close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

mu modelstacpol 2012

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный университет
технологии и дизайна»
Моделирование стационарных тепловых
полей
Методические указания
к лабораторной работе по дисциплине «Моделирование систем» для
студентов специальности 220301.65 – Автоматизация технологических
процессов и производств (по отраслям), по направлению подготовки
220700.62 - Автоматизация технологических процессов и производств
Составитель
И. Н. Смирнов
Санкт-Петербург
2012
УТВЕРЖДЕНО
на заседании кафедры
23.03.2012 г.
протокол № 148
Рецензент
Л. С. Мазин
Методические указания содержат описание объекта моделирования,
инструкции по выполнению работы и требования к отчету.
Оригинал – макет подготовлен автором и издан в авторской редакции.
Подписано в печать 08.11.2012 г. Формат 60 × 84 1/16.
Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 200 экз.
Заказ 174/12
Электронный адрес: http://publish.sutd.ru
Отпечатано в типографии СПГУТД
191028, С.-Петербург, ул. Моховая, 26
СОДЕРЖАНИЕ
1. Цель работы………………………………………………….…………3
2. Решение плоской задачи стационарной теплопроводности
методом сеток…………………………………..……………….……...3
3. Подготовка данных для моделирования……………………….……..6
4. Настройка и выполнение программы…………….…………….……..8
5. Задание 1: исследование влияния числа делений сетки на
результаты моделирования….…………………….…………...............10
6. Задание 2: исследование влияния допустимой погрешности
приближений на результаты моделирования………....…………..….12
7. Задание 3: исследование влияния параметра границы на
результаты моделирования…………..…………..……..…………….12
8. Задание 4: снятие статических характеристик теплового объекта
управления…………………….…………...…………………………..13
9. Задание 5: исследование температурного поля аппарата
для термообработки химического волокна……...................…...….16
10. Содержание отчета………...………………………………………….18
Библиографический список…………………………………………..…..18
3
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью лабораторной работы является исследование компьютерных
моделей стационарных температурных полей в областях плоскости,
ограниченных замкнутыми контурами. Модели базируются на методе сеток −
численном методе решения уравнений в частных производных. Для их
реализации используется программа, разработанная в среде Turbo-C. В
задачи исследования входит анализ точности моделей, а также влияния
некоторых настроек моделей на результаты моделирования.
Упомянутые области можно рассматривать, в частности, как сечения
плоскостью трехмерных тел, являющихся объектами регулирования
температуры. В случае существенной зависимости температуры от
пространственных координат такие тела относят к категории объектов с
распределенными параметрами. При их изучении представляют интерес
статические характеристики как зависимости установившихся значений
температуры в отдельных точках объекта от воздействий со стороны
нагревателей или внешней среды. Получение на моделях статических
характеристик также входит в задачи работы.
2. РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ СТАЦИОНАРНОЙ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ СЕТОК
Использованная в заголовке краткая формулировка означает, что
требуется найти зависимость установившейся температуры T(x,y) как
функции декартовых координат x, y в связной (не распадающейся на две или
более части) области G, ограниченной замкнутым контуром (границей) Г
(рис. 1). Характер зависимости определяется условиями теплообмена на
границе (граничными условиями).
y
Г
G
x
Рис. 1
В отсутствие внутренних источников тепла (далее это предполагается)
температура удовлетворяет уравнению Лапласа
4
∂ 2T ( x, y ) ∂ 2T ( x, y )
+
= 0.
∂x 2
∂y 2
(1)
В отсутствие явлений излучения (это также предполагается) граничные
условия имеют следующий общий вид:
 ∂T

α ∂n + β T  = ϕ .
Γ
(2)
Квадратные скобки с символом «Γ» указывают, что в левой части этого
равенства фигурирует температура Т и ее производная по внешней нормали n
к поверхности, взятые на границе. Параметры α, β, ϕ определяются
физической сутью процессов теплообмена, происходящих на отдельных
участках границы. Возможны следующие частные случаи.
1. Интенсивный теплообмен, при котором температура границы
практически совпадает с температурой окружающей среды Тс . Тогда
α = 0, β =1, ϕ =Тс.
(3)
2. Полное отсутствие теплообмена (идеальная теплоизоляция). Тогда
α =1, β = 0, ϕ = 0.
(4)
Так же выглядят условия, когда граница проходит по оси симметрии области
(разделяет зеркально повторяющие друг друга части области).
3. Промежуточный случай ограниченного по интенсивности теплообмена
со средой. Тогда
α = λ, β = γ, ϕ = γTc ,
(5)
где λ – коэффициент теплопроводности материала области, а γ −
коэффициент теплоотдачи на границе.
Примечание. Для упрощения ввода данных программой моделирования
предусмотрено автоматическое умножение Tc на γ, поэтому при работе с
ней достаточно ввести
α = λ, β = γ, ϕ = Tc .
(6)
4. На границе расположен источник тепла, создающий удельный тепловой
поток H (количество тепла, передаваемое источником внутрь области в
единицу времени через поверхность с единичной площадью). Тогда
5
α = λ, β = 0, ϕ = H.
(7)
Согласно методу сеток решение ищется не во всех точках области, а
только в точках пересечения двух систем равноотстоящих линий,
параллельных осям x и y (рис.2). Системы линий называют сеткой, точки
пересечений − узлами сетки, а расстояние между линиями − шагом или
делением сетки.
y
1
Г
G
▲
▲
♦
2■
▲
▲
x
Рис. 2
Обозначим символом Ω множество узлов, принадлежащих области G
или расположенных близко к ее границе Г. Степень «близости» определяется
числом, названным в программе «параметр границы». В зависимости от
параметра границы тот или иной узел (например, узел 1) может попасть в
множество Ω или нет. Этот вопрос еще будет более подробно обсуждаться
ниже в п. 4.
Расчет температур проводится далее только для множества Ω. Значения
температуры в узлах теперь удобно обозначить символами Ti,j, где i − номер
вертикальной, а j − горизонтальной линии сетки, на пересечении которых
находится узел.
Назовем два узла соседними, если они отстоят друг от друга по оси x
или y на один шаг сетки. Узлы, у которых все четыре соседних принадлежат
Ω, назовем внутренними. Один из внутренних узлов отмечен на рис.2 знаком
♦, а соседние по отношению к нему – знаками ▲. Узлы, у которых хотя бы
один соседний не принадлежит Ω, назовем граничными. Некоторые из таких
узлов указаны на рис.2 стрелками. Множество всех входящих в Ω узлов
называют сеточной областью, а множество граничных узлов – границей
сеточной области.
Согласно методу сеток значения температуры в граничных узлах
определяются через посредство граничных условий. В программе условия в
6
узле считаются такими же, как в ближайшей к нему из группы выделенных
на границе Г точек (ниже в п. 3 и далее они именуются опорными). Как
говорят, производится «снос граничных условий». Например, в граничный
узел 2 снос может быть произведен из точки, обозначенной знаком ■.
Для внутренних узлов в методе сеток вместо уравнения (1) получается
система линейных алгебраических уравнений вида
Ti , j =
1
(Ti−1, j + Ti+1, j + Ti , j −1 + Ti, j +1 ).
4
(8)
В левой части каждого такого уравнения стоит температура одного из
внутренних узлов, а в правой − одна четверть от суммы температур четырех
соседних узлов (т.е. средняя температура в соседних узлах). Количество
уравнений в этой системе равно числу внутренних узлов. Принимая во
внимание граничные условия, можно показать, что количество неизвестных
также равно этому числу.
Систему можно решать любым численным методом, например методом
Гаусса. Однако, учитывая специальный вид уравнений (8), предпочтительнее
оказывается реализованный в программе метод последовательных
приближений, использующий рекуррентную формулу вида
Ti ,( jn ) =
(
)
1 ( n −1)
Ti −1, j + Ti +( n1,−j1) + Ti ,( jn−−11) + Ti ,( jn+−11) .
4
(9)
Здесь n − номер шага процедуры последовательных
приближений.
( 0)
Стартовые значения Ti , j могут быть любыми (сходимость процедуры
доказана). Рационально, конечно, выбирать их по возможности близкими к
ожидаемому результату.
По мере накопления шагов процедуры результаты предыдущего и
последующего шага сближаются. Когда максимальная среди различных
узлов разность температур для двух последовательных шагов становится
меньше заданного порогового значения, процедура вычислений
останавливается, и в качестве окончательных берутся результаты последнего
шага. В программе пороговое значение можно выбирать; оно названо
«допустимая погрешность приближений».
3. ПОДГОТОВКА ДАННЫХ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Исходные данные для моделирования должны быть введены с
клавиатуры после запуска программы (исполнимый файл SETK2012.BAT из
папки LABOR11). При этом возможна их запись в назначенный файл, и его
последующее многократное использование в процессе моделирования.
Первоначальными материалами для подготовки данных являются
заданная область и граничные условия.
7
Область простой формы может быть задана словесным описанием
(например, «квадрат со стороной 10 см»), а относительно сложной формы − в
виде рисунка. Во всех случаях во избежание ошибок целесообразно
изобразить область в удобном масштабе на миллиметровой бумаге так, чтобы
она оказалась вписанной в прямоугольник с горизонтально расположенным
основанием. В его левый нижний угол помещают начало декартовой системы
координат, ось x которой направляют вправо, а ось y – вверх.
На границе области следует разместить группу опорных точек,
координаты которых снимаются непосредственно с рисунка или (для
областей простой формы) – определяются из словесного описания.
Программой предусмотрено измерение координат в миллиметрах с
округлением до целых чисел. Расположение первой опорной точки
безразлично; остальные располагаются последовательно друг за другом по
часовой стрелке.
В дальнейшем после ввода опорных точек в память ЭВМ программа
воспринимает область в виде многоугольника с вершинами в опорных
точках. Назовем такую фигуру исходной областью.
Понятно, что задание
областей простой формы (треугольник,
трапеция, шестиугольник и т.п.) потребует небольшого количества опорных
точек, а для описания криволинейных участков границы может понадобиться
значительное их число.
Опорные точки служат не только для описания области, но, как уже
отмечалось, и для ввода граничных условий. По существу программа
осуществляет «снос» граничных условий из ближайшей к узлу опорной
точки, из-за чего может оказаться необходимым еще увеличить количество
опорных точек.
К тому же, при некоторых конфигурациях областей и их частей
(например, при наличии углов, узких перемычек, выступов или впадин)
возможен неудачный выбор опорных точек, когда граничные условия будут
переноситься из ближайшей по расстоянию, но расположенной на других
частях границы точки. Избежать ошибок можно, добавляя опорные точки в
«нужных» местах, например, вблизи изломов границы или стыка двух
участков с разными граничными условиями.
На рис. 3 показаны два варианта расположения опорных точек для
части некоторой области: неправильный (а) и правильный (б). Границы
области обозначены утолщенными по сравнению с сеткой линиями. Опорные
точки обозначены знаком ●. В варианте «а» снос условия в граничный узел 1
произойдет из ближайшей опорной точки 2, т. е. не с той части границы, где
расположен узел. В варианте «б» во все показанные граничные узлы снос
осуществится правильно, т. е. со «своей» части границы.
8
2
●
●
●
1
●
●
●
●
●
●
●
●
а
б
Рис. 3
После окончательного выбора опорных точек и определения для
каждой из них параметров α, β и ϕ согласно одной
из формул (3), (4), (6)
или (7) можно переходить к непосредственному вводу данных с клавиатуры.
По запросу программы сначала вводится число опорных точек, а затем
соответствующее количество групп по пять чисел в каждой:
x[i], y[i], alf[i], bet[i], fi[i]. Здесь i – номер опорной точки (и группы), x и y – ее
координаты в миллиметрах. Обозначения alf, bet и fi эквивалентны α, β и ϕ
соответственно.
При обнаружении ошибок следует довести ввод до конца, а затем
указать на необходимость исправлений. Программа запишет данные в файл
“dannye” и прекратит работу. Исправления следует внести в этот файл
стандартными средствами и (при желании) переименовать его. Затем нужно
вновь запустить программу моделирования и ввести данные уже из этого
файла.
По окончании безошибочного ввода данных
программа сразу
приступает к моделированию или предварительно записывает данные в файл,
указанный пользователем.
В случае необходимости создания новых файлов задавайте их
имена только из ряда «f1, f2, f3, …». Это упростит работу другим
пользователям. Все файлы должны создаваться в папке LABOR11. Не
вносите никаких изменений в файлы, озаглавленные прописными
буквами.
4. НАСТРОЙКА И ВЫПОЛНЕНИЕ ПРОГРАММЫ
К настраиваемым показателям относятся число делений сетки,
параметр границы и допустимая погрешность приближений.
После завершения ввода на экране монитора высвечивается исходная
область с нанесенными на нее опорными точками, и открываются окна для
выбора числа делений сетки и параметра границы. Позже запрашивается
допустимая погрешность приближений.
Число делений может быть выбрано из ряда: 20, 25, 40, 50 и 80. Это число
представляет собой количество делений сетки, размещаемых на большей
стороне прямоугольника, в который вписана область. При выборе нужно
иметь в виду, что с увеличением числа делений число узлов возрастает в
9
квадрате, что может привести к существенному росту времени
моделирования. По умолчанию предлагается число делений 50.
Параметр границы это число, которое в программе выбирается из
промежутка от 0 до 1 через 0.1. Выбором параметра границы можно
изменять конфигурацию границы сеточной области, включая в нее или нет
некоторые узлы. Узел будет включен в сеточную область, если в четырех
прилежащих к нему квадратах сетки окажется часть исходной области,
площадь которой больше площади одного квадрата сетки, умноженной на
параметр границы. Так, при значении параметра 0 узел будет включен в
сеточную область, если в прилежащих к нему квадратах окажется хотя бы
малая часть исходной области. При значении 1 узел будет включен в
сеточную область, только если площадь части исходной области, попавшей в
эти квадраты, окажется больше площади одного квадрата сетки. По
умолчанию значение параметра границы равно 0.5.
Нажатием кнопки ОК настройки фиксируются, после чего на экран
выводится сеточная область (узлы, соединенные линиями сетки). Насколько
удачным оказался выбор параметров, определяют визуально, сравнивая
исходную и сеточную области.
Заметим, что при некоторых настройках возможно появление узлов,
для которых расчет по общей схеме не выполним. Такие узлы
обнаруживаются программой и помечаются красными кружками. При их
наличии настройки следует изменить.
Если по той или иной причине принято решение изменить настройки,
нужно ввести в окна новые значения показателей, нажать ОК и вновь
оценить полученную сеточную область.
Если изменения настроек не нужны, следует нажать кнопку «Расчет».
Программа запросит значение последнего настраиваемого показателя –
допустимой погрешности приближений. Следует иметь в виду, что эта
погрешность не совпадает с допустимой ошибкой вычислений в целом. Для
получения приемлемых результатов нужно выбирать ее значительно меньше
последней. Рекомендуемые в работе значения – от 0.1 до 0.0001 град.С.
После ввода допустимой погрешности вычислений программа
выполняет расчеты по схеме последовательных приближений и выводит на
экран температурное поле области в цветном изображении с указанием
номеров узлов, масштаб изображения и цветную шкалу температур.
Выводится также меню, предусматривающее получение числовых значений
температуры, переход к следующему расчету или окончание работы.
При получении числовых значений в поле области возникает
перемещаемый курсор мыши и справа от области таблица с указанием его
положения: горизонтального I, вертикального
J номеров узла и его
координат x, y. В последнем столбце таблицы указывается соответствующая
температура. При перемещении курсора данные меняются и «мерцают».
После нажатия левой клавиши мыши данные фиксируются в таблице.
Набрав в таблице необходимое количество строк данных, можно снова
выйти в меню нажатием правой клавиши мыши. На этот раз в нем будет
10
предусмотрена еще и возможность сохранения данных таблицы в указанном
пользователем файле (запишутся только x, y и температура). Помните
замечание о рекомендуемых именах файлов.
5. ЗАДАНИЕ 1: ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ЧИСЛА ДЕЛЕНИЙ
СЕТКИ НА РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Это исследование проводится на примере температурного поля внутри
области, представляющей собой квадрат со стороной 100 мм.
Граничные условия соответствуют задаче Дирихле (во всех точках
границы области заданы значения температуры) и выглядят так. На нижней,
левой и верхней стороне квадрата задана температура 0 °С. На правой
стороне квадрата температура меняется как полуволна синуса от 0 °С в
нижней точке до максимального значения 100 °С в середине стороны
квадрата и снова до 0 °С в верхней точке.
При размещении квадрата в системе координат так, как это
рекомендовано в п. 3, получается картина, показанная на рис. 4. Пунктиром
показан график изменения температуры вдоль правой границы.
y, мм
0 °C
100
100 °С
0 °C
*
0
0 °C
Рис. 4
100
x, мм
Исходные данные для этого примера заранее записаны в файл SIN.
1
Введите их и обратите внимание на расположение опорных точек . В
процессе настройки задайте число делений сетки 20. Сохраните заданный по
умолчанию параметр границы и нажмите «ОК». После нанесения
программой сетки нажмите «Расчет» и задайте допустимую погрешность
1
Благодаря симметрии можно было бы рассматривать только половину области. Однако
в данном случае это почти не сулит выигрыша в объеме вводимых данных, сокращая в то
же время возможности контроля результатов. Эти соображения приняты во внимание и в
некоторых последующих примерах.
11
приближений 0.001. Оцените цветовую картину теплового поля с точки
зрения ее ожидаемого вида и зафиксируйте в таблице значения температуры
в нескольких точках, в том числе – в точке с координатами x = y = 50 мм
(центр области). Таблицу полезно сохранить для отчета.
Повторите эти действия для числа делений сетки 40 и 80, не забывая
записывать или фиксировать в таблицах результаты для центральной точки
области.
Для рассматриваемого случая помимо моделирования возможен
аналитический расчет температуры в любой точке области (заметим, что
такая возможность встречается в практике весьма редко). Соответствующая
формула имеет вид
T ( x, y ) = 100
sh(π x 100)
sin(π y 100) ,
shπ
(10)
где sh(z) − функция гиперболического синуса некоторого аргумента z.
Примечание. Как известно, эта функция выражается через показательные
функции
sh( z ) =
e z − e− z
.
2
(11)
Для вычисления sh(z) можно предложить несколько способов.
1). Воспользоваться каким-либо калькулятором. Если это стандартный калькулятор
Windows, то нужно выбрать его инженерный вид, ввести z, поставить галочку в окне
«Hyp» (гиперболические функции) и нажать кнопку «sin».
2). Воспользоваться таблицами гиперболических функций из какого-либо
справочника.
3). Воспользоваться таблицами показательных функций из какого-либо
справочника и формулой (11).
Для примера рассчитаем температуру в точке x=80, y=20. Ее ориентировочное
расположение показано на рисунке 4 звездочкой.
sh(π ⋅ 80 100)
sin(π ⋅ 20 / 100) =
shπ
sh 2,5133
6,1323
= 100
sin 0,6283 = 100
0,5878 =31,21.
sh3,1416
11,5487
T (80,20) = 100
При составлении отчета рассчитайте температуру в центральной точке
по формуле (10) и сравните полученное значение с результатами
моделирования. Сделайте вывод, какое, по Вашему мнению, число делений
сетки обеспечивает достаточную точность моделирования.
Для сравнения результатов и уточнения выводов полезно взять и
другие точки области.
12
6. ЗАДАНИЕ 2: ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ДОПУСТИМОЙ
ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЙ НА РЕЗУЛЬТАТЫ
МОДЕЛИРОВАНИЯ
Это исследование проводится на примере температурного поля внутри
области, представляющей собой квадрат со стороной 800 мм, исходные
данные для которой записаны в файл KVAD. Введите их и проведите
моделирование для четырех вариантов с общим значением числа делений
сетки 50 и параметра границы 0.5, отличающихся допустимой погрешностью
приближений: 0.1, 0.01, 0.001 и 0.0001. Для каждого варианта определяйте
температуру в нескольких точках, включая в их число центр области (x = y =
400 мм). Обратите внимание на замедление процесса моделирования по мере
уменьшения погрешности.
Обратите также внимание на характер граничных условий, о которых
можно судить по цветному изображению поля и температурной шкале. На
нижней и верхней границах квадрата температура совпадает с температурой
окружающей среды и составляет соответственно 200 ºС и 100 ºС. На левой
границе предполагается ограниченный по интенсивности теплообмен с
окружающей средой, имеющей температуру 20 ºС, из-за чего вдоль границы
температура не остается постоянной. Правая граница идеально
теплоизолирована. Признаком этого служит поведение линий постоянных
значений температуры, которые примерно совпадают с линиями раздела
разных по цвету (а значит, и по температуре) частей области. Эти линии
«втыкаются» в правую границу перпендикулярно.
Можно убедиться в сказанном о граничных условиях, открыв файл
2
KVAD . Для коэффициентов теплопроводности и теплоотдачи там приняты
значения λ= 70 Дж·с-1·м-1·К-1, γ = 1000 Дж·с-1·м-2·К-1. Координаты x, y даны в
целых числах, остальные величины – с сохранением двух знаков после
десятичной точки.
На основании сравнения результатов различных вариантов для
центральной точки (можно сравнить и другие точки) сделайте вывод о том,
какая, по Вашему мнению, допустимая погрешность приближений
обеспечивает приемлемую точность моделирования.
7. ЗАДАНИЕ 3: ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПАРАМЕТРА
ГРАНИЦЫ НА РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Это исследование проводится на примере, данные для которого
записаны в файле REBRO. Они относятся к области, представляющей собой
схематическое изображение радиатора для отвода тепла: прямоугольное
основание, на котором расположено треугольное ребро. На нижней границе
2
При работе в Windows для открытия и редактирования файлов рекомендуется
использовать текстовый редактор WordPad. При работе в VC – клавишу F3 для чтения и
F4 для редактирования.
13
прямоугольника поддерживается температура 100 ºС. На границе,
проходящей по верхней части основания и по ребру, происходит теплообмен
с окружающей средой, имеющей температуру 20 ºС. Коэффициенты
теплопроводности и теплоотдачи – те же, что в предыдущем примере.
Боковые поверхности основания идеально теплоизолированы.
Введите данные из файла и задайте число делений сетки 20, а параметр
границы – 0. ОК. Обратите внимание на характер сеточной области: она
оказалась заметно шире исходной в районе ребра. Не проводя расчета,
замените параметр границы на 1. ОК. Теперь в сеточную область не входят
некоторые части исходной.
Проведите расчет для последних настроек при допустимой
погрешности приближений 0.001 (это значение сохраняйте далее во всех
расчетах текущего задания). Зафиксируете температуру в двух точках: в
центре основания треугольника и в самом его верху (можно добавить и
другие точки). Вернитесь к параметру границы 0 и проведите расчет в таких
же точках. Отметьте разницу.
Задайте новые настройки: число делений сетки 25, параметр границы 1.
ОК. Обратите внимание на появление узлов, отмеченных красными
кружками. Во избежание ошибок настройки следует изменить. Убедитесь в
этом, доведя расчет до конца и обнаружив по цветовой картине поля ее
несоответствие физическому смыслу.
Выберите самостоятельно настройки, обеспечивающие, по Вашему
мнению, достаточную точность моделирования, и зафиксируйте температуру
в выбранных ранее точках.
8. ЗАДАНИЕ 4: СНЯТИЕ СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ТЕПЛОВОГО ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
Объект представляет собой длинную трубу с внутренним диаметром
240 мм и толщиной стенки 40 мм. На наружной поверхности трубы
расположены кольцевые электрические нагреватели, имеющие ширину 100
мм и разделенные промежутками 100 мм. На рис. 5 показана часть
продольного разреза по оси трубы. Разрез может быть сделан плоскостью,
100
100
Воздух 20 ºС
Вода 100 ºС
Нагреватель
40
Стенка трубы
240
Рис. 5
14
повернутой под каким угодно углом (глядя с торца трубы), поскольку
предполагается осевая симметрия как конструкции трубы, так и условий
теплообмена с окружающей средой.
Заметим также, что вследствие малой по сравнению с диаметром
толщины трубы можно пренебречь кривизной стенки и пользоваться
уравнением (1) и всей описанной выше методикой моделирования (при
наличии существенной кривизны потребовалось бы использовать уравнение
Лапласа в полярных координатах и внести соответствующие изменения в
программу).
Считается, что нагреватели хорошо изолированы от внешней среды, и
все выделяемое ими тепло поступает в стенку трубы. Мощность N каждого
нагревателя может изменяться в диапазоне от 5 до 15 кВт.
В промежутках между нагревателями происходит теплообмен с
воздушной
средой, имеющей
температуру
20 ºС. Теплообмен
характеризуется коэффициентом теплоотдачи γ = 50 Дж⋅с-1⋅м-2⋅К-1 и
коэффициентом теплопроводности λ = 45 Дж·с-1·м-1·К-1.
По трубе протекает кипящая вода. Теплообмен с ней считается очень
интенсивным, вследствие чего внутренняя поверхность трубы принимает ее
температуру 100º С.
Предполагая, что длина трубы многократно превосходит ее
поперечные размеры, можно считать, что в средней части трубы картина
температурного поля периодически повторяется от нагревателя к
нагревателю, зеркально отражаясь. Повторяющуюся область можно
выделить, проведя поперечные разрезы в середине нагревателя и в середине
свободного от нагревателей промежутка так, как это показано пунктиром на
рис. 5. В итоге достаточно моделировать только выделенную часть. На рис. 6
она показана в увеличенном масштабе.
50
Половина нагревателя
1●
50
Половина промежутка
Выделенная часть стенки трубы
2●
40
Вода
Рис. 6
15
Граничные условия для выделенной области выглядят так. Часть
границы под нагревателем (обозначена квадратными точками) соответствует
случаю 4 (см.п. 2) и значениям α, β, ϕ, определяемым по формулам (7). При
этом удельный тепловой поток вычисляется как отношение мощности N
нагревателя к площади S его контакта с трубой
H = N/ S .
(12)
В свою очередь, площадь контакта находится как произведение ширины
нагревателя на длину окружности трубы по ее внешнему диаметру 320 мм.
При исчислении размеров в метрах и после округления до трех десятичных
знаков получим S = 3.14·0.1·0.32 = 0.1 м2. При N, например, 10 кВт = 10000
Вт получим H = 100000 Дж·с-1·м-2.
Таким образом, на рассматриваемой части границы
α = 45, β = 0, ϕ = 100000.
(13)
Часть границы на свободном промежутке (на рис. 6 оставлена без
обозначений) соответствует случаю 3 и согласно формулам (6)
характеризуется показателями
α = 45, β = 50, ϕ = 20.
(14)
Части границы на разрезах справа и слева (обозначены пунктиром)
отвечают случаю 2 и формулам (4). Для этих частей
α = 1, β = 0, ϕ = 0.
(15)
Наконец, часть границы, соприкасающаяся с водой и обозначенная на
рис. 6 круглыми точками, соответствует случаю 1 и уравнениям (3). Для нее
α = 0, β = 1, ϕ = 100.
(16)
Исходные данные для 15 опорных точек с показателями (13) – (16)
записаны в файле TRUBA. Убедитесь в этом, открыв файл. Начало
координатной системы x, y помещено в левый нижний угол выделенной
области. В опорных точках, приходящихся на разрывы граничных условий
(угловые точки и точка x = 0, y = 20), «предпочтение» отдано одной из
смежных частей границы. Какой именно, определите по содержанию файла.
Перейдем к основной задаче получения статических характеристик.
Каждая из них будет представлять собой зависимость температуры в
некоторой точке стенки от мощности нагревателя, рассматриваемой как
16
3
управляющее воздействие . В результате моделирования статические
характеристики могут получаться только в узлах сетки. Количество
характеристик будет определяться числом выбранных для них узлов.
Выберите пока два узла: «1» с координатами x = 0, y = 20 и «2» с
координатами x = 100 мм, y =20 мм (см. рис. 6, где эти узлы обозначены
крупными точками).
Запустите программу моделирования и введите данные из файла
TRUBA. Обратите внимание на расположение опорных точек. Выберите
число делений сетки 50 и параметр границы 0.5 (по умолчанию) и проведите
расчет с погрешностью приближений 0.001. Снимите числовые значения
температуры в узлах 1 и 2 и запишите их или сохраните в файле. Они дадут
одну точку каждой из характеристик в этих узлах.
Создайте копию файла TRUBA под другим именем и внесите в него
изменения, полагая теперь мощность нагревателя 5 кВт. Зафиксируйте
температуру в тех же узлах (еще одна точка характеристик).
Внесите новые изменения в тот же файл для мощности 15 кВт и
получите третью точку.
Постройте характеристики в осях «мощность – температура» на
4
миллиметровой бумаге . Убедитесь в линейности характеристик. Определите
по два параметра, достаточных для представления каждой из них в
аналитической форме, например
T ( N ) = T0 + k ( N − N 0 ) ,
(17)
где T (N ) – установившаяся температура в выбранной точке при мощности
нагревателя N,
N0 – номинальная мощность (можно взять, скажем, 10 кВт),
T0 – температура при номинальной мощности (первый параметр),
k – коэффициент усиления (второй параметр).
Убедитесь в существенных отличиях характеристик друг от друга.
Выберите по своему усмотрению другие варианты моделирования,
подтверждающие выводы о различиях между характеристиками,
относящимися к разным точкам, и об их линейности.
9. ЗАДАНИЕ 5: ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ
АППАРАТА ДЛЯ ТЕРМООБРАБОТКИ ХИМИЧЕСКОГО ВОЛОКНА
Аппарат представляет собой массивный круговой цилиндр из
алюминия с горизонтально расположенным дном. Высота цилиндра
3
Если бы рассматривался объект с сосредоточенными параметрами, то, как известно, он
имел бы единственную, не зависящую от пространственных координат статическую
характеристику.
4
Построения и выводы можно сделать позже при оформлении отчета.
17
примерно равна диаметру. В тело цилиндра вдоль его образующих
вмонтировано 6 электрических нагревателей по окружности вблизи стенки и
один – в центре цилиндра. Между нагревателями проточены вертикальные
цилиндрические полости для размещения бобин с волокном. После
размещения бобин цилиндр закрывается крышкой, и волокно подвергается
тепловой обработке при температуре более 300 ºС.
На рис. 7 показан горизонтальный разрез аппарата в его срединной
части, где, можно считать, температура не меняется в направлении,
перпендикулярном плоскости разреза.
Нагреватель
☼
720
50
65
Рис. 7
Точками обозначено возможное примерное расположение одной из
полостей; остальные не показаны вообще. Так сделано потому, что
дальнейшей целью исследования является формулировка рекомендаций по
выбору расположения полостей на основании анализа температурного поля
аппарата при их отсутствии.
Это поле обладает очевидной симметрией, благодаря чему достаточно
исследовать только его часть, имеющую форму сектора, обозначенную
знаком ☼ и ограниченную двумя линиями разрезов по осям симметрии
(показаны на рис. 7 пунктиром), границами нагревателей и границей
наружной поверхности аппарата. Исходя из этого, в файле SECTOR
подготовлены исходные данные для моделирования. При описании
граничных условий допущены некоторые упрощения: температура на
границах с нагревателями считается известной и равной 360 ºС, на наружной
границе – также известной и равной 250 ºС. На разрезах принято условие
отсутствия теплообмена (4). Ввиду относительной сложности контура
области выделены 42 опорные точки.
Откройте файл SECTOR и убедитесь в соответствии его содержания
приведенному описанию. Запустите моделирование и введите данные из
18
этого файла. Выберите по своему усмотрению параметры настройки и
получите картину теплового поля.
Определите по этой картине, каковы координаты центра круга
диаметра 100 мм, во всех точках которого температура не выходит за
пределы 324 ± 3 ºС. Эти координаты и послужат рекомендацией к
последующему размещению полостей того же диаметра.
10. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
На титульном листе отчета нужно указать название работы и
дисциплины (см. титульный лист настоящих указаний), фамилии студента и
преподавателя, руководившего работой.
По каждому заданию указывается цель, приводятся промежуточные
результаты и выводы. Результаты желательно оформлять в виде таблиц,
заполняемых по рукописным записям, сделанным во время работы.
Рекомендуется также поместить в отчет распечатки файлов, содержащих
таблицы, создаваемые программой. Напомним, что задание 1
предусматривает выполнение расчета, а задание 4 – построение графиков и
запись формул.
Полезно иллюстрировать материалы отчета распечатками с экрана
изображений температурных полей (не обязательно цветными). Распечатки
следует снабжать названиями или комментариями.
Библиографический список
1. Смирнов И. Н. Моделирование на ЭВМ объектов и систем управления.
Ч. 1.–СПб.: СПГУТД, 2000.–108 с.
2. Смирнов И. Н. Моделирование на ЭВМ объектов и систем управления.
Ч. 3.–СПб.: СПГУТД, 2001.–117 с.
19
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
250 Кб
Теги
modelstacpol, 2012
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа