close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

up mechanic 2009

код для вставкиСкачать
Федеральное агенство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный университет
технологии и дизайна»
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ФИЗИКЕ
для студентов всех форм обучения
Механика
Составители:
Ю. И. Соколов
Л. А. Буркова
С. Ю. Иванова
Санкт-Петербург
2009
УТВЕРЖДЕНО
на заседании кафедры физики
12.04.2009 г.,
протокол № 2
Рецензент
Е. С. Цобкалло
Подписано в печать 04.05.2009
Формат 60 х 84 1/16.
Печать трафаретная. Усл. печ. л. 5. Тираж 300 экз.
Заказ
Отпечатано в типографии СПГУТД
191028, Санкт-Петербург, ул. Моховая, 26
1. Кинематика и динамика поступательного и
вращательного движения
Основные формулы
Скорость и ускорение частицы:

 dv
a
dt .

 dr
v ,
dt
Ускорение частицы в проекциях на касательную к траектории и
нормаль к ней:
v2
an 
,
R
dv
a 
,
dt
где
R
– радиус кривизны траектории в данной точке.
Путь, пройденный частицей:
t2
S   v(t )dt ,
t1
где
v
– модуль скорости частицы.
Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела:

 d

,
dt
 d

.
dt
Связь между линейными и угловыми величинами при вращении
твердого тела:
 

v    r  ,
an   2 R,
a   R,

где r – радиус-вектор частицы твердого тела относительно произвольной
точки оси вращения, R – расстояние от оси вращения.
Угол поворота твердого тела вокруг оси вращения:
3
t2
    (t )dt ,
t1
где  – модуль угловой скорости твердого тела.
Закон всемирного тяготения:
F 
m1m2
.
r2
Основное уравнение динамики:


dv

F  ma  m .
dt
Момент силы относительно неподвижной точки:

 
N   r  F  .
Основное уравнение динамики вращения твердого тела вокруг
неподвижной оси z :
Nz  I z  I
dz
.
dt
Примеры решения задач
Пример 1. Частица движется по закону
y  B sin t , z  0, где t – время, A, B,  –
константы. Найти уравнение y ( x ) траектории движения частицы.
x  A cos t ,
Решение. Уравнения
x  A cos t ,
y  B sin t
(1.1)
(1.2)
задают траекторию движения частицы в параметрической форме. Для того
чтобы получить уравнение траектории в виде
уравнений (1.1) и (1.2) параметр t :
4
y ( x) , надо исключить из
x2
y  B sin  t  B 1  cos  t  B 1  2 .
A
2
(1.3)
Уравнение (1.3) можно переписать в виде
x2
y2

 1,
A2 B 2
из которого видно, что траектория движения частицы есть эллипс,
лежащий в плоскости
z  0,
с полуосями, равными
A и B.
x2
y2
Ответ: 2  2  1 .
A
B


 
r  3t 2ex  2ey 1ez .
Пример 2. Радиус вектор частицы имеет вид:
Найти путь частицы за одиннадцатую секунду ее движения.
Решение. Путь, проходимый частицей за промежуток времени
t  t2  t1 ,
t2
S   v (t )dt ,
(1.4)
t1
По условию задачи t1  10c , t 2  11c .
Найдем зависимость модуля скорости
скорости частицы равен:
v
от времени
t.
Вектор

 dr d




v
 (3t 2ex  2ey  1ez )  6tex .
dt dt
Модуль скорости частицы:
v  vx2  (6t ) 2  6t ( м / c).
Подставим полученное выражение для скорости в выражение (1.4):
t2
S   6tdt  6
t
2
t2
1
t2
t1
 3(t22  t12 ).
Подставляя численные значения времени, окончательно получаем
S  3(112  102 )  63 м.
Ответ:
S  63 м.
5
Пример 3.
a  1 м / с. Найти
Частица движется со скоростью


v   atex ,
где
среднее значение скорости
и ее модуля
v

v
за промежуток времени от t1  1 с до t2  3 с.
Решение. Среднее значение скалярной или векторной величины
a(t )
за промежуток времени
t2  t1 находят по формуле
1 t
a 
 a (t )dt.
t2  t1 t
2
(1.5)
1
Среднее значение вектора скорости найдем по формуле

v 
где

v (t )
1 
 v (t )dt ,
t2  t1
(1.6)
– зависимость вектора скорости от времени. По условию задачи


v (t )   atex .
(1.7)
Подставляя выражение (1.7) в соотношение (1.6), находим

v 
1 t
1

t
aex  tdt 
 (atex )dt  
t
t2  t1 t
t2  t1
2
2
1
1
1
 t2

aex
t2  t1
2
t2
t1

1
 1
aex (t22  t12 ) 
t2  t1
2
 1


 aex (t2  t1 )  1ex (3  1)  2ex .
2
Среднее значение модуля скорости находим по формуле (1.5),
подставив v(t ) 
vx2  ( at ) 2  at :
1 t
1 t
v 
 v (t )dt 
 atdt 
t2  t1 t
t2  t1 t
1
t2

a
t2  t1 2
2
2
1
1
t2
t1

1
1
a (t 22  t12 ) 
t2  t1 2
1
м
a (t2  t1 )  1(3  1)  2 .
2
с


Ответ: v  2ex м / с, v  2 м / с.
6
Пример 4. Частица движется в положительном направлении оси
x
так, что ее скорость меняется по закону v   x , где  –
положительная постоянная. Имея в виду, что момент времени t  0 она
находится в точке x  0, найти зависимость от времени ускорения
частицы.
Решение. По определению ускорения

 dv
a .
dt
Так как по условию задачи движение происходит вдоль оси
векторного равенства можно перейти к скалярному
a
x, то
dv
.
dt
от
(1.8)
По определению скорости и условию задачи можно написать такие
равенства
v
dx
  x.
dt
(1.9)
Разделяем переменные в полученном дифференциальном уравнении
dx
  dt.
x
(1.10)
Проинтегрировав левую часть (1.10) по x, а правую по t , находим
зависимость координаты частицы от времени
x

1
2
t
 x dx    dt ,
0
0
1
2
2 x   t,
2 2
x t .
4
(1.11)
Подставив выражение (1.11) в соотношение (1.9), получаем
dx
2
2
v
2 t
t.
dt
4
2
(1.12)
Подставив выражение (1.12) в (1.8), получаем
dv  2
a
 .
dt
2
(1.13)
7
Ответ:
2
a .
2
Пример 5. Частица движется, замедляясь, по окружности радиуса
R
так, что в каждый момент времени ее тангенциальное и нормальные
ускорения равны друг другу. В начальный момент времени t  0
v0 .
скорость частицы равна
пройденного пути
Найти скорость частицы в зависимости от
S.
Решение. По условию задачи
a  an , то есть
dv v 2
 
dt R
(1.14)
(знак минус указывает на замедление движения частицы).
Можно записать
dS  vdt.
(1.15)
Комбинируя выражения (1.14) и (1.15), получаем

dv 1
1
 vdt  dS .
v R
R
(1.16)
Интегрируя выражение (1.16), получаем искомую зависимость скорости
частицы от пройденного пути
dv 1 S

  dS ,
v v
R0
v
0
v
 ln v v  (ln v  ln v0 )   ln
0
ln
v
S
  ,
v0
R
S

v
R
 e ,
v0
v  v0e

Ответ:
8
S
R
v  v0e .

S
R
.
v S
 ,
v0 R
Пример 6. Зависимость модуля скорости частицы от пройденного
пути определяется функцией v ( S )  v0   S . Определить зависимость
скорости частицы от времени.
Решение. Продифференцируем функцию v( S )  v0   S .
dv   dS .
Так как
dS  vdt ,
имеем
dv   vdt
или
dv
  dt.
v
Интегрируя последнее выражение, получаем
v
t
dv
v v   0 dt ,
0
ln
v
  t ,
v0
v  v0 e  t .
Ответ:
v  v0 e  t .
Пример 7. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по
  at  bt 3 , где a  6 рад / с, b  2 рад / с3 . Найти среднее
значение модуля углового ускорения за промежуток времени от t  0 до
закону
остановки.
Решение. По определению средней по времени величины
t
1 2
 
 (t )dt.

t2  t1 t1
Найдем зависимость модуля углового ускорения от времени
определению
(1.17)
 (t ) .
По
9
или в проекциях на ось
 d

,
dt

 d

dt
z
d z
,
dt
d
z 
.
dt
z 
Можно записать
d ( at  bt 3 )
z 
 a  3bt 2 ,
dt
d (a  3bt 2 )
z 
 6bt ,
dt
откуда модуль углового ускорения
  6bt.
(1.18)
В нашем случае t1  0. Момент t 2 остановки тела найдем из условия
 z  a  3bt22  0,
a
,
3b
a
t2 
.
3b
t22 
(1.19)
Подставляя выражения (1.18) и (1.19) в соотношение (1.17) и
интегрируя, получаем окончательно
 
1
a
3b
a
3b

2
6btdt 
0
3b t
6b
a
2
a
3b
0

 3ab  3  6  2  36  6 рад / с 2 .
2
Ответ:   6 рад / с .
10
3b
a
3b 
a
3b
Пример 8. Диск радиусом r  10 см, находящийся в состоянии
2
покоя, начал вращаться с угловым ускорением   0.5 рад / с . Найти
ускорение частицы на окружности диска в конце второй секунды после
начала вращения.
Решение. Ускорение частицы
a  a2  an2 ,
где
(1.20)
a  и an –
тангенциальное и нормальное ускорения.
Можно записать
a  r  0.5 0.1 0.05 м/ с2,
 d 
По определению  
dt
или в проекциях на ось
an   2 r .
(1.21)
(1.22)
z
z 
dz
,
dt
откуда
dz   z dt.
(1.23)
Проинтегрируем выражение (1.23).
z
t
 d
z
0
  z  dt ,
0
z   z t
или, учитывая, что в нашем случае
 z   и  z   , получаем
   t.
(1.24)
Подставляя выражение (1.24) в соотношение (1.22), получаем
an   2t 2r  (0.5)2 220.1  0.1 м / с2 .
(1.25)
Подставляя значении нормального и тангенциального ускорений в
соотношение (1.20), получаем
a  (0.05) 2  (0.1) 2  0.11 м / с 2 .
Ответ:
а  0.11 м / с 2 .
11
Пример 9. Вентилятор вращается с частотой   900 об / мин .
После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до
остановки N  75 оборотов. Какое время t прошло с момента
выключения вентилятора до его полной остановки?
Решение. Угол поворота твердого тела вокруг оси вращения
t2
    dt ,
(1.26)
t1
где  – модуль угловой скорости вращения твердого тела.
Найдем зависимость угловой скорости от времени. По определению
угловое ускорение
 d 

.
dt
Переходя к модулям векторов, имеем
d
dt
(в случае замедленного движения d   0 ), откуда
d     dt ,
 
(1.27)
Проинтегрируем выражение (1.27)

t
 d    dt ,
0
0
  0    t ,
откуда
  0   t .
(1.28)
Подставляя выражение (1.28) в соотношение (1.26) и интегрируя,
получаем
t2
t2
   (0   t )dt  0t  
t1
Найдем
t1
2
t
2
t2
 0 (t2  t1 ) 
t1
 2 2
(t2  t1 ).
2
(1.29)
 из условия
  0   t2  0,   
Кроме того,
12
0
.
t2
(1.30)
  2 N ,
(1.31)
t1  0,
(1.32)
0  2 .
(1.33)
Подставляя формулы (1.30), (1.33) в выражение (1.29), получаем
2 N  2 t2 
2 2
t2 ,
2t2
1
1
N   t2   t2   t2,
2
2
откуда
t2 
2 N 2  75

 10 c.

15
Следовательно,
t  t 2  t1  10 c.
Ответ:
t  10 c.
Пример 10. Имеется очень тонкий однородный прямой стержень
длинной   2a и массой M . На оси стержня на расстоянии r  2a от
его центра находится частица массой m. найти модуль силы F , с
которой стержень действует на частицу.
Решение. Выделим на стержне элемент d x (рис.1.1).
r
/ 2
F dF
dx
x
Рис. 1.1
Тогда этот элемент стержня можно считать частицей массой
которая притягивает частицу массой m с силой
dF  
mdM
,
x2
dM ,
(1.34)
где  – гравитационная постоянная.
13
Введем линейную плотность массы

M dM


dx
и перепишем выражение (1.34) в виде
dF   m
dx
.
2
x
(1.35)
Учитывая, что   const при равномерном распределении массы
стержня, найдем модуль силы, с которой стержень действует на частицу.
r
F   dF   m

2

r

2
r

2
dx
 1


m

  
x2
 x r 
2



1
1 
  m  




 r
r 

2
2


r

2
2   m
.
2
2


r2 
r2 
4
4
r 
  m
(1.36)
Подставляя в выражение (1.36)   M / , окончательно получаем
F m
Ответ: F  
M


2
r 
4

2
mM
mM


.
2
2
4
a
3a
4a 2 
4
mM
.
3a 2
Пример 11. Имеется очень тонкий однородный прямой стержень
длиной   2a и массой M . На прямой, перпендикулярной к оси стержня
и проходящей через его середину, находится на расстоянии x  2a
частица массой m . Найти модуль силы, с которой стержень действует на
частицу.
Решение. Выделим на стержне элемент d , как показано на рис. 1.2.
Тогда этот элемент можно считать частицей массой dM , которая
притягивает частицу массой m с силой
dF  
Введем линейную плотность массы
14
mdM
.
2
r
(1.37)

dM
d
(1.38)
и перепишем выражение (1.37) в виде
dF   m
d
.
r2
(1.39)

rd 
r
0
l/2
d
dF

 F dFx
x
x
dl
Рис. 1.2

F,
Очевидно, что сила
с которой стержень действует на частицу,
направлена, как показано на рисунке 1.2, в направлении противоположном
оси x, от частицы к стержню. Тогда можно записать


F  Fx ex ,
где

Fx – проекция вектора F
на ось
(1.40)
x.
dFx   dFx ,
где
dFx
(1.41)

– проекция вектора dF на ось x.
Очевидно,
dFx  dF cos   m
d
cos.
2
r
(1.42)
Так как для разных элементов d стержня r и  разные, получим одну
переменную интегрирования, для этого сделаем дополнительные
построения (рис. 1.2). Из рис. 1.2 видно, что
15
rd 
 cos  d  cos   rd  ,
d
x
x
 cos   r 
.
r
cos 
(1.43)
(1.44)
Подставляя формулы (1.43) и (1.44) в соотношение (1.42), получаем одну
переменную интегрирования 
dFx   m
rd
m



cos  d .
r2
x
Проинтегрируем выражение (1.45), учитывая,
равномерном распределении массы стержня.

0
m 0
2 m
Fx  
2  cos  d  
sin 
x 0
x
где  0 – максимальное значение угла
Из рис. 1.2 видно, что
 0  arcsin
что
0
 
(1.45)
  const
при
2 m
sin  0 , (1.46)
x
.
/2
2
( / 2)  x
2
.
(1.47)
Кроме того,

M
.

(1.48)
Подставляя формулы (1.47) и (1.48) в выражение (1.46), получаем
2mM
/2
2mM

sin(arcsin
)  

2
2
2
2
x
x

( / 2)  x
2 ( / 2)  x
mM
mM
mM
mM
 
 
 


0.22

.
2
2
2
2
2
2
a
2 5a
x ( / 2)  x
2a a  4a
Fx  
Модуль силы
2
mM 
mM

F  ( Fx )   0.22 2   0.22 2 .
a 
a

mM
.
Ответ: F  0.22
2
a
2
Пример 12. Имеется кольцо радиусом R  20 см из тонкой медной
проволоки. На прямой, перпендикулярной к плоскости кольца и
проходящей через его центр, находится частица массой m  20 г.
16
Определить максимальное значение силы, действующей на частицу со
стороны кольца. Радиус проволоки r  1 мм.
Решение. Выделим на кольце элемент
d
(рис. 1.3).
x

dF

dFx

F
d
d
R
Рис. 1.3
Этот элемент можно считать частицей массой dM , которая притягивает
частицу массой m с силой
dF  
mdM
.
d2
(1.49)

F
Очевидно, сила , с которой кольцо действует на частицу, направлена по
оси кольца вниз (на рис. 1.3 в направлении, противоположном оси
Можно написать
где
x


F  Fx ex ,

Fx – проекция вектора F на ось x.
(1.50)
Fx   dFx ,
где dFx – проекция вектора
Очевидно,

dF
на ось
dFx  dF cos   
).
(1.51)
x.
mdM
cos  .
d2
Проинтегрируем выражение (1.52),
элементов кольца d  const и   const.
учитывая,
(1.52)
что для
всех
17
Fx  
m
mM
cos

dM



cos  ,

d2
d2
(1.53)
d 2  R2  x2 ,
(1.54)
где M – масса кольца.
Из рис. 1.3 видно, что
cos  
x

d
x
2
R x
2
,
(1.55)
где x – расстояние от частицы до центра кольца.
Подставляя формулы (1.54) и (1.55) в выражение (1.53), получаем
Fx  
mM
(R 2  x2 )
x
R2  x2
  mM
x
.
2
2 3/ 2
(R  x )
Модуль силы
F  ( Fx ) 2   mM
x
.
2
2 3/ 2
(R  x )
(1.56)
Для нахождения максимальной силы, исследуем выражение (1.56) на
экстремумы. Для этого приравняем производную от силы по расстоянию
нулю.
dF
 0.
dx
(1.57)
d
3x


 mMx( R2  x2 )3/ 2    mM (R2  x 2 )3/ 2  (R2  x 2 )5/ 2 2x  
dx
2


2
2 5/ 2
  mM ( R  x )
R 2  2 x2
( R  x  3x )   mM 2
 0. (1.58)
( R  x 2 )5 / 2
2
2
2
Из выражения (1.58) следует
R 2  2 x 2  0,
R2
R
x 
 x
.
2
2
2
(1.59)
Подставляя формулу (1.59) в выражение (1.56), получаем
Fmax   mM
18
R/ 2
 2 R2 
R 

2 

3/ 2
  mM
R 2 2
2mM


.
2
2
2 3R 3R
3 3R
(1.60)
Масса кольца
M  V   r 2 2 R   2 2r 2 R.
(1.61)
Подставляя выражение (1.61) в соотношение (1.60), получаем
2 m 2 2 r 2 R 4 m  2 r 2
Fmax 


3 3R 2
3 3R
4  6.67 10 11  2 103  8.9 103 (3.14) 2 (1 103 ) 2

 44 1015 H .
3 3  0.2
Ответ: Fmax  44  H .
Пример 13. Очень тонкий однородный диск имеет массу M и
радиус R. на прямой, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей
через его центр, находится на расстоянии z от диска частица массой m.
Определить силу, с которой диск действует на частицу.
Решение. Выделим на диске элементарное кольцо радиусом r и
шириной
dr (рис. 1.4).

dF
z F
dr
R
r
Рис. 1.4.
Это кольцо массой dM притягивает частицу массой
dF   mdM
m
с силой
z
r 2  z2 
3/ 2
(1.62)
(см. выражение (1.56) в примере 12).
Введем поверхностную плотность массы  
dM
и перепишем
dS
19
выражение (1.62) в виде
dF   m dS
z
r
2
z
2 3/ 2

  m 2 rdr
z
r
2
z
2 3/ 2

,
где dS  2 rdr – площадь элементарного кольца.

Очевидно, сила F , с которой диск действует на частицу,
направлена по оси кольца к его центру (рис. 1.4). Учитывая, что при
равномерном распределении массы диска   const , получаем
R
F   dF   m 2 z 
0
rdr
r
2
 z2 
3/ 2

R
1
  m 2 z  
0
2
2
r z 


z
  m 2  2 m  1 
R2  z2
R2  z2

1
  m 2 z

.

(1.63)
Можно написать

Подставляя
окончательно
F  2 m
формулу
M
.
 R2
(1.64)
M 
z
1


 R2 
R2  z 2
(1.64)
в
выражение
(1.63),
получаем

mM 
z

2

1



R2 
R2  z 2

mM 
z
F

2

1


Ответ:
R2 
R2  z2

.


.

Пример 14. Частица массой m в момент времени t  0 начинает

 
двигаться под действием силы F  F0 cos t , где F0 и  – постоянные.
Какой путь частица пройдет до первой остановки?
Решение. По определению путь, пройденный
промежуток времени t2  t1 ,
частицей
за
t2
S   v (t )dt ,
(1.65)
t1
где
v
– модуль скорости частицы.
Найдем зависимость модуля скорости частицы от времени.
Согласно основному уравнению динамики
20

 
dv
F  F0 cos  t  m
,
dt

 F0
dv 
cos  tdt .
m
откуда
(1.66)
Интегрируя выражение (1.66), получаем зависимость
 t
 F0
dv
0  m 0 cos  tdt ,

v
В нашем случае

v
от
t.


t
F
1
F

v  0 sin t  0 sin t.
0
m
m
t1  0. Найдем t 2 из условия
(1.67)

F

v  0 sin  t  0,
m
откуда
sin  t 2  0 
В промежутке времени от
 t2  
t1  0 до
v
t2 

t2 

.

(1.68)


F0
sin t.
m
(1.69)
Подставляя выражения (1.68) и (1.69) в соотношение (1.65), получаем
окончательно
S

Ответ:
F0
m
 /

0
sin tdt 
F0 1
( cos t )
m 


0

F0
F0
2 F0
(

cos


cos
0)

(1

1)

.
2
2
2
m
m
m
2 F0
S
.
m 2
21
Пример 15. Шарик массой m помещен в высокий сосуд с
жидкостью и отпущен без толчка. При движении шарика возникает сила
сопротивления жидкости, пропорциональная скорости движения шарика.
Коэффициент сопротивления равен k . Найти зависимость скорости
шарика от времени.
Решение. На шарик действуют две силы –

mg
сила тяжести
и сила сопротивления жидкости

Fc

Fc (рис. 1.5). Согласно основному уравнению
динамики

mg

 
dv
mg  Fc  m
dt
или в проекциях на ось y
y
mg  Fc  m
dv
.
dt
(1.70)
Рис. 1.5
Учитывая, что
Fc  kv,
получаем из (1.70)
mg  kv  m
dv
,
dt
откуда
dt  m
dv
.
mg  kv
(1.71)
Проинтегрировав выражение (1.71), получаем искомую зависимость
скорости от времени.
t
v
 dt  m 
0
0
dv
.
mg  kv
v
m
m
m mg  kv
t   ln( mg  kv )    ln( mg  kv )  ln mg    ln
.
0
k
k
k
mg
ln
22
mg  kv
k
  t.
mg
m
k

mg  kv
m
 e t.
mg

k
m
mg  kv  mge t .
Ответ:
k
 t 

kv  mg  1  e m  .


k
 t 
mg 
m
v
1  e  .
k 

k
 t 
mg 
m
v
1  e  .
k 

Пример 16. Найти момент инерции тонкого однородного стержня
длиной  и массой m относительно перпендикулярной к стержню оси,
проходящей через центр масс стержня.
Решение. Выделим на стержне элемент
вращения (рис. 1.6).
dr
на расстоянии
r от оси
z
r
dr
/2
Рис. 1.6
Тогда этот элемент стержня можно считать частицей массой dm с
моментом инерции относительно оси z
dI  dm  r 2 .
(.172)
Введем линейную плотность массы

dm dm

d  dr
и перепишем выражение (1.72) в виде
Учитывая, что
dI   r 2 dr.
  const при равномерном
(1.73)
распределении массы
23
стержня, найдем момент инерции стержня относительно оси
/ 2
I   dI  2
z.
3
1  
1
r dr  2     3 .
3  2  12
2

0
Подставляя в (1.74) выражение для линейной плотности массы  
(1.74)
m
,

окончательно получаем
1 m 3 1
  m 2 .
12 
12
I
Ответ: I 
1
m 2 .
12
Пример 17. Найти момент инерции тонкого однородного кольца
радиусом R  10 cм и массой m  50 г относительно оси, касательной
к кольцу и перпендикулярной плоскости кольца.
Решение.
Для решения задачи воспользуемся
zc
теоремой Штейнера, согласно которой
момент инерции I
относительно
z
произвольной оси
равен моменту
z
a
R
инерции I c относительно оси zc ,
параллельной данной и проходящей
через
центр
масс
тела,
плюс
произведение массы тела на квадрат
расстояния a между осями.
d
Рис. 1.7
I  I c  ma 2 .
(1.75)
Для определения момента инерции относительно центра масс кольца
выделим на нем элемент
частицей массой
dm
d
(рис. 1.7). Тогда этот элемент можно считать
с моментом инерции относительно оси zc
dI  dm  R 2 .
Момент инерции кольца относительно оси
zc
I c   dI  R 2  dm  mR 2 .
24
(1.76)
Подставляя выражение (1.76) в соотношение (1.75), окончательно
получаем
I  mR 2  mR 2  2mR 2  2  50 103 (0.1) 2  0.001 кг  м 2 .
2
Ответ: I  0.001 кг  м .
Пример 18. Найти момент инерции тонкого однородного диска
массой m и радиусом R относительно оси, проходящей через центр
диска перпендикулярно его плоскости.
Решение. Выделим на диске элементарное кольцо радиусом r и
шириной dr (рис.1.8).
Момент инерции элементарного кольца
относительно оси z
z
dI  dm  r 2 ,
r
(1.77)
где dm – масса элементарного кольца
(см. выражение 1.76 в примере 17).
Введем поверхностную плотность массы
dr

dm
dS
Рис. 1.8
и перепишем выражение (1.77) в виде
dI   r 2 dS   r 2 2 rdr ,
где dS  2 rdr – площадь кольца.
Учитывая, что   const при равномерном распределении массы
диска, найдем момент инерции диска относительно оси z.
R
R4 1
I   dI  2  r dr  2
  R 4 .
4 2
0
3
(1.78)
Подставляя в выражение (1.78)

m
m

,
S  R2
окончательно получаем
1
m 4 1
I 
R  mR 2 .
2
2 R
2
Ответ: I 
(1.79)
1
mR 2 .
2
25
Пример 19. Найти момент инерции однородного круглого прямого
цилиндра массой m и радиусом R относительно оси цилиндра.
Решение. Выделим в цилиндре тонкий диск высотой dh (рис. 1.9).
Момент инерции диска относительно оси z
dI 
где
dm
1
dm  R 2 ,
2
(1.80)
– масса диска (см. выражение (1.79) в примере 18).
z
Введем объемную плотность массы

dm
dV
и перепишем выражение (1.80) в виде
1
1
 R 2 dV   R 2 R 2 dh,
2
2
2
где dV   R dh – объем диска.
dI 
h
dh
  const при
Учитывая,
что
равномерном
распределении
массы
цилиндра,
найдем
момент
инерции
цилиндра относительно оси
.
z
Рис. 1.9
h
1
1
I   dI   R 4  dh   R 4 h.
2
2
0
(1.82)
Подставляя в выражение (1.82)

m
m

,
2
V R h
окончательно получаем
I
Ответ: I 
1 m
1
4

R
h

mR 2 .
2
2R h
2
1
mR 2 .
2
Пример 20. Найти момент инерции однородного шара радиусом R
и массой m относительно оси, проходящей через центр шара.
Решение. Чтобы решить данную задачу, определим сначала момент
инерции тонкой однородной сферической поверхности
26
Rсф и массой
z
mсф относительно оси, проходящей
через центр сферической поверхности.
Выделим на сферической поверхности
r
d

d
Rсф
элементарный поясок шириной
1.10).
Момент
инерции
относительно оси z
dI  dm  r 2 ,
d
(рис.
пояска
(1.83)
где dm – масса пояска (см. выражение
(1.76) в примере 17).
Рис. 1.10
Введем поверхностную плотность массы
dm
dS

и перепишем выражение (1.83) в виде
dI   r 2 dS   r 2 2 rd ,
(1.84)
где dS  2 rd  – площадь пояска.
Из рис. 1.10 видно, что
r  Rсф sin  ,
(1.85)
d   Rсф d .
(1.86)
Подставляя формулы (1.85) и (1.86) в выражение (1.84), получаем
4
dI  2 Rсф
sin3  d .
(1.87)
Учитывая, что   const при равномерном распределении массы
сферической поверхности, найдем момент инерции сферической
поверхности относительно оси z .

4
сф
I сф  2 R
3
 sin  d .
(1.88)
0

 sin
0

3
1
1
2
 d    (1  cos  )d cos     d cos    cos 2 d cos  
0
1
1
  cos 
1
1
 cos 3 
3
1
1
 2
1
2 4
 .
3 3
(1.89)
27
Подставляя в выражение (1.88) формулу (1.89) и
mсф
 
S

mсф
2
4 Rсф
,
получаем
I сф  2
mсф
2
4 Rсф
4
Rсф
4 2
2
 mсф Rсф
.
3 3
(1.90)
В нашей задаче надо определить момент инерции шара. Выделим
мысленно в нем элементарный шаровой слой радиусом r и шириной
dr. Объем этого слоя dV  4 r 2 dr. Масса этого слоя
dm  dV 
где
m
3m
2
dV 
4

r
dr,
3
Vш
4 R
(1.91)
 – объемная плотность массы шара.
Используя полученное ранее выражение (1.90), найдем момент
инерции шарового слоя
dI 
2 3m
m 4
4
4

r
dr

2
r dr.
3 4 R 3
R3
(1.92)
Момент инерции шара
R
2m 4
2m R 5 2
I   dI  3  r dr  3
 mR 2 .
R 0
R 5
5
Ответ:
I
2
mR 2 .
5
Пример 21. Сила с компонентами (3, 4, 5) приложена к частице с
координатами (4, 2, 3). Найти модуль момента силы относительно начала
координат.


Решение. Выразим радиус – вектор r и силу F через их проекции
на координатные оси и орты этих осей:




r  xex  ye y  zez ,




F  Fx ex  Fy e y  Fz ez .
Аналогично момент силы




N  N x ex  N y e y  N z ez .
28
(1.93)

Представим векторное произведение векторов r и

F
в виде
определителя
 

ex e y ez
 
r  F   x
y z 


Fx Fy Fz



( yFx  zFy )ex  ( zFx  xFz )e y  ( xFy  yFx )ez .
(1.94)
Сравнивая выражения (1.93) и (1.94), получаем
N x  yFz  zFy ,
N y  zFx  xFz ,
(1.95)
N z  xFy  yFx .
По условию задачи
x  4 м, y  2 м, z  3 м, Fx  3 H , Fy  4 H , Fz  5 H .
Подставляя численные значения в формулы (1.95), получаем
N x  2  5  3  4  2 м  Н ,
N y  3  3  4  5  11 м  Н ,
N z  4  4  2  3  10 м  Н .
Модуль момента силы
N  N x2  N y2  N z2  (2) 2  (11) 2  102  225  15 м  Н .
Ответ:
N  15 м  Н .
Пример 22. По касательной к шкиву маховика в виде диска
диаметром D  75 см и массой m  40 кг приложена сила F  1 kH .
Определить угловое ускорение и частоту вращения маховика через
промежуток времени   10 c после начала действия силы, если радиус
шкива r равен 12 см.
Решение. Угловое ускорение вращения маховика вокруг
неподвижной оси z
 d 

dt
29
или в проекциях на ось
z
z 
dz
.
dt
(1.96)
Согласно основному уравнению динамики вращения твердого тела
Nz  I
dz
,
dt
откуда
Nz
.
I
(1.97)
N z  rF ,
(1.98)
z 
В нашем случае
1 D
I  m 
2 2
2
(1.99)
(см. выражение (1.79) в примере 18).
Поставляя формулы (1.98) и (1.99) в выражение (1.97), получаем
8rF
.
mD 2
z 
(1.100)
В нашем случае модуль углового ускорения    z , следовательно,
искомая величина равна
8 12 102 1 103
рад


42.7
.
2 2
2
40  (75 10 )
с
Из выражения (1.96) следует
d z   z dt.
Проинтегрируем соотношение (1.101)
z
 d
0

z
  z  dt.
0
 z  2   z ,
откуда искомая величина

Ответ:   42.7
30
 z 42.7 10

 68 c 1 .
2
2  3.14
рад
,   68 c 1.
с
(1.101)
Контрольная работа № 1
Частица
1.
движется
в
плоскости
xy
по
закону:
x  at , y  at (1   t ), где a и  – положительные постоянные, t –
время. Найти уравнение траектории частицы y ( x).
2. Зависимость радиуса – вектора частицы от времени дается
законом
Найти



r  atex  bt 2ey , где a и b –
уравнение
траектории
в
положительные постоянные.
параметрической
форме
x  x(t ), y  y (t ).
3. Зависимость радиуса – вектора частицы от времени дается
законом



r  atex  bt 2ey , где a и b –
положительные постоянные.
Найти уравнение траектории в виде зависимости y  y ( x).
4. Радиус – вектор частицы меняется по закону



r  atex  bt 2ey ,
где a и b – положительные постоянные. Найти уравнение траектории
y  y ( x).
5. Радиус – вектор, характеризующий положение частицы
относительно неподвижной точки O, меняется со временем по закону


 

r  a sin t  b cos t , где a и b – постоянные векторы, причем
 
a  b ,  – положительная постоянная. Найти уравнение траектории
y  y ( x).
6.
Радиус
–
вектор
частицы
определяется
выражением




r  3tex  4t 2 ey  7ez . Вычислить модуль перемещения за первые 10 с
движения.




v  at (2ex  3ey  4ez ), где
a  1 м / c 2 . Найти модуль скорости частицы в момент времени t  1 c.
7. Частица движется со скоростью
8. Зависимость радиуса – вектора частицы от времени дается


2
r

ate

bt
ey , где a и b –
законом
x

Найти скорость v (t ).
положительные постоянные.
9. Зависимость радиуса – вектора частицы от времени дается


2
r

ate

bt
ey , где a и b –
законом
x
положительные постоянные.
Найти модуль скорости v.
31
Радиус
10.
–
вектор
частицы
определяется
выражением




r  3t 2ex  4t 2ey  7ez . Вычислить путь S , пройденный частицей за
первые 10 с движения.
11. Частица движется со скоростью




v  at (2ex  3ey  4ez ),
где
a  1 м / c 2 . Найти путь S , пройденный частицей с момента t1  2 c до
момента t2  3 c.
12. Зависимость радиуса – вектора частицы от времени дается
законом



r  btex  ct 2ey , где b и c –

a (t )
положительные постоянные.
Найти ускорение
частицы.
13. Зависимость радиуса – вектора частицы от времени дается


2

законом r  btex  ct e y , где b и c – положительные постоянные.
Найти модуль ускорения a .
14. Зависимость радиуса – вектора частицы от времени дается


2
r

bte

ct
ey , где b и c – положительные постоянные.
законом
x

Найти среднюю скорость частицы v за промежуток времени  от
начала движения.
15. Зависимость радиуса – вектора частицы от времени дается
законом



r  btex  ct 3ey , где b и c –

положительные постоянные.
Найти среднее ускорение частицы a за промежуток времени  от
начала движения.
16. Зависимость радиуса – вектора частицы от времени дается
законом



r  btex  ct 3ey , где b и c –
положительные постоянные.
Найти среднее значение модуля ускорения частицы a за промежуток
времени  от начала движения.
17. Частица движется в положительном направлении оси x так, что
ее скорость меняется по закону v  a x, где a – положительная
постоянная. Имея в виду, что в момент t  0 она находилась в точке
x  0,
найти зависимость от времени модуля скорости частицы.
18. Частица движется в положительном направлении оси x так, что
ее скорость меняется по закону v  a x, где a – положительная
постоянная. Имея в виду, что в момент t  0 она находилась в точке
32
x  0,
найти среднее значение модуля скорости частицы за время, в
течение которого она пройдет путь S .
19. Частица движется, замедляясь, по окружности радиусом R так,
что ее тангенциальное и нормальное ускорения по модулю равны друг
другу. В начальный момент времени t  0 скорость частицы равна v0 .
Найти модуль скорости частицы в зависимости от времени.
20. Частица движется, замедляясь, по окружности радиусом R так,
что ее тангенциальное и нормальное ускорения по модулю равны друг
другу. В начальный момент времени t  0 скорость частицы равна v0 .
Найти модуль ускорения a частицы в зависимости от пройденного ею
пути S .
21. Зависимость модуля скорости частицы v от пройденного пути
S определяется формулой v( S )  v0  bS . Найти зависимость пути S от
времени t.
22. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его
  0  a , где
0 и a – положительные постоянные. В момент времени t  0 угол
угловая скорость зависит от угла поворота по закону
поворота   0. Найти зависимость от времени угловой скорости.
23. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его
  0  a , где
0 и a – положительные постоянные. В момент времени t  0 угол
угловая скорость зависит от угла поворота по закону
поворота   0. Найти зависимость от времени угла поворота.
24. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону
  t  3t 3 , где t – время. Найти модуль углового ускорения тела в
момент остановки.
25. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что
зависимость
угла его поворота от времени описывается законом
  at 2 , где a – положительная постоянная Найти среднее значение
модуля его угловой скорости за промежуток времени от 0 до  .
26. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону
  9t  t 3 , где
t
– время. Найти среднее значение модуля угловой
скорости за промежуток времени от начала движения тела до его
остановки.
33
27. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону
  at  bt 3 , где
a  6 рад / с, b  2 рад / с 2 . Найти среднее
значение модуля угловой скорости за промежуток времени от t  0 до
остановки.
28. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что
зависимость
угла его поворота от времени описывается законом
  at 2 , где a – положительная постоянная. Найти среднее значение
модуля углового ускорения за промежуток времени от 0 до  .
29. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону
  9t  t 3 , где t – время. Найти среднее значение модуля углового
ускорения за промежуток времени от начала движения тела до его
остановки.
30. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону
  A  Bt  Ct 2 , где A  10 рад, B  20 рад / с, C  2 рад / с 2 .
Найти
ускорение
a
частицы
тела,
находящейся
на
расстоянии
r  0.1 м от оси вращения, для момента времени t  4 c.
31. Колесо
вращается так, что зависимость угла поворота от
 A  Bt  Ct 2  Dt 3 ,
2
3
где B  1 рад / c, C  1 рад / с , D  1 рад / с .
времени дается уравнением 
Найти радиус R колеса, если известно, что к концу второй секунды
движения для частиц, лежащих на ободе колеса, нормальное ускорение
an  3.46 102 м / c 2 .
32. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол его
  bt 2 , где b  0.2 рад / c 2 . Найти
ускорение a частицы на ободе колеса в момент t  2.5 c, если скорость
частицы в этот момент v  0.65 м / c.
поворота зависит от времени как
33. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что угол
его поворота меняется в зависимости от времени t по закону

bt 2 
  2  at 
 , где a, b – положительные постоянные. Найти число
2


оборотов N тела до остановки.
34. Маховик начал вращаться равноускоренно и за промежуток
времени t  10 c достиг частоты вращения   300
Определить число N оборотов, которое он сделал за это время.
34
мин 1.
1
35. Велосипедное колесо вращается с частотой   5 с . Под
действием сил трения оно остановилось через интервал времени
t  1 мин. Определить число N оборотов, которое сделает колесо за
это время.
36. Тонкий однородный прямой стержень с линейной плотностью 
имеет длину в . На продолжении стержня на расстоянии а от
ближайшего конца находится частица массой m. Найти модуль силы, с
которой стержень действует на частицу.
37. Тонкий однородный прямой стержень с линейной плотностью 
имеет длину 2. Найти модуль силы, с которой стержень действует на
частицу массой m, находящуюся на продолжении стержня вне его, как
функцию расстояния x частицы от центра стержня.
38. Тонкий однородный прямой стержень имеет массу
и длину   20 см. На продолжении стержня на расстоянии
M  200 г
в  1 см от
ближайшего конца находится частица массой m  1 г. Найти модуль
силы, с которой стержень действует на частицу.
39. Бесконечный тонкий однородный прямой стержень имеет
линейную плотность  . На расстоянии в от его оси находится частица
массой m. Найти модуль силы, с которой стержень действует на частицу.
40. Отрезок прямого однородного стержня виден из точки А под
углом 900. Точка А расположена на расстоянии x  1 см от него. В точке
А находится частица массой m  1 г. Масса стержня M  200 г . Найти
модуль силы, с которой отрезок стержня притягивает частицу.
41. Тонкое однородное кольцо имеет радиус R. На прямой,
перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр,
находится частица. На каком расстоянии от кольца должна находится
частица, чтобы сила, с которой кольцо притягивает частицу, была
максимальной?
42. Сила взаимодействия между кольцом из проволоки и частицей,
находящейся на оси кольца имеет максимальное значение
частица находится на расстоянии
сила взаимодействия
расстоянии
xmax
Fmax ,
когда
от центра кольца. Во сколько раз
F между кольцом и частицей, находящейся на
x  0.5 xmax от центра кольца, меньше максимальной силы
Fmax ?
35
43. В центре тонкого однородного диска массой
M
имеется
круглое отверстие радиусом R1 . Радиус диска R2 . На прямой,
перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр,
в
находится на расстоянии
от диска частица массой m. Определить
модуль силы, с которой диск притягивает частицу.
44. Бесконечная тонкая однородная пластина имеет поверхностную
плотность массы  . Найти модуль силы, с которой пластина притягивает
в
частицу массой m, находящуюся на расстоянии
от пластины. Чем
примечателен полученный результат?
45. Зависимость радиуса – вектора частицы от времени дается



r

A
(cos

t

e

sin

t

e
законом
положительные
x
y ), где A и  –

F
постоянные. Считая известной массу m частицы, найти силу ,
действующую на частицу..
46. Частица массой m в момент времени t  0 начинает двигаться



под действием силы F  F0 cos t , где F0 и  –
постоянные. Какова
максимальная скорость vmax частицы при движении ее до первой
остановки?
47. Частица массой m в момент времени t  0 начинает двигаться





под действием силы F  F0 cos t , где F0 и  – постоянные. Сколько
времени  частица будет двигаться до первой остановки?
48. Частица массой m в момент времени t  0 начинает двигаться

под действием силы F  F0 sin t , где F0 и  – постоянные. Найти путь,
пройденный частицей в зависимости от времени t.

 
F
49. Частица массой m движется под действием силы  F0 sin t ,
где F0 – постоянный вектор,  – положительная постоянная. В момент


времени t  0 радиус – вектор r и скорость v частицы равны нулю.

Найти r (t ) положение частицы в зависимости от времени.

F . В момент
50. Частица массой m движется под действием силы

времени t  0 радиус – вектор r частицы равен нулю, а ее скорость


равна v0 . Найти r (t ) положение частицы в зависимости от времени, если


F  kv , где k – положительная постоянная.
36
51. Частица массой m движется вдоль оси x под действием силы
Fx  kvx , где k – положительная постоянная. В момент времени t  0 ее
координата x  0 и скорость равна v0 x . Найти x(t ) – координату частицы
в зависимости от времени,
52. На тело массой m, движущееся в вязкой среде, действует сила
сопротивления Fc  kv, где k – положительная постоянная,
v –
скорость тела. Начальная скорость равна v0 . Найти скорость тела в
зависимости от времени v(t ).
53. Начальная скорость пули v0  800 м / c. При движении в
воздухе за время   0.8 c ее скорость уменьшилась до v  200 м / c.
Масса пули m  10 г. Считая силу сопротивления воздуха
пропорциональной квадрату скорости пули, определить коэффициент
сопротивления k. Действием силы тяжести пренебречь.
54. Катер массой
m  500 kг движется по озеру со скоростью
v0  16 м / c. В момент времени t  0 двигатель катера выключают.
Считая силу сопротивления движению равной Fc  4v H , где v –
скорость катера, найти путь катера до остановки после выключения
двигателя.
55. Снаряд массой
m  10 kг выпущен из зенитного орудия
вертикально вверх со скоростью v0  800 м / c. Считая силу
сопротивления воздуха пропорциональной скорости, определить время
 подъема снаряда до высшей точки. Коэффициент сопротивления
k  0.25 kг / c.
56. Моторная лодка массой m  400 kг начинает двигаться по
озеру. Сила тяги
FТ мотора равна 0.2 кН. Считая силу сопротивления Fc
пропорциональной скорости, определить скорость лодки v через
  20 c после начала ее движения. Коэффициент сопротивления
k  20 kг / c.
57. Катер массой m  2000 kг трогается с места и в течение
времени   10 c развивает при движении по спокойной воде скорость
v  4 м / c. Определить силу тяги FТ мотора, считая ее постоянной.
37
Принять силу сопротивления
Fc
Коэффициент сопротивления
k  100 kг / c.
движению пропорциональной скорости.
58. Найти момент инерции тонкого однородного стержня длиной 
и массой m относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей
через конец стержня.
59. Найти момент инерции тонкого однородного кольца радиусом
R и массой m относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и
проходящей через его центр.
60. Найти момент инерции тонкого однородного диска радиусом R
и массой m относительно оси, касательной к диску и перпендикулярной
плоскости диска.
61. Найти момент инерции шарового слоя малой толщины
b
R,
где R – средний радиус слоя, относительно оси, проходящей через центр
шарового слоя. Масса шарового слоя равна m .




62. Сила F  3ex  4e y  5ez приложена к частице, радиус – вектор





r

4
e

2
e

3
e
.
которой
Найти момент силы N относительно
x
y
z
начала координат.



63. К частице, радиус – вектор которой r  ae x  be y , приложена




сила F  Aex  Be y , где a, b, A, B – постоянные. Найти момент N
силы

F относительно начала координат.



F
 2.1ex  3.4ey .
64. Сила, приложенная к частице, имеет вид

N
Чему равен момент
этой силы, если точка приложения силы имеет
координаты x  4.2 м, y  6.8 м, z  0 ?
65. Однородный стержень длиной   1 м и массой m  0.5 кг
вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси zC ,
проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением 
вращается стержень, если на него действует момент сил
N z  98.1 мН  м ?
38
66. К ободу однородного диска радиусом
касательная сила
сил трения N тр
R  0.2 м
приложена
F  98.1 Н . При вращении на диск действует момент
 4.9 Н  м. Найти массу m диска, если известно, что
2
диск вращается с угловым ускорением   100 рад / с .
67. Стержень вращается вокруг оси zC , проходящей через его
середину,
согласно
  At  Bt 3 ,
уравнению
где
A  2 рад / с, B  0.2 рад / с 3 . Определить вращающий момент
Nz ,
действующий на стержень в момент времени
t2 c
после начала
I  0.048 кг  м 2 .
68. Шар радиусом R  0.2 м и массой m  10 кг вращается
вращения, если момент инерции стержня
вокруг оси zC , проходящей через его центр. Уравнение вращения шара
имеет вид
  A  Bt 2  Сt 3 , где B  4 рад / с 2 , C  1 рад / с3 .
Определить момент сил N z в момент времени
t  2 c.
R  0.2 м и массой
m  5 кг вращается вокруг своей оси. Зависимость угловой скорости 
2
от времени дается уравнением   A  Bt , где B  8 рад / с . Найти
69.
Однородный цилиндр
радиусом
касательную силу F , приложенную к боковой поверхности цилиндра
перпендикулярно его оси.
m  50 кг , имеющего форму диска
радиусом R  0.5 м, приложена касательная сила F  98.1 H . Через
70. К ободу колеса массой
какое время  после начала действия силы колесо будет иметь угловую
скорость, соответствующую частоте вращения 
39
 100 об / с ?
2. Законы сохранения
Основные формулы
Импульс частицы:


p  mv .
Момент импульса частицы относительно точки О, являющейся
началом декартовых координат:

 
M   r  p .
Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси
вращения z :
M z  Iz ,
где
I
– момент инерции тела относительно оси
Элементарная работа силы
перемещении

dr :

F,
z.
действующей на частицу на
 
dA  F  dr .

Элементарная работа силы F при повороте твердого тела на угол
d вокруг неподвижной оси z :
где
Nz
– момент силы

F
dA  N z d ,
относительно оси
Мгновенная мощность силы:
P
40
dA
.
dt
z.
Кинетическая энергия частицы:
mv 2
T
.
2
Кинетическая
неподвижной оси:
энергия
твердого
тела,
вращающегося
вокруг
I 2
T
.
2
Работа сил, действующих на частицу:
A12  T2  T1 ,
где
T2  T1
– приращение кинетической энергии частицы.
Работа консервативных сил поля, действующих на частицу:
A12  U1  U 2 ,
где
U1  U 2
– убыль потенциальной энергии частицы в поле.
Полная механическая энергия частицы:
E  T U.
Работа сторонних (неконсервативных) сил, действующих на частицу
в потенциальном поле:
A12ст  E2  E1 ,
где E2
поле.
 E1 ,
– приращение полной механической энергии частицы в
41
Примеры решения задач
Пример 23. Тело массой
начальной скоростью

v0 .

p
m
бросили под углом

к горизонту с
Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти
приращение импульса
тела за время полета.
Решение. Согласно основному уравнению динамики



dv d

dp
F m
 ( mv ) 
,
dt dt
dt
 
dp  Fdt .
откуда
(2.1)
Интегрируя соотношение (2.1), можно найти приращение импульса
t  t2  t1
p2
t
 2 
 dp   Fdt.
за любой промежуток времени
p1
t1
t


 2 
p2  p1  p   Fdt .
(2.2)
t1
В нашем случае на тело действует только одна сила – сила тяжести


F  mg ,
направленная вертикально вниз. Траекторией движения тела под
действием этой силы является парабола, изображенная на рис. 2.1.
y

v0
v0 y

x
vox
Рис. 2.1
42
Парабола есть результат наложения двух независимых движений:
прямолинейного равномерного по оси x и прямолинейного

g ) вдоль оси y.
неравномерного (с ускорением
С учетом формулы (2.3) имеем
t

2

p  mg  dt  mg
t1
t2
t1


 mg (t 2  t1 )  mg ,
(2.4)
где  – время полета.
Найдем  из условия, что время подъема тела до верхней точки
траектории равно

.
2
При подъеме тела проекция скорости тела на ось
y
v y  v0 y  gt  v0 sin   gt .
(2.5)

t

v  0, откуда
В верхней точке траектории при
2 y

0  v0 sin   g .
2
2v sin 
 0
.
g
(2.6)
Подставляя выражение (2.6) в соотношение (2.4), окончательно
получаем
Ответ:

 2v sin 
p  mg 0
.
g

 2v sin 
p  mg 0
.
g
Пример 24. Тело массой

v0 .
m
бросили под углом

к горизонту с
начальной скоростью
Спустя время  тело упало на Землю.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти среднее значение импульса

p
за время полета  .
Решение. По определению средней по времени величины
43

p 
1
t2  t1
t2

p
 (t )dt.
t1
(2.7)

p
Найдем зависимость импульса
от времени
проинтегрируем выражение (2.1) в примере 23.
t.
Для этого
t


 dp   Fdt.
p
p0
0
t

 
p  p0   Fdt .
0
t

 
p  p0   Fdt ,
где

p0
(2.8)
0
– импульс тела в начальный момент времени.
Подставляя
(2.8), получаем


p0  mv0
и


F  mg
(см. пример 23) в выражение
t





p (t )  mv0  mg  dt  mv0  mgt .
(2.9)
0
В нашем случае t1  0 и t2   . Подставляя выражение (2.9) в
соотношение (2.7), окончательно получаем


1
1 




p   ( mv0  mgt ) dt  (mv0  dt  mg  tdt ) 


0
0
1 
 ( mv0

Ответ:
44
1 
 t2 
2
 1 
 mg
)  ( mv0  mg )  mv0  mg .
0
2 0 
2
2


 1 
p  mv0  mg .
2
Пример 25. Тело массой

v0 .
начальной скоростью
m
бросили под углом

к горизонту с
Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти

приращение момента импульса M тела относительно точки бросания
за время  .
Решение. Возьмем точку бросания тела за начало отсчета
декартовой системы координат (см. пример 23). По определению момент
импульса тела относительно этой точки (точки 0)

 
M   r  p .


p
вектор r и импульс
Выразим радиус –
координатные оси и орты осей
(2.10)
через их проекции на




r  xex  yey  zez ,




p  p x e x  p y e y  p z ez .
Аналогично




M  M x ex  M y e y  M z e z .
Представим векторное произведение векторов
определителя

ex
 
r
  p  x

ey
y

r
и

p
(2.11)
в виде

ez
z 
px p y pz



( yp z  zp y )ex  ( zp x  xpz )ey  ( xp y  yp x )ez .
(2.12)
Сравнивая выражения (2.11) и (2.12), получаем
M x  yp z  zp y ,
M y  zpx  xp z ,
M z  xp y  yp x .
Направим координатные оси, как показано на рис. 2.1 (ось
направлена на нас). Можно написать
z
gt 2
x  v0 cos   t , y  v0 sin   t 
, z  0,
2
45
p x  mv0 cos  , p y  m(v0 sin   gt ), pz  0,
откуда
M x  0, M y  0,
M z  v0 cos   t  m(v0 sin   gt ) 
gt 2
(v0 sin   t 
) mv0 cos  
2
 mv02 cos   sin   t  mgv0 cos   t 2 
 mv02 sin   cos   t 
1
mgv0 cos   t 2 
2
1
  mgv0 cos   t 2 .
2
Момент импульса тела

1

M   mgv0 cos   t 2  ez
2
(знак минус означает, что вектор момента импульса
противоположно направлению оси z , то есть от нас).
(2.13)
направлен

В момент времени t  0 M  0. В момент времени t  

1

M   mgv0 cos   2  ez .
2
Тогда модуль приращения момента импульса тела за время 
2

 1
2
2 
M  ( M z )    mgv0 cos     
 2

1
 mgv0 cos   2 .
2
 1
2

M

mgv
cos



.
0
Ответ:
2
46
(2.14)
Пример 26. На полу стоит тележка в виде доски, снабженной
легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека
M  60 кг, масса доски m  20 кг.
Найти на какое расстояние d
передвинется тележка, если человек перейдет на другой конец доски.
Длина доски   2 м. массой колес пренебречь. Трение не учитывать.
Решение. Искомое расстояние
t2
t2
d   vT dt  vT t
t1
где vT –
t1
 vT (t2  t1 )  vT t ,
(2.15)
модуль скорости тележки относительно пола (мы учли, что
vT  const ), t – время движения человека по доске.
В данном случае результирующая всех внешних сил, действующих
на систему человек – тележка, равна рулю, поэтому импульс этой системы
меняться не будет, оставаясь равным нулю в процессе движения


0  Mvч  mvT ,

vч
(2.16)
где
– скорость человека относительно пола. Но скорость человека
относительно пола можно представить виде
  
vч  vч  vT ,

vч
(2.17)
где
– скорость человека относительно тележки ( классический закон
сложения скоростей).
Запишем систему уравнений (2.16) и (2.17) в проекциях на ось x ,
проведенную как показано на рис. 2.2, и решим ее относительно vT x .

vч

vT
x
Рис. 2. 2
0  Mvч  mvT ,
vч  vч  vT ,
0  Mvч  MvT  mvT ,
47
Mvч  ( M  m )vT ,
M
vT 
vч .
M m
(2.18)
Согласно условию задачи можно написать
t2
   vч dt  vч t
t2
t1
 vч (t 2  t1 )  vч  t ,
t1
откуда
t 

vч
(2.19)
(мы учли, что vч  const ).
Подставляя выражения (2.18) и (2.19) в соотношение (2.15),
получаем окончательно
d
M

M
60  2
120
vч 


 1.5 м.
M  m vч M  m 60  20 80
Ответ:
d  1.5 м.
Пример 27. Человек массой m стоит на краю горизонтального
диска массой M , который может свободно вращаться вокруг
неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. В
некоторый момент времени человек начал двигаться по краю диска и
совершил перемещение на угол  ч относительно диска, после чего
остановился. Пренебрегая размерами человека, найти угол д , на
который повернулся диск относительно неподвижной системы отсчета к
моменту остановки человека.
Решение. Искомый угол
t2
t2
 д    д dt   д  dt   д t
t1
где д –
t1
t2
t1
  д (t 2  t1 )   д t ,
(2.20)
модуль угловой скорости диска относительно неподвижной

системы отсчета (мы учли, что д  const ), t –
человека по диску.
48
время движения
Возьмем в качестве оси вращения ось z декартовой системы
координат. Свяжем положительное направление оси z с направлением
перемещения человека по диску правилом правого винта (считаем, что
отсчет
угла
поворота
 ч
человека
вокруг
оси
происходит
в

положительном направлении, рис. 2.3). Угловая скорость  ч вращения
человека будет совпадать с положительным направлением оси z
(проекция  чz  0 ).
z
 ч
д
Рис. 2.3

Очевидно, угловая скорость д вращения диска будет направлена
противоположно (проекция дz  0 ). Можно написать
ч  ч  д ,
(2.21)
где ч – проекция угловой скорости вращения человека относительно
неподвижной системы отсчета.
Система человек – диск является замкнутой, поэтому момент
импульса этой системы меняться не будет, оставаясь равным нулю в
процессе движения. В проекциях на ось вращения z можно написать
0  Iчч  I дд ,
где I ч и I д –
вращения.
(2.22)
моменты инерции человека и дичка относительно оси
Решим систему уравнений (2.21) и (2.22) относительно д .
0  Iчч  Iчд  I дд .
( I ч  I д )д  Iчч .
49
ч 
Iч
ч .
Iч  I д
(2.23)
Согласно условию задачи можем написать
t2
t2
 ч   ч dt  ч  dt   чt
t1
t1
t2
t1
  ч (t 2  t1 )   ч  t ,
откуда
t 
 ч
.
 ч
(2.24)
Подставляя выражения (2.23) и (2.24) в соотношение (2.20),
получаем
Iч

I
ч ч  ч ч .
(2.25)
Iч  I д ч Iч  I д
1
2
2
Учитывая, что I д  MR и I ч  mR , где R – радиус диска,
2
д 
получаем окончательно
mR 2
m
2m
д 
ч 
ч 
ч .
1
1
2m  M
mR 2  MR 2
m M
2
2
Ответ: д 
2m
ч .
2m  M
Пример 28. Находясь под действием постоянной силы с
компонентами (3, 10, 8) Н, частица переместилась из точки с
координатами (1, 2, 3) м в точку с координатами (3, 2, 1) м. Какая при этом
была совершена работа?

F
Решение. Работа силы
при перемещении частицы из точки 1 в
точку 2
 
F
 dr .
(2.26)




F  3ex  10ey  8ez  const ,
(2.27)
A12 
В нашем случае
откуда
50

A12
 r2 
  
 F  dr  F ( r2  r1 ),
(2.28)

r1
где
 


r1  1ex  2ey  3ez




r2  3ex  2ey  1ez
(2.29)
(2.30)
Подставляя выражения (2.27), (2.29) и (2.30) в соотношение (2.28),
получаем окончательно


 





A12  (3ex  10ey  8ez )(3ex  2ey  1ez  1ex  2ey  3ez ) 





 (3ex  10ey  8ez )(2ex  2ez )  6  16  10 Дж.
Ответ: A12  10 Дж.
Пример
29.
Маховик
вращается
по
закону,
выражаемому
2
  A  Bt  Ct , где A  2 рад,
B  32 рад / c,
C  4 рад / c 2 . Найти среднюю мощность P , развиваемую силами,
уравнением
действующими на маховик, при его вращении до остановки, если момент
2
инерции I  100 кг м .
Решение. По определению
t
1 2
P 
P (t )dt .
t 2  t1 t1
(2.31)
Найдем зависимость мощности P от времени t. По определению
P
dA
.
dt
(2.32)
Элементарная работа, совершаемая силой при повороте маховика на
угол d ,
dA  N z d ,
(2.33)
где N z – момент силы относительно оси вращения z.
Подставляя выражение (2.33) в соотношение (2.32), получаем
P  Nz
d
 N z z ,
dt
(2.34)
где z – проекция угловой скорости маховика на ось z.
Найдем угловую скорость
51
z 
d d
 ( A  Bt  Ct 2 )  B  2Ct.
dt dt
(2.35)
Согласно основному уравнению динамики вращения твердого тела
dz
.
dt
Используя выражение (2.35), найдем N z .
d
N z  I ( B  2Ct )  I  2C  2 IC.
dt
Nz  I
(2.36)
(2.37)
Подставляя выражения (2.35) и ((2.37) в соотношение (2.34),
находим P(t ).
P(t )  2IC ( B  2Ct ).
(2.38)
Полагая t1  0, получаем
t2
t2
 t2

1
1
P  2 IC  ( B  2Ct )  2 IC  B  dt  2C  tdt  


t2
t2
0
0
 0

(2.39)
1
t2
 2 IC ( Bt 2  2C )  2 IC ( B  Ct 2 ).
t2
2
Найдем t2 из условия z (t2 )  0.
0  B  2Ct2 .
B
32
t2  

 4 c.
2C
2(4)
Окончательно получаем
P  2 100(4)(32  (4))  800 16  12800 Вт  12.8 кВт.
Ответ: P  12.8 кВт.
Пример 30. Тело массой
начальной скоростью

v0 .
m
бросили под углом

к горизонту с
Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти
среднюю мощность P , развиваемую силой, приложенной к телу, за
время полета тела.
Решение. По определению средней по времени величины
52
t
1 2
P 
P (t ) dt.

t2  t1 t1
(2.40)
Найдем зависимость мощности P от времени t.
По определению
dA
P
.
dt


Элементарная работа силы F на перемещении dr равна
 
dA  Fdr .
(2.41)
(2.42)
Подставляя выражение (2.42) в соотношение (2.41), получаем
 dr  
PF
 Fv ,
dt

(2.43)
где v – скорость тела.
В нашем случае (см. пример 23)


F  mg ,





v  vx ex  v y ey  v0 cos   ex  (v0 sin   gt )ey .
(2.44)
(2.45)
Подставляя выражения (2.44) и (2.45) в соотношение (2.43), находим
мощность.



P(t )  mg[v0 cos   ex  (v0 sin   gt )ey ] 
 

 mv0 cos   g  ex  m(v0 sin   gt ) gey 
 mv0 cos   g 1 cos900  m(v0 sin   gt ) g 1 cos1800 
(2.46)
 mg (v0 sin   gt )  mg ( gt  v0 sin  ).
Полагая t1  0, получаем
t
t
t
2
2
1 2
1
P   mg ( gt  v0 sin  ) dt  mg ( g  tdt  v0 sin   dt ) 
t2 0
t2
0
0
mg t 2
1

( g  v0 sin   t2 )  mg ( gt2  v0 sin  ).
t2
2
2
Время падения тела
t2 
2v0 sin 
g
(2.47)
(см. формулу (2.6)).
53
Подставляя формулу (2.47) в выражение для средней мощности,
окончательно получаем
1 2v sin 
P  mg ( g 0
 v0 sin  )  mg (v0 sin   v0 sin  )  0.
2
g
Ответ: P  0.
Пример 31. Тело массой
начальной скоростью

v0 .
m
бросили под углом

к горизонту с
Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти
зависимость работы A силы тяжести от времени полета тела.
Решение. Так как сила тяжести является консервативной, ее работа
при перемещении тела равна убыли потенциальной энергии этого тела.
Можем написать
A  U0 U ,
(2.48)
где U 0 – потенциальная энергия тела в точке бросания в момент времени
t  0, U
– потенциальная энергия тела в некоторой точке траектории
тела в момент времени t.
Очевидно,
U 0  0,
(2.49)
U  mgy ,
(2.50)
где y – координата тела в момент времени t (см. пример 23).
Подставляя выражения (2.49) и (2.50) в соотношение (2.48),
получаем
A   mgy.
(2.51)
Можно написать
t
t
t
t
y   v y (t ) dt   (v0 sin   gt ) dt  v0 sin   dt  g  tdt
0
0
0
gt 2
 v0 sin   t 
.
2
0
(2.52)
Подставляя выражение (2.52) в соотношение (2.51), окончательно
получаем
gt 2
A   mg (v0 sin   t 
).
2
54
Задачу можно решить другим способом. Так как сила тяжести
является единственной силой, действующей на тело, ее работа равна
приращению кинетической энергии тела. Можно написать
A  T  T0 ,
(2.53)
где T0 – кинетическая энергия тела в точке бросания в момент времени
t  0, T
– кинетическая энергия тела в некоторой точке траектории
тела в момент времени t.
Очевидно,
mv02
T0 
,
2
mv 2
T
.
2
(2.54)
(2.55)
где v – скорость тела в момент времени t .
Подставляя выражения (2.54) и (2.55) в соотношение (2.53),
получаем
mv 2 mv02 m 2
A

 (v  v02 ).
2
2
2
(2.56)
Можно написать (см. пример 23).
v 2  vx2  v 2y  v02 cos2   (v0 sin   gt )2
 v02 cos 2   v02 sin 2   2v0 sin   gt  g 2t 2 
t2
 v (cos   sin  )  2 g (v0 sin   t  g )
2
2
t
 v02  2 g (v0 sin   t  g ).
2
2
0
2
2
(2.57)
Подставляя выражение (2.57) в соотношение (2.56), получим тот же
самый результат
m 2
t2
A  [v0  2 g (v0 sin   t  g )  v02 ] 
2
2
2
m
t
gt 2
  2 g (v0 sin   t  g )  mg (v0 sin   t 
).
2
2
2
И,
выражением
наконец,
можно
A
воспользоваться
непосредственным
 
F
 dr ,
55
которое в нашем случае можно записать в виде
A
 



m
gdr

m
g
dr

m
gr
,



где r – радиус – вектор тела в момент времени t .
(2.58)
Можно написать (см. пример 23)





t2 
r  xe x  ye y  ze z  v 0 cos   t  e x  ( v 0 sin   t  g ) e y
2
(2.59)
см. формулу (2.52)).
Подставляя выражение (2.59) в соотношение (2.58), получаем


t2 
A  m g [ v 0 cos   t  e x  ( v 0 sin   t  g ) e y ] 
2


t2 
 m v 0 cos   t  ge x  m v 0 sin   t  ge y  m g
ge y 
2
 m v 0 cos   t  g  1  cos 90 0  m v 0 sin   t  g  1  cos 180 0 
2
t2
0
2 t
mg
g  1  cos 180   m v 0 sin   gt  m g

2
2
gt 2
  m g ( v 0 sin   t 
).
2
t2
).
Ответ: A   m g ( v 0 sin   t  g
2
Пример 32. Тело массой
высотой
h
m
бросили со
(рис. 2.4). На землю тело упало со

v
скоростью 0 с башни
скоростью v. Найти по
этим данным работу Ac сил сопротивления воздуха.
Решение. Работа сторонних сил равна приращению механической
энергии тела. По условию задачи единственной сторонней силой является
сила сопротивления воздуха. Можно написать
Ac  E2  E1.
Найдем
E1
и
E2 .
mv02
E1  T1  U1 
 mgh.
2
56
(2.60)
(2.61)
mv 2
mv 2
E2  T2  U 2 
0 
.
2
2
(2.62)
v0
h
v
Рис. 2.4
Подставляя выражения (2.61) и (2.62) в соотношение (2.60),
получаем окончательно
mv 2 mv02
m
Ac 

 mgh  (v 2  v02 )  mgh.
2
2
2
Ответ:
Ac 
Пример
33.
m 2
(v  v02 )  mgh.
2
Карандаш
длиной
  15 см,
поставленный
вертикально, падает на пол. Какую угловую  и линейную vc скорости
будет иметь в конце падения середина карандаша? Считать, что трение
настолько велико, что нижний конец карандаша не проскальзывает.
Решение. Изобразим рис. 2.5, поясняющий условие задачи.
Так как карандаш падает под действием только консервативной силы
(силы тяжести), согласно закону сохранения энергии можем написать
E1  E2 ,
где E1 и
(рис. 2.5).
E2
(2.63)
– механическая энергия карандаша в положениях 1 и 2
57
1
2
Рис. 2.5
Считая карандаш однородным стержнем, найдем
E1
и
E2


 mg ,
2
2
I 2
I 2
E2  T2  U 2 
0
,
2
2
масса карандаша, I и  – его момент
E1  T1  U1  0  mg
(2.64)
(2.65)
где m –
инерции и угловая
скорость вращения относительно оси, проходящей через нижний конец
карандаша перпендикулярно плоскости рис. 2.5. Подставляя выражения
(2.64) и (2.65) в соотношение (2.63), получаем
 I 2
mg 
,
2
2
откуда

mg 
.
I
(2.66)
Воспользовавшись примером 16 и теоремой Штейнера (см. пример
17), найдем момент инерции
I:
2
1
 1
I  I c  ma 2  m 2  m    m 2 .
12
3
2
(2.67)
Подставляя формулу (2.67) в выражение (2.66), окончательно получаем

58
mg 3
3g
3  9.8


 14 рад / с,
m 2

0.15
vc   R  
Ответ:

0.15
 14
 1.05 м / с.
2
2
  14 рад / с, vc  1.05 м / с.
Пример 34. Определить скорость vc центра масс шара,
скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости высотой
h  1 м.
Трением пренебречь.
Решение. Так как шар скатывается под действием только
консервативной силы (силы тяжести), согласно закону сохранения
энергии можно написать
E1  E2 ,
(2.68)
где E1 и E2 – механическая энергия шара в положениях 1 и 2
(см. рис. 2.6).
1
h
2
Рис. 2.6
Найдем
E1
и
E2 .
E1  T1  U1  0  mgh  mgh.
mvc2 I c 2
mvc2 I c 2
E2  T2  U 2 

0 

.
2
2
2
2
(2.69)
(2.70)
В соотношение (2.70)
mvc2
2
I c 2
2
– кинетическая энергия поступательного движения шара,
– кинетическая энергия вращательного движения шара,
59
где m – масса шара, I c и  – его момент инерции и угловая скорость
вращения относительно оси, проходящей через центр масс шара.
Момент инерции шара (см. пример 20)
Ic 
где
R
2
mR 2 ,
5
(2.71)
– радиус шара. Кроме того, можем написать

vc
.
R
(2.72)
Подставляя формулы (2.71) и (2.72) в соотношение (2.70), имеем
2
mvc2 1 2
mvc2 mvc2 7 2
2 vc
E2 

mR 2 

 mvc .
2
25
R
2
5
5
(2.73)
Подставляя выражения (2.69) и (2.73) в соотношение (2.68),
получаем окончательно
vc 
Ответ:
mgh 10
10
10

gh 
9.8  3.74 м / с.
7m
7
7
vc  3.74 м / с.
Контрольная работа № 2
1. В лодке массой M  240 кг стоит человек массой m  60 кг.
Лодка плывет со скоростью v1  2 м / с. Человек прыгает с лодки в
горизонтальном направлении со скоростью v2  4 м / с относительно
лодки. Найти скорость u движения лодки после прыжка человека, если
прыжок совершен в сторону, противоположную движению лодки.
2. На краю покоящейся тележки массой M стоят два человека,
масса каждого из которых равна m. Пренебрегая трением, найти скорость
v тележки после того, как оба человека друг за другом спрыгнут с одной
и той же горизонтальной скоростью u относительно тележки.



3. Частица массой 1 г, двигающаяся со скоростью v1  3ex  2ey ,
испытала абсолютно неупругое столкновение с другой частицей, масса
60



которой 2 г и скорость v2  4ex  6ey . Найти скорость образовавшейся
частицы.
4. На краю покоящейся тележки массой M стоят два человека,
масса каждого из которых равна m. Пренебрегая трением, найти скорость
v тележки при одновременном спрыгивании людей с одной
горизонтальной скоростью u относительно тележки.
5. Человек массой M  60 кг переходит со скоростью v  1 м / с
с одного конца доски-тележки на другой. Масса Тележки m  20 кг ,
длина   2 м. Найти перемещение тележки.
6. В лодке массой M  240 кг стоит человек массой m  60 кг.
Лодка плывет со скоростью v1  2 м / с. Человек прыгает с лодки в
горизонтальном направлении со скоростью v2  4 м / с относительно
лодки. Найти скорость u движения лодки после прыжка человека, если
прыжок совершен по направлению движению лодки.
7. На полу стоит тележка в виде доски, снабженной легкими
колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека
M  60 кг, масса доски m  20 кг. С какой скоростью v1 относительно
пола будет двигаться тележка, если человек будет двигаться вдоль доски
со скоростью v2  1 м / с относительно доски. Массой колес и трением в
них пренебречь.
8. Молекула массой m  4.65 10
26
кг, летящая нормально к
стенке сосуда со скоростью v  600 м / с, ударяется о стенку и упруго от
нее отскакивает. Найти импульс силы, полученный стенкой за время удара.
9. Частица массой m  1 кг, двигаясь равномерно, описывает
четверть окружности R  1.2 м в течение времени   2 c. Найти

модуль приращения импульса частицы p .
10. Частица массой m движется в плоскости xy под действием

постоянной силы F , поворачивающейся в этой плоскости по часовой
стрелке с постоянной угловой скоростью . В начальный момент

времени сила направлена по оси x, скорость движения частицы равна v0 .
Найти импульс частицы в момент времени  .
11. Частица 1 испытала абсолютно упругое столкновение с
покоящейся частицей 2. Найти отношение масс этих частиц, если
61
столкновение лобовое и частицы разлетелись в противоположных
направлениях с равными по модулю скоростями.
12. Однородному сплошному цилиндру сообщили начальный
импульс, в результате чего он начал вкатываться без проскальзывания
вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью
v0  3 м / с.
0
Плоскость образует угол   20 с горизонтом. Сколько времени будет
двигаться цилиндр по наклонной плоскости до его остановки?
13. Сколько времени  будет скатываться без проскальзывания
обруч с наклонной плоскости длиной   2 м и высотой h  10 cм ?
14. Шар массой M неподвижен, шар массой m движется. Какая
часть  энергии теряется при центральном абсолютно неупругом
соударении шаров, если m  0.1M ?
15. Столб высотой h  3 м падает из вертикального положения на
горизонтальную поверхность. Вычислить скорость v верхнего конца
столба в момент удара.
16. Пуля, летящая горизонтально, попадает в деревянный шар,
подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса
пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от центра шара до точки
подвеса стержня   1 м. Найти начальную скорость пули, если от удара
0
пули стержень с шаром отклонился на угол   10 относительно
вертикали.
17. Шар без трения скатывается с наклонной плоскости высотой
h  90 cм. Найти его скорость у основания наклонной плоскости.
18. Карандаш длиной   15 cм, поставленный вертикально, падает
на стол. Какую угловую скорость  и линейную скорость v будет иметь
в конце падения верхний конец карандаша? Считать, что нижний конец
карандаша при падении не проскальзывает.
19. Частица 1 испытала абсолютно упругое столкновение с
покоящейся частицей 2. Найти отношение масс этих частиц, если они
разлетелись симметрично по отношению к первоначальному направлению
0
движения частицы 1 и угол между их направлениями разлета   60 .
20. Однородному сплошному цилиндру сообщили начальный
импульс, в результате чего он начал вкатываться без проскальзывания
вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью v0  3 м / с. На
какую максимальную высоту
62
h поднимется цилиндр?
m  60 кг находится на неподвижной
платформе массой M  100 кг. С какой частотой  станет вращаться
21.
Человек
массой
платформа, если человек начнет двигаться по окружности радиусом
r  5 м вокруг
оси вращения платформы? Скорость движения человека
относительно платформы v1  4 км / час. Радиус платформы
Считать платформу диском, а человека точечной массой.
R  10 м.
R  1.5 м
и массой
22. Платформа в виде диска радиусом
M  180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой
  10 мин 1. В центре платформы стоит человек массой m  60 кг .
Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь
человек, если он перейдет из центра на край платформы?
23. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться вокруг
вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой m  60 кг .
На какой угол  повернется платформа, если человек обойдет ее по краю?
Масса платформы M  240 кг. Момент инерции человека рассчитывать
как для материальной точки.
24. Два горизонтальных диска свободно вращаются вокруг общей
вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции
дисков относительно этой оси I1 и I 2 , а угловые скорости 1 и 2 .
После падения верхнего диска на нижний оба диска, благодаря трению,
через некоторое время стали вращаться как единое целое. Найти угловую
скорость  этого вращения.
25. Горизонтально расположенный деревянный стержень массой
  1.8 м может вращаться вокруг
и
длиной
перпендикулярной к нему оси, проходящей вертикально через его
середину. В конец стержня попадает и застревает в нем пуля массой
M  0.8 кг
m  3 г, летящая перпендикулярно и к стержню, и к оси вращения со
скоростью v  50 м / с. Определить угловую скорость  , с которой
начинает вращаться стержень.
26. Однородный стержень длиной   1.5 м и массой M  10 кг
может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через его конец. В
m  10 г, летевшая
середину стержня попадает пуля массой
горизонтально и перпендикулярно к оси вращения со скоростью
v  500 м / с. Считая удар абсолютно неупругим, найти угол отклонения
стержня от вертикали после соударения.
63
27. Тело массой m  0.1 кг брошено с некоторой высоты в
горизонтальном направлении со скоростью v0  20 м / с. Найти модуль


M
приращения момента импульса
относительно точки бросания тела
за первые 5 с его полета. Сопротивление воздуха пренебречь.
28. Горизонтальная платформа массой M  100 кг вращается по
инерции вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с
1
частотой   10 мин . Человек массой m  60 кг стоит при этом на
краю платформы. Какую работу A совершит человек при переходе от
края к центру платформы? Считать платформу однородным диском
радиусом R  1.5 м , а человека точечной массой.
29. Вертикально расположенный однородный стержень массой M
и длиной  может вращаться вокруг своего верхнего конца. . В нижний
конец стержня попала пуля, летевшая горизонтально, и застряла в
стержне. Стержень отклонился на угол  . Считая, что m  M , найти
первоначальную скорость пули.
30. Платформа-диск с человеком массой 70 кг ее краю вращается с
1
частотой  1  14 мин . При перемещении человека в центр платформы
1
частота ее вращения становится равной  2  25 мин .
платформы.?
64
Какова масса
3. Механические колебания и волны
Основные формулы
Уравнение гармонический колебаний и его решение:

x  02 x  0,
x  A cos( 0t   ),
где  0 – собственная частота колебаний.
Уравнение затухающих колебаний и его решение:
x  A0 e   t cos( t   ),

x  2  x  02 x  0,
где  – затухания,  – частота затухающих колебаний
   02   2 .
Логарифмический декремент затухания:
  ln
A (t )
 T .
A (t  T )
Период колебаний пружинного маятника:
T  2
m
.
k
Период колебаний математического маятника:
T  2

.
g
Период колебаний физического маятника:
T  2
I
.
mg  C
65
Волновое уравнение:
 2  2   2
1  2
 2  2  2 2 .
2
x
y
z
v t
Уравнение плоской волны:
 ( x , t )  A cos( t  kx ).
Объемная плотность полной энергии упругой волны:
w   A2 2 sin 2 (t  kx).
Средняя плотность энергии упругой волны:
1
w   A2 2 .
2
Примеры решения задач
Пример 35. Найти амплитуду гармонических колебаний частицы,
если на расстояниях
x1 и x2
v2 .
от положения равновесия ее скорость равна
соответственно v1 и
Решение. Согласно условию задачи координата
скорость v изменяются со временем t по закону
x  A cos( t   ),
dx
v
  A sin( t   ).
dt
x
частицы и ее
(3.1)
(3.2)
Перепишем уравнения (3.1) и (3.2) в виде
x
 cos( t   ),
A
v
  sin( t   ).
A
66
(3.3)
(3.4)
Возведем уравнения (3.3) и (3.4) в квадрат и сложим
x2
2

cos
( t   ),
A2
v2
2

sin
( t   ),
2 2
A
x2
v2
2
2


cos
(

t


)

sin
( t   )  1.
2
2 2
A
A
Запишем выражение (3.5) для
x1
и v1 ,
x2
и
(3.5)
v2 .
x12
v12
 2 2  1,
2
A
A
x22
v22
 2 2  1.
2
A
A
Решаем систему уравнений (3.6) относительно амплитуды
колебаний частицы.
(3.6)
A
v12
x12
A 2  x12
 1 2 
,
2 2
2
A
A
A
v12
  2
,
2
A  x1
2
x22 v22 ( A 2  x12 )

 1,
2
2 2
A
A v1
v12 x22  v22 A 2  v22 x12  A 2 x12 ,
A  (v22 x12  v12 x22 ) /(v22  v12 ).
Ответ:
A  (v22 x12  v12 x22 ) /(v22  v12 ).
67
Пример
37.
Частица
колеблется
вдоль оси
x
по закону

x  0.1sin 6.28t. Найти среднее значение вектора скорости v
первую четверть периода колебаний
Решение. По определению

v 
за
T.
t
1 2
v (t ) dt .
t 2  t1 t1
(3.7)
В нашем случае
T
t1  0, t2  ,
4


v (t )  vxex ,

где ex – орт оси x.
(3.8)
(3.9)
Так как
vx 
dx
 (0.1sin 6.28t )  (0.1sin 2 t )  0.1 2  cos 2 t ,
dt
запишем формулу (3.9) в виде


v (t )  0.1 2  cos 2 t  ex .
(3.10)
Подставим выражения (3.8) и (3.10) в соотношение (3.7) и
проинтегрируем
T
4
1


v 
0.1

2


cos
2

t

e
x dt 
1 0
T
4

4
 1
0.1  2  ex
sin 2 t
T
2
T
4
0

4
2 T

0.1  ex  sin
.
T
4
Учитывая, что
T
2 2

 1 c,
 2
получаем окончательно




v  0.4  ex  sin  0.4  ex м / с.
2


Ответ: v  0.4  ex м / с.
68
Пример 38. Частица массой m  5 г совершает гармонические
  0.5 Гц. Амплитуда колебаний
А  3 см. Определить максимальную силу Fm , действующую на частицу.
колебания вдоль оси x с частотой
Решение. Частица совершает гармонические колебания по закону
x  A cos(t   ).
Согласно основному
действующей на частицу
уравнению
Fx  m
динамики
проекция
силы,
dvx
.
dt
Проекция скорости частицы на ось x
vx 
dx
  A sin(t   ).
dt
(3.11)
С учетом выражения (3.11) получаем
Fm  mA 2 cos(t   )  mA(2 )2 cos(2 t   ),
откуда максимальное значение модуля силы
Fm  mA(2 )2  mA  4 2 2 
 5 103  3 102  4  (3.14)2 (0.5)2  148 105 H  1.48 мН .
Ответ: Fm  1.48 мН .
2
Пример 39. Амплитуда затухающих колебаний уменьшилась в е
раз за 0 колебаний. Чему равен логарифмический декремент затухания  ?
Решение. Логарифмический декремент затухания
   Е,
(3.12)
где
 – коэффициент затухания, T – период колебаний.
Амплитуда колебаний убывает со временем по закону
A  A0 e   t .
(3.13)
По условию задачи
A0
 e2 .
A
(3.14)
Комбинируя выражения (3.13) и (3.14), получаем
e  e2 ,

  2,

где  – время, в течение которого произошло
2
 ,

N  50 колебаний.
(3.15)
69
Период колебаний
T

.
N
(3.16)
Подставляя выражения (3.15) и (3.16) в соотношение (3.11), получаем

Ответ:
2
2
  0.04.
 N N
  0.04.
Пример 40. Уравнение плоской волны имеет вид
 ( x , t )  60 cos(1800t  6 x )
в микрометрах, время – в секундах, x – в метрах).
(3.17)
( –
Определить:
а) амплитуду колебаний скорости частиц и ее отношение к скорости
распространения волны;
б) амплитуду колебаний относительной деформации среды и ее
отношение к амплитуде колебаний скорости частиц среды.
Решение. Запишем уравнение плоской волны
 ( x , t )  A cos( t  kx ).
Скорость частиц среды определяется как производная по времени от
смещения частиц
vcp 

  A sin( t  kx ).
t
Амплитудное значение скорости частиц среды, следовательно, равно
vocp   A.
(3.18)
Параметры  и A определяем из уравнения (3.17).
Подставляя числовые значения в формулу (3.18), получаем
амплитуду колебаний скорости частиц среды
vocp  1800  60  10 6  0.108 м / с.
Зная, что скорость распространения волны
vВ 

k
, найдем отношение
амплитуды колебаний скорости частиц среды к скорости распространения
волны
vocp
vB
70

 Ak
 Ak .

(3.19)
Подставим численные значения в формулу (3.19)
vocp
vB
 60  10 6  6  3.6  10 4.
Относительная деформация среды определяется из уравнения
плоской волны как производная от смещения по координате


 Ak sin( t  kx ).
t
Следовательно, амплитудное значение относительной деформации среды
равно
 0  Ak .
(3.20)
Подставляя числовые значения из заданного уравнения (3.17), получаем
 0  60  10 6  6  3.6  10 4.
Используя формулу (3.18), найдем отношение этой величины к амплитуде
колебаний скорости частиц среды
0
Ak k
6

 
 3.3  10 3 с / м.
vocp A  1800
vocp
4

3.6

10
,
v

0.108
м
/
с
,
Ответ: ocp
vB
0
3
4

3.3

10
с / м.
 0  3.6  10 ,
vocp
Пример 41. Плоская волна вида
 ( x , t )  40 cos(1200t  5 x )
(3.21)
(  – в микрометрах, время – в секундах, x – в метрах)
3
распространяется в воде ( плотность воды   1000 кг / м ), причем
источник волны находится в плоскости x  0.
Найти:
а) объемную плотность энергии волны в точке, расположенной на
расстоянии
x

4
от источника, по истечении времени
t
T
2
после
начала колебаний;
б) среднюю объемную плотность энергии волны.
71
Решение. Плотность энергии волны определяется
w   A2 2 sin 2 (t  kx).
(3.22)
Известно, что
2
,
T
2
k
.


(3.23)
(3.24)
Сравнивая данное уравнение (3.21) с уравнением плоской волны,
определяем параметры  ,
формулу (3.22), получаем
k , A.
Подставив выражения (3.23) и (3.24) в
 2 T 2  
2 2
2
2 2
w   A  sin 



A

sin


A
.

T
2

4
2


2
2
2
Численное значение объемной плотности энергии
w  10 3  40 2  10 121200 2  2.3 Дж / м 3 .
Средняя плотность энергии волны определяется следующим
образом
1
w   A2 2 .
2
(3.25)
Подставляя численные значения из (3.21) в формулу (3.25),
получаем
w  1.2 Дж / м3 .
Ответ:
w  2.3 Дж / м 3 ,
w  1.2 Дж / м3 .
Контрольная работа №3
1. Частица совершает гармонические колебания с амплитудой
A
и
T . Найти время  , , за которое смещение частицы увеличится
A / 2.
периодом
от 0 до
2.
Полная
энергия
гармонически
колеблющегося
E  30 мкДж, максимальная сила, действующая на тело
72
тела
Fmax  1.5 мН . Написать уравнение движения тела, если период его



.
T

2
c
колебания
и начальная фаза
3
3. Частица колеблется по закону x  0.1sin 6.28t. Найти среднее
значение вектора скорости за вторую четверть периода.
2
4. Максимальное ускорение частицы amax  49.3 см / с , период
колебаний T  2 c , начальное смещение x0  2 мм. Найти уравнение
гармонического колебательного движения x(t ) этой частицы.
5. Координата частицы x  A cos
частицей за промежуток времени от t1 
2
t. Найти путь S , пройденный
T
T
T
до t2  .
8
4
6. Частица гармонически колеблется с периодом T  0.6 c и
амплитудой A  10 см. Найти среднюю скорость v частицы за время,
в течение которого она проходит путь, равный
A
, от крайнего
2
положения.
7. Начальная фаза гармонических колебаний
  0. При смещении
частицы от положения равновесия x1  2.4 см скорость частицы
v1  3 см / с, а при смещении x2  2.8 см ее скорость v2  2 см / с.
Найти амплитуду A и период T этих колебаний.
8. Начальная фаза гармонических колебаний   0. Через какую
долю периода T скорость частицы будет равна половине ее
максимального значения?
9. Частица массой m  5 г гармонически колеблется с частотой
  5 Гц и амплитудой А  3 см. Найти модуль скорости V частицы в
момент времени, когда ее смещение x  1.5 см.
10. Частица колеблется по закону x  0.1sin 6.28t. Найти средний
модуль скорости v частицы за вторую 1/8 периода T .
11. За 1 с амплитуда свободных колебаний уменьшилась в 10 раз. За
какое время  амплитуда колебаний уменьшится в 100 раз?
73
12. Период затухающих колебаний T  4 c, логарифмический
декремент   1.6, начальная фаза   0. При t 
T
смещение частицы
4
x  4.5 см. Найти уравнение движения x(t ) колебаний.
13. Уравнение затухающих колебаний дано в виде
x  5e 0.25 t sin

t.
2
Найти скорость V колеблющейся частицы в момент времени t  2T , где
T – период колебаний.
14. За 1 с амплитуда свободных колебаний уменьшилась в 2 раза. За
какое время  амплитуда колебаний уменьшится в 10 раз?
15. Тело совершает колебания по
закону
   0 e   t cos  t .
Найти моменты времени, когда угловая скорость  становится
максимальной.
16. Найти период T затухающих колебаний, если известны их
собственная частота 0 и логарифмический декремент затухания .
17. Тело совершает вынужденные колебания в среде
с
коэффициентом сопротивления r  1 г / с. Считая затухание малым,
определить амплитудное значение вынуждающей силы, если резонансная
амплитуда Ар  4.5 см, а собственная частота  0  10 Гц.
18. Частица совершает затухающие колебания с
частотой
1
  25 с . Найти коэффициент затухания  , если при t  0 скорость
частицы равна нулю, а ее смещение из положения равновесия в   1.02
раза меньше амплитудного.
19. При неизменной амплитуде вынуждающей силы амплитуды
1  100 с1 и 2  300 с1
оказываются равными. Найти резонансную частоту  р .
вынужденных колебаний при частотах
20. За время   8 мин амплитуда затухающих колебаний
маятника уменьшилась в 3 раза. Каков коэффициент затухания  ?
21. Физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной
  120 см
колеблется около горизонтальной оси, проходящей
перпендикулярно стержню через точку, удаленную на некоторое
расстояние а от центра масс стержня. При каком значении а период
74
колебаний T маятника имеет наименьшее значение?
22. Роль физического маятника выполняет тонкий стержень,
подвешенный за один из его концов. При какой длине  стержня период
его колебаний будет равен 1с?
23. Тонкий обруч, подвешенный на гвоздь, вбитый в стенку,
колеблется в плоскости, параллельной стенке. Радиус обруча R  30 см.
Найти период колебаний обруча.
24. Складываются три гармонических колебания одного
направления, одинаковых периодов T1  T2  T3  2 c и одинаковых
амплитуд A1  A2  A3  3 см. Начальные фазы: 1  0,
3 
2 

,
3
2
. Найти уравнение результирующего колебания.
3
25. Как изменится период вертикальных колебаний груза,
повешенного на двух одинаковых пружинках, если от последовательного
их соединения перейти к параллельному?
26. Частица участвует в двух колебаниях одинакового периода и с
одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний равны
A1  3 см и
A2  4 см. Найти амплитуду
A результирующего
колебания, если складываемые колебания происходят во взаимно
перпендикулярных направлениях.
27. На каком расстоянии а от центра масс нужно подвесить тонкий
однородный стержень заданной длины  , чтобы получить физический
маятник, колеблющейся с максимальной частотой? Чему равно значение
этой частоты?
28. Физический маятник совершает малые колебания вокруг
1  15 рад / с. Если к нему прикрепить
небольшое тело массой m  50 г на расстоянии   20 см ниже оси, то
частота колебаний будет 2  10 рад / с. Определить момент инерции
горизонтальной оси с частотой
маятника.
29. Шар массой m  2 кг подвешен к двум последовательно
соединенным
пружинам.
Жесткость
пружин
к1  103 Н / м
и
к2  3 103 Н / м. Пренебрегая массами пружин и трением, найти
амплитуду колебаний, возникающих при установлении шара в положение,
для которого пружина не напряжена, и отпускании его без толчка.
75
30. Под действием внешней вертикальной силы F  F0 cos t тело,
подвешенной на пружине, совершает установившиеся вынужденные
колебания на пружине по закону x  A cos(t   ). Найти работу силы
F за период колебания.
31.
В
среде
распространяется
плоская
волна
вида
 ( x, t )  40cos(1000t  4 x), где амплитуда выражена в микрометрах,
время – в секундах. Определить плотность среды, если средняя объемная
3
плотность энергии, переносимая волной, равна w  2.4 Дж / м .
32.
Уравнение
плоской
звуковой
волны
имеет
вид
 ( x, t )  10cos(2000t  5x), где амплитуда выражена в микрометрах,
время – в секундах. Определить амплитуду колебаний относительной
деформации среды.
33.
Уравнение
плоской
звуковой
волны
имеет
вид
 ( x, t )  70cos(1700t  6 x), где амплитуда выражена в микрометрах,
время – в секундах, x – в метрах. Найти отношение амплитуды смещения
частиц среды к длине волны.
34. В среде с плотностью 1000 кг/м3 распространяется плоская волна
вида  ( x, t )  80cos(1800t  5x), где амплитуда выражена
в
микрометрах, время – в секундах. Определить максимальное значение
плотности кинетической энергии.
35. В среде с плотностью 1000 кг/м3 распространяется плоская волна
вида  ( x, t )  80cos(1800t  5x), где амплитуда выражена
в
микрометрах, время – в секундах. Определить максимальное значение
плотности потенциальной энергии.
36. В среде с плотностью 2500 кг/м3 распространяется плоская волна
вида  ( x, t )  80cos(1800t  5x), где амплитуда выражена
в
микрометрах, время – в секундах. Определить максимальное значение
плотности полной энергии волны.
37. Плоская волна вида  ( x, t )  A cos(t  kx), распространяется
в упругой среде причем ее источник находится в плоскости x  0. Найти
смещение и скорость точек среды, отстоящих от источника на расстояние
x

T
, по истечении времени t  после начала колебаний.
6
4
38. Скорость плоской звуковой волны равна 340 м/с. Определить
отношение амплитуды колебаний скорости частиц к амплитуде колебаний
относительной деформации среды.
76
39. В воде распространяется плоская звуковая волна вида
 ( x, t )  10cos(1200t  5x), где амплитуда выражена в микрометрах,
время – в секундах. Определить максимальное значение плотности полной
энергии волны, x – в метрах. Определить среднюю объемную плотность
энергии волны.
40.
Уравнение
плоской
звуковой
волны
имеет
вид
 ( x, t )  5cos(3200t  12 x), где амплитуда выражена в микрометрах,
время – в секундах, x – в метрах. Определить скорость распространения
волны.
77
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
80
Размер файла
671 Кб
Теги
2009, mechanics
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа