close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

mu matkz12 2016

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ДИЗАЙНА»
Кафедра математики
МАТЕМАТИКА
Контрольные задания 1 и 2 для студентов-заочников, обучающихся
по направлениям подготовки
Института бизнес-коммуникаций:
42.03.01 «Реклама и связи с общественностью»
43.03.02 «Туризм»
46.03.02 «Документоведение и архивоведение»
Института экономики и социальных технологий:
39.03.03 «Социальная работа»
Составители:
В. В. Потихонова
Т. Б. Кольцова
Санкт-Петербург
2016
Утверждено
на заседании кафедры
10.02.2016 г., протокол № 5
Рецензент О. Б. Тѐрушкина
Контрольные задания 1 и 2 по дисциплине включают задачи по основным разделам
математики, соответствующим рабочей программе данных специальностей. Содержат
подробное решение типовых задач, аналогичных контрольным заданиям. Приводится
список литературы.
Оригинал-макет подготовлен составителями
Подписано в печать 27.06.16. Формат 60x84 1/16
Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ 580/16
http://publish.sutd.ru
Отпечатано в типографии ФГБОУВО «СПбГУПТД»
191028, С.-Петербург, ул. Моховая, 26
2
Контрольные работы должны быть выполнены в отдельной тетради с
соблюдением правил, обязательных для выполнения всех работ по математике.
Контрольные работы должны быть представлены на проверку не позднее,
чем за две недели до начала экзаменационной сессии.
При выполнении контрольных работ на титульном листе указывается:
НА ТИТУЛЬНОМ ЛИСТЕ ДОЛЖНЫ БЫТЬ УКАЗАНЫ:
Фамилия, имя, отчество.
Номер студенческого билета (или зачетной книжки).
Название дисциплины и номер контрольной работы по этой дисциплине.
Номер варианта.
Номер варианта, который должен выполнять студент, соответствует
последней цифре номера студенческого билета (или зачетной книжки).
В каждом задании 20 вариантов примеров. Если год Вашего поступления в
Университет – чѐтный, то Вы выбираете пример из первых десяти вариантов, а
если – нечѐтный, то выбираете свой вариант из номеров с одиннадцатого по
двадцатый.
Например, год поступления 2014, вариант 3, следовательно, должны быть
выбраны примеры 1.03, 2.03 и т.д.
Например, год поступления 2015, вариант 3, следовательно, должны быть
выбраны примеры 1.13, 2.13 и т.д.
3
Курс математики включает в себя изучение, приведенных ниже разделов и тем.
Раздел 1
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
1.1. Понятие матрицы и системы линейных уравнений. Матричная
запись уравнений. Расширенная матрица системы. Решение систем
уравнений методом последовательных исключений.
1.2. Понятие вектора, линейные операции с векторами.
1.3. Системы координат на плоскости. Прямая на плоскости, угол
между прямыми, условие параллельности и перпендикулярности
прямых.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
4
Раздел 2
Введение в математический анализ
Понятие множества. Основные операции над множествами.
Диаграммы Эйлера-Венна. Множество вещественных чисел.
Абсолютная величина вещественного числа.
Функция. Простейшие свойства функции. Понятие сложной и
обратной функций. Обзор элементарных функций.
Предел функции и предел последовательности. Некоторые
замечательные пределы.
Непрерывность функции. Односторонние пределы. Точки разрыва.
Раздел 3
Основы дифференциального и интегрального исчисления
Производная функции, ее геометрический смысл.
Правила дифференцирования.
Таблица производных. Дифференциал функции. Погрешность.
Формула Тейлора.
Применение производной к исследованию функций. Признаки
возрастания и убывания функций, экстремумы функций. Отыскание
наибольших и наименьших значений функций. Выпуклость и
вогнутость кривой. Точки перегиба.
Первообразная и неопределенный интеграл.
Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл.
Геометрические приложения определенного интеграла.
4.1.
4.2.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
Раздел 4
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Раздел 5
Вероятность и элементы математической статистики
Случайные события. Алгебра событий. Независимость событий.
Классическое определение вероятности. Относительная частота
события.
Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения
вероятностей. Формулы полной вероятности и Байеса.
Независимые испытания. Формула Бернулли.
Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные
величины.
Числовые характеристики дискретных случайных величин.
Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное
отклонение.
Нормальный закон распределения.
Введение в статистику. Основные предположения, методы отбора.
Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд,
полигон, гистограмма.
Л ИТЕРАТУРА
1. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – Т. 1, 2 /
Н. С. Пискунов. – М.: Наука, 2005 г.
2. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. – Ч. 1, 2 /
П. Е. Данко и др. – М.: Высшая школа, 2006 г.
3. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика /
В. Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2008 г.
4. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике / В. Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2006 г.
5. Воронов, М. В. Высшая математика для экономистов и менеджеров /
М. В. Воронов, Г. П. Мещерякова. – Ростов - н/Д: Феникс, 2004 г.
5
6. Контрольная работа № 1
Задания
1. Дана система уравнений. Решить еѐ методом последовательных
исключений.
1.1
2 x  5 y  8

3x  y  1
1.11 3x  4 y  7

2 x  3 y  4
1.2
3x  2 y  10

5 x  3 y  12
1.12 2 x  3 y  8
1.3
2 x  11y  15

10 x  11y  9
1.13 3x  2 y  12

2 x  3 y  5
1.4
3x  5 y  21

8 x  3 y  7
1.14 2 x  11y  15

3x  8 y  2
1. 5
2 x  3 y  1

3x  2 y  4
1.15 5 x  4 y  7
1. 6
4 x  y  5

2 x  5 y  11
3x  5 y  1

 x  7 y  11
1.16 2 x  3 y  1

3x  2 y  9
1.8
2 x  3 y  3

7 x  5 y  16
1.18 5 x  2 y  1

13x  7 y  6
1.9
7 x  2 y  6

2 x  y  1
1.19 17 x  2 y  7

2 x  3 y  13
1.10
2 x  3 y  2

 5 x  2 y  3
1.20 10 x  3 y  11
1.7

3x  2 y  1

8 x  3 y  10
1.17 9 x  2 y  16

2 x  7 y  3

 2 x  y  7
Решение типового примера
3x  4 y  5
Дана система 
.
4 x  3 y  2
6
Решить ее методом последовательных исключений.
Уберем x из второго уравнения. Уравняем коэффициенты при x в первом и
втором уравнениях. Для этого умножим первое уравнение на коэффициент при
x из второго уравнения, а второе – на коэффициент при x в первом получим
два уравнения. Вычтем из первого второе
12 x  16 y  20

12 x  9 y  6

 7 y  14
14
 2 . Подставляя y в первое уравнение, найдем x:
7
3x  8  5  3x  8  5  3x  3  x  1
Ответ: x  1, y  2 .
Следовательно, y 
2. Даны координаты точек А, В, С, D. Найти:
а) векторы АВ; CD; AB + 0,5CD;
б) длины векторов АВ и CD;
в) угол между векторами AB и CD.
№
A
B
C
D
2.01
(5,1,0)
(1,5,4)
(2,-1,0)
(2,4,7)
2.02
(3,-1,3)
(4,5,-2)
(2,7,1)
(2,3,5)
2.03
(0,2,4)
(4,-1,2)
(5,1,-3)
(3,2,6)
2.04
(6,2,0)
(-3,3,4)
(4,1,2)
(2,2,5)
2.05
(5,0,2)
(0,4,1)
(9,1,-2)
(4,2,6)
2.06
(0,1,4)
(2,0,-3)
(5,1,6)
(5,2,8)
2.07
(3,2,5)
(4,5,2)
(6,-3,0)
(5,-1,3)
7
Окончание таблицы
№
A
B
C
D
2.08
(0,3,1)
(3,-2,3)
(5,0,-1)
(6,5,4)
2.09
(3,3,2)
(4,1,0)
(2,0,1)
(4,3,6)
2.10
(1,6,0)
(3,0,-4)
(5,3,2)
(2,3,2)
2.11
(2,0,2)
(5,6,5)
(3,3,0)
(4,2,4)
2.12
(3,2,0)
(1,1,3)
(0,3,2)
(2,2,6)
2.13
(6,-1,1)
(2,3,4)
(3,-3,0)
(4,4,7)
2.14
(3,0,4)
(4,6,-1)
(2,8,2)
(0,4,8)
2.15
(1,-1,1)
(6,1,1)
(3,4,1)
(2,1,4)
2.16
(2,0,1)
(1,3,4)
(3,4,3)
(1,2,6)
2.17
(3,1,1)
(1,4,1)
(1,1,7)
(3,4,9)
2.18
(3,4,5)
(4,7,2)
(6,1,0)
(5,1,3)
2.19
(3,1,0)
(1,4,3)
(4,5,2)
(2,3,6)
2.20
(2,7,5)
(4,1,2)
(5,3,0)
(3,4,3)
Решение типового примера
Даны координаты точек А(1, 2, 3), В(3, 4, 2), С(2, 1, 4) и D(5, 0, -1). Найти:
а) векторы AB, АС, CD, АВ + 0,4CD;
б) длины векторов АВ и АС и угол между ними.
Решение:
а) Находим координаты векторов:
АВ = (3-1, 4-2, 2-3) = (2, 2, -1);
АС = (2-1, 1-2, 4-3) = (1, -1, 1);
СD = (5-2, 0-1, -1-4) = (3, -1, -5).
8
Для нахождения суммы векторов АВ + 0,4CD, предварительно найдем
вектор 0,4СD, умножив его координаты на коэффициент 0,4:
О,4 CD =( 1,2; -0,4; -2).
Тогда АВ + 0,4CD = (2+1,2; 2-0,4; -1-5) = (3; 1,6; -6).
б) Находим длины и скалярное произведение векторов
AB  2 2  2 2   1  3 ,
2
AC  12   1  12  3 ,
 
AB  AC  2 1  2   1   1 1  1 .
2
Вычисляем косинус угла между векторами AB и AC :
cos  
1
3 3
 0,192 ,
что дает значение угла (определяем по таблицам или с помощью калькулятора):

1 
  101
 3 3
.
  arccos 
3. Даны координаты вершин треугольника А, В, С. Найти уравнения
сторон АВ и АС и угол между ними. Сделать чертеж
№
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
А
В
(-5, 3) (10,6)
(-7, 1) (5, 0)
(5, 1) (0, 3)
(5, 2) (-1, 0)
(2, -2) (3, -4)
(1, 0) (2, 5)
(0, -3) (1, 4)
(-2, 1) (3, 1)
(-3, 3) (7, 5)
(2, 0) (5, -2)
С
(1, 5)
(2, 5)
(-2, 4)
(4, 4)
(2, -1)
(-1,1)
(-2,-1)
(0, -2)
(4, 8)
(10, 2)
№
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20
А
(14, 5)
(10, 2)
(0, -2)
(-1, 2)
(4, 8)
(4, 4)
(-2, 4)
(2, 5)
(1, 5)
(1,4)
В
(4, 5)
(2, 0)
(-2, 1)
(1, -1)
(-3, 3)
(5, 2)
(5, 1)
(-1,1)
(-5, 3)
(-2,-1)
С
(-5,-8)
(5, -2)
(3, 1)
(-5, 1)
(7, 5)
(-1, 0)
(0, 3)
(1, 0)
(10,6)
(0, -3)
9
Решение типового примера
Даны координаты вершин треугольника АВС: А(1, 2), В(3, 5), С(2, 3).
Найти уравнения сторон АВ и АС и угол между ними.
Решение:
Определим стороны АВ и АС треугольника АВС:
y
6
B
5
4
3
C
A
2
1
x
0
0
1
2
3
4
Рис. 1. Треугольник АВС
x 1
y2
3
1

, то есть y  x  ,
3 1 5  2
2
2
x 1 y  2
AC :

, то есть y  x  1 .
2 1 3  2
Таким образом, угловые коэффициенты прямых соответственно равны
3
k1  , k2  1,
2
AB :
10
откуда получаем значение тангенса угла А
3
1
1
tg  2
 ,
3
1  1 5
2
а угол определяем по таблицам или с помощью калькулятора:
1
  arctg  11o .
5
4. Предел функции и непрерывность. Найти точки разрыва функции, если
они существуют. Сделать чертеж функции
4.1
 x 2  1, если
x  1,

y   2x, если 1  x  3,
 x  2, если
x  3.

4.2
 2 x , если
x  1,

y   x  1, если 1  x  4,
 x  1, если
x  4.

4.3
 2 x , если 0  x  1,

y  4  2x, если 1  x  3,
 2, если
x  3.

4.4
1  x 2 , если
x  0,

y   1,
если 0  x  3,
 x,
если
x  3.

4.5
x  0,
 x, если
4

y   , если 0  x  4,
x
x  4.
 1, если
4.6
 x 2  4, если
x  2,

y   0,
если 2  x  4,
 x,
если
x  4.

4.7
 x3 , если
x  0,

y    x, если 0  x  2,
 x  2, если
x  2.

4.8
 2 x , если
x  0,

y  2  x, если 0  x  2,
 x  2, если
x  2.

4.9
x  0,
 0, если

y   x3 , если 0  x  2,
 x
x  2.
2 , если
4.10
 x  1, если
x  0,

y  2  x, если 0  x  1,

x  1.
 x , если
11
4.11
2  x 2 , если
x  0,

y   x  2, если 0  x  1,
  x, если
x 1

4.12
x  1,
  2, если
 2
y   x , если  1  x  1,
 x, если
x  1;

4.13
если
x  2,
 1,
 2
y   x , если  2  x  1
2  x, если
x  1;

4.14
  x 3 , если
x  0,

y   x, если 0  x  2,
2  x, если
x  2;

4.15
 x 3 , если
x  1,
 2
y   x , если  1  x  1,
2  x, если
x  1;

4.16
  x 2 , если
x  0,

y   x  2, если 0  x  1,
 x , если
x  1;

4.17
если
x  2,
 4,
 2
y   x , если  2  x  1,
3  x, если
x 1

4.18
x  0,
4  2 x, если
 2
y x ,
если 0  x  1,
  x, если
x 1

4.19
x  1,
 1, если

y   x 2 , если  1  x  3,
 x  1, если
x3

4.20
x  1,
 1, если
 2
y   x , если  1  x  1,
1  x, если
x 1

Решение типового примера
 x,
x  2,

2  x  0,
y  4  x 2 ,
Найти точки разрыва функции
если
 4  x,
x  0.

На интервалах ( ; 2 ) , ( 2;0 ) и ( 0;  ) функция непрерывна, так как
представляет собой элементарные функции. Проверке подлежат только
точки x = -2 и x = 0.
Рассмотрим точку x = -2.
12
Вычислим односторонние пределы
lim
x 2 0
lim
x 2 0
f(x)
f(x)
lim x  2 ,
x 2 0
lim ( 4  x 2 )  0 .
x 2 0
Так как односторонние пределы не совпадают, но конечны, x=-2 – это
точка разрыва функции 1-го рода.
Рассмотрим точку x=0:
lim f ( x )  lim ( 4  x 2 )  4 ,
x 0
x 0
lim f ( x )  lim ( 4  x )  4 .
x 0
x 0
X = 0 - точка непрерывности функции, так как в ней выполнено условие
непрерывности (предел справа равен пределу слева).
Рис. 2. Точка разрыва первого рода
5 . Найти производные y  указанных функций
13
3
y  2
5.2
yx
5.3
1
y  55 x2  x 
5.13
y  (1  x2 )(1  x )
5.14
y  x2 1  x
5.15
y  33 x5  5x4 
x3  x  1
2
1 x
2
5.11
5.12
x
5.4
5.5
y
9
4x 5  2
3x 4
a2  x2
1
y
x2  1  5 x3  1
y3
( 1  x2 )
( 1  x2 )


5.6
1

y   x 2  x    e 3x4 5.16
4

y  x x 5
5.7
y3
1  x3
1  x3
5.17
y  1  x  2  x 2
y5
x2  1
1  x 2
5.18
y  1  3 x5
5.19
y  4 x3  3 x2
5.8
5.9
5.10
14
x
y
5.1
y  ln
1  1  x2
1 1 x
2
y  e x ln 1  x 2 
5.20

y
2

2
1 2 x
ln
2 2 x
5
x
Для нахождения производной функции надо воспользоваться
правилами дифференцирования и таблицей производных.
Правила дифференцирования:
Если u(x) и v(x) - дифференцируемые функции, а c=const,
то
 u  v   u  v ,
(1)
 c  u   c  u ,
(2)
 u  v   u  v  u  v ,
(3)
 u  u  v  u  v
, v  0.
  
2
v
v
(4)
Если u(x) и v(x) - дифференцируемые функции, то
 u  v  x     uv  vx .
(5)
Некоторые формулы из таблицы производных:
y=c, c=const
y’=0
y  xn
y   n  x n1
y x
y
1
x
y  ax
y 
1
2 x
y  
1
x2
y   a x ln a
15
Окончание таблицы
y  e x
y  ex
y  ln x
y 
y  log a x
y 
1
x
1
x ln a
1  x2
Примеры. Найти производные функций: а) y 
;
3x  2
3


5 x 6
б) y  x  1 e
.
а) применяем правила дифференцирования сложной функции (5)
и частного (4):
2


 1  x 2    1  x 2 1/ 3  1  1  x 2  2 / 3  1  x 2 
  
   

 
y   3
 
 3x  2    3x  2   3  3x  2 
3
x

2



 

1
 3
3



2
2
 3x  2  3 1  x  3x  2  2 x 1 3  3x  2  3x  2 x  3



.


2 
2 
2 2
2 2
1

x
3
1

x




1 x
1 x
2
2



б) применяем правила дифференцирования произведения (3):


y  x 2  1  e5 x6  x 2  1  e5 x6  2 xe 5 x6  e5 x6  5  e5 x6 2 x  5 .





6. Вычислить предел функций, используя правило Лопиталя
16
№
а
б
6.1
2x3  7x2  2
lim
x  6 x 3  4 x  3
x 2  x  12
lim
x 3
2 x 2  3x  9
6.2
1  2x  4x2
lim
x  x 3  3 x 2  7
4 
 1
lim 
 2

x 2  x  2
x  4
6.3
1  4x  x4
lim
x  x  3 x 2  2 x 4
2 x 2  13x  7
lim
x 7
14  9 x  x 2
Продолжение таблицы
№
а
6.4
2 x5  2 x  1
lim
x  1  3x 2  x 4
lim
6.5
lim
4x6  x3  2x
x 
2x6  1
lim
6.6
2  x 2  3x 3
lim
x  1  3 x  6 x 3
x 2  6x  5
lim
x  5 x 2  3 x  10
6.7
3x 2  4 x  2
x  6 x 2  2 x  4
lim
6.8
2x5  2x  1
lim
x  1  3 x 2  x 5
x2  x  6
lim 2
x 3 3x  8 x  3
6.9
8x 4  4 x 2  3
lim
x 
2x4  1
4 x 2  5 x  21
lim
x 3 2 x 2  3 x  9
6.10
lim
4 x 6  2 x  11
x  5 x 7  3 x 4  2
lim
6.11
8x 2  4 x  5
lim
x  4 x 2  3 x  2
( x  5)2
lim 2
x 5 2 x  7 x  15
6.12.
2  x 2  3x 3
lim
x  1  3 x  6 x 3
2 x 2  9 x  18
lim 2
x 6 x  4 x  12
6.13
10 x 5  2 x 2  5
x  5 x 5  2 x  1
x3  1
x 1 x 2  3 x  2
2x2  9x  4
lim
x 4
( x  4)2
lim
lim
б
x 6
2 x 2  9 x  18
x 2  7x  6
4 x 2  5 x  21
x 3 2 x 2  3 x  9
3x 2  8 x  3
x 3 x 2  x  6
14  9 x  x 2
x 7 2 x 2  13x  7
lim
7x6  6x5  5
lim
x  3 x 6  1  x 3
3x 4  6 x 2  2
lim
x  x 4  4 x  2
x2  4x  3
x 3 2 x 2  9 x  9
6.16
4 x 6  2 x  11
lim
x  5 x 6  x 4  2
x 2  3x  10
lim
x 2
x2  4
6.17
5x 3  6 x  3
lim
x  x 3  2 x 2  4
lim
x  2
6.18
10 x 2  x  1
x  5 x 2  6 x  2
x2  x  6
x 2 x 2  7 x  10
6.14
6.15
lim
lim
2 x 2  9 x  10
2
x  x6
lim
17
Окончание таблицы
№
а
б
6.19
14 x 2  3x
x  7 x 2  2 x  8
x2  x  2
x 1 3x 2  2 x  1
6.20
4 x2  1
lim 3
x  x  1
lim
lim
12 x  8 x 2  4
1
2x2  x
x
lim
2
Примеры. Найти пределы, используя правило Лопиталя:
x 4  16
1. lim
; 2.
x 2 x 3  5 x 2  6 x  16
3x 3  17 x  3
lim 3
.
x   x  2 x 2  14
Решение. Убедившись, что имеет место неопределенность 0 или  ,
0
применяем затем правило Лопиталя.
4
4x 3
32 16
x 4  16

(
x

16
)
lim

1. lim
=
lim 3
 x2 3x 2  10 x  6 26  13 ;
x 2 x 3  5 x 2  6 x  16
2
x 2 ( x  5 x  6 x  16)


3x3  17 x  3
9 x 2  17
3x 3  17 x  3
 lim

 lim
2. lim
 x  3x 2  4 x
x 
x x 3  2 x 2  14
3
2
x  2 x  14

9 x 2  17
18 x 18
 lim
 lim

 3.
 x  6 x
x 
2
6
3x  4 x




В примере 2 правило Лопиталя применено дважды.
7. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.
y  2 x3  6 x  5
7.1
7.2
7.3
18
1 4 2 3 3 2
x  x  x
4
3
2
1
2
5
y  x3  x 2  x
9
3
3
y
7.11
7.12
7.13
1 3 3 2
x  x x
21
7
2
1
y  x3  x 2  4 x
9
3
1 4 2 3 7 2
y
x  x  x
120
45
20
y

7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
y  4 x4  8x2  5
3
y  x3  x 2  6 x  10
2
1
2
y  x3  x 2  x
63
21
1 4 3 2
y
x  x 7
24
2
1
7
y  x3  x 2  3x 
3
3
1
1
y  x 4  x3  x 2
4
3
1
1
7
y  x 4  x3  x 2  3x 
4
2
4
7.14
7.15
7.16
7.17
7.18
7.19
Окончание таблицы
1
9
y  x 4  x 2  14
4
2
1
1
1
y  x 4  x3  x 2
16
4
2
1
3
9
y  x3  x 2  x  5
2
2
2
1
1
1
y  x 4  x3  x 2  x
16
3
8
1 3 1 2
y
x  x x
45
15
1
2
y  x 4  x3  x 2  8 x
8
3
7.20
3
y  x3  x 2  6 x
2
Пример: Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
y  x 3  3x 2  9 x  12 .
1. Область определения - вся числовая ось, так как функция определена
для любых значений х.
2. Множеством значений функции служит также вся числовая ось, так как
функция непрерывна и при x   неограниченно возрастает, а при
x  стремится к "  ".
3. Функция является непрерывной и не имеет точек разрыва, так как
дифференцируема во всех точках.
4. Для определения интервалов монотонности найдем производную:

22

y

3
x

6
x

9

3
x

2
x

3

3
x

1
x

3




.



,1


3
,



функция
Методом интервалов находим, что при x
является возрастающей, так ее производная положительна, а при
x
1,3 - функция убывает, так как ее производная отрицательна.
19
Знаки y



х
-1
3
Рис. 3. Интервалы монотонности
5. Точкой минимума функции является точка х=3, так как производная в
ней обращается в ноль, а при переходе через нее меняет знак с минуса
на плюс.
Точкой максимума функции является точка х=-1, так как производная в
ней обращается в ноль, а при переходе через нее меняет знак с плюса на
минус.
6. Находим значения функции в экстремумах:
y max  1   1  3 1  9 1  12  17;
3
2
y min 3  33  3  32  9  3  12  15.
20
Контрольная работа № 2
Задания
1. Найти площадь фигуры, ограниченной областью D:
1.1
 y  x 2  1;
D:
y  5
1.11
 y   x 2  2 x;
D:
y  0
1.2
y  4  x2;
D:
y  0
1.12
 y  4x  x 2 ;
D:
y  4  x
1.3
 y  3x 2 ;
D:
y  x
1

y  x ;

D :  x  5;
 x  2,5


1.13
 y  x 2  2;
D:
y  6
1.14
2

y  x ;

D :  x  2;
x  5


1.5
y

y
D:
x

x
1.15
5

y  ;
D:
x
 y  6  x
1.6
y  x2;
D:
 y  3  2x
1.16
 y   x 2  6 x;
D:
y  0
1.7
y  2x ;

D :  y  4;
x  0

1.17
 y  x 2  4 x  4;

D :  y  0;
x  0

1.8
 y  x  12 ;
D:
y  x 1
1.18
y  3  x2;
D:
 y  2x
1.9

x2
;
y 
D:
2
 y  3 x

1.19
 y  x;

D:
1
y  x
2

1.10
 y  x 2  6 x  9;

D :  y  3;
x  0

1.20
 y  4x  x 2 ;
D:
y  0
1.4
 ex;
 0;
 2;
 1
21
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной областью D
 y  2x ;

D :  y  4;
 x  0,

Решение. Если на отрезке a; b заданы две непрерывные функции
f1 x  u f 2 x  , такие, что f1 x   f 2 x  , то площадь фигуры, заключенной
b
между этими кривыми на a; b вычисляется по формуле: S    f 2 x   f1 x dx .
a
В данном случае площадь фигуры находим с помощью определенного
x
интеграла от разности функций у = 4 и y  2
Находим точки пересечения кривых y  2 и у = 4, значит, 4 = 2x, откуда
x = 2. Следовательно,
x
2
 22
2x
20 
4 1
3
S    4  2  dx  4 x 0 
 42  

 8
ед 2  .

  8
ln 2 0
ln 2
ln 2
 ln 2 ln 2 
0
2
x
2
Рис. 4. Площадь криволинейной трапеции
22
Некоторые формулы таблицы интегралов
1.
 dx  x  C
x n 1
 C n  1
2.  x dx 
n 1
dx
 ln x  C  x  0
3. 
x
n
4.
 e dx  e
x
x
C
ax
 C , a  0, a  1
5.  a dx 
ln a
x
2. Дифференциальные уравнения первого порядка
Доказать, что заданные функции y являются решениями соответствующих
дифференциальных уравнений:
№
2.1
Дифференциальное
уравнение
y 
2.2
y
 x  3.
x3
y 
2 y
x 1
Решение
y  x  C x  3
y
2x  C
x 1
2.3
xy  y   y  0
y  3x 2  9
2.4
x4 1
y  3
x
x2
1
y
 2 C
2 2x
2.5
2 xyy   y 2  1
y  Cx  1
2.6
y  y 2 .
2.7
2
y 
y
 3( x  2).
x2
y
1
xC
y  3x  C   x  2.
23
№
2.8
Дифференциальное
уравнение
y 
5 y
x2
y
2.9
y   xy 4  0
2.10
xy   2 y
2.11
y  5 y 2  0
2.12
y  3 y  0
2.13
y 
y  y  e x .
2.15
y 
5x  C
x2
2
C  3x 2
y3
y  Cx 2
y
1
5x  C
y  Ce x

3 y
.
x5
y
3x  C
x5
xy   2 y  e  x
2.17
y  3y 2
y
2.18
y  x 3 y 2 .
y
2.20
y 
y 

y  x  C e x
2.16
2.19
3
1
y  ln x 3  1  C
3
x2
x3  1
2.14
Окончание таблицы
Решение
2
1 y2
x2 1
2x
0
2
x 1
y  3  e x
y

2
1
3x  3
4
x4
xC
1  Cx

y  ln x 2  1  C
Пример
Показать, что заданные функции являются решениями соответствующих
24
дифференциальных уравнений.
3
'
а) y = Cx ; xy = 3y;
2
x
2

 ; xy
dx

dy
б) y
.
2




Cx

3
Cx
а) находим производную заданной функции: y
.
2
3

3
C

3
C
Подставляем значения y и y  в заданное уравнение: x
.
3
Получено тождество
3
3
3
Cx

3
Cx
, следовательно, функция
2
y  Cx3
является решением уравнения xy 3y.
4
2


dy


dx

dx


2
3 . Подставим теперь
б) Сначала находим
x
x

x
2
значения у и
dy
в данное уравнение:
тождество, следовательно, функция
2
 4
x


dx



2
3
. Получено
x
  x
x2
y 
2 является решением уравнения
2
xy
dx

dy
.
3. Непосредственный подсчет вероятностей. Теоремы сложения
умножения вероятностей
3.1. Из слова «наугад» выбирается случайно одна буква. Какова
вероятность, что эта буква «а»? Какова вероятность того, что это
гласная?
и
3.2.
В урне 100 шаров, пронумерованных от 1 до 100. Какова вероятность,
что первый же извлеченный шар имеет номер четный или делящийся
на 3.
3.3.
Брошены 3 монеты. Найти вероятность того, что выпадут два герба?
3.4.
Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что
вероятность попадания одного из них равна 0,2, а второго – 0,6.
Определить вероятность того, что в результате одновременного
выстрела произошло одно попадание.
3.5.
Брошены две игральные кости. Какова вероятность выпадения на двух
костях в сумме не менее 9 очков?
25
3.6.
Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень.
Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если
вероятности попадания первым, вторым и третьим стрелком равны
соответственно 0,6; 0,5 и 0,4.
3.7.
Из пяти карточек с буквами А; Б; В; Г; Д наугад одна за другой
выбирают три и располагают в ряд в порядке появления. Какова
вероятность того, что получится слово «ДВА»?
3.8.
Вероятность того, что в течение одной смены возникнет неполадка
станка, равна 0,05. Какова вероятность того, что не произойдет ни
одной неполадки за три смены?
3.9.
Телефонный номер состоит из 6 цифр (первая не равна нулю). Найти
вероятность того, что все цифры четные.
3.10. В городе N находятся 15 продовольственных и 5
непродовольственных магазинов. Случайным образом для
приватизации отобраны 3 магазина. Найти вероятность того, что все
эти магазины непродовольственные.
3.11. На карточках написаны цифры 0; 1; 2; 3. Сколько четырехзначных
чисел можно из них составить?
3.12. В урне имеется 10 белых и 12 красных шаров. Из нее наудачу
извлекают 2. Какова вероятность, что они разного цвета?
3.13. Электричка состоит из 6 вагонов. Трое знакомых не договорились о
вагоне, в котором поедут. Какова вероятность, что они окажутся в
одном вагоне?
3.14. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность выхода из строя за
смену для них, соответственно, равна 0,75; 0,8 и 0,7. Найти
вероятность того, что за смену выйдут из строя точно два станка.
3.15. Из колоды в 36 карт наудачу выбирают две. Какова вероятность что
это: а) две дамы; б) дама и король в указанном порядке?
26
3.16. Вероятность попадания мячом в корзину при одном броске равна 0,8.
Какова вероятность, что при пяти независимых бросках будет не менее
трех удачных?
3.17. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры
и набрал их наудачу, помня, что эти цифры нечетные и разные. Найти
вероятность того, что номер набран правильно?
3.18. Вероятность того, что можно выбить 10 очков на данной дистанции
для данного стрелка при одном выстреле, равна 0,1, девять очков – 0,3.
Какова вероятность того, что при трех выстрелах будет выбито более
27 очков?
3.19. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый
экзаменационный билет содержит три вопроса. Какова вероятность
того, что студент знает: а) все три вопроса; б) только один вопрос
экзаменационного билета?
3.20. В цепь последовательно включены три независимо работающих
элемента с вероятностями отказа соответственно 0,1; 0,15 и 0,2. Какова
вероятность того, что по цепи ток не идет?
Примеры.
1. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Наудачу взяли два шара. Найти
вероятность того, что а)оба шара оказались белыми; б) оба они разного
цвета.
Решение: а) Пусть событие А – оба шара оказались белыми. Для решения
задачи воспользуемся формулой классической вероятности. Число всех
10  9
2
 45 ;
исходов есть число сочетаний из 10 элементов по 2, т.е. n  C10 
2 1
65
2
 15 .
число благоприятствующих исходов m  C 6 
2 1
Таким образом, вероятность события А P A 
m 15 1

 .
n 45 3
б) Пусть событие В – шары разного цвета. В данном случае число
1
1
благоприятствующих исходов находится как произведение C 6  C 4  6  4  24
и искомая вероятность Р(В)=24/45=8/9.
Ответ: 1/3 и 8/9.
27
2. Из жетонов сложено слово ФЕВРАЛЬ. а) Жетоны перемешали и снова
разместили в ряд. Какова вероятность снова получить то же слово?
б) случайным образом взяли три и разместили в ряд, какова вероятность
поучить слово ЛЕВ.
Решение: а) Общее число исходов п находится как число перестановок из 6
элементов: n  P6  6! Благоприятствующий исход – один. Искомая
вероятность P A 
m 1
1
1
 

n 6! 6  5  4  3  2  1 720
б) число всех исходов в этом случае - это число размещений из 6 элементов по
m
1
3
3: n  A5  6  5  4  120 ; т=1, следовательно, PB   
. Ответ: 1/720 и
n 120
1/120.
3. Три охотника стреляют в цель. Вероятность попадания в цель для первого
охотника равна 0,7, для второго – 0,8, для третьего – 0,5. Найти вероятность
того, что: а) все трое попадут в цель; б) попадет хотя бы один, в) попадут
ровно двое.
Решение: Обозначим: событие А – первый стрелок попал в цель;
событие В – второй стрелок попал в цель;
событие С – третий стрелок попал в цель.
а) По условию: Р(А)=0,7; Р(В)=0,8; Р(С)=0,5. События независимы, поэтому по
теореме о произведении вероятности независимых событий
вероятность одновременного попадания в цель всех трех охотников:
P ABC   P( A)  P( B)  P(C)  0,7  0,8  0,5  0,28 .
б) P( A)  1  0,7  0,3 - вероятность промаха первого охотника; соответственно
P( B)  1  0,8  0,2; P(C )  1  0,5  0,5 - вероятности промаха второго и
третьего охотников, тогда вероятность одновременного промаха всех трех
охотников:
PABC   P( A)  P( B)  P(C )  0,3  0,2  0,5  0,03 .
Событие, противоположное событию ABC , заключается в поражении цели хотя
бы одним охотником. Следовательно, искомая вероятность
P  1  PABC   1  0,03  0,97 .
в) возможны три случая: попали два первых, третий промахнулся
P( ABC )  0,7  0,8  0,5  0,28 ;
попали второй и третий, промахнулся первый P( ABC )  0,3  0,8  0,5  0,12 ;
28
попали первый и третий, промахнулся второй PABC   0,7  0,2  0,5  0,07 .
Искомая вероятность есть сумма найденных вероятностей, т.е.
P  0,28  0,12  0,07  0,47 .
Ответ: 0,28; 0,97 и 0,47.
4. Испытания по схеме Бернулли
Вероятность появления события A в одном испытании равна p. Найти
вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно
т раз
№
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
n
5
4
6
5
9
5
4
5
7
6
5
p
0,2
0,4
0,5
0,8
0,7
0,3
0,6
0,1
0,3
0,9
0,3
m
2
1
4
3
6
2
2
2
5
3
2
№
4.11
4.12
4.13
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
п
7
9
5
8
6
5
4
7
8
5
6
р
0,9
0,7
0,5
0,4
0,6
0,2
0,3
0,8
0,1
0,5
0,5
т
3
5
3
4
3
2
2
4
5
2
3
Пример. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара,
причем каждый вынутый шар возвращают обратно перед извлечением
следующего. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров 2
белых?
Решение: р=Р(Б)=20/30=2/3 –вероятность появления белого шара, которую
можно считать постоянной во всех испытаниях; q=P(Ч)=1-р=1/3. Искомая
вероятность может быть найдена по формуле Бернулли:
P4 2  C42  p 2  q 2  8 / 27 .
Ответ: 8/27.
5. Дискретные случайные величины
Дискретная случайная величина задана законом распределения. Найти:
1) Неизвестное p i ;
2) Математическое ожидание;
29
3) Дисперсию;
4) Вероятность попадания в интервал  ,  
X
5.1.
5.2.
5.3.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
30
4
5
10 11 15
pi
0,3 0,1 0,1 0,1
X
 6  2 1
pi
0,4
0,1
X
4
1
pi
0,1 0,2 0,1 0,2
X
5.4.
0
1
3
3
7
3
0,3 0,1
X
1
pi
0,1 0,3 0,1 0,2
X
 2 1 0
pi
0,4 0,1
X
pi
X
1
5
13
pi
0
7
15
0,2 0,1
1
2
5
2
4
5
8
10
4
pi
0,4 0,1 0,1
X
1
pi
0,1 0,2 0,3 0,2
X
 5 1 0
pi
0,3 0,1
X
pi
X
1
3
5
4
pi
0,4 0,1
X
1
pi
0,1 0,3
3
7
3
6
8
12
10
14
0,2 0,1
5
7
  3;   11 .
  5;   0 .
13
0,2 0,1 0,2
10 12
  1;   5 .
  2;   10 .
0,1
7
  0;   5 .
  2;   0 .
11 15
0,2 0,1
0,2 0,2
2
0,1
5
8
0,2
10 12 14
  1;   3 .
  3;   13 .
0,1
0,2 0,1
3
7
0,1
0,2 0,2 0,1 0,2
2
  2;   7 .
0,2 0,1
1
  5;   11 .
0,1
  1;   8
  4;   12
11 13
0,2 0,1 0,1
  1;   5
5.14.
5.15.
5.16.
5.17.
5.18.
X
 3 1 0
pi
0,4 0,1
X
1
pi
0,2 0,1 0,1 0,2
X
 4 1 0
2
pi
0,4 0,1
0,1 0,1
5.20.
4
0,2 0,1
3
5
pi
0,1 0,3 0,1 0,2
X
 3 1
pi
0,1 0,3 0,1
pi
3
7
9
0
6
3
0,1
0,1
4
 5 1 0
pi
0,3 0,1
2
11 15
7
0,2 0,1
  4;   9 .
.
  1;   3 .
0,2 0,3 0,2 0,1 0,1
X
  3;   10 .
  1;   7 .
10 12
0,1
8
  3;   0 .
10 12
7
1
1
4
7
X
X
5.19.
3
  6;   11 .
  0;   7 .
Пример. Найти неизвестную вероятность Р, математическое ожидание и
дисперсию дискретной случайной величины, заданной таблицей
распределения вероятностей
Х
Р
0
0,0081
1
0,0756
2
0,2646
3
0,4116
4
Р
Решение.
Так как сумма всех вероятностей в таблице равна единице, то
0,0081+0,0756+0,2646+0,4116 + Р =1.
Отсюда Р = 0,2401. Теперь можно написать закон распределения
Х
Р
0
0,0081
1
0,0756
2
0,2646
3
0,4116
4
0,2401
Находим математическое ожидание и дисперсию:
M(X) = 00,0081 + 10,0756 + 20,2646 + 3 0,4116 + +40,2401=2,8
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой
D(X) = M(X2) - (M(X))2
M(X2) =020 ,0081 + 120,0756 + 220,2646 + 320,4116 + 420,2401 = 8,68.
31
6. Непрерывные случайные величины
Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее
математическое ожидание равно m x , среднее квадратическое отклонение равно
 . Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина
примет значение в интервале (а, b)
№
mx

a
b
№
mx

a
b
6.1
16
2
15
18
6.11
34
1
30
36
6.2
14
3
10
15
6.12
36
2
34
37
6.3
12
2
8
14
6.13
38
3
37
41
6.4
10
1
8
14
6.14
40
4
36
43
6.5
18
1
16
21
6.15
42
4
40
43
6.6
20
2
17
22
6.16
44
5
41
45
6.7
24
1
20
26
6.17
45
5
43
48
6.8
26
3
23
27
6.18
46
4
44
48
6.9
28
2
24
30
6.19
48
5
45
49
6.10
30
1
27
32
6.20
50
6
48
53
Пример. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и
5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение,
заключенное в интервале (15,25).
 a
  a 
  
.
Решение: Воспользуемся формулой: P  X     
  
  
Здесь Ф(х) – функция Лапласа. (Еѐ значения приведены в таблице). Подставив
  15;   25; a  20;  5, получим
. P15  X  25  (1)  (1)  2(1)  2  0,3413  0,6826 .
32
Таблица значений функции Лапласа
7. Найти по заданному вариационному ряду выборки выборочное среднее
x в , выборочную дисперсию  в . Построить полигон относительных частот
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
xi 125 135
ni
5
10
xi 100 110
ni
4
6
xi 25
30
ni
5
15
xi 12,2 16,2
ni
5
15
xi 115 120
ni
5
10
145
30
120
10
35
40
20,2
40
125
30
155
25
130
40
40
25
24,2
25
130
25
165
15
140
20
45
8
28,2
8
135
15
175
10
150
12
50
4
32,2
4
140
10
185
5
160
8
55
3
36,2
3
145
5
33
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
7.12
7.13
7.14
7.15
7.16
7.17
7.18
7.19
7.20
Пример.
xi
ni
xi
ni
xi
ni
xi
ni
xi
ni
xi
ni
xi
ni
xi
ni
xi
ni
xi
ni
xi
ni
xi
ni
xi
ni
xi
ni
xi
ni
40
4
9,8
8
10,0
5
95
4
12,2
4
105
4
12,5
5
10,2
8
45
4
110
5
12,4
5
26
5
10,6
8
100
4
130
5
45
6
10,8
10
10,5
15
100
6
13,2
6
110
6
13,0
15
10,9
10
50
6
115
10
16,4
15
32
4
15,6
10
110
6
140
10
50
10
11,8
60
11,0
40
105
10
14,2
10
115
40
13,5
40
11,6
60
55
10
120
30
20,4
40
38
40
20,6
60
120
10
150
30
Окончание таблицы
55
60
65
70
40
20
12
8
12,8 13,8 14,8 15,8
12
5
3
2
11,5 12,0 12,5 13,0
25
8
4
3
110 115 120 125
40
20
12
8
15,2 16,2 17,2 18,2
40
20
12
8
120 125 130 135
10
20
8
12
14,0 14,5 15,0 15,5
42
8
4
3
12,3 13,0 13,7 14,4
12
5
3
2
60
65
70
75
40
20
12
8
125 130 135 140
25
15
10
5
24,4 28,4 32,4 36,4
25
8
4
3
44
50
56
62
25
3
15
8
25,6 30,6 35,6 40,6
12
5
3
2
130 140 150 160
40
20
12
8
160 170 180 190
25
15
10
5
Найти по заданному вариационному ряду выборки выборочное
среднее x в , выборочную дисперсию  2 .
xi
5
10
15
ni
1
5
20
34
20
14
25
10

Выборочное среднее вычисляется по формуле xb 
xb 
ni xi
n
5  1  5  10  20  15  14  20  10  25 885

 17 ,7 .
50
50
Выборочную дисперсию вычисляем по формуле 
2
в
 n x

i
i
 xв 
2
n
1   5  17,7   5   10  17,7   20  15  17,7 
 

50
2
2
2
2
14   20  17 ,7   10   25  17 ,7 
1210,5


 24,21 .
50
50
2
2
Для построения полигона найдем относительные частоты
xi
ni
n
5
1
50
10
5
50
15
20
50
20
14
50
25
10
50
Строим точки и соединяем их линиями
ni
n
0,4
0,3
0,2
0,1
5
10
15
25
xi
Рис. 5. Полигон относительных частот
35
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
1 018 Кб
Теги
2016, matkz12
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа