close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

902.Комплексные числа

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Поволжская государственная социально-гуманитарная академия»
Ю.С. Шатрова
Комплексные числа
Учебно-методическое пособие
Самара 2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 512 (075.8)
ББК 22.14
Ш 28
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Поволжской государственной социально-гуманитарной академии
Рецензенты:
кандидат физико-математических наук, доцент В.Р. Баринова
(Российский государственный педагогический университет
им. А.И. Герцена);
кандидат физико-математических наук, доцент С.Н. Богданов
(Самарский филиал Московского городского педагогического
университета)
Ш 28
Шатрова Ю.С.
Комплексные числа: Учебно-методическое пособие. –
Самара : ПГСГА, 2010. – 84 с.
ISBN 978-5-8428-0783-3
В книге изложены основные вопросы изучения теории комплексных чисел, подобран задачный материал, разработана индивидуальная работа.
Материалы учебно-методического пособия будут полезны преподавателям при проведении практических занятий, а также студентам факультета математики, физики и информатики, учащимся профильной школы.
ISBN 978-5-8428-0783-3
© Шатрова Ю.С., 2010
© ПГСГА, 2010
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое учебное пособие содержит материал, предусмотренный требованиями Государственного образовательного стандарта
по специальности «Математика» для педагогических вузов.
Отдельные вопросы теории комплексных чисел рассматриваются
в ряде учебных изданий [11], [12] и др. В [10], [13] предлагаются задачи по данной теме.
В разработанном учебном пособии предлагается систематизация
теоретических сведений по теме «Комплексные числа», которые сопровождаются достаточным количеством примеров. Также осуществлена подборка задачного материала, выстроенного по принципу «от простого к сложному». Пособие составлено так, что студенту
с любым уровнем математической подготовки будет полезно рассмотреть предложенный теоретический и задачный материал в процессе обучения и использовать в будущей профессиональной деятельности.
Элементы теории комплексных чисел также изучают студенты
экономических специальностей («Менеджмент организации», «Экономика» и др.), поэтому данное пособие может быть использовано и
студентами этой группы специальностей.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВВЕДЕНИЕ
Работа с понятием числа в школе заканчивается изучением действительных чисел, что можно считать существенным пробелом в
математической подготовке учащихся, т.к. более естественным является формирование понятия комплексного числа.
Рассмотрение комплексных чисел, помимо своего чисто математического значения, представляет собой едва ли не самую яркую иллюстрацию диалектического развития математических понятий. Совокупность комбинаций вещественного и чисто мнимого чисел образует единое стройное целое – мир комплексных чисел, находящий
себе наглядную иллюстрацию в цельном и законченном образе комплексной плоскости.
Теория комплексных чисел находит важнейшее применение в
естествознании и технике, в частности – в учении о движении жидкостей и газов, в электротехнике, самолетостроении и т.д.
В учебно-методическом пособии рассмотрена история развития
теории комплексных чисел, представлены теоретические вопросы
изучения множества комплексных чисел: построение множества
комплексных чисел, различные формы записи комплексных чисел и
выполнение действий над ними в различных формах, геометрическая
интерпретация комплексного числа. Подобрана система задач по
каждому разделу. Разработана индивидуальная работа.
Изучение нового числового множества – множества комплексных чисел – доставляет истинное наслаждение познания. Желаем
удачи!
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исторические сведения о комплексных числах
История развития числа уходит корнями в древние времена.
Древнегреческие математики только натуральные числа считали
«настоящими». В древнем Египте и Древнем Вавилоне во втором
тысячелетии до н.э. при решении практических задач использовались дроби. В III веке до н.э. китайские математики ввели понятие
отрицательного числа, а в III веке н.э. Диофант сформулировал правила действий с отрицательными числами. В VII веке н.э. индийские
математики придавали наглядный образ отрицательным числам,
сравнивая их с долгами.
Первая «встреча» с комплексными числами, очевидно, произошла в XVI веке и связана с попыткой решить кубическое уравнение
вида
x 3  px  q  0 .
Следует отметить, что отрицательные числа в то время еще не
получили своего осмысления. Их рассматривали как «воображаемые», ненастоящие, которыми, однако, удобно пользоваться в промежуточных вычислениях. Решения указанного кубического уравнения искали в области положительных чисел.
В своем труде «Сумма, арифметика, геометрия и пропорциональности», вышедшем в 1494 году в Венеции, францисканский монах Лука Пачиоло (1445–1514 гг.) пишет, что решение кубического
уравнения вида
x 3  px  q
столь же невозможно при современном состоянии науки, как и решение задачи о квадратуре круга циркулем и линейкой. Однако уже
вскоре дель Ферро (1465–1526 гг.) находит способ решения некоторых кубических уравнений.
Найденный способ дель Ферро сообщает своему ученику
А.Фиоре. Последний вызвал на математический турнир замечательного итальянского математика-самоучку из Вероны Никколо Тарталью (1499–1559 гг.). По условию турнира каждый из математиков
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
предложил другому по 30 задач. За несколько дней до начала соревнований Тарталья нашел метод решения достаточно большого числа
кубических уравнений, а во время их проведения за два часа решил
все уравнения, предложенные соперником. А.Фиоре не смог решить
ни одной из 30 задач, предложенных ему Тартальей.
Основная заслуга в решении указанного уравнения кроме
Н.Тартальи принадлежит другому итальянскому математику Джеронимо Кардано (1501–1576 гг.) из Милана. В результате их соперничества появилась формула для нахождения корня уравнения
x3  px  q  0 ,
которая в современных обозначениях записывается так:
2
3
2
q
q
q  p
q  p
х1  3         3       
2
2
2  3 
2  3 
3
(1)
и носит название «формулы Кардано». Между Н.Тарталья и Д. Кардано возник большой спор о приоритете открытия.
Решения уравнения искали в области положительных чисел, а
отсутствие алгебраической символики вызывало огромные трудности при формулировании правил отыскания решений. Поэтому приходилось рассматривать четыре типа уравнений:
x3  px  q , x3  px  q , x3  q  px , x3  px  q  0 ,
где p  0, q  0 . Легко видеть, что последнее уравнение в области положительных чисел решения не имеет и сразу отпадает.
Дель Ферро открыл правило для решения первого типа уравнений. Тарталья это правило переоткрыл и придумал правило для решения уравнений второго типа. Оба правила, он сформулировал в
стихотворной форме и под большим секретом сообщил Кардано.
(Сам Кардано умел решать лишь уравнения первого типа.) Далее
Тарталья говорит, что уравнения третьего типа можно свести к уравнениям второго типа, но, как это сделать, не указывает. Кардано такой способ находит. Кроме того, Кардано при изучении уравнений
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
третьего типа начал понимать роль отрицательных корней уравнений
и, в частности, предвосхитил известную теорему Виета.
Остановимся на одной трудности, которую не сумели преодолеть
ни Кардано, ни Тарталья. В формуле (1) под знаком квадратного радикала стоит выражение
q 2 p3

 .
4 27
При решении уравнений могут встретиться
  0,   0,   0 .
три случая:
Рассмотрим следующие уравнения:
1) x3  3x  2  0 .
Здесь   0 . По формуле (1) находим, что
2 3 2
 
 11  2.
2
2
Чтобы найти другие корни уравнения, представим многочлен,
стоящий в левой части уравнения, в виде ( х  2)( х 2  ax  b) . Квадх1  3 
ратный трехчлен, стоящий в скобках, находим с помощью деления:
( x3  3x  2) : ( x  2)  x 2  2 x  1.
Так как x 2  2 x  1  ( x  1)2 , то x2  x3  1.
2) x3  9 x  26  0 .
(26) 2 93

 169  27  196  0 и, значит,
В этом случае  
4
27
x1  3 13  196  3 13  196  3 13  14  3 13  14  3  1  2 .
Аналогично первому случаю приводим уравнение к виду
( x  2)( x 2  2 x  13)  0 и, следовательно, чтобы найти два других
корня, нужно решить уравнение x 2  2 x  13  0 . Легко проверить,
что это уравнение имеет комплексно-сопряженные корни:
х2  1  2i 3 , х3  1  2i 3 .
Однако Тарталья и Кардано эти корни не интересовали, а формула (1) нужный положительный корень давала.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) x3  15x  4  0 .
(4) 2 (15)3
Имеем  

 4  125  121  0 , и формула (1) дает
4
27
x1  3 2  121  3 2  121  3 2  11  1  3 2  11  1 .
В рассмотренном случае возникла задача извлечения квадратного корня из отрицательного числа, что в области действительных чисел невозможно. Непосредственной проверкой можно установить,
что корнями нашего уравнения являются действительные числа: 4,
 2  3,  2  3 .
Случай   0 был назван неприводимым. Несмотря на огромные
усилия, Тарталье и Кардано не удалось найти способ решения таких
уравнений, хотя оба они на примерах знали, что положительные
корни в этом случае существуют.
Результаты своих исследований Кардано опубликовал в книге
«Великое искусство, или О правилах алгебры» (1545 г.), а талантливый самоучка, прозванный «профессором вычислительного искусства», Тарталья – в вышедшей позднее книге «Трактат о числах и
мере». В 27 главе, которая носит название «О правиле рассмотрения
ложного неизвестного», Кардано сначала рассматривает отрицательные корни уравнений. Далее он ставит задачу нарезать участок земли
прямоугольной формы с площадью 40 кв. ед. и периметром 20 ед.
При решении этой задачи Кардано приходит к квадратному уравнению
x(10  x)  40 ,
корни которого имеют вид:
x1  5   15 , x2  5   15 .
Кардано был крайне удивлен полученным результатом и назвал полученные числа «поистине софистическими», заметив, что для выполнения действий над ними «нужна была бы новая арифметика, которая была бы настолько же утонченной, насколько бесполезной».
Приведенные слова говорят о том, что вряд ли Кардано сумел понять
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
связь введенных чисел с нахождением корней неприводимого кубического уравнения.
Эту связь вскоре обнаружил инженер из Болоньи Рафаэль Бомбелли. В своем трактате «Алгебра» (1572 г.) он показал, что новые
числа при извлечении из них корня приводят к сопряженным (как мы
сейчас говорим) числам, при сложении которых взаимно уничтожается квадратный корень из отрицательного числа. Этим ему удалось
показать, как из «софистических» чисел получить действительное
число. В труде Бомбелли имеются соотношения
2   121  2   1 , 3 2   121  2   1 ,
которые в сумме дают действительное число
3
3
2   121  3 2   121  (2   1)  (2   1)  4 .
Таким образом, еще не понимая природы комплексных чисел,
но, пользуясь ими в промежуточных вычислениях, Бомбелли находит необходимый действительный результат. Бомбелли извлекает
кубические корни, вероятней всего, методом проб и проверок. Так,
например, для
3
2  11  1 имеем:
(2   1)3  8  12  1  6   1  2  11  1 .
В своей работе Бомбелли впервые приводит правила действий с
новыми числами, в частности отмечает, что
 1   1  1,  1  1   1 .
Он первый систематически использует новые числа для решения
неприводимых кубических уравнений.
Следующая примечательная «встреча» с комплексными числами
связана с именем французского философа и математика Рене Декарта (1596–1650 гг.). В третьей книге «О природе уравнений» его знаменитой «Геометрии» (1637 г.) Декарт изучает вопрос о числе корней алгебраического уравнения n-ой степени. Такое уравнение в современных обозначениях записывается так:
a0 x n  a1 x n 1  ...  an 1 x  an  0 ,
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где коэффициенты a0 , a1 ,..., an – действительные числа, а n – целое
неотрицательное число. Декарт дает следующий ответ: «Итак, знайте, что в каждом уравнении может иметься столько различных корней, то есть значений неизвестной величины, сколько последняя
имеет измерений» [8]. Под «измерением» понимается степень уравнения. При этом Декарт различает «истинные» (положительные) и
«ложные» (отрицательные) корни. Далее он показывает, что кроме
истинных и ложных корней имеются еще воображаемые
(imaginaires), мнимые корни (отсюда пошел термин «мнимое» число). Природа комплексных чисел для Декарта осталась непонятой,
хотя он и пытался интерпретировать их как мнимые точки пересечения алгебраических линий на плоскости.
В XVII веке и в начале XVIII века сущность комплексных чисел
так и остается непонятой. Немецкий философ и математик Готфрид
Лейбниц (1646–1716 гг.), изучая по книге Бомбелли кубические
уравнения, окончательно понял, что в неприводимом случае нельзя
найти корни уравнения, оставаясь в области действительных чисел.
Тем не менее он писал: «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное
убежище божественного духа, почти, что амфибия бытия с небытием» [8]. Английский физик и математик Исаак Ньютон (1643–
1727 гг.) вообще не включал мнимые величины в понятие числа. В
начале XVIII века английские математики Абрахам Муавр (1667–
1754 гг.) и Роджер Котес (1682–1716 гг.) обнаружили удивительную
связь уравнения
xn  1  0
с классической задачей о делении круга на n равных частей.
Следующий этап в изучении комплексных чисел связан с именем
крупнейшего математика XVIII века Леонарда Эйлера (1707–
1783 гг.). Прежде всего отметим, что Эйлер от введенного Декартом
названия мнимой единицы imaginaires использует первую букву i
этого слова для обозначения
 1 , поэтому i 2  1 . В своей работе
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
«Введение в математический анализ» (1746 г.) он вводит показательную функцию e xi и получает следующее соотношение:
e xi  cos x  i sin x (2).
Из этого соотношения сразу следует знаменитое тождество, связывающее пять замечательных в математике чисел (1, 0, е, π ,i):
ei  1  0 .
В самом деле, ei  cos   i sin   1  i  0  1.
Далее Эйлер вычисляет:
 i



2
2

i.
4
4
2
2
Кроме того, из (2) следует, что через е хi удается выразить тригонометрические функции действительного переменного:
1  i  e
2
e
i
4
 cos
 i sin

e xi  e  xi
e xi  e  xi
cos x 
, sin x 
.
2
2i
Первое геометрическое истолкование комплексных чисел было
дано датским землемером и математиком Каспаром Весселем (1745–
1818 гг.) в работе «Опыт аналитического представления направлений» (1797 г.). Однако эта работа в течение столетия оставалась неизвестной в математических кругах. Французский математик Жан
Арган (1768–1822 гг.) независимо от Весселя в своей работе «Опыт
некоторого представления мнимых количеств в геометрических построениях» (1806 г.) повторяет его результаты.
Выдающийся математик Европы Карл Гаусс (1777–1855 гг.) в
1811 году в письме Весселю пишет: «Подобно тому, как всю область
действительных величин можно представить с помощью бесконечной прямой, можно себе представить область всех величин, действительных и мнимых, с помощью бесконечной плоскости, где каждая
точка, определенная своей абсциссой а и своей ординатой b, представляет в тоже время величину a  bi » [5]. Этот результат Гаусс
опубликовал только в 1831 году в работе «Арифметическая теория
комплексных чисел». Термин «комплексное число» был введен
французским математиком Лазарем Карно (1753–1823 гг.) в труде
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
«Размышления о метафизике бесконечно малых» еще в 1796 году.
Однако этот термин получает широкое распространение после указанной работы Гаусса. В 1821 году в работе «Алгебраический анализ» французский математик Огюстен Коши (1789–1857 гг.) вводит
понятие модуля комплексного числа a  bi ( r  a 2  b 2 ). Таким образом, в первой половине XIX века с комплексных чисел было снято
покрывало таинственности, их стали изображать точками координатной плоскости.
Ирландским математиком Уильямом Гамильтоном (1805–
1865 гг.) в 1831 году была дана чисто арифметическая теория комплексных чисел как упорядоченных пар действительных чисел. Комплексное число a  bi стали выражать парой действительных чисел
вида (a, b). Ему же принадлежит важное пространственное обобщение комплексных чисел – кватернионы. Следует заметить, что умножение кватернионов уже не является коммутативным. К концу XIX
века было доказано, что дальнейшее расширение системы комплексных чисел возможно лишь при условии отказа от каких-либо привычных свойств арифметических операций. Различные возникшие
числовые системы получили общее название гиперкомплексных чисел.
Начиная с XIX века происходит систематическое изучение комплексных чисел. На основе ясного понимания природы комплексных
чисел возникает теория функций комплексного переменного. Значительный вклад в развитие теории функций комплексной переменной
внесли видные отечественные математики М.В. Келдыш (1911–1978
гг.), М.А. Лаврентьев (1900–1980 гг.), Н.Н. Боголюбов (1909–1992
гг.) и др.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Построение системы комплексных чисел
На протяжении изучения математики несколько раз происходит
расширение понятия числа. В школе мы в первую очередь знакомимся с натуральными числами N – это числа, которые используют
при счете предметов. Затем рассматриваем положительные рациональные числа Q  . Далее переходим к изучению множества целых
чисел Z, состоящее из натуральных чисел, противоположных им (отрицательных) и нуля, и рассматриваем множество всех рациональp
ных чисел Q (числа вида , p  Z , q  N ).
q
Дальнейшее расширение понятия числа происходит тогда, когда
в рассмотрение вводятся иррациональные числа I. Множество, состоящее из всех рациональных и всех иррациональных чисел, называется множеством действительных (или вещественных) чисел R.
Рассматривая квадратное уравнение x 2  1  0 , приходим к выводу, что действительных чисел недостаточно для его решения. Возникает необходимость в расширении множества действительных чисел
до такого числового множества, в котором бы данное уравнение
имело корни.
Действительные числа можно изображать точками прямой: получаем взаимно однозначное соответствие между множеством всех
точек прямой и множеством всех действительных чисел. Определим
множество чисел, изображающееся всеми точками плоскости.
Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат.
Условимся обозначать точки плоскости буквами α, β, γ … и записывать точку α с абсциссой а и ординатой b через (а,b), т.е.   (a, b) .
Рассмотрим точки   (a, b) и   (c, d ) . Точки будем говорить, что
точки совпадают, если их абсциссы и ординаты равны, т.е.
  ac и bd.
Суммой точек   (a, b) и   (c, d ) назовем точку с абсциссой
a  c и ординатой b  d , т.е.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(a, b)  (c, d )  (a  c, b  d ) ;
произведением точек   (a, b) и   (c, d ) будем называть точку с
абсциссой ac  bd и ординатой ad  bc , т.е.
(a, b)  (c, d )  (ac  bd , ad  bc) .
Таким образом, мы определили во множестве всех точек плоскости две алгебраические операции. Покажем, что эти операции обладают всеми основными свойствами, какими обладают операции во
множестве действительных чисел: обе операции коммутативны, ассоциативны, связаны законом дистрибутивности, для них существуют обратные операции – вычитание и деление (кроме деления на
нуль).
Коммутативность и ассоциативность сложения вытекают из соответствующих свойств сложения действительных чисел, так как при
сложении точек плоскости мы отдельно складываем их абсциссы и
отдельно ординаты. Докажем коммутативность умножения:
(a, b)  (c, d )  (ac  bd , ad  bc) ;
(с, d )  (a, b)  (ca  db, da  cb)  (ac  bd , ad  bc)  (a, b)  (c, d ) .
Докажем ассоциативность умножения:
[( a, b)  (c, d )]( e, f )  (ac  bd , ad  bc)(e, f ) 
 (ace  bde  adf  bcf , acf  bdf  ade  bce),
(a, b)[( c, d )  (e, f )]  (a, b)(ce  df , cf  de) 
 (ace  adf  bcf  bde, acf  ade  bce  bdf ),
т.е.
[(a, b)  (c, d )](e, f )  (a, b)[(c, d )  (e, f )] .
Закон дистрибутивности вытекает из равенств
[( a, b)  (c, d )]( e, f )  (a  c, b  d )(e, f ) 
 (ae  ce  bf  df , af  cf  be  de),
(a, b)  (e, f )  (c, d )  (e, f )  (ae  bf , af  be)  (ce  df , cf  de) 
 (ae  bf  ce  df , af  be  cf  de),
т.е.
[(a, b)  (c, d )](e, f )  (a, b)  (e, f )  (c, d )  (e, f ) .
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим вопрос об обратных операциях. Если даны точки
  (a, b) и   (c, d ) , то разностью  и  будет такая точка ( х, у) ,
что
(с, d )  ( x, y)  (a, b).
Отсюда
с  x  a,d  y  b.
Таким образом, разностью точек   (a, b) и   (c, d ) служит точка
    (a  c, b  d )
и эта разность однозначно определена. В частности, нулем будет
служить начало координат (0, 0), а точкой, противоположной для
точки   (a, b) , будет точка
   (a,b) .
Рассмотрим точки   (a, b) и   (c, d ) , причем точка β отлична
от нуля, т.е. хотя бы одна из координат c, d не есть нуль и поэтому
с 2  d 2  0 . Частным от деления числа α на число β должна быть такая точка ( х, у ) , что
(с, d )  ( x, y)  (a, b).
Отсюда
сx  dy  a,

dx  cy  b.
Решая эту систему уравнений, получим
ac  bd
bc  ad
x 2
y

,
.
c  d2
c2  d 2
Таким образом, при   0 частное

существует и однозначно

определено:
  ac  bd bc  ad 

,
.
  c2  d 2 c2  d 2 
Полагая здесь    , получаем, что единицей при данном умножении служит точка (1, 0), лежащая на оси абсцисс на расстоянии 1
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вправо от начала координат. Полагая, что   1  (1, 0) , получаем,
что при   0 точкой, обратной для  , будет
c
d 
.
,
2
2
2
2
c

d
c

d


Таким образом, мы построили множество чисел, изображаемых
точками плоскости. Это множество чисел назовем множеством
комплексных чисел.
Покажем, что множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел. Для этого рассмотрим точки,
лежащие на оси абсцисс, т.е. точки вида (а, 0) ; ставя в соответствие
 1  
точке (а, 0) действительное число а, получаем взаимно однозначное
соответствие между рассматриваемым множеством точек и множеством всех действительных чисел.
Найдя сумму и произведение таких точек
(а,0)  (b,0)  (a  b,0) ,
(а,0)  (b,0)  (ab,0) ,
можно отметить, что точки вида (а, 0) складываются и перемножаются друг с другом так же, как соответствующие действительные
числа. Таким образом, множество точек, лежащих на оси абсцисс,
рассматриваемое как часть множества комплексных чисел, по своим
алгебраическим свойствам совпадает со множеством действительных чисел, обычным способом изображенным точками прямой линии. Это позволяет не различать точку (а, 0) и действительное число а, т.е. всегда полагать (а, 0)  а . В частности, нуль (0, 0) и единица (1, 0) множества комплексных чисел оказываются обычными
действительными числами 0 и 1.
Покажем, что среди комплексных чисел содержится корень
уравнения x 2  1  0 , т.е. такое число, квадрат которого равен действительному числу – 1. Это будет, например, точка (0, 1), т.е. точка,
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лежащая на оси ординат на расстоянии 1 вверх от начала координат.
Действительно,
(0, 1)  (0, 1)  (1, 0)  1.
Условимся обозначать точку (0, 1) буквой i, так что i 2  1 .
Покажем, что для множества построенных комплексных чисел
может быть получена их удобная запись. Для этого найдем произведение действительного числа b на точку i:
bi  (b, 0)  (0, 1)  (0, b) ;
это будет, следовательно, точка, лежащая на оси ординат и имеющая
ординату b, причем все точки оси ординат представимы в виде таких
произведений. Если теперь (а, b) – произвольная точка, то ввиду равенства
(а, b)  (a,0)  (0, b)
получаем
(а, b)  a  bi ,
т.е. приходим к записи комплексных чисел, которая называется алгебраической формой записи комплексного числа.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Алгебраическая форма записи комплексного числа.
Действия над комплексными числами в
алгебраической форме
Рассмотрим комплексное число   а  bi , a, b  R , записанное в
алгебраической форме.
Число а – действительная часть числа  , а bi – его мнимая
часть, b – коэффициент мнимой части, i – мнимая единица, удовлетворяющая условию i 2  1 . Действительная часть обозначается
а  Re  , коэффициент мнимой части обозначается b  Im .
Число а  0i  а является действительным числом. Числа вида
0  bi  bi будем называть чисто мнимыми числами. Комплексное
число 0  0i является единственным числом, которое одновременно
и действительное и чисто мнимое.
Отношение равенства и операции сложения, вычитания, умножения и деления определены следующим образом:
1.
Два комплексных числа а  bi и с  di называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части
и коэффициенты мнимых частей, то есть
ac и bd.
2.
Суммой двух комплексных чисел а  bi и с  di называется комплексное число, равное
(a  c)  (b  d )i .
3.
Разностью двух комплексных чисел а  bi и с  di называется комплексное число, равное
(a  c)  (b  d )i .
4.
Произведением двух комплексных чисел а  bi и с  di
называется комплексное число, равное
(ac  bd )  (ad  bc)i .
5.
Частным от деления комплексного числа а  bi на комплексное число с  di  0 называется комплексное число, равное
а  bi ac  bd bc  ad


i.
c  di c 2  d 2 c 2  d 2
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При сложении комплексных чисел складываются отдельно их
действительные части и отдельно их мнимые части. Аналогичное
правило и для вычитания.
Формула для произведения комплексных чисел получается достаточно просто, если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учѐтом равенства i 2  1 , то и перемножать эти числа можно
как многочлены. В самом деле,
(a  ib)  (c  id )  ac  bd  i 2  i(ad  bc)  (ac  bd )  i(ad  bc) ,
то есть как раз получается нужная формула.
Отметим, что правила действий над комплексными числами в
алгебраической форме эквивалентны правилам действий, рассмотренным для точек.
Комплексные числа вида а  bi и  а  bi называются противоположными.
Два комплексных числа   а  bi и   a  bi , отличающиеся
только знаком мнимой части, называются сопряженными.
Отметим ряд простейших свойств сопряженных чисел:
1. Числом, сопряженным с  , является  :
  .
2. Совпадение числа  с ему сопряженным, т.е.    , возможно
тогда и только тогда, когда  вещественно.
3. Сумма сопряженных чисел всегда является числом вещественным
    (a  bi)  (a  bi)  2a .
4. Произведение сопряженных чисел всегда является числом вещественным
    (a  bi)  (a  bi)  a 2  b2 .
5. Число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно
сумме сопряженных данным числам
1   2  1   2 .
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно
разности сопряженных данным числам
1   2  1   2 .
7. Число, сопряженное произведению двух комплексных чисел,
равно произведению сопряженных данным числам
1   2  1   2 .
8.  n  ( ) n , n  N .
Доказываются свойства согласно определению сопряженных чисел.
Докажем свойство 5:
1   2  (a1  b1i)  (a2  b2i)  (a1  a2 )  (b1  b2 )i 
 (a1  a2 )  (b1  b2 )i  (a1  b1i )  (a2  b2i )  1   2 .
Аналогично доказываются остальные свойства.
Для нахождения частного двух комплексных чисел можно не запоминать формулу, а использовать понятие сопряженного комплексного числа. Умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю:
а  bi (a  bi )(c  di ) ac  bd bc  ad



i.
c  di (c  di)(c  di) c 2  d 2 c 2  d 2
Рассмотрим возведение в целую степень числа i:
i0  1
i1  i
i 2  1
i3  i
i4  1
i5  i
i 6  1
i 7  i
i8  1
i9  i
i10  1
…
Таким образом, для нахождения числа i n следует разделить n на 4,
т.е. n  4u  k , k  0,3 . Тогда i n  i 4u k  (i 4 )u  i k  i k , получаем
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1, если n  4k ,

i, если n  4k  1,
n
i 
 1, если n  4k  2,
 i, если n  4k  3.

При возведении комплексного числа в степень можно использовать формулы сокращенного умножения, бином Ньютона.
Извлечение корня из комплексного числа представляет значительные трудности. В этом разделе рассмотрим извлечение квадратного корня из числа   а  bi (будем рассматривать   0 ). Предположим, что существует комплексное число u  vi , квадрат которого
равен  , т.е.
a  bi  u  vi .
Из равенства
(u  vi)2  a  bi
следует
u 2  v 2  a,

2uv  b.
Возводя в квадрат обе части каждого из равенств, а затем, складывая
их, получаем
(u 2  v 2 )2  4u 2v 2  (u 2  v 2 )2  a 2  b2 ,
откуда
u 2  v 2   a 2  b2 ,
знак «плюс» взят потому, что числа u и v действительные, и поэтому
левая часть равенства положительна. Из следующих равенств
u 2  v 2  a,
 2
u  v 2  a 2  b 2 .
получаем
1
u 2  (a  a 2  b 2 ) ,
2
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
v 2  (a  a 2  b 2 ) .
2
Извлекая квадратные корни, приходим к двум значениям для u, отличающимися друг от друга знаком, а также к двум значениям для v.
Все эти значения будут действительными, так как квадратные корни
будут извлекаться при любых а и b из положительных чисел. Полученные значения для u и v нельзя комбинировать между собой произвольным образом, так как знак произведения uv должен совпадать
со знаком b. Это дает две возможные комбинации значений u и v, т.е.
два числа вида u  vi , которые могут служить значениями квадратного корня из числа α:

a 2  b2  a
b
a 2  b 2  a 

a  bi  
i 
.


2
b
2


Таким образом, извлечение квадратного корня из комплексного
числа всегда возможно и дает два значения, отличающиеся друг от
друга знаком.
Отметим, что значения квадратного корня из отрицательного
действительного числа будут чисто мнимыми. Действительно, если
a  0 и b  0 , то
a 2  b 2  a , так как этот корень должен быть по1
ложительным, а тогда u 2  (a  a)  0 , т.е. u  0 , откуда a  vi .
2
Пример 1. Выполните действия:
1) (4  2i)  (1  5i)  (4  1)  (2  5)i  5  7i ;
2) (3  5i)  (6  3i)  (3  6)  (5  3)i  3  2i ;
3) (5  4i)  (3  2i)  (5  3  (4)  2)  (5  2  3  (4))i  23  2i ;
2  3i (2  3i )( 4  5i ) 8  10i  12i  15i 2  7  22i
4)




4  5i (4  5i )( 4  5i )
16  25
41
7 22
   i;
41 41
5) i125  i 4311  i1  i ;
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6) i 233  i 4( 59)  3  i 3  i ;
7) (1  i)8  [(1  i) 2 ]4  (1  2i  1) 4  (2i) 4  24  i 4  16 .
4
8)

3  4i  


32  (4) 2  3
4
i

2
4
32  (4) 2  3 


2

 (2  i ).
Пример 2. Найдите действительные решения уравнения
(4  2i) x  (5  3i) y  13  i .
Решение. Выделим в левой части уравнения действительную и
мнимую части. Согласно условию равенства двух комплексных чисел получаем:
4 x  5 y  13,

2 x  3 y  1.
Решая систему, находим x  2, y  1.
Пример 3. Решите уравнение x 2  4 x  29  0 .
Решение.
 4  42  4  1  29  4   100

 2   25  2  5i .
x
2 1
2
Пример 4. Найдите все комплексные числа z, для которых выполняется условие
z Re z  z Im z  3  2i .
Решение.
Пусть
z  x  iy , x, y  R ,
тогда
z  x  iy ,
Re z  x, Im z  y . Исходное равенство примет вид
( x  iy ) x  ( x  iy ) y  3  2i ;
( x 2  xy)  ( xy  y 2 )i  3  2i .
Согласно условию равенства двух комплексных чисел, имеем
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 x 2  xy  3,

 xy  y 2  2.
Умножив первое уравнение на 2, а второе на 3 и сложив уравнения, получаем
2 x 2  5xy  3 y 2  0 .
Разделив обе части уравнения на y  0 , получаем
2
 x
 x
2   5   3  0 .
 y
 y
Заменим
x
на новую переменную t, перейдем к уравнению
y
2t 2  5t  3  0 .
1
Откуда t1  , t2  3 .
2
x 1
x
1)   y  2 x ;
2)  3  x  3 y
y
y 2
Подставим
в
уравнение Подставим
в
x 2  xy  3,
уравнение
получаем xy  y 2  2 ,
x 2  2 x 2  3  x  1, тогда
 x2  1,
 x1  1,
и


 y2  2.
 y1  2
 3 y 2  y 2  2  y  
получаем
2
,
2
то-
гда


3 2
3 2
x4 
,
x


,

 3

2
2
и 

y  2
y   2 .
3

 4
2
2
3 2
2
3 2
2

i , z4 

i –
2
2
2
2
комплексные числа, для которых выполняется заданное условие.
Итак, z1  1  2i , z2  1  2i , z3  
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задачи для самостоятельного решения
1. Назовите действительную и мнимую части комплексного числа
1) 6  5i ;
5)    6i ;
3) 2  3i ;
1 1
2)  i ;
2 3
4)
3
2  2i ;
6) 
1
 5i .
4
2. Запишите комплексное число, у которого действительная
часть и коэффициент мнимой части соответственно равны:
1) 3 и 4;
3) 3 и 3 2 ;
5) – 0,5 и 5 ;
2)
1 3
и ;
3 4
4)
3 и – 2;
6) 
2
и – 3.
7
3. Укажите, какие из данных комплексных чисел равны:
3  2i ,
1
 0,5  4i ,
9  4i ,
  2i ,
2
3
3
9  3 8i ,
27  16i ,
27  4i .
4. При каком значении х действительная часть комплексного
числа равна нулю:
1) ( x  3)  4i ;
3) (2 x  4)  i ;
2) ( x  5)  2i ;
4) (3x  9)  5i ?
5. При каком значении х действительная часть комплексного
числа равна 1:
1) ( x  2)  3i ;
3) (3x  7)  5i ;
2) (2 x  5)  2i ;
4) ( x  1)  i ?
6. Найдите значение х, при котором коэффициент мнимой части
комплексного числа равен нулю:
1) 2  ( x  2)i ;
3)  1  (2 x  1)i ;
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2)  4  ( x  3)i ;
4) 1  (3x  1)i .
7. При каком значении х действительная часть комплексного
числа равна коэффициенту его мнимой части:
1) 2 x  3i ;
3) 0,5  ( x  1)i ;
4)  1 5xi ?
2) ( x  2)  i ;
8. Найдите действительные числа х и у, если:
1) 6 x  3 yi  4  2i ;
3) x  ( х  y)i  3  2i ;
2) x  3 yi  5  2i ;
1 3
4) x  (4  у )i    i .
2 2
9. Известно, что сумма действительной части и коэффициента
мнимой части комплексного числа az, a  R , равна 1. Найдите а, если:
1) z  1  i ;
2) z  7  3i ;
3) z  13  23i ;
4) z 1  i .
10. Найдите действительные числа a, b, для которых верно равенство z  az1  bz2 , если:
1) z1  1, z2  1  i, z  5  2i ;
2) z1  2  i, z2  3  i, z  i ;
3) z1  1  i, z2  1  i, z  3  5i ;
4) z1  4  i, z2  7  2i, z  1.
11. Найдите сумму комплексных чисел:
1) (3  i)  (2  3i) ;
6) (1  i)  (1  i) ;
2) (3  5i)  (2  i) ;
7) (1,2  1,5i)  (2,8  3,5i) ;
3) (1  3i)  (3  i) ;
8) ( 3  2i)  ( 3  5i) ;
4) (4  3i)  (4  3i) ;
9) (i17  18i18 )  (15i15  16(i)16 ) ;
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5) (i 3  4i 4 )  (i 2  3(i)3 ) ;
 1 1  1 2 
10)    i     i  .
 2 3  2 3 
12. Найдите произведение комплексных чисел:
1) (3  5i)(2  3i) ;
4) (5  i 2 )(6  i3 2 ) ;
2) (4  7i)(2  i) ;
5) (5  3i)(2  5i) ;
1 1 
3) (3  i 2 )  i  ;
3 2 
 1
 5 
6)    3i   i  .
 2
 2 
13. Найдите разность комплексных чисел:
1) (2  3i)  (3  i) ;
5) (4  i)  (5  i) ;
2) (3  5i)  (2  i) ;
6) (7  2i)  (3  2i) ;
3) (1  3i)  (3  i) ;
7) ( 3  i 2 )  (2 3  i3 2 ) ;
4) (4  3i)  (4  3i) ;
8) (2 5  3 3i)  ( 5  4 3i) .
14. Выполните действия:
А)
1) (3  4i)  (2  3i)  (1  i) ;
3) (5  7i)  (2  3i)  (4  i) ;
2) (4  2i)  (1  i)  (2  3i) ;
4) (3  5i)  (2  i)  (1  4i) .
В)
1) 2i  3  4i(1  i) ;
13) (3  2i)(4  i)  10i ;
2) (1  i)(1  2i)  1  3i ;
14) 6  (5  i)(1  i) ;
3) 3i(1  i)  2i(1  i) ;
15) (2  3i)  (3  3i) ;
1
1
4) i (4  2i )  i (3  9i) ;
2
3
5) i 3 ;
16) (5  4i)  (3  4i) ;
6) (i )3 ;
18) (2i )5 ;
7) 3i  1  2i(1  i) ;
19) (7  i 5 )(7  i 5 ) ;
8) 6  (5  i)(1  i) ;
20) i17  i 2009 ;
17) i 5 ;
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9) ( 2  3i)( 2  3i) ;
21) i 22 ;
10) (3  i)(3  i) ;
22)  i 22  (i) 22 ;
11) (4  2i)  (1  2i) ;
23) (2  i 3)( 2  i 3) ;
12) (7  5i)  (7  4i) ;
24) i 3  i 5  i 7  ...  i 2009 .
15. Упростите выражение (a, b – действительные числа):
1) (a  2bi)  (a  3bi) ;
4) (2a  3bi)(2a  3bi) ;
2) (4a  5bi)  (3a  5bi) ;
5) (2a  3bi)(3b  2ai) ;
3) (a  bi)(a  bi) ;
6) (4b  5ai)(5a  4bi) .
16. А. Найдите значение многочлена z 2  361 при заданном значении переменной z:
1) z  i ;
3) z  3i ;
2) z  i 2 ;
4) z  i 3 .
Б. Найдите значение многочлена z 3  3z при заданном значении переменной z:
1) z  i ;
3) z  11i ;
2) z  2i ;
4) z  19(i)3 .
17. Решите систему, считая х, у, z, t вещественными:
(1  i) x  (1  2i ) y  (1  3i ) z  (1  4i )t  1  5i,

(3  i) x  (4  2i ) y  (1  i ) z  4it  2  i.
18. Проверьте тождество
x 4  4  ( x  1  i)( x  1  i)( x  1  i)( x  1  i) .
19. Выясните, при каких условиях произведение двух комплексных чисел является чисто мнимым.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20. Известно, что число z1  az2 , a  R , является действительным. Найдите а, если:
1) z1  3  i, z2  6  i ;
2) z1  12  13i, z2  (3  i) 2 ;
3) z1  8  3i, z2  1  2i ;
4) z1  i, z2  (2  3i) 2 .
21. Решите уравнения:
1) (2  3i)  z  4  i ;
5) ( 2  i)  z  4  2i ;
1
2) (1  2i )  z  5  i ;
2
3) (3  2i)  z  2  i ;
6) 6  i  z  (5  2i) ;
4) (2  i)  z  3  2i ;
8) 5  i  z  (3  2 )i .
7) (1  i)  z  2  i 3 ;
22. Запишите комплексное число, сопряженное с данным числом:
1) 1  i ;
3)  3  4i ;
1 1
5)   i ;
2 3
2) 2  3i ;
4)  7  5i ;
1 2
6)  i .
3 5
23. Найдите частное двух комплексных чисел:
1 i
3  4i
1)
;
5)
;
1 i
2i
1 i
2  3i
2)
;
6)
;
2  3i
1 i
1 i
1  2i
3)
;
7)
;
3  2i
1 i
5  4i
 5  3i
4)
;
8)
.
 3  2i
 7  2i
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24. Решите уравнения:
1) (2  i) z  3  i ;
3) (1  i) z  i  4 ;
2) (1  2i) z  2  5i ;
4) z (1  i)  3  i .
25. Вычислите
1) (7  3i)3 ;
2)
(1  2i )3  (1  i )3
15)
;
(3  2i )3  (2  i) 2
2  5i
;
1 i 3
3
 1
3
 ;
16)    i
2
2


a  bi
3)
;
a  bi
(1  i )5  1
17)
;
(1  i )5  1
4)
(2  3i )(3  2i )
;
1 i
18)
3  4i
;
(1  i )( 2  i )
5)
(3  i )(1  3i )
;
2i
19)
2  3i
;
(1  i )(3  i )
3
(1  2i) 4
20)
;
(3  4i)( 24  7i)
3
2i16  3i 9
21)
;
(2  3i ) 2
 i5  2 
 ;
6)  7
 i 1 
 4  i7 
 ;
7) 
4 
3i 
8) (1  2i)5  (1  2i)5 ;
22)
9) (2  i) 7  (2  i) 7 ;
23)
1 i 1 i

;
1 i 1 i
5
5

11)
;
1  2i 2  i
(1  i )9
12)
;
(1  i )7
10)
24)
25)
26)
30
2  3i 2  3i

;
2i
2i
(i  1)(1  2i )
;
3i
3i 3i

;
3i 3i
3
3

;
2  3i 2  3i
(2  i ) 4
i6 ;
(3  4i )(8  i )
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1  itg
13)
;
1  itg
2i 4  3i 5
27)
;
(2  3i )(8  i )
14) (1  2i) 6 ;
28)
4  5i 4  5i
.

4i
4i
26. Найдите действительные числа a, b, для которых верно раz
z
венство 1  a 2  bz2 , если:
z2
z1
1) z1  i, z2  2 ;
2) z1  1  i, z2  1  i ;
3) z1  1  2i, z2  1  2i ;
4) z1  1  i, z2  1  2i .
z2  1
27. Найдите значение функции  
, если:
z i
1) z  1  i ;
3) z  2i ;
2) z 1  i ;
4) z  2  i .
28. Вычислите для любого целого положительного n:
1) i n ;
(1  i ) n
2)
;
(1  i ) n
1
3
i . Вычислите:
29. Пусть    
2 2
1) (a  b  c 2 )( a  b 2  c ) ;
2) (a  b)( a  b )( a  b 2 ) ;
3) (a  b  c 2 )3  (a  b 2  c )3 ;
4) (a 2  b )(b 2  a ) .
31
(1  i ) n  2
3)
.
(1  i ) n
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30. Найдите:
zz
1)
;
2
2)
zz
.
2
31. Найдите числа, сопряженные: а) своему квадрату; б) своему
кубу.
32. Решите уравнения:
1) z  z  3( z  z )  4  3i ;
2) z  z  2 z  3  2i ;
3) z  z  3( z  z )  7 ;
4) z  z  3( z  z )  3i .
33. Решите системы уравнений:
ix  (1  i ) y  3  i
(2  i) x  (3  i) y  i
1) 
;
5) 
;
(1  i ) x  (6  i ) y  4
(3  i ) x  (2  i) y  i
(3  i ) x  (4  2i) y  2  6i
(2  i) x  (2  i) y  6
2) 
; 6) 
;
(
4

2
i
)
x

(
2

3
i
)
y

5

4
i
(
3

2
i
)
x

(
3

2
i
)
y

8


 x  yi  2 z  10
5 z  3z2  9  5i
7)  1
;

3)  x  y  2iz  20
;
4
z

z

3

4
i
 1 2
ix  3iy  (1  i ) z  30

4 z1  z2  7  6i
4) 
;
3z1  2 z2  3  i
7 z1  2 z2  7  4i
8) 
.
3z1  z2  3  2i
34. Вычислите:
1)
2i ;
6)
 15  8i ;
11) 8  6i ;
2)
 8i ;
7)
 3  4i ;
12) 8  6i ;
3)  11 60i ;
8)
3  4i ;
13)
 8  6i ;
2  3i ;
9)
2  3i ;
14)
 8  6i ;
4)
5) 4  i  4  i ;
10)
4
1;
32
15) 1  i 3 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
35. Решите уравнения (во множестве комплексных чисел):
1) x 2  3  4i  0 ;
7) x 2  (4  3i) x  1  5i  0 ;
2) x 2  5  12i  0 ;
8) x 2  5x  9  0 ;
3) x 2  2 x  3  0 ;
9) x 2  x  1  i  0 ;
4) x 2  (3  2i) x  5  i  0 ;
10) x3  1  0 ;
5) x 4  6 x 2  25  0 ;
11) x 4  1  0 ;
6) x 4  34 x 2  289  0 ;
12) х 2  2ix  0 .
36. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
1) i и  i ;
2
3) 2i и ;
i
2) 7  2i и 7  2i ;
i
4)  23 i и .
8
37. При каких действительных значениях параметра а:
1) уравнение z 2  2 z  a  0 имеет корень 1  i ;
2) уравнение z 2  8z  (a 2  9)  0 имеет корень 4  3i ;
3) уравнение z 2  (1  a 2 ) z  25  0 имеет корень 4  3i .
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Геометрическая интерпретация комплексного числа
Геометрической моделью множества действительных чисел является числовая прямая. Любому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой и, наоборот, каждой
точке на прямой соответствует единственное действительное число.
Геометрической моделью множества комплексных чисел является
координатная плоскость. Каждому комплексному числу можно поставить в соответствии единственную точку координатной плоскости и, наоборот, каждая точка плоскости является изображением
единственного комплексного числа.
Между множеством всех точек координатной плоскости и множеством всех пар вещественных чисел имеет место взаимно однозначное соответствие, при котором точке соответствует пара (а,b),
a,b R, где а есть абсцисса и b – ордината этой точки (рис.1). Но
каждую пару чисел (a,b) можно считать комплексном числом. Таким
образом, мы получаем взаимно однозначное соответствие между
множеством всех точек плоскости и множеством всех комплексных
чисел.
Рис. 1.
Очевидно, при указанном соответствии вещественные числа
изображаются точками, лежащими на оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс комплексной плоскости называют обычно действительной (вещественной) осью.
Точки оси ординат изображают чисто мнимые числа, то есть
числа вида bi (b R, b  0). Поэтому ось ординат комплексной плос34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кости называют обычно мнимой осью. Саму плоскость называют
комплексной плоскостью.
На рисунке 2 изображены комплексные числа  2  i , 3  2i .
Мнимая ось
2i
2
3  2i
1
-2
3
Вещественная ось
Рис. 2.
Каждой точке плоскости с координатами (a,b) соответствует
один и только один вектор с началом в точке О (0,0) и концом в точке А (a,b). Поэтому комплексное число z  a  bi можно изображать
и с помощью радиус-вектора r  ОА  (a, b) .
Рассмотренные интерпретации комплексного числа позволяют
называть комплексное число вектором или точкой на комплексной
плоскости.
Сложение комплексных чисел осуществляется по правилу сложения векторов (правило параллелограмма): число z1  z2 геометрически изображается как вектор, построенный по правилу сложения
векторов, соответствующих точкам z1 и z 2 (рис. 3). Разность между
числами z1 и z 2 есть комплексное число, изображающееся вектором
z1  z2 . Длина этого вектора соответствует расстоянию между точками z1 и z 2 (рис. 4).
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 3.
Рис. 4.
Заметим, что точки z  a  bi и z  a  bi симметричны относительно действительной оси (рис. 5). Точки z и – z симметричны
относительно начала координат.
Рис. 5.
Запись числа z  a  bi использует декартовы координаты точки,
соответствующей этому числу. Положение точки на плоскости
вполне определяется также заданием ее полярных координат: расстояния r от начала координат до точки и угла φ между положительным направлением оси абсцисс и направлением из начала координат
на эту точку (рис. 6). Число r является неотрицательным действи36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тельным числом, причем оно равно нулю лишь для точки с координатами (0; 0).
z  a  bi
b
r
а
Рис. 6.
Число r есть длина вектора, изображающего комплексное число
z  a  bi . Это число называется модулем комплексного числа, обозначается z . Модуль комплексного числа равен z  a 2  b 2 (указанная формула легко выводится при помощи теоремы Пифагора).
Геометрический смысл модуля комплексного числа z  a  bi
означает, что z есть расстояние от точки с координатами (0; 0) до
точки z (рис. 7).
Рис. 7.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Можно выделить следующие свойства модуля комплексного
числа:
1) z  0; z  0  z  0 ;
2) z  z ;
3)  z  z ;
4) z  z  z или
2
1
z
 2;
z z
5) z1  z2  z1  z2 ;
6) z n  z , n  N ;
n
7)
z
z1
 1 , z2  0;
z2
z2
8) Re z  z , Im z  z ;
9) z1  z2  z1  z2 (неравенство треугольника);
10) z1  z2  z1  z2 ;
11) если комплексное число z лежит на единичной окружно1
1
сти, то z  . Обратно, если z  , то z лежит на единичной
z
z
окружности.
Угол  называется аргументом числа z и обозначается через
arg z. Угол  может принимать любые действительные значения.
Аргумент комплексного числа имеет бесконечно много значений, отличающихся друг от друга на целые кратные числа 2 , т.е.
если 0  arg z , то и 0  2k , k  Z будет аргументом z (если
1  arg z гги 2  arg z , то 1  2  2k , k  Z ).
Например, аргументами комплексного числа z  1  i являются
 9 17
,
углы ,
и т.д.
4 4
4
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поэтому в качестве аргумента комплексного числа выбирают
значение    arg z   или 0  arg z  2 , которое называют главным значением аргумента.
Аргумент не определен лишь для числа 0; это число вполне
определяется равенством 0  0 .
Из равенства двух комплексных чисел, заданных их модулями и
аргументами, можно лишь заключить, что аргументы отличаются на
целое кратное числа 2 , в то время как модули равны:
 если r1  r2  0 , то для комплексных чисел z1 и z 2 , таких,
что z1  r1 , 1  arg z1 , z2  r2 , 2  arg z2 , равенство z1  z2
имеет место тогда и только тогда, когда 1  2  2k , k  Z ;
 если r1  r2 , то для комплексных чисел z1 и z 2 , таких, что
z1  r1 и z2  r2 , имеет место z1  z2 .
Отметим, что положительные вещественные числа характеризуются тем условием, что их аргументы равны 0. Отрицательные вещественные числа характеризуются тем условием, что их аргументы
равны π. Модуль действительного числа совпадает со своей абсолютной величиной (если z  a  i0 , то z  a  i0  a 2  a ).
Чисто мнимые числа характеризуются тем условием, что их аргументы равны 

. Модуль чисто мнимого числа равен модулю ко2
эффициента его мнимой части.
Пример 1. Найдите модуль комплексного числа z  1  i .
Решение. z  (1)2  (1) 2  1  1  2 .
Пример 2. Изобразите на комплексной плоскости множества точек, удовлетворяющих следующим условиям:
1) z  2 ;
2) 0  Im z  1,5 ;
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
3) z  (1  i)  ;
2
 z  1  3,
4) 
 z  2.
Решение. Пусть z  x  iy .
1) Согласно формуле r = z  x 2  y 2 , имеем
x 2  y 2  2 , то
есть x 2  y 2  4 представляет собой окружность радиуса R = 2 с центром в начале координат (рис. 8).
2) Неравенство 0  Im z  1,5 можно переписать так: 0  у  1,5 .
Мы получаем бесконечную горизонтальную полосу между прямыми
y  0 и y  1,5 , которая параллельна действительной оси Ох (рис. 9).
1
определяет множество точек z, удален2
1
ных от точки 1  i на расстояние, меньшее . Все такие точки z за2
1
полняют круг с центром в точке 1  i и радиуса (рис. 10).
2
4) Решение изображено на рисунке 11 (заштрихованная область).
3) Условие z  (1  i) 
Рис. 8.
Рис. 9.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 10.
уx
4
4
-2
-2
х
y
Рис. 11.
Пример 3. Какое множество точек на комплексной плоскости
определяется условием
Im z 2  2 ?
Решение. Пусть z  x  iy . Тогда
z 2  ( x  iy )2  ( x 2  y 2 )  i 2 xy .
Следовательно, Im z 2  2 xy .
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По условию 2 xy  2 или xy  1. Это неравенство определяет
множество точек в первой и третьей четвертях, соответственно над и
под гиперболой хy  1.
Пример 4. Опишите все такие точки z 0 комплексной плоскости,
что среди чисел z, удовлетворяющих уравнению z  z0  0,5 , есть
ровно одно число с модулем 1.
Решение. Все числа вида z  z0  0,5 на комплексной плоскости
располагаются на окружности с центром  z0 радиуса 0,5. Все числа
с модулем 1 расположены на комплексной плоскости на окружности
с центром О(0; 0) радиуса 1. Для того чтобы эти окружности имели
единственную общую точку, то есть касались друг друга, необходимо и достаточно, чтобы центр окружности z  z0  0,5 был расположен от начала координат на расстоянии 1  0,5  1,5 (внешнее касание) либо на расстоянии 1  0,5  0,5 (внутреннее касание). Таким
образом, комплексные числа  z0 лежат на двух концентрических
окружностях с центром в начале координат радиусами соответственно 1,5 и 0,5. В свою очередь, точка z0 симметрична точке  z0 относительно О(0; 0), то есть лежит на тех же окружностях.
Задачи для самостоятельного решения
1. Постройте точки, изображающие комплексные числа:
1) 1;
9) – i;
5)  2 ;
2) – 1;
6) i;
10) i 2 ;
3) 1  i ;
7)  3  4i ;
4) 2  3i ;
8) 5  2i ;
11)  3  6i ;
12)  4i .
2. Найдите модуль комплексного числа:
1) 3  4i ;
8) 1  i ;
15)  3i ;
2)  8  6i ;
9) 1  i ;
16) 4i ;
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) 2  3i ;
2
4) ;
i
1 3
5)  i ;
2 2
6) i(2  i) ;
10)  5  7i ;
3
11)  ;
i
2 1
12)   i ;
3 3
13) 5  2i ;
7)  5i
14)
3. Сравните модули чисел:
3  2i ;
17)  7  i ;
i 1
18)
;
i
i
19)
;
i 1
20) 1  i 3 ;
3  2i
21)
.
5i  4
1 i 1 i
и
.
1 i 1 i
4. При каком положительном значении параметра а модуль данного числа равен 10:
1) a  8i ;
3) (a  1)  (a  1)i ;
2) 2a  ai ;
4) a 
50
i?
a
5. Про комплексное число z известно, что Re z  3 или Re z  6 .
Сколько имеется таких чисел, если, кроме того, известно, что:
1) z  3 ;
3) z  4 ;
4) z  10 ?
2) z  6 ;
6. Про комплексное число z известно, что Re z  3 или Im z  4 .
Сколько имеется таких чисел, если также известно, что:
1) z  3 ;
3) z  4 ;
2) z  5 ;
4) z  10 ?
7. На комплексной плоскости найдите все точки, изображающие
комплексные числа z, удовлетворяющие следующим условиям:
1) z  1 ;
11) i  z  1;
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2) z  1;
12) z  i  3 ;
3) z  1;
13) z  1  i  1;
4) z 
z
 1;
2
14) z  z 
1
;
3i
5) Re z  (Im z ) 2 ;
15) Re z  Im z ;
6) arg z   ;
16) z  i  3 ;
7) Re z  Im z  0 ;
 z i 1

17) 
;
arg
z


2
8) z  1  z  1  4 ;
18) arg z 
2
9) arg( z  i) 
2

;
3
10) z  i  z  2  3i ;

;
4
19) Re z  4 или Im z  4 ;
20) (Re z )(Im z )  1.
8. Изобразите на комплексной плоскости множество всех чисел,
у которых аргумент:
3

1) больше, чем , но меньше, чем
;
2
4
3

2) больше, чем 
, но меньше, чем ;
4
6
3

3) больше, чем
, или меньше, чем ;
4
6
2

4) отличается от 
не более чем на .
3
6
9. Изобразите на комплексной плоскости множество всех чисел
z, у которых:

3
u z  2;
1)  arg z 
2
4
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2)

2
 arg z 
3
u 3  z  5;
4
3) 
3

 arg z  u z  8 ;
4
6
4) 
5
2
 arg z 
u 1  z  2.
6
3
10. Изобразите на координатной плоскости числа z1  1  i и
z2  1  3i , а также числа:
1) 3z1 ;
3)  2z2 ;
2) z1  z2 ;
4) 3z1  2 z2 .
11. Изобразите на координатной плоскости числа z1  2  3i и
z2  5  2i , а также числа:
1) z1 ;
3)  3z2 ;
2) z1  z2 ;
4) z1  3z2 .
12. 1) Для n = 1, 2, 3, 4 изобразите на координатной плоскости
точки zn  (2n  1)  (5  n)i ;
2) докажите, что все точки лежат на одной прямой l, составьте
уравнение прямой;
3) укажите число, лежащее на прямой l, у которого Re z  5 ;
4) укажите число, лежащее на прямой l, у которого Im z  8 .
13. Используя геометрическое истолкование действий над комплексными числами, найдите длины сторон и внутренние углы треугольника, вершинами которого являются точки z1  3  i , z2  5  3i ,
z3  (7  2 3)  3i .
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14. Вершинами треугольника являются точки, изображающие
комплексные числа z1 , z 2 , z 3 . Найдите все комплексные числа, соответствующие точкам, дополняющим данный треугольник до параллелограмма.
15. Окружность Аполлония. Докажите, что на комплексной
плоскости равенством z  a  k z  b при k  1 задается окружность
(a, b – действительные числа)
16. Среди комплексных чисел, удовлетворяющих условию
z  25i  15 , найдите число, имеющее наименьший положительный
аргумент.
17. Докажите тождество
x  y  x  y  2( x  y ) .
2
2
2
2
Указание. Положите x  a  bi , y  c  di .
18. При каких условиях модуль суммы двух комплексных чисел
равен разности модулей слагаемых?
19. При каких условиях модуль суммы двух комплексных чисел
равен сумме модулей слагаемых?
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
Действия над комплексными числами в
тригонометрической форме
При помощи введенных выше характеристик для комплексных
чисел определяется некоторая новая форма их задания, представляющая в ряде случаев большое удобство.
Пусть нам дано комплексное число в алгебраической форме
z  x  iy . Изобразим его на комплексной плоскости как радиусвектор ОМ (рис. 12).
Рис. 12.
Из прямоугольного треугольника OMN следует, что
x  r cos , y  r sin  ,
r  x2  y2 .
Тогда комплексное число z  x  iy можно записать в виде
z  x  iy  r cos   ir sin   r (cos   i sin  ) .
Получившаяся
форма
записи
комплексного
числа
z  r (cos   i sin  ) называется тригонометрической формой записи, где r  z ,   arg z .
Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы
записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно
найти его модуль и аргумент.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из выведенных выше равенств можно получить следующие соотношения:
x
y
cos  
sin


,
, (1)
2
2
2
2
x y
x y
позволяющие определить угол  .
Можно заметить, что
y
.
(2)
x
Считая угол  главным значением аргумента, определяемым
tg 
условиями    arg z   , получаем следующие соотношения:
y

arctg
, если x  0,

x

  arctg y , если х  0, y  0,

x

y
  arg z     arctg , если х  0, y  0,
x


 2 , если х  0, y  0,

  , если х  0, y  0.
 2
Пример 1. Запишите числа в тригонометрической форме:
1) z  1  i ;
2) z  5  12i ;
3) z  2  2i ;
4) z  i ;
5) z  1  i 3 .
Решение. 1) r  12  (1) 2  2 , cos  
sin  
1
2

,
2
2
1
2

.
2
2
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, в качестве

Возьмем    . Получаем,
4


7
или  .
4
4
  
  
z  1  i  2  cos    i sin    
 4 
  4
можно взять число
(рис. 13).
Рис. 13.
12
. Остается по данному тан5
генсу найти угол  . Наименьшим углом, тангенс которого равен
2) r  52  122  169  13; tg 
12
 2,4 , будет   6723 .
5
Таким образом, 5  12i  13(cos 6723  i sin 6723) .
3) r  (2)2  (2) 2  2 2 , cos   
1
1
, sin   
.
2
2
5
. Получаем,
4
5
5 

z  2  2i  2 2  cos
 i sin
 (рис. 14).
4
4 

0
1
4) r  02  12  1, cos    0 , sin    1. Таким образом,
1
1
Таким образом,  


2
. Получаем, z  i  cos

2
 i sin
49

2
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
у
х
Рис. 14.
3
1
5) r  (1)2  ( 3)2  1  3  4  2 , cos    , sin  
.
2
2
2
Таким образом,  
. Получаем,
3
2
2 

z  1  i 3  2 cos
 i sin
.
3
3


Пример 2. Пусть для некоторого комплексного числа z имеет
место z  4 , arg z 

. Найдите алгебраическую форму числа z.
3
Решение. z  a  bi , a  z cos  , b  z sin  , где   arg z . Полу-
чаем
a  4 cos

1
 4  2,
3
2
b  4 sin
тогда
z  2  i2 3 .
50

3
 4
3
 2 3,
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 3. Какая область определяется условием z  Re z  1?
Решение. Пусть z  r (cos   i sin  ) . Тогда z   , Re z   cos .
1
. Этому условию удо1  cos 
влетворяют все точки, лежащие в области, ограниченной кривой
1
(уравнение параболы в полярных координатах).

1  cos 
По условию    cos   1, откуда  
Пример 4. Найдите модуль и один из аргументов комплексного
числа 1  cos 9  i sin 9 .
Решение. I способ.
Преобразуем выражение
1  cos 9  i sin 9  2 sin 2 4,5  i 2 sin 4,5  cos 4,5 .
Так как sin 4,5  0 , удобно вынести за скобки  2 sin 4,5 , тогда
1  cos 9  i sin 9  2 sin 4,5( sin 4,5  i cos 4,5) 
 



 2 sin 4,5 cos  4,5   i sin   4,5  .

2

 2
Таким образом, модуль данного комплексного числа  2 sin 4,5 , а
один из аргументов

2
 4,5 .
II способ.
Найдем модуль этого числа
1  cos 9  i sin 9  (1  cos 9) 2  ( sin 9) 2  2  2 cos 9 
 4 sin 2 4,5  2 sin 4,5  2 sin 4,5.
Аргумент

данного комплексного числа определяется из систе-
мы
1  cos 9




cos


cos

4
,
5
cos


,

,


2
 2 sin 4,5
cos    sin 4,5,





sin   cos 4,5,
sin   sin    4,5 .
sin    sin 9 ,


 2 sin 4,5
2

51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда  

 4,5  2n, n  Z .
2
Получили, модуль данного комплексного числа  2 sin 4,5 , а один
из аргументов

2
 4,5 .
Алгоритм нахождения
z  x  iy , z  0 :
аргумента
комплексного
числа
1) определить, в какой четверти находится точка z  x  iy (можно использовать геометрическую интерпретацию числа z  x  iy );
2) найти в этой четверти угол  , используя соотношения (1) или
(2);
3) любое значение аргумента числа z запишется по формуле
  2k , k  Z .
Алгоритм записи комплексного числа z  x  iy в тригонометрической форме:
1) найти модуль этого числа;
2) найти главное значение аргумента этого числа.
Всякое комплексное число может быть задано в тригонометрической форме. Мы не делаем здесь исключения для случая z = 0, поскольку для z = 0 тригонометрической формой можно считать выражение 0  0(cos   i sin  ) при любом  R.
Действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим образом.
Пусть   r (cos   i sin  ) и    (cos  i sin  ) .
Найдем произведение этих чисел:
  r (cos   i sin  )   (cos  i sin  ) 
 r (cos   cos  sin   sin   i (sin   cos  cos   sin  )) 
 r (cos(  )  i sin(   )).
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, для того, чтобы перемножить два комплексных
числа в тригонометрической форме, нужно перемножить их модули
и сложить аргументы:
  r (cos(   )  i sin(    )) .
Итак, модуль произведения равен произведению модулей
сомножителей     r   , а аргумент – сумме аргументов сомножителей arg(   )  arg   arg     .
Найдем частное от деления числа  на число  :
 r (cos   i sin  ) r (cos   i sin  )  (cos  i sin  )



  (cos  i sin  )  (cos  i sin  )  (cos  i sin  )
r (cos   i sin  )  (cos(  )  i sin(  ))
 


cos 2   sin 2 

r

(cos(  )  i sin(   )).
Таким образом, для того, чтобы разделить одно комплексное
число на другое, нужно разделить их модули и вычесть их аргументы:
 r
 (cos(  )  i sin(   )).


Т.е. модуль частного комплексных чисел равен модулю делимого, деленному на модуль делителя
 r
 , а аргумент частного –
 
разности аргументов делимого и делителя
 
arg   arg   arg      .
 
Тригонометрическая форма позволяет найти геометрическую
интерпретацию операций умножения и деления. В силу сказанного
выше точка, изображающая число z1  z2 (или ее радиус-вектор),
может быть получена, если вектор z1 повернуть против часовой
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стрелки на угол 2  arg z2 , а затем растянуть или сжать этот вектор в
r2  z2 раз (при r2  1 – растяжение, при 0  r2  1– сжатие).
На рисунке 15 модули комплексных чисел z1 , z 2 , z1  z2 соответственно равны 2, 3 и 6 единицам.
Рис. 15.
Аналогично находится геометрический смысл частного
z1
.
z2
Обобщая правило умножения комплексных чисел, можно сделать вывод: для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы, т.е. если
1,2 ,...,n – аргументы чисел z1, z2, ..., zn, то
arg( z1  z2  ...  zn )  1  2  ...  n ,
z1  z2  ...  zn  z1  z2  ...  zn .
Тогда, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень:
[r (cos   i sin  )]  r n (cos n  i sin n ) .
n
Данная формула называется формулой Муавра.
Формула верна и для целых отрицательных показателей.
Итак, при возведении комплексного числа в степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Число  называется корнем степени n, n  N из комплексного
числа z, если  n  z . Корень степени n, n  N обозначается   n z .
Пусть теперь число z фиксировано, т.е. z  r (cos   i sin  ) .
Найдѐм  из уравнения  n  z .
Если z = 0, то у уравнения  n  0 существует единственное решение   0 .
Если z  0 , то предположим, что существует некоторый корень
уравнения  n  z , где
     (cos   i sin  ) ,
такой, что  n  z , получаем
(  (cos   i sin  )) n  r (cos   i sin  ) ,
 n (cos n  i sin n )  r (cos   i sin  ) .
Так как модули равных комплексных чисел совпадают, а аргументы могут отличаться только на число 2k , k  Z , то
n  r    n r ,
n    2k , k  Z   
  2k
n
.
Тогда
  2k
  2k 

r (cos   i sin  )  n r  cos
 i sin
.
n
n 

Заметим, что если в эту формулу подставлять различные значения числа k, то при k  0, 1,..., n  1 мы будем получать различные
n
значения искомого корня. А при k = n имеем
  2n
  2n  n  


n  n r  cos
 i sin
  r  cos  i sin   0 ,
n
n 
n
n


т.е. значение совпадает со значением корня при k = 0.
Далее значения корней будут повторяться. Следовательно, существует ровно n различных корней уравнения  n  z , которые задаются формулой
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n
  2k
  2k 

z  n r (cos   i sin  )  n r  cos
 i sin
,
n
n


k  0, n  1.
Таким образом, извлечение корня n-й степени из комплексного
числа всегда возможно и дает n различных значений. Все значения
корня n-й степени расположены на окружности радиуса
n
z n r с
центром в точке с координатами (0; 0) и делят эту окружность на n
равных частей.
Отметим, что тригонометрическая форма комплексных чисел достаточно удобна при их перемножении, делении, возведении в степень, при извлечении корня n-й степени.
Пример 5. Вычислите
1) (1  i 3)60 ;
2) (1  i 3) 4 .
Решение.
1) Запишем число  1  i 3 в тригонометрической форме
2
,
z  (1)2  ( 3)2  2 ,  
3
2
2 

z  1  i 3  2 cos
 i sin
.
3
3 

Тогда
  2 
 2 
(1  i 3) 60  260 cos 60   i sin  60  
3 
3 

 
 260  (cos 40  i sin 40 )  260.
  
  4 
  
 4  
2) z  2  cos    i sin      2 4  cos 
  i sin  
 
 3 
 3 
  3
  3 
4
4
4
 1
3

 
  
  23 (1  i 3)  8(1  i 3)
 2 4   cos   i sin     2 4    i
2 
3
 3 

 2
(рис. 16).
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 16.
Пример 6. Найдите выражения cos 5 и sin 5 через cos  и
sin  .
Решение.
Формула Муавра дает:
cos 5  i sin 5  (cos   i sin  )5 .
Используя формулу бинома Ньютона, получаем:
(cos   i sin  ) 5  cos 5   5i cos 4   sin   10 cos 3   sin 2  
10i cos 2   sin 3   5 cos   sin 4   i sin 5 .
Поэтому
cos 5  cos5   10 cos3   sin 2   5 cos  sin 4  ,
sin 5  5 cos 4   sin   10 cos 2   sin 3   sin 5 .
Пример 7. Найдите все значения
1)
3
 1;
2) 4 1  i .
Решение.
1)Запишем – 1 в тригонометрической форме
 1  1(cos   i sin  ) .
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда
  2k
  2k 

zk  3  1  1   cos
 i sin
, k  0,2 (рис. 17).
3
3 

Получаем
z0  cos

 i sin


1
3
;
i
2
2
3
3
  2
  2
z1  cos
 i sin
 cos   i sin   1  0  1;
3
3
  4
  4
5
5 1
3
z2  cos
 i sin
 cos
 i sin
 i
.
3
3
3
3 2
2
Рис. 17.
2) Запишем 1  i в тригонометрической форме
  
  
1  i  2 cos    i sin   .
 4 
  4
Тогда




  2k
  2k 

4
, k  0,3 .
1  i  8 2  cos 4
 i sin 4
4
4




58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Получаем
7
7 

z1  8 2  cos
 i sin
,
16
16 

   
  
z0  8 2  cos    i sin     ,
 16  
  16 
15 
 15
z2  8 2  cos
 i sin
,
16
16


  9 
 9  
z3  8 2  cos 
  i sin  
 .
16
16



 
Пример 8. Решите уравнение z 5  32  0 .
Решение.
z  5  32 .
Запишем число – 32 в тригонометрической форме
 32  32(cos   i sin  ) .
Тогда
z  5 32(cos   i sin  )  2(cos
  2k
5
 i sin
(рис. 18).



z0  2 cos  i sin  ;
5
5

3
3 

z1  2 cos
 i sin
;
5
5 

z2  2(cos   i sin  ) ;
7
7 

z3  2 cos
 i sin
;
5
5 

9
9 

z4  2 cos
 i sin
.
5
5 

59
  2k
5
) , k  0,4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 18.
Пример 9. Упростите выражение
2i

  31i
1  2i 

z
40 .



(1  i 3) 5  cos  i sin 
6
6

65
Решение.
2i
 (i)(1  2i) 
1) 
 
 1  2i 
 1  2i 
65
65
 (i)65  (i) 416 1  (i)1  i .
2) Запишем число  1  i 3 (рис. 19) в тригонометрической форме:
4
4 

 1  i 3  2 cos
 i sin
.
3
3 

60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 19
20
20 

 i sin
Тогда (1  i 3)5  25  cos
.
3
3


  


  
  
  
3) cos    i sin     cos 40      i sin 40     
 6 
 6 
 6 
  6


 20 
 20 
 cos 
  i sin  

 3 
 3 
 i  31i
4) z 

20

20

20

20









25  cos
 i sin
   cos 
  i sin  

3
3   
3 
3 


 32i
i
 5

 i .
2 (cos 0  i sin 0) 1
40
Корни из единицы. Особый интерес представляет случай извлечения корня n-й степени из 1. Этот корень имеет n различных значений, зная, что 1  cos 0  i sin 0 , получаем все значения корни n-й степени из единицы
2k
2k
n
1  cos
 i sin
, k  0, n  1.
n
n
Действительные значения корня n-й степени из единицы полуn
чаются при k  0 и , если n четно, и при k  0 , если n нечетно.
2
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На комплексной плоскости корни n-й степени из единицы расположены на окружности единичного радиуса и делят ее на n равных
дуг, одной из точек деления служит число 1. Отметим, что те из корней n-й степени из единицы, которые не являются действительными,
расположены симметрично относительно действительной оси, т.е.
попарно сопряжены.
Квадратный корень из единицы имеет два значения: 1 и – 1, корень четвертой степени из единицы – четыре значения: 1, – 1, i и  i .
2k
2k
 i sin
Значения кубического корня из единицы 3 1  cos
:
3
3
1
3
1
3
 0  1,  1    i ,  2    i .
2
2
2
2
Все значения корня n-й степени из комплексного числа  можно
получить умножением одного из этих значений на все корни n-й степени из единицы. Действительно, пусть  будет одно из значений
корня n-й степени из числа  , т.е.  n   , а  – произвольное значение
корня
n-й
степени
из
единицы,
т.е.
 n  1.
(  )n   n n   , т.е.  также будет одним из значений для
Тогда
n
.
Умножая  на каждый из корней n-й степени из единицы, получаем
n различных значений корня n-й степени из числа  , т.е. все значения этого корня.
Произведение двух корней n-й степени из единицы само есть корень n-й степени из единицы. Действительно, если  n  1 и  n  1 , то
() n   n  n  1.
Число, обратное корню n-й степени из единицы, само есть такой
же корень. В самом деле, пусть  n  1. Тогда из    1  1 следует
 n  ( 1 )n  1, т.е. ( 1 )n  1 . Отметим, всякая степень корня n-й степени из единицы есть также корень n-й степени из единицы.
Всякий корень k-й степени из единицы будет также корнем l-й
степени из единицы для всякого l, кратного k.
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для всякого n существуют такие корни n-й степени из единицы,
которые не являются корнями из единицы никакой меньшей степени.
Такие корни называют первообразными корнями n-й степени из единицы.
Их
существование
вытекает
из
формулы
2k
2k
n
, k  0, n  1: если значение корня, соответ1  cos
 i sin
n
n
ствующее данному значению k, обозначить через  k (так что  0  1),
то на основании формулы Муавра 1k   k . Никакая степень числа 1 ,
меньшая чем n-я, не будет, следовательно, равна 1, т.е.
2
2
является первообразным корнем.
1  cos
 i sin
n
n
Корень n-й степени из единицы  тогда и только тогда будет
первообразным, если его степени  k , k  0, n  1, различны, т.е. если
ими исчерпываются все корни n-й степени из единицы.
Задачи для самостоятельного решения
1. Представьте в тригонометрической форме следующие числа:
 cos  i sin 
1
– i
1 i 3
–1
1+i
3 i
2i
1–i
1 i 3
tg  i,   R
–1+i
–1–i
1  i 3
–3
2+7i
2i
1 i 3
2 3i
sin   i cos 
2. Запишите в алгебраической форме комплексное число:
1) cos
5
5
 i sin
;
6
6
13 
 13
 i sin
5) 2 cos
;
6
6 

9
9 

 i sin
6) 6 cos
;
4
4 

7
7 

 i sin
2) 4 cos
;
3
3 

63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) cos
4)
3
3
;
 i sin
4
4
1
 
 
cos    i sin   
 3
 3



7) 0,5 cos  i sin  ;
6
6

1
8)
.
 3 
 3 
cos 
  i sin  

4


 4 
;
3. Запишите в тригонометрической форме комплексные числа:
1) cos

7
 i sin

7
4)  cos
;

5
 i sin

5
;



5) 2  cos  i sin  ;
8
8

6)1  cos 250  i sin 610 .

 
2) 3 sin  i cos  ;
5
5

4 
4 
 i1  cos  ;
3) sin
7
7 

4. Докажите, что если φ – аргумент числа z, то:
1
1) – φ – аргумент числа ;
2) – φ – аргумент числа z .
z
5. Выполните действия и запишите результат в алгебраической
форме:

  3
3 

 i sin
1) 4 cos  i sin  cos
;
10
10
20
20




 
2
2 

 i sin
2) 3 cos  i sin  cos
;
5
5
15
15






3) ( 3  i) cos  i sin  ;
12 
 12
3
3 



 i sin
4) (1  i) cos
 cos  i sin  ;
8
8 
8
8

64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5
5
 i sin
8
8 ;
5)
3
3
cos
 i sin
8
8
7
7
cos
 i sin
10
10 ;
6)


cos  i sin
5
5
1 i
7)
;


cos  i sin
12
12
i
8)
.


cos  i sin
4
4
cos
6. Вычислите:
1) z 3  z 2  1 при z  cos
2) z 2  z  1 при z  cos

4

3
 i sin
 i sin

4

3
;
.
7. Докажите, что
  7

 7

(1  i 3)(1  i)cos   i sin    2 2  cos
    i sin 
   .

 12

  12
8. Упростите
cos   i sin 
.
cos  i sin 
9. Вычислите:
1) (1  i) 25 ;
(1  i 3)15 (1  i 3)15

7)
;
(1  i ) 20
(1  i) 20
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20
1  i 3 
 ;
2) 
 1 i 
(1  i ) 5
3)
;
(1  i ) 4
8)
(1  i 3)cos   i sin  
;
2(1  i)cos   i sin  

 
16i sin  i cos 
3
3

9)
;
4
( 3  i)
4) (cos15  i sin 15)8 ;
10) (1  i 3)7  (1  i 3)7 ;
5) (1  i 3)5 ;
11) (1  i) 6 ;
6) (1  i)378 ;
12) (1  i)8 (1  i 3)6 .
3( z  z )( z  z )  4i 9 найдите число,
10. Среди корней уравнения
аргумент которого равен

.
6
11. Для числа z  cos(0,11 )  i sin( 0,11 ) укажите наименьшее
натуральное число n, при котором:
1) arg z n 
2) arg z n 

4

2
5
;
6
4) arg z n  0 .
3) arg z n 
;
;
12. Докажите, что
n
n
n 

n
 i sin
1) (1  i)  2 2  cos
, n Z ;
4
4 

n
n 

 i sin
2) ( 3  i) n  2n  cos
, n  Z .
6
6 

Указание. Перейдите к тригонометрической форме.
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. Докажите равенство
 1  itg  1  itg n
, n N .

 
1

itg

1

itg
n



n
14. Упростите (1   ) n , где   cos
2
2
.
 i sin
3
3
Указание. 1     2 .
1
2
1    i
15. Полагая
3
,
2
1
2
2    i
3
,
2
определите
1n  2n , n  Z .
16. Вычислите, (1  cos   i sin  ) n .
Указание. Перейдите к половинному углу.
1
1
 2 cos , то z m  m  2 cos m .
z
z
1
 cos   i sin  .
Указание. Убедитесь, что z  cos  i sin  ,
z
Воспользуйтесь формулой Муавра.
17. Докажите, что если z 
18. Извлеките корни:
1)
3
2)
3
4
 4,
i,
3)
2  2i ,
4) 6 1 ,
5)
 27 ,
6
1 i
,
3i
6) 6
7)
8
1 i
,
3 i
8)
6
1 i
.
1 i 3
19. Решите уравнение:
1) z 2  81;
7) z 2  0,01  0 ;
2) z 2  3 ;
8) 9 z 2  125  0 ;
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) z 2   2 ;
9) z 2  2 z  2  0 ;
4) z 2  3 3  0 ;
10) z 2  4 z  5  0 ;
5) z 2  4 z  13  0 ;
11) z 2  2 z  17  0 ;
6) z 2  6 z  13  0 ;
12) z 2  8z  41  0 .
20. Составьте приведенное квадратное уравнение, имеющее
корни:
1) z1  2  2i, z2  2  2i ;
3) z1  4  i, z2  4  i ;
2) z1  2  3i, z2  2  3i ;
4) z1  7  4i, z2  7  4i .
21. Разложите на множители квадратный трехчлен:
1) z 2  2 z  5 ;
3) 4 z 2  8z  5 ;
2) z 2  2 z  10 ;
4) 25z 2  50 z  26 .
22. Решите уравнение:
А.
1) z 2  3  4i ;
10) z 2  i ;
2) z 2  8  6i ;
11) z 2  i ;
3) z 2  5  12i ;
12) z 2  9i ;
4) z 2  7  24i ;
13) z 2  16i ;
5) z 2  15  8i ;
14) z 2  2  2i 3 ;
6) z 2  24  10i ;
15) z 2  2  2i 3 ;
7) z 2  4i ;
16) z 2  8  6i ;
8) z 2  25i ;
17) z 2  36i ;
9) z 2  3  4i ;
18) z 2  49i .
В.
1) z 3  1;
4) z 3  64 ;
2) z 3  8 ;
5) z 3  1;
3) z 4  1;
6) z 4  1.
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
23. При каком действительном значении а выражение
а(sin 75  i cos 75)12
i (a  2i ) 2  (14  3ai )  2
является действительным числом?
24. Выразите, через cos x и sin x :
1) cos 3x ,
2) cos 4 x ,
4) sin 6 x ,
5) sin 7 x .
25. Найдите все комплексные числа, удовлетворяющие условию
x  x n 1, где x - сопряженное х.
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Показательная форма записи комплексного числа
Можно доказать, что e z  e x (cos y  i sin y) , то есть
e x iy  e x (cos y  i sin y) .
Соотношение eiy  cos y  i sin y называется формулой Эйлера.
Для степеней с комплексными показателями остаются в силе основные правила действий со степенями; например, при умножении
чисел показатели складываются, при делении – вычитаются, при
возведении в степень – перемножаются.
Пусть даны eix  cos x  i sin x и eiy  cos y  i sin y :
eix  eiy  (cos x  i sin x)(cos y  i sin y ) 
 cos( x  y )  i sin( x  y )  e ( x  y )i  e xi  yi ;
e xi cos x  i sin x

 cos( x  y )  i sin( x  y )  e( x  y )i  e xi  yi ;
yi
cos y  i sin y
e
(eix ) y  (cos x  i sin x) y  cos xy  i sin xy  e( xy )i .
Показательная функция является периодической, ее период равен 2i , то есть e z  2i  e z . В частности, при z  0 получается соотношение e2i  1.
Тригонометрическую
форму
комплексного
числа
z  r (cos   i sin  ) можно заменить показательной формой z  rei .
Умножение, деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня целой положительной степени для комплексных чисел, заданных в показательной форме, выполняются по
следующим формулам:
r1ei  r2ei  r1r2ei (
1
2
1
 2 )
;
r1ei
r
 1 ei (  ) ;
i
r2
r2e
1
1
2
2
(rei ) n  r nein ;
n
re
i
  2k
 r e
n
n
70
i
, k  0, n  1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Формула Эйлера устанавливает связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией. Заменив в ней y на  и
на   , получим ei  cos   i sin  и ei  cos   i sin  .
Складывая и вычитая эти равенства, получим
еi  e i
;
cos  
2
Пример 1. Найдите
Решение.
i
е4 ;
ei  e i
.
sin  
2i
е 2  i .
По формуле eiy  cos y  i sin y получаем
i
e 4  cos
По формуле e x  iy

 i sin

4
4
 e x (cos y  i sin y)

2
2
i
.
2
2
e2 i  e2 (cos   i sin  )  e2 .
Пример 2. Представив числа z1  1  i и
z2  1  i 3 в показа-
тельной форме, вычислите
а) z1  z2 ;
б)
z1
;
z2
в)
4
z1 .
Решение.
Для числа z1  1  i имеем r  12  12  2 ,  

4
, то есть
i
z1  2е 4 .
Для
числа
z2  1  i 3

   , то есть z2  2e

i
3
3
a) z1  z2 
i
2e 4
 2е
имеем
r  12  ( 3) 2  1  3  2 ,
.

i
3
 2 2e
71

i
12 ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
i
4
i
z
2e
2 4

е
б) 1 
i

z2
2
2е 3
в) zk  4 z1 
4
2e
i
4
 (
i
)
3

 8 2е
4
7 i
2 12

е ;
2
 2k
4
i
16
z0  8 2e ;
z1 
8
9i
2e 16
i
, k  0,3 , тогда
z2 
17 i
8
2e 16
z3  2e
8
;
72
25i
16
;
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дополнительные задачи
 1 i 2  i  i 1 i
1. Вычислите 
  
 .
1

2
i
1

i
1

i
2

 

2. Вычислите определители:
4)

2
2
, где   cos
;
 i sin
1 
3
3
5)
cos   i sin 
1
;
1
cos   i sin 

1
6) cos
cos
7)
1
i 1 i
3)  i 1 0 ;
1 i 0 1
  i   i
2)
;
  i   i
a
c  di
1)
;
c  di
b


3

4
1
1 
 i sin
 i sin
cos

4
3
 i sin

3
1
3


cos
, где   cos
2
2
 i sin
3
3

3
 i sin

3
cos

4
 i sin

4
2
2
cos
 i sin
;
3
3
1
;
1 1
1
2
2
 i sin
8) 1   2 , где   cos
;
3
3
1 2 
1
9) 1
2
1 
2
2
 i sin
1  2 , где   cos
.
3
3
 1
3. Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным i, и
знаменателем, равным i.
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) Выпишите первые 7 членов этой прогрессии;
2) найдите значение 27-го члена прогрессии;
3) найдите сумму первых 2009 членов прогрессии;
4) найдите сумму членов прогрессии с 15-го по 30-й.
4. Дана арифметическая прогрессия с первым членом, равным 3 –
2i, и разностью, равной – 1 + i.
1) Составьте формулу n-го члена прогрессии;
2) найдите значение 15-го члена прогрессии;
3) найдите сумму первых 20 членов прогрессии;
4) найдите сумму членов прогрессии с 10-го по 40-й.
5. Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным i, и
знаменателем, равным 1 – i.
1) Найдите третий член прогрессии.
2) найдите значение 9-го члена прогрессии.
3) На каких местах в этой прогрессии расположены чисто
мнимые числа?
4) На каких местах в этой прогрессии расположены действительные числа?
6. Пусть
z,
z 2 , z 3 ,..., z n , z n1 , ... - бесконечная геометрическая
прогрессия со знаменателем z  cos 0,2  i sin 0,2 .
1) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором z n принадлежит второй координатной четверти.
2) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором z n принадлежит четвертой координатной четверти.
3) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором z n  1 .
4) Сколько в этой прогрессии различных чисел?
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Индивидуальная работа
1. Найдите действительные числа х и у, если:
1) ( x  3iy )  (2 y  3ix )  1  2i ;
2) ( x  2iy )  ( y  2ix )  2  3i ;
3) (4 x  3 y)  (2 х  у)i  3  11i ;
4) (6 x  y)  (2 y  7 x)i  12  5i ;
5) (1  2i) x  (3  5i) y  1  3i ;
6) (2 x  у)  ( х  у)i  18  3i ;
7) ( x  y)  ( х  у)i  8  2i ;
8) (2  4i) x  (3  5i) y  2  3i ;
9) (3  6i) x  (1  4i) y  2  6i ;
10) (1  2i) x  (3  5i) y  1  3i ;
11) ( x  2iy )  ( y  6ix )  1  3i ;
12) (4 x  3 y)  (2 х  у)i  4  9i ;
13) (3x  2iy )  ( y  ix )  1  3i ;
14) ( x  iy )  (4 y  5ix )  4  7i ;
15) ( x  iy )  (2 y  6ix )  5  3i ;
16) ( х  3iy )  ( y  5ix )  9  i ;
17) (4 x  iy )  ( y  ix )  1  3i ;
18) (1  3i) x  (5  6i) y  1  7i ;
19) (1  3i) x  (2  7i) y  2  5i ;
20) (1  i) x  (2  3i) y  5  4i .
2. Решите уравнение:
1) z  2 z  3  i ;
2) 3z  z  4  2i ;
3) z Re z  1;
4) z (Re z )2  1 ;
5) z (Re z ) 2  1 ;
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6) z Im z  i ;
7) z (Re z  6)  21i  9 ;
8) (1  i) z  3iz  2  i ;
9) z Re( z  4)  i  4 ;
10) z Re z  z Im z ;
11) z Im z  i ;
12) z (Im z )2  i ;
13)
14)
15)
16)
z Re z  z Im z ;
z Im z  z Re z ;
z Re z  z Re z ;
z Im( z  2i)  7  i ;
17) z (Im z  4)  10  4i ;
18) z (Im z )2  i ;
19) z Re z  1;
20) z Re( z  3)  i  3 .
3. Вычислите:
1)
(7  8i)( 2  3i )  (27  34i)
;
(11  i)  (2  3i)( 4  5i)
(1  i )3  (2  i ) 2
2)
;
2
2
(3  2i )  (1  i )
3)
(11  2i )( 2  6i)  (27  34i)
;
(2  3i)( 4  5i )  (7  8i)
(3  2i )3  (2  i ) 2
4)
;
(1  i ) 2  (2  i )3
(2  3i ) 2  (2  i )3
5)
;
3
2
(1  i )  (1  3i )
(4  i ) 2  (1  2i )3
6)
;
(1  i ) 2  (1  3i )3
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7)
(4  2i )(3  2i )  (2i  1)
;
(8  i) 2  (2  2i)3
(2  i ) 2  (1  i )3
8)
;
(4  3i ) 2  (2  i )3
9)
(11  i)( 2  3i)  (27  34i)
;
(2  3i)( 4  5i )  (7  8i)
(4  i ) 2  (1  i )3
10)
;
(1  i)3  (4  7i ) 2
(2  i )3  (1  i ) 2
11)
;
(1  i )3  (2  3i ) 2
(1  i ) 2  (1  3i )3
12)
;
(2  i )3  (2  3i ) 2
(1  i )3  (2  i ) 2
13)
;
(3  2i ) 2  (1  i )3
14)
(3  i)( 1  2i )  (4  7i)
;
(2  i )(3  i )  2i
(2  i )3  (1  i ) 2
15)
;
(2  3i ) 2  (1  i )3
(3  2i )3  (2  i ) 2
16)
;
(1  2i ) 2  (1  i )3
(1  i )3  (1  i ) 2
17)
;
2
3
(2  i )  (1  3i )
(2  i )3  (1  2i ) 2
18)
;
(1  i ) 2  (1  3i )3
(2  i )3  (1  2i ) 2
19)
;
(1  i ) 2  (1  i )3
20)
(2  i )(1  2i)  (24  42i )
.
(2  i)( 3  i )  2i
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Решите уравнение:
1) 9 z 2  6 z  10  0 ;
2) 4 z 2  4 z  5  0 ;
3) 9 z 2  12 z  5  0 ;
4) 16 z 2  32 z  17  0 ;
5) z 2  4 z  7  0 ;
6) z 2  2 z  2  0 ;
7) z 2  4 z  5  0 ;
8) z 2  6 z  25  0 ;
9) z 2  10 z  61  0 ;
10) z 2  z  2,5  0 ;
11) z 2  6 z  11  0 ;
12) z 2  6 z  14  0 ;
13) z 2  8z  18  0 ;
14)  z 2  z  1  0 ;
15)  z 2  10 z  26  0 ;
16) z 2  3z  8,5  0 ;
17) z 2  5z  6,5  0 ;
18) z 2  11z  36,5  0 ;
19) z 2  4 z  13  0 ;
20) z 2  8z  25  0 .
5. На комплексной плоскости найдите все точки, изображающие
комплексные числа z, удовлетворяющие следующим условиям:
 z  1
1) 
;
 z  1  2
zi 3
2) 
;
 z  2  4
3) 1  Re z  Im z  2 ;
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4) 1  (Re z )2  (Im z )2  16 ;
5)
(Re z ) 2  (Im z ) 2  1 или
(Re z )  (Im z )  16
2
2
;
6) Re z  Im z  1;
 z  3
7) 
;
 z  1  3
 z  i  1
8) 
;
 z  2i  2
9) z  z  1 ;
10) z 1  z  i ;
11) Im z  2 или Re z  3;
12) Re z  (Im z )2 и (Re z )2  Im z ;
13) Im z  2 Re z или Re z  3 Im z ;
14) Re z  5 или Im z  4 ;
15) Re z  (Im z )2 или (Re z )2  Im z ;
16) (Re z )2  Im z  1;
 z  2  3
17) 
;
 z  3i  3
 z  1  i  2
18) 
;
 z  4  3i  5
19) z  3  z  1 ;
20) z  3i  z  4 .
6. Вычислите:
1)
5
 3i 3
;
75  5i
11)
79
4
1 i
;
75  5i
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2)
3
12  2i
;
 3  3i
12)
5
1 i
;
3i
3)
5
2 i 2
;
 3  3i
13)
5
3 i
;
1 i
4)
6
1 i
;
75  5i
14)
3
 3  3i
;
12  2i
5)
4
5  75i
;
1 i
15)
4
12  2i
;
 3  3i
6)
3
 6i
;
75  5i
16)
6
1 i
;
3 i
7)
5
1 i
;
3 i
17)
5
3i
;
1 i
8)
4
2i
;
 3i 3
18)
3
9)
5
75  5i
;
1 i 3
19)
4
3 i
;
1 i
 3i
;
 2  2i
20)
3
 2  2i
.
3 i
10)
6
80
27  3i
;
2i
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЛИТЕРАТУРА
1. Алгебра и начала анализа. 10 кл. : учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) в 2 ч. Ч. 1. / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М. : Мнемозина, 2006.
2. Алгебра и начала анализа. 10 кл. : задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) в 2 ч. Ч. 2. / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Л.И. Звавич, Т.А. Корешкова, Т.Н. Мишустина, А.Р. Рязановский, П.В. Семенов; под ред. А.Г. Мордковича. – М. :
Мнемозина, 2006.
3. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. – М. : Просвещение, 1976.
4. Бельчикова Е.П., Клековкин Г.А. Развитие учения о числе (комплексные числа): методические рекомендации для студентов физикоматематического факультета. – Самара : СамГПИ, 1992.
5. Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках. – М. : Наука,
1982.
6. Дегтерева М.П. Основания арифметики. – М. : Просвещение,
1964.
7. Демидов И.Т. Основания арифметики. – М. : Учпедгиз, 1963.
8. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / Под ред. А.П. Юшкевича. – М. : Наука, 1972.
9. Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала анализа. 11 кл. : Учебник
для общеобразовательных учреждений / Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. – М. : Мнемозина,
2001.
10. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по
алгебре и теории чисел. – М. : Просвещение, 1993.
11. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб. : Лань, 2007.
12. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел : учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. Ч. 1. Числа. – М. : Просвещение, 1974.
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. Фадеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. –
СПб. : Лань, 2007.
14. Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа. – М. : Наука, 1971.
15. Энциклопедия элементарной математики / Под ред.
П.С. Александрова, А.И. Маркушевича, А.Я. Хинчина. Книга первая
Арифметика. – М. : Государственное издательство техникотеоретической литературы, 1961.
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие……………………………………………………
Введение………………………………………………………..
Исторические сведения о комплексных числах……………..
Построение системы комплексных чисел……………………
Алгебраическая форма записи комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме….
Геометрическая интерпретация комплексного числа……….
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме……………………………………………………..
Показательная форма записи комплексного числа………….
Дополнительные задачи……………………………………….
Индивидуальная работа……………………………………….
Литература……………………………………………………..
Содержание…………………………………………………….
83
3
4
5
13
18
34
47
70
73
75
81
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Юлия Станиславовна Шатрова
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Учебно-методическое пособие
Главный редактор О.И. Сердюкова
_________________________________________________
Подписано к печати 14.02.2010
Формат 60×84/16. Бумага офисная. Печать оперативная.
Объем 5,5 п.л. Тираж 300 экз. Заказ №
_________________________________________________
Издательство Поволжской государственной социальногуманитарной академии: 443099, г. Самара, ул. М.Горького, 61/63.
Тел.: +7(846)333-27-27 (доб. 140)
84
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
58
Размер файла
1 291 Кб
Теги
комплексная, 902, числа
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа