округлыми гранями превосходит σ bV в 4 раза, а трехгранника с прямоугольными
гранями – в 9 раз при одинаковой длине ребер.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Описание лабораторной установки
для экспериментальных исследований
Блок-схема лабораторной установки по исследованию рассеивающих свойств различных объектов представлена на рис. 13.
Электромагнитные
колебания
сантиметрового
диапазона,
генерируемые генератором – Г и промодулированные по амплитуде с частотой 1 кГц, через направленный ответвитель – 4 излучаются в направлении исследуемого рассеивателя – 1 рупорной антенной – 2. Цель устанавливается на специальном устройстве – 3,
снабженном механизмом поворота цели вокруг своей оси и кареткой перемещения ее вдоль направления распространения волны.
Расстояние выбирается из условия расположения цели в дальней
зоне. Отраженная исследуемым объектом электромагнитная волна
принимается антенной – 2 и через направленный ответвитель – 4
подается на высокочастотный детектор. Значение продетектированного сигнала регистрируется селективным милливольтметром – 5, настроенным на частоту модуляции высокочастотных колебаний.
Г
1
4
2
3
5
Рис. 14.
В качестве исследуемых объектов используются треугольная
пластина, трехгранник Вуда (2 шт.), шар, диск, квадратная пластина и пространственно – распределенный объект (две квадратные
пластины). Поворотная система позволяет проводить исследования
угловой зависимости ЭПР. В качестве тестового объекта для определения максимального значения σ b используется трехгранник
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вуда (с меньшей стороной). Экспериментальная величина ЭПР
предложенных структур определяется по формуле:
4πa 4 U
σb =
,
3λ 2 U в
(88)
где U – максимальное показание индикатора при установленной
цели; U в – максимальное показание индикатора при установленном трехграннике Вуда, a – длина ребра трехгранника.
Содержание исследований
1. Рассчитать максимальное значение ЭПР целей, пользуясь
формулами таблицы 1 (кроме распределенного объекта).
2. Рассчитать и построить графически в прямоугольной системе координат угловые диаграммы ЭПР целей по формулам таблицы 1 (кроме распределенного объекта).
3. Экспериментально определить численные значения σ b и угловые диаграммы ЭПР исследуемых целей.
4. Провести сравнительный анализ полученных теоретических
и экспериментальных результатов.
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контрольные вопросы
1. Что такое плоскость рассеяния?
2. Какими основными характеристиками описываются рассеивающие свойства объектов?
3. Приведите способы описания поляризации излучения.
4. Как связаны поляризационные характеристики рассеянного
и падающего полей?
5. Приведите основные методы решения задач дифракции и
основные их недостатки.
6. Дайте понятие дифракционного параметра.
7. Приведите расчетные соотношения для угловых характеристик ЭПР простейших объектов.
8. Как связаны элементы матрицы рассеяния с ЭПР?
9. Что такое групповой объект? Какие характерные особенности рассеивающих свойств группового объекта наблюдаются?
10. Опишите основные статистические характеристики рассеивающих свойств объектов. Как они определяются на практике?
11. Проведите теоретический сравнительный анализ значений
ЭПР и ширины главного максимума диаграмм ЭПР исследуемых
объектов.
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
1. Вайнштейн, Л.А. Электромагнитные волны / Л.А. Вайнштейн. – М.: Радио и связь, 1988.
2. Пименов, Ю.М. Техническая электродинамика / Ю.М. Пименов, В.И. Вольман, А.Д. Муравцов. – М.: Радио и связь, 2000.
3. Петров, Б.М. Электродинамика и распространение радиоволн / Петров Б.М. – М.: Радио и связь, 2000.
4. Борен, К. Рассеяние света малыми частицами / К. Борен,
Д. Хафмен. – М.: Мир. 1986.
5. Виноградова, М.Б. Теория волн / М.Б. Виноградова, О.В. Руденко, А.П. Сухоруков. – М.: Наука, 1990.
6. Финкельштейн, М.И. Основы радиолокации / М.И. Финкельштейн. – М.: Сов. радио. 1983.
7. Кобак, В.О. Радиолокационные отражатели / В.О. Кобак. –
М.: Сов. радио. 1975.
8. Боровиков, В.А. Геометрическая теория дифракции
/ В.А. Боровиков, Б.Е. Кинбер. – М.: Радио и связь. 1978.
9. Штагер, Е.А. Рассеяние радиоволн на телах сложной формы
/ Е.А. Штагер. – М.: Радио и связь. 1986.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Общая постановка задачи.............................................................. 4
Основные характеристики дифракции ....................................... 6
Методы решения дифракционных задач .................................. 12
Приближенные методы анализа ................................................. 21
Групповые объекты ...................................................................... 36
Вероятностные характеристики рассеяния .............................. 39
Экспериментальное исследование рассеивающих
свойств объектов................................................................ 44
Описание лабораторной установки для
экспериментальных исследований ................................. 47
Содержание исследований ........................................................... 48
Контрольные вопросы.................................................................. 49
Литература ..................................................................................... 50
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Тимофеев Владимир Авенирович
Рассеивающие свойства дискретных объектов
в СВЧ диапазоне радиоволн
Методические указания для выполнения лабораторной работы
Редактор, корректор А.А. Аладьева
Компьютерный набор В.А. Тимофеев
Компьютерная верстка Е.Л. Шелеховой
Подписано в печать ……09.2006. Формат 60*84 1/16 Бумага тип.
Усл. печ. л. 3,02. Уч.-изд. л. 1,6. Тираж 100 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен
В редакционно-издательском отделе ЯрГУ.
Отпечатано на ризографе.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
150000, Ярославль, ул. Советская, 14.
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.А. Тимофеев
Рассеивающие свойства
дискретных объектов
в СВЧ диапазоне радиоволн
54
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа