close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

mu planirexper 2014

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕХНОЛОГИИ И ДИЗАЙНА»
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА.
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
Методические указания к проведению лабораторных занятий по курсу
«Основы теории планирования эксперимента»
для студентов направления подготовки
151000.62 – Технологические машины и оборудование
Составители:
Н. А. Гренишина
Л. С. Мазин
К. И. Мартынчик
Н. В. Рокотов
Санкт-Петербург
2014
Утверждено
на заседании кафедры
12.02.2014 г.,
протокол № 1
Рецензент
К.И. Молчанов
Методические указания предназначены для оказания помощи
студентам при выполнении лабораторных работ по курсу «Основы теории
планирования эксперимента». Изложены вопросы и порядок выполнения
работ, приведены варианты индивидуальных заданий для студентов.
Оригинал-макет подготовлен составителями и издан в авторской редакции.
Подписано в печать. 20.03.14.
Усл. печ. л. 5,6.
Формат 60  841/16.
Тираж 100 экз.
Печать трафаретная.
Заказ 191/14.
Электронный адрес: mash@sutd.ru
Отпечатано в типографии ФГБОУВПО «СПГУТД»
191028, Санкт-Петербург, ул. Моховая, 26
ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть 1. Обработка результатов пассивного эксперимента ............................. 4
Работа 1. Оценки точечных и интервальных характеристик случайных
величин ............................................................................................... 4
Работа 2. Сравнение средних значений экспериментальных данных ........... 10
Работа 3. Сравнение дисперсий экспериментальных данных ....................... 14
Работа 4. Корреляционная зависимость между экспериментальными
данными............................................................................................ 16
Приложение А .................................................................................................. 21
Часть 2. Обработка результатов активного эксперимента ............................. 29
Работа 5. Определение необходимого числа повторностей
эксперимента .................................................................................... 29
Работа 6. Полный факторный эксперимент (ПФЭ) ........................................ 33
Работа 7. Дробный факторный эксперимент (ДФЭ) ...................................... 41
Библиографический список ............................................................................. 48
Приложение Б ................................................................................................... 49
3
Часть 1. Обработка результатов пассивного эксперимента
Работа 1. Оценки точечных и интервальных характеристик
случайных величин
1.1. Вычисление оценок математического ожидания,
квадратического отклонения и коэффициент вариации
среднего
При отработке новых технологических процессов, изучения
физических и химических свойств различных веществ и других
исследованиях для получения достоверных результатов экспериментатор
обычно делает n повторений измерений одной и той же величины (например,
какого-то показателя качества. При этом результаты измерения представляют
собой ряд величин
x1 ,....., xn ,
(1.1)
в общем случае отличных друг от друга.
По значениям (1.1) требуется судить об измеряемой величине. Однако
вполне возможен случай, когда некоторые (одна или две) из величин x резко
отличаются от остальных.
Существует обоснованный способ выявления выскакивающих
значений экспериментальных данных. Перед его применением следует
расположить xi , (i  1,...., n) по порядку их возрастания. При этом получается
новый ряд:
z1 ,....., zn ,
у которого z1  xi min – наименьшее значение из (1.1), zn  xn max –
наибольшее значение из (1.1) zi  zi1 .
Например,
x1  10,8 x2  11,5 x3  10,5 x4  10,7
ряд имеет вид
z1  10,5 z2  10,7 z3  10,8 z4  11,5 (n  4) .
(1.2)
Выявление выскакивающих экспериментальных данных основаны на оценке
различий крайних значений преобразованного ряда zi , (i  1,...., n) . В этом
случае, когда подозрение вызывает значение zn , подсчитывают отношение
z z
1  n n1 ;
(1.3)
zn  z1
если n  e и  n  1  e значения, то
z z
1  n n2 ;
(1.4)
zn  z1
если 1-у и 2-е значение, то
z z
1  3 1 и т. д.
zn  z1
4
Величины  i оцениваются с помощью пограничных значений  iпогр ,
приведенных в табл. 1.1. Если неравенство (1.5) выполняется
 i   iпогр ,
(1.5)
то каждое подозреваемое как выскакивающее значение zs , таковым не
является. Под уровнем достоверности понимается вероятность, с которой
следует считать выполнение проверенного неравенства (в нашем (1.5))
справедливым. Уровень достоверности может быть произвольным, однако,
чаще всего в статистических таблицах он принимается равным 0,95 и 0,99.
Для примера (1.3) подозреваемым значением является z4  11,5 . Найдем
z  z 11,5  10,8
1  4 3 
 0,7 .
z4  z1 11,5  10,5
Т а б л и ц а 1 . 1 . Критерии для исключения выскакивающих значений
Уровень достоверности
0,95
n
погр
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
24
30
35
40
45
50
55
60

0,941
0,765
0,642
0,560
0,507
0,468
0,437
0,412
0,392
0,376
0,338
0,300
0,281
0,260
0,24
0,22
0,2
0,18
0,16
0,14
0,99
Пограничные значения
 2погр
 3погр
1,000
0,988
0,967
0,889
0,845
0,780
0,736
0,698
0,661
0,637
0,607
0,590
0,565
0,555
0,531
0,527
0,504
0,502
0,481
0,482
0,430
0,438
0,372
0,391
0,347
0,367
0,322
0,341
0,3
0,28
0,26
0,24
0,2
0,18
 4погр
1,000
0,992
0,929
0,836
0,778
0,710
0,667
0,632
0,603
0,579
0,522
0,464
0,434
0,402
В табл. 1.1 для n  4 и уровня достоверности 0,99 указано пограничное
значение
1погр  0,889 .
5
Так как 1  1погр , взятого из табл. 1.1, то с уровнем достоверности
0,99 не имеем права считать z4 выскакивающим значением. Если бы было
1  1погр , то значение z4 следовало бы с уровнем достоверности 0,99
отбросить.
О значении измеряемой величины, судят после отбрасывания
выскакивающих значений, по оценке математического ожидания x или, что
то же самое, по среднему значению этой величины, вычисляемой по формуле
n1
x   xi n11 ,
(1.6)
i 1
где n1 – число членов ряда (1.1), оставшихся после отбрасывания
выскакивающих значений  n1  n  .
Величины xi , как правило, не равны x . Степень отличия xi (i  1,....., n)
от x , т. е. разброс результатов измерений может оцениваться средним
квадратическим отклонением  x , определяемым по формуле
2
x
n1
2
1
    xi  x   n1  1 .
(1.7)
i 1
При малом числе опытов n1  5  10 удобно для определения  x пользоваться
формулой
1
 x   zn  z1    dn1  ,
(1.8)
где zn и z1 – последнее и первое число статистического ряда (1.2) после
отбрасывания выскакивающих значений, dn1 – коэффициенты, зависящие от
числа членов n1 ряда (1.2), берутся из табл. 1.2.
Т а б л и ц а 1 . 2 . Коэффициенты dn
n1
dn1
2
1,13
3
1,69
4
2,06
5
2,33
6
2,53
7
2,70
8
2,85
9
2,95
10
3,08
Величина  x размерная, поэтому для сравнения разброса результатов
измерений различных показателей качества она мало удобна (невозможно
метры сравнивать, например, с килограммами). В этом случае часто
пользуются безразмерной величиной, называемой коэффициентом вариации.
V   x  x 1  100% .
(1.8)
Коэффициент вариации характеризует разброс результатов измерений по
отношению к оценке математического ожидания, измеряемой величины в
процентах.
Для примера (1.2) согласно (1.6) – (1.8) получим
10,8  11,5  10,5  10,7
x
 10,9 ;
4
2
2
2
10,8  10,9   11,5  10,9   10,7  10,9 

2
x 
 0,19 ;
4 1
6
V
0,19
100 %  4 % .
10,9
1.2. Вычисление доверительного интервала
Следует иметь в виду, что оценка математического ожидания не
является истинным значением, т. к. может меняться от одной серии опытов к
другой. Математическое ожидание с заданным уровнем достоверности
ограничено сверху и снизу следующим образом:
x    m x  x   .
(1.10)
Величина  может быть определена из выражения
   xi max  xi min   k ,
(1.11)
где xi min и xi max – соответственно минимальные и максимальные значения
измеряемой величины x в ряде экспериментальных данных (например,
данные (1.1)) с учетом отбрасывания выскакивающих значений, согласно
(1.4),(1.5); k – коэффициент, который следует найти по табл. 1.3 для уровня
достоверности 0,99 или 0,95.
Для примера (1.2) с уровнем достоверности 0,99
  11,5  10,5  1,32  1,3 ,
9,6   xi   12,2 .
Т а б л и ц а 1 . 3 . Значения коэффициента k для расчета границ
доверительных интервалов оценок математического ожидания
Число
опытов
n
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Уровень доверительности
0,95
1,30
0,72
0,51
0,40
0,33
0,29
0,25
0,23
0,21
0,99
3,00
1,32
0,84
0,63
0,51
0,43
0,37
0,33
0,30
Число
опытов
n
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Уровень
доверительности
0,95
0,99
0,19
0,28
0,18
0,26
0,13
0,24
0,16
0,22
0,15
0,21
0,14
0,20
0,14
0,19
0,13
0,18
0,13
0,17
Способ определения доверительных интервалов (1.11) отличается от
классического метода, основанного на критерии Стьюдента [1.2]. Однако он
дает более верные результаты при небольшом числе измерений, так как в нем
имеется некоторая перестраховка по отношению к классическому методу.
7
1.3.
Обработка
результатов
количественных значений
экспериментов,
не
имеющих
Определение
оценок
математического
ожидания,
среднего
квадратического отклонения измеряемой величины возможны в тех случаях,
когда имеются количественные результаты экспериментов. Однако иногда
результаты экспериментов могут носить качественный характер, часто в
виде: норма (=) больше нормы (+), меньше нормы (–). В этих случаях
результаты экспериментов для их последующего анализа удобно
представлять в виде табл. 1.4.
Т а б л и ц а 1 . 4 . Результаты анализов
Номер опыта
1
2
3
4
…..
f
Оценка результатов по
отношению к норме x
–
+
=
=
…..
+
Например, при оценке качества окраски ткани имеется прием,
называемый приемом ткани по цвету в вилку. В общем случае среди
образцов, которые даются контролеру, имеются нормально окрашенные,
темнее и светлее нормы. Принимается же ткань нормально окрашенная.
Пусть в каждом случае операции оценки качества окраски ткани дали
результаты, соответствующие табл. 1.5, где знак (–) соответствует образцу
ткани светлее норме, знак (+)соответствует образцу ткани темнее нормы, а
образец ткани, цвет которого соответствует норме – знак (=) (исследования
проводятся, например, в связи с тем, что химик вводит в красильный раствор
некоторую добавку, от которой ткань должна стать светлее).
Обработка результатов, представленных в таблице 1.5, производится
следующим образом:
1) случаи равенства результатов норме исключаются;
2) подсчитывается количество (–) – пусть их будет n1 (для табл. 1.5
n1  11 );
3) подсчитывается количество (+), пусть их будет n2 (для табл. 1.5
n2  2 );
4) подсчитывается общее число опытов n  n1  n2 (для табл. 1.5 n  13 );
5) по табл. 1.6 для числа опытов n при уровне достоверности 0,95,
либо 0,99, который выбирается исследователем произвольно, находится
против n и требуемого уровня достоверности значение критерия n3 (для
табл. 1.5 с уровнем достоверности 0,95 n3  11 );
8
Т а б л и ц а 1 . 5 . Оценка качества окраски ткани
Номер опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
Цвет
–
–
–
+
=
–
+
=
Номер опыта
9
10
11
12
13
14
15
16
Цвет
=
–
–
–
–
–
–
–
6) если n1  n3 , то это значит, что добавка с выбранным уровнем
значимости привела к отрицательным по отношению к норме результатам
(для табл. 1.5 n3  11 , т. е. n1  n3 , а следовательно, химик ввел в красильную
ванну добавку, от которой ткань стала светлее);
7) если n2  n3 , то добавка привела к положительным по отношению к
норме результатам – результаты выше нормы ( в случае табл. 1.5 n2  n3 ),
если бы оказалось, что n2  n3 , то это означало, что добавка, сделанная
химиком в красильную ванну, не эффективна и не привела к ожидаемым
результатам;
8) если n1  n3 и n2  n3 , то с выбранным уровнем достоверности
результаты опытов соответствуют норме (в случае табл. 1.5 n1  n3 и n2  n3 ,
то это бы означало, что цвет ткани после добавки в красильную ванну,
сделанную химиком, не отличается от нормы c выбранным уровнем
достоверности).
Т а б л и ц а 1 . 6 . Пограничные значения критерия знаков n3
Общее
число
опытов
только (+) и
(-) n
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Минимальные значения числа
опытов с однозначным
результатом, при которых
отличие от нормы достоверно
с вероятностью не менее n3
0,95
6
7
8
8
9
10
10
11
12
0,99
–
–
8
9
10
11
11
12
13
Общее
число
опытов
только (+) и
(-) n
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Минимальные значения
числа опытов с однозначным
результатом, при которых
отличие от нормы
достоверно с вероятностью
не менее n3
0,95
17
17
18
18
19
20
20
21
21
0,99
18
19
19
20
20
21
22
22
23
9
Окончание табл.1.6
Общее
число
опытов
только (+) и
(-) n
Минимальные значения числа
опытов с однозначным
результатом, при которых
отличие от нормы достоверно
с вероятностью не менее n3
0,95
12
13
14
15
15
16
15
16
18
19
20
21
Общее
число
опытов
только (+) и
(-) n
0,99
13
14
15
16
17
17
31
32
34
35
36
37
Минимальные значения
числа опытов с однозначным
результатом, при которых
отличие от нормы
достоверно с вероятностью
не менее n3
0,95
22
23
24
24
25
25
0,99
24
24
25
26
27
27
Таким образом, критерий знаков n3 позволяет выявить полезность
каких-либо изменений условий проведения технологического процесса в
случаях, когда результаты анализов носят качественный характер.
Работа 2. Сравнение средних значений экспериментальных
данных
В практике экспериментирования часто приходится сравнивать между
собой результаты опытов при разных значениях технологических
параметров, их определяющих (температура, концентрация и т. д.), с точки
зрения установления равенства или отличия этих результатов друг от друга.
Пусть экспериментатором получены при различных значениях
технологических параметров (в ряде опытов серии значений какого-то
показателя качества xi  xi1 ,....., xiki , где xiJ – значения xi при j  ом опыте).


Значения экспериментальных данных записываются в виде табл. 2.1. В
этой же таблице приводится оценка математических ожиданий xi , которые
определяются по формуле (1.6)
Т а б л и ц а 2 . 1 . Пример записи экспериментальных данных
Номер измерения
(опыта)
1
2
…
Оценки
математических
ожиданий
10
Номер групп экспериментов либо показателя качества
x1
x2
xn
x11
x21
xn1
x12
x22
xn 2
x1k 1
x2 k 2
xnkn
x1
x2
xn
Для проверки равенства средних xi можно использовать критерий F –
распределение Фишера.
Он рассчитывается по формуле
2
Sфакт
Fнабл  2 ,
(2.1)
S ост
где
S
S
2
2
S факт
 факт – факторная дисперсия; Sост
 ост – остаточная дисперсия;
P1
P2
n
2
Sфакт   ki  xi  x  – факторная сумма квадратов отклонения выборочных
i 1
групповых средних xi от общей средней x .
n
n ki
 n

  ki  1 ; Sост    xij  x  – остаточная сумма квадратов
 i1

i 1 J 1
ki
где x   xij
i 1 J 1
n
отклонения xij от x ; P1  n  1; P2   k j  n – числа степеней свободы при
j 1
вычислении Sфакт и S ост .
Предположение о равенстве средних значений xi справедливо, если
Fнабл  Fkр .
(2.2)
Величина Fкр представлена в табл. 2.2 и зависит от уровня
достоверности и числа степеней свободы P1 и P2 .
В том случае, когда k1  k2  .....  kn  k т. е. число опытов в каждом
эксперименте xi одинаково, проверка предположения о равенстве средних xi
между собой аналогична вышеизложенному, за исключением Sфакт . В этом
случае
n
2
Sфакт  k   xi  x  при 1  n  1 .
i 1
Если n  2 , т. е. имеем два эксперимента x1 и x2 , по k1 и k2 опытов в
каждом, то для проверки равенства x1 и x2 , имеет быть использована
величина
k  k  k  k  2
x1  x2
Tнабл 
 1 2 1 2
.
(2.3)
k1  k2
 k1  1   x21   k2  1   x22
11
Таблица 2.2.
достоверности 0,95
P2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
20
25
30
35
40
50
60
88
100
Значения Fкр – критерия Фишера для уровня
P1
1
10,1
7,7
6,6
6,0
5,6
5,3
5,1
5,0
4,8
4,6
4,5
4,4
4,4
4,3
4,2
4,1
4,1
4,0
4,0
4,0
3,9
3,0
2
9,6
6,9
5,8
5,1
4,7
4,5
4,3
4,1
3,9
3,7
3,6
3,6
3,5
3,4
3,3
3,3
3,2
3,2
3,1
3,1
3,1
3,0
3
9,3
6,6
5,4
4,8
4,4
4,1
3,0
3,7
3,5
3,3
3,2
3,2
3,1
3,0
2,9
2,9
2,8
2,8
2,8
2,7
2,7
2,6
4
9,1
6,4
5,2
4,5
4,1
3,8
3,6
3,5
3,3
3,1
3,0
2,9
2,9
2,8
2,7
2,6
2,6
2,6
2,5
2,5
2,5
2,4
5
9,0
6,3
5,1
4,4
4,0
3,7
3,5
3,3
3,1
3,0
2,9
2,8
2,7
2,6
2,5
2,5
2,4
2,4
2,4
2,3
2,3
2,2
Средние можно считать равными, если
Tнабл  tкр ,
6
8,9
6,2
5,0
4,3
3,9
3,6
3,4
3,2
3,0
2,9
2,7
2,7
2,6
2,5
2,4
2,4
2,3
2,3
2,2
2,2
2,2
1,9
8
8,8
6,0
4,8
4,1
3,7
3,4
3,2
3,1
2,9
2,7
2,6
2,5
2,4
2,4
2,3
2,2
2,2
2,1
2,1
2,0
2,0
1,9
12
8,7
5,9
4,7
4,0
3,6
3,3
3,1
2,9
2,7
2,5
2,4
2,3
2,3
2,2
2,1
2,0
2,0
1,9
1,9
1,9
1,8
1,7
24
8,6
5,8
4,5
3,8
3,4
3,1
2,9
2,7
2,5
2,3
2,2
2,1
2,1
2,0
1,9
1,8
1,8
1,7
1,7
1,6
1,6
1,5

8,5
5,7
4,4
3,7
3,2
2,9
2,7
2,5
2,3
2,1
2,0
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5
1,5
1,4
1,4
1,3
1,3
1,5
(2.4)
где tкр – критические точки распределения Стьюдента, найденные для уровня
достоверности 0,95 или 0,99 при числе степеней свободы f  k1  k 2  2 ,
приведенные в табл. 2.3.
12
Т а б л и ц а 2 . 3 . Значения tкр (по Стьюденту-Фишеру)
Число степеней свободы
f
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
Уровень достоверности
0,95
0,99
12,71
63,66
4,3
9,92
3,18
5,84
2,78
4,60
2,57
4,03
2,45
3,71
2,36
3,50
2,31
3,36
2,26
3,25
2,23
3,17
2,20
3,11
2,18
3,06
2,16
3,01
2,14
2,98
2,13
2,95
2,12
2,92
2,11
2,90
2,10
2,88
2,09
2,86
2,09
2,84
2,08
2,83
2,07
2,82
2,07
2,81
2,06
2,80
2,06
2,79
2,06
2,78
2,05
2,77
2,05
2,76
2,04
2,76
2,04
2,75
2,02
2,70
2,00
2,66
В качестве примера рассмотрим измерение влажности образца ПВС-волокна,
обработанного в водно-этанольной ванне с модулем m  50 при температуре
T  70C в течение t  1 ч, предварительно важно подвергать сушке на
воздухе 20 ч. и сушке под вакуумом 2 ч. ( t  90C , вакуум –1 атм).
Результаты сводим в табл. 2.4.
13
Т а б л и ц а 2 . 4 . Результаты анализов измерения влажности
Номер
опыта
1
2
3
4
5
xi
Номера групп эксперимента
x1
x2
Спирт-вода
Спирт-вода
100:0
80:20
6,53
7,38
6,55
7,24
6,72
7,29
6,7
7,38
6,59
7,42
6,64
7,34
x3
Спирт-вода
70:30
7,65
7,94
7,72
7,36
7,61
7,66
Значение 7,36 эксперимента x3 вызывает подозрение, как выскакивающее.
Согласно (1.4) найдем
7,61  7,36
1 
 0, 43 .
7,94  7,36
По табл. 1.1 1погр  0,642 , поэтому с уровнем достоверности 0,95
нельзя значение 7,36 считать выскакивающим. Оценки математического
ожидания приведены в табл.2.4.
Сравним x1 и x2 , а затем x2 с x3 . Для сравнения x1 с x2 подсчитаем
Tнабл  13,6 ; f  5  5  2  8 ; tкр  2,31 с уровнем достоверности 0,95. Таким
образом x1 и x2 , можно считать с уровнем достоверности 0,95 разными, так
как 13,6 > 2,31.
Для сравнения x2 и x3 .
Tнабл  4,3 ; f  5  5  2  8 ; tкр  2,31 с уровнем достоверности 0,95, т. е. x2 и
x3 можно считать разными с уровнем достоверности 0,95, так как 4,3 > 2,31.
Работа 3. Сравнение дисперсий экспериментальных данных
При
проведении
экспериментов
важно
оценить
разброс
экспериментальных данных от одной серии опытов к другой. От этого
разброса зависит точность измерений и их воспроизводимость.
Пусть
имеем
 серии
опытов
x1,......., x ,
причем
xij (i  1,....., ; J  1,......, ni ) – результат опытов в сериях ( i – номер серии, j –
номер опыта в серии), x1  { x1i ,....., x1n } .
Вычислим по формуле (1.7) дисперсии  xi2 при числах степеней
свободы ki  ni  1 . Сравним дисперсии между собой с точки зрения
выявления их равенства. В качестве критерия проверки равенства дисперсий
может быть принят критерий Бертлета Bнабл .
14
Bнабл 
V
,
G
(3.1)
2
1



где V  2,3   k lg G 2   ki lg  xi  , k   ki .

i 1

i 1


 1 1
1
 2   ki xl2 k ; G 
      1.
3    1  i 1 ki k 
i 1
При равенстве дисперсий должно выполняться соотношение
Bнабл  fкр2 ,
(3.2)
(3.3)
где f кр2 – табличные значения f кр2 при числе степеней свободы f    1.
Значения f кр2 приведены в табл. 3.1.
В том случае, когда n1  n2  ......  n  n проверка равенства дисперсий
может осуществляться по критерию Кохрена
 xi2 max

,
(3.4)
Gнабл  i
 xi2
i 1
где
   i  1,.....,   .
2
xi max
– наибольшая из сравниваемых дисперсий.
Дисперсии можно считать равными с уровнем значимости  . если
справедливо соотношение Gнабл  Gкр . где Gкр - табличные значения
распределения Кохрена для уровня значимости  при числе степеней
свободы f  n  1 и  -сериях. приведенные в табл. 3.1.
В практике часто встречаются случаи   2 , т. е. имеются 2 серии
опытов по n1 и n2 повторений каждая с оценками дисперсий  2 x1 и  2 x2 .
Равенство дисперсий может быть проверено с помощью Fкр – критерия
Фишера. Для проверки следует определить
 2 x1
Fнабл  2
(3.5)
 x2
где  2 x1   2 x2 .
Дисперсии равны с уровнем достоверности 0,95, если
Fнабл  Fкр .
(3.6)
Значения Fкр следует брать из табл. 2.2, при числе степеней свободы
P1  n1  1, P1  n2  1 .
15
Т а б л и ц а 3 . 1 . Значения f кр2


k
0,99
0,01
0,02
0,12
0,30
0,55
0,87
1,24
1,65
2,09
2,56
3,6
4,7
5,8
7,0
8,3
11,5
15,0
18,5
22,2
25,9
29,7
33,6
37,5
2
3
5
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
20
25
30
35
40
45
50
55
60
0,90
0,10
0,2
0,6
1,1
1,6
2,2
2,8
3,5
4,2
4,9
6,3
7,8
9,3
10,9
12,4
16,5
20,6
24,8
29,1
33,3
37,7
42,1
46,5
0,70
0,30
0,7
1,4
2,2
3,0
3,8
4,7
5,5
6,4
7,3
9,0
10,8
12,6
14,4
16,3
20,9
25,5
30,2
34,9
39,6
44,3
49,1
53,8
0,50
0,50
1,4
2,4
3,4
4,4
5,3
6,3
7,3
8,3
9,3
11,3
13,3
15,3
17,3
19,3
24,3
29,3
34,3
39,3
44,3
49,3
54,3
59,3
0,30
0,70
2,4
3,7
4,9
6,1
7,2
8,4
9,5
10,7
11,8
14,0
16,2
18,4
20,6
22,8
28,2
33,5
38,9
44,2
49,5
54,7
60,0
65,2
Работа
4.
Корреляционная
экспериментальными данными
0,10
0,90
4,6
6,3
7,8
9,2
10,6
12,0
13,4
14,7
16,0
18,5
21,1
23,5
26,0
28,4
34,4
40,3
46,1
51,8
57,5
63,2
68,8
65,2
0,05
0,95
6,0
7,8
9,5
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
21,0
23,7
26,3
28,9
31,4
37,7
43,8
49,8
55,8
61,7
67,5
73,3
74,4
0,01
0,99
9,2
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
26,2
29,1
32,0
34,8
37,6
44,3
50,9
57,3
63,7
70,0
76,2
82,3
88,4
зависимость
0,005
0,995
10,6
12,8
14,9
16,7
18,5
20,3
22,0
23,6
25,2
28,3
31,3
34,3
37,2
40,0
46,9
53,7
60,3
66,8
73,2
79,5
85,7
62,0
0,001
0,999
13,8
16,3
18,5
20,5
22,5
24,3
26,1
27,9
29,6
32,9
36,1
39,2
42,3
45,3
52,6
59,7
66,6
73,4
80,1
86,7
93,2
99,6
между
На практике часто проводятся эксперименты исследования
зависимости величины y от x и вид ее заранее известен. При исследовании
неизвестных зависимостей возможны как систематические, так и случайные
ошибки. Систематические связаны с выбором вида зависимости, случайные –
с процессом измерений. Для уменьшения влияния случайных ошибок
измерения применяется метод наименьших квадратов.
Пусть имеются результаты эксперимента  x1 , y1  ,  x2 , y2  ,.....,  xn , yn  и
выбран (или известен) вид функции yi    xi , a, b, c,... . Необходимо выбрать
a , b, c так, чтобы выполнялось условие
n
  y    x , a, b, c...
i
i
2
 min
(4.1)
i 1
Для отыскания значений a , b, c , обращающих левую часть уравнения
(4.1) в минимум, необходимо приравнять к нулю производные по a , b, c
16
n
  

  y    x , a, b, c...   a   0
i
i
i 1


  
 yi    xi , a, b, c...   
(4.2)

  0 ,
 b 
i 1

n

  


y


x
,
a
,
b
,
c
...


0
 i
   

 i
 c 
i 1

Система (4.2) содержит столько уравнений, сколько имеется
неизвестных параметров a , b, c .
Рассмотрим два часто встречаемые на практике случая: функция 
линейна и выражается полиномом второй степени (параболой).
В первом случае по методу наименьших квадратов подбираем
параметры a и b в линейной функции y  ax  b , изображающий данную
экспериментальную зависимость
Система (4.2) имеет вид
n

 yi   axi  b    xi  0


i 1
(4.3)
,
n
 yi   axi  b    0 


i 1
n
n


так как
 xi ;
 1 ; b  my  amx ; mx 
a
b
n
где a 
x
i
k xy
k xy 
;
Dx
 x
i
Dx 
 mx 
i 1
n
y
i
;
my 
i 1
n
;
 mx    yi  my 
i 1
n
n
 xi
n
;
(4.4)
2
i 1
.
n
Линейная зависимость, связывающая x и y ,
k
k
y  xy x  m y  xy mx .
Dx
Dx
Если функция выражается полиномом второй степени, то в этом случае
необходимо подобрать методом наименьших квадратов параметры a , b, c
параболы y  ax 2  bx  c . Система (4.2) примет вид
17
n

 bxi  c  xi2  0 
i 1

n

 yi   axi2  bxi  c  xi  0  ,



i 1

n

2


y

ax

bx

c

0



i
 i  i
i 1

  y   ax
2
i
i
(4.5)
После преобразования получим
 4  x  a   3  x  b   2  x  c   2,1  x, y  

 3  x  a   2  x  b  1  x  c  1,1  x, y   ;

 2  x  a  1  x  b   0  x  c   0,1  x, y  
n
n
x
2
i
i
 0  x   1; 1  x  
i 1
n
n
где  3  x  
; 2  x 
x
i 1
n
.
n
 xi3
i 1
n
4
i
; 4  x  
x
i 1
n
;
n
 0,1  x     y  
n
 yi
i 1
; 1,1  x, y  
 xi yi
i 1
n
2
i i
;  2,1  x, y  
x
y
i 1
;
n
n
n
В качестве примера рассмотрим зависимость y от x , по данным,
приведенным в табл. 4.1.
Т а б л и ц а 4 . 1 . Зависимость y от x
y
x
4
41
8
50
10
81
14 16 20 19 23 26 30 31 36 37
104 120 139 154 180 208 241 250 269 301
Необходимо подобрать методом наименьших квадратов параметр
прямой, изображающей зависимость y от x .
В соответствие с (4.4)
mx  164,4; my  21,1; Dx  6662; k xy  826 .
Уравнение прямой имеет вид
y  0,124   x  164,4   21,1 .
Иногда при проведении экспериментальных исследований необходимо
оценить тесноту корреляционной связи зависимости друг от друга между y и
xi . Подобная оценка может быть осуществлена с помощью выборочного
коэффициента корреляции
k
R  yx ,
(4.4)
 y xi
18
1 k
(4.5)
  yi  y   xij  xi 
k  1 i1
оценка корреляционного момента. y , xi , y , xi – подсчитываются согласно
выражений (1.6), (1.7).
Коэффициент корреляции находится в пределах 0  R  1 . Чем ближе
R к 1, тем теснее корреляционная связь между y и xi (i  1,..., n ) .
Коэффициент корреляции R является существенным с уровнем
значимости q , если выполняется соотношение
R  zq z ,
(4.6)
где k yx 
1
– при небольшом числе опытов k  k   5  7   zq – табличное
k 3
значение, приведенное для уровня значимости в табл. 4.2. Величина zq z –
называется критической областью.
где  z 
Т а б л и ц а 4 . 2 . Значения zq
%
zq
100
0
99
70
60
50
40
30
0,126 0,385 0,524 0,675 0,842 1,04
20
1,64
5
1,96
1
2,58
0,1
3,2
В качестве примера оценим корреляционную зависимость между
величинами y и x1 , приведенными в табл. 4.3.
Т а б л и ц а 4 . 3 . Результаты опытов
Величина
y
x1
1
12,1
81
2
11,6
76
3
11,9
79
Номер опыта
4
5
11,4
11,9
80
81
6
10,5
75
7
11
75
(k  7 )
Согласно формулам (1.9), (1.10) получим, что
y  11,5; x  78;  y  0,6;  x1  2,74.
В этом случае из выражений (4.4) и (4.5) определим
1,5
k yx1  1,5; R 
 0,65 .
0,6  2,74
Для построения критической области вычислим
1
z 
 0,5 .
73

Под уравнением значимости понимается вероятность, с которой проверяемое
неравенство (в нашем случае (2.6)) следует отвергнуть.
19
Согласно табл. 4.2 с уровнем зависимости q  20% , zq  1,28 . Для
того, чтобы считать y и x1 корреляционно связанными с уровнем
значимости q  20% необходимо иметь
R  0,5  1,28  0,64 .
Это условие выполняется, т. е. y и x1 можно считать корреляционно
связанными с уровнем значимости q  20% .
Выводы
Обработка результатов пассивного эксперимента состоит из
следующих этапов:
1. Запись результатов пассивного эксперимента в виде ряда (1.1), либо
табл. 2.1. Отбрасывание выскакивающих значений экспериментальных
данных.
2. Определение числовых характеристик измеряемых величин: оценки
математического ожидания (оценки среднего квадратического отклонения
(дисперсии), коэффициента вариации, доверительного интервала.
3. Сравнение, в случае необходимости, между собой оценок дисперсий.
Целью сравнения может быть выявление различий в степени разброса
результатов измерений разных экспериментов для последующего анализа
причин этого явления и т. д.
4. Исследование
корреляционной
зависимости
между
экспериментальными данными методом наименьших квадратов или оценкой
тесноты корреляционной связи с помощью выбранного коэффициента
корреляции.
В приложении А приведены варианты заданий для четырех работ по
курсу «Основы теории планирования эксперимента» для закрепления
теоретических знаний и практических навыков по методике проведения и
обработки результатов экспериментальных исследований.
20
Приложение А
Вариант 1
1) определить оценки математического ожидания, среднего квадратического
отклонения коэффициента вариации и доверительного интервала с учетом
исключения выскакивающих значений ряда экспериментальных данных
12.1; 12,4; 11,9; 12,3; 12,8;
2) сравнить средние значения экспериментальных данных
номер
1
2
3
4
5
X1
3,32
3,29
3,28
3,30
3,31
X2
3,08
3,10
3,06
3,07
3,06
3) определить корреляционную зависимость
3,7
10,4
Y
X
3,2
11,0
3,4
10,8
3,3
10,6
3,6
10,5
4) подобрать методом наименьших квадратов параметры прямой,
изображающей зависимость Y от X
4
41
Y
X
10
79
19
140
28
195
39
255
Вариант 2
1) определить оценки математического ожидания, среднего квадратического
отклонения коэффициента вариации и доверительного интервала с учетом
исключения выскакивающих значений ряда экспериментальных данных
52,1; 53,2; 59,4; 49,8; 52,3;
2) сравнить средние значения экспериментальных данных
номер
1
2
3
4
5
X1
16,0
15,5
14,8
15,8
15,1
X2
15,0
14,5
14,4
14,8
14,9
3) определить корреляционную зависимость
16,0
84
Y
X
16,2
85
16,1
83
15,8
82
16,4
86
4) подобрать методом наименьших квадратов параметры прямой,
изображающей зависимость Y от X
Y
X
7
50
10
75
15
110
21
145
21
Вариант 3
1) определить оценки математического ожидания, среднего квадратического
отклонения коэффициента вариации и доверительного интервала с учетом
исключения выскакивающих значений ряда экспериментальных данных
72,3; 71,5; 78,3; 70,8; 73,2;
2) сравнить средние значения экспериментальных данных
номер
1
2
3
4
5
X1
11,8
11,6
12,8
11,5
11,9
X2
11,5
11,3
11,8
11,7
11,4
3) определить корреляционную зависимость
10,0
42
Y
X
10,2
40
10,6
39
9,8
43
10,5
41
4) подобрать методом наименьших квадратов параметры прямой,
изображающей зависимость Y от X
4
60
Y
X
9
105
16
165
21
230
29
290
Вариант 4
1) определить оценки математического ожидания, среднего квадратического
отклонения коэффициента вариации и доверительного интервала с учетом
исключения выскакивающих значений ряда экспериментальных данных
59,8; 62,3; 60,9; 66,3; 64,1;
2) сравнить средние значения экспериментальных данных
X1
23,0
22,5
23,2
22,8
23,1
номер
1
2
3
4
5
X2
23,2
23,4
24,0
23,1
23,05
3) определить корреляционную зависимость
Y
X
5,0
31
4,8
30
5,2
33
4,9
32
5,4
35
4) подобрать методом наименьших квадратов параметры прямой,
изображающей зависимость Y от X
Y
X
22
7
80
11
115
18
195
20
210
Вариант 5
1) определить оценки математического ожидания, среднего квадратического
отклонения коэффициента вариации и доверительного интервала с учетом
исключения выскакивающих значений ряда экспериментальных данных
1,3; 20,8; 19,3; 22,5;21,4;
2) сравнить средние значения экспериментальных данных
X1
38,0
38,1
39,0
39,8
38,5
номер
1
2
3
4
5
X2
36,5
36,8
36,7
36,4
36,9
3) определить корреляционную зависимость
17,5
21,3
Y
X
18,0
22,0
18,2
22,3
18,9
23,0
19,1
24,0
4) подобрать методом наименьших квадратов параметры прямой,
изображающей зависимость Y от X
23
125
Y
X
30
164
35
190
40
220
Вариант 6
1) определить оценки математического ожидания, среднего квадратического
отклонения коэффициента вариации и доверительного интервала с учетом
исключения выскакивающих значений ряда экспериментальных данных
37,2; 36,5; 38,1; 32,3; 35,9;
2) сравнить средние значения экспериментальных данных
X1
52,0
51,5
49,0
51,8
52,1
номер
1
2
3
4
5
X2
50,0
50,5
50,2
50,8
51,0
3) определить корреляционную зависимость
18
20
Y
X
41
45
65
70
88
90
100
105
4) подобрать методом наименьших квадратов параметры прямой,
изображающей зависимость Y от X
Y
X
13
60
24
130
33
175
37
205
23
Вариант 7
1) определить оценки математического ожидания, среднего квадратического
отклонения коэффициента вариации и доверительного интервала с учетом
исключения выскакивающих значений ряда экспериментальных данных
62,1; 63,5; 60,8; 64,1; 68,1;
2) сравнить средние значения экспериментальных данных
Номер
1
2
3
4
5
X1
31,5
32,0
33,1
32,1
31,8
X2
34,0
34,5
34,3
33,9
34,1
3) определить корреляционную зависимость
Y
X
15
10
35
22
55
35
74
43
90
55
4) подобрать методом наименьших квадратов параметры прямой,
изображающей зависимость Y от X
15
70
Y
X
21
108
26
139
30
160
Вариант 8
1) определить оценки математического ожидания, среднего квадратического
отклонения коэффициента вариации и доверительного интервала с учетом
исключения выскакивающих значений ряда экспериментальных данных
17,5; 18,2; 17,1; 19,1; 17,9;
2) сравнить средние значения экспериментальных данных
номер
1
2
3
4
5
X1
31,0
31,2
34,1
31,8
31,5
X2
32,8
33,2
33,1
32,9
33,0
3) определить корреляционную зависимость
Y
X
15
20
30
42
36
50
62
80
73
95
4) подобрать методом наименьших квадратов параметры прямой,
изображающей зависимость Y от X
Y
X
24
7
55
15
100
22
155
32
215
Вариант 9
1) определить оценки математического ожидания, среднего квадратического
отклонения коэффициента вариации и доверительного интервала с учетом
исключения выскакивающих значений ряда экспериментальных данных
40,3; 39,8; 42,1; 41.5; 39,3;
2) сравнить средние значения и дисперсии экспериментальных данных
номер
1
2
3
4
5
X1
41,0
42,2
41,8
42,5
41,6
X2
38,0
37,8
38,2
37,9
38,1
3) определить коэффициент корреляции и его существенность
Y
X
13,2
72
12,5
70
11,9
65
12,3
71
12,8
70
4) подобрать методом наименьших квадратов параметры прямой,
изображающей зависимость Y от X
7
90
Y
X
15
152
17
185
26
255
Вариант 10
1) определить оценки математического ожидания, среднего квадратического
отклонения коэффициента вариации и доверительного интервала с учетом
исключения выскакивающих значений ряда экспериментальных данных
49,5; 52,3; 50,8; 51,5; 50,3;
2) сравнить средние значения и дисперсии экспериментальных данных
номер
1
2
3
4
5
X1
12,0
11,5
11,9
11,8
12,1
X2
12,2
12,4
12,1
12,3
12,0
3) определить коэффициент корреляции и его существенность
Y
X
8,2
28
8,5
29
9,2
30
8,8
28,5
9,0
29,1
4) подобрать методом наименьших квадратов параметры прямой,
изображающей зависимость Y от X
Y
X
31
170
35
190
38
209
40
220
25
Вариант 11
1) определить оценки математического ожидания, среднего квадратического
отклонения коэффициента вариации и доверительного интервала с учетом
исключения выскакивающих значений ряда экспериментальных данных
81,5; 80,4; 79,8; 82,1; 82,4;
2) сравнить средние значения и дисперсии экспериментальных данных
номер
1
2
3
4
5
X1
5,1
4,9
5,2
5,0
4,8
X2
5,3
5,2
5,1
5,4
5,2
3) определить корреляционную зависимость
2,6
51
Y
X
4,5
52
7,1
54
10,2
57
13,9
56
4) подобрать методом наименьших квадратов параметры прямой,
изображающей зависимость Y от X
3
80
Y
X
5
105
7
150
9
180
12
220
Вариант 12
1) определить оценки математического ожидания, среднего квадратического
отклонения коэффициента вариации и доверительного интервала с учетом
исключения выскакивающих значений ряда экспериментальных данных
28,1; 29,3; 27,4; 28,5; 30,5;
2) сравнить средние значения экспериментальных данных
номер
1
2
3
4
5
X1
62,0
62,5
62,3
62,9
62,1
X2
59,0
59,5
59,1
59,8
59,7
3) определить корреляционную зависимость
Y
X
30
5
58
10
95
15
132
20
160
25
4) подобрать методом наименьших квадратов параметры прямой,
изображающей зависимость Y от X
Y
X
26
8
100
14
145
18
190
21
210
Вариант 13
1) определить оценки математического ожидания, среднего квадратического
отклонения коэффициента вариации и доверительного интервала с учетом
исключения выскакивающих значений ряда экспериментальных данных
85,4; 84,9; 83,5; 82,6; 80,1;
2) сравнить средние значения экспериментальных данных
номер
1
2
3
4
5
X1
92,0
92,5
92,3
90,0
92,4
X2
91,0
90,0
90,2
90,8
91,1
3) определить корреляционную зависимость
Y
X
8,0
32
8,2
34
8,4
35
8,7
39
9,0
42
4) подобрать методом наименьших квадратов параметры прямой,
изображающей зависимость Y от X
7
25
Y
X
13
65
19
100
24
130
Вариант 14
1) определить оценки математического ожидания, среднего квадратического
отклонения коэффициента вариации и доверительного интервала с учетом
исключения выскакивающих значений ряда экспериментальных данных
49,3; 48,4; 49,6; 52,3; 47,3;
2) сравнить средние значения экспериментальных данных
номер
1
2
3
4
5
X1
22,0
21,5
22,1
21,8
23,0
X2
19,0
19,5
19,8
19,6
19,3
3) определить корреляционную зависимость
Y
X
8,0
22,0
8,2
22,3
8,1
22,1
7,9
21,0
8,3
22,5
4) подобрать методом наименьших квадратов параметры прямой,
изображающей зависимость Y от X
Y
X
4
90
6
115
8
160
11
195
27
Вариант 15
1) определить оценки математического ожидания, среднего квадратического
отклонения коэффициента вариации и доверительного интервала с учетом
исключения выскакивающих значений ряда экспериментальных данных
32,1; 34,3; 35,4; 31,9; 30,8;
2) сравнить средние значения экспериментальных данных
номер
1
2
3
4
5
X1
8,5
8,6
8,3
8,2
8,4
X2
10,1
9,8
10,3
11,8
10,4
3) определить корреляционную зависимость
Y
X
4
5
10
12
20
20
29
28
40
40
4) подобрать методом наименьших квадратов параметры прямой,
изображающей зависимость Y от X
9
70
Y
X
16
110
22
160
31
205
Вариант 16
1) определить оценки математического ожидания, среднего квадратического
отклонения коэффициента вариации и доверительного интервала с учетом
исключения выскакивающих значений ряда экспериментальных данных
12,5; 13,1; 11,9; 13,8; 12,4;
2) сравнить средние значения экспериментальных данных
номер
1
2
3
4
5
X1
48,0
49,0
50,0
48,5
49,2
X2
50,0
50,1
49,8
49,7
50,3
3) определить корреляционную зависимость
Y
X
11
44
15
39
19
34
22
30
28
25
4) подобрать методом наименьших квадратов параметры прямой,
изображающей зависимость Y от X
Y
X
28
12
90
28
135
26
175
31
205
Часть 2. Обработка результатов активного эксперимента
Работа 5. Определение необходимого числа повторностей
эксперимента
Под активным экспериментом понимается наиболее рациональная
схема (план) получения данных о свойствах экспериментально изучаемых
процессов, явлений, объектов.
План активного эксперимента составляется таким образом, чтобы
получить максимально возможные сведения об исследуемом процессе,
явлении или объекте при затрате минимума времени и средств.
Методы активного эксперимента диктуют исследователю жесткую
схему проведения экспериментов и обработки их результатов. Однако эти
методы ни в коей мере не могут подменить знания и опыт самого
исследователя. Неверно поставленные задачи (или неверно выбранные
исходные данные) ведут к тому, что результаты экспериментов, пройдя
математический аппарат активного эксперимента, в который исследователь
практически не сможет ввести в процессе работы коррективы, не дадут
возможности получить ожидаемое полноценное решение.
Методы активного эксперимента применяют обычно для решения
следующих задач:
– оптимизации режимов ведения того или иного технологического
процесса;
–
математического
моделирования
зависимостей
некоторых
показателей качества готового продукта от режимов технологического
процесса;
– оптимизации состава (компонентного) готового продукта.
При планировании активных экспериментов исследователь должен
знать, что получаемые в результате количественные характеристики
продукта и зависимости показателя качества от режимов процесса в
исследуемой области носят формальный характер и достаточно полно
отражают действительные физические и химические закономерности.
При проведении эксперимента исследователь должен иметь
возможность влиять на проведение исследуемого процесса. Все способы
подобного воздействия мы будем в дальнейшем называть входными
координатами или факторами.
Под входными координатами понимаются режимы технологического
процесса, которые можно измерять и поддерживать на заданном уровне. В
тех случаях, когда входные координаты не являются количественными
величинами, а составляют качественный признак (например, применение
разных веществ, разных технологических способов, аппаратов и т. д.), тем не
менее, можно сопоставить (присвоить) некоторое число, т. е. ввести их
кодирование.
Входные координаты должны быть просты, т. е. они не должны быть
функцией от других входных координат, так как в этом случае ими слишком
29
трудно управлять. Вместе с тем входные координаты должны быть взаимно
независимыми, т. е. поддержание любой из них на заданном уровне не
должно вести к изменению других входных координат (факторов).
Показатели качества готового продукта, по которым контролируется
технологический процесс, называют выходными координатами или
критериями качества.
Следует иметь в виду, что выходных координат любой
технологический процесс может иметь достаточно много. Однако
оптимизировать режимы этого технологического процесса можно по какомуто одному из них, который называют критерием оптимизации или целевой
функцией.
Все остальные выходные координаты нужны для того, чтобы
проверить, удовлетворяет ли режим исследуемого технологического
процесса, полученный путем оптимизации целевой функции, требованиям
заданных заказчиком технических условий по этим выходным координатам.
Все выходные координаты, и особенно, целевая функция, должны быть
количественными, т. е. выражаться числом. По возможности следует
стремиться к тому, чтобы измерение выходных координат было быстрым и
дешевым. Очень важно, чтобы выходные координаты, и особенно, целевая
функция, определялись с максимально возможной точностью.
При планировании активного эксперимента, очень существенной
является оценка необходимого числа опытов, т. е. повторений одного и того
же эксперимента, от которых зависит достоверность полученных
результатов.
Предположим, что серия m опытов по определению выходной
координаты при известном наборе входных координат была проведена
заранее, до начала выполнения активного эксперимента, и для нее найдены
оценки дисперсии  y и критическое значение tкр критерия Стьюдента. В
таком случае число опытов, необходимое для получения достоверных
данных о выходной координате y в активном эксперименте может быть
определено из выражения
t 2p   y2
n
,
(5.1)
2
где  – задаваемое исследователем с вероятностью  максимально
допустимое отклонение оценки математического ожидания y от значения
математического ожидания измеряемой величины m  yi  . От степени
близости  y , найденной в предварительном эксперименте, к истинному
значению  зависит степень достоверности определения необходимого в
активном эксперименте числа повторений опытов n . Если предположить, что
со степенью достоверности 68 % истинное значение

 y ист   y  y ;
(5.2)
2 m
30
t 2p   y2 
1 
n
 1 
;
2

 2 m
2
y
1
m
2
где    m  1    yi  y  ,   yq ;
(5.3)
(5.4)
i 1
q  0,02; 0,04; 0,06; 0,1 и т. д. – допустимое отклонение оценки y от
истинного значения математического ожидания m  yi  .
В качестве примера вычисления n по формуле (1.3) определим необходимое
число измерений для получения достоверных результатов активного
эксперимента в случае, когда в предварительном эксперименте было сделано
m4
опытов,
результаты
которых
имеют
вид:
y1  75; y2  81; y3  77; y4  79 . В этом случае: y  78;  y  2,6; t p  3,18 при
  95 %
для q  0,02
для q  0,06
  1,6
  4,7
n  26  7
n  31
т. е. число опытов n существенно зависит от выбора q .
Отметим, что если предстоит провести большую серию однотипных
исследований, то целесообразно увеличить (см. формулу (1.3)) количество
предварительных опытов m , так как это позволит снизить количество опытов
n в каждой из последующих выполняемых в активном эксперименте серий
опытов.
В случае, когда предстоит малое число серий опытов в активном
эксперименте, целесообразно не делать большого числа предварительных
опытов m , а рассчитать с избытком число опытов n , которое необходимо
провести в данном исследовании. Число опытов n , необходимое для
получения достоверных результатов измерений, очень существенно зависит
от требуемой величины доверительного интервала  . Увеличение
доверительного интервала  за счет увеличения q ведет к уменьшению
числа опытов n .
При выборе оптимальных режимов технологического процесса, а также
для проверки оптимальности имеющихся режимов исследователи стремятся
получить математические модели изучаемых объектов.
В тех случаях, когда исследователя интересует динамика процесса
математическими моделями обычно являются системы дифференциальных
уравнений, коэффициенты которых, а подчас и начальные условия
неизвестны.
Математические модели для описания установившихся процессов чаще
всего носят характер функциональных зависимостей. При этом числовые
коэффициенты, входящие в функции, неизвестны.
Задача отыскания числовых характеристик (коэффициентов)
математических моделей. при которых решения, полученные на модели,
31
мало отличаются от экспериментальных данных натурных испытаний, носит
название идентификации расчетных изделий.
Предположим, что вид математических моделей исследователем
выбран. В таком случае выходные координаты yi процесса, полученные по
модели, являются некоторыми функциями от входных координат xi и
числовых коэффициентов bs ( S  1,...., 4) модели, т. е.
y j  y j  x1 , x2 ,...., xr , b1 ,..., br1 , t  .
(5.5)
Время t может не входить в выражение, это зависит от изучаемого процесса.
При фиксированных xi , равных xi  i  1,...., r ;   1, 2,... , величина y j
принимает значение y j .
Пусть z j – значения оценок математического ожидания выходных
координат, полученных с помощью натурного эксперимента, причем z j
соответствует y j  j  1,...., k  . Тогда задача идентификации может быть
сформулирована, например, следующим образом: найти числовые
характеристики выбранных исследователем математических моделей
 b1 ,..., br  , доставляющие минимальное значение функционалу:
n
n1
2
I    z j  x1 ,..., xr , t   y j  x1 ,..., xr , b1 ,...., br1 , t    ,
(5.6)
 1  1
характеризующему квадраты отклонений z j от y j , либо при отсутствии
времени:
n1
n1
2
I   I    z j  x1 ,..., xr   y j  x1 ,..., xr , b1 ,...., br1   ,
 1
(5.7)
 1
где n – число моментов времени, в которое сделаны натурные испытания;
n1 – число сочетаний входных координат, при которых сделаны натурные
испытания.
Решения задач интенсификации могут быть найдены с помощью ЭВМ
или вручную. Однако исследователь всегда должен иметь в виду, что
математические модели можно создать лишь на базе натурных
экспериментов.
Чем больше проведено натурных экспериментов в области
исследуемых значений входных координат, тем точнее можно подобрать
математические зависимости, близкие к изучаемым процессам. Натурный
эксперимент обычно весьма дорог, трудоемок и сложен, поэтому
исследователи стремятся к сокращению его объема. Одним из методов
сокращения объема эксперимента является метод планирования
экспериментов.
32
Работа 6. Полный факторный эксперимент (ПФЭ)
В настоящее время и находит широкое распространение метод
планирования экспериментов [1], предназначенный для решения задач
идентификации изучаемых объектов с помощью направленного активного
эксперимента. Это, как правило, позволяет исследователю снизить объем
натурных экспериментов.
В качестве математической модели метод планирования эксперимента
Бокса-Уилсона [1] предусматривает полином вида:
r
s
0 0
r
s
i i
r
r
ys  b x   b x   b x x j  ....   b x   bis, j xi x j  .... ,
i 1
s
i, j i
i, j
s
i i
i 0
(6.1)
i, j
где ys – выходные координаты (функции цели), xi – входные координаты
(факторы), x0 – фиктивная переменная, постоянно принимающая значение
x0  1 , необходимая в дальнейшем для вычисления коэффициентов b0s .
Коэффициенты определяются путем минимизации функционала типа.
Предположим что исходная точка или основной уровень варьирования
входных координат x (факторов) имеет вид:
x1  x10 ,....., xr  xr 0 .
(6.2)
Под исходной точкой понимается та точка (те параметры
технологического процесса), в окрестности которой исследователь хочет
создать математическую модель.
Выберем шаг варьирования каждого фактора xi  i  1,...., r  , исходя из
условия, что изменения функции цели y  при наличии варьирования
факторов должно превышать (4.6)  y , где  y – оценка среднего
квадратического отклонения функции цели. Величина  y может быть
определена, например, из серии предварительных опытов. Величины xi
характеризуют ту область, в которой будет построена математическая
модель.
Слишком малый шаг варьирования приведет к тому, что в выбранных
интервалах варьирования факторов функция цели будет слабо зависеть от
изменения факторов, т. е. будет практически постоянна. Подобный результат
затруднит дальнейшее исследование.
Слишком большие шаги (интервалы) варьирования приведут к
невозможности представления целевой функции в виде полинома невысокого
порядка, т. е. к неадекватности математической модели невысокого порядка
исследуемого процессу. Выбор интервалов варьирования факторов является
одним из наиболее важных аспектов применения метода планирования
экспериментов – полным факторным экспериментом (ПФЭ) называют
активный эксперимент, реализующий все возможные (неповторяющиеся)
комбинации независимых переменных (факторов), каждая из которых

Индекс s для сокращения здесь и ниже в y и значениях коэффициентов bi , bi , j опущен.
33
принимает два значения (два уровня): максимальное xi max и минимальное
xi min , где
xi max  xi 0  xi ; xi min  xi 0  xi
(i  1,....r ) .
(6.3)
Число неповторяющихся комбинаций факторов равно N  2r , где r
число факторов. Таким образом, число опытов в полном факторном
эксперименте равно 2r .
Например, при трех факторах N  23  8 , при четырех – N  2 4  16 и
т. д.
Каждый опыт, как и ранее, состоит из серии в n экспериментов, где n
должно быть определено по формуле (1.3).
Для облегчения дальнейшей работы по составлению матрицы
планирования эксперимента и расчету коэффициентов модели перейдем от
входных координат xi  i  1,...., r  к безразмерным координатам xi , где:
x  xi 0
xi  i
(6.4)
 i  1,....., r  .
xi
При этом: xi max соответствует x  1 , xi min соответствует x  1 , xi 0
соответствует x  0 .
Процесс нахождения математической модели типа полинома методом
полного факторного эксперимента состоит из:
1) исследования воспроизводимости результатов опытов в серии;
2) составления матрицы плана активного эксперимента;
3) собственно эксперимента;
4) получения коэффициентов математической модели;
5) проверки значимости коэффициентов модели;
6) проверки адекватности математической модели с отброшенными
незначительными коэффициентами.
Рассмотрим каждый из этих пунктов в отдельности.
6.1. Исследование воспроизводимости
Перед моделированием исследователь выбирает выходные координаты
технологического процесса y1 , y2 ,...., y x , чаще всего это показатели качества
готового продукта. Среди выходных координат обычно выбирается одна
самая существенная, например, I  y1 , которая и будет являться функцией
цели. Именно по функции цели оптимизируются режимы технологического
процесса. Остальные выходные координаты (в нашем случае y2 ,...., y x )
являются теми показателями качества, по которым судят о пригодности
готового продукта, например, с точки зрения ТУ. Следует иметь в виду, что
число выходных координат может быть произвольным, в то время, как
целевая функция I  y1 должна быть обязательно одна. Для исследования
воспроизводимости результатов опытов серии с точки зрения I следует
сделать предварительно m  5  10 опытов, желательно на основном уровне
34
варьирования факторов, т. е. при x  0 . По полученным данным следует
найти оценку дисперсии воспроизводимости D y   y2 . далее, пользуясь
формулой (1.3), определить число опытов в каждом из планируемых ниже
экспериментов, с заданной степенью достоверности.
6.2. Составление матрицы планирования эксперимента
Рассмотрим случай двух факторов. Число неповторяющихся
комбинаций
N  2 2  4 , поэтому план экспериментов имеет вид:
Таблица 6.1
номер эксперимента
x0
x1
x2
1
2
3
4
+1
+1
+1
+1
+1
+1
–1
–1
+1
–1
+1
–1
где x0  x0  1 , xi вычисляются согласно (6.4)  i  1, 2  . Каждый
эксперимент состоит из n опытов. Значения +1 и –1 в плане эксперимента
говорят о том, что соответствующий фактор поддерживается на
максимальном или минимальном уровне. Фактор x0 фиктивный, поэтому
поддерживать его ни на каком уровне не надо.
В случае, когда факторов три, число неповторяющихся комбинаций
3
N  2  8 . Этот план экспериментов может быть легко получен из
предыдущего следующим образом: а) предыдущий план переписывается
дважды (1–4 эксперименты, 5–8 эксперименты); б) справа дописывается
фактор x3 и на первых четырех экспериментах ему приписывается значение
+1 (1–4 эксперименты), в остальных четырех экспериментах (5–8
эксперименты) значение –1.
Таблица 6.2
номер
эксперимента
1
2
3
4
5
6
7
8
x0
x1
x2
x3
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
+1
+1
+1
–1
–1
–1
–1
Аналогично может быть составлен план эксперимента для четырех и
более факторов.
Следует отметить, что реализация плана полного факторного
эксперимента для числа факторов 4 и более обычно нецелесообразно, так как
35
упирается в большое число опытов. В этих случаях следует пользоваться
планом дробного факторного эксперимента, которые рассмотрены в работе 7.
6.3. Эксперимент
Эксперимент проводится исследователем на основании матрицы
(таблицы) плана полного факторного эксперимента, составленной ранее. В
каждом эксперименте факторы поддерживаются постоянными на тех
уровнях, которые соответствуют данному эксперименту в матрице плана
(если +1,то данный фактор поддерживается на максимальном, если –1, –
минимальном уровне; в том случае, когда 0, фактор поддерживается на
основном уровне).
Каждый эксперимент состоит из n опытов, где n определено заранее
согласно (5.3).
Результаты эксперимента записываются в таблицу 6.3 в виде строк
чисел y j1 ,......, y jn , j  1,...., k , соответствующих n опытам в данном
эксперименте ( k – число выходных координат).
Всего должно быть проделано N  n опытов, где
N – число
экспериментов; в табл. 6.2 число экспериментов 8.
Всего в табл. 6.3 должно быть записано n  N  k результатов. Отсюда
n видно, что подходить к выбору N и k стоить продуманно. Тем больше N
и k , тем больше результатов понадобится получить. Чрезмерно увеличивать
число выходных координат не следует.
Так как на результаты определения y ji часто оказывают влияние
факторы, не поддающиеся анализу и учету, например, температура воздуха,
влажность, атмосферное давление, нестабильность наладки аппаратов и т. д.,
следуют опыты, проводимые согласно плану (ПФЭ) рандомизировать во
времени, т. е. расставить во времени случайным образом.
Рандомизация проводится следующим образом.
Пусть полный факторный эксперимент содержит N экспериментов по
n опытов в каждом. Запишем их следующим образом
Таблица 6.3
Номер
эксперимента
Номер опыта
1 
1
2 
…….
1
N 
1
1 
2
2 
…….
2
N 
2
…….…….…….
…….…….…….
…….…….…….
…….…….…….
1 
n
1 
…….…
n
N 
n
Переименуем все опыты цифрами натурального ряда от 1 до….:
1
1   1, ….,. N 1  N , 1 2  N  1,….., N  n   nN .
(6.5)
Напишем номера от 1 до nN на бумажках и будем вытягивать их
случайным образом. При этом номера опытов будут следовать друг за другом
36
случайно. В дальнейшем следует проводить опыты в полученном порядке
следованию их номеров
6.4.Получение коэффициентов математической модели
В результате эксперимента по всем выходным координатам
y j  j  1,..., k  , в каждом i  м эксперименте получено n (по числу
опытов в эксперименте) результатов анализов
i
i
y j1 ,....., y jn ,  j  1,...., k ; i  1,...., N  .
(6.6)
Величины (6.6) следует обработать, т. е. отбросить выскакивающие
значения, найти оценки математических ожиданий
y j ; которые
записываются в графу y jсредн (смотри приложение 2 табл.2.9).
Для дальнейшего определения коэффициентов математической модели
используются лишь y jсредн ,  j  1,...., k  . Итак, будем искать математические
модели в виде, аналогичном (6.1), т. е.
r
r
j
 j
y j   b  x   b
x  x 
 0
 , 1
r
где для простоты обозначено
r

 
  
b
s x  x  xs  ....,
 ,  , s 1
r
r
   ,
 ,
j
 1  1
r
r
r
(6.7)
r
   .
 , ,s
 j
 1  1 s1
 j
 ,  , ,s
Для определения коэффициентов b , b
 j
,b
воспользуемся
2
n
r
r
 i
j
i
j
i
i
j
i
i
i 
I    y jсредн
  b   x    b , x  x    b , ,s x  x  xs   ,
(6.8)
i 1 
 0
 ,  1
 ,  , s 1

i 
где y jсредн – опытные значения j -й выходной координаты yiсредн в i -м
N
i
эксперименте; x  – значение –  -й входной координаты (фактора) в i -м
эксперименте, взятое из матрицы плана полного факторного эксперимента.
Чем меньше I , тем больше математическая модель соответствует
экспериментальным данным.
Минимальное
значение
I
достигается
в
точке
i 
i 
i 
i 
b  b опт , b  b опт ,........, в которой
I
I
I
 j   0;
 j   0;
 j   0;  ,  , s  1,....., r  .
b
b
b
s
Запишем (6.9) в явном виде:
(6.9)
37
N

i 1
N

i 1
N

i 1
n
r
r
 i 
 i 
 j  i 
 j  i  i 
 j
 i  i  i 






y

b
x

b
x
x

b
x
x
x

...
 jсредн   
 x  0 ,


 ,  
 , ,s   s


0

,


1

,

,
s

1


n
r
r
 i 
 i  i 
 j  i 
 j  i  i 
 j
 i  i   i 
 y jсредн   b x   b , x x   b , ,s x x xs  ...  x x  0 , (6.10)
 0
 ,  1
 ,  , s 1


n
r
r
 i 
 i i i
j
i
i
i
 j  i 
 j   i  i 



y

b
x

b
x
x

b , ,s x  x  xs   ...  x  x   xs   0 .
 jсредн   


 ,  
 0
 ,  1
 ,  , s 1


i
i
i   i 
i   i 
i   i   i 
i   i 
Заметим, что x x  1; x x  x x ; x x x  1  x   x  ,
 i  1,..., N  , т. е. уравнения для определения
 
b0  , b
совпадают. Аналогично
j
j
 
 
 
совпадают уравнения для определения b
и b
, а также b
и b  и т. д.
Для того чтобы система уравнений (6.10) имела единственное решение,
необходимо, чтобы количество определенных коэффициентов не превышало
числа натурных экспериментов N . Кроме того, в математической модели
j
j
 j
 j
 j
должны отсутствовать коэффициенты b
, b
при наличии b0  , b
, b  и
т. д.
Например, в матрицу плана полного факторного эксперимента можно
включить столбцы
j
j
j
Т а б л и ц а 6 . 4 . Коэффициенты влияния для ПФЭ 22
x1 x2
+1
–1
–1
+1
Вычислению подлежат коэффициенты:
j
j
j
j
b0  , b1  , b2  , b12 
Т а б л и ц а 6 . 5 . Коэффициенты влияния для ПФЭ 23
x1 x2
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
x1 x3
+1
+1
–1
–1
–1
–1
+1
+1
x2 x3
+1
–1
+1
–1
–1
+1
–1
+1
Вычислению подлежат коэффициенты:
j
j
j
j
j
j
j
 j
b0  , b1  , b2  , b3  , b12  , b13  , b23  , b123
; и т. д.
38
x1 x2 x3
+1
–1
–1
+1
–1
+1
+1
–1
j
Для вычисления указанных выше коэффициентов следует решить
систему уравнений (6.10).
Так как матрицы планов полного факторного эксперимента
ортогональны, система уравнений (6.10) решается весьма просто. Решения
имеют вид:
 j
N
i
i
b   y jсредн
x  N 1 ,
i 1
N
 

b
  y jсредн
x  x  N 1 ,
j
i
i 1
N
i
i
(6.11)
 

         1 ,
b
s   y jсредн x x xs N
j
i
i
i
i
i 1

т. е. следует сложить опытные значения y jсредн
для j – й выходной
координаты ( i =1,…., k ) с теми знаками, которые в матрице полного
факторного эксперимента соответствуют столбцам x , x x , x x xs .
Полученные суммы следует разделить на число экспериментов в плане N .
i
6.5. Проверка значимости коэффициентов модели
Итак, нами получены коэффициенты математической модели (6.11).
Сама полученная модель является оценкой среднего значения выходной
 j 2
координаты y j , т. е. уравнением регрессии. Члены b
x в модели
 
отсутствуют, так как b
входит в b0  . Совершенно естественным при этом
является вопрос о значимости этих коэффициентов.
j
 j
Проверка значимости коэффициентов b  , b
,..... может быть
проведена с помощью t – критерия Стьюдента.
Для проверки вычисляется величина
j
 
b
j
tнабл 
 
 b j 
j
 
b
j
или tнабл 
 
 j
 b
.
(6.12)
 
Оценки коэффициентов математической модели b  , b
,..... следует
считать значимыми, если
tнабл  tкр ,
(6.13)
j
j
где tкр – значения критерия Стьюдента для уровня достоверности 95 % или
  – оценка среднего квадратического
99 % при числе степеней f  N ,  b
j
отклонения оценок коэффициентов модели:
 yj2
 j
2
 b 
.
N
Выражения (6.12) и (6.13) можно несколько упростить. Определим
 
(6.14)
39
 
   b j  tкр
(6.15)
Теперь коэффициенты b  следует считать значимыми с уровнем
достоверности 95% или 99% (в зависимости от выбранного tкр ), если
j
 
b    либо b
 .
j
Поскольку
j
ПФЭ
(6.16)
позволяют
определить
оценки
среднеквадратичного
  ,
отклонения независимо для любого из коэффициентов  b
j
то, если
какой-либо из коэффициентов модели окажется незначим, его следует
отбросить. При этом остальные коэффициенты пересчитывать не следует.
6.6. Проверка адекватности математической модели
После отбрасывания незначимых коэффициентов полученную
математическую
модель
следует
проверить
на
адекватность
экспериментальным данным.
Для этого, воспользовавшись планом полного факторного
эксперимента, следует для каждого из экспериментов (в приложении 2
табл. 2.9) определить по полученным математическим моделям y jрасч , т. е
расчетное значение y j .
Полученные данные следует представить в виде табл. 6.6.
Т а б л и ц а 6 . 6 . Расчетное значение y j
Номер
эксперимента
1
y1средн
y jрасч

y1средн

y1расч
1
…..
2
 
y1средн
2
 
y1расч
2
…..
3
 
y1средн
3
 
y1расч
3
…..
4
 
y1средн
4
 
y1расч
4
…..
…..
…..
…..
…..
1
Для проверки адекватности математической модели по данным
табл. 6.6 ищется дисперсия по каждой j – й выходной координате:
N
2
1
i
i
 2j   y jсредн
 y jрасч

,
(6.17)
N


i 1
где  – число членов аппроксимирующего многочлена, который остался
после отбрасывания незначимых коэффициентов.
В том случае, когда N   , не остается степеней свободы для проверки
гипотезы об адекватности аппроксимирующего полинома полученным
данным натурного эксперимента. Для этого случая рекомендуется внести в
табл. 6.4 результаты натурного эксперимента  j  1,...., k  , полученные на

40

N 1
основном уровне варьирования факторов xi  0 (в графу y jсредн ). После этого
в графу y jрасч внести те же данные, но подсчитанные по расчетам модели. В
результате дисперсия адекватности определяется согласно выражению:
N 1
2
1
i
i
 2j   y jсредн
 y jрасч

.
(6.18)
N

1


i 1
Проверка адекватности аппроксимирующего полинома данным
натурного эксперимента состоит в выяснении соотношения между оценкой
дисперсии воспроизводимости D д   j д .
Для проверки гипотезы адекватности подсчитывают величину
 2j д
F 2 .
(6.19)
 yj
Модель может считаться адекватной натурному эксперименту с
уровнем достоверности 95 %, если
F  Fкр ,
(6.20)
N 1


где Fкр – значение критерия Фишера, найденной согласно для степеней
свободы 1  N   либо 1  N  1   , если  2j вычислено по (6.18);
 2  m  1 . где m – число опытов в предварительном эксперименте.
В том случае, когда неравенство (6.20) выполняется, можно считать,
что аппроксимирующий полином является математической моделью
изучаемого процесса и может быть использован для оптимизации режимов
технологического процесса либо для управления им.
Работа 7. Дробный факторный эксперимент (ДФЭ)
В большом числе практических задач в выбранных интервалах
варьирования эффекты парных  x x  и тройных  x x xs  взаимодействий
не очень велики (парное взаимодействие – это произведение двух факторов,
тройное – трех и т. д.). Кроме того, при оптимизации режимов
технологических процессов не столь важны сами математические модели
процессов, полученные в области основного уровня варьирования факторов,
сколь важны направления изменения факторов, которые ведут к оптимизации
выбранных исследователем функции цели.
Использование планов ПФЭ для определения коэффициентов лишь при
линейных членах обычно не очень эффективно из-за большого числа
экспериментов N  2r (особенно при большом числе изменяющихся
факторов).
Для снижения числа экспериментов пользуются планами дробного
факторного эксперимента, которые являются частью (дробной репликой)
планов ПФЭ.
Вернемся к планам полного факторного эксперимента для числа
41
факторов r  2 и r  3 . С помощью планов полного эксперимента для r  2
j
j
j
j
могут быть определены коэффициенты b0  , b1  , b2  , b12  , соответствующие
j
j
j
j
j
 j   j
x0 , x1 , x2 и x1 x2 , а r  3 коэффициенты b0  , b1  , b2  , b.3  , b12  , b23
, b123 .
В первом случае можно определить 4 коэффициента, а во втором случае 8
коэффициентов.
Предположим, что в плане ПЭФ – 22 на месте парного взаимодействия
x1 x2 подставлен третий фактор x3 , который будет менять аналогично x1 x2 .
Тогда получим следующий план:
Т а б л и ц а 7 . 1 . План дробной реплики
номер
эксперимента
1
2
3
4
x0
x1
x2
x3
+1
+1
+1
+1
+1
+1
–1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
–1
+1
Заполним следующие столбцы
Т а б л и ц а 7 . 2 . Окончание плана дробной реплики
x1 x2
x1 x3
x2 x3
x1 x2 x3
+1
–1
–1
+1
+1
–1
+1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
+1
+1
+1
Отсюда видно, что столбцы x3 и x1 x2 , x2 и x1 x3 , x1 и x2 x3 , x0 и x1 x2 x3
j
j
j
j
одинаковы, поэтому в данном случае коэффициенты b0  , b1  , b2  , b.3  ,
которые можно вычислить по формулам (6.11), не являются коэффициентами
j
 j
b  , b
, которые имели место в плане ПФЭ, а смешаны с коэффициентами
взаимодействия факторов друг с другом, т. е.
j
j
j
j
j
 j
b0   b0   b123
, b1   b1   b23  ,
.
(7.1)
j
j
j
j
j
j
b    b   b  , b    b   b 
2
02
13
.3
3
12
Итак, для построения плана ДФЭ следует приравнять новый фактор к
какому-либо из парных, либо тройных взаимодействий планов ПФЭ.
Разумеется, при этом меняется система совместных оценок коэффициентов.
При замене только одного парного или тройного взаимодействия новым
фактором получаем дробную реплику 2 r1 , двух 2 r2 , трех 2 r3 и т. д., где
число r – число факторов в ПФЭ. Например, если в плане 23 заменить
x1 x2 x3  x4 , то получим дробную реплику от плана ПФЭ 24 .
Все линейные эффекты здесь связаны с эффектами парного
взаимодействий. Поэтому для дробных реплик области варьирования
факторов следует снизить по отношению к тем областям, которые были в
планах ПФЭ.
42
Эксперимент проводится по матрице плана ПФЭ с учетом
генерирующих соотношений. Реализация эксперимента аналогична
реализации плана ПФЭ.
Коэффициенты математической модели могут быть получены по
формулам (6.11) аналогично случаю, ПФЭ.
Проверку значимости коэффициентов и адекватности математических
моделей следует проводит аналогично случаю ПФЭ. согласно формулам
(6.11), (6.13), (6.19), (6.20).
Пример: моделирование процесса ацеталирования ПВС-волокна 5–
нитрофурилакролеином.
Для придания ПВС-волокну специальных антимикробных свойств
последнее подвергается в конце производственного цикла модификации, т. е.
ацеталированию 5-нитрофурилакролеином (НФА).
Ацеталирование предварительно термообработанного ПВС-волокна
проводится в водной среде в свободном состоянии при температуре 70C .
При этом в ванне растворено 2 % 5-нитрофурилакролеина. Процесс длится 2–
4 часа, модуль ванны 50, содержание катализатора H 2 SO4 – 20 %.
Полученное по этому режиму антимикробное волокно имеет степень
ацеталирования 7 –8 моль % (–1,3 % N 2 ).
Целью моделирования является проверка оптимальности приведенных
выше режимов стадии модификации и изменении их в случае выявления
возможности увеличить степень ацеталирования.
Примем в качестве выходной координаты стадии ацеталирования y1 –
степень ацеталирования (примем ее за функцию цели I  y1 ). Выберем
режимы стадии ацеталирования, обеспечивающие функции цели I
максимальное значение.
В качестве входных координат (факторов) наиболее существенных по
результатам априорного анализа выберем: x1 – содержание (в %)
катализатора  H 2 SO4  ; x2 – содержание (в %) в ванне препарата 5–НФА; x3 –
продолжительность (в ч) процесса; x4 – температура (в ºС) ацеталирующей
ванны.
Для исследования воспроизводимости результатов функции цели была
сделана предварительная серия опытов в ацеталирующей ванне следующего
состава: 2 % – 5–НФА, 20 % – H 2 SO4 , 78 % – H 2O , модуль ванны M  50 .
При температуре 70C в течение 2 ч было проацеталировано
термообработанное ПВС-волокно. После ацеталирования было тщательно
промыто дистиллированной водой и экстрагировано ацетоном в течение 1,5
суток. Результаты анализов степени ацеталирования y1 (в % N 2 ) приведены
ниже:
1,51; 1,51; 1,64; 1,56; 1,61; 1,65; 1,55;
1,77; 1,70; 1,56; 1,68; 1,62; 1,62; 1,70;
1,65; 1,67; 1,56; 1,68; 1,66; 1,72.
Ряд значений y1 не имеет выскакивающих значений.
43
Найдем оценки математического ожидания y1 и дисперсий D y1   y21
приведенных ниже значений y1 :
y1  1.63 ;  y21  0,0052 ;  y1  0,072 .
Определим необходимое число анализов в каждом эксперименте при
реализации плана активного эксперимента для получения достоверных
результатов. Согласно (2.3) будем иметь
2,092  0,0052 
1 
n
1

;
2
2
1,63  q
 2 20 
t  2,09 с 95 % уровнем достоверности при числе степеней свободы
f  m  1  19 ; m  20 – число столбцов в предварительном эксперименте
q  0,002
q  0,06
n  21  3
n  2 1
Итак, при допустимом отклонении оценки среднего от истинного среднего на
q  0,06 с уровнем достоверности 68 % в каждом эксперименте следует
проводить n  3 анализов.
В качестве плана активного эксперимента выберем дробную реплику
4 I
2
с определяющим коэффициентом I  x1 x2 x3 x4 и генерирующим
соотношением x4  x1 x2 x3 .
При этом коэффициенты модели получаются смешанными с
следующими эффектами взаимодействий
b1  b1  b234 ,
b  b  b ,
2
2
134
b3  b2  b124 ,
b  b  b ,
4
4
(7.2)
123
b12  b12  b34 ,
b  b  b ,
13
13
24
b23  b23  b14 .
Основные уровни факторов, интервалы их варьирования, план ПФЭ,
значения результатов анализов функции цели, их среднее по каждому
эксперименту значение приведены в табл. 7.3. При реализации плана ПФЭ,
представленного в табл. 7.4, каждый эксперимент проводился трижды
 n  3 . Опыты были рандомизированы во времени.
Таблица 7.3
Факторы
Обозначения фактора
Основной уровень
Максимальное значение
Минимальное значение
44
x1
x2
x3
x4
15%
10%
25%
5%
1%
0,5%
1,5%
0,5%
1 час
0,5 час
1,5 час
0,5 час
60С
10С
70С
50С
Таблица 7.4
Нормированные
факторы
1
2
3
4
5
6
7
8
x0
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
x1
+1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
x2
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
x3
+1
+1
+1
+1
–1
–1
–1
–1
x4
+1
–1
–1
+1
–1
+1
+1
–1
x1 x2
x1 x3
x2 x3
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
+1
+1
–1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
–1
+1
–1
–1
+1
–1
+1
y1
y11
1,25
1,06
0,98
1,3
1,04
1,08
1,42
0,86
y12
1,54
1,02
1,02
1,32
1,06
1,17
1,41
0,8
y13
1,48
0,35
0,95
1,25
1,02
1,22
1,37
0,74
y1средн
1,42
1,01
0,98
1,29
1,04
1,16
1,4
0,68
y1расч
1,42
0,87
1,03
1,25
1,03
1,25
1,42
0,67
В первом эксперименте результат y11  1, 25 подозрителен как
выскакивающее значение. Проверим, является ли он выскакивающим
значением.
Перепишем значения y1 для первого эксперимента в виде
z1  1, 25; z2  1, 48; z3  1,54.
Определим
1, 48  1,25
1 
 0,79.
1,54  1,25
x x
Найдем для n  3 величину 2 1  0,941 с уровнем достоверности
xn  xn 1
x x
95 %. Так как
1  2 1 , то значение 1,25 не следует считать
xn  xn 1
выскакивающим.
Запишем в столбец y1средн средние значения по каждому из
экспериментов.
Согласно (6.11) определим коэффициенты математической модели,
получим:
bˆ0  1,14
bˆ1  10,03
bˆ1  10,03
bˆ2  0,85
bˆ3  0,048
bˆ  0,19
bˆ  0,011
bˆ  0,011
bˆ  0,025
bˆ  0,035
12
13
13
23
4
Проверим значимость полученных коэффициентов.
Согласно (6.14) будем иметь
 
 
 2 bˆ  0,00065;  bˆ  0,0248 ,
т. е. с уровнем достоверности 95 % для числа степеней свободы f  8  1  7
получим, что tкр  2,3 % .
Воспользовавшись (6.15), определим
  2,36  0,0248  0,058 .
После сравнения
b̂ с  согласно (6.16) запишем математическую модель в виде:
y1  1,14  0,085 x2  0,19 x4 .
(7.3)
Проверим полученную модель на адекватность. Для этого по (7.3) для
каждого эксперимента (см. табл. 7.3) подсчитываем y1расч и запишем в той же
табл. 7.4.
По формуле (6.17) подсчитываем:
 ад2  0,0009 при N  8;   3 .
Согласно (6.19) определим величину F :
0,009
F
 1,75 .
0,0052
46
Найдем Fкр для числа степеней свободы 1  8  3  5;  2  20  1  19
для уровня достоверности 95 % Fкр  2,7 .
Так как F  Fкр математическая модель (7.3) с уровнем достоверности
95 % является адекватным описанием стадии ацеталирования ПВС-волокна5нитрофурилакроином.
Из модели (7.3) следует, что выбранные ранее режимы стадии
ацеталирования являются оптимальными. Однако, практически не снижая %
N 2 в волокне, содержание катализатора в ванне x4 и время ацеталирования
x3 могут поддерживаться на основном уровне в выбранном интервале
варьирования, т. е.
x1  15% H 2 SO4 ; x1  1 ч.
либо на нижней границе
x1  10% H 2 SO4 ; x1  0,5 ч
Выводы
Подготовка и обработка результатов активного эксперимента состоит
из следующих этапов:
1. Выбор метода планирования эксперимента.
2. Выбор параметров оптимизации и фактов варьирования.
3. Исследование воспроизводимости результатов опыта в серии и
определение числа повторимости опытов.
4. Составление матрицы планирования активного эксперимента.
5. Получение коэффициентов математической модели и проверка их
значимости.
6. Проверка адекватности математической модели с отброшенными
незначительными коэффициентами.
В приложении Б приведен пример анализа результатов ПФЭ 23 в виде
табл. Б.1 и необходимых расчетов для получения адекватной
математической модели и представлены данные вариантов для проведения
самостоятельного анализа полного факторного эксперимента (табл. Б.2).
47
Библиографический список
1. Адлер, Ю. П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных
условий / Ю. П. Адлер, Е. В. Маркова, Ю. В. Грановский. – М.: Наука, 2006.
– 280 с.
2. Баженов, В. И. Основы планирования и моделирования в теории
инженерного эксперимента / В. И. Баженов, А. Н. Стрельченко. – М.: МАИ,
2003.
3. Адлер, Ю. П. Введение в планирование эксперимента / Ю. П. Адлер.
– М.: Металлургия, 1969.
4. Глурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике / В. Е. Глурман. – М.: Высшая школа, 1979.
5. Методы планирования и обработки результатов физического
эксперимента / Л. С. Зажигаев и др. – М.: Атомиздат, 1978.
6. Тихомиров, В. Б. Планирование и анализ эксперимента /
В. Б. Тихомиров. – М.: Легкая индустрия, 1974.
7. Налимов, В. В. Теория эксперимента / В. В. Налимов. – М.: Наука,
1971.
48
Приложение Б
Т а б л и ц а Б . 1 . Пример ПФЭ 23
Рабочая
матрица
+
+
+
+
+
+
+
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
–
+
+
–
–
+
+
–
–
–
–
+
+
+
+
+
–
–
+
+
–
–
+
+
–
+
–
–
+
–
+
+
+
–
–
–
–
+
+
–
+
+
–
+
–
–
+
yn
yn  yˆ n
 yn  yˆ n 
темпера-тура,,
град С
1
2
3
4
5
6
7
8
y2
yin  yn  yin  yn  2
Кон-центр., %
x0 x1 x2 x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3 x1 x2 x3
Результаты
эксперимента
Время мин.
номер опыта
Матрица планирования
y1
5
0,5
75
80,23
81,93
81,08
–0,85
0,722
1,444
81,71
– 0,63
0,397
15
0,5
75
86,5
84,80
86,65
0,85
0,722
1,444
86,91
– 1,25
1,588
5
1,5
75
82,45
82,10
82,27
0,175
0,031
0,062
82,79
– 0,52
0,270
15
1,5
75
89,50
91,30
90,40
–0,9
0,810
1,620
87,99
2,41
5,808
5
0,5
95
85,10
84,80
84,95
0,15
0,023
0,046
83,97
0,98
0,960
15
0,5
95
90,30
89,60
89,95
0,35
0,123
0,246
89,17
0,78
0,608
5
1,5
95
85,60
84,90
85,25
0,35
0,123
0,246
85,05
0,20
0,040
15
1,5
95
88,02
88,48
88,25
–0,23
0,053
0,106
90,25
– 2,0
4,000

2,607
5,214

2
yˆ n
yˆ  85,98  2,6 x1  0,54 x2  1,13x3  0,59 x1 x3  0,92 x2 x3  0,7 x1 x2 x3 .
Расчетное значение критерия Фишера Fрасч  1,5  Fтабл  2,6 и модель можно считать адекватной с 95 %-ной
доверительной вероятностью.
2
Т а б л и ц а Б . 2 . Варианты заданий
номер
опыта
Вариант 1
x1
x2
x3
1
2
3
4
5
6
7
8
–
+
–
+
–
+
–
+
–
–
+
+
–
–
+
+
–
–
–
–
+
+
+
+
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
y1
y2
y1
y2
y1
y2
y1
52,3
61,1
49,4
55,7
47,4
50,1
63,2
65,1
51,8
60,7
49,9
56,1
47,8
50,7
63,8
64,9
27,6
23,1
29,6
28,1
25,1
21,8
27,5
26,7
27,3
23,4
29,5
28,4
25,3
21,6
27,8
26,4
31,2
42,4
28,9
32,1
35,1
43,4
30,5
33,1
31,9
42,8
28,1
32,9
35,4
43,9
31,1
33,6
64,1
75,2
58,9
66,1
65,3
74,1
60,2
68,7
y2
Вариант 5
y1
y2
Вариант 6
y1
64,5 91,3 91,8 70,1
75,7 102,4 102,6 63,4
58,2 88,1 87,6 75,5
66,4 93,5 94,1 72,4
65,8 94,1 94,6 60,1
74,3 100,1 99,8 58,7
60,7 89,9 89,1 70,2
68,2 94,1 94,5 69,3
Вариант7
y2
y1
y2
70,4
63,8
75,7
72,9
60,5
58,2
70,6
69,7
41,4
53,2
38,1
42,3
46,1
54,2
40,1
43,1
41,6
53,5
38,4
42,9
46,7
53,8
40,5
42,7
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
481 Кб
Теги
planirexper, 2014
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа