close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

19989

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Актуальные проблемы современной науки, № 2, 2011
Математическая физика
Кулиев Р.С., старший преподаватель
Кабардино-Балкарского государственного университета
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО
УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
В работе рассматривается одно нагруженное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа. Методом интегральных уравнений доказана однозначная разрешимость данной задачи.
In the given work we investigate the example of the loaded differential equation in the private derivatives of the second order. We used the method of integral equation to prove the unique solvability of the given task.
В односвязной области D = {( x, t ) : x < l , 0 < t < T } для уравнения:
1
(1)
(1 + sgn x ) ( ut − u x (0, t ) ) = 0
2
рассмотрим краевую задачу: найти регулярное в D \ { x = 0} решение уравнения (1) из
u xx −
класса C1 ( D) , удовлетворяющее краевым условиям:
⎧u ( x, 0) = τ0 ( x)
⎪
(2)
⎨u (−l , t ) = ϕ−l (t )
⎪u (l , t ) = ϕ (t )
l
⎩
Пусть решение задачи (1), (2) существует и u (0, t ) = ψ (t ) . Введем обозначения
D+ = D ∩ { x > 0} , D− = D ∩ { x < 0} .
Тогда в области D− из (1) получаем задачу:
u xx = 0 ,
(3)
⎧u (−l , t ) = ϕ−l (t )
(4)
⎨
⎩u (0, t ) = ψ (t ).
Общее решение уравнения (3) будет u ( x, t ) = a (t ) x + b(t ) , где a (t ) , b(t ) − функции подлежащие определению.
Удовлетворив общее решение краевым условиям (4) получим:
ψ (t ) − ϕl (t )
(5)
u ( x, t ) =
x + ψ (t )
l
в области параболичности D+ получим задачу:
u xx − ut = −u x (0, t ) ,
⎧u ( x, 0) = τ0 ( x)
⎪
⎨u (l , t ) = ϕl (t )
⎪u (0, t ) = ψ (t )
⎩
для которой справедливо интегральное представление решения:
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Актуальные проблемы современной науки, № 2, 2011
t
t
l
0
0
0
u ( x, t ) = ∫ u (0, η)G ( x, t ;0, η)d η − ∫ ϕl (η)Gξ ( x, t ; l , η)d η + ∫ τ0 (ξ)G ( x, t ; ξ, 0)d ξ +
t
l
0
0
(6)
+ ∫ d η∫ uξ (0, t )G ( x, t ; ξ, η)d ξ,
где G ( x, t ; ξ, η) − функция Грина первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.
В силу непрерывности u ( x, t ) из (5) и (6) при x → 0 находим интегральное равенство:
t
t
l
u (0, t ) = ∫ u (0, η)Gξ (0, t ;0, η)d η + ∫ uξ (0, η)d η∫ G (0, t ; ξ, η)d ξ + A(t ) ,
0
0
t
l
0
0
(7)
0
где A(t ) = − ∫ ϕl ( η) Gξ ( x, t ; ξ, η) d η + ∫ τ0 ( ξ ) G ( 0, t ; ξ, 0 )d ξ .
Нетрудно заметить, что (7) представляет собой функциональное соотношение между
u (0, t ) и uξ (0, t ) .
Продифференцировав (5) и (6) по переменной x соответственно и полагая
в силу условий на u ( x, t ) , получаем:
t
t
l
u (0, t ) = l ∫ u (0, η)Gξ x (0, t ;0, η)d η + l ∫ uξ (0, η)d η∫ Gξ (0, t ; ξ, η)d ξ + B(t )
0
0
t
t
l
0
0
0
x →0±,
(8)
0
где B (t ) = ∫ u ( 0, η) Gx ( x, t ;0, η) d η + ∫ d η∫ uξ ( 0, η) Gx ( x, t ; ξ, η)d ξ.
В итоге для определений u (0, t ) и u x (0, t ) получается система интегральных уравнений Вольтерра второго рода (7), (8).
Из уравнения (7) мы получаем следующее соотношение:
t
u (0, t ) = ∫ uξ (0, η) N% (t , η)d η + A% (t ) ,
0
где N% (t , η) известная функция, которая выражается через τ0 ( x) , ϕl (t ) , ψ (t ) .
Подставив это выражение в уравнение (8), мы получим:
t
%
∫ uξ (0, η) N% (t , η)d η = B% (t )
(9)
0
где N%% (t , η) известная функция, которая выражается через τ0 ( x) , ϕl (t ) , ψ (t ) .
Уравнение (9) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра 1-го рода.
Продифференцировав выражение (9) по переменной t , мы получим:
t
%
%
u (0, t ) N% (t , t ) + ∫ uξ (0, η) N% t′ (t , η)d η = B% ′(t )
(10)
0
где N%% (t , t ) ≡/ 0 .
Уравнение (10) безусловно разрешимо, следовательно, уравнение (9) в классе непрерывных функций имеет единственное решение.
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Актуальные проблемы современной науки, № 2, 2011
1.
2.
3.
4.
5.
ЛИТЕРАТУРА
Тихонов А.Н. Самарский А.А. Уравнение Математической физики. М., Главная редакция
физико-математической литературы издательства «Наука», 1977, 736 стр.
Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. М., издательство иностранной литературы, 1950, 229с.
Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. – М., Высшая школа, 1995, 301 с.
Гурса Э. Курс Математического Анализа. М., Государственное технико-теоретическое
издательство, 1933, 320с.
Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М. Главная редакция физико-математической
литературы издательства «Наука», 1975, 303с.
121
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
318 Кб
Теги
19989
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа