close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

mu osnovynis 2015

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕХНОЛОГИИ И ДИЗАЙНА»
Кафедра теоретической и прикладной механики
ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
Методические указания к выполнению индивидуальных заданий по теме
«Полный факторный эксперимент» для студентов, обучающихся по
направлению 15.04.02 − «Технологические машины и оборудование»
Составитель
Е. В. Полякова
Санкт-Петербург
2015
УТВЕРЖДЕНО
на заседании кафедры
теоретической и прикладной механики
протокол № 2 от 01.10.2014
Рецензент
Т. С. Грибкова
Оригинал-макет подготовлен автором и издан в авторской редакции
Подписано в печать 02.03.2015 г. Формат 60 х 84 1/16.
Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 329/15
Электронный адрес: http://publish.sutd.ru
Отпечатано в типографии ФГБОУВПО «СПГУТД»
191028, Санкт-Петербург, ул. Моховая, 26
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Нормирование масштаба факторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Составление матрицы планирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Порядок реализации полного факторного эксперимента. . . . .
11
Проверка однородности дисперсий (воспроизводимости
опытов). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Получение оценок коэффициентов регрессионного
уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Проверка значимости коэффициентов регрессии . . . . . . . . . . .
14
Проверка адекватности полученной математической модели
14
Переход к исходным переменным. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Порядок выполнения задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Содержание отчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
ПРИЛОЖЕНИЕ А . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
ПРИЛОЖЕНИЕ Б . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
ПРИЛОЖЕНИЕ В . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
ПРИЛОЖЕНИЕ Г . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3
ВВЕДЕНИЕ
Методические указания к выполнению индивидуальных заданий по
дисциплине «Основы научных исследований, организация и планирование
эксперимента» предназначены для студентов, обучающихся в магистратуре
по направлению 15.04.02 − «Технологические машины и оборудование».
Целью
дисциплины
является
формирование
компетенций
обучающегося в области проведения научных исследований, организации и
планирования эксперимента. Достижение указанной цели осуществляется в
результате рассмотрения основных положений планирования и проведения
научно-исследовательских работ теоретического и прикладного характера в
профессиональной области, изучения методов экспериментальных
исследований с использованием современного математического аппарата.
В процессе освоения дисциплины студенты знакомятся с
особенностями постановок задач и анализа результатов при научных
исследованиях экспериментального характера, получают навыки применения
специализированного программного инструментария для решения задач
планирования и обработки результатов эксперимента.
Методические указания направлены на более глубокое усвоение
теоретического материала, полученного в ходе лекционных занятий,
формирование у студентов практических навыков по организации и
проведению экспериментов.
В результате выполнения индивидуального задания студент должен
овладеть методами планирования (составления плана), проведения и
обработки результатов полного факторного эксперимента для исследования
конструкций, систем, технологических процессов в сфере профессиональной
деятельности.
ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
Предварительные замечания
Планирование эксперимента представляет собой процедуру выбора
числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для
получения математической модели процесса. При этом следует стремиться к
минимизации числа опытов, обеспечить одновременное варьирование всех
переменных, определяющих процесс; выбрать четкую стратегию,
позволяющую принимать обоснованные решения после каждой серии
экспериментов. Перед проведением планирования активного эксперимента
необходимо собрать дополнительную информацию об исследуемом объекте,
для получения которой используются навыки и знания, описанные в научной
литературе или приобретенные в предыдущих исследованиях.
При использовании метода активного планирования эксперимент
обычно разбивается на несколько этапов. Информация, полученная после
каждого этапа, используется для планирования исследований на следующем
4
этапе. Планирование эксперимента позволяет варьировать ряд факторов и
получать одновременно количественные оценки всех проявляющихся
эффектов.
Для описания объекта исследования используют так называемую
систему «черный ящик» (рис. 1), которая рассматривается как имеющая
некий «вход» для ввода информации и «выход» для отображения результатов
работы, при этом происходящие в ходе работы системы процессы
наблюдателю неизвестны. Предполагается, что состояние выходов
функционально зависит от состояния входов.
r1
rj
r2
rm
x1
x2
Y
xi
xk
Рис. 1. Система «черный ящик»
Исследование системы по методу «черного ящика» состоит в изучении
зависимости отклика системы Y на изменение входных измеряемых и
управляемых параметров Х(x1, x2,…, xk) при действии случайных факторов
R(r1, r2,…, rm), которые называют «шумом» объекта. Комплекс параметров Х
называют основным, он определяет условия эксперимента. Выходным
параметром Y могут являться любые технологические или технические
показатели исследуемого процесса. Случайным будет считаться любой
фактор, не вошедший в комплекс варьируемых входных параметров.
Математическая модель объекта или процесса для одного выходного
параметра представляется в общем виде полиномом n-степени, т. е. отрезком
ряда Тейлора (1), в который раскладывается неизвестная функция:
y ( x 1 , x 2 , ..., x k ) = b 0 +
k
∑
i =1
bi x i +
k
∑
i , j =1
b ij x i x j +
k
∑
i , j ,l = 1
b i jl x i x j x l + ... ,
(1)
где b0 – свободный член; bi – линейные эффекты; bij – эффекты парного
взаимодействия; bijl – эффекты тройного взаимодействия и т. д.
5
При планировании по схеме полного факторного эксперимента (ПФЭ)
реализуются все возможные комбинации факторов на всех выбранных для
исследования уровнях. Количество опытов N при ПФЭ определяется по
формуле
N = nk ,
(2)
где n – количество уровней; k – число факторов.
При проведении полного факторного эксперимента типа 2 k для
каждого фактора выбираются два уровня – верхний и нижний, на которых
фактор варьируется. Уровни факторов представляют собой границы
исследуемой области по выбранному параметру (минимальное и
максимальное значение фактора). Зная максимальное zimax и минимальное zimin
значения технологического параметра (фактора) можно определить
координаты центра плана, так называемый основной уровень zi0 , а также
интервал (шаг) варьирования ∆zi:
zi0 =
zimax + zimin
, где i = 1, 2,3,..., k ,
2
Δzi =
max
i
z
−z
2
min
i
(3)
.
Необходимо отметить, что при выборе верхнего и нижнего уровней
факторов следует учитывать ограничения, связанные со свойствами объекта
исследования:
• принципиальные ограничения (например, если исследуемый фактор
«температура», то ее нижний предел не может быть ниже абсолютного
нуля);
• ограничения, связанные с конкретными условиями проведения
процесса (например, верхний уровень температуры нельзя поднять
выше температуры плавления материала, из которого сделана
конструкция);
• ограничения, связанные с условиями деградации процесса либо
деструкцией изучаемого материала (параметры процесса после его
полного завершения; свойства жидкости после ее испарения, свойства
композиции после ее разрушения);
• ограничения, связанные с фазовыми переходами вещества, либо
составляющих его компонентов;
• ограничения, связанные с условиями соблюдения техники
безопасности при изучении данного процесса;
• ограничения, связанные с изменением экологической ситуации
(использование веществ свыше предельно допустимой концентрации,
6
проведение экспериментов, повлекших за собой ухудшение
экологической ситуации);
• ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями
(дефицитность отдельных элементов, стоимость сырья, и т. д.).
Полный факторный эксперимент позволяет получить математическую
модель исследуемого объекта в виде уравнения множественной регрессии
y = b0 +
+
k
∑
i< j<l
k
∑
i =1
k
b i x i + ∑ b ij x i x j +
i< j
b ij l x i x j x l + ... +
(4)
k
∑
i < j < l < ... < m
b i j l ... m x i x j x l ... x m ,
где b 0 – свободный член; b i , b i j , b ij l ,…, b i j l ... m – коэффициенты уравнения
множественной регрессии.
Так, например, при k = 2
y = b 0 + b1 x 1 + b 2 x 2 + b1 2 x 1 x 2 ,
(5)
при k = 3
y = b 0 + b1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b1 2 x 1 x 2 +
+ b1 3 x 1 x 3 + b 2 3 x 2 x 3 + b1 2 3 x 1 x 2 x 3 .
(6)
Спецификация рассматриваемой математической модели зависит от
объема априорной информации, которой располагает исследователь, и, как
правило, лишь иногда включает взаимодействия второго порядка и очень
редко – взаимодействия выше третьего порядка.
Выбор спецификации математической модели и последующее
получение оценок коэффициентов регрессионного уравнения на основе
экспериментальных данных позволяют конкретизировать вид функции
отклика. В случае небольшого числа факторов полезно воспользоваться
геометрическими аналогиями и осуществить построение поверхности
отклика, а также определить линии ее уровня. Пример поверхности отклика и
линий уровня, полученных для линейного регрессионного уравнения
y = b 0 + b1 x 1 + b 2 x 2
при учете двух факторов без их взаимодействия, представлен на рис. 2.
7
(7)
25
y
20
15
10
5
50
45
40
0
50
35
45
30
40
25
35
20
30
25
15
20
15
x1
10
10
5
x2
5
0
0
Рис. 2. Поверхность отклика и линии уровня
для линейного уравнения регрессии в случае k=2
Нормирование масштаба факторов
Интервал варьирования не может быть меньше ошибки, с которой
экспериментатор фиксирует уровень фактора, и не может быть настолько
большим, чтобы верхний и нижний уровень оказались за пределами области
определения. От системы исходных координат z1,…, zk с использованием (3)
необходимо перейти к новой безразмерной системе координат x1, …, xk с
помощью линейного преобразования
xi =
zi − zi0
, где i = 1, 2,3,..., k .
Δzi
(8)
В безразмерной системе координат верхний уровень − +1, нижний
уровень − (-1), координаты центра равны нулю и совпадают с началом
координат.
Расположение экспериментальных точек в факторном пространстве для
полного факторного эксперимента при k=2 показано на рис. 3. Точки плана 22
задаются координатами вершин квадрата, а точки плана 23 – координатами
вершин куба. Если k>3, то фигуру, задающую в многомерном пространстве
область эксперимента, называют гиперкубом.
8
Рис. 3. Нормирование масштаба факторов
Составление матрицы планирования
План полного факторного эксперимента изображают в виде таблицы,
столбцы которой отражают уровни факторов, а строки – номера опытов. Эти
таблицы называют матрицами планирования эксперимента. Поскольку
значения уровней факторов по модулю всегда равны единице, то обычно в
матрице планирования записывают только знак уровня (т. е. «+» вместо «1» и
«–» вместо «–1»). В табл. 1 для примера приведена матрица планирования
для полного факторного эксперимента типа 22, которую называют базовой,
так как с ее помощью легко построить матрицы любого порядка. Так, для
построения матрицы 23 сочетаем базовую матрицу с нижним и верхним
уровнями x3 (табл. 2). Легко заметить, что в первом столбце знаки меняются
поочередно, во втором через 2, в третьем через 4 и так далее.
Т а б л и ц а 1. Полный факторный эксперимент для двух факторов
N
x1
x2
y
1
−
−
y1
2
+
−
y2
3
−
+
y3
4
+
+
y4
9
Т а б л и ц а 2. Полный факторный эксперимент для трех факторов
N
x1
x2
x3
y
1
−
−
−
y1
2
+
−
−
y2
3
−
+
−
y3
4
+
+
−
y4
5
−
−
+
y5
6
+
−
+
y6
7
−
+
+
y7
8
+
+
+
y8
Влияние факторов на выходной параметр может зависеть от уровня, на
котором находится другой фактор, или от сочетания уровней нескольких
факторов. Если априорно не известно, что такой зависимости между
факторами нет, то строят развернутую матрицу планирования, учитывающую
не только факторы, но и их взаимодействия. При этом знаки в столбцах для
взаимодействий получают перемножением знаков взаимодействующих
факторов. Пример развернутой матрицы планирования для полного
факторного эксперимента типа 23 дан в табл. 3.
Т а б л и ц а 3. Развернутая матрица планирования
для полного факторного эксперимента типа 23
10
Фиктивный фактор x0 вводят для удобства машинного расчета
свободного члена b0 (для идентичности формул).
Перечислим основные свойства матрицы планирования эксперимента:
а) симметричность относительно центра эксперимента
N
∑x
i =1
ji
= 0,
j = 1, 2,..., k ;
б) ортогональность
N
∑x
i =1
x = 0, l ≠ j , j = 0,1,..., k ;
ji li
в) условие нормировки
N
∑x
i =1
2
ji
= N,
j = 0,1,..., k .
г) ротатабельность (точки в матрице планирования подбираются так,
что точность предсказаний значений параметра оптимизации одинакова на
равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления).
Свойство ортогональности позволяет упростить вычисления и
получить независимые оценки коэффициентов регрессии. Это означает, в
частности, что замена нулем любого коэффициента в уравнении
математической модели не изменит оценок остальных коэффициентов.
Указанное свойство может быть полезным, когда точный вид модели не
известен и требуется по экспериментальным данным отобрать факторы,
существенно влияющие на исследуемый параметр. Если условие
ортогональности не выполняется, то после исключения каждого незначимого
коэффициента
необходимо
пересчитывать
оценки
оставшихся
коэффициентов и их дисперсии. При этом могут измениться как
доверительные интервалы, так и выводы относительно значимости
коэффициентов регрессионного уравнения.
Матрица, удовлетворяющая условиям симметричности, нормировки и
ортогональности, называется оптимальной. Матрица планирования полного
факторного
эксперимента
является
оптимальной
для
линейных
математических моделей. Если же модель содержит взаимодействия
факторов, то свойство рототабельности не выполняется.
Порядок реализации полного факторного эксперимента
Для оценки точности эксперимента для каждой i-й точки факторного
пространства (для каждого сочетания уровней факторов матрицы
планирования) проводят K опытов. В результате получают значения yi1, yi2, …,
yiK исследуемого параметра, для которых находят среднее значение yi . При
этом опыты в одной точке проводят не подряд, а обходят все точки в первой
серии опытов, затем во второй, и так далее до K-й. Для уменьшения влияния
11
внешней среды и неконтролируемых факторов внутри каждой серии точки
факторного пространства обходят случайным образом – рандомизируют
последовательность опытов. Рандомизацию опытов можно провести с
помощью генератора случайных чисел или таблицы случайных чисел (см.
приложение А).
Например, в случае постановки двух серий опытов для экспериментов
3
2 получим с учетом данных таблицы такие последовательности:
1-я серия
4,
2,
3,
7,
8,
2-я серия
1,
5,
6
2,
4,
6,
8,
5,
7,
3,
1
Это означает, что в первой серии опытов первым выполняется опыт в точке
факторного пространства № 4, вторым – в точке № 2 и т. д. Во второй серии
первым выполняется опыт в точке № 2, вторым – в точке № 4 и т. д. (см.
табл. 4).
Т а б л и ц а 4. Матрица планирования для двух серий опытов
Номер точки
факторного
пространства
Номер опыта
x0
x1
x2
x3
yi1
yi2
yi
2
+
−
−
−
y11
y12
y1
2
4
+
+
−
−
y21
y22
y2
3
3
6
+
−
+
−
y31
y32
y3
4
7
8
+
+
+
−
y41
y42
y4
5
8
5
+
−
−
+
y51
y52
y5
6
1
7
+
+
−
+
y61
y62
y6
7
5
3
+
−
+
+
y71
y72
y7
8
6
1
+
+
+
+
y81
y82
y8
Серия
1
Серия
2
1
4
2
Проверка однородности дисперсий (воспроизводимости опытов)
Опыт считается воспроизводимым, если дисперсия Dyi выходного
параметра yi однородна в каждой точке факторного пространства. Оценка Syi
дисперсии Dyi определяется для каждой точки факторного пространства
выражением
12
S y2i =
2
1 K
yij − yi ) .
(
∑
K − 1 j =1
(9)
Гипотезу однородности (равенства) дисперсий проверяют с помощью
критерия Кохрена. Расчетное значение этого критерия определяют по
формуле
max S y2i
Gp =
i
N
∑S
i =1
,
2
yi
(10)
а его критическое значение Gкр находят из таблицы распределения Кохрена
по числу степеней свободы числителя f = K-1, знаменателя f = N и уровню
значимости q (см. приложение Б). Если Gр < Gкр, гипотеза об однородности
дисперсий принимается, в противном случае – отвергается, и тогда
эксперимент необходимо повторить, изменив условия его проведения (набор
факторов, интервал их варьирования, точность измерительных приборов и
пр.). Например, если при варьировании какого-то фактора изменение
исследуемого параметра сравнимо с погрешностью эксперимента, то
интервал варьирования необходимо увеличивать примерно на порядок.
Получение оценок коэффициентов регрессионного уравнения
Расчет оценок коэффициентов уравнения регрессии производится по
методу наименьших квадратов, при этом минимизируется сумма квадратов
отклонений между экспериментальными значениями исследуемого
параметра и значениями, вычисленными для тех же точек факторного
пространства по регрессионному уравнению. Благодаря предварительной
стандартизации масштаба факторов и ортогональности матрицы
планирования, расчет оценок коэффициентов регрессии в полном факторном
эксперименте превращается в простую арифметическую процедуру
b0 =
1
N
1
bj =
N
b jl =
1
N
N
∑y,
i
i =1
N
∑x
i =1
ji
yi ,
N
∑x
i =1
x yi .
ji li
13
(11)
Проверка значимости коэффициентов регрессии
Гипотезу о статистической значимости (отличии от нуля)
коэффициентов регрессии проверяют по критерию Стьюдента. Расчетное
значение tp этого критерия определяется как частное от деления модуля
оценки коэффициента b j на среднеквадратическое отклонение его оценки
Sb j :
bj
tp =
Sb j
(12)
.
В полном факторном эксперименте, благодаря одинаковой удаленности
всех экспериментальных точек факторного пространства от центра
эксперимента, оценки всех коэффициентов уравнения регрессии независимо
от их величины вычисляются с одинаковой погрешностью (при выполнении
условия воспроизводимости опытов):
Sb =
2
j
S 2y
N
(13)
,
где Sy – оценка дисперсии воспроизводимости эксперимента,
N
S y2 =
∑S
i =1
2
yi
N
.
(14)
Критическое значение критерия tкр находят из таблицы распределения
Стьюдента по числу степеней свободы f = N(K–1) и уровню значимости q
(см. приложение В). Если tp > tкр, гипотеза о значимости коэффициента bj не
отвергается, в противном случае коэффициент считается незначимым и
приравнивается нулю.
Необходимо помнить, что незначимость коэффициента может быть
обусловлена и неверным выбором интервала варьирования фактора. Поэтому
иногда бывает полезным расширить интервал варьирования и провести
новый эксперимент.
Проверка адекватности полученной математической модели
Проверка адекватности математической модели данным эксперимента
проводится на основе сопоставления дисперсии воспроизводимости среднего
значения функции отклика и дисперсии адекватности. Оценка дисперсии
адекватности характеризует отклонения значений, формируемых по функции
отклика, от результатов наблюдений.
14
Для проверки гипотезы об адекватности математической модели
необходимо вычислить две дисперсии:
а) дисперсию воспроизводимости, характеризующую погрешности
наблюдений и определяемую равенством (14);
б) дисперсию адекватности, зависящую от разности между значениями
yip, рассчитанными в i-ой точке плана по математической модели, и средними
значениями результатов наблюдения в этой же точке yi :
2
K N
S =
y
y
−
(
)
∑ ip i ,
N − L i =1
2
a
N > L,
(15)
где L – число значимых коэффициентов исследуемого уравнения регрессии.
Заметим, что дисперсия погрешности наблюдений может быть оценена
лишь путем сравнения результатов нескольких параллельных опытов,
проводимых в каждой экспериментальной точке.
Адекватность математической модели обычно проверяется по F критерию Фишера. Его расчетное значение находят как частное от деления
оценки дисперсии адекватности на оценку дисперсии воспроизводимости:
Sa2
Fp = 2 ,
Sy
(16)
причем S a2 > S y2 . Если это условие не выполняется, дисперсии нужно поменять
местами.
Критическое значение Fкр находят из таблицы распределения Фишера
по числу степеней свободы дисперсии адекватности f a = N − L , числу
степеней свободы дисперсии воспроизводимости f в = N ( K − 1) и уровню
значимости q (см. приложение Г). Если Fр > Fкр гипотеза об адекватности
отклоняется.
Как правило, вначале проверяют адекватность линейной модели. Если
предположение об адекватности подтверждается, то в качестве
окончательной спецификации математической модели выбирают линейную;
если отклоняется – добавляют эффект взаимодействия с наибольшим
коэффициентом и вновь проверяют гипотезу, и так до тех пор, пока
существуют степени свободы.
Если в результате модель все же оказалась неадекватной, это говорит о
том, что спецификация математической модели выбрана неудачно и при
данном шумовом уровне и классе точности измерительных приборов модель
должна быть уточнена. Для этого следует использовать более сложные
модели, например, квадратичные (ортогональное и рототабельное
композиционное планирование).
15
Переход к исходным переменным
Для записи математической модели в реальных физических величинах
производят обратный переход от нормированного масштаба к натуральному.
Это можно сделать с помощью соотношения (8), после чего записать
окончательный вид модели.
Порядок выполнения задания
1. В соответствии с индивидуальным заданием, выданным
преподавателем, необходимо перейти к нормированному масштабу
факторов, составить матрицу планирования полного факторного
эксперимента и проверить ее свойства, рандомизировать опыты.
2. Провести полный факторный эксперимент.
3. Проверить
воспроизводимость
опытов.
Если
дисперсии
неоднородны, повторить эксперимент.
4. Рассчитать оценки коэффициентов регрессионного уравнения.
5. Проверить статистическую значимость коэффициентов регрессии.
6. Проверить адекватность полученной математической модели.
7. Перейти к исходным физическим переменным.
8. Записать полученную математическую модель и сделать
соответствующие выводы.
Содержание отчета
Отчет по выполненной работе должен содержать:
1. Постановку задачи и цель работы.
2. Матрицу планирования эксперимента.
3. Результаты проверки воспроизводимости опытов.
4. Результаты расчетов коэффициентов регрессии и проверки их
статистической значимости.
5. Результаты проверки адекватности полученной математической
модели исходным экспериментальным данным.
6. Математическую модель исследуемого объекта в нормированных и
физических переменных.
7. Выводы и предложения о ходе дальнейших исследований,
полученные в результате анализа математической модели.
Контрольные вопросы
1. В чем сущность планирования эксперимента? Поясните разницу
между активным и пассивным экспериментом.
2. Какие задачи решает теория планирования эксперимента?
3. Как выбрать уровни варьирования факторов?
4. В чем сущность полного факторного эксперимента и какие
математические модели он позволяет исследовать?
5. Какую область описывает уравнение регрессии, полученное с
помощью полного факторного эксперимента и в каких границах его можно
использовать?
16
7. Что такое взаимодействие факторов и сколько их в полном
факторном эксперименте?
8. В чем сущность и цели нормирования масштаба факторов?
9. Как именно составляется и какими свойствами обладает матрица
планирования полного факторного эксперимента?
10. Каков порядок постановки опытов при полном факторном
эксперименте?
11. Как проверить воспроизводимость опытов?
12. Как рассчитать оценки коэффициентов регрессионного уравнения?
13. Как проверить статистическую значимость оценок коэффициентов
регрессионного уравнения?
14. Как проверить адекватность полученной математической модели?
15. Как перейти к исходным физическим переменным?
17
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сидняев, Н. Теория планирования эксперимента и анализ
статистических данных: учеб. пособие / Н. Сидняев. – М.: Юрайт. Сер.
Магистр, 2015. – 496 с.
2. Волосухин., В. Планирование научного эксперимента / В. Волосухин,
А. Тищенко. – М.: РИОР, Инфра-М. Сер. Высш. образование. Магистратура,
2014. – 176 с.
3. Анцыферов, С. Обработка результатов измерений: учеб. пособие /
С. Анцыферов, М. Афанасьев, К. Русанов. – М.: ИКАР, 2014. – 228 с.
4. Круг, К. Планирование эксперимента / К. Круг. – Книга по
требованию, 2012. – 427 с.
5. Аугамбаев, М. Основы планирования научно-исследовательского
эксперимента / М. Аугамбаев, А. Иванов, Ю. Терехов. – Ташкент: Укитувчи,
2011. – 336 с.
18
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ФРАГМЕНТ ТАБЛИЦЫ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
При пользовании таблицей мысленно формируют столбцы, содержащие требуемое
количество цифр. Так, для одноразрядного числа (от 0 до 9) столбец должен содержать
одну цифру, для двухразрядного (от 0 до 99) – две цифры и т. д. Требуемую
последовательность случайных чисел получают, начав с произвольного места
сформированного столбца и последовательно выбирая из него числа. Если число по
величине выходит за заданные границы, его пропускают. Например, при формировании
последовательности из восьми одноразрядных неповторяющихся чисел (от 1 до 8), начав с
первой строки первого столбца, получим 4, 2, 3, 7, 8, 1, 5, 6.
19
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
ТАБЛИЦА G-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Примечание. Допускается линейная интерполяция по аргументу n2. Погрешность интерполяции не превышает 0,01.
20
ПРИЛОЖЕНИЕ В
ТАБЛИЦА t-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Примечание. Допускается интерполяция только по аргументу n. Погрешность линейной интерполяции не превышает 0,007.
21
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
ТАБЛИЦА F-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
22
Окончание прил. Г
Примечание. Допускается линейная интерполяция по аргументу n2 и квадратичная по n1. Погрешность интерполяции не превышает 0,01.
23
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
900 Кб
Теги
2015, osnovynis
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа